Extension d'homéomorphismes CR entre variétés polynômialement rigides

Publ. Mat. 46 (2002), 327–352 EXTENSION D’HOM´ EOMORPHISMES CR ENTRE VARI´ ET´ ES POLYNˆ OMIALEMENT RIGIDES Patrick Lahond` es Abstract Let f:M→Mbe a CR homeomorphism between two minimal, rigid polynomial varieties of Cnwithout holomorphic curves. We show that fextends biholomorphically in a neighborhood of Mif f extends holomorphically in a neighborghood of a point p0∈M or if fis of class C1. In the other hand, in case Mand M are two algebraic hypersurfaces, we obtain the extension without supplementary conditions. 1. Introduction Dans cet article, nous d´eterminons des conditions pour qu’un hom´eomorphisme de Cauchy-Riemann (not´ee CR) continu entre deux vari´et´es de Cauchy-Riemann analytiques r´eelles (on s’int´eressera uniquement `a ce cas) se prolonge holomorphiquement au voisinage de la vari´et´ede d´epart. Les principaux r´esultats obtenus sont: Th´eor`eme 1.1. Soit f:M→Mun hom´eomorphisme CR entre deux vari´et´es polynˆomialement rigides de Cn, minimales, sans courbe holomorphe. Alors fs’´etend biholomorphiquement sur un voisinage de la vari´et´e Ms’il existe un point p0∈Mau voisinage duquel fs’´etend holomorphiquement. Th´eor`eme 1.2. Soit f:M→Mun hom´eomorphisme CR, entre deux hypersurfaces alg´ebriques r´eelles de Cnne contenant pas d’ensemble analytique complexe non trivial, alors fse prolonge biholomorphiquement sur un voisinage de l’hypersurface M. Dans le cas hypersurface, ce probl`eme est fortement li´e au prolongement des applications holomorphes propres entre domaines `a bord analytique r´eel ([DF88], [BR88]). En effet, si les applications sont continues 2000 Mathematics Subject Classification. 32D15, 32H35, 32V25. Mots-cl´es. Correspondances holomorphes propres, vari´et´e polynˆomialement rigide, vari´et´e de Segre, principe de r´eflexion. 328 P. Lahond` es jusqu’au bord du domaine, l’´etude se ram`ene `a celle des applications CR entre hypersurfaces r´eelles analytiques. Inversement, une application CR entre deux hypersurfaces CR minimales se prolonge holomorphiquement d’un cot´e de la vari´et´e([Tum89a]), et le probl`eme est alors de montrer que cette extension est propre (localement). Cette situation a beaucoup ´et´e´etudi´e, notamment, pour ne citer que les r´esultats r´ecents, dans [BHR96]o`u il est demand´e que fsoit un diff´eomorphisme de classe C∞, et dans [CPS99]et[CPS00]avecfune application de classe C∞. Sous la seule condition de continuit´edef, Bell-Catlin [BC88] puis Huang [Hua00] donnent une condition suffisante pour que l’extension unilat´erale de fsoit propre quand les hypersurfaces sont pseudoconvexes. De mˆeme, Pinchuk-Tsyganov [PT90] montrent que fse prolonge holomorphiquement lorsque les hypersurfaces sont strictement pseudoconvexes. Enfin, Huang [Hua96] obtient un r´esultat similaire sans condition de pseudoconvexit´e mais valable dans C2seulement. En codimension sup´erieure, Baouendi-Jacobowitz-Tr`eves [BJT85] ont montr´e que tout diff´eomorphisme CR de classe C∞qui s’´etend holomorphiquement `a un wedge d’edge Mest analytique. En ce qui concerne les quadriques (qui sont le bord de domaines de Siegel), l’extension de f est obtenu par Tumanov-Henkin [TH83] avec une condition de stricte pseudoconvexit´e des vari´et´es Met M, et par Tumanov [Tum89b], Forstneriˇc[For92] et Soukhov [Suk94] avec des conditions de Levi non-d´eg´en´erescence. Dans ces articles, la structure g´eom´etrique des quadriques est fortement utilis´ee. Mais ensuite, avec peu de r´egularit´e sur f(hom´eomorphisme, ou de classe C1), on obtient une extension de f (biholomorphe ou rationnelle). Enfin, dans l’article [For91], Forstneriˇc montre que tout hom´eomorphisme CR local entre vari´et´es r´eelles analytiques strictement pseudoconvexes et “over-extendable” (dont on donnera la d´efinition `a la fin de la section suivante) se prolonge en un biholomorphisme local. On peut remarquer que dans tous ces articles, une diminution de la r´egularit´e des applications est compens´ee par de plus fortes conditions sur les vari´et´es et inversement. Nous travaillons ici avec des vari´et´es polynˆomialement rigides, ce qui g´en´eralise la notion de quadrique, et sans condition de pseudoconvexit´e. On demande peu de r´egularit´e`a l’application, mais en revanche, on a besoin d’avoir d´ej`a l’extension holomorphe de l’application au voisinage d’un point p0. Un peu plus de r´egularit´e sur l’application assure l’existence d’un point d’extension holomorphe, ce qui nous permet d’´enoncer le r´esultat suivant: Extension d’Hom´ eomorphismes CR 329 Corollaire 1.3. Soit f:M→Mun hom´eomorphisme CR de classe C1 entre deux vari´et´es polynˆomialement rigides de Cn, minimales, sans courbe holomorphe. Alors fs’´etend biholomorphiquement sur un voisinage de la vari´et´e M. Nous allons maintenant nous int´eresser `a quelques situations o`ula condition d’extension holomorphe de fau voisinage d’un point de Mest v´erifi´ee sans avoir `a supposer fde classe C1. On a vu pr´ec´edemment que [For91] nous donnait une condition suffisante pour que fs’´etende biholomorphiquement au voisinage d’un point p0, ce qui nous permet d’obtenir ensuite l’extension biholomorphe de fau voisinage de tout point de M. Mais il n’est pas toujours possible de trouver, sur une vari´et´ev´erifiant les hypoth`ese du Th´eor`eme 1.1, des point strictements pseudoconvexes contrairement au cas hypersurface. Exemple 1.4. La vari´et´e M0⊂C4(x1+iy1,x 2+iy2,w 1,w 2)d´efinie par: x1=w1¯w1−w2¯w2, x2=w2 1¯w2 2+¯w2 1w2 2, (1) ne poss`ede aucun point strictement pseudoconvexe. Mais si, pour cet exemple, [For91] ne nous permet pas d’obtenir un point de prolongement holomorphe, on peut appliquer le Th´eor`eme 1.2 de Boggess-Polking [BP82]`alavari´et´e M0car l’enveloppe convexe de l’image de sa forme de Levi est Rdtout entier en tout point tel que w1w2=0. Enfin, on a vu que l’on pouvait obtenir un r´esultat g´en´eral pour les hom´eomorphismes CR entre hypersurfaces alg´ebriques r´eelles. En effet, dans ce cas, on sait que si fse prolonge en tant que correspondance au voisinage d’un point p, elle se prolonge holomorphiquement au voisinage de ce point (cf. [DP98]). Or en codimension sup´erieure, il n’existe pas de r´esultat ´equivalent. N´eanmoins, si l’on consid`ere M et Mpolynˆomialement rigides, on a un bon contrˆole de la g´eom´etrie de ces vari´et´es ce qui nous permet d’obtenir ce r´esultat (cf. Proposition 8.1). De plus, il est toujours possible de trouver un point de prolongement holomorphe dans le cas hypersurface. La d´emonstration du Th´eor`eme 1.1, inspir´ee d’un travail de CoupetPinchuk [CP96], repose sur l’utilisation des vari´et´es de Segre introduites par Segre [Seg31]etd´evelopp´ees par Webster [Web77]. La d´efinition des vari´et´es de Segre et quelques-unes de leurs propri´et´es ´el´ementaires ainsi que la notion de correspondance holomorphe propre seront donn´ees 330 P. Lahond` es dans la Section 3. Les Sections 4 et 5 seront consacr´ees `a l’extension de f en tant qu’application alg´ebrique puis en tant que correspondance holomorphe propre. Le passage de l’extension en tant que correspondance `a celle de l’extension holomorphe repose sur deux propri´et´es importantes d’invariance dont la d´emonstration, assez technique, sera r´ealis´ee dans les Sections 6 et 7. Enfin, dans la Section 8, nous terminerons la d´emonstration du Th´eor`eme 1.1. en utilisant le Th´eor`eme des disques de Benhke-Sommer. 2. D´efinitions et notations Une vari´et´e CR est dite minimale (au sens de Tumanov) si et seulement si elle ne contient pas de sous-vari´et´e CR propre de mˆeme dimension CR. Soit M⊂Cnune vari´et´e CR. On dira que Mest de type fini en p∈M(au sens de Bloom-Graham) s’il existe N∈N et X1,...,X k∈Γ(M,TcM) tels que les Xiet leurs commutateurs d’ordre inf´erieurs `a Nengendrent TpM. Lorsque les vari´et´es sont r´eelles alg´ebriques, on montre, grˆace au Th´eor`eme de Nagano [Nag66], qu’il est ´equivalent de dire qu’elles sont de type fini (au sens de Bloom-Graham) ou de dire qu’elles sont minimales au sens de Tumanov (cf. [BR90]). On dit que fest un hom´eomorphisme CR entre les vari´et´e Met M lorsque fest un hom´eomorphisme et fest CR. Lorsque Met Msont des hypersurfaces, Diederich-Pinchuk [DP93] montrent que f−1est aussi CR. Dans notre situation, on ´etablit un r´esultat similaire (cf. Proposition 4.3). Soit pun point de Cn, on notera par Upun voisinage ouvert connexe de pdans Cn. Lorsque nous travaillerons avec des applications entre vari´et´es alg´ebriques r´eelles, tout objet de l’espace d’arriv´ee sera not´e avec un . On notera les points t∈Cnpar t=(z,w), o`u z∈Cmet w∈Cdavec m+d=n. Soit Mune vari´et´e CR, elle sera dite polynˆomialement rigide si elle est d´efinie par: M={(z,w)∈Cn:Rew+ρ(z)=0},(2) avec ρune application polynˆomiale r´eelle de la forme: ρ(z)=(ρ1(z),...,ρ d(z)) =   j,k a1 jkzjzk,..., j,k ad jkzjzk ,(3) o`uj=(j1,...,j m), k=(k1,...,k m) sont des multi-indices et ajk =akj pour tout k,j(pour que ρ(z) soit r´eelle). D’apr`es la d´efinition, il est clair que Mest une vari´et´eCRg´en´erique de dimension complexe m. Extension d’Hom´ eomorphismes CR 331 Remarque 2.1.Pour tout point p∈M, il existe un changement de variables polynˆomial biholomorphe tel que la vari´et´e Msoit d´efinie au voisinage de ppar des ´equations de la forme (2) avec ρ(p)=0etdρ(p)=0. Soit Γ ⊂Rdun cˆone ouvert connexe de sommet 0 et Up⊂Cnun voisinage ouvert de p∈Msur lequel Mest d´efinie par des ´equations de la forme (2) avec ρ(p)=0etdρ(p) = 0. Nous notons alors W(Γ,U p)le wedge d’edge Md´efini par W(Γ,U p)={(z,w)∈Up/Re w+ρ(z)∈Γ}. La condition d’“over-extendability” concerne l’extension des fonctions CR sur M. Soit p∈M, on demande que toute fonction CR sur M au voisinage de ps’´etende pr`es de p`a un wedge W(Γ,U p) d’edge Mtel que le cˆoneΓd´eterminant le wedge W(Γ,U p) soit strictement plus grand que le cˆone de Levi de Men p(voir [For91]). 3. Vari´et´es de Segre, correspondances holomorphes propres Dans un premier temps, nous allons introduire la notion de vari´et´e de Segre. Soit Mune vari´et´e polynˆomialement rigide de la forme (2), comme Re w+ρ(z) est une application alg´ebrique r´eelle, on peut consid´erer sa complexification w+ξ 2+ρ(z,ζ), d´efinie sur Cn×Cn, qui est holomorphe en t=(z,w) et antiholomorphe en τ=(ζ,ξ). Soit τ= (ζ,ξ)∈Cn, on appelle alors la vari´et´e alg´ebrique complexe ferm´ee de dimension md´efinie par: Qτ={(z,w)∈Cn:w+ξ+2ρ(z,ζ)=0}, la vari´et´edeSegrede Men τ. Cette vari´et´e de Segre est un graphe au dessus de Cn z. En effet, Qτ={(z,w)∈Cn/z ∈Cm,w =−ξ− 2ρ(z,ζ)}={(z,στ(z))/z ∈Cm}o`uστ(z)=−ξ−2ρ(z,ζ). On appelle sym´etrique de τ=(ζ,ξ), l’unique point not´e sτde la forme (ζ,στ(ζ)) tel que sτ∈Qτ. Pour τ∈Cnon d´efinit l’ensemble analytique Aτpar: Aτ={t∈Cn:Qt=Qτ}. Nous allons ´enoncer un certain nombre de propri´et´es ´el´ementaires des vari´et´es de Segre qui nous seront utiles par la suite (cf. [DF88], [DP95]). 332 P. Lahond` es Propri´et´es 3.1. Pour tout t, τ ∈Cnon a: 1. t∈Qτ⇐⇒ τ∈Qt. 2. t∈Qt⇐⇒ t∈M. 3. τ∈Aτ. 4. Si τ∈M,Aτest une sous-vari´et´e complexe de M. On dit que Mest essentiellement fini en τsi Aτ={τ}dans un voisinage de τ. Donc, si Mest suppos´ee sans courbe holomorphe en τ, on d´eduit du quatri`eme point de la Propri´et´e3.1pr´ec´edente que Mest alors essentiellement fini en τ. La propri´et´e suivante est la propri´et´e d’invariance des vari´et´es de Segre. De nombreux r´esultats d’extension reposent sur cette propri´et´e d’invariance. Propri´et´e 3.2. Soit M,Mdeux vari´et´es r´eelles alg´ebriques de Cnet soit f:Up→U pune application holomorphe entre deux voisinages ouverts d’un point p∈Met d’un point p∈Mavec p=f(p)telle que f(M∩Up)⊂M∩U palors, pour tout t∈M∩Upil existe un voisinage Ut⊂Uptel que pour tout τ∈Ut, f(Qτ∩Ut)⊂Q f(τ). Propri´et´e 3.3. Soit Mune vari´et´e polynˆomialement rigide de la forme (2) alors pour tout cˆone Γ∈Rdet pour tout τ∈W(Γ,Cn),sτ∈ W(−Γ,Cn). Preuve des propri´et´es pr´ec´edentes: Les premi`eres propri´et´es r´esultent de l’identit´e ρ(z, ¯w)=ρ(w, ¯z). La Propri´et´e 3.2 est une cons´equence de la relation f(M∩Up)⊂ M∩U pqui se traduit par ∀t∈M∩Up,ρ(t, ¯ t)=0⇒ρ(f(t), f(t)) = 0, et du lemme de division des fonctions analytiques r´eelles. Montrons la Propri´et´e3.3. SoitΓuncˆone de Rdet τ=(ζ,ξ)∈ W(Γ,Cn). Cela signifie que Re ξ+ρ(ζ)∈Γ. On veut alors montrer que sτ∈W(−Γ,Cn). Or Qτ={(z,w)∈Cn:w+ξ+2ρ(z,ζ)=0}donc sτ=(ζ,−2ρ(ζ,ζ)−ξ). Et Re(−2ρ(ζ,ζ)−ξ)+ρ(ζ)=−2ρ(ζ)−Re ξ+ρ(ζ), =−(Re ξ+ρ(ζ)), ∈−Γ, ce qui termine la preuve de la derni`ere propri´et´e. Extension d’Hom´ eomorphismes CR 333 Proposition 3.4. Soit Mune vari´et´e polynˆomialement rigide de la forme (2),p∈Met Γun cˆone de Rd; Alors il existe un voisinage Upet un point τ∈W(−Γ,U p)tel que pour tout tdans un voisinage de τ, Qt∩W(Γ,U p)soit connexe. Preuve de la Proposition 3.4: Soit p∈Met Up=Up,z ×Up,w un voisinage ouvert sur lequel Mest d´efinie par des ´equations de la forme (2) avec ρ(p)=0etdρ(p) = 0. On peut aussi travailler, sans perdre de g´en´eralit´e,aveclecˆone Γ = (R+)d. Soit τ=(ζ,ξ)∈W(−Γ,U p), regardons l’ensemble Uτ={z∈Up,z :(z,στ(z)) ∈W(Γ,Cn)}, o`uστ(z)=−(ξ+2ρ(z,ζ)). Regardons comment varie Uτlorsque τse prom`ene dans une direction normale `a Mint´erieure au cˆone Γ, c’est `a dire lorsque τest de la forme τ=λu =(0,λ) avec u=(0 m,1d)etλ>0. On a ∂σλ(z) ∂λ =−1∈Rd. Ceci entraˆıne que si λ>λ, c’est `a dire lorsque l’on s’´eloigne de M suivant la normale ualors U(0,λ)⊂U(0,λ), et la proposition d´ecoule de cette relation. Soit p∈Met Upun voisinage de p, notons S=S(Up) l’ensemble des vari´et´es de Segre {Qτ:τ∈Up}et λl’application de Segre (cf. [DW80], [DF88], [DFY94]et[DP95]) d´efinie par: λ:Up−→ S τ−→ Qτ. On peut d´efinir une structure de vari´et´e analytique complexe de dimension finie sur Stelle que l’application λsoit un revˆetement ramifi´e fini antiholomorphe. En effet, l’´equation w+ξ+2ρ(z,ζ) = 0 qui d´efinie Qτest ´equivalente `a w=−ξ+bk(ζ)zk,(4) o`u la somme du terme de droite est finie et les bksont des polynˆomes. Les coefficients bk(ζ)etξpeuvent ˆetre consid´er´es comme les coordonn´ees de Qτdans un certain CN. Nous allons maintenant introduire la notion de correspondance holomorphe propre ainsi que celle d’extension d’application en une correspondance holomorphe propre. 334 P. Lahond` es D´efinition 3.5. Une correspondance holomorphe propre est un ensemble analytique complexe ferm´e F⊂U×U, de dimension n, avec Uet U deux ouverts de Cn, et avec la propri´et´e que la projection π:F→Uest propre. La correspondance Fest dite irr´eductible si Fest irr´eductible en tant qu’ensemble analytique. D´efinition 3.6. Soit D,D⊂Cndeux domaines de Cn,fune application holomorphe de Dsur Det p∈∂D. On dit que fs’´etend en une correspondance holomorphe propre `a un voisinage Upde ps’il existe un voisinage ouvert U∈Cnet une correspondance holomorphe propre irr´eductible F⊂Up×U, telle que Γf∩{(D∩U)×D}⊂F,o`uΓ fest le graphe de f. Une correspondance Fassocie `a tout point p∈Uun nombre fini d’images, qui sont l’ensemble des points  F(z)=π(π−1(p)) ⊂U,o`uπ est la projection de Fsur U. Le nombre de ces images, compt´e avec multiplicit´e, est ´egal au nombre kde feuillets du revˆetement ramifi´e π:F→U. On note Ele lieu de branchement de Fc’est `a dire l’ensemble analytique complexe de dimension n−1 form´e des points de Utels que π|π−1(U\E)soit une application localement biholomorphe. 4. Alg´ebricit´eetr´esultats pr´eliminaires Revenons maintenant `alad´emonstration du Th´eor`eme 1.1. On veut montrer que les applications fet f−1s’´etendent alg´ebriquement `a tout Cn. On rappelle qu’une application fs’´etend en une application alg´ebrique complexe si le graphe de fest une partie d’un ensemble alg´ebrique complexe de dimension n. C’est `a dire s’il existe un ensemble alg´ebrique complexe F⊂Cn×Cnde dimension ntel que Γf⊂Fo`uΓ fest le graphe de f. Si Fest un ensemble alg´ebrique complexe de Cn×Cn, on note F−1, l’ensemble alg´ebrique complexe F−1={(t,t)∈Cn×Cn:(t, t)∈F}. Proposition 4.1. Sous les hypoth`eses du Th´eor`eme 1.1, fet f−1s’´etendent en des applications alg´ebriques complexes. De plus les graphes F et Gde ces extensions sont tels que G=F−1. L’hypoth`ese que Met Msoient des vari´et´es polynˆomialement rigides n’est pas n´ecessaire ici, il suffit de supposer que les vari´et´es soient r´eelles alg´ebriques. Preuve de la Proposition 4.1: Dans un premier temps, nous allons montrer qu’il existe un point pproche de p0au voisinage duquel fse prolonge biholomorphiquement. Notons Up0un voisinage de p0sur lequel Extension d’Hom´ eomorphismes CR 335 fse prolonge holomorphiquement. Soit N≤nle rang maximal de la matrice jacobienne de fsur Up0. L’ensemble J0={t∈Up0: le rang de la matrice jacobienne de fen test inf´erieur `a N}est un ensemble analytique de Up0de dimension strictement inf´erieure `a n. Donc M∩Up0⊂ J0car Mest g´en´erique. Soit p∈(M∩Up0)\J0et Upun voisinage de ptel que Up∩J0=∅. Alors f(Up) est un ensemble analytique de dimension Npar le th´eor`eme du rang constant et comme fest un hom´eomorphisme de Msur M, il existe un voisinage Uf(p)⊂Cnde f(p) tel que (M∩Uf(p))⊂(M∩f(Up)) ⊂f(Up). Or Mest g´en´erique, il est donc n´ecessaire que N=n, donc J0={t∈Up: Jac(f)(t)=0} et fest un biholomorphisme au voisinage de p. Pour prouver l’alg´ebricit´edef, il suffit maintenant d’appliquer le Th´eor`eme de Baouendi-Ebenfelt-Rothschild [BER96] suivant au voisinage du point p∈Mo`ufs’´etend biholomorphiquement: Th´eor`eme (Baouendi-Ebenfelt-Rothschild [BER96]).Soit M,M∈Cn deux vari´et´es g´en´eriques alg´ebriques r´eelles. Supposons que Msoit de type fini, holomorphiquement non-d´eg´en´er´ee. Si fest un biholomorphisme d´efini dans un voisinage de M, envoyant Msur M, alors fest alg´ebrique. Remarque 4.2.Une vari´et´e Mest dite holomorphiquement non-d´eg´en´er´ee en psi il n’existe pas de germe de champ de vecteurs holomorphe, avec coefficients holomorphe, tangent `a Mau voisinage de p, mais non identiquement nul sur M. Dans [BER96], il est montr´e que si Mest essentiellement fini en un point p, alors Mest holomorphiquement nond´eg´en´er´ee en tout point de M. On note Fl’ensemble alg´ebrique complexe irr´eductible de dimension complexe nde Cn×Cntel que Γf|Up⊂Fo`uUpest un voisinage ouvert de psur lequel fse prolonge biholomorphiquement. On a alors que Γf|M⊂Fet donc que Fest un prolongement alg´ebrique de fcar fest une application CR. On note Ele lieu de branchement de F. Pour f−1, on applique le Th´eor`eme de Baouendi-Ebenfelt-Rothschild [BER96]`a(f−1)|f(Up). On note ensuite Gl’ensemble alg´ebrique complexe irr´eductible de dimension complexe nde Cn×Cntel que Γ(f−1)|f(Up)⊂G. Mais on ne sait pas encore si Gest un prolongement alg´ebrique de f−1. 342 P. Lahond` es dans l’ensemble des points t∈Uptel qu’il existe t∈Upavec Q(t, t)=0 et ∂Q ∂t(t, t) = 0 donc E2⊂{t∈Up:DQ(t)=0}, o`uDQ(t) est le discriminant de Qen t,DQ(t) est un polynˆome et par cons´equent E2est un ensemble alg´ebrique. Soit τ∈Up,Qτ={(z,στ(z))/z ∈Cn}o`uστ(z)=−ξ−2ρ(z,ζ). Notons ψτ(z)=(z,στ(z)). Alors E={τ/DQ(ψ(k) τ(z)) = 0 ∀k∈Ntel que |k|<N}, pour Nassez grand. C’est donc bien un ensemble alg´ebrique. Pour montrer que la dimension de Eest strictement inf´erieure `a n, il suffit de trouver un point τde Upn’appartenant pas `a E. Soit t∈M∩Up, on sait, d’apr`es Baouendi-Ebenfelt-Rothschild [BER96], que la r´eunion des vari´et´es de Segre de Mforme un voisinage de tcar Mest minimale en t. Or dim E2<ndonc il existe n´ecessairement un point τ∈Uptel que Qτ⊂ E2,etτ∈ E. Revenons maintenant `alad´emonstration de notre proposition. Consid´erons d’abord le cas o`u t∈sWp\E. Soit τ∈Wp∩Qtet j, k ∈ {1,...,s}, on sait d’apr`es (5) que f(τ)∈Q tj, donc tj∈Qf(τ). Or d’apr`es la Propri´et´e 5.4 de la section pr´ec´edente, Qf(τ)=Qfk(τ)donc tj∈Qfk(τ)et fk(τ)∈Q tj. On en d´eduit donc que fk(Qt∩Wp)⊂Q tj. On va ensuite montrer par prolongement analytique que fk(Qt)⊂Q tj. Notons Q0 t=Qt\E2et posons Q0 t={τ∈Q0 t:∃Vτ∈V(τ) tel que fk(Vτ∩Q0 t)⊂Q t j}. L’ensemble Q0 test bien un ouvert dans Q0 tet il est non vide. Il suffit donc de montrer que Q0 test ferm´e pour montrer que Q0 t=Q0 t. Consid´erons une suite (τl)lde Q0 tqui converge vers τ∈Q0 t. Comme τ∈Q0 t,il existe un voisinage Vτde τsur lequel df k= 0. Donc, quitte `ar´eduire Vτ, l’application fk:Vτ→f(Vτ) est propre. Or, pour lassez grand, il existe τl∈Vτet un voisinage Vτl⊂Vτtels que fk(Vτl∩Q0 t)⊂Q t j donc par prolongement analytique on a fk(Vτ∩Q0 t)⊂Q t jet Q0 test bien ferm´e. Donc Q0 t=Q0 tcar Q0 test connexe. Enfin, par continuit´e, on obtient que fk(Qt)⊂Q tjpour tout t∈sWp\E car E2est petit dans Qt. Montrons maintenant que cette relation reste vraie pour tout t∈Up. Soit P={τ∈Up\E :∃Vτ∈V(τ) tel que ∀t∈Vτ,∀k,j fk(Qt)⊂Q tj}. Extension d’Hom´ eomorphismes CR 343 C’est un ensemble ouvert non vide. Montrons qu’il est aussi ferm´e. Consid´erons (τl)lune suite de Pqui converge vers τ∈Up\E. Soit Vτ un voisinage de τtel que Vτ∩E =∅. Pour lassez grand, τl∈Vτet il existe un voisinage Vτl∈Vτsur lequel fk(Qt)⊂Q tjpour tout k,j ∈ {1,...,s}. On obtient par prolongement analytique puis par continuit´e que fk(Qt)⊂Q tjpour tout k,j ∈{1,...,s}et pour tout t∈Vτ. Donc P=Up∩E et par continuit´e on a que pour tout t∈Upet pour tout k,j ∈{1,...,s},fk(Qt)⊂Q tj. Ce qui termine la d´emonstration de la proposition. Pour montrer l’invariance des vari´et´es de Segre par  F−1 2, il suffit d’appliquer la proposition `a f−1et F−1 2. 7. w-invariance du lieu de branchement On d´emontre ici que si Met Msont des vari´et´es polynˆomialement rigides, de type fini, et f:M→Mest un hom´eomorphisme CR qui s’´etend au voisinage de tout point p∈Men une correspondance holomorphe propre F2telle que F−1 2soit aussi une correspondance holomorphe propre alors Proposition 7.1. Au voisinage de p∈M∩E2, l’ensemble E2des points de branchements de F2est w-invariant. Preuve de la Proposition 7.1: D’apr`es le Proposition 6.1, il existe une application bijective ϕ:S→S telle que le diagramme: Sϕ −−−−→S  λ    λ Up−−−−→  F2 U f(p) (10) soit commutatif. Soit Σ, (resp. Σ) l’ensemble des points critiques de λ(resp. λ), c’est `a dire l’ensemble des points de Up(resp. U f(p))o`uλ(resp. λ) n’est pas localement bijective. Il est facile de voir que cet ensemble est w-invariant (resp. w-invariant) en regardant l’´equation (4) de la Section 3. Soit p∈M∩E2. Il existe deux voisinages Upet U p=f(p)et une correspondance holomorphe propre irr´eductible F2⊂Up×U pqui prolonge f. De plus, on peut supposer que F2−1est aussi une correspondance holomorphe propre. Ce qui veut dire que les projections π:F2→Upet π:F2→U psont propres et donc π(F2)=Upet π(F2)=U p. Donc 344 P. Lahond` es l’application multivalu´ee  F2=π◦π−1est aussi surjective. Aussi, on a vu que l’on pouvait ´ecrire  F2sous la forme  F2={f1,...,fs}o`u les fi sont les applications dont les graphes sont les diff´erentes feuilles de la correspondance F2. Ce sont donc des applications continues, holomorphes par morceaux et d’apr`es la remarque pr´ec´edente, elles sont surjectives. On va montrer dans un premier temps que E2⊂ F2 −1(Σ). Soit t∈E2, il existe alors, par d´efinition de E2, une suite (tn)n n→∞ −−−→ t et deux autres suites (t 1n)n,(t 2n)ntendant vers t∈ F2(t) telles que t 1n∈ F2(tn)ett 2n∈ F2(tn) avec t 1n=t 2n. D’apr`es le diagramme (10), on a ϕ◦λ(tn)=λ◦ F2(tn), on en d´eduit donc que λ(t 1n)=λ(t 2n). Au voisinage de t,λn’est donc pas une bijection ce qui signifie que t∈Σ et donc t∈ F2 −1(Σ). Montrons maintenant que Σ⊂ F2(Σ). Soit t∈Σ, il existe t∈Up tel que t∈ F2(t) car  F2est surjective. Il existe donc i∈{1,...,s} tel que fi(t)=t. Supposons que f1(t)=t. Or t∈Σ, donc il existe deux suites (t 1n)n,(t 2n)ntendant vers ttelles que λ(t 1n)=λ(t 2n) avec t 1n=t 2n. On peut donc construire deux suites (t1n)n n→∞  = t (t2n)n n→∞           telles que f1(t1n)=t 1net f1(t2n)=t 2ncar f1est surjective. Or λ(t1n)=λ(t2n) car ϕ◦λ(t1n)=λ◦f1(t1n)=λ(t 1n)=λ(t 2n)= ϕ◦λ(t2n)etcarϕest bijective. On voit donc que λn’est pas bijective au voisinage de tdonc t=f1(t)∈ F2(Σ), ce qui nous donne le r´esultat. On montre enfin que E2⊂λ−1◦λ(Σ). En effet, E2⊂ F2 −1(Σ), ⊂ F2 −1( F2(Σ)). Or le diagramme (10) est commutatif donc  F2 −1=λ−1◦ϕ−1◦λ. Donc  F2 −1( F2(Σ)) = λ−1◦ϕ−1◦(λ◦ F2)(Σ), =λ−1◦ϕ−1(ϕ◦λ)(Σ), =λ−1◦λ(Σ). Extension d’Hom´ eomorphismes CR 345 Or λ−1◦λ(Σ) est w-invariant, et E2est un ensemble analytique de dimension complexe n−1 comme Σ, donc E2peut s’´ecrire comme une r´eunion de composante connexe de λ−1◦λ(Σ), ce qui nous donne le r´esultat voulu. 8. Extension On va enfin pouvoir terminer la d´emonstration du Th´eor`eme 1.1 grˆace `a la proposition suivante: Proposition 8.1. Soit f:M→Mun hom´eomorphisme CR, entre deux vari´et´es polynˆomialement rigides qui s’´etend au voisinage d’un point p∈Men une correspondance holomorphe propre F2telle que F−1 2est aussi une correspondance holomorphe propre, alors fs’´etend biholomorphiquement au voisinage de p. Preuve de la Proposition 8.1: Soit p∈Mcomme dans la proposition. Si p∈ E2le lieu de branchement de F2, il est clair que l’on peut ´etendre f au voisinage de p. On va donc s’int´eresser au cas o`u p∈E2. On va utiliser, comme dans Coupet-Pinchuk [CP96], le th´eor`eme du disque pour montrer que l’on peut ´etendre holomorphiquement fau voisinage de p. On regarde la correspondance holomorphe propre comme une application multivalu´ee  F2:Up→U f(p). Comme E2est w-invariante d’apr`es la Proposition 7.1, on peut ´ecrire E2au voisinage de psous la forme E2= E2×Cdo`u E2est un ensemble analytique de Cmde codimension complexe sup´erieure ou ´egale `a 1 car dimCE2≤n−1. On peut donc trouver une courbe complexe γ⊂Cmtelle que γ∩ E2={pz} o`upzest le point de Cmde coordonn´ee zp. Supposons, pour simplifier les notations, que p=(0,0). Soit maintenant, le disque analytique ∆µ={(z,w):z∈γ, |z|<r,w=−µv}, o`uvest un vecteur normal `a Mtel que p−µv ∈W. Pour tout µ>0, le centre du disque ∆µappartient `a Wet est le seul point de ∆µqui peut appartenir `a E2. Or le seul point d’intersection entre ∆µet E2est (zp,−µv) et ce point appartient `a W. Il est donc clair, qu’`a l’aide du prolongement F2de fen tant que correspondance, on peut ´etendre f`a un voisinage ∆ µde ∆µ. De plus, chaque voisinage ∆ µpeut ˆetre choisi de tel fa¸con qu’on puisse trouver un ε>0 ind´ependant de µtel que pour tout t=(z,w)∈∂∆µ, (i.e. |z|=r), B(t, ε)⊂∆ µ. En effet, il suffit de se donner un µet de 346 P. Lahond` es trouver un εtel que B(t, ε)∩E2=∅pour tout t∈∂∆µ. Comme E2 est w-invariant, cela reste vrai quelque soit µ. Il est ensuite possible de trouver, pour tout µ, un voisinage ∆ µde tel fa¸con que pour tout t=(z,w)∈∂∆µ,(i.e. |z|=r), B(t, ε)⊂∆ µ. En regardant L=∪t∆ µet les disques ∆µ, et en faisant tendre µ vers 0, on peut utiliser le th´eor`eme des disques pour prolonger fau voisinage de p, ce qui termine la d´emonstration de la Proposition 8.1. De la mˆeme fa¸con, on peut ´etendre holomorphiquement f−1au voisinage de f(p). Au voisinage de p,fest donc bien un biholomorphisme car Mest g´en´erique et donc un ensemble d’unicit´e. Ceci termine aussi la d´emonstration du Th´eor`eme 1.1. Il suffit de recoller les extensions de fau voisinage de tout point de M. En effet, il n’y a pas de probl`eme de recollement car fet f−1sont CR sur Met M qui sont des vari´et´es g´en´eriques et donc des ensembles d’unicit´e. Preuve du Corollaire 1.3: Comme fest de classe C1sur M,onend´eduit par le Th´eor`eme de Sard que l’ensemble des valeurs critiques est de mesure nulle sur M. Or fest un hom´eomorphisme de Msur M, donc il existe des points de Mau voisinage duquel fest un diff´eomorphisme. De plus, Mest Levi non d´eg´en´er´ee presque partout car sinon Maurait un noyau non vide et d’apr`es Freeman [Fre76] (voir aussi [Chi91], [Bog91]), Mserait feuillet´ee par des vari´et´es holomorphes, ce qui est impossible car on a suppos´e que M´etait sans courbe holomorphe. Soit p0∈Mtel que fest un diff´eomorphisme au voisinage de p0et tel que la forme de Levi de Mest non-d´eg´en´er´ee au voisinage de f(p0). On peut donc appliquer le Th´eor`eme de Tumanov [Tum94], qui nous dit que f est alors un C∞diff´eomorphisme au voisinage de p0, puis le Th´eor`eme de Baouendi-Jacobowitz-Tr`eves [BJT85] pour montrer que fs’´etend holomorphiquement au voisinage de p0. Enfin, grˆace au Th´eor`eme 1.1, on prouve le Corollaire 1.3. 9. Le cas hypersurface On suppose dans cette section que Met Msont des hypersurfaces r´eelles alg´ebriques. On rappelle qu’une hypersurface Mest dite r´eelle alg´ebrique si elle est d´efinie localement par M={t∈Cn:ρ(t)=0} o`uρest une fonction r´eelle alg´ebrique telle que dρ(t)= 0. Nous allons montrer que, sous les hypoth`eses du Th´eor`eme 1.2, il existe un point p0 au voisinage duquel fse prolonge holomorphiquement. Pour cela, nous avons d’abord besoin du r´esultat suivant: Extension d’Hom´ eomorphismes CR 347 Proposition 9.1. Soit M,Mdeux hypersurfaces alg´ebriques r´eelles de Cn, avec Mminimale en pet soit f:M→Mun hom´eomorphisme CR. Alors il existe deux ouverts Vp,V p=f(p)tels que fse prolonge en un biholomorphisme de V−(ou+) psur V−(ou+) p. Preuve de la Proposition 9.1: On peut remarquer que le Lemme 4.4 reste vrai ici. En effet, pour prouver ce lemme, on n’utilise pas l’existence d’un point p0au voisinage duquel fse prolonge, ni le fait que Met M soient polynˆomialement rigides. On peut donc dire qu’il existe un biholomorphisme  f: int((Up∩M)∼)→int((f(Up∩M))∼) qui prolonge continˆument f:Up∩M→f(Up∩M)o`uUpest un voisinage bien choisi du point p. Pour ne pas surcharger les notations notons par Ule voisinage de psur Md´efini par U=Up∩M. Comme Mest minimale en p, on sait d’apr`es le Th´eor`eme de Tumanov [Tum89a] qu’il existe un voisinage Vpde ptel que V−(ou+) p⊂ U (on supposera par la suite que V− p⊂ U,i.e. on supposera que le cˆot´e d’extension est le cˆot´e“n´egatif”). Donc  fest un biholomorphisme de V− p sur  f(V− p). Mais `a quoi ressemble l’ouvert  f(V− p) ? Est-ce un voisinage unilat´eral de p=f(p)? A priori, cela n’est pas vrai si on ne contrˆole pas la taille du voisinage Vp. On va donc regarder le voisinage unilat´eral de pd´efini par (Bn∩V− p), o`u Bnest la boule ouverte de Cnde centre pet de rayon 1/n. Et on va maintenant chercher un Ntel que  f(BN∩V− p) soit un voisinage unilat´eral de p=f(p). Cas 1: Supposons qu’il existe N0tel que ∀q∈(V− p∩BN0), f(q)/∈ M. Il est alors clair que  f(V− p) “reste d’un cˆot´edeM” et c’est donc bien un voisinage unilat´eral de p, donc de la forme V−(ou+) p. Cas 2: Supposons au contraire que ∀n∈N,∃qn∈(Bn∩V− p) tel que  f(qn)∈M. Par continuit´e de la fonction  f, il va exister un Ntel que ∀n>N,q n= f(qn)∈f(U). Soit Vqnun voisinage de qdans (Bn∩V− p), f(Vqn)=V q nest alors un voisinage ouvert de q, car  f est un biholomorphisme. Mais  f: U→(f(U))∼est une application continue et  f:int(  U)→(f(U))∼est injective. Soit q0=f−1(q n). Par continuit´e, ∀x∈ Uproche de q0, f(x)∈V q n= f(Vqn), ce qui contredit l’injectivit´ede  f. Le cas 2 est donc impossible. Ceci ach`eve la d´emonstration de la Proposition 9.1. 348 P. Lahond` es On suppose maintenant que sous les hypoth`eses de la Proposition 9.1, l’application fse prolonge en un biholomorphisme de V− psur V− p. D’apr`es la Proposition 9.1 on sait que pour tout p∈Mil existe un voisinage Vpde pet un voisinage V f(p)de f(p) tel que fse prolonge holomorphiquement `a V− pet tel que f(V− p)=V− f(p). On va maintenant essayer de trouver un point pde l’hypersurface Mo`u il y a extension holomorphe de f`a un voisinage ouvert Ude p. Pour cela, on a besoin de regarder la g´eom´etrie CR locale de M. On note: Lρ(t)(W)=∂2ρ ∂tj∂¯ tk (t)τj¯τkj,k avec W= n  j=1 τj ∂ ∂tj ∈Tc tM, la forme de Levi de Men tappliqu´ee `a W∈Tc tMo`uTc tMest l’espace tangent complexe `a Men t(on notera de mˆeme L ρ(t)(W) la forme de Levi de Men tappliqu´ee `a W∈Tc tM). Ce qui nous am`ene `a d´ecomposer Met Mde la fa¸con suivante: M=M−∪M+∪M0, o`u        M0={t∈M/Lρ(t)≡0}, M−={t∈M/Lρ(t) poss`ede une valeur propre strictement n´egative}, M+=M\(M0∪M−). On remarque que M−est un ouvert de Met que M0est un ensemble analytique r´eel de Cnde dimension 2n−2. On d´ecompose de la mˆeme fa¸con M. On regarde maintenant les diff´erents cas possibles: S’il existe un point p∈M−on peut alors utiliser le Th´eor`eme de Levi pour obtenir une extension holomorphe `a un voisinage Ude p. On peut donc (quitte `a d´eplacer un petit peu le point psur Mde telle fa¸con que Jac(f)(p)=0) obtenir une extension biholomorphe de fau voisinage de p. De plus, comme fest un hom´eomorphisme et que son extension est un biholomorphisme d’un voisinage unilat´eral de psur un voisinage unilat´eral de f(p), on peut indiff´eremment travailler avec fou f−1. Donc s’il existe un point p∈M−on aura de mˆeme une extension biholomorphe de f−1 au voisinage de pet par cons´equent aussi de fau voisinage de f−1(p). Supposons maintenant que M−=∅et M−=∅. On peut maintenant conclure grˆace au lemme suivant: Lemme 9.2. Si M−=∅et M−=∅, il existe un point p∈Mau voisinage duquel fse prolonge biholomorphiquement. Extension d’Hom´ eomorphismes CR 349 Preuve du Lemme 9.2: Comme M−=∅et M−=∅, il est clair que les deux hypersurfaces Met Msont pseudoconvexes. On est donc dans la situation de Bell-Catlin [BC88], ce qui nous donne une extension holomorphe de fau voisinage de tout point pde M. On peut donc, quitte `ad´eplacer un petit peu le point p, (de telle fa¸con que Jac(f)(p)=0) obtenir une extension biholomorphe de fau voisinage de p. Nous avons donc montr´e qu’il existe toujours un point au voisinage duquel fse prolonge holomorphiquement. Pour terminer la preuve du Th´eor`eme 1.2, on doit, dans un premier temps, montrer l’alg´ebricit´ede l’application f. Pour cela, il suffit ici d’utiliser le Th´eor`eme de BaouendiRothschild [BR95]. On doit ensuite montrer que fs’´etend en fait en correspondance. La preuve de la Proposition 5.1 peut facilement ˆetre reproduite ici avec quelques simplifications. Enfin, une fois que l’on a montr´e que fs’´etend en correspondance, on peut utiliser le Th´eor`eme de Diederich-Pinchuk [DP98], pour montrer que fse prolonge holomorphiquement au voisinage de tout point de M, ce qui conclut la preuve du Th´eor`eme 1.2. R´ef´erences [BER96] M. S. Baouendi, P. Ebenfelt et L. P. Rothschild, Algebraicity of holomorphic mappings between real algebraic sets in Cn,Acta Math. 177(2) (1996), 225–273. [BHR96] M. S. Baouendi, X. Huang et L. P. Rothschild, Regularity of CR mappings between algebraic hypersurfaces, Invent. Math. 125(1) (1996), 13–36. [BJT85] M. S. Baouendi, H. Jacobowitz et F. Tr` eves, On the analyticity of CR mappings, Ann. of Math. (2) 122(2) (1985), 365–400. [BR88] M. S. Baouendi et L. P. Rothschild, Germs of CR maps between real analytic hypersurfaces, Invent. Math. 93(3) (1988), 481–500. [BR90] M. S. Baouendi et L. P. Rothschild, Cauchy-Riemann functions on manifolds of higher codimension in complex space, Invent. Math. 101(1) (1990), 45–56. 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