Théorèmes limites pour certaines fonctionnelles associées aux processus stables sur l'espace de Hölder

Publ. Mat. 45 (2001), 371–386 TH´ EOR` EMES LIMITES POUR CERTAINES FONCTIONNELLES ASSOCI´ EES AUX PROCESSUS STABLES SUR L’ESPACE DE H¨ OLDER M. Ait Ouahra et M. Eddahbi Abstract In this paper we study the H¨older regularity property of the local time of a symmetric stable process of index 1 <α≤2 and of its fractional derivative as a doubly indexed process with respect to the space and the time variables. As an application we establish some limit theorems for occupation times of one–dimensional symmetric stable processes in the space of H¨older continuous functions. Our results generalize those obtained by Fitzsimmons and Getoor for stable processes in the space on continuous functions. The limiting processes are fractional derivatives and Hilbert transforms of local times. 1. Introduction Soit X={Xt:t≥0}un processus stable sym´etrique d’indice 1 < α≤2`a valeurs r´eelles avec X0= 0 i.e. un processus c`adl`ag `a accroissement ind´ependant stationnaire d’exposant Ψ, d´efini par: Eexp (iλXt)=exp(−tΨ(λ)) ,t≥0,λ∈R, avec Ψ(λ)=|λ|α. Pour tout t>0ond´efinit la mesure al´eatoire µt(·) par µt(A)= t 011A(Xs)ds,(o`uA⊂Rest un bor´elien de Ret 11A(·) est la fonction indicatrice de A)µt(A) est la mesure d’occupation de Xdans le Bor´elien A. Il est bien connu d’apr`es [8], [5]et[1] que la mesure µt(A) admet une densit´e not´ee Lx tpar rapport `a la mesure de Lebesgue, (Lx t:t≥0,x∈R) est appel´e la famille des temps locaux associ´ee `a X, de plus Lx tadmet 2000 Mathematics Subject Classification. 60F25, 60G52. Mots-cl´es. Processus stables, temps local, transform´e de Hilbert, d´eriv´ee fractionnaire, fonctionnels additives, norme de H¨older. Cette note a ´et´e compl´et´ee au moment o`u le second auteur ´etait en visite au Centre de Recerca Matem`atica (CRM) Barcelona, Spain. 372 M. Ait Ouahra, M. Eddahbi une version p.s. continue (en tet x)etLx tv´erifie la formule de densit´e d’occupation et la propri´et´e de scaling suivantes: t 0 f(Xs)ds =R f(x)Lx tdx ∀fbor´elienne born´ee {Lλ1 αx λt :t≥0}L ={λ1−1 αLx t:t≥0}pour tout λ>0.(1) Depuis que Trotter [23]ad´emontr´e l’existence d’une version bi-continue du processus du temps local du mouvement brownien uni-dimensionnel, on ne cesse de d´ecouvrir des propri´et´es profondes des temps locaux, et on a abouti surtout `a une belle th´eorie en ce qui concerne le temps local du brownien. L’´etude des temps locaux est motiv´ee par le rˆole pr´epond´erant du temps local dans la th´eorie des excursions. D’autre part l’utilisation des temps locaux facilite souvent l’´etude des fonctionnelles additives d’un processus de Markov. Le temps local d’un processus stable est une fonctionnelle additive particuli`ere associ´ee `a ce processus, elle appartient `a la classe des fonctionnelles additives continues, associ´ees aux processus stables, d’´energie nulle, au sens de [11]. Cette classe contient des exemples importants notamment la d´eriv´ee fractionnaire et la transform´ee de Hilbert du temps local. Elles ont ´et´e´etudi´ees, dans le cas du mouvement Brownien, par plusieurs auteurs dans divers points de vu. L’existence de la valeur principale de Cauchy du temps local a ´et´e remarqu´ee par Itˆo et McKean [14]. Yor [28], Yamada [24], Nakao [20] et Bertoin [2] ont d´evelopp´es l’´etude de ces fonctionnelles, ce qui a permis par exemple d’obtenir une g´en´eralisation de la formule de Itˆo (cf. [28]et[3]) et d’´etablir des th´eor`emes limites pour les temps d’occupations du mouvement Brownien (cf. [26]). Les th´eor`emes limites pour les mesures d’occupations ont ´et´e´etudi´es par Yamada [26], [27] dans le cas α= 2 (i.e. Xest un mouvement brownien), voir aussi [15], [16] et par [10] pour les processus stables. Les convergences dans tous ces th´eor`emes sont ´etudi´es dans le cas des trajectoires continues et notre but dans cette note est de d´emontrer qu’on peut ´etendre les r´esultats de Yamada [26] et Fitzsimmons et Getoor [10] sur les th´eor`emes limites pour les mesures d’occupations associ´es aux processus stables uni-dimensionnel `a la topologie des espaces de H¨older. 1.1. Espaces fonctionnelles. Nous consid´erons les espaces de fonctions v´erifiant une condition de H¨older en norme uniforme. Soit f∈C 0([0,1]), le module de continuit´e Th´ eor` emes Limites Associ´ es aux Processus Stables 373 de fen norme uniforme, not´ee ωδ(f,η), est d´efini par ωδ(f,η) = sup 0<|t−s|≤η |f(t)−f(s)| |t−s|δ. Pour 0 <δ<1, on d´efinit Cδ 0:= {f:[0,1] −→ R: tel que f(0) = 0 et ∀η>0,ω δ(f,η)<+∞} . Il est bien connu que Cδ 0, muni de la norme fδ:= ωδ(f,1), est un espace de Banach. Remarque 1.Cδ 0n’est pas s´eparable, `a cause de ce d´esavantage on introduit un sous espace ferm´es´eparable Cδ,0 0,d´efini par: Cδ,0 0:= f∈C δ 0tel que lim η→0ωδ(f,η)=0 . Dans ce qui suit Cd´esignera une constante qui change de valeur d’une ligne `a l’autre. 2. Temps local et d´eriv´ees fractionnaires 2.1. R´egularit´e du temps local. Soit X={Xt:t≥0}un processus stable sym´etrique d’indice 1 < α≤2`a valeurs dans Ret soit {Lx t:(t, x)∈R+×R}son temps local. D’apr`es [19] pour tout T>0 les conditions suivantes sont v´erifi´ees presque sˆurement: ∀0<β<α−1 α,∃C>0 telle que ∀0≤t,s≤T,|x|≤M |Lx t−Lx s|≤C|t−s|β,(2) ∀0<β<α−1 2,∃C>0 telle que ∀0≤t≤T,|x|,|y|≤M |Lx t−Ly t|≤C|x−y|β. Remarque 2.Bien que le processus stable {Xt:t≥0}n’est pas n´ecessairement continu, son temps local poss`ede une version jointement h¨olderienne en tet x. 374 M. Ait Ouahra, M. Eddahbi 2.2. D´eriv´ees fractionnaires. Soit β>0, consid´erons l’espace Cβd´efinit par Cβ:= f:R−→ R: tel que |f(x)−f(y)|≤C(f,β)|x−y|β, ∀|x|,|y|≤M. Pour γ∈]0,β[ond´efinit la d´eriv´ee fractionnaire d’ordre γd’une fonction fappartenant `a Cβ∩L1(R) par: Dγ ±f(x)= 1 Γ(−γ)+∞ 0 f(x±y)−f(x) y1+γdy et on d´efnit l’op´erateur Dγpar Dγ:= Dγ +−Dγ −. Puisque 1 yn’est pas int´egrable `a l’infini, la d´efinition de Dγ ±doit ˆetre modifier pour γ= 0. Donc on a la d´efinition suivante: D0 ±f(x)=−+∞ 0 f(x±y)−f(x)11]0,1[(y) ydy pour f∈C β∩L1(R), β>0. On note aussi D0:= D0 +−D0 −c’est la transformation de Hilbert modulo (le facteur 1 π), nous renvoyons le lecteur `a[25], [26]. La formule suivante connue sous le nom (Switchnig Identity) joue un rˆole important dans les d´emonstrations des th´eor`emes de la Section 3. Soit 0 ≤γ<1 et on suppose que f,g ∈C β∩L1(R), alors pour β>γ on a R f(x)Dγ −g(x)dx =R g(x)Dγ +f(x)dx.(3) La d´eriv´ee fractionnaire a ´et´e´etudi´ee par Ezawa et al. [9] pour des objectifs de la physique et qui apparaˆıt naturellement dans certains th´eor`emes limites (Th´eor`eme 2.1 et Th´eor`eme 2.2 dans [26]). Elles apparaissent aussi de fa¸con naturelle dans le calcul stochastique (cf. [11]) et la th´eorie spectrale des cordes vibrantes (cf. [2]). La fonctionnelle Hx t(−1−γ), (0 <γ<1 2) associ´ee `a la partie finie de Hadamard p.f.(x−1−γ +)etla fonctionnelle Cx tassoci´ee `a la valeur principale de Cauchy v.p.(1 x) peuvent ˆetre obtenues moyennant la transform´ee de Hilbert et DγL• t:la d´eriv´ee fractionnaire d’ordre γpar rapport `a la variable xdu temps local brownien avec: Hx t(−1−γ)=−cos (π(1 + γ)) DγL• t(x)−sin (π(1 + γ)) H(DγL• t)(x), Th´ eor` emes Limites Associ´ es aux Processus Stables 375 o`uH(f) est la transform´ee de Hilbert d´efinie par H(f)(s)=+∞ 0 f(s+u)−f(s−u) udu et Cx ta la repr´esentation suivante: Cx t=H(L• t)(x) (cf. [28], [24], [25], [26], [4]et[3]). Avant de pr´esenter notre am´eliorations citons d’abord la contribution de Yamada [25] qui a montr´e dans le cas du mouvement Brownien que le processus (DγL• t(x),t≥0,x∈R)v´erifie les conditions de H¨older suivantes: pour tout T>0 p.s. ∀0<β<1 2−γ,∃C>0 telle que ∀0≤t,s≤T,x∈R |DγL• t(x)−DγL• s(x)|≤C|t−s|β,(4) ∀0<β<1 2−γ,∃C>0 telle que ∀0≤t≤T,x, y ∈Rtel que |x|,|y|≤M,M>0 |DγL• t(x)−DγL• t(y)|≤C|x−y|β.(5) Cette r´egularit´edeDγL• tentraˆıne celle de Hx t(−1−γ): Pour tous T,M>0 p.s. ∀0<β<1 2−γ,∃C>0 telle que ∀0≤t,s≤T,|x|≤M |Hx t(−1−γ)−Hx s(−1−γ)|≤C|t−s|β, ∀0<β<1 2−γ,∃C>0 telle que ∀0≤t≤T,|x|,|y|≤M |Hx t(−1−γ)−Hy t(−1−γ)|≤C|x−y|β. Remarque 3.Boufoussi et al. [7] ont donn´es, dans le cas du mouvement Brownien ´egalement, des r´esultats plus fins que (4) et (5) plus pr´ecis´ement nous avons: •Pour tous t>0etp<∞, la trajectoire x→ DγL• t(x)v´erifie p.s. la condition de H¨older d’indice 1 2−γen norme Lp(R). •Pour tous x∈R,T>0et0<ν<1 2−γ 2, la trajectoire t→ DγL• t(x)v´erifie p.s. la condition de H¨older d’indice νsur [0,T]. Nous en d´eduisons en particulier que: ∀0<β<1 2−γ 2,et0<γ<1 2,∃C>0 telle que ∀0≤t,s≤T,|x|≤M |Hx t(−1−γ)−Hx s(−1−γ)|≤C|t−s|β. 376 M. Ait Ouahra, M. Eddahbi Pour plus de d´etails sur la d´eriv´ee fractionnaire nous renvoyons le lecteur `a[13], [22]et[21]. Nous aurons, ´egalement, besoin d’un r´esultat de r´egularit´e de l’application (t, x)→ Lx tpar rapport aux variables espace temps. Th´eor`eme 1. Soit T>0. Alors la condition suivante est v´erifi´ee presque sˆurement: pour tout 0<β 1<α−1 2αet 0<β 2<α−1 2,ilexiste une constante C>0telle que pour tous (t, s)∈[0,T]2et (x, y)∈R2 tel que |x|,|y|≤Mon a |L(t, x)−L(t, y)−L(s, x)+L(s, y)|≤C|t−s|β1|x−y|β2.(6) Preuve: En appliquant la propri´et´e de Markov pour Xen set la propri´et´e de scaling on a pour tout m≥1: E|L(t, x)−L(t, y)−L(s, x)+L(s, y)|2m =E|L(t−s, x)−L(t−s, y)|2m◦θs =EE|L(t−s, x)−L(t−s, y)|2m◦θsXs =P(Xs∈dz)E|L(t−s, x −z)−L(t−s, y −z)|2m. Or d’apr`es [19] on a: pour tout m≥1 E|L(t, x)−L(t, y)|2m≤C(α, m)t(α−1) 2α2m|x−y|α−1 22m o`uC(α, m) est une constante qui d´epend seulement de αet m. Par suite P(Xs∈dz)E|L(t−s, x −z)−L(t−s, y −z)|2m ≤P(Xs∈dz)C(α, m)|t−s|(α−1) 2α2m|x−y|α−1 22m ≤C(α, m)|t−s|(α−1) 2α2m|x−y|α−1 22m. D’o`u, si ·2md´esigne la norme [E[·]2m]1/2m, alors (7) L(t, x)−L(t, y)−L(s, x)+L(s, y)2m ≤C(α, m)|t−s|(α−1) 2α|x−y|α−1 2. Et d’apr`es une version du th´eor`eme de Kolmogorov dans l’espace Ha,b 0 (l’espace h¨olderien `a deux param`etres) voir le Th´eor`eme 1.7 dans [6]), nous avons la conclusion du th´eor`eme. Th´ eor` emes Limites Associ´ es aux Processus Stables 377 En utilisant les mˆemes techniques que Yamada [25] (voir aussi [10, p. 319]) il est facile de prouver le corollaire suivant. Corollaire 1. Soit Tun nombre r´eel strictement positif. ∀0<γ<α−1 2,∃C>0telle que ∀0≤t,s≤T,|x|≤M, Dγ ±L• t(x)−Dγ ±L• s(x)≤C|t−s|β,∀β<(α−1)/α −γ. ∀0<γ<α−1 2,∃C>0telle que ∀0≤t,s≤T,|x|,|y|≤M, Dγ ±L• t(x)−Dγ ±L• s(y)≤C|x−y|β,∀β<(α−1)/2−γ. De plus |Dγ ±L• t(x)|=O(|x|−1−γ),|x|→∞uniform´ement en t. Dans le th´eor`eme suivant nous pr´esentons un r´esultat plus fin que celui du corollaire ci-dessus et qui repr´esente le r´esultat principal de cette section. Th´eor`eme 2 (R´egularit´edelad´eriv´ee fractionnaire du temps local). Soient T>0et 0≤γ<α−1 2, avec αl’indice du processus stable sym´etrique X. Alors presque sˆurement pour tout 0<λ<α−1 α−γ α, il existe une constante 0<C(ω)<+∞telle que pour tous 0≤t,s≤T et x∈R |DγL• t(x)−DγL• s(x)|≤C(ω)|t−s|λ. Preuve: Nous faisons la d´emonstration pour Dγ +dans le cas de γ>0 (pour γ= 0 nous utilisons les mˆemes techniques que Fitzsimmons et Getoor [10, Lemme 2.12, p. 316]). Soit x∈Ret 0 ≤t,s≤T, d’apr`es la d´efinition de la d´eriv´ee fractionnaire on a Dγ +L• t(x)−Dγ +L• s(x) =1 |Γ(−γ)|+∞ 0 Lx+u t−Lx t u1+γdu −+∞ 0 Lx+u s−Lx s u1+γdu ≤1 |Γ(−γ)|+∞ 0Lx+u t−Lx+u s−Lx t+Lx s u1+γdu ≤1 |Γ(−γ)|b 0Lx+u t−Lx+u s−Lx t+Lx s u1+γdu +1 |Γ(−γ)|+∞ bLx+u t−Lx+u s−Lx t+Lx s u1+γdu =: I1+I2. 378 M. Ait Ouahra, M. Eddahbi Majoration de I1:En vertu de la condition de H¨older (6), du temps local en tet x, nous avons I1≤C |Γ(−γ)|b 0 |t−s|β1uβ2−1−γdu avec β1<(α−1)/2αet β2<(α−1)/2. Par cons´equent I1≤C |Γ(−γ)| bβ2−γ β2−γ|t−s|β1,avec γ<β 2. Majoration de I2:Nous savons d’apr`es (2) qu’il existe une variable al´eatoire C(ω) finie telle que |Lx t−Lx s|≤C(ω)|t−s|β o`uβ<α−1 α, par suite I2≤2C(ω) |Γ(−γ)|+∞ b |t−s|β u1+γdu =2C(ω) |Γ(−γ)| b−γ γ|t−s|β, d’o`u I1+I2≤2C(ω) |Γ(−γ)| bβ2−γ β2−γ|t−s|β1+2C(ω) |Γ(−γ)| b−γ γ|t−s|β; en choisissant b=|t−s| β−β1 β2, on obtient Dγ +L• t(x)−Dγ +L• s(x)≤C(ω)|t−s|β(1−γ β2)+β1γ β2, par cons´equent pour tout 0 <λ<α−1 α−γ α, on peut trouver γ<β 2< α−1 2≤1 2,0<β<α−1 αet 0 <β 1<α−1 2αtel que λ=β(1 −γ β2)+β1γ β2. Remarque 4.Ce r´esultat ´etend celui de [7] aux processus stable sym´etrique et donne une am´elioration `a celui de [25]. Le lemme suivant sera utile dans les preuves des th´eor`emes limites. Lemme 1. Soient T>0et 0≤γ<α−1 2, avec αl’indice du processus stable sym´etrique Xet {Lx t,(t, x)∈R+×R}son temps local. Alors pour tous 0≤t,s≤T,x∈R,etm≥1 DγL• t(x)−DγL• s(x)2m≤C|t−s|α−1 α−γ α (8) o`u la constante Cd´epend seulement de α,met γ. Th´ eor` emes Limites Associ´ es aux Processus Stables 379 Preuve: Par d´efinition de Dγnous avons Dγ +L• t(x)−Dγ +L• s(x)≤1 |Γ(−γ)|b 0Lx+u t−Lx+u s−Lx t+Lx s u1+γdu +1 |Γ(−γ)|+∞ bLx+u t−Lx+u s−Lx t+Lx s u1+γdu, ce qui entraˆıne  Dγ +L• t(x)−Dγ +L• s(x) 2m ≤1 |Γ(−γ)|b 0 Lx+u t−Lx+u s−Lx t+Lx s 2m u1+γdu +1 |Γ(−γ)|+∞ b Lx+u t−Lx+u s−Lx t+Lx s 2m u1+γdu =: J1+J2. En utilisant respectivement les in´egalit´es (7) et (2) on obtient J1≤C1(α, m, γ)|t−s|α−1 2αbα−1 2−γ, et J2≤C2(α, m, γ)|t−s|α−1 αb−γ, en choisissant b=|t−s|1 αon aura le r´esultat. Remarque 5.Le Th´eor`eme 2 peut se d´eduire du lemme pr´ec´edent `a l’aide du crit`ere de Kolmogorov. 3. Th´eor`emes limites Dans cette section, nous pr´esentons des th´eor`emes limites pour des processus de la forme 1 λpλt 0 f(Xs)ds, pour p∈α−1 2α,α−1 α (9) o`u{Xt:t≥0}un processus stable sym´etrique d’indice 1 <α≤2 et fest une d´eriv´ee fractionnaire d’une fonction g∈C β(h¨olderienne d’ordre β)et`a support compact, suivant la topologie h¨olderienne. Pour α= 2, correspondant au cas du mouvement Brownien, le comportement asymptotique de la forme (9), suivant la fonction f,a´et´e ´etudi´e par Yamada [26]etlecasp∈]α−1 2α,α−1 α[o`uα´etant l’indice d’un 386 M. Ait Ouahra, M. Eddahbi [25] T. Yamada, On the fractional derivative of brownian local times, J. Math. Kyoto Univ. 25(1) (1985), 49–58. [26] T. Yamada, On some limit theorems for occupation times of onedimensional brownian motion and its continuous additive functionals locally of zero energy, J. Math. Kyoto Univ. 26(2) (1986), 309–322. [27] T. Yamada, Principal values of brownian local times and their related topics, in “Itˆo’s stochastic calculus and probability theory”, Springer, Tokyo, 1996, pp. 413–422. [28] M. Yor, Sur la transform´ee de Hilbert des temps locaux browniens, et une extension de la formule d’Itˆo, in “Seminar on Probability, XVI”, Lecture Notes in Math. 920, Springer, Berlin, 1982, pp. 238–247. M. Ait Ouahra: Universit´e Cadi Ayyad Facult´e des Sciences Semlalia D´epartement de Math´ematiques B.P.S 15, Marrakech Maroc E-mail address:[email protected] M. Eddahbi: Universit´e Cadi Ayyad Facult´e des Sciences et Techniques D´epartement de Math´ematiques B.P. 618, Marrakech Maroc E-mail address:[email protected] Primera versi´o rebuda el 7 de setembre de 2000, darrera versi´o rebuda el 8 de febrer de 2001.