Extension et division dans les variétés à croisements normaux

Publ. Mat. 45 (2001), 343–369 EXTENSION ET DIVISION DANS LES VARI´ ET´ ES ` A CROISEMENTS NORMAUX Abderrabi Maati et Emmanuel Mazzilli Abstract Let Dbe a bounded strictly pseudoconvex domain with smooth boundary and f=(f1,...,f p)(fi∈Hol( ¯ D)) a complete intersection with normal crossing. In this paper we study an extension problem in L∞-norm for holomorphic functions defined on f−1(0) ∩Dand a decomposition formula g=p i=1 figifor holomorphic functions g∈I(f1,...,fp)(D) in Lipschitz spaces. We stress that for the two problems the classical theorem cannot be applied because f−1(0) has singularities on the boundary ∂D. This work is the first step to understand this type of problem in the general singular case. Introduction De nombreux auteurs ont ´etudi´e les id´eaux de fonctions holomorphes avec des conditions de croissance. Plus pr´ecis´ement, consid´erons l’id´eal engendr´e par (f1,...,f p), pfonctions holomorphes d´efinies au voisinage d’un domaine Dstrictement pseudoconvexe, que l’on note If1,...,fp. On s’int´eresse au probl`eme suivant: ´etant donn´e une fonction, f,deIf1,...,fp∩Lp(D), peut-on trouver une d´ecomposition de f dans (f1,...,f p) avec des coefficients dans Lp(D) (sinon dans quels Lq peut-on trouver des coefficients?)? L’un des plus fameux r´esultats dans ce sens est le Th´eor`eme de division de Skoda (voir [15]) qui donne, en sch´ematisant, une condition analytique suffisante pour que l’on ait une d´ecomposition dans L2(il est `a noter que le domaine est pseudoconvexe sans aucune restriction). Malheureusement, cette condition n’est n´ecessaire que si (f1,...,f p) sont des coordonn´ees locales en tous les points de {f1=··· =fp=0}. Dans cet article, nous ´etudions des probl`emes de division, dans les espaces de Lipschitz, avec (f1,...,f p) qui d´efinie une intersection compl´ete `a croisements normaux (voir cidessous pour les d´efinitions); on peut noter que dans ([3]), les auteurs 2000 Mathematics Subject Classification. 32A25, 32A27. Mots-cl´es. Courants r´esiduels, domaines strictement pseudoconvexes, repr´esentations int´egrales, croisements normaux. 344 A. Maati, E. Mazzilli ont obtenu des r´esultats de d´ecomposition dans les espaces de Lipschitz pour les fonctions holomorphes, en supposant que (f1,...,f p)d´efinissait des coordonn´ees locales en tous points de {f1=···=fp=0}.On´etudie ´egalement un probl`eme d’extension de fonctions holomorphes d´efinies sur une sous-vari´et´e`a croisements normaux d’un domaine strictement pseudoconvexe. Beaucoup de r´esultats dans cette direction sont connus si l’on suppose que la sous-vari´et´e est sans singularit´epr`es du bord, c’est pourquoi l’´etude dans les croisements normaux semble ˆetre le premier pas vers le cas singulier (on peut ajouter que le cas singulier se ram`ene toujours au cas `a croisements normaux par morphisme d’Hironaka). 0. D´efinitions et notations On consid´ere DD,o`uDest un domaine relativement compact de Cn. D´efinition 0.1. Soit f:D→Cp,z→(f1(z),...,f p(z)) une application holomorphe; on dit que fest une intersection compl`ete sur Dsi et seulement si f−1(0) est de dimension pure n−pdans D(1 ≤p≤n−1). D´efinition 0.2. Soit f:D→Cpune intersection compl`ete sur D; on dit que fest `a croisements normaux sur ∂D si et seulement si ∀z0∈f−1(0)∩∂D, il existe un changement de coordonn´ees holomorphes (local), tel que: ∀i∈{1,...,p},f i(z)=hi(z)(z1−z0 1)αi,1×···×(zn−z0 n)αi,n , avec hiune unit´e. Soit f=(f1,...,f p) une intersection compl`ete `a croisements normaux. Pour z0∈∂D ∩{z∈D/f1(z)=···=fp(z)=0}, on consid`ere fi=uαi,1,z0 i,1,z0×···×uαi,pi,z0 i,pi,z0, la d´ecomposition en facteurs irr´eductibles de fiau point z0. Il est `a noter que l’hypoth`ese f`a croisements normaux entraˆıne que pi≤net ui,k,z0sont des coordonn´ees locales pr`es de z0. D´efinition 0.3. Soit f:D→Cpune intersection compl`ete `a croisements normaux sur ∂D; on dit que fest `a croisements normaux transverses `a ∂D, si et seulement si ∀z∈∂D: ∂ρ(z)∈  j SpanC∂uj,1,z(z),...,∂u j,pj,z(z), o`uD={ρ<0}. Extension et Division 345 Remarque. Dans le cas r´egulier, cette d´efinition s’´ecrit de la mani`ere habituelle: ∂ρ(z)∧∂f1(z)∧···∧∂fp(z)=0. D´efinition 0.4. Soit Vun sous-ensemble analytique de codimension pure pde D; on dit que Vest `a croisements normaux transverses `a ∂D si et seulement si, ∀z0∈V∩∂D, il existe f`a croisements normaux transverses `a ∂D v´erifiant f−1(0) = Vdans un voisinage de z0. Notations. •Pour α>0, Λα(D)d´esigne l’intersection de l’ensemble des fonctions holomorphes sur Davec l’espace de Lipschitz d’ordre αsur D. •Pour α<0, Bα(D)d´esigne l’espace des fonctions holomorphes sur Dv´erifiant l’estimation suivante pr`es du bord: Sup z∈D |f(z)|d−α z<∞, o`udzest la distance de zau bord de D. •On d´esigne par B0(D) l’espace des fonctions holomorphes sur D v´erifiant l’estimation: Sup z∈D |f(z)|ln−1(dz)<∞. •On note Aα(D), l’espace de fonctions suivant: Aα(D):=Λ α(D),si α>0, Aα(D):=Bα(D),si α≤0. •Pour fune intersection compl`ete, on note: ¯ ∂1 f1∧···∧¯ ∂1 fp:= ¯ ∂1 f{1,...,p} , le courant r´esiduel introduit par Coleff-Herrera dans [4]. •Pour fune intersection compl`ete sur D,ond´efinit nipar ni= Sup z∈∂D∩f−1(0) (Ordzfi),∀i∈{1,...,p}, o`u Ordzfiest l’ordre d’annulation de fien z. 346 A. Maati, E. Mazzilli 1. Principaux r´esultats Th´eor`eme 1.1. Soit Dun domaine born´edeCnstrictement pseudoconvexe `a bord C∞-lisse, soit f=(f1,...,f p)une intersection compl`ete `a croisements normaux transverses `a ∂D. Alors si g∈Λα(D)et si le courant g¯ ∂[1 f]{1,...,p}=0sur D, il existe des op´erateurs lin´eaires born´es, Ti,deΛα(D)dans Aα−ni 2(D)tels que g=n i=1 fiTi(g). Remarques. Pour fune intersection compl`ete sur D,g¯ ∂[1 f]{1,...,p}=0 si et seulement si gest dans l’id´eal engendr´e par (f1,...,f p); c’est un Th´eor`eme de Passare ([14]). Dans le cas d’une intersection compl`ete `a croisements normaux transverse `a ∂D, il est assez facile de calculer g¯ ∂[1 f]{1,...,p}; on peut donc construire des champs de vecteurs sur Det remplacer la condition g¯ ∂[1 f]{1,...,p}= 0, par la condition gest annul´ee par ces champs de vecteurs (voir [7]et[8]). Th´eor`eme 1.2. Sous les mˆemes hypoth`eses qu’au Th´eor`eme 1.1; si g∈ Bα(D)(α<0)etg¯ ∂[1 f]{1,...,p}=0, il existe des op´erateurs lin´eaires born´es, Tα i,deBα(D)dans Bα−ni 2(D)tels que g=n i=1 fiTα i(g). Remarque. Nous retrouvons en corollaire du Th´eor`eme 1.1, des r´esultats de division dans l’alg`ebre A∞(D):=C∞(¯ D)∩Hol(D). Th´eor`eme 1.3. Soit Dun domaine born´edeCnstrictement pseudoconvexe `a bord C∞-lisse, soit Vun ensemble analytique `a croisements normaux transverses `a ∂D. Alors il existe un op´erateur lin´eaire born´e d’extension de L∞(V∩D)∩Hol(V∩D)dans L∞(D)∩Hol(D). Remarques. Sans l’hypoth`ese V`a croisements normaux ce r´esultat est faux; en d´esignant par B3la boule de C3, on peut construire une fonction f∈L∞(V∩B3)∩Hol(V∩B3) telle que fn’a pas d’extension holomorphe dans L2(B3)∩Hol(B3) (voir [6]). On peut d´emontrer ´egalement que le Th´eor`eme 1.3 reste vrai dans L2et remarquer que le Th´eor`eme de Berndtsson (voir [1]) ne permet pas d’obtenir ce r´esultat car les croisements normaux ne v´erifient pas en g´en´eral la condition d’int´egrabilit´e de [1]. 2. Plan de la preuve des principaux r´esultats La preuve du Th´eor`eme 1.2 est parfaitement similaire `a celle du Th´eor`eme 1.1, par cons´equent, nous laissons le soin au lecteur d’adapter la d´emonstration du Th´eor`eme 1.1 `a ce cas. Pour prouver les Th´eor`emes 1.1 et 1.3, nous allons raisonner localement en nous ramenant, par Extension et Division 347 changement de coordonn´ees locales, `a f=(f1,...,f p)avecfiqui est un monˆome. D´efinition 2.1. Soit f=(f1,...,f p) une intersection compl`ete. On dit que fest de type (∗) si et seulement si: i) ∀i∈{1,...,p},fi(z)=zαi,1 1×···×zαi,n n,o`uzjsont les coordonn´ees standards de Cn; ii) ∀I, un sous-ensemble ordonn´ede{1,...,p},fI=(fi1,...,f ik) est transverse `a ∂D. Pour localiser, nous allons utiliser un lemme de recouvrement initialement obtenu par A. Cumenge, mais adapt´e`a notre situation dans [12]. Lemme 2.2. Pour tout 0<ε 1<··· <ε r0, il existe {xi}i=1,...,i0de ∂D et des domaines {Dr i}r=1,...,r0 i=1,...,i0avec Ωr i=D∩Dr ides domaines strictement pseudoconvexes `a bord lisse tel que i) B(xi,ε r−1)⊂Dr i⊂B(xi,ε r). ii) ∂D ⊂i0 i=1 Ω1 i. iii) Si i1<i≤i0, il existe 1≤ji≤ptel que fji=0sur Dr i ∀1≤r≤r0. iv) Si 1≤i≤i1alors: Ωr i∩f−1(0) =∅et sur Dr0 iil existe des coordonn´ees holomorphes telles que fsoit du type (∗)totalement transverse `a ∂Ωr i,∀1≤r≤r0,∀1≤i≤i1. v) Si 1≤r≤ret Ωr i1∩ ··· ∩ Ωr is=∅alors il existe un domaine strictement pseudoconvexe Ωr I=(i1,...,is)`a bord lisse tel que: Ωr i1∩···∩Ωr is⊂Ωr I⊂Ωr i1∩···∩Ωr is; de plus si Ωr I∩f−1(0) =∅ alors f−1(0) est totalement transverse `a ∂Ωr I. Le plan de l’article est le suivant: dans la partie 3 et 4, nous allons d´emontrer les Th´eor`emes 1.1 et 1.3 dans Ωr Iavec fde type (∗), ce qui est r´esum´e par les propositions suivantes: Proposition 2.3. Soit Dun domaine strictement pseudoconvexe `a bord C∞-lisse, soit f=(f1,...,f p)une intersection compl`ete du type (∗), alors ∀g∈Λα(D)(α>0)v´erifiant g¯ ∂[1 f]{1,...,p}=0, il existe des op´erateurs lin´eaires born´ees, Ti,deΛα(D)dans Aα−1 2jαi,j (D)v´erifiant les propri´et´es additionnelles: 348 A. Maati, E. Mazzilli i) zβi,1 1×···×zβi,n nTi(g)(z)∈Aα−1 2(jαi,j −βi,j )(D),siβi,j ≤αi,j, ∀j. ii) Soit θ=(θ1,...,θ n)un n-uplet tel que ∀α=(α1,...,α n)avec αj≤θj,∀j,zα1 1× ··· × zαn ng(z)∈Λα+1 2jαj(D), alors zθ1 1×···×zθn nTi(g)∈Aα−1 2(jαi,j −θj)(D). Proposition 2.4. Soit Vun ensemble analytique de codimension pure p sur un voisinage de ¯ D. Supposons que V:= {z∈D/f1(z)=··· = fp(z)=0}avec f=(f1,...,f p)une intersection compl`ete de type (∗). Alors, il existe un op´erateur lin´eaire born´e d’extension de L∞(V∩D)∩ Hol(V∩D)dans L∞(D)∩Hol(D). Pour globaliser les solutions locales aux probl`emes de division et d’extension, donn´ees par les Propositions 2.3 et 2.4, nous allons r´esoudre une succession de probl`emes additifs de Cousin. Recollement des solutions du probl`eme de division local. Soit {Ωr0 i}un recouvrement donn´e par le Lemme 2.2 avec r0fix´e; sur Ωr0 i, nous avons fji=∅si 1 ≤i≤i1et ftotalement transverse du type (∗)sii1<i≤i0, d’apr`es la Proposition 2.3: g(z)= l flhl iavec hl i∈Aα−αi l(Ωr0 i) o`uαi l=1 2jαl,j avec fl=zαl,1 1×···×zαl,n nsur Ωr0 i. Par cons´equent sur Ωr0 i∩Ωr0 j: 0= l fl(h1 i−hl j), d’o`u h1 i−h1 j∈I(f2,...,fp)(Ωr0 i∩Ωr0 j). Soit r<r 0, d’apr`es les propri´et´es du recouvrement, il existe Ωr ij avec Ωr i∩Ωr j⊂Ωr ij ⊂Ωr0 i∩Ωr0 j, appliquons de nouveau la Proposition 2.3, nous obtenons: h1 i−h1 j= l=1 flλrl ij, avec λrl ij ∈Aα−αi 1−αi l(Ωr ij) et de plus, λrl ij est un cocycle sur Ωr i∩Ωr j. Prenons (χν) une partition de l’unit´e relative aux Dr iet ´ecrivons λrl i= νχνλrl νi +ul,o`uulest une solution sur Dde ¯ ∂ul=ν¯ ∂(χν)λrl νi =φl; Extension et Division 349 enfin consid´erons Gholomorphe sur Dd´efinie par: G:= g−f1 h1 i+ l=1 flλrl i  :=  l=1 fl(hl i−f1λrl i) :=  l=1 flHl isur Ωr i. Pour conclure il faut choisir correctement ul, la solution de ¯ ∂ul=φl,ce qui est donn´e par la proposition: Proposition 2.5. Soit Dun domaine strictement pseudoconvexe `a bord C∞-lisse et {Ων}k 1,λνi ∈Hol(Ων∩Ωi), les donn´ees d’un premier probl`eme de Cousin sur D. Soit φla (0,1)-forme r´eguli`ere sur Dvalant ν¯ ∂(χν)λνi sur Ωi.Siφ∈Aα(D)et s’il existe une boule de centre z0∈ ∂D et de rayon ravec B(z0,r)⊂Ωitelle que: pour un n-uplet θ= (θ1,...,θ n),zα1 1×···×zαn nλνi ∈Aα+1 2jαj(B(z0,r)∩Ων)∀αj≤θj et ∀ν, alors il existe une solution de l’´equation ¯ ∂u =φdans Aα+1 2(D) avec zθ1 1×···×zθn nu(z)∈Aα+1 2(jθj+1)(B(z0,r)),∀r<r. Ce r´esultat sur le ¯ ∂, s’obtient de mani`ere similaire que le Lemme 4.4 de [12] (voir ´egalement le Lemme 2.2 et 2.5 de [12]). D’apr`es les Propositions 2.3 et 2.5, on peut choisir ulde sorte que: i) h1 i+ l=1 flλrl i∈Aα−αi 1(Ωr i) avec r<r. ii) zβl,1 1×···×zβl,n nHl i∈Aα−αi l+1 2jβl,j (Ωr i)∀βl,j ≤αl,j, avec r<r. En utilisant ces deux conditions, on peut it´erer (n−1) fois ce proc´ed´e et obtenir: g(z)= l flhlavec hl∈Aα−αi l(Ωr i)sirassez petit. 350 A. Maati, E. Mazzilli Recollement des solutions du probl`eme d’extension local. Consid´erons le recouvrement {Ωr0 i}; posons si i1<i≤i0,gi= 0 sur Ωr0 iet si 1 ≤i≤i1,gi=fiune extension born´ee de g`aΩ r0 i. Nous avons sur Ωr0 i∩Ωr0 i, gi−gj= l flλrl ij avec λrl ij ∈A−αi l(Ωr ij) o`ur<r 0,etλrl ij est un cocycle sur Ωr i∩Ωr j. Prenons (χν) une partition de l’unit´e relative aux Dr iet ´ecrivons: λrl i= ν χνλrl νi +ul, o`uulest une solution sur Dde ¯ ∂ul=ν¯ ∂(χν)λrl νi; enfin consid´erons: G=gi+ l flλrl isur Ωr iavec r<r := gi+ l fl ν χνλrl νi+ l ulfl := gi+ ν χν l flλrl νi + l ulfl := gi+ ν χν(gν−gi)+ l ulfl. En choisissant uldonn´ee par la Proposition 2.5, nous obtenons flul∈ L∞(Ωr i). 3. Preuve de la Proposition 2.3 Nous allons rappeler rapidement la construction de Passare dans [13] et [14]. D´efinition 3.1. Soit εi:R→R+,δ→ εi(δ), ∀i∈{1,...,p}une application C∞; on dit que ε(δ)=(ε1(δ),...,ε p(δ)) est un pav´e admissible si et seulement si:      lim δ→0εi(δ)=0 lim δ→0 εi(δ) (εi+1(δ))q=0,∀q∈N,∀i∈{1,...,p−1}. Extension et Division 351 Consid´erons, Ξ: R+∗→Rune fonction C∞-croissante, v´erifiant    Ξ(x)=1,si x≥1, Ξ(x)=0,si x≤1 2. Pour (f1,...,f p), pfonctions holomorphes sur un voisinage de ¯ D et I={i1,...,i q},J={j1,...,j r}deux sous-ensembles disjoints de {1,...,p}, on consid`ere la forme diff´erentielle: Ξε fI ¯ ∂Ξε fJ := Ξ|fi1| εi1×···×Ξ|fiq| εiqׯ ∂Ξ|fj1| εj1∧···∧¯ ∂Ξ|fjr| εjr fi1×···×fiq×fj1×···×fjr . Th´eor`eme 3.2 (Passare [13]).∀I,J,[Ξε f]I¯ ∂[Ξε f]Jconverge faiblement sur Dquand δ→ 0. Si l’on note [1 f]I¯ ∂[1 f]Jle courant limite, alors [1 f]I¯ ∂[1 f]Jest un courant d’ordre fini. Remarque. En g´en´eral, le courant [ 1 f]I¯ ∂[1 f]Jd´epend de ε, le pav´e admissible et de Ξ. Mais, dans le cas o`u fest `a croisements normaux (voir par exemple, [7]et[8]) [ 1 f]I¯ ∂[1 f]Jsont des courants canoniques (ind´ependants de εet Ξ) qui con¨ıncident avec les courants d´efinis par Coleff-Herrera dans [4]. Th´eor`eme 3.3 (Passare [13]).Soit Dun domaine strictement pseudoconvexe de Cn`a bord C∞-lisse, soit f=(f1,...,f p)v´erifiant {fi1,...,f ik} est une intersection compl`ete sur un voisinage de ¯ Dpour tout {i1,...,i k} un multi-indice `a valeurs dans {1,...,p}et g∈C ∞(¯ D), alors, pour tout z∈D: g(z)= p−1  k=0  |I|=p−k,|J|=k Cn,k[f(z)]Ig(ζ)1 fI ¯ ∂1 fJ , (b(ζ,z))J∧AN,n−k(ζ,z) +Cng(ζ)¯ ∂1 f{1,...,p} , (b(ζ,z)){1,...,p}∧AN,n−p(ζ,z), 358 A. Maati, E. Mazzilli pour tout λ≥0, (I6)D(4)∩{ζ4=0} 1 ζ1ζ2ζ3 [L1+V1]α1−1...[L4+V4]l−1 ×  ∂λg ∂ζλ n(ζ)(ρ(ζ))N−1+λGλ 2(ζ,z)O(|ζ−z|j+l−1) (ρ(ζ)+h(ζ,z),ζ−z)N+n+|Γ|−1  pour tout λ≥0, o`u Li=AL iet Vi=AV  i∀i∈{1,2,3,4}(Aest la matrice de passage des coordonn´ees (ζ)aux coordonn´ees (ζ)). Lisont des (1,0) champs de vecteurs tangents `a {ρ= cte.}et Vi(z)=0. Lemme 3.6. Soit uune fonction holomorphe dans Det α>0, alors nous avons les ´equivalences suivantes: u∈Λα(D) pour tout k∈N∗,k>α, pour tout z∈D,|∇ku(z)|≤C(−ρ(z))α−k. Il existe k∈N∗,k>α, pour tout z∈D,|∇ku(z)|≤C(−ρ(z))α−k. Ce qui pr´ec´ede et le Lemme 3.6 entraˆınent: •Li(ρ(ζ)+h(ζ,z),ζ−z)=O(|ζ−z|), car h(ζ,z),ζ−z=∂ρ(ζ),ζ−z+O(|ζ−z|2), •Li(h)=O(|ρ(ζ)|−a−1 2)sih∈Hol(D)eth=O(|ρ(ζ)|−a)(a>0), •Vi(f)=O(|grad(f)||ζ−z|), •(−ρ(ζ)−ρ(z)+|ζ−z|2+|Imh(ζ,z),ζ−z|)|ρ(ζ)+h(ζ,z),ζ−z|, •si λ>αalors ∂λg ∂ζλ n=O(|ρ(ζ)|α−λ) d’apr`es le lemme d’HardyLittlewood, d’o`u: (I5)D∅ dv |ζ1ζ2ζ3ζ4|(−ρ(ζ)−ρ(z)+|ζ−z|2 +|Imh(ζ,z),ζ−z|)n+|Γ|−α+β1+β2 2−1, (I6)D(4)∩{ζ4=0} dv |ζ1ζ2ζ3|(−ρ(ζ)−ρ(z)+|ζ−z|2 +|Imh(ζ,z),ζ−z|)n+|Γ|−α+α1+α2 2−3 2. Extension et Division 359 Estimation de (I5). En s´eparant les cas |ζi||ζi−zi|et |ζi−zi||ζi|,(I5) est inf´erieur ou ´egal `a une somme de termes de type: (I5)D∅ dv    |ζ1−z1||ζ2ζ3ζ4|(−ρ(ζ)−ρ(z) +|ζ−z|2+|ζ2|2+|ζ3|2+|ζ4|2 +|Imh(ζ,z),ζ−z|)n+|Γ|−α+β1+β2 2−1    , posons le changement de variables:          t1+it2=ζ1−z1 t2j−1+it2j=ζj,∀j∈{2,...,4} t2j−1+it2j=ζl−zl,∀l∈{5,...,n−1} t2n−1+it2n=ρ(ζ)+iImh(ζ,z),ζ−z, nous avons: (I5)B2n(0,R) dt1...dt 2n (|t1|2+|t2|2)1 24 j=2(|t2j−1|2+|t2j|2)1 2 ×1 (−ρ(z)+ n−1 j=1(|t2j−1|2+|t2j|2)+(|t2n−1|2+|t2n|2)1 2)n+|Γ|−α+β1+β2 2−1, apr`es int´egration en coordonn´ees polaires, (I5)|ρ(z)||Γ|−(α−β1+β2 2)si |Γ|>(α−β1+β2 2), ce qui donne le r´esultat d’apr`es le lemme de HardyLittlewood. Estimation de (I6). Avec la mˆeme observation que pour (I5), (I6) est inf´erieur ou ´egal `a une somme de termes du type: (I6)D(4)∩{ζ4=0} dv    |ζ1−z1||ζ2ζ3|(−ρ(ζ)−ρ(z) +|ζ−z|2+|ζ2|2+|ζ3|2 +|Imh(ζ,z),ζ−z|)n+|Γ|−α+α1+α2 2−3 2    , 360 A. Maati, E. Mazzilli posons le changement de variables:          t1+it2=ζ1−z1 t2j−1+it2j=ζj,∀j∈{2,3} tl+itl+1 =ζl−zl,∀l∈{4,...,n−2} t2n−3+it2n−2=ρ(ζ)+iImh(ζ,z),ζ−z, nous avons: (I6)B2n−2(0,R) dt1...dt 2n−2 (|t1|2+|t2|2)1 23 j=2(|t2j−1|2+|t2j|2)1 2 ×1 (−ρ(z)+ n−2 j=1(|t2j−1|2+|t2j|2)+(|t2n−3|2+|t2n−2|2)1 2)n+|Γ|−α+α1+α2 2−3 2 , apr`es int´egration en coordonn´ees polaires, (I6)|ρ(z)||Γ|−(α−α1+α2 2)si |Γ|>(α−α1+α2 2), ce qui ach`eve la preuve de la partie principale de la Proposition 2.3. Il reste `a indiquer comment l’on obtient i) et ii): •Pour i), il suffit de remplacer dans l’expression de Ti(g)g(ζ) par g(ζ)zβi,1 1×···×zβi,n n, puis de remarquer, en utilisant la formule de Taylor dans le cas alg´ebrique: zβi,1 1×···×zβi,n n= (α1,...,αn) αj≤βi,j ζα1 1×···×ζαn nf(ζ,z) avec f(ζ,z)=O(|ζ−z|jβi,j −αj). •Pour ii), il suffit de remplacer dans l’expression de Ti(g), g(ζ) par zθ1 1×···×zθn ng(ζ), puis d’´ecrire `a l’aide de la formule de Taylor, comme pour i): zθ1 1×···×zθn n= (α1,...,αn) αj≤θj ζα1 1×···×ζαn nf(ζ,z) avec f(ζ,z)=O(|ζ−z|jθj−αj); enfin, il faut utiliser que ζα1 1× ···×ζαn ng(ζ)∈Λα+1 2jαj(D). Extension et Division 361 4. Preuve de la Proposition 2.4 Remarques. 1) On peut choisir fd´efinissant Vtelle que la matrice M=(αi,j) n’ait que des termes valant 1 ou 0. Pour simplifier les notations, nous allons supposer que V=f−1(0) avec f=(f1,f 2) o`uf1(z)=z1z2 f2(z)=z3z4; le cas g´en´eral s’obtient similairement. 2) Fixons N>0, d’apr`es le Th´eor`eme 3.3, l’op´erateur EN d´efini par EN g(z):=Cng(ζ)¯ ∂1 f{1,2} ,(b(ζ,z)){1,2}∧AN,n−2(ζ,z), pour tout g∈L∞(V∩D)∩Hol(V∩D) et pour tout z∈D, est un op´erateur lin´eaire d’extension. De plus, il est tr`es facile de voir que EN g(z)`a une croissance “polynˆomiale” quand zpr`es du bord: EN g(z)=O(|ρ(z)|N) si Nest suffisamment grand. 3) On peut remarquer ´egalement que EN g(z)(∀N>0) d´efini une fonction continue sur ∂D \Vcar (−ρ(ζ)−ρ(z)+|ζ−z|2)|ρ(ζ)+h(ζ,z),ζ−z|. Nous avons besoin du lemme suivant: Lemme 4.1. Soit f=(f1,...,f p)d´efinissant Vcomme dans le 1) de la remarque et g∈L∞(V∩D)∩Hol(V∩D), alors pour tout z∈∂D\V, nous avons: ENg(z):= p  i=1 Cifi(z) ×g(ζ)¯ ∂1 f{1,...,p} ,(b(ζ,z)) {1,..., !"# i,...,p} ∧hj(z,ζ)dζj h(z,ζ),ζ−z∧AN,n−2 (ζ,z) , pour tout Nassez grand. Preuve: Il est suffisant de montrer le lemme avec f=(f1,f 2); prenons χε une fonction C∞(R) valant 0 si x≥εet1six≤ε 2,´ecrivons la formule de repr´esentation Berndtsson-Andersson-passare (voir [2]et[14]) en termes 362 A. Maati, E. Mazzilli de courants, avec les param´etres ci-dessous (on utilise les notations de [2]):            s(ζ,z):=−ρ(z) n  j=1 (¯ ζj−¯zj)dζj+h(ζ,z),ζ−z n  j=1 hj(ζ,z)dζj Q(ζ,z):=˜ h(ζ,z)= 1 ρ(ζ) n  j=1 hj(ζ,z)dζj et Nun entier naturel v´erifiant EN g(z)=O(|ρ(z)|N), pour la fonction χε(|f|2)EN g,o`u|f|2:= |f1|2+|f2|2; nous obtenons, ∀z∈D, χε(|f|2)EN g(z) = 1  k=0  |I|=2−k, |J|=k Cn,k[f(z)]Iχε(|f|2)EN g(ζ)1 fI ¯ ∂1 fJ , (b(ζ,z))J∧AN,n−k(ζ,z) +Cnχε(|f|2)EN g(ζ)¯ ∂1 f{1,2} , (b(ζ,z)){1,2}∧AN,n−2(ζ,z) + 1  k=0  |I|=2−k, |J|=k Dn,k[f(z)]I¯ ∂(χε(|f|2))EN g(ζ)1 fI ¯ ∂1 fJ , (b(ζ,z))J∧BN,n−k(ζ,z) +Dn¯ ∂(χε(|f|2))EN g(ζ)¯ ∂1 f{1,2} , (b(ζ,z)){1,2}∧BN,n−2(ζ,z), avec BN,n−k(ζ,z):= n−k−1  k=0 s∧(¯ ∂s)k−1 s(ζ,z),ζ−zk∧AN,n−k (ζ,z). Extension et Division 363 Le courant ¯ ∂[1 f] est `a support dans V, ce qui entraˆıne:            ¯ ∂(χε(|f|2))EN g(ζ)¯ ∂1 f{1,2} ,(b(ζ,z)){1,2}∧BN,n−2(ζ,z)=0 χε(|f|2)EN g(ζ)¯ ∂1 f{1,2} ,(b(ζ,z)){1,2}∧AN,n−2(ζ,z)=ENg(z); fixons z0∈∂D \V, en remarquant que χε(|f|2)et¯ ∂(χε(|f|2)) sont nuls si zest loin de Vet par cons´equent que les int´egrales ne portent que sur un petit voisinage de V, nous pouvons faire tendre zvers z0dans l’´egalit´e et obtenir, pour tout εassez petit: −ENg(z0) = 1  k=0  |I|=2−k, |J|=k Cn,k[f(z0)]Iχε(|f|2)EN g(ζ)1 fI ¯ ∂1 fJ , (b(ζ,z0))J∧AN,n−k(ζ,z0) + 1  k=0  |I|=2−k, |J|=k Dn,k[f(z0)]I¯ ∂(χε(|f|2))EN g(ζ)1 fI ¯ ∂1 fJ , (b(ζ,z0))J∧BN,n−k(ζ,z0). Maintenant comme z0∈∂D \V, une simple application du th´eor`eme de Lebesgue assure que lim ε→0χε(|f|2)EN g(ζ)1 fI ¯ ∂1 fJ ,(b(ζ,z0))J∧AN,n−k(ζ,z0)=0; les termes contenant ¯ ∂(χε(|f|2)) sont plus d´elicats au passage `a la limite, consid´erons par exemple le terme f1(z)f2(z)¯ ∂(χε(|f|2))EN g(ζ)1 f{1,2} ,BN,n(ζ,z0): 364 A. Maati, E. Mazzilli appliquons la formule de Stokes, nous avons f1(z)f2(z)¯ ∂(χε(|f|2))EN g(ζ)1 f{1,2} ,BN,n(ζ,z0) =−f1(z)f2(z)χε(|f|2)EN g(ζ)1 f{2} ¯ ∂1 f{1} ,BN,n(ζ,z0) −f1(z)f2(z)χε(|f|2)EN g(ζ)1 f{1} ¯ ∂1 f{2} ,BN,n(ζ,z0) −f1(z)f2(z)χε(|f|2)EN g(ζ)1 f{1,2} ,¯ ∂(BN,n(ζ,z0)), en utilisant le th´eor`eme de Lebesgue et en passant `a la limite quant ε tend vers z´ero, lim ε→0f1(z)f2(z)¯ ∂(χε(|f|2))EN g(ζ)1 f{1,2} ,BN,n(ζ,z0)=0. Parlemˆeme proc´ed´e sur les termes            f1(z)¯ ∂(χε(|f|2))EN g(ζ)1 f{1} ¯ ∂1 f{2} ,(b(ζ,z)){2}BN,n−1(ζ,z0)  f2(z)¯ ∂(χε(|f|2))EN g(ζ)1 f{2} ¯ ∂1 f{1} ,(b(ζ,z)){1}BN,n−1(ζ,z0) , on obtient le Lemme 4.1. Preuve de la Proposition 2.4: D’apr`es le Lemme 4.1, il suffit demontrer que ∀i∈{1,2}: fi(z)g(ζ)¯ ∂1 f{1,2} ,(b(ζ,z)){1,..., $i,...,2} ∧hj(z,ζ)dζj h(z,ζ),ζ−z∧AN,n−2(ζ,z)M, Extension et Division 365 ∀z∈∂D \V; prenons i= 1, d’apr`es la partie 3, f1(z)g(ζ)¯ ∂1 f{1,2} ,(b(ζ,z)){2}∧hj(z,ζ)dζj h(z,ζ),ζ−z∧AN,n−2(ζ,z) =f1(z)D∩{ζ1=ζ3=0} g(ζ)1 ζ2ζ4 (b(ζ,z)){2}∧hj(z,ζ)dζj h(z,ζ),ζ−z ∧AN,n−2(ζ,z)(I7) =f1(z)D∩{ζ1=ζ4=0} g(ζ)1 ζ2ζ3 (b(ζ,z)){2}∧hj(z,ζ)dζj h(z,ζ),ζ−z ∧AN,n−2(ζ,z)(I8) =f1(z)D∩{ζ2=ζ3=0} g(ζ)1 ζ1ζ4 (b(ζ,z)){2}∧hj(z,ζ)dζj h(z,ζ),ζ−z ∧AN,n−2(ζ,z)(I9) =f1(z)D∩{ζ2=ζ4=0} g(ζ)1 ζ1ζ3 (b(ζ,z)){2}∧hj(z,ζ)dζj h(z,ζ),ζ−z ∧AN,n−2(ζ,z)(I10). Il est clair qu’il suffit d’envisager le terme (I7); pour construire (b(ζ,z)){2} on utilise, comme dans la partie 3, la formule de Taylor (b(ζ,z)){2}= ζ3dζ4+ζ4dζ3+(z4−ζ4)dζ3, d’o`u (I7)=f1(z)D∩{ζ1=ζ3=0} g(ζ)1 ζ2 (b(ζ,z)){2}∧hj(z,ζ)dζj h(z,ζ),ζ−z ∧AN,n−2(ζ,z)(I11) +f1(z)D∩{ζ1=ζ3=0} g(ζ)O(|ζ−z|) ζ2ζ4 (b(ζ,z)){2}∧hj(z,ζ)dζj h(z,ζ),ζ−z ∧AN,n−2(ζ,z)(I12). 366 A. Maati, E. Mazzilli Estimation de (I11). Remarquons: AN,n−2(ζ,z)= (ρ(ζ))N+n−2 (ρ(ζ)+h(ζ,z),ζ−z)N+n−2(¯ ∂˜ h(ζ,z))n−2 =(ρ(ζ))N+n−2 (ρ(ζ)+h(ζ,z),ζ−z)N+n−2 ×1 ρ2¯ ∂ρ(ζ)∧hi(ζ,z)dζi+1 ρ¯ ∂hi(ζ,z)∧dζi. Le morceau le plus d´elicat est le terme en 1 ρn−1¯ ∂ρ(ζ)∧hi(ζ,z)dζi, mais hi(z,ζ)dζi∧hi(ζ,z)dζi=O(|ζ−z|), ce qui implique: (I11)|z1z2|D∩{ζ1=ζ3=0} |g(ζ)| ×1 |ζ2| O(|ζ−z|) (−ρ(ζ)+|ζ−z|2+|Imh(ζ,z),ζ−z|)n |z1|D∩{ζ1=ζ3=0} |g(ζ)| ×O(|ζ−z|) (−ρ(ζ)+|z1|2+|ζ−z|2+|Imh(ζ,z),ζ−z|)n +|z1|D∩{ζ1=ζ3=0} |g(ζ)| ×1 |ζ2| O(|ζ−z|2) (−ρ(ζ)+|z1|2+|ζ−z|2+|Imh(ζ,z),ζ−z|)n. Comme `a la partie 3, il suffit d’int´egrer sur une boule de centre q∈ ∂D∩{ζ1=ζ3=0}et de rayon rassez petit, de facon `aceque∂ρ ∂ζn(ζ)≥ Extension et Division 367 c>0, et de majorer (I11), pour z∈∂D ∩B(q, r 2)\V, par |z1|D∩B(q,r 2)∩{ζ1=ζ3=0} |g(ζ)| ×dλ (−ρ(ζ)+|z1|2+|ζ−z|2+|Imh(ζ,z),ζ−z|)n−1 2 +|z1|D∩B(q,r 2)∩{ζ1=ζ3=0} |g(ζ)| ×1 |ζ2| dλ (−ρ(ζ)+|z1|2+|ζ−z|2+|Imh(ζ,z),ζ−z|)n−1 l’estimation s’obtient en faisant le mˆeme type de changement de variables que pour la Proposition 2.3; l’estimation de (I12) est similaire `a celle de (I11), ce qui ach`eve la preuve de la Proposition 2.4. 5. Remarque finale A notre avis, il serait tr`es int´eressant d’avoir l’´equivalent du Th´eor`eme 1.1, dans les domaines convexes de type fini. Ceci n’est pas hors de port´ee, car nous pouvons construire, dans ce cas, des noyaux int´egraux donnant les solutions du probl`eme de division `a l’aide de la fonction support de Diederich-Fornaess de [5]. Mais dans cette situation, le probl`eme est plus subtil comme le prouve l’exemple suivant: prenons D:= {ρ(z)=|z1|2q+|z2|2+|z3|2+|z4|2−1<0}, f=(f1,f 2)=(z1z2,zn 1+z3) avec n>1etnq. Il est clair que fest une intersection compl`ete `a croisements normaux et que g∈Hol(D)s’´ecrit z1z2g1(z)+(zn 1+z3)g2(z) si et seulement si gs’annule sur f−1(0) (dans la suite on notera cette condition (∗∗)). Consid´erons g(z)= z2z3 1−z4,gest born´ee et v´erifie (∗∗). On a une d´ecomposition imm´ediate: g(z)=z1z2zn−1 1 1−z4−(zn 1+z3)z2 1−z4avec zn−1 1 1−z4 ∈Bn−1 2q−1(D). Supposons qu’il existe g1,g2v´erifiant z1z2g1(z)+(zn 1+z3)g2(z) avec g1∈Bk(D)etk>n−1 2q−1, alors zn−1 1 1−z4|zn 1+z3=0 aurait une extension holomorphe `a Ddans un meilleur espace que Bn−1 2q−1(D), ce qui est impossible (pour le voir, il suffit d’adapter la preuve dans [11]). Si le Th´eor`eme 1.1 s’´etendait “in extenso”, g´etant tr`es r´eguli`ere sauf en