Extension et division dans les variétés à croisements normaux

Publ. Ma . 45 (2001), 343–369
EXTENSION ET DIVISION DANS LES VARI´
ET´
ES `
A
CROISEMENTS NORMAUX
Abde abi Maa i e Emmanuel Mazzilli
Abs ac
Le Dbe a bounded s ic ly pseudocon ex domain wi h smoo h
bounda y and =( 1,...,
p)( i∈Hol( ¯
D)) a comple e in-
e sec ion wi h no mal c ossing. In his pape we s udy an ex-
ension p oblem in L∞-no m o holomo phic unc ions defined
on −1(0) ∩Dand a decomposi ion o mula g=p
i=1 igi o
holomo phic unc ions g∈I( 1,..., p)(D) in Lipschi z spaces. We
s ess ha o he wo p oblems he classical heo em canno be
applied because −1(0) has singula i ies on he bounda y ∂D.
This wo k is he fi s s ep o unde s and his ype o p oblem in
he gene al singula case.
In oduc ion
De nomb eux au eu s on ´e udi´e les id´eaux de onc ions holomo -
phes a ec des condi ions de c oissance. Plus p ´ecis´emen , consid´e ons
l’id´eal engend ´e pa ( 1,...,
p), p onc ions holomo phes d´efinies au
oisinage d’un domaine Ds ic emen pseudocon exe, que l’on no e
I 1,..., p. On s’in ´e esse au p obl`eme sui an : ´e an donn´e une onc-
ion, ,deI 1,..., p∩Lp(D), peu -on ou e une d´ecomposi ion de
dans ( 1,...,
p) a ec des coefficien s dans Lp(D) (sinon dans quels Lq
peu -on ou e des coefficien s?)? L’un des plus ameux ´esul a s dans
ce sens es le Th´eo `eme de di ision de Skoda ( oi [15]) qui donne, en
sch´ema isan , une condi ion analy ique suffisan e pou que l’on ai une
d´ecomposi ion dans L2(il es `a no e que le domaine es pseudocon-
exe sans aucune es ic ion). Malheu eusemen , ce e condi ion n’es
n´ecessai e que si ( 1,...,
p) son des coo donn´ees locales en ous les
poin s de { 1=··· = p=0}. Dans ce a icle, nous ´e udions des
p obl`emes de di ision, dans les espaces de Lipschi z, a ec ( 1,...,
p)
qui d´efinie une in e sec ion compl´e e `a c oisemen s no maux ( oi ci-
dessous pou les d´efini ions); on peu no e que dans ([3]), les au eu s
2000 Ma hema ics Subjec Classifica ion. 32A25, 32A27.
Mo s-cl´es. Cou an s ´esiduels, domaines s ic emen pseudocon exes, ep ´esen a ions
in ´eg ales, c oisemen s no maux.
344 A. Maa i, E. Mazzilli
on ob enu des ´esul a s de d´ecomposi ion dans les espaces de Lipschi z
pou les onc ions holomo phes, en supposan que ( 1,...,
p)d´efinissai
des coo donn´ees locales en ous poin s de { 1=···= p=0}.On´e udie
´egalemen un p obl`eme d’ex ension de onc ions holomo phes d´efinies
su une sous- a i´e ´e`a c oisemen s no maux d’un domaine s ic emen
pseudocon exe. Beaucoup de ´esul a s dans ce e di ec ion son connus
si l’on suppose que la sous- a i´e ´e es sans singula i ´ep `es du bo d, c’es
pou quoi l’´e ude dans les c oisemen s no maux semble ˆe e le p emie
pas e s le cas singulie (on peu ajou e que le cas singulie se am`ene
oujou s au cas `a c oisemen s no maux pa mo phisme d’Hi onaka).
0. D´efini ions e no a ions
On consid´e e DD,o`uDes un domaine ela i emen compac
de Cn.
D´efini ion 0.1. Soi :D→Cp,z→( 1(z),...,
p(z)) une applica-
ion holomo phe; on di que es une in e sec ion compl`e e su Dsi e
seulemen si −1(0) es de dimension pu e n−pdans D(1 ≤p≤n−1).
D´efini ion 0.2. Soi :D→Cpune in e sec ion compl`e e su D;
on di que es `a c oisemen s no maux su ∂D si e seulemen si
∀z0∈ −1(0)∩∂D, il exis e un changemen de coo donn´ees holomo phes
(local), el que:
∀i∈{1,...,p},
i(z)=hi(z)(z1−z0
1)αi,1×···×(zn−z0
n)αi,n ,
a ec hiune uni ´e.
Soi =( 1,...,
p) une in e sec ion compl`e e `a c oisemen s no -
maux. Pou z0∈∂D ∩{z∈D/ 1(z)=···= p(z)=0}, on consid`e e
i=uαi,1,z0
i,1,z0×···×uαi,pi,z0
i,pi,z0,
la d´ecomposi ion en ac eu s i ´educ ibles de iau poin z0. Il es `a
no e que l’hypo h`ese `a c oisemen s no maux en aˆıne que pi≤ne
ui,k,z0son des coo donn´ees locales p `es de z0.
D´efini ion 0.3. Soi :D→Cpune in e sec ion compl`e e `a c oise-
men s no maux su ∂D; on di que es `a c oisemen s no maux ans-
e ses `a ∂D, si e seulemen si ∀z∈∂D:
∂ρ(z)∈ 
j
SpanC∂uj,1,z(z),...,∂u
j,pj,z(z),
o`uD={ρ<0}.
Ex ension e Di ision 345
Rema que. Dans le cas ´egulie , ce e d´efini ion s’´ec i de la mani`e e
habi uelle:
∂ρ(z)∧∂ 1(z)∧···∧∂ p(z)=0.
D´efini ion 0.4. Soi Vun sous-ensemble analy ique de codimension
pu e pde D; on di que Ves `a c oisemen s no maux ans e ses `a ∂D
si e seulemen si, ∀z0∈V∩∂D, il exis e `a c oisemen s no maux
ans e ses `a ∂D ´e ifian −1(0) = Vdans un oisinage de z0.
No a ions.
•Pou α>0, Λα(D)d´esigne l’in e sec ion de l’ensemble des onc-
ions holomo phes su Da ec l’espace de Lipschi z d’o d e αsu D.
•Pou α<0, Bα(D)d´esigne l’espace des onc ions holomo phes su
D ´e ifian l’es ima ion sui an e p `es du bo d:
Sup
z∈D
| (z)|d−α
z<∞,
o`udzes la dis ance de zau bo d de D.
•On d´esigne pa B0(D) l’espace des onc ions holomo phes su D
´e ifian l’es ima ion:
Sup
z∈D
| (z)|ln−1(dz)<∞.
•On no e Aα(D), l’espace de onc ions sui an :
Aα(D):=Λ
α(D),si α>0,
Aα(D):=Bα(D),si α≤0.
•Pou une in e sec ion compl`e e, on no e:
¯
∂1
1∧···∧¯
∂1
p:= ¯
∂1
{1,...,p}
,
le cou an ´esiduel in odui pa Coleff-He e a dans [4].
•Pou une in e sec ion compl`e e su D,ond´efini nipa
ni= Sup
z∈∂D∩ −1(0)
(O dz i),∀i∈{1,...,p},
o`u O dz ies l’o d e d’annula ion de ien z.
346 A. Maa i, E. Mazzilli
1. P incipaux ´esul a s
Th´eo `eme 1.1. Soi Dun domaine bo n´edeCns ic emen pseudo-
con exe `a bo d C∞-lisse, soi =( 1,...,
p)une in e sec ion compl`e e
`a c oisemen s no maux ans e ses `a ∂D. Alo s si g∈Λα(D)e si le
cou an g¯
∂[1
]{1,...,p}=0su D, il exis e des op´e a eu s lin´eai es bo n´es,
Ti,deΛα(D)dans Aα−ni
2(D) els que g=n
i=1 iTi(g).
Rema ques. Pou une in e sec ion compl`e e su D,g¯
∂[1
]{1,...,p}=0
si e seulemen si ges dans l’id´eal engend ´e pa ( 1,...,
p); c’es un
Th´eo `eme de Passa e ([14]). Dans le cas d’une in e sec ion compl`e e
`a c oisemen s no maux ans e se `a ∂D, il es assez acile de calcule
g¯
∂[1
]{1,...,p}; on peu donc cons ui e des champs de ec eu s su De
emplace la condi ion g¯
∂[1
]{1,...,p}= 0, pa la condi ion ges annul´ee
pa ces champs de ec eu s ( oi [7]e [8]).
Th´eo `eme 1.2. Sous les mˆemes hypo h`eses qu’au Th´eo `eme 1.1; si g∈
Bα(D)(α<0)e g¯
∂[1
]{1,...,p}=0, il exis e des op´e a eu s lin´eai es
bo n´es, Tα
i,deBα(D)dans Bα−ni
2(D) els que g=n
i=1 iTα
i(g).
Rema que. Nous e ou ons en co ollai e du Th´eo `eme 1.1, des ´esul a s
de di ision dans l’alg`eb e A∞(D):=C∞(¯
D)∩Hol(D).
Th´eo `eme 1.3. Soi Dun domaine bo n´edeCns ic emen pseudo-
con exe `a bo d C∞-lisse, soi Vun ensemble analy ique `a c oisemen s
no maux ans e ses `a ∂D. Alo s il exis e un op´e a eu lin´eai e bo n´e
d’ex ension de L∞(V∩D)∩Hol(V∩D)dans L∞(D)∩Hol(D).
Rema ques. Sans l’hypo h`ese V`a c oisemen s no maux ce ´esul a es
aux; en d´esignan pa B3la boule de C3, on peu cons ui e une onc ion
∈L∞(V∩B3)∩Hol(V∩B3) elle que n’a pas d’ex ension holomo -
phe dans L2(B3)∩Hol(B3) ( oi [6]). On peu d´emon e ´egalemen que
le Th´eo `eme 1.3 es e ai dans L2e ema que que le Th´eo `eme de
Be nd sson ( oi [1]) ne pe me pas d’ob eni ce ´esul a ca les c oise-
men s no maux ne ´e ifien pas en g´en´e al la condi ion d’in ´eg abili ´e
de [1].
2. Plan de la p eu e des p incipaux ´esul a s
La p eu e du Th´eo `eme 1.2 es pa ai emen similai e `a celle du
Th´eo `eme 1.1, pa cons´equen , nous laissons le soin au lec eu d’adap e
la d´emons a ion du Th´eo `eme 1.1 `a ce cas. Pou p ou e les Th´eo `e-
mes 1.1 e 1.3, nous allons aisonne localemen en nous amenan , pa
Ex ension e Di ision 347
changemen de coo donn´ees locales, `a =( 1,...,
p)a ec iqui es un
monˆome.
D´efini ion 2.1. Soi =( 1,...,
p) une in e sec ion compl`e e. On di
que es de ype (∗) si e seulemen si:
i) ∀i∈{1,...,p}, i(z)=zαi,1
1×···×zαi,n
n,o`uzjson les coo -
donn´ees s anda ds de Cn;
ii) ∀I, un sous-ensemble o donn´ede{1,...,p}, I=( i1,...,
ik) es
ans e se `a ∂D.
Pou localise , nous allons u ilise un lemme de ecou emen ini iale-
men ob enu pa A. Cumenge, mais adap ´e`a no e si ua ion dans [12].
Lemme 2.2. Pou ou 0<ε
1<··· <ε
0, il exis e {xi}i=1,...,i0de
∂D e des domaines {D
i} =1,..., 0
i=1,...,i0a ec Ω
i=D∩D
ides domaines
s ic emen pseudocon exes `a bo d lisse el que
i) B(xi,ε
−1)⊂D
i⊂B(xi,ε
).
ii) ∂D ⊂i0
i=1 Ω1
i.
iii) Si i1<i≤i0, il exis e 1≤ji≤p el que ji=0su D
i
∀1≤ ≤ 0.
i ) Si 1≤i≤i1alo s: Ω
i∩ −1(0) =∅e su D 0
iil exis e des
coo donn´ees holomo phes elles que soi du ype (∗) o alemen
ans e se `a ∂Ω
i,∀1≤ ≤ 0,∀1≤i≤i1.
) Si 1≤ ≤ e Ω
i1∩ ··· ∩ Ω
is=∅alo s il exis e un do-
maine s ic emen pseudocon exe Ω
I=(i1,...,is)`a bo d lisse el que:
Ω
i1∩···∩Ω
is⊂Ω
I⊂Ω 
i1∩···∩Ω 
is; de plus si Ω
I∩ −1(0) =∅
alo s −1(0) es o alemen ans e se `a ∂Ω
I.
Le plan de l’a icle es le sui an : dans la pa ie 3 e 4, nous allons
d´emon e les Th´eo `emes 1.1 e 1.3 dans Ω
Ia ec de ype (∗), ce qui
es ´esum´e pa les p oposi ions sui an es:
P oposi ion 2.3. Soi Dun domaine s ic emen pseudocon exe `a bo d
C∞-lisse, soi =( 1,...,
p)une in e sec ion compl`e e du ype (∗),
alo s ∀g∈Λα(D)(α>0) ´e ifian g¯
∂[1
]{1,...,p}=0, il exis e des
op´e a eu s lin´eai es bo n´ees, Ti,deΛα(D)dans Aα−1
2jαi,j (D) ´e i-
fian les p op i´e ´es addi ionnelles:

348 A. Maa i, E. Mazzilli
i) zβi,1
1×···×zβi,n
nTi(g)(z)∈Aα−1
2(jαi,j −βi,j )(D),siβi,j ≤αi,j,
∀j.
ii) Soi θ=(θ1,...,θ
n)un n-uple el que ∀α=(α1,...,α
n)a ec
αj≤θj,∀j,zα1
1× ··· × zαn
ng(z)∈Λα+1
2jαj(D), alo s
zθ1
1×···×zθn
nTi(g)∈Aα−1
2(jαi,j −θj)(D).
P oposi ion 2.4. Soi Vun ensemble analy ique de codimension pu e p
su un oisinage de ¯
D. Supposons que V:= {z∈D/ 1(z)=··· =
p(z)=0}a ec =( 1,...,
p)une in e sec ion compl`e e de ype (∗).
Alo s, il exis e un op´e a eu lin´eai e bo n´e d’ex ension de L∞(V∩D)∩
Hol(V∩D)dans L∞(D)∩Hol(D).
Pou globalise les solu ions locales aux p obl`emes de di ision e
d’ex ension, donn´ees pa les P oposi ions 2.3 e 2.4, nous allons ´esoud e
une succession de p obl`emes addi i s de Cousin.
Recollemen des solu ions du p obl`eme de di ision local.
Soi {Ω 0
i}un ecou emen donn´e pa le Lemme 2.2 a ec 0fix´e; su
Ω 0
i, nous a ons ji=∅si 1 ≤i≤i1e o alemen ans e se du
ype (∗)sii1<i≤i0, d’ap `es la P oposi ion 2.3:
g(z)=
l
lhl
ia ec hl
i∈Aα−αi
l(Ω 0
i)
o`uαi
l=1
2jαl,j a ec l=zαl,1
1×···×zαl,n
nsu Ω 0
i. Pa cons´equen
su Ω 0
i∩Ω 0
j:
0=
l
l(h1
i−hl
j),
d’o`u h1
i−h1
j∈I( 2,..., p)(Ω 0
i∩Ω 0
j). Soi <
0, d’ap `es les p op i´e ´es du
ecou emen , il exis e Ω
ij a ec Ω
i∩Ω
j⊂Ω
ij ⊂Ω 0
i∩Ω 0
j, appliquons
de nou eau la P oposi ion 2.3, nous ob enons:
h1
i−h1
j=
l=1
lλ l
ij,
a ec λ l
ij ∈Aα−αi
1−αi
l(Ω
ij) e de plus, λ l
ij es un cocycle su Ω
i∩Ω
j.
P enons (χν) une pa i ion de l’uni ´e ela i e aux D
ie ´ec i ons λ l
i=
νχνλ l
νi +ul,o`uules une solu ion su Dde ¯
∂ul=ν¯
∂(χν)λ l
νi =φl;
Ex ension e Di ision 349
enfin consid´e ons Gholomo phe su Dd´efinie pa :
G:= g− 1
h1
i+
l=1
lλ l
i

:= 
l=1
l(hl
i− 1λ l
i)
:= 
l=1
lHl
isu Ω
i.
Pou conclu e il au choisi co ec emen ul, la solu ion de ¯
∂ul=φl,ce
qui es donn´e pa la p oposi ion:
P oposi ion 2.5. Soi Dun domaine s ic emen pseudocon exe `a bo d
C∞-lisse e {Ων}k
1,λνi ∈Hol(Ων∩Ωi), les donn´ees d’un p emie p o-
bl`eme de Cousin su D. Soi φla (0,1)- o me ´eguli`e e su D alan
ν¯
∂(χν)λνi su Ωi.Siφ∈Aα(D)e s’il exis e une boule de cen e z0∈
∂D e de ayon a ec B(z0, )⊂Ωi elle que: pou un n-uple θ=
(θ1,...,θ
n),zα1
1×···×zαn
nλνi ∈Aα+1
2jαj(B(z0, )∩Ων)∀αj≤θj
e ∀ν, alo s il exis e une solu ion de l’´equa ion ¯
∂u =φdans Aα+1
2(D)
a ec zθ1
1×···×zθn
nu(z)∈Aα+1
2(jθj+1)(B(z0, )),∀ < .
Ce ´esul a su le ¯
∂, s’ob ien de mani`e e similai e que le Lemme 4.4
de [12] ( oi ´egalemen le Lemme 2.2 e 2.5 de [12]). D’ap `es les P opo-
si ions 2.3 e 2.5, on peu choisi ulde so e que:
i) h1
i+
l=1
lλ l
i∈Aα−αi
1(Ω 
i) a ec < .
ii) zβl,1
1×···×zβl,n
nHl
i∈Aα−αi
l+1
2jβl,j (Ω 
i)∀βl,j ≤αl,j, a ec
< .
En u ilisan ces deux condi ions, on peu i ´e e (n−1) ois ce p oc´ed´e
e ob eni :
g(z)=
l
lhla ec hl∈Aα−αi
l(Ω
i)si assez pe i .
350 A. Maa i, E. Mazzilli
Recollemen des solu ions du p obl`eme d’ex ension local.
Consid´e ons le ecou emen {Ω 0
i}; posons si i1<i≤i0,gi= 0 su
Ω 0
ie si 1 ≤i≤i1,gi= iune ex ension bo n´ee de g`aΩ
0
i. Nous
a ons su Ω 0
i∩Ω 0
i,
gi−gj=
l
lλ l
ij a ec λ l
ij ∈A−αi
l(Ω
ij)
o`u <
0,e λ l
ij es un cocycle su Ω
i∩Ω
j. P enons (χν) une pa i ion
de l’uni ´e ela i e aux D
ie ´ec i ons:
λ l
i=
ν
χνλ l
νi +ul,
o`uules une solu ion su Dde ¯
∂ul=ν¯
∂(χν)λ l
νi; enfin consid´e ons:
G=gi+
l
lλ l
isu Ω 
ia ec <
:= gi+
l
l
ν
χνλ l
νi+
l
ul l
:= gi+
ν
χν
l
lλ l
νi +
l
ul l
:= gi+
ν
χν(gν−gi)+
l
ul l.
En choisissan uldonn´ee pa la P oposi ion 2.5, nous ob enons  lul∈
L∞(Ω 
i).
3. P eu e de la P oposi ion 2.3
Nous allons appele apidemen la cons uc ion de Passa e dans [13]
e [14].
D´efini ion 3.1. Soi εi:R→R+,δ→ εi(δ), ∀i∈{1,...,p}une appli-
ca ion C∞; on di que ε(δ)=(ε1(δ),...,ε
p(δ)) es un pa ´e admissible si
e seulemen si:





lim
δ→0εi(δ)=0
lim
δ→0
εi(δ)
(εi+1(δ))q=0,∀q∈N,∀i∈{1,...,p−1}.
Ex ension e Di ision 351
Consid´e ons, Ξ: R+∗→Rune onc ion C∞-c oissan e, ´e ifian



Ξ(x)=1,si x≥1,
Ξ(x)=0,si x≤1
2.
Pou ( 1,...,
p), p onc ions holomo phes su un oisinage de ¯
D
e I={i1,...,i
q},J={j1,...,j
}deux sous-ensembles disjoin s de
{1,...,p}, on consid`e e la o me diff´e en ielle:
Ξε
I
¯
∂Ξε
J
:=
Ξ| i1|
εi1×···×Ξ| iq|
εiqׯ
∂Ξ| j1|
εj1∧···∧¯
∂Ξ| j |
εj 
i1×···× iq× j1×···× j
.
Th´eo `eme 3.2 (Passa e [13]).∀I,J,[Ξε
]I¯
∂[Ξε
]Jcon e ge aiblemen
su Dquand δ→ 0. Si l’on no e [1
]I¯
∂[1
]Jle cou an limi e, alo s
[1
]I¯
∂[1
]Jes un cou an d’o d e fini.
Rema que. En g´en´e al, le cou an [ 1
]I¯
∂[1
]Jd´epend de ε, le pa ´e ad-
missible e de Ξ. Mais, dans le cas o`u es `a c oisemen s no maux
( oi pa exemple, [7]e [8]) [ 1
]I¯
∂[1
]Json des cou an s canoniques
(ind´ependan s de εe Ξ) qui con¨ınciden a ec les cou an s d´efinis pa
Coleff-He e a dans [4].
Th´eo `eme 3.3 (Passa e [13]).Soi Dun domaine s ic emen pseudo-
con exe de Cn`a bo d C∞-lisse, soi =( 1,...,
p) ´e ifian { i1,...,
ik}
es une in e sec ion compl`e e su un oisinage de ¯
Dpou ou {i1,...,i
k}
un mul i-indice `a aleu s dans {1,...,p}e g∈C
∞(¯
D), alo s, pou ou
z∈D:
g(z)=
p−1

k=0 
|I|=p−k,|J|=k
Cn,k[ (z)]Ig(ζ)1
I
¯
∂1
J
,
(b(ζ,z))J∧AN,n−k(ζ,z)
+Cng(ζ)¯
∂1
{1,...,p}
,
(b(ζ,z)){1,...,p}∧AN,n−p(ζ,z),
358 A. Maa i, E. Mazzilli
pou ou λ≥0,
(I6)D(4)∩{ζ4=0}
1
ζ1ζ2ζ3
[L1+V1]α1−1...[L4+V4]l−1
×

∂λg
∂ζλ
n(ζ)(ρ(ζ))N−1+λGλ
2(ζ,z)O(|ζ−z|j+l−1)
(ρ(ζ)+h(ζ,z),ζ−z)N+n+|Γ|−1

pou ou λ≥0, o`u Li=AL
ie Vi=AV 
i∀i∈{1,2,3,4}(Aes la
ma ice de passage des coo donn´ees (ζ)aux coo donn´ees (ζ)). Lison
des (1,0) champs de ec eu s angen s `a {ρ= c e.}e Vi(z)=0.
Lemme 3.6. Soi uune onc ion holomo phe dans De α>0, alo s
nous a ons les ´equi alences sui an es:
u∈Λα(D)
pou ou k∈N∗,k>α, pou ou z∈D,|∇ku(z)|≤C(−ρ(z))α−k.
Il exis e k∈N∗,k>α, pou ou z∈D,|∇ku(z)|≤C(−ρ(z))α−k.
Ce qui p ´ec´ede e le Lemme 3.6 en aˆınen :
•Li(ρ(ζ)+h(ζ,z),ζ−z)=O(|ζ−z|),
ca h(ζ,z),ζ−z=∂ρ(ζ),ζ−z+O(|ζ−z|2),
•Li(h)=O(|ρ(ζ)|−a−1
2)sih∈Hol(D)e h=O(|ρ(ζ)|−a)(a>0),
•Vi( )=O(|g ad( )||ζ−z|),
•(−ρ(ζ)−ρ(z)+|ζ−z|2+|Imh(ζ,z),ζ−z|)|ρ(ζ)+h(ζ,z),ζ−z|,
•si λ>αalo s ∂λg
∂ζλ
n=O(|ρ(ζ)|α−λ) d’ap `es le lemme d’Ha dy-
Li lewood,
d’o`u:
(I5)D∅
d
|ζ1ζ2ζ3ζ4|(−ρ(ζ)−ρ(z)+|ζ−z|2
+|Imh(ζ,z),ζ−z|)n+|Γ|−α+β1+β2
2−1,
(I6)D(4)∩{ζ4=0}
d
|ζ1ζ2ζ3|(−ρ(ζ)−ρ(z)+|ζ−z|2
+|Imh(ζ,z),ζ−z|)n+|Γ|−α+α1+α2
2−3
2.

Ex ension e Di ision 359
Es ima ion de (I5).
En s´epa an les cas |ζi||ζi−zi|e |ζi−zi||ζi|,(I5) es in ´e ieu
ou ´egal `a une somme de e mes de ype:
(I5)D∅
d



|ζ1−z1||ζ2ζ3ζ4|(−ρ(ζ)−ρ(z)
+|ζ−z|2+|ζ2|2+|ζ3|2+|ζ4|2
+|Imh(ζ,z),ζ−z|)n+|Γ|−α+β1+β2
2−1



,
posons le changemen de a iables:









1+i 2=ζ1−z1
2j−1+i 2j=ζj,∀j∈{2,...,4}
2j−1+i 2j=ζl−zl,∀l∈{5,...,n−1}
2n−1+i 2n=ρ(ζ)+iImh(ζ,z),ζ−z,
nous a ons:
(I5)B2n(0,R)
d 1...d
2n
(| 1|2+| 2|2)1
24
j=2(| 2j−1|2+| 2j|2)1
2
×1
(−ρ(z)+
n−1
j=1(| 2j−1|2+| 2j|2)+(| 2n−1|2+| 2n|2)1
2)n+|Γ|−α+β1+β2
2−1,
ap `es in ´eg a ion en coo donn´ees polai es, (I5)|ρ(z)||Γ|−(α−β1+β2
2)si
|Γ|>(α−β1+β2
2), ce qui donne le ´esul a d’ap `es le lemme de Ha dy-
Li lewood.
Es ima ion de (I6).
A ec la mˆeme obse a ion que pou (I5), (I6) es in ´e ieu ou ´egal `a
une somme de e mes du ype:
(I6)D(4)∩{ζ4=0}
d



|ζ1−z1||ζ2ζ3|(−ρ(ζ)−ρ(z)
+|ζ−z|2+|ζ2|2+|ζ3|2
+|Imh(ζ,z),ζ−z|)n+|Γ|−α+α1+α2
2−3
2



,
360 A. Maa i, E. Mazzilli
posons le changemen de a iables:









1+i 2=ζ1−z1
2j−1+i 2j=ζj,∀j∈{2,3}
l+i l+1 =ζl−zl,∀l∈{4,...,n−2}
2n−3+i 2n−2=ρ(ζ)+iImh(ζ,z),ζ−z,
nous a ons:
(I6)B2n−2(0,R)
d 1...d
2n−2
(| 1|2+| 2|2)1
23
j=2(| 2j−1|2+| 2j|2)1
2
×1
(−ρ(z)+
n−2
j=1(| 2j−1|2+| 2j|2)+(| 2n−3|2+| 2n−2|2)1
2)n+|Γ|−α+α1+α2
2−3
2
,
ap `es in ´eg a ion en coo donn´ees polai es, (I6)|ρ(z)||Γ|−(α−α1+α2
2)si
|Γ|>(α−α1+α2
2), ce qui ach`e e la p eu e de la pa ie p incipale de la
P oposi ion 2.3.
Il es e `a indique commen l’on ob ien i) e ii):
•Pou i), il suffi de emplace dans l’exp ession de Ti(g)g(ζ) pa
g(ζ)zβi,1
1×···×zβi,n
n, puis de ema que , en u ilisan la o mule de
Taylo dans le cas alg´eb ique:
zβi,1
1×···×zβi,n
n=
(α1,...,αn)
αj≤βi,j
ζα1
1×···×ζαn
n (ζ,z)
a ec (ζ,z)=O(|ζ−z|jβi,j −αj).
•Pou ii), il suffi de emplace dans l’exp ession de Ti(g), g(ζ) pa
zθ1
1×···×zθn
ng(ζ), puis d’´ec i e `a l’aide de la o mule de Taylo ,
comme pou i):
zθ1
1×···×zθn
n=
(α1,...,αn)
αj≤θj
ζα1
1×···×ζαn
n (ζ,z)
a ec (ζ,z)=O(|ζ−z|jθj−αj); enfin, il au u ilise que ζα1
1×
···×ζαn
ng(ζ)∈Λα+1
2jαj(D).
Ex ension e Di ision 361
4. P eu e de la P oposi ion 2.4
Rema ques. 1) On peu choisi d´efinissan V elle que la ma i-
ce M=(αi,j) n’ai que des e mes alan 1 ou 0. Pou simplifie les
no a ions, nous allons suppose que V= −1(0) a ec =( 1,
2)
o`u 1(z)=z1z2
2(z)=z3z4;
le cas g´en´e al s’ob ien similai emen .
2) Fixons N>0, d’ap `es le Th´eo `eme 3.3, l’op´e a eu EN
d´efini
pa
EN
g(z):=Cng(ζ)¯
∂1
{1,2}
,(b(ζ,z)){1,2}∧AN,n−2(ζ,z),
pou ou g∈L∞(V∩D)∩Hol(V∩D) e pou ou z∈D, es un
op´e a eu lin´eai e d’ex ension. De plus, il es `es acile de oi que
EN
g(z)`a une c oissance “polynˆomiale” quand zp `es du bo d:
EN
g(z)=O(|ρ(z)|N)
si Nes suffisammen g and.
3) On peu ema que ´egalemen que EN
g(z)(∀N>0) d´efini une
onc ion con inue su ∂D Vca
(−ρ(ζ)−ρ(z)+|ζ−z|2)|ρ(ζ)+h(ζ,z),ζ−z|.
Nous a ons besoin du lemme sui an :
Lemme 4.1. Soi =( 1,...,
p)d´efinissan Vcomme dans le 1) de
la ema que e g∈L∞(V∩D)∩Hol(V∩D), alo s pou ou z∈∂D V,
nous a ons:
ENg(z):=
p

i=1
Ci i(z)
×g(ζ)¯
∂1
{1,...,p}
,(b(ζ,z))
{1,...,
!"#
i,...,p}
∧hj(z,ζ)dζj
h(z,ζ),ζ−z∧AN,n−2
(ζ,z)
,
pou ou Nassez g and.
P eu e: Il es suffisan de mon e le lemme a ec =( 1,
2); p enons χε
une onc ion C∞(R) alan 0 si x≥εe 1six≤ε
2,´ec i ons la o mule de
ep ´esen a ion Be nd sson-Ande sson-passa e ( oi [2]e [14]) en e mes
362 A. Maa i, E. Mazzilli
de cou an s, a ec les pa am´e es ci-dessous (on u ilise les no a ions de
[2]):











s(ζ,z):=−ρ(z)
n

j=1
(¯
ζj−¯zj)dζj+h(ζ,z),ζ−z
n

j=1
hj(ζ,z)dζj
Q(ζ,z):=˜
h(ζ,z)= 1
ρ(ζ)
n

j=1
hj(ζ,z)dζj
e Nun en ie na u el ´e ifian EN
g(z)=O(|ρ(z)|N), pou la onc-
ion χε(| |2)EN
g,o`u| |2:= | 1|2+| 2|2; nous ob enons, ∀z∈D,
χε(| |2)EN
g(z)
=
1

k=0 
|I|=2−k, |J|=k
Cn,k[ (z)]Iχε(| |2)EN
g(ζ)1
I
¯
∂1
J
,
(b(ζ,z))J∧AN,n−k(ζ,z)
+Cnχε(| |2)EN
g(ζ)¯
∂1
{1,2}
,
(b(ζ,z)){1,2}∧AN,n−2(ζ,z)
+
1

k=0 
|I|=2−k, |J|=k
Dn,k[ (z)]I¯
∂(χε(| |2))EN
g(ζ)1
I
¯
∂1
J
,
(b(ζ,z))J∧BN,n−k(ζ,z)
+Dn¯
∂(χε(| |2))EN
g(ζ)¯
∂1
{1,2}
,
(b(ζ,z)){1,2}∧BN,n−2(ζ,z),
a ec
BN,n−k(ζ,z):=
n−k−1

k=0
s∧(¯
∂s)k−1
s(ζ,z),ζ−zk∧AN,n−k
(ζ,z).
Ex ension e Di ision 363
Le cou an ¯
∂[1
] es `a suppo dans V, ce qui en aˆıne:











¯
∂(χε(| |2))EN
g(ζ)¯
∂1
{1,2}
,(b(ζ,z)){1,2}∧BN,n−2(ζ,z)=0
χε(| |2)EN
g(ζ)¯
∂1
{1,2}
,(b(ζ,z)){1,2}∧AN,n−2(ζ,z)=ENg(z);
fixons z0∈∂D V, en ema quan que χε(| |2)e ¯
∂(χε(| |2)) son nuls
si zes loin de Ve pa cons´equen que les in ´eg ales ne po en que
su un pe i oisinage de V, nous pou ons ai e end e z e s z0dans
l’´egali ´e e ob eni , pou ou εassez pe i :
−ENg(z0)
=
1

k=0 
|I|=2−k, |J|=k
Cn,k[ (z0)]Iχε(| |2)EN
g(ζ)1
I
¯
∂1
J
,
(b(ζ,z0))J∧AN,n−k(ζ,z0)
+
1

k=0 
|I|=2−k, |J|=k
Dn,k[ (z0)]I¯
∂(χε(| |2))EN
g(ζ)1
I
¯
∂1
J
,
(b(ζ,z0))J∧BN,n−k(ζ,z0).
Main enan comme z0∈∂D V, une simple applica ion du h´eo `eme
de Lebesgue assu e que
lim
ε→0χε(| |2)EN
g(ζ)1
I
¯
∂1
J
,(b(ζ,z0))J∧AN,n−k(ζ,z0)=0;
les e mes con enan ¯
∂(χε(| |2)) son plus d´elica s au passage `a la limi e,
consid´e ons pa exemple le e me
1(z) 2(z)¯
∂(χε(| |2))EN
g(ζ)1
{1,2}
,BN,n(ζ,z0):

364 A. Maa i, E. Mazzilli
appliquons la o mule de S okes, nous a ons
1(z) 2(z)¯
∂(χε(| |2))EN
g(ζ)1
{1,2}
,BN,n(ζ,z0)
=− 1(z) 2(z)χε(| |2)EN
g(ζ)1
{2}
¯
∂1
{1}
,BN,n(ζ,z0)
− 1(z) 2(z)χε(| |2)EN
g(ζ)1
{1}
¯
∂1
{2}
,BN,n(ζ,z0)
− 1(z) 2(z)χε(| |2)EN
g(ζ)1
{1,2}
,¯
∂(BN,n(ζ,z0)),
en u ilisan le h´eo `eme de Lebesgue e en passan `a la limi e quan ε
end e s z´e o,
lim
ε→0 1(z) 2(z)¯
∂(χε(| |2))EN
g(ζ)1
{1,2}
,BN,n(ζ,z0)=0.
Pa lemˆeme p oc´ed´e su les e mes











1(z)¯
∂(χε(| |2))EN
g(ζ)1
{1}
¯
∂1
{2}
,(b(ζ,z)){2}BN,n−1(ζ,z0)

2(z)¯
∂(χε(| |2))EN
g(ζ)1
{2}
¯
∂1
{1}
,(b(ζ,z)){1}BN,n−1(ζ,z0)
,
on ob ien le Lemme 4.1.
P eu e de la P oposi ion 2.4: D’ap `es le Lemme 4.1, il suffi demon e
que ∀i∈{1,2}:
 i(z)g(ζ)¯
∂1
{1,2}
,(b(ζ,z)){1,...,
$i,...,2}
∧hj(z,ζ)dζj
h(z,ζ),ζ−z∧AN,n−2(ζ,z)M,
Ex ension e Di ision 365
∀z∈∂D V; p enons i= 1, d’ap `es la pa ie 3,
1(z)g(ζ)¯
∂1
{1,2}
,(b(ζ,z)){2}∧hj(z,ζ)dζj
h(z,ζ),ζ−z∧AN,n−2(ζ,z)
= 1(z)D∩{ζ1=ζ3=0}
g(ζ)1
ζ2ζ4
(b(ζ,z)){2}∧hj(z,ζ)dζj
h(z,ζ),ζ−z
∧AN,n−2(ζ,z)(I7)
= 1(z)D∩{ζ1=ζ4=0}
g(ζ)1
ζ2ζ3
(b(ζ,z)){2}∧hj(z,ζ)dζj
h(z,ζ),ζ−z
∧AN,n−2(ζ,z)(I8)
= 1(z)D∩{ζ2=ζ3=0}
g(ζ)1
ζ1ζ4
(b(ζ,z)){2}∧hj(z,ζ)dζj
h(z,ζ),ζ−z
∧AN,n−2(ζ,z)(I9)
= 1(z)D∩{ζ2=ζ4=0}
g(ζ)1
ζ1ζ3
(b(ζ,z)){2}∧hj(z,ζ)dζj
h(z,ζ),ζ−z
∧AN,n−2(ζ,z)(I10).
Il es clai qu’il suffi d’en isage le e me (I7); pou cons ui e (b(ζ,z)){2}
on u ilise, comme dans la pa ie 3, la o mule de Taylo (b(ζ,z)){2}=
ζ3dζ4+ζ4dζ3+(z4−ζ4)dζ3, d’o`u
(I7)= 1(z)D∩{ζ1=ζ3=0}
g(ζ)1
ζ2
(b(ζ,z)){2}∧hj(z,ζ)dζj
h(z,ζ),ζ−z
∧AN,n−2(ζ,z)(I11)
+ 1(z)D∩{ζ1=ζ3=0}
g(ζ)O(|ζ−z|)
ζ2ζ4
(b(ζ,z)){2}∧hj(z,ζ)dζj
h(z,ζ),ζ−z
∧AN,n−2(ζ,z)(I12).
366 A. Maa i, E. Mazzilli
Es ima ion de (I11).
Rema quons:
AN,n−2(ζ,z)= (ρ(ζ))N+n−2
(ρ(ζ)+h(ζ,z),ζ−z)N+n−2(¯
∂˜
h(ζ,z))n−2
=(ρ(ζ))N+n−2
(ρ(ζ)+h(ζ,z),ζ−z)N+n−2
×1
ρ2¯
∂ρ(ζ)∧hi(ζ,z)dζi+1
ρ¯
∂hi(ζ,z)∧dζi.
Le mo ceau le plus d´elica es le e me en 1
ρn−1¯
∂ρ(ζ)∧hi(ζ,z)dζi,
mais hi(z,ζ)dζi∧hi(ζ,z)dζi=O(|ζ−z|), ce qui implique:
(I11)|z1z2|D∩{ζ1=ζ3=0}
|g(ζ)|
×1
|ζ2|
O(|ζ−z|)
(−ρ(ζ)+|ζ−z|2+|Imh(ζ,z),ζ−z|)n
|z1|D∩{ζ1=ζ3=0}
|g(ζ)|
×O(|ζ−z|)
(−ρ(ζ)+|z1|2+|ζ−z|2+|Imh(ζ,z),ζ−z|)n
+|z1|D∩{ζ1=ζ3=0}
|g(ζ)|
×1
|ζ2|
O(|ζ−z|2)
(−ρ(ζ)+|z1|2+|ζ−z|2+|Imh(ζ,z),ζ−z|)n.
Comme `a la pa ie 3, il suffi d’in ´eg e su une boule de cen e q∈
∂D∩{ζ1=ζ3=0}e de ayon assez pe i , de acon `aceque∂ρ
∂ζn(ζ)≥
Ex ension e Di ision 367
c>0, e de majo e (I11), pou z∈∂D ∩B(q,
2) V, pa
|z1|D∩B(q,
2)∩{ζ1=ζ3=0}
|g(ζ)|
×dλ
(−ρ(ζ)+|z1|2+|ζ−z|2+|Imh(ζ,z),ζ−z|)n−1
2
+|z1|D∩B(q,
2)∩{ζ1=ζ3=0}
|g(ζ)|
×1
|ζ2|
dλ
(−ρ(ζ)+|z1|2+|ζ−z|2+|Imh(ζ,z),ζ−z|)n−1
l’es ima ion s’ob ien en aisan le mˆeme ype de changemen de a iables
que pou la P oposi ion 2.3; l’es ima ion de (I12) es similai e `a celle de
(I11), ce qui ach`e e la p eu e de la P oposi ion 2.4.
5. Rema que finale
A no e a is, il se ai `es in ´e essan d’a oi l’´equi alen du Th´eo `e-
me 1.1, dans les domaines con exes de ype fini. Ceci n’es pas ho s de
po ´ee, ca nous pou ons cons ui e, dans ce cas, des noyaux in ´eg aux
donnan les solu ions du p obl`eme de di ision `a l’aide de la onc ion sup-
po de Diede ich-Fo naess de [5]. Mais dans ce e si ua ion, le p obl`eme
es plus sub il comme le p ou e l’exemple sui an : p enons
D:= {ρ(z)=|z1|2q+|z2|2+|z3|2+|z4|2−1<0},
=( 1,
2)=(z1z2,zn
1+z3)
a ec n>1e nq. Il es clai que es une in e sec ion compl`e e `a
c oisemen s no maux e que g∈Hol(D)s’´ec i z1z2g1(z)+(zn
1+z3)g2(z)
si e seulemen si gs’annule su −1(0) (dans la sui e on no e a ce e
condi ion (∗∗)). Consid´e ons g(z)= z2z3
1−z4,ges bo n´ee e ´e ifie (∗∗).
On a une d´ecomposi ion imm´edia e:
g(z)=z1z2zn−1
1
1−z4−(zn
1+z3)z2
1−z4a ec zn−1
1
1−z4
∈Bn−1
2q−1(D).
Supposons qu’il exis e g1,g2 ´e ifian z1z2g1(z)+(zn
1+z3)g2(z) a ec
g1∈Bk(D)e k>n−1
2q−1, alo s zn−1
1
1−z4|zn
1+z3=0 au ai une ex ension
holomo phe `a Ddans un meilleu espace que Bn−1
2q−1(D), ce qui es
impossible (pou le oi , il suffi d’adap e la p eu e dans [11]). Si
le Th´eo `eme 1.1 s’´e endai “in ex enso”, g´e an `es ´eguli`e e sau en