Extensions quadratiques 2-birationnelles de corps totalement réels

Publicacions Matem`atiques, Vol. 44 (2000), 343–353 EXTENSIONS QUADRATIQUES 2-BIRATIONNELLES DE CORPS TOTALEMENT R´ EELS Jean-Franc¸ois Jaulent et Odile Sauzet Abstract We characterize 2-birational CM-extensions of totally real number fields in terms of tame ramification. This result completes in this case a previous work on pro--extensions over 2-rational number fields. 1. Position du probl`eme La notion de corps S-rationnel a ´et´e introduite dans [JSa], en liaison avec les r´esultats de [W1]et[W2], pour g´en´eraliser la notion de corps de nombres -rationnel rencontr´ee implicitement dans des contextes vari´es par plusieurs auteurs puis explicitement d´efinie et ´etudi´ee par [MN] d’une part et [GJ] d’autre part (cf. [JN]). Rappelons ce dont il s’agit: si est un nombre premier et Sun sous-ensemble non vide de l’ensemble Pl Kdes places de Kau-dessus de , on dit que le corps de nombres Kest S-rationnel lorsque le groupe de Galois GK= Gal(K/K) de sa pro--extension (galoisienne) -ramifi´ee maximale est le pro--produit libre GK≃(∗ p|∞ p/∈S Gp)∗F(i) des groupes de Galois locaux Gp= Gal( ¯ Kp/Kp) respectivement attach´es aux pro--extensions maximales ¯ Kpdes complet´es Kpde Kaux places r´eelles ou -adiques qui ne sont pas dans S, et d’un pro--groupe libre F; dans ce cas, le nombre fde g´en´erateurs de Fest donn´e par la formule f=d−r−c−l+s+1,(ii) o`udest la somme des degr´es locaux d=l∈S[Kl:Q]etr,c,l,s sont respectivement les nombres de places r´eelles, complexes, -adiques ou dans Sde K(cf. [JSa, th. 2.7]). Lorsque Sest un singleton {l},on parle de corps l-rationnel et si Pl Kest lui mˆeme un singleton, on dit tout simplement que Kest -rationnel. Dans ce dernier cas, si Kcontient en 344 J.-F. Jaulent, O. Sauzet outre les racines -i`emes de l’unit´e, la condition (i) ci-dessus a lieu si et seulement si le -groupe C Kdes -classes de diviseurs de K(i.e. ici le quotient du -groupe des classes d’id´eaux prises au sens restreint par le sous-groupe engendr´e par la classe de l’id´eal premier au dessus de ) est trivial, ce qui s’´ecrit C K=1,(iii) de sorte que la notion de -rationalit´eco¨ıncide alors avec celle de -r´egularit´e introduite par Kummer dans l’´etude des corps cyclotomiques Q[ζ]. La question de la propagation de la S-rationalit´e dans une -extension L/K de corps de nombres a ´et´e compl`etement r´esolue dans [JSa] pour les impairs. Pour = 2, en revanche, et L/K quadratique, il peut arriver que le corps de base Ksoit l-rationnel en une place 2-adique d´ecompos´ee dans l’extension L/K et que Lsoit l-rationnel pour chacune des deux places au-dessus de l(on dit alors qu’il est birationnel), situation que les arguments de [JSa] ne permettent pas de traiter compl`etement. L’objet de ce travail est pr´ecisement d’´eclaircir ce point plus d´elicat, dans le cas particulier o`u le corps de base Kest totalement r´eel, en prenant appui sur la notion de classes logarithmiques expos´ee dans [J1]. 2. Index des notations Nous utiliserons dans tout ce qui suit les notations de la th´eorie -adique du corps de classes (avec ici = 2) telle qu’expos´ee dans [J2]. En particulier si Kest un corps de nombres et pune place de K, nous notons: –Kple compl´et´edeKen la place p; –Rp= lim ←−K× p/K×2n ple compactifi´e 2-adique de K× p; –˜ Uple sous-groupe des unit´es logarithmiques de Rp, i.e. le noyau dans Rpde la valeur absolue 2-adique |.|p; –µple sous-groupe de torsion de Rp, i.e. le 2-groupe des racines de l’unit´e dans Kp; –JK=res pRple 2-groupe des id`eles de K; –˜ JKle noyau dans JKde la formule du produit pour les valeurs absolues 2-adiques; –˜ UK=p˜ Uple sous-groupe des unit´es logarithmiques semi-locales; –RK=Z2⊗ZK×le 2-groupe des id`eles principaux (plong´e dans JK); –˜ EK=RK∩˜ UKle sous-groupe des unit´es logarithmiques globales; Extensions quadratiques 2-birationnelles 345 –EK=Z2⊗ZEKle sous-groupe construit sur les 2-unit´es (au sens ordinaire); –DK=JK/˜ UKle 2-groupe des diviseurs logarithmiques de K; –˜ DK=˜ JK/˜ UKle sous-groupe des diviseurs logarithmiques de degr´e nul; –˜ PKle sous-groupe des diviseurs logarithmiques principaux, i.e. l’image canonique de RKdans ˜ DK; –˜ C K=˜ DK/˜ PK=˜ JK/RK˜ UKle 2-groupe des classes logarithmiques; –C K=JK/RKp2∞µpl|2Rlle 2-groupe des 2-classes (au sens restreint). Enfin pour une extension L/K de corps de nombres, nous ´ecrivons: –NL/K le sous-groupe de RKform´e des ´el´ements qui sont une norme locale dans L/K (lorsque L/K est cyclique, c’est tout simplement le groupe NL/K (RL) des normes globales). Conform´ement aux conventions de [J2] nous r´eservons aux places finies le concept de ramification; si pest une place r´eelle, nous parlons, s’il y a lieu, de complexification. De plus, toutes les extensions consid´er´ees ici ´etant des 2-extensions, la ramification est ipso facto mod´er´ee aux places ´etrang`eres `a 2 et sauvage aux places 2-adiques. 3. Enonc´edur´esultat principal Nous supposons d´esormais que vaut 2 et que Lest une extension quadratique totalement imaginaire d’un corps Ktotalement r´eel. Notre propos est de relier la 2-rationalit´edeKavec la 2-birationalit´edeL. Rappelons ce que nous entendons pas l`a: D´efinition 1 (cf. [JN, th. 1.2]).Un corps totalement r´eel Kest dit 2-rationnel lorsque sa 2-extension (galoisienne) 2-ramifi´ee ∞-d´ecompos´ee maximale Kco¨ıncide avec sa Z2-extension cyclotomique Kc, ce qui a lieu si et seulement si les deux conditions suivantes sont r´eunies: (1a) Kadmet une unique place 2-adique l; (1b) le 2-groupe C Kdes 2-classes est trivial (en d’autres termes ici le 2-sous-groupe de Sylow du groupe des classes d’id´eaux au sens restreint de Kest engendr´e par l’image de la classe de l). 346 J.-F. Jaulent, O. Sauzet D´efinition 2 (cf. [JSa, th. 1.11]).Un corps totalement imaginaire L est dit 2-birationnel lorsqu’il est l-rationnel en chacune des places 2-adiques (en ce sens qu’il n’admet pas de 2-extension 2-ramifi´ee l-d´ecompos´ee non triviale), ce qui a lieu si et seulement si les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees: (2a) Ladmet exactement 2 places 2-adiques let l; (2b) le 2-groupe C Ldes 2-classes de diviseurs de Lest trivial (en d’autres termes ici le 2-sous-groupe de Sylow du groupe des classes d’id´eaux de L(au sens ordinaire comme au sens restreint) est engendr´e par les images de let de l); (2c) les plongements canoniques de L×dans L× let L× linduisent des isomorphismes E L≃R l≃R ldu tensoris´e 2-adique du groupe des 2-unit´es de Lsur les compactifi´es des groupes multiplicatifs des compl´et´es de Laux places 2-adiques. Introduisons maintenant la notion de place primitive: ´etant donn´e un corps de nombres K, notons provisoirement Kzle compositum des Z2-extensions de Ket Kcla Z2-extension cylotomique de K; dans [GJ] (cf. d´ef. 1.1) une place mod´er´ee de K(i.e. une place finie ´etrang`ere `a2) est dite primitive lorsque son image dans Gal(Kz/K) par l’application d’Artin n’est pas un carr´e; elle est dite dans [J1] (cf. d´ef. 4.4) logarithmiquement primitive lorsque c’est son image dans Gal(Kc/K) qui n’est pas un carr´e. Il se trouve que, lorsque Kest totalement r´eel et v´erifie la conjecture de Leopoldt en 2, le compositum Kzdes Z2-extensions se r´eduit `alaZ2-extension cyclotomique Kc, de sorte que les deux notions co¨ıncident. Nous adopterons donc dans ce qui suit la convention suivante: D´efinition 3. Soit Kun corps de nombres totalement r´eel qui satisfait la conjecture de Leopoldt en = 2. Nous dirons qu’une place mod´er´ee p de K(i.e. une place finie ne divisant pas 2) est (relativement au nombre premier 2) –primitive, lorsque son image dans le groupe procyclique Gal(Kc/K) n’est pas un carr´e, autrement dit lorsqu’elle n’est pas d´ecompos´ee dans la Z2-extension cyclotomique Kc/K; –semi-primitive, lorsque son image est un carr´e mais non une puissance 4-i`eme, autrement dit lorsqu’elle se d´ecompose dans le premier ´etage de la Z2-extension cyclotomique Kc/K mais pas audel`a. Cela ´etant pos´e, le r´esultat principal de cet article est le suivant: Extensions quadratiques 2-birationnelles 347 Th´eor`eme 4. Soit L/K une extension quadratique totalement imaginaire d’un corps de nombres totalement r´eel. Les assertions suivantes sont ´equivalentes: (i) le corps Lest 2-birationnel; (ii) le corps Kest 2-rationnel, son unique place 2-adique est d´ecompos´ee dans L/K et l’extension L/K est ramifi´ee mod´er´ement soit en une place semi-primitive psoit en deux places primitives pet q. Exemple. Pour K=Qet L=Q[√−d], on retrouve ainsi la classification des corps quadratiques imaginaires 2-birationnels donn´ee dans [JSa] (cf. cor. 1.12): ce sont les corps Q[√−p] avec p≡7 [mod 16] premier et les corps Q[√−pq]avecp≡−q≡3 [mod 8] premiers. Remarque. Le th´eor`eme de densit´edeˇ Cebotarev montre alors que tout corps de nombres 2-rationnel totalement r´eel poss`ede une infinit´e d’extensions quadratiques totalement imaginaires qui sont 2-birationnelles. 4. Interpr´etation logarithmique de la 2-rationalit´e Commen¸cons par rappeler la construction du 2-groupe des classes logarithmiques (cf. [J1] pour plus de d´etails). Soit ˜ JL=   x=(xP)P∈J L| P|xP|P=1    le noyau dans le 2-groupe des id`eles JL=res PRPde la formule du produit pour les valeurs absolues 2-adiques et ˜ UL={x=(xP)P∈J L||xP|P=1,∀P∈PlL} le sous-groupe des unit´es logarithmiques locales; le quotient ˜ DL=˜ JL/˜ UL est, par d´efinition, le 2-groupe des diviseurs logarithmiques de Let son quotient ˜ C L=˜ DL/˜ PL=˜ JL/RL˜ ULpar l’image canonique ˜ PLdu 2-groupe RL=Z2⊗ZL×des id`eles principaux est le 2-groupe des classes logarithmiques du corps L. Dans la correspondance du corps de classes, le groupe d’id`eles ˜ JL est le groupe de normes associ´e`alaZ2-extension cyclotomique Lcde Let son sous-groupe ˜ ULRLest, lui, le sous-groupe de normes associ´e`a la pro-2-extension ab´elienne localement cyclotomique maximale Llc de L (i.e. `a la plus grande 2-extension ab´elienne de Lqui est compl`etement d´ecompos´ee sur Lcen chacune des ses places), de sorte que le quotient ˜ CLs’identifie au groupe de Galois Gal(Llc/Lc). Lorsque ˜ CL est trivial, Llc co¨ıncide avec Lcet on dit que Lest 2-logarithmiquement principal. 348 J.-F. Jaulent, O. Sauzet Cela ´etant nous allons d´eduire le th´eor`eme 4 du crit`ere suivant de birationalit´e: Proposition 5. Soit L/K une extension quadratique totalement imaginaire d’un corps de nombres totalement r´eel. Il a alors ´equivalence entre: (i) le corps Lest 2-birationnel; (ii) le corps Kest 2-rationnel, l’extension L/K est 2-d´ecompos´ee mais ramifi´ee mod´erement en au moins une place finie et le corps Lest 2-logarithmiquement principal. Commen¸cons pour cela par ´etablir un lemme: Lemme 6. Si Lest un corps 2-birationnel extension quadratique d’un sous-corps Ktotalement r´eel, celui-ci est 2-rationnel et l’extension L/K est d´ecompos´ee au-dessus de 2et ramifi´ee mod´er´ement en au moins une place finie. Preuve du lemme: V´erifions d’abord que les places 2-adiques sont d´ecompos´ee dans L/K. Dans le cas contraire, puisque Lsuppos´e 2-birationnel poss`ede exactement deux places 2-adiques, disons Let L,le sous-corps Kposs´ederait aussi deux places 2-adiques disons let l, et les r´esultats de [JSa] (cf. cor. 2.11) montrent que, puisque Lest rationnel en Lcomme en L,ilenr´esulterait que Kserait lui mˆeme rationnel en let l, donc 2-birationnel, ce qui est exclu puisqu’un tel corps est n´ecessairement totalement imaginaire. En r´esum´e Lposs`ede donc deux places 2-adiques Let L,etKune unique place 2-adique l, laquelle se d´ecompose dans l’extension quadratique L/K. Ce point acquis, ´ecrivant la formule des classes ambiges pour les 2-classes (au sens restreint) Cdans l’extension 2-d´ecompos´ee L/K, nous obtenons: 1=|CGal(L/K) L|=|C K|2np2ep [L:K](E K:E K∩NL/K) =|C K|2n+t−1 (E K:E K∩NL/K) o`un=[K:Q] est le nombre de places r´eelles qui se complexifient, tle nombre de places finies qui se ramifient, E Kle groupe des 2-unit´es (au sens restreint) et NL/K le groupe des normes locales. Si donc l’extension L/K ´etait 2-ramifi´ee, nous aurions simultan´ement t= 0 (par hypoth`ese), |C K|≥2 (puisque Kposs´ederait une 2-extension non ramifi´ee (aux places finies) 2-d´ecompos´ee non triviale: L), et (E K:E K∩NL/K)= Extensions quadratiques 2-birationnelles 349 (E K:E+ K)≤2n(puisque les 2-unit´es normes locales seraient tout simplement celles totalement positives), donc finalement: |CK|=2&(E K:E+ K)=2 n (Kposs`ederait des 2-unit´es de toutes signatures). En particulier le 2-groupe des 2-classes de Kau sens ordinaire serait encore d’ordre 2, et l’extension L/K non complexifi´ee aux places r´eelles, contrairement au fait que Lest totalement imaginaire. En fin de compte, il vient donc t≥1; chacun des deux facteurs |C K| et 2n+t−1 (E K:E K∩NL/K )dans la formule des classes ambiges est entier donc vaut 1; et il suit |C K|= 1, comme attendu. Preuve de la proposition: D’apr`es le lemme, nous pouvons supposer K 2-rationnel et L/K 2-d´ecompos´ee. Ecrivons donc Let Lles deux places 2-adiques de L, notons 2al’ordre du diviseur logarithmique de degr´e nul l−ldans le groupe ˜ CL, et posons 2a(L−L)= ˜ div(πL), pour un πLde RL. Nous pouvons alors ´ecrire le groupe E Ldes 2-unit´es dans RL comme produit direct E L=˜ ELπZ2 L du sous-groupe ˜ ELdes unit´es logarithmiques de Let du Z2-module monog`ene engendr´e par πL. Maintenant, puisque Lest totalement imaginaire et poss`ede n=[K: Q] places complexes, ˜ ELest le produit du groupe µLdes racines de l’unit´e dans Let d’un Z2-module libre de dimension n(cf. [J1, prop. 3.4]); en particulier il contient ˜ EKavec un indice fini. Mais comme le quotient ˜ EL/˜ EKest sans torsion (sans quoi nous pourions ´ecrire L=K[√η] avec une unit´e logarithmique ηde Ket l’extension L/K serait 2-ramifi´ee contrairement aux hypoth`eses faites), il suit que l’on a l’´egalit´e ˜ EL=˜ EK (donc en fait ˜ EL=E Kpuisque, Kn’ayant qu’une seule place 2-adique, les unit´es logarithmiques de Ksont les 2-unit´es). En r´esum´e nous avons obtenu la d´ecomposition directe: E L=˜ EKπZ2 L. Consid´erons maintenant le compactifi´e RL=Rldu groupe multiplicatif L× L=K× ld’un compl´et´e 2-adique de L. Le choix d’une uniformisante logarithmique πLnous permet d’´ecrire de mˆeme RL=˜ ULπZ2 l `a partir cette fois du groupe ˜ UL=˜ Uldes unit´es logarithmiques locales. 350 J.-F. Jaulent, O. Sauzet Ici encore, l’application de localisation identifie ˜ EK`a un module d’indice fini de ˜ UL(du fait de l’´egalit´e des rangs) et finalement `a ˜ EKlui mˆeme (sans quoi Kposs`ederait une extension 2-d´ecompos´ee K[√η] non triviale engendr´ee par la racine carr´e d’une unit´e logarithmique, i.e. une extension quadratique 2-ramifi´ee et 2-d´ecompos´ee, contrairement `ala trivialit´e du groupe C K). En fin de compte, on voit que l’application de localisation de E Ldans Rlest bijective si et seulement si πLest une uniformisante logarithmique; autrement dit que Lest 2-birationnel si et seulement si le diviseur logarithmique L−Lest principal: – si ce n’est pas le cas, le corps Ln’est ni 2-birationnel ni logarithmiquement principal; – si c’est le cas, Lest birationnel, le groupe C Lest trivial et le groupe ˜ CLqui est alors engendr´e par la classe de L−Ll’est aussi, de sorte que Lest logarithmiquement principal. 5. D´emonstration du th´eor`eme principal dans le cas mod´erement ramifi´e Soit Lune extension totalement imaginaire d’un corps de nombres totalement r´eel, ramifi´ee mod´er´ement en au moins une place (finie). D’apr`es la Proposition 5 et le Lemme 6, nous pouvons supposer K2-rationnel et L/K 2-d´ecompos´ee, et notre probl`eme est de d´eterminer sous quelles conditions portant sur la ramification le corps Lest logarithmiquement 2-principal. Notons Gle groupe de Galois Gal(L/K)et´ecrivons la formule des classes logarithmiques ambiges dans l’extension L/K (cf. [J1, th. 4.5 et th. 5.3]). Nous obtenons: |˜ CG L|=|˜ CK|2n˜ep(L/K) [Lc:Kc]( ˜ EK:˜ EK∩NL/K)(DIG L˜ PL:˜ DIG L˜ PL), o`u|˜ CK|vaut 1 puisque Kest 2-rationnel; n=[K:Q] est le nombre de places r´eelles de Kcomplexifi´ees dans L(elles le sont toutes !); ˜ep(L/K)d´esigne l’indice de ramification logarithmique de la place p dans l’extension L/K (lequel co¨ıncide avec l’indice de ramification au sens ordinaire ep(L/K), puisque les places 2-adiques, d´ecompos´ees par hypoth`ese, sont non ramifi´ees); le degr´e[Lc:Kc]=[L:K] est ´egal `a2; Extensions quadratiques 2-birationnelles 351 l’indice normique ( ˜ EK:˜ EK∩NL/K ) des unit´es logarithmiques modulo les normes est major´e par 2n+1 (puisque ˜ EKest le produit de {±1}par un Z2-module libre de rang n); et le terme correctif (DIG˜ PL:˜ DIG˜ PL) vaut 1 ou 2 (et on sait qu’il vaut 1 lorsque l’extension L/K est primitivement ramifi´ee). Il en r´esulte que si Lest 2-logarithmiquement principal, l’extension quadratique L/K n’est ramifi´ee qu’en une ou deux places. Reprenons maintenant le mˆeme raisonnement `aun´etage fini Ln/Kn de la tour cyclotomique: notons Kmle m-i`eme ´etage de la Z2-extension cyclotomique Kcde K(c’est encore un corps totalement r´eel qui est 2-ramifi´e sur Kdonc 2-rationnel) et consid´erons le compositum Lm= KmL(qui est le m-i`eme ´etage de la Z2-extension cyclotomique Lcde L). Observant que Let Lmsont simultan´ement 2-logarithmiquement principaux ou pas (la principalit´e logarithmique de Lcomme de Lm´equivalant `a la trivialit´e du 2-groupe des 2-classes C Lcdu corps surcirculaire Lc (cf. par exemple [JSo])), nous concluons comme pr´ec´edemment que si Lest 2-logarithmiquement principal, l’extension Lm/Kmn’est ramifi´ee qu’en une ou deux places. – Supposons donc L2-logarithmiquement principal et examinons les deux ´eventualit´es: (i) cas monoramifi´e: s’il existe une unique place finie ramifi´ee (mod´er´ement) dans L/K, elle est forc´ement imprimitive (sans quoi L/K serait primitivement ramifi´ee, et L2-rationnel en vertu du r´esultat de [GJ], ce qui est exclu Layant exactement deux places 2-adiques), i.e. d´ecompos´ee dans K1/K; et, quitte `a remplacer Kpar K1et Lpar L1nous sommes ramen´es au: (ii) cas biramifi´e: s’il existe exactement deux places finies pet qramifi´ees dans L/K, elles sont forc´ement toutes deux primitives (sans quoi l’une au moins serait d´ecompos´ee dans K1/K et L1/K1serait ramifi´ee en trois places au moins). – Inversement, supposons L/K ramifi´ee mod´er´ement en une unique place psemi-primitive, soit en deux places exactement pet qtoutes deux primitives. Alors, quitte `a remplacer L/K par K1/L1, nous pouvons nous placer dans le second cas. Cela ´etant, le terme correctif de la formule des classes logarithmique ambiges disparait (l’extension consid´er´ee est primitivement ramifi´ee), et la formule s’´ecrit: |˜ CG L|=2n+1 (˜ EK:˜ EK∩NL/K)=2n+1 (E K:E K∩NL/K).