Publicacions Ma em`a iques, Vol. 44 (2000), 343–353
EXTENSIONS QUADRATIQUES 2-BIRATIONNELLES
DE CORPS TOTALEMENT R´
EELS
Jean-F anc¸ois Jaulen e Odile Sauze
Abs ac
We cha ac e ize 2-bi a ional CM-ex ensions o o ally eal numbe
fields in e ms o ame amifica ion. This esul comple es in his
case a p e ious wo k on p o--ex ensions o e 2- a ional numbe
fields.
1. Posi ion du p obl`eme
La no ion de co ps S- a ionnel a ´e ´e in odui e dans [JSa], en liai-
son a ec les ´esul a s de [W1]e [W2], pou g´en´e alise la no ion de
co ps de nomb es - a ionnel encon ´ee implici emen dans des con-
ex es a i´es pa plusieu s au eu s puis explici emen d´efinie e ´e udi´ee
pa [MN] d’une pa e [GJ] d’au e pa (c . [JN]). Rappelons ce
don il s’agi : si es un nomb e p emie e Sun sous-ensemble non
ide de l’ensemble Pl
Kdes places de Kau-dessus de , on di que le
co ps de nomb es Kes S- a ionnel lo sque le g oupe de Galois GK=
Gal(K/K) de sa p o--ex ension (galoisienne) - amifi´ee maximale es
le p o--p odui lib e
GK≃(∗
p|∞
p/∈S
Gp)∗F(i)
des g oupes de Galois locaux Gp= Gal( ¯
Kp/Kp) espec i emen a ach´es
aux p o--ex ensions maximales ¯
Kpdes comple ´es Kpde Kaux places
´eelles ou -adiques qui ne son pas dans S, e d’un p o--g oupe lib e F;
dans ce cas, le nomb e de g´en´e a eu s de Fes donn´e pa la o mule
=d− −c−l+s+1,(ii)
o`udes la somme des deg ´es locaux d=l∈S[Kl:Q]e ,c,l,s
son espec i emen les nomb es de places ´eelles, complexes, -adiques
ou dans Sde K(c . [JSa, h. 2.7]). Lo sque Ses un single on {l},on
pa le de co ps l- a ionnel e si Pl
Kes lui mˆeme un single on, on di ou
simplemen que Kes - a ionnel. Dans ce de nie cas, si Kcon ien en
344 J.-F. Jaulen , O. Sauze
ou e les acines -i`emes de l’uni ´e, la condi ion (i) ci-dessus a lieu si e
seulemen si le -g oupe C
Kdes -classes de di iseu s de K(i.e. ici le
quo ien du -g oupe des classes d’id´eaux p ises au sens es ein pa le
sous-g oupe engend ´e pa la classe de l’id´eal p emie au dessus de ) es
i ial, ce qui s’´ec i
C
K=1,(iii)
de so e que la no ion de - a ionali ´eco¨ıncide alo s a ec celle de - ´e-
gula i ´e in odui e pa Kumme dans l’´e ude des co ps cyclo omiques
Q[ζ].
La ques ion de la p opaga ion de la S- a ionali ´e dans une -ex en-
sion L/K de co ps de nomb es a ´e ´e compl`e emen ´esolue dans [JSa]
pou les impai s. Pou = 2, en e anche, e L/K quad a ique, il peu
a i e que le co ps de base Ksoi l- a ionnel en une place 2-adique
d´ecompos´ee dans l’ex ension L/K e que Lsoi l- a ionnel pou chacune
des deux places au-dessus de l(on di alo s qu’il es bi a ionnel), si ua ion
que les a gumen s de [JSa] ne pe me en pas de ai e compl`e emen .
L’obje de ce a ail es p ´ecisemen d’´eclai ci ce poin plus d´elica ,
dans le cas pa iculie o`u le co ps de base Kes o alemen ´eel, en
p enan appui su la no ion de classes loga i hmiques expos´ee dans [J1].
2. Index des no a ions
Nous u ilise ons dans ou ce qui sui les no a ions de la h´eo ie
-adique du co ps de classes (a ec ici = 2) elle qu’expos´ee dans [J2].
En pa iculie si Kes un co ps de nomb es e pune place de K, nous
no ons:
–Kple compl´e ´edeKen la place p;
–Rp= lim
←−K×
p/K×2n
ple compac ifi´e 2-adique de K×
p;
–˜
Uple sous-g oupe des uni ´es loga i hmiques de Rp, i.e. le noyau
dans Rpde la aleu absolue 2-adique |.|p;
–µple sous-g oupe de o sion de Rp, i.e. le 2-g oupe des acines de
l’uni ´e dans Kp;
–JK= es
pRple 2-g oupe des id`eles de K;
–˜
JKle noyau dans JKde la o mule du p odui pou les aleu s
absolues 2-adiques;
–˜
UK=p˜
Uple sous-g oupe des uni ´es loga i hmiques semi-locales;
–RK=Z2⊗ZK×le 2-g oupe des id`eles p incipaux (plong´e dans
JK);
–˜
EK=RK∩˜
UKle sous-g oupe des uni ´es loga i hmiques globales;
Ex ensions quad a iques 2-bi a ionnelles 345
–EK=Z2⊗ZEKle sous-g oupe cons ui su les 2-uni ´es (au sens
o dinai e);
–DK=JK/˜
UKle 2-g oupe des di iseu s loga i hmiques de K;
–˜
DK=˜
JK/˜
UKle sous-g oupe des di iseu s loga i hmiques de deg ´e
nul;
–˜
PKle sous-g oupe des di iseu s loga i hmiques p incipaux,
i.e. l’image canonique de RKdans ˜
DK;
–˜
C
K=˜
DK/˜
PK=˜
JK/RK˜
UKle 2-g oupe des classes loga i hmi-
ques;
–C
K=JK/RKp2∞µpl|2Rlle 2-g oupe des 2-classes (au sens
es ein ).
Enfin pou une ex ension L/K de co ps de nomb es, nous ´ec i ons:
–NL/K le sous-g oupe de RK o m´e des ´el´emen s qui son une no me
locale dans L/K (lo sque L/K es cyclique, c’es ou simplemen
le g oupe NL/K (RL) des no mes globales).
Con o m´emen aux con en ions de [J2] nous ´ese ons aux places
finies le concep de amifica ion; si pes une place ´eelle, nous pa lons,
s’il y a lieu, de complexifica ion. De plus, ou es les ex ensions con-
sid´e ´ees ici ´e an des 2-ex ensions, la amifica ion es ipso ac o mod´e ´ee
aux places ´e ang`e es `a 2 e sau age aux places 2-adiques.
3. Enonc´edu ´esul a p incipal
Nous supposons d´eso mais que  au 2 e que Les une ex ension
quad a ique o alemen imaginai e d’un co ps K o alemen ´eel. No e
p opos es de elie la 2- a ionali ´edeKa ec la 2-bi a ionali ´edeL.
Rappelons ce que nous en endons pas l`a:
D´efini ion 1 (c . [JN, h. 1.2]).Un co ps o alemen ´eel Kes di
2- a ionnel lo sque sa 2-ex ension (galoisienne) 2- amifi´ee ∞-d´ecompo-
s´ee maximale Kco¨ıncide a ec sa Z2-ex ension cyclo omique Kc, ce qui
a lieu si e seulemen si les deux condi ions sui an es son ´eunies:
(1a) Kadme une unique place 2-adique l;
(1b) le 2-g oupe C
Kdes 2-classes es i ial (en d’au es e mes ici
le 2-sous-g oupe de Sylow du g oupe des classes d’id´eaux au sens
es ein de Kes engend ´e pa l’image de la classe de l).
346 J.-F. Jaulen , O. Sauze
D´efini ion 2 (c . [JSa, h. 1.11]).Un co ps o alemen imaginai e L
es di 2-bi a ionnel lo squ’il es l- a ionnel en chacune des places 2-adi-
ques (en ce sens qu’il n’adme pas de 2-ex ension 2- amifi´ee l-d´ecompos´ee
non i iale), ce qui a lieu si e seulemen si les ois condi ions sui an es
son ´e ifi´ees:
(2a) Ladme exac emen 2 places 2-adiques le l;
(2b) le 2-g oupe C
Ldes 2-classes de di iseu s de Les i ial (en
d’au es e mes ici le 2-sous-g oupe de Sylow du g oupe des classes
d’id´eaux de L(au sens o dinai e comme au sens es ein ) es en-
gend ´e pa les images de le de l);
(2c) les plongemen s canoniques de L×dans L×
le L×
linduisen des
isomo phismes E
L≃R
l≃R
ldu enso is´e 2-adique du g oupe des
2-uni ´es de Lsu les compac ifi´es des g oupes mul iplica i s des
compl´e ´es de Laux places 2-adiques.
In oduisons main enan la no ion de place p imi i e: ´e an donn´e
un co ps de nomb es K, no ons p o isoi emen Kzle composi um des
Z2-ex ensions de Ke Kcla Z2-ex ension cylo omique de K; dans [GJ]
(c . d´e . 1.1) une place mod´e ´ee de K(i.e. une place finie ´e ang`e e `a2)
es di e p imi i e lo sque son image dans Gal(Kz/K) pa l’applica ion
d’A in n’es pas un ca ´e; elle es di e dans [J1] (c . d´e . 4.4) loga i h-
miquemen p imi i e lo sque c’es son image dans Gal(Kc/K) qui n’es
pas un ca ´e. Il se ou e que, lo sque Kes o alemen ´eel e ´e ifie
la conjec u e de Leopold en 2, le composi um Kzdes Z2-ex ensions
se ´edui `alaZ2-ex ension cyclo omique Kc, de so e que les deux no-
ions co¨ınciden . Nous adop e ons donc dans ce qui sui la con en ion
sui an e:
D´efini ion 3. Soi Kun co ps de nomb es o alemen ´eel qui sa is ai
la conjec u e de Leopold en = 2. Nous di ons qu’une place mod´e ´ee p
de K(i.e. une place finie ne di isan pas 2) es ( ela i emen au nomb e
p emie 2)
–p imi i e, lo sque son image dans le g oupe p ocyclique Gal(Kc/K)
n’es pas un ca ´e, au emen di lo squ’elle n’es pas d´ecompos´ee
dans la Z2-ex ension cyclo omique Kc/K;
–semi-p imi i e, lo sque son image es un ca ´e mais non une puis-
sance 4-i`eme, au emen di lo squ’elle se d´ecompose dans le p e-
mie ´e age de la Z2-ex ension cyclo omique Kc/K mais pas au-
del`a.
Cela ´e an pos´e, le ´esul a p incipal de ce a icle es le sui an :
Ex ensions quad a iques 2-bi a ionnelles 347
Th´eo `eme 4. Soi L/K une ex ension quad a ique o alemen imagi-
nai e d’un co ps de nomb es o alemen ´eel. Les asse ions sui an es
son ´equi alen es:
(i) le co ps Les 2-bi a ionnel;
(ii) le co ps Kes 2- a ionnel, son unique place 2-adique es d´ecompo-
s´ee dans L/K e l’ex ension L/K es amifi´ee mod´e ´emen soi en
une place semi-p imi i e psoi en deux places p imi i es pe q.
Exemple. Pou K=Qe L=Q[√−d], on e ou e ainsi la classifica-
ion des co ps quad a iques imaginai es 2-bi a ionnels donn´ee dans [JSa]
(c . co . 1.12): ce son les co ps Q[√−p] a ec p≡7 [mod 16] p emie e
les co ps Q[√−pq]a ecp≡−q≡3 [mod 8] p emie s.
Rema que. Le h´eo `eme de densi ´edeˇ
Cebo a e mon e alo s que ou
co ps de nomb es 2- a ionnel o alemen ´eel poss`ede une infini ´e d’ex-
ensions quad a iques o alemen imaginai es qui son 2-bi a ionnelles.
4. In e p ´e a ion loga i hmique de la 2- a ionali ´e
Commen¸cons pa appele la cons uc ion du 2-g oupe des classes
loga i hmiques (c . [J1] pou plus de d´e ails). Soi
˜
JL=


x=(xP)P∈J
L|
P|xP|P=1



le noyau dans le 2-g oupe des id`eles JL= es
PRPde la o mule du
p odui pou les aleu s absolues 2-adiques e
˜
UL={x=(xP)P∈J
L||xP|P=1,∀P∈PlL}
le sous-g oupe des uni ´es loga i hmiques locales; le quo ien ˜
DL=˜
JL/˜
UL
es , pa d´efini ion, le 2-g oupe des di iseu s loga i hmiques de Le son
quo ien ˜
C
L=˜
DL/˜
PL=˜
JL/RL˜
ULpa l’image canonique ˜
PLdu
2-g oupe RL=Z2⊗ZL×des id`eles p incipaux es le 2-g oupe des classes
loga i hmiques du co ps L.
Dans la co espondance du co ps de classes, le g oupe d’id`eles ˜
JL
es le g oupe de no mes associ´e`alaZ2-ex ension cyclo omique Lcde
Le son sous-g oupe ˜
ULRLes , lui, le sous-g oupe de no mes associ´e`a
la p o-2-ex ension ab´elienne localemen cyclo omique maximale Llc de L
(i.e. `a la plus g ande 2-ex ension ab´elienne de Lqui es compl`e emen
d´ecompos´ee su Lcen chacune des ses places), de so e que le quo-
ien ˜
CLs’iden ifie au g oupe de Galois Gal(Llc/Lc). Lo sque ˜
CL
es i ial, Llc co¨ıncide a ec Lce on di que Les 2-loga i hmiquemen
p incipal.

348 J.-F. Jaulen , O. Sauze
Cela ´e an nous allons d´edui e le h´eo `eme 4 du c i `e e sui an de
bi a ionali ´e:
P oposi ion 5. Soi L/K une ex ension quad a ique o alemen imagi-
nai e d’un co ps de nomb es o alemen ´eel. Il a alo s ´equi alence en e:
(i) le co ps Les 2-bi a ionnel;
(ii) le co ps Kes 2- a ionnel, l’ex ension L/K es 2-d´ecompos´ee mais
amifi´ee mod´e emen en au moins une place finie e le co ps Les
2-loga i hmiquemen p incipal.
Commen¸cons pou cela pa ´e abli un lemme:
Lemme 6. Si Les un co ps 2-bi a ionnel ex ension quad a ique d’un
sous-co ps K o alemen ´eel, celui-ci es 2- a ionnel e l’ex ension L/K
es d´ecompos´ee au-dessus de 2e amifi´ee mod´e ´emen en au moins une
place finie.
P eu e du lemme: V´e ifions d’abo d que les places 2-adiques son d´e-
compos´ee dans L/K. Dans le cas con ai e, puisque Lsuppos´e 2-bi-
a ionnel poss`ede exac emen deux places 2-adiques, disons Le L,le
sous-co ps Kposs´ede ai aussi deux places 2-adiques disons le l, e les
´esul a s de [JSa] (c . co . 2.11) mon en que, puisque Les a ionnel
en Lcomme en L,ilen ´esul e ai que Kse ai lui mˆeme a ionnel
en le l, donc 2-bi a ionnel, ce qui es exclu puisqu’un el co ps es
n´ecessai emen o alemen imaginai e. En ´esum´e Lposs`ede donc deux
places 2-adiques Le L,e Kune unique place 2-adique l, laquelle se
d´ecompose dans l’ex ension quad a ique L/K.
Ce poin acquis, ´ec i an la o mule des classes ambiges pou les
2-classes (au sens es ein ) Cdans l’ex ension 2-d´ecompos´ee L/K, nous
ob enons:
1=|CGal(L/K)
L|=|C
K|2np2ep
[L:K](E
K:E
K∩NL/K)
=|C
K|2n+ −1
(E
K:E
K∩NL/K)
o`un=[K:Q] es le nomb e de places ´eelles qui se complexifien , le
nomb e de places finies qui se amifien , E
Kle g oupe des 2-uni ´es (au
sens es ein ) e NL/K le g oupe des no mes locales. Si donc l’ex en-
sion L/K ´e ai 2- amifi´ee, nous au ions simul an´emen = 0 (pa hypo-
h`ese), |C
K|≥2 (puisque Kposs´ede ai une 2-ex ension non amifi´ee
(aux places finies) 2-d´ecompos´ee non i iale: L), e (E
K:E
K∩NL/K)=
Ex ensions quad a iques 2-bi a ionnelles 349
(E
K:E+
K)≤2n(puisque les 2-uni ´es no mes locales se aien ou sim-
plemen celles o alemen posi i es), donc finalemen :
|CK|=2&(E
K:E+
K)=2
n
(Kposs`ede ai des 2-uni ´es de ou es signa u es).
En pa iculie le 2-g oupe des 2-classes de Kau sens o dinai e se ai
enco e d’o d e 2, e l’ex ension L/K non complexifi´ee aux places ´eelles,
con ai emen au ai que Les o alemen imaginai e.
En fin de comp e, il ien donc ≥1; chacun des deux ac eu s |C
K|
e 2n+ −1
(E
K:E
K∩NL/K )dans la o mule des classes ambiges es en ie donc au
1; e il sui |C
K|= 1, comme a endu.
P eu e de la p oposi ion: D’ap `es le lemme, nous pou ons suppose K
2- a ionnel e L/K 2-d´ecompos´ee. Ec i ons donc Le Lles deux places
2-adiques de L, no ons 2al’o d e du di iseu loga i hmique de deg ´e
nul l−ldans le g oupe ˜
CL, e posons 2a(L−L)= ˜
di (πL), pou un
πLde RL. Nous pou ons alo s ´ec i e le g oupe E
Ldes 2-uni ´es dans RL
comme p odui di ec
E
L=˜
ELπZ2
L
du sous-g oupe ˜
ELdes uni ´es loga i hmiques de Le du Z2-module mono-
g`ene engend ´e pa πL.
Main enan , puisque Les o alemen imaginai e e poss`ede n=[K:
Q] places complexes, ˜
ELes le p odui du g oupe µLdes acines de l’uni ´e
dans Le d’un Z2-module lib e de dimension n(c . [J1, p op. 3.4]);
en pa iculie il con ien ˜
EKa ec un indice fini. Mais comme le quo-
ien ˜
EL/˜
EKes sans o sion (sans quoi nous pou ions ´ec i e L=K[√η]
a ec une uni ´e loga i hmique ηde Ke l’ex ension L/K se ai 2- amifi´ee
con ai emen aux hypo h`eses ai es), il sui que l’on a l’´egali ´e ˜
EL=˜
EK
(donc en ai ˜
EL=E
Kpuisque, Kn’ayan qu’une seule place 2-adique,
les uni ´es loga i hmiques de Kson les 2-uni ´es). En ´esum´e nous a ons
ob enu la d´ecomposi ion di ec e:
E
L=˜
EKπZ2
L.
Consid´e ons main enan le compac ifi´e RL=Rldu g oupe mul i-
plica i L×
L=K×
ld’un compl´e ´e 2-adique de L. Le choix d’une uni-
o misan e loga i hmique πLnous pe me d’´ec i e de mˆeme RL=˜
ULπZ2
l
`a pa i ce e ois du g oupe ˜
UL=˜
Uldes uni ´es loga i hmiques locales.
350 J.-F. Jaulen , O. Sauze
Ici enco e, l’applica ion de localisa ion iden ifie ˜
EK`a un module d’indice
fini de ˜
UL(du ai de l’´egali ´e des angs) e finalemen `a ˜
EKlui mˆeme
(sans quoi Kposs`ede ai une ex ension 2-d´ecompos´ee K[√η] non i-
iale engend ´ee pa la acine ca ´e d’une uni ´e loga i hmique, i.e. une
ex ension quad a ique 2- amifi´ee e 2-d´ecompos´ee, con ai emen `ala
i iali ´e du g oupe C
K).
En fin de comp e, on oi que l’applica ion de localisa ion de E
Ldans
Rles bijec i e si e seulemen si πLes une uni o misan e loga i hmique;
au emen di que Les 2-bi a ionnel si e seulemen si le di iseu loga-
i hmique L−Les p incipal:
– si ce n’es pas le cas, le co ps Ln’es ni 2-bi a ionnel ni loga i h-
miquemen p incipal;
– si c’es le cas, Les bi a ionnel, le g oupe C
Les i ial e le
g oupe ˜
CLqui es alo s engend ´e pa la classe de L−Ll’es
aussi, de so e que Les loga i hmiquemen p incipal.
5. D´emons a ion du h´eo `eme p incipal dans le cas
mod´e emen amifi´e
Soi Lune ex ension o alemen imaginai e d’un co ps de nomb es
o alemen ´eel, amifi´ee mod´e ´emen en au moins une place (finie).
D’ap `es la P oposi ion 5 e le Lemme 6, nous pou ons suppose K2- a-
ionnel e L/K 2-d´ecompos´ee, e no e p obl`eme es de d´e e mine sous
quelles condi ions po an su la amifica ion le co ps Les loga i h-
miquemen 2-p incipal.
No ons Gle g oupe de Galois Gal(L/K)e ´ec i ons la o mule des
classes loga i hmiques ambiges dans l’ex ension L/K (c . [J1, h. 4.5 e
h. 5.3]). Nous ob enons:
|˜
CG
L|=|˜
CK|2n˜ep(L/K)
[Lc:Kc]( ˜
EK:˜
EK∩NL/K)(DIG
L˜
PL:˜
DIG
L˜
PL),
o`u|˜
CK| au 1 puisque Kes 2- a ionnel; n=[K:Q] es le nom-
b e de places ´eelles de Kcomplexifi´ees dans L(elles le son ou es !);
˜ep(L/K)d´esigne l’indice de amifica ion loga i hmique de la place p
dans l’ex ension L/K (lequel co¨ıncide a ec l’indice de amifica ion au
sens o dinai e ep(L/K), puisque les places 2-adiques, d´ecompos´ees pa
hypo h`ese, son non amifi´ees); le deg ´e[Lc:Kc]=[L:K] es ´egal `a2;
Ex ensions quad a iques 2-bi a ionnelles 351
l’indice no mique ( ˜
EK:˜
EK∩NL/K ) des uni ´es loga i hmiques modulo les
no mes es majo ´e pa 2n+1 (puisque ˜
EKes le p odui de {±1}pa un
Z2-module lib e de ang n); e le e me co ec i (DIG˜
PL:˜
DIG˜
PL) au
1 ou 2 (e on sai qu’il au 1 lo sque l’ex ension L/K es p imi i emen
amifi´ee).
Il en ´esul e que si Les 2-loga i hmiquemen p incipal, l’ex ension
quad a ique L/K n’es amifi´ee qu’en une ou deux places.
Rep enons main enan le mˆeme aisonnemen `aun´e age fini Ln/Kn
de la ou cyclo omique: no ons Kmle m-i`eme ´e age de la Z2-ex ension
cyclo omique Kcde K(c’es enco e un co ps o alemen ´eel qui es
2- amifi´e su Kdonc 2- a ionnel) e consid´e ons le composi um Lm=
KmL(qui es le m-i`eme ´e age de la Z2-ex ension cyclo omique Lcde L).
Obse an que Le Lmson simul an´emen 2-loga i hmiquemen p inci-
paux ou pas (la p incipali ´e loga i hmique de Lcomme de Lm´equi alan
`a la i iali ´e du 2-g oupe des 2-classes C
Lcdu co ps su ci culai e Lc
(c . pa exemple [JSo])), nous concluons comme p ´ec´edemmen que si
Les 2-loga i hmiquemen p incipal, l’ex ension Lm/Kmn’es amifi´ee
qu’en une ou deux places.
– Supposons donc L2-loga i hmiquemen p incipal e examinons les
deux ´e en uali ´es:
(i) cas mono amifi´e: s’il exis e une unique place finie amifi´ee (mod´e-
´emen ) dans L/K, elle es o c´emen imp imi i e (sans quoi L/K
se ai p imi i emen amifi´ee, e L2- a ionnel en e u du ´esul a
de [GJ], ce qui es exclu Layan exac emen deux places 2-adi-
ques), i.e. d´ecompos´ee dans K1/K; e , qui e `a emplace Kpa
K1e Lpa L1nous sommes amen´es au:
(ii) cas bi amifi´e: s’il exis e exac emen deux places finies pe q a-
mifi´ees dans L/K, elles son o c´emen ou es deux p imi i es (sans
quoi l’une au moins se ai d´ecompos´ee dans K1/K e L1/K1se ai
amifi´ee en ois places au moins).
– In e semen , supposons L/K amifi´ee mod´e ´emen en une unique
place psemi-p imi i e, soi en deux places exac emen pe q ou es deux
p imi i es. Alo s, qui e `a emplace L/K pa K1/L1, nous pou ons
nous place dans le second cas. Cela ´e an , le e me co ec i de la o -
mule des classes loga i hmique ambiges dispa ai (l’ex ension consid´e ´ee
es p imi i emen amifi´ee), e la o mule s’´ec i :
|˜
CG
L|=2n+1
(˜
EK:˜
EK∩NL/K)=2n+1
(E
K:E
K∩NL/K).