Indice d'un hérisson : étude et applications

Publicacions Ma em`a iques, Vol. 44 (2000), 237–255
INDICE D’UN H´
ERISSON: ´
ETUDE ET APPLICATIONS
Y es Ma inez-Mau e
D´edi´e`a Ma gue i e Bo his
Abs ac
Hedgehogs a e a na u al gene aliza ion o con ex bodies o
class C2
+. A e ecalling some basic ac s conce ning his gen-
e aliza ion, we use he no ion o index o s udy diffe en ial and
in eg al geome ies o hedgehogs.
As applica ions, we p o e a pa icula case o he Tennis Ball
Theo em and a p ope y o no mals o a plane con ex body o
cons an wid h.
1. In oduc ion
La h´eo ie des h´e issons, don nous appelle ons les ondemen s dans
ce e in oduc ion, p olonge na u ellemen celle des co ps con exes de
classe C2
+(c’es -`a-di e bo d´es pa une hype su ace de classe C2`a cou -
bu e de Gauss >0). L’ensemble Kdes co ps con exes de classe C2
+
de l’espace euclidien Rn+1 ne cons i ue pas un espace ec o iel. En e-
anche, les h´e issons de Rn+1 o men un R-espace ec o iel dans lequel
Kpeu ˆe e en isag´e comme un cˆone con exe. Plus souple e off an de
nou eaux ou ils concep uels, le cad e des h´e issons es le cad e ad´equa
pou abo de di e s p obl`emes de la h´eo ie des co ps con exes. Les
h´e issons in e iennen ainsi dans l’´e ude des co ps con exes de la geu
cons an e [8], des hype su aces adme an un poin isoco de [12]ou
enco e dans l’´e ude de ce aines in´egali ´es g´eom´e iques conce nan les
co ps con exes [13]. Le p obl`eme de Minkowski, ou p obl`eme de la
cou bu e de Gauss p esc i e pou les hype su aces con exes, se pose na-
u ellemen pou les h´e issons e p ´esen e alo s un in ´e ˆe pa iculie : le
p obl`eme se am`ene `al’´e ude d’une EDP de Monge-Amp`e e qui change
de ype su Sn, yped’´equa ion pou lequel il n’exis e enco e aucun
´esul a global.
1991 Ma hema ics Subjec Classifica ion. 53A04, 53A05, 52A20, 52A38.
238 Y. Ma inez-Mau e
Les h´e issons son ´egalemen en appo a ec les su aces minimales
( oi [7], [9]e [15]), les hype su aces alg´eb iques de Cn[5], la h´eo ie
des singula i ´es ( on s d’onde, A-me sions, singula i ´es lag angiennes
e legend iennes: [5], [6], [10]e [11]) ou enco e les mod`eles du plan
p ojec i dans R3(une e sion h´e isson de la su ace omaine de S eine
es p ´esen ´ee dans [11]).
La no ion d’indice joue un ˆole impo an dans l’ex ension de la h´eo ie
des co ps con exes de classe C2
+aux h´e issons. Elle ou ni une in-
e p ´e a ion g´eom´e ique na u elle du olume e di e ses in o ma ions
su la cou bu e.
La sec ion 2 p ´esen e a les p op i´e ´es ema quables de l’indice e les
p emi`e es cons´equences g´eom´e iques.
La sec ion 3 se a en i`e emen consac ´ee aux applica ions g´eom´e iques.
Nous p ´esen e ons des p op i´e ´es g´eom´e iques de di e ses classes de
h´e issons de R2(ai e, sens de la conca i ´e pa appo `a l’ex ´e ieu ,
nomb e de singula i ´es, e c), mais aussi de R3(p op i´e ´es des ´egions
hype boliques e ellip iques, con ou appa en , effe d’une p ojec ion o -
hogonale su un plan, e c) e plus g´en´e alemen de Rn+1 (singula i ´es e
en eloppe con exe). Nous p ´esen e ons ´egalemen plusieu s applica ions
`a d’au es suje s. La duali ´e p ojec i e nous pe me a ou d’abo d de
d´edui e un cas pa iculie impo an du h´eo `eme de la balle de ennis
d’A nold [1]. Nous d´emon e ons ensui e une p op i´e ´e ema quable des
no males `a un co ps con exe plan de la geu cons an e e de classe C2
+:
il exis e un poin pa lequel il passe une infini ´e de no males ou un ou-
e o m´e de poin s pa lesquels il passe au moins 6 no males. No e
´esul a , qui se a plus g´en´e al, co espond `a celui ´e abli pa E. Heil dans
R3: un co ps con exe de la geu cons an e de R3con ien un poin pa
lequel il passe une infini ´e de no males ou un ou e o m´e de poin s pa
lesquels il passe au moins 10 no males ( oi [3]e [4]).
Nous e mine ons no e a icle pa une desc ip ion plus compl`e e de
la s uc u e des h´e issons plans. Nous ema que ons que l’addi ion de
Minkowski a su ceux-ci un effe de con exifica ion. No ons que ce e
p op i´e ´e de l’addi ion de Minkowski a d´ej`a´e ´e obse ´ee pou les pa ies
compac es de Rn(c . [16,§3.1]).
Mais commen¸cons pa appele commen son d´efinis les h´e issons
e en quoi ils cons i uen une ex ension na u elle des co ps con exes
de classe C2
+. Pou ous les ´esul a s conce nan les co ps con exes de
classe C2
+, nous en oyons le lec eu au li e de R. Schneide [16].
`
A ou co ps con exe K⊂Rn+1 es associ´e une onc ion suppo hK:
Sn→R,p−→ hK(p) = max {m, p|m∈K}. Lo sque Kes de
Indice d’un h´
e isson: ´
e ude e applica ions 239
classe C2
+, ce e onc ion suppo h=hKes une onc ion de classe C2
qui d´e e mine le bo d de Kcomme en eloppe de la amille d’hype plans
d’´equa ion x, p=h(p). Ce bo d ∂K es donc l’hype su ace Hh
pa am´e ´ee pa l’applica ion xh:Sn→∂K ⊂Rn+1,p−→ xh(p),o`u
xh(p) es l’unique solu ion du sys `eme
x, p=h(p)
x, .=dhp(.),
`a sa oi xh(p)=h(p)p+ (g ad h)(p). Ce e pa am´e isa ion xhn’es
au e que la ´ecip oque de l’applica ion de Gauss de Hh.
Bien sˆu , une onc ion h∈C2(Sn;R) n’es pas n´ecessai emen la
onc ion suppo d’un co ps con exe. Mais, nous pou ons oujou s lui
associe l’en eloppe de la amille d’hype plans d’´equa ion x, p=h(p),
c’es -`a-di e l’hype su ace Hhpa am´e ´ee pa xh. Les pa ies ´eguli`e es
de ce e hype su ace Hhadme en une o ien a ion ans e se pou
laquelle le ec eu no mal uni ai e en xh(p) n’es au e que p, si bien
que xhpeu enco e s’in e p ´e e comme la ´ecip oque de l’applica ion de
Gauss. L’hype su ace Hha´e ´e appel´ee le h´e isson de onc ion suppo h
pa R. Lange in, G. Le i e H. Rosenbe g [5].
Lo sque hes la onc ion suppo d’un co ps con exe de classe C2
+,
la mesu e de olume n-dimensionnel de Hhadme le p odui des ayons
de cou bu e p incipaux, no ´e Rhe appel´e onc ion de cou bu e de Hh,
comme densi ´e pa appo `a la mesu e de Lebesgue sph´e ique σ.Le
olume n-dimensionnel de Hhes donc alo s d´efini comme l’in ´eg ale
n(h)=Sn
Rh(p)dσ(p).
Si l’on consid`e e Rh(p) comme le d´e e minan de l’applica ion angen e
de xhen p, ce e d´efini ion s’´e end `aunh´e isson quelconque. Le olume
n-dimensionnel de Hhs’in e p `e e alo s comme la diff´e ence
n(h)= +
n(h)− −
n(h),
o`u +
n(h) ( esp. −
n(h)) d´esigne le olume des ´egions `a ( onc ion de)
cou bu e posi i e ( esp. n´ega i e). Pou n≥2, n(h) es appel´e l’ai e
(alg´eb ique) de Hh.
La no ion de olume (n+1)-dimensionnel d’un co ps con exe de Rn+1
s’´e end ´egalemen aux h´e issons. Comme pou un co ps con exe de
classe C2
+, le olume (n+ 1)-dimensionnel d’un h´e isson Hhde Rn+1
peu ˆe e d´efini comme l’in ´eg ale
n+1(h)= 1
n+1Sn
h(p)Rh(p)dσ(p).
240 Y. Ma inez-Mau e
G´eom´e iquemen , ce olume s’in e p `e e comme l’in ´eg ale su Rn+1 −
Hhde l’indice ih(x),d´efini comme nomb e alg´eb ique d’in e sec ion
d’une demi-d oi e o ien ´ee d’o igine xa ec l’hype su ace Hhmunie de
son o ien a ion ans e se (nomb e ind´ependan de la demi-d oi e pou
un ou e dense de di ec ions).
Plus g´en´e alemen , la no ion de olume mix e de n+1 co ps con exes
de Rn+1 s’´e end aux h´e issons. Comme pou des co ps con exes de
classe C2
+, le olume mix e de n+1h´e issons Hh1,... ,Hhn+1 de Rn+1
peu ˆe e d´efini comme l’in ´eg ale
(h1,... ,h
n+1)= 1
n+1Sn
hn+1(p)R(h1,... , hn)(p)dσ(p),
o`u
R(h1,... , hn)=1
n!
n

k=1
(−1)n+k
i1<···<ik
R(hi1+···+hik)
es la onc ion di e de cou bu e mix e.
Pou les co ps con exes de classe C2
+, les p incipales in´egali ´es g´eom´e-
iques ´esul en d’une in´egali ´e en e olumes mix es de n+1 co ps con-
exes de Rn+1, appel´ee in´egali ´e d’Alexand o -Fenchel. Ce e in´egali ´e,
qui s’´ec i
(h1,... ,h
n+1)2≥ (h1,h
1,h
3,... ,h
n+1) (h2,h
2,h
3,... ,h
n+1),
adme une ex ension pa ielle aux h´e issons qui ou ni ou e une s´e ie
d’in´egali ´es g´eom´e iques don une in´egali ´ede ypeB ¨unn-Minkowski
pou deux h´e issons associ´es `a n−1 co ps con exes [13].
Venons en main enan `a la no ion d’indice d’un poin pa appo `a
un h´e isson. ´
E an donn´eunh´e isson Hhde Rn+1, l’indice ih(x) peu
ˆe e d´efini pou ou xde Rn+1 −H
hcomme le deg ´e de l’applica ion
x
h:Sn→Sn,p−→ xh(p)−x
xh(p)−x,
c’es -`a-di e pa
ih(x)= 1
ωnSn
(h(p)−x, p)Rh(p)
xh(p)−xn+1 dσ(p),
o`uωnd´esigne le olume n-dimensionnel de Sn. Ce indice ne cons i ue
pas une no ion nou elle, mais un cas pa iculie de l’indice d’un poin pa
appo `a une hype su ace de Rn+1. Tou e ois, le ai de se es eind e
aux h´e issons con `e e `a l’indice des p op i´e ´es ema quables. Voici en
pa iculie deux p op i´e ´es qui se on ´e ablies dans la sec ion 2:
Indice d’un h´
e isson: ´
e ude e applica ions 241
1) Pou ou h´e isson Hhde R2, l’indice ihes donn´e pa
ih(x)=1−1
2nh(x),
o`unh(x) d´esigne le nomb e de d oi es suppo o ien ´ees de Hhqui
passen pa x.
2) Si Hhes un h´e isson de R3e P⊂R3un plan ec o iel, l’indice
du h´e isson de Pdonn´e pa la es ic ion de h`a S2∩Pes p esque
pa ou ´egal `a
1
2(n+
h(x)−n−
h(x)),
o`un+
h(x) ( esp. n−
h(x)) d´esigne le nomb e de p∈S2 els que Rh(p)
es >0 ( esp. <0) e xh(p) si u´e su la no male `a Pen x.
Ces deux p op i´e ´es se on `a l’o igine des p incipales applica ions
g´eom´e iques d´e elopp´ees dans les sec ions 2 e 3.
2. ´
E ude de l’indice
Nous commen¸cons no e ´e ude pa les h´e issons plans. Pou un el
h´e isson Hh, nous pou ons elie l’indice ih(x) au nomb e de d oi es
suppo passan pa x:
Th´eo `eme 1. Pou ou h´e isson Hhde R2, nous a ons:
∀x∈R2−H
h,i
h(x)=1−1
2nh(x),
o`unh(x)d´esigne le nomb e de d oi es suppo o ien ´ees de Hhqui
passen pa x, i.e. le nomb e de z´e os de la onc ion hx:S1→R,
u−→ h(u)−x, u.
P eu e: Comme le h´e isson Hhse d´edui du h´e isson Hhxpa la ansla-
ion de ec eu x, nous pou ons suppose que xes l’o igine de R2qui e
`a emplace Hhpa Hhx. Supposons donc que 0R2=(0,0) ∈R2−H
h
e consid´e ons ih(0R2). Nous ob enons
ih(0R2)= 1
2π2π
0
h(θ)(h+h)(θ)
h(θ)2+h(θ)2dθ
=1+ 1
2π2π
0
h(θ)h(θ)−h(θ)2
h(θ)2+h(θ)2dθ,
o`uh(θ)=h(cos θ,sin θ). Au emen di , nous a ons
ih(0R2)=1+ 1
2πΓh
ω,

242 Y. Ma inez-Mau e
o`uΓ
hes la cou be de R2d´efinie pa γh:[0,2π]→R2,θ−→ (h(θ),h
(θ))
e ωla 1- o me diff´e en ielle d´efinie pa
ω(x1,x
2)=x1dx2−x2dx1
x2
1+x2
2
pou ou (x1,x
2)=(0,0).
O , l’in ´eg ale de 1
2πωsu Γhes l’indice de l’o igine pa appo `aΓ
h,
c’es -`a-di e le nomb e alg´eb ique de ou s que ai Γhau ou de l’o igine
(nomb e posi i si Γh ou ne dans le sens di ec e n´ega i dans le cas
con ai e). Comme l’abscisse de γh(θ) c oˆı ( esp. d´ec oˆı ) s ic emen
lo sque l’o donn´ee de γh(θ) es >0 ( esp. <0), ce nomb e es ´egal `a
l’oppos´ede1
2nh(0R2) e nous a ons donc bien
ih(0R2)=1−1
2nh(0R2).
Rema que. Pou ou h∈C2S1;R, la cou be o ien ´ee Hhes pa am´e-
´ee pa xh:S1→R2, mais aussi pa xg:S1→R2,o`ug(u)=−h(−u).
Qui e `a emplace hpa g, nous pou ons donc suppose dans l’´e ude
de ihque l’in ´eg ale de hsu S1es ≥0.
Co ollai e 1 e d´efini ion. Pou ou h´e isson Hhde R2, l’ensemble
Ch=x∈R2−H
h|ih(x)=1

es une pa ie con exe de R2que nous appelle ons l’in ´e ieu con exe de
Hh.
P eu e: Supposons sans pe e de g´en´e ali ´e que l’in ´eg ale de hsu S1
es ≥0. En e u du Th´eo `eme 1, Ches l’ensemble des x∈R2pou
lesquels la onc ion hx(u)=h(u)−x, une s’annule pas su S1.Pa
con inui ´edehxsu S1, ce e condi ion signifie que la onc ion hx es e
>0 su S1(sachan que son in ´eg ale su S1es ≥0 puisque ´egale `a celle
de h). L’ensemble Chpeu donc s’´ec i e
Ch=
u∈S1
P−
h(u),
o`uP−
h(u) es le demi-plan ou e d’´equa ion x, u<h(u). Il es donc
con exe comme in e sec ion d’ensembles con exes.
Le olume 2-dimensionnel d’un h´e isson Hhde R2es appel´e l’ai e
(alg´eb ique) de Hh. Rappelons qu’il es d´efini pa
2(h)=1
22π
0
h(θ)(h+h)(θ)dθ,
Indice d’un h´
e isson: ´
e ude e applica ions 243
o`uh(θ)=h(cos θ,sin θ), e in e p ´e ´e comme l’in ´eg ale
2(h)=R2−Hh
ih(x)dλ(x),
o`uλd´esigne la mesu e de Lebesgue su R2. Le olume 1-dimensionnel
de Hhes quan `a lui appel´e la longueu (alg´eb ique) de Hh.
Le ´esul a sui an es une cons´equence imm´edia e du Th´eo `eme 1.
Co ollai e 2. Tou h´e isson de R2don deux d oi es suppo son con-
ondues, c’es -`a-di e ou h´e isson de R2don la onc ion suppo ´e ifie
h(−u)=−h(u)pou un poin ude S1, es d’in ´e ieu con exe ide e
donc d’ai e n´ega i e.
En pa iculie , si Hhes un h´e isson p ojec i de R2, i.e. si h(−u)=
−h(u) pou ou u∈S1, alo s Hhes d’in ´e ieu con exe ide e donc
d’ai e n´ega i e. Di e qu’un h´e isson Hhde R2es p ojec i signifie qu’il
adme exac emen une d oi e suppo non o ien ´ee dans chaque di ec-
ion.
Plus g´en´e alemen , si Hhes un h´e isson de R2de la geu moyenne
nulle, c’es -`a-di e si h(θ)=h(cos θ, sin θ) ´e ifie
2π
0
(h(θ)+h(θ+π)) dθ =0,(L)
alo s Hh ´e ifie la condi ion (e donc la conclusion) du Co ollai e 2 (la
la geu lh(θ)deHhdans la di ec ion de u(θ) = (cos θ, sin θ) es d´efinie
comme la dis ance sign´ee en e les d oi es suppo de ec eu s no maux
uni ai es u(θ) e u(θ+π), c’es -`a-di e pa lh(θ)=h(θ)+h(θ+π)).
No ons que les h´e issons de la geu moyenne nulle son aussi les h´e issons
de longueu nulle. En effe , (L)´equi au `a
2π
0
h(θ)dθ =0,(L)
don le p emie memb e es la longueu (i.e. le olume 1-dimensionnel)
de Hh.
Nous a ions d´ej`a ema qu´e que les h´e issons p ojec i s, e plus g´en´e a-
lemen les h´e issons de la geu moyenne nulle, son d’ai e n´ega i e [13].
Nous en a ions alo s d´edui que l’applica ion
h−→ − 2(h),
d´efini une no me associ´ee `a un p odui scalai e su l’espace ec o iel de
ces h´e issons d´efinis `a une ansla ion p `es.
244 Y. Ma inez-Mau e
Consid´e ons `ap ´esen un h´e isson Hhde R3. Pou ou plan ec o-
iel P⊂R3, nous nous p oposons de elie la ( onc ion de) cou bu e
de Hh`a l’indice du h´e isson ob enu en p oje an o hogonalemen la
cou be xhS2∩Psu le plan P.
Lo sque Hhes con exe, ce h´e isson s’in e p `e e comme le con ou ap-
pa en de Hh u d’un poin `a l’infini de la d oi e ec o ielle o hogonale
`a P.
No a ions. Pou ou n∈S2,Pnd´esigne a le plan ec o iel o ien ´e
de ec eu no mal uni ai e n,S2
nla demi-sph`e e uni ´edeR3d´efinie
pa p, n≥0e πnla p ojec ion o hogonale su Pn. Pa ailleu s,
hnd´esigne a la es ic ion de hau ce cle uni ´edePn, c’es -`a-di e au
g and ce cle S1
n=S2∩Pn. Rappelons que le h´e isson Hhn⊂Pnes la
p ojec ion o hogonale de xhS1
nsu Pn:
Hhn=πnxhS1
n.
No e ´esul a es le sui an :
Th´eo `eme 2. Soi Hhun h´e isson de R3. Quel que soi n∈S2, pou
ou e aleu ´eguli`e e xde l’applica ion xn
h:S2
n→Pn,p−→ πn[xh(p)],
nous a ons
ihn(x)=νn
h(x),
o`uνn
h(x)es le nomb e alg´eb ique d’in e sec ion de la d oi e o ien ´ee
passan pa xe di ig´ee pa n, que nous no e ons Dx(n), a ec la su -
ace xhS2
nmunie de son o ien a ion ans e se.
Rema ques. 1) L’ensemble Ωn(h) des aleu s ´eguli`e es de l’applica-
ion xn
hes un ou e dense de Pn−H
hn.
2) Le nomb e d’in e sec ion νn
h(x) es donn´e pa
νn
h(x)=νn
h(x)+−νn
h(x)−,
o`uνn
h(x)+( esp. νn
h(x)−) es le nomb e de poin s p∈S2
n els que
xh(p)∈Dx(n) e Rh(p)>0 ( esp. <0). En effe , l’applica ion
angen e
Tpxh:TpS2→Txh(p)S2=TpS2
conse e ou in e se l’o ien a ion sui an que Rh(p)=d´e [Tpxh]
es >0ou<0.
P eu e: Nous pou ons iden ifie Pnau plan euclidien R2e suppose
sans pe e de g´en´e ali ´e que xen es l’o igine. Pou x=0
Pn∈Pn−Hhn,
nous ob enons
ihn(x)= 1
2πHhn
ω,
o`uωes la 1- o me diff´e en ielle d´efinie dans la p eu e du Th´eo `eme 1.
Indice d’un h´
e isson: ´
e ude e applica ions 245
L’indice ihn(x), qui ep ´esen e le nomb e alg´eb ique de ou s que le
h´e isson Hhn ai au ou de xdans le plan o ien ´e Pn, peu aussi ˆe e
in e p ´e ´e comme le nomb e alg´eb ique de ou s que la cou be o ien ´ee
xhS1
n ai au ou de la d oi e o ien ´ee Dx(n) dans R3. En d’au es
e mes, il peu s’´ec i e
ihn(x)= 1
2πxh(S1
n)
ω,
ce qu’un calcul ´el´emen ai e confi me sans difficul ´e. Nous a ons donc
ihn(x)= 1
2π∂S
ω,
o`uSd´esigne la su ace xhS2
nmunie de son o ien a ion ans e se.
Comme xes une aleu ´eguli`e e de xn
h, il exis e dans Pnun disque
e m´e Dde cen e xdon l’image ´ecip oque pa xn
hadme une pa i ion
de la o me
(xn
h)−1(D)=
N

k=1
Dk,
o`uπn◦xhes un C1-diff´eomo phisme de Dksu Dpou ou k∈
{1,... ,N}. L’applica ion de la o mule de S okes `a la 1- o me e m´ee
1
2πωsu le bo d o ien ´e de la su ace Sp i ´ee des poin s in ´e ieu s `a
π−1
n(D) nous donne
1
2π∂S
ω=
N

k=1
1
2π∂Sk
ω,
o`uSkd´esigne la su ace xh(Dk) munie de son o ien a ion ans e se. O ,
le bo d o ien ´edeSk ai un ou e un seul au ou de la d oi e Dx(n) e
ce ou es comp ´e posi i emen ou n´ega i emen selon que l’o ien a ion
de Skco espond `a celle de Dkou `a son oppos´e, c’es -`a-di e selon que
la ( onc ion de) cou bu e Rhes >0ou<0 su Dk. Pa cons´equen , il
ien 1
2π∂S
ω=νn
h(x)+−νn
h(x)−,
c’es -`a-di e ihn(x)=νn
h(x).
Pou ou h´e isson Hhde R3, l’ai e p oje ´ee de Hhsu Pn(i.e. su le
plan ec o iel o ien ´e de ec eu no mal uni ai e n) es d´efinie pou ou
n∈S2comme l’in ´eg ale
n
2(h)=1
2S2
|p, n| Rh(p)dσ(p).
252 Y. Ma inez-Mau e
Comme Hges p ojec i , nous sa ons qu’il es , soi ´edui `a un poin x
de R2, soi d’ai e alg´eb ique <0 (c . [8]). Dans le p emie cas, no e
´esul a es ´e ifi´e puisque alo s ou es les no males de Hgpassen pa le
poin x. Dans le second cas, il exis e un ou e Ude R2−H
gsu lequel
l’indice iges ≤−2 (sachan que pou un h´e isson p ojec i l’indice es
na u ellemen `a aleu s dans 2Z). Nous en d´eduisons pa le Th´eo `eme 1
que le nomb e de z´e os de l’applica ion gx:S1→R,u−→ g(u)−x, u
es ≥6 pou ou x∈U. Comme
g
x:S1⊂R2−→ R
(cos θ,sin θ)−→ d
dθ [gx(cos θ,sin θ)] ,
adme au moins au an de z´e os que gxe que ses z´e os co esponden
exac emen aux no males de Hgpassan pa x,ilend´ecoule qu’il passe
au moins 6 no males pa ou poin de l’ou e U.
Rema que. Dans ce h´eo `eme, la aleu 6 es bien la meilleu e possi-
ble comme le p ou e l’exemple du h´e isson p ojec i d´efini pa h(θ)=
sin(3θ).
Pou fini , p ´esen ons une b `e e desc ip ion de la s uc u e des h´e-
issons plans. Rappelons que deux h´e issons Hge Hhde R2d´efinissen
la mˆeme cou be o ien ´ee si leu s onc ions suppo ge h ´e ifien :
∀u∈S1,g(u)=−h(−u).
Dans ce cas, seule l’o ien a ion des no males (d´efinie comme dans l’´enon-
c´eduTh´eo `eme 6) pe me de dis ingue les deux h´e issons. Pou les
ques ions qui ne on pas in e eni ce e o ien a ion, nous pou ons donc
suppose que Hhes de la geu moyenne ≥0 (i.e. que l’in ´eg ale de h
su S1es ≥0) qui e `a emplace hpa g.
Res eignons donc no e ´e ude `a l’ensemble des h´e issons de R2de
la geu moyenne ≥0 e posons
H=h∈C2S1;R|S1
h(u)dσ(u)≥0.
Pou ou h∈H, l’ensemble
Kh=x∈R2|∀u∈S1,x, u≤h(u),
es une pa ie con exe de R2que nous appelle ons le co ps con exe de
Hh.
La p eu e de la p oposi ion sui an e ne p ´esen e aucune difficul ´e
pa iculi`e e (la p op i´e ´e ( ) ´esul e de la p op i´e ´e (i ) e de l’in´egali ´e
de B ¨unn-Minkowski):

Indice d’un h´
e isson: ´
e ude e applica ions 253
P oposi ion 3. Les p op i´e ´es sui an es son ´e ifi´ees:
(i) ∀h∈H,Ch=
◦
Kh;
(ii) K={h∈H|Kh=∅}es un cˆone con exe de C2S1;R;
(iii) Pou ou h∈K, la onc ion suppo de Khes de classe C1su
S1;
(i ) ∀(h1,h
2)∈K2,Kh1+Kh2⊂Kh1+h2e ce e inclusion peu ˆe e
s ic e;
( ) ∀(h1,h
2)∈K2,ai e (Kh1+h2)≥ai e (Kh1)+ai e (Kh2).
Rema ques. 1) La p op i´e ´e (i ) nous di que l’addi ion de Minkowski
a un effe de con exifica ion su les h´e issons plans, effe d´ej`a ob-
se ´e pou les pa ies compac es (c . [16,§3.1]).
2) Nous pou ons ´e end e l´eg`e emen la no ion de h´e isson plan en
p enan comme onc ions suppo ou es les onc ions de classe C1
qui son des diff´e ences de onc ions suppo de co ps con exes
plans. Nous pa lons alo s de h´e issons g´en´e alis´es. L’ai e d’un el
h´e isson Hh( esp. l’ai e mix e de deux els h´e issons Hke Hl)
peu alo s ˆe e d´efinie pa
2(h)=1
22π
0h2−(h)2(θ)dθ
( esp. 2(k,l)=1
22π
0
(kl −kl)(θ)dθ).
Pou ou h∈K, la p op i´e ´e (iii) nous pe me de d´ecompose Hhen
une somme de h´e issons g´en´e alis´es:
Hh=Hk+Hl,
o`ukes la onc ion suppo de Khe lla diff´e ence h−k. Nous pou ons
alo s ´e ifie que le h´e isson g´en´e alis´e Hles d’indice ≤0e ´e ifie
2(k,l) = 0 e donc 2(k+l)= 2(k)+ 2(l),
de so e que
2(k)= +
2(h) e 2(l)=− −
2(h).
Pou plus d’in o ma ions su les h´e issons g´en´e alis´es, nous en oyons
le lec eu `a[14].
254 Y. Ma inez-Mau e
R´e ´e ences
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e ude e applica ions 255
[16] R. Schneide ,“Con ex bodies: The B ¨unn-Minkowski Theo y”,
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´
Ecole Sup´e ieu e d’In o ma ique-´
Elec onique-Au oma ique
72, a enue Mau ice Tho ez
F-94200 I y-su -Seine
F ance
E-mail add ess:[email p o ec ed]
P ime a e si´o ebuda el 23 d’ab il de 1999,
da e a e si´o ebuda el 24 de gene de 2000.