Indice d'un hérisson : étude et applications

Publicacions Matem`atiques, Vol. 44 (2000), 237–255 INDICE D’UN H´ ERISSON: ´ ETUDE ET APPLICATIONS Yves Martinez-Maure D´edi´e`a Marguerite Borhis Abstract Hedgehogs are a natural generalization of convex bodies of class C2 +. After recalling some basic facts concerning this generalization, we use the notion of index to study differential and integral geometries of hedgehogs. As applications, we prove a particular case of the Tennis Ball Theorem and a property of normals to a plane convex body of constant width. 1. Introduction La th´eorie des h´erissons, dont nous rappellerons les fondements dans cette introduction, prolonge naturellement celle des corps convexes de classe C2 +(c’est-`a-dire bord´es par une hypersurface de classe C2`a courbure de Gauss >0). L’ensemble Kdes corps convexes de classe C2 + de l’espace euclidien Rn+1 ne constitue pas un espace vectoriel. En revanche, les h´erissons de Rn+1 forment un R-espace vectoriel dans lequel Kpeut ˆetre envisag´e comme un cˆone convexe. Plus souple et offrant de nouveaux outils conceptuels, le cadre des h´erissons est le cadre ad´equat pour aborder divers probl`emes de la th´eorie des corps convexes. Les h´erissons interviennent ainsi dans l’´etude des corps convexes de largeur constante [8], des hypersurfaces admettant un point isocorde [12]ou encore dans l’´etude de certaines in´egalit´es g´eom´etriques concernant les corps convexes [13]. Le probl`eme de Minkowski, ou probl`eme de la courbure de Gauss prescrite pour les hypersurfaces convexes, se pose naturellement pour les h´erissons et pr´esente alors un int´erˆet particulier: le probl`eme se ram`ene `al’´etude d’une EDP de Monge-Amp`ere qui change de type sur Sn,typed’´equation pour lequel il n’existe encore aucun r´esultat global. 1991 Mathematics Subject Classification. 53A04, 53A05, 52A20, 52A38. 238 Y. Martinez-Maure Les h´erissons sont ´egalement en rapport avec les surfaces minimales (voir [7], [9]et[15]), les hypersurfaces alg´ebriques de Cn[5], la th´eorie des singularit´es (fronts d’onde, A-mersions, singularit´es lagrangiennes et legendriennes: [5], [6], [10]et[11]) ou encore les mod`eles du plan projectif dans R3(une version h´erisson de la surface romaine de Steiner est pr´esent´ee dans [11]). La notion d’indice joue un rˆole important dans l’extension de la th´eorie des corps convexes de classe C2 +aux h´erissons. Elle fournit une interpr´etation g´eom´etrique naturelle du volume et diverses informations sur la courbure. La section 2 pr´esentera les propri´et´es remarquables de l’indice et les premi`eres cons´equences g´eom´etriques. La section 3 sera enti`erement consacr´ee aux applications g´eom´etriques. Nous pr´esenterons des propri´et´es g´eom´etriques de diverses classes de h´erissons de R2(aire, sens de la concavit´e par rapport `a l’ext´erieur, nombre de singularit´es, etc), mais aussi de R3(propri´et´es des r´egions hyperboliques et elliptiques, contour apparent, effet d’une projection orthogonale sur un plan, etc) et plus g´en´eralement de Rn+1 (singularit´es et enveloppe convexe). Nous pr´esenterons ´egalement plusieurs applications `a d’autres sujets. La dualit´e projective nous permettra tout d’abord de d´eduire un cas particulier important du th´eor`eme de la balle de tennis d’Arnold [1]. Nous d´emontrerons ensuite une propri´et´e remarquable des normales `a un corps convexe plan de largeur constante et de classe C2 +: il existe un point par lequel il passe une infinit´e de normales ou un ouvert form´e de points par lesquels il passe au moins 6 normales. Notre r´esultat, qui sera plus g´en´eral, correspond `a celui ´etabli par E. Heil dans R3: un corps convexe de largeur constante de R3contient un point par lequel il passe une infinit´e de normales ou un ouvert form´e de points par lesquels il passe au moins 10 normales (voir [3]et[4]). Nous terminerons notre article par une description plus compl`ete de la structure des h´erissons plans. Nous remarquerons que l’addition de Minkowski a sur ceux-ci un effet de convexification. Notons que cette propri´et´e de l’addition de Minkowski a d´ej`a´et´e observ´ee pour les parties compactes de Rn(cf. [16,§3.1]). Mais commen¸cons par rappeler comment sont d´efinis les h´erissons et en quoi ils constituent une extension naturelle des corps convexes de classe C2 +. Pour tous les r´esultats concernant les corps convexes de classe C2 +, nous renvoyons le lecteur au livre de R. Schneider [16]. ` A tout corps convexe K⊂Rn+1 est associ´e une fonction support hK: Sn→R,p−→ hK(p) = max {m, p|m∈K}. Lorsque Kest de Indice d’un h´ erisson: ´ etude et applications 239 classe C2 +, cette fonction support h=hKest une fonction de classe C2 qui d´etermine le bord de Kcomme enveloppe de la famille d’hyperplans d’´equation x, p=h(p). Ce bord ∂K est donc l’hypersurface Hh param´etr´ee par l’application xh:Sn→∂K ⊂Rn+1,p−→ xh(p),o`u xh(p) est l’unique solution du syst`eme x, p=h(p) x, .=dhp(.), `a savoir xh(p)=h(p)p+ (grad h)(p). Cette param´etrisation xhn’est autre que la r´eciproque de l’application de Gauss de Hh. Bien sˆur, une fonction h∈C2(Sn;R) n’est pas n´ecessairement la fonction support d’un corps convexe. Mais, nous pouvons toujours lui associer l’enveloppe de la famille d’hyperplans d’´equation x, p=h(p), c’est-`a-dire l’hypersurface Hhparam´etr´ee par xh. Les parties r´eguli`eres de cette hypersurface Hhadmettent une orientation transverse pour laquelle le vecteur normal unitaire en xh(p) n’est autre que p, si bien que xhpeut encore s’interpr´eter comme la r´eciproque de l’application de Gauss. L’hypersurface Hha´et´e appel´ee le h´erisson de fonction support h par R. Langevin, G. Levitt et H. Rosenberg [5]. Lorsque hest la fonction support d’un corps convexe de classe C2 +, la mesure de volume n-dimensionnel de Hhadmet le produit des rayons de courbure principaux, not´e Rhet appel´e fonction de courbure de Hh, comme densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue sph´erique σ.Le volume n-dimensionnel de Hhest donc alors d´efini comme l’int´egrale vn(h)=Sn Rh(p)dσ(p). Si l’on consid`ere Rh(p) comme le d´eterminant de l’application tangente de xhen p, cette d´efinition s’´etend `aunh´erisson quelconque. Le volume n-dimensionnel de Hhs’interpr`ete alors comme la diff´erence vn(h)=v+ n(h)−v− n(h), o`uv+ n(h) (resp. v− n(h)) d´esigne le volume des r´egions `a (fonction de) courbure positive (resp. n´egative). Pour n≥2, vn(h) est appel´e l’aire (alg´ebrique) de Hh. La notion de volume (n+1)-dimensionnel d’un corps convexe de Rn+1 s’´etend ´egalement aux h´erissons. Comme pour un corps convexe de classe C2 +, le volume (n+ 1)-dimensionnel d’un h´erisson Hhde Rn+1 peut ˆetre d´efini comme l’int´egrale vn+1(h)= 1 n+1Sn h(p)Rh(p)dσ(p). 240 Y. Martinez-Maure G´eom´etriquement, ce volume s’interpr`ete comme l’int´egrale sur Rn+1 − Hhde l’indice ih(x),d´efini comme nombre alg´ebrique d’intersection d’une demi-droite orient´ee d’origine xavec l’hypersurface Hhmunie de son orientation transverse (nombre ind´ependant de la demi-droite pour un ouvert dense de directions). Plus g´en´eralement, la notion de volume mixte de n+1 corps convexes de Rn+1 s’´etend aux h´erissons. Comme pour des corps convexes de classe C2 +, le volume mixte de n+1h´erissons Hh1,... ,Hhn+1 de Rn+1 peut ˆetre d´efini comme l’int´egrale v(h1,... ,h n+1)= 1 n+1Sn hn+1(p)R(h1,... , hn)(p)dσ(p), o`u R(h1,... , hn)=1 n! n  k=1 (−1)n+k i1<···<ik R(hi1+···+hik) est la fonction dite de courbure mixte. Pour les corps convexes de classe C2 +, les principales in´egalit´es g´eom´etriques r´esultent d’une in´egalit´e entre volumes mixtes de n+1 corps convexes de Rn+1, appel´ee in´egalit´e d’Alexandrov-Fenchel. Cette in´egalit´e, qui s’´ecrit v(h1,... ,h n+1)2≥v(h1,h 1,h 3,... ,h n+1)v(h2,h 2,h 3,... ,h n+1), admet une extension partielle aux h´erissons qui fournit toute une s´erie d’in´egalit´es g´eom´etriques dont une in´egalit´edetypeBr¨unn-Minkowski pour deux h´erissons associ´es `a n−1 corps convexes [13]. Venons en maintenant `a la notion d’indice d’un point par rapport `a un h´erisson. ´ Etant donn´eunh´erisson Hhde Rn+1, l’indice ih(x) peut ˆetre d´efini pour tout xde Rn+1 −H hcomme le degr´e de l’application fx h:Sn→Sn,p−→ xh(p)−x xh(p)−x, c’est-`a-dire par ih(x)= 1 ωnSn (h(p)−x, p)Rh(p) xh(p)−xn+1 dσ(p), o`uωnd´esigne le volume n-dimensionnel de Sn. Cet indice ne constitue pas une notion nouvelle, mais un cas particulier de l’indice d’un point par rapport `a une hypersurface de Rn+1. Toutefois, le fait de se restreindre aux h´erissons conf`ere `a l’indice des propri´et´es remarquables. Voici en particulier deux propri´et´es qui seront ´etablies dans la section 2: Indice d’un h´ erisson: ´ etude et applications 241 1) Pour tout h´erisson Hhde R2, l’indice ihest donn´e par ih(x)=1−1 2nh(x), o`unh(x) d´esigne le nombre de droites support orient´ees de Hhqui passent par x. 2) Si Hhest un h´erisson de R3et P⊂R3un plan vectoriel, l’indice du h´erisson de Pdonn´e par la restriction de h`a S2∩Pest presque partout ´egal `a 1 2(n+ h(x)−n− h(x)), o`un+ h(x) (resp. n− h(x)) d´esigne le nombre de p∈S2tels que Rh(p) est >0 (resp. <0) et xh(p) situ´e sur la normale `a Pen x. Ces deux propri´et´es seront `a l’origine des principales applications g´eom´etriques d´evelopp´ees dans les sections 2 et 3. 2. ´ Etude de l’indice Nous commen¸cons notre ´etude par les h´erissons plans. Pour un tel h´erisson Hh, nous pouvons relier l’indice ih(x) au nombre de droites support passant par x: Th´eor`eme 1. Pour tout h´erisson Hhde R2, nous avons: ∀x∈R2−H h,i h(x)=1−1 2nh(x), o`unh(x)d´esigne le nombre de droites support orient´ees de Hhqui passent par x, i.e. le nombre de z´eros de la fonction hx:S1→R, u−→ h(u)−x, u. Preuve: Comme le h´erisson Hhse d´eduit du h´erisson Hhxpar la translation de vecteur x, nous pouvons supposer que xest l’origine de R2quitte `a remplacer Hhpar Hhx. Supposons donc que 0R2=(0,0) ∈R2−H h et consid´erons ih(0R2). Nous obtenons ih(0R2)= 1 2π2π 0 h(θ)(h+h)(θ) h(θ)2+h(θ)2dθ =1+ 1 2π2π 0 h(θ)h(θ)−h(θ)2 h(θ)2+h(θ)2dθ, o`uh(θ)=h(cos θ,sin θ). Autrement dit, nous avons ih(0R2)=1+ 1 2πΓh ω, 242 Y. Martinez-Maure o`uΓ hest la courbe de R2d´efinie par γh:[0,2π]→R2,θ−→ (h(θ),h (θ)) et ωla 1-forme diff´erentielle d´efinie par ω(x1,x 2)=x1dx2−x2dx1 x2 1+x2 2 pour tout (x1,x 2)=(0,0). Or, l’int´egrale de 1 2πωsur Γhest l’indice de l’origine par rapport `aΓ h, c’est-`a-dire le nombre alg´ebrique de tours que fait Γhautour de l’origine (nombre positif si Γhtourne dans le sens direct et n´egatif dans le cas contraire). Comme l’abscisse de γh(θ) croˆıt (resp. d´ecroˆıt) strictement lorsque l’ordonn´ee de γh(θ) est >0 (resp. <0), ce nombre est ´egal `a l’oppos´ede1 2nh(0R2) et nous avons donc bien ih(0R2)=1−1 2nh(0R2). Remarque. Pour tout h∈C2S1;R, la courbe orient´ee Hhest param´etr´ee par xh:S1→R2, mais aussi par xg:S1→R2,o`ug(u)=−h(−u). Quitte `a remplacer hpar g, nous pouvons donc supposer dans l’´etude de ihque l’int´egrale de hsur S1est ≥0. Corollaire 1 et d´efinition. Pour tout h´erisson Hhde R2, l’ensemble Ch=x∈R2−H h|ih(x)=1  est une partie convexe de R2que nous appellerons l’int´erieur convexe de Hh. Preuve: Supposons sans perte de g´en´eralit´e que l’int´egrale de hsur S1 est ≥0. En vertu du Th´eor`eme 1, Chest l’ensemble des x∈R2pour lesquels la fonction hx(u)=h(u)−x, une s’annule pas sur S1.Par continuit´edehxsur S1, cette condition signifie que la fonction hxreste >0 sur S1(sachant que son int´egrale sur S1est ≥0 puisque ´egale `a celle de h). L’ensemble Chpeut donc s’´ecrire Ch= u∈S1 P− h(u), o`uP− h(u) est le demi-plan ouvert d’´equation x, u<h(u). Il est donc convexe comme intersection d’ensembles convexes. Le volume 2-dimensionnel d’un h´erisson Hhde R2est appel´e l’aire (alg´ebrique) de Hh. Rappelons qu’il est d´efini par v2(h)=1 22π 0 h(θ)(h+h)(θ)dθ, Indice d’un h´ erisson: ´ etude et applications 243 o`uh(θ)=h(cos θ,sin θ), et interpr´et´e comme l’int´egrale v2(h)=R2−Hh ih(x)dλ(x), o`uλd´esigne la mesure de Lebesgue sur R2. Le volume 1-dimensionnel de Hhest quant `a lui appel´e la longueur (alg´ebrique) de Hh. Le r´esultat suivant est une cons´equence imm´ediate du Th´eor`eme 1. Corollaire 2. Tout h´erisson de R2dont deux droites support sont confondues, c’est-`a-dire tout h´erisson de R2dont la fonction support v´erifie h(−u)=−h(u)pour un point ude S1, est d’int´erieur convexe vide et donc d’aire n´egative. En particulier, si Hhest un h´erisson projectif de R2, i.e. si h(−u)= −h(u) pour tout u∈S1, alors Hhest d’int´erieur convexe vide et donc d’aire n´egative. Dire qu’un h´erisson Hhde R2est projectif signifie qu’il admet exactement une droite support non orient´ee dans chaque direction. Plus g´en´eralement, si Hhest un h´erisson de R2de largeur moyenne nulle, c’est-`a-dire si h(θ)=h(cos θ, sin θ) v´erifie 2π 0 (h(θ)+h(θ+π)) dθ =0,(L) alors Hhv´erifie la condition (et donc la conclusion) du Corollaire 2 (la largeur lh(θ)deHhdans la direction de u(θ) = (cos θ, sin θ) est d´efinie comme la distance sign´ee entre les droites support de vecteurs normaux unitaires u(θ) et u(θ+π), c’est-`a-dire par lh(θ)=h(θ)+h(θ+π)). Notons que les h´erissons de largeur moyenne nulle sont aussi les h´erissons de longueur nulle. En effet, (L)´equivaut `a 2π 0 h(θ)dθ =0,(L) dont le premier membre est la longueur (i.e. le volume 1-dimensionnel) de Hh. Nous avions d´ej`a remarqu´e que les h´erissons projectifs, et plus g´en´eralement les h´erissons de largeur moyenne nulle, sont d’aire n´egative [13]. Nous en avions alors d´eduit que l’application h−→ −v2(h), d´efinit une norme associ´ee `a un produit scalaire sur l’espace vectoriel de ces h´erissons d´efinis `a une translation pr`es. 244 Y. Martinez-Maure Consid´erons `apr´esent un h´erisson Hhde R3. Pour tout plan vectoriel P⊂R3, nous nous proposons de relier la (fonction de) courbure de Hh`a l’indice du h´erisson obtenu en projetant orthogonalement la courbe xhS2∩Psur le plan P. Lorsque Hhest convexe, ce h´erisson s’interpr`ete comme le contour apparent de Hhvu d’un point `a l’infini de la droite vectorielle orthogonale `a P. Notations. Pour tout n∈S2,Pnd´esignera le plan vectoriel orient´e de vecteur normal unitaire n,S2 nla demi-sph`ere unit´edeR3d´efinie par p, n≥0etπnla projection orthogonale sur Pn. Par ailleurs, hnd´esignera la restriction de hau cercle unit´edePn, c’est-`a-dire au grand cercle S1 n=S2∩Pn. Rappelons que le h´erisson Hhn⊂Pnest la projection orthogonale de xhS1 nsur Pn: Hhn=πnxhS1 n. Notre r´esultat est le suivant: Th´eor`eme 2. Soit Hhun h´erisson de R3. Quel que soit n∈S2, pour toute valeur r´eguli`ere xde l’application xn h:S2 n→Pn,p−→ πn[xh(p)], nous avons ihn(x)=νn h(x), o`uνn h(x)est le nombre alg´ebrique d’intersection de la droite orient´ee passant par xet dirig´ee par n, que nous noterons Dx(n), avec la surface xhS2 nmunie de son orientation transverse. Remarques. 1) L’ensemble Ωn(h) des valeurs r´eguli`eres de l’application xn hest un ouvert dense de Pn−H hn. 2) Le nombre d’intersection νn h(x) est donn´e par νn h(x)=νn h(x)+−νn h(x)−, o`uνn h(x)+(resp. νn h(x)−) est le nombre de points p∈S2 ntels que xh(p)∈Dx(n) et Rh(p)>0 (resp. <0). En effet, l’application tangente Tpxh:TpS2→Txh(p)S2=TpS2 conserve ou inverse l’orientation suivant que Rh(p)=d´et [Tpxh] est >0ou<0. Preuve: Nous pouvons identifier Pnau plan euclidien R2et supposer sans perte de g´en´eralit´e que xen est l’origine. Pour x=0 Pn∈Pn−Hhn, nous obtenons ihn(x)= 1 2πHhn ω, o`uωest la 1-forme diff´erentielle d´efinie dans la preuve du Th´eor`eme 1. Indice d’un h´ erisson: ´ etude et applications 245 L’indice ihn(x), qui repr´esente le nombre alg´ebrique de tours que le h´erisson Hhnfait autour de xdans le plan orient´e Pn, peut aussi ˆetre interpr´et´e comme le nombre alg´ebrique de tours que la courbe orient´ee xhS1 nfait autour de la droite orient´ee Dx(n) dans R3. En d’autres termes, il peut s’´ecrire ihn(x)= 1 2πxh(S1 n) ω, ce qu’un calcul ´el´ementaire confirme sans difficult´e. Nous avons donc ihn(x)= 1 2π∂S ω, o`uSd´esigne la surface xhS2 nmunie de son orientation transverse. Comme xest une valeur r´eguli`ere de xn h, il existe dans Pnun disque ferm´e Dde centre xdont l’image r´eciproque par xn hadmet une partition de la forme (xn h)−1(D)= N  k=1 Dk, o`uπn◦xhest un C1-diff´eomorphisme de Dksur Dpour tout k∈ {1,... ,N}. L’application de la formule de Stokes `a la 1-forme ferm´ee 1 2πωsur le bord orient´e de la surface Spriv´ee des points int´erieurs `a π−1 n(D) nous donne 1 2π∂S ω= N  k=1 1 2π∂Sk ω, o`uSkd´esigne la surface xh(Dk) munie de son orientation transverse. Or, le bord orient´edeSkfait un tour et un seul autour de la droite Dx(n) et ce tour est compt´e positivement ou n´egativement selon que l’orientation de Skcorrespond `a celle de Dkou `a son oppos´e, c’est-`a-dire selon que la (fonction de) courbure Rhest >0ou<0 sur Dk. Par cons´equent, il vient 1 2π∂S ω=νn h(x)+−νn h(x)−, c’est-`a-dire ihn(x)=νn h(x). Pour tout h´erisson Hhde R3, l’aire projet´ee de Hhsur Pn(i.e. sur le plan vectoriel orient´e de vecteur normal unitaire n) est d´efinie pour tout n∈S2comme l’int´egrale vn 2(h)=1 2S2 |p, n| Rh(p)dσ(p). 252 Y. Martinez-Maure Comme Hgest projectif, nous savons qu’il est, soit r´eduit `a un point x de R2, soit d’aire alg´ebrique <0 (cf. [8]). Dans le premier cas, notre r´esultat est v´erifi´e puisque alors toutes les normales de Hgpassent par le point x. Dans le second cas, il existe un ouvert Ude R2−H gsur lequel l’indice igest ≤−2 (sachant que pour un h´erisson projectif l’indice est naturellement `a valeurs dans 2Z). Nous en d´eduisons par le Th´eor`eme 1 que le nombre de z´eros de l’application gx:S1→R,u−→ g(u)−x, u est ≥6 pour tout x∈U. Comme g x:S1⊂R2−→ R (cos θ,sin θ)−→ d dθ [gx(cos θ,sin θ)] , admet au moins autant de z´eros que gxet que ses z´eros correspondent exactement aux normales de Hgpassant par x,ilend´ecoule qu’il passe au moins 6 normales par tout point de l’ouvert U. Remarque. Dans ce th´eor`eme, la valeur 6 est bien la meilleure possible comme le prouve l’exemple du h´erisson projectif d´efini par h(θ)= sin(3θ). Pour finir, pr´esentons une br`eve description de la structure des h´erissons plans. Rappelons que deux h´erissons Hget Hhde R2d´efinissent la mˆeme courbe orient´ee si leurs fonctions support get hv´erifient: ∀u∈S1,g(u)=−h(−u). Dans ce cas, seule l’orientation des normales (d´efinie comme dans l’´enonc´eduTh´eor`eme 6) permet de distinguer les deux h´erissons. Pour les questions qui ne font pas intervenir cette orientation, nous pouvons donc supposer que Hhest de largeur moyenne ≥0 (i.e. que l’int´egrale de h sur S1est ≥0) quitte `a remplacer hpar g. Restreignons donc notre ´etude `a l’ensemble des h´erissons de R2de largeur moyenne ≥0 et posons H=h∈C2S1;R|S1 h(u)dσ(u)≥0. Pour tout h∈H, l’ensemble Kh=x∈R2|∀u∈S1,x, u≤h(u), est une partie convexe de R2que nous appellerons le corps convexe de Hh. La preuve de la proposition suivante ne pr´esente aucune difficult´e particuli`ere (la propri´et´e (v) r´esulte de la propri´et´e (iv) et de l’in´egalit´e de Br¨unn-Minkowski): Indice d’un h´ erisson: ´ etude et applications 253 Proposition 3. Les propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees: (i) ∀h∈H,Ch= ◦ Kh; (ii) K={h∈H|Kh=∅}est un cˆone convexe de C2S1;R; (iii) Pour tout h∈K, la fonction support de Khest de classe C1sur S1; (iv) ∀(h1,h 2)∈K2,Kh1+Kh2⊂Kh1+h2et cette inclusion peut ˆetre stricte; (v) ∀(h1,h 2)∈K2,aire (Kh1+h2)≥aire (Kh1)+aire (Kh2). Remarques. 1) La propri´et´e (iv) nous dit que l’addition de Minkowski a un effet de convexification sur les h´erissons plans, effet d´ej`a observ´e pour les parties compactes (cf. [16,§3.1]). 2) Nous pouvons ´etendre l´eg`erement la notion de h´erisson plan en prenant comme fonctions support toutes les fonctions de classe C1 qui sont des diff´erences de fonctions support de corps convexes plans. Nous parlons alors de h´erissons g´en´eralis´es. L’aire d’un tel h´erisson Hh(resp. l’aire mixte de deux tels h´erissons Hket Hl) peut alors ˆetre d´efinie par v2(h)=1 22π 0h2−(h)2(θ)dθ (resp. v2(k,l)=1 22π 0 (kl −kl)(θ)dθ). Pour tout h∈K, la propri´et´e (iii) nous permet de d´ecomposer Hhen une somme de h´erissons g´en´eralis´es: Hh=Hk+Hl, o`ukest la fonction support de Khet lla diff´erence h−k. Nous pouvons alors v´erifier que le h´erisson g´en´eralis´e Hlest d’indice ≤0etv´erifie v2(k,l) = 0 et donc v2(k+l)=v2(k)+v2(l), de sorte que v2(k)=v+ 2(h) et v2(l)=−v− 2(h). Pour plus d’informations sur les h´erissons g´en´eralis´es, nous renvoyons le lecteur `a[14]. 254 Y. Martinez-Maure R´ef´erences [1] V. I. Arnold,“Topological invariants of plane curves and caustics”, University Lecture Series 5, American Mathematical Society, Providence, RI, 1994. [2] G. D. Chakerian et H. Groemer, Convex bodies of constant width, in: “Convexity and its applications”, Birkh¨auser, BaselBoston, Mass., 1983, pp. 49–96. [3] E. Heil, Existenz eines 6-Normalenpunktes in einem konvexen K¨orper, Arch. Math. (Basel) 32(4) (1979), 412–416. [4] E. Heil, Korrectur zu: “Existenz eines 6-Normalenpunktes in einem konvexen K¨orper”, [Arch. Math. (Basel) 32(4) (1979), 412– 416], Arch. Math. (Basel) 33(5) (1979-80), 496. [5] R. Langevin, G. Levitt et H. Rosenberg,H´erissons et multih´erissons (enveloppes param´etr´ees par leur application de Gauss), in: “Singularities (Warsaw, 1985)”, Banach Center Publ. 20, PWN, Warsaw, 1988, pp. 245–253. [6] R. Langevin, G. Levitt et H. Rosenberg, Classes d’homotopie de surfaces avec rebroussements et queues d’aronde dans R3, Canad. J. Math. 47(3) (1995), 544–572. [7] R. Langevin et H. Rosenberg, A maximum principle at infinity for minimal surfaces and applications, Duke Math. J. 57(3) (1988), 819–828. [8] Y. Martinez-Maure,H´erissons projectifs et corps convexes de largeur constante, C. R. Acad. Sci. Paris S´er. I Math. 321(4) (1995), 439–442. [9] Y. Martinez-Maure, Hedgehogs and area of order 2, Arch. Math. (Basel) 67(2) (1996), 156–163. [10] Y. Martinez-Maure, A note on the tennis ball theorem, Amer. Math. Monthly 103(4) (1996), 338–340. [11] Y. Martinez-Maure, Sur les h´erissons projectifs (enveloppes param´etr´ees par leur application de Gauss), Bull. Sci. Math. 121(8) (1997), 585–601. [12] Y. Martinez-Maure, Hedgehogs of constant width and equichordal points, Ann. Polon. Math. 67(3) (1997), 285–288. [13] Y. Martinez-Maure, De nouvelles in´egalit´es g´eom´etriques pour les h´erissons, Arch. Math. (Basel) 72(6) (1999), 444–453. [14] Y. Martinez-Maure,´ Etude des diff´erences de corps convexes plans, Ann. Polon. Math. 72 (1999), 71–78. [15] H. Rosenberg et E. Toubiana, Complete minimal surfaces and minimal herissons, J. Differential Geom. 28(1) (1988), 115–132. Indice d’un h´ erisson: ´ etude et applications 255 [16] R. Schneider,“Convex bodies: The Br¨unn-Minkowski Theory”, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 44, Cambridge University Press, Cambridge, 1993. ´ Ecole Sup´erieure d’Informatique-´ Electronique-Automatique 72, avenue Maurice Thorez F-94200 Ivry-sur-Seine France E-mail address:[email protected] Primera versi´o rebuda el 23 d’abril de 1999, darrera versi´o rebuda el 24 de gener de 2000.