Intégrales stochastiques de processus anticipants et projections duales prévisibles

Publicacions Ma em`a iques, Vol 43 (1999), 281–301.
INT´
EGRALES STOCHASTIQUES
DE PROCESSUS ANTICIPANTS
ET PROJECTIONS DUALES PR´
EVISIBLES
C. Dona i-Ma in e M. Yo
Abs ac
We define a s ochas ic an icipa ing in eg al δµwi h espec o
B ownian mo ion, associa ed o a non adap ed inc easing p o-
cess (µ ), wi h dual p ojec ion . The in eg al δµ(u) o an an ici-
pa ing p ocess (u ) sa isfies: o e e y bounded p edic able p ocess
,
E sdBsδµ(u)=E susdµs.
We cha ac e ize his in eg al when µ = sup ≤s≤1Bs. The p oo
elies on a pa h decomposi ion o B ownian mo ion up o ime 1.
1. In oduc ion
Soi (X ;0 ≤ ≤1) un mou emen b ownien ´eel issu de 0, e
(F ;0≤ ≤1) sa fil a ion na u elle. Pou une la ge classe de p ocessus
(u ;0≤ ≤1) mesu ables pou F1⊗B([0,1]), l’in ´eg ale de Sko ohod
(pa appo au mou emen b ownien X) du p ocessus u, no ´ee δ(u), es
ca ac ´e is´ee pa la o mule de duali ´e sui an e:
Pou ou e a iable Fde ca ´ein ´eg able, d´e i able au sens de Malli-
a in,
(1.1) E(Fδ(u)) = E1
0
D Fu d .
La o mule (1.1) es due `a Ga eau e T aube [6] qui on iden ifi´e l’in ´e-
g ale δd´efinie pa Sko ohod en [14] comme l’adjoin de l’op´e a eu de
d´e i a ion D. Nous en oyons `a Mallia in [8] e Nuala [10] pou la
d´efini ion de l’op´e a eu De les no ions de calcul des a ia ions su
l’espace de Wiene .
Keywo ds. S ochas ic an icipa ing in eg al, dual p ojec ion, pa h decomposi ion, bal-
ayage o mula.
282 C. Dona i-Ma in, M. Yo
Nous nous p oposons de d´efini une (ou plusieu s) in ´eg ales s ochas-
iques de p ocessus (u ) suppos´es seulemen F1⊗B([0,1]) mesu ables, `a
pa i de la ema que sui an e. Consid´e ons dans le e me de d oi e de
(1.1) non pas les e mes d ,D Fe u indi iduellemen , mais plu ˆo la
mesu e al´ea oi e D Fd d’une pa , e le p ocessus (u ) d’au e pa . Le
ai que l’in ´eg ale de Sko ohod δ(u)co¨ıncide a ec l’in ´eg ale d’I ˆo que
nous no e ons ici (u):=1
0usdXslo sque ues p ´e isible, p o ien
de ce que la p ojec ion duale p ´e isible de la mesu e D Fd es
E(D F/F )d , c’es `a di e la mesu e d ,o`u( ) es l’in ´eg and p ´e i-
sible qui figu e dans la ep ´esen a ion d’I ˆodeF(∗), i.e.:
(1.2) F=E(F)+1
0
dX .
Ainsi, lo sque ues p ´e isible,
E1
0
D Fu d =E1
0
u d =EF(u).
Ce e ema que ´e an ai e, nous pou ons associe `a ou p ocessus c ois-
san (µ ;0≤ ≤1) don la p ojec ion duale p ´e isible, no ´ee µ(p)
es ,
une in ´eg ale s ochas ique (µ)δd´efinie de la a¸con sui an e:
D´efini ion e Th´eo `eme 1.1. A ou p ocessus (u ;0≤ ≤1) el
que
(1.3) E1
0
u2
sdµs<∞,
on associe sa p ojec ion hilbe ienne, no ´ee uµ, su L2(dµsdP ;P),o`uP
d´esigne la ibu p ´e isible. Ce e p ojec ion sa is ai :
1. E1
0(uµ
s)2ds<∞,
2. pou ou e .a. F∈L2(F1),
(1.4) EF(uµ)=E1
0
u dµ ,
o`u es l’in ´eg and p ´e isible figu an dans la ep ´esen a ion
d’I ˆodeF.
Dans la sui e, on no e a l’in ´eg ale ainsi d´efinie: µδ(u)=(uµ).
(∗)Ce e ep ´esen a ion de l’in ´eg and associ´e`aFes connue sous le nom de o mule
de Cla k-Ocone [3], [11]. Ocone ´e abli (1.2) a ec =E(D F/F )`a pa i de
l’iden i ´e δ(u)=(u) pou up ocessus adap ´e.
In ´
eg ales s ochas iques de p ocessus an icipan s 283
Pa d´efini ion mˆeme de uµ,l’´egali ´e u=uµa lieu dans L2(dµsdP;P)
si e seulemen si ues p ´e isible. En pa iculie , µδe co¨ınciden su
l’espace
L2(dµsdP;P)≡L2(ds dP;P).
Plus g´en´e alemen , on a, pou ou p ocessus p ´e isible bo n´e h:
(1.5) (hu)µ=huµ.
D´emons a ion du Th´eo `eme 1.1: La p op i´e ´e 1) es imm´edia e; en
ce qui conce ne 2), on a: pou ou p ocessus p ´e isible ,
E1
0
u dµ =E1
0
uµ
dµ =E1
0
uµ
d =EF(uµ).
La p emi`e e ´egali ´e p o ien de la d´efini ion de uµe la deuxi`eme de
l’hypo h`ese: µ(p)
= ( uµes p ´e isible).
Nous donnons dans la p oposi ion sui an e, une p emi`e e `egle `es
g´en´e ale de calcul du p ocessus uµ.
P oposi ion 1.1. Soi (u ; ≤1) un p ocessus mesu able el que:
(1.6) E1
0
u2
dµ <∞.
Alo s, le p ocessus Zµ
(u)=E
0usdµs|F
es une quasi-ma ingale,
don on no e la d´ecomposi ion canonique Mµ
(u)+Uµ
(u),Uµ
(u)d´e-
signan la pa ie p ocessus p ´e isible `a a ia ion in ´eg able. On a alo s:
(1.7) Uµ
(u)=
0
uµ
sds.
D´emons a ion: Soi τ={0= 0<
1<
2<··· <
n=1}une
subdi ision de [0,1]; on no e
Vτ(Zµ(u)) =
n−1

i=0
E|E(Zµ
i+1 (u)−Zµ
i(u)/F i)|.
Alo s,
Vτ(Zµ(u)) ≤E1
0|us|dµs≤E1
0
u2
sdµs
1
2
<∞,
p ou an la p op i´e ´e de quasi-ma ingale de Zµ(u).
284 C. Dona i-Ma in, M. Yo
Soi (hs) un p ocessus p ´e isible ´el´emen ai e bo n´e de la o me hs=
H1]a,b](s) a ec H∈F
a.
E1
0
hsusdµs=EHb
a
usdµs
=E(H(Zµ
b(u)−Zµ
a(u)))
=E(H(Uµ
b(u)−Uµ
a(u)))
=E1
0
hsdUµ
s(u).
On ob ien donc (usdµs)(p)
s=dUµ
s(u), c’es `a di e uµ
sds =dUµ
s(u).
La D´efini ion 1.1 n’au ai bien en endu aucun in ´e ˆe si l’on ne pou ai
exhibe des p ocessus c oissan s “in ´e essan s” µ ´e ifian µ(p)
= . O ,
de elles cons uc ions on ´e ´e ai es p ´ecisemen en [1] pa in ´eg a ion
des ´esul a s co espondan s pou les emps locaux d’une ma ingale. De
a¸con p ´ecise, on a la
P oposi ion 1.2 (Az´ema-Yo [1]). Soi (M ; ≥0) une ma ingale
con inue, de ca ´e in ´eg able, dans une fil a ion (G ; ≥0). Alo s, le
p ocessus c oissan (M ; ≥0) es la p ojec ion duale p ´e isible de
chacun des deux p ocessus c oissan s (non adap ´es):
µ(+)
=(I0−M∞)2−(I −M∞)2
µ(−)
=(J0−M∞)2−(J −M∞)2
o`uI = sup
s≥
Ms,J = in
s≥ Ms.
Dans ce a icle, pou es e “conc e s”, nous applique ons seulemen
la p oposi ion ci-dessus `a M =X ∧1,a ec(X ; ≥0) mou emen
b ownien ´eel; ainsi, on a:
µ(+)
=(I0−X1)2−(I −X1)2o`uI = sup
≤s≤1
Xs.
Nous no e ons (+)δpou µ(+) δ( esp. (−)δpou µ(−)δ); ainsi que u(+)
( esp. u(−)
) la p ojec ion de usu L2(dµ(+)
dP;P) ( esp. L2(dµ(−)
dP;P)) ;
ce e p ojec ion ´e an no ´ee Π(+), esp. Π(−).
In ´
eg ales s ochas iques de p ocessus an icipan s 285
Le pa ag aphe 2 es consac ´e`al’´e ude des p op i´e ´es de l’in ´eg ale (+)δ
en pa iculie , alo s que dans le pa ag aphe 3, nous mon ons commen
ce e in ´eg ale peu ˆe e d´esin ´eg ´ee sui an les emps locaux b own-
iens; dans le mˆeme esp i , nous mon ons, au pa ag aphe 4, quelques
ela ions en e no e cons uc ion e la o mule de balayage. Enfin, au
pa ag aphe 5, nous consid´e ons un au e exemple d’in ´eg ale µδ, `es li´e
au h´eo `eme de ep ´esen a ion, dˆu`a J. Pi man, du p ocessus de Bessel
de dimension 3 comme (2S −X ; ≥0) o`u S = sups≤ Xs.
2. Quelques p op i´e ´es de l’in ´eg ale µδ
Nous p ´esen ons deux p op i´e ´es impo an es de (+)δ.
P oposi ion 2.1. Soi (u )un p ocessus mesu able el que
E1
0
u2
sdµ(+)
s<∞.
1. Si ϕ:[0,1] ×R→Res une onc ion bo n´ee mesu able, alo s:
(ϕ(·,I
·)u)(+) =ϕ(·,X
·)u(+).
2. Si ues un p ocessus ´e og ade, i.e. u es F adap ´e, o`u
F =σ{Xs−X1;s≥ },
alo s u(+) es d´e e minis e.
D´emons a ion: 1) Pou ou e a iable F∈L2(Ω),
EF(uϕ(·,I))(+)=E1
0
sϕ(s, Is)usdµ(+)
s.
O , la mesu e dµ(+)
ses po ´ee pa {s;Xs=Is}; ainsi, le memb e de
d oi e de l’´equa ion p ´ec´eden e es ´egal `a E1
0 sϕ(s, Xs)usdµ(+)
s.On
u ilise alo s (1.5).
2) D’ap `es la P oposi ion 1.1, 
0u(+)
sds es la pa ie `a a ia ion in ´e-
g able de la quasi-ma ingale
Z(+)
(u)=E
0
usdµ(+)
s|F

=E1
0
usdµ(+)
s|F
−E1
usdµ(+)
s|F
.

286 C. Dona i-Ma in, M. Yo
O , si ues ´e og ade, le p ocessus 1
·usdµ(+)
ses ´egalemen ´e og ade,
1
usdµ(+)
ses donc ind´ependan de F e

0
u(+)
sds =−E1
usdµ(+)
s.
Nous allons main enan applique la P oposi ion 1.1 au calcul de u(+)
lo sque us≡Φ a iable al´ea oi e F1mesu able, elle que E(Φ2+ε)<∞,
pou un ε>0, ce qui assu e:
E(Φ2µ(+)
1)<∞.
Dans ce cas, il exis e une onc ionnelle Φ (ω,ω) qui es mesu able en
( , ω, ω) elle que pou ou ≤1,
Φ=Φ
({Xs,s≤ };{Xs−X1;s≥ }).
On peu alo s ´ec i e:
E(Φµ(+)
/F )=E(Φ(I0−X1)2/F )
−EΦ ({Xs,s≤ };{Xs−X1;s≥ })(I −X1)2/F .
La pa ie `a a ia ion bo n´ee de ce e quasi-ma ingale es celle de la
quasi-ma ingale:
(2.1) Ψ (Xs;s≤ )
:= −ˆ
EΦ {Xs,s≤ };ˆ
Xs−ˆ
X1;s≥ sup
s≥
(ˆ
Xs−ˆ
X1)2,
o`uXe ˆ
Xson deux mou emen s b owniens ind´ependan s e l’esp´e ance,
no ´ee ˆ
Ees p ise pa appo `a ˆ
X. Nous donnons main enan quelques
exemples explici es de calculs de la quasi-ma ingale figu an en (2.1).
Nous mon e ons pa une au e app oche que celle d´e elopp´ee dans les
exemples ci-dessous, la o mule g´en´e ale sui an e:
Π(+)
s(ϕ(X1)) = ˆ
Eϕ(−√1−sˆ
R1+Xs)
o`uˆ
R1d´esigne la aleu `a l’ins an 1, d’un p ocessus de Bessel de dimen-
sion 3, ind´ependan de X, l’esp´e ance ´e an p ise pa appo `a la loi de
ˆ
R( oi P oposi ion 3.1).
In ´
eg ales s ochas iques de p ocessus an icipan s 287
Exemple 1. Φ=X1.
−E(X1(I −X1)2/F )=−X E((I −X1)2)+E((X −X1)(I −X1)2)
=−X ˆ
E(ˆ
S2
1− )+ ˆ
E(ˆ
X1− ˆ
S2
1− )
=−X (1 − )+ ˆ
E(ˆ
X1− ˆ
S2
1− )
o`uˆ
Xues un mou emen b ownien e ˆ
Su= sups≤uˆ
Xs. O ,
ˆ
E(ˆ
X1− ˆ
S2
1− )= ˆ
E1−
0
ˆ
Xud(ˆ
S2
u)=2ˆ
E1−
0
ˆ
S2
udˆ
Su=2
3ˆ
E(( ˆ
S1− )3),
ˆ
E(ˆ
X1− ˆ
S2
1− )=2
3(1 − )3
2E(|B1|3)=2
3(1 − )3
22√2
√π.
A ec les no a ions de la P oposi ion 1.1,
U(+)
(X1)=
0
Xsds +4√2
3√π(1 − )3
2,
e donc:
u(+)
s=Π
(+)
s(X1)=Xs−2√2
√π(1 −s)1
2.
Exemple 2. Φ = exp(λX1).
−E(exp(λX1)(I −X1)2/F )=−exp(λX )E(exp(−λ(X −X1))(I −X1)2)
=−exp(λX )ˆ
E(exp(−λˆ
X1− )ˆ
S2
1− ).
No ons λ(u)=E(exp(−λXu)S2
u). La pa ie `a a ia ion bo n´ee de la
quasi-ma ingale p ´ec´eden e es :

0 
λ(1 −s)−λ2
2 λ(1 −s)exp(λXs)ds.
D’ap `es la o mule d’I ˆo,
exp(−λX )S2
=−λ
0
exp(−λXs)S2
sdXs
+2
0
exp(−λXs)SsdSs+λ2
2
0
exp(−λXs)S2
sds,
e
λ( )=2E
0
exp(−λXs)SsdSs+λ2
2
0
λ(s)ds.
288 C. Dona i-Ma in, M. Yo
No ons gλ( )=2E
0exp(−λXs)SsdSs; alo s, d’ap `es l’´egali ´ep ´ec´e-
den e, on a:

λ( )−λ2
2 λ( )=g
λ( ).
O , pa d´efini ion de gλ,ona:
gλ( )=2E
0
exp(−λSs)SsdSs
=2Eexp(−λS )−1
λS −1
λ2+1
λ2
=2Eexp(−λ√ S1)−√
λS1−1
λ2+1
λ2.
En cons´equence,
g
λ( )=ES2
1exp(−λ√ S1)=EX2
1exp(−λ√ |X1|)=ϕ(λ√ ),
o`u l’on a no ´e:
(2.2) ϕ(x)=EX2
1exp(−x|X1|)=E(exp(−xR1))
o`u(Rs,s≥0) d´esigne un p ocessus de Bessel de dimension 3 issu de 0.
On a ainsi ob enu:
(2.3) Π(+)
(exp(λX1)) = exp(λX )ϕ(λ√1− )
o`uϕes d´efinie pa la o mule (2.2).
Exemple 3. Φ=Xn
1,n∈N∗.
Soi λ∈R,
(2.4) Π(+)(exp(λX1)) = ∞

n=0
λn
n!Π(+)(Xn
1).
O , d’ap `es l’Exemple 2,
Π(+)
(exp(λX1)) = exp(λX )ϕ(λ√1− ),
a ec
ϕ(x)=E(exp(−xR1)) = ∞

p=0
(−1)pxp
p!αp,
In ´
eg ales s ochas iques de p ocessus an icipan s 289
o`uαp=E(Rp
1). Ainsi,
Π(+)
(exp(λX1)) = ∞

k=0
λk
k!Xk
∞

p=0
(−1)p(λ√1− )p
p!αp
=∞

n=0
λn
n!n

k=0
(−1)n−kCk
nαn−k(1 − )n−k
2Xk
.
En iden ifian la de ni`e e o mule a ec le memb e de d oi e dans l’´equa-
ion (2.4), on ob ien :
(2.5) Pou ou n,Π
(+)
(Xn
1)=
n

k=0
(−1)n−kCk
nαn−k(1 − )n−k
2Xk
,
a ec αp=E(Rp
1)=E(|X1|p+2). D´efinissons les polynˆomes
(2.6) ˜
hn(x)=
n

k=0
(−1)n−kCk
nαn−kxk=E((x−R1)n),
e ˜
Hn(x, a)=an/2˜
hn(x/√a) pou a>0; ˜
Hn(x, 0) = xn.
La o mule (2.5) s’´ec i enco e:
Π(+)
(˜
Hn(X1,0)) = Π(+)
(Xn
1)= ˜
Hn(X ,1− )
ou enco e
(2.7) (+)δ(˜
Hn(X1,0)) = ˜
Hn(X·,1−·).
Rema ques.
i) Les polynˆomes ˜
hnin odui s en (2.6) peu en ˆe e d´efinis au
moyen du d´e eloppemen en s´e ie
exp(αx)ϕ(α)= ∞

n=0
αn
n!˜
hn(x),
o`u la onc ion ϕes donn´ee pa (2.2). De plus, ce e sui e de
polynˆomes sa is ai `a la ela ion:
d
dx(˜
hn(x)) = n˜
hn−1(x),pou ou n≥1.
296 C. Dona i-Ma in, M. Yo
4.3. Rela ion diff´e en ielle lian les op´e a eu s ˜
Π.
Soi Φ une a iable F1mesu able elle que E(Φp)<∞pou un
p>2e Φ
une semi-ma ingale con inue, appa enan `a Hpde a iable
e minale Φ (pa exemple, on peu p end e E(φ/F )). Z =Φ
(X −a)+
sa is ai les hypo h`eses d’in ´eg abili ´e du pa ag aphe 4.2; ainsi, pou ou
p ocessus p ´e isible ,
(4.2) EΦ(X1−a)+ ga=E1
0
ga
sdVs,
o`u, si Φ =M +C ≡
0ϕsdXs+C , a ec (C ) p ocessus con inu `a
a ia ion bo n´ee, es la d´ecomposi ion canonique de (Φ ), on ob ien :
dVs=1
2ΦsdLa
s+(Xs−a)+dCs+1
(Xs>a)ϕsds.
On suppose do ´ena an : C =
0csds,e on´ec i :
(4.3) dVs=1
2ΦsdLa
s+(Xs−a)+ηsds,
o`u
(4.4) ηs=cs+1
(Xs>a)
ϕs
Xs−a.
Alo s, on a:
(4.5) EΦ(X1−a)+ ga
=1
2E1
0
sΦsdLa
s+1
0
dsE  ga
sηs(Xs−a)+.
Pa d´efini ion des p ojec eu s ˜
Π(a),s, on a les ela ions:
EΦ(X1−a)+ ga=1
2E1
0
dLa
˜
Π(a),1
(Φ)
(4.6)
e
Eηs(Xs−a)+ ga
s=1
2Es
0
dLa
˜
Π(a),s
(ηs).(4.7)
En combinan les ela ions (4.5), (4.6) e (4.7), nous ob enons la ela ion
en e les op´e a eu s ˜
Π:
(4.8) ˜
Π(a),1
(Φ) = Φ +1
˜
Π(a),s
(ηs)ds dLa
dP p.p.,

In ´
eg ales s ochas iques de p ocessus an icipan s 297
ou, plus g´en´e alemen :
(4.9) ˜
Π(a),u
(Φu)=Φ
+u
˜
Π(a),s
(ηs)ds dLa
dP p.p., pou ≤u≤1.
Pou mieux comp end e la ela ion (4.8), consid´e ons les deux exemples
sui an s:
i) Φ = φ(X1)o`uφes une onc ion de classe C2,
ii) Φ = exp 1
0h(u)dXu,h∈L2([0,1]).
Choisissons alo s Φ de la a¸con sui an e:
i) Φ =φ(X ),
ii) Φ = exp 
0h(u)dXu.
On ob ien , d’ap `es (4.4):
i) ηs=1
2φ(Xs)+φ(Xs)
Xs−a1(Xs>a)
de
=ψ(Xs),
ii) ηs=1
2Φsh2(s)+Φ
sh(s)
Xs−a1(Xs>a).
D’ap `es le Th´eo `eme 3.1, o mule (3.4), on a:
i) ˜
Π(a),1
(Φ)= ˆ
Eφ(B (ω)+ ˆ
R1− )=ˆ
Eφ(a+ˆ
R1− )dLa
dP p.p.,
˜
Π(a),s
(ηs)= ˆ
Eψ(B (ω)+ ˆ
R1− )=ˆ
Eψ(a+ˆ
R1− )dLa
dP p.p. .
ii) ˜
Π(a),1
(Φ) = Φ ˆ
Eexp(1−
0
h( +u)dˆ
Ru),
˜
Π(a),s
(ηs)=1
2Φ ˆ
Eexp(s−
0
h( +u)dˆ
Ru)+h(s)Φ ...
... ˆ
E1
ˆ
Rs−
exp(s−
0
h( +u)dˆ
Ru).
Dans les deux cas, on ´e ifie ais´emen la o mule (4.8) ap `es applica ion
de la o mule d’I ˆo au p ocessus φ(a+ˆ
Ru), esp. exp(u
0h( + )dˆ
R ).
On p end ensui e l’esp´e ance des deux memb es, dans la o mule ainsi
ob enue, consid´e ´ee au emps u=1− .
298 C. Dona i-Ma in, M. Yo
5. Un exemple d’in ´eg ale an icipan e li´e
au p ocessus de Bessel
Soi (β ; ≥0) un mou emen b ownien ´eel e Rle p ocessus de
Bessel de dimension 3, solu ion de
(5.1) R =β +
0
ds
Rs
.
D’ap `es le h´eo `eme de Pi man [12], si l’on no e J = in s≥ Rs,
(5.2) 2J −R =B ,
o`uBes un mou emen b ownien ´eel. (5.2) s’´ec i enco e:
R =2S −B ,
o`uS = sups≤ Bs≡J . No ons (R ), espec i emen (B ), la fil a ion
na u elle de R, esp. Be insis ons su l’inclusion s ic e: (R )⊆ (B ).
Nous pou ons applique les ´esul a s de la Sec ion 1 au p ocessus c ois-
san µ =J2
don la p ojec ion duale p ´e isible (su la pe i e fil a-
ion (R )) es . Ainsi, `a ou p ocessus u(B ) adap ´e ´e ifian :
E∞
0
u2
sd(J2
s)<∞,
on peu associe l’in ´eg ale s ochas ique an icipan e pa appo au mou-
emen b ownien β, no ´ee δJ(u) qui ´e ifie:
(5.3) E∞
0
sdβsδJ(u)=E∞
0
susd(J2
s)
pou ou p ocessus ( s)R-p ´e isible.
Dans ce cas, il es acile de calcule le p ocessus u(µ)associ´e`aupa la
D´efini ion 1.1. En effe , il exis e une onc ionnelle mesu able Φ elle que
(5.4) us=Φ({Ru;u≤s};Js);
alo s
(5.5) u(µ)
s=Φ({Ru;u≤s};Rs)
en u ilisan le mˆeme a gumen qu’en 1) de la P oposi ion 2.1.
Exemple.
δJ(B1[0, ])=δJ(S1[0, ])=
0
Rsdβs.
(Be Son la mˆeme p ojec ion, `a sa oi R.)
In ´
eg ales s ochas iques de p ocessus an icipan s 299
Quelques ema ques.
1) L’in ´eg ale s ochas ique 
0usdβsa un sens comme in ´eg ale d’I ˆo
dans la fil a ion B, puisque βes une B-semima ingale de d´ecompo-
si ion
dβ =−dB +2dS −d
R
.
L’in ´eg ale an icipan e e l’in ´eg ale d’I ˆo dans la fil a ion g ossie ne
co¨ınciden pas.
2) L’in ´eg ale ainsi d´efinie δJ(u1[0, ]) es une Rma ingale. O , une
au e ma ingale li´ee au p ocessus c oissan µappa aˆı na u ellemen , `a
sa oi :
(5.6) M (u)=p
0
usdµs−
0
usdµs(p)
;µs=J2
s
o`upXd´esigne la p ojec ion p ´e isible du p ocessus Xpa appo `ala
fil a ion R.
Quelques calculs explici es.
a) u≡1,
M (1) = E(J2
/R )− =1
3R2
− =2
3
0
Rsdβs.
b) Rema quons que M (u)=M (u(µ))o`uue u(µ)son eli´es pa
les o mules (5.4) e (5.5).
Nous allons calcule M (u) lo sque u(µ)
sne d´epend que de Rs,
i.e. u(µ)
s=ϕ(Rs).
E
0
usdµs|F
=2E
0
ϕ(Rs)RsdJs|F

=2
0
ϕ(Rs)RsdsE(Js|F
).
O , un calcul simple mon e que pou s≤ ,
E(Js|F
)=J
s−1
2
(J
s)2
R
300 C. Dona i-Ma in, M. Yo
o`uJ
s= in
s≤u≤ Ru.
E
0
usdµs|F
=2
0
ϕ(Rs)RsdJ
s−J
s
R
dJ
s
=2
0
ϕ(J
s)J
sdJ
s−J
s
R
dJ
s
=2R
0
ϕ(x)xdx−1
R R
0
ϕ(x)x2dx
=Φ(R )
o`uΦ(z)=2
z
0
ϕ(x)xdx−1
zz
0
ϕ(x)x2dx. Finalemen , on
ob ien :
M (ϕ(R)) = 
0
Φ(Rs)dβs
a ec Φ(z)= 2
z2z
0
ϕ(x)x2dx.
Exemple.
i) ϕ≡1, on e ou e M (1) = 2
3
0Rsdβs.
ii) ϕ(x)=x,Φ
(z)=z2
2d’o`u
M (B)=M (S)=1
2
0
R2
sdβs.
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Labo a oi e de P obabili ´es
Uni e si ´e Pa is VI
4, place Jussieu
75252 Pa is Cedex
FRANCE
P ime a e si´o ebuda el 28 de juliol de 1998,
da e a e si´o ebuda el 13 de no emb e de 1998