Intégrales stochastiques de processus anticipants et projections duales prévisibles

Publicacions Matem`atiques, Vol 43 (1999), 281–301. INT´ EGRALES STOCHASTIQUES DE PROCESSUS ANTICIPANTS ET PROJECTIONS DUALES PR´ EVISIBLES C. Donati-Martin et M. Yor Abstract We define a stochastic anticipating integral δµwith respect to Brownian motion, associated to a non adapted increasing process (µt), with dual projection t. The integral δµ(u) of an anticipating process (ut) satisfies: for every bounded predictable process ft, EfsdBsδµ(u)=Efsusdµs. We characterize this integral when µt= supt≤s≤1Bs. The proof relies on a path decomposition of Brownian motion up to time 1. 1. Introduction Soit (Xt;0 ≤t≤1) un mouvement brownien r´eel issu de 0, et (Ft;0≤t≤1) sa filtration naturelle. Pour une large classe de processus (ut;0≤t≤1) mesurables pour F1⊗B([0,1]), l’int´egrale de Skorohod (par rapport au mouvement brownien X) du processus u, not´ee δ(u), est caract´eris´ee par la formule de dualit´e suivante: Pour toute variable Fde carr´eint´egrable, d´erivable au sens de Malliavin, (1.1) E(Fδ(u)) = E1 0 DtFutdt. La formule (1.1) est due `a Gaveau et Trauber [6] qui ont identifi´e l’int´egrale δd´efinie par Skorohod en [14] comme l’adjoint de l’op´erateur de d´erivation D. Nous renvoyons `a Malliavin [8] et Nualart [10] pour la d´efinition de l’op´erateur Det les notions de calcul des variations sur l’espace de Wiener. Keywords. Stochastic anticipating integral, dual projection, path decomposition, balayage formula. 282 C. Donati-Martin, M. Yor Nous nous proposons de d´efinir une (ou plusieurs) int´egrales stochastiques de processus (ut) suppos´es seulement F1⊗B([0,1]) mesurables, `a partir de la remarque suivante. Consid´erons dans le terme de droite de (1.1) non pas les termes dt,DtFet utindividuellement, mais plutˆot la mesure al´eatoire DtFdtd’une part, et le processus (ut) d’autre part. Le fait que l’int´egrale de Skorohod δ(u)co¨ıncide avec l’int´egrale d’Itˆo que nous noterons ici (u):=1 0usdXslorsque uest pr´evisible, provient de ce que la projection duale pr´evisible de la mesure DtFdt est E(DtF/Ft)dt, c’est `a dire la mesure ftdt,o`u(ft) est l’int´egrand pr´evisible qui figure dans la repr´esentation d’ItˆodeF(∗), i.e.: (1.2) F=E(F)+1 0 ftdXt. Ainsi, lorsque uest pr´evisible, E1 0 DtFutdt=E1 0 ftutdt=EF(u). Cette remarque ´etant faite, nous pouvons associer `a tout processus croissant (µt;0≤t≤1) dont la projection duale pr´evisible, not´ee µ(p) test t, une int´egrale stochastique (µ)δd´efinie de la fa¸con suivante: D´efinition et Th´eor`eme 1.1. A tout processus (ut;0≤t≤1) tel que (1.3) E1 0 u2 sdµs<∞, on associe sa projection hilbertienne, not´ee uµ, sur L2(dµsdP ;P),o`uP d´esigne la tribu pr´evisible. Cette projection satisfait: 1. E1 0(uµ s)2ds<∞, 2. pour toute v.a. F∈L2(F1), (1.4) EF(uµ)=E1 0 ftutdµt, o`uftest l’int´egrand pr´evisible figurant dans la repr´esentation d’ItˆodeF. Dans la suite, on notera l’int´egrale ainsi d´efinie: µδ(u)=(uµ). (∗)Cette repr´esentation de l’int´egrand fassoci´e`aFest connue sous le nom de formule de Clark-Ocone [3], [11]. Ocone ´etablit (1.2) avec ft=E(DtF/Ft)`a partir de l’identit´e δ(u)=(u) pour uprocessus adapt´e. Int´ egrales stochastiques de processus anticipants 283 Par d´efinition mˆeme de uµ,l’´egalit´e u=uµa lieu dans L2(dµsdP;P) si et seulement si uest pr´evisible. En particulier, µδet co¨ıncident sur l’espace L2(dµsdP;P)≡L2(ds dP;P). Plus g´en´eralement, on a, pour tout processus pr´evisible born´e h: (1.5) (hu)µ=huµ. D´emonstration du Th´eor`eme 1.1: La propri´et´e 1) est imm´ediate; en ce qui concerne 2), on a: pour tout processus pr´evisible f, E1 0 ftutdµt=E1 0 ftuµ tdµt=E1 0 ftuµ tdt=EF(uµ). La premi`ere ´egalit´e provient de la d´efinition de uµet la deuxi`eme de l’hypoth`ese: µ(p) t=t(fuµest pr´evisible). Nous donnons dans la proposition suivante, une premi`ere r`egle tr`es g´en´erale de calcul du processus uµ. Proposition 1.1. Soit (ut;t≤1) un processus mesurable tel que: (1.6) E1 0 u2 tdµt<∞. Alors, le processus Zµ t(u)=Et 0usdµs|F test une quasi-martingale, dont on note la d´ecomposition canonique Mµ t(u)+Uµ t(u),Uµ t(u)d´esignant la partie processus pr´evisible `a variation int´egrable. On a alors: (1.7) Uµ t(u)=t 0 uµ sds. D´emonstration: Soit τ={0=t0<t 1<t 2<··· <t n=1}une subdivision de [0,1]; on note Vτ(Zµ(u)) = n−1  i=0 E|E(Zµ ti+1 (u)−Zµ ti(u)/Fti)|. Alors, Vτ(Zµ(u)) ≤E1 0|us|dµs≤E1 0 u2 sdµs 1 2 <∞, prouvant la propri´et´e de quasi-martingale de Zµ(u). 284 C. Donati-Martin, M. Yor Soit (hs) un processus pr´evisible ´el´ementaire born´e de la forme hs= H1]a,b](s) avec H∈F a. E1 0 hsusdµs=EHb a usdµs =E(H(Zµ b(u)−Zµ a(u))) =E(H(Uµ b(u)−Uµ a(u))) =E1 0 hsdUµ s(u). On obtient donc (usdµs)(p) s=dUµ s(u), c’est `a dire uµ sds =dUµ s(u). La D´efinition 1.1 n’aurait bien entendu aucun int´erˆet si l’on ne pouvait exhiber des processus croissants “int´eressants” µtv´erifiant µ(p) t=t. Or, de telles constructions ont ´et´e faites pr´ecisement en [1] par int´egration des r´esultats correspondants pour les temps locaux d’une martingale. De fa¸con pr´ecise, on a la Proposition 1.2 (Az´ema-Yor [1]). Soit (Mt;t≥0) une martingale continue, de carr´e int´egrable, dans une filtration (Gt;t≥0). Alors, le processus croissant (Mt;t≥0) est la projection duale pr´evisible de chacun des deux processus croissants (non adapt´es): µ(+) t=(I0−M∞)2−(It−M∞)2 µ(−) t=(J0−M∞)2−(Jt−M∞)2 o`uIt= sup s≥t Ms,Jt= inf s≥tMs. Dans cet article, pour rester “concrets”, nous appliquerons seulement la proposition ci-dessus `a Mt=Xt∧1,avec(Xt;t≥0) mouvement brownien r´eel; ainsi, on a: µ(+) t=(I0−X1)2−(It−X1)2o`uIt= sup t≤s≤1 Xs. Nous noterons (+)δpour µ(+) δ(resp. (−)δpour µ(−)δ); ainsi que u(+) (resp. u(−) ) la projection de usur L2(dµ(+) tdP;P) (resp. L2(dµ(−) tdP;P)) ; cette projection ´etant not´ee Π(+), resp. Π(−). Int´ egrales stochastiques de processus anticipants 285 Le paragraphe 2 est consacr´e`al’´etude des propri´et´es de l’int´egrale (+)δ en particulier, alors que dans le paragraphe 3, nous montrons comment cette int´egrale peut ˆetre d´esint´egr´ee suivant les temps locaux browniens; dans le mˆeme esprit, nous montrons, au paragraphe 4, quelques relations entre notre construction et la formule de balayage. Enfin, au paragraphe 5, nous consid´erons un autre exemple d’int´egrale µδ,tr`es li´e au th´eor`eme de repr´esentation, dˆu`a J. Pitman, du processus de Bessel de dimension 3 comme (2St−Xt;t≥0) o`u St= sups≤tXs. 2. Quelques propri´et´es de l’int´egrale µδ Nous pr´esentons deux propri´et´es importantes de (+)δ. Proposition 2.1. Soit (ut)un processus mesurable tel que E1 0 u2 sdµ(+) s<∞. 1. Si ϕ:[0,1] ×R→Rest une fonction born´ee mesurable, alors: (ϕ(·,I ·)u)(+) =ϕ(·,X ·)u(+). 2. Si uest un processus r´etrograde, i.e. utest Ftadapt´e, o`u Ft=σ{Xs−X1;s≥t}, alors u(+) est d´eterministe. D´emonstration: 1) Pour toute variable F∈L2(Ω), EF(uϕ(·,I))(+)=E1 0 fsϕ(s, Is)usdµ(+) s. Or, la mesure dµ(+) sest port´ee par {s;Xs=Is}; ainsi, le membre de droite de l’´equation pr´ec´edente est ´egal `a E1 0fsϕ(s, Xs)usdµ(+) s.On utilise alors (1.5). 2) D’apr`es la Proposition 1.1, t 0u(+) sds est la partie `a variation int´egrable de la quasi-martingale Z(+) t(u)=Et 0 usdµ(+) s|F t =E1 0 usdµ(+) s|F t−E1 t usdµ(+) s|F t. 286 C. Donati-Martin, M. Yor Or, si uest r´etrograde, le processus 1 ·usdµ(+) sest ´egalement r´etrograde, 1 tusdµ(+) sest donc ind´ependant de Ftet t 0 u(+) sds =−E1 t usdµ(+) s. Nous allons maintenant appliquer la Proposition 1.1 au calcul de u(+) lorsque us≡Φ variable al´eatoire F1mesurable, telle que E(Φ2+ε)<∞, pour un ε>0, ce qui assure: E(Φ2µ(+) 1)<∞. Dans ce cas, il existe une fonctionnelle Φt(ω,ω) qui est mesurable en (t, ω, ω) telle que pour tout t≤1, Φ=Φ t({Xs,s≤t};{Xs−X1;s≥t}). On peut alors ´ecrire: E(Φµ(+) t/Ft)=E(Φ(I0−X1)2/Ft) −EΦt({Xs,s≤t};{Xs−X1;s≥t})(It−X1)2/Ft. La partie `a variation born´ee de cette quasi-martingale est celle de la quasi-martingale: (2.1) Ψt(Xs;s≤t) := −ˆ EΦt{Xs,s≤t};ˆ Xs−ˆ X1;s≥tsup s≥t (ˆ Xs−ˆ X1)2, o`uXet ˆ Xsont deux mouvements browniens ind´ependants et l’esp´erance, not´ee ˆ Eest prise par rapport `a ˆ X. Nous donnons maintenant quelques exemples explicites de calculs de la quasi-martingale figurant en (2.1). Nous montrerons par une autre approche que celle d´evelopp´ee dans les exemples ci-dessous, la formule g´en´erale suivante: Π(+) s(ϕ(X1)) = ˆ Eϕ(−√1−sˆ R1+Xs) o`uˆ R1d´esigne la valeur `a l’instant 1, d’un processus de Bessel de dimension 3, ind´ependant de X, l’esp´erance ´etant prise par rapport `a la loi de ˆ R(voir Proposition 3.1). Int´ egrales stochastiques de processus anticipants 287 Exemple 1. Φ=X1. −E(X1(It−X1)2/Ft)=−XtE((It−X1)2)+E((Xt−X1)(It−X1)2) =−Xtˆ E(ˆ S2 1−t)+ ˆ E(ˆ X1−tˆ S2 1−t) =−Xt(1 −t)+ ˆ E(ˆ X1−tˆ S2 1−t) o`uˆ Xuest un mouvement brownien et ˆ Su= sups≤uˆ Xs. Or, ˆ E(ˆ X1−tˆ S2 1−t)= ˆ E1−t 0 ˆ Xud(ˆ S2 u)=2ˆ E1−t 0 ˆ S2 udˆ Su=2 3ˆ E(( ˆ S1−t)3), ˆ E(ˆ X1−tˆ S2 1−t)=2 3(1 −t)3 2E(|B1|3)=2 3(1 −t)3 22√2 √π. Avec les notations de la Proposition 1.1, U(+) t(X1)=t 0 Xsds +4√2 3√π(1 −t)3 2, et donc: u(+) s=Π (+) s(X1)=Xs−2√2 √π(1 −s)1 2. Exemple 2. Φ = exp(λX1). −E(exp(λX1)(It−X1)2/Ft)=−exp(λXt)E(exp(−λ(Xt−X1))(It−X1)2) =−exp(λXt)ˆ E(exp(−λˆ X1−t)ˆ S2 1−t). Notons fλ(u)=E(exp(−λXu)S2 u). La partie `a variation born´ee de la quasi-martingale pr´ec´edente est: t 0f λ(1 −s)−λ2 2fλ(1 −s)exp(λXs)ds. D’apr`es la formule d’Itˆo, exp(−λXt)S2 t=−λt 0 exp(−λXs)S2 sdXs +2t 0 exp(−λXs)SsdSs+λ2 2t 0 exp(−λXs)S2 sds, et fλ(t)=2Et 0 exp(−λXs)SsdSs+λ2 2t 0 fλ(s)ds. 288 C. Donati-Martin, M. Yor Notons gλ(t)=2Et 0exp(−λXs)SsdSs; alors, d’apr`es l’´egalit´epr´ec´edente, on a: f λ(t)−λ2 2fλ(t)=g λ(t). Or, par d´efinition de gλ,ona: gλ(t)=2Et 0 exp(−λSs)SsdSs =2Eexp(−λSt)−1 λSt−1 λ2+1 λ2 =2Eexp(−λ√tS1)−√t λS1−1 λ2+1 λ2. En cons´equence, g λ(t)=ES2 1exp(−λ√tS1)=EX2 1exp(−λ√t|X1|)=ϕ(λ√t), o`u l’on a not´e: (2.2) ϕ(x)=EX2 1exp(−x|X1|)=E(exp(−xR1)) o`u(Rs,s≥0) d´esigne un processus de Bessel de dimension 3 issu de 0. On a ainsi obtenu: (2.3) Π(+) t(exp(λX1)) = exp(λXt)ϕ(λ√1−t) o`uϕest d´efinie par la formule (2.2). Exemple 3. Φ=Xn 1,n∈N∗. Soit λ∈R, (2.4) Π(+)(exp(λX1)) = ∞  n=0 λn n!Π(+)(Xn 1). Or, d’apr`es l’Exemple 2, Π(+) t(exp(λX1)) = exp(λXt)ϕ(λ√1−t), avec ϕ(x)=E(exp(−xR1)) = ∞  p=0 (−1)pxp p!αp, Int´ egrales stochastiques de processus anticipants 289 o`uαp=E(Rp 1). Ainsi, Π(+) t(exp(λX1)) = ∞  k=0 λk k!Xk t∞  p=0 (−1)p(λ√1−t)p p!αp =∞  n=0 λn n!n  k=0 (−1)n−kCk nαn−k(1 −t)n−k 2Xk t. En identifiant la derni`ere formule avec le membre de droite dans l’´equation (2.4), on obtient: (2.5) Pour tout n,Π (+) t(Xn 1)= n  k=0 (−1)n−kCk nαn−k(1 −t)n−k 2Xk t, avec αp=E(Rp 1)=E(|X1|p+2). D´efinissons les polynˆomes (2.6) ˜ hn(x)= n  k=0 (−1)n−kCk nαn−kxk=E((x−R1)n), et ˜ Hn(x, a)=an/2˜ hn(x/√a) pour a>0; ˜ Hn(x, 0) = xn. La formule (2.5) s’´ecrit encore: Π(+) t(˜ Hn(X1,0)) = Π(+) t(Xn 1)= ˜ Hn(Xt,1−t) ou encore (2.7) (+)δ(˜ Hn(X1,0)) = ˜ Hn(X·,1−·). Remarques. i) Les polynˆomes ˜ hnintroduits en (2.6) peuvent ˆetre d´efinis au moyen du d´eveloppement en s´erie exp(αx)ϕ(α)= ∞  n=0 αn n!˜ hn(x), o`u la fonction ϕest donn´ee par (2.2). De plus, cette suite de polynˆomes satisfait `a la relation: d dx(˜ hn(x)) = n˜ hn−1(x),pour tout n≥1. 296 C. Donati-Martin, M. Yor 4.3. Relation diff´erentielle liant les op´erateurs ˜ Π. Soit Φ une variable F1mesurable telle que E(Φp)<∞pour un p>2etΦ tune semi-martingale continue, appartenant `a Hpde variable terminale Φ (par exemple, on peut prendre E(φ/Ft)). Zt=Φ t(Xt−a)+ satisfait les hypoth`eses d’int´egrabilit´e du paragraphe 4.2; ainsi, pour tout processus pr´evisible f, (4.2) EΦ(X1−a)+fga=E1 0 fga sdVs, o`u, si Φt=Mt+Ct≡t 0ϕsdXs+Ct, avec (Ct) processus continu `a variation born´ee, est la d´ecomposition canonique de (Φt), on obtient: dVs=1 2ΦsdLa s+(Xs−a)+dCs+1 (Xs>a)ϕsds. On suppose dor´enavant: Ct=t 0csds,eton´ecrit: (4.3) dVs=1 2ΦsdLa s+(Xs−a)+ηsds, o`u (4.4) ηs=cs+1 (Xs>a) ϕs Xs−a. Alors, on a: (4.5) EΦ(X1−a)+fga =1 2E1 0 fsΦsdLa s+1 0 dsE fga sηs(Xs−a)+. Par d´efinition des projecteurs ˜ Π(a),s, on a les relations: EΦ(X1−a)+fga=1 2E1 0 dLa tft˜ Π(a),1 t(Φ) (4.6) et Eηs(Xs−a)+fga s=1 2Es 0 dLa tft˜ Π(a),s t(ηs).(4.7) En combinant les relations (4.5), (4.6) et (4.7), nous obtenons la relation entre les op´erateurs ˜ Π: (4.8) ˜ Π(a),1 t(Φ) = Φt+1 t ˜ Π(a),s t(ηs)ds dLa tdP p.p., Int´ egrales stochastiques de processus anticipants 297 ou, plus g´en´eralement: (4.9) ˜ Π(a),u t(Φu)=Φ t+u t ˜ Π(a),s t(ηs)ds dLa tdP p.p., pour t≤u≤1. Pour mieux comprendre la relation (4.8), consid´erons les deux exemples suivants: i) Φ = φ(X1)o`uφest une fonction de classe C2, ii) Φ = exp 1 0h(u)dXu,h∈L2([0,1]). Choisissons alors Φtde la fa¸con suivante: i) Φt=φ(Xt), ii) Φt= exp t 0h(u)dXu. On obtient, d’apr`es (4.4): i) ηs=1 2φ(Xs)+φ(Xs) Xs−a1(Xs>a) def =ψ(Xs), ii) ηs=1 2Φsh2(s)+Φ sh(s) Xs−a1(Xs>a). D’apr`es le Th´eor`eme 3.1, formule (3.4), on a: i) ˜ Π(a),1 t(Φ)= ˆ Eφ(Bt(ω)+ ˆ R1−t)=ˆ Eφ(a+ˆ R1−t)dLa tdP p.p., ˜ Π(a),s t(ηs)= ˆ Eψ(Bt(ω)+ ˆ R1−t)=ˆ Eψ(a+ˆ R1−t)dLa tdP p.p. . ii) ˜ Π(a),1 t(Φ) = Φtˆ Eexp(1−t 0 h(t+u)dˆ Ru), ˜ Π(a),s t(ηs)=1 2Φtˆ Eexp(s−t 0 h(t+u)dˆ Ru)+h(s)Φt... ... ˆ E1 ˆ Rs−t exp(s−t 0 h(t+u)dˆ Ru). Dans les deux cas, on v´erifie ais´ement la formule (4.8) apr`es application de la formule d’Itˆo au processus φ(a+ˆ Ru), resp. exp(u 0h(t+v)dˆ Rv). On prend ensuite l’esp´erance des deux membres, dans la formule ainsi obtenue, consid´er´ee au temps u=1−t. 298 C. Donati-Martin, M. Yor 5. Un exemple d’int´egrale anticipante li´e au processus de Bessel Soit (βt;t≥0) un mouvement brownien r´eel et Rle processus de Bessel de dimension 3, solution de (5.1) Rt=βt+t 0 ds Rs . D’apr`es le th´eor`eme de Pitman [12], si l’on note Jt= infs≥tRs, (5.2) 2Jt−Rt=Bt, o`uBest un mouvement brownien r´eel. (5.2) s’´ecrit encore: Rt=2St−Bt, o`uSt= sups≤tBs≡Jt. Notons (Rt), respectivement (Bt), la filtration naturelle de R, resp. Bet insistons sur l’inclusion stricte: (Rt)⊆ (Bt). Nous pouvons appliquer les r´esultats de la Section 1 au processus croissant µt=J2 tdont la projection duale pr´evisible (sur la petite filtration (Rt)) est t. Ainsi, `a tout processus u(Bt) adapt´ev´erifiant: E∞ 0 u2 sd(J2 s)<∞, on peut associer l’int´egrale stochastique anticipante par rapport au mouvement brownien β, not´ee δJ(u) qui v´erifie: (5.3) E∞ 0 fsdβsδJ(u)=E∞ 0 fsusd(J2 s) pour tout processus (fs)R-pr´evisible. Dans ce cas, il est facile de calculer le processus u(µ)associ´e`aupar la D´efinition 1.1. En effet, il existe une fonctionnelle mesurable Φ telle que (5.4) us=Φ({Ru;u≤s};Js); alors (5.5) u(µ) s=Φ({Ru;u≤s};Rs) en utilisant le mˆeme argument qu’en 1) de la Proposition 2.1. Exemple. δJ(B1[0,t])=δJ(S1[0,t])=t 0 Rsdβs. (Bet Sont la mˆeme projection, `a savoir R.) Int´ egrales stochastiques de processus anticipants 299 Quelques remarques. 1) L’int´egrale stochastique t 0usdβsa un sens comme int´egrale d’Itˆo dans la filtration B, puisque βest une B-semimartingale de d´ecomposition dβt=−dBt+2dSt−dt Rt . L’int´egrale anticipante et l’int´egrale d’Itˆo dans la filtration grossie ne co¨ıncident pas. 2) L’int´egrale ainsi d´efinie δJ(u1[0,t]) est une Rmartingale. Or, une autre martingale li´ee au processus croissant µapparaˆıt naturellement, `a savoir: (5.6) Mt(u)=pt 0 usdµs−t 0 usdµs(p) ;µs=J2 s o`upXd´esigne la projection pr´evisible du processus Xpar rapport `ala filtration R. Quelques calculs explicites. a) u≡1, Mt(1) = E(J2 t/Rt)−t=1 3R2 t−t=2 3t 0 Rsdβs. b) Remarquons que Mt(u)=Mt(u(µ))o`uuet u(µ)sont reli´es par les formules (5.4) et (5.5). Nous allons calculer Mt(u) lorsque u(µ) sne d´epend que de Rs, i.e. u(µ) s=ϕ(Rs). Et 0 usdµs|F t=2Et 0 ϕ(Rs)RsdJs|F t =2t 0 ϕ(Rs)RsdsE(Js|F t). Or, un calcul simple montre que pour s≤t, E(Js|F t)=Jt s−1 2 (Jt s)2 Rt 300 C. Donati-Martin, M. Yor o`uJt s= inf s≤u≤tRu. Et 0 usdµs|F t=2t 0 ϕ(Rs)RsdJt s−Jt s Rt dJt s =2t 0 ϕ(Jt s)Jt sdJt s−Jt s Rt dJt s =2Rt 0 ϕ(x)xdx−1 RtRt 0 ϕ(x)x2dx =Φ(Rt) o`uΦ(z)=2 z 0 ϕ(x)xdx−1 zz 0 ϕ(x)x2dx. Finalement, on obtient: Mt(ϕ(R)) = t 0 Φ(Rs)dβs avec Φ(z)= 2 z2z 0 ϕ(x)x2dx. Exemple. i) ϕ≡1, on retrouve Mt(1) = 2 3t 0Rsdβs. ii) ϕ(x)=x,Φ (z)=z2 2d’o`u Mt(B)=Mt(S)=1 2t 0 R2 sdβs. R´ef´erences 1. J. Az´ ema et M. Yor, En guise d’introduction, Ast´erisque 52-53, Temps Locaux (1978), 3–16. 2. J. Az´ ema et M. Yor, Sur les z´eros des martingales continues, S´em. Prob. XXVI, Lecture Notes in Math. 1526, Springer (1992), 248–306. 3. J. M. C. Clark, The representation of functionals of Brownian motion by stochastic integrals, Ann. Math. Statist. 41 (1970), 12821295. Int´ egrales stochastiques de processus anticipants 301 4. C. Dellacherie et P. A. Meyer,“Probabilit´es et potentiel,” vol. II, Hermann, Paris, 1980. 5. R. T. Durrett et D. L. Iglehart, Functionals of Brownian meander and Brownian excursion, Ann. Probab. 5(1977), 130–135. 6. B. Gaveau et P. Trauber, L’int´egrale stochastique comme op´erateur de divergence dans l’espace fonctionnel, J. Funct. Anal. 46 (1982), 230–328. 7. J. P. Imhof, Density factorization for brownian motion and the three-dimensional Bessel processes and applications, J. Appl. Probab. 21 (1984), 500–510. 8. P. Malliavin,“Stochastic Analysis,” Springer, Berlin, 1997. 9. P. A. Meyer,Lath´eorie de la pr´ediction de F. Knight, S´em. Prob. X, Lecture Notes in Math. 511, Springer (1976), 86–103. 10. D. Nualart,“Malliavin calculus and Related Topics,” SpringerVerlag, 1995. 11. D. Ocone, Malliavin’s Calculus and Stochastic Integral Representations of Functionals of Diffusion Processes, Stochastics Stochastics Rep. 12 (1984), 161–185. 12. J. 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