Limite ergodique de processus de diffusion infini-dimensionnels

Publicacions Matem`atiques, Vol 43 (1999), 191–205. LIMITE ERGODIQUE DE PROCESSUS DE DIFFUSION INFINI-DIMENSIONNELS S. Rœlly et D. Seu Abstract We give a temporal ergodicity criterium for the solution of a class of infinite dimensional stochastic differential equations of gradient type, where the interaction has infinite range. We illustrate our theoretical result by typical examples. 1. Introduction Au cours de ces derni`eres d´ecennies, des progr`es majeurs ont ´et´e faits sur l’´etude du comportement asymptotique en temps de processus de diffusion sur un r´eseau, qui sont solutions d’´equations diff´erentielles stochastiques `a valeurs dans MSo`uMest un espace m´etrique complet et Sun ensemble d´enombrable (infini). Parmi les r´esultats les plus r´ecents, on peut citer quand M=Ret S=Zd, Zegarlinski (1996) qui a montr´e la convergence `a vitesse exponentielle de la loi au temps tde certaines diffusions gradients vers une mesure de gibbs, par des m´ethodes utilisant les semi-groupes hypercontractants et les in´egalit´es de Log-Sobolev. Da Prato & Zabczyk (1995) utilisent dans le cas o`u M=R, ou bien Mespace de Hilbert, des propri´et´es de dissipativit´e d’op´erateurs sur des espaces de Hilbert pour obtenir l’ergodicit´e du processus. Ou encore Albeverio & al. (1997) montrent la convergence ergodique (dans L2) du processus grˆace aux techniques de convergence des formes de Dirichlet associ´ees. Keywords. Infinite dimensional diffusion, ergodicity. 192 S. Rœlly, D. Seu Dans tous ces travaux les interactions intervenant dans la dynamique sont `a port´ee finie, i.e. l’´equation diff´erentielle stochastique satisfaite par chaque coordonn´ee de la diffusion (`a valeurs dans M) ne fait intervenir qu’un nombre fini d’autres coordonn´ees. Nous pr´esentons ici, un premier exemple d’ergodicit´e pour des diffusions `a valeurs dans RZdavec interaction `a port´ee infinie et la technique que nous utilisons (tr`es simple par rapport aux autres techniques pr´ec´edemment cit´ees) fait appel `a une id´ee de Sunyach, d´evelopp´ee ´el´egamment par Royer (1979): Sunyach (1975) exhibe un crit`ere d’ergodicit´e dans un cadre g´en´eral en consid´erant la classe de processus dont le semi-groupe de transition a une action contractante sur l’espace des fonctions lipschitziennes. Dans ce travail, nous consid´erons le syst`eme gradient stochastique suivant dans RZd(d≥1): ∀i∈Zd, (1) dXi(t)=dBi(t)−1 2 φ i(Xi(t))+ j=i φ i,j(Xi(t),X j(t)) dt, t > 0 X(0) = x∈RZd o`u les φi,i∈Zd, sont des fonctions sur Rappel´ees potentiels d’interaction propres et pour i=j, les φi,j sont des fonctions sur R2satisfaisant φi,j =φj,i, appel´ees potentiels d’interaction par paires; on pose, pour x,y∈R, φ i,j(x, y)= ∂ ∂xφi,j(x, y); (Bi)i∈Zdest une famille de mouvements browniens r´eels ind´ependants. L’existence et l’unicit´e de la solution du syst`eme (1) dans Sont ´et´e montr´ees sous des hypoth`eses que nous adopterons (cf Doss & Royer (1978), Shiga & Shimizu (1980)). Dans le paragraphe 2, le Th´eor`eme 1, qui est notre r´esultat principal, montre que sous certaines hypoth`eses sur φiet φi,j , le processus X(t)t≥0solution de (1) est ergodique dans un certain espace de Hilbert E−r, que l’interaction soit `a port´ee finie ou infinie. Dans le paragraphe 3, on donnera deux exemples de potentiels d’interaction satisfaisant les hypoth`eses du Th´eor`eme 1: pour le premier, l’interaction est `a port´ee finie et pour l’autre la port´ee est infinie. Nous allons tout d’abord pr´eciser certaines notations. Limite ergodique de diffusions 193 Notations. •RZd(d≥1) est l’espace d’´etats muni de sa filtration canonique (FΛ)Λ,o`uΛd´ecrit l’ensemble des parties finies de Zd.FΛ est donc engendr´ee par les projections spatiales (pri)i∈Λo`u: pri:RZd−→ R x=(xj)j∈Zd−→ xi. •Sest l’espace des fonctions `ad´ecroissance rapide sur Zd. Son dual Sest l’espace des fonctions `a croissance lente, i.e. `a croissance moins rapide que celle d’un polynˆome. Si l’on note, pour tout r∈R,· rla norme dans l’espace de Hilbert `a poids 2(γ(r))d´efinie par: pour x=(xi)i∈Zd, x2 r= i∈Zd γ(r) ix2 i, o`u les γ(r) isont les poids (polynomiaux si r∈N∗) donn´es par: γ(r) i=(1+|i|)2ravec |i|=d k=1 |ik|pour i=(i1,... ,i d)∈Zd, alors on a: S= r∈N∗x∈RZd;xr<∞et S= r∈N∗x∈RZd;x−r<∞. Pour r>0, on note: (2) E−r=x∈RZd;x−r<∞ qui est un espace de Hilbert s´eparable. Sur un espace Xnorm´eond´efinit: •P(X), l’ensemble des mesures de probabilit´e sur X. •C b(X), l’ensemble des fonctions continues et born´ees sur X. •Lip(X), l’ensemble des fonctions lipschitziennes sur X`a valeurs r´eelles. 194 S. Rœlly, D. Seu Pour tout f∈Lip(X), on d´esigne par [f] la constante de Lipschitz de fsur X, i.e. [f] = sup x=y x,y∈X |f(x)−f(y)| x−yX . Nous rappelons les hypoth`eses not´ees H0d’existence et d’unicit´edela solution de (1). H0                      α)∃M∈R,∀i∈Zdφ i≥Met supi∈Zd|φ i(0)|<∞. β)∃(qij)i, j∈Zdpositive avec supi∈Zdj=iqij <∞ telle que ∂2 ∂x2φi,j(x, y)≥−qij et supi∈Zdj=i|φ i,j(0,0)|<∞. γ)∃(ci)i∈Stelle que supi, j∈Zd i=j ∂2 ∂x∂yφi,j(x, y)≤ci−j. Sous H0(cf Doss & Royer(1978), Shiga & Shimizu(1980)), pour x∈E−r,l’´equation (1) a une unique solution forte markovienne `a trajectoires continues dans E−r. On d´efinit comme usuellement le semi-groupe de transition unitaire (Tt)t≥0associ´ee `a la solution X(t)t≥0de (1) par: ∀t≥0, x=(xi)i∈Zd∈E−ret f∈Cb(E−r), (3) Ttf(x)=Ef(X(t))/X(0) = x. 2. Propri´et´es ergodiques de la diffusion (X(t))t≥0 Nous rappelons d’abord la notion d’ergodicit´e d’un processus et ensuite le crit`ere de Sunyach. 2.1. D´efinition. La diffusion (X(t))t≥0solution de (1) est dite ergodique dans E−r s’il existe une unique mesure de probabilit´e µ0sur E−r(invariante sous l’action du semi-groupe de transition Tt) telle que: ∀x∈E−ret f∈Cb(E−r), lim t→∞ Ttf(x)=E−r fdµ 0. Limite ergodique de diffusions 195 Remarque. L’ergodicit´e se teste sur les fonctions continues et born´ees alors que dans le crit`ere de Sunyach qui suit les fonctions tests sont les fonctions lipschitziennes. On rappelle (dans un contexte plus g´en´eral) le crit`ere de Sunyach (Sunyach (1975) Th´eor`eme 1) adapt´e au cas o`ule temps est continu. Soit (Y(t))t≥0un processus de diffusion `a valeurs dans un espace de Hilbert s´eparable Xet (Pt)t≥0son semi-groupe de transition unitaire associ´e. Proposition 1. Si le processus (Y(t))t≥0satisfait aux hypoth`eses suivantes: i) Ptest contractante sur Lip(X), i.e. ∃λ>0,∀f∈Lip(X) [Ptf]≤e−λt[f]∀t≥0, ii) ∃y0∈X tel que ∀t≥0 E(Y(t)−y0X)<+∞, alors il existe une unique probabilit´e µ0(invariante sous l’action de Pt) telle que pour tout f∈Lip(X)et x∈X, lim t→∞ Ttf(x)=X fdµ 0. Nous allons montrer que la diffusion (X(t))t≥0solution de (1) satisfait ce crit`ere dans E−r(d´efini par (2) et ensuite qu’elle est ergodique (pour cela on introduit la m´etrique de Vasserstein). Le Th´eor`eme 1 qui suit est le r´esultat principal de ce travail. Th´eor`eme 1. Consid´erons le syst`eme gradient stochastique (1) dans lequel l’interaction satisfait, en plus des hypoth`eses β)et γ)de H0, les hypoth`eses α)Uniform´ement en i, les φisont strictement convexes, i.e. ∃M>0 ∀i∈Zd,φ i>M et supi|φ i(0)|<+∞. δ)∃a=(ai)i∈Zd∈S, positive telle que a0=0,N=k=0 ak<∞ et pour tous x,y,z,tet i,j∈Zd, (x−y)φ i,j(x, z)−φ i,j(y,t)≥ai−j(x−y)2−(z−t)2. η)∃r>0tel que: K(r) = sup i∈Zd j=i γ(r) i γ(r) j ai−j<M+N. Alors, (X(t))t≥0solution de (1) est ergodique dans E−r. 196 S. Rœlly, D. Seu Remarque. Dans le cas o`ulaport´ee de l’interaction est finie la suite a=(ai)i∈Zdd´efinie dans l’hypoth`ese (δ) a au plus un nombre fini de termes non nuls. D´emonstration du Th´eor`eme 1: Etant donn´e x=(xi)i∈Zd∈E−r (respectivement y=(yi)i∈Zd∈E−r), notons Xx(t) (resp. Xy(t)) la solution de (1) de condition initiale x(resp. y) dans E−r,ona:∀t≥0, i∈Zd, Xx i(t)−Xy i(t)=(xi−yi)−1 2t 0φ iXx i(s)−φ iXy i(s)ds −1 2t 0 j=iφ i,jXx i(s),Xx j(s)−φ i,jXy i(s),(Xy j(s)ds. En d´erivant Xx i(t)−Xy i(t)2par rapport `a t,ona: d dtXx i(t)−Xy i(t)2=−Xx i(t)−Xy i(t)φ iXx i(t)−φ iXy i(t) − j=iXx i(t)−Xy i(t)φ i,jXx i(t),Xx j(t)−φ i,jXy i(t),Xy j(t). D’apr`es les assertions (α)et(δ)ona:∀t≥0, i∈Zd d dtXx i(t)−Xy i(t)2 ≤−(M+N)Xx i(t)−Xy i(t)2+ j=i ai−jXx j(t)−Xy j(t)2. Posons: ∀i, j ∈Zd, Qi,j := −(M+N),si i=j ai−j,si i=j. Remarquons que Qi,j =Qj,i car φi,j =φj,i et donc pour tout i∈Zd, ai=a−i; on a donc ∀i∈Zdet t≥0, (4) d dtXx i(t)−Xy i(t)2≤ j∈Zd Qi,jXx j(t)−Xy j(t)2 Xx i(0) −Xy i(0)2=(xi−yi)2. On a besoin maintenant d’un lemme de Gronwall infini-dimensionnel dans le cas o`u les constantes sont de signe quelconque (la “diagonale” (Qii)i∈Zdest n´egative). Limite ergodique de diffusions 197 Lemme 1. Soient γ=(γi)i∈Zdet a=(ai)i∈Zddes suites positives sur Zdet Q=(Qi,j)i,j une “matrice” sur Zd×Zd, sym´etrique. Soit u(t)=(ui(t))i∈Zd,t≥0une suite de fonctions positives continues sur R+. Supposons que: (1) a∈1(γ)et ∀t≥0,sups≤tu(s)∈1(γ)i.e. (5)  i∈Zd γiai<∞et ∀t≥0, i∈Zd γisup s≤t ui(s)<∞. (2) ∃K∈R,∀j∈Zd, (6)  i∈Zd γiQi,j ≤K·γj. Si K≥0, supposons que ∀i∈Zd,t≥0, (7) ui(t)≤ai+ j∈Zd Qi,j t 0 uj(s)ds, ou si K<0supposons que la suite de fonctions uest de plus d´erivable sur R+et que ∀i∈Zd,t≥0 (8) u i(t)≤ j∈Zd Qi,juj(t),u i(0) = ai. Alors (9)  i∈Zd γiui(t)≤eKt  i∈Zd γiai. Remarque. L’in´egalit´e (8) entraˆıne (7), donc faire l’hypoth`ese que (8) est v´erifi´ee est plus fort qu’exiger que (7) le soit. D´emonstration du Lemme 1: Cas K≥0: De l’in´egalit´e (7) on a: ∀t≥0,  i∈Zd γiui(t)≤ i∈Zd γiai=t 0 i∈Zd j∈Zd Qi,jγiuj(s)ds. 198 S. Rœlly, D. Seu Par l’in´egalit´e (6) et du fait que Qi,j est sym´etrique on a: ∀t≥0,  i∈Zd γiui(t)≤ i∈Zd γiai+Kt 0 i∈Zd γiui(s)ds. Posons, v(t)=e−Kt t 0i∈Zdγiui(s)ds. La fonction vest d´erivable sur R+car t→ i∈Zdγiui(t) est continue sur R+.Sad´eriv´ee vaut: i∈Zdγiui(t), on a donc: v(t)=  i∈Zd γiui(t)−Kt 0 i∈Zd γiui(s)ds e−Kt ≤e−Kt · i∈Zd γiai alors v(t)≤1 K· i∈Zd γiai·(1 −e−Kt) or t 0i∈Zdγiui(s)ds =eKtv(t) donc,  i∈Zd γiui(t)≤ i∈Zd γiai+ i∈Zd γiai·eKt(1 −e−Kt) =eKt · i∈Zd γiai ce qui nous donne l’in´egalit´e (9) pour K≥0. Cas o`u K<0: De l’in´egalit´e (8) et par la sym´etrie de Qi,j on a: ∀t≥0,  i∈Zd γiu i(t)≤K i∈Zd γiui(t)  i∈Zd γiui(0) =  i∈Zd γiai. Posons m(t)= i∈Zd γiui(t)etg(t)=e−Ktm(t); on a: g(t)=(m(t)−Km(t))e−Kt ≤0. Limite ergodique de diffusions 199 La fonction gest donc d´ecroissante sur R+. Donc ∀t≥0, g(t)≤ i∈Zd γiai=g(0). D’o`u l’in´egalit´e (9) pour K<0. Remarque. Le choix judicieux de la constante Kdu Lemme 1 est donn´e par K= sup j∈Zd i∈Zd γi γj Qi,j = sup j∈Zd i∈Zd γj γi Qi,j par la sym´etrie de Qi,j. Suite de la d´emonstration du Th´eor`eme 1: La suite de fonctions ui(t)= Xx i(t)−Xy i(t)2satisfait les hypoth`eses du Lemme 1. En particulier, par construction mˆeme de la solution de (1), (sups≤tui(s))i∈1(γ(r)) (cf Shiga & Shimizu (1980)). D’o`u, grˆace au Lemme 1, (10)  i∈Zd γ(r) iXx i(t)−Xy i(t)2 ≤exp(K(r)−M−N)t· i∈Zd γ(r) i(xi−yi)2. Soient f∈Lip(E−r)ett≥0 (11) Ttf(x)−Ttf(y)=Ef(Xx(t)) −f(Xy(t)) ≤Ef(Xx(t)) −f(Xy(t)) ≤Ef(Xx(t)) −f(Xy(t)) 21/2 ≤[f]·E Xx(t)−Xy(t)  2 −r1/2. En combinant les in´egalit´es (10) et (11), on a: ∀t≥0, |Ttf(x)−Ttf(y)|≤[f]·exp K(r)−M−N 2·t·x−y−r.