Limite ergodique de processus de diffusion infini-dimensionnels

Publicacions Ma em`a iques, Vol 43 (1999), 191–205.
LIMITE ERGODIQUE DE PROCESSUS DE
DIFFUSION INFINI-DIMENSIONNELS
S. Rœlly e D. Seu
Abs ac
We gi e a empo al e godici y c i e ium o he solu ion o a class
o infini e dimensional s ochas ic diffe en ial equa ions o g adien
ype, whe e he in e ac ion has infini e ange. We illus a e ou
heo e ical esul by ypical examples.
1. In oduc ion
Au cou s de ces de ni`e es d´ecennies, des p og `es majeu s on ´e ´e ai s
su l’´e ude du compo emen asymp o ique en emps de p ocessus de di -
usion su un ´eseau, qui son solu ions d’´equa ions diff´e en ielles s ochas-
iques `a aleu s dans MSo`uMes un espace m´e ique comple e Sun
ensemble d´enomb able (infini).
Pa mi les ´esul a s les plus ´ecen s, on peu ci e quand M=Re
S=Zd, Zega linski (1996) qui a mon ´e la con e gence `a i esse ex-
ponen ielle de la loi au emps de ce aines diffusions g adien s e s
une mesu e de gibbs, pa des m´e hodes u ilisan les semi-g oupes hy-
pe con ac an s e les in´egali ´es de Log-Sobole . Da P a o & Zabczyk
(1995) u ilisen dans le cas o`u M=R, ou bien Mespace de Hilbe ,
des p op i´e ´es de dissipa i i ´e d’op´e a eu s su des espaces de Hilbe
pou ob eni l’e godici ´e du p ocessus. Ou enco e Albe e io & al. (1997)
mon en la con e gence e godique (dans L2) du p ocessus g ˆace aux
echniques de con e gence des o mes de Di ichle associ´ees.
Keywo ds. Infini e dimensional diffusion, e godici y.
192 S. Rœlly, D. Seu
Dans ous ces a aux les in e ac ions in e enan dans la dynamique
son `a po ´ee finie, i.e. l’´equa ion diff´e en ielle s ochas ique sa is ai e pa
chaque coo donn´ee de la diffusion (`a aleu s dans M) ne ai in e eni
qu’un nomb e fini d’au es coo donn´ees.
Nous p ´esen ons ici, un p emie exemple d’e godici ´e pou des di -
usions `a aleu s dans RZda ec in e ac ion `a po ´ee infinie e la ech-
nique que nous u ilisons ( `es simple pa appo aux au es echniques
p ´ec´edemmen ci ´ees) ai appel `a une id´ee de Sunyach, d´e elopp´ee ´el´e-
gammen pa Roye (1979): Sunyach (1975) exhibe un c i `e e d’e go-
dici ´e dans un cad e g´en´e al en consid´e an la classe de p ocessus don
le semi-g oupe de ansi ion a une ac ion con ac an e su l’espace des
onc ions lipschi ziennes.
Dans ce a ail, nous consid´e ons le sys `eme g adien s ochas ique
sui an dans RZd(d≥1): ∀i∈Zd,
(1)
dXi( )=dBi( )−1
2
φ
i(Xi( ))+
j=i
φ
i,j(Xi( ),X
j( ))
d , > 0
X(0) = x∈RZd
o`u les φi,i∈Zd, son des onc ions su Rappel´ees po en iels d’in e ac-
ion p op es e pou i=j, les φi,j son des onc ions su R2sa is aisan
φi,j =φj,i, appel´ees po en iels d’in e ac ion pa pai es; on pose, pou
x,y∈R,
φ
i,j(x, y)= ∂
∂xφi,j(x, y);
(Bi)i∈Zdes une amille de mou emen s b owniens ´eels ind´ependan s.
L’exis ence e l’unici ´e de la solu ion du sys `eme (1) dans Son ´e ´e
mon ´ees sous des hypo h`eses que nous adop e ons (c Doss & Roye
(1978), Shiga & Shimizu (1980)).
Dans le pa ag aphe 2, le Th´eo `eme 1, qui es no e ´esul a p in-
cipal, mon e que sous ce aines hypo h`eses su φie φi,j , le p oces-
sus X( ) ≥0solu ion de (1) es e godique dans un ce ain espace de
Hilbe E− , que l’in e ac ion soi `a po ´ee finie ou infinie.
Dans le pa ag aphe 3, on donne a deux exemples de po en iels d’in e-
ac ion sa is aisan les hypo h`eses du Th´eo `eme 1: pou le p emie ,
l’in e ac ion es `a po ´ee finie e pou l’au e la po ´ee es infinie.
Nous allons ou d’abo d p ´ecise ce aines no a ions.
Limi e e godique de di usions 193
No a ions.
•RZd(d≥1) es l’espace d’´e a s muni de sa fil a ion canon-
ique (FΛ)Λ,o`uΛd´ec i l’ensemble des pa ies finies de Zd.FΛ
es donc engend ´ee pa les p ojec ions spa iales (p i)i∈Λo`u:
p i:RZd−→ R
x=(xj)j∈Zd−→ xi.
•Ses l’espace des onc ions `ad´ec oissance apide su Zd. Son
dual Ses l’espace des onc ions `a c oissance len e, i.e. `a c ois-
sance moins apide que celle d’un polynˆome.
Si l’on no e, pou ou ∈R,·
la no me dans l’espace de
Hilbe `a poids 2(γ( ))d´efinie pa : pou x=(xi)i∈Zd,
x2
=
i∈Zd
γ( )
ix2
i,
o`u les γ( )
ison les poids (polynomiaux si ∈N∗) donn´es pa :
γ( )
i=(1+|i|)2 a ec |i|=d
k=1 |ik|pou i=(i1,... ,i
d)∈Zd,
alo s on a:
S=
∈N∗x∈RZd;x <∞e
S=
∈N∗x∈RZd;x− <∞.
Pou >0, on no e:
(2) E− =x∈RZd;x− <∞
qui es un espace de Hilbe s´epa able.
Su un espace Xno m´eond´efini :
•P(X), l’ensemble des mesu es de p obabili ´e su X.
•C
b(X), l’ensemble des onc ions con inues e bo n´ees su X.
•Lip(X), l’ensemble des onc ions lipschi ziennes su X`a aleu s
´eelles.
194 S. Rœlly, D. Seu
Pou ou ∈Lip(X), on d´esigne pa [ ] la cons an e de Lipschi z de
su X, i.e.
[ ] = sup
x=y
x,y∈X
| (x)− (y)|
x−yX
.
Nous appelons les hypo h`eses no ´ees H0d’exis ence e d’unici ´edela
solu ion de (1).
H0





















α)∃M∈R,∀i∈Zdφ
i≥Me supi∈Zd|φ
i(0)|<∞.
β)∃(qij)i, j∈Zdposi i e a ec supi∈Zdj=iqij <∞
elle que ∂2
∂x2φi,j(x, y)≥−qij e supi∈Zdj=i|φ
i,j(0,0)|<∞.
γ)∃(ci)i∈S elle que supi, j∈Zd
i=j
∂2
∂x∂yφi,j(x, y)≤ci−j.
Sous H0(c Doss & Roye (1978), Shiga & Shimizu(1980)), pou
x∈E− ,l’´equa ion (1) a une unique solu ion o e ma ko ienne `a a-
jec oi es con inues dans E− .
On d´efini comme usuellemen le semi-g oupe de ansi ion uni ai e
(T ) ≥0associ´ee `a la solu ion X( ) ≥0de (1) pa :
∀ ≥0, x=(xi)i∈Zd∈E− e ∈Cb(E− ),
(3) T (x)=E (X( ))/X(0) = x.
2. P op i´e ´es e godiques de la diffusion (X( )) ≥0
Nous appelons d’abo d la no ion d’e godici ´e d’un p ocessus e ensui e
le c i `e e de Sunyach.
2.1. D´efini ion.
La diffusion (X( )) ≥0solu ion de (1) es di e e godique dans E−
s’il exis e une unique mesu e de p obabili ´e µ0su E− (in a ian e sous
l’ac ion du semi-g oupe de ansi ion T ) elle que: ∀x∈E− e
∈Cb(E− ),
lim
→∞ T (x)=E−
dµ
0.
Limi e e godique de di usions 195
Rema que. L’e godici ´e se es e su les onc ions con inues e bo -
n´ees alo s que dans le c i `e e de Sunyach qui sui les onc ions es s son
les onc ions lipschi ziennes. On appelle (dans un con ex e plus g´en´e al)
le c i `e e de Sunyach (Sunyach (1975) Th´eo `eme 1) adap ´e au cas o`ule
emps es con inu.
Soi (Y( )) ≥0un p ocessus de diffusion `a aleu s dans un espace de
Hilbe s´epa able Xe (P ) ≥0son semi-g oupe de ansi ion uni ai e
associ´e.
P oposi ion 1. Si le p ocessus (Y( )) ≥0sa is ai aux hypo h`eses
sui an es:
i) P es con ac an e su Lip(X), i.e. ∃λ>0,∀ ∈Lip(X)
[P ]≤e−λ [ ]∀ ≥0,
ii) ∃y0∈X el que ∀ ≥0
E(Y( )−y0X)<+∞,
alo s il exis e une unique p obabili ´e µ0(in a ian e sous l’ac ion de P )
elle que pou ou ∈Lip(X)e x∈X,
lim
→∞ T (x)=X
dµ
0.
Nous allons mon e que la diffusion (X( )) ≥0solu ion de (1) sa is ai
ce c i `e e dans E− (d´efini pa (2) e ensui e qu’elle es e godique (pou
cela on in odui la m´e ique de Vasse s ein).
Le Th´eo `eme 1 qui sui es le ´esul a p incipal de ce a ail.
Th´eo `eme 1. Consid´e ons le sys `eme g adien s ochas ique (1) dans
lequel l’in e ac ion sa is ai , en plus des hypo h`eses β)e γ)de H0, les
hypo h`eses
α)Uni o m´emen en i, les φison s ic emen con exes, i.e. ∃M>0
∀i∈Zd,φ
i>M e supi|φ
i(0)|<+∞.
δ)∃a=(ai)i∈Zd∈S, posi i e elle que a0=0,N=k=0 ak<∞
e pou ous x,y,z, e i,j∈Zd,
(x−y)φ
i,j(x, z)−φ
i,j(y, )≥ai−j(x−y)2−(z− )2.
η)∃ >0 el que:
K( ) = sup
i∈Zd
j=i
γ( )
i
γ( )
j
ai−j<M+N.
Alo s, (X( )) ≥0solu ion de (1) es e godique dans E− .

196 S. Rœlly, D. Seu
Rema que. Dans le cas o`ulapo ´ee de l’in e ac ion es finie la
sui e a=(ai)i∈Zdd´efinie dans l’hypo h`ese (δ) a au plus un nomb e
fini de e mes non nuls.
D´emons a ion du Th´eo `eme 1: E an donn´e x=(xi)i∈Zd∈E−
( espec i emen y=(yi)i∈Zd∈E− ), no ons Xx( ) ( esp. Xy( )) la
solu ion de (1) de condi ion ini iale x( esp. y) dans E− ,ona:∀ ≥0,
i∈Zd,
Xx
i( )−Xy
i( )=(xi−yi)−1
2
0φ
iXx
i(s)−φ
iXy
i(s)ds
−1
2
0
j=iφ
i,jXx
i(s),Xx
j(s)−φ
i,jXy
i(s),(Xy
j(s)ds.
En d´e i an Xx
i( )−Xy
i( )2pa appo `a ,ona:
d
d Xx
i( )−Xy
i( )2=−Xx
i( )−Xy
i( )φ
iXx
i( )−φ
iXy
i( )
−
j=iXx
i( )−Xy
i( )φ
i,jXx
i( ),Xx
j( )−φ
i,jXy
i( ),Xy
j( ).
D’ap `es les asse ions (α)e (δ)ona:∀ ≥0, i∈Zd
d
d Xx
i( )−Xy
i( )2
≤−(M+N)Xx
i( )−Xy
i( )2+
j=i
ai−jXx
j( )−Xy
j( )2.
Posons: ∀i, j ∈Zd,
Qi,j := −(M+N),si i=j
ai−j,si i=j.
Rema quons que Qi,j =Qj,i ca φi,j =φj,i e donc pou ou i∈Zd,
ai=a−i; on a donc ∀i∈Zde ≥0,
(4)
d
d Xx
i( )−Xy
i( )2≤
j∈Zd
Qi,jXx
j( )−Xy
j( )2
Xx
i(0) −Xy
i(0)2=(xi−yi)2.
On a besoin main enan d’un lemme de G onwall infini-dimensionnel
dans le cas o`u les cons an es son de signe quelconque (la “diagonale”
(Qii)i∈Zdes n´ega i e).
Limi e e godique de di usions 197
Lemme 1. Soien γ=(γi)i∈Zde a=(ai)i∈Zddes sui es posi i es
su Zde Q=(Qi,j)i,j une “ma ice” su Zd×Zd, sym´e ique. Soi
u( )=(ui( ))i∈Zd, ≥0une sui e de onc ions posi i es con inues su R+.
Supposons que:
(1) a∈1(γ)e ∀ ≥0,sups≤ u(s)∈1(γ)i.e.
(5) 
i∈Zd
γiai<∞e ∀ ≥0,
i∈Zd
γisup
s≤
ui(s)<∞.
(2) ∃K∈R,∀j∈Zd,
(6) 
i∈Zd
γiQi,j ≤K·γj.
Si K≥0, supposons que ∀i∈Zd, ≥0,
(7) ui( )≤ai+
j∈Zd
Qi,j 
0
uj(s)ds,
ou si K<0supposons que la sui e de onc ions ues de plus d´e i able
su R+e que ∀i∈Zd, ≥0
(8) u
i( )≤
j∈Zd
Qi,juj( ),u
i(0) = ai.
Alo s
(9) 
i∈Zd
γiui( )≤eK 
i∈Zd
γiai.
Rema que. L’in´egali ´e (8) en aˆıne (7), donc ai e l’hypo h`ese que
(8) es ´e ifi´ee es plus o qu’exige que (7) le soi .
D´emons a ion du Lemme 1:
Cas K≥0:
De l’in´egali ´e (7) on a: ∀ ≥0,

i∈Zd
γiui( )≤
i∈Zd
γiai=
0
i∈Zd
j∈Zd
Qi,jγiuj(s)ds.
198 S. Rœlly, D. Seu
Pa l’in´egali ´e (6) e du ai que Qi,j es sym´e ique on a: ∀ ≥0,

i∈Zd
γiui( )≤
i∈Zd
γiai+K
0
i∈Zd
γiui(s)ds.
Posons, ( )=e−K 
0i∈Zdγiui(s)ds. La onc ion es d´e i able
su R+ca → i∈Zdγiui( ) es con inue su R+.Sad´e i ´ee au :
i∈Zdγiui( ), on a donc:
( )=

i∈Zd
γiui( )−K
0
i∈Zd
γiui(s)ds
e−K
≤e−K ·
i∈Zd
γiai
alo s ( )≤1
K·
i∈Zd
γiai·(1 −e−K )
o 
0i∈Zdγiui(s)ds =eK ( ) donc,

i∈Zd
γiui( )≤
i∈Zd
γiai+
i∈Zd
γiai·eK (1 −e−K )
=eK ·
i∈Zd
γiai
ce qui nous donne l’in´egali ´e (9) pou K≥0.
Cas o`u K<0:
De l’in´egali ´e (8) e pa la sym´e ie de Qi,j on a: ∀ ≥0,

i∈Zd
γiu
i( )≤K
i∈Zd
γiui( )

i∈Zd
γiui(0) = 
i∈Zd
γiai.
Posons m( )=
i∈Zd
γiui( )e g( )=e−K m( );
on a: g( )=(m( )−Km( ))e−K
≤0.
Limi e e godique de di usions 199
La onc ion ges donc d´ec oissan e su R+. Donc ∀ ≥0,
g( )≤
i∈Zd
γiai=g(0).
D’o`u l’in´egali ´e (9) pou K<0.
Rema que. Le choix judicieux de la cons an e Kdu Lemme 1 es
donn´e pa
K= sup
j∈Zd
i∈Zd
γi
γj
Qi,j
= sup
j∈Zd
i∈Zd
γj
γi
Qi,j
pa la sym´e ie de Qi,j.
Sui e de la d´emons a ion du Th´eo `eme 1: La sui e de onc ions ui( )=
Xx
i( )−Xy
i( )2sa is ai les hypo h`eses du Lemme 1. En pa iculie ,
pa cons uc ion mˆeme de la solu ion de (1), (sups≤ ui(s))i∈1(γ( ))
(c Shiga & Shimizu (1980)). D’o`u, g ˆace au Lemme 1,
(10) 
i∈Zd
γ( )
iXx
i( )−Xy
i( )2
≤exp(K( )−M−N) ·
i∈Zd
γ( )
i(xi−yi)2.
Soien ∈Lip(E− )e ≥0
(11)
T (x)−T (y)=E (Xx( )) − (Xy( ))
≤E (Xx( )) − (Xy( ))
≤E (Xx( )) − (Xy( ))
21/2
≤[ ]·E
Xx( )−Xy( )

2
− 1/2.
En combinan les in´egali ´es (10) e (11), on a: ∀ ≥0,
|T (x)−T (y)|≤[ ]·exp K( )−M−N
2· ·x−y− .