Sobre la comprensión en estudiantes de matemáticas del concepto de integral impropia : algunas dificultades, obstáculos y errores

81 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1), 81–96 SOBRE LA COMPRENSIÓN EN ESTUDIANTES DE MATEMÁTICAS DEL CONCEPTO DE INTEGRAL IMPROPIA. ALGUNAS DIFICULTADES, OBSTÁCULOS Y ERRORES González-Martín, Alejandro S. y Camacho Machín, Matías Departamento de Análisis Matemático. Universidad de La Laguna [email protected] [email protected] INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA Resumen. En el presente trabajo mostramos algunas de las difi cultades, obstáculos y errores que los alumnos universitarios encuentran al aprender los conceptos relativos a la integración impropia; algunos de ellos parecen inherentes al propio concepto de integral impropia y otros vienen relacionados con ausencia de signifi cado o con otros conceptos del cálculo. Con el objetivo de analizar estas difi cultades, obstáculos y errores construimos un marco teórico basado, principalmente, en la teoría de Duval sobre los registros semióticos de representación y construimos un modelo de competencia para evaluar la comprensión de nuestros alumnos. Palabras clave. Integral impropia, registro de representación semiótica, modelo de competencia, integral defi nida. Summary. In this paper we present some diffi culties, obstacles and errors university students face when learning the concepts relative to improper integration. Some of them seem to be inherent to the improper integral concept itself and some others are related to lack of meaning or to other concepts of calculus. With the aim of analysing these diffi culties, obstacles and errors we built up a theoretical framework based, fundamentally, on Duval’s theory of semiotic registers of representation and we designed a competence model to assess our students’ comprehension. Keywords. Improper integral, semiotic registrer of representation, competence model, defi nitive integral. 1. INTRODUCCIÓN Y ANTECEDENTES Presentamos en este artículo algunos de los resultados de un trabajo realizado con el objetivo principal de localizar difi cultades, obstáculos y errores que aparecen en los alumnos de primer año de licenciatura1 al aprender los conceptos de la integración impropia. Este trabajo representa un primer acercamiento al análisis cognitivo que se realizará para diseñar una ingeniería didáctica sobre el concepto de integral impropia, en cuyo desarrollo nos encontramos actualmente inmersos. Es sabido que para defi nir la integral de Riemann2 se imponen dos condiciones: intervalo de integración acotado y función integrando acotada en este intervalo. Estas condiciones, además, aunque son necesarias para defi nir esta integral no son sufi cientes por sí solas para asegurar la integrabilidad de una función3. Cuando no se cumple una de las dos condiciones anteriores puede, sin embargo, extenderse la defi nición anterior, dando así lugar a las integrales impropias o integrales generalizadas. Uno de los problemas principales de estas integrales reside en el estudio de su convergencia. En la enseñanza universitaria tradicional se centra la atención en la memorización de criterios y en la resolución de múltiples ejercicios; sin embargo, casi no se interpretan los resultados obtenidos (y las paradojas que pueden aparecer) ni se buscan contraejemplos patológicos (en González-Martín, 2002, se realiza un análisis más detallado de los contenidos habituales en un tema de integración impropia). INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 82 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) El concepto de integral impropia resulta de gran importancia para los alumnos de las titulaciones de matemáticas e ingenierías por la gran cantidad de aplicaciones que tiene, ya sea para el cálculo de probabilidades, para defi nir normas funcionales, en el cálculo de transformadas de Fourier y Laplace y muchos cálculos físicos (como el trabajo, la energía... en determinadas circunstancias). A pesar de esto, nuestra experiencia nos indica que los alumnos no llegan a comprender adecuadamente este concepto ni a relacionarlo con algunos conocimientos previamente estudiados (como sucesiones, series e integrales defi nidas) en su primer año en la universidad, en el que toman contacto por primera vez con él. Hemos observado que muchos de los alumnos aprenden las herramientas y conceptos referentes a la integración impropia descontextualizados y desvinculados de los contenidos anteriores; se limitan a memorizar un conjunto de criterios y técnicas que, de estar contextualizados, tendrían mucho más signifi cado para ellos. Una de las principales difi cultades que encontramos al planifi car este estudio es la ausencia de trabajos publicados centrados en el concepto de integral impropia y su enseñanza-aprendizaje. Aunque éste aparece implícitamente en varios trabajos, se desarrolla generalmente en el marco de la integral defi nida. Orton (1983) detecta que la introducción de los alumnos a la integración se ve oscurecida por la manipulación algebraica. En su investigación se pide calcular la integral de la función 1/x2 en el intervalo [-1, 2] y se adjunta la gráfi ca. Esta pregunta ofreció especiales difi cultades a los alumnos participantes, aunque debemos aclarar que éstos sólo tenían conocimientos elementales sobre la integración. Calvo (1997) destaca el hecho de que, al ilustrar la defi nición de integral defi nida, se suele presentar una curva sin patologías, un intervalo positivo, se usa un número razonable de rectángulos... pero no se insiste en cuáles de estos elementos son esenciales y cuáles no. Relacionado con este hecho, nosotros encontramos que nuestros alumnos no saben cuáles son las condiciones necesarias para defi nir la integral de Riemann. Además, el hecho de identifi car la integral como un área puede dar lugar a falsas adscripciones de signifi cado, de forma que los alumnos no diferencian el signifi cado de la integral cuando la función es positiva y cuando la función es negativa. Por otro lado, Schneider (1991) identifi ca varios errores cometidos por estudiantes en cálculos de áreas y volúmenes, que muestran la presencia de concepciones erróneas. En su trabajo identifi ca el obstáculo de heterogeneidad de las dimensiones, al que haremos referencia más adelante, el cual induce a mezclar cantidades de dimensiones distintas (volúmenes con áreas y áreas con líneas). Las evidencias mostradas indican que este obstáculo tiene corte epistemológico. Rasslan y Tall (2002) diseñaron un cuestionario para explorar los esquemas cognitivos que evocan los alumnos para el concepto de integral defi nida, para lo cual analizaron si los estudiantes sabían defi nir este concepto4. Afi rman que sólo 7 estudiantes de los 41 participantes dieron una defi nición del concepto5. En su cuestionario también introducen dos integrales impropias, pero los alumnos no las identifi can al no conocer los aspectos teóricos. Finalmente, mencionamos el estudio de Camacho y Aguirre (2001), que plantean algunas integrales impropias a un grupo de alumnos y profesores; comprueban que tienen grandes difi cultades para calcular sus valores y muchos se pierden en los cálculos algebraicos. Se observa también que tanto profesores como alumnos tienden a sustituir los valores extremos de la integral y no calculan las integrales utilizando procesos límite, sino generalizando la regla de Barrow y sustituyendo directamente los extremos de la integral en la variable, aun cuando uno de los extremos sea infi nito. Motivados por esta situación nos interesamos en esta aproximación cognitiva por estudiar cómo aprenden los alumnos de primer curso de la titulación de Matemáticas los conceptos relacionados con la integración impropia, además de determinar algunas difi cultades, obstáculos y errores que surgen en su aprendizaje. Con este fi n se decidió utilizar problemas no rutinarios6 y de tipo no algorítmico para averiguar su nivel de comprensión, entendiendo la comprensión de un concepto matemático bajo la óptica de los sistemas de representación semiótica. Uno de nuestros objetivos es analizar el sistema de representación en el que los alumnos trabajan, además de observar si hacen alguna interpretación gráfi ca de los resultados que obtienen. También nos propusimos analizar, entre otras, las siguientes cuestiones: ¿Utilizan los alumnos elementos intuitivos? ¿Articulan diferentes sistemas de representación en situaciones relativas a integrales impropias? ¿Realizan procesos de transferencia de otros conceptos previos a los nuevos? Razones de tiempo, espacio y planifi cación nos llevan a acotar nuestro campo de investigación inicial y a decantarnos solamente por el uso de los registros de representación gráfi co y algebraico en un primer acercamiento al análisis de la comprensión de los alumnos de algunos conceptos básicos de la integración impropia, bajo la hipótesis de que los alumnos sólo están acostumbrados al trabajo en uno de ellos (el algebraico). Esta delimitación nos permitió reducir el campo de estudio, simplifi cando la cantidad de hechos a observar. Ponemos énfasis en el hecho de que, a pesar de encontrarnos elaborando una ingeniería didáctica sobre el concepto de integral impropia, los datos aquí presentados abordan una problemática de aprendizaje y no de enseñanza. En este aspecto, el diseño de un modelo de competencia cognitivo para caracterizar el nivel de comprensión de los alumnos de los procesos bajo estudio facilita enormemente el estudio cualitativo que se pretende desarrollar. Lo explicitado anteriormente se concreta en los siguientes objetivos: • Analizar el trabajo que desarrollan los alumnos de primer curso de la licenciatura en Matemáticas de nuestra universidad cuando se ponen en juego dos registros de representación semiótica (el algebraico y el gráfi co) en tareas relativas a la integración impropia. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 83 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) • Elaborar un instrumento que, a partir del empleo de dos registros de representación semiótica, nos permita indagar en los conocimientos que tienen los alumnos sobre el concepto de integral impropia después de recibir una instrucción tradicional. • Caracterizar los distintos niveles de comprensión del concepto de integral impropia mediante un modelo de competencia. • Identifi car difi cultades, obstáculos y errores que surgen en los alumnos cuando aprenden los elementos de la integración impropia. • Evaluar el modelo de competencia utilizado. Para tratar de ofrecer alguna respuesta a estas preguntas se elaboró un marco teórico para evaluar los niveles de comprensión de los alumnos cuando entran en juego los sistemas de representación algebraico y gráfi co. Con ayuda de este marco teórico construimos un modelo de competencia con el que poder clasifi car los niveles de comprensión cuando sólo entran en juego dos sistemas semióticos de representación. 2. MARCO TEÓRICO DE LA INVESTIGACIÓN 2.1. Bases del marco teórico Como se señala en el apartado anterior, en el planteamiento de este análisis cognitivo estamos más interesados en los fenómenos ligados al aprendizaje de la integral impropia que en un problema de enseñanza. Además, nos centramos específi camente en las actividades que realizan los alumnos para conjugar dos sistemas de representación, el gráfi co y el algebraico, ligados al concepto de integral impropia. Por tanto, se ha elegido una aproximación semiótica a esta problemática, entre todas las posibles. Por otro lado, al no abordar sino el uso de dos registros, no se pretende modelizar completamente la comprensión de la integral impropia. Tal y como señala Duval (1993, 1995), consideramos que la distinción entre un objeto matemático y su representación es fundamental para la comprensión de las matemáticas. El uso de las diferentes representaciones semióticas de un objeto matemático es, desde esta perspectiva, imprescindible para conseguir este propósito. Bajo este enfoque, estamos interesados en localizar difi cultades, obstáculos y errores que surgen de forma natural al realizar la conversión entre dos registros o al realizar manipulaciones dentro de uno de ellos. Al considerar fenómenos ligados al aprendizaje de las matemáticas, es necesario apoyarnos en una teoría del aprendizaje para explicar estos fenómenos. En lo que sigue, se expondrá de forma resumida los supuestos teóricos bajo los cuales se ha realizado este análisis cognitivo (desarrollado extensamente en González-Martín, 2002); se trata de determinar un modelo de competencia cognitivo, para lo que se adaptó la propuesta que presenta Socas (2001) en relación con el lenguaje algebraico, organizada en torno a los siguientes componentes: a) estadios de desarrollo cognitivo de los sistemas de representación; b) la teoría de Duval sobre los registros de representación semiótica y el funcionamiento cognitivo del pensamiento; c) difi cultades, obstáculos y errores en el aprendizaje. Estadios de desarrollo cognitivo En el proceso en que se aprende a manejar correctamente un sistema de representación semiótico formal, se pueden distinguir varios estadios de desarrollo cognitivo. Nosotros optaremos por la siguiente organización de estos estadios como sigue: estadio semiótico, estadio estructural y estadio autónomo (Socas, 2001). Como ya se ha dicho, al sólo interesarnos por las conversiones entre los sistemas algebraico (formal) y gráfi co, no pretendemos modelizar completamente la comprensión de las integrales impropias. Más bien, los niveles de nuestro modelo de competencia se referirán a los procesos de conversión de estos dos registros y a los procesos de transferencia asociados. Esto quedará explícito más adelante. Teoría de Duval sobre los registros de representación semiótica Una defi nición de lo que entendemos por las representaciones semióticas nos la da Duval (1993): «Las representaciones mentales cubren al conjunto de imágenes y, globalmente, a las concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto, sobre una situación y sobre lo que les está asociado. »Las representaciones semióticas son producciones constituidas por el empleo de signos que pertenecen a un sistema de representación, el cual tiene sus propias restricciones de signifi cado y de funcionamiento. »Una fi gura geométrica, un enunciado en lengua natural, una fórmula algebraica, una gráfi ca, son representaciones semióticas que pertenecen a sistemas semióticos diferentes.» Duval continúa profundizando sobre esta idea hasta llegar a caracterizar un registro de representación de la forma que sigue: «Un sistema semiótico puede ser un registro de representación si permite tres actividades cognitivas relacionadas con la semiosis7: »1) La formación de una representación identifi cable como una representación de un registro dado. »2) El tratamiento de una representación, que es la INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 84 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) transformación de la representación dentro del mismo registro donde ha sido formada. El tratamiento es una transformación interna a un registro. »3) La conversión de una representación, que es la transformación de la representación en otra representación de otro registro en la que se conserva la totalidad o parte del signifi cado de la representación inicial. La conversión es una transformación externa al registro de partida. Duval enuncia que, al ser cada representación parcial con respecto a lo que representa, se debe considerar como absolutamente necesario la interacción entre diferentes representaciones para la formación del concepto. Se puede decir, entonces, que un concepto se va construyendo mediante tareas que impliquen la utilización de diferentes sistemas de representación y promuevan la articulación coherente entre representaciones. Desde esta orientación teórica, el conocimiento de un individuo sobre un concepto es estable si es capaz de articular diferentes representaciones del concepto libre de contradicciones. Diversos autores, como Hitt (2000a), consideran que no sólo son importantes las tareas de transformación dentro de un registro de representación y las de conversión entre registros, sino que también aparece como importante la confrontación entre ejemplos y contraejemplos. Por otro lado, el trabajo de Duval no menciona los aspectos relativos al papel de las representaciones en la resolución de problemas. Bajo estos aspectos teóricos, cobra gran importancia la noción de transferencia, que se muestra esencial en el terreno de la resolución de problemas. Para evaluar los procesos de transferencia ideamos algunas preguntas donde se utilizan expresamente conocimientos anteriores, pero en un contexto nuevo. Intentamos con esto estudiar cómo realizan los alumnos las transferencias necesarias para solucionar las nuevas cuestiones (en caso de abordarlas). Difi cultades, obstáculos y errores Socas (1997) distingue cuatro elementos básicos como productores de difi cultades en el currículo de matemáticas: las habilidades necesarias para desarrollar capacidades matemáticas que defi nen la competencia de un alumno en matemáticas, la necesidad de contenidos anteriores, el nivel de abstracción requerido y la naturaleza lógica de las matemáticas escolares. De forma detallada, éstas pueden ser organizadas de la siguiente forma: • Difi cultades asociadas a la complejidad de los objetos de las matemáticas. • Difi cultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático. • Difi cultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje de las matemáticas. • Difi cultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos. • Difi cultades asociadas a actitudes afectivas y emocionales hacia las matemáticas. Las dos primeras se relacionan con la propia disciplina, la tercera con los procesos de enseñanza, la cuarta con los procesos cognitivos de los alumnos y la quinta con el terreno afectivo. Estas difi cultades se relacionan y forman redes en las que se refuerzan, concretándose en la práctica en forma de obstáculos y manifestándose en forma de errores. Socas (1997) proporciona también algunas características de los obstáculos: • Un obstáculo es un conocimiento adquirido, no una falta de conocimiento. • Tiene un dominio de efi cacia y se utiliza para producir respuestas adaptadas a un cierto contexto. • Cuando este conocimiento se utiliza fuera de su contexto, genera respuestas inadecuadas, incluso incorrectas. • Es resistente y resultará más resistente cuanto mejor adquirido esté o cuanto más haya demostrado su efi cacia y su potencia en el anterior dominio de validez. • Después de haber notado su inexactitud, continúa manifestándose esporádicamente. Con frecuencia los errores se manifi estan durante la manipulación de una representación dentro de un mismo sistema de representación, que generalmente es el algebraico. Otro tipo de error se puede presentar cuando hay una elección inadecuada de un sistema semiótico al resolver un problema matemático. También, como señala Duval (1993), muchas de las difi cultades encontradas por los estudiantes en diferentes niveles del currículo pueden ser descritas y explicadas como una falta de coordinación de registros de representación. Además, la construcción inadecuada de un concepto se puede deber a una carencia de articulación entre diferentes registros semióticos de representación. La complejidad de las difi cultades del aprendizaje de las matemáticas se traduce en errores que cometen los alumnos, que se producen por causas muy diversas. Es necesario, desde los modelos de competencia, tener elementos de análisis de estos errores; pero este análisis no se puede hacer en forma aislada, sino mediante actividades que intenten esclarecer las posibles conexiones (articulaciones) realizadas por ellos durante la construcción de algún concepto dado. 2.2. Modelo de competencia Desde nuestro enfoque teórico, y con los instrumentos diseñados, defi nimos la competencia como la articulación coherente de diferentes registros semióticos; ser competente signifi caría articular coherentemente las diferentes representaciones de la integral impropia al enfrentarse a la resolución de problemas «no rutinarios». Como ya hemos comentado, hemos extendido los diferentes estadios de desarrollo que se dan en los sistemas de representación cognitivos en el caso del lenguaje algebraico (Socas, 2001) a la coordinación entre dos INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 85 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) registros en nuestro caso particular. De esta forma, ya no hablaremos de niveles dentro de un mismo registro, sino de niveles en la coordinación entre dos registros8. En cada estadio distinguiremos dos categorías de comportamiento, obteniendo las siguientes categorías, que hacen referencia a las posibles articulaciones entre dos registros en cuestiones sobre integración impropia: Nosotros solamente consideramos los registros de representación gráfi co y algebraico, a los que se añade necesariamente el de la lengua natural, en las cuestiones utilizadas en las entrevistas, que son los siguientes: Representaciones en lenguaje habitual (H) Representaciones en lenguaje formal (algebraico) (F)9 Representaciones en lenguaje visual gráfi co (G) Por tanto, las acciones que distinguiremos serán: Esta notación es utilizada para describir las tareas esperadas en los alumnos entrevistados en las cuestiones que se les plantearon y tratar de ubicarlos en alguna de las seis categorías de comportamiento descritas anteriormente; la valoración sobre el conocimiento de los estudiantes se analiza sobre actividades que intenten esclarecer las posibles conexiones (articulaciones) realizadas. 3. METODOLOGÍA 3.1. La población Participan en la experiencia 31 estudiantes, de los que 13 son hombres y 18, mujeres. Los alumnos cursan asignaturas de primer año de la titulación en Matemáticas y todos están matriculados en la asignatura Análisis Matemático II, que es la asignatura donde se tratan los contenidos propios a la integración en una variable y, en particular, los relacionados con la integración impropia. Se distribuyen en dos grupos, tal como se muestra en la siguiente tabla. También sabemos que para la mayoría de los alumnos es el segundo año que cursan esta asignatura. 3.2. Instrumentos de recogida de la información Conscientes del interés y la riqueza que aporta el análisis cualitativo en una investigación como ésta, desde el principio se planteó el uso de cuestionarios y entrevistas para realizar nuestro estudio. Esto se convirtió en una necesidad aún mayor después de realizar la prueba escrita y analizar las respuestas obtenidas. La información que se pudo obtener de las entrevistas grabadas a partir de los datos del cuestionario resultó mucho más rica que la que obtuvimos de la corrección de las respuestas escritas en el papel. Por tanto, se utilizaron dos instrumentos para recoger la información: un cuestionario de conocimientos y entrevistas semiestructuradas. El cuestionario consta de nueve preguntas, incluyendo no sólo tareas de cálculo directo de integrales impropias y estudio de convergencia de integrales impropias, sino también cuestiones intuitivas y algunos resultados paradójicos. En particular, se pide interpretar la mayoría de los resultados a los que se llega (González-Martín y Camacho, 2002a, 2004; GonzálezMartín, 2002). Posteriormente se seleccionaron algunos alumnos para ser entrevistados y obtener información sobre los procesos y razonamientos que habían seguido Categoría 1A El alumno tiene ideas imprecisas sobre la integral impropia y mezcla de forma incoherente diferentes representaciones semióticas. Categoría 1B El alumno reconoce los elementos de un sistema de representación semiótico en relación con la integral impropia. Categoría 2A El alumno conoce un sistema de representación semiótico y realiza transformaciones en el interior del sistema de representación. Categoría 2B El alumno realiza correctamente actividades de conversión de un sistema de representación semiótico a otro; en estas actividades de conversión hay un sistema que el alumno controla, y facilita la conversión al otro. Categoría 3A El alumno articula dos sistemas de representación semióticos. Puede tomar cualquiera de ellos para signifi car correctamente al objeto integral impropia independientemente del otro. El alumno maneja autónomamente los dos sistemas de representación semióticos. Categoría 3B El alumno articula coherentemente diferentes sistemas de representación semióticos, ejerce un control de las representaciones semióticas que utiliza. Tiene conocimiento de la integral impropia como estructura y puede controlar aspectos coherentes e incoherentes del mismo. Reconocimiento de los elementos de un sistema de representación semiótico RH , RF , RG Transformaciones internas en un registro de representación semiótico TH , TF , TG Conversiones (transformaciones externas) entre sistemas de representación semióticos CH→F , CH→G CF→G , CG→F Coordinación entre diferentes sistemas de representación semióticos CF↔G , CG↔F CH↔F CH↔G Producción de representaciones semióticas en la resolución de una tarea PSF , PSG SEXO Hombre Mujer GRUPO 1-A 9918 1-B 4913 13 18 31 INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 86 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) en sus respuestas y las concepciones que tienen del objeto «integral impropia». En este sentido, la necesidad de estudiar cuestiones relativas a las respuestas obtenidas inicialmente nos condujo a utilizar, como protocolo de las entrevistas, las preguntas planteadas en el cuestionario. En el apartado 6 se explica detalladamente qué preguntas se seleccionaron y con qué objetivos. La técnica usada fue la de entrevista basada en un cuestionario10, en la que el entrevistado no sólo interactúa con el entrevistador, sino también con el conjunto de tareas que se le encomiendan (preguntas, problemas o actividades). En nuestro caso, las entrevistas no sólo fueron audiograbadas, sino también videograbadas, ya que estábamos interesados en recoger gran cantidad de información11. 3.3. Selección de los entrevistados La selección de los alumnos se hizo según sus respuestas al cuestionario. Básicamente, nos apoyamos en la combinación de los dos criterios siguientes: el desempeño total en la prueba o algunas representaciones o formas de proceder muy signifi cativas. En total se entrevistó a 6 alumnos, lo que supone un 19,35% del total, casi la quinta parte. Los alumnos seleccionados cumplen las siguientes características: Las entrevistas tuvieron una duración variable, según las respuestas de los alumnos. Estimamos que la más corta (MA5) duró alrededor de treinta y cinco minutos y que la más larga (MA1) duró una hora y veinte minutos. De las nueve preguntas de que consta el cuestionario se seleccionaron cinco preguntas para la entrevista y se añadió una más. Para cada entrevista se llevó la prueba de conocimientos del alumno entrevistado para hacerle preguntas particulares sobre lo que había escrito y, si realizaba algún cambio, averiguar las razones. Además, también servía para ayudar a algún alumno si se quedaba bloqueado. 4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS A continuación mostramos las seis cuestiones del protocolo de las entrevistas junto con los objetivos propuestos con cada cuestión, comentando brevemente algunos de los resultados obtenidos en el cuestionario; formulamos las acciones esperadas según nuestro modelo de competencia, para fi nalmente analizar y discutir algunos datos obtenidos en la entrevista13. Con esta pregunta se quiere saber si los alumnos tienen claro, o bien asimilado, el concepto del que se supone que se va a partir para construir el de integral impropia. En el análisis de los cuestionarios se había obtenido que casi todos los alumnos la defi nen como un área (29 de los 31 alumnos). Sabiendo que el registro de representación gráfi co va a estar muy presente en el resto de preguntas que se va a plantear, nos interesamos por saber si son coherentes con los registros que usan para defi nir la integral y para operar con ella. También se observó en la prueba escrita que tan sólo 4 alumnos aluden a que la integral defi nida es un área sólo si la función es positiva en el intervalo de integración, y otros 4 se refi eren a que el intervalo de integración sea fi nito. Con esta cuestión se pretende averiguar si no se ha puntualizado este detalle por mero olvido o si realmente los alumnos conciben que siempre debe ser un área. Por último, pensamos que los alumnos se sentirían más cómodos comenzando la entrevista con una pregunta que ellos consideraran, de antemano, «fácil». Las acciones que consideramos a priori, según nuestro modelo de competencia, son las siguientes: Pregunta 1 RH , RF CH→F , CF→G CF↔G , CG↔F PSG Análisis y discusión Un primer obstáculo que observamos consiste en pensar que la integral es siempre un área, independientemente del tipo de función; este tipo de obstáculos ya ha sido detectado en el trabajo de Calvo (1997), entre otros. La alumna MA1 explica: A: [...] Pues que es el área comprendida... de la curva f(x)... [...] y el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b. [...] E: ¿Es cierto? ¿Para toda función? ¿Es siempre el área? ¿Para toda función? A: ... Sí... Alumno Grupo Sexo Resultado del cuestionario12 MA1 1-A Mujer Medio MA2 Bajo MA3 Hombre Muy alto MA4 1-B Alto MA5 Muy alto MA6 1-A Alto Pregunta 1 ¿Cómo le explicarías a un compañero el signifi cado de ? b af(x).dx INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 87 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) Además, esta alumna defi ne más adelante la integral como una «aproximación» al área. Esto puede estar unido al obstáculo citado por Tall (1992b), en el que los alumnos ven el límite como algo inalcanzable; pensamos que también puede estar relacionado con el uso del infi - nito potencial (Hitt, 2000b; Garbin, 1998). El estudiante MA3 da una defi nición muy formal, pero concibe también la integral siempre como un área14. Este alumno aborda todas las preguntas de forma claramente algebraica; no parece realizar correctamente las coordinaciones entre los registros algebraico y gráfi co (CF↔G y CG↔F). Resolvió todas las preguntas del cuestionario algebraicamente, apenas recurriendo a lo gráfi co, por lo que fue seleccionado para saber si simplemente prefi ere el registro algebraico o si tiene difi cultades con el registro gráfi co. En el caso de la alumna MA2, su defi nición es operacional: A: Bueno, pues la integral es eso, un modo de calcular... una forma de cálculo... de... de... de un... un área... Pensamos que su conversión al sistema formal (CH→F) es incompleta, pues su misma defi nición de integral está a nivel de proceso. Pensamos que ve la integral como una herramienta para calcular el área (un procedimiento, quizá una operación), pero no como el área misma. Esto ya se convierte en un obstáculo para ella al abordar preguntas de corte no algorítmico. Este tipo de comportamientos ha sido presentado por varios autores (Tall, 1994), relacionado con el uso generalizado de los símbolos matemáticos de forma compresiva; muchos procesos matemáticos se simbolizan y posteriormente este símbolo se trata como un concepto matemático, pudiendo ser manipulado como un objeto mental15. Dada la gran cantidad de símbolos que representan tanto el proceso como el concepto, Tall introduce la defi nición de procepto elemental como la amalgama de un proceso, un concepto relativo producido por tal proceso y un símbolo que los representa a ambos. Evidentemente, la noción de procepto conlleva una ambigüedad, pues un símbolo puede ser interpretado como un proceso o como un objeto, que lleva a la fl exibilidad del pensamiento: se puede usar el proceso para hacer matemáticas y obtener respuestas o utilizar el concepto para pensar en matemáticas. Sin embargo, los alumnos que no han desarrollado esta fl exibilidad son incapaces de ver el símbolo como un concepto, sino solamente como un proceso. Ésta es la única cuestión nueva introducida en la entrevista, con la fi nalidad de analizar los razonamientos de los alumnos en una situación, en principio, desconocida para ellos. Tiene como objetivo averiguar qué tipo de transferencias hacen los alumnos de sus conocimientos de sucesiones y series a los de integración impropia. Igualmente, aunque la pregunta está propuesta en un lenguaje verbal y algebraico, se pretende observar si utilizan el registro gráfi co para abordarla, dado que es más intuitivo caracterizar las funciones por su forma. Las acciones esperadas en esta pregunta quedan refl ejadas así: Pregunta 2 RH , RF TF CH→G , CF→G , CG→F CF↔G , CG↔F PSG Análisis y discusión Durante la entrevista con la alumna MA1 emergieron diversos obstáculos y difi cultades que tiene esta alumna en relación con el concepto de límite y la diferencia entre serie y sucesión. En un primer momento, observamos que no realiza transferencia de los conceptos de sucesiones y comprobamos más adelante que sus concepciones relativas a las nociones de límite, sucesión y serie son inadecuadas; por ejemplo, la misma noción de convergencia le ofrece serias difi cultades: A: Pero no entiendo converger, porque no es... no es que sea... ¡Ay, Dios! [...] ... pues lo de converger está «fastidiao»». Pero no es como... como una suma. No es una suma, ¿no? E: No, o sea... lo que tienes es... bueno, lo que tienes es primero la integral de uno a diez, que te da un número. Después la integral de uno a veinte, que sería el segundo término de la sucesión. A: ¿Y qué es lo que tengo que ver para que converja? Más adelante, escribe en la pizarra una integral genérica y trata de clasifi carla o aplicarle algún criterio (aparentemente, sabe algunos enunciados de memoria) sabiendo las condiciones que cumple. Por tanto, parece darle gran importancia al trabajo en el registro formal. La alumna MA2 tiene también en esta pregunta diversas difi cultades. Pensamos que, principalmente, se deben a la ausencia de signifi cado de los términos relativos a series y sucesiones. Por ejemplo, si se le pregunta cuándo es convergente una sucesión, responde que cuando tiene límite. Sin embargo, si se le pregunta qué quiere decir tener límite, no sabe responder. Por tanto, las tareas de transferencia quedan interrumpidas por esta defi ciencia, y las acciones TF no puede llevarlas a cabo correctamente. La forma de enfrentarse a esta pregunta del alumno MA3 fue totalmente «formal» y muestra que las transferencias 10 1f ( x)dx Pregunta 2 Sabemos que f(x) es una función continua y estrictamente positiva. Supón que hemos calculado y que nos da una cantidad fi nita. Ahora calculamos y también nos da una cantidad fi nita, mayor que la anterior. Si seguimos calculando: ¿qué crees que sucederá? ¿Podrá alguna vez converger esta sucesión? ¿Qué tipo de funciones f(x) pueden dar lugar a una sucesión convergente? 20 1f(x)dx 30 1 f (x) dx, 50 1 f (x) dx, 40 1 f (x) dx, ⬁ 1 f (x) dx 10-n 1 f (x) dx… INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 88 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) dentro del registro algebraico no le resultan muy difíciles. Sin embargo, cuando se le pide explícitamente que cambie al registro gráfi co, este alumno no es capaz de coordinar los resultados e intuiciones que tenía formalmente: E: ¿Y se te ocurre algo sobre la forma que tienen que tener las funciones? ¿Se te ocurre algo? A: Buffff... E: No la ecuación, sino la forma, o qué forma... si hay alguna forma que sí, o alguna forma que... que no. [...] A: No estoy en condiciones para... Pero... No sé, cuando son polinomios o... yo me atrevería a decir que... si un polinomio, eh... O no un polinomio, sino la inversa de un polinomio. [Señala a la familia 1/xn que ya tenía escrita.] Finalmente, se escabulle del registro gráfi co para pasar al algebraico. Aunque es capaz de señalar funciones que no, no sabe decir por qué, ni aporta alguna interpretación gráfi ca para que esto suceda. El alumno MA6 abordó esta pregunta directamente en el registro gráfi co, pero afi rma: E:[...] ¿Se te ocurre alguna caracterización de las funciones, alguna condición que tengan que cumplir?...¿crees que no se puede imponer nada...? [...] A: Una función tal que el límite cuando x tiende a infi nito de f(x) sea igual cero. [Mientras lo escribe.] 16. No sé... [Se encoge de hombros]. E: ¿Por qué? A: Mm... hombre, estoy diciendo que se acerque mucho al cero. [Señala la asíntota de su curva.] E: Ajá. A: ...pero no sólo por eso. Yo qué sé, también una función que el límite sea cero no tiene por qué... por qué converger. Entonces sería una condición que sería... [Señala el límite que escribió.] interesante para el asunto. Probablemente el hecho de pensar que es necesario que la función tienda a cero para que su integral converja venga provocado por el poco uso del registro gráfi co y de contraejemplos adecuados durante el proceso de aprendizaje. En esta pregunta los objetivos son los mismos que en la prueba escrita, es decir, ver cómo se enfrentan los estudiantes al cálculo de integrales impropias «sencillas» y enfrentarlos a un resultado paradójico, pero de forma encubierta, para analizar cuántos se dan cuenta de éste. Las acciones esperadas son las siguientes: Pregunta 3 RF TF CF↔G Análisis y discusión La alumna MA1, al abordar la segunda integral, dice: «Esto es el volumen, ¿no?» y dice que lo sabe «porque es la fórmula». Sin embargo, luego no sabe exactamente con respecto a qué eje gira la función y concluye que da igual hacerla girar respecto de un eje que del otro, «porque es simétrica»: de donde se observa una nueva carencia de signifi cación de los conceptos previos y en el uso del registro gráfi co. El entrevistador decide averiguar el alcance de su intuición o si ha dotado de signifi cado a los ejemplos que se han resuelto en clase: E: ¿Recuerdas lo que te dio la integral de antes? A: Infi nito... E: Infi nito. ¿Y qué representa ésta? A: El volumen... E: ¿Y, entonces, me puedes decir algo del resultado sin haberla hecho? O... ¿no me puedes decir nada? A: Ah, que el volumen es infi nito [... ] El volumen de una cosa infi nita es infi nito. Si tú tienes una cosa muy grande, muy grande, muy grande, y la haces girar, girar, girar... pues se irá expandiendo, por todos los lados... ¿no? Observamos aquí el obstáculo que denominamos de ligación a la compacidad, ya que parece que la alumna sólo concibe un volumen como fi nito si la fi gura es cerrada y acotada. También creemos que nos encontramos con el obstáculo de homogeneizar dimensiones, consistente en creer que las propiedades de una fi gura en un número de dimensiones se mantienen al aumentar o disminuir este número; así, una fi gura de área infi nita debería engendrar un volumen infi nito (González-Martín, 2002). La alumna MA2, para calcular, divide la integral: y se queda sólo con la primera de ellas, despreciando la segunda, pues es la primera integral «la que indica el carácter» y, si calculamos la primera integral, tenemos el problema resuelto. Esta forma de proceder es fruto de un error de interpretación de un criterio de convergencia17 y revela errores algebraicos y falta de coordinación entre los registros algebraico y gráfi co, pues no se da cuenta de que está afi rmando que el área en [2, ∞) equivale al área en [2, 3). Cuando se le pide que explique un poco más su procedimiento para resolver la integral, explica que se usa para determinar su carácter; que se toma un valor cualquiera en el intervalo de integración [2, ∞) y se separan las integrales, siendo la primera la que se toma. En sus palabras: «[…] tomé 3, pero podía haber tomado 35». El alumno MA4 es de los diez alumnos que, en el cuestionario, enuncia que una integral representa el área y la Lim x→⬁f(x) = 0 Pregunta 3 Calcula las siguientes integrales: Interpreta geométricamente los resultados. ¿Hay alguna relación entre ambas integrales? ⬁  = 2x-1 dx 3  + 2x-1 dx ⬁  3x-1 dx ⬁  dx 2x-1 1⬁  dx 2(x-1) 1 ␲.2 INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 89 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) otra, el volumen de la misma función; y es de los tres alumnos que enuncian claramente que el área puede ser infi nita y el volumen, fi nito. Además, realiza correctamente la coordinación entre los registros formal y gráfi - co para interpretar geométricamente el resultado, aunque afi rma que, aunque contradice la intuición, se fía de lo que le dicen las herramientas algebraicas: A: He intentado ver lo que signifi ... por qué eso es así, pero... Matemáticamente está correcto [Señala los cálculos.], pero... A la hora de verlo así, en la gráfi ca... Un poco raro... Raro es. El obstáculo en el registro gráfi co puede deberse a la tendencia a transferir las propiedades del área a las del volumen generado (que denominamos homogeneizar dimensiones). A esta cuestión, en el nivel académico de nuestros estudiantes, se le puede dar respuestas correctas razonando, al menos, de dos formas diferentes. En el registro algebraico, se ha calculado como una integral de Riemann, una función que presenta una discontinuidad esencial en el intervalo. Gráfi camente también resulta obvio que el resultado es erróneo, ya que la función es estrictamente positiva y, sin embargo, se obtiene un resultado negativo para su integral. Nuevamente, estamos interesados en ver qué registro es el elegido por los alumnos para enfrentarse a esta situación, a pesar de que la mayoría defi ne la integral como un área. Las acciones que se espera que los alumnos desarrollen son: Pregunta 4 RF TF CF↔G , CG ↔F PSG Análisis y discusión La alumna MA1 utiliza un criterio de convergencia con el fi n de calcular el valor de la integral, al igual que la alumna MA2 en la pregunta anterior. Ella dice que se puede proceder, en general, del siguiente modo: porque «hay un teorema que decía algo así18». En este caso, los errores cometidos se deben a una mala interpretación de las herramientas formales, usándolas en situaciones que no les corresponde. Esta pregunta ofrece directamente un resultado paradójico a los alumnos. Sin embargo, en la prueba escrita pareció que algunos lo abordaban con total naturalidad (32,25 %). Se trata de un enunciado que, restringido al registro algebraico, puede no resultar tan paradójico; sin embargo, cuando se interpreta gráfi camente, se muestra con toda su confl ictividad. Las acciones a desarrollar son las que aparecen en el siguiente cuadro: Pregunta 5 RH , RG , RF TF CH→G , CH→F , CF→G , CG→F CF↔G , CG↔F PSF Análisis y discusión La alumna MA2 es un buen ejemplo de los confl ictos cognitivos que genera esta cuestión; al interpretar el resultado, afl oran los problemas. A: Pero es que yo lo que no entiendo es eso. ¿Cómo... cómo podemos decir... que...? O sea, ¿cómo podemos darle un número a algo que es infi nito... se supone... Eso es lo que nunca he entendido yo [...] Esta función es infi nita, se supone, no está acotada, es infi nita... E: Ajá. A: ...y me dicen que eso tiene un volumen de un número... [Mira al entrevistador y se encoge de hombros.] No lo entiendo por qué me puedes asegurar eso, ¿sabes?... Que no... Observamos nuevamente la presencia del obstáculo que denominamos ligación a la compacidad. La alumna no puede siquiera concebir el procedimiento de calcular un área o un volumen de una fi gura de forma infi nita. Pensamos que esto se relaciona con su incapacidad de concebir una integral con uno de los límites de integración variab 0 f (x) dx = b 1 f (x) dx = 1 0 f (x) dx+ b 1f (x) dx despreciable Pregunta 5 La siguiente fi gura muestra el resultado de hacer girar la curva y = ex alrededor del eje OX. Si siguiéramos prolongando la fi gura hacia la izquierda, ¿qué volumen crees que encerraría? Para comprobar tu intuición, lo calcularemos. Cada sección circular tiene un radio de ex. Por tanto, el área de cada sección es: A(x) = π.(radio)2 = π. (ex)2 = π. e2x. Si sumamos ahora todas las áreas, obtendremos: ¿Qué sucede? Interpreta el resultado. Pregunta 4 ¿Por qué el siguiente cálculo es obviamente erróneo? 1  = -1 x2 dx 1  = -1 x-2dx -1 x-1 1 -1 x -1 1 -1 =1 -1 =-1 -1 -=-2 1 -⬁ A(x)dx = 1 be2xdx. 1 -⬁ ␲.e2xdx = ␲.lim b→-⬁ V(x) =