Ideas del infinito, percepciones y conexiones en distintos contextos : el caso de estudiantes con conocimientos previos de cálculo

61 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1), 61–80 IDEAS DEL INFINITO, PERCEPCIONES Y CONEXIONES EN DISTINTOS CONTEXTOS: EL CASO DE ESTUDIANTES CON CONOCIMIENTOS PREVIOS DE CÁLCULO Garbin D., Sabrina Universidad Simón Bolivar INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA Resumen. En este artículo presentamos una investigación que surge de un especial interés por estudiar y explorar el caso del infi nito, en su dualidad potencial-actual, en un nivel donde ya se han introducido conceptos formales del cálculo diferencial e integral, y donde empiezan a aparecer interconexiones y confusiones entre la «imagen formal» e «imagen informal» de estos conceptos. El estudio pretende contribuir con el debate de la problemática del infi nito e infi nitos a nivel universitario. Se enmarca en un estudio cualitativo; el análisis de datos es inductivo y el foco de investigación es de carácter exploratorio, descriptivo e interpretativo. Participaron en el estudio 89 estudiantes con edades comprendidas entre 17 y 25 años. Palabras clave. Infi nito, esquemas conceptuales, percepciones, imagen formal e informal, cálculo. Summary. We present a research springing from a special interest in studying and exploring the infi nite and its duality power-present, at a level where formal concepts of differential and integral calculus have already been introduced and where there appear interconnections and confusion between the «formal image» and the «informal image» of these concepts. This paper attempts to contribute to the debate of the fi nite and infi nite problems at university level. It is framed within a qualitative study, the analysis of date is inductive and the focus of the research is of an exploratory, descriptive and interpretative kind. Eightynine students aged between 17 and 25 took part in this study. Keywords. Infi nite, conceptual schema, perceptions, formal and informal image, calculus. INTRODUCCIÓN El interés por el infi nito o los infi nitos matemáticos, en la matemática y en otras disciplinas como la fi losofía o la historia, es un asunto milenario. En las últimas décadas, la problemática del concepto de infi nito matemático también lo es para la psicología y para la didáctica de las matemáticas. Son muchas las investigaciones realizadas, trabajos que representan interés histórico, epistemológico, psicológico, fi losófi co o didáctico. D’Amore (1996, 1997) recoge numerosos títulos (280) del año 1951 al 1996 y muestra con éstos la dirección que han ido tomando las investigaciones. Después del 1996 siguen apareciendo nuevos trabajos, pero más recientemente la revista Educational Studies in Mathematics dedica, al tema del infi nito, el volumen núm. 48 (2001). Tall y Tirosh afi rman que esta selección de artículos pretende contribuir, desde la psicología del pensamiento matemático, al debate que, a lo largo de la historia, se ha generado sobre el concepto y su desarrollo a lo largo del tiempo, superando obstáculos tanto intuitivos como formales o psicológicos. Se estudia en estos artículos el infi nito distinguiéndolo entre los infi nitos y los infi nitesimales del cálculo y los infi nitos cardinales introducidos por Cantor. Se comienza con su desarrollo histórico y se consideran las distintas maneras en que se extrapola la experiencia fi nita a las varias teorías del infi nito. Se sigue con la presentación INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 62 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) de estudios empíricos sobre las concepciones de los estudiantes y sobre la enseñanza de los infi nitos en diferentes contextos. En particular se aborda la enseñanza de los límites en el cálculo, específi camente de sucesiones, y del infi nito cardinal en la matemática formal. Por otra parte, Garbin y Azcárate (2000, 2002) y Garbin (2000) se hacen una serie de preguntas que derivan de plantear el problema de estudio. El interrogante consiste en cuál es la posible infl uencia de los lenguajes matemáticos en la concepción del infi nito actual y en las inconsistencias de los alumnos. La primera experiencia de la investigación llevó a querer identifi car las inconsistencias y representar, categorizar y analizar las situaciones de coherencias que manifi estan los alumnos en relación con sus esquemas conceptuales asociados al concepto de infi nito actual y que se contextualizan en problemas expresados en lenguajes matemáticos diferentes: verbal, geométrico, gráfi co, algebraico y analítico. Estos estudios se realizaron con estudiantes entre 16-17 años. Trabajar en el ámbito universitario hace surgir un especial interés por estudiar y explorar el caso del infi nito, en su dualidad potencial-actual, en especial el nivel donde ya se empezaron a introducir conceptos formales del cálculo diferencial e integral, y donde empiezan a aparecer interconexiones y confusiones entre la «imagen formal e informal» (Tall, 2001) de estos conceptos. Este artículo pretende contribuir con el debate de la problemática del infi nito e infi nitos a nivel universitario, y profundiza y completa lo presentado en Garbin (2003). En particular, el estudio pretende: a) analizar los efectos que tiene en la percepción de los estudiantes universitarios, con conocimientos previos de cálculo diferencial e integral, la presencia implícita del «infi nito pequeño» en preguntas planteadas en distintos contextos matemáticos, a partir de los esquemas conceptuales de los alumnos; b) estudiar qué tipo de conexiones y qué focos de atención presentan y establecen en las distintas cuestiones en que está presente el «infi nito pequeño», así como establecer una posible relación entre los focos de atención y conexiones y la percepción del infi nito que éstos puedan establecer. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA En la introducción se afi rma que son numerosas las investigaciones en didáctica sobre el infi nito matemático pero algunas se pueden considerar como pilotos y pilares en el área del infi nito matemático. Fischbein (1978), Fischbein, Tirosh y Hess (1979), Tirosh (1991), Nuñez (1994), Moreno y Waldegg (1991), Tsamir y Tirosh (1995, 1999) revelan entre otras cosas que la intuición natural del infi nito es sumamente inestable y que las situaciones de confl icto que se presentan dependen de las infl uencias conjeturales y contextuales. De especial interés para nuestro estudio son algunos resultados y aspectos de los trabajos de Fischbein (1978), Fischbein, Tirosh y Hess (1979), Nuñez (1994), Fischbein (2001), Kidron (2002), Garbin (2000), Garbin y Azcárate (2002) y Garbin (2003), que a continuación se reseñan. Ante estos hallazgos resulta normal preguntarse qué pasa con estudiantes de niveles superiores que ya han tenido contacto con conceptos formales de cálculo diferencial e integral, interrogante que sustenta el problema de investigación que aquí se presenta. Fischbein reveló la naturaleza confl ictiva de las intuiciones del infi nito en los estudiantes, enfocando su investigación en el infi nito potencial como un proceso de límite y el infi nito actual en la teoría de números cardinales. Fischbein (1978) encontró, en estudiantes de 8º y 9º grado, que la concepción intuitiva del proceso de límite tiende más a ser un proceso infi nito que un valor fi nito de un límite. Esto fue confi rmado más tarde (Fischbein, Tirosh y Hess, 1979; Fischbein, Tirosh y Melamed, 1981; Garbin y Azcárate, 2000, 2002). Uno de los interrogantes de nuestro cuestionario involucra la serie 1/2 +1/4 + 1/8 + ... El estudio de esta serie como la representación de la suma de los segmentos, resultado de divisiones sucesivas de un segmento AB de longitud 1 en mitades, tuvo interés para estos autores. Matemáticamente esta serie (convencionalmente) es «igual» a 1; sin embargo, «psicológicamente» esta serie «tiende» a 1 (Fischbein, 2001). En el estudio de Fischbein, Tirosh y Melamed (1981), los estudiantes contestaron que dicha suma es: infi nita, tiende a 1 y es igual a 1 (con un número pequeño de estudiantes que afi rmaron que es igual a 1). Este resultado fue igualmente encontrado en Garbin (2000), Garbin y Azcárate (2002), pero además de las respuestas anteriores hubo una repuesta adicional, algunos alumnos dieron un valor a la suma tomando ésta como una suma fi nita, es decir, evadieron la infi nitud de la suma. Los esquemas fi nitos prevalecieron en algunos estudiantes a pesar de la representación infi nita de la suma. Kidron (2002) propuso un estudio para investigar la habilidad de los estudiantes de high school (grade 11, N = 63) de percibir la suma como un límite, como un objeto. Los estudiantes miraron el concepto desde dos diferentes acercamientos y trabajando en un laboratorio equipado con computadoras con el software Mathematica. En el estudio se encontró la misma percepción de suma infi nita como en otros estudios; sin embargo, el 43% expresó una percepción de la suma infi nita como un límite y el 56% escribió 1+ ½ + ¼ + ... = 2, un porcentaje «balanceado» en ver la suma como proceso y como concepto. Nuñez (1994) hace uso de la primera paradoja de Zenón, de la división para ofrecer un acercamiento a cómo la mente construye la idea de infi nito; y lo hace con alumnos de edades entre 8, 10, 12 y 14 años. Nuñez afi rma que la situación de la paradoja de Zenón presenta una situación de subdivisiones, un infi nito pequeño, que implica una coordinación simultánea entre el creciente número de pasos y el decreciente resultado parcial que debe ser operado. El concepto de suma infi nita tiene dos «tipos» de iteraciones («divergente» y «convergente»), y diferente «naturaleza» del contenido («cardinalidad» y «espacio»). Estos procesos explicitados por Nuñez fueron tomados en cuenta para construir las líneas de coherencia, instrumento de análisis que se presenta en la metodología, dado que, en el concep- INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 63 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) to involucrado en las cinco preguntas del cuestionario, están presentes los dos «tipos» de iteraciones y la diferente «naturaleza» del contenido. Los estudios realizados con estudiantes de 16-17 años (Garbin, 2000; Garbin y Azcárate, 2000, 2002) no sólo son antecedentes, sino que, como en éstos, el tema de estudio, la naturaleza del problema y el propósito de la investigación, entre otros, ofrecen la perspectiva teórica del trabajo que se está presentando en este artículo, la cual, en cuanto al concepto de infi nito, ya se ha refl ejado con los antecedentes. El estudio se enmarca en el dominio del llamado pensamiento matemático avanzado, teoría cognitiva desarrollada por Tall y Dreyfus. Los conceptos de esta teoría que se tratan son: a) de manera particular, el concept image que llamamos esquema conceptual y entendemos como: «el conjunto de todas las imágenes mentales del estudiante asociadas al concepto, juntamente con todas las propiedades que le caracterizan» (Tall y Vinner, 1981); informal image y formal image (Tall, 2001), que nombramos imagen informal y formal, la primera es algún tipo de imagen que se tiene antes del acercamiento con teorías axiomáticas, y la segunda con palabras de Tall consiste en la parte del esquema conceptual que es formalmente deducido de los axiomas. Esto enfoca el problema específi co de la investigación, la tensión entre el infi nito «perceptual» y el infi nito «formalizado». Por el tipo de preguntas que se plantea a los estudiantes en este estudio y por el nivel de los alumnos en que no ha sido formalizada la teoría de la cardinalidad de Cantor resulta imprescindible considerar el tema de la intuición, su rol, características y clasifi cación (Fischbein, 1998) También es importante considerarlo, por ser el conocimiento intuitivo un camino básico, junto al analítico, en la actividad matemática, como mostró Fischbein en su artículo «Intuition and Proof» (1982). METODOLOGÍA La investigación se enmarca en un estudio de tipo cualitativo. El análisis de datos es inductivo, ya que las interpretaciones y categorías se construyen a partir de la información obtenida. Se sigue, en parte, la metodología adoptada en Garbin (2000) y Garbin y Azcárate (2002). Instrumentos de recogida de datos y descripción de los participantes La experiencia se realiza con 89 estudiantes universitarios con edades comprendidas entre 17 y 25 años (73 de los 89 tienen entre 18 y 20 años). Nueve estudiantes de ciencias (química y física) y 80 estudiantes de ingeniería (polímeros, mecánica, metalmecánica, computación, eléctrica, producción, electrónica, geofísica y metalúrgica). Los alumnos pertenecían a tres secciones de matemáticas V, formadas aleatoriamente por el Departamento de Matemáticas. El desempeño de los estudiantes es variado, el grupo no tenía características específi cas resaltables salvo el tipo de carrera a la cual pertenen. Los estudiantes tienen conocimientos previos formales sobre límites, derivadas, integrales, sucesiones y series; todos estudiaron los mismos cursos básicos (Matemáticas I, II, III y IV) dictados por el Departamento de Matemáticas de la Universidad Simón Bolívar, de Venezuela. Dos cuestionarios fueron aplicados a los estudiantes: C1 y C2. El primero consta de cinco preguntas, mientras que el segundo sólo presenta una cuestión (problemas considerados en Garbin, 2000; Garbin y Azcárate, 2002). Las cinco preguntas del C1 (Anexo I) están inspiradas en la primera paradoja de la división, de Zenón, y diferenciadas por el contexto. La paradoja de la dicotomía pone en superfi cie dos aspectos. Si nos queremos mover del punto 1 al 2 de la recta real, podemos hacerlo con un procedimiento fi nito, nos movemos toda la unidad de una vez; o podemos utilizar un procedimiento infi nito, moviéndonos ½ unidad, después ¼ unidad, y así sucesivamente. Si se ignora la posibilidad de que hay puntos distintos a una distancia infi nitesimal entre uno y otro, es evidente que ambos procedimientos conducen al mismo punto. Este hecho está expresado en la «igualdad» 1 + 1 = 1 + ½ + ¼ + 1/8 + ... que Zenón consideraba paradójica. El hecho es que asumía a priori que no existía el «infi nito actual» y, entonces, que ningún proceso infi nito podría considerarse completo (Rucker, 1995, p. 117). En particular, las preguntas presentan una situación que, en lenguaje de Nuñez, (1994) presenta un infi nito pequeño que implica cognitivamente una coordinación simultánea, el creciente número de divisiones y el decreciente «espacio» que se recorre o «resultado parcial» que se opera. Para el segundo cuestionario (C2) (Anexo I) se seleccionaron tres (1, 3 y 4) de las cinco preguntas del C1 y se aplicaron al mismo grupo de alumnos después de aplicar el C1. Su objetivo es extraer información sobre qué tipo de conexiones y focos de atención presentan y establecen los estudiantes a partir de las preguntas 1, 3 y 4 del C1. METOLOGÍAS ESPECÍFICAS Y ANÁLISIS Redes sistémicas y esquemas conceptuales Se opta por el uso de las redes sistémicas (Bliss, Monk y Ogborn, 1983) como sistema de clasifi cación y representación de los datos cualitativos obtenidos a partir de las respuestas dadas por los alumnos en el cuestionario C1. Se elabora una red sistémica para cada una de las preguntas del C1. En el gráfi co 1 se puede observar a modo de ejemplo la red sistémica de la pregunta 4 y en los anexos se observan el resto de las redes sistémicas elaboradas. Éstas consisten en una determinada confi guración de los datos, que permite mirar de manera efectiva todas las respuestas de los alumnos encuestados. Como se puede observar, las redes se estructuran en forma de árbol con ramas que se subdividen en «clases» (se usa como formalismo la barra (I)), que son categorías que se excluyen entre ellas. Los estudiantes habían sido identifi cados aleatoriamente con números del 1 al 89. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 64 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) Podrías determinar el valor de la función? (VF) VF                                                                                                 Tiende (se acerca, se aproxima) a 0             l´ımn→∞ f(x)=0 (54) (1)(3)(5)(6)(7)(8)(17)(18) (21)(24)(28)(29)(30)(31)(45)(47) (48)(50)(53)(55)(57)(59)(62)(69)(71)(84)(86) Se va convirtiendo en una línea recta (42) Será el eje de las abscisas       x−→ ∞ , y−→ ∞ , llega un punto donde la función forma parte del mismo eje de abscisas (80) Se acerca a 1 (40) Tiende (se acerca, se aproxima) a 2           l´ımx→∞ f(x)=2 ,peronuncaserá 2 (51)(90) (2)(10)(12)(16)(19)(20)(23)(25)(26)(27)(33)(35)(38)(39)(44)(56) (59)(60)(63)(70)(76)(77)(79)(85)(88) El valor es 2                       Enel ∞ , f(x)=2 (14)(46)(72)(75) Por comodidad, la oscilación va a variar muy poco (11) El valor de f(x) se hace cada vez más pequeño (73) Tiende a transformarse en una recta (15)(52) Cuando se hace extremadamente grande (4) (9)(32)(34)(37)(43)(68)(82)(83) Se podrá calcular considerando una función trigonométrica y cuyo valor tienda a ∞(49) l´ımx→∞ f(x)=2 (36)(81) l´ımn→∞ acos x bn=0 (22) Es innita (67) Tiende a ∞(61) No se puede determinar el valor     f(x)→0 (13)(89) No contesta     (41)(58)(65)(66)(74)(78) Gráfi co 1 Red sistémica. Pregunta 4. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 65 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) A continuación se describe, por pregunta, la clasifi cación que ha permitido realizar las redes sistémicas, y se presentan unas primeras conclusiones. No se describe la pregunta 5, dado que su similitud con la pregunta 3 no aporta datos nuevos para esta primera parte, pero sí se tendrá en cuenta para las clasifi caciones que seguirán. Pregunta 1 a) El proceso infi nito no es completo. En esta categoría, la concepción del infi nito es potencial. El punto de bisección no coincide con el punto B: a) 39 alumnos afi rman que el punto de bisección se aproxima y tiende al punto extremo B. Veinte alumnos de éstos afi rman, además, que siempre hay una distancia para biseccionar y 3, que en una recta o segmento hay infi nitos puntos. b) Dos estudiantes fundamentan su respuesta con el uso de límites, afi rmando que el límite de la sucesión 1/2n tiende a 0. c) Dos estudiantes fundamentan relacionando la situación del segmento con la serie Σ1/2n . Para uno de ellos la serie nunca es 1; para el otro, la serie no converge. b) El proceso infi nito es completo. Para este grupo de estudiantes, el punto de bisección coincide con el punto extremo B. La situación es percibida como actual. Entendemos, en este artículo, el infi nito actual, como el que está asociado a la idea de totalidad, de completes y de unidad. Un proceso (potencialmente infi nito en sus orígenes) se considera acabado y los límites alcanzados. • Doce estudiantes argumentan que el punto de bisección alcanza al punto extremo B porque las bisecciones son infi nitas. Los matices son distintos: – El límite de la sucesión 1/2n tiende a 0 cuando n tiende a infi nito (2 estudiantes). – Afi rma: «[…]es como una sucesión de puntos que converge a B» (1 estudiante). – Argumentan que es un caso límite, o usan límites o series (2 estudiantes). – Argumenta geométricamente: «El esquema representa la razón del segmento correspondiente entre un número cada vez más grande» (1 estudiante). • Un estudiante explicita, en su argumento, la «divergencia» y «convergencia» del proceso en el sentido de Nuñez (1994): «[…] cuando la cantidad de divisiones tiende a infi nito el tamaño del segmento tiende a 0 y alcanza al punto B». • Dos estudiantes acuden a lo «visual» y a la «cercanía»: «Estará tan cerca de B que no se va a distinguir el punto de bisección y el punto B». • El punto B es alcanzado por la fi nitud del segmento AB (1 estudiante). Un estudiante que no contesta la pregunta ni afi rmativa ni negativamente refl eja su concepción de la situación: «[…] yo puedo decir que el segmento AB es la suma de cada una de las bisecciones, AB = Σ1/2n , suma desde n = 1 a infi nito». Para este alumno, dicha igualdad presupone una división actual del segmento AB. c) Que el proceso infi nito sea completo o no depende del aspecto que se atiende. En esta categoría se vislumbra la situación paradójica de la pregunta. Un alumno afi rma que, por la infi nitud, matemáticamente es imposible, es decir, se sitúa ante un infi nito potencial pero visualmente afi rma que sí es posible. Otro afi rma que «idealmente» sí es posible que el proceso infi nito sea completo. Interpretamos que a nivel de ideas la percepción puede ser actual, pero afi rma que en la «realidad» siempre falta un trozo por recorrer. d) El proceso es fi nito, el punto B es alcanzado. Un solo estudiante explicita que se tiende de manera fi nita al punto extremo B y, por esta razón, el punto B es alcanzado. Es decir, la fi nitud del segmento determina la fi nitud de las bisecciones. e) El proceso infi nito de bisección no determina la respuesta. En esta categoría (13 alumnos) no es la concepción o intuición del infi nito potencial o actual la que determina la respuesta. La idea está en que el punto B, por ser extremo, no puede ser un punto de bisección, lo cual contradice el hecho de pensar que el punto de bisección coincida con el punto B. f) Conceptos asociados. No todos los alumnos nombran en sus argumentos los conceptos de límite, sucesiones, o suma infi nita. En la siguiente tabla encontramos el número de alumnos que hacen referencia, en sus respuestas, a los conceptos de límite, sucesiones, series y la palabra tendencia. Dos alumnos para negar la posibilidad de que el punto de bisección alcance al punto extremo B hacen referencia a la paradoja de Zenón. Límite Sucesiones y series Límites y series Tendencia Núm. de alumnos 13 7 2 4 Pregunta 3 a) El proceso infi nito no es completo, la serie converge. Treinta y dos alumnos afi rman la convergencia de la serie pero sin aceptar que se alcance al punto límite. La convergencia ha sido considerada hacia el 1, 2 o a un número sin indicar el valor específi co. Las razones han sido variadas como se puede observar en la fi gura del INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 66 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) anexo IV; sin embargo, ninguno demuestra formalmente la convergencia de la serie. Sobresale la idea de que se va aproximando al valor de convergencia y que no llega a ser exactamente este valor. Un alumno hace referencia a la pregunta 1 del C1 para justifi car que la serie converge a un número menor pero muy cercano a 1. Dos alumnos identifi can y resuelven erróneamente la serie, tratando de usar conocimientos de series. b) El proceso infi nito es completo. Catorce estudiantes afi rman que el valor de la suma infi - nita es 1. Dos de éstos resuelven la serie correctamente resolviendo el límite de las sumas parciales. Cuatro alumnos justifi can, haciendo referencia al proceso explícito de «divergencia» y «convergencia»: «a medida que se va sumando se tienen sumandos más pequeños», «los términos de la serie decrecen y tienden a 0»; y, cuatro estudiantes representan la situación como un cuadrado de lado 1 y lo van dividiendo. c) No se puede determinar la suma o el valor de la suma es infi nito. Siete estudiantes afi rman que el valor de la suma no se puede determinar. Dos de éstos afi rman que es por la infi - nitud de la suma, tres por verla como una serie divergente y uno por escribir erróneamente la fórmula del n-ésimo término. Cuatro alumnos afi rman que la suma es infi nita. Identifi can o resuelven erróneamente la serie, tratando de usar conocimientos de series, cuatro alumnos. En la siguiente tabla se puede observar la relación o no-relación que los estudiantes establecen con los conocimientos de series o relacionando con otra pregunta del cuestionario. No escribe la suma como serie, no tiene en cuenta conocimientos de series explícitamente Comenta la relación con otra u otras preguntas del cuestionario Calcula la serie demostrando la convergencia a través del límite de las sumas parciales Núm. de alumnos 22 3 2 Pregunta 4 a) El proceso infi nito no es completo, la función tiende (se acerca, se aproxima) a 2, 0 o 1. Algunos estudiantes confunden la recta y = 2, con la recta y = 0 y afi rman que la función tiende (se acerca, se aproxima) a 0 (un estudiante afi rma que a 1). Éstos son 28 estudiantes. Veintinueve observaron correctamente la recta y = 2 y se encuentran en esta categoría de respuesta. Dos de éstos explicitan que la función nunca será 2. Un alumno afi rma que la función se acerca a 1. b) El proceso infi nito es completo. Dieciocho alumnos se encuentran en esta categoría y afi rman que el valor de la función es 2. Tres visualizan que tiende a transformarse en una recta. Cinco explicitan que f(x) = 2 en el infi nito, y otro, cuando se «hace extremadamente grande». La mayoría expresa que la función tiende (se acerca) a 2, además de afi rmar que su valor es 2. c) La función es infi nita Tres estudiantes se encuentran en esta categoría. Uno de ellos considera la función como una función trigonométrica y por ello afi rma que su valor tiende a infi nito. No percibe el «movimiento» del rango, como proceso «divergente». d) No se puede determinar el valor. Dos alumnos afi rman que no se puede determinar el valor de la función y afi rman que f(x) tiende a 0. A continuación se puede observar el número de alumnos que hacen referencia, o no a otros conceptos asociados, o a teorías matemáticas. No explicita ningún concepto ni se refi ere a teorías matemáticas Hace referencia y usa el símbolo de límite Trata de justifi car matemáticamente la situación Núm. de alumnos 69 6 1 Pregunta 2 No tomamos en cuenta si la respuesta fue calculada o no, sino la percepción actual o no de la situación planteada. Como se puede observar en la fi gura del anexo III, hubo particular difi cultad para resolver este problema. a) El proceso infi nito no es completo, pero acotado. Doce estudiantes se encuentran en esta categoría, y responden unos afi rmativamente (8 estudiantes) y otros negativamente (5 alumnos) a la cuestión. Como se observa en la fi gura del anexo III, las razones han sido variadas. Se afi rma (1 alumno) que esta situación no se puede experimentar realmente pero que, a partir de una serie al infi nito, se obtiene un valor aproximado. Dos alumnos argumentan que es por la misma razón de la pregunta 1 que sólo se puede dar un aproximado. Algunos (cuatro) dan un valor aproximado, dos de éstos tratan de escribir la serie que representa la situación. Otros dos afi rman que, hallando una serie, se puede dar ese valor aproximado. b) El proceso es infi nito y no acotado. Tres estudiantes afi rman que la pelota no termina de rebotar y dos que no se puede calcular la distancia porque es infi nita. c) El proceso infi nito es completo. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 67 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) Doce alumnos respondieron afi rmativamente a la pregunta y dieron una distancia. Siete de éstos escribieron la distancia dejándola indicada como una serie, por ejemplo: «D = 4 Σ1/2n». Interpretamos que el estudiante aquí acepta la suma como un límite, como un «objeto», la cual da como resultado la distancia recorrida de la pelota. d) El proceso depende del mundo físico/fi nito. Veinticuatro estudiantes, como se pude observar en la fi gura del anexo III usaron argumentos fi nitos o relacionados con el mundo físico para contestar la pregunta a pesar del proceso infi nito implícito a la pregunta. Un alumno escribe una suma fi nita y otro argumenta la posibilidad de calcular la distancia recorrida por la pelota, por la fi nitud de la distancia total. El resto considera que, teniendo datos físicos, es posible calcular la distancia, que los agentes externos paran la pelota, que en el mundo real se puede calcular, etc. En la siguiente tabla se puede observar el número de alumnos que, en sus argumentos, hacen referencia a la teoría de series y que relacionan esta pregunta con la primera del cuestionario. Escribe una serie. Hace referencia a series Relaciona con la pregunta 1 Núm. de alumnos 16 2 Algunos resultados Hemos podido observar, a través de las redes sistémicas, que la mayoria de los estudiantes responden afi rmativamente o negativamente a las preguntas: a) dejándose llevar por la intuición o por la contextualización de la pregunta; b) con argumentos que recurren a la división infi nita en mitades, posibilidad de poder dividir infi - nitamente, o a la existencia de infi nitos puntos en una recta; c) sumando o aproximando valores; d) aceptando, sin demostración, la convergencia o divergencia de la serie Σ1/2n. En particular, de los 89 alumnos sólo 2 de éstos prueban, a partir del cálculo del límite de las sumas parciales, que Σ1/2n = 1, y ninguno usa alguna prueba de convergencia. En general usan pocos argumentos matemáticos formales para responder a las cuestiones y es un menor número de alumnos los que nombran, en sus argumentos, los conceptos de límite, sucesiones o series. Sólo 5 alumnos relacionan su respuesta con alguna otra del cuestionario. Ya se ha hecho referencia a que las cuatro preguntas presentan una situación similar, cognitivamente hablando. Los alumnos muestran que, si bien saben calcular una suma infi nita (aunque no calculen la suma), reconocen si es convergente o divergente, y conocen y saben calcular un límite al infi nito; algunos aceptan la situación de que en el infi nito se alcanza al punto límite y otros, no. El proceso infi nito implícito para algunos alumnos es completo, para otros no lo es y un menor número mantuvo esquemas fi nitos o físicos a pesar de la infi nitud del proceso. En la siguiente sección, haciendo uso de las líneas de coherencia (Garbin, 2000; Garbin y Azcárate, 2002), podemos ver que la percepción, potencial, actual o fi nitista, de las situaciones matemáticas planteadas no se mantienen estables en las respuestas de los estudiantes, a pesar de los conocimientos de límites, sucesiones y series de los estudiantes. Líneas de coherencia Se elabora, con los datos que presentan las redes sistémicas, un instrumento de análisis, que se ha llamado líneas de coherencia, construido con la metodología de Garbin (2000) y Garbin y Azcárate (2002). Para elaborarlas se tiene en cuenta el concepto involucrado, las respuestas de los alumnos representadas en unas tablas resumen, derivadas de las redes sistémicas, y el contexto de las mismas, expresado en los lenguajes matemáticos distintos (geométrico, verbal, analítico, gráfi co y algebraico). Además, como se afi rmó en el marco teórico, se toman en cuenta también los procesos explicitados por Nuñez (1994). Se han establecido tres líneas: línea fi nitista (o de evasión de infi nitud), línea actual y línea potencial. En el gráfi co 2, a modo de ejemplo, se puede observar la línea 1; el resto, se observa en los anexos. Estas líneas representan aquellas respuestas (correctas o erróneas) que han representado una percepción del proceso infi nito, como acabado, no acabado o evadido por el contexto físico o por mantener esquemas fi nitos ante las cuestiones. Estos gráfi cos están formados por tablas entrelazadas entre sí. Cada tabla tiene un enunciado que corresponde a las respuestas dadas por los alumnos y debajo del enunciado aparecen los números correspondientes a los alumnos que han dado dicha respuesta. Por tanto, se puede observar la frecuencia de alumnos por respuesta y, si se sigue el orden dado por los enlaces, se pueden identifi car aquellos estudiantes que mantienen o no sus respuestas con una concepción actual, potencial o fi nitista de las situaciones planteadas. En Garbin (2003) se establecieron 4 grupos de respuestas: fi nitista (1), actual (2), potencial (3) y grupo mixto. El criterio para la conformación de los grupos es: si un alumno tiene tres o más respuestas en una línea determinada, se le sitúa en el grupo de la línea correspondiente. Es decir, si un alumno tiene tres o más respuestas en la línea 3, se le sitúa en el grupo 3, que corresponde al grupo potencial. En la siguiente tabla podemos observar el número y el porcentaje de alumnos por grupo: Grupo 1 2 3 Mixto Núm. de alumnos 3123242 % 3,37 13,48 35,95 47,19 INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 68 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) De cada grupo se pueden establecer unas subcategorías que permiten observar el número de respuestas «actualistas», «fi nitistas (o de evasión)» o «potenciales». Es decir, un alumno pudo tener cinco respuestas en la línea actual (5A) o tres en la línea actual, una en la línea fi nitista (o de evasión) y dos en la línea potencial. Esta situación se representa simbólicamente como 3A + 1F + 2P. En la siguiente tabla se observan las subcategorías y entre paréntesis los números que identifi can a los alumnos que pertenecen a cada subcategoría. Ejemplo: el alumno número 61 está ubicado en el grupo 1, cuatro de sus respuestas fueron «fi nitistas» (4F) y una «potencial» (1P). Si se desea saber a qué preguntas corresponden dichas respuestas, se observa la línea de coherencia respectiva. Gráfi co 2 Línea 1. Línea fi nitista. PREGUNTA 1 Responde afi rmativamente El proceso de bisección es fi nito 52,61,89 PREGUNTA 3 No se puede determinar. Por la infi nitud El valor representa el total de rebotes de la pelota Es ∞ o tiende a ∞Es una fracción 70,76 82 5,65,66,69 87 PREGUNTA 2 Responde afi rmativamente pero no calcula Conociendo o calculando otros datos (tiempo, velocidad, etc.) Es posible porque la distancia total es fi nita La distancia recorrida durante cada rebote se suma hasta que la pelota se detiene Escribe una suma fi nita Por agentes externos parará y será posible determinar la distancia 5,6,10,23,24,27,33,48,49, 66,76,86 46 32,61,73,82 89 3 Responde afi rmativamente pero no calcula Responde negativamente En el mundo real sí se puede hasta una altura mínima Haciendo llegar la altura del rebote hasta una altura mínima La pelota no termina de rebotar ∞ Se necesita velocidad o núm. de rebotes Siempre es posible encontrar h/2 11 62 2,26,65 7,45 25,70 13 PREGUNTA 4 Es infi nita Tiende a ∞ 67 61 PREGUNTA 5 Para ningún valor Y = 1n/2 Entonces Ln 1 = 0 Responde afi rmativamente. n debe ser muy grande n = 0 o n = -1 n = Ln1/4 n = Ln(1/2)/2 n = (Ln2-Ln1)/Ln 1/2 Para un n muy grande 0 ∞ 89 20,24,48,52,88 16,18,32,51,57,61,66,77,87 5 INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 69 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) Se nota, entre otras cosas, que hay un solo estudiante que, en todas sus respuestas, acepta que el proceso infi - nito es acabado (grupo 2) y 2 alumnos, en el grupo 3, que mantienen una concepción potencial del infi nito. Un alto número de estudiantes se encuentra en el grupo mixto. Los distintos contextos de las preguntas y conceptos matemáticos asociados a las mismas determinan percepciones distintas en la completes o no del proceso, esto a pesar de los conocimientos del cálculo diferencial e integral de los estudiantes encuestados. Un hecho interesante es que en el grupo 1, que son estudiantes que mantienen principalmente esquemas fi nitos, no aparece la posibilidad de la completes del proceso en ninguna de las preguntas. En caso contrario, en el grupo donde sí aparece y se acepta alcanzar al punto límite, no hay casi presencia de respuestas fi nitistas (o de evasión de fi nitud), sólo un estudiante presenta una respuesta de este tipo. Se hace evidente la naturaleza confl ictiva de las intuiciones del infi nito, la infl uencia de los lenguajes y contextos en las percepciones de los estudiantes, y la persistencia de la imagen informal aunque ciertas ideas formales hayan sido presentadas a los estudiantes. Conexiones y relaciones que establecen los estudiantes entre las preguntas 1, 3 y 4 Distintos contextos requieren un foco de atención sobre diversos aspectos y es importante fi ltrar aquéllos que no dejan hacer matemáticas (Pitta y Gray, 1997; citado en Gray et al., 1999). En el cuestionario C2, se pide a los alumnos que defi nan, si existen, una o varias relaciones (conexiones, similitudes) entre los tres problemas (planteamiento y resolución), preguntas 1, 3 y 4 de C1. Se analizan y se clasifi can las respuestas en grupos no excluyentes. Los estudiantes expresan las relaciones de similitud entre los tres problemas y focalizan su atención en distinto aspectos (Garbin, 2003): a) El planteamiento del problema: la respuesta del alumno está en relación con lo que plantean los problemas o con lo que se pide hacer: A(33)1: «Supongo que el planteamiento de los tres casos es probar el concepto de tendencia. Examinar si para el estudiante es teóricamente posible que si una sucesión, una suma, o fracción tiende a un número determinado, llegará eventualmente a tomar el valor de dicho número. Para mí no es así»; A (59): «Los tres problemas son distintas maneras de plantear la misma situación, una suma infi nita de términos que decrecen. La primera es la forma geométrica, luego una forma analítica (sólo álgebra) y después en forma gráfi ca». b) El proceso de convergencia y divergencia implícito en cada pregunta (aceptando o no la situación límite): A (16):«las funciones van haciendo que sea un valor más y más pequeño, además de que su planteamiento es un valor que a medida que crece, genera un resultado que tiende a otro valor más pequeño». c) El concepto implícito, la noción de infi nito o el reconocimiento que se trata del mismo concepto o tema en todas las preguntas: A(38): «los tres se relacionan con el infi nito»; A(82): «En los tres problemas se planGrupo 1 4F + 1P (61) 3F + 2P (5) 3F + 1A + 1P (89) 3F (66) Grupo 2 5ª (14) 4A + 1P (53,81) 4A + 1F (73) 3A (41) 3A + 1P (4,9,37,46) 3A + 2P (15,85) Grupo 3 5P (35,40) 4P + 1ª (12,19,30,63,90) 3P (28,47,50,54) 3P + 1A (36,59) 3P + 2ª (1) 4P (22,23,39,79) 4P + 1F (2,3,6,20,26,33,86) 3P + 1F (10,13,67) 3P + 1A + 1F (45,51,88) Grupo mixto 1F + 1P (27,87) 1ª (34,58,74,80) 2A + 1P (8,55,72,75) 1F + 2A + P (18) 1F + 2P (16,25,62,69,96) 1A + 1P (31,43,68,84) 2P (21,29,42,56,60) 1F + 2A + 2P (11) 2F + 1P (65) 1A + 2P (17,38,44) 2P + 2F + 1A (82) 2F + 1A + 1P (52) 2F + 2P (24,48,70) 2A + 1F (49) 1F + 1A + 2P (7,77) 2F + 1A + 2P (76) 2ª (78) 2A + 2F (32) 2A + 2P (71) 1F + 1A + 1P (57) INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 76 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) DR =                                                                                                                            Responde armativamente e indica una distancia                                3 mts    a−r r=2−1 2 1 2 = 3 2 1 2 =3 (30) 2 mts  (15) tiende a 2 mts  (1) ∼ =6 mts  (4)(85) 4 mts     n=1 2 n=2+1+0,5+0,25... =4 (19) 2+∞ n=0 1 2∞(14) ∼ =4 mts     h+h 2+h 4+... +.... (51) 2+1+0,5+0,25 + ... =3,99 ∼ =4(67)         D=n=1 ∞h 2n(18)(41)(59)(81) D=4n=1 ∞(1 2)n(8) D=∞ n=0 1 2n(12) D=h+2h∞ n=0 1 2n(37) Se demuestra igual que la pregunta anterior y es h (58) Responde armativamente pero no calcula                                             La distancia total es nita (46) Escribe una suma nita (89) En un mundo real sí se puede (11) Por los agentes externos pararía (3) Haciendo llegar la altura del rebote hasta una altura mínima (62) Se tomaría la distancia recorrida durante cada rebote ysesumaríahasta que la pelota se detuviese (32)(61)(73)(82) Se puede calcular a partir de una serie (52)(71)(88)(57)(78)(17)(44) Apartir de una serie (valor aproximado)     (40) Como en el caso anterior (90) Se puede calcular una aproximación pero no el valor exacto (20) Sería el límite de la serie h+2h 2+2h 4+2h 8+... (9) Calculando l´ımn→∞ Sn ,donde Sn es la suma del Nro de rebotes (77) Calculando otros datos (hasta h=0 )                 Tiempo, velocidad, altura (48) Sería necesario el tiempo (5) Fórmula de caida libre (66) Calculando la velocidad (27) Se necesita conocer el número de rebotes (10)(24)(33)(76)(86) Elasticidad, energía (23) Responde negativamente                                             ∞(7)(45) La pelota no termina de rebotar (2)(26)(65) No se puede dar un número exacto, se podría dar una buena aproximación, por la misma razóndelaPregunta1 (63) Es una situación que no puede experimentarse realmente, apartir de una seria al ∞ se obtendrá un aproximado (35) Siempre es posible encontrar h 2(13) Guarda relación con el problema anterior, pero la pelota lleva una velocidad determinada y terminará su recorrido. Entonces sí se podría calcular (25) D=∞ n=0 h 2n sin embargo usando el argumento de la Preg. 1 (entre dos números reales hay otro real) no se puede calcular a ciencia cierta el la distancia toral del recorrido (22) Faltan datos       Se necesita tiempo y velocidad (49) Se necesita velocidad inicial y Nro de rebotes (70) Se necesita tiempo y aceleración (6) No contesta     (16)(21)(28)(29)(31)(34)(36)(38)(39)(42)(43)(47)(50)(54)(55)(56)(60)(68)(69)(72) (74)(75)(79)(80)(83)(84)(87) ANEXO III Pregunta 2 Podrías calular la distancia total recorrida? (DR) INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 77 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) ANEXO IV Pregunta 3 ¿Cuál es el valor de la suma? (VS) VS=                                                                                                                  1 2ln2   s=l´ımL→∞ L 0 1 2n=l´ımn→∞ (1 2)n    L 1=1 2ln2 (53) 1                   Será un valor aproximado a 1 .Lasuma llega a 1 .     Amedidaque se va sumando se tienen sumandos más pequeños (48) El alumno considera el cuadrado de lado 1 y lo va dividiendo (49)(81)(4)(85) En el ∞ ya que es la suma ∞ n=1 1 2n (72) Usa límite de las sumas parciales correctamente (55)(77) ∞ n=1 1 n2=1 (73) Los términos de la serie decrecen y tienden a 0(14)(18)(89) Tiene ∞ términos (1) l´ımn→∞ 1 2n=0 (46) No se puede determinar el valor de la suma                 Porlainnitud (70)(76) La suma no converge (13) Es una serie armónica y diverge (75) Porque es una serie geométrica (41) Sólo por tanteo (62) Siempre está creciendo       n i=1 1 2n. ∞ 1 1 2n=l´ıma→∞ a 1 1 2n= l´ıma→∞ 2ln|n|    a 1=2ln(∞) (42) ∼ =1 ∞ i=1 1 2i=1 2∞ i=1 i−1=1 2l´ımn→∞ n i=1 i−1(51)(67) Converge a 1 .(Nunca llega a 1 )                     (20)(30)(40)(45)(57) Porlainnitud (2)(3)(12)(86) n=1 1 2n=1(...) es una suma que tiene un valor muy cerca de 1(52) ∞ n=1 1 2n es aproximadamente 1, tiende a 1(11)(19)(21) El límite de la sumatoria es 1(23) Por mucho que se sume siempre estará por debajo de 1(35) Un número menor pero muy cercano a 1 ,porelmismoproblema 1(36) Es una progresión geométrica nunca llega a 1(79) Se están sumando a partir de 1 2 términos más pequeños (10)(15)(88) Ya que la suma es un número de la forma n−1 n(33) Un número muy cercano a 2 ,peronunca 2 .(39) 2       (58) Todas las preguntas tienen la misma respuesta, tenemos que calcular el valor del límite de ∞ i=1 1 2n ,creoque tiende a 2 . (90) No indica el valor numérico         El valor representa el total de rebotes de la pelota (82) ∞ i=1 = MCD −1 MCD , MCD = MCDdelosdenominadores (31) Una fracción     Considera pocas fracciones y concluye que debe dar una fracción (87) El valor no es un número exacto. Se puede aproximar a uno muy cercano (63) El valor tiende a un número nito             Un número entre 0 y 1(6) 1 2n(61) Entre valores 1 , 8 y 1 ya que el denominador de la serie de valores dobla cada vez su valor y tiende a 0(64) La suma se hace cada vez más pequeña, los sumandos decrecen lo sucientemente rápido como para que tiendan a un valor especíco (71) ∞         (66) Es una serie geométrica de razón 1 2(65) Se divide innitamente entre 2(5) ∞ i=1 1 2n no tiene la suma, pero tiende a ∞(69) No contesta o no se entiende la respuesta     (7)(8)(9)(16)(17)(22)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(32)(34)(37) (38)(43)(44)(47)(50)(54)(56)(59)(60)(68)(74)(78)(80)(83)(84) INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 78 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) ANEXO V Pregunta 5 ¿Para qué valor de n resulta y = 2? (VN) VN                                                                                                                  Responde armativamente                                                    n debe ser muy grande (48)(52) n=0 ya que se cancelan todos los números (57) n=∞                     (1)(9)(14)(15)(17)(37)(38)(45)(55)(58)(63)(72)(73)(85) El valor siempre se va ha acercar a 2 ,peronuncavaaser 2 , pero cuando n=∞ es tan cerca que se le da el valor de 2(11) Cuando n→∞ (90) Cuando el área del cuadrado es 2 (dibuja un cuadrado) (81) n=ln 2−ln 1 ln 1 2 (16) n=0 (87) n=−1|y=1 2n=2 (32)(51)(61)(77) n=ln1 4(18) n=ln( 1 2) 2(66) Responde negativamente                                 No se puede calcular                 La suma es cada vez más innitesimal (22) Es un número muy grande que no se puede calcular (69) Es el mismo casodelproblema 3(6) (31)(76) Para ningún valor                 Por el ejercicio 2(36) La suma tiende a 2(2)(3)(13)(23)(28)(33)(35)(79) y=1n 2 , ln y=nln 1 ,como ln 1 = 0 ,noexiste este valor (89) (19)(47) Nunca y alcanzará el valor de 2             En n=∞ , y→2(4)(30)(39)(40)(59) La serie an=1 2n converge a 1 2ln2 que es menor que 2(53) (12)(50)(70)(82)(86) Para un n muy grande (ó ∞ ) (5)(20)(24) Para un n relativamente grande     Con n=10 ya se puede conseguir una buena aproximación (88) No contesta       (7)(8)(10)(21)((25)(26) (27)(29)(34)(41)(42)(43)(44)(49)(54)(56)(60)(62)(65)(67)(68)(71)(74)(75)(78)(80)(83)(84) INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 79 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) PREGUNTA 1 Responde afi rmativamente 4,8,9,14,32,41,46,51,53,71,73,74, 75,76,78,84,85 PREGUNTA 3 Se puede calcular. Es una serie geométrica El resultado de la suma es 1 El resultado de la suma es 2 ⌺ = (MCD-1)/MCD La suma es 1/2Ln2 41 1,4,14,18,46,48,49,55, 73,77,81,85,89 58 31 53 PREGUNTA 2 Responde afi rmativamente No calcula. Se puede calcular a partir de una serie 4m 3m 2m 2Ln2 D=h+2h⌺1/2nD=4⌺1/2nD=⌺1/2nD=⌺h/2n 17,44,52,57,71,78,88 14,19 30 15 53 37 8 12 18,41, 59,81 PREGUNTA 4 PREGUNTA 5 El valor de f es 2 Se puede calcular con una función trigonométrica y cuyo valor tiende a ⬁Lim (x ⬁)=2 Es el eje de las abcisas 4,9,11,14,15,32,34,37,43, 46,52,68,72,73,75,82,83 49 36,81 80 Cuando n = ∞ y = 2 1,7,9,11,14,15,37,38,45,55, 58,63,72,73,81,85,90 ANEXO VI Línea 2. Línea actual INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 80 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1) ANEXO VII Línea 3. Línea potencial PREGUNTA 1 Responde afi rmativamente Responde negativamente Se redondea la cantidad por la fi nitud de la recta Por la infi nitud del proceso, tiende o se aproxima a B Por la mitad de la distancia 67 1,3,4,5,6,7,10,11,12,13,15,16,17, 19,20,22,23,24,25,26,28,29,30,33, 35,36,37,38,39,40,43,44,45,47,50, 51,54,56,59,60,63,65,68,70,72,77, 79,81,82,86,90 2 PREGUNTA 3 No se puede determinar el valor de la suma El resultado de la suma tiende a un número fi nito (pero no llega a ese número) 42,75 2,3,6,10,11,12,15,19,20,21,23,30,33,35,36,39,40,42,45,51, 52,57,59,61,62,63,67,71,75,79,86,88,90 PREGUNTA 2 PREGUNTA 4 PREGUNTA 5 La función tenderá a 0, 2, 1 o al eje de las abcisas Se va convirtiendo en una línea recta No se puede determinar 1,2,3,5,6,7,8,10,12,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,33,35,38,39,40, 44,45,47,48,50,51,53,54,55,56,57,59,60,62,63,69,70,71,76,77,79,84,85,86,87,88,90 42 13,89 Para ningún valor No se puede calcular n La suma  2La suma nunca llegará a 2 Por el ejercicio 2 La suma se hace infi nitesimal Un n grande que no se puede calcular 6,19,47,46 2,3,13,23,28, 33,35,79 4,12,30,39,40,50, 53,54,70,82,86 36 22 69 Responde afi rmativamente No calcula. Afi rma, se puede calcular un aproximado, no exacto.  4 6a 2m Con una serie. Valor aproximado 20 51,67 4,85 1 40,90 Indica una distancia Responde negativamente No se podrá dar un número exacto sino una aproximación Sería el límite de la serie h + 2h/2 + 2h/4 + … 22,35,63 9