61
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1), 61–80
IDEAS DEL INFINITO, PERCEPCIONES Y CONEXIONES
EN DISTINTOS CONTEXTOS: EL CASO DE ESTUDIANTES
CON CONOCIMIENTOS PREVIOS DE CÁLCULO
Ga bin D., Sab ina
Uni e sidad Simón Boli a
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
Resumen. En es e a ículo p esen amos una in es igación que su ge de un especial in e és po es udia y explo a el caso del in i ni o, en su
dualidad po encial-ac ual, en un ni el donde ya se han in oducido concep os o males del cálculo di e encial e in eg al, y donde empiezan a
apa ece in e conexiones y con usiones en e la «imagen o mal» e «imagen in o mal» de es os concep os. El es udio p e ende con ibui con el
deba e de la p oblemá ica del in i ni o e in i ni os a ni el uni e si a io. Se enma ca en un es udio cuali a i o; el análisis de da os es induc i o y el
oco de in es igación es de ca ác e explo a o io, desc ip i o e in e p e a i o. Pa icipa on en el es udio 89 es udian es con edades comp endidas
en e 17 y 25 años.
Palab as cla e. In i ni o, esquemas concep uales, pe cepciones, imagen o mal e in o mal, cálculo.
Summa y. We p esen a esea ch sp inging om a special in e es in s udying and explo ing he in i ni e and i s duali y powe -p esen , a a le el
whe e o mal concep s o di e en ial and in eg al calculus ha e al eady been in oduced and whe e he e appea in e connec ions and con usion
be ween he « o mal image» and he «in o mal image» o hese concep s. This pape a emp s o con ibu e o he deba e o he i ni e and
in i ni e p oblems a uni e si y le el. I is amed wi hin a quali a i e s udy, he analysis o da e is induc i e and he ocus o he esea ch is o an
explo a o y, desc ip i e and in e p e a i e kind. Eigh ynine s uden s aged be ween 17 and 25 ook pa in his s udy.
Keywo ds. In i ni e, concep ual schema, pe cep ions, o mal and in o mal image, calculus.
INTRODUCCIÓN
El in e és po el in i ni o o los in i ni os ma emá icos, en
la ma emá ica y en o as disciplinas como la i loso ía o
la his o ia, es un asun o milena io. En las úl imas déca-
das, la p oblemá ica del concep o de in i ni o ma emá ico
ambién lo es pa a la psicología y pa a la didác ica de las
ma emá icas.
Son muchas las in es igaciones ealizadas, abajos que
ep esen an in e és his ó ico, epis emológico, psicológico,
i losó i co o didác ico. D’Amo e (1996, 1997) ecoge nu-
me osos í ulos (280) del año 1951 al 1996 y mues a con
és os la di ección que han ido omando las in es igaciones.
Después del 1996 siguen apa eciendo nue os abajos, pe o
más ecien emen e la e is a Educa ional S udies in Ma-
hema ics dedica, al ema del in i ni o, el olumen núm. 48
(2001). Tall y Ti osh a i man que es a selección de a ículos
p e ende con ibui , desde la psicología del pensamien o
ma emá ico, al deba e que, a lo la go de la his o ia, se ha
gene ado sob e el concep o y su desa ollo a lo la go del
iempo, supe ando obs áculos an o in ui i os como o ma-
les o psicológicos. Se es udia en es os a ículos el in i ni o
dis inguiéndolo en e los in i ni os y los in i ni esimales del
cálculo y los in i ni os ca dinales in oducidos po Can o .
Se comienza con su desa ollo his ó ico y se conside an las
dis in as mane as en que se ex apola la expe iencia i ni a a
las a ias eo ías del in i ni o. Se sigue con la p esen ación
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
62 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1)
de es udios empí icos sob e las concepciones de los es u-
dian es y sob e la enseñanza de los in i ni os en di e en es
con ex os. En pa icula se abo da la enseñanza de los
lími es en el cálculo, especí i camen e de sucesiones, y del
in i ni o ca dinal en la ma emá ica o mal.
Po o a pa e, Ga bin y Azcá a e (2000, 2002) y Ga bin
(2000) se hacen una se ie de p egun as que de i an de
plan ea el p oblema de es udio. El in e ogan e consis e
en cuál es la posible in l uencia de los lenguajes ma emá-
icos en la concepción del in i ni o ac ual y en las incon-
sis encias de los alumnos. La p ime a expe iencia de la
in es igación lle ó a que e iden i i ca las inconsis en-
cias y ep esen a , ca ego iza y analiza las si uaciones
de cohe encias que mani i es an los alumnos en elación
con sus esquemas concep uales asociados al concep o
de in i ni o ac ual y que se con ex ualizan en p oblemas
exp esados en lenguajes ma emá icos di e en es: e bal,
geomé ico, g á i co, algeb aico y analí ico. Es os es u-
dios se ealiza on con es udian es en e 16-17 años.
T abaja en el ámbi o uni e si a io hace su gi un espe-
cial in e és po es udia y explo a el caso del in i ni o, en
su dualidad po encial-ac ual, en especial el ni el donde
ya se empeza on a in oduci concep os o males del cál-
culo di e encial e in eg al, y donde empiezan a apa ece
in e conexiones y con usiones en e la «imagen o mal e
in o mal» (Tall, 2001) de es os concep os. Es e a ículo
p e ende con ibui con el deba e de la p oblemá ica del
in i ni o e in i ni os a ni el uni e si a io, y p o undiza y
comple a lo p esen ado en Ga bin (2003).
En pa icula , el es udio p e ende: a) analiza los e ec os
que iene en la pe cepción de los es udian es uni e si a ios,
con conocimien os p e ios de cálculo di e encial e in eg al,
la p esencia implíci a del «in i ni o pequeño» en p egun as
plan eadas en dis in os con ex os ma emá icos, a pa i de
los esquemas concep uales de los alumnos; b) es udia qué
ipo de conexiones y qué ocos de a ención p esen an y
es ablecen en las dis in as cues iones en que es á p esen e
el «in i ni o pequeño», así como es ablece una posible ela-
ción en e los ocos de a ención y conexiones y la pe cep-
ción del in i ni o que és os puedan es ablece .
ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN TEÓ-
RICA
En la in oducción se a i ma que son nume osas las in es i-
gaciones en didác ica sob e el in i ni o ma emá ico pe o al-
gunas se pueden conside a como pilo os y pila es en el á ea
del in i ni o ma emá ico. Fischbein (1978), Fischbein, Ti osh
y Hess (1979), Ti osh (1991), Nuñez (1994), Mo eno y
Waldegg (1991), Tsami y Ti osh (1995, 1999) e elan en e
o as cosas que la in uición na u al del in i ni o es sumamen e
ines able y que las si uaciones de con l ic o que se p esen an
dependen de las in l uencias conje u ales y con ex uales.
De especial in e és pa a nues o es udio son algunos e-
sul ados y aspec os de los abajos de Fischbein (1978),
Fischbein, Ti osh y Hess (1979), Nuñez (1994), Fis-
chbein (2001), Kid on (2002), Ga bin (2000), Ga bin y
Azcá a e (2002) y Ga bin (2003), que a con inuación se
eseñan. An e es os hallazgos esul a no mal p egun a se
qué pasa con es udian es de ni eles supe io es que ya
han enido con ac o con concep os o males de cálculo
di e encial e in eg al, in e ogan e que sus en a el p oble-
ma de in es igación que aquí se p esen a.
Fischbein e eló la na u aleza con l ic i a de las in uicio-
nes del in i ni o en los es udian es, en ocando su in es i-
gación en el in i ni o po encial como un p oceso de lími e
y el in i ni o ac ual en la eo ía de núme os ca dinales.
Fischbein (1978) encon ó, en es udian es de 8º y 9º
g ado, que la concepción in ui i a del p oceso de lími e
iende más a se un p oceso in i ni o que un alo i ni o de
un lími e. Es o ue con i mado más a de (Fischbein, Ti-
osh y Hess, 1979; Fischbein, Ti osh y Melamed, 1981;
Ga bin y Azcá a e, 2000, 2002).
Uno de los in e ogan es de nues o cues iona io in oluc a
la se ie 1/2 +1/4 + 1/8 + ... El es udio de es a se ie como la
ep esen ación de la suma de los segmen os, esul ado de
di isiones sucesi as de un segmen o AB de longi ud 1 en
mi ades, u o in e és pa a es os au o es. Ma emá icamen e
es a se ie (con encionalmen e) es «igual» a 1; sin emba -
go, «psicológicamen e» es a se ie « iende» a 1 (Fischbein,
2001). En el es udio de Fischbein, Ti osh y Melamed
(1981), los es udian es con es a on que dicha suma es: in-
i ni a, iende a 1 y es igual a 1 (con un núme o pequeño de
es udian es que a i ma on que es igual a 1). Es e esul ado
ue igualmen e encon ado en Ga bin (2000), Ga bin y
Azcá a e (2002), pe o además de las espues as an e io es
hubo una epues a adicional, algunos alumnos die on un
alo a la suma omando és a como una suma i ni a, es
deci , e adie on la in i ni ud de la suma. Los esquemas
i ni os p e alecie on en algunos es udian es a pesa de la
ep esen ación in i ni a de la suma.
Kid on (2002) p opuso un es udio pa a in es iga la
habilidad de los es udian es de high school (g ade 11,
N = 63) de pe cibi la suma como un lími e, como un
obje o. Los es udian es mi a on el concep o desde dos
di e en es ace camien os y abajando en un labo a o io
equipado con compu ado as con el so wa e Ma hema ica.
En el es udio se encon ó la misma pe cepción de suma
in i ni a como en o os es udios; sin emba go, el 43% ex-
p esó una pe cepción de la suma in i ni a como un lími e y
el 56% esc ibió 1+ ½ + ¼ + ... = 2, un po cen aje «balan-
ceado» en e la suma como p oceso y como concep o.
Nuñez (1994) hace uso de la p ime a pa adoja de Zenón,
de la di isión pa a o ece un ace camien o a cómo la
men e cons uye la idea de in i ni o; y lo hace con alumnos
de edades en e 8, 10, 12 y 14 años. Nuñez a i ma que la
si uación de la pa adoja de Zenón p esen a una si uación
de subdi isiones, un in i ni o pequeño, que implica una co-
o dinación simul ánea en e el c ecien e núme o de pasos
y el dec ecien e esul ado pa cial que debe se ope ado. El
concep o de suma in i ni a iene dos « ipos» de i e aciones
(«di e gen e» y «con e gen e»), y di e en e «na u aleza»
del con enido («ca dinalidad» y «espacio»). Es os p oce-
sos explici ados po Nuñez ue on omados en cuen a pa a
cons ui las líneas de cohe encia, ins umen o de análisis
que se p esen a en la me odología, dado que, en el concep-
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
63
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1)
o in oluc ado en las cinco p egun as del cues iona io, es-
án p esen es los dos « ipos» de i e aciones y la di e en e
«na u aleza» del con enido.
Los es udios ealizados con es udian es de 16-17 años
(Ga bin, 2000; Ga bin y Azcá a e, 2000, 2002) no sólo son
an eceden es, sino que, como en és os, el ema de es udio, la
na u aleza del p oblema y el p opósi o de la in es igación,
en e o os, o ecen la pe spec i a eó ica del abajo que se
es á p esen ando en es e a ículo, la cual, en cuan o al con-
cep o de in i ni o, ya se ha e l ejado con los an eceden es.
El es udio se enma ca en el dominio del llamado pensa-
mien o ma emá ico a anzado, eo ía cogni i a desa o-
llada po Tall y D ey us. Los concep os de es a eo ía
que se a an son: a) de mane a pa icula , el concep
image que llamamos esquema concep ual y en endemos
como: «el conjun o de odas las imágenes men ales del
es udian e asociadas al concep o, jun amen e con odas
las p opiedades que le ca ac e izan» (Tall y Vinne ,
1981); in o mal image y o mal image (Tall, 2001), que
nomb amos imagen in o mal y o mal, la p ime a es al-
gún ipo de imagen que se iene an es del ace camien o
con eo ías axiomá icas, y la segunda con palab as de
Tall consis e en la pa e del esquema concep ual que es
o malmen e deducido de los axiomas. Es o en oca el
p oblema especí i co de la in es igación, la ensión en e
el in i ni o «pe cep ual» y el in i ni o « o malizado».
Po el ipo de p egun as que se plan ea a los es udian es
en es e es udio y po el ni el de los alumnos en que no
ha sido o malizada la eo ía de la ca dinalidad de Can o
esul a imp escindible conside a el ema de la in uición,
su ol, ca ac e ís icas y clasi i cación (Fischbein, 1998)
También es impo an e conside a lo, po se el conoci-
mien o in ui i o un camino básico, jun o al analí ico, en
la ac i idad ma emá ica, como mos ó Fischbein en su
a ículo «In ui ion and P oo » (1982).
METODOLOGÍA
La in es igación se enma ca en un es udio de ipo cua-
li a i o. El análisis de da os es induc i o, ya que las
in e p e aciones y ca ego ías se cons uyen a pa i de la
in o mación ob enida. Se sigue, en pa e, la me odología
adop ada en Ga bin (2000) y Ga bin y Azcá a e (2002).
Ins umen os de ecogida de da os y desc ipción de
los pa icipan es
La expe iencia se ealiza con 89 es udian es uni e si a-
ios con edades comp endidas en e 17 y 25 años (73 de
los 89 ienen en e 18 y 20 años). Nue e es udian es de
ciencias (química y ísica) y 80 es udian es de ingenie ía
(políme os, mecánica, me almecánica, compu ación,
eléc ica, p oducción, elec ónica, geo ísica y me a-
lú gica). Los alumnos pe enecían a es secciones de
ma emá icas V, o madas alea o iamen e po el Depa a-
men o de Ma emá icas. El desempeño de los es udian es
es a iado, el g upo no enía ca ac e ís icas especí i cas
esal ables sal o el ipo de ca e a a la cual pe enen. Los
es udian es ienen conocimien os p e ios o males sob e
lími es, de i adas, in eg ales, sucesiones y se ies; odos
es udia on los mismos cu sos básicos (Ma emá icas I, II,
III y IV) dic ados po el Depa amen o de Ma emá icas
de la Uni e sidad Simón Bolí a , de Venezuela.
Dos cues iona ios ue on aplicados a los es udian es: C1 y
C2. El p ime o cons a de cinco p egun as, mien as que el
segundo sólo p esen a una cues ión (p oblemas conside a-
dos en Ga bin, 2000; Ga bin y Azcá a e, 2002). Las cinco
p egun as del C1 (Anexo I) es án inspi adas en la p ime a
pa adoja de la di isión, de Zenón, y di e enciadas po el
con ex o.
La pa adoja de la dico omía pone en supe i cie dos aspec-
os. Si nos que emos mo e del pun o 1 al 2 de la ec a
eal, podemos hace lo con un p ocedimien o i ni o, nos
mo emos oda la unidad de una ez; o podemos u iliza un
p ocedimien o in i ni o, mo iéndonos ½ unidad, después ¼
unidad, y así sucesi amen e. Si se igno a la posibilidad de
que hay pun os dis in os a una dis ancia in i ni esimal en e
uno y o o, es e iden e que ambos p ocedimien os condu-
cen al mismo pun o. Es e hecho es á exp esado en la «igual-
dad» 1 + 1 = 1 + ½ + ¼ + 1/8 + ... que Zenón conside aba
pa adójica. El hecho es que asumía a p io i que no exis ía
el «in i ni o ac ual» y, en onces, que ningún p oceso in i ni o
pod ía conside a se comple o (Rucke , 1995, p. 117).
En pa icula , las p egun as p esen an una si uación que, en
lenguaje de Nuñez, (1994) p esen a un in i ni o pequeño que
implica cogni i amen e una coo dinación simul ánea, el
c ecien e núme o de di isiones y el dec ecien e «espacio»
que se eco e o « esul ado pa cial» que se ope a.
Pa a el segundo cues iona io (C2) (Anexo I) se seleccio-
na on es (1, 3 y 4) de las cinco p egun as del C1 y se
aplica on al mismo g upo de alumnos después de aplica
el C1. Su obje i o es ex ae in o mación sob e qué ipo de
conexiones y ocos de a ención p esen an y es ablecen los
es udian es a pa i de las p egun as 1, 3 y 4 del C1.
METOLOGÍAS ESPECÍFICAS Y ANÁLISIS
Redes sis émicas y esquemas concep uales
Se op a po el uso de las edes sis émicas (Bliss, Monk y Og-
bo n, 1983) como sis ema de clasi i cación y ep esen ación
de los da os cuali a i os ob enidos a pa i de las espues as
dadas po los alumnos en el cues iona io C1. Se elabo a una
ed sis émica pa a cada una de las p egun as del C1. En el g á-
i co 1 se puede obse a a modo de ejemplo la ed sis émica
de la p egun a 4 y en los anexos se obse an el es o de las
edes sis émicas elabo adas. És as consis en en una de e mi-
nada con i gu ación de los da os, que pe mi e mi a de mane-
a e ec i a odas las espues as de los alumnos encues ados.
Como se puede obse a , las edes se es uc u an en o ma de
á bol con amas que se subdi iden en «clases» (se usa como
o malismo la ba a (I)), que son ca ego ías que se excluyen
en e ellas. Los es udian es habían sido iden i i cados alea o-
iamen e con núme os del 1 al 89.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
64 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1)
Pod ías de e mina el alo de la unción? (VF)
VF
Tiende (se ace ca, se ap oxima) a
0
l´ımn→∞ (x)=0 (54)
(1)(3)(5)(6)(7)(8)(17)(18)
(21)(24)(28)(29)(30)(31)(45)(47)
(48)(50)(53)(55)(57)(59)(62)(69)(71)(84)(86)
Se a con i iendo en una línea ec a
(42)
Se á el eje de las abscisas
x−→ ∞
,
y−→ ∞
,
llega un pun o donde la unción o ma pa e del mismo eje de abscisas
(80)
Se ace ca a
1 (40)
Tiende (se ace ca, se ap oxima) a
2
l´ımx→∞ (x)=2
,pe onuncase á
2 (51)(90)
(2)(10)(12)(16)(19)(20)(23)(25)(26)(27)(33)(35)(38)(39)(44)(56)
(59)(60)(63)(70)(76)(77)(79)(85)(88)
El alo es
2
Enel
∞
,
(x)=2 (14)(46)(72)(75)
Po comodidad, la oscilación a a a ia muy poco
(11)
El alo de
(x)
se hace cada ez más pequeño
(73)
Tiende a ans o ma se en una ec a
(15)(52)
Cuando se hace ex emadamen e g ande
(4)
(9)(32)(34)(37)(43)(68)(82)(83)
Se pod á calcula conside ando una unción igonomé ica y cuyo alo ienda a
∞(49)
l´ımx→∞ (x)=2 (36)(81)
l´ımn→∞
acos x
bn=0 (22)
Es inni a
(67)
Tiende a
∞(61)
No se puede de e mina el alo
(x)→0 (13)(89)
No con es a
(41)(58)(65)(66)(74)(78)
G á i co 1
Red sis émica. P egun a 4.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
65
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1)
A con inuación se desc ibe, po p egun a, la clasi i ca-
ción que ha pe mi ido ealiza las edes sis émicas, y se
p esen an unas p ime as conclusiones. No se desc ibe la
p egun a 5, dado que su simili ud con la p egun a 3 no
apo a da os nue os pa a es a p ime a pa e, pe o sí se
end á en cuen a pa a las clasi i caciones que segui án.
P egun a 1
a) El p oceso in i ni o no es comple o.
En es a ca ego ía, la concepción del in i ni o es po encial.
El pun o de bisección no coincide con el pun o B: a) 39
alumnos a i man que el pun o de bisección se ap oxima
y iende al pun o ex emo B. Vein e alumnos de és os
a i man, además, que siemp e hay una dis ancia pa a bi-
secciona y 3, que en una ec a o segmen o hay in i ni os
pun os. b) Dos es udian es undamen an su espues a con
el uso de lími es, a i mando que el lími e de la sucesión
1/2n iende a 0. c) Dos es udian es undamen an elacio-
nando la si uación del segmen o con la se ie Σ1/2n
. Pa a
uno de ellos la se ie nunca es 1; pa a el o o, la se ie no
con e ge.
b) El p oceso in i ni o es comple o.
Pa a es e g upo de es udian es, el pun o de bisección coinci-
de con el pun o ex emo B. La si uación es pe cibida como
ac ual. En endemos, en es e a ículo, el in i ni o ac ual, como
el que es á asociado a la idea de o alidad, de comple es y de
unidad. Un p oceso (po encialmen e in i ni o en sus o íge-
nes) se conside a acabado y los lími es alcanzados.
• Doce es udian es a gumen an que el pun o de bisección
alcanza al pun o ex emo B po que las bisecciones son
in i ni as. Los ma ices son dis in os:
– El lími e de la sucesión 1/2n iende a 0 cuando n ien-
de a in i ni o (2 es udian es).
– A i ma: «[…]es como una sucesión de pun os que
con e ge a B» (1 es udian e).
– A gumen an que es un caso lími e, o usan lími es o
se ies (2 es udian es).
– A gumen a geomé icamen e: «El esquema ep e-
sen a la azón del segmen o co espondien e en e un
núme o cada ez más g ande» (1 es udian e).
• Un es udian e explici a, en su a gumen o, la «di e gen-
cia» y «con e gencia» del p oceso en el sen ido de Nuñez
(1994): «[…] cuando la can idad de di isiones iende a
in i ni o el amaño del segmen o iende a 0 y alcanza al
pun o B».
• Dos es udian es acuden a lo « isual» y a la «ce canía»:
«Es a á an ce ca de B que no se a a dis ingui el pun o
de bisección y el pun o B».
• El pun o B es alcanzado po la i ni ud del segmen o AB
(1 es udian e).
Un es udian e que no con es a la p egun a ni a i ma i a ni
nega i amen e e l eja su concepción de la si uación: «[…]
yo puedo deci que el segmen o AB es la suma de cada
una de las bisecciones, AB = Σ1/2n , suma desde n = 1 a
in i ni o». Pa a es e alumno, dicha igualdad p esupone una
di isión ac ual del segmen o AB.
c) Que el p oceso in i ni o sea comple o o no depende del
aspec o que se a iende.
En es a ca ego ía se islumb a la si uación pa adójica
de la p egun a. Un alumno a i ma que, po la in i ni ud,
ma emá icamen e es imposible, es deci , se si úa an e un
in i ni o po encial pe o isualmen e a i ma que sí es po-
sible. O o a i ma que «idealmen e» sí es posible que el
p oceso in i ni o sea comple o. In e p e amos que a ni el
de ideas la pe cepción puede se ac ual, pe o a i ma que
en la « ealidad» siemp e al a un ozo po eco e .
d) El p oceso es i ni o, el pun o B es alcanzado.
Un solo es udian e explici a que se iende de mane a
i ni a al pun o ex emo B y, po es a azón, el pun o B es
alcanzado. Es deci , la i ni ud del segmen o de e mina la
i ni ud de las bisecciones.
e) El p oceso in i ni o de bisección no de e mina la es-
pues a.
En es a ca ego ía (13 alumnos) no es la concepción o
in uición del in i ni o po encial o ac ual la que de e mi-
na la espues a. La idea es á en que el pun o B, po se
ex emo, no puede se un pun o de bisección, lo cual
con adice el hecho de pensa que el pun o de bisección
coincida con el pun o B.
) Concep os asociados.
No odos los alumnos nomb an en sus a gumen os los
concep os de lími e, sucesiones, o suma in i ni a. En la
siguien e abla encon amos el núme o de alumnos que
hacen e e encia, en sus espues as, a los concep os de
lími e, sucesiones, se ies y la palab a endencia. Dos
alumnos pa a nega la posibilidad de que el pun o de
bisección alcance al pun o ex emo B hacen e e encia a
la pa adoja de Zenón.
Lími e Sucesiones
y se ies
Lími es
y se ies Tendencia
Núm. de
alumnos 13 7 2 4
P egun a 3
a) El p oceso in i ni o no es comple o, la se ie con e ge.
T ein a y dos alumnos a i man la con e gencia de la
se ie pe o sin acep a que se alcance al pun o lími e. La
con e gencia ha sido conside ada hacia el 1, 2 o a un
núme o sin indica el alo especí i co. Las azones han
sido a iadas como se puede obse a en la i gu a del
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
66 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1)
anexo IV; sin emba go, ninguno demues a o malmen e
la con e gencia de la se ie. Sob esale la idea de que se
a ap oximando al alo de con e gencia y que no llega
a se exac amen e es e alo . Un alumno hace e e encia
a la p egun a 1 del C1 pa a jus i i ca que la se ie con e ge
a un núme o meno pe o muy ce cano a 1. Dos alumnos
iden i i can y esuel en e óneamen e la se ie, a ando de
usa conocimien os de se ies.
b) El p oceso in i ni o es comple o.
Ca o ce es udian es a i man que el alo de la suma in i -
ni a es 1. Dos de és os esuel en la se ie co ec amen e
esol iendo el lími e de las sumas pa ciales. Cua o
alumnos jus i i can, haciendo e e encia al p oceso explí-
ci o de «di e gencia» y «con e gencia»: «a medida que
se a sumando se ienen sumandos más pequeños», «los
é minos de la se ie dec ecen y ienden a 0»; y, cua o
es udian es ep esen an la si uación como un cuad ado
de lado 1 y lo an di idiendo.
c) No se puede de e mina la suma o el alo de la suma
es in i ni o.
Sie e es udian es a i man que el alo de la suma no se
puede de e mina . Dos de és os a i man que es po la in i -
ni ud de la suma, es po e la como una se ie di e gen e
y uno po esc ibi e óneamen e la ó mula del n-ésimo
é mino. Cua o alumnos a i man que la suma es in i ni a.
Iden i i can o esuel en e óneamen e la se ie, a ando de
usa conocimien os de se ies, cua o alumnos.
En la siguien e abla se puede obse a la elación o
no- elación que los es udian es es ablecen con los cono-
cimien os de se ies o elacionando con o a p egun a del
cues iona io.
No esc ibe la
suma como
se ie, no iene
en cuen a
conocimien os
de se ies
explíci amen e
Comen a la
elación con
o a u o as
p egun as del
cues iona io
Calcula la se ie
demos ando la
con e gencia
a a és del
lími e de
las sumas
pa ciales
Núm. de
alumnos 22 3 2
P egun a 4
a) El p oceso in i ni o no es comple o, la unción iende
(se ace ca, se ap oxima) a 2, 0 o 1.
Algunos es udian es con unden la ec a y = 2, con la
ec a y = 0 y a i man que la unción iende (se ace ca, se
ap oxima) a 0 (un es udian e a i ma que a 1). És os son
28 es udian es. Vein inue e obse a on co ec amen e la
ec a y = 2 y se encuen an en es a ca ego ía de espues a.
Dos de és os explici an que la unción nunca se á 2. Un
alumno a i ma que la unción se ace ca a 1.
b) El p oceso in i ni o es comple o.
Dieciocho alumnos se encuen an en es a ca ego ía y a i -
man que el alo de la unción es 2. T es isualizan que
iende a ans o ma se en una ec a. Cinco explici an que
(x) = 2 en el in i ni o, y o o, cuando se «hace ex emada-
men e g ande». La mayo ía exp esa que la unción iende
(se ace ca) a 2, además de a i ma que su alo es 2.
c) La unción es in i ni a
T es es udian es se encuen an en es a ca ego ía. Uno
de ellos conside a la unción como una unción igono-
mé ica y po ello a i ma que su alo iende a in i ni o.
No pe cibe el «mo imien o» del ango, como p oceso
«di e gen e».
d) No se puede de e mina el alo .
Dos alumnos a i man que no se puede de e mina el a-
lo de la unción y a i man que (x) iende a 0.
A con inuación se puede obse a el núme o de alumnos
que hacen e e encia, o no a o os concep os asociados, o
a eo ías ma emá icas.
No explici a
ningún concep o
ni se e i e e
a eo ías
ma emá icas
Hace
e e encia
y usa
el símbolo
de lími e
T a a de jus i i ca
ma emá icamen e
la si uación
Núm. de
alumnos 69 6 1
P egun a 2
No omamos en cuen a si la espues a ue calculada o no,
sino la pe cepción ac ual o no de la si uación plan eada.
Como se puede obse a en la i gu a del anexo III, hubo
pa icula di i cul ad pa a esol e es e p oblema.
a) El p oceso in i ni o no es comple o, pe o aco ado.
Doce es udian es se encuen an en es a ca ego ía, y es-
ponden unos a i ma i amen e (8 es udian es) y o os ne-
ga i amen e (5 alumnos) a la cues ión. Como se obse a
en la i gu a del anexo III, las azones han sido a iadas.
Se a i ma (1 alumno) que es a si uación no se puede ex-
pe imen a ealmen e pe o que, a pa i de una se ie al
in i ni o, se ob iene un alo ap oximado. Dos alumnos
a gumen an que es po la misma azón de la p egun a 1
que sólo se puede da un ap oximado. Algunos (cua o)
dan un alo ap oximado, dos de és os a an de esc ibi
la se ie que ep esen a la si uación. O os dos a i man
que, hallando una se ie, se puede da ese alo ap oxi-
mado.
b) El p oceso es in i ni o y no aco ado.
T es es udian es a i man que la pelo a no e mina de ebo a y
dos que no se puede calcula la dis ancia po que es in i ni a.
c) El p oceso in i ni o es comple o.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
67
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1)
Doce alumnos espondie on a i ma i amen e a la p e-
gun a y die on una dis ancia. Sie e de és os esc ibie on
la dis ancia dejándola indicada como una se ie, po ejem-
plo: «D = 4 Σ1/2n». In e p e amos que el es udian e aquí
acep a la suma como un lími e, como un «obje o», la cual
da como esul ado la dis ancia eco ida de la pelo a.
d) El p oceso depende del mundo ísico/ i ni o.
Vein icua o es udian es, como se pude obse a en la
i gu a del anexo III usa on a gumen os i ni os o ela-
cionados con el mundo ísico pa a con es a la p egun a
a pesa del p oceso in i ni o implíci o a la p egun a. Un
alumno esc ibe una suma i ni a y o o a gumen a la po-
sibilidad de calcula la dis ancia eco ida po la pelo a,
po la i ni ud de la dis ancia o al. El es o conside a que,
eniendo da os ísicos, es posible calcula la dis ancia,
que los agen es ex e nos pa an la pelo a, que en el mundo
eal se puede calcula , e c.
En la siguien e abla se puede obse a el núme o de
alumnos que, en sus a gumen os, hacen e e encia a la
eo ía de se ies y que elacionan es a p egun a con la
p ime a del cues iona io.
Esc ibe una se ie. Hace
e e encia a se ies
Relaciona con la
p egun a 1
Núm.
de alumnos 16 2
Algunos esul ados
Hemos podido obse a , a a és de las edes sis émicas,
que la mayo ia de los es udian es esponden a i ma i a-
men e o nega i amen e a las p egun as: a) dejándose
lle a po la in uición o po la con ex ualización de la
p egun a; b) con a gumen os que ecu en a la di isión
in i ni a en mi ades, posibilidad de pode di idi in i -
ni amen e, o a la exis encia de in i ni os pun os en una
ec a; c) sumando o ap oximando alo es; d) acep ando,
sin demos ación, la con e gencia o di e gencia de la
se ie Σ1/2n. En pa icula , de los 89 alumnos sólo 2 de
és os p ueban, a pa i del cálculo del lími e de las sumas
pa ciales, que Σ1/2n = 1, y ninguno usa alguna p ueba
de con e gencia. En gene al usan pocos a gumen os
ma emá icos o males pa a esponde a las cues iones y
es un meno núme o de alumnos los que nomb an, en sus
a gumen os, los concep os de lími e, sucesiones o se ies.
Sólo 5 alumnos elacionan su espues a con alguna o a
del cues iona io.
Ya se ha hecho e e encia a que las cua o p egun as p e-
sen an una si uación simila , cogni i amen e hablando.
Los alumnos mues an que, si bien saben calcula una
suma in i ni a (aunque no calculen la suma), econocen
si es con e gen e o di e gen e, y conocen y saben cal-
cula un lími e al in i ni o; algunos acep an la si uación
de que en el in i ni o se alcanza al pun o lími e y o os,
no. El p oceso in i ni o implíci o pa a algunos alumnos es
comple o, pa a o os no lo es y un meno núme o man-
u o esquemas i ni os o ísicos a pesa de la in i ni ud del
p oceso.
En la siguien e sección, haciendo uso de las líneas de
cohe encia (Ga bin, 2000; Ga bin y Azcá a e, 2002), po-
demos e que la pe cepción, po encial, ac ual o i ni is a,
de las si uaciones ma emá icas plan eadas no se man ie-
nen es ables en las espues as de los es udian es, a pesa
de los conocimien os de lími es, sucesiones y se ies de
los es udian es.
Líneas de cohe encia
Se elabo a, con los da os que p esen an las edes sis-
émicas, un ins umen o de análisis, que se ha llamado
líneas de cohe encia, cons uido con la me odología de
Ga bin (2000) y Ga bin y Azcá a e (2002). Pa a elabo-
a las se iene en cuen a el concep o in oluc ado, las
espues as de los alumnos ep esen adas en unas ablas
esumen, de i adas de las edes sis émicas, y el con ex o
de las mismas, exp esado en los lenguajes ma emá icos
dis in os (geomé ico, e bal, analí ico, g á i co y alge-
b aico). Además, como se a i mó en el ma co eó ico,
se oman en cuen a ambién los p ocesos explici ados
po Nuñez (1994). Se han es ablecido es líneas: línea
i ni is a (o de e asión de in i ni ud), línea ac ual y línea
po encial. En el g á i co 2, a modo de ejemplo, se puede
obse a la línea 1; el es o, se obse a en los anexos.
Es as líneas ep esen an aquellas espues as (co ec as o
e óneas) que han ep esen ado una pe cepción del p o-
ceso in i ni o, como acabado, no acabado o e adido po
el con ex o ísico o po man ene esquemas i ni os an e
las cues iones. Es os g á i cos es án o mados po ablas
en elazadas en e sí. Cada abla iene un enunciado que
co esponde a las espues as dadas po los alumnos y
debajo del enunciado apa ecen los núme os co espon-
dien es a los alumnos que han dado dicha espues a. Po
an o, se puede obse a la ecuencia de alumnos po
espues a y, si se sigue el o den dado po los enlaces, se
pueden iden i i ca aquellos es udian es que man ienen o
no sus espues as con una concepción ac ual, po encial o
i ni is a de las si uaciones plan eadas.
En Ga bin (2003) se es ablecie on 4 g upos de es-
pues as: i ni is a (1), ac ual (2), po encial (3) y g upo
mix o. El c i e io pa a la con o mación de los g upos
es: si un alumno iene es o más espues as en una
línea de e minada, se le si úa en el g upo de la línea
co espondien e. Es deci , si un alumno iene es o más
espues as en la línea 3, se le si úa en el g upo 3, que
co esponde al g upo po encial. En la siguien e abla
podemos obse a el núme o y el po cen aje de alum-
nos po g upo:
G upo 1 2 3 Mix o
Núm. de
alumnos 3123242
% 3,37 13,48 35,95 47,19
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
68 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1)
De cada g upo se pueden es ablece unas subca ego ías
que pe mi en obse a el núme o de espues as «ac ualis-
as», « i ni is as (o de e asión)» o «po enciales». Es deci ,
un alumno pudo ene cinco espues as en la línea ac ual
(5A) o es en la línea ac ual, una en la línea i ni is a (o
de e asión) y dos en la línea po encial. Es a si uación
se ep esen a simbólicamen e como 3A + 1F + 2P. En
la siguien e abla se obse an las subca ego ías y en e
pa én esis los núme os que iden i i can a los alumnos
que pe enecen a cada subca ego ía. Ejemplo: el alumno
núme o 61 es á ubicado en el g upo 1, cua o de sus es-
pues as ue on « i ni is as» (4F) y una «po encial» (1P).
Si se desea sabe a qué p egun as co esponden dichas
espues as, se obse a la línea de cohe encia espec i a.
G á i co 2
Línea 1. Línea i ni is a.
PREGUNTA 1
Responde a i ma i amen e
El p oceso de bisección es i ni o
52,61,89
PREGUNTA 3
No se puede de e mina .
Po la in i ni ud
El alo ep esen a el o al
de ebo es de la pelo a Es ∞ o iende a ∞Es una acción
70,76 82 5,65,66,69 87
PREGUNTA 2
Responde a i ma i amen e pe o no calcula
Conociendo o calculando
o os da os ( iempo, elocidad,
e c.)
Es posible po que la
dis ancia o al es i ni a
La dis ancia eco ida du an e
cada ebo e se suma has a
que la pelo a se de iene
Esc ibe una
suma i ni a
Po agen es ex e nos pa a á
y se á posible de e mina
la dis ancia
5,6,10,23,24,27,33,48,49,
66,76,86 46 32,61,73,82 89 3
Responde a i ma i amen e pe o no calcula Responde nega i amen e
En el mundo eal
sí se puede
has a una al u a mínima
Haciendo llega
la al u a del ebo e
has a una al u a mínima
La pelo a
no e mina
de ebo a
∞
Se necesi a
elocidad o núm.
de ebo es
Siemp e
es posible
encon a h/2
11 62 2,26,65 7,45 25,70 13
PREGUNTA 4
Es in i ni a Tiende a ∞
67 61
PREGUNTA 5
Pa a ningún alo
Y = 1n/2
En onces Ln 1 = 0
Responde a i ma i amen e.
n debe se muy g ande
n = 0 o n = -1
n = Ln1/4
n = Ln(1/2)/2
n = (Ln2-Ln1)/Ln 1/2
Pa a un n
muy g ande
0 ∞
89 20,24,48,52,88 16,18,32,51,57,61,66,77,87 5
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
69
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1)
Se no a, en e o as cosas, que hay un solo es udian e
que, en odas sus espues as, acep a que el p oceso in i -
ni o es acabado (g upo 2) y 2 alumnos, en el g upo 3, que
man ienen una concepción po encial del in i ni o. Un al o
núme o de es udian es se encuen a en el g upo mix o.
Los dis in os con ex os de las p egun as y concep os ma e-
má icos asociados a las mismas de e minan pe cepciones
dis in as en la comple es o no del p oceso, es o a pesa
de los conocimien os del cálculo di e encial e in eg al de
los es udian es encues ados. Un hecho in e esan e es que
en el g upo 1, que son es udian es que man ienen p inci-
palmen e esquemas i ni os, no apa ece la posibilidad de
la comple es del p oceso en ninguna de las p egun as. En
caso con a io, en el g upo donde sí apa ece y se acep a
alcanza al pun o lími e, no hay casi p esencia de espues-
as i ni is as (o de e asión de i ni ud), sólo un es udian e
p esen a una espues a de es e ipo.
Se hace e iden e la na u aleza con l ic i a de las in uicio-
nes del in i ni o, la in l uencia de los lenguajes y con ex os
en las pe cepciones de los es udian es, y la pe sis encia
de la imagen in o mal aunque cie as ideas o males ha-
yan sido p esen adas a los es udian es.
Conexiones y elaciones que es ablecen los es u-
dian es en e las p egun as 1, 3 y 4
Dis in os con ex os equie en un oco de a ención sob e
di e sos aspec os y es impo an e i l a aquéllos que no
dejan hace ma emá icas (Pi a y G ay, 1997; ci ado en
G ay e al., 1999). En el cues iona io C2, se pide a los
alumnos que de i nan, si exis en, una o a ias elacio-
nes (conexiones, simili udes) en e los es p oblemas
(plan eamien o y esolución), p egun as 1, 3 y 4 de C1.
Se analizan y se clasi i can las espues as en g upos no
excluyen es.
Los es udian es exp esan las elaciones de simili ud
en e los es p oblemas y ocalizan su a ención en dis-
in o aspec os (Ga bin, 2003): a) El plan eamien o del
p oblema: la espues a del alumno es á en elación con
lo que plan ean los p oblemas o con lo que se pide ha-
ce : A(33)1: «Supongo que el plan eamien o de los es
casos es p oba el concep o de endencia. Examina si
pa a el es udian e es eó icamen e posible que si una
sucesión, una suma, o acción iende a un núme o
de e minado, llega á e en ualmen e a oma el alo
de dicho núme o. Pa a mí no es así»; A (59): «Los es
p oblemas son dis in as mane as de plan ea la misma
si uación, una suma in i ni a de é minos que dec ecen.
La p ime a es la o ma geomé ica, luego una o ma
analí ica (sólo álgeb a) y después en o ma g á i ca».
b) El p oceso de con e gencia y di e gencia implíci o
en cada p egun a (acep ando o no la si uación lími e):
A (16):«las unciones an haciendo que sea un alo
más y más pequeño, además de que su plan eamien o
es un alo que a medida que c ece, gene a un e-
sul ado que iende a o o alo más pequeño». c) El
concep o implíci o, la noción de in i ni o o el econo-
cimien o que se a a del mismo concep o o ema en
odas las p egun as: A(38): «los es se elacionan con
el in i ni o»; A(82): «En los es p oblemas se plan-
G upo 1
4F + 1P
(61)
3F + 2P
(5)
3F + 1A + 1P
(89)
3F
(66)
G upo 2
5ª
(14)
4A + 1P
(53,81)
4A + 1F
(73)
3A
(41)
3A + 1P
(4,9,37,46)
3A + 2P
(15,85)
G upo 3
5P
(35,40)
4P + 1ª
(12,19,30,63,90)
3P
(28,47,50,54)
3P + 1A
(36,59)
3P + 2ª
(1)
4P
(22,23,39,79)
4P + 1F
(2,3,6,20,26,33,86)
3P + 1F
(10,13,67)
3P + 1A + 1F
(45,51,88)
G upo mix o
1F + 1P
(27,87)
1ª
(34,58,74,80)
2A + 1P
(8,55,72,75)
1F + 2A + P
(18)
1F + 2P
(16,25,62,69,96)
1A + 1P
(31,43,68,84)
2P
(21,29,42,56,60)
1F + 2A + 2P
(11)
2F + 1P
(65)
1A + 2P
(17,38,44)
2P + 2F + 1A
(82)
2F + 1A + 1P
(52)
2F + 2P
(24,48,70)
2A + 1F
(49)
1F + 1A + 2P
(7,77)
2F + 1A + 2P
(76)
2ª
(78)
2A + 2F
(32)
2A + 2P
(71)
1F + 1A + 1P
(57)
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
76 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1)
DR =
Responde a ma i amen e e indica una dis ancia
3
m s
a−
=2−1
2
1
2
=
3
2
1
2
=3 (30)
2
m s
(15)
iende a
2
m s
(1)
∼
=6
m s
(4)(85)
4
m s
n=1
2
n=2+1+0,5+0,25... =4 (19)
2+∞
n=0
1
2∞(14)
∼
=4
m s
h+h
2+h
4+... +.... (51)
2+1+0,5+0,25 + ... =3,99 ∼
=4(67)
D=n=1
∞h
2n(18)(41)(59)(81)
D=4n=1
∞(1
2)n(8)
D=∞
n=0
1
2n(12)
D=h+2h∞
n=0
1
2n(37)
Se demues a igual que la p egun a an e io y es
h
(58)
Responde a ma i amen e pe o no calcula
La dis ancia o al es ni a
(46)
Esc ibe una suma ni a
(89)
En un mundo eal sí se puede
(11)
Po los agen es ex e nos pa a ía
(3)
Haciendo llega la al u a del ebo e has a una al u a mínima
(62)
Se oma ía la dis ancia eco ida du an e cada ebo e
ysesuma íahas a que la pelo a se de u iese
(32)(61)(73)(82)
Se puede calcula a pa i de una se ie
(52)(71)(88)(57)(78)(17)(44)
Apa i de una se ie ( alo ap oximado)
(40)
Como en el caso an e io
(90)
Se puede calcula una ap oximación pe o no el alo exac o
(20)
Se ía el lími e de la se ie
h+2h
2+2h
4+2h
8+... (9)
Calculando
l´ımn→∞ Sn
,donde
Sn
es la suma del N o de ebo es
(77)
Calculando o os da os (has a
h=0
)
Tiempo, elocidad, al u a
(48)
Se ía necesa io el iempo
(5)
Fó mula de caida lib e
(66)
Calculando la elocidad
(27)
Se necesi a conoce
el núme o de ebo es
(10)(24)(33)(76)(86)
Elas icidad, ene gía
(23)
Responde nega i amen e
∞(7)(45)
La pelo a no e mina de ebo a
(2)(26)(65)
No se puede da un núme o exac o, se pod ía da una buena ap oximación,
po la misma azóndelaP egun a1
(63)
Es una si uación que no puede expe imen a se ealmen e,
apa i de una se ia al
∞
se ob end á un ap oximado
(35)
Siemp e es posible encon a
h
2(13)
Gua da elación con el p oblema an e io ,
pe o la pelo a lle a una elocidad de e minada y e mina á
su eco ido. En onces sí se pod ía calcula
(25)
D=∞
n=0
h
2n
sin emba go usando el a gumen o de la P eg.
1
(en e dos núme os eales hay o o eal)
no se puede calcula a ciencia cie a el la dis ancia o al del eco ido
(22)
Fal an da os
Se necesi a iempo y elocidad
(49)
Se necesi a elocidad inicial y N o de ebo es
(70)
Se necesi a iempo y acele ación
(6)
No con es a
(16)(21)(28)(29)(31)(34)(36)(38)(39)(42)(43)(47)(50)(54)(55)(56)(60)(68)(69)(72)
(74)(75)(79)(80)(83)(84)(87)
ANEXO III
P egun a 2
Pod ías calula la dis ancia o al eco ida? (DR)
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
77
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1)
ANEXO IV
P egun a 3
¿Cuál es el alo de la suma? (VS)
VS=
1
2ln2
s=l´ımL→∞ L
0
1
2n=l´ımn→∞ (1
2)n
L
1=1
2ln2 (53)
1
Se á un alo ap oximado a
1
.Lasuma llega a
1
.
Amedidaque se a sumando
se ienen sumandos más pequeños
(48)
El alumno conside a el cuad ado de lado 1 y lo a di idiendo
(49)(81)(4)(85)
En el
∞
ya que es la suma
∞
n=1
1
2n
(72)
Usa lími e de las sumas pa ciales co ec amen e
(55)(77)
∞
n=1
1
n2=1 (73)
Los é minos de la se ie dec ecen y ienden a
0(14)(18)(89)
Tiene
∞
é minos
(1)
l´ımn→∞
1
2n=0 (46)
No se puede de e mina el alo de la suma
Po lainni ud
(70)(76)
La suma no con e ge
(13)
Es una se ie a mónica y di e ge
(75)
Po que es una se ie geomé ica
(41)
Sólo po an eo
(62)
Siemp e es á c eciendo
n
i=1
1
2n.
∞
1
1
2n=l´ıma→∞ a
1
1
2n=
l´ıma→∞ 2ln|n|
a
1=2ln(∞) (42)
∼
=1
∞
i=1
1
2i=1
2∞
i=1 i−1=1
2l´ımn→∞ n
i=1 i−1(51)(67)
Con e ge a
1
.(Nunca llega a
1
)
(20)(30)(40)(45)(57)
Po lainni ud
(2)(3)(12)(86)
n=1
1
2n=1(...)
es una suma que iene un alo muy ce ca de
1(52)
∞
n=1
1
2n
es ap oximadamen e
1,
iende a
1(11)(19)(21)
El lími e de la suma o ia es
1(23)
Po mucho que se sume siemp e es a á po debajo de
1(35)
Un núme o meno pe o muy ce cano a
1
,po elmismop oblema
1(36)
Es una p og esión geomé ica nunca llega a
1(79)
Se es án sumando a pa i de
1
2
é minos más pequeños
(10)(15)(88)
Ya que la suma es un núme o de la o ma
n−1
n(33)
Un núme o muy ce cano a
2
,pe onunca
2
.(39)
2
(58)
Todas las p egun as ienen la misma espues a,
enemos que calcula el alo del lími e de
∞
i=1
1
2n
,c eoque iende a
2
.
(90)
No indica el alo numé ico
El alo ep esen a el o al de ebo es de la pelo a
(82)
∞
i=1 =
MCD
−1
MCD
,
MCD = MCDdelosdenominado es
(31)
Una acción
Conside a pocas acciones y concluye que debe da una acción
(87)
El alo no es un núme o exac o. Se puede ap oxima a uno muy ce cano
(63)
El alo iende a un núme o ni o
Un núme o en e
0
y
1(6)
1
2n(61)
En e alo es
1
,
8
y
1
ya que el denominado de la se ie de alo es
dobla cada ez su alo y iende a
0(64)
La suma se hace cada ez más pequeña, los sumandos dec ecen
lo sucien emen e ápido como pa a que iendan a un alo especíco
(71)
∞
(66)
Es una se ie geomé ica de azón
1
2(65)
Se di ide inni amen e en e
2(5)
∞
i=1
1
2n
no iene la suma, pe o iende a
∞(69)
No con es a o no se en iende la espues a
(7)(8)(9)(16)(17)(22)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(32)(34)(37)
(38)(43)(44)(47)(50)(54)(56)(59)(60)(68)(74)(78)(80)(83)(84)
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
78 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1)
ANEXO V
P egun a 5
¿Pa a qué alo de n esul a y = 2? (VN)
VN
Responde a ma i amen e
n
debe se muy g ande
(48)(52)
n=0
ya que se cancelan odos los núme os
(57)
n=∞
(1)(9)(14)(15)(17)(37)(38)(45)(55)(58)(63)(72)(73)(85)
El alo siemp e se a ha ace ca a
2
,pe onunca aase
2
,
pe o cuando
n=∞
es an ce ca que se le da el alo de
2(11)
Cuando
n→∞ (90)
Cuando el á ea del cuad ado es
2
(dibuja un cuad ado)
(81)
n=ln 2−ln 1
ln 1
2
(16)
n=0 (87)
n=−1|y=1
2n=2 (32)(51)(61)(77)
n=ln1
4(18)
n=ln( 1
2)
2(66)
Responde nega i amen e
No se puede calcula
La suma es cada ez más inni esimal
(22)
Es un núme o muy g ande que no se puede calcula
(69)
Es el mismo casodelp oblema
3(6)
(31)(76)
Pa a ningún alo
Po el eje cicio
2(36)
La suma iende a
2(2)(3)(13)(23)(28)(33)(35)(79)
y=1n
2
,
ln y=nln 1
,como
ln 1 = 0
,noexis e es e alo
(89)
(19)(47)
Nunca
y
alcanza á el alo de
2
En
n=∞
,
y→2(4)(30)(39)(40)(59)
La se ie
an=1
2n
con e ge a
1
2ln2
que es meno que
2(53)
(12)(50)(70)(82)(86)
Pa a un
n
muy g ande (ó
∞
)
(5)(20)(24)
Pa a un
n
ela i amen e g ande
Con
n=10
ya se puede consegui una buena ap oximación
(88)
No con es a
(7)(8)(10)(21)((25)(26)
(27)(29)(34)(41)(42)(43)(44)(49)(54)(56)(60)(62)(65)(67)(68)(71)(74)(75)(78)(80)(83)(84)
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
79
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1)
PREGUNTA 1
Responde a i ma i amen e
4,8,9,14,32,41,46,51,53,71,73,74,
75,76,78,84,85
PREGUNTA 3
Se puede calcula .
Es una se ie geomé ica
El esul ado
de la suma es 1
El esul ado
de la suma es 2 ⌺ = (MCD-1)/MCD La suma es
1/2Ln2
41 1,4,14,18,46,48,49,55,
73,77,81,85,89 58 31 53
PREGUNTA 2
Responde a i ma i amen e
No calcula.
Se puede calcula a pa i
de una se ie
4m 3m 2m 2Ln2 D=h+2h⌺1/2nD=4⌺1/2nD=⌺1/2nD=⌺h/2n
17,44,52,57,71,78,88 14,19 30 15 53 37 8 12 18,41,
59,81
PREGUNTA 4
PREGUNTA 5
El alo de es 2 Se puede calcula con una unción igonomé ica
y cuyo alo iende a ⬁Lim (x ⬁)=2 Es el eje
de las abcisas
4,9,11,14,15,32,34,37,43,
46,52,68,72,73,75,82,83 49 36,81 80
Cuando n = ∞ y = 2
1,7,9,11,14,15,37,38,45,55,
58,63,72,73,81,85,90
ANEXO VI
Línea 2. Línea ac ual
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
80 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1)
ANEXO VII
Línea 3. Línea po encial
PREGUNTA 1
Responde a i ma i amen e Responde nega i amen e
Se edondea la can idad
po la i ni ud de la ec a
Po la in i ni ud del p oceso,
iende o se ap oxima a B Po la mi ad de la dis ancia
67
1,3,4,5,6,7,10,11,12,13,15,16,17,
19,20,22,23,24,25,26,28,29,30,33,
35,36,37,38,39,40,43,44,45,47,50,
51,54,56,59,60,63,65,68,70,72,77,
79,81,82,86,90
2
PREGUNTA 3
No se puede de e mina el
alo de la suma
El esul ado de la suma iende a un núme o
i ni o (pe o no llega a ese núme o)
42,75 2,3,6,10,11,12,15,19,20,21,23,30,33,35,36,39,40,42,45,51,
52,57,59,61,62,63,67,71,75,79,86,88,90
PREGUNTA 2
PREGUNTA 4
PREGUNTA 5
La unción ende á a 0, 2, 1 o al eje de las abcisas Se a con i iendo
en una línea ec a
No se puede
de e mina
1,2,3,5,6,7,8,10,12,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,33,35,38,39,40,
44,45,47,48,50,51,53,54,55,56,57,59,60,62,63,69,70,71,76,77,79,84,85,86,87,88,90 42 13,89
Pa a ningún alo No se puede calcula n
La suma 2La suma nunca
llega á a 2
Po el
eje cicio 2
La suma
se hace in i ni esimal
Un n g ande
que no se puede calcula
6,19,47,46
2,3,13,23,28,
33,35,79
4,12,30,39,40,50,
53,54,70,82,86 36 22 69
Responde a i ma i amen e
No calcula.
A i ma, se puede calcula un
ap oximado, no exac o. 4 6a 2m
Con una se ie.
Valo ap oximado
20 51,67 4,85 1 40,90
Indica una dis ancia
Responde nega i amen e
No se pod á da un núme o
exac o sino una ap oximación
Se ía el lími e de la se ie
h + 2h/2 + 2h/4 + …
22,35,63 9
