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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(3), 389–408
METODOLOGÍA DE ANÁLISIS DE LIBROS DE TEXTO
DE MATEMÁTICAS. LOS PUNTOS CRÍTICOS EN LA ENSEÑANZA
SECUNDARIA EN ESPAÑA DURANTE EL SIGLO XX
González As udillo, M. Te esa y Sie a Vázquez, Modes o
Depa amen o de Didác ica de la Ma emá ica y de las Ciencias Expe imen ales. Uni e sidad de Salamanca
[email p o ec ed]
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INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
Resumen. Las in es igaciones sob e lib os de ex o se es án con i iendo en un mé odo e icien e pa a el es udio de los p ocesos de enseñanza
ap endizaje. En es e a ículo se expone un ins umen o pa a el análisis de dichos lib os y se mues a cómo han e olucionado los concep os
ela i os a los pun os c í icos en los lib os de ex os españoles publicados a lo la go del siglo XX.
Palab as cla e. Lib os de ex o, análisis ma emá ico, pun os c í icos.
Summa y. The esea ch on ex books is becoming an e icien way o s udy he ma hema ics eaching and lea ning p ocesses. In his pape is
p esen ed a new ool o ex book analysis and is shown he e olu ion o he concep o c i ical poin s in Spanish ex books h oughou he 20 h
cen u y.
Keywo ds. Tex books, ma hema ical analysis, c i ical poin s.
1. INTRODUCCIÓN
La implemen ación y u ilización del lib o de ex o en el
aula de ma emá icas se ha p oducido de o ma gene ali-
zada desde los inicios de la educación obliga o ia has a
nues os días, eje ciendo pa a ello di e en es papeles:
como obje o de es udio, como ma e ial de consul a,
como egis o de las ac i idades del alumno, como co-
lección de eje cicios p opues os y p oblemas a esol e ...
Es o ha o iginado una p ác ica escola de e minada po
su uso, así como una o ganización de la enseñanza que se
man iene en la ac ualidad sal o casos aislados.
Desde el pun o de is a his ó ico, en la ansmisión
del conocimien o, ha cons i uido un hi o impo an e la
apa ición del lib o escola , que se puede conside a un
elemen o cul u al e lejo de la manipulación social que
selecciona unos con enidos en e a o os, que impone
una de e minada o ma de es uc u a los y que p opone
a la siguien e gene ación cie o ipo de p oblemas con
unas he amien as semió icas y no o as. En es e sen ido,
Choppin (1980) conside a que el lib o de ex o es «a la
ez apoyo del sabe en an o que impone una dis ibu-
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ción y una je a quía de los conocimien os y con ibuye a
o ja los andamios in elec uales an o de alumnos como
de p o eso es; es ins umen o de pode , dado que con i-
buye a la uni o mización lingüís ica de la disciplina, a la
ni elación cul u al y a la p opagación de las ideas domi-
nan es». Po ello, es in e esan e es udia la con ibución
que los lib os de ex o han enido en la his o ia de la
educación ma emá ica analizando la a iedad y iqueza
de sus con enidos, la incidencia en el aula, su unción
como ansmiso de con enidos socialmen e acep ados…
Además, «los lib os de ex o de e minan en la p ác ica la
enseñanza más que los dec e os de los dis in os gobie -
nos». (Schub ing, 1987)
Hay que des aca , además, que el papel de los lib os de
ex o es doble e i educible uno a o o (O e, 1996): po
un lado, su unción comunica i a y de in e p e ación,
que les do a á de un ca ác e subje i o an o desde el
pun o de is a del au o como del lec o ; y, po o o,
su es uc u a ma e ializada del conocimien o de un ca-
ác e eminen emen e obje i o. Es a doble ace a de los
lib os de ex o hace que su es udio apo e g an in o ma-
ción an o ace ca de las concepciones en elación con el
con enido ma emá ico que desa ollan como ace ca del
p oceso educa i o con el que es án elacionados.
En los úl imos años, in es igado es de di e en es ámbi-
os se han in e esado po es e ema, ealizando algunos
es udios de ipo gene al de o ma que pudie an aplica se
a odas las á eas; pe o son muy pocos los que se han
ocupado del á ea de ma emá icas especí icamen e. Los
lib os de ex o cons i uyen una uen e de in es igación
pa a los in e esados en la his o ia de la educación, ya
que pe mi en es udia los en oques que se han dado, a
lo la go de la his o ia, a una disciplina o concep o. Así,
po ejemplo, en el p oyec o MANES, que se inició en el
año 1992 en España se ijó como obje i o undamen al
ealiza un es udio his ó ico de los manuales escola es
publicados en nues o país de 1808 a 1990: «[…] el p o-
yec o iene dos e ien es, una de ca ác e ins umen al
(his ó ico-documen al), que equie e el censo de los
manuales escola es edi ados en España a a és de la
elabo ación de ichas bibliog á icas que se ecogen en
una base de da os, así como o os ipos de documen os;
y o a p opiamen e in es igado a (his ó ico-educa i a),
que se es á lle ando a cabo median e un conjun o de
es udios y análisis his o iog á ico en o no a las ca ac-
e ís icas bibliomé icas, edi o iales, polí icas, pedagógi-
cas y cu icula es de los lib os de ex o» (Tiana, 2000).
Es e p oyec o se ha inspi ado en o o homólogo que se
enía desa ollando en el Ins i u Na ional de Reche che
Pédagogique de F ancia desde 1980 bajo el nomb e de
Emmanuelle y con la di ección de Alain Choppin.
En e los in es igado es en educación ma emá ica que
han abajado en o no al lib o escola , cabe des aca
a Schub ing (1987), que conside a que el análisis de
ex os an iguos de ma emá icas pe mi e: ex ae in-
o mación sob e di usión y e olución de los sabe es
en una época de e minada, in e p e a enómenos que
ienen elación con los p ocesos de enseñanza-ap en-
dizaje ( ep esen ación, concepciones, aplicaciones),
e c. En el ma co de la in es igación his ó ica en
educación ma emá ica, se ha pues o de mani ies o la
impo ancia del análisis del lib o de ex o como e lejo
de la ac i idad que se ealiza en el aula. Así, Rad o d
(1997) y O e (1997) coinciden en conside a que es la
ac i idad social la que de e mina el conocimien o y,
según Fishe (1988), se puede deci que la ma emá ica
es «un cons uc o social que iene sus aíces no sólo
en el pensamien o indi idual, sino en las in e accio-
nes de las pe sonas. Su conocimien o es á aumen ando
g acias a su disponibilidad a a és de lib os, e is as,
o denado es...». Des aca, asimismo, el es udio com-
pa a i o de Howson ealizado en 1995 sob e lib os de
ex o de di e en es países. En es e es udio además dis-
ingue en e in es igaciones ealizadas sob e ex os a
pos e io i, es deci , sob e la o ma en que se ha usado
un lib o de ex o, cómo ha con ibuido al p oceso de
ap endizaje y qué obs áculos se han p esen ado, que
son in es igaciones más bien escasas; y las ealizadas
a p io i, que son más nume osas. En e las p ime as
des aca el es udio de Pepin y o os (2001) sob e la u i-
lización de los lib os de ex o en Ingla e a, F ancia y
Alemania, en el cual concluyen que la o ma de hace
ma emá icas en las aulas depende en g an medida de
un con ex o más amplio en el que es á inme sa dicha
enseñanza y que es el que de e mina las o mas cul-
u ales de un de e minado país. En e las segundas,
hay que des aca los abajos de Che alla d y sus co-
labo ado es (Che alla d, 1985; Che alla d y Joshua,
1982), en los que se u iliza la noción de ansposición
didác ica ela i a a las ans o maciones en e el sabe
sabio y el sabe enseñado y en e los que exis e un es-
calón in e medio co espondien e al sabe a enseña
que se e leja en el ex o del sabe . Es e ex o del sabe
es lo que el p o eso piensa que iene que enseña una
ez que se han publicado las o ien aciones y lib os de
ex o y se ha ijado la in e p e ación del cu ículo a
a és de di e sos p oyec os de cen o y aula. Lo más
p óximo a es e ex o del sabe , o sabe a enseña , es
el lib o de ex o, cuyo con enido y es uc u a e lejan
esas ans o maciones del sabe sabio.
O as in es igaciones se cen an en aspec os ela i os
al lenguaje y la legibilidad de los ex os (Pimm, 1987,
1994) o en la o ma de p esen ación de los con enidos
como la de O e (1987), que pone el én asis en lo que
ansmi e el ex o, las elaciones en e el conocimien o
y la ep esen ación ex ual y las a iaciones en las in e -
p e aciones. A su ez, Do molen (1986) hace una clasi-
icación de los elemen os que son imp escindibles en un
lib o de ex o de ma emá icas, y Lowe y Pimm (1996)
conside an que hay una é ada asociada a un lib o de
ex o: el lec o , el esc i o , el p o eso y el mismo lib o,
y que las ca ac e ís icas de cada uno de ellos, así como
sus in e acciones de e minan el uso de es e ma e ial en
el aula. Resul a, a su ez, imp escindible des aca el
abajo ealizado po Dhomb es (1984) y el ya ci ado de
Schub ing (1987) sob e me odología de análisis his ó i-
co de lib os de ex o, en el que se esal a la necesidad de
una ap oximación global que analice los cambios en las
sucesi as ediciones de un lib o de ex o, los cambios es-
pec o a o os lib os de ex o y la elación de és os con los
que se han p oducido en el con ex o. También hay que
ene en cuen a los abajos de Can o al (1995), Filloy y
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Rojano (1984) y Puig (1994) pa a compa a algunos de
los p ocesos u ilizados po los alumnos en la comp en-
sión del conocimien o ma emá ico y los u ilizados en los
lib os o ex os his ó icos de ma emá icas.
En España los abajos ealizados son más bien escasos,
pe o debemos des aca : el es udio de Sanz (1995) sob e
los ipos y la unción de las con igu aciones g á icas de
da os en los lib os de ex o de p ima ia; el de Maz (2000)
ace ca de la o ma de p esen a los núme os nega i os en
los ex os de ma emá icas de los siglos x iii y xix; los
abajos de Sie a, González y López (1999, 2003) sob e
la e olución de los concep os de lími e y con inuidad en
los lib os de ex o de ma emá icas de España; y la in es-
igación de González (2002) sob e la e olución del con-
cep o de pun o c í ico, desde los lib os his ó icos de ex-
o de los siglos x ii y x iii has a los lib os de educación
secunda ia u ilizados en España du an e el siglo xx.
En es e a ículo se analiza la p esen ación que hacen los
lib os de ex o de los con enidos ela i os a los pun os
c í icos. Las azones po las que se decidió es e ema,
en e a o os con enidos del análisis ma emá ico que
ambién se incluyen en la enseñanza secunda ia, son que
«es un ópico que apa ece en odos los lib os de ex o
[...] es uno de los mo o es que dio pie al nacimien o del
cálculo di e encial, una de las aplicaciones más ca ac e-
ís icas de és e y una uen e de p oblemas y enómenos
que pod ían ca ac e iza las si uaciones didác icas en los
lib os de ex o». (González, 2002)
2. METODOLOGÍA
A lo la go de es e abajo se ha u ilizado el é mino li-
b o de ex o pa a designa aquellos lib os que u ilizan
habi ualmen e p o eso es y alumnos a lo la go del cu so
escola en el p oceso de enseñanza-ap endizaje de un
á ea de conocimien o. En la e minología ancesa, se
suele u iliza el é mino manuel scolai e y en la inglesa
los é minos ex book y schoolbook como sus equi alen-
es, mien as que se u iliza wo kbooks pa a designa los
cuade nos de eje cicios del alumno. Su con enido es una
es uc u a ácilmen e econocible, po la subdi isión en
capí ulos y emas que siguen los pe iodos básicos del
calenda io escola .
El in e és del análisis sob e lib os de ex o pa e de la hi-
pó esis de que la p ác ica de la enseñanza no es á an de-
e minada po los dec e os y ó denes minis e iales como
po los lib os de ex o u ilizados en el aula (Sie a, Gon-
zález y López, 1999). La p oducción de lib os de ex o
se lle a a cabo den o de un con ex o de e minado y
esponde a las co ien es epis emológicas y didác icas al
uso. Tampoco debemos ol ida los condicionan es eco-
nómicos como la en abilidad del p oduc o pa a el au o
o pa a la edi o ial. Además, exis iendo en el caso español
disposiciones o iciales sob e el cu ículo, los lib os de
ex o ienden a adap a se a ellas. Po es a azón, se han
ag upado los lib os en pe iodos que, en líneas gene ales,
co esponden a los sucesi os planes de es udio. Aunque
el cálculo di e encial ya se había incluido en las enseñan-
zas que los jesui as es ablecie on en su Ra io S udio um,
conc e amen e en la e sión del pad e Pach le , hemos
iniciado es e es udio a pa i del plan de 1934, en el que
po p ime a ez se incluye el análisis ma emá ico en las
enseñanzas egladas es ablecidas en España du an e el
siglo xx. Es os planes han sido ag upados en cua o pe-
iodos eniendo en cuen a las o ien aciones de cada uno
de ellos y la simili ud en e algunos:
• La in oducción de la enseñanza del análisis ma-
emá ico: 1934-1967. En es e pe iodo se incluyen los
planes co espondien es a los años 1934, 1938 y 1953.
• In oducción de la ma emá ica mode na: 1967-1975.
Es e pe iodo aba ca desde la in oducción de la ma e-
má ica mode na has a la implan ación del bachille a o
uni icado y poli alen e (BUP) en 1975.
• Desa ollo del plan de es udios de BUP: 1975-1995.
Es e pe iodo comp ende desde la implan ación del BUP
has a el inicio de los nue os bachille a os de i ados de
la Ley de O denación Gene al del Sis ema Educa i o
(LOGSE).
• Una nue a o ien ación de la enseñanza de las ma-
emá icas bajo las o ien aciones de la LOGSE: 1995-
2001. Co esponde al plan de es udios de 1992.
En un p ime momen o se ealizó una selección de lib os
de ex o eniendo en cuen a los au o es «más» amosos o
las edi o iales más sob esalien es en cada uno de los pe-
iodos. Los lib os co espondien es a cada uno de es os
pe iodos apa ecen en la abla I.
Dada la magni ud de manuales encon ados y eniendo en
cuen a in es igaciones an e io es ealizadas po es e g u-
po in es igado , se ha ealizado una selección más a inada
p ocu ando que la pé dida de in o mación en elación con
la can idad de lib os sea mínima. En in es igaciones an-
e io es es ablecimos que los lib os de la lis a an e io se
pueden clasi ica , den o de cada uno de los pe iodos, en
es g upos según las o ien aciones que dan a los concep-
os de análisis ma emá ico, po lo que se eligió un lib o de
cada uno de dichos g upos que ep esen a a o os que son
simila es. Es os g upos ienen ca ac e izados po : a) se-
gún que sigan las o ien aciones es ablecidas en el pe iodo
an e io ; b) que sean ieles a las o ien aciones y no ma i-
as del pe iodo al que pe enece; y c) que sean p ecu so es
de nue os mé odos y o mas de en ende la enseñanza de
las ma emá icas. En de ini i a, los lib os a los que se ha
ealizado el análisis, clasi icados según los pe iodos es a-
blecidos an e io men e, han sido los siguien es:
• Los inicios de la enseñanza del análisis ma emá ico:
1934-1967
1) Ba a ech, B. y Royo Villano a (1938). Ma emá icas.
Sép imo cu so de bachille a o. P ime a pa e. Análisis.
Za agoza: Lib e ía Gene al.
2) Fe nández de Cas o, M. y Jiménez Jiménez, J.L. (an e io
a 1955). Ma emá icas. Te ce o, cua o, quin o, sex o y sép i-
mo. P epa ación del examen de es ado. Cádiz: Escalice .
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Tabla I
Lis a de lib os seleccionados.
Pe iodo Lib os
P ime pe iodo
Ba a ech, B. y Royo Villano a (1938). Ma emá icas. Sép imo cu so de bachille a o. P ime a pa e. Análisis.
Za agoza: Lib e ía Gene al.
Ca anza, E. (1972). Ma emá icas. Sex o cu so. Bachille a o. Plan 1957. Mad id: Summa.
Fe nández de Cas o y Jiménez Jiménez (an e io a 1955). Ma emá icas. P epa ación del examen de es ado. Cádiz: Escelice .
B uño (1968). Ma emá icas 6º cu so. Mad id: B uño.
Six o Ríos y Rod íguez San Juan (1950). Ma emá ica. Sex o cu so de bachille a o. Mad id: Los au o es.
Six o Ríos y Rod íguez San Juan (1968). Ma emá icas. Sex o cu so de bachille a o. Mad id: Los au o es.
Six o Ríos y Rod íguez San Juan (1968). Ma emá icas. Quin o cu so de bachille a o. Mad id: Los au o es.
Segundo pe iodo
Abellanas y o os (1967). Ma emá ica mode na. Quin o cu so. Mad id: MEC.
Abellanas y o os (1969). Ma emá ica mode na. Sex o cu so. Mad id: MEC.
Sin au o (1972). Ma emá ica sex o cu so. Za agoza: Edel i es.
Segu a, S. (1974). Ma emá icas 6º cu so. Valencia: ECIR.
Tudu í, J. y Casal, R. (1974). COU Ma emá icas especiales. Ta asa: Vimasa.
Ma cos de Lanuza (1972). Ma emá icas 5º cu so. Mad id: G. del To o.
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Te ce pe iodo
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Agus í, J. y Vila, A. (1976). Ma emá icas. Vec o es 2º BUP. Ba celona: Vicens-Vi es.
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G upo Ce o (1985). Ma emá icas de bachille a o. Ba celona: Teide.
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Cua o pe iodo
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Salamanca: Hespé ides.
Vizmanos, R. y Anzola, M. (1998). Ma emá icas 2 (Ciencias de la na u aleza y de la salud - ecnología). Mad id: SM.
Biosca, A. y o os (1999). Ma emá icas II. Ba celona: Edebé.
3) Ca anza, E. (1972). Ma emá icas. Sex o cu so. Ba-
chille a o. Plan 1957. Mad id: Summa.
• In oducción de la ma emá ica mode na: 1967-1975
1) Sin au o (1972). Ma emá icas. Sex o cu so. Za ago-
za: Luis Vi es.
2) Abellanas, P. y o os (1969). Ma emá ica mode na.
Sex o cu so. Mad id: MEC.
3) Ma cos, C. y Ma ínez, J. (1973). Ma emá icas espe-
ciales. COU. Mad id: SM.
• Desa ollo del plan de es udios de BUP: 1975-1995
1) Ma cos de Lanuza, F. (1978). Ma emá icas 3º BUP.
Mad id: G. del To o.
2) E ayo, J. y o os (1977). Ma emá icas 3º BUP. Sala-
manca: Anaya.
3) G upo Ce o (1982). Ma emá icas de bachille a o,
olumen 2. Ba celona: Teide.
4) Guzmán, M., Cole a, J. y Sal ado , A. (1988). Ma e-
má icas. Bachille a o 3. Mad id: Anaya.
• Una nue a o ien ación de la enseñanza de las ma-
emá icas bajo las o ien aciones de la LOGSE: 1995-
2001.
1) P imo, A. y o os (1998). Ma emá icas (Modalidad:
ecnología, ciencias de la na u aleza y de la salud). Sa-
lamanca: Hespé ides.
2) Vizmanos, R. y Anzola, M. (1998). Ma emá icas 2
(Ciencias de la na u aleza y de la salud - ecnología).
Mad id: SM.
3) Biosca, A. y o os (1999). Ma emá icas II. Ba celona:
Edebé.
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Aunque el es udio se ha lle ado a cabo de o ma inde-
pendien e en cada uno de los pe iodos, la es uc u a que
se ha seguido pa a cada uno de ellos es simila , ealizán-
dose en es e apas, cada una de las cuales p o undiza el
abajo ealizado en la e apa an e io .
En p ime luga se ha in en ado con ex ualiza cada uno de
los pe iodos, exponiéndose las o ien aciones o iciales que
se es ablecie on en ellos, pa a pode analiza los lib os a la
luz de dichas conside aciones. Fundamen almen e se han
u ilizado los p og amas o iciales elabo ados po el Minis-
e io de Educación pa a pode comple a es a ase.
Pos e io men e se hace un análisis de la o ma de p esen-
ación de los pun os c í icos en cada uno de los lib os,
es udiando las o mas de exp esión ma emá ica que en
ellos se incluyen. Se ha de ene en cuen a que la o ma
en que se exp esan los concep os ma emá icos, no sólo
en los lib os de ex o sino en p ác icamen e cualquie
medio y bajo cualquie sopo e es muy a iada. Se con-
side a que los p incipales modos de ep esen ación (Jan-
ie , 1987) son cua o: desc ipciones e bales, ablas de
da os, ep esen aciones g á icas y exp esiones simbó-
licas. Pa a cada una de es as o mas de ep esen ación se
han ido seleccionando sucesi as unidades de in o ma-
ción p oceden es de los ex os es udiados, sob e las que
se ha p ocedido a ealiza el análisis. Asimismo, como
según Rojano (1994) y Pala ea (1999), «se de ec a, sin
emba go, la ausencia de un pa adigma pa a el es udio del
sis ema ma emá ico de signos, que aba que sus aspec os
sin ác ico, semán ico, p agmá ico y sociocul u al», se
ealizó un análisis basado en las siguien es ca ego ías:
• Sin ác ico, ya que cada símbolo se puede conside a
suscep ible de se inse ado en secuencias jun o con
o os símbolos median e unas eglas que ga an izan la
cohe encia in e na y la alidez.
• Semán ico, pues o que los signos se conside an en
elación con su signi icado ma emá ico y sus elaciones
con concep os de o as ciencias.
• P agmá ico-didác ico, siemp e que el signo se conside e
en elación con la u ilización que se hace de él desde el
pun o de is a didác ico pa a, po ejemplo, esal a unas
ca ac e ís icas del concep o que ep esen a en e a o as.
En es e sen ido, una ep esen ación puede se más adecuada
que o a, en unción del uso que se aya a hace de ella. La
u ilización puede indica nos si son ep esen aciones sólo
de lec u a, si hay que comple a , si enemos una uen e de
da os, un ejemplo, p o o ipo o ilus ación de algo, o bien si
es án in eg adas en una ac i idad. Incluso end emos que
ene en cuen a algunos aspec os que pueden es a elacio-
nados con las he amien as que se es án u ilizando en un
de e minado momen o; po ejemplo, cuando hacemos g á-
icas con calculado as g á icas, hemos de ene en cuen a: la
escala usada, la en ana de inida en la calculado a...
• Sociocul u al, que hace e e encia a símbolos, é minos
y cualidades de es os símbolos, y é minos ca ac e ís icos
de una de e minada época o de una de e minada cul u a o
sociedad. Muchos de los símbolos ma emá icos son in em-
po ales, desde el momen o de su in oducción no ha a iado
su uso. Ac ualmen e, con la in oducción de las nue as ec-
nologías, e emos cómo las necesidades ecnológicas han
impues o algunas a iaciones en es os símbolos.
Se ha elabo ado un ins umen o pa a el análisis, de inién-
dose ein e dimensiones ag upadas en las cua o ca ego-
ías an e io es. En cada dimensión se han conside ado
es modalidades. Es o ha pe mi ido clasi ica los ma-
nuales en es pe iles según la modalidad dominan e:
• Exposi i o (E). Son lib os en los que se conside a el
conocimien o ma emá ico como una acumulación de enun-
ciados, eglas y p ocedimien os aislados, y ela i amen e
inconexos y desconec ados de la ealidad, pe o que poseen
una es uc u a ma emá ica, ípicamen e deduc i a, en la
que, pa iendo de las de iniciones de los concep os, se de-
ducen los eo emas y se exponen algunos pocos ejemplos:
es una es uc u a cie amen e p esc ip i a. Es a es uc u a
implica, en cuan o a la enseñanza, que los obje i os son
concep uales: inci a a la exposición magis al y a la eje ci-
ación epe i i a. Es e ipo de lib os induce a un ap endizaje
de ipo memo ís ico, en los que impo a más la es uc u a
ma emá ica que la comp ensión de los concep os, a pesa
del én asis que se pone en las de iniciones y eo emas.
• Tecnológico (T). Se conciben las ma emá icas como una
o ganización lógica de enunciados, eglas y p ocedimien-
os que se emplean como écnicas o des ezas pa a pensa
sob e los concep os y aplica los a di e sas si uaciones. Las
dis in as amas de las ma emá icas apa ecen o almen e des-
conec adas. A pa i de obje i os e minales u ope a i os,
y po medio de una es uc u a secuencial en la enseñanza,
se in en a una eje ci ación p oduc i a, p oponiéndose pa a
ello nume osas aplicaciones con la in ención de do a de
sen ido a las dis in as eglas. Aunque los p ocedimien os y
concep os es án o ganizados y es uc u ados de una o ma
lógica, se hace más én asis en la memo ización de eglas y
la aplicación en eje cicios y p oblemas.
• Comp ensi o (C). Se conciben las ma emá icas como
un ins umen o pa a in e p e a la ealidad en endida
és a en sen ido amplio. En es e caso se pa e de obje i os
lexibles, de o ma que pa a consegui los se equie e la
expe imen ación, po lo que el ipo de enseñanza ade-
cuada es la ealizada po descub imien o, pe mi iendo
de es a o ma la cons ucción de edes concep uales. El
ap endizaje de las ma emá icas se adquie e median e el
es ablecimien o de una ed de elaciones con o os con-
enidos que pueden se ma emá icos o no, dando así sen-
ido a las ma emá icas. Se conside a que los concep os se
adquie en pa iendo de si uaciones p opias de la ealidad
que pe mi en la cons ucción de concep os y eglas.
En la abla II se p esen an de mane a sin é ica las ca ego ías
y las dimensiones u ilizadas (Anexo). Pa a cada ca ego ía
se conside an cinco dimensiones, una po cada uno de los
sis emas de ep esen ación: desc ipciones e bales (dis in-
guiendo en e p oblemas y de iniciones), ablas de da os,
ep esen aciones g á icas y exp esiones simbólicas. La lec-
u a ho izon al pe mi e compa a las endencias de los di e-
en es ipos de ex o. La lec u a e ical pe mi e iden i ica
las di e en es dimensiones que se han enido en cuen a, lo
que da una isión global del ipo de análisis ealizado.
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Pa a ob ene el pe il de cada lib o se ha pa ido de las uni-
dades de in o mación seleccionadas en cada uno de ellos,
asignándoles una é ada de dimensiones (una pa a cada
ca ego ía: sin ác ica, semán ica, p agmá ica y didác ica).
Pos e io men e, se han elabo ado ablas esumen pa a cada
pe iodo y cada lib o, que pe mi en isualiza y comp oba
la p e alencia de las di e en es o ien aciones en cada una de
las ca ego ías y dimensiones. Y inalmen e, se ha comple-
ado la abla an e io pa a cada lib o, indicando, espec o a
cada dimensión median e un as e isco en la casilla co es-
pondien e, la o ien ación que se ha ob enido del análisis del
lib o. Pa a una misma dimensión, puede habe a ios as e-
iscos, en el caso de que haya unidades de in o mación que
co espondan a a ios pe iles, y la di e encia en la can idad
de las unidades co espondien e a cada uno de ellos sea pe-
queña. El lib o queda á clasi icado en la columna en la que
apa ezca mayo núme o de as e iscos.
3. RESULTADOS
En es e apa ado se exponen los esul ados que se han ob e-
nido en elación con cada uno de los pe iodos en los que se
ha di idido la enseñanza del análisis ma emá ico du an e el
siglo xx en España, siguiendo la me odología desc i a en el
apa ado an e io . La es uc u a de cada uno de los pe iodos
es simila , iniciándose con un b e e esumen co espondien e
a los planes de es udio y o ien aciones o iciales del pe iodo
en cues ión (pa a una isión más po meno izada de los pla-
nes de es udio, e Sie a, González y López, 1999, 2002).
Se con inúan explici ando las ca ac e ís icas de los lib os
de ex o del pe iodo conc e ado en elación con los pun os
c í icos cuáles son las ep esen aciones más habi uales y la
unción que cumplen en el ex o; y, inalmen e, se p esen a,
con más de alle, el pe il de uno de los lib os analizados como
ejemplo de una de las e siones en las que se han conc e ado
las ca ac e ís icas an e io es. En dicho pe il se desc iben
inicialmen e algunas de las ca ac e ís icas que iden i ican
al lib o de ex o en cues ión y que se ecogen en la abla de
pe il a modo de esquema y después de cada abla se hace un
pequeño esumen indicando cuál es el pe il del lib o elegido
y po qué se ha asignado dicho pe il.
3.1. Los inicios de la enseñanza del análisis ma e-
má ico (1934-1967)
Planes de es udio
En es e pe iodo es a án igen es los planes de es udio de
1934, 1938 y 1953 con las modi icaciones de 1957 que
Ca ego ías Dimensiones Exposi i o Tecnológico Comp ensi o
Sin ác ica
1 Es uc u a del p oblema Clásica Aplicación Explicación
2 Desc ipciones eó icas Fo males Fo males-in ui i as In ui i as
3 Símbolos u ilizados en las ablas Sin ablas Con símbolos ma emá icos Con iconos
4 Símbolos u ilizados en las g á icas Li e al U ilización de núme os Elemen os explica i os
5 Tipos de exp esiones simbólicas Familias Especí icas Va iadas
Semán ica
6 Fenomenología Ma emá icas Realis as Reales
7 Tipos de desc ipciones De concep os De eglas De elaciones
8 Tipos de ablas Sin ablas Desc ipción local Cuad os de a iación
9 Tipos de g á icas Ideog amas Ábacos Mensajes opológicos
10 Signi icado de las exp esiones
simbólicas Obje o Regla P oceso
P agmá ico-
didác ica
11 Función de los eje cicios Ru ina ios Aplicación Deducción
12 Papel de las de iniciones Es uc u ales-
eó icas Aplicación a p oblemas In e p e ación
13 Ac i idades elacionadas con las ablas Sin ablas Cons ucción In e p e ación/Cons ucción
14 Ac i idades g á icas Visualización Cons ucción In e p e ación/Cons ucción
15 Papel de las exp esiones simbólicas Ejempli icación Escola Social
Socio-
cul u al
16 In luencia social y adap ación al
cu ículo No hay Con ex o in empo al Con ex o ac ual
17 In luencias didác icas Clásica Adap ada al cu ículo No edosa
18 Aplicación de las ablas Sin ablas Elemen o auxilia Ca ego ía de obje o
19 P esen ación de las g á icas (es á ica/
dinámica) Descon ex ualizada Imp esa Nue as ecnologías
20 Complejidad de las exp esiones
simbólicas Clásicas Sencillas Complejas
Tabla II
Ca ego ías, dimensiones y pe iles.
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es uc u an el bachille a o en sie e años, incluyendo po
p ime a ez con enidos de análisis ma emá ico en los
dos úl imos cu sos. Inicialmen e los cu sos e an comu-
nes sin hace dis inción en e especialidades, pe o pos-
e io men e se inicia una di isión en dos especialidades
denominadas Ciencias y Le as.
Ca ac e ís icas de los lib os de ex o
Al se és e el p ime pe iodo en la enseñanza del análisis
ma emá ico en la educación secunda ia en España, no
enemos ningún o o modelo con el que podamos com-
pa a lo, po lo an o, ma ca á la pau a de compa ación
del es o de los pe iodos. In oduci los concep os de
es a ama de las ma emá icas en la enseñanza secunda ia
cons i uye un hi o en cuan o a la conside ación que los
nue os p og amas an a ene en elación con ellos, de
al o ma que se conside a necesa ia la inco po ación de
concep os de ma emá icas supe io es en la p epa ación
de los es udian es que pos e io men e ing esa án en las
uni e sidades, sob e odo en las ca e as écnicas, y que
necesi a án es e ipo de concep os. Se incluyen en los úl-
imos cu sos de bachille a o, jun o con o as amas de las
ma emá icas, como la geome ía analí ica y los núme os
complejos, siendo su ca ác e undamen almen e o ma-
i o y son de ca ác e obliga o io pa a odos los alumnos,
des acando así la impo ancia que se les concede.
La es uc u a de los lib os e oluciona a lo la go de es e
pe iodo, desde el de Fe nández y Jiménez, de ipo enciclo-
pédico, has a los lib os de Ba a ech y Royo, y Ca anza,
con una o ganización pa a un solo cu so, di idida en lec-
ciones, que es más ac ual y en los que al inal de cada ca-
pí ulo se incluye una colección de eje cicios o p oblemas
pa a p ac ica los conocimien os adqui idos a lo la go de
cada lección de o ma simila a los lib os ac uales.
En es os lib os ambién se obse a una e olución en el
lenguaje ma emá ico que oda ía no es el de ini i o, en
Fe nández y Jiménez no se conside a el concep o de un-
ción, sino que se desa olla odo el análisis ma emá ico
a pa i del concep o de a iable, y se manejan é minos
ípicos de es e lenguaje como el ela i o a los in ini ési-
mos. Poco a poco, a medida que a a anzando el pe io-
do, el concep o de unción a adqui iendo un papel que
culmina á en el siguien e pe iodo.
Los enómenos seleccionados pa a abaja los pun os
c í icos son ípicos del pe iodo, des acando, en compa a-
ción con los demás, la inclusión de nume osos p oblemas
y eje cicios elacionados con concep os p opios de ísica,
como la luminosidad, la elas icidad, la elocidad... y con
he amien as, como palancas. También o man un capí-
ulo impo an e los p oblemas de ca ác e geomé ico,
dada la en idad que enía la geome ía en la enseñanza
en la época que nos ocupa en elación con o as épocas
más ac uales. Muchos p oblemas plan eados son de ipo
gené ico asociados a oda una amilia de unciones, he e-
dando la o ma de hace de los ma emá icos clásicos.
En cuan o a las de iniciones y desc ipciones más eó i-
cas, des aca la inco po ación de algunos símbolos ma e-
má icos, como los ela i os a las unciones, los símbolos
elacionales >, <, algunas le as g iegas como ε, Δ, la
u ilización de subíndices y supe índices... Dichas de ini-
ciones descansan en el aspec o g á ico de las unciones,
siendo con inuas las e e encias a la cu a que ep esen a
g á icamen e la unción. Las ablas son muy escasas y su
uso se educe a se me os auxilia es pa a la ep esen a-
ción g á ica de las unciones. Las g á icas ambién son
escasas; median e una única g á ica se ep esen an odas
las posibilidades en elación con los pun os c í icos, p e-
sen ándose no sólo los casos que se co esponden con
las unciones de i ables, sino ambién aquéllas que no
lo son. Las exp esiones simbólicas son casi odas alge-
b aicas, siendo las más nume osas las polinómicas. En
algunas exp esiones se u ilizan en luga de los símbolos
x e y pa a las a iables, e y , y se des aca la impo ancia
y la aplicación de los concep os del análisis ma emá ico
en elación con la ísica.
Pe il
En e los lib os que se han analizado p esen amos a con-
inuación los esul ados co espondien es a uno de ellos:
Emilio Pé ez Ca anza (1972). Ma emá icas. Sex o cu -
so. Bachille a o. Plan 1957. Mad id: Edi o ial Summa.
Es e lib o u iliza el lenguaje de unciones de o ma ex-
plíci a, sin hace e e encia a las a iables, con lo cual
el concep o de unción a adqui iendo cie o es a us que
no poseía en los lib os de ex o has a es e momen o. El
au o se limi a a de ini los concep os y apenas hay de-
mos aciones, sino simples comp obaciones; a pesa de
ello, an o las de iniciones como las eglas de cálculo o
los algo i mos son guiados du an e la exposición de la
lección, ob eniéndose de una o ma casi deduc i a. La
noción de ma emá ica que se mues a es de una ma emá-
ica ya hecha, que sólo hay que memo iza . La es uc u a
de los enunciados es la ípica u ilizada en la o mulación
ma emá ica, an o en elación con los p oblemas como
con las de iniciones y las eglas de cálculo:
Encon a el núme o x cuya aíz de índice x es máxima. (Ca anza,
p. 124)
De odos los ec ángulos isope imé icos, calcula el de á ea máxima.
(Ca anza, p. 121)
Como muchos p oblemas son de ipo gene al, las so-
luciones que se ob ienen ambién lo son, po lo que no
impo a an o la o ma que ienen las soluciones como su
signi icado. Así se dice: «[…] de odos los ec ángulos
isope imé icos, el cuad ado es el de á ea máxima». De
es a o ma se o ece una in e p e ación cuali a i a de
los esul ados ob enidos. De odas o mas ambién hay
eje cicios que hacen e e encia a o as ciencias como la
ísica:
Se supone que un plano es á descompues o po una ec a en dos se-
miplanos, que son dos medios homogéneos en los que las elocidades
espec i as de la luz son 1 y 2.
Encon a el camino que debe segui un ayo luminoso pa a i en el me-
no iempo posible (camino óp ico) desde un pun o A, si uado en uno
de los medios, a o o B, si uado en el o o medio. (Ca anza, p.121)
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O si uaciones de ipo eal que e lejan el con ex o social
de la época:
Un ba co mo ido con acei e pesado consume po ho a un núme o de
li os igual al cubo de su elocidad en nudos. Tal combus ible cues a a
5 p as. el li o; los demás gas os del ba co son 25.000 pese as po ho a.
Calcula la elocidad del ba co pa a educi a un mínimo los gas os de
un eco ido de 1.000 millas. (Ca anza, p. 123)
Las de iniciones hacen e e encia a la g á ica de la unción
y, po lo an o, a la posición geomé ica de los pun os c í i-
cos en elación con el es o de pun os de la g á ica.
Se dice que una unción y = (x) admi e un máximo ela i o pa a un a-
lo de x cuando es c ecien e a su izquie da y dec ecien e a su de echa.
(Ca anza, p. 119)
En es e lib o no hay ninguna abla, y las g á icas son
ideog amas en las que se p esen an odos los di e en-
es ipos de pun os c í icos: un máximo, un mínimo y
dos pun os de in lexión. La u ilidad de es as g á icas
iene de e minada po que si e de ilus ación, boce o
o ejemplo del ipo de compo amien o de la g á ica de
una unción en es os pun os. Median e el azado de las
ec as angen es, se señala la elación que exis e en e la
angen e en un pun o y la g á ica. Se u ilizan las líneas
pun eadas como ecu so pa a elaciona la abscisa con el
pun o de la cu a que iene angen e ho izon al. (Ca an-
za, p. 118)
En cuan o al ipo de unciones u ilizadas hay una g an
a iedad, desde las más sencillas polinómicas has a o as
de ipo acional, ascenden e, y una que con iene un
alo absolu o.
El lib o de Ca anza es un lib o exposi i o, en el que
se pone el in e és en el desa ollo concep ual del ema
y se es ablece un cie o desa ollo de las eglas y éc-
nicas necesa ias pa a el cálculo de los pun os c í icos.
Semán icamen e se u ilizan cie as ep esen aciones que
a an de do a de signi icado a los concep os y de aba -
ca di e en es posibilidades. Hay algunas e e encias a
la sociedad del momen o y se alo an algunos aspec os
comp ensi os. El lib o es un iel e lejo de la necesidad
de do a de cohe encia y de e leja la es uc u a que po-
see la ma emá ica p opia de aquella época (Tabla III).
Ca ego ías Dimensiones Exposi i o Tecnológico Comp ensi o
Sin ác ica
Es uc u a del p oblema ∗
Desc ipciones eó icas ∗ ∗
Símbolos u ilizados en las ablas ∗
Símbolos u ilizados en las g á icas ∗ ∗
Tipos de exp esiones simbólicas ∗
Semán ica
Fenomenología ∗
Tipos de desc ipciones ∗ ∗
Tipos de ablas ∗
Tipos de g á icas ∗
Tipos de exp esiones simbólicas ∗ ∗
P agmá ico-didác ica
Función de los eje cicios ∗
Papel de las de iniciones ∗ ∗
Ac i idades elacionadas con las ablas ∗
Ac i idades g á icas ∗
Papel de las exp esiones simbólicas ∗
Sociocul u al
In luencia social y adap ación al cu ículo ∗
In luencias didác icas ∗
Aplicación de las ablas ∗
P esen ación de las g á icas ∗
Complejidad de las exp esiones simbólicas ∗
Tabla III
Pe il del lib o de Ca anza.
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3.2. In oducción de la ma emá ica mode na:
1967-1975
Planes de es udio
Es e pe iodo aba ca desde la in oducción de la ma emá ica
mode na has a la implan ación del bachille a o uni icado
y poli alen e (BUP) en el año 1975. Du an e la década de
los sesen a, la «ma emá ica mode na» se a in oduciendo
en los p og amas de bachille a o. En 1962, se cons i uyó
la Comisión pa a el Ensayo Didác ico sob e Ma emá ica
Mode na en los Ins i u os Nacionales (c eada po OM de 7
de diciemb e de 1961) p esidida po el p o eso Abellanas,
que edi ó, en los años 1967 y 1969, ex os pilo o pa a los
cu sos 5º y 6º de bachille a o espec i amen e. El Minis-
e io además edi ó unos cuade nos didác icos dedicados
a desa olla emas de ma emá icas mode nas y desde el
año 1963 has a el año 1966, la e is a Enseñanza Media
publicó una se ie de a ículos bajo el í ulo «Lecciones de
ma emá ica mode na»; de modo que, p og esi amen e, se
ue implan ando un p og ama en el bachille a o, cuyos
cimien os son la eo ía de conjun os y que maneja las es-
uc u as ma emá icas en sen ido bou bakis a, es deci , las
es uc u as algeb aicas, de o den y opológicas. De hecho,
los ex os pilo o se con i ie on en el nue o p og ama de
ma emá icas en el bachille a o.
Ca ac e ís icas de los lib os
Es e pe iodo, como hemos indicado, es á ma cado po la
in oducción de la ma emá ica mode na, que, en lo que se
e ie e al análisis, in oduci á el lenguaje y la es uc u a ípi-
ca de la opología, po lo que son habi uales é minos como
en o no, máximo (mínimo), ela i o (absolu o), así como
el empeño en la exac i ud en el lenguaje y en la es uc u a
axiomá ica de los emas. El concep o de unción iene en-
idad p opia a lo la go de es e pe iodo, de o ma que es un
obje o de es udio y, dada la o ien ación de los p og amas de
es e pe iodo, se les do a de una es uc u a algeb aica.
La es uc u a de los lib os es la he edada de la época an e-
io , en la que los cu sos se di iden en lecciones dedicadas
a cada uno de los concep os ma emá icos desa ollados. La
más no edosa es la del lib o de SM, que esul a p ecu so a
espec o del siguien e pe iodo, ya que do ó a los lib os de
un ca ác e más escola -didác ico, incluyendo explica-
ciones exhaus i as de cada uno de los concep os que se
desc iben. El lib o de Edel i es con inúa incluyendo p o-
blemas ela i os an o a la ísica como a la geome ía, an
ca ac e ís icos de la época an e io , pe o los o os lib os
plan ean si uaciones bas an e más abs ac as, de o ma
que has a los p oblemas sob e si uaciones co idianas son
adap aciones hechas de p oblemas ípicamen e geomé i-
cos, pa a los que se ha buscado un con ex o que si ie a de
p e ex o. Exis e una ausencia impo an e en cuan o a los
p oblemas que plan ean si uaciones gene ales, siendo más
habi uales los p oblemas numé icos especí icos.
Las de iniciones de los pun os c í icos es án más asocia-
das al alo de la unción en un pun o que a una de e mi-
nada posición en su g á ica, y las eglas pa a su cálculo
son de ipo algo í mico, es ableciéndose pasos sucesi os
algunos de los cuales equi alen a la esolución de una
ecuación algeb aica. La in luencia de la ma emá ica
mode na an o en las de iniciones como en las eglas es
cla a. Las ablas, como en el pe iodo an e io , son esca-
sas y ligadas a la ep esen ación g á ica de unciones.
Des aca que no haya ninguna en el ex o pilo o y que, en
las incluidas en el lib o de SM, se empiece a inco po a
algunos símbolos ex ama emá icos como lechas. En
es e pe iodo se empiezan a u iliza las g á icas en o ma
de mensajes opológicos, en consonancia con el ipo de
ma emá icas que se es án desa ollando y la impo ancia
concedida a la opología. Las exp esiones simbólicas son
casi odas algeb aicas. Se obse a una g an ausencia de
unciones no de i ables, unciones de inidas a ozos, y
unciones de ipo más gene al que sí es aban incluidas en
los lib os del pe iodo an e io .
Pe il
En e los lib os que se han analizado se p esen a el pe il
de Abellanas, P. y o os (1969). Ma emá ica mode na.
Sex o cu so. Mad id: MEC.
El ex o pilo o se puede conside a un lib o clásico, unda-
men almen e eó ico, en el que la enomenología es o al-
men e ma emá ica: la ma emá ica se encie a en sí misma
y se explica po sí misma, incluso los di e en es concep os
ma emá icos apa ecen clasi icados en dis in as á eas de
o ma que no se elacionan unas con o as, man enién-
dolas o almen e sepa adas. Los é minos usados son o -
males, no dejando luga a la in uición, la es uc u a de los
enunciados es igu osa y u iliza pa a ello an o símbolos
pu amen e ma emá icos como locuciones y exp esiones
pe enecien es a la lógica ma emá ica. Así, pa a de ini lo
que se en iende po un máximo ela i o, se indica:
Se dice que la unción y = (x) iene un máximo ela i o en el pun o
x = a cuando
(a±h) ≤ (a)
pa a h su icien emen e pequeño. (TP, p. 148)
Se hace hincapié en las écnicas que debe ía ap ende el
alumno de o ma eó ica. Así se indica cómo dis ingui
di e en es ipos de pun os de una unción:
Sea y = (x) una unción cuya de i ada se anula en x = a. Supond emos
que en cie o en o no de a (a-h, a+h), y pa a odo alo de x dis in o de
a, las de i adas ’(a) y ’’(a) son dis in as de ce o.
– Resul a, po an o:
1) ’’(a) < 0. La unción p esen a un máximo en x = a.
2) ’’(a) > 0. La unción p esen a un mínimo en x = a.
Si ’’(a) = 0. hay que ecu i a de i ados de o den supe io . (TP, p.
152-153)
Apenas apa ecen en él ejemplos, eje cicios y p oblemas,
po lo que no hay ninguna e e encia a elemen os de la
sociedad del momen o. Además, en los p oblemas, las
in e p e aciones y las soluciones no se cen an an o en
los aspec os cuan i a i os como en elaciona dichos e-
sul ados con la eo ía p esen ada. Al se la p esen ación
de los concep os es á ica (como se puede obse a en
la de inición de máximo ela i o), los ejemplos es án
pensados o almen e pa a la p ác ica en el aula de los
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4. CONCLUSIONES
A lo la go del siglo xx los lib os de ex o de educación
secunda ia en España han ido cambiando la o ma de
p esen a los con enidos ela i os a los pun os c í icos
an o en elación con la o mulación de las de iniciones
como en los ipos de p oblemas p opues os a los alumnos
o en la o ma en la que se han usado las g á icas en di-
chos lib os. Es as a iaciones se pueden ca ac e iza po
medio del modelo de análisis de los lib os de ex o que
hemos desa ollado, que además nos pe mi e es ablece
un pe il que iden i ique dichos lib os.
Si pa icula izamos en los di e en es elemen os que
hemos conside ado en el análisis, debemos des aca que
en e las de iniciones que apa ecen en los lib os hemos
encon ado es ipos: uncionales, cuando se dice que,
po ejemplo, el máximo es el mayo alo de la unción;
eglas, cuando se dice que su de i ada ha de se ce o, o
g á icas, cuando hace e e encia a un pun o, p opiedad
o compo amien o de una cu a. De ellas, la mayo ía de
los lib os iden i ican los pun os c í icos con un pun o de
una cu a, sin hace e e encia a la a iación asociada a una
unción. Hemos de des aca además de la ausencia, en la
de inición de los pun os c í icos, de la conside ación de la
posibilidad de angen e e ical. Es o con as a con algunas
in es igaciones ealizadas en elación con la posición de la
angen e, en las que se conside an an o los casos de pun os
cuya angen e es ho izon al como de aquéllos en los que es
e ical.
En cuan o a los p oblemas plan eados en elación con los
pun os c í icos, se ha p oducido un aumen o p og esi o en
cada uno de los pe iodos al siguien e, an o en el núme o
de p oblemas como en el ipo de los p oblemas, des acan-
do los p oblemas ísicos en el p ime pe iodo, los ma emá-
icos en el segundo, los económicos en el e ce o y los g á-
icos en el úl imo. La mayo ía son p oblemas numé icos
y son escasos, sal o en algún pe iodo, los p oblemas más
gene ales que concie nen a oda una amilia de unciones.
A pesa de las a iaciones en cada uno de los lib os, lo que
no ha a iado g andemen e es el ipo de ac i idad que se
espe a del alumno, des acando la aplicación u ina ia de
las eglas a eje cicios ipo o escola es.
En elación con las g á icas, des aca su papel en la isua-
lización de los concep os de pun o c í ico, pe o ambién
la clasi icación de és os. Po ello, el ca ác e de que se
do a a los concep os es undamen almen e es á ico, al es-
ablece se exclusi amen e el esul ado inal. La u iliza-
ción de las ablas ha sido muy escasa, siendo de apoyo a
o o ipo de ep esen aciones y, en cuan o a las exp esio-
nes simbólicas, se han conside ado casi exclusi amen e
las de ipo algeb aico, siendo escasas las unciones no
Ca ego ías Dimensiones Exposi i o Tecnológico Comp ensi o
Sin ác ica
Es uc u a del p oblema *
Desc ipciones eó icas ∗
Símbolos u ilizados en las ablas *
Símbolos u ilizados en las g á icas ∗
Tipos de exp esiones simbólicas ∗
Semán ica
Fenomenología * *
Tipos de desc ipciones ∗
Tipos de ablas *
Tipos de g á icas * ∗
Tipos de exp esiones simbólicas ∗ ∗
P agmá ico-
didác ica
Función de los eje cicios ∗
Papel de las de iniciones *
Ac i idades elacionadas con las ablas *
Ac i idades g á icas *
Papel de las exp esiones simbólicas *
Sociocul u al
In luencia social y adap ación al cu ículo *
In luencias didác icas *
Aplicación de las ablas *
P esen ación de las g á icas ∗
Complejidad de las exp esiones simbólicas ∗
Tabla VI
Pe il del lib o de P imo y o os.
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de i ables en los pun os c í icos, así como cualquie ipo
de unción en el que su ep esen ación g á ica sea un
poco más complicada de lo habi ual.
En elación con los pe iles de los lib os, hay que des-
aca que hay el mismo núme o de exposi i os que de
ecnológicos, sin que es o dependa del pe iodo al que
co esponden. Es o hace pensa que el én asis en los
lib os de ex o es á pues o, o bien en la exposición de
los concep os de una o ma igu osa, o bien en la adqui-
sición de cie as des ezas y habilidades calculís icas, sin
que hayan in luido cla amen e las nue as co ien es en
didác ica de las ma emá icas sob e odo en los lib os ac-
uales. Des aca, en es e sen ido, el lib o del G upo Ce o,
po no adap a se a las mismas ca ac e ís icas que el es o
de los lib os, aunque haya enido una escasa in luencia
en el es o, dado que no hay ninguno esc i o con pos e-
io idad que se ace que a sus o mulaciones.
De las conside aciones an e io es podemos ambién con-
clui que el ipo de o ien ación de los lib os no depende
de los planes de es udio en los que se encuad e, sob e
odo en elación con los lib os del úl imo pe iodo, pues o
que hemos is o que no se e lejan en las nue as o ien a-
ciones dic adas po el Minis e io de Educación más que
de una o ma muy le e. Son los p opios lib os de ex o
los que es ablecen el ipo de ac i idad que debe eje ce
el alumno y la o ma en que se es uc u an los concep-
os ma emá icos. C eemos, sin emba go, que el lib o de
ex o debe se sólo un ma e ial auxilia de apoyo en la
enseñanza, que se complemen e an o con o os lib os
de ex o, lib os de o o ca ác e como ma e ial di e so,
didác ico o ungible, audio isual u o o.
NOTA
Es e a ículo es pa e de un p oyec o de in es igación inanciado po
la Jun a de Cas illa y León, po la Unión Eu opea (FSE) y po el P o-
g ama de P omoción Gene al del Conocimien o de la DGES (P oyec o
BX2000-0069).
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[A ículo ecibido en ab il de 2003 y acep ado en ab il de 2004]
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ANEXO
A con inuación enume amos las dimensiones que se han enido en cuen a en elación con cada una de las ca ego ías (sín ác ica, semán ica, p ag-
má ico-didác ica y sociocul u al), es ableciendo pa a cada uno de es as dimensiones las es e siones di e en es que se pueden obse a según
que co espondan a una o ien ación exposi i a (E), ecnológica (T) o comp ensi a (C), co espondien es a cada uno de los es ipos de lib os que
se han desc i o an e io men e. Las dimensiones son las que se desc iben a con inuación:
SINTAXIS
Dimensión 1: Es uc u a del p oblema
E1: P oblemas clásicos en el sen ido de que, a pa i de un enunciado, se es ablece odo un conjun o de soluciones ag upadas po una
ca ac e ís ica común. Se a a de p oblemas de ipo eó ico cuya es uc u a es de la o ma: calcula.
T1: P oblemas de aplicación en los que, a pa i de un enunciado con da os numé icos, se hace una p egun a ace ca de la solución.
C1: Son p oblemas en los que se incluye una explicación a modo de jus i icación del sen ido del p oblema en elación con el concep o
que se es á es udiando.
Dimensión 2: Desc ipciones eó icas
E2: Desc ipciones o males con algún elemen o in ui i o.
T2: Desc ipciones eó icas con símbolos lógico-ma emá icos.
C2: Desc ipciones explica i as.
Dimensión 3: Símbolos u ilizados en las ablas
E3: No se incluyen ablas.
T3: En las ablas se incluyen símbolos exclusi amen e ma emá icos.
C3: Se in oducen en las ablas iconos como lechas, a cos...
Dimensión 4: Símbolos u ilizados en las g á icas
E4: G á icas gene ales en las que los da os se incluyen en o ma li e al.
T4: En las g á icas se incluyen símbolos numé icos.
C4: No hay ningún símbolo además de la p opia g á ica.
Dimensión 5: Tipos de exp esiones simbólicas
E5: Las exp esiones simbólicas se e ie en a amilias de unciones.
T5: Exp esiones simbólicas especí icas.
C5: Exp esiones simbólicas no habi uales.
SEMÁNTICA
Dimensión 6: Fenomenología
E6: P oblemas ma emá icos.
T6: P oblemas ealis as.
C6: P oblemas sacados de la ealidad.
Dimensión 7: Tipos de desc ipciones
E7: Desc ipciones de los concep os como una p opiedad de las unciones.
T7: Desc ipciones en las que se en a iza su aplicación: eglas ( (x) > (x0) o ’(x) = 0).
C7: Desc ipciones como p opiedades de las cu as.
Dimensión 8: Tipos de ablas
E8: Ausencia de ablas.
T8: Cuad os a iacionales en los que se en a izan las elaciones o conexiones.
C8: Tablas de desc ipción local.
Dimensión 9: Tipos de g á icas
E9: Mensajes opológicos.
T9: Ábacos
C9: G á icas como ideog amas.
Dimensión 10: Signi icado de las exp esiones simbólicas
E10: Exp esiones simbólicas como obje os manipulables.
T10: Exp esiones simbólicas como iconos.
C10: Funciones en las que se e leja un p oceso a iacional.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
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PRAGMÁTICO-DIDÁCTICA
Dimensión 11: Función de los eje cicios
E11: Eje cicios esuel os de aplicación de concep os sin g á icos.
T11: Eje cicios p opues os de aplicación de eglas o eje cicios con apoyos g á icos o ó mulas.
C11: P oblemas pa a la cons ucción de concep os y eglas o con g á icos explica i os.
Dimensión 12: Papel de las de iniciones
E12: Desc ipciones pa a la cons ucción de la eo ía o muladas a p io i.
T12: Desa ollo de eglas algo í micas pa a la aplicación a p oblemas y eje cicios: én asis écnicos.
C12: In e p e ación de las eglas a pa i de los enómenos es udiados, es ableciendo las de iniciones a pos e io i.
Dimensión 13: Ac i idades elacionadas con las ablas
E13: Ausencia de ablas
T13: Tablas cons uidas a pa i de una exp esión simbólica.
C13: Tablas pa a comple a elacionadas en ambas di ecciones con o as ep esen aciones an o pa a su cons ucción como pa a su
in e p e ación.
Dimensión 14: Ac i idades g á icas
E14: Clasi icación de concep os.
T14: Cons ucción de g á icas.
C14: Visualización de p opiedades.
Dimensión 15: Papel de las exp esiones simbólicas
E15: Exp esiones simbólicas u ilizadas como ejemplos de los concep os.
T15: Exp esiones simbólicas pa a la aplicación de las eglas.
C15: Exp esiones simbólicas que pe mi an es ablece elaciones con o as o mas de ep esen ación.
SOCIOCULTURAL
Dimensión 16: In luencia social y adap ación al cu ículum
E16: Sin con ex o.
T16: U ilización de con ex os a empo ales.
C16: Con ex os con e e encias a la época en que ue esc i o el lib o.
Dimensión 17: In luencias didác icas
E17: De iniciones que man ienen la es uc u a de los lib os his ó icos.
T17: De iniciones adap adas a los planes de es udio y las o ien aciones o iciales.
C17: De iniciones in luenciadas po no edosas co ien es didác icas.
Dimensión 18: Aplicación de las ablas
E18: Ausencia de ablas.
T18: Tablas como elemen o auxilia .
C18: Tablas con ca ego ía como cualquie o a ep esen ación.
Dimensión 19: P esen ación de las g á icas
E19: G á icas ca esianas sin añadidos.
T19: G á icas con algún elemen o ca ac e ís ico del pe iodo (in e alos...).
C19: U ilización de g á icas con elemen os escola es (cuad ículas, pan allas...).
Dimensión 20: Complejidad de las exp esiones simbólicas
E20: Exp esiones simbólicas clásicas ep esen a i as de cie as cu as geomé icas como la ci cun e encia, cicloide...
T20: Exp esiones simbólicas escogidas po que su es uc u a es adecuada como aplicación didác ica de las eglas es ablecidas p e-
iamen e.
C20: Exp esiones muy a iadas y complejas que puedan es a elacionadas con enómenos eales y equie an el uso de las nue as
ecnologías.
