Significado de la media en los libros de texto de secundaria

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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1), 5–18
SIGNIFICADO DE LA MEDIA EN LOS LIBROS DE TEXTO
DE SECUNDARIA
Cobo Me ino, Belén1 y Ba ane o, Ca men2
1 IES Los Ne e os. H. Vega, G anada
[email p o ec ed]
2 Uni e sidad de G anada
ba ane o@ug .es
INVESTIGACIÓN
DIDÁCTICA
Resumen. En es e abajo p esen amos un es udio del signi i cado de la media en una mues a de 22 lib os de educación secunda ia obliga o ia.
Analizamos los p oblemas p opues os, algo i mos de cálculo, de i niciones, p opiedades, ep esen aciones y a gumen os. Concluimos la a iedad
de signi i cados p esen ados en los lib os pa a un mismo concep o, así como la ausencia de algunos elemen os que lo ha ían más signi i ca i o pa a
los es udian es.
Palab as cla e. Lib os de ex o, media, signi i cado, comp ensión.
Summa y. In his a icle, we p esen a su ey on he meaning o mean in a sample o 22 books o Compulso y Seconda y Educa ion (ESO). We
analyse he p oblems p oposed, calculus algo i hms, de i ni ions, p ope ies, ep esen a ions and a gumen s. We conclude he a ie y o meanings
p esen ed in he books o one concep , as well as he absence o some elemen s ha would make i mo e meaning ul o s uden s.
Keywo ds. Tex books, mean, meaning, comp ehension.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
6ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1)
En es e abajo nos in e esamos po la enseñanza de las
medidas de posición cen al: media, mediana y moda en la
educación secunda ia obliga o ia (ESO, alumnos de 12 a
16 años), con inuando o os abajos p e ios (Cobo, 1998,
2002). Aunque es e ema ya se con emplaba en los an e io-
es planes de es udio, en España (MEC, 1993) y o os paí-
ses (NCTM, 2000) se da en los úl imos años mayo én asis
a las ac i idades de análisis explo a o io de da os, lo que
nos lle a a eplan ea la o ma en que son in oducidos.
Es á cla o que las posibles di i cul ades que los alumnos
encuen en en el ema depende án de la enseñanza ecibi-
da. Cuando que emos e l exiona sob e la di i cul ad que el
ap endizaje de cie os concep os iene pa a los alumnos,
es necesa io comenza po hace un análisis epis emológi-
co de su signi i cado. Como indica Godino (1996, p. 418),
«el p oblema de la comp ensión es á ín imamen e ligado a
cómo se concibe el p opio conocimien o ma emá ico. Los
é minos y exp esiones ma emá icas deno an en idades
abs ac as cuya na u aleza y o igen enemos que explici a
pa a pode elabo a una eo ía ú il y e ec i a sob e qué
en endemos po comp ende ales obje os. Es a explici a-
ción equie e esponde a p egun as ales como: ¿Cuál es
la es uc u a del obje o a comp ende ? ¿Qué o mas o mo-
dos posibles de comp ensión exis en pa a cada concep o?
¿Qué aspec os o componen es de los concep os ma emá i-
cos es posible y deseable que ap endan los es udian es en
un momen o y ci cuns ancias dadas?».
Aquí nos cen a emos exclusi amen e en la media a i -
mé ica. Siguiendo a Godino y Ba ane o (1994, 1997)
y Ba ane o y Godino (2001), amos a conside a las
siguien es en idades p ima ias como cons i uyen es del
signi i cado de la media:
– P oblemas y si uaciones que inducen ac i idades ma e-
má icas y de i nen el campo de p oblemas de donde su ge
la idea de media. Un ejemplo se ía encon a la mejo
es imación de una can idad desconocida.
– P ocedimien os, algo i mos, ope aciones. Cuando un
suje o se en en a a un p oblema y a a de esol e lo,
ealiza dis in os ipos de p ác icas, que llega a con e i
en u inas con el iempo. P ác icas ca ac e ís icas en la
solución de p oblemas de p omedios se ían suma una
se ie de alo es y di idi po el núme o de sumandos.
– Rep esen aciones ma e iales u ilizadas en la ac i idad
de esolución de p oblemas ( é minos, exp esiones, sím-
bolos, ablas, g á i cos).
– Abs acciones (concep os, p oposiciones). Las de i ni-
ciones y p opiedades ca ac e ís icas de la media y sus
elaciones con o os concep os.
– Demos aciones que empleamos pa a p oba las p o-
piedades de la media y que llegan a o ma pa e de su
signi i cado.
En es e ma co eó ico, el signi i cado de un concep o
ma emá ico a ía según la ins i ución conside ada y los
ins umen os semió icos disponibles en la misma. En la
escuela se i jan unos signi i cados de e minados pa a los
concep os a enseña , pe o un es udian e, en un momen o
de su p oceso de ap endizaje, puede asigna a la media
un signi i cado que no co esponde exac amen e con el
an e io . Tampoco el signi i cado en una ins i ución esco-
la , como, po ejemplo, la enseñanza secunda ia, se iene
que co esponde exac amen e con el a ibuido po los
ma emá icos p o esionales.
En es e abajo a amos de ca ac e iza los componen-
es del signi i cado que, de la media, se p esen a en los
lib os de ex o de enseñanza secunda ia. A con inuación
p esen amos es e análisis, haciendo p ime o unas b e es
conside aciones sob e la impo ancia de los lib os de
ex o y esumiendo b e emen e las in es igaciones p e-
ias más ele an es.
FUNDAMENTOS
Impo ancia del lib o de ex o
Nues o es udio se jus i i ca po la impo ancia que el
lib o de ex o iene como ecu so didác ico, señalada ya
en el in o me Cock o (1985), donde se a i ma que los
lib os de ex o cons i uyen una ayuda ines imable pa a el
p o eso en el abajo dia io del aula.
Che alla d (1991) sugie e que los lib os de ex o o ecen
una concepción legi imada del sabe a enseña e ins i u-
cionalizan una o ma de p og esión del conocimien o de
los es udian es. Po o o lado, Robe y Robine (1989)
indican que el es udio de los lib os de ex o nos pe mi e
conoce , de mane a indi ec a, la concepción del p o eso-
ado sob e un con enido especí i co, pues o que, al elegi
los ma e iales cu icula es que se an a emplea , in e -
ienen muchas a iables y al oma la decisión de u iliza
uno u o o ex o se es á posicionando y compa iendo, al
menos pa cialmen e, lo que és e p opone.
Según O iz de Ha o (1999), un lib o de ex o se consi-
de a como un segundo ni el de ansposición didác ica,
después del p ime ni el, que lo cons i ui án los cu í-
culos y p og amas o i ciales. Si en un ex o apa ece un
signi i cado sesgado, és e puede llega a ansmi i se a
los alumnos; el p o eso que los usa debe ía man ene
una pe manen e igilancia epis emológica sob e el con-
enido de los lib os de ex o. Es e abajo es an eceden e
del nues o, así como el de Sánchez Cobo (1996), quien
es udia el ema de co elación y eg esión.
Con la nue a educación secunda ia obliga o ia se ha p o-
ducido una publicación de muchos nue os lib os de ex o
que a an de inco po a las ecomendaciones didác icas
de es os y o os au o es. Es, sin emba go, impo an e
analiza el signi i cado de los concep os es adís icos que
es os lib os ansmi en si que emos asegu a que cum-
plan la unción pa a la que han sido diseñados.
INTRODUCCIÓN
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1)
Sín esis de in es igaciones p e ias
Son muchas las in es igaciones sob e la comp ensión
de la media, que, en gene al indican di i cul ades en el
ap endizaje. Po ejemplo, Polla sek, Lima y Well (1981)
encon a on que las si uaciones en las cuales se debe
calcula una media ponde ada y la selección de los co-
espondien es pesos no son ácilmen e iden i i cadas po
los es udian es. Li y Shen (1992) indican que, cuando los
da os se ag upan en in e alos, los es udian es ol idan
con ecuencia que cada uno de es os g upos debe ía
ponde a se de modo dis in o al calcula la media y se
limi an a calcula la de odas las ma cas de clase. Ca -
alho (1996), en una in es igación con alumnos de 7º de
educación básica (14-15 años), sugie e que algunos, al
calcula la media, suman las ecuencias absolu as en lu-
ga de los alo es de la a iable. Pa a la mediana oman
el alo cen al de la se ie de ecuencias absolu as.
En o os casos, el algo i mo se aplica de o ma mecánica
sin comp ende su signi i cado. Cai (1995) encon ó que,
mien as la mayo ía de los alumnos de 12-13 años son
capaces de aplica adecuadamen e el algo i mo pa a cal-
cula la media, sólo algunos saben de e mina un alo
desconocido en un conjun o pequeño de da os pa a ob e-
ne un alo medio dado. Ga uso y Ma y (1998) sugie-
en que el con ex o y o ma de ep esen ación in l uyen
en la di i cul ad de los p oblemas de p omedio.
Me a ech (1983) sugie e que una explicación posible de
los e o es en el cálculo de p omedios es que los es udian es
suelen c ee que un conjun o de núme os, jun o con la ope-
ación media a i mé ica, cons i uye un g upo algeb aico,
que sa is ace los cua o axiomas: clausu a, asocia i idad,
elemen o neu o y elemen o in e so. És as y o as p opie-
dades ue on analizadas po S auss y Bichle (1988) con
niños de 8 a 12 años, indicando que los alumnos comp en-
den in ui i amen e el hecho de que la media es un alo
comp endido en e los ex emos de la dis ibución o que el
alo medio es á in l uenciado po los alo es de cada uno
de los da os, no así la inexis encia del elemen o neu o. Po
nues a pa e, pensamos que los es udian es que comienzan
la ESO (12-13 años) es a ían en una si uación simila a los
de mayo edad de es e es udio y pod ían p esen a las mis-
mas di i cul ades encon adas po es os au o es.
En e e encia a los u u os p o eso es, Ba ane o, Godino y
Na as (1997) obse a on que los maes os de p ima ia en
o mación encuen an di i cul ades en: el a amien o de los
ce os y alo es a ípicos en el cálculo de p omedios; iden-
i i ca las posiciones ela i as de media, mediana y moda
en dis ibuciones asimé icas; y la elección de la medida de
endencia cen al más adecuada en una de e minada si ua-
ción y el uso de los p omedios en la compa ación de dis i-
buciones. Se a a de di i cul ades que pe manecen incluso
después de habe ecibido enseñanza especí i ca.
T as odas es as in es igaciones, han sido Wa son y
Mo i z (2000) los p ime os que han ealizado un es udio
del desa ollo e olu i o del concep o. Realiza on un es-
udio con 2.250 suje os en e 3º de p ima ia y el cu so de
o ien ación uni e si a ia (8 a 18 años). No p opo cionan
da os sob e la enseñanza de los p omedios ni analizan
sepa adamen e la comp ensión de elemen os de signi i -
cado, sino sólo la comp ensión global. Po o o lado, el
cues iona io se limi a a dos í ems de opciones múl iples
pa a e alua la comp ensión del uso co idiano de p ome-
dios y o os dos í ems abie os pa a e alua la capacidad
de aplicación y cálculo. De i nen los siguien es ni eles de
desa ollo e olu i o:
– P ep omedio: No se llega a usa la idea de p omedio, ni
siquie a de o ma coloquial o en con ex os co idianos.
– Uso coloquial de la media: In e p e ándolo como
no mal o bueno, se emplean ideas imagina ias en el con-
ex o de la a ea. Se elaciona con la idea de suma, pe o
no se conoce el algo i mo co ec o, no se comp ende el
signi i cado, pocos p og esos en a eas complejas.
– Respues a mul ies uc u al: Se usan a ias ideas como
máximo, mínimo y suma más di isión pa a desc ibi la
media en si uaciones sencillas, aunque no se es capaz
de aplica lo en si uaciones complejas. Se p oducen e o-
es en los algo i mos de cálculo o se con unden media,
mediana y moda. Exis en con l ic os cogni i os en e el
cálculo de la media y el concep o.
– Media como ep esen an e: Se asocia la media con su
algo i mo en si uaciones sencillas. Recu en al algo i mo
de cálculo pa a desc ibi los concep os. Se elaciona el
algo i mo con la posibilidad de un esul ado no en e o.
Se exp esa alguna idea de ep esen a i idad pa a la es-
imación o p edicción en un conjun o de da os. No se
sabe aplica en con ex os complejos y con ecuencia se
p e i e en usa las ca ac e ís icas isuales de los g á i cos
en luga de sus p omedios.
– Aplicación en un con ex o complejo: Además de las
capacidades del ni el an e io es capaz de in e i el al-
go i mo pa a halla el o al a pa i de la media, o calcula
medias ponde adas (no las dos cosas a la ez). No iene
cla a la idea de dis ibución, a amen e usan la media
pa a compa a más de un conjun o de da os.
– Aplicación en dos o más con ex os complejos. Además del
an e io , es capaz a la ez de in e i el algo i mo pa a halla
el o al a pa i de la media y calcula medias ponde adas.
Comp ende la idea de dis ibución. Usan la media ecuen e-
men e pa a compa a dos o más conjun os de da os.
La in es igación más se ia sob e el ap endizaje de p omedios
la encon amos en Ca alho (2001), quien analiza el e ec o
que el abajo coope a i o en pa es (g upo expe imen al)
iene sob e el desa ollo de la capacidad lógica y sob e el
ap endizaje de concep os es adís icos elemen ales. Pa a ello
p opo ciona a los alumnos lo que la au o a llama a eas es a-
dís icas no habi uales, que co esponden a p oblemas senci-
llos y abie os sob e es adís ica. Los niños que abaja on en
o ma coope a i a mos a on un a ance más cla o, an o en el
desa ollo lógico como en sus compe encias es adís icas, que
sus compañe os. También encon ó que es p e e ible o ma
pa ejas de alumnos he e ogéneas en cuan o a sus capacidades
y conocimien os y que es o bene i cia no sólo al alumno que se
encuen a en ni el in e io , sino ambién a su compañe o. La
in es igación mues a i nalmen e que el con enido es adís ico
causa di i cul ades a los alumnos, incluso cuando abajan en
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pa es y en a eas no habi uales. Aunque los alumnos ealizan
las a eas, el ap endizaje es con ecuencia memo ís ico y no
se llega a una comp ensión p o unda.
En nues a opinión, los esul ados de las in es igaciones
que hemos desc i o sob e la media mues an ambién que
el conocimien o de las eglas de cálculo po pa e de los
es udian es no implica necesa iamen e una comp ensión
eal de los concep os subyacen es. Si los alumnos ad-
quie en sólo el conocimien o de ipo compu acional es
p obable que come an e o es p edecibles, sal o en los
p oblemas más sencillos. Además, p opone el algo i mo
de cálculo p ema u amen e puede in l ui nega i amen e
en la comp ensión del concep o. Po ello se debe ía a-
baja sob e las ideas in ui i as que ienen los alumnos
pa a ayuda les a desa olla caminos nue os que les pe -
mi an en iquece los concep os que ya ienen asimilados.
A la misma conclusión llega To mo (1993) en un es udio
ealizado con alumnos de 12 a 15 años.
Como hemos dicho a iba, conside amos muy impo -
an e la e l exión sob e la enseñanza que eciben los
es udian es y sob e el signi i cado que la ins i ución que
se ocupa de ella asigna a la media, po su elación con
las di i cul ades que pueden encon a a lo la go del p o-
ceso. Un paso en es e sen ido se ía analiza la enseñanza
ac ual, de la que uno de sus indicado es son los lib os
de ex o, como hemos a gumen ado an es. Po ello,
las di i cul ades que que emos e alua se e i e en a los
p oblemas y las a eas conc e as que se p oponen a los
es udian es, los algo i mos de cálculo y o as p ác icas en
la esolución de p oblemas, las ep esen aciones, p opie-
dades, de i niciones y las alidaciones p esen adas.
METODOLOGÍA
Pa a lle a a cabo el análisis, hemos seleccionado 22
lib os de ex o, que incluyen, en e sus emas, con enidos
ela i os a es adís icos de posición cen al, en conc e o
la media, del segundo ciclo de la ESO; en o al 14 de 3º
de ESO (des inados a alumnos de 15 años) y 7 de 4º de
ESO (alumnos de 16 años). La elación de lib os anali-
zados se p esen a en el anexo. La selección de los lib os
se ha hecho eniendo en cuen a los cu sos en los que se
incluyen emas especí i cos que a an de las medidas de
cen alización en la enseñanza secunda ia obliga o ia,
que son 3º y 4º cu so.
Aunque, en el cu ículo que se p opone en Andalucía,
los con enidos ela i os a la media se deben abaja en
el p ime ciclo de la ESO, y hace una e isión en 3º y 4º,
la mayo pa e de las edi o iales p oponen es os emas en
los lib os de 3º y 4º de ESO y, más ecuen emen e, en
3º. Debido a es o, noso os nos hemos cen ado en es os
dos cu sos, in en ando inclui un abanico de edi o iales
que aba que las más conocidas y u ilizadas en e los do-
cen es y ambién algunas ob as ecien es con un ámbi o
de di usión meno , pe o que p esen en un en oque no e-
doso. Los lib os han sido publicados en e 1994 y 1999
y co esponden a 17 edi o iales di e en es; c eemos que
ep esen a bien los lib os de ex o de es e ni el escola .
Una ez seleccionados los lib os de ex o, se oma on
aquellos capí ulos en los que se a an las medidas de cen-
alización que nos ocupan y odos los que se elacionan
con o os concep os en los que explíci a o implíci amen e
pueden apa ece los p omedios, como, po ejemplo, ep e-
sen aciones g á i cas de conjun os de da os, es adís icos de
o den y medidas de dispe sión. En el análisis de con enido
se han lle ado a cabo los siguien es pasos:
– En p ime luga , se ha ealizado una lec u a minuciosa
de los capí ulos que a an el ema, clasi i cando y ag u-
pando las di e en es de i niciones, p opiedades, ep e-
sen aciones y jus i i caciones p o o ípicas e in en ando
de e mina los elemen os de signi i cado que con ienen,
pa iendo de un análisis concep ual p e io.
Las ca ego ías u ilizadas pa a la clasi i cación «signi i -
cado» ue on es ablecidas a p io i, as un análisis de-
allado de la media ealizado a pa i de una mues a de
lib os uni e si a ios de es adís ica desc ip i a. De hecho,
exis en algunas de es as ca ego ías que no hemos encon-
ado en los lib os de ex o analizados, po p esen a un
ni el de complejidad mayo del que se puede abaja
con es udian es de es os ni eles.
– Pos e io men e, se han elabo ado ablas compa a i as
que ecogen los elemen os de signi i cado p esen es en
los di e en es ex os en elación con cada con enido. Es a
p esen ación de la in o mación nos acili a á el análisis y
la ex acción de conclusiones.
El p oceso de análisis ha sido induc i o y cíclico, como
se ecomienda en el análisis de da os cuali a i o (Hube -
man y Miles, 1994). Fue on necesa ias a ias lec u as, la
elabo ación p og esi a de las ca ego ías, la compa ación
de casos incluidos y excluidos en las mismas y la e i-
sión sucesi a has a llega a los esul ados que p esen a-
mos a con inuación.
RESULTADOS
Si uaciones p oblema p esen adas en los lib os
Comenzamos con la si uación p oblema que conside amos
como cualquie a ea cuya solución equie e ac i idades de
ma ema ización, es deci , según F euden hal (1991):
– Cons ui o busca soluciones de un p oblema que no
son inmedia amen e accesibles.
– In en a una simbolización adecuada pa a ep esen a
la si uación p oblemá ica y las soluciones encon adas, y
pa a comunica es as soluciones a o as pe sonas.
– Jus i i ca las soluciones p opues as ( alida o a gu-
men a ).
– Gene aliza la solución a o os con ex os, si uaciones
p oblema y p ocedimien os.
Hemos encon ado los siguien es ipos di e enciados de
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p oblemas, que en su conjun o de i nen el campo de p o-
blemas de aplicación de la media en los lib os analizados.
P1. Es ima una medida a pa i de di e sas mediciones
ealizadas, en p esencia de e o es. A pesa de que és e es el
campo de p oblemas del que su ge his ó icamen e la p ime-
a idea de media, en el análisis de lib os de ex o ealizado,
sólo hemos encon ado ejemplos en 3 de los lib os. Incluso
en algunos de es os casos, no se esal a especí i camen e que
la media p opo cione una solución gene al a es e ipo de
p oblemas, ya que no se esuel e el eje cicio ni se comen a
su solución, sino que sólo se p esen a como idea implíci a
subyacen e, al cual ep oducimos a con inuación.
Hemos escogido 50 bolsas de pas a alimen icia en un supe me ca-
do. Todas ellas lle an imp eso «Peso ne o: 250 g» en la e ique a.
Después de pesa las con p ecisión, hemos ob enido los siguien es
esul ados, exp esado en g amos.
243 269 226 249 255 240 266 230 236 250
252 261 242 240 270 240 251 228 259 262
260 231 261 268 252 259 250 249 243 256
230 250 252 259 236 249 243 256 230 250
249 243 256 230 250 252 274 268 270 233
¿Qué peso podemos espe a que enga una bolsa de pas a alimen-
icia de es a ma ca?
Ma emá icas 3º ESO. Guadiel, p. 150
En es e ejemplo, iden i i camos un caso ípico de p oblema
de es imación de una can idad de una cie a magni ud,
en p esencia de e o es de medida, que con ecuencia
encon a án los alumnos en el u u o, po ejemplo, al
ealiza las p ác icas de ísica. Pensamos que es e ipo de
p oblema debe ía p esen a se con mayo ecuencia en la
enseñanza de las medidas de posición cen al, po que es
comp ensible pa a los alumnos de es as edades y po que
pe mi e cons ui la idea de media como mejo es imado
de una can idad desconocida. És a es una idea muy po en-
e que es u ilizada con ecuencia en di e en es modelos
es adís icos, po ejemplo, cuando los alumnos es udian la
eg esión lineal, incluida en el ema io de bachille a o.
P2. Ob ene una can idad equi a i a al hace un epa o
pa a consegui una dis ibución uni o me. Al con a io
que en el caso del p oblema an e io , la idea de media
como epa o equi a i o la hemos encon ado en casi
odos los ex os es udiados, en conc e o en 18 de los 22
lib os que hemos analizado. La idea de dis ibución uni-
o me no apa ece de o ma explíci a, es deci , no se alude
cla amen e a es a p opiedad de la media. Sin emba go, en
algunos p oblemas en los que se debe calcula la media de
un conjun o de da os es á implíci a la idea de uni o ma
los alo es de una a iable. A con inuación ansc ibimos
uno de es os ejemplos, en el que ambién se pide a los
alumnos decidi , en e la media, mediana y moda, cuál
se ía el mejo ep esen an e de un conjun o de da os.
En un pequeño come cio hay cinco empleados cuyos sueldos
mensuales son: 80.000, 80.000, 80.000, 100.000 y 400.000 pese-
as. Halla la moda y la mediana e in e p é alas.
¿Cuán o cob an en e odos los empleados al mes? Si es a can i-
dad se epa ie a po igual, ¿cuán o cob a ía cada uno? ¿Alguno
de ellos cob a es e sueldo medio?
¿Qué alo de los es: moda, mediana o media, c ees que ep esen-
a mejo los sueldos de los empleados de es e pequeño come cio?
¿Cuál es el mayo sueldo? ¿Y el meno ? ¿Cuál es la di e encia
en e es os dos alo es?
3º Ma emá icas. Secunda ia. Edel i es, p. 328
P3. Ob ene un elemen o ep esen a i o de un conjun o
de alo es dados cuya dis ibución es ap oximadamen e
simé ica. Es e p oblema es el que más ecuen emen e
hemos encon ado en los ex os analizados, no sólo po que
es á p esen e en odos ellos, sino po que es muy al a la
ecuencia de apa ición en los ejemplos y p oblemas an o
esuel os como p opues os. Es la p incipal aplicación que
se p esen a de la media, como núme o que ep esen a un
conjun o de da os, e incluso en muchos casos se p esen a
explíci amen e. Rep oducimos un ejemplo a con inuación.
Un alumno ha ob enido en cinco exámenes las siguien es cali i ca-
ciones: 5, 7, 6, 7 y 9. La no a media se calcula así:
No a media   6,8
La media esume la eyec o ia escola en una solo da o: 6,8; y
en ello es iba su en aja.
P4. Es ima el alo que se ob end á con mayo p oba-
bilidad al oma un elemen o al aza de una población
cuando la a iable es ap oximadamen e simé ica. A pe-
sa de que és a es una de las p incipales aplicaciones de
la media y que los alumnos de es a edad pod ían pe ec-
amen e en ende lo, no hemos encon ado ningún ex o
que haga e e encia a es a si uación.
5  7  6  7  9
5
Tex o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
P oblemas
P1 !!!
P2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
P3 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
P4
Tabla I
Campos de p oblemas que p esen an los lib os analizados.

INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
10 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1)
En la abla I hacemos un esumen de la apa ición de los
campos de p oblemas analizados en los di e en es lib os
de ex o. Como podemos e en la abla, hay algunos
campos de p oblemas que apenas apa ecen en los lib os
de ex o, a pesa de su impo ancia y de que pod ían se
ácilmen e comp ensibles po los alumnos.
Es cu ioso obse a cómo el p oblema del que su ge la
p ime a idea de media, es ima una medida a pa i de di-
e sas mediciones ealizadas, en p esencia de e o es, no
apa ece más que en es de los lib os analizados, pun o
que nos ha llamado la a ención po que no c eemos que
pueda p esen a una di i cul ad especial en los es udian es
de es as edades.
En el caso del p oblema P4, el ene que es ima un alo
de máxima p obabilidad en un conjun o p esen a una
doble di i cul ad: po un lado, los es udian es no es án
habi uados a e ec ua es imaciones y, po o o, la p o-
babilidad ambién es un concep o que les esul a di ícil.
No obs an e, aunque no se p esen asen como p oblemas,
c eemos que se ía adecuado mos a algunos ejemplos
de aplicación de la media en es e ipo de p oblema, po
ejemplo, al habla de la espe anza de ida o de la du a-
ción es imada de un examen o de una lámpa a.
Algo i mos y p ocedimien os
Cuando un alumno se en en a a un p oblema y a a
de esol e lo, ealiza dis in os ipos de p ocedimien os
o algo i mos. Los lib os de ex o analizados p esen an
las écnicas conc e as pa a esol e las si uaciones plan-
eadas, bien de o ma explíci a incluyendo ejemplos
esuel os o bien dando únicamen e indicaciones pa a que
sean los p opios es udian es quienes ealicen las a eas
en p oblemas p opues os.
El cálculo de la media depende de la o ma de p esen-
ación de los da os y del ipo de a iable que se maneje.
Es e aspec o se iene en cuen a en la mayo ía de los ex-
os analizados, que sepa an, explíci amen e, unos casos
de o os. En odos los lib os apa ecen explíci amen e
como obje o de enseñanza las écnicas pa a el cálculo de
la media. Además, en la mayo ía de ellos se le dedica una
ex ensión mucho mayo que a o os aspec os, lo que nos
hace pensa que es uno de los pun os a los se le concede
más impo ancia. En odos los lib os se p esen an los es
casos siguien es:
A1. Cálculo de la media de una a iable disc e a con da-
os aislados, median e el algo i mo de suma de odos los
alo es, di idiendo po el núme o de da os, gene almen e
con una no ación sencilla, como en el caso siguien e:
Se quie e es udia el e ec o secunda io que iene la acuna con a
la meningi is. Pa a ello se oma la empe a u a a cua o niños. Los
esul ados ob enidos, en g ados, son los siguien es:
x   37,15º
3º Ma emá icas. Edel i es. P oyec o Ada a, p. 236
A2. Cálculo de la media de una a iable disc e a con
da os p esen ados en ablas de ecuencias. En es e caso,
se p ecisa aplica el algo i mo de cálculo de la media
ponde ada, y el alumno debe iden i i ca y disc imina
los alo es de la a iable y los de las ponde aciones.
Los lib os p esen an es e algo i mo, jus i i cándolo como
modo de simpli i ca los cálculos.
En o os casos, la abla de ecuencias es á implíci a,
pe o se p esen a el algo i mo de cálculo de la media
ponde ada.
Eje cicio esuel o
La media de 4 núme os es 5,4. La media de o os 6 núme os di e-
en es es 4,3. Encuen a:
a) Cuán o suman los 4 p ime os núme os.
b) Cuán o suman los o os 6 núme os jun os.
c) La media de odos los núme os jun os.
a) Si la media de 4 núme os es 5,4, la suma o al de los 4 núme os
es 5,4 · 4  21,6.
b) Si la media de los o os 6 núme os es 4,3, la suma o al de los
6 núme os es 4,3 · 6  25,8.
c) La suma de los 10 núme os es 21,6 + 25,8 = 47,4. La media de
odos los núme os es 47,4/10  4,74.
Ma emá icas 3º Secunda ia. SM, p. 269
A3. Cálculo de la media en ablas de da os ag upados en
clases.Todos los lib os p esen an la sus i ución del alo
de la a iable po la ma ca de clase, usando el algo i mo
de cálculo de la media ponde ada, aunque gene almen e
no se hace alusión a que el alo ob enido de es a mane a
es ap oximado, como emos en el ejemplo que ep odu-
cimos a con inuación:
En el caso de que la a iable sea con inua, la media se calcula a
pa i de la ma ca de clase o alo medio de cada in e alo.
Ejemplo. Se es án es udiando las p ecipi aciones caídas en Es-
paña en un de e minado mes. Pa a ello se egis an los li os po
me o cuad ado caídos en di e en es p o incias.
La p ecipi ación media la calcula emos de la siguien e o ma:
x   33,51/m2
3º Ma emá icas. Edel i es. P oyec o Ada a, p. 236
Li os
po
me o
cuad ado
10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70
ci15 25 35 45 55 65
Núm. de
p o in-
cias 423121
37,1º  36,5º  38º  37º
4
15 · 4  25 · 2  35 · 3  45 · 1  55 · 2  65 · 1
13
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
11
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1)
Tabla II
Algo i mos de cálculo que p esen an los lib os analizados.
Tabla III
De i niciones que p esen an los lib os analizados.
De i niciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Algo i mo XXXXXX XXXXX XXXX XX X
P omedio XXX
AM4. Cálculo g á i co. No hemos encon ado el cálculo
g á i co de la media de un conjun o de da os apoyándose
en un diag ama de ecuencias acumuladas. Es posible
que los au o es engan en cuen a la di i cul ad que pa a
los es udian es supone añadi la lec u a de g á i cos al
cálculo de la media.
La abla II p esen a un esumen de los algo i mos encon-
ados en los di e en es ex os analizados.
El análisis e ela que, en los lib os de ex o de es a
e apa educa i a, se da mucha impo ancia al cálculo,
pues o que el po cen aje de ex o, ejemplos y eje cicios
dedicados a és e es no able, incluso en de imen o de
o os aspec os. Una de las p ime as consecuencias que
es e hecho puede ene es que, aunque los es udian es
consigan maneja pe ec amen e los p ocedimien os de
cálculo, pueden no alcanza una comp ensión comple a
de es a medida, sus posibilidades de uso, las en ajas y la
con eniencia de elegi es a u o as medidas de posición
cen al según la si uación.
No obs an e, el ema del uso de los g á i cos es más
de i cien e que el uso de cálculos a i mé icos e, incluso,
algeb aicos.
De i niciones y p opiedades
Hemos analizado las de i niciones y p opiedades p esen-
adas explíci amen e al alumno, así como el uso implíci-
o que se hace de las mismas en los lib os analizados que
p esen amos a con inuación.
DM1. La de i nición de la media como la suma ponde ada
de cada uno de los alo es de la a iable, mul iplicado
po su ecuencia. Es a de i nición en a iza el algo i mo
de cálculo , y p esen a la media como una
ope ación con los da os. Es la de mayo ecuencia en los
lib os de ex o, apa ece en 18 de los 22 analizados. Como
ejemplo incluimos la siguien e.
La media a i mé ica o media de una a iable es adís ica es el e-
sul ado que se ob iene al di idi la suma de odos los da os en e
el núme o o al de da os. Se ep esen a po x . La ó mula pa a
ob ene la media a i mé ica es:
Ma emá icas A. 4º ESO. Casals, p. 191
DM2. Es a o a de i nición de media, como p omedio
a i mé ico de un conjun o de da os elaciona la media
con o os p omedios y en a iza su ca ác e de alo cen-
al. Únicamen e la hemos encon ado en 3 ex os. Uno
de ellos se ep oduce a con inuación.
La media a i mé ica, x es el p omedio de odos los alo es que
oma la a iable. Es a media es única pa a cada dis ibución cuan-
i a i a y se calcula median e la exp esión:
Ma emá icas 4º Opción A. Ox o d Educación, p. 197
m
 xi  ni
i1
x  
N
m
 xi  Fi
i1
x  
N
n
  xi  i
i1
Tex o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Algo i mos
A1 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
A2 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
A3 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
A4
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
12 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1)
Como se puede ap ecia en la abla III, la de i nición a
pa i del algo i mo, en a izando la idea de media como
ope ación, p edomina, lo que nos indica g an homoge-
neidad en los lib os a la ho a de p esen a es e concep o.
Se ía más ace ado, a nues o juicio, cen a se en la idea
de media como ep esen an e.
Una ez analizadas las de i niciones, es udiamos las p o-
piedades in oducidas explíci a o implíci amen e, clasi i -
cándolas en numé icas, algeb aicas y es adís icas.
P opiedades numé icas
N1. La media de un conjun o de da os es siemp e un
alo pe enecien e al ango de la a iable. Es a p opie-
dad, que se deduce ácilmen e de las dis in as de i nicio-
nes y que puede comp oba se sin di i cul ad en odos los
p oblemas, únicamen e la hemos encon ado explici ada
en 2 de los ex os. Es o puede debe se a que la mayo ía
de los au o es la conside e e iden e, aunque, como se
ha pues o de mani i es o en la in es igación de To mo
(1995), algunos alumnos no la comp enden. Un ejemplo
es el siguien e.
An es de e ec ua los cálculos, an o si lo haces con papel y lápiz
como si lo haces con una calculado a cien í i ca, debes es ima
en e qué posibles alo es es a án los pa áme os que desees
calcula .
En cualquie caso, y po a a que sea una dis ibución, an o la
media como la moda y la mediana es a án aco adas en e los a-
lo es mínimo y máximo de los da os.
Ma emá icas Secunda ia 3º SM, p. 267
N2. La media puede no coincidi con ninguno de los alo-
es de los da os. Es a p opiedad se explici a sólo en 1 de los
ex os analizados, que es el que ep oducimos a con inua-
ción. Sin emba go, Wa son y Mo i z (2000) mues an en su
abajo cómo los alumnos in e p e an en ocasiones que el
alo medio debe coincidi con alguno de los da os.
La media a i mé ica:
Es una medida de endencia cen al.
Su alo siemp e es á si uado en e los alo es ex emos.
Puede o no coincidi con alguno de los alo es dados.
Es ep esen a i a de los alo es dados.
Puede se un núme o que no enga sen ido en el con ex o p o-
pues o.
Ma emá icas Opción A. 4º cu so. Secunda ia 2000, p. 208
N3. En el cálculo de la media in e ienen odos los alo-
es de los da os. En 5 ex os de los analizados hemos en-
con ado e e encia a es a p opiedad, como en el ejemplo
siguien e en que se p egun a a los alumnos que analicen
es a p opiedad.
¿In l uyen odos los da os en el cálculo de la media, la mediana
o la moda?
Sigma Ma emá icas. 3º Secunda ia. SM, p. 238
N4. La media se e a ec ada po cualquie cambio en los
da os. Es a p opiedad sólo la hemos encon ado en 5 de
los lib os es udiados y, en es e caso, no se p esen a explí-
ci amen e, sino que su ge como esul ado de p oblemas.
Rep oducimos un ejemplo.
Cuando una dis ibución iene algún alo muy ex emo y poco
signi i ca i o, ¿al e a á mucho el alo de la media? ¿Y de la
moda?
Sigma Ma emá icas. 3º Secunda ia. SM, p. 238
La abla IV p esen a un esumen de la p esencia de las
p opiedades numé icas en los lib os de ex o. Aunque
con una baja ecuencia de apa ición, hemos encon ado
p esen adas las p opiedades numé icas en algunos de
los lib os de ex o como ales, es deci , explíci amen e
y no como esul ados ob enidos a pa i de eje cicios o
p oblemas.
P opiedades algeb aicas
En cuan o a las p opiedades algeb aicas, las únicas que he-
mos encon ado son las que desc ibimos a con inuación.
A5. La media conse a los cambios de o igen y escala.
En doce de los lib os hemos encon ado es e enunciado
como p opiedad de la media. P esen amos un ejemplo.
Tabla IV
P opiedades numé icas que p esen an los lib os analizados.
P opiedades 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
N1 X X
N2 X
N3 XX X X X
N4 XX X X X
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
13
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2004, 22(1)
26. In es iga. ¿Qué le ocu e a x y a σ si a odos los da os les
sumamos un mismo núme o? Comp ueba u conje u a con es os
da os: 3, 5, 6, 3, 4, 2, 3.
27. In es iga. ¿Qué les ocu e a la media y a la des iación ípica
si odos los da os los mul iplicamos po un mismo núme o? Com-
p ueba u conje u a con es os da os: 3, 5, 6, 3, 4, 2, 3.
Ma emá icas Andalucía 3º Anaya, p. 297
A7. La media no es á de i nida pa a da os o dinales o
nominales. Es a p opiedad apa ece en doce de los lib os
analizados, como se mues a en el ejemplo.
Obse ación: La media no iene sen ido si la a iable es cuali-
a i a. Conside a, po ejemplo, la cualidad «colo de los ojos»
obse ada en 37 pe sonas:
Al in en a calcula la media ob end íamos:
x 
Resul a absu do p e ende mul iplica la cualidad « e de» po
un núme o.
F ac al. Ma emá icas 3. Vicens Vi es, p. 262
Las es an es p opiedades sólo las hemos encon ado en algu-
nos de los ex os, como mues a la abla y con un a amien o
bas an e angencial. Incluimos a con inuación el enunciado
de és as pa a acili a la in e p e ación de la abla V, en la que
p esen amos un esumen de su ecuencia de apa ición.
A1. La moda es una ope ación in e na, mien as que la
media y la mediana no.
A2. La media, mediana y moda, conside adas como ope-
ación, no ienen ningún elemen o neu o ni simé ico.
A3. No ienen la p opiedad asocia i a.
A4. Son conmu a i as.
A6. La media de la suma de dos o más a iables es la
suma de las medias. En el caso de la mediana y la moda
no se cumple.
P opiedades es adís icas
De odas ellas, las que más encon amos son las que se
desc iben a con inuación.
E1. La media es un ep esen an e de un colec i o.
Tiene una al a ecuencia de apa ición, en 17 de los
22 lib os analizados. No obs an e, pensamos que,
p ecisamen e és a debe ía es a p esen e en odos
los ex os, pues o que se a a de una ca ac e ís ica
esencial que da sen ido al es udio de las medidas de
posición cen al.
E4. La media es un es adís ico menos esis en e que la
mediana y la moda. Es a p opiedad apa ece sólo en 7 de
los lib os analizados, a pesa de que es undamen al pa a
pode elegi uno de los es pa áme os de cen alización
como el ep esen an e más adecuado de una dis ibución,
a la is a de sus ca ac e ís icas.
Las demás p opiedades es adís icas de las medidas de
posición cen al apa ecen en muy pocas ocasiones, como
puede ap ecia se en la abla VI y con un a amien o an-
gencial. Es as p opiedades son las siguien es:
E2. La media coincide con el cen o de g a edad del
conjun o de da os.
E3. En dis ibuciones simé icas, la mediana, la media y
la moda coinciden.
E5. La suma de las des iaciones de un conjun o de da os
con espec o a su media es ce o.
E6. Es espec o a la media cuando la suma de los cua-
d ados de las des iaciones es mínima.
E7. No se puede calcula la media de un conjun o de
da os si es án ag upados en in e alos y uno de ellos es
abie o.
Colo Ve des Neg os Azules Pa dos G ises
79314 4
e de . 7  neg o . 9  ...
37
Tabla V
P opiedades algeb aicas que p esen an los lib os analizados.
P opiedades 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
A1 XX X
A2
A3 XX X X X
A4 X X
A5 XX X XXX M XXX X X
A6
A7 XXXX XXX XXXX