Fenómenos relacionados con el uso de metáforas en el discurso del profesor : el caso de las gráficas de funciones

405 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3), 405–418 FENÓMENOS RELACIONADOS CON EL USO DE METÁFORAS EN EL DISCURSO DEL PROFESOR. EL CASO DE LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES Font Moll, Vicenç y Acevedo Nanclares, Jorge Iván Departamento de Didáctica de las CCEE y de la Matemática Universitat de Barcelona Resumen. En este artículo comentamos un fenómeno que se observa al analizar el discurso del profesor cuando explica la representación gráfi ca de funciones en el bachillerato: el profesor usa expresiones que sugieren, entre otras, metáforas del tipo «la gráfi ca de una función se puede considerar como la traza que deja un punto que se mueve sobre la gráfi ca». En la primera parte presentamos el marco teórico sobre la interdependencia entre cuerpo y mente propuesto por Lakoff y Núñez. En la segunda comentamos las diferentes metáforas que han estructurado el concepto de gráfi ca de una función. En la tercera se describe el estudio de un profesor −siguiendo la secuencia: a) grabación en vídeo de la clase; b) entrevista posterior; y c) análisis de las producciones de los alumnos− que muestra que el profesor usa de manera poco consciente estas metáforas y cree que sus efectos en la comprensión de sus alumnos son inocuos. Finalizamos con unas conclusiones en las que se analizan las posibles causas de este fenómeno. Palabras clave. Didáctica, matemáticas, análisis, gráfi cas, metáfora. Summary. In this paper, we comment a phenomenon that is observed when analyzing the teacher’s discourse when explaining of the graphical representation of functions at high school: the teacher uses expressions that suggest, among others, metaphors like «The graph of a function can be considered as the trace of a point that moves over the graph». In the fi rst part, we present the theoretical framework about the embodiment of mind proposed by Lakoff and Núñez. In the second part, we comment the different metaphors that have structured the concept of graphic of a function. In the third part we describe the study of a teacher –following the sequence: a) video-recording of a class, b) interviews, c) analysis of the productions of the students– which shows that the teacher uses these metaphors in a not completely conscious way and that he believes that their effects in the understanding of the students are innocuous. We end up with some conclusions about the possible causes of this phenomenon. Keywords. Didactics, mathematics, analysis, graphs, metaphor. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA Las defi niciones de los contenidos matemáticos que aparecen en los libros de texto son productos que esconden el proceso histórico que las ha generado. Por ello, para comunicar estos contenidos en el proceso de enseñanzaaprendizaje, el profesorado de bachillerato1 no se limita únicamente a dar su defi nición, sino que se vale también de diferentes recursos para facilitar la comprensión a sus alumnos. Entre los diferentes recursos que se suelen utilizar, destaca de forma preferente el uso de metáforas. La investigación que presentamos trata sobre los fenómenos relacionados con el uso de metáforas por parte del profesor al explicar la representación gráfi ca de funciones en el bachillerato. En este trabajo hemos puesto de manifi esto que se produce, con una cierta generalidad, el siguiente fenómeno: el profesor usa de manera poco consciente expresiones que sugieren, entre otras, metáforas del tipo: «La gráfi ca de una función se puede considerar como la traza que deja un punto que se mueve sujeto a determinadas condiciones.» O bien una variación de esta metáfora: «La gráfi ca de una función se puede considerar como la traza que deja un punto que se mueve sobre la gráfi ca.» Dichas metáforas no son inocuas y producen efectos signifi cativos en la comprensión de los alumnos. INTRODUCCIÓN INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 406 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3) PENSAMIENTO METAFÓRICO Desde que Lakoff y Johnson (1991) pusieron de manifi esto la importancia del pensamiento metafórico, entendido como la interpretación de un campo de experiencias en términos de otro ya conocido, el papel del pensamiento metafórico en la formación de los conceptos matemáticos es un tema que cada vez tiene más relevancia para la investigación en didáctica de las matemáticas (English, 1997; Lakoff y Núñez, 1998, 2000; Núñez, 2000; Núñez y Lakoff, 1998; Pimm, 1990; Van Dormolen, 1991). Las metáforas se caracterizan por crear, entre un dominio de partida y un dominio de llegada, un puente conceptual que permite la transfusión de propiedades del dominio de partida en el domino de llegada. En otras palabras, crean un cierto «isomorfi smo» que permite que se transpongan una serie de características y estructuras. Ahora bien, las metáforas sólo dejan ver un aspecto del dominio de llegada que no engloba su totalidad. La metáfora nos sirve para mostrar el aspecto que deseamos evidenciar y oculta otros aspectos, de los cuales muchas veces ni siquiera somos conscientes. Las investigaciones sobre el pensamiento metafórico han detectado diferentes clases de metáforas. Un primer grupo lo constituyen las de tipo extramatemático, como la de «una función es una máquina», que sirven para explicar o interpretar situaciones matemáticas en términos de situaciones reales. Uno de los ejemplos más notables de este tipo es la del «contenedor», usada para estructurar la teoría de clases, la cual, según Núñez (2000), es una metáfora inconsciente, que tiene sus raíces en la vida cotidiana y que podemos visualizar de la siguiente manera (Núñez, 2000, p. 13): Un segundo grupo, frecuente en las aulas, lo constituyen las metáforas extramatemáticas, las cuales permiten estructurar partes del conocimiento matemático a partir de otras partes ya conocidas. Ejemplos de este tipo son: «los números reales son los puntos de una recta», «los números complejos son vectores», «las funciones de proporcionalidad son rectas que pasan por el origen de coordenadas», etc. Esta última metáfora ilustra cómo esta fi gura lingüística sirve para conectar diferentes sentidos y, por tanto, amplía el signifi cado que tiene para una persona un determinado objeto matemático. En efecto, supongamos que un alumno ha estudiado el concepto de pendiente de una recta en un contexto geométrico, de manera que entiende que la pendiente de una recta «es la longitud del segmento BC de la fi gura». Es decir, el alumno entiende que el segmento BC determina la inclinación de la recta al determinar el ángulo que forma la recta con el eje horizontal. Las clases son contenedores Dominio de partida Esquema del contenedor Domino de llegada Clases Interior del contenedor Clase Objetos dentro del contenedor Miembros de la clase Ser un objeto del interior La relación de pertenencia Un interior de un contenedor dentro de uno más grande Una subclase de la clase más grande Superponer el interior de dos contenedores Intersección de dos clases La totalidad de los interiores de dos contenedores La unión de clases El exterior de un contenedor El complementario de la clase INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 407 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3) Si posteriormente el mismo alumno trata la función de proporcionalidad en un contexto algebraico/funcional con actividades2 como la siguiente, variará su forma de entender la pendiente de una recta: Actividad: El entrenador de un corredor de fondo le está cronometrando el tiempo. En los primeros 16 segundos los resultados son: a) ¿Qué se puede decir de la marcha del corredor? ¿A qué velocidad ha ido durante estos 16 segundos? b) Busca la fórmula de la función que nos da el espacio recorrido (en m) en función del tiempo (en s). c) Dibuja la gráfi ca de esta función. d) ¿Cuál es la ordenada que corresponde a la abscisa x = 1? ¿Crees que esta ordenada determina el ángulo que forma la recta con el eje de abscisas? e) ¿Qué relación hay entre la pendiente y el número de la fórmula de la función que multiplica a la x? En este contexto algebraico/funcional el concepto de pendiente toma dos sentidos que el alumno puede relacionar entre sí: «la pendiente de una función de proporcionalidad es el número que multiplica a la x en la fórmula y = ax» y «la pendiente de una función de proporcionalidad es el número que corresponde a 1». De esta manera el alumno ha estudiado el concepto de pendiente en dos contextos diferentes: el geométrico y el algebraico/funcional y con tres sentidos diferentes. Con la metáfora «la función de proporcionalidad es una recta que pasa por el origen de coordenadas» se consigue relacionar estos tres sentidos entre sí y también con la palabra pendiente. Sin embargo, el uso de metáforas plantea algunas difi - cultades. Puede ocurrir, por ejemplo, que el alumno, en lugar de entender que una función se puede comprender a partir del funcionamiento de una máquina, tome la expresión «una función es una máquina» de manera literal y que piense que una función es realmente una máquina. Dicho con otras palabras: la expresión anterior tiene un signifi cado literal, pero también tiene un segundo signifi cado, que es el que queremos que entienda el alumno. Queremos que el alumno estructure su conocimiento sobre funciones a partir de su conocimiento sobre las máquinas, no que piense que una función es una máquina. Para que comprenda que no debe tomar la expresión «una función es una máquina» de manera literal, se ha de producir un confl icto cognitivo entre el signifi cado literal de la expresión y el contexto en el que se usa. La existencia de este confl icto es lo que hace que el alumno busque un signifi cado diferente del literal. Esta situación se produce con una cierta frecuencia, ya que el profesor a menudo usa metáforas de manera incontrolada sin ser consciente de que lo hace. Ahora bien, las difi cultades relacionadas con el pensamiento metafórico van más allá de la difi cultad causada por un confl icto con el signifi - cado literal, ya que, incluso, cuando el uso que se hace de la metáfora es correcto, se corre el riesgo de trasladar relaciones que no son válidas en el dominio de llegada. UNA NUEVA TEORÍA COGNITIVA DE LA MATEMÁTICA La importancia que tiene el pensamiento metafórico en la construcción del signifi cado de los objetos matemáticos es reconocida por una gran mayoría de los investigadores en didáctica de las matemáticas y es el origen de una nueva teoría sobre qué son las matemáticas propuesta por Lakoff y Núñez (2000). La nueva disciplina, llamada por sus autores «ciencia cognitiva de la matemática» (Lakoff y Núñez, 2000; Núñez, 2000), tiene por objetivo estudiar, de manera empírica y multidisciplinar, las ideas matemáticas de las personas como una materia científi ca. El núcleo central de esta nueva teoría está basado en la importancia que tiene el cuerpo sobre la mente y en los relativamente recientes hallazgos en lingüística cognitiva. Su tesis afi rma que el origen de las estructuras matemáticas que construyen las personas, y también las que se construyen en instituciones, hay que buscarlo en los procesos cognoscitivos cotidianos, como son los esquemas de las imágenes y el pensamiento metafórico. Según estos autores, dichos procesos permiten explicar cómo la construcción de los objetos matemáticos, tanto los personales como los institucionales, está sostenida por la manera cómo nuestro cuerpo se relaciona con los objetos de la vida cotidiana. Según este punto de vista, la naturaleza de las matemáticas hay que buscarla en las ideas de las personas, no en las demostraciones formales, axiomas y defi niciones ni tampoco en mundos trascendentes platónicos. Dichas ideas surgen de los mecanismos cognitivos y corporales de las personas. Debido a su origen, común a todas las personas, las ideas matemáticas no son arbitrarias, no son el producto de convenciones completamente sociales y culturales, aunque las dimensiones sociohistóricas jueguen papeles importantes en la formación y desarrollo de estas ideas. En la misma línea que la teoría de Piaget (1979), esta nueva teoría afi rma que las matemáticas son el resultado de la experiencia humana, pero no es el resultado de puras convenciones sociales, ya que, por razones de tipo evolutivo, todos desarrollamos los mismos mecanismos cognitivos, y de ellos surgen las ideas matemáticas. Recientemente, la ciencia cognitiva no dualista en la que se basa la propuesta de Lakoff y Núñez ha realizado importantes avances en la comprensión del funcionamiento de la mente y más en concreto en lo que atañe a nuestra comprensión de las matemáticas. Son los siguientes: 1) La importancia que tiene el cuerpo sobre la mente. La naturaleza y dinámica de nuestros cuerpos, nuestros cerebros y nuestro Tiempo (s) 0246 8 16 Espacio (m) 061218 24 ... INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 408 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3) funcionamiento de todos los días tienen una importancia fundamental en la estructura de la razón humana, la cual incluye el pensamiento matemático. 2) El papel del conocimiento inconsciente. La mayoría de los procesos cognitivos son inconscientes, en el sentido de que no son accesibles a nuestra introspección consciente, puesto que no podemos llegar directamente a nuestros sistemas conceptuales y a nuestros procesos cognitivos de nivel inferior que incluyen una gran parte del pensamiento matemático. 3) El pensamiento metafórico. La mayor parte de los seres humanos conceptúan conceptos abstractos en términos concretos y usan la estructura inferencial y maneras de razonar conectadas con nuestro sistema motórico y sensorial. El mecanismo cognitivo que permite que lo abstracto se comprenda en términos de lo concreto es la metáfora conceptual. El pensamiento matemático también hace uso de ella cuando conceptúa números como puntos en una línea, o el espacio como conjunto de puntos. Este punto de vista considera que la actual investigación en neuropsicología ha demostrado que todos los individuos de la especie homo sapiens nacen con la capacidad de distinguir entre un número muy pequeño de objetos y sucesos –como en el caso de la subitización, proceso que nos permite ver que un conjunto tiene 3 o 4 elementos sin necesidad de contarlos– y con la de efectuar cálculos aritméticos muy simples con números muy pequeños. Estos hallazgos son importantes para la comprensión de los rudimentos biológicos de aritmética básica. Sin embargo, ellos nos dicen muy poco sobre la complejidad de las matemáticas, ya que éstas van mucho más allá de la aritmética y requieren un aparato cognitivo enorme, muy superior al que desarrollan los bebés y animales o del que desarrolla un adulto sin una instrucción específi ca. A la pregunta «¿Cuáles son las capacidades cognitivas, basadas en la importancia del cuerpo sobre la mente, que permiten a una persona pasar de las habilidades numéricas básicas innatas a un entender profundo y rico propio de las matemáticas de una licenciatura universitaria de una facultad de ciencias?», Lakoff y Núñez responden que éstas no son independientes del aparato cognitivo usado fuera de la matemática. Según estos autores, la estructura cognitiva necesaria para la matemática avanzada se vale del mismo aparato conceptual que el pensamiento cotidiano en las situaciones ordinarias no matemáticas, esto es: esquemas de la imagen, esquemas aspectuales, mezclas conceptuales y metáfora conceptual. De todos estos procesos, es el pensamiento metafórico el más importante para la construcción de las matemáticas. Este punto de vista, según nuestra opinión, es en cierta forma apriorístico, ya que considera que la actividad constitutiva del sujeto en el acto de comprensión matemática lleva a verdades consideradas necesarias para cualquier sujeto normal. Por una parte, considera probado por la actual neuropsicología que todas las personas nacen con la capacidad de distinguir entre un número muy pequeño de objetos y sucesos; y, por otra parte, considera que casi todos los sujetos tienen la capacidad de llegar a comprender las verdades matemáticas, puesto que se basan en unos procesos cognitivos básicos y comunes a todos los miembros de la especie. Ahora bien, en nuestra opinión, se trata de un tipo de apriorismo que resulta relativamente débil si lo comparamos con otras teorías sobre qué son las matemáticas. METÁFORAS RELACIONADAS CON LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES Según Font (2000), las gráfi cas se han estructurado históricamente a partir de las siguientes metáforas: a) las curvas son secciones; b) las curvas son la traza que deja un punto que se mueve sujeto a determinadas condiciones; c) las curvas son la traza que deja un punto que se mueve sujeto a determinadas condiciones el análisis de las cuales permite encontrar una ecuación que cumplen los puntos de la curva. Hasta principios del siglo xix, cuando Cauchy empieza la reorganización del análisis infi nitesimal, esta última metáfora es la que se puede encontrar en los libros de análisis infi nitesimal. Es decir, hasta la aritmetización del análisis, las gráfi cas de funciones eran consideradas como la trayectoria descrita por un punto en movimiento, la cual se podía expresar por una fórmula. Esta manera de entender las gráfi cas de funciones queda muy clara en la obra de Newton, donde podemos hallar constantes referencias a un punto que se mueve sobre una parábola, una hipérbola, etc. A partir de los trabajos, entre otros, de Fourier, Cauchy y Dirichlet, se aceptaron, como gráfi cas de funciones, curvas que no podían ser trayectorias. Con la posterior aplicación de la teoría de conjuntos a las funciones, terminó de coger cuerpo la metáfora conjuntista: d) la gráfi ca de una función f es el conjunto formado por los puntos de coordenadas (x, f (x))3. En este artículo nos limitaremos a analizar los efectos que produce la metáfora «La gráfi ca de una función se puede considerar como la traza que deja un punto que se mueve sujeto a determinadas condiciones» –o bien una variación de esta metáfora: «La gráfi ca de una función se puede considerar como la traza que deja un punto que se mueve sobre la gráfi ca» en la enseñanza de la representación gráfi ca de funciones en el bachillerato. En la investigación explicada en Font (2000)4 se describe una situación de enseñanza-aprendizaje en la que alumnos de bachillerato utilizan las siguientes construcciones, realizadas con el programa Cabri, con el objetivo de ayudarles a entender que la recta tangente es la recta a la cual se aproximan las rectas secantes: INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 409 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3) Uno de los fenómenos observados, cuando los alumnos experimentaban con estas construcciones, fue que el hecho de utilizar la metáfora «La gráfi ca de una función se puede considerar como la traza que deja un punto que se mueve sobre la gráfi ca» de manera inconsciente en el discurso del profesor causó la siguiente difi cultad en algunos alumnos: «[…] observamos que había alumnos que, cuando movían el punto A, pensaban que el nuevo punto continuaba siendo el punto A y que la nueva recta tangente era la misma que antes pero con diferente inclinación. De hecho, es como si estructurasen la situación en términos de una persona que se mueve (punto A) con un saco en la espalda (recta tangente) por una carretera que primero sube y después baja (gráfi ca) y considerasen que la persona y el saco siempre son los mismos, a pesar de estar en diferentes lugares y tener diferente inclinación.» (Font, 2000, p. 122). La investigación citada anteriormente tenía como objetivo principal analizar los signifi cados institucionales y personales implicados en un proceso de estudio del objeto derivada en una institución escolar de bachillerato. En dicha investigación se observó el fenómeno anterior pero éste sólo se comenta de manera secundaria y se propone su estudio como una posible línea de desarrollo. El hecho de que este fenómeno fuese de sufi ciente entidad para ser el objetivo de un estudio específi co nos llevó a diseñar una nueva investigación para contrastarlo y para ampliarlo. OBJETIVOS Y CARACTERÍSTICAS DE LA INVESTIGACIÓN El objetivo de esta investigación era comprobar que este fenómeno detectado en Font (2000) ocurre con una cierta regularidad. Concretamente nos planteamos los siguientes objetivos: 1) Detectar si el profesor, al explicar la representación gráfi ca de funciones en el bachillerato, usa metáforas del tipo «La gráfi ca de una función se puede considerar como la traza que deja un punto que se mueve sujeto a determinadas condiciones» –o bien una variación de esta metáfora: «La gráfi ca de una función se puede considerar como la traza que deja un punto que se mueve sobre la gráfi ca.» 2) Analizar el contenido de su discurso para detectar, además de la anterior, otras metáforas. 3) Verifi car si el profesor es consciente del uso que ha hecho de las metáforas en su discurso y hasta qué punto las tiene controladas. 4) Determinar el efecto que producen estas metáforas sobre los alumnos. Las características metodológicas de la investigación fueron de tipo interpretativo. Por una parte fue: a) etnográfi ca: ya que se pretendió comprender los acontecimientos tal y como los interpretaban los sujetos investigados, mediante una inmersión en su pensamiento y en su práctica; b) puntual: la información fue obtenida en un período de tiempo relativamente breve; c) de campo: la información se obtuvo en el lugar de trabajo de los sujetos investigados. Los instrumentos utilizados fueron: a) la observación de las clases impartidas por diferentes profesores; b) la grabación en vídeo de una clase de un profesor; c) a partir del análisis de esta grabación se diseñó un cuestionario para realizar una entrevista personalizada y semiestructurada con este profesor y un cuestionario que tuvieron que responder 9 de sus alumnos. Los profesores que participaron en esta investigación lo hicieron de manera voluntaria y consintieron de forma consciente la intromisión en sus tareas docentes (observación de sus clases, grabación en vídeo, análisis de materiales de trabajo...). Los alumnos participaron a petición de su profesor. La elección del profesor grabado en vídeo y la de 9 de sus alumnos no fue realizada bajo ningún criterio estadístico. EL USO DE METÁFORAS EN EL DISCURSO EXPLICATIVO DEL PROFESOR. EL CASO DE LAS GRÁFICAS Después de analizar el discurso de diferentes profesores al impartir el tema de la representación gráfi ca de funciones en el bachillerato, comprobamos el uso generalizado de la metáfora «La gráfi ca de una función se puede considerar como la traza que deja un punto que se mueve sujeto a determinadas condiciones» –o bien una variación de esta metáfora: «La gráfi ca de una función se puede considerar como la traza que deja un punto que se mueve sobre la gráfi ca». Este hecho nos llevó a considerar la necesidad de realizar el estudio de un caso particular, con el objetivo de analizar el uso de diferentes tipos de metáforas en su discurso. Para tal fi n se escogió un profesor al azar. El profesor escogido imparte clases de bachillerato en el IES Vilassar de Mar, de la provincia de Barcelona. Grabación en vídeo de una clase La grabación en vídeo que se comenta en esta investigación corresponde a la clase impartida por este profesor el 21 de marzo de 2001 en una clase de 1º de bachillerato (16 años) mientras explicaba el tema de la representación gráfi ca de funciones. La fi lmación dura 45 minutos, de los cuales, en este artículo, por cuestiones de espacio, se comentan5 tan sólo dos fragmentos no consecutivos de 8 minutos en total. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 410 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3) Texto del vídeo Observaciones ........................ ........................... PRIMER FRAGMENTO ……..me parece que está todo ……Pues ahora vamos a ver el esbozo de la función bien hecho …ahora….pues, sí que tenemos a “-1” una asíntota….eh!…. A ver!.. fi jaos….. hemos dicho…..bueno ya veíamos como…..venga. ¡La asíntota vertical eh!.. a la derecha de la asíntota vertical, es coger de más infi nito…….infi nito y pasa por cero cero que tenemos un punto de infl exión que es donde hay un cambio y da una cosa así. Y luego aquí viene así Y aquí viene así Después de haber hecho todo el estudio analítico de la función y = 2x/(x2-1) (dominio, puntos de corte con los ejes, crecimiento, y decrecimientos, máximos y mínimos, concavidad y convexidad, puntos de infl exión y asíntotas), el profesor se dispone a dibujar la gráfi ca. El profesor empieza dibujando los ejes de coordenadas y ubica en los dos ejes los signos +∞ y -∞. A continuación traza las asíntotas verticales que cortan el eje de abscisas en 1 y –1. El profesor empieza a trazar la parte central de la gráfi ca de la función. Empieza por más infi nito y termina en menos infi nito. Hace el trazado de la parte izquierda de la gráfi ca. Hace el trazado de la parte derecha de la gráfi ca y mueve las manos para reforzar sus comentarios sobre la gráfi ca. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 411 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3) ¡Eh! ... Comparad la coherencia…… de este esbozo con todo lo que hemos dicho antes, eh!… Fijaos que a veces…vamos, con lo dicho hasta ahora… …eh!…hacéis el proceso bien y después hacéis el esbozo una cosa rara. Interpretad bien el signifi cado de estos resultados, ha de ser una cosa de este estilo. Bueno, hemos hecho esta función racional que no tiene……….hemos hecho esta función racional que no tiene racio……… pero tiene dos asíntotas verticales, con la difi cultad que representa hacer el análisis de la función en sus laterales, y una asíntota horizontal con y = 0. El otro día hicimos, ¿cuáles hemos hecho? Hemos hecho………………….. Señala la gráfi ca. Hace esta pregunta pero no da tiempo a que los alumnos la respondan. Sigue explicando cosas de clases anteriores y recordando algunas gráfi cas trabajadas anteriormente en clase. Texto del vídeo Observaciones .................................. ............................................................. SEGUNDO FRAGMENTO Quería proponer una que…¡eh!.. la viéseis.. que sería esta……. Esta función racional que presenta otra característica,.. aquí por ejemplo el dominio……… ……………………………… También podemos hacer ésta, que es relativamente sencilla, pero tiene su interés…… Todavía me quedan cinco minutos de clase ……………vamos a ver………………………… Vamos a empezar un poco ésta, porque tiene algo nuevo que no ha aparecido hasta hoy. Hasta ahora todas las funciones racionales que hemos hecho, hemos encontrado que el dominio no eran todos los reales. ¡Vale!…. En cambio en ésta, ¿qué pasa? …..vamos a ver…..borro todo… …….¡eh!…vamos a ver en esta función,… ¿qué dominio?…… …………… ……….. Lo primero que…. lo primero entonces que hacíamos era el dominio eh!.. y el dominio como lo buscábamos….que decíamos!….. decíamos… existirá para cualquier valor que esta función de x excepto para aquéllos que anulen el denominador, y para comprobarlo, pues igualábamos el denominador a cero…….. ………….. Por lo tanto, esta función existe siempre, el dominio será todo R y, por lo tanto, no tendrá ninguna asíntota vertical…… Escribe la función y = x/ (x2 +1). Continúa hablando de otra función cuya gráfi ca se había representado anteriormente. Los alumnos ya quieren terminar la clase, pero el profesor insiste en que vean esa función. Los alumnos continúan hablando. El profesor empieza el estudio analítico de la función y = x/ (x2 +1). Escribe en la pizarra, igualando el denominador a cero y despejando la x, obteniendo raíces cuadradas de números negativos. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 412 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3) Horizontal habrá que ver.. Horizontal, ¿cómo lo ves? Por lo tanto, dominio R, asíntota vertical no tiene. Asíntota horizontal, entonces la asíntota horizontal ¿cuál es? …… y = 0. Pues vemos que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, entonces automáticamente podemos decir.. Dominio…………………….. Crecerá mucho más rápidamente el denominador que el numerador…………. Por lo tanto……a ver por favor……… Habíamos quedado que si el grado del denominador es superior al grado del numerador, cuando x se hace grande……………..crece mucho más rápido el denominador que el numerador, por lo tanto será mucho mayor, será mucho mayor el denominador a medida que la x crezca, que vaya tomando valores grandes……. ………. Será mucho mayor el denominador que el numerador……………… ………………………. Cada vez se hará más pequeño …………………. Un alumno pregunta si tiene asíntota horizontal. Responde el profesor. El profesor devuelve la pregunta al alumno y éste no contesta. Señala con gestos la fórmula de la pizarra. Pide a los alumnos que hagan menos ruido. Mueve las manos tratando de reforzar la idea, muestra como si la x tuviese movimiento. Continúa moviendo las manos simulando el crecimiento de la x y tratando de mostrar que la x se puede volver más grande. El profesor termina aquí su explicación y luego termina la clase proponiendo algunos trabajos que los alumnos deben realizar para la clase siguiente. ........................... ............................. De la anterior trascripción podemos observar, entre otros, los siguientes hechos signifi cativos: 1) El profesor ha hecho uso de diferentes metáforas en su discurso. 2) Podemos ver, en primera instancia, cómo ha utilizado un discurso dinámico, acompañado de gestos con sus manos, para explicar los componentes estáticos de la gráfi ca. En este discurso, la metáfora «La gráfi ca de una función se puede considerar como la traza que deja un punto que se mueve sujeto a determinadas condiciones» –o bien una variación de esta metáfora, «La gráfi ca de una función se puede considerar como la traza que deja un punto que se mueve sobre la gráfi ca»–, está presente en frases como «viene por aquí», «pasa por cero cero», etc. 3) Por otra parte, ha supuesto que los números sean objetos que crecen y que pueden aumentar de tamaño, al usar frases como: «el denominador crece más rápido», «x se hace grande», «la x crece», etc. Estas metáforas, al igual que la comentada en 2, tienen su dominio fuera del campo de las matemáticas. En la terminología de Lakoff y Núñez (2000) se pueden considerar como grounding metaphora. 4) El crecimiento y decrecimiento de la gráfi ca se explica en términos visual-dinámicos con frases como: «por aquí decrece porque viene así». Una vez evidenciado que las metáforas son un recurso cotidiano en el discurso del profesor, de acuerdo con nuestro tercer objetivo, nos propusimos investigar en qué medida su uso está favoreciendo o difi cultando el aprendizaje de los alumnos. Un primer paso en esta línea es conocer si el profesor hace uso de las metáforas de una manera controlada y si es consciente de los efectos que produce su uso en el aprendizaje de los alumnos. A tal efecto, entrevistamos al profesor cuya clase había sido grabada en vídeo. Entrevista La siguiente entrevista se realizó el pasado 5 de abril de 2001, cuando eran las 11 de la mañana en un aula del instituto Vilassar del Mar, en la localidad que lleva el mismo nombre. La entrevista duró 30 minutos, de los cuales se transcriben tan sólo algunos fragmentos. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 413 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2003, 21 (3) Texto Observaciones E. En el vídeo que he visto dices frases como: Aquí viene así, viene por aquí, pasa por cero cero, x crece, va por aquí, crece más el numerador que el denominador. Y cuando lo haces, indicas movimientos con tus manos. ¿Qué quieres expresar con eso? El objetivo de esta pregunta es determinar si el profesor es consciente del uso de metáforas comentadas anteriormente en su discurso. P. Hombre! – supongo que es absolutamente inconsciente, porque eso yo no lo pienso, yo no digo; me voy a mover de esta manera o de la otra, ...........¿qué hacen? ¡, yo creo que son gestos para reforzar la idea que expresas,.. para reforzarla--- no! Es decir; viene por aquí, pues, debería señalar por donde pasaría la función,.....siguiendo,.. eh!.. imaginando que tu sigues la función dando valores a la x de manera creciente, pues, cual sería la imagen--- o --- el--- trazado que seguiría la curva no! ---- me parece- ---son cosas que---- eh! --- claro no me las he planteado, sí que gesticulas pensando que refuerzas lo que tú estás diciendo ¿no?--- esto está,...----esto está claro. Porque, si no, sería también muy aburrido dar un discurso ---- sin........ no, no llegará de la misma manera, esto está claro. Deja en evidencia que lo hace de manera totalmente inconsciente. Asume inmediatamente que los gestos refuerzan una idea. El profesor en su clase ha explicado algo estático en términos dinámicos, lo que supone una metáfora que no tiene controlada, y no es consciente de sus consecuencias. E. ................ no, no estático tampoco, pues, sería ........ P. ------------- Tratar de reforzar, tratar de reforzar la idea,...--- claro. E. Mueves las manos cuando explicas algunas partes de la gráfi ca y cuando dices: «la x crece», «el numerador crece más que el denominador». ¿Siempre explicas las gráfi cas de esta manera, o sea, siempre has explicado las gráfi cas moviendo las manos y con esta clase de expresiones: «aquí viene aquí», «aquí pasa por aquí» ... El objetivo es saber si es habitual en él este tipo de acciones. P. Sí Inmediatamente reconoce que el uso de gestos y el uso de este tipo de metáforas forman parte habitual de su práctica profesional. E. ... ¿Podría uno explicar el gráfi co estático sin movimiento? ¿Crees que es mejor para ellos darle un poco de movimiento? El objetivo de esta pregunta es saber qué motivos son los que le llevan a explicar las gráfi cas en términos dinámicos, en lugar de hacerlo de manera estática. P. ----- Sí, sí, por supuesto. Claro, claro, yo creo que,… hay un eslogan en la moda que dice «la arruga es bella» es un eslogan publicitario para la moda «pues yo creo,.. yo decía entonces ¡el dinamismo es bello!...atrae.....es bello, en clase no es lo mismo un discurso quieto y tal, y decir las cosas muy bien dichas que ver algo que se mueva, al alumno si hay algo que se mueva, eso lo mira más, entonces en cualquier sección intento........no puedes abusar,.... pero si hay algún momento que tu traes alguna cosa que se mueve, eso centra más la atención, por ejemplo en geometría,... pues, yo traía algunos chavales a propuesta de aquel libro rojo de la Emma Castelnuovo, de las transformaciones de las fi guras, de cualquier fi gura, de los cuadriláteros,... bueno entonces eso se construye con unas varillas, se pueden ir moviendo, hace años yo lo construí, pues con esta idea,......el dinamismo atrae,... y entonces hay que introducir elementos de éstos, de que el alumno vea que hay cosas que se mueven, el alumno,....¡a ver qué pasa! Por lo menos por unos momentos se interesa a ver qué pasa. Corrobora lo que ya ha dicho antes: su objetivo es «facilitar la comprensión del concepto» y trata de justifi car su uso con argumentos relativamente triviales. No obstante, entre estos argumentos destaca la importancia que da este profesor al aspecto dinámico como elemento que puede facilitar la atención de los alumnos. E. ¿Y no has pensado que de pronto eso les traiga algún error conceptual, de interpretación? El objetivo es cuestionar su discurso. P.-----------------No, ¡ que provoque..... el hecho de que,......algún error conceptual. Que provoque algún error conceptual, como, como cuál, por ejemplo? Él no tiene idea de qué clase de errores le estoy hablando, lo cual pone de manifi esto que este profesor no es consciente de que el uso de metáforas, además de facilitar la comprensión, también puede difi cultarla. E. Por ejemplo, que un punto no se mueve, que un punto es......... El objetivo es poner un ejemplo de las difi cultades que pueden aparecer por la interpretación literal de la metáfora. P.---- No el punto no se mueve, la función tampoco, pero.....lo ves...cuando dices que pasa, no es como un tren que pasa, sino que el trazado pisa esos puntos, yo no lo he pensado, no creo que esto.....no he detectado que las confusiones vengan por aquí, no lo he pensado, no creo, no, no... Si bien se cuestiona por un momento su discurso, en el fondo sigue considerando que el uso de las metáforas facilita la comprensión y no da importancia a las posibles difi cultades que pueda generar.