INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
415
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3), 415-431
LAS RELACIONES ENTRE FAMILIAS DE PRISMAS.
UNA EXPERIENCIA CON ESTUDIANTES
DE MAGISTERIO
GUILLÉN SOLER, GREGORIA
Depa amen o de Didác ica de la Ma emá ica. Uni e si a de València. 46071 Valencia
g ego ia.guillen@u .es
SUMMARY
This pape con ains a b ie desc ip ion o a esea ch abou classi ica ion in he con ex o solid geome y. Models o
answe s o asks gi en by eache aining s uden s o di e en cou ses and speciali ies a e shown. To do he asks i
is necessa y o iden i y and enume a e examples o p ism’s sub amilies; o judge, s a e and jus i y ela ionships
be ween he sub amilies cha ac e ised and o ep esen by means o a diag am hose ela ionships. E o s made by he
eache aining s uden s a e exposed as well as he di icul ies hey encoun e ed when doing he asks a e he
quad ila e al inclusi e classi ica ion was s udied and di e en p ism’s amilies had been es ablished. The da a
analysed was ob ained om in e iews, class-wo king sessions and w i en answe s o homewo k ac i i ies. The
esea ch was ca ied ou wi h s uden s o Escola de Magis e i Ausiàs Ma ch (Teaching School) o he Uni e si y o
Valencia.
PRESENTACIÓN
La ac i idad de clasi ica es una de las ca ac e ís icas
esenciales de cualquie ama del pensamien o humano y,
en pa icula , una ac i idad undamen al en las ma emá-
icas. Es sabida la g an u ilidad que ienen en ma emá i-
cas las clasi icaciones je á quicas1 y son nume osas las
publicaciones ela i as al modelo de Van Hiele que han
mos ado cla amen e que algunos es udian es ienen
p oblemas con ellas (Ba is a y Clemen s, 1992; De
Villie s, 1987, 1994; De Villie s y Njisane, 1987; Fuys,
Geddes y Tischle , 1988; Van Hiele, 1986).
De Villie s (1987, p. 22) indica que «los niños son
capaces de comp ende a una edad muy emp ana inclu-
siones de clases como «los ga os y los pe os son anima-
les»; sin emba go, es, cie amen e, desde el pun o de
is a psicológico mucho más di ícil con igu as geomé-
icas, ya que de ini a ibu os es ealmen e más su il y
complejo». Es e au o concluye que la inclusión de
clases en e di e en es ipos de igu as geomé icas (po
ejemplo, la inclusión de los iángulos equilá e os en los
isósceles y la inclusión del cuad ado en los ec ángulos,
o incluso la inclusión en e di e en es pa es de cuad ilá-
e os) no conlle a psicológicamen e la misma di icul-
ad, aunque la es uc u a lógica pod ía se la misma. En
sus expe imen aciones e i icó que, de odas las a eas
p opues as a los niños (iden i icación de ipos de igu as,
uso de e minología geomé ica, in e p e ación de de i-
niciones dadas, a gumen os deduc i os de un paso, des-
c ipción e bal de p opiedades de igu as, deducción
más la ga y clasi icación je á quica de concep os geomé-
icos), la clasi icación je á quica esul ó se la a ea más
di ícil. Además en los cu sos supe io es se mejo aba
muy poco en el endimien o (De Villie s, 1987). Y, dado
que la clasi icación je á quica apenas eme gía agamen-
e en e es udian es que endían bas an e bien en cues io-
nes que eque ían deducción o mal, concluyó que, en
con a de la eo ía de Van Hiele, la clasi icación je á -
quica no es un p e equisi o pa a el pensamien o deduc-
i o o mal, sino que es a a ea conlle a más di icul ad.
Las in es igaciones de De Villie s han ido más allá
espec o de las del modelo de Van Hiele y han indicado
que « a ias di icul ades que ienen los niños con la
inclusión de clases je á quicas (especialmen e los niños
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
416 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3)
más mayo es) no subyace necesa iamen e en la lógica de
la inclusión como al, sino que a menudo iene que e
con el signi icado de la ac i idad, lingüís ico y uncio-
nal: lingüís ico en el sen ido de in e p e a co ec amen-
e el lenguaje usado en la inclusión de clases, y uncional
en el sen ido de en ende po qué la clasi icación je á -
quica es más ú il que la clasi icación pa ición» (De
Villie s, 1994, p. 17).
La clasi icación en el mundo de los polied os ha sido
menos in es igada (Guillén, 1991, 1999a, 1999b). Al
pasa a es dimensiones –que es un cambio d amá ico,
en muchos aspec os–, esul a in e esan e obse a la
di icul ad que conlle a pa a los es udian es las elacio-
nes en e amilias de sólidos. La clasi icación en los
polied os o ece g andes posibilidades pa a ello. Po un
lado, pe mi e abaja di e en es clasi icaciones pa i-
ciones, con c i e ios de di e en es ipos ( isuales, cuan-
i a i os, e c.). Además, se pueden es ablece clasi ica-
ciones pa iciones con a ios c i e ios conjun amen e y,
si bien las clases esul an es son disjun as, ambién se
pueden conside a las clases que co esponden a uno
sólo de los c i e ios y, en onces, apa ecen elaciones de
inclusión en e unas y o as (Guillén, 1991). Y ambién
se pueden es ablece clasi icaciones inclusi as o je á -
quicas; po ejemplo, una clasi icación de los p ismas
cuad angula es (Guillén, 1999b).
En es e a ículo nos ijamos en algunos p oblemas liga-
dos a las clasi icaciones mencionadas:
• Iden i icación y enume ación de ejemplos de las cla-
ses ( amilias de sólidos) es ablecidas.
• Desc ipción de las clases ( amilias de sólidos) es a-
blecidas.
• Es ablecimien o y jus i icación de elaciones en e
clases ( amilias de sólidos).
• Exp esión de las elaciones en e clases ( amilias de
sólidos) de di e en es mane as.
• Cons ucción de diag amas que ep esen an las clasi-
icaciones es ablecidas2.
Vamos a cen a nos especialmen e en las elaciones
en e amilias de p ismas, bien en é minos de ejemplos,
bien eniendo en cuen a sus p opiedades. Después de
p es a a ención a las a eas de iden i icación y de enu-
me ación de ejemplos de amilias de p ismas, indicamos
modelos de espues as de es udian es de la Escola Uni-
e si à ia de Magis e i Ausiàs Ma ch3 pa a las a eas de
juzga y de jus i ica elaciones de inclusión, exclusión
o solapamien o en e amilias de p ismas. También p e-
sen amos los e o es que come ie on y las di icul ades
con las que se en en a on cuando, una ez a ada la
clasi icación inclusi a de los cuad ilá e os –y después
de habe es ablecido di e en es amilias de p ismas–,
acome imos la a ea de iden i ica ejemplos de amilias
con enidas en amilias de sólidos, la a ea de juzga , de
enuncia y de jus i ica las elaciones que exis en en e
amilias de p ismas, y la a ea de ep esen a es as
elaciones median e un diag ama.
Las amilias de p ismas que han sido el sopo e pa a los
esul ados que p esen amos son, po un lado, las que
su gie on al abaja clasi icaciones pa iciones con c i-
e ios geomé icos que ienen g an componen e isual;
así es ablecimos los p ismas ec os y oblicuos, con exos
y cónca os. Al conside a c i e ios que cen an la a en-
ción en la/ base/s o en las ca as la e ales, es ablecimos
los p ismas iangula es, cuad angula es, e c.; así
como los p ismas de bases egula es y los de bases
i egula es; los p ismas de ca as la e ales egula es y los
que no ienen odas ca as la e ales egula es. Clasi ica
con el c i e io de egula idad o igualdad de odas las
ca as nos lle ó a los p ismas de ca as egula es o a los
p ismas de ca as iguales, espec i amen e4. Den o de
los p ismas cuad angula es cen amos la a ención en el
cubo, omboed o, o oed o, pa alelepípedo, p ismas de
bases apecios isósceles, p ismas de bases come as y los
p ismas de bases apecios (Anexo I).
ANTECEDENTES
El es udio que aquí se p esen a es pa e de un abajo más
amplio (Guillén, 1999a) ealizado sob e la aplicación
del modelo de Van Hiele a la geome ía de los sólidos.
Respec o del ema que nos ocupa en es e a ículo, lo que
des acamos del abajo de Van Hiele (1986) es: a) po un
lado, la necesidad que señala que el es udian e pase un
cie o iempo con los obje os (clases de obje os) an es de
empeza a desc ibi los; b) po o o lado, que conside a
que, después de cie o iempo, los obje os (clases de
obje os) pasa án a se la ep esen ación de odas es as
p opiedades y hab á una equi alencia en e el obje o con
un nomb e conc e o y las p opiedades con las que lo
desc iben (p. 168); y c) que «después de que los es u-
dian es han examinado el ca ác e de señal de a ias
igu as, descub i án que algunas combinaciones de p o-
piedades p oducen las igu as deseadas y que o as
combinaciones no» (p. 170). También hay que mencio-
na su ad e encia de que «sólo si la ed usual (como se
enseña en clase) de elaciones se acep a, el cuad ado
iene que en ende se como pe enecien e al conjun o de
los ombos. Es a acep ación debe se olun a ia: en
nadie es posible o za una ed de elaciones» (p. 50).
Asimismo, F euden hal (1973, pp. 417-418), al habla
sob e deducción, ambién ad ie e de que no se debe
impone al es udian e una ed de elaciones.
O as in es igaciones ealizadas en es e ma co que su-
ponen un sopo e pa a el abajo que p esen amos aquí
son las que han conside ado como obje i o e alua si los
es udian es pueden iden i ica y explica elaciones en-
e subclases de polígonos (cuad ilá e os o iángulos);
po ejemplo, que odos los ec ángulos son pa alelog a-
mos o que los iángulos isósceles pueden se iángulos
ec ángulos (Ba is a y Clemen s, 1992; Fuys, Geddes y
Tischle , 1988). Aunque los abajos mencionados se
e ie en a clasi icaciones de algunos ipos de polígonos,
sus esul ados o su «modo de hace » pueden ex ende se
en algunos casos a la clasi icación en el mundo de los
polied os. También hay que conside a que las clasi ica-
ciones de los polígonos su gen inme sas en p oblemas
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) 417
de clasi icación en el mundo de los polied os. Cen a la
a ención en la base de los p ismas nos lle a a las clasi-
icaciones de los polígonos, o de di e en es ipos de
polígonos, que a su ez gene alizamos a los p ismas; así
es ablecemos los p ismas de bases egula es e i egula-
es; los p ismas iangula es, cuad angula es, e c. En el
apa ado de los esul ados indica emos aquéllos que
ob enidos en el con ex o de la geome ía de los sólidos,
abajando con di e en es ep esen aciones ísicas de los
sólidos, co obo an los esul ados conseguidos po in-
es igaciones ealizadas en un con ex o de geome ía
plana.
Como e e encia pa a nues o abajo des acamos el
abajo de De Villie s (1987, 1994), pa e del cual se ha
ealizado en el ma co del modelo de Van Hiele, pues ha
sido especialmen e impo an e po el análisis eó ico que
ealiza del papel y la unción de la clasi icación je á qui-
ca en ma emá icas. De Villie s (1994) dis ingue di e en-
es ipos de clasi icación (clasi icación je á quica y
clasi icación pa ición; clasi icación a p io i y clasi ica-
ción a pos e io i) y da b e es comen a ios pa a la ense-
ñanza de una clasi icación je á quica de los cuad ilá e-
os. Ya hemos indicado lo que él en iende po clasi icación
je á quica y po clasi icación pa ición1. Po clasi ica-
ción a p io i quie e deci «que el p oceso de gene aliza-
ción y especialización se u ilizan delibe adamen e pa a
p oduci nue os concep os que se colocan inmedia a-
men e en elaciones je á quicas o en pa ición con los
o os concep os exis en es. [...] En gene al, la unción
más impo an e de una clasi icación a p io i es, po
an o, cla amen e, la de descub i o c ea concep os
nue os» (p. 14). Ejemplos que indican que acla an lo que
se en iende po clasi icación a p io i y a pos e io i, con
espec o a los cuad ilá e os son: «Una clasi icación a
pos e io i ocu i ía, po ejemplo, si la clasi icación de
los cuad ados y los ec ángulos se conside a a después
de que se conocie an du an e algún iempo, y sus p opie-
dades se hubie an examinado minuciosamen e. Po o o
lado, con una clasi icación a p io i comenza íamos con
el concep o más especial, un cuad ado, y gene aliza ía-
mos el ec ángulo y el pa alelog amo consecu i amen e
como concep os nue os. Po ejemplo, el ec ángulo
puede gene aliza se del cuad ado eliminando la condi-
ción de que odos su lados son iguales, pe o man eniendo
oda ía la condición de igualdad de sus ángulos.» (p.14).
Es e mismo au o sub aya que la clasi icación de cual-
quie conjun o de concep os no iene luga independien-
emen e del p oceso de de ini y que se debe ía en a iza
que una de inición pa ición (y clasi icación) no es
ma emá icamen e «e ónea» simplemen e po que sea
pa ición (po supues o, siemp e que con enga oda la
in o mación necesa ia pa a que se excluyan odos los
no-ejemplos). Añade que algunas eces son necesa ias
una clasi icación pa ición y sus co espondien es de i-
niciones pa a dis ingui cla amen e en e concep os (po
ejemplo, cuad ilá e o con exo, cónca o y c uzado, o
come as cónca as y con exas). También que, cuando se
clasi ica y se especi ica un cuad ilá e o dado, la pa i-
ción es una es a egia espon ánea y na u al; y que, «dado
que la clasi icación y sus co espondien es de iniciones
son a bi a ias y no absolu as, debe íamos conoce que
la elección en e una clasi icación je á quica y una
pa ición es a menudo ma e ia de elección pe sonal y de
con eniencia» (p. 13).
Pe o el abajo undamen al de De Villie s (1994) es el
que da espues a a la cues ión de po qué p e e imos
(con encionalmen e) la clasi icación je á quica de a-
ios cuad ilá e os con exos en ez de una clasi icación
pa ición. En es e es udio señala las unciones más
impo an es de la clasi icación je á quica. De las en e-
is as indi iduales con niños y del con ex o de la clase
encon ó que la inclusión de clases en e di e en es ipos
de igu as geomé icas no conlle a psicológicamen e la
misma di icul ad. Como posibles azones que explican
la disc epancia, enume a los p o o ipos isuales usados
como ejemplos, o la mane a en la que se han in oducido
los concep os (con de inición o con ejemplos). También
con empla la posibilidad de que las espues as de los
es udian es sean consecuencia de la na u aleza e ónea
de las a eas de iden i icación isual, donde el es udian e
pod ía ma ca el ejemplo del cuad ilá e o más gene al
sin conoce que la in ención de la cues ión e a que
ma case ambién los casos pa icula es. Respec o a la
compa ación de pa es de cuad ilá e os, De Villie s (1987)
apun a que «pa ece que la inclusión del cuad ado en el
ec ángulo es ecuen emen e la más di ícil» (p. 22). En
es e con ex o de clase, es e au o ambién encon ó
es udian es que podían saca conclusiones co ec as apli-
cando las de iniciones que se le daban y hace inclusio-
nes de clases je á quicas aplicando es as de iniciones,
pe o que p e e ían no hace lo (De Villie s, 1994, p. 17).
Y que «algunos es udian es enían di icul ad con la
palab a es en un enunciado como un cuad ado es un
ec ángulo. Pa ecie on in e p e a lo como que un cua-
d ado “es equi alen e a” o “es el mismo que” un ec án-
gulo, y, po an o (bas an e co ec amen e), echaza on
el enunciado como idículo o also». Concluye que, pa a
que la clasi icación je á quica de los cuad ilá e os enga
sen ido en el ni el 3 (o denación), es esencial que haya
enido luga una negociación ap opiada de signi icado
lingüís ico y de signi icado uncional. Comp obó que el
uso del adje i o especial (un cuad ado es un ec ángulo
especial) ayudó a que algunos es udian es comp endie-
an lo que ealmen e quie e deci que uno es subconjun o
del o o. Y ambién u o e ec o posi i o que se hicie a
e e encia a si uaciones análogas de la ida dia ia, donde
los obje os pueden e se como conjun os especiales de
o o más g ande, po lo que ienen dos «nomb es»
di e en es. Pa a una negociación ap opiada de signi ica-
do uncional apun a como necesa io que se den su icien-
es opo unidades y ac i idades ap opiadas pa a discu i
el alo o unción de una clasi icación je á quica, pa a
que empiecen a comp ende y ap ecia la economía de
es e ipo de clasi icaciones (de iniciones) y, después de
e su con eniencia, lleguen a acep a las.
T abajos desa ollados desde el pun o de is a de la
enseñanza que han enido en cuen a las suge encias de
De Villie s (1994) pa a abaja las clasi icaciones je á -
quicas de los cuad ilá e os –y que ambién hemos enido
como e e encia en es e es udio– son los de C aine y
Rubens ein (1993) y Ma aldo (1980); en las a eas que
desa ollamos en clase ( e el apa ado siguien e) se en
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
418 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3)
e lejadas algunas cues iones que ellos in es iga on. En
es os es udios, pa a que se discu ie a y acep a a el alo
o unción de la clasi icación je á quica, se die on a los
es udian es su icien es opo unidades y se p opusie on
ac i idades adecuadas. C aine y Rubens ein (1993)
co esponde a un cu so de geome ía, de un año de
du ación, con es udian es de ins i u o. La clasi icación
je á quica de los cuad ilá e os la conside a on en di e-
en es con ex os y en iempos di e en es y la usa on pa a:
a) clasi ica eniendo en cuen a las p opiedades que se
indican; b) da nomb es a los cuad ilá e os menos ami-
lia es; c) en a iza las elaciones de inclusión que ienen
cuad ilá e os de di e en es ca ego ías; d) ep esen a la
je a quía en un diag ama con o ma de ed, e) cons ui
de iniciones pa a di e en es ca ego ías de cuad ilá e os,
mos ando la gene alidad como asgo de la je a quía;
) desa olla a gumen os sob e las elaciones de inclu-
sión o de solapamien o; y g) conec a el álgeb a con la
geome ía. Comp oba on que el ma co concep ual sus-
en ado po la je a quía esul ó se económico, en cuan o
que no e a necesa io abaja mucho pa a p oba p opie-
dades pa a los cuad ilá e os que en el diag ama queda-
ban colocados los más al os. También e i ica on que,
en ese ni el, se podían conside a de iniciones al e na-
i as pa a los cuad ilá e os y que los es udian es e an
capaces de e i ica que p oba o as p opiedades de i-
adas pod ía se más ácil o más di ícil dependiendo de
la de inición usada. Es o es, se expandía y e o zaba el
concep o de la de inición de los es udian es. Ma aldo
(1980) cen ó su ac i idad en abaja los con enios que
hay implíci os en un diag ama de una clasi icación
je á quica de los cuad ilá e os ( ep esen aban los cua-
d ilá e os más gene ales a la izquie da de los más espe-
cí icos), diag ama cons uido a pa i de de iniciones
dadas pa a los cuad ilá e os implicados. Hizo no a que
las lechas si en pa a indica algo muy impo an e en
ma emá icas: las p opiedades de un cuad ilá e o especí-
ico del diag ama las ienen odos los cuad ilá e os de la
de echa, conec ados con él, pe o no necesa iamen e
odos los de la izquie da. Y ambién se p eocupó de que
se discu ie a y acep a a el alo o unción de la clasi i-
cación je á quica.
Como an eceden es pa a es e es udio ambién cabe men-
ciona los abajos ealizados po Cas elnuo o (1963,
1979) y Fielke (1983, 1986) sob e la clasi icación de
cuad ilá e os o hexágonos, desde el pun o de is a de la
enseñanza. El abajo de es os au o es se e ampliamen e
e lejado en el nues o. En el abajo de Fielke (1983,
1986) se plan ean p oblemas muy in e esan es sob e
clasi icación, p oblemas que en nues as expe imen a-
ciones hemos asladado a las amilias de p ismas con
bases cuad ilá e os y hexágonos. Po o o lado, Cas el-
nuo o (1963, 1979), con la cons ucción de los cuad ilá-
e os con a illas (aguje os) que se jun an con chinche-
as, p opo ciona un en o no dinámico en el que los
cuad ados su gen como uno de los posibles ombos, el
ec ángulo como uno de los posibles pa alelog amos,
e c. T abaja la clasi icación de los p ismas cuad angu-
la es, cen ando la a ención en la analogía que exis e
en e elemen os del plano y del espacio que compa en
elaciones, nos emi e a la clasi icación de cuad ilá e os
y al abajo de Cas elnuo o o de Fielke . Cen a la
a ención en las ca as la e ales de los p ismas, que son
pa alelog amos, nos lle a a la clasi icación de és os. Y
ex endiendo «la mane a de hace » de Cas elnuo o, con
la cons ucción o gene ación de modelos de p ismas, nos
p opo cionamos un en o no dinámico pa a e leja de-
e minadas elaciones en e amilias de p ismas. Po
ejemplo, a pa i de «pulse as» de cuad ados, ce ando
po los dos lados con polígonos, ob enemos una amilia
de p ismas, la de ca as la e ales egula es; en es a amilia
hay p ismas cónca os y con exos, y los p ismas de ca as
egula es es án con enidos en ella. Y cuando gene amos
p ismas a pa i del expe imen o que mues a Cas elnuo-
o (1979), u ilizando una «unidad base» o mada po
dos polígonos que se jun an con gomi as, como se ilus a
en la igu a 1, los p ismas de ca as la e ales egula es
su gen como algunos de los posibles p ismas ec os, los
p ismas de ca as egula es como algunos de los posibles
p ismas de bases egula es, e c.
Figu a 1
METODOLOGÍA Y CONTEXTO PARA LA
EXPERIMENTACIÓN
El es udio que se desc ibe aquí ela i o a la clasi icación
en el con ex o de la geome ía de los sólidos ue ealiza-
do du an e a ios cu sos académicos (1992-1997). Pa a
ob ene la mayo can idad posible de in o mación sob e
lo que ap enden los es udian es sob e es e p oceso ma e-
má ico, u ilizamos, po un lado, la en e is a y, po o o,
mé odos que pe mi en ob ene in o mación de o ma
simul ánea sob e g an a iedad de alumnos. Así, ealiza-
mos un análisis de:
– Respues as de di e en es es udian es, dadas po esc i-
o, a de e minadas ac i idades ela i as a la clasi icación
de amilias de sólidos que o bien se plan ea on pa a que
se esol ie an en casa an es de a a las en clase o se
plan ea on después de expe imen a una unidad de ense-
ñanza.
– Sesiones de abajo en las que se abo da on p oblemas
ligados a «la clasi icación» en el con ex o de la geome-
ía.
– En e is as indi iduales a es udian es que pa icipa-
on en la expe imen ación sob e cues iones ela i as a la
clasi icación en el con ex o de la geome ía.
Los es udian es
El es udio se desa olló omando como medio los cu sos
y g upos de es udian es de magis e io, de di e en es
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) 419
ni eles educa i os, que se indican en la abla I. Los
cu sos co espondían a asigna u as del cu ículo en i-
go en las que se impa ía geome ía y de las que la
in es igado a e a p o eso a. E an asigna u as que se
impa ían en el e ce cu so, en la especialidad de cien-
cias (3º C) o de educación especial (3º EE), has a el cu so
académico 1993-94, o enían ca ác e op a i o, como
Geome ía del Espacio (de 4 c édi os), del plan de
es udios de la Diploma u a de Maes o de la Uni e si a
de València5. El núme o de es udian es de cada g upo
que asis ía no malmen e a las sesiones oscilaba en e los
dos núme os que indicamos en la abla I en el apa ado
«núm. de es udian es».
Tabla I
G upos de es udian es y núme os en e los que oscila el núme o de
es udian es po g upo que pa icipa on en las expe imen aciones.
GRUPO/S 3º C 3º EE Op . Geom. Esp.
y ( es g upos) (dos g upos) (dos g upos)
cu so/s 1992-95 1993-94 1994-96
Núm. de 50-60 20-30 8-11
es udian es/ 50-60 10-15 5-8
g upo 50-60
P e io a la expe imen ación, los es udian es de 3º C
habían cu sado una asigna u a anual de con enidos ma-
emá icos (la asigna u a de 1º), una asigna u a de esolu-
ción de p oblemas (las ma emá icas de 2º) y una asigna-
u a de didác ica de las ma emá icas. El es o de es udian es
que pa icipa on en la expe iencia sólo habían cu sado
una asigna u a anual de con enidos ma emá icos (la
asigna u a de 1º). Lo común a odos ellos ue que no
habían a ado la geome ía de los sólidos an e io men e
y habían p es ado muy poca a ención a la geome ía
plana.
La in ención de selecciona di e en es g upos e a ob e-
ne una amplia in o mación sob e p ocesos de ap endi-
zaje. No p e endía compa a los da os ob enidos en los
di e en es g upos.
Sob e las ac i idades de clase. P ocedimien o de ac-
uación
Las ac i idades las plan eábamos unos días an es de
a a las en clase pa a que los es udian es que quisie an
pudie an esol e las en casa. Tenían como p opósi o que
se abo da an los siguien es p oblemas, ligados a las
clasi icaciones pa iciones o a las clasi icaciones inclu-
si as: a) iden i ica y enume a ejemplos de las amilias
es ablecidas al clasi ica con un c i e io o con a ios
c i e ios; en pa icula , ejemplos de amilias que con ie-
nen a o as amilias de sólidos; b) enuncia , comp oba
o jus i ica elaciones en e amilias de sólidos; y
c) e leja es as elaciones en diag amas que ep esen an
las clasi icaciones inclusi as (Tablas II, III y IV y
diag amas 2b y 2c).
Las ac i idades, las plan eábamos después de habe
a ado una clasi icación inclusi a de los cuad ilá e os
con exos. También se había cons uido el diag ama que
Figu a 2
El diag ama de la igu a 2a ep esen a elaciones de inclusión en e los siguien es cuad ilá e os: cuad ado (cd), ec ángulo ( g), ombo, ( b),
pa alelog amo (pl), apecio isósceles ( pi), come a (c ), apecio ( p) y cuad ilá e o (C).
Las amilias de p ismas cuad angula es que se ep esen an en el diag ama 2b son: cubo (C), o oed o (O), omboed o (R), pa alelepípedo (L),
p isma de bases come as (PBc), p isma de bases apecios isósceles (PB i), p isma de bases apecios (PB ) y p ismas cuad angula es (PC).
Las amilias de sólidos del diag ama 2c son: p isma egula (el cubo) (PReg), p ismas de ca as egula es, (PCR), p ismas de ca as iguales (PCI),
p imas de ca as la e ales egula es (PCLR), p ismas de bases egula es (PBR), p imas ec os (PR), p ismas con exos (PX) y los p ismas (P).
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
420 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3)
e lejaba es a clasi icación (Fig. 2a) y se habían es able-
cido las di e en es amilias de p ismas que se ían como
sopo e pa a las elaciones que conside ábamos, pa e de
las cuales se mues an en los diag amas 2b y 2c. Po
ejemplo, 2b e leja que el o oed o es á con enido en los
p ismas de bases apecios isósceles y en los pa alelepí-
pedos: «Todos los o oed os son p ismas de bases ape-
cios isósceles» y « odos los o oed os son pa alelepípe-
dos». También e leja que «los o oed os son p ismas de
bases apecios». Aho a bien, « odos los pa alelepípedos
no son o oed os», « odos los pa alelepípedos no son
omboed os» y de aquí podemos plan ea nos selecciona
ejemplos de los pa alelepípedos que no son o oed os, o
que no son omboed os, o que no son ni o oed os ni
omboed os. Si nos ijamos en los o oed os y om-
boed os, el diag ama mues a que no se puede es ablece
elación de inclusión en ningún sen ido, pe o no conclu-
ye que es as amilias son excluyen es: el cubo es á
con enido en ambas. Podemos enuncia que «algunos
o oed os son omboed os y o os no lo son» y «algunos
omboed os son o oed os y o os no lo son». Y de aquí
cabe plan ea : ¿Qué o oed os no son omboed os? ¿Qué
omboed os no son o oed os?
Al esol e las ac i idades p opues as, los es udian es
enían siemp e a su disposición modelos de las di e en-
es amilias de p ismas a adas, ma e ial come cializa-
do o mado po polígonos y di e en es unidades base
compues as po dos polígonos iguales unidos po gomi-
as (Fig. 1). En sesiones p e ias se había discu ido sob e
qué modelos de las di e en es amilias podíamos cons-
ui con el ma e ial come cializado y sob e sus limi a-
ciones. Se habían delimi ado amilias de p ismas de las
que podíamos ob ene modelos de alguno de sus ejem-
plos (p.e., de los p ismas ec os de bases egula es) y se
había hecho no a la con eniencia de ecu i a o os
p ocedimien os pa a isualiza o os ejemplos de es as
amilias o de o as como, de p ismas oblicuos, de p is-
mas de bases i egula es, de p ismas cónca os. Se acon-
sejaba a menudo que se ecu ie a a p ocedimien os
dinámicos que nos pe mi ie an isualiza a ios casos;
así des acábamos lo que se man enía y cambiaba en los
ejemplos ob enidos o sub ayábamos que uno de ellos (el
de la amilia más especí ica) e a uno de los posibles
casos de una amilia dada que podíamos gene a con el
p ocedimien o u ilizado.
Pa a los pa alelepípedos, hacíamos no a que, con ma e-
ial come cializado, se pueden cons ui los pa alelepí-
pedos-o oed os o mados po cua o ec ángulos y dos
cuad ados o po seis cuad ados; los omboed os o ma-
dos po seis ombos-no cuad ados o po seis cuad ados;
y ambién el pa alelepípedo o mado po cua o cuad a-
dos y dos ombos-no cuad ados. Aho a bien, des acába-
mos que con la unidad o mada po dos polígonos unidos
po gomi as podíamos p opo ciona nos ep esen acio-
nes isuales de odo ipo de pa alelepípedos. Cuando el
p oblema ya lo enemos esuel o en el plano, –es o
es, acep amos como posibles pa alelog amos el ec án-
gulo-no cuad ado, , el pa alelog amo-no ec ángu-
lo-no ombo, , el ombo-no cuad ado, y el
cuad ado, ,– al cambia el polígono, eligiendo pa a la
unidad base uno de los posibles pa alelog amos, pode-
Tabla II
Ta eas de iden i icación de sub amilias de pa alelepípedos.
T.1 Pon ejes de pa alelepípedos que además sean omboed os.
Haz dibujos de los cuad ilá e os que pueden se ca as de esos
pa alelepípedos. Además, esponde a las siguien es p egun as y
explica us espues as.
¿Las ca as de los pa alelepípedos que son omboed os pueden se
ec ángulos? ¿Pueden se cualquie ipo de ec ángulo? ¿Todas
ellas ienen que se ec ángulos? ¿Pueden habe ec ángulos de
dos ipos?
Responde a las p egun as an e io es pa a los ombos, en ez de
pa a los ec ángulos.
T.2 Repi e la a ea T.1 cambiando la exp esión «pa alelepípe-
dos que además sean omboed os» po «pa alelepípedos que no
son o oed os».
Tabla III
Ta eas de juzga y enuncia elaciones en e amilias de p ismas.
T.3 Indica si las siguien es a i maciones son co ec as o no.
Jus i ica la espues a.
a) Todos los p ismas de ca as iguales son p ismas con exos,
pe o odos los p ismas con exos no son de ca as iguales.
b) Ni odos los p ismas de ca as iguales son de ca as egula es
ni odos los p ismas de ca as egula es son de ca as iguales.
c) No hay ningún p isma que sea a la ez de ca as la e ales
egula es y cónca o.
T.4 Fo mula las elaciones que ienen las amilias de p ismas
siguien es y jus i ica la espues a.
a) P ismas con exos y p ismas de bases egula es.
b) P ismas con exos y p ismas de ca as iguales.
T.5 Selecciona los é minos siemp e, a eces o nunca que
mues a la elación que hay en e los pa es de amilias siguien es
y jus i ica la espues a.
a) Los p ismas con exos son siemp e, a eces o nunca
p ismas de ca as iguales.
b) Los p ismas ec os son siemp e, a eces o nunca
p ismas oblicuos.
mos ob ene los omboed os, o oed os y el cubo. Es os
ejemplos de pa alelepípedos su gen en e los muchos
que se gene an po es e p ocedimien o. Y ambién se
puede mos a que el cubo es uno de los posibles o -
oed os con base el cuad ado, lo que cambia en odos
es os o oed os es la al u a.
Vol iendo a las ac i idades que plan eamos a los es u-
dian es, amos a desc ibi las b e emen e.
Iden i icación y enume ación de ejemplos de clases. En
es as a eas se pedía que se iden i ica an odos los ejem-
plos de una amilia B que con enía a o a amilia A; o se
pedía que se iden i ica an ejemplos de B que no ue an
ejemplos de A. Los ejemplos y no-ejemplos selecciona-
dos pa a que se iden i ica an e an ejemplos de A (que
ambién lo e an de B), ejemplos de B que no lo e an de
A y modelos que no e an ejemplos ni de A ni de B. Los
p esen ábamos en di e en es posiciones y con di e en es
ep esen aciones ísicas (modelos macizos, modelos huecos
y como es uc u as de a is as).
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) 421
Tabla IV
Pa es de sub amilias de p ismas que se elacionan.
Tipos de sub amilias Ejemplo
Sub amilias excluyen es es ablecidas con c i e ios isuales P ismas ec os y p ismas oblicuos
Sub amilias inclusi as P ismas de ca as iguales y p ismas con exos
Sub amilias que no son excluyen es ni inclusi as:
Es ablecidas con un c i e io isual. P ismas ec os y p ismas con exos.
C i e ios de egula idad o igualdad de odas las ca as. P ismas de ca as iguales y p ismas de ca as egula es.
C i e ios de igualdad o egula idad de pa e de las ca as. P ismas de bases egula es y p ismas de ca as la e ales
egula es.
C i e ios de igualdad de a is as o de ángulos. El omboed o y el o oed o.
Una sub amilia es ablecida con c i e io isual y la o a P ismas ec os y p ismas de bases egula es.
con c i e ios de igualdad o egula idad de pa e de las ca as.
Figu a 3
El cubo su ge como un posible ejemplo de o oed o.
Todos los cubos son o oed os.
Los cubos son o oed os.
Los cubos son siemp e o oed os
Todos los o oed os no son omboed os.
Ni odos los o oed os son omboed os ni odos omboed os
son o oed os.
Los o oed os pueden se omboed os.
Los o oed os son a eces omboed os.
Los p ismas ec os nunca son p ismas oblicuos.
No hay ningún p isma ec o que sea oblicuo.
Tabla V
Cons ucción de diag amas en o ma de ed pa a e leja
elaciones en e amilias de p ismas. Suge encias.
T.6 Cons uye el diag ama que elacione las siguien es ami-
lias de p ismas: p ismas ec os, p ismas con exos, p ismas de
bases egula es, p ismas de ca as la e ales egula es, p ismas
de ca as egula es, p ismas de ca as iguales, p ismas egula es
(el cubo).
Recue da lo que ya imos con la clasi icación de los cuad ilá-
e os:
Si dos amilias ienen elación de inclusión, en el diag ama que
ep esen a la clasi icación és as es án conec adas con una
lecha que a desde la amilia con enida (ahí es á el o igen)
has a la amilia que la con iene (ahí es á el ex emo).
Los pa es de amilias que es án conec adas po un camino que
sigue es e esquema →→→ ienen elación de inclusión; la
amilia en la que el camino iene el o igen es á con enida en
odas las demás del camino, y la amilia que hay en el ex emo
con iene a odas las implicadas en el camino.
Coloca las amilias de sólidos de mane a que en el p ime
ni el es é la amilia de los p ismas; en el segundo ni el, las
amilias es ablecidas con c i e ios isuales; en el e ce ni el,
las amilias es ablecidas con c i e ios que cen an la a ención
en la egula idad de pa e de las ca as; en el cua o ni el...
En o as a eas, lo que se pedía e a que se indicasen los
ejemplos de es as amilias o sub amilias. La abla II
mues a ejemplos de es as ac i idades que sólo se e ie-
en a pa alelepípedos de e minados. Pa a las o as sub a-
milias de p ismas, las ac i idades que plan eamos a los
es udian es e an simila es.
Juzga , enuncia y jus i ica elaciones en e amilias
de p ismas. Pa a abaja es e p oblema ligado a la
clasi icación, juzga , enuncia y jus i ica elaciones
en e las clases es ablecidas, conside ábamos si uacio-
nes di e en es po que cambiaba la elación que exis e
en e las amilias o po que cambiaba la mane a cómo se
p esen aban las elaciones. La abla III mues a ejemplos
de es as ac i idades con dos o es apa ados.
Las ac i idades que plan eamos a los es udian es enían
muchos más apa ados que las que indicamos como
ejemplo en la abla III. Las elaciones que se daban
enunciadas o los pa es de amilias que se p oponían e an
simila es a las de la abla y pe mi ían elaciona o os pa es
de amilias. Nos p eocupamos de que se con empla an las
si uaciones e lejadas en la abla IV.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
422 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3)
También u imos en cuen a que las elaciones inclusi as
se pueden o mula como: odos... son..., los... son... y
los ... son siemp e... Las elaciones excluyen es se pue-
den e baliza como: los... nunca son... y no hay nin-
gún... que sea... Y cuando las amilias se solapan pe o no
ienen elación de inclusión podemos indica lo como: no
odos los... son..., odos... no son... ni odos... son... ni
odos... son..., los... pueden se ... y los... son a eces... La
igu a 3 mues a algunos ejemplos.
En los enunciados de cada ipo nos p eocupamos de que
se con empla an ambas posibilidades: que unos ue an
co ec os y o os no.
La in e p e ación y la cons ucción de diag amas en
o ma de ed. Relaciones en e amilias de p ismas. O o
p oblema elacionado con la clasi icación se e ie e a la
cons ucción de diag amas que ep esen an las clasi ica-
ciones es ablecidas. Pa icula izando las clasi icaciones
inclusi as, las ac i idades de es e g upo enían como
obje o que se in e p e a an los con enios implicados en
un diag ama que e leja una clasi icación inclusi a de
p ismas. La abla V mues a una ac i idad de es e ipo
(Ta ea T.6) cuyo diag ama mos amos en la igu a 1c. En
ella incluimos las suge encias que dimos pa a que se
u ie an en cuen a al esol e odas las que plan eamos,
análogas a la de la abla, sólo que en la ep esen ación
es aban implicados o os g upos de amilias de p ismas.
El p oceso de clasi ica y el p oceso de demos a . El
p oceso de clasi ica es á ín imamen e ligado a los p o-
cesos de de ini y de demos a . Al ija nos en la jus i i-
cación de las espues as, ale la pena hace algunos
comen a ios sob e cues iones ela i as al desa ollo en
clase de es as ac i idades. Po un lado, la abla VI da
cuen a de las jus i icaciones que hacíamos pa a explica
el ipo de elación que había en e los pa es de amilias
implicadas en un enunciado. Po o o lado, en clase
abajamos la e o mulación de las elaciones en e las
clases es ablecidas en los di e en es ipos de clasi ica-
ción a ados (clasi icaciones pa iciones y clasi icacio-
nes inclusi as). Nos cen amos en el uso y negación de
los cuan i icado es. T abajamos cómo enuncia las ela-
ciones de di e en es mane as pe mi ía e o mula los
p oblemas p opues os y, en algunos casos, pode u iliza
lo que ya se había demos ado p e iamen e (al econ e -
i una elación en o a que ya se había jus i icado). En
la clase sub ayamos además que las elaciones en e dos
amilias se pueden e o mula al selecciona amilias
dico ómicas (complemen a ias) a las conside adas. También
abo damos a eas que con enían enunciados con dos
elaciones en e clases, po lo que bas a con que una de
ellas sea alsa pa a que odo el enunciado lo sea. Dado
que algunos es udian es enían di icul ad pa a desglosa
las dos elaciones que apa ecían, conside amos in e e-
san e a a es e p oblema.
Tabla VI
Desa ollo de algunas p uebas. Secuencia empo al.
Búsqueda de con aejemplo: ejemplo que jus i ica que las
amilias no ienen elación de inclusión ni de exclusión. Suge-
encias y cues iones.
Como suge encia indicamos que había que cons ui di e en es
ejemplos de la p ime a amilia implicada y después cues iona si
en e los ejemplos cons uidos podía habe ejemplos de la segunda
amilia y ejemplos de la amilia complemen a ia.
P uebas pa a explica que dos amilias ienen elación de
inclusión o de exclusión.
– Basadas en ejemplos. Se abajan las inclusiones o exclusiones
de amilias en é minos de ejemplos.
– En las elaciones de inclusión, en muchos casos se u iliza un
p ocedimien o pa a gene a la amilia B que mues a isualmen e
que la amilia A su ge en e los ejemplos que se ob ienen de la
amilia B.
– Se e i ica que una amilia, o un elemen o gene al de ella,
e i ica odas las p opiedades (o la de inición) de la o a amilia.
O que no hay ningún elemen o de una amilia que e i ica odas las
p opiedades de la o a.
– Se aplica en epe idas ocasiones que un ejemplo de una amilia
iene que e i ica odas sus p opiedades y que, si una amilia es á
incluida en o a, e i ica á sus p opiedades.
– Se ema ca que en e los g upos de p opiedades de las amilias
hay una elación de inclusión que es la con a ia a la que exis e
en e ellas en é minos de ejemplos.
– Se abajan las inclusiones de amilias en é minos de g upos de
p opiedades.
Las sesiones de abajo. Las en e is as
Los es udian es de magis e io del cu so 1994-95, de la
op a i a de Geome ía del Espacio es u ie on o ganiza-
dos en dos g upos du an e odo el cu so. Las ac i idades
que ealiza on en clase (p opues as p e iamen e pa a
que se abaja an en casa) se g aba on en ídeo o en
case e. Cuando los es udian es ya las habían esuel o las
compa aban con las de sus compañe os.
Las en e is as ealizadas en su mayo ía ue on indi i-
duales, semidi igidas o di igidas; sólo en algunas los
es udian es in e inie on po pa ejas. Fue on g abadas
en ídeo o en case e. És as p e endían acla a espues as
pob es o espues as que podían ene in e p e aciones
di e en es. Po ejemplo, cuando algún es udian e indica-
ba que los p ismas con exos a eces son ec os po que
alguno lo es; po ejemplo, el o oed o. De es a espues a
se puede en ende : a) se piensa que pa a jus i ica el
«a eces» bas a con p esen a un ejemplo; o b) hay un
ol ido de mos a el no-ejemplo. O a espues a que
necesi a ía acla ación se ía la que en a eas de iden i i-
cación sólo se indica el ejemplo más gene al como
ejemplo de una amilia. La espues a pod ía es a basa-
da: a) en el es ablecimien o de amilias disjun as; b) en
un no-en endimien o de que la in ención de la cues ión
e a la de selecciona los casos pa icula es además de los
ejemplos gene ales; o c) en los ejemplos p o o ípicos (en
los que se piensa p ime o pa a basa sus juicios en ellos).
O as eces, se buscaba in o mación sob e los di e en es
p ocedimien os que pueden aplica los es udian es pa a
esol e de e minadas a eas (además del ya u ilizado) y
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) 423
comp oba si pueden aplica es os p ocedimien os en
o as ac i idades. En algunos casos lo que había que
a e igua e a a qué se debe la espues a dada: po que se
conside a que la espues a dada es su icien e o po que no
se puede da o a. Pongamos po caso cuando se juzga
adecuadamen e que «los p ismas de ca as egula es son
p ismas de bases egula es» y se da una espues a en
é minos de ejemplos (se indica que en e los ejemplos
de los p ismas de bases egula es es án los que ienen
ca as la e ales ec os, más al os y más
bajos, y o os oblicuos. Los de ca as la e ales cuad a-
dos es án ahí). Es in e esan e a e igua qué o o ipo de
espues as se pueden da : si ambién se puede azona en
é minos de p opiedades (po ejemplo, se explica que los
p ime os cumplen odas las p opiedades de los segun-
dos) o en é minos de g upos de p opiedades (es o es, se
explica que el g upo de p opiedades de los p ime os
con iene el g upo de p opiedades de los segundos).
También es in e esan e a e igua si se pueden ex ende
es os p ocedimien os pa a explica elaciones en e o os
pa es de amilias de p ismas.
ANÁLISIS DE DATOS
Las espues as a las ac i idades
Cada es udian e de los que pa icipó en la expe iencia
enía asignada una ca pe a en la que deposi ábamos las
ac i idades que esol ía po esc i o an es de que se
abo da an en clase. Además, las espues as de cada
es udian e las ag upábamos según que co espondie an
a a eas de iden i ica sub amilias, de juzga elaciones,
de e baliza las o de ep esen a median e un diag ama
las elaciones en e amilias. Pa a cada uno de es os
alumnos, y pa a cada ipo de ac i idades, en hojas que
diseñamos pa a ello, ano ábamos lo que nos pa ecía que
u ie a in e és de sus espues as.
Pa a cada ac i idad, las espues as de a ios alumnos,
las u ilizábamos en plan explo a o io; se ían además
pa a co obo a lo que ya habíamos obse ado los años
an e io es con las expe iencias p e ias ealizadas con
o os cu sos. Como ejemplo, en la abla VII, mos amos
las ca ac e ís icas que delimi amos pa a hace obse a-
ciones en las espues as de los es udian es que habían
cons uido diag amas.
Con las ca ac e ís icas obse adas, diseñamos láminas
pa a pode egis a si o os es udian es p esen aban las
ca ac e ís icas delimi adas. Así decidimos si és as se
p esen aban con la su icien e ecuencia pa a pode
p esen a la como esul ado de la in es igación. Si con
las espues as de es os es udian es apa ecía algo nue o
que me ecía a ención, se in oducía ambién como ca-
ac e ís ica pa a co obo a con las espues as de es u-
dian es que aún no se habían analizado. Pa a cada ac i-
idad los encabezamien os de las láminas hacían e e encia
a las ca ac e ís icas sub ayadas sob e ella y a los es u-
dian es que la habían esuel o. En las casillas indicába-
mos el núme o de «e o es» que p esen aba el es udian e
co espondien e y, en una lec u a pos e io , nos ijába-
mos en los pa es de amilias que es aban implicados en
ellos. Todos los da os que se epi ie on en odos los
g upos de magis e io que pa icipa on en la in es iga-
ción, y que se e lejaban en más de 2 o 4 es udian es,
según el núme o de es udian es del g upo, los p esen a-
mos en el apa ado siguien e como esul ados de la
in es igación.
Tabla VII
Ca ac e ís icas a des aca en la cons ucción de diag amas que
ep esen an elaciones de amilias de p ismas.
a) No se dan a las lechas el signi icado que se ha asignado po
con enio.
b) Hay amilias que no es án colocadas en el ni el adecuado.
c) Se elacionan amilias que no ienen elación de inclusión.
d) Se elacionan amilias en sen ido con a io a la elación de
inclusión que p esen an: el o igen de la lecha es á en la amilia
que debe ía es a en el ex emo.
e) No se elacionan amilias que sí que p esen an elación de
inclusión en un sen ido ( al an po pone lechas que conec an
de e minadas amilias).
) Se conec an di ec amen e amilias pa a las que ya queda
e lejada su elación de inclusión a a és de un camino, que
elaciona las amilias implicadas con o as.
Respec o de la iden i icación de ejemplos de las sub a-
milias, ano amos los que no se iden i icaban adecuada-
men e y a amos de a e igua (a pa i de lo que se había
esc i o al explica la espues a o median e en e is as) si
la exclusión de las amilias especí icas como ejemplos
de las más gene ales se debía a que se hacían clasi ica-
ciones pa iciones o a o as azones. El esul ado 1 que
p esen amos en el apa ado siguien e co esponde a
es as obse aciones. Pa a las a eas en las que se había
que enume a ejemplos de sub amilias que cumplían
cie as condiciones (po ejemplo, que no ue an om-
boed os) y en las que se p egun aba sob e el ipo de
polígonos de sus ca as, ano amos los ejemplos que se
indicaban y no lo e an, y los que no se señalaban y sí lo
e an. También nos ijamos en si se enían en cuen a las
condiciones impues as o si se indicaban simplemen e los
ejemplos de la amilia gene al implicada en la ac i idad.
Pongamos po caso, aunque se p egun aba po los pa a-
lelepípedos que no ue an omboed os, algunos es u-
dian es e lejaban con su espues a que no enían en
cuen a la condición: indicaban los ejemplos que había de
pa alelepípedos, y al habla sob e el ipo de ca as, es-
pondían de la misma mane a. O as espues as e leja-
ban que no se en endía la condición que se imponía, o no
se en endían los cuan i icado es implicados en las p e-
gun as que hacían e e encia al ipo de ca as. Cuando se
pedía que se indicasen ejemplos de pa alelepípedos que
no ue an o oed os se indicaba: las ca as sólo pueden
se ec ángulos, cuad ados ambién pueden se , el cubo
es o oed o. O os es udian es espondie on: no puede
habe ningún ec ángulo, po que sino se ía o oed o.
Los esul ados 2 y 3 dan cuen a de es as obse aciones.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
430 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3)
ANEXO I
GLOSARIO DE FAMILIAS DE PRISMAS
P ismas ec os: P ismas con ca as la e ales ec ángulos.
P ismas oblicuos y con exos: P ismas con ca as la e ales que
no son pe pendicula es a las bases cuya base es con exa.
P ismas cónca os: P ismas con bases cónca as.
P ismas de bases egula es: P ismas con bases egula es.
P ismas de ca as la e ales egula es: P ismas con ca as la e ales
cuad ados.
P ismas de ca as egula es: P ismas con odas las ca as
egula es (las bases y las ca as la e ales).
P ismas de ca as iguales ( omboed os). P ismas con odas las
ca as iguales ( ombos iguales, incluimos los cuad ados como
ombos).
O oed os: P ismas cuyas ca as son ec ángulos (incluimos los
cuad ados como ec ángulos).
Pa alelepípedos: P ismas cuyas ca as son pa alelog amos.
P ismas de bases apecios isósceles: P ismas cuyas bases son apecios isósceles. En e ellos enemos los o oed os.
P ismas de bases come as: P ismas cuyas bases son come as. En e ellos enemos los omboed os.
P ismas de bases apecios: P ismas cuyas bases son apecios. En e ellos enemos los pa alelepípedos.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) 431
¿Los modelos como los de la igu a son pa alelepípedos?
Si No
¿Po qué dices eso?
¿Qué es un pa alelepípedo?
Explicación
pob e.
Explicación
acep able.
Repe i el p ocedimien o
con o as o mas.
Po ejemplo,
con el omboed o,
el o oed o y el cubo.
Fin. Dibuja el
diag ama de la
clasi icación
je á quica.
Pa alelepípedo
Romboed o
O oed o
Cubo
¿Es ás de acue do en que
odas las o mas que engan
esas p opiedades son
pa alelepípedos?
¿El o oed o, iene esas
p opiedades?
Comp oba si el
o oed o iene esas
p opiedades.
NO SI
¿Puedes deci , po
an o, que un o oed o
es un pa alelepípedo
"especial"? ¿Y que
odos los o oed os son
pa alelepípedos?
SI Hacen la
inclusión NO
¿Po qué
dices eso?
La azón es
acep able
In en a lo
con o as
o mas.
conside ando
clasi icación
je á quica
Re o mula las
p opiedades
Pe o ú dices que odas
las igu as que ienen esas
p opiedades son
pa alelepípedos?
Resol e Resol e
CONFLICTO COGNITIVO
Indica p opiedades
de los pa alelepípedos
que pe mi an una
clasi icación je á quica
Indica p opiedades
de los pa alelepípedos
que pe mi an una
clasi icación pa ición
Compa a las
p opiedades
que has dado Usa ablas pa a
mos a pa ecidos
y di e encias en e
las p opiedades
según clasi icación
pa ición y
clasi icación
je á quica.
ANEXO 2
ANEXO II
