Las Relaciones entre familias de prismas : una experiencia con estudiantes de Magisterio

INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 415 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3), 415-431 LAS RELACIONES ENTRE FAMILIAS DE PRISMAS. UNA EXPERIENCIA CON ESTUDIANTES DE MAGISTERIO GUILLÉN SOLER, GREGORIA Departamento de Didáctica de la Matemática. Universitat de València. 46071 Valencia [email protected] SUMMARY This paper contains a brief description of a research about classification in the context of solid geometry. Models of answers to tasks given by teacher training students of different courses and specialities are shown. To do the tasks it is necessary to identify and enumerate examples of prism’s subfamilies; to judge, state and justify relationships between the subfamilies characterised and to represent by means of a diagram those relationships. Errors made by the teacher training students are exposed as well as the difficulties they encountered when doing the tasks after the quadrilateral inclusive classification was studied and different prism’s families had been established. The data analysed was obtained from interviews, class-working sessions and written answers to homework activities. The research was carried out with students of Escola de Magisteri Ausiàs March (Teaching School) of the University of Valencia. PRESENTACIÓN La actividad de clasificar es una de las características esenciales de cualquier rama del pensamiento humano y, en particular, una actividad fundamental en las matemáticas. Es sabida la gran utilidad que tienen en matemáticas las clasificaciones jerárquicas1 y son numerosas las publicaciones relativas al modelo de Van Hiele que han mostrado claramente que algunos estudiantes tienen problemas con ellas (Battista y Clements, 1992; De Villiers, 1987, 1994; De Villiers y Njisane, 1987; Fuys, Geddes y Tischler, 1988; Van Hiele, 1986). De Villiers (1987, p. 22) indica que «los niños son capaces de comprender a una edad muy temprana inclusiones de clases como «los gatos y los perros son animales»; sin embargo, es, ciertamente, desde el punto de vista psicológico mucho más difícil con figuras geométricas, ya que definir atributos es realmente más sutil y complejo». Este autor concluye que la inclusión de clases entre diferentes tipos de figuras geométricas (por ejemplo, la inclusión de los triángulos equiláteros en los isósceles y la inclusión del cuadrado en los rectángulos, o incluso la inclusión entre diferentes pares de cuadriláteros) no conlleva psicológicamente la misma dificultad, aunque la estructura lógica podría ser la misma. En sus experimentaciones verificó que, de todas las tareas propuestas a los niños (identificación de tipos de figuras, uso de terminología geométrica, interpretación de definiciones dadas, argumentos deductivos de un paso, descripción verbal de propiedades de figuras, deducción más larga y clasificación jerárquica de conceptos geométricos), la clasificación jerárquica resultó ser la tarea más difícil. Además en los cursos superiores se mejoraba muy poco en el rendimiento (De Villiers, 1987). Y, dado que la clasificación jerárquica apenas emergía vagamente entre estudiantes que rendían bastante bien en cuestiones que requerían deducción formal, concluyó que, en contra de la teoría de Van Hiele, la clasificación jerárquica no es un prerrequisito para el pensamiento deductivo formal, sino que esta tarea conlleva más dificultad. Las investigaciones de De Villiers han ido más allá respecto de las del modelo de Van Hiele y han indicado que «varias dificultades que tienen los niños con la inclusión de clases jerárquicas (especialmente los niños INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 416 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) más mayores) no subyace necesariamente en la lógica de la inclusión como tal, sino que a menudo tiene que ver con el significado de la actividad, lingüístico y funcional: lingüístico en el sentido de interpretar correctamente el lenguaje usado en la inclusión de clases, y funcional en el sentido de entender por qué la clasificación jerárquica es más útil que la clasificación partición» (De Villiers, 1994, p. 17). La clasificación en el mundo de los poliedros ha sido menos investigada (Guillén, 1991, 1999a, 1999b). Al pasar a tres dimensiones –que es un cambio dramático, en muchos aspectos–, resulta interesante observar la dificultad que conlleva para los estudiantes las relaciones entre familias de sólidos. La clasificación en los poliedros ofrece grandes posibilidades para ello. Por un lado, permite trabajar diferentes clasificaciones particiones, con criterios de diferentes tipos (visuales, cuantitativos, etc.). Además, se pueden establecer clasificaciones particiones con varios criterios conjuntamente y, si bien las clases resultantes son disjuntas, también se pueden considerar las clases que corresponden a uno sólo de los criterios y, entonces, aparecen relaciones de inclusión entre unas y otras (Guillén, 1991). Y también se pueden establecer clasificaciones inclusivas o jerárquicas; por ejemplo, una clasificación de los prismas cuadrangulares (Guillén, 1999b). En este artículo nos fijamos en algunos problemas ligados a las clasificaciones mencionadas: • Identificación y enumeración de ejemplos de las clases (familias de sólidos) establecidas. • Descripción de las clases (familias de sólidos) establecidas. • Establecimiento y justificación de relaciones entre clases (familias de sólidos). • Expresión de las relaciones entre clases (familias de sólidos) de diferentes maneras. • Construcción de diagramas que representan las clasificaciones establecidas2. Vamos a centrarnos especialmente en las relaciones entre familias de prismas, bien en términos de ejemplos, bien teniendo en cuenta sus propiedades. Después de prestar atención a las tareas de identificación y de enumeración de ejemplos de familias de prismas, indicamos modelos de respuestas de estudiantes de la Escola Universitària de Magisteri Ausiàs March3 para las tareas de juzgar y de justificar relaciones de inclusión, exclusión o solapamiento entre familias de prismas. También presentamos los errores que cometieron y las dificultades con las que se enfrentaron cuando, una vez tratada la clasificación inclusiva de los cuadriláteros –y después de haber establecido diferentes familias de prismas–, acometimos la tarea de identificar ejemplos de familias contenidas en familias de sólidos, la tarea de juzgar, de enunciar y de justificar las relaciones que existen entre familias de prismas, y la tarea de representar estas relaciones mediante un diagrama. Las familias de prismas que han sido el soporte para los resultados que presentamos son, por un lado, las que surgieron al trabajar clasificaciones particiones con criterios geométricos que tienen gran componente visual; así establecimos los prismas rectos y oblicuos, convexos y cóncavos. Al considerar criterios que centran la atención en la/ base/s o en las caras laterales, establecimos los prismas triangulares, cuadrangulares, etc.; así como los prismas de bases regulares y los de bases irregulares; los prismas de caras laterales regulares y los que no tienen todas caras laterales regulares. Clasificar con el criterio de regularidad o igualdad de todas las caras nos llevó a los prismas de caras regulares o a los prismas de caras iguales, respectivamente4. Dentro de los prismas cuadrangulares centramos la atención en el cubo, romboedro, ortoedro, paralelepípedo, prismas de bases trapecios isósceles, prismas de bases cometas y los prismas de bases trapecios (Anexo I). ANTECEDENTES El estudio que aquí se presenta es parte de un trabajo más amplio (Guillén, 1999a) realizado sobre la aplicación del modelo de Van Hiele a la geometría de los sólidos. Respecto del tema que nos ocupa en este artículo, lo que destacamos del trabajo de Van Hiele (1986) es: a) por un lado, la necesidad que señala que el estudiante pase un cierto tiempo con los objetos (clases de objetos) antes de empezar a describirlos; b) por otro lado, que considera que, después de cierto tiempo, los objetos (clases de objetos) pasarán a ser la representación de todas estas propiedades y habrá una equivalencia entre el objeto con un nombre concreto y las propiedades con las que lo describen (p. 168); y c) que «después de que los estudiantes han examinado el carácter de señal de varias figuras, descubrirán que algunas combinaciones de propiedades producen las figuras deseadas y que otras combinaciones no» (p. 170). También hay que mencionar su advertencia de que «sólo si la red usual (como se enseña en clase) de relaciones se acepta, el cuadrado tiene que entenderse como perteneciente al conjunto de los rombos. Esta aceptación debe ser voluntaria: en nadie es posible forzar una red de relaciones» (p. 50). Asimismo, Freudenthal (1973, pp. 417-418), al hablar sobre deducción, también advierte de que no se debe imponer al estudiante una red de relaciones. Otras investigaciones realizadas en este marco que suponen un soporte para el trabajo que presentamos aquí son las que han considerado como objetivo evaluar si los estudiantes pueden identificar y explicar relaciones entre subclases de polígonos (cuadriláteros o triángulos); por ejemplo, que todos los rectángulos son paralelogramos o que los triángulos isósceles pueden ser triángulos rectángulos (Battista y Clements, 1992; Fuys, Geddes y Tischler, 1988). Aunque los trabajos mencionados se refieren a clasificaciones de algunos tipos de polígonos, sus resultados o su «modo de hacer» pueden extenderse en algunos casos a la clasificación en el mundo de los poliedros. También hay que considerar que las clasificaciones de los polígonos surgen inmersas en problemas INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) 417 de clasificación en el mundo de los poliedros. Centrar la atención en la base de los prismas nos lleva a las clasificaciones de los polígonos, o de diferentes tipos de polígonos, que a su vez generalizamos a los prismas; así establecemos los prismas de bases regulares e irregulares; los prismas triangulares, cuadrangulares, etc. En el apartado de los resultados indicaremos aquéllos que obtenidos en el contexto de la geometría de los sólidos, trabajando con diferentes representaciones físicas de los sólidos, corroboran los resultados conseguidos por investigaciones realizadas en un contexto de geometría plana. Como referencia para nuestro trabajo destacamos el trabajo de De Villiers (1987, 1994), parte del cual se ha realizado en el marco del modelo de Van Hiele, pues ha sido especialmente importante por el análisis teórico que realiza del papel y la función de la clasificación jerárquica en matemáticas. De Villiers (1994) distingue diferentes tipos de clasificación (clasificación jerárquica y clasificación partición; clasificación a priori y clasificación a posteriori) y da breves comentarios para la enseñanza de una clasificación jerárquica de los cuadriláteros. Ya hemos indicado lo que él entiende por clasificación jerárquica y por clasificación partición1. Por clasificación a priori quiere decir «que el proceso de generalización y especialización se utilizan deliberadamente para producir nuevos conceptos que se colocan inmediatamente en relaciones jerárquicas o en partición con los otros conceptos existentes. [...] En general, la función más importante de una clasificación a priori es, por tanto, claramente, la de descubrir o crear conceptos nuevos» (p. 14). Ejemplos que indican que aclaran lo que se entiende por clasificación a priori y a posteriori, con respecto a los cuadriláteros son: «Una clasificación a posteriori ocurriría, por ejemplo, si la clasificación de los cuadrados y los rectángulos se considerara después de que se conocieran durante algún tiempo, y sus propiedades se hubieran examinado minuciosamente. Por otro lado, con una clasificación a priori comenzaríamos con el concepto más especial, un cuadrado, y generalizaríamos el rectángulo y el paralelogramo consecutivamente como conceptos nuevos. Por ejemplo, el rectángulo puede generalizarse del cuadrado eliminando la condición de que todos su lados son iguales, pero manteniendo todavía la condición de igualdad de sus ángulos.» (p.14). Este mismo autor subraya que la clasificación de cualquier conjunto de conceptos no tiene lugar independientemente del proceso de definir y que se debería enfatizar que una definición partición (y clasificación) no es matemáticamente «errónea» simplemente porque sea partición (por supuesto, siempre que contenga toda la información necesaria para que se excluyan todos los no-ejemplos). Añade que algunas veces son necesarias una clasificación partición y sus correspondientes definiciones para distinguir claramente entre conceptos (por ejemplo, cuadrilátero convexo, cóncavo y cruzado, o cometas cóncavas y convexas). También que, cuando se clasifica y se especifica un cuadrilátero dado, la partición es una estrategia espontánea y natural; y que, «dado que la clasificación y sus correspondientes definiciones son arbitrarias y no absolutas, deberíamos conocer que la elección entre una clasificación jerárquica y una partición es a menudo materia de elección personal y de conveniencia» (p. 13). Pero el trabajo fundamental de De Villiers (1994) es el que da respuesta a la cuestión de por qué preferimos (convencionalmente) la clasificación jerárquica de varios cuadriláteros convexos en vez de una clasificación partición. En este estudio señala las funciones más importantes de la clasificación jerárquica. De las entrevistas individuales con niños y del contexto de la clase encontró que la inclusión de clases entre diferentes tipos de figuras geométricas no conlleva psicológicamente la misma dificultad. Como posibles razones que explican la discrepancia, enumera los prototipos visuales usados como ejemplos, o la manera en la que se han introducido los conceptos (con definición o con ejemplos). También contempla la posibilidad de que las respuestas de los estudiantes sean consecuencia de la naturaleza errónea de las tareas de identificación visual, donde el estudiante podría marcar el ejemplo del cuadrilátero más general sin conocer que la intención de la cuestión era que marcase también los casos particulares. Respecto a la comparación de pares de cuadriláteros, De Villiers (1987) apunta que «parece que la inclusión del cuadrado en el rectángulo es frecuentemente la más difícil» (p. 22). En este contexto de clase, este autor también encontró estudiantes que podían sacar conclusiones correctas aplicando las definiciones que se le daban y hacer inclusiones de clases jerárquicas aplicando estas definiciones, pero que preferían no hacerlo (De Villiers, 1994, p. 17). Y que «algunos estudiantes tenían dificultad con la palabra es en un enunciado como un cuadrado es un rectángulo. Parecieron interpretarlo como que un cuadrado “es equivalente a” o “es el mismo que” un rectángulo, y, por tanto (bastante correctamente), rechazaron el enunciado como ridículo o falso». Concluye que, para que la clasificación jerárquica de los cuadriláteros tenga sentido en el nivel 3 (ordenación), es esencial que haya tenido lugar una negociación apropiada de significado lingüístico y de significado funcional. Comprobó que el uso del adjetivo especial (un cuadrado es un rectángulo especial) ayudó a que algunos estudiantes comprendieran lo que realmente quiere decir que uno es subconjunto del otro. Y también tuvo efecto positivo que se hiciera referencia a situaciones análogas de la vida diaria, donde los objetos pueden verse como conjuntos especiales de otro más grande, por lo que tienen dos «nombres» diferentes. Para una negociación apropiada de significado funcional apunta como necesario que se den suficientes oportunidades y actividades apropiadas para discutir el valor o función de una clasificación jerárquica, para que empiecen a comprender y apreciar la economía de este tipo de clasificaciones (definiciones) y, después de ver su conveniencia, lleguen a aceptarlas. Trabajos desarrollados desde el punto de vista de la enseñanza que han tenido en cuenta las sugerencias de De Villiers (1994) para trabajar las clasificaciones jerárquicas de los cuadriláteros –y que también hemos tenido como referencia en este estudio– son los de Crainer y Rubenstein (1993) y Maraldo (1980); en las tareas que desarrollamos en clase (ver el apartado siguiente) se ven INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 418 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) reflejadas algunas cuestiones que ellos investigaron. En estos estudios, para que se discutiera y aceptara el valor o función de la clasificación jerárquica, se dieron a los estudiantes suficientes oportunidades y se propusieron actividades adecuadas. Crainer y Rubenstein (1993) corresponde a un curso de geometría, de un año de duración, con estudiantes de instituto. La clasificación jerárquica de los cuadriláteros la consideraron en diferentes contextos y en tiempos diferentes y la usaron para: a) clasificar teniendo en cuenta las propiedades que se indican; b) dar nombres a los cuadriláteros menos familiares; c) enfatizar las relaciones de inclusión que tienen cuadriláteros de diferentes categorías; d) representar la jerarquía en un diagrama con forma de red, e) construir definiciones para diferentes categorías de cuadriláteros, mostrando la generalidad como rasgo de la jerarquía; f) desarrollar argumentos sobre las relaciones de inclusión o de solapamiento; y g) conectar el álgebra con la geometría. Comprobaron que el marco conceptual sustentado por la jerarquía resultó ser económico, en cuanto que no era necesario trabajar mucho para probar propiedades para los cuadriláteros que en el diagrama quedaban colocados los más altos. También verificaron que, en ese nivel, se podían considerar definiciones alternativas para los cuadriláteros y que los estudiantes eran capaces de verificar que probar otras propiedades derivadas podría ser más fácil o más difícil dependiendo de la definición usada. Esto es, se expandía y reforzaba el concepto de la definición de los estudiantes. Maraldo (1980) centró su actividad en trabajar los convenios que hay implícitos en un diagrama de una clasificación jerárquica de los cuadriláteros (representaban los cuadriláteros más generales a la izquierda de los más específicos), diagrama construido a partir de definiciones dadas para los cuadriláteros implicados. Hizo notar que las flechas sirven para indicar algo muy importante en matemáticas: las propiedades de un cuadrilátero específico del diagrama las tienen todos los cuadriláteros de la derecha, conectados con él, pero no necesariamente todos los de la izquierda. Y también se preocupó de que se discutiera y aceptara el valor o función de la clasificación jerárquica. Como antecedentes para este estudio también cabe mencionar los trabajos realizados por Castelnuovo (1963, 1979) y Fielker (1983, 1986) sobre la clasificación de cuadriláteros o hexágonos, desde el punto de vista de la enseñanza. El trabajo de estos autores se ve ampliamente reflejado en el nuestro. En el trabajo de Fielker (1983, 1986) se plantean problemas muy interesantes sobre clasificación, problemas que en nuestras experimentaciones hemos trasladado a las familias de prismas con bases cuadriláteros y hexágonos. Por otro lado, Castelnuovo (1963, 1979), con la construcción de los cuadriláteros con varillas (agujeros) que se juntan con chinchetas, proporciona un entorno dinámico en el que los cuadrados surgen como uno de los posibles rombos, el rectángulo como uno de los posibles paralelogramos, etc. Trabajar la clasificación de los prismas cuadrangulares, centrando la atención en la analogía que existe entre elementos del plano y del espacio que comparten relaciones, nos remite a la clasificación de cuadriláteros y al trabajo de Castelnuovo o de Fielker. Centrar la atención en las caras laterales de los prismas, que son paralelogramos, nos lleva a la clasificación de éstos. Y extendiendo «la manera de hacer» de Castelnuovo, con la construcción o generación de modelos de prismas, nos proporcionamos un entorno dinámico para reflejar determinadas relaciones entre familias de prismas. Por ejemplo, a partir de «pulseras» de cuadrados, cerrando por los dos lados con polígonos, obtenemos una familia de prismas, la de caras laterales regulares; en esta familia hay prismas cóncavos y convexos, y los prismas de caras regulares están contenidos en ella. Y cuando generamos prismas a partir del experimento que muestra Castelnuovo (1979), utilizando una «unidad base» formada por dos polígonos que se juntan con gomitas, como se ilustra en la figura 1, los prismas de caras laterales regulares surgen como algunos de los posibles prismas rectos, los prismas de caras regulares como algunos de los posibles prismas de bases regulares, etc. Figura 1 METODOLOGÍA Y CONTEXTO PARA LA EXPERIMENTACIÓN El estudio que se describe aquí relativo a la clasificación en el contexto de la geometría de los sólidos fue realizado durante varios cursos académicos (1992-1997). Para obtener la mayor cantidad posible de información sobre lo que aprenden los estudiantes sobre este proceso matemático, utilizamos, por un lado, la entrevista y, por otro, métodos que permiten obtener información de forma simultánea sobre gran variedad de alumnos. Así, realizamos un análisis de: – Respuestas de diferentes estudiantes, dadas por escrito, a determinadas actividades relativas a la clasificación de familias de sólidos que o bien se plantearon para que se resolvieran en casa antes de tratarlas en clase o se plantearon después de experimentar una unidad de enseñanza. – Sesiones de trabajo en las que se abordaron problemas ligados a «la clasificación» en el contexto de la geometría. – Entrevistas individuales a estudiantes que participaron en la experimentación sobre cuestiones relativas a la clasificación en el contexto de la geometría. Los estudiantes El estudio se desarrolló tomando como medio los cursos y grupos de estudiantes de magisterio, de diferentes INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) 419 niveles educativos, que se indican en la tabla I. Los cursos correspondían a asignaturas del currículo en vigor en las que se impartía geometría y de las que la investigadora era profesora. Eran asignaturas que se impartían en el tercer curso, en la especialidad de ciencias (3º C) o de educación especial (3º EE), hasta el curso académico 1993-94, o tenían carácter optativo, como Geometría del Espacio (de 4 créditos), del plan de estudios de la Diplomatura de Maestro de la Universitat de València5. El número de estudiantes de cada grupo que asistía normalmente a las sesiones oscilaba entre los dos números que indicamos en la tabla I en el apartado «núm. de estudiantes». Tabla I Grupos de estudiantes y números entre los que oscila el número de estudiantes por grupo que participaron en las experimentaciones. GRUPO/S 3º C 3º EE Opt. Geom. Esp. y (tres grupos) (dos grupos) (dos grupos) curso/s 1992-95 1993-94 1994-96 Núm. de 50-60 20-30 8-11 estudiantes/ 50-60 10-15 5-8 grupo 50-60 Previo a la experimentación, los estudiantes de 3º C habían cursado una asignatura anual de contenidos matemáticos (la asignatura de 1º), una asignatura de resolución de problemas (las matemáticas de 2º) y una asignatura de didáctica de las matemáticas. El resto de estudiantes que participaron en la experiencia sólo habían cursado una asignatura anual de contenidos matemáticos (la asignatura de 1º). Lo común a todos ellos fue que no habían tratado la geometría de los sólidos anteriormente y habían prestado muy poca atención a la geometría plana. La intención de seleccionar diferentes grupos era obtener una amplia información sobre procesos de aprendizaje. No pretendía comparar los datos obtenidos en los diferentes grupos. Sobre las actividades de clase. Procedimiento de actuación Las actividades las planteábamos unos días antes de tratarlas en clase para que los estudiantes que quisieran pudieran resolverlas en casa. Tenían como propósito que se abordaran los siguientes problemas, ligados a las clasificaciones particiones o a las clasificaciones inclusivas: a) identificar y enumerar ejemplos de las familias establecidas al clasificar con un criterio o con varios criterios; en particular, ejemplos de familias que contienen a otras familias de sólidos; b) enunciar, comprobar o justificar relaciones entre familias de sólidos; y c) reflejar estas relaciones en diagramas que representan las clasificaciones inclusivas (Tablas II, III y IV y diagramas 2b y 2c). Las actividades, las planteábamos después de haber tratado una clasificación inclusiva de los cuadriláteros convexos. También se había construido el diagrama que Figura 2 El diagrama de la figura 2a representa relaciones de inclusión entre los siguientes cuadriláteros: cuadrado (cd), rectángulo (rg), rombo, (rb), paralelogramo (pl), trapecio isósceles (tpi), cometa (ct), trapecio (tp) y cuadrilátero (C). Las familias de prismas cuadrangulares que se representan en el diagrama 2b son: cubo (C), ortoedro (O), romboedro (R), paralelepípedo (L), prisma de bases cometas (PBc), prisma de bases trapecios isósceles (PBti), prisma de bases trapecios (PBt) y prismas cuadrangulares (PC). Las familias de sólidos del diagrama 2c son: prisma regular (el cubo) (PReg), prismas de caras regulares, (PCR), prismas de caras iguales (PCI), primas de caras laterales regulares (PCLR), prismas de bases regulares (PBR), primas rectos (PR), prismas convexos (PX) y los prismas (P). INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 420 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) reflejaba esta clasificación (Fig. 2a) y se habían establecido las diferentes familias de prismas que servían como soporte para las relaciones que considerábamos, parte de las cuales se muestran en los diagramas 2b y 2c. Por ejemplo, 2b refleja que el ortoedro está contenido en los prismas de bases trapecios isósceles y en los paralelepípedos: «Todos los ortoedros son prismas de bases trapecios isósceles» y «todos los ortoedros son paralelepípedos». También refleja que «los ortoedros son prismas de bases trapecios». Ahora bien, «todos los paralelepípedos no son ortoedros», «todos los paralelepípedos no son romboedros» y de aquí podemos plantearnos seleccionar ejemplos de los paralelepípedos que no son ortoedros, o que no son romboedros, o que no son ni ortoedros ni romboedros. Si nos fijamos en los ortoedros y romboedros, el diagrama muestra que no se puede establecer relación de inclusión en ningún sentido, pero no concluye que estas familias son excluyentes: el cubo está contenido en ambas. Podemos enunciar que «algunos ortoedros son romboedros y otros no lo son» y «algunos romboedros son ortoedros y otros no lo son». Y de aquí cabe plantear: ¿Qué ortoedros no son romboedros? ¿Qué romboedros no son ortoedros? Al resolver las actividades propuestas, los estudiantes tenían siempre a su disposición modelos de las diferentes familias de prismas tratadas, material comercializado formado por polígonos y diferentes unidades base compuestas por dos polígonos iguales unidos por gomitas (Fig. 1). En sesiones previas se había discutido sobre qué modelos de las diferentes familias podíamos construir con el material comercializado y sobre sus limitaciones. Se habían delimitado familias de prismas de las que podíamos obtener modelos de alguno de sus ejemplos (p.e., de los prismas rectos de bases regulares) y se había hecho notar la conveniencia de recurrir a otros procedimientos para visualizar otros ejemplos de estas familias o de otras como, de prismas oblicuos, de prismas de bases irregulares, de prismas cóncavos. Se aconsejaba a menudo que se recurriera a procedimientos dinámicos que nos permitieran visualizar varios casos; así destacábamos lo que se mantenía y cambiaba en los ejemplos obtenidos o subrayábamos que uno de ellos (el de la familia más específica) era uno de los posibles casos de una familia dada que podíamos generar con el procedimiento utilizado. Para los paralelepípedos, hacíamos notar que, con material comercializado, se pueden construir los paralelepípedos-ortoedros formados por cuatro rectángulos y dos cuadrados o por seis cuadrados; los romboedros formados por seis rombos-no cuadrados o por seis cuadrados; y también el paralelepípedo formado por cuatro cuadrados y dos rombos-no cuadrados. Ahora bien, destacábamos que con la unidad formada por dos polígonos unidos por gomitas podíamos proporcionarnos representaciones visuales de todo tipo de paralelepípedos. Cuando el problema ya lo tenemos resuelto en el plano, –esto es, aceptamos como posibles paralelogramos el rectángulo-no cuadrado, , el paralelogramo-no rectángulo-no rombo, , el rombo-no cuadrado, y el cuadrado, ,– al cambiar el polígono, eligiendo para la unidad base uno de los posibles paralelogramos, podeTabla II Tareas de identificación de subfamilias de paralelepípedos. T.1 Pon ejes de paralelepípedos que además sean romboedros. Haz dibujos de los cuadriláteros que pueden ser caras de esos paralelepípedos. Además, responde a las siguientes preguntas y explica tus respuestas. ¿Las caras de los paralelepípedos que son romboedros pueden ser rectángulos? ¿Pueden ser cualquier tipo de rectángulo? ¿Todas ellas tienen que ser rectángulos? ¿Pueden haber rectángulos de dos tipos? Responde a las preguntas anteriores para los rombos, en vez de para los rectángulos. T.2 Repite la tarea T.1 cambiando la expresión «paralelepípedos que además sean romboedros» por «paralelepípedos que no son ortoedros». Tabla III Tareas de juzgar y enunciar relaciones entre familias de prismas. T.3 Indica si las siguientes afirmaciones son correctas o no. Justifica la respuesta. a) Todos los prismas de caras iguales son prismas convexos, pero todos los prismas convexos no son de caras iguales. b) Ni todos los prismas de caras iguales son de caras regulares ni todos los prismas de caras regulares son de caras iguales. c) No hay ningún prisma que sea a la vez de caras laterales regulares y cóncavo. T.4 Formula las relaciones que tienen las familias de prismas siguientes y justifica la respuesta. a) Prismas convexos y prismas de bases regulares. b) Prismas convexos y prismas de caras iguales. T.5 Selecciona los términos siempre, a veces o nunca que muestra la relación que hay entre los pares de familias siguientes y justifica la respuesta. a) Los prismas convexos son siempre, a veces o nunca prismas de caras iguales. b) Los prismas rectos son siempre, a veces o nunca prismas oblicuos. mos obtener los romboedros, ortoedros y el cubo. Estos ejemplos de paralelepípedos surgen entre los muchos que se generan por este procedimiento. Y también se puede mostrar que el cubo es uno de los posibles ortoedros con base el cuadrado, lo que cambia en todos estos ortoedros es la altura. Volviendo a las actividades que planteamos a los estudiantes, vamos a describirlas brevemente. Identificación y enumeración de ejemplos de clases. En estas tareas se pedía que se identificaran todos los ejemplos de una familia B que contenía a otra familia A; o se pedía que se identificaran ejemplos de B que no fueran ejemplos de A. Los ejemplos y no-ejemplos seleccionados para que se identificaran eran ejemplos de A (que también lo eran de B), ejemplos de B que no lo eran de A y modelos que no eran ejemplos ni de A ni de B. Los presentábamos en diferentes posiciones y con diferentes representaciones físicas (modelos macizos, modelos huecos y como estructuras de aristas). INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) 421 Tabla IV Pares de subfamilias de prismas que se relacionan. Tipos de subfamilias Ejemplo Subfamilias excluyentes establecidas con criterios visuales Prismas rectos y prismas oblicuos Subfamilias inclusivas Prismas de caras iguales y prismas convexos Subfamilias que no son excluyentes ni inclusivas: Establecidas con un criterio visual. Prismas rectos y prismas convexos. Criterios de regularidad o igualdad de todas las caras. Prismas de caras iguales y prismas de caras regulares. Criterios de igualdad o regularidad de parte de las caras. Prismas de bases regulares y prismas de caras laterales regulares. Criterios de igualdad de aristas o de ángulos. El romboedro y el ortoedro. Una subfamilia establecida con criterio visual y la otra Prismas rectos y prismas de bases regulares. con criterios de igualdad o regularidad de parte de las caras. Figura 3 El cubo surge como un posible ejemplo de ortoedro. Todos los cubos son ortoedros. Los cubos son ortoedros. Los cubos son siempre ortoedros Todos los ortoedros no son romboedros. Ni todos los ortoedros son romboedros ni todos romboedros son ortoedros. Los ortoedros pueden ser romboedros. Los ortoedros son a veces romboedros. Los prismas rectos nunca son prismas oblicuos. No hay ningún prisma recto que sea oblicuo. Tabla V Construcción de diagramas en forma de red para reflejar relaciones entre familias de prismas. Sugerencias. T.6 Construye el diagrama que relacione las siguientes familias de prismas: prismas rectos, prismas convexos, prismas de bases regulares, prismas de caras laterales regulares, prismas de caras regulares, prismas de caras iguales, prismas regulares (el cubo). Recuerda lo que ya vimos con la clasificación de los cuadriláteros: Si dos familias tienen relación de inclusión, en el diagrama que representa la clasificación éstas están conectadas con una flecha que va desde la familia contenida (ahí está el origen) hasta la familia que la contiene (ahí está el extremo). Los pares de familias que están conectadas por un camino que sigue este esquema →→→ tienen relación de inclusión; la familia en la que el camino tiene el origen está contenida en todas las demás del camino, y la familia que hay en el extremo contiene a todas las implicadas en el camino. Coloca las familias de sólidos de manera que en el primer nivel esté la familia de los prismas; en el segundo nivel, las familias establecidas con criterios visuales; en el tercer nivel, las familias establecidas con criterios que centran la atención en la regularidad de parte de las caras; en el cuarto nivel... En otras tareas, lo que se pedía era que se indicasen los ejemplos de estas familias o subfamilias. La tabla II muestra ejemplos de estas actividades que sólo se refieren a paralelepípedos determinados. Para las otras subfamilias de prismas, las actividades que planteamos a los estudiantes eran similares. Juzgar, enunciar y justificar relaciones entre familias de prismas. Para trabajar este problema ligado a la clasificación, juzgar, enunciar y justificar relaciones entre las clases establecidas, considerábamos situaciones diferentes porque cambiaba la relación que existe entre las familias o porque cambiaba la manera cómo se presentaban las relaciones. La tabla III muestra ejemplos de estas actividades con dos o tres apartados. Las actividades que planteamos a los estudiantes tenían muchos más apartados que las que indicamos como ejemplo en la tabla III. Las relaciones que se daban enunciadas o los pares de familias que se proponían eran similares a las de la tabla y permitían relacionar otros pares de familias. Nos preocupamos de que se contemplaran las situaciones reflejadas en la tabla IV. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 422 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) También tuvimos en cuenta que las relaciones inclusivas se pueden formular como: todos... son..., los... son... y los ... son siempre... Las relaciones excluyentes se pueden verbalizar como: los... nunca son... y no hay ningún... que sea... Y cuando las familias se solapan pero no tienen relación de inclusión podemos indicarlo como: no todos los... son..., todos... no son... ni todos... son... ni todos... son..., los... pueden ser... y los... son a veces... La figura 3 muestra algunos ejemplos. En los enunciados de cada tipo nos preocupamos de que se contemplaran ambas posibilidades: que unos fueran correctos y otros no. La interpretación y la construcción de diagramas en forma de red. Relaciones entre familias de prismas. Otro problema relacionado con la clasificación se refiere a la construcción de diagramas que representan las clasificaciones establecidas. Particularizando las clasificaciones inclusivas, las actividades de este grupo tenían como objeto que se interpretaran los convenios implicados en un diagrama que refleja una clasificación inclusiva de prismas. La tabla V muestra una actividad de este tipo (Tarea T.6) cuyo diagrama mostramos en la figura 1c. En ella incluimos las sugerencias que dimos para que se tuvieran en cuenta al resolver todas las que planteamos, análogas a la de la tabla, sólo que en la representación estaban implicados otros grupos de familias de prismas. El proceso de clasificar y el proceso de demostrar. El proceso de clasificar está íntimamente ligado a los procesos de definir y de demostrar. Al fijarnos en la justificación de las respuestas, vale la pena hacer algunos comentarios sobre cuestiones relativas al desarrollo en clase de estas actividades. Por un lado, la tabla VI da cuenta de las justificaciones que hacíamos para explicar el tipo de relación que había entre los pares de familias implicadas en un enunciado. Por otro lado, en clase trabajamos la reformulación de las relaciones entre las clases establecidas en los diferentes tipos de clasificación tratados (clasificaciones particiones y clasificaciones inclusivas). Nos centramos en el uso y negación de los cuantificadores. Trabajamos cómo enunciar las relaciones de diferentes maneras permitía reformular los problemas propuestos y, en algunos casos, poder utilizar lo que ya se había demostrado previamente (al reconvertir una relación en otra que ya se había justificado). En la clase subrayamos además que las relaciones entre dos familias se pueden reformular al seleccionar familias dicotómicas (complementarias) a las consideradas. También abordamos tareas que contenían enunciados con dos relaciones entre clases, por lo que basta con que una de ellas sea falsa para que todo el enunciado lo sea. Dado que algunos estudiantes tenían dificultad para desglosar las dos relaciones que aparecían, consideramos interesante tratar este problema. Tabla VI Desarrollo de algunas pruebas. Secuencia temporal. Búsqueda de contraejemplo: ejemplo que justifica que las familias no tienen relación de inclusión ni de exclusión. Sugerencias y cuestiones. Como sugerencia indicamos que había que construir diferentes ejemplos de la primera familia implicada y después cuestionar si entre los ejemplos construidos podía haber ejemplos de la segunda familia y ejemplos de la familia complementaria. Pruebas para explicar que dos familias tienen relación de inclusión o de exclusión. – Basadas en ejemplos. Se trabajan las inclusiones o exclusiones de familias en términos de ejemplos. – En las relaciones de inclusión, en muchos casos se utiliza un procedimiento para generar la familia B que muestra visualmente que la familia A surge entre los ejemplos que se obtienen de la familia B. – Se verifica que una familia, o un elemento general de ella, verifica todas las propiedades (o la definición) de la otra familia. O que no hay ningún elemento de una familia que verifica todas las propiedades de la otra. – Se aplica en repetidas ocasiones que un ejemplo de una familia tiene que verificar todas sus propiedades y que, si una familia está incluida en otra, verificará sus propiedades. – Se remarca que entre los grupos de propiedades de las familias hay una relación de inclusión que es la contraria a la que existe entre ellas en términos de ejemplos. – Se trabajan las inclusiones de familias en términos de grupos de propiedades. Las sesiones de trabajo. Las entrevistas Los estudiantes de magisterio del curso 1994-95, de la optativa de Geometría del Espacio estuvieron organizados en dos grupos durante todo el curso. Las actividades que realizaron en clase (propuestas previamente para que se trabajaran en casa) se grabaron en vídeo o en casete. Cuando los estudiantes ya las habían resuelto las comparaban con las de sus compañeros. Las entrevistas realizadas en su mayoría fueron individuales, semidirigidas o dirigidas; sólo en algunas los estudiantes intervinieron por parejas. Fueron grabadas en vídeo o en casete. Éstas pretendían aclarar respuestas pobres o respuestas que podían tener interpretaciones diferentes. Por ejemplo, cuando algún estudiante indicaba que los prismas convexos a veces son rectos porque alguno lo es; por ejemplo, el ortoedro. De esta respuesta se puede entender: a) se piensa que para justificar el «a veces» basta con presentar un ejemplo; o b) hay un olvido de mostrar el no-ejemplo. Otra respuesta que necesitaría aclaración sería la que en tareas de identificación sólo se indica el ejemplo más general como ejemplo de una familia. La respuesta podría estar basada: a) en el establecimiento de familias disjuntas; b) en un no-entendimiento de que la intención de la cuestión era la de seleccionar los casos particulares además de los ejemplos generales; o c) en los ejemplos prototípicos (en los que se piensa primero para basar sus juicios en ellos). Otras veces, se buscaba información sobre los diferentes procedimientos que pueden aplicar los estudiantes para resolver determinadas tareas (además del ya utilizado) y INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) 423 comprobar si pueden aplicar estos procedimientos en otras actividades. En algunos casos lo que había que averiguar era a qué se debe la respuesta dada: porque se considera que la respuesta dada es suficiente o porque no se puede dar otra. Pongamos por caso cuando se juzga adecuadamente que «los prismas de caras regulares son prismas de bases regulares» y se da una respuesta en términos de ejemplos (se indica que entre los ejemplos de los prismas de bases regulares están los que tienen caras laterales rectos, más altos y más bajos, y otros oblicuos. Los de caras laterales cuadrados están ahí). Es interesante averiguar qué otro tipo de respuestas se pueden dar: si también se puede razonar en términos de propiedades (por ejemplo, se explica que los primeros cumplen todas las propiedades de los segundos) o en términos de grupos de propiedades (esto es, se explica que el grupo de propiedades de los primeros contiene el grupo de propiedades de los segundos). También es interesante averiguar si se pueden extender estos procedimientos para explicar relaciones entre otros pares de familias de prismas. ANÁLISIS DE DATOS Las respuestas a las actividades Cada estudiante de los que participó en la experiencia tenía asignada una carpeta en la que depositábamos las actividades que resolvía por escrito antes de que se abordaran en clase. Además, las respuestas de cada estudiante las agrupábamos según que correspondieran a tareas de identificar subfamilias, de juzgar relaciones, de verbalizarlas o de representar mediante un diagrama las relaciones entre familias. Para cada uno de estos alumnos, y para cada tipo de actividades, en hojas que diseñamos para ello, anotábamos lo que nos parecía que tuviera interés de sus respuestas. Para cada actividad, las respuestas de varios alumnos, las utilizábamos en plan exploratorio; servían además para corroborar lo que ya habíamos observado los años anteriores con las experiencias previas realizadas con otros cursos. Como ejemplo, en la tabla VII, mostramos las características que delimitamos para hacer observaciones en las respuestas de los estudiantes que habían construido diagramas. Con las características observadas, diseñamos láminas para poder registrar si otros estudiantes presentaban las características delimitadas. Así decidimos si éstas se presentaban con la suficiente frecuencia para poder presentarla como resultado de la investigación. Si con las respuestas de estos estudiantes aparecía algo nuevo que merecía atención, se introducía también como característica para corroborar con las respuestas de estudiantes que aún no se habían analizado. Para cada actividad los encabezamientos de las láminas hacían referencia a las características subrayadas sobre ella y a los estudiantes que la habían resuelto. En las casillas indicábamos el número de «errores» que presentaba el estudiante correspondiente y, en una lectura posterior, nos fijábamos en los pares de familias que estaban implicados en ellos. Todos los datos que se repitieron en todos los grupos de magisterio que participaron en la investigación, y que se reflejaban en más de 2 o 4 estudiantes, según el número de estudiantes del grupo, los presentamos en el apartado siguiente como resultados de la investigación. Tabla VII Características a destacar en la construcción de diagramas que representan relaciones de familias de prismas. a) No se dan a las flechas el significado que se ha asignado por convenio. b) Hay familias que no están colocadas en el nivel adecuado. c) Se relacionan familias que no tienen relación de inclusión. d) Se relacionan familias en sentido contrario a la relación de inclusión que presentan: el origen de la flecha está en la familia que debería estar en el extremo. e) No se relacionan familias que sí que presentan relación de inclusión en un sentido (faltan por poner flechas que conectan determinadas familias). f) Se conectan directamente familias para las que ya queda reflejada su relación de inclusión a través de un camino, que relaciona las familias implicadas con otras. Respecto de la identificación de ejemplos de las subfamilias, anotamos los que no se identificaban adecuadamente y tratamos de averiguar (a partir de lo que se había escrito al explicar la respuesta o mediante entrevistas) si la exclusión de las familias específicas como ejemplos de las más generales se debía a que se hacían clasificaciones particiones o a otras razones. El resultado 1 que presentamos en el apartado siguiente corresponde a estas observaciones. Para las tareas en las que se había que enumerar ejemplos de subfamilias que cumplían ciertas condiciones (por ejemplo, que no fueran romboedros) y en las que se preguntaba sobre el tipo de polígonos de sus caras, anotamos los ejemplos que se indicaban y no lo eran, y los que no se señalaban y sí lo eran. También nos fijamos en si se tenían en cuenta las condiciones impuestas o si se indicaban simplemente los ejemplos de la familia general implicada en la actividad. Pongamos por caso, aunque se preguntaba por los paralelepípedos que no fueran romboedros, algunos estudiantes reflejaban con su respuesta que no tenían en cuenta la condición: indicaban los ejemplos que había de paralelepípedos, y al hablar sobre el tipo de caras, respondían de la misma manera. Otras respuestas reflejaban que no se entendía la condición que se imponía, o no se entendían los cuantificadores implicados en las preguntas que hacían referencia al tipo de caras. Cuando se pedía que se indicasen ejemplos de paralelepípedos que no fueran ortoedros se indicaba: las caras sólo pueden ser rectángulos, cuadrados también pueden ser, el cubo es ortoedro. Otros estudiantes respondieron: no puede haber ningún rectángulo, porque sino sería ortoedro. Los resultados 2 y 3 dan cuenta de estas observaciones. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 430 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) ANEXO I GLOSARIO DE FAMILIAS DE PRISMAS Prismas rectos: Prismas con caras laterales rectángulos. Prismas oblicuos y convexos: Prismas con caras laterales que no son perpendiculares a las bases cuya base es convexa. Prismas cóncavos: Prismas con bases cóncavas. Prismas de bases regulares: Prismas con bases regulares. Prismas de caras laterales regulares: Prismas con caras laterales cuadrados. Prismas de caras regulares: Prismas con todas las caras regulares (las bases y las caras laterales). Prismas de caras iguales (romboedros). Prismas con todas las caras iguales (rombos iguales, incluimos los cuadrados como rombos). Ortoedros: Prismas cuyas caras son rectángulos (incluimos los cuadrados como rectángulos). Paralelepípedos: Prismas cuyas caras son paralelogramos. Prismas de bases trapecios isósceles: Prismas cuyas bases son trapecios isósceles. Entre ellos tenemos los ortoedros. Prismas de bases cometas: Prismas cuyas bases son cometas. Entre ellos tenemos los romboedros. Prismas de bases trapecios: Prismas cuyas bases son trapecios. Entre ellos tenemos los paralelepípedos. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) 431 ¿Los modelos como los de la figura son paralelepípedos? Si No ¿Por qué dices eso? ¿Qué es un paralelepípedo? Explicación pobre. Explicación aceptable. Repetir el procedimiento con otras formas. Por ejemplo, con el romboedro, el ortoedro y el cubo. Fin. Dibujar el diagrama de la clasificación jerárquica. Paralelepípedo Romboedro Ortoedro Cubo ¿Estás de acuerdo en que todas las formas que tengan esas propiedades son paralelepípedos? ¿El ortoedro, tiene esas propiedades? Comprobar si el ortoedro tiene esas propiedades. NO SI ¿Puedes decir, por tanto, que un ortoedro es un paralelepípedo "especial"? ¿Y que todos los ortoedros son paralelepípedos? SI Hacen la inclusión NO ¿Por qué dices eso? La razón es aceptable Intentarlo con otras formas. considerando clasificación jerárquica Reformular las propiedades Pero tú dices que todas las figuras que tienen esas propiedades son paralelepípedos? Resolver Resolver CONFLICTO COGNITIVO Indicar propiedades de los paralelepípedos que permitan una clasificación jerárquica Indicar propiedades de los paralelepípedos que permitan una clasificación partición Comparar las propiedades que has dado Usar tablas para mostrar parecidos y diferencias entre las propiedades según clasificación partición y clasificación jerárquica. ANEXO 2 ANEXO II