INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
405
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3), 405-414
SIGNIFICADOS INSTITUCIONALES
DE LA DEMOSTRACIÓN.
IMPLICACIONES PARA LA EDUCACIÓN
MATEMÁTICA*
GODINO, JUAN D.1 y RECIO, ÁNGEL M.
1Depa amen o de Didác ica de la Ma emá ica. Facul ad de Educación, Campus de Ca uja
18071 G anada
E-mail: jgodino@ug .es
2Uni e sidad de Có doba. Depa amen o de Ma emá icas e In o má ica. Facul ad de Ciencias
de la Educación
E-mail: ma1ma [email protected]
SUMMARY
In his pape he ollowing main ea u es o he meaning o p oo in di e en ins i u ional con ex s, logic and
ounda ions o ma hema ics, p o essional ma hema ics, expe imen al sciences, daily li e and eaching o ma hema ics
a e analysed.This analysis sugges s ha he s udy o he epis emological and didac ical p oblems in ol ed in he
eaching o p oo in school ma hema ics should be ca ied ou wi hin he mos gene al amewo k o human
a gumen a i e p ac ices. A possible explana ion o some s uden s’ cogni i e con lic and di icul ies wi h ma hema -
ical p oo is he ac ha a he di e en eaching le els and a ious s ages o pe sonal ma hema ical ac i i y, he
ins i u ional meanings o p oo a e in e wined.
INTRODUCCIÓN
Se obse a en los úl imos años un in e és c ecien e en
educación ma emá ica po la p oblemá ica de la ense-
ñanza y ap endizaje de la demos ación. La mejo e e-
encia que se puede ci a pa a apoya es a a i mación es
la e is a elec ónica sob e la demos ación edi ada po
Nicolas Balache (URL, h p://www-cab i.imag. /
P eu e/). Es e in e és pa ece jus i icado po el papel
esencial de las si uaciones y p ocesos de alidación en la
p opia ma emá ica y el bajo ni el que mues an los
es udian es en la comp ensión y elabo ación de demos-
aciones (Fischbein, 1982; Senk, 1985; Ma in y Ha el,
1989; Ba is a y Clemen s, 1995; Recio y Godino, 1996,
Recio, 2000).
Pensamos, sin emba go, que los es ue zos de cla i ica-
ción ealizados en el campo sob e la p opia noción de
demos ación ma emá ica, sob e sus dis in as ipologías
y elaciones mu uas, son insu icien es. La idea de de-
mos ación deduc i a y o mal, en endida de un modo
ígido y absolu o en el seno de la comunidad ma emá ica
como la única concepción posible, pa ece necesi ada de
una e isión eó ica. Conside amos, en es e sen ido, que
es necesa io ealiza un es udio sis emá ico sob e los
di e sos signi icados de demos ación en dis in os con-
ex os ins i ucionales, así como sob e su elación con
o as nociones p óximas, ales como explicación, a gu-
men ación, azonamien o, e i icación, e c. Es e es udio
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
406 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3)
pod ía acili a la compa ación de las apo aciones de
dis in as in es igaciones, pone al descubie o nue as cues-
iones de in es igación, apo a in e p e aciones al e na i-
as de las di icul ades de los es udian es y elabo a p o-
pues as de in e ención didác ica undamen adas.
C eemos que los es udios sob e la demos ación en
educación ma emá ica deben enma ca se den o de la
p oblemá ica más amplia de la e aluación y desa ollo
de las dis in as p ác icas a gumen a i as en di e sos
con ex os ins i ucionales. Sólo de es a mane a se emos
sensibles a las dis in as modalidades de demos ación,
de sus condiciones de desa ollo, los papeles que desem-
peñan en los dis in os con ex os ins i u icionales y las
elaciones en e las mismas.
En es e abajo amos a analiza las di e encias de
signi icado de la idea de demos ación en dis in os con-
ex os ins i ucionales, usando el ma co eó ico sob e los
obje os ma emá icos y sus signi icados desa ollado en
Godino y Ba ane o (1994, 1998). En es e caso implica
adop a las si uaciones de alidación y las p ác icas
a gumen a i as co espondien es como nociones de pa -
ida, de las cuales se de i an los di e en es ipos de
demos ación como eme gen e de los sis emas de p ác-
icas a gumen a i as, dis inguiendo, además, en e sus
dimensiones ins i ucionales y pe sonales.
SITUACIONES DE VALIDACIÓN Y PRÁC-
TICAS ARGUMENTATIVAS
La palab a demos ación se u iliza en dis in os con ex os
con di e sos sen idos. A eces es os di e sos sen idos y
ma ices se econocen median e el uso de é minos ales
como explicación, a gumen ación, p ueba, e c. Aunque
en odos ellos se pueda econoce una idea común –la de
jus i ica o alida una a i mación ( esis) apo ando
azones o a gumen os–; sin emba go, las di e encias en
los ipos de si uaciones en que se usan, sus asgos
ca ac e ís icos y los ecu sos exp esi os pues os en
juego en cada caso pueden se , de hecho, di e en es.
Es as di e encias en las si uaciones y p ác icas a gumen-
a i as indican sen idos dis in os del concep o de demos-
ación –o bien di e sos obje os demos ación según el
modelo on osemán ico adop ado.
Balache (1987) u iliza el é mino explicación como
idea p imi i a de la cual de i a las de p ueba y demos a-
ción. Pa a es e au o , la explicación es un «discu so que
p e ende hace in eligible el ca ác e de e dad, adqui i-
do pa a el locu o , de una p oposición o de un esul ado».
Balache p opone ese a el é mino p ueba pa a las
«explicaciones acep adas po una comunidad dada en un
momen o dado» (p. 148). Según es o, pa a que una
explicación sea una p ueba ha de se is a o econocida
po alguien como azón su icien e en el co espondien e
ma co discu si o.
El uso que hace Balache de explicación di ie e del de
Du al (1993). Es e au o dis ingue en e explicación y
a gumen ación po el alo epis émico di e en e de las
azones apo adas en cada caso: «en la a gumen ación se
a a de mos a el ca ác e de e dad de una p oposición,
mien as que en la explicación los enunciados ienen una
in ención desc ip i a de un enómeno, esul ado o com-
po amien o» (Du al, 1993, p. 40). Conside amos, no
obs an e, que la idea de explicación de Balache puede
asimila se a la noción de a gumen ación de Du al.
Balache y Du al usan el é mino demos ación con
signi icados simila es: una secuencia de enunciados
o ganizados según eglas de e minadas. En ma emá i-
cas, un enunciado se asume con encionalmen e como
e dade o, o bien se deduce de los que le p eceden con
la ayuda de eglas de deducción omadas de un conjun o
de eglas bien de inido cuya alidez es socialmen e
compa ida. Pa a Du al (1993), el obje o de la demos a-
ción es la e dad y, po an o, obedece a c i e ios de
alidez, mien as que la a gumen ación se p opone lo-
g a la con icción del o o o de sí mismo, obedeciendo
a c i e ios de pe inencia.
Una dis inción impo an e es la que hace K ummeheue
(1995), siguiendo a Toulmin, en e a gumen os analí i-
cos y sus anciales. Los p ime os son ca ac e ís icos de
las deducciones lógicas co ec as, siendo au ológicos,
es o es, un aspec o la en e de las p emisas se elabo a
isiblemen e, pe o no añaden nada a la conclusión que
no ue a ya una pa e po encial de las p emisas. Los
a gumen os sus anciales, po el con a io, expanden el
signi icado de las p oposiciones en la medida en que
elacionan ap opiadamen e un caso especí ico a és as
po ac ualización, modi icación o aplicación.
Desde un pun o de is a cogni i o, las elaciones en e
azonamien o y a gumen ación conside amos que son
las que se es ablecen en e un cons uc o y sus indicado-
es empí icos. Balache (1987, p. 148) de ine el azona-
mien o como la «ac i idad in elec ual, la mayo pa e del
iempo no explíci a, de manipulación de in o maciones
pa a p oduci nue as in o maciones a pa i de da os».
Desde nues o pun o de is a, es a ac i idad in elec ual,
que no puede educi se me amen e a la manipulación de
in o maciones, da o igen a las p ác icas a gumen a i as,
pe sonales o ins i ucionales, que cons i uyen su dimen-
sión os ensi a y comunicacional. Al mismo iempo, el
azonamien o se desa olla po medio de dichas p ác i-
cas, de modo que el es udio del azonamien o es á
cons i u i amen e ligado al es udio de la a gumen ación.
En es e abajo u iliza emos el é mino demos ación
pa a e e i nos de modo gené ico al obje o eme gen e
del sis ema de p ác icas a gumen a i as (o a gumen os)
acep adas en el seno de una comunidad, o po una
pe sona, an e si uaciones de alidación y decisión, es o
es, si uaciones que equie en jus i ica o alida el ca ác-
e de e dade o de un enunciado, su consis encia o la
e icacia de una acción. Aba ca, po an o, las es acep-
ciones básicas de la e dad que econoce la mode na
eo ía de la ciencia: co espondencia, consis encia y
u ilidad (Cañón, 1993).
En la siguien e sección a a emos de mos a que la
ca ac e ís ica de una p ác ica discu si a de se una de-
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) 407
mos ación es un a ibu o esencialmen e con ex ual y
p agmá ico.
SIGNIFICADOS DE LA DEMOSTRACIÓN
EN DISTINTOS CONTEXTOS INSTITUCIO-
NALES
Desde un pun o de is a cul u al, Wilde (1981) nos
ecue da que «no debemos ol ida que lo que cons i uye
una “demos ación” a ía de una cul u a a o a, así como
de una época a o a» (p. 346). Noso os amos a a a de
mos a que es a ela i idad debe amplia se a dis in os
con ex os ins i ucionales cuando nos in e esamos po
los p oblemas psicológicos y didác icos implicados en la
enseñanza de la demos ación.
Conside a emos que un con ex o o ma co ins i ucional
es un pun o de is a local o una pe spec i a sob e una
p oblemá ica de e minada, ca ac e izada po el uso de
ecu sos exp esi os e ins umen ales p opios, po hábi-
os y no mas especí icas de compo amien o. En lo que
sigue a a emos de mos a la di e sidad de demos a-
ciones según los con ex os ins i ucionales siguien es:
lógica y undamen os de las ma emá icas, ma emá ica
p o esional, ida co idiana, ciencias expe imen ales y
enseñanza de las ma emá icas elemen ales (incluyendo
aquí los ni eles p ima ios, secunda ios y uni e si a ios).
En cada uno de es os con ex os es posible iden i ica , a
su ez, pun os de is a más locales en los cuales los
p oblemas de la e dad y la demos ación adquie en
conno aciones especí icas. Así, po ejemplo, las p inci-
pales endencias sob e los undamen os de las ma emá-
icas (logicismo, o malismo, in uicionismo, cuasi em-
pi ismo) man ienen isiones di e en es sob e el papel de
la demos ación en ma emá icas y sob e los c i e ios de
alidez de una demos ación ma emá ica (Hanna, 1995,
p. 42). Sin emba go, conside amos que el ni el de
análisis que hemos adop ado en es e abajo es su icien e
pa a mos a la di e sidad de obje os iden i icables y, en
pa icula , que no hay una eo ía y una p ác ica uni o -
me, i memen e es ablecida, sob e la demos ación ma-
emá ica.
Lógica y undamen os de las ma emá icas
En lógica y undamen os de las ma emá icas (al menos
en las co ien es p eponde an es), la noción de demos-
ación es á ín imamen e ligada a las nociones de deduc-
ción y de sis ema axiomá ico (o o mal). Como a i ma
Ga ido (1978), el a gumen o deduc i o si no es el único,
es el p incipal obje o de la lógica o mal, usándose la
palab a a gumen o como sinónimo de a gumen o de-
duc i o. Los a gumen os deduc i os se ealizan en el
seno de un lenguaje simbólico que se cons uye a pa i
de una se ie de símbolos elemen ales y de unas eglas de
o mación de ó mulas, de exp esiones p ecisas, pe ec-
amen e de inidas y pa iendo de dichos símbolos. Ese
lenguaje o mal es la base de un sis ema axiomá ico en
el que las deducciones se lle an a cabo. Lo ca ac e ís ico
de un sis ema axiomá ico es dispone de un conjun o de
enunciados que se admi en sin p ueba y a pa i de los
cuales se ob ienen odos los demás enunciados de la
eo ía, median e un conjun o p eciso de eglas de ans-
o mación.
En es os con ex os, la e acidad de un eo ema descansa
en la alidez de las eglas lógicas usadas en el p oceso de
demos ación. El eo ema apa ece como una consecuen-
cia lógica y necesa ia de las p emisas de que pa e,
median e la co espondien e in e encia deduc i a. Un
enunciado (o eo ema) acep ado como e dade o iene
una alidez uni e sal e in empo al ga an izada po la
alidez de las eglas lógicas usadas en la p ueba.
In e esa ambién esal a la índole de las si uaciones
p oblemá icas que se a on an en es os con ex os. Se
a a de jus i ica , con las máximas ga an ías, la e dad
del sis ema de p oposiciones ma emá icas o, al menos,
una pa e del mismo. Es o implica busca el sis ema
mínimo de axiomas ( e dades e iden es po sí mismas),
independien es en e sí, no con adic o io y comple o, de
al mane a que, aplicando las eglas de in e encia lógica,
puedan de i a se el es o de las p oposiciones ma emá-
icas. Hay, pues, una p oblemá ica eó ica de o ganiza-
ción y es uc u ación del cue po de conocimien os
ma emá icos. Pa a ealiza es e abajo con las máximas
ga an ías y igo se equie e el uso de lenguajes
o males.
El obje o «demos ación» en es os con ex os ins i ucio-
nales podemos desc ibi lo sin é icamen e como eme -
gen e del sis ema de p ác icas a gumen a i as analí i-
cas o males, y su signi icado iene dado po los asgos
in ensionales, ex ensionales y ep esen acionales des-
c i os.
Es o no signi ica, no obs an e, que incluso en es os
con ex os ins i ucionales no se u ilizen a gumen aciones
de ipo sus ancial pa a jus i ica a i maciones. La acep-
ación de los axiomas o pos ulados de cualquie sis ema
ma emá ico se hace necesa iamen e median e a gumen-
aciones in ínsecamen e induc i as. Reco demos a es e
espec o lo que nos dice Poinca é (1902): «¿Cuál es la
na u aleza del azonamien o ma emá ico? ¿Es ealmen e
deduc i o como o dina iamen e se c ee? Un análisis
p o undo nos mues a que no es así; que pa icipa en una
cie a medida de la na u aleza del azonamien o induc-
i o, y que po eso es ecundo.» (p. 15)
O igen de la necesidad de los eo emas ma emá icos
Las ideas de Wi gens ein sob e la demos ación di ie en
sus ancialmen e de las de endidas po los es an es iló-
so os in e esados po los undamen os de las ma emá i-
cas al in oduci un componen e con encionalis a en el
núcleo de la misma. Pa a Wi gens ein, la necesidad
lógica de cualquie enunciado es siemp e la exp esión
di ec a de una con ención lingüís ica. Un eo ema ma e-
má ico no exp esa una p opiedad uni e sal e in empo al
de cie as en idades ideales; se a a, en cambio, de la
exp esión dis azada de una egla acep ada que es ablece
lo que se debe ob ene cuando los p ocesos de cálculo
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
408 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3)
pe inen es se ealizan co ec amen e. La demos ación
es concebida como una ep esen ación pa adigmá ica de
la co ec a ealización de cie as ans o maciones de
signos: «La demos ación es nues o modelo de un de e -
minado esul ado, que si e de obje o de compa ación
(pa ón) pa a as o maciones eales.» (Wi gens ein,
1978, p. 132)
Su unción es pe suadi de que con iene ex ende el
apa a o concep ual en una cie a di ección, de que es ú il
acep a la egla g ama ical exp esada en el enunciado del
eo ema. Pa a que una cie a cons ucción de signos –un
dibujo geomé ico, una imagen o mada po nume ales
dispues os de un cie o modo, o incluso una la ga se-
cuencia de sen encias esc i as– sea una demos ación
ma emá icas, se debe adop a la decisión de acep a
cie as de iniciones p e ias de los elemen os que in e -
ienen, una decisión que es equi alen e a a ibui a la
cons ucción de signos en cues ión el papel de pa adig-
ma de ese p ocedimien o co ec o.
Wi gens ein no niega que las p oposiciones ma emá i-
cas condicionales del ipo «si uno aplica co ec amen e
la egla “Suma 2” a 1000, ob iene 1002» engan un
ca ác e necesa io. La peculia idad de su posición
–de i ada de sus in e p e aciones del seguimien o de
una egla– se e ie e a la na u aleza de la necesidad: la
uen e de la necesidad es una decisión lingüís ica que
decla a que no iene sen ido cualquie enunciado empí-
ico que iden i ica un núme o dis in o de 1002 como el
esul ado p oducido, en una cie a ocasión, po una
co ec a aplicación de la egla «Suma 2» a 1000. (F as-
colla, 1994, p. 128). La acep ación de la p oposición
2 + 2 = 4 con ca ác e necesa io e in empo al no es
po que se co esponda con p opiedades de obje os idea-
les –que po ello exp esa una e dad uni e sal–, sino
po que hemos sido en enados en segui unas eglas de
uso (de iniciones) de los símbolos 2, +, 4.
Queda abie a la cues ión de cuáles debe ían se las
consecuencias de es a iloso ía sob e la p ác ica de la
enseñanza y el ap endizaje de las ma emá icas, pe o
in uimos que pueden se c uciales.
Ma emá ica p o esional
La noción de demos ación di ie e ue emen e desde el
pun o de is a de la lógica o mal y es udios undaciona-
les ma emá icos espec o a la p ác ica ma emá ica eal.
Como indica O e (1994), la isión lógica de la demos-
ación pone el acen o en los aspec os lingüís icos y
o males. In en ando libe a la demos ación de con ex-
os conc e os p escinde del signi icado de las exp esio-
nes del sis ema y las educe a exp esiones sin ác icas,
suje as a eglas de ans o mación o males. Reglas que
ac úan sob e cadenas de ex o, ans o mándolas en o as
cadenas de ex o, que eje cen en odo como si ales
cadenas ca ecie an de signi icado. La ma emá ica, desde
es a concepción, se ans o ma en una g amá ica o mal.
La demos ación se con ie e en un p ocedimien o pu a-
men e algo í mico, que puede se ma e ializado median-
e el uso de o denado es.
Las demos aciones, bajo es e esquema, se o nan ex-
ao dina iamen e complejas, lo que hace que, pa a mu-
chas in es igaciones ma emá icas, la o malización com-
ple a de las p uebas, incluso aunque ue a posible en
p incipio, se hace imposible en la p ác ica. «Pueden
eque i iempo, paciencia e in e és más allá de la capa-
cidad de cualquie ma emá ico humano. Cie amen e,
pueden excede la capacidad de cualquie sis ema de
compu ación disponible o p e isible.» (He sh, 1993, p.
390). Li ing on (1987), po ejemplo, mues a cla amen-
e la complejidad de la demos ación o malizada de la
unicidad del elemen o neu o en eo ía de g upos
(e = e*e’ = e’), compa ada con su i ialidad median e
una a gumen ación analí ica in o mal.
Es o hace, como a i ma Resnick (1992), que la ma emá-
ica con empo ánea es é eple a de wo king p oo s, es o
es, demos aciones in o males, no axioma izadas. «In-
cluso un campo me odológicamen e an conscien e como
la lógica ma emá ica se desa olló de modo no axiomá-
ico, y en su enseñanza los lógicos la p esen an como una
colección de p uebas y eo emas in o males» (p. 12).
En el ámbi o p o esional ma emá ico, las demos acio-
nes son deduc i as pe o no o males, se exp esan me-
dian e el lenguaje o dina io comple ado con el uso de
exp esiones simbólicas. La undamen ación de una in e-
encia A⇒ B no es iba en la exis encia de una egla de
ans o mación que pe mi e pasa de A a B, sino que se
apoya en la signi icación pa icula de las exp esiones A
y B, in e p e ada po el ma emá ico que ealiza la in e-
encia. De es e modo, los eo emas ma emá icos pie den
de hecho su ca ác e de e dades absolu as, necesa ia-
men e e dade as ( alibilismo).
Desde la p opia ma emá ica es án su giendo, ecien e-
men e, nue as es a egias de alidación de las p oposi-
ciones ma emá icas que desa ían la concepción clásica
de la demos ación deduc i a línea a línea, ales como la
ze o-knowledge p oo , holog aphic p oo , isual p oo ,
y en gene al las p uebas basadas en comp obaciones
expe imen ales, a menudo en el uso de o denado es
(Hanna, 1995, p. 43).
Así pues, en es e con ex o, y en el de la «nue a epis emo-
logía de la ma emá ica» (Laka os, Da is y He sh, E nes ,
Tymoczko, e c.), la demos ación adquie e asgos dis-
in os. An e la imposibilidad de aplica los mé odos
o males de la lógica ma emá ica a la demos ación de
cualquie p oposición ma emá ica, la e dad de las p o-
posiciones ma emá icas a anzadas no queda plenamen-
e ga an izada. Po la g an di icul ad y especialización
de los emas a ados en la ma emá ica p o esional, no
puede a i ma se la e dad de ini i a de los eo emas
publicados. De es e modo, la ma emá ica eal adquie e
un ca ác e alibilis a, social, con encional, empo al.
Es a si uación lle a a He sh (1993, p. 389) a desc ibi la
demos ación en la p ác ica eal del ma emá ico como
«un a gumen o con incen e juzgado como al po jueces
cuali icados». No hay un es ánda gene almen e acep-
ado del g ado de igo y sis ema ización exigible a
una demos ación ma emá ica; es o es, exis en di e -
sos ipos de jus i icaciones, aunque p obablemen e
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) 409
debamos econoce en e ellos algún ipo de o gani-
zación je á quica.
Como señala Hanna (1989), la concepción adicional
bou bakis a, basada en una isión o mal, abs ac a y
igu osa de las ma emá icas, es á cambiando. «Du an e
las dos úl imas décadas a ios ma emá icos y educado-
es ma emá icos han desa iado el p incipio de que el
aspec o más signi ica i o de las ma emá icas sea el
azonamien o po deducción, que culmina en p uebas
o males. Desde su pun o de is a hay mucho más en las
ma emá icas que sis emas o males. Es e pun o de is a
econoce la ealidad de la p ác ica ma emá ica. Los
ma emá icos admi en que su demos ación puede ene
di e en es g ados de alidez o mal –y oda ía adqui i
el mismo g ado de acep ación. Los ma emá icos es án de
acue do además en que, cuando una demos ación es
álida en i ud de su o ma sólo, sin a ende a su
con enido, es p obable que añada muy poco a la com-
p ensión de su ma e ia e i ónicamen e puede no se muy
con incen e.» (Hanna, 1989, p. 20).
En cuan o a la p oblemá ica a on ada po el ma emá ico
p o esional, se cen a en la esolución de nue os p oble-
mas, en inc emen a el cue po de conocimien os y, en
meno medida, en la o ganización y undamen ación del
sis ema comple o de las ma emá icas. No se equie e el
g ado de máxima segu idad ca ac e ís icas del abajo
ealizado po las pe sonas in e esadas po los undamen-
os de las ma emá icas. Balache (1987) dis ingue es
ipos de si uaciones que eclaman p ocesos de alida-
ción, las cuales son econocibles ambién en el abajo
del ma emá ico. Es e au o ca ac e iza es as si uaciones
po la unción de las demos aciones p oducidas: pa a
decidi , con ence y sabe . En las dos p ime as, el
c i e io p incipal es la e icacia, mien as que en la e ce a
es el del igo .
Ciencias expe imen ales
La demos ación, en es os con ex os, se basa p incipal-
men e en p ác icas a gumen a i as de ipo sus ancial
(empí ico induc i as, analógicas, e c.) po medio de las
cuales concluimos que lo que es e dade o de cie os
indi iduos de una clase es e dade o de oda la clase o
bien que lo que es e dade o, algunas eces, lo se á
siemp e en ci cun ancias semejan es o con una cie a
p obabilidad. No desca a el empleo simul áneo de a gu-
men aciones deduc i as, en pa icula in e encias es adís-
icas. La alidez de los enunciados de con enido empí ico:
a) no iene ca ác e absolu o y uni e sal;
b) su alidez se inc emen a a medida que se mues an o
p oducen más hechos que se ajus en al enunciado;
c) un ejemplo que no se cumpla no in alida comple a-
men e la a i mación.
La demos ación pone en juego los ecu sos exp esi os
de los lenguajes o dina io, simbólico y cualquie ipo de
disposi i os conc e os. En el caso de las ciencias expe-
imen ales, los expe imen os u obse aciones se hacen
con el máximo cuidado, con olando odos los ac o es
posibles que pueden in lui en el mismo.
La a gumen ación ma emá ica p esen a, en los dominios
cien í icos, conno aciones de p ueba empí ica. Las eo-
ías ma emá icas son conside adas e dade as po que,
independien emen e de sus in e elaciones o males y
deduc i as, pueden se comp obadas de o ma expe i-
men al en si uaciones enomenológicas a iadas. Pa a
au o es como Kline (1980, p. 400): «La co ección de las
ma emá icas debe se juzgada po su aplicabilidad al
mundo ísico […] Son co ec as en la medida que un-
cionan y, cuando no uncionan, deben se modi icadas.»
Es, según es a in e p e ación, su u ilidad pa a undamen-
a eo ías cien í icas consolidadas lo que p ueba, en
úl imo ex emo, la alidez de las eo ías ma emá icas.
La e i icación en ciencias y ma emá icas
G ange (1992) es udia la unción y el alo de la
e i icación pa a la cons ucción del conocimien o cien-
í ico en gene al, así como su papel auxilia en la demos-
ación ma emá ica. La e i icación p esen a en ma e-
má icas una unción pa adójica en cie o sen ido, ya que
los eo emas ma emá icos son po na u aleza demos a-
dos y e dades de ca ác e gene al; la e i icación, po el
con a io, pa ece aplica se a enunciados omados en su
pa icula idad. G ange , sin emba go, analiza las si ua-
ciones en las cuales e i ica equi ale a demos a
–donde la e i icación de un enunciado coincide con la
explici ación de su mismo sen ido– y cuando desempeña
un papel de auxilia de la demos ación. Elabo a una
ipología simple de la e i icación en ma emá ica, dis-
inguiendo es ipos:
1) Ve i icación de un esul ado de ope ación simple,
como, po ejemplo, los enunciados de la a i mé ica
elemen al. ¿Qué quie e deci e i ica que 7 + 5 = 12?
Un p ime sen ido ob io consis e en p oyec a los obje-
os abs ac os en lo empí ico, y en comp oba empí ica-
men e un esul ado, independien emen e de la especi i-
cación ma e ial, sensible, de los obje os elegidos como
p oyecciones de los abs ac os. Las en idades abs ac as
son aquí los núme os, do adas a la ez de un es a u o de
obje os y de un es a u o ope a o io. La comp obación
inmedia a de la adecuación de un esquema ope a o io y
de los obje os abs ac os, o ep esen ados conc e amen-
e, es un p i ilegio de la a i mé ica elemen al, que se
basa en la posibilidad de una explo ación en un núme o
ini o de pasos del enunciado a e i ica . En es e caso,
« e i ica signi ica i e a de mane a ini a una ope ación
elemen al y econoce los obje os así p oducidos co e-
la i amen e» (p. 91).
2) Un segundo ipo de e i icación apa ece cuando las
ope aciones cuyo esul ado es el enunciado a e i ica
p esen an un cie o ni el de complejidad écnica. Aun-
que ambién en es e caso e i ica consis e en i e a una
ope ación elemen al un núme o ini o de eces, es e
núme o puede se demasiado g ande pa a que la i e a-
ción sea e ec i a. La na u aleza de los mismos obje os y

INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
410 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3)
ope aciones que in e ienen en el enunciado de e mina
el ipo de e i icación pues a en juego. En es a segunda
especie, la e i icación es un cálculo cuya ealización
e ec i a puede e se a ec ada po posibles e o es y, po
an o, no p opo ciona sino una ga an ía pa cial de la
e dad o alsedad del enunciado.
3) El e ce ipo de e i icación se e ie e a los enuncia-
dos ela i os a cons ucciones geomé icas. ¿Qué es
e i ica un enunciado de geome ía ep esen ado en una
igu a? Como en los casos p eceden es, a i ma G ange ,
consis e en e ec ua ope aciones, eal o i ualmen e.
Pe o su esul ado depende, en onces, en gene al de un
con enido ligado a lo empí ico. Se a a en es e caso de
p oyec a en lo empí ico los concep os abs ac os y las
ope aciones sob e es os concep os.
Pa a los enunciados a i mé icos elemen ales, es a p o-
yección hace posible un p ocedimien o de e i icación
comple a, como consecuencia de la ini ud de los con-
jun os de elemen os explo ados, pe o ambién po su
ca ác e «disc e o». «Los obje os geomé icos pa a los
que se p opone e i ica p opiedades no poseen sino
excepcionalmen e ini ud del núme o de elemen os que
se conside an en ellos, ni ca ác e disc e o. Los p ocedi-
mien os de e i icación dejan de ene en es e caso la
cla idad y el ca ác e deciso io que enían en las dos
especies p eceden es.» (p. 94) En es e caso es cuando
una ac i idad demos a i a se inse a sob e los p opios
p ocesos de e i icación, los cuales adquie en una un-
ción de auxilia de la demos ación ma emá ica.
En sín esis, la na u aleza de la e i icación y sus elacio-
nes con la demos ación son, según G ange , las siguien-
es (p. 113):
a) Ve i ica en ma emá icas es comp oba un esul ado
de ope ación, simple o compleja, ealizada, en de ini i-
a, sob e símbolos.
b) La condición de e minan e de la au onomía de la
e i icación es la exhaus i idad de los campos ope a o-
ios. Cuando esa exhaus i idad alla, los enunciados
ma emá icos no ienen sino un sen ido que depende,
en onces, de demos aciones.
c) El es a u o de la e i icación, y su alidez misma,
depende de mane a esencial de la na u aleza de los
obje os que apa ecen en los enunciados some idos a
e i icación.
Los p ocesos de e i icación es án, po an o, es echa-
men e asociados a en a i as de demos ación, co ona-
das o no po el éxi o, desempeñando un papel heu ís ico
y explo a o io (po ejemplo, pa a echaza una conje u-
a), aunque insu icien e, excep o en la e i icación de
esul ados de ope aciones simples.
Vida co idiana
En la ida co idiana se suele usa una a gumen ación
in o mal, que es si uacional, dependien e del con ex o e
incluso dependien e de la p opia si uación emocional del
suje o. Es e ipo de a gumen ación in o mal no da luga
necesa iamen e a e dades, po que se apoya en conside-
aciones que pueden ene exclusi amen e un alo lo-
cal, ca eciendo del alo obje i o de la p ueba.
En el azonamien o na u al o in o mal, pues o de mani-
ies o en nues as in e encias co idianas, desempeña un
papel impo an e el azonamien o po analogía. Toda
in e encia analógica pa e de la simili ud de dos o más
cosas en uno o más aspec os pa a conclui la simila idad
de esas cosas en algún o o aspec o. El azonamien o
in o mal implica azonamien o sob e las causas y las
consecuencias, y sob e las en ajas y des en ajas, los
p os y los con as de de e minadas p oposiciones o de
al e na i as sob e las que hay que decidi . Fe nández y
Ca e e o (1995, p. 43) a ibuyen a la lógica in o mal las
siguien es ca ac e ís icas:
– Se aplica a cues iones de la ida co idiana, aunque
ambién a cues iones p o esionales o académicas.
– Se aplica a cues iones ele an es pa a el indi iduo.
– Es á elacionada con la capacidad de elabo a y alo a
a gumen os y con aa gumen os.
– No u iliza un lenguaje o mal o simbólico sino el
lenguaje o dina io.
– Es dinámico y muy dependien e del con ex o.
– Se aplica a a eas abie as y mal de inidas.
– Se aplica a a eas no deduc i as.
El azonamien o in o mal es u ilizado en odos los domi-
nios de conocimien o, incluso en las ma emá icas y las
ciencias na u ales. Si, como a i man Ga u i, Boe o y
Lemu (1998, p. 345), hay con inuidad cogni i a en e la
ase de p oducción de conje u as y la cons ucción de
demos aciones, puede conside a se que es as o mas
a gumen a i as cons i uyen, en ma emá icas, los p ime-
os es adios de la demos ación.
La demos ación en la clase de ma emá icas
Pa a los cu ículos, ex os y p o eso es de ma emá icas
de los ni eles de enseñanza p ima ia, secunda ia y uni-
e si a ia, en gene al, los eo emas ma emá icos son
necesa iamen e e dade os. Pe o las a gumen aciones
que es ablecen esa e dad son, en el mejo de los casos,
a gumen aciones deduc i as in o males y con ecuen-
cia a gumen aciones no deduc i as o incluso a gumen-
aciones basadas en c i e ios ex e nos de au o idad.
La ma emá ica elemen al –incluida la que se enseña en
los cu sos uni e si a ios– cons i uye un cue po de cono-
cimien o cuya e dad, en gene al, no se pone en duda. Se
disponen de dis in as p uebas pa a los eo emas que son
acep adas po la gene alidad de los ma emá icos p o e-
sionales. Cons i uye, pues, un cue po de conocimien os
exen o del ca ác e alibilis a que se a ibuye a algunos
esul ados de la «ma emá ica a anzada» o, al menos, así
se suele p esen a en los ex os co espondien es y en las
clases de ma emá icas. «La epis emología escola es
undamen almen e pla onis a; an o los conocimien os
ma emá icos como los c i e ios de alidez de un enun-
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) 411
ciado p eexis en a cualquie suceso que pudie a ocu i
en la clase.» (Balache , 1987, p. 172)
He bs (1998) ha obse ado, desde una pe spec i a na-
u alis a, dis in os modos de impa i clases de ma emá-
icas de ni el secunda io analizando cómo unciona la
demos ación en dichas clases, cómo se alida en ellas el
conocimien o ma emá ico y qué ó mulas de negocia-
ción es ablecen el p o eso y los alumnos al espec o.
Iden i icó nue e ca ego ías de p ác icas de alidación
e ec i amen e usadas: el ejemplo gené ico, el ejemplo
aislado, los expe imen os c uciales, la os ensión como
p ueba, la jus i icación pseudoma emá ica, la analogía y
la me á o a, la sime ía u os ensión me a ó ica, el cálcu-
lo simbólico y la p ueba «o icial».
En es os con ex os ins i ucionales, pa icula men e en
los ni eles supe io es, se espe a de los es udian es que
adquie an la capacidad de comp ende y ealiza p uebas
de eo emas ma emá icos, que es ablezcan la e dad de
los mismos con absolu a segu idad, con enciéndose a sí
mismos y a cualquie pe sona de dicha e dad de mane a
i e u able. Se a a de un uso de la demos ación idiosin-
c ásico, dis in o del que se hace po el ma emá ico
p o esional. És e iene que elabo a demos aciones que
con enzan a los e e ees de las e is as; el es udian e de
ma emá icas iene que con ence se, y explica su con-
encimien o al p o eso , de la e dad necesa ia y uni e -
sal del eo ema.
Como a i ma Balache (1987), en la p ác ica p o esio-
nal de la in es igación ma emá ica, una demos ación es
una demos ación has a que se demues a lo con a io.
Pe o es a posición es di ícil de man ene en el con ex o
escola . «En un momen o u o o, los alumnos, pues o que
“es án allí pa a ap ende ”, ienen necesidad de una
ga an ía sob e la alidez de sus p oducciones y, si
exis en posiciones con adic o ias en la clase, no pueden
subsis i jun as du an e mucho iempo.» (p. 173). El
p o eso iene que sanciona la e dad o la alsedad de
los enunciados, la co ección de las p uebas y las in e -
p e aciones p oducidas en la clase, lo que condiciona y
de e mina el es a u o de la e dad y la demos ación en
es e con ex o ins i ucional.
SIGNIFICADOS PERSONALES DE LA DE-
MOSTRACIÓN MATEMÁTICA
En la li e a u a de in es igación en educación ma emá-
ica abundan las publicaciones que desc iben las di icul-
ades de los es udian es de los dis in os ni eles educa i-
os con las demos aciones ma emá icas, así como sus
modos especí icos de azonamien o.
Ha el y Sowde (1996) han es udiado la dimensión
subje i a o pe sonal de la demos ación. Es os au o es,
al p oceso empleado po un indi iduo pa a sup imi o
apa a dudas sob e la e dad de una conje u a lo llaman
demos ación. «Un esquema de demos ación indi idual
consis e en lo que cons i uye asegu a y pe suadi pa a
esa pe sona» (pp. 3-60). De mane a equi alen e pode-
mos in e p e a dichos esquemas como «lo que signi ica
demos a » pa a un suje o, es o es, el signi icado pe so-
nal del obje o demos ación según p oponen Godino y
Ba ane o (1994,1998). Las dis in as ca ego ías de es-
quemas de demos ación que iden i ican Ha el y Sowde
ep esen an un es adio cogni i o, una habilidad in elec-
ual en el desa ollo ma emá ico de los es udian es, y son
de i adas de las acciones ealizadas po los suje os en
p ocesos de demos ación. Dis inguen es ca ego ías
p incipales de esquemas de demos ación: basados en
con icciones ex e nas ( i ual, au o i a io y simbólico),
empí icos (induc i os y pe cep uales) y analí icos ( ans-
o macionales y axiomá icos).
Pa a Ha el y Sowde , la al a incidencia en e los es u-
dian es de los es sub ipos de esquemas de demos a-
ción basados en «con icciones ex e nas» así como el
esquema de demos ación empí ico-induc i o pueden
explica se po la in luencia de hábi os escola es en
consonancia con ales ipos de p ác icas a gumen a i as.
El análisis que hemos p esen ado en las secciones an e-
io es sugie e, en e ec o, que en las clases de ma emá i-
cas elemen ales pueden p edomina las p ác icas a gu-
men a i as no analí icas, sob e odo en los ni eles de
enseñanza p ima ia y secunda ia. Es as p ác icas a gu-
men a i as –implemen adas de mane a inconscien e po
los p o eso es de ma emá icas– pueden habe sido ex a-
poladas desde o os con ex os ins i ucionales, como los
de la ida co idiana o de las ciencias empí icas.
No se debe ol ida además el papel que juegan las
o mas a gumen a i as sus anciales en las ases de bús-
queda y o mulación de conje u as en la esolución de
p oblemas. Los a gumen os analí icos, p opios de la
demos ación ma emá ica, no son las únicas p ác icas
a gumen a i as que u iliza el ma emá ico p o esional
pa a con ence se de la e dad de sus conje u as. Es e
modo de azona se e ela con ecuencia es é il, cuando
no un es o bo, en las ases de c eación/descub imien o
de las soluciones de los p oblemas, en las cuales es líci o
y necesa io desplega o mas de a gumen ación sus an-
ciales, en pa icula , la inducción empí ica y la analogía.
Reco demos las palab as de Polya (1944, p. 116): «Las
ma emá icas p esen adas con igo son una ciencia sis e-
má ica, deduc i a, pe o las má emá icas en ges ación
son una ciencia expe imen al, induc i a.»
CONCLUSIONES E IMPLICACIONES PA-
RA LA INVESTIGACIÓN Y LA ENSEÑANZA
Sin duda podemos ap ecia algunos asgos comunes en
los usos de la palab a demos ación en los dis in os
con ex os ins i ucionales desc i os, lo que pe mi e ha-
bla de la idea de demos ación en sen ido gene al. Pe o
es e modo de habla gené ico, abs ac o, me a ísico no
debe ocul a la ica y compleja a iedad de sen idos que
adquie e el concep o de demos ación o, si se p e ie e, la
di e sidad de «obje os demos ación» exis en es pa a
los miemb os de dichas ins i uciones, cada uno con un
signi icado local. C eemos que, cuando es amos in e e-
sados po los p oblemas psicológicos y didác icos in o-
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
412 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3)
luc ados en los p ocesos de alidación de p oposiciones
ma emá icas, in e esa conside a que no hay un concep-
o de demos ación sino di e sos, an o desde el pun o de
is a subje i o como ins i ucional (Godino y Ba ane o,
1994, 1998).
Reconociendo es a di e sidad de obje os y signi icados,
es a emos en mejo es condiciones de es udia los com-
ponen es del signi icado, las ci cuns ancias de su desa-
ollo, los papeles que desempeñan en los dis in os
con ex os, en de ini i a, de comp ende las elaciones
ecológicas que se es ablecen en e los mismos y su
ca ác e sis émico. Es a modelización on osemán ica,
de ca ác e an opológico, puede ayuda a oma con-
ciencia de los con lic os cogni i os y cul u ales que se
plan ean a odo indi iduo que se e o zado a pa icipa
como suje o en dis in os con ex os ins i ucionales.
Dado que los es udian es se encuen an simul áneamen-
e suje os a dis in as ins i uciones, en cuyo seno se ponen
en p ác ica dis in os esquemas a gumen a i os, pa ece
azonable que los es udian es engan di icul ades en
disc imina el uso espec i o de cada ipo de a gumen a-
ción. En consecuencia, conside amos que ales esque-
mas ins i ucionales de demos ación pueden se ac o es
explica i os de los esquemas subje i os mani es ados,
po lo que deben se enidos en cuen a e in es igados con
más p o undidad.
En el p opio y genuino abajo del ma emá ico p o esio-
nal con i en las dis in as o mas básicas de azonamien-
o: el empí ico-induc i o (a gumen ación sus ancial, p ueba
empí ica) y el lógico-deduc i o (en sus dis in as moda-
lidades, ans o macionales y axiomá icas). Ambas o -
mas es án elacionadas con dis in as ases del p oceso de
ma ema ización. La p ime a en a en juego básicamen e
en las ases de c eación/ descub imien o de las solucio-
nes de un p oblema, mien as que la segunda, en los
p ocesos de o mulación, comunicación y alidación
en e a o as pe sonas (y en e a uno mismo). En los
dis in os ni eles de enseñanza se p ecisa a icula de
algún modo los dis in os signi icados de la p ueba,
desa ollando p og esi amen e en los es udian es los
conocimien os, la capacidad disc imina i a y la aciona-
lidad que se debe pone en juego en cada caso. Los
esquemas in o males de demos ación no pueden se
is os simplemen e como inco eciones, e o es o de i-
ciencias, sino como e apas en la ap opiación y dominio
de las p ác icas a gumen a i as ma emá icas.
La enseñanza de las ma emá icas debe p ocu a que los
es udian es con olen y dominen las di e sas p ác icas
a gumen a i as, así como se conscien es de las elacio-
nes dialéc icas en e las mismas. No obs an e, la comple-
jidad del signi icado de los a gumen os analí icos en el
con ex o de la ma emá ica p o esional implica la pa cia-
lidad de su comp ensión y el dominio en los ni eles de
secunda ia e, incluso, uni e si a ia.
La enseñanza de la a gumen ación analí ica debe queda
in eg ada como una ase más del quehace ma emá ico,
en la que se a a de con ence a uno mismo y a los demás
del ca ác e necesa iamen e e dade o de las conje u as
ma emá icas. Pe o es a ase iene que inca dina se con el
plan eamien o de las cues iones, la elabo ación de supo-
siciones y a gumen os heu ís icos po encialmen e e -
dade os, como p opone la eo ía de si uaciones de B ousseau
(1986). De lo con a io, se co e el iesgo de o ja en el
es udian e una isión educcionis a e i eal, aunque
popula , de las ma emá icas, según la cual és a es una
colección de de iniciones, eo emas y p uebas.
Es amos de acue do con Schoen eld (1994, p. 76) cuan-
do a i ma que «la demos ación no es una cosa sepa able
de las ma emá icas, al y como apa ece en los cu ículos;
es un componen e esencial del hace , comunica , y
egis a las ma emá icas. Y pienso que puede se inco -
po ada en nues os cu ículos, en odos los ni eles.»
(p. 76)
Pe o ambién debemos econoce que los p ocesos de
alidación –y, po an o, las demos aciones– pues os en
p ác ica en los ni eles de educación p ima ia se án
dis in os de los ealizados en secunda ia y és os di e en-
es a su ez de los uni e si a ios. «Es necesa io oma en
conside ación la na u aleza de la acionalidad de los
alumnos y las condiciones de su e olución, pe o ambién
oma en cuen a el análisis didác ico de los c i e ios
acep ados de demos ación que deben pode e oluciona
en el cu so de la escola idad.» (Balache , 1987, p. 170)
La comp ensión y el dominio de la a gumen ación
axiomá ico-deduc i a po pa e de los es udian es e-
quie e el desa ollo de una acionalidad y un es ado
especí ico de los conocimien os. Exige «la adhesión a
una p oblemá ica que no es la de la e icacia (exigencia de
la p ác ica) sino la del igo (exigencia eó ica)
(Balache , 1987, p. 170). En es a misma idea incide
Fischbein (1982) cuando a i ma que, pa a la comp en-
sión de lo que ealmen e signi ica una demos ación
ma emá ica, «la men e del alumno debe su i una modi-
icación undamen al» (p. 17). Pe o la cons ucción de
es a acionalidad es un p oceso p og esi o que equie e
iempo, así como adap aciones ecológicas del «obje o
p ueba» ( ansposiciones didác icas) en los dis in os
ni eles de enseñanza.
Somos conscien es de que se p ecisa ealiza nue as
in es igaciones pa a iden i ica con más de alle las ca-
ac e ís icas de las di e sas a iedades de demos ación
esbozadas en es e abajo en los dis in os con ex os
ins i ucionales conside ados. En pa icula , es necesa io
ealiza in es igaciones empí icas, median e obse a-
ciones e nog á icas de clases y en e is as clínicas a
es udian es, pa a e i ica la p incipal hipó esis que ha
eme gido de nues a indagación: «que los esquemas
ins i ucionales de demos ación son a iables explica i-
as de los esquemas pe sonales y que los con lic os en el
uso de dichos esquemas son mo i ados po la supe posi-
ción indisc iminada de las di e sas o mas a gumen a i-
as en la ac i idad ma emá ica de la clase».
No p e endemos que de nues as e lexiones se puedan
de i a no mas sob e cómo a on a el ema de la demos-
ación en la p ác ica de la enseñanza de las ma emá icas.
No obs an e, una consecuencia azonable de es e abajo
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 2001, 19 (3) 413
pa a la p ác ica docen e que podemos hace se puede
exp esa en los siguien es é minos: «es necesa io que
los p o eso es de ma emá icas sean conscien es de la
a iedad de a gumen aciones usadas po las pe sonas
pa a alida sus a i maciones según los con ex os ins i-
ucionales en que se hacen ales a i maciones y de las
di e sas o mas a gumen a i as que se ponen en juego
en la clase de ma emá icas». El p oblema de cómo log a
que los alumnos dominen las di e sas écnicas a gumen-
a i as y disc iminen su uso según las ci cuns ancias de
la a ea solici ada debe se obje o de e lexión e in es i-
gación, con igu ando una línea de in es igación en edu-
cación ma emá ica a la que se es án dedicando impo an-
es es ue zos.
NOTA
Es e a ículo es una e sión e isada y ampliada del esea ch
epo publicado en las ac as del XXI PME celeb ado en Lah i,
(Finlandia) en 1997, con el í ulo «Meanings o p oo in
ma hema ics educa ion».
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BALACHEFF, N. (1987). P ocessus de p eu e e si ua ions de
alida ion. Educa ional S udies in Ma hema ics, 18, pp.
147-176.
BATTISTA, M.T. y CLEMENTS, D.H. (1995). Geome y and
p oo . The Ma hema ics Teache , 88(1), pp. 48-54.
BROUSSEAU, G. (1986). Fondemen s e mé hodes de la
didac ique des ma héma iques. Reche ches en Didac ique
des Ma héma iques, 7(2), pp. 33-115.
CAÑÓN, C. (1993). La ma emá ica: c eación o descub imien o.
Mad id: Uni e sidad Pon i icia de Comillas.
DUVAL, R. (1993). A gumen e , demon e , explique : con inui é
ou up u e cogni i e? Pe i x, 31, pp. 37-61.
FERNÁNDEZ, P. y CARRETERO, M. (1995). Pe spec i as
ac uales en el es udio del azonamien o, en Ca e e , M.,
Alma az, J. y Fe nández, P. (eds.). Razonamien o y com-
p ensión. Mad id: T o a.
FISCHBEIN, E. (1982). In ui ion and p oo . Fo he lea ning o
ma hema ics, 3(2), pp. 9-24.
FRASCOLLA, (1994). Wi gens ein’s philosophy o ma hema ics.
Lond es: Rou ledge.
GARRIDO, M. (1978). Lógica simbólica. Mad id: Tecnos.
GARUTI, R., BOERO, P. y LEMUT. E. (1998). Cogni i e uni s
o heo ems and di icul y o p oo , en Oli ie , A. y News ead,
K. (eds.). P oceedings o he 22nd Con e ence o he
In e na ional G oup o The Psychology o Ma hema ics
Educa ion, ol. 2, pp. 345-352. S ellenbosch (Su á ica):
Uni e si y o S ellenbosch.
GODINO, J.D. y BATANERO, C. (1994). Signi icado ins i ucional
y pe sonal de los obje os ma emá icos. Reche che en Didac ique
des Ma héma iques, 14(3), pp. 325-355.
GODINO, J.D. y BATANERO, C. (1998). Cla i ying he meaning
o ma hema ical objec s as a p io i y a ea o esea ch in
ma hema ics educa ion, en Sie pinska, A. y Kilpa ick, J.
(eds.). Ma hema ics educa ion as a esea ch domain: A
sea ch o iden i y (pp. 177-195). Do d ech : Kluwe , A.P.
GRANGER, G.G. (1992). La é i ica ion. Pa ís: Odile Jacob.
HANNA, G. (1989). P oo s ha p o e and p oo s ha explain,
en Ve gnaud, G., Rogalski, J. y A igue, M. (eds.). P oceedings
o he 13 h Con e ence o he In e na ional G oup o he
Psychology o Ma hema ics Educa ion, pp. 45-54. Pa ís.
HANNA, G. (1995). Challenges o he impo ance o p oo . Fo
he Lea ning o Ma hema ics, 15(3), pp. 42-49.
HAREL, G. y SOWDER, L. (1996). Classi ying p ocesses o
p o ing, en Puig, L. y Gu ié ez, A. (eds.). P oceedings o
he 20 h Con e ence o he In e na ional G oup o he
Psychology o Ma hema ics Educa ion, ol. 3, pp. 59-65.
Valencia: Uni e si a de València.
HERBST, P. (1998). «Wha wo ks as p oo in he ma hema ics
class?» A hens (EEUU): Uni e si y o Geo gia. Tesis doc o al.
HERSH, R. (1993). P o ing is con incing and explaining.
Educa ional S udies in Ma hema ics 24, pp. 389-399.
KLINE, M. (1980). Ma emá icas. La pé dida de la ce idumb e.
Mad id: Siglo XXI [1985].
KRUMMEHEUER, G. (1995). The e hnog aphy o a gumen a ion,
en Cobb, P. y Baue s eld, H. (eds.). The eme gence o
ma hema ical meaning. Hillsdale, Nue a Je sey: Law ence
E lbaum Associa es.
LESTER, F.K. (1975). De elopmen al aspec s o child en’s
abili y o unde s and ma hema ical p oo . Jou nal o Resea ch
in Ma hema ics Educa ion, pp. 14-25
LIVINGSTON (1987). The e hnome hodological ounda ions
o ma hema ics. Lond es: Rou ledge & Kegan Paul.
MARTIN, W.G. y HAREL, G. (1989). P oo ames o p ese ice
elemen a y eache s. Jou nal o Resea ch in Ma hema ics
Educa ion, 20(1), pp. 41-51.