INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
463
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3), 463-476
EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL CONCEPTO
DE LÍMITE FUNCIONAL
EN LOS LIBROS DE TEXTO DE BACHILLERATO
Y CURSO DE ORIENTACIÓN UNIVERSITARIA
(COU): 1940-19951*
SIERRA VÁZQUEZ, MODESTO, GONZÁLEZ ASTUDILLO, MARÍA TERESA y
LÓPEZ ESTEBAN, CARMEN
Depa amen o de Didác ica de la Ma emá ica y de las Ciencias Expe imen ales. Uni e sidad de Salamanca.
SUMMARY
In his pape , we s udy he his o ical de elopmen o he concep o unc ional limi in he ex books o bachille a o
and COU du ing he las i y yea s. We analyse wen y-se en books in h ee s ages. In he las one, which ga he s he
esul s om he o he s, we conside h ee dimensions: concep ual, cogni i e and phenomenologic ha show us a wide
pe spec i e o he changes expe imen ed in his de elopmen .
INTRODUCCIÓN
Du an e los úl imos años se ha p oducido un in e és
c ecien e hacia la his o ia de la educación ma emá ica,
mo i ada, en e o as azones, po el acaso que ha
seguido a los p oyec os de e o ma cu icula . Es e
in e és se ha aducido en el ámbi o de la in es igación
en publicaciones sob e la e olución de los p og amas
o iciales, la o mación de p o eso es, las co ien es di-
dác icas dominan es y el análisis de los cambios que se
han p oducido. En es e ma co se ha pues o de mani ies o
la impo ancia del análisis del lib o de ex o como e lejo
de la ac i idad que se ealiza en el aula. De acue do con
Schub ing (1987), si se pa e del hecho de que la p ác ica
de la enseñanza no es á an de e minada po los dec e os
y ó denes minis e iales como po los lib os de ex o
u ilizados pa a enseña , se llega a la necesidad de un
análisis de dichos lib os de ex o. La p oducción abun-
dan e de manuales, la a iedad y iqueza de sus con eni-
dos, la incidencia en el aula de es e ma e ial, su unción
como ansmiso de con enidos socialmen e acep ados,
hace que esul e in e esan e es udia la con ibución que
han enido en la his o ia de la educación ma emá ica.
El análisis de lib os de ex o se ha lle ado a cabo en
di e en es ámbi os de in es igación. Si bien los his o ia-
do es de la educación han ealizado apo aciones como
esis doc o ales, exposiciones, coloquios, e c. elaciona-
dos con los manuales escola es, son escasos los abajos
e e idos a las ma emá icas. Es o se de ec a, en el caso de
F ancia, en el abajo de Choppin (1993) en el que hace
un balance bibliomé ico de la in es igación ancesa
sob e la his o ia de los manuales escola es. Las azones
de dicha escasez se pueden debe , a juicio de Choppin,
an o a la al a de o mación ma emá ica de los his o ia-
do es como al escaso in e és de los ma emá icos po es e
ema. Cen ándonos en el campo de la educación ma e-
má ica, Howson (1995) dis ingue en e in es igaciones
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ealizadas sob e ex os a pos e io i, es deci , la o ma en
que se ha usado un lib o de ex o, cómo ha con ibuido
al p oceso de ap endizaje y qué obs áculos se han
p esen ado, que son escasas; y las ealizadas a p io i
que son más nume osas. En e es as úl imas hay que
señala los abajos de Che alla d y sus colabo ado es
(Che alla d, 1985; Che alla d y Johsua, 1982), en los
que apa ece la noción de ansposición didác ica, es
deci , la ans o mación de la ma emá ica (sa oi sa an )
en el con enido escola (sa oi enseigné), que se e leja
undamen almen e en los lib os de ex o. En la misma
línea es á el abajo de Ta igno (1993). O as in es iga-
ciones se cen an en los aspec os ela i os al lenguaje y
la legibilidad (Pimm, 1987, 1994). Po su pa e, O e
(1986) pone el én asis en lo que ansmi e el ex o, las
elaciones en e el conocimien o y su ep esen ación
ex ual y las a iaciones en las in e p e aciones. En
Do molen (1986) se hace una clasi icación de los ele-
men os que son imp escindibles en un lib o de ex o de
ma emá icas. Lowe y Pimm (1996) conside an que hay
una é ada asociada a un lib o de ex o: el lec o , el
esc i o , el p o eso y el mismo lib o, y que las ca ac e-
ís icas de cada uno de ellos, así como sus in e acciones
de e minan el uso de es e ma e ial en el aula. También
se han lle ado a cabo algunos es udios compa a i os
como el que apa ece publicado en un monog á ico de
TIMSS (Thi d In e na ional Ma hema ic and Science
S udy) ealizado po Howson (1995) sob e lib os de
ex o pa a niños de 13 años de ocho países di e en es.
Po úl imo, esul a imp escindible des aca el abajo, ya
mencionado, de Schub ing (1987) sob e me odología de
análisis his ó ico de lib os de ex o, en el que se conside-
a necesa ia una ap oximación global que analice, en
p ime luga , los cambios en las sucesi as ediciones de
un lib o de ex o, pa a pasa luego a busca los cambios
en o os lib os de ex o y, po úl imo, elaciona es os
cambios con los que se han p oducido en el con ex o, es
deci , cambios en los p og amas, en los dec e os minis-
e iales, en los deba es didác icos, en la e olución de las
ma emá icas, en la epis emología, e c.
En nues o abajo hemos ealizado un análisis de lib os
de ex o es udiando los cambios que se han p oducido a
lo la go de más de cincuen a años en un concep o cla e
pa a la enseñanza del análisis como es el de lími e
uncional. El uso de di e sas ediciones de algunos de los
lib os analizados, su compa ación con o os lib os del
mismo pe iodo y su elación con los p og amas o iciales
en aquel momen o nos p opo ciona án los da os esencia-
les pa a conc e a cuál ha sido la e olución de dicho
concep o.
METODOLOGÍA
Hemos analizado lib os publicados desde la e minación
de la Gue a Ci il has a nues os días. De acue do con
Schub ing (1987), la p oducción de lib os de ex o se
lle a a cabo den o de un con ex o de e minado y espon-
de a las co ien es epis emológicas y didác icas al uso;
además, exis iendo en el caso español disposiciones
legales sob e el cu ículo, los lib os de ex o ienden a
adap a se a ellas. Po es a azón, po un lado, se p esen-
an sucin amen e los planes de es udio igen es du an e
la época analizada incluyendo el a amien o del concep-
o de lími e en los mismos; po o o, los lib os se han
ag upado po pe iodos que, en líneas gene ales, co es-
ponden a los sucesi os planes de es udio:
1)Pe iodo comp endido en e 1940 y 1967. Es e pe iodo
aba ca desde el inal de la Gue a Ci il has a 1967 en que
se publican los ex os pilo o pa a la in oducción de la
ma emá ica mode na en el bachille a o. Tiene un pun o
de in lexión en 1953, año en el que se publica un nue o
plan de es udios (modi icado pa cialmen e en 1957). Se
han analizado cinco lib os de es e pe iodo.
2)Pe iodo comp endido en e 1967 y 1975. Es e pe iodo
aba ca desde la in oducción de la ma emá ica mode na
has a la implan ación del bachille a o uni icado y poli-
alen e (BUP) en 1975. Se han analizado nue e lib os de
di e sos au o es y edi o iales, en e ellos los ex os
pilo o publicados po la Comisión pa a el Ensayo Didác-
ico sob e la Ma emá ica Mode na en los Ins i u os de
Enseñanza Media.
3)Pe iodo comp endido en e 1975 y 1995. Es e pe iodo
comp ende desde la implan ación del BUP has a el inicio
de los nue os Bachille a os de i ados de la Ley de
O denación Gene al del Sis ema Educa i o (LOGSE).
Se han analizado ece lib os.
El c i e io pa a la selección de los lib os de ex o ha sido
el de los au o es más « amosos» o de las edi o iales más
«impo an es» de cada uno de los pe iodos. También se
ha p ocu ado que los au o es elegidos u ie an p oduc-
ción en los dis in os pe iodos, pa a es udia la e olución
del a amien o del concep o de lími e.
El análisis de lib os de ex o se ha lle ado a cabo en es
e apas, cada una de las cuales p o undiza el abajo
ealizado en la e apa an e io .
En la p ime a e apa, se han elabo ado ichas con los
da os undamen ales del lib o: í ulo, au o /es, edi o ial,
año de edición, plan de es udios, y un esumen del
con enido de los capí ulos elacionados con el lími e.
En la segunda e apa se han hecho ablas compa a i as de
los lib os co espondien es a cada pe iodo, que incluyen:
a) Modo de in oducción del concep o: o mal, heu ís i-
cos o cons uc i o.
b) Tipo de de inición: opológica, mé ica, geomé ica o
po sucesiones.
c) Secuenciación: se ha hecho un lis ado de las de inicio-
nes y p opiedades elacionadas con el lími e, nume án-
dolas según su o den de apa ición.
d) Tipos de eje cicios y p oblemas.
En la e ce a e apa se han conside ado es dimensiones
de análisis:
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) 465
1) Desde la e minación de la Gue a Ci il has a la
in oducción de la ma emá ica mode na en los ins i u os
de bachille a o (1940-67)
Du an e es e pe iodo, es u ie on igen es dos planes de
es udios: el de 1938, que se p omulga du an e la Gue a
Ci il y se modi ica en el de 1953.
El plan de 1938 o ganizaba los es udios de bachille a o
en sie e cu sos; se accedía supe ando una p ueba de
acceso a los diez años, es ableciéndose un examen de
es ado al inaliza el mismo, equisi o indispensable
pa a accede a la uni e sidad. T a aba de auna los
aspec os cien í icos y humanís icos en un solo ipo de
bachille a o. La asigna u a de ma emá icas o maba pa -
e de los p og amas de los sie e cu sos y se desa ollaba
de modo cíclico. En la dis ibución de ma e ias no
apa ece explíci amen e el cálculo di e encial e in eg al,
aunque la cos umb e de la época e a in oduci es a pa e
en los con enidos de álgeb a o de álgeb a supe io .
Análisis concep ual Análisis didác ico-cogni i o Análisis enomenológico
• Secuenciación de con enidos • Obje i os e in enciones del au o • En o no a las po pias ma emá icas
• De iniciones: ipo y papel que juegan (exp esadas habi ualmen e en el p ólogo) • En o no a o as ciencias
en el ex o • Teo ías de enseñanza-ap endizaje • Fenómenos de la ida dia ia
• Ejemplos y eje cicios subyacen e
• Rep esen aciones g á icas y simbólicas • Capacidades que se quie en desa olla
• Aspec os ma e iales
Sin luga a dudas, las concepciones epis emológicas de
los au o es ace ca del conocimien o ma emá ico es án
elacionadas con el modo de ansmisión de dicho cono-
cimien o y an a de e mina qué ipo de capacidades se
p e enden desa olla en los alumnos, po lo que, a eces,
es ine i able mezcla componen es epis emológicos y
cogni i os en es e análisis. Es o mismo sucede á con el
análisis cogni i o y enomenológico.
RESULTADOS
Vamos a p esen a los esul ados de cada uno de los
pe iodos conside ados, de acue do con el análisis con-
cep ual, cogni i o y enomenológico que hemos lle ado
a cabo según el esquema an e io . No obs an e, en lo que
se e ie e al concep ual, aunque en la in es igación
o iginal (Sie a, González y López, 1997) se cub ie on
ampliamen e los cinco aspec os conside ados, aquí, po
azones de ex ensión, nos limi a emos a las de iniciones
y a las ep esen aciones g á icas y simbólicas.
En 1953 se es ableció un nue o plan de es udios pa a el
bachille a o. La nue a o ganización ompió el ca ác e
uni a io que había enido has a en onces, es uc u ándo-
se en bachille a o elemen al (10-14 años) y bachille a o
supe io (14-16 años), eniendo es e úl imo dos especia-
lidades denominadas ciencias y le as; además, se es a-
bleció un cu so puen e con los es udios supe io es deno-
minado p euni e si a io. Las inalidades decla adas en
la p esen ación del nue o plan de es udios ue on: des-
conges iona las enseñanzas eó icas, e i a la excesi a
ei e ación del mé odo cíclico y ga an iza el cul i o de
asigna u as más impo an es y o ma i as. La asigna u-
a de ma emá icas e a obliga o ia en el bachille a o
elemen al y en la especialidad de ciencias del bachille-
a o supe io .
Los concep os de lími e y con inuidad apa ecen en los
cues iona ios (p og amas) de sex o cu so den o del
bloque de análisis. En es os cues iona ios, el lími e
apa ece ligado al concep o de sucesión, que pos e io -
men e se aplica pa a de ini la con inuidad de unciones.
Los cinco lib os analizados se han ag upado en dos
bloques:
a) Análisis concep ual, que se e ie e a cómo se de ine y
o ganiza el concep o a lo la go del ex o, ep esen acio-
nes g á icas y simbólicas u ilizadas, p oblemas y eje ci-
cios esuel os o p opues os, así como cie os aspec os
ma e iales de los lib os de ex o que de e minan la
p esen ación del concep o.
b) Análisis didác ico-cogni i o, que se e ie e an o a la
explici ación de los obje i os que los au o es p e enden
consegui como al modo en el que se in en a que el
alumno desa olle cie as capacidades cogni i as
(Du al, 1995).
c) Análisis enomenológico, que se ca ac e iza po los
enómenos que se oman en conside ación con espec o
al concep o en cues ión, en nues o caso el de lími e
uncional. Aquí se conside a el análisis enomenológico
didác ico, en el que in e ienen los enómenos que se
p oponen en las secuencias de enseñanza que apa ecen
en los lib os analizados (Puig, 1997).
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
466 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3)
Bloque A Bloque B
• Fe nández de Cas o, M. y Jiménez Jiménez, J.L. • Ríos, S. y Rod íguez San Juan, A.
Ma emá icas. P epa ación del examen de es ado. Ma emá icas. 6º cu so de bachille a o. Los au o es.
Escelice . Cádiz- Mad id. ( sin echa, an e io a 1995). Mad id. 1950.
• B uño. Ma emá icas 6º cu so. • Ríos, S. y Rod íguez San Juan, A. Ma emá icas.
Ediciones B uño. Mad id. 1968. 5º cu so de bachille a o. Los au o es. Mad id, 1968a.
• Ríos, S. y Rod íguez San Juan A. Ma emá icas.
6º cu so de bachille a o. Los au o es. Mad id. 1968b.
El a amien o del concep o de lími e en los lib os del
bloque A a ligado a los concep os de sucesión y a ia-
ble de un modo oscu o, mien as que en los lib os de
Six o Ríos y Rod íguez San Juan adquie e un es a us
p opio que no apa ece en los lib os del bloque an e io .
En es os dos úl imos au o es se obse a, sin luga a
dudas, la in luencia de Julio Rey Pas o (1888-1962).
Como es bien sabido, Rey Pas o se p opuso ele a el
ni el de la ma emá ica española conside ando su e aso
«en medio siglo en la geome ía y en análisis un poco
mayo ». Pa a ello se azó un plan minucioso de modo
que con el ad enimien o de la segunda República, en
1931, se puede conside a que en España exis ía ya una
cul u a ma emá ica con empo ánea. Pues bien, discípu-
los suyos como Six o Ríos y Rod íguez San Juan, con i-
buye on a do a de esa con empo aneidad a nues a
ma emá ica, no solamen e en la enseñanza uni e si a ia
sino ambién en la secunda ia.
A con inuación se p esen an los esul ados más des aca-
bles en cada una de las es dimensiones de análisis.
ANÁLISIS CONCEPTUAL
De iniciones
La de inición de lími e expe imen a una e olución desde
los lib os del bloque A a los del bloque B, aunque ienen
elemen os comunes como son la idea de in ini ésimos y
el lenguaje de inc emen os. En pa icula , en el lib o de
Fe nández de Cas o y Jiménez Jiménez (sin echa),
después de la de inición de los concep os de a iable y
de sucesión, apa ece la de inición de lími e de a iable,
pa icula izando pa a el caso de sucesiones:
Se dice que una a iable iene un lími e o iende a un
lími e si, en la sucesión de sus alo es, se e i ica
que a pa i de uno de ellos la di e encia en e los
demás y el lími e es, en alo absolu o, an pequeña
como se quie a.
Es una de inición donde se mezclan el concep o de
a iable y el de sucesión. Pos e io men e, al iden i ica
unción con a iable se man iene la de inición an e io
de lími e. Además, la idea de in ini ésimo es á implíci-
amen e subyacen e en ella y, e ec i amen e, el lenguaje
de in ini ésimos se u iliza abundan emen e a lo la go del
ema.
En B uño (1968), hay un cie o cambio; la de inición de
lími e se da explíci amen e u ilizando el lenguaje de
sucesiones:
Una unción (x) iene lími e b cuando la a iable x
iende a a cuando eligiendo cualquie sucesión de
alo es x1, x2,... ,xn que ienen lími e a; los co es-
pondien es alo es de (x): (x1), (x2),..., (xn) ienen
po lími e b.
En los lib os de Six o Ríos y Rod íguez San Juan (1950,
1968a, 1968b), aunque el concep o de unción se sigue
p esen ando ligado al concep o de a iable, el concep o
de lími e ya se empieza a de ini a pa i de las unciones,
y se hace median e sucesiones. La de inición es:
El lími e de la unción (x) cuando x iende a a es el
núme o b, si se e i ica que los alo es de la unción
(x) se ap oximan an o como que amos a b, oman-
do los alo es de la a iable x con enien emen e
p óximos a a (no se hace ninguna hipó esis sob e el
alo de la unción en el pun o a).
Es a de inición se comple a dando una in e p e ación
geomé ica del lími e de una unción en un pun o u ili-
zando en o nos simé icos. Se obse a en es os dos
au o es una p eocupación po los aspec os geomé icos,
que se aduce an o en las in e p e aciones de los con-
cep os como en los eje cicios p opues os, donde apa e-
cen p oblemas de lími es en con ex os geomé icos; es
una ca ac e ís ica que no se da á en el es o de los
pe iodos.
A nues o juicio, du an e es e pe iodo se obse a un
cambio p og esi o en la de inición del concep o de
lími e, desde su p esen ación, ligado a la idea de
a iable, has a la in oducción del concep o de un-
ción, cla i icándose el concep o de lími e a pa i del
de unción.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) 467
REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y SIM-
BÓLICAS
Rep esen aciones g á icas
En los lib os del bloque A, las ep esen aciones g á icas
son muy escasas. En el lib o de Fe nández de Cas o y
Jiménez Jiménez (s. .) hay un cuad o esumen de las
ope aciones con lími es donde apa ecen las inde e mi-
naciones.
En los lib os del bloque B, hay un aumen o no able de
ep esen aciones g á icas: se da una in e p e ación geomé-
ica del lími e y se ponen con aejemplos sob e la
exis encia de lími e, pa a lo cual se u iliza la ep esen a-
ción g á ica de la unción E(x) (pa e en e a de x). Las
ep esen aciones g á icas empleadas son ca esianas.
Rep esen aciones simbólicas
La no ación que se usa pa a el lími e en los lib os del
bloque A es á o ien ada a la idea de a iable. Las a ia-
bles se ep esen an con las le as minúsculas del abece-
da io y los in ini ésimos con las le as g iegas co es-
pondien es a las u ilizadas pa a las a iables. Se u iliza
el símbolo (pa a ep esen a el in ini o, y es o ocu i á de
aquí en adelan e en odos los lib os analizados. Asimis-
mo, se hace uso del alo absolu o (con la no ación
clásica de las ba as) en las demos aciones. Además de
las exp esiones simbólicas, apa ecen exp esiones e ba-
les a lo la go de los ex os como: « ienden a», « an
pequeño como se quie a», «n c ece in ini amen e», «ma-
yo que cualquie núme o po g ande que sea», « iende
a ce o más ápidamen e que». También se a an ó denes
de in ini ésimos e in ini ésimos equi alen es.
En los lib os del bloque B apa ece una simbolización
más mode na del lími e, los au o es esc iben:
lim ƒ(x) = b, o bien ƒ(x)→ b, cuando x→ a.
x → a
que se lee: ƒ(x) iende a b cuando x iende a a.
Se usa mucho el lenguaje de ε. Así, cuando los au o es
demues an que el lími e de una unción es un cie o
alo , a lo la go de dicha demos ación a inan el alo de
ε (ε/2, ε/4...) de modo que al inal salga en el segundo
miemb o de la desigualdad. También son ecuen es
exp esiones que hemos mencionado an e io men e pa a
los lib os del bloque A.
Aunque las ep esen aciones g á icas y simbólicas son
muy escasas, se obse a una p og esión no able, de
modo que, en los lib os de Six o Ríos y Rod íguez San
Juan (1950,1968b), los ipos de ep esen ación son aco -
des con su época, de acue do con la idea de con empo a-
neidad a que ya hemos hecho e e encia.
Análisis didác ico-cogni i o
Como ya se ha señalado an e io men e, los p ólogos o
las in oducciones a las di e en es lecciones nos ponen
sob e la pis a de las capacidades que los au o es p e en-
den desa olla en los alumnos. Aho a bien, hay que
ene en cuen a que la o denación de la educación se-
cunda ia en España sólo pe mi ía, en la p ác ica, que un
núme o limi ado de españoles alcanzase es e ni el edu-
ca i o, cons i uyendo una éli e en e la población espa-
ñola; p ecisamen e, a es e núme o educido de alumnos,
seleccionados p imo dialmen e po c i e ios socioeco-
nómicos, an di igidos es os lib os.
El único lib o en el que apa ece explici ado el obje o de
la lección es en el de Fe nández de Cas o y Jiménez
Jiménez (s. .) donde los concep os ienen un ca ác e
esencialmen e ins umen al, ya que lo que se p e ende
es: «Halla unas eglas sencillas que nos pe mi an calcu-
la con segu idad y apidez el lími e de a iables compli-
cadas en las que in e ienen ope aciones di e sas alge-
b aicas y aun ascenden es.» Es e ca ác e ins umen al
es á p esen e ambién en los o os lib os es udiados.
Una segunda ca ac e ís ica es el ca ác e cíclico de los
con enidos que se epi en en sucesi os cu sos amplián-
dose y comple ándose en cada uno espec o del an e io .
En odos los lib os, el desa ollo es secuencial y o mal,
aunque las demos aciones no son o almen e igu osas,
sino que ienen cie os componen es in ui i os. La idea
que subyace es la de una ma emá ica ya hecha que el
alumno debe memo iza y p ac ica esol iendo eje ci-
cios. En de ini i a, las capacidades que se p e enden
desa olla en el alumno son: memo ización de de ini-
ciones y p opiedades y p ác ica algo í mica, con alguna
excepción en los eje cicios plan eados.
Análisis enomenológico
En el lib o de Fe nández de Cas o y Jiménez Jiménez
(s. .), cuando a a el concep o de a iable, hace alguna
e e encia a enómenos na u ales como: ho a del día,
es ación del año y ci cuns ancias me eo ológicas. Hecha
es a sal edad, el es o de los lib os hace solamen e
e e encias a aspec os ma emá icos cuando p esen an
los concep os de lími e y con inuidad y, en gene al, el
lími e es concebido como una p epa ación pa a la de i-
ada; aunque en algunos casos, como en el lib o de Six o
Ríos y Rod íguez San Juan (1950), hay un componen e
geomé ico impo an e e e ido al es udio de lími es de
pendien es de ec as secan es a una cu a, de longi udes
de cue das, de á eas bajo cie as condiciones, de suce-
siones de ci cun e encias.
INTRODUCCIÓN DE LA MATEMÁTICA
MODERNA (1967-75)
Como es bien conocido, a comienzos de los años sesen a
iun ó en casi odo el mundo occiden al la enseñanza de
las llamadas «ma emá icas mode nas»; en el caso espa-
ñol, se in odujo p og esi amen e en los p og amas de
bachille a o. Las azones de dicha in oducción, es án
ecogidas en Rico y Sie a (1994), y son las siguien es:
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
468 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3)
a)La ma emá ica mode na p opo ciona esquemas
más sencillos pa a pode p esen a la ma e ia del bachi-
lle a o.
b)Con la ma emá ica mode na se pueden o ganiza di-
chas ma e ias de modo más acional.
c) Los ines esenciales de la ma emá ica en la enseñanza
media son dos: o ma i o e ins umen al.
d)Ambos ines pueden log a se con más e icacia me-
dian e la ma emá ica mode na.
e) Tan o en la eo ía como en los algo i mos, el alumno,
con la ma emá ica mode na, puede llega a discu i con
más p ecisión y cla idad.
) Con la ma emá ica mode na se es udia án las ma e ias
que engan ca ác e undamen al, y las que no poseen
es e ca ác e queda án elegadas como simples eje ci-
cios a desa olla po los alumnos.
En 1962 se cons i uyó la Comisión pa a el Ensayo
Didác ico sob e la Ma emá ica Mode na en los Ins i u os
Nacionales de Enseñanza Media, p esidida po el p o e-
so Abellanas. La Comisión edi ó, en los años 1967 y
1969, ex os pilo o pa a el 5º y 6º cu so de bachille a o,
espec i amen e, que se con i ie on, de hecho, en el
nue o p og ama de ma emá icas que p og esi amen e se
ue implan ando en el bachille a o y cuyos cimien os son
la eo ía de conjun os y las es uc u as de las ma emá i-
cas en sen ido bou bakis a, es deci , las es uc u as
algeb aicas, de o den y opológicas.
Po lo que se e ie e al lími e, en dichos ex os pilo o, en
5º cu so se hace una b e e in oducción a es e concep o
en el capí ulo dedicado a unciones de a iable eal y, en
6º cu so, den o de un capí ulo i ulado de igual mane a,
se p o undiza en ambos concep os, p imando el pun o de
is a opológico. Los nue e lib os analizados se han
ag upado en es bloques.
Es os bloques ep esen an es endencias obse adas en
es e pe iodo. Así, los lib os del bloque A siguen el
modelo de la e apa an e io ( ep esen ado en los lib os de
Six o Ríos y Rod íguez San Juan). Los del bloque B, que
comp enden los ex os pilo o y los que siguen sus o ien-
aciones e ideas, suponen una up u a p esen ando las
nue as ideas ace ca de la enseñanza de las ma emá icas.
Finalmen e, los del bloque C in oducen la ma emá ica
es uc u al y axiomá ica, pe o a la ez p oponen ac i i-
dades pa a el alumno y las explicaciones se apoyan en
ellas. Se obse a que, jun o al nue o pa adigma que
su ge como una au én ica e olución, se man iene, co-
exis iendo con él, el an iguo. Es o nos ecue da las ideas
kuhnianas sob e la es uc u a de las e oluciones cien í-
icas.
Los esul ados en cada una de las es dimensiones son
los que se exponen a con inuación.
Análisis concep ual
De iniciones
La de inición de lími e a e olucionando hacia un mayo
o malismo. Así, en el bloque A se en a iza la de inición
po sucesiones, aunque ambién apa ece de modo esi-
dual la de inición opológica que les lle a a u iliza
en o nos gene ales. En los lib os pilo o (bloque B) apa-
ece la siguien e de inición:
Di emos que una unción ƒ(x) = y iene po lími e b
pa a x = a, cuando pa a odo en o no Eb del pun o b,
se e i ica ƒ—1(Eb) = Ea-a, o bien, ƒ—1(Eb) = Ea. En el
segundo caso, además de ene lími e la unción en
x=a, di emos que es con inua en dicho pun o.
Bloque A Bloque B Bloque C
• Sin au o es. Ma emá icas sex o cu so. • Abellanas, P., Ga cía Rúa, J., Rod íguez • Agus ín, J.M. y Vila, A. Ma emá icas 6º
Edel i es. Za agoza. 1972 (ap obado po Labajo, A., Casulle as Regás, J. y Ma cos Bachille a o. Vol. 2. Vicens-Vi es.
OM 23-2-68). de Lanuza, F. Ma emá ica mode na: Ba celona, 1973.
Quin o cu so. MEC. MADRID, 1967.
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Labajo, A., Casulle as, Regás, J. y Ma cos
• Tudu i, J. y Casals, R. COU. de Lanuza, F. Ma emá ica mode na.
Ma emá icas especiales. Vimasa. Te asa, Sex o cu so. MEC. Mad id, 1969.
1974. • Ma cos de Lanuza, F. Ma emá icas 5º
cu so. G. del To o: Mad id, 1972a.
• Ma cos de Lanuza, F. Ma emá icas COU
op a i a. G. del To o. Mad id, 1972b.
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) 469
En los lib os del bloque C se u iliza p e e en emen e la
de inición opológica, aunque se quie e conduci p o-
g esi amen e al alumno a pa i de cie os ejemplos
has a las de iniciones.
Rep esen aciones g á icas y simbólicas
Rep esen aciones g á icas
Apa ecen ablas, g á icas ca esianas y o as ep esen a-
ciones es echamen e ligadas al ipo de de inición que se
u iliza. En cuan o a las ablas, cuando los au o es p esen-
an el concep o de lími e u ilizando sucesiones, po
ejemplo, en el lib o de la edi o ial Edel i es (1972)
(bloque A), apa ecen ablas con los alo es de dichas
sucesiones y los co espondien es de (x), mien as que,
cuando se u iliza la de inición opológica, en el lib o de
Agus í y Vila (1973) (bloque C), las ablas de alo es de
la unción se usan pa a comp oba que se e i ica dicha
de inición en casos pa icula es.
Las g á icas ca esianas apa ecen en odos los lib os
analizados, algunas de ellas incluso ealizadas a mano
alzada p esen ando las ca ac e ís icas que in e ese esal-
a . Po ejemplo, cuando se da la de inición en sen ido
opológico, se ep esen an en o nos de un pun o y de su
imagen in e sa, incluso cuando se a a del in ini o.
En el bloque C, hay además o os ipos de ep esen acio-
nes g á icas como diag amas de Venn (Ma cos y Ma í-
nez, 1973) y uso de la ec a numé ica (Agus í y Vila,
1973).
Rep esen aciones simbólicas
Todos u ilizan lim (x) = l con las le as a, l u o as
x → a
di e en es, y ambién ƒ(x) → l. Las excepciones, las
x → a
cons i uyen los lib os de Ma cos de Lanuza (1972a,
1972b) del bloque B con lim (x) = l y el lib o de Agus í
x → a
y Vila (1973) del bloque C con limaF = l.
Las no aciones e olucionan desde las co espondien es
a la de inición de lími e po sucesiones has a la de ini-
ción opológica, adap ándose a cada ipo de de inición.
En pa icula , el signi icado que se da al símbolo ε a ía
de unos a o os: mien as que en unos se conside a como
algo «a bi a iamen e pequeño» (Segu a, 1974, bloque
A), en o os se conside a simplemen e ε > 0 (Tudu i y
Casals, 1974, bloque A; Ma cos y Ma ínez, 1973,
bloque C).
Como en los lib os del bloque B se u iliza la de inición
opológica, apa ecen e e encias a en o nos. En los ex-
os pilo o se u ilizan ep esen aciones simbólicas de
dichos en o nos, bien u ilizando subíndices como Ea y Eb
o bien en o nos cen ados (b - ε, b + ε) y en o os ex os
se a an de o ma exclusi amen e e bal. También en
los lib os del bloque C, apa ecen no aciones de en o nos;
po ejemplo, en Agus í y Vila (1973), se dice:
Di emos que l es el lími e de F en a, si pa a odo
en o no B de l se puede encon a un en o no edu-
cido de a A0 = A - {a} de modo que ƒ(A0) B.
También en es e bloque se inicia el uso de los símbolos
de los cuan i icado es. Así, en Ma cos y Ma ínez (1973),
apa ece la siguien e de inición:
Se dice que la unciónƒ(x) iende hacia L cuando x
iende hacia +∞ (o hacia -∞), si pa a odo ε > 0
exis e un eal posi i o A, al que |x| > A implica
|ƒ(x)-L| < ε;
∀ ε > 0, ∃ A > 0 al que |x| > A ⇒ |ƒ(x)-b| < ε.
Análisis didác ico-cogni i o
Los lib os del bloque A no ienen p ólogos en donde
los au o es exp esen sus ideas ace ca de la enseñanza-
ap endizaje de las ma emá icas. No obs an e, como ya se
ha señalado, siguen el modelo de la e apa an e io y las
capacidades que p e enden desa olla son: ap endizaje
memo ís ico de las de iniciones y aplicación de es as
de iniciones a la esolución de eje cicios.
Los lib os del bloque B suponen una up u a con el
bloque an e io , ya que con ellos se in oduce la ma emá-
ica mode na en el bachille a o. De acue do con S eine
(1987), las ideas ace ca del conocimien o ma emá ico
in luyen en las eo ías de enseñanza-ap endizaje de ese
conocimien o; po ello, pa a pode lle a a cabo es e
análisis cogni i o, enemos que hace e e encia a cie -
os aspec os epis emológicos, máxime cuando es amos
en un pun o de up u a con el pensamien o an e io .
Siguiendo las ideas de la ma emá ica mode na, en los
ex os pilo o, los conjun os y las aplicaciones son los
cimien os sob e los que se p e ende cons ui el edi icio
de la ma emá ica, y las es uc u as, las he amien as pa a
cons ui dicho edi icio. Es as ideas se en e lejadas en
el a amien o del lími e: la o ien ación opológica no es
casual sino que es jus amen e la p econizada po los
pione os de la e o ma de las ma emá icas de acue do
con las ideas bou bakis as. Po ello los concep os de
conjun o, núme o eal y en o no se u ilizan cons an e-
men e. En los o os dos lib os de es e bloque se en a izan
las ideas apa ecidas en los ex os pilo o. En consonancia
con lo dicho has a aho a, las capacidades que se p e en-
den desa olla son: adquisición de las o mas de hace
del nue o lenguaje de la ma emá ica mode na, el cono-
cimien o de la de inición de lími e en es e lenguaje, el
ap endizaje de las de iniciones median e ac i idades
di igidas, la aplicación de las de iniciones a la esolu-
ción de eje cicios y el desa ollo de algo i mos pa a el
cálculo de lími es de exp esiones algeb aicas.
Los lib os del bloque C se si úan decididamen e en la
co ien e de la ma emá ica mode na con las implicacio-
nes cogni i as subyacen es. Es o se exp esa cla amen e
en el p ólogo del lib o de Ma cos y Ma ínez (1973), en
el cual no sólo se ensalza a Bou baki, sino que ambién
se hace mención explíci a a Piage , diciendo ex ualmen-
e que «Piage ha demos ado que las o mas humanas de
pensamien o coinciden con las es uc u as de la ma emá-
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
470 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3)
ica mode na». Asimismo, el lib o de Agus í y Vila
(1973) iene una cla a in luencia de las ob as de Papy y
sus colabo ado es, con una p eponde ancia de los aspec-
os opológicos sob e los mé icos según el espí i u
bou bakis a, pe o con nume osas ac i idades. Ad e i-
mos, po consiguien e, un cie o cambio en la isión de
es os au o es sob e la enseñanza de las ma emá icas. Si
has a ese momen o se mi aba casi exclusi amen e el
con enido de la ma e ia, en es os lib os se empieza a
conside a al alumno como suje o que ap ende, a ando
de explica es e ap endizaje desde las eo ías piage ia-
nas. Respec o a las capacidades que se p e enden desa-
olla , en nues a opinión, son muy di e en es de un
lib o a o o, p obablemen e po los cu sos dis in os a los
que se di igen. Así, mien as que en el lib o de Ma cos
y Ma ínez (1973) se p e ende que el alumno ap enda
memo ís icamen e las de iniciones, que se acos umb e
al mecanismo de las demos aciones deduc i as y ealice
nume osos eje cicios, en el lib o de Agus í y Vila
(1973), se p e ende que el alumno aya cons uyendo
de una mane a di igida los dis in os concep os, que
en e ea algunas demos aciones y ealice nume o-
sos eje cicios.
Análisis enomenológico
En los lib os del bloque A no hay e e encias a si uacio-
nes o enómenos p opios de o as ciencias dis in as de
las ma emá icas y, en el caso de és as, se educen a casos
de unciones polinómicas, adicales, loga i mos, co-
cien es de polinomios y unciones igonomé icas. La
idea de lími e uncional sólo apa ece como ejemplo más
signi ica i o en Segu a (1974), en el caso de un g i o que
deja cae una go a cada minu o. Dicha idea es á basada
en el lími e de sucesiones.
Respec o del bloque B, no hay e e encias a enómenos
que puedan se o ganizados median e el lími e y que
sean ex e io es a la p opia ma emá ica. La ma emá ica se
encie a en sí misma y se explica po ella misma. Incluso
desapa ecen las in e p e aciones y los p oblemas en
sen ido geomé ico de la época an e io . Pa ece como si
es a pa e del análisis ma emá ico ue a independien e
del es o de las amas de las ma emá icas. Insis imos en
la p edominancia de la isión opológica en el caso del
lími e. Incluso en el caso de la discon inuidad de una
unción, la idea de es a pa ida, más que una idea
in ui i a, es una idea que se u iliza pa a ea i ma el uso
de los en o nos.
Tampoco en los lib os del bloque C hay e e encias a
enómenos dis in os de los de la p opia ma emá ica,
aunque exis en algunas peculia idades. Así, el concep o
de lími e no sólo es á ligado a unciones exp esadas de
o ma algeb aica, sino que apa ece en elación con o as
amas de la ma emá ica, como la geome ía (en el caso de
Ma cos y Ma ínez, 1973) y las es uc u as ma emá icas
(Agus í y Vila, 1973).
En de ini i a, odos los lib os analizados e lejan un
cie o espí i u de la época en cuan o a la concepción de
las ma emá icas. Es in e esan e esal a que, aunque los
p omo o es de la e o ma, Papy y Dieudonné, en e
o os, señalan que las ma emá icas es án po odas pa es
y que son un ins umen o pa a comp ende la ealidad,
en escasas ocasiones, en sus ob as dedicadas a la ense-
ñanza, apa ecen las ma emá icas pa a in e p e a enó-
menos de o as ciencias. Igual sucede á en el caso espa-
ñol, en los lib os de ex o de es e pe iodo, lo que a a
ma ca oda una gene ación de p o eso es y alumnos,
que ansmi i án y asimila án, espec i amen e,
unas ma emá icas sin conexión con o as ciencias y
enómenos.
DESARROLLO DEL PLAN DE ESTUDIOS DE
BACHILLERATO UNIFICADO POLIVA-
LENTE (BUP) Y DEL CURSO DE ORIENTA-
CIÓN UNIVERSITARIA (COU). 1975-95
A comienzos de la década de los se en a se emp ende una
ees uc u ación del sis ema educa i o español, que cul-
mina con la ap obación de la Ley Gene al de Educación
y Financiamien o de la Re o ma Educa i a, p omulgada
el 4 de agos o de 1970. Se es ableció el bachille a o
Uni icado y poli alen e, BUP, y el cu so de o ien ación
uni e si a ia, COU, necesa io pa a accede a es udios
uni e si a ios. La du ación del bachille a o se es ableció
en es cu sos (14-17 años). El plan de es udios se
es uc u aba en ma e ias comunes, ma e ias op a i as y
enseñanzas y ac i idades écnico-p o esionales.
Las ma emá icas apa ecie on como una asigna u a den-
o del á ea Ciencias Ma emá icas y de la Na u aleza. Sin
emba go, has a el año 1975 no se es ableció el cu ículo
pa a el nue o bachille a o (Dec e o del 23 de ene o de
1975, desa ollado en el BOE del 18 de ab il del mismo
año). Las ma emá icas enían un ca ác e de asigna u a
obliga o ia en cada uno de los es cu sos del bachille a-
o, aunque pos e io men e las del e ce cu so pasa on a
se opcionales.
El concep o de lími e apa ece en los documen os o icia-
les en 2º cu so, sugi iendo como o ien ación didác ica
in oduci lo de o ma mé ica en con aposición con la
o ien ación opológica del pe iodo an e io y, en cam-
bio, educi el cálculo de lími es a casos sencillos.
En el mismo dec e o en el que se ap obaba el plan de
es udios de bachille a o, se eguló el cu so de o ien a-
ción uni e si a ia es ableciendo un núcleo de ma e ias
comunes y dos opciones; en cada opción apa ecían a su
ez, dos ma e ias obliga o ias y es op a i as, en e las
cuales el alumno debía escoge dos de és as. Las ma e-
má icas igu an como op a i a en la opción A y como
obliga o ia en la opción B. El p og ama con enía cua o
g andes emas, siendo uno de ellos: «Ampliación del
cálculo di e encial e in eg al», sin po meno iza su con-
enido.
Ambos p og amas man ienen una o ien ación o malis a
y es uc u alis a. Rico y Sie a (1997) señalan es ideas
que sus en an el con encimien o del ca ác e i e e si-
ble dado al p og ama de las ma emá icas mode nas: en
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) 471
p ime luga , el ca ác e cien í ico, comple o y a anzado
del nue o p og ama de las ma emá icas escola es. Es e
pun o de is a es pa cial e incomple o, ya que se desco-
nocen las di icul ades de undamen ación y desa ollo
de la mayo pa e de los emas de la ma emá ica elemen-
al en base al p og ama bou bakis a. La segunda idea ue
la supues a implan ación de es os p og amas en la mayo-
ía de los países, sal o a as excepciones, y su acep a-
ción uni e sal. La e ce a azón ue la legi imación
desde el pun o de is a de la psicología, bajo la in luen-
cia de los g andes psicólogos cogni i os de la época,
p incipalmen e Piage y B une . Sin mayo c i e io,
du an e años se de endió que la enseñanza de las es uc-
u as ma emá icas a los niños y adolescen es es aba
undada en a gumen os cogni i os, espondía a una
mode na eo ía del ap endizaje y enía ca ác e e olu i-
o. «Tenemos, pues, que en los años se en a se p oduce
en España una con luencia de in e eses en e algunos
p o eso es uni e si a ios, cie os esponsables adminis-
a i os del diseño cu icula y algunos psicólogos de la
educación, quienes con una conside able de iciencia de
o mación sob e el cu ículo de las ma emá icas, sus
p oblemas y limi aciones, es ablecen un p og ama de
o mación o malis a desde p eescola has a la uni e si-
dad. La igencia de es e cu ículo, la ci amos en ein-
idós años y su pe iodo de in luencia indiscu ible se si úa
en la década de los se en a.» (Rico y Sie a, 1997,
pp. 46).
Sal o algunas excepciones, el p og ama de la ma emá i-
ca mode na se ecibió ac í icamen e y se inco po ó a
nues o sis ema educa i o sin una e lexión p opia sob e
nues as necesidades especí icas.
Más a de, en 1987 (OM de 3 de sep iemb e) se modi icó
la es uc u a del plan de es udios de COU. Se es ablecie-
on cua o opciones, inco po ando a las opciones C y D
o ien adas hacia las ciencias humanas y sociales, una
nue a asigna u a llamada Ma emá icas II con es g an-
des emas, uno de los cuales se i ulaba: «Análisis des-
c ip i o de unciones y g á icas», en el que se indicaba
que no es imp escindible la o malización del concep o
de lími e ni ampoco u iliza una no ación igu osa pa a
de ini un ocabula io básico. En nues o abajo no
hemos analizado lib os de ex o de es a asigna u a.
Du an e la década de los ochen a, se p odujo un amplio
deba e sob e la e o ma educa i a en España que culmi-
nó con la ap obación y p omulgación en 1990 de la
ley de O denación Gene al del Sis ema Educa i o
(LOGSE), que ha supues o una p o unda ans o mación
de dicho sis ema. Es a ley es ablece una nue a e apa de
Bloque A Bloque B Bloque C Bloque D
• Ma cos de Lanuza, F. • Guillén, J., Na a o, R., • G upo Ce o. Ma emá icas de • He nández, F., Lo enzo, F.,
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Magis e io. Mad id, 1976. Bachille a o. B uño.
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