Evolución histórica del concepto de límite funcional en los libros de texto de bachillerato y curso de orientación universitaria (COU) : 1940-1995

INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 463 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3), 463-476 EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL CONCEPTO DE LÍMITE FUNCIONAL EN LOS LIBROS DE TEXTO DE BACHILLERATO Y CURSO DE ORIENTACIÓN UNIVERSITARIA (COU): 1940-19951* SIERRA VÁZQUEZ, MODESTO, GONZÁLEZ ASTUDILLO, MARÍA TERESA y LÓPEZ ESTEBAN, CARMEN Departamento de Didáctica de la Matemática y de las Ciencias Experimentales. Universidad de Salamanca. SUMMARY In this paper, we study the historical development of the concept of functional limit in the textbooks of bachillerato and COU during the last fifty years. We analyse twenty-seven books in three stages. In the last one, which gathers the results from the others, we consider three dimensions: conceptual, cognitive and phenomenologic that show us a wide perspective of the changes experimented in this development. INTRODUCCIÓN Durante los últimos años se ha producido un interés creciente hacia la historia de la educación matemática, motivada, entre otras razones, por el fracaso que ha seguido a los proyectos de reforma curricular. Este interés se ha traducido en el ámbito de la investigación en publicaciones sobre la evolución de los programas oficiales, la formación de profesores, las corrientes didácticas dominantes y el análisis de los cambios que se han producido. En este marco se ha puesto de manifiesto la importancia del análisis del libro de texto como reflejo de la actividad que se realiza en el aula. De acuerdo con Schubring (1987), si se parte del hecho de que la práctica de la enseñanza no está tan determinada por los decretos y órdenes ministeriales como por los libros de texto utilizados para enseñar, se llega a la necesidad de un análisis de dichos libros de texto. La producción abundante de manuales, la variedad y riqueza de sus contenidos, la incidencia en el aula de este material, su función como transmisor de contenidos socialmente aceptados, hace que resulte interesante estudiar la contribución que han tenido en la historia de la educación matemática. El análisis de libros de texto se ha llevado a cabo en diferentes ámbitos de investigación. Si bien los historiadores de la educación han realizado aportaciones como tesis doctorales, exposiciones, coloquios, etc. relacionados con los manuales escolares, son escasos los trabajos referidos a las matemáticas. Esto se detecta, en el caso de Francia, en el trabajo de Choppin (1993) en el que hace un balance bibliométrico de la investigación francesa sobre la historia de los manuales escolares. Las razones de dicha escasez se pueden deber, a juicio de Choppin, tanto a la falta de formación matemática de los historiadores como al escaso interés de los matemáticos por este tema. Centrándonos en el campo de la educación matemática, Howson (1995) distingue entre investigaciones INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 464 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) realizadas sobre textos a posteriori, es decir, la forma en que se ha usado un libro de texto, cómo ha contribuido al proceso de aprendizaje y qué obstáculos se han presentado, que son escasas; y las realizadas a priori que son más numerosas. Entre estas últimas hay que señalar los trabajos de Chevallard y sus colaboradores (Chevallard, 1985; Chevallard y Johsua, 1982), en los que aparece la noción de transposición didáctica, es decir, la transformación de la matemática (savoir savant) en el contenido escolar (savoir enseigné), que se refleja fundamentalmente en los libros de texto. En la misma línea está el trabajo de Tavignot (1993). Otras investigaciones se centran en los aspectos relativos al lenguaje y la legibilidad (Pimm, 1987, 1994). Por su parte, Otte (1986) pone el énfasis en lo que transmite el texto, las relaciones entre el conocimiento y su representación textual y las variaciones en las interpretaciones. En Dormolen (1986) se hace una clasificación de los elementos que son imprescindibles en un libro de texto de matemáticas. Lowe y Pimm (1996) consideran que hay una tétrada asociada a un libro de texto: el lector, el escritor, el profesor y el mismo libro, y que las características de cada uno de ellos, así como sus interacciones determinan el uso de este material en el aula. También se han llevado a cabo algunos estudios comparativos como el que aparece publicado en un monográfico de TIMSS (Third International Mathematic and Science Study) realizado por Howson (1995) sobre libros de texto para niños de 13 años de ocho países diferentes. Por último, resulta imprescindible destacar el trabajo, ya mencionado, de Schubring (1987) sobre metodología de análisis histórico de libros de texto, en el que se considera necesaria una aproximación global que analice, en primer lugar, los cambios en las sucesivas ediciones de un libro de texto, para pasar luego a buscar los cambios en otros libros de texto y, por último, relacionar estos cambios con los que se han producido en el contexto, es decir, cambios en los programas, en los decretos ministeriales, en los debates didácticos, en la evolución de las matemáticas, en la epistemología, etc. En nuestro trabajo hemos realizado un análisis de libros de texto estudiando los cambios que se han producido a lo largo de más de cincuenta años en un concepto clave para la enseñanza del análisis como es el de límite funcional. El uso de diversas ediciones de algunos de los libros analizados, su comparación con otros libros del mismo periodo y su relación con los programas oficiales en aquel momento nos proporcionarán los datos esenciales para concretar cuál ha sido la evolución de dicho concepto. METODOLOGÍA Hemos analizado libros publicados desde la terminación de la Guerra Civil hasta nuestros días. De acuerdo con Schubring (1987), la producción de libros de texto se lleva a cabo dentro de un contexto determinado y responde a las corrientes epistemológicas y didácticas al uso; además, existiendo en el caso español disposiciones legales sobre el currículo, los libros de texto tienden a adaptarse a ellas. Por esta razón, por un lado, se presentan sucintamente los planes de estudio vigentes durante la época analizada incluyendo el tratamiento del concepto de límite en los mismos; por otro, los libros se han agrupado por periodos que, en líneas generales, corresponden a los sucesivos planes de estudio: 1)Periodo comprendido entre 1940 y 1967. Este periodo abarca desde el final de la Guerra Civil hasta 1967 en que se publican los textos piloto para la introducción de la matemática moderna en el bachillerato. Tiene un punto de inflexión en 1953, año en el que se publica un nuevo plan de estudios (modificado parcialmente en 1957). Se han analizado cinco libros de este periodo. 2)Periodo comprendido entre 1967 y 1975. Este periodo abarca desde la introducción de la matemática moderna hasta la implantación del bachillerato unificado y polivalente (BUP) en 1975. Se han analizado nueve libros de diversos autores y editoriales, entre ellos los textos piloto publicados por la Comisión para el Ensayo Didáctico sobre la Matemática Moderna en los Institutos de Enseñanza Media. 3)Periodo comprendido entre 1975 y 1995. Este periodo comprende desde la implantación del BUP hasta el inicio de los nuevos Bachilleratos derivados de la Ley de Ordenación General del Sistema Educativo (LOGSE). Se han analizado trece libros. El criterio para la selección de los libros de texto ha sido el de los autores más «famosos» o de las editoriales más «importantes» de cada uno de los periodos. También se ha procurado que los autores elegidos tuvieran producción en los distintos periodos, para estudiar la evolución del tratamiento del concepto de límite. El análisis de libros de texto se ha llevado a cabo en tres etapas, cada una de las cuales profundiza el trabajo realizado en la etapa anterior. En la primera etapa, se han elaborado fichas con los datos fundamentales del libro: título, autor/es, editorial, año de edición, plan de estudios, y un resumen del contenido de los capítulos relacionados con el límite. En la segunda etapa se han hecho tablas comparativas de los libros correspondientes a cada periodo, que incluyen: a) Modo de introducción del concepto: formal, heurísticos o constructivo. b) Tipo de definición: topológica, métrica, geométrica o por sucesiones. c) Secuenciación: se ha hecho un listado de las definiciones y propiedades relacionadas con el límite, numerándolas según su orden de aparición. d) Tipos de ejercicios y problemas. En la tercera etapa se han considerado tres dimensiones de análisis: INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) 465 1) Desde la terminación de la Guerra Civil hasta la introducción de la matemática moderna en los institutos de bachillerato (1940-67) Durante este periodo, estuvieron vigentes dos planes de estudios: el de 1938, que se promulga durante la Guerra Civil y se modifica en el de 1953. El plan de 1938 organizaba los estudios de bachillerato en siete cursos; se accedía superando una prueba de acceso a los diez años, estableciéndose un examen de estado al finalizar el mismo, requisito indispensable para acceder a la universidad. Trataba de aunar los aspectos científicos y humanísticos en un solo tipo de bachillerato. La asignatura de matemáticas formaba parte de los programas de los siete cursos y se desarrollaba de modo cíclico. En la distribución de materias no aparece explícitamente el cálculo diferencial e integral, aunque la costumbre de la época era introducir esta parte en los contenidos de álgebra o de álgebra superior. Análisis conceptual Análisis didáctico-cognitivo Análisis fenomenológico • Secuenciación de contenidos • Objetivos e intenciones del autor • En torno a las porpias matemáticas • Definiciones: tipo y papel que juegan (expresadas habitualmente en el prólogo) • En torno a otras ciencias en el texto • Teorías de enseñanza-aprendizaje • Fenómenos de la vida diaria • Ejemplos y ejercicios subyacente • Representaciones gráficas y simbólicas • Capacidades que se quieren desarrollar • Aspectos materiales Sin lugar a dudas, las concepciones epistemológicas de los autores acerca del conocimiento matemático están relacionadas con el modo de transmisión de dicho conocimiento y van a determinar qué tipo de capacidades se pretenden desarrollar en los alumnos, por lo que, a veces, es inevitable mezclar componentes epistemológicos y cognitivos en este análisis. Esto mismo sucederá con el análisis cognitivo y fenomenológico. RESULTADOS Vamos a presentar los resultados de cada uno de los periodos considerados, de acuerdo con el análisis conceptual, cognitivo y fenomenológico que hemos llevado a cabo según el esquema anterior. No obstante, en lo que se refiere al conceptual, aunque en la investigación original (Sierra, González y López, 1997) se cubrieron ampliamente los cinco aspectos considerados, aquí, por razones de extensión, nos limitaremos a las definiciones y a las representaciones gráficas y simbólicas. En 1953 se estableció un nuevo plan de estudios para el bachillerato. La nueva organización rompió el carácter unitario que había tenido hasta entonces, estructurándose en bachillerato elemental (10-14 años) y bachillerato superior (14-16 años), teniendo este último dos especialidades denominadas ciencias y letras; además, se estableció un curso puente con los estudios superiores denominado preuniversitario. Las finalidades declaradas en la presentación del nuevo plan de estudios fueron: descongestionar las enseñanzas teóricas, evitar la excesiva reiteración del método cíclico y garantizar el cultivo de asignaturas más importantes y formativas. La asignatura de matemáticas era obligatoria en el bachillerato elemental y en la especialidad de ciencias del bachillerato superior. Los conceptos de límite y continuidad aparecen en los cuestionarios (programas) de sexto curso dentro del bloque de análisis. En estos cuestionarios, el límite aparece ligado al concepto de sucesión, que posteriormente se aplica para definir la continuidad de funciones. Los cinco libros analizados se han agrupado en dos bloques: a) Análisis conceptual, que se refiere a cómo se define y organiza el concepto a lo largo del texto, representaciones gráficas y simbólicas utilizadas, problemas y ejercicios resueltos o propuestos, así como ciertos aspectos materiales de los libros de texto que determinan la presentación del concepto. b) Análisis didáctico-cognitivo, que se refiere tanto a la explicitación de los objetivos que los autores pretenden conseguir como al modo en el que se intenta que el alumno desarrolle ciertas capacidades cognitivas (Duval, 1995). c) Análisis fenomenológico, que se caracteriza por los fenómenos que se toman en consideración con respecto al concepto en cuestión, en nuestro caso el de límite funcional. Aquí se considera el análisis fenomenológico didáctico, en el que intervienen los fenómenos que se proponen en las secuencias de enseñanza que aparecen en los libros analizados (Puig, 1997). INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 466 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) Bloque A Bloque B • Fernández de Castro, M. y Jiménez Jiménez, J.L. • Ríos, S. y Rodríguez San Juan, A. Matemáticas. Preparación del examen de estado. Matemáticas. 6º curso de bachillerato. Los autores. Escelicer. CádizMadrid. ( sin fecha, anterior a 1995). Madrid. 1950. • Bruño. Matemáticas 6º curso. • Ríos, S. y Rodríguez San Juan, A. Matemáticas. Ediciones Bruño. Madrid. 1968. 5º curso de bachillerato. Los autores. Madrid, 1968a. • Ríos, S. y Rodríguez San Juan A. Matemáticas. 6º curso de bachillerato. Los autores. Madrid. 1968b. El tratamiento del concepto de límite en los libros del bloque A va ligado a los conceptos de sucesión y variable de un modo oscuro, mientras que en los libros de Sixto Ríos y Rodríguez San Juan adquiere un estatus propio que no aparece en los libros del bloque anterior. En estos dos últimos autores se observa, sin lugar a dudas, la influencia de Julio Rey Pastor (1888-1962). Como es bien sabido, Rey Pastor se propuso elevar el nivel de la matemática española considerando su retraso «en medio siglo en la geometría y en análisis un poco mayor». Para ello se trazó un plan minucioso de modo que con el advenimiento de la segunda República, en 1931, se puede considerar que en España existía ya una cultura matemática contemporánea. Pues bien, discípulos suyos como Sixto Ríos y Rodríguez San Juan, contribuyeron a dotar de esa contemporaneidad a nuestra matemática, no solamente en la enseñanza universitaria sino también en la secundaria. A continuación se presentan los resultados más destacables en cada una de las tres dimensiones de análisis. ANÁLISIS CONCEPTUAL Definiciones La definición de límite experimenta una evolución desde los libros del bloque A a los del bloque B, aunque tienen elementos comunes como son la idea de infinitésimos y el lenguaje de incrementos. En particular, en el libro de Fernández de Castro y Jiménez Jiménez (sin fecha), después de la definición de los conceptos de variable y de sucesión, aparece la definición de límite de variable, particularizando para el caso de sucesiones: Se dice que una variable tiene un límite o tiende a un límite si, en la sucesión de sus valores, se verifica que a partir de uno de ellos la diferencia entre los demás y el límite es, en valor absoluto, tan pequeña como se quiera. Es una definición donde se mezclan el concepto de variable y el de sucesión. Posteriormente, al identificar función con variable se mantiene la definición anterior de límite. Además, la idea de infinitésimo está implícitamente subyacente en ella y, efectivamente, el lenguaje de infinitésimos se utiliza abundantemente a lo largo del tema. En Bruño (1968), hay un cierto cambio; la definición de límite se da explícitamente utilizando el lenguaje de sucesiones: Una función f(x) tiene límite b cuando la variable x tiende a a cuando eligiendo cualquier sucesión de valores x1, x2,... ,xn que tienen límite a; los correspondientes valores de f(x): f(x1), f(x2),...,f(xn) tienen por límite b. En los libros de Sixto Ríos y Rodríguez San Juan (1950, 1968a, 1968b), aunque el concepto de función se sigue presentando ligado al concepto de variable, el concepto de límite ya se empieza a definir a partir de las funciones, y se hace mediante sucesiones. La definición es: El límite de la función f(x) cuando x tiende a a es el número b, si se verifica que los valores de la función f(x) se aproximan tanto como queramos a b, tomando los valores de la variable x convenientemente próximos a a (no se hace ninguna hipótesis sobre el valor de la función en el punto a). Esta definición se completa dando una interpretación geométrica del límite de una función en un punto utilizando entornos simétricos. Se observa en estos dos autores una preocupación por los aspectos geométricos, que se traduce tanto en las interpretaciones de los conceptos como en los ejercicios propuestos, donde aparecen problemas de límites en contextos geométricos; es una característica que no se dará en el resto de los periodos. A nuestro juicio, durante este periodo se observa un cambio progresivo en la definición del concepto de límite, desde su presentación, ligado a la idea de variable, hasta la introducción del concepto de función, clarificándose el concepto de límite a partir del de función. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) 467 REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y SIMBÓLICAS Representaciones gráficas En los libros del bloque A, las representaciones gráficas son muy escasas. En el libro de Fernández de Castro y Jiménez Jiménez (s.f.) hay un cuadro resumen de las operaciones con límites donde aparecen las indeterminaciones. En los libros del bloque B, hay un aumento notable de representaciones gráficas: se da una interpretación geométrica del límite y se ponen contraejemplos sobre la existencia de límite, para lo cual se utiliza la representación gráfica de la función E(x) (parte entera de x). Las representaciones gráficas empleadas son cartesianas. Representaciones simbólicas La notación que se usa para el límite en los libros del bloque A está orientada a la idea de variable. Las variables se representan con las letras minúsculas del abecedario y los infinitésimos con las letras griegas correspondientes a las utilizadas para las variables. Se utiliza el símbolo (para representar el infinito, y esto ocurrirá de aquí en adelante en todos los libros analizados. Asimismo, se hace uso del valor absoluto (con la notación clásica de las barras) en las demostraciones. Además de las expresiones simbólicas, aparecen expresiones verbales a lo largo de los textos como: «tienden a», «tan pequeño como se quiera», «n crece infinitamente», «mayor que cualquier número por grande que sea», «tiende a cero más rápidamente que». También se tratan órdenes de infinitésimos e infinitésimos equivalentes. En los libros del bloque B aparece una simbolización más moderna del límite, los autores escriben: lim ƒ(x) = b, o bien ƒ(x)→ b, cuando x→ a. x → a que se lee: ƒ(x) tiende a b cuando x tiende a a. Se usa mucho el lenguaje de ε. Así, cuando los autores demuestran que el límite de una función es un cierto valor, a lo largo de dicha demostración afinan el valor de ε (ε/2, ε/4...) de modo que al final salga en el segundo miembro de la desigualdad. También son frecuentes expresiones que hemos mencionado anteriormente para los libros del bloque A. Aunque las representaciones gráficas y simbólicas son muy escasas, se observa una progresión notable, de modo que, en los libros de Sixto Ríos y Rodríguez San Juan (1950,1968b), los tipos de representación son acordes con su época, de acuerdo con la idea de contemporaneidad a que ya hemos hecho referencia. Análisis didáctico-cognitivo Como ya se ha señalado anteriormente, los prólogos o las introducciones a las diferentes lecciones nos ponen sobre la pista de las capacidades que los autores pretenden desarrollar en los alumnos. Ahora bien, hay que tener en cuenta que la ordenación de la educación secundaria en España sólo permitía, en la práctica, que un número limitado de españoles alcanzase este nivel educativo, constituyendo una élite entre la población española; precisamente, a este número reducido de alumnos, seleccionados primordialmente por criterios socioeconómicos, van dirigidos estos libros. El único libro en el que aparece explicitado el objeto de la lección es en el de Fernández de Castro y Jiménez Jiménez (s.f.) donde los conceptos tienen un carácter esencialmente instrumental, ya que lo que se pretende es: «Hallar unas reglas sencillas que nos permitan calcular con seguridad y rapidez el límite de variables complicadas en las que intervienen operaciones diversas algebraicas y aun trascendentes.» Este carácter instrumental está presente también en los otros libros estudiados. Una segunda característica es el carácter cíclico de los contenidos que se repiten en sucesivos cursos ampliándose y completándose en cada uno respecto del anterior. En todos los libros, el desarrollo es secuencial y formal, aunque las demostraciones no son totalmente rigurosas, sino que tienen ciertos componentes intuitivos. La idea que subyace es la de una matemática ya hecha que el alumno debe memorizar y practicar resolviendo ejercicios. En definitiva, las capacidades que se pretenden desarrollar en el alumno son: memorización de definiciones y propiedades y práctica algorítmica, con alguna excepción en los ejercicios planteados. Análisis fenomenológico En el libro de Fernández de Castro y Jiménez Jiménez (s.f.), cuando trata el concepto de variable, hace alguna referencia a fenómenos naturales como: hora del día, estación del año y circunstancias meteorológicas. Hecha esta salvedad, el resto de los libros hace solamente referencias a aspectos matemáticos cuando presentan los conceptos de límite y continuidad y, en general, el límite es concebido como una preparación para la derivada; aunque en algunos casos, como en el libro de Sixto Ríos y Rodríguez San Juan (1950), hay un componente geométrico importante referido al estudio de límites de pendientes de rectas secantes a una curva, de longitudes de cuerdas, de áreas bajo ciertas condiciones, de sucesiones de circunferencias. INTRODUCCIÓN DE LA MATEMÁTICA MODERNA (1967-75) Como es bien conocido, a comienzos de los años sesenta triunfó en casi todo el mundo occidental la enseñanza de las llamadas «matemáticas modernas»; en el caso español, se introdujo progresivamente en los programas de bachillerato. Las razones de dicha introducción, están recogidas en Rico y Sierra (1994), y son las siguientes: INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 468 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) a)La matemática moderna proporciona esquemas más sencillos para poder presentar la materia del bachillerato. b)Con la matemática moderna se pueden organizar dichas materias de modo más racional. c) Los fines esenciales de la matemática en la enseñanza media son dos: formativo e instrumental. d)Ambos fines pueden lograrse con más eficacia mediante la matemática moderna. e) Tanto en la teoría como en los algoritmos, el alumno, con la matemática moderna, puede llegar a discurrir con más precisión y claridad. f) Con la matemática moderna se estudiarán las materias que tengan carácter fundamental, y las que no poseen este carácter quedarán relegadas como simples ejercicios a desarrollar por los alumnos. En 1962 se constituyó la Comisión para el Ensayo Didáctico sobre la Matemática Moderna en los Institutos Nacionales de Enseñanza Media, presidida por el profesor Abellanas. La Comisión editó, en los años 1967 y 1969, textos piloto para el 5º y 6º curso de bachillerato, respectivamente, que se convirtieron, de hecho, en el nuevo programa de matemáticas que progresivamente se fue implantando en el bachillerato y cuyos cimientos son la teoría de conjuntos y las estructuras de las matemáticas en sentido bourbakista, es decir, las estructuras algebraicas, de orden y topológicas. Por lo que se refiere al límite, en dichos textos piloto, en 5º curso se hace una breve introducción a este concepto en el capítulo dedicado a funciones de variable real y, en 6º curso, dentro de un capítulo titulado de igual manera, se profundiza en ambos conceptos, primando el punto de vista topológico. Los nueve libros analizados se han agrupado en tres bloques. Estos bloques representan tres tendencias observadas en este periodo. Así, los libros del bloque A siguen el modelo de la etapa anterior (representado en los libros de Sixto Ríos y Rodríguez San Juan). Los del bloque B, que comprenden los textos piloto y los que siguen sus orientaciones e ideas, suponen una ruptura presentando las nuevas ideas acerca de la enseñanza de las matemáticas. Finalmente, los del bloque C introducen la matemática estructural y axiomática, pero a la vez proponen actividades para el alumno y las explicaciones se apoyan en ellas. Se observa que, junto al nuevo paradigma que surge como una auténtica revolución, se mantiene, coexistiendo con él, el antiguo. Esto nos recuerda las ideas kuhnianas sobre la estructura de las revoluciones científicas. Los resultados en cada una de las tres dimensiones son los que se exponen a continuación. Análisis conceptual Definiciones La definición de límite va evolucionando hacia un mayor formalismo. Así, en el bloque A se enfatiza la definición por sucesiones, aunque también aparece de modo residual la definición topológica que les lleva a utilizar entornos generales. En los libros piloto (bloque B) aparece la siguiente definición: Diremos que una función ƒ(x) = y tiene por límite b para x = a, cuando para todo entorno Eb del punto b, se verifica ƒ—1(Eb) = Ea-a, o bien, ƒ—1(Eb) = Ea. En el segundo caso, además de tener límite la función en x=a, diremos que es continua en dicho punto. Bloque A Bloque B Bloque C • Sin autores. Matemáticas sexto curso. • Abellanas, P., García Rúa, J., Rodríguez • Agustín, J.M. y Vila, A. Matemáticas 6º Edelvives. Zaragoza. 1972 (aprobado por Labajo, A., Casulleras Regás, J. y Marcos Bachillerato. Vol. 2. Vicens-Vives. OM 23-2-68). de Lanuza, F. Matemática moderna: Barcelona, 1973. Quinto curso. MEC. MADRID, 1967. • Segura, S. Matemáticas 6º curso. ECIR. • Marcos, C. y Martínez, J. Matemáticas Valencia, 1974. • Abellanas, P., García Rúa, J., Rodríguez generales COU. SM. Valencia, 1973. Labajo, A., Casulleras, Regás, J. y Marcos • Tuduri, J. y Casals, R. COU. de Lanuza, F. Matemática moderna. Matemáticas especiales. Vimasa. Terrasa, Sexto curso. MEC. Madrid, 1969. 1974. • Marcos de Lanuza, F. Matemáticas 5º curso. G. del Toro: Madrid, 1972a. • Marcos de Lanuza, F. Matemáticas COU optativa. G. del Toro. Madrid, 1972b. INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) 469 En los libros del bloque C se utiliza preferentemente la definición topológica, aunque se quiere conducir progresivamente al alumno a partir de ciertos ejemplos hasta las definiciones. Representaciones gráficas y simbólicas Representaciones gráficas Aparecen tablas, gráficas cartesianas y otras representaciones estrechamente ligadas al tipo de definición que se utiliza. En cuanto a las tablas, cuando los autores presentan el concepto de límite utilizando sucesiones, por ejemplo, en el libro de la editorial Edelvives (1972) (bloque A), aparecen tablas con los valores de dichas sucesiones y los correspondientes de f(x), mientras que, cuando se utiliza la definición topológica, en el libro de Agustí y Vila (1973) (bloque C), las tablas de valores de la función se usan para comprobar que se verifica dicha definición en casos particulares. Las gráficas cartesianas aparecen en todos los libros analizados, algunas de ellas incluso realizadas a mano alzada presentando las características que interese resaltar. Por ejemplo, cuando se da la definición en sentido topológico, se representan entornos de un punto y de su imagen inversa, incluso cuando se trata del infinito. En el bloque C, hay además otros tipos de representaciones gráficas como diagramas de Venn (Marcos y Martínez, 1973) y uso de la recta numérica (Agustí y Vila, 1973). Representaciones simbólicas Todos utilizan lim f(x) = l con las letras a, l u otras x → a diferentes, y también ƒ(x) → l. Las excepciones, las x → a constituyen los libros de Marcos de Lanuza (1972a, 1972b) del bloque B con lim f(x) = l y el libro de Agustí x → a y Vila (1973) del bloque C con limaF = l. Las notaciones evolucionan desde las correspondientes a la definición de límite por sucesiones hasta la definición topológica, adaptándose a cada tipo de definición. En particular, el significado que se da al símbolo ε varía de unos a otros: mientras que en unos se considera como algo «arbitrariamente pequeño» (Segura, 1974, bloque A), en otros se considera simplemente ε > 0 (Tuduri y Casals, 1974, bloque A; Marcos y Martínez, 1973, bloque C). Como en los libros del bloque B se utiliza la definición topológica, aparecen referencias a entornos. En los textos piloto se utilizan representaciones simbólicas de dichos entornos, bien utilizando subíndices como Ea y Eb o bien entornos centrados (b - ε, b + ε) y en otros textos se tratan de forma exclusivamente verbal. También en los libros del bloque C, aparecen notaciones de entornos; por ejemplo, en Agustí y Vila (1973), se dice: Diremos que l es el límite de F en a, si para todo entorno B de l se puede encontrar un entorno reducido de a A0 = A - {a} de modo que ƒ(A0) B. También en este bloque se inicia el uso de los símbolos de los cuantificadores. Así, en Marcos y Martínez (1973), aparece la siguiente definición: Se dice que la funciónƒ(x) tiende hacia L cuando x tiende hacia +∞ (o hacia -∞), si para todo ε > 0 existe un real positivo A, tal que |x| > A implica |ƒ(x)-L| < ε; ∀ ε > 0, ∃ A > 0 tal que |x| > A ⇒ |ƒ(x)-b| < ε. Análisis didáctico-cognitivo Los libros del bloque A no tienen prólogos en donde los autores expresen sus ideas acerca de la enseñanzaaprendizaje de las matemáticas. No obstante, como ya se ha señalado, siguen el modelo de la etapa anterior y las capacidades que pretenden desarrollar son: aprendizaje memorístico de las definiciones y aplicación de estas definiciones a la resolución de ejercicios. Los libros del bloque B suponen una ruptura con el bloque anterior, ya que con ellos se introduce la matemática moderna en el bachillerato. De acuerdo con Steiner (1987), las ideas acerca del conocimiento matemático influyen en las teorías de enseñanza-aprendizaje de ese conocimiento; por ello, para poder llevar a cabo este análisis cognitivo, tenemos que hacer referencia a ciertos aspectos epistemológicos, máxime cuando estamos en un punto de ruptura con el pensamiento anterior. Siguiendo las ideas de la matemática moderna, en los textos piloto, los conjuntos y las aplicaciones son los cimientos sobre los que se pretende construir el edificio de la matemática, y las estructuras, las herramientas para construir dicho edificio. Estas ideas se ven reflejadas en el tratamiento del límite: la orientación topológica no es casual sino que es justamente la preconizada por los pioneros de la reforma de las matemáticas de acuerdo con las ideas bourbakistas. Por ello los conceptos de conjunto, número real y entorno se utilizan constantemente. En los otros dos libros de este bloque se enfatizan las ideas aparecidas en los textos piloto. En consonancia con lo dicho hasta ahora, las capacidades que se pretenden desarrollar son: adquisición de las formas de hacer del nuevo lenguaje de la matemática moderna, el conocimiento de la definición de límite en este lenguaje, el aprendizaje de las definiciones mediante actividades dirigidas, la aplicación de las definiciones a la resolución de ejercicios y el desarrollo de algoritmos para el cálculo de límites de expresiones algebraicas. Los libros del bloque C se sitúan decididamente en la corriente de la matemática moderna con las implicaciones cognitivas subyacentes. Esto se expresa claramente en el prólogo del libro de Marcos y Martínez (1973), en el cual no sólo se ensalza a Bourbaki, sino que también se hace mención explícita a Piaget, diciendo textualmente que «Piaget ha demostrado que las formas humanas de pensamiento coinciden con las estructuras de la matemá- INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA 470 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) tica moderna». Asimismo, el libro de Agustí y Vila (1973) tiene una clara influencia de las obras de Papy y sus colaboradores, con una preponderancia de los aspectos topológicos sobre los métricos según el espíritu bourbakista, pero con numerosas actividades. Advertimos, por consiguiente, un cierto cambio en la visión de estos autores sobre la enseñanza de las matemáticas. Si hasta ese momento se miraba casi exclusivamente el contenido de la materia, en estos libros se empieza a considerar al alumno como sujeto que aprende, tratando de explicar este aprendizaje desde las teorías piagetianas. Respecto a las capacidades que se pretenden desarrollar, en nuestra opinión, son muy diferentes de un libro a otro, probablemente por los cursos distintos a los que se dirigen. Así, mientras que en el libro de Marcos y Martínez (1973) se pretende que el alumno aprenda memorísticamente las definiciones, que se acostumbre al mecanismo de las demostraciones deductivas y realice numerosos ejercicios, en el libro de Agustí y Vila (1973), se pretende que el alumno vaya construyendo de una manera dirigida los distintos conceptos, que entrevea algunas demostraciones y realice numerosos ejercicios. Análisis fenomenológico En los libros del bloque A no hay referencias a situaciones o fenómenos propios de otras ciencias distintas de las matemáticas y, en el caso de éstas, se reducen a casos de funciones polinómicas, radicales, logaritmos, cocientes de polinomios y funciones trigonométricas. La idea de límite funcional sólo aparece como ejemplo más significativo en Segura (1974), en el caso de un grifo que deja caer una gota cada minuto. Dicha idea está basada en el límite de sucesiones. Respecto del bloque B, no hay referencias a fenómenos que puedan ser organizados mediante el límite y que sean exteriores a la propia matemática. La matemática se encierra en sí misma y se explica por ella misma. Incluso desaparecen las interpretaciones y los problemas en sentido geométrico de la época anterior. Parece como si esta parte del análisis matemático fuera independiente del resto de las ramas de las matemáticas. Insistimos en la predominancia de la visión topológica en el caso del límite. Incluso en el caso de la discontinuidad de una función, la idea de estar partida, más que una idea intuitiva, es una idea que se utiliza para reafirmar el uso de los entornos. Tampoco en los libros del bloque C hay referencias a fenómenos distintos de los de la propia matemática, aunque existen algunas peculiaridades. Así, el concepto de límite no sólo está ligado a funciones expresadas de forma algebraica, sino que aparece en relación con otras ramas de la matemática, como la geometría (en el caso de Marcos y Martínez, 1973) y las estructuras matemáticas (Agustí y Vila, 1973). En definitiva, todos los libros analizados reflejan un cierto espíritu de la época en cuanto a la concepción de las matemáticas. Es interesante resaltar que, aunque los promotores de la reforma, Papy y Dieudonné, entre otros, señalan que las matemáticas están por todas partes y que son un instrumento para comprender la realidad, en escasas ocasiones, en sus obras dedicadas a la enseñanza, aparecen las matemáticas para interpretar fenómenos de otras ciencias. Igual sucederá en el caso español, en los libros de texto de este periodo, lo que va a marcar toda una generación de profesores y alumnos, que transmitirán y asimilarán, respectivamente, unas matemáticas sin conexión con otras ciencias y fenómenos. DESARROLLO DEL PLAN DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO UNIFICADO POLIVALENTE (BUP) Y DEL CURSO DE ORIENTACIÓN UNIVERSITARIA (COU). 1975-95 A comienzos de la década de los setenta se emprende una reestructuración del sistema educativo español, que culmina con la aprobación de la Ley General de Educación y Financiamiento de la Reforma Educativa, promulgada el 4 de agosto de 1970. Se estableció el bachillerato Unificado y polivalente, BUP, y el curso de orientación universitaria, COU, necesario para acceder a estudios universitarios. La duración del bachillerato se estableció en tres cursos (14-17 años). El plan de estudios se estructuraba en materias comunes, materias optativas y enseñanzas y actividades técnico-profesionales. Las matemáticas aparecieron como una asignatura dentro del área Ciencias Matemáticas y de la Naturaleza. Sin embargo, hasta el año 1975 no se estableció el currículo para el nuevo bachillerato (Decreto del 23 de enero de 1975, desarrollado en el BOE del 18 de abril del mismo año). Las matemáticas tenían un carácter de asignatura obligatoria en cada uno de los tres cursos del bachillerato, aunque posteriormente las del tercer curso pasaron a ser opcionales. El concepto de límite aparece en los documentos oficiales en 2º curso, sugiriendo como orientación didáctica introducirlo de forma métrica en contraposición con la orientación topológica del periodo anterior y, en cambio, reducir el cálculo de límites a casos sencillos. En el mismo decreto en el que se aprobaba el plan de estudios de bachillerato, se reguló el curso de orientación universitaria estableciendo un núcleo de materias comunes y dos opciones; en cada opción aparecían a su vez, dos materias obligatorias y tres optativas, entre las cuales el alumno debía escoger dos de éstas. Las matemáticas figuran como optativa en la opción A y como obligatoria en la opción B. El programa contenía cuatro grandes temas, siendo uno de ellos: «Ampliación del cálculo diferencial e integral», sin pormenorizar su contenido. Ambos programas mantienen una orientación formalista y estructuralista. Rico y Sierra (1997) señalan tres ideas que sustentan el convencimiento del carácter irreversible dado al programa de las matemáticas modernas: en INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1999, 17 (3) 471 primer lugar, el carácter científico, completo y avanzado del nuevo programa de las matemáticas escolares. Este punto de vista es parcial e incompleto, ya que se desconocen las dificultades de fundamentación y desarrollo de la mayor parte de los temas de la matemática elemental en base al programa bourbakista. La segunda idea fue la supuesta implantación de estos programas en la mayoría de los países, salvo raras excepciones, y su aceptación universal. La tercera razón fue la legitimación desde el punto de vista de la psicología, bajo la influencia de los grandes psicólogos cognitivos de la época, principalmente Piaget y Bruner. Sin mayor criterio, durante años se defendió que la enseñanza de las estructuras matemáticas a los niños y adolescentes estaba fundada en argumentos cognitivos, respondía a una moderna teoría del aprendizaje y tenía carácter evolutivo. «Tenemos, pues, que en los años setenta se produce en España una confluencia de intereses entre algunos profesores universitarios, ciertos responsables administrativos del diseño curricular y algunos psicólogos de la educación, quienes con una considerable deficiencia de formación sobre el currículo de las matemáticas, sus problemas y limitaciones, establecen un programa de formación formalista desde preescolar hasta la universidad. La vigencia de este currículo, la ciframos en veintidós años y su periodo de influencia indiscutible se sitúa en la década de los setenta.» (Rico y Sierra, 1997, pp. 46). Salvo algunas excepciones, el programa de la matemática moderna se recibió acríticamente y se incorporó a nuestro sistema educativo sin una reflexión propia sobre nuestras necesidades específicas. Más tarde, en 1987 (OM de 3 de septiembre) se modificó la estructura del plan de estudios de COU. Se establecieron cuatro opciones, incorporando a las opciones C y D orientadas hacia las ciencias humanas y sociales, una nueva asignatura llamada Matemáticas II con tres grandes temas, uno de los cuales se titulaba: «Análisis descriptivo de funciones y gráficas», en el que se indicaba que no es imprescindible la formalización del concepto de límite ni tampoco utilizar una notación rigurosa para definir un vocabulario básico. En nuestro trabajo no hemos analizado libros de texto de esta asignatura. Durante la década de los ochenta, se produjo un amplio debate sobre la reforma educativa en España que culminó con la aprobación y promulgación en 1990 de la ley de Ordenación General del Sistema Educativo (LOGSE), que ha supuesto una profunda transformación de dicho sistema. Esta ley establece una nueva etapa de Bloque A Bloque B Bloque C Bloque D • Marcos de Lanuza, F. • Guillén, J., Navarro, R., • Grupo Cero. Matemáticas de • Hernández, F., Lorenzo, F., Matemáticas 2º BUP. G. del Peña, J.A. y Ferrer, S. bachillerato. Volumen 2. Martínez, A. y Valdés, J. Toro. Madrid, 1978. Matemáticas 2º Bachillerato. Teide. Barcelona. 1985. Signo II. Matemáticas 2º Magisterio. Madrid, 1976. Bachillerato. Bruño. • Marcos de Lanuza, F. Madrid, 1989. Matemáticas especiales. COU. • Boadas, J., Romero, R. G. del Toro. Madrid, 1976. y Villalbí, R. Matemáticas • Colera, J. y Guzmán, M. 2º curso de BUP. Teide. Bachillerato. Matemáticas 2. • Agustí, J.M. y Vila, A. Barcelona, 1976. Anaya. Madrid, 1994. Matemáticas. Vectores, 2º BUP. Vicens Vives. Barcelona, 1976. • Etayo, J., Colera, J. • Guzmán, M. y Colera, J. y Ruiz, A. Matemáticas 2º Matemáticas I COU. de BUP. Anaya. Anaya. Madrid, 1989. Salamanca, 1977. • Anzola, M., Caruncho, J. y Gutiérrez, M. Matemáticas 2º de Bachillerato. Santillana. Madrid, 1976. • Lazcano, I. y Barolo, P. Matemáticas 2º BUP. Edelvives. Madrid, 1993. • Álvarez, F., García C., Garrido, L.M. y Vila, A. Matemáticas. Factor 2. Vicens Vives. Barcelona, 1992.