Convergencia en las regiones españolas : cambio técnico, eficiencia y productividad

Revista Española de Economía, Vol. 15, nº 2, 1998 235-264 Convergencia en las regiones españolas: cambio técnico, eficiencia y productividad * Joaquín Maudos 1,2 José Manuel Pastor 1 Lorenzo Serrano 1 1. Universitat de València. Departamento de Análisis Económico. 2. Instituto Valenciano de Investigaciónes Económicas (IVIE). Recibido: octubre de 1997 Aceptado: mayo de 1998 Resumen El objetivo de este trabajo es analizar la convergencia en la productividad del trabajo de las regiones españolas en el período 1964-1991. Se utiliza una aproximación frontera no paramétrica para calcular el índice de Malmquist de productividad. A través de su descomposición, se cuantifica la contribución del progreso técnico, de los cambios en eficiencia y de la acumulación de inputs por trabajador a la convergencia de la productividad del trabajo. A diferencia de otros trabajos, los resultados obtenidos muestran que, lejos de existir un proceso de catching-up tecnológico, el progreso técnico ha jugado en contra de la convergencia en la productividad del trabajo, dado que las regiones ricas han experimentado mayores tasas de crecimiento del progreso técnico. Palabras clave: convergencia, cambio técnico, eficiencia, índice de Malmquist. Abstract. Convergence in the Spanish regions: technical change, efficiency and productivity The aim of this paper is to analyze the convergence of labor productivity in the Spanish regions over the period 1964-1991. A nonparametric approach is used to compute Malmquist productivity indexes. Through their decomposition, we calculate the contribution of technical progress, changes in efficiency and inputs accumulation per worker to the convergence of labor productivity. Contrary to other papers, the results show that, far from existing a process of technological catching-up, the technical progress has played against the convergence in labor productivity, since richer regions have experienced larger rates of growth of technical progress. Key words: convergence, technical change, efficiency, Malmquist index. * Los autores agradecen los comentarios de Francisco Pérez y de dos evaluadores anónimos. Una versión anterior ha sido difundida como documento de trabajo WP-EC 97-20 del Instituto Valenciano de Investigaciones Económicas. (IVIE). El trabajo se ha desarrollado en el marco del proyecto SEC98-0895 de la CICYT. 236 Vol. 15, nº 2, 1998 Joaquín Maudos; José Manuel Pastor; Lorenzo Serrano 1. Introducción El estudio de la convergencia entre países en términos de renta per capita y productividad del trabajo ha dado lugar al desarrollo de una amplísima literatura. 1 En especial, la existencia de convergencia, aunque a un ritmo moderado, ha sido profusamente documentada en el caso de los países de la OCDE, situándose esta cuestión en el centro del debate relativo al crecimiento económico. Con el propósito de comprender mejor las fuerzas que subyacen a ese proceso de convergencia, parte de la literatura se ha dedicado a analizar la hipótesis del catching-up tecnológico en los niveles de productividad total de los factores (PTF). Dicha hipótesis, asociada a la difusión tecnológica, se debe al hecho de que es más barato asimilar e imitar tecnología que innovar. Así, la posibilidad de los países pobres de acceder a la tecnología de los países ricos permitiría rápidos crecimientos de la PTF de tal forma que lograran crecer a tasas superiores. 2 Sin embargo, estos trabajos que relacionan convergencia y PTF suelen obtener esta última mediante índices de Törnqvist u otras aproximaciones como la contabilidad del crecimiento que, en palabras de Grosskopf (1993), «ignoran la eficiencia». El problema subyacente consiste en que estos métodos, válidos tan sólo bajo el supuesto de eficiencia técnica y asignativa, dan lugar a estimaciones sesgadas del progreso técnico en presencia de ineficiencia. Además, no permiten descomponer el crecimiento de la PTF, omitiéndose de ese modo el hecho de que parte de ese crecimiento se deba a ganancias de eficiencia y no sólo al progreso técnico. En el caso de los estudios que han analizado la importancia de la PTF sobre la convergencia por medio de la estimación de funciones medias de producción se asume implícitamente que existe algún nivel medio de eficiencia descrito por la propia función de producción respecto del cual las desviaciones son aleatorias y pueden ser absorbidas por un término de error con las propiedades habituales. Estos estudios suponen, por tanto, que las diferencias de eficiencia son poco significativas. Sin embargo, en el caso de que estas diferencias sean importantes, los resultados estarían sesgados. Con el fin de evitar estos problemas, la aproximación utilizada en este trabajo permite la existencia de ineficiencia. Existen diversos trabajos que, con el fin de paliar estos problemas, han incorporado explícitamente la existencia de ineficiencia en el análisis del crecimiento de la productividad y del progreso técnico mediante el uso de técnicas frontera donde se supone que todos los individuos tienen acceso a la misma tecnología representada por la frontera. Este supuesto, habitual en los estudios a nivel de países 3 , está más justificado cuando se trabaja con estados (en caso de EEUU 4 ) o regiones 5 de un mismo país. Los resultados obtenidos en todos estos trabajos ponen de manifiesto la existencia de importantes niveles de ineficiencia que 1. Véase Barro y Sala-i-Martin (1995) para un resumen de la evidencia empírica. 2. Véase Abramovitz (1986 y 1994). 3. Färe y otros (1994), Fecher y Perelman (1992), Perelman (1995), entre otros. 4. Éste es el caso del trabajo de Domazlicky y Weber (1997). 5. Véase Gumbau y Maudos (1996) en el caso de las regiones españolas. Convergencia en las regiones españolas: cambio técnico, eficiencia… Vol. 15, nº 2, 1998 237 varían ampliamente entre países y a lo largo del tiempo, indicando que la omisión de la ineficiencia en el análisis puede afectar de modo sustancial a la validez de los resultados. 6 En general, este segundo tipo de literatura se ha centrado en el crecimiento de la PTF y su descomposición en progreso técnico y cambios de eficiencia sin entrar en el análisis de la convergencia. La única excepción son los recientes trabajos de Taskin y Zaim (1997) y Maudos y otros (1999) quienes muestran para una muestra de países de la OCDE cómo el progreso técnico ha sido una fuente de divergencia en la productividad del trabajo, al contrario de las ganancias de eficiencia. Existe, por tanto, toda una literatura sobre la convergencia de la PTF y su contribución a la convergencia de la productividad del trabajo que no tiene en cuenta la eficiencia. Por otro lado, los trabajos que sí la tienen en cuenta, no prestan generalmente atención al papel de ésta como mecanismo de convergencia de la productividad del trabajo. El caso de las regiones españolas no ha sido una excepción al interés general sobre la convergencia como nos muestra el hecho de que desde inicios de la década de los noventa sean casi una treintena los trabajos realizados sobre esta cuestión. Los trabajos realizados se han centrado en la importancia de diversos mecanismos y variables condicionantes de la convergencia: la convergencia en la relación capital trabajo asociada a la existencia de rendimientos marginales decrecientes que postula el modelo neoclásico (Mas y otros, 1995a y b ; Pérez y otros, 1996; entre otros); la importancia de la estructura productiva (Mas y otros, 1994 y 1995a y b; Dolado y otros, 1994; Raymond y García, 1994; De la Fuente, 1996); el papel del capital humano (Dolado y otros, 1994; De la Fuente, 1996; Serrano, 1998); la importancia de las infraestructuras (Mas y otros, 1994, 1995a y b); los movimientos de la población (Dolado et. al, 1994; Raymond y García, 1996); y la transferencia tecnológica (De la Fuente, 1996 y Mas y otros, 1998). Al igual que en el caso del estudio de la convergencia entre los países de la OCDE, el papel de la difusión tecnológica ha sido señalado como un importante mecanismo de convergencia en el caso de las regiones españolas. La importancia de este mecanismo de convergencia, apuntada ya en Dolado y otros (1994), ha sido empíricamente analizado en De la Fuente (1996) y Mas y otros (1998). En el primer caso, se estima una ecuación de convergencia derivada de una función de producción Cobb-Douglas donde la tasa de crecimiento del progreso técnico se hace depender del stock de capital humano y del diferencial tecnológico con respecto al promedio nacional. La principal conclusión del trabajo es que «la introducción del efecto catch-up resulta en una tasa de convergencia regional más 6. Färe y otros (1994) y Fecher y Perelman (1992) comparan sus resultados con el crecimiento de la PTF obtenido a través de la aproximación standard de la contabilidad de crecimiento formulada mediante número índice de Törnqvist. En ambos casos se aprecian diferencias significativas, confirmándose así la limitación que supone ignorar que existe ineficiencia al estimar la PTF. 238 Vol. 15, nº 2, 1998 Joaquín Maudos; José Manuel Pastor; Lorenzo Serrano elevada y sugiere que el motor más importante de este proceso podría ser, en vez de la operación de los rendimientos decrecientes, el rápido acercamiento de los niveles de productividad total de los factores en las distintas regiones». En el trabajo de Mas y otros (1998) se analiza el fenómeno de la convergencia tecnológica mediante la aproximación no frontera de números índice (PTF contable). Tras calcular contablemente el nivel de PTF de las regiones españolas, se analiza la convergencia ( β y σ convergencia) de la PTF a partir de 1964. En dicho trabajo se llega a la conclusión de que la convergencia tecnológica ha sido un importante mecanismo de convergencia. Sin embargo, tanto en De la Fuente (1996) como en Mas y otros (1998) se utilizan indistintamente los conceptos de eficiencia, cambio técnico y productividad como si de sinónimos se tratara, cuando desde un punto de vista teórico, las ganancias de eficiencia y el cambio técnico son dos fuentes distintas de crecimiento en la PTF. En este contexto, el propósito de este trabajo es analizar la convergencia en la productividad del trabajo de las regiones españolas a lo largo del período 1964-91 distinguiendo la contribución de las distintas fuentes de crecimiento (progreso técnico, cambios en la eficiencia y acumulación de inputs por trabajador). Para ello se calculan índices de productividad de Malmquist obtenidos mediante métodos frontera no paramétricos. Mediante este enfoque, será posible atribuir a la acumulación de inputs por trabajador y al crecimiento de la PTF la parte de la convergencia en productividad del trabajo que le corresponda, distinguiendo dentro de la PTF la parte correspondiente al cambio técnico y a la eficiencia. Los motivos de utilizar un enfoque no paramétrico frente a la aproximación paramétrica de frontera estocástica son varios: en primer lugar, la aproximación parámetrica exige imponer una determinada forma funcional y de ahí los posibles sesgos de especificación; en segundo lugar, en la aproximación paramétrica estocástica es necesario imponer supuestos distribucionales para el término de ineficiencia pudiendo ser los resultados sensibles a la distribución impuesta; y en tercer y último lugar, la aproximación paramétrica de frontera estocástica no permite obtener una tasa de crecimiento del progreso técnico distinta para cada individuo de la muestra. La estructura del trabajo es la siguiente. En el apartado 2 se pone de manifiesto la importancia de distinguir los conceptos de progreso técnico y eficiencia, y se describe brevemente la metodología utilizada para la estimación del crecimiento de la PTF así como sus dos componentes (cambio de eficiencia y cambio técnico) relegando a un apéndice los aspectos más técnicos. El apartado 3 se destina a describir la muestra utilizada así como los resultados obtenidos en términos de eficiencia, cambio técnico y productividad. El apartado 4 analiza la importancia que las ganancias de eficiencia, el progreso técnico y la productividad total de los factores han tenido en el proceso de convergencia en la productividad del trabajo. El apartado 5 se dedica a plantear los factores que pueden explicar las diferencias de eficiencia entre regiones así como su efecto sobre la convergencia en la productividad del trabajo vía su influencia en la eficiencia. Por último, el apartado 6 contiene las conclusiones del trabajo. Convergencia en las regiones españolas: cambio técnico, eficiencia… Vol. 15, nº 2, 1998 239 2. Eficiencia, cambio técnico y productividad La aproximación tradicional al análisis de la productividad mediante modelos no frontera, que incluyen tanto los modelos de descomposición contable de las fuentes del crecimiento económico (Solow, 1957; Denison, 1972; etc.), como la aproximación de números índice (índices Divisia, Törnqvist, etc.) incorpora el supuesto implícito de que todos los individuos son eficientes, por lo que el crecimiento de la productividad se interpreta como desplazamiento de la función frontera (cambio técnico). Sin embargo, en presencia de ineficiencia, la estimación del progreso técnico estaría sesgada. Además, incluso en ausencia de ineficiencia técnica, la estimación contable del crecimiento de la PTF sería una estimación sesgada si las participaciones utilizadas en su cálculo no son las minimizadoras de costes, esto es, si existiera ineficiencia asignativa. 7 Por el contrario, las aproximaciones frontera al análisis de la productividad tienen en cuenta explícitamente el posible comportamiento ineficiente de las unidades analizadas, midiendo como ineficiencia el incremento potencial del valor observado de la producción, medido éste respecto al máximo valor técnicamente alcanzable definido por la frontera de producción o tecnología. En este trabajo utilizamos el enfoque de índices de Malmquist de productividad. A diferencia de otras aproximaciones para la medición de la productividad, el índice de Malmquist permite descomponer los cambios de productividad en cambios de eficiencia y cambio técnico a nivel individual 8 lo que es más adecuado para los fines de este trabajo: analizar las fuentes de crecimiento de la productividad por regiones. Usualmente, para su cálculo se suele utilizar técnicas frontera no paramétricas (DEA) por lo que además hay que añadir una ventaja adicional en este enfoque, ya que no se impone ninguna forma funcional a los datos ni se realizan supuestos distribucionales para el término de ineficiencia, a diferencia de las técnicas paramétricas. 9 La frontera se define a través de la envolvente superior de los datos a través de técnicas de programación lineal, lo cual no significa que se imponga una tecnología lineal para la frontera, sino que lejos de imponerse lo que la caracteriza es su idoneidad para ajustarse a formas funcionales desconocidas. 10 No es objetivo de este trabajo analizar de forma panorámica las distintas 7. Véase una exposición más detallada en Grosskopf (1993). 8. En las técnicas paramétricas el cambio técnico se estima a través de efectos temporales o mediante la introducción de una tendencia obteniéndose en consecuencia una tasa de cambio técnico común para todos los individuos. 9. El principal inconveniente de esta aproximación es que la estimación de la ineficiencia puede estar sesgada al alza, al captar como ineficiencia la influencia de factores distintos a la misma, como errores de medida en los datos, mala suerte, clima, etc. El enfoque DEA estocástico se encuentra todavía en sus inicios, no siendo recomendable por el momento su aplicación (Lovell, 1993). 10. Gong y Sickles (1992) ofrecen evidencia en este sentido utilizando experimentos de Montecarlo y demuestran que DEA se ajusta mejor que las técnicas paramétricas a formas funcionales desconocidas. 240 Vol. 15, nº 2, 1998 Joaquín Maudos; José Manuel Pastor; Lorenzo Serrano aproximaciones para la medición de la eficiencia y la productividad, si bien resulta necesario describir brevemente la metodología que se va a emplear, quedando relegado a un apéndice (apéndice A.1) los detalles más técnicos de la aproximación utilizada. Para la medición del crecimiento de la PTF, en este trabajo se utiliza el índice de Malmquist de productividad basado en el output . Este índice permite medir el crecimiento de la productividad entre dos períodos t y t +1 utilizando para ello datos de producción e inputs de cada individuo (en nuestro caso regiones). El procedimiento se basa en el cálculo de la distancia que separa a cada individuo de la tecnología de referencia en cada período utilizando para ello la función distancia que puede expresarse como [1] Esta función puede definirse como la inversa de la máxima expansión a la es preciso someter el vector de outputs del período t ( y t ), dado el nivel de inputs ( x t ) , para que dicho individuo ( x t , y t ) sea eficiente y se encuentre por tanto sobre la frontera del período t . Ésta sería la función distancia para un solo período, ya que compara observaciones de un período con la tecnología del mismo período. No obstante, el índice de Malmquist requiere definir funciones distancia con respecto a tecnologías de períodos diferentes por lo que será necesario definir las siguientes funciones , y . Teniendo en cuenta lo anterior, el índice de Malmquist de productividad para analizar el cambio en la PTF entre el período t y t +1 se define como 11 : [2] o equivalentemente como [3] La anterior expresión muestra cómo el crecimiento en la PTF, representado por M 0 , se puede expresar como el producto de dos componentes, el efecto catching-up o cambio en la eficiencia relativa (CE) entre los períodos t y t +1, que está representado por el primer ratio, y el cambio técnico (CT) entre los períodos t y t +1, representado por la media geométrica de las dos ratios de dentro de los corchetes . 11. Véase Färe y otros (1994) y el apéndice técnico A.1. D0 txtyt ,()inf ©tt,:x ty t© tt, ⁄,()F t ∈{}sup ©tt,:x t© tt,y t ,()F t ∈{}[] 1– == D 0 t1+ x j t1+ y j t1+ ,()D 0 t x j t1+ y j t1+ ,() D 0 t1+ x j t y j t ,() M 0 x t1+ y t1+ x t y t ,,,() D 0 t x t1+ y t1+ ,() D 0 t x t y t ,() ---------------------------------    D 0 t1+ x t1+ y t1+ ,() D 0 t1+ x t y t ,() -------------------------------------    1 2 --- = M0xt1+ yt1+ xtyt ,,,() D 0 t1+ x t1+ y t1+ ,() D 0 t x t y t ,() ------------------------------------- D0 txt1+ yt1+ ,() D 0 t1+ x t1+ y t1+ ,() -------------------------------------    D 0 t x t y t ,() D 0 t1+ x t y t ,() --------------------------    1 2 --- = Convergencia en las regiones españolas: cambio técnico, eficiencia… Vol. 15, nº 2, 1998 241 Si M0 es superior a la unidad indicará que la productividad ha crecido entre los períodos t y t+1. Esto puede ser debido a que la eficiencia ha mejorado (CE>1) y/o a que ha habido progreso técnico (CT>1).12 Adicionalmente, y dado que no se impone que la tecnología adopte rendimientos constantes a escala, sino que se permite que estos sean variables, se descomponen los cambios en eficiencia técnica total (CE)13 en aquellos cambios que son debidos a cambios en la eficiencia técnica pura (CEP) y los cambios en la eficiencia de escala (CEE). Así, la descomposición final del crecimiento de la PTF, representado por M0, se deberá a cambios en la eficiencia (CE), debidos a su vez a cambios en la eficiencia técnica pura (CEP) y/o de la eficiencia de escala (CEE), y a cambio técnico (CT): [4] 3. Datos y resultados La muestra utilizada está compuesta por las comunidades autónomas españolas, excluidas Ceuta y Melilla, y abarca el período 1964-91. Se especifica un output y dos inputs: trabajo y capital físico. Las variables VAB (Y) y empleo (L) se obtienen de la información que suministra el Banco Bilbao-Vizcaya, mientras que la variable stock de capital privado (K) se obtiene de la estimación realizada por el Instituto Valenciano de Investigaciones Económicas (IVIE) publicada por la Fundación BBV, excluido el residencial. El sector modelizado es el total de la economía. La tabla 1 contiene las tasas anuales de crecimiento del VAB, del empleo y del capital físico en las distintas regiones españolas. Se distinguen varios subperíodos: el período completo 1964-91, así como los subperíodos de crecimiento (1964-73), crisis (1973-85) y recuperación (1985-91). La tabla 2 muestra los niveles medios del indicador de eficiencia estimados para el período 1964-91 y para los tres subperíodos de la muestra utilizando el enfoque no paramétrico descrito anteriormente.14 Un primer rasgo a destacar es el hecho de que Madrid es sistemáticamente eficiente en todo el período, siendo las CC.AA. de Extremadura y Galicia las más ineficientes. Es importante destacar que el hecho de que existan importantes niveles de ineficiencia sugiere la conveniencia de utilizar un enfoque que no ignore la eficiencia. 12. Nótese que el hecho de que M0>1 no implica que deba de existir mejoras de eficiencia (CE>1) y progreso técnico (CT>1), sino que pueden coexistir situaciones de mejoras de eficiencia junto con regreso técnico CE>1 y CT<1) o empeoramientos de eficiencia junto con progreso técnico (CE<1 y CT>1). 13. Véanse los detalles en el apéndice técnico A.1. 14. Un valor igual a la unidad significa que la región es eficiente siendo más ineficiente cuanto mayor es el valor del índice. M0CE CT⋅CEP CEE⋅()CT⋅== 242 Vol. 15, nº 2, 1998 Joaquín Maudos; José Manuel Pastor; Lorenzo Serrano Tabla 1. Estadísticos descriptivos: tasas de crecimiento (%) Producción (Y)* Capital (K)* Empleo (L) 1964-91 1964-73 1973-85 1985-91 1964-91 1964-73 1973-85 1985-91 1964-91 1964-73 1973-85 1985-91 Andalucía 4,12 6,19 2,28 4,69 4,72 6,99 3,13 4,47 -0,21 -0,22 -1,61 2,62 Aragón 3,59 5,04 2,48 3,62 4,06 5,74 3,26 3,16 -0,36 -0,52 -1,27 1,70 Asturias 2,82 5,72 1,00 2,10 3,58 5,84 2,36 2,61 -0,69 -0,06 -1,36 -0,30 Baleares 5,06 8,33 2,99 4,28 5,39 9,71 2,71 4,28 1,38 1,55 0,83 2,25 Canarias 5,52 8,81 3,29 5,06 5,66 8,50 3,54 5,62 1,19 2,01 0,11 2,13 Cantabria 2,59 3,63 1,65 2,90 2,52 4,93 1,12 1,71 -0,66 -0,17 -1,11 -0,53 Cataluña 3,86 5,83 2,07 4,46 4,64 6,30 3,39 4,63 0,81 1,95 -1,03 2,78 C-León 2,81 3,37 2,15 3,29 4,08 5,27 4,22 2,03 -1,12 -1,29 -1,90 0,71 C-Mancha 3,47 5,16 1,39 5,12 5,34 6,80 4,90 4,02 -0,85 -1,06 -2,05 1,85 Extremadura 3,34 4,35 2,13 4,26 5,26 6,83 5,61 2,19 -1,43 -1,32 -2,55 0,65 Galicia 3,94 5,28 3,03 3,75 4,33 6,00 3,52 3,44 -0,62 0,94 -1,26 -1,66 Madrid 4,72 6,83 3,34 4,32 5,62 7,58 3,78 6,35 1,55 2,93 -0,12 2,82 Murcia 4,63 7,04 2,90 4,48 4,61 6,74 2,86 4,92 0,60 1,13 -0,92 2,85 Navarra 3,71 4,90 2,15 5,03 4,31 5,74 3,05 4,69 0,22 0,57 -1,08 2,29 País Vasco 2,97 5,69 0,67 3,47 3,02 5,53 1,49 2,30 -0,00 1,32 -1,73 1,46 La Rioja 3,36 3,73 2,78 3,93 4,54 5,86 3,84 3,95 -0,08 0,39 -1,77 2,60 C. Valenciana 4,56 7,14 2,87 4,10 5,66 7,36 4,66 5,09 0,75 1,33 -0,45 2,27 Media 3,83 5,71 2,30 4,05 4,55 6,57 3,38 3,85 0,03 0,56 -1,13 1,56 * En términos reales Convergencia en las regiones españolas: cambio técnico, eficiencia… Vol. 15, nº 2, 1998 243 Tabla 2. Niveles de eficiencia. (1) Eficiencia técnica (2) Eficiencia técnica pura (3) Eficiencia de escala (1)/(2) 1964-73 1973-85 1985-91 1964-91 1964-73 1973-85 1985-91 1964-91 1964-73 1973-85 1985-91 1964-91 Andalucía 1,401 1,404 1,329 1,387 1,261 1,332 1,309 1,305 1,111 1,055 1,015 1,064 Aragón 1,361 1,271 1,181 1,282 1,313 1,226 1,143 1,235 1,036 1,036 1,033 1,037 Asturias 1,306 1,329 1,310 1,321 1,254 1,278 1,260 1,268 1,041 1,039 1,041 1,042 Baleares 1,202 1,172 1,161 1,189 1,091 1,093 1,107 1,101 1,100 1,072 1,049 1,080 Canarias 1,347 1,276 1,132 1,267 1,262 1,193 1,053 1,185 1,067 1,070 1,075 1,070 Cantabria 1,246 1,370 1,287 1,308 1,081 1,221 1,166 1,159 1,154 1,122 1,104 1,130 Cataluña 1,058 1,091 1,076 1,077 1,000 1,000 1,000 1,000 1,058 1,091 1,076 1,077 C-León 1,548 1,487 1,336 1,470 1,541 1,473 1,321 1,458 1,005 1,010 1,011 1,009 C-Mancha 1,468 1,524 1,421 1,479 1,418 1,478 1,386 1,435 1,036 1,031 1,025 1,031 Extremadura 1,548 1,797 1,531 1,654 1,425 1,676 1,453 1,543 1,086 1,072 1,054 1,072 Galicia 1,695 1,659 1,556 1,640 1,675 1,630 1,526 1,614 1,012 1,018 1,019 1,016 Madrid 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 Murcia 1,494 1,368 1,294 1,395 1,365 1,263 1,165 1,274 1,095 1,084 1,111 1,095 Navarra 1,232 1,221 1,144 1,205 1,069 1,086 1,044 1,067 1,152 1,124 1,096 1,129 País Vasco 1,008 1,080 1,061 1,054 1,004 1,066 1,044 1,042 1,004 1,012 1,016 1,011 La Rioja 1,376 1,321 1,219 1,311 1,000 1,000 1,000 1,000 1,376 1,321 1,219 1,311 C. Valenciana 1,206 1,245 1,211 1,228 1,197 1,238 1,207 1,222 1,008 1,006 1,003 1,006 Media 1,323 1,330 1,250 1,310 1,233 1,250 1,187 1,230 1,079 1,068 1,056 1,069 250 Vol. 15, nº 2, 1998 Joaquín Maudos; José Manuel Pastor; Lorenzo Serrano características de este tipo de economías, más parecidas a las de los países líderes. Por todo ello, el progreso técnico beneficia de modo especial a las comunidades más desarrolladas. La columna 4 muestra los resultados correspondientes a la PTF. Dado que el crecimiento de la PTF es la agregación del cambio en eficiencia (pura y efecto escala) y del progreso técnico, su contribución a la convergencia se corresponde con su efecto neto. En consecuencia el efecto acumulado en el período ha sido divergente (+2,50%) debido al progreso técnico, contradiciendo la evidencia aportada por trabajos anteriores (De la Fuente, 1996 y Mas y otros, 1998). Esto sucede con especial intensidad en el subperíodo 1964-73 (+6,29%) por idénticas razones. Durante el subperíodo 1973-85 sigue generando divergencia (+1,02%), aunque a un ritmo inferior y sin ser estadísticamente significativo en este caso, puesto que el efecto del cambio de la eficiencia y del progreso técnico se contrarrestan mutuamente. Sin embargo, durante el último subperíodo la PTF parece generar una ligera convergencia (-2,56%) aunque, de nuevo, se trata de un resultado no significativo. En este caso, la fuerte convergencia inducida por el comportamiento de la eficiencia es compensada parcialmente por la divergencia debida al progreso técnico. Finalmente, el efecto atribuible a la acumulación de inputs por trabajador, que podría asociarse al típico mecanismo neoclásico de convergencia, puede apreciarse en la columna 5. Se trata de una fuente sistemática, y generalmente significativa, de convergencia tanto en el conjunto del período (-4,69%) como en cada uno de los subperíodos: 1964-73 (-8,55%); 1973-85 (-3,76%) y 1985-91 (-3,07%). Así pues, la acumulación de factores productivos ha sido mayor en las comunidades con menores niveles iniciales de productividad del trabajo y, como resultado, ésta ha tendido a converger a nivel regional. Sin embargo, los resultados ponen de manifiesto que su contribución resulta cada vez menor, careciendo incluso de significatividad estadística en el último subperíodo. Llegados a este punto, resulta posible profundizar en la evolución seguida por la productividad regional del trabajo en España. Así, la magnitud de la convergencia en el subperíodo 1964-73 es similar a la del subperíodo 1973-85. Sin embargo, existe una apreciable diferencia de grado. En el primer caso se debe al intenso efecto convergencia de la acumulación de factores que contrarresta la fuerte divergencia inducida por el progreso técnico. En el segundo, el moderado efecto convergente conjunto de la acumulación de factores y de las ganancias de eficiencia contrarresta el efecto divergente asimismo moderado del progreso técnico. Finalmente, la convergencia en el subperíodo 1985-91 se debe al efecto del cambio en la eficiencia, con una mayor aproximación relativa de las comunidades menos desarrolladas a la frontera tecnológica, junto a la cada vez más débil influencia de la acumulación factorial. Por otra parte, hay que destacar el efecto divergente provocado por el progreso técnico. Este fenómeno puede explicar en buena medida lo lenta que resulta la convergencia. Puesto que el crecimiento es consustancial al progresivo desplazamiento de la frontera tecnológica puede considerarse, hasta cierto punto, que la divergencia está ligada al crecimiento debido a la propia naturaleza de este último. Los resultados obtenidos nos han permitido descomponer la contribución a la convergencia en productividad del trabajo de las diferentes fuentes de crecimien- Convergencia en las regiones españolas: cambio técnico, eficiencia… Vol. 15, nº 2, 1998 251 to, entre ellas, el cambio en la eficiencia. A continuación vamos a analizar la evolución de las desigualdades de la eficiencia entre las comunidades autónomas españolas. Con este objetivo, la figura 2 muestra la evolución de la desviación típica del logaritmo de la eficiencia a lo largo del período.18 Se aprecia cómo las desigualdades se han reducido a lo largo del tiempo. Sin embargo, dicho proceso de convergencia no ha sido uniforme. Así, se aprecia una fase de ausencia de convergencia e incluso de divergencia hasta finales de los años setenta seguida de una fase de convergencia hasta principios de los años noventa que sólo se ve interrumpida durante la crisis de principios de los años ochenta. 5. ¿Qué hay detrás de la eficiencia? Los indicadores de eficiencia hasta ahora obtenidos nos muestran el incremento potencial de la producción que las regiones españolas podrían conseguir si eliminaran sus niveles de eficiencia en la utilización de los factores de producción privados, capital y trabajo. Sin embargo, estos niveles de eficiencia pueden verse influidos por diversos factores exógenos en mayor o menor medida sobre los que las regiones tienen un reducido margen de maniobra. El procedimiento utilizado por la mayoría de los autores para la inclusión de estas variables exógenas o ambientales suele ser bietápico, esto es, en la primera etapa se obtienen los indicadores de eficiencia para, en una segunda etapa, regresar los indicadores obtenidos en función de las variables que teóricamente influyen en los niveles de eficiencia pero sobre las cuales las unidades evaluadas tienen escaso poder de influencia. De esta forma se obtiene información de inte18. El análisis de la evolución en el tiempo de las desigualdades entre regiones utilizando algún estadístico de dispersión corresponde a la idea de σ-convergencia. 0,20 0,16 0,14 0,08 1964 1967 1969 1971 1973 1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 0,18 0,12 0,10 Figura 2. Sigma convergencia en eficiencia (desviación típica del Ln). 252 Vol. 15, nº 2, 1998 Joaquín Maudos; José Manuel Pastor; Lorenzo Serrano rés que puede ser utilizada como guía de actuaciones de políticas públicas (en nuestro caso regionales).19 Entre los posibles determinantes de la eficiencia vamos a centrar nuestra atención en tres: la cualificación de la mano de obra o capital humano, las dotaciones de capital público y la especialización productiva o composición de la producción. No cabe duda acerca de la importancia de la «calidad» de los factores productivos utilizados para explicar diferencias de eficiencia y, por tanto, de productividad. A este respecto, son numerosos los trabajos que han puesto de manifiesto la importancia de la calidad del factor trabajo en la explicación de los crecimientos de productividad.20 Dicha explicación descansa tanto en el hecho de que una población ocupada más cualificada permite asimilar más rápidamente el progreso técnico como en el hecho de que un trabajador más «cualificado» es más eficiente. La dotación relativa de infraestructuras públicas de las regiones pueden también condicionar los niveles de eficiencia con los que se utilizan los inputs privados. Así, es de esperar que si una región está mejor dotada de capital público logre un mayor nivel de producción apareciendo, en consecuencia, como más eficiente. Finalmente, la distinta especialización productiva puede influir sobre los niveles de eficiencia estimados en la medida en la que las regiones más especializadas en sectores menos eficientes tendrán, a nivel agregado, un menor nivel de eficiencia.21 Con objeto de analizar empíricamente esta cuestión vamos a aproximar las tres variables explicativas de la siguiente forma: a) cualificación de la mano de obra aproximada a través del porcentaje de la población ocupada con al menos estudios medios, que es el indicador más habitual en la literatura tanto nacional (De la Fuente, 1996; y Serrano, 1997) como internacional (Barro y Lee, 1994). Para ello se utiliza la estimación realizada por el IVIE publicada por la Fundación Bancaja (Mas, Pérez, Uriel y Serrano, 1995). b) la importancia de las infraestructuras públicas se aproxima utilizando la información de la Fundación BBV-IVIE (1997). Dado que en diversos trabajos 19. En este tema, como en tantos otros, no existe consenso entre los autores respecto a si todas las variables deben incluirse en una sola etapa o si el modelo debe especificarse en dos etapas. No obstante, la práctica común adoptada en la mayoría de los trabajos consiste en introducir en la primera etapa aquellas variables sobre las que las unidades económicas tiene poder de decisión, relegando a la segunda aquellas variables exógenas sobre las cuales las unidades económicas tienen escaso poder de decisión. Sobre este punto, véase Lovell (1993). 20. Véase, entre otros, De la Fuente (1996) y Serrano (1997 y 1998). 21. Son diversos los trabajos que enfatizan la importancia de la composición sectorial (especialización productiva) para explicar el crecimiento económico. Así, trabajos como los de Barro y Sala-i-Martín (1991 y 1992), Mas y otros (1994), Raymond y García-Greciano (1994), De la Fuente (1996), o Bernard y Jones (1996b), muestran cómo la convergencia entre los niveles de renta per cápita y productividad del trabajo entre regiones o países puede estar condicionada por la composición del vector de producción elegido, ya que la especialización en sectores menos productivos (la agricultura, por ejemplo) actúa como un condicionante del nivel de renta a alcanzar (estado estacionario), siendo por tanto una rémora para el crecimiento económico. Convergencia en las regiones españolas: cambio técnico, eficiencia… Vol. 15, nº 2, 1998 253 (Mas y otros 1996 y 1998) se muestra que es el capital público más directamente ligado al proceso productivo el que es significativo en la explicación de las diferencias de productividad entre regiones, se utiliza el denominado stock de capital público productivo que incluye las dotaciones en carreteras, estructuras urbanas, puertos e infraestructuras hidráulicas. Además, y con objeto de escalar el capital público se utilizan cuatro variables alternativas: producción, ocupados, superficie y población. c) como es habitual en los estudios de convergencia22 la importancia de la estructura productiva se aproxima por el peso de la agricultura en el total de la producción. La tabla 5 muestra los resultados de la estimación de los determinantes de la eficiencia23 utilizando las cuatro especificaciones alternativas del capital público. Los signos de los parámetos estimados, siempre significativos, confirman los resultados esperados: a) las regiones con una mayor dotación relativa de capital público y humano logran mayores niveles de eficiencia en la utilización de los inputs privados; y b) las regiones más agrícolas presentan menores niveles de eficiencia confirmando este resultados los obtenidos en Gumbau y Maudos (1996). Con objeto de analizar si el sector público ha favorecido el proceso de convergencia en la productividad del trabajo vía el efecto del capital público y humano en la eficiencia, vamos a descomponer la convergencia en eficiencia de la misma forma en que se realizó en el apartado 4 en el caso de la convergencia en la productividad del trabajo. Así, la tasa de crecimiento de la eficiencia será la suma de 22. Véase la nota a pie de página 21. 23. La variable dependiente es el logaritmo de EF, presentando por tanto un punto de truncamiento en cero en el caso de las regiones eficientes (EF = 1). Por ese motivo el análisis de los determinantes de la eficiencia se realiza utilizando un modelo Tobit. Las variables explicativas también están expresadas en logaritmos. La estimación se ha realizado introduciendo efectos temporales. Tabla 5. Determinantes de la ineficiencia (1964-1991). Param. t-student Param. t-student Param. t-student Param. t-student A gricultura 0,128 11,207 0,116 8,436 0,075 5,727 0,135 11,026 C ap. humano -0,244 -8,086 -0,306 -10,912 -0,029 -11,109 -0,242 -7,987 C ap. público/pob. -0,077 -4,823 C ap. público/VAB -0,031 -1,735 C ap. público/superf. -0,035 -3,500 C ap. público/ocupados -0,078 -4,865 σ 0,062 20,918 0,065 20,895 0,064 20,947 0,062 20,905 L og verosimilitud 289 279 284 289 N úm. de observaciones 238 238 238 238 254 Vol. 15, nº 2, 1998 Joaquín Maudos; José Manuel Pastor; Lorenzo Serrano la tasa de crecimiento debida al capital público, la tasa de crecimiento debida al capital humano y la tasa de crecimiento debida al resto de posibles variables explicativas de la eficiencia, quedando en este último término incorporada la influencia de la estructura productiva. Al igual que en el caso anterior, el parámetro de convergencia asociado a la eficiencia será igual a la suma de los parámetros asociados a sus determinantes: capital humano, infraestructuras públicas y resto de variables. La tabla 6 muestra los resultados de la descomposición anterior de la eficiencia técnica tanto para el período 1964-91 como para los tres subperíodos considerados. Por simplicidad, los resultados se presentan escalando el capital público por la producción.24 Para el total del período, la contribución positiva de la eficiencia a la convergencia en productividad del trabajo (0,63%) se debe a su vez al efecto positivo del capital humano, actuando de este modo como una fuente de convergencia, mientras que ni el capital público ni el resto de factores parece haber influido en el proceso. De hecho, en el subperíodo inicial de crecimiento el capital público aparece como una fuente de divergencia. La situación cambia desde mediados de los setenta. Durante el subperíodo 1973-85 las mejoras en los resultados educativos de los ocupados dan lugar a una significativa convergencia en la productividad del trabajo debido a su efecto sobre la eficiencia regional. El período final de recuperación mantiene la pauta del anterior aunque de modo aún más pronunciado. Así, la notable convergencia de la productividad del trabajo inducida por las ganancias de eficiencia (-4,12%) debería atribuirse al patrón territorial de mejoras educativas (-2,61%) con la colaboración en este caso del capital público (-0,15%) que habría dejado de ser una fuente de divergencia y, en mayor medida, del resto de factores (-1,35%). 24. Los resultados se mantienen con independencia de cómo se escale el indicador de capital público. Tabla 6. Descomposición de los cambios en la eficiencia. bCE Cap. público /VAB Capital humano Resto de factores 1964-1991 -0,0063 0,0003 -0,0082 0,0015 (-1,981) (0,949) (-4,363) (0,346) 1964-1973 0,0072 0,0013 -0,0012 0,0070 (0,609) (2,045) (-0,309) (0,573) 1973-1985 -0,0146 -0,0005 -0,0120 -0,0021 (-2,442) (-0,559) (-4,797) (-0,322) 1985-1991 -0,0412 -0,0015 -0,0261 -0,0135 (-5,830) (-1,397) (-5,758) (-1,560) Entre paréntesis, t-student. Convergencia en las regiones españolas: cambio técnico, eficiencia… Vol. 15, nº 2, 1998 255 En resumen, el análisis de los factores explicativos de la eficiencia muestra cómo el capital humano, y por tanto, la política educativa ha favorecido la convergencia en productividad del trabajo a través de su efecto sobre la eficiencia. Por el contrario, el patrón territorial de la política de inversión pública no sólo no parece haber contribuido a la convergencia en el conjunto del período, sino que incluso habría sido una fuente de divergencia regional hasta mediados de los años setenta. 6. Conclusiones Los estudios que han analizado el proceso de convergencia en los países de la OCDE han puesto de manifiesto la importancia de la asimilación y difusión tecnológica como mecanismo de convergencia en la productividad del trabajo. Así, trabajos como el de Dowrick y Nguyen (1989) muestran que el proceso de catchup tecnológico ha contribuido a la convergencia en la productividad del trabajo en los países de la OCDE, siendo su contribución incluso superior a la acumulación de capital en el período 1960-73. Los trabajos que han analizado la importancia de la convergencia tecnológica se basan generalmente en el estudio de la PTF, estimada ésta mediante la utilización de aproximaciones no frontera (contabilidad del crecimiento o números índices). Sin embargo, el problema que presenta tal aproximación a la medición de la PTF es que se obtienen estimaciones sesgadas del progreso técnico en presencia de ineficiencia. En consecuencia, no cabe identificar progreso técnico con ganancias de PTF en presencia de ineficiencia. En este contexto el objetivo de este trabajo ha sido analizar la importancia de la eficiencia y del progreso técnico en el proceso de convergencia en productividad del trabajo observado en las regiones españolas en el período 1964-91, utilizando para ello una aproximación frontera a la medición de la productividad que permite descomponer las ganancias de PTF en progreso técnico y ganancias de eficiencia. Los resultados obtenidos muestran la existencia de importantes niveles de ineficiencia en las regiones españolas, si bien se ha producido una reducción de dichos niveles en el período analizado. La comparación de los niveles de eficiencia entre regiones muestra la existencia de importantes desigualdades, siendo Extremadura y Galicia las regiones menos eficientes, con niveles de ineficiencia muy por encima de Cataluña, País Vasco y Madrid. Los resultados son contrarios a los obtenidos en trabajos anteriores que no consideran la existencia de ineficiencia en su análisis. Así, lejos de existir un proceso de catching-up tecnológico, el progreso técnico ha jugado en contra de la convergencia en productividad del trabajo en todos los subperíodos considerados, dado que el cambio técnico ha sido siempre mayor en las regiones más ricas. No obstante, la descomposición de las ganancias de productividad en ganancias de eficiencia y progreso técnico muestra que, durante el subperíodo 1973-85 y sobre todo en el subperíodo 1985-91, las ganancias de eficiencia han sido un importante mecanismo de convergencia en productividad del trabajo, siendo su 256 Vol. 15, nº 2, 1998 Joaquín Maudos; José Manuel Pastor; Lorenzo Serrano contribución más importante que la de la acumulación de capital en el último de los subperíodos. Así, los resultados obtenidos contradicen los de otros trabajos que muestran como las mayores ganancias de PTF de las regiones más pobres han favorecido la convergencia en productividad del trabajo. Por el contrario, los resultados obtenidos en este trabajo muestran como son las regiones ricas (con mayor productividad del trabajo) las que han experimentado mayores crecimiento de la PTF (sobre todo a través de un mayor progreso técnico), actuando en consecuencia como mecanismo de divergencia. En conclusión, lejos de haberse producido un mecanismo de «contagio» a través de la transferencia tecnológica, el principal mecanismo de convergencia durante el período analizado ha sido el mayor ritmo de acumulación de capital de las regiones pobres. Finalmente, el análisis de los determinantes de las diferencias de eficiencia encontradas entre regiones muestra cómo las regiones con mayor capital humano e infraestructuras públicas logran una mayor eficiencia en el uso de los inputs privados y las regiones más agrícolas presentan menores niveles de eficiencia. A este respecto los resultados indican que la política educativa habría contribuido a una mayor convergencia regional a través del efecto de la progresiva igualación de los niveles educativos de los ocupados sobre la eficiencia. Por el contrario, la política de inversión pública no parece haber jugado un papel relevante. Apéndice técnico A.1 Para ilustrar el cálculo del índice de Malmquist25, supóngase que la función de transformación que describe la tecnología en cada período t es: [A.1] donde es el vector de outputs y denota el vector de inputs correspondientes ambos al período t. Siguiendo a Shephard (1970) o Caves y otros (1982), la tecnología de cada período t puede ser representada alternativamente a través de la «función distancia» de output (D0 t): [A.2] Dicha función se define como la recíproca de la máxima expansión a la es preciso someter el vector de outputs del período t(yt), dado el nivel de inputs (xt), para que dicha observación (xt, yt)se encuentre en la frontera del período t. Esta función caracteriza completamente la tecnología de tal forma que si y sólo si . Además, si y sólo si la observación se 25. Véase Malmquist (1953). Ftxtyt ,():x t puede producir y t {} = t 1 … T ,, = y ty I t …y N t ,,()R N + ∈=xtxI t…xN t ,,()R M + ∈= D0 txtyt ,()inf ©tt,:x ty t© tt, ⁄,()F t ∈{}sup ©tt,:x t© tt,y t ,()F t ∈{}[] 1– == D 0 t x t y t ,()1≤ x t y t ,()F t ∈D 0 t x t y t ,()1= x t y t ,() Convergencia en las regiones españolas: cambio técnico, eficiencia… Vol. 15, nº 2, 1998 257 encuentra en los límites de la frontera, lo cual ocurre cuando la observación es eficiente en el sentido de Farrell (1957). En la figura A.1 se ilustran los conceptos anteriores para una situación con un solo output y un solo input. La observación se encuentra situada por debajo de la tecnología del período t, lo cual significa que no es tecnológicamente eficiente. La función distancia se calcularía como la inversa del mayor incremento en el output, dado el input, de tal forma que el output expandido esté en la frontera tecnológica. En la figura, el output máximo estaría representado por . El valor de la función distancia de la observación en t, respecto a la tecnología en t, , vendría representado por . La medida de eficiencia técnica de Farrell orientada en output mide cuanto podría aumentarse el output, dados los inputs. En la figura se observa que la medida de eficiencia técnica de Farrell para la observación es es . Nótese que hasta el momento se ha definido la función distancia para un solo período. Concretamente se han comparado observaciones de un período con la tecnología del mismo período. Para definir el índice de Malmquist es preciso definir funciones distancia con respecto a tecnologías de períodos diferentes. [A.3] xtyt ,() y tt,y t© tt, ⁄= © tt, OA OB⁄ytytt, ⁄© tt, == x t y t ,()OB OA⁄ytt,y t ⁄1© tt, ⁄== 0 A B C D E F y x t +1 xt ( xt , yt ) yt yt,t yt,t +1 yt +1 ,t yt +1 yt +1 ,t +1 ( xt +1 , yt +1) Ft +1 Ft x Figura A.1. Índice de Malmquist de productividad basado en el output. D0 txt1+ yt1+ ,()inf ©tt 1+,:x t1+ y t1+ © tt 1+, ⁄,()F t ∈{}= 258 Vol. 15, nº 2, 1998 Joaquín Maudos; José Manuel Pastor; Lorenzo Serrano En la expresión anterior, la función distancia, mide el máximo incremento proporcional en los outputs, dados los inputs, para hacer que la observación del período t+1 , sea factible en el período t. En la situación representada en la figura la observación está fuera del conjunto factible representado por la tecnología en t, por lo que el valor de la función distancia sería . De forma similar, es posible definir la función distancia de una observación en t para hacerla factible en relación con una tecnología vigente en t+1, . Nótese que cuando se está comparando observaciones de un período con tecnologías de períodos diferentes, la función distancia puede ser mayor que la unidad. En particular y pueden ser mayores a la unidad si ha existido progreso técnico y regreso técnico respectivamente.26 Basándose en los conceptos anteriores, el índice de Malmquist de productividad basado en los outputs para analizar el cambio productivo entre el período t y t+1, tomando la tecnología del período t como referencia, se define como27: [A.4] Un M0>1 indica que la productividad del período t+1 es superior a la del período t, puesto que la expansión necesaria en los outputs del período t+1 para que la observación sea factible en t es inferior a la aplicable a los outputs del período t. Por el contrario, un M0<1 indica que la productividad ha descendido entre los períodos t y t+1. Alternativamente es posible definir el índice de Malmquist tomando la tecnología del período t+128: [A.5] En todas las definiciones anteriores se han considerado únicamente dos períodos (t,t+1), y se han definido tomando como referencia la tecnología del período t o t+1. Sin embargo, cuando se desea analizar el cambio productivo de una serie 26. Nótese que en la situación representada en la figura, , indicando que ha habido progreso técnico. 27. Véase Caves y otros (1982). 28. En este caso la interpretación es similar. Un M0>1 indica que la productividad del período t+1 es superior a la del período t, puesto que la expansión necesaria en los outputs del período t+1 que la observación sea factible en t+1 es inferior a la aplicable a los outputs del período t. D0 txt1+ yt1+ ,() x t1+ y t1+ ,() x t1+ y t1+ ,() OE OC⁄yt1+ ytt 1+, ⁄© tt 1+, == x t y t ,() D 0 t1+ x t y t ,() D 0 t x t1+ y t1+ ,() D 0 t1+ x t y t ,() D 0 t x t1+ y t1+ ,()1> M 0 t x t1+ y t1+ x t y t ,,,() D 0 t x t1+ y t1+ ,() D 0 t x t y t ,() ---------------------------------= M0 t1+ xt1+ yt1+ xtyt ,,,() D 0 t1+ x t1+ y t1+ ,() D 0 t1+ x t y t ,() -------------------------------------= Convergencia en las regiones españolas: cambio técnico, eficiencia… Vol. 15, nº 2, 1998 259 temporal más larga el uso de una tecnología fija puede causar problemas conforme nos alejamos del año base. Por otra parte (Moorsteen, 1961), la elección del año base no es neutral en los resultados. Para tratar de resolver estos problemas existen dos alternativas (Lovell, 1993). La primera consiste en calcular dos índices y basados en pares de años consecutivos que consideren como base la tecnología de los dos períodos t y t+1 y calcular la media geométrica de ambos, permitiendo de esta forma que cambie la tecnología de referencia, minimizando los problemas causados por el cambio. Otro proceder para resolver los citados problemas consiste en considerar dos fronteras de referencia correspondientes al año inicial y al final y tomar la media geométrica de los dos índices de Malmquist. En este trabajo, dado que la serie temporal utilizada es muy larga (27 años), por las razones expuestas utilizaremos la primera de las alternativas, que puede formularse como: [A.6] Reescribiendo la expresión anterior es posible descomponer el índice de Malmquist de productividad en el efecto catching-up o cambio en la eficiencia29 y el cambio técnico o desplazamiento de la frontera: [A.7] El efecto catching-up entre los períodos t y t+1 está representado por el primer ratio, que será superior a la unidad si ha habido incremento en la eficiencia. Similarmente, la media geométrica de los dos ratios de dentro de los corchetes mide el cambio o desplazamiento de la tecnología entre los períodos t y t+1. La anterior descomposición puede ser de nuevo ilustrada utilizando la notación de la figura A.1. [A.8] 29. Este concepto de catching-up es distinto del utilizado por Abramovitz (1986 y 1994) y otros autores para quienes la noción de catching-up se basa en la existencia de una correlación negativa entre el crecimiento de la PTF y su nivel inicial. En el contexto de funciones frontera, el concepto de catching-up hace referencia a las mejoras de eficiencia o acercamiento a la frontera. M0 tM0 t1+ M0xt1+ yt1+ xtyt ,,,() D 0 t x t1+ y t1+ ,() D 0 t x t y t ,() ---------------------------------    D 0 t1+ x t1+ y t1+ ,() D 0 t1+ x t y t ,() -------------------------------------    1 2 --- = M0xt1+ yt1+ xtyt ,,,() D 0 t1+ x t1+ y t1+ ,() D 0 t x t y t ,() ------------------------------------- D0 txt1+ yt1+ ,() D 0 t1+ x t1+ y t1+ ,() -------------------------------------    D 0 t x t y t ,() D 0 t1+ x t y t ,() --------------------------    1 2 --- = M0xt1+ yt1+ xtyt ,,,() OE OF⁄ OA OB⁄ ------------------ OE OC⁄ OE OF⁄ -------------------   OA OB⁄ OA OD⁄ -------------------   1 2 --- == = OE OF ⁄ OA OB ⁄ ------------------ OF OC -------- OD OB -------- ⋅   1 2 ---