Die akustisc hen Randb edingungen p erforierter
W andauskleidungen in Ström ungskanälen –
Ph ysikalisc he Mo delle und Eduktion
v orgelegt v on
Dipl.-Ing.
Anita Sc h ulz
geb. in Jena
v on der F akultät V – V erk ehrs- und Masc hinensysteme
der T ec hnisc hen Univ ersität Berlin
zur Erlangung des akademisc hen Grades
Doktor der Ingenieurwissensc haften
- Dr.-Ing. -
genehmigte Dissertation
Promotionsaussc h uss:
V orsitzender: Prof. Dr.-Ing. Dieter P eitsc h
Gutac h ter: Prof. Dr.-Ing. Ennes Sarradj
Prof. Dr. rer. nat. Lars Enghardt
Dr.-Ing. Christoph Ric h ter
T ag der wissensc haftlic hen A ussprac he: 15.06.2018
Berlin 2019
Zusammenf assung
P erforierte, schallabsorbierende W andauskleidungen w erden vielfac h in Ström ungskanä-
len, z. B. Flugzeugtrieb werk en, zur passiv en Lärmminderung eingesetzt. Die komplizierte
W ec hselwirkung zwisc hen Sc hall und Strömung an der strukturierten sc halldurc hlässigen
W and findet in einer relativ dünnen Grenzsc hic h t statt, so dass der Einfluss auf die Sc hall-
ausbreitung in guter Näherung durc h akus tisc he Randb edingungen b esc hrieb en w erden
kann, die direkt an der W and gelten. Bei ruhendem Medium ist die akustisc he W andimp e-
danz, d. h. das k omplexwertige V erhältnis aus Druc k und w andnormaler Sc hnelle die alles
b estimmende Randb edingung. Sc hallfeldgrößen wie axiale W ellenzahlen o der Streufakto-
ren an Üb ergängen zwischen den hart w andigen und den ausgekleideten Kanalsegmenten
k önnen aus der W andimp edanz b erec hnet w erden.
Der erste T eil der Arb eit b efasst sic h mit dem in v ersen F all, nämlic h der Bestimm ung
der W andimp edanz durc h Anpassung der Imp edanz an gemessene Streufaktoren mittels
eines Sc hallfeldmo dells. Vier Sc hallfeldmo delle mit zunehmender V ollständigk eit (Refle-
xionen an den Enden des ausgekleideten Kanalstüc ks, Nahfelder an den Stoßstellen und
höhere Mo den im ausgekleideten Kanal, akustisc he W andgrenzsc hic h ten) werden v orge-
stellt und für die Anpassung der Imp edanz aufb ereitet. Un tersuch t w erden die F ehler der
Imp edanzb estimm ung, die auf die Unv ollständigk eit der Mo delle zurüc kzuführen s ind. Es
wird gezeigt, dass sic h der Einfluss der höheren Mo den am stärksten b ei der Resonanz
der W andauskleidung auswirkt – um so mehr, je niedriger die Resistanz ist –, w ährend
im Bereic h tiefer und hoher F requenzen, b ei denen die W and v ergleic hsweise hart ist, die
V ernac hlässigung der W andgrenzsc hic h ten zur dominan ten F ehlerquelle wird.
Der zw eite T eil der Arb eit widmet sic h dem Einfluss der Ström ung auf die W ec hselwirkung
zwisc hen W and und Sc hallfeld. Der Ström ungseffekt ist v on kritisc her Bedeutung, da er die
Wirksamk eit der Schalldämpfer in negativ er W eise b eeinflussen o der im sc hlimmsten F all
infolge ström ungsakustischer Instabilitäten sogar umk ehren kann. Allerdings stellt seine
Mo dellierung ein bisher no c h nic h t zufriedenstellend gelöstes Problem dar. So ist es in bis-
herigen Un tersuch ungen nic h t gelungen, trotz streng lokal reagierender W andauskleidun-
gen eine Imp edanz zu ermitteln, die unabhängig v on der Sc hallfeldstruktur ist. Dies steht
im Widerspruc h zur lokalen Reaktion. Im Rahmen dieser Arb eit wird ein ph ysikalisc her
Ansatz en twic k elt, der diese Diskrepanz ausräumen kann. Die akustisc he Randb edingung,
die bisher n ur durch die w andnormale (Druc k-)Kraft parametrisiert wurde, wird um den
Effekt des Impulstransfers erw eitert, welc her durc h das Abbremsen des strömenden, in die
Öffn ungen eindringenden Mediums verursac h t wird. Letzteres führt dazu, dass die Kraft,
die die W and auf das strömende Medium ausübt, zusätzlic h eine tangen tiale K omp onen te
aufw eist. Der zugehörige W andparameter, der hier Impulstransferimp edanz genann t wird,
wird un ter der Annahme einer lokalen Reaktion erstmals exp erimen tell ermittelt. Die Er-
gebnisse zeigen im Rahmen der Messgenauigk eit ph ysikalisc h plausible Merkmale, wie z. B.
einer Prop ortionalität mit der mittleren Machzahl im Kanal.
Abstra ct
P erforated, sound-absorbing wall linings, so-called liners, are often used in flo w ducts, e. g.
aircraft engines, for passiv e noise reduction. The complex interaction betw een sound and
flo w at the p ermeable liner surface tak es place in a relativ ely thin b oundary la y er. Hence,
it is practical to describ e the effect on the sound propagation b y an acoustic b oundary
condition whic h is applied directly at the w all. When the fluid is at rest, the acoustic
w all imp edance, i. e. the complex ratio b et w een pressure and w all normal v elo cit y , is the
determining b oundary condition. All relev an t parameters of the sound field suc h as axial
w av e n um b ers or the scattering co efficien ts at the transitions b et ween hard-w alled and
lined duct segmen ts can b e calculated from the w all imp edance.
The first part of the thesis deals with the in verse case, namely the determination of the w all
imp edance b y fitting the imp edance to measured scattering co efficien ts using a sound field
mo del. This is also called imp edance eduction. F our sound field mo dels with increasing
complexit y (reflections at the terminations of the lined duct section, near-field effects
at the transitions, higher-order mo des in the lined duct section, and acoustic b oundary
la yers) are presen ted and prepared for imp edance eduction. It is sho wn that the effect
of the higher-order mo des is the strongest in the resonance regime, the more the lo w er
the resistance is. In the lo w and high frequency range, where the w all is comparativ ely
sound-hard, the neglect of the b oundary lay ers is the most dominan t source of error.
The second part of the thesis is concerned with the effect of the grazing mean flo w on
the in teraction b et ween w all and sound field. The correct mo delling of the flow effect
is of critical imp ortance, as it can negatively affect the p erformance of the liner or, in
the w orst case, even rev erse it due to flo w-acoustic instabilities. How ev er, the ph ysical
problem has not b een satisfactorily solved, y et. Previous mo dels, for example, hav e not
b een able to determine an imp edance that is indep enden t of the spatial structure of the
sound field despite strictly lo cally reacting liners. In this w ork an approac h is dev elop ed
that can eliminate this discrepancy . The b oundary condition, whic h un til now has only
b een parameterized b y the w all-normal (pressure) force at the w all, is extended b y a
tangen tial force, which origins from the momen tum transfer b etw een the w all and the
mean flo w due to the deceleration of the flowing medium penetrating into the perforations.
This effect is parameterized b y a new additional quan tit y , whic h is called momen tum
transfer imp edance. It is determined exp erimen tally for the first time under the assumption
of a lo cal reaction. The results sho w ph ysically plausible features within the scop e of
measuremen t accuracy , suc h as prop ortionalit y with the a verage Mac h n umber in the
duct.
D anksa gung
Die v orliegende Arb eit en tstand während meiner T ätigk eit als wissensc haftlic he Mitarb ei-
terin am Institut für An triebstechnik in der Abteilung T rieb w erksakustik des Deutschen
Zen trums für Luft- und Raumfahrt e.V. (DLR). Ic h mö c h te mich bei allen Kolleginnen
und K ollegen dieser Abteilung, vor allem bei den Kollegen der Arbeitsgrupp e Brennkam-
merakustik, für die harmonisc he Arb eitsatmosphäre b edanken.
Mein b esonderer Dank gilt Prof. Dirk Ronneb erger, der mir als wissensc haftlic her Men-
tor, Lehrer und Ratgeb er üb er die gesam te Entsteh ungszeit dieser Arb eit stets zur Seite
stand. In zahlreic hen Diskussionen und T eilstudien en tstanden die Ideen und Ergebnisse,
die letztlic h einen roten F aden für diese Dissertation möglic h mac hten.
Mein herzlic her Dank gebührt auch meinem Grupp enleiter Dr. F riedric h Bak e, der mir
b ei den immer wieder auftretenden wissenschaftlic hen Sc h wierigk eiten organisatorisch den
R ück en freigehalten hat, für meine Anliegen stets ein offenes Ohr hatte und mic h durc h
zahlreic he fruch tbare Gespräc he motiviert hat. Mein ganz b esonderer Dank gilt meinem
Abteilungsleiter Prof. Lars Enghardt, der mic h schon im Zuge meiner Diplomarbeit auf
das Thema der Imp edanzb estimm ung neugierig mach te. W ährend der Erarb eitung der
Dissertation hat er mic h stets inhaltlic h und organisatorisc h unterstützt, w ährend der F er-
tigstellung stand er für das K orrekturlesen und schließlic h als Gutac h ter zur V erfügung.
Gleic hfalls geht mein Dank an Dr. Christoph Ric h ter und Prof. Ennes Sarradj, die in ganz
unk omplizierter W eise für die Gutac h tertätigk eit zu gewinnen w aren.
Ic h b edank e mich auc h b ei meinem Kollegen Dr. Robert Jaron, der mir b ei der Lösung
div erser technisc her und formeller Sc hwierigk eiten b ei der F ertigstellung der Arb eit mit
Rat und T at zur Seite stand, so wie b ei meinem K ollegen Ralf Bauer, der einen T eil der
Arb eit K orrektur gelesen hat. Den b eiden studen tisc hen Hilfskräften Tiago W erner und
Alb ert Bauer dank e ic h ganz herzlic h für ihre aktiv e und üb eraus pro duktiv e Hilfe b ei den
zahlreic hen Messungen, die ic h für diese Arb eit durchzuführen hatte. Den Mitarb eitern
der Metallw erkstatt Andrea Maneck und Sebastian Kruc k mö ch te ic h meinen Dank für
ihre stets kreativ en und professionellen Ideen b ei der Umsetzung der für die Exp erimen te
not wendigen K onstruktionen aussprec hen.
Selbstv erständlich en tstand auc h diese Arb eit nic h t n ur in einem professionellen, sondern
auc h in einem p ersönlic hen Umf eld. V on ganzem Herzen b edank en mö c h te ic h mic h b ei
meinen Eltern, die – selbst im Bereic h der Naturwissensc haften tätig – mic h in meinem
V orhab en zu wissensc haftlic her F orsc h ung stets erm utigt hab en, mir w ährend dieser Ar-
b eit mit allem zur Seite standen, was für den Erfolg an familiärem R üc khalt notw endig ist,
und sic h schließlic h auc h der Mühe des K orrekturlesens un terworfen haben. Und schließlic h
dank e ich auc h R udolf, Richard und Enrico für alles andere.
Inhaltsverzeichnis
Symb olverzeichnis 1
1. Einleitung 5
1.1. Motiv ation und A ufgab enstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. T erminologisc he Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Stand der F o rschung in der Imp edanzb estimmung 10
2 . 1 . I m p e d a n z m e s s u n g ................... ............. 1 0
2.1.1. Imp edanzrohr und V arian ten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1.1. Imp edanzrohr (Kundtsc hes Rohr) . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1.2. Kundtrohr-V arian ten mit Ström ung . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2. Lokale Messungen und In-situ-Metho den . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2.1. Messungen der lokalen Imp edanz . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2.2. In-situ-Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 . 2 . I m p e d a n z e d u k t i o n ................................ 2 0
2 . 2 . 1 . M e t h o d e n ü b e r s i c h t ............................ 2 1
2 . 2 . 2 . M e t h o d e n ................................. 2 9
2.2.2.1. Single-mo de-Metho de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2.2. Mo de-matc hing-Metho den . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2.3. Zw eip ol-Metho den . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2.4. Numerisc he Metho den . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2.5. Laseroptisc he Metho den . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3. Grundgleichungen 37
3.1. Erhaltungsgleic hungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2. Akustisc he Gleic h ungen und V ereinfac h ungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1. Linearisierte Na vier-Stok es-Gleic hungen (LNSE) . . . . . . . . . . . 44
3.2.2. Linearisierte Eulergleic h ungen (LEE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.3. W ellengleic h ungen: CWE, PBE und CHE . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. T urbulenzmo dellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.1. Wirb elvisk ositäts-Mo dell für die stationäre T urbulenz . . . . . . . . 49
3.3.2. Mo delle für die instationäre (sc hallgestörte) T urbulenz . . . . . . . . 50
3.3.3. Grenzen der Mo delle und F azit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4. Einfac he Schallfeldlösungen in Abhängigk eit v on der W andimp edanz . . . . 54
3 . 4 . 1 . F r e i f e l d .................................. 5 5
3.4.2. Sc hallfeld im sc hallharten Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.3. Sc hallfeld im ausgekleideten Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.3.1. Reflexionsfaktor und W andimp edanz für eine einzelne W and 60
3.4.3.2. Zw eidimensionaler Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4. Exp erimenteller A ufbau 63
4 . 1 . S t r ö m u n g s k a n a l .................................. 6 3
i
4 . 2 . M e s s t e c h n i k .................................... 6 4
4.2.1. Ström ungsmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2. Sc halldruckmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.2.1. Messungen in den sc hallharten Kanalsektionen . . . . . . . 66
4.2.2.2. „F ace-to-face“ Messungen in der Linersektion . . . . . . . . 66
5. Schallfeldmo dell für Rechteckkanal mit akustischer W andgrenzschicht 68
5 . 1 . M o d e l l t h e o r i e ................................... 6 8
5.1.1. Grenzsc hich ten: Akustisc he Wirkung v on festen W änden . . . . . . . 68
5.1.2. Sc hallausbreitung im Flac hkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.3. Rec htec kkanal mit harten W änden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5 . 1 . 3 . 1 . G r u n d m o d e ........................... 7 3
5.1.3.2. Höhere Mo den . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.4. Rec htec kkanal mit einer nac hgiebigen W and . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1.5. Numerisc he Ausw ertung der W ellenzahl im ausgekleideten Kanal . . 78
5.2. Einfluss der W andgrenzsc hic h ten und der W andimp edanz auf das Sc hallfeld 79
5.2.1. Sc hallharter Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.2. A usgekleideter Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2.2.1. Mäßige W andadmittanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2.2.2. Hohe W andadmittanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.2.3. F edernde W and . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.2.4. Optimale A dmittanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6. Imp edanzeduktion im ruhenden Medium 89
6 . 1 . I d e e ........................................ 8 9
6 . 2 . M o d e l l e ...................................... 9 1
6 . 2 . 1 . M o d e l l A ................................. 9 1
6 . 2 . 2 . M o d e l l B ................................. 9 2
6 . 2 . 3 . M o d e l l C ................................. 9 5
6 . 2 . 4 . M o d e l l D ................................. 1 0 1
6 . 3 . L i n e r - T e s t o b j e k t e ................................. 1 0 2
6.4. Eduktionsergebnisse und Einfluss v ersc hiedener Mo dellparameter . . . . . . 107
6 . 4 . 1 . Ü b e r s i c h t ................................. 1 0 7
6.4.2. Einfluss der höheren Mo den . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4.2.1. Mehrdeutigk eit der T ransmissionsphase . . . . . . . . . . . 109
6.4.2.2. Einfluss der Resistanz des Liners . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4.2.3. Einfluss der Mo denordn ung b eim Mo de-matc hing . . . . . 113
6.4.3. Einfluss der Reflexionen und der Linerlänge . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4.4. Einfluss der W andgrenzsc hic h ten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6 . 4 . 5 . F a z i t .................................... 1 1 9
7. W echselwirkung zwischen W andimp edanz und Strömung 121
7.1. Einfluss der Ström ung auf die Imp edanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2. Einfluss der Ström ung auf die W ec hselwirkung zwisc hen Imp edanz und
S c h a l l f e l d ..................................... 1 2 2
7.2.1. Effektiv e Imp edanz-Randb edingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2.1.1. Reibungsfreie Blo c kprofilström ung (unendlic h dünne Grenz-
s c h i c h t ) ............................. 1 2 4
7.2.1.2. Reibungsfreie Sc herströmung (endlic he Grenzsc hic h tdic k e) . 126
7.2.1.3. Reibungsb ehaftete Sc herström ung . . . . . . . . . . . . . . 127
ii
7.2.2. F azit und Schlussfolgerung für die Imp edanzeduktion . . . . . . . . . 128
7.3. Alternativ e Randb edingung für p erforierte W ände . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3.1. Infragestellung der Haftb edingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3.2. Impulstransferimp edanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8. Imp edanzeduktion mit Üb erströmung 135
8.1. Liner-T estob jekte und akustisc he Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8 . 2 . E d u k t i o n s m e t h o d e ................................ 1 3 6
8.2.1. Iterativ e Bestimmung v on Z und Z T aus gemessenen W ellenzahlen . 138
8.2.2. Exp erimen telle Eingangsdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.2.2.1. Bestimm ung der W ellenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.2.2.2. Bestimm ung des Ström ungsprofils . . . . . . . . . . . . . . 140
8 . 3 . E r g e b n i s s e ..................................... 1 4 1
8 . 3 . 1 . W a n d i m p e d a n z.............................. 1 4 1
8.3.2. Impulstransferimp edanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9. Zusammenfassung und A usblick 148
App endices 151
A. V erschiedene Grundlagen und Neb enrechnungen 152
A.1. Mathematisc hes W erkzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.2. Energietransp ort im ruhenden, v erlustf reien Medium . . . . . . . . . . . . . 153
A.3. W ellenimp edanz, W andimp edanz und Reflexionsfaktor . . . . . . . . . . . . 155
B. Prony-Metho de zur Bestimmung der axialen W ellenzahl 157
C. Herleitung der effektiven W andadmittanzen der visk osen und der thermischen
Grenzschicht 159
C.1. Zähigk eitsgrenzschic h t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
C.2. Thermisc he Grenzsc hic ht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
D. Energietransp o rt der evaneszenten Mo de im ha rt w andigen Kanal mit akusti-
scher Grenzschicht 165
E. Numerische A usw ertung der W ellenzahl im ausgekleideten Kanal 168
E.1. An w endung der Newton-Metho de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
E.2. Start w ert für k ow ................................. 1 6 9
E . 3 . K o n v e r g e n z k r i t e r i u m ............................... 1 7 0
F. W ellenzahlen im Rechteckkanal mit akustischer W andgrenzschicht 171
F.1. Näherungsfehler für den sc hallharten Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
F.2. Einfluss der W andgrenzsc hic h t auf die Sc hallausbreitung . . . . . . . . . . . 173
F.2.1. Sc hallharter Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
F.2.2. A usgekleideter Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
G. Imp edanzmo delle für Helmholtz-Resonato r Liner 181
G.1. Imp edanzmo dell für einen SDOF-Liner mit radialsymmetrisc hen Helmholtz-
R e s o n a t o r e n .................................... 1 8 1
G.2. Einfac hes empirisc hes Imp edanzmo dell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
iii
H. Ergebnisse der Imp edanzeduktion mit den Metho den A-D (ohne Strömung) 186
H.1. Näherungsfehler der angepassten Sc hallfelder b eim Mo de-matc hing . . . . . 186
H . 2 .S t r e u k o e ffi z i e n t e n ................................. 1 8 7
H.3. Imp edanzeduktion für Mo dell-Liner HRS2* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
H.4. Einfluss der Resistanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
H.5. Einfluss der Mo denordn ung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
H.6. V ariation der Linerlänge (HRS2*-Liner) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
I. Schallfeldtheo rie und Randb edingung für Blo ckp rofilströmung 195
I.1. Effektiv e Imp edanz für Gleitström ung (Ingard-My ers Randb edingung) . . . 195
I.2. Disp ersionsrelation und Sc hallfeldlösung b ei Blo c kprofilström ung . . . . . . 197
J. Berechnungen für eine nachgiebige W and mit visk oser Grenzschicht und Gleich-
strömung 199
J.1. Viskose Grenzsc hic h t mit Gleic hström ung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
J.1.1. Impulsgleic h ung im mitb ew egten K o ordinatensystem . . . . . . . . . 199
J.1.2. Homogene Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
J.1.3. Anstieg der akustisc hen W andsc h ubspann ung infolge der Gleic hströ-
m u n g ................................... 2 0 2
J.2. Effektive Randb edingung mit Impulstransferimp edanz . . . . . . . . . . . . 203
K. Ergebnisse der Imp edanzeduktion mit Strömung 205
K.1. Exp erimen tell b estimm te W ellenzahlen in der Liner-T estsektion . . . . . . . 205
K . 2 . E d u z i e r t e I m p e d a n z ............................... 2 1 0
Literaturverzeichnis 211
iv
Symb olverzeichnis
Abkürzungen und Akron yme
1D Eindimensional
2D Zw eidimensional
CHE Con v ectiv e Helmholtz Equation
DGL Differen tialgleich ung
DNS Direct Numerical Sim ulation
FEM Finite-Elemen te-Metho de
FFT F ast-F ourier-T ransformation
FTF F ace-to-face-Messung
KOS K o ordinatensystem
LEE Linearized Euler Equation
LNSE Linearized Na vier-Stokes Equation
PBE Pridmore-Bro wn Equation
SPL Sound Pressure Lev el
Exp onen ten
() ′ Sto chastisc he Sc h w ankun gsgröße
() ∗ K omplex konjugierte Größe
() + Mit Grenzsc h ic h tparametern en tdimensionalisierte Größe
() ± A usbreitung in p ositiv er/negativer A c hsenric h tung
() T T ransp onierte Matrix
˙
() Flussgröße
ˆ
() K omplexer F ourierk o effizien t
() Gleic hanteil, zeitlic hes Mittel
˜︁
() Sc hallkoherän ter bzw. akustisc her An teil
1
Griec hisc he F ormelzeic hen
α th W ärmeausdehnungsk o effizien t
δ ν Dic ke der visk osen Grenzsc hic h t
δ a Dic ke der akustisc hen Grenzsc hic h t ( √︁ 2 ν /ω )
δ +
a Mit Grenzsc hich tparametern en tdimensionalisierte Dic k e des akustisc hen Grenz-
sc hich t ( δ a u τ /ν )
δ f Grenzsc hich tdic k e der Gleic hström ung
δ ij Kronec ker-Delta ( δ ij = 1 für i = j, δ ij = 0 für i = j )
˙
ϵ T ensor der V erformungsrate
Γ Mit der F reifeldw ellenzahl en tdimensionalisierte axiale W ellenzahl ( k x /k 0 )
γ Isen trop enexp onen t (A diabatenexp onen t)
κ Kármánsc hen Konstan te
κ th W ärmeleitfähigkeit
λ W ellenlänge
µ Dynamisc he Viskosität
µ B Bulk-viscosit y-Koeffizient
ν Kinematisc he Viskosität
ν t,a Wirb elvisk osität für instationäre, akustisc h-mo dulierte T urbulenz
ν t Mittlere Wirb elvisk osität
ω Kreisfrequenz
Ψ Sp ezifisc he p otentielle Energie
ρ Massendic hte
σ P orosität
τ t T ensor der turbulen ten Spann ung (Reynoldsspann ung)
τ w W andsc h ubspann ung
τ g r Grupp enlaufzeit ( − d ϕ/ d ω )
ξ A uslenkung
ζ B V olumen visk osität
Indizes
0 K onstante (räumlic h homogene und instationäre Größe)
w W and
x, y , z Kartesisc he Raumkoordinaten
cl Kanalmitte (cen terline)
2
wgr W andgrenzsc hic h t
Lateinisc he F ormelzeic hen
a T emp eraturleitfähigk eit ( κ th / ( ρ 0 c p ) )
c Sc hallgesch windigk eit
c p Sp ezifisc he isobare W ärmekapazität
c ph Phasenk onstante
E T otale Energie
e i Sp ezifisc he innere Energie
f F requenz
F V ektorielle Kraft
f c Cut-on F requenz
f r es Resonanzfrequenz
h Sp ezifisc he En thalpie
J Jacobimatrix
k 0 ,c Cut-on W ellenzahl
k ν A usbreitungskonstan te der visk osen Grenzsc hic h t w elle
k th A usbreitungskonstan te der thermisc hen Grenzsc hic h t w elle
l m Prandtlsc her Misch w eg
M Mac hzahl ( u/c )
m Masse
M c K onv ektiv e Mac hzahl
M mol Molare Masse
p Druc k
P T ensor der Ob erfläc henkräfte
p V ektorieller Impuls
Pr Prandtl-Zahl ( ν /a = c p µ/κ th )
˙
Q W ärmefluss
q W ärmestromdich tev ektor
R Allgemeine Gask onstante
r Reflexionsfaktor b ezüglic h Sc hallausbreitung in Längsric h tung
r ⊥ Reflexionsfaktor b ezüglic h Sc hallausbreitung in Querric h tung
r h Hydraulisc her Radius
3
R s Sp ezifisc he Gask onstan te
R e Reynoldszahl
S Fläc he
s En tropie
S Sc herratentensor
Sr Strouhalzahl
T P erio dendauer
T T emp eratur
t ∗ Relaxations-Zeitk onstante
U Umfang
u V ektorielle Gesc h windigk eit
u τ W andsc h ubspann ungsgesc h windigkeit ( √︁ τ w /ρ 0 )
V V olumen
W W ellenimp edanz
˙
W Mec hanische Leistung
x Ortsv ektor
Y W andadmittanz
Y W W ellenadmittanz ( 1 /W )
Y wgr ,y Grenzsc hich tadmittanz
Z Imp edanz
Z T Impulstransferimp edanz
4
1. Einleitung
1.1. Motivation und A ufgab enstellung
Das Ziel, Lärm möglic hst nahe an der Quelle zu b ekämpfen, k onzen triert sic h häufig auf
die A ufgab e, Kanäle, in denen sic h der unerwünsc h te Sc hall ausbreitet, mit sc halldämp-
fenden W änden zu v ersehen. Solc he W andauskleidungen sind in Abb. 1.1 b eispielhaft
dargestellt. In vielen An wendungsfällen, wie z. B. Flugzeugtrieb w erk en, Lüftungsanlagen
o der Abgasleitungen, w erden die ausgekleideten Kanäle durc hström t, w as die Wirksamk eit
der Sc halldämpfer in negativ er W eise b eeinflusst o der im sc hlimmsten F all infolge strö-
m ungsakustischer Instabilitäten sogar umk ehren kann. Ob wohl w egen der Dringlic hkeit
solc her Probleme in den letzten Jahrzehnten umfangreic he Erfahrungen gesammelt wur-
den, b egleitet v on zahlreic hen wissensc haftlic hen Un tersuc h ungen, fehlt an etlichen Stellen
der k omplizierten W ec hselwirkung zwisc hen Sc hall, Ström ung und der W andstruktur das
grundsätzlic he physikalisc he V erständnis der b eteiligten Mec hanismen.
Meistens b esteht die der Ström ung ausgesetzte Ob erfläc he der sc halldämpfenden W and
aus einem p erforiertem Blec h, das in einigem Abstand v or einer sc hallharten W and an-
gebrac ht ist. Um die Sc hallausbreitung in dem Zwisc henraum zwisc hen Dec kschic h t und
W and zu un terbinden, ist dieser durc h Zwisc hen w ände in gegeneinander isolierte Kam-
mern un terteilt, vgl. Abb. 1.1d. Die Kammern bilden zusammen mit den Öffn ungen der
Dec kschic h t sogenann te Helmholtz-Resonatoren. Durc h die Abmessungen der Öffn ungen
und der Kammern lässt sic h die Resonanzfrequenz und die Dämpfung dieser Resonatoren
einstellen, w o durc h die W andauskleidung an das Sp ektrum des zu dämpfenden Lärms an-
passt w erden kann. Bei dieser Anpassung ist der Einfluss der Strömung auf die akustisc hen
Eigensc haften der W andauskleidung b esonders störend, da sic h so w ohl die Resonanzfre-
quenz als auc h die Resonanzbreite ändert. Bei der Erfassung dieser Effekte ist man nac h
wie v or auf Exp erimen te angewiesen. Die dab ei zu ermittelnde Größe ist die k omplexe,
v on der F requenz abhängige Imp edanz
Z = ˜︁
p
˜︁
v W and
, (1.1)
die das Amplituden verhältnis und die Phasen v ersc hiebung zwisc hen dem Schalldruc k und
der in die p erforierte Ob erfläc he eindringenden Schallsc hnelle b esc hreibt. Im einfac hsten
F all kann die W andauskleidung als lokal reagierend angesehen werden; dann hängt die Im-
p edanz nic h t v on der räumlic hen Stuktur des Sc hallfeldes, z. B. dem Einfallswink el einer
eb enen W elle ab.
Um die Imp edanz un ter realistisc hen Bedingungen zu messen, wird die zu un tersuc hende
W andauskleidung häufig in die W and eines Strömungskanals eingebaut und das Sc hallfeld
üb er der Imp edanzw and erfasst, z. B. durc h eine Reihe v on Mikrofonen in der W and, die
der Imp edanzw and gegen üb er liegt. A us der Phasengesc h windigk eit und der Dämpfung
der W ellen, aus denen sic h das Sc hallfeld zusammensetzt, kann man auf die Imp edanz
zurüc kschließen. Das gelingt natürlic h n ur dann fehlerfrei, w enn man den Zusammenhang
5
zwisc hen der W ellenausbreitung und der I mp e danz gen ügend genau form ulieren kann. In
den meisten F ällen b egn ügt man sic h dab ei ab er mit Näherungen und nimm t gewisse
F ehler der Imp edanzb estimmung in Kauf. Die V erfahren, die Imp e danz aus Sc hallfeldmes-
sungen und einem geei gneten Mo dell für die W ellenausbreitung zu er mitteln, w erden auc h
V erfahren zur Imp edanzeduktion genannt.
Der erste T eil der hier v orgestellten Untersuc h ung (Kap. 5 und Kap. 6) widmet sic h der
F rage, w el c he F ehler man i n Abhängigk eit des Grads der Näheru ng des Sc hallfeldmo-
dells zu erw arten hat. Die Un tersuc h ung b esc hränkt sic h dab ei auf d en üb e rsic h tlic heren
F all ohne Ström ungsüb e rlagerung, sc hließt dafür ab er eine w eitere Messmetho de ein –
die Imp edanzeduktion mithilfe der Str euk o effizien ten. Dab ei ist der ausgekleidete T eil des
Ström ungskanals zwisc hen zw ei hart wandigen Kanalteilen eingefügt, und e s w erden die
Amplituden der an dem Mes sob j ekt reflektierten und tr ansmittierten W ellen ausge w er tet.
Der zw eite T eil der Arb ei t (Kap. 7 und Kap. 8 ) b efasst sic h mit dem Einfluss der Strö-
m ungsüb erlagerung. Hier ist der Zusammenhang zwisc hen dem Sc hallfeld und den akus-
tisc hen Eigenschaften der Impedanzwand, also den dort zu erfüllenden Randb edingungen
w eitaus sch wieriger als im ström ungslosen F all. Insb esondere ist es in bisherigen Un ter-
suc hungen nic h t gelungen, trotz streng lokal reagierender Messob jekte eine Imp edanz zu
ermitteln, die unabh ängig v on der Sc ha llfeldstruktur, al so z. B. der Sc hallausbreitungsri c h-
tung ist. Im Rahmen dies er Arb eit wird daher ein ph ysikalisc her Ansatz en t wic k elt, der
diese Diskrepanz aus räumen kann und darau f hinausläuft, dass n eb en d er Imp edanz eine
zw e ite unabhängige Größ e, die Impulstrans ferimp edanz, b enötig t wird, um die akustis c he n
Eigensc haften einer üb erström ten p erforie rten W and hinreic hend genau zu b esc hreib en.
Die Impulstransfe rimp edanz b erücksic h tigt dab ei di e akustisc he W andsc hubspann ung, die
dadurc h en tste h t, d ass b ewegtes Medium ab w ec hselnd in die W and eindringt und dort
abgebremst wird bzw . austritt und wiede r b eschleunigt w erden muss.
V or den b eide n inhaltlic hen Hauptteilen der A rb ei t w er den zunäc hst terminologische Grund-
lagen erläutert (Kap. 1 .2) und die V orarb eiten der Imp ed anzeduktion innerh alb einer
Literaturstudie de monstriert (Kap. 2 ). D ie Grundgleic h ungen und das mathematisc he
Handw erkszeug der im Hauptteil verw endeten Mo delle w erden in Kap. 3 erläutert. Di e
v er w en deten exp erimen tel len T ec hniken w erden in Kap. 4 b esc hrie b en.
(a) P oröse A uskleidung (b) Lo chplatte v or nich t un terteilter Luftschic h t
(c) Resonatorartig mit Gaze-Dec ksc hich t (d) Resonatorartig mit P erforationen
Abbildung 1.1. V ersc hiedene V arianten passiv er akustis c her W andauskleidungen.
6
1.2. T erminologische Grundlagen
Zunäc hst sollen wich tige Begriffe erklärt w erden, w elc he im Zusammenhan g dieser Ar-
b eit häufig v erw endet w erden. Sie k ennzeic hnen v ersc hiedene Näherungsannahmen für die
Besc hreibung der Wirkung der W andauskleidung auf das Sc hallfeld und führen oft zu
w esentlic hen V ereinfac h ungen dab ei.
K ompaktheit: Ein akustisc hes Ob jekt kann als komp akt b etrac h tet werden, w enn des-
sen c harakteristische Abmessung d klein im V erhältnis zur W ellenlänge λ ist, also w enn
genau genommen d ≪ λ/ (2 π ) bzw. k d ≪ 1 ist, mit der W ellenzahl k . 1 Die K ompaktheits-
Annahme führt zu einer b edeutenden V ereinfac h ung: Die räumlic he Phasen- und Am-
plitudenänderung üb er der Struktur ist vernac hlässigbar klein, und alle Effekte, die zur
W ellenausbreitung im Bereic h des Ob jekts und damit zur Abhängigk eit v on der räumlic hen
Struktur des Sc hallfeldes führen, können v ernac hlässigt w erden. Akustisc he Kompaktheit
ist eine V oraussetzung für die üblic he Besc hreibung akustisc her Ob jekte als k onzen trierte
Sc haltelemente, die analog z u elektrisc hen o der mec hanischen Ersatzsc haltbildern zusam-
mengesc haltet werden k önnen (P aradeb eispiel ist der Helmholtz-Resonator als Zusammen-
sc haltung von F eder-, Masse- und Dämpferelemen ten).
Lokale und nicht-lokale Wirkung: F ür lokal r e agier ende W andstrukturen ist die akus-
tisc he Reaktion unabhängig von der räumlic hen V erteilung des Sc hallfeldes, insb esondere
v on der räumlichen W ellenzahl und damit dem Einfallswink el der Sc hallw elle. Die Reaktion
hängt n ur vom lokalen Sc hallfeld an dem b etrac h teten Ort ab und wird demen tsprechend
auc h „p oin t-reacting“ [101] genannt. F ür lokal reagierende W andimp edanzen reic h t es, die
„normal incidence imp edance“, also das V erhältnis aus dem Druc k und der w andnormalen
Sc hnellekomponente zu betrach ten. Das wird z. B. b eim Kundt-Rohr (vgl. Kap. 2.1.1.1)
ausgen utzt. Umgekehrt folgt aus der lokalen Reaktion, dass b ei der Eduktion der Imp e-
danz v erschiedene modale Schallfeld-Lösungen zur gleic hen Imp edanz führen m üssen, da
diese aussc hließlich eine Eigensc haft der W and (und nic h t des Sc hallfelds) ist.
F ür die lokale Reaktion ist hinreic hend, ab er nic ht not w endig, dass λ groß im V ergleic h
zu säm tlichen Strukturabmessungen d ist, also w enn d ≪ λ/ (2 π ) bzw. k d ≪ 1 ist und
in der W and k eine akustisc hen V erbindungen zwisc hen den einzelnen Strukturelemen ten
z. B. Hohlräumen b estehen. 2 Die lokale Wirksamk eit kann neb en den strukturierten W än-
den auc h b ei isotrop en p orösen W andauskleidungen (z. B. Mineralfasern o der offenzelligen
Sc häumen, vgl. Abb. 1.1a) gegeb en sein, w enn der sp ezifisc he Strömungswiderstand des
Materials und damit die innere Dämpfung so ho c h ist, dass b enac h b arte V olumenelemen te
praktisc h voneinander en tk opp elt sind.
1 W as „klein gegen“ im Einzelfall b edeutet, m uss jew eils anhand des Problems en tsc hieden w erden. Es
gibt diesb ezüglic h k einen A utomatismus.
2 Liegt z. B. eine W andauskleidung wie in Abb. 1.1b gezeigt v or, b ei der viele Lö c her in den gleichen
(großen) Hohlraum m ünden (die Lo c habstände seien no c h klein zur W ellenlänge), und ist die Abmessung
des Hohlraums in Sc hallausbreitungsric htung nic h t mehr klein zur W ellenlänge, so kann die W ellenaus-
breitung im Hohlraum nic h t mehr ignoriert werden. Die W andimp edanz wird dann abhängig v on der
W ellenzahl. Eine Un terteilung der Ka vität durc h Querw ände (vgl. Abb. 1.1d und 1.1c) versc hiebt die
Grenzfrequenz für die möglic he K ommunikation zwisc hen den b enach barten Öffn ungen nac h ob en. A uf
diese Art kann für lokale Wirksamk eit gesorgt w erden.
7
Homogenität: Bei der Annahme homo gener W ände wird die akustisc he Reaktion als
k onstant und gleic hmäßig üb er die W andfläc he v erteilt angenommen. Eine homogene Im-
p edanzw and b eschreibt die gesam te W andfläc he also als einheitlic he Randb edingung. Dies
ist eine Näherung für die in der Realität durc h einzelne Öffn ungen, Zellen, P oren o der
gewisse Rauigk eiten gebildeten W andstrukturen. Dab ei spielen sic h die w esen tlic hen akus-
tisc hen Effekte im Bereich der einzelnen W andöffn ungen ab und w erden dort durc h lokale
Imp edanzen Z l ok bzw. lokale A dmittanzen Y lok = 1 /Z lok b esc hrieb en. Die effektiv e A d-
mittanz der homogenisierten W and ergibt sic h durc h Mittelung der Normalsc hnelle der
einzelnen Öffn ung üb er die gesam te W andfläc he, also durc h die flächen b ezogene Mittelung
der einzelnen Y l ok .
Die Annahme der Homogenität ist gerec h tfertigt, w enn die einzelnen Strukturelemen te
(Öffn ungen, Zellen, Kavitäten) der W and b ezüglic h Amplitude und Phase gleic hartig auf
den einfallenden Sc halldruck reagieren und ihre fläc henmäßige V erteilung k eine Unregel-
mäßigk eiten auf räumlichen Skalen aufw eist, die v ergleic h bar mit o der größer als die W el-
lenlänge sind. Es gilt daher wieder die Bedingung d ≪ λ/ (2 π ) ( d sei die größte Länge, die
in der Besc hreibung der Strukturelemente und deren fläc henmäßiger V erteilung maßge-
b end ist). 3 Die Annahme des homogenen V erhaltens setzt außerdem eine lineare Reaktion
der W and v oraus, da sonst die akustisc he Reaktion der W and aufgrund der sic h ändern-
den Sc halldruckamplitude (Sc halldämpfung) örtlic h v ariieren würde. Die Beschreibung al s
homogene W and w äre dann offensic h tlic h falsc h.
Linea rität: Die line ar e Reaktion ist b ei der Besc hreibung der W and durc h eine Üb er-
tragungsfunktion wie der Imp edanz immer v orausgesetzt. Bei der Imp edanz ist das V er-
hältnis zwisc hen den komplexen Amplituden v on Druc k und Sc hnelle eine K onstante, die
n ur von der F requenz und ggf. der W ellenzahl abhängt, nic h t ab er v on der Amplitude
des Sc hallfeldes. Ob eine W andstruktur in der praktisc hen An w endung linear reagiert,
hängt v on der Amplitude selbst ab. Im Allgemeinen reagiert jedes ph ysikalische System
b ei kleinen Amplituden linear und b ei großen Amplituden nic h tlinear. Bezogen auf die
akustisc hen V erluste dominiert b ei kleinen Amplituden die visk ose Reibung (z.B. an den
Innenseiten der W andöffn ungen), die durc h lineare F unktionen mit der Sc halldruc kampli-
tude zusammenhängt. Bei hohen Amplituden k önnen nic h tlineare Mechanismen wie z. B.
die Wirb elablösung an den Kan ten der Öffn ungen hinzutreten. Bei der Wirb elablösung,
z. B. b ei einem abgelösten Strahl, der sic h hin ter der akustisc h durc hström ten Öffn ung
bildet, en tstehen Druckdifferenzen, die proportional zum Quadrat der Sc hnelle in der Öff-
n ung sind, so dass das V erhältnis zwisc hen Druc kdifferenz und Schnelle proportional zur
Sc hnelle ansteigt. Dab ei w erden auch die akustisc hen V erluste v on der Sc hnelleamplitude
abhängig, da das akustisc he F eld Energie ins h ydro dynamisc he F eld transferiert und dieser
T ransfer selb er direkt v on der Sc hnelleamplitude abhängt [104, 103, 163, 53, 21, 22], [268,
S.10].
3 P arrott und Jones [182] hab en eine Grenze b ei λ ≥ 8 d für die Homogenität v orgesc hlagen. Jo-
nes et al. [110] hab en diese Grenze kürzlic h mit einer n umerisc hen Berechn ung des Schallfeldes für eine
resonatorartige Liner-K onfiguration mit p oröser Dec ksc hic ht getestet. Dabei wurden sukzessive mehr Kam-
mersektionen zusammengesc haltet. Das Ergebnis dieser V ariation wurde mit einem homogenen Liner mit
minimaler Kammerbreite v erglic hen und die Abw eich ungen im axialen Sc halldruc kverlauf üb er dem Li-
ner ausgew ertet. Die A utoren stellten fest, dass die Homogenität schon bei niedrigeren W ellenlängen als
v erm utet, ca. dem Dreifachen der Kammerbreite, gilt. Bei λ = 2 . 8 d w ar die maximale Ab weic h ung des
Sc halldruc kp egels gegen üb er dem homogenen Referenzob jekt ≤ 0 . 5 dB .
8
Quasi-Stationa rität: Dynamisc he Systeme wie z. B. üb erströmte Öffn ungen reagieren
mit einer gewissen Zeitv erzögerung auf eine sprunghaft geänderte Randb edingung z. B.
auf die sc hallinduzierte Änderung der Strömungsgesc h windigkeit in der Öffn ung. W enn
diese V erzögerungszeit kurz gegen die Sc hallp erio de ist, kann man annähernd da v on aus-
gehen, dass sic h das System praktisch ständig in einem stationären Zustand b efindet,
also quasi-stationär auf die sc hallinduzierte Änderung reagiert. Das quasi-stationäre Li-
mit eines Ström ungssystems lässt sich mit der Strouhalzahl Sr auc h wie folgt ausdrüc ken:
Sr = d f / u ch ≪ 1 , gebildet mit der Abmessung der b etrac h teten Struktur d und einer
c harakteristischen stationären Gesc h windigk eit u ch .
9
2. Stand der F o rschung in der
Imp edanzb estimmung
Reagiert die W andstruktur linear und homogen auf das Sc hallfeld und wird ein ruhen-
des Medium ohne Grenzsc hich teffekte b etrac h tet, so lässt sich die akustisc he Reaktion
einer sc hallabsorbierenden W andauskleidung v ollständig mit der sp ezifisc hen A dmittanz
Y bzw. der Imp edanz Z = 1 /Y (Gl. 1.1) b esc hreib en. Die Imp edanz ist ein wandeigener
P arameter, der von der F requenz und im Allgemeinen auc h v on der räumlic hen Struktur
des Sc hallfelds abhängt, Z = f ( ω , k ) (b ei nic h t-lokaler Wirkung). Sie dien t als zen trale
Randb edingung zur Besc hreibung der akustisc hen Reaktion einer W andauskleidung und
ist desw egen ein kritischer P arameter b ei der A uslegung und Optimierung v on Sc hallab-
sorb ern. Die Ermittlung der Imp edanz ist außerdem für die Erforsc hung grundlegender
ph ysikalischer V orgänge an akustisc h reagierenden Strukturen wic htig, da sie den Zusam-
menhang zwisc hen einzelnen Dissipationsmechanismen und der globalen, „zusammenge-
fassten“ akustisc hen Reaktion v ermittelt. Seit mehr als 90 Jahren wird en tsprechend viel
A ufwand getrieben, um die Imp edanz möglic hst genau zu messen.
Im F olgenden soll eine Üb ersic h t üb er die gängigen Metho den zur Bestimm ung der W and-
imp edanz gegeb en w erden. Diese umfassen sow ohl direkte Imp edanzmessungen als auc h
die sogenann ten Eduktionstechnik en. Direkte Messungen der W andimp edanz hab en ins-
b esondere unte r Ström ungsb edingung den Nac h teil, dass die zu testende W andstruktur
k onstruktiv verändert w erden m uss o der nic ht un ter realistisc hen Einbaubedingungen ver-
messen w erden kann. Es ist daher w eit v erbreitet, die Imp edanz indirekt üb er Messungen
des Sc hallfelds und ein Mo dell für die W ec hselwirkung zwisc hen Sc hallfeld und Imp edanz-
w and zu ermitteln. Diese V erfahren w erden üblic herw eise Imp edanzeduktionsv erfahren
genannn t (englisch: impedance eduction).
2.1. Imp edanzmessung
2.1.1. Imp edanzrohr und V a rianten
2.1.1.1. Imp edanzrohr (Kundtsches Rohr)
Eine der einfac hsten und ältesten Metho den zur Bestimm ung der Imp edanz v on akus-
tisc hen W andauskleidungen ist die Messung im Kundtsc hen Rohr 1 (englisc h: imp edance
tub e, standing w a v e tub e). Die Metho de basiert auf einem eindeutigen Zusammenhang
1 Benann t nac h dem Mathematiker und Ph ysik er A. Kundt (1839-1894), der das sog. „Kundtsc he
Staubrohr“, ein mit K orkmehl ausgelegtes Glasrohr mit gesc hlossenem Ende und einer Sc hallquelle am
Anfang, zur Visualisierung v on Steh wellenfeldern v erw endete. Anhand der Sc hnelleknoten-Muster, die sic h
in der Mehlsc hic ht aufgrund der Steh w elle bildeten, k onn te er die Sc hallgesc h windigkeit experimentell
b estimmen [134, 135].
10
zwisc hen den Eigenschaften eines Steh w ellenfeldes und der zu testenden W andimp edanz.
Die Imp edanz wird dab ei aus der Messung des Reflexionsfaktors r der W andauskleidung
b estimm t. Der Messaufbau ist in Abb. 2.1 gezeigt: Eine Prob e der W andauskleidung wird
am Ende eines Messkanals senkrec h t v or einer harten Rüc kw and eingebrac h t. Der Kanal
wird v on links durch einen Lautsprec her mit Sin ustönen b esc hallt, w ob ei die F requenzen so
gew ählt werden, dass sic h n ur eb ene W ellen ausbreiten k önnen und der Sc halleinfall auf die
Ob erfläc he der Prob e rein senkrec h t erfolgt. Der Messkanal kann dann als eindimensionaler
W ellenleiter aufgefasst w erden, w o durc h sic h das A usw erteverfahren besonders einfac h ge-
staltet: die W andauskleidung bildet die Randb edingung der eindimensionalen W ellenglei-
c hung und die axiale W ellenzahl ist (b ei V ernachlässigung der akustisc hen Grenzsc hich ten)
gleic h der F reifeldw ellenzahl k 0 = ω /c (siehe Kap. 3.4.1). Das Steh w ellenfeld, welc hes sic h
in Abhängigk eit vom Reflexionsfaktor r der Prob e ausbildet, wird mit Mikrofonmessungen
abgetastet, und aus dem Steh wellen v erhältnis (s. u.) wird der Reflexionsfaktor b erec hnet.
A us r ergibt sich dann direkt die Impedanz (siehe Gl. 3.62 mit φ = 0 ):
Z = ρ 0 c 1 + r
1 − r , (2.1)
mit der R uhedich te v on Luft ρ 0 und der Sc hallgesc h windigk eit c . W eil die Imp edanz da-
b ei n ur im Hin blic k auf senkrec h ten Sc halleinfall (eb ener W ellen) ermittelt wird, wird die
Kundtrohr-Metho de auc h „normal incidence imp edance measurement“ [144] genann t. Das
Ergebnis gilt n ur b ei lokal reagierenden W änden für b eliebige Sc hallfelder, w ährend es im
Allgemeinen F all die Reaktion der W and n ur für senkrec h ten Sc halleinfall b esc hreibt.
x
0
Mikrofonsonde
Prob e
(a) T ra v ersierv erfahren
x
0
Mikrofone Prob e
∆ x
(b) Zw ei-Mikrofon-Metho de
Abbildung 2.1. Messungen im Kundtsc hen Rohr.
Die Abtastung des Sc hallfeldes zur Bestimmung des Reflexionsfaktors kann auf zw ei v er-
sc hiedene Arten erfolgen:
A) T raversierung der Mikrofonsonde: Bei dem historisc h ersten, seit üb er 90 Jahren v er-
w endeten und in eine eigenständige Norm [105] üb ergangenen V erfahren wird das Sc hall-
feld mit einer in Kanallängsac hse trav ersierbaren Mikrofonsonde k ontin uierlic h abgetas-
tet 2 . Dies ist in Abb. 2.1a dargestellt. Gemessen wird der axiale Sc halldruc kv erlauf an
2 Der Lautsprec her dieses A ufbaus hat einen mittig durch b ohrten Permanen tmagnet, durc h den eine
b ew eglic he Sonde – ein dünnes, hohles, langgestrec ktes Röhrchen – ins Innere des Kanals geführt w erden
kann. Die Sonde endet außerhalb des Kanals in einem v ersc hiebbaren W agen v or einem im W ageninneren
angebrac h ten Messmikrophon. Die Kom bination aus Sondenröhrc hen und Mikrofon führt aufgrund v on
Längsresonanzen zu einer stark frequenzabhängigen Empfindlic hk eit. Daher werden bei dieser Metho de
11
einzelnen Messp ositionen. A us dem Steh wellen v erhältnis und der P osition der Druc kkno-
ten (Nullstellen) wird der Reflexionsfaktor wie folgt ermittelt:
Das Kanalsc hallfeld kann als Summe eines Stehw ellenfeldes und einer fortlaufenden eb enen
W elle b esc hrieb en w erden. F ür die W andauskleidung an der P osition x = 0 mit Reflexi-
onsfaktor r = | r | exp( iϕ ) ist der axiale Sc halldruc kv erlauf
˜︁
p ( x ) = p 0 (e − ik 0 x + | r | e i ( k 0 x + ϕ ) ) (2.2)
= p 0 ( | r | (e − i ( k 0 x + ϕ ) + e i ( k 0 x + ϕ ) )+e − ik 0 x (1 − | r | e − iϕ ))
= p 0 (2 | r | cos( k 0 x + ϕ )
⏞ ⏟⏟ ⏞
stehendeW ell e
+ e − ik 0 x (1 − | r | e − iϕ )
⏞ ⏟⏟ ⏞
f or tl auf endeW ell e
) (2.3)
und der Betrag ist
| ˜︁
p | (A.3)
= √︁ ˜︁
p ˜︁
p ∗ (2.2)
= p 0 √︂ 1 + | r | 2 +2 | r | cos(2 k 0 x + ϕ ) . (2.4)
Bei b estimm ten W andabständen d x im Argumen t der K osinusfunktion wird der Druc k
maximal, | ˜︁
p max | = | p 0 | (1 + | r | ) . Die links- und die rec h tslaufende W elle sind dann in Phase.
Druc kminima | ˜︁
p min | = | p 0 | (1 − | r | ) sind dagegen b ei den cos -Nullstellen zu finden, also b ei
W andabständen mit 2 k 0 d x + ϕ = (2 n − 1) π mit ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) , also w enn die links-
und rec htslaufende W elle um π phasen v ersc hob en sind. Der Betrag des Reflexionsfaktors
kann aus dem V erhältnis der abgetasteten Druc kmaxima und -minima b estimm t w erden,
w eshalb das V erfahren auc h „Mini-Max-V erfahren“ [170] genannt wird:
| r | = | ˜︁
p max |−| ˜︁
p min |
| ˜︁
p max | + | ˜︁
p min | . (2.5)
Mit | r | kann auc h der Schallabsorptionsgrad der Prob e ermittelt w erden: α = 1 − | r | 2 . Die
Phase des Reflexionsfaktors ϕ kann z. B. aus den n P ositionen der Druc kminima d x min,n
b estimm t w erden: ϕ = (2 n − 1) π − 2 k 0 d x min,n mit ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) .
Der Nac hteil des T ra v ersierv erfahrens ist der hohe Zeitaufw and und die Beschränkung
auf F requenzen un terhalb der Cut-on-F requenz des Kanals. A ußerdem stellt die genaue
Bestimm ung der Positionen der Mikrofonsonde häufig eine F ehlerquelle dar.
B) Zw ei-Mikrofon-Metho de (t w o-microphone metho d): Ein deutlic h jüngeres V erfah-
ren zur Imp edanzmessung in einem Kundtsc hen Rohr ist die „Zw ei-Mikrofon-Metho de“ 3 .
Begünstigt durc h die Ent wic klung der F ast-F ourier-Algorithmen in den 1970er Jahren und
der damit v erbundenen Beschleunigung der Signalausw ertung, wurden zw ei o der mehr
ortsfest im Messkanal installierte Mikrofone eingesetzt, um das Steh w ellenfeld abzutasten
und dieses in v or- und zurücklaufende W ellen zu zerlegen.
Ursprünglic h wurde das zweite Mikrofon dabei an das Kanalende, wandbündig in der
R ückw and des Hohlraums hin ter der Prob e [164, 272], p ositioniert, w o durc h so w ohl die
Gesc hwindigk eit durc h eine dünne Absorb erprob e als auc h der Druc k dahinter gemessen
w erden konn te. 4 Später wurden zw ei o der mehr w andbündige Mikrofone in einiger axia-
aussc hließlic h Relativmessungen durchgeführt, also n ur Amplituden v erhältnisse ausgew ertet. Dies senkt
die Anforderungen an die Mikrofongüte, zudem erübrigt sic h eine Kalibrierung des Mikrofons.
3 Das V erfahren wurde eb enfalls normiert (ISO 10534/DIN 52215) [105].
4 Zusammen mit dem ersten Mikrofon, w elc hes unmittelbar an der Absorb erv orderseite p ositioniert
wurde, und einem Phasenmeter, k onn te das komplexe Druc kv erhältnis v or/hin ter des Absorb ers ermittelt
w erden. Es hat sic h heraus gestellt, dass die Ausric h tung des Mikrofons unmittelbar v or dem Absorb er zu
12
len Distanz zur V orderseite der Prob e v erw endet [225]. Gegenüber dem ob en genann ten
T ra v ersierv erfahren k onn te die Messzeit stark reduziert werden. Der Einfluss v on Messfeh-
lern in der Zw ei-Mikrofon-Metho de wurde in v erschiedenen Arbeiten ausführlich behan-
delt [24, 2, 221].
Der (k omplexwertige) Reflexionsfaktor ergibt sic h aus dem V erhältnis der an zw ei festen
Kanalp ositionen mit axialem Abstand ∆ x gemessenen Sc halldrück en ˜︁
p 1 , ˜︁
p 2 wie folgt:
˜︁
p 1
˜︁
p 2
= ˜︁
p ( x 0 )
˜︁
p ( x 0 − ∆ x )
(2.2)
= e − ik 0 x 0 + r e ik 0 x 0
e − ik 0 ( x 0 − ∆ x ) + r e ik 0 ( x 0 − ∆ x )
r = − e − i 2 k 0 x 0 1 − ˜︁
p 1 / ˜︁
p 2 exp( ik 0 ∆ x )
1 − ˜︁
p 1 / ˜︁
p 2 exp( − ik 0 ∆ x ) . (2.6)
Bei einer Messung mit zw ei Mikrofonen ist die W ellenzerlegung in links- und rec h tslau-
fende W elle und damit auc h die Bestimm ung v on r eindeutig. W erden N > 2 Mikrofone
v erwendet, erw eitert sic h das Gleic h ungssystem auf N − 1 Gleic h ungen für die N − 1 un-
abhängigen Druc kverhältnisse ( ˜︁
p i / ˜︁
p 1 ). Das üb erb estimm te Gleic h ungssystem m uss dann
üb er eine Ausgleic hsrec hn ung 5 gelöst werden, w o durc h man neb en der Optimierungs- bzw.
Näherungslösung für r auc h die Residuen und damit eine A ussage üb er die Genauigk eit
der Näherung erhält. W erden mindestens vier Mikrofone v erw endet, k önn ten mit einer
nic htlinearen A usgleic hsrec hn ung neb en den Amplituden der links- bzw. rec h tslaufenden
W ellen auc h die k omplexen W ellenzahlen angepasst w erden, w elc he aufgrund der akusti-
sc hen W andgrenzsc hic h ten des Kanals et w as v on der F reifeldw ellenzahl k 0 ab w eic hen.
Jones und Stiede [113] hab en die Zwei-Mikrofon-Methode mit einer Imp edanzeduktion
v erglichen. Bei der Zw ei-Mikrofon-Metho de wurden V arian ten mit einem, zw ei o der drei
ortsfesten Mikrofonen getestet. Die Ein-Mikrofon-Metho de wird b ei geringen Kanalabmes-
sungen empfohlen, w enn die erforderlic hen Mikrofonabständen zu klein w erden würden. Sie
erfordert den Um bau des Mikrofons an zw ei v erschiedene P ositionen, w ob ei das Quellensi-
gnal als Phasenreferenz v erwendet wird. Die Ergebnisse v on Jones und Stiede zeigen, dass
die Messgenauigk eit und der Messaufwand in umgek ehrten V erhältnis zueinander stehen:
w ährend die Messung mit drei Mikrofonen die hö c hste Genauigk eit liefert, ist der Zeitauf-
w and b ei der Ein-Mikrofon-Metho de am geringsten. Jones und P arrott [112] v ergleichen
eine Messung mit zw ei o der mehr Mikrofonen mit der klassisc hen T ra v ersiermetho de und
diskutieren den optimalen Abstand zwisc hen den Mikrofonen. W atson und Jones [251] ha-
b en 2016 eine dreidimensionale Finite-Elemente-Methode (FEM) in einem (rech tec kigen)
Kundtrohr-A ufbau eingesetzt, die an Schalldruc kmessungen angepasst wurde. Dadurc h
k onnte die Impedanz der Prob e auc h un ter dem Einfluss höherer Mo den b estimm t werden.
Mit der Messung im Kundtsc hen Rohr kann die Imp edanz n ur für ruhendes Medium
un tersuch t w erden. Infolge einer Üb erström ung kann sich das akustisc he V erhalten einer
W andauskleidung jedo c h stark v erändern. Um diesen Effekt zu un tersuc hen, wurde der
Kundtrohr-A ufbau im Laufe der Zeit mo difiziert und erw eitert.
F ehlern führte, da das Druc kfeld im Bereic h der Öffn ungen stark inhomogen ist. Zudem w ar die Phasen-
messung oft fehleranfällig [164].
5 Zum Beispiel mit der Metho de der Minimierung der F ehlerquadrate (Gauß-Algorithmus).
13
2.1.1.2. Kundtrohr-V a rianten mit Strömung
In den 1950er Jahren b egannen Akustik er an der Univ ersität Göttingen den Ström ungsein-
fluss exp erimen tell zu un tersuc hen. Erste, auf der Kundtrohr-Metho de basierende, V ersu-
c he gehen auf die Wissenschaftler Mey er, Kurtze, Mec hel und Sc hilz zurüc k [165, 153, 154].
Sie un tersuch ten das Sc hallfeld in einem mit sc hallabsorbierendem, p orösem Material aus-
gekleideten Ström ungskanal mittels einer trav ersierbaren Mikrofonsonde. Damit wurde
zw ar nich t die W andimp edanz selb er, ab er der Einfluss der üb erström ten W and auf das
Sc hallfeld – die axiale W ellenzahl, die Dämpfung und die Phasengesc h windigk eit –, er-
mittelt. Die ersten V ersuc he zur Imp edanzmessung un ter Ström ungseinfluss hab en Mec hel
(a) Imp edanzrohr-Metho de mit Gleic h-
ström ung nach Mec hel et al.
(1965/1969) [156], Marino et al.
(1967) [151] und F eder und Dean
(1969) [79] (Abb. 2 aus [62]).
(b) Messung des Ström ungswiderstands nach Budoff
und Zorumski (1971), Abb. 2 aus [41].
Abbildung 2.2. Zw ei Beispiele für die Imp edanzmessung b ei üb erström ten W andauskleidungen
mittels Kundtrohr-Metho de.
und Sc hilz [157] 1962 mittels eines Kundtschen Rohrs v orgenommen, an dessen Ende meh-
rere quer angeordnete, p oröse Absorb ersc hic h ten b efestigt w aren, w elc he parallel durc h-
ström t wurden. Dab ei wurde nic ht direkt die W andimp edanz, sondern die „Durc hgangs“-
Imp edanz des Absorb ers b estimm t. Mec hel et al. [159] (1965) hab en den Reflexionsfaktor
und die Imp edanz einer durc hström ten Rohrm ündung mit der Metho de des Kundtsc hen
Rohres, also der A usw ertung der P osition und Höhe der Stehw elle im Rohr, b estimm t. Im
selb en Jahr hab en Mec hel et al. [156] erstmals mit einem senkrech t am Ström ungskanal
b efestigten Seitenkanal die Imp edanz üb erström ter Sc hallabsorb er v ermessen. Der auc h
„T-tub e“ genann te A ufbau [79] ist in Abb. 2.2a gezeigt: Das Rohrende des Imp edanz-
rohrs (Seitenkanal) sc hließt bündig mit der Kanalwand ab, so dass n ur die dem Kanal
zugew andte Prob enfläc he üb erström t wird. Das Schallfeld im Impedanzrohr bleibt damit
ström ungsfrei. Dies hat den praktischen V orteil, dass ein hoher Signal-zu-Rausc h-Abstand
(SNR) für die Mikrofonmessung so wie ein schonender Betrieb des Lautsprec hers, der n un
n ur das Imp edanzrohr mit seinem v ergleic hsw eise kleinem Durchmesser „ v ersorgen“ m uss,
möglic h sind. Die Imp edanz wird wie b eim klassischen T ra v ersierv erfahren aus dem Steh-
w ellenv erhältnis und der P osition der Druc kknoten im Imp edanzrohr b estimm t 6 , unter
6 Die so gemessene Imp edanz ist dab ei zw angsläufig eine Zusammenschaltung (Summe) der Impedanz
der Absorb erprob e mit der Resistanz der zw ei angeschlossenen ström ungsseitigen Kanalarme. Letztere
14
der V oraussetzung, dass die Dic k e der Absorb ersc hic hten klein bleibt. Die Methode wur-
de später v on Mechel et al. [158] (1969) zur Un tersuc h ung von porösen Materialien, von
Marino et al. [151] (1967) zur Un tersuch ung v on p erforierten W änden und von F eder
und Dean [79] (1969) an p orösen und elastischen Materialien eingesetzt. Budoff und Zo-
rumski [41, 272] (1971, 1976) hab en einen ähnlic hen A ufbau wie den von Mec hel und
Sc hilz [157] verw endet, allerdings nic h t um die Imp edanz, sondern um den Ström ungs-
widerstand 7 einer Absorb erprob e (p oröses Material o der Lo ch blec h) zu vermessen. Der
A ufbau ist in Abb. 2.2b dargestellt. Der Ström ungswiderstand wird durc h die Messung
der Differenz des statisc hen Druc ks zwisc hen Strömungskanal und Seitenkanal und der
Ström ungsgesch windigk eit durc h die Prob e hind urc h b estimm t.
Nac h Dean [62] (1974) b esteh t b ei der „T-tub e“-Metho de eine generelle Sc h wierigk eit in
der Ungenauigk eit der V ermessung der Steh w ellenfeldes und b eim Einfluss der Abstrahlim-
p edanz (englisc h: radiation imp edance) am Üb ergang zwisc hen Imp edanzrohr und Kanal.
P arrott et al. [183] (1987) sehen den w esen tlichen Nac h teil (neb en der Problematik der
Abstrahlimp edanz) darin, dass k eine realistisc hen Ein bauk onfigurationen v on akustisc hen
W andauskleidungen un tersuc h t w erden k önnen.
2.1.2. Lokale Messungen und In-situ-Metho den
2.1.2.1. Messungen der lokalen Imp edanz
Als lokale Imp edanzmessungen we rden hier diejenigen V erfahren b ezeic hnet, w elche die
lokale Imp edanz eines einzelnen, k ompakten akustisc hen Ob jekts ermitteln, meist durc h
Messungen „ v or Ort“ (in situ), d. h. direkt an diesem Ob jekt.
Mikrofonmessungen: Abb. 2.3 zeigt zw ei Beispiele für lokale Messverfahren. Ingard und
Ising [103] hab en das nic h tlineare V erhalten einer runden Öffn ung mit dem in Abb. 2.3a
gezeigten Messaufbau un tersuch t: V or dem Ende eines Rohrs ist eine Lo c h blende einge-
fügt, der dahin ter liegende Hohlraum wird vom Kanalende her mit einem K olb ensc h win-
ger akustisc h angeregt. Die Imp edanz wird durc h sim ultane Messung der Sc hallschnelle
im Lo c h mit einer Hitzdrah tsonde und der Druckdifferenz v or und hin ter der Öffn ung
mittels zw eier wandbündiger Mikrofone gemessen. Dabei wird nur der Grundton (1. Har-
monisc he) ausgewertet. 8 Ronneb erger, Mic k eleit und K omp enhans [212, 216, 130] hab en
die Änderung der Imp edanz einer isolierten Resonatoröffn ung aufgrund einer laminaren
Üb erström ung un tersuc h t. Der A ufbau ist in Abb. 2.3b gezeigt. Die k ompakte Resonator-
ka vität ist seitlich in einem Ström ungskanal mit v ariierender Quersc hnittsfläche in tegriert.
Ein Lautsprec her in der Kanalwand erzeugt den Druck ˜︁
p 2 im Kanal und ˜︁
p 1 in der Ka-
vität. W egen der K ompaktheit ist ˜︁
p 1 in der Ka vität konstan t. A us dem V erhältnis der
Druc kdifferenz üb er und un ter der Öffn ung ˜︁
p 2 − ˜︁
p 1 und der Nac hgiebigkeit (complian-
ce) der Ka vität C = ( ˜︁
v n / ˜︁
p 1 ) / ( iω ) , mit der Normalk omp onen te der Sc hnelle ˜︁
v n , kann die
Öffn ungsimp edanz direkt b estimmt w erden:
Z = ˜︁
p 2 − ˜︁
p 1
˜︁
v n
= 1
iω C (︃ ˜︁
p 2
˜︁
p 1 − 1 )︃ . (2.7)
wurde mittels einer separaten Leermessung b estimm t und abgezogen.
7 Imp edanz b ei der F requenz Null.
8 Im nic h tlinearen F all en tstehen zusätzlic h zur Grundfrequenz höhere Harmonische im Sc hallfeld [103].
15
(a) Messung der nic htlinearen
Öffn ungsimp edanz nac h
Ingard und Ising (1967),
Abb. 1 aus [103]. (D:
K olb ensc hwinger-An trieb,
H: Hitzdrah t, F: Gebläse)
(b) Messung der Imp edanzänderung einer üb erstöm ten Reso-
natoröffn ung nach Ronneberger (1972) [212], Abb. 3 aus
[62].
Abbildung 2.3. Zw ei Beispiele für die lokale Imp edanzmessung v on W andöffn ungen.
˜︁
p 1 wird mit einem w andbündigen Mikrofon in der Ka vität gemessen. Der Druc k im Kanal
˜︁
p 2 wird indirekt mittels eines Lautsprec hers in der Ka vität ermittelt. Das damit erzeugte
sekundäre Sc hallfeld wird so eingestellt, dass es sic h destruktiv mit dem primären Sc hall-
feld üb erlagert und die Sc hallsc hnelle in der Öffn ung v ersc h windet. Dies wird mit einer
Hitzdrah tmessung üb erprüft. Es m uss dann ˜︁
p 1 = ˜︁
p 2 gelten, so dass ˜︁
p 2 mit dem Ka vi-
tätsmikrofon gemessen w erden kann. Die Nac hgiebigk eit der Kavität C wird mit dem
Luftv olumen in der Ka vität theoretisc h abgeschätzt, k orrigiert mit der A dmittanz des
Ström ungswiderstands, welc her den Lautsprec her an die Kavität k opp elt.
Zhou und Bo dén [268] hab en die Öffn ungsimp edanz einer Lo c h blende in einem Ström ungs-
kanal v ermessen. Hierfür sind lediglic h Mikrofonmessungen stromauf und stromab der
Blende und eine W ellenerzerlegung (nac h der Zw ei-Mikrofon-Metho de) nötig. Unter der
Annahme eb ener W ellen ergibt sic h die Imp edanz dann wie in Gl. 2.7, w ob ei ˜︁
p 2 bzw.
˜︁
p 1 den Gesam tdruck stromauf bzw. stromab der Blende bezeichnen. Die Sc hnelle in der
Öffn ung ˜︁
v n ergibt sic h aus der Summe der Schnellen, die stromauf der Blende zur v or-
bzw. rüc klaufenden eb enen W elle gehören ( ± ˜︁
p/ ( ρ 0 c ), k orrigiert um einen F aktor, der die
Zunahme der Sc hnelle aufgrund des V olumenflusses in der Blendeneb ene ausdrüc kt.
Optische Messungen: Mit der En t wic klung laseroptischer Gesc h windigk eitsmesstec hni-
k en wurden auch V ersuc he un ternommen, diese zur direkten, lokalen und b erührungslosen
Imp edanzmessung v on akustisc hen W andauskleidungen einzusetzen [140, 141, 167, 15].
La vieille et al. [140, 141] hab en die Laser-Doppler-Anemometrie (LD V bzw. LD A) v er-
w endet, um das sc hallk ohärente Gesc h windigke itsfeld in einer Eb ene üb er der W andaus-
kleidung (senkrec ht zu dieser) zu v ermessen. Sie v erw enden ein A usbreitungsmo dell nac h
Galbrun 9 [85], mit dem die akustisc he A uslenkung aus der axialen und w andnormalen Ge-
9 Galbruns Theorie ist eine aus Euler- und Lagrangeb eschreibung gemisc h te Besc hreibung der A usbrei-
tung v on akustisc hen Sch w ankungsgrößen. [85]
16
sc hwindigk eitsk omp onen te b estimm t wird. Durc h eine zusätzlic he Messung des statisc hen
Druc kabfalls üb er der W andauskleidung so wie der Gleic hgesc h windigk eit [141] kann die
akustisc he Auslenkung in andere Größen wie Schalldruc k und -in tensität umgerec hnet w er-
den. Betgen et al. [15] hab en aus diesen Daten die akustisc hen Streuk o effizien ten b estimm t
und sie mit Mikrofonmessdaten v erglichen. Sie fanden eine noch erheblic he Ab w eic hung
v on bis zu 10 % . La vieille et al. [140] und Minotti et al. [167] hab en die Druc k- und Sc hnel-
ledaten auc h direkt in räumliche Impedanzfelder umgerechnet. 10 Die Ergebnisse wurden
mit einer In-situ-Imp edanzmesstec hnik (s. u.) mit zw ei Mikrofonen v erglic hen [140]. Ein
Problem für die A ussagekraft des Ergebnisses b estand, neb en dem relativ großen Abstand
( 3 mm ) zwisc hen Messeb ene und Imp edanzw and, in der stark en Ortsabhängigk eit der Im-
p edanz.
2.1.2.2. In-situ-Messungen
Als in-situ o der lokale Metho den 11 w erden üblic herw eise zw ei sp ezielle F ormen der lokalen
Imp edanzmessung b ezeic hnet, b ei denen die Imp edanz einer Resonatoröffnung durc h Mes-
sungen direkt an der Öffn ung ermittelt wird. 12 Dean [62], der diese T erminologie (nic h t
ab er die V erfahren) etablierte, zählte hierzu die „Zw ei-Mikrofon-T ec hnik“ (t w o-microphone
metho d [62]) 13 und die „Ein-Mikrofon-T ec hnik“ [62, 131, 55]. Die Metho den hab en im Un-
tersc hied zu den zuvor genann ten lokalen Metho den den V orteil, dass die Imp edanz einer
resonatorartigen W andauskleidung in einer realistisc hen Ein bausituation im Ström ungs-
kanal, ohne sp eziellen Umbau der Kanalw and, v ermessen werden kann.
Die „Ein-Mikrofon-T ec hnik“ geh t u. a. auf Morse und Bolt (1944) [168] zurüc k. Sie ba-
siert auf einer Absc hätzung der lokalen Öffn ungs-Sc hallschnelle durc h die Messung des
w andnormalen Druckgradien ten im Bereic h der Öffn ung. Dies wird durc h T ra v ersierung
eines Mikrofons durc h die Resonatorkavität hindurc h erreic h t, siehe z. B. Abb. 2.4a. Da
das Mikrofon im Bereic h der Öffnung b ei Üb erström ung h ydro dynamisc hen Fluktuationen
ausgesetzt ist, ist diese Metho de fehleranfälliger als die „Zw ei-Mikrofon-T ec hnik“, w elc he
lediglic h relative Druc kw erte b enötigt.
Die „Zw ei-Mikrofon-T ec hnik“ geh t auf einen V orsc hlag v on Sivian (1935) [227] zurüc k
und wurde zuerst v on Phillips (1968) [185] und Binek (1969) [20] angew endet. Es wird
dab ei von einer W andöffn ung üb er einer lokal reagierenden, k ompakten Ka vität mit total-
reflektierender R ückw and ausgegangen. 14 In der Kavität ist der v ertikale Sc halldruckv er-
lauf (in y -Ric htung) einfac h durc h ˜︁
p ( y )=2 p 0 cos( k 0 y ) gegeb en. An der Position der
Ka vitätsrückw and y = 0 ist der Druc k dann 2 p 0 . Die Impulsgleic h ung 3.48 ergibt den
zugehörigen V erlauf der w andnormalen Sc hnelle ˜︁
v n ( y ) . An der P osition der Öffnung y = l
10 Minotti et al. [167] testen als Randb edingung der üb erström ten Imp edanzwand neben der Kon tin uität
der w andnormalen A uslenkung auch die der w andnormalen Gesc h windigk eit (siehe auch Kap. 7.2.1.1).
11 In situ : lateinisch für „am Ort“ .
12 Begrifflic h lässt sic h die In-situ-T ec hnik nic ht sc harf von den bereits in Kap. 2.1.2.1 genannten lokalen
T ec hnik en abgrenzen. In der Literatur wird sie meist, ab er nic h t durchgängig, mit der „Zw ei-Mikrofon-
T ec hnik“ nac h Dean (1974) [62] iden tifiziert.
13 Diese ist gleic hnamig und nic h t zu verw ec hseln mit der in Kapitel 2.1.1 genann ten Zwei-Mikrofon-
Metho de in akustischen W ellenleitern, b ei der der Reflexionsfaktor mittels zw ei o der mehr ortsfesten Mi-
krofonen gemessen wird.
14 Dean [62] hat die Metho de auch bei Kavitäten angew endet, w elc he mit p orösem Material gefüllt
w aren. Dann ändern sic h lediglich die Annahmen für die Sc hallausbreitung im Inneren der Kavität.
17
(a) Messanordn ung nach Binek (1969) [20]
(Abb. 6 aus [62]).
(b) Messanordn ung nach Phillips (1968) [185].
(c) Messanordn ung nach Cummings
(1986) [55].
(d) Messanordn ung nach Dean (1974) [62]. Das
lange, tra versierbare Mikrofon erlaubt so-
w ohl Messungen mit „Ein-Mikrofon“- als
auc h mit „Zw ei-Mikrofon“-T ec hnik.
Abbildung 2.4. V ersc hiedene Beispiele für die In-situ-Imp edanzmessung mit der „Zw ei-Mikrofon-
T ec hnik“ an einem Helmholtz-Resonator.
ist die Imp edanz damit
Z = ˜︁
p ( l )
˜︁
v n ( l ) = − i
sin( k l ) ˜︁
p ( l )
ˆ p (0) = − i
sin( k l ) H 0 l . (2.8)
Die Öffn ungsimp edanz kann also einfac h aus der k omplexen Üb ertragungsfunktion H 0 l
zwisc hen den zwei sim ultan gemessenen Drüc ken, innerhalb der Ka vität und an der W and-
V orderseite, b estimm t w erden. 15 Dieses Prinzip ist in v ersc hiedenen V arian ten in Abb. 2.4
dargestellt. 16 Da der Druc kv erlauf in der Ka vität theoretisc h b ekann t ist, kann statt der
15 Dies hatte historisc h den V orteil der b esonderen Einfachheit der Messung: Zusätzlic h zu den b eiden
Sc halldruc kp egeln m usste nur die Phasendifferenz zwisc hen den Mikrofonen aufgezeic hnet w erden.
16 Die b esondere Einfachheit dieser Methode führt Dean [62] auf die einfachen Annahmen über das
Sc hallfeld und die W andauskleidung (lokale Reaktion und K ompaktheit) zurüc k zuführen: „In other words,
18
Messp osition an der R üc kw and der Ka vität im Prinzip auc h jeder andere W andabstand
v erwendet w erden. Da allerdings die Messp osition genau b ekann t sein muss, eignet sic h der
w andbündige Einbau an der R üc kw and in praktisc her Hinsic h t am b esten. Dagegen ist die
P ositionierung des zweiten Mikrofons an der V orderseite der W and kritisc h – insb esondere
b ei Ström ungsüb erlagerung ergeb en sic h hier die folgenden Probleme:
• Das Mikrofon darf nic ht zu dic h t an der Öffn ung sitzen, damit ein „repräsen tativer“
W andsc halldruc k ohne Beeinflussung durc h h ydro dynamisc he Fluktuationen und das
Nahfeld der Öffn ung erfasst wird. Der Abstand sollte andererseits klein im V erhältnis
zur W ellenlänge sein, damit der gemessene Druc k b ezüglic h Amplitude und Phase
nic ht durc h das Sc hallfeld b estimm t wird. Dies wäre ein Widerspruc h zur lokalen
Annahme.
• Der W andabstand darf nic h t in der Größenordn ung der Dic k e der Ström ungsgrenz-
sc hich t liegen, da sonst die Absc hätzung der w andnormalen Sc hnelle der Öffnung in
der Ka vität nich t gilt. 17 In der Ström ungsgrenzsc hich t ist die Messung der akusti-
sc hen Fluktuation getrennt v on den turbulen ten, h ydro dynamischen K omp onen ten
sc hwierig. A ußerdem stört das in die Ström ung hineinragende Ende der Mikrofon-
sonde die Ström ung lokal, was zu h ydro dynamisc hen Druc ksch w ankungen führt, die
größer sein k önnen als die akustischen.
W ährend z. B. Phillips [185] und Cummings [54] ein w andbündiges Mikrofon in der har-
ten, die Öffn ung umgeb enden W and v erw endeten, p ositionierte Binek [20] das Mikro-
fon innerhalb einer Öffn ung einer p erforierten W and (siehe Abb. 2.4a). Dab ei wurde die
Messung deutlic h durch die Ström ungsgrenzsc hic h t b eeinflusst. Dean [62] un tersu c h te die
kritisc he Position des Mikrofons im Bereich der Öffnung eingehend. Er sc hlug v or, die
Grenze des akustisc hen Nahfelds der Öffn ung durc h den W andabstand festzulegen, b ei
dem die Ergebnisse v on drei v ersc hiedenen Messmetho den, „Ein-Mikrofon-“ und „Zw ei-
Mikrofon“-T ec hnik und Kundtrohr-Metho de, üb ereinstimmen. Zandb ergen (1981) [267]
hat die „Zw ei-Mikrofon“-T ec hnik erw eitert und drei Mikrofone zur Un tersuc h ung v on zw ei-
sc hich tigen W andauskleidungen 18 v erw endet.
Dean [62] kam zu dem F azit, dass die „Zw ei-Mikrofon-T ec hnik“ der „Ein-Mikrofon-T echnik“
b ezüglic h der Messgenauigk eit üb erlegen ist. 19 P arrott [183] fasst die problematisc hen An-
forderungen der „Zw ei-Mikrofon-T ec hnik“ wie folgt zusammen: a) Die Phasen- und Am-
plitudenkalibrierung der Mikrofone m uss genau und stabil sein, b) es darf keine Undic h-
tigk eit b ei der Installation des Mikrofons in der V orderwand der W andauskleidung geb en,
c) die lokale Imp edanzmessung kann durch andere lokale Effekte, z. B. sondeninduzierte
Druc ksch w ankungen, gestört w erden, und d) die Mikrofoninstallation ist m ühevoll und
zeitaufw ändig.
Kürzlic h hab en Bo dén et al. [25] und Serrano et al. [224] die „Zw ei-Mikrofon-T ec hnik“
(in situ) zur Imp edanzb estimm ung einer resonatorartigen, lokal reagierenden W andaus-
kleidung v erwendet. Die v on ihnen gemessene Imp edanz war bei Üb erström ung abhängig
v on der Position der Sc hallquelle im Messkanal, w as im Widerspruc h zur lokalen Reakti-
this metho d is a simple one only b ecause the t yp e of liner under discussion here is geometrically and
acoustically simple. “
17 Dean [62] sc hlägt hierzu v or, die Öffn ung mit einer dünnen Schic h t Dämpfungsmaterial zu b edec k en.
18 Englisc h: DDOF-Liner (double degree of freedom).
19 Die Messgenauigk eit b ei der „Zw ei-Mikrofon“-T ec hnik wird b ei niedrigen Strömungsgesc h windigk ei-
ten ( < Mac h 0.1) n ur durch die Instrumen tierung b egrenzt (1 % F ehler). Der F ehler steigt b ei höheren
Gesc h windigkeiten aufgrund der turbulen ten Fluktuationen (ca. 10 % b ei Mac h 0.2).
19
on der W and steh t. Dies wurde v on Bo dén et al. [25] als Hin w eis auf die Ungültigk eit der
Existenz der lokalen Imp edanz b ei Üb erströmung gedeutet. Dagegen spric h t der Umstand,
dass die Messungen v ermutlic h im nic h tlinearen Bereic h durchgeführt wurden. Die zw ei
Mikrofone wurden außerdem in b enach barten Zellen mon tiert, wodurch möglic herw eise
ein v on der Schallausbreitungsric h tung abhängiger axialer Phasenun tersc hied ausgewer-
tet wurde. 20 V erm utlich wurde also einerseits durc h die Messprozedur selb er, andererseits
durc h das vorgegebene Schallfeld die lokale Annahme der „Zw ei-Mikrofon-T ec hnik“ v er-
letzt.
F azit: In-situ-Metho den wurden lange Zeit als eine einfac he, sc hnelle und direkte Metho-
den der Imp edanzmessung lokal reagierender W andauskleidungen v erw endet. Dem V orteil
dieser Metho den, eine v ollständige Kanalauskleidung un ter realistisc hen Ein baub edingun-
gen in einem Ström ungskanal zu testen, stehen versc hiedene Probleme gegen üb er: Neb en
der b ereits genann ten Sc hwierigk eit b ei der Druc kmessung im Nahfeld der Öffn ungen und
der Besc hränkung auf lokal reagierende Liner ist die Metho de in v asiv und erfordert den
k onstruktiven Um bau der W andauskleidung, z. B. das Bohren v on Lö c hern, um die Mikro-
fonsonden aufzunehmen. Die destruktiv e Installation von Messtec hnik in den Ka vitäten
bzw. die Not wendigk eit der Anpassung der Geometrie der W andauskleidung an die Mess-
tec hnik wurde zunehmend als Einschränkung empfunden. Dies motivierte die En t wicklung
alternativ er T ec hnik en zur Imp edanzb estimm ung, w elc he die Imp edanz indirekt aus Mes-
sungen des Sc hallfeldes in ausgekleideten Kanälen „eduzieren“ .
2.2. Imp edanzeduktion
Die Imp edanzeduktion hat sich heute als Standard für die Impedanzb estimm ung von
akustisc hen W andauskleidungen (englisc h: Liner) durc hgesetzt. Ihre in den frühen 1970er
Jahren einsetzende En twic klung ist bis heute ungebro c hen und hat insb esondere in den
letzten 20 Jahren – angesic hts der üb erragenden V orteile und un terstützt durc h die zu-
nehmenden Rec henkapazitäten für numerisc he A usw ertungen – eine Vielfalt v ersc hiedener
Metho den und V arian ten herv orgebrac h t.Den v ersc hiedenen Eduktionsv erfahren ist ge-
meinsam, dass die Imp edanz indir ekt aus Messungen des Sc hallfeldes in einem akustisc h
ausgekleideten Mess- bzw. Ström ungskanal ermittelt wird. Diese Metho den w erden daher
auc h W ellenleiter-Metho den (w a v e-guide-metho ds) genann t [7, 242, 243]. Diese hab en zw ei
V orteile:
• Der Liner kann in einer für die An wendung realistisc hen Ein bausituation im Strö-
m ungskanal vermessen w erden.
• Der Liner kann als Einheit v ermessen w erden; Um bauten o der die destruktiv e In-
stallation v on inv asiv er Messtec hnik sind nic h t nötig.
Bei den W ellenleiter-Metho den wird die Imp edanz für streifenden und nic h t wie b eim
Kundtrohr für w andnormalen Schalleinfall bestimmt. Bei lokal reagierenden W andaus-
kleidungen liefern die v erschiedenen Methoden erwartungsgemäß die gleic hen Ergebnisse
für die eduzierte Imp edanz [145, 144].
20 Die Phasendifferenz zwisc hen den b eiden Messp ositionen ist b ei Sc hallausbreitung in Strömungsric h-
tung kleiner als en tgegen Ström ungsrich tung, da sic h die Phasengesc h windigkeit mit ungefähr ± M (in bzw.
en tgegen Ström ungsrich tung) ändert.
20
Harte W and
Impedanz ?
Schallfe ld - Messgrößen:
z.B. Schalldruc k, - schnelle ,
W ellenza hlen 𝒌𝒌 ,
Stre uk oeffizienten
𝒓𝒓 , 𝒕𝒕
Schallfe ld -
Modell
Interak tion
Schallfe ld
Liner
x
y
Abbildung 2.5. Prinzip der Imp edanzeduktion: Anpassun g eines Sc hallfeldmo dells an exp erimen-
tell ermittelte Schallfeldgrößen.
Abb. 2.5 zeigt das Prinz ip der Imp edanzeduktion durc h W ellenleiter-Metho den: Betrac h tet
wird ein (hier zw eidimensionale r) W ellenleiter mit einem Liner a n der un teren Kanalw and
und einer harten ob eren W and. Die Imp e danz wird üb er die Anpassung eines Sc hallfeld-
mo de lls an exp erimen tell e rmittelte Sc hallfeldgrößen 21 b est imm t. Das Mo dell b esc hreibt
dab e i die In teraktion zwisc hen dem Liner und dem Schallfeld. Die exp erim en t ellen Daten
basieren in den bisher igen Arb eiten, bis auf eine A usnahme [ 187 ], durc hgängig auf Sc hall-
druc kmessungen mit w andbündigen Mikrofone n. Bei der Anpassungsr ec h n un g wird meist
eine Zielfunktion auf gestellt, in der die Diff erenz v on exp erime n t ellen und mo dellierten
Sc h allfeldgrößen in ein er iterativ en Prozedur minimiert w ird. Un ter b estimmten, sehr ein-
fac hen Annahmen für das Sc hallfeld 22 kann die Imp edanz auc h analytisc h und direkt aus
den exp erimen tellen D aten b estimm t w erden („straightforw ard metho ds“, SFM).
Betrac htet man die Impedanz-Randb edingung der W and als Ursac he und das dadurc h b e-
einflusste Sc hallfeld als desse n Wirkung, so bildet di e Imp e danzeduktion math ematisc h ein
in verses Problem: Es wird v on Messungen im Sc hallfeld auf die Imp edanz (als zugrunde
liegende Ursac he) zurückgesc hlossen. Viele V erfahren zu Imp edanzeduktion w erden daher
auc h „in v erse Metho den“ genann t.
2.2.1. Metho denüb ersicht
So wohl für die exp erimentellen Sc hallfel dgrößen als auc h für die ph ysikalisc hen Annah-
men des Kanalmo dells existiert b ei den bisherigen E duktionsv erfahren eine groß e Vielfalt
an V arian t en und K om binati onen. Der V ersuc h ihrer Systematisier ung wird dadurc h er-
sc hw ert, dass die dafür n ot wendigen Kriterien sic h nic ht ohne ein gewisses Maß an Will-
kür form ulieren lassen. In der grafisc hen Üb ersich t in Abb. 2.6 und in T ab e lle 2.1 ist ein
V orsc hla g für die Strukturier ung der v ersc hi edenen V erfahren gegeb en. Abb. 2.6 geh t in
der Sortierung v on den Mikrofonp ositionen der Schalldruc kmessung i m Kanal aus und
un terscheidet zwisc hen solc hen an der W and gegen üb er dem Liner und solc hen in den
21 Diese k önnen auc h aus einer n umerischen Sim ulation stammen.
22 Diese Annahmen sind: der Kanal ist unendlic h lang, die W andauskleidung ist homogen, und die
Ström ung ist eb en (Blo ckprofilström ung).
21
sc hallharten Kanalsektionen vor und hin ter dem Liner. Es folgt eine Un tergliederung nac h
wic htigen Eigensc haften des Kanalmo dells, nämlic h der A usdehn ung des Liners in Kanal-
ac hsenrich tung (endlic h o der unendlic h), dem Einschluss höherer Mo den, so wie nach der
Art der Sc hallfeldgröße, an die das Mo dell angepasst wird, z. B. die Streuk o effizien ten,
die T ransfermatrix, die axiale W ellenzahl, den Schalldruc k an der Kanalw and der harten
Kanalsektionen o der den Schalldruc k an der W and gegen üb er dem Liner.
T ab elle 2.1 bietet in Ergänzung zur Üb ersic h t in Abb. 2.6 einen detaillierteren Ein blic k
in die Sp ezifika der Eduktion. T ab elle 2.2 erläutert die dab ei v erw endeten Abkürzungen.
Die Sortierung der Metho den erfolgt alphab etisc h nac h dem Namen des ersten A utors der
Publikation, in w elcher eine bestimmte Eduktionsmethode zuerst vorgestellt wurde (fett
gedruc kt). W eitere Arb eiten, die diese Metho de en t w eder explizit üb ernommen und ange-
w endet, diese geringfügig mo difiziert o der eigenständige Metho den mit allerdings ähnlic hen
Eigensc haften ent wic k elt hab en 23 , sind der ersten Arb eit des jew eiligen T ab ellenein trags
zugeordnet. In der zw eiten Spalte sind, wenn v orhanden, die in der Publikation original
v erwendeten Methodennamen genannt. Es lässt sic h sc hnell erkennen, dass sic h trotz quali-
tativ er Ähnlichk eiten n ur w enige Metho dennamen durchgesetzt haben bzw. v ereinheitlic ht
w orden sind. Der Umstand, dass zum T eil gleic he Arb eiten für v ersc hiedene Metho den ge-
nann t werden, ist auf Methodenv ergleic he in den zitierten Arb eiten zurüc kzuführen.
Spalte drei nenn t die Messgrößen der Eduktion. A uf ihre Bestimm ung wird in Kap. 4
näher eingegangen. Die Spalten vier bis zehn b eschreiben die Eigenschaften des Kanalmo-
dells: Neb en der Dimensionalität, den Schallfeldgleic h ungen und den Randb edingungen
des Mo dells wird auc h die Berüc ksich tigung höherer Mo den, des Ström ungsprofils, der
visk osen Effekte und der T urbulenz gek ennzeic hnet. Die v erw endeten Gleic h ungen und
die T urbulenzmo delle w erden in Kap. 3 erläutert. Die Imp edanz-Randb edingungen, w el-
c he die Interaktion des Liners mit dem Sc hallfeld im F all v on Üb erström ung b esc hreib en,
w erden in Kap. 7.2.1 b ehandelt. In der Mehrzahl der F älle wird in der Literatur v on der
für eine Blo ckprofilström ung 24 gültige Annahme der K on tin uität der w andnormalen akus-
tisc hen Auslenkung, der sogenann ten Ingard-My ers-Randb edingung (IM-BC) [102, 175],
ausgegangen. Bei der Betrac htung der Moden (Sch wingungsformen) des Sc hallfeldes muss
differenziert w erden: Bei der Annahme eines in Kanalachsenric h tung x unendlic h ausge-
dehn ten Kanals bzw. W ellenleiters („infinite w a ve-guide model“, IWGM) wird v on einer
einzelnen unidirektionalen Mo de ausgegangen („single-mo de metho d“, SMM). Die Mo-
denordn ung ist dab ei nic ht näher sp ezifiziert, und insb esondere b ei der An wendung der
Pron y-Metho de (siehe Absc hnitt 2.2.2.1 B) zur Bestimmung der axialen W ellenzahl k ön-
nen b ewusst (einzelne) höhere Mo den zur Eduktion v erw endet w erden. Wird dagegen eine
endlic h ausgedehnte ausgekleidete Kanalsektion unte r Einsc hluss der Reflexionen an den
b eiden Sprungstellen zwisc hen harter und ausgekleideter Kanalsektion b etrach tet, so um-
fasst das Kanalmo dell im einfachsten F all die v or- und zurüc klaufende Grundmo de und im
allgemeinen F all eine Vielzahl v on bidirektional laufenden höheren Mo den („m ulti-mo de
metho ds“, MMM). Zu den MMM zählen die Mo de-matc hing-Metho den und die n umeri-
sc hen Metho den (FEM, CAA), w elche den auf der Kanalw and gemessenen Sc halldruc k
anpassen.
Spalte elf b enenn t die Art des Rec h en v erfahrens der jew eiligen Eduktionsmetho de. Das
23 Die Abgrenzung der Metho den mit ähnlichen oder mo difizierten Eigensc haften von eigenständigen Me-
tho den ist sicherlic h nic h t eindeutig festzulegen. Mit der T ab elle wird ein Kompromiss aus größtmöglic her
Zusammenfassung v on metho disc hen Ähnlic hkeiten bei gleichzeitiger Klarheit der implizierten Annahmen
angestrebt.
24 Als Blo ckprofilström ung o der Blo c kströmung (englisc h: plug flo w, uniform flo w) wird eine in Querric h-
tung zur Kanalac hse homogene, parallele Gleic hströmung bezeichnet. Das w andnormale Ström ungsprofil
ist also eine K onstan te.
22
V erfahren ist:
• dir ekt-analytisch , wenn eine analytisc he Lösungsgleic h ung in expliziter F orm für die
Imp edanz v orliegt. Dies ist n ur für unendlich lange Kanäle mit homogener W and-
auskleidung und k einer o der homogener Ström ung der F all.
• semi-analytisch , w enn die Bezieh ung zwisc hen Sc hallfeldgröße und Imp edanz zw ar
direkt ist, ab er n umerisc he V erfahren (z. B. das Newton-V erfahren) zur Lösung nic h t-
linearer o der impliziter Gleic h ungen b eteiligt sind.
• invers , w enn das inv erse Problem gelöst wird, also die Imp edanz durc h iterativ e
Anpassung eines Sc hallfeldmo dells an eine b estimmte Messgröße bestimmt wird.
• numerisch , w enn n umerisc he Prozeduren zur Lösung v on Eigenw ertproblemen (EWP)
o der Randw ertproblemen (R WP) eingesetzt w erden. Dies ist erforderlic h, w enn z. B.
b eliebige Ström ungsprofile b erücksic h tigt w erden sollen. Hierzu w erden in der Regel
die R unge-Kutta-Integration oder die Finite-Elemente-Methoden (FEM) verw endet.
• invers-numerisch , w enn das Kanalsc hallfeld selbst mit numerisc hen A eroakustik-
Co des (CAA), z. B. einer FEM, b erec hnet wird.
23
Schulz ( 2011)
Enghard t et al.( 2012)
Busse - Gerstengarbe
et al. (2013)
Zhou& Bodén (2015a)
Scha ll druckmes su ng 𝒑𝒑 𝑳𝑳 (x ) gegenüber dem Liner (FTF) Scha ll druckmes su ng i n den har ten Kanal se ktionen / M essung der Transferm atrix
Li ner endl ich l ang ,
Höhe re Mode n über L iner (MMM )
Li ner unendlic h aus ge dehnt
einzeln e Mo d e (SM M)
Experim entelle
Ein gan gsgr öße n:
Li ner endl ich l ang
𝑘𝑘 𝑥𝑥 aus Dru ckgradi ent
𝑑𝑑 𝑝𝑝 𝐿𝐿
𝑑𝑑𝑥𝑥
Mo dale 𝑘𝑘 𝑥𝑥 , 𝑛𝑛 (P rony-
Met hode, K T , u.ä.)
Li ner unendlic h aus ge dehnt
einzeln e Mo d e (SM M)
Schallf eldm odell:
Jing et al. (200 8)
Reno u&Auré ga n ( 2011)*
Jones e t al. (2015)
Jones e t al. (2016)
Watson& Jone s (2017)
Lans ing& Zorums ki
(1973)
Sawdy et al.( 1976)
Li et al. (2008)
Zhou et al. ( 2014)
Zhou& Bodén (2015)
Zhou et al. ( 2014)
Zhou& Bodén (2015)
Höhe re Moden über Line r
Einf üg e -
Dä m pf ung IL
A npas sung der
2-P ort- Matrix
( p, u )
A npas sung des total en Druc k s 𝑝𝑝 𝐿𝐿 ( x) Anpa ssung de s
Kanal dru cks
G rundm ode mi t Ref le xi onen
Bloc kpr of ilst röm ung ,
IM-BC B l oc k pr of i l s t r öm ung
Numerisch es
Sch allfeld modell
A npas sung der S tre um atr ix ( r, t )
Bloc kpr of ilst röm ung , IM -BC
Bes ti m mu n g der a xi a len Wellenza h l(en )
Elnady& Bodé n (2003)
Elnady& Bodé n (2004)
Elnady et al. (2006)
Elnady et al. (2009a)
Farooqu i& Elnady (2016)
Buss e et al. (2008a )
Richte r (2009)
Buss e et al. (2010)
Busse - Gerstengarbe
e t al. (2012)
Syed et al (2002)
Scofan o et al. (2007)
Tro ian et al. (2017)
Ler oux et al. (2003)
Auré gan et al. (2004)
Bi& Aurégan (2010)
Lavieille et al.(201 7)
Zhou& Bodén (2014)
Bodén et al. (2016)
Arm str ong (1971)
Arm str ong et al. (1974)
Sche rs tröm ung
PBE/LEE/L NSE
𝑘𝑘 𝑥𝑥 aus
Transmission t
Watson& Jone s (2013)
Jing et al. (201 5)
Watson e t al. (2015)
Jones e t al. (2015)
Weng et al. (2017)*
Parrot t et al. (1987)
Watson e t al. (2001)
Jones e t al. (2001)
Jones e t al. (2004)
Jones e t al. (2010)
Jones e t al. (2013)
Allam & Abom (20 08)
De Roeck& Desmet (2009)
Santana e t al. (2011)
Medeiros et al (2014)
Medeiros et al (2015)
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Watson e t al.(2005 )
Jones e t al.(2005 )
Watson e t al.(2009 a)
Ever sm an& Gallman (2009)
Jones e t al.(2010 )
Watson& Jone s (2010)
Jones& Watson (2011)
Watson &Jon es (2012)*
Jones e t al. (2013)
Theorie:
Mungur& Gladw ell (1969) , Watson (1984, 198 5)
Watson e t al. (1996)
Watson e t al. (1996a)
Watson e t al. (1998)
Watson& Jone s (2016)
Watson e t al.(2001 )
Watson et al.(2006 )
Watson e t al.(2008 )
Prim us et al.(2013)
Tro ian et al. (2017)
José& O‘Reilly
(2017)
Numerisch es
Sch allfeld modell
Mode - m atchin g -
Met hoden
M=0
SMM: Single - Mode Met hod
MMM: Multi - Mode Method
SFM: Straightforward Method
PBE : Pridmore- Brow n Equation
CHE: Con vect ive Helm holtz Equation
LEE: Linearized Eu ler Equati on
LNS E: Lin earized Navier - S to kes Equation
IM-BC: Ingard- M ye r s Boundary Condition
𝑡𝑡 +
𝑟𝑟 +
𝑟𝑟 −
𝑡𝑡 −
Mo difizi erte Imped anz - Randbedi ngung
Einsch luss von Visk osität
Eins chlus s T urbule nzm odell in LNS E
Face - To - Face - M essung
Mode - m atchin g
Met hoden
Wiener - Hopf
Met hoden
Bloc kpr of ilst röm ung , IM -BC
Direkte M eth od en ( SFM )
Jiang& Huang (2016)
LEE
*
FTF
Abbildung 2.6. Strukturierung der Imp edanzeduktionsmetho den gemäß den exp erimen tellen Eingangsgrößen und den Sc hallfeldmo dellen.
T ab elle 2.1. Literaturüb ersic h t üb er die Imp edanzeduktionsv erfahren mit Ström ung (Abb. 2.6) und die zugehörigen Mo dellannahmen. Das Abkürzungs-
v erzeichnis findet sic h in T ab elle 2.2.
A utoren Name Exp. input Kanalmo dell Berec hnung K ommentar
(original) (angepasste Dim. Liner- Gl. Ström ungs- Höhere Imp edanz- Visk./ direkt/in v ers, (Metho den)
Größen) 1 2 länge 3 4 profil Mo den RB T urb. analyt./n umer.
Allam & Åb om(2008) [5] - T ransfer-M. 2D endl. CHE Blo c kstr. 0.Mo de IM-BC - in v ers, an. 2-P ort Th.
Armstrong (1971) [6],[8] IW GM, p L ( x ) 1D unendl. CHE Blo c kstr. SM IM-BC - direkt, an. k x aus dp L
dx
SFM
Bi & A urégan (2010) [17], IMMM T ransmitt. 3D endl. CHE Blo c k- HOM IM-BC - in v ers, Mulitmo dale
La vieille et al.(2017)[139] - In tensität T ström ung semi-analyt. Metho de
Busse et al.(2008) [43],[44, 46] - Streumatrix 2D endl. LEE Sc her- HOM-L IM-BC* - in vers, EHR-Imp.-
Ric h ter (2009)[201] In tensitäten ström ung numer.(TD) Mo dell [208]
De Ro ec k & Desmet(2009) [61] - T ransfer-
3D endl. CHE Blo c kstr. 0.Mo de IM-BC -
in v ers,
2-P ort Th. San tana et al.(2011)[217] - Matrix semi-analyt.
Medeiros et al.(2014/15)[162, 161] TPM ( p, u )
Enghardt et al.(2012) [71, 222] LINUS t 1D unendl. PBE Sc her- SM IM-BC* - direkt, n umer. Theorie: [172],
Busse-G. et al.(2013)[45] ström ung In tegr. R WP k x aus t
Elnady & Bo dén(2003) [66], - p H W ( x )
2D endl. CHE Blo c kstr. HOM-L IM-BC -
in v ers, Mo de-
[67, 69, 68] semi-analyt. Matc hing
Medeiros et al.(2014) [162, 161] MMM p H W ( x ) Metho de
Zhou et al.(2014) [271, 269] - p ( x )
F aro o qui & Elnady (2016)[78] - p H W ( x )
Jiang & Huang (2016) [107] - p L ( x ) 1D halb- CHE Blo c kstr. 0.Mo de IM-BC - in v ers, Wiener-Hopf
unendl. semi-anal. -Metho de
Jing et al.(2008) [108],[116]
SFM p L ( x ) 1D unendl. CHE Blo ckstr. HOM IM-BC - direkt, an.
Pron y-Meth.
Renou & A urégan(2011)[199] KT Meth.
Jones et al.(2016)[115],[252] KT Meth.
José & O’Reilly .(2017) [122] - p L ( x ) 2D endl. LNSE Sc herstr. HOM Z w Visk., in v ers,
T urb. n umer.
Leroux et al.(2003) [143] S3M Streuma- 2D endl. CHE Blo c k- HOM-L IM-BC - in vers, Multimodale
A urégan et al.(2004)[9] MM trix r , t ström ung semi-analyt. Metho de
Li et al.(2008) [146] MMM p L ( x ) 3D endl. CHE Blo c kstr. HOM IM-BC - in vers, an. Mode-Match.
Renou & A urégan(2011) [199] SFM p L ( x ) 1D unendl. CHE Blo ckstr. HOM mo d-IM - direkt, an. KT Meth.
F ortsetzung näc hste Seite
25
T ab elle 2.1 – F ortsetzung v on Seite 25
A utoren Name Exp. input Kanalmo dell Berec hnung K ommentar
(original) (angepasste Dim. Liner- Gl. Ström ungs- Höhere Imp edanz- Visk./ direkt/in v ers, (Metho den)
Größen) 1 2 länge 3 4 profil Mo den RB T urb. analyt./n umer.
Sy ed et al.(2002) [229], - IL ( T ) 2D endl. CHE Blo ck- 0.Mode IM-BC* - in v ers,
Scofano et al.(2007)[223] ström ung n um. (FEM)
T roian et al.(2017) [236] - IL und 3D endl. LEE Sc herstr. HOM IM-BC* - in v ers, EHR-Imp.-
- p L ( x ) n umer.(TD) Mo dell [208]
W atson (1984) [242, 243] - k ein Exp. 2D unendl. PBE Sc herstr. SM IM-BC* - direkt, n um. k x v orgegeb.
P arrott et al.(1987)[183] IW GM p L ( x ) Lsg. EVP k x aus dp L
dx
W atson et al.(1999) [254], 2D-FEM,
p L ( x )
2D
endl. CHE Blo c kstr. HOM
IM-BC
-
in v ers, -
[248, 118, 111] CHE-FE IM-BC n um. (FEM) -
Ev ersman & Gallman(2009)[76] - 2D IM-BC NU-ducts
W atson et al.(2005)[253, 119, 247, 114] Q3D-FEM 3D IM-BC quasi-3D
W atson & Jones(2012)[249] - 2D mo d-IM -
W atson et al.(2001) [256] SMSM p L ( x ) 1D unendl. PBE Sc herstr. SM IM-BC* - direkt, n um. k x aus dp L
dx ,
Jones et al.(2001)[120],[121, 118, 111] SMM In tegr. R WP Theorie: [172]
W atson et al.(2001) [256], FESM p L ( x ) 2D endl. LEE Scherstr. HOM Z w - in v ers,
[246, 245], Prim us et al.(2013)[195] - n um. (FEM)
W atson & Jones(2013) [250] SMM
p L ( x ) 1D unendl. PBE Sc herstr. HOM Z w -
n umer. Pron y-Meth.
Jing et al.(2015)[109] - In tegr. Pron y-Meth.
W atson et al.(2015)[244] - des R WP KT Meth.
W eng et al.(2017) [264] - p L ( x ) 1D endl. LNSE Sc herstr. HOM Z w Visk., in v., n um. KT und
T urb. Lsg. EVP MP Methode
Zhou & Bo dén (2014) [271],[26] SF-SMM r , t 1D endl. CHE Blo ckstr. 0.Mo de IM-BC - direkt, an. k x aus r , t
Zhou & Bo dén (2014) [271],[270] SFM t 1D unendl. CHE Blo ckstr. SM IM-BC - direkt, an. k x aus t
Zhou & Bo dén (2015) [269] - t 1D unendl. LNSE Sc herstr. SM IM-BC* Visk. n um. (FEM) k x aus t
1 Exp erimen telle o der numerisc he Sc hallfeldgrößen, an die das Mo dell angepasst wird.
2 Dimensionen: Anzahl der Raumric h tungen des Kanalmo dells, in denen Inhomogenitäten b erüc ksic htigt w erden (W ände o der Sprungstellen in der Randb edingung).
Bei der Annahme eines unendlic h langen, geraden Kanals mit homogenen W änden wird daher der Längsrich tung (hier x ) keine Dimension zugesc hrieb en.
3 Linerlänge in x -Ric h tung: endlich, unendlic h o der halbunendlich (halbunendlic h: Sprungstelle zwisc hen zw ei jew eils unendlic h ausgedehn ten W änden, z. B. sc hallharter
und ausgekleideter W and).
4 Gleic hungen des Kanalmodells, Abkürzungen vgl. Kap. 3 und Abb. 2.6.
26
T ab elle 2.2. Abkürzungsv erzeic hnis zu T ab elle 2.1
Abkürzungen:
0. Mo de: Grundmo de bzw. (quasi-)eb ene W elle
EWP: Eigen wertproblem
EHR: Extended Helmholtz Resonator Imp edanzmo dell (Rienstra [208])
HOM: Higher Order Mo des (Berücksic h tigung höherer Mo den im Kanal)
HOM-L: Berüc ksic h tigung höherer Mo den n ur in der ausgekleideten Kanalsektion. In den sc hallharten Kanalteilen vor und hin ter dem Liner
wird die A usbreitung der Grundmo de angenommen.
IM-BC: Ingard-My ers Boundary Condition, Imp edanzrandb edingung für Blo ckprofilström ungen nac h Ingard [102] und My ers [175].
IM-BC*: Im F all einer Sc herström ung mit Haftb edingung v ereinfach t sic h die IM-BC zur W andimp edanz Z w . Bei den Mo dellen mit Sc her-
ström ung wird die IM-BC trotzdem häufig eingesetzt, um auch den einfac heren F all der Blo ckström ung mit un tersuc hen zu k önnen.
Lsg.: Lösung
KT Metho de: Kumaresan-und-T ufts Metho de [133], vgl. auch Kap. 4
MP Metho de: Matrix P encil Metho de [96, 218], vgl. auc h Kap. 4
mo d-IM: Mo difizierte Ingard-My ers-Randb edingung nac h A urégan et al. [10]
NU-ducts: Non-uniform ducts: gekrümm te Kanäle o der Kanäle mit v ariierender Quersc hnittsfläc he
RB: Randb edingung
R WP: Randw ertproblem
SM: Single Mo de (Annahme, dass sic h n ur eine einzelne unidirektionale Mo de im Kanal ausbreiten kann; dies m uss nic h t not w endiger-
w eise die Grundmo de sein)
TD: Time Domain (CAA-Codes im Zeitb ereic h)
Th.: Theorie
T urb.: Einsc hluss eines T urbulenzmo dells
Visk.: Einsc hluss v on Visk osität
quasi-3D: W enn sic h in einem dreidimensionalen Kanalmo dell zw ei Kanalw ände mit gleicher Randbedingung gegen üb erstehen (z. B. zw ei
harte W ände), kann das 3D-Problem in eine Reihe v on 2D-Rec hn ungen umgeformt w erden.
V ariablen:
k x : Axiale W ellenzahl
p L ( x ) : W andbündige Sc halldruckmessung in axialer Rich tung an der dem Liner gegen üb erliegenden W and („face-to-face“, FTF), w ob ei
auc h Mikrofone aus den sc hallharten Kanalsektionen eingesc hlossen sein k önnen.
dp L /dx : Axialer Gradient des Sc halldruc ks in der Linersektion
p H W ( x ) : W andbündige Sc halldruc kmessung in axialer Rich tung in den sc hallharten Sektionen v or und hin ter dem Liner
r : Reflexionsk o effizien t
27
T ab elle 2.2 – F ortsetzung
t : T ransmissionsk o effizien t
T : Energetisc he T ransmission
Z w : W andimp edanz für ruhendes Medium
Eigennamen der Metho den:
2D-FEM: 2D Finite Elemen t Metho d
CHE-FE: Con v ectiv e Helmholtz Equation, Finite-Elemen t Metho d
FESM: Finite Elemen t with Shear Metho dology
IMMM: Impro ved Multi-Modal Metho d
IW GM: Infinite-W a ve-Guide Method
LINUS: Liner Imp edance Non-Uniform flow Solving algorithm
MMM: Mo de-Matc hing Metho d
MM: Multimo dal Metho d
S3M: Scattering Matrix b y Multimo dal Metho d
SFM: Straigh tforward Method
SF-SMM: Straigh tforward Single Mode Metho d
SMM: Single Mo de Metho d
SMSM: Single Mo de with Shear Metho dology
TPM: T w o-P ort Metho d
Q3D-FEM: Quasi-3D Finite Elemen t Metho d
28
2.2.2. Metho den
Im F olgenden w erden die drei wic h tigsten Metho den der Imp edanzb estimm ung – die
Single-mo de-Metho de, die Mo de-matc hing-Metho de und die n umerisc hen Metho den – v or-
gestellt. Sie bilden die Grundlage für zahlreic he, in Abb. 2.6 und T ab elle 2.1 genann te,
V arian ten und Erw eiterungen.
2.2.2.1. Single-mo de-Metho de
Die historisc h erste und einfachste W ellenleiter-Metho de ist die sogenann te „infinite w a ve-
guide“-Metho de [8, 242, 183] (IWGM), w elc he einen unendlic h langen, homogen ausge-
kleideten Kanal annimm t, in dem sic h eine einzelne, unidirektionale Mo de ausbreitet. Die
Metho de wird daher auc h „single mo de metho d“ (SMM) genann t. Für ruhendes Medi-
um o der die Annahme einer eb enen Ström ung kann mittels der Lösung der kon v ektiv en
Helmholtzgleic hung (CHE) ein direkter analytisc her Zusammenhang zwisc hen der W and-
imp edanz und der axialen W ellenzahl hergestellt w erden (Gl. 3.66 bzw. Gl. 7.1). Die Me-
tho de heißt daher auc h „straigh tforward method“ (SFM). Sie wurde von Armstrong et
al. (1971/74) [6, 8] auf Basis der gemessenen axialen W ellenzahl der Grundmo de ange-
w endet. Der dafür eingesetzte Messaufbau ähnelt dem der Zw ei-Mikrofon-Metho de und
ist in Abb. 2.7 in zw ei Beispielen dargestellt. An der harten, dem Liner gegenüberlie-
genden W and („face-to-face“-Messung, FTF) sind w andbündig zw ei Mikrofone installiert,
v on denen das eine als ortsfestes Referenzmikrofon im Bereich der Linerv orderkan te p o-
sitioniert ist. Das zw eite Mikrofon ist in Ric h tung der Kanallängsachse über dem Liner
k ontin uierlic h tra v ersierbar. Auf diese Art k önnen der axiale Sc halldruc k- und der axiale
Phasen verlauf über dem Liner abgetastet und damit die W ellenlänge und die Dämpfungs-
bzw. Abklingrate b estimmt w erden. 25
(a) Messung nac h Sawdy et al. (1976) [219,
Abb. 13]
(b) Messung nac h Parrott et al.(1987) [183, Abb.
7]
Abbildung 2.7. Zw ei Beispiele für die „face-to-face“ (FTF) Messung mit tra v ersierbarem Mikrofon
an der W and gegen üb er dem Liner.
25 Lester und P arrott (1979/80) [145, 144] hab en mit demselb en A ufbau das Stehw ellen v erhältnis und
die P osition des ersten Druc kknotens üb er dem Liner gemessen und daraus die axiale „Eingangsimpedanz“
der ausgekleideten Kanalsektion b estimm t.
29
Der Zusammenhang zwisc hen Imp edanz und axialer W ellenzahl k x ergibt sic h für eine ein-
zelne unidirektionale Mo de üb er dem (unendlic h langen) Liner aus dem axialen Gradien ten
des Sc halldrucks. Die x -Abhängigk eit des Sc halldruc ks ist
˜︁
p ( x ) = | ˜︁
p ( x ) | e iϕ ( x ) = p 0 e − ik x = p 0 e − iβ x e − αx (2.9)
mit der axialen W ellenzahl k x = β − iα ( α, β ∈ R ) aus Gl. 3.50 mit p ositiv gezähl-
ter Dämpfungk onstante α = − Im( k x ) . Der axiale Sc halldruck- und Phasen v erlauf ist in
Abb. 2.8 dargestellt. Der Betrag | ˜︁
p ( x ) | = p 0 e − αx ist exp onen tiell abfallend. Der Sc hall-
druc kp egel ist damit L S P L = L S P L,p 0 − 20 αx log ( e ) und fällt linear. Der Phasenv erlauf
ϕ ( x ) = − β x fällt eb enfalls linear. Der Real- und Imaginärteil der W ellenzahl ergeb en sic h
dann aus der Änderung des P egels um d L S P L = L S P L ( x 1 ) − L S P L ( x 2 ) und der Phase um
d ϕ = ϕ ( x 1 ) − ϕ ( x 2 ) en tlang einer T eillänge d x = | x 1 − x 2 | des Liners:
β = dϕ
dx und α = − 1
20 log 10 ( e )
dL S P L
dx . (2.10)
Armstrong et al. [6, 8] hab en die SMM für den F all ohne Ström ung und b ei Strömungsüber-
x
∆ S P L
L
S P L 2
∼ e − αx
| p 2 |
| p 1 |
S P L 1
| p | S P L
x 1 x 2
sc hallhart Liner sc hallhart
(a) Betrag
x
∆ x
∆ ϕ
ϕ 2
ϕ 1
ϕ
x 1 x 2
sc hallhart Liner sc hallhart
(b) Phase
Abbildung 2.8. Amplituden- und Phasenabfall des Sc halldruc ks einer einzelnen Mo de üb er dem
Liner.
lagerung un ter Annahme einer Blo c kströmung zur Impedanzb estimm ung genutzt, w ob ei
im letzteren F all die Ingard-My ers Randb edingung (IM-BC, Kap. 7.2.1.1) zur Besc hrei-
bung der üb erström ten Imp edanzwand v erw endet wurde. Sie en t wic k elten außerdem ein
analytisc hes Mo dell zur Berüc ksich tigung einer eindimensionalen Sc herström ung, hab en
dieses ab er nich t für die Imp edanzeduktion angew endet.
Die Pridmore-Bro wn-Gleich ung (PBE, Gl. 3.37) und die Randb edingungen der b eiden
gegen üb erliegenden Kanalw ände (Abb. 2.5) bilden zusammen ein eindimensionales Rand-
w ertproblem (R WP), b ei dem auc h eine Sc herström ung mit realistisc hem w andnorma-
len Profil M ( y ) b erüc ksic h tigt w erden kann. Dies wurde b ereits v on Mungur und Glad-
w ell (1969) [172] diskutiert. Sie schlugen eine n umerisc he In tegration mittels vierstufigen
R unge-Kutta-V erfahrens (RK4) v or, b ei der ausgehend v on der b ekann ten Randb edin-
gung für den Druc k und den wandnormalen Druc kgradien ten auf der schallharten W and
sc hrittw eise bis zur ausgekleideten W and (mit un b ekann ter Imp edanz) gerec hnet wird. Da
das Medium infolge der Sc herströmung an der W and haftet (k eine K on vektion), kann die
30
Imp edanz direkt aus dem V erhältnis des Druc ks und des Druc kgradien ten an der Imp e-
danzw and b estimm t werden (Gl.I.10). W atson (1984/85) [242, 243] hat das gleic he R WP
später zur Imp edanzeduktion für einen b eidseitig ausgekleideten Kanal mit einer eindi-
mensionalen FEM gelöst, zuerst für eindimensionale [242] und dann für zw eidimensionale
Sc herströmungen [243]. Die Arbeit umfasste keine Experimente; die axiale W ellenzahl und
die Mo denordn ung wurden als gegeb en b etrac h tet.
P arrott et al.(1987) [183] und W atson et al.(2001) [256] hab en später die klassisc he SMM
(Bestimm ung der W ellenzahl aus der Sc halldruc kmessung gegen üb er dem Liner) mit dem
o. g. R WP zur Berüc ksic h tigung einer Sc herström ung k om biniert. Zur Lösung des R WP
wurden dab ei so w ohl FEM als auc h RK4 eingesetzt. Die SMM wird aufgrund ihrer Einfac h-
heit seitdem oft als Referenzmetho de verw endet [120, 121, 118, 111], w ob ei in den jüngeren
Arb eiten statt der T ra v ersiersonde ortsfeste, axial äquidistan t v erteilte und wandbündige
Mikrofone an der W and gegen üb er dem Liner eingesetzt w erden [118, 111].
Die Haupteinsc hränkung der SMM ist in der Mo dellannahme selb er anzusehen: Reale
Sc hallfelder üb er k onv en tionellen Linern w eisen deutlic h k ompliziertere Eigensc haften auf,
als es die Besc hreibung mit einer einzelnen Mo de zulässt:
• In der Realität sind die Liner endlic h lang. Reflexionen und Nahfelder 26 an den In-
homogenitäten (Imp edanzsprungstellen) zwisc hen ausgekleidetem und hartem Ka-
nalteil tragen daher zum Sc hallfeld b ei – v ermutlic h um so mehr, je kürzer der Liner
ist. Da die SMM dies nic h t b erüc ksic h tigt, sind W andauskleidungen mit hinreic hend
großer Längsausdehn ung erforderlich (um effektiv unendlic h lang zu sein), w ob ei a)
dafür sehr große Mengen an W andmaterial nötig w ären und b) unklar ist, wo genau
das Limit für die „effektiv e Unendlichk eit“ liegt.
• A ufgrund der W andauskleidung k önnen sic h im ausgekleideten Kanalteil höhere Mo-
den ausbreiten, selbst w enn im harten Kanal nur die Grundmode ausbreitungsfähig
ist. In der klassisc hen SMM kann n ur die Grundmo de b erüc ksic htigt w erden, in
den mo derneren V arian ten (s. u.) dagegen auc h höhere Mo den, stets ab er n ur eine
einzelne.
• Inhomogene A uskleidungen (räumliche V ariationen der Imp edanz) k önnen mit der
SMM nic ht beschrieben werden, ebenso wenig nic h tlinear reagierende Wände.
Die Ab weic h ungen des realen Sc hallfelds gegen üb er den idealisierten Annahmen der SMM
führt zu F ehlern b ei der A usw ertung: Der gemessene axiale Sc halldruc kp egel v erläuft nic h t
linear (siehe Abb. 2.8a), sondern wird durc h Reflexionen, Nahfelder und höhere Mo den
k ontaminiert. In der Arbeit von Sc hulz [222] w erden angesich ts dieser K on taminierung drei
Metho den zur Bestimmung des Geradenanstiegs (Gl. 2.10) v orgesc hlagen und getestet.
Neb en der klassisc hen F orm der SMM existieren zw ei mo dernere V arian ten, w elc he die
Besc hränkung auf die Grundmo de als maßgeblic he Ausbreitungsform aufgehob en hab en.
A) W ellenzahlb estimmung aus der T ransmission (LINUS): Enghardt et al. [71, 45]
v erwenden den gemessenen T ransmissionsfaktor anstelle des axialen Druc kgradien ten üb er
dem Liner zur Bestimm ung der axialen W ellenzahl k x und lösen damit (wie Mungur und
Gladw ell [172] und andere [183, 256]) das R WP zur Berüc ksic h tigung einer eb enen Sc her-
26 Diese b estehen aus den ev aneszen ten höheren Mo den, die an den Sprungstellen angeregt w erden.
31
ström ung mittels numerisc her In tegration. Das V erfahren wurde LINUS 27 genann t. Der
T ransmissionsfaktor t der Liner-Kanalsektion ist das V erhältnis zwisc hen den Sc halldrü-
c ken am A usgang ˜︁
p ( x 2 ) und am Eingang ˜︁
p ( x 1 ) der Linersektion. Diese hab e die Länge
L = x 2 − x 1 . Der direkte Zusammenhang zwisc hen t und k x ergibt sich wieder aus der
Annahme der A usbreitung einer einzelnen, unidirektionalen Mo de üb er dem Liner, so wie
der V ernac hlässigung der Nahfelder und der Reflexionen an den Enden der Linersektion:
t = | t | e iϕ t = ˜︁
p ( x 2 )
˜︁
p ( x 1 ) = p 0 e − ik x x 2
p 0 e − ik x x 1 = e − ik x L = e − iβ L e − αL . (2.11)
Der Real- und Imaginärteil der W ellenzahl ergeb en sic h dann zu
β = − ϕ t
L und α = − l n ( | t | )
L . (2.12)
Im Un terschied zur klassisc hen SMM (Gl. 2.10) ist b ei dieser Bestimm ung v on k x die Mo-
denordn ung nich t v orgesc hrieb en bzw. nic h t genau sp ezifiziert. Es liegt k eine F estlegung
auf die Grundmo de v or, so dass auc h eine einzelne höhere Mo de, die eb enfalls für die
Sc halltransmission veran t w ortlic h sein kann, b erüc ksic h tigt w erden kann. Es ist daher zu
v ermuten, dass diese Methode trotz ihrer Einfac hheit robuster als die klassisc he SMM ist,
b ei der die A usw ertung der axialen W ellenzahl von lokalen Sc halldruc k effekten üb er dem
Liner abhängt.
Zhou et al. [271],[270] hab en den Zusammenhang in Gl. 2.11 und 2.12 später im Zusam-
menhang mit einer Blo c kström ungsannahme zur Imp edanzeduktion angew endet. Unter
V erw endung der IM-BC ergibt sic h die Imp edanz dab ei direkt-analytisc h aus k x (SFM).
Zhou und Bo dén [269] hab en Gl. 2.11 und 2.12 für eine Eduktion mit den linearen Na vier-
Stok es-Gleich ungen (LNSE) v erw endet, w ob ei eine eb ene Sc herström ung und visk ose Ef-
fekte b erüc ksic h tigt wurden.
B) Multi-mo dale W ellenzahlb estimmung: Jing et al. (2008) [108, 109] hab en die A us-
breitung v on höheren Mo den im ausgekleideten Kanal erstmals mit der „Multi-Mo de“-
Metho de (MMM) zugelassen. Sie wenden die Methode von de Pron y 28 auf den gemessenen
Sc halldruck an der W and gegen üb er dem Liner (FTF) an, um die mo dalen, axialen W el-
lenzahlen abzusc hätzen. Dab ei wird das Sc hallfeld neb en den v or- und zurüc klaufenden
Mo den auc h in die höheren Mo den zerlegt. Für die Imp edanzeduktion ist lediglic h eine mo-
dale Lösung bzw. die zugehörige axiale W ellenzahl nötig. 29 Um den Einfluss v on Mess- und
Sc hätzfehlern zu reduzieren, wird dab ei die Mo de mit der geringsten Dämpfung gewählt,
denn diese transp ortiert die meiste akustisc he Energie [109]. Als zusätzlic he Sc h wierigk eit
b ei der W ellenzahl-Sc hätzung tritt die Mehrdeutigk eit der Phase der Exp onen tialfunktio-
nen auf, w elche perio disc he Lösungen hat und sich auf Re( k x ) auswirkt. Jing et al. [109]
sc hlagen vor, Re( k x ) mit der Disp ersionsrelation für eine Blo ckström ung (Gl. I.13) abzu-
27 „Liner Imp edance Non-Uniform flow Solving algorithm“ [71, 45].
28 Die Metho de wurde 1795 v on dem Mathematik er Gaspard Ric he de Prony [59, 257] en t wic k elt. Dieses
mathematisc he V erfahren wird üb erwiegend in der Signalanalyse o der der Systemidentifikation eingesetzt.
Ähnlic h der F ourier-Serie wird dab ei ein gleichmäßig abgetastetes Signal als Summe gedämpfter k omplexer
Exp onen tialfunktionen b eschrieben. Im Untersc hied zur F ourier-Serie können dabei neb en F requenz, Am-
plitude und Phase die Dämpfungsk o effizien ten der K omp onen ten abgeschätzt w erden. Die Metho de wird
im Einzelnen in Anhang B erläutert.
29 Da die „Multi-Mo de“-Metho de letztlic h nur eine einzelne, obgleic h auc h höhere Mo de v erarb eitet,
wird sie hier als V arian te der SMM aufgefasst. In der Literatur w erden die Pron y-basierten Metho den
dagegen oft den SMM gegen üb er gestellt [244].
32
sc hätzen. Bei Annahme einer Blo c kströmung (und un ter An wendung der IM-BC, Gl. 7.1)
kann k x direkt in die W andimp edanz umgerec hnet w erden (SFM) [108, 116]. Bei Annahme
einer eb enen Sc herström ung kann das b ereits erw ähn te R WP mittels k x n umerisc h gelöst
w erden [250, 109, 116].
Eine v erb esserte Genauigk eit der Schätzung der axialen W ellenzahlen kann mit dem An-
satz v on Kumaresan und T ufts [133, 132, 147] („KT-Metho de“) o der mit der Matrix-
P encil-Metho de [96, 218] („MP-Metho de“) erzielt w erden. Dab ei wird eb enfalls der ge-
messene axiale Sc halldruckv erlauf an der W and gegen üb er dem Liner ausgew ertet. Die
KT-Metho de ist wie die Prony-Methode p olynom basiert. Sie wurde zuerst von Renou und
A urégan (2011) [199] und später v on Jones et al. (2016) [115, 252] zur Imp edanzeduktion
un ter Annahme einer Blo c kströmung e ingesetzt. 30 W atson et al. (2015) [244] und W eng
et al. (2017) [264, 265] hab en sie auch un ter der Annahme einer eb enen Sc herström ung
eingesetzt. W eng et al. [264] hab en die Güte der W ellenzahlb estimm ung der KT-Metho de
mit derjenigen der MP-Metho de 31 v erglic hen. Nac h Li et al. [147] ergänzen sic h b eide Me-
tho den b ei niedrigen Signal-zu-Rausc h-V erhältnissen (SNR < 25 dB): Die MP-Metho de
eignet sic h dann b esser zur Sc hätzun g v on Re( k x ) , w ährend die KT-Metho de die Dämp-
fung − Im( k x ) b esser v orhersagt. W eng et al. k onn ten dies nic h t b estätigen. Sie fanden,
dass b eide Metho den die am geringsten gedämpfte Grundmo de gut identifizieren k onnen,
ab er F ehler b ei der Bestimm ung der ersten höheren Mo de, b ei der die Dämpfung höher ist,
auftraten. P auschal k onn ten k eine V orzüge einer der b eiden Metho den gefunden w erden.
2.2.2.2. Mo de-matching-Metho den
Mo de-matc hing-Metho den b esc hreib en die Sc hallausbreitung in Kanalsegmen ten mit b e-
stimm ten Randb edingungen durc h eine Üb erlagerung höherer Mo den. Die mo dalen Ampli-
tuden w erden dab ei durc h die lokale Anpassung der F elder auf b eiden Seiten der Sprung-
stelle, den Üb ergängen zwisc hen Kanalsegmen ten mit un tersc hiedlic hen Randb edingun-
gen, b estimm t. F ür das in Abb. 2.5 gezeigte Kanalproblem, b ei dem die Linersektion
zwisc hen zwei sc hallharten Kanälen eingefügt ist, ermöglic h t das Mo de-matc hing die Be-
sc hreibung von stüc kw eit homogenen Imp edanzw änden, den Reflexionen und Nahfeldern
an den Sprungstellen so wie der Ausbreitung der höheren Mo den in der Linersektion.
Lansing und Zorumski (1973) [137] hab en das Mo de-matc hing eingesetzt, um die Wir-
kung inhomogener und als stüc kweit homogen aufgefasster W andauskleidungen auf die
Sc hallausbreitung zu untersuc hen. 32 Das Mo de-matc hing wurde zuerst von Elnady et al.
(2003) [66] innerhalb einer Imp edanzeduktion v erw endet. Es wurde später in vielen ande-
ren Arb eiten üb ernommen [66, 65, 69, 68, 146, 271, 270, 162, 161, 78]. Bei der Eduktion
wird ein dreidimensionales Kanalmo dell an Schalldruc kmessungen in den harten Kanal-
teilen v or und hin ter dem Liner [66, 65, 69, 68], o der auc h zusätzlic h an den Schalldruc k
30 Da die Imp edanz dann direkt b erec hnet werden kann, w erden diese V erfahren eb enfalls den SFM
zugerec hnet.
31 Die MP-Metho de ist im Untersc hied zu den zw eisc hrittigen p olynom basierten V erfahren ein einsc hrit-
tiges V erfahren. Die P olstellen (hier die mo dalen Lösungen) werden als Lösungen eines v erallgemeinerten
Eigen w ertproblems ermittelt, wodurch im Un tersc hied zur Pron y- o der KT-Metho de im Prinzip keine
Einsc hränkung für die Anzahl der P olstellen vorliegt. Dadurc h ist die MP-Metho de nic h t n ur effizienter,
sondern hat auc h b essere statistisc he Eigensc haften für die Sc hätzung der Polstellen, also hier der W ellen-
zahlen [218].
32 Dab ei wurde nur der Einfluss der W andimp edanz auf das Sc hallfeld b etrac h tet, nic ht das in v erse
Problem.
33
an der W and gegen üb er dem Liner [146, 271, 270], angepasst. 33 A ufgrund der iterativ en
Prozedur (zur Lösung des in versen Problems) sind die Mo de-matc hing-Metho den semi-
analytisc h. Während Elnady et al. [66, 65, 69] b eim Mo de-matc hing die K on tin uität des
axialen Sc hnellep oten tials 34 und dessen axialer Ableitung ansetzen, wird in späteren Ar-
b eiten [146, 68] für eine höhere numerisc he Stabilität die K on tin uität der Axialschnelle
und des Druc ks verw endet [68].
F ast alle auf dem Mo de-matc hing basierenden Imp edanzeduktionen hab en bisher aufgrund
der Einfac hheit der Lösungen eine Blo c kström ung angenommen. 35 Die dab ei entstehenden
Singularitäten an den Imp edanz-Sprungstellen w erden in den meisten Arb eiten ignoriert.
Bei Elnady et al. [68] wird mittels An wendung der linearisierten Eulergleic h ung (LEE,
Kap. 3.2.2) auc h der Einfluss einer Sc herström ung auf die Schallausbreitung un tersuc h t,
w ob ei die V ollständigk eit und die Orthogonalität der Basisfunktionen ungeprüft bleib en.
Nac h dem Herausfiltern der hydrodynamischen Moden und der sogenannten „surface mo-
des“ [207] w erden die Schalldruc krofile und die W ellenzahlen der v erbleib enden akustisc hen
Mo den mit den Ergebnissen einer Blo c kström ungsannahme v erglic hen. Der V ergleic h zeigt,
dass der Effekt der Sc herströmung eher gering ist.
Leroux et al. (2003) [143] und A urégan et al. (2004) [9] hab en b ei der Imp edanzeduk-
tion mittels Mo de-matc hing statt des Sc halldruc ks die gemessenen Streuk o effizien ten an-
gepasst. Sie nann ten d iese Metho de „m ultimo dal metho d“ (MM). Die MM wurden ur-
sprünglic h zur V orhersage der Sc hallausbreitung mit inhomogenen W andauskleidungen
en twic k elt [181, 80, 81, 82, 19, 18, 16]. Lavieille und Le-Sain t (2017) [139] hab en kürzlich
eine v erb esserte MM („impro ved m ultimo dal metho d“, IMMM) nac h Bi und A urégan [17]
zur Imp edanzeduktion v orgestellt, b ei der au c h die Ausbreitung höherer Moden in den
sc hallharten Sektionen b erüc ksich tigt wurde. Diese wurden mit einem Lautsprec herarra y
gezielt angeregt.
2.2.2.3. Zw eip ol-Metho den
Akustisc he W andauskleidungen in eindimensionalen W ellenleitern, also in geraden Ka-
nälen mit der A usbreitung eb ener W ellen, k önnen mit der Zw eip ol-Theorie b esc hrieb en
w erden [173]. Ein akustischer Zw eip ol wird eindeutig und v ollständig durc h eine T rans-
fermatrix b esc hrieb en, deren vier Elemente die akustisc hen Größen am Eingang und am
A usgang des Zweipols in Beziehung setz en. Die in Abb. 2.5 gezeigte Liner-Kanalsektion
kann als solc her Zweipol b esc hrieb en w erden. Seine vier Elemen te hängen n ur von der
Imp edanz des Liners ab.
Die T ransfermatrix kann auf zw eierlei Art form uliert w erden: Ent w eder als Streuma-
trix, w elche die Bez ieh ung der v or- und zurüc klaufenden Sc halldruc kw ellen in F orm v on
Reflexions- und T ransmissionsk o effizien ten ( r , t ) ausdrüc kt, o der auf Basis der Amplituden
des Sc halldrucks und der axialen Sc hnelle ( ˜︁
p, ˜︁
u ) v or und hinter dem akustisc hen Zw eip ol. 36
33 F oro o qui und Elnady (2016) [78] hab en das Mo de-matc hing kürzlich auc h zur Imp edanzeduktion eines
zw eiseitig üb erström ten mikrop erforierten Liners eingesetzt.
34 Die axiale Sc hnelle ist ˜︁ u = ∇ (︂ ˜︁
Ψ )︂ mit dem Sc hnellep oten tial ˜︁
Ψ .
35 Die klassisc he Mo de-matc hing-Metho de (im ruhenden Medium o der mit Blo c kström ung) hat den
V orteil, dass die Basisfunktionen vollständig, orthogonal und a priori bekannt sind. Damit kann die k om-
plizierte Berec hn ung von Eigen w erten und Eigenfunktionen in ausgekleideten Kanälen durc h sp ektrale o der
pseudo-sp ektrale Metho den v ermieden w erden.
36 Beide F ormulierungen der T ransfermatrix sind äquiv alen t. Die direkte Bezieh ung wird z. B. v on De
Ro ec k [60] gezeigt.
34
Viele V erfahren zur Imp edanzeduktion basieren auf der Messung der T ransfermatrix in der
( ˜︁
p, ˜︁
u ) -F orm [5, 61, 217, 162, 161]. Bei Zhou und Bo dén [271, 22] wird dagegen die Streu-
matrix angepasst. A ufgrund der eindimensionalen Annahme der Zw eip ol-Theorie kann in
der Imp edanzeduktion n ur die A usbreitung der eb enen W elle und ggf. eine Blo ckströ-
m ung b erüc ksich tigt w erden, allerdings werden auc h die Reflexionen an den Imp edanz-
Sprungstellen erfasst. Zwisc hen der T ransfermatrix und der Imp edanz kann eine einfac he
analytisc he Beziehung gefunden w erden, w ob ei das in verse Problem üb er eine Least-mean-
square-Anpassungsrec hnung gelöst wird. Der Zusammenhang zwischen axialer W ellenzahl
und Imp edanz ergibt sic h dab ei wieder üb er Gl. 7.1 (IM-BC).
2.2.2.4. Numerische Metho den
In den 1990er Jahren hab en W atson et al. [240, 241] b egonnen, n umerisc h-in v erse Eduk-
tionsmetho den zu ent wic k eln, w elc he auc h k ompliziertere Sc hallfeldstrukturen mit einer
Üb erlagerung höherer Mo den b erüc ksic h tigen k onn ten. Dafür wurde ein FEM-basiertes,
zw eidimensionales Schallfeldmodell unter Ben utzung der CHE (Gl. 3.39) v erwendet („ CHE-
metho d“ [240, 241]). Das Kanalmo dell b erücksic h tigt einen endlich langen Liner zwi-
sc hen zwei sc hallharten Kanalteilen. Die Imp edanz wird durc h die iterativ e Anpassung
des n umerischen Modells an Schalldruc kmessungen an der W and gegen üb er dem Liner
(FTF) b estimm t. 37 A uf erste T ests und die V alidierung des V erfahrens für homogene
W andauskleidungen ohne Üb erström ung [240, 241] folgte die Berüc ksich tigung inhomo-
gener Imp edanzw ände [255] und der Einsc hluss einer Blo c kströmung [254] in das Mo-
dell. Diese Metho de ist seither vielfac h eingesetzt w orden, häufig auc h als Referenzmetho-
de [253, 119, 247, 76, 118, 114, 249, 111]. Zur Besc hreibung der üb erström ten Imp edanz-
w and wurde dab ei bis auf eine A usnahme [249], b ei der die mo difizierte IM-BC [10, 199]
v erwendet wurde, immer die IM-BC v erwendet. Ev ersman und Gallman [76] hab en sie
mittels einer FEM auc h für Kanäle mit v ariierender Quersc hnittsfläc he erw eitert. In der
Anpassungsrec hnung wird neben der Imp edanz auc h die Machzahl der Blockström ung b e-
stimm t.
Zur Berüc ksich tigung einer Sc herström ung mit b eliebigem Ström ungsprofil hab en W atson
et al. (2001) [256, 246, 245] eine zw eidimensionale FEM (basierend auf den reibungsfrei-
en LEE) nac h Mungur und Gladw ell [172] v erwendet. Sie nann ten die Metho de „Finite
Elemen t with Shear Metho dology“ (FESM). In der Eduktion wird eb enfalls der FTF-
Sc halldruck angepasst. Später wurden auc h in anderen Arb eiten numerisc h-in v erse Eduk-
tionsmetho den un ter V erw endung der LEE en t wick elt [201, 195, 236]. Das V erfahren v on
Ric hter [201] und Busse et al. [43, 44, 46] passt die energetisc hen Streuk o effizien ten der
Linersektion (T ransmission T und Reflexion R ) an. Die Imp edanzw and wird in ihrem,
im Zeitb ereic h arb eitenden CAA-Co de mit dem Extended-Helmholtz-Resonator (EHR)-
Mo dell [208] b esc hrieb en. T rotz der v erw endeten LEE wurde das Eduktionsv erfahren n ur
an Blo c kström ungen (mit IM-BC) eingesetzt. T roian et al. (2017) [236] hab en eb enfalls
einen im Zeitb ereich arbeitenden Kanal-Co de en twic k elt, welc her auf den homen trop en
dreidimensionalen LEE basiert. Neb en dem FTF-Sc halldruc k passen sie auch die Einfüge-
dämpfung 38 an, um das in v erse V erfahren robuster zu mac hen.
37 Jones et al. [117] hab en dab ei eine Optimierung der Mikrofonpositionen für die FTF-Messung disku-
tiert.
38 Englisc h: Insertion Loss. Die „Einfügedämpfung“ b ezeic hnet das logarithmierte und in dB angegeb ene
V erhältnis aus einfallener und transmittierter Sc hallin tensität, also die reziprok e energetische T ransmission.
35
2.2.2.5. Laseroptische Metho den
Seit 2011/12 gibt es auc h Bestrebungen, laseroptische Messtec hnik en zur Imp edanzeduk-
tion einzusetzen [196, 193, 187, 195, 194]. Dab ei dient, alternativ zum Sc halldruc k an der
Kanalw and, die akustische Gesc h windigk eit 39 als V ergleic hsgröße b ei der Anpassung des
Sc hallfeldmo dells. Prim us et al. [196, 193, 195, 194] hab en die Laser-Doppler-Anemometrie
(LD A) zur V ermessung der axialen und v ertikalen akustisc hen Gesc h windigk eit in einem
rec htec kigen Messfeld üb er dem Liner eingesetzt. Sie stellten ein Eduktionsv erfahren v or,
w elches auf den zweidimensionalen Eulergleic h ungen (LEE) basiert und zw ei alternativ e
Zielfunktionen zulässt: die Anpassung an den FTF-Sc halldruck oder an das akustische Ge-
sc hwindigk eitsfeld 40 . Der Kanalco de wurde bisher n ur mit FTF-Mikrofondaten, aus eige-
nen Messungen [195] o der V ergleic hsdaten der NASA [194], und anhand v on n umerisc hen
Sim ulationen v alidiert [193, 194]. Piot et al. [187] hab en die LD A-basierte Imp edanze-
duktion an einem Liner ohne Ström ung getestet. Es ist bisher no c h nich t gelungen, das
Eduktionsv erfahren an akustischen Gesc h windigkeitsfeldern mit Überströmung zu testen,
v ermutlic h da die h ydro dynamisc hen sc hallk ohären ten An teile der Gesc h windigk eit nich t
k orrekt im LEE-Mo dell b erücksic h tigt w erden. Prim us et al. [195] w eisen außerdem darauf
hin, dass das Seeding der LD A in die Öffn ungen p erforierter Linerob erfläc hen eindringen
kann, und sic h dadurch die P orosität, also auc h die Imp edanz, nic ht unerheblic h v erändern
kann. Sie setzen die LD A daher bisher nur zur V ermessung der Gleic hström ung ein.
39 Es ist hier absic h tlic h nich t v on der Sc hallsc hnelle die Rede, da das schallk ohärente Gesc h windigk eits-
feld b ei üb erström ten Linern auch einen h ydro dynamischen An teil en thält.
40 Prim us et al. [196] w eisen darauf hin, dass das Eduktionsergebnis kritisc h von der Messposition der
Gesc h windigkeit über dem Liner abhängt.
36
3. Grundgleichungen
So wohl die in Kap. 2 genann ten als auc h die später in dieser Arb eit no c h zu en t wic kelnden
Imp edanzeduktionsv erfahren un tersc heiden sic h w esen tlic h d urc h die Komplexität der v er-
w endeten Schallfeldmodelle. Die Sp ezifika der jew eiligen ph ysikalisc hen Annahmen werden
mathematisc h durch die Randb edingungen und die akustisc hen Gleich ungen definiert. Um
ein V erständnis für die Implikationen und Annahmen der v ersc hiedenen Gleic h ungen zu
erlangen und um das W erkzeug für die w eiteren Berec hn ungen einzuführen, w erden in die-
sem Kapitel die in T ab. 3.1 gezeigten wic h tigsten Gleic h ungen v orgestellt. Die Gleic h ungen
w erden systematisch en twic k elt: A usgehend v on den allgemeinen Erhaltungsgleich ungen
w erden schritt w eise Annahmen mit zunehmender V ereinfac h ung ein b ezogen. Diese aus-
führlic he Darstellung dient dazu, dem Leser ein möglic hst v ollständiges V erständnis zu
bieten und ihm das Nac hschlagen v on Sekundärliteratur zu ersparen.
In Absc hnitt 3.3 werden außerdem Möglic hk eiten und Grenzen des Einbezugs von T urbu-
lenzmo dellen in die Sc hallfeldb eschreibung diskutiert. Dies dien t als V orb etrac h tung für
die in Kap. 8 v orgestellte Imp edanzeduktion, b ei der eine turbulen te Kanalström ung b e-
rüc ksich tigt wird. In Absc hnitt 3.4 w erden die akustisc hen Gleic h ungen aus Absc hnitt 3.1
angew endet, um – unter V ernac hlässigung v on Visk osität und Gleic hström ung – einfac he
Bezieh ungen zwischen Sc hallfeld und W andimp edanz herzuleiten. Diese bilden die Grund-
lage und das Handw erkzeug für das spätere W andgrenzsc hic h tmo dell (Kap. 5).
Gleic h ung Blo c kström ung Sc herström ung Visk osität Besonderheiten
LNSE x x x T urbulenzmo dell mgl.
LEE x x -
CWE x x -
PBE x x - F requenzb ereich
CHE x - -
T ab elle 3.1. Üb ersic h t der v erschiedenen Sc hallfeldgleic h ungen und ihre inhärenten Annahmen.
„x“ k ennzeichnet die jew eils b erücksic h tigten Effekte. Die Erklärung der Abkürzungen
und w eitere Details finden sich in Absc hnitt 3.2.
Mathematische Notation
Im F olgenden w erden die üblic hen linearen Differen tialop eratoren Gradien t ∇ , Div ergenz
∇· und der Laplace-Op erator ∇ 2 = ∆ v erwendet. In zw eidimensionalen kartesisc hen K o or-
dinaten lauten diese für eine skalare F unktion f o der eine v ektorielle F unktion f = ( f x , f y ) T
∇ f = ( ∂ f / ∂ x , ∂ f / ∂ y ) T
∇ · f = ∂ f x / ∂ x + ∂ f y / ∂ y
∆ f = ∇ · ( ∇ f ) = ∂ f 2 /︂ ∂ x 2 + ∂ f 2 /︂ ∂ y 2 .
37
Der Gradien t ordnet einem Skalarfeld ein V ektorfeld zu, die Div ergenz einem V ektorfeld
ein Skalarfeld, und der Laplace-Op erator einem Skalarfeld ein Skalarfeld.
K o o rdinaten: Die Na vier-Stok es-Gleich ungen w erden üblic herw eise in den (lab orfesten)
Euler-K o ordinaten 1 notiert. Bei den zeitlic hen Ableitungen m üssen dann die sogenann ten
k onv ektiv en T erme b erüc ksic h tigt w erden, die dadurc h entstehen, dass sic h das räumlic h
inhomogene F eld an einem lab orfesten Ort v orb ei b ew egt. Dies wird gew öhnlic h mit der
Notation für die Zeitableitung D / D t ausgedrüc kt. Man meint damit die substan tielle zeit-
lic he Änderung für das b etrac htete T eilc hen, die für einen Beobac h ter gilt, der sic h mit der
„Substanz“ bzw. der „Materie“ b ew egt (Lagrange-K o ordinaten). Die Ableitung D / D t wird
desw egen auch substan tielle (auc h totale, materielle o der k on v ektiv e) Ableitung genann t.
Sie ist wie folgt definiert
D
D t : = ∂
∂ t + ( u · ∇ ) . (3.1)
Der erste An teil b esc hreibt die lokale Änderung ∂ / ∂ t und gibt an, wie sic h die Größe
an einem festen Ort v erändert. Der zw eite An teil ist die k on v ektiv e Änderung u · ∇ ,
w elche sic h zusätzlic h durc h die Bew egung des T eilc hens einstellt. F ür skalare F eldgrößen
f ist der k onv ektiv e An teil ( u · ∇ ) f = u · ∇ f , also gleich dem Skalarprodukt mit dem
Gradien ten. Für v ektorielle Größen f ist ( u · ∇ ) f dagegen v ektoriell. Die substan tielle
Ableitung lautet für b eide Fälle z. B. in zw eidimensionalen kartesisc hen K o ordinaten mit
dem Gesc hwindigk eitsv ektor u = [ u, v ] T
Skalar: D f
D t = ∂ f
∂ t + u · ∇ f = ∂ f
∂ t + u ∂ f
∂ x + v ∂ f
∂ y ,
V ektoriell: D f
D t = ∂ f
∂ t + ( u · ∇ ) f = ∂ f
∂ t + ( u ∂
∂ x + v ∂
∂ y ) f = [︄ ∂ f x
∂ t + u ∂ f x
∂ x + v ∂ f x
∂ y
∂ f y
∂ t + u ∂ f y
∂ x + v ∂ f y
∂ y ]︄ .
3.1. Erhaltungsgleichungen
Das Ström ungsverhalten allgemeiner Fluide wird durc h die drei Erhaltungsgleic hungen für
Masse, Impuls und Energie b esc hrieb en. Diese sind auch un ter dem Namen Na vier-Stok es-
Gleic hungen 2 b ekann t.
1 Die Besc hreibung v on inhomogenen und instationären Strömungsfeldern kann durc h (mindestens) zwei
v ersc hiedene Koordinatensysteme bzw. Betrach tungsw eisen erfolgen: In den ortsfesten Euler-K o ordinaten
wird die Bew egung v on einem ruhenden Beobach ter aus b eschrieben: „Das lokale Einzelschic ksal der Fluid-
teilc hen in teressiert demnach nic h t, sondern lediglic h das V erhalten der ständig w ec hselnden Fluidteilchen,
w elc he die festgelegte Stelle passieren. “ [226]. In den teilc henfesten Lagrange-K o ordinaten wird dagegen
die Bew egung aus der P ersp ektiv e des mitb ew egten T eilc hens b esc hrieb en. Ein sic h z. B. mit stationärer
Gesc h windigkeit u 0 durc h ein F eld mit zeitharmonischen Kräften bewegendes T eilc hen „spürt“ dann die
Relativgesc h windigkeit zwisc hen seiner Bew egung und der Bew egung des Kraftfeldes. Es „spürt“ folglic h
nic h t nur die F requenz des Kraftfeldes ω , die ein ortsfester Beobac h ter messen würde, sondern eine Doppler-
v ersc hob ene F requenz ω ′ = ω − k u 0 ; k ist die W ellenzahl des Kraftfeldes in Rich tung v on u 0 . W eiterhin sind
Misc hformen aus ortsfester und teilc henfester Betrach tungsw eise möglic h, vgl. z. B. Galbrun’s Theorie [85].
2 In der Literatur gibt es eine Ink onsistenz b ei der V erwendung dieser Bezeic hn ung. W ährend im
engeren ph ysikalisc hen Sinn eine sp ezielle F orm der Impulsgleic h ungen (Einsetzen der visk osen T ransp ort-
gleic h ungen und Anw endung der Stok es’sc hen Hyp othese) [220, S.66] gemein t ist, w erden im allgemeinen
Sprac hgebrauc h auch oft die Erhaltungsgleic h ungen für Masse und Impuls hinzugezählt [49].
38
K ontinuitätsgleichung (Massenerhaltung): Die für eine allgemeine instationäre Strö-
m ung geltende Kon tin uitätsgleic h ung b esc hreibt die Erhaltung der Masse. In einem gege-
b enen K on trollv olumen ist die Summe der pro Zeiteinheit einfließenden Massen gleic h der
Massenänderung pro Zeiteinheit durc h die Dich teänderung in diesem V olumen:
∂ ρ
∂ t + ∇ · ( ρ u )=0 [︃ kg
m 3 s ]︃ . (3.2)
Dab ei ist ρ die Dic hte und u die Gesc h windigk eit. Gl. 3.2 kann mit der Pro duktregel
∇ · ( ρ u ) = u · ∇ ρ + ρ ∇ · u und der substan tiellen Ableitung (Gl. 3.1) für ein mitb ew egtes
T eilc hen auc h wie folgt notiert w erden
D ρ
D t + ρ ∇ · u = 0 . (3.3)
Impulserhaltung (Bew egungsgleichung): Die Impulsgleic h ung folgt aus dem zw eiten
Newtonsc hen Axiom 3 , nac h dem die zeitlic he Änderung des Impulses eines T eilc hens mit
der Masse m gleic h der Summe der äußeren angreifenden Kräfte ist: d p /d t = m d u /d t =
F mit Impuls p und Kraftsumme F . Die Impulsgleic h ung b esc hreibt die zeitlic he Ände-
rung des Impulses in einem K on trollv olumen aufgrund des einfließenden Impulsflusses und
der auf das V olumen wirk enden Kräfte. Sie lautet für ein mitb ew egtes T eilc hen mit der
substan tiellen Ableitung (Gl. 3.1) 4
ρ D u
D t = f + P [︃ N
m 3 = kg
m 2 s 2 ]︃ . (3.4)
A uf der rech ten Seite v on Gl. 3.4 stehen die jew eils auf ein V olumenelemen t b ezogenen
Massenkräfte (Gewic htskräfte) f und die Ob erflächenkräfte (Druc kkräfte und Reibungs-
kräfte) P . Der T ensor der auf ein V olumenelemen t b ezogenen Ob erfläc henkräfte entspric h t
den örtlic hen Ableitungen des zugehörigen Spann ungstensors. 5 Er lautet in zw eidimensio-
nalen K o ordinaten
P = (︄ ∂ σ x
∂ x + ∂ τ xy
∂ y
∂ τ xy
∂ x + ∂ σ y
∂ y )︄ = (︄ − ∂ p
∂ x + ∂ τ xx
∂ x + ∂ τ xy
∂ y
− ∂ p
∂ y + ∂ τ y x
∂ x + ∂ τ y y
∂ y )︄ . (3.5)
Dab ei sind σ i die Normalspann ungen und τ ij die T angen tial- bzw. Sc h ubspann ungen. 6 Die
zw eite Gleich ung in Gl. 3.5 basiert auf der K on v en tion, den Druc k p v on den Normalspan-
n ungen abzuspalten 7 : σ x = τ xx − p, σ y = τ y y − p . Die Impulsgleic h ung 3.4 lautet dann in
3 Die originale F orm ulierung v on Newton [180] lautet: „Die Änderung der Bew egung ist der Ein wirkung
der b ew egenden Kraft prop ortional und geschieh t nac h der Ric h tung derjenigen geraden Linie, nach w elc her
jene Kraft wirkt. “
4 Es wird hier aufgrund der einfac heren F orm nic h t mehr die Erhaltungsform für ein festes Kon troll-
v olumen (wie in Gl. 3.2) gew ählt, sondern die F ormulierung mit D / D t .
5 Der Spann ungszustand eines infinitesimalen V olumenelemen ts ist im dreidimensionalen Raum durc h
neun skalare Größen b estimm t, die einen symmetrisc hen Spann ungstensor bilden. Die räumlichen Ände-
rungen der Spann ungen b esc hleunigen das Massenelemen t und en tsprechen den Sc her- und Normalkräften,
die an dem Massenelemen t angreifen.
6 Die Indizes v on τ ij sagen aus, dass eine in j -Ric h tung wirk ende Sch ubspann ung an einer Fläc he
i = const. angreift.
7 Man k önn te sich fragen, w oher die Normalspann ungen τ xx , τ y y unabhängig v on der Druc kkraft stam-
men. Gl. 3.8a und 3.8b zeigen, dass sic h nennensw erte Normalspannungen zusätzlic h zum Druc k bilden
k önnen, w enn die Gesch windigk eitsgradien ten ∂ u / ∂ x , ∂ v / ∂ y sehr groß w erden.
39
v ektorieller Schreib w eise
ρ D u
D t = f − ∇ p + ∇ · τ . (3.6)
τ b ezeic hnet den restlic hen Spann ungstensor.
Im F olgenden wird ein isotr op es 8 , newtonsches Fluid b etrac h tet. Es k önnen dann b esonders
einfac he Beziehungen zwisc hen den Spannungen und dem Gesc hwindigk eitsfeld hergestellt
w erden, welc he die empirisc hen Beobac h tungen und V ersuc hsergebnisse in den meisten
praktisc hen Fällen mit hoher Genauigk eit b eschreiben [220]. In einem newtonsc hen Fluid
sind die Spann ungen prop ortional zur V erform ungsrate ˙ ϵ , mit der dynamisc hen Visk osität
µ als Prop ortionalitätsk onstan te. 9 Die Spann ungen τ w erden daher auc h viskose Sp an-
nungen genann t. Man kann zeigen, dass die Scherrate (Sc heran teil der V erform ungsrate)
in der x - y -Eb ene mit dem Gesc h windigk eitsv ektor u = [ u, v ] T durc h ( ∂ v / ∂ x + ∂ u / ∂ y )
gegeb en ist. Die lineare Beziehung zwisc hen der Sc hubspann ung τ xy und der Sc herrate ist
daher
τ xy = µ ( ∂ v
∂ x + ∂ u
∂ y ) . (3.7)
Man kann außerdem zeigen, dass die Normalspann ungen mit den Gesch windigk eiten im
zw eidimensionalen F all wie folgt zusammenhängen [220]
τ xx = µ B ∇ · u + 2 µ ∂ u
∂ x (3.8a)
τ y y = µ B ∇ · u + 2 µ ∂ v
∂ y . (3.8b)
Dab ei ist µ B = ζ B + 2 / 3 µ der sogenann te bulk-visc osity -K o effizient [77] mit der V olumen-
visk osität ζ B . Er wird bis heute meist nach der Hyp othese v on Stokes 10 mit
µ B = − 2 / 3 µ (3.9)
angesetzt. τ lautet mit den k onstitutiven Gleic h ungen 3.7, 3.8a und 3.8b und unter Be-
rüc ksich tigung der Hyp othese v on Stok es
τ = µ (2 ˙
ϵ − 2
3 δ ∇ · u ) , (3.10)
w ob ei δ der K oneck er-Enheitstensor ist ( δ ij = 1 für i = j , δ ij = 0 für i = j ). ˙
ϵ ist
der T ensor der V erform ungsrate, also die Gesam theit der möglic hen V erform ungsraten im
dreidimensionalen Raum.
Die Impulsgleic hungen 3.6 zusammen mit Gl. 3.10 bilden die engere F assung der Navier-
Stokes-Gleichungen . Sie lauten in zw eidimensionalen, kartesisc hen K o ordinaten und un ter
8 Isotrop e Ström ungsphänomene hab en keine V orzugsric htung; eine isotrope T eilc hen wolk e breitet sic h
z.B. in alle Ric h tungen des Raumes gleichmäßig aus.
9 Die molekulare Visk osität ist die Eigensc haft von Fluidteilc hen, die sic h mit un tersc hiedlic her Ge-
sc h windigkeit aneinander v orb eib ew egen, Impuls auszutauschen. Sie ist der ph ysikalisc he Grund für die
innere Reibung, also der Kraft im Inneren des Fluids, die die relativ e T eilc hen b ew egung hemmt.
10 Die V olumenvisk osität ζ B b esc hreibt den Widerstand gegen eine V eränderung des V olumens, b ei der
sic h k eine Winkel ändern, also die Längen v erhältnisse k onstan t bleib en. Nac h der Hyp othese v on Stok es
(1845) ist ζ B = 0 . Sie tritt erst in Ersc hein ung w enn innere F reiheitsgerade, z. B. die Sc h wingungen des
Sauerstoffmoleküls, eine gewisse Zeit (Relaxationszeit) brauc hen, um ins Gleic hgewich t mit den translato-
risc hen F reiheitsgraden zu k ommen.
40
A usschreiben der substan tiellen Ableitung
ρ (︃ ∂ u
∂ t + u ∂ u
∂ x + v ∂ u
∂ y )︃ = f x − ∂ p
∂ x + ∂
∂ x [︃ µ (︃ 2 ∂ u
∂ x − 2
3 ∇ · u )︃]︃ + ∂
∂ y [︃ µ (︃ ∂ u
∂ y + ∂ v
∂ x )︃]︃
(3.11a)
ρ (︃ ∂ v
∂ t + u ∂ v
∂ x + v ∂ v
∂ y )︃ = f y − ∂ p
∂ y + ∂
∂ y [︃ µ (︃ 2 ∂ v
∂ y − 2
3 ∇ · u )︃]︃ + ∂
∂ x [︃ µ (︃ ∂ u
∂ y + ∂ v
∂ x )︃]︃ .
(3.11b)
Die durc h das Sch w erefeld v erursac hten Gewic h tskräfte f x , f y w erden üblic herw eise durc h
den Gradien ten des hydrostatisc hen Druc ks k omp ensiert, der i. a. v on dem dynamisc hen
Druc k subtrahiert wird. Sie können daher in den w eiteren Sc hritten v ernac hlässigt w erden.
Energieerhaltung: Die Energiegleic hung folgt aus dem ersten Hauptsatz der Thermo dy-
namik, nac h dem die Energie eines abgeschlossenen Systems k onstan t ist. Daraus folgt eine
Energiebilanz, in der die Änderung der Gesam tenergie pro Zeiteinheit D E / D t im Gleic h-
gewic ht mit der Summe der dem Massenelemen t zugeführten Wärmeströme 11 ˙
Q und der
am Elemen t pro Zeiteinheit verric h teten mec hanisc hen Arb eiten ˙
W steh t:
D E
D t = ˙
Q + ˙
W [︄ J
s = kg m 2
s 3 ]︄ . (3.12)
Die Gesam tenergie des Systems d E en thält drei An teile: die innere Energie d V ρe i , die
kinetisc he Enrgie d V ρ u 2 / 2 und die sp ezifisc he p oten tielle Energie Ψ . Es ist also d E =
d V ρ ( e i + 1 / 2 u 2 + Ψ) . Die totale W ärmezufuhr ist durc h ˙
Q = − d V ∇ · q gegeb en, ist also
prop ortional zur Divergenz des W ärmestromdic h tev ektors q [ J / (m 2 s)] . Die an dem Fluid-
elemen t verric h tete Arb eit ist durc h die Div ergenz eines Stroms mec hanisc her Leistung
gegeb en, der sich aus Spann ungen und den en tsprechenden Ström ungsgesc h windigk eiten
ergibt: ˙
W = d V ∇ · ( σ u ) . Dab ei ist σ = − δ p + τ der Spann ungstensor mit dem Druc k
p und dem restlic hen Spannungstensor τ . Die Energiegleic hung 3.12 kann daher wie folgt
umgesc hrieb en w erden:
ρ D ( e i + 1
2 u 2 + Ψ)
D t = − ∇ · q + ∇ · ( σ u ) . (3.13)
Gl. 3.13 lässt sic h auc h als T ransp ortgleic h ung für das T emp eraturfeld form ulieren, indem
die Bilanz der sp ezifischen En thalpie h = e i + p/ρ nach Kestin [125] v erw endet wird
ρ c p
D T
D t = − ∇ · q + α th T D p
D t + Φ , (3.14)
mit der T emp eratur T , der sp ezifisc hen isobaren Wärmekapazität c p und dem W ärme-
ausdehn ungskoeffizienten α th = − 1 /ρ ( ∂ ρ / ∂ T ) p . F ür ideales Gas ist α th = 1 /T . Die Dis-
sipationsfunktion Φ b esc hreibt die Dissipation mec hanisc her Energie aufgrund visk oser
Sc herung und der Relaxationsverluste im Fluid:
Φ = ∇ · ( τ u ) − u ∇ · τ . (3.15)
11 W ärmezufuhr ist so w ohl durch W ärmeleitung als auc h durc h W ärmestrahlung möglich. Letztere ist
b ei mäßigen T emp eraturdifferenzen un wesen tlic h und wird meist v ernac hlässigt.
41
Eine k onstitutive Gleic h ung, die den W ärmestromdic htev ektor q mit dem T emp eraturfeld
v erknüpft, liefert das W ärmeleitungsgesetz v on F ourier: q = − κ th ∇ T mit der W ärme-
leitfähigk eit κ th , w elche eine positive Stoffgröße ist. Die T emp eraturgleic h ung 3.14 lautet
dann
ρc p
D T
D t = ∇ · ( κ th ∇ T ) + α th T D p
D t + Φ . [︃ J
m 3 s = kg
m s 3 ]︃ (3.16)
Gl. 3.16 sagt aus, dass eine zeitlic he T emp eraturänderung aufgrund einer räumlic hen Än-
derung des W ärmestroms durch die Grenzfläc hen des K ontrollv olumens hindurc h (1. T erm
auf der rec hten Seite), aufgrund einer K ompression des V olumenelemen ts (2. T erm) o der
aufgrund v on Dissipation (3. T erm) v erursac h t w erden kann 12 .
Die Energiegleic hung 3.16 ist wie die K on tin uitätsgleic hung 3.3 eine skalare Gleic h ung. In
zw eidimensionalen kartesischen K o ordinaten lautet sie mit A ussc hreib en der substan tiellen
Ableitung
ρc p (︃ ∂ T
∂ t + u ∂ T
∂ x + v ∂ T
∂ y )︃ = ∂
∂ x (︃ κ th
∂ T
∂ x )︃ + ∂
∂ y (︃ κ th
∂ T
∂ y )︃ + α th T (︃ ∂ p
∂ t + u ∂ p
∂ x + v ∂ p
∂ y )︃ + Φ .
(3.17)
Die Dissipationsfunktion Gl. 3.15 kann für ein isotrop es newtonsc hes Fluid mit den T rans-
p ortgleic h ungen 3.7, 3.8a und 3.8b und mit Gl. 3.9 wie folgt form uliert w erden:
Φ = µ [︄ 2 (︃ ∂ u
∂ x )︃ 2
+ 2 (︃ ∂ v
∂ y )︃ 2
+ 2 (︃ ∂ v
∂ x + ∂ u
∂ y )︃ 2
− 2
3 (︃ ∂ u
∂ x + ∂ v
∂ y )︃ 2 ]︄ . (3.18)
Die Gleic hungen 3.17 und 3.18 beschreiben den allgemeinen F all der K opplung zwisc hen
T emp eratur- und Gesc h windigk eitsfeld. Es wird im folgenden angenommen, dass die W är-
meleitfähigk eit κ th und die isobare sp ezifisc he Wärmekapazität c p k onstan te Stoffgrößen
sind.
Allgemeine Gasgleichung: Neb en den drei Erhaltungsgleic h ungen wird als weitere wic h-
tige Grundgleic hung zur Charakterisierung des Fluids die thermisc he Zustandsgleic h ung
b enötigt. Hier wird als Fluid Luft b etrac htet, w elc he in sehr guter Näherung als ideales
Gas 13 b eschrieben werden kann. Die allgemeine Gasgleic h ung ist skalar und lautet
pV = mR s T bzw. p = ρR s T (3.19)
mit der für das Fluid sp ezifisc hen Gask onstante R s = R /M mol , der molaren Masse M mol ,
der allgemeinen Gask onstante R , der Masse m und dem V olumen V .
Mithilfe v on Gl. 3.19 kann die für Schallv orgänge wic h tige adiabatisc he Zustandsgleic h ung
hergeleitet w erden. Lineare Schallv orgänge sind kleine und sc hnelle Druc k- und Dic h teän-
12 Ohne Dissipation und V errich tung mec hanisc her Arb eit (un ter V ernachlässigung der beiden letzten
T erme) b eschreibt Gl. 3.16 die Zu- oder Abnahme der Wärmeenergie, w enn sic h der W ärmestrom durc h
die Grenzfläc hen des K ontrollv olumens räumlic h ändert.
13 Ideales Gas b ezeichnet eine idealisierte Modellvorstellung der T eilc henbewegung im Gas: Die T eilc hen
sind masselos und b ew egen sic h in einem b erandeten V olumen frei auf geradlinigen Bahnen. Bei w ec hsel-
seitigen Stößen o der solc hen an der W and wird Impuls üb ertragen bzw. ausgetausc h t. Das Eigen v olumen
der Moleküle und deren W echselwirkungen w erden v ernac hlässigt.
42
derungen des Gases, die isen trop 14 und adiabatisch 15 ablaufen: W ährend der Zustandsän-
derung w erden in jedem A ugen blick Gleic hgewic h tszustände durc hlaufen, d. h. die Entropie
s bleibt k onstant und der Netto w ärmefluss ist Null (keine W ärmeaufnahme o der -abgab e).
Zerlegt man den adiabatisc hen Prozess in zwei T eilprozesse, einen isobaren Sc hritt (k on-
stan ter Druck) und einen iso c horen Schritt (k onstan te Dic h te), so folgt aus s = const. ,
dass sic h die b eiden zugehörigen T eilw ärmeaufnahmen gerade aufheb en m üssen. Man kann
zeigen, dass das V erhältnis der iso c horen und der isobaren T emp eraturänderungen T ρ , T p
dann gleic h einer Konstan te γ sein m uss
− d T ρ
d T p
= c p
c V
= : γ , (3.20)
w elche n ur v on den Materialeigensc haften, der sp ezifisc hen W ärme b ei k onstantem Druc k
c p und der sp ezifisc hen W ärme b ei k onstan tem V olumen c V , abhängt. Das V erhältnis aus
b eiden, γ , wird auc h A diabatenexp onen t (o der Isen trop enexp onen t) genann t. Wird n un
die Gasgleic hung 3.19 zur F orm ulierung der T emp eraturänderungen d T ρ , d T p v erw endet,
d T p
d ρ = − p
R s ρ 2 und d T ρ
d p = 1
R s ρ ,
so ergibt sic h für γ durc h Einsetzen in Gl. 3.20
γ = − d T ρ
d T p
= ρ
p
d p
d ρ bzw. d p
d ρ = γ p
ρ . (3.21)
Durc h Integration 16 v on Gl. 3.21 ergibt sic h die adiabatisc he Zustandsgleic h ung
p
p 0
= (︃ ρ
ρ 0 )︃ γ
. (3.22)
3.2. Akustische Gleichungen und V ereinfachungen
Die in Absc hnitt 3.1 genannten Grundgleic h ungen b esc hreib en das allgemeine V erhal-
ten eines Fluids durc h die Bezieh ungen zwisc hen den Zustandsgrößen Druck p , Dic h te ρ ,
Gesc hwindigk eit u und T emp eratur T . Die totalen Zustandsgrößen können so w ohl einen
stationären (zeitin v arian ten) An teil, auc h Gleichan teil o der R uhegröße genann t, als auc h
14 Isen trop e Zustandsänderungen liegen v or, w enn die En tropie s im System k onstan t bleibt, also weder
En tropie erzeugt no c h v on außen zugeführt wird. Diese Prozesse sind reversibel und daher auch dissipa-
tionsfrei. Isen tropie wird häufig mit adiabatisc hen V orgängen gleic hgesetzt o der v erw ec hselt, verm utlic h
da b ei den meisten einfac hen thermo dynamischen Systemen die adiabatisc hen Änderungen rev ersib el ab-
laufen [148]. Dies gilt ab er nic h t allgemein; es gibt so wohl adiabatisc h anisen trop e (irreversible) Prozesse,
so wie nic ht-adiabatisc he isen trop e Prozesse (die Entropiezunahme im System wird durc h W ärmeaustausc h
nac h außen ausgeglic hen). Adiabatisc h-rev ersible Prozesse sind immer isen trop, w ährend die Umk ehrung
nic h t gilt.
15 A diabatisc he Zustandsänderungen sind solc he ohne Beteiligung von W ärmeleitung. Sc hallv orgänge
(außerhalb v on akustisc hen Grenzschic h ten) k önnen in vielen F ällen als adiabatisc h angesehen werden,
w enn man v on der klassischen Dämpfung durc h Wärmeleitung und v or allem durc h v erzögerte Einstellung
v on inneren Gleic hgewich ten (Relaxationsv orgängen) absieh t. Bei Sc hallvorgängen treten rasc he zeitliche
W ec hsel auf, w ohingegen W ärmeleitungsprozesse eher langsam ablaufen.
16 F ür Gl. 3.22 wird Gl. 3.21 in die F orm (1 /p ) d p = γ (1 /ρ ) d ρ gebrac h t, und die link e und die rech te
Seite w erden in tegriert. Dies ergibt ln p + C 1 = γ (ln ρ + C 2 ) . Die b eiden In tegrationskonstan ten C 1 = − ln p 0
und C 2 = − ln ρ 0 w erden so gew ählt, dass die Gleich ung auc h für die relativ en Größen, b ezogen auf die
R uhegrößen p 0 , ρ 0 , gilt.
43
einen instationären An teil, z. B. eine schallbedingte Oszillation o der eine turbulenzb eding-
te sto c hastisc he Sc h w ankung, b einhalten. Um die Grundgleic hungen an akustisc he Proble-
me anzupassen, w erden sie im F olgenden für die akustisc hen Sc h w ankungen re-form uliert.
Dab ei ist es üblic h, sie in linearisierter F orm anzugeb en, da die akustisc hen Sc h w ankun-
gen klein v erglichen mit den R uhegrößen sind. Um später außerdem die Möglic hk eit der
An wendung v on T urbulenzmo dellen zu zeigen, w erden b ei der Zerlegung zusätzlic h die
turbulen ten Sch w ankungen b erüc ksic h tigt.
3.2.1. Linea risierte Navier-Stok es-Gleichungen (LNSE)
Die linearisierten Na vier-Stokes-Gleic h ungen (LNSE) b ezeic hnen die auf kleine, z. B. akus-
tisc he Sch w ankungen b ezogenen und linearisierten Na vier-Stok es-Gleic hungen. Dafür w er-
den die Zustandsgrößen (ausgedrüc kt anhand einer b eliebigen V ariable f ) in drei An teile
zerlegt [98, 99]
f ( x , t ) = f ( x ) + ˜︁
f ( x , t ) + f ′ ( x , t ) , (3.23)
also in einen Gleic hanteil f , eine k ohären te 17 Sc h w ankung ˜︁
f und eine sto c hastisc he (tur-
bulen te) Sch w ankung f ′ . Der Gleic han teil wird aus dem Zeitmittelw ert gew onnen, der
k ohärente An teil aus der Differenz zwisc hen dem Phasenmittelw ert 18 und dem Zeitmittel-
w ert, ˜︁
f = ⟨ f ⟩ − f , und der turbulen te An teil aus der Differenz zwisc hen der Gesamtgröße
und dem Phasenmittelw ert, f ′ = f − ⟨ f ⟩ . Der Gleic hanteil ist k eine F unktion der Zeit,
kann ab er no c h v om Ort x abhängen. Zeit- und ortsunabhängige (homogene) Größen, also
K onstanten, w erden im F olgenden mit dem Index 0 gekennzeic hnet ( f 0 ).
Die Herleitung der LNSE erfolgt zuerst durc h An w endung der T rip el-Zerlegung aus Gl. 3.23
für die drei Zustandsgrößen p, u und T und deren Einsetzung in die vier Grundgleic h un-
gen 3.2, 3.11, 3.17 und 3.19 (die drei Erhaltungsgleic hungen und die Gasgleic h ung). Die
R uhedich te wird dab ei vereinfac hend als k onstan t ( ρ 0 ) angenommen. 19 Im nächsten Sc hritt
w erden die akustischen Gleic h ungen gebildet. Dies erfolgt analog zur Bildung der ko-
hären ten Sch w ankungen: durc h Subtraktion der zeitgemittelten Gleic h ungen 20 v on den
phasengemittelten Gleic hungen 21 . Es wird im F olgenden angenommen, dass die k ohären-
ten Sc hw ankungen rein akustisc her Natur sind. Beim A usm ultiplizieren der T erme k önnen
Pro dukte der akustisc hen Sc hw ankungen, also T erme quadratisc her o der höherer Ordn ung,
17 Der Begriff „K ohärenz“ stamm t ursprünglich aus dem F eld der Optik: „Das Zustandek ommen von
In terferenzen zwisc hen zwei W ellenzügen ist n ur möglich, w enn zwisc hen ihnen eine k onstan te Phasenbe-
zieh ung b esteh t, d. h. wenn die Phasen v ersc hiebung zwisc hen den Sch wingungsv orgängen in den b eiden
Erregungszen tren jedenfalls für die Dauer vieler Sc hwingungen k onstan t bleibt. In diesem F all nenn t man
die in terferierenden W ellen k ohären t. “ [86]
18 Das Phasenmittel ⟨ f ⟩ extrahiert den Gleichmittelw ert zusammen mit dem k ohären ten An teil.
19 Diese Annahme ist b ei der späteren Betrach tung durchström ter Kanäle gerec h tfertigt, w enn eine mitt-
lere W ärmzu- bzw. abfuhr durc h die Kanalwände v ernac hlässigt wird und w enn die Ström ungsmachzahl M
niedrig bleibt. Die Dic h teabnahme in der Grenzschic h t infolge der erhöh ten Stautemp eratur in W andnähe
ist prop ortional zu M 2 [220].
20 Die zeitgemittelten Gleic h ungen w erden auch R eynolds-aver age d Navier–Stokes (RANS) Gleic h un-
gen genann t. Sie w erden einfach durc h Bildung des Zeitmittelwerts über jeden, mit der Zerlegung 3.23
form ulierten, T erm gebildet.
21 A ufgrund der Linearität der Zerlegung m üssen die Grundgleic hungen für die Gesam tgrößen genauso
gelten wie für die zeitgemittelten o der die phasengemittelten Gleic h ungen separat. Man kann daher die
gleic hgemittelten Gleic hungen v on der Gesam tgleic h ung abziehen, ohne etw as für die W echselgrößen zu
v erändern. Beispiel: W enn a = 2 b mit a = a + ˜︁ a und b = b + ˜︁ b gilt, gelten auc h a = 2 b und ˜︁ a = 2 ˜︁ b
unabhängig v oneinander.
44
v ernachlässigt w erden, da ( ˜︁
p, ˜︁
u ) ≪ ( p, u ) ist 22 . Es en tstehen dadurc h linear appro ximierte
akustisc he Gleich ungen, also Gleic h ungen, in denen die akustisc hen Sch w ankungen in ers-
ter Ordn ung b erüc ksich tigt w erden. 23
Als w eitere V ereinfac h ung wird die Boussinesq-Appro ximation 24 (1887) [11, 188] v erw en-
det, nac h der µ und κ th so wie die kinematisc he Viskosität ν = µ/ρ 0 und die T emp era-
turleitfähigk eit a = κ th / ( ρ 0 c p ) als k onstante Stoffgrößen betrach tet w erden. Außerdem
k önnen damit zwei T erme in der Energiegleic h ung, der k ohären te An teil der Dissipation
und des Druc ktransp orts der turbulen ten kinetischen Energie, v ernac hlässigt w erden [258].
Die (k ompressiblen) LNSE lauten damit in vektorieller Sc hreib weise:
K ontin uitätsgleic h ung: ∂ ˜︁
ρ
∂ t + ( u · ∇ ) ˜︁
ρ + ρ 0 ∇ · ˜︁
u = 0 , (3.24)
Impulsgleic hung: ∂ ˜︁
u
∂ t + ( ˜︁
u · ∇ ) u + ( u · ∇ ) ˜︁
u + ˜︁
ρ
ρ 0
( u · ∇ ) u =
− ∇ ˜︁
p 1
ρ 0
+ ν [︃ ∇ 2 ˜︁
u + (︃ 1
3 + µ B
µ )︃ ∇ ( ∇ · ˜︁
u ) ]︃ − ∇ · ˜︁ r , (3.25)
Energiegleic hung:
∂ ˜︁
T
∂ t + ( u · ∇ ) ˜︁
T = 1
c p ρ 0 [︃ ∂ ˜︁
p
∂ t + ( u · ∇ ) ˜︁
p ]︃ + a ∇ 2 ˜︁
T + 2 ν
c p
∇ u [ ∇ ˜︁
u + ( ∇ ˜︁
u ) T ] − ∇ · ˜︁
q ,
(3.26)
Gasgleic hung: ˜︁
p
p = ˜︁
ρ
ρ 0
+ ˜︁
T
T . (3.27)
Der T erm ˜︁ r ij = ⟨ u ′
i u ′
j ⟩ − u ′
i u ′
j in Gl. 3.25 k ennzeichnet den k ohären ten An teil der turbu-
len ten o der Reynoldsc hen Spannungen (vgl. Kap. 3.3). Der zugehörige Spann ungstensor
ist
˜︁
τ t = − ρ ˜︁ r . (3.28)
In der Energiegleic hung 3.26 ist ˜︁
q j = ⟨ T ′
i u ′
j ⟩ − T ′
i u ′
j der k ohärente An teil der turbulen ten
W ärmestromdich te. ˜︁ r und ˜︁
q sind also nic htlineare T erme der turbulen ten Sc h w ankungen.
Um Gleic hungen zu erhalten, w elc he n ur v on der Gleichgesc h windigk eit und v on der ko-
hären ten Gesch windigk eit abhängen, m üssen ˜︁ r und ˜︁
q letztlic h mo delliert w erden. 25 Die
22 Für die Produkte der sto c hastischen Größen f ′ f ′ gilt diese V ernac hlässigung nic h t. Sie bilden die
Beiträge des Reynoldsc hen Spann ungstensors.
23 Die Gesetze der linearen Akustik, also der v ereinfac h ten linearisierten Gleich ungen, gelten umgekehrt
üb erhaupt n ur, solange die akustisc hen Sc h wankungen klein gegen üb er den Ruhegrößen sind. Ist dies nic h t
mehr gegeb en, so ist auc h die Linearisierung unzulässig. In diesem F all werden die Berec hn ungen erheblic h
sc h wieriger. Ein Beispiel für ein nich tlineares Phänomen sind akustisc he Instabilitäten (Anfac h ung einer
akustisc hen W elle), b ei denen die akustischen Gesc h windigk eiten in den Bereich der Ström ungsgesc h win-
digk eit k ommen können.
24 Dab ei wird angenommen, dass die Dich tesch w ankungen sehr klein sind und k einen Effekt auf das
Ström ungsfeld hab en. A us der V ernac hlässigung der Ableitung der Dic hte D ρ/ D t in der Kon tin uitätsglei-
c h ung 3.3 folgt unmittelbar die Inkompressibilität des Mediums: ∇ · u = 0 . Dies ist für reale Fluide b ei
niedrigen Ström ungsgesc hwindigk eiten und ohne Sc hallk ompression in guter Näherung gegeb en. Die ink om-
pressible Annahme wird für die Gleic hgrößen und die turbulen ten Sch w ankungen ( ∇ · u = 0 , ∇ · u ′ = 0 )
zur Herleitung der LNSE-Gl. 3.24 b ei der zeitgemittelten Kon tin uitätsgleic hung angew endet, vgl. auch
W eng [258].
25 Es lassen sic h zw ar auc h T ransp ortgleic h ungen für die Zw eier-Korrelationen der turbulen ten Sch w an-
45
Mo dellierung v on ˜︁
τ t wird in Absc hnitt 3.3 weiter diskutiert.
Linea risierte adiabatische Zustandsgleichung: Die Linearisierung kann mit dem Ansatz
p = p 0 + ˜︁
p, ρ = ρ 0 + ˜︁
ρ, T = T 0 + ˜︁
T auc h b ei der adiabatisc hen Zustandsgleic h ung 3.22
angew endet werden. Dies führt zu dem wic h tigen Zusammenhang zwischen Sc halldruc k
und Sc halldich te
˜︁
ρ = ρ 0
γ p 0 ˜︁
p = ˜︁
p
c 2 mit c 2 = γ p 0
ρ 0
3.19
= γ R s T 0 . (3.29)
Es wird w eiter unten, im Zusammenhang mit Gl. 3.51 gezeigt, dass die K onstan te c ge-
rade die Sc hallgesch windigk eit, also die A usbreitungsgesc h windigk eit der eb enen W elle im
un b egrenzten dissipationsfreien Medium, ist.
Im F olgenden wird angenommen, dass analog zur Dic h te auc h der R uhedruc k und die
R uhetemp eratur homogene Größen sind: p = p 0 , T = T 0 .
3.2.2. Linea risierte Eulergleichungen (LEE)
Die linearisierten Eulergleic hungen (LEE) 26 ergeb en sic h direkt aus den LNSE un ter V er-
nac hlässigung der Viskosität. Sie lauten
K ontin uitätsgleic h ung: ∂ ˜︁
ρ
∂ t + ( u · ∇ ) ˜︁
ρ + ρ 0 ∇ · ˜︁
u = 0 , (3.30)
Impulsgleic hung: ∂ ˜︁
u
∂ t + ( ˜︁
u · ∇ ) u + ( u · ∇ ) ˜︁
u + ˜︁
ρ
ρ 0
( u · ∇ ) u = − ∇ ˜︁
p 1
ρ 0
, (3.31)
A diabatengleich ung: ˜︁
p = γ p 0
ρ 0 ˜︁
ρ . (3.32)
F ür Sc hallv orgänge wird im F olgenden eine harmonisc he Zeitabhängigk eit ∝ e iω t ange-
nommen, so dass ∂ ( ˜︁
p, ˜︁
u, ˜︁
v )/ ∂ t = iω ( ˜︁
p, ˜︁
u, ˜︁
v ) mit der Kreisfrequenz ω ist. Für die Strö-
m ungskanäle in den späteren Berechn ungen wird eine in Kanalac hsenric h tung x parallele
und k onstante Gleic hström ung v orgegeb en, u = [ u ( y ) , 0] T mit ∂ u / ∂ x = 0 . Lediglic h ein
Gradien t senkrech t zur Kanalw and d u /d y wird zugelassen. Die LEE lauten mit diesen
Annahmen in zw eidimensionalen kartesischen K o ordinaten:
K ontin uitätsgleic h ung: iω ˜︁
p + u ∂ ˜︁
p
∂ x + ρ 0 c 2 (︃ ∂ ˜︁
u
∂ x + ∂ ˜︁
v
∂ y )︃ = 0 , (3.33)
Impulsgleic hung in x-Ri: iω ˜︁
u + ˜︁
v d u
d y + u ∂ ˜︁
u
∂ x = − 1
ρ 0
∂ ˜︁
p
∂ x , (3.34)
Impulsgleic hung in y-Ri: iω ˜︁
v + u ∂ ˜︁
v
∂ x = − 1
ρ 0
∂ ˜︁
p
∂ y , (3.35)
w ob ei in Gl. 3.33 die adiabatisc he Druck-Dic h te-Beziehung aus Gl. 3.32 benutzt wurde.
Die Gln. 3.33-3.35 k önnen b ei b eliebiger Scherström ung u ( y ) als Eigen wertproblem (EWP)
kungen aufstellen, man erhält damit ab er Gleic h ungen, in denen Dreierk orrelationen vork ommen usw. Dies
ist auc h als Sc hließungsproblem der T urbulenz [188] b ekann t und bildet eines der ältesten ungelösten Pro-
bleme der klassisc hen Ph ysik. Ein Ausw eg aus diesem Problem ist die Mo dellierung der jew eils hö c hsten
K orrelationen.
26 Streng genommen b ezeichnet die Eulergleic h ung n ur die reibungsfreien Impulsgleic hungen, jedoch wird
die K on tinuitätsgleic h ung meist hinzugezählt.
46
gelöst w erden, siehe z.B. Elnady et al. [68]. Dafür wird die x -Abhängigk eit der akustisc hen
Größen ( ˜︁
p, ˜︁
u, ˜︁
v ) als Summe v on Exp onen tialfunktionen dargestellt. Diese b esc hreib en die
einzelnen Mo den der Ordn ung n in der F orm: ˜︁
f n ( x, y , t ) = Re {︂ ˆ
f n ( y ) exp ( iω t − ik x,n x ) }︂ .
Wird der Ansatz in den Gln. 3.33-3.35 angew endet, so lässt sic h ein Eigen we rtproblem
(EWP) aufstellen, w elches in Matrixform ( A + k x B ) g = 0 mit dem Eigen v ektor g = [ ˜︁
p, ˜︁
u, ˜︁
v ]
lautet [264]. Dieses wird zusammen mit den Randb edingungen nac h dem Eigen w ert k x für
die n v erschiedenen Modenordnungen gelöst. 27
3.2.3. W ellengleichungen: CWE, PBE und CHE
Durc h Kom bination v on reibungsfreier Impuls- und K on tin uitätsgleic h ung k önnen v er-
sc hiedene F ormen v on W ellengleic h ungen hergeleitet w erden. 28
K onvektive W ellengleichung (CWE): Das Einsetzen v on Gl. 3.33 in die Impulsgleic h un-
gen 3.34 und 3.35 ergibt die k onv ektiv e W ellengleic h ung 29
− k 2
0 ˜︁
p + 2 ik 0 M ( y ) ∂ ˜︁
p
∂ x + M 2 ( y ) ∂ 2 ˜︁
p
∂ x 2 − 2 ρ 0 c d M
d y
∂ ˜︁
v
∂ x − ∇ 2 ˜︁
p = 0 . (3.36)
Dab ei ist k 0 : = ω /c die F reifeldw ellenzahl mit c aus Gl. 3.29, und M = u/c ist die
Mac hzahl. Es wird wie in den Gln. 3.33-3.35 von einer parallelen Sc herström ung ohne
axialen Gradien ten ausgegangen. Gl. 3.36 ist eine partielle, homogene und lineare DGL
zw eiter Ordnung mit nic h tk onstan ten K o effizien ten.
Pridmo re-Bro wn-Gleichung (PBE): Die sogenann te Pridmor e-Br own-Gleichung 30 er-
gibt sic h aus der Umformung der partiellen DGL 3.36 in eine gew öhnlic he DGL. 31 Nac h
einem V orsc hlag v on Mungur und Gladw ell [172] wird für Gl. 3.36 der Separationsan satz
( ˜︁
p, ˜︁
u, ˜︁
v )=( P , U, V )( y ) e − ik x x e iω t (3.37)
27 Im F alle einer Scherström ung handelt es sic h b ei dem EWP nic h t mehr (wie im F all einer homogenen
Ström ung) um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem [239], b ei dem die zugehörigen Eigenfunktionen eine
Orthonormalbasis im Hilb ertraum L 2 bilden. Es gibt daher w eder einen mathematisc hen Bew eis dafür,
dass die mo dalen Eigenfunktionen vollständig sind, noch dass sie orthonormal sind. A ußerdem b esteht,
aufgrund der Singularität des Sturm-Liouville-Problems, das Lösungssp ektrum im Allgemeinen nich t mehr
n ur aus Eigen werten, sondern kann auc h einen k on tin uierlichen An teil aufw eisen. Dieser Umstand wird in
der Regel aus pragmatisc hen Gründen v ernachlässigt.
28 Mungur und Gladw ell [172, Gl. 20] hab en als einzige Ausnahme eine W ellengleic hung en t wic k elt, die
auc h für visk oses Medium und Scherström ung gültig ist und die auc h die molekularen Relaxationseffek-
te b erüc ksic h tigt. Im verlust- bzw. reibungsfreien F all v ereinfac ht sic h die Gleic h ung zur 2D-PBE. Die
Gleic h ung fand allerdings wenig Beac h tung.
29 Für die Herleitung m üssen die Impulsgln. 3.34, 3.35 jew eils nac h x bzw. y abgeleitet w erden. Beide
Gleic h ungen werden aufaddiert, und in die resultierende Gleic h ung wird die K on tinuitätsgleic h ung 3.33
eingesetzt, vgl. [222, Anhang A.2].
30 Benann t nac h den b eiden A utoren Pridmore und Bro wn, welc he die Gleic h ung [192, Gl. 7] zuerst
v erw endet hab en, um den Einfluss einer Sc herströmung auf die Sc hallausbreitung und auf die akustisc he
Dämpfung in Kanälen mit Imp edanzwänden zu un tersuc hen.
31 In einer gew öhnlic hen DGL (ODE) treten Ableitungen nac h genau einer V ariablen auf.
47
v erwendet. 32 Die v ertikale Sc hnelle ˜︁
v wird dab ei mit der Impulsgleic h ung in y -Ric h tung
(Gl. 3.35) als Druc kgradient form uliert. Als Ergebnis ergibt sic h die PBE, w elc he in kar-
tesisc hen Koordinaten
d 2 P
d y 2 + 2Γ
1 − Γ M
d M
d y
d P
d y + k 2
0 [(1 − Γ M ) 2 − Γ 2 ] P = 0 (3.38)
lautet 33 . Dab ei ist Γ = k x /k 0 die mit der F reifeldw ellenzahl normierte axiale W ellenzahl.
Gl. 3.38 en thält nur noch v on y abhängige Druc kfunktionen und ist damit ein eindimen-
sionales Sc hallfeldmo dell 34 .
Die PBE ist im F all eb ener Ström ungen o der sp ezieller Ström ungprofilfunktionen (z.B.
stüc kweise lineare F unktionen o der P otenzgesetz-F unktionen [192]) analytisc h lösbar, im
allgemeinen F all b eliebiger Profilformen jedo c h nic h t. Letzteres wird üblic herw eise n u-
merisc h b ehandelt: Die PBE bildet zusammen mit den gegeb enen Randb edingungen der
Kanalw ände ein Randwertproblem bzw. aufgrund der Homogenität v on Gl. 3.38 sogar
ein lineares Eigen wertproblem (EWP). V on Ev ersman [74] w erden vier alternativ e n u-
merisc he Metho den zur Lösung des EWP gezeigt: Sc hießve rfahren 35 , Galerkin-Metho de,
Finite-Differenzen-Metho de und Finite-Elemen te-Metho de (FEM). Für das in v erse Pro-
blem, die Bestimm ung der W andimp edanz für eine gegeb ene W ellenzahl, wird die PBE
meist als Anfangsw ertproblem (b eginnend auf der sc hallharten W and) mittels n umerisc her
In tegration gelöst [172, 123, 124, 39, 71, 45, 242, 118], vgl. auch Kap. 2.2.2.1.
K onvektive Helmholtzgleichung (CHE): Die kon v ektive W ellengleic h ung 3.36 und
Gl. 3.38 v ereinfac hen sich zur k on v ektiv en Helmholtzgleich ung, w enn die Gleic hström ung
eb en, also d M /d y = 0 , ist 36 :
∇ 2 ˜︁
p − (︃ ik 0 + M ∂
∂ x )︃ 2
˜︁
p = 0 bzw. d 2 P
d y 2 + k 2
0 [(1 − Γ M ) 2 − Γ 2 ] P = 0 . (3.39)
In der rec hten T eilgleic h ung ist der Separationsansatz aus Gl. 3.38 verw endet w orden.
Un ter Abw esenheit einer Ström ung v ereinfac ht sic h Gl. 3.39 zur akustisc hen W ellen-
gleic h ung
∇ 2 ˜︁
p = − k 2
0 ˜︁
p . (3.40)
32 Die mathematisc he Zulässigk eit der F aktorisierung der V ariablen in Pro dukte en tkoppelter, x - o der
y -abhängiger T eillösungen ist für den F all b eliebiger Sc herströmung M ( y ) nic h t geprüft, vgl. F ußnote 27.
Üblic herw eise wird die Problematik im Interesse der Lösung der CWE übergangen und der Separations-
ansatz trotzdem b en utzt.
33 Da sic h Gl. 3.38 auc h durc h räumliche F ouriertransformation der Gleic h ungen 3.36 und 3.35 (mit den
F ourierk o effizienten P, U, V ) ergibt, wird die PBE auc h als F requenzb ereichs-Gleic h ung b eschrieben.
34 Der Ansatz Gl. 3.37 b eschreibt die A usbreitung einer einzelnen, unidirektionalen Mo de in x -Ric h tung.
Dies en tspric ht einem unendlic h ausgedehn tem Kanal bzw. W ellenleiter.
35 Beim Sc hießv erfahren wird die PBE b ei b ekann ten Randb edingungen und gesuc h ter Druckfunktion
und W ellenzahl iterativ gelöst: die PBE wird als Anfangswertproblem un ter V ariation der W ellenzahl
wiederholt n umerisc h integriert bis der F ehler der erzielten zw eiten Randb edingung v ersch windet. Das
V erfolgen und Finden der korrekten W ellenzahl wird auc h „mo de trac king metho d“ genann t [39].
36 Diese Ström ung wird auc h Blo c kprofilström ung genann t.
48
3.3. T urbulenzmo dellierung
Bei der Imp edanzeduktion wird der Liner meist un ter dem Einfluss einer turbulen ten
Ström ung vermessen. Die T urbulenz v erändert den Impulsaustausc h in der w andnahen
Grenzsc hich t und mo difiziert damit die Sc hallausbreitung üb er der Imp edanzw and (ge-
gen üb er einer laminaren Ström ung). Da die Imp edanz aus der Anpassung eines Mo dells
an Messdaten des realen Sc hallfelds ermittelt wird, ist es prinzipiell erstreb ensw ert, die
turbulen ten Effekte in dem verw endeten Sc hallfeldmo dell einzusc hließen. Im F olgenden
w erden Möglichk eiten zur Besc hreibung der T urbulenz diskutiert.
Bei einer turbulen ten Strömung wird der T ransp ort v on Energie und Impuls zusätzlic h zu
den molekularen Zähigk eitskräften durch die turbulen ten Wirb elb ew egungen v ermittelt. 37
Die K onv ektion v on T urbulenzballen 38 erhöh t den Impulsaustausc h im Fluid v erglic hen
mit dem der molekularen Visk osität drastisch. Die damit v erkn üpften Sc h ub- und Normal-
spann ungen werden auc h turbulen te o der Reynoldsspann ungen genann t. 39 Für stationäre
T urbulenz, also die T urbu lenz einer reinen Gleic hströmung, ersc hein t der zugehörige tur-
bulen te Spannungstensor τ t b ei der Bildung der RANS Gleic h ungen, siehe Gl. 3.28 (F uß-
note 20). τ t en thält nic h tlineare T erme der turbulen ten Sc h w ankungen, aufgrund dessen
die RANS-Gleic hungen nic h t gesc hlossen w erden können. Mangels exakter Lösungsmög-
lic hkeit ist es üblic h, Mo delle zu v erwenden, die die Reynoldsspann ungen in Abhängigkeit
v on der Gleichström ungsgesc h windigk eit b esc hreib en. Diese Mo dellierung bildet ein gro-
ßes eigenständiges F orsc h ungsfeld. Das im F olgenden v orgestellte Wirb elvisk ositäts-Mo dell
bildet bloß den A usgangspunkte für zahlreiche Mod elle höherer Ordn ung. 40
3.3.1. Wirb elvisk ositäts-Mo dell für die stationä re T urbulenz
Das einfac hste und älteste Konzept der T urbulenzmo dellierung ist die Einführung der
sogenann ten Wirb elvisk osität 41 durc h Boussinesq (1887). Dieser sc hlug v or, die durc h die
turbulen ten Bewegungen erheblic h gesteigerte sc hein bare Reibung im Fluid durc h eine
„turbulen te Viskosität“ ν t > 0 zu b esc hreib en, w elc he sich zur molekularen Visk osität ν
addiert. Beide zusammen bilden die „effektiv e“ Visk osität ν ef f = ν + ν t einer turbulen ten
Ström ung. Die turbulenten Spann ungen w erden dann analog zur vis k osen Spannung ( τ ν =
37 Eine turbulen te Ström ung en thält ungeordnete, makroskopisc he Längs- und Querb ewegungen un ter-
sc hiedlic her Längenskalen. Dies wird auch turbulen te Misc h ungsb ew egung genann t. Es hat sich allerdings
auc h gezeigt, dass die T urbulenz in Sc herström ungen stark strukturiert ist. Zwisc hen den versc hiedenen
Strukturelemen ten existieren n ur sch w ac he W ec hselwirkungen, die ab er für das Gesamtsystem ein dyna-
misc hes Gleic hgewich t herstellen. Die Details der Misc h ungsb ew egung und die W ec hselwirkung zwisc hen
den Strukturen sind bis heute Gegenstand in tensiv er F orsc hung.
38 Damit sind hier allgemein räumlic h und zeitlic h k ohärente Ström ungsstrukturen infolge der T urbulenz
gemein t.
39 Die turbulen te Sc h ubspannung ist für die Energiebilanz der T urbulenz en tscheidend. Sie ist die einzige
V erbindungsgröße zwisc hen der mittleren Ström ung (c harakterisiert durc h die Scherrate) und den turbulen-
ten Sc h wankungen. Die turbulen te Sc h ubspann ung bildet als Pro dukt mit der Sc herrate den sogenannten
Pro duktionsterm in den T ransp ortgleic h ungen, w elcher dafür sorgt, dass der mittleren Ström ung Energie
en tzogen, und diese der T urbulenz zugeführt wird.
40 Neb en den aus den RANS abgeleiteten Mo dellen gibt es auc h nic h t-statistisc he Ansätze wie die
Large-Eddy-Sim ulation (LES), allerdings no c h nic ht im Zusammenhang mit akustisc h gestörter T urbulenz.
Dab ei wird eine zeitlic h-räumlic he Tiefpassfilterung der Na vier-Stokes-Gleic hungen statt einer zeitlic hen
Mittelung durc hgeführt. Dadurc h können großskalige T urbulenzgrößen transien t gerechnet, d.h. realistisc h
wiedergegeb en w erden; für die kleinskaligen Wirb el w erden Mo delle verw endet.
41 Englisc h: eddy viscosit y .
49
2 µ S = 2 ν ρ 0 S ) gebildet: prop ortional zur Scherrate S der Gleic hgesc h windigk eit und mit
ν t als Prop ortionalitätsk onstan te
τ t,ij = − ρu ′
i u ′
j
!
= 2 ν t ρS ij . (3.41)
Dab ei ist S ij = 1 / 2( ∂ u i / ∂ x j + ∂ u j / ∂ x i ) der Sc herraten tensor der Gleichström ung. Analog
zu ν t kann die turbulen te W ärmediffusion mit einer turbulen ten Wärmeleitfähigk eit κ th,t
b esc hrieb en werden. Beide K o effizienten, ν t und κ th,t , k önnen w eitaus größer sein als die
molekularen K o effizien ten ν , κ th (F aktor 10 bis 100). Da sie im Un terschied zu letzteren
v on den Eigenschaften des Ström ungsfeldes abhängen – insb esondere v on den Gesc hwin-
digk eitsgradienten – k önnen sie außerdem stark ortsabhängig sein.
Die Wirb elvisk osität m uss geeignet mo delliert w erden. Prandtl (1925) hat als erster ei-
ne grob e Absc hätzung für die Änderung der Wirb elvisk osität mit dem W andabstand in
einer turbulen ten wandnahen Sc herström ung gegeb en. Dies ist heute als „Prandtlsc hes
Misc hungsw egmo dell“ b ekann t. 42 Demnac h hängt die Wirb elvisk osität
ν t =
d u
d y l 2
m . (3.42)
n ur von dem w andnormalen Gesc hwindigk eitsgradien ten d u /d y und einem Misc hungsw eg
l m ab, der w eiter mo delliert w erden muss. 43 Der Misc h ungsw eg repräsen tiert die W eglänge,
en tlang der ein T urbulenzballen un ter Beib ehaltung seiner Eigensc haften senkrec ht zur
W and transp ortiert wird, b ev or er sic h mit dem restlic hen Fluid v ermisc ht. Durc h die
An wendung v on Gl. 3.42 in Gl. 3.41 hängt die turbulen te Sc h ubspann ung τ t n ur no c h v on
der lokalen Sc herrate bzw. dem wandnormalen Gesc h windigkeitsgradien ten ab [220]
τ t = ρ 0 l 2
m
d u
d y
d u
d y . (3.43)
Die Wirb elvisk ositäts-Mo delle funktionieren gut, solange die T urbulenz stationär ist. Sie
führen jedo c h zu falsc hen V orhersagen, w enn eine Sc hallüb erlagerung b etrach tet wird [98,
99].
3.3.2. Mo delle für die instationä re (schallgestö rte) T urbulenz
Die Sc hallüb erlagerung sorgt dafür, dass die T urbulenz mo duliert wird; die turbulen ten
Spann ungen erhalten einen k ohären ten Anteil ˜︁
τ t (Gl. 3.28), der in den LNSE (Gl. 3.25)
auftauc ht und ebenfalls mo delliert w erden muss. Der Un tersuc hung der Dynamik der k o-
hären ten T urbulenz ist seit den ersten Arb eiten in den frühen 1970er Jahren durc h Hussain
und Reynolds [98, 99] v erhältnismäßig wenig wissensc haftlic he A ufmerksamk eit zuteil ge-
w orden. Die bisherigen Mo delle für ˜︁
τ t sind üb ersc haubar. Sie wurden durc hgängig un ter
42 Englisc h: Prandtl‘s mixing length h yp othesis. Das Mo dell bildete neb en b ei die Grundlage für das
univ erselle W andgesetz (engl.: la w of the w all) [238], welc hes die mittlere w andparallele Gesc h windigk eit
in turbulen ten W andgrenzsc hic hten als F unktion des W andabstands für hohe R e b esc hreibt. Das Gesetz
trifft üb errasc hend genaue V orhersagen für wandnahe und w andhaftende (angelegte) Ström ungsfelder mit
kleinen Druc kgradien ten.
43 Diese Mo delle b eruhen auf Empirie. Ein einfac hes Mo dell v on Prandtl, welc hes n ur für die logarith-
misc he Grenzsc hich tregion (nic h t für den Üb ergangsb ereich) gilt, ist l m = κ ( y + y 0 ) mit der Kármánsc hen
K onstan te κ und dem W andabstand y . Eine genaueres Mo dell liefert die v an Driest Hyp othese, nach der
l m = κy (1 − exp ( − y + / 26)) ist. Dadurch ist l m ∝ y 2 , y + ≪ 26 und l m ∝ y , y + ≫ 26 . Es gibt zahlreiche
w eitere Mo delle für die Misc hlänge, siehe z. B. Launder und Spalding [138].
50
der Annahme sc hallharter und hydraulisc h glatter W ände und für die A usbreitung der
eb enen Mo de hergeleitet.
Exp erimen te in turbulen ten Rohrström ungen mit glatten W änden hab en gezeigt, dass die
In teraktion des akustischen F eldes mit der T urbulenz in einem w andnahen Bereic h der
turbulen ten Grenzschic h t stattfindet [215]. Die akustisc he Grenzsc hich t welle, die an der
W and aufgrund der Haftb edingung angeregt wird (vgl. Kap. 5.1.1 und Anhang C.1), brei-
tet sic h in das turbulen t-inhomogene, w andnah e Medium aus und „spürt“ die turbulen ten
Sc hubspann ungen dann, w enn sie üb er die visk ose Untersc hic h t 44 hinaus läuft. Ein wich-
tiges Kriterium für die akustisc h-turbulente In teraktion ist desw egen die Eindringtiefe der
Grenzsc hich t w elle. Als Maß dafür dien t die mit den Grenzsc hic h tparametern entdimensio-
nalisierte akustisc he Grenzschic h tdic k e
δ +
a = δ a
u τ
ν = √︄ 2 u 2
τ
ν ω (3.44)
mit der akustisc hen Grenzschic h tdic k e δ a = √︁ 2 ν /ω und der W andsc h ubspann ungsge-
sc hwindigk eit u τ = √︁ τ w /ρ 0 . Dab ei ist τ w die mittlere W andsc h ubspannung. 45
Ahrens und Ronneb erger [4, 213, 215] hab en durc h Messungen 46 gefunden, dass eine W ech-
selwirkung zwisc hen der Sc her- bzw. Grenzsc h ic ht w elle und den turbulen ten Spann un-
gen stattfindet, w enn δ +
a & 7 ist. Die turbulen ten Sch ubspann ungen werden dann durc h
die Sc herwelle moduliert, und umgek ehrt mo difizieren die turbulenten Misc h b ew egungen
und der dadurc h erhöhte Impulstransp ort die Ausbreitung der Grenzsc hic h t welle. Dagegen
klingt für δ +
a . 7 (hohe F requenzen) die Sc herw elle innerhalb der visk osen Un tersc hich t
ab, und es gibt k eine W ec hselwirkung.
Es existieren bis heute k eine Mo delle, die die Bezieh ung zwischen der Sc herrate der Sc her-
w elle und den mo dulierten Reynoldsspann ungen korrekt und allgemein beschreiben. Die
b ekann ten, im F olgenden v orgestellten semi-empirisc hen Mo delle basieren zum T eil auf
stark en V ereinfac h ungen. Ihre V orhersagen stimmen meist n ur für einen eingesc hränkten
Bereic h von δ +
a mit Exp erimen ten o der numerisc hen Sim ulationen [88] üb erein. Die Mo del-
le nehmen analog zur Boussinesq-Hyp othese ein lokales V erhältnis zwisc hen der k ohären ten
Sc herrate d ˜︁
u /d y und der k ohären ten Sc h ubspann ung ˜︁
τ t an:
˜︁
τ t = ρ 0 ν t,a
d ˜︁
u
d y . (3.45)
Sie un terscheiden sic h durc h die Definition der Wirb elvisk osität ν t,a . Der Index a kenn-
zeic hnet dab ei die im akustisc hen F all geltende Wirb elvisk osität (englisc h: p ertubation
eddy viscosit y [261]).
Quasi-lamina res Mo dell: Beim quasi-laminaren Mo dell [98, 99] wird die Interaktion zwi-
sc hen T urbulenz und Sc herw elle vollständig v ernac hlässigt, d. h. es gelten die Beziehun-
44 In der w andanliegenden visk osen Un terschic h t k önnen die turbulen ten Sch ubkräfte vernac hlässigt
w erden; das V erhältnis zwisc hen Sc h ubspannung und Sc herrate ist n ur durc h µ b estimm t.
45 τ w steh t in einem runden Ström ungskanal in direktem V erhältnis zum axialen Gradien ten des stati-
sc hen Druc ks: d ¯ pA = τ w M mit der Kanalquerschnittsfäc he A und der v on der Strömung überstrichenen
Kanalman telfläc he M . Bei einem geraden und glattw andigen Rohr mit Radius r ist τ w = d ¯ p /d x r / 2 .
46 In [215] wurde durc h Messungen der axialen W ellenzahl und Anpassung eines Mo dells die
W andsc h ubspann ungs-Imp edanz z τ = ˜︁ τ w / ˜︁ u s,w in Abhängigk eit von δ +
a ermittelt. z τ misst das V erhält-
nis aus akustisc her W andsc h ubspannung und der Sc herw ellenamplitude an der W and. Dies ist ein Maß für
die infolge der turbulen ten Sc hubspann ungen v eränderte A usbreitung der Sc herwelle. z τ hängt praktisc h
nic h t von der Reynoldszahl, sondern n ur von δ +
a ab.
51
gen wie in einer laminaren Ström ung: ν t,a = 0 . Diese Annahme ist, wie b ereits erw ähn t,
für kleine δ +
a . 7 bzw. hohe mit den Grenzsc hich tparametern gebildete Strouhalzahlen
Sr = ω ν /u 2
τ gültig. 47
Quasi-statisches Mo dell (equilib rium mo del): Dab ei wird angenommen, dass die Zeit,
die die w andnahe T urbulenz brauc h t, um sic h auf eine v eränderte Randb edingung einzu-
stellen, kurz gegen üb er der Sc hallp erio de ist [98, 99, 215, 228, 198, 261]. Die turbulen te
Sc hubspann ung folgt der zeitlic hen Mo dulation durc h die Sc herw elle also quasi instantan,
d. h. ohne Phasen versc hiebung. ν t,a ist daher frequenzinv arian t und rein reell. Dies ist für
sehr langsame Mo dulationen, d.h. tiefe F requenzen ( Sr ≪ 1 ) o der große δ +
a gültig. ν t,a
kann aus der differen tiellen Än derung der statisc hen Sch ubspann ung Gl. 3.43 hergeleitet
w erden: 48
ν t,a = 2 l 2
m | d u /d y | 3.42
= 2 ν t . (3.46)
Im Un terschied zum quasi-laminaren Mo dell kann das quasi-statische Modell den Effekt
der turbulenzb edingte Sc halldämpfung im Prinzip b erücksic h tigen. Gute V orhersagen erge-
b en sic h erw artungsgemäß für sehr große δ +
a , also für tiefe F requenzen. 49 Ein V ergleic h mit
Messungen ergab größere Ab wei c h ungen in der Üb ergangssc hic h t der turbulen ten Grenz-
sc hich t, δ +
a ∈ [5 , 30] (mittlerer F requenzb ereic h) [215, 261]. 50
Rigid-plate mo del: Das semi-empirisc he Mo dell von Ronneberger und Ahrens [215] b e-
sc hreibt den Effekt der T urbulenz auf die Sc herw elle v ereinfac ht mit ei ner durc h die T ur-
bulenz gebildeten starren W and, die sic h parallel zur Kanalw and in einem b estimm ten Ab-
stand zu dieser b efindet. An der „T urbulenz-W and“ findet eine T otalreflexion der Sc her-
w elle statt. Durch die Anpassung des W andabstands kann die P osition des Minim ums
der W andsc h ubspann ungsimp edanz bzw. der Dämpfung (b ei δ +
a ≈ 12 ) gegen üb er den
Exp erimen ten ric h tig wiedergegeb en w erden (siehe auc h F ußnote 46). Die verbleibenden
Ab weic h ungen gegen üb er den Messdaten sind u. a. darauf zurückzuführen, dass die Refle-
xion der Sc herwelle in W ahrheit nic h t an einem einzelnen W andabstand, sondern in einem
ausgedehn ten Bereich stattfindet, w ob ei diese Schic h t nac h Ronneb erger un d Ahrens viel
dünner ist, als in den auf einer effektiv en Wirb elvisk osität o der Wirb el-Visk o elastizität [58]
basierenden Mo dellen angenommen wird.
T urbulenz mit „ Gedächtnis“ (visk o elastische Mo delle): Es wurde sc hon frühzeitig v er-
m utet, dass die instationäre T urbulenz eher einem visk o elastisc hen als einem visk osen
47 Bei einer mittleren Ström ungsgesc h windigkeit v on M = ¯ u/c = 0 . 1 ergibt dies eine un tere F requenz-
grenze v on ungefähr 1250 Hz. Dab ei wurde u τ ≈ ¯ u/ 20 v erw endet.
48 Dazu wird das Prandtlsc he Misc hw egmo dell τ t = ρ 0 l 2
m ( d u /d y ) 2 v erw endet, wobei die Betragsstriche
v orüb ergehend v ernac hlässigt w erden (diese sorgen lediglich dafür, dass die Sc hubspann ung b ei Ände-
rung der Ström ungsric htung ihr V orzeic hen ändert). Die kohären te Sc h ubspann ung wird aus der Ände-
rung der statisc hen Sc hubspann ung aufgrund einer kleinen Änderung des Gradien ten d u /d y abgesc hätzt:
˜︁ τ t / ( ˜︂
d u /d y ) = d τ t / d( d u /d y ) = 2 ρ 0 l 2
m d u /d y . Hussain und Reynolds [98, 99] hab en den F aktor 2 in ν t,a
Gl. 3.46 v ernac hlässigt, also ν t,a = ν t v erw endet. Sie nahmen an, dass die turbulen te Energie nich t durc h
die k ohären te Scherbewegung moduliert wird. Die Korrektur erfolgte durc h Ronneb erger und Ahrens [215].
49 Dies en tspric h t in dem Beispiel von F ußnote 47 einer Gültigk eit für F requenzen < 68 Hz.
50 Ronneb erger und Ahrens hab en gezeigt, dass das Minim um von Re { z τ } nic h t k orrekt b estimm t
wird [215, Abb. 13]. W eng et al. [261, Abb. 1] hab en dieses Defizit auc h b eim Minim um der Dämp-
fungsk onstan te gezeigt.
52
Medium en tsprich t [52, 215]. Dies wurde v on Hartmann [88] b estätigt, der eine direkte
n umerische Sim ulation der sc hallgestörten turbulen ten Grenzsc hich t in einem hart w an-
digen Kanal durc hführte. Bei tiefen F requenzen reagiert die T urbulenz demnac h visk os,
d. h. die Sc hubspann ungen sind prop ortional zur Sc herrate d u /d y . Bei hohen F requenzen
reagiert die T urbulenz dagegen elastisc h, die Sc h ubspann ungen sind also prop ortional zur
Sc herverform ung ϵ xy = ∫︁ ( d u /d y )d t , dem zeitlic hen In tegral der Sc herrate. 51 A ufgrund
des Zeitin tegrals hat man der T urbulenz ein „ Gedäc h tnis“ zugeordnet. Die T urbulenz re-
agiert demnac h auf eine Störung zeitverzögert, da sic h zuerst b estimm te (zeitabhängi-
ge) Relaxationsv orgänge 52 im turbulen ten Medium abspielen, b ev or sic h dieses wieder im
Gleic hgewich tszustand b efindet. V ersc hiedene Mo delle hab en v ersuc h t, diesen Effekt mit
dem Ein bringen einer charakteristisc hen Zeitk onstan ten, der turbulen ten Relaxationszeit
t ∗ , zu b erüc ksic htigen. P eters et al. [184] hab en dies b eim „rigid-plate mo del“ [215] ange-
w endet und eine b essere Üb ereinstimm ung mit den Messergebnissen erzielt als mit dem
Mo dell der starren W and. Andere Arb eiten [150, 95, 261] hab en den „ Gedäch tnis“-Effekt
als implizite Eigensc haft der Wirb elvisk osität eingebrac h t. Die Sch ubspann ung hängt dann
neb en der Sc herrate auc h v on ω t ∗ ab. Im Mo dell von Ho w e [95] ist die von ω t ∗ abhängige
Wirb elvisk osität reellw ertig (mit empirisc h angepassten Mo dellparametern), w o durc h k ei-
ne Phasen verzögerung zwisc hen Sc herrate und Sch ubspann ung b erüc ksic h tigt wird. W eng
und Boij [261, 262] hab en eine k omplexw ertige, zeit- und frequenzabhängigen Wirb elvis-
k osität ν t,a = 2 ν t / (1 + iω t ∗ ) v orgesc hlagen, welc he direkt aus den dynamisc hen Reynolds-
gleic hungen hergleitet wird. 53 Ihr Mo dell („non-equilibrium mo del“) b erüc ksic h tigt eine
Phasen verzögerung zwisc hen Sc herrate und Sc h ub spann ung, w elc he im stationären Li-
mit ( ω → 0 ) v ersc h windet. F ür kleine F requenzen vereinfac h t sic h das Mo dell also zum
quasi-stationären Mo dell, für große F requenzen geh t es ins quasi-laminare Mo dell üb er.
Im Bereic h mittlerer F requenzen ist die Üb ereinstimm ung mit den Messdaten deutlic h
genauer als das „rigid plate mo del“, jedo c h v erbleib en no c h Ab w eic h ungen, insb esondere
b eim Minim um v on Re { z τ } , vgl. [258, Abb. 4.1.2].
3.3.3. Grenzen der Mo delle und F azit
In der n umerischen Studie v on Hartmann [88] wird gezeigt, dass die sc hallk ohären te T ur-
bulenz Eigensc haften aufweist, die üb er die einfac hen Annahmen der bisherigen Mo delle
hinausgehen: so wohl die turbulen te Relaxationszeit als auc h die Wirb elvisk osität sind im
Allgemeinen F unktionen des W and abstands und der F requenz. Selbst für den Grenzfall
sehr tiefer bzw. sehr hoher F requenzen k önnen die Mo delle n ur eingesc hränkt v erw endet
w erden:
• F ür sehr niedrige F requenzen ist die Sc herp erio de groß v erglichen mit der turbulen ten
Relaxationszeit und die T urbulenz hat gen ug Zeit, um sic h auf die Sc hallmo dulation
einzustellen. Die T urbulenz b efindet sic h dann im Gleic hgewic h t und kann quasi-
statisc h auf die Scherung reagieren ( t ∗ = 0 ). Das quasi-statisc he Mo dell (Gl. 3.46)
ist un ter diesen Umständen gültig, jedo c h n ur in einem räumlic hen Bereich dic h t an
51 Hartmann [88] sc hreibt: „Es k onn te klar demonstriert werden, dass bei schnell v erform ter T urbulenz
die turbulen ten Spann ungen wesen tlic h durc h die V erform ung selbst und nic h t allein durch die V erfor-
m ungsrate b estimm t w erden, also insgesam t viskoelastisch reagieren. “
52 Dies k önn ten z. B. die Prozesse der Wirb elkaskade sein, b ei der große Wirb el nac h einer c harakteris-
tisc hen Zeit in ink ohärente Strukturen zerfallen.
53 Die mittlere Wirb elviskosität ν t wurde b ei W eng und Boij [261, 262] mit dem Cess-Mo dell [48] be-
stimm t.
53
der W and, da t ∗ mit dem W andabstand zunimm t.
• Bei hohen F requenzen kann die T urbulenz nic h t pausc hal v ernac hlässigt werden (wie
b eim quasi-laminaren Mo dell). Sie reagiert hier eher visk o elastisc h, mit einer v om
W andabstand abhängigen Phasen v ersc hiebung v on 30 ◦ − 90 ◦ zwisc hen Sc hubspan-
n ung und Scherrate. Zur Modellierung sind v erm utlich mehrere, frequenzabhängige
Zeitk onstanten t ∗ ∝ 1 /ω nötig 54 .
• Im mittleren F requenzb ereic h treten stark e In teraktionen zwisc hen der sc hallb eding-
ten Sc herung und der T urbulenz auf: Der Mo dulationsfaktor der Sc h ubspann ungen
zeigt resonanzartige Effekte wie lokale Minima und Maxima b ei einzelnen F requen-
zen. Bei einer c harakteristisc hen F requenz sind der Mo dulationsfaktor und die Re-
laxationszeit für alle W andabstände 0 < y + ≤ 30 maximal. Bei einem b estimm-
ten W andabstand 25 < y + < 30 treten auffällig stark e Ric h tungs änderungen der
Sc hubspann ungen auf, w elc he Reflexionen der Sc herwelle wie an einer harten W and
v ermuten lassen (ähnlic h zu den Beobac htungen in [215]).
Eine w eitere Annahme der bisherigen Mo delle ist unrealistisc h: Die Bezieh ung zwisc hen
Sc hubspann ungen und Sc herw elle ist v ermutlic h nic h t durc h ein lokales Gesetz gegeb en,
sondern eine F unktion des globalen Gesc h windigk eitsfeldes [215, 3, 88]. Dies hab en b ereits
A chary a und Reynolds (1975) [3] v erm utet, w elche die Druc k-Spann ungs-K orrelationen
als wic htige Größe der T urbulenzdynamik ansahen. Nic h t-lokal reagierende T urbulenz b e-
deutet, dass die Reaktion der T urbulenz nic h t n ur v on der lokalen Störung, sondern auc h
v on Störungen an b enac hbarten P ositionen abhängt. Die Störung – in diesem F all die
Sc herwelle, die sic h räumlic h durc h das turbulen te Medium ausbreitet – ruft dann zu jeder
Phasenlage eine andere Reaktion eines räumlic h ausgedehn ten Bereic hs zusammenhängen-
der Wirb elstrukturen herv or. Diese Dynamik ist v ermutlic h äußerst k ompliziert. Lokales
V erhalten kann n ur angenommen w erden, w enn die räumlic he A usdehn ung der zusammen-
hängenden (k ohärenten) Wirbelstrukturen sehr klein verglic hen mit der W ellenlänge der
Sc herwelle ist, also für tiefe Sc herfrequenzen. Benac h barte Wirb elstrukturen werden dann
annähernd mit der selb en Phase „ gestört“ .
Die bisher v erfügbaren Mo delle wurden außerdem un ter der Annahme v on starren und
glatten Kanalw änden ent wic k elt. Es ist no c h v öllig fraglic h, wie zutreffend sie im Zu-
sammenhang mit rauen W andstrukturen o der, wie b ei Linerob erfläc hen, mit p erforierten
W änden sind. Es ist verm utlic h trotzdem sinn v oll, üb erhaupt ein T urbulenzmo dell in der
Berec hnung des Sc hallfelds zu v erwenden, anstatt den Effekt der T urbulenz v öllig zu igno-
rieren.
3.4. Einfache Schallfeldlösungen in Abhängigk eit von der
W andimp edanz
In diesem Absc hnitt w erden einige Grundlagen der Sc hallausbreitung in rec h teckigen Ka-
nälen und einfac he Beziehungen zwisc hen Sc hallfeld und W andimp edanz v orgestellt, w el-
c he für das V erständnis der k omplexeren Kanalmo delle in Kap. 5-8 (un ter Einsc hluss v on
akustisc hen W andgrenzsc hic h ten und Gleic hströmung) wic h tig sind. Einfach sind die Be-
zieh ungen hier insofern, als der Einfluss v on Visk osität, W ärmeleitung und K on v ektion in
54 Durc h die Prop ortionalität t ∗ ∝ 1 /ω versc hwindet t ∗ wie gewünsc h t für ω → ∞ .
54
der Sc hallausbreitung vernac hlässigt wird.
Als grundsätzlic hes Handwerkszeug dienen die Gesetze der linearen Akustik. Die lineari-
sierten Erhaltungsgleic hungen für Masse und Impuls lauten in dreidimensionalen kartesi-
sc hen Koordinaten nach Gl. 3.33-3.35 (LEE ohne Ström ung):
K ontin uitätsgleic h ung: iω ˜︁
p + ρ 0 c 2 (︃ ∂ ˜︁
u
∂ x + ∂ ˜︁
v
∂ y + ∂ ˜︁
w
∂ z )︃ = 0 , (3.47)
Impulsgleic hungen: iω ˜︁
u = − 1
ρ 0
∂ ˜︁
p
∂ x , iω ˜︁
v = − 1
ρ 0
∂ ˜︁
p
∂ y , iω ˜︁
w = − 1
ρ 0
∂ ˜︁
p
∂ z . (3.48)
3.4.1. F reifeld
Im F reifeld kann sic h eine Sc halldruc kwelle im dreidimensionalen Raum ungehindert aus-
breiten. Dies kann durc h die komplexen Exponentialfunktionen
˜︁
p ( x, y , z , t ) = Re {︂ p 0 e − ik x x e − ik y y e − ik z z e iω t }︂ (3.49)
b esc hrieb en werden. 55 Wie üblic h wird im F olgenden abkürzend die Notierung der Zeit-
abhängigk eit und des Realteils w eggelassen. k x , k y , k z sind die K omp onen ten des W ellen-
zahlv ektors k , welc her die räumlic he Struktur der W elle b esc hreibt. Im Allgemeinen ist
die W ellenzahl k omplexw ertig. Hier wird die folgende K on v en tion v erwendet (am Beispiel
der x -K omp onen te der W ellenzahl):
k x = Re { k x } + i Im { k x } = β − iα . (3.50)
Der Realteil der W ellenzahl ist die Phasenk onstan te β = ω /c ph , w elc he das V erhältnis
v on der Kreisfrequenz ω = ∂ ϕ / ∂ t zur Phasengesc h windigk eit 56 c ph angibt. Sie mis st die
längen b ezogene Phasen versc hiebung β = ∂ ϕ / ∂ x der W elle (Einheit: rad / m ). Der Imagi-
närteil der W ellenzahl ist gleic h der negativ en Dämpfungsk onstan te α , die das räumlic he
Abklingen der W elle b esc hreibt. Im v erlustfreien F all ist α = 0 und die W ellenzahl wird
rein reell.
Setzt man Gl. 3.49 in die W ellengleic h ung 3.40 ein, so erhält man die Gleic hung
k 2
x + k 2
y + k 2
z = (︃ ω
c )︃ 2
= : k 2
0 . (3.51)
Die Summe der quadratisc hen W ellenzahl-Raumk omp onen ten ist gleic h der quadratisc hen
F reifeldw ellenzahl k 0 . Hierb ei zeigt sic h, dass die K onstan te c = γ R s T 0 aus Gl. 3.29
gerade gleic h der Phasengesch windigk eit der eb enen W ellen im un b egrenzten dissipati-
onsfreien Medium, also gleic h der Schallgesc h windigkeit, ist. Gl. 3.51 wird in der F orm
55 Es ist eine F rage der Kon v en tion, ob man die Phase der in p ositive Raum- und Zeitric h tung laufenden
W elle p ositiv o der negativ zählt, also ob man eine Prop ortionalität exp[ − i ( k x x − ω t )] o der exp[ i ( k x x − ω t )]
annimm t. Wic htig ist neben der Konsistenz n ur, dass die räumlic he Phase ± k x x und die zeitlic he Phase
∓ ω t umgekehrte V orzeic hen hab en, denn nur so breitet sic h die W elle in Rich tung des W ellenv ektors k
aus.
56 Die Phasengeschwindigkeit c ph = ( ∂ ϕ / ∂ t ) / ( ∂ ϕ / ∂ x ) = ω /k 0 = λf ist das V erhältnis zwisc hen
zeitlic her und räumlic her Phasenänderung und gleich der Gesc h windigk eit eines festen Phasenpunktes
einer sic h im Raum ausbreitenden mono c hromatisc hen W elle. Sie ist der Prop ortionalitätsfaktor zwischen
der W ellenzahl | Re( k ) = | ∇ ϕ | = 2 π /λ und der Kreisfrequenz ∂ ϕ / ∂ t = 2 π f .
55
ω = c √︂ k 2
x + k 2
y + k 2
z auc h Disp ersionsr elation genann t. 57
In großen En tfernungen v on der Sc hallquelle 58 kann die W ellenausbreitung im isotrop en
Medium näherungsw eise als eb en aufgefasst w erden, d. h. die W ellenfronten gleic her Ampli-
tude und Phase sind Eb enen senkrech t zur A usbreitungsrich tung. Die W ellenausbreitung
wird damit eindimensional und nac h Gl. 3.51 allein durch die F reifeldw ellenzahl b esc hrie-
b en, k = k 0 ; im verlustfreien F all breitet sic h die W elle mit Sc hallgesc h windigk eit c aus.
Die (v ektorielle) W el lenadmittanz Y W ist die F eldadmittanz in der eb enen W elle. Sie
ist eine Materialk onstante, die durc h das Sc hnelle-Druc k-V erhältnis in der eb enen W elle
definiert ist. Im Allgemeinen hat sie drei Raumk omp onen ten und ist k omplexw ertig. Die
i -te K omp onen te der W ellenadmittanz lautet
Y W ,i = ˜︁
u i
˜︁
p
(3.48)
= k i
ω ρ 0
, (3.52)
mit der W ellenzahl der i -ten Raumric h tung k i , vgl. auc h Anhang A.3. Demen tsprec hend
ist der Kehrw ert
W i = 1
Y W ,i
(3.53)
die W el lenimp e danz (auch W ellen widerstand o der Sc hallk ennimp edanz genann t). 59 F ür
den v erlustfreien F all v ersc h windet die Phasendifferenz zwisc hen Druck und Sc hnelle und
die W ellenimp edanz wird rein reell. Sie hängt dann n ur no c h v on den Materialeigensc haften
des sc halltragenden Mediums ab:
W 0 = ρ 0 c . (3.54)
3.4.2. Schallfeld im schallha rten Kanal
Es wird n un die Schallausbreitung in einem unendlic h langen Rec h tec kkanal mit schall-
harten W änden und für verlustfreies Medium betrach tet. Die W ände b efinden sic h b ei
y ≡ 0 , h und z ≡ 0 , b . An den Kanalw änden w erden die Schallw ellen mit dem Reflexi-
onsfaktor r ⊥ = 1 total reflektiert 60 , in x -Ric h tung können sie sic h dagegen ungehindert
ausbreiten. Der Sc halldruck im Kanal ist dann mit Gl. 3.49
˜︁
p ( x, y , z ) = p 0 e − ik x x (e − ik y y + e ik y y )(e − ik z z + e ik z z )
= 4 p 0 cos( k y y ) cos( k z z )e − ik x x , (3.55)
w ob ei zunäc hst r ⊥ = 1 n ur an den W änden y = 0 und z = 0 b erüc ksic h tigt ist. An
57 Die Disp ersionsrelation ist eine in der W ellenph ysik elemen tare Beziehung, die eine zeitlic he Ände-
rung (F requenz) mit einer räumlic hen A usbreitung (W ellenzahlv ektor) v erkn üpft. Im einfachsten F all der
isotrop en Sc hallausbreitung ist sie k = ω /c mit der frequenzunabhängigen Sc hallgesc hwindigk eit c . W enn
ein v erlustb ehaftetes Medium b etrach tet wird, kann c auch k omplex sein.
58 Dieser w eit v on der Sc hallquelle entfern te Bereich wird auc h F ernfeld genann t. In terferenzeffekte
spielen hier n ur eine un tergeordnete Rolle für die Struktur des Schallfeldes. Insbesondere sind im F ernfeld
Druc k und Sc hnelle in Phase, im Untersc hied zum Nah b ereic h der Sc hallquelle.
59 In der Literatur gibt es z. T. eine Untersc heidung zwisc hen den Bezeic hn ungen, die ent w eder für die
k omplexw ertige allgemeine F eldimp edanz o der für das reellw ertige V erhältnis ρ 0 c stehen. Die Un tersc hei-
dung wird jedo c h nic h t konsisten t getroffen.
60 r ⊥ ist der Reflexionsfaktor für Querw ellenausbreitung (senkrec h t zu den Kanalw änden).
56
y
h
0
y p ( y )
n = 0 n = 1 n = 2 n = 3
Abbildung 3.1. Sc halldruc kmo den in y -Ric h tung mit Mo denordn ung n .
den harten W änden y = h und z = b m üssen die jew eiligen Normalk omp onenten der
Sc hnelle versc h winden. Daraus folgt mit Gl. 3.55 und der Impulsgleic h ung 3.48, dass
[sin( k y h ) , sin( k z b )] = 0 ist, also die Querw ellenzahlen k y = nπ /h, k z = mπ /b mit n, m =
0 , 1 , 2 , .. sein m üssen. Die v erschiedenen n, m -Vielfac hen entsprec hen dab ei gerade den
Ordn ungen der höher en Mo den . Der Sc halldruc k breitet sich also neben der eb enen W elle
(Grundmo de n, m = 0 ) mit k osin usförmigen Querverteilungen im Kanal aus, w ob ei an
den W änden immer Druckmaxima v orliegen, siehe auc h Abb. 3.1. Die Mo denordn ung ent-
spric ht gerade der Anzahl an Vielfac hen einer halb en W ellenlänge, die in die en tsprec hende
Kanal-Querabmessung passt. 61
Nic ht alle v on den theoretisc h möglic hen Mo den können sic h ungedämpft im Kanal aus-
breiten, dies hängt v on der W ellenlänge relativ zu den Kanalabmessungen h, b ab. Nac h
Gl. 3.51 ist die axiale W ellenzahlk omp onen te
k x = ± √︄ k 2
0 − (︃ nπ
h )︃ 2
− (︃ mπ
b )︃ 2
. (3.56)
F ür eine in x -Ric h tung laufende W elle ˜ p ∝ exp( − ik x x ) sind ph ysikalisc h zw ei A usbrei-
tungsarten im Kanal möglic h:
a) Die W elle breitet sic h ungedämpft aus: Dann m uss k x reell und p ositiv sein, also
k x = β mit β > 0 ; der Druc k ist ˜︁
p ∝ exp( − iβ x ) .
b) Die W elle wird gedämpft (Absink en der Amplitude): k x m uss dann rein imaginär
und negativ sein, also k x = − iα mit α > 0 ; der Druck ist ˜ p ∝ exp( − αx ) .
F ür Gl. 3.56 b edeutet das
k x = ⎧
⎨
⎩
+ √︂ k 2
0 − ( nπ
h ) 2 − ( mπ
b ) 2 mit k 2
0 > [( nπ
h ) 2 − ( mπ
b ) 2 ] , für ausbreitende W elle
− √︂ k 2
0 − ( nπ
h ) 2 − ( mπ
b ) 2 mit k 2
0 < [( nπ
h ) 2 − ( mπ
b ) 2 ] , für abklingende W elle.
(3.57)
Der Üb ergang von der abklingenden zur ausbreitungsfähigen Mode findet b ei
k 2
0 ( n, m ) = [( nπ
h ) 2 − ( mπ
b ) 2 ] statt. Die zugehörige Grenzfrequenz wird auc h Cut-on-F r e quenz
61 Die Mo denordnung kann daher auc h mit dem Zählen der Nulldurc hgänge (Knoten) en tlang des Druc k-
o der Schnelle -Querprofils ermittelt w erden.
57
0 1000 2000 3000 4000 5000
0
20
40
60
80
100
f [Hz]
< ( k x ) [1/m]
(0 , 0)
(1 , 0)
(0 , 1)
(1 , 1)
(2 , 0)
(2 , 1)
(a)
f c, (1 , 0) →
f c, (0 , 1) →
f c, (1 , 1) →
f c, (2 , 0) →
f c, (2 , 1) →
0 1000 2000 3000 4000 5000
− 120
− 100
− 80
− 60
− 40
− 20
0
f [Hz]
= ( k x ) [1/m]
(b)
Abbildung 3.2. Axiale W ellenzahlen im sc hallharten Rec htec kkanal (Breite 0 . 08 m , Höhe 0 . 06 m )
im v erlustfreien Medium für die ersten sechs Kanalmoden (farblich gek ennzeic h-
net). Gestric helte Linien: Cut-on-F requenzen.
genann t:
f c ( n, m ) = c
2 π √︄ (︃ nπ
h )︃ 2
− (︃ mπ
b )︃ 2
. (3.58)
F ür eine ausbreitungsfähige Mo de geh t mit f /f c, ( n,m ) → 1 nac h Gl. 3.57 die W ellenzahl
k x → 0 und damit die A usbreitungsgesch windigk eit c ph theoretisc h gegen Unendlic h. Dies
wird in der Realität durc h die (hier vernac hlässigten) dissipativ en Effekten in den akusti-
sc hen W andgrenzsc hic h ten un terdrüc kt, vgl. Kap. 5.
In Abb. 3.2 w erden die axialen W ellenzahlen der ersten sec hs Mo den für einen Beispiel-
kanal mit b = 0 . 08 m und h = 0 . 06 m gezeigt. F ür f > f c ist die axiale W ellenzahl rein
reell, p ositiv und mit der F requenz an w ac hsend. 62 Die Mo de kann sic h dann im Kanal aus-
breiten und akustisc he Energie transp ortieren (vgl. Anhang A.2). Je höher die F requenz
ist, desto mehr Mo den können sic h ausbreiten, w ob ei unabhängig v on der F requenz die
Grundmo de ( n = 0 , m = 0) immer ausbreitungsfähig ist. 63
F ür f < f c ist die W ellenzahl rein imaginär, negativ und sinkt mit abnehmender F requenz.
Der Sc halldruck fällt mit exp( −| k x | x ) = exp( − αx ) in Kanallängsric h tung; die Abklingra-
te ist ∂ ˜ p / ∂ x = − α ˜ p und die Abklinglänge l e , also die Länge in der die Mo de auf 1 / e
ihrer Amplitude gedämpft wird, ist 1 /α . 64 Die Mo de klingt um so schneller ab, je größer
α = | k 2
0 − ( nπ /h ) 2 − ( mπ /b ) 2 | ist, also je kleiner die F requenz o der die Kanalabmessung
ist und je höher die Mo denordnung ist. Räumlic h abklingende Mo den w erden auc h eva-
neszente Mo den o der Cut-off -Mo den genannt und bilden das Nahfeld der Sc hallquelle
o der einer Kanalinhomogenität. Ev aneszen te Mo den k önnen k eine akustisc he Leistung im
Kanal transp ortieren (vgl. Anhang A.2), ihre k omplexe Leistung ist rein imaginär (Blind-
leistung). Ev aneszen te Kanalmo den w erden daher auc h blind-ge dämpfte Mo den genann t.
Ihre Dämpfung b eruh t nic h t auf dissipativ en Mec hanismen, sondern auf einem b estimm-
62 Die Phasengesc h windigk eit c ph = ω / Re { k x } sinkt also vom Grenzw ert ∞ b ei f = f c mit steigender
F requenz. Die W elle läuft mit steigender F requenz zunehmend langsamer.
63 Dies ist b ei sp eziellen nac hgiebigen Wänden nic ht mehr gegeben, siehe Kap. 5.2.
64 Daraus ergibt sic h als F austregel l e = h/π für die erste höhere Mo de im Kanal für f ≪ f c ( h ist die
längere Kanal-Querabmessung) und allgemein: l e = 1 /k 0 ( m, n ) = λ/ (2 π ) b ei der Cut-on-F requenz (mit
der F reifeldw ellenlänge λ ).
58
ten V erhältnis v on W ellenlänge und Kanaldurc hmesser ( h, b < 2 /λ ), w o durc h die axiale
W ellenzahl rein imaginär wird.
59
3.4.3. Schallfeld im ausgekleideten Kanal
Es w erden nun einige elemen tare Bezieh ungen für die Sc hallausbreitung im Kanal mit
W andauskleidung eingeführt. Dafür wird zuerst der sc hräge Sc halleinfall auf eine W and
mit Imp edanz Z b etrac h tet
3.4.3.1. Reflexionsfakto r und W andimp edanz für eine einzelne W and
Es wird der in Abb. 3.3 dargestellte Sc halleinfall einer eb enen W elle mit b eliebigem Ein-
fallswink el φ auf eine unendlich ausgedehn te, reflektierende W and b ei y ≡ 0 b etrach tet.
Die W and sei homogen und lokal reagierend 65 und hab e die Imp edanz Z . Ein T eil der
einfallenden W elle wird mit dem Reflexionsfaktor r ⊥ reflektiert, der andere T eil mit dem
Absorptionsfaktor α = 1 − r ⊥ v on der W and absorbiert. Der W ellenzahlv ektor der v on
x
φ
~
k
~
k x
~
k y
reflektierte W elle einfallende W elle
y
r ⊥
Abbildung 3.3. Sc hräger Sc halleinfall auf W and mit Imp edanz Z .
links einfallenden W elle setzt sic h aus den b eiden Ric h tungsk omp onen ten k x , k y zusammen
und es gilt
k x = k 0 sin( φ ) , k y = k 0 cos( φ ) , k x
k y
= tan( φ ) . (3.59)
Der Gesam tschalldruc k der einfallenden W elle und der reflektierten W elle ist
˜︁
p = p 0 e − ik x x (e ik y y + r ⊥ e − ik y y ) = p 0 e − ik 0 sin( φ ) x (e ik 0 cos( φ ) y + r ⊥ e − ik 0 cos( φ ) y ) . (3.60)
Die Sc hnelle senkrech t zur W and lautet mit der Impulsgleic h ung 3.48 und dem W ellen wi-
derstand W 0 = ρ 0 c (Gl. 3.54)
˜︁
v = − k y
ω ρ 0
p 0 e − ik x x (e ik y y − r ⊥ e − ik y y )
= − cos( φ )
W 0
p 0 e − ik 0 sin( φ ) x (e ik 0 cos( φ ) y − r ⊥ e − ik 0 cos( φ ) y ) . (3.61)
Die Imp edanz Z ist dann
Z !
= − ˜ p
˜ v y =0
= ω ρ 0
k y
1 + r ⊥
1 − r ⊥
= W 0
cos( φ )
1 + r ⊥
1 − r ⊥
. (3.62)
65 Die Normalsc hnelle ( ˜︁ v ) ist prop ortional zum lokalen Schalldruc k, also unabhängig v on der räumlic hen
V erteilung des Sc halldruc ks.
60
Der Reflexionsfaktor ist eine F unktion der Imp edanz Z bzw. der Admittanz Y und des
Einfallswink els φ und lautet
r ⊥ = Z − W 0 / cos φ
Z + W 0 / cos φ = cos φ/W 0 − Y
cos φ/W 0 + Y . (3.63)
F ür den F all des senkrec h ten Sc halleinfalls ( φ = 0 ) v ereinfac h t sic h Gl. 3.63 zu
r ⊥ = Z − W 0
Z + W 0
. (3.64)
Gl. 3.63 kann v erwendet w erden, um drei wic h tige Sp ezialfälle der W andimp edanz zu
b etrac h ten:
1. Akustisc h „harte“ W and: Z → ∞ ( ∂ p / ∂ y | y =0 = 0 ). Dann ist r ⊥ = 1 .
2. Akustisc h „ w eic he“ W and: Z = 0 ( p | y =0 = 0 ). Dann ist r ⊥ = − 1 . 66
3. Imp edanzanpassung: Z = W 0 / cos( φ ) = ρ 0 c/ cos( φ ) .
Dann ist r ⊥ = (cos( φ ) − 1) / (cos( φ ) + 1) bzw. r ⊥ = 0 für senkrech ten Sc halleinfall.
3.4.3.2. Zw eidimensionaler Kanal
Einseitige W andauskleidung: Zusätzlic h zur Imp edanzw and b ei y ≡ 0 wird n un eine
zw eite, sc hallharte W and b ei y ≡ h eingezogen, w o durc h ein einfac hes zw eidimensionales
Kanalmo dell mit W andauskleidung an der un teren W and entsteh t, siehe Abb. 3.4a. Der
Kanal ist in x -Ric h tung unendlic h ausdehn t. Aufgrund der harten W and m uss die Sc hall-
sc hnelle b ei y = h v ersc h winden. Mit Gl. 3.61 und dem Reflexionsfaktor r ⊥ der un teren
W and (Gl. 3.63) folgt
˜︁
v | y = h = e ik y h − Z − ω ρ 0 /k y
Z + ω ρ 0 /k y
e − ik y h !
= 0 . (3.65)
Gl. 3.65 ergibt umgestellt für die mit ρc normierte Imp edanz der ausgekleideten W and
ζ := Z
ρ 0 c = ik 0
k y tan( k y h ) . (3.66)
Gl. 3.66 stellen einen direkten Zusammenhang zwisc hen W andimp edanz und Querw ellen-
zahl her, w elcher für die Impedanzeduktion b en utzt werden kann. Die Imp edanz kann also
direkt aus k y b estimm t w erden, w enn K on vektion und Visk osität v ernac hlässigt w erden.
k y ergibt sic h nach Gl. 3.51
k y = √︂ k 2
0 − k 2
x (3.67)
aus der axiale W ellenzahl k x . Alle V erfahren zur Bestimm ung der Imp edanz b eruhen daher
mehr o der w eniger auf der k orrekten Bestimm ung der axialen W ellenzahl im ausgekleideten
Kanal.
F ür das umgek ehrte Problem, die Ermittlung von k y für eine gegeb ene Imp edanz, liefert
66 Als Beispiele sind eine freie W asserob erfläc he b ei W assersc hall o der ein offenes Rohres b ei Luftschall
zu nennen.
61
y
y = h
y = 0 x
Harte W and
W andauskleidung
(a) Einseitige A uskleidung
y
h/ 2
− h/ 2
0
x
W andauskleidung
W andauskleidung
(b) Beidseitige A uskleidung
Abbildung 3.4. Zw eidimensionales Kanalmo dell.
Gl. 3.66 n ur einen impliziten Zusammenhang und muss daher n umerisc h gelöst werden.
W egen der π -P erio dizität der T angensfunktion gibt es außerdem unendlic h viele Lösungen
für k y , die den v erschiedenen Modenordnungen en tsprec hen.
Beidseitige W andauskleidung: W enn die b eiden gegen üb erliegenden W ände des zw ei-
dimensionalen Kanals (Höhe h ) gleic hartig ausgekleidet sind (gleic he Imp edanz), wie in
Abb. 3.4b gezeigt, m uss das F eld en t weder symmetrisc h o der an tisymmetrisc h (b ezogen
z. B. auf den Druc k) sein. Dann ist es sinn v oll, den Nullpunkt der y -K o ordinate in die
Kanalmitte zu legen, so dass die W ände b ei y = ± h/ 2 liegen und b ei y = 0 ent w eder ein
Druc kmaximum oder eine Nullstelle des Drucks liegt. Man kann dann den Druc k durc h
˜︁
p ( y ) = p 0 (︂ e ik y y ± e − ik y y )︂ = 2 p 0 (︄ cos
i sin )︄ ( k y y ) (3.68)
b esc hreib en und erhält für die wandnormale Sc hnelle
˜︁
v ( y ) = − 1
iω ρ
∂ ˜︁
p
∂ y = − p 0
k y
ω ρ (︂ e ik y y ∓ e − ik y y )︂ = − 2 ˆ p k y
ω ρ (︄ i sin
cos )︄ ( k y y ) (3.69)
An der ob eren W and ( y = h/ 2 ) m uss gelten
Z := ˜︁
p
˜︁
v = i ω ρ 0
k y (︄ cot
tan )︄ ( k y h/ 2) (3.70)
bzw.
ζ + := Z +
ρ 0 c = ik 0
k y
[tan( k y h/ 2)] − 1 (3.71)
ζ − := Z −
ρ 0 c = ik 0
k y
tan( k y h/ 2) (3.72)
An der un teren W and ist die Randb edingung dann automatisc h auc h erfüllt.
62
4. Exp erimenteller A ufbau
Im F olgenden wird der exp erimen telle A ufbau v orgestellt, w elcher für die Impedanzeduk-
tion in dieser Arb eit eingesetzt wird.
4.1. Strömungskanal
Linersekti on
Lautsprec her A
Lautsprec her B
FTF - Mik rofone
Mikrofon e in
s challhart er Sektion
Ström ung
x
y
z
Abbildung 4.1. Ström ungskanal DUCT-R des DLR-Instituts Berlin-Charlotten burg.
Der v erwendete Ström ungskanal DUCT-R 1 ist in Abb. 4.1 gezeigt. Er wurde 2012 zur
Un tersuch ung v on üb erström ten, sc hallabsorbierenden W andauskleidungen mit eb enen
Ob erfläc hen en t wic k elt [45]. Der Kanal hat eine rec h teckige Quersc hnittsfläc he mit der
Breite v on 80 mm und der Höhe von 60 mm . Die Cut-on-F requenz für die A usbreitung
der ersten höheren Mo de liegt b ei 2142 Hz. Der Kanal ist aus 10 mm stark en geplan ten
Aluminiumplatten gefertigt. Die Masse und Steifigk eit des Materials und die Einspann ung
der W ände durch eine hohe Zahl v on V ersc hraubungen dien t der V erringerung der W and-
Eigensc hwingungen. Wie Abb. 4.1 zeigt, ist der A ufbau in Längsac hse symmetrisc h mit
einer zwisc hen zwei hart w andigen Kanalsektionen eingebrac h ten T est-Sektion. Die b eiden
hart wandigen Sektionen bieten Möglic hk eiten zur An bringung v on wandbündigen Mikro-
fonen an insgesam t 106 Kanalp ositionen. Diese sind zur Reduzierung der Messfehler in
Längsric htung exponentiell v erteilt [70]. Die maximal sec hs Umfangsp ositionen erlaub en
1 Der DUCT-R (DUct aCoustic T est rig-Rectangular square cross section) wird v om Deutsc hen Zen-
trum für Luft- und Raumfahrt e.V. in Berlin-Charlotten burg (Institut für An triebstechnik, Abteilung
T rieb w erksakustik) b etrieb en.
63
eine Mo denzerlegung bis einsc hließlic h der dritten höheren Mo de (1,1-Mo de). Die 800 mm
lange T estsektion in der Kanalmitte hat einen mo dularen, vielseitig anpassbaren A ufbau.
Die A ufnahme der zu untersuc henden W andauskleidung (Liner) ist an drei Kanalseiten
möglic h. Bei den Messungen in dieser Arb eit wurde der Liner, wie in Abb. 4.1 gezeigt, an
die sc hmale hintere Seiten w and montiert. 2 Gegen üb er dem Liner wurde eine Kanalw and
mit 31 äquidistan ten Bohrungen im Abstand von 16 mm zur A ufnahme v on w andbün-
digen FTF-Mikrofonen (für die „face-to-face“-Messung, vgl. Absc hnitt 4.2.2.2) b efestigt.
Die Sc hallanregung kann v on b eiden Kanalenden her, einzeln (Lautsprecher A o der B)
o der auch zusammen, erfolgen. Dazu dienen leistungsstark e K ompressionstreib er des T yps
BMS 4599ND, w elche durc h ein kurzes Rohrstüc k an den Kanal geflansc h t w erden. Die
Sc hallanregung erfolgt in dieser Arb eit aussc hließlic h im F requenzb ereic h der Grundmo de
0 . 3 − 2 . 1 kHz des harten Kanals. Stromauf und stromab des Kanals sind reflexionsarme
Absc hlüsse montiert (in Abb. 4.1 nic h t gezeigt), die der Norm ISO 5136:2003 [106] en tspre-
c hen und die Endreflexionen für F requenzen üb er 160 Hz auf un ter 15% reduzieren. Mittels
eines Radialk ompressors können Ström ungen mit Gesc hwi ndigk eiten v on bis zu M = 0 . 3
im Kanal erzeugt w erden. Am A ustritt des stromab liegenden reflexionsarmen Absc hlusses
ist ein T emp eratursensor (T yp PT 100) zur Messung der mittleren Ström ungstemp eratur
installiert.
4.2. Messtechnik
(a) Ström ungsmessung (b) Mikrofonmessung
Abbildung 4.2. F otografien des Messaufbaus. Links: T ra v ersensystem mit Pitotrohr zur Messung
des Ström ungsprofils. Rech ts: DUCT-R mit Mikrofonen in der Liner-T estsektion
(„F ace-to-face“ Messungen) und in der link en sc hallharten Sektion.
4.2.1. Strömungsmessungen
F ür die Imp edanzeduktion mit Ström ung und die zugehörige Berec hn ung des Kanalsc hall-
felds m uss die Strömungsgesc h windigk eit ermittelt w erden. Hierzu w erden an zw ei axialen
2 Da der Liner an der Seiten w and sitzt, ergibt sic h als wirksame Kanalhöhe (senkrec h t zur Liner-W and)
für die in dieser Arb eit verw endeten Mo delle das Maß h = 0 . 08 m .
64
P ositionen, 100 mm stromauf und stromab der T estsektion, 1D-Ström ungsprofile auf Ge-
raden gemessen, die normal zur Liner-W and und durc h die Kanalmitte v erlaufen. Dazu
wird ein Pitotrohr v erwendet, w elc hes p er Sc hrittmotor-T ra v erse v erfahren w erden kann.
Dies ist in Abb. 4.2a gezeigt. Als Zugang der Sonde dien t die mittige Mikrofonbohrung
der Kanalseiten wand. Die Sonde hat eine abgeflac h te Öffnung und erlaubt Messungen bis
zu einer W andnähe v on 0 . 2 mm . Das Profil wird in ungleic hmäßigen Sc hritt w eiten mit
einer maximalen A uflösung von 0 . 1 mm im w andnahen Bereic h abgetastet. Abb. 4.3 zeigt
die Profile an der Messp osition stromab der T estsektion (ohne Liner) für v ersc hiedene
gemittelte Ström ungsgesch windigk eiten. Als Referenz zur Einstellung der Ström ungsge-
sc hwindigk eit u cl wurde der Gesam tdruc k auf der Kanalac hse am stromab liegenden Ende
des Kanals mit einer Prandtl-Sonde gemessen.
0 0 . 05 0 . 1 0 . 15 0 . 2 0 . 25 0 . 3
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
Mac hzahl
y /h [-]
u cl = 10 m/s
u cl = 20 m/s
u cl = 34 m/s
u cl = 50 m/s
u cl = 69 m/s
u cl = 105 m/s
Abbildung 4.3. Ström ungsprofile senkrec h t zur Liner-W and, gemessen stromab der T estsektion
(ohne Liner). V ariiert wird die in der Kanalmitte gemessene Ström ungsgesch win-
digk eit u cl .
4.2.2. Schalldruckmessungen
Die Abtastung des Sc halldruckfeldes erfolgt mit Viertelzoll-K ondensatormikrofonen des
T yps G.R.A.S. 40BP-S1, welc he v or der Messung einer Relativkalibierung in einem Kali-
brierrohr un terzogen werden 3 . Die Mikrofonsignale w erden mit einer 16- o der 32-kanaligen
Messanlage der Firma OR OS (OR36, OR38) digitalisiert, FFT-analysiert und aufgezeic h-
net. Die Sc hallanregung im Kanal erfolgt standardmäßig mit Einzeltönen im F requenz-
abstand v on 51 Hz. In b esonderen F ällen wie genaueren Un tersuc h ungen des Resonanz-
b ereic hs o der des Mo den üb ergangs (Kap. 8) w erden auc h feinere Raster gew ählt. Der
Sc halldruck der auf den Liner zulaufenden Grundmode wird auf einen für alle F requenzen
gleic hen W ert eingestellt, b ei dem v on einer linearen Reaktion des Liners ausgegangen
w erden kann. Dieser W ert wird anhand v on V orun tersuc h ungen ermittelt. 4 Im F all der in
Kap. 8 un tersuch ten Liner liegt er b ei 115 dB ( ± 2 dB).
3 Dab ei w erden für ein eb enes Schallfeld im Kalibrierrohr die Übertragungsfunktionen der an einem
Ring v erteilten Mikrofone mit Bezug auf ein Referenzmikrofon gemessen. Dies erfolgt für jede Sc hallfre-
quenz individuell. Die Amplitude des Referenzmikrofons wird zuv or b ei einer F requenz 251 Hz mit einem
Pistonphon absolut geeic h t, wobei eine frequenzunabhängige Mikrofonempfindlichk eit angenommen wird.
4 Die Linearität wird zunäc hst mit Messungen der Streuk o effizien ten ohne Ström ung für versc hiedene
Sc hallp egel un tersuc ht. Dabei muss ein K ompromiss zwische n Linearität und hohen Amplituden für ein
möglic hst großes Signal-Rausc h-V erhältnis (SNR) gefunden w erden.
65
4.2.2.1. Messungen in den schallha rten Kanalsektionen
Der Sc halldruck in den beiden hartw andigen Kanalsektionen wird standardmäßig mit fünf
axial v erteilten Mikrofonen pro Sektion abgetastet. Mit der Zwei-Mikrofon-Methode (sie-
he Kap. 2.1.1.1) kann in jeder Sektion eine Mo denzerlegung des Sc hallfelds in die v or-
und zurüc klaufende eb ene Mo de v orgenommen w erden. Dies dient zur Bestimm ung a) der
T ransfermatrix- bzw. Streumatrix der ausgekleideten T estsektion o der b) der „k on v ekti-
v en“ Machzahl.
Messung der Streuk o effizienten: Die Bestimm ung der Streuk o effizienten 5 , Reflexions-
und T ransmissionsfaktoren, der ausgekleideten T estsektion ist eine seit langem etablierte
und gut dokumen tierte Metho de [213, 204, 206, 205, 214, 1, 35, 70, 94, 136] der Zw eip ol-
Theorie. Die K o effizien ten werden aus den V erhältnissen der insgesam t vier Druc kampli-
tuden der ob en genann ten W ellenzerlegung in den Kanalsektionen v or und hin ter dem
Liner ermittelt. Da mit vier Amplituden n ur drei unabhängige Amplitudenv erhältnisse
gebildet w erden können, brauc h t man für die Bestimm ung der vier Streufaktoren zw ei
unabhängige Messungen. Diese w erden ent w eder durc h die V ariation der Sc hallquellen-
p osition („t w o-source tec hnique“) [174, 1], der Absc hlussimp edanz des Kanals („t w o-load
tec hnique“) [149] o der durc h die Kom bination aus b eiden b ereitgestellt. 6 Für die Messun-
gen in dieser Arb eit wird die Beschallung v ariiert, indem en t weder Lautsprec her A o der
B v erwendet wird (siehe Abb. 4.1). Nur in F ällen, die b esonders hohe Sc hallp egel erfor-
dern, wie z. B. b ei stark gedämpften Mo den üb er dem Liner, erfolgt die Anregung v on
b eiden Kanalenden her gleichzeitig. Die V ariation der Besc hallung wird dann durc h eine
Phasen versc hiebung der Lautsprec hersignale um 0 bzw. π erreic h t.
Messung der k onvektiven Machzahl: Mittels einer nic h tlinearen A usgleic hsrec hn ung
k önnen neb en den Mo denamplituden auc h die axialen W ellenzahlen k ±
x b estimm t w erden.
Mit k ±
x = k 0 / ( M c ± 1) ergibt sic h eine Beziehung zu der für die Sc hallausbreitung effek-
tiv en Strömungs-Mac hzahl M c (auc h „akustisc he“ o der „k onv ektiv e“ Mac hzahl genann t),
w elche bei tiefen F requenzen eine sehr gute Näherung für die tatsäc hlic he, üb er den Ka-
nalquersc hnitt gemittelte Mac hzahl darstellt. 7 Die Bestimm ung der mittleren Mac hzahl
aus den gemessenen k ±
x ist gegen üb er der Mittlung des gemessenen 1D-Ström ungsprofils
(siehe Absc hnitt 4.2.1) genauer, insb esondere für Kanäle mit niedrigen Quersc hnitts-
Seiten verhältnissen, wie dem DUCT-R ( h : b = 4 : 3 ), b ei dem die Ström ung stark
dreidimensional ist.
4.2.2.2. „F ace-to-face“ Messungen in der Linersektion
Abb. 4.2b zeigt die Sc halldruckmessungen mit 29 Mikrofonen in einem axialen Arra y
an der W and gegen üb er dem Liner („face-to-face“). Diese dienen zur Iden tifizierung der
W ellenzahlen der dominan ten Mo den üb er dem Liner und zur Bestimm ung v on deren
5 Diese k önnen auc h als T ransfermatrix form uliert w erden, vgl. Kap. 2.2.2.3.
6 Dab ei ist un terstellt, dass v on dem Zw eip ol (die Liner-T estsektion) selbst k eine Sc hallerzeugung wie
z. B. durch Ström ungsgeräusche an den Öffn ungen des Liners ausgeh t. Diese würden zu F ehlern b ei den
ermittelten Streuk o effizien ten führen.
7 Die Genauigk eit liegt nac h Ronneb erger [214] b ei 10 − 3 für M c = 0 . 1 .
66
W ellenzahlen. Um die v or- und zurüc klaufen Mo den gleic hmäßig anzuregen, w erden dab ei
b eide Besc hallungen (A und B) gen utzt. Zur Extraktion der mo dalen W ellenzahlen aus
dem axialen Druc kverlauf k önnen, wie in Kap. 2.2.2.1 b eschrieben, die Prony-Methode o der
die fortsc hrittlicheren Pron y-ähnlic hen Metho den wie die MP- o der KT-Metho de b en utzt
w erden. In Anhang B wird der Einsatz der Prony-Methode zur W ellenzahlb estimm ung
exemplarisc h gezeigt.
67
5. Schallfeldmo dell für Rechteckkanal mit
akustischer W andgrenzschicht
In diesem Kapitel wird ein analytisc hes Mo dell für die Sc hallausbreitung mit höheren Mo-
den in einem ausgekleideten Rec htec kkanal un ter Berüc ksic htigung der thermisc hen und
visk osen W andgrenzsc hic h ten en twic k elt. Das Mo dell b estimm t die mo dalen W ellenzahlen
für eine gegeb ene W andimp edanz. Die Effekte der K on v ektion w erden dab ei v ernac hlässigt
und das Medium als ruhend b etrach tet. Dies v ereinfach t die Zusammenhänge und dien t
als erster Sc hritt und V orstudie für die für den Ström ungseinsc hluss nötigen Erw eiterun-
gen. Das Mo dell wird in Absc hnitt 5.2 in einer Studie eingesetzt, in der der Einfluss der
Grenzsc hich ten auf die Sc hallausbreitung in einem Kanal mit ausgekleideten W änden un-
tersuc ht wird. A ußerdem dien t es als theoretisc hes W erkzeug für das in Kap. 6 v orgestellte
V erfahren zur Imp edanzeduktion (Metho de D).
Die Herleitung des Mo dells im folgenden Absc hnitt erfolgt un ter schritt w eiser Steigerung
der K omplexität: Beginnend mit der Ausbreitung der ebenen Grundmo de im sc hallharten
Flac hkanal bis hin zum dreidimensionalen, akustisc h ausgekleideten Rec htec kkanal mit
der A usbreitung höherer Mo den. Der Einfluss der W andgrenzsc hic h ten wird dab ei durc h
effektiv e W andadmittanzen b esc hrieb en. 1
5.1. Mo delltheo rie
5.1.1. Grenzschichten: Akustische Wirkung von festen W änden
Die Wirkung v on festen Ob erfläc hen wie z. B. harten Kanalw änden auf den Impuls- und
W ärmetransp ort der T eilc hen im sc halltragenden Medium ist wie folgt:
1. Das Medium haftet an der Ob erfläc he, es ist in unmittelbarer W andnähe un b ew eg-
lic h. F olglic h v ersc h windet auch die Sc hallsc hnelle an der W and. Die molekularen
Zähigk eitskräfte und die zugehörigen Sch ubspann ungen sorgen dafür, dass die Am-
plitude der w andparallelen K omp onente der Sc hnelle in einer dünnen Sc hic h t zwi-
sc hen freiem Medium und W and auf Null absinkt. Die Sc hic h t dieses Sc hnellegradi-
en ten wird viskose Grenzsc hic h t, Zähigk eits- o der auc h Stokessc hic ht genann t. Ihre
c harakteristische Dic k e ist δ ν .
2. Die W ärmeleitung der W and ist in den meisten Fällen viel größer als die des sc halltra-
genden Mediums und b eeinflusst die Schallausbreitung in unmittelbarer W andnähe.
Es bildet sic h eine dünne Grenzsc hic ht aus, in der die Sc halltemp eratur – die akusti-
1 Im F olgenden ist der Inhalt eines no ch un v eröffen tlic hten in ternen Beric h ts („Einfluss der akustisc hen
W andgrenzsc hic h ten auf die Schallausbreitung in einseitig ausgekleideten Rec h tec kkanälen“, 13.1.2016)
wiedergegeb en, der gemeinsam mit D. Ronneb erger entstanden ist.
68
sc he, zeitharmonische T emp eratursc h w ankung ˜︁
T – v om W ert des freien, adiabatisc h-
isen trop en Mediums auf Null 2 absinkt. Die Sc hic h t des T emp eraturgradien ten wird
thermisc he o der auc h Wärmeleitungs-Grenzsc hic ht genann t. Ihre c harakteristische
Dic ke ist δ th .
Es bilden sic h also b ezüglic h Sc hnelle und Schalltemperatur zw ei dünne Grenzsc hic hten
zwisc hen dem freien Medium und der W and aus. W ärmeleitung infolge v on T emp eraturgra-
dien ten und Sch ubspann ungen infolge v on Gesc hwindigk eitsgradien ten sind Diffusionsv or-
gänge v on Wärme und Impuls. Die en tsprec henden Diffusionskonstan ten, die T emp eratur-
leitfähigk eit a = κ th / ( ρ 0 c p ) und die kinematisc he Zähigkeit ν = µ/ρ 0 , hab en in Gasen die
gleic he Größenordnung. In Luft hat das als Prandtl-Zahl b ezeic hnete V erhältnis Pr = ν /a
den W ert 0.72 und hängt im Gegensatz zu ν und a kaum v om Zustand des Gases ab. Die
b eiden Grenzsc hic h ten hab en daher in et w a die gleic he Dic k e 3 . A ufgrund dessen w erden
die Effekte b eider Grenzsc hic h ten häufig zusammengefasst und gemeinsam thermo-visk ose
Grenzsc hich t o der auc h akustische Gr enzschicht genann t. Ihre Dic k e δ a : = δ ν wird übli-
c herweise mit der der Stok essc hic h t angegeb en.
Im F olgenden wird angenommen, dass die Grenzsc hic h tdic k en sehr klein im V ergleich zu
den Querabmessungen des Kanals sind ( δ ν , δ th ≪ h, b ), so dass es k eine W ec hselwirkungen
zwisc hen den Grenzschic h ten an gegen üb er liegenden W änden gibt. A uch die W ec hselwir-
kung der senkrec ht zueinander stehenden Grenzsc hic hte n in den Ec k en des Rec h tec kkanals
wird nic ht w eiter b etrac h tet, da ihr Effekt im V erhältnis zur Gesam t wirkung der Grenz-
sc hich ten v ernac hlässigbar (klein) ist. 4 Es reic h t also aus, die Grenzschic h ten an einer
einzelnen eb enen W and zu b etrac h ten. Die Grenzsc hic h t wird durc h die lineare Üb er-
lagerung eines freien Sc hallfeldes und einer v on der W and ausgehenden Diffusionsw elle 5
b esc hrieb en.
F ür eine einzelne harte W and b ei y = 0 (siehe Abb. 3.3), üb er der sic h das Sc hallfeld in
x -Ric htung ausbreitet, lautet die w andparallele Sc hnelle in der Zähigkeitsgr enzschicht im
zw eidimensionalen F all
˜︁
u = ˜︁
u 0 (1 − e − k ν y ) = k x
ω ρ 0 ˜︁
p (1 − e − k ν x ) . (5.1)
Eine Herleitung v on Gl. 5.1 findet sich in Anhang C.1. Die Gesam tsc hnelle ˜︁
u setzt sic h aus
der freien Sc hnelle ˜︁
u 0 außerhalb der Grenzsc hich t und der in w andnormaler Rich tung exp o-
nen tiell abklingenden Schnelle-Diffusionsw elle zusammen. Durc h Einsetzen des Ansatzes
in die Impulsgleic hung 3.25 ergibt sic h die A usbreitungsk onstan te k ν der Diffusionsw elle
zu
k ν = √︄ iω
ν = 1 + i
δ ν
mit δ ν = √︃ 2 ν
ω . (5.2)
2 Die W ärmeleitung an der W and niv elliert alle zeitlic hen Sc hw ankungen der T emp eratur. Die Zustands-
änderung dort ist isotherm: T = const. → ˜︁
T = 0 .
3 Zum Beispiel ist in Luft b ei 1000 Hz und un ter Normalb edingungen δ th = 83 µm und δ ν = 69 µm .
4 V ereinfac hend wird v on einer Sup erp osition der rech t winklig zueinander stehenden Grenzsc hic hten in
den Ec k en ausgegangen.
5 F ür die Diffusionsw elle ist es ganz gleic h, ob diese durch das Zusammen wirken eines freien homogenen
Sc hallfeldes und der Haftungseigensc haft der W and erzeugt wird o der durch die W and direkt. Die ther-
misc he Grenzsc hich t w elle kann z. B. durch eine zeitlic h p erio disc h aufgeheizte W and erzeugt w erden; die
Zähigk eits-Diffusionsw elle kann durch eine in ihrer Ebene p erio disc h sc hwingende W and angeregt w erden.
Letzteres wurde v on Ronneb erger und Ahrens [215] und v on Hartmann [88] gezeigt.
69
Es zeigt sic h, dass die Dic k e δ ν gerade der W andabstand ist, b ei dem die Diffusionsw elle
auf 1 /e des W andw ertes abgeklungen ist.
Die totale T emp eraturv erteilung in der W ärmeleitungsgr enzschicht lautet mit der Rand-
b edingung der isothermen W and
˜︁
T = ˜︁
T 0 (1 − e − k th y ) = ( γ − 1) T 0
γ p 0 ˜︁
p (1 − e − k th y ) , (5.3)
w ob ei γ der A diabatenexp onen t ist. Dies wird in Anhang C.2 gezeigt. Analog zur visko-
sen Grenzsc hich t setzt sic h die totale Schalltemperatur ˜︁
T aus der adiabatisc h-isentropen
Sc halltemp eratur des freien bzw. ungestörten F eldes ˜︁
T 0 und der exp onen tiell abklingen-
den T emp eratur-Diffusionsw elle zusammen. A uf der rec h ten Seite v on Gl. 5.3 wurde ˜︁
T 0
(mit der Umgebungstemp eratur T 0 ) mit der linearisierten Zustandsgleic h ung 3.27 und
der linearisierten A diabatengleich ung 3.29 umform uliert. Die Ausbreitungsk onstan te k th
der Diffusionsw elle ergibt sic h durc h Einsetzen des Ansatzes Gl. 5.3 in die Energieglei-
c hung 3.26. Sie lautet
k th = √︄ iω
a = 1 + i
δ th
mit δ th = √︃ 2 a
ω = δ ν
√ Pr (5.4)
mit der W ärmeleitfähigkeit a und der Prandtl-Zahl Pr = ν /a .
Gl. 5.2 und 5.4 wurden un ter der V oraussetzung hergeleitet, dass das F eld b ezüglich der
w andparallelen Koordinate x homogen ist. Dies ist dadurc h gerec h tfertigt, dass die A us-
breitungsk onstante der sc hallb edingten V ariation in x -Ric h tung 6 viel kleiner als die A us-
breitungsk onstanten der Diffusionsw ellen ist. So ist z. B. k 2
x /k 2
ν ≈ ( ω /c ) 2 / ( ω /ν ) = ω ν /c 2 ≈
8 · 10 − 6 b ei 10 kHz.
Beschreibung durch effektive W andadmittanzen: Es hat sich als praktisc h erwiesen den
Einfluss der b eiden Grenzsc hic h ten bzw. der zusammenfassenden akustisc hen Grenzsc hic h t
auf die Sc hallausbreitung durch eine äquiv alen te W andimp edanz Z wgr bzw. -admittanz
Y wgr = 1 /Z wgr zu b eschreiben. Dies wurde b ereits 1948 v on Cremer gezeigt [50]. Eine
ausführlic he Herleitung wird in Anhang C gegeb en. An dieser Stelle w erden lediglic h die
Ergebnisse präsen tiert, welc he im w eiteren V erlauf in das Sc hallfeldmo dell einfließen.
Die W andadmittanz Y wgr ,ν der Zähigk eitsgrenzsc hic h t kann mithilfe der K on tinuitätsglei-
c hung 3.24 hergeleitet w erden und lautet für das in Abb. 3.3 gezeigte Sc hallfeld (mit
w andnormaler Rich tung y )
Y wgr ,ν : = 1 + i
2
δ ν
ρ 0 c
k x 2
k 0
= 1 + i
2
k 0 δ ν
ρ 0 c [︄ 1 − (︃ k y
k 0 )︃ 2 ]︄ . (5.5)
Dab ei wurde die für den Flachkanal gültige Dispersionrelation (Gl. 3.51) k 2
x = k 2
0 − k 2
y
v erwendet. 7 Y wgr ,ν hängt v on der räumlic hen W ellenzahl k x bzw. k y ab und stellt damit
eine nicht-lokal reagierende Randb edingung dar. Gl. 5.5 zeigt, dass der Realteil der Ad-
mittanz b ei ev aneszen ten Mo den ( k 2
0 − k 2
y < 0 und k x rein imaginär) negativ wird und die
Grenzsc hich t damit sc hein bar zur Sc hallquelle wird. Dieser Widerspruc h wird in Anhang D
aufgelöst.
6 Diese sind prop ortional zu exp( − ik x x ) .
7 Die zw eite Gleic hung in 5.5 ist auc h für schräg laufende W ellen ( k x , k z ) gültig, wärend die erste Gl. 5.5
n ur auf W ellenausbreitung in x -Ric h tung ( k z = 0 ) b eschränkt ist.
70
Die A dmittanz der Wärmeleitungsgrenzsc hic h t ist
Y wgr ,th : = 1 + i
2
k 0 δ ν
ρ 0 c
( γ − 1)
Pr . (5.6)
Im Un terschied zu Y wgr ,ν ist sie nic h t v on der räumlichen W ellenzahl abhängig.
F ür die folgende Rec hn ung ist es praktisc h die b eiden Grenzsc hich tadmittanzen zusammen-
zufassen. Da sic h die Schallflüsse addieren, w elc he die b eide Grenzsc hich ten „ v ersorgen“,
addieren sic h auch die zugehörigen A dmittanzen. Die Gesam tadmittanz der akustisc hen
Grenzsc hich t lautet
Y wgr ,y : = Y wgr ,ν + Y wgr ,th = 1 + i
2
k 0 δ a
ρ 0 c [︄ 1 − (︃ k y
k 0 )︃ 2
+ γ − 1
√ Pr ]︄ , (5.7)
w ob ei n ur no c h die Dic k e der Zähigk eitsgrenzsc hic h t δ a : = δ ν eingeh t und ihr V erhältnis
1 / √ Pr zur thermisc hen Grenzschic h tdic k e.
Analog zu Gl. 5.7 gilt für W ände, deren Normalen v ektor in z -Ric h tung weist, dass
Y wgr ,z = 1 + i
2
k 0 δ a
ρ 0 c [︄ 1 − (︃ k z
k 0 )︃ 2
+ γ − 1
√ Pr ]︄ . (5.8)
5.1.2. Schallausb reitung im Flachkanal
Im F olgenden soll der Einfluss der Grenzsc hic h tadmittanzen auf die Schallausbreitung in
einem Rec htec kkanal sc hritt w eise hergeleitet w erden. Der in Abb. 5.1b gezeigte Rec ht-
ec kkanal ist, bis auf eine akustisc he W andauskleidung an der un teren W and, sc hallhart.
In einem ersten Sc hritt wird die Kanalgeometrie v ereinfac ht, indem die beiden sich bei
z = ± b/ 2 gegen üb er liegenden sc hallharten Wände isoliert und als Flac hkanal 8 aufgefasst
w erden. Dieser ist in Ab b. 5.1a dargestellt. Die W ellenausbreitung im Flac hkanal wird,
y
z
x
− b/ 2 b/ 2
(a) Flac hkanal.
y
z
x − b/ 2 b/ 2
h
(b) Rec htec kkanal mit ausgekleideter W and b ei
y = 0 .
Abbildung 5.1. V erw endete Kanalgeometrien
8 Ein Flac hkanal b esteh t aus zw ei unendlic h ausgedehnten, zueinander parallelen W änden. Inhomoge-
nitäten gibt es daher n ur in w andnormaler Rich tung (in Abb. 5.1a ist es die z -Ric htung), w ährend das
Sc hallfeld in den K o ordinaten der W andeb ene homogen ist.
71
bis auf kleine Ab weic h ungen aufgrund der Grenzsc hic hten, aus quasi-ebenen W ellen 9 , also
k z ≈ 0 , zusammengesetzt. Die Amplituden sind in z -Ric h tung bis auf die Bereic he der
W andgrenzsc hic h ten b ei z = ± b/ 2 praktisc h k onstan t. Die W ellenzahlk omp onen ten k x
und k y k önnen dab ei b eliebig komplex sein, w ob ei ab er ihre Quadratsumme aufgrund v on
Gl. 3.51 durc h k 0 und k z festgelegt ist. W egen der Symmetrie des Kanals (Abb. 5.1a)
b ezüglic h z = 0 lässt sic h die z -Abhängigk eit v on Druc k und z -Sc hnellek omp onen te ˜︁
w
außerhalb der Grenzsc hich ten in guter Näherung durc h
˜︁
p = ˜︁
p 0 cos( k z z ) , ˜︁
w = k z
iω ρ 0 ˜︁
p 0 sin( k z z ) (5.9)
b esc hreib en. Die W andadmittanz z. B. der link en W and ( z = b/ 2 ), die mithilfe v on Gl. 5.9
gebildet w erden kann, muss gleic h der A dmittanz der akustisc hen Grenzsc hich t Gl. 5.8
sein. Dies ergibt eine implizite Bestimm ungsgleich ung für k z
Y z = b
2
= ˜ w
˜ p z = b
2
= k z
iω ρ 0
tan (︃ k z
b
2 )︃ !
= Y wgr ,z = 1 + i
2
k 0 δ a
ρ 0 c [︄ 1 − (︃ k z
k 0 )︃ 2
+ γ − 1
√ Pr ]︄ , (5.10)
die sic h ab er in guter Näherung explizit lösen lässt, w enn man tan (︂ k z b
2 )︂ durc h sein Argu-
men t k z b
2 (für k z b
2 ≪ 1 ) ersetzt
( k z b ) 2 = ( i − 1) k 0 2 δ a b [︃ 1 + γ − 1
√ Pr ]︃ . (5.11)
In der ec kigen Klammer auf der rech ten Seite wurde ( k z /k 0 ) 2 ∼ δ /b ≪ 1 eb enfalls v er-
nac hlässigt. Unabhängig v on ( k x , k y ) gilt mit der Disp ersionsrelation Gl. 3.51
√︂ k x 2 + k y 2 = √︂ k 0 2 − k z 2 = k 0 √︄ 1 + (1 − i ) δ a
b [︃ 1 + γ − 1
√ Pr ]︃
≈ k 0 + 1 − i
2
k 0 δ a
b [︃ 1 + γ − 1
√ Pr ]︃ . (5.12)
Dab ei ist der W urzelausdruc k b ezüglic h des zw eiten Summanden als T a ylor-Reihe en t wi-
c kelt und nac h dem linearen T erm abgebro c hen w orden. 10
Gl. 5.12 zeigt, dass sic h der W ellenzahlv ektor durc h die W andgrenzsc hic h t so w ohl bzgl.
Real- als auc h Imaginärteil verändert. 11 Dies lässt sic h b esonders einfac h für k y = 0
in terpretieren: Die akustische Gre nzsc hic h t führt zu einer Dämpfung α = − Im { k x } , die
prop ortional zur W urzel aus der F requenz und der Zähigk eit √ f ν an w äc hst und umgekehrt
prop ortional zur Breite des Kanals abnimmt. Um denselben Betrag nimm t der Realteil der
W ellenzahl zu, d.h. die Phasengesc h windigk eit wird et w as kleiner als im freien Medium.
Dasselb e gilt für W ellen, die sic h in b eliebiger Ric h tung in der ( x, y )-Eb ene ausbreiten,
w enn ihre Phasenkonstan ten Re { ( k x , k y ) } und ihre Dämpfungsk onstan ten − Im { ( k x , k y ) }
in die gleic he Rich tung zeigen.
9 Damit ist die Grundmo de gemein t, deren w andnormales Druc k- und Schnelleprofil aufgrund v on
Grenzsc hic hteffekten, W andimp edanzen o der Scherström ung deformiert wird und daher von der ebenen
F orm ( ˜︁ p, ˜︁ u )( y ) = const. abw eic h t. Da die Grundmo de b etrach tet wird, gibt es jedo ch k einen Knoten
(Nullstellen) in den Profilen.
10 Die T aylorreihenen t wic klung v on √ 1 + x für kleine x ≈ 0 ist 1 + x/ 2 + x 2 / 4 − x 3 / 12 + ... .
11 Die Phasen- und Amplitudenfron ten sind nic h t mehr gleich und k önnen un ter Umständen in un ter-
sc hiedlic he Rich tungen laufen.
72
Die b eiden Grenzsc hic h ten b ei z = ± b/ 2 führen neb en einer Änderung der W ellenzahl auc h
zu einer Änderung der W ellenimp edanz W bzw. der W ellenadmittanz Y W = 1 /W (vgl.
Kap. 3.4.1). Letztere ist als üb er den Kanalquersc hnitt b gemitteltes V erhältnis zwisc hen
w andparalleler Schnelle und Druc k definiert. Die w andparallelen Sc hnellen ˜︁
u ( z ) , ˜︁
v ( z ) wur-
den mit Gl. 5.1 b estimm t; sie sind außerhalb der Grenzsc hich t k onstan t und fallen in der
Grenzsc hich t bis auf Null an der W and ab. Die W ellenadmittanzen in x - bzw. y -Ric h tung
lauten
( Y W ,x , Y W ,y ) := 1
b ∫︂ b/ 2
− b/ 2
( ˜︁
u, ˜︁
v )
˜︁
p dz = 1
ρ 0 c
( k x , k y )
k 0 [︄ 1 − 1
b ∫︂ b/ 2
− b/ 2
e − k ν ( b/ 2 −| z | ) dz ]︄
= 1
ρ 0 c
( k x , k y )
k 0 [︃ 1 − 2
k ν b ]︃
= 1
ρ 0 c
( k x , k y )
k 0 [︃ 1 − (1 − i ) δ a
b ]︃ . (5.13)
5.1.3. Rechteckkanal mit ha rten Wänden
5.1.3.1. Grundmo de
Der Flac hkanal wird nun zu dem in Abb. 5.1b gezeigten Rec h tec kkanal erw eitert, indem
zw ei weitere W ände b ei y = 0 , h eingesetzt werden. Als Einführung und als T est für
k omplexere Fälle wird zunäc hst der F all b etrac h tet, dass b eide W ände schallhart sind.
Man kann dann b ei der Grundmo de eb enso v orgehen wie b eim Flac hkanal, also die b eiden
harten W ände b ei y = ± h/ 2 platzieren und k y analog zu Gl. 5.9 und Gl. 5.10 b estimmen:
k y
iω ρ 0
tan (︃ k y
h
2 )︃ = 1 + i
2
k 0 δ a
ρ 0 c [︄ 1 − (︃ k y
k 0 )︃ 2
− (︃ k z
k 0 )︃ 2
+ γ − 1
√ Pr ]︄ . (5.14)
Das Ergebnis v on Gl. 5.14 kann analog zu Gl. 5.11 mit denselb en V ernac hlässigungen
form uliert werden
( k y h ) 2 = ( i − 1) k 2
0 δ a h [︃ 1 + γ − 1
√ Pr ]︃ . (5.15)
Man erhält dann wie in Gleic hung 5.12 und zusammen mit Gl. 5.11
k x = √︂ k 0 2 − k y 2 − k z 2 = k 0 + 1 − i
2 k 0 δ a (︃ 1
h + 1
b )︃ (︃ 1 + γ − 1
√ Pr )︃
= k 0 [︃ 1 + 1 − i
4 (︃ 1 + γ − 1
√ Pr )︃ U δ a
S ]︃ . (5.16)
Dab ei ist U der Umfang der Kanal-Quersc hnittsfläc he S = h b . Es zeigt sic h, dass der
durc h die W andgrenzsc hic h t erzeugte Zusatzterm prop ortional zum Anteil der Kanal-
Quersc hnittsfläche ist, der v on der Grenzsc hic h t eingenommen wird. Diese Beziehung gilt
für die quasi-eb ene Grundmo de in b eliebig geform ten Kanälen, solange die Querabmes-
sungen (hier h und b ) groß im V ergleic h zur Grenzschic h tdic k e δ a sind 12 13 .
12 Gl. 5.16 wurde erstmals 1868 v on Kirc hhoff [128] hergeleitet, der den Einfluss der W andgrenzsc hic h ten
auf die A usbreitung der Grundmo de in einem harten Rohr un tersuc h te.
13 Gl. 5.16 kann für die quasi-eb ene W elle auc h alternativ mittels der üb er den Kanalquersc hnitt in-
tegrierten K on tinuitätsgleic h ung hergeleitet w erden. Diese en thält dann einen Zusatzterm, der den in die
73
5.1.3.2. Höhere Mo den
In V orb ereitung auf den unsymmetrisc hen F all, b ei dem die un tere W and ( y = 0 ) akustisc h
nac hgiebig und die ob ere W and ( y = h ) sc hallhart ist, wird das Sc hallfeld n un aus zw ei
Flac hkanal-W ellen zusammengesetzt, die durc h Reflexion an der sc hallharten W and b ei
y = h auseinander herv orgehen. Dab ei wird die A dmittanz der Grenzsc hic ht der ob eren
W and zur un teren W and transformiert. k y wird durc h die Bedingung festgelegt, dass die
transformierte A dmittanz entgegengesetzt gleic h der A dmittanz der W and b ei y = 0 sein
m uss (V orzeic hen w ec hsel). Die Ortstransformation der A dmittanz lässt sic h in allgemeiner
F orm durc h
Y ∗ (0) = Y ∗ ( h ) + i tan ( k h )
1 + iY ∗ ( h ) tan( k h ) (5.17)
angeb en, wobei k die W ellenzahl der zu transformierenden W elle ist und Y ∗ = Y wgr /Y W die
mit der zugehörigen W ellenadmittanz normierte A dmittanz. 14 In dem hier b etrac h teten
F all ist k = k y und die zugehörige W ellenadmittanz Y W,y ist die y -K omp onente der in
Gl. 5.13 angegeb enen W ellenadmittanz im Flac hkanal. F ür eine harte W and b ei y = 0
(anstelle der nac hgiebigen W and) ist: Y ∗ (0) = − Y ∗ ( h ) = − Y wgr ,y /Y W,y . Mit Y wgr ,y aus
Gl. 5.7 ergibt sic h dann für Gl. 5.17
− Y wgr ,y
Y W ,y
=
Y wgr ,y
Y W ,y + i tan( k y h )
1 + i tan( k y h ) Y wgr ,y
Y W ,y
. (5.18)
Zusammen mit Gl. 5.13 für Y W,y erhält man damit für k y eine implizite Bestimm ungs-
gleic hung, die zunäc hst näherungsw eise gelöst wird. Den Ausgangspunkt dafür bilden die
Lösungen im dissipationsfreien F all 15 : k y h = nπ mit n = 0 , 1 , 2 , ... .
F ür den F all mit W andgrenzsc hic h t wird der Ansatz
k y h = nπ + dk , (5.19)
mit dem (k omplexwertigen) K orrekturterm | dk |≪ 1 aufgestellt, der den Einfluss der Grenz-
sc hich tadmittanz Y wgr ,y b esc hreibt. Der T angens v on Gl. 5.19 lässt sic h wie folgt nähern 16
tan( k y h ) = tan ( nπ + dk ) = tan( dk ) ≈ dk . (5.20)
Gl. 5.18 lautet dann für höhere Mo den ( n > 0 ) und mit Erw eiterung v on Zähler und
Nenner mit Y wgr ,y /Y W ,y
− Y wgr ,y
Y W ,y
= Y wgr ,y
Y W ,y
+ i tan( k y h ) Y wgr ,y
Y W ,y
Y wgr ,y
Y W ,y + i tan( k y h ) Y 2
wgr ,y
Y 2
W ,y
≈ Y wgr ,y
Y W ,y
+ i tan( k y h ) 5.20
= Y wgr ,y
Y W ,y
+ idk ,
(5.21)
W andgrenzsc hic h t abgeleiteten Schallfluss b erüc ksic htigt: S iω ˜ ρ 0 − S ρ 0 ik x ˜ u + U ρ 0 Y wgr ˜ p = 0 . Nimm t man
adiabatisc he K ompression und ˜ u = k x / ( ω ρ 0 ) · ˜ p aufgrund der Impulsgleic h ung an, so erhält man nach Mul-
tiplikation mit iω / ( S ˜ p ) und Umordn ung der Summanden: k x 2 = ( ω /c ) 2 − iω ρ 0 Y wgr . Mit Y wgr aus Gl. 5.7
ergibt sic h Gl. 5.16.
14 Gl. 5.17 wird in Anhang A.3 in Gl. A.23 hergeleitet.
15 Diese Lösung erhält man z. B. durc h Einsetzen v on Y wgr ,y = 0 in Gl. 5.18 und Suc hen der Lösungen
v on tan( k y h ) = 0 .
16 Dab ei wird der Zusammenhang tan( a 1 + a 2 ) = [tan( a 1 ) + tan( a 2 )] / [1 − tan( a 1 ) tan( a 2 )] b enutzt.
74
w ob ei T erme der Ordn ung | Y wgr ,y /Y W ,y | 2 aufgrund der höheren Mo den ( | Y wgr ,y |≪ | Y W ,y | )
v ernachlässigt wurden. Gl. 5.21 lautet mit Y wgr ,y aus Gl. 5.7 und Y W,y aus Gl. 5.13, um-
gestellt nac h dk
dk = 2 i Y wgr ,y
Y W ,y
= ( i − 1) k 0 δ a [︄ 1 − (︃ k y
k 0 )︃ 2
+ γ − 1
√ Pr ]︄ k 0
k y [1 − (1 − i ) δ a
b ]
≈ ( i − 1) k 0 δ a
k 0 h
nπ [︄ 1 − (︃ nπ
k 0 h )︃ 2
+ γ − 1
√ Pr ]︄ . (5.22)
Dab ei wurden die Näherungen δ a /b ≪ 1 und k y ≈ nπ /h v erw endet. Mit der Disp ersions-
relation Gl. 3.51 erhält man damit für die x -K omp onen te der W ellenzahl
k 2
x = k 2
0 − k 2
y − k 2
z = k 2
0 − (︃ nπ
h )︃ 2
− 2 nπ
h
dk
h − (︃ dk
h )︃ 2
− k 2
z .
Mit dk 2 ≪ 2 nπ dk für n < 0 und Einführung der axialen W ellenzahl k xo ohne Berüc ksic h-
tigung der Grenzsc hich teffekte
k xo = k 0 √︄ 1 − (︃ nπ
k 0 h )︃ 2 (5.23)
folgt für die axiale W ellenzahl der höheren Mo den ( n > 0 )
k 2
x ≈ k 2
xo − 2 nπ
h
dk
h − k 2
z
= k 2
xo + (1 − i ) k 2
0 δ a {︄ 2
h [︄ (︃ k xo
k 0 )︃ 2
+ γ − 1
√ Pr ]︄ + 1
b [︃ 1 + γ − 1
√ Pr ]︃ }︄ . (5.24)
Eine Näherungslösung 17 für Gl. 5.24 ist
k x − k xo ≈ 1 − i
2 k 0 δ a
k 0
k xo {︄ 2
h [︄ (︃ k xo
k 0 )︃ 2
+ γ − 1
√ Pr ]︄ + 1
b [︃ 1 + γ − 1
√ Pr ]︃ }︄ für n > 0 .
(5.25)
W eit ob erhalb der Cut-on-F requenz, w enn k xo /k 0 ≈ 1 , hängt der grenzschic h tb edingte
An teil der W ellenzahl nic h t mehr von der Modenordnung n > 0 ab, un tersc heidet sic h
ab er v on der Grundmo de n = 0 um den F aktor (2 b + h ) / ( b + h ) .
Gl. 5.25 zeigt, dass der Effekt der Zähigk eit und der W ärmeleitung auf die Sc hallausbrei-
tung b ei höheren Mo den nic h t viel größer und die F orm der Abhängigk eit nic h t anders ist
als b ei der Grundmo de: F ür die Grundmo de ( n = 0 , k xo = k 0 ) un tersc heidet sic h Gl. 5.25
in der T at n ur um den F aktor 2 v or dem ersten T erm in der gesc h w eiften Klammer v on
der expliziten Lösung der Grundmo de Gl. 5.16. 18
Die Näherungslösung Gl. 5.25 ist in einer gewissen Umgebung der Cut-on-F requenz, für
k xo h ≫ dk , ungültig: Bei der Cut-on-F requenz ohne Grenzsc hic h teinfluss, k 0 = nπ /h , v er-
sc hwindet k xo (Gl. 5.23) und Gl. 5.25 wird singulär ( k 0 /k xo → ∞ ). Gl. 5.25 dec kt sich auc h
mit den Ergebnissen v on Beatty [13], der allerdings n ur Lösungen ob erhalb der Cut-on-
17 Die Näherung erfolgt üb er T a ylorreihen-En twic klung des W urzelausdruc ks b ezüglic h des zweiten Sum-
manden und Abbruc h nac h dem linearen T erm, also √ a + x ≈ √ a + 1
2 √ a x
18 Genau genommen ist Gl. 5.25 n ur für höhere Mo den n > 0 gültig. Der Einfluss der Mo denordn ung
n stec kt n ur in k xo Gl. 5.23. Der Effekt
75
F requenz b etrac h tete und daher der Singularität b ei der Cut-on-F requenz k eine Beac h tung
sc henkte. Das war Anlass für Bruneau et al. [40], das Thema erneut aufzugreifen und die
Betrac htung um einen kleinen Bereic h un terhalb der Cut-on-F requenz zu erw eitern. Sie
umgingen die Singularität durc h die exakte A usw ertung der W urzel aus Gl. 5.24 mittels
der k omplexen W urzelzerlegung
√ C + iD = ± ( β − iα ) mit β = √︄ C + √ C 2 + D 2
2 , α = − sign( D ) √︄ − C + √ C 2 + D 2
2 .
(5.26)
A uf Gl. 5.24 angewendet ergibt sic h für die exaktere Lösung der W ellenzahl
k x = √ C + iD mit
D = − k 2
0 δ a {︄ 2 − δ n, 0
h [︄ (︃ k xo
k 0 )︃ 2
+ γ − 1
√ Pr ]︄ + 1
b [︃ 1 + γ − 1
√ Pr ]︃ }︄ , C = k 2
xo − D . (5.27)
Dab ei ist δ n, 0 das Kronec k er-Sym b ol mit δ 0 , 0 = 1 und δ n, 0 = 0 (für n = 0 ); durc h diese
Sc hreibw eise gelten die Gleic h ungen 5.24, 5.26 und 5.27 allgemein, auc h für n = 0 . Die
V orzeic hen v orsc hrift sign( D ) in Gl. 5.26 sorgt dafür, dass Im( k x ) auc h im Cut-off-Bereic h
stets negativ bleibt. Sie wurde v on Bruneau et al. [40] außer Ac h t gelassen. 19
In Gl. 5.27 wird ( k xo /k 0 ) 2 innerhalb des Cut-off-F requenzb ereic hs mit abnehmender F re-
quenz immer negativ er und D erreic h t b ei einer b estimm ten F requenz einen Nulldurc h-
gang. A us D = 0 folgt nac h Gl. 5.26, dass β = ik xo . Der Realteil der W ellenzahl – die
Phasenk onstante β – hat hier also eb enfalls einen Nulldurchgang und wird für tiefere F re-
quenzen negativ. Letzteres b edeutet, dass ein Energietransp ort in umgek ehrter Ric h tung,
hin zur „ Quelle“ der W elle, stattfindet – dem freien Sc hallfeld. Dies ersc hein t widersprüc h-
lic h, da die Grenzschic h t dann eine Energiesenk e darstellt, also einen Energietransp ort von
der Quelle dorthin erfordert. A uf diesen Widerspruc h wurde b ereits im Zusammenhang
mit Gl. 5.5 hingewiesen. In Anhang D wird gezeigt, dass sic h der Widerspruc h auflöst,
w enn der von der Zähigk eitsgrenzsc hic h t getragene Energietransp ort ein b ezogen wird.
5.1.4. Rechteckkanal mit einer nachgiebigen W and
Es wird n un eine akustisch nac hgiebige W and b ei y = 0 b etrach tet, deren A dmittanz Y
sic h zur Admittanz der W andgrenzsc hic h t Y wgr ,y addiert. Gl. 5.18 wird demen tsprec hend
v ervollständigt
− Y + Y wgr ,y
Y W ,y [︄ 1 + i tan( k y h ) Y wgr ,y
Y W ,y ]︄ = Y wgr ,y
Y W ,y
+ i tan( k y h ) . (5.28)
19 In ihrer Un tersuc hung k onzen trieren sic h Bruneau et al. [40] auf einen relativ kleinen F requenzb ereich
um die Cut-on-F requenz, in dem der Imaginärteil D in der W urzel v on k x sein negativ es V orzeic hen
b eib ehält, so dass es nic ht not w endig ersc heint, die V orzeic hen-V orsc hrift sign( D ) zu erwähnen. Da aber
( k xo /k 0 ) 2 innerhalb des Cut-off-F requenzb ereic hs mit abnehmender F requenz immer negativ er wird – siehe
Gl. 5.23 – hat D in dem Bereic h b ei einer b estimm ten F requenz einen Nulldurc hgang, wird also un terhalb
dieser F requenz p ositiv; α würde v on einem p ositiv en W ert auf einen negativ en W ert springen (die räumlic h
abklingende W elle würde sic h sprungartig in eine an w achsende W elle v erwandeln), w enn nic h t zusammen
mit dem Nulldurc hgang v on D das Gesamt-V orzeic hen in Gleic h ung 5.26 geändert würde.
76
Bis auf die W andadmittanz Y hängen alle T erme in Gl. 5.18 v on k y ab. Die Abhängigk eit
der W ellenadmittanz Y W ,y (Gl. 5.13) wird n un explizit in der F orm
Y W ,y = k · Y W ,k mit k := k y h und Y W ,k := 1+( i − 1) δ a
b
k 0 h ρ 0 c (5.29)
dargestellt. Y wgr ,y ist gemäß Gl. 5.7 eine quadratisc he F unktion von k y
ρ 0 c Y wgr ,y
Y W ,k
= 1 + i
2 k 0 δ a k 0 h [︄ 1 − (︃ k
k 0 h )︃ 2
+ γ − 1
√ Pr ]︄ · [︃ 1+( i − 1) δ a
b ]︃ − 1
. (5.30)
Gl. 5.28 lautet, w enn alle k y -abhängigen T erme auf der link en Seite zusammengefasst
w erden
− i tan k [︄ k + Y + Y wgr ,y
Y 2
W ,k
( ρ 0 c ) 2
k ]︄ − 2 Y wgr ,y ρ 0 c
Y W ,k
= Y ρ 0 c
Y W ,k
. (5.31)
Analog zu Absc hnitt 5.1.3.2 wird die Querw ellenzahl k aus einem grenzsc hic h tfreien Anteil
k y o h , der neb en der Mo denordn ung n n un die v orgegeb ene W andadmittanz Y b erüc k-
sic htigt, und aus einem K orrekturterm dk zusammengesetzt, der auf die Grenzsc hic htad-
mittanz Y wgr ,y zurüc kzuführen ist. Es wäre naheliegend, den e rstgenann ten An teil so zu
w ählen, dass er b ei V ernac hlässigung der Grenzsc hic ht-Effekte mit
k y o h tan ( k y o h ) = ik 0 Y ρ 0 c und k xo = k 0 √︄ 1 − (︃ k y o
k 0 h )︃ 2
(5.32)
die exakte Lösung der W ellenzahl b ei einseitiger W andauskleidung mit Amittanz Y dar-
stellt. Es zeigt sic h ab er, dass man eine w esen tlic h einfac here Stuktur v on dk erhält, w enn
die Zerlegung
k = k ow + dk mit k ow tan( k ow ) = iY ρ 0 c
Y W ,k
(5.33)
gew ählt wird, in der k ow die normierte Querw ellenzahl k y h ohne Berüc ksic h tigung der
W ände b ei y = 0 , h ist. k ow en thält infolge des T erms Y W,k gemäß Gl. 5.29 b ereits einen T eil
der Grenzsc hich t-Effekte (nämlic h die der Grenzsc hic hten der W ände b ei z = ± b/ 2 ). Setzt
man k aus Gl. 5.33 in Gl. 5.31 ein und linearisiert b ezüglic h ( Y wgr ,y ρ 0 c ) /Y W,k bzw. dk , so
erhält man zusammen mit den Gl. 5.29 und 5.30 für den K orrekturterm der Querwellenzahl
die Näherung
dk ≈ i − 1
2 k 0 δ a k 0 h [︄ 1 − (︃ k ow
k 0 h )︃ 2
+ γ − 1
√ Pr ]︄ 1 + cos 2 ( k ow )
k ow + sin( k ow ) cos( k ow ) , k ow = 0 . (5.34)
F ür k ow = 0 , also für die Grundmo de im hart w andigen Kanal ( Y = 0 , n = 0 ), gilt die
Näherung 5.15. F ür den hart w andigen Kanal und höhere Mo den ( Y = 0 , n > 0 ), also
k ow = nπ gemäß Gl. 5.33, reduziert sic h Gl. 5.34 auf Gl. 5.22.
Mit der Disp ersionsrelation und der V erallgemeinerung v on Gl. 5.23
k 2
0 = k 2
xow + (︃ k ow
h )︃ 2
also k xow = k 0 √︄ 1 − (︃ k ow
k 0 h )︃ 2
(5.35)
77
erhält man für die axiale W ellenzahl
k 2
x ≈ k 2
xow − 2 nπ
h
dk
h − k 2
z (5.36)
bzw. als Näherungslösung für k x die Erw eiterung v on Gl. 5.25 auf b eliebige W andimp e-
danzen:
k x ≈ k xow + 1 − i
2 k 0 δ a
k 0
k xow ·
· {︄ 1
h [︄ (︃ k xow
k 0 )︃ 2
+ γ − 1
√ Pr ]︄ k ow + k ow cos 2 ( k ow )
k ow + sin( k ow ) cos( k ow ) + 1
b [︃ 1 + γ − 1
√ Pr ]︃ }︄ ,
(5.37)
w ob ei wieder als Näherung k ow = 0 und k xow ≫ dk (Cut-on-Mo de) v orausgesetzt wird.
Es ist anzumerk en, dass im F all harter W ände die Näherungslösungen Gl. 5.25 - 5.27
zur v ereinfach ten Berec hn ung der W ellenzahl v erw endet w erden können. Bei nac hgiebigen
W änden ist dies nur bedingt der F all, da die Näherungen Gl. 5.34 und Gl. 5.37 die n u-
merisc he Berechn ung v on k ow gemäß der impliziten Gleic hung 5.33 v oraussetzen. Gl. 5.34
und Gl. 5.37 spielen b ei der numerisc hen Lösung der exakten k x trotzdem eine wic h tige
Rolle, wie im F olgenden gezeigt wird.
5.1.5. Numerische A usw ertung der W ellenzahl im ausgekleideten Kanal
Zur exakten Bestimm ung der axialen W ellenzahl im ausgekleideten Kanal für höhere Mo-
den m uss die implizite Gl. 5.31 zusammen mit den Gl. 5.29 und 5.30 b ezüglic h der Quer-
w ellenzahl k := k y h gelöst werden. Es zeigte sic h, dass die Newton-Raphson-Metho de
dab ei die stabilsten Iterationen liefert, w ob ei ab er die Genauigk eit des Startw erts für k
zum T eil hohe Ansprüc he stellt. Da die Empfindlic hk eit gegen üb er dem Start w ert drastisch
zunimm t, wenn die Grenzsc hic h tadmittanz Y wgr mit b erüc ksic h tigt wird, hat es sich als
sinn voll erwiesen, mit robusteren Bezieh ungen zu b eginnen und sc hritt weise v orzugehen.
Diese Sc hritte sind:
1. Newton-Iteration zur Lösung v on Gl. 5.33 nach k ow mit Start w ert für k ow .
2. Direkte Berec hnung der genäherten W ellenzahlk orrektur dk durc h Gl. 5.34.
3. Newton-Iteration zur A uswertung v on Gl. 5.31 nac h k = k y h mit Start w ert
k = k ow + dk .
4. Berec hn ung v on k x aus k y mit der Disp ersionsrelation Gl. 3.51.
In Anhang E w erden die Details der n umerisc hen A usw ertung erläutert, die Newton-
Metho de, die Startw erte der Iteration und das K onv ergenzkriterium.
78
5.2. Einfluss der W andgrenzschichten und der W andimp edanz
auf das Schallfeld
Die im v orherigen Kapitel hergeleiteten theoretischen Bezieh ungen sollen n un zur V er-
ansc haulich ung des mo dalen Kanalsc hallfeldes un ter dem Einfluss der akustischen W and-
grenzsc hich ten und der W andnac hgiebigk eit eingesetzt w erden. Es wird un tersuc ht, wie
sic h versc hiedene T yp en v on W andauskleidungen mit c harakteristisc hen A dmittanzen auf
die axiale W ellenzahl der einzelnen Mo den auswirk en. Die W andadmittanz wird dab ei v er-
einfac hend als frequenzkonstan t angenommenen. Dies dien t als V orb etrach tung der später
in Kap. 6 un tersuch ten Mo denausbreitung im F all v on realistischen, frequenzabhängigen
W andauskleidungen. Neb en der Abhängigk eiten der W ellenzahl v on der W andadmittanz
und der F requenz wird der Einfluss der akustisc hen W andgrenzsc hich t und die Güte der
v erwendeten Näherungslösung betrach tet.
In der Studie wird ein Kanal nac h dem V orbild des realen Messkanals DUCT-R (Kap. 4.1)
b etrac h tet, dessen rec h tec kiger Quersc hnitt die Höhe h = 8 cm und die Breite b = 6 cm
hat 20 . Die erste höhere Mo de wird im hart w andigen Kanalteil b ei f c = 2150 Hz ausbrei-
tungsfähig. Der in dieser Studie v erw endete F requenzb ereich 5 Hz ≥ f ≥ 20 kHz üb er-
streic ht mehrere Dekaden und en thält die Cut-on-F requenzen der ersten neun höheren
Mo den.
5.2.1. Schallha rter Kanal
F ür den hart w andigen Kanal mit akustisc hen W andgrenzschic h ten gibt Abb. 5.2 einen
Üb erblic k üb er die Abhängigkeit der axialen W ellenzahl v on der F requenz und der Mo den-
ordn ung. Die durchgezogenen Linien stellen den Realteil, die fett gestric helten Linien den
Imaginärteil dar. Die v eschiedenen Modenordnungen sind farblic h gek ennzeichnet. Ober-
halb der jew eiligen Cut-on-F requenz ist der Realteil p ositiv, w ährend der Imaginärteil
immer negativ ist, d.h. die W elle klingt stets in x -Ric h tung ab. Un terhalb der Cut-on-
F requenz ist die Dämpfung, α = − Im { k x } , wie erw artet sehr ho c h, während sie oberhalb
der Cut-on-F requenz in Abb. 5.2a nic h t v on Null zu un tersc heiden ist. Der Realteil nähert
sic h ob erhalb der Cut-on-F requenz asymptotisc h der F reifeldw ellenzahl k 0 an.
Abb. 5.2b zeigt den Ordinaten b ereic h aus Abb. 5.2a um Null herum stark vergrößert. Die
farbigen Kurv en resultieren aus der exakten Ausw ertung gemäß Absc hnitt 5.1.5, w ährend
die kaum un terscheidbaren sc h warzen, stric h-punktierten Kurv en die Näherungen Gl. 5.16
für n = 0 und Gl. 5.25 für n > 0 wiedergeb en. Die Näherungsfehler w erden in Anhang F.2,
die W andgrenzsc hic h t-Effekte in Anhang F.1 w eiter un tersuc h t.
Ungew öhnlich ist die T atsac he, dass Re { k x } und damit die Phasengesc h windigk eit in
Abb. 5.2b in einem ausgedehn ten tieffrequen ten Bereic h unterhalb der Cut-on-F requenz
erk ennbar negativ wird. Dies ist die F olge der b ereits zuv or (Ende Absc hnitt 5.1.4) er-
w ähnten Anomalie und spiegelt den k omplizierten T ransp ort akustisc her Energie in der
W andgrenzsc hic h t ev aneszenter W ellen wieder. Der Effekt wird in Anhang D näher disku-
tiert.
20 Die ausgekleidete W and b efindet sic h, wie in den tatsächlic hen Messungen, an der sc hmalen Kanalseite.
Die Kanalhöhe ist die Kanalabmessung senkrec h t zu dieser W and.
79
n = 0
n = 1 n = 2 n = 9
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2
· 10 4
− 30
− 20
− 10
0
10
20
30
F requenz [Hz]
k x h [-]
Re
Im
(a)
n = 0
n = 1
n = 9
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2
· 10 4
− 4
− 3
− 2
− 1
0
1
2
3
4
· 10 − 2
F requenz [Hz]
k x h [-]
Re
Im
(b) A usschnitt für kleine | k x | h .
Abbildung 5.2. Normierte axiale Querw ellenzahl k x h im sc hallharten Rec h tec kkanal mit W and-
grenzsc hich teffekten, Mo denordnungen n = 0 ... 9 (farblic he Un tersc heidung). Real-
teil: durc hgezogene Linie, Imaginärteil: gestrichelte Linie. In Abb. 5.2b zusätzlic he
Darstellung der Näherungslösung nac h Gl. 5.16 bzw. Gl. 5.25 durch sc h w arze,
stric h-punktierte Linien.
80
5.2.2. A usgekleideter Kanal
In den folgenden Beispielen w erden drei charakteristisc he W andadmittanzen b etrac h tet:
zw ei rein resistive W ände mit mäßiger und mit hoher Nac hgiebigkeit und eine federnde
W and. A ußerdem wird die Umgebung der sogenann ten „optimalen A dmittanz“ un tersuc ht
und der Einfluss der W andgrenzsc hic h ten diskutiert.
5.2.2.1. Mäßige W andadmittanz
n = 0
n = 1
n = 9
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2
· 10 4
− 30
− 20
− 10
0
10
20
30
F requenz [Hz]
k x h [-]
Re
Im
Abbildung 5.3. Normierte axiale Querw ellenzahl k x h im Rec h tec kkanal mit mäßiger W and-
Nac hgiebigkeit Y ρ 0 c = 1 und W andgrenzsc hic h teffekten, Mo denordn ungen n =
0 ... 9 . Realteil: durc hgezogene Linie, Imaginärteil: gestric helte Linie.
F ür eine mäßige W andadmittanz mit Y ρ 0 c = 1 zeigt Abb. 5.3 die Abhängigk eit der W el-
lenzahl v on der F requenz und der Mo denordn ung. Im V ergleic h zum hart w andigen Kanal
sind die Üb ergänge zwischen Cut-off- und Cut-on-Bereic h n ur no c h gleitend. Dies hat seine
Ursac he in der Nachgiebigk eit der W and und ist unabhängig da v on, ob die Grenzsc hic h t-
effekte b erüc ksic h tigt w erden o der nic h t. W eit ob erhalb der jew eiligen Cut-on-F requenz
v erschmelzen die Kurv en für die v ersc hiedenen Mo den zu einer Asymptote, die sich im
Gegensatz zum hart wandigen F all nic h t mehr v on der Kurv e der Grundmo de ( n = 0 ) un-
tersc heidet und mit der Grundmo de im hart wandigen F all üb ereinstimm t (siehe Abb. 5.2a).
Dies ist eine t ypische Eigensc haft v on Kanälen mit nachgiebige n W änden und geh t da-
mit einher, dass sc hon die Grundmo de b ei tiefen F requenzen Cut-off-Charakter hat. Bei
der extrem nac hgiebigen W and im näc hsten Absc hnitt ist dies w eitaus b esser erk enn bar.
Jedo c h zeigt sic h b ei genauer Betrac htung v on Im { k x } in Abb. 5.3, dass b ei tiefen F re-
81
quenzen (ca. 1000 Hz) ein Dämpfungsmaxim um der Grundmo de (violette Kurv e) auftritt.
Die mit der W andnac hgiebigk eit v erbundenen V ersc hiebungen der Cut-on-F requenzen um
jew eils c/ (4 h ) sind dagegen hier wegen der stark en „ V ersc hmierung“ der Cut-off- bzw.
Cut-on-Üb ergänge nic h t zu erk ennen.
Die sehr kleinen Grenzsc hich teffekte liegen in Abb. 5.3 innerhalb der Stric hstärk e der
Kurv en und w erden in Anhang F.2.2 detaillierter gezeigt.
5.2.2.2. Hohe W andadmittanz
Abb. 5.4a zeigt die W ellenzahlen einer W andauskleidung mit hoher Nac hgiebigk eit v on
Y ρ 0 c = 100 . Die Cut-off- bzw. Cut-on-Üb ergänge sind b ei der sehr nac hgiebigen W and
fast eb enso sc harf wie b ei der harten W and (vgl. Abb. 5.2a). Die V ersc hiebung der Cut-on-
F requenzen so wie der Cut-off-Charakter der Grundmo de b ei tiefen F requenzen ist dab ei
deutlic h zu erk ennen. Abb. 5.4b zeigt einige w eitere Details, die im Bereic h tiefer F re-
quenzen im Un terschied zum hart w andigen Kanal zu b eobac hten sind. Mit Blic k auf den
Imaginärteil der W ellenzahl findet man b ei sehr tiefen F requenzen dasselb e V erhalten wie
im hart wandigen Kanal: Im { k x h } ≈ − nπ . Erst b ei einer F requenz, die et w a prop ortional
mit n ansteigt, geh t die Dämpfungskonstan te zu Im { k x h }≈− ( n + 1 / 2) π üb er, w as Y = ∞
en tsprich t. Der Realteil der W ellenzahl b egleitet diesen Üb ergang mit einem kleinen Ma-
xim um. Der Einfluss der Grenzschic h t wird wieder im Anhang, in Absc hnitt F.2.2 gezeigt.
Generell bric ht bei sehr hohen W andadmittanzen der Sc halldruc k an der nac hgiebigen
W and mehr o der w eniger zusammen 21 (hier nic h t gezeigt), so dass stark unsymmetrisc he
Mo denformen mit niedrigem Sc halldruc k an der nachgiebigen W and und hohem Sc hall-
druc k an der gegen üb erliegenden harten W and en tstehen. Im Extremfall ( Y → ∞ , „sc hall-
w eich“) ist der Sc halldruc k prop ortional zu sin [( n + 1 / 2) π · y /h ] mit einer Nullstelle an
der nac hgiebigen W and und einem Maxim um an der harten W and; die normierte Quer-
w ellenzahl hat also den W ert k ow = ( n + 1 / 2) π . Bereits mit n = 0 erhält man dann
b ei tiefen F requenzen eine ev aneszen te Mo de mit der Cut-on-F requenz f c = c/ (4 h ) , die
b ei der Hälfte der niedrigsten Cut-on-F requenz im hart w andigen Kanal liegt. Dies ist in
Abb. 5.4b zu b eobach ten: Die Grundmo de n = 0 (violette Kurv e) trägt erst ab ca. 1100
Hz zur Sc hallausbreitung b ei und ist zuv or stark gedämpft.
5.2.2.3. F edernde W and
F edernde W ände hab en W andadmittanzen mit einem merklic h p ositiv em Imaginärteil,
also O [Im { Y } ] ≥ O [Re { Y } ] [160]. Hier wird realistisc herw eise eine mit einem kleinen re-
sistiv en Anteil v ersehene W andadmittanz b etrac h tet: Y ρ 0 c = 0 . 1 + 2 i . Die Lösung für die
Grundmo de wird b ei diesem W andt yp durc h die „langsame“ Mo de gebildet, die ihren Na-
men w egen der großen Phasenkonstan te Re { k x } bzw. der geringen Phasengesc h windigk eit
trägt, vgl. auc h Anhang E.2. Ihre Sc halldruc kamplitude ist an der nachgiebigen W and
maximal und nimm t exp onen tiell mit dem W andabstand ab, w ob ei der Abfall mit steigen-
der F requenz und steigender W andnachgiebigk eit immer dic hter an der W and stattfindet.
Die Cut-on-F requenzen der höheren Mo den liegen b ei ( n − 1 / 2) c/h – im Gegensatz zu
nic ht-federnden W änden, w o sie b ei ( n + 1 / 2) c/h liegen.
21 Eine A usnahme bilden W ände mit federnder Charakteristik, vgl. Absc hnitt 5.2.2.3.
82
n = 0
n = 1
n = 9
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2
· 10 4
− 30
− 20
− 10
0
10
20
30
F requenz [Hz]
k x h [-]
Re
Im
(a)
n = 0
n = 1
n = 2
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
− 14
− 12
− 10
− 8
− 6
− 4
− 2
0
2
F requenz [Hz]
k x h [-]
(b) A usschnitt für tiefe F requenzen.
Abbildung 5.4. Normierte axiale Querw ellenzahl k x h im Rec h tec kkanal mit hoher W and-
Nac hgiebigkeit Y ρ 0 c = 100 und W andgrenzsc hich teffekten, Mo denordn ungen n =
0 ... 9 (farblic he Un tersche idung). Realteil: durc hgezogene Linie, Imaginärteil: ge-
stric helte Linie. In Abb. 5.4b zusätzliche Darstellung der Näherungslösung nac h
Gl. 5.16 bzw. Gl. 5.25 durc h sc h w arze, stric h-punktierte Linien.
83
n = 0
n = 1
n = 9
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2
· 10 4
− 30
− 20
− 10
0
10
20
30
F requenz [Hz]
k x h [-]
Re
Im
(a)
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2
· 10 4
− 2 . 5
− 2
− 1 . 5
− 1
− 0 . 5
0
0 . 5
1
F requenz [Hz]
k x h [-]
Re
Im
(b) A usschnitt für kleine | k x | h .
Abbildung 5.5. Normierte axiale Querw ellenzahl k x h im Rech tec kkanal mit federnder W and
Y ρ 0 c = 0 . 1+2 i und W andgrenzschic h teffekten, Mo denordn ungen n = 0 ... 9 (farb-
lic he Untersc heidung). Realteil: durc hgezogene Linie, Imaginärteil: gestric helte Li-
nie. In Abb. 5.5b zusätzlic he Darstellung der Näherungslösung nach Gl. 5.16 bzw.
Gl. 5.25 durc h sc h w arze, stric h-punktierte Linien.
84
Abb. 5.5a zeigt die W ellenzahl für eine federnde W and mit Grenzschic h teinfluss. Die „lang-
same“ Mo de ist an der vergleic hsw eise hohen frequenzprop ortionalen W ellenzahl zu erk en-
nen. Insb esondere b ei der Dämpfung ist im Gegensatz zu den bisher diskutierten Beispie-
len der Einfluss der Grenzsc hich t deutlic h zu erk ennen. Dieser wird wieder im Anhang, in
Absc hnitt F.2.2, genauer b etrac htet. A uc h b ei den in Abb. 5.5b v ergrößert dargestellten
W ellenzahlen für kleine W erte fällt die „langsame“ Mo de durc h hohe frequenzprop ortiona-
le W erte auf. Die Näherungslösungen (sc h w arze stric h-punktierte Kurv en) und die exakten
W erte un tersc heiden sic h erk enn bar.
5.2.2.4. Optimale A dmittanz
Abb. 5.6 zeigt die W ellenzahl der „langsamen“ Mo de n = 0 (durchgezogene Linien) und
der ersten höheren Mo de n = 1 (gestric helte Linien) als F unktion der F requenz für fünf
v erschiedene W erte v on Re { Y } , nämlic h Re { Y } ρ 0 c = 0 , 1 , 2 , 2 . 48818 und 3 , b ei der
ansonsten federnden W andadmittanz Im { Y } ρ 0 c = 2 .
Bei einer sp eziellen Admittanz Y opt ρ 0 c = 2 . 48818 + 2 i fallen die b eiden niedrigsten Mo den
b ei einer einzelnen F requenz f opt = 566 . 42 Hz zusammen, d.h. derselb e W ert für k x wird
erreic ht. Die s gilt auc h für die hier nic h t gezeigten Querwellenzahl k y . Die Ortskurv en in
Abb. 5.7 demonstrieren, dass der K ollaps der b eiden Mo den für Y opt (rote durc hgezogene
bzw. gestric helte Linie) tatsäc hlic h gleic hzeitig für Real- und Imaginärteil v on k x auftritt.
Die Mo denkreuzung führt dazu, dass der V erlauf der Mo den-Äste hin ter dem Kreuzungs-
punkt mehrdeutig ist, d.h. man hätte ihren c harakteristischen V erlauf für f > f opt auc h
v ertauschen k önnen, so dass die Grundmo de in die erste Mo de üb ergeht und umgek ehrt,
w ährend sie b ei der hier gew ählten Auftragung so v erlaufen, wie für Re { Y } < Re { Y opt } .
Dieser W ec hsel ist exemplarisc h in Abb. 5.9 für zw ei W andadmittanzen gezeigt, die dic ht
un terhalb und dich t ob erhalb v on Y opt liegen, wobei die Abw eic h ung v on Re { Y opt } ρ 0 c n ur
in der vierten Nac hkommastelle liegt.
Die K ombination der W andadmittanz Y opt und der F requenz f opt führt zur größten Schall-
dämpfung, die üb erhaupt in dem ausgekleideten Kanal erreich t w erden kann, denn es gibt
k eine schalltragende Mode im Kanal, deren Dämpfung b ei irgendeiner F requenz größer
ist. Bei f opt wird gerade die maximale Dämpfung der am geringsten gedämpften Mo den
erreic ht. Dies kann einfac h am Imaginärteil in Abb. 5.6 für Y = Y opt nac h v ollzogen w er-
den: F ür f < f opt ist die Grundmo de am geringsten gedämpft, trägt damit am meisten
zum Sc halltransp ort b ei; für f > f opt ist die Mo de n = 1 am geringsten gedämpft und
wird damit dominan t für die Schallausbreitung. Beide Moden hab en b ei f opt genau ihr
Dämpfungsmaxim um. Die zu Y opt zugehörige Imp edanz wird daher auc h „optimale Imp e-
danz“ genann t. Sie ist zuerst v on Cremer [51] theoretisc h un tersuc h t und in der F orm
1
ρ 0 cY opt
=: Z opt
ρ 0 c = (0 . 91 − 0 . 76 i ) k 0 h
π (5.38)
angegeb en w orden. T ester [232] hat sie später leic h t k orrigiert und in der F orm
Z opt
ρ 0 c = (0 . 929 − 0 . 744 i ) k 0 h
π (5.39)
angegeb en ( Y opt ρ 0 c = (0 . 3279 + 0 . 2626 i ) c/ ( f h ) ).
Der in den Abbildungen 5.6 - 5.7 dargestellte Kreuzungspunkt w eic h t et w as v on dem von
85
Y opt
n = 0
n = 1
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3
3 . 5
R ( k x ) h
Y w ρc = 0 + 2 i
Y w ρc = 1 + 2 i
Y w ρc = 2 + 2 i
Y w ,opt ρc = 2 . 48818 + 2 i
Y w ρc = 3 + 2 i
f opt = 565 . 02 Hz
maximale D¨ ampfung
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100
− 4
− 3 . 5
− 3
− 2 . 5
− 2
− 1 . 5
− 1
− 0 . 5
0
F requency [Hz]
I ( k x ) h
Abbildung 5.6. Normierte axiale Querw ellenzahl k x h im Rech tec kkanal mit federnder W and für
v erschiedene W erte v on Re { Y } . Durc hgezogen Linien: „langsame“ Grundmo de
n = 0 , gestric helte Linien: erste höhere Mo de n = 1 , dic k e rote Linie: optima-
le A dmittanz.
T ester [232] angegeb enen V orfaktor ab 22 , w eil T ester die V erluste durc h die W andgrenz-
sc hich t v ernac hlässigt hat. W enn man die Grenzsc hich t außer A c h t lässt, ergibt sic h mit
Y opt ρ 0 c = 2 . 49602 + 2 i und 564 . 82 Hz auc h der v on T ester [232] angegeb ene V orfaktor.
Abbildung 5.8 zeigt den Einfluss der Grenzsc hich ten auf die „optimale A dmittanz“ und
die Mo denkreuzung, ob en den Realteil, un ten den Imaginärteil: Durc h die Grenzsc hich t
sinkt Re { Y } leic ht, w ährend f opt et w as steigt.
22 Der V orfaktor hier ist 0 . 9290 − 0 . 7468 i anstatt 0 . 929 − 0 . 744 i wie b ei T ester [232] (mit c = 344 m/s
und h = 0 . 08 m gerec hnet).
86
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5
− 3
− 2 . 5
− 2
− 1 . 5
− 1
− 0 . 5
0
n = 0
n = 1
f star t = 52 Hz
f star t
f
f
R ( k x ) h
I ( k x ) h
Y ρc = 0 + 2 i
Y ρc = 1 + 2 i
Y ρc = 2 + 2 i
Y opt ρc = 2 . 48818 + 2 i
ρc = 3 + 2 i
f opt = 566 . 42 Hz
Abbildung 5.7. Ortskurv en der axialen W ellenzahl im Rec htec kkanal mit federnder W and für
v erschiedene W erte v on Re { Y } . Durc hgezogen Linien: „langsame“ Grundmo de
( n = 0 ), gestric helte Linien: erste höhere Mo de ( n = 1 ).
ohne W andgrenzsc h. mit
1 . 1
1 . 2
1 . 3
1 . 4
R ( k x ) h
n = 0
n = 1
560 562 564 566 568 570
− 2 . 1
− 2
− 1 . 9
− 1 . 8
F requenz [Hz]
I ( k x ) h
Abbildung 5.8. Einfluss der W andgrenzsc hic ht auf die „optimale“ A dmittanz. Normierte axiale
W ellenzahl k x h b eim Kreuzungspunkt der Grundmo de mit der ersten höheren
Mo de. Blau: ohne Grenzschi c h teffekte Y w ,opt ρ 0 c = 2 . 49602 + 2 i, f opt = 564 . 82 Hz
(T ester [232]); Sc h warz: mit Grenzsc hic h teffekten Y w ,opt ρ 0 c = 2 . 48818 + 2 i, f opt =
566 . 42 Hz.
87
100 300 500 700 900 1100
− 4
− 2
0
2
4
F requenz [Hz]
I ( k x ) h R ( k x ) h
n = 0
n = 1
f
f
* c)
0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5
− 3
− 2 . 5
− 2
− 1 . 5
− 1
− 0 . 5
0
R ( k x ) h
I ( k x ) h
(a) Y = Y opt − 0 . 0005 /ρ 0 c
100 300 500 700 900 1100
− 4
− 2
0
2
4
F requenz [Hz]
I ( k x ) h R ( k x ) h
f
f
* c)
0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5
− 3
− 2 . 5
− 2
− 1 . 5
− 1
− 0 . 5
0
R ( k x ) h
I ( k x ) h
(b) Y = Y opt + 0 . 0005 /ρ 0 c
1 . 1 1 . 15 1 . 2 1 . 25 1 . 3 1 . 35
− 2 . 1
− 2 . 05
− 2
− 1 . 95
− 1 . 9
f
f
f opt
R ( k x ) h
I ( k x ) h
Y opt
Y opt − 0 . 0005 /ρc , n = 0
Y opt − 0 . 0005 /ρc , n = 1
Y opt + 0 . 0005 /ρc , n = 0
Y opt + 0 . 0005 /ρc , n = 1
(c) Detailansic ht aus Abb. 5.9a und 5.9b für den Kreuzungspunkt der Mo den n = 0 und
n = 1 .
Abbildung 5.9. Nullte und erste Mo de für zwei W andadmittanzen Y opt ρ 0 c ∓ 0 . 0005 dic h t an der
optimalen A dmittanz Y opt .
88
6. Imp edanzeduktion im ruhenden Medium
6.1. Idee
Die Literaturrecherc he in Kap. 2.2 ergab, dass sic h die v erschiedenen Impedanzedukti-
onsmetho den w esentlic h durc h die un tersc hied lic hen Sc hallf eldmo dellannahmen und ihre
inhären ten V ereinfac h ungen untersc heiden. In diese m Kapitel soll der Ein fluss dieser An-
nahmen und V ereinfac h u ngen auf die eduziert e Imp edanz einmal systematisc h un tersuc ht
w er den. F ür den v ereinfac h ten F all des ruhe nden Mediums w erden un ter sukzessiv er Zu-
nahme der Mo dellk om plexität realisti sc he Sc hallfel deffekte in das Kanal mo d ell ein b ezogen
und ihre A uswirkung auf das Eduktionse rgebnis analysiert . Die Imp edanzeduktion basiert
dab ei immer auf der Ausw ertung der gemessenen Streuk o effizien ten, des T ransmissions-
faktors t und des Reflex ionsfaktors r .
x
y
z Liner
Abbildung 6.1. Rec h tec kkanal mit einer ausgekleideten W and.
Es wird der in Abb. 6.1 gezeigte sc hallharte Rec htec k-Kanal mit einer einzelnen ausgeklei-
deten W and (Liner) b etrac htet. Die realistisc hen Sc hallf eldeffekte sind die F olgend en:
Reflexionen: Neb e n der Sc halltransmission durch die akustisc h ausg ekleidete Kanal-
sektion treten Reflexionen an den Imp edanzsprungstellen der b eiden Üb ergänge zwischen
ausgekleideter und sc hallharter Ka nalsektion auf. Es t ragen daher mindest ens zw ei Mo den,
in und en tgegen der x -Rich tung, zur Sc hallausbreitung in d er ausgekleideten Kan alsektion
b ei. D ie Besc hreibung der Sc halltransmission, a lso dem Druc kv er hältnis zwisc hen A usgang
und Eingang der ausgek leideten Sektion, k ann dann erheblic h v on e − ik x L ab w eic hen ( L ist
die Länge der W andauskleid ung).
Nahfelder: Die Üb ergänge zwischen ausgekleideter und sc hallharter Kanalsektion stel-
len Imp edanzsprungstellen dar, an denen höhere Mo den angeregt w erden. Diese Mo den
sind üb erwiegend ev aneszen t und bilden die akus tisc hen Nahfelder 1 . Sie sorgen für einen
1 Ein b ekann tes Beispiel für Nahfelder sind die „mitsc h wingenden Medienmassen“ an der Öffnung eines
Helmholtz-Resonators. Sie tragen zur Erhöh ung der Massenreaktanz b ei.
89
k ontin uierlic hen Üb ergang des Sc hallfelds zwischen der ebenen Grundmo de im sc hallhar-
ten Kanal und dem ausbreitungsfähigen F eld in der ausgekleideten Sektion. Selbst w enn
sic h dort keine der höheren Moden ausbreiten kann, führen die Nahfelder und die in ih-
nen gesp eic herte akustisc he Blind- und V erlustenergie zu einer Änderung von Amplitude
und Phase der an der Sprungstelle reflektierten und transmittierten Grundmo de bzw. der
jew eils ausbreitungsfähigen Mo de.
Höhere Mo den: In der ausgekleideten Sektion k önnen sich bei b estimm ten W andimp e-
danzen auc h weit un terhalb der Cut-on-F requenz des sc hallharten Kanals höhere Mo den 2
ausbreiten. Dies wurde b ereits in Kap. 5.2.2.4 gezeigt 3 . Diese höheren Mo den tragen ggf.
mit zur Sc halltransmission und -reflexion b ei und m üssen b erüc ksic h tigt w erden.
Visk osität und W ärmeleitung: An den Kanalw änden bilden sic h aufgrund der Zä-
higk eit und der Wärmeleitung des Mediums Grenzsc hic h ten aus, die für eine Mo difikation
der Sc hallausbreitung sow ohl im sc hallharten Kanal als auc h in der ausgekleideten Sektion
sorgen. Neb en einer zusätzlic hen Dämpfung ändert sic h die Phasenkonstan te im Cut-on-
Bereic h mit einer für die W andadmittanz sp ezifisc hen F requenzabhängigk eit. 4
Die in Abb. 6.1 gezeigte Kanalgeometrie ist in z -Ric h tung symmetrisc h 5 und kann v er-
einfac hend durch ein zw eidimensionales Kanalmo dell 6 b esc hrieb en w erden (Längsac hsen-
ric htung x , w andnormaler Ric h tung y ). In diesem F all kann die Imp edanz gemäß Gl. 3.66
allein aus der W ellenzahlk omp onen te senkrec h t zur ausgekleideten W and, k y , ausgew ertet
w erden. Es werden im F olgenden vier Imp edanzeduktionsmetho den v orgestellt, die auf der
Messungen der Streuk o effizien ten r , t und der A usw ertung v on k y basieren. Die Bezieh ung
zwisc hen den Streukoeffizienten und k y wird jew eils durc h ein analytisc hes Sc hallfeldmo-
dell hergestellt. Die Mo delle, hier A, B, C und D genann t, un terscheiden sic h in ihren
zugrunde gelegten Mo dellannahmen. Die vier ob en genann ten Sc hallfeldeffekte w erden
dab ei sc hritt w eise und un ter zunehmender Erhöh ung der Mo dellk omplexität eingebunden.
Mo dell A: Nur die Sc halltransmission einer einzelnen, sic h im ausgekleideten Kanalstüc k
ausbreitenden Mo de wird b erüc ksich tigt. Reflexionen, Nahfelder, w eitere Mo denord-
n ungen und Grenzschic h teffekte w erden v ernac hlässigt. Das Mo dell ist eindimensio-
nal. 7
Mo dell B: Es w erden die T ransmission und die Reflexionen der Grundmo de an den b eiden
Üb ergängen zwisc hen sc hallharter und ausgekleideter Kanalsektion v or und hin ter
dem Liner b erüc ksic h tigt. Das Mo dell ist damit zw eidimensional (da n un auc h Inho-
mogenitäten in x -Ric h tung b erüc ksic h tigt werden).
2 Damit sind hier Querv erteilungen des Druc k s in y -Rich tung, senkrec h t zur ausgekleideten W and,
gemein t.
3 Siehe Abb. 5.6: für die vier A dmittanzen mit resistiv em Anteil kann sic h die erste höhere Mo de ab
f < 1100 Hz ausbreiten. Die Cut-on-F requenz des harten Kanals liegt b ei 2150 Hz.
4 In Kap. 5.1.1 und Anhang F.2 wurde gezeigt, dass sic h für die dort un tersuch ten W andimp edanzen die
Phasenk onstan te erhöht (die W elle läuft langsamer). Dies m uss allerdings nic ht bei allen W andimp edanzen
der F all sein.
5 Spiegelsymmetrie in der x - y -Eb ene.
6 Im 2D-Mo dell w erden lediglic h die Grenzsc hich ten an den Seiten w änden z = const. vernac hlässigt.
Diese w erden im dreidimensionalen Mo dell D ein b ezogen.
7 Die V ernac hlässigung v on Reflexionen en tsprich t einem unendlic h langem Kanal. Die einzige Inhomo-
genität stellen die in y -Ric h tung sic h gegenüberstehenden Wände dar.
90
Mo dell C: Zusätzlic h zu den Reflexionen w erden die Nahfelder und die A usbreitung höhe-
rer Mo den im ausgekleideten Kanalstüc k b erüc ksic h tigt. Die höheren Mo den w erden
durc h Querwellenzahlen k y höherer Ordn ung b esc hrieb en, die die Randb edingungen
an der Imp edanzwand und der harten gegen üb erliegenden W and erfüllen. Der Druc k
in z -Ric htung wird (wie zuv or) als k onstant angenommen.
Mo dell D: Zusätzlic h zu den Eigensc haften v on Mo dell C w erden die visk osen und die
thermisc hen Grenzschic h ten im sc hallharten so wie im ausgekleideten Kanalstüc k
b erüc ksic h tigt. Da hierb ei auc h die W andgrenzsc hic h ten an den b eiden sic h in z -
Ric htung gegen üb erstehenden sc hallharten W änden mit ein b ezogen w erden und die-
se das Druc kprofil in z -Rich tung deformieren, wird das Mo dell als dreidimensional
gew ertet.
Die Mo delleigensc haften sind in T ab elle 6.1 zusammengefasst. Sie w erden im folgenden
Kapitel detailliert erläutert.
Eduktionsmetho de A B C D
Exp erimen telle Eingangsdaten t r , t r , t r , t
Mo dell-Kanaldimension 1D 1D 2D 3D
Reflexionen - x x x
Höhere Mo den - - x x
Visk osität und W ärmeleitung - - - x
T ab elle 6.1. Imp edanzeduktionstec hnik en A-D mit Eigensc haften der verw endeten Sc hallfeldmo-
delle. t, r sind der Reflexions- und der T ransmissionsfaktor, die b eide exp erimen tell
b estimm t w erden.
6.2. Mo delle
6.2.1. Mo dell A
Im einfac hsten der vier Mo delle wird die Imp edanz nac h dem Prinzip der „Single Mo de
Metho de“, wie in Kap. 2.2.2.1 b esc hrieb en, b estimm t. Dab ei wird angenommen, dass der
Sc halltransp ort n ur auf Basis einer einzelnen unidirektionalen Mo de stattfindet, w elche
im realen Sc hallfeld der am geringsten gedämpften Mo de en tsprich t. Da alle Effekte der
Disk ontin uitäten an den Üb ergängen zwisc hen sc hallharter und nac hgiebige W and, wie
Reflexionen und Nahfelder, v ernachlässigt w erden, en tsprich t dies einem unendlic h lan-
gen, ausgekleideten Kanal, wie in Abb. 6.2 dargestellt. Alle mathematisc hen Zutaten für
Mo dell A wurden b ereits in v orherigen Kapiteln erläutert. Die axiale W ellenzahl k x wird
gemäß Gl. 2.11 bzw. 2.12 aus dem gemessenen T ransmissionsfaktor der ausgekleideten Ka-
nalsektion b estimm t. Üb er die Disp ersionsrelation Gl. 3.67 wird k x in die Querwellenzahl
k y umgerec hnet, die, eingesetzt in Gl. 3.66, auf direktem W eg zur Imp edanz Z des Liners
führt.
91
t = e − ik x L
Liner (L¨ ange L )
sc hallharte W and
Abbildung 6.2. Kanalmo dell A: T ransmission einer einze lnen Mo de i n einem unendlic h langen,
ausgekleideten W e llenleiter.
Wie b e reits in Kap. 2.2.2.1 an gemerkt, bringt die Bes timm ung der W ellenzahl k x = β − iα
aus dem T ransmissionsfaktor t = | t | exp( iϕ t ) = e xp( − ik x L ) = exp( − iβ L ) exp( − αL ) die
Sc hwierigk eit der Meh rdeutigk eit der Phasenk onstan te β mit, da die T ransmissionsph ase
2 π -p er io d isc h ist.
β n = Re( k x,n )= − ϕ t ± n 2 π
L mit n =1 , 2 , 3 ,.... (6.1)
Dem Problem wird damit b egegnet, dass die k x -A usw ertung b ei tiefen F requenzen gestartet
wird, w o ϕ t am kleinsten 8 u nd deutlic h kleiner als π ist, und zu höheren F requenze n
k ontin uierlic h (un ter Annahme derselb en P e rio de ) fortgesetzt wird.
6.2.2. Mo dell B
In Mo dell B w erden die Reflexionen an den Imp edanzsprungstellen der b eiden Üb ergän-
ge zwisc hen harter und ausgekleideter Kanalsektion einbezogen. Dab ei wird (im Un ter-
sc h ied zum v orherigen Mo dell) explizit die A usbreitung der Grundm o de n =0 ange-
nommen. Abb. 6.3a zeigt das Kanalmo dell: Die fett dar gestellten Pfeile b ezeic hnen die
T eil-Streuk o effizienten, die an den b eiden Sp rungstellen mit 1 und 2 indi ziert w erden; ±
b eze ic h net die Sc hallausbreitung in bzw. e n tg egen x -Ric h tung. Die dünn gezei c h neten,
gesc hlängelten Pfeile mit dem Ind ex A stellen die links - und rec h tslau fenden Mo den in
der ausgekleideten Se ktion dar. Abb. 6.3b zeig t die Gesam ttransmission und -re flexion
der ausgekleidete n Kanalsektion r, t . Es werden hier spiegelsymmetrisc he Üb ergänge an-
genommen, also r + = r − = : r und t + = t − = : t . Die Gesam t-Streuk o effizien ten hängen
damit nic h t von der Sc halleinfalls ric h tung ab.
F ür die Imp edanzb estimm ung m üssen die Gesam t-Streuk o effizien ten r, t in einen Zusam-
menhang mit der Längsw ellenzahl k A der ausgekleideten Sektion gebrac h t w erden. Dieser
Zusammenhang wird zu näc hst für die T eil-Streuk o effizienten der b eiden Sprungs tellen her-
gestellt und dann au f r, t üb ertragen.
Streuk o effizienten an den Sp rungstellen: Aufgrund der Symmetrie m uss n ur eine d er
b eid en Sprungstellen, h ier die v ordere ( x =0 ), b et rac h tet w erden. Die Grundmo de der
sc h allharten Sektion ( W ellenzahl k 0 ) geht hier in die ausgekleidete Sektion (W ellenza hl k x )
üb er . Da n ur die eb ene Mo de b etrac h tet wird, kann die gesa m te S c ha llausbreitung mit
der eindimensional en W ellenleitertheorie b esc hrieb en werden. Dab ei wird ausgenutzt, dass
8 Die T ransmissionsphase misst den zurüc kgelegten Wink el der W elle en tlang der Linerlänge L ; dieser
ist um so kleiner je größer die W ellenlänge ist.
92
x
t +
1
t −
1
t +
2
t −
2
r −
1 r +
1 r −
2 r +
2
p +
A
p −
A
0
L
Liner
(a) T eil-Streuk o effizien ten an den b eiden Imp edanzsprungstellen
x
t +
t −
r − r +
0
L
(b) Gesam t-
Streuk o effizienten
Abbildung 6.3. Kanalmo dell B mit Reflexionen.
sic h Sprünge des W ellen w iderstands W = ˜︁
p/ ˜︁
u , hier aufgrund einer geä nderten Randb e-
dingung des Kanals, in der 1D-Näherung allein durc h Bezieh ungen der axialen W ellenzahl
ausdrüc ken lassen 9 . Die v ordere Sp rungstelle x =0 wird zunäc hst isoliert und fü r Sc h all-
anregung v on links b etrac h tet. Der Sc halldruc k in der link en, sc hall harten Kanalsektio n
ist
˜︁
p 1 = p 0 ( e − ik 0 x + r −
1 e ik 0 x ) , für x< 0 (6.2)
und der Sc halldruc k rec hts v on der Sprungstell e (in der ausgekleide ten Sektion) ist
˜︁
p A = p A e − ik A x , für x> 0 . (6.3)
A uf grund der Isolation d er Sprungstelle gi bt es k eine v on rech ts zurüc klaufende W elle. Bei
x =0 m üsse n der Gesam tdruc k ˜︁
p und die Gesam tsc hnelle ˜︁
u (und damit auc h das V erhältnis
˜︁
p/ ˜︁
u ) links und rec h ts von der Sprungstelle stetig sein. Mit ˜︁
u aus der Impulsgleich ung 3.48
ergibt sic h
˜︁
p 1
˜︁
u 1 | x =0
!
= ˜︁
p A
˜︁
u A | x =0 → 1+ r −
1
1 − r −
1
= k 0
k A
.
F ür den linksseitigen R eflexionsfaktor de r v or deren Sprungstell e ergibt sic h also
r −
1 = k 0 − k A
k 0 + k A
. (6.4)
F ür die Bestimm ung des rec h tsse itigen Reflexionsf aktors r +
1 wird die x -A c hse gespiegelt.
Dies ist äquiv al en t z ur Sc hallanregung auf der rec h ten Seite der Sprungstelle. D er Druc k
für x> 0 ist ˜︁
p A = p A ( r +
1 e − ik A x + e ik A x ) ; der Druc k für x< 0 ist ˜︁
p 1 = p 0 e ik 0 x . A us der
V orgab e der St etigk eit des Gesam tdruc ks u nd der Gesam tsc hn elle b ei x =0 ergibt sic h
dann
r +
1 = k A − k 0
k A + k 0
= − r −
1 . (6.5)
Der T ransmissionsfaktor t +
1 der ersten Sprungst elle ergibt sich üb er die V orgab e der Ste-
tigk eit des Druc ks b ei x =0 für Sc hallanregung v on links, ˜︁
p 1 | x =0 !
= ˜︁
p A | x =0 . Daraus ergibt
sic h mit Gl. 6.2 und Gl. 6.3
t +
1 = 1+ r −
1 . (6.6)
9 Dies gilt ganz unabhängig da v on, wie die Änderung des W ellen widerstands zustande k ommt: durc h
eine v eränderte Randb edingung des Kanals, ein v erändertes Medium des Sc halltransp orts (z.B. p oröses
Material) o der aus einer T erminierung des Kanals wie z.B. b eim Kundtsc hen Rohr.
93
Analog dazu erhält man den T ransmissionsfaktor für Sc hallanregung v on rec hts
t −
1 = 1 − r −
1 . (6.7)
Die vier Streuk o effizien ten der zweiten Sprungstelle bei x = L ergeb en sic h aus Symme-
triegründen wie folgt
r +
2 = r −
1 , r −
2 = r +
1 , t −
2 = t +
1 , t +
2 = t −
1 . (6.8)
Gesamt-Streuk o effizienten der ausgekleideten Kanalsektion: Nun wird die Sc hallaus-
breitung in der Linersektion b etrach tet. Die sic h nach rec h ts au sbreitende W elle ˜ p +
A setzt
sic h aus der transmittierten W elle t +
1 · 1 aus der v orderen schallharten Sektion und der
rec hts v on der Sprungstelle reflektierten rüc klaufenden W elle r +
1 ˜ p −
A zusammen:
˜ p +
A = t +
1 + r +
1 p −
A . (6.9)
Die Amplitude der sic h üb er dem Liner nac h links ausbreitenden W elle ˜ p −
A ergibt sic h aus
der an der hin teren Sprungstelle ( x = L ) reflektierten W elle ˜ p +
A :
˜ p −
A = ˜ p +
A r −
2 e − i 2 k A L , (6.10)
w ob ei der F aktor 2 im Phasen term aus dem zweifac hen Laufw eg der W elle, v on x = 0 zur
Reflexionsp osition x = L und zurück, resultiert. Umstellen v on Gl. 6.9 und 6.10 ergibt
˜ p +
A = t +
1
( r −
1 ) 2 t +
1 e − i 2 k A L
1 − ( r −
1 ) 2 e − i 2 k A L , (6.11)
˜ p −
A = − r −
1 t +
1 e − i 2 k A L
1 − ( r −
1 ) 2 e − i 2 k A L . (6.12)
Der Gesam ttransmissionsfaktor t des ausgekleideten Kanalstüc ks ist die Amplitude der
aus Linersektion nac h rech ts laufenden und b ei y = L transmittierten W elle
t = t +
2 ˜ p +
A e − ik A L = [︂ 1 − ( k 0 − k A
k 0 + k A ) 2 ]︂ e − ik A L
1 − ( k 0 − k A
k 0 + k A ) 2 e − i 2 k A L . (6.13)
Der Gesam treflexionsfaktor r ist die Summe aus der linksseitigen Reflexion an der ers-
ten Sprungstelle und der Amplitude der aus der Linersektion stammenden, nac h links
laufenden W elle
r = r −
1 + t −
1 ˜ p −
A = k 0 − k A
k 0 + k A ⎛
⎝ 1 − 1 − e − i 2 k A L
1 − ( k 0 − k A
k 0 + k A ) 2 e − i 2 k A L ⎞
⎠ . (6.14)
Imp edanzeduktion: Gl. 6.13 und 6.14 sind b ezüglic h k A implizite Gleic hungen und w er-
den mit einer A usgleichsrec hn ung gelöst. Dafür wird der Zusammenhang zwisc hen kleinen
Änderungen d S der Streuk o effizien ten und kleinen Änderungen d k der normierten W el-
lenzahl k : = k A /k 0 durc h die Jacobi-Matrix J ausgenutzt:
dS = J · dk mit J = [ d r /d k , d t /d k ] | . (6.15)
94
Die Jacobi-Matrix J b einhaltet die Ableitungen der Streuk o effizien ten aus den Mo dellglei-
c hungen 6.13 und 6.14 nac h k , w ährend d S der V ektor der Differenzen zwisc hen exp eri-
men tellen und b erec hneten Streukoeffizienten:
dS = [︄ r exp − r
t exp − t ]︄ (6.16)
ist. Die Bestimm ung von k A aus r , t basiert auf der Bildung der Pseudoin v ersen von J :
d k = J ( − 1) · dS . (6.17)
Die Sc hätz-W ellenzahl k i des jew eiligen Iterationssc hrittes i wird solange um kleine W erte
v erändert, k i + d k , bis die Ab w eich ungen der Streuk o effizien ten ( d S ) minimal wird. A uf
diese Art wird die W ellenzahl gleic hzeitig an r und t angepasst. Die iterativ b estimm te
W ellenzahl k A kann ansc hließend mit Gl. 3.67 und Gl. 2.11 in die Imp edanz Z des Liners
umgerec hnet werden.
6.2.3. Mo dell C
In Mo dell C werden zusätzlic h zu den Reflexionen die höheren Mo den eingeschlossen.
Diese treten einerseits in F orm v on ev aneszen ten Mo den in den Nahfeldern an den b eiden
Imp edanzsprungstellen auf. Andererseits können sie sic h aufgrund der nac hgiebigen W and
auc h in der ausgekleideten Kanalsektion ausbreiten. Die Imp edanzeduktion umfasst die
vier folgenden Sc hritte:
Schritt 1:
Mit Gl. 3.66 w erden die mo dalen Querw ellenzahlen k y ,n (Mo denindex n ) für die N + 1
niedrigsten Mo den in der ausgekleideten Kanalsektion für einen v orgegeb enen Start w ert
der Imp edanz Z b estimm t. Die v ersc hiedenen Lösungen v on Gl. 3.66 (gemäß der P e-
rio dizität der T angens-F unktion) en tsprec hen gerade den v erschiedenen Moden. Da die
Gleic hung bezüglich k y ,n implizit ist, wird sie iterativ mit der Newton-Raphson-Metho de
gelöst. Die dab ei einzusetzende Ableitung ∂ Z / ∂ k y kann mit Gl. 3.66 analytisc h b erechnet
w erden. Geeignete Startw erte für k y ,n findet man für n > 0 b ei kleinen F requenzen, da hier
die Nac hgiebigkeit der W and v ernac hlässigbar ist, | Y |≈ 0 . Die Lösung für harte W ände
k y ,n = nπ /h (vgl. Gl. 3.56) bildet dann eine gute Näherung. Bei der Grundmo de ( n = 0 )
würde dies in Gl. 3.66 zu einer Division durc h Null führen. Daher wird k y , 0 = √︁ iω h/ ( cZ )
v erwendet, w ob ei die Klein wink elnäherung 10 für Gl. 3.66 v erw endet wurde.
Die A uswertung startet b ei der tiefsten F requenz. Die N + 1 mo dalen Lösungen wer-
den dab ei nach Re( k y ) sortiert, w elc hes im W esen tlic hen die Dämpfung der Mo den in
x -Ric htung bestimmt. 11 Die Sortierung in aufsteigender Reihenfolge ergibt die Mo denord-
n ung. Die Ausw ertung wird danac h un ter sc hrittw eiser Erhöh ung der F requenz fortgesetzt,
10 tan( x ) ≈ x für x ≪ 1 .
11 Dies gilt strenggenommen n ur für den sc hallharten Kanal, w o k y h = nπ ist, und für die ev aneszen ten
Mo de. Mit der Disp ersionsrelation wird k x rein imaginär, w enn k y > k 0 ist, und | k x | w äc hst dann mit
| k y | an. Zur Sortierung der Mo den wird nich t die axiale Dämpfung − Im( k x ) v erw endet, da diese b eson-
ders frequenzabhängig ist und man insb esondere „Mo denkreuzungen“ nic h t mehr iden tifizieren k önn te.
Demgegen üb er ist Re( k y ) w eniger anfällig.
95
w ob ei die jew eils v orher erzielten Lösungen als Anfangsw erte für den neuen F requen zpunkt
eingesetzt w erden. Somit en tstehen freque nzk on tin uierlic he Mo denkurv en. Mit tels
k x,n = √︂ k 2
0 − k 2
y ,n (6.18)
w er den ansc hließend die zugehörig en axialen W ellenzahlen b estimm t.
Schritt 2:
Es w e rden n un die Nahfelder b etrac h tet, die an den b eiden Imp edanzsprungstellen x =0 ,L
(vgl. Abb. 6.3a) v on einer aus dem sc hallharten Kanal stammenden Grun dmo de ( n =0 )
angeregt w erden. Die Amplitude n der üb erwiegend ev aneszen ten Mo den w erden mi t einem
Mo de -Matc hing-V erfahren b estimm t.
y
0
x
| p | =1
p −
n
p +
n,A
Liner
harter Kanal
(a) Anregung höherer Mo den b ei x =0 b ei Sc hallan-
regung v on links.
x
y
x
t +
00
t +
01
t −
00
t −
10
r −
00 r +
00
r +
01
r +
10
r +
11
0
(b) Streuk o effizie n ten für die aus-
breitungsfähigen Mo den.
Abbildung 6.4. Mo de nstreuung an der v orderen Imp edanzsprungstelle b ei x = 0 . Der zw eistellige
Index in Abb. 6.4b gibt die Mo den üb ergänge der ausbr eitungsfähigen Mo den an.
A usbreitungsfähig ist für x< 0 n ur die Grundmo de ( n =0 ) und für x> 0 die
Grundmo de und die erste höhere Mo de ( n =1 ).
Mo de-matching: Aufgrund der Symmetrie der b eiden Üb ergänge reich t es wieder aus,
n ur die vordere Sprungstelle ( x =0 ) zu b etrac hten; links da v on liegt der hart w a ndige
Kanal, rec h ts d er ausgekleideten K anal, siehe Abb. 6.4a . Die S c ha llanregung erfolg t v on
links durc h die Grundmo de mit Amplitude 1 . Das Sc ha llfeld auf der linken Seite x = − ϵ
( ϵ b eze ic h net einen Ort sehr dich t an der Sprungstel le) setzt sic h demen tsprec hend aus
der einlaufenden Gru ndmo de und den zurüc k laufenden/reflekt ierten N +1 hart w andig en
Mo de n zusammen. A uf der rec h ten Seite ( x =+ ϵ ) b esteh t es aus den N + 1 transmittierten
Mo de n 12 . Die Schallfelder links und rec h ts v on der Sprungstel le m ü ssen b ei x =0 stetig
ineinander üb ergehen, d.h. die Summe ü b er al le Mo de n m us s iden tisc h sei n. Dies gilt
12 Zwisc hen den einzelnen Mo den vor und hin ter dem Imp edanzsprung tritt Mo denk onv ersion auf, d.h.
Energie einer Mo de wird in eine andere Mo denform „ gestreut“ .
96
so wohl für den Sc halldruc k
1 · cos[ k y , 0 ( y − h )] +
N
∑︂
n =0
p −
n cos[ k y ,n ( y − h )] !
=
N
∑︂
n =0
p +
n,A cos[ k y ,n,A ( y − h )]
(6.19)
als auc h für die axiale Schnelle, die mit Gl.3.48 gleic h ˜︁
u = − 1 / ( iω ρ 0 ) ∂ ˜︁
p / ∂ x ist:
1 · k x, 0
k 0
cos[ k y , 0 ( y − h )] −
N
∑︂
n =0
k y ,n
k 0
p −
n cos[ k y ,n ( y − h )] !
=
N
∑︂
n =0
k x,n,A
k 0
p +
n,A cos[ k y ,n,A ( y − h )] .
(6.20)
Die T erme auf der link en Seite v on Gl. 6.19 und 6.20 k ennzeic hnen das Sc hallfeld auf der
link en Seite der Sprungstelle. Neb en der hinlaufenden eb enen Grundmo de, deren Quer-
v erteilung in y -Ric h tung k onstan t ist (mit k y , 0 = 0 und k x, 0 = k 0 ), sind dies die b ei
x = 0 angeregten und zurüc klaufenden höheren Mo den, deren Lösungen k y ,n = nπ /h sind
(Kanalhöhe h ). A uf der rech ten Seite v on Gl. 6.19 und 6.20 stehen die v on der Sprung-
stelle nac h rech ts laufenden höheren Mo den in der ausgekleideten Sektion, die mit dem
Index A gek ennzeichnet sind. Die Längs- und Querw ellenzahlen k x,n,A , k y ,n,A sind dab ei
aus Sc hritt 1 b ekann t.
Die insgesam t 2( N + 1) Mo denamplituden 13 in Gl. 6.19 und 6.20 sind un b ekann t und
w erden wie folgt b estimm t: Die Gleich ungen m üssen für jeden W ert y in 0 < y /h < 1
erfüllt sein. Damit kann ein Gleic hungssystem für M > N + 1 Stützstellen in y -Ric htung
aufgestellt w erden 14 , w elc hes mit einer Ausgleic hsrec hn ung gelöst wird. 15 Dazu w erden
alle T erme mit un b ekann ten Amplituden auf die link e Seite gebrac h t und die T erme der
einfallenden W elle (mit b ekann ter Amplitude 1) auf die rec h te Seite. Es en tsteh t ein üb er-
b estimm tes lineares Gleic hungssystem mit 2 M Gleic h ungen und 2( N + 1) Un b ekann ten:
B · P = − E , (6.21)
w ob ei P der Spalten vektor mit den 2( N + 1) un b ekann ten Druc kamplituden ist. E ist der
2 M -dimensionale V ektor der Druc k- und Sc hnellev erteilung der einfallenden Grundmo de,
also der Einheitsv ektor. Die Koeffizienten-Matrix B en thält vier Un termatrizen der Größe
M × ( N + 1) , die den vier Summen termen in Gl. 6.19 und 6.20 en tsprec hen:
B = [︄ B p B p,A
B u B u,A ]︄ mit ⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
B p = cos[ k y ,n ( y m − h )]
B p,A = − cos[ k y ,n,A ( y m − h )]
A u = − k x,n
k 0 cos[ k y ,n ( y m − h )]
A u,A = − k x,n,A
k 0 cos[ k y ,n,A ( y m − h )]
(6.22)
für n = 0 : N und m = 1 : M . Den gesuc h ten Amplituden v ektor P liefert dann die
Pseudoin verse der Matrix B
P = B − 1 · ( − E ) . (6.23)
13 Es gibt N + 1 linksseitige Amplituden p −
n und N + 1 rech tsseitige Amplituden p +
n,A
14 Da zw ei unabhängige Gleic h ungen (Gl. 6.19 und 6.20) zur Bestimmung der Mo denamplituden zur
V erfügung stehen, m üssen n ur mindestens N + 1 Stützpunkte in y -Ric h tung gew ählt werden.
15 Die K on tin uität in Gl. 6.19 und 6.20 ist theoretisch n ur für eine unendliche Zahl v on Mo den gegeb en.
Da hier allerdings n ur endlic h viele Mo den b erüc ksic h tigt werden k önnen, wird mit der A usgleic hsrec hnung
die b este Näherung gesuc h t.
97
A usb reitungsfähige Mo den und Streuk o effizienten der Sp rungstelle: Bei der der Imp e-
danzeduktion zugru ndeliegenden Mes sung der Streuk o effizien ten wird nur der F requ enz-
b ere ic h d er A u sbreitung der Grundm o de im schallharten Kanal un t ersuc h t. In die sem
Bereic h m üssen fü r den Sc halltransp ort im Kanal n ur dre i ausbreitungsfäh ige Mo d enfor-
men b e rüc ksic h tigt w erden. Neb en der Grundmo d e im sc hallharten Kanal k önnen sic h im
ausgekleideten Ka nal die Grundmo de und die erste höher e Mo de au sbreiten. Das Nahfe ld
an der Sprungstelle x = 0 kann also neb en dem bisher b etrac htete n F all, der Anregung
v on links, auc h durc h die Grundmo d e und die erste höhere Mo de von rec h ts angeregt
w er den. Dies ist in Abb. 6.5 da rgestellt. Das Mo de-matc hing m u ss daher um die b eiden
in Abb. 6.5b und 6.5c dargestell ten F älle erw eitert w erden. Dab ei ä ndert sic h die rec h te
Seite in Gl. 6.21 en tsprec hend. 16 Die drei v ersc hiedenen Spalten v ek toren der rec h t en Seite
v on G l. 6.21 k önnen zu einer 2 M × 3 -Matrix zusammengefasst w erden und für P erhält
man en tsprec he nd eine 2( N + 1) × 3 -Matrix.
F ür jede der drei Anregungs arten gibt es drei ausbrei tungsfähige Streuw ellen, zw ei im
ausgekleideten Kan al und eine im hart w andigen Kanal. Die auf 1 gesetzte Amp litude der
jew eils anregenden Mo de führt dazu, dass die Amplitud en der Streu w elle n gerade den
Streuk o effizienten der Sprungstelle en tsprec hen . Dies ergibt die in Abb. 6.4b darg estellten
9 möglic hen Streuk o effizienten. 17 Der zw eistellige Index k ennzeic hnet dab ei den jew eiligen
Mo de n üb ergang. 18
x
| p +
0 | =1
p −
0
p +
0 ,A
p +
1 ,A
0
(a) Mo de n = 0 von links
x
p −
0
| p −
0 ,A | =1
p +
1 ,A
p +
0 ,A
0
(b) Mo de n = 0 von rec h ts
x
p −
0
| p −
1 ,A | =1
p +
1 ,A
p +
0 ,A
0
(c) Mo de n = 1 vo n r e cht s
Abbildung 6.5. Die drei möglichen Anregungsarten der Mo den an d er Sprungstelle (dick e W ellen-
pfeile) und die jeweils zugehörigen ausbreitungsfähigen Mo den.
Schritt 3:
Die Streuk o effizi en t en der v orderen Sprungstelle w erden n un ins V erhältnis zu den Gesam t-
Streuk o effizienten der ausgekleideten Kanalsekti on gebrac h t. Die se ist in Abb. 6.6 gezeigt.
Analog zu Absc hnitt 6.2.2 (Mo dell B) w erden zunäc hst die Amplituden der hin- u nd
rüc klaufenden Mo den im ausgekleideten Kanal b erec hnet und diese dann in die Ge sam t-
Streuk o effizienten umgerec hnet.
F ür die Sc hallüb ertra gung im ausgekleide ten Kanalstüc k k om men die n ullte und die erste
Mo de in F rage. Ihre Amplituden p +
0 ,A , p +
1 ,A bzw. p −
0 ,A , p −
1 ,A für die nac h rec hts bzw. nac h
links laufenden W ellen sind d urc h die Bedingungen an den Sprung stellen und die mo dalen
„A u sbreitungsfaktor en“ e 0 : = ex p( − ik A, 0 L ) und e 1 : = exp( − ik A, 1 L ) b estimm t. Es wird
wieder der F all b etrac h tet, dass die eb ene Grundmo de mit der Amplitude 1 aus dem link en
16 Für den Einfall der n ullten Mo de von rec hts wird − E in Gl. 6.21 durc h den Spalten vektor mit
cos( k y, 0 ,A y m ) für die ersten 1 ≤ m ≤ M K omp onenten und mit − k x, 0 ,A /k 0 cos( k y, 0 ,A y m ) für die restli-
c hen M +1 ≤ m ≤ 2 M Komponenten beschrieben. Analog wird b eim Einfall der ersten Mode von rec h ts
v erfahren.
17 Diese sind b ereits im Spaltenv ektor P enthalten.
18 So b eschreibt z.B. t +
01 die T ransmission der Grundmo de im schallharten Kanal, die in die erste höhere
Mo de in der ausgekleideten Sektion üb ergeh t.
98
x
| p | =1
p +
0 ,A
p +
1 ,A
p −
0 ,A
p −
1 ,A
x =0 x = L
Abbildung 6.6. Amplituden der vor- und zurüc klaufe nden n ullten und ersten Mo de in der ausge-
kleideten Kanalsekt ion.
hart w andige n Kanalstüc k auf die link e Sprungstelle einfällt . Dann gilt für die v orlaufenden
und für die b ei x = L reflektierten u nd zurüc klaufenden W ellen, dass
p +
0 ,A = t +
00 + r +
00 p −
0 ,A + r +
10 p −
1 ,A (6.24)
p +
1 ,A = t +
01 + r +
01 p −
0 ,A + r +
11 p −
1 ,A (6.25)
p −
0 ,A = r +
00 p +
0 ,A e 0 e 0 + r +
10 p +
1 ,A e 1 e 0 (6.26)
p −
1 ,A = r +
01 p +
0 ,A e 0 e 1 + r +
11 p +
1 ,A e 1 e 1 . (6.27)
A us Gl. 6.24-6.27 kann ein Gleic h ungs system aufgestell t w e rden, w elc hes in M atrix-Sc hreib-
w eise
B · P A = T A mit {︄ P A =[ p +
0 ,A ,p
+
1 ,A ,p
−
0 ,A ,p
−
1 ,A ] ,
T A =[ t +
00 ,t
+
01 , 0 , 0] (6.28)
lautet, mit der K o effizien ten-Ma trix
B = ⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
10 − r +
00 − r +
10
01 − r +
01 − r +
11
− r +
00 e 0 e 0 − r +
10 e 1 e 0 10
− r +
01 e 0 e 1 − r +
11 e 1 e 1 01
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦ . (6.29)
Die vier in P A zu sammengefassten u n b ekann ten Druc kamplituden w erden durc h Bildung
der Pseudoin versen gelöst:
P A = B − 1 · T A . (6.30)
Die Gesam t-Streukoeffizienten der ausgekleideten Sektion ergeben sich wie folgt: An der
link en Sprungstelle tragen neb en der direkt reflektiert en W elle r +
00 die transmittierte n
An t eile v on p −
0 ,A und p −
1 ,A zum Gesam t-Reflexionsfaktor r b ei
r = r −
00 + t −
00 p −
0 ,A + t −
10 p −
1 ,A (6.31)
und die Amplitude t der hin ter der zw eiten Sprungstelle auslau fenden W elle ergibt sic h
aus der T ransmission der b eiden W ellen p +
0 ,A und p +
1 ,A durc h die Sprungstelle:
t = t +
00 e 0 p +
0 ,A + t +
10 e 1 p +
1 ,A . (6.32)
99
Schritt 4:
Die Sc hritte 1 bis 3 b erec hnen die Streukoeffizienten r , t der ausgekleideten Kanalsektion
für eine v orgegeb ene W andimp edanz Z . Im Rahmen einer Imp edanzeduktion m uss die
Rec hnung n un in v ertiert w erden. Dies erfolgt analog zu der b ereits in Mo dell B (Gl. 6.15-
6.17) v erwendeten A usgleic hsrec hn ung, w ob ei n un Z und nic h t die W ellenzahl b estimmt
wird. A usgehend von einem Start w ert wird Z um kleine W erte d Z v ariiert, bis die Differenz
zwisc hen exp erimen tellen und Mo dell-Streuk o effizien ten minimal wird. Prinzipiell hängen
so wohl r als auc h t v on der gesuch ten W andimp edanz ab, w ob ei diese Abhängigk eit b ei
den meisten F requenzen für t stärk er als für r zum T ragen k omm t 19 , da die transmittierte
W elle die Linersektion mindestens einmal v ollständig durc hquert hat. A us Gründen der
Robustheit der A usgleichsrec hn ung w erden hier r und t gleichzeitig angepasst. Der Zusam-
menhang zwisc hen Z und r , t (Sc hritte 1-3) ist aussc hließlic h durc h analytisc he F unktionen
gegeb en, so dass auch die k omplexw ertigen Ableitungen ∂ r / ∂ Z , ∂ t / ∂ Z existieren. Diese
w erden in der Jacobi-Matrix J zusammengefasst. Die Pseudoin verse v on J
d Z = J ( − 1) · dS , (6.33)
liefert kleine K orrekturwerte, um die Impedanz in jedem Iterationsschritt Z neu = Z al t + d Z
v erändert wird, bis der V ektor d S (der Differenzen vektor zwisc hen den exp erimen tellen
und den Mo dell-Streuk o effizienten) minimal wird. Die Sc hätzw erte für A und d S w erden
demen tsprechend in jedem Sc hritt angepasst. Da der Zusammenhang zwisc hen Z und r, t
nic htlinear ist, darf der anfänglic he Sc hätzw ert für Z nic h t zu stark von dem w ahren W ert
ab weic hen, da die Ableitungen in der Jacobi-Matrix sonst in eine v ollk ommen falsc he Ric h-
tung w eisen würden und das V erfahren div ergieren würde. Abb. 6.7 zeigt die V erknüpfung
der vier Sc hritte der Imp edanzeduktion C.
Z star t +
Sc hritt 1
Num.
Iteration
Sc hritt 2
Mo de
matc hing
Sc hritt 3
W ellenausbr.
Linersektion
Sc hritt 4
min
r exp − r
t exp − t
Z k y ,n,A , k x,n,A
p −
n , p +
n,A
r , t
d Z
Abbildung 6.7. Üb erblick über die vier Berechn ungssc hritte v on Imp edanzeduktion C. Sc hritt 4
v erknüpft die drei v orherigen Sc hritte als Sc hleife, die solange durchlaufen wird
bis die Differenzen zwisc hen gemessenen und Mo dell-Streuk o effizien ten ein Mini-
m um erreichen. p −
n , p +
n,A sind die Amplituden der Mo den im schallharten bzw. im
ausgekleideten Kanalteil.
19 Eine A usnahme bildet z.B. der Resonanzb ereic h v on nachgiebigen W änden, wo die Dämpfung
| Im { k x ∗ L }| sehr groß und die T ransmission t damit sehr klein w erden kann.
100
6.2.4. Mo dell D
In Mo de ll D w e rden zusätzlic h zu den Eigensc haften v on Mo dell C di e visk osen und die
thermisc hen W andgrenzsc hic hten im Kanal b erüc ksic h tigt. Die Theo rie für die Sc hallaus-
breitung eb ener und höherer Mo den in sc hal lharten und in ausgekle ideten Rec h teckkanälen
un t er Berüc ksic htigung der W a ndgrenzsc hic h ten wurde b ereits in Kap. 5 eingef ührt. Ihre
Ein b ezieh ung in der Imp edanzb estimm ung erf ordert eine Mo difikation der aus Mo dell C
b eka nn t en Sc hritte 1 und 2, w ä hrend die übrigen Schritte und die iterativ e P rozedur gleic h
bleib en.
Mo difikation von Schritt 1: Die akustisc hen W andgrenzsc hic h ten 20 können durc h W and-
admittanzen Y w g r, y bzw. Y w g r, z (Gl. 5.7 , 5.7) an allen Kanalw änden b eschrieb en w erden.
An der ausgekleidete n W and addiert sic h die Grenzsc hic htadmittanz zur W andadmittanz
Y . Dies ist in Abb. 6.8 dar gestellt.
x
y
z − ( Y + Y w g r, y )
− Y w g r, y
Y w g r, z
Y w g r, y
− Y w g r, z
Abbildung 6.8. Rec h te c kkanal mit ausgekleideter W a nd (A dmittanz Y ) und mit W andgrenz-
sc hic htadmittanzen Y w g r, y ,Y
w g r, z .
Eine implizite Gleich ung zur Bestimmung der mo dalen Querwellenzahlen k y ,n,A i m aus-
gekleideten Kanals tüc k für eine gegeb ene Startadmittanz des Liner s ist durc h Gl. 5.31
gegeb en. Das numerisc he V erfahren zur Lösung v on Gl. 5.31 (zusammen mit den Gl. 5.29
und 5.30 ) wurde b ereits in Kap. 5.1.5 und in Anhang E erläu tert. Die Umrec hn ung in die
axialen W ellenzahlen k x,n,A erfolgt mit der Disp ersionsrelation 3.51.
Im sc hallharten Kanalteil sin d die mo dalen Lösungen für die Querwellenzahlen nic ht mehr
(wie b ei Mo dell C) durch die trivialen Lösungen nπ /h gegeb en, da auc h hier W andgrenz-
sc h ic hten die Sc hallausb reitung mo difizieren. Die W ellenzahlen k y ,n w erden stattdessen
mit Gl. 5.18 b estimm t.
Mo difikation von Schritt 2: Die W andgrenzsc hic h ten b eeinflussen neb en den W ellenzah-
len auc h die Querv erteilungen v on Druc k un d Sc hnelle. Die Mo de-matc hing -Gleic h ungen 6.19
und 6.20 m üssen daher angepasst w erden. Die w andnormale Druckv erteilung ist nich t mehr
wie im sc hallharten F all durc h eine einfac he cos -F unktion gegeb en, sondern m uss mit dem
Reflexionsfaktor fü r nac hgiebige W ä nde gebildet w erden. Der Reflexionsf aktor der un te-
ren Kanalw and ist im sc hallharten Kanalstück durc h die Grenzsc hic h tadmit tanz Y w g r, y
b est imm t und lautet mit Gl. A.21 (aus Anhan g A.3 )
r ⊥ = Y w ,y − Y w g r, y
Y w ,y + Y w g r, y
. (6.34)
20 Damit ist hier die zusammengefasste Wirkung der Zähigk eitsgrenzsc hic ht und der W ärmeleitungs-
grenzsc hic ht gemein t, vgl. Kap. 5.1.1 .
101
Im F all des ausgekleideten Kanalstüc ks ist r ⊥ durc h Y wg r ,y + Y b estimm t:
r ⊥ ,A = Y w ,y − ( Y + Y w g r ,y )
Y w ,y + ( Y + Y w g r ,y ) , (6.35)
mit Y w ,y , der y -K omp onen te der W ellenadmittanz (siehe Gl. 5.13).
Im sc hallharten Kanalstück lautet die w andnormalen Druc kverteilung p n ( y ) = ˆ p n P n ( y )
P n ( y ) : = 2 Y w ,y
Y w ,y + Y w g r ,y (︄ cos[ k y ,n ( y − h )] + i Y w g r ,y
Y w ,k
sin[ k y ,n ( y − h )] )︄ , (6.36)
und im ausgekleideten Kanalstüc k ist der Druck p n,A ( y ) = ˆ p n,A P n,A ( y ) mit
P n,A ( y ) : = 2 Y w ,y
Y w ,y + Y w g r ,y + Y (︄ cos[ k y ,n,A ( y − h )] + i Y w g r ,y + Y
Y w ,k
sin[ k y ,n,A ( y − h )] )︄
(6.37)
gegeb en. Die Mo de-Matc hing-Gleic h ungen Gl. 6.19 und 6.20 für Druc k und Sc hnelle lauten
damit
1 · P 0 ( y ) +
N
∑︂
n =0
ˆ p −
n P n ( y ) !
=
N
∑︂
n =0
ˆ p +
n,A P n,A ( y ) (6.38)
1 · k x, 0
k 0
P 0 ( y ) −
N
∑︂
n =0
k x,n
k 0
ˆ p −
n P n ( y ) !
=
N
∑︂
n =0
k x,n,A
k 0
ˆ p +
n,A P n,A ( y ) , (6.39)
w ob ei die Längs- und Querw ellenzahlen in Gl. 6.36-6.38 aus Schritt 1 stammen.
6.3. Liner-T estobjekte
Die vier Metho den der Imp edanzeduktionsmetho den w erden n un an zwei resonatorartigen
W andauskleidungen eingesetzt, deren Eigensc haften in T ab elle 6.2 b esc hrieb en sind. Das
Liner d m l m d c l c s σ [%] L f res [Hz] Re { Z 0 } / ( ρ 0 c )
HRS2/HRS2* 1 1 6.9 38.8 7.16 1.8 533.9 850 0.46
LR-Liner √ 2 0.5 6.9 38.8 7.16 3.5 291.1 1233 0.16
T ab elle 6.2. P arameter der v erwendeten T est-Liner, vgl. auc h Abb. 6.9. d m bzw. d c sind die Durch-
messer der Öffn ung bzw. der Kavität, l m bzw. l c sind die Tiefen der Öffn ung bzw. der
Ka vität, s ist der Abstand der im (gleichseitigen) Dreiec ks-Muster v erteilten Resona-
torzellen, L ist die akustisc h aktive Linerlänge ( x -Ric h tung), f r es ist die Resonanz-
frequenz und Z 0 ist die Imp edanz b ei f r es . Alle Längenmaße sind in mm angegeb en.
erste T estob jekt, der „HRS2“-Liner, ist real existierend; sein Dec kblec h ist in Abb. 6.9a
dargestellt. Es b esteh t aus einer Aluminium-Platte mit regelmäßigen, im Dreiec ksmuster
(Abstand s ) v erteilten, scharfkan tigen, runden Öffn ungen. Das Deckblec h ist mit einer
W ab enstruktur aus P olykarb onat v erklebt, deren zylinderförmigen Zellen in Abb. 6.9b
gezeigt sind. Der einfac he, radialsymmetrische A ufbau der Resonatorelemen te erlaubt es,
die Imp edanz des Liners relativ genau durc h ein Mo dell zu b estimmen. Das Mo dell k om-
biniert die Leitungstheorie und die Besc hreibung durc h k ompakte Schaltelemen te und ist
102
in Anhang G.1 im Detail erläutert. Es setzt lediglic h die K ompaktheit des Sc hallfelds in
radialer Ric htung und die K ompaktheit der an der Öffn ung mitsc h wingenden Medienmas-
sen v oraus. Die V erluste und die kleinen Änderungen der Phasenk onstan te aufgrund der
thermisc hen und viskosen W andgrenzsc hic h ten in der Ka vität und in der Öffnung sind
dadurc h im Mo dell eingesc hlossen. 21
𝑠𝑠 𝑠𝑠
𝑠𝑠
𝑥𝑥
𝑧𝑧
(a) Lo c h w and HRS2-Liner
𝑑𝑑 𝑐𝑐
𝑑𝑑 𝑚𝑚
𝑙𝑙 𝑐𝑐
𝑙𝑙 𝑚𝑚
𝑠𝑠 𝑠𝑠
𝑠𝑠
(b) A ufbau der Resonatorzellen
Abbildung 6.9. Geometrisc her A ufbau der b eiden resonatorartigen W andauskleidungen: Anord-
n ung von gleic hen, radialsymmetrisc hen Resonatorzellen im Dreiec ksmuster.
Das genann te Imp edanzmo dell ermöglich t zusammen mit der Sc hallfeldtheorie aus Me-
tho de D die Erzeugung relativ genauer, künstlic her Daten für die Imp edanz- und Streu-
k o effizien ten 22 . Damit k önnen nic h t n ur V ergleichsdaten erzeugt w erden, die v on den Ein-
sc hränkungen und Messfehlern der Exp erimen te frei sind. Es steh t auc h die Option zur
V erfügung, b eliebige Linerimp edanzen an b eliebigen F requenzstützstellen zu un tersuchen.
Das Imp edanzmo dell wurde daher eingesetzt, um eine künstlic he/syn thetisc he Imp edanz
nac h der V orlage des HRS2-Liners zu erzeugen. Das künstlic he P endan t wird im F olgenden
HRS2*-Liner genann t. Die F requenzauflösung wurde mit 5 Hz auf ein Vielfac hes höher ge-
setzt als b ei den exp erimen tellen Daten (51 Hz). Die zugehörigen Streuk o effizienten k önnen
auf Basis des Sc hallfeldmo dells D (Kap. 6.2.4) b erechnet w erden 23 , wobei nur die Sc hrit-
te 1-3 einmalig durc hlaufen werden m üssen. Abb. 6.10 zeigt die mittels des Exp eriments
(Kap. 4.2.2.1) b estimmten Streuk o effizien ten im V ergleic h mit den syn thetisc hen Daten.
Neb en einer generellen Üb ereinstimm ung ist eine Üb ersc hätzung der Reflexion nahe der
Resonanzfrequenz (850 Hz) und eine leic hte Überschätzung der T ransmission für tiefe und
hohe F requenzen durc h das Mo dell erk enn bar. Dies ist möglic herw eise neb en der nic h t
p erfekten Symmetrie des realen HRS2-Liners auf eine kleine Zusatzdämpfung aufgrund
nic htlinearer Effekte im Experiment zurüc kzuführen 24 . W eitere Ergebnisse der Streuk o ef-
fizien ten des synthetisc hen Liners finden sic h in Anhang H.2.
Das Imp edanzmo dell (Kap. G.1) wurde außerdem zur Erzeugung eines w eiteren künstli-
c hen Liners eingesetzt, dessen Resistanz im Untersc hied zur mäßigen Resistanz des HRS2-
21 Daher kann die frequenzabhängige Resistanz des Resonators mit mo delliert werden.
22 V oraussetzung dab ei ist die Symmetrie des Liners b ezüglic h der Ric h tung des Schalleinfalls und die
Ab w esenheit nich tlinearer Effekte.
23 Höhere Mo den und die W andgrenzsc hic hten im Kanal w erden also b erücksic h tigt.
24 Eine Zunahme der Dissipation ∆ , die aufgrund von nic h tlinearen V erlusten (z. B. Wirb elablösung
an den Öffn ungen) en tstehen würde, sorgt b ei k onstanter Reflexion w egen ∆ = 1 − | r | 2 −| t | 2 zu einer
Abnahme der T ransmission und b ei konstan ter T ransmission für eine Absenkung der Reflexion. Da im
Bereic h der Resonanzfrequenz die Sc hallausbreitung im W esen tlic hen durch die Reflexionen bestimmt wird,
k önn te es dort zu der in Abb. 6.10 erkenn baren Absenkung von r gegen üb er dem Mo dell kommen. Im
Bereic h außerhalb des Resonanzb ereic hs dominiert dagegen die T ransmission die Sc hallausbreitung, w as
die Absenkung v on t gegen üb er dem Mo dell erklären könn te.
103
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
F requenz [Hz]
| r | , | t | [-]
| t | HRS2*
| r | HRS2*
| t | HRS2
| r | HRS2
Abbildung 6.10. Betrag der Streuk o effizien ten r , t für den HRS2-Liner. V ergleic h der exp erimen-
tellen Daten mit den Mo delldaten des HRS2*-Liners (Imp edanzmo dell aus An-
hang G, Streuk o effizien ten aus dem Sc hallfeldmo dell D, Kap. 6.2.4).
500 1000 1500 2000
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
F requenz [Hz]
Re( Z ) / ( ρc ) [-]
(a) Resistanz
500 1000 1500 2000
− 10
− 5
0
5
F requenz [Hz]
Im( Z ) / ( ρc ) [-]
HRS2*-Liner
LR-Liner
(b) Reaktanz
Abbildung 6.11. Normierte Imp edanzen für den HRS2*-Liner und den LR-Liner.
Liners niedrig ist. Demen tsprechend wird er im F olgenden LR-Liner („lo w resistance“)
genann t. Die Absenkung der Resistanz wurde mit einer V erdopplung der Öffn ungsfläc he
und der Halbierung der Öffn ungstiefe gegenüber der Geometrie des HRS2-Liners erreich t.
Die Ka vität bleibt unv erändert. Die Imp edanz des LR-Liners ist zusammen mit der des
HRS2*-Liners in Abb. 6.11 dargestellt.
Der un terschiedlic he Einfluss der b eiden W andauskleidungen auf das Sc hallfeld wird in
Abb. 6.12 und Abb. 6.13 gezeigt. Dargestellt ist die F requenzabhängigk eit der Quer- und
Längsw ellenzahlen der sechs niedrigsten Modenordnungen in der ausgekleideten Kanalsek-
tion. Die W ellenzahlen wurden mit dem Sc hritt 1 aus der Eduktionsmetho de D b erec hnet
(bzw. der Theorie aus Kap. 5.1). Wie b ereits erwähn t, w erden die höheren Mo den an der
Sprungstelle zwisc hen schallharter und nac hgiebiger W and angeregt und bilden je nac h
den Randb edingung der ausgekleideten Sektion das Schallfeld darin.
Die Mo denkurv en (Abb. 6.12, 6.13) zeigen t ypisc he V erläufe, die b ereits v on den frequenz-
k onstanten Impedanzen aus Kap. 5.2.2 b ekann t sind (z.B. Abb. 5.5a). A ufgrund der F re-
quenzabhängigk eit der Liner-Imp edanz steigen die Phasen- und die Dämpfungsk onstan te
der Grundmo de (rote Kurv e) allerdings erst in einem kleinen F requenzb ereic h un terhalb
der Resonanzfrequenz an, und das sehr steil. Besonders auffällig ist dies b eim LR-Liner
(Abb. 6.12): Die Grundmo de geht oberhalb der Resonanzfrequenz in die 3. höhere Mo de
üb er, w as insb esondere b ei den Querw ellenzahlen in Abb . 6.12a zu erk ennen ist. Die nor-
mierte Phasenk onstante Re( k x ) h (Abb. 6.12b) erreic h t sc hon vorher, ca. 40 Hz un terhalb
der Resonanzfrequenz, ein Maxim um. Deutlic h tiefer, b ei 1110 Hz, üb erkreuzen sic h die
Dämpfungsk onstanten − Im( k x ) h der b eiden niedrigsten Mo den; b eim Kreuzungspunkt
104
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
0
2
4
6
8
10
12
14
16
F requenz [Hz]
k y h [-]
Re
Im
(a) Querw ellenzahlen
n = 0
n = 1
n = 4
n = 5
n = 0
n = 1
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
− 15
− 10
− 5
0
5
F requenz [Hz]
k x h [-]
n = 0
n = 1
n = 4
n = 5
n = 0
n = 1
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
− 15
− 10
− 5
0
5
F requenz [Hz]
k x h [-]
(b) Axiale W ellenzahlen
Abbildung 6.12. Normierte Quer- und Längsw ellenzahl der Mo denordn ungen n = 0 − 5 (n umme-
rierte Kurv en) für die mit dem LR-Liner ausgekleidete Kanalsektion. Zur Berec h-
n ung diente das Sc hallfeldmo dell D bzw. die Theorie aus Kap. 5. Rot: Grundmo de,
Blau: 1. höhere Mo de. Der Kreuzungspunkt der Dämpfung − Im( k x ) der b eiden
niedrigsten Mo den b ei ca. 1110 H z ist mit einem roten Kreis gek ennzeic hnet.
wird nac h Kap. 5.2.2.4 die größte, w enn auc h nic h t d ie optimale 25 , Dämpfung des Sc hall-
feldes erreic ht. Demen tsprec hend wird b eim Kreuzungspunkt die maximale Dissipation
und die minimale T ransmission erreic h t, w as die im Anhang in Abb. H.3b gezeigten en-
ergetisc hen Streukoeffizienten bestätigen. Das Absorptionsmaximum tritt hier also nic h t
wie b ei vielen resonatorartigen W andauskleidungen b ei der Resonanzfrequenz auf, sondern
25 Für die optimale Dämpfung m üssten sic h b ei derselb en F requenz auc h die Phasenk onstanten kreuzen,
w elc he hier allerdings b eträc htlic h v oneinander ab w eichen.
105
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
0
2
4
6
8
F requenz [Hz]
k y h [-]
Re
Im
(a) Querw ellenzahlen
n = 0
n = 1
n = 2
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
− 5
0
F requenz [Hz]
k x h [-]
(b) Axiale W ellenzahlen
Abbildung 6.13. Normierte Quer- und Längsw ellenzahl der Mo denordn ungen n = 0 − 2 (num-
merierte Kurv en) für die mit dem HRS2*-Liner ausgekleidete Kanalsektion. Zur
Berec hnung dien te das Sc hallfeldmo dell D bzw. die Theorie aus Kap. 5. Rot:
Grundmo de, Blau: 1. höhere Mo de.
deutlic h tiefer. Ob erhalb des Kreuzungspunkts hat die erste höhere Mo de die geringste
Dämpfung (Abb. 6.12b). Damit wird die erste höhere Mo de für die Sc hallausbreitung in
der ausgekleideten Kanalsektion maßgeblic h und löst die Grundmo de in dieser Rolle ab.
Die F requenz, b ei der sic h die Dämpfungen der b eiden Mo den kreuzen, lässt sic h nic h t
wie im F all sc hallharter W ände eindeutig durc h eine Cut-on-F requenz 26 angeb en: Zum ei-
nen erfolgt der Üb ergang b ei nac hgiebigen Wänden in einem breiten F requenzb ereic h (dies
wurde sc hon in Kap. 5.2 gesehen); zum anderen folgt auch die Lage dieser F requenzb ereic he
selb er k einem Sc hema wie b ei den in Kap. 5.2 b etrac h teten frequenzk onstan ten W andim-
p edanzen, wo die Cut-on-F requenz der n -ten Mo de en t w eder b ei Vielfac hen 2 n − 1 o der 2 n
auftrat. In der Nähe der Resonanzfrequenz zeigt die Dämpfungsk onstan te − Im( k x h ) der
höheren Mo den stattdessen einen Mo den üb ergang zwisc hen nπ und ( n + 1 / 2) π , der b ereits
im Zusammenhang mit hohen W andadmittanzen in Kap. 5.2.2.2 (Abb. 5.4b) b eobac h tet
wurde. Die damit v erknüpften Maxima der Phasenk onstan te Re( k x ) h sind in Abb. 6.12b
v ergrößert dargestellt.
Die mo dalen W ellenzahlen des HRS2-Liners sind in Abb. 6.13 dargestellt. Der Anstieg v on
Re( k y ) h der Grundmo de ist deutlich sc h wäc her als b eim LR-Liner und liegt immer un-
ter dem Niv eau der höheren Mo den. Die Dämpfung (Abb. 6.13b) der Grundmo de w äc hst
26 Streng genommen ist der Begriff Cut-on-F requenz in diesem Zusammenhang unpassend und womöglic h
irreführend, da die A usbreitungsfähigk eit der höheren Mo de hier eine ganz andere Ursac he hat als b ei den
b ekann ten Cut-on-Mo den im harten Kanal: Nich t das V erhältnis der W ellenlänge zur Kanalabmessung ist
hier maßgeblic h, sondern die Randb edingung der W and.
106
nic ht über die Dämpfung der ersten höheren Mo de hinaus. Im gesam ten hier b etrac h teten
F requenzb ereic h dominiert daher die Grundmo de die Sc hallausbreitung in der ausgeklei-
deten Sektion; lediglic h im Bereich um 800 Hz, w o sic h die Dämpfungen der n ullten und
der ersten Mo de am näc hsten k ommen, b esteh t die Möglic hk eit, dass auc h die erste höhere
Mo de geringfügig zum Schalltransport b eiträgt.
6.4. Eduktionsergebnisse und Einfluss verschiedener
Mo dellpa rameter
Die vier Metho den zur Imp edanzeduktion A-D w erden n un an den gemessenen bzw. syn-
thetisc hen Streukoeffizienten des HRS2- und LR-Liners eingesetzt, um den Einfluss der
un terschiedlic hen Mo dellannahmen auf das Eduktionsergebnis zu untersuc hen.
6.4.1. Üb ersicht
Die Ergebnisse der vier Metho den sind für den HRS2-Liner in Abb. 6.14 und für den LR-
Liner in Abb. 6.16 gezeigt. Beim HRS2-Liner ist zusätzlic h die Imp edanz des zugehörigen
Imp edanzmo dells (HRS2*-Liner) dargestellt 27 . Das Eduktionsergebnis für den syn theti-
500 1000 1500 2000
0
0 . 5
1
1 . 5
2
F requenz [Hz]
Re( Z ) / ( ρc ) [-]
(a) Resistanz
500 1000 1500 2000
− 10
− 5
0
5
F requenz [Hz]
Re( Z ) / ( ρc ) [-]
Imp edanzmo dell
Metho de A
Metho de B
Metho de C
Metho de D
(b) Reaktanz
Abbildung 6.14. Imp edanzergebnis der Eduktionsmetho den A-D für den HRS2-Liner (basierend
auf exp erimen tell b estimmten Streuk o effizienten). Die zugehörige Impedanz des
Resonatormo dells (Anhang G) ist zum V ergleic h gezeigt.
sc hen HRS2*-Liner wird im Anhang in Abb. H.4 gezeigt. Der V ergleic h zwisc hen den
Ergebnissen des HRS2-Liners und des HRS2*-Liners zeigt neb en der (aufgrund der höhe-
ren F requenzauflösung) erhöh ten Glattheit der HRS2*-Kurv en das A usbleib en der großen
F ehler b ei Metho de A im Bereic h der Resonanzfrequenz. Der F ehler geh t möglic herw eise
auf einen Messfehler des T ransmissionsfaktors t zurüc k. Er ist im Bereic h der Resonanzfre-
quenz b esonders ho c h, da dort | t | für einen breiten F requenzb ereic h fast b ei Null liegt (vgl.
Abb. 6.10 bzw. Abb. H.2a), so dass der Abstand zwisc hen Messgröße und F ehler sehr klein
27 Bei dem auf dem Imp edanzmo dell basierenden LR-Liner ist dieser V ergleic h nic h t nötig, da die Eduk-
tionsmetho de D die Mo dellimpedanz unun terscheidbar reproduziert (hier nich t gezeigt), denn die Sc hall-
feldtheorie v on Metho de D ist dieselb e wie die, die zur Berec hn ung der Streuk o effizien ten verw endet wurde.
107
wird. Da die A uswertung der Methode A im Untersc hied zu den Metho den B-D allein auf
t basiert, ist Metho de A von dem Messfehler v erm utlich besonders b etroffen. Die A uswer-
tung des HRS2*-Liners ist v on dem Messfehler nich t b etroffen, da die Streuk o effizienten
aus dem n umerisc hen Mo dell stammen.
500 1000 1500 2000
− 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
F requenz [Hz]
Re( Z − Z D ) / ( ρc ) [-]
(a) Resistanz
500 1000 1500 2000
− 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
F requenz [Hz]
Im( Z − Z D ) / ( ρc ) [-]
Metho de A
Metho de B
Metho de C
(b) Reaktanz
Abbildung 6.15. HRS2-Liner: Ab w eich ungen der Eduktionsergebnisse der Metho den A-C vom Er-
gebnis des v ollständigsten Mo dells D (mit W andgrenzsc hic hten).
Insb esondere b ei der Reaktanz sind die Un tersc hiede zwisc hen den Metho den A-D auf-
grund des großen W erteb ereic hs sc h w er erkenn bar. Daher sind in Abb. 6.15 bzw. Abb. 6.17
zusätzlic h die absoluten Ab w eich ungen der Ergebnisse v on Metho den A-C gegen üb er Me-
tho de D aufgetragen. Metho de D wird aufgrund der größten V ollständigk eit des Kanal-
mo dells als Referenz gew ählt. Es zeigt sic h so w ohl für den HRS2-Liner als auc h für den LR-
Liner, dass außerhalb des Resonanzb ereichs die Berüc ksic htigung der W andgrenzsc hic h ten
(Metho de D) den stärksten Einfluss hat. Die Abw eic hungen gegen üb er Metho de D sind
größer als die der Metho den A-C un tereinander. Im Bereic h der Resonanzfrequenz sind die
Ergebnisse der Metho den C und D dagegen kaum un tersc heidbar; es treten größere F ehler
b ei den Metho den A und B auf, w elche den Einfluss der höheren Mo den v ernachlässigen.
Man kann daher sc hon an dieser Stelle verm uten, dass der Einfluss der höheren Mo den
im Bereic h der Resonanzfrequenz wich tig ist, w ährend außerhalb da v on die W andgrenz-
sc hich teffekte dominieren.
Im F olgenden wird der Einfluss der v ersc hiedenen Sc hallfeldannahmen der Metho den A-D
im Einzelnen diskutiert.
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