On some geometric and group-theoretic
properties of Newton stratifications and
Ekedahl-Oort stratifications
Dissertation
zur Erlangung des Grades
”Doktor der Naturwissenschaften” (Dr. rer. nat.)
vorgelegt dem Mathematischen Institut der Fakult¨at f¨ur
Elektrotechnik, Informatik und Mathematik
der Universit¨at Paderborn
am 31. Januar 2014
vorgelegt von: Betreuer:
Daniel Wortmann Prof. Dr. Torsten Wedhorn
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit leistet einen Beitrag zu verschiedenen Gebieten der arith-
metischen algebraischen Geometrie. Motivation f¨ur viele der behandelten Fragestel-
lungen ist der Vergleich der Newton-Stratifizierung und der Ekedahl-Oort-Stratifi-
zierung auf der speziellen Faser von glatten Modellen f¨ur Shimuravariet¨aten vom
Hodge-Typ ShK(G, X) an Primstellen pvon guter Reduktion. Hier bezeichnet G
eine zusammenh¨angende reduktive Gruppe ¨uber Qund K⊆G(Af) eine geeignete
Untergruppe der adelwertigen Punkte von G. Das Studium von glatten Modellen
SK(G, X) solcher Shimuravariet¨aten spielt eine wichtige Rolle in der Behandlung
von bekannten F¨allen der lokalen und globalen Langlands-Korrespondenz (siehe etwa
Harris-Taylor [HT] und Scholze [Sch]).
Per Konstruktion parametrisieren diese Modelle SK(G, X) eine Familie Avon
abelschen Variet¨aten mit gewissen Zusatzstrukturen, im Fall von PEL-Shimura-
variet¨aten erlauben sie sogar eine explizite Realisierung als Modulr¨aume solcher
abelscher Variet¨aten. Dies f¨uhrt auf die Definition der Newton-Stratifizierung und
Ekedahl-Oort-Stratifizierung auf ihrer speziellen Faser durch Betrachtung der p-
divisiblen Gruppen Aˆx[p∞] in geometrischen Punkten ˆx, in Analogie zu den klassis-
chen Stratifizierungen von Modulr¨aumen abelscher Variet¨aten in positiver Charak-
teristik (ohne Zusatzstrukturen, siehe Oort [Oo1], [Oo2]). Die moderne Formulierung
der Stratifizierungen nutzt die gruppentheoretischen Konzepte der σ-Konjugations-
klassen und G-Zips. Dies macht es m¨oglich, viele Fragestellungen, die sich aus dem
Vergleich von Newton- und Ekedahl-Oort-Stratifizierung ergeben, in gruppenthe-
oretische Fragestellungen zu ¨ubersetzen: Das Grundobjekt ist hier ein reduktives
Gruppenschema G¨uber Zpmit generischer Faser GQp, die Stratifizierungen korre-
spondieren zu Zerlegungen von G(L) in ¨
Aquivalenzklassen unter σ-Konjugationen,
wobei Ldie Vervollst¨andigung der maximal unverzweigten Erweiterung von Qpund
σden Frobeniusautomorphismus von L¨uber Qpbezeichnet. Diese Technik zum
Studium der speziellen Faser eines glatten Modells SK(G, X) ist wohlbekannt im
Fall von PEL-Shimuravariet¨aten, wir erl¨autern sie f¨ur Shimuravariet¨aten vom Hodge-
Typ in Kapitel II der Arbeit, basierend auf j¨ungeren Resultaten von Kisin [Ki1] und
Zhang [Zh1].
Zum Studium der gruppentheoretischen Fragestellungen, die sich durch dieses
Prinzip ergeben, ist es nicht notwendig - und in der Tat hinderlich - sich auf solche
Gruppenschemata Gzu beschr¨anken, die sich im Kontext von Shimuravariet¨aten
ergeben; s¨amtliche Konzepte sind sinnvoll in der allgemeineren Situation eines re-
duktiven Gruppenschemas ¨uber dem Bewertungsring eines absolut unverzweigten
lokalen K¨orpers, wobei auch K¨orper von positiver Charakteristik erlaubt sind. Dies
ist der Blickwinkel, den wir in Kapitel I einnehmen werden. Tats¨achlich lassen sich
einige Fragen, etwa ob zwei vorgegebene Strata einen nichtleeren Schnitt besitzen,
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unabh¨angig von der Charakteristik in rein kombinatorische Aussagen ¨ubersetzen.
Im Falle positiver Charakteristik gibt es hier interessante Bez¨uge zur Theorie der
Schleifengruppen und affinen Deligne-Lusztig-Variet¨aten. Wir bestimmen in Kapi-
tel I auf diese Weise das Schnittverhalten der Stratifizierungen in einigen konkreten
F¨allen, und entwickeln auch ein neues hinreichendes kombinatorisches Kriterium f¨ur
die Existenz sogenannter ”fundamentaler” Ekedahl-Oort-Strata, welche unter an-
derem die Eigenschaft haben vollst¨andig in einem Newton-Stratum enthalten zu
sein.
Als eine Hauptanwendung der entwickelten Methoden und gruppentheoretischen
Resultate beschreiben wir den ”µ-ordin¨aren Ort” in der speziellen Faser eines glatten
Modells SK(G, X) f¨ur eine Shimuravariet¨at vom Hodge-Typ: Auf einer offenen und
dichten Teilmenge der speziellen Faser ist der Isomorphietyp der zu geometrischen
Punkten assoziierten p-divisiblen Gruppen Aˆx[p∞] mit Zusatzstruktur konstant,
weiter ist er eindeutig bestimmt durch den zugeh¨origen Isogenietyp und auch durch
den Isomorphietyp der p-Torsionsgruppen Aˆx[p]. Die verallgemeinert bekannte Re-
sultate von Wedhorn [We1] und Moonen [Mo2] ¨uber PEL-Shimuravariet¨aten.
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Conclusion
The aims of the work presented here are twofold: On the one hand, we are inter-
ested in the relation of the Newton stratification and Ekedahl-Oort stratification for
special fibers of smooth models of certain types of Shimura varieties. These Shimura
varieties play an important role in the modern approaches towards the global and
local Langlands conjecture (see for example Harris-Taylor [HT] and Scholze [Sch]).
Since the very definitions of the stratifications involve reductive groups over p-adic
fields, many aspects in their comparison translate into statements about such groups.
On the other hand, these group-theoretic questions are interesting in their own right,
and can also be studied in situations which do not arise from Shimura varieties, as
well as for groups over local fields in positive characteristic. They turn out to be
closely related to the study of affine Deligne-Lusztig varieties and the structure of
affine Weyl groups (see [GHKR], [He2]). Results obtained in the group-theoretic
context may then also be translated back to Shimura varieties.
Let us roughly describe the relationship between the geometric stratifications
and the group-theoretic objects, for more details we refer to the introductions of
Chapter I and Chapter II. Classically, the Newton stratification and Ekedahl-Oort
stratification are defined for a moduli space Mof polarized abelian varieties in
positive characteristic pvia the classification of p-divisible groups up to isogeny,
and of BT1-groups up to isomorphism (see Oort, [Oo1], [Oo2]). Such moduli spaces
of abelian varieties arise as special fibers of smooth models of Shimura varieties
associated to the general symplectic group GSpQ.
More generally, consider a Shimura variety ShK(G, X) of PEL-type or of Hodge
type. Here Gis a connected reductive group over Q, and K⊆G(Af) is an open
and compact subroup of the form K=KpKpfor Kp⊆G(Qp) and Kp⊆G(Ap
f). If
Kpis hyperspecial and Kp⊆G(Ap
f) is sufficiently small, then it is known that the
Shimura variety has a smooth model SK(G, X) defined over the valuation ring of a
finite unramified extension of Zp, which naturally parametrizes a family Aof abelian
varieties with certain additional structures (see Kottwitz [Ko2] and Kisin [Ki1]) - we
will make this more precise in Chapter II. This leads to analogous definitions of
stratifications for the special fiber of this model: Each x∈SK(G, X)(Fp) defines an
abelian variety Axwith additional structure over Fp. The classifications of the asso-
ciated p-divisible groups Ax[p∞] with extra structure up to isogeny, respectively of
their p-torsion groups Ax[p] up to isomorphism, then yield the Newton stratification
and Ekedahl-Oort stratification on SK(G, X)⊗Fp(see Chapter II).
As Kpis hyperspecial, there exists a reductive model Gover Zpfor GQpsuch
that Kp=G(Zp). Let Lbe the completion of the maximal unramified extension of
Qp, let Obe its ring of integers. Let σbe the Frobenius automorphism of Lover Qp.
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