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Berechnungsverfahren für praxisnahe

Boden-Bauwerks-Interaktionsprobleme im

Frequenzbereich

vorgelegt von

Dipl.-Ing. Winfried Schepers

von der Fakultät VI – Planen Bauen Umwelt

der Technischen Universität Berlin

zur Erlangung des akademischen Grades

Doktor der Ingenieurwissenschaften

– Dr.-Ing. –

genehmigte Dissertation

Promotionsausschuss:

Gutachter: Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Stavros Savidis

Prof. Dr. Eduardo Kausel

Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Christos Vrettos

Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Yuri Petryna

Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 16. Juni 2014

Berlin 2014

D83

Danksagung

Diese Arbeit ist der vorläufige Höhepunkt auf meinem wissenschaftlichen Weg,

der von mir im Frühjahr 2000 mit einem schlichten „Ja!“ im Beisein derjenigen

drei Wissenschaftler eingeschlagen wurde, die mich seitdem ohne Unterbre-

chung auf diesem Weg begleitet haben, und denen ich an dieser Stelle meinen

ganz besonderen Dank aussprechen möchte.

Als erstem Professor Stavros Savidis, meinem Doktorvater, für das stetige Ver-

trauen, dass ich den Weg zuende gehen werde, auch als sich abzeichnete, dass

der Weg lang werden würde.

Desweiteren Professor Eduardo Kausel, einem begnadeten Wissenschaftler und

Lehrer, der mich damals fragte, ob ich meine Diplomarbeit unter seiner Ägide

anfertigen möchte, für das Wissen, das er mir vermittelt hat, und die Motivation

und Inspiration, die ich während meiner gelegentlichen Besuche am MIT für

meine eigene wissenschaftliche Arbeit gefunden habe. Schließlich Professor

Christos Vrettos, dafür, dass er mich von Zeit zu Zeit aus meinen wissenschaft-

lichen Träumen weckte und zurück in die Welt des Machbaren führte. Es ist mir

eine große Ehre, dass beide sich bereit erklärt haben, als Gutachter dieser Dis-

sertation zur Verfügung zu stehen.

Mit Herrn Professor Yuri Petryna verbindet mich die Ruhr-Universität Bochum,

wo ich am Lehrstuhl für Statik und Dynamik als Mathematisch-technischer As-

sistent in den 1990er-Jahren erste Universitätsluft schnuppern konnte. Ich dan-

ke ihm für die Übernahme des Vorsitzes des Promotionsausschusses.

Meinen früheren Kollegen am Fachgebiet Grundbau und Bodenmechanik, ins-

besondere Reinhold Hirschauer, Christopher Bode, Matthias Römer, Daniel Au-

bram, Ralf Glasenapp und Mata Krishna, möchte ich für die angenehme Zusam-

menarbeit danken. Ferner gilt mein Dank meinen Kollegen bei GuD, die mir die

Zeit gaben, die letzten Kurven meines wissenschaftlichen Weges zu nehmen.

Mein größter Dank gilt meiner Familie Silke Ramsaier mit Max, Lena und Ella,

deren Entbehrungen mir stets eine Mahnung war, das Ziel des Weges nicht aus

den Augen zu verlieren.

Zusammenfassung

In den letzten Jahrzehnten lässt sich ein sich stetig erhöhender Bedarf an Min-

derungsmaßnahmen gegenüber Erschütterungen beobachten. Betroffen von Er-

schütterungsimmissionen sind nicht nur Personen, sondern auch hochempfind-

liche Geräte und Produktionsanlagen, z. B. in der Mikroelektronikindustrie

oder der medizinischen Forschung. Verursacher der Erschütterungen können

einerseits Straßen- und Schienenverkehr sein, aber auch Industriebetriebe und

Baustellen kommen neben weiteren Ursachen in Betracht.

Das am häufigsten für die Lösung von Erschütterungsausbreitungsproblemen

eingesetzte Simulationsverfahren koppelt die Finite-Elemente-Methode (FEM)

für das Bauwerk mit der Randelementmethode (BEM) für den Baugrund. Durch

diese Kopplung können die jeweiligen Stärken der beiden Methoden optimal ge-

nutzt werden.

In dieser Arbeit wird zunächst ein Algorithmus vorgestellt, mit dem unter Ein-

haltung milder Einschränkungen eine vollbesetzte BEM-Flexibilitätsmatrix mit

äußerst geringem Speicher- und Rechenzeitaufwand aufgebaut wird. Es wird

nachgewiesen, dass bei einem linearen Gleichungssystem, das aus einer

FEM-Steifigkeitsmatrix für ein Bauwerk und einer BEM-Flexibilitätsmatrix für

den Baugrund im Frequenzbereich zusammengesetzt wird, iterative Glei-

chungslöser gegenüber den direkten Lösungsverfahren vorteilhafter sind.

Die FEM-BEM-Kopplung wird unter teilweiser Anwendung der optimierten Be-

rechnung der BEM-Matrix anschließend benutzt, um die Abschirmkapazität ei-

nes Erdwalls gegenüber Erschütterungen durch Zugverkehr zu ermitteln. Es

kann gezeigt werden, dass oberhalb einer für die Praxis relevanten Frequenz

eine deutliche Minderung der Erschütterungen zu erwarten ist.

Abstract

Due to the increased requirements of industrial facilities with respect to preva-

lent ground motions, in particular from micro electronics and similar industrial

sectors, an increased demand for countermeasures against vibrations can be ob-

served. The same holds for urban areas with the always increasing impact of

traffic of all kinds on residential areas. Sources of vibrations might be other in-

dustrial sites, road and rail traffic, amongst others.

The numerical procedure most frequently applied for the solution of vibration

propagation problems joins the particular strengths of the Finite-Element Me-

thod (FEM) and the Boundary Element Method (BEM) by discretizing the struc-

ture by the FEM and the subground by the BEM.

In this thesis an algorithm is presented for assembling a fully populated BEM

flexibility matrix at very low cost in terms of memory and CPU resources, while

only imposing very mild restrictions on the uniformity of the BEM mesh. It is

then shown that iterative solvers are superior to direct solvers if applied to a li-

near equation system being composed of a FEM stiffness matrix of a building

and a BEM flexibility matrix of the subground.

Finally, the FEM-BEM coupling procedure is used to investigate the screening

capacity of embankment dams against vibration from rail traffic, partially using

the optimized procedure previously implemented. It will be shown that above

some treshold frequency within the range of excitation frequencies of practical

importance significant vibration mitigations can be observed in numerical expe-

riments.

Meinem Vater

Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Tabellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Kapitel 1 Motivation und Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Kapitel 2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1 Grundgleichungen der Elastodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Finite-Elemente Methode (FEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Randelemente-Methode (BEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Berücksichtigung einer Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5 Kopplung von FEM und BEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5.1 FEM-Modell des Bauwerks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.2 BEM-Modell des Untergrundes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5.3 Kopplung von Bauwerk und Untergrund . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.4 Ermittlung von Feldgrößen im BEM-Gebiet . . . . . . . . . . . . . 42

Kapitel 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung . . . . . . . . 43

3.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Referenzimplementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Laufzeitverhalten der Substrukturmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4 Optimierung der Aufstellung der Bodenflexibilitätsmatrix . . . . . . . . 50

3.4.1 Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4.2 Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4.3 Einsparpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4.4 Erweiterung für hierarchische Freifeldnetze . . . . . . . . . . . . . 57

3.4.5 Anwendung und Vergleichsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4.6 Weiteres Optimierungspotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 Lagrange-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5.1 Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Inhaltsverzeichnis

3.5.2 Freifeldverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5.3 Implementierung und Vergleichsberechnungen . . . . . . . . . . . 64

3.6 Optimierung der Invertierung der Bodenflexibilitätsmatrix . . . . . . . . 66

3.6.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.6.2 Invertierungsalgorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.7 Iterative Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.7.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.7.2 Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.7.3 Konvergenzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.7.4 Parameterstudie am Ein- und Mehrmassenschwinger . . . . . 79

3.7.4.1 Einmassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.7.4.2 Mehrmassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.7.4.3 Starres Fundament auf homogenem Halbraum . . . 82

3.7.5 Erdwall auf homogenem Halbraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.7.6 Zwischenfazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.8 Iterative Lösung der Gesamtsteifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.8.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.8.2 Literaturauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.8.3 Machbarkeitsstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.9 Zwischenfazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Kapitel 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschüt-

terungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.1 Veranlassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2 Literaturauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2.1 Bodenschlitze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2.1.1 Literaturübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2.1.2 Zusammenfassung des Kenntnisstandes . . . . . . . . . 100

4.2.2 Bohrloch- und Pfahlreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2.3 Bodenverbesserungsmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2.4 Schaumkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.2.5 Massive Körper auf der Bodenoberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2.6 Erdwälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3 Numerisches Berechnungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3.1 Modelldimensionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.3.2 Frequenzintervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.3.3 Querschnittsform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.3.4 Materialeigenschaften des Halbraums und des Walls . . . . . . 112

4.3.5 Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.4 Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.5 Auswerteverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.6 Voruntersuchungen zur Parameterstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.6.1 Abstand zwischen Wall und Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.6.2 Länge des Walls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.7 Ergebnisse der Parameterstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.7.1 Übersichtsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.7.2 Detailergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.7.2.1 Parameterreduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.7.2.2 Bezug zur Eignung als Schallschutzwall . . . . . . . . . 125

4.7.2.3 Einfluss der Wallquerschnittsform . . . . . . . . . . . . . 127

4.8 Einfluss eines Walls auf das Freifeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.8.1 Amplitudenverlauf entlang der Achse Anregung-Wall . . . . . 127

4.8.2 Räumliche Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.9 Vergleich mit offenen und gefüllten Schlitzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.10 Entwurfshilfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Kapitel 5 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Anhang A Hard- und Softwarespezifikationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

A.1 Itanium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

A.2 Opteron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

A.3 Nehalem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Anhang B Untersuchte Wallgeometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Kapitel 1 Motivation und Einführung

Bild 1-1 Gleismodell auf einem Halbraum zur Untersuchung der

Gleisdynamik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Bild 1-2 Modell zur Untersuchung der Bauwerk-Boden-Bauwerk-In-

teraktion unter seismischer Einwirkung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Bild 1-3 Platzsparender Lärmschutzwall durch Einsatz von Geo-

kunststoffen, nach Detert [39] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Bild 1-4 Beispiel für ein Modell zur Untersuchung der Minde-

rungswirkung eines Erdwalls auf dem Transmissionsweg

von Erschütterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Kapitel 2 Grundlagen

Bild 2-1 Kopplung von BEM und FEM zur Behandlung von Er-

schütterungsproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Bild 2-2 Schwache Form von Gleichgewicht und Kompatibilität im

Interaktionshorizont bei nicht-konformen Ansatzfunktionen

in FEM und BEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Kapitel 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

Bild 3-1 Beispiel für eine hierarchische Unterteilung der

FEM-Elemente im Interaktionshorizont. Oben: Quadratfun-

dament mit 10×10×4 3D Volumenelementen. Unten: Bo-

dennetz mit 20×20 2D BEM-Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Bild 3-2 Absolute Laufzeit und Anteil der Komponenten „Aufstel-

lung der Flexibilitätsmatrix“, „Dreieckszerlegung der Flexi-

bilitätsmatrix“, „Rücksubstitution zur Inversen der Flexibi-

litätsmatrix“ und „Lösen des FEM-BEM-Gleichungssystems“

der Referenzimplementierung an der Gesamtlaufzeit in

Abhängigkeit von der Modellgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Abbildungsverzeichnis

Bild 3-3 Größe und Belegung der Matrizen am Beispiel einer

Fundamentplatte nach Bild 3-1. Links: Transformations-

und Bodensteifigkeitsmatrix. Rechts: Gesamtsteifigkeitsma-

trix. Blautöne: negativer Realteil. Brauntöne: positiver

Realteil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Bild 3-4 Beschleunigung des Aufbaus der Flexibilitätsmatrix.

Links: Abstände im 2×4 Netz und Vernetzung. Rechts:

Flexibilitätsmatrix mit mehrfachem Vorkommen der Ein-

träge und Indexmatrix als ideale Hash-Funktion. . . . . . . . . . . 52

Bild 3-5 Pseudocode des Algorithmus zur Belegung der Flexibili-

tätsmatrix als Vorstufe zur Steifigkeitsmatrix, vereinfa-

chend für einen einzigen Freiheitsgrad pro Knoten und

symmetrischer Flexibilitätsmatrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Bild 3-6 Pseudocode des Algorithmus zur Belegung der Flexibili-

tätsmatrix bei der Freifeldberechnung, vereinfachend für

einen einzigen Freiheitsgrad pro Knoten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Bild 3-7 Beispiele zur Beurteilung des Einsparpotentials bei der

Aufstellung der Bodenflexibilitätsmatrix. Schwarz:

BEM-Elementnetz. Rot: Freifeldpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Bild 3-8 Varianten einer hierarchische Beziehung zwischen Last-

punktnetz (schwarz) und Aufpunktnetz (rot). A: grobes

Raster im BEM-Netz, feines Raster im Freifeldnetz. B:

umgekehrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Bild 3-9 BEM-Netz, Block-Toeplitz-Struktur einer Flexibilitätsma-

trix bei einem Freiheitsgrad pro Knoten und die Bele-

gung der durch Invertierung berechneten Steifigkeitsma-

trix. Gleiche Farbtöne symbolisieren identische Zahlenwer-

te. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Bild 3-10 Vergleich der Geschwindigkeit von vier Double Precision

Implementierungen der Matrix-Matrix-Multiplikation nach

bei jeweils identischer Anzahl Fließkommaoperationen,

nach Chellappa et al. (2008, [32]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Bild 3-11 Prinzipskizze eines Einmassenschwingers als vereinfach-

tes Ersatzmodell für ein Boden-Bauwerk-Interaktionspro-

blem. Links: Einmassenschwinger mit starrem Gebäude

auf nachgiebigem Untergrund. Rechts: Mehrmassenschwin-

ger als Ersatzmodell für ein mehrstöckiges Gebäude mit

schwingenden Geschossdecken, die untereinander über die

Wände gekoppelt sind, ebenfalls auf nachgiebigem Unter-

grund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Bild 3-12 Konvergente (grün) und nichtkonvergente (rot) Bereiche

der Iterationsgleichungen (3-39) eines Einmassenschwingers 81

Bild 3-13 Konvergente (grün) und nichtkonvergente (rot) Bereiche

der Iterationsgleichungen eines Schwingers mit zwei

identischen, mit einer Feder gekoppelten Massen. (a)

nach (3-29). (b) nach (3-30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Bild 3-14 Konvergente (grün) und nichtkonvergente (rot) Bereiche

der Iterationsgleichungen eines Schwingers mit fünf iden-

tischen, mit einer Feder gekoppelten Masse. (a) nach

(3-29). (b) nach (3-30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Bild 3-15 Berechnungsbespiel für iterative Kopplung FEM-BEM. . . . . . 84

Kapitel 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschüt-

terungen

Bild 4-1 Querschnitte von Lärmschutzwällen mit gleichem Ab-

schirmmaß (Lärmminderung) von 10 dB(A), nach [39] . . . . . . 96

Bild 4-2 Minderungsmaßnahmen im Transmissionsweg bei der Aus-

breitung von Erschütterungen am Beispiel des oberirdi-

schen Schienenverkehrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Bild 4-3 Anordnung von Gleis, Kalk-Zement-Säulen und Erdwall,

nach [133] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Bild 4-4 Geometrisches Modell des Erdwalles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Bild 4-5 Untersuchte Wallquerschnitte, Teil 1: Querschnittsformen

von Schallschutzwällen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Bild 4-6 Untersuchte Wallquerschnitte, Teil 2: Sonstige Querschnit-

te. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Bild 4-7 Beispiel für die Diskretisierung eines Walls und des

umgebenden Freifeldes mit Anregungspunkt . . . . . . . . . . . . . . 114

Bild 4-8 Einfluss des Abstandes zwischen Lastmittelpunkt und

Wallkante auf die Abschirmwirkung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Bild 4-9 Einfluss des Dammlänge auf die Abschirmwirkung. . . . . . . . . 118

Bild 4-10 Abschirmkapazität untersuchter Parameterkombinationen

(Teil 1). Grauer Rand: L/λS= 4, Schwarzer Rand:

L/λS= 8. Farbkodierung siehe Bild 4-5 und Bild 4-6 . . . . . . . . 120

Bild 4-11 Links: Abschirmkapazität untersuchter Parameterkombina-

tionen (Teil 2). Grauer Rand: L/λS= 4, Schwarzer Rand:

L/λS= 8. Farbkodierung siehe Bild 4-5 und Bild 4-6 . . . . . . . . 121

Bild 4-12 Darstellung der Abschirmkapazität über die Wellenzahl

bei gleichem Boden in Wall und Halbraum. Farbkodie-

rung siehe Bild 4-5 und Bild 4-6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Bild 4-13 Darstellung der Abschirmkapazität über die Wellenzahl

bei unterschiedlichem Boden in Wall und Halbraum.

Farbkodierung siehe Bild 4-5 und Bild 4-6 . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Bild 4-14 Abschirmkapazität von Wallquerschnitten mit gleichen

Schallschutzeigenschaften. Weitere Parameter: L/λS=2,

D= 5 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Bild 4-15 Abschirmkapazität von Querschnitten mit gleicher Fläche.

Teil 1: steile Böschung auf der Emissionsseite. Weitere

Parameter: L=2λS, D= 5 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Bild 4-16 Abschirmkapazität von Querschnitten mit gleicher Fläche.

Teil 2: steile Böschung auf der Immissionsseite. Weitere

Parameter: L=2λS, D= 5 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Bild 4-17 Verlauf des Wellenfeldes entlang der x-Achse bzw.

x0-Achse (siehe Bild 4-4) in dimensionsechter bzw. dimen-

sionsloser Form für Wallgeometrie No. 22 bei verschie-

denen Frequenzen. Das graue Rechteck kennzeichnet die

Ausdehnung des Walls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Bild 4-18 Verschiebungsfeld ohne Wall, Anregung bei 30 Hz, zu ei-

nem beliebig gewählten Zeitpunkt. Farbliche Darstellung

der a) Vertikalamplitude und b) Horizontalamplitude . . . . . . . 132

Bild 4-19 Verschiebungsfeld mit Wall, Querschnitt No. 11, L/λS=8,

Anregung bei 30 Hz, zu einem beliebig gewählten Zeit-

punkt. Farbliche Darstellung der a) Vertikalamplitude

und b) Horizontalamplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Bild 4-20 Verschiebungsfeld mit Wall, Querschnitt No. 11, L/λS=8,

Anregung bei 30 Hz, zu einem beliebig gewählten Zeit-

punkt. Farbliche Darstellung der a) Relativen Vertika-

lamplitude und b) Relativen Horizontalamplitude . . . . . . . . . . 134

Bild 4-21 Formfaktor IS eines gefüllten Schlitzes nach Ahmad und

Al-Hussaini (1991, [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Bild 4-22 Abschirmkapazität eines weichen Walls auf weichen Bo-

den im Vergleich zu einem 3 m tiefen offenen Schlitz

und zu einem mit Beton gefüllten Schlitz von 3 m Tie-

fe und 1 m Breite nach [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Bild 4-23 Darstellung der Abschirmkapazität aller Berechnungen

mit Walllänge vier Scherwellenlängen über die bezogene

Wallbreite zusammen mit der vorgeschlagenen Bemes-

sungskurve für einen Erschütterungsschutzwall . . . . . . . . . . . 139

Kapitel 5 Literaturverzeichnis

Keine Abbildung enthalten

Kapitel 1 Motivation und Einführung

Keine Tabelle enthalten

Kapitel 2 Grundlagen

Keine Tabelle enthalten

Kapitel 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

Tabelle 3-1 Verhältnis der Anzahl der von Null verschiedenen

Einträge in Boden- und Struktursteifigkeitsmatrix für

eine Bodenplatte auf einem Halbraum nach Bild 3-1

in Abhängigkeit von der Netzgröße bei einem Frei-

heitsgrad pro Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Tabelle 3-2 Aufwand für die Belegung der Flexibilitätsmatrix für

die Beispiele aus Bild 3-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Tabelle 3-3 Beispielberechnung für Freifeldverschiebungen . . . . . . . . . 59

Tabelle 3-4 Modelldaten und Laufzeitverhalten des Vergleichsbei-

spiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Tabelle 3-5 Anzahl Iterationen und CPU-Zeit und Vergleich mit

Substrukturmethode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Kapitel 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Er-

schütterungen

Tabelle 4-1 Variierte Parameter von Wall und Boden. . . . . . . . . . . . . . . 107

Tabelle 4-2 Materialeigenschaften der verwendeten Bodentypen im

Halbraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Tabelle 4-3 Materialeigenschaften der verwendeten Bodentypen im

Wall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Tabellenverzeichnis

Tabelle 4-4 Parametersatz für die Untersuchung des Einflusses

des Abstandes zwischen Belastungsmittelpunkt und

Wallkante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Tabelle 4-5 Parametersatz für die Untersuchung des Einflusses

der Länge des Walls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Tabelle 4-6 Reduzierte Parameterkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Tabelle 4-7 Parametersatz für die Untersuchung des Wellenfeldes . . . . 127

Tabelle 4-8 Rechnerische Beschränkung der Bemessungsformel für

offene Schlitze nach Ahmad und Al-Hussaini (1991,

[2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Tabelle 4-9 Rechnerische Beschränkung der Bemessungsformel für

einen betongefüllten Schlitz nach Ahmad und

Al-Hussaini (1991, [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Kapitel 5 Literaturverzeichnis

Keine Tabelle enthalten

1 Motivation und Einführung

Zu Beginn meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fachgebiet

Grundbau und Bodenmechanik der TU Berlin im Jahre 2001 wurde von mir ein

Forschungsprojekt innerhalb des DFG-Schwerpunktprogramms 1015 „System-

dynamik und Langzeitverhalten von Fahrwerk, Gleis und Untergrund“ [116]

zum Abschluss gebracht. Das Projekt war zuvor unter der Leitung von Professor

Savidis von meinen Kollegen Reinhold Hirschauer und Christopher Bode bear-

beitet worden, die kurz vor dem Abschluss ihrer Dissertation standen bzw. diese

kurz vorher abgeschlossen hatten [71], [23]. Für die Bearbeitung des For-

schungsprojektes war von ihnen ein Programm entwickelt worden, mit dem dy-

namische Boden-Bauwerk-Interaktionsprobleme im Frequenz- und Zeitbereich

gelöst werden konnten. Die Grundlagen dieses Programms sind in der Arbeit

von Hirschauer [71] ausführlich beschreiben. Der Quelltext dieses Programms

wurde von den Autoren ausführlich mit Kommentaren versehen, so dass es ver-

hältnismäßig einfach weiterentwickelt werden konnte. Es bildet den Grund-

stock für die in dieser Arbeit vorgestellten Untersuchungen.

Während eines vom DAAD geförderten Forschungsaufenthaltes bei Professor

Huh an der Universität Suwon in Südkorea im Sommer 2002 wur-

de das von Hirschauer und Bode entwickelte Programm eingesetzt, um ein Mo-

dell einer festen Fahrbahn mit Hilfe von durchgeführten Schwingungsmessun-

gen zu kalibrieren. Das Gleismodell ist in Bild 1-1 dargestellt.

Es zeigte sich dabei, dass Modelle dieser Größenordnung mit ca. 26000 Frei-

heitsgraden, davon ca. 3000 an der Schnittstelle zwischen Untergrund und

Struktur, die Grenze dessen waren, was mit einem seinerzeit gängigen, großzü-

gig mit Speicher und CPU-Leistung ausgestatteten PC, berechnet werden konn-

te. Erstmals zeigte sich ein Widerspruch zu den Erfahrungen, die ich bei der Be-

arbeitung von FEM-Modellen ohne Boden-Bauwerk-Interaktion gemacht hatte.

Ähnliche Erfahrungen machte ich ein Jahr später bei der Bearbeitung einer Pro-

blemstellung, bei der die Bauwerk-Boden-Bauwerk-Interaktion zweier Gebäude

unter seismischer Einwirkung untersucht werden musste. Es war die Frage zu

24 1 Motivation und Einführung

beantworten, wie groß der Einfluss eines Neubaus auf die Antwortspektren ei-

nes bestehenden Gebäudes sein würde. Eine vereinfachte Darstellung des ver-

wendeten Modells zeigt Bild 1-2. Durch die großen Abmessungen der Bodenplat-

ten der beiden Gebäude enthielt das Modell ca. 60000 Freiheitsgrade, und davon

ca. 30000 Freiheitsgrade am Interaktionshorizont zwischen dem geschichteten

Halbraum und den beiden Bauwerken.

Bild 1-1: Gleismodell auf einem Halbraum zur Untersuchung der Gleisdynamik

Bild 1-2: Modell zur Untersuchung der Bauwerk-Boden-Bauwerk-Interaktion unter

seismischer Einwirkung

Die Berechnungen wurden nur deswegen möglich, weil dafür ein Computer zur

Verfügung stand, der für damalige Verhältnisse weit überdurchschnittlich lei-

stungsfähig war. Die Kenndaten des Computers sind in Anhang A.1 zusammen-

gestellt. Mit dem Modell nach Bild 1-2 waren die Leistungsgrenzen des benutz-

ten Computers aber überraschenderweise auch bereits erreicht, und zwar so-

wohl in Bezug auf die Speicherkapazität, als auch in Bezug auf die Rechenzeit.

Die Diskrepanz zwischen den Modellgrößen, die mit dem Programm von

Hirschauer und Bode real bearbeitet werden konnten, und den Modellgrößen,

die bei FEM-Berechnungen ohne Boden-Bauwerk-Interaktion möglich sind,

zeigte sich besonders ausgeprägt in einer Veröffentlichung der Firma ANSYS im

Jahr 2004 [121]. Erstmals wurde eine FEM-Problemstellung mit mehr als

100 Millionen Freiheitsgraden gelöst. Dabei wurde ein Computer eingesetzt, der

mit demselben Prozessortyp ausgestattet war, der auch in den am Fachgebiet

verfügbaren Computer nach Anhang A.1 verwendet wurde, und lediglich mit

mehr CPU-Kernen und mehr Speicher ausgestattet war. Nimmt man an, das

mit der von der Firma ANSYS gelösten Problemstellung die Leistungsgrenzen

des Computers aus [121] erreicht wurden, dann ergibt eine grobe, überschlägli-

che Schätzung, dass mit dem Computer nach Anhang A.1 eine Problemstellung

von ca. 40 Millionen Freiheitsgraden in ca. sechs Stunden hätte gelöst werden

können. Die bis dahin gemachten Erfahrungen zeigten hingegen, dass die tat-

sächlich lösbaren Problemgrößen bei Boden-Bauwerks-Interaktionsproblemen

um mehrere Größenordnungen kleiner waren.

Im Jahre 2006 ergab sich entgültig die Notwendigkeit, die Ursachen für die Be-

grenzungen bei der numerischen Analyse von Boden-Bauwerk-Interaktionspro-

blemen näher zu untersuchen, und neue Verfahren zu entwickeln, um diese Be-

grenzungen aufzuheben.

Den Anstoß zu diesen Untersuchungen gab ein Aufsatz in einer Fachzeitschrift

über die Herstellung sehr platzsparender Lärmschutzwälle entlang einer Gü-

terbahnstrecke [39] mit Hilfe von Geokunststoffen, siehe Bild 1-3. Diese Aufsatz

erregte meine Aufmerksamkeit, weil ich mich zur selben Zeit im Rahmen eines

vom Bundesforschungsministerium geförderten Forschungsprojektes unter an-

derem mit der Frage der Minderungsmaßnahmen gegen Erschütterungen auf

dem Transmissionsweg zwischen einer Erschütterungsquelle und einem zu

schützenden Objekt befasste [118]. Es stellte sich mir die Frage, ob Lärmschutz-

wälle gleichzeitig gute Erschütterungsschutzwälle wären, und somit eine neue

Alternative zu Schlitzen und anderen massiven Störkörpern im Boden zur Min-

26 1 Motivation und Einführung

derung der Erschütterungstransmission wären. Es zeigte sich sehr schnell, dass

für praxisnahe Modelle, von denen eines beispielhaft in Bild 1-4 dargestellt ist,

insbesondere wegen des großen zu untersuchenden Frequenzbereiches bis

100 Hz nochmals höhere Anforderungen an die Computer-Kapazitäten als von

den bis dahin untersuchten Problemstellungen gestellt wurden.

Die Ermittlung der Abschirmkapazitäten von Lärmschutzwällen gegenüber Er-

schütterungen deckte mit zunehmender Problemgröße immer neue Schwach-

stellen der vorhandenen Verfahren zur FEM-BEM-Kopplung auf. Nachdem für

1:1

7:1

+4,40

+9,68

Bild 1-3: Platzsparender Lärmschutzwall durch Einsatz von Geokunststoffen, nach

Detert [39]

Bild 1-4: Beispiel für ein Modell zur Untersuchung der Minderungswirkung eines

Erdwalls auf dem Transmissionsweg von Erschütterungen

die Ausbesserung der Schwachstellen eine Lösung gefunden wurde, konnten an-

schließend weitere und größere Erdwälle untersucht werden. Dieses Wechsel-

spiel erfolgte solange, bis abschließend Erdwälle von einer Größe untersucht

werden konnten, die als praxisnah betrachtet werden kann.

Die hier vorgelegte Arbeit besteht daher aus zwei Teilen, die zwar inhaltlich kei-

nen unmittelbaren Bezug zueinander haben, die aber über ihre Entstehungsge-

schichte sehr eng miteinander verbunden sind:

•Laufzeitoptimierung bei FEM–BEM-Kopplung

•Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

Nach einer kurzen Zusammenfassung der Grundlagen der FEM und BEM und

deren Kopplung in Kapitel 2 folgen die Kapitel 3 und 4, die jeweils die beiden

vorgenannten Themen zum Inhalt haben, und die den Kern dieser Arbeit bilden.

Das Kapitel 3 beginnt mit der Analyse des Laufzeitverhaltens der Implementie-

rung der FEM-BEM-Kopplung von Bode und Hirschauer für lineare dynamische

Problemstellungen im Frequenzbereich. Anschließend wird ein hocheffizienter

Algorithmus vorgestellt, mit dem der numerische Aufwand zur Aufstellung der

BEM-Flexibilitätsmatrix verschwindend gering wird, sofern einige wenige Ein-

schränkungen in Bezug auf die Diskretisierung in Kauf genommen werden kön-

nen. Abschließend wird die Machbarkeit eines Verfahrens gezeigt, mit der auch

die Lösung des gekoppelten Gleichungssystems von FEM und BEM durch das

hocheffiziente Verfahren zur Aufstellung der BEM-Flexibilitätsmatrix be-

schleunigt werden kann.

Das Kapitel 4 befasst sich anschließend mit der Minderungswirkung von Erd-

wällen bei der Transmission von Erschütterungen. Es wird gezeigt, dass bei An-

regungsfrequenzen oberhalb von ca. 10 Hz die Schwingungsamplituden hinter

einem Erschütterungsschutzwall deutlich abgemindert werden können. Das

konkrete Maß zeigt eine verhältnismäßig starke Schwankung mit der Anre-

gungsfrequenz. Eine vorsichtige Abschätzung unter Berücksichtigung der in der

Praxis auftretenden Problemstellungen liefert eine Kurve, die als Entwurfshilfe

beim Einsatz eines Erdwalls zum Erschütterungsschutz verwendet werden

kann.

28 1 Motivation und Einführung

2 Grundlagen

2.1 Grundgleichungen der Elastodynamik

Im folgenden wird die Herleitung der Differentialgleichung der linearen Elasto-

dynamik in im dreidimensionalen Raum in kartesischen Koordinaten kurz skiz-

ziert. Die Darstellung orientiert sich an Kausel (2006, [86]).

In einem dreidimensionalen Kontinuum müssen die Spannungen, Trägheits-

kräfte und Volumenkräfte das dynamische Gleichgewicht (2-1) erfüllen.

(2-1)

Darin ist der Vektor der Volumenkräfte, die Massendichte, die zweite Ab-

leitung der Verschiebungen nach der Zeit, ein Ableitungs-

operator und der Vektor der Spannungen. Für die Dehnungen gilt

, (2-2)

und die Spannungen stehen mit den Dehnungen über das Materialgesetz

, (2-3)

mit dem Materialtensor in Beziehung. Fasst man (2-1), (2-2) und (2-3) zusam-

men, so erhält man die Wellengleichung

(2-4)

Hier wie im folgenden wird stets die Voigt’sche Notation verwendet, d. h. Span-

nungen und Dehnungen werden als Vektor mit sechs Komponenten, und der

Materialtensor als Matrix mit 6 × 6 Komponenten geschrieben. Daher gilt:

–LTσ+0=

u[uxuyuz]T

σε

εLu=

σDε=

–LTDLu+0=

σ[

xy]T

ε[

xy]T

30 2 Grundlagen

Für isotropes Material gilt ferner:

mit der Lamé-Konstanten , dem Schubmodul ,

dem Elastizitätsmodul E und der Querdehnzahl .

2.2 Finite-Elemente Methode (FEM)

Die Entwicklung der Finite-Elemente-Methode in ihrer heutigen Form begann

mit der Verbreitung von Digitalrechnern in den 1960er Jahren. Während zu An-

fang lineare strukturmechanische statische Problemstellungen im Vordergrund

standen, wird die Methode inzwischen für eine Vielzahl anderer physikalischer

Probleme, wie z. B. Elektromagnetismus, Thermomechanik, Fluidmechanik,

Akustik sowie für gekoppelte Mehrfeldprobleme eingesetzt. Neben den linearen

Verfahren werden mittlerweile auch hochgradig nichtlineare Problemstellun-

gen untersucht.

Die Fachliteratur zur FEM ist unüberschaubar groß. Eine allgemeine Einfüh-

rung in die FEM findet sich beispielsweise in den Monographien von Knothe und

Wessels (1999, [87]) und von Reddy (1993, [108]), sowie in der Sammlung von

Lecture Notes von Felippa (2013, [53]).

Ausgehend von der Wellengleichung (2-4) wird die schwache Form der Differen-

tialgleichung durch Gewichtung mit einer zunächst beliebigen Wichtungsfunk-

tion v und Integralbildung aufgestellt.

x∂

∂000 z∂

∂

y∂

∂

0y∂

∂0z∂

∂0x∂

∂

00 z∂

∂

y∂

∂

x∂

∂0

2G+

λλ

000

λλ

2G+

000

λλλ

2G+ 000

000G00

0000G0

00000G

–()

–()1

+()

---------------------------------------

=GE

+()

---------------------

2.2 Finite-Elemente Methode (FEM) 31

(2-5)

Die Integrale werden partiell integriert, und man erhält neue Integrale über das

Volumen V, als auch Integrale über dessen Rand . Dabei werden die Ablei-

tungen, die bislang ausschließlich auf die Verschiebungen u wirken, teilweise

auf die Wichtungsfunktion v übertragen. Anschließend wird als Wichtungs-

funktion die Variation des Ansatzes eingeführt, die auf dem Rand ver-

schwindet. Man erhält eine Integralgleichung der Form

(2-6)

Das Integrationsgebiet wird nun in Elemente unterteilt, und elementweise von

Null verschiedene Ansatzfunktionen werden eingeführt, so dass die Integrale

elementweise ausgewertet werden können. Man erhält ein Gleichungssystem

der Form

(2-7)

mit K der elastischen Steifigkeitsmatrix, M der Massenmatrix, und p dem Last-

vektor, sowie .1

Für rein statische Probleme vereinfacht sich Gleichung (2-7) zu

(2-8)

In der vorliegenden Arbeit werden ausschließlich linear elastische strukturdy-

namische Untersuchungen im Frequenzbereich durchgeführt. Alle Kraft- und

Weggrößen besitzen daher eine Zeitabhängigkeit der Form

(2-9)

mit At bzw. einer beliebigen skalaren oder vektoriellen Kraft- oder Weggrö-

ße im Zeit- bzw. Frequenzbereich, der imaginären Einheit, der

Kreisfrequenz, und t der Zeit. Da der Exponentialterm in Frequenzbereichsglei-

chungen bei jeder Variablen in identischer Form auftritt, ist es allgemein üblich,

1. Zur Erhöhung der Lesbarkeit wird auf eine explizite Unterscheidung zwischen kontinuier-

lichen und diskreten Größen verzichtet. Das Symbol u wird daher mehrfach verwendet,

die genaue Bedeutung ergibt sich jeweils aus dem Zusammenhang.

vTbVd

∫vT

.. Vd

∫

–vTLTDLu()Vd

∫

+0=

V∂

uδ

εδTσVd

∫uδT

.. Vd

∫uδTbVd

∫

–+ 0=

Kut() Mu

.. t() pt()–⋅+⋅0=

uu1x u1y u1z u2x …uNx

Ku⋅p–0=

Att() A

~Ωi

t()exp⋅=

~Ω

i1–=

32 2 Grundlagen

ihn nicht explizit auszuschreiben. Die Amplitude ist im allgemeinen kom-

plexwertig und frequenzabhängig.

Die FEM führt – unter Vernachlässigung von Materialdämpfung – für diesen

Anwendungsfall in der üblichen Weggrößenformulierung zu einem linearen

Gleichungssystem der Form

(2-10)

mit K der elastischen Steifigkeitsmatrix, M der Massenmatrix, den Verschie-

bungen und den äußeren Kräften. Der Exponentialterm bei und wurde

hier bereits nicht mehr explizit hingeschrieben. Die elastische Steifigkeitsma-

trix und die Massenmatrix sind im Allgemeinen reellwertig und frequenzunab-

hängig.

2.3 Randelemente-Methode (BEM)

Die Randelemente-Methode wurde etwa zeitgleich mit der FEM entwickelt. Sie

kommt verbreitet bei Fragestellungen mit unendlichen oder halbunendlichen

Gebieten zum Einsatz, weil nur der Rand des Gebietes diskretisiert werden

muss, aber nicht wie bei der FEM das Innere des Gebietes.

Die BEM wird u.a. von Brebbia et al. (1984, [25]) und Brebbia und Dominguez

(1989, [26]) ausführlich beschrieben. Gaul und Fiedler (2013, [59]) und auch

Hartmann (1987, [67]) beschreiben ausführlich und leichtverständlich die

Schritte zur Aufstellung der BEM-Gleichungssysteme und gehen auch auf dy-

namische Randwertprobleme ein. Speziell für die Anwendung der BEM in der

Bodendynamik gibt der Review-Artikel von Beskos (1987, [22]) einen guten

Überblick. Daher werden im folgenden nur einige Aspekte angeführt, die für das

Verständnis der nachfolgenden Untersuchungen von Bedeutung sind.

Ausgangspunkt sei hier wieder das Prinzip der virtuellen Verschiebungen aus

(2-5).

Das rechte Integral wird zweimal partiell nach dem Satz von Green integriert,

und man erhält Gebietsintegrale und Randintegrale.

~Ω

2M–()u

vTbVd

∫vT

.. Vd

∫

–vTLTDLu()Vd

∫

+0=

2.3 Randelemente-Methode (BEM) 33

(2-11)

Darin sind s die wirklichen und t die virtuellen Randspannungen, und

bezeichnet den Rand des Volumens V.

Der Integrand des dritten Volumenintegrals in (2-11) entspricht der homogenen

Variante der Bewegungsgleichung (2-4), d. h. ohne Last- und Trägheitsterme.

Das fundamentale Prinzip der BEM ist es nun, als Gewichtsfunktion die Lösung

v der Differentialgleichung (2-4) mit einer Diracdeltadistribution als Volumen-

kraft zu wählen. Die Funktion v ist somit Lösung der Differentialgleichung

(2-12)

Darin ist x der Platzhalter für alle Punkte im Volumen V, und ist ein beliebi-

ger aber fester Punkt, an dem die Diracdeltafunktion wirkt. Die Diracfunktion

entspricht einer Punktlast an der Stelle . Setzt man (2-12) in (2-11) ein, so er-

hält man durch die Filtereingenschaft der Diracfunktion

(2-13)

Überführt man (2-13) in den Frequenzbereich, so heben sich zusätzlich die bei-

den Massenträgheitsterme auf, und es verbleibt die Integralgleichung

(2-14)

Darin entsprechen Größen mit Tilde den entsprechenden Größen ohne Tilde in

(2-13).

Die Filtereigenschaft der Diracfunktion gilt strenggenommen nur, wenn der

Punkt X innerhalb des Volumens V liegt, und nicht auf dessen Rand. Liegt X au-

ßerhalb von V, so verschwindet die rechte Seite von (2-13) und (2-14). Um zu ei-

ner echten Randintegralformulierung zu kommen, ist es notwendig, den Einwir-

kungspunkt der Diracdeltafunktion (Punktlast) auf den Rand zu verlegen. Be-

kanntlich werden dann aber sowohl die Verschiebungen, als auch die

Spannungen an der Lasteinleitungsstelle singulär, und die Integrale in (2-13)

und (2-14) erhalten einen singulären Integranden. Es lässt sich jedoch zeigen,

dass die Integrale trotz der singulären Integranden endlich sind. Ausführliche

vTbVd

∫vT

.. Vd

∫

–LTDLv()

Tu⋅Vd

∫vTst

Tu–()Bd

V∂

∫

++ 0=

V∂B≡

xX–()δ

.. x()–LTDLv x()+0=

vTbVd

∫vT

.. Vd

∫

–

..TuVd

∫vTst

Tu–()Bd

V∂

∫

++ uX()=

~Tb

~Vd

∫v

~Ts

~Tu

–()Bd

V∂

∫

~X()=

34 2 Grundlagen

Details zu diesen sehr umfangreichen Betrachtungen finden sich beispielsweise

bei Gaul und Fiedler (2013, [59]) und Hartmann (1987, [67]).

Der abschließende Schritt besteht in der Diskretisierung der Randintegralglei-

chung (2-14). Im Gegensatz zur Weggrößenformulierung der FEM können die

Ansatzfunktionen für die Spannungsgrößen und die Ansatzfunktionen für die

Weggrößen unabhängig voneinander gewählt werden.

Nach der Diskretisierung erhält die Randintegralgleichung in Indexschreibwei-

se die Form2

(2-15)

Darin ist cij ein Term, der sowohl von der Form des Randes bzw. der Element-

geometrie an der Stelle X abhängt, als auch von der Art der Fundamentallösung.

Wenn eine Vollraumlösung als Fundemantallösung gewählt wird und ein glat-

ter Rand vorliegt, so ist . Dies lässt sich anschaulich dadurch erklären,

dass bei einem Freischnitt des Randes die Diracdistribution im Vollraum nur

mit einer Hälfte auf das Berechnungsgebiet wirkt, aber mit der anderen Hälfte

auf den Vollraum außerhalb des Berechnungsgebietes, so dass die zweite Hälfte

keinen Einfluss auf das Berechnungsgebiet hat.

In Matrixschreibweise erhält man nach Auswertung der Integrale ein Glei-

chungssystem in der Form

(2-16)

Die Matrix H enthält Einträge, die aus der Auswertung der Integrale der Span-

nungen unter Einwirkung einer Punktlast gewonnen werden, und die Matrix

G enthält die Einträge, die aus der Auswertung der Integrale der Verschiebun-

gen durch eine Punktlast gewonnen werden. Die Matrix G ist somit eine Fle-

xibilitätsmatrix.

Es sollte nicht unerwähnt bleiben, dass alle Größen in (2-16) frequenzabhängig

sind, und sowohl H als auch G im allgemeinen weder quadratisch noch symme-

trisch sind. Vielmehr stellt (2-16) ein Gleichungssystem mit N Gleichungen,

aber 2 N Unbekannten in und dar. Für die Lösung von (2-16) sind somit zu-

nächst N Elemente von oder als Randbedingungen festzulegen. Anschlie-

2. In (2-15) wurde bewusst die Indexschreibweise gewählt, um zu verdeutlichen, dass der

Integrand durch die Diskretisierung zu einem Matrix-Vektor-Produkt wird.

cij X()u

~jX()⋅t

~ij xX,()u

~jx()⋅Bd

∫

~ij xX,()s

˜jx()⋅Bd

∫

cij 12⁄=

⋅Gs

⋅=

~ij

2.3 Randelemente-Methode (BEM) 35

ßend können die Gleichungen umsortiert werden, so dass alle unbekannten Grö-

ßen auf einer Seite liegen, und dann erst kann das verbleibende lineare Glei-

chungssystem mit den üblichen Verfahren gelöst werden.

Die BEM erfordert – wie oben erläutert – die Kenntnis von Fundamentallösun-

gen, welche die Differentialgleichung des untersuchten Problems erfüllen, aber

nicht notwendigerweise die Randbedingungen. Häufig werden Fundamentallö-

sungen für den homogenen Vollraum verwendet, da sie für diesen Fall in ge-

schlossener Form vorliegen, siehe z. B. Gaul und Fiedler (2013, [59]). Da sie je-

doch nicht die Randbedingungen eines geschichteten Halbraums erfüllen (span-

nungsfrei an der Oberfläche, Spannungssprünge an Schichtgrenzen), erfordern

sie strenggenommen eine Diskretisierung der Oberfläche und der Schichtgren-

zen mit jeweils einer unendlich großen Anzahl an Randelementen. Da dies na-

turgemäß nicht möglich ist, muss man sorgfältig einen Abstand vom Interakti-

onshorizont wählen, ab dem die Diskretisierung abgebrochen wird. Der dadurch

gemachte Fehler muss vernachlässigbar klein werden.

Um diese Schwierigkeit zu umgehen, können Fundamentallösungen benutzt

werden, welche die Spannungsrandbedingungen an der Halbraumoberfläche ex-

akt erfüllen, und die zusätzlich auch noch eine Schichtung des Bodens einschlie-

ßen. Dadurch ist es vollständig ausreichend, zur Lösung von Boden-Bau-

werk-Interaktionsproblemen an der Halbraumoberfläche nur den Interaktions-

horizont mit Randelementen zu diskretisieren. Wenn zusätzlich keinerlei

Wegrandbedingungen vorliegen, wird die Matrix H in (2-16) zu einer Einheits-

matrix, und man erhält in einem solchen Fall die inverse Steifigkeitsbeziehung

(2-17)

Für einen homogenen Halbraum hat Lamb bereits 1904 in [91] eine Lösung prä-

sentiert. Damit auch geschichtete Halbräume untersucht werden können, wird

als Fundamentallösung die Thin Layer Method (TLM) nach Kausel (1981, [83];

1982, [84]) eingesetzt. Die TLM ist eine leistungsfähige semianalytische Metho-

de, die Materialdämpfung und alle durch die Schichtung bedingten Effekte wie

Reflexion und Refraktion an den Schichtgrenzen, Dispersion und geometrische

Dämpfung berücksichtigt. Sie liefert auch für einen homogenen Halbraum eine

Lösung, die mit der Lösung von Lamb nahezu exakt übereinstimmt.

~Gs

⋅=

36 2 Grundlagen

2.4 Berücksichtigung einer Dämpfung

Zur Berücksichtigung einer Dämpfung wird das Stoffgesetz um eine Komponen-

te C erweitert, die Spannungen proportional zur ersten Zeitableitung der Deh-

nungen liefert.

(2-18)

Die dynamische Steifigkeit (2-10) im Frequenzbereich erhält dann die Form

(2-19)

Die Matrix C wird als viskose Dämpfungsmatrix bezeichnet. Bei einer konstan-

ten viskosen Dämpfungsmatrix treten Dämpfungskräfte auf, die nicht nur von

der Verschiebungsamplitude abhängen, sondern auch von der Schwingfrequenz.

Bei bodenmechanischen Problemstellungen tritt in der Regel eine hysteretische

Materialdämpfung auf, bei der die auftretenden Dämpfungskräfte näherungs-

weise nur von der Verschiebungsamplitude abhängen, aber nicht von der Fre-

quenz. Eine solche hysteretische Dämpfungsmatrix lässt sich in eine visko-

se Dämpfungsmatrix überführen, indem man eine Frequenzabhängigkeit

der Dämpfungsmatrix der Form

(2-20)

annimmt3. Dann lässt sich (2-19) darstellen als

, (2-21)

und dies führt unter der Annahme eines konstanten hysteretischen Dämpfungs-

verhältnisses auf die Form

. (2-22)

3. Es wird implizit vorausgesetzt, dass bei einer Rücktransformation in den Zeitbereich Real-

und Imaginärteil für negative Frequenzen so gewählt werden, dass die konjugiert kom-

plexe Symmetrie eingehalten wird. Andernfalls müsste die rechte Seite von (2-20) um die

Signumfunktion sgn(

) ergänzt werden, siehe z. B. Makris und Zhang (2000, [99]). Zur

besseren Lesbarkeit wird darauf verzichtet, was in der Fachliteratur nicht unüblich ist,

wie z. B. im Theoriehandbuch von ANSYS [13]

σDεCε

2M–+()u

Cv1

---- Ch

KiCh

2M–+()u

K1i

+()

2M–()u

2.5 Kopplung von FEM und BEM 37

Zu der Darstellung in (2-21) gelangt man auch, wenn man ein elastisches Mate-

rialgesetz der Form

(2-23)

ansetzt4.

Vereinfachend werden Steifigkeits-, Dämpfungs- und Massenterm in (2-10) bzw.

(2-22) auch zur „dynamischen Steifigkeitsmatrix“ Kdyn zusammengefasst, und

man erhält einen Ausdruck der Form

,(2-24)

der formal identisch ist mit der FEM-Gleichung (2-8) für linear elastische stati-

sche Problemstellungen. In (2-24) sind jedoch alle Größen komplexwertig und

frequenzabhängig. Eine Lösung von (2-24) kann aber formal mit denselben

arithmetischen und algebraischen Operatoren durchgeführt werden, die auch

auf den statischen Fall anwendbar sind. Sie muss jedoch komplexwertig erfol-

gen, und gilt stets nur für eine beliebige aber feste Frequenz.

Völlig analog zur FEM kann eine Materialdämpfung auch in der BEM verwen-

det werden.

2.5 Kopplung von FEM und BEM

Eine Kopplung von FEM und BEM ist insbesondere dann sinnvoll, wenn beide

Verfahren ihre spezifischen Stärken ausspielen können. Eine solche Situation

ist in Bild 2-1 skizziert. Durch den Schienenverkehr werden starke Kräfte auf

den Gleiskörper aufgebracht. Diese beeinflussen nicht nur den Emissionsort,

d. h. den Gleiskörper selber, sondern werden über den Boden in die Umgebung

übertragen (Transmission). Von dort gelangen sie in ein benachbartes Gebäude,

das dadurch zu Schwingungen angeregt wird (Immission). Diese Form der An-

regung wird indirekte Erregung genannt.

Das Gebäude und der Gleiskörper lassen sich optimal mit der FEM diskretisie-

ren, da beides räumlich begrenzte unregelmäßige Strukturen sind. Der Boden

hingegen lässt sich optimal mit der BEM diskretisieren, da trotz seiner halb-

4. Komplexwertige elastische Moduln M (Schubmodul, Elastitzitätsmodul, usw.) werden in

der Literatur in verschiedenen Formen präsentiert, z.B. M=M0(1 + iμ) (Knothe und Wes-

sels [87]), M=M0(1 + 2iξ) (Vrettos [130]) und M=M0(1–2iβ) (Grasso et al. [65])

σ1i

+()Dε=

Kdyn u

⋅p

38 2 Grundlagen

unendlichen Ausdehnung nur an der Schnittstelle zwischen Struktur und Un-

tergrund Randelemente eingeführt werden müssen. Sowohl indirekte, als auch

direkte Anregung lassen sich mit demselben Verfahren untersuchen.

Im folgenden wird eine von vielen möglichen Varianten der Kopplung von BEM

und FEM erläutert. Die beschriebene Variante ist Grundlage für die nachfolgen-

den Untersuchungen.

2.5.1 FEM-Modell des Bauwerks

Für die Kopplung von Boden und Bauwerk müssen an deren Schnittstelle, dem

sog. Interaktionshorizont, sowohl Gleichgewichts- als auch Kompatibilitätsbe-

dingungen erfüllt werden. Die FEM-Gleichung (2-19) wird daher auf der rechten

Seite um einen Sohlkraftvektor Q ergänzt, der mit den Sohlkräften auf den Bo-

den in geeigneter Form im Gleichgewicht stehe. Die Wirkungsrichtung und da-

mit die Vorzeichenkonvention von Q ist in Bild 2-2 skizziert. Man erhält5

(2-25)

5. Da von hier ab in dieser Arbeit nur noch Gleichungen im Frequenzbereich betrachtet wer-

den, wird auf eine explizite Kennzeichnung einer Frequenzbereichsgröße von hier ab ver-

zichtet.

Bild 2-1: Kopplung von BEM und FEM zur Behandlung von

Erschütterungsproblemen

–M⋅i

C⋅K++()u⋅PQ

–=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

2.5 Kopplung von FEM und BEM 39

bzw.

(2-26)

wobei S die komplexe dynamische Steifigkeitsmatrix des Bauwerks ist. Deswei-

teren ist u der diskrete Verschiebungsvektor und P der Lastvektor des FEM-Ge-

bietes.

Die Freiheitsgrade in (2-26) werden dahingehend sortiert, ob sie am Interakti-

onshorizont (Index „I“) oder innerhalb des Bauwerks (Index „R“) liegen. Damit

erhält man

(2-27)

Die verbleibende Aufgabe besteht darin, den Vektor zu berechnen.

2.5.2 BEM-Modell des Untergrundes

Für die Aufstellung der BEM-Gleichungen des Untergrundes werden Halb-

raum-Fundamentallösungen verwendet. Es wird angenommen, dass der Inter-

aktionshorizont auf der Halbraumoberfläche liegt. Berücksichtigt man ferner

eine indirekte Anregung in Form einer Freifeldverschiebung im Interaktionsho-

rizont, so erhält man aus (2-17) das neue Gleichungssystem

(2-28)

mit der Flexibilitätsmatrix G, den Verschiebungen v des BEM-Gebietes, der

Freifeldeverschiebung s und den Kontaktspannungen q an den Interaktions-

punkten.

Bei der BEM ist es notwendig, Ansatzfunktion sowohl für die Verschiebungen

als auch für die Spannungen zu wählen. Dahingegen müssen bei der hier ver-

wendeten reinen Weggrößenformulierung der FEM nur Ansatzfunktionen für

die Verschiebungen vorgegeben werden, während sich die Spannungen aus den

räumlichen Ableitungen der Verschiebungen ergeben. Daraus folgt, dass eine

vollständige Erfüllung von Kompatibilität und Gleichgewicht am Interaktions-

horizont im Allgemeinen nicht möglich ist, sondern dass diese beiden Bedingun-

gen nur im energetischen Mittel erfüllt werden können.

Su⋅PQ–=

SRR SRI

SIR SII

⋅PR

–=

vs–Gq⋅=

40 2 Grundlagen

2.5.3 Kopplung von Bauwerk und Untergrund

Um das Gleichgewicht am Interaktionshorizont zu erfüllen müssen die entspre-

chenden Größen von Bauwerk und Untergrund dieselben physikalischen Di-

mensionen besitzen. Daher müssen die Kontaktspannungen mit einer einfachen

linearen Transformation arbeitskonform in Kontaktkräfte überführt werden

(2-29)

wobei die Transformationsmatrix zur Umrechnung der BEM-Sohlspan-

nungen auf FEM-Knotenkräfte ist.

Wie oben erwähnt kann die Kompatibilität nur an den Interaktionspunkten be-

friedigt werden. Dies führt zu der Transformation

(2-30)

mit der entsprechenden Transformationsmatrix zur Ermittlung der Ver-

schiebungen der BEM-Knoten aus den Verschiebungen der FEM-Knoten.

Die Matrix erhält man durch Auswertung der Formfunktionen der

FEM-Elemente für diejenigen Koordinaten, an denen sich BEM-Knoten befin-

den. Die Matrix lässt sich aus der Forderung ableiten, dass die von den

FEM-Knotenkräften an den FEM-Knoten geleisteten Arbeiten genauso groß

sein sollen wie die von den BEM-Spannungen an den BEM-Elementverschie-

bungen geleisteten Arbeiten, siehe Bild 2-2 für den Fall linearer Ansatzfunktion

bei der FEM und konstanter Ansatzfunktionen bei der BEM.

QITQq q⋅=

TQq

vu uI

⋅=

Tvu

TQq

GleichgewichtKompatibilität

12 3

u1u2u3

12 3 4

v2v3

12 3

Bild 2-2: Schwache Form von Gleichgewicht und Kompatibilität im

Interaktionshorizont bei nicht-konformen Ansatzfunktionen in FEM und

BEM

2.5 Kopplung von FEM und BEM 41

Die Gleichgewichtsbedingung lautet somit

(2-31)

mit

bzw. . (2-32)

Dabei ist p die aus einer Sohlspannung resultierende Sohlkraft und A der

BEM-Elementflächeninhalt bzw. p der Vektor der Sohlkräfte und A eine Diago-

nalmatrix mit den Elementflächeninhalten. Setzt man (2-29), (2-30) und (2-32)

in (2-31) ein, so erhält man

(2-33)

und es folgt unmittelbar durch Vergleich der inneren Terme, dass gilt:

.(2-34)

Die Gleichungen (2-27), (2-28), (2-29) und (2-30) werden zusammengefasst, und

man erhält das Block-Gleichungssystem

(2-35)

Das Symbol I bezeichnet jeweils eine Einheitsmatrix. Wie man an (2-35) leicht

erkennen kann, ergibt sich ein global dünnbesetztes, komplexwertiges Glei-

chungssystem. Die Matrix G ist jedoch, da es sich um eine BEM-Matrix handelt,

vollbesetzt und im Allgemeinen unsymmetrisch. Dahingegen ist die FEM-Ma-

trix in den oberen zwei Zeilen und Spalten dünnbesetzt, aber im Falle einer har-

monischen Analyse symmetrisch, jedoch nicht hermitesch.

Für die Lösung von (2-35) lassen sich eine Vielzahl von Strategien anwenden.

Sie unterscheiden sich unter anderem darin, ob das gesamte Gleichungssystem

direkt gelöst wird, oder ob es in einzelne, kleinere Gleichungssysteme zerlegt

TQI

⋅vTp⋅=

piqiAd

∫qiA⋅== pAq⋅=

TTQq q⋅⋅ uI

TTvu

⋅Aq⋅⋅=

TQq Tvu

TA⋅=

SRR SRI 00 0

SIR SII 0I 0

000I–TQq

00I–0G

uv I–00

⋅

s–

42 2 Grundlagen

wird, deren Teillösungen wieder zu einer Gesamtlösung zusammengeführt wer-

den müssen (Domain Decomposition). Die Zerlegung kann sowohl nach geome-

trischen oder physikalischen Kriterien erfolgen, als auch auf rein algebraischer

Ebene erfolgen. Ein weiteres Unterscheidungsmerkmal ist die Art der numeri-

schen Lösung eines Gleichungssystem, die sowohl direkt (Gaußsches Eliminati-

onsverfahren) als auch iterativ erfolgen kann. In Kapitel 3 werden einige Aspek-

te der Lösung von (2-35) näher beleuchtet.

2.5.4 Ermittlung von Feldgrößen im BEM-Gebiet

Die grundsätzliche Vorgehensweise ist für alle Feldgrößen (Verschiebungen,

Spannungen) identisch. Sie wird daher lediglich am Beispiel der Freifeldver-

schiebungen kurz erläutert.

Sind die Strukturverschiebungen uI am Interaktionshorizont durch Lösung von

(2-35) bekannt, so ergeben sich die Bodenverschiebungen v nach (2-30), und an-

schliessend die Sohlspannungen q nach (2-28).

Die Freifeldverschiebungen können wieder aus den Green‘schen Funktionen ge-

wonnen werden. Dazu muss eine Matrix GFI aufgestellt werden, die in jeder Zei-

le die Verschiebungen eines Freiheitsgrades im Freifeld aufgrund aller Sohl-

spannungen enthält:

(2-36)

bzw.

(2-37)

mit wF den Freifeldverschiebungen aufgrund der Sohlspannungen und sF der

indirekten Erregung an beliebigen Punkten. Eine solche Matrix ist in der Regel

rechteckig und nicht symmetrisch. Für Spannungsauswertungen enthält die

Matrix entsprechend Green‘sche Funktionen für Spannungen und entspricht

der Matrix H in (2-16).

GFI11 …GFI1n

GFIl1…GFIln

⋅

sF1

sFl

wFGFI q⋅sF

3 Laufzeitoptimierung bei

FEM-BEM-Kopplung

3.1 Vorbemerkung

Die Anwendung eines Programmsystem mit FEM-BEM-Kopplung zur Untersu-

chung dynamischer Boden-Bauwerks-Interaktionsprobleme im Frequenzbe-

reich sowohl im Rahmen von Forschungsprojekten, als auch insbesondere für

Anwendungen aus der Ingenieurpraxis, hat Grenzen dieses Verfahrens gezeigt,

die zunächst überraschend erschienen. Während reine FE-Berechnungen selbst

bei gängiger Hardware, wie sie in Ingenieurbüros verfügbar ist, mehrere Hun-

derttausend Freiheitsgrade haben können, war bei FEM-BEM-Kopplung die

Grenze bereits bei wenigen Zehntausend Freiheitsgraden erreicht. Die Grenzen,

die erreicht wurden, waren sowohl die Rechenzeit, als auch der erforderliche

Speicher.

Es bestand daher ein Bedarf, Möglichkeiten sowohl zur Laufzeitverkürzung, als

auch zur Verminderung des Speicherbedarfs zu finden, so dass praktische Pro-

blemstellungen mit begrenzten Ressourcen bearbeitet werden konnten.

Im Abschnitt 3.2 wird zunächst die zu Anfang verfügbare Implementierung der

FEM-BEM-Kopplung vorgestellt; sie wird im folgenden als „Referenzimplemen-

tierung“ bezeichnet. Die Referenzimplementierung wird in Abschnitt 3.3 einer

Analyse unterzogen, um diejenigen Teile zu identifizieren, die für die Bemes-

sung der notwendigen Rechner-Ressourcen maßgeblich sind. In Abschnitt 3.4

wird ein Algorithmus vorgestellt, der die Assemblierung der Flexibilitätsmatrix

erheblich beschleunigen kann. Anschließend wird im Abschnitt 3.6 untersucht,

wie die Umwandlung der Bodenflexibilitätsmatrix in eine FEM-konforme Bo-

densteifigkeitsmatrix beschleunigt werden kann. Danach werden Konzepte er-

läutert, wie Boden und Bauwerk gekoppelt werden können, ohne explizit eine

Invertierung durchführen zu müssen. Speziell wird in Abschnitt 3.5 das Kon-

zept einer erweiterten Struktursteifigkeitsmatrix untersucht, mit der Boden

und Bauwerk immer noch direkt miteinander gekoppelt werden, wohingegen

Abschnitt 3.7 Möglichkeiten zur iterativen und somit indirekten numerisch ap-

44 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

proximativen Kopplung aufzeigt. Abschnitt 3.8 untersucht zusätzlich die Vor-

und Nachteile verschiedener Gleichungslöser bei der Anwendung auf das Inter-

aktionsproblem.

3.2 Referenzimplementierung

Für die vorliegende Arbeit stand die Implementierung der Kopplung von BEM

und FEM für Boden-Bauwerk-Interaktionsprobleme von Hirschauer (2001, [71])

zur Verfügung. Diese Implementierung wird im folgenden als Referenzimple-

mentierung bezeichnet.

In der Referenz-Implementierung wurden BEM-Elemente mit konstanten An-

sätzen für Verschiebungen und Spannungen gewählt. Jedem Randelement wird

genau ein Knoten zugewiesen, der geometrisch dem Flächenmittelpunkt zuge-

wiesen wird. Sämtliche Bodenelemente müssen identische Abmessungen und

identische Ausrichtung bzgl. der globalen Koordinatenachsen haben. Der Inter-

aktionshorizont muss jedoch nicht zusammenhängend diskretisiert werden,

d. h. zwischen einzelnen Elementen darf ein belieber Abstand bestehen. Diese

Wahl der Diskretisierung ist zum einen einfach zu implementieren, da für die

Auswertung der Randintegrale die Fundamentallösungen nur mit konstanten

Ansatzfunktionen multipliziert werden, und zum anderen ergibt sich durch die

konstante Elementgröße eine symmetrische, aber nicht hermitesche BEM-Fle-

xibilitätsmatrix.

Die Struktur wird im Interaktionshorizont mit 8-Knoten Volumenelementen

diskretisiert, deren Seitenflächen auf der Halbraumoberfläche bezüglich Größe

und Ausrichtung genau mit der Geometrie eines Randelementes übereinstim-

men müssen. Alternativ kann die Sohlfläche jedes Strukturelementes auch

durch eine ganzzahlige Anzahl Bodenelemente in jeder Koordinatenrichtung be-

deckt werden. Diese Anzahl muss für alle FEM-Elemente im Interaktionshori-

zont identisch sein.

Die Lösung des gekoppelten FEM-BEM-Gleichungssystems (2-35) erfolgt durch

Transformation der Bodenflexibilitätsmatrix auf die FEM-Freiheitsgrade, voll-

ständiger Invertierung und anschließender Superposition mit der FEM-Struk-

tursteifigkeitsmatrix. Dazu erhält man zunächst durch Invertierung von (2-28)

eine Steifigkeitsbeziehung zwischen den Spannungen und Verschiebungen im

BEM-Modell des Bodens.

3.2 Referenzimplementierung 45

(3-1)

Setzt man (3-1) und die Kompatibilitätsbedingung (2-30) in die Gleichgewichts-

bedingung (2-29) ein, erhält man

(3-2)

Darin ist

(3-3)

die komplexe Steifigkeitsmatrix SS des Untergrundes bezogen auf die Interak-

tionsknoten des Bauwerks, und die Freifeldanregung an den Strukturknoten

im Interaktionshorizont. Berücksichtigt man ferner den Zusammenhang zwi-

schen den Transformationsmatrizen nach (2-34), so erhält man

. (3-4)

Da die Matrix A eine Diagonalmatrix mit den Flächeninhalten der BEM-Ele-

mente auf der Hauptdiagonale ist, und alle BEM-Elemente einen identischen

Flächeninhalt haben, ist die Bodensteifigkeitsmatrix SS symmetrisch.

Die so gefundene Bodensteifigkeit SS wird in der Referenzimplementierung von

Hirschauer als Substrukturmatrix mit der FE-Steifigkeitsmatrix eines Bau-

werks superponiert. Die Vorgehensweise ist in der Literatur unter dem Begriff

„Substrukturmethode“ oder auch „Schur-Komplement-Methode“ bekannt. Das

abschließend zu lösende Gleichungssystem hat die Form

(3-5)

Die Implementierung des FE-Teils erfolgt vollständig mit dem Programmsy-

stem ANSYS [11]. Es bietet eine Programmierschnittstelle, mit der beliebige

Substrukturmatrizen in die FE-Matrix eingefügt werden können.

Die Aufstellung der Flexibilitätsmatrix G erfolgt mit Eigenentwicklungen von

Hirschauer [71]. Die Invertierung erfolgt mit den Routinen ZSYTRF und ZSY-

TRI der LAPACK-Bibliothek [45], deren Quelltext zur Verfügung steht.

1– vs–()⋅=

QITQq G1– Tvu uI

⋅Tvus–()⋅⋅ SSuIsI

–()==

SSTQq G1– Tvu

⋅⋅=

SSTvu

TAG

1– Tvu

⋅⋅ ⋅=

SRR SRI

SIR SII SS

⋅PR

SSsI

–=

46 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

Die Lösung des gekoppelten FEM-BEM-Gleichungssystems (3-5) erfolgt an-

schließend mit den in ANSYS implementierten Gleichungslösern. Es stehen so-

wohl direkte Löser für dünnbesetzte Matrizen, als auch mehrere Varianten von

iterativen Lösern zur Verfügung [13].

3.3 Laufzeitverhalten der Substrukturmethode

Mit zunehmender Anzahl an Freiheitsgraden ist grundsätzlich anzunehmen,

dass sich die Laufzeit für die Lösung eines Modells überproportional zur Steige-

rung der Modellgröße verlängert. Die wesentlichen Ressourcen dabei sind RAM

und CPU-Zeit. Die Komplexität der einzelnen Komponenten der Referenzimple-

mentierung bzw. der funktionale Zusammenhang zwischen Laufzeit der einzel-

nen Komponente und der Anzahl an Struktur- und Bodenfreiheitsgraden ist

nicht immer offensichtlich. Um daher die zeitkritischen Komponenten identifi-

zieren zu können, wurden numerische Beispielrechnungen durchgeführt.

Es wurden für das in Bild 3-1 dargestellte Fundament auf einem Halbraum die

Anzahl der Elemente sowohl in der horizontalen Ebene als auch in Dickenrich-

tung variiert. Es sei hier m die Anzahl der FEM-Elemente in horizontaler Rich-

tung, und n die Anzahl an FEM-Elementen in vertikaler Richtung. Das Boden-

netz wurde hierarchisch mit (2 m)×(2 m) BEM-Elementen, also 2×2 BEM-Ele-

menten pro FEM-Elementfläche, diskretisiert. Fundament und Boden waren

fest miteinander gekoppelt. Da das Laufzeitverhalten nicht von der Wahl der

Materialparameter abhängt, wird auf deren Angabe hier verzichtet.

In Bild 3-2 sind die absolute Laufzeit der einzelnen Berechnungsschritte und die

Laufzeit der Einzelschritte bezogen auf die Gesamtlaufzeit einer Berechnung

für die Fälle m= {10, 20, 30, 40} in Kombination mit n= {2, 32} bei 2×2 Boden-

elementen pro Strukturelement im Bodennetz dargestellt. Die Berechnungen

erfolgten auf einem Opteron-Computer, siehe Anhang A.2.

Es ist unzweifelhaft zu erkennen, dass der längste Berechnungsschritt die In-

vertierung der Flexibilitätsmatrix ist, und darin speziell die Rücksubstitution.

Dagegen nimmt die Laufzeit für die Assemblierung der Flexibilitätsmatrix ab-

solut zu, aber bezogen auf die Gesamtlaufzeit mit zunehmender Anzahl

BEM-Elemente ab.

Auf den ersten Blick ist es verwunderlich, dass der Aufwand für die Lösung des

Gesamtgleichungssystems zum einen im Vergleich zum Aufwand für die Inver-

3.3 Laufzeitverhalten der Substrukturmethode 47

tierung gering ist, um zum anderen kaum größer ist als der Aufwand für die

Dreieckszerlegung der Flexibilitätsmatrix, obwohl für den hier eingesetzten di-

rekten Löser auch eine Dreieckszerlegung durchgeführt werden muss. Hier

kommen die unterschiedlichen Belegungsdichten der BEM- bzw. FEM-Matrix

ins Spiel. Während die BEM eine voll besetzte Matrix liefert, ergibt sich aus der

FEM stets nur eine dünnbesetzte Matrix, bei der das Verhältnis zwischen der

Bild 3-1: Beispiel für eine hierarchische Unterteilung der FEM-Elemente im

Interaktionshorizont. Oben: Quadratfundament mit 10×10×4 3D

Volumenelementen. Unten: Bodennetz mit 20×20 2D BEM-Elementen

Bild 3-2: Absolute Laufzeit und Anteil der Komponenten „Aufstellung der

Flexibilitätsmatrix“, „Dreieckszerlegung der Flexibilitätsmatrix“,

„Rücksubstitution zur Inversen der Flexibilitätsmatrix“ und „Lösen des

FEM-BEM-Gleichungssystems“ der Referenzimplementierung an der

Gesamtlaufzeit in Abhängigkeit von der Modellgröße

48 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

Anzahl der von Null verschiedenen Matrixelemente zur Gesamtanzahl mit stei-

gender Anzahl Elemente im Allgemeinen in der Größenordnung von wenigen

Promille liegt. Daher werden von der FEM-Matrix in der Regel nur die von Null

verschiedenen Einträge abgespeichert, und deren Anzahl ist ein genaueres Maß

für den zu erwartenden Rechenaufwand bei der Lösung eines Gleichungssy-

stems als die Anzahl der Freiheitsgrade.

Dieses Phänomen ist in Bild 3-3 anschaulich dargestellt. Es zeigt die Belegung

der BEM-Steifigkeitsmatrix, der Transformationsmatrizen und der Gesamtstei-

figkeitsmatrix, wie sie bei der Berechnung des Fundamentes in Bild 3-1 mit der

Referenzimplementierung aufgetreten ist. Deutlich ist zu erkennen, dass die

BEM-Steifigkeitsmatrix erheblich dichter belegt ist.

Tabelle 3-1 zeigt die Anzahl der von Null verschiedenen Einträge in der Boden-

bzw. FEM-Steifigkeitsmatrix für verschiedene Elementierungen. Aus der letz-

ten Spalte geht hervor, das für das betrachtete Beispiel die Anzahl n der Ele-

mente in vertikaler Richtung in der Größenordnung von m2 sein muss, bis die

Anzahlen der Nicht-Null-Matrixelemente aus BEM und FEM etwa gleich groß

sind.

Aus Bild 3-2 geht naturgemäß hervor, dass die Rechenzeiten mit steigender An-

zahl an Freiheitsgraden überproportional ansteigen. Das in Bild 3-2 untersuch-

te Beispiel mit ca. 44 000 FEM-Freiheitsgraden und ca. 5000 BEM-Freiheitsgra-

den benötigt bereits 20 000 s Rechenzeit, d. h. ca. 6 h, für eine einzige Frequenz.

Verglichen mit heutzutage üblichen Anwendungen der FEM und verwandter

Bild 3-3: Größe und Belegung der Matrizen am Beispiel einer Fundamentplatte nach

Bild 3-1. Links: Transformations- und Bodensteifigkeitsmatrix. Rechts:

Gesamtsteifigkeitsmatrix. Blautöne: negativer Realteil. Brauntöne:

positiver Realteil

3.3 Laufzeitverhalten der Substrukturmethode 49

Methoden im Flugzeugbau oder im Automobilbau, wo Modelle mit mehreren

Millionen Knoten üblich sind (siehe z. B. [89]), ist dies eine sehr kleine Anzahl

an Freiheitsgraden.

Bei der Referenzimplementierung wird nach Bild 3-2 der mit Abstand größte

Anteil an CPU-Zeit für die Invertierung der Bodenflexibilitätsmatrix benötigt.

Damit bietet auch dieser Teil des Lösungsalgorithmus das mit Abstand größte

Potenzial, um CPU-Zeit einzusparen.

Bezüglich des Verbrauches an RAM geht aus Bild 3-1 ebenfalls deutlich hervor,

dass mit steigender Anzahl an Bodenelementen die Größe der BEM-Steifigkeits-

matrix nahezu vollständig die Anzahl der Nicht-Null-Elemente in der gekoppel-

ten BEM-FEM-Matrix bestimmt. Da die Flexibilitätsmatrix dieselbe Größe wie

die BEM-Steifigkeitsmatrix hat, und die Flexibilitätsmatrix symmetrisch, aber

vollbesetzt ist, bietet sie das größte Potential zur Einsparung von RAM.

In den folgenden Kapiteln werden, ausgehend von der Referenzimplementie-

rung, Algorithmen vorgestellt, die einzeln oder miteinander kombiniert eine Be-

rechnung der Boden-Bauwerk-Interaktion beschleunigen können, und somit

auch die Berechnung größerer Problemstellungen ermöglichen.

Tabelle 3-1: Verhältnis der Anzahl der von Null verschiedenen Einträge in Boden- und

Struktursteifigkeitsmatrix für eine Bodenplatte auf einem Halbraum nach

Bild 3-1 in Abhängigkeit von der Netzgröße bei einem Freiheitsgrad pro Kno-

ten

Anzahl FEM-Elemente Anzahl Nicht-Null-Matrixelemente

horizontal vertikal BEM FEM Verhältnis

m×m n nnz,BEM nnz,FEM nnz,FEM/nnz,BEM

(1 + 2m)43(m2(3+9n)+

+m(2+6n)+n–5))

10×10 2 194481 6711 0,03

32 194481 93201 0,48

40×40 2 4,30·107102471 0,002

32 4,30·1071,42·1060,03

10×10 68 194481 196989 1,01

100×100 6000 1,63·1091,63·1091,00

1000×1000 6000000 1,60·1013 1,62·1013 1,01

nm,∞→

27n

16 m2

----------------

50 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

3.4 Optimierung der Aufstellung der

Bodenflexibilitätsmatrix

Bei der vollständigen Berechnung eines Boden-Bauwerk-Interaktionsproblems

ergibt sich sowohl bei der eigentlichen Lösung nach den Verschiebungen des dis-

kretisierten Gebietes nach Bild 3-1, als auch bei einer Nachlaufrechnung zur

Ermittlung der Freifeldverschiebungen die Notwendigkeit, eine Bodenflexibili-

tätsmatrix aufzustellen.

Die Flexibilitätsmatrix wird aus der Auswertung der Green’schen Funktionen

gewonnen. Jeder Eintrag in der Flexibilitätsmatrix gibt dabei den Einfluss einer

einem Lastpunkt (Matrixspalte) zugeordneten und dadurch eindeutig definier-

ten Flächenlast mit Einheitsamplitude auf die Verschiebungen an dem einer

Matrixzeile zugeordneten Empfängerpunkt an. Die Flexibilitätsmatrix ist inso-

fern die verallgemeinerte Einflussfunktion einer beliebigen Flächenlast über ei-

nem geometrisch begrenzten und durch die Lastpunkte definierten Gebiet auf

die Verschiebungen einer Menge von Empfängerpunkten.

Der ungünstigste Fall in Bezug auf den numerischen Berechnungsaufwand tritt

ein, wenn die Menge der Lastpunkte und die Menge der Empfängerpunkte keine

Schnittmenge besitzen und beide Knotenmengen unregelmäßig angeordnet

sind. In diesem Fall ist die Flexibilitätsmatrix eine vollbesetzte unsymmetrische

Rechteckmatrix, von der jedes Element einzeln berechnet werden muss.

Sind jedoch gewisse Regelmäßigkeiten bei Last- und Empfängerpunkten vor-

handen, so lässt sich der numerische Aufwand zur Berechnung der Matrixele-

mente erheblich reduzieren. Ein solches Vorgehen wird im folgenden vorge-

stellt.

3.4.1 Voraussetzungen

Die Elemente der Flexibilitätsmatrix sind abhängig von der geometrischen

Form und Ausrichtung der BEM-Elemente. Daraus folgt, dass der Aufwand für

die Flexibilitätsmatrix nur dann besonders gering sein kann, wenn die

BEM-Elemente möglichst identisch in ihrer Form und ihrer Ausrichtung in Be-

zug auf die Koordinatenachsen sind.

Da ferner die Green’schen Funktionen und damit einhergehend der Wert der

Einträge in der Flexibilitätsmatrix auch von der relativen Lage zwischen Last-

fläche und Empfängerpunkt abhängt, folgt daraus ferner, dass der Aufwand für

3.4 Optimierung der Aufstellung der Bodenflexibilitätsmatrix 51

die Flexibilitätsmatrix auch nur dann besonders gering sein kann, wenn die An-

zahl der paarweise voneinander verschiedenen Abstände zwischen einer Last-

fläche und einem Empfängerpunkt möglichst gering ist. Optimal wäre es in die-

sem Sinne, wenn die Empfängerpunkte in einem Raster angeordnet sind, dessen

Rasterweite ein ganzzahliges Vielfaches der Rasterweite der Lastflächen ist.

Damit gleichberechtigt wäre eine Rasterweite der Lastflächen als ganzzahliges

Vielfaches der Rasterweite der Empfängerpunkte.

Eine ideale Konstellation ergibt sich, wenn alle BEM-Elemente gleich groß,

gleich ausgerichtet und in einem festen Raster zueinander angeordnet sind.

Dann ergibt sich, dass bei der Erstellung der Flexibilitätsmatrix die Lastpunkte

nicht nur mit derselben Rasterweite wie die Empfängerpunkte angeordnet sind,

sondern die Lastpunkte sogar mit den Empfängerpunkten identisch sind, da es

sich jeweils um die BEM-Knoten handelt. Diese besondere Situation ist in

Bild 3-4 auf Seite 52 für den Fall konstanter BEM-Elemente und vereinfachend

für einen Freiheitsgrad pro Knoten beschrieben.

Bei Verwendung von BEM-Elementen mit höherer Ansatzordnung ist eine Fall-

unterscheidung in Bezug auf die Anzahl der mit einem Knoten verbundenen

Elemente durchzuführen. Knoten auf dem geometrischen Rand des Interakti-

onshorizonts müssen anders behandelt werden als Knoten in der Mitte. Dies

stellt aber keine grundsätzliche Einschränkung dar.

Bei der Freifeldberechnung haben die beiden Punktemengen eine unterschied-

liche Größe und im Allgemeinen keine oder nur eine kleine Schnittmenge. Dies

hat zur Folge, dass die Flexibilitätsmatrix keine quadratische Matrix, sondern

eine Rechteckmatrix ist, die – falls überhaupt – nur in sehr begrenztem Umfang

Symmetrien aufweist. Trotzdem sind auch in einem solchen Fall noch erhebli-

che Einsparungen an Rechenzeit möglich.

Um die Anzahl der Auswertungen der Green’schen Funktionen so gering wie

möglich zu halten, müssen Informationen darüber abgespeichert werden, ob für

eine bestimmten Eintrag in der Flexibilitätsmatrix andere, bereits berechnete

Einträge benutzt werden können.

Damit verbunden ist zwangsläufig die Forderung, den Aufwand für die Suche

nach einem passenden, bereits berechneten Matrixeintrag zu minimieren. Eine

solche Forderung kann nur dann erfüllt werden, wenn der Aufwand für die Su-

che von der Größe der Flexibilitätsmatrix unabhängig ist. Anderenfalls würde

der zusätzliche Aufwand für die Suche nach bereits berechneten Einträgen mit

52 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

zunehmender Größe der Matrix überproportional zunehmen, und somit ab einer

gewissen Größe unvermeidlich die Einsparungen bei der Auswertung der

Green’schen Funktionen übersteigen.

3.4.2 Algorithmus

Unter den in Abschnitt 3.4.1 genannten Voraussetzungen lässt sich ein Algo-

rithmus konstruieren, bei dem für jeden Eintrag der Matrix nur genau ein Ein-

trag in einer Indexmatrix geprüft werden muss. Zur Erläuterung des Algorith-

mus betrachte man Bild 3-4. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass jeder

Knoten nur einen Freiheitsgrad besitzt. Liegen mehrere Freiheitsgrade pro

Knoten vor, multipliziert sich der Aufwand lediglich mit der Anzahl an Knoten-

freiheitsgraden.

Der Wert der Green’schen Funktionen hängt von der relativen Lage von Last-

fläche und Aufpunkt ab. Deswegen sind zwei Einträge in der Flexibilitätsmatrix

dann und nur dann identisch, wenn die vorzeichenbehafteten Abstände in hori-

zontaler und vertikaler Richtung identisch sind. Da unter den angenommenen

Voraussetzungen jedoch die Abstände zwischen zwei Knoten stets ganzzahlige

Vielfache der Elementbreite bzw. Elementhöhe sind, lässt sich die relative Lage

Bild 3-4: Beschleunigung des Aufbaus der Flexibilitätsmatrix. Links: Abstände im

2×4 Netz und Vernetzung. Rechts: Flexibilitätsmatrix mit mehrfachem

Vorkommen der Einträge und Indexmatrix als ideale Hash-Funktion

3.4 Optimierung der Aufstellung der Bodenflexibilitätsmatrix 53

zweier Knoten in eindeutiger Weise durch zwei ganzzahlige Indizes (n, m) be-

schreiben. Diese Zahlen lassen sich als Spalten- bzw. Zeilenangabe einer Index-

matrix J benutzen, in deren Elementen jeweils die Zeilen- und Spaltennummer

desjenigen Eintrags der Flexibilitätsmatrix gespeichert wird, für den die Flexi-

bilität für denselben relativen Abstand bereits berechnet wurde, oder ein Wert,

der anzeigt, dass noch kein Eintrag für die vorliegenden Paarung von Abständen

berechnet wurde.

In der oben beschriebenen Form müsste die Indexmatrix so groß gewählt wer-

den, dass für das Beispiel in Bild 3-4 in horizontaler Richtung für die Indizes

{–1, 0, 1} und in vertikaler Richtung für die Indizes {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} Spei-

cherplatz belegt wird, d. h. 3 · 7 = 21 Einträge. Die Größe der Indexmatrix lässt

sich für die hier benutzten Green’schen Funktionen weiter reduzieren, da das

Vorzeichen des Abstandes von Lastpunkt und Empfängerpunkt nicht den Be-

trag, sondern nur das Vorzeichen der Green’schen Funktionen beeinflusst. Spei-

chert man das Vorzeichen der Abstände dadurch ab, dass die Einträge der In-

dexmatrix, d. h. Zeilen und Spaltennummer der Flexibilitätsmatrix, ggf. mit ei-

nem Vorzeichen beaufschlagt werden, so ergibt sich die Indexmatrix wie in

Bild 3-4 mit nur noch acht Einträgen.

Der Pseudocode des Algorithmus ist für den Fall, dass Lastpunkte und Empfän-

gerpunkte identisch sind, in Bild 3-5 dargestellt. In Bild 3-6 ist der Algorithmus

für den Flexibilitätsmatrix bei der Freifeldberechnung angegeben.

3.4.3 Einsparpotential

Zur Beurteilung des Einsparpotentials werden in Tabelle 3-2 die drei Beispiele

aus Bild 3-7 verglichen. Dabei wird zur Erhöhung der Anschaulichkeit davon

ausgegangen, dass jeder Knoten nur einen einzigen Freiheitsgrad besitzt, und

dass der Wert der Green’schen Funktionen entweder nur vom Absolutwert des

Abstandes zwischen Lastpunkt und Aufpunkt abhängt und nicht von dessen

Vorzeichen, oder dass das Vorzeichen in den Einträgen in der Indexmatrix be-

rücksichtigt wird.

Man erkennt deutlich, dass der Aufwand für die Aufstellung der Flexibilitäts-

matrix bei Ausnutzung der Indexmatrix statt quadratisch nur noch linear mit

der Anzahl der BEM-Elemente steigt. Der Aufwand zur Speicherung der Index-

matrix bezüglich des benötigten Speichers steigt ebenfalls nur linear mit der

Anzahl an BEM-Elementen und ist damit im Vergleich zum Speicherplatzbe-

54 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

darf der Flexibilitätsmatrix vernachlässigbar klein. Da ferner für die Suche,

d. h. die Prüfung ob ein passender Eintrag der Flexibilitätsmatrix bereits be-

rechnet wurde, nur im Auslesen eines einzigen Elementes der Indexmatrix be-

steht, bleibt festzustellen, dass der vorgeschlagene Algorithmus zu einer erheb-

lichen Verringerung des Zeitaufwandes für die Aufstellung der Flexibiltitätsma-

trix führen wird, ohne das dafür signifikant mehr Speicher benötigt wird.

Für Beispiel A bei einer Flexibilitätsmatrix als Vorstufe zur Steifigkeitsmatrix

gilt:

001 Setze d

= Elementbreite in x-Richtung

002 Setze d

= Elementbreite in y-Richtung

003 Setze n

= Anzahl Elemente in x-Richtung

004 Setze n

= Anzahl Elemente in y-Richtung

005 Setze N = n

·n

006

007 Allokiere Indexmatrix J mit Dimension (0...n

-1)

(0...n

-1)

008

009 ! Vorbelegung der Indexmatrix

010 Setze J

n,m

= {0,0}

011

012 Allokiere Flexibilitätsmatrix F mit Dimension N

013

014 ! Schleife über alle Zeilen der Flexibilitätsmatrix

015 DO i = 1 bis N

016

017 ! Schleife über alle Spalten der Flexibilitätsmatrix im linken unteren Dreieck

018 DO j = 1 bis i

019

020 ! Berechne Hash-Werte der Abstände zwischen Knoten

und Knoten

021 Setze n = |x

–x

|/d

022 Setze m = |y

–y

|/d

023

024 ! Belege Flexibilitätsmatrix

025 IF J

n,m

= {0,0}

026 Berechne F

i,j

durch Auswertung der Green’schen Funktionen

027 Setze J

n,m

= {i·Sign(x

–x

), j·Sign(y

–y

)}

028 ELSE

029 Setze k = J

n,m,1

030 Setze l = J

n,m,2

031 Setze F

i,j

= Sign(k) * Sign(l) * F

k,l

032 ENDIF

033 ENDDO (j)

034 ENDDO (i)

035

036 ! Belege oberes rechtes Dreieck der Flexibilitätsmatrix

037 DO i=1 bis N

038 DO j=i+1 bis N

039 Setze F

i,j

= F

j,i

040 ENDDO

041 ENDDO

Bild 3-5: Pseudocode des Algorithmus zur Belegung der Flexibilitätsmatrix als

Vorstufe zur Steifigkeitsmatrix, vereinfachend für einen einzigen

Freiheitsgrad pro Knoten und symmetrischer Flexibilitätsmatrix

3.4 Optimierung der Aufstellung der Bodenflexibilitätsmatrix 55

(3-6)

(3-7)

(3-8)

(3-9)

Für Beispiel A bei der Freifeldberechnung gilt:

001 Setze d

= Elementbreite in x-Richtung

002 Setze d

= Elementbreite in y-Richtung

003 Setze n

= Anzahl Elemente in x-Richtung

004 Setze n

= Anzahl Elemente in y-Richtung

005 Setze X

= Kleinste Koordinate von Last- und Aufpunktfeld in x-Richtung

006 Setze X

= Größte Koordinate von Last- und Aufpunktfeld in x-Richtung

007 Setze Y

= Kleinste Koordinate von Last- und Aufpunktfeld in y-Richtung

008 Setze Y

= Größte Koordinate von Last- und Aufpunktfeld in y-Richtung

009 Setze k

= (X

-X

)/d

010 Setze k

= (Y

-Y

)/d

011 Setze N = n

·n

012 Setze K = k

·k

013 Setze M = Anzahl Aufpunkte

014 Allokiere Indexmatrix J mit Dimension (0...k

-1)

(0...k

-1)

015

016 ! Vorbelegung der Indexmatrix

017 Setze J

n,m

= {0,0}

018

019 Allokiere Flexibilitätsmatrix F mit Dimension M

020

021 ! Schleife über alle Zeilen der Flexibilitätsmatrix (Aufpunkte)

022 DO i = 1 bis M

023

024 ! Schleife über alle Spalten der Flexibilitätsmatrix (Lastpunkte)

025 DO j = 1 bis N

026

027 ! Berechne Hash-Werte der Abstände zwischen Knoten

und Knoten

028 Setze n = |x

–x

|/d

029 Setze m = |y

–y

|/d

030

031 ! Belege Flexibilitätsmatrix

032 IF J

n,m

= {0,0}

033 Berechne F

i,j

durch Auswertung der Green’schen Funktionen

034 Setze J

n,m

= {i·Sign(x

–x

), j·Sign(y

–y

)}

035 ELSE

036 Setze k = J

n,m,1

037 Setze l = J

n,m,2

038 Setze F

i,j

= Sign(k) * Sign(l) * F

k,l

039 ENDIF

040 ENDDO (j)

041 ENDDO (i)

Bild 3-6: Pseudocode des Algorithmus zur Belegung der Flexibilitätsmatrix bei der

Freifeldberechnung, vereinfachend für einen einzigen Freiheitsgrad pro

Knoten

NBEM nanb

⋅=

NFF NBEM

NFlex NBEM

()

NrNJNBEM

56 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

(3-10)

(3-11)

(3-12)

lb= nb· dbLb = kb· db

La= ka· da

la= na· da

Bild 3-7: Beispiele zur Beurteilung des Einsparpotentials bei der Aufstellung der

Bodenflexibilitätsmatrix. Schwarz: BEM-Elementnetz. Rot: Freifeldpunkte

Tabelle 3-2: Aufwand für die Belegung der Flexibilitätsmatrix für die Beispiele aus

Bild 3-7

Aufwanda

a)NBEM: Anzahl BEM-Elemente

NFF: Anzahl Aufpunkte bzw. Anzahl Freifeldpunkte

NFlex: Anzahl Einträge in der Flexibilitätsmatrix

Nr: Anzahl voneinander verschiedener Abstände zwischen Lastpunkten und Aufpunkten

NJ: Anzahl Einträge in der Indexmatrix

Flexibilitätsmatrix als

Vorstufe zur Steifigkeitsmatrix

Flexibilitätsmatrix für die Frei-

feldberechnung

A B C A B C

NBEM 16 6 4 16 6 4

NFF 16 6 4 196 196 196

NFlex 256 36 16 3136 1176 784

Nr16 14 4 81 81 81

NJ16 16 16 81 81 81

NBEM nanb

⋅=

NFF kakb

⋅=

NFNBEM NFF

⋅=

3.4 Optimierung der Aufstellung der Bodenflexibilitätsmatrix 57

(3-13)

(3-14)

3.4.4 Erweiterung für hierarchische Freifeldnetze

Es dürfte nicht immer sinnvoll sein, die Freifeldpunkte wie im Beispiel A in

Bild 3-7 als Erweiterung des BEM-Netzes zu definieren. Für den Fall einer hier-

archischen Beziehung zwischen Lastpunktnetz und Freifeldnetz lässt sich der

Algorithmus weiterhin anwenden, es sind jedoch die in Bild 3-8 dargestellten

Fälle zu unterscheiden.

Im Fall A in Bild 3-8 gibt es unterschiedliche Rasterweiten bei den Punktnetzen,

so dass bei der Berechnung des zu einer Kombination aus Lastpunkt und Auf-

punkt gehörenden Eintrages in der Indexmatrix viermal derselbe Eintrag er-

mittelt werden würde, ohne dass die Abstände tatsächlich indentisch wären.

Zur Bearbeitung einer solchen hierarchischen Unterteilung muss die Indexma-

trix dahingegehend modifiziert werden, als in jedem Element der Indexmatrix

nun vier Adressen aus der Flexibilitätsmatrix gespeichert werden müssen. Da

aber die Anzahl von Vergleichen bei der Suche nach bereits berechneten Einträ-

gen in der Indexmatrix zwar vom Rasterabstand, aber nicht von der Anzahl der

Aufpunkte abhängt, ändert sich nichts Grundsätzliches an der Effizienz des Al-

gorithmus.

Der Fall B in Bild 3-8 benötigt keinerlei Änderung des Algorithmus, da jeder

Kombination aus Freifeldpunkt und Lastpunkt weiterhin in eineindeutiger Wei-

se ein Eintrag der Indexmatrix zugeordnet werden kann. Die Indexmatrix wird

lediglich nicht mehr vollständig belegt.

3.4.5 Anwendung und Vergleichsberechnung

Der vorgestellte Algorithmus eignet sich bereits hervorragend, um die Laufzeit

bei der Berechnung der Bodenflexibilitätsmatrix deutlich zu verringern. Insbe-

sondere die Berechnung der Freifeldverschiebungen über weite Bereiche, die

über die Strukturumfassung weit hinausgehen, wird durch die Anwendung die-

ses Algorithmus überhaupt erst praktisch durchführbar, weil die CPU-Zeit auf

ein erträgliches Maß beschränkt werden kann.

naka

-------------------nbkb

-------------------

⋅=

NJNr

58 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

Die Ersparnis an Rechenzeit am Beispiel des Erdwalls unter Freifeldanregung

in Bild 4-19 ist in Tabelle 3-3 zusammengestellt. Die Berechnungen erfolgten

auf der Hardware nach Anhang A.3.

3.4.6 Weiteres Optimierungspotential

Für ein einfaches BEM-Netz ist die Belegung von Flexibilitätsmatrix und ihrer

Inversen in Bild 3-9 dargestellt. Man erkennt beispielsweise, dass die Hauptdia-

gonale der Flexibilitätsmatrix noch konstant belegt ist, aber die Hauptdiagonale

der Steifigkeitsmatrix bereits nicht mehr. Dasselbe gilt für mehrere Nebendia-

gonalen.

Betrachtet man die Belegung der Flexibilitätsmatrix genauer, so erkennt man

eine Block-Toeplitz-Struktur, siehe z. B. Wikipedia [132]. Toeplitz-Matrizen ha-

ben die Eigenschaft, dass die Hauptdiagonale und alle Nebendiagonalen jeweils

mit einem konstanten Wert belegt sind, der sich jedoch von Diagonale zu Diago-

nale unterscheiden kann.

Bei Block-Toeplitz-Matrizen sind die Diagonaleinträge selbst Matrizen. Die Ge-

samtmatrix hat nun keine Toeplitz-Struktur mehr. Je nach Definition einer

Block-Toeplitz-Matrix wird auch die Forderung, dass jeder Block selber eine

Toeplitz-Matrix sein muss, fallengelassen.

Bild 3-8: Varianten einer hierarchische Beziehung zwischen Lastpunktnetz

(schwarz) und Aufpunktnetz (rot). A: grobes Raster im BEM-Netz, feines

Raster im Freifeldnetz. B: umgekehrt

3.4 Optimierung der Aufstellung der Bodenflexibilitätsmatrix 59

Für die Multiplikation eines beliebigen Vektors mit einer Toeplitz-Matrix sind

jedoch Algorithmen mit einer Komplexität von lediglich O(nlogc(n)) bekannt,

statt O(n²) für unstrukturierte Matrizen, siehe beispielsweise Gohberg und Ols-

hevsky (1994, [63]). Auch für die Multiplikation eines Vektors mit der Inversen

einer Toeplitz-Matrix werden analoge Algorithmen vorgestellt. Für die Berech-

nung der Inversen einer Block-Toeplitz-Matrix präsentieren Lv und Huang

(2013, [98]) einen schnellen Algorithmus. In Kombination mit der Lagrange-Me-

thode nach Abschnitt 3.5 und einem iterativen Gleichungslöser nach Abschnitt

3.8 sind durch Ausnutzung der Toeplitz-Struktur weitere Optimierungen zur

Verminderung der Laufzeit denkbar.

Tabelle 3-3: Beispielberechnung für Freifeldverschiebungen

Modellparameter Volle

Flexibilitätsmatrix

Komprimierte

Flexibilitätsmatrix

Anregungsfrequenz 30 Hz 30 Hz

Unterteilung des Interak-

tionshorizontes BEM-Ele-

mente pro FEM-Element

2×2 1×1 2×2 1×1

Anzahl Gaußpunkte 5×5 5×5 5×5 5×5

Anzahl FEM-Elemente

im Interaktionshorizont 3280 3280 3280 3280

Anzahl BEM-Elemente

im Interaktionshorizont 13.120 3280 13120 3280

Anzahl Bodenfreiheits-

grade im Interaktionsho-

rizont

39.360 9840 39.360 9840

Assemblierung der

Flexibilitätsmatrix des

Interaktionshorizon-

tes

Anzahl Matrixelemente 1.549.209.600 96.825.600 1.549.209.600 96.825.600

davon neu berechnet 774.624.480 64.550.400 78.720 19.680

CPU-Zeit 3165 s 203 s 63 s 4 s

Assemblierung der

Flexibilitätsmatrix für

Freifeldberechnung

Anzahl Freifeldpunkte 525 × 402 264 × 202 525 × 402 264 × 202

Anzahl Matrixelemente 24.920.784.000 1.574.242.560 24.920.784.000 1.574.242.560

davon neu berechnet 24.920.784.000 1.574.242.560 905.576 227.752

CPU-Zeit pro Tiefenkoor-

dinate nicht berechnet 5240 s 940 s 59 s

60 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

3.5 Lagrange-Methode

Die in der Beschreibung der Referenzimplementierung im Abschnitt 3.2 vorge-

stellte Gesamtsteifigkeitsmatrix (3-5) ist unter der Prämisse hergeleitet wor-

den, eine reine Weggrößenformulierung des Interaktionsproblems zu erhalten,

d. h. ein Gleichungssystem zu erhalten, dessen Unbekannte ausschließlich Weg-

größen sind. Diese Vorgehensweise ist insofern nachvollziehbar, als ANSYS in

der Strukturanalyse ausschließlich Weggrößen als Unbekannte benutzt.

Gibt man diese Prämisse jedoch auf, so ergibt sich eine Formulierung des Inter-

aktionsproblems in Form eines Gleichungssystems, dessen Unbekannte sowohl

Weg- als auch Kraftgrößen sind. Dadurch lässt sich die Invertierung der Boden-

flexibilitätsmatrix vermeiden um den Preis, dass die Anzahl der Unbekannten

zunimmt.

Der zur Lösung dieses Gleichungssystems erforderliche zusätzliche numerische

Aufwand ist jedoch ggf. gering. Wie die numerischen Experimente in Abschnitt

3.3 zeigen, ist die Anzahl der Nicht-Null-Elemente in der Gesamtsteifigkeitsma-

trix bei sehr großen Problemstellungen ein guter Indikator für den zu erwarten-

den numerischen Aufwand. Die Anzahl der Nicht-Null-Elemente im FEM-Teil

der Matrix ist bei großen Systemen aber klein gegenüber der Anzahl an

Nicht-Null-Elementen im BEM-Teil, so dass sich kein signifikanter Unterschied

ergibt.

Bild 3-9: BEM-Netz, Block-Toeplitz-Struktur einer Flexibilitätsmatrix bei einem

Freiheitsgrad pro Knoten und die Belegung der durch Invertierung

berechneten Steifigkeitsmatrix. Gleiche Farbtöne symbolisieren identische

Zahlenwerte

3.5 Lagrange-Methode 61

Wenn man dabei den Speicherplatz für die vollständige Flexibilitätsmatrix ein-

sparen und nur die voneinander verschiedenen Matrixeinträge speichern will,

dann ist für die Lösung des gekoppelten FEM-BEM-Gleichungssystems ein spe-

zieller Löser erforderlich, da jeder Zugriff auf die volle Flexibilitätsmatrix in ei-

nen Zugriff auf die komprimierte Flexibilitätsmatrix übersetzt werden muss. Da

ein solcher Löser in der verwendeten FE-Software der Referenzimplementie-

rung nicht verfügbar ist, wurde stets die volle Flexibilitätsmatrix abgespeichert.

3.5.1 Formulierung

Ausgangspunkt ist das nach Freiheitsgraden ausschließlich in der Struktur und

Freiheitsgraden im Interaktionshorizont sortierte FEM-Gleichungssystem

(2-27) des Bauwerks

(3-15)

mit S den dynamischen Steifigkeiten, u den unbekannten Verschiebungen, P

den äußeren Kräften und Q dem Sohlkraftvektor. Der Index „R“ steht für die

Strukturfreiheitsgrade und der Index „I“ für die Freiheitsgrade im Interaktions-

horizont.

Aus der BEM-Formulierung des Bodens ergibt sich das Gleichungssystem (2-28)

(3-16)

mit der Flexibilitätsmatrix GII, den Bodenverschiebungen vI, der indirekten Er-

regung im Interaktionshorizont s und den Kontaktspannungen qI an den Inter-

aktionspunkten.

Ferner gelten die Gleichungen (2-29) für die arbeitskonforme Transformation

von Sohlspannungen auf Sohlkräfte

(3-17)

und (2-30) für die Kompatibilität an den Interaktionspunkten

.(3-18)

SRR SRI

SIR SII

⋅PR

–=

vIsI

–GII qI

⋅=

QITQq qI

⋅=

vITvu uI

⋅=

62 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

In der Referenzimplementierung wurden die Sohlspannungen qI bzw. Sohlkräf-

te QI eliminiert und formal durch eine Bodensteifigkeitsmatrix ersetzt.

Betrachtet man die Sohlspannungen jedoch wie die Verschiebungen als unbe-

kannte Größe, so läßt sich die Bildung der Bodensteifigkeitsmatrix durch Inver-

tierung der Bodenflexibilitätsmatrix vermeiden.

Man setze dazu (3-17) in (3-15) und (3-18) in (3-16) ein und bringe alle Unbe-

kannte auf die jeweils linke Seite der Gleichung:

(3-19)

(3-20)

Fügt man (3-19) und (3-20) zusammen, so erhält man mit

(3-21)

ein um die Flexibilitätsmatrix erweitertes FEM-Gleichungssystem mit den

Sohlspannungen als Teil des Lösungsvektors und der indirekten Erregung als

Teil der äußeren Belastung.

Die Matrix auf der linken Seite von (3-21) ist nicht symmetrisch, da nach (2-34)

gilt.

Setzt man diese Beziehung und die Definitionen

und (3-22)

(3-23)

in (3-21) ein, so erhält man mit

SRR SRI

SIR SII

I 0

TQq qI

⋅

⋅+⋅PR

Tvu uI

⋅GII qI

⋅–sI

SRR SRI 0

SIR SII TQq

vu GII

–

⋅

TQq Tvu

TA⋅=

FII GII A⋅=

pIAq

⋅=

3.5 Lagrange-Methode 63

(3-24)

bzw.

(3-25)

ein symmetrisches Gleichungssystem zur Lösung des Interaktionsproblems mit

der erweiterten Steifigkeitsmatrix, aus dem sich im Nachlauf die tatsächlichen

Sohlspannungen durch Lösen von (3-23) ergeben.

3.5.2 Freifeldverschiebung

Für die Freifeldverschiebung gilt (2-37)

(3-26)

mit wF den Freifeldverschiebungen aufgrund der Sohlspannungen und sF der

indirekten Erregung an beliebigen Punkten außerhalb des Interaktionshorizon-

tes (Freifeldpunkte).

Prinzipiell ist es möglich, die Lösung von (3-26) in die erweiterte Steifigkeitsma-

trix zu integrieren. Man erhält in diesem Fall

(3-27)

Man erkennt deutlich, dass sich die Matrix auf der linken Seite von (3-27) nicht

mehr symmetrisieren lässt. Ferner dürfte bei einer Berechnung der Freifeldver-

schiebungen die Anzahl der Freifeldpunkte wesentlich größer sein als die An-

zahl der Interaktionspunkte. Damit erhält auch das gesamte Gleichungssystem

eine große Anzahl von Unbekannten zusätzlich und der Aufwand für die Lösung

vergrößert sich. Es ist daher wesentlich zweckmäßiger, die Freifeldverschiebun-

gen als Nachlaufrechnung durch Lösung von (3-26) zu ermitteln. Dies gilt insbe-

sondere auch deswegen, weil die Freifeldverschiebungen das Ergebnis einer Ma-

SRR SRI 0

SIR SII Tvu

vu FII

–

⋅

Su⋅P=

wFGFI qI

⋅sF

SRR SRI 00

SIR SII TQq 0

vu GII

–0

00G

–I

⋅

64 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

trix-Vektor-Multiplikation sind, so dass die dazugehörige Flexibilitätsmatrix

nicht vollständig aufgestellt werden muss. Vielmehr reicht es, jeweils nur eine

Spalte der Matrix aufzustellen, und mit dem Eintrag in der entsprechenden Zei-

le des Sohlkraftvektors zu multiplizieren.

3.5.3 Implementierung und Vergleichsberechnungen

Die Aufstellung der erweiterten Struktursteifigkeitsmatrix wurde der Referenz-

implementierung von Hirschauer [71] hinzugefügt. Wie für die invertierte

BEM-Flexibilitätsmatrix wurde eine Substrukturmatrix als Schnittstelle zu

ANSYS verwendet. Diese Schnittstelle bietet als einzige die Möglichkeit, belie-

bige Matrizen an ANSYS zu übergeben.

Vergleichsberechnungen zeigten, dass das Verfahren im allgemeinen geringere

Laufzeiten benötigt als für dieselbe Problemstellung mit Invertierung der

BEM-Flexibilitätsmatrix. Als Vergleichsbeispiel wurde ein Erdwall unter Frei-

feldanregung gewählt, wie er in Kapitel 4 ausführlich untersucht wird. Der Um-

fang des Vergleichsbeispiels ist in Tabelle 3-4 zusammengefasst. Die Berech-

nungen wurden auf dem Opteron-Computer nach Anhang A.2 durchgeführt. Es

zeigt sich, dass für das Vergleichsbeispiel das Verfahren mit erweiterter Struk-

tursteifigkeitsmatrix deutlich schneller ist als das Verfahren mit Invertierung

der BEM-Flexibilitätsmatrix.

Tabelle 3-4: Modelldaten und Laufzeitverhalten des Vergleichsbeispiels

Kennwert Substrukturmethode Lagrange-Methode

Anzahl Freiheitsgrade FEM 25893 25893

davon im Interaktionshorizont 3024 3024

Anzahl Bodenfreiheitsgrade im

Interaktionshorizont 11160 11160

Anzahl Freiheitsgrade in

Gesamtmatrix 25893 37053

Invertierung der BEM-Flexibili-

tätsmatrix 2406 s —

Lösung des Gesamtgleichungssy-

stems/Anzahl ICCG-Iterationen 50 s/440 Iterationen 2037 s/1524 Iterationen

Gesamtlaufzeit 3148 s 2862 s

max. Speicherverbrauch 1945 MB 12606 MB

3.5 Lagrange-Methode 65

Bei beiden Berechnungen wurde der in ANSYS implementierte iterative Löser

mit der Bezeichnung ICCG verwendet. Der ebenfalls implementierte Sparse-Lö-

ser führte bei der Variante mit erweiterter Struktursteifigkeitsmatrix zu einem

Abbruch, da mehr als 16 GB RAM notwendig gewesen wären.

Dieser hohe Speicherverbrauch offenbart eine Schwäche der verwendeten Sub-

strukturschnittstelle. Dadurch wurde aller Wahrscheinlichkeit nach auch die

Laufzeit der Variante mit erweiterter Struktursteifigkeitsmatrix negativ beein-

flusst.

Ursache für den hohen Speicherverbrauch ist die Annahme, dass eine Substruk-

turmatrix in der Regel vollbesetzt ist. Diese Annahme ist bei Substrukturmatri-

zen, die aus FE-Netzen generiert werden, allgemein zutreffend und somit be-

rechtigt. Aus diesem Grunde muss jede Substrukturdatei, über die eine Sub-

strukturmatrix an ANSYS übergeben werden kann, die volle Matrix enthalten.

Beim Einlesen der Substrukturdatei nimmt ANSYS an, dass nur vernachlässig-

bar viele Null-Matrixelemente vorhanden sind.

Wie man der Belegung der erweiterten Struktursteifigkeitsmatrix in (3-21) und

Bild 3-3 entnehmen kann, enthält die erweiterte Matrix einen vollbesetzten Teil

mit der BEM-Flexibilitätsmatrix, zwei sehr dünn besetzte Teile mit den Trans-

formationsmatrizen, und einen ebenfalls dünn besetzten Teil mit der FEM-Stei-

figkeitsmatrix. Da die FEM-Steifigkeit durch die Substrukturmatrix mit den

Transformationsmatrizen und der Flexibilitätsmatrix nicht verändert werden

darf, muss dieser Teil vollständig in der Substrukturdatei mit Nullen belegt

werden. Auch der Teil mit den Transformationsmatrizen ist nahezu vollständig

mit Nullen belegt.

Daher werden nach dem Einbau der Substrukturmatrix in die Gesamtmatrix

alle Einträge, die in der Substrukturmatrix einen Eintrag hatten, als von Null

verschieden angesehen, selbst wenn sie wie im vorliegenden Fall häufig eine

Null enthalten. Beim Lösen werden somit sehr viele Multiplikationen mit

Null-Einträgen durchgeführt, so dass auch die Laufzeit eines iterativen Lösers

davon stark verlängert werden kann. Ob die in Tabelle 3-4 zu beobachtende weit

höhere Iterationszahl gegenüber der Referenzimplementierung auf die

Null-Elemente zurückzuführen ist, oder mit der Struktur der Matrix zusam-

menhängt, konnte nicht abschließend geklärt werden.

Es ist ferner zu beachten, dass bei realen Problemstellungen die Größenordnung

der Matrixeinträge eine hohe Bandbreite von 10 bis 20 Zehnerpotenzen haben

66 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

können. Dies liegt daran, dass die erweiterte Steifigkeitsmatrix sowohl Steifig-

keitsterme enthält, die proportional zum E-Modul von Beton o.ä. sind, und

gleichzeitig Flexibilitätsterme des Bodens, die umgekehrt proportional zum

Schubmodul des Bodens sind. Die Ergebnisse der Vergleichsrechnung waren na-

hezu identisch in Bezug auf die Verformungen. Auch Versuche mit der Vorkon-

ditionierung der FEM-Flexibilitätsmatrix durch die Inverse der Diagonale

brachte weder eine Veränderung der Verformungen, noch eine signifikante Än-

derung der Anzahl an Iterationen. Beides sind Indizien dafür, dass die Unter-

schiede in der Größenordnung der Matrixelemente unproblematisch sind.

Das geschilderte Verhalten von ANSYS erklärt schlüssig den hohen Speicher-

verbrauch. Eine vollbesetzte komplexwertige Gesamtmatrix für 37053 Frei-

heitsgrade benötigt unter Ausnutzung der Symmetrie ca. 10500 MB RAM, was

ca. 20 % unterhalb des maximalen Speicherverbrauches nach Tabelle 3-4 liegt.

Eine fundamentale Erkenntnis aus der Durchführung der Vergleichsrechnung

ist: die Systemmatrix nach der Lagrange-Methode ist grundsätzlich mit iterati-

ven Gleichungslösern mit vertretbarem Aufwand zu lösen. In Kombination mit

der schnellen und speicherschonenden Berechnung der Flexibilitätsmatrix er-

öffnen sich dadurch vielversprechende Perspektiven für eine effiziente Berech-

nung von gekoppelten FEM-BEM-Systemen im Frequenzbereich mit speziell zu-

geschnittenen Lösungsalgorithmen, die sowohl die schwache Belegung der

FEM-Matrix, als auch die volle Belegung der BEM-Matrix optimal berücksich-

tigen.

3.6 Optimierung der Invertierung der

Bodenflexibilitätsmatrix

3.6.1 Vorbemerkungen

Aus Bild 3-2 ist ersichtlich, dass bei der Substrukturmethode der mit Abstand

größte Anteil der CPU-Zeit für die Invertierung der Bodenflexibilitätsmatrix be-

nötigt wird.

Die explizite Berechnung einer Inversen Matrix mag auf den ersten Blick unge-

wöhnlich sein. Higham ( 2002, [70], p. 260) schreibt in seinem Buch über nume-

rische Methoden: „To most numerical analysts, matrix inversion is a sin“. War-

um sollte also bei der in dieser Arbeit untersuchten Problemstellung die Inver-

tierung einer Matrix sinnvoll sein?

3.6 Optimierung der Invertierung der Bodenflexibilitätsmatrix 67

Die Antwort geben beispielsweise White et al. (2000, [131]), die elektromagneti-

sche Wellenfelder mit einer Kopplung von BEM und FEM im Frequenzbereich

untersuchen. Aus der Diskretisierung ihrer Differentialgleichungen erhalten sie

ein Gleichungssystem mit der gleichen Form wie (3-21). Ihre Versuche, ein sol-

ches Gleichungssystem mit direkten Methoden zu lösen, scheitern am zu hohen

Speicherverbrauch. Die Versuche mit iterativen Gleichungslösern zeigen ein

sehr durchwachsenes Ergebnis – manche konvergieren gar nicht, andere sehr

schlecht, nur wenige sind zufriedenstellend. Ihre Untersuchungen mit der Bil-

dung des Schur-Komplement, d. h. mit der Invertierung einer Matrix analog zur

Berechnung der Bodensteifigkeitsmatrix in (3-5), und einer Lösung des Glei-

chungssystems mit einem iterativen Löser zeigt ein gutes Konvergenzverhalten.

Die Schlussfolgerungen von White et al. [131] bestätigen die Beobachtung aus

Tabelle 3-4, dass die Lösung des Gleichungssystems nach der Lagrange-Metho-

de bei iterativen Lösern sehr viel schlechter konvergiert als die Lösung des Glei-

chungssystems aus der Substrukturmethode, obwohl die beiden Gleichungssy-

steme mathematisch äquivalent sind.

3.6.2 Invertierungsalgorithmen

Die Invertierung ist in der Referenzimplementierung mit der LAPACK-Routi-

nenpaarung ZSYTRF und ZSYTRI [45] realisiert werden. Die erste Routine führt

eine Dreieckszerlegung durch, und die zweite führt eine Rücksubstitution für

alle Einheitsvektoren durch und man erhält so die Inverse. Das benutzte Routi-

nen-Paar ist speziell für symmetrische komplexwertige Matrizen einsetzbar.

Die Anzahl der Fließkommaoperationen beträgt bei ZSYTRF ca. (4/3)N3 und bei

ZSYTRI ca. (8/3)N3 und somit in der Summe 4N3 (Angaben gemäß der Doku-

mentation der MKL-Bibliothek [73]). Dabei ist N die Anzahl der Unbekannten.

Der Vergleich der Anzahl an Fließkommaoperationen mit den Ergebnissen der

Laufzeitmessungen nach Bild 3-2 zeigt einen scheinbaren Widerspruch. Auf

dem Papier benötigt die Rücksubstitution nur ca. doppelt so viele Fließkomma-

operationen wie die Dreieckzerlegung. Die Experimente haben jedoch gezeigt,

dass der Zeitaufwand für die Rücksubstitution deutlich größer ist als der Auf-

wand für die Zerlegung, und dass das Verhältnis offenbar problemabhängig ist.

Tatsächlich hängt die Laufzeit der einzelnen Routinen in ganz erheblichem

Maße von der benutzten Implementierung der Bibliotheksroutinen in Kombina-

tion mit der verwendeten CPU ab. Die Experimente wurden nicht mit den Ori-

ginalquellen durchgeführt, sondern mit der Implementierung in der ACML-Bi-

68 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

bliothek. Diese Bibliothek ist speziell für eine Opteron-CPU vom CPU-Herstel-

ler optimiert worden, wobei jedoch bei weitem nicht alle Routinen optimiert

wurden. Welche dies sind, ist jedoch nicht veröffentlicht worden.

Mögliche Alternativen zu den in der Referenzimplementierung benutzten Algo-

rithmen sind nur in begrenzter Zahl vorhanden. Die erste wesentliche Ein-

schränkung bei der in dieser Arbeit untersuchten Problemstellung besteht dar-

in, dass die Flexibilitätsmatrix – wie bei Berechnungen im Frequenzbereich üb-

lich – im Allgemeinen indefinit ist. Die zweite wesentliche Einschränkung

besteht darin, dass die Matrix voll besetzt ist und im Allgemeinen alle Matri-

xeinträge ungleich Null sind.

Strazdins und Lewis (2001, [126]) haben speziell direkte Löser für indefinite,

symmetrische, vollbesetzte Matrizen untersucht und sind zu dem Schluss ge-

kommen, dass die Implementierung von ZSYTRF aus der LAPACK-Bibliothek

[45] nahezu optimal ist.

Béreux (2005, [19]) erwähnt in ihrer Arbeit über die Lösung von linearen Glei-

chungssystemen mit Toeplitz-Matrizen, das symmetrische komplexwertige

Gleichungssysteme aus Randelementformulierungen zwar formell nicht die An-

forderungen für die Anwendung einer Cholesky-Zerlegung erfüllen, dass aber

ihre numerischen Experimente den Schluss zuließen, dass eine Cholesky-Zerle-

gung trotzdem möglich ist. Dadurch können solche Matrizen faktisch wie hermi-

tesche Matrizen behandelt werden, was mit einer Minderung des Rechenauf-

wandes auf ca. die Hälfte verbunden ist, weil kein Pivoting6 erforderlich ist. Sie

erwähnt jedoch, dass es für diese Eigenschaft von BEM-Matrizen keinen forma-

len Beweis gäbe. Higham (1998, [70]) weist darauf hin, dass eine hinreichende

Bedingung für die Anwendung einer Cholesky-Zerlegung bei komplexwertigen

symmetrischen Matrizen stets die positive Definitheit sowohl von Realteil als

auch von Imaginärteil ist.

Für die Berechnung einer Inversen kommen iterative Löser nicht in Betracht,

da die Iteration stets nur mit einem Vektor als rechter Seite erfolgen kann, und

für eine Inverse einer N×N-Matrix demnach der N-fache Aufwand wie für die

Lösung mit einem einzelnen Vektor als rechter Seite anfällt.

Einen Überblick über die allgemein verfügbaren Bibliotheken mit direkten Lö-

sern gibt der Artikel von Dongarra und Eijkhout (2000, [44]). Für die Invertie-

6. In der englischsprachigen Fachliteratur wird das Vertauschen von Zeilen und Spalten

während der Dreieckszerlegung mit dem Ziel, einen von Null verschiedenen Eintrag auf

der Hauptdiagonalen zu erhalten, als „Pivoting“ bezeichnet.

3.6 Optimierung der Invertierung der Bodenflexibilitätsmatrix 69

rung einer Matrix stehen demnach nur LINPACK und LAPACK jeweils in Kom-

bination mit BLAS zur Verfügung [45]. Da LAPACK nach [44] im wesentlichen

ein Weiterentwicklung von LINPACK optimiert für die in dieser Arbeit verwen-

deten Shared-Memory-Rechner ist, kann die Untersuchung von LINPACK-Al-

gorithmen entfallen.

Auf die speziell für dichtbesetzte symmetrische Matrizen verfügbaren Lösungs-

algorithmen gehen Baboulin, Becker und Dongarra (2011) in [15] ein. Sie stellen

explizit fest, dass in den gängigen Bibliotheken (ScaLAPACK, PLASMA, MAG-

MA und FLAME) für dünnbesetzte Matrizen zwar Routinen für die Cholesky-,

LU- und QR-Zerlegung enthalten sind, aber keine Routinen für Zerlegung inde-

finiter symmetrischer Matrizen. Als Grund geben sie an, dass die Algorithmen

nur schwer effizient zu parallelisieren sind.

Von LAPACK/BLAS gibt es von einer Reihe von Herstellern optimierte Varian-

ten für deren CPU. Die Version von Intel wird unter dem Namen MKL vertrie-

ben, die Version von AMD heißt ACML.

So gibt es zwar hochoptimierte Routinen, die statt in Fortran, C oder einer an-

deren Hochsprache in Assembler implementiert wurden. Dies gilt jedoch bei

weitem nicht für alle Routinen. So ist zu erwarten, dass nur diejenigen Routinen

besonders schnell sind, die in gängigen Benchmark-Programmen eingesetzt

werden. Auch spielt es eine Rolle, ob spezielle CPU-Merkmale wie SSE und Vek-

toroperationen ausgenutzt werden. Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die dahin-

gehende Ausnutzung der Speicherhierarchien in heutzutage üblichen CPUs

(Caches und CPU-Register), dass beim Zugriff auf den Speicher möglichst nur

solche Blockgrößen gelesen werden, die vollständig in einen der Caches passen.

Eine gute Einführung in diese Problematik geben Dongarra und Eijkhout (2000,

[44]) und Chelappa et al. (2008, [32]).

Den Einfluss, den eine geschickte Programmierung bei numerischen Algorith-

men haben kann, zeigt Bild 3-10. Man erkennt, dass selbst die geschickte Aus-

nutzung der Speicherhierarchie die Berechnung erheblich beschleunigen kann.

Daraus folgt, dass bei Benutzung von vorhandenen Bibliotheken diejenige Bi-

bliothek, die aus numerischer Sicht am besten zur Problemstellung passt, nicht

zwangsläufig auch die höchste Leistung erbringt.

Als mögliche Kandidaten für eine Beschleunigung der Rechenzeit bei der Inver-

tierung der Flexibilitätsmatrix verbleiben somit nur die Algorithmen, die in der

LAPACK-Bibliothek implementiert wurden. Es sind die beiden Routinenpaare

70 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

ZSYTRF/ZSYTRI für die Invertierung symmetrischer komplexer Matrizen, und

ZGETRF/ZGETRI für die Invertierung allgemeiner komplexer Matrizen.

Numerische Experimente haben gezeigt, dass bei der verfügbaren Hard- und

Software überraschenderweise das Routinenpaar ZGETRF/ZGETRI in der Sum-

me die niedrigste Laufzeit aufweist, während ZSYTRF/ZSYTRI ungefähr die dop-

pelte Zeit benötigt. Es ist daher empfehlenswert, trotz der Symmetrie der unter-

suchten Matrix den Invertierer für allgemeine Matrizen zu verwenden.

Eine weitere Variante wäre die Zurückführung der komplexwertigen Operatio-

nen auf reellwertige Operationen und Benutzung der entsprechenden Routinen

DGETRF/DGETRI mit einer doppelt großen Matrix. Es zeigte sich jedoch die

schlechteste Laufzeit der drei untersuchten Varianten.

Es sei abschließend nochmals darauf hingewiesen, dass die Beschleunigung der

Invertierung gegenüber der Referenzimplementierung nicht auf einen besseren

Algorithmus zurückgeführt werden konnte, da der verwendete Algorithmus be-

reits nahezu optimal ist. Die Beschleunigung konnte nur deswegen erreicht wer-

den, weil für die verwendete Hardware eine speziell optimierte Fassung der

Routine für allgemeine nichtsymmetrische komplexe Matrizen verfügbar war.

Bild 3-10: Vergleich der Geschwindigkeit von vier Double Precision

Implementierungen der Matrix-Matrix-Multiplikation nach bei jeweils

identischer Anzahl Fließkommaoperationen, nach Chellappa et al.

(2008, [32])

3.7 Iterative Kopplung 71

3.7 Iterative Kopplung

3.7.1 Einführung

Die Vorgehensweise wird in der Fachliteratur als „Domain Decomposition“ be-

zeichnet. Die Zerlegung kann dabei sowohl nach geometrischen, als auch nach

physikalischen Gesichtspunkten erfolgen.

Die Fachliteratur zu Domain Decomposition im allgemeinen ist unüberschaubar

groß. Eine allgemeine Einführung in die verbreiteten Verfahren liefert die Mo-

nographie von Smith et al. (1996, [123]).

Erste Anwendungen der FEM-BEM-Kopplung auf dynamische Boden-Bau-

werk-Interaktionsprobleme finden sich bei Savidis und Richter (1979, [115]), die

im Frequenzbereich die Impedanz von elastischen Fundamentplatten auf einem

homogenen Halbraum ermitteln. Sie leiten intuitiv ein Verfahren her, dass der

Kopplung FEM-BEM unter Verwendung von Halbraumfundamentallösungen

entspricht.

Feng und Owen (1996, [54]) untersuchen die statische Steifigkeit von Funda-

menten auf einem homogenen Halbraum. Payer und Mang (1997, [106]) unter-

suchen den Einfluss des fortschreitenden Aushubes von Tunnelröhren im stati-

schen Fall. Sie modellieren den Tunnel und dessen unmittelbare Umgebung mit

der FEM, und den umgebenden Bereich mit der BEM. Der FEM-Bereich kann

nichtlineares Materialverhalten aufweisen. Sie stellen verschiedene Strategien

vor, das Gesamtsystem zu lösen, unter anderem auch die direkte Lösung mit der

BEM-Steifigkeitsmatrix als Substruktur, aber gehen auch näher auf iterative

Lösungsalgorithmen ein. Dong und Antes (1998, [43]) koppeln FEM und BEM

in der Elastostatik für endliche Körper. Sie symmetrisieren die BEM-Steifig-

keitsmatrix und verweisen darauf, dass diese Methode auch für Boden-Bau-

werk-Interaktionsprobleme geeignet sei, ohne jedoch näher darauf einzugehen.

FEM-BEM-Kopplung für Boden-Bauwerk-Interaktionsprobleme im Zeitbereich

wird beispielsweise durch von Estorff und Kausel (1989, [50]), Yazdchi et al.

(1999, [135]), durch von Estorff und Hagen (2006, [51]), Rüberg (2008, [109]) und

Soares (2008, [124]) präsentiert.

François et al. (2010, [56]) präsentieren die Kopplung von FEM und BEM für

2.5D elastodynamische Problemstellungen im Frequenzbereich. Die Kopplung

erfolgt über die Bodensteifigkeitsmatrix als Substruktur der FE-Steifigkeitsma-

72 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

trix. Das Verfahren wird von Galvín et al. (2010, [57]) zur Vorhersage von Er-

schütterungen aus Eisenbahnverkehr angewendet. Coulier et al. (2014, [36])

wenden eine Fensterfunktion auf das Wellenzahlspektrum an, und können da-

durch auch Körper mit endlichen Abmessungen untersuchen.

Grasso (2012, [66]) koppelt FEM und BEM für die Untersuchung von dreidimen-

sionalen seismischen Wellenausbreitungsproblemen im Frequenzbereich. Für

die BEM verwendet sie die Multilevel Fast Multipole BEM-Methode (ML-FM-

BEM), bei der spezielle Eigenschaften der Vollraumfundamentallösung ausge-

nutzt werden, um die BEM-Matrizen sehr schnell berechnen zu können. Die

Kopplung von BEM und FEM geschieht sowohl über eine erweiterte Struktur-

steifigkeitsmatrix, als auch iterativ. Sie stellt fest, dass bei iterativer Kopplung

ein Relaxationsparameter die Konvergenz beschleunigen kann, aber dass ober-

halb einer Grenze Divergenz auftritt, und verweist auf notwendige weitere Un-

tersuchungen.

Genes und Kocak (2005, [60]) und Genes (2012, [61]) präsentieren eine Kopp-

lung von FEM, BEM und der „Scaled Boundary FEM“. Sie verwenden die FEM

für ein eingebettetes Gebäude, die BEM für den Bereich unterhalb der Grün-

dung, und die SBFEM für die seitlichen Ränder der Gründung. Durch die Be-

schränkung der BEM auf den unteren Bereich vermeiden sie die Diskretisie-

rung der Halbraumoberfläche. Die Kopplung der drei Methoden erfolgt über die

Substrukturmethode.

Coulier et al. (2013, [37]) geben einen ausführlichen Überblick speziell über

Kopplungsmethoden von FEM und BEM für SSI-Probleme im Frequenzbereich.

Sie geben ein Verfahren an, mit dem die Konvergenz der indirekten Methode um

eine Ordnung verbessert werden kann.

Die Kopplung FEM-BEM wird auch für Struktur-Fluid-Kopplung eingesetzt,

beispielsweise von Soares und Godinho (2012, [125]) und Godinho und Soares

(2013, [62]), um einige neuere Veröffentlichungen zu nennen.

Bei der Berechnung elektromagnetischer Wellenfelder sind FEM-BEM-Kopp-

lungsverfahren im Frequenzbereich ebenfalls verbreitet, und es treten genauso

wie bei elastischen Wellenfeldern symmetrische, komplexwertige Matrizen auf.

Beispiele für deren Anwendung und Lösung werden von Aiello et al. (2007, [3];

2008, [4]) präsentiert. Während in [3] sowohl die Substrukturmethode als auch

die Lagrange-Methode angewendet wird, werden in [4] die FEM-Freiheitsgrade

3.7 Iterative Kopplung 73

auf den Interaktionshorizont kondensiert, und das reduzierte Gleichungssystem

wird mit einem iterativen Lösungsverfahren bearbeitet.

Collino et al. (2000, [34]) präsentieren theoretische Überlegungen zur Kopplung

allgemeiner diskreter Methoden speziell für harmonische Wellenausbreitung

mit Anwendung auf akustische, elektromagnetische und elastische Wellenfel-

der. Sie weisen darauf hin, das nahezu alle klassischen Verfahren der Domain

Decomposition bei harmonischen Problemen keine gesicherte Konvergenz ha-

ben. Sie schlagen vor, die Gleichgewichtsbedingungen am Übergang zwischen

zwei Gebieten um einen Wellenabstrahlungsterm zu erweitern, und geben für

diese Art der Kopplung Konvergenzbedingungen an.

Einen identischen Ansatz verfolgen Bendali et al. (2007, [17]) und Boubendir et

al. (2008, [24]). Sie weisen darauf hin, dass die Konvergenz bei diesem Ansatz

bislang nur für den kontinuierlichen Fall nachgewiesen werden konnte, aber

noch nicht für den diskreten Fall. Numerische Experimente zeigen jedoch stets

gute Konvergenzeigenschaften.

3.7.2 Formulierung

Zur Veranschaulichung betrachte man den Einmassenschwinger in Bild 3-11,

der hier als sehr stark vereinfachtes Ersatzmodell für ein Boden-Bauwerk-In-

teraktionsmodell verwendet wird. Der Parameter g ist hier analog zur BEM-Fle-

xibilitätsmatrix als dynamische Nachgiebigkeit zu verstehen, während das Ge-

bäude als ein starrer Körper mit Masse m betrachtet wird.

Eine einfache Iterationsvorschrift für ein starres Bauwerk auf elastischem Un-

tergrund (Bild 3-11 links), die als „Dirichlet-Neumann“-Iteration bezeichnet

wird, ist im folgenden angegeben. Eine Übersicht über andere Iterationsvor-

schriften und deren Bezeichnungen findet sich beispielsweise bei Grasso (2012,

[66]) und El-Gebeily et al. (2002, [47]).

74 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

Die Größen und sind Fehlerschranken, die vorab festzulegen sind.

Fasst man die Iterationsschritte zusammen, so erhält man als Einschritt-Itera-

tionsgleichung:

1. Wähle v(0) als Startwert.

2. Wiederhole

3. Löse nach

4. Setze

5. Löse nach

6. Setze

Bis oder oder maximale

Iterationszahl erreicht

Bild 3-11: Prinzipskizze eines Einmassenschwingers als vereinfachtes Ersatzmodell

für ein Boden-Bauwerk-Interaktionsproblem. Links: Einmassenschwinger

mit starrem Gebäude auf nachgiebigem Untergrund. Rechts:

Mehrmassenschwinger als Ersatzmodell für ein mehrstöckiges Gebäude mit

schwingenden Geschossdecken, die untereinander über die Wände

gekoppelt sind, ebenfalls auf nachgiebigem Untergrund

i()

⋅vi() s–= qi()

Qi() qi()

←

–()ui() PQ

–= ui()

vi1+()ui()

←

vi1+()

vi()

–

<vi1+()

vi()

–vi()

⁄

3.7 Iterative Kopplung 75

(3-28)

mit Startwert v(0). Für den Mehrmassenschwinger nach Bild 3-11 rechts ergibt

sich völlig analog mit

(3-29)

und Startvektor u(0) eine entsprechende Matrix-Form, mit K der elastischen

Steifigkeitsmatrix der Feder-Dämpfer-Elemente ohne die Bodenfeder, C der da-

zugehörigen Dämpfungsmatrix, M der Massenmatrix, dem

Lastvektor, G der Bodenflexibilitätsmatrix, dem Verschie-

bungsvektor, dem Vektor der eingeprägten Fußpunktverschie-

bung und i dem Iterationszähler. Alle Vektoren und Matrizen haben N bzw. N

× N Einträge, mit N der Anzahl der Massen. Entsprechend sind in G und s nur

die Einträge für die Freiheitsgrade an der Schnittstelle zwischen Boden und un-

terster Masse von Null verschieden.

Die Iterationsvorschrift (3-29) lässt sich weiter umformen, in dem beispielswei-

se das Schurkomplement der Struktursteifigkeit bzgl. des Freiheitsgrades an

der Boden-Bauwerk-Schnittstelle gebildet wird. Bezeichnet man alle Struktur-

freiheitsgrade mit dem Index „R“, und die Freiheitsgrade im Interaktionshori-

zont mit „I“, so erhält man die für allgemeine Strukturen anwendbare Iterati-

onsvorschrift

(3-30)

mit Startvektor v(0) und mit

und v dem Vektor der Verschiebungen im Interaktionshorizont, die speziell im

Fall des Mehrmassenschwingers aus Bild 3-11 rechts zu der skalaren Gleichung

(3-31)

mit Startwert v(0) führt.

vi1+() m

–()

1– Pg

1– vi() s–()⋅–()⋅=

ui1+() Ki

2M–+()

1– PG

1– ui() s–()⋅–()⋅=

PP000,,,{}=

uu1u2u3v,,,{}=

s000s,,,{}=

vi1+() SII SIRSRR

1– SRI

–()

1– PISIRSRR

1– PR

–GI

1– vi() sI

–()⋅–()⋅=

SKi

2M–+ SRR SRI

SIR SII

vi1+() SIRSRR

1– PR

–1

---vi() s–()⋅–

cm'

–SIRSRR

1– SRI

------------------------------------------------------------------------------

76 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

Die Iterationsvorschriften (3-28) bzw. (3-29) ergeben sich unmittelbar aus (3-5),

wenn man deren linke Seite additiv in Struktursteifigkeit und Bodensteifigkeit

zerlegt, den Term mit der Bodensteifigkeit auf die rechte Seite bringt, und for-

mal mit der Inversen der dynamischen Struktursteifigkeitsmatrix auf beiden

Seiten multipliziert. Jede beliebige andere Zerlegung der Gesamtsteifigkeit

führt jeweils zu einer anderen Iterationsvorschrift, und dasselbe gilt für die Rei-

henfolge, in der die Teile der zerlegten Matrix auf die andere Seite der Glei-

chung gebracht werden.

In den bislang vorgestellten Iterationsvorschriften wird zunächst ein Glei-

chungssystem mit der Bodenflexibilitätsmatrix G gelöst, und das Ergebnis wird

anschließend in ein Gleichungssystem mit der Struktursteifigkeitsmatrix

eingesetzt, und durch Lösen des Gleichungssystems enthält man eine neue

Schätzung für die Verschiebungen. Diese Art der Iteration wird in der Fachlite-

ratur als „sequentielle Iteration“ bezeichnet. Eine parallele Ausführung des Lö-

sens der beiden Gleichungssysteme lässt sich beispielsweise mit folgender Ite-

rationsgleichung ermöglichen

(3-32)

mit Startwerten und . Dabei wurde zusätzlich berücksichtigt, dass

Gleichgewicht und Kompatibilität ggf. nicht exakt erfüllt werden.

Die vorgestellten Iterationsgleichungen haben alle die Form einer Fixpunktite-

ration

(3-33)

Darin ist y die gesuchte Größe, F der Fixpunktoperator, und b eine beliebige

Konstante, die nicht von y abhängt.

Die Konvergenz der Iteration hängt in besonderem Maße von den Eigenschaften

des Fixpunktoperators ab, und in einem geringen Maße auch vom Startwert.

Zur Erhöhung der Konvergenzrate wird häufig ein skalarer Relaxationsfaktor α

i() TQqqI

i()

i1+()

SRR SRI

SIR SII

1– PR

i()

–

⎝⎠

⎜⎟

⎛⎞

vi() TvuuI

i()

i1+()G1– vi() s–()=

0() qI

0()

yi1+()Fy

i()

⋅b+=

3.7 Iterative Kopplung 77

in die Iterationsgleichung eingeführt. Die Iterationsgleichung erhält dann bei-

spielsweise die Form

(3-34)

Die Wahl führt wieder zu (3-33). Der Relaxationsfaktor hat den Zweck,

die Konvergenz zu beschleunigen oder sogar erst zu ermöglichen.

Der optimal geringe Aufwand pro Iteration läge vor, wenn stets nur Matrix-Vek-

tor-Multiplikationen durchgeführt werden müssten, und kein Gleichungssy-

stem gelöst werden müsste. Bei der Referenzimplementierung ist dies jedoch

nicht möglich, da die Transformation zwischen den BEM- und den FEM-Frei-

heitsgraden nicht eineindeutig ist. Aus den Sohlspannungen lassen sich dort die

Sohlkraftvektoren berechnen, und aus den FEM-Verschiebungen die BEM-Ver-

schiebungen, aber nicht anders herum.

Es bleibt zu erwähnen, dass die FE-Struktursteifigkeitsmatrix, wie sie z. B. in

der zweiten Zeile von (3-32) auftritt, im allgemeinen singulär ist, weil keine ki-

nematischen Randbedingungen eingeprägt sind. Das Gleichungssystem ist da-

her nicht ohne weiteres lösbar. Dies betrifft zum einen statische Lastfälle, aber

insbesondere auch dynamische Lastfälle, in der die Antwort des Gesamtsystems

bei einer Anregung mit der Eigenfrequenz eines Teilsystems gefunden werden

soll.

Um derartige Gleichungssysteme zu lösen, sind an jedem Knoten im Interakti-

onshorizont für jedes Teilgebiet eigene Freiheitsgrade zu definieren. Die Kopp-

lungsbedingungen können dann über Lagrange-Multiplikatoren befriedigt wer-

den, deren Wert explizit bestimmt werden muss. Das sich dabei ergebende er-

weiterte Gleichungssystem entspricht im wesentlichen der erweiterten

Struktursteifigkeitsmatrix aus Abschnitt 3.5, d.h. die Lagrange-Multiplikato-

ren sind die noch unbekannten Kontaktkräfte zwischen den beiden Substruktu-

ren. Die Vorgehensweise entspricht der Forderung, dass die Summe aus Kon-

taktkräften und äußeren Kräften an jeder Substruktur zu Null verschwinden

muss. Mathematisch lässt sich dies dadurch erreichen, dass diese Vektorsumme

aller Kraftgrößen orthogonal zu dem von den Starrkörperverschiebungen aufge-

spannten Raum sein muss. Eine kurze und prägnante Einführung in die The-

matik enthält das einführende Kapitel der Monographie von Rüberg (2008,

[109]). Einen Lösungsansatz speziell auch für BEM-FEM-Kopplungsprobleme

wird beispielsweise von González et al. (2012, [64]) präsentiert, der auf der FE-

TI-Methode (Finite-Element Tearing and Interconnecting) beruht, die von Far-

yi1+()F

yi() 1

–()yi1–()

+()⋅b+=

78 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

hat und Roux (1991, [52]) erstmalig vorgestellt wurde, und seitdem weite Ver-

breitung gefunden hat.

3.7.3 Konvergenzbedingungen

Allgemeine Ausführungen zur Konvergenz von Fixpunktiterationen bei linea-

ren Gleichungssystemen finden sich beispielsweise in der Monographie von

Conte und de Boor (1981, [35]).

Die Konvergenz einer iterativen Kopplung von BEM und FEM für Boden-Bau-

werks-Interaktionsproblemen ist in der Literatur mehrfach untersucht worden.

Feng und Owen (1996, [54]) wenden die iterative Kopplung auf Plattenfunda-

mente auf einem homogenen Halbraum bei statischer Belastung an. Sie verwen-

den die Boussinesq-Lösung als Fundamentallösung für das BEM-Problem und

führen auch eine Konvergenzuntersuchung durch. Als Iterationsoperator ver-

wenden sie eine Superposition der Plattensteifigkeitsmatrix mit einer Approxi-

mation der Bodensteifigkeitsmatrix. Sie kommen zu dem Schluss, dass die Wahl

des Relaxationsparameters von den Eigenwerten des Iterationsoperators be-

stimmt wird, so dass keine allgemeingültigen Aussagen zur Konvergenz ge-

macht werden können. Einen Algorithmus für allgemeine Problemstellungen

haben zur gleichen Zeit Lin et al. (1996, [95]) vorgestellt.

El-Gebeily et al. (2002, [47]), Elleithy et al. (2001, [48]) und Elleithy und Tanaka

(2003, [49]) untersuchen das Konvergenzverhalten von drei Varianten von Fix-

punktiterationen für BEM-FEM-Kopplung mit Relaxation und geben die Kon-

vergenzbedingungen an. Numerische Experimente zeigen, dass keine allge-

meingültigen Aussagen zur Wahl von Iterationsgleichung und Relaxationspara-

meter möglich sind. Sie machen Aussagen über den Zusammenhang zwischen

den Eigenwerten des Iterationsoperators und der Konvergenz im Sinne von not-

wendigen und hinreichenden Bedingungen. Notwendige Bedingung für Konver-

genz ist, dass der Betrag des größten Eigenwertes (Spektralradius) des Iterati-

onsoperators ρ = |λmax| < 1 ist. Ein solches Kriterium ist aber nicht geeignet,

die Konvergenz a-priori einzuschätzen, da Informationen über die Eigenwerte in

aller Regel nicht vorab vorliegen.

Wird der Relaxationsparameter nicht konstant gewählt, sondern im Laufe der

Iteration geändert, so lässt sich die Konvergenzgeschwindigkeit weiter steigern.

Von einer optimalen Wahl des Relaxationsparameters berichten Lin et al. (1996,

[95]). Sie bilden eine mit dem Relaxationsparameter parametrisierte Superposi-

tion der Lösungsvektoren aus verschiedenen Inkrementen und ermitteln den

3.7 Iterative Kopplung 79

optimalen Relaxationsparameter als denjenigen, der die Norm der Superpositi-

on minimiert.

3.7.4 Parameterstudie am Ein- und Mehrmassenschwinger

Um das Potential der iterativen Kopplung abschätzen zu können, werden zu-

nächst einfache Ein- und Mehrmassenschwinger untersucht. Der untersuchte

Mehrmassenschwinger wird aus mehreren identischen, in Reihe geschalteten

Einmassenschwingern, zusammengesetzt, siehe Bild 3-11.

Mehrere Iterationsgleichungen werden aus der Bewegungsgleichung abgeleitet,

und der Konvergenzradius in Abhängigkeit von den dimensionslosen Größen

Dämpfungsverhältnis und Frequenzverhältnis wird ermittelt.

3.7.4.1 Einmassenschwinger

Die Bewegung u eines Ein-Massenschwinger mit Masse m und dynamischer

Flexibilität g bei Anregung durch eine Fußpunktverschiebung s und einer direk-

ten Anregung P mit einer Kreisfrequenz Ω wird im Frequenzbereich durch die

Gleichung

(3-35)

mit beschrieben.

Man erhält durch Umformung die Iterationsgleichung

(3-36)

Für die Konvergenzbetrachtung spielt nur der erste Term auf der rechten Seite

eine Rolle, der zweite wird daher nicht explizit ausgeschrieben. Für einen unge-

dämpften Schwinger ist (3-36) konvergent, wenn gilt

bzw. (3-37)

mit der Eigenkreisfrequenz. Die Konvergenz von (3-36) ist demnach nur dann

gegeben, wenn eine Tiefabstimmung vorliegt.

Wählt man statt (3-36) hingegen die Iterationsgleichung

kgm

–i

+()uPk

+()s+=

1g⁄kgi

ui1+()kgi

--------------------------ui() b+=

-------------1<

-------1>

80 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

, (3-38)

so erhält man für den ungedämpften Einmassenschwinger eine konvergente Ite-

ration nur dann, wenn eine Hochabstimmung vorliegt.

Schreibt man (3-35) in dimensionsloser Form und formt es so um, dass alle Ter-

me bis auf einer von der linken Seite nach rechts gebracht werden, und dividiert

anschließend beide Seiten durch die links verbliebende Konstante, dann erge-

ben sich drei Möglichkeiten einer Iterationsgleichung für den ungedämpften

Einmassenschwinger nach (3-39) (a)-(c). Vertauscht man die Reihenfolge der

Umformungen, so erhält man weitere Iterationsgleichungen nach (3-39) (d)-(e).

(3-39)

Darin ist das Lehr’sche Dämpfungsmaß und das

Verhältnis von Anregungskreisfrequenz zu Eigenkreisfrequenz .

In Bild 3-12 sind die Konvergenzbereiche der Iterationsformeln (3-39) grafisch

dargestellt. Man erkennt die deutlichen Unterschiede in den Konvergenzberei-

chen. Ferner ist zu erkennen, dass die Dämpfung je nach Iterationsgleichung

günstig oder ungünstig wirken kann.

3.7.4.2 Mehrmassenschwinger

Die Vorgehensweise zur Aufstellung der Iterationsvorschriften (3-39) wird für

einen Mehrmassenschwinger aus N identischen, ungedämpften, in Reihe ange-

ordneten Einmassenschwingern, wiederholt. Die Gesamtmasse wird gleichmä-

ßig auf alle Teilmassen verteilt, und die Teilmassen werden untereinander

durch Federn ohne Dämpfungsanteil gekoppelt. Ein Mehrmassenschwinger ent-

spricht somit einem Einmassenschwinger aus Abschnitt 3.7.4.1 mit gleicher, je-

doch verteilter Masse. Das Frequenzverhältnis und das Dämpfungsmaß werden

daher wie beim analogen Einmassenschwinger über die Gesamtmasse und die

Bodensteifigkeit definiert als

ui1+() m

kgi

--------------------------ui() b+=

(a) ui1+() 2–iD

ηη

-------------------------------ui() ba

(b) ui1+()

21–

2iD

----------------ui() bb

------------------------ ui() bc

(d) ui1+() 1

2–iD

ηη

-------------------------------ui() bd

(e) ui1+()2iD

21–

----------------ui() be

(f) ui1+()

12iD

------------------------ ui() bf

g2kgm()⁄=

ηΩ

⁄=

kgm⁄=

3.7 Iterative Kopplung 81

, (3-40)

mit .

Die Konvergenz wird an den Gleichungen (3-29) und (3-30) in Kombination mit

den Definitionen (3-40) durchgeführt. Die Iterationsvorschriften für Mehrmas-

senschwingern entsprechen (3-39)(c) des Einmassenschwingers. Untersucht

wurden Schwinger mit 2 und mit 5 Massen. Die Ermittlung des Konvergenzra-

dius, d. h. des Betrages des maximalen Eigenwertes des Iterationsoperators, er-

folgte numerisch.

Die Konvergenzbereiche des Mehrmassenschwingers sind in Bild 3-13 und

Bild 3-14 dargestellt. Man erkennt deutlich, dass die Iteration mit der vollen

Struktursteifigkeitsmatrix einen deutlich geringeren Konvergenzbereich be-

sitzt als die Iteration mit deren Schurkomplement bezüglich der Bodenfeder.

Ferner ist zu erkennen, dass konvergente Bereich im wesentlichen nur in der

Nähe der Eigenfrequenzen der Systeme auftreten. Mit zunehmender Anzahl

Massen wird die Menge der konvergenten Parameterbereiche immer geringer.

Bild 3-12: Konvergente (grün) und nichtkonvergente (rot) Bereiche der

Iterationsgleichungen (3-39) eines Einmassenschwingers

ηΩ

kgNm'⋅()⁄

----------------------------------

=Dcg

2kgNm'⋅()⁄

--------------------------------------

1g⁄kgi

82 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

Die Beobachtungen an den eigenen numerischen Experimenten decken sich mit

den Ergebnissen der Literatur. Es lässt sich praktisch keine Vorhersage a priori

darüber machen, ob die iterative Lösung eines Boden-Bauwerk-Iterationspro-

blems zu einer konvergenten Lösung führen wird, oder ob sie divergieren wird.

3.7.4.3 Starres Fundament auf homogenem Halbraum

Für eine erweiterte Prüfung der bisherigen numerischen Experimente wurde

die Iterationsgleichung (3-32) der in Kapitel 3.2 beschriebenen Referenzimple-

mentierung der FEM-BEM-Kopplung von Hirschauer [71] hinzugefügt. Gegen-

über der parallelen Variante wurde die Implementierung dahingehend geän-

dert, dass für die Kompatibilitätsbedingung in der dritten Zeile von (3-32) die in

der zweiten Zeile neu berechnete Strukturverschiebung statt des in der

vorherigen Iteration verwendeten Wertes verwendet wird. Grund dafür ist,

dass das Lösen der beiden Gleichungssysteme sequentiell durchgeführt wird, so

dass durch diese Modifikation die Anzahl der notwendigen Iterationen verrin-

gert werden kann.

ild 3-13: Konvergente (grün) und nichtkonvergente (rot) Bereiche der

Iterationsgleichungen eines Schwingers mit zwei identischen, mit einer

Feder gekoppelten Massen. (a) nach (3-29). (b) nach (3-30)

i1+()

i()

3.7 Iterative Kopplung 83

In der implementierten Form der iterativen Kopplung wird in jeder Iteration zu-

nächst der direkte SPARSE-Gleichungslöser von ANSYS für die Ermittlung der

Strukturverschiebungen aufgrund der Kräfte im Interaktionshorizont benutzt.

Anschließend wird die LAPACK-Routine ZSYTRS verwendet, um das Glei-

chungssystem zur Ermittlung der neuen Sohlspannungen aufgrund der iterier-

ten Verschiebungen im Interaktionshorizont zu berechnen. Dabei müssen ledig-

lich während der ersten Iteration die Dreieckszerlegungen der beiden Matrizen

durchgeführt werden, da sie sich im Laufe der Iteration nicht ändern. In den

nachfolgenden Schritten ist lediglich die Rücksubstitution mit der neuen rech-

ten Seite erforderlich.

Die Berechnungen erfolgten für ein starres Fundament auf einem homogenen

Halbraum wie in Bild 3-15 dargestellt. Die horizontalen Abmessungen betragen

1 m × 1 m × 3.2 m. Die Materialdichte beträgt 2500 kg/m3, so dass sich eine Ge-

samtmasse von 8000 kg ergibt. Das Fundament wird mit einer Punktlast in der

Mitte der Fundamentoberkante bei einer Frequenz von 50 Hz belastet. Der Bo-

ild 3-14: Konvergente (grün) und nichtkonvergente (rot) Bereiche der

Iterationsgleichungen eines Schwingers mit fünf identischen, mit einer

Feder gekoppelten Masse. (a) nach (3-29). (b) nach (3-30)

84 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

den ist ein homogener Halbraum mit einer Scherwellengeschwindigkeit von

200 m/s, einer Dichte von 1800 kg/m3 und einer Querdehnzahl von ν=0.4.

Die Kantenlänge der FEM-Elemente beträgt 0.05 m, bei 2 × 2 BEM-Elementen

pro FEM-Element im Interaktionshorizont. Das Modell hat somit 12800

FEM-Elemente und 14553 FEM-Knoten mit insgesamt 43659 Freiheitsgraden,

sowie 1600 BEM-Elementen mit insgesamt 4800 Freiheitsgraden.

Als Abbruchkriterium wurde ein relativer Fehler der Norm des Verschiebungs-

vektors im Interaktionshorizontes von 10–5 gewählt. Die Berechnungen erfolg-

ten auf der Hardware nach Anhang A.3. Zur Beschleunigung wurde ein kon-

stanter Relaxationsparameter α nach (3-34) verwendet.

Das Berechnungsbeispiel lässt sich in guter Näherung als starrer Körper be-

trachten, und das Gesamtsystem aus starrem Körper und Boden entspricht ei-

nem Einmassenschwinger nach Abschnitt 3.7.4.1. Für einen starren Körper auf

einem homogenen Halbraum sind Ersatzfederkennwerte bekannt, so dass es

a-priori möglich ist zu prüfen, ob die Iteration konvergieren wird. Nach den

Empfehlungen des AK 1.4 [40] beträgt die Federsteifigkeit des Bodens im vor-

liegenden Fall k=2.7×10

8N/m. Dies führt zu einer Eigenfrequenz von

Bild 3-15: Berechnungsbespiel für iterative Kopplung FEM-BEM

3.7 Iterative Kopplung 85

f= 29 Hz. Bei einer Anregungsfrequenz von 50 Hz beträgt das Frequenzverhält-

nis η= 50/29 = 1.7. Somit ist nach Bild 3-12 (c) zu erwarten, dass die Iteration

konvergieren wird.

Die Iterationszahlen in Abhängigkeit vom Relaxationsparameter und die ver-

brauchten CPU-Zeiten für die relevanten Berechnungsschritte sind in

Tabelle 3-5 zusammengefasst. Die Vermutung, dass die Iteration konvergent

ist, wird bestätigt. Es zeigt sich ferner, dass der optimale Relaxationsparameter

zwischen 0.1 und 0.2 liegt.

Vergleicht man die verbrauchte CPU-Zeit, so zeigt sich, dass die direkte Lösung

der BEM-FEM-Kopplungsgleichung mit der Substrukturmethode etwa die drei-

fache CPU-Zeit verbraucht wie die schnellste iterative Lösung.

3.7.5 Erdwall auf homogenem Halbraum

Weitere numerische Experimente zur iterativen Kopplung wurden mit einem

Modell eines Erdwalls nach Bild 4-4 durchgeführt. Als Wallgeometrie wurde

beispielhaft die Wallgeometrie Nr. 11 nach Bild 4-5 mit einer Walllänge von

zwei Scherwellenlängen ausgewählt. Die Scherwellengeschwindigkeit von Bo-

den und Wall betrug jeweils 100 m/s.

abelle 3-5: Anzahl Iterationen und CPU-Zeit und Vergleich mit Substrukturme-

thode

Relaxati-

onspara-

meter α

Anzahl

Iteratio-

nen

CPU-Zeit

Dreieckszerlegung

BEM-Flexibilitäts-

matrix

CPU-Zeit

Iterationen

CPU-Zeit Rück-

substitution

zur BEM-Stei-

figkeitsmatrix

0.0 15 15 s 29 s —

0.1 14 15 s 27 s —

0.2 14 15 s 27 s —

0.3 15 15 s 29 s —

0.4 17 15 s 33 s —

0.5 21 15 s 41 s —

0.6 27 15 s 52 s —

0.7 36 15 s 69 s —

0.8 56 15 s 108 s —

0.9 >100 15 s > 192 s —

Substrukturmethode 15 s — 86 s

86 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

Neben der Frequenz, die den Bereich zwischen 1 Hz und 100 Hz abdeckte, wur-

de auch der Relaxationsparameter im Bereich von 0 bis 1 variiert.

Im Gegensatz zum Fundament auf dem Halbraum zeigte keine einzige der un-

tersuchten Varianten Konvergenz, sondern alle waren divergent. Ursache dürf-

te sein, dass es zwischen Wall und Halbraum keinen Steifigkeitssprung gibt.

3.7.6 Zwischenfazit

Die iterative Kopplung mit Hilfe einer Zerlegung der Gesamtsteifigkeitsmatrix

nach der Substrukturmethode ist grundsätzlich geeignet, die Lösung der gekop-

pelten FEM-BEM-Gleichung für Boden-Bauwerk-Interaktionsprobleme gegen-

über einer Lösung mit Invertierung der BEM-Flexibilitätsmatrix nach der Sub-

strukturmethode zu beschleunigen. Voraussetzung dafür scheint zu sein, dass

sich das Bauwerk gegenüber dem Boden näherungsweise wie ein starrer Körper

verhält. Selbst dann ist das Konvergenzverhalten noch stark vom verwendeten

Iterationsalgorithmus abhängig.

Weisen Bauwerk und Boden ähnliche Steifigkeiten auf, legen die durchgeführ-

ten Untersuchungen den Schluss nahe, dass eine Konvergenz nur schwierig zu

erreichen ist. Es bleibt daher festzustellen, dass die iterative Kopplung für die

praktische Anwendung eher ungeeignet ist.

3.8 Iterative Lösung der Gesamtsteifigkeitsmatrix

3.8.1 Einführung

Die einer FEM-Diskretisierung entstammenden Gleichungssysteme haben die

besondere Eigenschaft, dünn besetzt zu sein. Nutzt man diese Eigenschaft bei-

spielsweise dadurch aus, dass nur die von Null verschiedenen Einträge einer

Matrix gespeichert werden, so lassen sich FEM-Gleichungssysteme lösen, bei

denen die Anzahl der Freiheitsgrade um mehrere Zehnerpotenzen größer ist als

bei FEM-Gleichungssystemen, deren vollständig gespeicherte Matrix ins RAM

heute üblicher Computer passt. So kann ein Computer mit heutzutage durchaus

gängiger Ausstattung mit 64 GB RAM eine vollständige reelle doppeltgenaue

Matrix von ca. 92000 Freiheitsgraden aufnehmen. Im Extremfall eines einfa-

chen, in viele Elemente unterteilten Balkens, der zu einer Steifigkeitsmatrix

mit Bandstruktur mit insgesamt 22 Nebendiagonalen führt, könnten hingegen

3.8 Iterative Lösung der Gesamtsteifigkeitsmatrix 87

bei Abspeicherung nur der von Null verschiedenen Einträge ca. 370 Mio. Frei-

heitsgrade abgespeichert werden.

Die Vorteile der effektiven Abspeicherung als dünnbesetzte Matrix werden rela-

tiviert, wenn direkte Lösungsverfahren verwendet werden. Die bei direkten Lö-

sern zunächst berechneten multiplikativen Zerlegungen der Matrix sind im all-

gemeinen nicht mehr dünnbesetzt, und können im Extremfall zu vollständig be-

setzten Matrizen führen. Ein erheblicher Aufwand zur direkten Lösung großer

dünnbesetzter Gleichungssysteme wird daher auf das Finden einer Anordnung

der Freiheitsgrade in der Zerlegung, die den Speicherverbrauch minimiert, ver-

wendet.

Letztendlich dieselbe Problematik ergibt sich bei der im Abschnitt 3.4 vorge-

stellten Methode zur Aufstellung der Bodenflexibilitätsmatrix. Während der

Aufwand zur Speicherung der Flexibilitätsmatrix aufgrund der gewählten be-

sonderen Struktur sehr gering gehalten werden kann, verliert sie diese Eigen-

schaft nach ihrer Invertierung zur Bodensteifigkeitsmatrix, und muss als volle

Matrix abgespeichert werden, so dass.

Auch bei der Anwendung der Lagrange-Methode nach Abschnitt 3.5 kann die

besondere Eigenschaft der Flexibilitätsmatrix nicht vollständig ausgenutzt wer-

den, sofern ein direkter Löser zur Lösung des erweiterten Gleichungssystems

verwendet wird, weil durch die Zerlegung wieder die besondere Struktur verlo-

ren geht.

Iterative Gleichungslöser hingegeben bieten die Möglichkeit, die Struktur der

Flexibilitätsmatrix optimal auszunutzen. Eine ausführliche Darstellung der

Grundlagen dieser Verfahren sind in der Monographie von Saad (2003, [110])

enthalten, eine Beschreibung der Algorithmen findet sich im Buch von Barret et

al. (1994, [20]).

Eine der vielen möglichen Formen der iterativen Verfahren ist bereits im Ab-

schnitt 3.7 angewendet worden. Dort wurde die Matrix des Gleichungssystems

additiv in zwei Komponenten zerlegt, und daraus eine rekursive Iterationsvor-

schrift konstruiert. Der Iterationsoperator und der Lastvektor hingen beide

nicht vom Iterationsindex ab. Solche Verfahren werden daher stationäre Ver-

fahren genannt. Klassische Vertreter dieser Klasse sind das Jakobi-Verfahren

und das Gauß-Seidel-Verfahren, die in nahezu jedem Werk über lineare Algebra

behandelt werden.

88 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

Im Gegensatz dazu verwenden instationäre Verfahren Informationen, die wäh-

rend der Iteration gewonnen werden, und passen damit den Iterationsoperator

an. Eine geschlossene Darstellung der Iterationsvorschrift ist daher nicht mehr

möglich, so dass in der Literatur die Verfahren in Form von Algorithmen prä-

sentiert werden. Die bekannteste Vertreter instationärer Verfahren werden un-

ter dem Begriff „Krylov-Subspace-Methods“ zusammengefasst.

Diese Verfahren haben gemeinsam, dass während der Iteration stets nur das

Produkt aus der Koeffizientenmatrix und einem iterierten Vektor berechnet

werden muss. Die Koeffizientenmatrix muss daher nicht explizit verfügbar sein,

um dass Matrix-Vektor-Produkt auszuführen, sondern kann auch in Form eines

Algorithmus vorliegen. Für das im Abschnitt 3.4 vorgestellte Verfahren zur Auf-

stellung der Flexibilitätsmatrix bedeutet dies, dass auf den expliziten Aufbau

der Matrix verzichtet werden kann, und nur mit den komprimiert abgelegten

Koeffizienten das Matrix-Vektor-Produkt berechnet werden kann.

Je nach Art der Matrix – komplexwertig oder reell, unsymmetrisch oder hermi-

tesch, positiv definit oder indefinit – sind unterschiedliche Verfahren verfügbar.

Bekannte Vertreter instationärer iterativer Verfahren sind das Verfahren der

konjugierten Gradienten (CG) für symmetrisch positiv definite Matrizen, und

GMRES für allgemeine Matrizen.

Der Nachteil der iterativen Verfahren ist ihre schlechte Konvergenz. Die Kry-

lov-Subspace-Methods haben grundsätzlich die Eigenschaft, dass sie bei exakter

Arithmetik in N Iterationsschritten die exakte Lösung eines N×N Gleichungs-

systems liefern. Da aber im Computer mit begrenzter Stellenzahl gerechnet

wird, kann diese Grenze sogar überschritten werden.

Die Anwendung sogenannter Vorkonditionierer (engl. Preconditioner) kann da-

für sorgen, dass die Iteration wesentlich schneller konvergiert. Statt des Glei-

chungssystems

A · x = b

löst man beispielsweise das modifizierte Gleichungssystem

M–1 · A · x = M–1 · b (3-41)

mit einem Vorkonditionierer M. Die Wahl des Vorkonditionierers ist grundsätz-

lich frei, es muss nicht einmal eine Matrix sein, sondern kann ein beliebig kom-

plexer Algorithmus sein. Eine wesentliche Anforderung ist, dass er zum einen

der Matrix A in gewisser Weise „nahe“ kommt, und dass zum anderen die Aus-

3.8 Iterative Lösung der Gesamtsteifigkeitsmatrix 89

führung der Multiplikation mit einem Vektor „preiswert“ ist. Die Art der Vor-

konditionierung in (3-41) wird Links-Vorkonditionierung genannt. Man kennt

auch eine Rechts-Vorkonditionierung sowie Mischformen. Details finden sich

z. B. bei Benzi (2002, [18]).

3.8.2 Literaturauswertung

Die Aussagen in der Literatur über die Anwendbarkeit einzelner iterativer Ver-

fahren und deren Konvergenz sind uneinheitlich. Es ist festzustellen, dass es

nur eine sehr geringe Zahl von Veröffentlichungen zu diesem Aspekt speziell bei

FEM-BEM-Kopplung für Boden-Bauwerk-Interaktionsprobleme gibt. Dahinge-

gen finden sich wesentlich mehr Veröffentlichungen dazu auf dem Gebiet der

Berechnung elektromagnetischer Wellenfelder, bei dem auch komplexwertige

symmetrische Matrizen entstehen. Ähnliche Matrizen entstehen auch bei der

Lösung gekoppelter Felder, wie z. B. bei Zweiphasen-Problemen nach Biot.

Mansur et al. (1992, [101]) vergleichen die iterative und die direkte Lösung li-

nearer Gleichungssysteme aus der BEM für strukturmechanische Problemstel-

lungen und für eine Diffusionsaufgabe. Die Gleichungssysteme haben bis zu ca.

500 Gleichungen. Sie stellen fest, dass das direkte Lösungsverfahren meistens

weniger CPU-Zeit verbraucht.

Kurz et al. (1995, [90]) führen die Substrukturmethode mit Schurkomplement

bezüglich BEM-Freiheitsgrade für die Maxwell-Gleichung durch. Dies ent-

spricht einer Matrix-Kondensation auf die BEM-Freiheitsgrade. Sie lösen das

Gleichungssystem iterativ, so dass die Inverse nicht explizit gebildet werden

muss. Eine analoge Vorgehensweise wird von Aiello et al. (2008, [4]) ebenfalls

für elektromagnetische Randwertprobleme vorgestellt, aber sie bilden das

Schurkomplement bzgl. FEM-Freiheitsgrade, und lösen das resultierende redu-

zierte Gleichungssystem mit GMRES. Sie stellen fest, dass für ihre Problemstel-

lung eine Vorkonditionierung entbehrlich ist.

Schnack und Türke (1997, [119]) führen an, das eine erweiterte Matrix wie in

(3-21) effektiv mit iterativen Lösern bearbeitet werden kann, jedoch eine Vor-

konditionierung erforderlich ist. Sie machen nur generische Angaben, lösen

aber keine physikalischen Randwertprobleme.

Mroueh und Shahrour (1999, [105]) untersuchen iterative Verfahren zur Lösung

von Boden-Bauwerks-Interaktionsproblemen mit der FEM. Sie verwenden so-

wohl elastisches Material als auch elasto-plastisches Material nach Mohr-Cou-

90 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

lomb für den Boden. Die untersuchten Problemstellungen umfassen die Setzun-

gen einer Flachgründung mit ca. 40000 Freiheitsgraden, die Setzungen eines

Einzelpfahles mit ca. 17000 Freiheitsgraden, sowie die Bodenverformungen

durch Tunnelvortrieb mit ca. 24000 Freiheitsgraden. Sie untersuchen Kombina-

tionen von iterativem Verfahren (BiCGSTAB, QMR-CGSTAB) und Vorkonditio-

nierern (Jacobi, SSOR-S, SSOR-L). Sie kommen zu dem Schluss, dass für die un-

tersuchten Problemstellungen die Verwendung von SSOR-L als Vorkonditionie-

rer in Bezug auf CPU-Zeit allen anderen deutlich überlegen sei, wohingegen die

Wahl des iterativen Verfahrens von geringerer Bedeutung ist.

Topsakal et al. (2001, [127]) untersuchen die Verwendung gängiger iterativer

Verfahren (GMRES, BICG, QMR, CGS, BiCGStab und BiCGStab(l)) in Kombi-

nation mit ILU- und Diagonal-Vorkonditionierern bei der Lösung der elektro-

magnetischen Wellenfelder von speziellen Antennenformen. Sie benutzen eine

Kopplung von FEM und BEM. Sie stellen fest, dass BiCGStab(l) stets die beste

Performance aufweist.

Araújo et al. (2001, [14]) benutzen einen iterativen Löser, um komplexwertige

Gleichungssysteme zu lösen, die sich bei der Berechnung von Boden-Bau-

werks-Interaktionsprobleme im Frequenzbereich durch Kopplung mehrerer, je-

weils mit der BEM diskretisierter Körper ergeben. Sie vergleichen die Perfor-

mance von J-BiCG sowohl in komplexer, als auch in reeller Arithmetik mit ei-

nem direkten Löser. Sie stellen fest, dass der Performance-Vorteil des iterativen

Verfahrens im Regelfall groß ist, aber bei hohem Steifigkeitskontrast zwischen

Boden und Bauwerk abnimmt und sogar völlig verschwinden kann.

Zu einer ähnlichen Erkenntnis kommen Lee et al. (2002, [92]), die Zwei-Pha-

sen-Medien mit Variation der Entwässerungsbedingungen mit der FEM analy-

sieren. Sie stellen bei Problemstellungen mit freier Entwässerung fest, dass gro-

ße Steifigkeitskontraste im Erdreich zu einer deutlichen Erhöhung der Iteratio-

nen bis zur Konvergenz führt. Sie schlagen verschiedene Varianten der

Vorkonditionierung vor, um die Unterschiede auf größere Bereiche in der Ma-

trix zu verschmieren. Bei undränierten Problemstellungen ist diese Lösung weit

weniger effektiv, weil große Unterschiede in den Koeffizienten zwischen den

Druck- und den Verschiebungsfreiheitsgraden am selben Knoten auftreten, so

dass sie räumlich nicht verschmiert werden können. Sie benutzen PCG und

QMR für ihre Berechnungen, und können keine signifikanten Unterschiede zwi-

schen den beiden Verfahren feststellen.

3.8 Iterative Lösung der Gesamtsteifigkeitsmatrix 91

Carpentieri et al. (2004, [28]) vergleichen die Anwendung verschiedener „appro-

ximate inverse“ Vorkonditionierer bei der Lösung von Gleichungssystemen, des-

sen Matrizen der Berechnung von elektromagnetischen Wellenfeldern bei pra-

xisrelevanten Problemstellungen mit der BEM entspringen. Als Löser werden

GMRES mit Restart und QMR eingesetzt. Sie kommen zu dem Schluss, dass für

die von ihnen betrachtete Problemstellung Vorkonditionierer auf Grundlage der

Minimierung der Frobeniusnorm am geeignetesten sind, während klassische

Vorkonditionierer wie IC (Incomplete Cholesky), AINV und FSAI ein sehr

schwaches Konvergenzverhalten bewirken. Es sei hier angemerkt, dass Carpen-

tierie et al. ihre Matrizen als „dense“ bezeichnen, der Anteil an von Null ver-

schiedenen Elementen jedoch nie mehr als 10 % beträgt.

Valente und Pina (2006, [129]) untersuchen ATA· x = AT· p mit dem CG-Verfah-

ren für BEM und verwerfen es mit Verweis auf andere Literatur. Desweiteren

vergleichen sie verschiedene Vorkonditionierer mit verschiedenen iterativen Lö-

sern, können aber keine allgemein gültige Empfehlung zur Wahl eines Verfah-

rens geben.

3.8.3 Machbarkeitsstudie

Die Ergebnisse der Literaturrecherche zeigen, dass der effiziente Einsatz eines

iterativen Gleichungslösers nahezu untrennbar mit dem zusätzlichen Einsatz

eines effizienten Preconditioners verbunden ist. Zwar gibt es eine Reihe Stan-

dard-Preconditioner, jedoch keiner garantiert eine gute Konvergenz und damit

einen Vorteil gegenüber einem direkten Löser.

Da auch in ANSYS mehrere iterative Verfahren implementiert sind, die für die

Lösung komplexwertiger Matrizen geeignet sind, wurden mit diesen Lösern

Vergleiche mit dem Standard-SPARSE-Löser in Bezug auf Rechenzeit durchge-

führt. Ziel dieser Versuche war es, die Machbarkeit der Implementierung eines

speziellen Gleichungslösers für die Berechnung mit der komprimierten Bo-

den-Flexibilitätsmatrix nach Abschnitt 3.4 nachzuweisen.

Für Untersuchungen im Frequenzbereich stehen in ANSYS [13] die Löser QMR

(Quasi-Minimum-Residual), ICCG (Incomplete Cholesky Conjugate Gradient),

und JCG (Jacobi Conjugate Gradient) zur Verfügung. Sowohl bei Berechnungen

mit Kopplung nach der Substrukturmethode, als auch mit Kopplung nach der

Lagrange-Methode benötigte der ICCG-Löser im allgemeinen die geringste Re-

chenzeit, konvergierte aber auch nicht immer. Wenn er konvergierte, war er

deutlich schneller als ein direkter Löser. Der QMR-Löser benötigte in der Regel

92 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

eine höhere Anzahl Iterationen als ICCG, und zeigte mehr Konvergenzausfälle.

Dies ist insofern überraschend, als in der Dokumentation zu ANSYS dem QMR

eine höhere Robustheit als ICCG zugesprochen wird. Der JCG-Löser zeigte nur

sehr selten Konvergenz.

Da der JCG-Löser die Diagonale der Matrix als Preconditioner verwendet, war

erwiesen, dass für die FEM-BEM-Kopplung solche einfachen Preconditioner

nicht zielführend sein würden. Der gute Performance des ICCG lässt vermuten,

dass der IC-Preconditioner trotz der Tatsache, dass die Matrix nicht hermitesch

ist, verhältnismäßig effizient sein wird. In der Dokumentation von ANSYS wird

der Löser jedoch als Eigenentwicklung aufgeführt und nicht näher beschrieben.

Die Tatsache, dass eine iterative Lösung des Gleichungssystems bei der Kopp-

lung nach der Lagrange-Methode grundsätzlich möglich ist, zeigt das große Po-

tential, das die Entwicklung eines spezialisierten Lösers hat. Die Voruntersu-

chungen zeigen aber auch die potentiellen Fallstricke. Als Konsequenz aus die-

sen Unsicherheiten wurde auf die Entwicklung eines speziellen Lösers zum

Einsatz mit der komprimierten Bodenflexibilitätsmatrix zunächst verzichtet.

3.9 Zwischenfazit

Es wurde ein Algorithmus vorgestellt, mit dem bei der Anwendung der BEM auf

Boden-Bauwerk-Interaktionsprobleme auf einer Halbraumoberfläche die Auf-

stellung der BEM-Flexibilitätsmatrix bezüglich CPU-Zeit und Speicherver-

brauch nur noch eine Komplexität von O(N) aufweist, statt O(N²) bei einer all-

gemeinen Formulierung, mit N der Anzahl BEM-Knoten.

Für die Anwendung mit der Substrukturmethode zur Kopplung von FEM und

BEM gehen die Vorteile des Algorithmus verloren, da die Inverse nicht dieselbe

regelmäßige Belegung aufweist wie die Flexibilitätsmatrix. Je nach verwende-

tem Invertierungsalgorithmus gibt es aber auch dabei Optimierungspotential.

Die Stärken kann der Algorithmus ausspielen, wenn entweder nur ein Glei-

chungssystem mit der Flexibilitätsmatrix als Koeffizientenmatrix gelöst werden

muss, oder wenn im optimalen Fall nur eine Multiplikation der Flexibilitätsma-

trix mit einem Vektor ausgeführt werden muss. Für den ersten Fall wurden

zwei Verfahren in den Abschnitten 3.5 und 3.7 vorgestellt.

Es konnte ferner gezeigt werden, dass die Lösung des nach der Lagrange-Metho-

de aufgestellten gekoppelten FEM-BEM-Gleichungssystem nach (3-21) mit ei-

3.9 Zwischenfazit 93

nem iterativen Löser gelöst werden kann. Damit ist auch die Machbarkeit eines

speziellen iterativen Lösers, der die Struktur der Flexibilitätsmatrix ausnutzen

kann, gezeigt. Um die volle Leistungsfähigkeit zu erreichen, ist jedoch zusätz-

lich die Entwicklung eines speziell angepassten Preconditioners erforderlich,

was mit hohem Aufwand verbunden sein kann.

94 3 Laufzeitoptimierung bei FEM-BEM-Kopplung

4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen

Erschütterungen

4.1 Veranlassung

In den letzten Jahrzehnten lässt sich ein sich stetig erhöhender Bedarf an Min-

derungsmaßnahmen gegenüber Erschütterungen beobachten. Vorschriften zur

Einhaltung der DIN 4150-2 zum Schutz von Personen in Gebäuden finden sich

mittlerweile selbst in Bebauungsplänen (SenStadtUmwelt, [120]) wieder. Be-

troffen von Erschütterungsimmissionen sind nicht nur Personen, sondern auch

hochempfindliche Geräte und Produktionsanlagen, z. B. in der Mikroelektronik-

industrie oder der medizinischen Forschung. Verursacher der Erschütterungen

können einerseits Straßen- und Schienenverkehr sein, aber auch Industriebe-

triebe und Baustellen kommen neben weiteren Ursachen in Betracht.

Beim oberirdischen Schienenverkehr treten Erschütterungen nahezu stets zu-

sammen mit Lärmemissionen durch den vorbeifahrenden Zug auf. Bei der Pla-

nung und Realisierung von Bauvorhaben wird in der Praxis üblicherweise zu-

erst der Lärm in Form von Luftschallemissionen als Problem wahrgenommen,

und es werden Schutzmaßnahmen geplant und realisiert. Schallschutzwände

werden je nach Anwendungsfall aus einer Vielzahl von Materialien gefertigt,

wie z. B. Beton, Aluminium, Stahl und Holz. Gelegentlich sind auch aufgeschüt-

tete Erdwälle als Schallschutzmaßnahme realisiert worden. Insbesondere in

Verbindung mit Geogittern, die sehr steile Böschungswinkel erlauben, sind

platzsparende Wallquerschnitte möglich, vgl. Bild 4-1 nach Detert (2006, [39]).

Gegenstand der nachfolgenden Untersuchungen ist die Frage, ob Lärmschutz-

wälle nicht nur Schutz gegen Lärm bieten, sondern auch als Minderungsmaß-

nahme gegen Erschütterungen geeignet sind.

96 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

4.2 Literaturauswertung

Beispiele für Maßnahmen zur Minderung von Erschütterungen im Transmissi-

onsweg sind exemplarisch für den oberirdischen Schienenverkehr in Bild 4-2

dargestellt. Neben einem Erdwall sind ein offener und ein vollständig gefüllter

Schlitz zu erkennen. Neben den Extremfällen eines offenen und eines vollstän-

dig mit hartem Material, wie z. B. Beton, gefüllten Schlitzes wurden auch

Mischformen untersucht, wie z. B. Luft-gefüllte Matten, Schlitze mit Schaum-

füllung und Hohlkörper. Weitere Minderungsmaßnahmen auf dem Transmissi-

onsweg, die in der Literatur behandelt werden, sind schwere Oberflächenmas-

sen und offene Pfahlreihen.

5,00 m

0,50 m

4.02 m

3.72 m

3.17 m

2.86 m

5,60 m

Immissionsmessort

1:1.5

80°

60°

40°

33.7°

56,00 m

Bild 4-1: Querschnitte von Lärmschutzwällen mit gleichem Abschirmmaß

(Lärmminderung) von 10 dB(A), nach [39]

Bodenprofil

Schienenverkehr

Wellenaus-

breitung gefüllter

Schlitz offener

Schlitz

Erdwall

Fundament-

matten

ild 4-2: Minderungsmaßnahmen im Transmissionsweg bei der Ausbreitung von

Erschütterungen am Beispiel des oberirdischen Schienenverkehrs

4.2 Literaturauswertung 97

4.2.1 Bodenschlitze

4.2.1.1 Literaturübersicht

Der Einfluss von Schlitzen auf ein Wellenfeld wird seit den 1960er Jahren un-

tersucht. Die ersten Veröffentlichungen zu diesem Thema stammen von Dolling

(1965, [41]) und beruhen auf Versuchen an Schlitzen, die zur Stabilisierung mit

einer thixotropen Flüssigkeit gefüllt wurden und am Grundbauinstitut der TU

Berlin durchgeführt wurden. Ebenfalls von Dolling (1970, [42]) werden theore-

tische Untersuchungen über die Abschirmwirkung offener Schlitze durchge-

führt und mit Ergebnissen aus systematischen Versuchen im Bereich von 10 bis

100 Hz verglichen. Es zeigt sich, dass mit Schlitztiefen von ca. einer Ray-

leigh-Wellenlänge die Schwingungsamplituden unmittelbar hinter dem Schlitz

auf ca. 20 % der Amplituden ohne Schlitz abgemindert werden können.

Etwa zur selben Zeit wurden ähnliche Versuche an der University of Michigan

durchgeführt, über die Woods (1968) in [134] berichtet. Woods untersucht so-

wohl Schlitze in unmittelbarer Nähe zur Anregung („Aktive Isolierung“), als

auch Schlitze in größerer Entfernung zur Anregung („Passive Isolierung“). Er

stellt fest, dass Schlitztiefen größer als das 0.6-fache der Rayleighwellenlänge

erforderlich sind, um bei aktiver Isolierung eine Amplitudenreduktion auf 25 %

der Amplitude ohne Schlitz zu erhalten. Bei passiver Isolierung stellt Woods

fest, dass generell größere Schlitztiefen als bei aktiver Isolierung erforderlich

sind.

Haupt untersucht in den 1970er Jahren in [68,69] theoretisch und experimentell

den Einfluss massiver Störkörper aus Beton auf die Wellenausbreitung im

Halbraum. Daneben werden auch Spundwände, Bohrlochreihen und offene

Schlitze untersucht.

Beskos, Dasgupta und Vardoulakis (1986) untersuchen in [21] numerisch die

Abschirmwirkung offener und Beton-gefüllter Schlitze in einem homogenem

Halbraum in 2D und vergleichen ihre Ergebnisse mit denen von Haupt. Diese

ersten Untersuchungen werden später von Dasgupta, Beskos und Vardoulakis

(1990, [38]) um die Abschirmwirkung in einem homogenen Halbraum in 3D, und

von Leung, Beskos und Vardoulakis (1991, [93]) um die Abschirmwirkung in ei-

nem geschichteten Halbraum in 2D ergänzt. Leung et al. (1991, [94]) berichten

auch über Schlitze in Böden mit kontinuierlich mit der Tiefe zunehmender Stei-

figkeit. Sie kommen zu dem Schluß, dass für eine gleiche Abschirmwirkung die

Schlitztiefe bei inhomogenem Boden im Allgemeinen größer sein muss als bei

homogenem Boden.

98 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

Al-Hussaini und Ahmad (1991) entwickeln in [2] und [5] Näherungsformeln für

die Prognose der Abschirmwirkung offener und gefüllter Schlitze in einem Halb-

raum bei vertikaler bzw. horizontaler Belastung. Al-Hussaini, Ahmad und Bak-

er (2000, [6]) vergleichen die Näherungsformeln mit eigenen experimentellen

Ergebnissen sowie mit den Ergebnissen von Haupt (1978, [68]; 1981, [69)] und

Woods (1968, [134]) und kommen dabei zu einer ausreichend genauen Überein-

stimmung.

In der jüngeren Vergangenheit wird von Adam und v. Estorff (2005, [1]) über

eine numerische Parameterstudie unter Verwendung der BEM in Zeitbereich

berichtet. Darin wird nicht nur der Boden mit dem Schlitz modelliert, sondern

auch ein Gebäude, und es werden unmittelbar die Abschirmwirkung des Schlit-

zes auf die Gebäudeschwingungen untersucht. Sehr ähnliche Berechnungen mit

der FEM werden von Çelebi, Goktepe und Kirtel (2011, [31]) vorgestellt.

Von Ju (2004) wird in [78] über eine weitere Parameterstudie unter Verwen-

dung der BEM im Zeitbereich berichtet, in der die Vorbeifahrt eines Hochge-

schwindigkeitszuges und deren Auswirkungen auf die Umgebung bei verschie-

denen Minderungsmaßnahmen untersucht wird. Der Zug fährt dabei auf einer

aufgestelzten, auf Pfählen gegründeten Fahrbahn, wodurch die Anregung im

Boden sehr tieffrequent ist und auf den Bereich bis ca. 12 Hz beschränkt bleibt.

Neben offenen und gefüllten Schlitzen in der Nähe der Fahrbahn wird eine Bo-

denverbesserung als fahrbahnnahe Minderungsmaßnahme untersucht. Ferner

wird untersucht, welchen Einfluss massive Gründungsplatten auf die Schwin-

gungen in benachbarten Gebäuden haben, und wie durch einfache konstruktive

Änderungen an der Brückenkonstruktion die auftretenden Schwingungen im

Boden reduziert werden können. Der Autor kommt zu dem Schluss, dass für den

untersuchten Fall ein fahrbahnnaher Schlitz nur sehr bedingt tauglich ist, wäh-

rend massive Bodenplatten am zu schützenden Gebäude eher zu empfehlen

sind.

Andersen und Nielsen (2005) berichten in [10] über numerische Untersuchun-

gen mit BEM/FEM-Kopplung. Sie untersuchen neben einem offenen und einem

mit Beton gefüllten Schlitz auch einen mit Gummichips gefüllten Schlitz. Fer-

ner werden Bodenverbesserungsmaßnahmen untersucht. In einer Tabelle wer-

den die Vor- und Nachteile der verschiedenen Maßnahmen zusammengefasst.

Von Çelebi et al. (2006) werden in [30] numerische Berechnungen mit der BEM

im Frequenzbereich vorgestellt. Es wird die Abschirmung eines Fundamentes

durch einen Schlitz im Halbraum bzw. in einer Bodenschicht über starrer Un-

4.2 Literaturauswertung 99

terlage gegenüber einer Anregung durch ein zweites Fundament ermittelt.

Dazu werden eine vertikale Anregung, eine Kippanregung und eine Torsionsan-

regung betrachtet und das Ergebnis in Form von dimensionslosen Kurven dar-

gestellt. Çelebi et al. (2009) berichten in [29] von großmaßstäbliche Versuchen,

deren Ergebnisse mit denen von Beskos et al. (1986, [21]), Haupt (1981, [69])

und Ahmad und Al-Hussaini (1991, [2]) verglichen werden.

Von Hwang und Tu (2006, [72]) wird über experimentelle Untersuchungen be-

richtet, bei denen die Abschirmwirkung von offenen Schlitzen gegenüber Er-

schütterungen aus Rammarbeiten untersucht wurde. Die dort ausgeführten

Schlitze zeigten keine signifikante Abminderung der Erschütterungsamplitu-

den.

Von Karlström und Boström (2007) wird in [79] über den Einfluss der Zugge-

schwindigkeit auf die Abschirmwirkung offener Schlitze berichtet. Es wird ge-

zeigt, dass bei einer Fahrgeschwindigkeit oberhalb der Ausbreitungsgeschwin-

digkeit der Oberflächenwelle die Effizienz des offenen Schlitzes deutlich zu-

nimmt.

Um die günstige Wirkung eines offenen Schlitzes erhalten zu können, wurden

mit Gas gefüllte Matten entwickelt, die in einen gefüllten Schlitz eingebaut wer-

den. Über deren praktischen Einsatz berichten Massarsch und Corten (1988) in

[101] und Massarsch (2004) in [102].

Tsai und Chang (2009, [128]) untersuchen offene Schlitze, die durch eine Spund-

wand oder durch Schlitzwände eingefasst werden. Es zeigt sich, dass die seitli-

che Stützung die Wirksamkeit gegenüber einem offenen Schlitz ohne Stützung

deutlich herabsetzt. Die Erschütterungen im Boden bei Spundwänden als Stüt-

zung des Schlitzes können dabei sogar höher sein als die Erschütterungen ganz

ohne Minderungsmaßnahme.

Jesmani et al. (2009) untersuchen in [74] die Wirkung offener kreisförmiger

Schlitze auf die Isolierung gegen Erschütterungen aus einer dynamisch belaste-

ten Pfahlgründung. Dabei werden sowohl der Boden, als auch die Kontaktfläche

zwischen Boden und Pfahl nichtlinear modelliert. Grundsätzlich wird beobach-

tet, dass bei großen Pfahltiefen auch entsprechend tiefe Schlitze angeordnet

werden müssen, um eine signifikante Reduktion der Erschütterungsamplituden

zu erhalten.

Sivakumar Babu et al. (2011) stellen in [122] den Vergleich von Messungen und

numerischen Berechnungen für den Entwurf eines Schlitzes zum Schutz der

100 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

Umgebung vor Erschütterungen aus einem geplanten Testlabor für Asphaltver-

dichter vor. Die Anregung am Ort des geplanten Testlabors sind sinusförmige

Schwingungen mit Wegamplitude von 1.31 mm und 1.95 mm bei jeweils 31 Hz.

Sie kommen zu dem Schluss, dass mindestens ein 3 m tiefer offener Schlitz er-

forderlich ist, damit die Schwingungsamplituden in einer Entfernung von

13.5 m und 29 m von der Quelle unterhalb der menschlichen Fühlschwelle lie-

gen.

4.2.1.2 Zusammenfassung des Kenntnisstandes

Bemessungsdiagramme werden in den bereits erwähnten Veröffentlichungen

von Al-Hussaini, Ahmad und Baker [2, 5, 6] entwickelt. Es wird unterscheiden

zwischen offenen und gefüllten Schlitzen, zwischen horizontalen und vertikalen

Verschiebungen, sowie zwischen aktiver und passiver Schwingungsisolierung.

Letztere Begriffe beziehen sich auf die Entfernungen zwischen Erreger und

Schlitz, d. h. eine aktive Isolierung liegt vor, wenn der Schlitz nahe an der Erre-

gerquelle liegt und diese etwa kreisförmig umschließt, und eine passive Isolie-

rung liegt vor, wenn der Schlitz weit vom Erreger entfernt liegt. Angaben für ho-

rizontale Schwingungen finden sich bei Al-Hussaini und Ahmad in [5].

Die Auswertung der Literatur zeigt, dass ein offener Schlitz die größte Ab-

schirmwirkung besitzt, sofern er tief genug ist. Bei Schlitztiefen von ca. einer

Rayleigh-Wellenlänge können die Schwingungsamplituden unmittelbar hinter

dem Schlitz auf ca. 20 % der Amplituden ohne Schlitz abgemindert werden. Bei

inhomogenen Böden sind größere Schlitztiefen erforderlich als bei homogenen

Böden.

Daraus folgt, das für eine gute Abschirmwirkung bei niedrigen Frequenzen sehr

tiefe Schlitze hergestellt werden müssen. In der Praxis ist die Tiefe eines offenen

Schlitzes jedoch stark begrenzt, so dass der Schlitz mit einem flüssigen (z. B.

Bentonit) oder festen Material (z. B. Beton) gefüllt werden muss, was wiederum

die Abschirmwirkung vermindert. Der mit Beton gefüllte Schlitz dürfte dabei

die am häufigsten vorkommende Ausführungsvariante sein.

4.2.2 Bohrloch- und Pfahlreihen

Neben den massiven gefüllten Schlitzen sind auch aufgelöste Strukturen mit

und ohne Füllung untersucht worden.

Haupt (1981) berichtet in [69] über Versuche an offenen Bohrlöchern, deren

Wirksamkeit jedoch beschränkt ist. Als Ursache werden die Rohre angeführt,

4.2 Literaturauswertung 101

die nach Herstellung der Bohrung im Boden verblieben, um das Bohrloch offen

zu halten.

Pfahlreihen wurden beispielsweise von Kattis, Polyzos und Beskos (1995, [80];

1999, [81]) mit der BEM untersucht. Dabei werden sowohl offene als auch mit

Beton gefüllte Pfahlreihen mit bis zu 10 Pfählen untersucht. Es wird berichtet,

dass eine Pfahlreihe im Vergleich zu einem Schlitz mit gleichen äußeren Abmes-

sungen eine deutlich verminderte Abschirmwirkung aufweist. Es bleibt anzu-

merken, dass ein offener Pfahl in der Praxis kaum zu realisieren wäre und daher

nur von theoretischen Interesse sein dürfte.

Gao et al. (2006) haben in [58] hintereinander stehende Pfahlreihen mit einem

speziellen numerischen Verfahren basierend auf Fundamentallösungen des ho-

mogenen Halbraums im Frequenzbereich untersucht. Sie berichten, dass solche

Pfahlreihen effizienter sein können als Schlitze, wobei vermutlich mit Beton ge-

füllte Schlitze gemeint sind.

Von Lu, Xu und Wang (2009) wird in [96] über numerische Untersuchungen zur

Abschirmwirkung von Pfahlreihen gegenüber einer sich parallel zur Pfahlreihe

bewegenden Last berichtet. Dabei wird der Boden als poroelastischer Halbraum

betrachtet. Sie kommen zu dem Schluss, dass die rechnerische Abschirmwir-

kung einer Pfahlreihe in einem poroelastischen Boden höher ist als in einem ein-

phasigen Boden.

Auch von Cai, Ding und Xu (2009) wird in [27] über numerische Untersuchun-

gen von Pfahlreihen in einem poroelastischen Medium berichtet. Im Gegensatz

zu den meisten anderen Arbeiten wird dabei als Belastung nicht eine auf der

Halbraumoberfläche wirkende Kraft, sondern ein sich im Halbraum ausbreiten-

des Wellenfeld angenommen. Wie in Lu et al. [96] wird festgestellt, dass bei ge-

ringer Durchlässigkeit des Bodens das poroelastische Bodenmodell zu einer

rechnerisch höheren Abschirmwirkung der Pfahlreihe führt.

4.2.3 Bodenverbesserungsmaßnahmen

Von Katzenbach et al. (2003, [82]) sowie von Savidis et al. (2003, [117]) wird über

Kalk-Zement-Säulen in einer weichen Bodenschicht unterhalb eines Bahnglei-

ses berichtet. Dabei werden verschiedene Säulenanordnungen sowohl rechne-

risch als auch im Großversuch untersucht und es wird festgestellt, dass durch

die Säulen die Schwinggeschwindigkeit im Boden deutlich reduziert werden

kann. Der Einfluss der Säulen auf die Ausbreitung der Erschütterungen außer-

102 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

halb des Gleiskörpers wird nicht betrachtet, da der Schwerpunkt der Arbeiten

auf der Ermittlung der Langzeitsetzungen liegt.

Über sehr ähnliche Untersuchungen aus Schweden mit dem gleichen Ergebnis

wird von Bahrekazemi et al. (2004, [16]) berichtet.

Von Peplow und Kaynia (2007, [107]) werden ebenfalls unterschiedliche Anord-

nungen von Kalk-Zement-Säulen an Bahnstrecken untersucht. Mit einem

BEM-Modell wird auch die Ausbreitung der Schwingungen in die Umgebung er-

mittelt und mit Messungen verglichen. Sie kommen zu dem Schluss, dass

Kalk-Zement-Säulen bis zu Anregungsfrequenzen von 30 Hz eine einigermaßen

gleichbleibende Abschirmwirkung besitzen. Bei darüber hinausgehenden Anre-

gungsfrequenzen ergeben sich sehr unterschiedliche Antwortcharakteristiken

der untersuchten Säulenanordnungen.

With, Bahrekazemi und Bodare (2009, [133]) berichten über eine ausgeführte

Maßnahme zum Schutz vor Erschütterungen und Lärm neben einer Bahnlinie

in Schweden. Als Schutz vor Erschütterungen werden Kalk-Zement-Säulen aus-

geführt, über denen ein Schallschutzwall aus Sand aufgeschüttet wird. Die Säu-

len werden so angeordnet, dass sich im Grundriss eine wabenähnliche Struktur

ausbildet. Messungen mit und ohne Minderungsmaßnahmen werden durchge-

führt, jedoch keine Messung unmittelbar zwischen der Ausführung der Säulen

und dem Aufschütten des Erdwalls, so dass der anteilige Einfluss der Einzel-

maßnahmen nicht ermittelt werden kann. Nach Ausführung der Gesamtmaß-

nahmen zeigt sich eine Abminderung der Erschütterungen um bis zu 67 % in

unmittelbarer Nähe zu den Säulen. Mit zunehmender Entfernung vom Gleis

nimmt auch die Minderungswirkung ab.

Jones et al. (2011) stellen in [75] Ergebnisse von 2D-Berechnungen der Minde-

rungswirkung verfestigter Bodenbereiche vor. Neben Schlitzen und Gräben

werden der Fall einer Bodenverfestigung unterhalb des Gleises und der Fall ei-

nes verfestigten Bodenkörpers neben dem Gleis untersucht. Der Frequenzbe-

reich beschränkt sich auf 8–16 Hz. Es zeigt sich, dass die Schwingungen im Frei-

feld je nach Frequenz sowohl größer als auch kleiner werden können. Der stark

beschränkte Frequenzbereich lässt jedoch keine allgemeinen Aussagen zu.

4.2.4 Schaumkörper

Ein vielversprechender Ansatz für in der Praxis leicht ausführbare Schlitze

wird von Sadegh-Azar (2008, [111]) und Sadegh-Azar und Ziegler (2009, [112])

4.2 Literaturauswertung 103

vorgestellt. Sie berichten von numerischen Untersuchungen und Feldversuchen

mit Schlitzen, die mit PU-Schaum gefüllt werden. Dieses Material hat die gün-

stige Eigenschaft, dass es einen hohen Expansionsdruck aufweist, der dazu

führt, dass sich Risse im Boden bilden. Wenn die Injektionen in geringem Ab-

stand voneinander eingebracht werden, kann so ein durchgehender, permanent

bestehender Isolierkörper erzeugt werden.

Einen nahezu identischen Ansatz haben Alzawi (2011, [8]) und Alzawi und El

Naggar (2011, [9]) verfolgt. Auch sie berichten über Versuche und numerische

Untersuchungen mit PU-Schaum, der von den Autoren als GeoFoam bezeichnet

wird. Ein Vergleich der Materialbeschreibungen in [8] und [111] legt die Vermu-

tung nahe, dass es sich um dasselbe Material handelt.

4.2.5 Massive Körper auf der Bodenoberfläche

Die ersten theoretischen Untersuchungen zum Einfluss einer großen Masse im

Transmissionsweg werden von Jones und Petyt (1986, [76]; 1993, [77]) vorge-

stellt. Sie kommen zu dem Schluss, dass generell die größte Abschirmwirkung

dadurch erreicht werden kann, dass die Masse nahe an der Quelle aufgestellt

wird. Sie stellen ferner fest, das mit zunehmender Entfernung eines Empfän-

gers vom Erreger die niedrigen Frequenzen einen größer werdenden Anteil an

den Schwingungsamplituden haben.

Ford (1990) berichtet in [55] von Versuchen, die mit schweren Massen neben ei-

nem Gleis durchgeführt werden. Da die Versuchsergebnisse vom Autor nicht zu-

friedenstellend erklärbar werden können, wird ein numerisches Modell entwik-

kelt. Er kommt zu dem Schluss, dass schwere Massen nur in eng begrenzten

Frequenzbändern mindernd wirksam sind.

Krylov (2007, [88]) untersucht theoretisch die Minderungswirkung von punkt-

förmig gelagerten Massen. Er kommt zu dem Schluss, dass die Abminderung

der Schwingungen genau dann besonders hoch ist, wenn die Masse so gewählt

wird, dass sie mit der Bodensteifigkeit zusammen eine Eigenfrequenz besitzt,

die der Anregungsfrequenz möglichst nahe kommt.

Alic (2013, [7]) untersucht in einer Masterarbeit an der Chalmers-Universität in

Göteborg Möglichkeiten, durch Anordnung von einzelnen Massen, Massengrup-

pen und ganzen Gebäuden auf dem Transmissionsweg den Erschütterungsein-

trag in ein Synchrotonlabor aus Verkehr auf einer 100 m entfernten Straße zu

beeinflussen. Sämtliche Untersuchungen werden mit der FEM mit einem sehr

104 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

großen linear elastischen Modell durchgeführt. Die Parameterstudie zeigt, dass

durch die Anordnung der Massen häufig eine Abminderung der Schwingungs-

amplituden erreicht werden kann. Allerdings wird auch festgestellt, dass es bei

einigen Anordnungen der Massen zu Überhöhungen kommen kann.

Mhanna et al. (2014, [104]) untersuchen die Minderungswirkung von dünnwan-

digen, mit Wasser gefüllten Aluminiumbehältern mit einer Höhe von 0.75 m

und einer Ausdehnung parallel zur Verbindungslinie zwischen Anregung und

Schwingungsaufnehmer von ebenfalls 0.75 m. Die Behälter wurden im Abstand

von ca. 3 m von einem Schwingungserreger aufgestellt. Mit dieser Anordnung

kann eine Abminderung der Schwingungen um bis zu 20 % erreicht werden.

Eine numerische Simulation führt zu ähnlichen Ergebnissen, überschätzt je-

doch die Minderungswirkung mit zunehmenden Abstand von der Quelle. Weite-

re numerische Untersuchungen werden zur Abschätzung des Einflusses von Be-

tonklötzen auf einem homogenen Halbraum durchgeführt. Es zeigt sich, dass

die Minderungswirkung besonders hoch ist, wenn die Resonanzfrequenz aus

Masse und Bodenfeder möglichst weit unterhalb der Anregungsfrequenz liegt.

Die Autoren weisen darauf hin, das ihre Ergebnisse im Widerspruch zu den

theoretischen Überlegungen von Krylov (2007, [88]) stehen.

Die Widersprüche über den Einfluss der Resonanzfrequenz eines Masse-Boden-

feder-Systems auf die Minderungswirkung geben Anlass zu überlegen, ob ggf.

Sekundäreffekte für die im Versuch gemessenen Schwingungsminderungen

verantwortlich sind. Ein Hinweis darauf lässt sich Luong (1996, [97]) entneh-

men. In Zentrifugenversuchen wird durch Aufbringung von vertikalen Flächen-

lasten ein Teilbereich des Bodens statisch vorgespannt. Nach Luong tritt in die-

ser Barriere beim Durchlauf einer Welle eine erhöhte Energiedissipation durch

Reibung an den Kontaktflächen der Bodenkörner auf. Es kann gezeigt werden,

dass die Schwingungsamplituden von Wellen hinter der Barriere sehr deutlich

gegenüber den Amplituden von Wellen bei einer Versuchsanordnung ohne Bar-

riere abnehmen. Es wäre daher sinnvoll zu untersuchen, ob die von Mhanna et

al. (2014, [104]) beobachtete Amplitudenabminderung dadurch hervorgerufen

werden, dass im Bereich unterhalb der Wasserbehälter die Spannungen im Bo-

den durch das Eigengewicht der Behälter erhöht werden, so dass beim Durch-

laufen einer Oberflächenwelle ebenfalls in erhöhtem Maße Energie durch Rei-

bung zwischen den Bodenkörnen dissipiert wird.

4.2 Literaturauswertung 105

4.2.6 Erdwälle

Es gibt eine größere Anzahl von Veröffentlichungen zum Einfluss von Aufschüt-

tungen und ähnlichen geometrischen Gebilden auf die Ausbreitung seismischer

P-, SV- und Rayleigh-Wellen, die jedoch hauptsächlich nur die Topographieef-

fekte auf eine seismische Freifeldanregung zum Inhalt haben, aber nur sehr be-

grenzt die Wirkung auf die Umgebung.

Sánchez-Sesma und Campillo (1991, [113]; 1993, [114]) untersuchen qualitativ

in 2D u. a. einen halbelliptischen Berg unter der Einwirkung von Rayleighwel-

len, die durch eine Kraft auf der Halbraumoberfläche verursacht werden. In der

graphischen Darstellung ist eine Abnahme der Amplituden auf der Rückseite

des Berges deutlich zu erkennen.

Chen et al. (2012, [33]) untersuchen qualitativ ebenfalls einen Hügel mit der

Form einer Halbellipse auf einem homogenen Halbraum unter dem Einfluss

sich horizontal fortpflanzender Scherwellen. Es ist zu erkennen, dass auf der

Leeseite des Hügels die Schwingungsamplituden deutlich reduziert werden.

Die dem Autor dieser Arbeit bislang einzige bekannte Veröffentlichung, die sich

gezielt mit der Abschirmwirkung von Erdwällen gegenüber Erschütterungen

befasst ist von With, Bahrekazemi und Bodare (2009, [133]). Wie im Abschnitt

4.2.3 bereits erwähnt, wird in dieser Veröffentlichung eine ausgeführte Minde-

rungsmaßnahme für die kombinierte Minderung von Schall und Erschütterun-

gen vorgestellt, bei der zur Erschütterungsminderung Kalk-Zement-Säulen in

den Boden eingebracht wurden, und bei der zur Minderung des Luftschalls ein

Erdwall oberhalb der Säulen errichtet wurde.

Die Anordnung der Säulen und des Erdwalls sind in Bild 4-3 dargestellt. Die

Säulen haben einen Durchmesser von ca. 80 cm und wurden in einem Rasterab-

stand von 65 cm überschnitten bis zu einer Tiefe von ca. 12 m eingebracht. Die

vier Säulenreihen im Querschnitt haben einen Abstand von 3.90 m, die Querrei-

hen einen Abstand von ca. 3.25 m.

Die von den With et al. durchgeführten Messungen wurden erst nach Erstellung

von Säulen und Erdwall durchgeführt. Um trotzdem den Einfluss der einzelnen

Minderungsmaßnahmen auf die Abschirmwirkung gegenüber Anregungen aus

dem Schienenverkehr getrennt abschätzen zu können, werden vereinfachte

zweidimensionale FE-Berechnungen durchgeführt. Die Säulen werden dabei als

106 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

über die Querschnittsfläche der Minderungsmaßnahme verschmiert angenom-

men. Das Gleis wird nicht modelliert. Als Belastung wird eine Einzellast auf der

Bodenoberfläche im Abstand von 6 m zur linken Seite des Erdwalls angesetzt.

Als zeitlicher Verlauf der Belastung wird ein einzelner dreiecksförmiger Impuls

angenommen. Die Dauer des Impulses wird variiert mit 0.20 s, 0.25 s und 0.30 s,

und die Gesamtzeit der Berechnung beträgt 1.5 s. Ausgewertet werden die ma-

ximalen vertikalen Auslenkungen an zwei Punkten im Abstand von 30 m bzw.

60 m vom Gleis.

Die Abmessungen des FE-Modells sind so gewählt, dass innerhalb der Gesamt-

zeit der Berechnung die unweigerlich auftretenden Reflexionen an den Modell-

rändern keinen Einfluss auf die Auslenkungen am Auswertepunkt haben.

With et al. kommen zu dem Ergebnis, dass ein Erdwall ohne Säulen nur eine

sehr geringe Abschirmwirkung hat, und im Abstand von 30 m zum Gleis sogar

zu einer Erhöhung der Schwingungen führen kann. Die Ergebnisse unterschei-

den sich jedoch stark, wenn die Dauer des Impulses variiert wird. Für den Im-

puls von 0.20 s Dauer ergibt sich dabei die höchste Abschirmwirkung des Erd-

walls allein, was von den Autoren auf den größeren Anteil an höheren Frequen-

zen im Anregungsspektrum gegenüber den längeren Impulsen zurückgeführt

wird.

Erdwall

Kalk-Zement-Säulen

Bild 4-3: Anordnung von Gleis, Kalk-Zement-Säulen und Erdwall, nach [133]

4.3 Numerisches Berechnungsmodell 107

4.3 Numerisches Berechnungsmodell

In dieser Arbeit wird ein vereinfachtes Modell zur näherungsweisen Ermittlung

der Erschütterungsminderung eines Erdwalls aus Sand vorgestellt, der auf ei-

nem als homogenem Halbraum angenommenen Untergrund errichtet wird. In

Bild 4-4 ist das geometrische Modell eines Walles beispielhaft mit den wesentli-

chen Abmessungen dargestellt. Eine Liste der variierten Parameter ist in

Tabelle 4-1 zusammengestellt.

Die Länge L wird frequenzabhängig als Vielfaches der Wellenlänge der Scher-

welle im Boden λS gewählt:

r, r0

x, x0

10 λS

θr

θl

Bild 4-4: Geometrisches Modell des Erdwalles

abelle 4-1: Variierte Parameter von Wall und Boden

Parameter Symbol

Länge L = nL · λS

Höhe H

Böschungswinkel θl, θr

Abstand Lastmitte–Wallkante D

Breite der Dammkrone C

Scherwellengeschwindigkeit des Halbraums cS,HS

Scherwellengeschwindigkeit des Walls cS,W

108 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

(4-1)

mit f der Frequenz und cS, HS der Scherwellengeschwindigkeit des Bodens.

Es sei angemerkt, dass in der Literatur statt der Wellenlänge der Scherwelle

sehr häufig die Wellenlänge der Rayleighwelle des homogenen Halbraums

als Normierungsgröße verwendet wird. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der

Rayleighwelle hängt jedoch nicht nur vom Schubmodul und der Dichte des Bo-

dens, sondern auch von dessen Querdehnzahl ab. Sie beträgt jedoch im für Bö-

den relevanten Bereich der Querdehnzahl 90-95 % der Scherwellengeschwindig-

keit (Meskouris et al. 2007, [103]). Daher gilt in ausreichend guter Näherung

Wie in Bild 4-4 zu erkennen ist, wird ein dreidimensionales, in der Länge L be-

schränktes Modell eines Walles untersucht. Die Überlegungen, die zur Wahl

dieses Modelles geführt haben, sowie die Wahl der weiteren Modellparameter

werden in den folgenden Unterabschnitten erläutert. Eine detaillierte Liste al-

ler untersuchten Parameterkombinationen ist in Anlage B zusammengestellt.

4.3.1 Modelldimensionalität

Eine vollständige 3D-Abbildung eines real errichteten Walls und der verteilten

Anregungsquellen mit einem Diskretisierungsverfahren verbietet sich in der

Regel wegen der großen Längsausdehnung des Walles, die leicht mehrere hun-

dert Meter erreichen kann. Eine 2D-Abbildung, wie sie bei Standsicherheits-

nachweisen in der Geotechnik üblich ist, erscheint auch fragwürdig, da dies eine

unendlich ausgedehnte gleichphasige Erregerquelle implizieren würde. Selbst

ein vorbeifahrender Zug erfüllt diese Bedingungen nicht, da die Schwingungen

an diskreten Radaufstandspunkten in das Gleis eingetragen werden, und die

Räder mit unterschiedlicher Amplitude und zueinander phasenverschoben

schwingen.

Da jedoch, um beim Beispiel des vorbeifahrenden Zuges zu bleiben, weder die

Amplitude noch die Phasenlage der Erregerquellen exakt vorherzusagen sind,

erscheint es ausreichend, einen Zug als Überlagerung einzelner harmonischer

Lasten zu modellieren, die auf der Halbraumoberfläche in der Nähe eines Erd-

walls wirken. Da weiterhin ein lineares System vorausgesetzt werden kann, ist

es ferner ausreichend, nur eine einzelne harmonische Last zu untersuchen.

S, HS

cS, HS

--------------==

≈

4.3 Numerisches Berechnungsmodell 109

Einer Berechnung des Problems mit einem Diskretisierungsverfahren steht bis-

lang noch die sehr große Ausdehnung des Walles im Wege. Es führt kein Weg

daran vorbei, die Länge des Walles zu begrenzen. In der Regel ist es dadurch er-

forderlich, die auftretenden künstlichen Ränder so zu modellieren, dass keine

Wellenreflexionen stattfinden. Solche Randbedingungen stehen aber nicht ohne

weiteres zur Verfügung, da zwar der Wall abgeschnitten wird, der Halbraum

aber nicht.

Ein Ausweg ergibt sich aus der Beobachtung, dass jede Erschütterungsminde-

rung durch einen Wall durch denjenigen Bereich des Walls dominiert wird, der

sich auf oder in der Nähe der Verbindungslinie zwischen Erregerquelle und dem

zu schützenden Objekt auf der gegenüberliegenden Seite des Walls befindet. Da-

her erscheint es sinnvoll, einen Ausschnitt des Walles als dreidimensionalen

Körper auf einem Halbraum abzubilden. Die Seitenflächen werden abgeschnit-

ten und verbleiben senkrecht. Als Belastung wird eine punktförmige Last auf

der Symmetrielinie in einer sinnvollen Entfernung zum Wall aufgebracht. Die

notwendige Modelllänge und der Abstand der Belastung zur Wallkante werden

durch Voruntersuchungen festgelegt.

4.3.2 Frequenzintervall

Da hier Erschütterungsprobleme insbesondere aus Schienenverkehr untersucht

werden sollen, wird ein Frequenzintervall von 1 Hz bis 100 Hz untersucht.

Es wird angenommen, dass alle Kraft- und Weggrößen eine harmonische Zeit-

abhängigkeit der Form

(4-2)

besitzen. Hierbei ist U eine beliebige komplexwertige Amplitude, t ist die Zeit,

ist die Kreisfrequenz und ist die imaginäre Einheit. Der Einfachheit

halber wird im folgenden Text der Exponentialterm weggelassen.

4.3.3 Querschnittsform

Die Anzahl möglicher Wallquerschnitte ist natürlich nahezu unbegrenzt, so

dass eine Beschränkung notwendig ist. Eine grafische Zusammenstellung aller

untersuchten Querschnitte findet sich in Bild 4-5 und Bild 4-6

ut() Ue

⋅=

i1–=

110 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

Da der Ausgangspunkt der Untersuchungen Schallschutzwälle sind, und eine

der Fragestellungen darin besteht, zu untersuchen, ob Schallschutzwälle auch

gleichzeitig gute Erschütterungsschutzwälle sind, werden zunächst Geometrien

untersucht, die bei Lärmschutzwällen anzutreffen sind. Gewählt werden dafür

die Geometrien aus Bild 4-1, die als Rechenbeispiel für Lärmschutzwälle von

Detert (2006) in [39] untersucht wurden, erweitert für alle Neigungswinkel von

40° bis 80° in Schritten von 10°. Die dazugehörigen Geometrien lassen sich aus

[39], Abbildung 3, ableiten. Neben den Geometrien, bei denen die stark geneigte

Seite der Belastung zugewandt ist, werden auch die gespiegelten Geometrien

untersucht, siehe Bild 4-5.

Bild 4-5: Untersuchte Wallquerschnitte, Teil 1: Querschnittsformen von

Schallschutzwällen

4.3 Numerisches Berechnungsmodell 111

Daneben wird untersucht, welche Querschnittsform bei gleicher Querschnitts-

fläche von 20 m² die bessere Minderungswirkung hat. Dazu werden die Quer-

schnitte aus Bild 4-6 verwendet.

Bei allen Querschnitten wird eine Breite der Dammkrone C= 1 m angesetzt.

Der Dreiecksquerschnitt No. 23 in Bild 4-6 wird zusätzlich für Voruntersuchun-

gen verwendet.

Bild 4-6: Untersuchte Wallquerschnitte, Teil 2: Sonstige Querschnitte

112 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

4.3.4 Materialeigenschaften des Halbraums und des Walls

Für den Boden und für den Wall werden drei Bodentypen definiert, die jeweils

einen weichen, einen mittelsteifen und einen steifen Boden repräsentieren. Da

nur rein elastisches Bodenverhalten untersucht wird, müssen keine Annahmen

über die Bodenart (Sand, Ton, usw.) gemacht werden.

Die verwendeten Materialkenngrößen des Halbraums sind in Tabelle 4-2 zu-

sammengefasst, und die entsprechenden Materialkenngrößen des Walls in

Tabelle 4-3.

Die Scherwellengeschwindigkeit von 100 m/s kann gemäß Grundbautaschen-

buch [130] einem weichen Ton bzw. lockerem Sand zugeordnet werden. Entspre-

chend steht die Scherwellengeschwindigkeit von 200 m/s für einen mittelsteifen

Ton bzw. mitteldichten Sand, und die Scherwellengeschwindigkeit von 300 m/s

für einen steifen Ton bzw. einen dichten Sand.

Die für alle Böden als konstant angenommene Rohdichte entspricht nach

E DIN 1055-2:2007-01 einem mitteldichte enggestufte erdfeuchte Sand sowie ei-

nem weiche erdfeuchte Schluff.

Al-Hussaini und Ahmad haben 1991 in [2] und [5] den Einfluss der Querdehn-

zahl auf die Minderungswirkung von Beton-gefüllten Schlitzen untersucht. Sie

Tabelle 4-2: Materialeigenschaften der verwendeten Bodentypen im Halbraum

Bodeneigenschaft Weicher Boden Mittelsteifer

Boden Steifer Boden

Scherwellengeschwindigkeit cS,HS 100 m/s 200 m/s 300 m/s

Rohdichte ρHS 1700 kg/m³ 1700 kg/m³ 1700 kg/m³

Querdehnzahl νHS 0.40 0.40 0.40

Hysteretische Dämpfung ξHS 0.001 0.001 0.001

Tabelle 4-3: Materialeigenschaften der verwendeten Bodentypen im Wall

Bodeneigenschaft Weicher Boden Mittlersteifer

Boden Steifer Boden

Scherwellengeschwindigkeit cS,W 100 m/s 200 m/s 300 m/s

Rohdichte ρW1700 kg/m³ 1700 kg/m³ 1700 kg/m³

Querdehnzahl νW0.30 0.30 0.30

Hysteretische Dämpfung ξW0.01 0.01 0.01

4.3 Numerisches Berechnungsmodell 113

kommen zu dem Schluss, dass der Einfluss für den untersuchten Bereich von

ν=0.30 bis ν= 0.48 vernachlässigbar gering ist. Daher wird die Querdehnzahl

des Bodens in dieser Arbeit konstant mit νHS = 0.40 angesetzt. Gemäß den Emp-

fehlungen des Arbeitskreis 1.4 Baugrunddynamik [40] entspricht dies einem

Schluff mit mittlerem Sandgehalt.

Ein Erdwall wird vorzugsweise aus überwiegend rolligem Material hergestellt,

da es sich leichter lösen, transportieren und verdichten lässt als bindiges Mate-

rial. Für den Wall wird daher gemäß AK 1.4 [40] eine Querdehnzahl von

νW= 0.30 angesetzt.

4.3.5 Belastung

Als Belastung wird eine Flächenlast p, die über eine Lastfläche AL konstant ver-

teilt ist, aufgebracht. Die Kanten der Lastfläche haben stets eine Länge von

LP=1/20λS. Die Lastfläche liegt auf der Symmetrielinie des Walls, siehe

Bild 4-4. Der Abstand zwischen Wallkante und Mittelpunkt der Lastfläche be-

trägt D= 5 m, siehe auch Abschnitt 4.6.1.

Die größte auftretende Kantenlänge der Lastfläche entsteht bei den in dieser

Arbeit verwendeten Parametern bei einem steifen Boden und minimaler Fre-

quenz, d. h. bei cS,HS,max = 300 m/s und fmin = 1 Hz. Sie beträgt

. (4-3)

Bei einem Abstand des Lastmittelpunkt von der Wallaußenkante von D=5m

ragt die Lastfläche somit um 2.5 m bis unter den Wall. Da nicht zu erwarten ist,

dass ein Wall bei einer Länge der Scherwelle im Boden von λS= 300 m eine si-

gnifikante Abschirmwirkung hat, kann dieser Umstand vernachlässigt werden.

Bereits bei einer Frequenz von f= 2 Hz beträgt die Kantenlänge der Last maxi-

mal 7.5 m, so dass diese Lastfläche bereits vollständig außerhalb des Walls liegt.

Die kleinstmögliche Kantenlänge der Lastfläche ergibt sich entsprechend bei ei-

nem weichen Boden und maximaler Frequenz und beträgt

. (4-4)

Lp,max

cS,HS,max

fmin

----------------------- 1

------

⋅300 m/s

1 Hz

--------------------- 1

------

⋅15 m===

Lp,min

cS,HS,min

fmax

---------------------- 1

------

⋅100 m/s

100 Hz

--------------------- 1

------

⋅0.05 m===

114 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

4.4 Diskretisierung

Die Diskretisierung erfolgt mit dem im Abschnitt 3.2 vorgestellten und opti-

mierten Programmsystem zur Lösung von Boden-Bauwerks-Interaktionspro-

blemen mit Kopplung von FEM und BEM.

Der Damm wird mit achtknotigen Volumenelementen diskretisiert, deren Kan-

tenlängen etwa 1/10 der kleineren Scherwellenlänge von Boden und Wall betra-

gen. Die Unterseite des Walls wird als Interaktionshorizont gewählt, und sie

wird so diskretisiert, dass alle Elementflächen gleich groß und gleich ausgerich-

tet sind.

Für die Diskretisierung des Bodens werden die Elementflächen des Walls im In-

teraktionshorizont mit jeweils 2 × 2 Randelementen diskretisiert. Ab einer An-

regungsfrequenz von 50 Hz wird nur noch ein Randelement pro FE-Elementflä-

che verwendet, um den Rechenaufwand zu begrenzen.

Bild 4-7 zeigt beispielhaft die Diskretisierung eines Walls für die Frequenz

50 Hz und die Länge 2 × λS. Die diskretisierte Umgebung des Walls dient nur

zur Illustration, ist aber nicht unmittelbar Teil des Berechnungsmodells, d. h.

es sind keine BEM- oder FEM-Elemente.

Bild 4-7: Beispiel für die Diskretisierung eines Walls und des umgebenden Freifeldes

mit Anregungspunkt

4.5 Auswerteverfahren 115

4.5 Auswerteverfahren

Zur quantitativen Erfassung der Minderungswirkung wird eine Abschirmkapa-

zität definiert, die sich in der Definition an die in der Literatur durchgehend

gängige Vorgehensweise anlehnt. Zunächst wird das Amplitudenverhältnis AR

für einen beliebigen Punkt an der Oberfläche definiert als

(4-5)

mit der vertikalen Amplitude an einem beliebigen Punkt auf der Halb-

raumoberfläche bei vorhandenem Wall, und der vertikalen Amplituden am

selben Punkt ohne Wall. Alle in (4-5) benutzten Größen sind eine Funktion der

Anregungsfrequenz.

In das Amplitudenverhältnis AR geht nur die Amplitude, aber nicht der Phasen-

winkel ein, so dass diese Größe gewissen Schwankungen unterworfen ist. Um zu

einem Einzahlwert für die Abschirmwirkung eines Walls zu kommen, wird da-

her das mittlere Amplitudenverhältnis als geometrisches Mittel über ein vorzu-

gebendes Gebiet auf der lastabgewandten Seite des Walls definiert. In der Lite-

ratur finden sich Beispiele sowohl für halbkreisförmige Gebiete, als auch für Li-

nienzüge. Letztere werden insbesondere bei 2D-Untersuchungen benutzt. Da

ein Wall gegenüber einer punktförmigen Quelle einem unendlich ausgedehnten

Körper in der Realität nahe kommt, wird in dieser Arbeit das Amplitudenver-

hältnis ebenfalls über einen linienförmigen Bereich gemittelt. Das mittlere Am-

plitudenverhältnis wird daher definiert als

. (4-6)

Das mittlere Amplitudenverhältnis wird entlang der x-Koordinate auf einer

Linie ermittelt, die durch den Lastmittelpunkt verläuft, d. h. y= 0. Dabei ist die

Koordinate x der Abstand zur lastabgewandten Wallkante, siehe Bild 4-4. Als

obere Integrationsgrenze wird die zehnfache Wellenlänge der Scherwelle λS an-

gesetzt (n= 10), da die Amplitude in dieser Entfernung vom Wall sehr klein ge-

genüber der Amplitude unmittelbar hinter dem Wall ist.

Es widerspricht der Intuition, wenn ein Einzahlwert zur Quantifizierung eines

Phänomens genau dann zu Null wird, wenn dieses Phänomen besonders stark

–

------

–

AR1

⋅

-------------- ARx() xd

⋅

∫

116 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

ausgeprägt ist. Das mittlere Amplitudenverhältnis würde aber genau

dann eintreten, wenn der Wall eine totale Abschirmung der Wellen bewirkt. Da-

her wird abschließend die Abschirmkapazität definiert als

(4-7)

Eine Abschirmkapazität CR= 0 bedeutet demnach, dass im Mittel keine Ab-

schirmung auftritt, und eine Abschirmkapazität CR= 1 dementsprechend, dass

im Mittel eine vollständige Abschirmung der Erschütterungen erreicht wird.

4.6 Voruntersuchungen zur Parameterstudie

4.6.1 Abstand zwischen Wall und Belastung

Zur Festlegung des Abstandes zwischen Mittelpunkt der Belastung und Wall-

kante werden Voruntersuchungen durchgeführt. Die verwendeten Parameter

des Walls und des Bodens sind in Tabelle 4-4 aufgelistet. Es wird ein symmetri-

scher Querschnitt mit einer Flankenneigung von 1:1.5 als Wallgeometrie ver-

wendet. Die Belastung wird in 1 m Abstand und in 5 m Abstand von der Wall-

kante aufgebracht.

Der Vergleich der unterschiedlichen Abstände der Anregung ist in Bild 4-8 dar-

gestellt. Man erkennt, dass der Einfluss des Abstandes vergleichsweise gering

ist. Die auftretenden Unterschiede ergeben sich vermutlich dadurch, dass das

ungestörte Wellenfeld bei einer näher an der Wallkante gelegenen Anregung

stärker gegenüber der Walllängsachse gekrümmt ist.

AR0=

CR1AR

–=

Tabelle 4-4: Parametersatz für die Untersuchung des Einflusses des Abstandes

zwischen Belastungsmittelpunkt und Wallkante

Parameter Symbol Wert

Länge L{2, 8} × λS

Höhe H3.33 m

Böschungswinkel θl,θr 1:1.5 33.7°

Abstand Lastmitte–Wallkante D1 m, 5 m

Breite der Dammkrone C1 m

Bodentyp des Halbraums —Weich

Bodentyp des Walls —Weich

=ˆ

4.6 Voruntersuchungen zur Parameterstudie 117

Für die weiteren Untersuchungen wird ein Abstand des Mittelpunktes der Last-

fläche von der Wallkante von D= 5 m gewählt, so dass die Lastfläche außer bei

einer Frequenz von f= 1 Hz vollständig außerhalb der Wallgrundfläche liegt.

4.6.2 Länge des Walls

Die rechnerische Abschirmwirkung eines Erdwalls gegenüber Erschütterungen

aus einer punktförmigen Belastung hängt zwangsläufig davon ab, wie lang ein

solcher Wall ist. Es wäre zu erwarten, dass die Abschirmwirkung bei einem un-

endlich ausgedehnten Wall am größten ist, und mit der Länge des Walls ab-

nimmt.

Die für die vergleichenden Berechnungen verwendeten Wallparameter sind in

Tabelle 4-5 zusammengestellt. Die Abschirmkapazität für Walllängen gleich

dem zwei-, vier- und achtfachen der Scherwellenlänge im Boden ist in Bild 4-9

dargestellt.

Man erkennt, dass bis zu einer Frequenz von ca. 25 Hz alle Kurven nahezu iden-

tisch verlaufen. Erst danach laufen die Kurven leicht auseinander, wobei die Ab-

schirmkapazität mit zunehmender Länge des Dammes tendenziell abnimmt.

Die Unterschiede sind jedoch vergleichsweise gering, sofern man von der Spitze

in der Kurve für L/λS= 2 bei ca. 70 Hz absieht.

Bild 4-8: Einfluss des Abstandes zwischen Lastmittelpunkt und Wallkante auf die

Abschirmwirkung

118 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

Da die Anzahl der Knoten und Elemente im Wall und im Boden proportional mit

der Länge steigt, und die Rechenzeit sogar mit der dritten Potenz der Länge

steigt, so erscheint es gerechtfertigt, die Parameterstudie mit einer Walllänge

von L/λS= 2 durchzuführen. Bei der Auswertung der Parameterstudie ist dann

entsprechend zu berücksichtigen, dass die Abschirmwirkung im Mittel um ca.

20 Prozentpunkte überschätzt wird.

4.7 Ergebnisse der Parameterstudie

Zunächst wird im Abschnitt 4.7.1 eine Übersicht über die Ergebnisse aller

durchgeführten Parametervariationen gegeben, aus denen sich bereits erste

Tendenzen ablesen lassen. Im Abschnitt 4.7.2 werden anschließend einzelne

Einflussgrößen im Detail untersucht.

Tabelle 4-5: Parametersatz für die Untersuchung des Einflusses der Länge des Walls

Parameter Symbol Wert

Länge L{2, 4, 8} × λS

Höhe H3.33 m

Böschungswinkel θl, θr 1:1.5 33.7°

Abstand Lastmitte–Wallkante D1 m

Breite der Dammkrone C0 m

Bodentyp des Halbraums —Weich

Bodentyp des Walls —Weich

=ˆ

Bild 4-9: Einfluss des Dammlänge auf die Abschirmwirkung

4.7 Ergebnisse der Parameterstudie 119

4.7.1 Übersichtsdarstellung

Die Grafiken in Bild 4-10 und Bild 4-11 zeigen die Abschirmkapazität aller un-

tersuchten Parameterkombinationen, aufgeteilt in insgesamt neun Grafiken für

jeweils eine Kombination von Bodentyp und Wallmaterial.

Jedes Quadrat zeigt die Abschirmkapazität, die für eine bestimmte Parameter-

kombination bei einer bestimmten Frequenz rechnerisch ermittelt wurde. Die

Farbe der Quadrate steht für die Querschnittsgeometrie und entspricht der

Farbgebung in Bild 4-5 und Bild 4-6. Ergebnisse, die mit einer Dammlänge von

L/λS= 4 berechnet wurden, sind mit einem grauen Rand markiert, diejenigen

für L/λS= 8 mit einem schwarzen Rand.

Die folgenden Phänomene lassen sich unmittelbar beobachten:

1. Der Vergleich der Berechnungen (a), (e) und (i), bei denen für Boden und

Wall dieselbe Scherwellengeschwindigkeit angesetzt wurde, zeigt deutlich,

dass die Frequenz und die Scherwellengeschwindigkeit im Boden keine voll-

ständig unabhängigen Eingangsgrößen für die Berechnung sind. Skaliert

man die horizontalen Achsen in (e) und (i) mit dem Verhältnis der Scherwel-

lengeschwindigkeiten des Bodens zur Scherwellengeschwindigkeit des Bo-

dens in (a), so liegen die Graphen identisch übereinander. Daher lässt sich

derselbe Informationsgehalt auch mit weniger Graphen darstellen, sofern

statt der Frequenz die Wellenlänge aufgetragen wird. Auf dieses Phänomen

wird in Abschnitt 4.7.2.1 im Detail eingegangen.

2. Die Abschirmkapazität ist im untersten Frequenzbereich negativ, d. h. es

kommt zu einer Überhöhung der Erschütterungen im Vergleich zur Situati-

on ohne Wall. Ein Wall ist als Minderungsmaßnahme für sehr tieffrequente

Erschütterungen somit ungeeignet.

3. Tendenziell steigt die Abschirmkapazität mit zunehmender Anregungsfre-

quenz.

4. Der Verlauf der Abschirmungskapazität über die Frequenz ist für nahezu

alle Parametervariationen nicht monoton. Die Abschirmkapazität kann bis

zu etwa 30 Prozentpunkte abfallen, um danach wieder anzusteigen.

5. Die Querschnitte mit Rottönen zeigen tendenziell die geringste Abschirmka-

pazität im gesamten Frequenzbereich. Größere Wallquerschnitte besitzen

120 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

ild 4-10: Abschirmkapazität untersuchter Parameterkombinationen (Teil 1). Grauer

Rand: L/λS= 4, Schwarzer Rand: L/λS= 8. Farbkodierung siehe Bild 4-5

)

4.7 Ergebnisse der Parameterstudie 121

ild 4-11: Links: Abschirmkapazität untersuchter Parameterkombinationen (Teil 2).

Grauer Rand: L/λS= 4, Schwarzer Rand: L/λS= 8. Farbkodierung siehe

Bild 4-5 und Bild 4-6

)

122 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

tendenziell eine höhere Abschirmungskapazität als kleinere Wallquer-

schnitte. Auf dieses Phänomen wird im Abschnitt 4.7.2.2 näher eingegan-

gen.

4.7.2 Detailergebnisse

4.7.2.1 Parameterreduktion

In Bild 4-10 und Bild 4-11 ist in den Fällen mit gleicher Scherwellengeschwin-

digkeit in Wall und Boden zu erkennen, dass die Abschirmkapazität bei gleicher

Wellenzahl1 identisch ist, siehe Bild 4-12 . Das bedeutet, dass Frequenz und

Scherwellengeschwindigkeit keine unabhängigen Größen sind, sondern in der

Wellenzahl zusammengefasst werden können. Daher ist es ausreichend, die Ab-

schirmkapazität nicht gegenüber der Frequenz, sondern gegenüber der Wellen-

zahl, und nur die Ergebnisse für den weichen Boden darzustellen. Für jedes Ver-

hältnis der Scherwellengeschwindigkeiten in Wall und Boden wäre diese Dar-

stellung zu wiederholen, so dass statt neun Graphen nur noch sieben Graphen

ausreichend sind, siehe Bild 4-13.

Eine weitere Reduktion ergibt sich aus dem Vergleich der Graphen in Bild 4-12

und Bild 4-13 mit jeweils gleichem Boden. Es ist zu erkennen, dass eine beson-

ders starke Streuung der Abschirmkapazität eines Querschnitts über den Wel-

lenzahlbereich genau dann zu beobachten ist, wenn der Wall weicher ist als der

Boden. Während bei weichem Boden (Bild 4-12a und Bild 4-13 a,b) nur eine sehr

geringe Streuung festzustellen ist, lässt sich bei steifem Boden (Bild 4-12c und

Bild 4-13 e,f) eine erheblich größere Streuung feststellen. Es ist somit ausrei-

chend, im weiteren nur diejenigen Fälle zu betrachten, bei denen der Wall wei-

cher ist als der Boden. Damit reduziert sich die Anzahl der zu untersuchenden

Fallkombination weiter um drei Fälle auf nunmehr nur noch vier Fälle.

Bei den verbleibenden vier Fällen handelt es sich um diejenigen Fälle, bei denen

das Verhältnis von Boden- und Wall-Scherwellengeschwindigkeit 1:1, 1.5:1, 2:1

und 3:1 beträgt. Die ersten drei Verhältnisse liegen sehr nah beieinander, so

dass der Fall 1.5:1 entbehrlich ist, da seine Untersuchung keinen Gewinn an Ge-

nauigkeit verspricht.

Es verbleiben somit drei Fälle, die im weiteren einer detaillierten Auswertung

unterzogen werden, siehe Tabelle 4-6. Da die hier betrachteten Erregungen wei-

1. Als Wellenzahl wird hier der Kehrwert der Wellenlänge bezeichnet. Die zur Kreisfrequenz

analoge Größe wird als Kreiswellenzahl bezeichnet.

4.7 Ergebnisse der Parameterstudie 123

)

Bild 4-12: Darstellung der Abschirmkapazität über die Wellenzahl bei gleichem

Boden in Wall und Halbraum. Farbkodierung siehe Bild 4-5 und Bild 4-6

124 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

)

Bild 4-13: Darstellung der Abschirmkapazität über die Wellenzahl bei

unterschiedlichem Boden in Wall und Halbraum. Farbkodierung siehe

Bild 4-5 und Bild 4-6

4.7 Ergebnisse der Parameterstudie 125

terhin nur im Frequenzbereich bis 100 Hz auftreten, und die untere Grenze für

die Scherwellengeschwindigkeit des Walls bei ausgeführten Wällen kaum unter

100 m/s liegen wird, ergeben sich für die drei Verhältnisse der Scherwellenge-

schwindigkeiten unterschiedliche Wellenzahlbereiche.

4.7.2.2 Bezug zur Eignung als Schallschutzwall

Eine der Ausgangsüberlegungen der gesamten Parameterstudie war die Frage,

ob ein Schallschutzwall auch gleichzeitig ein guter Erschütterungsschutzwall

sein kann.

Zur Beantwortung dieser Frage werden die fünf Wallgeometrien, die in Bild 4-1

auf Seite 96 dargestellt sind und nach [39] bzgl. ihrer Schallschutzeigenschaften

gleichwertig sind, untersucht. Die Wallgeometrie mit der größten Querschnitts-

fläche ist dabei diejenige Querschnittsform, die sich aus den einschlägigen

Richtlinien zur Errichtung von Erdbauwerken im Straßenbau ergibt, und einen

Böschungswinkel von 1:1.5 besitzt. Die anderen drei Querschnittsformen wei-

sen einen zur Lärmquelle hin wesentlich steileren Böschungswinkel auf, der

sich durch Anwendung von Geotextilien erreichen lässt. Durch den steilen Bö-

schungswinkel ergeben sich wesentlich kleinere Gesamtquerschnitte bei glei-

cher Schallschutzwirkung, so dass diese Querschnitte wirtschaftlich attraktiv

sind.

Die Ergebnisse sind in Bild 4-14 für drei Kombinationen aus Bodentyp und

Wallmaterial dargestellt. Es zeigt sich, dass der Wall mit der geringsten Quer-

schnittsfläche die im Allgemeinen geringste Abschirmkapazität aufweist, wobei

der Abstand zu den drei anderen Querschnittsformen jedoch nicht übermäßig

groß ist. Die Abschirmkapazität der drei anderen Querschnittsflächen ist nähe-

rungsweise identisch. Dieses Ergebnis stellt sich bei allen drei Materialkombi-

nationen ein.

Man kann somit feststellen, dass Schallschutzwälle mit steilen Böschungswin-

keln nicht nur eine hohe Schalldämmwirkung haben können, sondern auch eine

befriedigende Erschütterungsschutzwirkung haben.

Tabelle 4-6: Reduzierte Parameterkombinationen

Fall-Nr. cS,HS cS,W Frequenzbereich Wellenzahlbereich

1 100 m/s (weich) 100 m/s (weich) 0 ... 100 Hz 0 ... 1

2 200 m/s (mittel) 100 m/s (weich) 0 ... 100 Hz 0 ... 1/2

3 300 m/s (steif) 100 m/s (weich) 0 ... 100 Hz 0 ... 1/3

126 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

Bild 4-14: Abschirmkapazität von Wallquerschnitten mit gleichen

Schallschutzeigenschaften. Weitere Parameter: L/λS=2, D=5m

4.8 Einfluss eines Walls auf das Freifeld 127

4.7.2.3 Einfluss der Wallquerschnittsform

Die Ergebnisse aus Abschnitt 4.7.2.2 lassen vermuten, dass die Querschnitts-

form nur eine untergeordnete Bedeutung für die Abschirmkapazität hat. Um

diesen Sachverhalt näher zu untersuchen, werden verschiedene Querschnitts-

formen untersucht, die sich nur in den Böschungswinkeln unterscheiden, aber

dieselbe Höhe und dieselbe Querschnittsfläche besitzen.

Die Ergebnisse sind in Bild 4-15 für Querschnitte mit steilem Böschungswinkel

auf der Emissionsseite und in Bild 4-16 für Querschnitte mit steilem Bö-

schungswinkel auf der Immissionsseite dargestellt.

Es ist unmittelbar ersichtlich, dass die Querschnittsform nur einen untergeord-

neten Einfluss auf die Abschirmkapazität hat, während gleichzeitig größere

Querschnittsformen eine tendenziell höhere Abschirmkapazität besitzen als

kleinere Querschnittsformen.

4.8 Einfluss eines Walls auf das Freifeld

Zum besseren Verständnis der Interaktion zwischen Halbraum und Erdwall

beim Auftreten von Schwingungen im Boden werden die auftretenden Wellen-

felder im Wall und an der Bodenoberfläche näher betrachtet. Als Beispiel wird

der Wall mit den Parametern nach Tabelle 4-7 ausgewählt. Die Geometrie ent-

spricht No. 22 nach Bild 4-6.

4.8.1 Amplitudenverlauf entlang der Achse Anregung-Wall

In Bild 4-17 wird die Verschiebung der Halbraumoberfläche quer zum Wall auf

einer Linie durch den Lastmittelpunkt in dimensionsechter und in dimensions-

loser Form gezeigt.

Tabelle 4-7: Parametersatz für die Untersuchung des Wellenfeldes

Parameter Symbol Wert

Länge L4 × λS

Höhe H3.33 m

Böschungswinkel θl,θr 1:1.5 33.7°

Abstand Lastmitte–Wallkante D5 m

Breite der Dammkrone C1 m

Bodentyp des Halbraums —Weich

Bodentyp des Walls —Weich

=ˆ

128 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

)

Bild 4-15: Abschirmkapazität von Querschnitten mit gleicher Fläche. Teil 1: steile

Böschung auf der Emissionsseite. Weitere Parameter: L=2λS, D=5m

4.8 Einfluss eines Walls auf das Freifeld 129

)

Bild 4-16: Abschirmkapazität von Querschnitten mit gleicher Fläche. Teil 2: steile

Böschung auf der Immissionsseite. Weitere Parameter: L=2λS, D=5m

130 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

Da die dimensionsechte Verschiebung ohne den Wall mit der Green’schen Funk-

tion identisch ist, hat sie im Lastpunkt eine Singularität. Daher muss das Inter-

vall, in dem die Verschiebungen dargestellt werden, in ausreichender Entfer-

nung vom Lastpunkt beginnen. Der Nullpunkt der x-Koordinate wurde auf die

Außenkante des Walls auf der lastabgewandten Seite gelegt, und die Darstel-

lung erstreckt sich über 10 Wellenlängen der Scherwelle.

Bei der dimensionslosen Darstellung wird der Abstand x von der Wallkante mit

der Scherwellengeschwindigkeit cS,HS und der Erregerkreisfrequenz Ω zur di-

mensionslosen Entfernung x0 umgerechnet. Der dargestellte Bereich erstreckt

sich über denselben Bereich wie die dimensionsechte Darstellung, aber zusätz-

lich über den Bereich bis zum Lastmittelpunkt. Die Verschiebungsamplitude Uz

wird mit dem Schubmodul G und dem Abstand r in die dimensionslose Verschie-

bung gz umgerechnet es gilt:

, (4-8)

In Bild 4-17 ist bei der dimensionslosen Darstellung deutlich zu erkennen, dass

das Wellenfeld auf der lastzugewandten Seite des Walls stets nahezu mit dem

Wellenfeld des Halbraums übereinstimmt. Im Bereich des Walls wird das Wel-

lenfeld gestört, und die Amplitude wird bei ausreichend hohen Erregerfrequen-

zen deutlich abgemindert.

4.8.2 Räumliche Verteilung

Die räumliche Verteilung der Wellenamplituden sowohl auf der Halbraumober-

fläche, als auch im Inneren des Halbraumes ist in Bild 4-18, Bild 4-19 und

Bild 4-20 für die Frequenz 30 Hz dargestellt. Die Verformungen von Halbraum

und Wall werden jeweils zu einem Zeitpunkt dargestellt, an dem die Verschie-

bungen am Lastpunkt einen Nulldurchgang haben. Die Wahl dieses Zeitpunk-

tes ist insofern willkürlich, als zu jedem anderen Zeitpunkt ähnliche Ergebnisse

zu erwarten sind. Die getroffene Wahl ist daher ausschließlich der besseren Dar-

stellbarkeit der Ergebnisse geschuldet, da dadurch die Singularität im Last-

punkt den geringsten störenden Einfluss auf die grafische Darstellung hat.

Die Darstellungen zeigen bei positiver y-Koordinate jeweils das Wellenfeld auf

der Halbraumoberfläche und den Wall, während bei negativer y-Koordinate das

Wellenfeld in einer Tiefe von 10 m dargestellt wird und der Wall nur mit den Be-

x0x

⋅

cS,HS

-------------=gzUzGr⋅⋅=

4.8 Einfluss eines Walls auf das Freifeld 131

Bild 4-17: Verlauf des Wellenfeldes entlang der x-Achse bzw. x0-Achse (siehe Bild 4-4)

in dimensionsechter bzw. dimensionsloser Form für Wallgeometrie No. 22

bei verschiedenen Frequenzen. Das graue Rechteck kennzeichnet die

Ausdehnung des Walls

132 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

Bild 4-18: Verschiebungsfeld ohne Wall, Anregung bei 30 Hz, zu einem beliebig

gewählten Zeitpunkt. Farbliche Darstellung der a) Vertikalamplitude und

b) Horizontalamplitude

)

4.8 Einfluss eines Walls auf das Freifeld 133

Bild 4-19: Verschiebungsfeld mit Wall, Querschnitt No. 11, L/λS=8, Anregung bei

30 Hz, zu einem beliebig gewählten Zeitpunkt. Farbliche Darstellung der a)

Vertikalamplitude und b) Horizontalamplitude

)

134 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

Bild 4-20: Verschiebungsfeld mit Wall, Querschnitt No. 11, L/λS=8, Anregung bei

30 Hz, zu einem beliebig gewählten Zeitpunkt. Farbliche Darstellung der a)

Relativen Vertikalamplitude und b) Relativen Horizontalamplitude

)

4.9 Vergleich mit offenen und gefüllten Schlitzen 135

grenzungslinien. Am Übergang zwischen diesen beiden Koordinatenebenen ist

das Wellenfeld in einem vertikalen Schnitt in der x-z-Ebene dargestellt.

Die Farben in Bild 4-18a beschreiben die vertikale Amplitude des Freifeldes

ohne Störung durch einen Wall, und in Bild 4-18b die horizontale Amplitude in

x-Richtung. Dieselbe Art der Darstellung ist in Bild 4-19 gewählt, in dem die

Störung des Wellenfeldes durch den Wall dargestellt wird.

In Bild 4-20 ist statt der absoluten Schwingungsamplitude das Verhältnis zwi-

schen Schwingungsamplitude mit Wall und Schwingungsamplitude ohne Wall,

d. h. die relative Amplitude nach Gleichung (4-5) farblich der Darstellung des

Wellenfeldes überlagert worden.

Es ist deutlich zu erkennen, dass die Wellen, sobald sie auf die Wallkante sto-

ßen, nach unten abgelenkt werden.

4.9 Vergleich mit offenen und gefüllten Schlitzen

Zum Vergleich eines Dammes mit Schlitzen wurden die Bemessungsdiagramme

von Ahmad und Al-Hussaini (1991, [2]) für vertikale Schwingungen herangezo-

gen.

Für einen Vergleich ist es zunächst erforderlich, ein allgemeingültiges Kriteri-

um zu definieren, dass als Maß für die Gleichheit eines Schlitzes mit einem Wall

verwendet werden kann. Da wirtschaftliche Kriterien wie Herstellungskosten

und Unterhaltungskosten von einer Vielzahl projektspezifischer Faktoren ab-

hängen, sind sie nicht allgemeingültig, und können daher nicht verwendet wer-

den. Da auch keine unmittelbar erkennbare Korrelation zwischen den Geome-

trie- und Materialparametern eines Walls und den entsprechenden Parametern

eines Schlitzes existieren, wird für den Vergleich daher lediglich die Abschirm-

wirkung als Kriterium herangezogen.

Zunächst wird untersucht, welche der für einen Wall berücksichtigten Bodenpa-

rameter und Anregungsfrequenzen von den Bemessungsdiagramme von Ahmad

und Al-Hussaini (1991, [2]) abgedeckt werden. Anschließend werden Wall- und

Schlitzparametersätze gesucht, die ebenfalls von den Bemessungsdiagrammen

abgedeckt werden.

Für offene Schlitze lässt sich aus [2] folgende Formel für die Abschirmungska-

pazität herleiten:

136 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

(4-9)

Darin ist die dimensionslose Schlitztiefe mit d der dimensionsbehaf-

teten Schlitztiefe und der Wellenlänge der Rayleigh-Welle. Zur Vereinfa-

chung wird im folgenden gesetzt. Die Bemessungsformel (4-9) ist nach

Ahmad und Al-Hussaini (1991, [2]) nur für gültig, weil nur für sol-

che Schlitze Berechnungen durchgeführt wurden. Bei einer vorgegebenen

Schlitztiefe d und vorgegebener Scherwellengeschwindigkeit des Boden er-

gibt sich mit das Frequenzintervall, auf das (4-9) beschränkt ist.

(4-10)

Die rechnerische Bandbreite des Frequenzintervalls ist für einige Kombinatio-

nen von Schlitztiefen und Scherwellengeschwindigkeit des Boden in Tabelle 4-8

zusammengestellt. Für eine Abschirmkapazität von beispielsweise

ist nach (4-9) eine dimensionslose Tiefe von erforderlich, was an der

unteren Grenze des Frequenzintervalls liegt. Der in der Praxis relevante Fre-

quenzbereich bei Erschütterungsproblemen liegt zwischen ca. 10 Hz und ca.

80 Hz. Dieser Bereich wird von Gleichung (4-9) nach Tabelle 4-8 bei einem

Schlitz mit einer Tiefe von bei einem weichen Boden erfasst. Die Ab-

schirmkapazität eines solchen Schlitzes ist in Bild 4-22 beispielhaft einem Wall

gegenübergestellt.

Für gefüllte Schlitze lässt sich aus Ahmad und Al-Hussaini folgende Formel für

die Abschirmungskapazität herleiten:

CR11

---D()

1.07–

–=

⁄=

≈

0.4 D2.0≤≤

fDc

Sd⁄⋅=

0.4 cSd⁄⋅ f2.0 cSd⁄⋅≤≤

Tabelle 4-8: Rechnerische Beschränkung der Bemessungsformel für offene

Schlitze nach Ahmad und Al-Hussaini (1991, [2])

Schlitztiefe

Frequenzintervall

cS = 100 m/s cS = 200 m/s cS = 300 m/s

1 m 40 Hz ≤ f ≤ 200 Hz 80 Hz ≤ f ≤ 400 Hz 120 Hz ≤ f ≤ 600 Hz

2 m 20 Hz ≤ f ≤ 100 Hz 40 Hz ≤ f ≤ 200 Hz 60 Hz ≤ f ≤ 300 Hz

4 m 10 Hz ≤ f ≤ 50 Hz 20 Hz ≤ f ≤ 100 Hz 30 Hz ≤ f ≤ 150 Hz

8 m 5 Hz ≤ f ≤25 Hz 10 Hz ≤ f ≤50 Hz 15 Hz ≤ f ≤75 Hz

15 m 3 Hz ≤ f ≤ 13 Hz 5 Hz ≤ f ≤ 27 Hz 16 Hz ≤ f ≤ 40 Hz

20 m 2 Hz ≤ f ≤ 10 Hz 3 Hz ≤ f ≤ 20 Hz 6 Hz ≤ f ≤ 30 Hz

CR60 %=

D0.44≥

d3 m≈

4.9 Vergleich mit offenen und gefüllten Schlitzen 137

(4-11)

Darin ist die dimensionslose Querschnittsfläche, d die

dimensionsbehaftete Schlitztiefe, w die dimensionsbehaftete Schlitzbreite,

die Wellenlänge der Rayleigh-Welle, und ein dimensionsloser Faktor,

der den Einfluss des Verhältnisses von Schlitztiefe zu Schlitzbreite beschreibt,

aber nur in grafischer Form vorliegt und in Bild 4-21 dargestellt ist.

Für den Vergleich mit einem Wall wird in Anlehnung an den offenen Schlitz von

einer Schlitztiefe ausgegangen. Ferner wird Beton als Füllmaterial

mit einer Wichte von 25 kN/m³, einem E-Modul von 30 GN und einer Querdehn-

zahl , sowie eine Bodenwichte von 17 kN/m³ angenommen. Die Scher-

wellengeschwindigkeit im Beton beträgt somit .

Da der Formfaktor IS nach Bild 4-21 nur für Schlankheiten D/W≤5 definiert ist,

aber ab D/W> 3 nahezu konstant bleibt, wird eine Schlitzbreite w=1m ge-

wählt.

Die dimensionslose Schlitzquerschnittsfläche ist bei Ahmad und Al-Hussaini

(1991, [2]) auf 0.2 ≤A≤1.2 beschränkt. Daraus folgt, dass für den betongefüll-

ten Schlitz mit Abmessungen d×w= 3 m × 1 m der Frequenzbereich zur An-

wendung der Bemessungsformeln auf den Bereich nach Tabelle 4-9 beschränkt

ist. Der für praktische Erschütterungsprobleme relevante Frequenzbereich wird

von den Bemessungsformeln nur in weichem Boden abgedeckt

CR1IS

cS,Boden

cS,Schlitz

---------------------

⎝⎠

⎛⎞

0.54 A⋅

Boden

Schlitz

-----------------

⎝⎠

⎛⎞

0.94 A⋅

×0.57

A0.25

-------------

××–=

ADW⋅dw⋅()

⁄==

≈IS

Bild 4-21: Formfaktor IS eines gefüllten Schlitzes nach Ahmad und Al-Hussaini

(1991, [2])

d3 m=

0.2=

cS,Schlitz 2200 m/s≈

138 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

Der Vergleich zwischen einem weichen Wall auf weichem Boden und den beiden

Schlitztypen ist in Bild 4-22 beispielhaft einem Wall mit Querschnitt Nr. 22 und

Länge gegenübergestellt.

Ein Wall ist den Schlitzen insofern überlegen, als zwar Schlitze mit gleicher Ab-

schirmwirkung hergestellt werden können, diese aber entweder einen großen,

massiven, im Boden eingebetteten Körper darstellen, dessen Rückbau sehr auf-

wändig ist, oder eine Öffnung im Boden darstellen, der mit großem Aufwand of-

fen zu halten ist. Dahingegen hat ein Wall nahezu keinen regelmäßigen Unter-

haltungsaufwand, und kann mit vergleichsweise wenig Aufwand zurückgebaut

werden.

4.10 Entwurfshilfe

Für die Bemessung eines Walls als Schutz vor Erschütterungen im Transmissi-

onsweg ist zu berücksichtigen, dass die Abschirmkapazität sehr stark von der

Tabelle 4-9: Rec

ner

e Besc

rän

ung

er Bemessungs

orme

ür e

nen

betongefüllten Schlitz nach Ahmad und Al-Hussaini (1991, [2])

Schlitz-

breite

Schlitz-

tiefe

Frequenzgrenzen

cS = 100 m/s cS = 200 m/s cS = 300 m/s

1 m 3 m 26 Hz ≤ f ≤ 63 Hz 52 Hz ≤ f ≤ 126 Hz 104 Hz ≤ f ≤ 189 Hz

Bild 4-22: Abschirmkapazität eines weichen Walls auf weichen Boden im Vergleich zu

einem 3 m tiefen offenen Schlitz und zu einem mit Beton gefüllten Schlitz

von 3 m Tiefe und 1 m Breite nach [2]

d = 3.00 m

w = 1.00 m

Wall No. 22

offener Schlitz

gefüllter Schlitz

4.10 Entwurfshilfe 139

Anregungsfrequenz abhängt. Grundsätzlich gilt, dass Anregungsfrequenzen,

die zu einer Wellenlänge der Scherwellen im Halbraum oberhalb von 10 m füh-

ren, nur schlecht abgeschirmt werden, und es sogar zu Überhöhungen kommen

kann. Die Abschirmkapazität steigt am stärksten bei Wellenlängen zwischen

10 m und 5 m. Danach steigt die Abschirmkapazität im Mittel nur noch gering,

weist aber große Schwankungen auf.

Die Breite des Walls hat nur einen geringen Einfluss auf die Abschirmkapazität,

wobei erwähnt werden muss, dass nur Wallbreiten im Bereich zwischen ca.

5.80 m und 13.1 m untersucht werden, so dass deren Schwankungsbreite im

Vergleich zur Bandbreit der untersuchten Wellenlängen auch relativ gering ist.

Sie kann jedoch als Bezugsgröße verwendet werden, um zu einer vollständig di-

mensionslosen Darstellung der Abschirmkapazität zu kommen, indem auf der

horizontalen Achse in Bild 4-12ff statt der Wellenzahl das Verhältnis aus Wall-

breite zu Scherwellenlänge im Boden aufgetragen wird.

Aus den Untersuchungen zum Einfluss der Walllänge in Abschnitt 4.6.2 hat sich

ergeben, dass die bei der Mehrzahl der Berechnungen benutzte Walllänge von

zwei Scherwellenlängen zu günstige Abschirmkapazitäten liefert. Daher wer-

den für die Ermittlung eines Bemessungsdiagramms nur diejenigen Berechnun-

gen herangezogen, die mit einer Walllänge von vier Scherwellenlängen ermittelt

wurden. Das Ergebnis ist in Bild 4-23 dargestellt.

Bild 4-23: Darstellung der Abschirmkapazität aller Berechnungen mit Walllänge vier

Scherwellenlängen über die bezogene Wallbreite zusammen mit der

vorgeschlagenen Bemessungskurve für einen Erschütterungsschutzwall

140 4 Erdwälle als Minderungsmaßnahme gegen Erschütterungen

Da die Anregung aus Zugverkehr in der Regel über das Frequenzspektrum ver-

teilt ist, erscheint es nicht sinnvoll, die Untergrenze der Abschirmkapazität als

Bemessungswert zu wählen, weil dadurch im Mittel die sich aus der Superposi-

tion der einzelnen harmonischen Anteile ergebende Abschirmkapazität im

Halbraum hinter dem Wall deutlich unterschätzt wird. Vielmehr ist es sinnvoll,

einen vorsichtig geschätzten Mittelwert zu wählen. Die folgende Formel wird

daher vorgeschlagen:

, (4-12)

Darin ist B die Wallbreite, und die Wellenlänge der Scherwelle im Boden bei

harmonischer Anregung. Die Bemessungskurve ist in Bild 4-23 den berechneten

Werten gegenübergestellt.

CR1

---5B

------2.5–⋅

⎝⎠

⎛⎞

ln≈B

------0.5>

141

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151

Anhang A Hard- und Softwarespezifikationen

Die folgenden Abschnitte geben die wesentlichen Spezifikationen der drei Com-

puter, auf denen die Berechnungen durchgeführt wurden, an.

A.1 Itanium

Hersteller und Typ:

HP zx6000

CPU:

2x Itanium2, 1.3 GHz

L1-Cache: 16 + 16 KB (Daten + Instruktionen)

L2-Cache: 256 KB

L3-Cache: 3 MB

RAM:

12 GB

Festplatten und Controller:

LSI Logic PCI-X Ultra320 SCSI Hostadapter

HP 73.4G MAS3735NC (73 GB, SCSI, intern)

SEAGATE ST3300007LW (300 GB, SCSI, extern)

Betriebssystem:

Windows Server 2003 SP2 Enterprise IA64 Edition

ANSYS:

Release 10.0 mit LAPACK und BLAS aus Intel MKL 7.2

A.2 Opteron

Hersteller und Systemboard:

ICO, Tyan Thunder H2000M So-F

CPU:

2x Dual-Core AMD Opteron 2222 (3 GHz)

L1-Cache: 2 × 128 KB

L2-Cache: 2 × 1024 KB

L3-Cache: —

RAM:

32 GB (16 × 2 GB)

152 Anhang A Hard- und Softwarespezifikationen

Festplatten und Controller:

Onboard SATA-Controller

ST3250620NS (250 GB, SATA, intern)

Adaptec RAID 3405

2x SEAGATE ST3300655SS (300 GB, SAS 15k, intern) als RAID0

Betriebssystem:

Windows Server 2003 R2 Standard x64 Edition

ANSYS:

Revision 11.0SP1 mit LAPACK und BLAS aus AMD ACML 4.2

A.3 Nehalem

Hersteller und Systemboard:

Coreto, Tyan S7010SAGM2NRF

CPU:

2x Quad-Core Intel Xeon X5570 (3 GHz)

L1-Cache: 2 × 4 × 32 KB

L2-Cache: 2 × 4 × 256 KB

L3-Cache: 2 × 8 MB

RAM:

48GB (12 × 4 GB)

Festplatten und Controller:

Onboard SATA-Controller

WD5002ABYS (500 GB, SATA, intern)

3ware 9690SA SAS RAID Controller

2x SEAGATE ST3600657SS (500 GB, SAS 15k, intern) als RAID0

Betriebssystem:

Windows Server 2003 R2 SP2 Enterprise x64 Edition

ANSYS:

Revision 11.0SP1 mit LAPACK und BLAS aus Intel MKL 9.1

Revision 14.0 mit LAPACK und BLAS aus Intel MKL 10.3

153

Anhang B Untersuchte Wallgeometrien

Die folgende Tabelle gibt eine vollständige Übersicht über die Parametervaria-

tionen, für welche die Abschirmkapazität ermittelt wurde.

Tabelle B-1: Parametervariationen zur Ermittlung der Abschirmkapazität eines

Erdwalls

Nr. Boden Wall θlθrCHD

W/λSL/λS

1 Weich Weich 19.5° 80.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

2 Weich Weich 20.8° 70.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

3 Weich Weich 22.4° 60.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

4Weich Weich 24.8° 50.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

5Weich Weich 28.9° 40.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

6Weich Weich 33.7° 33.7° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

7 Weich Weich 33.7° 33.7° 1.00 m 4.02 m 5.00 m 1/20 2.0

8 Weich Weich 33.7° 40.0° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

9 Weich Weich 33.7° 50.0° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

10 Weich Weich 33.7° 60.0° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

11 Weich Weich 33.7° 70.0° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

12 Weich Weich 33.7° 80.0° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

13 Weich Weich 40.0° 28.9° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

14 Weich Weich 40.0° 33.7° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

15 Weich Weich 50.0° 24.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

16 Weich Weich 50.0° 33.7° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

17 Weich Weich 60.0° 22.4° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

18 Weich Weich 60.0° 33.7° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

19 Weich Weich 70.0° 20.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

20 Weich Weich 70.0° 33.7° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

21 Weich Weich 80.0° 19.5° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

22 Weich Weich 80.0° 33.7° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

23 Weich Weich 19.5° 80.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

24 Weich Weich 24.8° 50.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

154

25 Weich Weich 28.9° 40.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

26 Weich Weich 33.7° 33.7° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

27 Weich Weich 33.7° 33.7° 1.00 m 4.02 m 5.00 m 1/20 4.0

28 Weich Weich 33.7° 40.0° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 4.0

29 Weich Weich 33.7° 50.0° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 4.0

30 Weich Weich 33.7° 60.0° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 4.0

31 Weich Weich 33.7° 70.0° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 4.0

32 Weich Weich 33.7° 80.0° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 4.0

33 Weich Weich 40.0° 28.9° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

34 Weich Weich 40.0° 33.7° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 4.0

35 Weich Weich 50.0° 24.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

36 Weich Weich 50.0° 33.7° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 4.0

37 Weich Weich 60.0° 22.4° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

38 Weich Weich 60.0° 33.7° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 4.0

39 Weich Weich 70.0° 20.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

40 Weich Weich 70.0° 33.7° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 4.0

41 Weich Weich 80.0° 19.5° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

42 Weich Weich 80.0° 33.7° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 4.0

43 Weich Weich 19.5° 80.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 8.0

44 Weich Weich 33.7° 33.7° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 8.0

45 Weich Weich 33.7° 33.7° 1.00 m 4.02 m 5.00 m 1/20 8.0

46 Weich Mittel 19.5° 80.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

47 Weich Mittel 20.8° 70.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

48 Weich Mittel 22.4° 60.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

49 Weich Mittel 24.8° 50.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

50 Weich Mittel 28.9° 40.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

51 Weich Mittel 33.7° 33.7° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

52 Weich Mittel 33.7° 33.7° 1.00 m 4.02 m 5.00 m 1/20 2.0

53 Weich Mittel 33.7° 40.0° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

54 Weich Mittel 33.7° 50.0° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

55 Weich Mittel 33.7° 60.0° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

56 Weich Mittel 33.7° 70.0° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

57 Weich Mittel 33.7° 80.0° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

58 Weich Mittel 40.0° 28.9° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

59 Weich Mittel 40.0° 33.7° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

Tabelle B-1: Parametervariationen zur Ermittlung der Abschirmkapazität eines

Erdwalls (Forts.)

Nr. Boden Wall θlθrCHD

W/λSL/λS

155

60 Weich Mittel 50.0° 24.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

61 Weich Mittel 50.0° 33.7° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

62 Weich Mittel 60.0° 22.4° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

63 Weich Mittel 60.0° 33.7° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

64 Weich Mittel 70.0° 20.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

65 Weich Mittel 70.0° 33.7° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

66 Weich Mittel 80.0° 19.5° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

67 Weich Steif 19.5° 80.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

68 Weich Steif 20.8° 70.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

69 Weich Steif 22.4° 60.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

70 Weich Steif 24.8° 50.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

71 Weich Steif 28.9° 40.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

72 Weich Steif 33.7° 33.7° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

73 Weich Steif 33.7° 33.7° 1.00 m 4.02 m 5.00 m 1/20 2.0

74 Weich Steif 33.7° 40.0° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

75 Weich Steif 33.7° 50.0° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

76 Weich Steif 33.7° 60.0° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

77 Weich Steif 33.7° 70.0° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

78 Weich Steif 33.7° 80.0° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

79 Weich Steif 40.0° 28.9° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

80 Weich Steif 40.0° 33.7° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

81 Weich Steif 50.0° 24.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

82 Weich Steif 50.0° 33.7° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

83 Weich Steif 60.0° 22.4° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

84 Weich Steif 60.0° 33.7° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

85 Weich Steif 70.0° 20.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

86 Weich Steif 70.0° 33.7° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

87 Weich Steif 80.0° 19.5° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

88 Weich Steif 80.0° 33.7° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

89 Weich Steif 19.5° 80.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

90 Weich Steif 20.8° 70.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

91 Weich Steif 22.4° 60.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

92 Weich Steif 28.9° 40.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

93 Weich Steif 33.7° 33.7° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

94 Weich Steif 33.7° 33.7° 1.00 m 4.02 m 5.00 m 1/20 8.0

Tabelle B-1: Parametervariationen zur Ermittlung der Abschirmkapazität eines

Erdwalls (Forts.)

Nr. Boden Wall θlθrCHD

W/λSL/λS

156

95 Mittel Weich 19.5° 80.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

96 Mittel Weich 20.8° 70.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

97 Mittel Weich 22.4° 60.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

98 Mittel Weich 24.8° 50.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

99 Mittel Weich 28.9° 40.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

100 Mittel Weich 33.7° 33.7° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

101 Mittel Weich 33.7° 33.7° 1.00 m 4.02 m 5.00 m 1/20 2.0

102 Mittel Weich 33.7° 40.0° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

103 Mittel Weich 33.7° 50.0° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

104 Mittel Weich 33.7° 60.0° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

105 Mittel Weich 33.7° 70.0° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

106 Mittel Weich 33.7° 80.0° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

107 Mittel Weich 40.0° 28.9° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

108 Mittel Weich 40.0° 33.7° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

109 Mittel Weich 50.0° 24.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

110 Mittel Weich 50.0° 33.7° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

111 Mittel Weich 60.0° 22.4° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

112 Mittel Weich 60.0° 33.7° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

113 Mittel Weich 70.0° 20.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

114 Mittel Weich 70.0° 33.7° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

115 Mittel Weich 80.0° 19.5° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

116 Mittel Weich 80.0° 33.7° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

117 Mittel Weich 60.0° 33.7° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 4.0

118 Mittel Weich 70.0° 20.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

119 Mittel Mittel 19.5° 80.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

120 Mittel Mittel 20.8° 70.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

121 Mittel Mittel 22.4° 60.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

122 Mittel Mittel 24.8° 50.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

123 Mittel Mittel 28.9° 40.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

124 Mittel Mittel 33.7° 33.7° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

125 Mittel Mittel 33.7° 33.7° 1.00 m 4.02 m 5.00 m 1/20 2.0

126 Mittel Mittel 33.7° 40.0° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

127 Mittel Mittel 33.7° 50.0° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

128 Mittel Mittel 33.7° 60.0° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

129 Mittel Mittel 33.7° 70.0° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

Tabelle B-1: Parametervariationen zur Ermittlung der Abschirmkapazität eines

Erdwalls (Forts.)

Nr. Boden Wall θlθrCHD

W/λSL/λS

157

130 Mittel Mittel 33.7° 80.0° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

131 Mittel Mittel 40.0° 28.9° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

132 Mittel Mittel 40.0° 33.7° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

133 Mittel Mittel 50.0° 24.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

134 Mittel Mittel 50.0° 33.7° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

135 Mittel Mittel 60.0° 22.4° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

136 Mittel Mittel 60.0° 33.7° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

137 Mittel Mittel 70.0° 20.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

138 Mittel Mittel 70.0° 33.7° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

139 Mittel Mittel 80.0° 19.5° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

140 Mittel Mittel 80.0° 33.7° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

141 Mittel Mittel 19.5° 80.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

142 Mittel Mittel 20.8° 70.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

143 Mittel Mittel 22.4° 60.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

144 Mittel Mittel 24.8° 50.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

145 Mittel Mittel 28.9° 40.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

146 Mittel Mittel 33.7° 33.7° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

147 Mittel Mittel 33.7° 33.7° 1.00 m 4.02 m 5.00 m 1/20 4.0

148 Mittel Mittel 33.7° 40.0° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 4.0

149 Mittel Mittel 33.7° 50.0° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 4.0

150 Mittel Mittel 33.7° 60.0° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 4.0

151 Mittel Mittel 33.7° 70.0° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 4.0

152 Mittel Mittel 33.7° 80.0° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 4.0

153 Mittel Mittel 40.0° 28.9° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

154 Mittel Mittel 40.0° 33.7° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 4.0

155 Mittel Mittel 50.0° 24.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

156 Mittel Mittel 50.0° 33.7° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 4.0

157 Mittel Mittel 60.0° 22.4° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

158 Mittel Mittel 60.0° 33.7° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 4.0

159 Mittel Mittel 70.0° 20.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

160 Mittel Mittel 70.0° 33.7° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 4.0

161 Mittel Mittel 80.0° 19.5° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

162 Mittel Mittel 80.0° 33.7° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 4.0

163 Mittel Steif 19.5° 80.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

164 Mittel Steif 20.8° 70.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

Tabelle B-1: Parametervariationen zur Ermittlung der Abschirmkapazität eines

Erdwalls (Forts.)

Nr. Boden Wall θlθrCHD

W/λSL/λS

158

165 Mittel Steif 22.4° 60.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

166 Mittel Steif 24.8° 50.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

167 Mittel Steif 28.9° 40.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

168 Mittel Steif 33.7° 33.7° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

169 Mittel Steif 33.7° 33.7° 1.00 m 4.02 m 5.00 m 1/20 2.0

170 Mittel Steif 33.7° 40.0° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

171 Mittel Steif 33.7° 50.0° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

172 Mittel Steif 33.7° 60.0° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

173 Mittel Steif 33.7° 70.0° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

174 Mittel Steif 33.7° 80.0° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

175 Mittel Steif 40.0° 28.9° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

176 Mittel Steif 40.0° 33.7° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

177 Mittel Steif 50.0° 24.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

178 Mittel Steif 50.0° 33.7° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

179 Mittel Steif 60.0° 22.4° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

180 Mittel Steif 60.0° 33.7° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

181 Mittel Steif 70.0° 20.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

182 Mittel Steif 70.0° 33.7° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

183 Mittel Steif 80.0° 19.5° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

184 Mittel Steif 80.0° 33.7° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

185 Steif Weich 19.5° 80.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

186 Steif Weich 20.8° 70.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

187 Steif Weich 22.4° 60.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

188 Steif Weich 24.8° 50.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

189 Steif Weich 28.9° 40.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

190 Steif Weich 33.7° 33.7° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

191 Steif Weich 33.7° 33.7° 1.00 m 4.02 m 5.00 m 1/20 2.0

192 Steif Weich 33.7° 40.0° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

193 Steif Weich 33.7° 50.0° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

194 Steif Weich 33.7° 60.0° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

195 Steif Weich 33.7° 70.0° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

196 Steif Weich 33.7° 80.0° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

197 Steif Weich 40.0° 28.9° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

198 Steif Weich 40.0° 33.7° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

199 Steif Weich 50.0° 24.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

Tabelle B-1: Parametervariationen zur Ermittlung der Abschirmkapazität eines

Erdwalls (Forts.)

Nr. Boden Wall θlθrCHD

W/λSL/λS

159

200 Steif Weich 50.0° 33.7° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

201 Steif Weich 60.0° 22.4° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

202 Steif Weich 60.0° 33.7° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

203 Steif Weich 70.0° 20.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

204 Steif Weich 70.0° 33.7° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

205 Steif Weich 80.0° 19.5° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

206 Steif Weich 80.0° 33.7° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

207 Steif Weich 19.5° 80.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

208 Steif Weich 20.8° 70.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

209 Steif Weich 22.4° 60.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

210 Steif Weich 24.8° 50.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 4.0

211 Steif Weich 33.7° 33.7° 1.00 m 4.02 m 5.00 m 1/20 8.0

212 Steif Mittel 19.5° 80.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

213 Steif Mittel 20.8° 70.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

214 Steif Mittel 22.4° 60.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

215 Steif Mittel 24.8° 50.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

216 Steif Mittel 28.9° 40.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

217 Steif Mittel 33.7° 33.7° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

218 Steif Mittel 33.7° 33.7° 1.00 m 4.02 m 5.00 m 1/20 2.0

219 Steif Mittel 33.7° 40.0° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

220 Steif Mittel 33.7° 50.0° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

221 Steif Mittel 33.7° 60.0° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

222 Steif Mittel 33.7° 70.0° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

223 Steif Mittel 33.7° 80.0° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

224 Steif Mittel 40.0° 28.9° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

225 Steif Mittel 40.0° 33.7° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

226 Steif Mittel 50.0° 24.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

227 Steif Mittel 50.0° 33.7° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

228 Steif Mittel 60.0° 22.4° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

229 Steif Mittel 60.0° 33.7° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

230 Steif Mittel 70.0° 20.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

231 Steif Mittel 70.0° 33.7° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

232 Steif Mittel 80.0° 19.5° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

233 Steif Mittel 80.0° 33.7° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

234 Steif Steif 19.5° 80.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

Tabelle B-1: Parametervariationen zur Ermittlung der Abschirmkapazität eines

Erdwalls (Forts.)

Nr. Boden Wall θlθrCHD

W/λSL/λS

160

235 Steif Steif 20.8° 70.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

236 Steif Steif 22.4° 60.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

237 Steif Steif 24.8° 50.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

238 Steif Steif 28.9° 40.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

239 Steif Steif 33.7° 33.7° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

240 Steif Steif 33.7° 33.7° 1.00 m 4.02 m 5.00 m 1/20 2.0

241 Steif Steif 33.7° 40.0° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

242 Steif Steif 33.7° 50.0° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

243 Steif Steif 33.7° 60.0° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

244 Steif Steif 33.7° 70.0° 1.00 m 3.02 m 5.00 m 1/20 2.0

245 Steif Steif 33.7° 80.0° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

246 Steif Steif 40.0° 28.9° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

247 Steif Steif 40.0° 33.7° 1.00 m 3.72 m 5.00 m 1/20 2.0

248 Steif Steif 50.0° 24.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

249 Steif Steif 50.0° 33.7° 1.00 m 3.38 m 5.00 m 1/20 2.0

250 Steif Steif 60.0° 22.4° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

251 Steif Steif 60.0° 33.7° 1.00 m 3.17 m 5.00 m 1/20 2.0

252 Steif Steif 80.0° 19.5° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

253 Steif Steif 80.0° 33.7° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

254 Hart Mittel 19.5° 80.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

255 Hart Mittel 20.8° 70.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

256 Hart Mittel 22.4° 60.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

257 Hart Mittel 24.8° 50.0° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

258 Hart Mittel 50.0° 24.8° 1.00 m 3.33 m 5.00 m 1/20 2.0

259 Hart Mittel 80.0° 33.7° 1.00 m 2.86 m 5.00 m 1/20 2.0

260 Weich Weich 33.7° 33.7° 0.00 m 3.33 m 1.00 m 1/20 2.0

261 Weich Weich 33.7° 33.7° 0.00 m 3.33 m 1.00 m 1/20 4.0

262 Weich Weich 33.7° 33.7° 0.00 m 3.33 m 1.00 m 1/20 8.0

263 Weich Weich 33.7° 33.7° 1.00 m 3.33 m 1.00 m 1/20 2.0

264 Hart Mittel 33.7° 33.7° 0.00 m 3.33 m 1.00 m 1/20 2.0

Tabelle B-1: Parametervariationen zur Ermittlung der Abschirmkapazität eines

Erdwalls (Forts.)

Nr. Boden Wall θlθrCHD

W/λSL/λS