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Die Beeinflussung der Richtwirkung von

Schalltrichtern durch Impedanzbelegung der

Wandung

vorgelegt von

Magister

Rafael Piscoya

aus Lima-PERU

Von der Fakult¨

at III - Prozesswissenschaften

der Technischen Universit¨

at Berlin

zur Erlangung des akademischen Grades

Doktor der Ingenieurwissenschaften

- Dr.-Ing. -

genehmigte Dissertation

Promotionsausschuß:

Vorsitzender: Prof. Dr. Bj¨

orn Petersson

Berichter: Prof. Dr.-Ing. Michael M¨

oser

Berichter: Prof. Dr. Volker Mellert

Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 05. Februar 2003

Berlin 2003

D83

Danksagung

An dieser Stelle m¨

ochte ich mich bei Herrn Prof. M¨

oser, f¨

ur die M¨

oglichkeit

am Institut f¨

ur Technische Akustik zu arbeiten, f¨

ur die Betreuung und die

Unterst¨

utzung bedanken.

Ich danke dem Deutschen Akademischen Austauschdienst (DAAD), der

meine Aufenthalt in Deutschland diese 3 Jahre erm¨

oglicht hat.

Den akademischen und nicht-akademischen Mitarbeitern des ITA m¨

ochte

ich f¨

ur die freundliche Arbeitsatmosph¨

are meinen Dank aussprechen. Beson-

ders danke ich Berndt Zeitler f¨

ur seine dauernde Hilfe und Freundschaft.

F¨

ur die Hilfe bei der Korrektur des Textes bedanke ich mich bei Sassan

Hashemolhosseini.

Ich bedanke mich bei allen Freunden die meine Aufenthalt in Berlin an-

genehm und unvergesslich gemacht haben.

Mein ganz besonderer Dank gilt meiner Familie f¨

ur die Liebe und Un-

terst¨

utzung.

Aber vor allem danke ich Gott f¨

ur seine Liebe.

Berlin, Januar 2003 Rafael Piscoya

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Das Rohr mit konstantem Querschnitt 4

2.1 Beschreibung des Schallfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 ReﬂektiertesFeld..................... 8

2.1.2 Berechnung der Elemente Gnm .............. 10

2.1.3 Anregung ......................... 11

2.1.4 Ergebnisse......................... 13

3 Der 2D-Schalltrichter mit ortsabh¨

angiger Impedanz 15

3.1 BestimmungdesSchallfeldes................... 17

3.1.1 Schallfeld an den Trennﬂ¨

achen.............. 24

3.1.2 RichtwirkungundAbstrahlgrad............. 28

4 Einfluss der Impedanzen auf die Richtwirkung 32

4.1 Strahlbreite bei schallharter und schallweicher Wandung . . . 34

4.2 BenutzungvonFlanschen .................... 44

4.3 EndlicheImpedanzen....................... 47

4.4 Helmholtz-Resonator....................... 52

5 Benutzung einer Impedanz auf der Schallwand 58

6 Der 3D-Schalltrichter 66

7 Messungen 78

7.1 Resonatoren............................ 79

7.2 Verfahren ............................. 83

7.3 AuswertungderErgebnisse.................... 84

8 Zusammenfassung 90

A Berechnung des Gleichungssystems beim 3D-Schalltrichter 93

III

IV INHALTSVERZEICHNIS

Literaturverzeichnis 101

1. Einleitung

Hornlautsprecher werden seit langen benutzt, besonders wenn eine große

akustische Leistung abgestrahlt werden muss und eine kontrollierte Richt-

charakteristik gew¨

unscht wird. Im Vergleich zu einem direkten Strahler, ist

der hohe Wirkungsgrad sein gr¨

oßter Vorteil, da ein Horn praktisch jeden

m¨

oglichen Wert des akustischen Widerstandes zum Generator darstellen kann.

Ferner kann eine beliebige Art der Richtungswirkungen durch eine geeignete

Kombination von H¨

ornern erhalten werden.

Die Anf¨

ange der Horn Geschichte liegen mehr als 100 Jahren zur¨

uck,

mit der Einf¨

uhrung des Grammophons, das ohne elektrische Verst¨

arkung die

mechanischen Schwingungen der Nadel von der Schallplatte in h¨

orbare Si-

gnale umsetzte. Aber die Gestaltung eines Hornlautsprechers war eine lange

und m¨

uhsame Aufgabe. Wichtig waren die Arbeiten von Webster, Klipsch

und Voigt, die die Gesetze der Horntechnik erforschten. Es war die Zeit der

R¨

ohrenverst¨

arker, die nur geringe Ausgangsleistung hatten. Sie brauchten

eﬃziente Lautsprechersysteme und das Horn war das einzige Lautsprecher-

konzept, welches die geringe Leistung wirksam in Schall umwandeln konn-

te. 1925 entwickelten Rice und Kellog den dynamischen Lautsprecher, der

auch ohne ein Horn wirksam Schall abstrahlen konnte, aber mit einem ge-

ringeren Wirkungsgrad als ein Hornlautsprecher. Als der Transistor entdeckt

wurde, war der Vorteil des Hornlautsprechers ¨

uber den dynamischen Laut-

sprecher nicht mehr wichtig. Der Transistor konnte auch elektrische Str¨

ome

und Spannungen verst¨

arken, aber er war vergleichsweise klein und einfach

zu fertigen. R¨

ohrenverst¨

arker und die aufw¨

andig gebauten Hornlautsprecher

wurden dann von Transistorverst¨

arker, mit ihren gr¨

oßeren Ausgangsleistun-

gen, und dynamischen Lautsprechern f¨

ur den massiven Gebrauch ersetzt.

Heute liegt der Schwerpunkt der Verwendung von H¨

ornern auf verschie-

denen Gebieten. Zum einen ist im Bereich der Beschallungstechnik der An-

spruch an Lautst¨

arke und Abstrahleigenschaften so gestiegen, dass man in

hochwertigen Anlagen ¨

uberwiegend H¨

orner verwendet. Eine weitere Anwen-

dung von H¨

ornern liegt in der Festinstallation im Diskothekenbereich. Zudem

werden H¨

orner auch f¨

ur zuhause f¨

ur High-End und HiFi Anwendungen kon-

2 Einleitung

struiert, bei denen sicherlich auch das außergew¨

ohnliche Design eine große

Rolle spielt. F¨

ur den Beschallungsbereich sind z.B. im Tieftonbereich H¨

orner

interessant, die eine tiefe, wirkungsgradstarke Basswiedergabe mit hohem

Maximalschalldruck bei akzeptabler Geh¨

ausegr¨

oße erm¨

oglichen. F¨

ur High-

End oder HiFi-Anwendungen steht der lineare Schalldruckfrequenzgang an

oberster Stelle.

Die erh¨

ohte Leistungsf¨

ahigkeit und die Bandbreite der modernen Kom-

pressionstreiber hat neue Priorit¨

aten bei der Horngestaltung ergeben. Man

ben¨

otigt nicht mehr das leistungsf¨

ahigste Horn f¨

ur Widerstandumwandlung,

jetzt kann man sich auf die Entwicklung ”Wellenleiter”konzentrieren, die die

Streuung der Wellenfront steuern. Die Idee ist, bessere polare Verteilungen

auf Kosten von etwas Leistungsf¨

ahigkeit zu erhalten. Eine gute Belastung des

Treibers muss noch vollendet werden, damit das Horn n¨

utzlich ist. Der Erﬁn-

der dieser Einstellung ist Earl Geddes. Unter dieser Auﬀassung k¨

onnte eine

gute Unterscheidung zwischen einem Horn und einem Wellenleiter so ausge-

druckt werden: ein Horn wird haupts¨

achlich mit der optimalen Last seines

Treibers betroﬀen, ein Wellenleiter haupts¨

achlich mit seinen Richtungseigen-

schaften. Das Segment einer kugelf¨

ormigen Oberﬂ¨

ache, das groß in Vergleich

zur Wellenl¨

ange ist und radial vibriert, strahlt uniform ¨

uber einen Raumwin-

kel ab. Das bedeutet, uniforme Schallverteilung wird erreicht, wenn die Ra-

dialluftbewegung die gleiche Phase und Amplitude ¨

uber der kugelf¨

ormigen

Oberﬂ¨

ache hat. Einfache konische H¨

orner, deren Formen durch Kegel be-

schrieben werden, stellen keine Phasen- oder Amplitudeverzerrung der Wel-

lenfront und k¨

onnen das Kugelsegment gut simulieren. Ver¨

anderungen mit

rechteckigen Querschnitten und ﬂachen planaren W¨

anden stellen gute Kon-

trolle der Richtwirkung auf Kosten von irgendeinem Wellenfrontverzerrung.

Die Schw¨

ache dieser konischen H¨

orner liegt in den schlechten Belastungs-

eigenschaften f¨

ur den Treiber bei tiefen Frequenzen, deshalb wurden in ver-

schiedenen Arbeiten unterschiedliche Methode gestaltet um die konische Sek-

tion eﬃzient zum Treiber zu koppeln.

Diese Arbeit folgt die Linie der Optimierung der Richtcharakteristik und

besch¨

aftigt sich nur mit der Richtungseigenschaft des Horns und nicht mit der

Belastbarkeit des Treibers. Hier wird der Einﬂuss von auf den W¨

anden an-

gebrachten Impedanzen auf die Richtwirkung eines konischen Hornlautspre-

chers untersucht (siehe Bild 1.1). Eine Impedanz wird gesucht, die die Zone

der konstanten Strahlbreite in Richtung tiefe Frequenzen erweitern kann. Zur

Vereinfachung des Modells und der Rechnungen wird angenommen, dass der

Trichter in einer unendlichen Wand eingebaut ist.

schallhart

Bild 1.1: Die zwei untersuchten Anordnungen: links: Impedanz auf der Horn-

wand; rechts: Impedanz auf der Schallwand

2. Das Rohr mit konstantem

Querschnitt

In diesem Kapitel wird die Abstrahlung einer Kolbenmembran, die sich auf

dem Ende eines Rohres mit einer bestimmten L¨

ange beﬁndet, beschrieben.

Die W¨

ande bestehen aus Materialien mit verschiedenem akustischem Ver-

halten, Masse-, Steife- oder Reibungscharakter. Ein solches Verhalten wird

durch die akustische Impedanz des Materials hergestellt. Zur Vereinfachung

wird angenommen, dass das Rohr in eine starre unendliche Wand eingebaut

ist. Die Wellengleichung wird sowohl innerhalb als auch außerhalb des Rohres

gel¨

ost, so dass die Randbedingungen erf¨

ullt werden. Der frequenzabh¨

angige

Abstrahlgrad und die Richtwirkung werden f¨

ur verschiedene Impedanzen der

Rohrw¨

ande berechnet. Diese Arbeit dient als Vorstudie des Schwerpunktes

des Forschungsthema: die Schallabstrahlung eines Schalltrichters. In diesem

Fall hat das Rohr keinen konstanten Querschnitt mehr sondern einen mit der

L¨

ange ver¨

anderlichen Querschnitt. Die errechneten Ergebnisse erm¨

oglichen

trotzdem eine qualitative Vorstellung der Beeinﬂussung des Schallfeldes ei-

nes Schalltrichters durch verschiedene Impedanzen. Das erzeugte Schallfeld

einer Schallquelle von endlicher Gr¨

osse, die in eine starre unendliche Wand

eingebaut ist, kann bestimmt werden, wenn ihre Schnelle-Verteilung bekannt

ist, da der Schalldruck in jedem Punkt des Raumes eine Funktion der fourier-

transformierte Schnelle ist. Wenn die Quelle, in diesem Fall eine Kolbenmem-

bran, nicht auf der Fl¨

ache der starren Wand liegt, sondern sich am Ende eines

Rohres beﬁndet, ist die Schnelle-Verteilung, die das Schallfeld erzeugt, nicht

die von der Kolbenmembran, sondern die am Mund des Rohres. Die Form

dieser Schnelle-Verteilung ver¨

andert sich f¨

ur verschiedene Impedanzen der

Rohrw¨

ande. Es werden folgende F¨

alle untersucht: schallharte und schallwei-

che Wandung und Masse-, Steife- und Reibungsimpedanz.

2.1 Beschreibung des Schallfeldes 5

2.1 Beschreibung des Schallfeldes

Das von der Membran erzeugte Schallfeld wird vollst¨

andig bestimmt, wenn

der Schalldruck innerhalb des Rohres p(t)(x, y) und der Schalldruck im Au-

ßenraum p(a)(x,y) bekannt sind. Beide Funktionen sind L¨

osungen der Wel-

lengleichung und m¨

ussen die Randbedingungen erf¨

ullen. F¨

ur das Schallfeld

im Rohr nimmt man den Ansatz:

p(t)

ρcv0

(x, y)=

n=∞



n=1

(Ane−jknx+Bne−jkn(−x))cos(knyy) (2.1)

Die Schnelle v0ist eine Bezugsschnelle, die z.B. die Maximal-Schnelle der

Membran darstellen kann, und eingesetzt wurde, damit Anund Bndimen-

sionslose Gr¨

oßen sind. Der Ansatz enth¨

alt Wellen, die sich entlang des Roh-

res mit den Ausbreitungskonstanten knausbreiten und deren Wellenfronten

Querverteilungen (Moden) bilden. Die Summe beginnt mit n=1, so dass die

Wellenzahl k1ydie Grundmode darstellt.

kny =(n−1)π

h,Z→∞

kny =(n−0.5)π

h,Z=0

Die sich in positiver x-Richtung ausbreitenden Wellen besitzen die Ampli-

tuden Anund die reﬂektierten Wellen (in negativer x-Richtung) die Ampli-

tuden Bn. Die Schnelle der Luftteilchen l¨

aßt sich durch das Tr¨

agheitsgesetz

berechnen:

∂v(t)

∂t =−1

ρ∇p(t)(2.2)

v(t)

(x, y)=

n=∞



n=1

(Ane−jknx−Bne−jkn(−x))cos(knyy) (2.3)

v(t)

(x, y)=−j

n=∞



n=1

kny

(Ane−jknx+Bne−jkn(−x))sin(knyy) (2.4)

Wenn der Ansatz (2.1) in die Wellengleichung eingesetzt wird, ergibt sich f¨

die Ausbreitungskonstante (kn) und die Querwellenzahl (kny) die Bedingung:

kn=k2

0−k2

6 Das Rohr mit konstantem Querschnitt

x´

Kolbenmembran

p (x,y)

(t) p (x´,y)

(a)

v(y)

Bild 2.1: Modell des Rohres mit den Koordinatensystemen f¨

ur die Berechnung

von p(t)(x, y) und p(a)(x,y)

wobei k0die Wellenzahl in Luft darstellt. Der Ansatz muss auch die Rand-

bedingung an der Wand erf¨

ullen:

ρc

v(t)

(x, y =h)= p(t)

ρcv0

(x, y =h)

Diese f¨

uhrt zur Gleichung

∞



n=1

(Ane−jknx+Bne−jkn(−x))jZ

ρc

kny

sin(knyh)+cos(knyh)=0 (2.5)

und folglich zur Eigenwertgleichung f¨

ur die einzelnen Terme:

kny tan(knyh)= jk0

Z/ρc (2.6)

Die traszendente Gleichung (2.6) kann numerisch gel¨

ost werden [1]. Die

kny und die knsind im allgemeinen komplexe Zahlen, da sie komplexe Glei-

chungen l¨

osen. Ein komplexer Wert von knbedeutet, die Amplitude der Mo-

de klingt mit der Distanz exponentiell ab, dann handelt es sich um eine

ged¨

ampfte Welle. Diese D¨

ampfung ist durch den Imagin¨

arteil von kngege-

ben. Aufgrund des Verfalls der Moden, kann ihre Wirkung nur in der N¨

ahe

der Membran und des Rohrmundes festgestellt werden, wo die Moden, einige

viel mehr als die anderen, angeregt werden.

Im Halbraum (x>0) betrachtet man einen Feldansatz als Summe der

ebenen Wellen, die sich in allen m¨

oglichen Richtungen nach außen ausbreiten:

p(a)(x,y)= 1

2π∞

−∞

P(k)e−jkrxejkydk (2.7)

2.1 Beschreibung des Schallfeldes 7

nach Gl. (2.2) sind die Komponenten der Luftteilchenschnelle:

v(a)

x(x,y)= 1

2πρc +∞

−∞

P(k)e−jkrxejkydk (2.8)

v(a)

y(x,y)=−1

2πρc +∞

−∞

P(k)e−jkrxejkydk (2.9)

Der Ansatz (2.7) erf¨

ullt die Wellengleichung, wenn gilt:

−k2

r−k2+k2

0=0.

Aus physikalischen Gr¨

unden legt man die Vorzeichen wie folgt fest:

kr=+k2

0−k2,k

0>k

−jk2−k2

0,k

0<k

2(2.10)

Der erste Fall entspricht einer sich ausbreitenden Welle und der zweite einer

ged¨

ampften Welle. Die Amplituden der Wellen P(k) sind nicht direkt bere-

chenbar, aber die fourier-transformierte Schnelle an der Ebene x=0,V(k)

kann man leicht ﬁnden. Eine Beziehung zwischen beiden Gr¨

oßen wird dann

gebraucht. Man nimmt das Verh¨

altnis (2.8) und f¨

ur x=0:

x(x=0,y)= 1

2πρc ∞

−∞

P(k)ejkydk.

F¨

uhrt man die Fourier-Transformation auf beiden Seiten aus, dann erh¨

alt

man:

V(k)= 1

2πρc ∞

−∞ ∞

−∞

P(k)ejkye−jkydkdy

und nach einer geigneten Umordnung:

V(k)= 1

ρc ∞

−∞

P(k)1

2π∞

−∞

ej(k−k)ydydk

Der Ausdruck in Klammern ist die Deltafunktion δ(k−k), dann ergibt sich

die Beziehung:

P(k)=ρcV (k)k0

(2.11)

8 Das Rohr mit konstantem Querschnitt

und der Ansatz (2.7) wird:

p(a)

ρcv0

(x,y)= 1

2π∞

−∞

V(k)

e−jkrxejkydk (2.12)

Zur Berechnung von V(k) benutzt man die Anpassung der Schnelle an der

Ebene x=0:

v(a)

x(x=0,y)=v(t)

x(x=0,y)|y|<h

0|y|>h

was zu:

V(k)

=∞

−∞

v(a)

(x=0,y)e−jkydy =+h

−h

v(t)

(x=, y)e−jkydy

f¨

uhrt und schließlich

V(k)

∞



n=1

(Ane−jkn−Bn)sin[(k−kny)h]

(k−kny)h+sin[(k+kny)h]

(k+kny)h

(2.13)

Der Schalldruck im Rohrmund ist eine Summe aus allen m¨

oglichen Mo-

den. Deshalb k¨

onnen auch die nicht ausbreitungsf¨

ahigen Moden zum Schall-

feld im Halbraum beitragen. Zur ferneren Bestimmung der noch unbekannten

Amplituden Anund Bndienen die Randbedingungen.

2.1.1 Reflektiertes Feld

Die inneren und ¨

außeren Schallfelder m¨

ussen f¨

ur die Betrachtung der Ebene

am Rohrmund aneinander anpassen werden. Die Anpassung der Schnelle

wurde bei der Bestimmung der Gl. (2.11) benutzt, also bleibt die Anpassung

des Druckes zu berechnen:

p(t)

x(x=, y)=p(a)

x(x=0,y)

Daraus ergibt sich mit den Feldans¨

atzen (2.1) und (2.12):

m=∞



m=1

(Ame−jkm+Bm)cos(kmyy)= 1

2π+∞

−∞

V(k)

ejkydk (2.14)

Es wird ausgenutzt, daß die Funktionen des Modenansatzes ein Orthogonal-

system bilden:

Nnm =1

2h+h

−h

cos(knyy)cos(kmyy)dy =1

2(1 + sinc(2knyh)) n=m

0n=m

(2.15)

2.1 Beschreibung des Schallfeldes 9

wobei sinc(x)=sin(x)/x. Wenn die Gl. (2.14) mit cos(knyy) multipliziert

und ¨

uber das Intervall ] −h, +h[ integriert wird, erh¨

alt man:

(Ane−jkn+Bn)Nnn =1

2π+∞

−∞

V(k)

kr1

2h+h

−h

cos(knyy)ejkydydk

(2.16)

Setzt man Gl. (2.13) in Gl. (2.16) ein und f¨

uhrt man die Integration in Klam-

mern aus, dann entstehen Beziehungen f¨

ur die Amplituden der reﬂektierten

Wellen:



e−jkmGnmAm−Ane−jkn−Bn−

GnmBm=0 ,n=1,2,3...

(2.17)

wobei f¨

ur Gnm gilt:

Gnm =h/λ0

2Nnn ∞

−∞

Tnk

k0Tmk

k0dk

(2.18)

λ0gibt die Wellenl¨

ange in der Luft an. Zur Abk¨

urzung wurde Tndeﬁniert

als:

Tn(z)=sinc[(z−kny

)k0h]+sinc[(z+kny

)k0h] (2.19)

Gl. (2.17) stellt ein unendliches Gleichungssystems mit unendlichen Unbe-

kannten dar. F¨

ur eine praktische Anwendung muss die Summe von Gl. (2.1)

nach einer gewissen Anzahl von Termen (Moden) abgebrochen werden. Logi-

scherweise soll die Anzahl von Moden (N), groß genug sein, damit der Fehler

m¨

oglichst klein bleibt. Die angen¨

aherte L¨

osung wird

p(t)(x, y)

ρcv0

n=N



n=1

(Ane−jknx+Bne−jkn(−x))cos(knyy) (2.20)

w¨

ahrend Gl. (2.1) der exakten L¨

osung entspricht.

Jetzt kann das System aus Gl. (2.17) in Matrizenform dargestellt werden:

M

1A+M

2B=0(2.21)

M

1=





(k1

k0G11 −1)e−jk1k2

k0G12e−jk2··· kN

k0G1Ne−jkN

k0G21e−jk1(k2

k0G22 −1)e−jk2··· kN

k0G2Ne−jkN

.....

k0GN1e−jk1k2

k0GN2e−jk2··· (kN

k0GNN −1)e−jkN







(2.22)

10 Das Rohr mit konstantem Querschnitt

M

2=





−(k1

k0G11 +1) −k2

k0G12 ··· −kN

k0G1N

−k1

k0G21 −(k2

k0G22 +1) ··· −kN

k0G2N

.....

−k1

k0GN1−k2

k0GN2··· −(kN

k0GNN +1)







(2.23)

2.1.2 Berechnung der Elemente Gnm

Gem¨

aß ihrer Deﬁnitionen sind krund Tnsymmetrisch in k

Tn(−k

k0)=Tn(k

k0); kr(−k)=kr(k)

dann wird Gnm:

Gnm =h/λ0

Nnn ∞

Tn(k

)Tm(k

)dk

und nach Einsatz von Gl. (2.10):

Gnm =h/λ0

Nnn k0

Tn(k

)Tm(k

)k0

k2

0−k2

+j∞

Tn(k

)Tm(k

)k0

k2−k2

k0

Ein geeigneter Variablenwechsel f¨

uhrt zu

Gnm =h/λ0

Nnn 1

Tn(u)Tm(u)du

√1−u2+j1

Tn1

uTm1

udu

u√1−u2

(2.24)

Beide Integrale in (2.24) haben eine integrierbare Singularit¨

at an der Stelle

u=1.F

ur u→0 liefert die Gleichung:

Tn1

uTm1

u1

u∼u

Dann ist das zweite Integral auch an der Stelle u= 0 integrierbar. Zur

numerischen Berechnung der Gl. (2.24) wird die Gauss-Formel benutzt:

b

f(y)dy =b−a

i=K



i=1

wif(yi)+RK(2.25)

wobei gilt:

yi=b+a

2+b−a

2xi,w

i=2

(1 −xi)2[P

K(xi)]2

2.1 Beschreibung des Schallfeldes 11

RK=22K+1(K!)4

(2K+ 1)[(2K)!]3f(2K)(ξ),−1<ξ<1

PK(x) sind die Legendre Polynome (P1(x) = 1) und xidie i-te Nullstelle von

PK(x)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0.4

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8

−0.05

0.05

Bild 2.2: Integranden I1(oben) und I2(unten) f¨

ur kn/k0=0.47 , km/k0=

0.67 und h/λ0=1.9

Wenn man die Integranden von (2.24) analysiert

I1=Tn(u)Tm(u)1

√1−u2;I2=Tn1

uTm1

udu

u√1−u2

ﬁndet man heraus, dass die Funktion I1sich langsam ¨

andert, w¨

ahrend die

Funktion I2mit einer stark steigenden Periodizit¨

at schwingt (bis zur Null in

der N¨

ahe von u= 0), deshalb braucht man in der Regel viel mehr Termen

in der Summe (2.25) f¨

ur I2als f¨

ur I1,(siehe Bild 2.2).

2.1.3 Anregung

Als Anregungsmechanismus wird eine Membran betrachtet, f¨

ur die die Schnelle-

Verteilung vM(y)aufihrergesamtenFl

ache f¨

ur jede Frequenz bestimmt wer-

12 Das Rohr mit konstantem Querschnitt

den kann. Die Randbedingung an der Membran ist dann:

v(t)

(x=0,y)=vM

(y)

m=N



m=1

(Am−Bme−jkm)cos(kmyy)=vM

(y) (2.26)

Wie beim vorigen Fall wird Gl. (2.26) mit cos(knyy) multipliziert und ¨

uber

das Intervall ]-h,+h[ integriert. Das f¨

uhrt zu:

(An−Bne−jkn)=Rn(2.27)

Dabei ist Rn:

Rn=1

2hNnn +h

−h

(y)cos(knyy)dy

In Matrizenform schreibt man Gl. (2.27) als:

M1A+M2B=R(2.28)

M1=





k00··· 0

0k2

k0··· 0

.....

00··· kN







(2.29)

M2=





−k1

k0e−jk10··· 0

0−k2

k0e−jk2··· 0

.....

00··· −kN

k0e−jkN







(2.30)

Bei einer konstanten, frequenzunabh¨

angigen Schnelleanregung vM(y)=v0

ﬁndet man f¨

ur Rndie Werte:

Rn=1

2Nnn

sinc(knyh)

2.1 Beschreibung des Schallfeldes 13

2.1.4 Ergebnisse

Das Problem der L¨

osung der diﬀerentiellen Wellengleichung im Rohr und im

Halbraum wurde in die L¨

osung eines linearen Gleichungssystems mit N Un-

bekannten umgewandelt. Wie man in Bild 2.3 sehen kann, ist die Anpassung

des Druckes am Rohrmund besser, wenn mehr Moden betrachtet werden.

F¨

ur h/λ0=0.52 sind nur die Grundmode und die erste h¨

ohere Mode aus-

breitungsf¨

ahig.

0 0.2 0.4

−1

−0.5

0.5

y/λ0

p/ρcv0

0 0.2 0.4

−1

−0.5

0.5

y/λ0

p/ρcv0

2 Moden 5 Moden

Realteile

Imaginärteile

Realteile

Imaginärteile

Bild 2.3: Anpassung des Druckes am Rohrmund f¨

ur eine Impedanz Z=∞,

und h/λ0=0.52; gestrichelte Linie=p(t)(); durchgehende Linie=p(a)(0)

Die Erf¨

ullung der Randbedingung der Schnelle an der Membran ist vom

Wert der Impedanz des Rohres (Z)abh

angig, da die Form der Moden durch

die Funktionen cos(knyy) beschrieben ist und die Querwellenzahlen kny sich

nach Gl. (2.6) berechnen lassen. F¨

ur den Fall eines schallharten Rohres regt

die Kolbenmembran haupts¨

achlich die Grundmode an, weil diese Mode ei-

ne konstante Querverteilung zeigt, die mit der konstanten Schnelleverteilung

der Membran ¨

ubereinstimmt. F¨

ur dem Fall Z= 0 werden alle Moden durch

die Bewegung der Membran angeregt, da keine Mode eine konstante Quer-

verteilung hat (siehe Bild 2.4).

14 Das Rohr mit konstantem Querschnitt

0 0.2 0.4

0.6

0.8

1.2

5 Moden

v/v0

0 0.2 0.4

0.6

0.8

1.2

9 Moden

y/λ0

v/v0

y/λ0

Bild 2.4: Randbedingung an der Membran f¨

ur eine Impedanz Z= 0, und

h/λ0=0.52; gestrichelte Linie=vM; durchgehende Linie=v(t)(0)

3. Der 2D-Schalltrichter mit

ortsabh¨

angiger Impedanz

F¨

ur die Berechnung vom Schallfeld eines 2D-Schalltrichters deren Wandung

keine konstante Impedanz hat, machen wir eine Verallgemeinerung der im

vorigen Kapitel beschriebenen Methode. Das Rohr mit dem ver¨

anderlichen

Querschnitt wird in kleine St¨

ucke gespalten. Jedes St¨

uck hat eine konstan-

te Breite, die jedoch kleiner ist als die vom nachfolgenden St¨

uck und eine

Wandimpedanz besitzt, die sich von St¨

uck zu St¨

uck ¨

andern kann. Der Vor-

teil dieser Methode liegt darin, dass man nur die ¨

ubliche Wellengleichung im

Freien (nicht die Webster’sche Gleichung) zu l¨

osen braucht. Aber der Nachteil

ist, dass heftige Querschnitts¨

anderungen auftreten. Das heißt, es gibt keine

kontinuierliche Vergr¨

oßerung der Querﬂ¨

ache, was zu einer optimalen Kopp-

lung der Impedanz f¨

uhrt. Man kann aber annehmen, dass die Eﬀekte der

Diskontinuit¨

aten klein bleiben, wenn die L¨

ange der St¨

ucke kleiner gew¨

ahlt

wird als die Wellenl¨

ange.

Bild 3.1 zeigt wie ein Trichter in St¨

ucke gespalten wird. Das i-te Teilst¨

uck

hat eine L¨

ange (i)und eine Breite 2h(i). Aus der Teilung des Trichters in

R¨

ohren mit konstanten Querschnitten ergeben sich f¨

ur jedes Teilst¨

uck eine

parallele und eine senkrechte zur Trichterachse Wand mit entsprechenden

Impedanzen Z(i)

wund Z(i)

R.Mank

onnte zur Vereinfachung Z(i)

R=∞anneh-

men, wenn die Querﬂ¨

ache des Trichters langsam zunimmt. Aber f¨

ur einen

allgemeinen Fall wird Z(i)

R=Z(i)

wbetrachtet.

16 Der 2D-Schalltrichter mit ortsabh¨

angiger Impedanz

h(i+1)

p(i+1)

(i+1)

(i)

p(i)

h(i)

Z(i)

(i+1)

Z(i+1)

l(i) l(i+1)

Bild 3.1: Spaltung des Schalltrichters in kleine Teilst¨

ucke

3.1 Bestimmung des Schallfeldes 17

3.1 Bestimmung des Schallfeldes

In jedem Teilst¨

uck werden ¨

ahnliche Ans¨

atze wie in Gl. (2.20) eingesetzt. Wie

im vorigen Kapitel, kann das Schallfeld im Halbraum bestimmt werden, wenn

das Feld im letzten Teilst¨

uck bekannt ist. F¨

ur das i-te Teilst¨

uck schreibt man:

p(i)

ρcv0

(x, y)=

n=N



n=1

(A(i)

ne−jk(i)

nx+B(i)

ne−jk(i)

n((i)−x))cos(k(i)

nyy) (3.1)

v(i)

(x, y)=

n=N



n=1

k(i)

(A(i)

ne−jk(i)

nx−B(i)

ne−jk(i)

n((i)−x))cos(k(i)

nyy) (3.2)

v(i)

(x, y)=−j

n=N



n=1

k(i)

(A(i)

ne−jk(i)

nx+B(i)

ne−jk(i)

n((i)−x))sin(k(i)

nyy) (3.3)

Damit sind die Wellenzahlen wie in Kapitel 1 bestimmt:

k(i)

n=k2

0−(k(i)

ny)2

k(i)

ny tan(k(i)

nyh(i))= jk0

Z(i)

w/ρc

Wenn der Schalltrichter in MTeilst¨

ucke geteilt wird, hat man 2·N·M

Koeﬃzienten, die bestimmt werden m¨

ussen. Zur Berechnung der Koeﬃzi-

enten m¨

ussen Randbedingungen erf¨

ullt werden. Die Randbedingung an der

schwingenden Membran ergibt N Gleichungen

k(1)

k0A(1)

n−B(1)

ne−jk(1)

n=Rnn=1,2..., N (3.4)

die sich von den Gleichungen in (2.27) durch den hochgestellten Index (erstes

St¨

uck) unterscheiden:

T(0)

1A(1)+T(0)

2B(1)=R,

wobei T(0)

1und T(0)

2N×N Matrizen sind:

T(0)







k(1)

k00··· 0

0k(1)

k0··· 0

.....

00··· k(1)







(3.5)

18 Der 2D-Schalltrichter mit ortsabh¨

angiger Impedanz

T(0)







−k(1)

k0e−jk(1)

1(1) 0··· 0

0−k(1)

k0e−jk(1)

2(1) ··· 0

.....

00··· −k(1)

k0e−jk(1)

N(1)







(3.6)

Rist ein Vektor mit folgenden N Elemente:

Rn=1

2N(1)

sinc(k(1)

ny h(1))

Der Schalldruck im Halbraum wird wie in Gl. (2.12) geschrieben, wo V(k)der

fourier-transformierten Schnelle des letzten St¨

uckes entspricht. Man schreibt

sie wie in Gl. (2.13):

V(k)

=h(M)

∞



n=1

k(M)

(A(M)

ne−jk(M)

n−B(M)

sinc[(k−k(M)

ny )h(M)]+sinc[(k+k(M)

ny )h(M)](3.7)

Die Anpassung des Druckes am Rohrmund (im letzten St¨

uck) ergibt N Glei-

chungen wie in Gl. (2.17):



(k(M)

Gnm −δnm)e−jk(M)

m(M)A(M)

m−

(k(M)

Gnm +δnm)B(M)

m=0 (3.8)

Wie in Gl. (2.21) in Matrizenform gebracht ergibt das:

T(M)

1A(M)+T(M)

2B(M)=0

mit den N×N Matrizen:

T(M)







(k(M)

k0G11 −1)e−jk(M)

1(M)k(M)

k0G12e−jk(M)

2(M)···

···k(M)

k0G1Ne−jk(M)

N(M)

k(M)

k0G21e−jk(M)

1(M)(k(M)

k0G22 −1)e−jk(M)

2(M)···

···k(M)

k0G2Ne−jk(M)

N(M)

.....

k(M)

k0GN1e−jk(M)

1(M)k(M)

k0GN2e−jk(M)

2(M)···

···(k(M)

k0GNN −1)e−jk(M)

N(M)







(3.9)

3.1 Bestimmung des Schallfeldes 19

T(M)







−(k(M)

k0G11 +1) −k(M)

k0G12 ··· −k(M)

k0G1N

−k(M)

k0G21 −(k(M)

k0G22 +1) ··· −k(M)

k0G2N

.....

−k(M)

k0GN1−k(M)

k0GN2··· −(k(M)

k0GNN +1)







(3.10)

In jedem Querschnittsprung treten 2 Arten von Randbedingungen auf.

Die erste verlangt die ¨

Ubereinstimmung der Feldimpedanz an der Trenn-

ﬂ¨

ache in der Richtung der Wandnormalen mit der Wandimpedanz der Wand

(h(i)<|y|<h

(i+1)) und bei der zweiten m¨

ussen die Schalldr¨

ucke und die

wandnormalen Schallschnellen zu beiden Seiten der Trennﬂ¨

achen miteinan-

der ¨

ubereinstimmen (|y|<h

(i)). Diese Grenzbedingungen schreibt man als:

p(i)

ρcv0

((i),y)=p(i+1)

ρcv0

(0,y)|y|<h

(i)(3.11)

v(i+1)

(0,y)=









v(i)

v0((i),y)|y|<h

(i)

ρc

Z(i+1)

p(i+1)

ρcv0(0,y)h(i)<|y|<h

(i+1)

(3.12)

Setzt man Gl. (3.1) in Gl. (3.11) ein, multipliziert beide Seiten mit cos(k(i)

nyy)

und integriert man ¨

uber das Intervall ] −h(i),h

(i)[, dann erh¨

alt man N neue

Gleichungen:

A(i)

ne−jk(i)

nl(i)+B(i)

m=N



m=1

E(i)

nm[A(i+1)

m+B(i+1)

me−jk(i+1)

ml(i+1) ] (3.13)

wobei

E(i)

nm =1

2N(i)

nnh(i)+h(i)

−h(i)

cos(k(i)

nyy)cos(k(i+1)

my y)dy , n =1,2, ..., N (3.14)

und

N(i)

nm =1

2h(i)+h(i)

−h(i)

cos(k(i)

nyy)cos(k(i)

myy)dy (3.15)

20 Der 2D-Schalltrichter mit ortsabh¨

angiger Impedanz

Gl. (3.13) schreibt man in Form von Matrizen:

T(i)

1A(i)+T(i)

2B(i)+T(i)

3A(i+1)+T(i)

4B(i+1)=0

F¨

ur die zweite Randbedingung in (3.12) multipliziert man mit cos(k(i+1)

ny y)

und integriert ¨

uber das Intervall ] −h(i+1),h

(i+1)[. Dann ergeben sich N Glei-

chungen:

k(i+1)

(A(i+1)

n−B(i+1)

ne−jk(i+1)

nl(i+1) )+

+ρc

Z(i+1)

m=N



m=1

F(i)

nm(A(i+1)

m+B(i+1)

me−jk(i+1)

ml(i+1) )

m=N



m=1

k(i)

H(i)

nm(A(i)

me−jk(i)

ml(i)−B(i)

m)n=1,2, ...N (3.16)

wobei

F(i)

nm =1

N(i+1)

nn h(i+1) h(i+1)

h(i)

cos(k(i+1)

ny y)cos(k(i+1)

my y)dy (3.17)

und

H(i)

nm =1

2N(i+1)

nn h(i+1) +h(i)

−h(i)

cos(k(i+1)

ny y)cos(k(i)

myy)dy (3.18)

Diese neue Gruppe von N Gleichungen wird als Matrizen geschrieben:

T(i)

5A(i)+T(i)

6B(i)+T(i)

7A(i+1)+T(i)

8B(i+1)=0

Die Teilmatrizen T(i)sind:

T(i)







−e−jk(i)

1(i)0··· 0

0−e−jk(i)

2(i)··· 0

.....

00··· −e−jk(i)

N(i)







T(i)

2=





−10··· 0

0−1··· 0

.....

00··· −1







T(i)

3=





G(i)

11 G(i)

12 ··· G(i)

G(i)

21 G(i)

22 ··· G(i)

.....

G(i)

N1G(i)

N2··· G(i)







3.1 Bestimmung des Schallfeldes 21

T(i)







G(i)

11 e−jk(i+1)

1l(i+1) G(i)

12 e−jk(i+1)

2l(i+1) ··· G(i)

1Ne−jk(i+1)

Nl(i+1)

G(i)

21 e−jk(i+1)

1l(i+1) G(i)

22 e−jk(i+1)

2l(i+1) ··· G(i)

2Ne−jk(i+1)

Nl(i+1)

.....

G(i)

N1e−jk(i+1)

1l(i+1) G(i)

N2e−jk(i+1)

2l(i+1) ··· G(i)

NNe−jk(i+1)

Nl(i+1)







T(i)







−k(i)

k0H(i)

11 e−jk(i)

1l(i)−k(i)

k0H(i)

12 e−jk(i)

2l(i)··· −k(i)

k0H(i)

1Ne−jk(i)

Nl(i)

−k(i)

k0H(i)

21 e−jk(i)

1l(i)−k(i)

k0H(i)

22 e−jk(i)

2l(i)··· −k(i)

k0H(i)

2Ne−jk(i)

Nl(i)

.....

−k(i)

k0H(i)

N1e−jk(i)

1l(i)−k(i)

k0H(i)

N2e−jk(i)

2l(i)··· −k(i)

k0H(i)

NNe−jk(i)

Nl(i)







T(i)







k(i)

k0H(i)

k(i)

k0H(i)

12 ··· k(i)

k0H(i)

k(i)

k0H(i)

k(i)

k0H(i)

22 ··· k(i)

k0H(i)

.....

k(i)

k0H(i)

k(i)

k0H(i)

N2··· k(i)

k0H(i)







T(i)







ρc

Zi+1

F(i)

11 +k(i+1)

ρc

Zi+1

F(i)

12 ··· ρc

Zi+1

F(i)

ρc

Zi+1

F(i)

ρc

Zi+1

F(i)

22 +k(i+1)

k0··· ρc

Zi+1

F(i)

.....

ρc

Zi+1

F(i)

ρc

Zi+1

F(i)

N2··· ρc

Zi+1

F(i)

NN +k(i+1)







22 Der 2D-Schalltrichter mit ortsabh¨

angiger Impedanz

T(i)







(ρc

Zi+1

F(i)

11 −k(i+1)

k0)e−jk(i+1)

1(i+1) ρc

Zi+1

F(i)

12 e−jk(i+1)

2(i+1) ···

··· ρc

Zi+1

F(i)

1Ne−jk(i+1)

N(i+1)

ρc

Zi+1

F(i)

21 e−jk(i+1)

1(i+1) (ρc

Zi+1

F(i)

22 −k(i+1)

k0)e−jk(i+1)

2(i+1) ···

··· ρc

Zi+1

F(i)

2Ne−jk(i+1)

N(i+1)

ρc

Zi+1

F(i)

N1e−jk(i+1)

1(i+1) ρc

Zi+1

F(i)

N2e−jk(i+1)

2(i+1) ···

···(ρc

Zi+1

F(i)

NN −k(i+1)

k0)e−jk(i+1)

N(i+1)







Wenn man die vorigen Operationen in allen (M-1) Querschnittsspr¨

ungen

ausf¨

uhrt, dann hat man schließlich die 2·N·Mn

otigen Gleichungen. Das Pro-

blem wurde erneut in ein lineares Gleichungssystem umgeschrieben:

TgX=V(3.19)

An den Gleichungen (3.13) und (3.16) kann man sehen, dass sich in je-

dem Querschnittssprung 2N Gleichungen ergeben, die nur die Koeﬃzienten

(A(i),B(i)) mit den Koeﬃzienten (A(i+1),B(i+1)) verbinden. Deshalb hat die

Matrix Tgdie Form einer Bandmatrix, d.h. alle Elemente außer diejenigen

in der Hauptdiagonale und einiger Nebendiagonalen sind gleich Null. Das ist

g¨

unstig, da es f¨

ur diese Art von Matrizen optimierte L¨

osungsmethoden gibt.

Ein großes Gleichungssystem kann schneller gel¨

ost werden, wenn die Matrix

eine Bandmatrix ist. Im Bild 3.2 sieht man wie die gesamte Matrix aus den

Matrizen (T(i)

k) gebildet ist.

3.1 Bestimmung des Schallfeldes 23

...

...0

T(i)

1T(i)

2T(i)

3T(i)

T(i)

5T(i)

6T(i)

7T(i)

T(M-1)

1T(M-1)

2T(M-1)

3T(M-1)

T(M-1)

5T(M-1)

6T(M-1)

7T(M-1)

T(M)

1T(M)

T(0)

1T(0)

T(1)

1T(1)

2T(1)

3T(1)

T(1)

5T(1)

6T(1)

7T(1)

Bild 3.2: Die gesamte Matrix Tgbesteht aus 2M (N×N) Matrizen (T(i)

24 Der 2D-Schalltrichter mit ortsabh¨

angiger Impedanz

Der Vektor der Koeﬃzienten Xund der Vektor Vin Gl. (3.19) sind:

X= V=

A(1)

B(1)

A(M)

B(M)

Bild 3.3: Vektoren Xund V

3.1.1 Schallfeld an den Trennfl¨

achen

Wie im vorigen Kapitel, dient die Erf¨

ullung der Randbedingungen als Maß-

stab der Genauigkeit der Methode. Es ist logisch zu erwarten, dass genauere

Ergebnisse erreicht werden, wenn man viele Termen (Moden) betrachtet. F¨

die Untersuchung der Anpassung der Schallfelder an den Trennﬂ¨

achen nimmt

man ein Trichter mit 4 verschiedenen Impedanzen (Bild 3.4). Bei der Fre-

quenz h/λ =0.3 reicht es den Trichter in 4 St¨

ucke zu spalten. Es gibt in den

ersten 2 Teilst¨

ucken nur eine ausbreitungsf¨

ahige Mode (die ebene Welle), in

den letzten 2 St¨

ucken breitet sich auch die erste h¨

ohereModeaus.Wennman

nur 3 Moden f¨

ur das Schallfeld nimmt, ﬁndet man, dass der Druck an beiden

Seiten des Querschnittssprungs gut ¨

ubereinstimmt (Bild 3.5), aber der Un-

terschied zwischen den Schnellen und den Feldimpedanzen ist noch auﬀ¨

allig

groß. Mit 9 Moden, erreicht man eine bessere Anpassung der Schnelle, aber

die Feldimpedanz stimmt noch nicht gut mit der Wandimpedanz ¨

uberein

(Bild 3.6). Ein ¨

ahnliches Verhalten sieht man in allen Querschnittspr¨

ungen

(Bilder 3.7 und 3.8).

3.1 Bestimmung des Schallfeldes 25

2h 5h

=10

=0.1-10j

=0.1+10j

Z =

Bild 3.4: Ein Trichter mit 4 Impedanzen an der Wand

26 Der 2D-Schalltrichter mit ortsabh¨

angiger Impedanz

y/λ0

Druck

y/λ0

Druck

y/λ0

Schnelle

y/λ0

Schnelle

y/λ0

Impedanz

)

Realteil Imaginärteil

y/λ0

Bild 3.5: Schallfelder auf dem ersten Querschnittsprung (3 Moden); durch-

gehende Linie=(a) p(1)(), (b) v(1)

x(), (c) Z(2)

R; gestrichelte Linie=(a) p(2)(0),

(b) v(2)

x(0), (c) −p(2)(0)/v(2)

x(0)

y/λ0

Druck

y/λ0

Druck

y/λ0

Schnelle

y/λ0

Schnelle

y/λ0

Impedanz

y/λ0

Impedanz

)

Realteil Imaginärteil

Bild 3.6: Schallfeld auf dem ersten Querschnittsprung (9 Moden); durchge-

hende Linie=(a) p(1)(), (b) v(1)

x(), (c) Z(2)

R; gestrichelte Linie=(a) p(2)(0),

(b) v(2)

x(0), (c) −p(2)(0)/v(2)

x(0)

3.1 Bestimmung des Schallfeldes 27

y/λ0

Schnelle

y/λ0

Schnelle

y/λ0

Schnelle

y/λ0

Schnelle

y/λ0

Schnelle

y/λ0

Schnelle

)

Realteil Imaginärteil

Bild 3.7: Schnelle an den Querschnittsspr¨

ungen (9 Moden); durchgehende

Linie=v(i)

x(); gestrichelte Linie=v(i+1)

x(0); (a) i=1, (b) i=2, (c) i=3

y/λ0

Impedanz

y/λ0

Impedanz

y/λ0

Impedanz

y/λ0

Impedanz

y/λ0

Impedanz

y/λ0

Impedanz

Realteil Imaginärteil

Bild 3.8: Impedanz an den senkrechten Trennw¨

anden (9 Moden); durchge-

hende Linie=Z(i)

R; gestrichelte Linie=−p(i+1)(0)/v(i+1)

x(0); (a) i=1, (b) i=2,

28 Der 2D-Schalltrichter mit ortsabh¨

angiger Impedanz

Nicht nur die Anzahl der Moden ist wichtig f¨

ur die Erlangung genauer

Ergebnisse, auch die Anzahl der Teilst¨

ucke muss ber¨

ucksichtigt werden. Es

wird angenommen, dass der Fehler, der durch die Teilung des Trichters ent-

steht, klein ist, wenn jedes Teilst¨

uck klein ist im Vergleich zur Wellenl¨

ange.

Hierbei wird (i)<λ/6 benutzt.

3.1.2 Richtwirkung und Abstrahlgrad

Die Abstrahlung des Schalltrichters l¨

aßt sich durch:

•die ¨

ortliche Verteilung der Leistung (Richtwirkung) und

•die abgestrahlte Leistung im Frequenzbereich (Abstrahlgrad)

beschreiben. Beide Gr¨

oßen sind f¨

ur eine große Entfernung berechnet, wo das

Nahfeld nicht mehr anwesend ist. Wenn R der Abstand zum Messpunkt und

H=h(M)die Breite des Trichtersmundes sind, handelt es um ein Fernfeld,

wenn die Bedingungen

R>>H;R>>λ;R/H >> H/λ

erf¨

ullt sind. Unter diesen Bedingungen vereinfacht sich das Schallfeld im

Halbraum (Gl. 2.12) und wird geschrieben als:

p(F)

ρcv0

(R, θ)=k0

2πRejπ/4e−jk0RV(−k0sinθ)

v0(3.20)

Die Schnelle ist in Phase mit dem Druck:

v(F)

(R, θ)= p(F)

ρcv0

(R, θ) (3.21)

Aus den Gln. (3.20) und (3.21) ergibt sich der mittlere Wert der Intensit¨

I(F)

r,m =1

2Re(p(F)[v(F)

r]∗)=ρcv2

2

p(F)

ρcv0

(3.22)

oder auch:

I(F)

r,m =J(θ)

R;J(θ)=ρcv2

4πk0

V(−k0sinθ)

v0

(3.23)

Die Deﬁnition f¨

ur die Richtwirkung lautet dann:

D(θ)=10logJ(θ)

Jmax (3.24)

3.1 Bestimmung des Schallfeldes 29

Die abgestrahlte Leistung wird durch den Abstrahlgrad (σ)dargestellt,

der als einen Leistungsverh¨

altnis deﬁniert wird:

σ=abgestrahlte Leistung(Pr)

P0=1

2ρcv2

QL(3.25)

P0entspricht der (pro L¨

angeneinheit der y-Richtung) abgestrahlten Leistung

eines Strahlers mit der L¨

ange L=2h (h=h(1)), der groß im Vergleich zur

Wellenl¨

ange ist und sich als Ganzes mit dem gleichen mittleren Schnelle-

Quadrat vQbewegt:

vQ

v02

2hh

−h

v(1)

(0,y)

dy (3.26)

Wenn man das Integral ausf¨

uhrt und das Ergebnis in (3.25) einsetzt, erh¨

alt

man:

P0=ρcv2

n=N



n=1

m=N



m=1

k(1)

(A(1)

n−B(1)

ne−jk(1)

nl(1) )×

×k∗(1)

(A∗(1)

m−B∗(1)

mejk∗(1)

ml(1) )×(3.27)

×sinc[(k(1)

n−k∗(1)

m)h]+sinc[(k(1)

n+k∗(1)

m)h]

Zur Berechnung der mittleren Leistung integriert man die Intensit¨

at ¨

uber

einen Halbkreis vom Radius R:

Pr=π/2

−π/2

I(F)

r,m Rdθ =π/2

−π/2

J(θ)dθ (3.28)

Das f¨

uhrt zu:

Pr=ρcv2

0[h(M)]2

2λ

n=N



n=1

m=N



m=1

k(M)

(A(M)

ne−jk(M)

n(M)−B(M)

n)×

×k∗(M)

(A∗(M)

mejk∗(M)

m(M)−B∗(M)

m)π/2

−π/2

Un(θ)Um(θ)dθ (3.29)

wobei die benutzte Abk¨

urzung Un(θ) bedeutet

Un(θ) = sinc[(sin θ−k(M)

)k0H] + sinc[(sin θ+k(M)

)k0H]

30 Der 2D-Schalltrichter mit ortsabh¨

angiger Impedanz

Das Integral in (3.29) kann numerisch gel¨

ost werden, ¨

ahnlich wie die Integrale

der Elemente Gnm.

Es sollte ersichtlich sein wie die beiden Gr¨

oßen sich ¨

andern, wenn ver-

schiedene Anzahl von Moden genommen werden. Die Bilder 3.9a-3.9c zeigen

die Richtwirkungen des Trichters von Bild 3.4 f¨

ur verschiedene Modenanzahl

bei 3 Frequenzen und Bild 3.9d zeigt die ¨

Anderung im Abstrahlgrad in den 3

F¨

allen. F¨

ur alle Frequenzen wird beobachtet, dass jedes St¨

uck kleiner als λ0/6

ist. Die Ergebnisse von Bild 3.9 zeigen dass die Richtwirkung und der Ab-

strahlgrad sich wenig ¨

andern, wenn man mehr als 3 nicht ausbreitungsf¨

ahige

Moden betrachtet.

3.1 Bestimmung des Schallfeldes 31

0 30 60 90

−12

−24

D (dB)

0 30 60 9

−24

−12

D (dB)

0 30 60 90

−12

−24

D (dB)

3 6 9 12

0.2

0.4

Moden

10log(σ)

3,4,...,9 4,5,...,10

7,8,...,13

(a) (b)

(a)

(b)

(c)

Bild 3.9: (a)-(c) Einﬂuß der Modenanzahl auf die Richtwirkungen (h/λ0=

0.3, h/λ0=0.65 und h/λ0=1.3); (d) Einﬂuß der Modenanzahl auf den

Abstrahlgrad f¨

ur die F¨

alle (a) bis (c)

4. Einfluss der Impedanzen auf

die Richtwirkung

Die Richtwirkung zeigt die ¨

ortliche Verteilung des abgestrahlten Schalls f¨

eine feste Frequenz. Eine volle Beschreibung der Abstrahlung soll Informa-

tion f¨

ur einen ganzen Frequenzbereich liefern. Deshalb wird ein Parameter

eingef¨

uhrt, der die Richtwirkung in der Frequenz charakterisiert: die SStrahl-

breite”. Die Strahlbreite ist der Winkel zwischen den -6 dB Punkten der

−24

−18

−12

−6

210

240

270

120

300

150

330

180 0

−6 dB Punkt

Bild 4.1: Deﬁnition der Strahlbreite (θ)

Richtwirkung, dessen Werte in Bezug auf die Achse nur gr¨

oßer werden. F¨

die Winkel außerhalb der Strahlbreite bleiben die Werte der Richtwirkung

immer kleiner als -6 dB. Diese Deﬁnition hat keinen Sinn wenn die Richtwir-

kung eine Nullstelle auf der Achse besitzt. Ein Bild kann die Deﬁnition besser

erkl¨

aren (Bild 4.1). Wenn man f¨

ur jede Frequenz diesen Winkel bestimmt,

kann man die 6 dB Kurve”bilden.

Ein ideales kegelf¨

ormiges Horn hat eine konstante Strahlbreite (etwa den

Oﬀnungswinkel des Kegels) bei Frequenzen, deren Wellenl¨

ange kleiner oder

vergleichbar mit der Gr¨

oße des Hornmundes ist (Zone II). Bei tieferen Fre-

quenzen nimmt die Strahlbreite mit der abnehmenden Frequenz monoton zu

(Zone I) (Bild 4.2). Eine empirische Formel f¨

ur f0ist:

f0=K

θcX

wobei K=2.54 ·104, X=Hornmundbreite und θc=¨

Oﬀnungswinkel.

log q

log f

(monot. Verminderung)

f /

04f

02f04f0

Zone I Zone II

(konstant)

Bild 4.2: Strahlbreite eines idealen 2D-Hornes

34 Einfluss der Impedanzen auf die Richtwirkung

In dieser Studie will man bestimmen, wie sich die Strahlbreite eines Trich-

ters ¨

andert, wenn Impedanzen auf die Wandung angebracht werden. Die Im-

pedanzen werden nicht die ganze Wand bedecken, sondern nur das letzte

Drittel der L¨

ange des Trichters, weil sonst die Absorption zu groß werden

w¨

urde. Die Berechnungen werden prim¨

ar ber¨

ucksichtigen, dass die Impedanz

unabh¨

angig von der Frequenz bleibt. Das erm¨

oglicht die Untersuchung des

Einﬂusses von den 3 Arten von Impedanzen: Masse-, Federungs- und Rei-

bungscharakter. Zudem wird untersucht ob die Benutzung eines Flansches

eine Verbesserung der Richtcharakteristik im Sinne dieser Forschung erlangt.

Als zweiter Schritt wird die Abh¨

angigkeit von der Frequenz in Betracht ge-

zogen. Zuletzt bringt man einen Helmholtz-Resonator an, dessen Impedanz

die 3 Impedanzcharaktere enth¨

alt und von der Frequenz abh¨

angt.

4.1 Strahlbreite bei schallharter und schall-

weicher Wandung

Wie im vorigen Kapitel beschrieben wurde, ist die Richtwirkung von der

fourier-transformierte Schnelle (Spektrum) am Hornmund abh¨

angig (Gl. 3.23

und 3.24). Die Schnelle am Hornmund ist eine Summe aller zugelassenen Mo-

den mit frequenzabh¨

angigen Amplituden, deshalb ist ihr Schnelle-Spektrum

eine Summe der Spektra der Moden. Da f¨

ur die beiden Grenzf¨

alle die Quer-

schnittmoden unmittelbar berechnet werden k¨

onnen, kann man einen Blick

auf das Schnelle-Spektrum der n-ten Mode werfen. Bei schallharter Wandung

hat es die Form:

SSn(u)∼

sinc 2π(u−(n−1)

2)+sinc2π(u+(n−1)

2)

(4.1)

wenn man h/λ durch uersetzt. In Bild 4.3 werden die Spektra verschiedener

Moden dargestellt. Wenn nur die n-te Mode vorhanden ist, kann man die

Richtwirkung D(θ)f

ur eine bestimmte Frequenz direkt aus Bild 4.3 erkennen.

D(θ)=SSn(−(h/λ0)sinθ)

Sie ist der Teil der Kurve im Intervall ]−h/λ0,h/λ

0[. Die Strahlbreite der

Grundmode (hier n=1) verkleinert sich allm¨

ahlich, und kann sehr kleine

Werte bei hohen Frequenzen erreichen. Da konische H¨

orner eine konstan-

te Strahlbreite bei hohen Frequenzen haben, spielen die h¨

oheren Moden eine

wichtige Rolle.

4.1 Strahlbreite bei schallharter und schallweicher Wandung 35

Das Schnelle-Spektrum der n-ten Moden bei schallweicher Wandung hat

die Form:

SSn(u)∼

sinc 2π(u−(n−1/2)

2)+sinc2π(u+(n−1/2)

2)

(4.2)

In Bild 4.4 werden die Spektra verschiedenen Moden dargestellt. Die Grund-

mode hat in diesem Fall eine breitere Hauptkeule als die bei schallharter

Wandung. Die Nebenkeule sind kleiner, d.h. die Strahlbreite ist gr¨

oßer als

die bei schallharter Wandung (siehe Bild 4.5). Wenn eine Verengung der

Strahlbreite durch die Einstellung einer schallweichen Impedanz zu erreichen

ist, m¨

ussen die Amplituden der h¨

oheren Moden die richtigen Werte haben.

36 Einfluss der Impedanzen auf die Richtwirkung

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−40

−30

−20

−10

SS(u)/SSmax

n=1

n=2

n=3

n=4

Bild 4.3: Spektra der ersten 4 Moden bei schallharter Wandung

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−40

−30

−20

−10

SS(u)/SSmax

n=1

n=2

n=3

n=4

Bild 4.4: Spektra der ersten 4 Moden bei schallweicher Wandung

4.1 Strahlbreite bei schallharter und schallweicher Wandung 37

0.5 1 2

120

180

h/λ0

schallhart

schallweich

Bild 4.5: Vergleich der Strahlbreiten der Grundmoden bei schallharter und

schallweicher Wandung

38 Einfluss der Impedanzen auf die Richtwirkung

Die Strahlbreiten der beiden Wandungsarten werden in 6 H¨

ornern von

verschiedenen L¨

angen aber gleicher Mundbreite berechnet, um die Abh¨

angigkeit

vom Winkel zu bestimmen. Die Kurven in Bild 4.6 zeigen, dass eine gew¨

unschte

Verengung der Strahlbreite in der Zone I bei schallweicher Wandung nur f¨

ein 120◦Horn vorliegt. F¨

ur die anderen H¨

orner beﬁndet sie sich in der Zone

II.

0.05 0.1 0.2

100

150

200

h/λ0

0.05 0.1 0.2

100

150

200

h/λ0

0.05 0.1 0.2

100

150

200

h/λ0

0.05 0.1 0.2

100

150

200

h/λ0

0.05 0.1 0.2

100

150

200

h/λ0

0.05 0.1 0.2

100

150

200

h/λ0

a) b)

c) d)

e) f)

Bild 4.6: Strahlbreiten von H¨

ornern mit verschiedenen L¨

angen und gleichen

Mundbreiten; gestrichelte Linie = schallharter Wandung; durchgehende Linie

= schallweicher Wandung. Die ¨

Oﬀnungswinkel sind a) 40◦b) 60◦c) 80◦d)

90◦e) 100◦f) 120◦

4.1 Strahlbreite bei schallharter und schallweicher Wandung 39

Da alle H¨

orner dieselbe Mundbreite haben, liegen die Unterschiede der

Strahlbreiten in den Amplituden der Moden. Wenn man die Strahlbreiten

der H¨

orner mit der von den Grundmoden allein vergleicht (Bild 4.7), sieht

man einen Unterschied zwischen den F¨

allen schallharter und schallweicher

Wandung. Im ersten Fall werden die Strahlbreiten mit steigendem Winkel

gr¨

oßer. Dieses Verhalten zeigt, dass die Grundmode die ¨

uberwiegende Mo-

de bei kleinen Winkeln ist. Aber f¨

ur gr¨

oßere Winkel gewinnen die h¨

oheren

Moden Bedeutung. Im zweiten Fall, gibt es keinen Einﬂuss der Winkel im

Bereich der tiefen Frequenzen. Hierbei kommt es zu einer Verengung der

Strahlbreite im Vergleich zur Strahlbreite der Grundmode. Bei h¨

oheren Fre-

quenzen taucht der Einﬂuss der Winkel auf. Dieser Unterschied in Verhalten

best¨

atigt sich, wenn man die Betr¨

age der Amplituden der Moden (in Bezug

zur Grundmode) vom 40◦-Horn mit denen vom 120◦-Horn vergleicht. Beim

Fall schallharter Wandung (Bild 4.8) erkennt man, dass beim 40◦-Horn die

Amplituden der h¨

oheren Moden kleiner sind als die Amplitude der Grund-

mode. Das gilt fast im ganzen untersuchten Frequenzintervall. Nur die erste

h¨

ohereModeistgr

oßer, aber bei h¨

oheren Frequenzen. Beim 120◦-Horn dage-

gen erreichen die ersten vier Moden gr¨

oßere Amplituden als die Grundmode,

die erste schon bei tiefen Frequenzen. Beim Fall schallweicher Wandung (Bild

4.9) sieht man, dass in der ersten H¨

alfte des Frequenzintervals, die Amplitu-

den der h¨

oheren Moden kleiner sind als die Grundmode. Ihre Werte sind bei

beiden H¨

ornern ¨

ahnlich, deshalb gibt es keine Unterschiede der Strahlbreiten

f¨

ur diese Frequenzen. In der zweiten H¨

alfte des Intervals sind die Amplituden

anders in beiden H¨

ornern und die Strahlbreiten variieren von Horn zu Horn.

Nach diesen Ergebnissen, stellt sich die Belegung der W¨

ande eines simplen

Horns mit einer Impedanz als nutzlos heraus.

Im Bild 4.6(a) erscheint ein Peak in der Strahlbreite. Eine Analyse der

Amplituden der Moden zeigen eine Erh¨

ohung des Wertes der zweiten Mo-

den, das f¨

uhrt zu einer Verbreitung der Hauptkeule und der Strahlbreite bei

dieser Frequenz. Diese große Amplitude ist darauf zur¨

uckzuf¨

uhren, dass ei-

ne Resonanz innerhalb des Hornes erzeugt wird (Bild 4.10). Die ¨

Anderung

der Impedanzen an den Hornw¨

anden bringt zus¨

atzliche Reﬂektionen, die bei

schallharter Wandung nicht vorhanden sind.

40 Einfluss der Impedanzen auf die Richtwirkung

0.05 0.1 0.2

120

180

h/λ0

Grundmode

θ = 40, 60,...,120

0.05 0.1 0.2

120

180

h/λ0

Grundmode

θ = 40, 60, ..., 120

Bild 4.7: Strahlbreiten der 6 H¨

orner in Vergleich zu der Strahlbreite der

Grundmode bei oben: schallharter Wandung; unten: schallweicher Wandung

4.1 Strahlbreite bei schallharter und schallweicher Wandung 41

0.02 0.05 0.1 0.2

0.01

0.05

0.25

h/λ0

|An/A1|

n=2

n=3

n=4

n=5

0.02 0.05 0.1 0.2

0.01

0.05

0.25

h/λ0

|An/A1|

n=2

n=3

n=4

n=5

Bild 4.8: Amplituden der h¨

oheren Moden im Vergleich zu der von der Grund-

mode f¨

ur den Fall schallharte Wandung; oben: 40◦-Horn; unten: 120◦-Horn

42 Einfluss der Impedanzen auf die Richtwirkung

0.02 0.05 0.1 0.2

0.01

0.05

0.25

h/λ0

|An/A1|

0.05 0.1 0.2

0.01

0.05

0.25

h/λ0

|An/A1|

Bild 4.9: Amplituden der h¨

oheren Moden im Vergleich zu der von der Grund-

mode, f¨

ur den Fall schallweiche Wandung; oben: 40◦-Horn; unten: 120◦-Horn

4.1 Strahlbreite bei schallharter und schallweicher Wandung 43

Z=0

Bild 4.10: Schalldruck innerhalb des Hornes. Eine Resonanz wird durch das

reﬂektierte Feld erzeugt

44 Einfluss der Impedanzen auf die Richtwirkung

4.2 Benutzung von Flanschen

Im Bild 4.2 wird der ideale Verlauf der Strahlbreite eines 2D-Hornes darge-

stellt. Aber die Kurven von reellen H¨

ornern zeigen, dass bevor der konstante

Winkel erreicht wird, sich eine Verengung der Strahlbreite ereignet, die bis

zum Anteil von ein Drittel des gestalteten Winkels gelangt (Bild 4.11-links).

Keele[8] l¨

oste das Problem durch den Einsatz eines Flansches. Laut seiner

Studie resultiert eine eﬀektive Korrektur, wenn der Flansch das letzte Drittel

des Hornes einnimmt und der gesamte Winkel des Flansches doppelt so groß

wie der ¨

Oﬀnungswinkel ist (Bild 4.11-rechts). Dieser zweite Abschnitt beein-

ﬂusst die Richtcharakteristik bei der mittleren Frequenzen, w¨

ahrend der erste

Abschnitt die Richtwirkung in dem Rest des Frequenzbereichs bestimmt. Der

θc2H

θc

fI=2.54x104

2Hθc

θc2hf2H

θc

θf

ff= 2.5x104

2hfθc

θf

2L/3 L/3

log

log θ

Bild 4.11: links: Verengung der Strahlbreite bei mittleren Frequenzen; rechts:

die Benutzung der Flanken vermeiden die Verengung der Strahlbreite

Flansch bietet einen großen Winkel an und gem¨

aß der Ergebnisse der vor-

herigen Berechnungen kann man diese Fl¨

ache ausnutzen um eine Impedanz

anzubringen und die Strahlbreite eines Hornes mit kleinen ¨

Oﬀnungswinkeln

zu beeinﬂussen. Ein Flansch von 120◦, dessen L¨

ange ein Drittel der gesam-

ten Hornl¨

ange ist, wird in vier H¨

orner mit verschiedenen ¨

Oﬀnungswinkeln

gestellt. Die H¨

orner werden in Bild 4.12 dargestellt und die Strahlbreite bei

beiden Wandungsarten in Bild 4.13 gezeigt.

4.2 Benutzung von Flanschen 45

40° 60°

80° 90°

Bild 4.12: Vier H¨

orner verschiedener ¨

Oﬀnungswinkel mit einem 120◦Flansch

aber gleicher Mundbreite

46 Einfluss der Impedanzen auf die Richtwirkung

0.05 0.1 0.2

120

180

h/λ0

0.05 0.1 0.2

120

180

h/λ0

0.05 0.1 0.2

120

180

h/λ0

0.05 0.1 0.2

120

180

h/λ0

Z=∞

Z=0

Z=∞

Z=0

Z=∞

Z=0

Z=∞

Z=0

a) b)

c) d)

Bild 4.13: Strahlbreiten H¨

orner mit einem 120◦Flansch aber gleicher Mund-

breite. geschnittene Linie: schallharte Wandung; volle Linie: schallweiche

Wandung. Die ¨

Oﬀnungswinkel sind a) 40◦b) 60◦c) 80◦und d) 90◦

4.3 Endliche Impedanzen 47

Wie erwartet erzeugt die Impedanz auf dem Flansch eine Verengung der

Strahlbreite in allen F¨

allen. Es ist dann m¨

oglich mit einer Impedanz (Z=0),

die Strahlbreite enger zu machen, wenn sie auf einen Flansch angebracht

wird. Aufgrund dieser Ergebnisse wird f¨

ur die Untersuchung des Einﬂusses

von endlichen Impedanzen, ein Horn mit einem Flansch benutzt.

4.3 Endliche Impedanzen

Zur Sch¨

atzung des Einﬂusses endlicher Impedanzen untersucht man die Be-

wegung der Luftteilchen in der N¨

ahe der W¨

ande. Eine d¨

unne Luftschicht an

der Wand kann als eine Masse betrachtet werden, die sich gegen den Wider-

stand der Wand bewegen muss. Wenn die Wand eine unendliche Impedanz

hat, ist der Widerstand unendlich groß und die mitschwingende Masse kann

nicht verschoben werden. Entgegengesetzt, wenn die Wand eine Impedanz

gleich Null hat, gibt es kein Hindernis f¨

ur die Bewegung der Masse und sie

wird mit einer gewissen Schnelle verschoben. In Wirklichkeit ﬁndet man Im-

pedanzen mit endlichen Werten, die nach ihrem Verhalten in drei Gruppen

eingeordnet werden k¨

onnen: Masse- Reibungs- oder Steifecharakter.

Wenn die Impedanz der Wand Massecharakter (Z=j|Z|) oder Reibungs-

charakter (Z=|Z|) besitzt, kann sich die mitbewegende Masse nicht mehr

frei bewegen und dieser Widerstand nimmt mit einem Zuwachs in |Z|zu. Des-

wegenwerdeninbeidenF

allen allm¨

ahliche ¨

Uberg¨

ange zwischen den Grenzen

Z= 0 und Z=∞erwartet.

Wenn die Impedanz der Wand sich wie eine Feder verh¨

alt, ergibt sich

ein simples Resonator-System mit einer Resonanzfrequenz. Wenn eine fre-

quenzunabh¨

angige Impedanz betrachtet wird, ist die Resonanzfrequenz gleich

ωres =|Z|/m”. Man kann die pro Fl¨

ache mitschwingender Masse zu

m−ρλ

2π

absch¨

atzen[13]. Dann ergibt sich f¨

ur die Resonanzfrequenz

fres ≈|Z|

ρc f

So beﬁndet sich das System f¨

ur |Z|/ρc < 1 oberhalb und f¨

ur |Z|/ρc > 1unter-

halb der Resonanzfrequenz. Man kann dann erwarten, dass der Einﬂuss einer

kleinen Steifeimpedanz auf die Strahlbreite anders ist, als der einer großen

Steifeimpedanz. Unterhalb der Resonanzfrequenz ist das Schallfeld auf der

Wand gr¨

oßer als das Feld beim Fall schallharter Wand, deshalb scheint eine

48 Einfluss der Impedanzen auf die Richtwirkung

Verengung der Strahlbreite nicht m¨

oglich. Oberhalb der Resonanzfrequenz

ist das Schallfeld kleiner und ein positiver Einﬂuss w¨

are m¨

oglich.

Die unterschiedlichen Strahlbreiten bei den verschieden Impedanzarten

werden in einem 60◦-Horn mit einem 120◦Flansch untersucht. Bild 4.14 und

Bild 4.15 zeigen wie die Kurven bei Masse- und Reibungsimpedanz zwischen

den Grenzf¨

allen variieren. Bild 4.16 enth¨

alt die Kurven f¨

ur Steifeimpedan-

zen,obensinddieF

alle Z/ρc < 1 und unten die F¨

alle Z/ρc > 1 dargestellt.

Mit den kleinen Impedanzen kann eine Verengung der Strahlbreite in der

Zone I erreicht werden. Aber es gibt auch starken Einﬂuss auf die Richtwir-

kung bei tiefen Frequenzen (wie im Fall Z/ρc=-j0.2). Die Oberﬂ¨

achenwelle

ist die einzige ausbreitungsf¨

ahige Mode und wenn der reellen Teil der Im-

pedanz Null ist, kann sich die Strahlbreite von Frequenz zu Frequenz viel

andern. Eine kleine D¨

ampfung kann diese starken ¨

Anderungen vermindern.

F¨

ur gr¨

oßere Steifeimpedanzen (schon |Z|/ρc > 0.8) ergibt sich, wie gedacht,

keine Verengung der Strahlbreite. Die Peaks in der Zone II bedeuten Re-

sonanzen innerhalb des Hornes. F¨

ur solche Werte der Impedanzen k¨

onnen

D¨

ampfungen die Peaks nicht vermindern.

4.3 Endliche Impedanzen 49

0.05 0.1 0.2 0.4

120

180

Impedanz mit Massecharakter

h/λ

|Z|/ρc= 0.1, 0.2, 0.4, ..., 12.8

Z=∞

Z=0

Bild 4.14: Strahlbreite bei Masseimpedanz; gestrichelte Linien=Grenzf¨

alle;

durchgehende Linien=Masseimpedanz

0.05 0.1 0.2 0.4

120

180

Impedanz mit Reibungscharakter

h/λ

|Z|/ρc= 0.1, 0.2, 0.4, ..., 12.8

Z=0

Z=∞

Bild 4.15: Strahlbreite bei Reibungsimpedanz; gestrichelte Lini-

en=Grenzf¨

alle; durchgehende Linien=Reibungsimpedanz

50 Einfluss der Impedanzen auf die Richtwirkung

0.05 0.1 0.2 0.4

120

180

h/λ0

u=0.1

u=0.2

u=0.4

u=0.8

u=Z/ρc

Z=∞

Z=0

0.05 0.1 0.2 0.4

120

180

h/λ0

u= 1.6

u= 3.2

u= 6.4

u=12.8

u=Z/ρc

Z=0

Z=∞

Bild 4.16: Strahlbreiten beim Fall Steifeimpedanz, oben: |Z|/ρc < 1; unten:

|Z|/ρc > 1

4.3 Endliche Impedanzen 51

Bild 4.17: Schalldruckverteilung im Fall Z/ρc =−j0.2, bei h/λ0=0.025. Es

kommt zu einer Resonanz der Oberﬂ¨

achenwelle.

52 Einfluss der Impedanzen auf die Richtwirkung

Die Kurven zeigen keine bessere Wirkung als die vom Fall schallweicher

Wandung. F¨

ur kleine Werte von |Z|/ρc jedoch, besonders bei einer Massen-

impedanz, ist die Strahlbreite enger in der Zone I.

Bis jetzt wurde eine frequenzunabh¨

angige Impedanz betrachtet um eine

quantitative Idee des Einﬂusses auf die Richtcharakteristik zu bekommen.

Eine Massenimpedanz h¨

angt jedoch von der Frequenz ab, Z=jm”ω,d.h.der

Betrag |Z|/ρc nimmt auch mit der wachsenden Frequenz zu. Dieses Verhalten

zeigt sich n¨

utzlich, da man daran interessiert ist, die Strahlbreite nur in der

Zone I zu beeinﬂussen.

4.4 Helmholtz-Resonator

Impedanzen mit kleinen Werten schaﬀt man durch die Benutzung von Reso-

natoren. Ein einfacher Resonator besteht aus einem Masse-Feder System, mit

einer Resonanzfrequenz ωres =s/m (s=Steifheit; m=Masse pro Fl¨

acheeinheit).

Bei ωres hat die Impedanz einen Minimalwert und ist rein reell. F¨

ur f<f

res

ist Im(Z)<0 (Steifecharakter), f¨

ur f>f

res ist Im(Z)>0 (Massecharak-

ter). Wenn man die Wellenausbreitung im Absorber ber¨

ucksichtigt, lautet

der Ausdruck der Impedanz des Resonators von Bild 4.18:

ρc =jm”ω

ρc +ZL

ρc +(ka/σk0)2−(ZL/ρc)2

Za/ρc +ZL/ρc (4.3)

mit

ρc =−jcot(k0a)

ρc =−jka

σk0

cot(kad) (4.4)

=κ−jΞσ

ρck0

In den Formeln der Impedanz sind: Ξ, der l¨

angspeziﬁsche Str¨

omungswiderstand;

σ,diePor

osit¨

at; κ, der Strukturfaktor der por¨

osen Schicht und kadie komple-

xe Wellenzahl im Absorber. Bei genug tiefen Frequenzen, wo die Resonatoren

normalerweise in Einsatz sind, und |kad|<< 1; k0d<<1 und, unter der An-

nahme, dass die por¨

ose Schicht d¨

unn ist (d/a << 1), und σ≈κ≈1 gilt,

schreibt man (4.3) als:

ρc =Ξd

ρc +j(m”ω

ρc −cot(k0a)) (4.5)

4.4 Helmholtz-Resonator 53

was man in allen Textb¨

uchern ﬁndet. Gem¨

aß der vorherigen Ergebnisse, soll

man einen Resonator suchen, der seine Resonanzfrequenz in der Zone I hat,

denn oberhalb dieser Frequenz hat die Impedanz einen Massecharakter. Die

Strahlbreite eines 60◦-Hornes mit einem 120◦Flansch wurde f¨

ur verschiede

Werte von mitschwingender Masse und Luftpolster berechnet. Die Por¨

ose

Schicht wurde aus Schaumstoﬀ gew¨

ahlt,weilihreΞineinerfr

uheren Arbeit

gemessen wurde. Nach mehreren Versuchen wurden folgende Werte der Para-

meter f¨

ur eine g¨

unstige Wirkung festgestellt: m”/ρh =1.833, Ξh/ρc =0.28,

a/h = 2, und d/h =0.2. Die Resonanzfrequenz liegt bei h/λres =0.066

54 Einfluss der Impedanzen auf die Richtwirkung

Absorber

Luftvolumen

Schwingungsmassen

(m)

Abdeckplatte

X, k, s

Bild 4.18: Helmholtz-Resonator, der aus einer Box mit einer gelochten Ab-

deckplatte besteht. Unter der Platte beﬁndet sich eine por¨

ose Schicht

4.4 Helmholtz-Resonator 55

0.05 0.1 0.2 0.4

0.25

0.5 Impedanz

h/λ

Re(Z/ρc)

0.05 0.1 0.2 0.4

−10

h/λ

Im(Z/ρc)

h/λres=0.066

m"/ρh=1.833

Ξh/ρc=0.28

a/h=2 d/h=0.2

0.05 0.1 0.2 0.4

100

180

Strahlbreite

h/λ

schallhart

mit Resonator

m"/ρh=1.833

Ξh/ρc=0.28

a/h=2

d/h=0.2

Bild 4.19: Impedanz des gew¨

ahlten Resonators und die erzeugte Strahlbreite

56 Einfluss der Impedanzen auf die Richtwirkung

−24

−18

−12

−6

210

240

270

120

300

150

330

schallhart

mit Resonator

h/λ=0.12

Bild 4.20: Richtwirkung des Hornes mit dem Resonator f¨

ur einen Wert h/λ =

0.12

Der Einsatz eines Resonators ergibt eine Verengung der Strahlbreite bei

etwa 30◦in fast 2 Oktaven in der Zone I. Den konstanten Wert kann man

aber nicht erreichen. Bild 4.20 zeigt den Unterschied in der Richtwirkung

bei einer festen Frequenz. Auch wird eine ¨

Anderung im Abstrahlgrad durch

den Gebrauch des Resonators eingesetzt. Unterhalb der Resonanzfrequenz

hat die Wandimpedanz einen Steifecharakter mit einem kleinen reellen Teil.

Die D¨

ampfung bleibt ungef¨

ahr konstant aber die Imagin¨

arteil w¨

achst mit

abnehmenden Frequenzen. Die Oberﬂ¨

achenwellen spielen noch eine Rolle, da

sie die einzigen ausbreitungsf¨

ahigen Moden sind. Sie sollen das Minimum

4.4 Helmholtz-Resonator 57

unterhalb der Resonanz erzeugen, nicht durch Energieverlust sondern durch

ein reﬂektiertes Schallfeld. F¨

ur f>f

res hat die Wandimpedanz einen Mas-

sencharakter, und ihre Werte steigen mit der Frequenz zu. Deswegen verh¨

alt

sich der Abstrahlgrad ¨

ahnlich wie beim Fall schallharter Wand.

0.05 0.1 0.2 0.4

−10

−5

h/λ

10log(σ)

schallhart

mit Resonator

1. Resonanz

2. Resonanz

Bild 4.21: Abstrahlgrad des Hornes mit dem Resonator

5. Benutzung einer Impedanz

auf der Schallwand

Die Ergebnisse des vorherigen Kapitels zeigen einen wesentlichen Einﬂuss der

Impedanzen auf die Richtwirkung, wenn sie auf einer sehr geneigten Wand

angebracht werden (große ¨

Oﬀnungswinkel oder Benutzung eines Flansches).

Man kann sich dann fragen, was passiert wenn man eine Impedanz auf der

Schallwand anbringt.

schallhart

Bild 5.1: Schallwand mit einer Impedanz der L¨

ange ¨

a”

Zur Bestimmung des Schallfeldes im Halbraum braucht man erneut die

Schnelle an der Ebene x=0. F¨

ur die Schnelle der Luftteilchen vor der Impe-

danz macht man den Ansatz:

vp(y)



s=0

Rscos[bs(|y|−H)] ,H<|y|<a+H(5.1)

mit den Wellenzahlen:

bn=(n−0.5)π

an=1,2, ... (5.2)

Alle Cosinus-Funktionen von Gl. (5.1) haben eine Nullstelle f¨

ur |y|=a+H,

das passt gut mit der Bedingung der normalen Schnelle vor einer schallharten

Wand zusammen. Es tritt dann eine neue Randbedingung auf, die erf¨

ullt

werden muss:

p(a)(0)

ρcv0

ρc

v(a)

x(0)

=0 ,H<|y|<a+H(5.3)

Diese neue Bedingung f¨

uhrt zu zus¨

atzlichen Gleichungen, mit denen es m¨

oglich

ist, die Koeﬃzienten ”Rsßu ﬁnden. Die Fourier-Transformierte-Schnelle V(k)

hat jetzt andere Termen als in Gl. (2.13)

V(k)

=V(k)

+k0a



s=0

RsWs(k

) (5.4)

wobei zur Abk¨

urzung Wseingesetzt wurde

Wsk

k0=sin( k

k0(k0a)+bsa+k

k0(k0H)) −sin( k

k0(k0H))

k0(k0a)+bsa

+sin( k

k0(k0a)−bsa+k

k0(k0H)) −sin( k

k0(k0H))

k0(k0a)−bsa(5.5)

Die Anpassung des Schalldruckes am Hornmund ergibt N Gleichungen, wie

in (2.17):



k(M)

(A(M)

me−jk(M)

m−B(M)

m)Gnm −A(M)

ne−jk(M)

n−B(M)

n+a/λ

N(M)

nn 

RsYns =0

(5.6)

Die Termen Yns werden deﬁniert als:

Yns =1

2+∞

−∞

Tnk

k0Wsk

k0dk

(5.7)

60 Benutzung einer Impedanz auf der Schallwand

Die Erf¨

ullung der Randbedingung (5.3) ergibt, wie gesagt, N neue Gleichun-

gen:

ρc

2+H

λ

k(M)

(A(M)

me−jk(M)

m−B(M)

m)Ymt +a

λ

RsXts =0 (5.8)

wobei die Elemente Xts sind:

Xts =1

2+∞

−∞

Wtk

k0Wsk

k0dk

(5.9)

Wenn keine Impedanz auf die Schallwand betrachtet wird, hat man 2·N·M

Gleichungen, unter Ber¨

ucksichtigung einer Impedanz gibt es 2·N·M+N Glei-

chungen mit gleicher Anzahl von Koeﬃzienten. Bild 5.2 zeigt dass ein An-

0.7 0.8 0.9 1 1.

−

3Impedanz auf die Schallwand

y/λ

Z/ρ c

p/ρcvx

Realteil

Imaginärteil

Bild 5.2: Anpassung der Impedanz auf der Schallwand

satz f¨

ur die Schnelle wie Gl. (5.1) eine ziemlich gut ann¨

ahernde Darstellung

der Impedanz liefert. Im vorherigen Kapitel wurde der Einﬂuss einer Impe-

danz Z= 0, die auf der Hornwand angebracht wurde, auf ihre Richtwirkung

untersucht. Die Strahlbreiten von sechs H¨

ornern mit denselben Mundbrei-

ten aber verschiedenen ¨

Oﬀnungswinkel wurden berechnet. Derselbe Vergleich

wird hier gemacht aber mit der Impedanz auf die Schallwand. Die berechne-

ten Kurven sieht man in Bild 5.3. Im Unterschied zu Bild 4.6, tritt schon f¨

0.05 0.1 0.2

100

150

200

h/λ0

0.05 0.1 0.2

100

150

200

h/λ0

0.05 0.1 0.2

100

150

200

h/λ0

0.05 0.1 0.2

100

150

200

h/λ0

0.05 0.1 0.2

100

150

200

h/λ0

0.05 0.1 0.2

100

150

200

h/λ0

Bild 5.3: Strahlbreite von 6 verschiedenen H¨

ornern wenn es eine Impedanz

Z= 0 auf der Schallwand gibt. a) 40◦,b)60

◦,c)80

◦,d)90

◦, e)100◦und e)

120◦

das Horn mit kleinen ¨

Oﬀnungswinkel eine Verengung der Strahlbreiten ein.

Wenn man Impedanzen mit endlichem Wert auf der Schallwand anbringt,

gehen die Kurven allm¨

ahlich vom Fall Z=0zuZ=∞mit wachsen-

den |Z|¨

uber. Das beste Ergebnis kommt bei der schallweichen Wandung

vor. Wie im letzten Fall wird ein Helmholtz-Resonator gesucht, der die be-

ste Strahlbreite-Kurve erzeugt. Ein Helmholtz-Resonator (wie in Bild 4.18)

wirkt in den meisten F¨

allen nur in einer schmalen Bandbreite. Wenn es n¨

otig

62 Benutzung einer Impedanz auf der Schallwand

sein sollte, einen breiten Band abzudecken, kann man Resonatoren mit unter-

schiedlichen Resonanzfrequenzen verwenden. Im Frequenzbereich k0a<<1

kann die Impedanz des Resonators als

Z=r+jm”ω−jρc2

aω (5.10)

geschrieben werden. In der Resonanz ist der Imagin¨

arteil gleich Null, so ﬁndet

erh¨

alt f¨

ur die Resonanzwellenl¨

ange λres

λres

2πρh2

m¨a=1

2π

(m”/ρh)(a/h)(5.11)

Wenn das Produkt (m”/ρh)(a/h) abnimmt, steigt die Resonanzfrequenz. F¨

das 60◦-Horn wurden unterschiedliche Resonatoren untersucht, deren gemein-

same Wirkung einen gr¨

oßeren Frequenzbereich abdeckte. Eine Verschiebung

der Resonanzfrequenz war nicht genug, alle Parameter (m”, Ξ, d und a) wur-

den ver¨

andert, damit die Strahlbreite um die 60◦blieb. Die Parameter der 3

Resonatoren in Bild 5.4 sind:

m”/ρh Ξh/ρc d/h a/h h/λres

1.833 0.28 0.20 2.0 0.08

1.833 3.50 0.25 0.3 0.15

0.500 0.50 0.25 0.3 0.26

Tabelle 5.1: Parameter der 3 Resonatoren

Das Programm kann die 3 verschiedenen Impedanzen nicht gleichzeitig

betrachten, ein dazwischenliegendes Ergebnis wurde erwartet.

0.05 0.1 0.2 0.4

120

180

h/λ

ohne Resonator

mit HR1

mit HR2

mit HR3

0.05 0.1 0.2 0.4

−8

−6

−4

−2

h/λ

10log(σ)

ohne Resonator

mit HR1

mit HR2

mit HR3

Bild 5.4: oben: Strahlbreiten eines 60◦-Hornes f¨

ur 3 verschiedene Helmholtz-

Resonatoren ”HR”; unten: die entsprechenden Abstrahlgrade

64 Benutzung einer Impedanz auf der Schallwand

0.05 0.1 0.2 0.4

0.02

0.2

h/λ

Re(Z/ρc)

0.05 0.1 0.2 0.4

−10

h/λ

Im(Z/ρc)

R1 R2 R3

f1 f2

Bild 5.5: Impedanz der 3 Resonatoren, f1,f2und f3sind die Resonanzfre-

quenzen

Der Einﬂuss der Resonatoren, die auf den Hornw¨

anden und auf der Schall-

wand angebracht werden, ab hier RW¨

und RS”genannt, kann dann gemein-

sam dargestellt werden. F¨

ur den RS werden die Parameter der 1. Zeile in

Tabelle (5.1) genommen, da man einen m¨

oglichst großen Bandbreite beein-

ﬂussen will. In Bild 5.6 werden die Ergebnisse aller Anordnungen gezeigt. Die

Verengung der Strahlbreite, die mit der Aufstellung der Impedanz auf den

Hornw¨

anden erreicht werden, konnte mit dem zus¨

atzlichen Resonator auf der

Schallwand verbessert werden.

0.05 0.1 0.2 0.4

100

180

Strahlbreite

h/λ

schallhart

RW+RS

0.05 0.1 0.2 0.4

−8

−6

−4

−2

Abstrahlgrad

h/λ

10log(σ)

schallhart

RW+RS

fRW

fRS

Bild 5.6: oben: Strahlbreiten eines 60◦-Hornes ohne und mit Helmholtz-

Resonatoren; unten: die entsprechenden Abstrahlgrade

6. Der 3D-Schalltrichter

Es ist wichtig zu wissen, wie sich die im vorherigen Kapitel berechnete Schall-

abstrahlung durch den Einsatz der dritten Dimension ¨

andert. Der ¨

Ubergang

vom 2D-Modell zum 3D-Modell ist unmittelbar. Jetzt betrachtet man die

senkrechte Breite des Schalltrichters. Alle Gr¨

oßen h¨

angen auch von der drit-

ten Koordinate ab. Das macht alle Berechnungen komplizierter und zeitauf-

wendiger, da Doppelintegralen und Doppelsummen ben¨

otigt werden. Es gibt

jetzt auch in der z-Richtung Moden. Die Menge der Wellenzahlen in der Aus-

breitungsrichtung wird viel gr¨

oßer. Zum Beispiel ergeben 5 Moden in y- und

5 in z-Richtung 25 Moden. Als Startpunkt versieht man alle St¨

ucke des Horns

erneut mit Feldans¨

atzen. F¨

ur das i-te St¨

uck gilt:

p(i)

ρcv0

(x, y, z)=

n,m

(A(i)

nme−jk(i)

nmx+B(i)

nme−jk(i)

nm((i)−x))cos(k(i)

nyy)cos(k(i)

mzz)

(6.1)

was wieder eine Summe von hin- und r¨

ucklaufenden Wellen in x-Richtung

darstellt, deren Amplituden in y- und z-Richtung variieren. Diese Quer-

schnittsverteilungen (Moden) werden durch die Wellenzahlen kny und kmz,

die mit den Impedanzen auf den W¨

anden Zwyund Zwzbestimmt werden

m¨

ussen, dargestellt:

k(i)

ny tan(k(i)

nyh(i))= jk0

Z(i)

wy/ρc

k(i)

mz tan(k(i)

mzd(i))= jk0

Z(i)

wz/ρc

Die Wellenzahlen in der Ausbreitungsrichtung haben die Werte:

k(i)

nm =k2

0−(k(i)

ny)2−(k(i)

mz)2,Im(k(i)

nm)<0

F¨

ur die numerische L¨

osung des Problems ist es n¨

utzlicher keine Doppelsumme

zu haben, sondern nur eine Einzelsumme. Dieses wird durch die Sortierung

allen knm mit wachsendem, negativem Imagin¨

arteil bewirkt. Die neue Liste

von Wellenzahlen wird als (kµ) dargestellt, so dass man f¨

ur den Schalldruck

im i-ten St¨

uck schreibt:

p(i)

ρcv0

(x, y, z)=

µ=N



µ=1

(A(i)

µe−jk(i)

µx+B(i)

µe−jk(i)

µ((i)−x))φ(i)

µ(y,z) (6.2)

mit der Funktion φ(i)

µ(y,z):

φ(i)

µ(y,z)=cos(k(i)

µyy)cos(k(i)

µz z)

Der neue Index µenth¨

alt die Indexe (n,m), die den Wert von kµbestimmen.

Das Schallfeld im Halbraum wird durch die Fourier-Transformierte-Schnelle

auf der Ebene x=0 bestimmt.

p(a)

ρcv0

(x, y, z)= 1

(2π)2∞

−∞ ∞

−∞

V(ky,k

e−jkrxejkyyejkzzdkydkz(6.3)

Hierbei ist das Schnelle-Spektrum

V(ky,k

=∞

−∞ ∞

−∞

v(M)

(0,y,z)e−jkyye−jkzzdydz

und die Wellenzahl (kr)

kr=









+k2

0−k2

y−k2

z,k

0>k

y+k2

−jk2

y+k2

z−k2

0,k

0<k

y+k2

(6.4)

Nur die Koeﬃzienten Aµund Bµsind unbekannt, und werden durch die

L¨

osung eines linearen Gleichungssystems, das durch die Erf¨

ullung der Rand-

bedingungen entsteht, ermittelt.

F¨

ur die Schnelle an der Membran gilt die Randbedingung:

v(1)

(0,y,z)=vM

(y,z,f)|y|<h

(1) ∪|z|<d

(1) (6.5)

f¨

ur den i-ten Querschnittsprung:

p(i)

ρcv0

((i),y,z)=p(i+1)

ρcv0

(0,y,z)|y|<h

(i)∪|z|<d

(i)(6.6)

68 Der 3D-Schalltrichter

Da es angenommen wird, dass auf den W¨

anden zwei verschiedene Impedan-

zen angebracht werden k¨

onnen, die Einﬂuss auf die waagerechte und senk-

rechte Ebene aus¨

uben k¨

onnen, schreibt man f¨

ur die Schnelle:

v(i+1)

(0,y,z)=









v(i)

v0((i),y,z)|y|<h

(i)∪|z|<d

(i)

ρc

Z(i+1)

p(i+1)

ρcv0(0,y,z)S(i+1)

1∪S(i+1)

ρc

Z(i+1)

p(i+1)

ρcv0(0,y,z)S(i+1)

3∪S(i+1)

(6.7)

Die vier Fl¨

achen S(i+1)

1, ..., S(i+1)

4sieht man in Bild 6.1. F¨

ur den Schalldruck

im letzten St¨

uck gilt:

p(M)

ρcv0

((M),y,z)= p(a)

ρcv0

(0,y,z),|y|<h

(M)∪|z|<d

(M)(6.8)

Durch die Benutzung der Orthogonalit¨

atsrelationen kann man das lineare

Gleichungssystem bilden. Genau wie beim 2D-Modell werden ¨

ahnliche Ma-

trizen gefunden. Das Verfahren, um das Gleichungssystem zu bestimmen,

ist dasselbe als f¨

ur den Fall in zwei Dimensionen, nur muss man die beide

Seiten der Randwerterelationen mit φ(i)

µ(y,z)oderφ(i+1)

µ(y,z) multiplizieren

und ¨

uber das geeignete Intervall integrieren. Die Randbedingung auf der

schwingenden Membran liefert ¨

ahnliche Gleichungen wie (2.27) und (3.4)

k(1)

k0A(1)

µ−B(1)

µe−jk(1)

µ(1) =Ψ

µµ=1,2..., N (6.9)

Die Randbedingungen auf dem Querschnittsprung ergeben ¨

ahnliche Glei-

chungen wie (3.13) und (3.16):

A(i)

µe−jk(i)

µl(i)+B(i)

µ=

ν=N



ν=1

Ω(i)

µν[A(i+1)

ν+B(i+1)

νe−jk(i+1)

νl(i+1) ] (6.10)

k(i+1)

k0A(i+1)

µ−B(i+1)

µe−jk(i+1)

µl(i+1) +

ν=N



ν=1

Γ(i)

µν(A(i+1)

ν+B(i+1)

νe−jk(i+1)

νl(i+1) )

ν=N



ν=1

k(i)

Υ(i)

µν(A(i)

νe−jk(i)

νl(i)−B(i)

ν)µ=1,2, ...N (6.11)

In den Konstanten Γ(i)

µν sind die Impedanzen ZRy und ZRz eingeschlossen. Die

letzte Randbedingung, n¨

amlich die Anpassung des Druckes im letzten St¨

uck

mit dem Druck im Halbraum, ergibt eine andere Gruppe von Gleichungen.

Wenn keine Impedanz auf der Schallwand angebracht wird, entstehen die

folgenden N Gleichungen, wie in (2.17) und (3.8):



(k(M)

Gµν −δµν)e−jk(M)

ν(M)A(M)

ν−

(k(M)

Gµν +δµν)B(M)

ν= 0 (6.12)

Wenn auch auf die Schallwand Impedanzen angebracht werden (Bild 6.2),

braucht man einen zus¨

atzlichen Feldansatz f¨

ur die Schnelle in der Region wo

die Impedanzen sich beﬁnden (wie in Gl. (5.1) der vorherigen Kapitel).

Der Ansatz f¨

ur die Schnelle ist:

vW(y,z)

=



s,t Cstηs,t(y,z)S1∪S2

p,q Dpqϕp,q(y,z)S3∪S4

(6.13)

wobei die Querverteilungen ηst sind:

ηs,t(y,z)=cos[b(1)

sy (|y|−h(M))] cos(g(1)

tz z)

mit

b(1)

sy =(s−0.5)π

g(1)

tz =(t−0.5)π

d(M)s, t =1,2, ...

und die Querverteilungen ϕpq sind:

ϕpq(y,z)=cos(b(2)

py y)cos[g(2)

qz (|z|−d(M))]

mit

b(2)

py =(p−0.5)π

h(M)g(2)

qz =(q−0.5)π

p, q =1,2, ...

Von der Doppelsumme geht man ¨

uber zur Einzelsumme mit der Sortierung

des Betrags |b2+g2|. Dann schreibt man Gl. (6.13) als:

vW(y,z)

=







αCαcos[b(1)

αy (|y|−h(M))] cos(g(1)

αz z)S1∪S2

βDβcos(b(2)

βy y)cos[g(2)

βz (|z|−d(M))] S3∪S4

(6.14)

70 Der 3D-Schalltrichter

Die Anpassung des Druckes ergibt jetzt mehr Termen als in Gl. (6.12):



νk(M)

Gµν −δµνe−jk(M)

ν(M)A(M)

ν−

νk(M)

Gµν +δµνB(M)

ν+

N(M)

µay

λd(M)

λ

CαWµ

αy +az

λh(M)

λ

DβWµ

βz=0

(6.15)

Außerdem verlangt man, dass das Verh¨

altnis p/v auf der Schallwand gleich

den Impedanzen Zyund Zzsein soll. Diese Bedingungen liefern die letzte 2N

Gleichungen:

Zy(h(M)

λ)(d(M)

λ)

k(M)

(A(M)

νe−jk(M)

ν(M)−B(M)

ν)Wα

νy+

λ)(d(M)

λ)

CδUαy

δy +(az

λ)(h(M)

λ)

DβUαy

βz +

4

Cδ(Ly)δα =0 α=1, ..., N (6.16)

und

Zz(h(M)

λ)(d(M)

λ)

k(M)

(A(M)

νe−jk(M)

ν(M)−B(M)

ν)Wβ

νz+

λ)(d(M)

λ)

CαUβz

αy +(az

λ)(h(M)

λ)

DγUβz

γz +

4

Dγ(Lz)γβ =0 β=1, ..., N (6.17)

Eine ausf¨

uhrlichere Herleitung der Konstanten Wµ

αy,Wµ

βz,Uαy

δy , ... etc. beﬁn-

den sich in Anhang A.

Wenn man erst einmal die Koeﬃzienten berechnet hat, dann kann man

die Schallabstrahlung charakterisieren. Die ¨

ortliche Schallabstrahlung des 3-

dimensionalen Schalltrichters wird jetzt durch zwei Richtcharakteristiken be-

schrieben, in waagerechter und in senkrechter Richtung. Zur Bestimmung des

Einﬂusses der dritten Dimension auf der Richtcharakteristik, variiert man die

Mundbreite in der senkrechten Richtung unter Festsetzung der anderen Brei-

te. Es ergibt sich, dass die waagerechte Strahlbreite nur kleine Unterschiede

hat. Das zeigt dass die Strahlbreiten beider Achsen unabh¨

angig voneinander

sind. Zus¨

atzlich ﬁndet man kleine Unterschiede zwischen den Strahlbreiten

eines 3D-Schalltrichters mit den Strahlbreiten von zwei 2D-Schalltrichtern

derselben Abmessungen, wenn sie keinen Flansch haben (Bild 6.3). Mit Flan-

schen sieht man aber Unterschiede. Der Abstrahlgrad ist dagegen anders, be-

sonders bei tiefen Frequenzen, wo das 3D-Horn wenig leistungsf¨

ahig ist (siehe

Bild 6.4). Wenn man den Abstrahlgrad einer 2D-Kolbenmembran der L¨

ange

mit einer 3D-Kolbenmembran der Fl¨

ache 2bei tiefer Frequenz vergleicht,

ﬁndet man dass der Abstrahlgrad des 2D-Strahlers mit -3dB/Oktave bei ab-

nehmenden Frequenzen f¨

allt, w¨

ahrend die Verminderung beim 3D-Strahler

-6dB/Oktave erreicht.

Der Eﬀekt der Impedanzen auf die Richtwirkung wird jetzt in konkreten

2D und 3D F¨

allen vergleichen. Beim 2D Fall hat man die Kurven der Kapi-

teln 3 und 4 (Bild 4.19 und 5.6). Beim 3D Fall wird ein 60◦x40◦-Horn mit

120◦und 80◦Flanschen genommen (Bild 6.5), aber nur auf der vertikalen

Wand bringt man eine Impedanz an, so dass der Eﬀekt in die waagerech-

ten Richtung ausge¨

ubt wird. Die Kurven in beiden F¨

allen (Bild 6.6) sehen

sich sehr ¨

ahnlich. Sie zeigen dieselbe Tendenz, aber beim 2D-Trichter ist die

Verbesserung gr¨

oßer. In Bild 6.7 kann man sehen, dass es einen Fall des Ab-

strahlgrades in der Region der Resonanz gibt, wenn der Resonator auf der

Wandung (RW) angebracht ist. Er beeinﬂusst nicht nur die Richtcharakte-

ristik, sondern auch die abgestrahlte Leistung. Die Breite des Lochs in der

Abstrahlgrad-Kurve h¨

angt von der Werte des imagin¨

aren Teils der Impedanz.

Der Resonator auf der Schallwand (RS) hingegen hat haupts¨

achlich einen

Einﬂuss auf die Richtwirkung, da er eine Ausbreitung parallel zur Schallwand

verhindert. In der Praxis kann man dieses Problem durch einen geeigneten

Ausgleich des Eingang-Signals ausbessern.

72 Der 3D-Schalltrichter

2h(i)

2h(i+1)

(i)

2d(i+1)

(i+1) S2

(i+1)

ZRz

(i+1)

ZRz

(i+1)

ZRy

(i+1)

ZRy

(i+1)

Bild 6.1: F¨

ur die Anpassung der Schnelle an der Querschnittssprung hat man

vier Fl¨

achen, S(i+1)

1und S(i+1)

2mit Impedanz Z(i+1)

Ry und S(i+1)

3und S(i+1)

4mit

Impedanz Z(i+1)

ZyZy

S1S2

2h(M)

(M)

2(h(M)+a )

2(d(M)

+a )

Bild 6.2: Auf der Schallwand, k¨

onnen zwei verschiedenen Impedanzen be-

trachtet werden Zyund Zz. Sie beeinﬂussen die Richtwirkung in die waage-

rechte bzw. senkrechte Richtung.

74 Der 3D-Schalltrichter

8.66 8.66 1

4.15

Bild 6.3: Abmessungen eines 60◦x40◦Schalltrichters

0.05 0.1 0.2 0.4

−15

−10

−5

h/λ

10log(σ)

60° 2D−Horn

40° 2D−Horn

60°x40° 3D−Horn

Bild 6.4: Abstrahlgrade von zwei 2D-Schalltrichtern und einem 3D-

Schalltrichter

3.46

1.73

3.46

1.73

2.26 3.71

Bild 6.5: Abmessungen des 3D-Schalltrichters

76 Der 3D-Schalltrichter

0.05 0.1 0.2 0.4

100

180

Strahlbreite

h/λ

schallhart

RW+RS

0.05 0.1 0.2 0.4

100

180

Strahlbreite (3D)

h/λ

schallhart

RW+RS

Bild 6.6: Strahlbreiten eines 60◦-Hornes ohne und mit Helmholtz-

Resonatoren (oben) und Strahlbreite in waagerechter Richtung eines 60◦x40◦-

Hornes ohne und mit Helmholtz-Resonatoren (unten)

0.05 0.1 0.2 0.4

−40

−30

−20

−10

h/λ0

10 log(σ)

schallhart

RW+RS

Resonanzfrequenz

des RW

Bild 6.7: Abstrahlgrad des 3D-Schalltrichters ohne und mit Helmholtz-

Resonatoren

7. Messungen

Zur ¨

Uberpr¨

ufung der vorgestellten theoretischen Ergebnisse wurden Messun-

gen durchgef¨

uhrt. Der 60◦x40◦konische Schalltrichter von Kapitel 5, mit

Flanschen auf beiden Seiten, wurde aufgestellt und in einem Holzbrett einge-

schraubt (siehe Bilder 7.1 und 7.2). Der Trichter war auch aus 9 mm dickem

60°

Resonator

10cm

17,3cm 8,7cm

30cm

60cm

40°

10cm

17,3cm 8,7cm

22,6cm

37,1cm

Bild 7.1: waagerechter Ansicht (oben) und senkrechter Ansicht (unten) des

Trichters

Holz. Das Brett mit dem Trichter wurde in einen kleinen reﬂexionsarmen

Raum (Camara Silenta) gestellt, da der große Raum zu dieser Zeit renoviert

wurde. Das Signal wurde mit einem kleinen Lautsprecher (10 cm Durchmes-

ser) erzeugt. Mit einem 1/2Mikrophon wurde der Schalldruck in waagerechter

Richtung, 1.65 m vom Hornmund entfernt, jede 5 Grad zwischen 0◦und 90◦

gemessen. Bez¨

uglich der Breite des Mundes in y-Richtung soll die entspre-

7.1 Resonatoren 79

chende Strahlbreite bei Frequenzen tiefer als 1.3 kHz ihren konstanten Wert

allm¨

ahlich verlieren, deshalb wurde den Schalldruck von 300 bis 3300 Hz ge-

messen. Der Abstand zwischen Mikrophon und Hornmund sollte gr¨

oßer sein,

aber wegen der Gr¨

oße der Camara Silenta konnte nur bei diesem Abstand

bis 90◦gemessen werden.

7.1 Resonatoren

Zwei unterschiedlichen Resonatoren wurden benutzt. Einer wurde auf der

Wand des Trichters angebracht und der andere auf der Schallwand. Wie im

vorherigen Kapitel, werden sie zur Abk¨

urzung als RW¨

und RS”bezeichnet.

Die Resonatoren bestehen aus einer Box aus Holz, bedeckt mit einer 12 mm

dicken Platte mit Kreisbohrungen von 10 mm Durchmesser. Der Abstand

zwischen den Bohrungen ist 20 mm, und die Tiefen der Hohlr¨

aume betragen

85 mm und 110 mm. Eine 10 mm dicke, por¨

osen Schicht aus Schaumstoﬀ

wurde hinter die Platte gesetzt. Wie erw¨

ahnt, wurden sie nur auf der waa-

gerechten Ebene angebracht, um auf die Richtwirkung in dieser Ebene Ein-

ﬂuss zu nehmen. In den vorherigen Kapiteln wurden die wichtigen Parameter

der Resonatoren bestimmt. Bez¨

uglich der Form des Resonators gilt f¨

ur die

Fl¨

achenmasse folgende Formel:

m”

ρh =1

σb

h+1.6r

h) (7.1)

wobei σbdie Por¨

osit¨

at der Platte, r den Radius der Bohrungen und b die

Dicke der Platte darstellen. Die Breite des RS”wurde H/2gew

ahlt. Die

Frequenzg¨

ange der Resonatoren wurden gemessen und mit den theoretischen

Kurven verglichen (Bild 7.4). Die gemessene erste Resonanzfrequenz von bei-

den Resonatoren stimmen sehr gut mit der Theorie ¨

uberein, der RS zeigt die

2. und 3. Resonanzen, aber der RW hat sie abgeschw¨

acht, m¨

oglicherweise,

weil die Box keine rechteckige sondern trapezoide Form hat, und sich ein mehr

diﬀuses Schallfeld bildet. Diese erste Resonanzfrequenz interessiert Einen be-

sonders, da sie in der Region I liegen muss, damit die Richtwirkung beeinﬂusst

werden kann.

80 Messungen

18.4 cm

30 cm

60 cm

7.1 cm 22.6 cm 20 cm

11.3 cm

10 cm

17.3 cm

Resonatoren

Lautsprecher

Bild 7.2: oben: Abwicklung des Trichters; unten: Vorderansicht des Trichters

mit dem RW

7.1 Resonatoren 81

14 cm

20.7 cm

2.3 cm 37.1 cm

15 cm

Bild 7.3: Abmessungen der Resonatoren RW”(links) und RS”(rechts). Der

RW ist 110 mm tief und der RS 85 mm. Die Bohrungen haben einen Radius

von r=5 mm und sind 20 mm voneinander getrennt

82 Messungen

340 680 1360 2720

−30

−20

−10

20 Frequenzgang

f (Hz)

Pegeldifferenz (dB)

340 680 1360 2720

−30

−20

−10

20 Frequenzgang

f (Hz)

Pegeldifferenz (dB)

Bild 7.4: Frequenzg¨

ange der Resonatoren; oben: theoretische Kurven; unten:

gemessene Kurven

7.2 Verfahren 83

7.2 Verfahren

Mit einem FFT-Analysator wurde der Schalldruck im Frequenzbereich von

300 Hz bis 3300Hz, mit einer Auﬂ¨

osung von 7.5 Hz, gemessen. Da es nicht

n¨

otig war, eine absolute Messung durchzuf¨

uhren, wurde das Mikrophon nicht

kalibriert. Zur Berechnung der Strahlbreite braucht man nur die Diﬀerenz der

Schalldruckpegel im Vergleich zum Pegel auf der Achse. Die vier m¨

oglichen

Verstärker

FFT

Analysator

Rechner

Mikrophon

Strahlbreite

Bild 7.5: Meßaufbau zur Berechnung der Strahlbreite

Anordnungen wurden untersucht:

•ohne Resonatoren (schallharte Wandung),

•nur mit dem Resonator auf der Hornwand,

•nur mit dem Resonator auf der Schallwand,

•mit beiden Resonatoren.

Jeder Fall brauchte 17 Messungen, die in Dateien gespeichert wurden, eine f¨

jeden Winkel zwischen 0◦und 90◦. Zur Bestimmung der Strahlbreite wurde

84 Messungen

die Information der Dateien verarbeitet. Zuerst wurde die Richtcharakteri-

stik f¨

ur jede Frequenz berechnet und von dieser Kurve wurde die Strahlbreite

abgeleitet. Zur Messung der Frequenzg¨

ange wurden 2 Mikrophone benutzt,

eins war innerhalb des Boxes und das andere vor einer Bohrung. Bei der Mes-

sung waren die Resonatoren auf den Hornw¨

anden, bzw. auf der Schallwand

angebracht.

7.3 Auswertung der Ergebnisse

In den Bildern 7.6 bis 7.9 werden die gemessenen und berechneten Strahl-

breiten f¨

ur jede Anordnung verglichen. Trotz der N¨

ahe des Mikrophons, sieht

man im Allgemeinen eine gute ¨

Ubereinstimmung der Kurven. Die gr¨

oßten

Unterschiede erscheinen in der Oktave von 680 Hz bis 1360 Hz. In diesem

Frequenzbereich hat der Flansch den gr¨

oßten Einﬂuss. Der Flansch wirkt der

Verengung der Strahlbreite entgegen, die sich erzeugt wird, wenn die Wel-

lenl¨

ange vergleichbar mit der Breite des Hornmundes ist. Die gemessenen

Strahlbreiten, wenn es keinen Resonator auf dem Flansch gibt (Bilder 7.6

und 7.8), zeigen einen gr¨

oßeren Einﬂuss des Flansches, als in der Simulation.

Es muss ber¨

ucksichtigt werden, dass es im simulierten Modell, keine stetige

Querschnitts¨

anderung gibt sondern kleine St¨

ucke, die zu Querschnittspr¨

unge

f¨

uhren.

Die von den Messungen resultierten Strahlbreiten-Kurven haben Spr¨

unge,

weil der Schalldruck nur alle 5◦bestimmt wurde. Und da eine symmetrische

Richtwirkung angenommen wurde, ¨

andern sich die Kurven in 10◦-Spr¨

unge

(in der Simulation haben die Strahlbreiten 1◦Auﬂ¨

osung).

Der Einﬂuss des Resonators auf der Hornwand ist nicht so ausgepr¨

agt wie

in der Theorie (Bild 7.7). Ein Grund daf¨

ur kann in seiner Form liegen (tra-

pezoid), die der Frequenzgang des Resonators beeinﬂusst hat. Aber auch,

reﬂektiert sich ein Teil des Schalls auf der Platte. In der Simulation wird

die ganze Fl¨

ache mit der Impedanz des Resonators betrachtet. In demsel-

ben Bild erscheinen in der berechneten Strahlbreite ein Minimum und einen

Peak, die in der Messung nicht zu sehen sind. Das Minimum soll von ei-

ner Oberﬂ¨

achenwelle erzeugt werden, da unterhalb der Resonanzfrequenz ei-

nes Resonators, die Impedanz eine Federungscharakter hat. In der Messung

ist wahrscheinlich der Realteil der Impedanz gr¨

oßer, und die Wirkung der

Oberﬂachenwelle l¨

asst sich nicht bemerkbar machen. Der Peak entspricht der

zweiten Resonanzfrequenz, die in dem gemessenen Frequenzgang geschw¨

acht

erscheint.

7.3 Auswertung der Ergebnisse 85

340 680 1360 2720

120

180

f (Hz)

berechnet

gemessen

Bild 7.6: Berechnete und gemessene Strahlbreiten f¨

ur den Fall schallharter

Wandung

340 680 1360 2720

120

180

f (Hz)

berechnet

gemessen

Bild 7.7: Berechnete und gemessene Strahlbreiten mit dem Resonator auf der

Hornwand

86 Messungen

340 680 1360 2720

120

180

f (Hz)

berechnet

gemessen

Bild 7.8: Berechnete und gemessene Strahlbreiten mit dem Resonator auf

dem Flansch

340 680 1360 2720

120

180

f (Hz)

berechnet

gemessen

Bild 7.9: Berechnete und gemessene Strahlbreiten mit beiden Resonatoren

7.3 Auswertung der Ergebnisse 87

340 680 1360 2720

120

180

f (Hz)

schallhart

RW+RS

Bild 7.10: Vergleich der theoretischen Strahlbreiten

340 680 1360 2720

120

180

f(Hz)

schallhart

RW+RS

Bild 7.11: Vergleich der gemessenen Strahlbreiten

88 Messungen

340 680 1360 2720

−15

−10

−5

f (Hz)

Pegeldifferenz (dB)

schallhart

RW+RS

Bild 7.12: Schalldr¨

ucke auf der Achse des Schalltrichters f¨

ur die vier Anord-

nungen

In Bild 7.8 sieht man, dass die Bandbreite, in der der Resonator auf der

Schallwand wirkt, enger in der Messung ist, als in der Theorie. Das zeigt, dass

die in der Simulation betrachtete Luftmasse der Bohrungen, kleiner ist, als

in der Wirklichkeit. Je kleiner die Masse, desto breiter ist das Frequenzband,

wo der Resonator wirkungsvoll ist.

Wenn die Kurven der vier Anordnungen zusammen dargestellt sind, und

die theoretischen und gemessenen Ergebnisse verglichen werden (Bilder 7.10

und 7.11), erkennt man, dass die ¨

Anderungen der Strahlbreiten dasselbe Mu-

ster haben.

Wie erwartet ist eine Abnahme des Frequenzganges in der N¨

ahe der Re-

sonanzfrequenz des Resonators auf der Hornwand zu erkennen, das sieht man

in Bild 7.12, wo der Schalldruck auf der Achse des Schalltrichters dargestellt

wird. Wenn der Resonator allein auf der Schallwand angebracht wird, sieht

man eine kleine Abnahme des Pegels. Auf der Hornwand ¨

andert der Reso-

nator das Schallfeld innerhalb des Hornes und nah zur Resonanzfrequenz

wird wenig abgestrahlt. Auf der Schallwand l¨

asst der Resonator nicht den

Schall parallel zur Schallwand ausbreiten. Dieses Minimum des Frequenz-

ganges muss ber¨

ucksichtigt werden und durch eine geeignete Einstellung des

Verst¨

arkers verbessert werden. Ab etwa 2.5 kHz sieht man eine Abnahme des

Schallpegels. Die Membran wird sich ab dieser Frequenz nicht mehr uniform

bewegen, verschiedene Zonen der Membran werden verschiedene Schnellen

7.3 Auswertung der Ergebnisse 89

haben.

Andere Faktoren k¨

onnen bei den Unterschieden zwischen Messungen und

Theorie mitwirken. Die Verluste durch die W¨

ande wurde nicht betrachtet,

theoretisch sollten sie eine unendliche Impedanz haben, was sicherlich nicht

gegeben ist. Die Schallwand war nat¨

urlich nicht unendlich. Wegen der Große

der Camara Silenta konnte das Horn nicht in die Mitte der Schallwand einge-

baut werden, was zu einer nicht symmetrischen Abstrahlung f¨

uhren konnte.

Man k¨

onnteeinegr

oßere ¨

Ubereinstimmung erreichen, wenn man die Impe-

danz der Resonatoren misst und die Werte als Parameter in das Program

einsetzt.

Wenn man, unter Ber¨

ucksichtigung der Meßbedingungen, auf die Ten-

denz der Kurven achtet, wird man die Best¨

atigung der Rechenmethode fest-

stellen. In anderen Arbeiten ¨

uber H¨

orner, auch die sich mit Wellenleitern

besch¨

aftigen, werden nur eindimensionalen Wellen (Grundmode) in H¨

orner

mit harten W¨

anden betrachtet. Die h¨

oheren Moden werden nicht ber¨

ucksichtigt.

In diesem Fall k¨

onnen die Richtwirkung und die Strahlbreite f¨

ur alle Fre-

quenzen aus einem einzigen Schnelle-Spektrum abgeleitet werden, wenn eine

Schallwand vorhanden ist. Das Modell, das in dieser Arbeit benutzt wur-

de, beachtet die h¨

oheren Moden und W¨

ande mit Impedanzen mit endlichen

Werten und zeigt ihrer Einﬂuss auf die Richtwirkung. Da die Wellenzahlen

der h¨

oheren Moden sich mit der Frequenz ¨

andern, gibt es ein unterschied-

liches Schnelle-Spektrum f¨

ur jede Frequenz und die Richtwirkung muss f¨

jede Frequenz berechnet werden. Das behindert eine direkte Vorhersage des

Frequenzganges der Strahlbreiten. Gefunden wurde, dass ein positiver Ein-

ﬂuss der h¨

oheren Moden auf die Richtwirkung durch die Belegung der Wan-

dung mit Impedanzen m¨

oglich ist. Das f¨

uhrt zu einer Verengung der Strahl-

breite, obwohl nicht in dem gew¨

unschten Maße und nicht in allen F¨

allen.

Dar¨

uberhinaus, muss die Absorption, die eine endliche Impedanz einsetzt,

beachtet werden. Die Benutzung eines Resonators auf der Schallwand bringt

eine zus¨

atzliche Verbesserung, ohne großen Einﬂuss auf die abgestrahlte Lei-

stung. Das bringt eine Vergr¨

oßerung der gesamten Mundﬂ¨

ache, was in Prinzip

zu vermeiden war.

8. Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit wurde der Einﬂuss von auf den W¨

anden ange-

brachten Impedanzen auf die Richtwirkung eines konischen Schalltrichters

untersucht. Zur Vereinfachung des Modells und der Rechnungen wurde an-

genommen, dass der Schalltrichter in einer unendlichen Wand eingebaut war.

Ein solches Modell hat den großen Vorteil, dass das Schallfeld im Halbraum

direkt von der Fourier-Transformierte-Schnelle auf dem Mund des Trichters

berechnet werden kann. Nun blieb als Hauptaufgabe, die Bestimmung der

Schallschnelle auf der Mund des Trichters, wenn der Schall durch einen Kol-

benmembran erzeugt wird. Daf¨

ur wurde den Schalltrichter nicht als ein gan-

zer Wellenleiter mit kontinuierlicher Querschnitt-Vergr¨

oßerung betrachtet,

sondern eine Diskretisierung der Querschnitts¨

anderung wurde verwendet,

d.h. der Schalltrichter wurde in kleine rechteckige Teilst¨

ucken zerlegt. Die

Feldans¨

atze in jedem St¨

uck enthalten Hin- und R¨

ucklaufenden Wellen mit

unterschiedlichen Amplituden, die durch die Erf¨

ullung der Randbedingungen

bestimmt werden. Dieses Verfahren erm¨

oglicht, dass jedes St¨

uck eine eigene

Impedanz haben kann, obwohl in der Studie nur eine gemeinsame Impedanz

genommen wurde. Analysiert wurde sowohl ein 2D-Schalltrichter als auch ein

3D-Schalltrichter, so dass die Genauigkeit eines 2D-Modells gepr¨

uft werden

konnte.

Das 1. Kapitel betrachtet den einfachsten Fall, ein einzelnes Kanalst¨

uck.

Auf einer Seite des Kanals beﬁndet sich die schwingende Membrane, die den

Schall erzeugt, auf der anderen Seite die ¨

Oﬀnung zum Halbraum, und auf den

W¨

anden ist eine lokal wirksame Impedanz. Die Anpassung des Schalldrucks

am Rohrmund und der Schallschnelle auf der Membran ergeben das Glei-

chungssystem, das die unbekannten Amplituden der Moden bestimmt. Wenn

N Moden betrachtet werden, bekommt man eine NxN Matrix, die invertiert

werden muss. Bei der Berechnungen wurden zahlreiche Moden genommen

und die Matrix blieb gut konditioniert. Die Ergebnisse der Rechnungen zei-

gen, nat¨

urlich, dass eine gr¨

oßere Anzahl von Moden bessere ¨

Ubereinstimmung

der Schnelle auf der Membran und Anpassung des Druckes auf der Mund er-

gibt.

Im 2. Kapitel wurde die Abstrahlung des 2D-Schalltrichters berechnet.

Er wird in M St¨

ucke zerlegt, so dass die L¨

ange jedes St¨

ucks immer kleiner als

ein Sechstel der Wellenl¨

ange ist. Unter dieser Kondition sind die Ergebnisse

vertrauensw¨

urdig. Die Randbedingungen am ersten und letzten St¨

uck sind

dieselben wie in Kapitel 1. Jetzt braucht man die Anpassung des Druckes

und Schnelle in jedem Querschnittsprung zu erf¨

ullen. Man bekommt dann

eine große 2NMx2NM Bandmatrix. Je gr¨

oßer die Matrix, desto gr¨

oßer ist die

Chance, dass die Matrix schlecht konditioniert wird, deshalb kann man nicht

so viele Moden nehmen, wie beim einzelnen Kanal. Die Ergebnisse zeigen

wieder eine Abh¨

angigkeit mit der Anzahl von Moden. Die ¨

Ubereinstimmung

des Druckes auf der Trennungsﬂ¨

ache ist besser als die der Schnelle und man

braucht wenige Moden. Die Richtwirkung und Abstrahlgrad, hier deﬁniert,

andern sich mit der Anzahl von Moden, aber der Abstrahlgrad ist weniger

empﬁndlich als die Richtwirkung. In der Regel reicht es wenn man 2 oder 3

nicht ausbreitungsf¨

ahige Moden nimmt.

In den ersten 2 Kapiteln wurde das L¨

osungsverfahren beschrieben und die

Ergebnisse ausgewertet, im 3. Kapitel wurde untersucht, wie die verschiede-

nen Arten von Impedanzen die Richtwirkungen beeinﬂussen. Daf¨

ur war es

notwendig, den Begriﬀ Strahlbreite einzuf¨

uhren, da sie als einen Maßstab der

Richtcharakteristik in der Frequenzdom¨

ane dient. Die zwei Grenzwerte der

Impedanzen (0 und ∞) wurden zuerst berechnet, da der Einﬂuss der Impe-

danzen mit endlichen Werten dazwischen liegen sollte, besonders bei Masse-

und Reibungscharakter. Die Strahlbreite eines idealen kegelf¨

ormigen Schall-

trichters (schallharter Wandung) wurde in 2 Regionen geteilt, in Region I

verkleinert sie sich monotonisch bis etwa den ¨

Oﬀnungswinkel, in Region II

bleibt sie konstant. Die gew¨

unschte Verengung der Strahlbreite in der Regi-

on I wegen der Einstellung der schallweichen Impedanz ﬁndet nur bei einem

großen ¨

Oﬀnungswinkel statt. Die Erkl¨

arung liegt darin, dass die Grundmo-

de bei kleineren ¨

Oﬀnungswinkeln dominiert, w¨

ahrend bei gr¨

oßeren Winkeln

die h¨

oheren Moden an Bedeutung gewinnen. Die Benutzung eines Flansches

zeigt einen Einﬂuss auf den Amplituden der h¨

oheren Moden, deshalb wurde

eine Verengung der Strahlbreite erreicht, als die Impedanz auf dem Flansch

gestellt wurde. Eine Impedanz gleich Null ﬁndet man in der Wirklichkeit

nicht, aber kleine Impedanzen ergeben ¨

ahnliche Kurven. Die ¨

Anderung an

der Strahlbreite braucht man nur in Region I, d.h. der Betrag der Impedanz

in Region II soll nicht mehr klein sein. Eine Masseimpedanz w¨

achst mit der

Frequenz (Z=jm”ω) und erf¨

ullt diese Bedingung. Ein Helmholtz-Resonator

hat auch eine Massenimpedanz gleich nach der Resonanzfrequenz und eine

Steifeimpedanz kurz vor ihr, deshalb wurde ein Resonator gesucht, der eine

bessere Strahlbreite erzeugt. Die beste Kurve wurde gefunden, als die Re-

sonanzfrequenz am Anfang der Region I lag. Die erreichte Verengung der

92 Zusammenfassung

Strahlbreite hat Werte zwischen 30◦und 60◦in etwa 1.5 Oktaven.

In Kapitel 4 wurde untersucht, was passiert wenn die Schallwand nicht

ganz schallhart ist, sondern wenn es neben dem Trichtermund eine Impedanz

der L¨

ange ¨

a”gibt. In diesem Fall wurde f¨

ur die Schnelle normal zur Wand

entlang der Impedanz ein Ansatz gemacht und verlangt, dass das Verh¨

altnis

p/v gleich der Wandimpedanz sein muss. Die Strahlbreiten aller untersuch-

ten H¨

orner zeigen eine Verengung, wenn die Wandimpedanz Null ist. Hier

wurde auch einen Resonator gesucht, der die beste Kurve liefert. Die Reso-

nanzfrequenz in diesem Fall ergibt sich f¨

ur denselben Schalltrichter h¨

oher als

die f¨

ur den Resonator auf der Wand, aber sie liegt auch in der Region I. Die

Strahlbreite, wenn beide Resonatoren benutzt werden, zeigt eine Kurve, die

zwischen beiden F¨

allen liegt.

Der 3D-Schalltrichter wurde in Kapitel 5 betrachtet. Der Einsatz der drit-

ten Dimension braucht keine neue prinzipiellen Erkenntnisse. Die Ergebnisse

zeigen, dass die Strahlbreiten in beiden Ebenen etwa unabh¨

angig voneinander

sind, da ¨

Anderungen in der Mundbreite in einer Dimension kleine Variationen

der Strahlbreite in der anderen Dimension mit sich bringen. Außerdem wurde

festgestellt, dass das 2D-Modell eine gute Ann¨

aherung f¨

ur die Strahlbreite in

einer Ebene liefert. Der Abstrahlgrad ist bei tiefen Frequenzen anders.

Die theoretischen Ergebnisse wurden Messungen gegen¨

ubergestellt und

im letzten Kapitel dargestellt. Obwohl die Messungen in einem kleinen re-

ﬂexionsarmen Raum und auf einer kurzen Distanz zu dem Schalltrichter

durchgef¨

uhrt wurden, zeigen die Strahlbreiten dasselbe Verhalten wie von der

Theorie vorhergesagt, anders gesagt, der theoretische Einﬂuss der Impedan-

zen wurde best¨

atigt. Bessere ¨

Ubereinstimmung der Werte der Strahlbreiten

ist zu erwartet, wenn das Mikrophon weiter entfernt vom Horn aufgestellt

wird. Mit der Aufstellung eines Resonators auf der Wand des Schalltrichters

konnte seine Strahlbreite in etwa 1.5 Oktaven bei tiefen Frequenzen von 20◦

bis 40◦verengt werden, mit der Aufstellung eines zus¨

atzliches Resonators auf

der Schallwand konnte eine gr¨

oßere Verengung bis 60◦in einigen Frequenzen

in demselben Frequenzbereich erreicht werden.

In dieser Arbeit wurden beiden Hornw¨

anden mit der gleichen Impedanz

belegt. Es wurde nicht untersucht, wie die Richtwirkungen sich ¨

andern, wenn

verschiedene Impedanz benutzt werden. Daf¨

ur sollte man auch die unsym-

metrischen Moden ber¨

ucksichtigen. Man k¨

onnte auch eine gewisse Richtcha-

rakteristik mit einer geeigneten Auswahl der Impedanzen erzeugen. Dasselbe

gilt f¨

ur die Impedanzen auf der Schallwand. Mit diesen Fragen k¨

onnte man

sich in einer weiteren Arbeit besch¨

aftigen.

A. Berechnung des

Gleichungssystems beim

3D-Schalltrichter

Der Schallfeldansatz f¨

ur das i-te St¨

uck lautet:

p(i)

ρcv0

(x, y, z)=

µ=N



µ=1

(A(i)

µe−jk(i)

µx+B(i)

µe−jk(i)

µ((i)−x))φ(i)

µ(y,z)(A.1)

v(i)

(x, y, z)=

µ=N



µ=1

k(i)

(A(i)

µe−jk(i)

µx−B(i)

µe−jk(i)

µ((i)−x))φ(i)

µ(y,z)(A.2)

φ(i)

µ(y,z)=cos(k(i)

µyy)cos(k(i)

µz z)

Die Orthogonalit¨

at der Funktionen φ(i)

µ(y,z)erm

oglicht, dass man durch die

Randbedingung f¨

ur die Schnelle an der Membran (Gl. (6.5)) N Gleichungen

erh¨

alt:

S(1) S(1)

φ(1)

µ(y,z)v(1)

(0,y,z)dydz =1

S(1) S(1)

φ(1)

µ(y,z)vM

(y,z)dydz

⇒k(1)

k0A(1)

µ−B(1)

µe−jk(1)

µ(1) =Ψ

µµ=1,2..., N (A.3)

Angenommen, dass die Membran sich mit einer konstanten Schnelle bewegt,

dann ergibt sich f¨

ur die Termen auf der rechten Seite:

Ψµ=1

N(1)

sinc(k(1)

µy h(1))sinc(k(1)

µz d(1))(A.4)

94 Berechnung des Gleichungssystems beim 3D-Schalltrichter

wobei N(1)

µaus diesen Formeln entsteht:

N(i)

µ=1

S(i)S(i)

[φ(1)

µ(y,z)]2dydz =1

4[1 + sinc(2k(i)

µyh(i))][1 + sinc(2k(i)

µz d(i))]

Aus der Randbedingung f¨

ur den Schalldruck auf dem i-ten Querschnittsprung

(Gl. (6.6)) erh¨

alt man N Gleichungen:

S(i)S(i)

φ(i)

µ(y,z)p(i)

ρcv0

((i),y,z)dydz =1

S(i)S(i)

φ(i)

µ(y,z)p(i+1)

ρcv0

(0,y,z)dydz

⇒A(i)

µe−jk(i)

µ(i)+B(i)

µ=

ν=N



ν=1

Ω(i)

µν[A(i+1)

ν+B(i+1)

νe−jk(i+1)

ν(i+1) ],µ=1, ..., N

(A.5)

dabei ist Ω(i)

µν

Ω(i)

µν =1

4N(i)

S(i)S(i)

φ(i)

µ(y,z)φ(i+1)

ν(y,z)dydz

4N(i)

(sinc[(k(i)

µy +k(i+1)

νy )h(i)]+sinc[(k(i)

µy −k(i+1)

νy )h(i)])

(sinc[(k(i)

µz +k(i+1)

νz )d(i)]+sinc[(k(i)

µz −k(i+1)

νz )d(i)]) (A.6)

Aus der Randbedingung f¨

ur die Schallschnelle auf dem i-ten Querschnitt-

sprung (Gl. (6.7)) erh¨

alt man auch N Gleichungen:

S(i+1) S(i+1)

φ(i+1)

µ(y,z)v(i+1)

(0,y,z)dydz +

S(i+1) S(i+1)

1+...S(i+1)

φ(i+1)

µ(y,z)1

Z(i+1)

R/ρc

p(i+1)

ρcv0

(0,y,z)dydz

S(i+1) S(i)

φ(i+1)

µ(y,z)v(i)

((i),y,z)dydz

⇒k(i+1)

k0A(i+1)

µ−B(i+1)

µe−jk(i+1)

µl(i+1) +

ν=N



ν=1

Γ(i)

µν(A(i+1)

ν+B(i+1)

νe−jk(i+1)

νl(i+1) )

ν=N



ν=1

k(i)

Υ(i)

µν(A(i)

νe−jk(i)

νl(i)−B(i)

ν)µ=1,2, ...N (A.7)

Die Elemente Γ(i)

µν werden deﬁniert:

Γ(i)

µν =1

4N(i+1)

µS(i+1) S(i+1)

1+...S(i+1)

φ(i+1)

µ(y,z)1

Z(i+1)

R/ρcφ(i+1)

ν(y,z)dydz

4N(i+1)

µS(i+1)Z(i+1)

Ry /ρc S(i+1)

1+S(i+1)

φ(i+1)

µ(y,z)φ(i+1)

ν(y,z)dydz +

4N(i+1)

µS(i+1)Z(i+1)

Rz /ρc S(i+1)

3+S(i+1)

φ(i+1)

µ(y,z)φ(i+1)

ν(y,z)dydz

⇒Γ(i)

µν =1

4N(i+1)

µ (1 −h(i)/h(i+1))

Z(i+1)

Ry /ρc (E+

µν +E−

µν)+

(1 −d(i)/d(i+1))

Z(i+1)

Rz /ρc (F+

µν +F−

µν)!

96 Berechnung des Gleichungssystems beim 3D-Schalltrichter

mit

E±

µν =1/2

(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )d(i+1) "

cos[(k(i+1)

µy +k(i+1)

νy )h(i)+(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )d(i)]

(k(i+1)

µy +k(i+1)

νy )(h(i+1) −h(i))+(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )(d(i+1) −d(i))

−cos[(k(i+1)

µy +k(i+1)

νy )h(i+1) +(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )d(i+1)]

(k(i+1)

µy +k(i+1)

νy )(h(i+1) −h(i))+(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )(d(i+1) −d(i))

+cos[(k(i+1)

µy +k(i+1)

νy )h(i+1) −(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )d(i+1)]

(k(i+1)

µy +k(i+1)

νy )(h(i+1) −h(i))−(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )(d(i+1) −d(i))

−cos[(k(i+1)

µy +k(i+1)

νy )h(i)−(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )d(i)]

(k(i+1)

µy +k(i+1)

νy )(h(i+1) −h(i))−(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )(d(i+1) −d(i))

+cos[(k(i+1)

µy −k(i+1)

νy )h(i)+(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )d(i)]

(k(i+1)

µy −k(i+1)

νy )(h(i+1) −h(i))+(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )(d(i+1) −d(i))

−cos[(k(i+1)

µy −k(i+1)

νy )h(i+1) +(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )d(i+1)]

(k(i+1)

µy −k(i+1)

νy )(h(i+1) −h(i))+(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )(d(i+1) −d(i))

+cos[(k(i+1)

µy −k(i+1)

νy )h(i+1) −(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )d(i+1)]

(k(i+1)

µy −k(i+1)

νy )(h(i+1) −h(i))−(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )(d(i+1) −d(i))

−cos[(k(i+1)

µy −k(i+1)

νy )h(i)−(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )d(i)]

(k(i+1)

µy −k(i+1)

νy )(h(i+1) −h(i))−(k(i+1)

µz ±k(i+1)

νz )(d(i+1) −d(i))!

Die Elemente F±

µν sind ¨

ahnlich wie die E±

µν, man muss nur die tiefgestellte

Indizes ”y”durch ”z¨

und die Breiten ”h”durch ”d¨ersetzen und umgekehrt. Die

Termen Υ(i)

µν sind deﬁniert als:

Υ(i)

µν =1

4N(i+1)

µS(i+1) S(i)

φ(i+1)

µ(y,z)φ(i)

ν(y,z)dydz

Υ(i)

µν =1

4N(i+1)

h(i)

h(i+1) {[sinc[(k(i+1)

µy +k(i)

νy)h(i)]+sinc[(k(i+1)

µy −k(i)

νy)h(i)]}

d(i)

d(i+1) {[sinc[(k(i+1)

µz +k(i)

νz )d(i)]+sinc[(k(i+1)

µz −k(i)

νz )d(i)]}

Der Schallfeldansatz im Halbraum lautet:

p(a)

ρcv0

(x, y, z)= 1

(2π)2∞

−∞ ∞

−∞ k2

V(ky,k

v0k0

e−jkrxejkyyejkzzdky

dkz

(A.8)

Von der Anpassung des Drucks am letzten St¨

uck (Gl. (6.8)) bekommt man

andere Gleichungen:

S(M)S(M)

φ(M)

µ(y,z)p(M)

ρcv0

((M),y,z)dydz =1

S(M)S(M)

φ(M)

µ(y,z)p(a)

ρcv0

(0,y,z)dydz

⇒A(M)

µe−jk(M)

µ(M)+B(M)

µ=

1/(2π)2

4N(M)

µ∞

−∞ ∞

−∞

krk2

(ky

,kz

)R(M)

µ(ky

,kz

)dky

dkz

(A.9)

wobei R(i)

µ(ky

k0,kz

k0) ist:

R(i)

µ(ky

,kz

)=(sinc[(

+k(i)

µy

)k0h(i)]+sinc[(ky

k0−k(i)

µy

)k0h(i)])

(sinc[(kz

+k(i)

νz

)k0d(i)]+sinc[(kz

k0−k(i)

νz

)k0d(i)]) (A.10)

Wenn es keine Impedanz auf der Schallwand gibt, V(ky,k

z) hat die Formel:

(ky

,kz

)=k2

0h(M)d(M)

k(M)

(A(M)

νe−jk(M)

ν(M)+B(M)

ν)R(M)

ν(ky

,kz

)

und wenn man sie in Gl. (A.9) einsetzt ergibt sich Gl. (6.12):



(k(M)

Gµν −δµν)e−jk(M)

ν(M)A(M)

ν−

(k(M)

Gµν +δµν)B(M)

ν=0 µ=1, ..., N

(A.11)

mit Gµν

Gµν =h(M)

λ0

d(M)

λ0

4N(M)

µ∞

−∞

R(M)

µ(ky

,kz

)R(M)

ν(ky

,kz

)dky

dkz

98 Berechnung des Gleichungssystems beim 3D-Schalltrichter

Aber wenn die Schallwand auch eine Impedanz besitzt, schreibt man die

fourier-transformierte Schnelle:

(ky

,kz

)=k2

0h(M)d(M)

k(M)

(A(M)

νe−jk(M)

ν(M)+B(M)

ν)R(M)

ν(ky

,kz

)

+k2

0ayd(M)

CαTαy(ky

,kz

)+k2

0azh(M)

DβTβz(ky

,kz

)

(A.12)

wo 2 andere Summen erscheinen deren Elemente Tαy(ky

k0,kz

k0) und Tβz(ky

k0,kz

k0)

sind:

Tαy(ky,k

z)= 1

S(1) S(1)+S(2)

ηα(y,z)e−jkyye−jkzzdydz

Tαy(ky

,kz

)=



sin[(ky

k0+b(1)

αy

k0)k0ay+ky

k0(k0h(M))] −sin[ky

k0(k0h(M))]

(ky

k0+b(1)

αy

k0)k0ay

sin[(ky

k0−b(1)

αy

k0)k0ay+ky

k0(k0h(M))] −sin[ky

k0(k0h(M))]

(ky

k0−b(1)

αy

k0)k0ay



sinc[(kz

+g(1)

αz

)k0d(M)]+sinc[(kz

k0−g(1)

αz

)k0d(M)](A.13)

Tβz(ky,k

z)= 1

S(3) S(3)+S(4)

ϕβ(y,z)e−jkyye−jkzzdydz

Tβz(ky

,kz

)=



sin[(kz

k0+g(2)

βz

k0)k0az+kz

k0(k0d(M))] −sin[kz

k0(k0d(M))]

(kz

k0+g(2)

βz

k0)k0az

sin[(kz

k0−g(2)

βz

k0)k0az+kz

k0(k0d(M))] −sin[kz

k0(k0d(M))]

(kz

k0−g(2)

βz

k0)k0az



sinc[(ky

+b(2)

βy

)k0h(M)]+sinc[(ky

k0−b(2)

βz

)k0h(M)](A.14)

und wenn man Gl. (A.12) in Gl. (A.9) einsetzt ergibt sich Gl. (6.15)



νk(M)

Gµν −δµνe−jk(M)

ν(M)A(M)

ν−

νk(M)

Gµν +δµνB(M)

ν+

N(M)

µay

λd(M)

λ

CαWµ

αy +az

λh(M)

λ

DβWµ

βz=0

µ=1, ..., N (A.15)

mit

Wµ

αy =1

4∞

−∞ ∞

−∞

Tαy(ky

,kz

)R(M)

µ(ky

,kz

)dky

dkz

Wµ

βz =1

4∞

−∞ ∞

−∞

Tβz(ky

,kz

)R(M)

µ(ky

,kz

)dky

dkz

Es fehlt jetzt nur die Ber¨

ucksichtigung der Forderung, dass das Verh¨

altnis

p/v auf der Schallwand gleich der Impedanzen Zyund Zzsein soll. F¨

ur die

Schnelle auf der Schallwand wird den Feldansatz von Gl. (6.14) betrachtet.

S(1) S(1)+S(2) 1

(Zy/ρc)

p(a)

ρcv0

(0,y,z)+v(y,z)

v0ηα(y,z)dydz = 0 (A.16)

S(3) S(3)+S(4) 1

(Zz/ρc)

p(a)

ρcv0

(0,y,z)+v(y,z)

v0ϕβ(y,z)dydz = 0 (A.17)

Setzt man Gl. (A.8) und Gl. (6.14) in Gl. (A.16) ein und f¨

uhrt man das

Integral auf den Fl¨

achen S(1) und S(2) durch, dann ergibt sich:

1/(2π)2

(Zy/ρc)∞

−∞ ∞

−∞

krk2

(ky

,kz

)Tαy(ky

,kz

)dky

dkz

+

Cδ(Ly)δα =0

(A.18)

⇒1

Zy(h(M)

λ)(d(M)

λ)

k(M)

(A(M)

νe−jk(M)

ν(M)−B(M)

ν)Wα

νy+

λ)(d(M)

λ)

CδUαy

δy +(az

λ)(h(M)

λ)

DβUαy

βz +

4

Cδ(Ly)δα =0 α=1, ..., N (A.19)

100 Berechnung des Gleichungssystems beim 3D-Schalltrichter

mit

Uαy

δy =1

4∞

−∞ ∞

−∞

Tαy(ky

,kz

)Tδy(ky

,kz

)dky

dkz

Uαy

βz =1

4∞

−∞ ∞

−∞

Tαy(ky

,kz

)Tβz(ky

,kz

)dky

dkz

(Ly)δα =sinc[(b(1)

δy

+b(1)

αy

)k0ay]+sinc[(b(1)

δy

+b(1)

αy

)k0ay]

sinc[(g(1)

δz

+g(1)

αz

)k0d(M)]+sinc[(g(1)

δz

k0−g(1)

αz

)k0d(M)](A.20)

Dasselbe macht man f¨

ur Gl. (A.17) und gelangt zu den letzten N Gleichungen:

Zz(h(M)

λ)(d(M)

λ)

k(M)

(A(M)

νe−jk(M)

ν(M)−B(M)

ν)Wβ

νz+

λ)(d(M)

λ)

CαUβz

αy +(az

λ)(h(M)

λ)

DγUβz

γz +

4

Dγ(Lz)γβ =0 β=1, ..., N (A.21)

mit

Uβz

γz =1

4∞

−∞ ∞

−∞

Tγz(ky

,kz

)Tβz(ky

,kz

)dky

dkz

(Lz)γβ =sinc[(g(2)

βz

+g(2)

γz

)k0az]+sinc[(g(2)

βz

+g(2)

γz

)k0az]

sinc[(b(2)

βz

+b(2)

γz

)k0h(M)]+sinc[(b(2)

βz

k0−b(2)

γz

)k0h(M)](A.22)

Mit den Gleichungen (A.3, A.5, A.7 und A.11 oder A.15, A.19, A.21) erstellt

man die gesamte Matrix, mit der alle unbekannten Koeﬃzienten ermittelt

werden k¨

onnen.

Literaturverzeichnis

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ampfer mit ortsabh¨

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1995.

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[12] M¨

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101

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[19] Webster, Arthur Gordon: Acoustical Impedance, and the theory of

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[20] Avantgarde Acoustic, ”die Theorie”, Internet