Sums of correlated exponentials: two
types of Gaussian correlation structures
vorgelegt von
Diplom-Mathematiker
Anton Klymovskiy (Klimovsky)
aus Charkiw
von der Fakult¨
at II – Mathematik und Naturwissenschaften
der Technischen Universit¨
at Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Naturwissenschaften
Dr. rer. nat.
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr. Dirk Ferus
Berichter: Prof. Dr. Anton Bovier
Berichter: Prof. Dr. Erwin Bolthausen
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 24. Juni 2008
Berlin 2008
D83
Abstract
In this thesis, we study the limiting behaviour of the large sums of strongly correlated exponen-
tials as the number of their summands and the effective dimension of the correlation structure
simultaneously tend to infinity. We consider two types of such sums which are generated by two
a priori very different Gaussian correlation structures. The first type is a sum of hierarchically
correlated random variables which is based on the partition function of Derrida’s generalised
random energy model (GREM) with external field. The second type is an infinitesimal sum
of genuinely non-hierarchically strongly correlated random variables which is based on the
partition function of the Sherrington-Kirkpatrick (SK) model with multidimensional spins. We
consider the asymptotic behaviour (the thermodynamic limit) of these two sums on a logarith-
mic scale (i.e., at the level of free energy) and also at a more refined level of their fluctuations
(i.e., at the level of weak limiting laws). Interestingly for the SK model with multidimensional
spins, we find traces of a hierarchical organisation in the thermodynamic limit. This supports
the conjectured in theoretical physics universal behaviour of the sums of such sort.
Concerning the SK model with multidimensional spins, we obtain the following results.
We prove upper and lower bounds on the free energy of this model in terms of variational
inequalities. The bounds are based on a multidimensional extension of the Parisi functional. We
generalise and unify the comparison scheme of Aizenman, Sims and Starr and the one of Guerra
involving the GREM-inspired processes and Ruelle’s probability cascades. For this purpose, an
abstract quenched large deviations principle of the G¨
artner-Ellis type is obtained. We derive
Talagrand’s representation of Guerra’s remainder term for the SK model with multidimensional
spins. The derivation is based on well-known properties of Ruelle’s probability cascades and
the Bolthausen-Sznitman coalescent. We study the properties of the multidimensional Parisi
functional by establishing a link with a certain class of semi-linear partial differential equations.
We embed the problem of strict convexity of the Parisi functional in a more general setting
and prove the convexity in some particular cases which, however, do not cover the original
setup of Talagrand. Finally, we prove the Parisi formula for the local free energy in the case of
multidimensional Gaussian a priori distribution of spins using Talagrand’s methodology of a
priori estimates.
Concerning the GREM in the presence of uniform external field, we obtain the following
results. We compute the fluctuations of the ground state and of the partition function in the
thermodynamic limit for all admissible values of parameters. We find that the fluctuations are
described by a hierarchical structure which is obtained by a certain coarse-graining of the ini-
tial hierarchical structure of the GREM with external field. We provide an explicit formula for
the free energy of the model. We also derive some large deviation results providing an expres-
sion for the free energy in a class of models with Gaussian Hamiltonians and external field.
Finally, we prove that the coarse-grained parts of the system emerging in the thermodynamic
limit tend to have a certain optimal magnetisation, as prescribed by strength of external field
and by parameters of the GREM.
Zusammenfassung
Diese Dissertation behandelt das Grenzwertverhalten der großen Summen der stark korrelierten
Exponenziale, w¨
ahrend die Anzahl ihren Summanden und die effektive Dimension der Korre-
lationsstruktur gleichzeitig gegen Unendlichkeit gehen. Wir betrachten zwei Arten dieser Sum-
men, die durch die a priori sehr unterschiedliche Gauß’schen Korrelationsstrukturen erzeugt
werden. Die erste Art ist eine Summe der hierarchisch korrelierten Zufallsvariablen, die auf der
Zustandssumme von Derrida’s generalised random energy model (GREM) mit externem Feld
basiert. Die zweite Art ist eine infinitesimale Summe der echt nicht-hierarchisch stark korre-
lierten Zufallsvariablen, die auf der Zustandssumme vom Sherrington-Kirkpatrick (SK) Modell
mit mehrdimensionalen Spins basiert. Wir betrachten das asymptotische Verhalten (der thermo-
dynamische Limes) dieser Summen auf der logarithmischen Skala (d.h., auf dem Niveau der
freien Energie) und außerdem auf dem pr¨
aziseren Niveau ihrer Fluktuationen (d.h., auf dem Ni-
veau der schwachen Grenzwertverteilungen). Interessanterweise finden wir auch im SK Modell
mit mehrdimensionalen Spins Spuren der hierarchischen Organisation im thermodynamischen
Limes. Dies unterst¨
utzt das hypothetische universale Verhalten dieser Summen aus der theore-
tischen Physik.
Bez¨
uglich des SK Modells mit mehrdimensionalen Spins erzielen wir die folgenden Ergeb-
nisse. Wir beweisen die oberen und unteren Schranken f¨
ur die freie Energie mittels Variati-
onsungleichungen, die auf der mehrdimensionalen Verallgemeinerung des Parisi-Funktionals
basieren. Wir setzen das Vergleichsschema von Aizenman, Sims und Starr und das von Guerra
ein, die die GREM-inspirierten Prozesse und Ruell’schen Wahrscheinlichkeitskaskaden invol-
vieren. Hierf¨
ur beweisen wir ein abstraktes “quenched” Prinzip der großen Abweichungen von
G¨
artner-Ellis Art. Mittels der Eigenschaften der Ruelle’schen Wahrscheinlichkeitskaskaden und
des Bolthausen-Sznitman Koaleszents leiten wir die Darstellung von Talagrand des Restterms
von Guerra f¨
ur das SK Modell mit mehrdimensionalen Spins ab. Wir untersuchen die Eigen-
schaften des mehrdimensionalen Parisi-Funktionals, indem wir eine Verbindung mit einer Ka-
tegorie semi-linearer partieller Differentialgleichungen herstellen. Wir betten das Problem der
strengen Konvexit¨
at des Parisi-Funktionals in einen allgemeineren Kontext ein. Wir zeigen die
Konvexit¨
at in einigen F¨
allen, welche jedoch nicht die urspr¨
ungliche Formulierung von Tala-
grand umfassen. Schließlich beweisen wir die Parisi-Formel f¨
ur die lokale freie Energie im Fall
der mehrdimensionalen Gauß’schen a priori Verteilung der Spins mit der Methodologie der a
priori Absch¨
atzungen von Talagrand.
Bez¨
uglich des GREMs in Anwesenheit des uniformen externen Felds erzielen wir die fol-
genden Ergebnisse. Wir berechnen die Fluktuationen des Grundzustandes und der Zustandss-
umme im thermodynamischen Limes f¨
ur alle zul¨
assigen Werte der Parameter. Wir finden, dass
im thermodynamischen Limes die Fluktuationen durch eine hierarchische Struktur beschrie-
ben sind. Diese Struktur ist eine Grobk¨
ornung der urspr¨
unglichen hierarchischen Struktur des
GREMs mit externem Feld. Wir stellen eine explizite Formel f¨
ur die freie Energie des Modells
zur Verf¨
ugung. Wir leiten auch einige Resultate zu den großen Abweichungen, welche einen
Ausdruck f¨
ur die freie Energie einiger Modelle mit Gauß’schen Hamiltonians und externem
Feld erm¨
oglichen, her. Schließlich beweisen wir, dass die grobk¨
ornigen Teile des Systems, die
in der thermodynamischen Limes auftauchen, dazu neigen eine optimale Magnetisierung zu ha-
ben. Diese Magnetisierung ist durch die St¨
arke des externen Felds und durch die Parameter des
GREMs vorgeschrieben.
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