Ausgleichungsrechnung und
raumbezogene Informationssysteme
Dr.-Ing. Frank Gielsdorf
Habilitationsschrift an der Fakultät VI –
Bauingenieurwesen und angewandte Geowissenschaften
Der Technischen Universität Berlin
Lehrgebiet:
Geo-Informationssysteme
Eröffnung des Verfahrens: 17. August 2004
Verleihung der Lehrbefähigung: 3. November 2004
Habilitationskolloquium: 8. März 2005
Aushändigung der Urkunde:
Gutachter:
Prof. Dr.-Ing. habil. Lothar Gründig
Prof. Dr.-Ing. habil, Wolfgang Niemeier (TU Braunschweig)
Prof. Dr.-Ing. Matthäus Schilcher (TU München)
Berlin, 2005
D 83
Inhalt i
Inhalt
1 Einleitung ........................................................................................................................... 1
2 Theoretische Grundlagen ................................................................................................... 4
2.1 Topologische Räume.................................................................................................. 4
2.2 Sachdaten und Geometriedaten.................................................................................. 6
2.2.1 Sachdaten ........................................................................................................... 6
2.2.2 Geometriedaten .................................................................................................. 8
2.3 Abbildungsbeziehungen............................................................................................. 8
2.3.1 Geometrie Æ Topologie..................................................................................... 8
2.3.2 Topologie Æ Geometrie................................................................................... 10
2.3.3 Was ist eine Ecke ............................................................................................. 11
2.4 Abbildungsvorschrift einer p-Zelle.......................................................................... 12
2.4.1 Entity-Relationship-Modell.............................................................................. 12
2.4.2 Dimension der Parametrisierung......................................................................14
2.4.3 Randbeschreibung............................................................................................ 16
2.4.4 Zusammenfassung............................................................................................ 21
2.5 Die Zeit..................................................................................................................... 24
2.5.1 Topologischer Raum mit diskreter Zeit ........................................................... 24
2.5.2 Temporale Datenhaltung.................................................................................. 27
2.5.3 Die vierdimensionale Raumzeit ....................................................................... 27
2.5.4 Historisierung in der Raumzeit ........................................................................ 29
2.5.5 Bewegte Objekte in der Raumzeit.................................................................... 30
3 Referenzsysteme............................................................................................................... 35
3.1 In der Geodäsie gebräuchliche Referenzsysteme..................................................... 35
3.1.1 Kartesische Referenzsysteme........................................................................... 35
3.1.2 Lagesysteme mit gekrümmter Bezugsfläche.................................................... 37
3.1.3 Systeme mit gekrümmter Bezugslinie.............................................................. 39
3.2 Transformationen ..................................................................................................... 40
3.2.1 Transformationen im Datenmodell eines GIS.................................................. 41
3.2.2 Transformationen als Graph............................................................................. 44
4 Datenverwaltung aus geodätischer Sicht.......................................................................... 45
4.1 Redundante Geometrie.............................................................................................45
4.2 Integration und Fortführung von Geometriedaten ................................................... 48
4.2.1 Trennung von Geometrie und Topologie......................................................... 49
4.2.2 Modellierung der lokalen Nachbarschaft......................................................... 50
5 Standards für die Modellierung von Geometriedaten ...................................................... 54
Inhalt ii
5.1 Geography Markup Language GML........................................................................ 54
5.2 Industry Foundation Classes IFC............................................................................. 60
5.3 Vergleich GML - IFC............................................................................................... 63
6 Beispiele für die Verwaltung von Geometrieinformation................................................ 64
6.1 Amtliches Liegenschaftskataster..............................................................................64
6.1.1 Das Problem der virtuellen Punktverschiebungen ........................................... 65
6.1.2 Vorschlag einer Fortführungsstrategie............................................................. 66
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden ................................................................... 70
6.2.1 Geometrieerfassung und CAD ......................................................................... 71
6.2.2 Datenmodell für die absolute Gebäudegeometrie............................................ 72
6.2.3 Handaufmaß als Ausgleichungsproblem.......................................................... 76
6.2.4 Tachymetrie und Laserscanning....................................................................... 84
1 Einleitung 1
1 Einleitung
Seit Langem werden grafische und alphanumerische Informationen auf analogen Datenträgern
gespeichert. Die alphanumerische Form der Speicherung erfolgte in Buchwerken, wobei die
gegenseitige Referenzierung der Informationsobjekte durch Registraturen, Karteikarten,
Querverweise, Indizes usw. erreicht wurde.
Die Abbildung grafischer Informationen geschah in Planwerken wie Konstruktions-
zeichnungen, Landkarten usw. Eine Referenzierung der dargestellten Grafikobjekte auf
alphanumerische Informationsobjekte war im Allgemeinen nicht vorhanden, da die analoge
Form der Speicherung der Zugriffsgeschwindigkeit enge Grenzen setzte. Vielmehr versuchte
man die Eigenschaften der dargestellten Objekte durch deren grafische Ausprägung, wie
Linienform, Schraffur, Farbe usw. darzustellen oder alphanumerische Informationen, wie
Bemaßungen oder Beschriftungen, wurden direkt in die Grafik mit einbezogen.
Die Entwicklung von Computern ermögliche die digitale Speicherung von Informationen auf
Datenträgern wie Magnetband oder Festplatte. Der entscheidende Vorteil dieser Art der
Datenhaltung war vor allem die, im vergleich zu analogen Datenträgern, sehr hohe
Zugriffsgeschwindigkeit. Zunächst wurden nur alphanumerische Datenbestände auf
elektronische Speichermedien übertragen. Die ersten Datenbanken beruhten dabei auf einem
hierarchischen Modell, welches weitgehend eine Fortsetzung der analogen Denkweise mit
digitalen Mitteln darstellte. Im Verlauf der Zeit wurden Datenbanken und Datenmodelle
weiterentwickelt, wobei die Entwicklung des relationalen Datenmodells durch Codd 1970
einen wichtigen Meilenstein darstellt. Diese Entwicklung ist ein fortschreitender Prozess,
wobei der Stand der Technik gekennzeichnet ist durch relationale, objektrelationale und
objektorientierte Datenbanken.
Parallel und zunächst unabhängig von den Datenbanken für alphanumerische Daten, wurde
versucht auch grafische Daten digital zu speichern. Hierbei stand zunächst die 1:1-Abbildung
der Zeichnung im Vordergrund. Die ersten CAD-Systeme waren, wie der Name schon
andeutet, Werkzeuge für die grafische Konstruktion. Das Endprodukt des
Konstruktionsprozesses war nach wie vor der analoge Plan, der auf einem Plotter ausgegeben
wurde. Die Eigenschaften der Zeichnungsobjekte wurden wie bereits im analogen Vorbild
durch ihre grafische Präsentation verschlüsselt. Selbst die Einführung der Layertechnik stellt
die Übertragung eines analogen Verfahrens, nämlich des Übereinanderlegens von
transparenten Folien, dar. Die Etablierung von Standards oder Quasi-Standards, wie zum
Beispiel den Drawing Exchange Files (DXF) der Firma Autodesk, eröffnete später die
Möglichkeit, Zeichnungen zwischen unterschiedlichen Programmen auszutauschen.
Die Entwicklung der Geo-Informationssysteme stellt in gewisser Weise eine Verschmelzung
der beiden angedeuteten Entwicklungslinien dar. Die Ersten Geo-Informationssysteme waren
dann auch CAD-Systeme mit angeschlossener Datenbank. Grafikdaten und Sachdaten wurden
in getrennten Datenbeständen verwaltet. Die Verbindung von Grafikobjekten und
Informationsobjekten der Datenbank war durch gemeinsame Schlüsselattribute gegeben.
In modernen Geo-Informationssystemen erfolgt die Verwaltung beider Klassen von Daten in
einer gemeinsamen Datenbank. Die grafische Oberfläche dieser Systeme ist kein
eigenständiges Programmsystem, sondern stellt vielmehr ein Werkzeug für die grafisch
unterstütze Abfrage und Manipulation der Daten in der darunterliegenden Datenbank dar.
Durch die Bereitstellung spezieller Features für den schnellen Zugriff auf mehrdimensionale
Daten, wie zum Beispiel der spatial data cartridge der Firma ORACLE® oder der spatial data
engine der Firma ESRI®, wurden die bis dahin vorhandenen Einschränkungen im
Antwortzeitverhalten weitgehend überwunden.
1 Einleitung 2
Probleme treten jedoch nach wie vor bei der Integration heterogener Geometriedaten, speziell
bei der Fortführung der Geo-Basisdaten auf. Nach wie vor existieren Geo-
Informationssysteme und CAD-Systeme in zwei parallelen Welten und nach wie vor ist die
Modellierung von zeitabhängigen Veränderungen in diesen Systemen nicht zufriedenstellend
gelöst.
Ein Geo-Informationssystem besteht aus den Komponenten Hardware, Software und Daten.
Bei den Daten kann zwischen Geo-Basisdaten und Geo-Fachdaten unterschieden werden.
[BILL 1999] Die Daten stammen im Allgemeinen von verschiedenen Anbietern, welche
unterschiedliche Erfassungsmethoden verwenden und deren Daten daher auch von sehr
heterogener Qualität sein können. Geo-Daten sind dadurch charakterisiert, dass sie
Geometrieobjekte als Referenz verwenden. Die Mengen von Geometrieobjekten
verschiedener Datenanbieter sind aber nicht disjunkt, so das der Nutzer bei jeder Fortführung
vor dem Problem der Datenintegration steht. Diese Datenintegration aber wirft mitunter
erhebliche Probleme auf. Diese Probleme sind im Kern darauf zurückzuführen, dass die
Softwarekomponente eines GIS und insbesondere das Datenmodell auf die Aufgabe
Konstruktion ausgerichtet ist, während die zu integrierenden Daten aber einer Rekonstruktion
der Realität entstammen.
Grundlage eines rekonstruierten geometrischen Modells ist immer die Beobachtung des
abzubildenden Realitätsausschnittes. Beobachtungen aber sind im Allgemeinen redundant, sie
sind Zufallsgrößen und sie beziehen sich auf eine lokale Basis. Für eine globale
Parametrisierung müssen die in den Beobachtungen enthaltenen Widersprüche unter
Berücksichtigung der Genauigkeit beseitigt und die lokalen Basen in eine globale
transformiert werden. Es handelt sich bei der Aufgabe der Rekonstruktion also um ein
klassisches Ausgleichungsproblem. Will man nun zwei durch Rekonstruktion entstandene
Datensätze zusammenführen steht man wiederum vor einem Ausgleichungsproblem. Man
kann in diesem Fall entweder eine Stationsausgleichung durchführen, was die Kenntnis der
vollständigen Kovarianzmatrizen beider Datensätze voraussetzt oder man kann die zugrunde
liegenden Beobachtungsvektoren beider Datensätze zusammenfügen und ausgleichen. Die
zurzeit in Geo-Informationssystemen gebräuchlichen Datenmodelle unterstützen keine dieser
beiden Möglichkeiten.
Eine zentrale Fragestellung jeder Ausgleichung ist die Parametrisierung des Problems. Diese
sollte möglichst so beschaffen sein, dass die zu schätzenden unbekannten Parameter das
Problem gerade eindeutig beschreiben. Jeder redundante Parameter führt zu einer zusätzlichen
Bedingungsgleichung und damit zu einer unerwünschten Erhöhung des Rechen- und
Datenverwaltungsaufwandes. In Geo-Informationssystemen, welche hauptsächlich die
Erdoberfläche in einem zweidimensionalen Raum abbilden, erfolgt die Parametrisierung der
Geometrie fast ausschließlich durch Koordinaten, bezogen auf eine globale Basis. Für den in
diesem Fall abzubildenden Realitätsausschnitt stellt dies eine redundanzarme Form der
Parametrisierung dar. Ganz anders stellt sich die Situation in drei- oder vierdimensionalen
Räumen dar. Besonders augenfällig wird dieses Problem bei der Parametrisierung von
Gebäudegeometrien mittels 3D Koordinaten. Selbst wenn jeder Punkt nur einmal gespeichert
wird beträgt der Anteil redundanter Parameter hier bis zu über 99%! Die Rekonstruktion von
Gebäudegeometrien mittels Ausgleichung ist unter diesen Voraussetzungen fast unmöglich.
In Entwicklung begriffen ist auch die Abbildung von zeitlichen Veränderungen geometrischer
Attribute in raumbezogenen Informationssystemen. Verschiedene Systeme bieten die
Möglichkeit der Historisierung, bei der jedem Objekt ein Entstehungs- und ein
Untergangszeitpunkt zugewiesen werden kann. Die Historisierung bildet jedoch nur
Veränderungen in der Realzeit ab. Virtuelle Punktverschiebungen, wie sie bei der Integration
heterogener Datenbestände oder bei der Fortführung auftreten, können damit nicht abgebildet
werden, dazu ist eine bitemporale Datenhaltung erforderlich, welche zwischen Real- und
1 Einleitung 3
Systemzeit unterscheidet. Auch die stetige Bewegung von Objekten im Raum kann durch
Historisierung nicht vollständig erfasst werden, dies gelingt nur wenn man Raum und Zeit als
einen Raum im mathematischen Sinne betrachtet, in dem eine entsprechende Metrik und
Topologie definiert wird.
In der vorliegenden Arbeit soll versucht werden, eine übergreifende Sicht auf raumbezogene
Daten zu entwickeln, Geo-Informationssysteme und CAD-Systeme werden daher unter dem
allgemeinen Begriff der raumbezogenen Informationssysteme zusammengefasst und
gemeinsam betrachtet.
Im Kapitel Theoretische Grundlagen wird das Problem der Abbildung geometrischer Daten in
Datenbanken aus dem Blickwinkel der Theorie der topologischen Räume betrachtet. Es wird
gezeigt, dass sich eine Datenbank als topologischer Raum ansprechen lässt. Das Problem der
Geometrieabbildung wird zurückgeführt auf die Abbildung von überabzählbaren Mengen von
Punkten eines metrischen Raumes auf abzählbare Mengen eines topologischen Raumes.
Weiterhin wird gezeigt, dass sich die Bijektivität einer solchen Abbildung nur durch die
Definition einer Abbildungsfunktion erreichen lässt. Im Ergebnis dieser Betrachtungen wird
ein allgemeines Datenmodell für die Abbildung metrischer auf topologische Räume
entwickelt.
Das Kapitel Referenzsysteme gibt einen kurzen Überblick über die in raumbezogenen
Informationssystemen gebräuchlichen Referenzsysteme und behandelt ansatzweise das
Problem der Datumstransformation.
Die zentrale Frage des Kapitels Datenverwaltung aus geodätischer Sicht ist die
unterschiedlicher Herangehensweise von Informatikern und Geodäten an das Problem der
Verwaltung von Zufallsgrößen in raumbezogenen Informationssystemen. Die Gegensätze
beider Sichtweisen werden herausgearbeitet, anschließend wird versucht, beide Standpunkte
durch Synthese zu vereinen.
Im Kapitel Standards für die Modellierung von Geometriedaten wird auf die Unterschiede
zwischen Geo-Informationssystemen und CAD-Systemen in der Modellierung geometrischer
Daten eingegangen. Als Beispiel dienen zwei modellbasierte Austauschformate: Auf der
einen Seite die geography markup language GML des OpenGIS Consortium als typischer
Vertreter der Geo-Informationssysteme und auf der anderen Seite die industry foundation
classes IFC der International Association for Interoperability als Vertreter der CAAD-
Systeme (CAAD = Computer Aided Architectural Design). Der Vergleich erfolgt anhand
zuvor definierter Vergleichskriterien.
Das abschließende Kapitel Beispiele für die Verwaltung von Geometrieinformation zeigt
anhand zweier Beispiele aus dem Bereich GIS und CAAD wie Ausgleichungsalgorithmen in
die Verwaltung von Geometriedaten einbezogen werden können. Es wird ein Verfahren für
die Fortführung von Geometriedaten im Liegenschaftskataster vorgeschlagen, welches
redundante Beobachtungen als Primärdaten betrachtet und mittels Ausgleichung Koordinaten
als Sekundärdaten erzeugt. Es wird eine Möglichkeit der Geometrieparametrisierung von
Gebäuden vorgestellt, die den Einsatz der Ausgleichungsrechnung als Integrationsinstrument
für verschiedene Aufnahmeverfahren erlaubt.
2.1 Topologische Räume 4
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Topologische Räume
Im folgenden Abschnitt werden einige Begriffe aus dem Bereich der Mengenlehre und
Topologie eingeführt, die in den darauf folgenden Abschnitten zur Anwendung kommen. Die
Definitionen sind hauptsächlich [ALEXANDROFF 1973], [JÄNISCH 1990] und [SCHUBERT 1975]
entnommen. Die Definitionen werden ergänzt durch Beispiele aus dem Bereich der Geo-
Informationssysteme.
Topologischer Raum
Ein topologischer Raum ist ein Paar (X,O), bestehend aus einer Menge X und einer Menge O
von Teilmengen (genannt „offene Mengen“) von X, derart dass gilt:
Axiom 1: Beliebige Vereinigungen von offenen Mengen sind offen.
Axiom 2: der Durchschnitt von je zwei offenen Mengen ist offen.
Axiom 3: ∅ Und X sind offen.
Man sagt auch: O ist die Topologie des topologischen Raumes (X,O). Gewöhnlich spricht
man einfach von einem topologischen Raum X. [JÄNISCH 1990]
Alternativ zu dieser Definition lässt sich ein topologischer Raum auch über Axiome für
abgeschlossene Mengen definieren.
Graph
Ein Graph G besteht aus einer Menge X (deren Elemente Knoten genannt werden) und einer
Menge U, wobei jedem Element u∈U in eindeutiger Weise ein geordnetes oder ungeordnetes
Paar von (nicht notwendig verschiedenen) Knoten x,y∈X zugeordnet ist.
Ist jedem u∈U ein geordnetes Paar von Knoten zugeordnet, so heißt der Graph gerichtet. Die
Elemente von U werden in diesem Fall als Bögen bezeichnet.
Ist jedem u∈U ein ungeordnetes Paar von Knoten zugeordnet, so heißt der Graph ungerichtet.
Die Elemente von U bezeichnen wir dann als Kanten. [BIEß 1988]
Es ist leicht zu erkennen, dass jeder Graph einen topologischen Raum (X,U) aufspannt bei der
die Kanten ui ⊆ U eine Topologie auf der Menge der Knoten X definieren.
Metrischer Raum
Ein metrischer Raum ist eine Menge R von Elementen beliebiger Natur, so genannten
„Punkten“ des metrischen Raumes R, in der für je zwei Elemente x und y eine nichtnegative
Reelle Zahl ρ(x,y), der so genannte Abstand zwischen den Punkten x und y, definiert ist,
wobei ρ(x,y) folgende drei Bedingungen erfüllt:
1. Axiom der Identität: ρ(x,y) = 0 dann und nur dann, wenn die Punkte x und y
zusammenfallen;
2. Axiom der Symetrie: ρ(x,y) = ρ(y,x)
3. Dreiecksungleichung: Wie auch immer man drei Punkte x, y und z eines metrischen
Raumes R wählt, stets gilt ρ(x,y) + ρ(y,z) ≥ ρ(x,z).
2.1 Topologische Räume 5
Euklidischer Raum
Metrischer Raum endlicher Dimension in dem der Abstand zweier Punkte x und y definiert ist
als 22
11 )()(),( nn yxyxyx −+⋅⋅⋅+−=
ρ
n-Mannigfaltigkeit
Topologischer Raum, in dem die Lage eines Punktes durch n Merkmalswerte eindeutig
festgelegt ist, wobei n die Dimension der Mannigfaltigkeit kennzeichnet. Die Begriffe
Mannigfaltigkeit und Raum können synonym verwendet werden.
Abbildung, Funktion
Eine Abbildung oder Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge
(Definitionsbereich) A genau ein Element einer Wertemenge (Wertebereich) B zu.
BAf →:
Eine Abbildung heißt injektiv (engl.: one-to-one), wenn nie zwei verschiedene Elemente auf
das gleiche abgebildet werden. Man nennt die Funktion dann eine Injektion.
A
B
Figur 2-1: Injektive Abbildung
Eine Funktion heißt surjektiv (engl.: onto), wenn jedes Element der Wertemenge durch die
Funktion abgebildet wird. Man nennt die Funktion dann eine Surjektion.
A
B
Figur 2-2: Surjektive Abbildung
Eine Funktion heißt bijektiv (engl.: one-to-one and onto Æ eineindeutig), wenn sie injektiv
und surjektiv ist. Das heißt, dass sie verschiedenen Elementen der Definitionsmenge
verschiedene Elemente der Wertemenge zuordnet, wobei alle Elemente der Wertemenge
durch diese Zuordnung auch erfasst werden. Man nennt die Funktion dann eine Bijektion.
A
B
Figur 2-3: Bijektive Abbildung
2.2 Sachdaten und Geometriedaten 6
2.2 Sachdaten und Geometriedaten
Die Daten die in GIS verwaltet werden lassen sich in zwei Hauptklassen unterteilen:
Sachdaten und Geometriedaten. Diese beiden Klassen von Daten sind von ihrem
Informationsgehalt und ihren Abbildungseigenschaften so verschieden, dass sie in der
Vergangenheit oft in separaten Datenbeständen verwaltet wurden.
Die klassische Form der Speicherung von Sachdaten ist die Verwendung von relationalen
Datenbanken. Das relationale Datenmodell stellt einen weit verbreiteten Standard dar und ist
Grundlage der wichtigsten kommerziellen Datenbanksysteme. Moderne GIS bieten die
Möglichkeit, Datenbanksysteme verschiedener Anbieter zu verwenden und in vielen Fällen
kann das Datenmodell den Erfordernissen des jeweiligen Anwenders angepasst werden.
Ganz anders verhält es sich mit den Geometriedaten. Hier lassen sich zwei Hauptstrategien
unterscheiden. Eine Gruppe von GIS verwendet properietäre Formate und Algorithmen zur
Verwaltung der Geometriedaten. Der geometrische Datenbestand steht quasi neben der
Datenbank mit den Sachdaten. Geometrieobjekte sind mit den dazugehörigen Sachdaten über
entsprechende Identifikatoren verbunden. Der Vorteil dieser Strategie besteht darin, dass sich
ein vertretbares Antwortzeitverhalten hinsichtlich der Geometriedaten erreichen lässt. Der
entschiedene Nachteil jedoch ist die sehr eingeschränkte Portierbarkeit der Daten.
Aus dem zuletzt genannten Grund geht man bei neueren GIS immer mehr dazu über, auch die
Geometriedaten in einer relationalen Datenbank zu verwalten. Um das Antwortzeitverhalten
bei mehrdimensionalen Zugriffen zu verbessern wurden spezielle Erweiterungen geschaffen.
Als Beispiel seien hier die Spatial Data Cartridge der Firma Oracle zu nennen oder die Spatial
Data Engine der Firma ESRI.
Worin besteht nun aber der prinzipielle Unterschied in der Verwaltung von Sach- und
Geometriedaten? Um diese Frage zu beantworten, soll die Problematik an dieser Stelle aus
dem Blickwinkel der Topologie betrachtet werden.
2.2.1 Sachdaten
Betrachten wir zunächst die Sachdaten. Sachdaten werden im Allgemeinen in relationalen
Datenbanken verwaltet. Im mathematischen Sinne ist eine Relation folgendermaßen definiert:
Seien D1, D2, ... , Dk Wertebereiche. k
DDDR
×
⋅
⋅
⋅
×
×
⊆21 heißt Relation.
[VORNBERGER 2001]
Folgt man dieser Definition, so ist eine Relation eine Menge von Punkten in einem
topologischen Raum, der durch die charakterisierenden Merkmalsklassen einer Objektklasse
aufgespannt wird. Die Dimension des topologischen Raumes ist gleich der Anzahl der
charakterisierenden Merkmalsklassen.
Man kann die Datenbasis eines Informationssystems also als topologischen Raum betrachten.
Die Dimension dieses topologischen Raumes ist gegeben durch die Anzahl aller
Merkmalsklassen die in dem GIS verwaltet werden. Die charakterisierenden
Merkmalsklassenkombinationen der einzelnen Objektklassen spannen topologische
Unterräume auf. Jede Instanz eines Objektes ist dann ein Punkt in einem dieser topologischen
Unterräume.
Für die weitere Betrachtung soll das Beispiel der Objektklasse Adressen dienen. Die
charakterisierenden Merkmalsklassen seien Postleitzahl (PLZ), Straße und Hausnummer.
Adressen[{PLZ, Strasse, Hausnummer}]
2.2 Sachdaten und Geometriedaten 7
Die Kombination dieser drei Merkmalsklassen dient zudem als Primärschlüssel, es wird also
kein spezieller Identifikator eingeführt. In einer Datenbankrelation würde diese Objektklasse
dann folgendermaßen abgebildet werden:
Adressen
PLZ Strasse Hausnummer
12345 Bahnhofstraße 27
98765 Kirchgasse 3
... ... ...
Figur 2-4: Datenbankrelation Adressen
Die beiden Instanzen können ebenso als Punkte eines topologischen Unterraumes betrachtet
werden.
PLZ
Strasse
Hausnummer
KirchgasseBahnhofstraße
3
27
12345
98765
Figur 2-5: Topologischer Raum
Welche Eigenschaften besitzt nun eine solche Menge von topologischen Punkten?
1. Die Menge ist endlich.
2. Die Menge ist abzählbar. Eine Menge heißt abzählbar, wenn sie der Menge der
natürlichen Zahlen äquivalent ist oder, anders ausgedrückt, wenn sie in einer Folge
durchnummeriert werden kann.
3. Die Menge ist geordnet, da zwischen zwei beliebigen Elementen x und x’ der Menge
eine Ordnungsrelation besteht. Man weiß, zum Beispiel im Fall der Merkmalsklasse
Strasse, aufgrund einer lexikalischen Sortierung, dass das Element „Bahnhofstraße“
dem Element „Kirchgasse“ vorangeht.
Als Zusammenfassung bleibt festzuhalten, dass sich die Sachdaten von GIS-Objekten als
diskrete Punkte in einem topologischen Raum von Merkmalsklassen interpretieren lassen.
2.3 Abbildungsbeziehungen 8
2.2.2 Geometriedaten
In der Menge der Merkmalsklassen die von einem GIS verwaltet werden existiert eine
Untermenge solcher Merkmalsklassen, die einen metrischen Raum aufspannen. Im Folgenden
soll zunächst der Sonderfall des dreidimensionalen euklidischen Raumes näher betrachtet
werden. Die Verallgemeinerung auf die vierte Dimension bzw. nichteuklidische metrische
Räume erfolgt weiter unten.
Der metrische Raum eines GIS wird im Allgemeinen durch die Merkmalsklassen X, Y und Z
aufgespannt. Der Definitionsbereich jeder dieser Merkmalsklassen ist durch die Menge der
rationalen Zahlen gegeben. Die Menge der rationalen Zahlen hingegen ist unendlich,
überabzählbar und offen.
Die in diesem Raum definierten Objekte sind wiederum Unterräume und können von den
Dimensionen 0≡Punkt, 1≡Linie, 2≡Fläche oder 3≡Körper sein. Nur Objekte der Dimension 0
sind, analog den Sachdaten, Punkte. Zur Unterscheidung von den topologischen Punkten der
Sachdaten sollen diese Punkte hier als geometrische Punkte bezeichnet werden. Objekte mit
einer Dimension > 0 bestehen aus einer Menge von geometrischen Punkten. Diese
Punktmenge, die ein (k+1)-dimensionales GIS-Objekt definiert, ist unendlich,
überabzählbar und im Allgemeinen geschlossen.
Aus der Eigenschaft der Unendlichkeit der das Objekt repräsentierenden Punktmenge ergibt
sich der entscheidende Unterschied zu den Sachdaten. Für die Beschreibung der
geometrischen Eigenschaften eines GIS-Objektes kann nicht jeder Punkt einzeln durch ein
Koordinatentupel (x,y,z) gespeichert werden, eine solche Beschreibung gelingt nur durch die
Speicherung einer, das Objekt beschreibenden, Abbildungsvorschrift.
In den weiteren Ausführungen soll von folgenden Definitionen ausgegangen werden:
Geometriedaten werden durch Merkmalsklassen charakterisiert, die einen metrischen
Raum aufspannen, der es erlaubt, Lage und Orientierung von Körpern in Bezug
zueinander und zur Zeit darzustellen.
Sachdaten sind solche, auf welche die Definition der Geometriedaten nicht zutrifft.
2.3 Abbildungsbeziehungen
In den folgenden Betrachtungen wird von einfachen Beispielen im R2 ausgegangen, die dabei
getroffenen Aussagen werden im Anschluss verallgemeinert.
2.3.1 Geometrie Æ Topologie
Betrachten wir zunächst ein viereckiges Objekt z.B. ein Haus. Das Haus wird im R2 durch
eine Menge H von Punkten der Grundfläche repräsentiert. Da es sich bei H um eine
unendliche Menge handelt, lassen sich ihre Elemente (die Punkte der Grundfläche) nicht
einzeln speichern. Es muss also ein Weg gefunden werden die unendliche Menge H auf eine
endliche Menge P abzubilden, deren Elemente auf einem Datenträger gespeichert werden
können.
Diese Abbildung geschieht durch zwei Abstraktionsschritte. Im ersten Schritt bildet man H
auf den Rand von H ab. Der Rand von H bildet im R2 ein geschlossenes Polygon. Doch auch
die Menge der Randpunkte ist noch unendlich. Aus diesem Grund erfolgt ein weiterer
Abstraktionsschritt. Der Rand von H lässt sich in vier Teilmengen S1,...,S4 zerlegen, deren
Elemente jeweils auf einer Geraden liegen. Bildet man nun paarweise den Durchschnitt der
Teilmengen Si, so erhält man als Ergebnis die vier Eckpunkte der Grundfläche P1 = S1 ∩ S2,
P2 = S2 ∩ S3, P3 = S3 ∩ S4 und P4 = S4 ∩ S1. Die Mengen der Punkte P1...P4 enthalten jeweils
2.3 Abbildungsbeziehungen 9
ein Element und lassen sich zur Menge P der Eckpunkte des Gebäudes vereinigen:
P = P1 ∪ P2 ∪ P3 ∪ P4.
H
S2
S1S3
S4
P1 P2
P3
P4
1.Abstraktion 2.Abstraktion
Figur 2-6: Abstraktion eines Rechtecks
Bei den Elementen der Menge P handelt es sich nach wie vor um Punkte eines metrischen
Raumes R2 die durch ihre Koordinaten bezüglich einer vorgegebenen Basis definiert sind.
Nun tritt in der Praxis häufig der Fall ein, dass die Abbildung der geometrischen
Eigenschaften eines Objektes in der Datenbank variiert. Für solche Variationen existieren im
Wesentlichen zwei Ursachen: Zum einen kann das ein Wechsel der Basis sein, wie zum
Beispiel bei einer Datumstransformation oder dem Übergang von einer Projektion zu einer
anderen. Die zweite Ursache leitet sich aus der Tatsache her, dass die Koordinaten von
Punkten aus Beobachtungen berechnet werden. Beobachtungen sind im Verständnis von
Geodäten Zufallsgrößen und die daraus abgeleiteten Koordinaten Schätzwerte für einen
unbekannten wahren Wert. Die Einführung neuer Beobachtungen in das Berechnungsmodell
der Koordinaten führt daher zu veränderten Koordinaten. Als typisches Beispiel für diesen
Vorgang sei die Fortführung der ALK (Automatisierte Liegenschaftskarte) genannt.
Die Variationen der Geometrieinformation lassen es ratsam erscheinen, nach einer Abbildung
zu suchen, die gegen Transformationen der Geometrie invariant ist. Diese Abbildung erhält
man, wenn man von der Metrik abstrahiert und p-dimensionale Punktmengen eines
metrischen Raumes auf p-dimensionale Zellen eines topologischen Raumes abbildet.
p1 p2
p3
p4
H
S2
S3
S4
S1 m
n1 n2
n3
n4
K2
K3
K4
K1
Figur 2-7: Abbildung von Geometrie auf Topologie
Figur 2-7 zeigt die Abbildung der Gebäudegrundfläche auf eine Topologie. In (2.1) sind die
Abbildungsbeziehungen im Einzelnen aufgeführt.
(2.1)
{} {
4411
43444111
...
,...,
npnp
nnKSnnKS
mH
→→
=→=→
→
}
2.3 Abbildungsbeziehungen 10
Im betrachteten Beispiel bildet man H auf eine 2-Zelle (Masche), S1...S4 auf 1-Zellen
(Kanten) und p1...p4 auf 0-Zellen (Knoten) ab. Diese Abbildungen und sind
surjektiv, nicht aber injektiv und daher auch nicht bijektiv, also nicht umkehrbar, da unendlich
viele Punkte des metrischen Raumes auf endliche Mengen des topologischen Raumes
abgebildet werden. Nur die diskreten Punkte p
mH →ii KS →
1...p4 können bijektiv auf 0-Zellen abgebildet
werden.
Da das Ergebnis der Abbildung Geometrie Æ Topologie abzählbare Mengen sind, lassen sich
deren Elemente ohne weiteres auf einem Datenträger speichern. Knoten Kanten und Maschen,
oder allgemeiner Mengen von p-Zellen, können zu topologischen Objekten zusammengefasst
werden, welche in einem GIS wiederum als Referenz für Sachdaten dienen.
2.3.2 Topologie Æ Geometrie
Nun ist die Abbildung der Topologie auf die Geometrie wie bereits gezeigt nicht bijektiv.
Man möchte jedoch jedem Objekt eines GIS eine eindeutige Geometrie zuordnen. Die
Aufgabe besteht also darin, jede p-Zelle des topologischen Raumes auf eine p-dimensionale
Punktmenge in einem metrischen Raum abzubilden. Der Begriff der Abbildung ist an dieser
Stelle dann gerechtfertigt, wenn man Untermengen aller Punkte des metrischen Raumes als
Elemente einer Wertemenge betrachtet.
Figur 2-8: Mehrdeutigkeit der Abbildung Topologie auf Geometrie
An dieser Stelle ist es nun erforderlich, auf die Begriffe der Zelle bzw. des Zellenkomplexes
einzugehen. Für p > 0 verstehen wir unter Ep stets die durch ∑ definierte
abgeschlossene Kugel des R
=
≤
p
i
i
x
1
21
p, unter Sp-1 die Sphäre . Es ist also S
∑
=
=
p
i
i
x
1
21p-1 ⊂ Ep und unter
Ep – Sp-1 die offene Kugel ∑.
=
<
p
i
i
x
1
21
Definition. Ein Zellenkomplex K ist ein separierter topologischer Raum, der so in Zellen
zerlegt ist, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
(Z1) Jeder Punkt von K gehört genau einer Zelle an.
2.3 Abbildungsbeziehungen 11
(Z2) Zu jeder p-Zelle ep von K gibt es eine stetige Abbildung ϕ: Ep → K derart, dass Ep - Sp-1
topologisch auf ep abgebildet wird und dass ϕ(Sp-1) für p > 0 in der Vereinigung endlich
vieler Zellen von K mit kleinerer Dimension als p enthalten ist (p = 0, 1, 2,...).
(Z3) Eine Teilmenge von K ist abgeschlossen, wenn ihr Durchschnitt mit der
abgeschlossenen Hülle einer jeden Zelle jeweils abgeschlossen ist.
Die Bedingung (Z2) besagt, dass sich K gerüstweise aufbauen lässt. Man beginne mit K0.
Durch „Anheften“ der 1-Zellen an K0 entsteht K1. Allgemein entsteht Kq+1 aus Kq durch
anheften der (q+1)-Zellen, wobei jede (q+1)-Zelle an nur endlich viele Zellen von Kq
angeheftet wird. [SCHUBERT 1975 S. 175]
Auf unser Beispiel übertragen bedeutet es, dass sich die Kanten K1...K4 aus den Knoten n1...n4
herleiten lassen und die Masche m wiederum aus den Kanten K1...K4. Wie lässt sich nun aber
diesem Zellenkomplex eine eindeutige Geometrie zuordnen? Bei den Knoten ist die Lösung
dieses Problems trivial, da sich diese bijektiv auf geometrische Punkte abbilden lassen.
Bei den Kanten fällt die Antwort schon schwerer. Diese werden jeweils auf eine Punktmenge
abgebildet. Eine solche Punktmenge kann mit Hilfe einer Funktion beschrieben werden. Die
einfachste Art einer solchen Funktion ist die Verbindung zweier Punkte durch eine Strecke.
Im euklidischen Raum lässt sich dann die Abbildung folgendermaßen definieren:
{}
{
}
AEAEA ...0),()(,: xxxxxx −=−⋅+==→= tttSnnKf iEAi (2.2)
Man beachte jedoch, dass die Krümmung immer eine Funktion der gewählten Basis und der
Metrisierungsfunktion ist. Die Verbindung zweier Punkte durch eine Strecke ist eine, aber
natürlich nicht die einzige denkbare Funktion. Als weitere Beispiele seien hier nur Kreisbogen
oder Klotoide genannt, in diesen Fällen sind dann zusätzliche Parameter erforderlich, welche
die Funktion definieren.
Die Abbildung der Masche m auf die Punktmenge H der Grundfläche erfolgt durch eine
point-in-polygon Funktion, die alle Punkte beschreibt die innerhalb des Polygons p1-p2-p3-p4
liegen.
2.3.3 Was ist eine Ecke ?
Kehren wir noch einmal zum Beispiel aus dem Abschnitt 2.3.1 zurück. Ganz
selbstverständlich wurden dort die Ecken des Gebäudes auf Knoten und die Gebäudeseiten
auf Kanten abgebildet. Doch betrachten wir das folgende Beispiel:
p1 p2
p3
p5
H
S2
S3
S5
S1 m
n1 n2
n3
n5
K2
K3
K5
K1
p4
S4 K4
n4
Figur 2-9: Grundriss mit „unechter“ Ecke
2.4 Abbildungsvorschrift einer p-Zelle 12
Die Abbildung der Geometrie auf die Topologie erfolgte hier im Wesentlichen wie in
Abschnitt 2.3.1. Mit einem Unterschied: Der Rand von H wurde hier nicht in vier sondern in
fünf Teilmengen S1...S5 zerlegt, die weiteren Schritte sind identisch. Nun kann man sich
fragen wozu es nutze ist, den Punkt p3 auf einen Knoten abzubilden. Man kann in der Tat
darauf verzichten. Doch es erhebt sich die Frage, warum man andererseits nicht auch auf den
Punkt p1 verzichten kann. Die Antwort könnte lauten: Weil p1 eine Ecke ist und p3 nicht.
Doch – was ist eine Ecke?
Die Antwort auf diese Frage liefert die Funktion für die Beschreibung von Si. Die Kanten K1
und K2 lassen sich auf eine Gerade, nämlich p2p4 abbilden. Bei der Abbildung der Kanten K1
und K2 auf das Polygon p5- p2- p1 sind zwei Geraden erforderlich. Das Kriterium dafür, dass
Punkte eines metrischen Raumes zu einer Menge zusammengefasst werden, welche auf eine
Zelle eines topologischen Raumes abgebildet wird, ist also die Frage, ob sich diese
Punktmenge durch eine Funktion beschreiben lässt. Andersherum muss jeder Zelle des
topologischen Raumes eine eindeutige Abbildungsvorschrift zugeordnet werden, damit diese
auf eine Punktmenge im metrischen Raum abgebildet werden kann. Figur 2-10 zeigt die
allgemeinen Abbildungsbeziehungen zwischen Punktmenge und Zelle.
H
Abbildungsvorschrift
m Æ H
Zelle des topologischen
Raumes
Punktmenge des
euklidischen Raumes
m
H
Punktmenge des
euklidischen Raumes
Figur 2-10: Allgemeine Beziehung zwischen Punktmenge und Zelle
2.4 Abbildungsvorschrift einer p-Zelle
Im vorangegangenen Kapitel wurde gezeigt, dass jeder Zelle eines topologischen Raumes
eine Abbildungsvorschrift zugeordnet werden muss damit diese auf eine Punktmenge des
metrischen Raumes abgebildet werden kann. Diese Abbildungsvorschrift kann nun wiederum
in eine Abbildungsfunktion, die dazugehörigen Parameter und eine Randbeschreibung zerlegt
werden.
2.4.1 Entity-Relationship-Modell
Wie kann nun eine allgemeine Sicht der Abbildungsbeziehungen zwischen Geometrie und
Topologie, wie sie in 2.3 dargestellt wurde, auf ein Informationssystem übertragen werden?
An dieser Stelle soll dazu der Ausschnitt eines Konzeptuellen Datenbank-Schemas entwickelt
werden. Die Beschreibung des Schemas erfolgt als Entity-Ralationship-Diagramm in Chen-
Notation.
Figur 2-11 zeigt das E-R-Diagramm eines Zellenkomplexes im dreidimensionalen
euklidischen Raum E3. Als Einschränkung soll hier gelten, dass die 1-Zellen auf Geraden, die
2-Zellen auf Ebenen und die 3-Zellen auf Polyeder abgebildet werden. Die angegebenen
Kardinalitäten ergeben sich aus eben dieser Einschränkung der nicht gekrümmten
Zellenränder.
2.4 Abbildungsvorschrift einer p-Zelle 13
0-Zellen (Knoten)
1-Zellen (Kanten)
2-Zellen (Maschen)
3-Zellen (Räume)
enden
begrenzen
umhüllen
(
3,*
)
(
2,2
)
(
2,*
)
(
3,*
)
(
2,2
)
(
4,*
)
Figur 2-11: E-R-Diagramm Zellenkomplex aus Polyedern
Mit diesem Modell ist noch nichts über die Geometrie ausgesagt, da ja, wie bereits erwähnt,
die Topologie invariant gegen Transformationen der Geometrie ist. Es muss also noch jeder
Zelle dieses topologischen Raumes eine Punktmenge im metrischen Raum zugeordnet
werden. Es soll daher versucht werden, die Beschreibung eben solcher Punktmengen ebenfalls
in einem E-R-Diagramm darzustellen.
Nun ist zunächst festzustellen, dass es den metrischen Raum an sich nicht gibt. Ein metrischer
Raum wird immer durch eine Basis und eine Metrisierbarkeitsfunktion, welche die
Entfernung zwischen Punkten des Raumes definiert, aufgespannt. Ein dreidimensionaler
euklidischer Raum zum Beispiel besitzt die orthogonale Basis und die
Metrisierbarkeitsfunktion
zyx r
rr ,,
222 zyxs Δ+Δ+Δ= . Eine Gleichung, die eine Punktmenge
beschreibt, bezieht sich also immer auf eine bestimmte Basis.
Eine n-1-dimensionale Hyperfläche in einem n-dimensionalen Raum Rn lässt sich durch eine
Gleichung der Form f(x1, x2, …, xn) = 0 beschreiben, die eine Bedingung ausdrückt, welche
alle Punkte der Hyperfläche erfüllen.
{
}
0),,,f(| n21
=
=xxxH Kx (2.3)
Mit der Einführung jeder weiteren Gleichung verringert sich die Dimension der so
beschriebenen Punktmenge um eins. Als Beispiel betrachten wir in einem dreidimensionalen
euklidischen Raum E3 die Gleichung
0 (2.4) 32 22 =−+ zyx
Die Punktmenge
{
}
032| 22 =−+= zyxH x beschreibt ein Paraboloid. Die Punktmenge ist
offen, dass heiß sie besitzt keinen Rand.
2.4 Abbildungsvorschrift einer p-Zelle 14
Gleichung (2.4) lässt sich nun noch in einen allgemeinen funktionalen Ansatz und in
Parameter zerlegen. Der allgemeine Ansatz lautet dann
0 (2.5)
22 =−⋅+⋅ zybxa
Die Größen a und b sind die Parameter der Gleichung. Das Beispiel beschreibt die
Instanziierung für a = 2 und b = 3.
Für die Datenmodellierung lassen sich aus dieser Betrachtung folgende Entitätentypen
ableiten: Hyperflächen (beschreiben eine Punktmenge H auf die eine topologische Zelle
abgebildet werden soll), Basis, Gleichungen und Parameter. Eine Hyperfläche wird also
durch eine parametrisierte Gleichung beschrieben, die sich auf eine definierte Basis bezieht.
Figur 2-12 zeigt das Ergebnis der Modellierung in dem die Hyperfläche durch einen
vierwertigen Relationentyp definiert wird.
(1,*)
Hyperflächen
Gleichungen
Parameter
(1,*)
definiert Basis
(
1,*
)
(1,*)
Figur 2-12: Beschreibung einer Hyperfläche
Nun mag sich die Frage erheben, ob denn nicht die parametrisierte Gleichung eine originäre
Eigenschaft der Hyperfläche ist, und ob es denn daher notwendig sei, die Entitätentypen
Gleichungen und Parameter überhaupt einzuführen. In der Tat ist deren Einführung nur dann
sinnvoll, wenn ein und derselbe Parameter für verschiedene Gleichungen bzw. ein und
dieselbe Gleichung für verschiedene Hyperflächen benutzt wird. Dass dem so sein kann wird
weiter unten gezeigt.
2.4.2 Dimension der Parametrisierung
In 2.4.1 wurden die Sichten auf Topologie und Geometrie getrennt betrachtet. Es stellt sich
nun aber die Frage, welcher topologischen Zelle eine Hyperfläche zugeordnet werden soll.
Prinzipiell besteht die Möglichkeit, Zellen beliebiger Dimension eine Hyperfläche
zuzuordnen. Figur 2-13 zeigt wie die Abbildung einer topologischen Zelle beliebiger
Dimension q auf eine Hyperfläche im Datenmodell erfolgen kann. Es sei darauf hingewiesen,
dass eine Hyperfläche beliebig viele topologische Zellen „tragen“ kann. Dieser Umstand ist
bei der Abbildung von regelmäßigen Strukturen von großer Bedeutung.
2.4 Abbildungsvorschrift einer p-Zelle 15
0-Zellen
q-1-Zellen
q-Zellen
q+1-Zellen
abbilden
(
1,1
)
(
1,*
)
(
1,*
)
(
1,*
)
(
1,*
)
(
1,*
)
p-Zellen
Hyperflächen
Funktionen
Parameter
(
1,*
)
(
1,*
)
definiert Basis
(
1,*
)
(
1,*
)
Geometrie Topologie
Figur 2-13: E-R-Diagramm Geometrie – Topologie
In der großen Mehrzahl der Anwendungen werden jedoch nur die 0-Zellen umkehrbar
eindeutig auf Punkte abgebildet. Ein Punkt kann in diesem Fall als 0-dimensionale
Hyperfläche betrachtet werden. Die Parameter, welche den Punkt in Bezug auf eine Basis
definieren, sind Koordinaten. Weiterhin wird für alle Hyperflächen mit einer Dimension p mit
p>0 vorausgesetzt, dass sie gegenüber der Basis nicht gekrümmt sind. Das heißt, dass die sie
beschreibende Gleichung linear ist. In diesem Fall handelt es sich bei der Hyperfläche um
eine Hyperebene. Eine Hyperebene im Rn wird gebildet durch die Menge aller Punkte für die
gilt
{
0| 22110
}
=
+
+
+
+
=nn xaxaxaaH Lx (2.6)
Hyperebenen der Dimension p mit 0 ≤ p < n-1 entstehen durch Schnitt von Hyperebenen der
Dimension p+1.
Doch diese Vorgehensweise ist nicht immer sinnvoll. In vielen Fällen kann es zweckmäßig
sein, nicht die 0-Zellen sondern Zellen höherer Dimension auf eine parametrisierte
Punktmenge im metrischen Raum abzubilden. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen.
Beispiel Quader
Im Falle eines Quaders im E3 werden die Knoten auf Punkte, die Kanten auf Geraden und die
Maschen auf Ebenen abgebildet. Die Punkte können direkt durch ihre Koordinaten
parametrisiert werden. Die Beschreibung der Strecken ergibt sich aus den Koordinaten der
Endpunkte und einer Vektorgleichung:
(
)
AEAEA 0xxxxxx −=∧−⋅+= Ktt (2.7)
Ein Problem ergibt sich bei der Beschreibung der Seitenflächen, da bereits drei Punkte
ausreichen sind, um eine Ebene im E3 festzulegen. Eine Parametrisierung durch
Punktkoordinaten ist daher in diesem Fall redundant. Für die Parametrisierung der 0-Zellen
ergibt sich so eine Parameterzahl von 8 Punkte × 3 Koordinaten = 24 Parameter.
2.4 Abbildungsvorschrift einer p-Zelle 16
Eine elegantere Möglichkeit bietet hier die Parametrisierung der 2-Zellen, das heißt, die
Maschen werden auf parametrisierte Ebenen abgebildet. Vorausgesetzt alle beteiligten
Ebenen lassen sich durch eine Gleichung der Form ax+by+z-c = 0 beschreiben, benötigt man
für die Beschreibung jeder Seitenfläche 3 Parameter. Als Gesamtparameterzahl ergeben sich
dann 6 Ebenen × 3 Koeffizienten = 18 Parameter. Die Koordinaten der Eckpunkte ergeben
sich durch den Schnitt von jeweils drei Ebenen. Das Problem der redundanten
Geometrieinformation tritt bei diesem Ansatz nicht mehr auf.
Das Beispiel des Quaders zeigt bereits ein Kriterium dafür, welche Dimension parametrisiert
werden sollte. Immer dann wenn eine Parametrisierung der 0-Zellen zu redundanter
Geometrieinformation führt kann es sinnvoll sein, die Parametrisierung in einer höheren
Dimension durchzuführen.
Doch dieses Kriterium ist nicht das einzige. Die vollständige Beschreibung einer Hyperfläche
im Rn durch Parametrisierung von 0-Zellen ist nur unter der Voraussetzung möglich, dass
diese Hyperfläche nicht gekrümmt ist. Figur 2-14 Zeigt die Abbildung einer 3-Zelle auf ein
Prismatoid mit zylindrischen Seitenflächen.
Figur 2-14: Abbildung einer 3-Zelle auf ein Prismatoid mit gekrümmten Seitenflächen
Eine solche Abbildung ist durch alleinige Parametrisierung der 0-Zellen nicht zu beschreiben,
hier ist es ebenfalls erforderlich die 2-Zellen zu parametrisieren.
{
}
0)()(| 22
M
2
M=−−+−= ryyxxHZylinder x (2.8)
2.4.3 Randbeschreibung
Bevor auf das Problem der Randbeschreibung näher eingegangen wird, sollen zuvor einige
Begriffe definiert werden. Die Definitionen wurden [www.mathe.braunling.de/Metrik.htm]
entnommen.
Offene und abgeschlossene Mengen
Eine Teilmenge bezeichnet man als offen, wenn jeder beliebige Punkt eine
Umgebung (mit einem beliebigen ε>0) besitzt, so dass diese Umgebung vollständig in
MC⊆Cc∈
(c)Uε
2.4 Abbildungsvorschrift einer p-Zelle 17
C enthalten ist (also ). Man bezeichnet eine Teilmenge C als abgeschlossen, wenn
ihr Komplement bezüglich M offen ist.
C(c)Uε⊆
Inneres und Äußeres einer Menge
Die Menge int(C) bezeichnet man als Inneres von C. Sie besteht aus allen Punkten, die eine
vollständig in C enthaltene Umgebung besitzen. Die Menge ext(C) bezeichnet man als
Äußeres von C. Sie besteht aus allen Punkte, die eine vollständig nicht in C enthaltene
Umgebung besitzen.
Rand einer Menge
Als Rand bezeichnet man die Menge aller Punkte, die weder im Inneren noch im Äußeren
von C liegen. Alle Umgebungen eines Randpunktes aus
C∂
C
∂
enthalten sowohl Punkte im
Inneren als auch Punkte im Äußeren von C. Die Mengen int(C), ext(C) und sind immer
disjunkt.
C∂
Zur besseren Veranschaulichung der Definitionen sollen die folgenden Beispiele dienen. Eine
Gerade ist eine offene Menge während eine Strecke eine abgeschlossene Menge ist. Der Rand
einer Strecke sind ihre Endpunkte. Eine Ebene ist eine offene Menge während ein Viereck
eine abgeschlossene Menge ist. Der Rand des Vierecks sind seine Seiten.
Eine parametrisierte Gleichung beschreibt, mit Ausnahme des Falles p = 0, eine offene
(n-1)-dimensionale Teilmenge H von Punkten im Rn. Oder anders ausgedrückt, die
Punktmenge spannt eine Hyperfläche der Dimension n-1 im Rn auf. Die Objekte der Realität,
die in einem Informationssystem gespeichert werden sollen stellen aber im Allgemeinen
abgeschlossene Punktmengen dar. Das heißt, eine p-Zelle des topologischen Raumes soll auf
eine abgeschlossene Teilmenge abgebildet werden. Daher ist es erforderlich, innerhalb der
Abbildungsvorschrift auch den Rand von H zu beschreiben.
Bei der allgemein üblichen Vorgehensweise, der Parametrisierung der 0-Zellen, tritt das
Problem nicht auf, da jeder Punkt per Definition sozusagen sein eigener Rand ist. Bei einem
gerüstweisen Aufbau der Geometrie, beginnend mit der Dimension 0, ist die
Randbeschreibung daher immer implizit.
Anders verhält es sich bei einer Parametrisierung der Geometrie in einer Dimension größer 0.
Hier ergibt dich die Menge der Randpunkte einer Hyperfläche immer als Schnittmenge mit
einer anderen Hyperfläche gleicher Dimension. Als Beispiel soll ein Quader dienen wie er in
Figur 2-15 dargestellt ist.
n1 n2
n3
n4
n5 n6
n7
n8
K1
K2
K3
K4
K5
K6
K7
K8
K9
K12
K10
K11
m1
m4
m2m5
m3
m6 2
z
03 x
y
1
Topologischer Raum Metrischer Raum
Figur 2-15: Topologie und Geometrie eines Quaders
2.4 Abbildungsvorschrift einer p-Zelle 18
Die Topologie sieht so aus, dass sich die 3-Zelle aus einer Menge von 2-Zellen
zusammensetzt,
{
}
6,5,4,3,2,1 mmmmmmV = (2.9)
die Maschen sind Mengen von Kanten
{}
{
}
{}{
{}{
12,8,9,4611,7,12,35
10,6,11,249,5,10,13
8,7,6,524,3,2,11
KKKKmKKKKm
KKKKmKKKKm
KKKKmKKKKm
==
==
}
}
=
=
(2.10)
und die Kanten sind schließlich zweiwertige Mengen von Knoten
{}
{
}
{
}
{
}
{} {} {} {
{} { } { } {
8,4127,3116,2105,19
8,588,777,666,55
4,144,333,222,11
nnKnnKnnKnnK
nnKnnKnnKnnK
nnKnnKnnKnnK
====
====
}
}
=
=
==
(2.11)
Die Geometrie des Quaders wird durch Ebenengleichungen, also 2-dimensionale
Hyperflächen im E3, beschrieben.
{}
{
}
{}{
{} {
0|1|
3|0|
2z|0z|
65
43
21
====
====
}
}
=
=
=
=
xHyH
xHyH
HH
xx
xx
xx
(2.12)
Die 2-Zellen der Topologie sollen auf die Seitenflächen F1..F6 des Quaders abgebildet
werden, die wiederum abgeschlossene Teilmengen der Hyperflächen H1…H6 sind.
(2.13)
6655
4433
2211
65
43
21
HFmHFm
HFmHFm
HFmHFm
⊂→⊂→
⊂→⊂→
⊂→⊂→
Die Aufgabe besteht nun in der Beschreibung der Ränder 61 FF
∂
∂
K der Flächen F1..F6. Dazu
bildet man die Schnittgeraden G1..G12, welche die abgeschlossenen Teilmengen S1…S12
enthalten, auf die wiederum die Kanten K1…K12 abgebildet werden.
{
}
{}
10|6512
00|311
6512
311
=∧==∩=⇒∩=
=
∧
=
=
∩
=
⇒∩
=
yxHHGmmK
zyHHGmmK
x
x
M (2.14)
Die Eckpunkte des Quaders ergeben sich durch Schnitt von jeweils 3 Ebenen auf welche die
Maschen abgebildet werden.
)2,1,0(6528
)0,0,0(6311
6528
6311
=∩∩=⇒∩∩=
=
∩
∩
=
⇒∩∩=
HHHmmmn
HHHmmmn
x
x
M (2.15)
2.4 Abbildungsvorschrift einer p-Zelle 19
Es soll exemplarisch ein konzeptuelles und anschließend ein logisches Datenbankschema
entwickelt werden, welches die Topologie als auch die Geometrie von Quadern abbildet,
deren Seitenflächen parallel bzw. rechtwinklig zu den Koordinatenachsen verlaufen. Die
Möglichkeit der Basistransformation soll der Einfachheit halber noch nicht betrachtet werden.
Knoten
Kanten
Maschen
Quader
abbilden
(
1,1
)
(
1,*
)
(
2,2
)
(
4,4
)
(
1,1
)
(
6,6
)
Ebenen
Funktionen
Parameter
(
1,*
)
(
1,*
)
definiert
(
1,1
)
Geometrie Topologie
(
3,3
)
(
2,2
)
Figur 2-16: Quader im E-R-Modell
Figur 2-16 Zeigt das E-R-Diagramm für die Abbildung der Quader. Die Funktion, die in
diesem Fall nur achsparallele Ebenen bezeichnet, kann in einem nicht objektorientierten
Modell nur durch ein katalogisiertes Attribut beschrieben werden. Aus dem E-R-Modell lässt
sich das folgende relationale Modell ableiten:
Knoten: {[Knoten-ID]}
Kanten: {[Kante-ID, aKnoten, eKnoten, lMasche, rMasche]}
Maschen: {[Masche-ID, Ebene-ID]}
Quader: {[Quader-ID, Masche-ID]}
Ebenen: {[Ebene-ID, Funktion-ID, Parameter-ID]}
Funktionen: {[Funktion-ID, Achse]}
Parameter: {[Parameter-ID, Wert]}
Durch Verknüpfung von relationalen Operationen kann ohne Probleme eine Relation der
Knotenkoordinaten erzeugt werden, die in diesem Fall nur eine Sicht auf die Ebenenparameter
darstellt. Für die Darstellung von 8 × 3 = 24 Koordinatenwerten werden hier nur 6 Parameter
benötigt. Die aufgeführten Operationen lassen sich ohne weiteres auch in ein SQL_Statement
überführen.
2.4 Abbildungsvorschrift einer p-Zelle 20
()
()
()
()
()
()
()()
()()
()()
ZKnotenYKnotenXKnotennKoordinate
WertKnotenZKnoten
WertKnotenYKnoten
WertKnotenXKnoten
ParameterFunktionenEbenenMascheKnotenWertKnoten
MascheKanteKanteKnotencheKnoten_Mas
MaschenKanten
MaschenKantenheKante_Masc
KantenKnoten
KantenKnotenteKnoten_Kan
ZAchseWertZZtKnotenID
YAchseWertYYtKnotenID
XAchseWertXXtKnotenID
WertAchseKnotenID
IDMascheKnotenID
IDMaschelMascheasche-IDKante-ID,M
IDMaschelMascheasche-IDKante-ID,M
eKnotenKnoten-IDKante-IDKnoten-ID,
aKnotenKnoten-IDKante-IDKnoten-ID,
___
)_(_
)_(_
)_(_
__
__
'',
'',
'',
,,
,
><><
><><><
><
><
><
><
><
=
∏=
∏=
∏=
∏=
∏=
∏∪
∏=
∏∪
∏=
=←
=←
=←
−
−=
−=
=
=
σρ
σρ
σρ
Die Methode der Parametrisierung von Hyperflächen einer Dimension größer Null kann
jedoch dann zu Problemen führen, wenn diese an der Schnittfläche tangential ineinander
übergehen. Betrachten wir als Beispiel den Übergang einer Geraden in einen Kreis im E2, wie
er zum Beispiel bei Verkehrstrassen häufig vorkommt. Sowohl Gerade als auch Kreis können
durch eine Gleichung der Form f(x,y) = 0 beschrieben werden.
()()
0:Kreis
0:Gerade
2
22 =−−+−
=++
ryyxx
cbyax
MM
Der Rand beider Elemente könnte auch hier durch Schnittbildung ermittelt werden, doch nur
unter der Voraussetzung, dass es sich bei den Parametern um streng determinierte Größen
handelt. Diese Voraussetzung ist jedoch nicht immer erfüllt. Oft entstammen die Parameter
Berechnungen, in die Beobachtungen, also Zufallsgrößen, eingegangen sind. Im allgemeinen
Fall muss also davon ausgegangen werden, dass es sich bei den Parametern um korrelierte
Zufallsgrößen handelt. In diesem Fall aber kann die Berechnung des Schnittpunktes zu keiner
oder zu einer mehrdeutigen Lösung führen (siehe Figur 2-17).
Parameter sind determiniert Parameter sind Zufallsgrößen
eindeutige Lösung keine Lösung mehrdeutige Lösung
Figur 2-17: Schnitt von tangential verlaufenden Elementen
2.4 Abbildungsvorschrift einer p-Zelle 21
Für die die Lösung dieses Problems bestehen mehrere Möglichkeiten. Die nächstliegende
wäre hier die direkte Einführung des Schnittpunktes. Es währen dann sowohl Zellen der
Dimension 1 als auch Zellen der Dimension 0 parametrisiert, eine redundante Datenhaltung,
die aber dadurch zu begründen ist, dass es sich bei den zu speichernden Werten um
Zufallsgrößen handelt.
Eine weitere Lösung stellt die Einführung einer zusätzlichen Hyperfläche, in diesem Fall einer
Geraden, dar, die orthogonal zu den sich tangential schneidenden Elementen verläuft. Diese,
auf den ersten Blick umständlich anmutende, Lösung gewinnt an Sinn, wenn wir z.B. den Fall
eines Tonnengewölbes betrachten (siehe Figur 2-18).
Hilfsebene
Figur 2-18: Tonnengewölbe mit Hilfsebene
Das Gewölbe besteht topologisch aus drei 2-Zellen, den beiden Seitenwänden und der Decke.
Die beiden Seitenwände werden jeweils durch eine Ebene Parametrisiert, die Decke durch
einen liegenden Zylinder. Der Übergang zwischen Decke und Seitenwänden ist tangential.
Nun könnte man auch hier an den Ecken Schnittpunkte einführen doch erscheint diese Lösung
hier wenig sinnvoll, da dies zu einer starken Überparametrisierung führen würde
(4 Punkte × 3 Koordinate = 12 Parameter). Zweckmäßiger ist die Einführung einer Hilfsebene
mit z = const. Bei diesem Ansatz wird nur ein weiterer Parameter benötigt und die
Bedingungen, dass die Schnittgeraden zwischen Seitenwänden und Decke horizontal in
gleicher Höhe verlaufen sollen sind bereits implizit.
2.4.4 Zusammenfassung
Im folgenden Abschnitt soll nun versucht werden, die hier an Spezialfällen gezeigten Regeln
zu verallgemeinern und zusammenzufassen.
Die Abbildung einer p-dimensionalen Punktmenge eines metrischen Raumes auf die p-Zelle
eines topologischen Raumes ist eindeutig aber nicht umkehrbar.
Die eindeutige Abbildung der p-Zelle eines topologischen Raumes auf eine p-dimensionale
Punktmenge eines metrischen Raumes kann nur erreicht werden, wenn der betreffenden
p-Zelle eine Abbildungsvorschrift zugeordnet wird.
Die Abbildungsvorschrift lässt sich in die Abbildungsfunktion, Parameter und eine
Randbeschreibung zerlegen.
Soll ein Zellenkomplex der Dimension p auf einen metrischen Raum abgebildet werden
lassen sich für die Abbildungsvorschrift die folgenden Thesen aufstellen:
T1 Eine Abbildungsfunktion kann für Zellen einer beliebigen Dimension q (0 ≤ q ≤ p)
definiert werden.
T2 Eine Abbildungsfunktion in der Dimension q setzt voraus, dass alle Hyperflächen mit
einer Dimension q+i nicht gekrümmt sind.
2.4 Abbildungsvorschrift einer p-Zelle 22
T3 Der Rand von Hyperflächen einer Dimension q+i wird durch Hyperflächen der
Dimension q+i-1 definiert.
T4 Hyperflächen einer Dimension q-i werden durch Hyperflächen der Dimension q-i-1
begrenzt, die durch Schnitt der Hyperflächen der Dimension q-i entstehen.
T5 Verschiedene Zellen gleicher Dimension können sich eine Abbildungsfunktion teilen.
T6 Verschiedene Abbildungsvorschriften können auf gleiche Parameter verweisen.
Die aufgeführten Thesen sollen am Beispiel eines Quaders im R3 erläutert werden, der auf
eine topologische 3-Zelle abgebildet wurde.
3-Zelle
2-Zelle (Masche)
1-Zelle (Kante)
0-Zelle (Knoten)
Figur 2-19: Topologie eines Quaders
Zu T1: Eine Abbildungsfunktion kann für Zellen einer beliebigen Dimension q (0 ≤ q ≤ p)
definiert werden.
Der Quader hat die Dimension p = 3. Die Abbildungsfunktion kann in den Dimensionen
q = 0, q = 1, q = 2 oder q = 3 definiert werden.
q = 0: 0-Zellen (Knoten) werden eindeutig auf Punkte abgebildet, die Punkte werden durch
Punktkoordinaten Parametrisiert.
q = 1: 1-Zellen (Kanten) werden auf Geraden Abgebildet. Die Geraden können z.B. durch
eine Punkt-Richtungs-Gleichung dargestellt werden.
nxx
⋅
+
=
t
0 (2.16)
q = 2: 2-Zellen (Maschen) werden auf Ebenen abgebildet. Die Ebenen werden durch die
Hessesche Normalform dargestellt.
10 =∧=−⋅ nxn d (2.17)
q = 3: Die 3-Zelle wird direkt auf einen Quader abgebildet. Die innere Geometrie und somit
der Rand des Quaders wird durch die Parameter Länge, Breite und Höhe beschrieben. Die
Orientierung im Raum kann durch ein Translations- und ein Rotationsquaternion erfolgen.
(2.18)
Hv
Bv
Lvqvqxx
v
z
y
x
s
K
K
K
&&&&&
0
0
0
0
1
0
=
=
=∧⋅⋅+=
=
−
2.4 Abbildungsvorschrift einer p-Zelle 23
Zu T2: Eine Abbildungsfunktion in der Dimension q setzt voraus, dass alle Hyperflächen mit
einer Dimension q+i nicht gekrümmt sind.
Für die Abbildung einer 3-Zelle auf einen Quader genügt eine Abbildungsfunktion in der
Dimension 0, da alle begrenzenden Hyperflächen mit größerer Dimension (Geraden, Ebenen)
keine Krümmung aufweisen. Wollte man die 3-Zelle aber z.B. auf ein Prismatoid abbilden,
dessen Seiten durch Zylinderflächen gebildet werden (Figur 2-20), so wäre dies nur über eine
Abbildungsfunktion der Dimension q = 2 möglich.
Figur 2-20: Prismatoid mit gekrümmten Seitenflächen
Zu T3: Der Rand von Hyperflächen einer Dimension q+i wird durch Hyperflächen der
Dimension q+i-1 definiert.
Wir betrachten exemplarisch den Fall q = 0 und i = 2, das heißt, die Abbildungsfunktion
bildet Knoten auf Punkte ab. Die Hyperflächen der Dimension q+i = 2 sind Ebenen. Der Rand
der Ebenen wird dann durch Hyperflächen der Dimension 1, also durch Geraden beschrieben.
Zu T4: Hyperflächen einer Dimension q-i werden durch Hyperflächen der Dimension q-i-1
begrenzt, die durch Schnitt der Hyperflächen der Dimension q-i entstehen.
Wir betrachten den Fall einer Abbildungsfunktion der Dimension q = 2. Im Falle des Quaders
ergeben sich die Kanten durch den Schnitt der Seitenebenen. Die Eckpunkte wiederum
ergeben sich durch Schnitt der Kanten.
Zu T5: Verschiedene Zellen gleicher Dimension können sich eine Abbildungsfunktion teilen.
Wir betrachten den Fall einer Abbildungsfunktion der Dimension q = 2, dass heißt, die
2-Zellen werden auf Ebenen Abgebildet. Da es sich bei allen Randflächen um Ebenen handelt
verwenden alle 2-Zellen die gleiche Abbildungsfunktion, nämlich die Hessesche Normalform
der Ebene (2.16).
Zu T6: Verschiedene Abbildungsvorschriften können auf gleiche Parameter verweisen.
Die Randebenen Eines Quaders sind paarweise parallel bzw. rechtwinklig. Die
Rechtwinkligkeit lässt sich dadurch abbilden, dass parallele Ebenen den gleichen
Normalenvektor besitzen (Figur 2-21).
2.5 Die Zeit 24
Figur 2-21: Normalenvektoren Paralleler Ebenen
Die zu parallelen Ebenen gehörenden Abbildungsgleichungen unterscheiden sich nur noch im
orthogonalen Abstand vom Koordinatenursprung d.
Stellt man rechtwinkelige Geraden im R2 in Hessescher Normalform dar, so beinhalten ihre
Normalenvektoren vom Betrag her gleiche Parameter. Sie unterscheiden sich nur hinsichtlich
Vorzeichen und Komponente.
(2.19)
2121 nnnn ⊥⇒
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−
=∧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=a
b
b
a
2.5 Die Zeit
2.5.1 Topologischer Raum mit diskreter Zeit
In den bisherigen Überlegungen wurden im Wesentlichen statische Probleme im zwei- bzw.
dreidimensionalen euklidischen Raum betrachtet. Das heißt, die zeitlichen Änderungen der
Eigenschaften von den in einem Informationssystem zu speichernden Objekten blieben
unberücksichtigt. Die so gespeicherten Informationen bilden gewissermaßen eine
Momentaufnahme der Realität, aus der zeitliche Veränderungen nicht ablesbar sind. Häufig
soll aber auch der zeitliche Verlauf von Prozessen oder die Bewegung von Objekten
dokumentiert werden. So ist es zum Beispiel erforderlich, in einem
Liegenschaftsinformationssystem die Entstehungsgeschichte oder die Eigentümerwechsel von
Flurstücken zurückverfolgen zu können. Besonders entscheidend ist die Zeitkomponente aber
bei Fahrplänen oder Verkehrsinformationssystemen in denen die Bewegungen einzelner
Objekte im Raum abgebildet werden sollen.
Im Abschnitt 2.2.1 wurde bereits gezeigt, dass die Merkmalsklassen einer Datenbank einen
topologischen Raum aufspannen. Für die Abbildung der zeitlichen Änderung von Merkmalen
ist es nun erforderlich, die Basis dieses topologischen Raumes um die Zeitkomponente zu
erweitern. Das Problem soll wiederum an einem Beispiel erläutert werden. Wir betrachten ein
Objekt der Klasse Personen dessen Merkmale Nachname und Adresse sich im Lauf der Zeit
Ändern. Die Person Erna Meier ändert ihren Nachnamen in Müller und zieht zu einem
späteren Zeitpunkt von der Bahnhofstraße 27 in die Kirchgasse 3.
2.5 Die Zeit 25
Personen
Person-ID Vorname Nachname Adresse Datum
123 Erna Meier Bahnhofstr. 27 t0
123 Erna Müller Bahnhofstr. 27 t1
123 Erna Müller Kirchgasse 3 t2
… … … … …
Diese drei Datensätze entsprechen drei Punkten in einem Toplogischen Raum, welcher in
Figur 2-22 durch einen dreidimensionalen metrischen Raum veranschaulicht wird.
Zeit
Adresse
Nachname
Meier Müller
Bahnhofstr. 27
Kirchgasse 7
t
1
t
0
t
2
Figur 2-22: 0-Zellen im topologischen Raum
Diese drei Punkte repräsentieren jedoch ein und dasselbe Objekt der Realität, welches
zeitlichen Änderungen seiner Merkmale unterliegt. Daher können zeitlich aufeinander
folgende Punkte eines Objektes zu 1-Zellen zusammengefasst werden. Das Objekt wird
nunmehr nicht durch einen Punkt sondern durch eine Folge von Kanten im topologischen
Raum repräsentiert.
2.5 Die Zeit 26
Zeit
Adresse
Nachname
Meier Müller
Bahnhofstr. 27
Kirchgasse 7
t
1
t
0
t
2
Figur 2-23: 1-Zellen im topologischen Raum
Diese Darstellung sagt aber nur etwas über den Zustand eines Objektes zu einem bestimmten
Zeitpunkt aus. Es kann nicht nachvollzogen werden wann und wie genau die Änderungen
eingetreten sind. Insbesondere die Änderung von Merkmalen, welche durch rationale Zahlen
beschrieben werden und die sich stetig mit der Zeit ändern können, wie Lage im Raum,
Temperatur oder Druck, kann auf diese Weise nicht abgebildet werden. Um solche
Änderungen darstellen zu können, ist es erforderlich, anstelle einer diskreten Zeit eine steige
Zeit einzuführen. Bei Merkmalen die nur diskrete Werte annehmen können, wie Name oder
Adresse kann sich eine Änderung nur „unendlich schnell“ vollziehen. Wenn man das obige
Beispiel zugrunde legt, sind die Kanten in der topologischen Raumzeit dann entweder
horizontal für eine Änderung oder vertikal für einen Zustand.
Zeit
Adresse
Nachname
Meier Müller
Bahnhofstr. 27
Kirchgasse 7
t
1
t
0
t
2
Figur 2-24: Änderung diskreter Merkmale in der topologischen Raumzeit
2.5 Die Zeit 27
Bei einer solchen Darstellung ist der Zustand eines Objektes zu jedem Zeitpunkt t ≠ tÄnderung
definiert. Für die Abbildung dieser Betrachtungsweise muss die Relation Personen so
modifiziert werden, dass nicht mehr nur ein Gültigkeitszeitpunkt sondern ein
Gültigkeitszeitraum gespeichert wird.
Personen
Person-ID Vorname Nachname Adresse gültig_von gültig_bis
123 Erna Meier Bahnhofstr. 27 t0t1
123 Erna Müller Bahnhofstr. 27 t1t2
123 Erna Müller Kirchgasse 3 t2t∞
… … … … … …
Diese Form der Historisierung wird in [ADV 2002] vorgeschlagen. Bei den Merkmalen
gültig_von und gültig_bis bleibt jedoch offen, ob diese Zeitpunkte den Gültigkeitszeitraum in
der Realität oder den in der Datenbank kennzeichnen.
2.5.2 Temporale Datenhaltung
Will man Änderungen in der Realität und solche im System unterscheiden, muss man zu einer
so genannten bitemporalen Datenhaltung übergehen. Bei dieser Form der Historisierung
werden die Zeitpunkte zu denen in der Realität Änderungen von Merkmalen eintreten von den
Zeitpunkten unterschieden, in denen diese Merkmale in der Datenbank modifiziert werden.
Diese Informationen können durch die Einführung von zusätzlichen Feldern in bitemporale
Datenbankrelationen abgebildet werden. [FRÄFEL 2003]
gueltig_von Startzeitpunkt der Gültigkeitsperiode
gueltig_bis Endzeitpunkt der Gültigkeitsperiode
erfsasst_am Zeitpunkt der Erfassung
ersetzt_am Zeitpunkt der Stempelung von gueltig_bis
fehler_am Zeitpunkt einer Fehlerkorrektur
Im September 1994 wurde durch das TSQL2 committee eine Spezifikation für eine Temporal
Query Language – TSQL2 publiziert. TSQL2 stellt eine Erweiterung des Standards SQL-92
dar. Die Spracherweiterung unterstützt Abfragen und die Formulierung von
Integritätsbedingungen auf zeitrelevanten Daten durch die implizite Administration von
Gültigkeitszeit (valid time) und Transaktionszeit (tranaction time). Die Konstrukte und Inhalte
von TSQL3 wurden für die Übernahme in SQL3 vorgeschlagen. [SNODGRASS 2002]
[SCHARFFE 2003]
2.5.3 Die vierdimensionale Raumzeit
Im Folgenden sollen Änderungen von Objekten in Raum und Zeit betrachtet werden. Alle
bisherigen Beispiele legten einen zwei- bzw. dreidimensionalen euklidischen Raum zugrunde.
Dieser Raum soll nun um die Zeitdimension t erweitert werden. Das Ergebnis ist eine
vierdimensionale Raumzeit mit der Basis (x, y, z, t). Der Einfachheit halber soll für diesen
Raum die Newtonsche Mechanik gelten, das heißt, auch „unendlich“ große
Geschwindigkeiten sind zugelassen. Für die meisten Anwendungen in GIS dürfte diese
Modellvorstellung ausreichend sein. Anwendungen der Satellitengeodäsie hingegen verlangen
2.5 Die Zeit 28
die Berücksichtigung relativistischer Effekte. Berechnungen dieser Art werden im
Minkowski-Raum durchgeführt (siehe [SCHRÖDER 1981]).
Da ein vierdimensionaler Raum der menschlichen Vorstellung nur schwer zugänglich ist und
sich Grafisch nicht veranschaulichen lässt, wird für die Beispiele eine dreidimensionale
Raumzeit mit der Basis (x, y, t) verwendet. Die Aussagen zu dieser dreidimensionalen
Raumzeit lassen sich auf die vierdimensionale Raumzeit übertragen.
Bei Punkten der Raumzeit sprechen wir von Ereignissen. Ein statisch an seinem Ort
verharrender Raumpunkt bildet in der Raumzeit eine vertikale Gerade. Figur 2-25 zeigt einen
solchen Punkt und seine Projektion in die x-y-Ebene.
y
x
t
Figur 2-25:Statischer Punkt in der Raumzeit
Das Kausalitätsprinzip verlangt, dass eine Kurve bezüglich der Raumkomponenten x, y, z
immer einen Anstieg größer oder gleich Null hat. Die Bewegung eines Punktes lässt sich
daher immer explizit als Funktion der Zeit darstellen.
)(f),(f),(f 321 tztytx
=
=
= (2.20)
Die Linie, die ein bewegter Punkt in der Raumzeit beschreibt bezeichnet man als Lebenslinie
oder Weltlinie des Punktes. Der geometrische Ort der Punktlagen liefert die Trajektorie C. Im
kartesischen Koordinatensystem mit der Zeit t als dritter Koordinate ergibt sich die Weltlinie
W. Nimmt man nun einen Punkt Q auf W und fällt das Lot auf die x-y-Ebene, so findet man
den Punkt der Trajektorie C, in dem sich der Punkt zum Zeitpunkt t befindet. T ist dabei die
Länge des Lotes. [FRIEDMANN 2002]
y
x
t
W
C
Q
t
0
Figur 2-26: Weltlinie und Trajektorie eines bewegten Punktes
2.5 Die Zeit 29
Ein Punkt, der eine geradlinig gleichförmige Bewegung ausführt beschreibt in der Raumzeit
eine Gerade. Ein Punkt, der eine Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
ausführt beschreibt eine Schraubenlinie (Figur 2-27).
y
x
t
y
x
t
Figur 2-27: Geradlinige bzw. Kreisbewegung in der Raumzeit
2.5.4 Historisierung in der Raumzeit
Wie stellt sich nun die Historisierung eines geometrischen Objektes in Geometrie und
Topologie der Raumzeit dar? Betrachten wir hierzu ein Gebäude, das errichtet, umgebaut und
schließlich wieder abgerissen wird. Figur 2-28 zeigt den Lebenszyklus dieses Gebäudes in der
Raumzeit. Die Zeitachse bezeichnet hier die reale Zeit, nicht die Transakionszeit. Das in
seinen Raumkomponenten zweidimensionale Gebäude wird topologisch auf eine 3-Zelle
abgebildet. Da sich das Objekt nicht bewegt, erfolgt die Abbildung der 3-Zelle auf eine
Punktmenge der Raumzeit hier ausschließlich über nicht gekrümmte Hyperflächen. Es ist
daher möglich, hier die 0-Zellen durch Koordinaten der Raumzeit zu parametrisieren und die
Elemente höherer Dimension gerüstweise anzuheften. Diese Vorgehensweise entspricht einer
temporalen Datenhaltung.
x
y
Realzeit
Errichtung
Umbau
Abriss
Figur 2-28: Lebenszyklus eines Gebäudes in der Raumzeit
2.5 Die Zeit 30
Man beachte, dass hier nur für die Punkte der metrischen Raumzeit ein Zeitattribut mitgeführt
werden muss, die Gültigkeit von Elementen höherer Dimension ergibt sich durch den
gerüstweisen Aufbau, analog einem rein räumlichen Problem. Es ist demnach überflüssig zum
Beispiel die Gültigkeitsdauer einer Kante anzugeben, da sich diese aus der Parametrisierung
der Punkte ergibt. Da eine Bewegung von Punkten nicht stattfindet, können mit einem Tupel
der Struktur (x, y, tvon, tbis) zwei Punkte der Raumzeit koordiniert werden deren Trajektorie
ein Punkt ist.
Der Lebenszyklus des gleichen Gebäudes in der Transaktionszeit kann sich von dem in der
realen Zeit durchaus unterscheiden. Figur 2-29 Zeigt den Lebenszyklus eines Gebäudes
dessen Eckpunktkoordinaten während der Lebensdauer im GIS geändert wurden.
x
y
Transaktionszeit
Erfassung
Homogenisierung
Löschen
Figur 2-29: Lebenszyklus eines Gebäudes in des Transaktionszeit
Die Verschiebung, die das Gebäude durch die Homogenisierung erfährt ist rein virtuell und
kann nur in der Transaktionszeit dargestellt werden. In der realen Zeit findet eine
Verschiebung des Gebäudes nicht statt.
2.5.5 Bewegte Objekte in der Raumzeit
Wie gezeigt wurde, ist eine temporale Datenhaltung im herkömmlichen Sinn nur in der Lage,
Bewegungen mit einer Geschwindigkeit von v = 0 (keine Änderung) oder v = ∞ (Änderung)
abzubilden. Für eine Abbildung von allgemeinen Bewegungen sind komplexere
Abbildungsvorschriften erforderlich.
Wir betrachten einen Zug, der entlang einer Strecke fährt. Die Bewegung lässt sich in einer
zweidimensionalen Raumzeit mit der Basis (s, t) darstellen. Hierbei ist s das eindimensionale
Raumbezugssystem der Gleisachse und t die Zeit. Der Zug selbst wird als eindimensionales
Objekt mit konstanter Länge betrachtet.
2.5 Die Zeit 31
s
t
Beschleunig
v = const.
Bremsen
Stillstand
Zugende Zuganfang
Geometrie Topologie
Figur 2-30: Geometrie und Topologie einer Zugfahrt
Die Topologie der Zugfahrt ist auf der rechten Seite von Figur 2-30 zu sehen. In diesem Fall
ist es nicht ausreichend, nur die 0-Zellen zu parametrisieren, da einige der Linien
(eindimensionale Hyperflächen) in der s,t-Raumzeit, auf welche die 1-Zellen abgebildet
werden sollen, gekrümmt sind. Die „horizontalen“ Kanten werden auf Geraden mit t = const.
abgebildet. Die „vertikalen“ Kanten lassen sich, auf Grund des Kausalitätsprinzips, explizit
auf Funktionen der Zeit abbilden. Diese Funktionen haben die Struktur
(2.21)
2
0
)g( tstssts ⋅+⋅+== &&&
Hierin sind t
s
sd
d
=
& die Geschwindigkeit und 2
2
d
d
t
s
s=
&& die Beschleunigung.
Nun könnte man Geometrie und Topologie der obigen Zugfahrt in einem Datenmodell
abbilden wie es unter 2.4.2 beschrieben wurde. Bei einem solchen Vorgehen würde man
jedoch eine wichtige Eigenschaft des Zuges unberücksichtigt lassen, welche die
Modellbildung erheblich vereinfacht. Wie viele andere Objekte auch, wird der Zug zu keiner
Zeit deformiert, das heißt in diesem Falle gedehnt oder gestaucht.
Aus diesem Grund lässt sich eine mit dem Zug fest verbundene Basis definieren, der
gegenüber alle Punkte des Zuges invariant sind. Im vorliegenden Fall bietet sich ein
eindimensionales Objektkoordinatensystem entlang der Trajektorie mit dem Zuganfang als
Ursprung an. Die Position eines Punktes aus der Punktmenge „Zug“ kann dann durch eine
Transformation vom l-System des Zuges in das s-System der Trajektorie berechnet werden.
lss
−
=
0 (2.22)
Hierin sind s die Koordinate eines Punktes des Zuges im s-Koordinatensystem, s0 der
Translationsparameter zwischen dem s-System und dem l-System und l die lokale Koordinate
des Punktes im l-System. Dabei ist nur der Transformationsparameter s0, nicht aber die lokale
Koordinate l eine Funktion der Zeit.
)g(
0ts
=
(2.23)
Es soll nun versucht werden, die Aussagen über die Zugfahrt zu verallgemeinern:
• Für jedes nicht deformierbare Objekt lässt sich eine lokale Basis definieren, gegenüber
der die Objektpunkte invariant sind.
2.5 Die Zeit 32
• Die globalen Koordinaten eines Objektpunktes lassen sich als Funktion seiner
Objektkoordinaten und von Transformationsparametern darstellen.
• Bei einer Bewegung des Objektes im Raum lassen sich die Transformationsparameter
für eine Transformation von der lokalen auf eine globale Basis als Funktionen der Zeit
darstellen.
)g(mit)f( lokalglobal t
=
=
pxp,x (2.24)
In (2.24) sind xglobal die globalen Koordinaten, p die Transformationsparameter und xlokal die
lokalen Koordinaten des zu transformierenden Punktes.
Im Beispiel „fahrender Zug“ wird als Transformationsparameter lediglich die Translation des
Zuganfangs in Bezug auf den Ursprung der Trajektorie s0 benötigt. Im allgemeinen Fall, der
Bewegung eines starren Körpers im dreidimensionalen Raum, variieren drei Translations- und
drei Rotationsparameter in Abhängigkeit von der Zeit.
(2.25)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
z
y
x
t
t
t
tZ
tY
tX
Z
Y
X
lokal
0
0
0
global
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xpx
κ
ϕ
ω
Wie lässt sich eine solche Bewegung nun aber in einer Datenbank speichern? Die
dreidimensionale Punktmenge des starren Körpers lässt sich, wie in den vorangegangenen
Kapiteln beschrieben, auf topologische Zellen abbilden. Die Rückabbildung der topologischen
Elemente auf dreidimensionale Punktmengen erfolgt über Abbildungsgleichungen, die im
Objektkoordinatensystem des Körpers definiert sind.
Die Transformationsparameter sind Funktionen der Zeit, das bedeutet, sie bilden eine
eindimensionale Punktmenge in einem 7-dimensionalen Raum mit der Basis
(X0, Y0, Z0, ω, φ, κ, t).
Zur Veranschaulichung betrachten wir die Translation eines Punktes in der x-y-Ebene, wie sie
in Figur 2-31 dargestellt ist.
x
y
g
leichförmi
g
g
ebremst
g
leichförmi
g
beschleuni
g
t
g
leichförmi
g
Figur 2-31: Trajektorie in der x-y-Ebene
2.5 Die Zeit 33
Der Punkt soll ein Fahrzeug repräsentieren. Die Trajektorie besteht aus den Elementen Gerade
– Kreis – Gerade. Das Fahrzeug fährt zunächst mit konstanter Geschwindigkeit, bremst vor
der Kurve, durchfährt die Kurve mit konstanter Geschwindigkeit, beschleunigt nach der
Kurve und fährt mit konstanter Geschwindigkeit weiter.
gleichf. bremsen gleichf. beschl.
Kreis Gerade Gerade
gleichförmig
t
t
y(t)
x(t)
Figur 2-32: Koordinaten als Funktion der Zeit
Figur 2-32 zeigt die Raumkoordinaten des Fahrzeuges als Funktionen der Zeit. Die Weltlinie
des Fahrzeuges in der Raumzeit (x, y, t) ließe sich auf eine Sequenz von Kanten abbilden. Es
würden dann diejenigen Punkte auf Knoten abgebildet, an denen sich die funktionale
Beschreibung der Kurve ändert.
Tabelle 2-1: Kantensequenz einer Bewegung
Kante Bewegung Trajektorie x(t) y(t)
1 gleichförmig x = const. tyyy ⋅+= &
0
2 gebremst x = const. 2
0tytyyy ⋅+⋅+= &&&
3
Gerade
x = const. tyyy ⋅+= &
0
4 Kreis ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅
−+= R
ts
Rxx &
cos
0⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅
+= R
ts
yy &
sin
0
5
gleichförmig
txxx
⋅
+
=
&
0 y = const.
6 beschleunigt 2
0txtxxx ⋅+⋅+= &&& y = const.
7 gleichförmig
Gerade
txxx
⋅
+
=
&
0 y = const.
Tabelle 2-1 zeigt deutlich, dass die der jeweiligen Kante zugeordnete Abbildungsfunktion
sowohl von der Bewegungsform in Richtung der Trajektorie als auch von der Geometrie der
Trajektorie selbst abhängt.
2.5 Die Zeit 34
Nun ist es in vielen Fällen so, dass ein und dieselbe Trajektorie, zumindest stückweise, von
verschiedenen Fahrzeugen befahren wird. Als Beispiele seien Gleise oder auch Straßen
genannt. Daher erscheint es sinnvoll, die beiden Komponenten, Bewegungsform des
Fahrzeuges auf der einen und Geometrie der Trajektorie auf der anderen Seite, auch im
Datenmodell separat zu behandeln.
Die Bewegung entlang der Trajektorie lässt sich durch eine Funktion s = g(t) ausdrücken, die
im Falle einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung die Form (2.21) annimmt. Zeitintervalle
mit gleicher Beschleunigung können dann jeweils auf eine Kante abgebildet werden.
Die Trajektorie wiederum wird durch Funktionen des Weges beschrieben.
(2.26)
)(f
)f(bzw.)(f
)(f
3
2
1
sz
ssy
sx
=
==
=
x
Auch die Trajektorie wird in der Weise auf eine Sequenz von Kanten abgebildet, dass
Wegintervalle, die sich durch eine Funktion beschreiben lassen bestimmten Kanten
zugeordnet werden. Bei Straßen und Gleisen entsprechen diese Kanten den einzelnen
Trassierungselementen. Die gebräuchlichsten Trassierungselemente sind Gerade, Kreis und
Klotoide.
Häufig werden auch noch die Geometriekomponenten der Trajektorie in separaten
Komponenten verwaltet, z.B. Lage x(s), y(s), Höhe z(s) und Überhöhung κ(s). Näheres hierzu
findet man in [GIELSDORF 1998].
3.1 In der Geodäsie gebräuchliche Referenzsysteme 35
3 Referenzsysteme
Bereits in den vorangegangenen Abschnitten tauchten die Begriffe Basis eines Raumes,
Referenzsystem oder Koordinatensystem auf. Im Folgenden werden diese Begriffe äquivalent
verwendet, wenn also zum Beispiel von der Basis eines Raumes gesprochen wird ist damit ein
bestimmtes Koordinatensystem gemeint. Der Begriff der Basis wird in [ALEXANDROFF 1973]
folgendermaßen definiert:
Basis
Ein System S von offenen Mengen des Raumes R heißt Basis des Raumes R, wenn sich jede
offene Menge als Vereinigung gewisser Mengen des Systems S darstellen lässt.
RG ⊆
Diese Definition gilt für topologische und für metrische Räume. So kann man eine Tabelle
einer relationalen Datenbank als topologischen Raum betrachten. Die Tabelle Stellt eine
Menge von Merkmalen R, den einzelnen Zellen, dar. Auf dieser Menge ist ein System von
Untermengen S, den Merkmalsklassen von denen jede eine Spalte bildet, definiert. Jeder
Punkt des topologischen Raumes, in diesem Fall jede Zeile bzw. jeder Datensatz, lässt sich
durch Vereinigung gewisser Mengen des Systems S, den Attributen, darstellen.
In einem dreidimensionalen euklidischen Raum E3 wird die Basis durch die Basisvektoren
e1, e2, und e3 aufgespannt. Jeder Punkt des Raumes lässt sich als Linearkombination der
Basisvektoren darstellen.
321 eeep
⋅
+
⋅
+
⋅
=
zyx (3.1)
Die Werte x, y, z sind die Koordinaten des Punktes. Im allgemeinen dreidimensionalen Raum
ist ein Punkt P die Schnittmenge aus Flächen deren Punkte den gleichen Wert in einer
Koordinatenkomponente besitzen.
{}
{
}
{
}
0|0|0| 321
=
∩
=
∩
=
=xxxP xxx (3.2)
Mit Hilfe der entsprechenden Metrisierungsfunktion lassen sich aus den Koordinaten
Abstände zwischen Punkten berechnen.
Die in Geo-Informationssystemen verwalteten Geometriedaten sind im Allgemeinen auf ein
bestimmtes Referenzsystem bezogen. Abhängig von den Anforderungen des Nutzers kommen
dabei verschiedene Systeme zur Anwendung.
3.1 In der Geodäsie gebräuchliche Referenzsysteme
An dieser Stelle sollen die gebräuchlichsten Referenzsysteme der Geodäsie mit ihren
wesentlichsten Eigenschaften kurz vorgestellt werden. Insbesondere soll auf deren Relevanz
für Geo-Informationssysteme hingewiesen werden. Für eine Ausführliche Beschreibung sei
auf die sehr umfangreiche Fachliteratur verwiesen u. A. [GROßMANN 1964], [JORDAN 1963],
[MITTERMAYER 1998].
3.1.1 Kartesische Referenzsysteme
Geozentrische Koordinaten
Geozentrische Koordinatensysteme haben ihren Ursprung im Erdmittelpunkt. Die Z-Achse
fällt mit der Rotationsachse der Erde zusammen, die X-Achse verläuft durch den
3.1 In der Geodäsie gebräuchliche Referenzsysteme 36
Nullmeridian, gemeinsam mit der Y-Achse wird ein kartesisches Links-System aufgespannt
(siehe Figur 3-1).
X
Z
Y
Figur 3-1: Geozentrisches Koordinatensystem
Geozentrische Koordinaten spielen in Geo-Informationssystemen nur mittelbar eine Rolle. Sie
dienen in erster Linie der Berechnung von Sattelitenbahnen und Datumstransformationen.
Das Datum der einzelnen Systeme ist durch Punkte definiert, welche fest mit Teilen der
Erdoberfläche verbunden sind. Durch Effekte der Plattentektonik, Rotationsschwankungen
des Erdkörpers usw. sind die Parameter von Datumstransformationen zwischen den Systemen
keine konstanten Größen.
Topozentrische Koordinaten
Hierbei handelt es sich um lokale Koordinatensysteme, die ihren Ursprung an einem
beliebigen Punkt der Erdoberfläche haben. Die z-Achse fällt im Allgemeinen mit der
Gradiente des Erdschwerefeldes zusammen. Ein Vorteil dieser Systeme ist die
uneingeschränkte Anwendbarkeit der euklidischen Geometrie. Da aber die Krümmung der
Erdoberfläche bei deren Abbildung vernachlässigt wird, erstreckt sich der
Anwendungsbereich dieser Systeme nur auf Gebiete mit einer maximalen Ausdehnung von
ca. 10 km. Typische Anwendungen sind Baustellen- oder Gebäudekoordinatensysteme. In
diesen Fällen findet man diesen Typ Koordinaten auch in Geo-Informationssystemen.
X
Z
Y
Figur 3-2: Topozentrisches Koordinatensystem
3.1 In der Geodäsie gebräuchliche Referenzsysteme 37
3.1.2 Lagesysteme mit gekrümmter Bezugsfläche
Globale Referenzsysteme sind im Allgemeinen so definiert, dass eine Koordinatenrichtung in
etwa mit der Gradiente des Erdschwerefeldes zusammenfällt und eine zweite Komponente in
etwa in Richtung des Pols zeigt. Hierbei muss zwischen der Lage- und der Höhenkomponente
unterschieden werden. Während sich die Lagekomponenten auf eine rein geometrisch
definierte Bezugsfläche beziehen sind Höhen auch physikalisch definiert.
Als Bezugsflächen für die Lage werden Kugeln oder Rotationsellipsoide verwendet, wobei
Kugeln nur zur Definition lokal begrenzter Systeme dienen. Im Lauf der Geschichte wurden
verschiedene Ellipsoide definiert. Von heutigem Interesse sind vor allem das WGS84,
welches für die Bestimmung der Sattelitenbahnen im GPS dient, und das GRS80 als
Bezugsfläche für das europäische Referenzsystem ETRS89.
Eine Ellipsoidfläche kann als zweidimensionaler Raum betrachtet werden. Die Position eines
Punktes kann demnach durch zwei Parameter bestimmt werden. Das gebräuchlichste
Parametersystem ist das der geodätischen Länge und Breite (L,B). Die Länge ist der Winkel
zwischen einem ausgezeichneten Nullmeridian und dem Meridian des Punktes P, die Breite
ist der Winkel zwischen der Flächennormalen im Punkt P und der Äquatorialebene
(siehe Figur 3-3).
B
P
L
Figur 3-3: Geodätische Länge und Breite
Vorteil eines solchen Referenzsystems ist, dass es die gesamte Erdoberfläche stetig abbildet,
daher findet es bei vielen, insbesondere kleinmaßstäbigen, GIS-Applikationen Anwendung.
Von Nachteil ist jedoch die Tatsache, dass es sich bei Länge und Breite nicht um isometrische
Koordinaten handelt, das heißt, die Seiten eines differentiell kleinen Flächenelementes dL×dB
sind im Allgemeinen nicht gleich lang. Die Berechnung von Richtungen und Stecken
zwischen koordinatenmäßig bekannten Punkten auf der Ellipsoidfläche ist sehr kompliziert
und für den Gebrauch in Geo-Informationssystemen wenig geeignet.
Den Nachteil der komplizierten Berechnungen im L,B-System kann man umgehen, indem
man Stückweise die Erdoberfläche in die Ebene abbildet. Auf diese Weise lassen sich
isometrische Koordinatensysteme definieren, für die in erster Näherung die euklidische
Geometrie gilt. Bei der am häufigsten angewandten Methode wird ein Meridianstreifen
beiderseits eines Hauptmeridians konform auf einen transversal liegenden Zylinder abgebildet
(siehe Figur 3-4).
3.1 In der Geodäsie gebräuchliche Referenzsysteme 38
MeridianstreifenHauptmeridian
Figur 3-4: Abbildung auf Transversalen Zylinder
So entsteht eine Folge von Meridianstreifensystemen, welche zwar isometrisch sind, welche
aber die Erdoberfläche nicht mehr stetig abbilden (siehe Figur 3-5). Am gebräuchlichsten sind
das Gauß-Krüger- und das UTM-System. Das Gauß-Krüger-System unterteilt die
Erdoberfläche in Meridianstreifen von 3° Breite und das UTM-System in Streifen mit einer
Breite von 6°.
4 32 1
0° 3° 6° 9°
X
Äquator
Y
Figur 3-5: Meridianstreifensysteme
Da die Referenzfläche, das Rotationsellipsoid, doppelt gekrümmt ist, lässt sie sich nicht
verzerrungsfrei in die Ebene abbilden, der Abbildungsmaßstab ist daher nicht konstant,
sondern vielmehr eine Funktion des Ortes. Die Metrisierungsfunktion eines so definierten
R2-Raumes ist in erster Näherung die der Euklidischen Metrik, ergänzt um einen
Ortsabhängigen Maßstabsfaktor.
myyxxs ijijij ⋅−+−= 22 )()( (3.3)
Bei der Gauß-Krüger-Abbildung der Kugel ist der Maßstabsfaktor m eine Funktion des
Radius R der Kugel und des Abstandes des Punktes vom Hauptmeridian y der Abbildung
[MITTERMAYER 1998].
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=R
y
mGK cosh (3.4)
Da bei der UTM-Abbildung breitere Meridianstreifen verwendet werden, wird hier der
Maßstabsfaktor noch mit dem konstanten Wert 0,9996 multipliziert.
3.1 In der Geodäsie gebräuchliche Referenzsysteme 39
9996,0cosh ⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=R
y
mUTM (3.5)
In der Nähe des Hauptmeridians betragen die Abbildungsverzerrungen der UTM-Abbildung
also 40 cm/km. Bei kleinmaßstäbigen Anwendungen können diese Abweichungen von der
Euklidischen Metrik vernachlässigt werden. Bei Anwendungen in größeren
Maßstabsbereichen, wie zum Beispiel bei der Planung von Bauwerken, müssen sie jedoch
berücksichtigt werden.
3.1.3 Systeme mit gekrümmter Bezugslinie
In 2D Geo-Informationssystemen werden punktförmige (0-dimensional), lineare
(1-dimensional) und flächenhafte (2-dimensional) Objekte verwaltet. Zu den linearen
Objekten zählen zum Beispiel Straßen- und Gleisachsen oder Versorgungsleitungen.
Topologisch können lineare Objekte auf Graphen abgebildet werden. Die Kanten eines
Graphen werden auf eindimensionale Punktmengen in einem R2 abgebildet. Eine
geschlossene eindimensionale Punktmenge, der eine Abbildungsfunktion der Form f(x,y) = 0
zugeordnet werden kann bezeichnet man als Trassierungselement. Typische Beispiele für
Trassierungselemente sind die Gerade mit der Abbildungsfunktion
{}
{
}
0|bzw.0| =
−
⋅
=
=
++
=
dHcbyaxH GeradeGerade xnxx
r
r
, (3.6)
der Kreis mit der Abbildungsfunktion
{
}
0)()(| 222 =−−+−= RyyxxH MMKreis x (3.7)
und die Klotoide deren Abbildungsfunktion nicht geschlossen darstellbar ist. Zwischen
Kanten, Trassierungselementen, Funktionen und Parametern besteht im Allgemeinen eine
mehrwertige Beziehung, wie sie in Abschnitt 2.4.1 beschrieben wurde. Eine stetige Sequenz
von Trassierungselementen kann zu einer Trasse zusammengefasst werden, Straßentrasse,
Gleistrasse, Kabeltrasse usw. In [GIELSDORF 1998] wird am Beispiel eines Gleisnetzes die
Abbildung von Topologie und Geometrie linearer Objekte in Datenbanken ausführlich
behandelt.
Eine Besonderheit linearer Objekte besteht darin, dass sie oft ein eigenes Raumbezugssystem
besitzen, welches auch als natürliches Koordinatensystem einer Trasse angesprochen werden
kann.
Figur 3-6: Natürliche Koordinaten einer Gleisachse [GIELSDORF 1998]
3.2 Transformationen 40
Den Koordinatenursprung bildet ein ausgezeichneter Punkt der Trasse. Der entlang der Trasse
gemessene Abstand zum Koordinatenursprung l ist der Koordinatenwert innerhalb des
natürlichen Koordinatensystems. Mit Hilfe der Komponente l lassen sich jedoch nur Punkte
auf der Trasse eindeutig ansprechen. Sollen auch Punkte seitlich der Trasse eindeutig
beschrieben werden, so ist die Einführung einer zweiten Komponente q erforderlich. Der
Wert q entspricht dem orthogonalen Abstand eines beliebigen Punktes P zu Trasse. Zwischen
den Koordinatenpaaren (x,y) und (l,q) bestehen, bis auf wenige Ausnahmen, eindeutige
Abbildungsbeziehungen. Ausnahmen sind zum Beispiel Kreismittelpunkte. Die Herleitung
der Abbildungsbeziehungen zwischen x,y-System und l,q-System findet man ebenfalls in
[GIELSDORF 1998].
Trotz der der funktionalen Abhängigkeit von übergeordneten und natürlichen Koordinaten
werden in Geo-Informationssystemen beide Koordinaten redundant gehalten
[PFANNMÖLLER 2001], [DEMIREL 2002]. Dieser Umstand kann im Wesentlichen auf zwei
Ursachen zurückgeführt werden. Zum einen erlauben derzeitige Geo-Informationssysteme
nicht die Abbildung von n:m-Beziehungen zwischen geometrischen und topologischen
Objekten und zum anderen ist auch die Verwaltung der Abbildungsfunktionen nicht
implementiert.
3.2 Transformationen
Unter einer Transformation soll hier die Abbildung eines metrischen Raumes R auf einen
metrischen Raum R´ verstanden werden. Die Abbildung wird durch eine Abbildungsfunktion
f(p) vermittelt, wobei p der Vektor der Transformationsparameter ist.
RRf
′
→:)(p
Die Begriffe Abbildungsfunktion, Abbildungsvorschrift und Transformationsvorschrift sind,
auf Transformationen angewendet, synonym. Als Beispiel sei die häufig in Geo-
Informationssystemen angewandte 4-Parameter-Helmerttransformation angeführt.
AxxxAx
+
′
=
′
′
00 :),(f (3.8)
Hierin sind der Translationsvektor 0
x
′
und die Rotationsmatrix A die Transformations-
parameter, x´ enthält die Koordinaten des Punktes im Raum R´ und x die Koordinaten
desselben Punktes im Raum R.
Homöomorphismus
Eine Abbildung heißt homöomorph, wenn sowohl die Abbildung selbst, als auch die
Umkehrabbildung stetig sind. [WIKIPEDIA 2003]
So ist die bereits erwähnte Helmert-Transformation f: R(x,y) Æ R´(x´,y´) homöomorph,
wohingegen die Transformation vom geographischen Koordinatensystem in das Gauß-
Krüger-Koordinatensystem f: R(L,B) Æ R´(Y,X) nur Bereichsweise homöomorph ist, da an
den Rändern der Meridianstreifen Unstetigkeiten in der Abbildung auftreten.
Isometrie
Die isometrische Abbildung ist ein Spezialfall der homöomorphen Abbildung. Man sagt, eine
bijektive Abbildung f sei eine Isometrie zwischen den beiden metrischen Räumen ),(
ρ
xR =
und ),(
ρ
′
=
′yR , wenn ))(),((),( yfxfyx
ρ
ρ
′
=, für alle x und y aus R. [WIKIPEDIA 2003]
3.2 Transformationen 41
Beispiel für eine isometrische Abbildung ist eine 2D 3-Parameter-Transformation,
(3.9)
{
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
′
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
′
′y
x
y
x
y
x
f
4434421A
x
Ax
ϕϕ
ϕϕ
cossin
sincos
:),(
0
0
0
0
sie unterscheidet sich von der Helmert-Transformation aus (3.8) lediglich durch den nicht
vorhandenen Maßstabsfaktor. Nicht isometrisch hingegen ist die Abbildung
f: R(L,B) Æ R´(Y,X) von geographischen in Gauß-Krüger-Koordinaten.
Transformationen von einem Raum Ri in einen Raum Ri-k sind immer nichtinjektiv und somit
auch nichtbijektiv. Betrachten wir den 3D Raum der geozentrischen Koordinaten R(X,Y,Z)
und den 2D Raum der geographischen Koordinaten R´(L,B), so ist die Abbildung
f: R(X,Y,Z) Æ R´(L,B) nicht injektiv, da zwar jeder Punkt p(X,Y,Z) aus R auf das Ellipsoid
abgelotet werden kann, aber andererseits jedem Punkt der Ellipsoidfläche p´(L,B) unendlich
viele Punkte im geozentrischen System zugeordnet sind, nämlich alle Punkte der
Flächennormalen. Erst durch Hinzuziehung der ellipsoidischen Höhe h wird eine bijektive
Abbildung zwischen beiden Räumen möglich.
3.2.1 Transformationen im Datenmodell eines GIS
Wie lassen sich nun Transformationen in einem Geo-Informationssystem abbilden? Im Sinne
der Datenmodellierung stellt eine Transformation die Beziehung zwischen zwei Entitäten des
Typs Basis dar. Im E-R-Modell erscheint diese Beziehung als rekursive Relation (Figur 3-7).
Basis
transformieren
von nach
Figur 3-7: Transformation als rekursive Relation
Merkmale einer Transformation sind der Transformationsansatz und die
Transformationsparameter. Die Merkmalswerte des Ansatzes als auch die der Parameter
stehen nicht in einer 1:1-Beziehung zu den Transformationen, vielmehr handelt es bei
Transformation - Ansätze um eine n:1-Beziehung und Transformation – Parameter um eine
m:n-Beziehung. Aus diesem Grund sind Ansätze und Parameter keine Merkmalsklassen von
transformieren, sondern bilden eigenständige Entitätentypen. Zwei Beispiele sollen diese
Aussage veranschaulichen.
Beispiel 1: Transformationsansätze
In einem Geo-Informationssystem werden Rasterbilder von gescannten analogen Karten
verwaltet. Die Geo-Referenziereung eines jeden Rasterbildes geschieht entweder durch eine
4-Parameter-Helmert-Transformation oder durch eine 6-Parameter-Affintransformation.
Jedem Rasterbild ist genau ein Transformationsansatz zugeordnet, aber jeder
Transformationsansatz gilt für mehr als ein Kartenblatt.
3.2 Transformationen 42
Beispiel 2: Transformationsparameter
Auf einem Standpunkt werden zu verschiedenen Zeitpunkten mit einem Tachymeter
Polarkoordinaten gemessen. Es sollen die Transformationen der einzelnen Polarsysteme in ein
übergeordnetes kartesisches System abgebildet werden. Die Translationskomponenten dx und
dy sowie die Rotationskomponenten der Lotabweichung ξ und η sind für alle
Transformationen eines Standpunktes gleich. Die Translationskomponente dz und die
Orientierung ω sind hingegen individuelle Merkmale jeder Transformation. Das bedeutet, Ein
und derselbe Transformationsparameter kann Bestandteil verschiedener Transformationen
sein. Andererseits steht eine Transformation im Allgemeinen zu mehr als einem
Transformationsparameter in Beziehung.
Das E-R-Modell aus Figur 3-7 sieht nach der Erweiterung um die Entitätentypen Parameter
und Ansatz folgendermaßen aus.
Basis
AnsatztransformierenParameter
von nach
(1,*) (1,*)
Figur 3-8: Transformationen im E-R-Modell
Nun sind die Entitätentypen Basis und Parameter bereits Bestandteile des E-R-Modells für die
Beschreibung von Hyperflächen in n-dimensionalen Räumen aus Abschnitt 2.4.1. Die
Vereinigung beider Modelle ist in Figur 3-9 dargestellt.
Gleichungen
Hyperflächen Basis
Ansatz
definieren
transformierenParameter
(1,*)
(1,*)
(1,*)
(0,*) von nach
(0,*) (1,*)
Figur 3-9: E-R-Modell für Hyperflächen und Transformationen
Es fällt ins Auge, dass Entitäten vom Typ Parameter sowohl zur Beschreibung von
Hyperflächen als auch zur Vermittlung von Transformationen dienen. Es erhebt sich die
Frage, ob nicht die Menge der Flächenbeschreibungsparameter zu jener der
Transformationsparameter disjunkt ist. In diesem Fall könnten für beide auch verschiedene
Entitätentypen eingeführt werden. Dass dem nicht so ist zeigt das Beispiel eines
Trassierungselementes innerhalb einer Trasse. Die Koordinaten des Elementanfangspunktes
dienen der Parametrisierung des Elementes im übergeordneten Koordinatensystem,
gleichzeitig sind sie aber auch Translationsparameter der Transformation vom elementeigenen
Koordinatensystem in das übergeordnete Koordinatensystem und zurück.
3.2 Transformationen 43
Figur 3-10: Beziehung zwischen übergeordnetem und Elementsystem [GIELSDORF 1998]
Ein Problem, welches bei der expliziten Abbildung von Transformationen im Datenmodell
auftritt ist der Umstand, dass dieselbe Information bereits implizit durch die Speicherung von
Parametern und Gleichungen identischer Hyperflächen in Bezug auf verschiedene Basen
gegeben sein kann.
Als Beispiel betrachten wir drei Punkte, deren Koordinaten in zwei 2D Koordinatensystemen
bekannt sind. Die Transformation zwischen System1 und System2 wird durch eine Helmert-
Transformation vermittelt.
definieren
Punkt System x y
1 System1 3,87 5,94
2 System1 3,81 9,68
3 System1 5,14 3,79
1 System2 0,56 -1,21
2 System2 -1,98 -3,90
3 System2 1,25 1,24
… … … …
transformieren
Ausgangssystem Zielsystem X0Y0a o
System1 System2 7,558 0,283 -0,710528 0,707684
… … … … … …
Für eine eindeutige Beschreibung der Transformationsvorschrift Zwischen System1 und
System2 würden entweder die Koordinaten zweier identischer Punkte oder die
3.2 Transformationen 44
Transformationsparameter X0, Y0, a und o genügen. Die Speicherung beider Informationen hat
einen redundanten Datenbestand zur Folge. Nun handelt es sich bei den Koordinaten der
Punkte 1 bis 3 jedoch um Zufallsgrößen und bei den Transformationsparametern um das
Ergebnis einer Ausgleichung. Die Transformationsparameter müssen also als Sicht, die
Koordinaten der identischen Punkte hingegen als Primärdaten betrachtet werden.
3.2.2 Transformationen als Graph
Koordinatensysteme und Transformationsbeziehungen lassen sich, wenn man die Systeme auf
Knoten und die Transformationen auf Kanten abbildet, als gerichteter Graph darstellen.
S1 S2
S3
S4
S5
T12
T21
T14
T35
T43
T45
T24
Figur 3-11: Transformationsgraph
Der Transformationsgraph in Figur 3-11 ist nicht zyklenfrei, was in diesem Fall bedeutet, dass
Transformationsvorschriften redundant gehalten werden. Eine redundanzfreie Abbildung von
Transformationsvorschriften ist dann gegeben, wenn der dazugehörige Transformationsgraph
zyklenfrei ist. Dies lässt sich am einfachsten erreichen, indem ein System als globales System
ausgewählt wird, von und zu welchem alle Transformationsvorschriften definiert werden.
S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
Figur 3-12: Zyklenfreier Transformationsgraph
Die Transformationsparameter sind zwar auch Zufallsgrößen, die jedoch, unter der
Bedingung, dass sie einer verketteten Transformation entstammen, widerspruchsfrei sind. Nur
bei Widerspruchsfreiheit ist eine redundanzfreie Speicherung der Transformationsparameter
sinnvoll. Näheres hierzu findet man in [GIELSDORF 1998].
4.1 Redundante Geometrie 45
4 Datenverwaltung aus geodätischer Sicht
In der Praxis der Geo-Informationssysteme, insbesondere bei der Verwaltung von
Geometriedaten, treffen oft zwei Denkwelten, die des Informatikers und die des Geodäten,
aufeinander. In diesem Kapitel soll versucht werden die Widersprüche der beiden Sichtweisen
zunächst herauszuarbeiten und diese anschließend aufzulösen.
4.1 Redundante Geometrie
Die Sicht des Informatikers
Die Denkweise des Informatikers stützt sich auf die Datenbanktheorie. Eine grundlegende
Forderung dieser Theorie ist die nach der redundanzfreien oder zumindest redundanzarmen
Speicherung von Daten. Diese Forderung wird mit mehreren Argumenten begründet. Zum
einen wird bei redundanter Datenhaltung unnötig Speicherplatz benötigt zum anderen - und
das ist das Hauptargument - treten so genannte Änderungsanomalien auf. Das heißt, bei der
Änderung eines Datums müssen alle redundanten Daten ebenfalls geändert werden, da sonst
Widersprüche im Datenbestand die Folge sind.
Die Sicht des Geodäten
Der Geodät hingegen hat zur Redundanz ein ganz anderes Verhältnis. Bei geodätischen
Messungen wird Redundanz nicht vermieden sondern ausdrücklich gefordert. Auch für dieses
Vorgehen bestehen gewichtige Gründe. Bei jeder Art von Beobachtung treten Fehler auf. In
der Geodäsie werden diese Fehler in drei Hauptklassen unterteilt [REIßMANN 1980]:
Grobe Fehler entstehen durch Versehen des Beobachters. Sie sind wesentlich größer
als das Messverfahren erwarten lässt. Beispiele sind Meterfehler bei der
Streckenmessung, Punktverwechselungen, Zahlendreher usw.
Systematische Fehler verfälschen das Messergebnis in systematischer, oft
gesetzmäßiger Weise. Beispiele sind Kalibrierungsfehler an Streckenmessgeräten,
Restneigungsfehler bei Nivellieren oder Refraktion. Systematische Fehler lassen sich
durch Berücksichtigung im mathematischen Modell der Auswertung ausschalten.
Zufällige Fehler haben ihre Ursache in der Unvollkommenheit der Messinstrumente
und der menschlichen Sinne, sie sind der eigentliche Gegenstand der
Ausgleichungsrechnung.
Fehler jedweder Art lassen sich nur durch redundante Beobachtung nachweisen. Redundante
Beobachtungen kontrollieren sich gegenseitig. Eine unkontrollierte Beobachtung ist für einen
Geodäten wertlos.
Hätten wir es nur mit groben und systematischen Fehlern zu tun, so könnten auch geodätische
Beobachtungen redundanzfrei gespeichert werden, nachdem grobe Fehler entfernt und
systematische Fehler im mathematischen Modell berücksichtigt wurden. Doch das ist nicht
der Fall. Größe und Verteilung der unvermeidlichen zufälligen Fehler lässt sich nur mit Hilfe
redundanter Beobachtungen abschätzen.
Die Bedeutung der Ausgleichungsrechnung
Nun lassen sich aus redundanten Beobachtungen eindeutige Geometrieparameter ableiten.
Das Werkzeug für diese Transformation ist die geodätische Ausgleichungsrechnung. Sie
bietet die Möglichkeit, mehrdeutige Beobachtungen auf eindeutige Geometrieparameter
abzubilden. Die Eindeutigkeit führt man durch die Formulierung einer Randbedingung herbei,
4.1 Redundante Geometrie 46
welche lautet: Berechne genau die Lösung, bei der die Summe der gewichteten
Verbesserungsquadrate minimal wird.
trixGewichtsma:ngen,VerbesseruderVektor:mit.min
!PvPvv =
T
Im Ergebnis der Ausgleichung erhält man eindeutige Geometrieparameter und deren
Kovarianzmatrix. Die in die Ausgleichung eingehenden Beobachtungen sind in den meisten
Fällen stochastisch unabhängig, während die berechneten Geometrieparameter algebraisch
korreliert sind.
Beobachtungen
l, C
ll
(redundant,
unkorreliert)
Geometrie-
parameter
x, C
xx
(eindeutig,
korreliert)
Ausgleichung
Figur 4-1: Abbildung von Beobachtungen auf eindeutige Geometrieparameter
Allgemein kann jede Ausgleichung als Abbildung eines Punktes im Beobachtungsraum auf
einen Punkt im Lösungsraum betrachtet werden,
(4.1)
m
m
n
nRxxxpRlllp ′
∈
′
→∈ ),,,(),,,( 2121 KK
wobei die Dimension des Lösungsraumes m kleiner ist als die des Beobachtungsraumes n. Die
Abbildung l → x ist daher zwar surjektiv, nicht aber injektiv und somit auch nicht bijektiv
also nicht umkehrbar. Das einfachste Beispiel einer Ausgleichung ist das arithmetische Mittel
x zweier Beobachtungen l1 und l2. Die Abbildungsfunktion
)(
2
1
21 llx += (4.2)
vermittelt die surjektive Abbildung des zweidimensionalen Beobachtungsraumes, der durch
die Achsen l1 und l2 aufgespannt wird, auf den eindimensionalen Lösungsraum x.
(4.3)
12
21 )(),( RxpRllp ′
∈
′
→∈
Der Funktionsgraph dieser Funktion in einem kartesischen Koordinatensystem mit den
Achsen l1, l2 und x ist eine geneigte Ebene. Es ist leicht zu erkennen, dass jedem Punkt p(l1,l2)
genau ein Punkt p´(x) zugeordnet werden kann, aber jedem Punkt p´ der x-Achse unendlich
viele Punkte p der l1,l2-Ebene zugeordnet sind, nämlich alle Punkte einer Schnittgeraden S
zwischen den Ebenen 0)(
2
1
21 =−+ xll und 0
=
−
i
xx .
()
{
00
2
1
21 =−∩
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧=−+= i
xxxllS xx
}
(4.4)
4.1 Redundante Geometrie 47
Nach Denkungsart des Informatikers ist es dennoch ausreichend, nur die Ergebnisse der
Ausgleichung in der Datenbank zu persistentiieren. Auf die Beobachtungen kann man getrost
verzichten, da sie sowohl untereinander als auch zu den ausgeglichenen Geometrieparametern
redundant sind. Schließlich lassen sich alle Relativmaße wie Strecken oder Richtungen aus
den eindeutigen Geometrieparametern herleiten.
Beobachtungen
l, C
ll
(redundant,
unkorreliert)
Geometrie-
parameter
x, C
xx
(eindeutig,
korreliert)
Ausgleichung
DB
Figur 4-2: Persistentiierung der ausgeglichenen Geometrieparameter
Bei dieser Vorgehensweise wird aber übersehen, dass die Abbildung der Beobachtungen auf
die Geometrieparameter nicht bijektiv ist. Aus den in der Datenbank vorhandenen Parametern
lassen sich zwar „ausgeglichene“ Beobachtungen berechnen nicht aber die originären
Messwerte.
Beobachtungen
l, C
ll
(redundant,
unkorreliert)
Geometrie-
parameter
x, C
xx
(eindeutig,
korreliert)
?
DB
Figur 4-3: Nicht umkehrbare Abbildung von Beobachtungen auf Geometrieparameter
Aus dieser Tatsache ergeben sich zwei negative Konsequenzen. Erstens lassen sich Messung
und Auswertung nicht mehr rekonstruieren, was insbesondere eine nachträgliche
Fehlerlokalisation erschwert. Zweitens ergeben sich große Probleme bei der Fortführung der
Geometriedaten, insbesondere dann, wenn Geometrie verdichtet werden soll oder wenn neue
genauere Beobachtungen eingeführt werden.
Synthese
Worin besteht nun im Kern der Unterschied dieser beiden Sichtweisen? In der
Datenbanktheorie geht man davon aus, dass es sich bei den zu speichernden Daten um rein
deterministische Größen handelt. Der in der Datenbank abzubildende Realitätsausschnitt lässt
sich mathematisch eindeutig beschreiben, die darin enthaltenen numerischen Attribute sind
Konstanten. In der Geodäsie hingegen rechnet man mit Zufallsgrößen. Jedes Abbild der
Realität im menschlichen Bewusstsein oder auf einem beliebigen Datenträger beruht auf der
Beobachtung eben dieser Realität. Beobachtungen aber sind immer mit zufälligen Fehlern
behaftet und daher, im Sinne der mathematischen Statistik, als Zufallsgrößen anzusprechen.
Demzufolge wird auch jedes Abbild der Realität durch Zufallsgrößen beschrieben.
4.2 Integration und Fortführung von Geometriedaten 48
Wie lassen sich nun diese beiden widersprüchlichen Anschauungen vereinen? In der
Datenbanktheorie gibt es den Begriff der Sicht oder des View. Eine Sicht ist immer das
Ergebnis von mengenwertigen oder numerischen Operationen auf den Primärdaten der
Datenbank. Sie wird erzeugt, um einem Anwender einen bestimmten Ausschnitt des
Datenbestandes zu präsentieren bzw. Daten in geeigneter Weise zu kombinieren. Typische
Beispiele sind Selektion, Projektion oder Join als mengenwertige und Summation oder
Mittelwert als numerische Operatoren für die Generierung von Sichten in relationalen
Datenbanken.
Eine Synthese der Sichtweise des Informatikers und der des Geodäten lässt sich nun
erreichen, indem man die Begriffe Primärdaten, Operation und Sicht verallgemeinert. Die
Primärdaten sind im Sinne des Geodäten die Beobachtungen. Durch eine Operation, und zwar
die Ausgleichung, wird eine Sicht erzeugt. Die eindeutige Geometrie ist somit eine Sicht auf
die ursprünglichen Beobachtungen.
Der Forderung des Informatikers nach Redundanzfreiheit der Primärdaten wird dabei insofern
entsprochen, als dass die „geodätische Redundanz“ der Beobachtungen eine Information trägt,
nämlich die der stochastischen Eigenschaften der Beobachtungen. Ein Weglassen von
Beobachtungen würde zu einem Informationsverlust führen. Die „geodätische Redundanz“ ist
demnach mit der „Datenbankredundanz“ nicht vergleichbar, da sich die eine auf
Zufallsgrößen und die andere auf Konstanten bezieht.
Die Definition der ausgeglichenen Geometrieparameter als Sicht auf die primären
Beobachtungsdaten bedeutet nicht notwendig, dass auch nur die Primärdaten persistentiiert
werden sollen. Im Allgemeinen werden Sichten in Datenbanksystemen „on-the-fly“, also zur
Laufzeit erzeugt und nicht im Sekundärspeicher der Datenbank gehalten, da die zu ihrer
Erzeugung erforderlichen Operationen quasi in Echtzeit ausgeführt werden können. Bei
umfangreichen Ausgleichungsproblemen stellt sich die Situation freilich anders dar. Mitunter
sind recht aufwendige Auswerteprozesse erforderlich, um die Sicht „ausgeglichene
Parameter“ zu erzeugen. Die Operation Ausgleichung ist daher eher als lange Transaktion zu
verstehen, die außerhalb des eigentlichen DBMS abläuft. Daher ist es notwendig, auch die
Sicht im Sekundärspeicher des DBMS zu halten. Im Unterschied zu den Primärdaten können
aber keine direkten Änderungen an den ausgeglichenen Geometrieparametern vorgenommen
werden.
4.2 Integration und Fortführung von Geometriedaten
Bei der Datenpflege in Geo-Informationssystemen steht man immer wieder vor der Aufgabe
heterogene Datenquellen in ein System zu integrieren oder den vorhandenen Datenbestand
durch Einfügen neuer Informationen zu aktualisieren. Beide Aufgaben sind im Wesentlichen
äquivalent. Die Fortführung von Daten lässt sich auf die drei Grundoperationen Einfügen,
Löschen und Ändern zurückführen. Diese Operationen sind in einem Geo-Informationssystem
auf Sachdaten, Topologie und Geometrie anzuwenden. Tabelle 4-1 zeigt Beispiele für solche
Anwendungsfälle.
4.2 Integration und Fortführung von Geometriedaten 49
Tabelle 4-1: Fortführungsoperationen in einem GIS
Einfügen Löschen Ändern
Sachdaten Eigentümer hinzufügen Eigentümer entfernen Nutzungsart ändern
Topologie
Haus einfügen
Haus löschen
Anbau nachführen
Geometrie Punkt einfügen Punkt löschen Punkt verschieben
Bei allen Operationen ist dabei die referentielle Integrität der Daten zu gewährleisten.
Sachdatenobjekte verweisen auf Topologieobjekte und diese wiederum auf Geometrieobjekte.
DBMS bieten im Allgemeinen die Möglichkeit, solche Integritätsbeziehungen zu formulieren
und organisieren automatische Lösch- bzw. Aktualisierungsweitergaben.
Von besonderem Interesse ist der Fall bei dem nur die Geometrie geändert wird, die
Topologie aber unverändert bleibt. Bei GIS in denen die Geometrie ausschließlich durch
Punktkoordinaten parametrisiert wird bedeutet das eine Verschiebung von Punkten, ohne dass
sich Topologie oder Sachdaten ändern. Für das Eintreten dieses Falles gibt es im
Wesentlichen zwei Ursachen:
1. Verbesserung der Punktgenauigkeit (Positional Accuracy Improvement PAI). Sehr
häufig erfolgt die Ersterfassung von Geometriedaten für GIS durch die Digitalisierung
vorhandener Kartenwerke. Die so erzeugten Geometriedaten weisen eine Genauigkeit
auf, welche jener der zugrunde liegenden Karte entspricht. Diese geometrische
Qualität ist jedoch für viele Anwendungen nicht ausreichend. Durch genauere
Erfassungsmethoden sollen Punkte neu bestimmt und die dadurch entstehenden
Koordinaten im GIS nachgeführt werden.
2. Integration unterschiedlicher Geo-Datenbestände. Dieser Fall ist dann gegeben, wenn
separat erfasste Geo-Datenbestände vereinigt werden sollen, die eine gemeinsame
Schnittmenge von topologischen Objekten aufweisen. Typisches Beispiel hierfür
wären die Geo-Datenbestände eines Gas- und eines Stromnetzbetreibers. Beide
dokumentieren neben den jeweiligen Leitungen auch den Gebäudebestand. Legt man
beide übereinander wird man in den meisten Fällen voneinander abweichende
Geometrieinformationen feststellen.
Eine Fortführung der Geometrie bei invarianter Topologie bereitet jedoch oft erhebliche
Probleme. Diese Probleme sind darauf zurückzuführen, dass viele GIS zwei wesentliche
Voraussetzungen für diese Art der Fortführung nicht erfüllen. Auf diese beiden
Voraussetzungen soll im Folgenden näher eingegangen werden.
4.2.1 Trennung von Geometrie und Topologie
Um die Invarianz der Topologie gegen Transformationen der Geometrie in einem GIS zu
gewährleisten, muss die Topologie bereits im Datenmodell des GIS berücksichtigt sein. Es
müssen Objektklassen existieren, die topologische Objekte wie Knoten oder Kante abbilden,
was aber häufig nicht der Fall ist.
Oft existieren nur die Objektklassen „Punkt“ und „Linie“ wobei die dazugehörigen
Koordinaten zugleich den Objektidentifikator bilden. Die Existenz eines Objektes ist aber
4.2 Integration und Fortführung von Geometriedaten 50
unmittelbar an seinen Identifikator gebunden. Eine Veränderung des Objektidentifikators ist
gleichbedeutend mit dem Untergang des Objektes. Eine Punktverschiebung kommt also in
einem solchen Modell dem Löschen eines Topologieobjektes gleich, womit auch das
Referenzobjekt der dazugehörigen Sachdaten verschwindet. Der oben beschriebene
Fortführungsfall der Geometrieänderung bei invarianter Topologie ist mit einem solchen
Datenmodell nicht realisierbar.
4.2.2 Modellierung der lokalen Nachbarschaft
Doch selbst wenn Geometrie und Topologie im Datenmodell separat modelliert sind kann
eine Verschiebung von Punkten zu erheblichen Problemen führen. Grund dafür ist der
Umstand, dass die Koordinaten von Punkten im Allgemeinen keine unhabhängigen
Zufallsgrößen sind sondern vielmehr Korrelationen aufweisen.
Zu Veranschaulichung betrachten wir den folgenden Fall. Gegeben sei eine Menge von
Punkten, denen jeweils zwei Koordinatenpaare aus zwei unterschiedlichen Datensätzen
zugeordnet sind. Die Koordinaten innerhalb jedes Datensatzes seien untereinander Korreliert
und die entsprechende Kovarianzmatrix sei bekannt.
geg.: x1: Koordinatenvektor aus Datensatz 1
Cxx1: Kovarianzmatrix zu x1
x2: Koordinatenvektor aus Datensatz 2
Cxx2: Kovarianzmatrix zu x2
Gesucht sei ein eindeutiger Koordinatensatz x. Die Problemstellung führt zu einem
Ausgleichungsproblem, bei dem die Koordinaten der Einzeldatensätze verbessert werden. Die
Verbesserungsgleichungen lauten dann
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==+
2
1
2
1,mit v
v
v
x
x
lxvl (4.5)
Die ausgeglichenen Koordinaten erhält man mit
()
(
)
2
1
21
1
1
1
1
2
1
1xCxCCCx −−
−
−− +⋅+= xxxxxxxx (4.6)
Nur bei unkorrelierten Koordinaten sind die Kovarianzmatrizen Cxx1 und Cxx2 lediglich auf
der Hauptdiagonalen besetzt. In diesem Fall lässt sich aus (4.6) die Formel für das gewichtete
Mittel zweier Koordinaten herleiten.
21
2211
2
2
2
1
2
12
2
21
pp
pxpx
xx
x
xx
xx
+
+
=
+
+
=
σσ
σσ
(4.7)
Im allgemeinen Fall, also bei korreliereten Beobachtungen, ist diese Vereinfachung nicht
möglich.
Welche Konsequenzen hat diese Erkenntnis nun für die Fortführung? Die Verschiebung eines
Punktes hat bei unkorrelierten Koordinaten keinerlei Auswirkungen in der Umgebung des
betreffenden Punktes. Bei korrelierten Koordinaten hingegen führt die Verschiebung eines
Punktes zur gleichzeitigen Verschiebung von Punkten in der Nachbarschaft. Häufig wird bei
der Fortführung oder Datenintegration dieser Umstand vernachlässigt. Eine solche
Vernachlässigung kann aber zu fehlerhaften Ergebnissen führen, wie das nachfolgende
Beispiel zeigt.
4.2 Integration und Fortführung von Geometriedaten 51
Zwei Datensätze vor
der Integration
Vernachlässigung von
Korrelationen
Berücksichtigung von
Korrelationen
Figur 4-4: Integration von Datensätzen ohne und mit Berücksichtigung der Korrelationen
Im Beispiel in Figur 4-4 sind die Koordinaten der Gebäudeeckpunkte in zwei Datensätzen
enthalten, während die Koordinaten des Baumes nur in einem Datensatz vorhanden sind. Bei
der Integration beider Datensätze ohne Berücksichtigung der Korrelationen bleibt der Baum
stehen, während das Gebäude verschoben wird. Das Ergebnis ist ein Baum, der anscheinend
im Haus steht. Bei Der Berücksichtigung der Korrelationen wird der Baum mit dem Gebäude
verschoben.
Um die Korrelationen der Koordinaten im Integrations- bzw. Fortführungsprozess zu
berücksichtigen bestehen im Wesentlichen drei Möglichkeiten:
1. Speicherung der ursprünglichen Beobachtungen als Primärdaten
2. Speichern der Kovarianzmatrix
3. Verwendung von Modellannahmen
Auf diese drei Möglichkeiten soll im Folgenden etwas näher eingegangen werden.
1. Möglichkeit: Speicherung der ursprünglichen Beobachtungen als Primärdaten
Die Ursache für die Korrelation der Koordinaten ist darin zu sehen, dass Koordinaten in
vielen Fällen das Ergebnis von Berechnungen sind, die Relativmaße zwischen Punkten
verwenden, also Richtungen und Strecken. Wenn man nun für die Berechnung der
Ausgeglichenen Koordinaten x nicht die Koordinatensätze x1 und x2 verwendet, die ja auch
bereits Berechnungsergebnisse darstellen, sondern in die Ausgleichung anstatt dessen die
ursprünglichen Beobachtungen l1 und l2 einfließen lässt, so tritt das Problem von korrelierten
Koordinaten erst gar nicht auf.
Voraussetzung hierfür ist ein Vorgehen wie es im Abschnitt 4.1 beschrieben wurde. Die
Beobachtungen werden als Primärdaten betrachtet, während Koordinaten nur eine Sicht auf
die Beobachtungen sind. Praktikabel erschein ein solches Modell zum Beispiel im
Liegenschaftskataster, da hier alle Beobachtungswerte im Zahlenwerk dokumentiert sind. Es
entspräche der Praxis im analogen Kataster, bei dem auch nur das Zahlenwerk, also die
ursprünglichen Beobachtungen am öffentlichen Glauben teilnehmen. Aber auch
Leitungsbetreiber verfügen Häufig über Einmessungen von Versorgungsleitungen. Auch hier
wäre zu überlegen, ob die darin enthaltenen Messwerte nicht als Primärdaten gespeichert
werden sollten zumal sie für eine sequentielle geometrische Konstruktion in einem CAD-
System ohnehin erhoben werden müssen.
2. Möglichkeit: Speichern der Kovarianzmatrix
Diese Möglichkeit ist eher theoretischer Natur denn wirklich praxisrelevant. Wollte man die
vollständige Kovarianzmatrix jedes Koordinatensatzes permanent verwalten und nachführen,
4.2 Integration und Fortführung von Geometriedaten 52
würde das einen erheblichen Aufwand bedeuten. Für einen Datensatz mit nur 1000 Punkten
müssten bereits ca. 2 Mio. Kovarianzen verwaltet werden.
3. Möglichkeit: Verwendung von Modellannahmen
Oft stehen die ursprünglichen Beobachtungen, die zu einem Koordinatensatz geführt haben
nicht mehr zur Verfügung. Ein typischer Fall sind Koordinaten, die einer
Kartendigitalisierung entstammen. Hier kann nicht mehr rekonstruiert werden welche
Beobachtungen der Kartierung zugrunde lagen bzw. mit welchen Mitteln und in welcher
Reihenfolge kartiert wurde. Dennoch zeigt die praktische Arbeit mit solcherart Koordinaten,
dass sie untereinander korreliert sind. Sollen solche Datensätze mit anderen integriert werden,
was zum Beispiel dann der Fall ist, wenn neu aufgenommene Punkte in einen bestehenden
Datenbestand aufgenommen werden, so sollten die Korrelationen zwischen den digitalisierten
Koordinaten berücksichtigt werden.
Eine häufig getroffene Modellannahme geht davon aus, dass der Betrag des
Korrelationskoeffizienten zweier Koordinatenwerte eine Funktion der Strecke zwischen den
beteiligten Punkten ist, wobei der Betrag des Korrelationskoeffizienten ρij bei einer Strecke
von sij = 0 den Wert 1 hat und mit zunehmender Strecke gegen 0 konvergiert. Beispiele für
solche Korrelationsfunktionen findet man u.a. in [WOLF 1981]
2
0
01
1
oder
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
+
=
ij
ij
ij
ij
s
s
s
s
ρρ
(4.8)
1
s
ρ
Figur 4-5: Graph einer Korrelationsfunktion
Die Elemente der Kovarianzmatrix lassen sich dann als Funktionen der
Korrelationskoeffizienten und der Standardabweichungen der Koordinaten berechnen.
jiij
ji
σ
σ
ρ
⋅
⋅
=
),cov( (4.9)
Die Berücksichtigung aller Punktrelationen würde auch hier zu extrem großen
Kovarianzmatrizen führen, die in der Praxis nur schwer beherrschbar sind. Um dieses
Problem einzudämmen kann eine Grenzstrecke sg eingeführt werden, ab der alle
Korrelationskoeffizienten zu null gesetzt werden. Auf diese Weise erhält man dünn besetzte
Kovarianzmatrizen die wesentlich leichter zu handhaben sind.
Andere Verfahren nutzen Pseudobeobachtungen zwischen benachbarten Punkten um die
Nachbarschaftsbeziehungen funktional zu modellieren. Als Beobachtungstypen dienen
Strecken- oder Koordinatenunterschiedsbeobachtungen. Die topologische Information über
die Nachbarschaft von Punkten kann z.B. durch eine Delauny-Triangulation gewonnen
werden. Näheres dazu findet man u.a. in [GIELSDORF 1997].
4.2 Integration und Fortführung von Geometriedaten 53
In den meisten Fällen wir nicht die alleinige Anwendung einer der vorgestellten Methoden
zum gewünschten Ergebnis führen. Vielmehr verspricht die Kombination verschiedener
Ansätze ein optimales Ergebnis sowohl in fachlicher als auch in wirtschaftlicher Hinsicht. Ein
Beispiel einer solchen Kombination wird im Kapitel 6.1 gegeben.
5.1 Geography Markup Language GML 54
5 Standards für die Modellierung von Geometriedaten
Für die Modellierung und den Austausch von geometrischen und topologischen Daten
existieren verschiedene Standards. Die zwei wichtigsten unter ihnen sind Die Geography
Markup Language GML des Open GIS Consortium und die Industry Foundation Classes der
International Association for Interoperability. Diese beiden Standards sollen in diesem Kapitel
miteinander verglichen werden. Als Vergleichskriterien sollen die folgenden Fragen dienen:
1. Unterscheidet das Datenmodell zwischen Geometrie und Topologie?
2. Können n:m-Beziehungen zwischen geometrischen und topologischen Objekten
abgebildet werden?
3. Wie erfolgt die Parametrisierung von Geometrieobjekten?
4. Wie erfolgt die Abbildung der Zeit?
5. Können Zufallsgrößen mit der dazugehörigen Stochastik abgebildet werden?
6. Ist eine Persistentiierung von Beobachtungen vorgesehen?
5.1 Geography Markup Language GML
Das Open GIS Consortium, Inc (OGC) ist eine internationale Vereinigung von mehr als 250
Firmen, staatlichen Behörden und Universitäten, welche gemeinsam die Entwicklung
einheitlicher Standards für den Austausch von Geo-Daten betreiben. OpenGIS-Standards
unterstützen interoperable Lösungen im Internet, im Mobilfunk, bei location-based-services
sowie andere Informationstechnologien. Die Standards sollen Entwickler in die Lage
versetzen, komplexe räumliche Informationen für verschiedene Anwendungen verfügbar und
nutzbar zu machen. [www.opengis.org]
Die Geography Markup Language (GML) ist ein, auf der extensible markup language XML
basierender, Standard für die Modellierung, den Austausch und die Speicherung von
geographischen Informationen. Grundlage für die Modellierung ist der OpenGIS-Standard
„Abstract Specification Topic 1: Feature Geometry“, welcher mit der ISO-Norm 19107
„Spatial Schema“ identisch ist.
zu 1.: Unterscheidung von Geometrie und Topologie
Das Datenmodell unterscheidet klar zwischen geometrischen und topologischen Objekten.
zu 2.: n:m-Beziehungen zwischen Geometrie und Topologie
Das Datenmodell unterstützt 1:n-Bezihungen zwischen geometrischen und topologischen
Primitiven (siehe Figur 5-1). Ein Geometrisches Objekt ist in der Lage mehrere topologische
Objekte zu „tragen“, welche in ihrer Existenz von eben diesem geometrischen Objekt
abhängig sind. Topologische Primitive können zu topologischen Komplexen
zusammengefasst werden. Zwischen Topologischen Primitiven und topologischen
Komplexen besteht eine n:m-Beziehung. Auf diese Weise lassen sich n:m-Beziehungen
zwischen geometrischen Primitiven und topologischen Komplexen abbilden, wie es zum
Beispiel bei Trassierungselementen und Gleisabschnitten innerhalb eines Gleisnetzes
erforderlich ist. Näheres hierzu findet man in [GIELSDORF 1998].
5.1 Geography Markup Language GML 55
Figur 5-1: Beziehungen von Geometrie und Topologie im OGC-Modell [OGC 2001]
zu 3.: Parametrisierung von Geometrieobjekten
Das Datenmodell bildet null-, ein- und zweidimensionale Hyperflächen, also Punkte, Kurven
und Flächen ab. Die Parametrisierung erfolgt fast ausschließlich in der Dimension 0 durch
Koordinaten des übergeordneten Systems. Kurven und Flächen werden durch vordefinierte
Interpolationsvorschriften erzeugt. Die Randbeschreibung eines k-dimensionalen Objektes
erfolgt durch (k-1)-dimensionale Objekte, so werden Kurven durch Punkte und Flächen durch
Kurven umrandet. Offene Punktmengen können nicht abgebildet werden, daher ist die
topologische Definition des Randes einer Hyperfläche durch Schnitt mit anderen
Hyperflächen gleicher Dimension nicht möglich.
Beispiel Punkt: Die Parametrisierung von Punkten ist durch Punktkoordinaten realisiert,
wobei jeder Punkt über genau ein Attribut vom Typ DirectPosition verfügt. Dieses Attribut
wiederum bezieht sich auf genau ein Koordinatensystem. Das bedeutet, dass in diesem
Modell die Koordinaten ein charakteristisches Merkmal des Objektes Punkt sind und nicht
eines der Beziehung Punkt-Referenzsystem (Figur 5-2). Es ist daher nicht möglich, mehrere
Koordinatentupel für ein und denselben Punkt, die sich auf verschiedene Koordinatensysteme
beziehen zu speichern.
5.1 Geography Markup Language GML 56
Figur 5-2: Parametrisierung von Punkten [OGC 2003-1]
Beispiel Kreisbogen: Ein Kreisbogen wird durch drei Punkte beschrieben, wobei zwei dieser
Punkte den Rand, also Anfang und Ende beschreiben. Eine solche Beschreibung setzt voraus,
dass sich der Parameterraum des Kreisbogens isometrisch auf den Koordinatenraum des
übergeordneten Systems abbilden lässt. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Der Entwurf
einer Gleistrasse kann zum Beispiel einen Bogenradius von 1000m vorsehen, die Operation
radius() eines Objektes vom Typ GM_Arc würde bei einer UTM-Abbildung in der Nähe des
Hauptmeridians aber einen Wert von 999.6m zurückgeben.
Beispiel Klotoide: Eine Klotoide wird im Parameterraum des Elementes durch den
Klotoidenparameter A, die Anfangslänge und die Endlänge parametrisiert. Die
Transformation in den übergeordneten Koordinatenraum erfolgt über eine
Affintransformation, deren Parameter in einem Objekt vom Typ GM_AffinePlacement
enthalten sind.
Figur 5-3: Klotoide im OGC-Datenmodell [OGC 2001]
Beispiel Ebene: Eine Ebene wird durch die Punkte des Randpolygons beschrieben. Enthält
das Randpolygon mehr als drei Punkte ist die Parametrisierung redundant, was dazu führt,
dass die Verschiebung einzelner Punkte zu Änderungsanomalien führen kann. Eigenschaften
wie Rechtwinkeligkeit, Parallelität oder Komplanarität können nicht durch die
Parametrisierung abgebildet werden. Figur 5-4 zeigt die Abbildung von Flächen im
Objektklassenmodell der OGC.
5.1 Geography Markup Language GML 57
Figur 5-4: Flächen im OGC Datenmodell [OGC 2001]
zu 4.: Abbildung der Zeit
In der GML-Spezifikation der OGC findet man die folgende Aussage:
The conceptual model underlying the representation of temporal objects in GML constitutes a
profile of the conceptual schema described in ISO/DIS 19108 [i]; however, topological types
and temporal feature relationships are not included in the current versions of the temporal
schemas. [OGC 2003-1]
Figur 5-5 zeigt das konzeptuelle Schema für die Abbildung von temporalen Informationen in
GML. Es können Zeitpunkte und Zeitintervalle auf verschiedenen Zeitskalen definiert
werden. Eine Historisierung von Objekten in der Realzeit und der Systemzeit ist damit
möglich.
5.1 Geography Markup Language GML 58
Figur 5-5: Die Zeit im OGC Datenmodell [OGC 2003-1]
Die dynamischen Eigenschaften von Objekten werden durch die Kombination der Attribute
timeStamp, acceleration, bearing, elevation, location und speed ausgedrückt. Mit diesen
Attributen lässt sich Punkten in einem dreidimensionalen Raum ein Geschwindigkeits- und
Beschleunigungsvektor zuordnen.
Offen bleibt die Frage, wie die Bewegung von dreidimensionalen Objekten im Raum
beschrieben werden kann. Wie bereits im Abschnitt 2.5.5 gezeigt wurde, sind die Koordinaten
der Punkte eines bewegten Objektes invariant gegen das objekteigene Koordinatensystem.
Die Bewegung eines 3D Objektes in einem 3D Raum lässt sich daher durch Darstellung von
Transformationsparametern als Funktionen der Zeit beschreiben. Einer solchen Darstellung
steht nun aber die Parametrisierung von Geometrieobjekten im OGC Datenmodell entgegen.
Hier erfolgt die Parametrisierung hauptsächlich durch Koordinaten im übergeordneten
System. Eine solche Art der Geometrieparametrisierung ist für die Abbildung von Bewegten
3D Objekten ungeeignet.
5.1 Geography Markup Language GML 59
Figur 5-6: Dynamische Eigenschaften im OGC Datenmodell [OGC 2003-1]
zu 5.: Zufallsgrößen und Stochastik
Figur 5-7 zeigt die in der GML verfügbaren Klassen für die Angabe von Genauigkeits-
informationen. Für Koordinaten lassen sich vollständige Kovarianzmatritzen bezogen auf ein
absolutes oder relatives Datum abbilden. Darüber hinaus kann jenem Element vom Typ
‚rationale Zahl’ eine Varianz zuordnen. Jeder Varianz ist außerdem die Schätzmethode
zugeordnet, mit Hilfe derer sie entstand.
Kovarianzen beliebiger Zufallsgrößen lassen sich nicht abbilden. Dies währe wünschenswert
um abgeleitete Messwerte übergeben zu können.
5.2 Industry Foundation Classes IFC 60
Figur 5-7: Klassendiagramm der Genauigkeit [OGC 1999]
Zu 6.: Persistenziierung von Beobachtungen
Das Datenmodell für Beobachtungen wird in [OGC 2003-2] spezifiziert. Das dort
vorgeschlagene Modell ist sehr komplex und soll an dieser stelle nicht näher behandelt
werden. entscheidend ist, dass sich alle gängigen Beobachtungstypen abbilden und geeignet
aggregieren lassen.
5.2 Industry Foundation Classes IFC
Die International Association for Interoperability (IAI) ist eine internationale Verbindung von
zurzeit ca. 650 Organisationen aus den Bereichen Bauwesen und Facility Management, die
sich die Standardisierung des Informationsaustauschs in der Bauindustrie zum Ziel gesetzt
haben. Der IAI gehören Architekten, Bauingenieure, Immobilienbesitzer, Facility Manager,
5.2 Industry Foundation Classes IFC 61
Baufirmen, Softwareentwickler, Datenanbieter, Behörden und Universitäten an.
[www.iai-international.org/iai_international/]
Einer der wichtigsten durch die IAI publizierten Standards sind die Industry Fundation
Classes IFC. Im Rahmen der IFC werden alle am Bauwerk existierenden Bauteile als Objekte
definiert und in Programmen, die diesen Standard unterstützen, auch wieder als solche
interpretiert. Gegenüber dem konventionellen Austausch reiner 2D- und
3D-Strichdarstellungen stellen die IFC dem Anwender ein programmübergreifendes,
"intelligentes" Datenmodell zur Verfügung.
Die IFC sind ein objektorientierter Standard, der die Summe aller Informationen zu
Planungsobjekten (wie Bauelementen, Räumen, Ausstattungen) beschreibt. Damit werden
neben der Geometrie auch alle weiteren Informationen, wie Kosten, Heizlasten, referenzierte
Dokumente, etc. zwischen den Softwareprogrammen der Planungsbeteiligten ausgetauscht.
[www.iai-ev.de]
Die Beschreibung des Datenmodells in [IAI 2003] erfolgt in der Beschreibungssprache
‚Express’.
zu 1.: Unterscheidung von Geometrie und Topologie
Das Datenmodell unterscheidet klar zwischen geometrischen und topologischen Objekten.
zu 2.: n:m-Beziehungen zwischen Geometrie und Topologie
Zwischen geometrischen und topologischen Objekten bestehen 1:n-Bezihungen, das heißt, ein
geometrisches Objekt kann mehrere topologische Objekte „tragen“. Auch in diesem Modell
lassen sich topologische Primitive zu Komplexen (z.B.
IfcConnectedFaceSet)
zusammenfassen, so dass n:m-Beziehungen zwischen geometrischen Objekten und
topologischen Komplexen abbildbar sind.
zu 3.: Parametrisierung von Geometrieobjekten
Das Datenmodell der IFC ist sehr stark darauf ausgerichtet, 3D-Objekte wie Wände, Stützen
oder andere Bauteile abzubilden. Die Parametrisierung erfolgt dabei zunächst im lokalen
Koordinatensystem des betreffenden Objektes. Für die absolute Positionierung ist ein Attribut
vom Typ IfcObjectPlacement zuständig, welches die Position des Objektes im
globalen Koordinatensystem oder in Bezug auf ein anderes Objekt definiert (siehe Figur 5-8).
Figur 5-8: Objektpositionierung im IFC-Modell [IAI 2003]
5.2 Industry Foundation Classes IFC 62
Jede Entität vom Typ IfcProduct verweist auf eine Entität vom Typ
IfcObjectPlacement. Der Transformationsgraph (vgl. 3.2.2) muss dabei azyklisch
sein.
Die Parametrisierung lässt offene Punktmengen zu. So wird eine Ebene durch einen Punkt
und einen Normalenvektor beschrieben, eine Gerade durch einen Punkt und einen
Richtungsvektor. Bei der Verwendung topologischer Objekte wie IfcFaceSurface, die
z.B. auf Ebenen referenzieren ergibt sich die Geometrie von Kanten und Knoten aus dem
Schnitt dieser Ebenen. Dennoch schreibt das Datenmodell für jede Kante und jeden Knoten
eine eigene Parametrisierung vor, was zu Redundanz in der Geometriebeschreibung führt.
Durch das Konzept der lokalen Parametrisierung mit anschließender Transformation werden
bestimmte geometrische Bedingungen nicht implizit durch eine globale Parametrisierung
erzwungen. So könnte zum Beispiel eine Wand über dem Boden schweben bzw. in den Boden
eindringen. Um solche Inkonsistenzen zu verhindern, stellt IFC so genannte Constraint-
Klassen bereit, die entsprechende geometrische Bedingungen definieren.
zu 4.: Abbildung der Zeit
Historisierung ist ein integraler Bestandteil der IFC. Jedes Objekt verfügt über ein Attribut
vom Typ IfcOwnerHistory, welches bereits in der Wurzel des Klassendiagramms
deklariert ist (siehe Figur 5-9).
Figur 5-9: Historie als Eigenschaft der Root-Klasse [IAI 2003]
Das Attribut IfcOwnerHistory definiert alle für die Historie relevanten Informationen.
Dazu zählen Besitzer, besitzende Transaktion, Status, Art der letzten Änderung, Datum der
letzten Änderung, Ausführender der letzten Änderung, letzte ändernde Transaktion und das
Entstehungsdatum. Die gespeicherte Historie bezieht sich auf die Systemzeit.
Abläufe in der Realzeit werden in Prozessen Abgebildet. IFC bietet die Möglichkeit, Prozesse
zu schachteln und so Prozessgraphen aufzubauen. Jeder Prozess besitzt eine eigene Zeitskala.
Prozesse dienen dazu, Fertigungsabläufe oder Abläufe im Facility Management zu Planen und
zu steuern.
Zeitvariante Geometrieattribute sind nicht vorgesehen. Bewegungen von Objekten lassen sich
nicht darstellen, die Geometrie ist daher als statisch anzusehen.
zu 5.: Zufallsgrößen und Stochastik
Das IFC Datenmodell ist deterministisch, es ist nicht in der Lage, Zufallsgrößen abzubilden.
Lediglich ein Toleranzmaß, das Attribut Precision der Objektklasse
IfcGeometricRepresentationContext, steuert die Identitätsfeststellung bei
geometrischen Objekten.
Zu 6.: Persistenziierung von Beobachtungen
Spezielle Objektklassen für die Verwaltung von Beobachtungen sind im IFC-Modell nicht
enthalten. Das Datenmodell bietet innerhalb des Schemas IfcMeasureResource aber die
Möglichkeit Relativmaße abzubilden. Die in diesem Schema enthaltenen Klassen sind in
erster Linie dazu gedacht, physikalische Eigenschaften von realen Objekten zu Quantifizieren.
5.3 Vergleich GML - IFC 63
Theoretisch wäre es möglich topologische Objekte wie Kante oder Kantenzug mit
geometrischen Quantitäten zu assoziieren, jedoch erscheint ein solches Vorgehen recht
umständlich. Darüber hinaus wäre es nicht möglich die so entstandenen Beobachtungen mit
stochastischen Eigenschaften zu versehen.
5.3 Vergleich GML - IFC
Die beiden betrachteten Standards widerspiegeln die Sicht unterschiedlicher Berufsgruppen
und fokussieren daher auf unterschiedliche Anwenderbedürfnisse. Während GML auf die
Bedürfnisse von GIS-Anwendern zugeschnitten ist trägt IFC den Bedürfnissen der
Bauindustrie Rechnung. Unterschiede zeigen sich vor allem in der Behandlung der dritten
Dimension, in der Geometrieparamerisierung und im Umgang mit Zufallsgrößen.
In GIS Anwendungen spielt die dritte Dimension in den meisten Fällen nur als digitales
Geländemodell eine Rolle, eine Ausnahme bilden 3D Stadtmodelle. Im Gegensatz dazu ist
eine Gebäudemodellierung ohne dritte Dimension nur schwer vorstellbar, die
Konsistenzbedingungen, die ein geometrisches Gebäudemodell erfüllen muss sind wesentlich
komplexer als bei einem GIS.
Die topographischen Gegenstände, die in einem GIS verwaltet werden sind mehr oder
weniger Unikate, jedes besitzt seine individuelle Geometrie. Aus diesem Grund ist es nahe
liegend die geometrische Parametrisierung dieser Objekte in einem einheitlichen
übergeordneten Koordinatensystem vorzunehmen. Anders bei Gebäudemodellen, ein
Gebäude besteht häufig aus einer großen Zahl von Normteilen wie Stützen, Wände usw. Hier
ist es sinnvoll, zunächst die Geometrie dieser Teile lokal zu Parametrisieren und diese
anschließend durch Transformation im übergeordneten System zu positionieren.
GIS bilden eine reale Situation ab, deren Abbild in der Datenbank auf Grundlage von
Beobachtungen gewonnen wurde. Weiterhin liegt die Erhebung von Geo-Basisdaten für GIS
hauptsächlich in der Hand von Geodäten. Diese beiden Faktoren sind sicher dafür
verantwortlich, dass der Abbildung von Beobachtungen und stochastischen Eigenschaften in
GML wesentlich mehr Aufmerksamkeit gewidmet wurde als in IFC. Der IFC-Standard dient
hauptsächlich dazu eine geplante Soll-Geometrie zu definieren und auszutauschen. Die
Betrachtungsweise ist daher hier deterministisch.
Die Modellierung von dynamischem Verhalten von Geometrieobjekten ist in beiden
Standards nur eingeschränkt möglich. Diese Möglichkeit wäre aber durchaus wünschenswert,
man denke nur an Fahrpläne von Zügen oder Prozesssteuerungen im Bauablauf. Bei
zukünftigen Erweiterungen der vorhandenen Datenmodelle bzw. beim Entwurf von neuen
erscheint es daher angezeigt, sich der Problematik von vornherein in einer vierdimensionalen
Sichtweise, sowohl für die Topologie als auch für die Geometrie, zu nähern.
6.1 Amtliches Liegenschaftskataster 64
6 Beispiele für die Verwaltung von Geometrieinformation
6.1 Amtliches Liegenschaftskataster
Die Aufgabe der Fortführung oder Aktualisierung besteht bei fast jeder Datenbank. Neue
Daten müssen erfasst, nicht mehr aktuelle gelöscht werden, Datenobjekte ändern ihre
Attributwerte. Für Sachdaten ist das Problem der Fortführung seit langem gelöst,
Schwierigkeiten treten aber immer wieder bei Geometriedaten auf. Die Ursache dieser
Schwierigkeiten ist in den unterschiedlichen Auffassungen von Informatikern und Geodäten
zu suchen. Diese Probleme sollen hier am Beispiel des Liegenschaftskatasters näher
untersucht werden.
Um die Mitte des 19. Jahrhunderts wurde in den meisten deutschen Staaten das
Liegenschaftskataster eingeführt. Es dient der Sicherung des Eigentumsrechts an Grund und
Boden und kann als eines der ältesten, wenn auch analogen, Geo-Informationssysteme
betrachtet werden. Das Interessante an diesem analogen GIS ist der Umstand, dass es seit
seiner Einführung einer permanenten Fortführung unterlag, es liegen hier also 150 Jahre
Erfahrung in der Fortführung von Geometriedaten vor. Das Liegenschaftskataster gliedert sich
in die Bestandteile Zahlenwerk, Kartenwerk und Buchwerk. Die Beobachtungsdaten sind im
Zahlenwerk auf Fortführungsrissen dokumentiert. Das Kartenwerk stellt in gewisser Weise
eine Sicht auf das Zahlenwerk dar. Es stellt die topologische Information vieler Risse in
übersichtlicher Form dar, die Geometrie ist eindeutig und entstammt der rechnerischen oder
graphischen Auswertung der Beobachtungen. Das Zahlenwerk erlaubt die Rekonstruktion der
Änderungen von Geometrie und Topologie in der Zeit, während das Kartenwerk nur den
aktuellen Zustand abbildet. Das Buchwerk enthält die Sachdaten zu den einzelnen
Flurstücken.
Mit dem Aufkommen von Datenbanken und computergestützten Geo-Informationssystemen
wurde damit begonnen, das analoge Liegenschaftskataster in digitale Form zu überführen. In
einem ersten Schritt wurden separate Datenbestände für Sach- und Geometriedaten angelegt.
Die Erfassung des Buchwerkes im automatisierten Liegenschaftsbuch ALB war dabei relativ
problemlos, da relationale Datenbanksysteme für die Haltung solcher Daten konzipiert sind.
Das analoge Kartenwerk wurde in die automatisierte Liegenschaftskarte ALK übernommen.
Das Zahlenwerk wurde nicht digitalisiert und wird auch weiterhin analog geführt.
Das Datenmodell der ALK repräsentiert die Sicht des Informatikers mit all ihren negativen
Folgen für die Fortführbarkeit der Daten.
• Die Primärdaten – das Zahlenwerk – werden nicht abgebildet.
• Die stochastischen Eigenschaften der Geometrieparameter, in diesem Fall der
Koordinaten, werden nicht abgebildet, es ist lediglich eine Klassifikation über einen
Punktstatus möglich.
• Geometrie und Topologie werden nicht getrennt betrachtet. Ein großer Teil der
Knoten besitzt keinen eigenen Objektidentifikator, diese Knoten werden über die
Koordinaten des zugehörigen Punktes angesprochen. Datumstransformationen oder
die Verschiebung von Punkten sind daher mit großen Schwierigkeiten verbunden.
• Es werden ausschließlich 0-Zellen parametrisiert, die einzigen Geometrieparameter
sind also Punktkoordinaten. Häufig vorkommende geometrische Bedingungen wie
Kolinearität oder Rechtwinkligkeit müssen daher separat, also redundant formuliert
werden.
6.1 Amtliches Liegenschaftskataster 65
• Die Zeitdimension findet keine Berücksichtigung. Eine Historisierung ist nicht
möglich.
Die Fortführung der ALK erfolgt über das Löschen und Einfügen ganzer Objekte. Große
Probleme treten bei der schrittweisen Verbesserung der Punktgenauigkeit auf. In diesem Fall
bleiben Topologie und Sachdaten unverändert während sich die Geometrieparameter ändern.
[SCHEU 1999] unterscheidet an dieser Stelle zwischen Fortführungen 1. und 2. Art.
In [ADV 2002] wird eine neue Modellierung für die Daten des automatischen
Liegenschaftskataster Informationssystems ALKIS vorgestellt. Dieses Modell beinhaltet
bereits wesentliche Verbesserungen im Vergleich zum vorangegangenen ALK-Modell.
Geometrie und Topologie sind separat modelliert, die Punktkoordinaten sind mit
Genauigkeitsstufen versehen und es wird eine Zeitachse für die Historisierung mitgeführt.
Nach wie vor ist jedoch die Speicherung von primären Beobachtungsdaten nicht vorgesehen
und die Parametrisierung erfolgt ausschließlich über 0-Zellen.
6.1.1 Das Problem der virtuellen Punktverschiebungen
Für den größten Teil des Liegenschaftskatasters in Deutschland ist die Ersterfassung der
digitalen Daten abgeschlossen (73% der Fläche, Stand 10.11.2003). Grundlage der
Koordinaten sind hauptsächlich analoge Liegenschaftskarten die digitalisiert und geo-
referenziert wurden. Die resultierende geometrische Genauigkeit der ALK-Daten reflektiert
daher die Genauigkeit der zugrunde liegenden Karten. Der mittlere Punktfehler liegt in einem
Bereich zwischen 0,5 und 5 Metern. Die so entstandenen Geo-Basisdaten dienten den Nutzern
dieser Daten als geometrische Referenz für ihre eigenen Geo-Fachdaten wie
Versorgungsleitungen, Verkehrseinrichtungen usw. Häufig wurden die Geo-Fachdaten an die
Geo-Basisdaten mit Hilfe von CAD-Werkzeugen „herankonstruiert“ ohne dabei eine
eventuell vorhandene geometrische Redundanz zu berücksichtigen. Gegebenenfalls
vorhandene Maße aus Risswerken wurden bestenfalls als Textattribute übernommen.
Durch neue Messungen (GPS, Tachymeter, Orthophotos) werden laufend Koordinaten erfasst,
die eine höhere Genauigkeit als die in der ALK enthaltenen aufweisen. Durch die Integration
der genaueren Koordinaten in den ALK-Bestand soll dieser schrittweise in seiner
geometrischen Qualität verbessert werden
Während die betroffenen Punkte in der Realwelt unverändert bleiben, erfahren sie in der ALK
durch diese Art der Fortführung eine virtuelle Verschiebung. Ohne Berücksichtigung der
Nachbarschaftsbeziehungen würde eine solche Verschiebung zu einer unerwünschten
Veränderung der relativen Lage von verschobenen und nicht verschobenen Punkten führen
(z.B. das Abstandsmaß zwischen Versorgungsleitung und Gebäude beträgt 5,5m anstatt früher
2m, oder eine Versorgungsleitung kreuzt das Gebäude). Ein solcher reiner
Koordinatenaustausch wäre inakzeptabel.
Bei der virtuellen Verschiebung von Punkten muss der unterschiedlichen Genauigkeit von
relativer und absoluter Geometrie Rechnung getragen werden. Hier tritt das unter 4.2.2
beschriebene Problem der Integration von verschiedenen Koordinatensätzen auf, die interne
Korrelationen aufweisen.
Die Standardabweichung der digitalisierten Koordinaten setzt sich aus zwei Komponenten
zusammen, zum einen aus dem relativ kleinen Digitalisierfehler und zum anderen aus dem
Fehler der Punktposition innerhalb der Karte. Die tatsächlichen Punktpositionen auf der Karte
entstammen entweder einer Koordinatenberechnung mit anschließender Kartierung bzw.
einem sequentiellen Nachvollzug des Messablaufes durch die Kartierung. In beiden Fällen
sind die Punktpositionen Funktionen partiell gleicher Zufallsgrößen und daher miteinander
korreliert.
6.1 Amtliches Liegenschaftskataster 66
Nun lässt sich die Entstehungsgeschichte einer Karte nicht mehr im Einzelnen
nachvollziehen, das heißt, die ursprünglichen Beobachtungen sind nicht verfügbar. Als Ersatz
können aber künstliche Pseudobeobachtungen generiert werden, deren stochastische
Eigenschaften auf begründeten Hypothesen beruhen. Die Verschiebung eines Punktes
innerhalb des Netzes der Pseudobeobachtungen führt zu einer Verschiebung seiner
Umgebung. Die Beschreibung der Punktpositionen durch Pseudobeobachtungen ist redundant
aber zunächst widerspruchsfrei. Die Einführung neuer Koordinaten führt zu Widersprüchen
und somit zu einem Ausgleichungsproblem. Die Lösung dieses Ausgleichungsproblems
bezeichnet man als Homogenisierung oder nachbarschaftstreue Anpassung.
Neben den Pseudobeobachtungen gehen auch Ursprüngliche Beobachtungen in das
Ausgleichungsproblem ein. Diese entstammen dem vorhandenen Risswerk, neueren
Messungen vor Ort oder Befliegungsdaten. Beobachtungstypen sind Strecken, Richtungen,
lokale und globale Koordinaten usw.
6.1.2 Vorschlag einer Fortführungsstrategie
Wie kann nun aber die Fortführung von Geometriedaten in einem Liegenschafts-GIS
aussehen, in dem die ausgeglichenen Geometrieparameter als Sicht auf die primären
Beobachtungsdaten betrachtet werden? Wir gehen von dem Fall aus, dass die Ersterfassung
abgeschlossen ist und bereits ein Datenbestand vorliegt. Die vorhandenen
Geometrieparameter, im allgemeinen Koordinaten, bilden einen Vektor x0. Der Index 0 steht
für den Zeitpunkt bzw. den Fortführungsstand. Die Koordinaten repräsentieren die Lage der
Punkte in Bezug auf ein definiertes Koordinatensystem.
Diesen Parametervektor x0 bilden wir auf einen Beobachtungsvektor l0 ab. Die Elemente von
l0 sind Pseudobeobachtungen, die nicht mehr die absolute Position der Punkte sondern
vielmehr deren Nachbarschaftsbeziehungen beschreiben. Die stochastischen Eigenschaften
der Beobachtungen werden in der nur diagonal besetzten Kovarinzmatrix 00 0llll QC
⋅
=
σ
modelliert. Das so konstruierte Ausgleichungsproblem ist redundant aber widerspruchsfrei.
Eine Ausgleichung der Beobachtungen ergäbe also genau wieder den Vektor x0 = f(l0). Aus
diesem Grund kann man die Parameter x0 als Sicht auf die Beobachtungen l0 betrachten.
Der Fortführungsfall stellt sich nun so dar, dass neue Beobachtungen in den Datenbestand
einzupflegen sind. Im Allgemeinen wird die Fortführung sowohl geometrische als auch
topologische und Sachdaten betreffen. Häufig tritt aber auch der Fall ein, dass in einem
Gebiet, für welches bislang nur Koordinaten in grafischer Qualität vorliegen, hochgenaue
GPS- oder tachymetrische Messungen ausgeführt werden. Die daraus resultierende
Fortführung verändert zwar die Koordinaten nicht aber Topologie und Sachdaten.
Die geometrische Fortführung stellt sich dann als ein iterativer Prozess dar, in dem bei jedem
Iterationsschritt der Beobachtungsvektor um neue Beobachtungen erweitert wird und danach
ein neuer Koordinatenvektor als Sicht auf die Beobachtungen berechnet wird. Figur 6-1
veranschaulicht das Vorgehen.
6.1 Amtliches Liegenschaftskataster 67
Primärdaten
Beobachtungen
Sicht
Geometrieparameter
l
0
x
i
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
1
0
l
l
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
2
1
0
l
l
l
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
n
l
l
l
l
M
2
1
0
x
i+1
x
i+2
x
i+n
Kopieren
Ausgleichung
Ausgleichung
Ausgleichung
Zustand zum
Zeitpunkt i
Sicht 1
Sicht 2
Sicht n
1. Fortführung
2. Fortführung
n. Fortführung
Zeit
Figur 6-1: Fortführung von Geometriedaten
Aus Gründen der Arbeitsteilung und der Performanz ist es nicht möglich, den
Beobachtungsvektor beliebig groß zu wählen. Auch scheit es wenig sinnvoll, nach jeder
Erweiterung des Beobachtungsvektors neue Koordinaten zu berechnen. So kann man zum
Beispiel nicht die ALK-Koordinaten eines ganzen Bundeslandes neu berechnen nur weil ein
Gebäude neu eingemessen wurde. In Konsequenz bedeutet das, dass der Prozess der
Fortführung sowohl räumlich als auch zeitlich partitioniert werden muss.
Eine räumliche Partionierung kann durch die Definition von Homogenisierungsblöcken
erreicht werden. Dazu wird die Erdoberfläche in disjunkte topologische Zellen zerlegt. Die
Blockgrenzen sollten durch reale Punkte gegeben sein und sich nicht auf ein
Datumsabhängiges Koordinatengitter beziehen. Als Blockgrenzen bieten sich administrative
Grenzen wie Gemarkungs- oder Flurgrenzen an. Die bereits vorhandenen eindeutigen
Identifikatoren dieser Verwaltungseinheiten können für die Homogenisierungsblöcke
übernommen werden. Homogenisierungsblöcke bilden die kleinste Einheit der Fortführung.
Ein Fortführungsschritt betrifft mindestens einen ganzen oder aber mehrere
Homogenisierungsblöcke.
6.1 Amtliches Liegenschaftskataster 68
A
B
C
Pi
K1 K2
K3
K4
K5
P1 P
2
P
3
P4
P5
P
6
Pj
Pk
Pl
Figur 6-2: Topologie von Homogenisierungsblöcken
Figur 6-2 zeigt die Topologie von Homogenisierungsblöcken. Da Begrenzungspunkte von
Homogenisierungsblöcken zu mehreren angrenzenden Blöcken gehören, besteht zwischen
Punkten und Homogenisierungsblöcken eine n:m-Beziehung.
Ein Fortführungsschritt erstreckt sich auf einen oder mehrere Homogenisierungsblöcke, die zu
einem Fortführungsgebiet zusammengefasst werden. Das Kriterium dafür, welcher
Homogenisierungsblock in das Fortführungsgebiet aufgenommen wird bildet der Abstand der
fortzuführenden Punkte zu den Blockgrenzen. Befinden sich die fortzuführenden Punkte
innerhalb eines Blockes und haben einen hinreichenden Abstand zur Blockgrenze, so genügt
es, nur den betreffenden Block einer Fortführung zu unterziehen. Erstreckt sich das Feld der
fortzuführenden Punkte über mehrere Homogenisierungsblöcke oder befinden sich die Punkte
in der Nähe der Blockgrenze, so sind mehrere Homogenisierungsblöcke zusammenzufassen.
Figur 6-3 zeigt die Abbildung des Fortführungsprozesses in einem E-R-Modell.
6.1 Amtliches Liegenschaftskataster 69
Blöcke Punkte
Blockgrenzen
begrenzen enden
gehören
(2,2)
(3,*)
(2,2)
(0,*)
(3,*) (1,*)
Beobachtungen
verbinden
(1,*)
(1,*)
Ausgleichung
berechnen
(0,*)
(1,*)
Figur 6-3: E-R-Modell Homogenisierungsblöcke
Die Fortführung stellt im Sinne der Datenbanktheorie eine lange Transaktion dar. Bei einer
langen Transaktion erfolgt eine Modifikation der Daten außerhalb des eigentlichen DBMS
durch ein externes Programm. Zu diesem Zweck erfolgt ein check-out der betroffenen Daten
aus der Datenbank, was bedeutet, dass die entsprechenden Datensätze für die Dauer der
langen Transaktion für den Zugriff durch andere Benutzer gesperrt werden. Nach dem
Abschluss der langen Transaktion erfolg ein check-in der modifizierten Daten in die
Datenbank, bei dem die alten Datensätze gelöscht werden. Voraussetzung für das check-in ist
die Konsistenz der modifizierten Daten. Eine lange Transaktion folgt, wie jede interne
Transaktion auch, dem ACID-Prinzip (Atomacy, Consistency, Isolation, Durability).
Für die Fortführung werden zunächst alle zum Fortführungsgebiet gehörenden
Beobachtungen selektiert und zu einem Beobachtungsvektor zusammengefasst. Über das
Fortführungsgebiet hinausreichende Beobachtungen bleiben unberücksichtigt. Die
Datumsfestlegung erfolgt über die Koordinaten der Grenzpunkte des Fortführungsgebietes,
welche in die Ausgleichung als fest eingeführt werden. Das Ergebnis der Fortführung sind
neue Koordinaten für die Punkte des Fortführungsgebietes. Mit dem check-in werden die neu
ausgeglichenen Koordinaten in die Datenbank übernommen, womit der Fortführungsschritt
abgeschlossen ist.
Figur 6-4 zeigt den Fortführungsprozess als ereignisgesteuerte Prozesskette (EPK).
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 70
Ersterfassung
abgeschlossen
Abbildung
x
0
--> l
0
x und l sind
konsistent
Hinzufügen von
Beobachtungen
x und l sind
inkonsistent
Prüfung des
Fortführungskriteriums
Fortführung
erforderlich
Fortführung nicht
erforderlich
XOR
Check-Out der
Fortführungsblöcke
Fortführungs-
blöcke gesperrt
Ausgleichung
Ausgleichung
durchgeführt
Check-In der
Fortführungsblöcke
Figur 6-4: Prozesskette der Geometrischen Fortführung
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden
Die Anlageinvestitionen im Wohnungs- und Hochbau betrugen im Jahr 2002 in Deutschland
180,31 Mrd. € [ZDB 2003-2]. Das Deutsche Institut für Wirtschaftsforschung setzt in seinen
Berechnungen zum Bauvolumen die Modernisierungs- und Instandsetzungsleistungen
inzwischen mit einem Anteil von 61 % im Westen und 65 % im Osten am jeweiligen
Wohnungsbauvolumen an. Das DIW unterstellt einen raschen Anstieg dieser Quoten während
der letzten drei Jahre. Für das Jahr 1999 gingen noch Anteilswerte von 49 % bzw. 56 % in die
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 71
Berechnungen ein [ZDB 2003-1]. Diese Zahlen veranschaulichen die große und zunehmende
wirtschaftliche Bedeutung des Bauens im Bestand. Grundlage jeder Planung und Ausführung
von Baumaßnamen an bestehenden Gebäuden ist deren Dokumentation.
Ein weiteres wichtiges Anwendungsfeld für Gebäudedokumentationen ist das Facility
Management. Während seiner Lebensdauer entfallen mehr Kosten auf den Unterhalt eines
Gebäudes als auf dessen Errichtung. Viele Betreiber von Immobilien versuchen, durch
Facility Management diesen Kostenaufwand zu senken. Nach Angaben des Deutschen
Verbandes für Facility Management e.V. GEFMA betrug das Marktvolumen für
FM-Leistungen im Jahr 2000 in Deutschland 26,5 Mrd. €. [www.gefma.de]
Grundlage jeder Gebäudedokumentation ist die Gebäudegeometrie. Sie bildet die Referenz für
diverse Sachdaten wie Werkstoffe, Bauschäden, Nutzung usw. Vor jeder Baumaßname im
Bestand und vor jeder Einführung eines FM-Systems steht daher die Erfassung der
Gebäudegeometrie.
6.2.1 Geometrieerfassung und CAD
In der Praxis werden Informationen zur Gebäudegeometrie zumeist in CAD-Systemen
verwaltet. Beispiele solcher Systeme sind AutoCAD®, MicroStation®, ArchiCAD® usw.
Auch Facility Management Systeme nutzen CAD-Tools um Geometrie zu speichern. Die
Datenmodelle von CAD-Systemen besitzen ähnlich Eigenschaften wie das des IFC-Standards
(siehe 5.2):
• CAD-Systeme sind Bauteilorientiert, jedes Bauteil wird in sich Parametrisiert. Die
Positionierung der Bauteile erfolgt durch Transformation des lokalen Bauteil-
Koordinatensystems in das übergeordnete System.
• CAD-Systeme sind deterministisch, eine Verwaltung von Zufallsgrößen ist nicht
vorgesehen.
• Beobachtungen werden nicht verwaltet.
• Die geometrische Konsistenz wird durch eine große Zahl geometrischer Bedingungen
(Punktidentität, Kolinearität, Koplanarität usw.) gewährleistet, die „on the fly“
kontrolliert werden.
Die Methoden der Geometrieerfassung sind vielfältig und unterscheiden sich hinsichtlich der
Genauigkeit und des Detaillierungsgrades ihrer Ergebnisse. Für ein Facility-Management-
System genügt häufig eine stark generalisierte und relativ ungenaue Darstellung, während die
Dokumentation eines Baudenkmals eine detail- und verformungstreue Erfassung erfordert.
Der Anwendungszweck bestimmt daher die Erfassungsmethode. Im Wesentlichen kommen
folgende Verfahren für die Erfassung von Gebäudegeometrie zum Einsatz:
• Digitalisierung vorhandener Pläne
• Handaufmaß mit Handheld Laser, Zollstock und Messband
• Tachymetrie
• Photogrammetrie
• Laserscanning
Die Reihenfolge der aufgelisteten Methoden entspricht dabei in etwa ihrer Anwendungs-
häufigkeit. Im Allgemeinen bietet die Kombination verschiedener Verfahren ein optimales
Ergebnis im Hinblick auf Wirtschaftlichkeit und Qualität. In jedem Falle besteht das Ergebnis
der Messungen in Beobachtungen, also redundanten Zufallsgrößen, welche die relative
Geometrie des Gebäudes beschreiben.
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 72
Zwischen der Geometrieerfassung und einem CAD-Modell des Gebäudes steht daher ein
Auswerteprozess, der aus den Beobachtungsdaten absolute Geometriedaten für das CAD-
System generiert. Aus geodätischer Sicht haben wir es hier mit einem klassischen
Ausgleichungsproblem zu tun. Dennoch kommen Ausgleichungstechniken bei dieser Aufgabe
nur selten, und wenn, dann nur partiell zum Einsatz. Der Regelfall ist die Konstruktion des
Gebäudes im CAD-System. Um ungünstige Effekte der Fehlerfortpflanzung zu vermeiden,
geht man dabei noch bestenfalls nach dem Prinzip „vom Großen ins Kleine“ vor. Der größte
Arbeitsaufwand entfällt bei dieser Vorgehensweise nicht auf die Messung vor Ort sondern auf
die sehr umständliche Fehlersuche während des Auswerteprozesses, obwohl grade die
Fehlersuche von Ausgleichungstechniken unterstützt würde.
Worin liegt nun aber die Ursache dafür, dass die Ausgleichungsrechnung für diesen
ofensichtlichen Ausgleichungsfall kaum angewendet wird? Die Antwort auf diese Frage ist in
der Parametrisierung der Geometrie innerhalb des CAD-Systems zu suchen. Die
Formulierung eines Ausgleichungsproblems verlangt die eindeutige Parametrisierung dieses
Problems. Jeder überzählige Parameter führt notwendigerweise zu einer zusätzlichen
Bedingung. Das typische CAD-Datenmodell weist nun aber, wie noch gezeigt werden wird,
eine Überparametrisierung von über 95% auf! Ein Ausgleichungsansatz, welcher auf einer
solchen Parametrisierung aufbaut ist kaum beherrschbar. Möchte man die
Ausgleichungsrechnung auf die Geometriebestimmung von Gebäuden anwenden, muss
zunächst ein Datenmodell geschaffen werden, welches eine möglicht geringe Redundanz in
den Parametern aufweist und dennoch alle geometrischen Bedingungen abbildet.
Ein weiteres Argument für die Anwendung der Ausgleichungsrechnung bei der
Gebäudedokumentation ist das einer geeigneten Arbeitsteilung zwischen Geodäten auf der
einen und Architekten oder Bauingenieuren auf der anderen Seite. Aus wirtschaftlichen
Gründen ist es wünschenswert, Sach- und Geometriedaten in einem Arbeitsgang durch eine
Person erfassen zu lassen. Für die Erfassung von Sachdaten wie Bauschäden, konstruktiven
Merkmalen usw. besitzen Baufachleute zweifellos eine höhere Kompetenz als ein Geodät.
Andererseits sind Nichtgeodäten häufig unerfahren in der Durchführung und Auswertung von
Messungen sowie in der Handhabung von Vermessungsinstrumenten. Aus wirtschaftlicher
Sicht ist es ohnehin erstrebenswert, die Messung vor Ort so zu gestalten, dass sie von
angelerntem Personal ausgeführt werden kann. Würde es gelingen, das erforderliche
Qualifikationsniveau von der Messung vor Ort auf den anschließenden Auswerteprozess zu
verlagern, so könnte die Datenerfassung durch Nichtgeodäten erfolgen während es die
Aufgabe des Geodäten wäre, aus dem Beobachtungsmaterial eine eindeutige Geometrie zu
generieren. Eine solche Strategie erfordert jedoch die Möglichkeit, große Mengen von
redundanten fehlerbehafteten Beobachtungsdaten, die durch einfaches Handaufmaß
entstanden sind, mit Hilfe der Ausgleichungsrechnung von groben Fehlern zu befreien und in
ein eindeutiges Ergebnis zu überführen.
Komplexere Gebäude werden im Allgemeinen mit unterschiedlichen Verfahren erfasst. So
werden zum Beispiel die Innenräume tachymetrisch in Kombination mit Handaufmaß und die
Fassade photogrammetrisch vermessen. Die Integration der verschiedenen
Beobachtungstypen stellt ebenfalls ein Ausgleichungsproblem dar, für dessen Lösung ein
geeignetes Datenmodell erforderlich ist.
6.2.2 Datenmodell für die absolute Gebäudegeometrie
Im Rahmen eines Forschungsprojektes am Fachgebiet Geodäsie und Ausgleichungsrechnung
an der Technischen Universität Berlin wurde ein Datenmodell für Gebäudegeometrie und
-topologie entwickelt, das der Forderung nach geringer Redundanz in den Parametern bei
gleichzeitiger Abbildung geometrischer Bedingungen genügt. Grundlage des Datenmodells ist
eine strenge Trennung von Geometrie und Topologie.
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 73
Die Abbildung der Topologie erfolgt durch Zellen der Dimensionen 0 bis 3. Topologische
Entitätentypen sind Knoten, Kante, Masche und Volumen. Figur 6-5 Zeigt die im
Datenmodell enthaltenen topologischen Entitätentypen und das dazugehörige E-R-Modell.
0-Zelle
≡
Knoten
1-Zelle
≡
Kante
2-Zelle
≡
Masche
3-Zelle
≡
Volumen
Knoten
Kanten
Maschen
Volumina
enden
umhüllen
begrenzen
(3,*)
(2,2)
(2,*)
(3,*)
(2,2)
(4,*)
Figur 6-5: Topologie im Datenmodell
Es existieren genau drei Typen von 3-Zellen: Raum, Wand und Außenraum. Zurzeit bildet das
gesamte Gebäude eine monolithische Zelle. Das Modell lässt aber auch eine Modellierung
von Bauteilen wie Wand oder Stütze als Zelle zu. Jede Masche verweist auf genau eine
3-Zelle davor und eine 3-Zelle dahinter. Anhand der Typen der angrenzenden 3-Zellen läst
sich feststellen, ob es sich um eine Wandmasche oder eine Öffnung zwischen Räumen bzw.
einem Raum und dem Außenraum handelt (siehe Figur 6-6).
Figur 6-6: Unterschiedliche Maschentypen
Die Beschreibung der Geometrie erfolgt ausschließlich über Ebenen. Eine Erweiterung der
Geometriebeschreibung auf Flächen zweiter Ordnung (Zylinder, Kugel, Kegel) ist für einen
weiteren Entwicklungsschritt vorgesehen. Jede Ebene wird durch einen Normalenvektor n
r
und ihren orthogonalen Abstand zum Koordinatenursprung d parametrisiert. Die Parameter
erfüllen die Ebenengleichung
0
=
−
⋅
dxn
r
r
. (6.1)
Masche_ID Vor hinter
Masche 1 Raum 1 Außenraum
Masche 2 Raum 1 Wand
Masche 3 Raum 2 Raum 1
Raum 1 Raum 2
Masche 1
Masche 2
Masche 3
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 74
Diese Gleichung beschreibt eine offene zweidimensionale Punktmenge in einem
dreidimensionalen Raum. Eine separate Parametrisierung des Randes erfolgt nicht. Figur 6-7
veranschaulicht die geometrische Bedeutung der einzelnen Größen.
d x
r
n
r
O
Figur 6-7: Geometrische Veranschaulichung der Ebenengleichung
Die einzige Verbindung der Topologie mit der Geometrie ist die n:1-Beziehung zwischen den
Entitätentypen Masche und Ebene.
Figur 6-8: Ebenen tragen Maschen
Figur 6-8 zeigt zwei Räume eines Gebäudes. Die beiden Wandmaschen Masche 1 und
Masche 2 verweisen auf ein und dieselbe Ebene. Die geometrischen Parameter der
unterschiedlichen Ränder der beiden Maschen werden nun nicht explizit beschrieben sondern
ergeben sich vielmehr aus dem Schnitt mit anderen Ebenen. Die Information darüber welche
Ebene mit welcher anderen geschnitten werden muss ist vollständig in der
Topologiebeschreibung enthalten.
Punktkoordinaten existieren in diesem Datenmodell nur noch als Sicht auf die persistenten
Ebenenparameter.
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 75
Punkt
als Sicht
33
22
11
dxn
dxn
dxn
=⋅
=⋅
=⋅
rr
rr
rr
x
r
SQL-Statement
Figur 6-9: Punktkoordinaten als Sicht auf die Ebenenparameter
In einer relationalen Datenbank lässt sich eine vollständige Koordinatenliste mit Hilfe eines
SQL-Statements erzeugen [THIEMANN 2001].
Die meisten Gebäude besitzen einen relativ regelmäßigen Aufbau. Wände, Böden und Decken
sind sehr oft parallel oder zueinander orthogonal. Diese geometrischen Bedingungen werden
durch das Datenmodell in besonderer Weise unterstützt. So ist die Bedingung der
Komplanarität der vier Eckpunkte einer ebenen Wand durch die Ebenenparametrisierung
implizit gegeben.
Die Parallelität zweier Ebenen wird in der Weise abgebildet, dass parallele Ebenen auf ein
und denselben Normalenvektor verweisen. Aus diesem Grund wurde die separate
Objektklasse Normalenvektor eingeführt.
Orthogonalität zwischen vertikalen Wänden wird erreicht, indem orthogonale
Normalenvektoren auf ein und dieselben Parameter verweisen. Die Vertauschung der x- und
y-Komponente eines Normalenvektors und gleichzeitiger Umkehrung eines der Vorzeichen
bewirkt eine Drehung des Vektors um 90° bzw. 270°. Die Umkehrung beider Vorzeichen
bewirkt eine Drehung um 180°. Daher wurde eine Separate Objektklasse Rotationsparameter
definiert. Die Klasse Normalenvektor enthält lediglich Vorzeichen und Pointer auf
Rotationsparameter. Rotationsparameter können den Status fest oder variabel besitzen. Der
Status determiniert deren Rolle in der Ausgleichung. So wird zum Beispiel die Orientierung
eines horizontalen Bodens durch die festen Rotationsparameter nT = (0,0,1) ausgedrückt.
Komplanarität
Parallelität Identische
Normalenvektoren
Æ Implizit
Orthogonalität
(in X,Y-Ebene) ⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
1b
a
n
ra
b⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
=
0
2a
b
n
r
Figur 6-10: Abbildung geometrischer Bedingungen im Datenmodell
Durch den Ansatz des „Parameter Sharing“ wird die Anzahl der benötigten geometrischen
Parameter, im Vergleich zur Verwendung von Koordinaten, dramatisch verringert. Zur
Veranschaulichung betrachten wir ein theoretisches Gebäude mit 10 Etagen, 4 Wänden in
Längsrichtung und 11 Wänden in Querrichtung, Türen und Fenster bleiben zunächst
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 76
unberücksichtigt. Im Falle einer Geometrieparametrisierung durch Punktkoordinaten erhalten
wir 10*10*3=300 Räume plus den Außenraum mit jeweils 8 Ecken. Das ergibt insgesamt
2408 Punkte mit 7224 Koordinatenwerten.
Im Falle einer Parametrisierung über Ebenen erhält man 10*2+4*2+11*2=50 Ebenen. Deren
Orientierung ist gegeben durch 3 Normalenvektoren mit zusammen 9 Parametern und die
Translationen durch 50 Parameter. In Summa ergibt das 59 Parameter. Das bedeutet, dass die
Parametrisierung über Ebenen nur 0,8% der Parameterzahl im Vergleich zur Parametrisierung
über Koordinaten benötigt.
Maschen
Ebenen
tragen
haben
Normalenvektoren
verweisen
Parameter
(1,1)
(0,*)
(1,1)
(1,*)
(3,3)
(1,*)
d
vz_y
vz_x
vz_z
p
Topologie
Geometrie
Figur 6-11: Verbindung von Geometrie und Topologie
Figur 6-11 zeigt die Abbildung der Geometrie und die Verknüpfung zur Topologie im
6.2.3 Handaufmaß als Ausgleichungsproblem
für die Geometrieerfassung von
Datenmodell. Die Unbekannten im Sinne der Ausgleichungsrechnung sind die
Translationsparameter di und die Rotationsparameter pi.
Das Handaufmaß ist die am häufigsten angewandte Methode
Gebäuden. Als Messmittel kommen Handheld Laser, Messband und Zollstock zum Einsatz.
Die anfallenden Beobachtungstypen sind Distanzen zwischen den topologischen Elementen
Masche, Kante und Knoten. Gemessen wird jeweils der orthogonale, also kürzeste Abstand.
Die Distanzmessung ist nur bei Vorhandensein bestimmter Parallelitätsbedingungen
eindeutig. Tabelle 6-1 zeigt die sechs möglichen Beobachtungstypen und die dazugehörigen
Bedingungen. Der weitaus häufigste Beobachtungstyp ist die Distanzmessung zwischen
parallelen Maschen.
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 77
Tabelle 6-1: Beobachtungstypen mit Bedingungen
Masche Kante Knoten
Masche parallel parallel -
Kante parallel -
Knoten -
6.2.3.1 Funktionales Modell
Die Ausgleichung erfolgt nach dem allgemeinen Gauß-Helmert-Modell, bedingte
Ausgleichung mit Unbekannte und Bedingungen zwischen den Unbekannten.
2
1
)g(
),f(
sx
sxl
=
= (6.2)
Die Bedingungsgleichungen )g(x sind hierbei für die Normierung der Normalenvektoren
verantwortlich.
(6.3)
1
222 =++ zyx nnn
Die nachfolgend beschriebenen Beobachtungsgleichungen, einschließlich der dazugehörigen
Linearisierungen, findet man ausführlich in [THIEMANN 2001].
Die Bedingungsgleichung für den Abstand Masche-Masche liefert einen besonders einfachen
linearen Ausdruck. Der Abstand ergibt sich einfach als Differenz der beiden
Translationsparameter.
0=−− ldd lj (6.4)
Die Vorzeichen der Translationen di und dj sind hierbei von der gegenseitigen Lage der
beteiligten Ebenen Ei und Ej abhängig. Diese Information wird im Datenmodell durch zwei
logische Attribute abgebildet: Ei_vor_Ej und Ej_vor_Ei.
Für die Bedingungsgleichungen an denen Kanten und Knoten beteiligt sind müssen zunächst
die geometrischen Grundformen Gerade und Punkt als Schnittmenge von zwei bzw. drei
Ebenen berechnet werden. Eine Gerade läst sich als Punkt-Richtungs-Gleichung der Form
0
=
−
⋅
+
xrtp
r
r
r
(6.5)
ausdrücken. Hierin ist p
r
der Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden und
r
r
der
Richtungsvektor. Der Richtungsvektor ergibt sich als normiertes Kreuzprodukt der
Normalenvektoren der Schnittebenen.
21
21
nn
nn
rrr
r
r
r
×
×
= (6.6)
Der Ortsvektor p
r
kann als Schnittpunkt der beiden Ebenen E1 und E2 mit einer Ebene E12
berechnet werden, wobei E12 orthogonal zu E1 und E2 ist und durch den Koordinatenursprung
verläuft.
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 78
0)(:
0:
0:
2112
222
111
1221
=⋅×
=−⋅
=−⋅
∩
∩
=
pnnE
dpnE
dpnE
EEEP
rrr
rr
rr
(6.7)
Die Ausdrücke in (6.7) führen auf ein lineares Gleichungssystem mit den Komponenten des
Ortsvektors p
r
als Unbekannten.
Ein Punkt wiederum entsteht als nulldimensionale Schnittmenge dreier Ebenen.
0:
0:
0:
333
222
111
321
=−⋅
=−⋅
=−⋅
∩
∩
=
dpnE
dpnE
dpnE
EEEP
rr
rr
rr
(6.8)
Die Bedingungsgleichung für den Abstand Punkt-Ebene erhält man durch Einsetzen des
Ortsvektors des Punktes in die Ebenengleichung (2.16).
0),,,,,( 43322114
=
−
⋅ddndndnpn
r
r
r
r
r
(6.9)
Für den Abstand Ebene-Gerade kann man auf Grund der Parallelität von Ebene und Gerade
einen beliebigen Punkt der Geraden auswählen. Zweckmäßigerweise nimmt man den
Anfangspunkt aus der Punkt-Richtungs-Gleichung (6.5).
0),,,( 322113
=
−
⋅ddndnpn
r
r
rr (6.10)
Der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden kann direkt als Abstand der Nullpunkte der
beiden Geraden berechnet werden.
0
21 =−− lpp
r
r
(6.11)
Figur 6-12 zeigt eine Skizze zur Veranschaulichung der Berechnung eines Abstandes
zwischen einem Punkt und einer Geraden.
g
P0
P1
l
r
r
01 pp
r
r
−
)( 01 ppr
r
r
r
−
⋅
Figur 6-12: Berechnung des Abstandes zwischen Punkt und Gerade
Die Bedingungsgleichung baut sich aus den Grundformen Punkt und Gerade auf, welche
ihrerseits durch Schnitt von zwei bzw. drei Ebenen entstehen.
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 79
),,,,,g(
),,,f(
mit
0)(
5544331
22110
2
01
2
01
dndndnp
dndnp
lpprpp
rrrr
rrr
rrrrr
=
=
=−−⋅−−
(6.12)
6.2.3.2 Näherungswerte und Parameterreduktion
Schon während der Messung werden Informationen über Parallelität bzw. Orthogonalität von
Ebenen erfasst. Wenn auch die Zahlenwerte für die Komponenten der Normalenvektoren erst
im Zuge der Ausgleichung berechnet werden, so ist durch den Verweis auf ein und denselben
Normalenvektor die Information über die Parallelität der betreffenden Ebenen bereits
gegeben. Durch die Nutzung gleicher Parameter durch verschiedene Normalenvektoren sind
auch Orthogonalitäten bekannt. Das Problem der Näherungswertberechnung und
Parameterredunktion findet sich ausführlich in [MEYER 2002].
In einem ersten Auswerteschritt werden die Ebenen nun nach gleichen Normalenvektoren
gruppiert. Für jede dieser Gruppen lässt sich mit den Beobachtungen vom Typ Abstand
Masche-Masche ein eindimensionales lineares Ausgleichungsproblem formulieren. Man kann
sich die Ebenen einer Gruppe auf einer d-Achse angeordnet vorstellen. Die Datumsfestlegung
erfolgt, indem einer beliebigen Ebene der Translationsparameter d=0 zugeordnet wird. Mit
Verbesserungsgleichungen vom Typ
ji ddvl
−
=
+
(6.13)
kann nun ein sehr einfacher Ausgleichungsansatz aufgestellt werden. Auf Grund seiner
Linearität eignet sich dieser Ansatz hervorragend für die Aufdeckung grober Fehler, die mit
Hilfe der normierten Verbesserung als Testkriterium erkannt werden können. Ergebnis der
Ausgleichung ist der Vektor der ausgeglichenen Translationsparameter d und die
dazugehörige Kovarianzmatrix Cdd. Sind alle groben Fehler beseitigt, so können benachbarte
Ebenen auf Identität getestet werden.
Hypothese: Δ= di - di+1 = 0
Alternativhypothese: Δ= di - di+1 ≠ 0
Testgröße: ),0(~
),cov(2 1
2
1
2
1
Δ
++
+
Δ−+
−
=
Δ
=
σ
σσ
σ
Nu
dd
dd
u
iiii
ii
Schrankenwert: us = Φ(α/2)
Werden Ebenen als identisch erkannt, so werden sie logisch zu einer Ebene vereinigt und die
Verwiese der dazugehörigen Maschen werden nachgeführt. Nach jeder Ebenenvereinigung
wird die Ausgleichung erneut durchgeführt, solange bis keine identischen Ebenen mehr
festgestellt werden. Durch dieses Vorgehen wird eine drastische Reduktion der Zahl der
Parameter, die in die anschließende strenge Ausgleichung eingehen, erreicht.
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 80
d
di dj
3.5 4.3
Figur 6-13: Vereinigung von Ebenen
Die Signifikanzschranke us kann, muss aber nicht als statistische Größe betrachtet werden.
Mit dieser Größe kann auch der Generalisierungsgrad des Ergebnisses gesteuert werden. Oft
ist es erwünscht, dass Wände sowohl horizontal als auch vertikal in einer Flucht stehen,
Fensterachsen der Fassade sollen kolinear sein usw. Durch eine geeignete Wahl der
Signifikanzschranke für die Ebenenvereinigung kann diese Form der Generalisierung
automatisch erreicht werden.
Drei paarweise zueinander orthogonale Ebenen spannen eine orthonormale Basis auf. So zum
Beispiel ein Fußboden und zwei zueinander orthogonale Wände(siehe Figur 6-14). Alle
Ebenen die auf einen der drei dazugehörigen Normalenvektoren verweisen lassen sich in dem
so entstandenen lokalen System parametrisieren.
1
e
r
2
e
r
3
e
r
0
Figur 6-14: Lokale orthonormale Basis
Im Falle eines Gebäudes, welches ausschließlich aus parallelen und orthogonalen Ebenen
besteht erhält man nur ein lokales System und die Bestimmung der Näherungsparameter ist an
dieser Stelle abgeschlossen. In allen anderen Fällen müssen die lokalen Koordinatensysteme
in ein gemeinsames Datum transformiert werden. Zur Festlegung des globalen Datums wird
eines der lokalen Systeme als globales Datum deklariert. Zweckmäßigerweise wählt man für
eine solche Datumsfestlegung den Fußboden des Erdgeschosses und zwei zueinander
orthogonale Außenwände.
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 81
Die Datumsfestlegung der übrigen Systeme geschieht über eine dreidimensionale verkettete
Transformation. Der erste Schritt besteht in der Bestimmung von Verknüpfungsknoten, die in
mehr als einem lokalen System bestimmt sind. Figur 6-15 Zeigt das E-R-Modell der
Beziehung von Knoten zu lokalen Koordinatensystemen. Es sei darauf hingewiesen, dass eine
Ebene mehreren Systemen angehören kann.
Maschen
Ebenen
tragen
gehören zu
Systeme
(1,1)
(0,*)
(1,*)
(1,*)
Knoten
Kanten
enden
begrenzen
(3,*)
(2,2)
(2,*)
(3,*)
Figur 6-15: E-R-Modell Beziehung Knoten-System
Die Inzidenzmatrix Knoten-Systeme erhält man durch Multiplikation der Inzidenzmatrizen,
welche die Relationen enden, begrenzen, tragen und gehören_zu gegeben sind.
gehören_zutragenbegrenzenendenSystemeKnoten IIIII
⋅
⋅
⋅
=
− (6.14)
Die aus dem Vektor der Zeilensummen eI
⋅
−SystemeKnoten ist ersichtlich, an wie vielen Systemen
ein Knoten beteiligt ist. Auf diese Weise lassen sich Verknüpfungsknoten für die verkettete
Transformation leicht erkennen.
Für diese Verknüpfungsknoten sind nun die lokalen Koordinaten in den einzelnen lokalen
Systemen zu berechnen. Hierzu werden nicht nur Beobachtungen vom Typ Masche-Masche
sondern auch Beobachtungen anderen Typs herangezogen.
Der Transformationsansatz verwendet für die Formulierung der Rotationen Quaternionen.
Quaternionen sind eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen. Für die Darstellung sind
zwei Schreibweisen üblich:
(
)
[
]
[
v,bzw.,oder Tsqzyxsqkzjyixsq ==+++= &&&
]
(6.15)
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 82
Für die Formulierung von Rotationen ist auch die polare Notation von Bedeutung:
(
Φ+Φ+Φ+Φ⋅= sinsinsincos kjiqq &&
)
(6.16)
Ein Einheitsquaternion hat einen Betrag von Eins.
1
2222 =+++= zyxsq
& (6.17)
Ist ein Einheitsquaternion, so kann man vereinfacht schreiben
q
&
[
]
Φ
⋅
Φ
=
sin,cos nq
&, (6.18)
wobei n ein Vektor der Länge 1 ist. Die Rotation eines Vektors kann durch eine
Quaternionenmultiplikation vom Typ
(6.19)
1−
⋅⋅=
′qxqx &&&&
ausgedrückt werden. Die Komponenten des Vektors x korrespondieren hierbei mit den
Vektorkomponenten des Quaternions . Die skalare Komponente des Quaternions ist null.
x
&x
&
Bei einem Einheitsquaternion ist das inverse Quaternion gleich dem konjugierten Quaternion.
[
]
1für,
*1 =−==
−qsqq &&& v (6.20)
Unter dieser Voraussetzung vereinfacht sich (6.19) zu
1mit
*=⋅⋅=
′qqxqx &&&&& . (6.21)
Vom geometrischen Standpunkt aus betrachtet kann ein Quaternion als Raumvektor und
Rotationswinkel interpretiert werden.
x
z
y
n
Φ
Figur 6-16: Geometrische Interpretation eines Rotationsquaternions
Eine ausführliche Darstellung von Quaternionenalgebra und Rotationen mittels Quaternionen
findet man unter [KUIPERS 2002].
Im Vergleich zu üblichen Rotationsmatrizen bietet die Verwendung von Quaternionen
wesentliche Vorteile. Eine Rotation kann durch nur 4 Parameter beschrieben werden. Es
verbleibt lediglich ein Freiheitsgrad, der durch die Normierung des Quaternions eliminiert
werden kann. Weiterhin sind die resultierenden Verbesserungs- bzw. Bedingungsgleichungen
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 83
bilinear, was es ermöglicht, das Ausgleichungsproblem faktisch ohne die Kenntnis von
Näherungswerten zu lösen.
Die verkettete Transformation erfolgt nach dem Gauß-Markov-Modell, vermittelnde
Ausgleichung mit Bedingungen zwischen den Unbekannten. Beobachtungen sind die lokalen
Koordinaten der Verknüpfungsknoten i
l
x
r
. Unbekannte sind die Transformationsparameter für
jedes lokale System sowie die globalen Koordinaten der Verknüpfungsknoten.
j
l
t
r
: Translationsvektor des globalen Koordinatenursprungs im lokalen
System
(
[
j
T
zyxs
jqqqqq =
&
)
]
: Rotationsquaternion der Transformation global Æ lokal
i
g
x
r
: globale Koordinaten der Verknüpfungsknoten
Die Verbesserungsgleichungen lauten dann in Quaternionenschreibweise
. (6.22)
ji
g
jj
l
i
l
i
lqxqtvx *
&&&
&
&& ⋅⋅+=+
Ausgeschrieben ergeben sich die Verbesserungsgleichungen für die einzelnen Komponenten
der lokalen Koordinaten.
(6.23)
gyxggxszygyszxlzzl
gxszygzxggzsyxlyyl
gyszxgzsyxgzyglxxl
zqqzyqqqqxqqqqtvz
zqqqqyqqyxqqqqtvy
zqqqqyqqqqxqqxtvx
⋅+−+⋅++⋅++=+
⋅++⋅+−+⋅++=+
⋅++⋅++⋅+−+=+
)(2)(2)(2
)(2)(2)(2
)(2)(2)(2
22
22
22
Die Bedingungsgleichungen werden für die Normierung der Quaternionen benötigt.
11 2222 =+++⇒= zyxs qqqqq
& (6.24)
In den Gleichungen (6.23) und (6.24) sind die Unbekannten ausschließlich multiplikativ
verknüpft. Diese Struktur erlaubt es, den Iterationsprozess der Ausgleichung mit äußerst
groben Näherungswerten zu Starten. Die Startwerte für die Translationsvektoren sind die
Schwerpunktkoordinaten der Verknüpfungsknoten des globalen Koordinatensystems. Als
Startwerte für die Rotationsquaternionen werden Einheitsquaternionen der Struktur
()
[
]
T
q5.05.05.05.0=
& verwandt. Trotz dieser groben Näherungen zeigt die Ausgleichung
ein günstiges Konvergenzverhalten.
Im Anschluss an diese Ausgleichung werden die lokalen Ebenenparameter in das globale
Koordinatensystem transformiert. Die lokalen Normalenvektoren werden mit Hilfe der
ausgeglichenen Quaternionen in das globale System gedreht.
(6.25)
ji
l
ji
gqnqn &&&& ⋅⋅= *
Die Berechnung der globalen Translationsparameter der Ebenen verdeutlicht Figur 6-17. Aus
Gründen der Übersichtlichkeit ist das Problem im E2 dargestellt, die vektoriellen Beziehungen
gelten aber analog im E3.
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 84
l
n
r
l
t
r
g
d
l
d
g
x
g
y
l
x
l
y
ll tn
r
r
⋅
−
Figur 6-17: Berechnung der globalen Ebenentranslation
Daraus lässt sich direkt die Berechnungsformel für die globale Ebenentranslation ableiten:
lllg tndd
r
r
⋅
−
=
(6.26)
Die so ermittelten globalen Ebenenparameter g
n
r
und dg dienen als Näherungswerte für die
strenge Ausgleichung aller Beobachtungen nach (6.2).
6.2.4 Tachymetrie und Laserscanning
Bei Gebäuden mit komplizierter oder unregelmäßiger Geometrie ist es erforderlich außer dem
Handaufmaß andere Aufnahmeverfahren einzusetzen. Neben der Photogrammetrie kommen
hier berührungslos messende Tachymeter oder auch Laserscanner zum Einsatz.
Sowohl Tachymeter als auch Laserscanner sind polar messende Systeme. Die durch sie
erzeugten Beobachtungen sind Kugelkoordinaten bezogen auf ein instrumenteneigenes
System, dessen Stehachse sich, zumindest näherungsweise, in Lotrichtung befindet.
Gemessen werden die Horizontalrichtung r, die Zenitdistanz ζ und die Strecke s.
Die Genauigkeit der Streckenmessung ist für beide Arten von Instrumenten vergleichbar. Die
Instrumente unterscheiden sich aber wesentlich in ihrer Messgeschwindigkeit sowie in der
Genauigkeit und Steuerbarkeit der Richtungsmessung. Ein Tachymeter bietet die Möglichkeit,
ausgewählte Punkte mit einer Standardabweichung von 0,3…1 mgon und einer relativ
geringen Messgeschwindigkeit von bis zu einem Punkt pro Sekunde zu beobachten. Ein
Laserscanner misst Punkte in einem festen Richtungsinkrement und einer sehr hohen
Messgeschwindigkeit von bis zu 50.000 Punkten pro Sekunde. Die Standardabweichung einer
Richtungsmessung beträgt hier etwa 10…20 mgon [RIETDORF 2004].
Um die Zahl der Beobachtungen in der Ausgleichung zu reduzieren, ist es im Falle von
Laserscanns sinnvoll, die Originalbeobachtungen einer Vorverarbeitung zu unterziehen. Im
hier vorgestellten Verfahren sind die Ergebnisse dieser Vorverarbeitung ausgleichende
Ebenen, welche im lokalen Instrumentensystem parametrisiert sind. Die vier Parameter einer
jeden Ebene (drei Komponenten des Normalenvektors l
n
r
und eine Translation dl) sind
untereinander hoch korreliert. Daher ist es erforderlich, deren Kovarianzmatrizen Cll für die
Verwendung in weiteren Ausgleichungsschritten zu speichern. Lokale Ebenenparameter
unterschiedlicher Ebenen sind untereinander nicht korreliert (im Gegensatz zu den globalen
Ebenenparametern).
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 85
Ebenen Systeme
lokale
Parameter
(0,*) (0,*)
d
C
ll
q
&t
r
n
r
lokale
Koordinaten
(0,*) (0,*)
k3k1 k2Typ
Figur 6-18: Lokale Systeme im Datenmodell [CLEMEN 2004]
Figur 6-18 zeigt die Abbildung der Beobachtungen von polar messenden Instrumenten im
Datenmodell. Der Satz der Unbekannten wird um die Transformationsparameter tq
r
&und der
lokalen Instrumentensysteme erweitert. Die Beobachtungswerte sind Attribute einer Relation
zwischen lokalem Instrumentensystem und Ebene.
Bei der Relation lokale Koordinaten gibt das Attribut Typ Auskunft darüber, ob es sich um
kartesische, Kugel- oder Zylinderkoordinaten handelt. Die Attribute k1…k3 enthalten die
einzelnen Komponenten dieser Koordinaten, im Falle von Kugelkoordinaten sind das
s, r und ζ.
Die Relation lokale Parameter beschreibt die Lage einer ausgleichenden Ebene in einem
lokalen Instrumentensystem. Attribute sind neben den lokalen Ebenenparametern dn und
r
auch die Elemente der dazugehörigen Kovarianzmatrix Cll.
Der Ausgleichungsansatz entspricht dem einer verketteten Transformation, bei der mehrere
lokale Koordinatensysteme simultan in ein globales Koordinatensystem transformiert werden.
Im hier vorgestellten Ansatz erfolgt die Verknüpfung der einzelnen Systeme jedoch nicht, wie
sonst üblich, über Verknüpfungspunkte, sondern über Verknüpfungsebenen.
Figur 6-19 zeigt die Elemente der Ausgleichung in vektorieller Darstellung. Der Index g
kennzeichnet Vektoren, die im globalen System definiert sind, der Index l lokale Vektoren.
l
n
r
g
t
r
g
d
l
d
l
x
r
g
x
r
g
n
r
l
0
g
0
P
Figur 6-19: Vektorielle Darstellung einer Ebene im lokalen und im globalen System
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 86
l
n
r
: Normalenvektor der Ebene im lokalen System
dl: Translationsparameter der Ebene im lokalen System
l
x
r
: Ortsvektor des Punktes P im lokalen System
l
t
r
: Translationsvektor des globalen Koordinatenursprungs im lokalen System
g
n
r
: Normalenvektor der Ebene im globalen System
dg: Translationsparameter der Ebene im globalen System
g
x
r
: Ortsvektor des Punktes P im globalen System
g
t
r
: Translationsvektor des lokalen Koordinatenursprungs im globalen System
Für alle Punkte einer Ebene gilt im globalen System die Formgleichung
0
=
−
⋅
ggg dxn
r
r
. (6.27)
Die globalen Koordinaten eines Punktes P lassen sich als Funktion seiner lokalen Koordinaten
sowie der Transformationsparameter des lokalen Systems darstellen.
(6.28)
*
qxqtx lgg &&&
&
&⋅⋅+=
Setzt man (6.28) in (6.27) ein, so erhält man die Bedingungsgleichung
[
]
0
*=−⋅⋅+⋅ g
x
lgg dqxqtvn
g
4434421&&&
&
r
r
&
. (6.29)
Diese Gleichung enthält die lokalen kartesischen Koordinaten l
x
r
des Punktes P, die wiederum
eine Funktion der ursprünglich beobachteten Kugelkoordinaten sind.
(6.30)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅⋅
⋅⋅
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ζ
ζ
ζ
cos
sinsin
sincos
s
rs
rs
z
y
x
x
l
l
l
l
r
Für die Berechnung von Näherugswerten kann man in (6.29) vorausberechnete unkorrelierte
kartesische Koordinaten verwenden. In diesem Falle führt der Ansatz zu einem bilinearen
Ausgleichungsproblem, das ohne Kenntnis von Näherungsparametern gelöst werden kann. In
der strengen Ausgleichung werden dann die Kartesischen Koordinaten durch die
ursprünglichen Polarkoordinaten ersetzt.
Außerdem ist es notwendig, weitere Bedingungen einzuführen, die für die Normierung der
Normalenvektoren und Rotationsquaternionen sorgen.
(6.31)
1
1
2222
222
=+++
=++
zyxs
zyx
qqqq
nnn
6.2 Bestandsdokumentation von Gebäuden 87
Aus Figur 6-19 lassen sich auch die Bedingungsgleichungen für den Beobachtungstyp lokale
Ebenenparameter herleiten. Im lokalen System gilt die Beziehung
0
=
−
+
⋅
⇒
=
+⋅ lglllgll ddtnddtn
r
r
r
r
(6.32)
und analog im globalen System
0
=
+
−
⋅
⇒
=
⋅− lggglggg ddtndtnd
r
r
r
r
. (6.33)
Die Gleichungen vom Typ (6.32) vermitteln eine verkettete Translation über identische
Ebenen. Führt man die Beobachtungen l
n
r
und dl als Konstante Größen ein, so erhält man ein
rein lineares Ausgleichungsproblemdas sich nach vermittelnden Beobachtungen lösen lässt.
Die Verbesserungsgleichungen lauten:
lgll ddtnv
−
+
⋅
=
+
r
r
0 (6.34)
Diese lineare Ausgleichung eignet sich hervorragen für die Aufdeckung grober Fehler.
Die Rotation eines Normalenvektors vom lokalen in das globale System wird durch die
Quaternionenmultiplikation
(6.35)
*
qnqn lg &&&& ⋅⋅=
vermittelt. Nach Umformung dieser Gleichung erhält man in Kombination mit den
Gleichungen (6.33) die Bedingungsgleichungen für die Gesamtausgleichung.
0
0
=⋅−⋅
=+−⋅
qnnq
ddtn
gl
lggg
&&&&
r
r
(6.36)
Auch dieser Ansatz wird ergänzt durch Bedingungen für die Normierung der
Normalenvektoren und Quaternionen. Die Gleichungen (6.36) sind wiederum bilinear und
lassen sich ohne Kenntnis von Näherungswerten lösen.
7 Zusammenfassung 88
7 Zusammenfassung
Geometrische Daten, welche einen Realitätsausschnitt abbilden, werden durch Beobachtung
ebendieser Realität gewonnen. Beobachtungen sind aber redundante Zufallsgrößen, daher
handelt es sich bei den aus Beobachtungen abgeleiteten Parametern eines geometrischen
Modells ebenfalls um Zufallsgrößen. Die derzeit gebräuchlichen Datenmodelle von
raumbezogenen Informationssystemen unterstützen die Abbildung der Realität durch
Konstruktion. In diesen konstruktiven Datenmodellen sind die Geometrieparameter
Konstanten. Diese Betrachtungsweise führt aber bei der Integration heterogener
Geometriedaten, bei der Fortführung und bei der Modellierung in mehr als zwei
geometrischen Dimensionen zu Problemen. Um diese, in dieser Arbeit aufgezeigten,
Probleme zu lösen, ist es erforderlich, von der Perspektive der Konstruktion zu einer solchen
der Rekonstruktion zu wechseln.
Der Kern dieser Sichtweise ist die Betrachtung von Beobachtungen als Primärdaten und die
der abgeleiteten Geometrieparameter als Sicht auf diese Primärdaten. Das Werkzeug zur
Erzeugung von Parametern aus Beobachtungen ist dabei die Ausgleichungsrechnung.
Vorraussetzungen für die Realisierung eines rekonstruktiven raumbezogenen
Informationssystems ist ein entsprechend angepasstes Datenmodell. Dieses Datenmodell muss
die Verwaltung von Beobachtungen und stochastischen Parametern erlauben. Die
Parametrisierung der absoluten Geometrie muss redundanzarm möglich sein, was zu der
Forderung führt, dass nicht nur Punkte (Dimension 0) sondern p-dimensionale Hyperflächen
in n-dimensionalen Räumen abgebildet werden. Ebenfalls notwendig ist die Trennung von
geometrischen und topologischen Informationen. Sachdaten dürfen immer nur topologische
Objekte referenzieren, da die Topologie invariant gegen Transformationen der Geometrie ist.
Prozesse sind gekennzeichnet durch die Änderung von Objektattributen in der Zeit. Die
Abbildung von raumbezogenen Prozessen, und damit der Wechsel von einer statischen zu
einer kinematischen bzw. dynamischen Betrachtungsweise wird nur möglich durch die
Abbildung der Realität als vierdimensionale Raumzeit und der Einführung einer auf dieser
Raumzeit definierten Topologie.
Literatur 89
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