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Entwurf schwach gedämpfter

piezoelektrischer Ultraschallsysteme

zur Erlangung des akademischen Grades eines

DOKTOR-INGENIEUR (Dr.-Ing.)

der Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik

der Universität Paderborn

genehmigte Dissertation

von

Dipl.-Ing. Christopher Kauczor

aus Kiel

Referent: Prof. Dr.-Ing. Horst Grotstollen

Korreferenten: Prof. Dr.-Ing. Jörg Wallaschek,

Prof. Dr.-Ing. Joachim Böcker

Tag der mündlichen Prüfung: 04. April 2008

Steinhagen 2009

iii

With magic, you can turn a frog into a prince.

With science, you can turn a frog into a Ph.D.

and you still have the frog you started with.

- Terry Pratchett, Ian Stewart und Jack Cohen,

The Science of Discworld

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbei-

ter der Fachgebiete Mechatronik und Dynamik sowie Leistungselektronik und Elektrische

Antriebstechnik der Universität Paderborn.

Jetzt, da ich die letzten Korrekturen an der vorliegenden Dissertation vornehme, denke ich

gerne an meine Zeit in den beiden Fachgebieten zurück. Ich möchte die Gelegenheit nutzen,

allen, die mich während meines Promotionsvorhabens begleitet haben, zu danken.

Zunächst danke ich meiner Familie für Ihre Unterstützung während der letzten Jahre. Mei-

ner Frau Britta danke ich ganz herzlich für ihr Vertrauen, ihre Rücksichtnahme, und dass sie

mir immer den Rücken frei gehalten hat. Unseren „Jungs“ Danil, Kirill und Nikolai danke

ich dafür, dass sie es immer wieder verstanden haben, meinen Blick auf die wesentlichen

Dinge des Lebens zu richten.

Außerdem möchte ich mich bei Herrn Prof. Dr.-Ing. Horst Grotstollen für die Betreuung

und Begutachtung der Arbeit bedanken. Seine zahlreichen Ratschläge und wertvollen Hin-

weise waren mir immer eine große Hilfe. Herrn Prof. Dr.-Ing. Jörg Wallaschek danke ich

für die Übernahme des Korreferats und seine vielfältige Unterstützung. Herrn Prof. Dr.-Ing.

Joachim Böcker danke ich ebenfalls für sein Gutachten und für die Übernahme des Vorsitz

der Promotionskommission.

Darüber hinaus möchte ich den Herren Grotstollen, Wallaschek und Böcker aber auch für

die vielen gewährten Freiräume danken, was ein sehr kreatives, produktives und spannen-

des Arbeiten ermöglichte. Ihr Führungsstil der Fachgebiete hatte maßgeblichen Anteil an

dem herausragenden, freundschaftlichen Arbeitsklima. Einen großen Teil haben dazu auch

Dr.-Ing. Tobias Hemsel und Dr.-Ing. Norbert Fröhleke beigetragen, die mir immer mit Rat

und Tat zur Seite standen.

Für etliche fachliche Diskussionen, Hinweise und Anregungen danke ich Dr.-Ing. Thomas

Schulte und Dr.-Ing. Walter Littmann (danke auch für unvergessene Projektreisen). Herrn

Dipl.-Ing. Jens Twiefel danke ich vor allem für seine Unterstützung bei der Programmie-

rung von dSpace-Systemen. Dr.-Ing. Christian Hennig der Technischen Chemie, Universität

Paderborn, gebührt Dank für die gute Zusammenarbeit im Rahmen der Ultraschall-Stehwel-

lenzerstäubung. Herrn Dipl.-Ing. Roland Robrecht und Herrn Norbert Sielemann danke ich

für die praktische Unterstützung bei der Realisierung der Stromrichter.

Christopher Kauczor

Inhaltsverzeichnis

Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Piezoelektrische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Wirkprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Charakterisierung piezoelektrischer Aktorsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Speisekonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1 Leistungsverstärker für quasistatisch betriebene Aktoren . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.2 Schaltende Leistungsverstärker für resonant erregte Aktoren . . . . . . . . . . . 27

2.5 Regelungsverfahren für Ultraschall-Aktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.1 Selbsterregte Schwingungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.2 Phasenregelkreise (Phase Locked Loop, PLL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.3 Strommaximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6 Zusammenfassung und Auswahl geeigneter Leistungsverstärker-Topologien . . . 41

3 Modellierung und Analyse piezoelektrischer Schwingeinheiten . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1 Modell eines Dehnstabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Modellierung der piezoelektrischen Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.1 Elektrische Eingangsadmittanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.2 Kurzschluss-Kernadmittanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.3 Längenauslegung des Horns und der Endmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.4 Normierungen des Aktormodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Gesamtmodell einer Ultraschall-Schwingeinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.1 Ersatzparameter der Schwingeinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.2 Empfindlichkeit des mathematischen Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 Modellvalidierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Stromrichterkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1 Verwendete Methoden zur Stromrichtermodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1.1 Zeitbereichsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1.2 Grundschwingungsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1.3 Verlustleistungsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1.4 Magnetische Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Resonanzstromrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.1 Der LC-Resonanzstromrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2.1.1 Grundschwingungsanalyse des LC-Resonanzstromrichters . . . . . . 79

4.2.1.2 Verlustleistungsberechnung für den LC-Resonanzstromrichter . . . 82

4.2.1.3 Wechselrichter-Wirkungsgrad des LC-Resonanzstromrichters . . . . 85

4.2.2 Der LLCC-Resonanzstromrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2.2.1 Grundschwingungsanalyse des LLCC-Resonanzstromrichters . . . . 90

4.2.2.2 Verlustleistungsberechnung für den LLCC-Resonanzstromrichter . 94

4.3 Der Pulsstromrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.1 Auslegung des Pulsstromrichters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3.2 Grundschwingungsanalyse des Pulsstromrichters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3.3 Verlustleistungsberechnung für den Pulsstromrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3.4 Wechselrichter-Wirkungsgrad des Pulsstromrichters . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.4 Vergleich der Stromrichterkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.5 Stromrichterentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.5.1 Signalprozessorsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.5.2 Anpassungsmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.5.3 Pulsstromrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.5.4 Inbetriebnahme eines Pulsstromrichterssystems an einer Technikumsanlage zur

Ultraschall-Stehwellenzerstäubung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5 Aspekte eines Gesamtsystementwurfs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.1 Wesentliche Entwurfsziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.2 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

vii

Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen

Formel-

zeichen Bedeutung

Querschnittsfläche

Produkt aus Wickelfensterfläche und Kernquerschnitt magnetischer

Bauelemente (Flächenprodukt)

Aktorfläche, Elektrodenfläche

Magnetische Induktion

Schallgeschwindigkeit

Summe aus Filter- und Piezokapazität

Filterkapazitäten des Parallelresonanzkreises

Filterkapazitäten des Längsresonanzkreises

Schallgeschwindigkeit im Horn des piezoelektrischen Aktors

Laststeifigkeit

Aktorsteifigkeit

Schallgeschwindigkeit in der Endmasse des piezoelektrischen

Aktors

Steifigkeit des piezoelektrischen Materials

Kapazität im elektrischen Ersatzschaltbild des piezoelektrischen

Aktors

Laststeifigkeit repräsentierende Kapazität im elektrischen Ersatz-

schaltbild des piezoelektrischen Aktors

Piezokapazität

Tastverhältnis

Außendurchmesser der Piezoelemente

Innendurchmesser der Piezoelemente

Mechanische Dämpfung durch die Last

Mechanische Dämpfung der Schwingeinheit

Piezoelektrische Ladungskonstante

Kraft

Resonanzfrequenz des piezoelektrischen Aktors

Antiresonanzfrequenz des piezoelektrischen Aktors

Serienresonanzfrequenz beim LC-Resonanzkonverter

Cfs

viii

Abstand zwischen Resonanz- und Antiresonanzfrequenz

Elastizitätsmodul des Hornmaterials

unspezifisches, allgemeines Elastizitätsmodul

Elastizitätsmodul des Endmassenmaterials

Elektrische Feldstärke

Spannungsübertragungsfunktion des LC-Resonanzkonverters

Spannungsübertragungsfunktion des LLCC-Resonanzkonverters

Spannungsübertragungsfunktion des Pulsstromrichters

Dicke eines Piezoelements

Strom der Serieninduktivität

Strom des Piezoaktor

Reverse-recovery Strom

Längsstrom des Ausgangsfilter

Transistorstrom

Wechselrichterstrom

Stromdichte

Kupferfüllfaktor magnetischer Bauelemente

Anzahl Piezoelemente

Übersetzungsverhältnis

Länge eines Dehnstabes

Filterinduktivität des Längsresonanzkreises

Filterinduktivität des Parallelresonanzkreises

Länge des Horns vom Ultraschallaktor

Länge der Endmasse vom Ultraschallaktors

Induktivität im Ersatzschaltbild des piezoelektrischen Aktors

Gütezahl

Aussteuerung

Gütezahl des beschalteten Aktors

Aktormasse

Ordnungszahl zur Filterauslegung des Pulsstromrichters

Formel-

zeichen Bedeutung

∆

LLC

PWM

Lfs

PWM

Übersetzungsverhältnis des Ausgangstransformators

Transformationsverhältnis eines Transformationsstücks

Wirkleistung

Durchlassverluste

Ausschaltverlustleistung

Einschaltverlustleistung

in Resonanz vom Wechselrichter gelieferte Wirkleistung

Güte des mechanischen Teilsystems

Ladung des piezoelektrischen Aktors

Reverse recovery Ladung

in Resonanz aufgenommene Blindleistung

Drain-Source Widerstand eines MOSFET

Ohmscher Widerstand im elektrischen Ersatzschaltbild des piezo-

elektrischen Aktors

Ohmscher Verlustwiderstand des Dielektrikums

Dioden-Snappiness oder Soft-Faktor

Elastizitätskonstante des piezoelektrischen Materials

Dehnung im piezoelektrischen Material

in Resonanz vom Wechselrichter gelieferte Scheinleistung

mechanische Spannung

Ausschaltzeit

reverse recovery Zeit

elektrische Aktorspannung

Zwischenkreisspannung

Wechselrichterausgangsspannung

Geschwindigkeit

Schwinggeschwindigkeit des Werkzeugs

Auslenkung

Auslenkung des Werkzeugs

Ausschaltverluste von Halbleiterventilen

Einschaltverluste von Halbleiterventilen

Formel-

zeichen Bedeutung

DS on()

, Kurzschluss-Eingangsadmittanz (auch: Eingangsadmittanz)

, , Kurzschluss-Kernadmittanz vorwärts bzw. rückwärts (auch: Kernad-

mittanz)

Kurzschluss-Ausgangsadmittanz

Elektrische Impedanz des Piezoaktors

Filter-Parallelimpedanz

Filter-Serienimpedanz

Schallimpedanz des Horns

Gesamtimpedanz des LC-Resonanzkonverters

Gesamtimpedanz des LLCC-Resonanzkonverters

Impedanz des mechanischen Teilsystems

Schallimpedanz der Endmasse

Gesamtimpedanz des Pulsstromrichters

Steuerwinkel

Querschnittsverhältnis

Kapazitätsverhältnis

Filterdämpfung

Dielektrizitätskonstante

Phase der Kurzschluss-Eingangsadmittanz des piezoelektrischen

Aktors

Phase der Kurzschluss-Kernadmittanz des piezoelektrischen Aktors

Magnetischer Fluss

Wellenlänge

Taktzahl des Pulsstromrichters

Wirkungsgrad

Materialdichte

Materialdichte des Horns

Materialdichte der Endmasse

Verhältnis Dehnung zu Auslenkung

Kreisfrequenz

Formel-

zeichen Bedeutung

Zfs

LLC

PWM

βC

ϕe

ρM

Numerische Indizes werden verwendet, um physikalische Größen unterschiedlichen Rand-

flächen zuordnen zu können (z. B. Kräfte und ).

Der Index M kennzeichnet Größen, die der Endmasse eines piezoelektrischen Aktors zu

zuordnen sind. Die Indizes H und P werden verwendet, um die Zugehörigkeit zum Horn

bzw. zum piezoelektrischen Material deutlich zu machen.

Zeitlich veränderliche Größen werden durch Kleinbuchstaben gekennzeichnet (z. B.

) während Effektivwerte durch Großbuchstaben ausgedrückt werden (z. B. ).

Amplitudenwerte werden durch ein „Dach“ beschrieben (z. B. ), während komplexwer-

tige Funktionen durch Unterstreichen dargestellt werden (z. B. ).

Alle hier nicht aufgeführten Formelzeichen und Notationen werden im Text erläutert.

Kennkreisfrequenz des mechanischen Teilssystems

Kennkreisfrequenz eines Parallelfilters (Parallelschwingkreis)

Kennkreisfrequenz eines Längsfilters (Serienschwingkreis)

normierte Kreisfrequenz

Formel-

zeichen Bedeutung

Ω

()

LC ω()

xii

1 Einleitung

Piezoelektrische Systeme gehören zum Alltag. Das wird zweifellos klar, wenn man sich vor

Augen hält, wo ihre Einsatzgebiete sind. Diese reichen von ihrem fast banal anmutenden

Einsatz in Feuerzeugen und Gasanzündern über die Materialver- und -bearbeitung bis hin

zur Medizintechnik, wo sie zur Wärmetherapie und in bildgebenden Verfahren eingesetzt

werden. Im Automobil sind piezoelektrische Einspritzventile moderner Dieselmotoren

nicht mehr wegzudenken und wurden sogar im Herbst 2005 mit dem Zukunftspreis des

Bundespräsidenten bedacht.

Die zugrunde liegenden Technologien und Wirkprinzipien sind seit Jahrzehnten bekannt.

Trotzdem werden immer noch neuartige Anwendungen erschlossen, wobei Ultraschallan-

wendungen hervorzuheben sind. Hier wird mit Hilfe eines piezoelektrischen Aktors eine

Schwingung erzeugt, die jenseits des hörbaren Bereiches liegt. Die Schwingbewegungen er-

zeugen dann beispielsweise den Vortrieb in Schwingungsantrieben.

Erfolgt die Auskopplung der Schwingungen in ein Medium, breiten sich in diesem Schall-

wellen aus. Ihre Anwendung ist durch die Ultraschallreinigung von Schmuck, optischen

Bauelementen oder Gussteilen hinreichend bekannt. Ein weiteres und neuartiges Einsatzge-

biet ist z. B. die Stehwellenzerstäubung, die eine energieeffiziente und somit umweltgerech-

te Herstellung verschiedenster Pulver gleichmäßiger Granulation erlaubt (Metall, Polymer).

Weitere Trends sind die Entwicklungen handgeführter Geräte mit Ultraschallaktoren, wie

z. B. Dentalwerkzeuge oder auch die Anwendung als Signalfilter in FBAR-Technologie

(Film Bulk Acoustic Wave Resonator) für mobile Geräte mit Funkschnittstelle [77].

Allen Ultraschallanwendungen gemeinsam ist ihr Bedarf an geeigneten Energieversorgun-

gen, die im aufwändigsten Fall Amplitude, Frequenz und Phase der Aktorspannung entspre-

chend den Umfeld-, Benutzer- oder Systemeinflüssen anpassen. Die Leistungs- und Signal-

flüsse zwischen den jeweiligen Komponenten eines Ultraschallsystems sind in Bild 1.1

skizziert: der Stromrichter versorgt einen Ultraschall-Aktor oder eine Ultraschall-Schwing-

einheit einschließlich Werkzeug mit der im Ultraschallprozess benötigten Leistung. Die Re-

gelung verwendet Messwerte der Schwingeinheit, um über den Stromrichter den optimalen

Betriebspunkt einzustellen. Denkbar ist ferner eine erweiterte Regelung, wenn auf Basis

Regelung

Stromrichter Ultraschallaktor

(Werkzeug) Prozess

Leistungsfluss Signalfluss

Bild 1.1: Komponenten eines Ultraschallsystems.

2 1 Einleitung

von Messwerten aus dem Ultraschallprozess über den Stromrichter und den Aktor der Pro-

zess selbst beeinflusst wird.

Die Energieversorgung sollte einerseits möglichst effizient arbeiten, andererseits aber auch

eine Miniaturisierung und kostengünstige Realisierung zulassen. Allerdings ändern sich die

Lastparameter für die Energieversorgung abhängig vom jeweiligen Ultraschallprozess oder

vom verwendeten Ultraschallaktor und Werkzeug. Dabei liegen komplexe Verkopplungen

mechanischer und elektrischer Teilsysteme vor, die den Entwurf optimal aufeinander abge-

stimmter Systeme erschweren. Daher kann eine Gesamtoptimierung nur zum Ziel führen,

wenn ein ganzheitliches Modell vorliegt.

Motivation dieser Arbeit ist daher, die Grundlagen für ein abgestimmtes Stromrichter/Ultra-

schallwerkzeugsystem zu erarbeiten. Dazu sollen die folgenden Fragen beantwortet wer-

den:

• Wie können Ultraschall-Schwingeinheiten modelliert werden, um ihre Last für eine

elektrische Spannungsversorgung zu beschreiben?

• Welche Stromrichterkonzepte sind zur Speisung piezoelektrischer Aktoren geeignet?

Welche Größen sind geeignet, um die untersuchten Konzepte bezüglich ihrer Eignung

zu charakterisieren, und mit welchen Modellen und Methoden können sie beschrieben

werden?

• Welche wesentlichen Erkenntnisse lassen sich hinsichtlich des Systementwurfs daraus

ableiten?

Die Beantwortung dieser Fragen wird in den nächsten Kapiteln erfolgen. Auf Basis einer

Literaturrecherche in Kap. 2 werden zunächst unterschiedlichste Anwendungen piezoelek-

trischer Aktoren gesammelt und vorgestellt. Anschließend werden mathematische Modelle

und Betriebsarten der piezoelektrischen Aktoren vorgestellt, die den zuvor behandelten An-

wendungen zugeordnet werden. Die jeweilige Betriebsart erlaubt außerdem die Formulie-

rung der Anforderungen an die speisende Leistungselektronik (Stromrichter). Für die jewei-

lige Betriebsart werden im Folgenden prinzipiell geeignete Stromrichterkonzepte vorge-

stellt. In der vorliegenden Arbeit liegt der Fokus insbesondere auf der Klasse der schwach

gedämpften Ultraschallsysteme, deren stark veränderliches Klemmenverhalten bei reso-

nanznahem Betrieb hohe Ansprüche an die speisende Leistungselektronik stellt und bislang

nur unzureichend untersucht wurden. Die geeignetsten Stromrichterkonzepte für diese Sy-

steme werden dann im weiteren Verlauf der Arbeit detaillierter betrachtet.

In Kap. 3 wird ein mathematisches Modell einer Ultraschall-Schwingeinheit vorgestellt.

Die Validierung des Modells mit einem realen System schließt dieses Kapitel ab.

Kap. 4 beschäftigt sich mit ausgewählten Stromrichterkonzepten. Im Rahmen dieses Kapi-

tels erfolgt eine Gegenüberstellung, die unterschiedliche Kriterien zur Bewertung piezo-

elektrischen Aktoren berücksichtigt. Dazu gehören z. B. die Eignung zur Speisung schwach

gedämpfter Systeme, Miniaturisierbarkeit der notwendigen Filterkomponenten und erreich-

bare Wirkungsgrade. Wichtig ist in diesem Zusammenhang auch die Eignung einer jeden

Stromrichtertopologie, flexibel für unterschiedliche piezoelektrische Systeme eingesetzt

werden zu können. Schließlich wird die Entwicklung eines Stromrichtersystems für eine

Ultraschall-Stehwellenanlage vorgestellt, die als Beispiel für die hier betrachteten schwach

gedämpften Ultraschallprozesse dient.

Die in Kap. 3 und Kap. 4 ermittel-

ten Ergebnisse werden in Kap. 5 zu-

sammengeführt. Hier wird das ge-

samte Ultraschallsystem, welches

sich aus der Mechanik in Form ei-

ner Ultraschall-Schwingeinheit und

aus der Leistungsstufe zusammen-

setzt, betrachtet. Dabei werden ins-

besondere die Kopplungen zwi-

schen Mechanik und Elektrik näher

beleuchtet. Ziel ist ein besseres Ver-

ständnis und „ein Blick für das

Ganze“, was vielfach auch als me-

chatronischer Entwurf bezeichnet

wird. Es sollen Antworten darauf

gefunden werden, wie sich z. B.

eine Änderung der Kapazität des

piezoelektrischen Anregesystems

auf das Volumen der Filterspulen

der Leistungsstufe auswirkt, oder

mit welchen Maßnahmen sich bei

der Auslegung des Schwingeinheit

ein günstiger Gesamtwirkungsgrad

erzielen lässt.

Gesamtmodell

(Kapitel 5)

Zusammenfassung und

Ausblick

(Kapitel 6)

Ultraschallaktor-

Modell

(Kapitel 3)

Stand der Technik

(Kapitel 2)

Einleitung

(Kapitel 1)

Stromrichterkonzepte

(Kapitel 4)

Bild 1.2: Kapitelstruktur.

4 2 Piezoelektrische Systeme

2 Piezoelektrische Systeme

Dieses Kapitel dient dazu, piezoelektrische Systeme im Allgemeinen vorzustellen. Dazu

werden nach einer kurzen Erläuterung der Wirkungsweise des piezoelektrischen Effekts

ausgewählte Anwendungsgebiete präsentiert. Die Auswahl der behandelten Einsatzgebiete

ist bewusst breit gewählt, um im nächsten Schritt eine schärfere Abgrenzung und Klassifi-

zierung der Betriebsarten der jeweils eingesetzten piezoelektrischen Systeme zu erlauben.

In den darauf folgenden Abschnitten wird der aktuelle Stand der einschlägig eingesetzten

Stromrichtertechnik aufgearbeitet, wobei insbesondere die leistungselektronischen Span-

nungsversorgungen der Ultraschallaktoren thematisiert werden. In diesem Zusammenhang

werden die jeweiligen Anforderungen an die speisende Leistungselektronik aufgrund unter-

schiedlicher Lastcharakteristiken aus der Anwendung herausgearbeitet, wobei Unterschiede

der Speisekonzepte deutlich werden. Die Besonderheiten der resonant betriebenen, piezo-

elektrischen Ultraschallaktoren (auch Ultraschall-Wandler oder Ultraschall-Schwingeinhei-

ten) mit schwacher Dämpfung bzw. großer Gütezahl, der sich die vorliegende Arbeit haupt-

sächlich widmet, werden in diesem Zusammenhang ebenfalls dargelegt. Ferner werden

regelungstechnische Maßnahmen zur Gewährleistung eines optimalen Betriebspunktes vor-

gestellt.

2.1 Wirkprinzip

Piezoelektrische Materialien haben die Eigenschaft, dass durch mechanische Verformung

elektrische Ladungen an ihren Oberflächen generiert werden (piezoelektrischer Effekt).

Dieser Effekt wird in technischen Anwendungen z. B. in Gaszündern, Mikrofonen und

Beschleunigungssensoren genutzt. Der inverse piezoelektrische Effekt ist zu beobachten,

wenn einem piezoelektrischem Material eine elektrische Spannung aufgeprägt wird: Das

Material verformt sich entsprechend seiner inneren Struktur und der Intensität des elektri-

schen Feldes. Genutzt wird dieses Verhalten zur Erzeugung von Bewegungen beispiels-

weise in Lautsprechern, Ventilsteuerungen und Ultraschallwandlern.

Voraussetzung für das Auftreten des beschriebenen Effektes ist das fehlende Symmetriezen-

trum in der Kristallstruktur. Natürliche piezoelektrische Werkstoffe sind Kristalle wie z. B.

Quarz, Turmalin und Seignettesalz. Künstlich hergestellte Materialien sind Piezokeramiken

wie Bariumtitanat, Bleizirkonattitanat (PZT) und Bleimetaniobat. Bei diesen Piezokerami-

ken handelt es sich um polykristallines Sintermaterialien, welche in den verschiedenen

Raumrichtungen unterschiedliches Verhalten zeigen (Anisotropie).

Das Material unterteilt sich in verschiedene, homogen polarisierte Bereiche. Diese soge-

nannten Domänen (Weisssche Bezirke) zeigen insgesamt zunächst noch kein piezoelektri-

sches Verhalten. Knapp unterhalb der vom Werkstoff abhängigen Curie-Temperatur können

die Domänen mit Hilfe eines starken elektrischen Feldes polarisiert werden, so dass sie eine

Vorzugsrichtung einnehmen. Nach dem Abkühlen des Materials bei gleichzeitiger Auf-

rechterhaltung des angelegten Feldes weist die Keramik piezoelektrische Eigenschaften auf,

2.1 Wirkprinzip 5

da die Vorzugsrichtung unterhalb der Curie-Temperatur erhalten bleibt. Sie kann durch hohe

Temperaturen, Kräfte oder durch die Polarisation entgegengerichteter, starker, elektrischer

Felder wieder aufgehoben werden.

Durch äußere elektrische Felder kann nun die Ausrichtung der Dipole und somit die Kri-

stallgeometrie beeinflusst werden. Dies äußert sich in einer Längenänderung des Körpers.

Legt man an den piezoelektrischen Körper statt einer konstanten Spannung eine Wechsel-

spannung an, tritt eine Längenänderung auf, die die gleiche Frequenz wie die angelegte

Spannung aufweist. Fällt die anregende Frequenz in die Nähe einer Eigenfrequenz des

angeschlossenen piezoelektrischen Systems, sind die erreichbaren Bewegungen besonders

groß.

Für die Erzielung der nutzbaren Dehnungen sind hohe Werte der elektrischen Feldstärke

erforderlich, die meistens auf problematisch hohe Betriebsspannungen führen. Aus diesem

Grund wird das piezoelektrische Element üblicherweise in mehrere Schichten unterteilt, die

mechanisch in Reihe und elektrisch parallel wirken. Ferner muss wegen der dynamischen

Längenänderungen und der hohen Zugempfindlichkeit darauf geachtet werden, dass das

Material aufgrund hoher innerer Zugkräfte beschädigt werden könnte. Man baut daher so

genannte Verbundschwinger auf; eine Prinzipskizze zeigt Bild 2.1.

Zwischen zwei Metallmassen befindet sich die meist in Form von piezoelektrischen Kreis-

ringen (Piezoringe)1 verwendete Keramik. Das piezoelektrische Material wird üblicher-

weise mit Hilfe einer Schraube zwischen den beiden Metallblöcken zusammengepresst. Die

Kraft, mit der das piezoelektrische Material vorgespannt wird, muss wenigstens so groß

sein wie die während des dynamischen Betriebs auftretenden Zugkräfte. Damit verhindert

man außerdem das „Klappern“ des Schwingers, d. h. die Kontaktflächen zwischen den ein-

zelnen Bauelementen des Verbundschwingers dürfen sich während des Betriebes nicht

kurzzeitig voneinander lösen.

1. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit werden die Kurzformen „Piezoringe“, „Piezokapazität“ usw.

verwendet, die sich immer auf Eigenschaften des piezoelektrischen Materials beziehen.

Bild 2.1: Prinzipskizze eines piezo-

elektrischen Verbundschwingers. Vor-

spannung der piezoelektrischen Ringe

(P) zwischen den beiden metallischen

Endmassen (M) durch eine Schraube

(S). Anregung der Piezoringe durch

die Spannung U über die Elektroden

(E). Die beiden Endmassen und die

Spannungsversorgung liegen auf ge-

meinsamem Potential.

6 2 Piezoelektrische Systeme

Der Bereich genutzter Arbeitsfrequenzen beginnt üblicherweise knapp oberhalb des vom

menschlichen Gehörs nicht mehr wahrnehmbaren Bereichs bei ca. 20 kHz und erstreckt

sich bis hin zu mehreren hundert kHz.

Den Aufbau einer vollständigen kaskadierten Ultraschall-Schwingeinheit oder auch Ultra-

schallaktor zeigt Bild 2.2. Die Schwingungsanregung erfolgt, wie oben beschrieben, durch

die Piezoelemente P. Die beiden Massen, zwischen denen die Piezoelemente vorgespannt

werden, sind hier als Endmasse M und Horn H bezeichnet. Zur Verstärkung der Schwing-

amplituden wird ein Transformationsstück, auch Booster bezeichnet, vorgesehen, welches

an das Horn angeschraubt wird. Die Amplitudenverstärkung erfolgt durch eine Quer-

schnittsänderung des Materials. Die Auskopplung der Ultraschallschwingung erfolgt über

das Werkzeug oder über die sog. Sonotrode. Die Konstruktion dieses Bauteils sieht meist

eine weitere Amplitudenverstärkung in Form eines Querschnittüberganges vor. Weiter-

führende Erläuterungen insbesondere zur Auslegung der jeweiligen Komponenten finden

sich in Kap. 3.

Die Wirkprinzipien der piezoelektrischen Schwingeinheiten sind hier nur knapp umrissen.

Für weitergehende Erklärungen sei auf die Literatur wie z. B. [1,3-5, 9, 44-47] verwiesen.

2.2 Anwendungen

Piezoelektrische Systeme haben sich in der Technik auf breiter Front durchgesetzt. Genutzt

wird dabei sowohl der piezoelektrische Effekt im Rahmen messtechnischer Anwendungen

und zur Energiegewinnung (Energy Harvesting), als auch sein inverses Pendant für Stell-

aufgaben und zur Schwingungserzeugung. Die in diesem Kapitel vorgestellten Anwendun-

gen stellen angesichts des außerordentlichen Umfanges der Anwendungsbereiche keinen

Anspruch auf Vollständigkeit. Sie sind als Beispielanwendungen zu verstehen, anhand derer

die grundlegenden Arbeitsweisen und genutzten Effekte erläutert werden.

Die Anwendungen piezoelektrischer Systeme unterscheiden sich maßgeblich hinsichtlich

der Energiewandlung des verwendeten Piezomaterials und des genutzten Effekts. Zu den

Anwendungen, die den direkten piezoelektrischen Effekt nutzen gehören z. B.:









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



Bild 2.2: Ultraschall-Schwingeinheit.

2.2 Anwendungen 7

• Druck- und Kraftmessung, Beschleunigungsaufnehmer, Energy Harvesting,

• Medizinische Diagnostik,

• Werkstoff- und Materialprüfung.

Zur Druck- bzw. Kraftmessung oder beim Einsatz als Beschleunigungsaufnehmer wird

das piezoelektrische Element prinzipiell als Generator genutzt. Die auf die Oberfläche wir-

kende Kraft erzeugt eine elektrische Spannung, die über Ladungsmessverstärker abgegrif-

fen und ausgewertet wird.

Eine Erweiterung dieses Verfahrens

ist die Energieerzeugung aus Umge-

bungskräften und deren Zwischen-

speicherung und Versorgung kleine-

rer elektrischer Schaltungen (Energy

Harvesting). Ziel ist, Batterien oder

Akkumulatoren, die sonst für die

Energieversorgung der jeweiligen

Schaltung benötigt würden, zu erset-

zen [6, 47]. Dies führt zu einem

reduzierten Wartungsaufwand und

stellt eine umweltschonende Ener-

gieversorgungstechnologie dar. In

Bild 2.3 ist beispielhaft das Prinzip

der Energiegewinnung aus der Umgebung anhand eines Schuhs abgebildet. Dabei soll die

Energie beim Auftreten mit Hilfe mehrerer mechanisch vorgespannter PZT-Biegeaktoren,

die im Absatz des Schuhs platziert wurden, genutzt werden. Ein zweites System, bestehend

aus einer Polyvinyl-Flourid Folie (PVDF stave), die ebenfalls als Biegeaktor eingesetzt

wird, nutzt die Energie beim Biegen der Schuhsohle. Die gewonnene Energie reicht aus,

einen Radiofrequenzsender zu betreiben, mit dem an die Umgebung Identifikationsdaten

des Schuhträgers gesendet werden können. Die gesendeten Daten können genutzt werden,

um z. B. Schließsysteme zu steuern.

Eine einschlägige Anwendungen ist die medizinische Diagnostik, die als Ergänzung zur

Röntgentechnik einzuordnen ist. Die Arbeitsweise ist ähnlich wie bei der Werkstoffprü-

fung. Ein kurzer Ultraschallimpuls wird in das zu untersuchende Medium abgestrahlt.2

Aufgrund unterschiedlicher Wellenimpedanzen treten an Störstellen innerhalb des zu unter-

suchenden Objekts Reflexionen und Interferenzen auf, die mit Hilfe einer entsprechenden

Bild 2.3: Beispiel für Energy Harvesting aus [6]

Sender

Fehler

Empfänger

Bild 2.4: Prinzip der Ultraschall-Werk

stoffprüfung mit dem Durchstrahlungver

fahren, siehe [14]. Der Vergleich zwische

dem vom Sender ausgesendeten und dem

mit dem Empfänger aufgenommene

Signals erlaubt Rückschlüsse auf Störunge

im untersuchten Medium.

8 2 Piezoelektrische Systeme

Informationsaufbereitung bildlich dargestellt werden können. Je nach verwendetem Prüf-

verfahren kann dabei zum Aussenden und Empfangen der Messsignale der gleiche Prüfkopf

verwendet werden (z. B. beim Impulsechoverfahren).

Beispiele für Anwendungen, bei denen der inverse piezoelektrische Effekt genutzt wird –

das piezoelektrische System arbeitet also als Aktor – lassen sich grob in drei Klassen unter-

a) Quasistatisch betriebene Aktoren:

• Mikropositioniersysteme, Manipulatoren, Dieselinjektoren, aktive Schwingungsdämp-

fer

b) Resonant betriebene Aktoren zur Erzeugung einer Schwingbewegung

• Ultraschalltherapie, Dentalmedizin, Materialbe- und -verarbeitung in der Prozess- und

Verfahrenstechnik z. B. Reinigung, Drehen, Fräsen, Bohren, Schweißen, Drahtziehen,

Zerstäubung und Desintegration

c) Resonant betriebene Aktoren zur Erzeugung einer kontinuierlichen Bewegung

• Schwingungsantriebe: Ultraschall-Wanderwellenmotor, Paderborner Ruderer Motor,

Diese Klassifizierung wird im Folgenden näher betrachtet.

Piezoelektrische Aktoren liefern bei kleinen Stellwegen eine hohe Kraft und eignen sich

besonders für hoch genaue Positioniersysteme. Sie werden z. B. in der Medizin zur Zellma-

nipulation oder zur genauen Steuerung empfindlicher Optiken eingesetzt. Dabei werden

Positionieraufgaben im Sub-Nanometerbereich realisiert, wie sie in der Mikroskopie, für

Kippspiegelanordnungen oder zur Steuerung faseroptischer Systeme benötigt werden.

Ein prominentes Einsatzgebiet sind Vielschichtaktoren3 piezoelektrischer Dieselinjektoren

der aktuellen Common-Rail-Diesel Motoren. Hier muss bei kleinen Stellwegen gegen einen

sehr hohen Druck in den Zuleitungen (1600 bar in der 2. Produktgeneration) eine kontrol-

lierte Menge Kraftstoff in den Zylinder gebracht werden. Piezoelektrische Dieselinjektoren

erlauben das mehrfache Einspritzen des Kraftstoffes je Verbrennungszyklus und sorgen so

für einen ruhigen Motorlauf, hohes Motordrehmoment und Reduktion der Stickoxidemis-

sionen.

Als weitere Applikation sei hier noch die aktive Schwingungsdämpfung genannt. Dabei

werden Aktoren in eine schwingfähige Struktur eingebunden, und durch entsprechende

Ansteuerung können gezielt unerwünschte Schwingungen unterbunden werden. Verwendet

wird dieses Verfahren in Werkzeugmaschinen zur Versteifung der Gesamtstruktur im Auto-

mobilbau, in der Luft- und Raumfahrt usw. [7, 8].

Eine eigene Aktorkategorie stellen die Ultraschallwandler dar, die z. B. mit geringen Lei-

stungen (ca. 10-12 W, Schallintensität 3-4 ) in der medizinischen Ultraschallthera-

2. Dieser Ultraschallimpuls wird mit Hilfe piezoelektrischer Aktoren erzeugt, die demzufolge den

inversen piezoelektrischen Effekt nutzen. Das Anwendungsgebiet ist aber der Messtechnik zuzu-

ordnen, da für die Auswertung der direkte piezoelektrische Effekt genutzt wird.

3. Zur Stellwegvergrößerung werden üblicherweise mehrere Schichten Piezomaterial verwendet.

Diese Ausführungsformen werden als Stapel- oder Vielschichtaktoren (engl. Stack- bzw. Multilay-

eractuator) bezeichnet.

Wcm

⁄

2.2 Anwendungen 9

pie eingesetzt werden. Durch Einwirkungen des Ultraschalls wird der Stoffwechselprozess

der Zellen stimuliert, was zu einer erhöhten Durchblutung des Gewebes führt. Verwendet

wird Ultraschall zur Schmerztherapie und zur Hemmung von Entzündungsprozessen

[4, 14].

Hohe Ultraschallintensitäten werden üblicherweise bei der Prozess- und Verfahrenstechnik

benötigt. Dazu gehört z. B. die Ultraschallreinigung, die mit Beginn der 50er Jahre zu den

frühen Anwendungen des Ultraschalls gehört. In einer mit Reinigungsflüssigkeit gefüllten

Wanne erzeugen piezoelektrische Aktoren ein Schallfeld hoher Intensität. Infolgedessen

entsteht in der Flüssigkeit Kavitation: Kleine Gasbläschen, die beim Kollabieren in der

Druckphase kleine Implosionen mit sehr hohen Druckspitzen auslösen. Dies führt in ihrer

unmittelbaren Umgebung zu extremen Beschleunigungskräften, die auf den zu reinigenden

Objekten anhaftenden Schmutz lösen. Neben dieser mechanischen Funktion der Kavitation,

erzeugt man außerdem eine Strömung innerhalb des Reinigungsfluids, was zusätzliche Rei-

nigungswirkung hat [4, 14]. Die Ultraschallreinigung hat sich besonders in der metallverar-

beitenden und Elektroindustrie durchgesetzt. Aber auch die optische und glasverarbeitende

sowie Uhren- und Schmuckindustrie setzen dieses Verfahren ein. Vorteile sind kurze Reini-

gungszeiten und eine besondere Eignung für unregelmäßige und verwinkelte Oberflächen.

Die Frequenzen, mit denen gearbeitet wird, liegen bei ca. 20 kHz. Niedrigere Frequenzen

würden bereits im hörbaren Bereich liegen, während bei höheren Frequenzen für Kavitation

höhere Schallintensitäten benötigt werden. Für eine schonendere Reinigung empfiehlt sich

aber dennoch die Verwendung höherer Frequenzen. Die Schallintensitäten bei der Ultra-

schallreinigung liegen bei ca. . Für große Anlagen beläuft sich die benötigte

Gesamtleistung auf .

Zur Verfahrenstechnik gehört auch die Ultraschall-Stehwellenzerstäubung, die eine innova-

tive Alternative zur Herstellung von Pulverlacken darstellt [12, 15, 16, 79]. Dieses Ver-

fahren nutzt ein durch piezoelektrische Ultraschall-Leistungswandler erzeugtes Ultraschall-

,5-5 W cm

⁄

10 W l

⁄

Bild 2.5: Sonotroden und Zerstäuberdüse einer Ultraschallzerstäubungs-

anlage. Flüssiges Polymer wird von dem im Hintergrund befind-

lichen Extruder einer Zahnradpumpe zugeführt. Letztere pumpt

das Fluid durch die Düse in einen Schwingungsknoten des Steh-

wellenfeldes zwischen den beiden Sonotroden.

Sonotrode

Düse

10 2 Piezoelektrische Systeme

Stehwellenfeld hoher Intensität. Die beiden Schwingeinheiten stehen sich gegenüber, und

mit Hilfe konkaver Sonotrodenflächen werden die benötigten hohen Schallwechseldrücke

erzielt. Den Aufbau veranschaulicht Bild 2.5. Polymerschmelze wird tropfenförmig in

einen Schwingungsknoten des Stehwellenfeldes eingebracht, wo es aufgrund der hohen

Schallwechseldrücke zerstäubt wird. Damit sich ein Stehwellenfeld aufbaut, muss der

Abstand der beiden Sonotroden in Abhängigkeit von der Ultraschallfrequenz genau einge-

stellt werden. Das entstehende Polymerpulver ist die Basis für Pulverlacke und weist auf-

grund des Zerstäubungsvorganges sphärische Partikelformen definierter Größe auf. Dies

führt zu einer höheren Produktqualität, wodurch sich die Verarbeitung des Pulvers und die

Güte der bearbeiteten Oberfläche im Vergleich zu herkömmlich hergestellten Pulverlacken

verbessert. Weitere Vorteile der Stehwellenzerstäubung gegenüber der koventionellen Her-

stellungsmethode ist die Einsparung des energieaufwändigen Zermahlens und Sichtens. Das

Verfahren lässt sich ebenfalls auf die Zerstäubung von Metallschmelzen anwenden.

Im Rahmen der Materialverarbeitung finden sich etliche Einsatzgebiete von Ultraschall.

Wie bei der Ultraschallreinigung oder -Stehwellenzerstäubung werden hier hohe Schallin-

tensitäten benötigt. Industriell wird Ultraschall z. B. beim Kunstoffschweißen sehr häufig

eingesetzt, welcher über eine Sonotrode in das Material geleitet wird (vgl. Bild 2.6). Auf-

grund der inneren Reibungsverluste des zu verschweißenden Materials erwärmt sich dieses

soweit, bis es schmilzt oder sogar flüssig wird. Unter Druck können die Teile zusammenge-

fügt werden und gehen eine feste Verbindung ein. Vorteilhaft an diesem Verfahren ist u. a.,

dass die Wärme zum Schmelzen des Materials nicht von außen zugeführt werden muss, und

somit einerseits die Erhitzung des Werkzeuges entfällt, und andererseits eine sehr gleichmä-

ßige Erwärmung an der Fügestelle erreicht wird. Damit Unebenheiten der Teile an der

Schweißnaht ausgeglichen werden, sind oftmals Energierichtungsgeber an den Rohteilen

vorgesehen. Sie sorgen für einen linienförmigen Kontakt zwischen den zu verschweißenden

Teilen und konzentrieren die lokale Erwärmung des Materials. Abhängig vom Material

kann der Schall sowohl im Nah- als auch im Fernfeld zugeführt werden. Beim Nahfeld-

schweißen befindet sich die energiezuführende Sonotrode in unmittelbarer Nähe zur

Schweißverbindung, während beim Fernfeldschweißen der Schall über das Bauteil selbst

Sonotrode

bzw. Werkzeug

Ultraschall-

schwingung

Metallteil

Kunststoff

Bild 2.6: Kunststoffschweißen, Ver-

arbeitung von Metallteilen. Unter

Einwirken der Ultraschallschwingung

und gleichzeitigem Anpressen der So-

notrode auf das zu verarbeitende Me-

tallteil, sinkt dieses beim Schmelzen

des Kunststoffs ein. Nachfließendes

Material füllt die Rillen des Metall-

teils und bettet dieses nach Abkühlen

fest ein [14].

2.2 Anwendungen 11

zur Schweißfläche geleitet wird. Im zweiten Verfahren muß allerdings vorausgesetzt wer-

den, dass die innere Dämpfung des Materials klein ist, so dass noch ausreichend Energie an

der vorgesehenen Schweißnaht ankommt. Ohnehin können nur thermoplastische Kunst-

stoffe mit diesem Verfahren verarbeitet werden [1, 4].

Neben der Verbindung mehrerer Kunstoffteile untereinander können auch metallische

Komponenten verarbeitet werden. So ist es möglich, Nietverbindungen herzustellen und

Metallteile wie z. B. Gewindebuchsen aus Metall in Kunststoff einzubetten. Dazu presst die

Sonotrode das Metallteil auf eine zuvor gefertigte Bohrung, deren Durchmesser kleiner als

der Durchmesser des zu verarbeitenden Metallteils selbst ist. Die Ultraschallschwingungen

werden vom Metallteil weitergeleitet, was zur Erwärmung des Kunststoffes an den Kontakt-

stellen zwischen Metallteil und Kunststoff führt. Durch den aufgebrachten Druck sinkt das

mit Rillen ausgestattete Metallteil in den Kunstoff ein, und nach dem Abkühlen und Erhär-

ten besteht eine feste Verbindung, siehe Bild 2.6.

Ein Vorteil des Ultraschallschweißens ist die sehr kurze Prozesszeit, die auf die Erwärmung

im Inneren des Materials zurückzuführen ist. Die Ausführung einer Schweißverbindung

beläuft sich auf ca. eine Sekunde zuzüglich einer gewissen Zeit zur Abkühlung. Eingesetzt

wird das Verfahren in vielfältigen Industriezweigen. Beispielhaft genannt sei hier die Auto-

mobilindustrie sowie die Verpackungs- und Spielzeugindustrie.

Ultraschallschweißen lässt sich ebenfalls auf Metalle anwenden. Allerdings sind die

Schweißprozesse hier anderer Natur als beim Kunstoffschweißen, da es nicht zu einer ther-

mischen Verformung und somit auch nicht zu einem Verschmelzen kommt. Nach [1] gehen

die zu verschweißenden Teile eine Festkörperverbindung ein. Diese Art der Verbindung tritt

dann ein, wenn der Abstand zwischen den Molekülen der beiden Schweißteile so gering

wird, dass die Van-der-Waalschen Bindungskräfte wirksam werden. Der geringe Molekül-

abstand muss demzufolge durch den Schweißvorgang erzielt werden, wobei zunächst die

immer vorhandene Oberflächenrauhigkeit überwunden werden muss. Darüberhinaus müs-

sen Oxidschichten und Flüssigkeitsfilme auf den Oberflächen abgetragen werden. Durch

die Ultraschallschwingung, die unter Druck auf die Verbindungsstellen gebracht wird,

dispergieren zunächst diese Störschichten und die Rauhigkeitsspitzen der Oberflächen kön-

Sonotrode

Schwingung des

Werkzeugs

Schweißpunkt

Bild 2.7: Verschweißen von Metallteilen mit Ultraschall:

a) Prinzip; die Transversalschwingung des Werkzeugs und die gleichzeitig

aufgebrachte Anpresskraft auf die Sonotrode sorgEN für eine Festkör-

perverbindung.

b) Aufbau einer Bondsonotrode [76].

HornPiezoscheibe

Wedge

a) b)

12 2 Piezoelektrische Systeme

nen sich berühren. Durch plastische Verformung werden die Rauhigkeitsspitzen weiter

abgebaut, und eine Vergrößerung der Kontaktfläche tritt ein. Die Schallenergie wird dann

vollständig der Kontaktfläche zugeführt. Wichtig ist, den Ultraschall rechtzeitig abzuschal-

ten. Ansonsten wird die gerade fertig gestellte Schweißverbindung aufgrund von Ermü-

dungserscheinungen wieder geschwächt, was ihre Festigkeit reduziert [1].

Das Verfahren lässt sich gut verwenden, um auch Aluminium und Kupfer mit anderen

Metallen, Halbleitermaterialien oder keramischen Stoffen zu verschweißen. Die erzielten

Verbindungen zeichnen sich durch eine hohe Festigkeit aus, die laut [14] sogar die des

Materials selbst übersteigen kann. Die Anwendungen sind vielfältig, und das Verfahren

wird z. B. in der Elektroindustrie reichlich angewendet. Beginnend mit den Drahtbondern,

die feine Drahtverbindungen von der Chipfläche zur „Außenwelt“ herstellen, gibt es auch

Möglichkeiten zur Herstellung von Elektrolytkondensatoren. Dabei wird die verwendete

Aluminiumfolie mit dem Dielektrikum verschweißt. Auch das Verschweißen von Kupfer-

litze ist möglich.

Mit Ultraschall ist auch die Bearbeitung harter, spröder Werkstoffe wie Glas, Keramik, Fer-

rit, Halbleiter und Edelsteine möglich. Es handelt sich dabei in erster Linie um einen

Schleifvorgang, bei dem ein mit Ultraschallfrequenzen schwingender so genannter Bohr-

rüssel und eine Schleifsuspension das Material abtragen. Dadurch können beliebige Formen

gebohrt werden. Die mit dem Schleifmittel versetzte Flüssigkeit wird zweckmäßigerweise

durch eine Mittelbohrung des Bohrrüssels zugeführt, so dass immer frisches Schleifmittel

an der Bohrstelle vorhanden ist. Außerdem wird so verbrauchtes Schleifmittel und abgetra-

genes Material fortgespült. Die Leistungen, die für diesen Vorgang benötigt werden, betra-

gen einige hundert Watt. In [1] und [14] wird beschrieben, dass die Bearbeitungsgeschwin-

digkeit mit zunehmender Leistung bzw. Schwingamplitude des Werkzeugs zunächst stark

zunimmt, dann aber ein Sättigungseffekt eintritt. Eine weitere Erhöhung der zugeführten

Leistung hat dann keinen Sinn mehr.

Die Überlagerung eines klassischen spangebenden Bearbeitungsprozess wie Drehen, Fräsen

und Bohren mit einer im Ultraschallbereich ablaufenden Zusatzkinematik führt im Allge-

meinen zu einer Reduktion der Schnittkraft sowie zur Erhöhung der Arbeitsgeschwindig-

keit. Als weiterer positiver Nebeneffekt ist eine Verbesserung der Oberflächengüte des

bearbeiteten Materials zu verzeichnen, z. T. verbunden mit einer längeren Haltbarkeit der

Werkzeugschneiden. Dieser Themenkomplex ist aktuelles Forschungsgebiet in Industrie

und Hochschulen [12, 13].

Die in der obigen Aufzählung genannten Schwingungsantriebe nutzen ebenfalls Ultra-

schallschwingungen. Es gibt sie sowohl in rotatorischen als auch in translatorischen Aus-

führungsformen. Der Stator wird zu mikroskopischen, mechanischen Schwingungen ange-

regt, die zu elliptischen Bewegungen der Oberflächenpunkte führen. Durch Aufpressen

eines zweiten Bauteils (Rotor) mit der Kraft wirken die rotierenden Oberflächenpunkte

im Kontaktbereich wie Stößel, die aufgrund der Reibkraft zwischen antreibendem Stator

und Rotor eine Vorwärtsbewegung initiieren. Das Prinzip verdeutlicht Bild 2.8.

Ausschlaggebend ist die Art und Weise, mit der die elliptische Bewegung der Oberflächen-

punkte erreicht wird. Das ist u. a. durch die konstruktive Auslegung des schwingenden Sta-

tors zu realisieren. Eine Alternative besteht darin, eine zweisträngige, orthogonale Anre-

gung vorzusehen, bei der zwei voneinander unabhängige Piezosysteme von zwei ebenfalls

unabhängigen Stromversorgungen gespeist werden müssen. Ein typischer Vertreter dieses

2.2 Anwendungen 13

Konzepts ist der Ultraschall-Wanderwellenmotor. Er besteht aus einem ringförmigen Stator,

in dem mittels piezoelektrischer Elemente durch eine orthogonale Anregung eine umlau-

fende Wanderwelle erzeugt wird. Wie oben bereits beschrieben führen die Oberflächen-

punkte des Stators dabei eine elliptische Bewegung aus. Der Rotor wird mit seiner so

genannten Kontaktschicht, bestehend aus einem elastischen, speziellen Kontaktwerkstoff,

durch eine Tellerfeder auf den schwingenden Stator gepresst, woraufhin die Oberflächen-

punkte in die Kontaktschicht eindringen und für den Vortrieb des Rotors sorgen. Die Kraft-

übertragung auf die Antriebswelle erfolgt über eine Tellerfeder. Bei translatorischen Antrie-

ben, wie z. B. beim Paderborner Ruderer-Motor, liegen sehr ähnliche Wirkungsprinzipien

vor. Der Hauptunterschied besteht darin, dass der Rotor durch einen Schlitten ersetzt wird,

der mit Hilfe einer Lagerung auf den antreibenden Stößel gepresst werden muss [2].

Im Vergleich mit konventionellen Elektromotoren weisen

piezoelektrische Schwingungsantriebe ohne Getriebe ein

vergleichsweise hohes Drehmoment bei kleinen

Geschwindigkeiten auf. Dies macht sie für den Einsatz als

Direktantriebe besonders interessant. Sie bieten bei hoher

Kraftdichte eine kompakte Bauform und sind selbsthem-

mend, wenn sie sich im energielosen Zustand befinden.

Prinzipbedingt sind Ultraschall-Antriebe unempfindlich

gegenüber magnetischen Feldern und verursachen selbst

auch nur geringe elektromagnetische Emissionen. Zur

Speisung werden hochfrequente Wechselspannungen

benötigt, und für einen effizienten Betrieb würde man ein

schaltendes Konzept auswählen (siehe nachfolgende

Kapitel), welches indessen seinerseits zu nicht vernachlässigbaren elektromagnetischen

Emissionen führen kann. Aufgrund ihres reibkraftschlüssigen Antriebskonzepts weisen

diese Motortypen eine geringere Haltbarkeit auf [11]. Die genannten Vorteile und insbeson-

dere der geräuscharme Betrieb führten zur Anwendung der Schwingungsantriebe im Kom-

fortbereich, wie z. B. im Automobil (Kopfstützen- und Lenkradverstellung). Inzwischen

haben sich Wanderwellenmotoren zum Antrieb von Autofokusobjektiven von Spiegelre-

F, v

angetriebenes

Bauteil (Rotor)

piezoelektrisch angeregter

hochfrequent schwingender Körper (Stator) Kontaktbereich

elliptische Bewegung

von Oberflächenpunkten

S S

Bild 2.8: Wirkprinzip piezoelektrischer Schwingungsmotoren, aus [2].

Bild 2.9: Ultraschallmotor

für Autofokusobjektive de

Firma Canon [74].

14 2 Piezoelektrische Systeme

flexkameras fest etabliert und werden in aktuellen Produktgenerationen verbaut. Ihr Vorteil

ist der ringförmige Aufbau (siehe Bild 2.9) sowie die hohe Präzision und Geschwindigkeit,

die sie als ideale Antriebe für diese Anwendung auszeichnet. Als Hersteller, die diese

Objektivtypen verwenden, seien hier insbesondere Canon und Nikon genannt [74, 75].

2.3 Charakterisierung piezoelektrischer Aktorsysteme

Nachdem im vorangegangenen Abschnitt eine breite Auswahl bekannter und etablierter

Anwendungen präsentiert wurden, soll im Folgenden eine Einordnung und Klassifizierung

der verwendeten piezoelektrischen Aktoren erfolgen. Daraus werden die Anforderungen an

die jeweils zu verwendende speisende Elektronik sowie ihre Abgrenzungen untereinander

abgeleitet.

Piezoelektrische Materialien wirken anisotrop, d. h. sie weisen in den unterschiedlichen

Raumrichtungen voneinander abweichendes Verhalten auf. Daher sind in den folgenden

Gleichungen streng genommen Tensoren einzusetzen, siehe [2, 9, 44]. Relevant sind in der

Praxis jedoch häufig nur bestimmte Raumrichtungen (z. B. in 3-Richtung), die dann durch

Indizes an Materialparametern und Variablen gekennzeichnet werden. So wird das Verhal-

ten eines piezoelektrischen d33-Aktors durch die linearen Materialgesetze folgendermaßen

beschrieben:

(2.1)

. (2.2)

Dabei liegt das E-Feld zusammen mit der Polarisationsrichtung des Materials in 3-Rich-

tung, und genutzt werden die auftretenden Dehnungen ebenfalls in 3-Richtung. Die Deh-

nung ergibt sich aus der mechanischen Spannung und der elektrischen Feldstärke

. Bei der Variablen handelt es sich um die Elastizitätskonstante des Materials bei

konstantem elektrischen Feld (das konstante E-Feld wird durch das hochgestellte „E“

gekennzeichnet). Der Parameter ist die piezoelektrische Ladungskonstante und ver-

knüpft mechanisches und elektrisches System miteinander. Die elektrische Verschiebungs-

dichte ergibt sich aus dem Produkt der piezoelektrischen Ladungskonstante mit der

mechanischen Spannung im Material sowie aus dem Produkt der elektrischen Feldstärke

mit der Dielektrizitätskonstante bei konstanter mechanischer Spannung. Aus Grün-

den der besseren Übersichtlichkeit wird im Folgenden die Darstellung

(2.3)

(2.4)

verwendet, wobei der Index „P“ alle Größen kennzeichnet, die die Piezokeramik betreffen.

Entsprechend [9] kann das oben angegebene Gleichungssystem in die Form

(2.5)

3s33

T3d33E

3d33T3ε33

ε3

PsP

TPdPE

PdPTPεP

–=

2.3 Charakterisierung piezoelektrischer Aktorsysteme 15

(2.6)

gebracht werden. Darin ist die auf den Aktor wirkende Kraft, die anliegende Span-

nung und die im Aktor gespeicherte Ladung. Der Parameter beschreibt die Steifig-

keit des mechanischen Teilsystems und ist die Piezokapazität. Der Faktor gibt die

Kopplung zwischen mechanischem und elektrischem Teilsystem des Aktors wieder. Letzt-

genannte Parameter ergeben sich aus Geometrie- und Materialkonstanten, und lauten für

einen -Aktor:

, und , (2.7)

mit als Fläche der piezoelektrischen Elemente, als Gesamtlänge und als Piezo-

schichtdicke. gibt die Anzahl der Piezoschichten an. Die Materialparameter sind die

Nachgiebigkeit , die piezoelektrische Ladungskonstante und die Dielektrizitätszahl

des piezoelektrischen Materials . In allgemeiner Darstellung ergibt sich der Wirkungs-

plan nach Bild 2.10, der zunächst eine beliebige, mechanische, an den Aktor angekoppelte

Struktur berücksichtigt, die eine mechanische Last repräsentiert, siehe z. B. [17], [42].

In Einsatzgebieten piezoelektrischer Aktoren wie z. B. Positionieraufgaben, wo es darauf

ankommt, definierte Stellwege auszuführen wie auch bei den im vorangegangenen Kapitel

erwähnten Dieselinjektoren, wird das resultierende Klemmenverhalten durch eine kapazi-

tive Last abgebildet. Voraussetzung dazu ist allerdings, dass das Gesamtsystem weit unter-

halb seiner ersten Eigenfrequenz betrieben wird. Im Falle vergleichweise langsam ausge-

führter Bewegungen, bei denen innerhalb der mechanischen Last keine dynamischen Vor-

gänge auftreten, spricht man vom quasistatischen Betrieb. Elektrische Verluste im Dielektri-

kum werden durch einen ohmschen Widerstand modelliert. In der Praxis sind die Verluste

allerdings sehr gering, so dass sie üblicherweise vernachlässigt werden können [22].

Berücksichtigung muss allerdings das nichtlineare Hystereseverhalten des piezoelektri-

schen Materials finden, was besonders wichtig für das Einsatzgebiet der Mikropositionier-

technik ist, siehe [19]. Die Hysterese, die sich bei Spannung- bzw. Ladungsspeisung in der

Auslenkung ergibt, veranschaulicht Bild 2.11. Dabei fällt auf, dass die Auslenkung bei

Ladungsspeisung näherungsweise linear verläuft. Aus diesem Grund werden derartige

cP1

-----

lge

-----

---

⋅=KP

-----

---

⋅=CP

kPAP

------------ εP

TdP

------

–







⋅=

εP

mechanische

Struktur

FPFext

uCp

iPqPwP

1/cP

wex

Bild 2.10: Wirkungsplan eines piezoelektrischen Aktors.

16 2 Piezoelektrische Systeme

Systeme bevorzugt mit Hilfe ladungs- oder stromeinprägenden Konzepten gespeist. Einige

Beispiele dazu werden in Kap. 2.4.1 aufgeführt.

Im Falle der Anregung in der Nähe einer Systemeigenfrequenz (resonanter oder resonanz-

naher Betrieb) erzielt man höhere Schwingamplituden, die sonst nur mit erheblich höheren

elektrischen Spannungsamplituden möglich wären. Das Klemmenverhalten wird dann

durch eine komplexe Impedanz beschrieben, welche sich abhängig von der gewählten

Anregefrequenz und der vorliegenden Dämpfung ändert. Das elektrische Ersatzschaltbild

eines Piezoaktors, der in der Nähe seiner Resonanz betrieben wird, ist in Bild 2.12 darge-

stellt. Diese Darstellung macht sich die elektrisch-mechanische Analogie zu nutze, bei der

eine Masse durch eine Induktivität , die Steifigkeit durch eine Kapazität und

Dämpfungsanteile durch ohmsche Widerstände repräsentiert werden [9]. Damit erhält

man eine Darstellung, die ausschließlich elektrische Bauelemente verwendet. Die dielektri-

schen Verluste sind in der Regel frequenzabhängig. Da die Betriebsfrequenz des Aktors

allerdings nur auf einen engen Frequenzbereich beschränkt ist, kann eine Modellierung mit

Hilfe eines ohmschen Widerstandes erfolgen. Des Weiteren sind die dielektrischen Ver-

luste so gering, dass sie üblicherweise vernachlässigt werden können (siehe auch Kap. 2.3).

Parallel zu diesem Verlustwiderstand liegt die so genannte Piezokapazität , die bereits

bei den Betrachtungen des Klemmenverhaltens quasistatisch betriebener Piezoaktoren

erläutert wurde.

In Bild 2.12 a wird die Kopplung zwischen elektrischem und mechanischem Teilsystem

durch einen idealen Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis beschrieben. Das

mechanische Teilsystem setzt sich aus dem Dämpfer , der Masse und der mechani-

schen Steifigkeit des Aktors zusammen. Dieses System ist ein schwingfähiger Serien-

schwingkreis der in unmittelbarer Nähe seiner Resonanz betrieben wird.

An seinem Ende schwingt der Aktor mit der Geschwindigkeit , und an der mechanischen

Last greift die Kraft an. Für die Last selbst wird die Annahme getroffen (vgl. [45]), dass

sie durch veränderliche Dämpfung und Steifigkeit ersetzt werden kann (Kontaktmechanis-

Bild 2.11: Hystereseverhalten eines piezoelektrischen Aktors für Positionierauf-

gaben (aus [20]): Die Auslenkung eines Aktors weist unterschiedliche

Hystereseschleifen auf, je nachdem ob eine Spannungs- oder Ladungs-

speisung vorliegt.

Auslenkung vs. Spannung Auslenkung vs. Ladung

0,5 0,5

Spannung uCp /uCp,max Ladung qCp /qCp,max

Auslenkung

∆

lmax

Auslenkung

∆

lmax

1:KP

2.3 Charakterisierung piezoelektrischer Aktorsysteme 17

mus). Im Betriebspunkt wird eine Linearisierung mittels eines Feder-Dämpfer-Systems

durchgeführt. Diese Linearisierung führt zu der zusätzlichen lastabhängigen Dämpfung

bzw. Steifigkeit im Ersatzmodell.

Wird das mechanische Teilsystem über den Übertrager auf die Primärseite transformiert,

und vernachlässigt man den Verlustwiderstand , erhält man das in der Literatur etablierte

vereinfachte Ersatzschaltbild nach Bild 2.12 b. Die entsprechenden Werte der Bauelemente

berechnen sich dann aus

, und . (2.8)

Die Parameter , , und können z. B. mit Hilfe von Identifikationsverfahren

nach [41] oder [45] ermittelt werden.

In der Praxis liegen typischerweise mehrere Resonanzfrequenzen des mechanischen Teils

vor. Diese können im Ersatzschaltbild durch zusätzliche, parallel zur Piezokapazität ange-

ordnete Serienschwingkreise dargestellt werden.

Die Parameter der beiden verwendeten Ersatzschaltbilder können z. B. aus Messungen

gewonnen werden [45]. Analytische Berechnungen, die auf die verwendeten Induktivitäts-

und Kapazitätswerte und den Übertragungsfaktor des idealen Übertragers führen, sind

Thema in Kap. 3.

Aus dem angegebenen Ersatzmodell kann nach der Vierpoltheorie für den Fall der harmoni-

schen Anregung eine Admittanzmatrix erstellt werden. Die Admittanzmatrix stellt den

Zusammenhang zwischen den komplexen Amplituden des Eingangsstroms , der Span-

nung , sowie zwischen der mechanischen Schwinggeschwindigkeit und der am

Aktor befindlichen Last, an der die Kraft angreift, dar. Die Amplitude der Kraft

bestimmt sich aus

, (2.9)

wobei . Die Admittanzmatrix lautet somit

uCp FL

iPvm

RVCP

mmdm

1:KP

uCp

iPim

Rm+RL

Cm CL

Cm+CL

Bild 2.12: Ersatzschaltbild eines resonanznah betriebenen Ultraschall-Aktors.

a) Darstellung mit Berücksichtigung der mechanischen Kopplung in Form

eines idealen Übertragers, b) vereinfachte Darstellungsweise.

a) b)

---

----

---

----

---

----

ˆP

ˆm

ˆL

–

dLV

ˆmcLW

ˆm

ˆmdLjcL

----

–





mjω()⁄=

18 2 Piezoelektrische Systeme

(2.10)

mit

, , (2.11)

sowie . (2.12)

ist die Kurzschluß-Eingangsadmittanz, und werden als Kurzschluss-Kernad-

mittanzen rückwärts bzw. vorwärts, und wird als Kurzschluss-Ausgangsadmittanz

bezeichnet. Mit Anwendung der Kirchhoffschen Gleichungen und unter Berücksichtigung

der in Gl. (2.11) bzw. Gl. (2.12) angegebenen Bedingungen ( bzw. )

ergibt sich . Zur besseren Lesbarkeit werden im folgenden die Abkürzungen

und verwendet. Die Admittanzen berechnen sich zu

, (2.13)

(2.14)

und

. (2.15)

In der Kurzschluss-Eingangsadmittanz treten bei Anregung mit entsprechender Fre-

quenz zwei wichtige Sonderfälle auf. Es handelt sich um den Fall der Resonanz bzw. Anti-

resonanz. Die Resonanzfrequenz berechnet sich bei Vernachlässigung der

mechanischen Dämpfung aus

bzw. . (2.16)

ˆP

ˆm

Y11 jω()Y12 jω()

Y21 jω()Y22 jω()

ˆCp

ˆL

Y11 jω()Y12 jω()

Y21 jω()Y22 jω()

ˆCp

ˆmdLjcL

-----

–





ˆCp

----------

ˆL

=Y12

ˆL

------

ˆCp

----------

ˆL0=

=Y22

ˆL

-------

ˆCp

el jω() jωCP

jωmmdm

jω

------

---------------------------------------

+jωCP1

jωLmRm1

jωCm

----------

---

-------------------------------------------

----

+==

mjω()

jωmmdm

jω

------

---------------------------------------

⁄

jωLmRm1

jωC

----------

---

-------------------------------------------

----

22 jω() 1

jωmmdm

jω

------

--------------------------------------- 1KP

⁄

jωLmRm1

jωC

----------

---

-------------------------------------------

----

Yel

0ω0

π()⁄

f01

2π

------ cm

-------=f0

2π

------

LmC

---------------

---

2.3 Charakterisierung piezoelektrischer Aktorsysteme 19

In diesem Betriebsfall wird das mechanische Teilsystem, bestehend aus Steifigkeit, Masse

und Dämpfung, resonant angeregt.

Die Antiresonanzfrequenz wird mit

bzw. (2.17)

berechnet. Hier wird der Parallelschwingkreis, bestehend aus der Piezokapazität und

dem mechanischen Teilsystem, resonant angeregt.

Die beiden Admittanzen und in Abhängigkeit von der Frequenz sind in Bild 2.13

dargestellt. Man erkennt am Verlauf der Beträge der betrachteten Admittanzen eine Reso-

nanzüberhöhung. Neben der Frequenzabhängigkeit ist noch der Einfluss der mechanischen

Last auf das Klemmenverhalten abgebildet. Dazu wurden Lastdämpfung und -steifigkeit,

repräsentiert durch bzw. , variiert. Für zunehmendes wird die Betragskennlinie

der Admittanzen in vertikaler Richtung gestaucht, was auf die reduzierte Güte des

Serienschwingkreises, gebildet von , zurückzuführen ist. Die Güte berechnet

sich gemäß

. (2.18)

Die Phase der beiden Admittanzen wird ebenfalls von der Dämpfung beeinflusst. Während

für ein schwach gedämpftes System (Kennlinie 1) das Maximum mit einem Phasennull-

durchgang näherungsweise zusammenfällt, verschwindet dieser Nulldurchgang in der elek-

trischen Eingangsadmittanz , sobald eine kritische Dämpfung überschritten wird (Kenn-

linie 3). Dieser kritische Wert wird mit Hilfe der Gütezahl bestimmt (siehe [44] und

[48]), und berechnet sich aus:

. (2.19)

Die Gleichung stellt das Verhältnis von Blind- zu Wirkwiderstand bzw. Wirk- zu Blindlei-

stungsaufnahme des Aktors bei Betrieb in seiner mechanischen Resonanzfrequenz dar. In

[48] ist gezeigt, dass für Gütezahlen bzw. kein Phasennulldurchgang

mehr auftritt. Der Wert ist ein Näherungswert, für den die Phasenkennlinie von

die 0°-Linie tangiert. Gültig ist diese Näherung im Falle einer hohen mechanischen Güte

( ). Für sind wieder zwei Phasennulldurchgänge vorhanden. Geht man

zunächst von einem System mit großer Gütezahl aus, und vergrößert die Dämpfung, be-

obachtet man, dass der Phasennulldurchgang bei höheren Frequenzen liegt als das Maxi-

mum der Admittanzkennlinie. Ähnlich verhält es sich mit der Frequenz des Phasennull-

durchgangs der Antiresonanz, die sich unterhalb des Minimums der Admittanz bewegt. Die

beiden Phasennulldurchgänge bewegen sich also aufeinander zu. Damit gilt für stärker

gedämpfte Systeme nicht mehr die Annahme, dass die Lage des Phasennulldurchgangs mit

dem Resonanzmaximum übereinstimmt. Die Kernadmittanz weist hingegen immer nur

einen Phasenulldurchgang auf. Allerdings verringert sich mit zunehmender Dämpfung die

Steigung in diesem Punkt. Das gleiche Verhalten wird beobachtet, wenn die Piezokapazität

faf01KP

mmC

-----------

----

+= faf01C

---

----

-L

-Cm

-------Lm

---

----

Yel

-------

⋅1

ω0RmC

-----------------

----

<ϕ

089

cos

M2=

Yel

20 2 Piezoelektrische Systeme

vergrößert wird.

Als weitere Variation wurde die Laststeifigkeit angepasst, deren Erhöhung eine Ver-

schiebung der Kennlinien entlang der Frequenzachse verursacht (Kennlinie 4). In der Praxis

ist immer mit der Überlagerung einer Lastdämpfung mit einer Steifigkeitsänderung zu rech-

nen. Wie bereits angedeutet, werden piezoelektrische Ultraschallaktoren mit ihrer Eigenfre-

quenz, also mit der Resonanzfrequenz , betrieben. Aufgrund der in Bild 2.13 dokumen-

tierten Lastabhängigkeit ist offenbar eine Regelung nötig, die für die Nachführung der

Anregefrequenz sorgt. Aspekte zur Phasenregelung werden noch detaillierter in Kap. 2.5

thematisiert.

Die Last, die ein Piezoaktor für die speisende Leistungselektronik darstellt, ist sehr stark

von der Frequenz abhängig, und es lassen sich folgende Schlussfolgerungen formulieren:

Unterhalb der Resonanzfrequenz und oberhalb der Antiresonanzfrequenz liegt kapaziti-

ves Klemmenverhalten vor. Zwischen Resonanz- und Antiresonanzfrequenz wirkt der

Aktor induktiv, solange die Gütezahl größer 2 ist. Im Falle einer Anregung genau in

einem der beiden Phasennulldurchgänge der elektrischen Eingangsadmittanz ist der

Aktor rein resistiv.

Oberschwingungen, die typischerweise in der Wechselrichterspannung enthalten sind,

werden über den niederimpedanten Pfad, den die Piezokapazität bildet, oder auch

durch die bereits erläuterten Serienschwingkreise anderer Schwingungsformen kurzge-

0.0001

0.001

0.01

-75

-50

-25

19000 19200 19400 19000 19200 19400

Arg{Ym} in ˚

Arg{Yel} in ˚

|Ym| in (m/s)/V

|Yel| in A / V

f in Hz f in Hz

f0f0

0.001

0.01

0.05

-75

-50

-25

Bild 2.13: Admittanzen eines Piezoaktors in der Umgebung seiner Resonanz:

a) Kurzschluss-Eingangsadmittanz und b) Kurzschluss-Kernad-

mittanz mit , Parameter:

(1) , , , ,

(2) , , , ,

(3) , , , ,

(4) , , , .

el ω()

mω() ω

=20

Ω

=0,2 nF

=0,346 H

=10 nF

=100

Ω

=0,2 nF

=0,346 H

=10 nF

=500

Ω

=0,2 nF

=0,346 H

=10 nF

=100

Ω

=0,2012 nF

=0,346 H

=10 nF

a) b)

2.3 Charakterisierung piezoelektrischer Aktorsysteme 21

schlossen. Um die damit verbundenen Verluste innerhalb des Aktors gering zu halten,

sind deswegen Mindestanforderungen an die spektrale Güte der Speisespannung zu stel-

len. Andernfalls muss man zusätzliche Erwärmung und mechanische Belastungen des

piezoelektrischen Aktors in Kauf nehmen.

Anwendungsbeispiele, bei denen eine sehr hohe Systemdämpfung und somit keine ausge-

prägte Resonanzüberhöhung vorliegen, finden sich bei der Ultraschall-Reinigung, bei der

das Reinigungsbad eine sehr hohe Dämpfung darstellt, oder auch bei den Schwingungsan-

trieben. Für die Antriebe stellen einerseits die prinzipbedingte Reibung durch reibkraft-

schlüssigen Kontakt der schwingenden Oberflächenpunkte als auch die angetriebene Last

eine hohe Dämpfung dar. Bei hoher Dämpfung kann man das elektrische Klemmenverhal-

ten, ähnlich wie beim quasistatischen Betrieb, durch eine Parallelschaltung der Piezokapazi-

tät mit einem Widerstand abbilden [48]. Für den Fall der schwachen Dämpfung stellt sich

eine Lastimpedanz ein, die sowohl kapazitiv, als auch induktiv und resistiv sein kann. In

den Anwendungen findet man diesen Fall z. B. bei der aktiven Schwingungsdämpfung, bei

Schwingköpfen medizinischer Anwendung und zur Werkstoffprüfung und bei Aktoren der

Ultraschallbe- und -verarbeitung.

Piezoelektrische Aktoren

Betriebsart

Elektrisches

Lastverhalten

Anwendungen

...

quasistatisch

RC-Last

(kapazitiv) RC-Last

(kapazitiv)

Dieselinjektoren

Positionier-

antriebe

resonanznah/resonant

US-Schwin-

gungsantriebe

US-Reinigung

starke

Dämpfung schwache

Dämpfung

US-Schweißen

US-Stehwellen-

zerstäubung

...

RLC-Schwingkreis

(kapazitiv/

resistiv/

induktiv)

Bild 2.14: Einordnung piezoelektrischer Aktoren.

22 2 Piezoelektrische Systeme

Die relevanten Betriebsarten und ihre Bedeutung hinsichtlich möglicher Anwendungen sind

in Bild 2.14 noch einmal zusammengefasst. Hervorgehoben sind dabei Anwendungen die

den Aktor so nutzen, dass sein Klemmenverhalten einer kapazitiv/resistiv/induktiven Last

entspricht. Zu dieser Anwendungsgruppe gehört das Ultraschall-Schweißen und die Ultra-

schall-Stehwellenzerstäubung. Außerdem gehören zu dieser Gruppe auch Verfahren, bei

denen eine Ultraschallschwingung einem konventionellen Prozess überlagert wird, um z. B.

eine Verringerung der Schnittkräfte bei der Materialverarbeitung oder eine Erhöhung von

Verarbeitungsgeschwindigkeiten zu erzielen.

Das stark veränderliche Klemmenverhalten stellt – wie im nächsten Kapitel noch gezeigt

wird – hohe Ansprüche an die speisende Leistungselektronik. Detaillierte Betrachtungen

erfolgen im weiteren Verlauf der Arbeit.

2.4 Speisekonzepte

Nachdem im vorangegangenen Abschnitt eine Einordnung der piezoelektrischen Aktorsys-

teme erfolgt ist, werden nun unterschiedliche Konzepte zu ihrer Speisung vorgestellt.

Bewusst wurden auch Konzepte für quasistatisch betriebene Aktoren in dieses Kapitel auf-

genommen. In diesem Kapitel soll deutlich werden, in welcher Weise die Leistungselektro-

nik den jeweiligen Anforderungen der unterschiedlichen Betriebsfälle gerecht werden

muss. Damit wird einerseits eine Beurteilung andererseits eine schnelle Einordnung hin-

sichtlich des technischen Einsatzgebietes neuer oder alternativer Speisekonzepte ermög-

licht. Da das Hauptaugenmerk der vorliegenden Arbeit auf den schwach gedämpften, reso-

nant betriebenen Aktorsystemen liegt, können Konzepte für die anderen Betriebsfälle nur

am Rande behandelt werden.

Analoge Verstärkerkonzepte

Die Arbeitsweise analoger Verstärker wird anhand einer Gegentaktstufe nach Bild 2.15

erläutert. Die Spannung des Zwischenkreises wird mit Hilfe einer direkten Netzgleich-

richtung, die einen Zwischenkreiskondensator speist, gewonnen. Die Transistoren der

Gegentaktstufe arbeiten – sehr vereinfacht ausgedrückt – als einstellbare Widerstände. Dazu

wird das Eingangssignal des Verstärkers in Steuersignale für die Transistoren umgewandelt,

die dadurch einen verstellbaren Spannungsteiler bilden. Es stellen sich bei sinusförmigem

Eingangssignal in den Transistoren die in Bild 2.15 gezeigten Strom- und Spannungsver-

läufe ein. Zum Zeitpunkt wird der Aktor mit maximalem Strom geladen, der Zeitpunkt

ist erreicht, wenn die Aktorspannung ihren Scheitelwert erreicht, und bei wird der

Aktor wieder mit maximalem Strom entladen.

Ein entscheidender Nachteil dieses Verstärkerkonzepts sind die prinzipbedingten hohen

Verluste in der Leistungsstufe. Nach [22] sind für analoge Verstärker theoretisch Wirkungs-

grade von maximal 78,5% möglich. In der Praxis ist aber eher mit Werten von nur ca. 65%

für reine Sinussignale bzw. 45-50% für praktisch auftretende Signalformen, die mit Ober-

schwingungen behaftet sind, zu rechnen. Zurückzuführen sind die hohen Verluste darauf,

dass immer sowohl Strom als auch Spannung über dem aktiven Transistor anliegen, und

somit permanent Leistung im Bauteil umgesetzt wird.

2.4 Speisekonzepte 23

Mit Analogverstärkern können sehr hohe Stromspitzen in Verbindung mit geringen Ver-

zugszeiten realisiert werden, wodurch der sehr hohe Dynamikbereich der Piezoaktoren

nutzbar wird. Allerdings müssen diese positiven Eigenschaften mit sehr hohem Kühlungs-

aufwand bezahlt werden. Eine Miniaturisierung eines piezoelektrischen Systems mit einem

Analogverstärker ist daher kaum möglich. Sinnvoll eingesetzt werden sie, wenn geringe

Leistungen bei gleichzeitig hoher Güte der Speisespannung verlangt werden.

Schaltende Verstärker

Eine Alternative zu Analogverstärkern sind schaltende Verstärkerkonzepte (Stromrichter).

Diese Verstärkertypen nutzen die Transistoren der Leistungsstufe nicht als veränderliche

Widerstände, sondern als Schalter. So erreicht man, dass im sperrenden Zustand der Strom,

oder im leitenden Zustand die Spannung, zu Null wird. Es ergeben sich daher keine prinzip-

bedingten Verluste. In der Praxis treten Durchlassverluste und während der Umschaltzeit-

punkte Schaltverluste auf, die den Wirkungsgrad auf 85-95% senken.

Die schaltenden Leistungsverstärker setzen sich im Wesentlichen aus den in Bild 2.16 dar-

gestellten Baugruppen zusammen. Die Eingangsstufe erzeugt aus der Netzspannung

Oberer Transistor Unterer Transistor Piezoaktor

Spannung Spannung

Spannung

Strom Strom Strom

Bild 2.15: Funktionsweise eines Linearverstärkers, aus [23]. In dieser Veröf-

fentlichung wird beispielhaft ein sinusförmiger Strom diskutiert.

Eingangs-

stufe Wechselrichter-

stufe Filter Ausgangs-

transformator Aktor

Bild 2.16: Allgemeines Blockdiagramm zur Struktur eines Stromrichters.

24 2 Piezoelektrische Systeme

zunächst entweder eine Gleichspannung oder einen Gleichstrom. Dies führt zu der Unter-

scheidung zwischen spannungs- oder stromeinprägend arbeitenden Stromrichtern.4 Im wei-

teren Leistungspfad befindet sich eine Wechselrichterstufe, die mit der jeweiligen Ein-

gangsstufe als DC-Quelle die benötigte hochfrequente Wechselgröße erzeugt. Typischer-

weise sind in dieser Wechselgröße harmonische Anteile enthalten, die zu einer unnötig

hohen Belastung der Wechselrichterstufe führen. Vermindern kann man diese Verzerrungs-

blindleistung durch ein Filter. Dieses Ausgangsfilter bildet außerdem die passende

Abschluss-Impedanz. So muss ein spannungseinprägender Wechselrichter durch ein strom-

einprägendes Filter, und anders herum ein stromeinprägender Wechselrichter durch ein

spannungseinprägendes Filter abgeschlossen werden. Die Anpassung an den hohen Span-

nungsbedarf des Piezoaktors und eine galvanische Trennung erfolgt schließlich mit Hilfe

eines Ausgangstransformators. Je nach Aufbau des Stromrichters können einzelne Kompo-

nenten entfallen. So kann z. B. die Spannungsanpassung auch durch die Eingangsstufe

erfolgen. Im Allgemeinen erreicht man mit schaltenden Verstärkerkonzepten gute Wir-

kungsgrade. Sind bei Analogverstärkern Wirkungsgrade um 78% erreichbar, weisen schal-

tende Konzepte Wirkungsgrade bis zu 95% auf (siehe [25]).

Die einfachste Form der AC-DC-Eingangsstufe ist die direkte Netzgleichrichtung mit

einem typischerweise kapazitiven Zwischenkreis. Die Wechselrichterstufe ist oftmals ent-

weder eine Halbbrücken- oder eine Vollbrückentopologie. Die Halbbrückentopologie zeich-

net sich durch eine einfachere Ansteuerung der Leistungstransistoren aus. Aufgrund der

Verfügbarkeit integrierter Schaltungen, die sowohl die Aufgaben der Modulation als auch

die Ansteuerung der Transistoren erfüllen, kann dies allerdings nicht als echter Vorteil der

Halbbrückentopologie angeführt werden. Als Nachteil der Halbbrückentopologie ist zu

werten, dass bei gleicher Eingangsspannung die doppelte Strombelastung der Halbleiter-

komponenten bei halber Ausgangsspannung auftritt. Ferner muß zur Vermeidung der Über-

dimensionierung des meist geforderten Ausgangstransformators ein Mittenpotential im

Zwischenkreis vorgesehen werden, welches zusätzlich durch eine Regelung symmetriert

werden muss.

Die Wechselrichterstufe in Halbbrücken- oder Vollbrückentopologie erzeugt entsprechend

den Steuersignalen der Brückentransistoren blockförmige Spannungspulse mit hoher Flan-

kensteilheit. Ist die Topologie z. B. ein Resonanzstromrichter, so wird bei einer Halbbrücke

pro Halbschwingung der Ausgangsspannung des Stromrichters eine rechteckförmige Span-

nung einfacher Polarität erzeugt. Bei der Vollbrückentopologie wechselt dagegen die Pola-

rität Je nach gewünschter Amplitude der Ausgangsspannung kann Blockbreite angepasst

werden. Bei Verwendung einer Vollbrückentopologie werden die beiden Transistorenpaare

derart angesteuert, dass sie immer die Hälfte der Periodendauer der Ausgangsspannung lei-

tend sind. Die Blockbreite wird dann durch phasenversetztes Ansteuern der beiden Brük-

kenzweige eingestellt (Phasensteuerung). Alternativ können auch aufwändigere Pulsmuster

erzeugt werden (z. B. Sinus-Dreieck-Modulation), indem entsprechend dem zeitlichem Ver-

lauf einer sinusförmigen Grundschwingung Spannungsimpulse unterschiedlicher Länge

generiert werden. Aufgrund der häufigeren Schaltvorgänge während einer Periode der

Grundschwingung sind bei diesen sog. Pulsstromrichtern die Schaltfrequenz der Transisto-

ren in der Wechselrichterstufe höher als bei der Generierung einer einfachen Rechteckspan-

4. VSI - voltage source inverter; CSI - current source inverter

2.4 Speisekonzepte 25

nung. Weiterführende Erläuterungen finden sich in Kap. 4.3.

Wegen des kapazitiven Verhaltens des piezoelektrischen Systems, muß bei den behandelten

spannungseinprägenden Konzepten immer ein Ausgangsfilter zwischen Wechselrichter-

stufe und piezoelektrischem Aktor vorgesehen werden. Dies verhindert einerseits hohe

Stromspitzen bei der Aufschaltung der Spannung auf die Kapazität, andererseits werden

höherharmonische Anteile der Wechselrichterspannung gefiltert. Wie bereits ausgeführt,

führen höherfrequente Schwingungsanteile zu höheren Verlustleistungen in der Wechsel-

richterstufe und zu einer zusätzlichen Erwärmung des piezoelektrischen Materials.

2.4.1 Leistungsverstärker für quasistatisch betriebene Aktoren

In diesem Abschnitt wird nur grundlegend die Speisung quasistatisch betriebener Aktoren

behandelt. Für eine detailliertere Aufstellung bekannter und dokumentierter Konzepte zu

diesem Themengebiet sei auf [18] verwiesen.

Es wurde bereits in Kap. 2.3 erläutert, dass aufgrund des Hystereseverhaltens des Aktors

eine ladungs- bzw. stromeinprägende Speisung vorteilhaft ist. Der Spannungsbedarf der

quasistatisch betriebenen piezoelektrischen Aktoren reicht dabei, wie bei resonant betriebe-

nen Aktoren auch, von 100 V bis 1000 V für Hochvoltaktoren. Darüber hinaus wird teil-

weise eine sehr hohe Dynamik mit hohen Stromanstiegszeiten (< 100 µs) verlangt. Auf-

grund des kapazitiven Klemmenverhaltens treten beim schlagartigen Umladen der Piezoka-

pazität sehr hohe Stromspitzen auf. Da die mit Piezoaktoren erreichbare Dynamik denen

magnetischer Aktoren z. T. weit überlegen ist, stellt der verwendete Verstärker demnach

den „Flaschenhals“ des Systems dar. Tatsächlich wird in [18] beschrieben, dass viele han-

delsübliche Verstärker nur relativ geringe Spitzenströme zulassen und daher für den hoch-

dynamischen Aktorbetrieb ungeeignet sind.

Als weitere Anforderung wird verlangt, dass trotz der hochdynamischen Speisung keine

mechanischen Transienten angeregt werden [21].

Analoge Verstärkerkonzepte

Prinzipiell sind Analogverstärker auch zur Speisung quasistatisch betriebener Aktoren

geeignet. Ihr Vorteil ist ihre Fähigkeit, den hohen Dynamikbereich der Piezoaktoren nutzbar

zu machen. Wesentlicher Nachteil ist ihr hoher Kühlaufwand, der eine Miniaturisierung

erschwert. Soll der Aktor äußerst präzise einem vorgegebenen Bewegungsprofil folgen,

verlangt dies eine hohe Güte der Speisespannung. Hier hat der Analogverstärker eine seine

Stärken.

Schaltende Verstärker

Damit der Aktor im quasistatischen Betrieb, wie eingangs erläutert, strom- bzw. ladungsge-

speist betrieben werden kann, ist, wie in [19] beschrieben, neben der Eingangsstufe, die die

Anbindung an das Netz herstellt, ein stromeinprägender Schaltungsteil vorzusehen. Reali-

siert werden kann dieser z. B. durch einen Tiefsetzsteller, wie in Bild 2.17 gezeigt. Er setzt

sich aus dem Transistor T0, der Diode D0 und der Längsspule zusammen. Der Strom

wird über eine Vollbrückenschaltung auf den Aktor geschaltet. Bei leitendem Transistor T0

und durchgeschaltetem Brückenzweig T1 und T2 (oder T3 und T4) baut sich in der

Strom auf. Wird dann die Brückendiagonale aus T1 und T4 (bzw. T2 und T3) durchge-

26 2 Piezoelektrische Systeme

schaltet, wird dieser Strom in die Aktorkapazität eingeprägt, die sich daraufhin auf- oder

entlädt. Durch Takten des Transistors T0 kann der Strom vorgegeben und konstant gehal-

ten werden.

Anstatt eine Eingangsstufe vor der Vollbrücke vorzusehen, kann die Stromeinprägung auch

durch eine Längsspule zwischen Brückenschaltung und Piezoaktor realisiert werden. Ein

mögliches Konzept wird in [23] vorgestellt. Die einzelnen Betriebsphasen dieser Verstär-

kerlösung sind in Bild 2.18 dargelegt.

Der obere Transistor der Halbbrücke ist während Phase I eingeschaltet. Ohne Längsspule

würde sich aufgrund des kapazitiven Aktorverhaltens nun eine Stromspitze mit hoher

Amplitude bilden, die den Transistor zerstören könnte. Die Spule sorgt daher für eine

begrenzte Stromsteilheit. Nach dem Abschalten des oberen Transistors (Phase II) prägt die

Spule den Strom in die Aktorkapazität ein, wobei der Strompfad über die inhärente Diode

des unteren Transistors geschlossen wird. Ist der Strom vollständig abgebaut, ist der Lade-

vorgang abgeschlossen. Zum Entladen (Phase III) wird der untere Transistor eingeschaltet,

und die Aktorkapazität entlädt sich über die Spule. Auch hier wirkt die Spule strombegren-

zend. Wird zu Beginn von Phase IV der untere Transistor abgeschaltet, fließt der Strom über

die inhärente Diode des oberen Transistors und ermöglicht auf diese Weise die Energierück-

speisung in den Zwischenkreis. Die Energierückspeisung ist übrigens ein entscheidender

Vorteil der schaltenden Verstärkerkonzepte und stellt auch ein Unterscheidungsmerkmal für

die beiden hier vorgestellten Konzepte dar. Während bei der Variante nach Bild 2.18 die

Rückspeisung in den Zwischenkreis erfolgt, wird bei Verwendung des Tiefsetzstellers die

Spule als Zwischenspeicher genutzt.

Aufgrund der Strombegrenzung der Spule, die gem. [23] für den maximalen Ladestrom des

Aktors dimensioniert werden muss, sind im Vergleich zu Analogverstärkern geringere Spit-

zenströme möglich. Allerdings erlaubt der schaltende Verstärker, dauerhaft hohe Leistun-

gen zu entnehmen. Unter solchen Betriebszuständen würden im Analogverstärker sehr hohe

Dauerverluste auftreten.

Wenn der Aktor mit einer konstanten Spannung beaufschlagt werden soll, muss die Aktor-

Bild 2.17: Stromgespeister Piezoaktor mit Tiefsetzsteller und Vollbrücke, aus [19].

Der piezoelektrische Aktor (PA) wird in dieser Veröffentlichung auf die

Darstellung einer einfachen Kapazität reduziert.

2.4 Speisekonzepte 27

kapazität ständig umgeladen und somit die Transistoren dauerhaft getaktet werden. Dies

führt bei diesen Betriebszuständen zu erhöhten Schaltverlusten in der Halbbrücke. Darüber

hinaus entsteht ein dauerhafter Wechselstrom, der einzelne Piezoschichten des Aktors zu

Bewegung anregt. Als Folge wird der Aktor zusätzlich mechanisch belastet, und es treten

wegen Hystereseverluste Erwärmungen auf. Die geschilderten Probleme können durch

besondere Anforderungen an die Modulation aus dem Weg geräumt werden. Für weitere

Informationen dazu sei auf [23] und [24] verwiesen.

2.4.2 Schaltende Leistungsverstärker für resonant erregte Aktoren

In den folgenden Abschnitten werden Konzepte erörtert, mit denen die oben genannten

Anforderungen an die Verstärker erfüllt werden können. Berücksichtigt werden analoge und

schaltende Verstärkerkonzepte.

Analoge Verstärker

Analoge Verstärker lassen sich prinzipiell auch für resonant betriebene Aktoren verwenden.

Hier zeichnen sie sich ebenfalls durch eine sehr hohe Dynamik und Flexibilität aus. Der

Gesichtspunkt der Flexibilität spielt eine gewichtige Rolle, wenn z. B. mit ein und demsel-

ben Verstärker verschiedene Aktoren mit unterschiedlichen Resonanzfrequenzen betrieben

werden sollen.

Natürlich besteht auch hier der Nachteil, dass für die Kühlung der Leistungsstufe erhebli-

cher Aufwand betrieben werden muss, was zum bereits erläuterten voluminösen Aufbau

führt. Aus diesem Grund ist auch bei dieser Anwendung der Einsatz analoger Verstärker auf

kleine Leistungen beschränkt [35]. Eine Ausnahme bildet die Verwendung im Labor. Da ist

es hilfreich, einen flexiblen Verstärker zur Verfügung zu haben, und Volumen und Wir-

kungsgrad spielen nur eine untergeordnete Rolle.

Analoge Verstärker werden im Rahmen der Regelung piezoelektrischer Aktoren noch ein-

mal aufgegriffen. Sie wurden in der Vergangenheit im Zusammenhang mit selbsterregten

Schwingungssystemen häufig verwendet (siehe Kap. 2.5.1).

Schaltende Verstärker

In [28] wird ein Stromrichter vorgestellt, der ohne Filterung den Aktor speist. Als Ergebnis

werden höhere Schwingungsmoden des Aktors angeregt. Ein weiterer Effekt, der beobach-

Phase I Phase III

Phase II Phase IV

Aufladen Entladen

Nachladen Rckspeisen

Bild 2.18: Stromeinprägender Stromrichter mit Längsspule zwischen Halb-

brücke und Piezoaktor, aus [23].

28 2 Piezoelektrische Systeme

tet werden kann, sind massive elektromagnetische Störungen aufgrund der hohen auftreten-

den Stromimpulse, die beim schlagartigen Umladen der Piezokapazität auftreten. Aus die-

sen Gründen ist die direkte, blockförmige Speisung des Piezoaktors nicht empfehlenswert,

und ein Filter sollte immer vorgesehen werden.

Ein ähnlicher Ansatz wird in [25] verfolgt. Hier wird ebenfalls auf eine Ausgangsfilterung

verzichtet. Aufgrund hoher impulsförmiger Umladeströme und den damit einhergehenden

elektromagnetischen Emissionen wurde ein LC-Filter ausgelegt, welches eine Butterworth-

Charakteristik aufweist. Bei der Auslegung wurde die Knickfrequenz des Filters zu relativ

hohen Frequenzen gelegt, sodass die Aktorspannung weiterhin näherungsweise rechteck-

förmig verläuft und harmonische Schwingungsanteile hoher Frequenzen gefiltert werden.

Erreicht wird durch diese Auslegung, dass die elektromagnetischen Emissionen reduziert

werden. Ferner ist das Volumen der benötigten Filterspule aufgrund der hohen Knickfre-

quenz gering. Alle anderen Schwingungsanteile müssen trotzdem den Strompfad durch die

Piezokapazität wählen, was zu der bereits erwähnten Erwärmung des Aktors führt. Anstatt

die Schaltfrequenz der Wechselrichterstufe gleich der Betriebsfrequenz des Aktors zu wäh-

len, kann durch eine aufwändigere Pulsweitenmodulation erreicht werden, dass harmoni-

sche Schwingungsanteile zu höheren Frequenzen verschoben werden. Durch entsprechende

Auslegung des Filters können somit harmonische Schwingungsanteile effektiv gefiltert

werden, siehe [48] und [69], was bei hartem Schalten aber zu Lasten der Schaltverluste

geht. Aufgrund der Zusatzbelastung des Aktors durch höher harmonische Schwingungsan-

teile kommen die beiden zuletzt angegebenen Verstärkerkonzepte für den Leistungsultra-

schall nicht in Frage. Darüber hinaus stellen die elektromagnetischen Emissionen ein Aus-

schlusskriterium dar.

In der Literatur weit verbreitet sind Resonanzfilter, die entsprechend ihrer reaktiven Bauele-

mente und ihrer Anordnung als LC- oder LLCC-Resonanzfilter bezeichnet werden

[29, 35, 48, 49, 68, 69]. Die Wechselrichterstufe wird dabei mit der Resonanzfrequenz des

Aktors getaktet. Aufgrund des resonanten Betriebs des Filters werden Harmonische sehr

effektiv gefiltert, und ermöglichen darüber hinaus die Minimierung der Schaltverluste.

Bezüglich der unterschiedlichen Betriebsarten der Ausgangsfilter unterscheidet man zwi-

schen resonanten und nicht-resonanten Filtern [48]. Ausgewählte Topologien spannungs-

einprägend arbeitender Stromrichter mit einer direkten Netzgleichrichtung sind in Bild 2.19

dargestellt. Allen dargestellten Konzepten gemein ist die Verwendung einer Wechselrichter-

stufe als Vollbrückentopologie, die aus dem Zwischenkreis gespeist wird ( ). Die wesent-

lichen Unterscheidungsmerkmale ergeben sich aus dem Ausgangsfilter, welches sich im

Fall eines LC-Filters aus einer Längsspule und der Piezokapazität zusammensetzt.

Je nach Auslegung unterscheidet man beim LC-Filter zwischen resonantem Filter, wenn die

Filterresonanzfrequenz in unmittelbarer Nähe zur Resonanzfrequenz des Aktors liegt, oder

nicht-resonantem Filter. In diesem Fall liegt die Filterresonanzfrequenz oberhalb der Reso-

nanzfrequenz des Aktors. Das Übertragungsverhalten eines LC-Filters ist einem Tiefpass

gleichzusetzen. Das LLCC-Filter besteht zusätzlich aus einer Längskapazität und einer

Parallelspule . Es zeigt Bandpassverhalten. Verstärker mit einem Resonanzfilter sind

aufgrund der erreichbaren hohen Wirkungsgrade und mit ihren geringen Belastungen des

Aktors durch Oberschwingungen gut zur Speisung von Ultraschallaktoren geeignet. Nach-

teilig ist ihr eingeschränkter Arbeitsbereich, sodass meistens eine präzise Abstimmung auf

Lfs

Cfs

2.4 Speisekonzepte 29

den piezoelektrischen Aktor erfolgen muss. In Kap. 4 wird detailliert auf die Unterschiede,

Eigenschaften und Auslegung der angegebenen Konzepte eingegangen.

Weil bei Stromrichtern mit direkter Netzgleichrichtung eine annähernd konstante Gleich-

spannung zur Verfügung steht ( ), muss die Amplitude der Aktorspannung

mittels Einstellung des Tastverhältnisses der Transistoren der Wechselrichterstufe einge-

stellt werden. Das hat zur Folge, dass die Wechselrichterstufe bei kleinen Spannungen nur

schlechte Wirkungsgrade erzielt.

Topologien, die über eine aktive Eingangsstufe mit Regelung des Zwischenkreises verfügen

verlagern die Teilaussteuerungen der aktiven Komponenten und schlechtere Wirkungsgrade

in diese Stufe. Allerdings kann hier die Wechselrichterstufe permanent mit maximalem

Tastverhältnis arbeiten und gewährleistet dabei den höchstmöglichen Wirkungsgrad. Ein

Vorteil einer aktiven Eingangsstufe ist der geringe Klirrfaktor der erzeugten Aktorspannung

zu nennen, der besonders niedrig ist, wenn die Wechselrichterschaltung mit maximalem

Tastverhältnis arbeiten kann. Außerdem wird die Möglichkeit, dass die beiden Gegentakt-

wandler-Transistoren ( und ) bezüglich eines gemeinsamen Potentials angesteuert

werden können, häufig als Vorteil angeführt. Allerdings sind moderne sog. Controller-ICs

in der Lage, ohne nennenswerten Mehraufwand Transistoren auch potentialgetrennt anzu-

steuern (z. B. Bootstrap-Technologie). Aus diesem Grund kann diese Aussage nicht als ech-

ter Vorteil angesehen werden.

z3Filter

und

elektrische

Isolation

uwr uCp

a) LC

b) LLCC

c) nicht-resonant

1:nsp

Lfs

1:nsp

Lfs

Lfp

Cfs

uwr uwr

uCp uCp

a) LC

c) nicht-resonant b) LLCC

Bild 2.19: Spannungseingeprägte Wechselrichterstufe in Vollbrückentopologie mit Aus-

gangsfilter und Aktorlast. Als Filter werden oft Resonanzfilter des Typs LC

und LLCC verwendet. Alternativen sind nicht-resonante Filter [48, 69], die

sich aus der Piezokapazität und der Längsspule zusammensetzen.

Lfs

325 V

≈

30 2 Piezoelektrische Systeme

In [26, 29, 36] findet man Stromrichterbeispiele, bei denen die Zwischenkreisspannung mit

Hilfe eines Gegentaktwandlers mit Gleichrichter erzeugt wird. Den Aufbau eines solchen

Stromrichters mit einem LLCC-Resonanzfilter verdeutlicht Bild 2.20.

Nachteilig an diesem Verstärkerkonzept ist der aufwändige und schlecht ausgenutzte Trans-

formator des Gegentaktwandlers. Wichtig für die Verminderung der transienten Überspan-

nungen an Transistor und durch Streuinduktivitäten ist insbesondere, dass die Wick-

lungen eine gute magnetische Kopplung aufweisen. Erreichen kann man dies durch einen

bifilaren Aufbau der Primär- und Sekundärwicklung, der allerdings sehr kostenintensiv ist.

Weiterhin müssen die Transistoren und die doppelte stationäre Sperrspannung als

beim Einsatz in einer Brückenschaltung aufweisen. Darüber hinaus ist die erreichbare

Dynamik der Amplitudenregelung geringer, als bei einer Änderung des Tastverhältnisses

der Vollbrücke. Zusätzlich muss, obwohl die Wechselrichterstufe mit maximalem Wir-

kungsgrad betrieben werden kann, mit zusätzlichen Verlusten aufgrund der zusätzlichen

aktiven Bauelemente gerechnet werden. Eine erweiterte Variante dieser Topologie wird in

[36] vorgestellt. Dabei wird zur Energierückgewinnung ein Transformator im Ausgangs-

kreis vorgesehen, der über einen weiteren Gleichrichter in den Spannungszwischenkreis

einspeist. Außerdem wird eine Stromeinprägung mit Hilfe einer zusätzlichen Längsindukti-

vität vorgesehen. Wegen des vergleichweise sehr hohen Aufwandes ist allerdings, wie auch

schon in [48] eingeschätzt, eine breite Anwendung dieses Konzepts fraglich.

Gegentaktwandler sind prinzipiell auch für die Wechselrichterstufe geeignet. In [27] wird

ein durch einen Tiefsetzsteller (buck converter) stromgespeister Gegentaktwandler vorge-

stellt, der zusätzlich mit einem LC-Filter in Parallelschaltung abgeschlossen wird. Die ent-

sprechende Topologie zeigt Bild 2.21.

Die Eingangsstufe stellt den gewünschten Strom ein, während der Gegentaktwandler mit

konstantem, maximalem Tastverhältnis arbeitet. Nach [27] wird in der Praxis statt zweier

diskreter Bauelemente in Form des Transformators und der Parallelspule des Ausgangsfil-

Cfp

Lfp

CdLfs Cfs

Gegentaktwandler

mit Gleichrichter

Zwischenkreis Vollbrücke und LLCC-Resonanzfilter

Bild 2.20: Eingangsstufe mit spannungseinprägendem Gegentaktwandler mit Gleich-

richter, siehe [26, 29, 36]. Die Wechselspannung wird mittels einer Voll-

brücke erzeugt, die mit konstantem maximalen Tastverhältnis arbeitet. Die

Amplitude der Aktorspannung wird durch den Gegentaktwandler eingestellt

Das LLCC-Filter filtert harmonische Schwingungsanteile.

2.4 Speisekonzepte 31

ters der Aufbau eines integrierten Bauelementes bevorzugt. Dadurch können Kosten und

Volumen reduziert werden. Dabei bleibt aber natürlich die Forderung nach einer guten

magnetischen Kopplung bestehen, sodass aufgrund der bifilaren Wicklungsweise eine auf-

wändigere Fertigung vorliegt. Ein weiterer Vorteil des LC-Parallelschwingkreises ist die

Möglichkeit, Kabelkapazitäten ( ) der Versorgungsleitungen des Aktors mit als

Schwingkreiskapazität zu nutzen. Die Kapazität sorgt für eine Stabilisierung der Aktor-

impedanz, die – wie bereits ausgeführt – aufgrund der z. T. sehr hohen Güte stark veränder-

lich ist. Diese Aspekte werden auch in [69] behandelt. Die Vor- und Nachteile des Gegen-

taktwandlers bei Verwendung als Wechselrichter können direkt von seinem Einsatz als Ein-

gangsstufe übernommen werden.

In [33] wird eine Topologie vorgestellt, die eingangsseitig aus einem Hochsetzsteller (boost

converter) besteht. Dessen Ausgang stellt eine Zwischenkreisspannung zur Verfügung, die

eine Halbbrücke speist. Ein LC-Resonanzfilter sorgt für sinusförmige Spannungsverläufe

am Aktor.

Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass es eine breite Auswahl möglicher Topologien

auf Basis schaltender Verstärker gibt, die prinzipiell geeignet zur Speisung piezoelektri-

scher Aktoren sind. Eine Prinzipübersicht der in der Literatur vorgestellten Schaltungsvari-

anten stellt Bild 2.22 dar.

Zwar erlauben aktive Eingangsstufen einen optimierten Betrieb der Wechselrichterstufe,

allerdings werden bei geringen Aussteuerungen die schlechten Wirkungsgrade in eben diese

Eingangsstufe verlagert. Aufgrund des erhöhten Schaltungsaufwands ist im Rahmen dieser

Arbeit kein wesentlichen Vorteil gegenüber einer einfacheren direkten Netzgleichrichtung

ersichtlich. Damit einher geht, dass der Miniaturisierungsgrad derartiger Realisierungen

abnimmt. Problematisch ist auch die geringere Dynamik bei der Einstellung der Spannungs-

amplituden im Vergleich zur Änderung des Tastverhältnisses direkt durch die Wechsel-

richterstufe.

Gegentaktwandler stellen vergleichsweise hohe Anforderungen an den Transformator, was

sich in hohem Herstellungsaufwand und Kosten niederschlägt. Halbbrücken und Voll-



iin



Cfp

Lfp

Lin

Bild 2.21: Stromgespeister Gegentaktwandler mit LC-Parallelschwing-

kreis nach [27].

32 2 Piezoelektrische Systeme

brückentopologien sind in ihrer Wirkungsweise sehr ähnlich, wobei die Transistoren der

Halbbrücke mit der doppelten Strombelastung ausgelegt werden müssen, als bei Verwen-

dung einer Vollbrücke. Der höhere Realisierungsaufwand der Vollbrücke ist aufgrund der

verfügbaren integrierten Controller-Bausteine heute aber vertretbar.

Resonanzfilter erlauben die Speisung des Piezoaktors mit sinusförmigen Strömen bzw.

Spannungen, was nach [31] auch einem optimalen Spannungsverlauf entspricht. Ihr ent-

scheidender Nachteil sind einerseits hohe Kosten der Filterkomponenten und andererseits

ihr benötigtes Volumen. Der Verzicht auf ein Ausgangsfilter ist gerade bei höheren Leistun-

gen keine Alternative und führt zu hohen elektromagnetischen Emissionen und höheren

Belastungen des Aktors. Aus Sicht der Miniaturisierung und hoher spektraler Güte der

Speisespannung sind Pulsstromrichter auf Basis einer Vollbrücke mit nachgeschaltetem

nicht-resonanten Ausgangsfilter hervorzuheben.

2.5 Regelungsverfahren für Ultraschall-Aktoren

Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, daß für einen effizienten Betrieb die Rege-

lung der Phase zwischen Aktorstrom und -spannung und der Auslenkung bzw. Stromampli-

tude notwendig ist. Für die Regelung sind verschiedene Konzepte denkbar, die diese Auf-

gabe erfüllen können, von denen hier die Wichtigsten vorgestellt werden. Das Prinzip der

selbsterregten Schwingungssysteme nimmt dabei eine Sonderstellung ein, weil die Rege-

lung des optimalen Betriebspunktes in die Leistungsstufe integriert ist. Bei den anderen

Regelungsverfahren ist die Regelung unabhängig von der Leistungsstufe.

2.5.1 Selbsterregte Schwingungssysteme

Die Verwendung von Oszillatorschaltungen ist eine klassische Methode der Speisung piezo-

elektrischer Ultraschallaktoren bei gleichzeitiger Frequenznachführung. Der Ultraschall-

Leistungswandler wird als Resonator eingesetzt, der die Frequenz, mit der das System

arbeiten soll, vorgibt. Dieses Verfahren wird z. B. auch zur Taktgenerierung bei digitalen

230V

50Hz

Netz Gleichrichter DC-DC Wandler

Eingangsstromrichter DC-AC Wandler

Wechselrichter Ausgangsfilter Ultraschall-

aktor

AC DC AC ACDC

nicht-resonant:

Butterworth

Cauer

resonant:

LC, LLCC

kein

Gegentakt-

wandler (GR)

Hochsetz-

steller

Tiefsetz-

steller

Zwischenkreis-

kondensator

Gegentakt-

wandler

Vollbrücke

Halbbrücke

Sperrwandler

Bild 2.22: Zusammenfassung bekannter und dokumentierter Schaltungsvarianten

schaltender Verstärker zur resonanten Speisung piezoelektrischer Ultra-

schall-Aktoren.

2.5 Regelungsverfahren für Ultraschall-Aktoren 33

Schaltungen verwendet. Die Funktionsweise beruht auf einem rückgekoppelten linearen

Verstärker, wobei die Rückkopplung über ein geeignetes Netzwerk und den Piezoaktor

erfolgt. Bemerkenswert an diesem Aufbau ist, dass der Piezoaktor integraler Bestandteil des

Leistungsteils ist, und daher eine separate Meßwerterfassung nicht notwendig ist. Realisie-

rungsvarianten sind z. B. in [1] oder in [4] beschrieben. In [37] wird erläutert, wie ein so

genannter Colpitts-Oszillator verwendet wird, um den Vibrationsalarm einer Armbanduhr

zu realisieren. Der Colpitts-Oszillator ist als Schaltung zur Takterzeugung digitaler Schal-

tungen weit verbreitet. Dann werden allerdings Quarze verwendet, die bei sehr hohen Fre-

quenzen schwingen. Andere Schaltungskonzepte verwenden eine zusätzliche Sensorelek-

trode des Aktors, um ein Signal auf den Steuerkreis der Leistungsstufe zurückzukoppeln,

siehe z. B. [38, 39].

Nachteilig am Prinzip der selbsterregten Schwingungen ist, dass die Bauteile sehr hohen

Anforderungen entsprechen müssen, damit die Schaltung zuverlässig arbeitet. Bereits

geringe Variationen der Bauteilparameter, z. B. Bauteiltoleranzen oder Temperaturschwan-

kungen, können zur Verletzung der Schwingbedingungen führen, so daß sich keine selbst-

haltende Schwingung etablieren kann. Das verlangt eine sorgfältige Abstimmung der Bau-

teile des Gesamtsystems und große Erfahrung bei der Auslegung.

An ein und derselben Leistungsstufe können ohne sorgfältige erneute Abstimmung nicht

unterschiedliche Ultraschallaktoren betrieben werden. Berücksichtigt man außerdem, dass

die Piezokapazität stark von der Umgebungstemperatur bzw. Betriebstemperatur abhängt,

kann ein zuverlässiger und robuster Betrieb dieser Schaltung kaum erwartet werden. Nach

[41] ist der Arbeitspunkt piezoelektrischer Aktoren mit hoher mechanischer Güte kaum mit

diesem Verfahren regelbar. Das ist mit den hohen Fluktuationen der Impedanz durch angrei-

fende Kräfte begründbar. Aus diesem Grund beschränkt sich das Einsatzgebiet dieser Kom-

bination aus Verstärker und Regelung auf vergleichsweise stark gedämpfte Systeme, wie sie

z. B. bei der Ultraschall-Reinigung vorliegen.

Die Verwendung selbsterregter Schwingungssysteme für die resonante Ansteuerung piezo-

elektrischer Ultraschallaktoren war in den 60er und 70er Jahren verbreitet. Aufgrund der

beschriebenen Nachteile und der Verfügbarkeit preiswerter, geeigneter, integrierter Steuer-

ICs hat ein derart betriebenes System heute eine beschränkte Anwendungsbandbreite.

2.5.2 Phasenregelkreise (Phase Locked Loop, PLL)

Im Gegensatz zu den selbsterregten Oszillatorschaltungen, bei denen der Aktor Bestandteil

des Rückkopplungssystems des Verstärkers ist, stellt er bei den Phasenregelkreisen eine

eigenständige Komponente dar. Man wertet hier die Phasenverschiebung zwischen der

Speisespannung und dem vom Aktor aufgenommenen Strom aus. Entsprechend der elektri-

schen Eingangsadmittanzkennlinie nach Bild 2.13 kann auf diese Weise der Phasennull-

durchgang als Indikator für die Resonanz des Aktors verwendet werden. Wie Bild 2.13 und

den dazugehörigen Ausführungen entnommen werden kann, ist allerdings zu berücksichti-

gen, dass dieser Phasennulldurchgang nur eine Näherung ist. Ohne weitere Ergänzungen

des Regelalgorithmus muss darüber hinaus vorausgesetzt werden, dass ein Phasennull-

durchgang vorhanden ist (also , siehe Kap. 2.3).

34 2 Piezoelektrische Systeme

Unter der Annahme, dass zu Beginn des Regelvorganges die Arbeitsfrequenz unterhalb der

Resonanz liegt, wird eine positive Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung

gemessen. Demzufolge wird die Frequenz vergrößert. Sobald diese größer als die Reso-

nanzfrequenz wird, wird eine negative Phasenverschiebung detektiert, und die Anregefre-

quenz muss verringert werden. Wird die Phasenverschiebung zu Null, stimmen Anrege-

und Aktorkennfrequenz überein, und der Aktor wird im optimalen Betriebspunkt betrieben.

Liegt eine hohe Dämpfung des Aktors vor ( ), wird immer eine positive Phasenver-

schiebung gemessen und somit die Anregefrequenz immer weiter vergrößert. Die Regelung

ist in diesem Fall instabil.

In Bild 2.23 ist ein Phasenregelkreis in einem Blockdiagramm dargestellt. Als Frequenzge-

nerator wird ein spannungsgesteuerter Oszillator (VCO, voltage controlled oscillator) ver-

wendet. Der VCO steuert die leistungselektronische Speiseeinrichtung an, welche die für

den Betrieb des Aktors erforderliche Leistung bereitstellt. Der am Aktor gemessene Strom

und die Spannung weisen die Phasenverschiebung auf, die mittels

eines Phasendetektors gemessen wird. Dessen Ausgangssignal wird einem so

genannten Schleifenfilter zugeführt, das die Funktion eines Reglers übernimmt. Es beein-

flusst z. B. das dynamische Verhalten der Phasenregelung und den verbleibenden Fehler der

Phasenverschiebung zwischen Aktorstrom und -spannung. Das Ausgangssignal des

Filters dient als Eingangssignal für den VCO.

Für eine gegenüber dem Strom voreilende Spannung detektiert der Phasendetektor

eine positive Phasenverschiebung. Dieses Signal gelangt über das Schleifenfilter zum VCO

und veranlasst somit eine Erhöhung der Frequenz von . Bei negativen Phasenver-

schiebungen wird die Frequenz verringert. Sobald die Resonanzfrequenz des Aktors

erreicht ist, verschwindet die Phasenverschiebung.

Die aufwändigere Meßwerterfassung, die für den Phasenregelkreis notwendig ist, stellt

einen Nachteil dieses Verfahrens gegenüber dem in Kap. 2.5.1 behandelten dar. Der bedeu-

tende Vorteil ist, dass mit Hilfe integrierter Schaltkreise eine Arbeitspunktregelung reali-

siert werden kann, mit der durch einfache Änderungen von Schaltungsparametern verschie-

denste Piezoaktoren mit nahezu beliebiger Resonanzfrequenz betrieben werden können.

Die Phasenregelung ermöglicht die Nachführung der Frequenz, sodass auch Ultraschall-

Aktoren betrieben werden können, deren Belastung die Kennfrequenz verschiebt. Neben

()

() ϕ

()

VCO

()

Phasen-

detektor Filter VCO Leistungs-

stufe

Ultraschall-

Aktor

uPD(t)uF(t)uVCO(t)uCp(t)

uCp(t)

iP(t)

Bild 2.23: Betriebsfrequenzregelung mit einem Phasenregelkreis (PLL).

2.5 Regelungsverfahren für Ultraschall-Aktoren 35

der höheren Robustheit liegt darin auch der entscheidende Vorteil im Vergleich zu den

selbsterregten Schwingungssystemen.

Ist für einen vorliegenden Aktor die Piezokapazität bekannt, ist eine Anpassung des PLL-

Prinzips möglich, siehe [40, 45]. Dies erlaubt dann die Regelung stärker gedämpfter Akto-

ren mit . Dazu bestimmt man aus der Aktor-Klemmenspannung und dem Laststrom

zunächst die komplexe elektrische Eingangsadmittanz (siehe auch Bild 2.24)

. (2.20)

Durch Subtrahieren des Anteils der Piezokapazität erhält man daraus die Kernadmit-

tanz . Aufgelöst nach Real- und Imaginärteil ergibt sich

(2.21)

Die Phase dient nun als Eingangsgröße für das Schleifenfilter eines herkömmlichen

Phasenregelkreises und berechnet sich aus

. (2.22)

Die Folge ist, dass jetzt der Phasennulldurchgang der Kernadmittanz als Indikator für die

Resonanz dient, vgl. mit Bild 2.13 b.

Eine weitere Ergänzung des PLL-Prinzips erreicht man durch eine adaptive Schleifenver-

stärkung des Phasenregelkreises. Dies ist dahingehend von Interesse, dass die Schleifenver-

stärkung u. a. maßgeblich von der Steigung der Phasenkennlinie abhängig ist. Für zuneh-

mende Dämpfung wird aber die Steigung verringert, wie auch Bild 2.13 b verdeutlicht.

Wenn diese Steigungsänderung durch Anpassung der Verstärkung des Schleifenfilters kom-

pensiert wird, erhält man einen adaptiven Phasenregelkreis (APLL), siehe dazu auch [45].

ˆCp

----------jωCP1

RmjωLm1

jωC

----------

---

-------------------------------------------

----

+==

uCp

iPim

Rm+RL



{



}



|cos(



)



|sin(



)









{



}









Bild 2.24: Berechnung der Phase des mechanischen Subsystems anhand a) des

Ersatzschaltbildes und b) des dazugehörigen Zeigerdiagramms.

a) b)

{} Im Yel

{}ωCP

–Yel ϕel

()sin ωC

–==

{} Re Yel

{} Yel ϕel

() .cos==

ϕm

Im Ym

{}

Re Ym

{}

--------------------





atan Yel ϕel

()sin ωCP

–

Yel ϕel

()cos

----------------------------------------------





atan==

36 2 Piezoelektrische Systeme

Dazu muss die Phasenkennlinie hinsichtlich ihrer Steigung im Phasennulldurchgang ausge-

wertet werden, in dem zu Beginn des Regelvorganges, wenn noch keine Last auf den Aktor

einwirkt, zunächst eine Initialisierung durchgeführt wird.

Diese Startroutine arbeitet folgende Arbeitsschritte ab:

1. Festlegen eines Startwertes für die Frequenz und eines geschätzten Verstär-

kungsfaktor für das Schleifenfilter, siehe Bild 2.25.

2. Der Regler startet mit den in Schritt 1 festgelegten Startparametern. Sein erster Refe-

renzwert ist die Frequenz , bei der die Phase zu 45° wird. Dieser Wert wird in

einem Zwischenspeicher abgelegt.

3. Der Referenzwert ist im Folgenden . Die dazugehörige Frequenz ist die Re-

sonanzfrequenz im Leerlauf des Aktors. Auch dieser Wert wird in einem Zwischen-

speicher abgelegt.

4. Berechnung des Verstärkungsfaktors aus der Steigung der Phasenkennlinie des

unbelasteten Aktors in Resonanz gem. Schritt 2 mit

. (2.23)

5. Abspeichern des berechneten Wertes und der bei gemessenen Admittanz

, d. h. .

6. Ende der Initialisierungsroutine.

Die Impedanz in der Resonanz des unbelasteten Aktors wird durch beschrieben,

während die Impedanz des belasteten Aktors beschreibt. Für die Resonanzfre-

quenz des belasteten Aktors gilt . Für das Steigungsverhältnis der

Phasenkennlinien des belasteten und unbelasteten Aktors erhält man ( : belasteter Aktor,

: unbelasteter Aktor):

. (2.24)

Sta

ϕ0

0°=

0f∆ϕ∆

-------

–

45°

----------

----

–==

m0U

ˆP

⁄=

⁄

-90

Arg{Y

} in

f/f

Start

unbelastet

belastet

ild 2.25: Startroutine

nd Berechnungen für

en adaptiven Phasen-

egelkreis (APLL). Ziel

st die Anpassung der

chleifenverstärkung

es Phasenregelkrei-

es, die wegen der Pro-

essdämpfung starken

chwankungen unter-

iegt.

˜K0

Zmω0

()

˜ω

˜0

()

------------------ ϕm

()cos=

K0f∆ϕ∆

-------f0f1

–

45°

--------------

m0ω0

()

˜m0ω

˜0

() ω

˜0cmcL

+()m

⁄=

-----Zmω0

()

˜ω

˜0

()

--------------

----

2.5 Regelungsverfahren für Ultraschall-Aktoren 37

Für den Fall, dass ein sehr langsamer Regelkreis

aufgebaut wurde (z. B. mit Hilfe einer Laborein-

richtung auf Basis von HPIB-Schnittstellen) bie-

tet sich nach [45] eine Erweiterung an. Dazu wer-

den kleine Abweichungen der aktuell gemesse-

nen Impedanzen zugelassen. Es ergibt sich dann

entsprechend Bild 2.26 die Gleichung

. (2.25)

Die aktuelle Verstärkung des Schleifenfilters be-

rechnet sich demzufolge nun aus

, (2.26)

und erlaubt somit die Kompensation der Steigungsänderung der PLL, die durch eine Dämp-

fung des piezoelektrischen Systems verursacht wird. Der Winkel ist dabei die aktuell

ermittelte Phase der Kernadmittanz .

Die APLL benötigt eine möglichst genaue Vorgabe der Piezokapazität . Die Genauigkeit

muss dabei um so höher sein, je geringer die Gütezahl des Aktors während des Betriebs

wird. Lässt man bei der Vorgabe der Kapazität zu große Toleranzen zu, versagt ggf. der

APLL-Algorithmus. Kritisch ist in diesem Zusammenhang auch die hohe Temperaturab-

hängigkeit der Piezokapazität zu sehen. Im Folgenden wird das APLL-Verhalten genauer

erläutert und mit Messungen belegt.

Die Phasenverläufe eines Piezoak-

tors mit einer Gütezahl von

und einer Bandbreite von

sind in Bild 2.27 darge-

stellt. Außerdem finden sich in

dem Bild noch die geschätzten

Verläufe für den Fall, dass die

Schätzung der Piezokapazität

eine Abweichung aufweist:

. (2.27)

Der in Bild 2.27 grau dargestellte

Bereich wird begrenzt durch

gestrichelte Linien welche die

Maximalwerte von markieren und repräsentieren eine prozentuale Abwei-

chung der geschätzten zur tatsächlichen Kapazität von . Diese Abweichungen kön-

nen durch eine von Anfang an fehlerhaft identifizierte Kapazität oder durch die Kapazitäts-

drift verursacht durch die Erwärmung des Aktors verursacht werden. Selbstverständlich ist

Im{Zm}

Zm0(ω0)Re{Zm}

(ω)

ϕm

Bild 2.26: Ortskurve der Kern

Impedanz eines belasteten Aktors.

-----

mω0

()

˜ω

˜0

()

------------------ ϕm

()cos=

˜K0

mω0

()

˜ω

˜0

()

------------------ ϕm

()cos=

mω()

-60

-40

-20



∆



∆

 

∆

 





19.08 19.1 19.12 19.14

Bild 2.27: Reale und geschätzte Phasenverläuf

eines Piezoaktors für bei exakt bekannter Pie

zokapazität ( ) und bei fehlerbehafteten Schä

zungen in einem Bereich von .

Pso

∆

0,4...0,4–=

M3,5

≈

B92 Hz

≈

∆

Pist,

Pso

–

CPsoll,

--------------------------------

----

∆

0,6...1,4=

40%

38 2 Piezoelektrische Systeme

eine Überlagerung beider Fehler zu berücksichtigen. Erkennbar ist eine Abweichung zwi-

schen den Phasennulldurchgängen der Eingangsadmittanz und der Kernadmittanz

für den Fall, dass die Piezokapazität exakt bekannt ist ( ). Diese Abweichung ist auf

die Näherung zurückzuführen, die besagt, dass der Phasennulldurchgang der

elektrischen Eingangsadmittanz mit dem der Kernadmittanz zusammenfällt. Der Fehler, der

sich dabei ergibt ist allerdings vernachlässigbar. Sobald sich die geschätzte Kapazität

von ihrem realen Wert unterscheidet, wird der berechnete Phasennulldurchgang der Kernad-

mittanz fehlerhaft bestimmt, so dass auch die errechnete Resonanzfrequenz nicht mit

dem realen Wert übereinstimmt. Wichtig ist es zu bemerken, dass der Effekt um so gravie-

render wird, je kleiner die Gütezahl wird. Diese Zusammenhänge werden an Bild 2.28

erläutert. Es liegt der gleiche Aktor vor, der allerdings durch Prozessdämpfung nur noch

eine Gütezahl von bei einer Bandbreite von aufweist. Aufgrund der

niedrigen Gütezahl weist die Phase der Eingangsadmittanz keinen Nulldurchgang

auf. Im Falle einer exakt bestimmten Piezokapazität stimmen der reale und der geschätzte

Verlauf der Phase überein. Je größer die Abweichung zwischen der geschätzten zur rea-

len Piezokapazität ist, desto größer wird auch die Differenz zwischen Schätzung und realem

System. In dem in Bild 2.28 dargestelltem Fall tritt für eine Abweichung von

links bzw. rechts vom Phasennulldurchgang der Resonanz eine weitere Null-

stelle auf. Wächst der Fehler der identifizierten Kapazität weiter an (z. B. )

droht sogar der Phasennulldurchgang des geschätzten Systems zu verschwinden. In dem in

Bild 2.28 dargestellten Fall würde dazu eine leichte weitere Verringerung der Gütezahl aus-

reichen. In diesem Fall könnte die Regelung nicht mehr funktionieren.

Die theoretisch erarbeiteten Ergebnisse zur Empfindlichkeit des APLL-Algorithmus hin-

sichtlich der identifizierten Piezokapazität können messtechnisch belegt werden.

Dazu wurde eine Messreihe durchgeführt, für die ein Aktor in ein Wasserbad eingetaucht

wurde. Durch die Dämpfung des Wassers kann bequem die Gütezahl verstellt werden, in

dem die Eintauchtiefe variiert wird. Die aufgenommen Kennlinien sind in Bild 2.29 darge-

stellt, wobei die unterschiedlichen Eintauchtiefen mit den Buchstaben a...d gekennzeichnet

sind. Der APLL-Algorithmus berechnete die geschätzten Phasenverläufe für eine exakt

angegebene sowie jeweils für eine zu groß und zu niedrig vorgegebene Kapazität. Nur die

Pso

ϕel,0 ϕm

≈

˜m

-75

-50

-25

18 18.5 19 19.5 20



∆



∆

 

∆

 

∆

 

∆

 





Bild 2.28: Berechnete Phasenverläufe bei Gütezahlen .ϕ

M0,87

≈

B370 Hz

≈

el ω()

∆

0,15

∆

0,4

2.5 Regelungsverfahren für Ultraschall-Aktoren 39

mit dem exakt identifizierten Kapazitätswert arbeitende APLL bildet den Phasenverlauf

präzise ab, vgl. Bild 2.29 b. Mit zunehmender Eintauchtiefe (oder abnehmender Gütezahl)

erkennt man durch Vergleich von Bild 2.29 a und c mit Bild 2.29 b, dass die errechneten

Nulldurchgänge leicht entlang der Frequenzachse verschoben sind. Gleichzeitig verdeutli-

chen die Kennlinien bei zunehmender Dämpfung, also für größere Eintauchtiefen, dass die

berechneten Phasenkennlinien keinen Nulldurchgang mehr abbilden. Das trifft in Bild

2.29 a für Kennlinie d, und in Bild 2.29 c für die Kennlinien c und d zu.

-100

100

-100

100

-100

100

18 18.5 19 19.5

kHz

∆

= 0,167

∆

= 0 (exakt)

inϕ

cba

∆

= -0.167

Eintauch-

tiefe

Eintauch-

tiefe

Eintauch-

tiefe

Bild 2.29: Einfluss einer fehlerhaft identifizierten Piezokapazität auf den APLL-Algo-

rithmus. Dämpfung eines Aktors durch Eintauchen in Wasser.

a) zu groß angenommene Kapazität ,

b) exakte Kapazität und

c) zu klein angenommene Kapazität .

∆

0,167=

∆

0,167–=

40 2 Piezoelektrische Systeme

2.5.3 Strommaximum

Der Rechenaufwand zur Regelung piezoelektrischer Aktoren mit Hilfe der Phasenregel-

kreise ist zum Zeitpunkt des Verfassens der vorliegenden Arbeit noch erheblich. Verwendet

man statt des Phasennulldurchgangs der elektrischen Eingangsadmittanz das frequenzab-

hängige Amplitudenmaximum des Aktorstroms als Indikator für die Resonanzfrequenz,

kann ein wesentlich einfacherer Regelungsalgorithmus verwendet werden.

Zu jedem Abtastzeitpunkt wird der nächste Frequenzschritt aus der momentanen

Laststromänderung und dem vorangegangenen Frequenzschritt berechnet,

vgl. mit der schematischen Darstellung nach Bild 2.30. Den jeweiligen Arbeitspunkten (A,

B) entsprechend kann somit eine Tabelle erstellt werden, die den gesamten Regelalgorith-

mus abbildet.

Nachteilig an diesem Regelungskonzept ist, dass man sich je nach Frequenzschrittweite

immer um das Maximum des Stromes und somit um die Resonanz des Aktors herum

bewegt. Je nach gewählter Schrittweite kann man somit relativ präzise die Resonanzfre-

quenz treffen. Wird die Schrittweite aber sehr gering gewählt, dauert der Anregelvorgang,

bis die aktuelle Resonanzfrequenz gefunden wird, länger. Sinnvoll ist demzufolge eine

dynamische Schrittweitenanpassung: Ist die Änderung des Stromes nur gering, dann ist die

Frequenz noch weit von der Resonanz entfernt. Daher kann eine größere Schrittweite

gewählt werden. Bei kleinen Änderungen der Stromamplitude erfolgt bereits eine Anregung

des Aktors in der Nähe der Resonanz, und im Interesse einer möglichst präzisen Regelung

sollte die Frequenzschrittweite reduziert werden.

Eine schaltungstechnische Realisierung bestehend aus einem Abtast-Halteglied sowie eini-

gen digitalen und analogen Bauelementen wird in [30] präsentiert.

Arbeits-

punkt

>0 >0 A >0

>0 <0 B <0

<0 >0 B <0

<0 <0 A >0

Tabelle 2.1:Wertetabelle für den Strommaximum-Regler.

()

∆

N1–

()

()∆

fN 1–

()∆

()

ip(f)

Bild 2.30: Resonanzregelung mit Hilfe

des Strommaximums, vgl. [30]. Ausge-

hend vom momentanen Betriebspunkt

A bzw. B und von der im vorherigen

Abtastschritt ausgeführten Frequenz-

änderung, wird entweder die Frequenz

vergrößert oder verringert.

2.6 Zusammenfassung und Auswahl geeigneter Leistungsverstärker-Topologien 41

2.6 Zusammenfassung und Auswahl geeigneter

Leistungsverstärker-Topologien

Die Ergebnisse zum Stand der Technik zeigen, dass sich piezoelektrische Aktoren in der

Ultraschalltechnik bereits seit vielen Jahren in vielfältigen Anwendung durchgesetzt haben.

Neue Anwendungsgebiete sind vor allem Schwingungsmotoren, wie sie beispielsweise in

Objektiven aktueller Spiegelreflexkameras zum Einsatz kommen. Klassische Anwendun-

gen sind die Ultraschall-Reinigung sowie das Ultraschall-Schweißen.

Hinsichtlich der Spannungsversorgungen konzentrieren sich naturgemäß die Tagungsbei-

träge der letzten Jahre in erster Linie auf die innovativeren Anwendungen. Da diesen aber

größtenteils eine höhere Dämpfung des piezoelektrischen Aktors inne wohnt, sind ihre

Energieversorgungskonzepte nur bedingt auf schwach gedämpfte Systeme übertragbar [48].

Gerade zu diesen schwächer gedämpften Systemen gibt es nur wenig Literatur. Die ein-

schlägigen Hersteller von Leistungsverstärkern zur Speisung der Aktoren bedienen in der

Hauptsache die Reinigungs- oder Schweißindustrie. Wegen der ohnehin voluminöseren

Anlagen kommt es dabei nicht auf einen platzsparenden oder leichten Aufbau an. Werden

diese Geräte in Ermangelung geeigneter Alternativen für neuartige Anwendungen einge-

setzt, sind sie meist überdimensioniert und tragen dem jeweils vorliegendem Prozess kaum

Rechnung. Aber gerade im Falle einer handgeführten Ultraschallanwendung (z. B. Dental-

werkzeuge) ist ein hohes Maß an Miniaturisierung und ein hoher Wirkungsgrad der speisen-

den Leistungselektronik interessant.

Zur Regelung der Aktoren existieren einige Konzepte, die einen optimalen Arbeitspunkt

gewährleisten. Ihre jeweiligen Vor- und Nachteile sind in Kap. 2.5 erörtert worden. Damit

die Leistungsaufnahme minimiert wird, bietet es sich an, sofern die Gütezahl des Aktors

größer zwei ist, den Aktor im Phasennulldurchgang der elektrischen Eingangsadmittanz zu

betreiben. In diesem Fall nimmt der Aktor keine Blindleistung auf. In Betracht kommen aus

diesem Grund nur Phasenregelkreise (PLL oder APLL).

Die Motivation der vorliegenden Arbeit ist die Erarbeitung der Grundlagen für ein ganz-

heitlich abgestimmtes Ultraschallwerkzeug, um auf dieser Basis schließlich weiterführende

Entwurfsrichtlinien formulieren zu können. Diese Grundlagen müssen vor allem auch die

Energieversorgung des Aktors beinhalten. Schließlich können nur mit einem umfassenden

Systemansatz optimierte Ultraschallsysteme entworfen werden. Auf Basis der vorangegan-

genen Recherchen wird eine Spannungsversorgung vorgesehen, die eine einfache Eingangs-

stufe in Form einer direkten Netzgleichrichtung darstellt, siehe auch Bild 2.22. Dies redu-

ziert den Aufwand zur Bereitstellung der Zwischenkreisspannung auf ein Minimum,

gewährleistet geringe Verluste und eine hohe Dynamik der Amplitudenregelung. Die Aus-

wahl der Wechselrichterstufen beschränkt sich auf zwei Resonanzstromrichter. Als weiterer

Ansatz werden Pulsstromrichter mit nicht-resonantem Filter untersucht.

Bevor mit der Analyse der ausgewählten Leistungsverstärker-Topologien in Kap. 4 begon-

nen wird, soll in Kap. 3 zunächst noch der Entwurf und die Synthese der piezoelektrischen

Aktoren und ihrer Werkzeuge (im Folgenden auch Schwingeinheiten bezeichnet) vorge-

stellt werden. In Kap. 5 erfolgt schließlich die Zusammenführung beider Entwurfsprozesse

und die Betrachtung des Gesamtsystems.

42 3 Modellierung und Analyse piezoelektrischer Schwingeinheiten

3 Modellierung und Analyse piezoelektrischer

Schwingeinheiten

Zur Berechnung der Belastungsgrößen der

Wechselrichterstufe in einem Verstärker

zur Speisung piezoelektrischer Schwing-

einheiten wird im Allgemeinen ein Ersatz-

schaltbild gemäß Bild 3.1 verwendet.

Diese Darstellung berücksichtigt alle

möglichen Schwingungsmoden in Form

von Serienresonanzschwingkreisen.

Schwingungsformen können z.B. Längs-,

Dicken- oder Torsionsschwingungen sein.

Das Ersatzschaltbild verdeutlicht, dass je

nach Spannungsanregung der Aktor unerwünschte Bewegungen ausführt. So können auch

mehrere Schwingungsformen gleichzeitig angeregt werden, was zu einer erhöhten Lei-

stungsaufnahme führt und vermieden werden sollte. Üblicherweise interessiert je nach

Anwendungsfall nur eine einzige Schwingungsform, und alle anderen können vernachläs-

sigt werden. Im Ergebnis erhält man das vereinfachte Ersatzschaltbild gemäß Bild 2.12 b,

und die im Folgenden durchgeführten Betrachtungen beziehen sich ausschließlich auf diese

Darstellung. Die Parameter erhält man aus einer messtechnischen Identifikation des zuvor

aufgebauten Aktors, wie sie z. B. in [45] vorgestellt wurde. Diese Parameter sind dann nur

für diesen bestimmten Aktor anwendbar. Wünschenswert ist eine mathematisch basierte

Auslegung, wie sie z. B. von der Entwicklung elektrischer Schaltungen bekannt ist. Idealer-

weise können dazu zunächst die Ersatzschaltbild-Parameter berechnet werden, bevor der

Aktor physikalisch realisiert wird. Von besonderem Interesse ist dabei die Kenntnis der

Parameter in Abhängigkeit von den Entwurfsvorgaben, wie z. B.

• Material der verwendeten Piezoscheiben

• Anzahl der Piezoscheiben

• Material der Endmasse und des Transformationsstückes

• gewünschte Schwingamplitude an der Sonotrode

• minimale Phase der Kurzschluß-Eingangsadmittanz bei bekannter maximaler Bela-

stung des Aktors

Ein analytisches Modell, welches diese Parameter beinhaltet, erlaubt die Berechnung der

Belastungsgrößen für alle leistungselektronischen Komponenten, wodurch u. a. Verlust-

leistungsberechnungen, Wirkungsgradabschätzungen, Berechnung der Volumina magneti-

scher Bauteile und Kühlkörper sowie Berechnungen des Scheinleistungsbedarfs möglich

werden. Dies erlaubt bereits im Entwurfsprozess die Entwicklung aufeinander abgestimm-

ter Verstärker und piezoelektrischer Aktoren. Ferner ist nur dann eine Systemoptimierung

möglich, die z. B. höchstmöglichen Stromrichternutzungsgrad oder minimalen Blind-

uCp

Rm,0

Cm,0

Lm,0

Rm,1

Cm,1

Lm,1

Rm,n

Cm,n

...

Lm,n

Bild 3.1: Ersatzschaltbild mit n Resonanz

frequenzen.

leistungsbedarf gewährleistet und den mechatronischen Entwurfsprozess effizient und ziel-

führend gestaltet.

In diesem Kapitel erfolgt zunächst die allgemeine Modellierung eines einfachen Dehnsta-

bes, wie er als Basiselement in Form der Endmasse und des Horns des piezoelektrischen

Anregesystems benötigt wird. Die Auslegung der mechanischen Teilsysteme erfolgt dabei

als ungedämpfte Systeme. Ziel ist es, eine möglichst einfache, aber für den Entwurfsprozess

hinreichende, analytische Beschreibung zu finden. Besonders geeignet ist dabei eine

Matrixschreibweise, mit der eine Aneinanderreihung verschiedener Dehnstäbe leicht

berechnet werden kann. Wichtig ist dies z. B. bei der Modellierung und Auslegung geeigne-

ter Transformationsstücke zur Einstellung der geforderten Schwingamplitude.

In einem zweiten Schritt werden die aktiven Piezoringe, die das System zu seinen Schwin-

gungen anregen sollen, modelliert. Die Basis dafür sind die piezoelektrischen konstitutiven

Gleichungen, die letztlich auf die Berechnung der Kurzschluss-Eingangs- und -Kernadmit-

tanz führen.

Die Zusammenführung der Einzelmodelle zu einem vollständigen piezoelektrischen Aktor

erfolgt im Anschluss. Dann können die berechneten Größen auf das aus Kap. 2 bekannte

Ersatzschaltbild umgerechnet werden, sodass man dessen verwendete Ersatzparameter voll-

ständig auf Geometrie- und Materialparameter zurückführen kann. Im Rahmen der Validie-

rung werden die Abweichungen zwischen dem mathematischen Modell und einem realen

Aktor, der messtechnisch parametriert wurde, bestimmt.

Zu beachten ist in diesem Zusammenhang, dass die Last des Ultraschall-Prozesses in dem

Ersatzschaltbild als eine Dämpfung bzw. ohmsche Last dargestellt wird. Das hier verwen-

dete Aktormodell berücksichtigt jedoch keine Dämpfungen.

Im Gegensatz zu diesem augenscheinlichen Widerspruch hat es sich in der Praxis bewährt,

den Entwurf von Ultraschallwandlern anhand der frei schwingenden Geometrie durchzu-

führen, und die Aktoren auf die gewünschte Resonanzfrequenz abzustimmen. Dazu passend

wird der Modellansatz mit frei schwingendem Rand gewählt. Arbeitet der resonant abge-

stimmte piezoelektrische Aktor nun in einem dämpfenden Ultraschallprozess, sind die

Randbedingungen des frei schwingenden Falles nicht mehr exakt erfüllt. Die im Rahmen

der vorliegenden Arbeit durchgeführte Modellbildung für Systeme unter Last darf daher nur

für diejenigen Anwendungsfälle angewendet werden, bei denen eine geringe Leistungs-

durchleitung stattfindet – die Schwingungsform wird durch die Last also nicht signifikant

verändert. Die Dämpfung der Schwingeinheit durch einen Ultraschallprozess wie z. B.

Drahtbonden oder Stehwellenzerstäubung ist oftmals nicht bekannt und kann häufig nur

durch Vorversuche grob abgeschätzt werden. Daher werden in der Praxis die Schwingein-

heiten der verwendeten Ultraschallwerkzeuge so gestaltet, dass selbst die stärkste auftre-

tende Prozessdämpfung nur zu einer geringfügigen Dämpfung des Schwingkreises führt.

Daraus resultiert eine vereinfachte elektrische Speisung und Regelung des Systems, da der

Resonanzkreis für alle durch den Prozess aufgebrachten Dämpfungen nur wenig verändert

wird.

Für diese Anwendungsfälle, bei denen also durch konstruktive Anpassung der Ultraschall-

Schwingeinheit an den Prozess für schwache Bedämpfung gesorgt wird, ist die hier

gewählte vereinfachende Modellbildung in hinreichender Näherung gültig.

44 3 Modellierung und Analyse piezoelektrischer Schwingeinheiten

Die Modellierung eines vollständigen piezoelektrischen Aktors, der die Endmasse, das

Horn und ein zweiteiliges Transformationsstück umfasst, erfolgt anhand der Skizze nach

Bild 3.2, die den Aufbau und die Struktur einer frei schwingenden piezoelektrischen

Schwingeinheit darstellt. Es handelt sich dabei um einen gegenüber Bild 2.2 leicht abgeän-

derten Aufbau, indem auf ein Transformationsstück verzichtet wurde.

Der Aktor besteht typischerweise aus der Endmasse M und der Sonotrode oder Horn H.

Zwischen diesen beiden Komponenten befinden sich die Piezoelemente P, die üblicher-

weise mit Hilfe einer Schraube zwischen der Endmasse und Horn vorgespannt werden, vgl.

auch mit Kap. 2.1 und [1, 4]. Im Rahmen der Modellierung wird diese Schraube vernachläs-

sigt, und wird stattdessen als Teil der Endmasse bzw. des Horns betrachtet. Der Fehler, der

durch diese Vereinfachung entsteht, ist hinsichtlich des Ziels dieser Modellierung – ein rela-

tiv einfaches analytisches Modell einer Schwingeinheit zu erstellen – vertretbar. Zur Ver-

stärkung der Schwingamplitude wird an das Horn ein Transformationsstück T geschraubt,

dessen Querschnittsübergang zur gewünschten Amplitudenverstärkung führt. Die beiden

Teilbereiche des Transformationsstückes werden mit T1 und T2 bezeichnet. Der Verlauf der

Auslenkung und der mechanischen Spannung entlang der Ortskoordinate wird in Bild

3.2 b verdeutlicht.































Bild 3.2: Modellierung einer frei schwingenden piezoelektrischen Ultraschall-

Schwingeinheit: a) einfache Struktur bestehend aus dem piezoelektrischen

Anregesystem mit der Endmasse M, Piezoelemente P, Horn H und einem

Transformationsstück mit den Bereichen T1 und T2 ,b) Verlauf der Auslen-

kungsamplitude und der mechanischen Spannungsamplitude

des unbelasteten Aktors entlang der Ortskoordinate x, c) Freischnitt der

einzelnen Aktorkomponenten

x()

3.1 Modell eines Dehnstabes 45

Zu beachten ist, dass hier der frei schwingende Fall dargestellt ist. Soll mit dem Aktor Lei-

stung übertragen werden, müssen an den beiden Enden des Aktors sowohl die Geschwin-

digkeit als auch die Kraft ungleich Null werden. Praktisch ist dies durch eine Frequenzände-

rung realisierbar. Die im Bild 3.2 b skizzierten Kurvenformen würden sich entlang der x-

Achse verschieben.

Ein allgemeiner Freischnitt der jeweiligen Teilbereiche, der Kräfte und Geschwindigkeiten

an den einzelnen Grenzen berücksichtigt, ist in Bild 3.2 c dargestellt. Der dargestellte Über-

gang zwischen den Piezoelementen P und dem Horn H ist in der Praxis so nicht realisierbar

und es würde eher ein Übergang gemäß Bild 2.2 vorgesehen werden. Im Rahmen der

Modellierung ist diese Darstellung allerdings zweckmäßig und verursacht vertretbare

Modellierungsfehler. Weitere Ausführungen, in denen die Differenz zwischen stufigem und

exponentiellem Übergang genauer untersucht wird, findet man in [45]. Eine zusätzliche

wesentliche Vereinfachung ist die Auslegung der Endmasse, des Horns und des Transfor-

mationsstücks unter Vernachlässigung der Materialdämpfung.

3.1 Modell eines Dehnstabes

Das Modell der Endmasse und des Horns kann auf die kontinuumsmechanischen Betrach-

tungen eines einfachen Dehnstabes zurückgeführt werden [45], siehe Bild 3.3. Die Quer-

schnittsfläche und die Materialeigenschaften sollen dabei entlang der Ortskoordinate

konstant bleiben (Elastizitätsmodul und Dichte ). Es greifen die links- und rechtsseiti-

gen Kräfte und an, und es stellen sich die Geschwindigkeiten an den Randflächen

bzw. ein.

In dem Dehnstab breitet sich eine Welle aus, deren Auslenkung durch eine eindimensio-

nale Wellengleichung beschrieben wird [1, 14, 43]:

. (3.1)

Die Variable ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit

der Welle im jeweiligen Material und berechnet sich

aus dem E-Modul des verwendeten Materials und der

Dichte zu .

Mit Verwendung des Separationsansatzes wird

in einen orts- und zeitabhängigen Anteil aufgespalten.

Für harmonische Schwingungen und für den Fall, dass

die Einschwingvorgänge nicht von näherem Interesse

sind, kann für den zeitabhängigen Teil der Ansatz

verwendet werden [9]. Man erhält dann

, (3.2)

und die Wellengleichung reduziert sich auf die Form

. (3.3)

A, E





Bild 3.3: Dehnstab.

w'' xt,() w

··

,()=

Emρ⁄=

wxt

,()

xt,() W

x()ejω

∂

∂W

ˆx() 2π

------





ˆx()+

46 3 Modellierung und Analyse piezoelektrischer Schwingeinheiten

Deren stationäre Lösung ist mit

(3.4)

gegeben [43]. Zur Bestimmung der Konstanten und wird die Amplitude der mecha-

nischen Spannung , die ebenfalls von der Ortskoordinate abhängig ist, benötigt. Sie

ergibt sich mit der Dehnung bzw. mit der Auslenkung aus

. (3.5)

Als zusätzliche Nebenbedingungen werden die beidseitig angreifenden Kräfte verwendet

()

sowie , (3.6)

und die Geschwindigkeiten an den beiden Enden werden mit

bzw. (3.7)

vorgegeben. Als Ergebnis erhält man einen Ausdruck für die Geschwindigkeit bzw.

Kraft am rechten Ende des Dehnstabes, welche mittels einer Übertragungsmatrix K dar-

gestellt werden kann:

(3.8)

bzw.

. (3.9)

Ein wesentlicher Vorteil der Verwendung von Matrizen ist, dass mehrere Dehnstäbe anein-

andergereiht berechnet werden können. Dies spielt beispielsweise bei der Berechnung von

Transformationsstücken mit der Gesamtlänge einer halben Wellenlänge eine entschei-

dende Rolle, da es sich hier prinzipiell um zwei aneinandergesetzte Dehnstäbe der gleichen

Länge mit unterschiedlichen Querschnitten aber gleichem Material handelt.5 Angelehnt

an [45] werden die Querschnittsflächen der beiden Bereiche mit und

vorgegeben. Die Gesamtübertragungsmatrix eines Transformationsstückes berechnet sich

somit nach Gl. (3.8) zu

5. Halbwellensynthese

ˆx() C12π

------ x





cos C22π

------ x





sin+=

x()

ˆx() ES

x() Ex∂

∂W

()==

TFA

⁄

0()A–= F

l()–

0()=V

ˆl

()=

ˆ2

2π

------ l





cos jω

2π

------ AEm

------------------2π

------ l





sin–

j2π

------ AEm

--------------------2π

------ l





sin –2π

------ l





cos

ˆ1

K1– V

ˆ2

⁄

2αK

3.1 Modell eines Dehnstabes 47

. (3.10)

Da beide Teile des Transformationsstücks aus dem gleichen Material bestehen, mit der glei-

chen Frequenz schwingen, und sich nach [45] der Querschnittsübergang im Schwingungs-

knoten befinden soll, lassen sich damit entsprechende Lösungen angeben. Dazu müssen die

beiden Teilbereiche der Länge einer Viertelwellenlänge bzw. entsprechende Vielfache

entsprechen. Es gilt:

mit , (3.11)

wobei für die Grundschwingung zu verwenden ist. Die entsprechende Resonanzfre-

quenz lautet

. (3.12)

Nach Einsetzen in Gl. (3.10) erhält man die Transformationsmatrix für den Anregungsfall

genau in Resonanz

. (3.13)

Im Rahmen dieser Arbeit genügt es, gestufte Transformationsstücke zu betrachten. In der

Praxis werden allerdings konische, exponentielle oder radiale Querschnittsübergänge

bevorzugt, um die zulässigen mechanischen Spannungen nicht zu überschreiten. Ziel des

hier verwendeten Aktormodells ist eine einfache mathematische Beschreibung, so dass der

Fehler, der sich aus dieser Vereinfachung ergibt, in Kauf genommen wird. Darüber hinaus

wurde in [45] gezeigt, dass dieser Berechnungsfehler in einem vetretbaren Rahmen liegt

(um 10%). Für weitergehende Ausführungen sei ferner auf [1] hingewiesen.

TKT2KT1

2π

------ l





cos21

αK

-------2π

------ l





sin2

–

jω11

αK

-------





22π

------ l





sin

22π

------ AEm

------------------------------------------------------

–

2π

------ AEm1αK

+()22π

------ l





sin

j2ω

------------------------------------------------------------------ 2π

------ l





cos2αK

22π

------ l





sin2

–

------ l⋅kπ

---

⋅=

k1, 3, 5, ...=

k1=

ω0π

----

⋅=

αK

------- –0

0αK

–

48 3 Modellierung und Analyse piezoelektrischer Schwingeinheiten

3.2 Modellierung der piezoelektrischen Elemente

Nach der Berechnung der örtlichen Auslenkung

des passiven Materials erfolgt nun die Betrach-

tung der aktiven piezoelektrischen Elemente.

Dazu werden die konstitutiven Gleichungen in

der Form

(3.14)

(3.15)

verwendet6, siehe [44, 47]. Hier ist die Deh-

nung, die mechanische Spannung im Mate-

rial und ist die elektrische Verschiebungs-

dichte. Als Materialkonstanten werden die Ela-

stizitätskonstante , die piezoelektrische Ladungskonstante sowie die Dielektrizitäts-

konstante eingesetzt. Diese Größen können aus Datenblättern des Herstellers

entnommen werden. Es wird die Spannung an die Piezoelemente mit der Anzahl

gelegt, und die Piezoelemente haben die Dicke . Der Index P zeigt an, dass es sich hier

um Größen innerhalb des piezoelektrischen Materials handelt.7 Die Skizze in Bild 3.4 ver-

deutlicht diese Angaben. Außerdem findet man hier links und rechts des piezoelektrischen

Materials die Endmasse M sowie das Horn H. Verbunden werden diese beiden Bauteile

durch einen Bolzen, der durch die Piezoringe hindurch geht. Er sorgt für eine mechanische

Vorspannung der piezoelektrischen Ringe und verhindert deren Zugbelastung. Bei zu hohen

Zugbelastungen besteht die Gefahr, dass das Material mechanisch beschädigt wird, vgl.

auch Kap. 2.1.

Es wird für die hier behandelten Schwingeinheiten die Annahme getroffen, dass die resul-

tierende Dicke der Piezoscheiben klein zur Länge der schwingenden Endmasse und zum

Horn ist ( ). Mit guter Näherung kann dann der Verlauf der Dehnung (relative Län-

genänderung) bezüglich der Ortskoordinate als konstant angenommen werden. Sie wird

in der Form

(3.16)

dargestellt. Mit Verwendung der Geschwindigkeit als Ableitung der Auslenkung nach

der Zeit erhält man

6. Die Aktoren, die hier behandelt werden, nutzen typischerweise den sog. -Effekt. Damit eine

übersichtliche Schreibweise eingehalten werden kann, werden die üblichen Angaben der Raum-

richtungen (z. B. ), die dem anisotropen Verhalten des piezoelektrischen Materials Rechnung

tragen, weggelassen.

7. Im folgenden kennzeichnen die Indizes H, M und P, dass es sich um Materialeigenschaften des

Horns H, der Endmasse M oder der Piezoringe P handelt.

+- -++

x,w

uCp

PPP P

Bild 3.4: Piezoelemente mit der

Endmasse M links und dem Horn H

rechts.

PsP

ˆPdP

----

ˆPdPT

ˆPεP

----

ˆP

ε3

ˆP

Pλ

⁄

ˆP

PW∆P

kPhP

----------- W

P2W

–

kPhP

-----------------------

----

ˆP

3.2 Modellierung der piezoelektrischen Elemente 49

. (3.17)

Für die weitere Berechnung werden nun zunächst die Randbedingungen für die Modellie-

rung eingeführt. Die Kraft an der linken Randfläche der Endmasse (Index M1) und an der

rechten Randfläche des Horns (Index H2) ist unter diesen Annahmen gleich Null (siehe

auch Bild 3.2)

. (3.18)

Ausgehend von den Kräften und Schwinggeschwindigkeiten an den Randflächen der End-

masse ( ) und des Horns ( ) werden die Schwinggeschwindigkeiten an den Grenz-

flächen zum piezoelektrischen Material berechnet. Dazu kann das Modell bzw. die Übertra-

gungsmatrix des Dehnstabes verwendet werden, welche im vorangegangenen Abschnitt

bestimmt wurde. An den Grenzflächen ist

und (3.19)

sowie

und (3.20)

einzusetzen. Setzt man die Randbedingungen nach Gl. (3.18) bis Gl. (3.20) in die Übertra-

gungsmatrix nach Gl. (3.8) ein, ergibt sich demzufolge

. (3.21)

Die Geschwindigkeit erhält man in ähnlicher Weise durch Einsetzen in die inverse

Übertragungsmatrix (Gl. (3.9))

. (3.22)

Die beiden Geschwindigkeiten an den Randflächen des piezoelektrischen Materials sind

jetzt auf die Verhältnisse an den beiden Randflächen zurückgeführt worden. Die Dehnung

innerhalb des piezoelektrischen Materials kann somit durch Einsetzen in Gl. (3.17) berech-

net werden. Aufgrund der Annahme des frei schwingenden Systems sind die am piezoelek-

trischen Material angreifenden Kräfte wegen ihrer zur Endmasse und dem Horn vernachläs-

sigbaren Masse bezüglich ihrer Amplitude gleich. Man erhält mit

die Dehnung

. (3.23)

Für die verwendete Funktion werden die Substitutionen ,

sowie und verwendet. Eine weitere Vereinfachung des Aus-

P2V

–

jωkPhP

--------------------

----

M1F

P1V

P2V

P1F

–=

P2F

–H

M2V

nMAMEM

---------------------- nMlM

()cot F

⋅⋅==

ˆH1V

ˆP2ω

jnHAHEH

-----------------------nHlH

()cot F

ˆH

⋅⋅==

H1F

M2T

–===

ˆP

kPhP

----------- 1

nHAHEH

--------------------- nHlH

()cot 1

nMAMEM

---------------------- nMlM

()cot+





⋅T

ˆP

⋅1

gω()

------------T

⋅==

ω()

Mω

⁄

Hω

⁄

McM

HcH

50 3 Modellierung und Analyse piezoelektrischer Schwingeinheiten

drucks kann durch Verwendung der Impedanzen und

erreicht werden. Es ist damit

. (3.24)

Die Funktion ist als frequenzabhängige Steifigkeit zu interpretieren, die alle wesentli-

chen geometrischen und materialbezogenen Eigenschaften des piezoelektrischen Materials

berücksichtigt. Dieser Ansatz wird verwendet, um im folgenden Kapitel in den konstituti-

ven Gleichungen die Dehnung zu ersetzen und somit eine wesentliche Vereinfachung der

weiteren Berechnung zu ermöglichen.

3.2.1 Elektrische Eingangsadmittanz

Aus Sicht des Entwurfs der Speiseeinrichtung kommt der Kurzschluss-Eingangsadmittanz

besondere Bedeutung zu, da sie das Klemmenverhalten des piezoelektrischen

Aktors in der Nähe zur mechanischen Resonanz repräsentiert. Sie lässt sich als Näherung

berechnen, indem die Dehnung in die in Gl. (3.14) gegebene konstitutive Gleichung einge-

setzt wird. Man erhält die mechanische Spannung

. (3.25)

Zur weiteren Umformulierung von Gl. (3.15) wird zunächst die Ladung als Integral der

dielektrischen Verschiebungsdichte über der gesamten Elektrodenoberfläche unter Berück-

sichtigung der Anzahl der Piezoelemente berechnet:

. (3.26)

Mit dem Strom als zeitliche Ableitung der Ladung erhält man somit für die dielektrische

Verschiebungsdichte

. (3.27)

Dies eingesetzt in Gl. (3.15) und unter Verwendung von Gl. (3.27) erhält man den Ausdruck

, (3.28)

welcher umgestellt die elektrische Eingangsadmittanz ergibt:

MρM

HρH

ω() ω

----------------

-------ωlH

------





cot⋅ω

------





cot+

-------------------------------------------------------------------

----

⋅=

ω()

ˆP

⋅

hP1

gω()

------------sP

–





--------------------------------

---

ˆP

PkPD

ˆPA

∫

ˆP

jωkPAP

-------------------

ˆP

⋅=

jωkPAP

-------------------dP

hP1

gω()

------------sP

–





----------------------------------- u

ˆCp

⋅ε

----

⋅+=

3.2 Modellierung der piezoelektrischen Elemente 51

. (3.29)

Für den statischen Fall erhält man die Admittanz eines Kondensators mit der

Kapazität (vgl. Gl. (2.5))

. (3.30)

3.2.2 Kurzschluss-Kernadmittanz

Die Kurzschluss-Kernadmittanz, siehe Kap. 2.3, wird zur Charakterisierung und Auslegung

einer piezoelektrischen Schwingeinheit ebenfalls benötigt. Ihre Definition lautet

, (3.31)

und gibt das Verhältnis zwischen der Ausgangsgeschwindigkeit am Hornende und der

anregenden Spannung an den Piezoelementen an. Wegen des frei schwingenden Aktors

kann die Kraft am Hornende zu Null gesetzt werden ( ). Zur Berechnung wird

zunächst mit Hilfe der Übertragungsmatrix für das Horn die Schwinggeschwindigkeit an

der rechten Randfläche berechnet. Nach Einsetzen von in Gl. (3.9) und Auflösen nach

wird dieser Ausdruck mit Gl. (3.22) gleichgesetzt und nach aufgelöst. Das Ergeb-

nis lautet mit Gl. (3.25):

. (3.32)

Entsprechend der Definition der Kurzschluss-Kernadmittanz nach Gl. (3.31) erhält man

daraus

. (3.33)

3.2.3 Längenauslegung des Horns und der Endmasse

Anhand Gl. (3.33) wird die Resonanzbedingung des Aktors abgelesen. Im Resonanzfall

strebt die Kurzschluß-Kernadmittanz im ungedämpften Fall gegen Unendlich. Mit der

Überlegung, dass die Länge des Horns eine viertel Wellenlänge umfassen soll ( ),

gilt dementsprechend mit :

. (3.34)

el jω() i

ˆP

ˆCp

-------- jωkPAP

-------------------dP

2gω()

1sP

Egω()–

---------------------------εP







⋅==

→()

PεP

--------

----

⋅=

mjω() V

ˆC

-----

----

ˆH2

ZHhP

-------------1

ωlH

------





sin

----------------------------

ω()

1sP

Egω()–

---------------------------u

ˆC

⋅⋅⋅=

mjω()

ZHhP

-------------1

ωlH

------





sin

--------------------------

ω()

1sP

Egω()–

-----------------------

----

⋅⋅=

Hλ

⁄

Hπ

---

----

⋅=

52 3 Modellierung und Analyse piezoelektrischer Schwingeinheiten

Nichttriviale Lösungen der Resonanzbedingung findet man für den Fall ,

woraus folgt . Zur Berechnung der erforderlichen Länge der Endmasse wird

Gl. (3.34) in eingesetzt. Es folgt

. (3.35)

Umgestellt nach und mit Einführung des Faktors zur Verein-

fachung berechnet sich die Endmassenlänge mit

. (3.36)

Die Länge einer Endmasse aus Stahl ist für unterschiedliche Betriebsfrequenzen

im Ultraschallbereich zwischen 18 kHz und 100 kHz in Bild 3.5 darge-

stellt. Für diese Betrachtungen liegt eine konstante Dicke der Piezoscheiben vor. In Bild 3.6

ist zusätzlich gezeigt, wie sich die Länge eines Titanhorns gestaltet, wenn es für unter-

schiedliche Betriebsfrequenzen ausgelegt würde.

Egω0

()–

ω0

() 1s

⁄=

ω0

()

ω0

()

Pω0

------------------

ω0

------





cot

---------------------------

⋅1

----

MκkPhPω0ZMsP

()A

⁄=

ω0

------ 1

---





atan⋅=

0ω0

π()⁄

in kHz

in mm

= 6

100

20 40 60 80 100

= 2

= 4

Bild 3.5: Länge der Endmasse als Funktion der gewünschten Betriebs-

frequenz für unterschiedliche Zahl von Piezoelementen. Das Material

der Endmasse ist Stahl.

3.2 Modellierung der piezoelektrischen Elemente 53

3.2.4 Normierungen des Aktormodells

Für eine übersichtliche Darstellung des Aktormodells werden einige zweckmäßige Normie-

rungen eingeführt. Dazu wird zunächst die Frequenz mit

(3.37)

normiert. Die Funktion g(ω) geht mit dann über in

. (3.38)

Für die Kurzschluß-Eingangsadmittanz bzw. -Kernadmittanz ergeben sich nunmehr die fol-

genden Funktionen:

(3.39)

. (3.40)

in kHz

in mm

20 40 60 80 100

Bild 3.6: Länge des Horns als Funktion der gewünschten Betriebsfrequenz.

Als Material wurde Titan gewählt.

Ωω

----

κkPhPω0ZMsP

()A

⁄=

Ω() Ωκ⋅

------------

-------Ωπ

--- ⋅





cot⋅Ω

---





atan⋅





cot+

---------------------------------------------------------------------------------------

----

⋅=

el jΩ() jΩω0kPAP

------------------------ εP

TdP

2gΩ()

1sP

EgΩ()–

---------------------------







⋅⋅=

mjΩ() j

ZHhP

-------------1

Ωπ

---

⋅





sin

--------------------------

Ω()

1sP

EgΩ()–

-----------------------

----

⋅⋅ ⋅=

54 3 Modellierung und Analyse piezoelektrischer Schwingeinheiten

In der Nähe der Resonanzfrequenz kann noch vereinfacht werden, und man erhält

. (3.41)

3.3 Gesamtmodell einer Ultraschall-Schwingeinheit

In den folgenden Abschnitten werden die bisherigen Ergebnisse verwendet, um ein Gesamt-

modell einer Ultraschall-Schwingeinheit auf Basis eines einfachen elektrischen Ersatz-

schaltbildes herzuleiten. Außerdem erfolgt eine Analyse bezüglich der Empfindlichkeit des

ermittelten Modells.

3.3.1 Ersatzparameter der Schwingeinheit

Ziel der Modellierung ist die Darstellung der komplexen Gleichungen, die einen piezoelek-

trischen Aktor beschreiben, in die Form konzentrierter Parameter zu überführen. Das in

Bild 3.7 dargestellte Ersatzschaltbild repräsentiert den Aktor in der Nähe seiner Resonanz-

frequenz, wobei das mechanische Teilsystem an die Piezokapazität mit Hilfe eines idealen

Übertragers angekoppelt wird. Das mechanische Teilsystem wird in Form eines elektri-

schen Schwingkreises dargestellt, wobei man sich der Analogie bedient, dass eine Indukti-

vität in eine Masse und eine Kapazität in eine Steifigkeit umgerechnet werden kann. Ein

zweiter Übertrager repräsentiert das Transformationsstück, welches die geforderte Schwin-

gungsamplitude für den Prozess sicherstellt. Sein Übertragungsverhältnis ergibt sich aus der

Übertragungsmatrix nach Gl. (3.13) im Resonanzfall zu .

Wie auf Seite 44 ausgeführt, führt bei den hier betrachteten Systemen jeder Ultraschallpro-

zess zu einer nur geringfügigen Dämpfung. Infolgedessen liegt immer eine hohe Güte des

schwingfähigen Systems vor. Als Näherung kann aus diesem Grund weiterhin die Gültig-

keit der Randbedingung angenommen werden. Anwendbar ist dieser Ansatz aus-

schließlich bei schwach gedämpften Systemen. Für Applikationen wie z. B. Ultraschallrei-

nigung oder -schweißen ist diese Annahme nicht mehr gerechtfertigt. In diesen Fällen kann

man nicht mehr von einem frei schwingenden System ausgehen, und der Leistungsfluss

müsste durch entsprechende Wellenleitermodelle berücksichtigt werden. Der hier gewählte

Ω()

mjΩ()j

ZHhP

-------------

Ω()

1sP

EgΩ()–

-----------------------

----

⋅⋅≈

nTαK

–=

uCp

2,2

CPZm

mmdL

1:KP1:nT

iPvH

Bild 3.7: Ersatzschaltbild eines piezoelektrischen Aktors einschließlich

Transformationsstück und Prozessdämpfung.

3.3 Gesamtmodell einer Ultraschall-Schwingeinheit 55

Ansatz reduziert außerdem das Modell auf das Wesentliche und unterstützt die transparente

Darstellung der komplexen Zusammenhänge. Aus den genannten Gründen wird für die

Dämpfung des Modells ein aus Voruntersuchungen ermittelter Wert übernommen. Auswir-

kungen auf die Aussagekraft des Modells bezüglich der Ersatzsteifigkeit und -masse sowie

des Transformationsfaktors durch das Horn hat diese Vorgehensweise nicht. Die Darstel-

lung der Dämpfung durch den Ultraschallprozess auf die Schwingeinheit erfolgt mit Hilfe

eines veränderlichen ohmschen Widerstandes mit dem Wert .

Als weitere Vereinfachung wurde angenommen, dass die dielektrischen Verluste, repräsen-

tiert durch den Widerstand , sehr gering sind. Somit kann die Bestimmung dieses Para-

meters entfallen.

Gesucht sind demzufolge:

• die Piezokapazität

• die Steifigkeit

• die Masse

• das Übersetzungsverhältnis des idealen Übertragers

Die Dämpfung ist aufgrund ihrer Abhängigkeit vom Prozess messtechnisch

zu ermitteln [45]. Die zu diesem Ersatzschaltbild gehörenden Ortskurven sind in Bild 3.8

dargestellt. Aus dem Ersatzschaltbild ergibt sich die Ersatzimpedanz

. (3.42)

Die Kurzschluss-Eingangs- und -Kernadmittanzen lassen sich nun zu

(3.43)

bzw.

(3.44)

herleiten. Betrachtet man die Kurzschluß-Eingangs-

admittanz nach Gl. (3.43) exakt in der Resonanz

und zieht den Anteil der Piezokapazität ab,

ist nur noch die Dämpfung des mechanischen

Systems wirksam, da sich die imaginären Anteile

gegeneinander aufheben. Es gilt dann

. (3.45)

Dieser Ausdruck wird mit der mit Resonanzfrequenz angeregten Kurzschluss-

Kernadmittanz

LdLn

⁄=

mjω() d

˜Ljωmm

jω

----

++=

el jω() i

ˆCp

-------- jωCPKP

Zmjω()

--------------

----

⋅+==

Bild 3.8: Prinzipskizze der Ort

kurven für das Ersatzschaltbi

nach Bild 3.7.

Im{Y}Yel

ω0CP

ω0

Re{Y}

KP2

KP/2dL

2dL

mjω()

ˆCp

-------- KP1

Zmjω()

--------------

----

⋅==

ωω

˜L

el jω0

()jω0CP

–KP

----

⋅=

ωω

56 3 Modellierung und Analyse piezoelektrischer Schwingeinheiten

(3.46)

ins Verhältnis gesetzt, und man erhält somit durch eine Grenzwertbildung in normierter Fre-

quenz

. (3.47)

Durch Einsetzen der Gleichungen (3.39) und (3.40) und Berücksichtigung von Gl. (3.38)

ist das Übersetzungsverhältnis bei gegeben durch:

. (3.48)

Die Steifigkeit wird mit Hilfe der Resonanzfrequenz ausgedrückt

, (3.49)

und in frequenznormierter Darstellung erhält man damit aus Gl. (3.42)

. (3.50)

Dieser Ausdruck sowie das Übersetzungsverhältnis nach Gl. (3.48) und die Kurzschluss-

Kernadmittanz nach Gl. (3.40) bilden nun den Ausdruck

(3.51)

der nach der Ersatzmasse aufgelöst wird. Als Ergebnis erhält man eine formal von der

Frequenz abhängige Masse

. (3.52)

Die in unmittelbarer Nähe der Resonanzfrequenz gültige Masse erhält man durch eine

Grenzwertbildung für :

. (3.53)

mjω0

()KP

----

⋅=

Ω()

Ωω0

–

YmjΩ()

---------------------------------------------

Ω

→

Ω

Pω0

mω0

mjΩ() dL

˜jω0Ωmm

⋅+1

Ω2

-----

–





⋅=

YmjΩ()

ZejΩ()

-----------------

⇒

jAP

ZHhP

-------------1

Ωπ

---

⋅





sin

--------------------------dPgΩ()

1sP

EgΩ()–

---------------------------

⋅⋅ ⋅ kPω0dPZH

jω0Ωmm

⋅11

Ω2

-------

–





⋅

----------------------------------------------------

Ω

mΩ() κZH

⋅

ω0sP

EZM

--------------------

Ωπ

---





sin

Ω11

Ω2

------- –





---------------------------- 1sP

EgΩ()–

gΩ()

-----------------------

----

⋅⋅–=

Ω

→

mmmΩ()

Ω1→

lim 1

2ω0

--------- ZH

-------π

---ZM

-------

⋅κ1κ+()

2κ()acot++





⋅⋅==

3.4 Modellvalidierung 57

3.3.2 Empfindlichkeit des mathematischen Modells

Die Angaben der Hersteller zu den piezoelektrischen Materialparametern unterliegen für

gewöhnlich sehr großen Toleranzen ( ), siehe [72, 73]. Aus diesem Grund ist die

Robustheit des mathematischen Modells bezüglich der Werkstoffkonstanten von besonde-

rem Interesse. In Bild 3.9 ist die Empfindlichkeit hinsichtlich der Konstanten , und

dargelegt. Dazu wird die jeweilige Konstante im typischen Toleranzbereich bezüglich

ihres Nominalwertes aus Datenblättern betrachtet ( ,

, ). Die Parameter des Ersatzschaltbildes nach

Bild 3.7 sind in normierter Form über ihrem Toleranzbereich aufgetragen. Die Nominal-

werte , sowie berechnen sich nach den in den Datenblättern gegebenen Wer-

ten.

Man erkennt, dass in diesem Modell, nur entkoppelte Abhängigkeiten vorliegen, d. h.

Abweichungen eines Parameters wirken sich nur auf eine Größe des Ersatzschaltbildes aus.

Die Empfindlichkeit der Steifigkeit wurde nicht dargelegt, da sich in diesem Fall das

gleiche Verhalten wie für die Ersatzmasse ergibt (vgl. Gl. (3.49)).

3.4 Modellvalidierung

Die Modellvalidierung erfolgt anhand einer Schwingeinheit (Al-K-P3), die für die Ultra-

schall-Stehwellenzerstäubung auf Basis des vorgestellten mathematischen Modells entwor-

fen und aufgebaut wurde. Die Konstruktionszeichnungen können Anhang A entnommen

werden. Ein Foto des untersuchten Aktors sieht man in Bild 3.10. Man erkennt den Piezoak-

tor links mit seiner Umbauung und Halterung. Rechts angeschraubt ist eine käuflich erwor-

bene BRANSON-Sonotrode, die bereits im Vorfeld beschafft und aus Kostengründen weiter

eingesetzt wurde.

Das Einsatzgebiet dieser Schwingeinheit ist nicht nur auf das der Stehwellenzerstäubung

beschränkt. Prinzipiell eignet er sich zur Anregung jeglicher Ultraschallwerkzeuge mit Lon-

gitudinalschwingungen. Die Schwingungserzeugung erfolgt über einen Stapel Piezoringe

20%

∆0,8 .. 1,2 s

∆

0,8 .. 1,2 d

εP

∆0,8 .. 1,2 εP

0.94

0.96

0.98

1.02

1.04

1.06





∆







∆



∆ε



0.8

0.9

1.1

1.2

0.8

0.9

1.1

1.2

0.8 0.9 1 1.1 1.2 0.8 0.9 1 1.1 1.2 0.8 0.9 1 1.1 1.2























































Bild 3.9: Empfindlichkeit des Modells einer Ultraschall-Schwingeinheit bezüglich

Parameterschwankungen des piezoelektrischen Materials (PIC 181) inner-

halb der typischen Toleranzen von .

20 %

58 3 Modellierung und Analyse piezoelektrischer Schwingeinheiten

aus dem Material PIC 181 der Firma PHYSIKINSTRUMENTE. Sowohl die Endmasse als auch

das Horn bestehen aus Aluminium.

Endmasse:

Die Randfläche der Endmasse zum Piezostapel weist die gleiche Querschnittsfläche auf,

wie die Piezoringe. Die Schraube zur Vorspannung des Piezostapels wird zur Endmasse

bzw. zum Horn gehörig betrachtet. Der Außendurchmesser beträgt 58 mm.

Horn:

Das Horn gewährleistet eine Amplitudentransformation, die durch eine Verjüngung des

Querschnitts erreicht wird.

Piezomaterial:

Für das piezoelektrische Material wurde ein Durchmesser von 50 mm zugrunde gelegt.

Außerdem wurde zur Vorspannung des Piezostapels eine Schraube vorgesehen, die einen

Innendurchmesser der Ringe von wenigstens 20 mm voraussetzt.

Dichte 2790 kg/m3

Elastizitätsmodul 0,73 x1011 N/m2

Durchmesser zum

Piezostapel 50 mm

Durchmesser am

Ende des Transforma-

tionsstücks 30 mm

Kennkreisfrequenz 20 kHz

Außendurchmesser aussen: 50 mm

Innendurchmesser innen: 20 mm

Dicke einer Piezo-

scheibe 4mm

Bild 3.10: Für die Ultra-

schall-Stehwellenzerstäubung

entwickelter piezoelektrischer

Aktor (Al-K-P3).

ρAlu

Alu

3.4 Modellvalidierung 59

Validierung:

Bild 3.11 gibt die Betragskennlinien der elektrischen Eingangsadmittanz der realen und

meßtechnisch identifizierten Schwingeinheit sowie die mit dem mathematischen Modell

berechneten Kennlinien wieder. Die aus den Messungen bestimmte Dämpfung der

Schwingeinheit wurde für das mathematische Modell übernommen.

Die Abweichungen im Abstand zwischen Resonanz und Antiresonanz sind vor allem auf

die unbekannte dielektrische Ladungskonstante zurückzuführen. Sie unterliegt einer-

seits den Materialtoleranzen von , darüber hinaus aber zusätzlich noch in starkem

Maß der Vorspannung, die mit der Schraube aufgebracht wird. Weitere Details werden u. a.

in [2] diskutiert. Die Abweichungen zwischen Modell und Messung können daher als

akzeptabel eingeschätzt werden. Ein weiterer systematischer Fehler, der in der obigen

Gegenüberstellung erfolgte, ist die im Modell nicht berücksichtigte Amplitudentransforma-

tion durch das Titanhorn in Form eines stetigen Querschnittüberganges (siehe Bild 3.10),

um die mechanische Spannungsamplitude und somit die mechanische Belastung für das

Material zu verringern. Das mathematische Modell verwendet der Einfachheit halber aber

einen stufigen Querschnittsübergang. Dies führt zu einem Fehler, der mehrere Prozent aus-

machen kann. Unter diesen Umständen sind die sich ergebenen Abweichungen erklärbar

und liegen in einem annehmbaren Bereich.

Die Beträge der Kurzschluss-Kernadmittanzen sowie deren Ortskurven, die wiederum auf

den messtechnisch identifizierten bzw. auf den mathematisch modellierten Parametern

beruhen, sind in Bild 3.12 bzw. in Bild 3.13 dargestellt. Die jeweils mit „Messung“ gekenn-

zeichneten Graphen basieren auf den meßtechnisch identifizierten Parametern der Schwin-

geinheit. Alle Kennlinien wurden auf die Resonanzfrequenz normiert ( :

, ).

Anzahl Piezoscheiben 6

piezoelektrische

Ladungskonstante 265 x10-12 m/V

Elastizitätskonstante 14,2 x10-12 m2/N

Dielektrizitätskon-

stante 1200

Materialdichte 7800 kg/m3

εP

⁄

20%

Modell

20 kHz=

Messung

18,73 kHz=

60 3 Modellierung und Analyse piezoelektrischer Schwingeinheiten

-2

-1

-3

-4

f )| in A/V

0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1

mathematisches

Modell

Messung

Bild 3.11: Eingangsadmittanzen des mathematisch modellierten und

der messtechnisch parametrierten Schwingeinheit.

-2

-3

0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1

Messung

mathematisches

Modell

f )|

m/Vs

Bild 3.12: Kurzschluss-Kernadmittanz des mathematisch modellierten

und des messtechnisch parametrierten Schwingeinheit.

3.5 Zusammenfassung 61

3.5 Zusammenfassung

In Kap. 1 wurde als zu untersuchender Punkt die Frage nach Modellen zur Auslegung von

Ultraschallwerkzeugen gestellt. Vordringliches Ziel sollte dabei zunächst die Erarbeitung

wichtiger grundlegender Zusammenhänge zwischen dem mechanischen und elektrischen

System darstellen, um das Verständnis für Ultraschallsysteme zu vertiefen.

Damit die für diesen Schritt wichtige Übersichtlichkeit des mathematischen Modells erhal-

ten bleibt, wurde auf eine Darstellung des Prozesses bewusst verzichtet. Stattdessen geht

man davon aus, dass der Prozess in Voruntersuchungen messtechnisch erfasst und in Form

einer einfachen Dämpfung repräsentiert werden kann. In diesem Zusammenhang wird die

Dämpfung innerhalb der piezoelektrischen Schwingeinheit und der ggf. verwendeten Trans-

formationsstücke mit der Prozessdämpfung verrechnet bzw. vernachlässigt.

In diesem Kapitel wurde ein relativ einfaches mathematisches und analytisches Modell zur

Auslegung und Analyse piezoelektrischer Ultraschall-Schwingeinheiten und deren Trans-

formationsstücke zur Anpassung der Auslenkungsamplitude entwickelt. Zur Modellierung

werden lediglich die Werkstoffparameter des verwendeten piezoelektrischen Materials

sowie der Endmasse und des Horns sowie einige geometrische Angaben benötigt. Als

Ergebnis der angewendeten Gleichungen erhält man die Maße der Schwingeinheit bzw. des

Transformationsstücks. Ferner ist es möglich, die Parameter eines in der Literatur üblichen

Re{Y

f )} in m/Vs

Im{Y

f )} in m/Vs

-0.04

-0.02

0.02

0.04

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

mathematisches

Modell

Messung

Bild 3.13: Ortskurven des mathematisch modellierten und des

messtechnisch parametrierten Schwingeinheit.

62 3 Modellierung und Analyse piezoelektrischer Schwingeinheiten

Ersatzschaltbildes zu berechnen. Das verwendete Modell hat nur Gültigkeit für die Klasse

schwach gedämpfter Systeme, da in diesen Fällen davon ausgegangen werden kann, dass

die Schwingungsform des Aktors durch die Prozessdämpfung nicht signifikant gestört wird.

Voraussetzung für diese Annahme ist der in der Praxis verfolgte Ansatz, die Schwingeinheit

mit dem Wissen aus den durchgeführten Voruntersuchungen, konstruktiv dem Prozess

anzupassen.

Die Validierung des Modells zeigt, dass eine ausreichende Genauigkeit des mathematischen

Modells erzielt wird. Somit liegt mit dem beschriebenen Modell ein einfaches aber effekti-

ves Berechnungsverfahren zur Auslegung und Analyse piezoelektrischer Aktoren vor. Vor

allem aber ermöglicht dieses Modell, Verkettungen zwischen unterschiedlichsten Entwurfs-

parametern und Parametereinflüssen mit Hilfe handlicher analytischer Gleichungen darzu-

stellen.

Der weitere Verlauf dieser Arbeit, widmet sich nun zunächst der ebenfalls in Kap. 1 gestell-

ten Frage nach geeigneten Stromrichterkonzepten und deren mathematischer Beschreibung.

Das Modell der Ultraschall-Schwingeinheit wird erst wieder in Kap. 5 aufgegriffen. Dann

werden die erarbeiteten mathematischen Modelle zusammengeführt, und wichtige Ent-

wurfsziele eines abgestimmten Systems von Schwingeinheit und Spannungsversorgung

werden formuliert und analysiert.

4 Stromrichterkonzepte

Zur Speisung resonant betriebener piezoelektrischer Systeme gibt es, wie bereits in Kap.

2.4.2 gezeigt, etliche Konzepte. Dabei muss insbesondere die Dämpfung durch den Ultra-

schall-Prozess berücksichtigt werden, die darüber entscheidet, ob ein Stromrichter- bzw.

Verstärkerkonzept für eine bestimmte Anwendung gut geeignet ist. Kommerzielle Strom-

richtertypen sind zumeist speziell auf die Anwendung, wie z. B. das Ultraschall-Kunstoff-

schweißen oder die Ultraschall-Reinigung zugeschnitten. Diese in der Praxis häufig anzu-

treffenden Anwendungsbeispiele zeichnen sich im Betrieb durch eine hohe Dämpfung im

mechanischen Teilsystem der piezoelektrischen Schwingereinheit aus. Herstellerfirmen die-

ser Systeme greifen auch bei Anwendungsbereichen, in denen eine erheblich geringere

Dämpfung des mechanischen Teilsystems vorliegt, auf diese bewährten Verstärkertypen

zurück. Dies senkt die Kosten bei der Entwicklung, hat aber prinzipbedingt häufig unnötig

voluminöse und überdimensionierte leistungselektronische Schaltungen zur Folge.

In [48] wurden für den Anwendungsbereich der Ultraschall-Wanderwellenmotoren unter

anderem Stromrichterkonzepte und ihre Dynamik untersucht. Da aber auch Ultraschall-

Wanderwellenmotoren zu den Systemen mit kleiner Gütezahl gehören, sind die dort durch-

geführten Analysen und Empfehlungen für schwächer gedämpfte piezoelektrisch erregte

Schwingereinheiten nur bedingt anwendbar.

In Kap. 4.1 werden zunächst die zur Stromrichtermodellierung verwendeten Methoden vor-

gestellt. Kap. 4.2 und Kap. 4.2.2 widmen sich den LC-Resonanz- bzw. LLCC-Resonanz-

stromrichtern. Resonanzstromrichter ermöglichen die lokale Kompensation auftretender

Blindleistungen sowie die Speisung der piezoelektrischen Aktoren mit näherungsweise

sinusförmigen Spannungsverläufen und erlauben beispielsweise Nullspannungsschalten,

was das Ein- und Ausschalten der Transistoren in der Wechselrichterstufe verlustarm gestal-

tet. Als Nachteil sind ihre zum Teil sehr voluminösen und kostenintensiven Filterbauele-

mente zu nennen.

Weitere Konzepte sind die Pulsstromrichter, die in [48] auch als „nicht resonante Stromrich-

terkonzepte“ bezeichnet werden und in Kap. 4.3. behandelt werden. Durch eine höherfre-

quente Ansteuerung der Leistungstransistoren in der Wechselrichterstufe werden gezielt

Oberschwingungen der Wechselrichterspannung zu höheren Frequenzen verschoben, was

die Verwendung kleinvolumiger und kostengünstiger Induktivitäten zur Strombegrenzung

und Filterung ermöglicht. Entscheidende Nachteile sind in der aufwändigeren Modulation

und der höheren Verlustleistung der Wechselrichterstufe aufgrund höherer Schaltfrequenz

zu sehen. Beim Einsatz von Pulsstromrichtern zur Speisung stark gedämpfter Systeme

(z. B. Wanderwellen-Ultraschallmotoren) muss ferner berücksichtigt werden, dass die vom

Aktor benötigte Blindleistung aufgrund der fehlenden lokalen Kompensation über den Aus-

gangstransformator übertragen werden muss und zu einer höheren Belastung der Wechsel-

richterstufe und des Zwischenkreises führt. Die Folge sind höhere Verluste und eine volu-

minösere und kostenintensivere Auslegung des Stromrichters.

In Kap. 4.5 schließlich wird die Realisierung eines Pulsstromrichters als Teil einer Experi-

mentierplattform für die Ultraschall-Stehwellenzerstäubung beschrieben.

64 4 Stromrichterkonzepte

4.1 Verwendete Methoden zur Stromrichtermodellierung

In diesem Abschnitt werden die für die Modellierung der vorgestellten Stromrichtertopolo-

gien verwendeten Methoden vorgestellt. Aufgrund der zum Teil sehr geringen Dämpfung

der betrachteten Systeme und der damit einhergehenden langen Rechenzeiten, die aufge-

wendet werden müssen, ehe sich das System im eingeschwungenen Zustand befindet,

wurde die Zeitbereichsanalyse – eine zur Simulation im Zeitbereich alternative Simula-

tionsmethode – verwendet.

Damit möglichst einfache und analytisch fassbare Ausdrücke zur Beschreibung der Bela-

stungsgrößen verwendet werden können, wird eine Grundschwingungsanalyse der vorge-

stellten Stromrichtertypen durchgeführt. Dieses Verfahren erlaubt in gewissen Grenzen eine

adäquate Näherung der vorliegenden Belastungsgrößen.

Von weiterem Interesse sind die zu erwartenden Verluste in der Wechselrichterstufe, die

sich aus Schaltverlusten und Durchlassverlusten der Transistoren und Dioden zusammen-

setzen. Die allgemeine Modellierung dieser Verluste erfolgt in Kap. 4.1.3. Die Anwendung

dieser Modelle erfolgt in den entsprechenden Abschnitten der betrachteten Topologien und

erlaubt außerdem überschlägige Aussagen über die Wirkungsgrade.

Eine Volumenabschätzung der in den jeweils behandelten Stromrichtertopologien verwen-

deten magnetischen Bauelementen auf Basis des Flächenproduktes ermöglicht Abschätzun-

gen bezüglich der Miniaturisierbarkeit und der Kosten.

Die durchgeführten Betrachtungen sollen einen Vergleich der jeweiligen Stromrichterkon-

zepte in Form einer Bewertungsmatrix ermöglichen, die in Kap. 4.4 vorgestellt wird.

4.1.1 Zeitbereichsanalyse

Bei der Auslegung der Stromrichter ist man einerseits am eingeschwungenen Zustand ande-

rerseits am Großsignalverhalten des Systems interessiert. Aufgrund der geringen Dämpfung

der in dieser Arbeit betrachteten piezoelektrischen Systeme ergeben sich aber bei der „klas-

sischen“ Simulation der Filtertopologien, die das Ersatzschaltbild des piezoelektrischen

Aktors beinhalten, im Zeitbereich (z. B. mit SIMPLORER oder MATLAB) sehr hohe Rechen-

zeiten, da sowohl sehr kleine Simulationsschrittweiten als auch sehr lange Simulationszei-

ten gewählt werden müssen. Dies führt zu Rechenzeiten von mehreren Stunden und ist mit

sehr hohem Ressourcenbedarf des Simulationsrechners verbunden.

Um dieses Problem zu umgehen, bietet es sich an, den eingeschwungenen Zustand des

Stromrichtermodells, der für ein beliebiges Signal mit der Gleichung

(4.1)

mit T als Periodendauer definiert wird, direkt zu berechnen, indem auf Basis des gelösten

Differenzialgleichungssystems das Anfangswertproblem mittels elementarer, analytischer

Berechnungen gelöst wird [50, 55]. Dies beschleunigt die Berechnung des eingeschwunge-

nen Zustandes um ein Vielfaches und beschränkt sich auf zum Teil wenige Sekunden (siehe

[62, 63, 65]). Gleichzeitig kann der Speicherbedarf auf der Festplatte des Simulationsrech-

ners drastisch reduziert werden. Zwar ist die Einsparung von Festplattenspeicherplatz heut-

zutage kein ausschlaggebendes Argument mehr, allerdings macht sich eine große Simula-

xt T+

()

4.1 Verwendete Methoden zur Stromrichtermodellierung 65

tionsdatei im Post-Prozess bemerkbar, wenn sehr große Dateien in den Arbeitsspeicher

geladen werden müssen.

Als Vorteil der Simulation im Zeitbereich ist zu nennen, dass keine explizite Lösung des

Differenzialgleichungssystems vorliegen muss, was sich gerade bei Systemen höherer Ord-

nung bemerkbar macht. Bei der Zeitbereichsanalyse ist dies aber zwingend notwendig, und

Computeralgebrasysteme wie MATHEMATICA oder MAPLE stossen insbesondere bei Syste-

men höherer Ordnung an ihre Grenzen. Aus diesem Grund müssen entweder die zu betrach-

tenden Systeme in geeigneter Weise vereinfacht werden, oder die Differenzialgleichungen

erfordern eine Umformung (die viel Geschick und Erfahrung mit dem verwendeten Compu-

teralgebrasystem verlangt), um eine Lösung zu ermöglichen. Ist die Lösung letztlich gefun-

den, kann das Anfangswertproblem auf ein lineares Gleichungssystem zurückgeführt wer-

den, welches sehr einfach gelöst werden kann.

Ein wesentlicher Vorteil der Simulation im Zeitbereich gegenüber der Zeitbereichsanalyse

ist die Möglichkeit, Aussagen über das Einschwingverhalten zu treffen. Als Beispiel sei hier

die Berechnung von Stromspitzen, die Magnetkerne in die Sättigung treiben können,

erwähnt. Durch geeignete Maßnahmen wie z. B. sanfte Inbetriebnahme (soft-start) sind

diese Probleme aber vermeidbar. Aus diesem Grunde wurde im Rahmen dieser Arbeit die

Zeitbereichsanalyse zur Ermittlung der Belastungsgrößen herangezogen. Im Folgenden

wird das gewählte Verfahren näher beschrieben.

Für die Berechnung des eingeschwungenen Zustandes geht man zunächst davon aus, dass

die Wechselrichterstufe eine Rechteckspannung erzeugt, deren Blockhöhe der Zwischen-

kreisspannung entspricht. So kann sie der Wechselrichterstufe eines Resonanzstrom-

richters entsprechend blockförmige, periodische Verläufe mit variablem Tastverhältnis

erzeugen, oder, wie es beim Pulsstromrichter auftritt, ein komplizierteres periodisches Puls-

muster. Die in der Wechselrichterstufe enthaltenden Bauelemente werden als ideale Schalter

angenommen, die keinen Spannungsabfall im leitenden Zustand aufweisen und ohne Ver-

zugszeiten zwischen leitendem und sperrendem Zustand und anders herum wechseln. Der

Einfachheit halber bietet es sich an, die Vollbrückenschaltung der behandelten Stromrichter-

konzepte für die Berechnung durch eine ideale Spannungsquelle, die die entsprechenden

Pulsmuster erzeugt, zu ersetzen. Dann reduziert sich das zu lösende Problem auf die

Betrachtung der Ausgangsfilter, die nun in Form eines linearen, inhomogenen Differenzial-

gleichungssystems angegeben werden können:

. (4.2)

Die skalare Eingangsgröße ist dabei die Wechselrichterspannung, und die Matrizen A

bzw. B bestehen aus konstanten Koeffizienten. Der Verlauf der Wechselrichterspannung ist

bekannt und wird in Intervalle unterteilt, in denen sie entweder zu null oder gleich der Zwi-

schenkreisspannung gesetzt wird. Umschaltungen treten zu den Zeiten auf, und

innerhalb einer Periode der Wechselrichterspannung gibt es insgesamt Intervalle. Die

Lösungen der Differenzialgleichungssysteme in den jeweiligen Intervallen können z. B. mit

Hilfe der Laplacetransformation bestimmt werden:

·t

()

Ax t

()

But

()

66 4 Stromrichterkonzepte

(4.3)

(4.4)

Der Vektor bezeichnet den zum Intervall gehörigen Anfangswert. Das sich erge-

bende Gleichungssystem wird nach den Zustandsgrößen aufgelöst, so dass die resultierende

Gleichung von anderen Zustandsgrößen unabhängig und nur noch von konstanten Parame-

tern und den Anfangswerten abhängig ist. Durch Anwendung der inversen Laplacetransfor-

mation erhält man die zeitlichen Verläufe der Zustandsgrößen in den jeweiligen Intervallen

. (4.5)

Zur Bestimmung der Anfangswerte wird an den Intervallgrenzen Stetigkeit der zeitli-

chen Verläufe der Zustandsgrößen gefordert, und es gilt

. (4.6)

Das Verfahren ist beispielhaft in Bild 4.1 a dargestellt. Ausgehend vom ersten Intervall

erhält man für den Anfangswert dieses Intervalls unter Verwendung der Periodizitätsbedin-

gung nach Gl. (4.1) den Wert

. (4.7)

Die einzige Unbekannte in dieser Gleichung ist aufgrund der von der Modulation der Wech-

selrichterstufe vorgebenen und bekannten Zeiten und nur noch der Anfangswert der

im n-ten Intervall wirkenden Lösung der Zustandsgröße. Durch weiteres sukzessives Ein-

setzen der Anfangswerte

(4.8)

()

Buk

·k

{} LAxkt() Buk

+{} x0,k

–sXks()+

⇒

AXks()

---Bu

+==

ks() sEA–()

1– 1

---Bukx0,k





xktx0,k

,()L1– sEA–()

1– 1

---Bukx0,k











⇒

0,k1+

k1–

–x

0,k1–

,()

01,

n1+

–x

0n,

,()

x0,1

x0,2

x0,3 x0,3

x0,4

x0,5

x0,1=x5(T-t4)

x(t)

Intervall

451

t0t1t2t3t4t5t

umod (t)

x(t)

Bild 4.1: Berechnung des eingeschwungenen Zustands:

a) Intervallweise Lösung der Zustandsgröße

b) Phasenportrait der periodischen Lösung.

b)a)

0k,

k1–

k2–

0k1–,

–

()

k2..n==

4.1 Verwendete Methoden zur Stromrichtermodellierung 67

werden die Anfangswerte der k-ten Lösung des Differenzialgleichungssystems auf den

Anfangswert des n-ten Intervalls zurückgeführt, und sämtliche Zeitverläufe hängen schließ-

lich nur noch von dieser einen Unbekannten ab. Nach Erreichen des n-ten Intervalls und

Auflösen nach dem Anfangswert ist dieser durch konstante Parameter eindeutig bestimmt.

Damit sind ebenfalls alle weiteren Anfangswerte bekannt, und der exakte zeitliche Verlauf

der Zustandsgröße kann intervallweise aneinandergesetzt werden. Man erhält ein Phasen-

portrait, welches einen periodischen Orbit zeigt, Bild 4.1 b.

Die Validierung der mit dem beschriebenen Verfahren ermittelten Strom- und Spannungs-

verläufe wurde mit Hilfe der Simulationssoftware SIMPLORER (Version 7.0) der Firma

ANSOFT durchgeführt. Als Vergleichsystem diente ein LC-Resonanzstromrichter, der eine

Ultraschall-Schwingeinheit entsprechend den in Tabelle 4.1 angegebenen Parametern sowie

einer zusätzlichen Parallelkapazität nach Gl. (4.38) speist. Um die oben erwähnten langen

Rechenzeiten bei der Zeitsimulation zu vermeiden, wurde die von SIMPLORER bereitge-

stellte Funktion der Vorgabe aller Anfangswerte für die Energiespeicher genutzt. Diese

Werte konnten direkt aus der Zeitbereichsanalyse entnommen und in das zu den entspre-

chenden Energiespeichern gehörende Dialogmenü übertragen werden. Die Ergebnisse stellt

Bild 4.2 dar. Bei hinreichend kleinen Integrations-Zeitschritten wird der eingeschwungene

Zustand bestätigt (schwarze Zeitverläufe). Werden allerdings die in der zu SIMPLORER

gehörigen Hilfe [52] vorgeschlagenen Faustformeln zur Bestimmung der Zeitschritte ver-

wendet, ergeben sich die grau dargestellten Strom- und Spannungsverläufe.8 Dabei treten

bereits nach der ersten simulierten Periode signifikante Abweichungen auf, die einen Fehler

von ca. 25% ausmachen, und die Verwendung kleinerer Zeitschritte rechtfertigen. Die Folge

ist jedoch ein massiver Anstieg der Rechenzeit, die dann insbesondere bei Unkenntnis der

Anfangswerte der Energiespeicher mehrere Stunden in Anspruch nimmt.

Die weiteren Ergebnisse der Simulationen werden in den zu den Stromrichtern gehörenden

Kapiteln präsentiert. Für die erzeugten Diagramme wurde mit einem Parametersatz einer

Schwingeinheit, die bei der Ultraschallstehwellen-Zerstäubung zum Einsatz kommt, gear-

beitet. Ihre Ersatzparameter entsprechend Bild 2.12 wurden meßtechnisch ermittelt und sind

in Tabelle 4.1 zusammengefasst.

Die Kurvenverläufe dienen zur beispielhaften Verdeutlichung der erläuterten Zusammen-

hänge und müssen individuell für die entsprechende Anwendung angepasst werden.

8. Minimale Schrittweite berechnet aus der kleinsten Zeitkonstante des Systems: Hmin = 1.98 ns. Die

größte Periodendauer ergibt die maximale Schrittweite Hmax =3.7µs.

t [s]

-400

400

300

200

100

-100

-200

-300

0 0.25m50u 0.1m 0.15m 0.2m

VM_2.V [V]

50 * AM_s.I [A]

Bild 4.2: Validierung

des berechneten einge

schwungenen Zustande

mit Hilfe der Simulations

software SIMPLORER

AM_s.I entspricht dem

Strom in der Filterspule

VM_2.V ist die am Akto

anliegende Spannun

(siehe Kap. 4.2.1).

68 4 Stromrichterkonzepte

4.1.2 Grundschwingungsanalyse

Die hier betrachteten Stromrichtertypen beruhen auf einer Vollbrücken-Wechselrichterstufe,

die eine blockförmige Rechteckspannung erzeugt. Diese Spannung wird im Falle der Reso-

nanzstromrichter auf ein Resonanzfilter (siehe Kap. 4.2) und beim Pulsstromrichter (Kap.

4.3) auf einen Tiefpass bestehend aus einer Längsspule und der Piezokapazität des Aktors

geschaltet. Diese Filtertopologien unterdrücken Oberschwingungen der Wechselrichter-

spannung. Aufgrund dieses Verhaltens kann zur Analyse der Stromrichter die komplexe

Wechselstromrechnung herangezogen werden [60, 64], solange eine lückende Betriebsart

vermieden wird [65]. Tritt diese z. B. bei Nennlast auf, trifft die Annahme harmonischer

Filtergrößen nicht mehr zu, und die Grundschwingungsanalyse liefert fehlerhafte Bela-

stungsgrößen.

Als anregende Spannung wird nur noch die Grundschwingung der Wechselrichterstufe

betrachtet. Die Lastimpedanz besteht dann aus dem Filter und dem Ersatzschaltbild des pie-

zoelektrischen Aktors, die vollständig mit linearen Bauelementen beschrieben werden. Die

sich einstellenden Ströme, Spannungen und Leistungen können unter diesen Umständen

leicht berechnet werden. Desgleichen ist es möglich, Verlustleistungen und Wirkungsgrade

der leistungselektronischen Schaltungen abzuschätzen.

Diese Vereinfachung führt zu sehr guten Näherungen für die Resonanzstromrichter. Ledig-

lich im Falle des Pulsstromrichters haben sich bei der Berechnung der Verlustleistungen

und Wirkungsgrade in Kap. 4.3 Abweichungen zwischen den Ergebnissen mit simulierten

Werten und der Grundschwingungsanalyse bemerkbar gemacht. Besonders ausgeprägt

waren diese Fehler bei größeren Schaltfrequenzen und kleineren Aussteuerungen, bei denen

der Stromverlauf ausgeprägtere Stromspitzen aufweist, was zu höheren Effektivwerten

führt (vgl. mit Bild 4.23). Da vorab aber dieses Verhalten erwartet wurde, ist eine Abschät-

zung zu ungünstigeren Werten durchgeführt worden. Diese Vorgehensweise ist im abschlie-

ßenden Vergleich der Stromrichtertypen zu berücksichtigen und entsprechend zu gewichten.

4.1.3 Verlustleistungsberechnung

Die Verlustleistungsberechnung auf Basis der im Rahmen der Simulationen gewonnenen

Belastungsgrößen ist notwendig, um zunächst eine geeignete Halbleiterdimensionierung

und -auswahl vorzunehmen. Ferner sind die Verlustleistungen direkt für die Temperatur der

Chipfläche der Halbleiter verantwortlich und müssen zur Auslegung der benötigten Kühl-

Ersatzparameter

Piezokapazität 10 nF

Mechanische Dämpfung (nominal) 100 Ω

Mechanische Steifigkeit 0.2 nF

Mechanische Masse 0.346 H

Tabelle 4.1: Ersatzparameter einer Schwingeinheit für Simulationen.

4.1 Verwendete Methoden zur Stromrichtermodellierung 69

körper bekannt sein. Damit werden dann auch die Grenzen für maximale Schaltfrequenz

und Strom festgelegt.

Neben der Notwendigkeit der Bestimmung der Verluste für die Dimensionierung der Halb-

leiter werden diese Daten auch zur Berechnung des Wirkungsgrades benötigt, welcher ein

wesentliches Vergleichskriterium unterschiedlicher Stromrichtertopologien darstellt (siehe

[67]).

Der Aufwand für eine detaillierte Berechnung der Verluste ist sehr hoch, und kann bei-

spielsweise im Rahmen von Zeitsimulationen (SIMPLORER) durchgeführt werden. Oftmals

können parasitäre Effekte, die vom individuellen Aufbau der Schaltung abhängen, nicht

vernachlässigt werden. Im Stadium eines Prinzipvergleichs unterschiedlicher Topologien

liegen aber derartige Daten nicht vor. Analytische Gleichungen dagegen vermitteln einfa-

cher zu durchschauende Zusammenhänge, wie sich die Verluste zusammensetzen, und von

welchen Parametern sie abhängig sind. Gerade unter dem Gesichtspunkt des prinzipiellen

Vergleichs unterschiedlicher Topologien sind daher analytische Gleichungen vorzuziehen.

Detalliertere und komplexere Verlustleistungsmodellierungen spielen eine wichtigere Rolle

bei der Schaltungsoptimierung.

Die Gesamtverluste der Halbleiterbauelemente setzen sich im Wesentlichen aus den Schalt-

und Durchlassverlusten zusammen. Dabei ist zusätzlich zwischen den Mechanismen beim

Ein- und Ausschalten des Transistors zu unterscheiden. Sperr- und Ansteuerungsverluste

können üblicherweise vernachlässigt werden. Damit sich die aussagekräftigen analytischen

Beschreibungen ergeben, werden folgende grundlegende Annahmen getroffen:

• Der Laststtrom der Wechselrichterstufe bleibt aufgrund der Induktivität im Ausgangs-

filter im Augenblick des Schaltens des Transistors konstant.

• Es tritt kein Stromlücken auf.

• Die Strom- und Spannungsverläufe während der Kommutierungsvorgänge können

durch stückweise lineare Kurvenverläufe dargestellt werden.

Die Berechnung der Verluste erfolgt anhand eines Transistor/Diodenpaares einer Halb-

brückentopologie. Zur Bestimmung der Gesamtverluste können die Ergebnisse später ein-

fach auf die anderen Transistor/Dioden-Paare übertragen werden. Die Bedingungen, wann

aufgrund leitender antiparalleler Dioden Nullspannungsschalten (zero voltage switching,

ZVS) für die Transistoren vorliegt, wird in den dazugehörigen Stromrichterkapiteln erläu-

tert. In der Einleitung der vorliegenden Arbeit wurde bereits auf ihren interdisziplinären

Charakter hingewiesen. Sicherlich sind die folgenden Ergebnisse Inhalte etlicher Vorlesun-

gen und Lehrbücher, auf die für weitere und detailliertere Informationen verwiesen wird

(z. B. [55, 56, 59, 60, 70]). Trotzdem werden aus Gründen der besseren Lesbarkeit die

Inhalte in komprimierter Form zusammengefasst, um einen vereinfachten Zugang zur The-

matik zu ermöglichen.

Ausschaltverluste

Die Ausschaltverluste der Transistoren können nach [58] näherungsweise durch eine ab

dem Zeitpunkt zunächst linear ansteigende Drain-Source Spannung und gleichzeiti-

gem konstantem Strom dargestellt werden. Erst wenn zum Zeitpunkt die Transi-

storspannung die volle Zwischenkreisspannung erreicht hat, beginnt der Transistor zu

70 4 Stromrichterkonzepte

sperren. Ab diesem Zeitpunkt geht der Strom linear gegen Null ( ) und kommutiert dabei

auf die entsprechende Diode. Die Verlustenergie dieses Vorgangs berechnet sich aus

. (4.9)

Die oben angegebene Zeit erhält man aus Datenblättern der verwendeten Transistoren.

Sie ist von verschiedenen Faktoren wie z. B. Laststrom und Gatewiderstand abhängig. Die

Verlustleistung erhält man aus dem Produkt der Verlustenergie mit der Schaltfrequenz

. (4.10)

Die Verluste der Dioden bei der Übernahme des Transistorstromes können üblicherweise

vernachlässigt werden.

Einschaltverluste

Bei der Berechnung der Einschaltverlu-

ste der Transistoren muss die Rück-

stromspitze der Diode, die bis zum Ein-

schaltmoment noch den Strom geführt

hat, berücksichtigt werden. Diese Rück-

stromspitze entsteht, wenn die

Ladungsträger aus der Sperrschicht

geräumt werden müssen, siehe Bild 4.3.

Dies führt zu einer kurzzeitigen Rück-

stromspitze der Höhe , die vom

Transistor geführt werden muss und

ganz erheblichen Einfluss auf die Ein-

schaltverluste hat. Die Fläche unter der

Rückstromspitze entspricht der Ladung

Der Wert für bzw. hängt stark

von der Vorgeschichte der Diode wie

z. B. dem vor dem Schaltvorgang

geführten Strom ab. Ferner spielen

Mascheninduktivitäten im Kommutie-

rungspfad eine entscheidende Rolle für die Steilheit9 sowie der Maximalwert des

Stromes.

Die Form der Rückstromspitze hängt dagegen im Wesentlichen von der Diode selbst ab und

wird von ihrer Technologie und Chip-Geometrie bestimmt. Eine wichtige Kennzahl zur

Charakterisierung einer Diode ist der Faktor (vgl. mit Bild 4.3) und wird als

Snappiness oder Softfaktor bezeichnet [58, 59]. In der Hauptsache unterscheidet man zwi-

9. Ein typischer Wert in Datenblättern ist z. B. eine Steilheit von 100 A/µs.

off

TiTt()uTt()td

∫

---UdILtof

off

---Wo

(t),

(t)

-U

(t),

(t)

Bild 4.3: Strom- und Spannungsverläuf

beim Einschalten des Transistors an Trans

stor (a) und Diode (b).

⁄

4.1 Verwendete Methoden zur Stromrichtermodellierung 71

schen abrupt-recovery- und soft-recovery-Verhalten. Bei abrupt-recovery-Dioden reisst der

Strom nach Erreichen seines Maximalwertes sehr schnell ab, und wegen kann die

Berechnung der Ladung auf den Zeitraum beschränkt werden. Die Folge sind kurze

und sehr hohe Spannungsspitzen, die durch die im Schaltungsaufbau unvermeidbar enthal-

tenen Induktivitäten die Steuerelektronik massiv stören können. Oftmals wird aufgrund der

sich ergebenden einfachen Gleichungen nur die Modellierung von abrupt-recovery-Dioden

verwendet (siehe z. B. [60, 66]). In der Praxis ist aber gerade bei höheren Schalfrequenzen

aus Gründen der besseren Störsicherheit soft-recovery-Verhalten der Dioden vorzuziehen.

Die Verlustenergie für den Einschaltvorgang des Transistors bei Verwendung solcher

Dioden wird anhand der in Bild 4.3 dargestellten linearisierten Stromverläufe berechnet.

Man erhält10 mit

. (4.11)

Für soft-recovery-Dioden kann angenommen werden, dass näherungsweise gleich Eins

ist. Ferner kann bei schnellen Dioden der Term vernachlässigt werden, und aufgrund

des linearen Stromverlaufs in den Bereichen und kann die Ladung mit

(4.12)

abgeschätzt werden. Aus dem gleichen Grund lässt sich die Rückstromspitze mit Hilfe der

Steilheit ausdrücken:

. (4.13)

Gem. [60] ist die Zeit gewöhnlich so kurz und kann daher vernachlässigt werden. Mit

diesen Angaben vereinfacht sich Gl. (4.11), und die in Wärme umgesetzte Energie beim

Einschalten ist nun näherungsweise

. (4.14)

Die umgesetzte Verlustleistung erhält man analog zu Gl. (4.10):

. (4.15)

Zu berücksichtigen ist noch die Abhängigkeit der Zeit vom Strom, der im Augenblick

des Schaltens durch die Diode fließt. Dieser funktionale Zusammenhang wird den Daten-

blättern der verwendeten Bauelemente entnommen.

10.Anhand Gl. (4.11) kann auch der Übergang zu abrupt-recovery-Dioden gezeigt werden, wie sie

z. B. in [60] behandelt werden: Für den Faktor und die Zeit wird dazu angenommen, dass sie

gegen Null streben. Es folgt dann .

⁄

Qrr

TuTt()iTt()td

∫

---UdILtfUdILta11

---SD





---UdIrrta12

---SD





++==

---Irrtr

≈

⁄

rr ta

diT

----

TUdILta11

---SD





---Ud

--------ta

212

---ta





+≈

---Wo

72 4 Stromrichterkonzepte

Die Rückstromspitze verursacht nicht nur in dem einschaltenden Transistor Verluste, son-

dern auch in der beim gleichen Schaltvorgang abschaltenden Diode. Die Spannung über der

Diode ist bis zum Zeitpunkt nahe Null und verläuft im Intervall so, dass bei die

Sperrspannung im eingeschwungenen Betrieb erreicht wird [58, 60]. Aufgrund dieses Span-

nungsverhaltens leisten der Strom und die Spannung nur im Intervall einen Beitrag zu

den Ausschaltverlusten der Diode. Unter der Annahme, dass die Strom- und Spannungsver-

läufe linear verlaufen [60], berechnet sich die in der Diode umgesetzte Energie näherungs-

weise aus

. (4.16)

Mit und mit Gl. (4.13) erhält man daraus

, (4.17)

und die Verlustleistung ist

. (4.18)

Durchlassverluste

Die Durchlassverluste von Dioden werden allgemein durch

(4.19)

hinreichend genau beschrieben (z. B. [59, 70, 60]). Dabei ist die Schleusenspannung

der Dioden und liegt bei normalen Silizium-Bauelementen bei ca. . Der Wert

ist der differentielle Widerstand der Diode im Arbeitspunkt. Die weitere Belastungs-

größe ist der Diodenstrom in Vorwärtsrichtung, der als Mittel- und Effektivwert benötigt

wird. Diese Angaben ergeben sich aus Simulationen.

Etwas einfacher lassen sich die Durchlassverluste von MOSFET-Transistoren angeben, die

nur vom temperaturabhängigen Drain-Source-Widerstand und dem Effektivwert

des geführten Stromes abhängen. Man erhält

. (4.20)

Zur Berechnung der in Gl. (4.19) und Gl. (4.20) beschriebenen Durchlassverluste müssen

Effektivwert und arithmetischer Mittelwert des Stromes durch das Bauteil bestimmt wer-

den. Diese ergeben sich aus dem Austeuerungsgrad, dem Phasenwinkel zwischen Laststrom

off

DuDt()iTt()td

∫

≈Udt

----

–Irr

–Irr t

----





⋅





∫

⁄

off

---UdIrrSDta1

---Ud

--------ta

=≈

off

---Wo

---uFt()iFt()td

T+

∫

UT0IFAV,rDIFrm

+==

0,7 V

≈

DSon

()

---uTt()iTt()td

T+

∫

rDSon TJ

()ITrm

4.1 Verwendete Methoden zur Stromrichtermodellierung 73

und Spannung und müssen individuell für jede Topologie ermittelt werden. In den zu den

Stromrichtern gehörenden Kapiteln werden diese Zusammenhänge detaillierter erläutert.

4.1.4 Magnetische Komponenten

Die magnetischen Komponenten wie Filterspulen und Transformatoren tragen wesentlich

zu den Kosten und dem Volumen einer leistungselektronischen Schaltung bei. Aus diesem

Grund sind diese Bauelemente bei einem Topologievergleich leistungselektronischer Schal-

tungen zu berücksichtigen. Die Berechnung des Flächenprodukts ist ein geeignetes Mittel,

um eine überschlägige Abschätzung des Wachstums der induktiven Bauelemente durchzu-

führen [48, 59, 69]. Folgende Vereinfachungen werden getroffen:

• Erwärmungseffekte aufgrund der Stromdichte werden vernachlässigt.

• Die Wickelfensterfläche berücksichtigt nicht unterschiedliche Stromdichten in den ein-

zelnen Wicklungen.

• Hochfrequenz- und Proximity-Effekte werden vernachlässigt.

Die Induktivität einer Spule berechnet sich mit der Windungszahl und den Amplituden

von magnetischem Fluss und Strom aus . Der Fluss wird in dieser Glei-

chung durch ersetzt, wobei die Flussdichte und die Kernfläche ist.11 Fer-

ner wird mit dem Kupferfüllfaktor , die Wickelfensterfläche und den Querschnitt

des Leiters die Anzahl der Windungen mit ersetzt. Man erhält nach

Einsetzen der Stromdichte und Umstellen

. (4.21)

Das Produkt aus Kern- und Wickelfensterfläche wird als Flächenprodukt bezeichnet,

und das daraus abgeleitete fiktive Volumen

(4.22)

kann bei gegebener Bauform des Bauteils als Maß für dessen tatsächliches Volumen ver-

wendet werden.

Geht man davon aus, dass die zu betrachtenden magnetischen Bauelemente aus gleichem

Material gefertigt werden und ferner Stromdichte und Kupferfüllfaktor konstant sind, dann

ist der Faktor ebenfalls als Konstante zu interpretieren. Entsprechend Gl. (4.21)

ist das Flächenprodukt einer Spule dann bis auf eine Konstante direkt von der Induk-

tivität und der quadratischen Stromamplitude bestimmt.

Für einen Transformator gelten ähnliche Zusammenhänge, vgl. z. B. mit [71]. Hier erhält

man für die übertragbare Leistung eines Transformators den Ausdruck:

(4.23)

11. Die Verwendung der Amplitudenwerte stellt sicher, dass das Kernmaterial nicht in die Sättigung

gebracht wird.

NΦ

()

⁄=

⁄

⁄=

2kCu B

ˆJ

ˆAcA

⋅⋅⋅=

AcAw

()

⁄

Cu B

ˆJ

⋅⋅

Tr UI

---------- kCuJB

ˆAcAwω⋅⋅⋅==

74 4 Stromrichterkonzepte

Beim Übergang auf die Scheitelwerte erhält man für das Flächenprodukt des Transforma-

tors:

. (4.24)

4.2 Resonanzstromrichter

Resonanzstromrichter werden in der Nähe der Resonanzfrequenz der Ultraschall-Schwin-

geinheit betrieben. Dabei erzeugt die Wechselrichterstufe eine blockförmige Rechteckspan-

nung deren Amplitude vom Spannungszwischenkreis vorgegeben wird. Das Ausgangsfilter

des Resonanzstromrichters wird auf die Resonanzfrequenz der Schwingeinheit abgestimmt

und hat die Aufgabe, unerwünschte harmonische Anteile der Wechselrichterspannung zu

unterdrücken. Damit erhält man sehr gute spektrale Eigenschaften der Filterausgangsspan-

nung, die nahezu sinusförmig verläuft und somit nur geringe Verzerrungsblindleistungen

verursacht. Ferner werden durch die Auslegung des Ausgangsfilters die Schaltverluste mas-

siv verringert und die Blindleistung, die vom gespeisten piezoelektrischen Aktor aufgenom-

men wird, kann kompensiert werden. Nachteilig sind die kostenintensiven und ggf. sehr

voluminösen Filterbauelemente.

Die Schaltfrequenzen in der Nähe der Resonanzfrequenz der Schwingeinheit sind noch in

einem gut handhabbaren Bereich, so dass günstige Halbleiterkomponenten mit mittleren

Schaltgeschwindigkeiten eingesetzt werden können. Es bietet sich die Verwendung von

IGBT an, um niedrige Durchlassverluste zu gewährleisten [59].

In diesem Kapitel werden zwei Resonanzstromrichter vorgestellt, für die als Wechsel-

richterstufe eine Vollbrückentopologie zugrunde gelegt wird. Die erarbeiteten Ergebnisse

lassen sich prinzipiell auch auf Halbbrückentopologien übertragen. Bei Verwendung einer

Halbbrücke sind allerdings höhere Strombelastungen der Halbleiterbauelemente und somit

höhere Durchlassverluste die Folge.

Zur Einstellung der Amplitude der Stromrichterausgangsspannung wird die Phasensteue-

rung angewendet, die eine dynamische Spannungsanpassung bei gleichbleibend hohem

Wirkungsgrad des piezoelektrischen Aktors gewährleistet. Die Wechselrichterspannung

und die dazugehörige Grundschwingung ist in Bild 4.4 dargestellt. Die Grundschwingungs-

amplitude wird mittels einer Fourierreihe berechnet [48, 49], und man erhält den

funktionalen Zusammenhang

mit (4.25)

mit der Spannung des Zwischenkreises und dem Tastverhältnis . Die Spannungsan-

passung durch den Ausgangstransformator wird durch dessen Übersetzungsverhältnis

berücksichtigt.

cAwU

------ 2

kCuJ

-----------

----

⋅=

wr 1,D()

⋅

----------------------Dπ()sin⋅=

0D0,5

≤≤

4.2 Resonanzstromrichter 75

4.2.1 Der LC-Resonanzstromrichter

Die Topologie des LC-Resonanzstromrichters ist in Bild 4.5 dargestellt. Das Ausgangsfilter

besteht aus einer Längsspule , der Piezokapazität sowie einer optionalen, zusätzli-

chen Kapazität , die zur Vergrößerung der Piezokapazität verwendet werden kann. Für

die später folgenden Berechnungen wird das Kapazitätsverhältnis

(4.26)

eingeführt. Die Resonanzfrequenz des Filters wird auf einen Wert unterhalb der

Resonanzfrequenz der Ultraschall-Schwingeinheit abgestimmt. Für die bezogene Reso-

nanzfrequenz gilt somit

. (4.27)

Die Festlegung der Filterresonanzfrequenz unterliegt dabei verschiedenen Gesichtspunkten.

Zunächst erreicht man durch entsprechende Auslegung die Blindleistungskompensation des

Aktors und aufgrund des Betriebs nahe der Filterresonanzfrequenz stellt sich eine sehr gute

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-1

0.4

0.8

1.2

uwr,1(D)

wr,1

(D)

t T T/2 0

Bild 4.4: a) Wechselrichterspannung und Grundschwingung beim Voll-

brückenwechselrichter, b) Steuerkennlinie für die Grundschwingung.

D1D3

D2D4

T2T4

uwr uwr

' uCp

ipim

Cfp

Lfs

1 : nsp

Bild 4.5: Topologie des LC-Resonanzstromrichters.

Lfs

γf

------

-----------------

----

ωs

Ωs

ωs

ω0

------

76 4 Stromrichterkonzepte

Filterwirkung hinsichtlich der Oberschwingungen der Wechselrichterstufe ein. Ferner stellt

das Ausgangsfilter gemeinsam mit dem piezoelektrischen Aktor eine induktive Last dar,

sodass die Transistoren der Wechselrichterstufe nullspannungsschaltend betrieben werden

können, siehe Kap. 4.2.1.2. Zu berücksichtigen ist, dass das Ausgangsfilter in unmittelbarer

Umgebung seiner Resonanzfrequenz besonders empfindlich ist. So können Schwankungen

der Piezoakapazität, die Teil des Filters ist, zu einer Verstimmung des Filters führen. Ände-

rungen der Piezokapazität können auf Parametervariationen des Materials und auf Erwär-

mung der piezoelektrischen Elemente zurückgeführt werden, vgl. Kap. 3. Mit Durchfüh-

rung einer Labormessreihe anhand einer Schwingeinheit, die mit ihrem Ultraschallprozess

belastet wird, kann das Filterverhalten bestimmt werden. Verwendet man dazu außerdem

das Spannungsübertragungsverhalten gemäß Gl. (4.29) und zieht die entsprechenden

Amplituden- und Phasenkennlinien hinzu (vgl. Bild 4.7), kann eine geeignete Filterreso-

nanzfrequenz bestimmt werden.

Für die Schwingeinheit nach Tabelle 4.1 wurde die Filterresonanzfrequenz 6 kHz unterhalb

der Resonanzfrequenz der Schwingeinheit festgelegt. Die sich ergebene Entwurfsgleichung

der Filterspule lautet

. (4.28)

In der Praxis bietet es sich an, die Filterinduktivität mit Hilfe der Streuinduktivitäten des

Ausgangstransformators zu realisieren.

Typische Verläufe der Spannung am piezoelektrischen Aktor und des Stromes durch

die Filterspule für unterschiedliche Tastverhältnisse sowie die dazugehörigen Spektren

sind in Bild 4.6 dargestellt. Es fällt deutlich auf, dass bei kleinem Tastverhältnis die 3. Ober-

schwingung noch stark in der Speisespannung vertreten ist. Je größer das Tastverhältnis

wird, desto dominanter wird die Grundschwingung. Allerdings werden beim maximalen

Tastverhältnis unter Verwendung der angegebenen Ersatzparameter der

Schwingeinheit ein Amplitudenwert der Speisespannung von nur ca. 32 V und damit eine

Schwingamplitude von nur erzielt, was für den Betrieb typischer leistungsfähi-

ger piezoelektrischer Schwingeinheiten nicht ausreicht. Dieser Spannungseinbruch ist auf

die hohe Güte der verwendeten Schwingeinheit zurückzuführen, die zu einer Störung des

Übertragungsverhaltens des Ausgangsfilters führt. Bestätigt wird dies durch das Span-

nungsübertragungsverhalten des Ausgangsfilters

, (4.29)

mit der Längsimpedanz sowie der Impedanz des Aktors . Die fre-

quenz- und amplitudennormierte Darstellung des Spannungsübertragungsverhaltens erfolgt

in Bild 4.7. In der Nähe der Resonanzfrequenz der Schwingeinheit erweist es sich als über-

aus empfindlich, was sich in einer starken Variation der Spannungsverstärkung äußert

(durchgezogene Kennlinien).

ωs

2CPCfp

+()

---------------------------------

Ωs

2ω0

2CPCfp

+()

-------------------------------------

----

Lfs

D0,5=

=2,1µ

LC jω()

U’

-----------

ω()

Zfs jω()jωCfp ZAjω()⋅1+[]ZAjω()+

-----------------------------------------------------------------------------------------

----

ω()

Lfs

ω()

4.2 Resonanzstromrichter 77

In der Umgebung der Resonanzfrequenz der Schwingeinheit bricht die Spannung stark ein,

was das Verhalten der simulierten Strom- und Spannungsverläufe nach Bild 4.6 bestätigt.

Der Spannungseinbruch führt dazu, dass entweder ein großer Spannungsbereich durch das

Tastverhältnis abgedeckt oder der Ausgangstransformator mit einem großen Übersetzungs-

verhältnis ausgelegt werden muss.

Die Analyse des Spannungsübertragungsverhaltens erfolgt anhand einer normierten Dar-

stellung, indem eingesetzt wird. Ferner wird die Gütezahl eingeführt, die

die Gütezahl der Ultraschall-Schwingeinheit nach Gl. (2.19) und die Filterkapazität

berücksichtigt

. (4.30)

Im Falle der Resonanz ( ) ergibt sich für den Betrag der Spannungsübertragungs-

funktion dann

-10

-5

-20

-10

-30

-20

-10

uwr

uCp uCp uCp

~~~

uwr

TTT

ttt

1 3 5 7 91113 15 17 19

FkuCp,k

uCp,1

Fkis,k

is,1

FkuCp,k

uCp,1 F

Cp,k

Cp,1

Fkis,k

is,1 Fkis,k

is,1

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

135791113151719

k135791113151719

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

135791113151719

k135791113151719

Bild 4.6: Simulierte Strom- und Spannungsverläufe am LC-Resonanzstromrichter:

Tastverhältnis variiert für D = 0,1, 0,25 und 0,5. Spektrum der Spannung

am piezoelektrischen Aktor und des Spulenstroms (aus Darstel-

lungsgründen wurde für den Strom eingeführt).

s100

⋅=

a) D=0,1;

0,65 µ

=b) D= 0,25;

148µ

,=c) D=0,5;

21µ

Ωωω

⁄

ω0CPCfp

+()Rm

----------------------------------------

ω0CfRm

-------------------

γf

---

⋅===

Ω

→

78 4 Stromrichterkonzepte

. (4.31)

Anhand dieser Gleichung erkennt man, dass durch Verkleinern von , d. h. durch Vergrö-

ßern der Kapazität , eine Glättung des Spannungsübertragungsverhaltens erzielt werden

kann. Der Grenzwert ergibt sich zu ( )

. (4.32)

Dieses Verhalten kann auch durch Betrachtung der Teilimpedanzen erklärt werden. Durch

die Vergrößerung der Filterkapazität wird wegen Gl. (4.28) die Längsimpedanz

verringert, was sich auf die Spannungsverhältnisse des Spannungsteilers im Ausgangsfilter

auswirkt. Der Einfluss der Filterkapazität wird ebenfalls in Bild 4.7 dargelegt, und es ist

eine wesentliche Glättung des Spannungsübertragungsverhaltens erkennbar. Ein weiterer

Vorteil ist die Stabilisierung des Übertragungsverhaltens hinsichtlich Änderungen der Pie-

zokapazität, die z. B. durch Erwärmung während des Betriebs beobachtet werden können.

Im Folgenden werden die Auswirkungen der größeren Kapazität auf die Belastung der

Wechselrichterstufe mit Hilfe der Grundschwingungsanalyse näher untersucht.

GLC 1() ωs

2ω0

4ω0

2ωs

–()

---------------------------------------------------- Ωs

Mf21Ωs

–()

--------------------------------------

----

ω0ω

GLC 1()

fp ∞→

lim Ωs

1Ω

–

------------

----

fs ω()

0.6 0.8 1 1.4 1 1.02 1.04 1.06

-175

-150

-125

-100

-75

-50

-25

-150

-100

-50

1 1.02 1.04 1.06

1.2 ΩΩ

Ω

(Ω)| in dBG

(Ω) in ˚

= 2γ

= 1

= 11 γ

= 51

-20

-10

Bild 4.7: Amplituden- und Phasenkennlinie in normierter Darstellung für den

LC-Resonanzstromrichter. Variation der Filterkapazität Cfp zur Glät-

tung des Spannungsübertragungsverhaltens.

4.2 Resonanzstromrichter 79

4.2.1.1 Grundschwingungsanalyse des LC-Resonanzstromrichters

Eine Abschätzung der Belastungsgrößen der Wechselrichterstufe wird mittels der so

genannten Grundschwingungsanalyse durchgeführt, siehe Kap. 4.1.2. Im Folgenden wird

die Grundschwingung mit dem Index 1 gekennzeichnet (z. B. ). Die Wechselrichter-

stufe wird mit den Impedanzen der Filterkomponenten und des Aktors belastet. Zusätzlich

zur Piezokapazität wird jetzt noch die Filterkapazität berücksichtigt. Man erhält die

Lastimpedanz aus:

(4.33)

Für den Fall des Betriebes in der Resonanz

des Aktors ( ) erhält man in normier-

ter Darstellung und mit Verwendung der

Gütezahl

(4.34)

Der auf

(4.35)

normierte Amplituden- und der Phasenver-

lauf der Lastimpedanz in Nähe

der Resonanz ist in Bild 4.8 dargestellt. Es

wird deutlich, dass der Betrag der Impe-

danz in Abhängigkeit von der zusätzlichen

Parallelkapazität verringert wird, was zu

einer höheren Belastung der Wechsel-

richterstufe führt. Die Leistungen, die in

Resonanz des mechanischen Teilsystems

von der Last aufgenommen werden, sind in Abhängigkeit vom Faktor in Bild 4.9 a

gegenübergestellt. Es gilt für die Berechnung der Scheinleistung

, (4.36)

und Wirk- bzw. Blindleistung erhält man aus und

. Der Graph des Leistungsfaktors zeigt

ein Maximum, welches der optimale Betriebspunkt des LC-Resonanzstromrichters ist. In

Cp,

ZLC jω()Zfs jω()

ZAjω()

jωCfp

-----------

---

⋅

ZAjω() 1

jωCf

-----------

---

------------------------------------

0.99 1 1.01 1.02 1.03 1.04

-75

-50

-25

Ω

| Z

(Ω)/Z

LC0

| in dBZ

(Ω) in ˚

-30

-20

-10

γf

= 1

γf

= 1

γf

= 2

γf

= 11

γf

= 21

γf

= 2

γf

= 11

γf

= 21

Bild 4.8: Amplituden- und Phasenver-

lauf der normierten Lastimpedanz

nahe mechanischer Resonanz

()

LC Ω()

Ω

ZLC 1() Rm

1Mf

-----------------

jMf1

Ωs

-------1

1Mp

-----------------

–





⋅+













⋅=

LC0Ω()

()

γf

Ω()

Swr 1() uwr 1,2⁄

ZLC

*1()

-------------------------

----

()

Re S

(){}

()

Im S

(){}

ϕ()

cos P

()

()⁄

80 4 Stromrichterkonzepte

diesem Punkt stellt sich das günstigste Verhältnis zwischen der zu übertragenden Scheinlei-

stung und der im Prozess umsetzbaren Wirkleistung ein. Die Lage dieses Optimums berech-

net sich aus

, (4.37)

und die Auslegung der Filterkapazität erfolgt demzufolge gemäß

. (4.38)

Zu beachten ist an dem Ergebnis in Gl. (4.37), dass die optimale Filterkapazität maßgeblich

von der ohmschen Last , die Teil der Gütezahl ist, abhängt. Der Verlauf des einge-

schwungenen Systems für diese Auslegung ist in Bild 4.10 dargelegt. Die entsprechenden

Simulationsergebnisse aus der Zeitbereichsanalyse belegen, dass der Stromrichter durch die

zusätzliche Kapazität erheblich spannungssteifer geworden ist. Der Vergleich der

erreichten Amplitude der Aktorspannung mit derjenigen von Bild 4.6 c bei Vollaus-

steuerung der Vollbrücke zeigt dies sehr deutlich. Es ist nun eine Schwingamplitude von

möglich

fopt,1ωs

ω0

------





–1Ω

–==

)b)

0 10 20 30 40 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Pwr(1)

Qwr(1)

Swr(1)

10 20 30 40 50

γfγf

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

c os(ϕ)

|Swr(1)|/S0, Qwr(1)/Q0,

Pwr(1)/P0

Bild 4.9: Leistungsverhältnisse des LC-Resonanzstromrichters bei Variation der Fil-

terkapazität . a) Leistungen, b) Leistungsfaktor.

fp op

fp,opt CP

1Ω

–

----------------

----

⋅=

-200

-100

100

200

uwr

uCp

Bild 4.10: Simulierte Strom- und Spannungs-

verläufe am LC-Resonanzstromrich-

ter für bei ; vgl. mit

Bild 4.6 c, . Die Schwing-

gamplitude beträgt .

D0,5=

fop

s50

⋅=

= 19,3 µ

fp,op

= 19,3 µ

4.2 Resonanzstromrichter 81

Zu bedenken bleibt, dass trotz Kapazität der LC-Resonanzstromrichter nicht ideal

spannungseinprägend arbeitet. Aus diesem Grund muss das Übersetzungsverhältnis

des Ausgangstransformators angepasst werden, um den Vorgaben der benötigten Aktor-

spannung gerecht zu werden. Damit eine vorgegebene Ausgangsamplitude bei maxi-

malem Tastverhältnis ( ) erreicht werden kann, erhält man aus Gl. (4.25) und Gl.

(4.37):

. (4.39)

Das Flächenprodukt der Filterspule kann mit Kenntnis des Wertes und des

Spulenstromes entsprechend Kap. 4.1.4 abgeschätzt werden. Der Strom berechnet sich

aus

. (4.40)

Dabei wurde die Annahme getroffen, dass die Schwingeinheit mit ihrer Resonanzfrequenz

betrieben wird, und sich somit die Reaktanzen des Serienschwingkreises

gegenseitig aufheben. Es verbleibt demnach nur der ohmsche Anteil . Die Stromampli-

tude ist

. (4.41)

Für das Flächenprodukt der Filterspule ergibt sich mit Verwendung von Gl. (4.21) und mit

nach Gl. (4.37):

. (4.42)

Für allgemeines erhält man

. (4.43)

Für den Transformator erhält man das Flächenprodukt

. (4.44)

Insgesamt erhält man für den LC-Resonanzstromrichter das Flächenprodukt

. (4.45)

fp op

1:n

D0,5=

sp π

4Ud

⋅

--------------u

ˆCp 1,

GLC 1()νν

→

------------------------------------

----

⋅⋅=

Lfs

fop

Lfs,1 u

ˆCp,1

-------1j

Mf opt,

-------------

⋅+





⋅⋅=

––

Lfs,1 u

ˆCp,1 1

-------1Mfop

Mf opt,

-------------------------

---

⋅⋅=

γfop

cAwLs

kCuJ

ˆB

---------------u

Cp 1,

ω0Rm

⋅

------------------2Ωs

–

Ωs

21Ω

–⋅

----------------------------

----

⋅⋅=

cAwLs

kCuJ

ˆB

---------------u

Cp 1,

ω0Rm

⋅

------------------1M

Ωs

⋅

--------------

----

⋅⋅=

cAwTr

kCuJ

ˆB

---------------u

ˆCp 1,

ω0Rm

⋅

------------------21Mf

+()Mf

21Ωs

–()

+()⋅⋅

Ωs

2Mf

⋅

-----------------------------------------------------------------------------

----

⋅⋅=

cAwLC

kCuJ

ˆB

---------------u

ˆCp 1,

ω0Rm

⋅

------------------1Mf

221Mf

+()Mf

21Ωs

–()

+()⋅⋅++

Ωs

2Mf

⋅

----------------------------------------------------------------------------------------------------

----

⋅⋅=

82 4 Stromrichterkonzepte

4.2.1.2 Verlustleistungsberechnung für den LC-Resonanzstromrichter

Zur Bestimmung der Schalt- und Durchlassverluste beim Resonanzstromrichter müssen

zunächst die Strom- und Spannungsverläufe untersucht werden. Dabei ist es insbesondere

notwendig, die Phasenverschiebung zwischen der Grundschwingungen des geführten

Stroms und der Wechselrichterspannung sowie den Steuerwinkel zu

berücksichtigen. Die folgenden Zusammenhänge werden anhand Bild 4.11 erläutert, in dem

für den Fall die Strom- und Spannungsverläufe der jeweiligen Grundschwingung

beispielhaft dargestellt sind. Die Steuerbefehle ( ) der Transistoren aus der Voll-

brücke sind in Bild 4.11 c zusätzlich angegeben.12

Schaltverluste

Die Momentanwerte des Stromes im Augenblick des Schaltens der Transistoren sind mit 1

bis 4 durchnummeriert. Zur Bestimmung der Schaltverluste müssen für beide Halbbrücken

die jeweils vorliegenden Verhältnisse ermittelt werden.

Für den in Bild 4.11 dargestellten induktiven Belastungsfall ( ), welcher einen von

vier unterschiedlichen Belastungsfällen darstellt, liegen für die Transistoren der Halbrücke

A (T1 und T2) im Einschaltaugenblick Nullspannungsverhältnisse ( Nullspannungsschal-

ten, zero voltage switching) vor, da die jeweils antiparallele Diode (D1 und D2) den Strom

führt. Aus diesem Grund können die Einschaltverluste der Transistoren vernachlässigt wer-

den. Andere Verhältnisse liegen beim Ausschalten der Transistoren vor, da hier hart

12.Für ist der entsprechend mit i nummerierte Transistor leitend bzw. bei sperrend.

wr,1

()

wr,1

() α

ϕα<

,,,

ωt

a) b)

iwr,1(t)

i3=-i1

i2=-i4

i4=-i2

i1=-i3

uwr(t)

uwr,1(t)

AHB

(t)

{

2π

Bild 4.11: Augenblickswerte des Schaltstromes und Stromführungszeiten der Halblei

terbauelemente bei der phasengesteuerten Vollbrücke. a) Schaltbild, b

)

Strom- und Spannungsverläufe, c) Steuerbefehle der Transistoren und Auf

teilung des Stromes auf die einzelnen Bauelemente.

ϕα<

→

4.2 Resonanzstromrichter 83

geschaltet wird, und der Strom auf die Diode des anderen Transistor/Dioden-Paares kom-

mutiert. Sobald der Strom seine Richtung umkehrt, sperren die Dioden und die zu ihnen

parallelliegenden Transistoren übernehmen die Stromführung. Die Ausschaltverluste der

Dioden entstehen bei diesem Vorgang nicht.

Die Transistoren der Halbbrücke B müssen beim Einschalten neben dem Laststrom auch die

Rückstromspitze der Diode führen, so dass die Einschaltverluste berücksichtigt werden

müssen. Ausschaltverluste der Dioden müssen ebenfalls mit in die Berechnung der Gesamt-

schaltverluste einfließen. Beim Ausschalten führt dagegen zunächst die antiparallele Diode

den Strom und ermöglicht so den Transistoren Nullspannungsschalten.

Man erhält aus Gl. (4.10), Gl. (4.15), Gl. (4.18) und anhand Bild 4.11 unter Verwendung der

Stromaugenblickswerte

(4.46)

sowie

, (4.47)

und

, , (4.48)

wobei für mit Verwendung der Grundschwingung des Stromes für den dargestellten Bela-

stungsfalls gilt ( ):

und . (4.49)

Die Betrachtungen für sowie induktiver und kapazitiver Last ( bzw. )

sind analog zu dem hier erläuterten Beispiel durchzuführen. Das Ergebnis aller weiteren

Belastungsfälle ist in Tabelle 4.2 zusammengefasst. Wie in Kap. 4.1.3 begründet, werden

Einschaltverluste der Dioden vernachlässigt. Ausschaltverluste treten immer gemeinsam

mit den Einschaltverlusten der Transistoren auf.Die Tabelle zeigt, dass reines Nullspan-

nungschalten der Transistoren nicht erreicht werden kann. Außerdem ist erkennbar, dass je

nach Last die Vollbrücke unsymmetrisch belastet werden kann. Dies ist bei Betrachtung der

Strommomentanwerte auch aus Bild 4.11 ersichtlich, da in diesem Beispiel für Halbbrücke

A die größeren zu schaltenden Ströme auftreten. Bei unsymmetrischer aber bekannter Bela-

stung ist es möglich, für die weniger stark belastete Halbbrücke kostengünstigere Halblei-

terkomponenten einzusetzen. Je kleiner der Phasenwinkel ist, desto symmetrischer fällt

die Belastung der Vollbrücke aus. Für den in Bild 4.11 dargestellten Fall setzen sich die

Schaltverluste der Wechselrichterstufe wie folgt zusammen:

(4.50)

Bon,

----------i1tai1

()⋅⋅

----------

--------ta

2i1

()⋅⋅+=

Aoff,

------ i2to

⋅⋅=

Aoff,

------

--------ta

2i2

()SD

⋅⋅ ⋅=

Boff,

------

--------ta

2i1

()S

⋅⋅ ⋅=

i1i

wr,1 αϕ+()sin=i2i

wr,1 πα–ϕ+()sin=

ϕα>ϕ

<ϕ

Sges,PT3on,PT4on,PD4off,PD3off,

+++ PT1off,PT2off,

HBA HBB

= 2 PAon,

⋅2PAon,

⋅2PBoff,

⋅++

 

84 4 Stromrichterkonzepte

Da die Belastung der Halbleiter innerhalb einer Halbbrücke für beide Transistor/Dioden-

paare identisch ist, wurde in Gl. (4.50) die Abkürzung eingeführt. Dabei gibt

das hochgestellte T bzw. D an, ob es sich um Dioden- oder Transistorverluste handelt. Der

Index A bzw. B legt die jeweilige Halbbrücke fest.

Durchlassverluste

Wie den in Bild 4.11 c dargestellten Stromführungsbereichen entnommen werden kann, ist

der Anteil des Laststromes, der von den Dioden und Transistoren geführt wird, in den bei-

den betrachteten Halbbrücken unterschiedlich. Den Gleichungen entsprechend Kap. 4.1.3

werden zur Berechnung der Durchlastverluste der Effektivwert des Belastungsstromes im

jeweiligen Bauelement und außerdem dessen arithmetischer Mittelwert für die Dioden-

durchlassverluste benötigt. Mit Verwendung der in Bild 4.11 b angegebenen Winkel und

sowie unter Berücksichtigung des Vorzeichens von erhält man die in Tabelle 4.3 ange-

gebenen Effektiv- bzw. Mittelwerte der jeweiligen Ströme. Da sich die Stromführungszeiten

innerhalb einer Halbbrücke auf die Transistoren und Dioden symmetrisch auf die positive

bzw. negative Halbschwingung des Laststromes aufteilen, sind in der Tabelle nur die Werte

für ein Transistor-Diodenpaar angegeben. Die verwendete Notation wurde bereits im voran-

gegangenen Abschnitt eingeführt.

kapazitiv induktiv

HBAT1 ein / D2 aus

T2 ein / D1 aus h.s. ZVS ZVS ZVS

T1 aus

T2 aus ZVS h.s. h.s. h.s.

HBBT3 ein / D4 aus

T4 ein / D3 aus h.s. h.s. ZVS h.s.

T3 aus

T4 aus ZVS ZVS h.s. ZVS

Beispiel gem.

Bild 4.11

Tabelle 4.2: Bestimmung der Schaltverluste der phasengesteuerten Vollbrücke für kapa-

zitive und induktive Last in Abhängigkeit des Steuerwinkels .

(ZVS = Nullspannungsschalten keine Schaltverluste, h.s. = hartes

Schalten Schaltverluste).

ϕα>ϕα<ϕα>ϕα<

→

A/B on/o

T/D

ϕϕ

4.2 Resonanzstromrichter 85

Nach Einsetzen aller Werte aus Tabelle 4.3 in Gl. (4.19) bzw. Gl. (4.20) erhält man für die

Gesamtdurchlassverluste

(4.51)

wobei wiederum innerhalb einer Halbbrücke symmetrische Belastungen der Bauelemente

veranschlagt werden.

Die Gesamtverluste der Vollbrücke sind nun vollständig bekannt und können entsprechend

Tabelle 4.2 und Tabelle 4.3 für beliebige Belastungsfälle bestimmt werden:

. (4.52)

4.2.1.3 Wechselrichter-Wirkungsgrad des LC-Resonanzstromrichters

Unter Berücksichtigung des Ausgangstransformators zur Anpassung der Aktorspannung an

die geforderte Betriebsspannung bei Vollaussteuerung (Gl. (4.39)) ergibt sich für die Grund-

schwingungsamplitude des Wechselrichterstromes

(4.53)

Tabelle 4.3: Effektiv- und arithmetischer Mittelwert

der Dioden- und Transistorströme der

phasengesteuerten Vollbrücke.

IArms,

()

ˆ2

πα ϕ

+–

()

αϕ

[]

sin+

8π

---------------------------------------------------------------------

⋅

IArms,

()

ˆ2

αϕ

[]

sin–

8π

---------------------------------------------------------

⋅

---αϕ+

----------------

sin⋅

IBrms,

()

παϕ

––

()

αϕ

–

[]

sin+

8π

---------------------------------------------------------------------

---

⋅

IBrms,

()

αϕ

–2

αϕ

–

[]

sin–

8π

------------------------------------------------------

----

⋅

---αϕ–

----------------

sin⋅

dges,2r⋅DSon IArms,

()

2IBrms,

()

+[]

2 UT0IAAV,

DIBAV,

+()rDIArms,

()

2IBrms,

()

+[]+(),⋅

Vges,

Sges,

dge

ˆwr,1 nsp

wr,1

ZLC 1()

--------------------

πu

ˆCp

()

4UdRm

--------------------1Mf

+()Mf21Ωs

–()

+()⋅

MfΩs

⋅

---------------------------------------------------------------------

----

⋅=

86 4 Stromrichterkonzepte

Der auf die Werte des Nominalbetriebs ( ) normierte Graph ist in

Bild 4.12 dargestellt, und zeigt, wie sich mit zunehmendem Kapazitätsfaktor der Strom

und insbesondere sein Minimum, welches den optimalen Arbeitspunkt des LC-Resonanz-

stromrichters markiert, entwickelt. Als weiterer Scharparameter wurde die Dämpfung vari-

iert. Bei sehr großen Dämpfungen verschwindet das Stromminimum vollständig, so dass

keine zusätzliche zum Aktor parallelliegende Kapazität vorgesehen werden muss. Für

strebt der Strom gegen Unendlich.

Der Wirkungsgrad

(4.54)

der Wechselrichterstufe wird mit

Hilfe von Gl. (4.36) und der Wirk-

leistung bei Speisung des Aktors

mit seiner Resonanzfrequenz

bestimmt. Für die

betrachtete Schwingeinheit erge-

ben sich dabei die für Bild 4.13

errechneten Wirkungsgradver-

läufe. Das Bild belegt einen

erheblichen Anstieg des Wir-

kungsgrades bei kleinen Tastver-

hältnissen . Ab einem bestimm-

ten Tastverhältnis wird der Steuer-

winkel kleiner als der Phasenwinkel , so dass die Transistoren der Halbbrücke B ent-

sprechend Tabelle 4.2 unter Nullspannung einschalten. Die Folge ist eine erhebliche

Verringerung der Schaltverluste, was sich in Form eines Wirkungsgrad-„Sprunges“ äußert.

Für liegt dieser Fall knapp unter .

Mit zunehmendem Kapazitätsverhältnis steigt der Wirkungsgrad stark an. Für

wr,1

wr,1 Rm=100 Ω()=

γf∞→

0 10 20 30 40

0.1

0.2

0.5

1.5

γf

=75,

=11

=100,

=8,3

=200,

=4,16

iwr

Bild 4.12: Strom der Wechselrichterstufe als Funk

tion von und der Dämpfung , Nennbetrieb be

mit und .

=100

Ω

100

325 V=

Vges,

–

()

⁄

Re S

{}

αϕ

γf

11=

γfop

≈

D0,1=

100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

D Rm

η η

γf = 1

γf = 11 ≈ γmax

γf = 1

γf = 21

100

0 100 200 300 400 500

γf = 21

γf = 11 ≈ γmax

D = 0,5

γf = 3 γf = 3

Bild 4.13: Wechselrichter-Wirkungsgrad des LC-Resonanzstromrichters als Funktion

a) des Tastverhältnisses D, b) des Lastwiderstandes bei unterschiedli-

chen Kapazitätsverhältnissen .

a) b)

4.2 Resonanzstromrichter 87

wird der in Kap. 4.2.1.1 mittels Gl. (4.37) prognostizierte optimale Betriebs-

punkt erreicht, und für stellen sich wieder schlechtere Wirkungsgrade ein. Der

maximal erreichbare Wirkungsgrad für die hier betrachtete Schwingeinheit liegt bei ca.

Für den Fall der veränderlichen Last, für den in dieser Simulation der Widerstand vari-

iert wurde, ergeben sich bei konstantem maximalen Tastverhältnis je nach Kapa-

zitätsverhältnis für kleiner werdende Lasten wieder schlechtere Wirkungsgrade. Aller-

dings ist erkennbar, dass bei dem für dieses Beispiel ermittelten optimalen Kapazitätsver-

hältnis bei der Punkt des maximalen Wirkungsgrades erhalten bleibt.

Für andere Lasten muss, wie in Gl. (4.37) gezeigt, die Berechnung des optimalen Kapazi-

tätsfaktors die geänderte Gütezahl berücksichtigen.

4.2.2 Der LLCC-Resonanzstromrichter

Der Schaltplan des LLCC-Resonanzstromrichters ist in Bild 4.14 dargestellt. Ähnlich wie

beim LC-Resonanzstromrichter liegt die Schaltfrequenz der Wechselrichterstufe in unmit-

telbarer Umgebung der mechanischen Resonanzfrequenz des piezoelektrischen Aktors.

Das Ausgangsfilter besteht hier aus einem Serienschwingkreis im Längspfad bestehend aus

der Kapazität und der Induktivität . Parallel zur Last wird außerdem noch eine Par-

allelinduktivität eingeführt, die mit der optional vorzusehenden Kapazität und der

Piezokapazität resonant abgestimmt wird. Die Auslegung des Längs- und Parallel-

schwingkreises erfolgt anhand der Gleichungen:

, , (4.55)

Diese Auslegung führt zu einem Bandpassverhalten welches bei einer ohmschen Last nähe-

rungsweise bei der Frequenz eine Spannungsverstärkung von Eins und eine Phasenver-

schiebung von null gewährleistet. Damit entspricht im stationären Betrieb die Grund-

schwingungsamplitude der Wechselrichterstufe aufgrund der Spannungseinprägung

des Wechselrichters nahezu der Grundschwingungsamplitude der Filterausgangsspannung

, vgl. [48].

γfγfop

98,2%=

D0,5=

γfop

100

Ω

1 : n

Bild 4.14: Topologie des LLCC-Resonanzstromrichters.

Cfs

Lfs

2πf0

()

2CPCfp

+()

-----------------------------------------

----

88 4 Stromrichterkonzepte

Die simulierten Strom- und Spannungsverläufe bei unterschiedlichen Tastverhältnissen des

LLCC-Resonanzstromrichters sind in Bild 4.15 dargestellt, wobei hier auf die zusätzliche

Kapazität verzichtet wurde. Im Vergleich zum LC-Resonanzstromrichter ist trotzdem

ein erheblich ausgeprägteres spannungseinprägendes Verhalten erkennbar. Aufgrund des

besseren Verhältnisses zwischen der Grundschwingungsamplitude und den auftretenden

Oberschwingungen ist auch eine bessere Filterwirkung des Ausgangsfilters zu verzeichnen.

Die entsprechenden Amplituden- und Phasenkennlinien sind in Bild 4.16 dargestellt. Auf-

fällig sind in der Amplitudenkennlinie die beiden unter- und oberhalb des Arbeitsbereiches

auftretenden Resonanzüberhöhungen. Wie bereits erläutert liegt dazwischen die Verstär-

kung des Ausgangsfilters nahe Eins, und der LLCC-Resonanzstromrichter arbeitet unter der

Annahme idealer Bauelemente spannungseinprägend. In [48] und [68] wurde gezeigt, wie

-150

-50

150

-150

-50

150

-100

-50

100

-100

-50

100

= 1.2 β

= 1.2

= 0.8 β

= 0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

135791113151719

Cp,k

Cp,1

Cp,k

Cp,1

Cp,k

Cp,1

Cp,k

Cp,1

Cp,k

Cp,1

Cp,k

Cp,1

1 3 5 7 9 1113 1517 19

0.2

0.4

0.6

0.8

=1.2

=0.8

=1.2

=0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

135791113151719

0.2

0.4

0.6

0.8

135791113151719

-200

-100

100

200

-150

-50

150

0.2

0.4

0.6

0.8

135791113151719

1 3 5 7 9 1113 1517 19

0.2

0.4

0.6

0.8

=1.2

=0.8 β

=1.2

=0.8

=1.2

=0.8

=1.2

=0.8

Bild 4.15: Simulierte Strom- und Spannungsverläufe am LLCC-Resonanzstrom-

richter bei einem Tastverhältnis von D = 0,1, 0,25 und 0,5. Spektrum

der Spannung am piezoelektrischen Aktor und vom Strom durch

die Längsspule , (aus Darstellungsgründen wurde für den Strom

eingeführt).

s50

⋅=

a) D=0,1;

6,22 µ

=b) D= 0,25;

14,22 µ

=c) D=0,5;

20,11 µ

4.2 Resonanzstromrichter 89

durch die Wahl des Kapazitätsverhältnisses die Lage der beiden Resonanzen des

Spannungsübertragungsverhaltens bestimmt werden kann. Auf diese Weise kann der

Arbeitsbereich des Stromrichters, womit der Frequenzbereich gemeint ist, in dem sich die

mechanische Resonanzfrequenz des piezoelektrischen Aktors befinden darf, vergrößert

werden. Dringend zu beachten ist allerdings, dass der mögliche Arbeitsbereich auch von der

gewählten Wechselrichter-Topologie abhängt. Während bei einer Vollbrückentopologie erst

die dritte Oberschwingung in der Ausgangsspannung der Wechselrichterstufe auftritt, ist bei

einer Halbbrückentopologie, abhängig vom Tastverhältnis, bereits die zweite Oberschwin-

gung in der Ausgangsspannung enthalten. Bei entsprechend ungeeigneter Auslegung und

Platzierung der beiden Resonanzen in der Spannungsübertragungskennlinie kann die zweite

Oberschwingung mit der oberen Resonanzüberhöhung zusammenfallen und zu unzulässig

hohen Belastungen der Halbleiter führen. Umgehen kann man dieses Problem der Halb-

brückentopologie, indem mit einem konstanten Tastverhältnis von getaktet wird,

da unter diesen Umständen erst die dritte Oberschwingung in der Ausgangsspannung auf-

tritt. Die Wechselrichterspannung wird dann mittels eines Eingangsstromrichters einge-

stellt. Ausführlicher wurden diese Konzepte bereits in Kap. 2.4.2 diskutiert.

Die Resonanzfrequenzen des Längs- und Parallelschwingkreises sowie die Resonanzfre-

quenz des piezoelektrischen Aktors unterliegen während des Betriebs Änderungen. Die

mechanische Resonanzfrequenz des Aktors ändert sich z. B. aufgrund von Lastschwankun-

gen. Der Parallelschwingkreis ( , ) wird indessen aufgrund der Erwärmung des

Aktors verstimmt.

In der Praxis werden Schwingkreiskomponenten verwendet, die Herstellungstoleranzen,

Alterung und Parametervariationen durch Temperaturänderung unterliegen, die eine belie-

big genaue Abstimmung der Schwingkreis verhindert. Dazu kommt ferner, dass der Schal-

tungsentwickler die Auswahl der kommerziell erhältlichen Komponenten anhand von

Normreihen vornehmen muss.

Cfs

⁄

D0,5=

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-20

| GLLCC(Ω)| in dBGLLCC(Ω) in ˚

-100

100

Ω

-6

-4

-2

-6

-4

-2

0.98 0.99 1 1.01 1.02 0.98 0.99 1 1.01 1.02

0.98 0.99 1 1.01 1.02

-60

-50

-40

-30

-20

-10

βCs =

0,8

βCs =

1,2

γf =

βCs =

1,2

βCs =

0,8

βCs =

1,2

βCs =

0,8

γf =

Bild 4.16: Amplituden- und Phasenkennlinie in normierter Darstellung für den LLCC

Resonanzstromrichter. Variation der Filterkapazität zur Glättung de

Spannungsübertragungsverhaltens und Einfluss der Filterkapazität .

Cfs

90 4 Stromrichterkonzepte

Ähnliche Überlegungen bezüglich der Toleranzen und Exemplarstreuungen treffen auch auf

die Spulen und Transformatoren zu. Da allerdings die Induktivitätswerte zumeist auf eige-

nen Entwürfen beruhen, ist man bei ihrer Auswahl nicht an Normreihen gebunden. Der Ein-

fluss nicht-idealer Kapazitätswerte von auf das Spannungsübertragungsverhalten ist

ebenfalls in Bild 4.16 dargestellt. Dabei wurde ein für Kapazitäten üblicher Toleranzbereich

von angenommen, und es wird das Kapazitätsverhältnis

(4.56)

eingeführt, um auch auf den folgenden Seiten Parameterungenauigkeiten der Filterkompo-

nenten zu modellieren. Die beiden abgebildeten Ausschnittvergrößerungen der Umgebung

der Aktorresonanzfrequenz zeigen für die größten anzunehmenden Abweichungen vom

nominellen Auslegungswert ( und ) deutliche Spannungseinbrüche

und Variationen in den Phasenkennlinien (durchgezogene Kennlinien). Abweichung zu

kleineren Kapazitätswerten wirken sich dabei dominanter aus als Abweichungen zu größe-

ren Werten. Beim Entwurf des LLCC-Resonanzstromrichters sollte, diesen Beobachtungen

entsprechend, die Längskapazität immer zu größeren Werten abgeschätzt werden.

4.2.2.1 Grundschwingungsanalyse des LLCC-Resonanzstromrichters

Das Spannungsübertragungsverhalten des LLCC-Resonanzstromrichters ergibt sich aus

, (4.57)

mit

und . (4.58)

ist die Impedanz des piezoelektrischen Aktors. Für eine übersichtliche normierte

Darstellung werden die folgenden Abkürzungen eingeführt. Neben der Resonanzfrequenz

des mechanischen Teilssystems ergeben sich die Resonanzfrequenzen des Längsfilters

( , ) und des Parallelfilters ( , ) aus

bzw. . (4.59)

Außerdem wird die Gütezahl nach Gl. (4.30) verwendet. Zur Frequenznormierung wird

eingesetzt.

Das anhand Bild 4.16 beschriebende Verhalten auf ungenaue Werte der Filterkomponenten

kann durch die auf die Aktorresonanzfrequenz normierte Spannungsübertragungsfunktion

bestätigt werden. Dazu wird die Empfindlichkeit bezüglich der Resonanzfre-

quenzen und bestimmt. Unter der Annahme der Anregung des piezoelektrischen

Aktors mit seiner Resonanzfrequenz13 ( ) und gleichzeitig idealer Abstim-

mung des Serienschwingkreises bzw. erhält man

Cfs

20 %

βCs

fs is

Cfs so

-------------

----

βCs

1,2=

βCs

0,8=

LLCC jω()

Uwr

’

----------

ω()

ω()⋅

Zfs jω()ZAjω()Zfp jω()+[]ZAjω()Zfp jω()⋅+

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----

fs jω() jωLfs

jωC

----------

----

fp jω()

1ω2CfpLf

–

----------------------------

---

ω()

Lfs

Cfs

ωs

LfsCfs

------------------

=ωp

Lfp Cfp CP

+()

----------------------------------

----

Ωωω

⁄

LLCC

Ω()

Ωωω

⁄

1==

ωsω

βCs

4.2 Resonanzstromrichter 91

. (4.60)

Demzufolge führt eine Verstimmung des Parallelschwingkreises zwar zu einer geänderten

Teilimpedanz des Filters und demnach zu Blindstromaufnahme bei , aber es hat keinen

Einfluss auf das Spannungsübertragungsverhalten.

Für den Fall der idealen Abstimmung des Parallelschwingkreises ergibt sich ent-

sprechend Gl. (4.59) für das Kapazitätsverhältnis :

(4.61)

Das Spannungsübertragungsverhalten folgt in diesem Fall:

. (4.62)

Entsprechend Gl. (4.30) wird durch Vergrößern der Filterkapazität die Gütezahl

verringert, und somit auch in Gl. (4.62) der mit der Gütezahl verknüpfte Term. Die Emp-

findlichkeit des Spannungsübertragungsverhalten des LLCC-Resonanzstromrichters kann

also durch Vergrößern der Kapazität wesentlich verringert werden. Außerdem wird der

Einfluss der Temperaturabhängigkeit der Piezokapazität verringert. Als Resultat erhält man

spannungseinprägenderes Verhalten des Resonanzstromrichters. In Bild 4.16 ist der Ein-

fluss der Zusatzkapazität mit Hilfe des Kapazitätsverhältnisses in der Form

simuliert worden.

Wie beim LC-Resonanzstromrichter führt die zusätzliche Kapazität zu erhöhtem Blindlei-

stungsbedarf des Ausgangsfilters. Zur Abschätzung der Belastung der Wechselrichterstufe

wird zunächst die Lastimpedanz bestimmt, die sich aus

(4.63)

berechnet (vgl. Gl. (4.58)). Wie bereits Gl. (4.60) zeigte, hat eine Verstimmung des Parallel-

filters keine Auswirkungen auf das Spannungsübertragungsverhalten allerdings liegt eine

Rückwirkung auf die Eingangsimpedanz vor. Unter den Voraussetzungen , Anre-

gung in mechanischer Resonanz ( ) und Festlegung des Kapazitätsverhältnisses

ergibt sich

. (4.64)

13.Diese Annahme ist sinnvoll und gerechtfertigt, da dies der energetisch günstigste Betrieb entspre-

chend den Ausführungen nach Kap. 2 ist, und eine Regelung diesen Betriebspunkt sicherstellen

kann.

LLCC

()ωsω0

ωpω

βC

βCs

fs ist,

Cfs

--------------

Lfs

------

⋅

fs ist,

CPCfp

---------------------

Lfp

-------

⋅ω0

ωsist,

-------------





== =

GLLCC ωω

ω0

2Mf

2ω0

2ωs

–()

⋅+

-------------------------------------------------------- βCs

βCs

2Mf

2βCs 1–()

⋅+

----------------------------------------------------

----

γf

()

⁄

LLCC jΩ() Zfs jΩ()

Ω()

Zfp jΩ()ZAjΩ()+

---------------------------------------

----

ωpω

Ω

βCs

ZLLCC 1() Rm1jM

ω0

2ωs

–

ω0

-------------------

⋅⋅+







⋅Rm1jM

βCs 1–

βCs

----------------

⋅⋅+





⋅==

92 4 Stromrichterkonzepte

Zur weiteren Vereinfachung wurde Gl. (2.19) verwendet. Der imaginäre Anteil kann dabei

durch Vergrößern des Faktors , der Teil von ist, verringert werden. Unbeeinflusst

bleibt dagegen der mit konstante Realteil.

Die Verläufe der Schein-, Blind- und Wirkleistung sind in Bild 4.17 über dem Faktor für

unterschiedliche übliche Herstellungstoleranzen der Filterkapazität dargestellt. Dazu

wurden die jeweiligen Leistungen auf die Scheinleistung im resonanten Betriebs-

punkt bei idealer Filterauslegung bezogen.

Für ist die von der Gesamtlast aufgenommene Blindleistung posi-

tiv, was auf das kapazitive Verhalten des Reihenschwingkreises oberhalb seiner Resonanz-

frequenz zurückzuführen ist. Für zunehmendes nimmt die aufgenommene Blindlei-

stung ab, und die Wirkleistung bzw. Scheinleistung nähert sich dem Bezugswert . Für

große Toleranzbereiche ist in der Blindleistung zunächst ein Anstieg zu verzeichnen, ehe

die Blindleistungsaufnahme gegen null zu streben beginnt. In diesem Fall sollte aus Sicht

der Wechselrichterstufe die gewählte Parallelfilterkapazität mit Hilfe des Multiplika-

tors so gewählt werden, dass die Blindleistungsaufnahme kleiner als die für auf-

genommene Blindleistung wird. Andernfalls würde die Wechselrichterstufe mit zusätzlicher

Blindleistung belastet werden. Ähnliche Verhältnisse gelten für den Bereich .

Cfs

γf

cos( ϕ)

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8



5MH



5MH



3MH



3MH



2MH



2MH





5MH



5MH



3MH



3MH



2MH



2MH



0.2

0.4

0.6

0.8

246810

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

γf



ϕ)

246810

γf

246810

γf

246810

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9























 







Bild 4.17: Leistungen und Leistungsfaktor des LLCC-Resonanzstromrichters

bei Variation des Kapazitätsverhältnis .γ

βCs

1..1,2=

LLCC

()

γf

βCs

0,8..1=

4.2 Resonanzstromrichter 93

Die bisherigen Ausführungen legen die Vermutung nahe, dass ein ideales Übertragungsver-

halten durch ein möglichst großes erzielt werden kann. Zu beachten sind aber noch die

Belastungen der Filterkomponenten.

Die Ausgangsspannung des LLCC-Filters liegt auch über dem Parallelschwingkreis

an. Aufgrund sehr geringer komplexer Widerstände bei einem großen stellt sich ein ent-

sprechend hoher Kreisstrom zwischen der Kapazität , der Piezokapazität und der

Filterspule innerhalb des Filters ein:

bzw. . (4.65)

Dieser Strom fließt ausschließlich zwischen den Filterkomponenten und belastet nicht die

Wechselrichterstufe. Die Folge des mit anwachsenden Stromes ist bei gegebener Indukti-

vität der Bedarf nach entsprechend stromfesten Filterbauelementen, die nach Gl. (4.21)

voluminös und somit kostenintensiv ausfallen. Entsprechend der Auslegungsvorschrift für

den LLCC-Resonanzstromrichter nach Gl. (4.55) und Einsetzen von

(4.66)

und Gl. (4.65) ergibt sich nach Gl. (4.22) ein resultierendes Flächenprodukt , wel-

ches sowohl die Spule des Parallelfilters als auch die Spule des Längsfilters berück-

sichtigt:

. (4.67)

Der Transformator weist das Flächenprodukt

(4.68)

auf. Im Interesse einer kostengünstigen Dimensionierung sollte demzufolge das Kapazitäts-

verhältnis so gewählt werden, dass ein geeigneter Kompromiss zwischen Spannungssta-

bilität und Kosten bzw. Volumen des Ausgangsfilters gefunden wird. Dabei spielt insbeson-

dere die Anwendung eine entscheidende Rolle. Für ein handgeführtes Gerät würde man

z. B. kleinere Filterkomponenten bevorzugen. Stationäre Geräte dagegen, wie sie z. B. in

großen Anlagen zum Ultraschallschweißen zum Einsatz kommen, könnten bei Nichtbeach-

tung des Kostenfaktors problemlos mit großvolumigen Komponenten ausgestattet werden.

Die beim entsprechend gefundenen Kompromiss verbleibende Differenz zwischen gefor-

derter und tatsächlicher Amplitude der Ausgangsspannung muss noch durch Wahl des

Übersetzungsverhältnisses des Ausgangstransformators kompensiert werden. Analog zu Gl.

(4.39) erhält man

. (4.69)

Cfp

Cpω0γf

1–

()

Lfp

Cpω0γf

ω0

2γfC

⋅⋅

----------------------

----

LLC

Lfs

cAwLfs Lfp

ˆCp

kCuB

ˆJ

ˆω0Rm

⋅

----------------------------------1M

-------------

----

⋅=

cAwTr

kCuB

ˆJ

ˆω0Rm

⋅

----------------------------------1Mf2βCs 1–

βCs

-----------------





⋅+⋅=

sp π

4Ud

⋅

--------------u

ˆCp

GLLCC 1()γfγfop

→

--------------------------------------------

---

⋅⋅=

94 4 Stromrichterkonzepte

4.2.2.2 Verlustleistungsberechnung für den LLCC-Resonanzstromrichter

Unter Berücksichtigung des Ausgangstransformators zur Anpassung der Aktorspannung an

die geforderte Betriebsspannung bei Vollaussteuerung (vgl. auch Gl. (4.39)) ergibt sich

für die Grundschwingungsamplitude des Stroms in der Wechselrichterstufe

(4.70)

Der auf den Nominalbetrieb ( ) bezogene Graph ist in

Bild 4.18 dargestellt. Für die dargestellten Kennlinien wurde die Dämpfung bei

über dem Kapazitätsverhältnis variiert. Die Kennlinie verdeutlicht also die

zusätzliche Strombelastung der Wechselrichterstufe, verglichen mit der Belastung, die bei

idealen Filterbauelementen vorliegen würde. So ist bei Nominallast der Ultraschall-Schwin-

geinheit ( ) und bei Verzicht auf eine zusätzliche Filterkapazität (d. h.

) mit einer um etwa 120% höheren Belastung der Wechselrichterstufe zu rechnen,

als bei Verwendung einer Filterkapazität mit dem 8-fachen Wert der Piezokapazität. Im

Gegensatz zum LC-Resonanzstromrichter, und wie bereits im vorangegangenen Abschnitt

erläutert, gibt es beim LLCC-Resonanzstromrichter keinen optimalen Betriebspunkt, in

dem der Strom ein Minimum annimmt. Dafür existiert hier ein Endwert, gegen den der

Strom für strebt:

. (4.71)

Die Kennlinie zeigt auch, dass

bei zunehmender Dämpfung

dieser Endwert schneller

erreicht wird.

Für den LLCC-Resonanzstrom-

richter erhält man aus der

Grundschwingungs-Simulation

mit den in Tabelle 4.1 angege-

benen Parametern der Ultra-

schall-Schwingeinheit die in

Bild 4.19 beispielhaft angege-

benen Wirkungsgradverläufe.

In Bild 4.19 a ist ein Sprung im

Funktionsverlauf zu erkennen,

der dann auftritt, wenn der

Betrag14 der Phase der Lastim-

wr,1 nsp

wr,1

ZLLCC 1()

--------------------------

πu

ˆCp 1,

4Ud

---------------- u

ˆCp 1,

-------------1

1Mf

2βCs 1–

βCs

-----------------





⋅+

---------------------------------------------------

⋅⋅ π

4Ud

----------u

ˆCp 1,

()

-------------------- βCs

βCs

2Mf

2βCs 1–()

⋅+

-----------------------------------------------------

---

⋅⋅==

wr 1,

wr,1 Rm=100 Ωβ

Cs 1=,()=

βCs

0,8=

100

Ω

γf

γf∞→

wr,1 γf∞→

πu

()

2RmU

⋅

-----------------

----



wr,



2 4 6 8 10 12 14 16













Bild 4.18: Strom der Wechselrichterstufe als Funktio

von und der Dämpfung , Nominalbetrieb b

mit , und

=100

Ωβ

100

325 V=

4.3 Der Pulsstromrichter 95

pedanz größer als der Steuerwinkel wird. Dann müssen Tabelle 4.2 zufolge die Transistoren

der Vollbrücke hart schaltend arbeiten, wodurch die plötzlich auftretenden Schaltverluste

einen Einbruch des Wirkungsgrades verursachen. Mit zunehmendem steigt der Wir-

kungsgrad zunächst stark an, um mit zunehmendem Tastverhältnis in einen Bereich um

ca. 98% ( ) einzutreten. Je größer das Kapazitätsverhältnis gewählt wird, desto größer

ist auch der Wirkungsgrad. Allerdings ist der Wirkungsgradgewinn ab ca. nur noch

gering und macht nur noch ca. ein Prozent aus. Der maximal erreichbare Wirkungsgrad für

die hier betrachtete Schwingeinheit liegt – genau wie beim LC-Resonanzstromrichter – bei

ca. . Im Fall der veränderlichen Last, für den in Bild 4.19 b) der Widerstand

variiert wurde, ergeben sich bei konstantem maximalen Tastverhältnis gegenüber

dem LC-Resonanzstromrichter leicht verbesserte Wirkungsgrade bei geringerer Last. Für

weiter abnehmende Last nimmt allerdings der Wirkungsgrad leicht ab.

4.3 Der Pulsstromrichter

Pulsstromrichter beruhen im Wesentlichen auf der gleichen Topologie wie LC-Resonanz-

stromrichter, vgl. Bild 4.5 und Bild 4.22. Aber anstatt die Wechselrichterstufe mit der

Betriebsfrequenz des Aktors zu takten, wird eine wesentlich höhere Schaltfrequenz verwen-

det und eine höherpulsige Wechselrichterspannung erzeugt. Damit wird es möglich, die

Kosten der Filterkomponenten zu reduzieren und die Dynamik zu vergrößern. Ein mögli-

ches Modulationsverfahren, die Dreieck-Sinus-Modulation, wird anhand Bild 4.20 erläutert

[56]. Weitere Varianten und Modulationsverfahren sind z. B. in [48] und [55] beschrieben.

Möglich ist u. a. die Nutzbarmachung optimierter Schaltmuster, mit denen gezielt Ober-

schwingungen der Wechselrichterspannung vermieden werden können, die unerwünschte

Schwingungsmoden der Ultraschall-Schwingeinheit angeregen könnten.

14.Gl. (4.64) entsprechend ist die Last für die Wechselrichterstufe immer kapazitiv. Nur durch Ände-

rung des Kapazitätsverhältnis kann dieses Verhalten beeinflusst werden. Durch ein größeres ,

wird dabei die Phase von kleiner und strebt für gegen Null.

LLC

γf∞→

γf

98,2%=

D0,5=

D R

γf = 1

γf = 3 γf = 5

γf = 11

D = 0,5

100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

γf = 11

γf = 5

γf = 1

0 100 200 300 400 500

100

γf = 3

Bild 4.19: Wirkungsgrad des LLCC-Resonanzstromrichters in Abhängigkeit a) vom

Tastverhältnis und b) vom Lastwiderstand bei unterschiedlichen

Kapazitätsverhältnissen .

)b)

96 4 Stromrichterkonzepte

Eine dreieckförmige Referenzspannung

mit der Frequenz wird

permanent mit einer sinusförmigen Soll-

spannung und deren Invertierung

verglichen. Die Sollspannung hat die Fre-

quenz , was der Resonanzfrequenz des

piezoelektrischen Aktors entspricht. Der

Wert wird als Taktzahl bezeichnet.

Durch Vergleich des Referenzsignals mit

den beiden sinusförmigen Sollspannun-

gen werden die binären Steuersignale

für die Transistoren

erzeugt. Als Resultat erhält man eine

gepulste Rechteckspannung, deren

Grundschwingung der Frequenz des

Sinussignals, also der Resonanzfrequenz

des Aktors, entspricht. Die Amplitude der

Grundschwingung wird durch die Ampli-

tude der Sollspannungen bzw.

eingestellt, und es gilt der Zusammen-

hang [59]

. (4.72)

Höherfrequente Harmonische werden zu höheren Frequenzen verschoben, sodass im Fre-

quenzbereich ein Abschnitt entsteht, in dem keine harmonischen Frequenzanteile der

Wechselrichterspannung liegen. Die Filterung kann nun mit Hilfe einer Längsspule und

einer Kapazität ein Tiefpassfilter realisiert werden. Eine derartige Auslegung des Filters

unter Berücksichtigung des Spektrums der Wechselrichterspannung ist in Bild 4.21 darge-

stellt.

Weitere Tiefpassfilter-Topologien für Pulsstromrichter wie z. B. ein Cauer-Tiefpass werden

in [78] vorgestellt. Wegen seiner geringeren Dämpfungswirkung im Sperrbereich, treten

beim Cauer-Tiefpass erheblich höhere Oberschwingungsblindleistungen auf, die zusätzli-

che Belastungen der Wechselrichterstufe verursachen. Aus diesem Grund wird diese Filter-

topologie nicht weiter betrachtet.

In dem in Bild 4.21 dargestellten Beispiel tritt bei Taktzahl erst die siebte Ober-

schwingung signifikant in der Wechselrichterspannung auf. Die Resonanzfrequenz des oben

beschriebenen Tiefpassfilters wird so in die Lücke zwischen Grundschwingung und erster

auftretenden Oberschwingung platziert, dass jene durch die Filterwirkung gedämpft wird.

Aufgrund der höheren Resonanzfrequenz des Tiefpasses fällt das Volumen der zu realisie-

renden Filterspule erheblich kleiner aus, als bei den Konzepten der Resonanzstromrichter.

Somit kann ein wesentlicher Beitrag zur Miniaturisierung und Kostenreduktion der Lei-

stungselektronik erbracht werden. Nachteilig hingegen ist bei Ultraschallaktoren mit kleiner

Gütezahl die fehlende Kompensation der Blindleistung. Der Transformator des Pulsstrom-

-1

-u

∆

-0.5

0.5

-U

wr,1

Bild 4.20: Dreieck-Sinus-Modulation

für Pulsstromrichter für .λT

∆

∆λT

⋅

–

und z4

–

wr 1,

ˆ∆

----- U

⋅=

Lfs

λT

4.3 Der Pulsstromrichter 97

richters muss immer die gesamte vom Aktor aufgenomme Blindleistung übertragen. Dies

führt dementsprechend zu einem erhöhten Bauvolumen des Transformators, der Wechsel-

richterstufe und des Zwischenkreises. Das Verhalten in unmittelbarer Nähe zur Resonanz-

frequenz des piezoelektrischen Aktors wird später in diesem Abschnitt behandelt.

Eine wichtige Eigenschaft des Pulsstromrichters ist seine einfache Adaption an piezoelek-

trische Aktoren, deren Resonanzfrequenzen und Piezokapazitäten je nach Schwingeinheit

unterschiedlich sein können. Da der Frequenzbereich zwischen Grundschwingung und

erster auftretender Oberschwingung von der Taktzahl festgelegt wird, kann durch einfache

Erhöhung der Taktzahl dieser Bereich vergrößert werden. Durch diese Maßnahme kann eine

problemlose Anpassung an die Resonanzfrequenz erfolgen, ohne ein neues Ausgangsfilter

auslegen zu müssen. Außerdem wird das Spektrum der Wechselrichterspannung mit der Fil-

tercharakteristik, die auch von der Piezokapazität abhängig ist, abgeglichen. Sollen mit

Resonanzstromrichtern unterschiedliche Schwingeinheiten gespeist werden, ist in der Regel

eine vollständige Neuauslegung und Fertigung der Resonanzfilter notwendig.

Aufgrund der hohen Schaltfrequenzen, die das Vielfache der Aktorresonanzfrequenz betra-

gen, muss berücksichtigt werden, dass die im Vergleich zu Resonanzstromrichtern höheren

Schalt- und Durchlassverluste der verwendeten Transistoren zu erhöhtem Kühlaufwand

führen. Außerdem werden die Transistoren hart schaltend betrieben.

Der Schaltplan eines Pulsstromrichters ist in Bild 4.22 dargestellt. Die verwendeten MOS-

FET besitzen eine inhärente Diode, die zum Zeitpunkt der Erstellung der vorliegenden

Arbeit üblicherweise schlechte dynamische Eigenschaften aufweisen. So sind sie relativ

langsam und weisen eine große Sperrschichtladung ( ) auf. Trotz großer Bemühungen

0.98 0.99 1 1.01 1.02

0 5 10 15 20

-20

-10

-2

-40

-30

-20

-10

-150

-100

-50

0.2

0.4

0.6

0.8

ωs

ω02 λT ω0

ωδ

PWM

(jΩ)| in dBG

PWM

(jΩ) in ˚

Ω

0.98 0.99 1 1.01 1.02

Ω

wr,k

Bild 4.21: Spektrum der Wechselrichterspannung bei Dreieck-Sinus-Modulation und

Frequenzgang eines Tiefpassfilters zur Unterdrückung unerwünschter Ober-

schwingungen.

98 4 Stromrichterkonzepte

der Halbleiterindustrie durch entsprechende Auslegung der Bauelemente diese Dioden zu

verbessern, sind sie bei dieser Anwendung als antiparallele Dioden unbrauchbar. Daher

sollten zur Verringerung der Schaltverluste antiparallele Dioden mit gutem Rückstromver-

halten vorgesehen werden. Da trotzdem die inhärenten Dioden leitend werden können, sind

zusätzlich in den Transistorzweigen serielle Dioden einzubringen, die das leitend werden

der MOSFET-Dioden verhindern sollen.15

4.3.1 Auslegung des Pulsstromrichters

Zur Auslegung des Ausgangsfilters wird – wie oben bereits beschrieben – eine resonante

Auslegung der Längsspule und der Piezokapazität vorgenommen. Das Ausgangsfil-

ters ist charakterisiert durch

(4.73)

Aufgrund der hohen Impedanz des piezoelektrischen Aktors bei hohen Frequenzen, kann in

guter Näherung die Auslegung des Tiefpasses anhand des konservativen Systems erfolgen

( ). Für die Filterspule erhält man dann die Induktivität

. (4.74)

Die Festlegung der Resonanzfrequenz erfolgt mit Hilfe des Spektrums der Wechselrich-

terspannung und ist sowohl von der Taktzahl als auch von der Aussteuerung abhän-

gig. Als Auslegungsrichtlinie wird dazu definiert, dass die erste signifikant vertretene Ober-

schwingung, deren Frequenz durch die Ordnungszahl repräsentiert

15.Zu berücksichtigen ist, dass im Rahmen dieser Arbeit mit CoolMOS-Transistoren gearbeitet wurde.

Inzwischen ist die Entwicklung der Bauelemente weiter fortgeschritten, so dass nach entsprechen-

den Tests ggf. auf die zusätzlichen Seriendioden verzichtet werden kann.

ipim

uwr uwr

'uCp

Lfs

Cfp CP

1 : nsp

z1z3

z2z4

sD3

sD4

D2D4

T2T4

Bild 4.22: Topologie des Pulsstromrichters.

Lfs

Ωs

ωs

ω0

------

PWM 11ω

CPLfs

–()⁄=

ωs

2CP

--------------

Ωs

2ω0

⋅

----------------------

----

ωδ

PWM ωδω

⁄

4.3 Der Pulsstromrichter 99

wird, um abgeschwächt wird. Die Werte werden im Rahmen dieser

Arbeit mit Hilfe numerischer Simulationen mit dem Computeralgebrasystem MATHEMA-

TICA ermittelt. Aus der Vorgabe für die Abschwächung und mit Hilfe der Näherung für den

Frequenzgang erhält man die Bedingung

. (4.75)

Weiter erhält man die Bedingung für , um die geforderte Abschwächung durch das Aus-

gangsfilter einzuhalten

(4.76)

sowie

. (4.77)

Aufgrund des relativ großen Abstandes zwischen der Resonanzfrequenz des Aktors und der

Resonanzfrequenz des Ausgangsfilters, wird das Spannungsübertragungsverhalten, wie aus

Bild 4.21 ersichtlich ist, nur geringfügig gestört. Bei Anregung mit der Aktorresonanzfre-

quenz erhält man für das Spannungsübertragungsverhalten nach den Normie-

rungen entsprechend Kap. 4.2.1

(4.78)

Eine Grenzwertbetrachtung zeigt, dass durch Verkleinern der Gütezahl , indem die Pie-

zokapazität bzw. die Filterkapazität vergrößert wird, das Spannungsübertragungsver-

halten dem Grenzwert

(4.79)

zustrebt. Hingegen wird zu 1 für

. (4.80)

Dieser Wert beschreibt, wie die optimale Beschaltung des Aktors mit einer Parallelkapazität

auszusehen hat, da in diesem Fall ideales spannungseinprägendes Verhalten des Puls-

stromrichters vorliegt.

Die Grenzwertbetrachtung bezüglich des Faktors , mit dem die Filterfrequenz der

Pulsbreitenmodulation festgelegt wird, zeigt, dass für beliebig große Werte das Spannungs-

übertragungsverhalten ebenfalls gegen 1 strebt

δ10 δdB

⁄

–

PWM

nPWM ω0

()

2CPLfs 1–

-------------------------------------------------- 1

nPWM

ω0

ωs

------





21–

--------------------------------------1

nPWM

Ωs

--------------





21–

-------------------------------δ≤==

Lfs

nPWM ω0

()

2CPδ⋅

---------------------------------------

----

≥

ΩsnPWM δ

1δ+

--------

----

⋅≤

PWM

Ω()

GPWM jΩ()

Ω1→

UCp jΩ()

Uwr jΩ()

---------------------

Ω1→

Ωs

2Ωs

21–()

------------------------------------------

δnPWM

⋅

1δ+()

2Mf

2δnPWM

21–()1–⋅()

+⋅

----------------------------------------------------------------------------------------------

GPWM jΩ()

Ω1→

Mf0→

δnPWM

⋅

δnPWM

21–()⋅

–

----------------------------------------

----

PWM

()

fopt,2Ωs

⋅1–2nPWM

2δ

1δ+

------------

⋅⋅

–==

PWM

100 4 Stromrichterkonzepte

. (4.81)

Dieses Ergebnis ist selbstverständlich nicht praktisch nutzbar, da die Transistoren endliche

Schaltzeiten aufweisen und die Verluste in der Wechselrichterstufe für extrem hohe Schalt-

frequenzen nicht mehr vertretbar sind. Darüber hinaus führen die sehr kleinen Induktivitäts-

werte, die durch hohe Taktzahlen erzielbar sind, zu unzulässig hohen Stromspitzen während

der Schaltvorgänge. Die Betrachtungen verdeutlichen aber, dass die Spannungssteifigkeit

des Spannungsübertragungsverhaltens sowohl durch Verringerung der Gütezahl bzw.

durch Verwendung einer Filterkapazität parallel zum Aktor als auch durch Erhöhung

der Schaltfrequenz gestaltet werden kann.

Es bleibt zu bemerken, dass beim Pulsstromrichter ohnehin bereits eine relativ gute Span-

nungseinprägung vorliegt. Im Interesse der besseren Miniaturisierbarkeit und aus Kosten-

gründen ist es daher ggf. vertretbar, diesen Stromrichtertypen ohne zusätzliche Parallelka-

pazität zu betreiben, und somit die Blindleistung, die von der Wechselrichterstufe bereitge-

stellt werden muss, gering zu halten. Andernfalls sollte eine entsprechend Gl. (4.80) opti-

male Beschaltung des Aktors mit einer Parallelkapazität vorgesehen werden.

Mit Hilfe der in Tabelle 4.1 aufgeführten Parameter der Ultraschall-Schwingeinheit und der

Auswertung des Spektrums der Speisespannung erhält man die in Tabelle 4.4 angegebenen

Längsinduktivitäten. Dabei wird eine Filterung der Wechselrichterausgangsspannung von

für die -te Oberschwingung gefordert. Die zu dieser Tabelle gehörigen simu-

lierten Strom- und Spannungsverläufe des Pulsstromrichters werden in Bild 4.23 verdeut-

licht, wobei zusätzlich die Aussteuerung variiert wurde. Für diese Simulationen wurde

auf den Einsatz einer Parallelkapazität verzichtet.

Das auf die Grundschwingungsamplitude bezogene Spektrum der Aktorspannung kann

Bild 4.24 entnommen werden. Deutlich erkennbar ist der höhere Oberschwingungsanteil

bei geringeren Aussteuerungsgraden. Bei Vollaussteuerung ( ) verschwindet nahezu

der Anteil der Oberschwingungen. Die noch deutlich sichtbaren Oberschwingungsanteile,

die bei n= 9, 13 bzw. 19 auftreten, entstehen durch ihre Verstärkung durch die Resonanz-

überhöhung des Ausgangsfilters.

Zur Berechnung der Belastung der Wechselrichterstufe wird im Folgenden die Lastimpe-

danz bestimmt, was wiederum der Berechnung der erforderlichen Leistungen dient.

5 7 3,4 590 µH

10 17 8,3 100 µH

15 27 13,2 39,5 µH

Tabelle 4.4: Längsinduktivitäten des Pulsstromrichters bei

unterschiedlichen Taktzahlen

PWM

Ω()Ω1→

nPWM ∞→

10 dB–

PWM

PWM Ω

Lfs

4.3 Der Pulsstromrichter 101

-100

-50

100

-200

-100

100

200

-200

-100

100

200

-300

-200

-100

100

200

300

-300

-200

-100

100

200

300

λT =15λT =10λT =5

-100

-50

100

-300

-200

-100

100

200

300

-300

-200

-100

100

200

300

-75

-50

-25

-150

-100

-50

100

150

-200

-100

100

200

-300

-200

-100

100

200

300

mA= 0.25

uwr

uCp

~is

uCp uCp

uwr uwr

uwr uwr uwr

mA= 0.25 mA= 0.25

mA= 0.5 mA= 0.5 mA= 0.5

mA= 0.75 mA= 0.75 mA= 0.75

mA= 1 mA= 1 mA= 1

uCp

uCp uCp uCp

uCp

Bild 4.23: Simulierte Strom- und Spannungsverläufe beim Pulsstromrichter. Gegen-

überstellung für unterschiedliche Taktzahlen und Aus-

steuerungen . Für den Strom wurde aus

Darstellungsgründen der Faktor eingeführt.

λT

51015

0.25, 0.5, 0.75, 1=

⋅=

102 4 Stromrichterkonzepte

4.3.2 Grundschwingungsanalyse des Pulsstromrichters

Wie im vorangegangenen Abschnitt ausgeführt, bietet es sich an, den Pulsstromrichter ohne

zusätzliche Parallelkapazität zu betreiben, um den Blindleistungsbedarf der Wechsel-

richterlast gering zu halten. Für die Lastimpedanz erhält man in der mechanischen Reso-

nanz mit demzufolge (vgl. Gl. (4.34))

. (4.82)

Nach Einsetzen von (vgl. Gl. (4.77)) erhält man aus Gl. (4.82)

. (4.83)

0.2

0.4

0.2

0.4

0.2

0.4

1 3 5 7 9 11131517192123252729

=10

=15

= 0,25

= 0,5

= 0,75

= 1

= 0,25

= 0,5

= 0,75

= 1

= 0,25

= 0,5

= 0,75

= 1

Bild 4.24: Spektrum der Spannung am piezoelektrischen Aktor für

die Taktzahlen und Variation der Aussteuerung

Cp k,

Cp 1,

⁄

〈〉

λT

5; 10; 15=

0,25; 0,5; 0,75 und 1=

PWM 1() Rm

1Mf

-----------------jM

Ωs

-------1

1Mf

-----------------

–





⋅⋅+







⋅=

ΩsnPWM δ1δ+()⁄⋅=

PWM 1() RmMf

1Mf2

-----------------Mfj1δ+()1Mf

+()

nPWM

2δ⋅

--------------------------------------- 1–







⋅+







⋅=

4.3 Der Pulsstromrichter 103

Die umgesetzten Leistungen erhält man aus

, womit der Lei-

stungsfaktor

berechnet wird. Das Lastverhalten bzw. der Lei-

stungsfaktor in Abhängigkeit von der verwende-

ten Taktzahl und damit einhergehend von der

mit mindestens zu dämpfenden Ober-

schwingung (siehe Kap. 4.3.1) ist von

besonderem Interesse. Diese Zusammenhänge

sind in Bild 4.25 dargelegt. Während für kleine

noch ein geringer Leistungsfaktor zu ver-

zeichnen ist, steigt dieser bis stark

an, um dann für weiter wachsendes kon-

stant bei ca. Eins zu verharren. In Bild 4.25 sind

außerdem die entsprechend Tabelle 4.4 angegebe-

nen Auslegungen für die Taktzahlen

eingezeichnet.

Das Flächenprodukt der Filterspule wird analog zu den Berechnungen des LC-

Resonanzstromrichters berechnet. Der Strom durch die Filterspule ergibt sich aus

. (4.84)

Dabei wurde die Annahme getroffen, dass die Ultraschall-Schwingeinheit mit ihrer Reso-

nanzfrequenz betrieben wird, und sich somit die Reaktanzen des Serienschwingkreises

gegenseitig aufheben. Es verbleibt demnach nur der ohmsche Anteil .

Die Stromamplitude ist

. (4.85)

Für das Flächenprodukt der Filterspule ergibt sich mit Verwendung von Gl. (4.21):

. (4.86)

Der Transformator weist das Flächenprodukt

(4.87)

auf. Für die noch durchzuführende Berechnung der Schalt- und Durchlassverluste der

Wechselrichterstufe wird deren Laststrom benötigt, der ebenfalls mit Hilfe der Grund-

schwingungsanalyse näherungsweise bestimmt werden kann. Dazu muss zur Spannungsan-

passung zunächst entsprechend Gl. (4.39) und unter Berücksichtigung von Gl. (4.72) das

nPWM

51015202530

0.4

0.6

0.8

cos(

)

T = 5

T = 10

T = 15

Bild 4.25: Leistungsfaktor für den

Pulsstromrichter in Abhängigkeit

von der zu dämpfenden nPWM-ten

Oberschwingung.

wr 1() u

wr,1 2⁄

ZPWM

()⁄=

ϕ()

cos Re S

(){}

()⁄

10 dB–

PWM

10=

PWM

λT

5, 10 und 15=

Lfs

ˆLfs,1 u

ˆCp,1

-------1j

------

⋅+





⋅⋅=

––

Lfs,1 u

ˆCp,1 1

-------1M

-----------------

----

⋅⋅=

cAwLs

kCuJ

ˆB

---------------

Cp,1

ω0Rm

--------------1Mf

Ωs

2Mf

⋅

------------------

⋅⋅ 1

kCuJ

ˆB

---------------

Cp,1

ω0Rm

--------------1δ+()1Mf

+()

δnPWM

2Mf

⋅⋅

-----------------------------------

----

⋅⋅==

cAwTr

kCuJ

ˆB

---------------u

ˆCp,1

ω0Rm

--------------21δ+()

21Mf

+()Mf

2δnPWM

21–()1–()

δnPWM

2Mf

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

----

⋅⋅=

104 4 Stromrichterkonzepte

Übersetzungsverhältnis des Ausgangstransformators bestimmt werden. Es gilt bei Voll-

aussteuerung

. (4.88)

Die Amplitude des Stroms in der Wechselrichterstufe ergibt sich damit aus

. (4.89)

Dabei ist die am Aktor gewünschte maximale Spannungsamplitude der Grundschwin-

gung und die Zwischenkreisspannung. Der Strom strebt für zunehmendes bzw.

zunehmendes gegen den Grenzwert

. (4.90)

Der auf bezogene Strom in Abhängigkeit von der zu dämp-

fenden n-ten Oberschwingung und von der mechanischen Last verdeutlicht Bild 4.26.

Die Dämpfung hat maßgeblichen Einfluss darauf, wie schnell der jeweilige Endwert ange-

strebt wird. Im Interesse einer günstigen Auslegung des Pulsstromrichters muss bei der

Auslegung des Ausgangsfilters die höhere Strombelastung der Wechselrichterstufe bei

geringeren Schaltfrequenzen berücksichtigt werden, da höhere Durchlassverluste der Halb-

leiterbauelemente vorliegen. Höhere Schaltfrequenzen verringern zwar die Durchlassverlu-

ste, aber im Gegenzug steigen die Schaltverluste. Diese beiden Mechanismen müssen bei

der Festlegung des Ausgangsfilters, der Schaltfrequenz und bei der Auswahl der Halbleiter-

bauelemente einander gegenübergestellt werden.

sp π

4Ud

⋅

--------------u

ˆCp

GPWM 1()

----------------------

----

⋅⋅=

wr,1 πu

ˆCp

()

4UdRm

--------------------1Mf

+()Mf

2Ωs

21–()

+()

MfΩs

---------------------------------------------------------------------

πu

ˆCp

()

4UdRm

--------------------1Mf

+()1δ+()

2Mf

2δnPWM

21–()1–()

+()

δnPWM

2Mf

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

⋅=

Ω

PWM

wr,1

∞πu

ˆCp

()

4Ud

--------------------1M

-----------------

----

⋅=

wr,1

∞Rm=100()=

wr,

PWM

5101520

|iwr,1

/ iwr,1|

0.5

1.5

Rm=75 Ω, M=11

Rm=100 Ω, M=8,3

Rm=200 Ω, M=4,16

Bild 4.26: Strom der Wechsel-

richterstufe als Funktion von

und der Dämpfung ,

Nominalbetrieb bei .

PWM

=100

Ω

4.3 Der Pulsstromrichter 105

4.3.3 Verlustleistungsberechnung für den Pulsstromrichter

Während es bei den beiden Resonanzstromrichter-Konzepten zur Berechnung der Schalt-

und Durchlassverluste möglich war, mit Hilfe der Grundschwingung des Laststromes eine

gute Abschätzung der Schaltzeitpunkte und der geschalteten Augenblickswerte des Stromes

zu erreichen, ist dies beim Pulsstromrichter nicht ohne weiteres möglich. Aufgrund der häu-

figen Schaltvorgänge während einer Grundschwingungsperiode müssen hier Abschätzun-

gen eingeführt werden, die empirisch durch Vergleich der Grundschwingungsergebnisse mit

den aus der Zeitbereichsanalyse erhaltenen Ergebnisse abgeglichen wurden.

Schaltverluste

Die Berechnung der Verlustenergie eines jeden Schaltvorganges während einer Periode des

Laststromes ist identisch zu dem in Kap. 4.1.3 vorgestellten Vorgehen. Zu berücksichtigen

bleiben jedoch die Schaltvorgänge bei denen entlastetes Schalten der Transistoren vorliegt

und somit kein Beitrag zu den Gesamtschaltverlusten erbracht wird.

Allgemein lässt sich feststellen, dass für jeweils eine Halbschwingung des Laststromes

Nullspannungsschalten für beide Halbbrücken vorliegt, vgl. z. B. mit Bild 4.20. Dies wird

dadurch berücksicht, dass bei der Berechnung der mittleren Verlustleistung nur die halbe

Taktzahl als Zahl der Schaltvorgänge je Periode zugrunde gelegt wird. Man erhält

(4.91)

Die Verwendung der Stromamplitude ist dabei eine relativ grobe Abschätzung, die aller-

dings auf der sicheren Seite liegt. Es wird dabei berücksichtigt, dass für kleine Aussteuerun-

gen ausgeprägte Stromspitzen geschaltet werden müssen, wie Bild 4.23 entnommen werden

kann. Tatsächlich ist gerade bei großen Aussteuerungen der Strom stärker geglättet und

könnte daher eher mit dem Gleichrichtmittelwert des Stromes angenähert werden. Damit

zur besseren Interpretierbarkeit möglichst einfache Ausdrücke entstehen, wurde hier den-

noch die Berechnung der Schaltverluste mit dem Amplitudenwert vorgezogen. Bei der

Interpretation der berechneten Wirkungsgrade sollte daher diese eher pessimistische

Abschätzung berücksichtigt werden.

Die Ausschaltverluste einer Diode werden in ähnlicher Weise berechnet. Auch hier werden

die einzelnen Schaltvorgänge durch Multiplikation mit berücksichtigt. Zusätzlich

wird noch die Abhängigkeit der Stromführungszeit vom Strom selbst in die Kalkulation

einbezogen

. (4.92)

Die Einschaltverluste eines Transistors sind analog zu obigen Ausführungen nun zu berech-

nen mit

(4.93)

off

------ λT

------i

ˆwr,1

⋅to

⋅⋅=

λT

⁄

off

---Ud

--------λT

------tai

wr,1

----------





⋅⋅=

TUd

------ λTi

wr 1,

-----------11

---SD





tai

wr 1,

-----------





⋅⋅ ⋅ ⋅ Ud

------ diT

------- tai

wr 1,

-----------









---tai

wr 1,

-----------









⋅⋅ ⋅+=

106 4 Stromrichterkonzepte

Die Gesamtschaltverluste errechnen sich zusammengefasst mit Hilfe

. (4.94)

Duchlassverluste

Nach [55] kann für große Frequenzen der Dreieckschwingung der Pulsbreitenmodulation

der Modulationsgrad der Transistoren bzw. für die Dioden verwendet werden, um

ihre Durchlassverluste zu bestimmen. Dazu wird angenommen, dass innerhalb des Ein-

schaltintervalles eines Ventils Ströme und Spannungen während eines Schaltzyklus kon-

stant bleiben, und somit eine lokale Mittelung durchgeführt werden kann. Man erhält dann

bzw. . (4.95)

Der Wert ist nach [55] die aktuelle Aussteuerung der Pulsbreitenmodulation, und ist

die Phasenverschiebung der Grundschwingungen zwischen Strom und Spannung. Unter der

Annahme der symmetrischen Belastung der Transistoren und Dioden erhält man eingesetzt

in Gl. (4.20) für die Transistoren Durchlassverluste von

. (4.96)

Die Durchlassverluste der Dioden werden durch Einsetzen des oben angegebenen Modula-

tionsgrades in Gl. (4.19) bestimmt:

. (4.97)

Die gesamten Durchlassverluste sind jetzt

. (4.98)

4.3.4 Wechselrichter-Wirkungsgrad des Pulsstromrichters

Die Wirkungsgrade des Pulsstromrichters in Abhängigkeit vom Aussteuerungsgrad

sind für unterschiedliche Taktzahlen beispielhaft in Bild 4.27 a dargestellt. Ferner ist in Bild

4.27 b der Wirkungsgrad zusätzlich über dem Lastwiderstand als Schar vom Aus-

steuerungsgrad aufgetragen.16

Für kleine Aussteuerungsgrade sind geringe Wirkungsgrade zu verzeichnen, die auf die

dominanten Schaltverluste zurückzuführen sind. Die Durchlassverluste sind gerade bei den

hier verwendeten CoolMOS-Transistoren und trotz der zu ihnen in Serie liegenden Dioden

aufgrund des geringen Durchlasswiderstandes von im Vergleich zu den

Schaltverlusten sehr gering.

16.Für diese Kurvenverläufe wurde in Gl. (4.14) die Stromsteilheit durch ersetzt. Der

Wert für stammt aus dem Datenblatt des verwendeten CoolMos-Transistors SPP20N60C2 von

Infineon und ist dort mit angegeben.

sges,4Pon

⋅4Poff

⋅4Po

⋅++=

Tt() 1

---1mA2π

------ tϕ+





sin+





Dt() 1

---1mA2π

------ tϕ+





sin–





Tt() rDS on()

iwr,1

---

3π

-------ϕ()cos+





Dt() iwr,1 UT01

2π

------

-------ϕ()cos⋅–





rDiwr,1 21

---

3π

-------ϕ()cos–





dges,4Pd

Tt() 4Pd

()⋅+⋅=

⁄

40 nC=

DS on()

0,3

Ω≈

4.4 Vergleich der Stromrichterkonzepte 107

Für kleinere Belastungen (siehe Bild 4.27 b) geht der Wirkungsgrad weiter zurück. Dies ist

ebenfalls auf die dominanten Schaltverluste zurückzuführen, da ja die Transistoren, unab-

hängig davon, wie groß der von der Last aufgenommene Strom ist, mit der vorgegebenen

Taktzahl schalten müssen.

4.4 Vergleich der Stromrichterkonzepte

Nachdem in den vorangegangenen Abschnitten ausführlich die verschiedenen Stromrichter-

konzepte vorgestellt und analysiert wurden, erfolgt nun die Gegenüberstellung der Ergeb-

nisse. Dabei muss beachtet werden, dass der durchgeführte Vergleich ausschließlich für die

hier betrachtete Klasse der schwach gedämpften Ultraschall-Systeme anwendbar ist. In [48]

wird u. a. ein Vergleich mit stärker gedämpften Systemen vorgestellt. Die Gegenüberstel-

lung hat zum Ziel, eine Bewertungsmatrix zu füllen, in der die besonderen Vor- bzw. Nach-

teile der jeweiligen Topologie deutlich herausgestellt wird. Mit dieser Bewertungsmatrix ist

es möglich, entsprechend den Anforderungen einer Stromrichterentwicklung, eine Ent-

scheidungshilfe zur Auswahl der richtigen Topologie zu geben.

Vergleichskriterien:

1. Eignung für schwach gedämpfte Systeme

Die Empfindlichkeit der Resonanzstromrichter-Konzepte gegenüber Rückwirkungen des

mechanischen Teilsystems muss als entscheidender Nachteil angesehen werden. Die

Variationen in Amplitude und Phase am Aktor können u. a. dazu führen, daß die Rege-

lung nicht beherrschbar ist. Damit die Rückwirkungen reduziert werden, bietet es sich

an, eine zusätzliche Kapazität parallel zum Ausgang einzufügen, was sich jedoch auf die

Baugröße der Induktivitäten niederschlägt.

Die Resonanzstromrichter-Konzepte erweisen sich dabei als sehr empfindlich, wobei

ηη

100

100 200 300 400 500

= 0,6

= 0,8

= 0,6

=15

=10

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

=15

=10

Bild 4.27: Wirkungsgrad des Pulsstromrichters für Variation des a) Modulationsgrades

und b) des Lastwiderstandes bei unterschiedlichen Modulationsgra-

den .

)b)

108 4 Stromrichterkonzepte

gegenüber dem LC-Resonanzstromrichter ein deutlicher Vorteil für den LLCC-Reso-

nanzstromrichter auszumachen ist. Bei Pulsstromrichtern sind die Rückwirkungen weit-

aus geringer. Hier kann ggf. gänzlich auf eine Zusatzkapazität verzichtet werden; die

Auswirkungen des mechanischen Systems auf das Spannungsübertragungsverhalten des

Pulsstromrichters sind akzeptabel.

2. Miniaturisierungspotential

Bei den Resonanzstromrichtern sind voluminösere und teure magnetische Bauteile not-

wendig, die höheres Gewicht und Bauvolumen verursachen. Dazu kommt die zusätzlich

vorzusehene Kapazität, die die Empfindlichkeit bezüglich der Rückwirkungen des

mechanischen Systems auf das Spannungsübertragungsverhalten reduziert, was zu wei-

terem Bauteilaufwand führt.

Den größten Miniaturisierungsgrad kann man mit Pulsstromrichtern erreichen. Durch die

hohen Schaltfrequenzen sind Induktivitäten mit besonders kleinen Abmessungen reali-

sierbar. Allerdings ist zu bedenken, dass zwar eine Volumenreduktion der magnetischen

Komponenten möglich ist, jedoch benötigen die Halbleiter vor allem aufgrund höherer

Schaltverluste eine aufwändigere Kühlung. Bestätigt wird dies durch den Vergleich der

Wirkungsgrade nach Bild 4.13, Bild 4.19 und Bild 4.27.

Das Miniaturisierungspotential der Resonanzstromrichter bezogen auf den Pulsstrom-

richter wird mit Hilfe des Flächenproduktes verdeutlicht. Dazu wird angenommen, dass

ein Aktor mit einer durch die Spezifikationen festgelegten Grundschwingungsamplitude

gespeist wird. Der Gesamtstrom, der sowohl durch den Aktor als auch durch die zu

ihm parallel liegenden Filterkondensatoren bzw. -spulen fließt, kann dann näherungs-

weise mit komplexer Wechselstromrechnung bestimmt werden. Zusätzlich wird das Flä-

chenprodukt des benötigten Transformators berechnet. Mit Hilfe der in den jeweiligen

Kapiteln bestimmten Flächenprodukten ergibt sich für das Verhältnis des LC-Resonanz-

stromrichters (Gl. (4.43), Gl. (4.44)) zum Pulsstromrichter (Gl. (4.86), Gl. (4.87)):

. (4.99)

Das Verhältnis von LLCC-Resonanzstromrichter (Gl. (4.67), Gl. (4.68) mit )

zum Pulsstromrichter (Gl. (4.86), Gl. (4.87)) lautet:

. (4.100)

Den beiden Gleichungen ist gemein, dass für wachsendes zunächst das Verhältnis

kleiner wird, bis es ein Minimum erreicht. Erst für weiter anwachsenden nähert sich

der Verlauf den Verhältnissen einer Gerade. Der Vergleich der Flächenprodukte ist in

Bild 4.28 mit dargelegt. Dabei wurden die Flächenprodukte über für

unterschiedliche zu dämpfende Oberschwingungen ins Verhältnis gesetzt.

wLC

cAwPWM

---------------------

----

βCs

wLLC

AcAwPWM

----------------------

----

δ10 10dB 2

⁄–

=γ

PWM

4.4 Vergleich der Stromrichterkonzepte 109

Obwohl der LLCC-Resonanz-

stromrichter zwei Filterspulen

benötigt, ist sein Flächenprodukt

erheblich günstiger als das des

LC-Resonanzstromrichters. In

einem Vergleich mit dem Puls-

stromrichter sollte ferner berück-

sichtigt werden, dass die

Parallelspule auch als Transfor-

mator mit Luftspalt ausgeführt

werden kann. Bei so einer Reali-

sierung ist es möglich, ein Bauteil

einzusparen, wodurch sich das

Verhältnis zwischen LLCC-Reso-

nanzstromrichter und Pulsstrom-

richter noch etwas zu Gunsten

des Resonanzstromrichterkonzepts verlagert. Im Rahmen der Betrachtung des Miniaturi-

sierungs-potentials ist außerdem das erhöhte Volumen zur Kühlung der Wechselrichter-

stufe zu beachten. Hier sind die Resonanzstromrichterkonzepte in etwa gleich auf,

während beim Pulsstromrichter aufgrund der Schaltverluste ein höherer Aufwand zu

berücksichtigen ist (siehe auch folgenden Punkt).

3. Kühlung Elektronikbaugruppen

Der Aufwand zur Kühlung des Leistungsteils ist beim Pulsstromrichter besonders groß,

was auf die Schaltverluste zurückzuführen ist. Bezüglich des Kühlaufwandes sind die

beiden Resonanzstromrichter-Konzepte weniger kritisch einzuordnen, da sie aufgrund

des Nullspannungsschaltens bei höherem Tastverhältnis besonders geringe Schaltverlu-

ste aufweisen. Bestätigt werden diese Aussagen durch die Wirkungsgradbetrachtungen

der vorangegangenen Kapitel.

4. Zuverlässigkeit / Robustheit

Zur Abschätzung der Zuverlässigkeit und Robustheit kann der Aufwand der Elektronik

herangezogen werden. Aufgrund der erhöhten Komplexität der Pulsmustergenerierung

und höhere Anforderungen an die leistungslektronischen Bauteile bezüglich der Schalt-

geschwindigkeit ist beim Pulsstromrichter eine höhere Ausfallrate zu erwarten.

5. Herstellungskosten

Wie bereits erläutert, stellen passive Komponenten in der Leistungselektronik einen

bedeutenden Anteil an den Kosten dar. Wie in Kap. 4.2.2 gezeigt wurde, müssen außer-

dem insbesondere an die kapazitiven Filterbauelemente hohe Ansprüche gestellt werden.

Notwendig sind Bauelemente mit möglichst geringen Herstellungstoleranzen, damit eine

möglichst gute Spannungseinprägung erreicht werden kann. Diese Anforderungen schla-

gen sich sofort auf den Preis nieder. Aus diesen Gründen und wegen des geringen Volu-

mens magnetischer Bauelemente sowie des möglichen Verzichts auf eine zusätzliche

Filterkapazität parallel zum Aktor sind Pulsstromrichter im Vergleich zu den beiden

ARK

PWM

0 5 10 15 20

100

LLCC

nPWM

γf

Bild 4.28: Vergleich der Flächenprodukte der

Resonanzstromrichter bezogen auf den Puls-

stromrichter für nPWM = 7, 10 und 15.

110 4 Stromrichterkonzepte

Resonanzstromrichter-Konzepten deutlich im Vorteil. Der höhere Aufwand an Steuer-

elektronik spielt dagegen bei entsprechenden Stückzahlen nur eine untergeordnete finan-

zielle Rolle (siehe auch Punkt 4. Zuverlässigkeit, Robustheit).

6. Wirkungsgrad

Die Wirkungsgrade der untersuchten Resonanzstromrichterkonzepte sind hervorragend.

Zu bedenken bleibt aber, dass bei der Berechnung der Wirkungsgrade die Verluste, die

durch die magnetischen und kapazitiven Bauelemente der Ausgangsfilter verursacht

werden, nicht berücksichtigt wurden. Der Fehler, der durch die Vernachlässigung des

Wirkungsgrades der magnetischen Bauelemente in Kauf genommen wurde, ist bei LC-

Resonanzstromrichter und Pulsstromrichter vergleichbar. Der Pulsstromrichter weist

prinzipbedingt höhere Schaltverluste auf, wodurch sein Wirkungsgrad verschlechtert

wird. Durch erweiterte Schaltungsmaßnahmen (z. B. Entlastungsnetzwerke) könnte eine

Verbesserung des Wirkungsgrades erzielt werden. Solche Maßnahmen beeinflussen aber

wiederum nachhaltig Kosten, Zuverlässigkeit und Miniaturisierungspotential des Puls-

stromrichters.

7. Adaptionsmöglichkeiten an Werkzeuge und Ultraschall-Prozesse

Die Funktionsweise der Resonanzstromrichter beruht auf einem korrekt ausgelegtem

Ausgangsfilter. Dieses muss immer auf die mechanische Resonanzfrequenz des Piezoak-

tors abgestimmt werden. Aus diesem Grund ist der Betriebsbereich bei resonant arbei-

tenden Stromrichtern eingeschränkt, und eine Adaption auf andere Werkzeuge, deren

Arbeitsfrequenz bei anderen Frequenzen liegt, kann nur innerhalb eines schmalen Fre-

quenzbandes geschehen.

Der Pulsstromrichter hat den Vorteil, daß die eingesetzte Serieninduktivität zusammen

mit der Piezokapazität auf eine sehr hohe Frequenz abgestimmt wird, die weit oberhalb

der Aktorresonanzfrequenz der Piezoaktoren liegt. Dadurch wird in gewissen Grenzen

der Betrieb unterschiedlicher Werkzeuge und Ultraschall-Prozesse mit ein und demsel-

ben Gerät gut möglich, ohne Änderungen an der Auslegung der Filterkomponenten vor-

nehmen zu müssen. Die Grenzen ergeben sich u. a. aus der vorgesehenen

Strombelastbarkeit und der maximal möglichen Schaltfrequenz.

8. Dynamik

Unter den untersuchten Stromrichterkonzepten weist der LC-Resonanzstromrichter die

geringste Dynamik auf. Der LLCC-Resonanzstromrichter erzielt dagegen eine wesent-

lich bessere Dynamik, die es erlaubt ihn ohne Spannungsregelung zu betreiben. Verglei-

che des spannungsgeregelten LC-Resonanzstromrichters mit dem spannungsgesteuerten

LLCC-Resonanzstromrichter wurden in [48] durchgeführt. Aufgrund ihrer geringen

Schaltfrequenz weisen die Resonanzstromrichter eine hohe statistische Stromrichtertot-

zeit auf; Änderungen an der Amplitude der Ausgangsspannung können nur zweimal je

Periode der Ausgangsschwingung vorgenommen werden.

Da der Pulsstromrichter mit wesentlich höheren Schaltfrequenzen arbeitet und dadurch

kleinere Energiespeicher für das Ausgangsfilter verwendet werden können, ist seine

Stromrichtertotzeit erheblich geringer. Das führt zu einer hohen Dynamik, die einen

schnellen Eingriff auch mehrfach während einer Schwingungsperiode des piezoelektri-

4.4 Vergleich der Stromrichterkonzepte 111

schen Aktors in den Ultraschall-Prozess erlaubt.

9. Aktorbelastung durch Oberschwingungen

Die in der Wechselrichter-Ausgangsspannung enthaltenen Oberschwingungsanteile füh-

ren zu einem Stromfluss über die Piezokapazität oder durch weitere parallelliegende

Serienresonanzkreise, die höhere Schwingungsformen des Aktors repräsentieren. Die

Folge sind Verzerrungsblindleistungen, die zu Verlusten innerhalb des piezoelektrischen

Aktors führen.

Als Maß für diese Belastungen wird die gesamte harmonische Verzerrung verwendet

(total harmonic distortion, THD; siehe [59, 60]), die definiert ist als

. (4.101)

In dieser Gleichung umfasst alle harmoni-

schen Schwingungsamplituden, und ist die

Grundschwingungsamplitude. In Bild 4.29

sind die harmonischen Verzerrungen der

jeweiligen Stromrichtertypen über dem Kapa-

zitätsfaktor aufgetragen. Für den Puls-

stromrichter wurde dazu angenommen, dass

keine zusätzliche Parallelkapazität notwendig

ist. Stattdessen wurde die Simulation für

unterschiedliche Taktzahlen durchgeführt.

Die geringsten Belastungen durch Ober-

schwingungen treten beim LLCC-Resonanz-

stromrichter auf. Im Vergleich werden beim

LC-Resonanzstromrichter wesentlich höhere

Parallelkapazitäten benötigt, um ein ver-

gleichbares Niveau zu erreichen. Bei der hier verwendeten Auslegung des Pulsstrom-

richters nach Kap. 4.3.1 und Tabelle 4.4 sind die Verzerrungsblindleistungen für höhere

Taktzahlen erheblich höher als bei den beiden Resonanzstromrichterkonzepten. Durch

eine moderate Vergrößerung der Serieninduktivität (Faktor 2..3) kann jedoch eine

wesentliche Verbesserung erzielt werden, und es werden ähnliche Werte, wie für die bei-

den Resonanzstromrichter erreicht.

Vergleichend lässt sich zunächst ein leichter Vorteil für den LLCC-Resonanzstromrichter

erkennen, der sich allerdings bei geschickterer Auslegung zu Gunsten des Pulsstromrich-

ters verlagert.

Bewertungsmatrix:

Die diskutierten Kriterien sind in der Bewertungsmatrix nach Tabelle 4.5 zusammengefasst,

aus der jetzt auf Basis der Spezifikationen einer gegebenen Applikation die Auswahl eines

geeigneten Stromrichterkonzepts unterstützt werden kann.

THD

k1=

∞

∑

-----------------------

---

LLCC

Puls-SR

510 15 20

=10

=15

60,

Bild 4.29: Vergleich der harmo

schen Verzerrungen zwischen LC-

LLCC und Pulsstromrichter.

112 4 Stromrichterkonzepte

Die Diskussion der Stromrichterkonzepte beruht in erster Linie auf der Speisung schwach

gedämpfter Ultraschall-Schwingeinheiten, wie sie z. B. bei der Stehwellenzerstäubung zum

Einsatz kommen. Für diese Anwendungsbereiche weist der Pulsstromrichter klare Vorteile

auf. Ein weiterer Vorteil des Pulsstromrichters ist die Möglichkeit ihn auf einfache Art

anzupassen, um z. B. mit ein und demselben Verstärker unterschiedliche Schwingeinheiten

zu speisen, ohne dass ein Umbau des Ausgangsfilters notwendig wäre. Es muss allerdings

bei der Auslegung bedacht werden, dass hohe Schaltfrequenzen zu hohen Schaltverlusten

führen. Dies führt auch zu schlechteren Wirkungsgraden bei Teil-Aussteuerung des Strom-

richters. Hier muss ein geeigneter Kompromiss zwischen den miniaturisierten magneti-

schen Bauelementen und dem erforderlichen Kühlaufwand der Leistungshalbleiter gefun-

den werden. Bei Schwingeinheiten, die eine hohe Resonanzfrequenz aufweisen17, sollte ein

LLCC-Resonanzstromrichter die günstigste Alternative darstellen. Es ist deutlich herauszu-

stellen, dass für stärker gedämpfte Systeme (z. B. Ultraschall-Wanderwellenmotoren) die

unten angegebene Bewertungsmatrix so nicht anwendbar ist. In diesen Anwendungsfällen

ist entsprechend [48] der LLCC-Resonanzstromrichter im Vorteil.

4.5 Stromrichterentwicklung

Für die Entwicklung eines Prüfstandes für piezoelektrische Ultraschallaktoren, wurde ein

Stromrichter entworfen. Vordringliches Ziel war dabei, ein möglichst variables System zu

realisieren, mit dem unterschiedlichste Aktoren betrieben und getestet werden können. Wie

in Kap. 4.4 gezeigt, eignen sich für diesen Zweck ganz besonders Pulsstromrichter, da sie gu-

17.Die Aussage, ab wann die Resonanzfrequenz des Aktors hoch ist, hängt von der zukünftigen Bau-

elementeentwicklung ab und wird sich zu höheren Frequenzen verschieben. Zum Zeitpunkt der

Verfassung der vorliegenden Arbeit müssen Frequenzen von 50 kHz als Obergrenze der zu speisen-

den Aktoren eingeordnet werden.

LC LLCC Puls-SR

1Eignung für schwach gedämpfte Systeme - - - +

2Miniaturisierungspotential (Volumen, Gewicht) - - -+

3Kühlung Elektronikbaugruppen + + + + -

4Zuverlässigkeit / Robustheit + + -

5Herstellungskosten (günstig = +) -- - +

6Wirkungsgrad + + -

7Adaptionsmöglichkeiten - -



+ +

8Dynamik -



+ +

9Aktorbelastung durch Oberschwingungen - + +

Tabelle 4.5: Bewertungsmatrix der untersuchten Stromrichterkonzepte

(+ gute Eignung, - schlechte Eignung,



neutral).

4.5 Stromrichterentwicklung 113

te Eigenschaften für die Speisung schwach gedämpfter piezoelektrischer Systeme mitbrin-

gen. Darüber hinaus erlauben sie in gewissen Grenzen eine einfache Anpassung an Aktoren,

in dem die Schaltfrequenz angepasst wird.

Neben des Entwurfs des Stromrichters sollte es möglich gemacht werden, verschiedenste ge-

eignete Regelungskonzepte zu implementieren. Die Regelung sowie die Aufbereitung, Ver-

arbeitung und Aufzeichnung von Messwerten erfolgt durch ein Signalprozessorsystem

(dSpace DS 1005), das an einen Personalcomputer angeschlossen ist. Aufgrund der im Ver-

gleich zu den Ultraschallfrequenzen zu geringen Abtastraten des Signalprozessorsystems ist

dieses nicht dazu geeignet, den sinusförmigen Verlauf der Spannungssollwerte auszugeben

und die ebenfalls sinusförmigen Messwerte von Aktorstrom und -spannung auszuwerten.

Deshalb wurde in [81] ein Anpassungsmodul entwickelt, welches zwischen Ultraschall- und

Signalprozessorsystem angeordnet ist und die genannten Aufgaben übernimmt. Seine Ein-

gangsgrößen sind dabei die mit Hilfe geeigneter Messmittel gewonnene Aktorspannung

und der Aktorstrom . Die Ausgangsgröße des Anpassungsmoduls ist eine sinusförmige

Referenzspannung, die noch in geeigneter Weise vom Stromrichter ausgewertet werden

muss. Nähere Einzelheiten werden in den nachfolgenden Abschnitten behandelt. Die we-

sentlichen Bestandteile des Prüfstandes sind schematisch in Bild 4.30 dargestellt.

Die Leistungsdaten und Kerneigenschaften des Stromrichters wurden wie folgt festgelegt:

• Aufbau der Wechselrichterstufe in Vollbrückenschaltung

• maximale Ausgangsspannung (Effektivwert)

• maximaler Ausgangsstrom (Effektivwert)

• Bereich der Ausgangsfrequenz:

• Bereich der Schaltfrequenz:

Der Aufbau des Gerätes sollte berücksichtigen, dass ggf. auch der Betrieb als Resonanz-

stromrichter (LC oder LLCC) möglich ist. Dieser Forderung wurde beim mechanischen

Aufbau Rechnung getragen, indem ein modularer Aufbau realisiert wurde, der den Aus-

tausch des Ausgangsfilters mitsamt des notwendigen Ausgangstransformators erlaubt.

˜P

Anpassungsmodul

US-AktorStromrichter

Signalprozessor

(dSpace DS1005)

Phasen-

messung

Amplituden-

messung

Signalerzeugung

digitaler Ausgang

analoger Ausgang

Analog Digital

Umsetzer

(t)

ref

(t)

Bild 4.30: Schematische Übersicht des Ultraschall-Prüfstandes.

= 500 V

=3A

= 18 kHz - 50 kHz

= 18 kHz - 250 kHz

114 4 Stromrichterkonzepte

Mit Hilfe des Prüfstandes soll es möglich sein, Untersuchungen an wechselnden Projekten

durchzuführen. Aus diesem Grund sind Optimierungsansätze wie Volumen- oder Kostenmi-

nimierung nicht umsetzbar. Vielmehr muss auf der Flexibilität des Prüfstandes das Haupt-

augenmerk liegen. Dabei werden die in Kap. 4.3 beschriebenen Möglichkeiten der Anpas-

sung des Stromrichters an unterschiedliche Aktorcharakteristika genutzt. Ferner erlaubt die

einfache Programmierbarkeit der Regelalgorithmen eine Abstimmung des Systems auf

unterschiedlichste Ultraschallprozesse.

4.5.1 Signalprozessorsystem

Die Regelung der Betriebspunkte der piezoelektrischen Schwingeinheit erfolgt im Sinne ei-

ner möglichst vielseitigen Anwendung über das Signalprozessorboard. Es ist zwar auch der

Einsatz analoger Regler, z. B. durch Realisierung von Operationsverstärker-Schaltungen

möglich, aber eine derartige Implementierung ermöglicht nicht ohne weiteres die Erprobung

unterschiedlichster Regelungskonzepte. Dank der Verwendung des Signalprozessorboards

ist die Anlage einfach und flexibel bedienbar.

Mit Hilfe eines linearen PI-Regelalgorithmus wird die Grundschwingungsamplitude der

Stromrichterspannung geregelt. Damit das System auch bei Gütezahlen kleiner zwei regelbar

bleibt, wird zur Frequenzregelung ein Algorithmus der APLL (vgl. Kap. 2) verwendet. Die

Frequenz wird mit einer Auflösung von 186 mHz in digitaler Form an das Anpassungsmodul

übermittelt, und die gewünschte Stromrichteraussteuerung wird in Form von Analogsignalen

direkt der Modulatorstufe des Stromrichters zugeführt. Eingangsgrößen des Signalprozes-

sorsystems sind die vom Anpassungsmodul aufbereiteten Messsignale des Aktorstroms und

der Aktorspannung. Es besteht die Möglichkeit diese Größen mit Hilfe der Signalprozessor-

Software in Echtzeit anzuzeigen und für die spätere weitere Verwendung abzuspeichern.

4.5.2 Anpassungsmodul

Im Vorwärtszweig des Anpassungsmoduls befindet sich ein digitaler Synthesizer, der über

eine digitale Schnittstelle vom Signalprozessorsystem so programmiert wird, dass er zwei si-

nusförmige Spannungen erzeugt, die um 90° zueinander phasenverschoben sind. Ihre Am-

plituden sind konstant 5 V, und ihre Frequenzen entsprechen im Rahmen der Auflösung des

digitalen Synthesizers exakt dem vorgegebenen Sollwert. Eine dieser Spannungen dient als

Frequenzreferenz für den Stromrichter. Die beiden vom Synthesizer erzeugten Spannungen

werden außerdem innerhalb des Anpassungsmoduls von einer Messwerterfassung benutzt,

welche die Ultraschallsignale der Sensoren nach dem Prinzip der phasenempfindlichen De-

modulation auswertet und die orthogonalen Komponenten der Aktorströme und -spannun-

gen ermittelt [80]. Die Messwerterfassung des Anpassungsmoduls verfügt insgesamt über

vier Eingänge, deren Empfindlichkeiten individuell über das Signalprozessorsystem einstell-

bar sind. Es ist erweiterbar, so dass weitere Ultraschallsignale (z. B. Wegmessungen von ei-

nem Laservibrometer) erfasst und aufgezeichnet werden können [81].

4.5.3 Pulsstromrichter

Die einzelnen Baugruppen des realisierten Stromrichter und seine Peripherie verdeutlicht

4.5 Stromrichterentwicklung 115

Bild 4.31. Die Arbeitsweise der jeweiligen Komponenten wird im Folgenden näher beschrie-

ben.

Signalverarbeitung

Eingangssignale des Pulsstromrichters sind der direkt vom Signalprozessorsystem gelieferte

Amplitudensollwert der Stromrichterspannung sowie die vom Ansteuerungsmodul erzeugte,

sinusförmig Referenzspannung, welche die Frequenzinformation beinhaltet. Aus diesem Si-

gnal wird im Signalgenerator (siehe Bild 4.32) zunächst mit Hilfe einer Phase-Locked-Loop

(PLL) das für die Pulsweitenmodulation benötigte dreieckförmige Trägerssignal generiert.

Durch die damit verbundene Synchronisation von Träger- und Referenzsignal wird gewähr-

Netzgleichrichter

und

Zwischenkreis

Wechselrichter-

stufe

Signalver-

arbeitung

Leistungsfluss Signalfluss

Stromrichter

Ausgangs-

filter und

Transformator

Piezo-

Aktor

230V~

LWL-

Empfänger

Treiber A

LWL-

Empfänger

Treiber B

Überstrom-,

Überspannungs-

Überwachung

LWL-

Sender

Modulation

Signal-

generator Steuerung

Bedien-

elemente,

Anzeigen

Signalprozessor-

System

und

Anpassung-

modul

(t)i

(t)

Bild 4.31: Blockstruktur des entwickel

ten Pulsstromrichters und seine Reali

sierung.

116 4 Stromrichterkonzepte

leistet, dass die Schaltfrequenz immer ein ganzzahliges Vielfaches der Grundschwingungs-

frequenz darstellt, sodass in der Ausgangsspannung des Stromrichters keine unerwünschten

subharmonischen Schwingungsanteile (Schwebungen) auftreten. Neben der Aufgabe der

Synchronisierung ermöglicht die PLL außerdem durch Einstellung des Teilerverhältnisses

in ihrer Rückführung die Wahl unterschiedlicher Taktzahlen . Der zulässig einstellbare

Frequenzbereich wird in erster Linie durch die Treiberstufe der Transistoren in der Lei-

stungsstufe des Stromrichters begrenzt. Die maximale Schaltfrequenz liegt bei ca. 250 kHz,

sodass bei einer Resonanzfrequenz des Aktors von z. B. 20 kHz eine maximale Taktzahl

gewählt werden kann. Damit der Signalgenerator eine Dreieckspannung konstanter

Amplitude erzeugt, wird die Amplitude des Integrierersignals mit Hilfe einer Regelung sta-

bilisiert. Die dreieckförmige Ausgangsspannung des Signalgenerators dient ferner als Trä-

gersignal für die Pulsweitenmodulation (vgl. Bild 4.20). Deren Schaltbefehle werden über

Lichtwellenleiter (LWL) zu den Treiberstufen weitergeleitet. Die Verwendung von Lichtwel-

lenleitern dient dazu, Störungen, die vom Leistungsteil ausgehen, von der Signalverarbei-

tung fern zu halten. Ferner liegt hiermit eine galvanische Trennung vor, durch die

Erdschleifen aufgetrennt werden, und die empfindliche Elektronik bei einem Fehlerfall im

Leistungsteil geschützt ist.

Neben der Generierung der Schaltbefehle enthält die stromrichterinterne Signalverarbeitung

außerdem Überwachungsschaltungen, mit denen der Stromrichter im Fehlerfall (z. B. bei

Überstrom im Ausgangskreis) abgeschaltet wird. Diese Schaltungsteile befinden sich in un-

mittelbarer Nähe der Modulation, um elektromagnetische Einstreuungen zu vermeiden.

Treiberschaltungen

Die Treiberschaltungen bestehen aus aktiven Gegentaktstufen mit eigener Spannungsversor-

gungen. Eine wichtige Anforderung an die Treiberschaltungen ist der Frequenzbereich von

20 kHz bis 250 kHz, in dem die Schaltungen sicher und zuverlässig arbeiten können müssen.

Netzgleichrichter und Zwischenkreis

Die Eingangsstufe des Pulsstromrichters besteht aus einem ungesteuerten Netzgleichrichter

mit einem vorgeschalteten Netzfilter und einem Elektrolytkondensator als Zwischenkreiska-

pazität.

λT

=12

Phasen-

detektor

PI-Regler

Verstärker

Integrierer

PLL

Schwell-

wertschalter

Ausgangs-

verstärker

Tiefpass Gleich-

richter

VCO

Filter

uref (t)

N.f0

Bild 4.32: Blockstruktur des Signalgenerators zur Trägersignal-Erzeugung für die

Modulation. Prinzipbedingt muss das Teilerverhältnis der PLL zu

gewählt werden, siehe [79].

≥

4.5 Stromrichterentwicklung 117

Wechselrichterstufe

Für die Wechselrichterstufe wurden schnelle CoolMOS-Transistoren und schnelle Dioden

ausgewählt, mit denen der Betrieb im geforderten Frequenzbereich problemlos möglich ist.

Ausgangsfilter und Transformator

Die Ausgangsplatine des Stromrichters enthält die Filterspule, deren Induktivität bei Betrieb

als Pulsstromrichter so auf die Kapazität des piezoelektrischen Aktors abgestimmt wird, dass

die Resonanzfrequenz aus Filterinduktivität und Piezokapazität in der Lücke zwischen

Grundfrequenz und der ersten signifikant auftretenden Oberschwingung plaziert ist, vgl.

Kap. 4.3.1. Zur Anpassung der Wechselrichterausgangsspannung von ca. 300 V an das Span-

nungsniveau der Aktoren von 500 V ist noch ein Transformator notwendig, der auch die un-

verzichtbare Potentialtrennung zwischen piezoelektrischem Aktor und Wechselrichterstufe

gewährleistet. Soll die Leistungsstufe als Resonanzstromrichter betrieben werden, so sind le-

diglich die Filterspule und die Modulatorplatine auszuwechseln bzw. zu ergänzen.

Die Ergebnisse des entwickelten Stromrichters werden im folgenden Abschnitt kurz vorge-

stellt.

4.5.4 Inbetriebnahme eines Pulsstromrichterssystems an einer

Technikumsanlage zur Ultraschall-Stehwellenzerstäubung

Die aufgebauten Stromrichter und das Signalprozessorsystem wurden an einer Technikums-

anlage zur Ultraschall-Stehwellenzerstäubung (USZ) der Technischen Chemie, Universität

Paderborn in Betrieb genommen [12].

Wie in Kap. 2.2 bereits beschrieben, werden dabei zwei einander gegenüberliegende

Schwingeinheiten resonant betrieben, so dass dazwischen ein Ultraschallfeld hoher Intensi-

tät erzeugt wird. Dem Fachgebiet Technische Chemie der Universität Paderborn steht bisher

für die Untersuchung der USZ nur eine Anlage mit Sonotroden und Stromrichtern zur Ver-

fügung, die für einen anderen Zweck (Ultraschallschweißen) entwickelt wurden. Die beiden

von einander unabhängig gespeisten Sonotroden der Anlage werden mit festen Frequenzen

betrieben und können nicht synchronisiert werden. Aus diesem Grund wurden die Arbeits-

frequenzen der beiden Teilsysteme um 200 Hz unterschiedlich eingestellt, um niederfre-

quente Schwebungen zu verhindern, die zu periodischen Unterbrechungen des

Zerstäubungsprozesses führen würden. Ein weiterer Nachteil der Anlage besteht darin, dass

die Arbeitsfrequenz nicht nachgeführt werden kann, wenn sich die Resonanzfrequenzen der

Sonotroden - beispielsweise aufgrund von Temperaturänderungen - verlagern. Die USZ-An-

lage bietet somit keine Möglichkeit, wesentliche Betriebsparameter wie Sonotrodenfrequenz

und Schwebungsfrequenz zu variieren. Dieses wäre aber erforderlich, um Theorien über den

Mechanismus der USZ zu verifizieren, den Einfluss der vorgenannten Faktoren und weiterer

wie Form und Durchmesser der Sonotrodenstirnflächen zu quantifizieren und schließlich die

Zerstäubungsanlage und den Zerstäubungsprozess zu optimieren (beispielsweise durch

Maßnahmen zur Symmetrierung des Schallfeldes).

Für diese Anlage wurde daher im Rahmen eines Projekts der Deutschen Forschungs Gesel-

schaft für die Speisung der beiden Sonotroden der USZ-Anlage ein Stromrichterpaar entwik-

kelt, deren Spannungen nach Amplitude, Frequenz und Phasenverschiebung von einer

118 4 Stromrichterkonzepte

gemeinsamen Regeleinrichtung in den vorgegebenen Bereichen exakt und flexibel veränder-

bar eingestellt werden können. Für die Steuerung, die Regelung und die damit verbundene

Messwertaufbereitung benötigt die Anlage ein leistungsfähiges Signalverarbeitungssystem,

das auch die Dokumentation und Auswertung der Messungen übernimmt.

Der entwickelte Prüfstand greift auf den in den vorangegangenen Abschnitten konzipierten

und beschriebenen Pulsstromrichter zurück. Notwendig war allerdings der Aufbau eines

zweiten Verstärkers, um beide Schwingeinheiten separat speisen zu können. Die Regelungs-

aufgaben werden von dem ebenfalls bereits erläuterten dSpace-System mit dem Anpas-

sungsmodul übernommen. Bild 4.33 stellt den schematischen Aufbau der Anlage dar.

Im Folgenden werden die wesentlichen Spannungs- und Stromverläufe eines Pulsstromrich-

ters bei Betrieb einer piezoelektrischen Schwingeinheit der USZ mit einer Resonanzfrequenz

von ca. 20 kHz vorgestellt.

Die Spannungsverläufe der Signalverarbeitung zur Generierung der Pulsweitenmodulation

zeigt Bild 4.34. Dargestellt ist der Verlauf der Referenzspannung deren Amplitude

durch das Anpassungsmodul bzw. durch das dSpace-System einstellbar ist. Diese Spannung

ist auch die Eingangsspannung des Stromrichters. Außerdem ist der Verlauf des dreieckför-

migen Trägersignals abgebildet. Durch Vergleich dieser beiden Spannungen generiert

schließlich die Pulsweitenmodulation die Steuerbefehle und für die Transistoren.

Die wichtigsten Strom- und Spannungsverläufe des Stromrichterleistungsteils sind in den

Oszillogrammen von Bild 4.35 dargestellt. Dabei wurde der Pulsstromrichter in Bild 4.35 a

mit einer Schaltfrequenz von 100 kHz und in Bild 4.35 b mit 200 kHz betrieben. Erkennbar

ist der Sinusverlauf der für die Modulation benötigten Referenzspannung . Ferner

sind die Drain-Source-Spannungen der beiden unteren Transitoren T1 bzw. T2 der jeweiligen

Halbbrücke abgebildet (vgl. Bild 4.22). Der Strom durch die Schwingeinheit ist als be-

zeichnet.

  





 



 

!

 !



Cp,2

ref

p,2

Cp,1

ref

p,1

"!



!





Bild 4.33: Schematische Darstellung des Prüfstandes für die Ultraschall-Stehwellen-

zerstäubung.

∆

ref

()

4.5 Stromrichterentwicklung 119

Der gesamte Aufbau der Anlage ist aus Bild 4.36 a ersichtlich. In Bild 4.36 b ist die Anord-

nung der beiden einander gegenüber stehenden Schwingeinheiten erkennbar.

Trotz der beim Aufbau der Stromrichter getroffenen EMV-Maßnahmen, haben sich bei der

Inbetriebnahme Probleme herausgestellt, die sich aus der in der Technikumsanlage unver-

meidbaren Erdschleifen ergeben dürften. Damit ein zuverlässiger Betrieb sichergestellt wird,

muss daher als Modifikation eine Potentialtrennung zwischen Steuerelektronik und

Wechselrichterstufe in Form von Lichtwellenleitern vorgesehen werden. Davon abgesehen

funktionieren die Stromrichter als auch das dSpace-System wie geplant und decken auch den

geforderten Frequenzbereich ab.

uref

(

)

∆

(

)

Bild 4.34: Modulationssignale de

Pulsstromrichters, : Trägersi

gnal des Signalgenerators,

Referenzspannung vom Anpassungs

modul, : Steuerbefehl

für eine Halbbrücke.

∆

()

ref

()

1t(), z2

()

Ch1: 500mA/Div Ch1: 500mA/Div

































































a) b)

Bild 4.35: Oszillogramme an der Ultraschall-Stehwellenzerstäubungsanlage,

Betrieb der Schwingeinheiten mit einer Schaltfrequenz von a) 100 kHz

und b) 200 kHz. Dargestellt ist die Referenzspannung vom Anpas-

sungsmodul, der Strom durch die Schwingeinheit und die Drain-

Sourcespannungen der jeweiligen Halbbrücken A und B.

120 4 Stromrichterkonzepte

a) Stromrichter und Messeinrichtung.

Anpassungs-

modul

Funktionsgenerator

(für Testzwecke)

Stromrichter

Labor-Netzgerät

(für Testzwecke)

im Hintergrund der Extruder

Düse

Extruder

Stromrichter

Schwingeinheiten

b) Extruder und Anordnung der Schwingeinheiten.

Bild 4.36: Ultraschall-Stehwellen-Zerstäubungsanlage der Technischen Chemie,

Universität Paderborn.

5.1 Wesentliche Entwurfsziele 121

5 Aspekte eines Gesamtsystementwurfs

Die Ergebnisse der vorangegangenen Kapitel sollen im Folgenden hinsichtlich eines

Gesamtsystementwurfs analysiert werden. In Kap. 3 wurden zunächst auf Basis eines konti-

nuumsmechanischen Modells die Parameter eines einfachen Ersatzschaltbildes berechnet.

Diese Parameter wurden im anschließenden Kap. 4 verwendet, um die Last einer piezoelek-

trischen Schwingeinheit für die speisende Leistungselektronik nachzubilden. Im Vorder-

grund der durchgeführten Analysen steht immer die Verwendung einfacher mathematischer

Modelle. Damit kann sichergestellt werden, dass im Rahmen dieses Kapitels ein grundle-

gend besseres Verständnis des gesamten Systems erarbeitet werden kann. Die Verwendung

detaillierter Modelle, welche auch im ersten Schritt vernachlässigbare Effekte berücksichti-

gen, würden der Intention diesen Kapitels entgegenwirken.

Das elektrische Ersatzschaltbild, welches in Bild 2.12 eingeführt wurde, ist die gemeinsame

Darstellung sowohl der kontinuumsmechanischen als auch der elektrischen Modelle für die

speisenden Stromrichter. Es dient daher als Schnittstelle zwischen diesen beiden „Welten“

und ermöglicht eine übersichtliche und anschauliche Darstellung.

5.1 Wesentliche Entwurfsziele

Bei der Auslegung eines piezoelektrischen Gesamtsystems, welches sowohl den Entwurf

des Aktors bzw. der Schwingeinheit und die Auslegung eines geeigneten Stromrichterkon-

zepts umfasst, ergeben sich je nach gewünschter Eigenschaft des Systems unterschiedliche

Entwurfsziele. Aufgrund der engen Verzahnung z. B. durch Materialeigenschaften beein-

flussen sich oft mehrere Entwurfsvorgaben gegenseitig. Das wäre dann nicht störend, wenn

mehrere aus Sicht der Entwurfsziele erwünschte Eigenschaften des Gesamtsystems erreich-

bar wären. Tatsächlich ist aber das Gegenteil zu beobachten: Eine ausgewählte Maßnahme

soll bestimmte Eigenschaften des resultierenden Systems erzwingen, gleichzeitig jedoch

ändern sich an anderer Stelle andere, vorher erwünschte Eigenschaften zum Schlechteren.

Eine Auswahl wichtiger Entwurfsziele fasst die nachfolgende Aufzählung zusammen:

• hinreichend großer Abstand zwischen Resonanz- und Antiresonanzfrequenz ,

• Vorliegen eines Phasennulldurchgangs der elektrischen Eingangsadmittanz ( ),

• maximal zulässige Dehnung in der Schwingeinheit, die die zulässigen Grenzen des ver-

wendeten Materials nicht überschreitet,

• Erzielung der für den Prozess erforderlichen Schwingamplitude des Werkzeugs,

• vertretbare Werte der Strombelastung der Wechselrichterstufe sowie der Spannung

an den Klemmen des piezoelektrischen Aktors,

• hoher Miniaturisierungsgrad, geringe Kosten der Filterbauelemente (Flächenprodukt),

• hoher Wirkungsgrad der Wechselrichterstufe bzw. des Stromrichters.

∆

⁄

122 5 Aspekte eines Gesamtsystementwurfs

In den folgenden Abschnitten werden diese Punkte detailliert erörtert. Die Analyse erfolgt

anhand der in Kap. 3 und Kap. 4 erhaltenen Ergebnisse. Dazu wird eine Parameteranalyse

durchgeführt, die drei unterschiedliche Parametergruppen berücksichtigt:

• Geometrie des Piezostapels:

Fläche , Anzahl und Dicke der Piezoscheiben,

• Materialparameter des verwendeten Piezomaterials:

dielektrische Ladungskonstante , Dielektrizitätszahl und Steifigkeit ,

• Kenngrößen der Endmasse und des Horns:

Schallkennimpedanzen und , die sich aus den Querschnittsflächen , sowie

aus der Dichte und der Schallausbreitungsgeschwindigkeit des jeweils ver-

wendeten Materials berechnen.18

Für die Betrachtungen werden die interessierenden Parameter auf ihre Nominalwerte bezo-

gen und dann durch * gekennzeichnet. Ihre Darstellung erfolgt mit Hilfe von Diagrammen,

in denen die bezogenen Werte der unabhängigen Variablen auf der Abszisse aufgetragen,

durch ein gemeinsames Formelzeichen repräsentiert und im Bereich von

variiert werden. So gilt beispielhaft für das erste Diagramm von Bild 5.1

. (5.1)

Die Diagramme stellen somit das jeweilige Entwurfsziel als Funktion der auf diese Weise

variierten Parameter dar. Die Vorgehensweise ist unabhängig von einem konkreten Entwurf

zu verstehen. Vielmehr geht es darum, die prinzipiellen Abhängigkeiten der Entwurfsziele

von den wählbaren Materialparametern darzustellen. In allen Diagramme erfolgt die Dar-

stellung bezogen auf die Nenngröße. Die ermittelten Kennlinien zeigen auf einen Blick, wie

ein entsprechender Parameter geändert werden müsste, um ein gefordertes Entwurfsziel zu

erreichen. Darüberhinaus lässt sich sehr gut die jeweilige Empfindlichkeit ablesen, die Auf-

schluss darüber gibt, mit welcher Parameteränderung am effektivsten das entsprechende

Entwurfsziel erreicht werden könnte.

18.Schallkennimpedanzen typischer Materialien: ,

und

ρM

ZStahl 40,6 6

×10 kgm²/

Titan 21,6 6

×10 kgm²

Alu 14,04 6

×10 kgm²

∆∆

0,8...1,2=

∆f*∆f

∆fNenn

----------------, ∆AP

APNenn,

-------------------,== ∆h*

hPNenn,

------------------,== ∆kP

kPNenn,

------------------

===

5.2 Diskussion 123

5.2 Diskussion

In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Gleichungen, die Rückschlüsse auf die Ent-

wurfsziele zulassen, genauer untersucht. Mit Hilfe der in Kap. 5.1 beschriebenen Vorge-

hensweise werden die Parameteranalysen durchgeführt. Am Schluss diesen Abschnitts wer-

den die ausgewerteten Diagramme in Form einer Entwurfsmatrix zusammengefasst.

Abstand Resonanz-Antiresonanz

Man erhält den Abstand zwischen Resonanz- und Antiresonanz aus

. (5.2)

Nach Entwicklung des Klammerausdrucks in eine Potenzreihe, sowie Berücksichtigung,

dass , ergibt sich nach dem Abbrechen der Potenzreihe nach dem 2. Glied

(5.3)

Mit zunehmendem Kapazitätsverhältnis nimmt Gl. (5.3) zufolge der Abstand zwi-

schen Resonanz- und Antiresonanzfrequenz zu.

Wünschenswert ist ein größerer Abstand zwischen Resonanz- und Antiresonanzfre-

quenz, wenn ein Phasenregelkreis eingesetzt werden soll. Bei zu geringem Abstand und

gleichzeitig hoher Kreisverstärkung der Frequenzregelung kann dies zu Instabilität der

Regelung führen. Verschieben sich z. B. die Resonanzfrequenzen des piezoelektrischen

Aktors, kann die Antiresonanzfrequenz des Systems in Bereiche unterhalb der aktuellen

Anregefrequenz verschoben werden. Wie in Kap. 2 erläutert, würde dies bei einer niedrigen

Abtastzeit aber zum Versagen der Regelung führen. In diesen Fällen ist es sinnvoll, den

Abstand zu vergrößern, in dem das Verhältnis der Ersatzkapazität zur Piezokapazi-

tät vergrößert wird.

Die Kennlinien nach Bild 5.1 verdeutlichen die starke Abhängigkeit des Resonanzfrequenz-

abstandes von den Entwurfsparameter. So kann beispielsweise der Wert für vergrößert

werden, in dem die Fläche der piezoelektrischen Elemente verringert wird. Den glei-

∆

f∆faf0

–1

2π

------ ω0

-------1+1–







⋅⋅==

⁄

1«

f∆1

4π

------ ω0

---

----

⋅⋅≈

⁄

∆

0.8 0.9 1 1.1 1.2

0.85

0.9

0.95

1.05

1.1

1.15

0.8 0.9 1 1.1 1.2

0.8

1.2

1.4

∆ ∆ ∆

∆

0.7

0.8

0.9

1.1

0.6 0.8 1 1.2 1.4

AP*

hP,k

Bild 5.1: Parameteranalyse für den Abstand zwischen Resonanz- und Antiresonanz-

frequenz .

∆

Geometrie des Piezostapels Piezomaterial Endmasse und Horn

∆

124 5 Aspekte eines Gesamtsystementwurfs

chen Effekt erhält man auch, wenn die Impedanz der Endmasse durch ein anderes

Material oder einen anderen Querschnitt verändert wird.

Gütezahl

Die Gütezahl berechnet sich ausgehend von

, (5.4)

und nach Einsetzen von Gl. (3.30) sowie Gl. (3.48) und (vgl. Bild 3.8)

wird ausschließlich mit Hilfe von Material- und Geometrieparameter beschrieben:

. (5.5)

Wie bereits in Kap. 2 beschrieben wurde, stellt die Gütezahl ein geeignetes Maß dar, mit

dem piezoelektrische Aktoren klassifiziert werden können. Besonders wichtig ist der durch

Näherungen bestimmte Wert , für den die Phasenkennlinie die 0°-Linie tangiert [48].

Für ist ein Phasennulldurchgang existent, während für die Phasenkennlinie

immer oberhalb der 0°-Linie verläuft. Aufgrund der Dämpfung , die durch den Prozess

vorgegeben ist, kann dementsprechend die Gütezahl stark verringert werden, was die Mög-

lichkeiten der zu verwendenden Regelungskonzepte einschränkt und ferner zu erhöhtem

Blindleistungsbedarf führt. Aus diesem Grund ist es ggf. zweckmäßig, die Gütezahl anzu-

passen. Das ist insbesondere dann der Fall, falls ein Phasenregelkreis verwendet werden

soll, der auf die Existenz eines Phasennulldurchgangs angewiesen ist.

Wie Gl. (5.5) entnommen werden kann, hängt die Gütezahl wesentlich vom Transformati-

onsfaktor ab. Aufgrund seiner Definition nach Kap. 3.3.1 mit nimmt

die Gütezahl sehr schnell ab, wenn mit Hilfe der Amplitudentransformation größere

Schwingamplituden erzielt werden sollen.

Die Gütezahl kann durch Erhöhung der Anzahl der Piezoscheiben vergrößert werden.

Allerdings ändert sich dadurch auch das Amplitudentransformationsverhältnis des Pie-

zoaktors. Soll dies konstant bleiben (bei ), muss die Impedanz des Horns

angepasst oder ein anderes Piezomaterial mit einer kleineren piezoelektrischen Ladungs-

konstanten ausgewählt werden. Dabei muss im allgemeinen berücksichtigt werden, dass

dann auch eine andere Dielektrizitätszahl vorliegt. Es ist also wiederum eine Anpassung

des Transformationsfaktors notwendig, um die vorgegeben Schwingamplitude zu erzie-

len.

Unproblematischer gestaltet sich die Einstellung der Gütezahl bei gegebener Lastdämpfung

durch Anpassung der Fläche . Dieser Parameter kann ohne Berücksichtigung der Ampli-

tudentransformation durch Querschnittssprünge geändert werden. Die Einflüsse der einzel-

nen Parameter auf die Gütezahl mit

(5.6)

stellt Bild 5.2 dar.

ω0CPR

-----------------

----

mdLKP

()⁄=

2nT

ω0kP

------------- hP

APεP

------------ 1

-----

⋅⋅ω

0ZH

2nT

⋅⋅ dP

kPhP

APεP

------------------

----

⋅⋅==

M=2

T22,

⁄

ω0

konst.=

MNen

-------------

----

5.2 Diskussion 125

Zulässige Dehnung des Piezomaterials

Während des Betriebs des Aktors darf die Dehnung die zulässige maximale Belastung des

Materials nicht überschreiten, da dies sonst zur Schädigung des Aktors führen könnte. Die

mechanische Spannung im piezoelektrischen Material wird auf die Dehnung am Horn bezo-

gen. An den Grenzflächen zwischen dem Piezostapel und dem angrenzenden Horn erhält

man (vgl. Bild 3.4)

, (5.7)

wobei und . Nach Gl. (3.23) und Gl. (3.35) gilt für die Dehnung im

piezoelektrischen Material . Gl. (5.7) eingesetzt und umgestellt ergibt

. (5.8)

Da die Dehnung durch die maximal zulässige Belastung nicht überschritten werden darf,

erhält man die Bedingung:

. (5.9)

Die Abhängigkeit und Empfindlichkeit des Verhältnisses von den Entwurfsparametern

ist in Bild 5.3 dargestellt. Es gilt entsprechend Gl. (5.1)

. (5.10)

∆ ∆ ∆





0.8 0.9 1 1.1 1.2 0.8 0.9 1 1.1 1.2 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.8

0.9

1.1

1.2

0.8

1.2

1.4

0.5

1.5















































Bild 5.2: Parameteranalyse für die Gütezahl .

Geometrie des Piezostapels Piezomaterial Endmasse und Horn

ˆPF

-------

-------------

------------ w

ˆP

ω0

---------

----

⋅== = =

ˆP

–=

PsET

ˆP

σPS

ˆP

------ sP

ω0Z

----------------

---

ˆPmax,

< σP

⇒

Pmax,

ˆP

----------------sP

Eω0Z

---------------

----

≥=

σ*σ

σNenn

-------------

126 5 Aspekte eines Gesamtsystementwurfs

Strom- und Spannungsbedarf der piezoelektrischen Schwingeinheit

Die geforderte Schwingamplitude der Randfläche an der die Ultraschallschwingung bei

resonanter Anregung der Schwingeinheit ausgekoppelt wird stellt man mit Hilfe des Über-

setzungsverhältnisses und mit einem Transformationsstück durch das Transformations-

verhältnis ein.19 Nach Bild 3.7 und Gl. (3.48) ist die Schwinggeschwindigkeit gegeben

mit

, (5.11)

wobei der Verlustwiderstand nicht berücksichtigt wird. Eine Vergrößerung der Auslen-

kungsamplitude ( ) kann demzufolge durch Verkleinern der Schallimpedanz

erzielt werden. Dazu kann ein Material für das Horn verwendet werden, welches eine

kleinere Schallkennimpedanz aufweist. So kann beispielsweise die Endmasse aus Stahl

bestehen, während das Horn aus Titan gefertigt wird. Eine zweite Möglichkeit besteht darin,

den Querschnitt des Horns kleiner als den der Endmasse bzw. der Piezoscheiben zu wählen.

Bei einer weiteren Verstärkung der Auslenkungsamplitude durch ein Transformationsstück,

nutzt man ausschließlich Querschnittsverjüngungen. Dabei wird diese Querschnittsverjün-

gung in den Nulldurchgang der Auslenkung gelegt. Die Folge ist ein unstetiger Verlauf der

mechanischen Spannung bzw. Dehnung . Da wegen im Nulldurchgang

der Auslenkung ein Maximum der Dehnung bzw. mechanischen Spannung vorliegt, treten

hier die höchsten Zugbelastungen für das Material auf. Würde man das Transformations-

stück aus zwei verschiedenen Teilen zusammensetzen – denkbar ist z. B. die Kaskadierung

zweier Zylinder aus unterschiedlichen Materialien – würde die Fügestelle, an der das Mate-

rial ohnehin schon seinen schwächsten Punkt aufweist, sehr stark belastet werden. Aus die-

sem Grund dürfen die maximal zulässigen mechanischen Beanspruchungen des verwende-

19.Es gilt bei der Auslegung des Gesamt-Übersetzungsverhältnisses zu beachten, dass sich der

gewünschte Verstärkungsfaktor für die Auslenkung aus dem Kehrwert des Übersetzungsverhältnis-

ses ergibt.

∆

∆∆

0.8 0.9 1 1.1 1.2 0.8 0.9 1 1.1 1.2 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.8

0.9

1.1

1.2

0.8

0.9

1.1

1.2

0.6

0.8

1.2

1.4

































Bild 5.3: Parameteranalyse für das Verhältnis zwischen Dehnung und

Schwingamplitude am Horn . σ

ˆP

Geometrie des Piezostapels Piezomaterial Endmasse und Horn

T22,

KPnT

-------------i

ˆH

⋅

ω0kPdPZHnT

⋅

------------------------------------i

⋅==

jω()⁄=

∂

ˆx

()∂

⁄

5.2 Diskussion 127

ten Werkstoffs nicht überschritten werden und beschränken somit die erreichbare Amplitu-

denverstärkung.

Aus Sicht der Speiseeinrichtung ist die Stromaufnahme des Aktors bei Anregung in mecha-

nischer Resonanz für eine vorgegebene Schwingamplitude, die für den Ultraschall-Prozess

genutzt werden soll, von besonderem Interesse. Berücksichtigt man ein Transformations-

stück, muss dazu die Schwingamplitude bestimmt werden. Die Schwinggeschwindig-

keit erhält man aus , und man geht davon aus, dass dieser Wert vom Ultra-

schallprozess vorgegeben wird. Man erhält für die erforderliche Stromamplitude unter

zusätzlicher Berücksichtigung des Stromanteils durch die Piezokapazität

(5.12)

Die Spannungsamplitude erhält man aus

(5.13)

wobei auch hier davon ausgegangen wird, dass sich die Reaktanzen im -

Schwingkreis gegenseitig aufheben. Gl. (5.12) ist zu entnehmen, dass mit zunehmendem

bzw. der Stromanteil durch die Piezokapazität abnimmt. Der zur mechanischen

Schwingung beitragende Teil des Speisestromes hängt dagegen linear von der Gesamt-

Amplitudentransformation ab. Umgekehrt verhält es sich mit der erforderlichen

Spannung, die mit zunehmender Amplitudentransformation des Transformationsstücks

abnimmt.

Eine entscheidende Rolle spielt auch die maximale elektrische Feldstärke in den Piezoele-

menten, um sicher zu stellen, dass das Material nicht depolarisiert wird. Typische Feldstär-

ken, die zu einer Depolarisierung führen können, liegen oberhalb von 500 bis 1000 V/mm

[47]. Somit gilt:

. (5.14)

Diese Gleichung erweist sich dann als sehr nützlich, wenn bei einem zu entwickelnden

Gerät aus Gründen der Betriebssicherheit - z. B. bei handgeführten Geräten der Medizin-

technik - eine bestimmte Maximalspannung nicht überschritten werden darf.

Die Funktionsverläufe in Abhängigkeit der einzelnen Parameter und deren Empfindlichkeit

gemäß

(5.15)

sind in Bild 5.4 dargestellt.

H2jω0w

⋅=

ˆHi

ˆCp

+jω0KPnT

⋅⋅ ω0

dLCp

KPnT

⋅

-------------------

–





ˆT2 2

⋅

jω0

2kPdPZHnT

⋅ω

dLεP

TAp

hPdPZHnT

⋅

-----------------------------

⋅–





ˆT2

⋅

ˆCp jω0

KPnT

⋅

-----------------w

ˆT22,

⋅⋅=u

ˆCp

dPkPZHnT

⋅

-----------------------------w

ˆT22,

⋅=

⇒

––

ˆH

⋅

ˆCp max,hP500 V

--------- ⋅≤ u

ˆCp max,

dPkPZHnT

⋅

-----------------------------1

-----

⋅w

ˆT2max

⋅500 V

---------

≤=

⇒

uCp Nen

-----------------

----

128 5 Aspekte eines Gesamtsystementwurfs

Miniaturisierungsgrad, Aufwand für Filterbauelemente

Die Miniaturisierbarkeit des Stromrichters spielt besonders bei der Entwicklung handge-

führter Ultraschallgeräte eine entscheidende Rolle. In Kap. 4 wurde daher das Flächenpro-

dukt benutzt, um eine grobe Abschätzung der benötigten Volumina der magnetischen Bau-

elemente durchführen zu können. Aufgrund der unterschiedlichen Auslegung der Aus-

gangsfilter der betrachteten Stromrichtertopologien werden unterschiedliche Parameterstu-

dien für die einzelnen Topologien notwendig.

LC-Resonanzstromrichter:

Nach Gl. (4.45) erhält man für die Summe der Flächenprodukte von Filterspule und Aus-

gangstranformator des LC-Resonanzstromrichters den Zusammenhang:

(5.16)

mit der Hilfsvariablen

. (5.17)

Diese Gleichung berücksichtigt eine zum Aktor parallele zusätzliche Filterkapazität

mit , die das Spannungsübertragungsverhalten stabilisieren soll. Da

mit zunehmender Dämpfung die Rückwirkungen der niederimpedanten Last geringer wer-

den, kann die Filterkapazität verkleinert werden. Infolgedessen verringert sich die Gesamt-

last für die Wechselrichterstufe, und der Strom durch die Filterspule ist ebenfalls kleiner. Da

sich das Flächenprodukt proportional zum Produkt aus Induktivität und dem quadratischen

Spulenstrom ergibt, muss das Flächenprodukt kleiner werden.

LLCC-Resonanzstromrichter:

Aus Gl. (4.67) und Gl. (4.68) berechnet sich das gesamte Flächenprodukt von Filterspulen

und Ausgangstransformator des LLCC-Resonanzstromrichters gemäß

∆ ∆ ∆

uCp

0.8 0.9 1 1.1 1.2 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.8 0.9 1 1.1 1.2

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

0.9

1.1

1.2

0.9

1.1

1.2

kPdP

*ZH

T*,sE*

,hP

uCp

*uCp

Bild 5.4: Parameteranalyse für .

Geometrie des Piezostapels Piezomaterial Endmasse und Hor

cAw

ˆCp

kCuJ

ˆB

---------------APkPγfεP

()

hPΩs

------------------------------1H21H+()HΩs

21–()

+()++[]⋅⋅=

2γf

2εP

()

⋅

---------------------------------

---

γf

()

⁄

5.2 Diskussion 129

, (5.18)

wobei von optimalen Filterkapazitäten ausgegangen wird ( ). Wie schon beim LC-

Resonanzstromrichter beobachtet, nimmt das resultierende Flächenprodukt des LLCC-

Resonanzstromrichters kleinere Werte an, wenn die Dämpfung ( ) zunimmt.

Pulsstromrichter:

Das Gesamtflächenprodukt des Pulsstromrichters ergibt sich aus Gl. (4.86) und Gl. (4.87):

.(5.19)

mit der bereits oben eingeführten Hilfsvariablen . Wie man dieser Gleichungen entneh-

men kann, ist das Volumen der Filterspule maßgeblich durch einstellbar. Verschiebt

man also die Tiefpassfilterung zu höheren Frequenzen führt dies zu einer erheblichen Ver-

ringerung des Flächenproduktes (vgl. Kap. 4.3).

Augenscheinlich unterscheiden sich die Flächenprodukte des LC- und LLCC-Resonanz-

stromrichters und des Pulsstromrichters erheblich. Betrachtet man jedoch die entsprechen-

den Parameterabhängigkeiten stellt man fest, dass nahezu identisches Verhalten vorliegt.

Für das Verhältnis des jeweiligen Flächenproduktes zu seinem Nennwert lässt sich für alle

hier betrachteten Stromrichterkonzepte die gemeinsame Näherung

(5.20)

cAw

ˆCp

kCuJ

ˆB

---------------kPAPεP

TγfdLdP

2hPkPZH

2ω0

+()

APhPεP

TγfdL

------------------------------------------------------------------------

----

⋅=

βCs

AcAw

ˆCp

kCuJ

ˆB

---------------APεP

2δnPWM

----------------------- hPkP1H+()1δ+()

2APεP

TdLHH

+()1δ+()

2δnPWM

21–()1–()

2ZH

2ω0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

















⋅⋅=

PWM

∆ ∆ ∆

cAwAcAwAcAw

0.8 0.9 1 1.1 1.2 0.8 0.9 1 1.1 1.2 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

***

sE*

Bild 5.5: Parameteranalyse für das resultierende Flächenprodukt der Fil-

terspule(n) und des Ausgangstransformators der betrachteten Reso-

nanzstromrichter und des Pulsstromrichters.

Geometrie des Piezostapels Piezomaterial Endmasse und Horn

AcAw

*AcAw

AcAwNenn

------------------------- kP

hPZH

ω0

APdL

2εP

-----------------------------

----

≈=

130 5 Aspekte eines Gesamtsystementwurfs

angeben, die sehr gut die Kurvenverläufe der tatsächlichen Gleichungen wiedergibt. Die

entsprechenden Parameteranalysen für die beiden Resonanzstromrichter und für den Puls-

stromrichter stellt Bild 5.5 dar.

Wirkungsgrad der Wechselrichterstufe

Da der Wirkungsgrad der Wechselrichterstufe bei den üblichen Spannungen im Wesentli-

chen von den stromabhängigen Durchlass- und Schaltverlusten bestimmt wird, wird die fol-

gende Parameteranalyse nicht für den Wirkungsgrad, sondern wegen der größeren Einfach-

heit für den Wechselrichter-Ausgangsstrom durchgeführt. Sie ergibt für die drei unter-

suchten Topologien die gleichen Ergebnisse und

(5.21)

ist in Bild 5.6 dargestellt.

Zusammenfassung der Parameteranalyse in Matrixform

Die Verkettungen der Entwurfsparameter untereinander ist noch einmal in Tabelle 5.1

zusammengefasst. Die Tabelle verschafft einen Überblick darüber, wie die Entwurfspara-

meter tendenziell geändert werden müssen, damit die Entwurfsziele wie gewünscht einge-

stellt werden können.

Als Anwendungsbeispiel der Tabelle soll die Gütezahl als Entwurfsvorgabe vergrößert

werden, um für ein Ultraschallsystem einen Phasennulldurchgang der Eingangsadmittanz

sicherzustellen. Dadurch kann eine PLL zur Regelung des Betriebspunkts eingesetzt wer-

den. Die Dämpfung der Schwingeinheit durch den Ultraschallprozess sei aus Vorunter-

suchungen bekannt.

Wie die Parameteranalyse der vorangegangenen Abschnitte zeigt, kann durch eine Vergrö-

ßerung des Piezostapels mit zusätzlichen Piezoelementen (Erhöhung von ) die Güte-

zahl vergrößert werden. Im Zuge einer Miniaturisierung und Kostenreduzierung des Strom-

richters interessiert auch das Flächenprodukt der Filterspule eines Pulsstromrichters.

iwr Nen

---------------

----

∆ ∆ ∆

iwr

0.8 0.9 1 1.1 1.2 0.8 0.9 1 1.1 1.2 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.85

0.9

0.95

1.05

1.1

1.15

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

iwr

*ZH

sE*

Bild 5.6: Parameteranalyse für den Wechselrichterstrom .

Geometrie des Piezostapels Piezomaterial Endmasse und Horn

PWM

5.2 Diskussion 131

Der Tabelle kann man nun entnehmen, dass die Vergrößerung von für die Entwicklung

der Flächenproduktes kontraproduktiv ist: durch die gewählte Maßnahme stellt sich ein

höheres Flächenprodukt ein. Man kann ebenfalls ablesen, dass sich eine höhere Strombela-

stung der Wechselrichterstufe einstellt. Infolgedessen werden die Durchlass- und

Schaltverluste und somit der Wirkungsgrad negativ beeinflusst.

Entwurfsziel

Geometrie

Piezostack Piezomaterial Endmasse und

Horn

  



- -





Entwurfsvor-

gabe



= konst.

  

  



= konst.



= konst.





bzw.



= konst.



 

Miniaturisierung magneti-

scher Komponenten





 



 

Tabelle 5.1: Entwurfsziele und Parameter beim Entwurf eines Ultraschallsystems beste-

hend aus einem Stromrichter und der Ultraschall-Schwingeinheit.

∆

⇒

ˆH

wLLC

wPWM

132 6 Zusammenfassung

6 Zusammenfassung

Die Kernmotivation der vorliegenden Arbeit war die Erarbeitung der Grundlagen, die es

erlauben, ein Ultraschallsystem bestehend aus Energieversorgung und Ultraschallaktor in

einem ganzheitlichem Ansatz zu entwerfen. Wichtig war dabei zunächst nicht eine hohe

Modellierungstiefe und genaue Abbildung von Entwurf und Realität eines auf Basis dieses

Modells entworfenen Systems, sondern vielmehr die Erkenntnis, welche Entwurfsparame-

ter tendenziell gewünschte Zielvorgaben beeinflussen.

Vor dem Hintergrund dieser Motivation wurden in der Einleitung grundlegende Fragen

gestellt, die bearbeitet wurden und nun abschließend beantwortet werden sollen.

• Wie können Ultraschall-Schwingeinheiten modelliert werden, um ihre Last für eine

elektrische Spannungsversorgung zu beschreiben?

Ein geeignetes Modell zur Beschreibung des elektrischen Klemmenverhaltens stellt ein

einfaches Ersatzschaltbild dar, dessen Parameter mit Hilfe eines analytischen Modells

berechnet werden. Dieses Modell beruht auf den kontinuums-mechanischen Zusam-

menhängen, welches alle wichtigen Entwurfsparameter einer Ultraschall-Schwingein-

heit umfasst. Demzufolge sind die erwähnten Parameter vollständig auf Material- und

Geometrievorgaben zurückzuführen.

• Welche Stromrichterkonzepte sind zur Speisung piezoelektrischer Aktoren geeignet?

Welche Größen sind geeignet, um die untersuchten Konzepte bezüglich ihrer Eignung

zu charakterisieren, und mit welchen Modellen und Methoden können sie beschrieben

werden?

Während der durchgeführten Literaturrecherche stellten sich Resonanzstromrichter mit

LC- und LLCC-Ausgangsfilter als attraktive Speiseeinrichtungen heraus. Außerdem

wurden Pulsstromrichter als geeignete Topologie eingeschätzt. Mit den genannten

Stromrichtertypen wurden bereits schon in [48] und [49] Erfahrungen gesammelt.

Allerdings beschränkten sich die dort durchgeführten Untersuchungen auf die Klasse

der stark gedämpften Ultraschallsysteme (Wanderwellenmotoren). In der vorliegenden

Arbeit wurden die Analysen auf schwach gedämpfte Systeme ausgeweitet.

Für ein abgestimmtes Ultraschallsystem gehören auch Überlegungen, wie eine Minia-

turisierung von Stromrichter und Ultraschall-Schwingeinheit erreicht werden kann.

Gerade mit Blick auf handgeführte Geräte ist dies von vordringlichem Interesse. Dazu

wurden Aussagen getroffen, welche Ströme in der Wechselrichterstufe zu erwarten

sind, welches Volumen die magnetischen Filterkomponenten und Ausgangstransfor-

matoren benötigen, welche Wirkungsgrade erreichbar sind usw. Die Grundlage zur

Berechnung dieser Größen ist eine Zeitbereichsimulation auf Basis der gelösten Diffe-

rentialgleichungen eines linearen Modells, die sich gegenüber der herkömmlichen

Zeitsimulationen (z. B. SIMPLORER) als überlegen herausstellte und mit erheblicher

Zeitersparnis bei der Schaltungssimulation einhergeht. Weitere Berechnungen nutzen

die Grundschwingungsanalyse, die zu übersichtlichen und gut interpretierbaren Lösun-

133

gen führt. Die Ergebnisse der Zeitbereichsimulation und der Grundschwingungsana-

lyse flossen in ein erweitertes Verlustleistungsmodell der modellierten

Vollbrückentopologien und in die Berechnung der benötigten Volumina der magneti-

schen Bauelemente ein. Berücksichtigt wurden bei den Betrachtungen der Stromrichter

auch die Fertigungstoleranzen realer Filterbauelemente, was Aussagen über die

Robustheit der jeweiligen Topologie zulässt.

• Welche wesentlichen Erkenntnisse lassen sich hinsichtlich des Systementwurfs daraus

ableiten?

Mit Hilfe einer Parameteranalyse konnte eine Matrix erstellt werden, die eine über-

sichtliche Darstellung aller Entwurfsparameter, sowohl vom Ultraschallaktor als auch

vom Stromrichter, erlaubt. Auf diese Weise können die gegenseitigen Beeinflussungen

der unterschiedlichsten Entwurfsparameter und -ziele besser interpretiert werden.

Neben diesen Kernpunkten wurde im Rahmen dieser Arbeit ein Pulsstromrichter und eine

Ultraschall-Schwingeinheit für eine Technikumsanlage zur Ultraschall-Stehwellenzerstäu-

bung entworfen und in Betrieb genommen. Der dazu entworfene Stromrichter erlaubt eine

Anpassung an unterschiedliche Ultraschall-Schwingeinheiten, ohne schaltungstechnische

Änderungen vornehmen zu müssen. Diese Eigenschaften wurden bislang weder von kom-

merziellen Anbietern von Ultraschallverstärkern noch in der Literatur vorgestellt.

Hervorzuheben ist, dass die erarbeiteten Modelle für Ultraschall-Schwingeinheiten und

Stromrichter aus Gründen der besseren Interpretierbarkeit relativ einfach gehalten wurden,

wobei die dadurch bedingte geringere Genauigkeit der Modelle in Kauf genommen wurde.

Zu erwähnen ist in diesem Zusammenhang insbesondere, dass das verwendete Modell der

Ultraschall-Schwingeinheit nur für den Fall schwacher Prozessdämpfung anwendbar ist.

Als Erweiterung der Analysen zu [48] und [49] sind der Ansatz zur Berechnung der Verlust-

leistungen und Wirkungsgrade zu nennen. Die erstellte Entwurfsmatrix, die sowohl Ent-

wurfsziele als auch Entwurfsparameter gemeinsam darstellt, ist ein wichtiges Hilfsmittel,

mit dem das Verständnis für Ultraschallsysteme verbessert werden kann. Insgesamt liegt

eine grundlegende Basis vor, um Ultraschallsysteme in einem ganzheitlichen Entwurf aus-

zulegen.

134 Anhang

Anhang

Konstruktionsskizzen des Aluminiumkonverters Al-K-P3

Universität Paderborn

Mechatronik u. Dynamik

Werkstoff:

DIN

ISO 2768

Ra=

Konverter Alu

703-03-00

45,2

64,2

135

Universität Paderborn

Mechatronik u. Dynamik

Werkstoff:

DIN

ISO2768

Ra=

2,5

20,1

16 H7

3,2

703-03-02

Scheibe-58(Alu)

0,1x45

AlCuMgPb

136 Anhang

Universität Paderborn

Mechatronik u. Dynamik

Werkstoff:

DIN

ISO 2768

Ra=

EINZELHEIT B

EINZELHEIT C

3,2

Alu-Sonotrode

703-03-01

2 9

65Mx

12Mx1,25

16M

20,1

R25

0,5

75,5

0,5

AlCuMgPb

5,5

52,

0,5

137

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