Untersuchungen zur Auslegung
elektromagnetischer Linearaktoren
für den intrakutanen Wirkstoffeintrag
vorgelegt von
Master of Science
Oliver Mönnich
von der Fakultät V – Verkehrs- und Maschinensysteme
der Technischen Universität Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Ingenieurwissenschaften
- Dr.-Ing. -
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. Dieter Peitsch
Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. Heinz Lehr
Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Henning J. Meyer
Gutachter: Dr.-Ing. Martin Kelp
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 19. August 2022
Berlin 2022
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter
am Fachgebiet Mikrotechnik der Technischen Universität Berlin.
Mein herzlicher Dank gilt Herrn Prof. Dr. rer. nat. Heinz Lehr für die Möglichkeit, ergebnisof-
fen zu den hier beschriebenen Themen zu forschen und für die exzellente Betreuung mit
zahlreichen fachlichen Diskussionen. Frau Dr. med. Helena Lehr danke ich herzlich für die
Durchsicht meines Manuskripts, aber auch für ihr unermüdliches Engagement bei der Organi-
sation des Fachgebietsalltags.
Für die Begutachtung meiner Dissertation bedanke ich mich bei Herrn Prof. Dr.-Ing. Henning
J. Meyer und Herrn Dr.-Ing. Martin Kelp, dem ich darüber hinaus für die gute Zusammenarbeit
danke. Bei Herrn Prof. Dr.-Ing. Dieter Peitsch bedanke ich mich für die Bereitschaft, den Vor-
sitz des Promotionsausschusses zu übernehmen.
Meinen Kollegen am Fachgebiet Mikrotechnik und später am Fachgebiet Elektromechanische
Konstruktionen danke ich für die gute Teamarbeit und nützliche fachliche Impulse. Dank gilt
ebenfalls den von mir betreuten Studierenden, die mit ihren Abschlussarbeiten ihren Beitrag
zur vorliegenden Dissertation leisteten. Ohne die Unterstützung der Mitarbeiter der feinmecha-
nischen Werkstatt, den Meistern Detlef Schnee und Kevin Ehling, wäre der Aufbau der
Prototypen in der jetzigen Form nicht möglich gewesen. Genauso unterstützte mich Mario
Runge in elektronischen Belangen. Herrn Prof. Dr.-Ing. Jürgen Maas danke ich für die Mög-
lichkeit, meine Arbeit an seinem Fachgebiet fertigzustellen.
Zu großem Dank bin ich meinen Eltern verpflichtet, die es mir durch ihre fortwährende Unter-
stützung ermöglichten, meinen Weg zu gehen und sowohl mein Studium als auch meine
Promotion erfolgreich abzuschließen.
Meiner Familie, meinen Freunden und besonders meiner Freundin Mandy und Julius danke ich
für den Rückhalt und das Verständnis, das sie mir während der gesamten Zeit entgegengebracht
haben.
1
1 Einleitung ...................................................................................................................... 4
2 Stand der Technik von Stechgeräten .......................................................................... 6
2.1.1 Spulenmaschinen ............................................................................................................ 6
2.1.2 Rotary-Maschinen .......................................................................................................... 7
2.1.3 Andere Antriebskonzepte ............................................................................................... 9
2.1.4 Das ELISA-Projekt ...................................................................................................... 10
3 Grundlagen resonanter elektromagnetischer Linearantriebe ............................... 12
3.1 Magnetismus ................................................................................................................ 12
3.1.1 Werkstoffeigenschaften ................................................................................................ 12
3.2 Mechanismen der Krafterzeugung ............................................................................... 17
3.2.1 Lorentzkraft .................................................................................................................. 17
3.2.2 Reluktanzkraft .............................................................................................................. 18
3.2.3 Berechnung mittels integraler Magnetkreisgrößen ...................................................... 19
3.3 Mechanismen zur Läuferrückstellung .......................................................................... 21
3.3.1 Mechanische Federn ..................................................................................................... 22
3.3.2 Magnetische Federn ..................................................................................................... 22
4 Entwicklung der Antriebseinheit .............................................................................. 26
4.1 Vorstudien .................................................................................................................... 26
4.1.1 Antrieb mit bewegtem Hartmagneten .......................................................................... 27
4.1.2 Antrieb mit bewegter Spule .......................................................................................... 30
4.1.3 Reluktanzantrieb ........................................................................................................... 34
4.1.4 Konzeptbewertung ....................................................................................................... 40
4.2 Magnetfederantrieb ...................................................................................................... 45
4.2.1 Dynamisches Modell .................................................................................................... 46
4.2.2 Elektromagnetische Auslegung .................................................................................... 47
4.2.3 Konstruktion ................................................................................................................. 53
4.2.4 Experimentelle Untersuchungen .................................................................................. 54
4.3 Doppelläuferantrieb ...................................................................................................... 57
4.3.1 Federanordnungen ........................................................................................................ 57
4.3.2 Konstruktion ................................................................................................................. 61
4.3.3 Experimentelle Untersuchungen .................................................................................. 62
4.4 Antrieb mit Vormagnetisierung ................................................................................... 64
2
4.4.1 Elektromagnetische Auslegung .................................................................................... 65
4.4.2 Konstruktion ................................................................................................................. 67
4.4.3 Experimentelle Untersuchungen .................................................................................. 69
5 Verfahren zur Bestimmung der Läuferposition ...................................................... 70
5.1 Aufgabenstellung ......................................................................................................... 70
5.2 Optischer Sensor .......................................................................................................... 71
5.2.1 Messprinzip .................................................................................................................. 71
5.2.2 Experimentelle Untersuchungen .................................................................................. 74
5.3 Induktiver Sensor ......................................................................................................... 76
5.3.1 Auslegung ..................................................................................................................... 77
5.3.2 Experimentelle Untersuchungen .................................................................................. 80
5.4 Vergleich ...................................................................................................................... 81
5.4.1 Dynamische Messungen ............................................................................................... 81
5.4.2 Aufwand ....................................................................................................................... 82
5.5 Sensormodul zur Positionserfassung ............................................................................ 83
6 Ansteuerung ................................................................................................................ 84
6.1 Effiziente Ansteuerung ................................................................................................. 84
6.1.1 Optimalsteuerung dynamischer Systeme ..................................................................... 84
6.1.2 Optimale Steuerung am Beispiel des Magnetfederantriebs ......................................... 85
6.2 Bestimmung des Hubs .................................................................................................. 90
6.2.1 Gefensterte Min-Max-Bestimmung ............................................................................. 90
6.2.2 Synchrondemodulation ................................................................................................. 91
6.2.3 Taylor-Kalman-Filter ................................................................................................... 94
6.2.4 Vergleich ...................................................................................................................... 97
6.3 Hubregelung ................................................................................................................. 98
6.4 Aufbau der Ansteuerungselektronik ........................................................................... 107
6.4.1 Überblick .................................................................................................................... 107
6.4.2 Mikrocontroller-Plattform .......................................................................................... 108
6.4.3 Leistungselektronik .................................................................................................... 109
6.4.4 Simulink-Modell zur Ansteuerung ............................................................................. 111
7 Bewertung der technischen Konzepte .................................................................... 114
8 Zusammenfassung und Ausblick ............................................................................ 122
3
9 Literaturverzeichnis ................................................................................................. 125
10 Anhang ...................................................................................................................... 129
10.1 Radiales Luftspaltfeld im Lorentzkraftantrieb ........................................................... 129
10.2 Eigenfrequenz des Magnetfederantriebs .................................................................... 130
10.3 Systemparameter für den Doppelläuferantrieb .......................................................... 131
10.4 Optimalitätsbedingungen für unbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme ............... 132
10.5 Systemgleichungen für das Kalman-Filter ................................................................. 134
10.6 PI-Regler am Einmassenschwinger ............................................................................ 137
11 Liste betreuter studentischer Arbeiten .................................................................. 138
4
1 Einleitung
Für den intrakutanen Wirkstoffeintrag, sei es aus ästhetischen oder medizinischen Gründen,
werden üblicherweise Geräte eingesetzt, welche die oberen Hautschichten wiederholt mit Na-
deln penetrieren. Die Nadeln können mit einem entsprechenden Wirkstoff benetzt sein, sodass
es beim Einstechen zu dessen Eintrag in die Haut kommt oder sie sind als Kanülen ausgeführt,
durch die eine Injektion des Wirkstoffs stattfindet. Charakteristisch für diese Art von Stechan-
wendungen ist eine oszillierende Linearbewegung der Nadel mit Frequenzen im Bereich von
50 Hz bis 150 Hz bei einem maximalen Nadelhub von vier Millimetern. Der Hub stellt eine
gängige Bemessungsgröße der Schwingung dar, er entspricht dem Abstand zwischen den bei-
den Umkehrpunkten der Bewegung. Die Eindringtiefe der Nadeln in die Haut beträgt jedoch
mit circa einem bis zwei Millimeter nur einen Bruchteil des Nadelhubs, da die Hautoberfläche
aufgrund ihrer Elastizität ausweicht. Für den Wirkstoffeintrag ist entscheidend, die richtige
Hautschicht zu erreichen.
Beim Einbringen von Farbe in die Haut zur ästhetischen Behandlung stellt das Ziel der Appli-
kation die Papillarschicht (Stratum papillare) sowie die Retikularschicht (Stratum retikulare)
der Dermis dar [Spe91]. Wird die Farbe in eine zu geringe Tiefe der Epidermis eingebracht, so
verblasst die Farbwirkung innerhalb weniger Wochen im Zuge der natürlichen Erneuerung der
obersten Hautschichten. Bei zu tiefem Eintrag kommt es zum sogenannten „Blowout“, dem
Verwaschen der Farbe durch seitliches Verlaufen, da die Pigmente durch Lymphe und Blut
vom Ort des Einstichs abtransportiert werden. Außerdem führt ein zu tiefes Einstechen zu einer
unnötig starken Traumatisierung der Haut und zu einer erhöhten Infektionsgefahr. [Sch12]
Zurzeit sind am Markt hauptsächlich zwei Formen von Stechgeräten vertreten, die sich in ihrem
zugrundeliegenden Antrieb unterscheiden. Sogenannte Rotary-Maschinen arbeiten mit einem
Gleichstrommotor, dessen Rotation über eine geeignete Kinematik in eine Linearbewegung
umgesetzt wird. Dem stehen Spulenmaschinen gegenüber, bei denen die Nadelbewegung durch
einen von einem Elektromagneten betätigten weichmagnetischen Anker entsteht.
Bei den beiden am Markt erhältlichen Geräteklassen ergeben sich in der Anwendung jedoch
Grenzen.
Das Stechverhalten von Spulenmaschinen wird von Anwendern gemeinhin als weich bezeich-
net. Das bedeutet, dass sich der Hub der Nadelbewegung bei einer Belastung durch das Einste-
chen in die Haut verringert, was Vorteile für den gezielten und dosierten Wirkstoffeintrag bie-
tet. Das Stechverhalten lässt sich auch durch Veränderungen an den mechanischen Komponen-
ten beeinflussen, dies erfordert jedoch viel Erfahrung bei der manuellen Feinjustierung. Ein
dauerhaftes Arbeiten ist aufgrund der Lautstärke und Erwärmung des Geräts, vor allem aber
wegen der starken Vibration nur eingeschränkt möglich. Die Einführung der Rotary-Maschinen
erhöht den Komfort bei längeren Einsatzzeiten, allerdings auf Kosten des Einstechverhaltens,
das als hart empfunden wird, da der Nadelhub unabhängig von der Belastung konstant bleibt.
Rotary-Maschinen können dauerhaft benutzt werden, schränken die Anwender jedoch künstle-
risch in ihren Möglichkeiten ein.
Die in dieser Arbeit beschriebenen Entwicklungen haben zum Ziel, den Einschränkungen der
am Markt vertretenen Stechgeräte zu begegnen. Zunächst wurden im Rahmen von Voruntersu-
5
chungen Labormuster von Linearaktoren entwickelt, welche auf unterschiedlichen Antriebs-
prinzipien basieren. Deren experimentelle Untersuchung bestätigte zwar die grundsätzliche
Eignung von resonant arbeitenden Linearantrieben für die vorliegende Anwendung, zeigte je-
doch auch einige Herausforderungen auf, die für eine erfolgreiche Produktentwicklung zu
überwinden sind. Insbesondere sind hier die starke Gehäusevibration sowie die Erwärmung im
Betrieb zu nennen.
Daher war es erforderlich, neue antriebstechnische und konstruktive Konzepte zu erarbeiten,
welche diese technischen Hürden gezielt adressieren. Die hierbei neu entwickelten Antriebe
zeigen ein komplexeres dynamisches Verhalten als einfache Linearoszillatoren, sodass die Not-
wendigkeit der messtechnischen Erfassung der Läuferposition in den Fokus rückte. Schließlich
lassen sich ein robuster Betrieb und ein variables Stechverhalten nur durch den Einsatz einer
geeigneten Regelungsstruktur umsetzen. Die weiterführenden Tätigkeiten umfassten daher die
Eigenentwicklung eines in das Stechgerät integrierbaren induktiven Messsystems für die Läu-
ferposition sowie die Implementierung der Ansteuerungssoftware mitsamt Regelungsalgorith-
mus auf einer Mikrocontrollerplattform.
Die Betrachtung der Gesamtheit der Einzelentwicklungen verdeutlicht, dass mit dem Zusam-
menwirken von elektronischen, mechanischen sowie informationstechnischen Komponenten,
die teils aktorische, teils sensorischen Funktionseinheiten bilden, eine mechatronische System-
entwicklung vorliegt.
Schlussendlich entstanden Stechgeräte mit einem kompakten Steuergerät, die ihre Tauglichkeit
nicht nur unter Laborbedingungen, sondern auch im Rahmen von Anwendungstests unter Be-
weis stellten. Das zugrundeliegende Antriebsprinzip in Kombination mit der Ansteuerungs-
hard- und -software ermöglicht, dass sich sowohl der Nadelhub als auch das Stechverhalten im
laufenden Betrieb elektronisch einstellen lassen. Diese beiden Merkmale sind gegenüber dem
Stand der Technik völlig neuartig und erweitern die Gestaltungsfreiheit für die Anwenderschaft
enorm.
6
2 Stand der Technik von Stechgeräten
Abgesehen von der historischen und heute noch unter Naturvölkern verbreiteten Methode, die
auf Holz- oder Metallnadeln aufgetragene Farbe durch manuelles Einstechen oder Aufritzen in
die Haut einzutragen, lassen sich technische Verfahren nutzen, die benötigte Linearbewegung
der Nadeln durch Maschinen zu erzeugen. Die gängigsten Bauformen solcher Maschinen wer-
den als Rotary-Maschinen, bzw. als Spulen-Maschinen bezeichnet. Die Begriffe „Spulen-
Maschinen“ und „Rotary-Maschinen“ bieten zwar keine wissenschaftlich einwandfreie Eintei-
lung, da beispielsweise auch der Elektromotor in Rotary-Maschinen Spulen enthält, dennoch
werden diese Begriffe in der vorliegenden Arbeit genutzt, da sie eine Einordnung der am Markt
erhältlichen Geräte erlauben und im Anwenderkreis üblich sind.
2.1.1 Spulenmaschinen
Bei der Spulenmaschine handelt es sich um eine weit verbreitete Bauform, die aus der Abwand-
lung einer 1877 von Thomas Edison zum Patent angemeldeten Graviermaschine hervorging
[Edi77]. Zwar gab es seitdem eine Reihe von Weiterentwicklungen, das Wirkprinzip ist den-
noch das gleiche. Ein aus zwei Spulen bestehender Elektromagnet erzeugt bei Stromfluss auf
einen gelenkig gelagerten Hebel (Anker) eine Zugkraft. Der Anker wird angezogen und öffnet
dabei einen Kontakt im Stromkreis, der den Stromfluss wiederum unterbricht. Die Zugkraft
verschwindet, und der Anker wird durch eine Blattfeder zurückgestellt, dabei schließt sich der
Stromkreis wieder und der Vorgang beginnt von neuem, sodass sich eine repetierende Bewe-
gung ergibt. Nachteilig ist, dass die Unterbrechung des Stromflusses am Kontakt zu einem
Abreißfunken, zu Materialabtrag und zu erheblichen elektromagnetischen Störungen führt. Die
Nadel ist mit dem Ende des Ankers gekoppelt und führt oszillierende Linearbewegungen aus.
In der Abbildung 2-1 ist der Aufbau einer Spulenmaschine dargestellt.
Abb. 2-1 Schematischer Aufbau einer Spulenmaschine (links),
ursprünglich zum Gravieren entwickelter Stencil-Pen
von Edison [Edi77] (rechts)
7
Charakteristisch sind die exzentrisch zur Nadelachse angeordneten Spulen, die zu einer großen
radialen Baugröße führen. Anhand der Verstellung der Kontaktschraube, der Änderung der
Blattfedervorspannung sowie einer Modifikation der elektrischen Versorgungsspannung beste-
hen viele Möglichkeiten, die Stecheigenschaften nach den individuellen Bedürfnissen des
Anwenders einzustellen. Primäres Ziel ist hierbei die Variation des sogenannten „Give“. Eine
Maschine mit Give ist dadurch gekennzeichnet, dass sich der Nadelhub durch das Eindringen
in die Haut verringert. Give lässt sich somit am besten mit Nachgiebigkeit übersetzen. Eine
große Nachgiebigkeit ist besonders zum Schattieren großer Hautpartien von Vorteil, da sich
dadurch eine geringe Traumatisierung und ein schwacher Farbeintrag ergeben und somit zur
Erzeugung von Farbübergängen die gleiche Stelle mehrmals bearbeitet werden kann. Für
scharfe Linien ist es hingegen erwünscht, dass die Nadelbewegung durch das Einstechen unbe-
einflusst bleibt. Dadurch ist ein größerer Farbeintrag gewährleistet. Jede Maschine, einmal vom
erfahrenen Anwender eingestellt, bietet ein charakteristisches Verhalten mit entsprechender
Frequenz und Give. Die manuelle Einstellung der Maschine erfordert jedoch eine große Erfah-
rung und stellt für Neulinge große eine erhebliche Herausforderung dar. Daher ist eine Verän-
derung dieser Einstellungen in der Praxis unüblich. Stattdessen verwendet ein Nutzer für die
verschiedenen Farbeintragstechniken - Schattieren oder Linien zeichnen - jeweils unterschied-
liche Spulenmaschinen.
2.1.2 Rotary-Maschinen
Der Begriff Rotary bezieht sich darauf, dass diese Gruppe von Geräten mit einem konventio-
nellen Elektromotor arbeitet, dessen Rotationsbewegung in eine Linearbewegung umgewandelt
wird. Üblicherweise kommen hier bürstenbehaftete Gleichstrommotoren zum Einsatz, da sie
vergleichsweise günstig sind und keine hohen Anforderungen an die Dynamik gestellt werden.
Durch die kostengünstige industrielle Fertigung und aufgrund des geringen Verschleißes gibt
es bereits Tendenzen hin zum vermehrten Einsatz von elektronisch kommutierten Gleichstrom-
motoren. Zur Erzeugung der oszillierenden Linearbewegung bieten sich verschiedene mecha-
nische Varianten an, wobei sich zwei in der Praxis bewährt haben, zum einen die Taumelschei-
benkinematik und zum anderen der Kurbeltrieb. Beiden Varianten ist gemein, dass sie Einweg-
Nadelmodule nutzen, welche durch einen Bajonettverschluss an den Antrieb gekoppelt werden.
Ein solches, in der Abbildung 2-2 schematisch dargestelltes Nadelmodul enthält eine soge-
nannte Zugfederdichtung, die sowohl das Eindringen von Substanzen in den Antrieb verhindert
als auch durch ihre Vorspannung dafür sorgt, dass die Nadel im Nadelmodul verschwindet,
wenn dieses nicht an einen Antrieb angekoppelt ist. Damit senkt die Zugfederdichtung das Ver-
letzungsrisiko für den Anwender und ist auch aus hygienischen Gründen ein wichtiges Bauteil.
Abb. 2-2 Schematischer Aufbau eines Nadelmoduls
oben: Nadel verschwindet im Ruhezustand im Modul
unten: vorgeschobene Nadel
8
Rotary-Maschinen mit Taumelscheibenkinematik bieten einen kompakten Aufbau und ermög-
lichen die Umsetzung des Griffstücks in Stiftform. Der Nadelhub, abhängig von Taumelwinkel
und Abgriffdurchmesser der Linearbewegung, ist allerdings durch den Durchmesser des Griff-
stücks begrenzt. Daher liegt der Hauptanwendungsbereich in der kosmetischen Hautbehand-
lung des Permanent-Make-up, wo deutlich filigranere Linien gezeichnet werden, und die Na-
delmodule kleiner sind als im Tattoobereich. Weiterhin ist der größte Teil der Anwenderschaft
weiblich, weshalb ein kompakter und handlicher Aufbau in Stiftform erwünscht ist. In der Ab-
bildung 2-3 ist das Wirkprinzip der Taumelscheibe dargestellt, welche aus Taumelbuchse,
Kugellager und Außenring besteht. Die durch eine Schrägbohrung mit der Motorwelle verbun-
dene Taumelbuchse kippt bei der Rotation hin und her und überträgt diese Kippbewegung über
ein Kugellager auf den verdrehgesicherten Außenring, an welchem die Linearbewegung von
einem Stößel abgegriffen wird. Es ergibt sich eine näherungsweise sinusförmige Nadelbewe-
gung. Der Nadelhub ist hierbei durch den Anstellwinkel der Taumelscheibe und den Abstand
des Stößels von der Mittelachse fest vorgegeben und lässt sich daher nicht variieren.
Abb. 2-3 Stechgerät mit Taumelscheibenantrieb [MTA19] (oben),
Prinzipskizze eines Taumelscheibenantriebs (unten)
Andere Tätowiergeräte nutzen einen Exzenter- bzw. Kurbeltrieb zur Erzeugung der linearen
Nadelbewegung. Verglichen mit dem Taumelscheibenantrieb werden hierbei stärkere Motoren
eingesetzt, da Nadelmodule mit bis zu 27 Einzelnadeln, zudem noch mit größeren Hüben be-
wegt werden müssen, sodass eine erheblich größere Einstechkraft in die Haut erforderlich ist.
Das Prinzip eines Kurbeltriebs ist in der Abbildung 2-4 gezeigt.
Abb. 2-4 Rotary-Maschine der Marke Cheyenne nach [MTB19] (links),
Prinzipskizze einer Rotary-Maschine (rechts)
9
Der Abstand des Kurbelzapfens von der Motorachse bestimmt die Amplitude der Linearbewe-
gung, die damit ebenfalls konstruktiv festgelegt und im Betrieb nicht variabel ist.
Am Fachgebiet Mikrotechnik der TU Berlin wurde bereits ein Kurbeltrieb entwickelt, bei dem
der Nadelhub mechanisch einstellbar ist [Sch12]. Allerdings ist hierfür eine komplexe Mecha-
nik erforderlich, welche zu einer größeren bewegten Masse und damit zu stärkeren Vibrationen
sowie zu unerwünschten Geräusch- und Verschleißerscheinungen führt und das Gerät verteuert.
Bei beiden Varianten der Rotarymaschinen lässt sich die Stechfrequenz über die Drehzahl des
Elektromotors elektronisch und somit für den Bediener komfortabel steuern. Dies bietet dem
Anwender die Möglichkeit, die Maschine für die unterschiedlichen Farbeintragstechniken ge-
zielt einzustellen. Das Bewegungsprofil während einer Schwingung ist durch die Kinematik
fest vorgegeben und näherungsweise sinusförmig.
Die mechanische Umsetzung der Rotation eines Elektromotors in eine Linearbewegung ermög-
licht gut handhabbare Stechgeräte, welche weltweit zur Pigmentierung der Haut eingesetzt
werden. Diese Entwicklungen haben einen nicht unerheblichen Anteil daran, dass Tätowierun-
gen zu einem Massenphänomen geworden sind, denn erst durch die im Vergleich zur Spulen-
maschine geringeren Vibrationen lassen sich komplexe und langwierige Arbeiten durchführen.
Allerdings liegt sowohl beim Taumelscheibenantrieb als auch beim Kurbeltrieb eine Kinematik
vor, welche den Hub der Nadeln festlegt. Dies erzeugt beim Arbeiten den subjektiven Eindruck
eines „harten“ Einstechverhaltens ohne Give, welches von vielen Anwendern zum Zeichnen
präziser Linien bevorzugt wird.
Zwar ist der Nadelhub aufgrund der Kinematik konstant, bei einer Belastung durch das Einste-
chen reduziert sich jedoch die Drehzahl des Gleichstrommotors und damit die Stechfrequenz,
da der Motor üblicherweise mit einer konstanten Spannung gespeist wird. Somit ist auch bei
Rotary-Maschinen ein für die Nutzer sehr wichtiges Feedback gegeben, das jedoch anders ge-
artet ist als bei den Spulenmaschinen. Im Sinne eines gleichmäßigen Stichbilds ist es allerdings
vorzuziehen, mit einer konstanten Stechfrequenz zu arbeiten. Die in dieser Arbeit entwickelten
Antriebe ermöglichen ebendies. Außerdem verfügen sie durch eine geeignete Regelung über
die Möglichkeit, den Give stufenlos elektronisch einzustellen. Damit erweitern sie das Spekt-
rum der Nutzererfahrungen gegenüber dem Stand der Technik deutlich.
2.1.3 Andere Antriebskonzepte
Zusätzlich zu den oben vorgestellten Stechgeräten gibt es weitere Ausführungsformen, die bis-
her keine größere Verbreitung fanden. Darunter fallen Antriebe, bei denen ein Schaufelrad
durch Druckluft in Rotation versetzt wird, um diese wie bei den elektrischen Rotary-Maschinen
mittels mechanischer Übersetzung in eine Linearbewegung umzuwandeln. Die Stecheigen-
schaften sind demnach ähnlich wie bei den Rotary-Maschinen einzuschätzen, der Betrieb
erfordert jedoch einen Kompressor.
Außerdem existiert ein Stechgerät auf dem Markt, das auf Basis eines Lineardirektantriebs
funktioniert. Das Fehlen eines weichmagnetischen Rückschlusses mit ausreichender Quer-
schnittsfläche führt dazu, dass zur Generierung der Antriebskraft ein hoher Strom benötigt wird
10
und die damit einhergehende Erwärmung einen längeren Betrieb in der Hand des Anwenders
unkomfortabel bzw. unmöglich macht. [Dem12]
2.1.4 Das ELISA-Projekt
Ziel des Kooperationsprojekts zwischen dem Fachgebiet Mikrotechnik der TU Berlin und der
Firma MT.DERM GmbH war es, einen neuartigen elektromagnetischen Antrieb zu entwickeln,
der die Vorteile der Spulenmaschine mit der Ergonomie und Benutzerfreundlichkeit der Rotary-
Maschinen verbindet.
Die im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Antriebe verfügen über einen ausgeprägten Give,
der in Grenzen sogar elektronisch einstellbar ist. Damit stellen diese Instrumente bezüglich des
Stechverhaltens ein Bindeglied zwischen den Spulen- und Rotary-Maschinen dar. Es kann stu-
fenlos zwischen einem harten Stechverhalten ohne Give und einem weichen Stechverhalten mit
Give variiert werden. Der Nadelhub ist ebenfalls stufenlos einstellbar.
Zudem ist eine mechanische und verschleißbehaftete Einrichtung zur Umsetzung der Rotations-
in eine Linearbewegung überflüssig.
Spulenmaschine
Rotary-Maschine
Lineardirektantrieb
Hub einstellbar
manuell
nein
elektronisch
Frequenz einstellbar
manuell
elektronisch
elektronisch
Give einstellbar
manuell
kein Give
elektronisch
Tab. 2-1 Vergleich zwischen marktüblichen Stechgeräten und der angestrebten Entwicklung
Obwohl mit dem stufenlos einstellbaren Hub und variablen Give zwei Freiheitsgrade zur Ver-
fügung stehen, um das subjektiv empfundene Einstechverhalten zu beeinflussen, geht beim re-
sonant arbeitenden Lineardirektantrieb die Stechfrequenz als Einstellmöglichkeit weitestge-
hend verloren. Die Schwingungsfrequenz lässt sich zwar elektronisch vorgeben, ein effizienter
Betrieb ist jedoch nur im Bereich der Resonanzfrequenz möglich. Dieses Problem wird mit dem
in Kapitel 4.2 beschriebenen Magnetfederantrieb behoben, da die gezielte Nutzung der nichtli-
nearen Kennlinie der Magnetfeder eine mechanische Einstellung der Resonanzfrequenz zulässt.
Die Verwendung eines Linearantriebs ermöglicht gleichzeitig die Gestaltung eines Stechgeräts
in ergonomischer und kompakter Stiftform.
Anwendertests waren ebenfalls ein Bestandteil des Projekts, um die erreichten Ergebnisse kri-
tisch einschätzen zu können. Außerdem lassen sich frühzeitig im Entwicklungsprozess Nutzer-
präferenzen ermitteln und vor Einführung eines Serienprodukts berücksichtigen. Die Anwen-
dungstests wurden durch den industriellen Kooperationspartner betreut.
Die Entwicklung eines neuartigen Stechgeräts bringt, abgesehen von den rein technischen Hür-
den, einige weitere Herausforderungen mit sich. Für den Entwickler ist es oft nicht ohne
weiteres möglich, die sehr subjektiven Nutzerwünsche in spezifische technische Anforderun-
gen zu überführen. So definiert beispielsweise der Nutzer das Stechverhalten oftmals eher nach
dem Gefühl, welches ihm die Maschine in seiner Hand vermittelt, als nach technisch quantifi-
zierbaren Größen wie Nadelhub oder Stechfrequenz. In einem iterativen Arbeitsprozess, dessen
11
Beherrschung viel Erfahrung erfordert, wird das Stechergebnis ständig kontrolliert. So werden
kurze Einstechphasen in die Haut stets von längeren Phasen unterbrochen, in denen sich der
Antrieb im Leerlauf befindet. Auch für die Anwender selbst ist mit der Nutzung des neuen
Antriebsprinzips ein Lern- und Gewöhnungsprozess verbunden. Sie müssen während des prak-
tischen Einsatzes des Geräts Erfahrungen sammeln, mit welchen Einstellungen sie gute
Arbeitsergebnisse erzielen und eventuell Anpassungen an ihrer Arbeitsweise vornehmen.
Die in Kapitel 4 beschriebene Entwicklung geeigneter Aktorvarianten stellt zwar einen Schwer-
punkt der vorliegenden Arbeit dar, für die Erarbeitung eines am Markt konkurrenzfähigen
Produkts ist jedoch von technischer Seite das gesamte, über den eigentlichen Antrieb hinaus-
gehende mechatronische System zu betrachten. So ist für den zuverlässigen Betrieb als Stech-
gerät der Entwurf einer geeigneten Regelungsstruktur erforderlich (siehe Abschnitt 6.3). Erst
diese ermöglicht eine gezielte Variation des Stechverhaltens, die ein wichtiges Alleinstellungs-
merkmal gegenüber dem Stand der Technik darstellt. Gleichzeitig erfordert die Regelung eine
messtechnische Erfassung der Läuferposition, die durch das im Kapitel 5 beschriebene, inte-
grierte Sensormodul bereitgestellt wird. Unabhängig davon wurde für einen gesteuerten Betrieb
zudem ein Verfahren entwickelt, die Effizienz eines gegebenen Antriebs anhand spezieller, von
der Sinusform abweichender Spannungssignale zu optimieren (Abschnitt 6.1). Das Steuergerät
besteht aus den Funktionseinheiten Leistungs- und Mikrocontrollerelektronik (vgl. Ab-
schnitt 6.4). Es ist mit einer den Regelalgorithmus beinhaltenden Software zur Ansteuerung des
Antriebs ausgestattet (siehe Abschnitt 6.4.4).
12
3 Grundlagen resonanter elektromagnetischer Linearantriebe
3.1 Magnetismus
Für das Verständnis der in dieser Arbeit entwickelten Linearantriebe sind elektromagnetische
Grundlagen unabdinglich. So basiert die Krafterzeugung auf den elektromagnetischen Effekten
Lorentz- und Reluktanzkraft, ebenso sind Wirbelstrom- oder Hystereseverluste nur anhand des
Induktionsgesetzes bzw. des Aufbaus ferromagnetischer Werkstoffe zu verstehen.
Grundlage des Elektromagnetismus bilden die Maxwell’schen Gleichungen, welche die Zu-
sammenhänge der elektrischen und magnetischen Feldgrößen beschreiben. Das elektrische Feld
lässt sich durch die elektrische Feldstärke
E
sowie die elektrische Flussdichte
D
charakteri-
sieren, das magnetische Feld durch die magnetische Feldstärke
H
und die magnetische
Flussdichte
B
. Die differentielle Formulierung der vier Feldgleichungen lautet [MRK17]:
= D
(3-1)
0 =B
(3-2)
t
= +
D
Hj
(3-3)
t
= −
B
E
(3-4)
Dabei ist
die elektrische Ladungsdichte und
j
die elektrische Stromdichte. In dieser Arbeit
wird von der magnetoquasistatischen Vereinfachung ausgegangen, bei der man Phänomene wie
elektromagnetische Wellen und elektrische Diffusionseffekte vernachlässigt, sodass bei den
hier betrachteten Vorgängen elektrische Ladungen keine Rolle spielen. Dementsprechend sind
nur die letzten drei Gleichungen von Belang und in der Gleichung (3-3) kann die zeitliche Än-
derung der elektrischen Flussdichte vernachlässigt werden. Die Gleichung (3-2) konstatiert die
Abwesenheit magnetischer Monopole, also lokaler Quellen des Magnetfelds. Vielmehr sind
nach der Gleichung (3-3) elektrische Ströme als Ursache magnetischer Felder zu sehen. Die
Gleichung (3-4) schließlich wird als Induktionsgesetz bezeichnet und beschreibt die Erzeugung
elektrischer Felder aufgrund sich zeitlich ändernder Magnetfelder, wie sie beispielsweise in
elektrischen Generatoren genutzt wird und auch bei der Entwicklung der in dieser Arbeit be-
schriebenen Linearaktoren als Induktionsspannung zu berücksichtigen ist.
3.1.1 Werkstoffeigenschaften
Die beiden magnetischen Feldgrößen Feldstärke
H
und Flussdichte
B
sind nicht unabhängig
voneinander, sondern stehen über die Werkstoffeigenschaft der Permeabilität µ in Beziehung.
Die magnetische Flussdichte ist eine Funktion der Feldstärke [Mar12],
( )
= B H H
(3-5)
die bei vielen Werkstoffen in erster Näherung als linearer Zusammenhang angenommen werden
kann,
0r
= BH
, wobei sich die relative Permeabilität
r
meist nur wenig von Eins unter-
scheidet.
13
Für die Gestaltung technischer magnetischer Kreise sind vor allem ferromagnetische Werk-
stoffe relevant, welche sich durch eine starke Wechselwirkung mit dem magnetischen Feld aus-
zeichnen. Ihre Permeabilität
r
ist deutlich größer als die des Vakuums. Bei den ferromagne-
tischen Materialien richten sich die magnetischen Momente der Atome in den Weiss’schen
Bezirken parallel zueinander aus. Im Grundzustand sind die Magnetisierungsrichtungen der
Bezirke statistisch gleichmäßig verteilt, sodass makroskopisch kein resultierendes Feld zu be-
obachten ist. Werden sie einem äußeren Feld ausgesetzt, richten sich die magnetisierten Berei-
che danach aus und verstärken auf diese Weise die Wirkung des Felds. Die Ausrichtung bleibt
teilweise auch nach einem Wegfall des äußeren Felds erhalten, man spricht von Restmagneti-
sierung oder Remanenz.
Dieses nichtlineare und hysteresebehaftete Verhalten ferromagnetischer Werkstoffe lässt sich
durch ihre BH-Kurve beschreiben, die qualitativ in der Abbildung 3-1 dargestellt ist. Je nach
Breite der Hysterese, also der Größe der Koerzitivfeldstärke
C
H
, werden die Werkstoffgruppen
weichmagnetische und hartmagnetische Stoffe unterschieden. Während weichmagnetische
Werkstoffe ihre Magnetisierungsrichtung bei einer Richtungsumkehr des äußeren Felds auf-
grund der geringen Koerzitivfeldstärke in der Größenordnung von einigen A/m leicht ändern,
bleibt diese bei hartmagnetischen Werkstoffen größtenteils erhalten. Dementsprechend nutzt
man weichmagnetische Werkstoffe zur Führung des Magnetfelds in einem technischen Mag-
netkreis, während hartmagnetische Werkstoffe mit Koerzitivfeldstärken von mehreren hundert
kA/m zur Herstellung magnetfelderzeugender Komponenten zum Einsatz kommen.
Abb. 3-1 Exemplarische Hysteresekurve eines ferromagnetischen Werkstoffs
Bei dem Einsatz weichmagnetischer Werkstoffe in einem magnetischen Kreis führt das Anle-
gen eines äußeren Felds
H
zur Aufmagnetisierung, wodurch sich ein Arbeitspunkt im ersten
Quadranten der BH-Kurve einstellt. Für hartmagnetische Werkstoffe in der technischen An-
wendung ist vorwiegend der zweite Quadrant von Bedeutung. Die magnetische Feldstärke und
Flussdichte sind bei Hartmagneten mit offenen Polen entgegengesetzt gerichtet. Moderne Per-
manentmagnetwerkstoffe aus Neodym-Eisen-Bor-Legierungen zeichnen sich in diesem Be-
reich durch eine weitgehend lineare BH-Kennlinie aus, die sogenannte Entmagnetisierungs-
kennlinie. Die relative Permeabilität dieser Werkstoffe liegt im Bereich von Eins, sodass für
die Flussdichte innerhalb des Permanentmagneten näherungsweise
( )
R0
B H B H= +
(3-6)
gilt [Mar12].
B
BR
BS
14
Allen ferromagnetischen Werkstoffen ist gemein, dass ab einer bestimmten Stärke des äußeren
Felds die Ausrichtung der magnetisierten Bereiche vollständig mit der Richtung des äußeren
Felds übereinstimmt. Dieser Zustand wird als Sättigung bezeichnet. Bei der Auswahl weich-
magnetischer Werkstoffe spielt die Größe der Sättigungsinduktion
S
B
eine entscheidende Rol-
le, da hierdurch die erforderliche Menge des Materials und der Querschnitt der magnetischen
Komponente zur Führung eines bestimmten magnetischen Flusses bestimmt wird. So ist gerade
bei Anwendungen mit stark begrenztem Bauraum der Einsatz von Werkstoffen mit großer Sät-
tigungsinduktion gerechtfertigt.
Neben den statischen Kenngrößen Koerzitivfeldstärke
C
H
und Remanenz
R
B
sowie der Sätti-
gungsinduktion
S
B
liefert auch die elektrische Leitfähigkeit weichmagnetischer Werkstoffe ein
Auswahlkriterium für Anwendungen mit magnetischen Wechselfeldern, da bei dynamischen
Vorgängen mit Wirbelströmen zu rechnen ist. Nach dem Induktionsgesetz (3-4) verursacht die
zeitliche Änderung eines Magnetfelds ein elektrisches Feld. Wirbelströme entstehen demnach
innerhalb elektrisch leitfähiger Materialien, welche von einem zeitlich veränderlichen Magnet-
feld durchsetzt sind. Sie bilden auf der einen Seite die Grundlage für einige technische Anwen-
dungen, wie Wirbelstrom-, Ferrarissensoren oder Wirbelstrombremsen, sind jedoch in magne-
tischen Kreisen aufgrund der feldschwächenden Wirkung und den mit ihnen einhergehenden
Verlusten oft unerwünscht. Sie lassen sich durch verschiedene Einzelmaßnahmen oder deren
Kombination reduzieren. Diese umfassen den Einsatz spezieller Werkstoffe mit erhöhtem spe-
zifischen elektrischen Widerstand
el
sowie die geometrische Gestaltung der flussführenden
Komponenten.
Beispiele für weichmagnetische Werkstoffe mit erhöhtem spezifischen elektrischen Widerstand
sind Silizium-Eisen-Legierungen oder Pulververbundwerkstoffe (Soft Magnetic Composites).
Der exemplarische Vergleich ausgewählter elektrischer und magnetischer Eigenschaften von
weichmagnetischen Werkstoffen in der Tabelle 3-1 zeigt, dass sich diese Verbundwerkstoffe
durch einen gegenüber Eisenlegierungen um mehrere Größenordnungen erhöhten spezifischen
elektrischen Widerstand auszeichnen und damit zur Führung magnetischer Wechselfelder sehr
gut geeignet sind. Allerdings müssen durch die Herstellungsform bedingt nachteilige mechani-
sche Eigenschaften in Kauf genommen werden, so ist die spanende Bearbeitung nur einge-
schränkt möglich. Filigrane Strukturen lassen sich nicht fertigen, bzw. sie sind mechanisch
nicht besonders widerstandsfähig.
Werkstoff
ρel in µΩm
HC in A/m
Bs in T
µr,max
Permenorm 5000 H2
0,45
5
1,55
120.000
Somaloy 700HR 5P
700
120
2,09
600
Vacoflux 50
0,44
140
2,35
20.000
Reineisen (Vacofer)
0,1
6
2,15
40.000
Tab. 3-1 Vergleich einiger elektrischer und magnetischer Eigenschaften
weichmagnetischer Werkstoffe [Vac02], [Hög16]
15
Die Kobalt-Eisen- bzw. Nickel-Eisen-Legierungen weisen im Vergleich mit Reineisen einen
um den Faktor vier erhöhten spezifischen elektrischen Widerstand auf, was ebenfalls zur Ver-
ringerung der Wirbelströme beiträgt.
Eine beispielhafte FEM-Rechnung mit dem Softwarepaket Ansys Maxwell verdeutlicht die
Entstehung von Wirbelströmen bei zeitlich veränderlichem Magnetfeld. Als Modellgeometrie
wird in Anlehnung an einen lorentzkraftbetriebenen Linearantrieb ein weichmagnetisches Rohr
aus Baustahl betrachtet, durch welches sich ein zylindrischer, axial magnetisierter Permanent-
magnet mit der Geschwindigkeit von zwei Metern pro Sekunde bewegt. Die Bereiche des Roh-
res, in denen das Magnetfeld der Permanentmagnetpole ein- bzw. austritt, sind die Orte mit der
stärksten zeitlichen Feldänderung. Dementsprechend wird an diesen Stellen ein elektrisches
Feld erzeugt, welches zu Wirbelströmen in Umfangsrichtung führt. Diese Wirbelströme verur-
sachen ein Magnetfeld mit umgekehrter Orientierung zu dem Feld des Permanentmagneten,
siehe Abbildung 3-2. Zum einen erzeugen die Wirbelströme Ohm’sche Verluste, zum anderen
wirkt der Bewegung des Permanentmagneten (PM) durch das entgegengesetzt gerichtete Mag-
netfeld eine Kraft entgegen.
Abb. 3-2 FEM-Berechnung zur Entstehung von Wirbelströmen durch einen bewegten PM,
oben: PM in Ruhe, die Rohrwandung wirkt als Rückflussjoch,
unten: der bewegte PM erzeugt Wirbelströme
Die Ausbildung der Wirbelströme wird in Transformatoren oder Elektromotoren üblicherweise
durch die Verwendung geblechten Materials zur Unterbrechung der Strompfade eingeschränkt.
Für die vorliegende Geometrie wäre eine Blechung in Umfangsrichtung erforderlich, was eine
fertigungstechnische Herausforderung darstellt.
Als Kompromiss eignet sich das Einfräsen von Schlitzen in axialer Richtung. Dies wirkt sich
kaum auf den flussführenden Querschnitt aus und unterbricht dennoch wirkungsvoll die in Um-
fangsrichtung verlaufenden Strompfade. Eine 3D-FEM-Berechnung zeigt die entstehenden
Strompfade bei der Einbringung von vier isolierenden Schlitzen in ein weichmagnetisches
Rohr, siehe Abbildung 3-3. Dargestellt ist der Übersichtlichkeit halber nur ein Viertel des
Rohrs. Der Betrag der Stromdichte ist im geschlitzten Rohr (unteres Bild) deutlich kleiner, so-
dass sich die Ohm’sche Verlustleistung im Vergleich zum Vollrohr (mittleres Bild) um etwa
50 Prozent reduziert.
16
Abb. 3-3 3D-FEM-Berechnung zur Ausbildung von Wirbelströmen in einem Rohr
oben: bewegter Permanentmagnet in einem Stahlrohr
Mitte: die Bewegung erzeugt Wirbelströme
unten: Reduktion der Wirbelströme durch Längsschlitzung des Rohrs
17
3.2 Mechanismen der Krafterzeugung
Zur Erzeugung der oszillierenden Bewegung des Antriebsläufers muss auf diesen eine Kraft
wirken. Bei den im Rahmen dieser Arbeit untersuchten Linearantrieben werden die Kraftwir-
kungen der Lorentz- sowie der Reluktanzkraft genutzt.
3.2.1 Lorentzkraft
Die Lorentzkraft
L
F
wirkt auf bewegte Ladungsträger im Magnetfeld. In stromdurchflossenen
Leitern, die sich innerhalb eines magnetischen Feldes
B
befinden, lässt sie sich nach
L dV=
F j B
(3-7)
aus der Stromdichte
j
berechnen [Sch03]. Sie wirkt demnach in den betrachteten Antrieben auf
Spulen, die vom magnetischen Feld durchsetzt sind. Wird das Magnetfeld durch einen beweg-
lichen Dauermagneten erzeugt, wirkt auf diesen eine entsprechende Kraft gleichen Betrags und
entgegengesetzter Richtung. Somit sind sowohl Antriebe denkbar, bei denen die Spule bewegt
wird (Voice-Coil-Prinzip bei Lautsprechern), als auch solche, bei denen sich ein Permanent-
magnet bewegt.
Die Lorentzkraft wird zur Anregung der Läuferbewegung in den Antrieben genutzt, die in den-
Kapiteln 4.1.1, 4.1.2, 4.2 und 4.3 vorgestellt werden.
Für einen einfachen zylindrischen Linearantrieb, wie er in der Abbildung 3-4 dargestellt ist,
lässt sich das Magnetfeld, welches die Spulen durchsetzt, näherungsweise berechnen. Die Ge-
ometrie des magnetischen Kreises wird durch die Länge
m
l
und den Radius
m
r
des Permanent-
magneten, die Länge der weichmagnetischen Polschuhe
p
l
, den Innen- und Außenradius der
Spulen
s1
r
bzw.
s2
r
sowie den Außendurchmesser des Rückschlussrohres
a
r
festgelegt. An den
weichmagnetischen Polschuhen tritt das Magnetfeld des Permanentmagneten in den Luftspalt
und definiert durch die Spulen.
Abb. 3-4 Lorentzkraftantrieb mit radialem Luftspaltfeld
Bei der Berechnung werden die magnetischen Widerstände im Bereich der Polschuhe und des
Rückschlusses ebenso vernachlässigt wie Streuflüsse, und die Entmagnetisierungskennlinie des
Permanentmagneten wird nach der Gleichung (3-6) als linear angenommen. Das radial verlau-
fende Luftspaltfeld lässt sich nur bei kleinen Luftspalten als konstant betrachten, bei größeren
Luftspalten ergibt sich aus dem Durchflutungssatz ein nach außen hin abnehmendes Feld (siehe
Anhang 10.1):
18
( )
2
mR
L2
s2
m
p
mm
rB
1
Br 2r r
r
l ln
lr
=
+
(3-8)
Die Lorentzkraft muss in diesem Fall durch Integration mit
S2
S1
r
L eff p L
r
F 2 j l B (r) dr=
(3-9)
bestimmt werden, wobei
eff
j
die effektive Stromdichte in der Spule ist. Diese ergibt sich aus
der Durchflutung und der Querschnittsfläche
q
A
nach
eff
q
NI
jA
=
(3-10)
3.2.2 Reluktanzkraft
Die Reluktanzkraft wirkt an den Grenzflächen zwischen Werkstoffen unterschiedlicher Perme-
abilität. Technisch interessant ist hierbei in erster Linie der Fall einer Grenzfläche zwischen
einem weichmagnetischen Werkstoff mit
r
µ1
und Luft. Ist das magnetische Feld
B
homo-
gen und verläuft senkrecht zur Grenzfläche
A
, so lässt sich die Reluktanzkraft aus der Max-
well’schen Zugkraftformel
2
0
BA
F2µ
=
(3-11)
berechnen [Kal12]. Sie wirkt stets in Richtung des Materials mit geringerer Permeabilität (üb-
licherweise Luft) und damit luftspaltverkleinernd.
Im Luftspalt des in der Abbildung 3-5 dargestellten magnetischen Kreises herrscht nach dem
Durchflutungssatz eine magnetische Flussdichte von
L0
Fe
r,Fe
NI
Bµlx
µ
=
+
(3-12)
Demnach wirkt auf das bewegliche Weicheisenstück die Reluktanzkraft
( )
2
0
Rel 2
Fe
r,Fe
A N I
µ
F2lx
µ
=
+
(3-13)
19
Abb. 3-5 Magnetischer Kreis mit Spule
Insbesondere für sehr kleine Luftspaltlängen
x
bzw. große Ströme
I
kommt im Weicheisen
der Sättigungseffekt zum Tragen, sodass die analytische Formel (3-13) keine hinreichende Nä-
herung mehr darstellt. Es ist an dieser Stelle hervorzuheben, dass sich durch die quadratische
Abhängigkeit der Reluktanzkraft vom Strom sehr große Kräfte erzeugen lassen. Allerdings ist,
bedingt durch die stark nichtlineare Wegabhängigkeit der Reluktanzkraft, besonderes Augen-
merk auf die Gestaltung des magnetischen Kreises zu legen, um sie für große Auslenkungen zu
nutzen. Darüber hinaus wachsen durch die Nichtlinearität die Anforderungen an Steuerungs-
bzw. Regelungsalgorithmen, um ein ruhiges und stabiles Laufverhalten des Aktors zu errei-
chen.
3.2.3 Berechnung mittels integraler Magnetkreisgrößen
Bei Vernachlässigung der Verluste in einem elektromagnetischen System trägt die eingebrachte
elektrische Energie zur Erhöhung der magnetischen Feldenergie bei und erzeugt eine Kraftwir-
kung auf den Läufer [BN97]. Die Betrachtung einer Zeiteinheit
dt
führt somit zu
im
mechanische Arbeit magnetische Feldenergie
elektrische Energie
u i dt F dx dW = +
(3-14)
Die elektrische Spannung
i
u
lässt sich aus dem Induktionsgesetz und der magnetischen Fluss-
verkettung
i
d
udt
=
(3-15)
ermitteln, sodass sich die Gleichung (3-14) als
m
F dx dW i d 0 + − =
(3-16)
schreiben lässt. Werden der Strom
i
und die Läuferposition
x
als unabhängige Variablen be-
trachtet, folgt nach Einsetzen der totalen Differentiale
20
mm
m
WW
dW dx di
xi
= +
(3-17)
und
d dx di
xi
= +
(3-18)
in die Energiebilanz (3-14)
mm
WW
F i dx i di 0
x x i i
+ − + − =
(3-19)
Da die infinitesimalen Änderungen
dx
und
di
unabhängig voneinander sind, müssen beide
Klammerausdrücke verschwinden. Daher ergibt sich für die auf den Läufer wirkende Kraft
( ) ( ) ( )
m
W x,i x,i
F x,i i
xx
= − +
(3-20)
Die beiden Kennlinienfelder
( )
m
W x,i
und
( )
x,i
können auf analytischem Weg abgeschätzt
oder durch eine numerische Feldberechnung ermittelt werden. Eine geeignetere Darstellung zur
Berechnung der Kraft wird aus der Einführung der Co-Energie [Kal12]
( ) ( )
i
0
W x,i x,i di
=
(3-21)
gewonnen, mit der sich
( ) ( )
W x,i
F x,i x
=
(3-22)
ergibt [BN97]. Für die induzierte Spannung
i
u
lässt sich aus der Gleichung (3-21)
( ) ( ) ( ) ( )
22
i2
d x,i W x,i W x,i W x,i
d di dx
udt dt i i dt i x dt
= = = +
(3-23)
ableiten. Damit ist die Kraft als mechanische Wirkung und die induzierte Spannung als elektri-
sche Wirkung in Abhängigkeit von der Co-Energie charakterisiert. Die Formeln (3-22) und
(3-23) bilden die Grundlage für alle Antriebsmodelle, die in dieser Arbeit genutzt werden. Je
nach dem Typ des Antriebs ergeben sich jedoch verschiedene Vereinfachungen. So ist bei ge-
eigneter geometrischer Auslegung des magnetischen Kreises davon auszugehen, dass die
flussführenden weichmagnetischen Komponenten nicht in Sättigung gehen. Die Flussverket-
tung
( )
x,i
hängt dann über die Induktivität
L
linear vom Strom
i
ab, wobei unter Umständen
noch ein Flussanteil durch Permanentmagnete
( )
PM x
auftritt:
( ) ( ) ( ) ( )
*
PM
W x,i
x,i x L x i
i
= = +
(3-24)
Bei den Antrieben in den Kapiteln 4.1.1, 4.1.2, 4.1.4 und 4.3 ist die Induktivität
L
unabhängig
von der Läuferposition, sodass sich die Gleichung (3-23) zu
( ) ( )
PM
i
x
di dx di dx
u L L k x
dt x dt dt dt
= + = +
(3-25)
21
vereinfacht. Die von der Läuferposition abhängige Funktion
( )
kx
bezeichnet die Motorkon-
stante, die tatsächlich nur dann konstant ist, sofern die Flussverkettung aufgrund des Perma-
nentmagneten linear von der Läuferposition abhängt. Bei geeigneter Ausführung der Spulen
und des Permanentmagneten lässt sich ebendies erzielen.
3.3 Mechanismen zur Läuferrückstellung
Die betrachteten elektromagnetischen Linearantriebe verfügen über Vorrichtungen zur Rück-
stellung des Antriebsläufers in die Mittelposition. Ohne solche Rückstellmechanismen ist im
stromlosen Zustand keine definierte Läuferruheposition gewährleistet.
Außerdem ist für eine energieeffiziente Erzeugung der oszillierenden Läuferbewegung die Nut-
zung der Resonanz unabdinglich. Damit die Bewegungsenergie des Läufers innerhalb einer
Schwingungsperiode nicht vollständig zu- und wieder abgeführt werden muss, kommen Federn
als Energiespeicher innerhalb des Aktors zum Einsatz, die bei einer Läuferauslenkung eine Ge-
genkraft erzeugen.
Die Belastung einer Feder mit einer Kraft
F
führt zu deren Längenänderung um einen bestimm-
ten Weg
x
. Die Federkennlinie beschreibt dieses Kraft-Weg-Verhalten einer Feder und wird
somit zur Charakterisierung herangezogen. Es lassen sich grundsätzlich drei verschiedene Fe-
dercharakteristiken unterscheiden, die man durch lineare, progressive oder degressive
Kennlinien beschreiben kann. Während lineare Federn einen proportionalen Zusammenhang
zwischen der wirkenden Kraft und dem Federweg und somit eine konstante Federsteifigkeit
c
aufweisen, hängt bei nichtlinearen Federn die Steifigkeit von der Verformung ab. Progressive
Federn haben eine mit der Verformung zunehmende Federsteifigkeit, während degressive Fe-
dern mit zunehmender Verformung weicher werden. Die unterschiedlichen Kennlinien sind
schematisch in der Abbildung 3-6 dargestellt, wobei die Federkraft stets entgegen der Auslen-
kung gerichtet ist.
Abb. 3-6 Lineare, progressive und degressive Federcharakteristiken
Wird die Feder wie im vorliegenden Anwendungsfall als Rückstelleinrichtung (zur Ermögli-
chung der Resonanz) eingesetzt, ergeben sich aus dem nichtlinearen Federverhalten einige
Besonderheiten für die Schwingungseigenschaften, auf die im Kapitel 4.2 näher eingegangen
wird.
22
Bei der Verformung einer Feder wird potenzielle Energie in der Feder gespeichert. Diese auch
Federungsarbeit genannte Größe entspricht der unter der Federkennlinie liegenden Fläche und
steht bei der Entlastung unter Vernachlässigung von Verlusten wieder zur Verfügung. Reale
Federn sind allerdings verlustbehaftet, sodass sich bei der Be- und Entlastung unterschiedliche
Federungsarbeiten ergeben, siehe Abbildung 3-7.
Abb. 3-7 Hysterese bei Federn, nach [WJV17]
3.3.1 Mechanische Federn
Mechanische Federn stehen in unterschiedlichsten Bauformen zur Verfügung. Für die vorlie-
gende Anwendung eignen sich Schraubenfedern aufgrund ihres recht großen Federwegs bei
kompaktem Bauraum und den geringen Verlusten im Vergleich mit reibungsbehafteten Federn
wie Ring- oder Tellerfedern.
Durch die Nutzung mechanischer Anschläge lassen sich zwar auch progressive oder degressive
Federkennlinien erzeugen. Allerdings ist hierbei besonders bei den hohen geforderten Betriebs-
frequenzen mit erhöhtem Verschleiß, reduzierter Lebensdauer und zusätzlichen Verlusten zu
rechnen [WJV17].
Daher werden in dieser Arbeit für die meisten resonanten Linearantriebe Schraubenfedern in
Druckfederausführung mit linearer Charakteristik eingesetzt. Damit sie sich auch im Betrieb
durchgängig druckbeanspruchen lassen, müssen sie vorgespannt sein.
3.3.2 Magnetische Federn
Magnetische Federn beruhen auf der anziehenden bzw. abstoßenden Wirkung von Permanent-
magneten und stellen für die Rückstellung des Läufers in einem resonant arbeitenden
Linearantrieb eine interessante Alternative zu konventionellen mechanischen Federn dar, da
ihre nichtlineare Kennlinie gezielt zur Einstellung der Federsteifigkeit genutzt werden kann.
Somit ermöglichen sie die Einstellung der Resonanzfrequenz eines Schwingaktors und damit
einen effizienten Betrieb in einem breiten Frequenzbereich.
Zur Erzeugung einer rückstellenden Kraft ist der einfachste denkbare Aufbau in der Abbil-
dung 3-8 dargestellt. Zwei feststehende Permanentmagneten üben hierbei eine abstoßende
Kraft auf einen zwischen ihnen beweglichen Permanentmagneten aus und stellen diesen
23
dadurch in die Mittelposition zurück. Bei einer Auslenkung des mittleren Magneten in die
x
-Richtung erfährt dieser eine entgegengesetzte Kraft, die in erster Näherung proportional zur
Auslenkung ist.
Abb. 3-8 Magnetische Feder aus drei zylindrischen Permanentmagneten
Zur analytischen Abschätzung der durch die in der Abbildung 3-8 dargestellten Anordnung ent-
stehenden Federsteifigkeit lassen sich die Permanentmagnete als magnetische Dipole betrach-
ten. Diese vereinfachte Anschauung stellt eine gute Näherung dar, falls die Abstände der Mag-
nete groß gegenüber deren Abmaßen sind. Für den betrachteten Anwendungsfall eignet sie sich
nur zur Vorauslegung der Magnete. Deren genaue Abmaße lassen sich durch numerische Feld-
berechnungen festlegen. Die Kraft zwischen zwei im Abstand
x
zueinander befindlichen mag-
netischen Dipolen mit dem Dipolmoment
m
ergibt sich nach [YLV98] zu:
( )
2
0
Dipol 4
3m
Fx2x
=
(3-26)
Das magnetische Dipolmoment
m
resultiert hierbei aus der Magnetisierung
M
des Werkstoffs
und dem Volumen
V
des Magneten:
m M V=
(3-27)
Dementsprechend ergibt sich die resultierende auf den beweglichen Magneten in der Abbil-
dung 3-8 wirkende Kraft aus
( ) ( ) ( )
res Dipol Dipol
F x F b x F b x= + − −
(3-28)
Dieser Kraftverlauf ist zwar nichtlinear, kann jedoch um die symmetrische Mittellage
x0=
linearisiert werden. Für kleine Auslenkungen verhält sich die Feder linear, die Federsteifigkeit
lässt sich über den Anstieg der Kraft-Weg-Kennlinie berechnen:
( )
res
0
x0
dF x
cdx =
=−
(3-29)
Aus den Formeln (3-26), (3-28) und (3-29) folgt für die Federsteifigkeit:
22
0
05
12 MV
cb
=
(3-30)
Die Abhängigkeit der Steifigkeit vom Abstand der beiden feststehenden Magnete
2b
ist un-
mittelbar zu erkennen und stellt eine einfache Eingriffsmöglichkeit zur Veränderung der Stei-
figkeit und damit der Resonanzfrequenz eines Schwingantriebs dar. Die Gleichung (3-30) gilt
zwar nur für Abstände zwischen den Magneten, die groß gegenüber deren Abmessungen sind,
ist jedoch ein nützlicher Ausgangspunkt für numerische Feldberechnungen zur genaueren Aus-
legung einer magnetischen Feder. Die Abbildung 3-9 zeigt das Ergebnis einer numerischen
24
Feldberechnung mit dem FE-Programm Ansys Maxwell, wobei sich die resultierende Kraft
res
F
auf den beweglichen Magneten durch Addition der beiden von den Statormagneten ausgeübten
Kräften
1
F
und
2
F
ergibt.
Abb. 3-9 Progressiver Kraft-Weg-Verlauf für eine Magnetfeder
Bei dem Aufbau entsprechend der Abbildung 3-8 liegt eine progressive Kraft-Weg-Kennlinie
vor. Durch gezielte magnetische Auslegung unter Verwendung weichmagnetischer Werkstoffe
lassen sich allerdings auch degressive Kennlinien erzeugen.
Eine Verschiebung eines oder beider äußeren Magnete führt zur Veränderung der Federsteifig-
keit. Auf diese Weise lässt sich die Resonanzfrequenz eines Schwingantriebs gezielt beeinflus-
sen, was einen effizienten Betrieb mit großen Schwingungsamplituden in einem weiten Fre-
quenzbereich ermöglicht. Für die in der Abbildung 3-8 dargestellte Anordnung mit drei Mag-
neten ergibt sich bei einer Auslenkung
x
des Mittleren aus der Mittelposition eine resultierende
Kraft
( )
res
Fx
, die sich aus einer nach rechts wirkenden Kraft
( )
1
Fx
des linken äußeren Mag-
neten und einer nach links wirkenden Kraft
( )
2
Fx
des rechten äußeren Magneten zusammen-
setzt. Die resultierende Kraft-Weg-Kennlinie ist in Rot dargestellt, siehe Abbildung 3-10. Wird
der Abstand der äußeren Magnete verringert, so verschieben sich die beiden erzeugenden Kenn-
linien
( )
1
Fx
und
( )
2
Fx
, die resultierende Kennlinie wird steiler, wie in der Abbildung 3-10
gezeigt. Der Anstieg der resultierenden Kennlinie
( )
res
Fx
entspricht der Federsteifigkeit der
Magnetfeder.
25
Abb. 3-10 Veränderung der Federsteifigkeit einer Magnetfeder
bei Verschiebung der beiden äußeren Magnete
Die Nichtlinearität der Kraft-Weg-Kennlinie führt außerdem dazu, dass die effektive Steifigkeit
und damit die Resonanzfrequenz des Antriebs vom Hub abhängt. Für größere Hübe ergeben
sich bei progressiver Federkennlinie höhere Resonanzfrequenzen, bei degressiver Kennlinie
sinkt hingegen die Resonanzfrequenz. Prinzipiell ist dadurch die Erweiterung des nutzbaren
Frequenzbereichs also denkbar, allerdings ist eine unabhängige Einstellung von Hub und Fre-
quenz nicht möglich, was einem praktischen Einsatz entgegensteht.
Ein entscheidender Vorteil von magnetischen Federn gegenüber metallischen Federn in der
vorliegenden Anwendung ist ihre Verschleißfestigkeit. Im Gegensatz zu mechanischen Federn
wie Schraubenfedern, bei denen eine Führung in Form einer Hülse bzw. eines Dorns erforder-
lich ist, tritt mechanischer Verschleiß hier nur in der Lagerung des beweglichen Magneten auf.
Insbesondere in Bezug auf die immense Zyklenzahl, die sich beim Betrieb der betrachteten
resonanten Linearantriebe ergibt, ist dieser Punkt von entscheidender Bedeutung für die Dau-
erfestigkeit.
Für Federn wird zur Auslegung auf Dauerfestigkeit üblicherweise von einer Zyklenzahl von
7
N 10=
ausgegangen [DIN13]. Bei einer Schwingungsfrequenz von 100 Hz ist diese bereits
nach ca. 28 Betriebsstunden erreicht. Tatsächlich zeigte sich in den experimentellen Untersu-
chungen, dass die unzureichende Festigkeit der Federn eine Hauptursache für das Ausfallen der
Schwingantriebe darstellt.
Die vorgestellte magnetische Feder hat allerdings den Nachteil, dass der maximal erreichbare
Hub und die Steifigkeit nicht unabhängig voneinander sind. Um einen großen Hub zu ermögli-
chen, müssen die Statormagnete recht weit auseinanderliegen, was die Steifigkeit unweigerlich
begrenzt.
26
4 Entwicklung der Antriebseinheit
4.1 Vorstudien
In einer Machbarkeitsstudie wurden zunächst verschiedene Konzepte zur oszillatorischen An-
regung des Läufers untersucht und als Labormuster aufgebaut sowie experimentell getestet.
Ursprünglich sollte in Resonanz ein Hub von vier Millimetern erreicht werden und die Reso-
nanzfrequenz bei etwa 90 Hz liegen. Im späteren Verlauf des Projekts, nach Abschluss der hier
geschilderten Vorstudien, wurde der geforderte Hub vom Industriepartner auf acht Millimeter
erhöht. Der Außendurchmesser der Antriebe sollte maximal 19 Millimeter betragen, damit sich
ein Handgerät mit einer ergonomischen Stiftform ergibt. Die verschiedenen technischen An-
sätze lassen sich anhand der Kraftwirkung auf den Läufer in lorentz- bzw. reluktanzkrafterregt
gliedern. Die Antriebe mit Lorentzkraft bestanden aus zwei Labormustern, einem Exemplar mit
hartmagnetischem Läufer und festen Statorspulen [Kuh15], (siehe Abbildung 4-1, oben) sowie
einem weiteren Testantrieb, bei dem die Rollen von Stator und Läufer vertauscht sind, sodass
sich im Stator Permanentmagnete befanden, während der Läufer die Spulen trug [Boc15], vgl.
Abbildung 4-1, Mitte.
Im Gegensatz zu diesen auf der Lorentzkraft basierenden Antrieben nutzte ein weiteres Labor-
muster die Reluktanzkraft, siehe Abbildung 4-1 unten. Hierbei dient ein Weichmagnet als
Läufer, welcher durch Wechselerregung von Spulen im Luftspalt Anziehungskräfte erfährt. Bei
den in der Abbildung 4-1 gezeigten Antriebskonzepten der Vorstudien sind die zum Stator ge-
hörigen Komponenten jeweils schraffiert dargestellt. Bei den lorentzkraftbasierten Antrieben
verlaufen die in Blau angedeuteten magnetischen Feldlinien des Permanentmagneten radial
durch die Spulen im Luftspalt, in denen dann bei Bestromung die Antriebskraft entsteht. Der
Reluktanzkraftantrieb entfaltet erst durch die Bestromung einer Spule das Magnetfeld. Hier
verlaufen die Feldlinien im Luftspalt axial, und die Reluktanzkraft wirkt auf den weichmagne-
tischen Läufer in die Richtung, in der sich eine Verringerung des Luftspalts ergibt.
Die Antriebskonzepte unterscheiden sich somit primär in der Anordnung der Spulen und der
Permanentmagnete sowie in der geometrischen Ausgestaltung des Magnetkreises. Die mecha-
nische Auslegung des Schwingsystems hingegen erfolgt bei allen nach gleichen Kriterien: Es
gilt, einen Läufer mit der Masse
m
so über Federn mit der Federsteifigkeit
c
zurückzustellen,
dass ein schwingungsfähiges System mit einer Resonanzfrequenz von etwa 90 Hz entsteht. Die
Dämpfung soll möglichst gering ausfallen, damit ein effizienter Betrieb gewährleistet ist. Daher
wird die Resonanzfrequenz in der Nähe der Eigenfrequenz
0
1c
f2m
=
(4-1)
liegen. Mit einer gegebenen Läufermasse lässt sich anhand dieser Gleichung die nötige Feder-
steifigkeit
c
bestimmen. Diese Federsteifigkeit
c
wird in der praktischen Umsetzung durch
zwei Druckfedern halber Steifigkeit realisiert, da auf diese Weise eine Zug-Druck-Belastung
vermieden wird. Hierbei ist zu beachten, dass der Antrieb für den vorgesehenen Betrieb als
Stechgerät mit einem handelsüblichen Nadelmodul ausgestattet ist, siehe auch Abbildung 2-4.
27
Die Federsteifigkeit der Zugfederdichtung innerhalb des Nadelmoduls und die Masse der Nadel
wirken sich auf die Resonanzfrequenz aus, die sich dann zu
N
0,N
N
cc
1
f2 m m
+
=+
(4-2)
ergibt. Hierbei ist
N
c
die Steifigkeit der Zugfederdichtung und
N
m
die bewegte Masse der
Nadel. Die Veränderung der Resonanzfrequenz beträgt bei üblichen Werten für die Steifigkei-
ten und Massen allerdings maximal einige Hertz, sodass für die Antriebsauslegung die For-
mel (4-1) genügt. Außerdem sind die Parameter der Zugfederdichtung mit so großen Toleran-
zen behaftet, dass die Anwendung der Formel (4-2) keinen Vorteil bringt. Die Zugfederdich-
tung ist hingegen aus einem anderen Grund für die Auslegung der Antriebe wichtig. Der Kon-
takt zwischen dem Läufer des Antriebs und der Nadel wird durch eine Vorspannung der Zug-
federdichtung gewährleistet. Durch diese Vorspannung wirkt eine zusätzliche statische Kraft
auf den Läufer, welche ihn aus seiner ursprünglichen Mittellage auslenkt. Insbesondere der im
Abschnitt 4.1.3 vorgestellte Reluktanzantrieb arbeitet weniger effizient, wenn der Läufer nicht
symmetrisch um die mittlere Gleichgewichtslage schwingt. Daher ist bei allen Antrieben die
Möglichkeit vorgesehen, den Läufer durch eine Stellschraube in seiner Mittellage zu justieren.
Die nächsten Abschnitte beschäftigen sich mit der Auslegung und der in den Vorstudien ent-
standenen Labormuster. Dem schließt sich eine Bewertung der einzelnen Konzepte an.
Abb. 4-1 Antriebskonzepte der Vorstudien
oben: Lorentzkraftantrieb mit bewegtem Hartmagneten
Mitte: Lorentzkraftantrieb mit bewegter Spule und ortsfestem Hartmagneten
unten: Reluktanzkraftantrieb mit bewegtem Weicheisenläufer
4.1.1 Antrieb mit bewegtem Hartmagneten
Bei diesem Antriebsprinzip ist ein Permanentmagnet Teil des Läufers, die Antriebsspulen sind
im Stator untergebracht. Auf die Ladungsträger in den stromdurchflossenen Spulen wirkt
28
aufgrund des Felds des Permanentmagneten die Lorentzkraft. Dadurch erfährt der Läufer die
entsprechende Gegenkraft, er wird beschleunigt. Es sind verschiedene Ausgestaltungsmöglich-
keiten des magnetischen Kreises denkbar, unter anderem auch der Aufbau mit radial
magnetisiertem Permanentmagneten analog zum Konzept 2 in der Abbildung 4-1, wobei die
Rollen von Läufer und Stator vertauscht sind. Vergleichsrechnungen mit dem FEM-Programm
Ansys Maxwell zeigten allerdings, dass sich mit diesem Ansatz keine ausreichenden Kräfte
erzeugen lassen, ohne die Läufermasse zu stark zu erhöhen [Kuh15]. Für den Antrieb mit be-
wegter Spule kommt dieser Ansatz dennoch infrage, da dort die Permanentmagnete zum
Aufbau des Stators dienen.
Der bewegte Permanentmagnet besteht aus einem axial magnetisierten Hohlzylinder, der an
beiden Polen mit weichmagnetischen Polschuhen versehen ist. Da das Feld des Permanentmag-
neten an einem Pol radial nach außen und am anderen nach innen gerichtet ist, fließt der Strom
in den im Stator untergebrachten Antriebsspulen in gegensinniger Richtung, um eine resultie-
rende Antriebskraft zu generieren. Daher werden die Spulen gegensinnig in Reihe geschaltet.
Deren Länge wird so festgelegt, dass die aus den weichmagnetischen Polschuhen austretenden
Magnetfelder bei allen Auslenkungen des Läufers die Spulen durchsetzen, sodass die Antriebs-
kraft nahezu unabhängig von der Läuferauslenkung ist.
Für den effizienten Betrieb ist eine reibungsarme Lagerung entscheidend. Es kommt neben ei-
ner Gleitlagerung auch eine Kugellagerung infrage, die gleichermaßen an diesem Labormuster
getestet wurde.
Als Gleitlagerwerkstoff wurde Sinterbronze gewählt. Sinterbronze-Gleitlager sind wartungs-
frei, zeichnen sich durch geringe Reibwerte von
0,05 - 0,1
aus und werden bei hohen Reib-
geschwindigkeiten bei geringer Belastung eingesetzt. Die Lager werden vor dem Einsatz in Öl
getränkt und nehmen bis zu 30 Volumenprozent davon in ihrer porösen Struktur auf. [Bor19]
Ein zweites Labormuster wurde mit Linearkugellagern ausgestattet. Sie verfügen über sehr ge-
ringe Reibwerte, da hauptsächlich Rollreibung auftritt. Allerdings sind sie in regelmäßigen Ab-
ständen von sechs Monaten zu schmieren und daher nicht wartungsfrei [Mis19]. Außerdem
weisen sie eine größere axiale Baulänge als vergleichbare Gleitlager auf. Die für den Antrieb
mit bewegtem Hartmagnet verwendeten Lager sind in der Abbildung 4-2 dargestellt.
Abb. 4-2 Sinterbronze-Gleitlager (links) und Linearkugellager (rechts)
Die Abbildung 4-3 zeigt eine Schnittansicht des kugelgelagerten Antriebs mit bewegtem Hart-
magneten. Die Variante mit Gleitlagern ist analog dazu aufgebaut.
Die Antriebsspulen sind als freitragende Luftspulen ausgeführt, die Herstellung erfolgte an der
Wickelmaschine des Fachgebiets Mikrotechnik der Technischen Universität Berlin. Die
29
Verwendung von Kupfer-Backlackdraht erfordert die Konstruktion einer Wickelhilfe mit defi-
niertem Wickelfenster, auf welche die Drahtwicklungen aufgebracht werden. Anschließend
sind die Drahtenden behelfsmäßig zu fixieren, um ein Abwickeln zu verhindern. Nach dem
Verbacken der Spule im Ofen ist die Spule schließlich formstabil. Beim Prozess des Verbackens
erweicht die äußere Lackschicht und verfestigt sich anschließend wieder, sodass eine form-
stabile Spule entsteht. Die Antriebsspulen werden im Antrieb über ihren Außendurchmesser im
Rückschlussrohr zentriert und über Kunststoffhülsen axial positioniert. Die Zentrierung stellt
eine große Herausforderung für die Fertigung und Montage dar, da bei einem zu großen Au-
ßendurchmesser die Isolierung der Spulen beim Einführen in den Rückschluss beschädigt wird.
Bei einem zu kleinen Außendurchmesser hingegen ist die Zentrierung nicht mehr gegeben, und
es besteht damit die Gefahr, dass der Läufermagnet die Isolierung beschädigt. Beides führt
dazu, dass die Funktionstüchtigkeit des Aktors leidet. Aus diesem Grund wurden für die weite-
ren Antriebe die Spulen stets auf Trägerelemente mit definierten Abmaßen aufgebracht.
Abb. 4-3 Schnittdarstellung des Lorentzkraftantriebs mit Kugellagern, nach [Kuh15]
Die Abbildung 4-4 zeigt oben die Einzelkomponenten des Lorentzkraftantriebs mit bewegtem
Hartmagneten und unten das montierte Labormuster. Eine Herausforderung bei der Montage
besteht darin, den Läufer in das Rückschlussrohr einzuführen, ohne dass er durch die starken
radialen Reluktanzkräfte an den Rückschluss und damit an die Antriebsspulen gedrückt wird
und deren Isolierung beschädigt. Daher musste hierfür eine Montagehilfe entwickelt werden,
die den Läufer während der Montage zentriert, bis schließlich der Deckel mit dem Lager mon-
tiert ist, der diese Aufgabe übernimmt.
30
Abb. 4-4 Einzelteile des Antriebs mit bewegtem Hartmagneten (oben),
montiertes Labormuster (unten) [Kuh15]
4.1.2 Antrieb mit bewegter Spule
Die Verwendung eines Antriebs mit bewegter Spule liegt für die gegebene Anwendung nahe,
da dieses Prinzip im Lautsprecherbereich weit verbreitet ist, um eine Masse mit einer hohen
Frequenz zum Schwingen anzuregen. Damit die Lorentzkraft in die axiale Richtung wirkt, müs-
sen die Spulen in radialer Richtung vom Magnetfeld durchsetzt sein. Da radial polarisierte
Permanentmagnete in der geeigneten Größe nicht in ausreichender Magnetisierungsstärke er-
hältlich sind, wurde der Statormagnet aus Einzelsegmenten zusammengesetzt.
Die Abbildung 4-5 zeigt eine zweigeteilte Schnittdarstellung des FEM-Modells auf der Grund-
lage der schematischen Darstellung in der Abbildung 4-1 Mitte. Die obere Hälfte der Abbil-
dung 4-5 dokumentiert anhand einer Farbskala den Betrag der magnetischen Flussdichte. In der
unteren Hälfte sind die magnetischen Feldlinien dargestellt. Die Modellgeometrie stellt eine
Vereinfachung der für das Magnetfeld relevanten Komponenten dar. Abweichungen von der
Rotationssymmetrie in der tatsächlichen Geometrie sind nicht berücksichtigt, was eine 2D-Mo-
dellierung mit deutlich kürzeren Rechenzeiten ermöglicht. Der Läufer ist im Modell auf die
Spule reduziert, tatsächlich besteht er darüber hinaus aus dem Spulenträger sowie Federtöpfen
zur Zentrierung der Rückstellfedern.
Aus der Abbildung 4-5 und 4-6 wird ersichtlich, dass der Rückschluss innerhalb der Statormag-
nete (Kern) eine beachtliche radiale Ausdehnung haben muss, um das magnetische Feld zu
führen, ohne in Sättigung zu geraten. Im äußeren Bereich hingegen reicht eine relative geringe
Wandstärke aus, um dem Fluss eine ausreichende Querschnittsfläche zu bieten. Die Stator-
31
magnete decken axial den gesamten Bereich der Läuferspule ab, um eine möglichst wegunab-
hängige Kraft zu gewährleisten. Die axiale Ausdehnung des elektromagnetischen Systems ist
dennoch recht gering, da die Federn bei diesem Labormuster abweichend vom ursprünglich
geplanten Aufbau (siehe Abbildung 4-1, Mitte) nicht innerhalb des elektromagnetisch wirksa-
men Teils des Antriebs untergebracht sind, sondern, wie in der Abbildung 4-6 zu sehen,
außerhalb. Der Antrieb zeichnet sich so durch ein kompaktes elektromagnetisches Design aus.
Allerdings ist der Aufbau des Antriebs deutlich komplexer als bei anderen Ansätzen, sodass
auch die Fertigung einen größeren Aufwand erfordert.
Abb. 4-5 Flussdichte (oben) und Feldlinien (unten) für den Antrieb mit bewegter Spule
Abb. 4-6 Schnittdarstellung des Antriebs mit bewegter Spule [Boc15]
In einer ersten Version des Labormusters bestand der Spulenträger aus Messing. Dieser Werk-
stoff hat zwar im statischen Fall keine Auswirkungen auf das Magnetfeld, jedoch zeigten expe-
rimentelle Untersuchungen, dass im Betrieb eine recht hohe Dämpfung auftritt. Dies lässt sich
32
dadurch erklären, dass die Spule und auch der in der Abbildung 4-5 nicht dargestellte Spulen-
träger vollständig vom Rückschluss umschlossen sind. Es ergibt sich dadurch ein Aufbau, der
einem Transformator gleicht, wobei der Spulenträger als kurzgeschlossene Sekundärspule auf-
zufassen ist. In dieser fließt bei einer Wechselbestromung der eigentlichen Antriebsspule ein
großer Strom, der zu Verlusten führt. Daher wurde der Spulenträger aus PSU (Polysulfon) ge-
fertigt, wodurch sich eine deutlich bessere Effizienz erreichen ließ. Wegen des Werkstoffwech-
sels verringerte sich die Masse des Läufers. Ein Masseausgleich durch Zusatzgewichte sorgte
dafür, dass die Resonanzfrequenz zur besseren Vergleichbarkeit unverändert blieb. Die Ampli-
tudenfrequenzgänge in der Abbildung 4-7 zeigen, dass die Dämpfung bei Verwendung des
PSU-Spulenträgers deutlich verringert wurde, und der Läufer im Bereich der Resonanz sogar
die mechanischen Endanschläge erreicht.
Abb. 4-7 Amplitudenfrequenzgänge für Spulenträger aus Messing und PSU
bei einer Stromamplitude von 350 mA
Abb. 4-8 Labormuster des Antriebs mit bewegter Spule [Boc15]
Die Abbildung 4-8 zeigt das Labormuster des Antriebs mit bewegter Spule. In diesem Fall be-
steht der Spulenträger aus Messing. Der kritischste Punkt bei diesem Aufbau sind die bewegten
Zuleitungen für den Spulenstrom, sodass die Führung der unter ständiger Schwingbelastung
stehenden Zuleitungen besonders gestaltet ist. Die Zuleitungen sind in einer Nut im Läufer ge-
führt und außerhalb des Antriebs zu einer Spirale aufgewickelt. Bei der Unterbringung in einem
Gehäuse kann man die Drahtspiralen an diesem befestigen, sodass die Drähte bei Bewegung
des Läufers nicht beschädigt werden. Die Stromzufuhr für den Läufer über Schleifkontakte zu
realisieren wurde nicht in Betracht gezogen, da eine zu große Reibkraft und starker Verschleiß
zu erwarten war. Aufgrund der späteren Forderung im Rahmen des Projekts, den maximalen
Hub auf acht Millimeter zu verdoppeln, fiel dann jedoch aufgrund der Schwierigkeiten bei der
Stromzuführung die Entscheidung, nur noch Konzepte mit feststehenden Spulen zu verfolgen.
33
Alle Labormuster der Vorstudien wurden experimentell hinsichtlich ihres statischen und dyna-
mischen Verhaltens untersucht. Im Rahmen der statischen Versuche wurde die Kraft-Weg-
Kennlinie aufgenommen, die dynamischen Tests umfassten die Aufnahme der Amplitudenfre-
quenzgänge und der Temperaturentwicklung.
Die Abbildung 4-9 zeigt den experimentellen Aufbau zur Vermessung der statischen Kraft-
Weg-Kennlinie des Antriebs mit bewegter Spule. Bei konstantem Spulenstrom variiert man
anhand einer Mikrometerschraube die Auslenkung des Läufers. Ein Kraftsensor erfasst dabei
die auf den Läufer wirkende Kraft. Die entsprechenden Messdaten sind für zwei verschiedene
Spulenströme in der Abbildung 4-10 dargestellt. Die Kraft wurde sowohl für die Hin-, als auch
für die Rückbewegung im gesamten Auslenkungsbereich erfasst, sodass auch der Einfluss der
Reibkraft sichtbar wird. Die auf den Kraftsensor wirkende Kraft setzt sich aus der Antriebskraft
und der Reibkraft zusammen, deren Richtung der aktuellen Verschiebungsrichtung entgegen-
gesetzt ist. Die Differenz der Kraftwerte von Hin- und Rückbewegung gibt demnach den dop-
pelten Betrag der Reibkraft wieder.
Die Antriebskraft sinkt bei konstantem Strom mit zunehmender Läuferauslenkung, da die
Flussdichte im Luftspalt entlang der axialen Koordinate nicht konstant ist, sondern mit zuneh-
mendem Abstand von der Mitte der Statormagneten abnimmt (siehe Abbildung 4-5).
Abb. 4-9 Versuchsaufbau zur Aufnahme der Kraft-Weg-Kennlinie [Boc15]
34
Abb. 4-10 Kraft-Weg-Kennlinie des Labormusters mit bewegter Spule für verschiedene Stromstärken
4.1.3 Reluktanzantrieb
Als weiteres Labormuster wurde ein Antrieb entwickelt, bei dem die Läuferoszillation durch
die Reluktanzkraft erregt wird. Während bei den auf der Lorentzkraft beruhenden Ansätzen die
Antriebskraft weitgehend unabhängig von der Läuferauslenkung und direkt proportional zum
Spulenstrom ist, weist die Reluktanzkraft bei einfacher Luftspaltgeometrie, wie im Abschnitt
3.2.2 beschrieben, eine stark nichtlineare Abhängigkeit von der Größe des Luftspalts sowie eine
quadratische Abhängigkeit vom Spulenstrom auf. Diese Verhältnisse führen dazu, dass der Ent-
wurf sowie die Fertigung des Reluktanzantriebs erhöhte Anforderungen an die Werkstoffeigen-
schaften, die Präzision der Bauteile sowie die Bearbeitungsqualität der Laufoberflächen stellen.
Die Geometrie der Luftspaltregion ist von entscheidender Bedeutung für den Verlauf der An-
triebskraft, daher ist ihr im Zuge der elektromagnetischen Auslegung besondere Beachtung zu
schenken. Durch die spezielle Gestaltung der Konturen von Anker und Rückschluss im Bereich
des Luftspalts ist es möglich, die Kennlinie der Kraft in Abhängigkeit von der Läuferauslen-
kung gezielt zu beeinflussen. Kallenbach beschreibt diese Kennlinienbeeinflussung durch
Anpassung der Anker- und Rückschlussgeometrie [Kal12]. Im vorliegenden Fall besteht das
Ziel darin, die Reluktanzkraft möglichst wegunabhängig zu gestalten. Die Nutzung einer FEM-
Software unter Berücksichtigung der nichtlinearen Magnetisierungskennlinie des flussführen-
den Werkstoffs ist dabei unabdingbar, da die Kennlinienbeeinflussung zum Teil darauf beruht,
dass lokal Teile der Anker- bzw. Rückschlussgeometrie in Sättigung geraten.
Für den Reluktanzantrieb wurde die Ankergeometrie zylindrisch und damit einfach gehalten
und über Optimierungsrechnungen eine Rückschlussgeometrie ermittelt, deren endgültige Ge-
stalt in der Abbildung 4-11 (rechts) dargestellt ist. Die starke Wegabhängigkeit der Kraft im
Fall ohne Kennlinienbeeinflussung wird durch die gezielte Ausgestaltung der Nasen im Stator
(rot dargestellt) deutlich vermindert. Zudem lassen sich im gesamten Arbeitsbereich größere
Kräfte erreichen als ohne Kennlinienbeeinflussung (Abbildung 4-11, links). Die Reluktanzkraft
wirkt nur in einer Hälfte des Hubbereichs nennenswert, für negative Auslenkungen lassen sich
nur noch sehr kleine Kräfte erzielen (nicht dargestellt). Zur oszillatorischen Anregung des An-
kers sind daher die beiden Antriebsspulen jeweils einzeln und wechselseitig zu bestromen. Bei
35
der Erregung der linken Spule ergeben sich Kraft-Weg-Kennlinien, die punktsymmetrisch am
Ursprung des Diagramms gespiegelt sind.
Abb. 4-11 Kennlinienbeeinflussung zur Gestaltung des Kraftverlaufs (Durchflutung 325 AW)
oben: Kraft-Weg-Kennlinie ohne Ausgestaltung des Luftspalts (blau) und
mit spezieller Nasengeometrie (rot)
unten: Querschnitt und Schema des Reluktanzantriebs ohne und
mit Änderung der Luftspaltgeometrie
36
Abb. 4-12 Magnetische Feldberechnung für den Reluktanzantrieb bei verschiedenen Auslen-
kungen des Läufers, starke Sättigung der „Nase“ bei der größten Auslenkung
In der Abbildung 4-12 sind der Betrag der magnetischen Flussdichte und die Feldlinien darge-
stellt, die sich bei einer Bestromung der rechten Spule mit einer Durchflutung von 325 AW
ergeben. Diese Durchflutung entspricht einer Ohm’schen Verlustleistung von einem Watt. Be-
reits bei einer Läuferauslenkung von einem Millimeter ist erkennbar, wie die Nase zur Kennli-
nienbeeinflussung von einer hohen Flussdichte durchsetzt ist, während im Rest der Rück-
schlussstruktur nur moderate Flussdichten auftreten.
Die Abbildung 4-13 zeigt eine Explosionsdarstellung des Reluktanzantriebs. Die Montage ist
hier mit geringeren Herausforderungen verbunden als beim Antrieb mit bewegtem Hartmagne-
ten, da keine radialen Reluktanzkräfte auf den Läufer wirken. Der Läufer lässt sich nach Ein-
pressen der Lagerbaugruppe (Sinterlager mit Polschuhen) in das Rückschlussrohr einführen,
anschließend sind die Kerne mit bereits aufgewickelten Spulen zu montieren.
2,0
0
B in T
1,0
0,5
1,5
37
Abb. 4-13 Explosionsdarstellung des Reluktanzaktors [Rom14]
Abb. 4-14 Labormuster des Reluktanzantriebs [Rom14]
Der Reluktanzantrieb erzielt mit einem Läufer, der im Vergleich zu den anderen Ansätzen eine
geringere Masse aufweist, ausreichende Kräfte zur Anregung und Aufrechterhaltung der Läu-
ferschwingung. Allerdings ist dazu eine starke Bestromung der Spulen notwendig, da im
Gegensatz zu den anderen vorgestellten Konzepten das Magnetfeld nicht durch Permanentmag-
nete bereitgestellt wird, sondern erst durch den Spulenstrom entsteht.
Ein weiterer Nachteil entsteht prinzipbedingt dadurch, dass die beiden Antriebsspulen abwech-
selnd bestromt werden müssen. Bei dieser zweiphasigen Ansteuerung sind im Gegensatz zu
den Lorentzkraftantrieben zwei unabhängige Spannungs- bzw. Stromquellen erforderlich. Da-
her müssen auch, wie in der Abbildung 4-15 links dargestellt, mindestens drei Zuleitungen zum
Aktor führen, jeweils ein Anschluss jeder Antriebsspule sowie ein gemeinsamer Massean-
schluss. Beides bedeutet einen erhöhten Schaltungsaufwand. Ein beispielhafter zeitlicher Ver-
lauf der Bestromung ist in der Abbildung 4-15 rechts dargestellt, wobei andere Signalformen
ebenso denkbar sind. Entscheidend ist allerdings, dass die Erregung einer Spule jeweils nur
Anker
Führungsstange
Kern mit aufgewickelter Spule
Federn
Sinterlager mit Polschuhen
Schrauben
Schrauben
Sinterlager
Madenschraube
Rückflussjoch
38
während einer Halbperiode
T / 2
erfolgt, da die Reluktanzkraft unabhängig von der Stromrich-
tung stets in die gleiche Richtung zeigt.
Abb. 4-15 Zweiphasige Ansteuerung des Reluktanzantriebs
Da bei den Feldberechnungen die Durchflutung und damit die Spulenströme vorgegebenen
werden, ist es zweckmäßig, bei den experimentellen Untersuchungen ebenfalls Ströme vorzu-
geben. Für die Versuche wurde hauptsächlich eine Stromregelung auf der Basis einer analogen
spannungsgesteuerten Stromquelle gemäß der Abbildung 4-16 links eingesetzt. Diese lässt al-
lerdings durch den masseseitigen Shuntwiderstand
S
R
für die Strommessung keinen gemein-
samen Masseanschluss der Antriebsspulen zu, womit nicht nur drei, sondern sogar vier Zulei-
tungen zum Aktor nötig sind. Über die Eingangsspannung
in
u
lässt sich der durch die Aktor-
spule fließende Strom
L
i
vorgeben, welcher der Beziehung
in
L
S
u
iR
=
(4-3)
folgt. Wie die experimentelle Untersuchung in der Abbildung 4-16 rechts zeigt, muss allerdings
aufgrund des induktiven Charakters der Antriebsspulen für schnelle Stromanstiege eine ausrei-
chende Reserve der Versorgungsspannung vorliegen. Hier wurden die Sollströme in den An-
triebsspulen als Rechteckfunktionen vorgegeben. Tatsächlich folgen die Ströme nahezu den
gewünschten Verläufen. Für das Aufrechterhalten des Stroms von 0,6 A sind im statischen Fall
nur etwa 5 V nötig. Dagegen steigt die Ausgangsspannung des Operationsverstärkers in den
An- und Abschaltzeitpunkten bei oszillatorischem Betrieb bis auf 15 V an, damit trotz indukti-
ver Gegenspannung der für die Krafterzeugung erforderliche Strom fließt.
39
Abb. 4-16 Spannungsgesteuerte Stromquelle zur Stromregelung
40
4.1.4 Konzeptbewertung
Die in den letzten Abschnitten vorgestellten Vorstudien hatten das Ziel, die aussichtsreichsten
Konzepte für eine nachfolgende Produktentwicklung zu identifizieren und Herausforderungen
bei deren Umsetzung offenzulegen. An dieser Stelle ist zunächst festzuhalten, dass alle in den
Vorstudien entwickelten Antriebe den geforderten Hub von vier Millimetern bei der Resonanz-
frequenz erreichen. Der Hub lässt sich zudem stufenlos durch Vorgabe der Spannungs- bzw.
Stromamplitude einstellen, auch die Schwingungsfrequenz ist einstellbar. Die Labormuster er-
füllen somit die zentralen Anforderungen des Projektpartners. Während den experimentellen
Untersuchungen traten jedoch drei kritische Aspekte zutage, die einer weiteren Produktent-
wicklung der vorgestellten Konzeptvarianten entgegenstehen:
• die ungenügende Bandbreite der Antriebe,
• die starke Erwärmung und nicht akzeptable Temperaturentwicklung sowie
• die Gehäusevibrationen.
Bandbreite
Alle Antriebe der Vorstudien wurden mit dem Ziel entworfen, unter Nutzung des Resonanzef-
fekts durch geringe Antriebskräfte große Hübe zu erzielen, wobei die Resonanzfrequenz durch
die Läufermasse und die gewählten Rückstellfedern festgelegt ist und somit im Betrieb nicht
verändert werden kann. Damit geht allerdings einher, dass für große Hübe bei von der Reso-
nanzfrequenz abweichenden Schwingungsfrequenzen deutlich höhere Kräfte bzw. Spulenströ-
me vonnöten sind. Der Frequenzgang in der Abbildung 4-17 zeigt am Beispiel des Antriebs mit
bewegtem Hartmagneten aus Abschnitt 4.1.1, dass außerhalb des Bereichs der Resonanzfre-
quenz von etwa 110 Hz die Leistungsaufnahme des Aktors deutlich zunimmt, während der er-
zielte Hub abnimmt. Die Spannungsamplitude wurde hierbei konstant gehalten. Größere Hübe
lassen sich nur durch eine weitere Erhöhung der Aktorspannung und damit der Verlustleistung
erzielen.
Abb. 4-17 Frequenzgang des Hubs und der Leistung für den Antrieb mit bewegtem Hartmagneten,
effizienter Arbeitsbereich zwischen 100 Hz und 115 Hz markiert
Der Anwenderwunsch nach einer Variation der Stechfrequenz lässt sich somit nur sehr einge-
schränkt erfüllen. Man kann den Antrieb nur innerhalb eines 10 Hz bis 20 Hz breiten Frequenz-
41
bands um die Resonanzfrequenz herum effizient betreiben, siehe Abbildung 4-17. Der Betrieb
bei anderen Frequenzen lässt sich nach den Erkenntnissen der Vorstudien nur erreichen, wenn
die Resonanzfrequenz des Antriebssystems mechanisch angepasst wird. Möglichkeiten hierzu
wurden bereits in Kapitel 3.3.2 vorgestellt. Der Magnetfederantrieb adressiert dieses Problem
und ist in Kapitel 4.2 beschrieben.
Erwärmung
Insbesondere außerhalb der Resonanzfrequenz zeigen die Antriebe durch die erhöhte Leis-
tungsaufnahme eine starke Erwärmung. Die maximale Einsatztemperatur der Permanentmag-
nete mit der höchsten verfügbaren Magnetisierung ist mit 60 °C angegeben. Für das Einsatzge-
biet der Aktoren als handgeführte Geräte sind jedoch bereits Oberflächentemperaturen über
40 °C inakzeptabel. Bei einer angenommenen Umgebungstemperatur von 25 °C stellt die zu-
lässige Temperaturerhöhung um 15 °C im Betrieb eine große Herausforderung dar. Messungen
ergaben, dass bei der charakteristischen Baugröße der Antriebe in einer Umgebung ohne nen-
nenswerte Luftbewegung eine elektrische Verlustleistung von einem Watt zu dieser Erwär-
mung führt. Daher wurde für die folgenden Entwicklungen angestrebt, die maximale Verlust-
leistung auf ein Watt zu begrenzen. Die tatsächliche Oberflächentemperatur ist allerdings von
vielen weiteren Faktoren und dem einzelnen Anwendungsszenario abhängig. Das Gerät wird
stets in der Hand gehalten, diese erwärmt das Gerät zwar zusätzlich, verbessert jedoch durch
den Kontakt auch die Wärmeabfuhr. Viele Anwender stülpen aus ergonomischen Gründen zu-
sätzlich eine Griffhülse aus Schaumstoff oder Silikon über das Gerät. Damit können auch
höhere Aktortemperaturen vom Anwender toleriert werden. Die Begrenzung der Verlustleis-
tung auf ein Watt ist daher ein Ansatz, der Unsicherheit durch diese zusätzlichen Faktoren
Rechnung zu tragen. Eine gezielte Gehäusegestaltung, beispielsweise unter Verwendung rip-
penartiger Strukturen zur Vergrößerung der Oberfläche, kann unabhängig vom Aktor ebenfalls
einen wichtigen Beitrag leisten, die Arbeitstemperatur zu senken. Diese Maßnahme wird in
dieser Arbeit jedoch nicht betrachtet.
Ein vorher unterschätzter Effekt ist die Kühlung des Aktors durch die Läuferbewegung. Die
Luft im Innenraum wird wechselseitig aus dem Aktor verdrängt und wieder hinein gesaugt und
dabei teilweise durch kühlere Umgebungsluft ausgetauscht, sodass durch Konvektion eine ver-
besserte Wärmeabfuhr zu beobachten ist. Die Abbildung 4-18 zeigt die Resultate dieses Effekts.
Der Vergleich der Temperaturkurve, die sich bei Bestromung des Aktors mit arretiertem Läufer
ergibt, mit jener, bei welcher der Läufer frei schwingen kann, zeigt eine Reduktion der Erwär-
mung durch die Bewegung des Läufers um 30 Prozent, obwohl die ins System eingetragene
Leistung die gleiche ist. Hierdurch wird deutlich, dass auch in Folgeentwicklungen die Luft-
kammern im Innern des Aktors möglichst über Bohrungen an die Umgebungsluft angeschlos-
sen sein sollten.
42
Abb. 4-18 Vergleich der Erwärmung bei festgehaltenem und frei schwingendem Läufer,
Antrieb mit bewegter Spule, Schwingungsfrequenz 100 Hz, Leistung 1 W
Zudem wird die Endtemperatur durch die verbesserte Konvektion im Gegensatz zu einem fest-
gehaltenen Läufer schon nach ca. 20 Minuten und damit schneller erreicht. Diese Effekte
konnten bei allen Antrieben beobachtet werden, jedoch fällt er beim Antrieb mit bewegter Spule
am deutlichsten aus, was vermutlich daran liegt, dass die Spule, welche die Hauptwärmequelle
darstellt, hier den besten thermischen Kontakt zur umgebenden Luft hat, während sich bei den
anderen Ansätzen die Spulen im Stator befinden.
Insbesondere der im Abschnitt 4.1.3 vorgestellte Reluktanzantrieb erwärmt sich stark, da hier
im Gegensatz zu den Lorentzkraftantrieben das Magnetfeld erst durch den Spulenstrom erzeugt
wird. Experimentelle Untersuchungen zeigten, dass die Oberflächentemperatur im Betrieb mit
einem Hub von 4 mm bis auf 60 °C ansteigt, sodass ein Handbetrieb über einen längeren Zeit-
raum nicht möglich ist.
Gehäusevibration
Weiterhin stellten sich die Gehäusevibrationen als ein wichtiges Bewertungskriterium heraus.
Für einen handgehaltenen Betrieb über einen Zeitraum von mehreren Stunden müssen die Vib-
rationen gering sein, da es ansonsten zu einem Taubheitsgefühl oder mit der Zeit sogar zu einer
langfristigen Schädigung der Hand kommen kann. Die Gehäusevibrationen hängen direkt vom
Verhältnis der Läufermasse zur Gesamtmasse des Aktors ab. Bei den Lorentzkraftantrieben mit
bewegtem Permanentmagneten bzw. bewegter Spule ist die Läufermasse (etwa 12 Gramm bzw.
14,5 Gramm) deutlich größer als beim Reluktanzantrieb mit ca. drei Gramm. Daher sind beim
Reluktanzantrieb die Gehäusevibrationen schwächer ausgeprägt. Um diese auch bei den Lor-
entzkraftantrieben in einem akzeptablen Bereich zu halten, wurde im weiteren Verlauf des Pro-
jekts die Möglichkeit untersucht, eine gegenphasig zum Läufer schwingende Ausgleichsmasse
einzusetzen, welche die durch die Läuferschwingung erzeugten Vibrationen weitgehend kom-
pensiert. Hierbei entstand der Doppelläuferantrieb, welcher besonders geringe Gehäusevibra-
tionen aufweist und in Kapitel 4.3 beschrieben ist. Dort werden auch Messergebnisse zur Ge-
häusevibration erläutert.
Die Läufermasse wirkt sich außerdem hauptsächlich aus zwei Gründen auf das Stechverhalten
aus. Zum einen fällt die durch das Einstechen verursachte Hubreduktion bei einem Aktor mit
großer Läufermasse geringer aus als bei einem Aktor mit geringer Läufermasse. Zum anderen
43
verfügen Aktoren mit größerer Läufermasse auch über eine steifere Rückstellfeder, da die Re-
sonanzfrequenz aller Aktoren im gleichen Bereich liegen. Aus der steiferen Rückstellfeder
folgt, dass sich bei der überwiegend als Druckkraft auftretende Belastung durch das Einstechen
die Mittelposition der Schwingung weniger stark nach hinten verschiebt als bei einem Aktor
mit geringer Läufermasse. Beide Effekte führen dazu, dass Antriebe mit kleiner Läufermasse
über ein gefühlt „weicheres“ Stechverhalten verfügen. ier zeigten erste Anwendungstests,
dass auch der Reluktanzantrieb mit seinem leichten Läufer genügend Impuls trägt, um die Na-
deln zuverlässig in die Haut zu treiben. Allerdings variieren die Nutzerpräferenzen offenbar so
stark, dass keine klare Aussage bezüglich einer optimalen Läufermasse zu gewinnen war.
Folgeentwicklungen
Nach der Auswertung der experimentellen Untersuchungen an den Labormustern der Vorstu-
dien ließen sich Anforderungen identifizieren, die für eine weitere Produktentwicklung ent-
scheidende Bedeutung aufweisen. Die klare Festlegung auf ein Antriebsprinzip war auf Grund-
lage der vorliegenden Ergebnisse noch nicht möglich, daher wurden zur Behebung der soeben
vorgestellten Einschränkungen neue Ansätze und Varianten entwickelt, welche anschließend in
Kombination zu einem Produkt führen sollen.
Insbesondere der Reluktanzantrieb zeigte eine so starke Erwärmung, dass von einer direkten
Weiterentwicklung abgesehen wurde. Stattdessen entstand durch Änderung des Funktionsprin-
zips eine Variante, welche den in Abschnitt 4.4 beschriebenen Antrieb mit Vormagnetisierung
nutzt, bei dem im Gegensatz zum Reluktanzantrieb zusätzlich Permanentmagnete zum Einsatz
kommen.
Durch die Integration von Permanentmagneten lassen sich zwei Vorteile erzielen. Zum einen
ist auch im unbestromten Zustand bereits ein Magnetfeld im Luftspalt vorhanden, sodass zu
dessen Erzeugung keine elektrische Leistung aufgewendet werden muss. Zum anderen macht
die abgewandelte magnetische Flussführung die Nutzung einer einphasigen Ansteuerung mög-
lich, während der Reluktanzantrieb, wie in Abschnitt 4.1.3 beschrieben, eine zweiphasige und
damit komplexere Ansteuerung benötigt.
Bei den Lorentzkraftantrieben tritt eine geringere Erwärmung auf, dafür ist ihr Betrieb, bedingt
durch die große Läufermasse, mit starken Gehäusevibrationen verbunden. Um dem zu begeg-
nen, wurde der Doppelläuferantrieb (siehe Kapitel 4.3) entwickelt, bei dem eine zusätzliche,
gegenphasig zum Läufer schwingende Masse eine Kompensation der Vibrationen bewirkt.
Die Machbarkeit der Bandbreitenerhöhung durch die Verwendung magnetischer Federn wird
getrennt davon untersucht und mündet im Labormuster des Magnetfederantriebs, beschrieben
in Kapitel 4.2.
Die Lorentzkraftantriebe zeichnen sich dadurch aus, dass die Antriebskraft nahezu wegunab-
hängig und proportional zum Spulenstrom ist. Bei ihnen lässt sich der Hub durch die vorgege-
bene Spannungsamplitude stufenlos einstellen. Der Reluktanzantrieb hingegen weist eine deut-
liche Nichtlinearität der Antriebskraft sowohl in Abhängigkeit von der Läuferauslenkung als
auch vom Spulenstrom auf. Daher erwies es sich bei den experimentellen Untersuchungen als
44
schwierig, einen bestimmten Hub einzustellen. Eine geringe Änderung der Spannungsamplitu-
de kann hier zu einer deutlichen Änderung des Hubs führen.
Insgesamt wurde durch die experimentellen Untersuchungen deutlich, dass zur genauen Hub-
einstellung für alle Antriebe eine Regelung notwendig ist. Diese hat die Aufgabe, während des
Leerlaufbetriebs unabhängig von äußeren Störungen für einen konstanten Hub zu sorgen. Dar-
über hinaus gilt es, das Einstechverhalten dergestalt zu beeinflussen, dass entweder der Hub
trotz Belastung durch das Einstechen nahezu konstant bleibt (analog zum konstanten Hub bei
Rotary-Maschinen) oder aber gezielt eine Verminderung des Hubs beim Einstechen zugelassen
wird („weiches“ Einstechverhalten).
Die angestrebte Hubregelung geht mit der Notwendigkeit einher, die Läuferposition bzw. den
Hub messtechnisch zu erfassen. Hierfür wurde ein Sensormodul auf der Basis eines induktiven
Positionssensors entwickelt, diese Entwicklung ist in Kapitel 5 geschildert. Die darauf aufbau-
ende Regelung ist in Kapitel 6.3 beschrieben.
45
4.2 Magnetfederantrieb
Bei dem Magnetfederantrieb wird ein permanentmagnetischer Läufer aufgrund der Wechsel-
stromansteuerung der Statorspulen zu Schwingungen angeregt. Die Rückstellung erfolgt hier-
bei jedoch über magnetische Federn wie sie in Abschnitt 3.3.2 beschrieben wurden und nicht
über mechanische Schraubenfedern. Daraus ergeben sich entscheidende Vorteile.
Erstens bestimmt der Abstand der Statormagnete der Magnetfeder die Federsteifigkeit. Der
Magnetabstand lässt sich beim aufgebauten Labormuster manuell einstellen und arretieren.
Kleine Statormagnetabstände führen, wie in Abschnitt 3.3.2 gezeigt, zu einer großen Federstei-
figkeit und dadurch auch zu einer höheren Resonanzfrequenz. Die Verwendung der Magnet-
feder ermöglicht somit eine manuelle Einstellung der Resonanzfrequenz und damit einen effi-
zienten Betrieb in einem weiten Frequenzbereich.
Zweitens ist im Vergleich zu mechanischen Federn mit einer geringeren Dämpfung zu rechnen,
da bei mechanischen Federn stets Reibung in den Führungselementen auftritt. Daraus folgt auch
unmittelbar ein geringerer Verschleiß der Magnetfeder. Insbesondere da sich in den Vorent-
wicklungen zeigte, dass der Bruch der mechanischen Rückstellfedern eine Hauptursache für
das Versagen der Antriebe darstellt, lässt sich hier großes Potential zur Erhöhung der Lebens-
dauer der Antriebe ausmachen.
Grundsätzlich lässt sich die Magnetfeder als ein vom Antrieb unabhängiges Modul konzipieren
und axial an einen Antrieb ohne Rückstellfeder ankoppeln. Die Auslegung der magnetischen
Rückstellfeder erfolgt hier unabhängig vom eigentlichen Antrieb, sie muss die erforderliche
Steifigkeit liefern, sodass die gesamte Läufermasse, d. h. die Masse des Antriebsläufers und die
Masse des Läufers des Federmoduls mit der gewünschten Resonanzfrequenz betrieben werden
kann.
Die in der Abbildung 4-19 oben gezeigte axiale Aneinanderreihung der beiden funktionalen
Komponenten geht allerdings mit einem deutlich erhöhten Bauraum einher. Alternativ lässt
sich, wie in der Abbildung 4-19 unten dargestellt, der bewegliche Permanentmagnet der mag-
netischen Feder direkt als Antriebsläufer nutzen. Es wird also ein wie in Kapitel 4.1.1 beschrie-
bener Antrieb mit bewegtem Hartmagneten entworfen, wobei die mechanischen Rückstellfe-
dern durch die magnetische Federung ersetzt sind. Hierbei ist die Auslegung des elektromecha-
nischen Systems komplexer, da keine vollständig getrennte Betrachtung von Rückstell- und
Antriebsfunktionalität möglich ist. Das Potential der Einsparung von axialem Bauraum ist je-
doch gegenüber einer getrennten Ausführung von Feder und Antrieb so groß, dass dieses
Konzept umgesetzt wird.
46
Abb. 4-19 Verschiedene Konzepte zur Realisierung des Magnetfederantriebs
oben: serielle Anordnung der Magnetfeder und des eigentlichen Antriebs
unten: geringerer Bauraum durch Integration der Funktionen
4.2.1 Dynamisches Modell
Die Modellierung des Systemverhaltens basiert auf der mechanischen Bewegungsgleichung
( ) ( )
L c a
m x d x F x F x,i + + =
(4-4)
mit der Läufermasse
L
m
und der Dämpfungskonstanten
d
. Die Federkraft
( )
c
Fx
und die An-
triebskraft
( )
a
F x,i
stellen die entscheidenden Kräfte für das dynamische Verhalten des An-
triebs dar und werden unter Zuhilfenahme numerischer Feldberechnungen gestaltet. Die im
Folgenden beschriebene elektromagnetische Auslegung liefert damit neben der Geometrie der
magnetisch relevanten Teile des Antriebs außerdem die Charakterisierung der beiden Kräfte
c
F
und
a
F
. Für die Simulation des Antriebsverhaltens auf Basis der Gleichung (4-4) bietet es sich
an, die numerischen Kraftverläufe durch einfache analytische Funktionen zu approximieren. Im
Zuge der Feldberechnungen zeigte es sich, dass die Federkraft sehr gut als kubische Funktion
( )
( )
3
c 0 1
F x c x c x= − +
(4-5)
darstellbar ist. Die Antriebskraft verhält sich nach dem Lorentzprinzip proportional zum Spu-
lenstrom und weist eine Wegabhängigkeit auf, die im Bereich der Läuferauslenkung gut durch
eine quadratische Funktion
( ) ( )
2
a0
k
x
F x,i k x i k 1 i
l
= = −
(4-6)
approximiert werden kann. Die Parameter
0
c
,
1
c
,
0
k
und
k
l
in den Gleichungen (4-5) und (4-6)
werden aus den im Folgenden beschriebenen numerischen Feldberechnungen extrahiert. Die
Läufermasse
m
ist ebenfalls leicht aus der Massendichte und dem Volumen der Einzelkompo-
47
nenten zu bestimmen. Die Dämpfungskonstante beinhaltet die Dämpfungseffekte aus der La-
gerreibung, den Wirbelstromverlusten sowie der Dämpfung der durch den Läufer bewegten
Luft. Die Luftdämpfung lässt sich nur abschätzen. Hierfür wurden die experimentell ermittelten
Amplitudenfrequenzgänge der bereits vorgestellten Labormuster aus den Vorstudien herange-
zogen. Aus deren Resonanzüberhöhung kann man die Dämpfung bestimmen.
Wird der Spulenstrom als Systemeingang angesehen, beschreiben die aufgeführten Gleichun-
gen das Verhalten vollständig. Die Vorgabe einer Spannung ist jedoch praktisch einfacher zu
realisieren. In diesem Fall ist das elektrische Verhalten durch die Spannungsgleichung
( )
di
R i L k x x u
dt
+ + =
(4-7)
gekennzeichnet. Hierbei wird die Induktivität
L
vereinfachend, jedoch in guter Näherung als
konstant betrachtet. Die Aktorspannung
u
teilt sich in einen am Ohm’schen Widerstand der
Spulen abfallenden Anteil, einen Anteil aufgrund der Selbstinduktion in den Spulen und einen
Anteil durch die Bewegungsinduktion auf.
4.2.2 Elektromagnetische Auslegung
Die Auslegung der elektromagnetischen Komponenten umfasst die geometrische Gestaltung
des Läufermagneten, die Dimensionierung der Statormagneten für die Federwirkung, die Ge-
staltung der Spulen und die Bemessung des Rückschlussjochs sowie die Werkstoffauswahl aller
Komponenten des magnetischen Kreises. Im Gegensatz zu anderen in dieser Arbeit betrachte-
ten Antrieben ist beim Magnetfederantrieb nicht nur die Antriebskraft Bestandteil der elektro-
magnetischen Auslegung, sondern darüber hinaus auch die Gestaltung der Rückstellkennlinie
der magnetischen Feder. Diese beiden Teilaufgaben sind ineinander verzahnt, da insbesondere
die Form des Läufermagneten sowohl die Rückstellkraft als auch die Antriebskraft beeinflusst.
Hier wurde zunächst die Auslegung der Rückstellkennlinie betrachtet, da sie über das mecha-
nische Schwingverhalten des Antriebs entscheidet. Die Geometrie der Spulen wird dann weit-
gehend auf die Geometrie des Läufermagneten angepasst.
Bei der Erstellung des FE-Modells des Antriebs nutzt man die Rotationssymmetrie aus, sodass
die Berechnung in 2D (Polarkoordinaten) erfolgen kann. Für die Feldberechnung sind nur die
das Magnetfeld beeinflussenden Bauteile: Läufermagnet, Statormagneten, Spulen und Rück-
schluss, relevant. Andere Komponenten wie die Lager oder die Läuferachse haben aufgrund
ihrer paramagnetischen Werkstoffeigenschaften keinen nennenswerten Einfluss auf das mag-
netische Feld und werden daher nicht berücksichtigt. Das FE-Modell sowie die Resultate der
Feldberechnungen sind in der Abbildung 4-20 dargestellt, wobei die Intensität der Färbung in
der oberen Hälfte den Betrag der magnetischen Flussdichte wiedergibt. In der unteren Hälfte
sind die magnetischen Feldlinien zu sehen. Auf weichmagnetische Polschuhe für den Läufer-
magneten wurde hier bewusst verzichtet. Diese führen ab einer gewissen Breite dazu, dass der
Läufermagnet trotz der entgegengesetzten Magnetisierung von den Statormagneten angezogen
statt abgestoßen wird und somit die magnetische Feder unwirksam wird. Die mit dem Verzicht
auf Polschuhe einhergehende Verringerung der Antriebskraft ist in diesem Fall zu tolerieren,
da die Funktionsfähigkeit der Magnetfeder für das Antriebskonzept entscheidend ist.
48
Abb. 4-20 Feldberechnung zum Magnetfederantrieb, links: Läufermagnet in Mittelposition,
rechts: Läufermagnet um 3 mm nach rechts ausgelenkt
In der Abbildung 4-20 ist zu erkennen, dass einige Feldlinien des Läufermagneten in der aus-
gelenkten Lage nicht von den Spulen erfasst werden. Das liegt daran, dass die Spulen recht kurz
ausgeführt sind, worauf weiter unten noch eingegangen wird.
Anhand eines FE-Modells lassen verschiedene Optimierungsrechnungen die Gestaltung der
Geometrie unter Einhaltung der Randbedingungen hinsichtlich des Bauraums und der maxima-
len Verlustleistung zu. Die kritische Anforderung hierbei besteht darin, bei einem maximal
erreichbaren Hub von 8 mm Resonanzfrequenzen von 90 Hz ± 30 Hz zu erreichen. Der Aufbau
der magnetischen Feder entspricht dem in Kapitel 3.3.2 beschriebenen. Der geforderte Maxi-
malhub begrenzt demnach die maximal erreichbare Steifigkeit der Magnetfeder und damit die
maximal erreichbare Resonanzfrequenz des Antriebs. Um die Anzahl der durch Optimierungs-
rechnungen festgelegten Parameter zu begrenzen, werden Stator- und Läufermagnete als Hohl-
zylinder mit identischen Abmaßen ausgeführt.
Die Resonanzfrequenz ergibt sich aus der effektiven Federsteifigkeit der Magnetfeder und der
Läufermasse, die sich aus der Masse der Antriebsachse und der Masse des Läufermagneten
zusammensetzt. Die Antriebsachse stellt hierbei im Gegensatz zum Läufermagneten eine „pas-
sive“ Masse in dem Sinne dar, dass sie nicht zur Rückstellkraft der Magnetfeder beiträgt. Zur
Erreichung hoher Resonanzfrequenzen ist somit der Anteil der Masse des Läufermagneten an
der gesamten bewegten Masse möglichst groß zu wählen. Daraus ergibt sich ein gewisser Min-
destdurchmesser für den Läufermagneten. Der Außendurchmesser des Läufermagneten wird
anhand dieser Überlegungen auf 12 mm festgelegt, da sich für deutlich geringere Außendurch-
messer keine ausreichenden Rückstellkräfte erzeugen lassen. Bei größeren Außendurchmessern
als 12 mm bleibt durch den begrenzten radialen Bauraum zu wenig Platz für die Antriebsspulen,
was sich in zu geringen Antriebskräften äußert. Der Innendurchmesser der Permanentmagnete
beträgt, bedingt durch den Wellendurchmesser, vier Millimeter. Damit verbleibt die Länge der
Permanentmagnete als die zu optimierende Größe.
Die Festlegung der Länge der Permanentmagnete erfolgte anhand parametrischer Analysen mit
dem FEM-Softwarepaket Ansys Maxwell durch Variation der Magnetlängen und der Stator-
magnetabstände. Daraus ergeben sich die Federkennlinien, aus denen mit den Massen des
Läufermagneten und der Antriebsachse die Resonanzfrequenz berechnet wird. Hierbei ist zu
beachten, dass die Resonanzfrequenz aufgrund der nichtlinearen Federkennlinie von der
Schwingungsamplitude
ˆ
x
abhängt. Wie eingangs beschrieben, lassen sich die Federkennlinien
sehr gut durch kubische Funktionen annähern. Dies wird aus der Abbildung 4-21 ersichtlich, in
der die durchgezogenen Kurven die kubische Approximation der Kräfte bei verschiedenen
49
Abständen
b
der Statormagnete aus der FEM-Berechnung (Kreuze in der Abbildung 4-21) dar-
stellen.
Abb. 4-21 Durch FEM ermittelte Federkennlinien und analytische Näherung
für verschiedene Statormagnetabstände
Eine kubische Nichtlinearität lässt sich mit der Methode der Beschreibungsfunktion durch einen
linearen Term approximieren, der von der Schwingungsamplitude
ˆ
x
abhängt [GVV68], siehe
auch Anhang 10.2. Eine Näherung für die Eigenfrequenz, welche in unmittelbarer Nähe der
Resonanzfrequenz liegt, ergibt sich durch
2
0
01
LL
1
fcc
2
3ˆ
x
m 4 m
+
(4-8)
Die nach Gleichung (4-8) bestimmten Resonanzfrequenzen wurden für einen Hub von 4 mm
berechnet. Diese sind in der Abbildung 4-22 über den axialen Bauraum der Magnetfeder auf-
getragen. Es ist zu erkennen, dass die maximal erreichbare Resonanzfrequenz für wachsende
Magnetlängen zunächst zunimmt, um ab etwa acht Millimeter wieder leicht abzufallen. Längere
Magnete führen ab diesem Punkt also zu einer größeren axialen Länge des Antriebs, ohne dass
höhere Resonanzfrequenzen erreichbar sind. Ausgehend von diesen Überlegungen wird eine
Magnetlänge von
t 7 mm=
gewählt. Die bei
t 7 mm=
in der Abbildung 4-22 eingezeichnete
dicke Linie zeigt weiterhin die Abnahme der Resonanzfrequenz bei zunehmenden Abständen
der Statormagnete.
Abb. 4-22 Berechnete Resonanzfrequenzen für verschiedene Läufermagnetlängen
50
Die Auslegung der Spulen erfolgt ebenfalls mit der Unterstützung durch numerische Feldbe-
rechnungen. Der minimale Innendurchmesser der konzentrischen Zylinderspulen ergibt sich
aus dem bereits festgelegten Außendurchmesser des Läufermagneten. Hinzu kommen noch ein
Luftspalt mit einer radialen Abmessung von 0,1 mm sowie die radiale Ausdehnung des Spu-
lenträgers aus POM, dessen minimale Wandstärke fertigungstechnisch auf 0,5 mm festgelegt
ist. Der Außendurchmesser der Spulen ist durch den Rückschluss auf 17 Millimeter begrenzt,
da dieser mindestens eine Dicke von einem Millimeter haben muss, andernfalls kommt es zur
Sättigung des weichmagnetischen Werkstoffs. Der Außendurchmesser des Rückschlusses
wurde gemäß den Anforderungen in Abschnitt 4.1 auf maximal 19 Millimetern festgelegt.
Wie bei den Permanentmagnetantrieben wird im Folgenden exemplarisch die Vorgehensweise
zur Festlegung der Spulenlänge geschildert.
Grundsätzlich hat eine längere Ausführung der Spulen den Vorteil, dass die auf den Läufer
wirkende Antriebskraft unabhängig von der Läuferposition ist. Dies vereinfacht die Steuerung
und Regelung des Antriebs, da sich der Zusammenhang zwischen Strom und Läuferkraft linear
und wegunabhängig gestaltet. Jedoch ist hierbei ein größerer Anteil der Spule nicht vom Läu-
fermagnetfeld durchsetzt. In diesem inaktiven Bereich wird elektrische Verlustleistung dissi-
piert, ohne dass eine Antriebskraft entsteht. Dadurch verringert sich die Effizienz. Zur Festle-
gung einer sinnvollen Spulenlänge wird als Optimierungskriterium die auf den Läufer wirkende
Kraft bei einer gegebenen Ohm’schen Verlustleistung in den Spulen gewählt, da sich diese
direkt auf die Erwärmung des Antriebs auswirkt.
Die bei statischer Bestromung in einer Spule mit dem Innendurchmesser
i,Spule
d
, dem Außen-
durchmesser
a,Spule
d
und der Länge
Spule
l
anfallende Verlustleistung ergibt sich bei einer als
konstant angenommenen Stromdichte
j
und dem spezifischen elektrischen Widerstand
el
zu
( )
2 2 2 2
el el el a,Spule i,Spule Spule
P j dV j d d l
4
= = −
(4-9)
Somit ist die maximale Stromdichte in einer Spule bei gegebener Verlustleistung
el
P
als
( )
el
22
el a,Spule i,Spule Spule
P
j
d d l
4
=
−
(4-10)
zu wählen. Bei einer längeren Spule fällt die zulässige Stromdichte dementsprechend geringer
aus. Die Abbildung 4-23 zeigt, dass Spulen mit einer größeren Länge als sieben Millimeter zu
einer geringeren Kraft bei gleicher elektrischer Leistung führen. Die Spulenlänge wird somit
auf sieben Millimeter festgelegt. Es ist anzumerken, dass diese recht kurzen Spulen bei großen
Läuferauslenkungen nicht mehr alle Feldlinien des Läufers erfassen, siehe Abbildung 4-20.
Dies äußert sich auch in einer zu großen Läuferauslenkungen hin abfallenden Kraft-Kennlinie,
siehe Abbildung 4-24. Eine negative Wirkung auf das Systemverhalten bleibt allerdings aus,
was sich wie folgt erklären lässt: In der Nähe der Resonanzfrequenz besteht ein Phasenversatz
von etwa 90° zwischen dem Verlauf der Antriebskraft und dem Verlauf der Läuferposition. Die
Antriebskraft wirkt also vorwiegend dann, wenn sich der Läufer in der Nähe des Nulldurch-
gangs befindet, während zu den Zeitpunkten, in denen der Läufer maximal ausgelenkt ist, der
Strom bzw. die stromproportionale Antriebskraft ohnehin annähernd gleich Null ist.
51
Abb. 4-23 Läuferkraft bei einer Leistung von 1 W für verschiedene Spulenlängen
Damit sind die geometrischen Abmaße der für die Funktion entscheidenden Komponenten fest-
gelegt.
Die anhand von FEM-Rechnungen erhaltene Kraft-Weg-Charakteristik der Antriebskraft lässt
sich wie in der Abbildung 4-24 zu sehen im relevanten Auslenkungsbereich sehr gut durch eine
quadratische Funktion nach der Gleichung (4-6) approximieren. Diese Darstellung vereinfacht,
wie eingangs beschrieben, die Simulation des Systemverhaltens auf Basis der Differentialglei-
chungen.
Abb. 4-24 Kraft-Weg-Kennlinie des Magnetfederantriebs bei einer Stromdichte von 10 A/mm²
Aus den geschilderten numerischen Feldberechnungen wurden also neben der Geometrie der
magnetisch relevanten Komponenten insbesondere die Rückstellkennlinie als kubische und die
Antriebskraft als quadratische Funktion der Läuferauslenkung gewonnen, die durch die beiden
Parameter
0
c
und
1
c
aus der Gleichung (4-5), bzw.
0
k
und
k
l
aus der Gleichung (4-6) festge-
legt sind.
Die Induktivität der Antriebsspulen lässt sich ebenfalls mit Ansys Maxwell bestimmen. Sie ist
unabhängig von der Läuferposition, da der Läufer nur aus Permanentmagnetwerkstoff und
Edelstahl besteht (
r1
für beide Werkstoffe). Der Ohm’sche Widerstand der Spulen lässt
sich aus den geometrischen Abmaßen der Spulen und dem gewählten Draht berechnen.
Die Bestimmung dieser Parameter erlaubt eine Simulation des Systemverhaltens in Matlab auf
Grundlage der beschreibenden Differentialgleichung (4-4). Hierbei wird das System aus der
52
Ruhelage mit einer sinusförmigen Spannung angeregt und die Systemgleichungen so lange nu-
merisch mittels eines Runge-Kutta-Verfahrens integriert, bis sich ein stationärer Schwingungs-
zustand mit konstanter Amplitude einstellt. Wiederholt man diesen Vorgang für verschiedene
Anregungsfrequenzen und Spannungsamplituden, ergeben sich Frequenzgänge, die in der Ab-
bildung 4-25 dargestellt sind. Während die durchgezogenen Linien die Ergebnisse der Modell-
rechnungen des Antriebsverhaltens für
b 12,5 mm=
(halber Statormagnetabstand nach der Ab-
bildung 3-8) zeigen, sind die strichlierten Linien mit
b 15,5 mm=
berechnet. Dies sind zwei
der Abstände, die sich beim Labormuster einstellen und arretieren lassen. Hier wird erneut die
Möglichkeit der einstellbaren Resonanzfrequenz deutlich. Die anhand der Modellrechnungen
erhaltenen Resonanzamplituden fallen bei hoher Resonanzfrequenz geringer aus, da die Ver-
lusteffekte mit größerer Frequenz ebenfalls größer werden. So ist der mittlere Betrag der
geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung bei doppelter Frequenz und gleicher Amplitude
beispielsweise doppelt so groß.
Abb. 4-25 Simulierte Amplitudenfrequenzgänge des Magnetfederantriebs bei verschiedenen
Spannungsamplituden und zwei fest eingestellten Abständen der Statormagnete
In der Umgebung der Resonanzfrequenz ist die Lösung für die Systemgleichungen nicht immer
eindeutig. Es ergeben sich in diesem Bereich zwei stabile Lösungen und die Anfangsbedingun-
gen entscheiden darüber, welche Lösung sich stationär einstellt. Da auch Störungen wie z.B.
zusätzliche, temporär auftretende Kräfte als Veränderung der Anfangsbedingungen interpretiert
werden können, führen auch diese möglicherweise zu einer Änderung der stationären Lösung.
In der Abbildung 4-26 sind die Auswirkungen unterschiedlicher Anfangsbedingungen auf die
stationäre Lösung dargestellt, wobei im praktischen Einsatz vor allem die Anfangsbedingungen
innerhalb der roten Kästen relevant sind. In jeder Teilabbildung ist die stationäre Schwingungs-
amplitude in Abhängigkeit der Anfangsauslenkung und -geschwindigkeit bei einer festen An-
regungsfrequenz gezeigt. Im ersten Fall ist die stationäre Schwingungsamplitude noch unab-
hängig von den Anfangsbedingungen. Bereits bei einer Erhöhung der Frequenz auf 99 Hz in
der zweiten Abbildung ergeben sich zwei verschiedene Schwingungsamplituden, je nach Wahl
der Anfangsbedingungen. Schließlich tritt bei 103 Hz nur noch eine geringe Schwingungsamp-
litude auf. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich nach einer temporären Störung die geringe
Schwingungsamplitude einstellt, steigt demnach mit wachsender Frequenz.
53
Ein Betrieb, bei dem die Schwingungsamplitude stationär nicht durch Störungen beeinflusst
wird, ist nur bis zu einer Frequenz von 97 Hz gewährleistet. Bei höheren Frequenzen muss eine
stabilisierende Regelung zum Einsatz kommen, um die Schwingungsamplitude konstant zu hal-
ten.
Abb. 4-26 Stationäre Schwingungsamplituden für verschiedene Anfangsbedingungen,
Statormagnetabstand 29 mm
4.2.3 Konstruktion
Das Labormuster des Magnetfederantriebs wurde mit dem Ziel entworfen, das Funktionsprinzip
der Magnetfeder zu validieren und die Möglichkeit der Resonanzverstellung durch die Verän-
derung des Statormagnetabstands zu demonstrieren. Eine Schnittansicht des CAD-Modells ist
in der Abbildung 4-27 dargestellt.
Abb. 4-27 CAD-Schnittbild des Magnetfederantriebs
54
Die Arretierung der Statormagnete erfolgt beim Labormuster durch radiale Feststellschrauben,
die in der Abbildung 4-27 nicht gezeigt sind. Die Verschiebung der Statormagnete muss sym-
metrisch erfolgen, damit der Läufer im unbestromten Zustand in einer unveränderten Mittelpo-
sition liegt. Zwar bietet es sich an, die Verschiebung beider Statormagnete über eine einzige
Einstellvorrichtung unter der Verwendung eines Gewindetriebs mit Rechts- und Linksgewinde
zu realisieren. Für das Labormuster wurde jedoch darauf verzichtet, da der Machbarkeitsnach-
weis der Resonanzverstellung im Vordergrund stand. Die Einstellung und Arretierung der bei-
den Statormagnete erfolgt somit manuell und unabhängig voneinander.
Die Gleitlagerung wurde insbesondere aufgrund der niedrigen Reibwerte von
0,06 - 0,2=
und der hohen zulässigen Gleitgeschwindigkeit von
G
v 8 m/s=
aus dem polymeren Gleitlager-
werkstoff Iglidur J gewählt [Igu19]. In die Lager sind außerdem die Statormagnete eingeklebt.
Beide Lager lassen sich manuell im Rückschlussrohr verschieben und in festgelegten Positio-
nen mittels radialer Schrauben arretieren. Die in der Abbildung 4-27 als Gleitlager bezeichneten
Komponenten übernehmen also neben der Bereitstellung der Gleitfläche weitere Aufgaben.
Das Rückschlussrohr ist aus Permenorm 5000 H2 gefertigt und mit einem axialen Schlitz ver-
sehen, durch welchen die Spulenzuleitungen herausgeführt werden. Der Schlitz erstreckt sich
über fast die gesamte Länge des Rückschlusses, um die Dämpfung des Läufers durch Wirbel-
ströme zu vermindern, siehe Abschnitt 3.1.
In der Abbildung 4-28 ist das Labormuster des Magnetfederantriebs dargestellt.
Abb. 4-28 Labormuster des Linearantriebs mit Magnetfeder
4.2.4 Experimentelle Untersuchungen
Das Labormuster aus der Abbildung 4-28 wurde eingehend experimentell untersucht. Dadurch
ließen sich die Systemeigenschaften bzw. -parameter identifizieren, um den Entwicklungspro-
zess weiter zu unterstützen. Die tatsächlichen Systemparameter sind entscheidend für die Aus-
legung einer Regelung und zur Berechnung der optimierten Ansteuerung, siehe Kapitel 6.1.2.
Zur Aufnahme der Amplitudenfrequenzgänge wird der Antrieb zwei Sekunden lang mit einer
sinusförmigen Spannung beaufschlagt, bis sich ein stationärer Schwingungszustand einstellt.
Der Hub dieser stationären Schwingung wird erfasst, anschließend die Frequenz der Spannung
erhöht und der Vorgang wiederholt. In der Abbildung 4-29 sind die Amplitudenfrequenzgänge
für drei verschiedene Spannungsamplituden und zwei verschiedene Statormagnetabstände dar-
gestellt. Die Wirksamkeit der Resonanzverstellung wird an dieser Stelle deutlich. Im Vergleich
zu den Frequenzgängen aus den Simulationsrechnungen der Abbildung 4-25 fällt auf, dass die
Resonanzfrequenzen beim Labormuster etwas höher sind als erwartet. Dies lässt sich
55
vermutlich auf eine stärkere Magnetisierung der Statormagnete im Vergleich zum Datenblatt
zurückführen.
Abb. 4-29 Experimentell bestimmte Frequenzgänge des Magnetfederantriebs bei zwei
unterschiedlichen Statormagnetabständen für verschiedene Spannungen
Durch die nichtlineare Federkennlinie ist bei besonders großen Hüben zu beobachten, dass im
Bereich der Resonanz teilweise zwei verschiedene Schwingungszustände mit unterschiedlichen
Hüben auftreten. Dies wurde durch Modellrechnungen mit verschiedenen Anfangsbedingungen
bereits in der Abbildung 4-26 gezeigt und durch die in der Abbildung 4-30 dargestellten Mes-
sungen bestätigt.
Bei der Messung mit einer Dauer von 100 Sekunden wurde der Frequenzgang mit einer Aktor-
spannung in Form eines Chirp-Signals aufgenommen, wobei sich die Frequenz linear mit der
Zeit von 90 Hz auf 120 Hz erhöht. Anschließend wird die gleiche Messung mit sich verringern-
der Frequenz durchgeführt. Die langsame Variation der Frequenz gewährleistet, dass sich der
Antrieb bei steigender Frequenz möglichst lange im Schwingungsmodus mit großem Hub auf-
hält, bis der Hub schlagartig abfällt. Umgekehrt verbleibt der Antrieb bei sinkender Frequenz
lange im Schwingungsmodus mit geringem Hub, bis dieser schlagartig ansteigt. Dieses Sprung-
phänomen tritt nur auf, wenn die Nichtlinearität der magnetischen Federn einen deutlichen
Einfluss hat, also bei großen Hüben des Läufers, siehe Abbildung 4-31. Im praktischen Einsatz
ist die Spannungssteuerung gegebenenfalls durch eine geeignete Regelung zu erweitern, um
auch bei großen gewünschten Hüben einen stabilen Betrieb zu gewährleisten.
56
Abb. 4-30 Messung des Frequenzgangs im Bereich der Resonanz für
steigende (blau) und fallende (rot) Anregungsfrequenzen
Abb. 4-31 Frequenzgänge für verschiedene Spannungen
Temporär auftretende, externe Störungen des Systems lassen sich ebenfalls als Änderung der
Anfangsbedingungen interpretieren. Somit ist es möglich, dass das System durch eine Störung,
beispielsweise die Belastung beim Einstich in die Haut, von einem in den anderen Schwin-
gungsmodus wechselt. Zur robusten Aufrechterhaltung des gewünschten Schwingungsmodus
ist also eine Regelung vorzusehen.
Den aus der nichtlinearen Systemdynamik resultierenden Herausforderungen stehen beim Mag-
netfederantrieb große Vorteile im Vergleich mit Antrieben mit mechanischen Federn gegen-
über. Die Einstellung der Resonanzfrequenz durch Variation des Statormagnetabstands bietet
insbesondere die Möglichkeit, den Antrieb in einem großen Frequenzbereich effizient zu be-
treiben. Weiterhin führt die geringe Anzahl beweglicher Komponenten und der Verzicht auf
reibungs- und verschleißbehaftete mechanische Federn in Kombination mit der reibungsarmen
Gleitlagerung zu geringen Verlusten und damit zu einer geringen Erwärmung im Betrieb. So
zeigt der Magnetfederantrieb in der Konfiguration mit einer Resonanzfrequenz von 110 Hz bei
einem Hub von 4 mm nur eine Verlustleistung von ca. 0,5 Watt.
57
4.3 Doppelläuferantrieb
Die in Kapitel 4.1 vorgestellten Antriebskonzepte zeigten, dass die Vibrationen des Gehäuses
kritisch sind. Daher wurde als Maßnahme zur Reduktion der Vibrationen die Möglichkeit un-
tersucht, einen zweiten Läufer in den Antrieb zu integrieren, welcher durch seine antagonisti-
sche Bewegung die Schwingungen des Gehäuses dämpft. Die zweite Läufermasse wird hierbei
als Gegenläufer bezeichnet. Diese kann sich unabhängig von der eigentlichen Läufermasse be-
wegen. Die Umsetzung dieser Antriebsvariante, im Folgenden als Doppelläuferantrieb bezeich-
net, besteht aus einem Linearantrieb, der über zwei unabhängig voneinander bewegliche, aktiv
zum Schwingen angeregte Läufermassen verfügt. Führen diese beiden Massen gegenphasige
Schwingungen aus, lassen sich die Gehäuseschwingungen auf ein Minimum reduzieren. Die
elektromagnetische Auslegung deckt sich in großen Teilen mit der im Abschnitt 4.1.1, da es
sich beim Doppelläuferantrieb um zwei Läufersysteme nach diesem Antriebsprinzip handelt.
Im Vergleich zu den in den vorangegangenen Kapiteln vorgestellten Antrieben kommt jedoch
beim Doppelläuferantrieb mit dem Gegenläufer ein zusätzlicher mechanischer Bewegungsfrei-
heitsgrad hinzu, sodass sich die Analyse der Systemdynamik etwas aufwendiger gestaltet. Es
existiert nicht mehr nur eine Eigenfrequenz, sondern zwei, wenn eine elastische Kopplung des
Gehäuses an die Umgebung mit in Betracht gezogen wird sogar drei. Jeder Eigenfrequenz ist
eine Eigenform zugeordnet, welche die freie Bewegung der Massen zueinander beschreibt.
Beim Doppelläuferantrieb ist es das Ziel, eine Eigenform zu erzeugen und gezielt anzuregen,
bei der Läufer und Gegenläufer gegenphasig schwingen und das Gehäuse möglichst in Ruhe
verbleibt, wobei die zugehörige Eigenfrequenz der Betriebsfrequenz entspricht. Anhand eines
mechanischen Ersatzmodells werden zunächst die Eigenfrequenzen berechnet, um damit die
Auslegung der rückstellenden Federn festzulegen. Hierbei wird auch die Gehäusebewegung als
zusätzlicher Freiheitsgrad zugelassen, um die Wirksamkeit der Vibrationsreduktion einschätzen
zu können.
4.3.1 Federanordnungen
Es kommen für das mechanische Ersatzmodell, welches gleichzeitig die Grundlage für die Kon-
struktion des Doppelläuferantriebs darstellt, verschiedene Anordnungen von Federn und
Massen infrage. Hier werden drei Massen betrachtet: Die Läufermasse
1
m
, deren Bewegung
nach außen an die Nadel übertragen wird, die Gegenläufermasse
2
m
zur Kompensation der
Vibrationen sowie die Gehäusemasse
3
m
. Zwischen allen drei Massen lassen sich rückstellende
Federn einbringen. Zur konsistenten Bezeichnung der Federn bietet es sich an, die Indizes der
durch die Feder gekoppelten Massen zu verwenden. Die Feder, welche die Masse
1
m
mit der
Masse
3
m
verbindet, wird demnach mit
13
c
bezeichnet. Die Kopplung der Gehäusemasse
3
m
an die Umgebung wird mit
33
c
bezeichnet. Das Ersatzmodell ist in der Abbildung 4-32 darge-
stellt.
58
Abb. 4-32 Allgemeines mechanisches Ersatzmodell für den Doppelläuferantrieb, ungedämpft
Die Bewegung des Systems wird durch die drei Differentialgleichungen
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 12 1 2 13 1 3 1
2 2 12 2 1 23 2 3 2
3 3 13 3 1 23 3 2 33 3 1 2
m x c x x c x x F
m x c x x c x x F
m x c x x c x x c x F F
+ − + − =
+ − + − =
+ − + − + = − −
(4-11)
beschrieben. Hierbei stellen
i
x
die Auslenkungen der Massen
i
m
dar,
i
F
sind die anregenden
Kräfte, die Gegenkräfte wirken in umgekehrter Richtung auf die Gehäusemasse
3
m
.
Zur Berechnung der Eigenfrequenzen wird das Differentialgleichungssystem im Zustandsraum
formuliert:
= + x A x B u
(4-12)
Als Zustandsvektor dient
( )
T
1 2 3 1 2 3
x ,x ,x ,x ,x ,x=x
. Die Systemmatrix
A
lässt sich aus der
Massenmatrix
1
2
3
m 0 0
0 m 0
0 0 m
=
M
sowie der Steifigkeitsmatrix
13 12 12 13
12 12 23 23
13 23 13 23 33
c c c c
c c c c
c c c c c
+ − −
= − + −
− − + +
K
berechnen und hat die Form
3 3 3 3
33
=
-1
0I
A-M K 0
(4-13)
Die Eingangsmatrix
32
10
01
11
=
−−
0
B
(4-14)
zeigt die Wirkung des Eingangsvektors
( )
T
12
F,F=u
auf die Zustände des Systems.
m
c
c
c
c
x
m
m
59
Für den Betrieb in Resonanz interessieren, wie im Vorhinein beschrieben, die Eigenfrequenzen,
da in deren Umgebung besonders hohe Hübe erreicht werden. Insbesondere ist hier die Eigen-
frequenz gesucht, die zu der Eigenform gehört, bei der das Gehäuse nicht schwingt. Die Eigen-
frequenzen entsprechen den Eigenwerten der Systemmatrix
A
. Da die sich ergebenden Aus-
drücke recht unübersichtlich sind, geht man zur Auslegung der Federn zunächst einschränkend
davon aus, dass die Federn und Läufermassen gleich sind, was für die praktische Umsetzung
des Antriebs auch aus Kostengründen sinnvoll erscheint. Darüber hinaus ist die Kopplung des
Antriebs an die Umgebung als weich vorausgesetzt.
12
12 13 23
33
m m m
c c c
c0
==
==
=
(4-15)
Ausgehend von diesem vereinfachten Ersatzmodell wurden zwei Konzepte untersucht, die sich
in der Kopplung der beiden Läufer untereinander unterscheiden. Bei Konzept I gelten die Ver-
einfachungen aus der Gleichung (4-15), bei Konzept II sind die Läufer nur an das Gehäuse
gekoppelt, das heißt zusätzlich
12
c0=
. Die beiden Ersatzmodelle der beiden Ansätze sind in
der Abbildung 4-33 aufgeführt.
Konzept I
Konzept II
Abb. 4-33 Federungskonzepte für den Doppelläuferantrieb, links Konzept I, rechts Konzept II
Es ergeben sich jeweils drei Eigenfrequenzen mit zugehörigen Eigenformen, die sich bei beiden
Konzepten unterscheiden. Die im Betrieb gezielt anzuregende Eigenform stellt eine gegenpha-
sige Schwingung der beiden Läufermassen dar, wobei das Gehäuse in Ruhe bleibt. Sie lässt
sich als
( ) ( )
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
x ,x ,x 1,-1,0=
(4-16)
formulieren. Für Konzept I liegt diese Eigenform bei der Eigenfrequenz
I
0,I
3c
1
f2m
=
(4-17)
Für Konzept II hingegen ergibt sich die entsprechende Eigenfrequenz zur Eigenform aus der
Gleichung (4-16) zu
II
0,II
c
1
f2m
=
(4-18)
Um die gleiche Eigenfrequenz zu erreichen, muss demnach bei Konzept II die Federsteifigkeit
dreimal so groß sein wie bei Konzept I. Dieser Unterschied ist weniger für die Schwingungsei-
genschaften wichtig, sondern wirkt sich vielmehr auf das Verhalten unter Belastung des An-
triebs aus.
m
c
c
c
x
m m
m
c
c
x
m m
60
Im Betrieb wirkt auf die Läufermasse
1
m
eine einseitige Belastung durch den Widerstand der
Haut, die zu einer Verschiebung der Mittelposition der Schwingungsbewegung des Läufers
führt, was vom Anwender als ausgeprägter Give wahrgenommen wird. Für die Größe dieser
Verschiebung ist die effektive Federsteifigkeit ausschlaggebend, die sich bei Konzept I aus der
Parallelschaltung der Feder
13
c
mit der Serienschaltung aus
12
c
und
23
c
ergibt und mit den in
der Gleichung (4-15) aufgeführten Vereinfachungen
3
I
2c
beträgt. Bei Konzept II hingegen
wirkt als effektive Federsteifigkeit
13 II I
c c 3 c= =
. Der Antrieb nach Konzept I ist somit dop-
pelt so nachgiebig. Darüber hinaus lässt sich durch die Verwendung von Konzept I Bauraum
sparen, da bei Konzept II die beiden Federn im Ersatzmodell durch jeweils zwei Druckfedern
halber Steifigkeit realisiert werden. So sind bei Konzept I drei Federn vonnöten, bei Konzept II
vier Federn.
Zur praktischen Umsetzung wurde vor allem aufgrund der größeren Nachgiebigkeit des Läufers
bei einseitiger Belastung das Federungskonzept I ausgewählt.
Für den praktischen Einsatz als Stechgerät ist zu berücksichtigen, dass die Federsteifigkeit der
Zugfederdichtung des anzukoppelnden Nadelmoduls
N
c
zu einer Verstimmung des Systems
führt.
N
c
addiert sich zur Federsteifigkeit
13
c
zwischen Läufer und Gehäuse. Dem wurde bei
der Antriebsauslegung dadurch Rechnung getragen, dass für die Feder zwischen Gegenläufer
und Gehäuse eine um
N
c
größere Steifigkeit gewählt wurde. So ergibt sich wieder ein symme-
trisches System.
N
c
wurde durch Messungen ermittelt. Im Hinblick auf die Gehäusevibrationen
ist als problematisch zu bewerten, dass die Federsteifigkeit der Polymerfeder
N
c
fertigungsbe-
dingt großen Schwankungen unterworfen ist. Das Schwingungssystem konnte daher nur auf
eine nominelle Steifigkeit abgestimmt werden. Tritt diese tatsächlich auf, so ergibt sich bei
gleichartiger, gegenphasiger Anregung von Läufer und Gegenläufer im Idealfall eine vollstän-
dige Elimination der Gehäuseschwingungen. Läufer und Gegenläufer schwingen dann gegen-
phasig mit gleicher Amplitude, es ergibt sich ein Frequenzgang wie in der Abbildung 4-34 in
Schwarz dargestellt. Die Abbildung 4-34 zeigt außerdem die Auswirkungen einer vom nomi-
nellen Wert um -20 Prozent abweichenden Steifigkeit der Zugfederdichtung. Bei gleich großer
Anregung von Läufer und Gegenläufer ergeben sich hier unterschiedliche Amplituden für beide
Schwingmassen. Daraus folgt unmittelbar auch eine Vibration des Gehäuses. Außerdem ist zu
beobachten, dass im Bereich von 60 Hz die erste Eigenform angeregt wird. Da sich dieser nu-
merisch ermittelte Frequenzgang qualitativ mit dem experimentell ermittelten Frequenzgang in
der Abbildung 4-37 deckt, ist davon auszugehen, dass beim Experiment die Zugfederdichtung
eine gegenüber dem nominellen Wert verringerte Steifigkeit aufwies. Die Systemparameter für
die numerische Studie sind dem Anhang 10.3 zu entnehmen.
61
Abb. 4-34 Numerisch ermittelte Frequenzgänge für Läufer und Gegenläufer
schwarz: nominelle Steifigkeit der Zugfederdichtung
blau / rot: um 20 % verringerte Steifigkeit der Zugfederdichtung
4.3.2 Konstruktion
Die Abbildung 4-35 zeigt eine CAD-Schnittansicht des Doppelläuferantriebs mit angekoppel-
tem Positionserfassungsmodul, welches im Abschnitt 5.5 beschrieben ist. Die Spulen des
Doppelläuferantriebs sind als freitragende Spulen ausgeführt. Aufgrund negativer Erfahrungen
hinsichtlich der Robustheit werden diese jedoch auf eine dünnwandige Hülse geschoben, um
einer Beschädigung der Isolierung durch den Läufer oder die Federn bei der Montage oder im
Betrieb vorzubeugen. Dafür wird eine kleine Krafteinbuße durch den vergrößerten Luftspalt in
Kauf genommen. Damit die Massen von Läufer und Gegenläufer möglichst gleich sind, ist der
Gegenläufer mit größeren Polschuhen ausgestattet, welche die zusätzliche Masse der Welle
beim Läufer kompensieren. FE-Modellrechnungen zeigten, dass sich durch die verbreiterten
Polschuhe eine zu vernachlässigende Änderung der Antriebskraft ergibt. Als Lager kommen
Polymergleitlager zum Einsatz. Der Gegenschwinger ist auf der Läuferachse gelagert, um axi-
alen Bauraum einzusparen. Der weichmagnetische Rückschluss enthält ein Langloch in axialer
Richtung, welches sich beinahe über die gesamte Länge des Rückschlusses erstreckt. Es dient
zum einen dazu, Platz zur Führung der Spulendrähte ans hintere Ende des Antriebs zu schaffen,
wo sie auf der Platine des Positionserfassungsmoduls verlötet werden. Wie im Abschnitt 3.1.1
beschrieben, führt es außerdem zu einer drastischen Reduktion von Wirbelströmen, welche
durch die Läuferbewegung entstehen.
Abb. 4-35 CAD-Schnittansicht des Doppelläuferantriebs
Die Bauteile eines gefertigten Labormusters des Doppelläuferantriebs ist in der Abbildung 4-36
dargestellt. Zur Montage des Stechgeräts ist die montierte und mit dem Sensormodul zur
62
Positionserfassung ausgestattete Antriebseinheit in das geteilte Gehäuse zu schieben, welches
sich durch eine Verschraubung fixieren lässt.
Abb. 4-36 Bauteile des Doppelläuferantriebs
oben: weichmagnetischer Rückschluss
Mitte: Sensormodul zur Positionserfassung und Antriebsspulen
unten: Doppelläufer-Baugruppe
4.3.3 Experimentelle Untersuchungen
Die in der Abbildung 4-37 dargestellten Frequenzgänge zeigen die ausgeprägte Resonanz des
Systems. Es lassen sich Hübe bis acht Millimeter erreichen. Außerdem fällt auf, dass bei einer
Frequenz von etwa 63 Hz die Läuferschwingung beinahe zum Erliegen kommt. Dies ist dadurch
zu erklären, dass die Massen-, Steifigkeits- und Dämpfungsparameter von den Werten abwei-
chen, die zur Auslegung des Schwingsystems genutzt wurden. Die größte Unsicherheit stellt
hierbei die Steifigkeit der Zugfederdichtung dar, deren Einfluss bereits in der Abbildung 4-34
dargestellt ist.
Abb. 4-37 Frequenzgänge des Doppelläuferantriebs für verschiedene Spannungsamplituden
64
4.4 Antrieb mit Vormagnetisierung
Bei der Entwicklung des Antriebs mit Vormagnetisierung handelt es sich um den Versuch, die
Nachteile des in Abschnitt 4.1.3 beschriebenen Reluktanzantriebs zu überwinden, bei denen es
sich in erster Linie um die ungenügende Effizienz und daraus folgend die starke Eigenerwär-
mung, sowie die im Vergleich zu den anderen Antriebskonzepten aufwändigere zweiphasige
Ansteuerung handelt.
Im Gegensatz zum Reluktanzantrieb aus den Vorstudien sind beim Antrieb mit Vormagnetisie-
rung Permanentmagnete im Stator untergebracht, welche auch im stromlosen Zustand ein Luft-
spaltfeld erzeugen. Das Funktionsprinzip wurde bei [Wan96] vorgestellt und in [Obe02] wei-
terentwickelt. Es basiert darauf, dass durch die Statorpermanentmagnete zunächst ein
symmetrisches Magnetfeld entsteht, sodass sich die in den beiden Luftspalten auftretenden Re-
luktanzkräfte gegenseitig aufheben. Durch eine Bestromung der Antriebsspulen entsteht zu-
sätzlich ein Magnetfeld. Dieses verstärkt das bestehende Magnetfeld in einem Luftspalt, wäh-
rend es im anderen Luftspalt dem bestehenden Magnetfeld entgegen gerichtet ist. Aus der
Differenz der beiden Reluktanzkräfte ergibt sich eine Resultierende, die den Läufer antreibt.
Bei der in der Abbildung 4-38 links dargestellten Anordnung aus [Obe02] besteht der magne-
tisch wirksame Teil des Läufers aus zwei axial außerhalb des Stators befindlichen Platten.
Bedingt durch die große Querschnittsfläche des Luftspalts lassen sich sehr hohe Kräfte erzeu-
gen, der Hub ist jedoch begrenzt. Darüber hinaus entsteht selbst ohne Bestromung eine starke
Reluktanzkraft, wenn sich der Läufer außerhalb der Mittelposition befindet. Um das Funktions-
prinzip an die gegebene Anwendung anzupassen, wurde die Geometrie des magnetischen Krei-
ses daher grundlegend überarbeitet. Der Läufer wurde nach innen verlagert, sodass sich die
bewegte Masse gegenüber der Ausgangsgeometrie stark verringert. Die Luftspaltgeometrie
wurde in einer Vielzahl von Feldberechnungen so optimiert, dass im unbestromten Zustand die
Reluktanzkraft möglichst verschwindet.
Abb. 4-38 Funktionsprinzip des Antriebs mit Vormagnetisierung
links: Anordnung nach [Obe02]
rechts: angepasste Geometrie
65
4.4.1 Elektromagnetische Auslegung
Anhaltspunkte zur Magnetkreisauslegung erhält man durch das stark vereinfachte magnetische
Ersatzschaltbild in der Abbildung 4-39, in dem sämtliche magnetischen Widerstände der
weichmagnetischen Komponenten sowie Streuflüsse vernachlässigt sind.
Abb. 4-39 Vereinfachtes magnetisches Ersatzschaltbild des Antriebs mit Vormagnetisierung
Für die Kraftwirkung sind die magnetischen Flüsse in den beiden Luftpalten ausschlaggebend,
welche im Ersatzschaltbild durch die magnetischen Widerstände
,1
R
und
,2
R
repräsentiert
sind. Der Statorpermanentmagnet ist hierbei so zu dimensionieren, dass sich der von ihm er-
zeugte Fluss in einem Luftspalt durch die Durchflutungen der Antriebsspulen kompensieren
lässt. Es folgt als Zusammenhang zwischen der Spulendurchflutung und der magnetischen
Spannung des Permanentmagneten:
PM
PM
,2
2R
1R
= +
(4-19)
Dabei wird deutlich, dass bei der Verwendung eines Permanentmagneten mit sehr hoher Ener-
giedichte auch die Spulen in der Lage sein müssen, eine starke Durchflutung thermisch auszu-
halten. Zudem wächst die ungewünschte, im unbestromten Zustand auf den Läufer wirkende
Reluktanzkraft ebenfalls mit
PM
an. Wird die Vormagnetisierung hingegen zu schwach ge-
wählt, sind die erreichbaren Antriebskräfte zu gering. Hier gilt es also einen Kompromiss zu
finden. Die zahlreichen Vereinfachungen, wie die Vernachlässigung von Streuflüssen, die An-
nahme magnetisch linearen Materialverhaltens - insbesondere die Vernachlässigung von Sätti-
gungseffekten - führen dazu, dass die Ergebnisse der Netzwerkmethode zur Auslegung des An-
triebs nicht ausreichend genau sind, weshalb stattdessen mit der FE-Modellierung eine nume-
rische Methode zur Bestimmung der Läuferkraft zum Einsatz kommen muss. Erste Modell-
rechnungen zeigten die besten Ergebnisse mit dem Werkstoff NdFeB28UH, welche über eine
Remanenzinduktion von
R
B 1,02 T=
verfügt. Dies entspricht bei Seltenerdmagneten einer mitt-
leren Magnetisierung [HKC20].
Ein wichtiges Optimierungsziel bei der elektromagnetischen Auslegung bestand darin, die im
stromlosen Zustand auf den Läufer wirkende Reluktanzkraft zu minimieren. Zur Optimierung
der Läufergeometrie wurde der Läufer im FE-Programm als Polygon angelegt, dessen Eck-
punkte durch Variablen steuerbar sind. In der Abbildung 4-40 sind Kraftverläufe dargestellt,
welche sich aus FE-Modellrechnungen mit der optimierten Läufergeometrie ergaben. Im un-
bestromten Zustand gibt es trotzdem eine resultierende, ortsabhängige Reluktanzkraft. Durch
eine komplexere Luftspaltgeometrie ließe sich diese theoretisch noch etwas weiter reduzieren.
66
Angesichts der zu erwartenden Fertigungs- und Lagetoleranzen erscheint es allerdings nicht
zielführend, die bereits sehr feingliedrige Geometrie des Läufers noch komplexer zu gestalten.
Die Verläufe in der Abbildung 4-40 zeigen außerdem, dass es durch die Vormagnetisierung
möglich ist, im gesamten Auslenkungsbereich positive und negative Antriebskräfte zu generie-
ren. Darüber hinaus genügt dazu eine einphasige Ansteuerung, wenn man die beiden Antriebs-
spulen in Reihe schaltet. Dies sind die entscheidenden Vorteile gegenüber dem Reluktanzan-
trieb aus den Vorstudien, der in Abschnitt 4.1.3 beschrieben ist. Bei diesem wirkt eine
nennenswerte Kraft nur innerhalb einer Hälfte des Auslenkungsbereichs, sodass ein periodi-
sches Umschalten zwischen beiden Antriebsspulen nötig ist (vgl. Abbildung 4-15).
Abb. 4-40 Kraftverläufe aus Feldberechnungen für verschiedene Durchflutungen
Die Abbildung 4-41 zeigt die magnetischen Feldlinien im Bereich der Luftspalte für verschie-
dene Läuferpositionen und Spulendurchflutungen. Es ist deutlich zu erkennen, dass sich das
Feld ohne Bestromung symmetrisch auf beide Luftspalte aufteilt, somit verschwindet die resul-
tierende Reluktanzkraft. Werden die Spulen bestromt, so wird das Luftspaltfeld auf einer Seite
beinahe eliminiert. Es verbleibt jedoch ein Streufluss, welcher direkt durch die Spulen verläuft.
Dieser lässt sich nicht beliebig reduzieren, da die radiale Ausdehnung der Spulen durch den
Bauraum eingeschränkt ist und die entsprechende Strecke einen recht geringen magnetischen
Widerstand aufweist.
67
Abb. 4-41 Feldlinienverlauf im Luftspaltbereich bei verschiedenen Bestromungen
4.4.2 Konstruktion
Eine CAD-Schnittansicht des Antriebs mit Vormagnetisierung sowie ein montiertes Funktions-
muster sind in der Abbildung 4-42 dargestellt. Die Antriebsspulen sind direkt auf die weich-
magnetischen Deckel gewickelt, was die Montage vereinfacht und die Spulen vor Beschädi-
gung schützt.
Die flussführenden Komponenten sind aus dem Baustahl 11SMn30 gefertigt. Die experimen-
tellen Untersuchungen zeigen jedoch, dass sich unter Verwendung der Nickel-Eisen-Legierung
Permenorm 5000 H2 eine Effizienzsteigerung erzielen lässt.
68
Abb. 4-42 Schnittansicht und Labormuster des Antriebs mit Vormagnetisierung [Hec15]
Besondere Aufmerksamkeit ist auf den in der Abbildung 4-43 dargestellten Lagerkäfig zu le-
gen. Dieser fasst zwei Funktionen zusammen, nämlich die Lagerung des Läufers und die Fas-
sung der Statormagnete. Die Magnete sind aus Einzelsegmenten zusammengesetzt, da ein radial
magnetisierter Ring in den benötigten Abmaßen in ausreichender Magnetisierungsstärke nicht
erhältlich ist. Die Montage erweist sich hier als Herausforderung, da sich die einzelnen Seg-
mente stark abstoßen. Daher wurden sie nacheinander zwischen zwei Stahlringe gefügt und
durch die beiden mit einer Presspassung versehenen Lagerteile aus Sinterbronze eingefasst.
Diese Funktionskomponente wird anschließend mit den restlichen Komponenten des Antriebs
montiert.
Abb. 4-43 Magnetkäfig für den Antrieb mit Vormagnetisierung [Hec15]
69
4.4.3 Experimentelle Untersuchungen
Die Verwendung der Eisen-Nickel-Legierung Permenorm 5000 H2 für die flussführenden
Komponenten bringt eine deutliche Steigerung der Effizienz des Antriebs, wie sich in der Ab-
bildung 4-44 zeigt. Bei gleicher Spannungsamplitude werden höhere Hübe erzielt, zudem ist
die aufgenommene elektrische Leistung geringer als bei der Verwendung des Baustahls
11SMn30.
Abb. 4-44 Gemessene Frequenzgänge für den Hub und die aufgenommene Leistung
Bei einer Verlustleistung von etwa 2,5 Watt wird ein Hub von etwa sechs Millimeter erreicht.
Unter erhöhter Leistungsaufnahme lässt sich ein Hub von acht Millimetern erzielen. Somit ar-
beitet der Antrieb im Vergleich zum Doppelläuferantrieb effizienter. Die zur reproduzierbaren
Erreichbarkeit dieser Ergebnisse nötigen Fertigungstoleranzen sowie die Verwendung des
weichmagnetischen Werkstoffs Permenorm stellen jedoch im Hinblick auf eine prozesssichere
und kostengünstige Serienproduktion große Hürden dar.
Weitere, die Gehäusevibrationen sowie die Erwärmung betreffende Messungen werden im Ab-
schnitt 7 denen des Doppelläuferantriebs gegenübergestellt.
70
5 Verfahren zur Bestimmung der Läuferposition
5.1 Aufgabenstellung
Die in dieser Arbeit betrachteten Linearschwingantriebe zum repetitiven Einstechen in die
menschliche Haut bieten gegenüber aktuell am Markt erhältlichen Geräten die Möglichkeit, den
Hub der Schwingung über die Stromamplitude einzustellen. Bei einer gegebenen Stromampli-
tude lässt sich der Hub allerdings nicht sicher vorhersagen, da er von Parametern wie der Lager-
reibung abhängt. Diese Parameter sind zudem im Laufe der Lebensdauer des Antriebs Schwan-
kungen unterworfen. Außerdem hängt der Hub von äußeren Einflüssen wie der Belastung des
Läufers durch äußere Kräfte ab. Um diese Schwankungen zu regeln bzw. zu beeinflussen, ist
die messtechnische Erfassung der Läuferposition während des Betriebs unumgänglich. Durch
den speziellen Aufbau und den eingeschränkten Bauraum im Innern der Antriebe scheiden in-
dustrielle Sensoren aus. Daher war es erforderlich, eine speziell an die Aufgabe angepasste
Lösung zu entwickeln. Hierfür kommen verschiedenste messtechnische Prinzipien infrage, wo-
bei die folgenden Anforderungen durch den Sensor zu erfüllen sind:
• maximaler Durchmesser: 18 mm
• Messbereich: mindestens 8 mm
• Genauigkeit der Positionsmessung: mindestens 100 µm
• Abtastfrequenz: mindestens 2 kHz
• berührungslose Messung
Der Messbereich des Sensors muss den maximalen Hub des Antriebs zuzüglich statischer Läu-
ferverschiebungen aufgrund von Belastungen abdecken. Zur Rekonstruktion der Schwingung
muss nach dem Nyquist-Shannon-Abstasttheorem die Abtastfrequenz mindestens doppelt so
groß sein wie die maximale im Signal enthaltene Frequenz [Mey11]. Sofern es sich beim Posi-
tionssignal des Läufers um eine harmonische Schwingung handelt, reicht demnach eine Ab-
tastung mit 200 Hz zur Rekonstruktion des Signals aus. Um sicherzustellen, dass auch höher-
frequente Signalanteile detektierbar sind, wird die Mindestabtastfrequenz des zu entwickelnden
Sensors auf 2 kHz festgelegt. Bei einer typischen Schwingungsfrequenz des Antriebs von
100 Hz ergeben sich im Verlauf einer Schwingungsperiode 20 Positionswerte, wodurch sich
auch der Hub bestimmen lässt. Die geforderte Genauigkeit der Positionsbestimmung gründet
sich auf dem Anwenderwunsch, den Hub stufenlos einzustellen. Da kleine Abweichungen im
Bereich eines Zehntelmillimeters visuell nicht wahrnehmbar sind, werden sie toleriert. Eine
höhere Genauigkeit bringt hier keinen entscheidenden Mehrwert.
Potentiometrische Sensoren kommen aufgrund des Schleifkontakts und der damit einhergehen-
den zur Verschiebung notwendigen Kraft nicht infrage. Ein vom Bauraum passender Sensor
der Firma Megatron erfordert beispielsweise eine Betätigungskraft von bis zu 0,3 N [Meg17].
Da diese Kraft vom Aktor aufgebracht werden muss und zu zusätzlichen Verlusten führt, kom-
men nur berührungslose Messverfahren in die engere Auswahl. Es bieten sich somit kapazitive,
magnetische, induktive und optische Messprinzipien an.
71
Kapazitive Sensoren nutzen die Beeinflussung des elektrischen Felds eines Kondensators durch
das Messobjekt. Ist das Messobjekt elektrisch leitfähig, so ändert sich bei dessen Bewegung die
Geometrie des von Messobjekt und Sensor gebildeten Kondensators. Auch dielektrische Werk-
stoffe führen, in ein elektrisches Feld eingebracht, aufgrund ihrer Permittivität
r
zu einer Er-
höhung der Kapazität. Die messtechnische Erfassung der Kapazität kann auf verschiedenen
Wegen erfolgen. Üblicherweise nutzt man die Kapazität als Teil eines Schwingkreises, dessen
Eigenfrequenz sich durch die Kapazitätsänderung verschiebt und gemessen wird. Kapazitive
Sensoren arbeiten berührungslos, sie sind hochgenau und weisen eine gute Temperaturstabilität
auf. Industriell erhältliche kapazitive Wegaufnehmer erfordern allerdings einen Mindestdurch-
messer des Messobjekts, damit dessen Verschiebung eine ausreichend große Kapazitätsände-
rung erzeugt. Ein industrieüblicher Sensor mit dem für die Anwendung geforderten Messbe-
reich überschreitet mit einem Durchmesser von 40 mm klar die Bauraumanforderungen
[Mic17]. Auch aufgrund der marktüblichen Preise scheidet der Einbau eines industriellen ka-
pazitiven Sensors in den Antrieb aus, da die Produktkosten zu hoch werden.
Die Erfassung des Magnetfelds eines bewegten Permanentmagneten stellt eine weitere berüh-
rungslose Möglichkeit dar, die Läuferposition zu messen. Hall-Sensoren bilden häufig die
Grundlage von magnetischen Encodern zur Bestimmung des Rotorwinkels elektrischer Ma-
schinen [Fau19]. Ihr Einsatz in miniaturisierten Linearantrieben ist ebenfalls erprobt [Kel14].
Der Hall-Sensor ist hierbei im Stator des Antriebs untergebracht und erfasst das von der Läu-
ferposition abhängige Magnetfeld des Läufermagneten. Die daraufhin entstehende Hallspan-
nung
H
U
lässt sich durch Kalibrierungsmessungen als Kennlinie
( )
H
Ux
in Abhängigkeit von
der Läuferposition beispielsweise als Lookup-Table abspeichern, um fortan die Läuferposition
aus der Hallspannung zu gewinnen.
Dieses Konzept wurde trotz der prinzipiellen Eignung nicht verfolgt, da im Projekt der Wunsch
nach einem modularen Positionssensor bestand, der für alle favorisierten Antriebslösungen
nutzbar ist. Daher galt es, ein Sensormodul zu entwickeln, welches sich ohne Weiteres an ver-
schiedene Antriebe ankoppeln lässt. Die Positionsbestimmung mittels Hallsensor scheint zwar
für die in den Abschnitten 4.1.1, 4.1.4 und 4.3 beschriebenen Antriebe gut geeignet, da diese
über einen Permanentmagneten im Läufer verfügen. Für den in 4.4 behandelten Antrieb mit
Vormagnetisierung gestaltet sich der Einsatz des Hallsensors allerdings komplizierter, da dieser
in den Luftspalt eingebracht werden muss.
Aus diesen Gründen wurden stattdessen induktive und optische Verfahren näher untersucht
[Leh16].
5.2 Optischer Sensor
5.2.1 Messprinzip
Optische Sensoren bieten Rückwirkungsfreiheit, eine hohe Genauigkeit und schnelle Abtastra-
ten. Zur Positions- und Abstandsmessung nutzt man heute vielfach Triangulationssensoren. Sie
nutzen das an einem beweglichen Messobjekt reflektierte Licht, welches auf ein ortsauflösen-
des fotoelektrisches Element fällt. Um eine gute Ortsauflösung zu erreichen, wird allerdings
72
ein verhältnismäßig großer Bauraum benötigt, sodass ein industrieller Triangulationssensor für
die vorliegende Messaufgabe nicht infrage kommt.
Der geometrische Aufbau eines Triangulationssensors wurde daher abgewandelt und auf die
Gegebenheiten im Linearschwingantrieb - geringer radialer Bauraum bei verhältnismäßig gro-
ßem Messbereich - angepasst. Eine im Stator untergebrachte Lichtquelle erzeugt einen Strahl,
der über eine Fase an der beweglichen Antriebsachse in radialer Richtung reflektiert wird, wie
in der Abbildung 5-1 dargestellt. Zur ortsempfindlichen Detektion des reflektierten Lichts kom-
men diskret arbeitende Elemente wie CCD-Chips oder eine kontinuierlich ortsauflösende Fo-
todiode (PSD, position sensitive detector) infrage. Das PSD-Element ist hier aufgrund der ein-
facheren analogen Auswertung und dem deutlich geringeren Schaltungsaufwand vorzuziehen.
Es gleicht im Aufbau einer länglichen, großflächigen Fotodiode, mit dem Unterschied, dass es
zwei Anodenanschlüsse gibt, welche an gegenüberliegenden Seiten kontaktiert sind.
Abb. 5-1 Schema der optischen Positionsmessung mittels PSD (links), nach [Leh16]
PSD-Element (rechts) [Ham19]
Das einfallende Licht erzeugt in der Diode einen Fotostrom, der sich je nach der Position des
Lichtflecks auf dem Element in zwei Teilströme aufteilt. Aus der Differenz der beiden Teil-
ströme lässt sich die Position des Lichtflecks ermitteln. So ergibt sich die Läuferposition mit
einem Skalierungsfaktor
x
k
zu
ba
x
ba
ii
xkii
−
=
+
(5-1)
Die Wandlung der Signale der Teilströme
a
i
und
b
i
in schaltungstechnisch leichter handzuha-
bende Spannungen lässt sich über einen Transimpedanz-Verstärker nach [TS93] realisieren,
welcher in der Abbildung 5-2 dargestellt ist. Dieser wandelt die durch die beiden Anoden der
Fotodiode fließenden Ströme
a/b
i
gemäß
a/b f a/b
u R i= −
(5-2)
in wegproportionale Spannungen
a/b
u
um. Da die in Sperrrichtung betriebene Fotodiode eine
Kapazität aufweist, bringt man zur Gewährleistung der Stabilität der Schaltung zusätzlich einen
Kondensator in den Rückkopplungspfad ein [Tex13]. Die Fotoströme liegen im einstelligen
µA-Bereich, sodass mit einer recht großen Verstärkung von
6
10
gearbeitet wird. Somit liegen
die Spannungen im Messbereich der Analog-Digital-Umsetzer (ADU) üblicher Mikrocontrol-
ler.
73
Abb. 5-2 Transimpedanz-Verstärker zur Messung des Fotostroms nach [Leh16]
Die Spannungen
a/b
u
lassen sich nun mittels ADU digitalisieren und von einem Mikrocontrol-
ler zur Gewinnung des Positionssignals weiterverarbeiten. Alternativ bietet sich die Umsetzung
der Positionsberechnung nach der Gleichung (5-1) in analoger Elektronik und anschließender
Digitalisierung an. Dies hat den Vorteil, dass Störungen, die sich auf beide Teilspannungen
auswirken, wie z.B. Temperatureinflüsse, bereits vor der Digitalisierung eliminiert werden. Die
schematische Darstellung in der Abbildung 5-3 zeigt den Ablauf der analogen Signalverarbei-
tung. Die Fotoströme
a
i
und
b
i
werden zunächst durch zwei Transimpedanzwandler nach der
Abbildung 5-2 in Spannungen gewandelt, um anschließend mit Addier- bzw. Subtrahierverstär-
kern sowie einer analogen Divisionseinheit das analoge Positionssignal zu generieren. Dieses
wird schließlich von einem ADU digitalisiert.
Abb. 5-3 Analoge Signalverarbeitung für den optischen Sensor nach [Leh16]
Als Lichtquelle kommt eine 5-mm-LED mit einem kleinen Abstrahlwinkel von ± 4° zum Ein-
satz, die eine hohe Intensität von 10.000 mcd erreicht und deren Intensitätsmaximum mit
625 nm im sensitiven Bereich des ausgewählten PSD-Elements liegt. Die Verwendung eines
Lasermoduls wurde aufgrund seines parallelen Strahlengangs und der hohen Intensität zwar
erwogen, aufgrund des höheren Preises und der zusätzlich erforderlichen Ansteuerungselektro-
nik aber wieder verworfen. Die LED wird mit einem einfachen Vorwiderstand zur Strombe-
grenzung betrieben.
Die Länge des gewählten PSD-Elements entscheidet über den Messbereich des Sensors. Da laut
Datenblatt in den Randbereichen mit einer Linearitätsabweichung von bis zu
50µm
zu rech-
nen ist, wurde für die Anwendung eine PSD-Fotodiode mit einer Länge von zwölf Millimetern
74
ausgewählt [Ham19]. Diese deckt den geforderten Messbereich von acht Millimetern ab, ohne
dass eine Nutzung der Randbereiche erforderlich ist.
5.2.2 Experimentelle Untersuchungen
Zur experimentellen Untersuchung des optischen Messprinzips diente eine elektronische Schal-
tung entsprechend den Abbildungen 5-2 und 5-3. Die Platine ist in der Abbildung 5-4 darge-
stellt.
Abb. 5-4 Platine mit PSD-Element und Auswerteelektronik [Leh16]
Zunächst galt es, die Funktionsfähigkeit der Auswerteschaltung unabhängig vom Aktor sicher-
zustellen. Hierfür wurde ein Messaufbau zur Bestimmung einer statischen Kennlinie entwi-
ckelt. Ein mit einer 45°-Fase versehener Aluminiumstab, welcher sich über eine Mikrometer-
schraube axial positionieren lässt, taucht in eine Bohrung in einem Kunststoffblock ein, in dem
sich die Platine aus der Abbildung 5-4 befindet. Die LED beleuchtet nun wie in der Abbildung
5-1 dargestellt den Aluminiumstab, während das PSD-Element das reflektierte Licht aufnimmt.
Eine Voruntersuchung belegte zunächst die Unabhängigkeit des Wegsignals von der Strah-
lungsleistung der LED. Zwar wächst mit steigender Strahlungsleistung der Gesamtfotostrom
im PSD-Element, eine Veränderung des Positionssignals konnte jedoch nicht beobachtet wer-
den.
Die anschließende Aufnahme der Spannungen
a
u
,
b
u
und
x
u
in Abhängigkeit von der Position
des Aluminiumstabs zeigt die Eignung des Messprinzips für die vorliegende Anwendung. Im
Diagramm in der Abbildung 5-5 entsprechen die den Fotoströmen proportionalen Spannungen
a
u
und
b
u
den erwarteten Verläufen. Während
a
u
mit wachsendem Abstand zwischen LED
und Aluminiumstab steigt, nimmt
b
u
ab. In den Randbereichen des Detektors sind die Verläufe
allerdings zunehmend durch Nichtlinearitäten gekennzeichnet, was auch im Datenblatt des
PSD-Elements angegeben ist.
Zudem ist zu beobachten, dass der Gesamtfotostrom, welcher durch die Summe der beiden
Spannungen
a
u
und
b
u
repräsentiert wird, ebenso von der Position des Aluminiumstabs ab-
hängt. Dies ist dadurch zu erklären, dass aufgrund des Abstrahlkegels der LED die Strahlinten-
sität mit dem Abstand abnimmt und somit ein kleinerer Gesamtfotostrom erzeugt wird, wenn
LED und Aluminiumstab weiter voneinander entfernt sind.
Das durch die analoge Schaltung nach dem Schema in der Abbildung 5-3 erzeugte Positions-
signal
x
u
weist dennoch eine sehr gute Linearität auf, wodurch die Vorteile des differentiellen
Messprinzips deutlich werden.
75
Abb. 5-5 Einzelspannungen und statische Kennlinie des PSD-Sensors
Wird die Kennlinie zur Vereinfachung linearisiert, ist die Berechnung der Position aus der ge-
messenen Spannung
x
u
nur von zwei festen Parametern (Spannung bei Position Null sowie
Kennlinienanstieg) abhängig. Durch diese Vereinfachung entsteht zwar ein Linearitätsfehler,
dieser beträgt jedoch, wie in der Abbildung 5-6 dargestellt, im angestrebten Messbereich von
x 4 mm=
lediglich etwa
lin
e 30µm.
Somit ist eine Linearisierung der violetten Kennlinie
( )
x
ux
im Rahmen der für den Sensor geforderten Genauigkeit zulässig. Um eine noch bessere
Positionsgenauigkeit zu erreichen, lässt sich die nichtlineare Kennlinie
( )
x
ux
als Lookup-
Table abspeichern.
Abb. 5-6 Linearitätsfehler des optischen Sensors
Die in den Abbildungen 5-5 und 5-6 dargestellten Kurven wurden in statischen Versuchen ge-
wonnen, bei denen die Positionseinstellung manuell erfolgte. Dennoch wurden die Spannungs-
signale für jede eingestellte Position mit einer Rate von 2 kHz über einen Zeitraum von 0,25
Sekunden aufgezeichnet, um zusätzlich eine Aussage über Rauscheinflüsse zu gewinnen. Die
Standardabweichung des Messsignals
x
u
im einstelligen Millivoltbereich fällt dabei im Ver-
gleich zum eigentlichen Signalpegel im einstelligen Voltbereich sehr gering aus. Die Standard-
abweichung des Positionsfehlers, der sich aus dem Rauschpegel ergibt, beträgt
x
sm3,5µ
,
sodass der gesamte Positionsfehler in erster Linie durch den Linearitätsfehler bestimmt ist.
Zusätzlich wurden dynamische Messungen durchgeführt, bei denen der Sensor die aus einer
sprungförmigen Anregung eines Linearantriebs folgende Bewegung erfasst. Die Ergebnisse
76
dieser Untersuchungen sind im Abschnitt 5.4 den Ergebnissen des induktiven Sensors gegen-
übergestellt.
Optische Sensoren sind häufig Störeinflüssen durch den Einfall von Fremdlicht ausgesetzt.
Diese Einflüsse lassen sich weitgehend eliminieren, indem man beispielsweise die Intensität
der Sensorlichtquelle gezielt mit einer bestimmten Frequenz moduliert und das Sensorsignal
frequenzselektiv auswertet. Der optische Positionssensor auf Basis des PSD-Elements soll al-
lerdings in den Linearschwingantrieb integriert werden, sodass kein Licht von außen die Mes-
sung beeinflusst und eine Modulation unnötig ist. Als Störeinflüsse sind hingegen ungewollte
Lichtpunkte auf dem PSD-Element nicht auszuschließen, die durch mehrfache Reflexion an
den Oberflächen des Aktor-Innenraums entstehen. Im Rahmen der experimentellen Untersu-
chungen wurden solche Effekte nicht beobachtet.
5.3 Induktiver Sensor
Induktive Messverfahren beruhen auf der Auswertung der Induktivitätsänderung einer Mess-
spule. Hierbei sind zwei Effekte zu unterscheiden, welche beide in Sensoren Anwendung fin-
den. Zum einen verstärken ferromagnetische Werkstoffe im Inneren der Spule aufgrund ihrer
großen Permeabilität das magnetische Feld und erhöhen damit die Induktivität. Auf der anderen
Seite lässt sich der Umstand nutzen, dass in elektrisch leitfähigen Werkstoffen bei zeitlicher
Änderung des von der Spule erzeugten magnetischen Wechselfelds Wirbelströme entstehen.
Dadurch bildet sich ein magnetisches Gegenfeld aus, welches das resultierende Magnetfeld der
Spule schwächt und somit deren Induktivität verringert.
Während in Differentialdrosseln bzw. -transformatoren üblicherweise ferromagnetische Kerne
zum Einsatz kommen, beruht die Funktionsweise von Wirbelstromsensoren auf dem feldschwä-
chenden Effekt.
Bei Werkstoffen, die sowohl ferromagnetisch als auch elektrisch leitfähig sind (beispielsweise
Stahl), überlagern sich beide Effekte. Welcher Effekt den größeren Einfluss hat, hängt neben
den genauen Werkstoffeigenschaften auch entscheidend vom betrachteten Frequenzbereich ab.
So tritt der Wirbelstromeffekt insbesondere bei höheren Frequenzen zutage.
Aufgrund des geringen Bauraums für das Positionserfassungsmodul kommt der Einsatz eines
kommerziellen induktiven Sensors nicht infrage, sodass eine Eigenentwicklung erfolgte. Hier-
bei galt es, die Position der metallischen Antriebsachse in eine Induktivitätsinformation umzu-
setzen. Zur digitalen Erfassung der Induktivität wurde ein Induktivitäts-zu-Digital-Wandler
(LDC) der Firma Texas Instruments verwendet. Dieser integrierte Schaltkreis betreibt einen
angeschlossenen Schwingkreis, bestehend aus einem Kondensator mit der Kapazität
C
und der
Messspule mit der Induktivität
L
. Für die Resonanzfrequenz
0
f
des Schwingkreises gilt:
0
11
f2 L C
=
(5-3)
Die Resonanzfrequenz wird vom LDC ermittelt, indem sie mit einer festen Referenzfrequenz
verglichen wird. Aus der Resonanzfrequenz des Schwingkreises ergibt sich nach der For-
mel (5-3) ein Induktivitätswert, welcher sich über eine digitale SPI-Schnittstelle auslesen lässt.
Die Quantisierung dieses Messwerts erfolgt mit 24 Bit, wobei sich die tatsächlich nutzbare
77
Auflösung mit zunehmender Abtastfrequenz verringert, da der Quantisierungsfehler bei kurzen
Messzeiten größer ausfällt.
Eine übliche Anwendung für den LDC findet man bei induktiven Näherungsschaltern. Hierbei
besteht die Messspule aus spiralförmig angeordneten Leiterbahnen auf einer Leiterplatte. Bei
dieser in der Abbildung 5-7 links dargestellten Anordnung ist ein stark nichtlinearer Zusam-
menhang zwischen der Position des Messobjekts zur Messspule und der Induktivität zu
beobachten. Zudem muss das Messobjekt eine gewisse Größe haben, um eine deutliche Induk-
tivitätsänderung der Spule hervorzurufen. Laut Empfehlung des Herstellers ist der Durchmesser
der Messspule mindestens doppelt so groß zu wählen wie die maximale Entfernung des zu de-
tektierenden Objekts [Tex18].
Abb. 5-7 Typischer Aufbau eines induktiven Näherungsschalters (links),
angepasster Aufbau zur Integration in die Antriebe (rechts)
Diese Anordnung kommt für die vorliegende Anwendung aufgrund des großen benötigten ra-
dialen Bauraums sowie der Nichtlinearität der Induktivität in Abhängigkeit vom Weg nicht
infrage. Stattdessen wurde eine andere Anordnung gewählt, die in der Abbildung 5-7 rechts
dargestellt ist. Hierbei dringt die ohnehin vorhandene Läuferachse, bzw. ein an dieser fixierter
Kern, in eine Zylinderspule ein. Es ist näherungsweise ein linearer Zusammenhang zwischen
der Position der Läuferachse und der Spuleninduktivität zu erwarten.
Durch die gewählte Messanordnung lässt sich ein Aufbau erreichen, den man problemlos in
den Aktor integrieren kann, wobei er trotz geringer radialer Baugröße den geforderten Messbe-
reich von acht Millimetern abdeckt.
Der größte potenzielle Störeinfluss bei der Messung ergibt sich durch metallische Gegenstände
in der unmittelbaren Umgebung der Sensorspule. Obwohl die Induktivität der Zylinderspule
fast ausschließlich von den Werkstoffeigenschaften des Kerns bestimmt wird, können auch au-
ßerhalb befindliche Gegenstände eine geringe Induktivitätsänderung und damit einen Positions-
fehler verursachen. Da jedoch bei der Produktentwicklung ohnehin ein Aluminiumgehäuse für
den gesamten Antrieb inklusive Positionssensormodul geplant ist, lässt sich dieses Risiko ver-
nachlässigen. Durch das Gehäuse wird das Spulenmagnetfeld nach außen hin abgeschirmt,
sodass es nicht mit Gegenständen außerhalb des Antriebs interagiert.
5.3.1 Auslegung
Neben der Konfiguration des LDC sind die Form und die Werkstoffeigenschaften des Kerns,
die Spulengeometrie sowie die Kapazität des für den Schwingkreis genutzten Kondensators
wichtige Parameter für die Auslegung des Wirbelstromsensors.
78
Kern
Der Durchmesser des Kerns wurde entsprechend den Maßen der Läuferachsen der Linearakto-
ren zu 3 mm gewählt. Für die Wahl des Werkstoffs ist die Änderung der Induktivität bei einer
Verschiebung des Kerns maßgebend. Damit lässt sich die Empfindlichkeit einstellen. Aufgrund
der hohen geforderten Messrate ist auch die Resonanzfrequenz des Schwingkreises möglichst
hoch zu wählen. Für den LDC liegt die maximale Schwingkreisfrequenz im einstelligen MHz-
Bereich, in dem der feldschwächende Effekt durch Wirbelströme dominiert.
Experimentelle Voruntersuchungen mit dem LDC zeigten wie in der Abbildung 5-8 dargestellt,
die Induktivitätsänderungen, welche durch Verschiebung von Kernen unterschiedlicher Werk-
stoffe verursacht werden. Während Kupfer und Aluminium aufgrund ihrer geringen spezi-
fischen elektrischen Widerstände (
8
el,Cu 1,7 10 m
−
bzw.
A
8
el, l 2,65 10 m
−
) große In-
duktivitätsänderungen bewirken, ist die Änderung bei Edelstahl kleiner. Dies liegt an der gerin-
geren elektrischen Leitfähigkeit (
el,1.430
7
1m7,2·10−
). Außerdem besitzt der Edelstahl
1.4301 eine Restmagnetisierbarkeit, ist also leicht ferromagnetisch. Somit gibt es einen leichten
feldverstärkenden Effekt und die resultierende Induktivitätsänderung fällt geringer aus. Beim
Baustahl 11SMn30 hingegen überwiegt die feldverstärkende Wirkung aufgrund der großen Per-
meabilität, sodass die Änderung der Induktivität den anderen Werkstoffen entgegen gerichtet
ist. Der im Diagramm dargestellte Induktivitätsmesswert LHR stellt einen digitalisierten Wert
dar, welcher sich proportional zur Induktivität der Messspule verhält.
Abb. 5-8 Vergleich verschiedener Kernwerkstoffe für die induktive Wegmessung
Es zeigt sich, dass die Materialien, bei denen der Wirbelstromeffekt genutzt wird, höhere Emp-
findlichkeiten aufweisen als Baustahl, bei dem der Induktivitätszuwachs aufgrund der Reduk-
tion des magnetischen Widerstandes dominiert. Die beiden Werkstoffe Kupfer und Aluminium
wiederum führen zu kaum unterschiedlichen Empfindlichkeiten, da ihre Leitfähigkeit so hoch
ist, dass das magnetische Feld beinahe vollständig aus dem Kern verdrängt wird. Aluminium
verfügt jedoch über eine geringere Massendichte als Kupfer, sodass es im Hinblick auf die
Läufermasse vorteilhafter ist. Für die praktische Umsetzung als Sensor zur Erfassung der Posi-
tion der Läuferachse ist demnach ein Aluminiumstift am Ende der Läuferachse zu fixieren,
welcher als Kern fungiert.
79
Messspule
Die Parameter zur Auslegung der Zylinderspule umfassen die Spulenlänge
l
, den Innendurch-
messer
i
d
, den Drahtdurchmesser
D
d
sowie die Windungszahl
N
. Die ersten beiden Größen
bestimmen die Geometrie des Wicklungsfensters und lassen sich in einem ersten Schritt festle-
gen. In numerischen Feldberechnungen zeigte sich nämlich bereits qualitativ, dass die Indukti-
vität bei Verschiebung des Kerns nur in einem Bereich von ca. 75 Prozent der Spulenlänge
näherungsweise linear verläuft. Um den geforderten Messbereich von 8 mm zu erreichen,
wurde daher die Spulenlänge auf
l 12 mm=
festgelegt. Der Innendurchmesser der Spule wird
mit
i
d 3,6 mm=
nur geringfügig größer als der Läuferachsendurchmesser von 3 mm gewählt,
damit eine möglichst große Induktivitätsänderung entsteht.
Weitere - dynamische - Feldberechnungen erlauben nun eine quantitative Bestimmung der In-
duktivität bei gegebener Geometrie. Die Induktivität der Spule hängt quadratisch von ihrer
Windungszahl
N
ab. Im FE-Modell wird die Spule wie in der Abbildung 5-9 dargestellt als
massiver Körper mit nur einer Windung modelliert. Die sich daraus ergebende Induktivität ist
als normierte Größe
0
L
zu verstehen. Die tatsächliche Induktivität
L
einer Spule mit der glei-
chen Geometrie und
N
Windungen lässt sich dann aus
2
0
L N L=
(5-4)
berechnen. Die Abbildung 5-9 (rechts) zeigt den berechneten Verlauf der auf eine Windung
normierten Induktivität
0
L
in Abhängigkeit der Position eines eingeschobenen Kerns aus Alu-
minium. In der entsprechenden Abbildung links ist der Feldlinienverlauf dargestellt. Hier wird
die Feldverdrängung durch die Wirbelströme und die damit verbundene Induktivitätsreduktion
durch den eingeschobenen Aluminiumkern deutlich.
Abb. 5-9 FE-Berechnungen zur Auslegung der Messspule, Frequenz: 2 MHz
links: Feldlinienverlauf der Spule mit Kern aus Aluminium
rechts: Verlauf der Induktivität über der Position des Kerns
Über den Drahtdurchmesser
D
d
sowie die Windungsanzahl
N
lässt sich schließlich die ge-
wünschte Induktivität einstellen. Um den Optimierungsraum einzuschränken, soll die Spule
über zwei Lagen verfügen, sodass beide Zuleitungen am gleichen Ende der Spule liegen. Auch
mit dieser Einschränkung verbleibt mit der Kapazität des Schwingkreiskondensators ein weite-
rer Freiheitsgrad zur Festlegung der Resonanzfrequenz des Schwingkreises. Mit einem Draht-
durchmesser von
D
d 0,3 mm=
und
N 80=
Windungen liegt die Induktivität nach der Abbil-
dung 5-9 zwischen
min H3L ,8µ
und
max H6L ,5µ
. An diese Induktivität lässt sich nun die
80
Kapazität des Schwingkreiskondensators anpassen, sodass sich die gewünschte Resonanzfre-
quenz ergibt.
Kapazität
Bei der Wahl der Kapazität sind insbesondere deren Temperaturstabilität sowie geringe dielekt-
rische Verluste zu beachten. Die Wahl fiel auf Klasse-1-Keramikkondensatoren der Reihe C0G
(NP0) mit einem Temperaturkoeffizienten für die Kapazität von
6
0 30 10 / K
−
=
und einem
sehr geringen dielektrischen Verlustfaktor. Zudem ist eine Kapazitätsänderung durch Alterung
vernachlässigbar. [DIN15]
Experimentelle Vorversuche zeigten, dass bei der Verwendung von Kapazitäten unterhalb von
1 nF das Messrauschen signifikant ansteigt, daher wird der Kapazitätswert auf
C 1nF=
festge-
legt. Zusammen mit der erwarteten Induktivität im Bereich zwischen
min
L
und
max
L
werden
Resonanzfrequenzen des Schwingkreises im Bereich von 2 MHz bis 2,5 MHz erreicht.
5.3.2 Experimentelle Untersuchungen
Wie oben ausgeführt, waren im Rahmen der Auslegung der Einzelkomponenten des induktiven
Sensors bereits experimentelle Versuchsreihen nötig, um den Einfluss des Kernwerkstoffs, der
Kern- und Spulengeometrie sowie der Schwingkreiskapazität offenzulegen.
Bei einer detaillierten Untersuchung des Sensors wurde, wie in der Abbildung 5-10 dargestellt,
der Kern anhand einer Mikrometerschraube innerhalb der Messspule positioniert, und der In-
duktivitätswert mittels eines Mikrocontrollers über die SPI-Schnittstelle aus dem LDC gelesen
und an einen Mess-PC weitergeleitet.
Abb. 5-10 Messaufbau für die statischen Messungen zum induktiven Sensor
Die in der Abbildung 5-11 dargestellten Ergebnisse zeigen, dass besonders in den Randberei-
chen des Messbereichs deutliche Abweichungen von der linearen Kennlinie auftreten. Der
maximale Linearitätsfehler liegt mit 300 µm über der geforderten Messgenauigkeit von
100 µm. Da der Linearitätsfehler als systematischer Fehler bei wiederholten Messungen repro-
duzierbar auftritt, lässt er sich durch Zuhilfenahme einer Kalibrierungsmessung einfach kor-
rigieren. Für das fertige Produkt ist es zweckmäßig, die einmalig erfasste Kalibrierungskurve
im Mikrocontroller abzuspeichern, um den Linearitätsfehler in Echtzeit zu kompensieren.
81
Abb. 5-11 Linearitätsfehler des induktiven Sensors
Der durch das Messrauschen entstehende Fehler in der Positionsbestimmung lässt sich hinge-
gen nicht kompensieren. Die Standardabweichung der Positionsmesswerte beträgt allerdings
mit
x
s 4 µm
nur einen Bruchteil des Linearitätsfehlers.
5.4 Vergleich
Beide in den Kapiteln 5.2 und 5.3 vorgestellten Ansätze zur Erfassung der Läuferposition er-
füllen die eingangs gestellten Anforderungen hinsichtlich Bauraum, Genauigkeit, Abtastfre-
quenz und Messbereich.
Experimentelle Untersuchungen belegten, dass die statische Messabweichung bei beiden er-
probten Sensoren unterhalb der geforderten 100 µm liegt, wobei sich der Messfehler in beiden
Fällen hauptsächlich auf die Nichtlinearität der Sensorkennlinien zurückführen lässt. Für den
induktiven Sensor ist eine Kalibrierungsmessung und softwaretechnische Kompensation dieser
Nichtlinearitäten nötig, um die geforderte Messgenauigkeit zu erreichen.
5.4.1 Dynamische Messungen
Um das dynamische Verhalten der Sensoren zu untersuchen, wurden sie jeweils an einen in den
Vorstudien entwickelten Linearantrieb gekoppelt, welcher mit Sprungsignalen angeregt wurde.
Bei der Bewegung aufgrund eines Sprungsignals lässt sich an den steilen Flanken eine mögliche
Verzögerung des Messsignals am deutlichsten erkennen und quantifizieren. Die Bewegung des
Läufers wurde mit dem prüfenden Sensor und einem Referenzsensor (Lasertriangulations-
sensor) gleichzeitig erfasst.
Für den Wirbelstromsensor setzt sich die Signalverzögerung aus der Bestimmung der Indukti-
vität im LDC und der seriellen Übertragung des Messwerts über die SPI-Schnittstelle zusam-
men. Die aufgenommene Sprungantwort des Aktors, vom Referenzsensor und vom induktiven
Sensor erfasst, ist in der Abbildung 5-12 links zu sehen. Das Messsignal des LDC ist gegenüber
dem Referenzsensor leicht verzögert. Die Verzögerung lässt sich grafisch bestimmen und be-
trägt etwa 0,5 ms. Dies entspricht etwa fünf Prozent der Periodendauer einer Schwingung mit
den anvisierten 100 Hz. Zur Erfassung und Regelung der Schwingungsamplitude ist der Wir-
belstromsensor damit sehr gut einsetzbar.
82
Für den PSD-Sensor ist mit einem noch kleineren Versatz zu rechnen, da sich sowohl die Vor-
gänge der optischen Erfassung als auch die der analogen Signalverarbeitung auf viel kleineren
Zeitskalen abspielen als die mechanische Läuferschwingung. Die Aufnahme der Sprungantwort
in der Abbildung 5-12 rechts bestätigt das. Der zeitliche Versatz zwischen dem Signal des Re-
ferenzsensors und dem des optischen PSD-Sensors beträgt weniger als 0,25 ms. Die Totzeit
liegt damit bei unter einem Vierzigstel der Periodenlänge einer Schwingung des Aktors, wenn
dieser mit 100 Hz betrieben wird. Damit liefert dieser Sensor optimale Voraussetzungen auch
für eine Regelung, die über eine reine Amplitudenregelung hinausgeht.
Abb. 5-12 Sprungantwort des Aktors
links: Vergleich von induktivem Sensor mit Referenzsensor
rechts: Vergleich von optischem Sensor mit Referenzsensor
5.4.2 Aufwand
Die in den Antrieb zu integrierende Sensorelektronik fällt beim PSD-Sensor aufwändiger und
etwas teurer aus, da hier mehrere Verrechnungsstufen in Analogelektronik aufzubauen sind,
während beim induktiven Sensor ein integrierter Schaltkreis mit minimaler externer Beschal-
tung (Blockkondensatoren zur Filterung sowie ein Taktgenerator) ausreicht.
Die eigentliche sensorische Komponente ist beim optischen Sensor (PSD-Element) im Ver-
gleich zum induktiven Sensor (Zylinderspule) ebenfalls relativ teuer.
Als Fazit der Untersuchungen lässt sich festhalten, dass sich beide Ansätze für die Integration
in einen Linearantrieb eignen. Zwar weist der optische Sensor eine kleinere Verzögerung der
Messwerte auf und erfüllt auch ohne Kompensation der nichtlinearen Sensorkennlinie die Ge-
nauigkeitsforderung. Im Hinblick auf die Kostenstruktur eines Produkts wird allerdings der
induktive Sensor als aussichtsreicher eingeschätzt.
Einen Überblick über einige relevante Kenndaten der beiden vorgestellten Sensorkonzepte bie-
tet die Tabelle 5-1.
83
optischer Sensor
induktiver Sensor
Genauigkeit ohne Kalibrierung
30 µm
300 µm
Genauigkeit mit Kalibrierung
3,5 µm
4 µm
Kosten Labormuster
50 €
10 €
Tab. 5-1 Wichtige Vergleichsdaten des optischen und des induktiven Sensors
5.5 Sensormodul zur Positionserfassung
Das Sensormodul zur Positionserfassung, basierend auf dem induktiven Messprinzip, umfasst
die Sensorspule, die zugehörige Elektronik zur Wandlung des Positionssignals in ein digitales
Signal sowie die Steckverbindung für die elektrische Versorgung des Antriebs. Das Modul ist
in der Abbildung 5-13 dargestellt.
Abb. 5-13 Sensormodul zu Positionserfassung
Die Abbildung 5-14 zeigt, wie sich das Sensormodul axial in einen Antrieb schieben lässt. Das
Sensormodul lässt sich unabhängig vom verwendeten Antriebsprinzip an alle entwickelten An-
triebe koppeln. Das hintere Ende der Läuferachse ist hierbei mit einem Aluminiumstift von
geeigneter Länge zu versehen, alternativ kann auch die Antriebsachse aus Edelstahl selbst als
Spulenkern zum Einsatz kommen, wobei sich in diesem Fall die Empfindlichkeit des Positions-
sensors verringert.
Abb. 5-14 Ankopplung des Sensormoduls an den Doppelläuferantrieb
84
6 Ansteuerung
6.1 Effiziente Ansteuerung
Für die Effizienz des Antriebssystems sind in erster Linie dessen elektromechanische Eigen-
schaften entscheidend. Insbesondere der Ohm’sche Widerstand der Antriebsspulen, die mecha-
nische Reibung in den Lagern, Dämpfungskräfte durch die Verdrängung der Luft sowie Wir-
belstrom- und Hysterese-Effekte führen zu Verlusten, welche die Effizienz des Antriebs
begrenzen. In den vorhergehenden Kapiteln wurden Maßnahmen vorgestellt, diese Verluste zu
minimieren.
Mit der Ansteuerung steht nun eine weitere Eingriffsmöglichkeit zur Verfügung, die Effizienz
eines gegebenen Antriebs zu optimieren, indem man die durch Selbstinduktion der Spulen so-
wie auch die durch die Läuferbewegung induzierten Spannungen berücksichtigt. Nach der Be-
schreibung der zugrundeliegenden Methode der Optimalsteuerung dynamischer Systeme wird
das Verfahren zur optimalen Spannungsvorgabe exemplarisch am Beispiel des in Abschnitt
4.1.4 vorgestellten Magnetfederantriebs durchgeführt und die experimentelle Validierung prä-
sentiert.
6.1.1 Optimalsteuerung dynamischer Systeme
Zur Ermittlung einer optimalen Steuerung ist es zweckmäßig, ein gegebenes dynamisches Sys-
tem durch seine Zustands-Differentialgleichung
( )
, ,t=x f x u
(6-1)
zu beschreiben. In dieser Darstellung wird die Änderung
( )
tx
der Zustandsgrößen als Funktion
der Zustandsgrößen
( )
tx
, der Eingangsgrößen
( )
tu
sowie der Zeit
t
aufgefasst. Die in dieser
Arbeit behandelten Antriebe sind als zeitinvariante Systeme zu betrachten, sodass die Zeit
t
nicht explizit auftaucht und sich die Gleichung (6-1) zu
( )
,=x f x u
vereinfacht. Zudem ist nur
eine Eingangsgröße
( )
ut
vorhanden, je nach Ansteuerung ist dies der Aktorstrom oder die
Aktorspannung.
Die Aufgabe der Ermittlung einer optimalen Steuerung besteht nun darin, Eingangsgrößenver-
läufe
( )
ut
berechnen, welche dazu führen, dass sich die Zustände
( )
tx
des Systems innerhalb
einer Zeit
T
von einem festgelegten Anfangszustand
( )
0
t0==xx
in einen gewünschten End-
zustand
( )
E
tT==xx
bewegen, wobei zusätzlich ein gewünschtes Kostenfunktional
( ) ( ) ( )
( )
T
0
J u t ,u t ,t dt=
x
(6-2)
minimiert wird [PLB15].
Für den energieeffizienten Betrieb der Linearaktoren ist es wegen der Temperaturentwicklung
der Antriebe zweckmäßig, als Kostenfunktional
( )
Ju
die in den Antriebsspulen dissipierte
Ohm’sche Verlustleistung zu betrachten, die sich aus der Mittelung der Augenblicksleistung
über den betrachteten Zeitraum ergibt:
( ) ( ) ( )
TT
2
el el
00
11
J u P P t dt R i t dt
TT
= = =
(6-3)
85
Die Aufgabe der Minimierung des Kostenfunktionals
J
unter Berücksichtigung der Glei-
chungsnebenbedingungen (6-1) lässt sich analog zum Vorgehen bei statischen Optimierungs-
problemen mit Nebenbedingungen durch die Einführung von Lagrange-Multiplikatoren lösen.
Sie erlauben die Einbindung der Nebenbedingung in das zu minimierende Kostenfunktional
und die Ableitung einer notwendigen Bedingung für einen optimalen Eingangsgrößenverlauf
( )
ut
. Aus der Forderung, dass die Variation des Funktionals
J
verschwinden muss, lassen sich
aus der oben gewählten Formulierung folgende notwendige Bedingungen für ein Extremum
ableiten, siehe Anhang 10.4:
=xf
(6-4)
= − −
f
λλ
xx
(6-5)
0uu
=+
fλ
(6-6)
Die Gleichungen (6-5), (6-6) und (6-1) bilden zusammen mit den Anfangs- und Endbedingun-
gen ein Randwertproblem, das sich nur in einfachen Fällen analytisch lösen lässt. Allgemein
muss man hingegen auf numerische Verfahren zurückgreifen.
Der Erhalt einer kontinuierlichen Läuferschwingung wird durch die Randbedingungen
( )
Tˆ
x t 0 x t x
2
= = − = =
(6-7)
( )
T
x t 0 x t 0
2
= = = =
(6-8)
gewährleistet, wobei
ˆ
x
die Amplitude und
T
die Periodendauer der Läuferschwingung be-
schreibt. Die zweite Hälfte der Schwingung ergibt sich dann analog dazu.
6.1.2 Optimale Steuerung am Beispiel des Magnetfederantriebs
Der in Abschnitt 4.1.4 vorgestellte Magnetfederantrieb ist aus zwei Gründen prädestiniert für
die Anwendung der soeben vorgestellten Methode zur optimalen Steuerung. Zum einen ist die
Rückstellcharakteristik aufgrund der verwendeten magnetischen Federn nichtlinear, zum ande-
ren sind die Antriebsspulen so kurz ausgeführt, dass sich eine positionsabhängige Kraft bei
konstantem Strom ergibt.
Diese beiden Gründe sorgen für ein deutlich nichtlineares Systemverhalten, sodass nicht mehr
gewährleistet ist, dass die Ansteuerung mit einer sinusförmigen Spannung für einen energieef-
fizienten Betrieb geeignet ist.
Bei der mechanischen Modellierung des Antriebs lässt sich die Rückstellkraft der Magnetfeder
wie in Abschnitt 3.3.2 gezeigt durch ein Polynom dritten Grades beschreiben:
( )
3
c 0 1
F x c x c x= +
(6-9)
86
Es handelt sich um einen Lorentzkraftantrieb. Die auf den Läufer wirkende Kraft ist somit pro-
portional zum Spulenstrom, sie weist allerdings aufgrund der kurzen Antriebsspulen eine Posi-
tionsabhängigkeit auf:
( )
F k x i=
(6-10)
Somit lässt sich das mechanische Verhalten durch
( )
3
01
m x d x c x c x k x i + + + =
(6-11)
beschreiben.
Die Induktivität des betrachteten Antriebs ist weitgehend unabhängig von der Läuferposition,
da der Läufer aus einem Permanentmagneten besteht, dessen relative Permeabilität
r
etwa
Eins beträgt. Die positionsabhängige Motorkonstante
( )
kx
taucht auch in der Gleichung für
die Aktorspannung auf:
( )
Bewegungsinduktion
Selbstinduktion
di
u R i L k x x
dt
= + +
(6-12)
Die Motorkonstante
( )
kx
wurde in Abschnitt 4.2.1 als quadratische Funktion der Form
( )
2
0
x
k x k 1 b
= −
(6-13)
angenommen.
Zusammengefasst ergibt sich für das dynamische Verhalten des Magnetfederantriebs somit fol-
gende Differentialgleichung:
( )
2
2
31
0 1 1 1 2 0 3
2
1
3 0 2
x
x
1
,u c x c x d x k 1 x
mb
x
1R x k 1 x u
Lb
= = − − − + −
− − − +
x f x
(6-14)
Hierbei sind die stellen die Zustandsvariablen
1
x
,
2
x
und
3
x
die Läuferposition, die Läuferge-
schwindigkeit und den Strom dar. Ausgehend von dieser Modellgleichung (6-14) wurde mit-
hilfe eines Least-Squares-Verfahrens eine Parameteridentifikation auf der Grundlage von ex-
perimentellen Daten durchgeführt, siehe Abbildung 6-1. Hierbei wurde der Aktor mit
Sinusspannungen unterschiedlicher Amplitude und Frequenz angeregt und die Zeitverläufe der
Läuferposition und des Stroms gemessen. Modellrechnungen anhand der Gleichung (6-14) mit
den gleichen Spannungssignalen ergeben abhängig von den Werten der Modellparametern ent-
sprechende Verläufe. Die Summe der quadratischen Abweichung zwischen den experimentell
ermittelten und den numerisch ermittelten Verläufen stellt die zu minimierende Größe dar. Das
87
Minimum wird über ein numerisches Optimierungsverfahren bestimmt, welches die freien Pa-
rameter des Modells variiert.
Abb. 6-1 Schaubild zur Ermittlung der Modellparameter
Die freien elektrischen Parameter sind hierbei die Induktivität
L
und der Ohm’sche Widerstand
R
. Als mechanische Parameter werden die Läufermasse
m
, die Dämpfungskonstante
d
sowie
die Federparameter
0
c
und
1
c
betrachtet. Hinzu kommt die durch die beiden Parameter
0
k
und
b
charakterisierte Motorkonstante. Diese werden im Zuge der Parameteridentifikation so an-
gepasst, dass eine möglichst gute Übereinstimmung der zeitlichen Verläufe von Strom und Läu-
ferposition erzielt wird. Die Abbildung 6-2 zeigt, dass das Modell die Verläufe der Messung
qualitativ gut nachbildet. Insbesondere der nichtharmonische Stromverlauf findet sich wieder.
Abb. 6-2 Magnetfederantrieb mit sinusförmiger Spannungsanregung,
Vergleich zwischen Messung (blau) und
Modellrechnung mit angepasstem Modell (rot)
Auf der Basis der Gleichungen (6-4) bis (6-8) wurde anschließend für das angepasste Modell
nach der Gleichung (6-14) eine - nicht sinusförmige - optimale Steuerung für eine Läufer-
88
schwingung mit einer Amplitude von 6 mm ermittelt und anschließend experimentell am Mag-
netfederantrieb validiert.
Hierfür wurde der Antrieb mit einer programmierbaren Spannungsvorgabe und einem analogen
Spannungsverstärker angesteuert und fortlaufend die Läuferposition, der Spulenstrom sowie
die aufgenommene elektrische Leistung erfasst. Im ersten Schritt erfolgte eine sinusförmige
Spannungsansteuerung
( )
1
ut
, sodass sich eine stationäre Schwingung einstellte. In weiteren
Messintervallen kam der optimierte Spannungsverlauf
( )
2
ut
sukzessive zum Einsatz. Zwi-
schen diesen beiden unterschiedlichen Spannungsverläufen
( )
1
ut
und
( )
2
ut
erfolgte ein
fließender Übergang der beiden Ansteuerungsarten durch Interpolation mit einer Gewichts-
funktion
( )
gt
:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
12
u t g t u t 1 g t u t= + −
(6-15)
Die Gewichtsfunktion
( )
gt
ist im ersten Messintervall gleich Eins, sodass
( ) ( )
1
u t u t=
gilt.
Während der Übergangsphase nimmt die Funktion
( )
gt
linear ab, bis sie im letzten Messinter-
vall konstant den Wert Null hat. In diesem Intervall gilt
( ) ( )
2
u t u t=
. Die Ergebnisse dieser
Messung sind in der Abbildung 6-3 dargestellt, wobei die gemessenen Größen Aktorspannung,
Läuferposition und Leistungsaufnahme während des ersten Zeitintervalls in Blau, im Verlauf
der Übergangsphase in Grün und für den Zeitraum der optimierten Spanungsvorgabe in Rot
dargestellt sind.
Abb. 6-3 Vergleich des Zeitverlaufs der Spannung, der Läuferposition und der Leistungsaufnahme
zwischen einer sinusförmigen Spannungsvorgabe und der optimalen Ansteuerung
An den Messergebnissen ist hervorzuheben, dass der Hub über den gesamten Messzeitraum
ohne Regelung weitgehend konstant bleibt, während die aufgenommene elektrische Leistung
89
von anfänglich 2,8 Watt auf etwa 1,0 Watt fällt, was zeigt, wie wirkungsvoll die Anwendung
der optimalen Steuerung in diesem Fall ist.
In der Abbildung 6-4 ist der direkte Vergleich von sinusförmiger und optimaler Ansteuerung
anhand der Zeitverläufe der Spannung, des Stroms und der Läuferposition sowie auch den zu-
gehörigen Phasendiagrammen zu sehen. Die Farben der Darstellung entsprechen den obigen
Vorgaben.
Abb. 6-4 Zeitverlauf der Messgrößen am Aktor für die Vorgabe einer Sinusspannung (blau)
und des optimierten Spannungsverlaufs (rot)
Die Zeitverläufe sowie die rechts in der Abbildung 6-4 dargestellten Phasenportraits für die
Läuferposition zeigen deutlich, dass sich der Verlauf der Läuferposition im Fall der Sinusan-
steuerung kaum vom Fall der optimierten Steuerspannung unterscheidet. Somit hat die Nutzung
des optimierten Ansteuerungsverlaufs außer einer leichten Phasenverschiebung keinen min-
dernden Einfluss auf die mechanische Läuferschwingung. Die zeitlichen Verläufe des Stroms
hingegen weichen deutlich voneinander ab, was sich in einer drastischen Reduktion der elektri-
schen Verlustleistung für den Fall der optimierten Steuerspannung äußert.
Der berechnete optimale Spannungsverlauf gilt nur für einen festgelegten Hub und kann nicht
ohne Weiteres durch Skalierung zur Erreichung anderer Hübe genutzt werden. Stattdessen ist
es erforderlich, für jeden Hub einen optimalen Spannungsverlauf nach dem vorgestellten Ver-
fahren zu ermitteln. Die Schar der Spannungsverläufe ist dann im Steuergerät zu hinterlegen.
Für kleine Läuferamplituden bewirkt die Anwendung der optimalen Steuerung geringere Leis-
tungseinsparungen, da das nichtlineare Verhalten der magnetischen Federn und die wegabhän-
gige Kraftcharakteristik dann kaum zutage treten.
Eine Herausforderung liegt allerdings darin, die gezeigten Verläufe auch dann aufrechtzuerhal-
ten, wenn Störungen auf das System wirken. Hier ist die optimale Steuerung in Zukunft durch
eine optimale Regelung zu erweitern.
90
6.2 Bestimmung des Hubs
Mit dem in Abschnitt 5 vorgestellten Messmodul lässt sich während des Betriebs fortlaufend
die Läuferposition erfassen.
Zur Bestimmung des Hubs aus dem zeitlichen Verlauf der Läuferposition
( )
xt
kommen unter-
schiedliche Verfahren infrage, welche im Folgenden beschrieben und verglichen werden. Die
beiden letzten Verfahren beruhen auf der Annahme, dass es sich beim zeitlichen Verlauf der
Läuferposition um eine Schwingung handelt, die dadurch gekennzeichnet ist, dass sie haupt-
sächlich aus einer Grundschwingung mit bekannter Frequenz besteht. Die in dieser Arbeit vor-
gestellten Linearantriebe arbeiten stets resonanznah, sodass diese Annahme vernünftig ist. Die
Amplitude und Phase der Läuferschwingung ändert sich außerdem nur langsam im Vergleich
zur Schwingungsperiode.
6.2.1 Gefensterte Min-Max-Bestimmung
Der Hub bezeichnet in dieser Arbeit die Wegstrecke zwischen den beiden Umkehrpunkten der
Läuferschwingung. Es liegt also nahe, den Hub aus dem Minimal- und Maximalwert der Läu-
ferauslenkung anhand der in Abschnitt 5.5 vorgestellten Positionsmessung zu bestimmen. Der
hierfür betrachtete Wegverlauf muss mindestens eine Schwingungsperiode umfassen, damit si-
chergestellt ist, dass ein Minimum und ein Maximum der Läuferschwingung enthalten sind.
Der Hub
( )
ht
ergibt sich dann aus der Differenz von Maximal- und Minimalwert des betrach-
teten Wegverlaufs im Zeitraum der letzten Schwingungsperiode:
( )
( )
( )
( )
( )
t T,t
t T,t
h t max x min x
−
− =−
(6-16)
Die Anforderung an die Rechenleistung des Mikrocontrollers ist hierbei sehr gering, außerdem
ist die Berechnung nicht anfällig gegenüber einer statischen Verschiebung des Läufers. Es wird
also stets der korrekte Hub ermittelt, unabhängig davon, ob der Läufer symmetrisch um die
Mittelposition schwingt oder eine einseitige Belastung durch das Einstechen in die Haut erfährt.
Nachteilig ist allerdings, dass das Hubsignal um die Schwingungsperiode
T
verzögert ist. Au-
ßerdem führen Störeinflüsse wie Rauschen dazu, dass der Hub systematisch zu groß geschätzt
wird. Insbesondere Ausreißer in den Messwerten können zu einer starken Verfälschung der
geschätzten Amplitude führen, siehe Abbildung 6-5. Deutlich zu erkennen ist zum einen der
zeitliche Versatz zwischen der tatsächlichen Amplitude des in Blau dargestellten, künstlich er-
zeugten Positionssignals und der Schätzung und zum anderen die Auswirkung einer Störung in
Form eines einzelnen Ausreißers. Diese Ausreißer können zeitweise durch Bitfehler bei der
digitalen Übertragung des Messsignals vom in Abschnitt 5.5 vorgestellten Sensormodul zum
Mikrocontroller auftreten.
91
Abb. 6-5 Amplitudenschätzung mit gleitendem Min-Max-Wert
6.2.2 Synchrondemodulation
Eine weitere Möglichkeit der Hub- bzw. Amplitudenschätzung stellt die Synchrondemodula-
tion dar. Sie lässt sich einsetzen, um die Amplitude der Grundschwingung eines Signals zu
ermitteln. Hierbei wird das Positionssignal mit einem harmonischen Referenzsignal gleicher
Frequenz multipliziert und anschließend tiefpassgefiltert. Geht man von sinusförmigen Positi-
onssignalen
( ) ( )
ˆ
x t x sin ft2 + =
aus, so ergibt sich für das Produkt
( )
1
pt
aus dem Posi-
tionssignal
( )
xt
und dem Referenzsignal
( ) ( )
1
r t sin 2 tf=
mittels Additionstheorem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
11
Gleichanteil p doppelte Frequenz
ˆ
p t x t r t x sin 2 t sin 2 t
11
ˆˆ
x cos x s
f
co t
22
f4
f= = +
= − +
(6-17)
Das Produktsignal enthält, wie in der Gleichung (6-17) zu erkennen, zwei Anteile unterschied-
licher Frequenz. Der Gleichanteil
1
p
hängt nur von der Amplitude und Phase des Positionssig-
nals ab. Diese beiden Größen ändern sich im Vergleich zur Schwingungsperiode nur langsam.
Dem Gleichanteil überlagert ist ein harmonischer Anteil mit der doppelten Frequenz der Läu-
ferschwingung. Die ursprüngliche Schwingungsfrequenz des Läufers taucht hingegen nicht
mehr auf. Nach einer Tiefpassfilterung des Produktsignals
( )
1
pt
verbleibt nur der Gleichanteil
1
p
. Um den Einfluss der unbekannten Phasenverschiebung
zwischen Positions- und Refe-
renzsignal zu eliminieren, multipliziert man das Positionssignal außerdem mit einem zweiten
Referenzsignal
( ) ( )
2
r t cos 2 tf=
und erhält nach Tiefpassfilterung analog zur Gleichung
(6-17) den Gleichanteil
( )
2ˆ
p 0,5 x sin=
. Die Amplitude
ˆ
x
berechnet sich dann aus den
beiden gleichgerichteten Produktsignalen
1
p
und
2
p
mit
22
12
ˆ
x 2 p p= +
(6-18)
Der schematische Ablauf der Synchrondemodulation ist in der Abbildung 6-6 dargestellt.
92
Abb. 6-6 Schema Synchrondemodulation
Die Tiefpassfilter müssen so ausgelegt sein, dass sie die doppelte Frequenz der Läuferschwin-
gung hinreichend dämpfen. Hierfür wurde ein Butterworth-Filter vierter Ordnung mit einer
Grenzfrequenz von
G
f 50 Hz=
gewählt, dessen in der Abbildung 6-7 dargestellter Amplitu-
denfrequenzgang im Sperrbereich mit 80 Dezibel pro Dekade abfällt. Die Schwingungsanteile,
welche der doppelten Schwingungsfrequenz des Läufers entsprechen, liegen im Bereich von
200 Hz, sodass sie durch das Filter eine Dämpfung um mindestens 40 Dezibel erfahren und ihre
Amplitude damit unterhalb eines Prozents der Ausgangsamplitude liegen. Das Butterworth-
Filter verfügt im Durchlassbereich über einen besonders flachen Amplitudengang, sodass die
Gleichrichtwerte
1
p
und
2
p
kaum verfälscht werden [Mey11].
Abb. 6-7 Frequenzgang des Butterworth-Tiefpassfilters für die Synchrondemodulation
Nachteilig an der Methode der Synchrondemodulation ist, dass statische Offsets in der Position
zu Fehlern führen. Diese Offsets treten zwangsläufig beim Einstechen in die Haut oder bei einer
Änderung der Nadelmodulvorspannung durch den Anwender auf. Sie äußern sich in einer pe-
riodischen Schwingung der geschätzten Amplitude. Sie lassen sich beispielsweise reduzieren,
Demodulation
×
×
sin
cos
Position
Tiefpass
Tiefpass
Amplitude
93
indem der Positions-Offset durch ein Tiefpassfilter bestimmt und für die Amplitudenschätzung
herausgerechnet wird. Dieses Vorgehen ist in der Abbildung 6-8 dargestellt.
Abb. 6-8 Synchrondemodulation bei offsetbehaftetem Positionssignal
Das Tiefpassfilter zur Entfernung des Offsets muss im Gegensatz zu den für die Synchronde-
modulation eingesetzten Filtern die Frequenz der Läuferschwingung im Bereich von 100 Hz
dämpfen und nicht die doppelte Frequenz. Dementsprechend kommt an dieser Stelle ein But-
terworth-Filter vierter Ordnung mit einer Grenzfrequenz von
G
f 25 Hz=
zum Einsatz, damit
das verbleibende Schwingungssignal weniger als ein Prozent der Ausgangsamplitude beträgt.
Durch die für die Amplituden- und Offsetbestimmung notwendigen Filterstufen kommt es auch
bei der Synchrondemodulation genau wie bei der Min-Max-Bestimmung auch zu einem zeitli-
chen Versatz des geschätzten Amplitudensignals.
Als problematisch stellen sich bei beiden Methoden einzelne Ausreißer der Positionsmesswerte
heraus, die beim Antriebsprototypen mit integriertem Sensormodul sporadisch auftraten. Nä-
here Untersuchungen zeigten, dass die Ausreißer nur auftraten, wenn die Antriebsspulen mit
einer Wechselspannung versorgt werden, was im laufenden Betrieb natürlich der Fall ist.
Bereits während der Entwicklung und experimentellen Erprobung des induktiven Sensors aus
dem Abschnitt 5.3 wurde der Sensor in Kombination mit einem Antrieb getestet, siehe Ab-
schnitt 5.4.1. Bei diesen Tests wurde der Antrieb von einer analogen Verstärkerelektronik ver-
sorgt, und die soeben genannten Fehler traten nicht auf.
Daher liegt die Vermutung nahe, dass die Fehler in Zusammenhang mit der pulsweitenmodu-
liert schaltenden Leistungsendstufe stehen, die für den in der Abbildung 5-14 dargestellten An-
trieb mit integriertem Sensormodul genutzt wurde. Das pulsweitenmodulierte Spannungssignal
für die Antriebsspulen hat eine Frequenz von 20 kHz und wird im Gegensatz zu den experi-
mentellen Voruntersuchungen im gleichen Kabel geführt wie das digitale Positionssignal des
vorgestellten Sensormoduls, wobei die Signalleitungen innerhalb des Kabels geschirmt sind.
Offenbar kommt es durch die hochfrequente Wechselspannung dennoch zu so großen zeitlich
veränderlichen Magnetfeldern, dass in den umgebenden Leitungen Störspannungen induziert
werden. Erreichen diese Störspannungen eine gewisse Amplitude, kann es zur Verfälschung
einzelner Bits im Positionsdatenstrom kommen. Dieses Problem tritt insbesondere bei großen
Kabellängen und großen Aktorspannungen auf.
Um eine sichere Übertragung des Positionssignals zu gewährleisten, stehen verschiedene Maß-
nahmen zur Verfügung. Eine Möglichkeit besteht darin, das SPI-Signal des LDC-Chips auf der
Messplatine innerhalb des Antriebs zu konvertieren, und für die Übertragung zum Mikrocon-
Demodulation
( ) ( )
x t a sin t b= + +
xb=
a
b
Tiefpass
94
troller ein differentielles und damit deutlich störsichereres System wie beispielsweise RS-485
zu nutzen. Die Alternative umfasst die Integration der gesamten Leistungselektronik und des
Mikrocontrollers in den Antrieb. So müssen über die Leitungen nur eine Gleichspannung zur
Versorgung und gegebenenfalls Befehle vom Steuergerät übertragen werden.
Beide Möglichkeiten erfordern jedoch eine grundlegende Überarbeitung der Platine des Sen-
sormoduls sowie eine konstruktive Anpassung des Gehäuses. Sie ließen sich vor Projektab-
schluss nicht mehr rechtzeitig umsetzen. Um dennoch Anwendungstests mit dem Antrieb mit
integrierter Positionsmessung, Hubregelung und Give-Einstellung durchführen zu können,
wurden verschiedene Strategien zur softwareseitigen Filterung der fehlerhaft übertragenen Da-
tenpunkte entwickelt.
Die denkbare Glättung des mit einem der soeben vorgestellten Verfahren gewonnenen Amplitu-
densignals durch Tiefpassfilterung führt zu einer deutlichen Phasenverschiebung und somit zu
einem Zeitversatz, was die Regelgüte immens verschlechtert. Stattdessen kommt ein Kalman-
Filter zum Einsatz, um die Ausreißer in den Messwerten zu detektieren und entsprechend her-
auszufiltern.
6.2.3 Taylor-Kalman-Filter
Mit dem Taylor-Kalman-Filter (TKF) nach [LNT12] lassen sich die Amplitude und die Phase
von oszillatorischen Signalen schätzen. Die Methode basiert auf der Darstellung des Positions-
signals als dynamischem komplexen Zeiger. Während sich - wie in der komplexen Wechsel-
stromrechnung üblich - ein harmonisches Signal durch einen komplexen Zeiger darstellen lässt,
bietet die Verwendung eines dynamischen, also zeitveränderlichen komplexen Zeigers die
Möglichkeit, Schwingungen mit zeitveränderlicher Amplitude und Phase zu beschreiben.
Es wird ein zeitdiskretes Signalmodell in Zustandsraumform entwickelt, dessen Vorhersagen
fortlaufend durch neue Messpunkte korrigiert werden, welche in festen Zeitintervallen
ein-
treffen. Das Messsignal
( )
st
bekannter Frequenz wird hierbei durch eine komplexe Amplitude
( )
pt
repräsentiert, welche die Signalamplitude und -phase beschreibt, sodass gilt:
( ) ( )
( )
j 2 f t
s t Re p t e Re r t
= =
(6-19)
Während die komplexe Amplitude
( )
pt
als langsam veränderlich gegenüber der Schwingungs-
frequenz
f
angenommen wird, rotiert der Zeiger
( )
rt
mit der Frequenz
f
und bildet mit sei-
nem Realteil das Messsignal. Der langsam veränderliche Zeiger lässt sich in eine Taylorreihe
entwickeln, sodass
( ) ( ) ( )
( )
( )
K
K
K 0 0 0 0
p t p t p t p t K!
+ = + + +
(6-20)
gilt. Für die vorliegende Aufgabe genügt es, die Taylorreihe nach dem ersten Glied abzubre-
chen, also nur die erste Ableitung von
p
zu betrachten. Die komplexe Amplitude und ihre
Ableitung beschreiben zu allen Zeitpunkten
tn=
den Zustand des Signalmodells vollstän-
dig, wobei n der Index der Abtastschritte ist. Dieser Zustand lässt sich in einem Zustandsvektor
( )
( )
n: n p p= =pp
zusammenfassen, dessen zeitliche Entwicklung sich in der Form
95
( )
n n 1−
=pΦp
(6-21)
Beschreiben lässt. Hierbei ist
( )
1
01
=
Φ
(6-22)
die Übergangsmatrix. Sie ist nicht zeitabhängig, sondern für eine feste Abtastzeit
konstant.
Für den mit der Frequenz
f
mitrotierenden Zeiger
( ) ( )
tj2 f
r t p t e
=
, dessen Realteil den zeit-
lichen Verlauf des Positionssignals
( )
st
beschreibt, lässt sich analog
( )
rr=r
(6-23)
definieren. Es lässt sich nachrechnen (siehe Anhang 10.5), dass
( )
1
f
n1
j2
ne−
−
=r Φ M rM
(6-24)
mit
10
j 2 1f
=
M
(6-25)
gilt.
Da im Gegensatz zum Signal in [LNT12] die Position
( )
st
mit einem Offset behaftet sein kann,
wurde das Signalmodell aus [LNT12] dahingehend erweitert:
( ) ( )
( )
s t Re r t b t=+
(6-26)
Der Offset
( )
bt
und seine Ableitung tauchen dann als zusätzliche Zustände in den Systemglei-
chungen auf (siehe Anhang 10.5) und werden durch das Kalman-Filter automatisch
mitgeschätzt. Der Realteil von
( )
rt
in der Gleichung (6-26) lässt sich aus der Addition mit dem
komplex konjugierten Zeiger
( )
*
rt
berechnen. Das Positionssignal
n
s
zu einem Abtastschritt
n ergibt sich somit zu
( )
n
**
n n n
n n n
n
1 1 1
s b 0 0 1 0
2 2 2
= + + = =
r
r r r C x
b
(6-27)
wobei
n
x
der Zustandsvektor des Signalmodells ist, welcher sechs Einträge umfasst.
Die diskrete Zustandsraumdarstellung des Signalmodells lässt sich damit als
( )
j
1
f
*
j2
n1
**
2
n1
n
1
1
n
f
n1
e
e
−
−
−
−
−
−
−
= =
M 0 0 r
x
ΦM
Φ
b
MA x 0 M 0 r
Φ00
(6-28)
schreiben, die Ausgangsgleichung ist durch (6-27) gegeben.
Die soeben gewonnene Zustandsraumdarstellung des Signalmodells lässt sich nutzen, um das
Kalman-Filter für die gegebene Positionsmessaufgabe zu implementieren. Das Kalman-Filter
96
eignet sich als stochastisches Filter dafür, auf der Basis von Messwerten sowie einer linearen
Systembeschreibung im Zustandsraum zu jedem Zeitschritt n eine Schätzung für den mit Unsi-
cherheiten behafteten Systemzustand
n
x
zu gewinnen. Diese Unsicherheiten bestehen sowohl
auf der Seite der Messwerte
n
y
, die zwangsläufig verrauscht sind, als auch durch die System-
beschreibung, welche keine exakte Abbildung der Realität darstellt. Beide Einflüsse werden als
mittelwertfreie und normalverteile Zufallsgrößen modelliert. Der Vektor
n
w
beschreibt in je-
dem Zeitschritt das mittelwertfreie Messrauschen mit der Kovarianzmatrix
nn
E=R w w
.
Für das System- oder Prozessrauschen wird analog der Vektor
n
v
mit der Kovarianzmatrix
Q
eingeführt. Die Zahlenwerte in den beiden Matrizen
R
und
Q
beschreiben anschaulich, ob
eher der Messung oder eher der Vorhersage des Modells zu vertrauen ist.
Das Verfahren des Kalman-Filters besteht nun darin, eine optimale Schätzung
n
ˆ
x
des System-
zustands
n
x
zu liefern, sodass der Erwartungswert des quadratischen Fehlers
( ) ( )
n n n n
ˆˆ
E− −x x x x
(6-29)
minimal wird. Aus dieser Bedingung lassen sich die folgenden Gleichungen herleiten.
Das Verfahren besteht aus zwei Schritten, die abwechselnd durchlaufen werden, dem Prädikti-
onsschritt und dem Korrekturschritt. Im Prädiktionsschritt wird, basierend auf dem aktuellen
geschätzten Zustand, eine Schätzung für den nächsten eintreffenden Messwert berechnet:
*
n n 1
ˆˆ
−
=x A x
(6-30)
Anschließend wird die Kovarianz des Schätzfehlers aktualisiert:
n
*
n 1−+= AP A QP
(6-31)
Der erste Term in der Gleichung (6-31) drückt die Fortpflanzung der Schätzfehler aufgrund der
Dynamik des Systems aus, der zweite berücksichtigt die Unsicherheit bei der Modellierung.
Die Sterne bei der Bezeichnung des Zustandsvektors
*
n
ˆ
x
und der Kovarianzmatrix des Schätz-
fehlers
*
n
P
drücken aus, dass es sich um geschätzte Größen vor Berücksichtigung des aktuellen
Messwerts
n
y
handelt.
Nun folgt der Korrekturschritt, in dem der geschätzte Zustand
*
n
ˆ
x
durch einen neuen Messwert
n
y
korrigiert wird. Die Grundidee besteht hierbei darin, den geschätzten Zustand mit der Dif-
ferenz zwischen dem tatsächlichen Messwert
n
y
und dem durch das Modell vorhergesagten
Messwert
*
nn
ˆˆ
=y C x
zu korrigieren, wobei die sogenannte Kalman-Gain-Matrix die Gewich-
tung darstellt:
( )
**
n n n n n
ˆ ˆ ˆ
= + − x x K y C x
(6-32)
Die Kalman-Gain-Matrix
n
K
ergibt sich aus der Kovarianz des Schätzfehlers
*
n
P
und dem
Messrauschen
R
zu
( )
1
**
n n n
−
=+K P C CP C R
. (6-33)
Schließlich wird die Kovarianz des Schätzfehlers mit
( )
*
n n n
=−P I K C P
(6-34)
97
aktualisiert und der nächste Zeitschritt beginnt wieder mit der Prädiktion.
Entscheidend für die Leistungsfähigkeit des Kalman-Filters ist die korrekte Abschätzung der
Kovarianzen des Prozessrauschens
Q
und des Messrauschens
R
. Geringe Werte in
R
bedeu-
ten, dass das Vertrauen in die Messwerte hoch ist und die Zustandsgrößen des Modells schnell
diesen Messgrößen angepasst werden, wohingegen kleine Werte in
Q
dafür sprechen, dass das
Modell die Verhältnisse gut abbildet und neue Messwerte weniger stark Anlass für eine Kor-
rektur der Zustandsgrößen sind. Das Messrauschen lässt sich in Vorversuchen ermitteln, wäh-
rend die Bestimmung des Prozessrauschens schwierig ist und in der Praxis manuelle Anpas-
sungen erfordert. Dies geschah im vorliegenden Fall anhand aufgenommener Positionsverläufe,
wobei ein Kompromiss zwischen der gewünschten Dynamik und der Glättung des geschätzten
Signals angestrebt wurde.
6.2.4 Vergleich
Die Abbildung 6-9 zeigt einen mit dem Sensormodul aufgenommenen Positionsverlauf beim
Einschalten des Antriebs. Der Hub wächst hierbei innerhalb von mehreren Schwingungsperio-
den bis auf fünf Millimeter an. Die von den drei vorgestellten Verfahren zur Hubbestimmung
generierte Einhüllende zeigt, dass sich grundsätzlich alle Verfahren zur Bestimmung des stati-
onären Hubs eignen. Sie unterscheiden sich jedoch in ihrer Dynamik. Während die gefensterte
Min-Max-Bestimmung einen abgehackten Verlauf zeigt, bieten die Synchronmodulation und
das Taylor-Kalman-Filter 1. Ordnung glattere Verläufe. Dafür sind bei diesen Verfahren die
manuelle Anpassung der Zeitkonstanten der Tiefpassfilter (Synchrondemodulation) bzw. der
Varianzen von System- und Messrauschen (TKF) erforderlich, um einen Kompromiss zwischen
Zeitversatz und Glättung des Hubsignals zu erreichen.
Abb. 6-9 Vergleich der Verfahren zur Amplitudenbestimmung
Den größten Vorteil zeigt das TKF, wenn Ausreißer in den Positionsmesswerten auftreten, wie
in der Abbildung 6-10 anhand eines gemessenen Positionsverlaufs dargestellt. Während sowohl
die gefensterte Min-Max-Bestimmung als auch die Synchrondemodulation deutliche Änderun-
gen des Hubs aufgrund eines einzelnen Ausreißers in den Positionsmesswerten zeigen, meldet
das TKF einen konstanten Hub. Da es in jedem Zeitschritt über eine Schätzung des eintreffen-
den Messwerts verfügt, lassen sich bei großen Abweichungen zwischen geschätztem und tat-
sächlichem Messwert Ausreißer identifizieren. Der aktuelle Messwert wird dann ignoriert.
98
Änderungen der Schwingungsamplitude werden vom TKF dennoch erfasst, da sich die Schwin-
gungsamplitude deutlich langsamer ändert als die Positionsmesswerte.
Abb. 6-10 Beeinflussung der Hubbestimmung durch Ausreißer in den Positionsmesswerten
Der Rechenaufwand für den Mikrocontroller ist sowohl bei der Synchrondemodulation als auch
beim TKF deutlich höher als bei der gefensterten Min-Max-Bestimmung. Die im Abschnitt
6.4.2 vorgestellte Mikrocontroller-Plattform ist dennoch dazu imstande, die erforderlichen
Operationen zur Bestimmung der Schwingungsamplitude und des Offsets innerhalb der Abtast-
zeit von 0,5 ms durchzuführen.
Insbesondere aufgrund der nützlichen Eigenschaft, dass sich einzelne Ausreißer in den Mess-
werten zuverlässig identifizieren und herausfiltern lassen, wurde für die Hubbestimmung das
TKF eingesetzt.
6.3 Hubregelung
Im gesteuerten Betrieb, also bei der Vorgabe eines Spannungs- bzw. Stromsignals wird der
Läufer zu einer Schwingung angeregt, wobei sich nach einer gewissen Zeit ein eingeschwun-
gener Zustand mit einer konstanten Schwingungsamplitude einstellt. Dieses Szenario ist jedoch
theoretischer Natur, da in der Praxis stets Störungen wirken, welche die Läuferschwingung be-
einflussen. Insbesondere während des Einstechvorgangs treten zusätzliche Belastungen auf,
aber auch im Leerlauf wirken unbekannte, zeitveränderliche Kräfte auf den Läufer. Durch den
Handbetrieb ist von einer wechselnden Ausrichtung des Antriebs im Erdschwerefeld auszuge-
hen, sodass die axialen und radialen Komponenten der auf den Läufer wirkenden Gewichtskraft
zeitveränderlich sind. Auch die Reibungskräfte in den Lagern sind beispielsweise aufgrund von
Partikelablagerungen Schwankungen unterworfen, zudem sind in den Umkehrpunkten der
Schwingung Übergänge zwischen Haft- und Gleitreibung zu erwarten.
Aus diesen Gründen reicht für ein zuverlässiges und reproduzierbares Betriebsverhalten eine
reine Steuerung der Antriebe nicht aus. Stattdessen ist eine Regelung erforderlich. Der Regler
übernimmt zum einen die Aufgabe, die Regelgröße der Führungsgröße anzugleichen (Füh-
rungsverhalten) und zum anderen auf die Regelgröße einwirkende Störgrößen zu kompensieren
(Störverhalten). Durch den Einsatz einer Regelung lassen sich außerdem Unsicherheiten durch
Fertigung und Montage reduzieren. Im vorliegenden Fall sind insbesondere die mechanischen
Eigenschaften der Zugfederdichtung fertigungsbedingt deutlichen Schwankungen unterworfen.
99
Die Auswirkungen dieser Einflüsse lassen sich durch eine Regelung begrenzen, sodass die einer
Serienproduktion entspringenden Produkte dennoch in engen Grenzen vergleichbare Eigen-
schaften in der Anwendung zeigen.
Wie in der Abbildung 6-11 dargestellt, zeichnet sich die Regelung im Gegensatz zu einer Steu-
erung dadurch aus, dass eine fortlaufende Neuberechnung der Stellgröße unter Nutzung von
aktuellen Informationen über die Regelgröße und damit eine Rückkopplung stattfindet.
Abb. 6-11 Standardregelkreis nach [Lun10]
Die Neuberechnung erfolgt durch den Regler anhand eines Reglergesetzes aus der Regelabwei-
chung, die wiederum aus der Differenzbildung von Führungsgröße und Regelgröße entsteht.
Die wichtigsten Beispiele für Reglergesetze sind der Proportional-Regler (P-Regler), der Integ-
ral-Regler (I-Regler), der Differential-Regler (D-Regler) sowie Kombinationen der Genannten.
Beim P-Regler verhält sich die Stellgröße nach
( ) ( )
PP
u t K e t=
(6-35)
proportional zur Regelabweichung. Dementsprechend reagiert der Regler ohne Verzögerung
auf Abweichungen. Der Einsatz eines P-Regler führt jedoch im Allgemeinen nicht dazu, dass
eine Regelabweichung vollends verschwindet, da er nur bei einer von Null verschiedenen Re-
gelabweichung eine Stellgröße generiert. Hierfür lässt er sich durch einen I-Regler ergänzen,
bei dem die Stellgröße mit der Dauer, über die eine Regelabweichung besteht, anwächst:
( ) ( )
t
II
0
u t K e d=
(6-36)
Ein Nachteil des I-Reglers ist, dass eine Stellgröße durch die Integration erst zeitverzögert vor-
liegt. Dies kann bei trägen Regelstrecken zu Überschwingen bis hin zur Instabilität führen. Die
beiden genannten Grundregler werden durch den D-Regler ergänzt, bei dem die Stellgröße pro-
portional zur Änderung der Regelabweichung ist:
( ) ( )
DD
de t
u t K dt
=
(6-37)
Der D-Regler eignet sich zum Stabilisieren von Regelstrecken, da er bereits auf einen Trend
der Regelabweichung reagiert, selbst wenn diese noch keine großen Werte angenommen hat.
Nachteilig ist, dass sich hochfrequentes Messrauschen verstärkt in der Stellgröße wiederfindet.
Üblicherweise kommen in der Praxis PID-Regler zum Einsatz, um die positiven Eigenschaften
der einzelnen Grundglieder zu kombinieren.
Ein denkbarer Ansatz zur Regelung der Läuferbewegung ist, die aktuelle Läuferposition als
Regelgröße und die auf den Läufer wirkende Kraft als Stellgröße zu betrachten und einen PID-
100
Regler einzusetzen. Im Folgenden wird dargestellt, dass dieser Ansatz entscheidende Nachteile
aufweist.
Für das Verhalten der Regelung ist die Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Re-
gelkreises ausschlaggebend. Diese ist aus der Übertragungsfunktion des Reglers
( )
R
Gs
und
der Übertragungsfunktion der Strecke
( )
S
Gs
nach
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
RS
W
RS
Y s G s G s
Gs W s 1 G s G s
==
+
(6-38)
zu bilden. Sie stellt den Zusammenhang zwischen der Laplace-Transformierten der Führungs-
größe
w
und der Laplace-Transformierten der Regelgröße
y
her. Beim stationären Schwing-
ungsbetrieb eines Aktors wäre hierbei die Führungsgröße (also die Wunschvorgabe für die Re-
gelgröße) eine harmonische Schwingung mit einer Frequenz im Bereich von
f 100 Hz.=
Das
Führungsfolgeverhalten dieses Regelkreises lässt sich untersuchen, indem man die Übertra-
gungsfunktion
( )
W
Gs
des geschlossenen Kreises bei der Anregungsfrequenz
s j 2 f=
be-
trachtet. Für ein optimales Führungsverhalten muss der Wert der Übertragungsfunktion dann
Eins sein, da dann nach der Gleichung (6-38) die Regelgröße der Führungsgröße entspricht. Es
lässt sich nachrechnen (siehe Anhang 10.6), dass sich dieses gewünschte Übertragungsverhal-
ten für einen Einmassenschwinger theoretisch nur durch unendlich hohe Verstärkungsfaktoren
des Reglers erreichen lässt, in der Realität also stets eine Regelabweichung verbleibt. Insbeson-
dere bleibt der I-Anteil des Reglers weitgehend wirkungslos, da die Regelabweichung bei einer
hochfrequenten sinusförmigen Führungsgröße ständig das Vorzeichen wechselt, und das Integ-
ral der Regelabweichung über die Zeit nicht anwächst. Auch der D-Anteil kann eine bleibende
Regelabweichung nicht eliminieren. Wählt man bei dem P-Anteil sehr große Werte für den
Verstärkungsfaktor
P
K
, so kommt es zu sehr großen Stellgrößen, die aufgrund von Beschrän-
kungen der Hardware nicht realisierbar sind, und zudem erhöhte Verluste in den Antriebsspulen
erzeugen. Die Abbildung 6-13 zeigt die Ergebnisse einer Modellrechnung mit Simulink basie-
rend auf dem Blockschaltbild in der Abbildung 6-12, welche den Sachverhalt verdeutlicht. Als
Regelstrecke wird hierbei ein Einmassenschwinger als vereinfachtes Antriebsmodell betrach-
tet, welcher durch
( )
m x d x c x F t + + =
(6-39)
mit
m 10 g=
,
c 1,13 Ns/m=
und
c 3.200 N/m=
beschrieben ist. Die Abbildung 6-13 zeigt die
Verläufe von Regel- und Stellgrößen bei Vorgabe einer sinusförmigen Führungsgröße (schwar-
zer Verlauf) für unterschiedliche Verstärkungsfaktoren des P-Reglers. Die Führungsgröße be-
schreibt eine Läuferschwingung mit einer Amplitude von zwei Millimetern und einer Frequenz
von 90 Hz, die zwischen 10 ms und 150 ms aktiv ist. Bei einem
P
K 1000=
(blauer Verlauf) ist
die bleibende Regelabweichung noch gut zu erkennen, die Regelgröße folgt der Führungsgröße
mit einer Phasenverschiebung und einer verminderten Amplitude. Erst eine Erhöhung des Ver-
stärkungsfaktors auf
4
P
K 10=
führt dazu, dass die Regelgröße (roter Verlauf) der Führungs-
größe weitgehend entspricht. Bei diesem hohen Verstärkungsfaktor nimmt allerdings die nötige
Stellkraft Werte von über 10 N an, die sich mit der vorliegenden Hardware nicht generieren
lassen, und außerdem hohe Ohm’sche Verluste in den Spulen erzeugen würden. Hier nicht
101
berücksichtigtes Messrauschen würde dazu führen, dass sich die generierten Stellkräfte noch
vergrößern.
Abb. 6-12 P-Regelung des Einmassenschwingers, Blockschaltbild
Abb. 6-13 P-Regelung eines Einmassenschwingers nach der Abbildung 6-12
mit verschiedenen Verstärkungsfaktoren
Somit ist ein PID-Regler unter Verwendung der Läuferposition als Regelgröße nur bedingt für
die Regelung der Antriebe geeignet. Problematisch bei der vorgeschlagenen Regelungsstruktur
ist, dass sich alle Größen des Regelkreises mit hoher Frequenz ändern, sodass der I-Anteil des
Reglers seine Wirkung zur Beseitigung der bleibenden Regelabweichung nicht entfalten kann.
Das Ziel ist es daher, eine Regelungsstruktur zu entwickeln, welche der Tatsache gerecht wird,
dass es sich beim gewünschten Betrieb um eine Schwingung handelt, die den überwiegenden
Teil der Zeit stationär ist (abgesehen von den Zeitpunkten, zu denen der Nutzer Änderungen
vornimmt). Es existieren also Zustandsgrößen, die sich zeitlich nicht, bzw. nur langsam im
Vergleich zur Schwingungsperiode ändern. Dies sind die Amplitude und Phase der Schwin-
gung, bzw. alternativ der Real- und Imaginärteil des die Schwingung beschreibenden Zeigers.
Durch die Verwendung einer Regelungsstruktur, welche von diesen langsam veränderlichen
Größen Gebrauch macht, anstatt direkt auf die hochfrequente Schwingung einzuwirken, ergibt
sich ein entscheidender Vorteil: Ein einfacher PI-Regler ist einsetzbar, und der Hub der Schwin-
gung entspricht im stationären Fall genau dem Soll-Hub, es tritt also keine bleibende Regelab-
102
weichung auf. Das Ziel der Regelung besteht also darin, den Hub der Schwingung über einen
Zeitraum von einigen Perioden auf den konstanten Vorgabewert einzustellen, statt die Läufer-
position ständig einer oszillierenden Vorgabe anzugleichen. Diese Dynamik ist für den
Anwender vollkommen ausreichend, da Sollvorgaben dennoch kaum wahrnehmbar innerhalb
eines Sekundenbruchteils umgesetzt werden.
Durch das in Abschnitt 6.2.3 beschriebene TKF lassen sich Schätzwerte für den Real- und Ima-
ginärteil
X
p
bzw.
Y
p
des Zeigers der komplexen Schwingungsamplitude bestimmen, siehe
auch Anhang 10.5. Diese beiden langsam veränderlichen Größen stellen die Regelgrößen dar.
Die Stellgrößen des Regelkreises sind analog dazu die Komponenten
X
u
und
Y
u
des Zeigers,
welcher die Aktorspannung beschreibt. Es handelt sich somit nicht um eine Ein-, sondern um
eine Mehrgrößenregelung. Für den Nutzer ist nur die Amplitude der Läuferschwingung wichtig,
die Phase ist hingegen ohne Bedeutung. Daher lässt sich ohne weiteres mit einer Führungsgröße
arbeiten, die durch eine zweite, zu Null gesetzte Komponente ergänzt wird. Für die Regelab-
weichungen lässt sich also
XX
YY
e w p
e 0 p
=−
=−
(6-40)
schreiben, wobei
w
die gewünschte Schwingungsamplitude ist. Der Regler erzeugt abhängig
von der Regelabweichung die beiden Stellgrößen, wobei für beide Komponenten die gleichen
Reglerparameter verwendet werden.
Das Blockschaltbild der verwendeten Hubregelung ist in der Abbildung 6-14 dargestellt. Hier-
bei entsprechen die mit
u
und
x
beschrifteten schwarzen Pfeile skalaren Größen, welche
Schwingungen mit der Betriebsfrequenz beschreiben. Dies sind die von der Leistungselektronik
erzeugte Aktorspannung sowie die gemessene Läuferposition. Die Pfeile mit weißer Füllung
bezeichnen langsam veränderliche Vektorgrößen, die komplexe Zeiger darstellen. Dies sind die
Komponenten der komplexen Amplitude der Läuferschwingung
( )
XY
p ,p ,
die Vorgabe für
den Hub
( )
w,0
sowie die vom PI-Regler generierten Stellgrößen
( )
XY
u ,u .
Abb. 6-14 Struktur der Hubregelung
Die Berechnung der tatsächlichen Aktorspannung nach
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
j2
XY
XY
Y
ft
X
u
t
t Re u j u e
Re u j u cos 2 j si
c
f t f t
ft
n2
u os 2 u s fin 2
= +
= + +
− =
(6-41)
(w, )
xu(u
, u
)
(p
, p
)
erweiterte Strecke
103
sowie die Ermittlung der Zeigerkomponenten für die Läuferamplitude
X
p
und
Y
p
(TKF) sind
auf dem Mikrocontroller implementiert, lassen sich jedoch als Teil einer erweiterten Regelstre-
cke interpretieren. Diese erweiterte Regelstrecke weist zwei im Vergleich zur Schwingungspe-
riode langsam veränderliche Ein- und Ausgangsgrößen auf. Eine Modellierung in einem Simu-
lationstool wie beispielsweise Simulink lässt eine Untersuchung des Verhaltens des geschlos-
senen Regelkreises für verschiedene Reglereinstellungen
P
K
und
I
K
zu. Tatsächlich wurde
dieser Weg nur genutzt, um die Größenordnungen der nötigen Reglerfaktoren abzuschätzen.
Die Einstellungen
P
K
und
I
K
des Reglers wurden anschließend anhand von Experimenten
iterativ so vorgenommen, dass eine ausreichend schnelle Einstellung des Hubs ohne nennens-
wertes Überschwingen erfolgt.
Die Abbildung 6-15 zeigt den praktischen Einsatz der Hubregelung an einem Antrieb mit inte-
grierter Positionssensorik, wobei folgendes Szenario durchlaufen wurde: Der gewünschte Hub
wird sprungförmig auf 1,5 mm festgelegt, nach einer Pause von etwa zwei Sekunden folgt eine
sprungförmige Erhöhung des Hubs auf 3 mm, bis nach weiteren zwei Sekunden ein Hub von
2 mm eingestellt wird. Es ist zu erkennen, dass der jeweils neue Sollwert innerhalb von etwa
einer Zehntelsekunde erreicht wird und weder nennenswertes Überschwingen noch eine blei-
bende Regelabweichung auftritt. Der Läufer schwingt außerdem symmetrisch um seine Mittel-
position, es tritt also kein Positionsoffset auf. Die eigentliche Läuferschwingung (blauer Ver-
lauf) ist in der Abbildung 6-15 aufgrund der hohen Frequenz nicht mehr auszumachen. Die
Reglereinstellungen sind
P
K 0,1=
und
I
K3=
.
Abb. 6-15 Hubregelung bei Vorgabe sprungförmiger Hubänderungen
Give-Einstellung
Ein weiteres Hauptziel beim Entwurf der Regelung ist die Erreichung eines einstellbaren Stech-
verhaltens. Hier besteht die Idee darin, den Give, also die Nachgiebigkeit des Schwingungshubs
104
bei einer Belastung des Antriebs durch das Einstechen in die Haut, variieren zu können. Damit
ist der Antrieb für ein breites Spektrum von Anwendungsfällen geeignet. Er zeigt dann je nach
Reglereinstellung auf Wunsch das Verhalten einer Spulenmaschine mit variablem oder einer
Rotary-Maschine mit festem Hub.
Die Abbildung 6-16 zeigt die Messergebnisse eines Versuchs, bei dem mit einem Ausgangshub
von 3 mm ein Strich auf eine Kunsthaut gezeichnet wurde. Die Verläufe des Hubs machen
deutlich, dass die gewählten Reglerparameter für den Leerlaufbetrieb gut geeignet sind, wäh-
rend sie bei einer Belastung durch das Einstechen zu unerwünschten Effekten führen. In der
Abbildung 6-16 ist der Zeitraum der Belastung grün hinterlegt. Der Hub nimmt zunächst wie
gewünscht ab. Allerdings wird diese Regelabweichung vom I-Anteil des Reglers aufintegriert,
was sich in einer anwachsenden Spannungsamplitude äußert, zu erkennen im unteren Teildia-
gramm. Dadurch wirkt der Regler der Belastung entgegen und gleicht diese nach etwa einer
halben Sekunde vollständig aus. Nach Wegfall der Belastung führt die aufintegrierte Stellgröße
außerdem zu einem deutlichen Überschwingen des Hubs auf bis zu 4 mm, dieser Bereich ist rot
hinterlegt. Es dauert weitere 0,2 Sekunden, bis der Hub wieder dem Sollwert angeglichen ist.
Dies ist unerwünscht, stattdessen sollte der Hub einer Belastung in gewissem Maße nachgeben,
um nach dem Wegfall dieser Belastung ohne Überschwingen zum Soll-Hub zurückzukehren.
Abb. 6-16 Einstechversuch mit PI-Regler, grün hinterlegt: Zeitraum des Einstechens
rot hinterlegt: Überschwingen nach Wegfall der Belastung
Grundsätzlich gelten hier zwei verschiedene, sich widersprechende Anforderungsprofile an die
Dynamik. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass außerhalb von Phasen des Einstechens der
Hub möglichst konstant und exakt dem Sollhub entsprechen soll, während beim Einstechen
eine Abweichung des tatsächlichen Hubs vom Ausgangshub gerade gewünscht ist, um einen
Give zu bieten. Somit sollten idealerweise zwei verschiedene Regler zum Einsatz kommen,
zwischen denen in den jeweiligen Phasen automatisch hin- und her geschaltet wird. Für den
105
Leerlaufbetrieb ist ein PI-Regler vorzusehen, wobei der I-Anteil dafür sorgt, dass es keine blei-
bende Regelabweichung für den Hub gibt. Während des Einstechens ist der I-Anteil besser zu
deaktivieren, da es sonst zu den in der Abbildung 6-16 dargestellten unerwünschten Effekten
kommt.
Die Herausforderung besteht nun darin, die Phasen des Einstechens automatisch anhand der
Messgrößen zu identifizieren. Die Abbildung 6-16 liefert den Hinweis, dass sich der ebenfalls
vom TKF gelieferte Positions-Offset für diese Aufgabe nutzen lässt. Die Belastung des Einste-
chens stellt im Mittel eine Druckbelastung dar, woraufhin sich die Mittelposition der Läufer-
schwingung nach hinten verschiebt (in den Diagrammen ist das die positive x-Richtung). An-
schließend verschwindet der Offset von selbst wieder, da sich die Schwingung aufgrund der
Rückstellfedern symmetrisch um die Ruheposition herum ausrichtet. Daher wurde der PI-Reg-
ler dahingehend erweitert, dass der I-Anteil deaktiviert wird, sobald der Offset einen Wert von
einem Zehntelmillimeter überschreitet.
Die Nachgiebigkeit des Antriebs, also der Einbruch des Hubs bei einer Belastung durch das
Einstechen, lässt sich durch den P-Anteil des Reglers einstellen. Große P-Faktoren führen dazu,
dass der Hub unabhängig von der Belastung nahezu konstant bleibt, das Stechverhalten also als
„hart“ empfunden wird und mit dem Laufverhalten von Rotary-Maschinen zu vergleichen ist.
m Gegensatz dazu führt eine „weiche“ Einstellung dazu, dass der ub stark sinkt, sobald durch
das Einstechen eine Belastung auftritt. Der Antrieb verfügt damit über einen ausgeprägten Give.
Wie Anwendungstests mit zwei verschiedenen Nutzern zeigten, hängt der gefühlte Give aller-
dings nicht allein von den gewählten Reglereinstellungen ab, sondern wird auch vom Hub selbst
beeinflusst. So werden die gleichen Einstellungen bei größeren Hüben offenbar als härter emp-
funden, da der Läuferimpuls größer ist. Hier sind ohne Frage Anpassungen eines jeden Nutzers
notwendig, um den persönlichen Anforderungen gerecht zu werden.
Ein exemplarischer, gemessener Hubverlauf mit dem angepassten PI-Regler mit automatischer
Offseterkennung ist in der Abbildung 6-17 dargestellt. Er verdeutlicht zudem die Wirkung der
Give-Einstellung. Innerhalb der ersten zehn Sekunden der Messung ist der P-Faktor mit
P
K 0,2=
„weich“ und ein Hub von 3 mm eingestellt. Anschließend werden dreimal hinterei-
nander Striche auf einer Kunsthaut gezeichnet. Einhergehend mit den grün hinterlegten Phasen
des Einstechens ist eine deutliche Reduktion des Hubs um etwa 1,5 mm zu erkennen. Innerhalb
der zweiten zehn Sekunden der Messung sind die Reglereinstellungen mit
P
K1=
„hart“ einge-
stellt. Wiederum wird dreimal eine Linie auf die Kunsthaut gezeichnet. Der Einbruch des Hubs
verringert sich damit auf etwa 0,5 mm, gleichzeitig wirken größere Stellamplituden. Das Über-
schwingen nach Wegfall der Belastung, wie mit dem konventionellen PI-Regler beobachtet
wurde, ist deutlich reduziert.
Mit dem vorgeschlagenen Verfahren lassen sich mit ein und demselben Antrieb verschiedene
Einstechverhalten erzeugen und damit das Spektrum der Anwendung für den Nutzer deutlich
erweitern. Die Änderungen können zudem während des laufenden Betriebs vorgenommen wer-
den.
106
Abb. 6-17 Demonstration der Give-Einstellung, eine Belastung führt zum Einbruch des Hubs,
linke Hälfte: „weiche“ Einstellung, rechte Hälfte: „harte“ Einstellung
107
6.4 Aufbau der Ansteuerungselektronik
6.4.1 Überblick
Um die in dieser Arbeit entwickelten Aktoren im Betrieb experimentell zu untersuchen und zu
charakterisieren, waren verschiedene Elektronik-Komponenten notwendig. So muss der Aktor
durch eine geeignete Leistungselektronik mit elektrischer Energie versorgt werden. Zum ande-
ren sind je nach Zielsetzung der jeweiligen Untersuchung verschiedene Messgrößen zu
erfassen. Diese Größen können die Läuferposition, der Aktorstrom, die Temperaturentwicklung
oder die Gehäusevibration sein. Zur Aufnahme dieser Messwerte kamen in den Laboruntersu-
chungen externe Sensoren zum Einsatz, welche analoge Messsignale liefern. Für die Datener-
fassung und Signalvorgabe wurde auf Messsysteme („Messkarten“) der Firma National-Instru-
ments (NI) zurückgegriffen, die sich an einen PC anschließen und über ein LabVIEW-Pro-
gramm steuern lassen.
Für die Laboruntersuchungen wurde ein analoger Leistungsverstärker entwickelt, welcher die
vom NI-Messsystem generierten analogen Spannungssignale verstärkt und an die Antriebsspu-
len des Aktors weitergibt. Dieser Analogverstärker verfügt außerdem über die Möglichkeit, ein
analoges Spannungssignal an seinem Eingang in einen Ausgangsstrom zu wandeln sowie den
aktuellen Ausgangsstrom zu messen. Für die Laboruntersuchungen zur Untersuchung der An-
triebe ist dieser Aufbau zweckmäßig, da hier stets ein gesteuerter Betrieb vorliegt.
Für die Entwicklung einer Regelungsstruktur ist die eingesetzte Messhard- und -software aller-
dings ungeeignet, da hierfür die schnelle und verzögerungsarme Ausgabe und Aufnahme von
Einzelwerten erforderlich ist. Die Erfassung der Läuferposition geschieht mit mindestens
2 kHz, damit sich der Hub der Läuferschwingung hinreichend genau bestimmen lässt (siehe
Abschnitt 5.1). Es muss nun sichergestellt sein, dass das Programm zur Antriebsregelung in-
nerhalb der Abtastzeit von 0,5 Millisekunden immer alle notwendigen Rechenoperationen zur
Generierung einer Stellgröße rechtzeitig ausführen kann. Auf dem nicht echtzeitfähigen Be-
triebssystem des PCs lässt sich diese Forderung nicht zuverlässig umsetzen, da es aufgrund der
Vielzahl von unbeeinflussbaren Prozessen, die nicht direkt an der Regelungsaufgabe beteiligt
sind, ein nicht-deterministisches Verhalten zeigt.
Daher wurde das Regelungs-Programm auf einem Mikrocontroller implementiert, welcher aus-
reichend schnelle Ein- und Ausgaben erlaubt sowie den deterministischen Programmablauf si-
cherstellt. Für die Vorgabe von Benutzervorgaben bezüglich Schwingungshub etc. lässt sich
dennoch ein an den Mikrocontroller angeschlossener PC nutzen, da hierbei das Zeitverhalten
im Vergleich zur Regelung unkritisch ist. Verzögerungen im Bereich von einigen Sekunden-
bruchteilen können ohne Weiteres in Kauf genommen werden.
Eine schematische Darstellung des Gesamtsystems zum geregelten Betrieb der Antriebe ist in
der Abbildung 6-18 dargestellt. Im Zentrum steht die Ansteuerungselektronik, deren einzelne
Hardware-Komponenten Leistungselektronik und Mikrocontroller im Folgenden beschrieben
werden. Die Software für Mikrocontroller und PC ist Gegenstand von Abschnitt 6.4.4.
108
Abb. 6-18 Gesamtsystem, Leistungsflüsse sind als rote, Informationsflüsse als blaue Pfeile dargestellt
6.4.2 Mikrocontroller-Plattform
Der Mikrocontroller dient der Kommunikation mit dem in den Antrieb integrierten Sensormo-
dul zur Positionserfassung, was sowohl die Konfiguration des Induktivitäts-zu-Digital-Wand-
lers (LDC) als auch das Auslesen der Positionsmesswerte umfasst. Außerdem arbeitet der Mik-
rocontroller den Regelungsalgorithmus ab, generiert also auf Basis der Messwerte für den
Aktorstrom, die Aktorspannung sowie die Läuferposition eine Stellgröße, welche wiederum
über die Leistungselektronik verstärkt an den Aktor weitergeleitet wird.
Schließlich bedient er die serielle Schnittstelle zu einem PC, überträgt bei Bedarf die Messwerte
und empfängt Steuersignale, wie Sollvorgaben für den Hub, die Schwingungsfrequenz und das
Stechverhalten.
Eine Eigenentwicklung der Mikrocontroller-Plattform erscheint aufgrund der Komplexität und
vielfältigen Hardware-Schnittstellen als unzweckmäßig, zumal Lösungen von verschiedenen
namhaften Herstellern zu günstigen Preisen verfügbar sind. Diese Entwicklungs-Boards lassen
sich einfach programmieren und durch aufsteckbare Platinen in ihrer Funktionalität erweitern,
um den Prozess der Produktentwicklung zu beschleunigen. Im Rahmen der Vorbereitung einer
Serienfertigung lässt sich die Hardware anschließend anpassen, nicht verwendete Funktionen
entfernen und ein kostenoptimiertes Platinendesign entwickeln.
Für die genannten Aufgaben wurde das in der Abbildung 6-19 dargestellte Entwicklungs-Board
(Launchpad F28377S) der Firma Texas Instruments gewählt, welches für regelungstechnische
Aufgaben prädestiniert ist [TeA19].
Ansteuerungselektronik
PC
Matlab-
Programm
G
U
I
Mikrocontroller
TMS28377S
Leistungs-
elektronik
DC-Netzteil
Aktor
Positionssensor
109
Abb. 6-19 Mikrocontroller-Plattform LAUNCHXL-F28377S
Den Kern dieser Plattform bildet eine 32-bit CPU mit einer Taktfrequenz von 200 MHz. Dieser
Prozessor wird durch verschiedene zusätzliche spezielle Recheneinheiten wie eine Floating-
Point-Unit (FPU) für Gleitkomma-Operationen und eine Trigonometric-Math-Unit (TMU) zur
Berechnung von trigonometrischen Funktionen, welche beispielsweise für Amplituden- und
Phasenberechnungen erforderlich sind, unterstützt. Zudem verfügt das Board über einen soge-
nannten Control-Law-Accelerator (CLA). Dieser stellt einen getrennten Rechenkern dar, wel-
cher sich zur Ausführung von zeitkritischen Regelalgorithmen eignet. Die Ressourcen des
Hauptprozessors werden dadurch geschont, sodass sie für übergeordnete Aufgaben wie die
Kommunikation mit dem PC zur Verfügung stehen.
Das Entwicklungs-Board verfügt neben den genannten Recheneinheiten über Peripherieschnitt-
stellen wie Analog-Digital-Umsetzer (ADC), digitale Ein- bzw. Ausgänge mit Funktionen zur
Pulsweitenmodulation, sowie verschiedene serielle Kommunikationsschnittstellen, von denen
SPI und UART genutzt werden. Bei der vorliegenden Anwendung dient die SPI-Schnittstelle
zur Kommunikation mit dem in den Antrieb integrierten Positionssensor, während UART die
Verbindung zum PC bereitstellt.
6.4.3 Leistungselektronik
Das in der Abbildung 6-19 dargestellte Board lässt sich durch bis zu zwei aufsteckbare Erwei-
terungs-Platinen, sogenannte Booster-Packs, ergänzen. Konkret wurde der Leistungsverstärker
als Booster-Pack (BOOSTXL-DRV8301) zugekauft [TeB19], welches über drei MOS-FET-
Halbbrücken verfügt, die von einem Gate-Treiber (DRV8301) angesteuert werden. Sie lässt
sich somit zur Ansteuerung dreiphasiger elektrischer Maschinen einsetzen. Für die Linearan-
triebe in dieser Arbeit werden jedoch nur zwei Halbbrücken benötigt, die zu einer H-Brücke
verschaltet sind.
Eine vereinfachte Schaltung ist in der Abbildung 6-20 dargestellt. Die vier MOS-FET-Transis-
toren S1 bis S4 arbeiten als Schalter und werden vom Gate-Treiber mit den Ausgängen G1 bis
G4 angesteuert. Die integrierten Shunt-Widerstände in jeder Halbbrücke ermöglichen eine
Strommessung. Durch das Aufstecken der Platine auf das Mikrocontroller-Board werden die
notwendigen elektrischen Verbindungen zwischen den Bauteilen der Erweiterungs-Platine und
dem Mikrocontroller hergestellt. Diese Verbindungen umfassen insbesondere die digitalen
110
PWM-Ausgänge zur Steuerung der H-Brücke und eine SPI-Schnittstelle zur Konfiguration des
Gate-Treibers. Die stromproportionalen Messspannungen
a
U
und
b
U
der Shunt-Widerstände
liegen verstärkt am ADC des Mikrocontrollers an.
Abb. 6-20 Leistungselektronik als Erweiterungs-Platine [TeB19] (links),
vereinfachte Schaltung der Leistungselektronik (rechts)
Im Gegensatz zu der analogen Verstärkerelektronik, welche bei den experimentellen Untersu-
chungen zur Charakterisierung der Antriebe eingesetzt wurde, arbeitet die H-Brücke zur
Regelung der Antriebe diskret schaltend. Durch diese Betriebsart erfolgt der Einsatz der H-
Brücke sehr effizient, da die MOS-FET-Transistoren S1 bis S4, abgesehen vom Zeitraum des
Öffnens bzw. Schließens entweder vollständig leitend oder vollständig sperrend sind. Im lei-
tenden Zustand hat die Drain-Source-Strecke einen Ohm’schen Widerstand im einstelligen
Milliohmbereich, während im sperrenden Zustand maximal ein Leckstrom von weniger als 1
µA fließt, sodass in beiden Fällen die Verlustleistung sehr klein ist [Tex15]. Ebenfalls durch
den schaltenden Betrieb bedingt lassen sich allerdings mit der H-Brücke nicht direkt analoge
Spannungen ausgeben. Zur Nachbildung einer analogen Spannung kommt die Pulsweitenmo-
dulation (PWM) zum Einsatz. Für die Nachbildung eines Sinussignals sind die beiden unteren
Schalter S3 und S4 (Low-Side MOS-FETs) abhängig vom Vorzeichen des Momentanwerts zu
schalten, sie entscheiden über die Richtung der am Aktor anliegenden Spannung. Die beiden
oberen Schalter (High-Side MOS-FETs) werden jeweils entsprechend eines Rechtecksignals
angesteuert, dessen Tastverhältnis
on
PWM
t
pT
=
(6-42)
den Momentanwert der Spannung nach
a0
u p U=
(6-43)
festlegt.
0
U
ist hierbei die Versorgungsspannung der H-Brücke,
PWM
T
die Periodendauer des
PWM-Signals und
on
t
die Zeit, die der entsprechende Schalter innerhalb der Zeit
PWM
T
ge-
schlossen ist. Exemplarisch sind die Zeitverläufe der Schaltzustände zur Nachbildung einer
Sinusspannung in der Abbildung 6-21 dargestellt, wobei ein High-Pegel für den leitenden Zu-
stand des entsprechenden Transistors steht.
111
Abb. 6-21 Exemplarische Darstellung der MOS-FET- Schaltzustände
zur Nachbildung eines Sinussignals
Die Grundfrequenz der PWM-Signale wird auf
PWM
PWM
1
f 20 kHz
T
==
(6-44)
und damit oberhalb des vom menschlichen Gehör erfassbaren Frequenzbereichs festgelegt. Da-
durch ist gewährleistet, dass sich etwaige durch das PWM-Signal angeregte mechanische
Schwingungen magnetischer Komponenten nicht durch vernehmbare Störgeräusche äußern.
Außerdem wird dadurch erreicht, dass der Aktorstrom trotz des diskreten Spannungsverlaufs
einen - abgesehen von einem kleinen Stromripple - annähernd harmonischen Verlauf einnimmt.
Neben der zugekauften Leistungselektronik entstand in Eigenfertigung eine zweite Erweite-
rungsplatine. Diese stellt in erster Linie die elektrischen Anschlüsse für die Stromversorgung
der Ansteuerungselektronik sowie für den Antrieb zur Verfügung und enthält außerdem einige
Status-LEDs und Schalter zur einfachen Konfiguration der Software und zur Fehlersuche.
6.4.4 Simulink-Modell zur Ansteuerung
Die Software zur Ansteuerung der Antriebe gliedert sich grundsätzlich in zwei Module. Ein
Modul läuft auf dem Mikrocontroller und ist verantwortlich für folgende Aufgaben:
• Erfassung der Messgrößen
o Läuferposition (SPI-Schnittstelle zum Sensormodul im Antrieb)
o Aktorspannung und -strom (ADC)
• Berechnung von Stellsignalen aus den Messgrößen (Regelungsalgorithmus)
• Kommunikation mit dem PC-Programm über eine serielle Schnittstelle
o Empfang von Befehlen (z.B. Anpassung des Hubs oder von Reglerparametern)
o Senden von Messdaten zur Auswertung am PC
Das zweite Software-Modul läuft auf einem PC und ermöglicht die Vorgabe von Sollgrößen
wie Hub, Schwingungsfrequenz und Einstechverhalten. Es verfügt außerdem über eine grafi-
112
sche Benutzeroberfläche (GUI), in der sich diese Einstellungen bequem vornehmen lassen und
aktuelle Messwerte angezeigt werden.
Die Software für den Mikrocontroller wurde in Simulink entwickelt. Dieses zum Matlab-Soft-
warepaket gehörende Werkzeug bietet neben der grafischen Modellierung von dynamischen
Systemen mittels einzelner Blöcke auch die Möglichkeit, Programmcode für eine Reihe von
Zielplattformen zu generieren. Für die gewählte Mikrocontroller-Plattform steht zudem eine
Bibliothek aus Simulink-Blöcken - ein sogenanntes Blockset - zur Verfügung, welche eine
Vielzahl gerätespezifischer Funktionen, von der Manipulation der digitalen Ein- und Ausgänge
bis zur seriellen Kommunikation, bereitstellt [Mat19]. Ist eine gewünschte Funktion nicht in
der Bibliothek vorhanden, lässt sich diese benutzerdefiniert aus eigenem C- oder Matlab-Code
erstellen. Mit Hilfe der entsprechenden Toolbox wurde aus dem Simulink-Modell automatisch
C-Code generiert, kompiliert und anschließend auf den Mikrocontroller geladen.
Die Abbildung 6-22 zeigt die Top-Level-Ansicht des Simulink-Modells. Es gliedert sich in ei-
nen Block „Read Parameters“, welcher einen Parametersatz bestehend aus aktuellen Reglerpa-
rametern und Vorgaben für den Hub ausgibt. Die Werte dieser Parameter lassen sich vom Be-
nutzer am PC über die serielle Schnittstelle während des Programmablaufs verändern. Zentraler
Bestandteil des Modells ist der Regelkreis, bestehend aus dem Regler und der Regelstrecke.
Der Regler errechnet anhand des gemessenen Hubs und der aktuellen Reglerparameter eine
Spannungsamplitude für den Aktor. Zusammen mit der Vorsteuerung wird dieses Signal an den
Block „Strecke“ weitergegeben, welcher die Regelstrecke repräsentiert. Hier wird die Stell-
größe entsprechend der Abbildung 6-21 in PWM-Signale zur Ansteuerung der H-Brücke um-
gerechnet. Außerdem ist die Messdatenaufnahme von Aktorspannung, -strom und Läuferposi-
tion untergebracht. Die Läuferposition wird über eine aus einer einmaligen Kalibrierungsmes-
sung generierten Lookup-Tabelle für die Induktivitätsinformation der Messspule ermittelt,
siehe Abschnitt 5.5. Ebenso erfolgt hier die Berechnung des Hubs aus der Läuferposition mit-
tels des in Abschnitt 6.2.3 vorgestellten Taylor-Kalman-Filters.
Schließlich werden die Messdaten im rechten Block über die serielle Schnittstelle an den PC
übertragen.
Nicht in der Abbildung 6-22 dargestellt sind andere, einmalig ausgeführte Blöcke zur Konfigu-
ration der Leistungselektronik-Erweiterungsplatine und des Positionssensormoduls.
113
Abb. 6-22 Top-Level-Ansicht des Simulink-Modells für die Ansteuerung
Auf dem PC kann bei Bedarf das zweite Softwaremodul ablaufen, welches in Matlab program-
miert ist. Über eine grafische Benutzeroberfläche ermöglicht es einen komfortablen Eingriff in
den Betrieb des Aktors. So lassen sich beispielsweise die Regler- und Betriebsparameter wäh-
rend der Laufzeit anpassen oder auch Messdaten zur Auswertung und Überwachung empfan-
gen. Dieses Modul ist für den Betrieb des Aktors allerdings nicht zwingend notwendig. Ein
Standalone-Betrieb ohne PC ist ebenfalls möglich, sofern auf die Anpassung von Parametern
zur Laufzeit verzichtet werden kann.
114
7 Bewertung der technischen Konzepte
Die in Kapitel 4 vorgestellten elektromagnetischen Linearantriebe bilden mit dem Sensormodul
zur Erfassung der Läuferposition aus Kapitel 5.5, der Ansteuerungselektronik und Regelungs-
software aus Kapitel 6 im Zusammenspiel für die Anwendung als handgehaltenes Stechgerät
mechatronische Gesamtsysteme. Die Ansteuerungshardware, die Positionssensorik sowie die
Software zur Hubregelung und Einstellung des Stechverhaltens sind hierbei universell für die
entwickelten Antriebe einsetzbar.
Zur Validierung der entwickelten Funktionsmuster wurden mit diesen Gesamtsystemen An-
wendertests durchgeführt, in deren Vorfeld jedoch zunächst weitere experimentellen Labor-
untersuchungen zur Überprüfung der Einsatzfähigkeit standen. Für praxisnahe experimentelle
Untersuchungen wurden zwei Antriebsvarianten - der Doppelläuferantrieb und der Antrieb mit
Vormagnetisierung - wie in der Abbildung 7-1 dargestellt, mit Aluminiumgehäusen ausgestat-
tet, welche das Ankoppeln handelsüblicher Nadelmodule gestatten. Wichtige Funktionseinhei-
ten sind in der Abbildung 7-1 farblich gruppiert, die Rückstellfedern sind nicht dargestellt.
Abb. 7-1 Funktionsmuster mit integrierter Positionserfassung, Gehäuse und Nadelmodul
oben: Doppelläuferantrieb
unten: Antrieb mit Vormagnetisierung
Zwei zentrale Aspekte der Ergebnisse dieser anwendungsnahen experimentellen Untersuchun-
gen werden hier näher betrachtet, die Gehäusevibrationen und die Erwärmung.
Gehäusevibrationen
Die Entwicklung des in Abschnitt 4.3 vorgestellten Doppelläuferantriebs zielte darauf ab, die
Gehäusevibrationen zu reduzieren, indem eine zusätzliche Läufermasse zu gegenphasigen
Schwingungen angeregt wird. Beschleunigungsmessungen am Antrieb mit Vormagnetisierung
und am Doppelläuferantrieb ermöglichen einen Vergleich der zwei Antriebvarianten und damit
die Bewertung der Wirksamkeit dieser Maßnahme.
Die Vibration des handgehaltenen Gehäuses der entwickelten Antriebe wird eindeutig durch
Schwingungen in der axialen Richtung dominiert, wie die in der Abbildung 7-2 dargestellten
Ergebnisse einer exemplarischen Beschleunigungsmessung am Gehäuse des Antriebs mit Vor-
magnetisierung zeigen. Die Schwingungen in die anderen beiden Raumrichtungen werden
daher in den folgenden Betrachtungen nicht weiter berücksichtigt.
Lagerung
Spule
Magnet
Stator
Läufer
115
Abb. 7-2 Komponenten der Gehäusebeschleunigung für einen Aktor mit einem Läufer
Das in der Abbildung 7-3 dargestellte Amplitudenspektrum der axialen Gehäusebeschleuni-
gung zeigt, dass die Grundschwingung den größten Anteil der Gehäusevibrationen einnimmt.
Somit stellt die Kompensation der Grundschwingung ein einfaches und zielführendes Mittel
zur Senkung der Gesamtvibrationen dar und wird durch den Einbau eines zweiten Läufers und
dessen gegenphasige Anregung angestrebt. Verbleibende Vibrationen in anderen Raumrichtun-
gen und bei anderen Frequenzen werden in Kauf genommen. Die folgenden Ausführungen
beziehen sich auf die axialen Komponenten der Gehäusebeschleunigung.
Abb. 7-3 Frequenzspektrum der axialen Gehäusebeschleunigung, Antrieb mit Vormagnetisierung
Für den Fall eines Läufers der Masse
m
, der sich innerhalb eines Gehäuses der Masse
M m /=
bewegt, lässt sich die Gehäuseschwingung über das Massenverhältnis
abschät-
zen, wenn eine sinusförmige Läuferschwingung mit der Amplitude
L
ˆ
x
vorausgesetzt wird:
( ) ( )
LL
ˆ
x t x sin 2 f t=
(7-1)
Um die Schwingungen des Gehäuses abzuschätzen, wird vereinfachend davon ausgegangen,
dass keine äußeren Kräfte auf das Handstück wirken und somit der Gesamtschwerpunkt ruht.
Nach dieser Abschätzung hat die Gehäuseschwingung eine Amplitude von
116
G L L
m
ˆ ˆ ˆ
x x x
M
= =
(7-2)
Die Amplitude der Gehäuseschwingung verhält sich somit proportional zur Amplitude der Läu-
ferschwingung und wird durch das Massenverhältnis
von Läufermasse zu Gehäusemasse
bestimmt. Der Effektivwert der Gehäusebeschleunigung ergibt sich aus den Gleichungen (7-1)
und (7-2) zu
22
RMS G L
11
ˆˆ
a a 4 f x
22
= =
(7-3)
Der Vergleich der gemessenen Beschleunigung (ebenfalls als Effektivwert) mit dieser verein-
fachten Abschätzung zeigt eine gute Übereinstimmung. Das Handstück für die Messungen ist,
wie in der Abbildung 7-4 dargestellt, in einer Fadenaufhängung fixiert. Es wird mit verschie-
denen Läuferamplituden und bei einer Frequenz von 90 Hz betrieben, wobei ein piezo-
elektrischer Beschleunigungssensor die Gehäusebeschleunigung bestimmt. Die Messergebnis-
se sind in der Abbildung 7-5 zusammen mit der Abschätzung nach Gleichung (7-3) dargestellt.
Abb. 7-4 Fadenaufhängung des Linearantriebs mit Beschleunigungssensor
Abb. 7-5 Vergleich zwischen theoretischer (aRMS) und gemessener (aRMS,m) Gehäusebeschleunigung
beim Antrieb mit Vormagnetisierung
117
Die Aufhängung des Handstücks in die Fadenaufhängung bildet nicht den eigentlichen Anwen-
dungsfall eines handgehaltenen Geräts ab. Aufgrund der starken Varianz in Halteposition und
Griffkraft während einer tatsächlichen Handhaltung des Geräts bietet die Fadenaufhängung für
Vibrationsmessungen allerdings eine einfache Möglichkeit, reproduzierbare Ergebnisse zu ge-
nerieren. Außerdem ist davon auszugehen, dass die Fadenaufhängung die Gehäuseschwingun-
gen kaum dämpft. Somit stellt diese Art der Aufhängung für die Messung der Vibrationen ein
Worst-Case-Szenario dar. Daher werden beim Halten des Geräts in der Hand geringere Vibra-
tionen auftreten.
Wie nach Gleichung (7-3) erwartet, verhält sich die gemessene Beschleunigung näherungs-
weise proportional zur Läuferamplitude. Die gemessenen Effektivwerte liegen leicht unterhalb
der erwarteten Werte, was darauf zurückzuführen sein kann, dass die Gehäuseschwingung
durch die elektrischen Verbindungen am Messaufbau und durch die Aufhängung des Antriebs
leicht gedämpft wird.
Die gleichen Messungen erfolgten mit dem Doppelläuferantrieb, wobei die beiden unabhängi-
gen Läufer gegenphasig mit dem gleichen Strom angeregt wurden. Die Abbildung 7-6 zeigt die
erhebliche Reduktion der Gehäuseschwingungen um bis zu 50 Prozent bei einem Hub von
sechs Millimeter im Vergleich mit dem zuvor betrachteten Antrieb mit Vormagnetisierung.
Dies ist insbesondere deswegen bemerkenswert, da die Läufermasse des Antriebs mit Vormag-
netisierung mit etwa fünf Gramm deutlich geringer ist als die Masse eines Läufers beim
Doppelläuferantrieb mit etwa zwölf Gramm.
Die verbleibenden Vibrationen haben verschiedene Ursachen. Zum einen bewirken Abwei-
chungen in den Systemparametern (Läufermasse, Gegenläufermasse, Steifigkeiten der Rück-
stellfedern) eine Asymmetrie, sodass die beiden Läufermassen nicht mit exakt der gleichen
Amplitude schwingen. Außerdem gibt es, wie in der Abbildung 7-3 bereits dargestellt, Vibra-
tionsanteile mit höheren Frequenzen, die durch die Gegenläuferbewegung nicht kompensierbar
sind.
Abb. 7-6 Vergleich der Beschleunigungen zwischen Doppelläuferantrieb und
Antrieb mit Vormagnetisierung
Die experimentellen Untersuchungen zeigen somit, dass der Doppelläuferantrieb sehr gut dazu
geeignet ist, die Gehäusevibrationen zu reduzieren. Besonders deutlich fällt die Reduktion bei
großen Hüben aus. Die Ergebnisse sind jedoch auf den Leerlaufbetrieb beschränkt. Eine Belas-
tung durch das Einstechen in die Haut wirkt nur auf den Läufer, nicht auf den Gegenläufer. Als
118
Folge davon wird die Läuferschwingung gedämpft, sodass die Amplituden und Phasen von
Läufer und Gegenläufer nicht mehr optimal aufeinander abgestimmt sind. Während der Ein-
stechphasen ist daher beim Doppelläuferantrieb mit erhöhten Gehäusevibrationen zu rechnen.
Die Erweiterung der gegenphasigen Ansteuerung zu einer Regelung unter Verwendung der Po-
sitionen von Läufer und Gegenläufer ist an dieser Stelle denkbar, wurde jedoch im Rahmen
dieser Arbeit nicht untersucht. Ob eine weitere Reduktion der Gehäusevibrationen zielführend
ist, muss allerdings kritisch hinterfragt werden, stellt doch die Vibration für den Anwender auch
ein wichtiges Feedback während der Arbeit dar. Hierzu ist anzumerken, dass die gegenüber
dem Doppelläuferantrieb größeren Vibrationen des Antriebs mit Vormagnetisierung während
der Anwendungstests nicht zu negativen Einschätzungen der Nutzer führten.
Es bleibt somit festzuhalten, dass sich die Gehäusevibrationen sowohl durch die Verwendung
eines Läufers mit geringer Masse wie beim Antrieb mit Vormagnetisierung, als auch durch die
Verwendung von zwei gegenläufig schwingenden Läufermassen auf ein für den Anwender ak-
zeptables Maß reduzieren lassen.
Erwärmung
Die Erwärmung der in dieser Arbeit entwickelten Linearantriebe stellte sich im Zuge der Vor-
untersuchungen als kritisches Merkmal heraus. Bei handgehaltenen Geräten sollte die Oberflä-
chentemperatur 40 °C nicht übersteigen, was bei einer angenommenen Umgebungstemperatur
von 25 °C einer maximalen Erwärmung von 15 °C entspricht.
Die Temperatur des Antriebs erhöht sich im Betrieb in dem Maße, wie die innerhalb des An-
triebs anfallende Verlustleistung größer ist als die an die Umgebung abgeführte Wärmeleistung.
Im stationären Betrieb stellt sich nach einer gewissen Zeit demnach die Temperatur ein, bei der
die abgeführte Wärmeleistung der Verlustleistung entspricht. Geeignete Maßnahmen zur Re-
duktion der Erwärmung lassen sich folglich danach einteilen, ob Sie eine Verringerung der
Verlustleistung oder eine Begünstigung der Wärmeabfuhr an die Umgebung zum Ziel haben.
Die Verringerung der Verlustleistung stand bei der Entwicklung der Linearaktoren zunächst im
Vordergrund. Als entscheidend ist hierbei nochmals der Resonanzbetrieb hervorzuheben. Die-
ser bewirkt, dass die kinetische Energie des Läufers nicht in jeder Halbperiode über das elektro-
magnetische System zu- und wieder abgeführt werden muss. Stattdessen wird die kinetische
Energie in der Phase des Abbremsens vorübergehend in potentielle Energie gewandelt und in
den Rückstellfedern gespeichert, um anschließend für die erneute Beschleunigung der Läufer-
masse zu sorgen. Das elektromagnetische System muss dadurch deutlich kleinere Stellkräfte
erzeugen, wodurch sich auch die hierbei anfallenden Verluste immens verringern. Zum Ver-
gleich: Um einem Läufer mit einer Masse von
m 10 g=
ohne Rückstellfeder eine harmonische
Schwingung mit einer Amplitude von
ˆ
x 3 mm=
und einer Frequenz von
f 100 Hz=
aufzu-
zwingen, sind Stellkräfte von
2
max
22 NF ˆˆ
x f x 1m4 2m = =
(7-4)
erforderlich. Hierbei sind weder zusätzlich zu überwindende Reibungskräfte noch äußere Be-
lastungen berücksichtigt. Die in dieser Arbeit entwickelten Antriebe erreichen die beschriebene
Bewegung durch die gezielte Nutzung der Resonanz hingegen bereits mit Stellkräften von ein
119
bis zwei Newton. Dies macht nochmals deutlich, dass ohne die Nutzung der Resonanz ein län-
gerer Betrieb ohne unzulässige Erwärmung kaum denkbar ist.
Zur Steigerung der Effizienz der elektromagnetischen Energiewandlung kamen spezielle
weichmagnetische Legierungen mit großem spezifischen Widerstand, geringer Koerzitivfeld-
stärke und hoher Sättigungsflussdichte zum Einsatz. Insbesondere beim Antrieb mit Vormag-
netisierung führte dies zu einer signifikanten Verringerung der Wirbelstrom- und Hysteresever-
luste. Auch bei den Lorentzkraftantrieben sind positive Auswirkungen feststellbar, jedoch in
kleinerem Umfang. So kann eine sorgfältige Kosten-Nutzen-Analyse unter Berücksichtigung
der Bedingungen für eine mögliche Serienproduktion hier zu dem Schluss kommen, dass aus
wirtschaftlichen Gründen auf den Einsatz teurer Spezialwerkstoffe zu verzichten ist.
Eine weitere Maßnahme zur Reduktion der elektrischen Leistung für einen gegebenen Antrieb
ist durch das in Kapitel 6.1 beschriebene Vorgehen zur Bestimmung eines optimalen Zeitver-
laufs der Aktorspannung gegeben. Dieser Ansatz erwies sich für den durch stark nichtlineares
Verhalten gekennzeichneten Magnetfederantrieb als sehr wirksam. Bei den anderen Antrieben
ist dagegen infolge der deutlich einfacher zu realisierenden Sinusansteuerung mit geringeren
Einsparungen zu rechnen.
Abgesehen von den Verlusten, die im elektromagnetischen System anfallen, tragen auch Rei-
bungsverluste nicht unerheblich zur Erwärmung bei. Die in dieser Arbeit entwickelten Antriebe
verwenden wartungsfreie Kunststoffgleitlager bzw. Sinterbronzelager, die durch ihre Gleitei-
genschaften für möglichst geringe Reibungsverluste sorgen.
In einem experimentellen Vergleich zwischen dem Doppelläuferantrieb und dem Antrieb mit
Vormagnetisierung wurde die aufgenommene elektrische Leistung bei verschiedenen Hüben
erfasst. Die Ergebnisse sind in der Abbildung 7-7 dargestellt.
Abb. 7-7 Vergleich der Leistungen von Doppelläuferantrieb und Antrieb mit Vormagnetisierung
bei verschiedenen Hüben
Die Abbildung 7-7 zeigt, dass der Antrieb mit Vormagnetisierung bei gleichem Hub eine ge-
ringere elektrische Leistung aufnimmt. Das lässt sich dadurch erklären, dass beim Doppelläu-
ferantrieb mit dem Gegenläufersystem eine zusätzliche Reibpaarung sowie ein weiteres Spu-
lenpaar (Ohm’sche Verluste) vorhanden ist.
120
Neben der Verringerung der Verluste gilt es schließlich, für eine möglichst gute Wärmeabfuhr
an die Umgebung zu sorgen. Hierbei spielen verschiedene Übertragungsmechanismen eine
Rolle. Zunächst wird die innerhalb eines Antriebs in erster Linie in den Spulen entstehende
Wärme durch Wärmeleitung zur Oberfläche transportiert. Hier findet der Wärmeübergang zur
Umgebung statt, zum einen an die Hand des Anwenders und zum anderen an die umgebende
Luft. Darüber hinaus gibt die Antriebsoberfläche Wärme in Form von Strahlung ab.
Für den teils konvektiven Wärmeübergang ist in erster Linie die Temperaturdifferenz zwischen
Antriebsoberfläche und Umgebung sowie die Größe der Oberfläche ausschlaggebend. Gegen-
über den in den Vorstudien entwickelten Labormustern ist sowohl der Antrieb mit Vormagneti-
sierung als auch der Doppelläuferantrieb mit einem ergonomischen Gehäuse ausgestattet.
Durch dieses Gehäuse vergrößert sich die Oberfläche, über welche die Wärme abgeführt wird.
Die Wärmestrahlung ist durch ihre Abhängigkeit von vielen verschiedenen Faktoren schwierig
zu quantifizieren. Die Intensität der von einer Oberfläche emittierten Strahlung ist wellenlän-
gen-, temperatur- und richtungsabhängig und wird darüber hinaus von der Oberflächenbeschaf-
fenheit beeinflusst. Um sich dem komplexen Problem der Wärmestrahlung bei technischen
Oberflächen zu nähern, zieht man zur Charakterisierung des Werkstoffeinflusses den Emissi-
onsgrad
heran, welcher das Verhältnis zwischen der Strahlungsintensität eines Körpers und
der Strahlungsintensität des idealen Strahlers (Schwarzer Strahler) bei gleicher Temperatur be-
schreibt. Will man daher die abgegebene Strahlungsleistung erhöhen, ist es zweckmäßig, eine
Oberfläche mit hohem Emissionsgrad zu nutzen.
Zur Verbesserung der Wärmeabfuhr durch Wärmestrahlung wurden die Aluminiumgehäuse des
Doppelläuferantriebs und des Antriebs mit Vormagnetisierung daher zusätzlich schwarz
eloxiert. Durch die Eloxalschicht ist mit einem Emissionsgrad im Bereich von
eloxiert 0,9
zu
rechnen [Inf20], was einer deutlichen Erhöhung der Abstrahlung im Vergleich zu unbehandel-
tem Aluminium mit etwa
blank 0,05
entspricht [BS19]. Den gleichen Effekt nutzt man bei
Kühlkörpern für elektronische Komponenten.
Die mit Gehäuse und Nadelmodulaufnahme ausgestatteten Antriebe zeigen hinsichtlich der Er-
wärmung ein unterschiedliches Verhalten, was durch den zeitlichen Verlauf der Oberflächen-
temperatur des Doppelläuferantriebs und des Antriebs mit Vormagnetisierung für einen
Schwingungshub von vier Millimetern in der Abbildung 7-8 dargestellt ist. Da für die Anwen-
dung insbesondere die Oberflächentemperaturen im Griffbereich relevant sind, wurden die
Temperaturzunahmen an der Stelle erfasst, an der auch die Hand des Anwenders in Kontakt mit
dem Antrieb steht. Beim Doppelläuferantrieb liegt diese bei etwa elf Grad Celsius, während
sich der Antrieb mit Vormagnetisierung nur um etwa sechs Grad erwärmt. Diese Ergebnisse
decken sich mit der Beobachtung, dass der Doppelläuferantrieb bei gleichem Hub eine höhere
elektrische Leistung aufnimmt, siehe Abbildung 7-7.
121
Abb. 7-8 Erwärmung von Doppelläuferantrieb und Antrieb mit Vormagnetisierung
bei einem Hub von 4 mm
Die beobachteten Temperaturverläufe erlauben einen dauerhaften Betrieb ohne Beeinträchti-
gung des Anwenders. Im praktischen Einsatz kommen jedoch im Vergleich zu den
experimentellen Laboruntersuchungen weitere Unwägbarkeiten hinzu. Aus hygienischen Grün-
den sind die Handstücke in der Praxis mit Kunststofffolien überzogen, welche den
Wärmetransport behindern. Zudem nehmen einige Anwender individuell verschiedene Modi-
fikationen der Griffstücke vor, indem sie diese mit Schaumstoff- oder Silikonhülsen einfassen.
Alle diese Faktoren beeinflussen die Wärmeabfuhr signifikant, sodass zukünftige Untersuchun-
gen unter anwendungsnahen Bedingungen erforderlich sind, um die zulässige Erwärmung
genauer zu spezifizieren.
122
8 Zusammenfassung und Ausblick
In dieser Arbeit wurden mehrere antriebstechnische und konstruktive Konzepte zur Optimie-
rung von handgehaltenen Stechgeräten vorgestellt. Hierzu zählen die Ausarbeitung einer Reihe
grundlegend unterschiedlicher elektromagnetischer Linearantriebe, ein für alle Prototypen ge-
eignetes Sensormodul zur Erfassung der Läuferposition, die digitale Leistungs- und Ansteue-
rungselektronik sowie in Software umgesetzte Algorithmen zur Hubregelung und Einstellung
des Stechverhaltens der Antriebe. Die aus den Antriebskonzepten hervorgegangenen Labor-
muster erwiesen im experimentellen Einsatz ihre prinzipielle Eignung für das betrachtete
Anwendungsfeld, wobei aber auch Schwachstellen auftraten. Hinsichtlich der Entwicklung
marktfähiger Produkte stellten sich bei den Linearoszillatoren die starke Erwärmung sowie die
Gehäusevibration der Antriebe als größte Hindernisse heraus.
Mit dem Magnetfederantrieb, dem Doppelläuferantrieb und dem Antrieb mit Vormagnetisie-
rung wurden daher drei neue Ansätze verfolgt, diese Herausforderungen zu bewältigen. Die
Entwicklung des Doppelläuferantriebs zielte auf die Kompensation der Gehäusevibrationen ab,
wohingegen bei den anderen beiden Ansätzen die Effizienzsteigerung im Fokus stand.
Die Entwicklung des Magnetfederantriebs wurde aufgrund von projektgetriebenen Entschei-
dungen nicht weitergeführt. Die experimentellen Ergebnisse zeigen jedoch das große Potential
dieses Antriebs hinsichtlich der Erwärmung. Die magnetischen Federn erwiesen sich hierbei
als signifikant verlustärmer als die mechanischen Federn der anderen Antriebe. Eine Weiter-
verfolgung dieses Antriebskonzepts ist daher für zukünftige Untersuchungen zu empfehlen.
Das nichtlineare Systemverhaltens erscheint beherrschbar, wenn eine messtechnische Erfas-
sung der Läuferposition mitberücksichtigt wird. Darüber hinaus ist denkbar, das Prinzip der
magnetischen Feder auch in einem Aufbau mit Gegenläufer einzusetzen, um analog zum Dop-
pelläuferantrieb die Gehäusevibrationen zu reduzieren.
Bei dem Antrieb mit Vormagnetisierung handelt es sich um eine komplette Neuentwicklung,
welche ohne den Einsatz moderner FE-Software zur Berechnung elektromagnetischer Felder
und Kräfte sowie eines umfangreichen Know-hows über weich- und permanentmagnetische
Werkstoffe nicht möglich ist. Damit gelingt die Auslegung von Antrieben mit Permanentmag-
neten, deren elektromagnetische Feldenergie sich in der Weise zur Krafterzeugung einsetzen
lassen, dass im Vergleich zu rein lorentzkraftbasierten Antriebsvarianten weniger elektrische
Energie für die mechanische Bewegung erforderlich ist, sodass die Erwärmung eines solchen
Antriebs konkurrenzlos niedrig ausfällt.
Im Rahmen von Anwendungstests konnten sich mehrere Nutzer vom innovativen Charakter
dieser Aktorvariante überzeugen, der durch einen im Betrieb stufenlos einstellbaren Nadelhub
sowie durch anpassbares Stechverhalten gekennzeichnet ist. Insbesondere die Variation des
Stechverhaltens wurde hierbei durchweg sehr positiv aufgenommen, da eine vergleichbare
Funktionalität bisher nicht auf dem Markt vertreten ist und sich hierdurch erstmals verschiedene
Arbeitstechniken mit einem einzigen Gerät ausführen lassen. In der Abbildung 8-1 ist der An-
trieb mit Vormagnetisierung im praktischen Einsatz zu sehen.
123
Abb. 8-1 Antrieb mit Vormagnetisierung im praktischen Einsatz
Trotz der positiven Nutzerresonanz lassen sich an verschiedensten Punkten Ansätze für weitere
Forschungs- und Entwicklungsarbeiten identifizieren.
So traten im Zuge der Anwendungstests Nutzerpräferenzen zutage, die zum Zeitpunkt der An-
triebsentwicklung noch unbekannt waren. Beispielsweise wurde der weit hinten liegende
Schwerpunkt des Doppelläuferantriebs als störend empfunden. Der Antrieb mit Vormagneti-
sierung erhielt hier bessere Bewertungen, da der Aufbau kürzer und der Schwerpunkt somit
näher am Griffbereich liegt. Zukünftige Entwicklungen sollten daher stärkeres Augenmerk auf
die Begrenzung der axialen Baulänge richten, während laut Nutzeraussagen etwas größere
Durchmesser unkritisch sind.
Die Regelung des Hubs ist bei den vorliegenden Antrieben für eine konsistente Nutzererfahrung
und eine Einstellung der Nachgiebigkeit von entscheidender Bedeutung. Daher müssen Infor-
mationen über die aktuelle Läuferposition mit ausreichender Zeitauflösung vorliegen. Die in
dieser Arbeit entwickelten Aktoren nutzen hierfür das in Kapitel 5.5 beschriebene induktive
Positionserfassungsmodul. Es ist für alle hier vorgestellten Antriebe einsetzbar, nimmt jedoch
einen recht großen axialen Bauraum ein. Ist die Entscheidung über ein Antriebskonzept für ein
Serienprodukt gefallen, so sollte daher gründlich geprüft werden, ob die Erfassung der Läufer-
position beispielsweise durch die Integration von Hall-Sensoren möglich ist.
Um die Anzahl der Komponenten und den Bauraum weiter zu verringern, erscheint es außer-
dem attraktiv, die Läuferposition ohne direkte Messung aus anderen (elektrischen) Messgrößen
zu schätzen. Üblicherweise kommen zwei unterschiedliche Verfahren zur Positionserfassung
in elektrischen Maschinen zum Einsatz: Entweder wird die Rückwirkung des mechanischen auf
das elektrische System in Form der durch die Läuferbewegung induzierten Spannung ausge-
nutzt, oder es wird die Änderung der positionsabhängigen Spuleninduktivitäten erfasst.
Letzteres wird im Allgemeinen durch die Beaufschlagung der Spulen mit einem hochfrequenten
Stromsignal und einer Auswertung der positionsabhängigen Impedanz erreicht. Vorteile bietet
dieses zweite Verfahren insbesondere bei kleinen Läufergeschwindigkeiten, da dann die sehr
kleine induzierte Spannung nur noch schwierig auszuwerten ist. Im vorliegenden Fall erscheint
die Nutzung der durch die Läuferbewegung induzierten Spannung geeignet, da sich der Läufer
im Betrieb die ganze Zeit in Bewegung befindet.
124
Insgesamt liefert die vorliegende Ausarbeitung den Nachweis, dass die Entwicklung elektro-
mechanischer Linearaktoren mit einer auf die Anwendung zugeschnittenen Gestaltung und ei-
ner intelligenten Ansteuerung die Gestaltung von Produkten mit innovativen Merkmalen
eröffnet, welche erhebliche Wettbewerbsvorteile bieten, sodass sich für die Produzenten neue
lohnende Marktsegmente eröffnen.
125
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lers | TI.com, https://www.ti.com/microcontrollers/c2000-real-time-control-
mcus/overview.html, vom 21.11.2019
[TeB19] Texas Instruments, BOOSTXL-DRV8301, https://www.ti.com/tool/BOOSTXL-
DRV8301, vom 21.11.2019
[Tex13] Texas Instruments, Design Considerations for a Transimpedance Amplifier,
https://www.ti.com/lit/an/snoa515a/snoa515a.pdf, vom 02.09.2019
[Tex15] Texas Instruments, CSD18533Q5A 60 V N-ChannelNexFET™ Power MOSFET,
https://www.ti.com/lit/ds/symlink/csd18533q5a.pdf, vom 21.11.2019
[Tex18] Texas Instruments, LDC Sensor Design,
https://www.ti.com/jp/lit/an/snoa930b/snoa930b.pdf, vom 16.09.2019
[TS93] Tietze, U., Schenk, C., Halbleiter-Schaltungstechnik, Springer Verlag, Berlin,
Heidelberg, 1993
[Vac02] Vacuumschmelze, Weichmagnetische Werkstoffe und Halbzeuge, https://vacuum-
schmelze.de/Assets-Web/Pb-pht-0.pdf, vom 18.05.2018
[Wan96] Wang, Y., Berechnung und Auslegung von Magnetstellgliedern mit Strom-Vor-
magnetisierung und mit Permanentmagnet-Vormagnetisierung, Dissertation,
Fachbereich Maschinenwesen der Universität-Gesamthochschule Essen, 1996
[WJV17] Wittel, H., Jannasch, D., Voßiek, J. et al., Roloff / Matek Maschinenelemente,
Normung, Berechnung, Gestaltung, 23. Auflage, Springer Vieweg Verlag, Wies-
baden, 2017
128
[YLV98] Yung, K., Landecker, P., Villani, D., An Analytic Solution for the Force Between
Two Magnetic Dipoles, Physical Separation in Science and Engineering, Volume
9, Nr. 1, pp. 39–52, 1998
129
10 Anhang
10.1 Radiales Luftspaltfeld im Lorentzkraftantrieb
Für den einfachen zylindrischen Linearantrieb, wie er in der Abbildung 3-4 dargestellt ist, wird
das radiale Luftspaltfeld, welches die Spulen durchsetzt, näherungsweise berechnet. Die Geo-
metrie des magnetischen Kreises wird durch die Länge
m
l
und den Radius
m
r
des Permanent-
magneten, die Länge der Polschuhe
p
l
, den Innen- und Außenradius der Spulen
s1
r
bzw.
s2
r
sowie den Außendurchmesser des Rückschlusses
a
r
festgelegt. Bei der Berechnung werden die
magnetischen Widerstände im Bereich der Polschuhe und des Rückschlusses ebenso vernach-
lässigt wie Streuflüsse, und die Entmagnetisierungskennlinie des Permanentmagneten wird
nach Gleichung (3-6) als linear angenommen. Der Durchflutungssatz ergibt mit der konstanten
magnetischen Feldstärke im Permanentmagneten
m
H
und der ortsabhängigen magnetischen
Feldstärke im Luftspalt
( )
l
Hr
( )
s2
m
r
m m l
r
H l 2 H r dr 0 + =
(10-1)
Da der magnetische Fluss entlang des magnetischen Kreises konstant bleibt, lässt sich für die
magnetische Flussdichte im Luftspalt
( )
2
m m l p
B A const. B r B r l 2 r = = =
(10-2)
( )
2
m
lm
p
r
B r B
2 r l
→ =
(10-3)
ermitteln. Damit lässt sich die Integration in (10-1) ausgeführen:
( ) ( )
s2 s2 s2
m m m
r r r
22
ls2
m m m m
l
0 0 p 0 p m
r r r
Br r
r B r B
1
H r dr dr dr ln
2 l r 2 l r
= = =
(10-4)
Mit der Entmagnetisierungskennlinie des Permanentmagneten
m R 0 m
B B H= +
(10-5)
folgt für die Flussdichte im Permanentmagneten aus den Gleichungen (10-1) und (10-4)
2
s2
m R m m R
mm
2
0 0 p m s2
m
p m m
r
B B r B B
l 2 ln 0 B
2 l r r
r
1 ln
l l r
−
+ = → =
+
(10-6)
Die Luftspaltflussdichte ist schließlich aus den Gleichungen (10-3)und (10-6) zu ermitteln:
( )
22
m m R
lm
2
ps2
m
p
mm
r r B
1
B r B
2 r l 2r r
r
l ln
lr
= =
+
(10-7)
130
10.2 Eigenfrequenz des Magnetfederantriebs
Man betrachtet die mechanische Bewegungsgleichung des Magnetfederantriebs mit der kubi-
schen Federkennline:
3
01
d x c x c x 0mx + + + =
(10-8)
Nimmt man an, dass die Auslenkung
x
trotz der Nichtlinearität eine harmonische Schwingung
mit
( ) ( )
t
ˆ
x t x sin=
(10-9)
ausführt, so lässt sich für den kubischen Term unter Verwendung eines Potenzgesetz für den
Sinus
( ) ( ) ( )
3
3 3 3 3
31
ˆ ˆ ˆ
x tstx sin x in x sin 3
4
t
4
= = −
(10-10)
schreiben. Der zweite Term beschreibt hierbei eine Oberschwingung mit der dreifachen Anre-
gungsfrequenz. Die Amplitude dieses Terms beträgt nur ein Drittel der Amplitude der Grund-
schwingung. Er wird für die Näherung vernachlässigt, sodass
( )
33 2
33
ˆˆ
x sin t x xx 44
=
(10-11)
folgt. Die kubische Nichtlinearität in der Bewegungsgleichung lässt sich damit durch einen in
x
linearen Term approximieren, der von der Schwingungsamplitude
ˆ
x
abhängt. Eine Nähe-
rung für die Gleichung (10-8) folgt durch Einsetzen des Ausdrucks (10-11):
2
0
3
01
2
01
2
01
m
0
x c x c x 0
3ˆ
xc
x
x x c x
d
0
4
cc
d
m
x
3ˆ
x x x
md
m 4 m
x
+
+
+
+ + =
+ + =
+ + =
(10-12)
Die Eigenkreisfrequenz des vereinfachten Systems ist somit
2
01
0
cc
3ˆ
x
m 4 m
= +
(10-13)
131
10.3 Systemparameter für den Doppelläuferantrieb
Zur Ermittlung der Frequenzgänge in der Abbildung 4-34 wurden die Bewegungsgleichun-
gen (4-11) numerisch gelöst. Die Federsteifigkeiten entsprechen hierbei den tatsächlichen Stei-
figkeiten der eingebauten Federn. Ebenso entsprechen die Massen denen des aufgebauten La-
bormusters. Einzig die Steifigkeit der Zugfederdichtung wurde variiert. Ihr nomineller Wert
beträgt
N,nom
c 660 N / m=
. Die Ermittlung der Frequenzgänge der Einzelmassen erfolgte nun
einmal mit dieser nominellen Steifigkeit sowie mit einer um 20 Prozent verringerten Steifigkeit
durchgeführt. Außerdem wurden für die Federsteifigkeiten in der Benennung konsistente
Dämpfungswerte
12 13 23
d ,d ,d
eingeführt, um die Frequenzgänge realitätsnäher zu gestalten.
Diese sind in der Abbildung 4-34 nicht dargestellt.
Parameter
N N,nom
cc=
N N,nom
c 0,8 c=
12
c
in N/m
1177
1177
13
c
in N/m
1732
1600
23
c
in N/m
1730
1730
33
c
in N/m
0
0
1
m
in g
12,5
12,5
2
m
in g
12,5
12,5
3
m
in g
160
160
12 13 23
d ,d ,d
in Ns/m
0,17
0,17
Tab. 10-1 Parameter des mechanischen Ersatzmodells für den Doppelläuferantrieb
132
10.4 Optimalitätsbedingungen für unbeschränkte Optimalsteue-
rungsprobleme
In diesem Abschnitt werden die notwendigen Bedingungen hergeleitet, welche eine optimale
Lösung für das folgende Optimalsteuerungsproblem erfüllen muss:
( ) ( )
T
0
min J dt,=
uuu x
(10-14)
( )
,=x f x u
(10-15)
( ) ( )
0 0 T
t , T==x x x x
(10-16)
Es wird eine Steuerung
( )
tu
gesucht, welche dazu führt, dass ein gegebenes Kostenfunktional
J
einen minimalen Wert annimmt. Die Wahl der Funktion
( )
tu
ist dabei dadurch einge-
schränkt, dass zusätzlich die Nebenbedingungen aus den Gleichungen (10-15) und (10-16)
einzuhalten sind. Diese drücken aus, dass sich die Zustände durch die Dynamik des betrachteten
Systems innerhalb des Zeitraums von
t0=
bis
tT=
von einem festgelegten Anfangszustand
0
x
in einen festgelegten Endzustand
T
x
entwickeln.
Unter Einführung von Lagrange-Multiplikatoren
( )
tλ
lassen sich die Gleichungsnebenbedin-
gungen aus der Gleichung (10-15) in das Funktional aus der Gleichung (10-14) aufnehmen. Es
entsteht das Funktional
( ) ( )
( )
T
0
J dt,, + = −
xu λ f x u x
(10-17)
welches das gleiche Optimum wie das Ausgangsfunktional
J
besitzt, da der zweite Summand
im Integral ohnehin verschwindet, siehe Gleichung (10-15).
Sei
( )
t
*
x
und
( )
t
*
u
eine Trajektorie bzw. eine Steuerung, die
J
minimieren. Man betrachtet
nun kleine Variationen um diese optimale Lösung, setzt also
( ) ( ) ( )
ttt=+
*
x xx
bzw.
( ) ( ) ( )
ttt=+
*
u uu
an. Damit die Funktion
( )
tx
ebenfalls die Randbedingungen (10-16)
erfüllt, muss
( ) ( )
0 T 0 = =xx
gelten. Davon abgesehen sind die Funktionen
x
und
u
be-
liebig, während
eine kleine reelle Zahl ist.
Einsetzen in das Kostenfunktional ergibt zunächst
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
T
0
T
0
J dt
t dt
,
,t
+ − +
= + +
++
**
** *
x u u
λ f u
x
x x u x x
(10-18)
Die erste Variation von
J
ist definiert als
0
dJ
Jd=
=
(10-19)
und muss an der Stelle des Optimums verschwinden [Lib12]. Ausführen der Ableitungen und
Weglassen der Sternindizes führt zu
133
T
0
T
0
T
0
dt
dt
dt
J
= +
+ +
−
fλx
xx
fλu
uu
λx
(10-20)
Der letzte Term lässt sich partiell integrieren und als
T
0
TT
00
0
dt dt
=
=−
λ x λ x λ x
(10-21)
schreiben. Die Auswertung des ersten Terms ergibt null, da die Anfangs- und Endbedingungen
des Zustands
x
vorgegeben sind und somit die Variation
x
des Zustands zu den Zeitpunkten
t0=
und
tT=
verschwindet. Einsetzen der Gleichung (10-21) in die Gleichung (10-20) liefert
T
0tJ d
= + + + +
ff
λ λ x λ u
x x u u
(10-22)
Diese Variation muss nun für beliebige zulässige Variationen
( )
tx
und
( )
tu
null sein, dem-
nach müssen die beiden Ausdrücke in den eckigen Klammern in der Gleichung (10-22) unab-
hängig voneinander verschwinden. Daraus folgen die notwendigen Bedingungen für eine opti-
male Lösung:
= − −
f
λλ
xx
(10-23)
0uu
=+
fλ
(10-24)
Üblicherweise werden diese Beziehungen unter Einführung der sogenannten Hamilton-Funk-
tion
( ) ( ) ( )
H ,, ,= +xu λuufxx
(10-25)
kompakter als
( )
H,==
u
λ
x f x
(10-26)
H
= − = − −
f
λλ
x x x
(10-27)
H
= = +
fλ
uu
0u
(10-28)
geschrieben.
134
10.5 Systemgleichungen für das Kalman-Filter
Zur Bestimmung der Schwingungsamplitude wurde ein Taylor-Kalman-Filter eingesetzt, siehe
Abschnitt 6.2.3. Für die Herleitung der Systemgleichungen des Signalmodells wird an dieser
Stelle aufgrund der kompakten Darstellung die komplexe Schreibweise genutzt. Zur Implemen-
tierung der Gleichungen auf dem Mikrocontroller müssen diese allerdings in reelle Größen
umgerechnet werden. Die Umrechnung erfolgt als letzter Schritt der Herleitung.
Für die zeitliche Entwicklung des langsam veränderlichen Zeigers
( )
( )
nnn
: n p p= =pp
wurde im Abschnitt 6.2.3
( )
n n 1−
=pΦp
(10-29)
hergeleitet. Zur Bestimmung der Position ist allerdings der Realteil des mitrotierten Zeigers
tj2 f
nn
r p e
=
(10-30)
wichtig. Daher ist die Zustandsraumdarstellung des Signalmodells bezüglich
r
und dessen Ab-
leitung
r
zu formulieren. Die Zeitlableitung der Gleichung (10-30) ergibt unter Verwendung
der Produktregel
( ) ( ) ( )
f t f tj2 j2
r t j 2 p t e pf te
= +
(10-31)
Der Vektor
( )
n n n
rr=r
, welcher den mitrotierten Zeiger sowie seine erste Ableitung bein-
haltet, lässt sich somit als
f t f t
n
nj 2 j 2
n
n
p
10 ee
j 2 1 pf
= =
prM
(10-32)
schreiben. Einsetzen von (10-29) in (10-32) ergibt
2f t f tj 2 j
nn n 1
ee
−
==r p ΦpMM
(10-33)
Wendet man nun den nach
n
p
umgestellten Zusammenhang (10-32) mit einer Indexverschie-
bung von n auf n-1 erneut an, so folgt
( )
n1
f n 1 fn
n1
1j2 j2
nee
−
−
−−
−
=
p
r M MΦr
(10-34)
bzw.
1
1
n
fj
n
2
e−
−
= MΦrrM
(10-35)
als Gleichung für die zeitliche Entwicklung des mitrotierten Zeigers.
Um das Positionssignal als Realteil von
n
r
mit der linearen Ausgangsgleichung (10-39) be-
schreiben zu können, wird zusätzlich der komplex konjugierte Vektor
n
*
r
betrachtet. Die
komplexe Konjugation der Gleichung (10-35) ergibt
( ) ( )
2ff
n 1 n
11
j 2 j
n 1
ee
−
−
−
−
−
= = *
**
**
r Φ r Φ rM M M M
(10-36)
Auch der Offset
( )
bt
wird analog zu
( )
pt
in eine Taylorreihe entwickelt, sodass
135
( )
( ) ( )
1n n
bn
bn −
==
Φbb
(10-37)
gilt. Der gesamte Zustand
n
x
des Signalmodells ergibt sich aus dem Vektor
n
r
, dessen kom-
plexer Konjugation
n
*
r
sowie dem Offset
n
b
. Die zeitliche Entwicklung von
n
x
ist damit durch
die Gleichungen (10-35), (10-36) und (10-37) gegeben und lässt sich zusammengefasst als
( )
j
1
f
*
j2
n1
**
2
n
n
1
f
n 1 n 1
1
e
e
−
−
−
−
−−
−
= =
M 0 0 r
x
ΦM
Φ
b
MA x 0 M 0 r
Φ00
(10-38)
schreiben.
Die Ausgangsgleichung ist durch
( )
n
**
n n n n n
n n n
n
1 1 1
s Re r b r r b 0 0 1 0
2 2 2
= + = + + = =
r
r C x
b
(10-39)
gegeben.
Die Gleichungen (10-38) und (10-39) enthalten den komplexwertigen Zustandsvektor
n
x
, der
zur Implementierung auf der Mikrocontroller-Plattform in einen reellen Zustandsvektor
n
z
transformiert werden soll. Anstatt des komplexen Raumzeigers
n
r
und seiner komplexen Kon-
jugation
n
*
r
müssen dessen Real- und Imaginärteil den Zustandsvektor bilden. Die
Transformation lässt sich über eine reguläre Matrix
T
mit
n
n=z T x
(10-40)
ausführen. Hierbei wird der Realteil als
( )
n n n
1
Re 2
= + *
r r r
(10-41)
und der Imaginärteil als
( ) ( )
n n n n n
11
Im j
2j 2
= − = − −
**
r r r r r
(10-42)
dargestellt, sodass für
T
1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0
j 0 j 0 0 0
1
0 j 0 j 0 0
2
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 2
−
=
−
T
(10-43)
gilt. Unten rechts steht die Einheitsmatrix, da diese Einträge dem Offset und seiner Ableitung
entsprechen, diese Größen sind bereits reell.
136
Mit der Transformation aus der Gleichung (10-40) lässt sich die komplexwertige Systemglei-
chung (10-38) als reellwertige Gleichung schreiben:
1
n n 1 n 1
−
−−
= =
A
z T A T z A z
(10-44)
Für die Ausgangsgleichung (10-39) gilt analog
1
n
n n n
s−
= = =
C
C x C T z C z
(10-45)
Der nun reellwertige Zustandsvektor
n
z
enthält die Real- und Imaginärteile des die Schwin-
gung beschreibenden mitrotierenden Zeigers sowie den Offset:
( )
n n n n nn n
Re r Re r Im r Im r b b=z
(10-46)
137
10.6 PI-Regler am Einmassenschwinger
Die Differentialgleichung für einen linearen Einmassenschwinger mit Kraftanregung ist durch
m x d x c x F + + =
(10-47)
gegeben. Unter Verwendung von Abkürzungen für die Eigenkreisfrequenz
0c / m=
und
das Lehr‘sche Dämpfungsmaß
( )
D d / 2 c m=
lässt sich die Übertragungsfunktion durch die
Laplace-Transformation als
( )
2
00
2
11
Gs m s 2 D s
=+ +
(10-48)
ermitteln. Bei Einsatz eines PID-Reglers mit der Übertragungsfunktion
( )
R P I D
1
G s K K K s
s
= + +
(10-49)
ergibt sich für die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
( ) ( ) ( )
( ) ( )
R
W
R
G s G s
G s .
1 G s G s
=+
(10-50)
Für ein harmonisches Anregungssignal mit der Kreisfrequenz
0
ist der Wert der Übertra-
gungsfunktion an der Stelle
0
sj=
entscheidend. Es ergibt sich
( )
0DP
W
D
2
0I
0
P
22
0 0 0 I
K j K
G j .
2 D m K j
K
KK
−
=
−
+
+
− + +
(10-51)
Da die drei Terme mit den Reglerparametern im Nenner und im Zähler identisch auftauchen,
der Nenner aber noch einen zusätzlichen Term beinhaltet, existiert keine Kombination von Reg-
lerparametern, die zu
( )
0W
G j 1 =
führt. Allein wenn einer der K-Faktoren gegen unendlich
geht, konvergiert die Übertragungsfunktion gegen Eins, und es gibt keine bleibende Regelab-
weichung.
138
11 Liste betreuter studentischer Arbeiten
Die folgende Auflistung enthält die am Fachgebiet Mikrotechnik der Technischen Universität
Berlin entstandenen und durch den Autor mitbetreuten studentischen Arbeiten mit themati-
schem Bezug zur vorliegenden Arbeit.
Bochmann, Helge, Masterarbeit
Lorentzkraftbasierter Linearaktor mit bewegter Spule und radial magnetisiertem Stator
Kuhring, Stefan, Masterarbeit
Lorentzkraftbasierter Linearaktor mit permanentmagnetischem Masseschwinger und Rück-
flussjoch
Lehner, Cedric, Masterarbeit
Entwicklung und Erprobung eines Positionsmesssystems für einen Linearschwinger
Nies, Florian, Masterarbeit
Entwicklung und Konstruktion einer Vorrichtung zur Reduktion der Schwingung eines medi-
zinischen Handgeräts mit Linearantrieb
Rompel, Adrian, Masterarbeit
Entwicklung und Erprobung eines Linearschwingers mit Reluktanzantrieb
von Heckel, Benedikt, Masterarbeit
Entwicklung eines Linearschwingantriebs mit Vormagnetisierung
Walsleben, Paul, Bachelorarbeit
Experimentelle Untersuchungen zur Bremswirkung durch Wirbelströme bei ferromagnetischen
Materialien
Welling, Nicole, Bachelorarbeit
Entwicklung eines permanentmagnetischen Federmoduls mit variabler Steifigkeit
