Nichtlineares Verhalten elektrostatischer Kammantriebe
Zur Erlangung des akademischen Grades eines
DOKTORINGENIEUR (Dr.-Ing.)
der Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik
der Universität Paderborn
genehmigte Dissertation
von
Dipl.-Ing. Torsten Reimann
aus Ludwigsfelde
Referent: Prof. Dr.-Ing. R. Noé
Koreferent: Prof. Dr.-Ing. U. Hilleringmann
Tag der mündlichen Prüfung: 10.12.2004
München, den 20.3.2005
Diss. 14/204
2
Vorwort
Die vorliegende Dissertation entstand während meiner Tätigkeit bei der Infineon
Technologies AG in München.
Herrn Prof. Dr.-Ing. Reinhold Noé vom Lehrstuhl für optische Nachrichtentechnik der
Universität Paderborn danke ich für Überlassung des Promotionsthemas und die universitäre
Betreuung.
Bedanken möchte ich mich des Weiteren bei Herrn Dr. Robert Aigner für die Unterstützung
der Arbeit bei der Infineon Technologies AG und die Freiheit zum selbstständigen Arbeiten.
Meinen Doktorandenkameraden Herrn Gernot Fattinger, Herrn Dr. Marc Füldner, Herrn Marc
Strasser, Herrn Martin Handtmann und Herrn Dr. Florian Plötz danke ich für die fachlichen
Anregungen und Diskussionen sowie die schöne Zeit auch außerhalb der Arbeit. Ganz
besonderen Dank gilt Herrn Gernot Fattinger für die umfassende Hilfe beim Aufbau des
Messplatzes und Herrn Dr. Marc Füldner für die Unterstützung bei den FEM-Simulationen.
Herrn Dr. Hergen Kapels und Herrn Dr. Andreas Meckes danke ich für die Fertigung der
Teststrukturen.
Ebenfalls bedanken möchte ich mich bei Herrn Martin Franosch für die Durchführung der
REM-Bruchmessungen und bei Herrn Dr. Werner Hemmert für die Beratung im Bereich der
Bilddatenverarbeitung.
Meinen Eltern, die mir mein Studium und damit die Promotion ermöglichten, gilt mein ganz
besonderer Dank. Sie und meine Schwester standen mir auch in schwierigen Situationen zur
Seite und haben mich immer wieder motiviert.
München, April 2004 Torsten Reimann
3
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung............................................................................................................................5
2 Elektrostatische Kammantriebe.......................................................................................7
2.1 Dynamisches Verhalten.................................................................................................7
2.1.1 Federkonstante mäanderförmiger Aufhängungen .....................................................7
2.1.2 Effektive Masse und Resonanzfrequenz....................................................................9
2.1.3 Frequenzgang für den linearen Fall .........................................................................12
2.1.4 Frequenzgang bei nichtlinearer Kraftkennlinie .......................................................15
2.2 Simulation der Moden eines Kammantriebs...............................................................20
2.3 Berechnung der Kapazitätsänderungen mittels FEM..................................................22
2.3.1 Kapazitätsänderung in Antriebsrichtung..................................................................23
2.3.2 Kapazitätsänderung bei vertikaler Auslenkung.......................................................25
2.4 Abweichungen vom idealen Verhalten.......................................................................29
2.4.1 Seitliche Verschiebung der Kämme.........................................................................29
2.4.2 Levitation.................................................................................................................31
2.5 Kapazitätsänderung bei statischer Auslenkung in y-Richtung....................................39
2.6 Bewegungsgleichung bei nicht konstanter Kapazitätsänderung.................................41
3 Herstellung........................................................................................................................46
3.1 Prozessablauf...............................................................................................................46
3.2 Design..........................................................................................................................48
3.3 Geometriefehler...........................................................................................................50
4 Laterale Schwingungsmessung.......................................................................................55
4.1 Messmethode...............................................................................................................55
4.2 Realisierung des Messplatzes......................................................................................55
4.2.1 Optik ........................................................................................................................56
4.2.2 Steuerungselektronik ...............................................................................................58
4.2.3 Bildverarbeitung ......................................................................................................59
Inhaltsverzeichnis
4
4.2.4 Driftkompensation ...................................................................................................62
4.2.5 Messoptionen...........................................................................................................64
4.3 Messergebnisse............................................................................................................68
4.3.1 Frequenzgangmessungen.........................................................................................68
4.3.2 Transiente Messungen .............................................................................................82
4.3.3 Statische Messungen................................................................................................87
5 Statische Messung der vertikalen Auslenkung..............................................................90
5.1 Messprinzip.................................................................................................................90
5.2 Ergebnisse ...................................................................................................................90
6 Auswertung und Diskussion............................................................................................93
7 Zusammenfassung und Ausblick..................................................................................103
8 Symbolverzeichnis..........................................................................................................106
9 Literaturverzeichnis.......................................................................................................110
Einleitung
5
1 Einleitung
Die schnelle Entwicklung der Mikrosystemtechnik gestattet heute die Herstellung
kostengünstiger Sensoren in Massenproduktion. Damit konnten sie in vielen Bereichen der
Industrie (Robotik, Maschinenüberwachung, Lagekontrolle) und des täglichen Lebens
(Airbag, Navigationssystem, Camcorder) Einzug halten [1]. Basismaterial für die meisten
Anwendungen stellt dabei auf Grund der herausragenden Eigenschaften und technologischen
Möglichkeiten Silizium dar.
Elektrostatische Aktoren, bestehend aus bewegten Leitern und Dielektrika, werden in
makroskopischen Systemen, wie zum Beispiel Voltmetern [2], eingesetzt. Dieses Aktuations-
prinzip wird auch in der Mikromechanik umgesetzt, um kleine Strukturen anzutreiben. Einer
der wichtigsten Mikroaktoren ist der Kammantrieb [3]. Diese Elemente finden als Antriebs-
einheit und als Sensoren Verwendung. Sie werden in verschiedenen Systemen eingesetzt, wie
zum Beispiel in RF-Filtern, Mikrogreifern, Beschleunigungssensoren und Drehratensensoren
(Gyroskopen) [4].
Eine Vielzahl von Entwicklungs- und Forschungsergebnissen sind seit dem ersten Bericht von
Tang [5] auf dem Gebiet der mikromechanischen Kammantriebe veröffentlicht worden. Die
allgemeinen Grundlagen wurden in der Veröffentlichung von Johnson und Warn dargestellt
[6]. Unterschiedliche Fingerformen zur Realisierung spezieller Kraftprofile präsentierten Ye
[7, 8] und Jensen [9]. Eine weitere Arbeit beschreibt einen asymmetrischen Kammantrieb für
vertikale Auslenkungen und Drehbewegungen [10].
Insbesondere bei Resonanz betriebene Oszillatoren haben sich in den letzten Jahren immer
mehr Einsatzmöglichkeiten erschlossen [11]. Wichtigstes Beispiel sind Drehratensensoren,
welche die Winkelgeschwindigkeit ohne äußere Referenz messen können [12, 13, 14, 15]. Da
die gemessene Kraft, aus deren Wert die Winkelgeschwindigkeit ermittelt wird, bei einer
bestimmten Frequenz von der Amplitude der Schwingung abhängig ist [16], sind möglichst
große Auslenkungen erwünscht. Auf Grund der relativ kleinen Antriebskräfte, die sich mit
elektrostatischen Kammantrieben realisieren lassen, erfolgt eine Maximierung der
Auslenkungsamplitude durch Betrieb des mechanischen Oszillators bei seiner
Resonanzfrequenz und niedrigen Drücken [17]. Weil der Arbeitspunkt in der Regel in den
oberen Bereich der Resonanzüberhöhung gelegt wird, ist eine genaue Kenntnis des
qualitativen und quantitativen Verlaufs der Frequenzgänge notwendig. Wegen der geringen
Bandbreite der Resonanzspitzen bei niedrigen Drücken sowie fertigungs- und
alterungsbedingter Toleranzen ist ein hoher regelungs- und messtechnischer Aufwand
Einleitung
6
erforderlich, um eine definierte und stabile Amplitude gewährleisten zu können. Um diesen
zu verringern, wird die Nutzung des aus einer nichtlinearen Federkennlinie resultierenden
Frequenzgangs vorgeschlagen [18]. Der Vorteil dabei ist, dass der Anstieg eines solchen
Amplitudengangs im Unterschied zu dem eines linearen Systems über einen weiten
Frequenzbereich vergleichsweise flach ist und deshalb die Anforderungen an die Regelung
geringer sind.
Da detaillierte Kenntnisse insbesondere des frequenzabhängigen Verhaltens von
Kammantrieben für den Einsatz in Drehratensensoren von großem Interesse sind, werden im
Rahmen dieser Arbeit solche Antriebsstrukturen charakterisiert und nichtideale
Verhaltensmuster näher untersucht. Im Speziellen soll überprüft werden, welche Folgen die
Ausweitung des Auslenkungsbereichs bis in den nichtlinearen Kapazitätsbereich [19] und der
von Tang beschriebene Levitationseffekt [3] auf das Verhalten eines Kammantriebs haben.
Für einen Einstieg in die Problematik werden im zweiten Kapitel wichtige Kenngrößen
berechnet und das dynamische Verhalten eines linearen beziehungsweise nichtlinearen
Oszillators betrachtet. Weiterhin werden FEM-Simulationen zur Bestimmung wichtiger
Parameter und zur Charakterisierung des nichtlinearen Kapazitätsbereichs durchgeführt.
Anschließend erfolgt die Herleitung eines Modells zur analytischen Berechnung des
levitationsbedingten Beitrags zur Kapazitätsänderung in Antriebsrichtung. Der sich daraus
ergebende Einfluss auf das statische und dynamische Verhalten wird in einem weiteren
Abschnitt betrachtet.
Um bestimmte Verhaltensmuster verifizieren und Kammantriebe charakterisieren zu können,
wurden Teststrukturen hergestellt (Kapitel 3) und ein optischer Messplatz (Kapitel 4)
aufgebaut. Die Ergebnisse der Frequenzgangmessungen und der transienten sowie statischen
Messungen werden ebenfalls im Kapitel 4 dargestellt und erläutert.
Kapitel 5 erörtert die experimentelle Untersuchung des statischen vertikalen Verhaltens.
Neben der Beschreibung der verwendeten interferometrischen Messmethode werden auch die
Resultate der Messungen vorgestellt.
Der Vergleich der Messergebnisse mit analytisch und numerisch berechneten Werten erfolgt
in Kapitel 6. Darin wird außerdem auf die sich aus den gewonnenen Erkenntnissen
ergebenden Möglichkeiten und Konsequenzen für den Einsatz von Kammantrieben in
Drehratensensoren eingegangen.
Kapitel 7 beinhaltet die Zusammenfassung und gibt einen Ausblick auf noch ausstehende
Arbeiten.
Elektrostatische Kammantriebe
7
2 Elektrostatische Kammantriebe
Elektrostatische Kammantriebe stellen eine der wichtigsten Komponenten der
Mikromechanik dar. Ihr Arbeitsprinzip basiert auf der Kraftwirkung, die zwischen zwei
unterschiedlich geladenen Platten generiert wird [4]. Bei Kammantrieben mit rechteckigen
Fingern ändert sich die Kapazität linear mit der Auslenkung, was zu einer
positionsunabhängigen Antriebskraft führt. Abweichungen von diesem Verhalten zeigen sich
nur an den Enden des Auslenkungsbereichs [19].
Im vorliegenden Kapitel werden verschiedene mechanische Parameter hergeleitet, die bei der
näherungsweisen Betrachtung einer solchen Antriebsstruktur als Feder-Masse-System von
Bedeutung sind. Da insbesondere das dynamische Verhalten von Interesse ist, werden neben
der linearen Beschreibung eines schwingungsfähigen Systems auch Ansätze zur Lösung einer
Bewegungsdifferenzialgleichung mit nichtlinearer Feder und auslenkungsabhängiger
Antriebskraft aufgezeigt. Auf Grund fertigungsbedingter Toleranzen und designbedingter
Asymmetrien werden des Weiteren Abweichungen vom idealen Verhalten betrachtet. Dabei
wird besonderes Augenmerk auf den Einfluss des Levitationseffekts auf die
Kapazitätsänderung in Antriebsrichtung gelegt.
2.1 Dynamisches Verhalten
2.1.1 Federkonstante mäanderförmiger Aufhängungen
Die Aufhängungen beziehungsweise Federelemente lateraler Kammantriebe, die für große
Auslenkungen entworfen werden, müssen bestimmte Bedingungen erfüllen. Zum einen
sollten sie nur die Bewegung in die gewünschte Richtung (y-Richtung) unterstützen und zum
anderen Querbewegungen (x-Richtung) möglichst stark unterdrücken, um ein seitliches
Anziehen und damit einen Kurzschluss zu verhindern. Darüber hinaus sollten die
Aufhängungen so entworfen werden, dass mechanischer Stress relaxieren kann und somit
unerwünschte Änderungen im mechanischen Verhalten, wie zum Beispiel Nichtlinearitäten,
vermieden werden.
Mäanderförmige Aufhängungen erfüllen diese Kriterien. Daher wird im Folgenden die
Federkonstante einer solchen Struktur hergeleitet [20].
Elektrostatische Kammantriebe
8
Die Abbildung 2.1 zeigt die Verformung der Federelemente, wenn die bewegliche Masse
(Shuttle) durch die Kraft F
y
um y
0
ausgelenkt wird.
Shuttle
Umlenkung
Anker
F
y
/4
b
b
l
b
A
B
CD
F
y
/4
y
0
/2
y
0
x
y
z
x=0
x=l
b
Abbildung 2.1: Zwei von vier mäanderförmigen Federn eines lateralen Oszillators
Auf jede der vier Federn wirkt eine Kraft F
y
/4, die das Shuttle um y
0
auslenkt. Die
Umlenkungen der Federn bewegen sich um y
0
/2. Zur Berechnung der Federkonstante wird
eine Feder in die Segmente [AB] und [CD] mit der Länge l
b
, der Breite b
b
sowie der Höhe h
(z-Ausdehnung der Stuktur) unterteilt. Ein Segment kann als ein doppelseitig eingespannter
Balken betrachten werden. Da die Umlenkungen wesentlich breiter als ein Balken
dimensioniert sind, ist es gerechtfertigt, diese als starr anzusehen. Unter diesen
Voraussetzungen sind die Anstiege an den beiden Balkenenden:
0
d
d
0
=
=x
x
y
und 0
d
d=
=
b
lx
x
y. (2.1)
Des Weiteren lässt sich feststellen, dass die auslenkungsbedingte Verkürzung bei allen Balken
gleich ist. Damit gilt für die Auslenkung in y-Richtung:
( ) ( )
( )
32
23
124 xxl
EI
F
xy
b
z
y
−= für 0 ≤ x ≤ l
b
. (2.2)
Elektrostatische Kammantriebe
9
Darin sind E der Elastizitätsmodul und I
z
das Flächenträgheitsmoment des Balkenquerschnitts
bezüglich der z-Achse.
Mit der Randbedingung y(l
b
) = y
0
/2 ergibt sich für die Federkonstante in y-Richtung:
3
0
24
b
z
y
y
l
EI
y
F
k== . (2.3)
Analog dazu berechnet sich die Federkonstante für eine vertikale Auslenkung durch eine in
z-Richtung angreifende Kraft nach:
3
24
b
y
z
l
EI
k=. (2.4)
Für die Flächenträgheitsmomente I
y
und I
z
gilt bei rechteckigem Querschnitt mit der
Balkenbreite b
b
und der Höhe h [21]:
12
3b
y
bh
I= und
12
3
hb
I
b
z
=. (2.5)
Für die gesamte Federkonstante k
x
aller vier Federn in x-Richtung gilt:
b
quer
x
l
EA
k8
=. (2.6)
Darin ist A
quer
die Querschnittsfläche des Balkens. Für ein Balkendesign mit l
b
= 200 µm und
b
b
= 2 µm ergibt sich ein k
x
/k
y
-Verhältnis von 40000. Somit werden Bewegungen in
x-Richtung stark unterdrückt.
2.1.2 Effektive Masse und Resonanzfrequenz
Die Berechnung der effektiven bewegten Masse m
eff
ergibt sich aus der Herleitung der
Resonanzfrequenz mit Hilfe der Energiemethode von Rayleigh [22].
Elektrostatische Kammantriebe
10
Ausgangspunkt bildet die Gleichheit von maximaler kinetischer und potenzieller Energie
während eines Schwingungszyklus.
pot
max
kin
max
EE = (2.7)
Die kinetische Energie der bewegten Masse setzt sich aus der kinetischen Energie des Shuttles
mit den Fingern (Index s), der kinetischen Energie der zwei Umlenkungen (Index u) und der
kinetischen Energie der Federbalken (Index b) zusammen. Für die gesamte kinetische Energie
gilt somit:
bbuuss
mvmvmvE d
2
1
2
1
2
1
222kin
++= , (2.8)
wobei v die Geschwindigkeit und m die Masse des jeweiligen Elements ist. Nach
Abbildung 2.1 werden die Umlenkungen (y
u,max
= y
0
/
2) nur halb so weit ausgelenkt wie das
Shuttle (y
s,max
= y
0
). Mit der maximalen Geschwindigkeit des Shuttles v
s,max
=
ω
y
0
und der
Umlenkungen v
u,max
=
ω
y
0
/
2 gilt für die jeweilige maximale kinetische Energie in
y-Richtung:
ss
myE
2
0
2kin
max,
2
1
ω
= (2.9)
uu
myE
2
0
2kin
max,
8
1
ω
=. (2.10)
Für den Beitrag der Federbalken zur gesamten kinetischen Energie wird zuerst das
Segment [AB] aus Abbildung 2.1 betrachtet. Das Geschwindigkeitsprofil dieses Segments ist
proportional zum Ortsprofil bei der maximalen Auslenkung. Für das Segment [AB] wurde das
Ortsprofil bereits bestimmt (Gleichung (2.2)). Mit der Randbedingung y(l
b
) = y
0
/
2 läßt sich
schreiben:
( )
ω
−
=
32
0
]AB[
23
2
bb
l
x
l
xy
xv
. (2.11)
Elektrostatische Kammantriebe
11
Durch Integration des Geschwindigkeitsprofils nach der Masse kann nun die maximale
kinetische Energie des Segments [AB] berechnet werden.
]AB[
22
0
2
0
32
]AB[
22
0
]AB[
0
2]AB[
kin max],AB[
280
13
d23
8
d)(
2
1]AB[
myx
l
x
l
x
l
my
mxvE
b
l
bbb
m
ω
ω
=
−
==
(2.12)
Für das Ortsprofil des Segments [CD] aus Abbildung 2.1 gilt:
(
)
(
)
xyyxy
]AB[0]CD[
−= . (2.13)
Analog zur vorherigen Betrachtung folgt daraus für die maximale kinetische Energie dieses
Segments:
]CD[
22
0
kin max],CD[
280
83 myE
ω
=. (2.14)
Somit berechnet sich der Beitrag der Federbalken zur gesamten, maximalen kinetischen
Energie zu:
bb
myEEE
22
0
kin max],CD[
kin max],AB[
kin
max,
35
6
44
ω
=+= , (2.15)
wobei m
b
die gesamte Masse der Federbalken bezeichnet.
Die maximale kinetische Energie der bewegten Masse während einer Schwingungsperiode
kann nun angegeben werden:
eff
myE
22
0
kin
max
2
1
ω
= (2.16)
buseff
mmmm
35
12
4
1++= . (2.17)
Die maximale potenzielle Energie des Resonators aufgrund der elastischen Dehnung ist
gegeben durch:
Elektrostatische Kammantriebe
12
2
0
pot
max
2
1ykE
y
=. (2.18)
Durch Gleichsetzen der kinetischen und potenziellen maximalen Energien nach Rayleigh
ergibt sich für die Resonanzfrequenz
ω
0
:
eff
y
m
k
=
0
ω
. (2.19)
Diese Beziehung hat jedoch nur Gültigkeit, wenn vernachlässigbar wenig Energie durch
Dämpfung verloren geht.
2.1.3 Frequenzgang für den linearen Fall
Kammantriebe können bei Beschränkung auf die gewünschte Antriebsschwingung in
y
-Richtung näherungsweise als lineares Feder-Masse-System mit einem Freiheitsgrad
betrachtet werden. Die Bewegungsgleichung für ein solches System lautet:
(
)
(
)
( )
)(
d
d
d
d
2
2
tFtyk
t
ty
t
ty
m=++
α
. (2.20)
In dieser Gleichung sind
m
die effektive bewegte Masse,
α
die Dämpfungskonstante,
k
die
Federkonstante und
y
(
t
) die Auslenkung des Shuttles. Für die resultierende Antriebskraft
F
(
t
),
die sich aus der Differenz von antriebsseitiger Kraft
Fa
und detektionsseitiger Kraft
Fd
ergibt,
gilt nach Abbildung 2.2:
( ) ( )( )
2
2
2
1
sin
2
1
)()(
dcacdcda
U
y
C
tuU
y
C
tFtFtF ∂
∂
−−
∂
∂
=−=
ω
. (2.21)
Mit der Voraussetzung
Udc
>>
uac
folgt daraus:
( ) ( ) ( )
tFtuU
y
C
tF
acdc
ωω
sinsin
0
−=
∂
∂
−=
. (2.22)
Elektrostatische Kammantriebe
13
U
dc
u
ac
sin( t)
ω
Antriebsseite
Detektionsseite
Abbildung 2.2: Spannungsbeaufschlagung eines Kammantriebs
Mit dem Lösungsansatz
y
(
t
) =
A e
j(
ω
t
+
ϕ
)
ergibt sich aus Gleichung (2.20) für die Amplitude
A
und die Phase
ϕ
der Auslenkung:
( )
( )
( )
2
2
2
0
αωω
ω
−+−
=
km
F
A
(2.23)
( )
−
=km 2
arctan
ω
αω
ωϕ
. (2.24)
Die Abbildung 2.3 zeigt Amplituden- und Phasengänge bei unterschiedlich starker
Dämpfung. Da die Kapazitätsänderung ∂C/∂y bei Kammantrieben im Idealfall konstant und
damit unabhängig von der Auslenkung ist, stellt y(t) eine harmonische Schwingung mit
derselben Frequenz wie die Anregung dar.
Elektrostatische Kammantriebe
14
0.0
0.3
0.6
0.9
1.2
0.998 0.999 1.000 1.001 1.002
ω
/
ω
0
Amplitude [µm]
α
1
α
2
α
3
α
1
<
α
2
<
α
3
-180.0
-120.0
-60.0
0.0
0.998 0.999 1.000 1.001 1.002
ω
/
ω
0
Phase [°]
α
1
α
2
α
3
α
1
<
α
2
<
α
3
Abbildung 2.3: Amplituden- (oben) und Phasengänge (unten) eines linearen gedämpften Oszillators für
unterschiedliche Dämpfungswerte
ω
/
ω
0
ω
/
ω
0
Elektrostatische Kammantriebe
15
2.1.4 Frequenzgang bei nichtlinearer Kraftkennlinie
Nichtlineare Kraftkennlinien führen im Vergleich zum Frequenzgang eines linearen Systems
zu einem abweichenden frequenzabhängigen Verhalten. Wird die Federkraft mit
zunehmender Auslenkung überproportional größer, muss diesem Aspekt in der Bewegungs-
differenzialgleichung Rechnung getragen werden. Eine Federrückstellkraft F
Feder
, die der
Gleichung
F
Feder
= k
l
y+k
nl
y
3
= k
l
y+n(y) (2.25)
genügt beziehungsweise sich dadurch annähern lässt, führt zur Duffingschen
Differenzialgleichung [23].
(
)
(
)
( )
)()(
3
2
2tFtyktyk
dt
tdy
dt
tyd
m
nll
=+++
α
(2.26)
Diese Differenzialgleichung beschreibt heteronome Schwingungen, bei denen der äußere
Einfluss in der Form des Störungsgliedes F(t) = F
0
sin(
ω
t
+
ϕ
0
) additiv in die
Differenzialgleichung eingreift. Für diese nichtlineare Differenzialgleichung existiert keine
geschlossene analytische Lösung.
Um den Frequenzgang zu beschreiben, bedient man sich deshalb der Methode der
Harmonischen Balance [24]. Der Ansatz kommt aus der nichtlinearen Regelungstechnik und
interpretiert die Differenzialgleichung (2.26) als Regelkreis (Abbildung 2.4).
1
P(s)
n(y)
F(t)
yy
o
Abbildung 2.4: Regelkreis der Harmonischen Balance
Durch Laplacetransformation wird aus Gleichung (2.26):
Elektrostatische Kammantriebe
16
=++ )()()(
2sY
m
k
sY
m
ssYs
l
α
£
−
m
tyntF ))(()(
.
(2.27)
Daraus folgt
)(
))(()())(()(
)( 2sP
m
tyntF
m
k
m
ss
m
tyntF
sY
l
−
=
++
−
=
α
. (2.28)
Man setzt voraus, dass das lineare Teilsystem Tiefpasscharakter hat, also der Grad des
Polynoms P(s) mindestens zwei beträgt, und die Nichtlinearität n(y) eine ungerade Funktion
ist. Der Regelkreis befindet sich im Zustand des Schwingungsgleichgewichts. Es wird von der
Annahme ausgegangen, dass die im Regelkreis umlaufende Schwingung die äußere
Frequenz
ω
hat. Man entwickelt o und y in Fourierreihen und kann wegen des
Tiefpasscharakters des linearen Teilsystems sämtliche Oberschwingungen vernachlässigen.
Für eine Einbeziehung der Oberwellen muss der harmonische Ansatz erweitert werden. Im
Rahmen dieser Arbeit wird ausschließlich die Grundschwingung berücksichtigt. Somit stellen
die Eingangsgröße y(t) mit
(
)
ϕω
+= tAty sin)(
(2.29)
und die Ausgangsgröße o(t) mit
(
)
(
)
(
)
1111
sincossin)(
ϕωϕωϕω
+=+++= tCtbtato
(2.30)
(
)
(
)
(
)
ϕωϕϕϕωϕϕϕω
+−++−=+ tCtCtC cos)sin(sin)cos(sin
111111
harmonische Schwingungen dar. Die Nichtlinearität verhält sich also wie ein lineares
Übertragungsglied und wird durch die Beschreibungsfunktion N definiert. Unter Verwendung
der Zeigerdarstellung für y und o ergibt sich:
( )
( ) ( )
A
b
j
A
a
A
C
j
A
C
e
A
C
Ae
eC
Y
O
N
j
j
j
11
1
1
1
111
sincos
1
1
+=−+−====
−
ϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
. (2.31)
A ist die Amplitude von y(t) und a
1
beziehungsweise b
1
sind die Fourierkoeffizienten von o(t).
£
£
Elektrostatische Kammantriebe
17
Mit der Annahme
)(
)(
3
ty
m
k
m
yn
nl
= (2.32)
und
ϕ
= 0 ergeben sich für die Fourierkoeffizienten:
3
2
0
1
4
3
)sin()(
1A
m
k
dvvyna
nl
==
π
π
und 0)cos()(
1
2
0
1
==
π
π
dvvynb . (2.33)
Daraus folgt:
2
4
3
)( A
m
k
ANN
nl
== . (2.34)
Aus dem Regelkreis in Abbildung 2.4 ergibt sich:
−= +
+
+
)(
)(
0
)(
)(
)(
10
ϕω
ϕω
ϕω
ω
tj
tj
tj AeANe
m
F
jP
Ae . (2.35)
Die Aufspaltung in Real- und Imaginärteil führt zu einem Paar reeller Gleichungen, aus denen
nach
( ) ( )
2
0
22
)(Im)(Im)(Re)(Re
=+++ mA
F
jPANjPAN
ωω
(2.36)
die Gleichung
2
0
22
22
4
3
=
+
+− mA
F
m
A
m
k
m
k
nll
α
ωω
(2.37)
resultiert. Für einen bestimmten Frequenzwert lässt sich A berechnen. Diese Lösungen für
mehrere Frequenzen aufgetragen, ergeben den Amplitudengang. Abhängig davon, ob k
nl
positiv (überlinear) oder negativ (unterlinear) ist, ergibt sich ein zu höheren (k
nl
> 0) oder
Elektrostatische Kammantriebe
18
niedrigeren (k
nl
< 0) Frequenzen überhängender Amplitudengang (Abbildung 2.5 oben). Aus
den berechneten Amplitudenwerten lassen sich die zugehörigen Phasenwerte nach der
Gleichung
( )
22
0
4
3
)(Re)(Re
)(Im)(Im
tan
A
m
k
m
km
jPAN
jPAN
nll
+−
=
+
+
=−
ω
α
ω
ω
ω
ϕϕ
(2.38)
bestimmen (Abbildung 2.5 unten).
Für die amplitudenabhängige Resonanzfrequenz gilt nach Gleichung (2.37) mit F
0
= 0 und bei
vernachlässigbarer Dämpfung
α
= 0:
22
0
2
4
3
4
3A
m
k
A
m
k
m
k
nlnll
+=+=
ωω
. (2.39)
0.0
0.4
0.8
1.2
0.998 1.000 1.002 1.004
ω
/
ω
0
Amplitude [µm]
1
2
3
4
5
6
k
nl
>
0
0.0
0.4
0.8
1.2
0.996 0.998 1.000 1.002
ω
/
ω
0
Amplitude [µm]
1
2
3
4
5
6
k
nl
<
0
-180
-120
-60
0
0.998 1.000 1.002 1.004
ω
/
ω
0
Phase [°]
5
4
6
3
2
1
k
nl
>
0
-180
-120
-60
0
0.996 0.998 1.000 1.002
ω
/
ω
0
Phase [°]
5
4
6
3
2
1
k
nl
<
0
Abbildung 2.5: Amplituden- (oben) und Phasengänge (unten) eines Oszillators mit nichtlinearer Federkennlinie
für
k
nl
> 0 (links) und
k
nl
< 0 (rechts)
Elektrostatische Kammantriebe
19
Stabilität
Die Abbildung 2.5 zeigt repräsentative Amplitudengänge für den Fall der Federverhärtung
„spring hardening“ (k
nl
> 0) und der Federaufweichung „spring softening“ (k
nl
< 0). Im
Folgenden soll die Antriebsamplitude der Kraft F
0
konstant gehalten werden, während die
Frequenz
ω
variiert und die Schwingungsamplitude A beobachtet werden.
Zunächst wird das Verhalten bei einer Federverhärtung betrachtet und mit der Frequenz im
Punkt 1 begonnen. Mit abnehmender Frequenz steigt die Amplitude bis zum Punkt 3
kontinuierlich an. Da F
0
konstant gehalten wird, führt eine weitere Verringerung der Frequenz
zu einem Sprung der Amplitude von Punkt 3 nach Punkt 4. Danach zieht eine Minderung der
Frequenz auch eine Abnahme der Amplitude nach sich. In umgekehrter Richtung würde die
Amplitude, ausgehend vom Punkt 5, bei kontinuierlicher Erhöhung der Frequenz über den
Punkt 4 bis zum Punkt 6 laufen, von dort nach Punkt 2 springen und sich dann langsam
verringern. Die Umstände sind im Fall einer Federaufweichung bis auf die Tatsache, dass die
Sprünge der Amplitude in umgekehter Richtung erfolgen, gleich.
0.0
0.4
0.8
1.2
0.998 1.000 1.002 1.004
ω
/
ω
0
Amplitude [µm]
F
01
F
03
F
02
F
01
>F
02
>F
03
stabil instabil
stabil
Abbildung 2.6: Amplitudengänge eines Oszillators mit nichtlinearer Federkennlinie (k
nl
> 0) für unterschiedliche
Amplituden der Antriebskraft mit Kennzeichnung der stabilen und instabilen Bereiche
Dieses in der Praxis zu beobachtende Sprungphänomen deutet darauf hin, dass die Punkte
zwischen den gestrichelten Verbindungslinien der Punkte mit vertikaler Tangente instabil sind
(Abbildung 2.6). Eine mathematische Bestätigung ist in [25] aufgeführt. Wie die Abbildung
ω
/
ω
0
Elektrostatische Kammantriebe
20
auch zeigt, treten instabile Zustände erst ab einer bestimmten Amplitude F
0
der Antriebskraft
auf.
2.2 Simulation der Moden eines Kammantriebs
Die Berechnung der Moden erfolgte mit der Simulationssoftware ANSYS Rev. 5.6 von der
Firma CADFEM. Hierbei handelt es sich um ein Programm, welches die Berechnungen auf
der Basis der Finiten Elemente Methode (FEM) durchführt. Mit Hilfe dieser Methode lassen
sich die Eigenschwingungen auch sehr komplexer Strukturen berechnen. Die Güte der
Ergebnisse ist dabei stark von der Qualität der Vernetzung des Modells abhängig. Die
Abbildung 2.7 zeigt ein vernetztes FEM-Modell.
Abbildung 2.7: FEM-Modell eines Kammantriebs
Die Frontflächen der Federenden 1-4 sind fest eingespannt. Das bedeutet, dass die Knoten auf
diesen Flächen keinen Freitheitsgrad haben. Die sich aus dem Modell ergebenden ersten sechs
Eigenmoden zeigt die Abbildung 2.8. Für die Dichte und das E-Modul wurden Werte von
2330 kg/m
3
beziehungsweise 162 GPa verwendet.
Die erste Eigenmode stellt die in den meisten Anwendungen gewünschte y-Schwingung dar.
Die sich aus den Simulationen ergebenden Frequenzwerte dieser Eigenschwingung der
Varianten F0.8G0.8_A und F1.5G1.5_A weichen von den analytisch berechneten
Resonanzfrequenzen (siehe Kapitel 3.2) nur um 0.4% beziehungsweise 2.9% ab und zeigen
damit eine gute Übereinstimmung.
Elektrostatische Kammantriebe
21
1. Eigenmode 2. Eigenmode
3. Eigenmode 4. Eigenmode
5. Eigenmode 6. Eigenmode
Abbildung 2.8: 1.-6. Eigenmode eines Kammantriebs
Die 2. Eigenmode beschreibt eine Kippschwingung um die zur x-Achse parallel liegende
Symmetrieachse der Struktur. Die nächsten beiden Eigenschwingungen sind wieder laterale
Elektrostatische Kammantriebe
22
Bewegungen. Bei der 3. Mode schwingen nur die Massen der Umlenkungen gegenphasig
zueinander. Das Shuttle verharrt im Ruhezustand. Im Gegensatz dazu oszillieren die beiden
Umlenkungen bei der 4. Eigenmode in Phase. Das Shuttle führt bezüglich der Umlenkmassen
eine gegenphasige Relativbewegung aus. Die 5. Eigenschwingung beschreibt die vertikale
z-Mode der Struktur, wohingegen bei der 6. Eigenmode die gesamte bewegliche Masse
periodisch um die zur y-Achse parallel liegende Symmetrieachse verkippt. In Abhängigkeit
von den Designparametern kann die Reihenfolge der Eigenmoden variieren und von der in der
Abbildung 2.8 gezeigten Anordnung abweichen.
2.3 Berechnung der Kapazitätsänderungen mittels FEM
Die Berechnung der Kapazitätsänderungen wurde wiederum mit der Simulationssoftware
ANSYS Rev. 5.6 durchgeführt. Auf Grund der periodischen Anordnung der Finger eines
Kamms und der damit verbundenen Symmetrien genügt es, die Kapazität einer Anordung
bestehend aus jeweils der Hälfte eines verankerten und eines beweglichen Fingers zu
berechnen. Der Raum zwischen den Fingern, den Fingern und der Abschirmungsebene sowie
oberhalb der Finger wurde durch ein vernetztes Volumen mit der Dielektrizitätskonstante
ε
von Luft aufgefüllt. Die Ebene unterhalb des beweglichen Fingers dient der Abschirmung vor
vertikalen Feldern (siehe Kapitel 2.4.2) und liegt auf demselben Potenzial wie die
beweglichen Teile. Eine prinzipielle Darstellung der simulierten Anordnung zeigt die
Abbildung 2.9. Die gestrichelten Linien markieren darin die Grenzen des Gesamtvolumens.
Abschirmungsebene
bewegliche Fingerhälfte
verankerte Fingerhälfte
Luft
b
f
/2
b
f
/2
g
z
y
x
overlap
h
g
h
Abbildung 2.9: Prinzipielle Darstellung der in ANSYS simulierten Anordnung
Elektrostatische Kammantriebe
23
Zunächst wurden die Kapazitäten für verschiedene Auslenkungswerte simuliert. Als Ergebnis
erhält man einen von der Auslenkung abhängigen diskreten Kapazitätsverlauf. Dieser wird
durch ein geeignetes Polynom approximiert. Der Fit erfolgt nach der Least-Mean-Square
Methode mit der Software Matlab 6.5. Die Ableitung der Fitfunktion beschreibt die
Kapazitätsänderung der simulierten Anordnung. Da eine kammförmige Antriebsformation bei
den hier betrachteten Strukturen aus 40 beweglichen und 41 festen Fingern bestand und nur
halbe Finger simuliert wurden, müssen die ermittelten Kapazitätsänderungen mit dem Faktor
80 multipliziert werden, um die gesamte Änderung zu erhalten. Die Strukturhöhe h betrug bei
allen Modellen 4 µm.
2.3.1 Kapazitätsänderung in Antriebsrichtung
Die Antriebsrichtung entspricht der gewünschten Bewegungsrichtung des Shuttles. Im
Rahmen dieser Arbeit wird im Idealfall nur eine Auslenkung in y-Richtung angeregt. Dadurch
ändert sich die Überlappung overlap der Finger, die 5 µm bei y = 0 µm beträgt. Es wurden
Simulationen über den Auslenkungsbereich -
4.8 ... +4.8 µm (overlap = 0.2 ... 9.8 µm) in
0.2 µm Schritten durchgeführt. Der Abstand h
g
des beweglichen Fingers zur Abschirmungs-
ebene war bei diesen Berechnungen konstant 0.9 µm.
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-5 -2.5 0 2.5 5
y-Auslenkung [µm]
Differenz zur Kapazität bei y =0µm [fF]
b
f
=0.8µm / g=0.8µm
b
f
=0.8µm / g=1.0µm
b
f
=1.0µm / g=1.0µm
b
f
=1.2µm / g=1.0µm
b
f
=1.2µm / g=1.2µm
b
f
=1.5µm / g=1.2µm
b
f
=1.5µm / g=1.5µm
Abbildung 2.10: Kapazitätsdifferenz zur Ruhekapazität (y = 0 µm) in Abhängigkeit von der y-Auslenkung für
verschiedene Fingervarianten
Elektrostatische Kammantriebe
24
Die aus den Simulationen ermittelte Kapazitätsdifferenz zur jeweiligen Ruhekapazität
C(
y = 0 µm) ist in der Abbildung 2.10 für die unterschiedlichen Kammkonfigurationen über
der y-Auslenkung aufgetragen. Als Ansatz für den Fit der Kapazitätskurven wird die folgende
Funktion verwendet.
( ) ( )
653
1
4
2
0
PyPyP
yy
P
yC
P
P
a
+++
−
=
.
(2.40)
Für die Kapazitätsänderung in y-Richtung folgt daraus:
(
)
( )
543
21
d
d
14
12
0
PyPP
yy
PP
y
yC
P
P
lat
a
++
−
=
−
+
. (
2.41)
y
0
bezeichnet in diesen Gleichungen den Abstand der Fingerfrontfläche von der
Gegenelektrode bei y = 0 µm (siehe Abbildung 3.3). P4 wird nur als ganze Zahl gefittet,
damit die Fitfunktion über den gesamten Auslenkungsbereich Gültigkeit behält. Die sich aus
den Fits ergebenden Kurven für die Kapazitätsänderung der Antriebsseite zeigt die
Abbildung 2.11.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
-5 -2.5 0 2.5 5
y-Auslenkung [µm]
dC
a
/dy [fF µm
-1
]
b
f
=0.8µm / g=0.8µm
b
f
=0.8µm / g=1.0µm
b
f
=1.0µm / g=1.0µm
b
f
=1.2µm / g=1.0µm
b
f
=1.2µm / g=1.2µm
b
f
=1.5µm / g=1.2µm
b
f
=1.5µm / g=1.5µm
Abbildung 2.11: Kapazitätsänderung dC
a
/dy in Abhängigkeit von der y-Auslenkung für verschiedene
Fingervarianten
Elektrostatische Kammantriebe
25
Wie die Darstellung zeigt, nimmt die Kapazitätsänderung erwartungsgemäß mit größer
werdendem Spaltabstand g ab. Von 1g Fingerüberlappung bis 5g Abstand der Fingerenden
zur Gegenelektrode ist dC
a
/dy konstant. Das nichtlineare Verhalten außerhalb des genannten
Bereichs hat seinen Ursprung in den Streufeldern, die eine Abhängigkeit der Kapazitäts-
änderung von der Fingerposition bewirken. Ihr Einfluss nimmt mit zunehmendem
Spaltabstand zu. Bei y > 3.2 µm verhalten sich alle Kurven in etwa gleich. Die Abnahme der
Kapazitätsänderung bei sehr geringem overlap fällt im Vergleich zum Anstieg bei größeren
Auslenkungen wesentlich geringer aus. Bei geeigneter Skalierung lässt sich ein Abfall von
dC
a
/dy bei einer Fingerüberlappung von overlap < 1g erkennen. In [19] beginnt der lineare
Kapazitätsbereich bei einer Fingerüberlappung von 2g und endet bei einem Abstand zwischen
den Fingerfrontflächen und der Gegenelektrode von 3g. Auf Grund der Unterschiede
zwischen dem im Rahmen dieser Arbeit verwendeten Modell und dem Modell aus [19] (keine
Abschirmungsebene, andere Aspektverhältnisse, eventuell andere Vernetzung) wird auf eine
Beurteilung der Ergebnisse verzichtet.
Da bei den hier durchgeführten Simulationen eine Zunahme der Auslenkung zu einem
Anstieg der Kapazität führt, charakterisieren die ermittelten Funktionen nur das Verhalten der
Antriebsseite. Für die Kapazitätsänderung der Detektionsseite ergibt sich daraus:
(
)
( )
543
21
d
d
14
12
0
PyPP
yy
PP
y
yC
P
P
lat
d
−−
+
−
=
−
+
.
(2.42)
Die Fingerbreite b
f
stellt im Vergleich zum Fingerabstand g nur einen sekundären
Einflussfaktor dar. Bei genauer Betrachtung des positiven Auslenkungsbereichs in
Abbildung 2.11 lässt sich eine Erhöhung der Kapazitätsänderung mit zunehmender
Fingerbreite schlussfolgern.
2.3.2 Kapazitätsänderung bei vertikaler Auslenkung
Obwohl in der Literatur häufig die Ergebnisse von 2D-FEM-Simulationen [3, 26]
veröffentlicht wurden, wird in analytischen Berechnungen [6, 10] auf den nicht
vernachlässigbaren Anteil der Streufelder an der Kapazitätsänderung insbesondere bei
vertikaler Verschiebung der Finger hingewiesen. Aus diesem Grund wurden für die vertikalen
Simulationen dieselben 3D-Modelle wie für die Berechnungen der lateralen
Elektrostatische Kammantriebe
26
Kapazitätsänderung verwendet. Vergleichend wurde für die Anordnung b
f
= 0.8 µm /
g = 0.8 µm eine zusätzliche zweidimensionale Berechnung durchgeführt. Wie die
Abbildung 2.12 zeigt, bestehen erhebliche Unterschiede im Anstieg (Vergleich Tabelle 2.1)
der sich aus dem 2D- beziehungsweise 3D-Modell ergebenden Kapazitätskurven. Dabei
bezeichnet die z-Auslenkung die Differenz zwischen Variationsgröße h
g
und dem
Referenzabstand h
g0
= 0.9 µm der Struktur zum Substrat. Bei h
g
= h
g0
(z = 0 µm) befinden
sich die beweglichen und festen Finger auf gleicher Höhe. Die Simulationen für
Auslenkungen in z-Richtung wurden für z = -
0.8 ... 2.1 µm (h
g
= 0.1 ... 3 µm) durchgeführt.
Die Überlappung overlap und der Abstand der Fingerfrontflächen von der Gegenelektrode
betrugen konstant 5 µm. In Abbildung 2.13 sind die sich aus den Berechnungen ergebenden
Kapazitätsdifferenzen zur jeweiligen Anfangskapazität bei z = -
0.8 µm der verschiedenen
Fingervarianten gegen z dargestellt. Wie erwartet, nimmt die Kapazität generell bis zu einem
bestimmten z-Wert (z
0
) zu und wird mit weiterer Erhöhung der Auslenkung wieder kleiner.
Grund dafür ist die im Kapitel 2.4.2 beschriebene Feldasymmetrie. Da für die Betrachtungen
in dieser Arbeit nur der ansteigende Kapazitätsverlauf von Interesse ist, wird nur dieser
Bereich gefittet.
-0.030
-0.015
0.000
0.015
0.030
0.045
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
z-Auslenkung
[µm]
Differenz zur Kapazität bei z=-0.8µm [fF]
2D-Simulation
3D-Simulation
Abbildung 2.12: Kapazitätsdifferenz zur Anfangskapazität bei z = -0.8 µm in Abhängigkeit von der z-
Auslenkung der Anordnung b
f
= 0.8 µm / g = 0.8 µm aus 2D- und 3D-Modell
Elektrostatische Kammantriebe
27
-0.015
0.000
0.015
0.030
0.045
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
z-Auslenkung [µm]
Differenz zur Kapazität bei z =-0.8µm [fF]
b
f
=0.8µm / g=0.8µm
b
f
=0.8µm / g=1.0µm
b
f
=1.0µm / g=1.0µm
b
f
=1.2µm / g=1.0µm
b
f
=1.2µm / g=1.2µm
b
f
=1.5µm / g=1.2µm
b
f
=1.5µm / g=1.5µm
Abbildung 2.13: Kapazitätsdifferenz zur Anfangskapazität bei z = -0.8 µm in Abhängigkeit von der z-
Auslenkung für verschiedene Fingervarianten
Durch Integration der Gleichung (2.63) für die Kapazitätsänderung dC/dz ergibt sich als
Ansatz für den Fit der Kapazitäten:
( )
0
0
2
00
00
0
0
2
dd
d
dC
z
Z
ZyyCz
z
zz
Cz
z
C
C
z
Z
z
Z
+
−+=
−
==
. (2.43)
Die Fitparameter darin sind die maximale vertikale Auslenkung z
0
und die
Kapazitätsänderungkonstante in z-Richtung pro y-Längeneinheit C
z0
. Die Tabelle 2.1 zeigt
die für diese Größen ermittelten Werte der verschiedenen Fingerkonfigurationen für die
simulierte Anordnung aus Abbildung 2.9. Erwartungsgemäß beeinflussen sowohl die
Fingerbreite als auch der Fingerabstand die beiden Fitparameter. Allgemein gilt, dass eine
Vergrößerung der Fingerbreite eine Zunahme von z
0
und C
z0
zur Folge hat. Ein Erhöhung des
Spaltabstands führt ebenfalls zu einem Anstieg von z
0
, andererseits aber zu einer
Verringerung von C
z0
. Die aus den Werten der Tabelle 2.1 resultierenden Kurven für die
Kapazitätsänderung zeigt die Abbildung 2.14. Auffällig ist die dominante Abhängigkeit der
Funktionen vom Spaltabstand. Mit zunehmender Spaltbreite wird der Anstieg von dC/dz
geringer. Daraus folgt, dass mit breiter werdendem Spalt die Kapazitätsänderung und damit
die Levitationskraft für z < 0 abnimmt, für z > 0 aber zunimmt. Die Fingerbreite spielt
demgegenüber nur eine untergeordnete Rolle.
Elektrostatische Kammantriebe
28
Tabelle 2.1: Aus 3D-Simulationsergebnissen der Anordnung aus Abbildung 2.9 ermittelte Werte für z
0
und C
z0
für verschiedene Fingervarianten
Fingerbreite b
f
[µm] Spaltabstand g [µm] z
0
[nm] C
z0
[fF µm
-2
]
0.8
0.8
402
341 (2D)
4.893 10
-3
3.699 10
-3
(2D)
0.8 1.0 544 4.627 10
-3
1.0 1.0 577 4.819 10
-3
1.2 1.0 625 5.013 10
-3
1.2 1.2 712 4.579 10
-3
1.5 1.2 867 4.842 10
-3
1.5 1.5 1127 4.323 10
-3
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
z-Auslenkung [µm]
dC/dz [fF µm
-1
]
b
f
=0.8µm / g=0.8µm
b
f
=0.8µm / g=1.0µm
b
f
=1.0µm / g=1.0µm
b
f
=1.2µm / g=1.0µm
b
f
=1.2µm / g=1.2µm
b
f
=1.5µm / g=1.2µm
b
f
=1.5µm / g=1.5µm
Abbildung 2.14: Aus den Werten der Tabelle 2.1 resultierende Verläufe der Kapazitätsänderung dC/dz in
Abhängigkeit von der z-Auslenkung für verschiedene Fingervarianten
Bei den hier durchgeführten Simulationen zur Berechnung der Kapazitätsänderung bei
vertikaler Auslenkung betrug die Überlappung der Finger overlap = 5 µm. In Anbetracht des
erwähnten Einflusses der Streufelder stellt die Annahme konstanter Werte für z
0
und C
z0
über
den gesamten lateralen Auslenkungsbereich eine Vereinfachung dar. Beide Parameter sind
Elektrostatische Kammantriebe
29
wahrscheinlich auch von der lateralen Auslenkung abhängig. Eine Bestimmung dieser
Abhängigkeiten war im Rahmen der vorliegenden Arbeit wegen des hohen zeitlichen und
rechnerischen Aufwands nicht möglich, so dass z
0
und C
z0
in den weiteren Betrachtungen als
konstante Größen angenommen werden.
2.4 Abweichungen vom idealen Verhalten
Mikroelektromechanische Strukturen zeigen eine nicht zu vernachlässigende Empfindlichkeit
auf kleine Geometrieänderungen. So erforderten beispielsweise die fertigungsbedingten
Variationen der Seitenwände und deren Auswirkungen auf die Aufhängungen des Analog
Devices Beschleunigungssensors XL76 Maskenmodifikationen [27]. Eine Optimierungsstudie
in [28] merkte eine sehr starke Empfindlichkeit eines Drucksensors auf Membrandicke und
-radius an. Des Weiteren kann die kritische Dämpfung und das elektrostatische Verhalten
perforierter Massen bei Beschleunigungs- und Drehratensensoren in hohem Maße von der
Dimensionierung der Ätzlöcher abhängen [29, 30]. Aus diesem Grund wird in den folgenden
Unterkapiteln der Einfluss nichtidealer Verhaltensmuster von Kammstrukturen inbesondere
auf die Kapazitätsänderung in Antriebsrichtung betrachtet.
2.4.1 Seitliche Verschiebung der Kämme
Im Idealfall schwingt ein beweglicher Finger genau mittig zwischen zwei verankerten
Fingern.
gg
y
0
x
∆
y
x
Finger beweglicher Kamm
Finger verankerter Kamm
Abbildung 2.15: Schematische Darstellung eines Kammausschnitts
Elektrostatische Kammantriebe
30
Auf Grund fertigungsbedingter Toleranzen und damit einhergehendem nichtidealen
Schwingungsverhalten ist es nicht auszuschließen, dass die Abstände g beiderseits eines
beweglichen Fingers während einer Schwingungsperiode nicht immer exakt gleich groß sind.
Kommt es zu einer seitlichen Verschiebung ∆
x (Abbildung 2.15), so gilt für die resultierende
Kraft in x-Richtung:
( ) ( )
+
−
−
=
22
2
0
1
1
2
1
xgxg
UAhF
x
ε
. (2.44)
Durch Ableitung nach ∆
x ergibt sich für die elektrostatische Kraftkonstante k
x,el
:
( ) ( )
+
+
−
==
33
2
0,
1
1
d
d
xgxg
UAh
x
F
k
x
elx
ε
. (2.45)
Die Kraftwirkung nimmt also mit zunehmender seitlicher Auslenkung des Fingers
überproportional zu. Da F
x
in Richtung der Auslenkung und nicht wie beispielsweise
Federrückstellkräfte dieser entgegen wirkt, ist die Stabilität des Antriebs nur gewährleistet,
solange F
x
kleiner als die rücktreibende Federkraft des Systems in x-Richtung ist.
Um den Einfluss einer solchen seitlichen Verschiebung auf die Bewegung in
Anregungsrichtung abzuschätzen, wird angenommen, dass sich der Finger bei einer
Auslenkung in y-Richtung auch seitlich verschiebt. Es soll also gelten: ∆
x = f(
y). Da sich mit
der y-Auslenkung auch die Überlappung der Finger und damit die effektive Plattenfläche A
0
ändert, gilt außerdem:
(
)
yyhA +=
00
. (2.46)
Zum Zweck einer tendenziellen Abschätzung soll für ∆
x eine lineare Abhängigkeit von y
angenommen werden. Für die Kapazität gilt somit unter Vernachlässigung der Streufelder:
( )
+
+
−
+= aygayg
yyhC 11
0
ε
. (2.47)
Durch Ableitung nach y ergibt sich:
Elektrostatische Kammantriebe
31
(
)
( ) ( )
22
22
0
22
22
d
d
aygayg
yayyaghg
y
C
+−
++
=
ε
. (2.48)
Die Kapazitätsänderung ist nicht wie im Idealfall konstant, sondern nichtlinear von der
y-Auslenkung abhängig. Das bedeutet, dass die antreibende Kraft ebenfalls ein nichtlineares
Verhalten aufweist.
2.4.2 Levitation
Die beweglichen Kämme sind in der Regel durch eine Ebene gleichen Potenzials unterlegt.
Diese dient als Abschirmung von relativ großen vertikalen Feldern, welche die beweglichen
Finger nach unten ziehen und zum „Ankleben“ am Substrat führen könnten. Der Nachteil
einer solchen Abschirmungsebene besteht darin, dass diese Maßnahme zu einer
asymmetrischen Verteilung des elektrischen Feldes führt (Abbildung 2.16).
F
z
beweglich
verankert verankert
Substrat
UU
x
z
Abbildung 2.16: Querschnittsdarstellung des Potenzialverlaufs und des elektrischen Feldes zwischen den
Fingern eines Kammantriebs zur Verdeutlichung des Levitations-Effekts
Diese Ungleichheit bewirkt eine vertikale Kraft, die zu einer vom Substrat weggerichteten
Auslenkung der beweglichen Finger führt. Nach [26] gilt für die Kraftkomponente in z-
Richtung:
overlapFF
zz 0
=. (2.49)
Elektrostatische Kammantriebe
32
In dieser Gleichung sind F
z0
[nN µm
-1
] die vertikale Kraftdichte und overlap [µm] die
Überlappung der Finger. Für die Kraftdichte gilt im Bereich z < z
0
:
(
)
0
0
2
00
2
1
z
zz
UCF
zz
−
≈. (2.50)
Darin bezeichnen C
z0
[F m
-2
] die Kapazitätsänderungkonstante in z-Richtung pro y-
Längeneinheit, U die Spannung zwischen beweglichen und festen Fingern und z die
Auslenkung in vertikaler Richtung. z
0
ist die Auslenkung, bei der die vertikale Kraftdichte
und damit die Kraft zu Null wird. Das bedeutet, dass der bewegliche Finger bei nicht
vorhandener Aufhängung bis zu diesem Gleichgewichtspunkt ausgelenkt werden würde. z
0
ist
unabhängig von der angelegten Spannung. Ob F
z0
eine signifikante statische Auslenkung oder
die Anregung einer Schwingung verursacht, hängt von der Steifigkeit der Aufhängungen und
dem Qualitätsfaktor für vertikale Bewegungen ab.
Statische vertikale Auslenkung
Für den statischen Fall gilt nach [26]:
F
mech
=F
z
(2.51)
(
)
0
0
2
2
1
z
zz
UCzk
zz
−
=, (2.52)
wobei k
z
die vertikale Federkonstante und C
z
die Kapazitätsänderungskonstante in z-Richtung
sind. Aus Gleichung (2.52) folgt für z:
2
0
2
0
2UCzk
UCz
z
zz
z
+
=. (2.53)
In Abbildung 2.17 ist die Abhängigkeit der Auslenkung z von der Spannung U grafisch
dargestellt.
Elektrostatische Kammantriebe
33
0
0.3
0.6
0.9
1.2
0 10 20 30 40
Spannung [V]
z-Auslenkung [µm]
Abbildung 2.17: Abhängigkeit der z-Auslenkung von der angelegten Spannung U, mit C
z
= 1.25 fF µm
-1
,
k
z
= 43 nN µm
-1
und z
0
= 1.22 µm
Dynamische vertikale Bewegung
Betrachtet man den Resonator im dynamischen Fall als vertikal ungedämpftes System [26],
hat die Bewegungsgleichung die Form:
(
)
( )
(
)
0
0
2
2
2
)(
)(
2
1
z
tzz
tUCFtzk
dt
tzd
m
zzz
−
==+ . (2.54)
m ist in dieser Gleichung die effektive Masse der schwingenden Struktur. Im Gegensatz zum
statischen Fall sind U(t) = U
p
+u
d
(t) und z(t) = Z
p
+z
d
(t) jetzt zeitabhängige Größen. Dabei
wird angenommen, dass U
p
>> u
d
und Z
p
>> z
d
sind. Nach Linearisierung im Arbeitspunkt
(U
p
, Z
p
) mittels Taylorreihenentwicklung und Beschränkung auf die linearen Terme ergibt
sich aus Gleichung.(2.54):
(
)
)()(
2
)(
)(
0
0
0
2
2
2
tuU
z
Zz
Ctz
z
UC
tzk
dt
tzd
m
dp
p
zd
pz
dz
d
−
=++ . (2.55)
Elektrostatische Kammantriebe
34
Der Term
el
pz
k
z
UC =
0
2
2 (2.56)
kann als elektrische Federkonstante bezeichnet werden. Daraus folgt für die
Resonanzfrequenz des Systems in z-Richtung:
m
kk
elz
gesz
+
=
,
ω
. (2.57)
Das bedeutet, dass die Resonanzfrequenz
ω
z,ges
von der angelegten Spannung abhängig ist.
Mit Erhöhung der Spannung werden die Federkonstante des Gesamtsystems in z-Richtung
und damit die Resonanzfrequenz größer. Diese Abhängigkeit zeigt die Abbildung 2.18.
0
1
2
3
4
5
0 10 20 30 40
Spannung U
p
[V]
ω
z,ges
/
ω
z,0
Abbildung 2.18: Abhängigkeit der auf die mechanische Resonanzfrequenz
ω
z,0
normierten Resonanzfrequenz des
Gesamtsystems
ω
z,ges
von der anglegten Spannung U
p
Elektrostatische Kammantriebe
35
Einfluss der Levitation auf die Kapazitätsänderung in Antriebsrichtung
Da die Levitationskraft auch von der Überlappung der Finger abhängt, wird im Folgenden der
Einfluss dieses Effekts auf die Kapazitätsänderung in y-Richtung abgeschätzt.
Unter dieser Berücksichtigung gilt nach Abbildung 2.2 für die Kraft auf der Antriebsseite:
( )( ) ( )( )
22
sin
d
d
2
1
sin
d
d
2
1tuU
y
C
tuU
y
C
F
acdc
Lev
a
acdc
lat
a
a
ωω
−+−= (2.58)
und auf der Detektionsseite:
22
d
d
2
1
d
d
2
1
dc
Lev
d
dc
lat
d
d
U
y
C
U
y
C
F+= . (2.59)
Für die daraus resultierende Gesamtkraft F
el
ergibt sich:
( ) ( )
2
22
d
d
d
d
d
d
d
d
2
1
sin
d
d
d
d
2
1
sin
d
d
d
d
dc
Lev
d
Lev
a
lat
d
lat
a
ac
Lev
a
lat
a
acdc
Lev
a
lat
a
dael
U
y
C
y
C
y
C
y
C
tu
y
C
y
C
tuU
y
C
y
C
FFF
++++
++
+−=
+
=
ωω
.
(2.60)
Die Kraft auf der Detektionsseite ist der Kraft der Antriebsseite entgegengerichtet. Das
negative Vorzeichen folgt aus negativen Kapazitätsänderungen. Der Index „lat“ bezeichnet
den Teil der Kapazitätsänderung in Antriebsrichtung, der aus der y-Auslenkung des Shuttles
resultiert. Der durch den Levitationseffekt verursachte Beitrag wird durch den Index „Lev“
gekennzeichnet. Die Levitationskraft hängt von den geometrischen Abmaßen der Finger,
deren Überlappung und der angelegten Spannung ab. Wie stark die beweglichen Finger im
Verhältnis zu den verankerten Fingern durch diese Kraft vertikal ausgelenkt werden, hängt
von der mechanischen Gegenkraft der Federn ab. Es wird weiterhin berücksichtigt, dass es bei
unterschiedlich starken Levitationskräften auf der Antriebs- und Detektionsseite zu
Verkippungen des Shuttles kommen kann. Gesucht wird also die levitationsbedingte
Kapazitätsänderung der Antriebs- (dC
a
/dy|
Lev
) und der Detektionsseite (dC
d
/dy|
Lev
). Als
positive Auslenkung wird eine Bewegung der antriebsseitigen Finger definiert, die den
Abstand zum verankerten Elektrodenkamm verringert.
Elektrostatische Kammantriebe
36
Es gilt:
(
)
(
)
y
yZC
y
C
aa
Lev
a
d
d
d
d= (2.61)
(
)
(
)
y
yZC
y
C
dd
Lev
d
d
d
d
d=. (2.62)
Z
a
und Z
d
bezeichnen die z-Auslenkung der beweglichen Finger auf der Antriebs-
beziehungsweise Detektionsseite. Unter Verwendung der Kapazitätsänderung in z-Richtung
0
0
d
d
z
zz
C
z
C
z
−
= (2.63)
ergibt sich für den zusätzlichen kapazitiven Anteil auf der Antriebs- ∆C
a
(Z
a
(
y)) und
Detektionsseite ∆C
d
(Z
d
(y)):
( ) ( )
−+=
−
+==
0
2
00
00
0
00
0
2
1
dd
d
d
))((
z
Z
ZyyCFZz
z
zz
yyCFZz
z
C
FZyZC
a
az
Z
z
Z
a
aa
aa
(2.64)
( ) ( )
−−=
−
−==
0
2
00
00
0
00
0
2
1
dd
d
d
))((
z
Z
ZyyCFZz
z
zz
yyCFZz
z
C
FZyZC
d
dz
Z
z
Z
d
dd
dd
(2.65)
D
z
1
α
k
z
z
2
F
d,Lev
F
a,Lev
r
Shuttle
z
2
Abbildung 2.19: Modell der Aufhängung des Shuttles zur Bestimmung von Z
a
und Z
d
Elektrostatische Kammantriebe
37
FZ
bezeichnet die Anzahl der beweglichen Finger pro Shuttleseite.
Z
a und
Z
d ergeben sich aus
dem Kräfte- und Drehmomentengleichgewicht des Shuttles. Nach Abbildung 2.19 gilt für die
Kräfte:
LevdLevaz
FFzk
,,1
+=
(2.66)
und für die Drehmomente mit der Drehfederkonstante
D
:
(
)
rFFD
LevdLeva
,,
−=
α
. (2.67)
Die Federkonstante in
z
-Richtung
k
z lässt sich analytisch nach Gleichung (2.4) berechnen.
Unter der Annahme, dass der Verkippungswinkel
α
sehr klein ist (
z
2
<<
r
), gilt:
r
z
r
z
22
arcsin
≈
=
α
. (2.68)
Durch Einsetzen in Gleichung (2.67) ergibt sich:
LevdLevad
FFzk
,,2
−=
(2.69)
mit
2
2,0
2
r
J
r
D
k
xkipp
d
ω
==
. (2.70)
r
ist der mittlere Abstand der beweglichen Finger von der Drehachse, welche dieselbe
Orientierung wie die
x
-Achse hat. Die betrachtete Kippbewegung entspricht der 2. Eigenmode
aus Abbildung 2.8. So lässt sich aus den modalen Simulationen
ω
0,kipp bestimmen. Die zur
Berechnung von
k
d ebenfalls erforderlichen Massenträgheitsmomente
J
x werden analytisch
berechnet. Für die Levitationskräfte
F
a,Lev und
F
d,Lev folgt aus den Gleichungen (2.49) und
(2.50):
( )
2
0
0
00,
2
1
a
a
zLeva
U
z
Zz
yyCFZF
−
+=
(2.71)
( )
2
0
0
00,
2
1
d
d
zLevd
U
z
Zz
yyCFZF
−
−=
(2.72)
Elektrostatische Kammantriebe
38
mit
Z
a
=
z
1+
z
2 (2.73)
Z
d
=
z
1-
z
2
.
(2.74)
Durch Einsetzen der Kräfte in die Gleichungen (2.66) und (2.69) ergeben sich:
( )
(
)
( )
(
)
−−
−+
+−
+=
2
0
210
0
2
0
210
001
2
1
dazz
U
z
zzz
yyU
z
zzz
yyCFZzk
(2.75)
( )
(
)
( )
(
)
−−
−−
+−
+=
2
0
210
0
2
0
210
002
2
1
dazd
U
z
zzz
yyU
z
zzz
yyCFZzk
. (2.76)
Daraus werden
z
1 sowie
z
2 und damit
Z
a beziehungsweise
Z
d berechnet.
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
000
2
0
2
0
2
0
222220
00
2
0
2
0
2
0
2
2
0
222
0
00
22
2
zkkzyyUyyUFZkkCyyUUFZC
zyyUyyUkyyUyyUk
yyUUFZC
zCFZ
Z
zdadzdzdaz
addadz
daz
z
a
−++−+−−
++−+++−−
−
=
(2.77)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
000
2
0
2
0
2
0
222220
00
2
0
2
0
2
0
2
2
0
222
0
00
22
2
zkkzyyUyyUFZkkCyyUUFZC
zyyUyyUkyyUyyUk
yyUUFZC
zCFZ
Z
zdadzdzdaz
addadz
daz
z
d
−++−+−−
++−−++−+
−
=
(2.78)
Durch Einsetzen in die Gleichungen (2.64) beziehungsweise (2.65) und Ableitung nach
y
erhält man die Gleichungen (2.79) und (2.80), mit den sich die levitationsbedingten Beiträge
zur Kapazitätsänderung in
y
-Richtung bestimmen lassen. Eine grafische Darstellung von
d
C
a/d
y
|Lev in Abhängigkeit von der
y
-Auslenkung und der angelegten Gleichspannung
U
a
zeigt die Abbildung 2.20 (Kapitel 2.5).
Für die nachfolgenden Berechnungen ist anzumerken, dass sich auf der Antriebs- und
Detektionsseite aller im Rahmen dieser Arbeit betrachteten Strukturen jeweils
FZ
= 40 bewegliche Finger befinden. Des Weiteren müssen die aus den FEM-Simulationen
im Kapitel 2.3.2 bestimmten Werte für
C
z0 verdoppelt werden, da in dem verwendeten Modell
nur jeweils eine Fingerhälfte berücksichtigt wird. Der mittlere Abstand der beweglichen
Finger von der Drehachse
r
beträgt bei allen Designs 72.5µm.
Elektrostatische Kammantriebe
39
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
−++−+−−
++−+−++−
⋅−−++
+++−++−−
++−+++−+−
−
−++−+−−
++−+++−+−
−
⋅=
3
2
000
2
0
2
0
2
0
222220
2
0
2222
000
22
0
2
0
42220
00
2
0
2
00
2
2
2
000
2
0
2
0
2
0
222220
2
00
2
0
2
0
2
0
222
0
22
00
2
000
2
0
2
0
2
0
222220
00
2
0
2
0
2
0
222
0
22
0
0
220
22
222
8
22
2
22
22
2
1
d
d
zkkzyyUyyUFZkkCyyUUFZC
zUUkUUkkzyykykUUFZCyyUUFZC
zkyyUFZCzyyk
zkkzyyUyyUFZkkCyyUUFZC
zyyUyyUkyyUyyUkyyUUFZCFZC
zkkzyyUyyUFZkkCyyUUFZC
zyyUyyUkyyUyyUkyyUUFZC
zFZC
y
C
zdadzdzdaz
dazdadddzdazdaz
ddzz
zdadzdzdaz
addadzdazz
zdadzdzdaz
addadzdaz
z
Lev
a
(2.79)
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
+++−++−
++−+++++
⋅++−+
+++−++−−
++−−++−+−
+
−++−+−−
++−+++−−+−
⋅=
3
2
000
2
0
2
0
22
0
22220
2
0
2222
000
22
0
2
0
24220
00
2
0
2
00
2
2
2
000
2
0
2
0
2
0
222220
2
00
2
0
2
0
2
0
22
0
222
00
2
000
2
0
2
0
2
0
222220
00
2
0
2
0
2
0
222
0
22
0
0
220
22
222
8
22
2
22
22
2
1
d
d
zkkzyyUyyUFZkkCyyUUFZC
zUUkUUkkzyykykUUFZCyyUUFZC
zkyyUFZCzyyk
zkkzyyUyyUFZkkCyyUUFZC
zyyUyyUkyyUyyUkyyUUFZCFZC
zkkzyyUyyUFZkkCyyUUFZC
zyyUyyUkyyUyyUkyyUUFZC
zFZC
y
C
zdadzdzdaz
dazaddddzdazdaz
dazz
zdadzdzdaz
addadzdazz
zdadzdzdaz
addadzdaz
z
Lev
d
(2.80)
2.5 Kapazitätsänderung bei statischer Auslenkung in y-Richtung
Im statischen Fall wird an die festen Finger der Antriebsseite eine Gleichspannung gelegt.
Das Shuttle und der Kamm der Detektionsseite liegen auf Massepotenzial. Die
Kapazitätsänderung, die aus den statischen Messungen ermittelt wird, repräsentiert somit die
Kapazitätsänderung der Antriebsseite.
Lev
a
lat
aa
stat
y
C
y
C
y
C
y
C
d
d
d
d
d
d
d
d
+==
(2.81)
Auf Grund der unterschiedlichen Designabmaße werden für einen Vergleich die Modelle
F0.8G0.8_A und F1.5G1.5_A (siehe Kapitel 3.2) ausgewählt. Die theoretischen Verläufe für
Elektrostatische Kammantriebe
40
d
C
a/d
y|
lat sind der Abbildung 2.11 zu entnehmen. Die levitationsbedingten Beiträge d
C
a/d
y|
Lev
sind laut Gleichung (2.79) unter anderem von der
y
-Auslenkung und der angelegten
Gleichspannung
U
a abhängig. Diese Abhängigkeit ist für die beiden ausgewählten Strukturen
in Abbildung 2.20 dargestellt.
Abbildung 2.20: Berechnete Verläufe der levitationsbedingten Beiträge zur Kapazitätsänderung der Antriebsseite
in Abhängigkeit von der y-Auslenkung und der angelegten Gleichspannung U
a
für die
Strukturen F0.8G0.8_A (linke Darstellung) und F1.5G1.5_A (rechte Darstellung)
Quantitativ betrachtet, ist der Einfluss des Levitationseffekts auf die Kapazitätsänderung in
Antriebsrichtung bei der Stuktur F1.5G1.5_A (
g
= 1.5 µm) mehr als doppelt groß wie bei der
Vergleichsstruktur F0.8G0.8_A (
g
= 0.8 µm). Diese Differenz ist aber nicht nur auf die
verschiedenen Fingerabstände zurückzuführen. Insbesondere die Abhängigkeit von den
Federkonstanten
k
d und
k
z ist nicht zu vernachlässigen. Diese Kenngrößen sind bei beiden
Strukturen ebenfalls unterschiedlich dimensioniert. Auf Grund der Vielzahl ungleicher
Parameter werden die absoluten Werte nicht näher miteinander verglichen.
Qualitativ zeigt sich in beiden Darstellungen ein ähnliches Verhaltensmuster. Mit
zunehmender Spannung und Auslenkung (beziehungsweise Fingerüberlappung) erhöht sich
der Beitrag zur Kapazitätsänderung. Das relativ stark ansteigende Verhalten bei kleineren
Spannungs- und Überlappungswerten (große negative Auslenkung) ist darauf zurückzuführen,
dass die beweglichen Finger zunehmend aus der Ebene der verankerten Finger herausgehoben
werden und damit die Kapazität steigt. Bei größeren Spannungswerten (Abbildung 2.17) und
y
-Auslenkungen nähern sich die Finger immer mehr dem Wert
z
0 an. Je geringer der Abstand
zu
z
0 wird, umso kleiner wird die Levitationskraft. Das bedeutet, dass die Finger mit weiter
zunehmender Spannung und Auslenkung nur noch geringfügig weiter angehoben werden und
damit der Beitrag zur Kapazitätsänderung fast konstant bleibt.
Elektrostatische Kammantriebe
41
Bei den statischen Messungen wird die Spannung erhöht, um das Shuttle weiter auszulenken.
Das bedeutet, dass sich während der Messung sowohl Spannung als auch
y
-Auslenkung
ändern. In den dreidimensionalen Darstellungen der Abbildung 2.20 resultieren die schwarzen
Linien aus den (
U
a,
y
)-Wertepaaren der Messungen. Für d
C
a/d
y
|Lev als Funktion der
Auslenkung folgen daraus die im linken Diagramm der Abbildung 2.21 dargestellten Kurven.
01234
y-Auslenkung [µm]
dC
a
/dy|
Lev
[fF µm
-1
]
F0.8G0.8_A
F1.5G1.5_A
0.0
0.05
0.1
0.15
0.2
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0 1 2 3 4
y-Auslenkung [µm]
(dC
a
/dy|
Lev
)/(dC
a
/dy|
lat
)
F0.8G0.8_A
F1.5G1.5_A
Abbildung 2.21: Berechnete levitationsbedingte Beiträge zur Kapazitätsänderung dC
a
/dy|
Lev
(links) und
Verhältnis von dC
a
/dy|
Lev
zu dC
a
/dy|
lat
(rechts) in Abhängigkeit von der Auslenkung in y-
Richtung
Wie groß der relative Einfluss der Levitation ist, zeigt das in Abbildung 2.21 (rechts)
dargestellte Verhältnis (d
C
a/d
y
|Lev) / (d
C
a/d
y
|lat). Bei den zwei berechneten Stukturen ist die
levitationsbedingte Änderung der Kapazität d
C
a/d
y
|Lev
um mehr als eine Größenordnung
kleiner als d
C
a/d
y
|lat.
2.6 Bewegungsgleichung bei nicht konstanter Kapazitätsänderung
Aus den FEM-Simulationen in Kapitel 2.3 und der Berücksichtigung des Levitationseffekts
ergeben sich Kapazitätsänderungen in Antriebsrichtung (
y
-Richtung), die von der
y
-
Auslenkung abhängig sind. Das führt dazu, dass die Antriebskräfte ebenfalls eine
Abhängigkeit von dieser Richtungskomponente aufweisen.
Mit den Substitutionen
acdc
Lev
a
lat
a
uU
y
C
y
C
F
+=
d
d
d
d
0
(2.82)
Elektrostatische Kammantriebe
42
Lev
d
Lev
a
lat
d
lat
a
all
y
C
y
C
y
C
y
C
y
C
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
+++=
(2.83)
und der Annahme
U
dc
>>
u
ac nimmt die Gleichung (2.60) die folgende Form an.
( )
2
0
d
d
2
1
sin
dc
all
el
U
y
C
tFF +−=
ω
(2.84)
Weil die levitationsbedingten Beiträge zur Kapazitätsänderung vergleichsweise gering sind,
wird der Einfluss der Levitation in den ersten Betrachtungen nicht berücksichtigt. Für die
Bewegungsgleichung gilt unter Verwendung der Gleichungen (2.41) und (2.42), die zur
Beschreibung der gesamten Kapazitätsänderung noch mit 80 (2
⋅FZ
, da nur halbe Finger
simuliert wurden) multipliziert werden müssen:
( ) ( )
( ) ( )
( )
2144
12
0
12
0
14
12
0
2
2
43)1(1
2121
2
80
sin43
21
80
d
d
d
d
dc
PP
PP
acdc
P
P
UyPP
yy
PP
yy
PP
tuUyPP
yy
PP
ky
t
y
t
y
m
−++
+
−
−
+
+
−
−=++
−
++
−
+
ωα
.(2.85)
Hierbei handelt es sich um eine nichtlineare Differenzialgleichung, für die keine geschlossene
analytische Lösung existiert. Auf Grund der Abhängigkeit der Antriebsamplitude
F
0 von der
Auslenkung
y
ist auch die Methode der Harmonischen Balance für eine Lösungsabschätzung
ungeeignet [31]. Der Amplitudengang wird deshalb numerisch berechnet. Die Berechnungen
müssen bis zu dem Zeitpunkt erfolgen, bei dem das System eingeschwungen und damit die
Schwingungsamplitude der Auslenkung konstant ist.
Die numerischen Berechnungen erfolgten mit dem in Matlab integrierten Programmpaket
Simulink. Darin wird die Differenzialgleichung durch einen Blockschaltplan
(Abbildung 2.22) beschrieben und die Beschleunigung (Ausgang des MatlabFunction-
Blocks), die Geschwindigkeit (Ausgang des Integrator-Blocks) sowie die Auslenkung
(Ausgang des Integrator1-Blocks) für die vorgegebenen Zeitschritte berechnet. In
Abbildung 2.23 sind die für unterschiedliche
U
dc-Spannungswerte berechneten Amplituden-
gänge ohne Berücksichtigung der Levitation dargestellt. Wie erwartet, neigen sich die Kurven
mit zunehmender Spannung verstärkt zu niedrigen Frequenzen. Hauptgrund dafür ist der in
der Differenzialgleichung (2.85) auftretenden
U
dc2-Term. Eine Reihenentwicklung dieses
Elektrostatische Kammantriebe
43
Ausdrucks ergibt ein Polynom mit ungeraden Potenzen. Der lineare Teil wirkt wie eine
elektrische Feder und führt mit zunehmender Antriebsspannung zu einer Aufweichung der
mechanischen Feder und somit zu einer Verschiebung der Resonanzüberhöhung zu
niedrigeren Frequenzen.
Abbildung 2.22: Simulink-Blockschaltplan zur numerischen Lösung der Bewegungsgleichung (2.85)
0
1
2
3
4
5
14300 14350 14400 14450 14500 14550 14600
Frequenz [Hz]
Amplitude der y-Auslenkung [µm]
1V
3V
9V
Abbildung 2.23: Berechnete Amplitudengänge ohne Berücksichtigung der Levitation für unterschiedliche
Spannungswerte U
dc
für die Stuktur F0.8G0.8_A
Wird der Levitationseffekt berücksichtigt, erhöht sich der rechnerische Aufwand drastisch, da
die Kopplung von drei Schwingungsmoden betrachtet werden muss. Die Bewegungs-
gleichung (2.85) für die Antriebsmode wird dann zu:
Elektrostatische Kammantriebe
44
( ) ( )
( ) ( )
( )
2144
12
0
12
0
14
12
0
2
2
d
d
d
d
43)1(1
2121
80
2
1
sin
d
d
43
21
80
d
d
d
d
dc
Lev
d
Lev
a
PP
PP
acdc
Lev
a
P
P
U
y
C
y
C
yPP
yy
PP
yy
PP
tuU
y
C
yPP
yy
PP
ky
t
y
t
y
m
++
−++
+
−
−
+
+
+
−
−=++
−
++
−
+
ωα
.
(2.86)
Ausgehend von den Gleichungen (2.66) und (2.69) für das statische Gleichgewicht folgt für
das dynamische Gleichgewicht der vertikalen Bewegung
z
1 und der Kippschwingung
z
2:
LevdLevaz
FFzk
t
z
t
z
m
,,1
1
1
21
2
d
d
d
d
+=++
α
(2.87)
LevdLevad
x
FFzk
t
z
r
t
z
r
J
,,2
2
2
2
22
2
2
d
d
d
d
−=++
α
. (2.88)
Da die Dämpfungskoeffizienten
α
1 und
α
2 nicht bekannt sind, werden diese nach [32, 33]
abgeschätzt. Die Levitationskräfte
F
a,Lev und
F
d,Lev auf der Antriebs- beziehungsweise
Detektionsseite sind nach den Gleichungen (2.71) und (2.72) von der Auslenkung
z
1 und
z
2
abhängig. Aus
z
1 und
z
2 ergibt sich nach den Gleichungen (2.73) und (2.74) die gesamte
vertikale Auslenkung der Finger beider Seiten. Daraus werden die antriebs- und
detektionsseitige Kapazität (Gleichungen (2.64) und (2.65)) beziehungsweise durch Ableitung
nach
y
die zusätzlichen levitationsbedingten Kapazitätsänderungen d
C
a/d
y
|Lev und d
C
d/d
y
|Lev in
y
-Richtung ermittelt. Diese gehen in die Terme der Antriebskräfte der Bewegungs-
gleichung (2.86) mit ein. Die Lösung dieses Differenzialgleichungssystems erfolgt wiederum
mit Simulink. Den das System beschreibenden Blockschaltplan zeigt die Abbildung 2.24.
Zum Vergleich sind zwei berechnete Amplitudengänge der Struktur F0.8G0.8_A für
U
dc
= 9 V mit und ohne Berücksichtigung der Levitation in Abbildung 2.25 dargestellt. Der
Einfluss des Levitationseffekts ist sehr gering. Er führt zu einer zusätzlichen Aufweichung der
Feder, was sich in einer Verschiebung der Resonanzkurve um 3 Hz und einer etwas stärkeren
Neigung zu niedrigeren Frequenzen wiederspiegelt. Dieser geringe Einfluss rechtfertigt den
enormen Rechenaufwand für das Modell mit Berücksichtigung des Levitationseffekts in
diesem Falle nicht. Bei größeren Fingerabständen, weicheren Federn und höheren
Spannungen könnten die Unterschiede aber markanter sein und den Einsatz eines solchen
Modells erforderlich machen.
Elektrostatische Kammantriebe
45
Abbildung 2.24: Simulink-Blockschaltplan zur numerischen Lösung der Bewegungsgleichung (2.86) mit
Berücksichtigung des Levitationseffekts (Gleichung (2.87) und (2.88))
0
1
2
3
4
5
14200 14300 14400 14500 14600
Frequenz [Hz]
Amplitude der y-Auslenkung [µm]
Num. Berechnung ohne
Levitation
Num. Berechnung mit
Levitation
Abbildung 2.25: Vergleichende Darstellung der numerisch berechneten Amplitudengänge mit und ohne
Berücksichtigung des Levitationseffekts der Stuktur F0.8G0.8_A
Herstellung in Siliziumtechnologie
46
3 Herstellung in Siliziumtechnologie
3.1 Prozessablauf
Ausgangsmaterial für die Herstellung der Strukturen ist ein monokristallines Siliziumsubstrat.
Auf diesem wird zur elektrischen Isolation eine thermische Siliziumdioxidschicht (SiO2)
aufgewachsen. Mit einem LPCVD (Low Pressure Chemical Vapor Deposition)-Verfahren
wird dann eine 200 nm dicke Polysiliziumschicht (polykristallines Silizium) abgeschieden
und anschließend strukturiert (Abbildung 3.1a).
a) b)
bewegliche
Masse
Anker
c) d)
Siliziumsubstrat Oxid Polysilizium Nitrid
Abbildung 3.1: Prinzipieller Prozessablauf zur Herstellung einer mikroelektromechanischen Kammstruktur
Diese elektrisch leitenden Bereiche dienen als Substratelektroden und Zuleitungen für
verschiedene Potenziale. Danach erfolgt die Abscheidung einer Nitridschicht. Diese wird als
Ätzschutz für tiefer liegende Schichten aufgebracht. Das anschließend abgeschiedene
Siliziumdioxid dient als Opferschicht. Durch die Strukturierung dieser Oxidschicht und der
darunter liegenden Nitridschicht entstehen Öffnungen, die später der Verankerung und der
Kontaktierung der beweglichen Struktur mit dem vergrabenen Polysilizium dienen
(Abbildung 3.1b). Im nächsten Schritt erfolgt das Aufwachsen und die Strukturierung einer
Herstellung in Siliziumtechnologie
47
mit 4 µm wesentlich dickeren Polysiliziumschicht, die das Basismaterial für die beweglichen
Teile der Strukturen (Abbildung 3.1c) bildet. Das Freilegen der beweglichen Bereiche erfolgt
in einem nasschemischen Ätzprozess durch das Entfernen der Opferoxidschicht mittels
Flusssäure (Abbildung 3.1d).
Ein besonders kritischer Schritt ist das der Opferschichtätzung und dem Spülen folgende
Trocknen der Strukturen. Bei diesem Vorgang werden die beweglichen Teile wegen der
Oberflächenspannungen der Spülflüssigkeit zum Substrat oder zu benachbarten Struktur-
bereichen gezogen, an denen diese auf Grund von Adhäsionskräften haften bleiben. Um
dieses sogenannte „Sticking“ zu vermeiden, wird die Methode der superkritischen Trocknung
verwendet [34]. Dabei wird das Spülmedium durch flüssiges Kohlendioxid ersetzt, so dass bei
hohen Drücken der Übergang von der flüssigen in die gasförmige Phase ohne ein
Überschreiten der Dampfdruckkurve, die am kritischen Punkt endet, erfolgen kann.
Shuttle
Shuttle
vertikale Auslenkung (y-Achse)
entlang der schwarzen Linie
Shuttle
vertikale Auslenkung (y-Achse)
entlang der weißen Linie
Abbildung 3.2: Messung der Heraushebung und Verkippung des Shuttles einer Kammstruktur mittels
Weißlichtinterferometer Wyko NT2000
Ein weiteres in der Mikromechanik häufig auftretendes Problem sind mechanische
Schichtspannungen, deren Gradienten zu Verwölbungen und Verbiegungen der beweglichen
Herstellung in Siliziumtechnologie
48
Teile führen können. Durch verschiedene prozesstechnische Schritte (zum Beispiel
Kompensationsschichten, Temperung) und Designmaßnahmen (zum Beispiel Mäanderstruk-
turen, Spiralfedern) [35] wird versucht, solchen Spannungen und Spannungsgradienten
entgegenzuwirken. Die im Zusammenhang mit dieser Arbeit gefertigten Strukturen zeigen nur
geringe Verwölbungen, wie Messungen (Abbildung 3.2) mit dem Weißlichtinterferometer
Wyko NT2000 [36] belegen.
Die interferometrischen Messungen ergaben eine durch-
schnittliche Heraushebung des Shuttles von 50 nm.
3.2 Design
Im Folgenden werden die für die Untersuchungen realisierten Strukturen beschrieben. Alle
Varianten basieren auf dem Aufbau aus Abbildung 3.3, bei dem die bewegliche Masse über
mäanderförmige Aufhängungen verankert ist.
Verankerung
verankerte Finger
bewegliche Masse (Shuttle)
l
b
b
b
gb
f
overlap
y
0
y
0
Abbildung 3.3: Aufbau eines Kammantriebs
Herstellung in Siliziumtechnologie
49
Kontaktpad und Zuleitung für
die unteren verankerten Finger
Kontaktpad für das
Shuttlepotenzial
Kontaktpad und Zuleitung für
die oberen verankerten Finger
Abbildung 3.4: Mikroskopaufnahme eines gefertigten Kammantriebs
Die mittige Aufhängung des Shuttles ermöglicht eine laterale Entspannung von Stress. Alle
Strukturen verfügen über 40 bewegliche und 41 verankerte Finger pro Shuttleseite. Wichtige
Designparameter sind die Fingerbreite
b
f, der Fingerabstand
g
, die Federbalkenlänge
l
b und
die Federbalkenbreite
b
b.
b
f und
g
sind Geometriegrößen, welche die Antriebskraft bestim-
men.
l
b und
b
b haben Einfluss auf die Federkonstanten und damit die Resonanzfrequenzen, die
mit Hilfe der in den Kapiteln 2.1.1 und 2.1.2 erörterten Methoden berechnet wurden.
y
0 und
overlap
sind konstante Maße und mit 5 µm bei allen Strukturen gleich groß bemessen.
Wie die Mikroskopaufnahme eines gefertigten Kammantriebs (Abbildung 3.4) zeigt, hat jede
Probe drei Kontaktflächen. Über diese Pads werden die entsprechenden Potenziale angelegt
beziehungsweise abgegriffen. Die beiden linken Kontakte stehen über Zuleitungen mit den
festen Fingern der Antriebs- beziehungsweise Detektionsseite in Verbindung. Das Potenzial
des rechten Pads wird über die untere dünne Polysiliziumebene und die im Zentrum
befindliche Verankerung an die bewegliche Masse geführt.
Es wurden 25 unterschiedliche Varianten entworfen und hergestellt. Die für die
durchgeführten Untersuchungen wichtigsten Designs sind der Tabelle 3.1 zu entnehmen.
Herstellung in Siliziumtechnologie
50
Tabelle 3.1: Designvarianten der hergestellten Kammantriebe
Typ
b
f
[µm]
g
[µm]
l
b
[µm]
b
b
[µm]
theoretische
Resonanzfrequenz
[kHz]
F0.8G0.8_A 0.8 0.8 159 0.8 15
F0.8G0.8_B 0.8 0.8 112 0.8 20
F0.8G1.0 0.8 1.0 161 0.8 15
F1.0G1.0_A 1.0 1.0 163 1.0 15
F1.0G1.0_B 1.0 1.0 132 1.0 20
F1.2G1.0 1.2 1.0 241 1.2 10
F1.2G1.2_A 1.2 1.2 184 1.2 15
F1.2G1.2_B 1.2 1.2 239 1.2 10
F1.5G1.2 1.5 1.2 277 2.0 15
F1.5G1.5_A 1.5 1.5 278 1.5 10
F1.5G1.5_B 1.5 1.5 215 1.5 15
3.3 Geometriefehler
Durch nichtideale Ätzprozesse können Ätzflanken entstehen, die nicht senkrecht verlaufen.
Grund dafür sind Unterätzungen der Ätzmaske und der länger andauernde Ätzangriff im
oberen Bereich der Struktur. Daraus resultieren typischerweise trapezförmige Querschnitte
der Aufhängungen (Abbildung 3.5).
Herstellung in Siliziumtechnologie
51
1,2µm
4 µm
Abbildung 3.5: REM-Aufnahmen vom Querschnittsprofil der Aufhängung eines Kammantriebs mit unterschied-
licher Vergrößerung
Schlüsselparameter sind dabei die Maskenunterätzung
b
u und der Flankenwinkel
θ
(Abbildung 3.6).
b
u
θ
b
h
h
Layout Geometrie
Strukturgeometrie
z
y
Abbildung 3.6: Schematische Darstellung fertigungsbedingter Abweichungen im Querschnittsprofil eines
Balkens
Bei trapezförmigem Querschnitt ergibt sich für das Flächenträgheitsmoment bei einer
Verbiegung um die in
z
-Richtung weisende Symmetrieachse [37, 38]:
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
θ
θθθ
θ
tan236
tan8136tan4615412tan2
2229132tan65423
44332222
322322
2
hbb
hbbhbbbbh
bbbbbbhbbbbbb
h
I
u
uuu
uuuuuu
z
+−
+−++−+
−+−++−−
=. (2.89)
Aufhängung
Herstellung in Siliziumtechnologie
52
Im Vergleich dazu ist das Flächenträgheitsmoment eines idealen rechteckigen Querschnitts:
12
3
0
hb
I
z
=. (2.90)
Abhängig von der Stärke der Unterätzung und der Steilheit der Flanken kann das reale
Flächenträgheitsmoment größer oder kleiner als das ideale Flächenträgheitsmoment sein
(Abbildung 3.7). Das bedeutet, dass abhängig von den geometrischen Verhältnissen auch die
Resonanzfrequenz ober- oder unterhalb des gewünschten Wertes liegen kann.
Abbildung 3.7: Verhältnis von trapezförmigem zu idealem Flächenträgheitsmoment in Abhängigkeit vom
Flankenwinkel
θ
und dem Verhältnis von Unterätzung zu Designbreite
Zur quantitativen Abschätzung der Querschnittsabmaße der Aufhängungen der zu
untersuchenden Strukturen wurden REM-Bruchmessungen durchgeführt. Wie die Tabelle 3.2
zeigt, bestehen insbesondere im oberen Bereich der Aufhängungen deutliche Abweichungen
von den Designmaßen. Daraus lässt sich für den Prozess eine Unterätzung von etwa 100 nm
ableiten. Aus den Ergebnissen kann man schließen, dass die zu messenden
Resonanzfrequenzen der Antriebsmode bei schmalen Balken mehr und bei breiten Balken
weniger weit unter den theoretisch berechneten Eigenfrequenzen liegen werden. In der
Tabelle 3.3 sind die bei den Messungen zu erwartenden prozentualen Abweichungen der
Herstellung in Siliziumtechnologie
53
Resonanzfrequenzen von den theoretisch errechneten Eigenfrequenzen für die Antriebsmode
in Abhängigkeit von der Aufhängungsbreite aufgeführt.
Tabelle 3.2: Aus REM-Bruchmessungen ermittelte Breite der Aufhängungen im Vergleich zur entworfenen
Breite
Designbreite
[µm]
Breite oben
[µm]
Breite unten
[µm]
Durchschnitt
[µm]
Differenz
[µm]
mittlere
Abweichung
[%]
0.8 0.58 0.79 0.685 0.115 -14.4
1.0 0.782 0.9857 0.884 0.116 -11.6
1.2 1.03 1.172 1.101 0.099 -8.2
1.5 1.29 1.54 1.415 0.085 -5.7
2.0 1.7796 2.025 1.902 0.098 -4.9
Tabelle 3.3: Aus REM-Bruchmessungen ermittelte zu erwartende prozentuale Abweichung der gemessenen von
den theoretischen Resonanzfrequenzen in Abhängigkeit von der entworfenen Aufhängungsbreite
entworfene Aufhängungsbreite
[µm]
Erwartete prozentuale Differenz zwischen
gemessener und theoretischer Resonanzfrequenz
[%]
0.8 -17.3
1.0 -14.1
1.2 -11.9
1.5 -9.6
2.0 -7.3
Weitere Beispiele für fertigungsbedingte Geometriefehler sind abgerundete Fingerenden
(Abbildung 3.8 links) und Unterschiede in der Länge der einzelnen Finger (Abbildung 3.8
rechts). Die weiße Linie im linken Bild verdeutlicht die entworfene Fingerform. Solche Fehler
haben Einfluss auf die Antriebskraft und können zu nichtidealem Verhalten führen.
Herstellung in Siliziumtechnologie
54
Abbildung 3.8: Mikroskop- (links) und REM-Aufnahme (rechts) der Finger eines Antriebskamms
Laterale Schwingungsmessung
55
4 Laterale Schwingungsmessung
Die Bestimmung der Auslenkung lateraler Kammantriebe kann mittels elektrischer [39] oder
optischer [40, 41] Messmethode erfolgen.
Erstere beruht auf der Auswertung der auslenkungsabhängigen Kapazitätsänderung der
untersuchten Struktur. Die Nachteile einer solchen Messung sind die Empfindlichkeit
gegenüber parasitären Kapazitäten und der Einfluss von Überkoppeleffekten der elektrischen
Anregung auf die Detektionselektroden. Aus diesen Gründen wurde ein optischer Messplatz
errichtet, mit dem sich das mechanische Verhalten ohne antriebsseitige Einflüsse auf die
Messergebnisse bestimmen lässt. Ein weiterer Vorteil besteht in der Visualisierung der
mechanischen Bewegung, was eine zusätzliche qualitative Beurteilung ermöglicht.
4.1 Messmethode
Mit dem im Rahmen dieser Arbeit realisierten Messsystem können die Bewegungen
mikroskopisch kleiner Strukturen mit einer Auflösung im Nanometerbereich detektiert
werden. Dabei wird die zu untersuchende Probe mit einem definierten Stimulus angeregt und
deren Bewegung zu bestimmten Zeitpunkten durch eine stroboskopische Beleuchtung
„eingefroren“. Aus den mit einer CCD-Kamera aufgezeichneten Bildern lässt sich die
Bewegung der angeregten Struktur unter Verwendung spezieller Bildverarbeitungs-
algorithmen qualitativ und quantitativ charakterisieren. Die wichtigsten, die Auflösung
limitierenden Faktoren sind von außen eingeprägte Schwingungen und Unvollkommenheiten
der Kamera, wie Unterschiede in der Empfindlichkeit der einzelnen Pixel (fixed-pattern
Rauschen) [42].
4.2 Realisierung des Messplatzes
Das verwendete optische Messprinzip macht es erforderlich, den Messplatz besonders stabil
und gegenüber Umgebungsschwingungen isoliert aufzubauen. Aus diesem Grund wurde der
gesamte Aufbau auf einem schwingungsgedämpften optischen Tisch errichtet. Dieser dämpft
Laterale Schwingungsmessung
56
die Schwingungen des Untergrundes, die typischerweise hunderte von µm in der Amplitude
betragen. [42].
Da die zu detektierenden Bewegungen bei atmosphärischem Luftdruck so stark gedämpft
werden, dass sie keine messbaren Auslenkungen aufweisen, ist eine Vakuumkammer
erforderlich. Diese wurde eigenständig konstruiert und so konzipiert, dass eine Kontaktierung
der Proben per Nadeln möglich ist. Die Abbildung 4.1. zeigt den schematischen Aufbau des
Messplatzes.
Steuerungs-
elektronik
Computer mit
Framegrabber
serielle
Datenleitung
Triggersignal
zur Kamera
LED
CCD-Kamera
Mikroskop
Vakuumkammer mit Probe
GPIB-Bus
Bildsignal
Antriebssignal
Synchronisation
Funktions-
generator
Abbildung 4.1: Schematischer Aufbau des optischen Messplatzes zur lateralen Schwingungsmessung
Im Weiteren werden wichtige Komponenten des Messaufbaus erläutert.
4.2.1 Optik
Die verwendete Optik besteht aus den folgenden Elementen:
• Beleuchtung
• Mikroskop
• Glasplatte der Vakuumkammer
• CCD-Kamera
Laterale Schwingungsmessung
57
Beleuchtung
Als Lichtquelle wird eine sehr lichtstarke grüne LED (
λ
= 532 nm, Lichtintensität = 10 cd)
von der Firma Nishia verwendet. Eine solche Beleuchtung weist einen vergleichsweise
schmalen Wellenlängenbereich der emittierten Stahlung auf, was sehr kontrastreiche Bilder
und auf Grund der geringen Ansprechzeiten (ns-Bereich) sehr kurze Lichtpulse ermöglicht.
Den limitierenden Faktor hierbei stellt in der Praxis die Ansteuerungselektronik für die
Leuchtdiode dar. Die im Zuge dieser Arbeit realisierte Schaltung erlaubt eine minimale
Pulsdauer von 50 ns.
Ein wesentlicher Grund für die Verwendung einer grünen LED ist insbesondere die
beugungsbedingte und damit wellenlängenabhängige Begrenzung der optischen Auflösung.
Zwei eng beieinanderliegende Punkte lassen sich bei gerader Beleuchtung noch als getrennt
wahrnehmen, wenn der Abstand größer als
λ
/NA [43] ist. Je kleiner die Wellenlänge
λ
und je
größer die numerische Apertur NA des Objektivs sind, desto feinere Strukturen können
aufgelöst werden. Die Beugungsbegrenzung führt also zu einer Tiefpassfilterung der Bilder,
die aber zur Vermeidung von Aliasingeffekten durch die örtliche Digitalisierung bis zu einem
gewissen Grad erwünscht ist.
Mikroskop
Die Proben werden durch das Auflichtmikroskop FS-70L der Firma Mitutoyo abgebildet. Bei
den Messungen wurde ein 20fach Objektiv mit einer numerischen Apertur von NA = 0.5 und
einem Arbeitsabstand von 30 mm verwendet. Auf Grund der 3 mm dicken Glasplatte der
Vakuumkammer zwischen Objektiv und Probe wurde von der Firma Mitutoyo eine Korrektur
der Objektive vorgenommen, welche die durch das Glas bedingte Änderung des optischen
Strahlengangs berücksichtigt. Diese Korrektur führt zu deutlich schärferen und
kontrastreicheren Bildern. Von besonderer Bedeutung ist der große Arbeitsabstand, da außer
der Glasplatte auch die Nadeln für die Kontaktierung der zu untersuchenden Strukturen
zwischen Objektiv und Probe Platz finden müssen. Um eine optimale Ausleuchtung der
Proben erreichen zu können, verfügt das FS-70L über die Möglichkeit, eine Köhlersche
Beleuchtung einzustellen [43, 44].
Glasplatte der Vakuumkammer
Das Fenster der Vakuumkammer besteht aus einer 3 mm dicken kreisrunden Glasplatte aus
BK7-Glas der Firma Schott. BK7 ist ein spezielles Glas für optische Anwendungen, das einen
Laterale Schwingungsmessung
58
hohen Transmissionskoeffizienten aufweist. Zusätzlich verfügt die Glasplatte über eine
Antireflexionsbeschichtung, um einer Verringerung des Bildkontrasts durch Reflexionen am
Fenster der Vakuumkammer vorzubeugen.
CCD-Kamera
Die Aufnahme der Bilder erfolgt mit einer UNIQ UP-900 10-Bit Schwarz-Weiß-
Digitalkamera mit einer Pixelmatrix von 1392
×
1040 Bildpunkten [45]. Jeder Bildpunkt hat
eine quadratische Fläche von 4.65 µm
×
4.65 µm. Der Abstand zwischen zwei Pixeln beträgt
ebenfalls 4.65 µm, was einem Füllfaktor von 100% entspricht. Die Kamera kann durch ein
externes Signal getriggert werden. Die höchste Empfindlichkeit zeigt dieses Modell im
Wellenlängenbereich um 500 nm. Diese Charakteristik passt gut zu dem von der LED
emittierten Licht, das eine Wellenlänge von 532 nm hat.
4.2.2 Steuerungselektronik
Die Elektronik zur Kontrolle des Messvorgangs stellt die Schnittstelle zwischen Software und
Datenauswertung einerseits sowie Kamera und Beleuchtung andererseits dar.
8Bit-
Datenbus
3Bit-
Adressbus
Synchronisation
vom Frequenzgenerator
20MHz Clocksignal
24Bit
Anzahlzähler
24Bit
Phasenzähler
24Bit
Dauerzähler
Steuerregister
Schreibsignal
Triggersignal
LED
Mikrocontroller
FPGA
Adressdecoder
Datenregister
Abbildung 4.2: Schematische Darstellung der Steuerungselektronik
Laterale Schwingungsmessung
59
Kernstück zur Kontrolle des Messvorgangs ist ein Atmel AT89C2051 Mikrocontroller. Dieser
steht über die serielle Schnittstelle mit einem Computer in Verbindung. Die für den
Messvorgang benötigten Parameter werden über eine spezielle in VC++ programmierte
Software eingegeben. Mit dem Start der Messung erfolgt die Übermittlung der Daten an den
Mikrocontroller, der nun die Konfiguration eines für diese Anwendung programmierten
FPGA’s (Field Programmable Gate Array) übernimmt. Die Verbindung zwischen
Mikrocontroller und FPGA wird durch einen Daten- und Adressbus sowie weitere
Steuerleitungen gewährleistet.
Neben verschiedenen Registern für die Messdaten und die Steuerbefehle wurden auch drei
Zähler in den FPGA programmiert. Der Phasenzähler zählt die Zeit aus, mit der die Blitzpulse
der Antriebsspannung nacheilen. Ist die gewünschte Phase erreicht, werden entsprechende
Signale an den Anzahl- und Dauerzähler gegeben. Der Anzahlzähler enthält die Zahl der zu
erzeugenden Blitze. Wurden alle Lichtpulse bei einer bestimmten Phasenlage generiert, wird
in den Phasenzähler der nächste Wert geschrieben und eine weitere Messung kann beginnen.
Wie lange ein Lichtblitz andauert, bestimmt der Dauerzähler, der die Treiberschaltung für die
LED ansteuert. Mit 24Bit-Registertiefe und 20 MHz-Zähltakt können Blitze von 50 ns bis
0.8 s Dauer generiert werden. Da die zu vermessenden Schwingungsfrequenzen in der Regel
zwischen 10
-
20 kHz lagen, war dieser Bereich ausreichend.
4.2.3 Bildverarbeitung
Zur Detektion der Auslenkungsänderung der sich bewegenden Struktur aus zwei zu
unterschiedlichen Zeitpunkten aufgezeichneten Kamerabildern wird ein Bildverarbeitungs-
algorithmus verwendet, der auf einer stückweisen linearen Interpolation (first-order
spatiotemporal gradients) beruht [46, 47]. Dieses sogenannte Gradientenverfahren ermöglicht
die Bestimmung von Auslenkungen im Nanometerbereich. Anders als bei der
Kantendetektions- [48] oder der Punktanpassungsmethode [49, 50] können Algorithmen, die
auf Gradientenverfahren basieren, für die Auswertung beliebiger Bilder verwendet werden. Es
sind keine Informationen über den früheren Zustand des Beobachtungsobjektes notwendig.
Außerdem berücksichtigen diese Prozeduren Informationen von allen Teilen eines Bildes, was
besonders für die Auswertung verrauschter Bilder von Bedeutung ist.
Prinzipiell wird mit dem Gradientenverfahren die Verschiebung ermittelt, um die zwei linear
interpolierte Bilder gegeneinander verschoben werden müssen, so dass die Summe der
Laterale Schwingungsmessung
60
quadrierten Intensitätsdifferenzen über alle Pixel minimal wird. Ist der gesuchte
Verschiebungswert größer als der Pixelabstand, liefert das Verfahren im ersten Schritt einen
Schätzwert (ganzzahliges Vielfaches des Pixelabstands), um den die Originalbilder
gegeneinander verschoben werden. In einem weiteren Schritt wird aus den verschobenen
Bildern ein Wert für eine weitere Verschiebung abgeschätzt. Diese Prozedur der Annäherung
wird so oft wiederholt, bis der Schätzwert für eine Verschiebung kleiner als der Pixelabstand
ist. Die gesuchte Auslenkung ergibt sich dann aus der Summe der einzelnen
Verschiebungswerte.
Für die Beschreibung des Gradientenalgorithmus seien A(x,
y) und B(x,
y) Aufnahmen einer
bewegten Struktur zu verschiedenen Zeitpunkten, so dass A und B gegeneinander verschobene
Bereiche beinhalten [51]. Des Weiteren wird eine rein translatorische Verschiebung
vorausgesetzt, so dass
++=
−− 2
,
22
,
2
y
x
y
x
d
y
d
xB
d
y
d
xA
(4.1)
gilt.
Darin repräsentieren d
x
und d
y
die Verschiebung der Bilder in x- beziehungsweise y-Richtung.
Für kleine Verschiebungen kann man sich nach einer Taylorentwicklung beider Seiten auf die
linearen Terme beschränken. Damit gilt:
y
B
d
x
Bd
yxB
y
A
d
x
Ad
yxA
y
x
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+=
∂
∂
−
∂
∂
−22
),(
22
),(
. (4.2)
Die Bilder A(x,
y) und B(x,
y) entsprechen Arrays von Pixelintensitätswerten A[i,
j] und B[i,
j].
Die Bilder und ihre partiellen Ableitungen werden an Punkten zwischen den Pixeln
approximiert. So wird A[(i+1/2) ∆, (
j+1/2) ∆] durch
[ ]
[
]
[
]
[
]
[
]
4
1,11,,1,
,
+
+
+
+
+
+
+
=jiAjiAjiAjiA
jiA (4.3)
angenähert, wobei ∆ den Pixelabstand bezeichnet. Die partiellen Ableitungen ∂A/∂x und
∂A/∂y am Punkt [(i+1/2) ∆, (
j+1/2) ∆] lassen sich durch
Laterale Schwingungsmessung
61
[ ]
[
]
[
]
[
]
[
]
2
1,1,1,,1
,
+
−
+
+
+
−
+
=jiAjiAjiAjiA
jiA
x
(4.4)
[ ]
[
]
[
]
[
]
[
]
2
,11,1,1,
,jiAjiAjiAjiA
jiA
y
+
−
+
+
+
−
+
= (4.5)
approximieren.
Das Einsetzen dieser Näherungen in Gleichung (4.2) ergibt:
[ ] [ ] [ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
( )
jiBjiA
d
jiBjiA
d
jiBjiA
yy
y
xx
x
,,
2
,,
2
,, +++=− . (4.6)
Dies stellt ein zweidimensionales Feld [i,
j] von Gleichungen mit den zwei Unbekannten d
x
und d
y
dar. Da die Bilddaten der Kamera durch Rauschen gestört werden, sind die
Bestimmungsgleichungen im Allgemeinen nicht konsistent. Solche Gleichungen lassen sich
näherungsweise mittels Least-Mean-Square-Verfahren lösen [47]. Aus Gleichung (4.6) ergibt
sich unter Verwendung der Substitutionen
[ ]
[
]
[
]
(
)
2
,,
,jiBjiA
jiG
xx
x
+
= (4.7)
[ ]
[
]
[
]
(
)
2
,,
,jiBjiA
jiG
yy
y
+
=
(4.8)
[
]
[
]
[
]
jiAjiBjiG
t
,,, −=
(4.9)
für alle Pixel:
( )
[
]
( )
MinimumddfGGdGd
yx
i j
tyyxx
→==++
,0
2
. (4.10)
Zum Auffinden des Minimums werden die ersten Ableitungen von f
(d
x
,
d
y
) gebildet und deren
Nullstellen ermittelt.
Laterale Schwingungsmessung
62
( )
02 =++=
∂
∂
i j
txyxyxxx
x
GGGGdGGd
d
f (4.11)
( )
02 =++=
∂
∂
i j
tyyyyyxx
y
GGGGdGGd
d
f
(4.12)
Daraus folgt als Lösung für d
x
und d
y
:
⋅
−=
−
i j
ty
i j
tx
i j
yy
i j
yx
i j
yx
i j
xx
y
x
GG
GG
GGGG
GGGG
d
d
1
. (4.13)
Das Gradientenverfahren erfordert die Erfüllung des Abtast-Theorems sowohl im Orts- als
auch im Zeitbereich [52]. Im Ortsbereich verursachen die Objektive des Mikroskops eine
beugungsbedingte Tiefpassfilterung. Die absolute Auflösunggrenze beträgt
λ
/(2NA) [53],
worin
λ
die Wellenlänge der Beleuchtung und NA die numerische Apertur des Objektivs sind.
Die örtliche Abtastung durch den CCD-Chip der Kamera erfüllt mit dem verwendeten Aufbau
das Nyquist-Kriterium. Im Zeitbereich erfolgt durch die Abtastung mit rechteckigen
Lichtpulsen mit einem Puls-Pausen-Verhältnis von 1/(Bildanzahl pro Periode) eine
ausreichende Tiefpassfilterung [47].
4.2.4 Driftkompensation
Wie bereits erwähnt, können von außen eingeprägte Schwingungen und Driftbewegungen die
Messergebnisse stark beeinflussen. Insbesondere bei länger andauernden Messungen (zum
Beispiel statische und transiente Messungen) sind diese Störfaktoren nicht mehr zu
vernachlässigen. Daher wurde eine Driftkorrektur in die Datenverarbeitung integriert. Dabei
wird nicht nur die Verschiebung (beziehungsweise Auslenkung) der zu untersuchenden
Bildbereiche (Messbereich) ermittelt, sondern zusätzlich noch die Verschiebung von einem
ideal ruhenden Bereich (Referenzbereich) der Probe bestimmt. Die ermittelte Auslenkung
dieses Gebiets wird von der des Messbereichs subtrahiert. Die Abbildung 4.3 und die
Abbildung 4.4 zeigen Vergleiche statischer und transienter Messungen mit und ohne
Driftkompensation. Diese Darstellungen verdeutlichen die Wirksamkeit der implementierten
Korrekturmethode.
Laterale Schwingungsmessung
63
-0.12
-0.09
-0.06
-0.03
0
0.03
0 5 10 15 20
Messpunkt (Bild)
Auslenkung [µm]
unkorrigiert
korrigiert
Abbildung 4.3: Statische Messungen der Auslenkung eines ideal unbewegten Strukturbereichs mit und ohne
Driftkompensation (7 µs zwischen zwei Messpunkten)
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
0 30 60 90 120 150
Messpunkt (Bild)
Auslenkung [µm]
unkorrigiert
korrigiert
Abbildung 4.4: Transiente Messungen der Auslenkung des Shuttles eines Kammantriebs mit und ohne
Driftkorrektur (7 µs zwischen zwei Messpunkten)
Laterale Schwingungsmessung
64
4.2.5 Messoptionen
Mit dem in den vorangegangenen Kapiteln beschriebenen Messaufbau können laterale
harmonische und transiente Bewegungsvorgänge sowie laterale statische Auslenkungen
untersucht werden. Im Folgenden wird auf jeden Typ von Messung detaillierter eingegangen.
Frequenzgangmessung
Bei dieser Messung wird eine sinusförmige Anregungsspannung an die Antriebskämme
gelegt. Die bewegliche Masse (Shuttle) wird mit einer Gleichspannung beaufschlagt, während
die Detektionskämme auf Massepotenzial liegen (siehe Abbildung 2.2). Nach Glei-
chung (2.21) lässt sich unter der Voraussetzung, dass die Gleichspannung wesentlich größer
als die Amplitude der Wechselspannung ist, eine annähernd sinusförmige elektrische Kraft
mit der Frequenz der Anregungsspannung erzeugen. Der Messaufbau ermöglicht die Messung
der Schwingungsamplitude und der Schwingungsphase in Bezug auf die Anregungsspannung.
Zu diesem Zweck erfolgt eine zeitliche Abtastung der Bewegung der Struktur, wobei die
Anzahl der Abtast- beziehungsweise Messpunkte (Bildaufnahmen) pro Schwingungsperiode
über die Software eingegeben wird. Durch lückenlose Abtastung mit einer Rechteckpulsfolge
wird eine Verzerrung und Abschwächung der Amplituden des Spektrums [54] verhindert und
gleichzeitig eine ausreichende Tiefpassfilterung [47] erreicht. Aus den Bildaufnahmen werden
die Auslenkungsänderungen berechnet, die sich, wie im Kapitel 4.2.3 beschrieben, von einem
zum nächsten Messpunkt (Bild) ergeben (Abbildung 4.5). Bei den Frequenzgangmessungen
wurden pro Periode 8 Bilder aufgenommen [55]. Durch Weiterverarbeitung der Messwerte
mittels Fourier-Transformation (FFT) lassen sich Amplitude und Phase der mechanischen
Grund- und Oberschwingungen bestimmen. Führt man diese Prozedur für mehrere
Frequenzen durch, können Amplituden- und Phasengang dargestellt werden (Abbildung 4.6).
Aus Frequenzgangmessungen sind Aussagen zur Resonanzfrequenz und damit zur
Federkonstante k, der Linearität der mechanischen Schwingung und der Dämpfung der
Struktur ableitbar.
Laterale Schwingungsmessung
65
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 10 20 30 40
Messpunkt (Bild)
Auslenkung [µm]
Abbildung 4.5: Messung der Auslenkung bei sinusförmiger Anregung
0.000
0.030
0.060
0.090
0.120
0.150
7800 7850 7900 7950 8000
Frequenz [Hz]
Amplitude [µm]
-180
-150
-120
-90
-60
-30
0
7800 7850 7900 7950 8000
Frequenz [Hz]
Phase [°]
Abbildung 4.6: Gemessener Amplituden- (links) und Phasengang (rechts) der Grundschwingung eines
Kammantiebs
Transiente Messung
Ein transienter Vorgang beschreibt das Einschwingverhalten eines Systems. Bei einer solchen
Messung werden das Shuttle und die Detektionskämme auf Massepotenzial gelegt. Durch das
Anlegen einer elektrischen Spannung an die Antriebskämme wird die bewegliche Masse
ausgelenkt und das mechanische Verhalten nach Sprung der Spannung auf Massepotenzial
untersucht.
Bei den im Zuge dieser Arbeit durchgeführten transienten Messungen wurden die Strukturen
mit einer Spannungspulsfolge beaufschlagt. Die Verwendung einer Pulsfolge war notwendig,
weil bei derselben Phasenverschiebung mehrfach geblitzt werden musste, um die für die
Laterale Schwingungsmessung
66
Kamera erforderliche Lichtmenge gewährleisten zu können. Nach jeder Aufnahme wird die
Phase der Abtastung weitergeschoben, wodurch sich der zeitliche Verlauf der Bewegung
messen lässt. Dabei müssen die Spannungspulse lang genug sein, damit die bewegliche Masse
vor der negativen Flanke eingeschwungen und somit in Ruhe ist. Bei Verwendung einer
Rechteckspannung wird das Shuttle bereits bei der positiven Spannungsflanke mit einer
Sprungfunktion angeregt. Um bei negativer Flanke (Start der Messung) stabile
Anfangsverhältnisse zu gewährleisten, muss der durch die positive Flanke verursachte
Einschwingvorgang abgeschlossen sein. In Abhängigkeit von der Dämpfung kann dieser
Vorgang verhältnismäßig lange dauern, was die Messzeit verlängert. Des Weiteren besteht
beim Überschwingen auf die positive Flanke die Gefahr, dass das Shuttle so weit ausgelenkt
wird, dass es anschlägt und die Struktur zerstört wird. Das bedeutet eine starke Einschränkung
in Bezug auf die Anfangsauslenkung (Auslenkung beim Start der Messung). Das
Einschwingverhalten bei Anregung mit einer Rechteckpulsfolge zeigt Abbildung 4.7.
Eine Reduzierung des Überschwingens bei der positiven Flanke erreicht man dadurch, dass
die ansteigende Flanke statt eines Sprungverlaufs einen sinusförmigen Anstiegsverlauf erhält.
Damit kann die Pulsdauer und somit die Messzeit verkürzt, das Überschwingen bei der
positiven Flanke verhindert und Einschwingvorgänge mit größeren Anfangsauslenkungen
gemessen werden. Einen solchen Einschwingvorgang bei Anregung mit einer
Spannungspulsfolge mit sinusförmigem positiven Anstieg zeigt Abbildung 4.8.
-0.6
-0.3
0
0.3
0.6
0.9
1.2
0 76 152 228 304 380
Messpunkt (Bild)
Auslenkung [µm]
Abbildung 4.7: Messung des Einschwingverhaltens einer Kammstruktur bei Anregung mit einer
Rechteckpulsfolge
Laterale Schwingungsmessung
67
-0.6
-0.3
0
0.3
0.6
0.9
0 76 152 228 304 380
Messpunkt (Bild)
Auslenkung [µm]
Abbildung 4.8: Messung des Einschwingverhaltens einer Kammstruktur bei Anregung mit einer Pulsfolge mit
sinusförmiger Anstiegsflanke
Transiente Messungen ermöglichen die Bestimmung der Dämpfungskonstante auch bei
höheren Drücken und die Ermittlung der Resonanzfrequenz beziehungsweise der
Federkonstante k ohne elektrostatische Einflüsse. Darüber hinaus können sie Aufschluss über
mechanisch bedingte Nichtlinearitäten geben.
Statische Messung
Bei der statischen Messung werden die Antriebskämme der Struktur mit einer
Gleichspannung U
dc
beaufschlagt und die Detektionskämme sowie das Shuttle auf
Massepotenzial gelegt. Nach dem Einschwingen des Shuttles in den Gleichgewichtszustand,
welcher sich aus der Gleichheit von mechanischer und elektrostatischer Kraft ergibt, kann die
Auslenkung y gemessen werden. Wie die Abbildung 4.9 zeigt, nimmt die Auslenkung
überproportional mit der Spannung zu. Übersteigt U
dc
den Wert der „Pull-in“-Spannung,
werden die beweglichen Finger bis zum Anschlag an der Gegenelektrode hineingezogen.
Ausgehend von den Gleichungen (4.14) und (4.15) des Kräftegleichgewichts, lassen sich aus
diesen Messungen Aussagen zur Kapazitätsänderung dC/dy ableiten (Gleichung (4.16)).
Laterale Schwingungsmessung
68
elmech
FF = (4.14)
2
d
d
2
1
dc
U
y
C
ky = (4.15)
2
2
d
d
dc
U
ky
y
C= (4.16)
0
1
2
3
4
5
0 5 10 15 20
Spannung
U
dc
[V]
y
-Auslenkung [µm]
Abbildung 4.9: Abhängigkeit der gemessenen
y
-Auslenkung von der angelegten Spannung
U
dc
4.3 Messergebnisse
Im folgenden Abschnitt werden die Resultate der lateralen Messungen der im Kapitel 3.2
beschriebenen Strukturen dargestellt und erläutert. Hierbei wurde die Shuttlebewegung
sowohl in x- als auch in y-Richtung untersucht (Vergleich Abbildung 2.7). Signifikante
x-Auslenkungen konnten bei keiner Messung festgestellt werden. Diese Werte verschwinden
im Rauschen. Daher liegt der Fokus dieses Kapitels auf der Darstellung der Messergebnisse
der Bewegung in y-Richtung.
4.3.1 Frequenzgangmessungen
Bei diesen Untersuchungen wurde die Abhängigkeit des Frequenzgangs von der am Shuttle
angelegten Gleichspannung U
dc
näher betrachtet. Dabei wurde U
dc
im Bereich von 1 ... 12 V
„Pull-in“-
Spannung
Anschlag an der
Gegenelektrode
bei
y
≈
y
0
Laterale Schwingungsmessung
69
variiert und die Wechselspannungsamplitude auf u
ac
= 0.05 V fest eingestellt. Um den
Kraftanteil mit doppelter Frequenz (siehe Gleichung (2.21)) zu minimieren, musste für u
ac
ein
solch kleiner Wert gewählt werden. Zum Vergleich der Messergebnisse der verschiedenen
Proben wurden Fitkurven in die gemessenen Amplituden- und Phasengänge gelegt und die
diese Abhängigkeiten beschreibenden Parameter in der Auswertung verwendet.
Beschreibung der Modellierung
Wie im Kapitel 2.1.4 beschrieben, lässt sich der Frequenzgang eines nichtlinearen Oszillators
mit Hilfe der Methode der Harmonischen Balance berechnen. Eine nichtlineare mechanische
Feder, deren Rückstellkraft von der dritten Potenz der Auslenkung abhängt, verursacht einen
überhängenden Amplitudengang (Abbildung 2.5 oben links). Dieser Zusammenhang wird bei
der Harmonischen Balance durch die Beschreibungsfunktion N (Gleichung (2.34)) definiert.
Die verwendete Modellierung beschränkt sich auf die Annahme einer nichtlinearen
Federkennlinie höherer Ordnung. Nichtlinearitäten im Dämpfungsverhalten werden wegen
des relativ geringen Drucks bei den Messungen von 0.01 mbar nicht berücksichtigt.
Bei den ersten Fits wurde für die Kennlinie der Feder ein Polynom 5. Ordnung angesetzt, weil
sich damit das aus der Gleichung (2.36) ergebende Lösungspolynom auf ein analytisch zu
lösendes Polynom 4. Grades [56] zurückführen lässt. Die Nullstellen repräsentieren die
Amplitudenwerte bei der vorgegebenen Frequenz. Bei einigen Fitprozeduren treten bei
bestimmten Parametern Probleme in der analytischen Berechnung auf. Diese Rechenfehler
resultieren aus der unzureichenden Genauigkeit der zum Fitten verwendeten Software
Matlab 6.5 (64bit Floating Point). Eine in C++ programmierte Klasse höherer Genauigkeit
könnte diese Schwierigkeiten ausräumen. Auf Grund der bei der Verwendung einer solchen
Klasse erforderlichen zusätzlichen Rechenzeit wurde dieser Lösungsweg nicht umgesetzt.
Eine weitere Möglichkeit zur Findung der Nullstellen besteht in der Intervallbildung mit
sukzessiver Eingrenzung der Nullstelle durch Intervallhalbierung. Damit nicht mehrere
Nullstellen in dasselbe Anfangsintervall fallen, müssen die Abschnitte, in die der
Wertebereich unterteilt wird, genügend klein gewählt werden. Je mehr Intervalle bestehen,
desto länger dauert das Durchsuchen nach Vorzeichenwechseln. Weil im überhängenden
Bereich des Amplitudengangs die Lösungsamplituden (Nullstellen) sehr eng beeinanderliegen
können, ist eine sehr feine Unterteilung erforderlich. Aus diesem Grund ließ sich auch mit
dem Verfahren keine zeitlich akzeptable Fitprozedur realisieren.
Das zu bestimmende Polynom weist neben der Abhängigkeit höherer Ordnung von der
Amplitude auch eine quadratische Abhängigkeit von der Frequenz auf. Für den Fit des
Laterale Schwingungsmessung
70
Amplitudengangs ergibt sich daraus ein weiterer Lösungsansatz. Statt aus der gegebenen
Frequenz
ω
die Amplitude A(
ω
) zu berechnen und diese mit dem gemessenen
Amplitudenwert zu vergleichen, wird aus der gemessenen Amplitude die Frequenz
ω
(A)
berechnet und dieser Wert an den gegebenen Frequenzwert der Messung angepasst. Die
Summe der quadratischen Abweichungen aller Messwerte wird durch Änderung der
Fitparameter minimiert (Least-Mean-Square). Ein weiterer Vorteil dieser Methode besteht
darin, dass der Grad der Nichtlinearität n(x) und damit N(A) beliebig hoch sein darf, da N(A)
bei Beschränkung auf Federnichtlinearitäten nicht von der Frequenz abhängt. Somit kann das
nach der Frequenz aufzulösende Polynom 4. Grades immer auf eine quadratische Gleichung
zurückgeführt werden. Akzeptable Ergebnisse konnten mit einer Federkennlinie 7. Grades
erreicht werden.
Ausgehend von der Bewegungsgleichung
(
)
(
)
( ) ( )( )
)(
d
d
d
d
2
2
tFtyntyk
t
ty
t
ty
m
l
=+++
α
(
4.17)
werden die normierten Koeffizienten der linearen (Pot1) und nichtlinearen (Pot3, Pot5, Pot7)
Terme der Federkraft, die Dämpfung (D
1
) und die Antriebsamplitude (E
1
) als Parameter
verwendet.
(
)
753
7531
)(
1yPotyPotyPotyPot
m
yn
yPot
m
yF
Feder
+++=+= (4.18)
m
k
Pot
l
=1 (4.19)
m
D
α
=
1
(4.20)
m
F
E
0
1
= (4.21)
Mit Gleichung (4.18) ergibt sich für die Beschreibungsfunktion der Nichtlinearität:
++=
642
7
8
35
5536
8
1
)( APotAPotAPotAN . (4.22)
Laterale Schwingungsmessung
71
Daraus resultiert das nach der Frequenz aufzulösende Polynom.
( )
2
1
2
1
2
6422
7
64
35
5
8
5
3
4
3
1
=+
+++− A
E
DAPotAPotAPotPot
ωω
(4.23)
Für die Phase gilt nach Gleichung (2.38):
( )
6422
1
0
7
64
35
5
8
5
3
4
3
1
tan
APotAPotAPotPot
D
+++−
=−
ω
ω
ϕϕ
. (4.24)
Die Phase wird im Fitprozess ebenfalls berücksichtigt, so dass in der zu minimierenden
Summe sowohl die quadratischen Abweichungen der Frequenzwerte als auch der
Phasenwerte enthalten sind. Den gemessenen Amplituden- und Phasengang sowie die
zugehörigen Fitkurven der Struktur F1.2G1.0 (siehe Kapitel 3.2) bei einem Druck von
0.01 mbar und U
dc
= 1 V zeigt Abbildung 4.10.
Auffällig ist eine starke Nichtlinearität, die für eine mit zunehmender Amplitude auftretende
Federverhärtung typisch ist. Auch die Phase zeigt ein für diesen Effekt charakteristisches
Verhalten. Der Verlauf der Fitkurve im Amplitudenbereich oberhalb der Messwerte
(y-Auslenkung > 3 µm) ergibt sich aus der Parameterkonfiguration, die einen optimalen Fit in
Bezug auf die Messwerte darstellt. Mit den hier verwendeten Methoden der Messtechnik lässt
sich dieser Bereich nicht verifizieren. Wie Messungen bei höheren Spannungen jedoch zeigen
(Abbildung 4.14), ist ein solches Verhalten nicht unwahrscheinlich. Weiterhin kann
festgestellt werden, dass die Schwingungsform mit zunehmender Annäherung an das Ende
des überhängenden Kurvenbereichs immer asymmetrischer bezüglich positiver und negativer
Halbwelle wird (Abbildung 4.11). Das bedeutet einen nicht zu vernachlässigenden Anteil an
Oberwellen. Die Abbildung 4.12 zeigt die Form der Schwingung (linkes Bild) und die
Zerlegung in Grund- und Oberwellen (rechtes Bild) bei f = 7970 Hz (oben). Bei derselben
Frequenz kann im unteren Kurvenbereich des Amplitudengangs (f = 7970 Hz (unten)) ein
solches Schwingungsverhalten nicht festgestellt werden. Der Anteil an Oberwellen ist hier
wesentlich geringer und führt nicht zu einer signifikanten Änderung des sinusförmigen
Verlaufs (Abbildung 4.13).
Laterale Schwingungsmessung
72
0
1
2
3
4
5
7900 7930 7960 7990 8020 8050
Frequenz [Hz]
Amplitude der
y
-Auslenkung [µm]
Messung mit steigender
Frequenz
Messung mit
abnehmender Frequenz
Fitkurve des
Amplitudengangs
f
=7900 Hz
f
=7940 Hz
f
=7970 Hz (oben)
f
=7970 Hz (unten)
-200
-160
-120
-80
-40
0
7900 7930 7960 7990 8020 8050
Frequenz [Hz]
Phase der
y
-Auslenkung [°]
Messung mit steigender
Frequenz
Messung mit
abnehmender Frequenz
Fitkurve des
Phasengangs
f
=7900 Hz
f
=7940 Hz
f
=7970 Hz (oben)
f
=7970 Hz (unten)
Abbildung 4.10: Messung und Fit des Amplituden- (oben) und Phasengangs (unten) der Struktur F1.2G1.0 bei
U
dc
= 1 V,
u
ac
= 0.05 V und einem Druck von 0.01 mbar
Laterale Schwingungsmessung
73
-1
-0.5
0
0.5
1
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
Zeit
t
/
T
y
-Auslenkung/max[abs(
y
)]
7900 Hz
7940 Hz
7970 Hz
Abbildung 4.11: Gemessene Schwingungsverläufe der Struktur F1.2G1.0 an drei verschiedenen Stellen des
überhängenden Kurvenbereichs des Amplitudengangs (siehe Abbildung 4.10) bei
U
dc
= 1 V,
u
ac
= 0.05 V und einem Druck von 0.01 mbar
-3
-2
-1
0
1
2
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
Zeit t/T
y-Auslenkung [µm]
gemessene Werte
Superposition bis
zur 2. Oberwelle
-2
-1
0
1
2
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
Zeit t /T
y-Auslenkung [µm]
Grundwelle
1. Oberwelle
2. Oberwelle
Abbildung 4.12: Gemessener Schwingungsverlauf im überhängenden Kurvenbereich (siehe Abbildung 4.10) des
Amplitudengangs (links) sowie Zerlegung in Grund- und Oberwellen (rechts) der Struktur
F1.2G1.0 bei
f
= 7970 Hz (oben) ,
U
dc
= 1 V,
u
ac
= 0.05 V und einem Druck von 0.01 mbar
Laterale Schwingungsmessung
74
-0.09
-0.06
-0.03
0.00
0.03
0.06
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
Zeit t/T
y-Auslenkung [µm]
gemessene Werte
Superposition bis
zur 2. Oberwelle
-0.08
-0.04
0.00
0.04
0.08
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
Zeit t/T
y-Auslenkung [µm]
Grundwelle
1. Oberwelle
2. Oberwelle
Abbildung 4.13: Gemessener Schwingungsverlauf im unteren Kurvenbereich (siehe Abbildung 4.10) des
Amplitudengangs (links) sowie Zerlegung in Grund- und Oberwellen (rechts) der Struktur
F1.2G1.0 bei
f
= 7970 Hz (unten),
U
dc
= 1 V,
u
ac
= 0.05 V und einem Druck von 0.01 mbar
Zum Vergleich werden die Kurven eines Frequenzgangs bei höherer Spannung U
dc
= 9 V
betrachtet, welche in der Abbildung 4.14 dargestellt sind. Bis zu Amplitudenwerten von
2.5 µm ist wieder der zu höheren Frequenzen überhängende Kurvenbereich (symptomatisch
für eine Federverhärtung) erkennbar. Dieser neigt sich aber für Amplituden > 2.5 µm zu
niedrigeren Frequenzen über. Dieses Verhalten ist charakteristisch für eine
Federaufweichung. Auch der Verlauf der Phase unterstreicht ein solches Muster. Die Form
der Schwingungen sind im Gegensatz zu den Messungen bei U
dc
= 1 V generell nicht
asymmetrisch, wie die Abbildung 4.15 für eine Messung im oberen Amplitudenbereich
belegt.
Die Asymmetrie der Schwingungen im überhängenden Kurvenbereich verschwindet aber
bereits bei Spannungen U
dc
von unter 9 V. Bei einer Spannung von U
dc
= 3 V ist kaum noch
eine Abweichung von der idealen Sinusform erkennbar, wie die Abbildung 4.16 beweist. Um
die Veränderungen der Frequenzgänge in Abhängkeit von U
dc
zu verdeutlichen, sind in
Abbildung 4.17 die Fitkurven der Amplitudengänge mehrerer Messungen bei
unterschiedlichen U
dc
-Werten übereinander gelegt worden. Darin ist zu erkennen, dass sich
der Amplitudenbereich, in dem sich der Übergang von der Federverhärtung zur
Federaufweichung vollzieht, mit zunehmender Spannung zu kleineren Amplitudenwerten
verschiebt. Weiterhin kann festgestellt werden, dass es zu einer stärkeren Kurvenneigung
sowohl im überlinearen als auch im unterlinearen Bereich kommt. Das bedeutet, dass der
Betrag des Anstiegs der Federcharakteristik in beiden Regionen mit der Spannung zunimmt.
Laterale Schwingungsmessung
75
0
1
2
3
4
5
7600 7644 7688 7732 7776 7820
Frequenz [Hz]
Amplitude der
y
-Auslenkung [µm]
Messung mit steigender
Frequenz
Messung mit
abnehmender Frequenz
Fitkurve des
Amplitudengangs
f
=7740 Hz
-200
-160
-120
-80
-40
0
7600 7644 7688 7732 7776 7820
Frequenz [Hz]
Phase der
y
-Auslenkung [°]
Messung mit steigender
Frequenz
Messung mit
abnehmender Frequenz
Fitkurve des
Phasengangs
f
=7740 Hz
Abbildung 4.14: Messung und Fit des Amplituden- (oben) und Phasengangs (unten) der Struktur F1.2G1.0 bei
U
dc
= 9 V,
u
ac
= 0.05 V und einem Druck von 0.01 mbar
Laterale Schwingungsmessung
76
-3.6
-2.4
-1.2
0.0
1.2
2.4
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
Zeit
t
/
T
y
-Auslenkung [µm]
gemessene Werte
Superposition bis
zur 2. Oberwelle
-3
-2
-1
0
1
2
3
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
Zeit
t
/
T
y
-Auslenkung [µm]
Grundwelle
1. Oberwelle
2. Oberwelle
Abbildung 4.15: Gemessener Schwingungsverlauf im oberen, sich zu kleineren Frequenzen neigenden
Kurvenbereich (Vergleich Abbildung 4.14) des Amplitudengangs (links) sowie Zerlegung in
Grund- und Oberwellen (rechts) der Struktur F1.2G1.0 bei
f
= 7740 Hz,
U
dc
= 9 V,
u
ac
= 0.05 V
und einem Druck von 0.01 mbar
0
1
2
3
4
5
7850 7880 7910 7940 7970 8000 8030
Frequenz [Hz]
Amplitude der y-Auslenkung [µm]
Messung mit steigender Frequenz
Messung mit abnehmender Frequenz
Fitkurve des Amplitudengangs
f=7900 Hz
f=7940 Hz
f=7970 Hz
-1
-0.5
0
0.5
1
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
Zeit t /T
y-Auslenkung/max[abs( y)]
7900 Hz
7940 Hz
7970 Hz
Abbildung 4.16: Messung und Fit des Amplitudengangs (links) sowie gemessene Schwingungsverläufe (rechts)
an drei verschiedenen Stellen des überhängenden Kurvenbereichs des Amplitudengangs
(Vergleich linkes Diagramm) der Struktur F1.2G1.0 bei
U
dc
= 3 V,
u
ac
= 0.05 V und einem
Druck von 0.01 mbar
Laterale Schwingungsmessung
77
0
1
2
3
4
5
0.990 0.995 1.000 1.005 1.010 1.015
normierte Frequenz
f/f
res,lin
Amplitude der y-Auslenkung [µm]
1V
3V
6V
9V
12V
1V-Übergangsbereich
6V-Übergangsbereich
federverhärtend
(überlinear)
federaufweichend
(unterlinear)
Abbildung 4.17: Fitkurven der Amplitudengänge (Amplitude gegen die auf die jeweilige lineare Resonanz-
frequenz (
f
res,lin
) normierte Frequenz) der Struktur F1.2G1.0 bei unterschiedlichen
U
dc
-Werten,
u
ac
= 0.05 V und einem Druck von 0.01 mbar
Die Abbildung 4.18 (links), in der das Verhältnis der gesamten Federcharakteristik k zum
konstanten Term der Federcharakteristik k
l
der Stuktur F1.2G1.0 (Fingerbreite = 1.2 µm,
Fingerabstand = 1 µm) in Abhängigkeit von der y-Auslenkung für unterschiedliche
Spannungwerte U
dc
dargestellt ist, bestätigt diese Aussage. Im Vergleich dazu ergibt sich für
die Stuktur F1.5G1.5 (Fingerbreite = 1.5 µm, Fingerabstand = 1.5 µm) ein etwas anderes Bild.
Wie Abbildung 4.18 (rechts) zeigt, ist die Steigung von k im unteren Amplitudenbereich
wesentlich geringer und nimmt mit zunehmender Spannung ab. Bei größeren Auslenkungen
führt eine Spannungserhöhung wie bei der zuvor betrachteten Struktur F1.2G1.0 zu einem
stärkeren Abfall der Federkonstante.
Wie weitere Untersuchungen zeigten, werden die Resonanzüberhöhungen mit zunehmendem
U
dc
zu niedrigeren Frequenzen verschoben. Das bedeutet eine Verkleinerung des konstanten
Terms k
l
der Federcharakteristik. Diese spannungsabhängige Abnahme ist durch die Differenz
des konstanten Federterms k
l
und der mechanischen Federkonstante k
0
für die
unterschiedlichen Designs in Abbildung 4.19 dargestellt. Es ist auffällig, dass der Abfall
überproportional stark erfolgt. Aus den Kurven ist des Weiteren eine Abhängigkeit vom
Fingerabstand erkennbar. Je geringer der Abstand zwischen beweglichen und festen Fingern
ist, umso größer ist die spannungsbedingte Änderung von k
l
. Die Größe der mechanischen
Federkonstante hat auf die Stärke der Änderung keinen Einfluss.
Laterale Schwingungsmessung
78
0.96
0.98
1
1.02
1.04
01234
y-Auslenkung [µm]
k/k
l
1V
3V
6V
9V
12V
0.96
0.98
1
1.02
1.04
01234
y-Auslenkung [µm]
k/k
l
1V
3V
4.5V
6V
9V
Abbildung 4.18: Aus den Fitkurven abgeleitete Verläufe der auf den konstanten Term der Federcharakteristik
k
l
normierten gesamten Federkonstante
k
in Abhängigkeit von der
y
-Auslenkung der Strukturen
F1.2G1.0 (links) und F1.5G1.5_A (rechts) bei unterschiedlichen Spannungen
U
dc
-0.020
-0.015
-0.010
-0.005
0.000
0 3 6 9 12
Spannung U
dc
[V]
k
l
-k
0
[N/m]
F0.8G0.8_A
F0.8G0.8_B
F0.8G1.0
F1.0G1.0_A
F1.0G1.0_B
F1.2G1.0
F1.2G1.2_A
F1.2G1.2_B
F1.5G1.2
F1.5G1.5_A
F1.5G1.5_B
Abbildung 4.19: Differenz von aus Messungen ermittelten konstantem Term der Federcharakteristik
k
l
und
mechanischer Federkonstante
k
0
in Abhängigkeit von der angelegten Gleichspannung für
verschiedene Designvarianten
Die mechanische Federkonstante k
0
der Strukturen wird aus den Frequenzgängen bei
U
dc
= 0.2 V ... 0.5 V ermittelt. In diesem Spannungsbereich sind keine Frequenzverschie-
bungen zwischen den Amplitudengängen bei unterschiedlichen Spannungen feststellbar. Da
auf Grund des niedrigen Drucks die dämpfungsbedingten Verschiebungen zudem
vernachlässigbar sind, werden die hierbei ermittelten Werte für k
l
mit k
0
gleichgesetzt.
Laterale Schwingungsmessung
79
Die aus k
0
bestimmten Resonanzfrequenzen liegen bei den untersuchten Strukturen zwischen
7% und 17% unter den berechneten Frequenzwerten. Die Abbildung 4.20 zeigt die
durchschnittliche prozentuale Frequenzdifferenz in Abhängigkeit von der im Design
vorgesehenen Aufhängungsbreite (Federhöhe). Man erkennt, dass der Frequenzunterschied
mit zunehmender Breite der Aufhängungen geringer wird. Damit bestätigen die Messungen
die im Kapitel 3.3 gezogene Schlussfolgerung, dass die zu messenden Resonanzfrequenzen
der Antriebsmode bei schmalen Balken mehr und bei breiten Balken weniger weit unterhalb
der theoretisch berechneten Eigenfrequenzen liegen werden.
-20
-16
-12
-8
-4
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Aufhängungsbreite [µm]
durchschnittliche prozentuale
Frequenzdifferenz [%]
Differenz aus Messung
erwartete Differenz aus REM-
Bruchmessung der Aufhängungsbreite
Abbildung 4.20: Durchschnittliche prozentuale Differenz zwischen gemessener sowie aus REM-Bruch-
messungen prognostizierter mechanischer und theoretischer Resonanzfrequenz
Wie der konstante Term der Federcharakteristik so weist auch die Antriebsamplitude E
1
(Gleichung 4.21) eine Abhängigkeit sowohl von der angelegten Gleichspannung U
dc
als auch
vom Fingerabstand g auf (Abbildung 4.21). Bezüglich U
dc
kann ein linearer Zusammenhang
festgestellt werden, wobei der Anstieg mit abnehmendem Spaltabstand zwischen festen und
beweglichen Fingern zunimmt. Erwartungsgemäß ist die Antriebsamplitude umso größer, je
geringer g ist. Ursache dafür ist die mit abnehmendem Fingerabstand größer werdende
Kapazitätsänderung, die unmittelbaren Einfluss auf die Antriebskraft hat.
Laterale Schwingungsmessung
80
-45
-36
-27
-18
-9
0
0 3 6 9 12
Spannung U
dc
[V]
Antriebsamplitude E
1
[m/s
2
]
F0.8G0.8_A
F0.8G0.8_B
F0.8G1.0
F1.0G1.0_A
F1.0G1.0_B
F1.2G1.0
F1.2G1.2_A
F1.2G1.2_B
F1.5G1.2
F1.5G1.5_A
F1.5G1.5_B
Abbildung 4.21: Fitparameter
E
1
in Abhängigkeit von der angelegten Gleichspannung für verschiedene
Designvarianten
Neben den Messungen zur Spannungsabhängigkeit wurden auch Untersuchungen zum
Einfluss des Drucks durchgeführt. Die Amplitudengänge einer Struktur bei unterschiedlichen
Drücken zeigt die Abbildung 4.22, wobei die Messungen bei einer Gleichspannung U
dc
von
1 V und einer Wechselspannungsamplitude u
ac
von 0.05 V durchgeführt wurden. Wie zu
erwarten, nimmt die maximale Amplitude mit abnehmendem Druck zu. Die Neigung der
Resonanzüberhöhung ist unabhängig vom Druck und zeigt keine signifikante Änderung. Das
wird durch die Darstellung der auf den konstanten Term der Federcharakteristik k
l
normierten
gesamten Federcharakteristik k gegen die y-Auslenkung in Abbildung 4.23 bestätigt.
Zusammenfassung
• asymmetrische Schwingungsform bezüglich positiver und negativer Auslenkung bei
Spannungen U
dc
≤ 1 V sowie Zunahme des damit verbundenen Anteils an Oberwellen mit
Annäherung an das Ende des überhängenden Kurvenbereichs des Amplitudengangs
• bis zu einem bestimmten spannungsabhängigen (nur Abhängigkeit von U
dc
untersucht)
Amplitudenwert ansteigendes Verhalten der Federcharakteristik; Abnahme oberhalb
dieser Schwelle
• Verschiebung der Resonanzkurve mit steigender Spannung U
dc
zu niedrigeren
Frequenzen; Zunahme dieses Effekts mit kleiner werdendem Fingerabstand
• keine Druckabhängigkeit der Nichtlinearität der Resonanzkurve
Laterale Schwingungsmessung
81
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
7820 7870 7920 7970 8020
Frequenz [Hz]
Amplitude der y-Auslenkung [µm]
10 mbar
1 mbar
0.5 mbar
0.15 mbar
0.09 mbar
0.045 mbar
0.012 mbar
Abbildung 4.22: Fitkurven der Amplitudengänge der Struktur F1.2G1.0 bei unterschiedlichen Drücken,
U
dc
= 1 V und
u
ac
= 0.05 V
0.99
1
1.01
1.02
1.03
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
y-Auslenkung [µm]
k/k
l
1 mbar
0.5 mbar
0.15 mbar
0.09 mbar
0.045 mbar
0.012 mbar
Abbildung 4.23: Aus den Fitkurven in Abbildung 4.22 abgeleitete Verläufe der auf den konstanten Term der
Federcharakteristik
k
l
normierten gesamten Federcharakteristik
k
in Abhängigkeit von der
y
-Auslenkung der Struktur F1.2G1.0 bei unterschiedlichen Drücken
Laterale Schwingungsmessung
82
4.3.2 Transiente Messungen
Die transienten Messungen sollen Aufschluss über eventuell auftretende mechanische
Nichtlinearitäten geben. Die beschreibenden Parameter werden wie bei den Frequenzgang-
messungen durch einen Fit der Messdaten gewonnen. Als Ansatz für die Fitfunktion
(Gleichung 4.25) wird eine exponentiell abklingende Sinusfunktion mit zusätzlichem linearen
(offlin t) und konstanten Term (offconst) verwendet.
(
)
offconsttofflinteAty
t
+⋅++=
−
ϕω
δ
sin)(
0
(4.25)
Für die Auswertung sind in dieser Gleichung insbesondere die Parameter
δ
und
ω
von
Bedeutung. Die Abklingzeitkonstante
δ
ist durch die Formel
m
2
α
δ
=
(4.26)
mit dem Dämpfungskoeffizienten
α
verknüpft, der sich daraus dann für unterschiedliche
Drücke bestimmen lässt. Die Kreisfrequenz
ω
ist im linearen Fall durch die Beziehung (2.19)
mit der Federkonstante
k
verbunden, die den eigentlichen Fitparameter darstellt.
Wie beim Fit der Frequenzgänge wird für die Federkennlinie ein Polynom 7. Grades
verwendet, woraus vier Fitkoeffizienten für
k
resultieren. Die sich einstellende Frequenz des
Einschwingvorgangs ist im nichtlinearen Fall von der Schwingungsamplitude abhängig. Eine
lineare Abschätzung ergibt sich aus der Methode der Harmonischen Balance, indem in der
Gleichung (2.35) die Anregung zu Null gesetzt wird. Durch den Vergleich von Real- und
Imaginärteil beider Seiten ergibt sich ein Gleichungssystem aus zwei reellen Gleichungen.
Für die amplitudenabhängige Schwingungsfrequenz bei einer Federkennlinie 7. Grades und
vernachlässigbarer Dämpfung folgt daraus:
m
k
APotAPotAPotPot =+++=
642
7
64
35
5
8
5
3
4
3
1
ω
. (4.27)
Für die Amplitude
A
werden die Werte der Einhüllenden (Gleichung (4.28)) verwendet,
woraus sich für jeden Messwert ein Wert für
k
- beziehungsweise
ω
errechnen lässt.
Laterale Schwingungsmessung
83
t
eAA
δ
−
=
0
(4.28)
A
0
bezeichnet hierbei die Schwingungsamplitude zum Zeitpunkt
t
= 0. Die Fitparameter
Phasenverschiebung
ϕ
, lineare Verschiebungsgeschwindigkeit der Amplitude
offlin
und
Amplitudenoffset
offconst
dienen lediglich der Optimierung der Fits. Auf Grund der Vielzahl
der Fitparameter wird die gesamte Prozedur in drei Schritte unterteilt. Dabei wird bei den
ersten beiden Schritten von einer linearen Federkennlinie ausgegangen, um die Zahl der zu
fittenden Parameter zu verringern.
Im
ersten Schritt
erfolgt ein Fit über alle Messwerte. Aus diesem Prozess ergeben sich die
Werte für
δ
,
offlin
und
offconst
. Aus dem Wert für
δ
wird
α
ermittelt.
Der
zweite Schritt
dient der Bestimmung von
ϕ
und der Anfangsamplitude
A
0
. Dabei wird nur
über die Messwerte der letzten Schwingungsperiode gefittet, um eine Verfälschung des
Fitparameters
ϕ
durch
Pot
1 und damit durch die Frequenz zu vermeiden.
Aus dem
dritten Schritt
resultiert unter Verwendung der bereits bestimmten Parameter die
Federcharakteristik
k
mit den vier Fitkoeffizienten
Pot
1,
Pot
3,
Pot
5 und
Pot
7.
Die Abbildung 4.24 zeigt vier gemessene Einschwingvorgänge bei unterschiedlichen
Drücken.
-4
-3
-2
-1
0
0 30 60 90 120 150
Messpunkt (Bild)
y-Auslenkung [µm]
1000 mbar
500 mbar
200 mbar
100 mbar
Abbildung 4.24: Messungen des Einschwingverhaltens der Struktur F0.8G1.0 bei unterschiedlichen Drücken
Laterale Schwingungsmessung
84
0.01
0.10
1.00
10.00
100.00
0.01 0.1 1 10 100 1000
Druck [mbar]
Dämpfungskoeffizient [10
-8
kg/s]
Abbildung 4.25: Aus Frequenzgangmessungen und transienten Messungen der Struktur F0.8G1.0 ermittelte
Werte für den Dämpfungskoeffizienten
α
bei unterschiedlichen Drücken
Die ermittelten Werte des Dämpfungskoeffizienten
α
sind in der Abbildung 4.25 gegen den
Druck aufgetragen. Auswertbare Messergebnisse aus den transienten Messungen ergeben sich
erst bei Drücken von über 20 mbar. Daher wurden die Werte für
α
bei Drücken von unter
20 mbar aus den Frequenzgangmessungen gewonnen, bei denen wiederum bei höherem
Druck wegen der zu starken Dämpfung kein schwingendes Verhalten und damit keine
auswertbaren Frequenzgänge möglich sind.
Bei Drücken von unter 20 mbar lassen die ungleichmäßig abklingenden Einschwingvorgänge
bei den transienten Messungen keine sinnvollen Fits zu. Die Abbildung 4.26 zeigt einen
solchen Bewegungsvorgang. Auslöser für die Unregelmäßigkeiten sind die Umlenkmassen,
die durch die Sprungfunktion der Anregung ebenfalls zur Resonanz angeregt werden.
Dadurch kommt es zur Überlagerung verschiedener Moden. Die 3. Eigenmode aus
Abbildung 2.8 konnte mit dem Messaufbau visualisiert werden und die Vermutung
bestätigen. Eine weitere Schwierigkeit bei niedrigen Drücken stellt die Dauer der transienten
Vorgänge dar. Diese können so lange dauern, dass eine Messung mit einer Pulsfolge auf
Grund der Limitierung der maximalen Pulsbreite durch den Frequenzgenerator nicht mehr
möglich ist.
Laterale Schwingungsmessung
85
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0 30 60 90 120 150 180
Messpunkt (Bild)
y-Auslenkung [µm]
Abbildung 4.26: Messungen des Einschwingverhaltens der Struktur F0.8G1.0 bei einem Druck von 10 mbar
Mechanisch bedingte Nichtlinearitäten sollten sich insbesondere bei größeren Auslenkungen
in amplitudenabhängigen Frequenzverschiebungen und/oder, je nach Ausgeprägtheit, in
Abweichungen von der idealen sinusförmigen Schwingungsform zeigen. Beim visuellen
Vergleich der gemessenen Bewegungen mit den Fitkurven können keine Verzerrungen, wie
beispielsweise eine Abplattung oder Zuspitzung des sinusförmigen Verlaufs, festgestellt
werden. Auch die Auswertung der Fitkoeffizienten von
k
-
Pot
1,
Pot
3,
Pot
5 und
Pot
7 - gibt
keinen Hinweis auf ein nichtlineares Verhalten. Die entsprechende Fitkurve wird nur durch
den konstanten Term
Pot
1 der Federcharakteristik bestimmt. Im Vergleich dazu sind die
Koeffizienten der höheren Potenzen vernachlässigbar klein.
Die bei den Frequenzgangmessungen zu beobachtenden Nichtlinearitäten im unteren
Amplitudenbereich, die auf eine Federverhärtung hindeuten, sind so ausgeprägt, dass sie zu
einer eindeutigen Frequenzverschiebung beim Einschwingvorgang führen müssten. Das
beweist die Abbildung 4.27, in der sich die Vergleichskurve aus den Fitparametern der
Frequenzgangmessung der Struktur F1.2G1.0 bei
U
dc
= 1 V und
u
ac
= 0.05 V ergibt (siehe
Abbildung 4.10). Weil bei kleinen Amplituden ein eventueller nichtlinearer Einfluss sehr
gering sein sollte, wurde die Vergleichskurve so in die Messwerte eingepasst, dass eine
möglichst gute Übereinstimmung mit den Messwerten am Ende der Messung (bei kleinen
Amplituden) gewährleistet ist. Dadurch wird die durch Nichtlinearitäten bedingte
Frequenzverschiebung insbesondere bei größeren Auslenkungen wesentlich besser
verdeutlicht. Um Verschiebungen durch geringe Unterschiede in
Pot
1 aus der transienten
Laterale Schwingungsmessung
86
Messung und der Frequenzgangmessung zu vermeiden, wurde für die Berechnung beider
Verläufe der aus der transienten Messung ermittelte Wert für
Pot
1 verwendet. Somit ergeben
sich die Unterschiede der Kurven nur aus den Fitkoeffizienten der höheren Potenzen (
Pot
3,
Pot
5,
Pot
7) der Federkennlinie.
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 20 40 60 80
Messpunkt (Bild)
y-Auslenkung [µm]
Messwerte
Fitkurve
Vergleichskurve mit Parametern aus
Frequenzgangmessung
Abbildung 4.27: Vergleich einer Fitkurve aus transienter Messung mit einer Vergleichskurve, deren Verlauf sich
aus den Fitparametern der Frequenzgangmessung mit
U
dc
= 1 V und
u
ac
= 0.05 V ergibt, der
Struktur F1.2G1.0
Zusammenfassend ist festzustellen, dass bei keinem der vermessenen transienten Vorgänge
eine nachweisbare Frequenzverschiebung auftritt. Auch eine Verzerrung der sinusförmigen
Bewegung bei größeren Amplituden ist nicht erkennbar. Deshalb kann die Annahme einer
mechanisch bedingten Nichtlinearität nicht bestätigt werden.
Zusammenfassung
•
lineare mechanische Federkennlinie
•
signifikanter Einfluss der Umlenkmassen auf die Shuttlebewegung durch Überlagerung
der Antriebsmode und der 3. Eigenmode aus Abbildung 2.8 bei Druckwerten von unter
20 mbar
Laterale Schwingungsmessung
87
4.3.3 Statische Messungen
Wie bereits im Kapitel 4.2.5 erwähnt, wurden die statischen Messungen zur Bestimmung der
Kapazitätsänderung d
C
/d
y
durchgeführt. Es wird vorausgesetzt, dass die mechanische
Federkennlinie linear ist. Die Ergebnisse der transienten Messungen rechtfertigen diese
Annahme. d
C
/d
y
kann somit nach der Gleichung (4.16) bestimmt werden. In Abbildung 4.28
sind die Resultate der verschiedenen Strukturen grafisch dargestellt worden.
0 1 2 3 4 5
y-Auslenkung [µm]
dC/dy [fF µm
-1
]
F0.8G0.8_A
F0.8G0.8_B
F0.8G1.0
F1.0G1.0_A
F1.0G1.0_B
F1.2G1.0
F1.2G1.2_A
F1.2G1.2_B
F1.5G1.2
F1.5G1.5_A
F1.5G1.5_B
5
4
3
2
1
Abbildung 4.28: Darstellung der aus statischen Messungen ermittelten Werte für d
C
/d
y
in Abhängigkeit von der
y
-Auslenkung für verschiedene Designs
Für die Struktur F0.8G0.8_A wird aus den Werten der Abbildung 4.28 für die
Kapazitätsänderung eines Fingers (d
C
a
/d
y
/40) ein mittlerer Wert von 0.075 fF/µm ermittelt.
Für die Struktur F1.5G1.5_A mit einem etwa doppelt so großem Fingerabstand ergibt sich ein
Wert von 0.04 fF/µm. Erwartungsgemäß hängt die Kapazitätsänderung von den
Fingerabständen ab, wobei ein geringerer Abstand eine größere Kapazitätsänderung zur Folge
hat. Alle Kurven steigen aber mit zunehmender Auslenkung an. Dieser Anstieg wird mit
größer werdendem Abstand zwischen den Fingern steiler. Zur Verdeutlichung werden die
Messwerte der Kapazitätsänderung d
C
/d
y
durch ein Polynom 4. Grades nach der Least-Mean-
Square Methode gefittet (Abbildung 4.29) und nach
y
abgeleitet. Abbildung 4.30 zeigt den
sich daraus ergebenden Anstieg der Kapazitätsänderung d
2
C
/d
y
2
. Diese Darstellung bestätigt
die bereits gemachten Aussagen zu d
2
C
/d
y
2
in Abhängigkeit vom Fingerabstand. Hierzu ist
allerdings zu bemerken, dass sich für Auslenkungen kleiner 0.5 µm kein konsistentes Bild
Laterale Schwingungsmessung
88
ergibt. In diesem Bereich sind die relativen Schwankungen der gemessenen Auslenkungen zu
groß, so dass sich aus den Berechnungen der dargestellten Größen zufällig erscheinende
Anfangsverläufe ergeben. Ursache für die Schwankungen könnten neben Messungenauig-
keiten auch Ladungseffekte [57] sein, die zu einer vertikalen Auslenkung führen und damit
Einfluss auf die Kapazitätsänderung hätten.
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y-Auslenkung [µm]
dC/dy [fF/µm]
Messwerte
Fitkurve
Abbildung 4.29: Darstellung der aus einer statischen Messung ermittelten Werte für d
C
/d
y
und der zugehörigen
Fitkurve in Abhängigkeit von der
y
-Auslenkung für die Stuktur F1.2G1.2_B
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y-Auslenkung [µm]
d
2
C/dy
2
[fF µm
-2
]
F0.8G0.8_A
F0.8G0.8_B
F0.8G1.0
F1.0G1.0_A
F1.0G1.0_B
F1.2G1.0
F1.2G1.2_A
F1.2G1.2_B
F1.5G1.2
F1.5G1.5_A
F1.5G1.5_B
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Abbildung 4.30: Aus Fitkurven ermittelter Anstieg der Kapazitätsänderung d
2
C
/d
y
2
in Abhängigkeit von der
y
-Auslenkung für verschiedene Designs
Laterale Schwingungsmessung
89
Zusammenfassung
•
Zunahme der Kapazitätsänderung d
C
/d
y
mit kleiner werdendem Fingerabstand und
zunehmender
y
-Auslenkung
•
je größer der Fingerabstand, umso stärker der Anstieg von d
C
/d
y
in Abhängigkeit von
y
im betrachteten Auslenkungsbereich (
y
= 1.5 ... 5 µm)
Statische Messung der vertikalen Auslenkung
90
5 Statische Messung der vertikalen Auslenkung
5.1 Messprinzip
Die vertikalen Messungen wurden mit dem Interferometer „Wyko NT2000“ der Firma Veeco
Metrology Group durchgeführt [36]. Die Beleuchtung erfolgt hier mit inkohärentem weißen
Licht, welches durch einen Strahlteiler aufgeteilt wird. Ein Lichtstrahl wird an einem
Referenzspiegel und der andere an der Probe reflektiert. Nach Rekombination der beiden
reflektierten Strahlen erfolgt die Auswertung der resultierenden Intensität mit einer CCD-
Kamera. Durch Variation des Fokus mittels Piezotranslator erhält man eine vom Höhenprofil
der Probe abhängige Änderung des Intensitätsmusters. Daraus lässt sich ein Rückschluss auf
den Wegunterschied zwischen Mess- und Referenzstrahl ziehen. Der vertikale Messbereich ist
somit nicht durch eine Wellenlänge, sondern durch die maximale Verschiebungsvariation des
Piezotranslators begrenzt. Die Auflösungsgrenze liegt bei 3 nm.
5.2 Ergebnisse
Wie bei den statischen Messungen der lateralen Auslenkung wurde auch bei diesen
Untersuchungen die Struktur antriebseitig mit einer Gleichspannung
U
dc
beaufschlagt und die
Finger der Detektionsseite sowie das Shuttle auf Massepotenzial gelegt.
U
dc
wurde von 0 V
bis zur „Pull-in“-Spannung variiert, bei der es zum Anschlagen der beweglichen Finger an der
Gegenelektrode kommt.
Die Abbildung 5.1 zeigt die
z
-Auslenkung für beide Shuttleseiten über der Spannung
U
dc
.
Neben einer translatorischen Verschiebung kommt es auch zu einer Verkippung der
beweglichen Masse. Ursache dafür ist die nur an einer Shuttleseite angreifende Kraft. Die
Abbildung 5.2 verdeutlicht die Lage des Shuttles bei verschiedenen Spannungen.
Um ein Verkippen zu vermeiden, wurde bei weiteren Messungen die Gleichspannung an die
bewegliche Masse gelegt, so dass auf der Antriebs- und Detektionsseite im Idealfall dieselbe
Kraft wirkt. Bei diesen Messungen wurden nur relativ geringe Verkippungen (maximal 60 nm
Auslenkungsdifferenz zwischen Antriebs- und Detektionsseite) gemessen. Die vertikale
Auslenkung des Shuttles in Abhängigkeit von der Shuttlespannung zeigt die Abbildung 5.3.
Statische Messung der vertikalen Auslenkung
91
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0 5 10 15 20
Spannung [V]
z-Auslenkung der
detektionsseitigen Finger
[µm]
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 5 10 15 20
Spannung [V]
z-Auslenkung der
antriebsseitigen Finger
[µm]
Abbildung 5.1: Statische Messung der
z
-Auslenkung der Finger der Detektions- (links) und Antriebsseite
(rechts) der Struktur F1.5G1.5 in Abhängigkeit von der Spannung
Finger der Detektionsseite Finger der Antriebsseite
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 40 80 120 160
Ausdehnung des Shuttles [µm]
z-Auslenkung [µm]
0 V
2 V
4 V
6 V
8 V
10 V
12 V
14 V
16 V
18 V
Abbildung 5.2: Statische Messung der
z
-Auslenkung des Shuttles der Struktur F1.5G1.5 bei unterschiedlichen
Spannungen entlang der oben gezeichneten weißen Linie
Statische Messung der vertikalen Auslenkung
92
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 5 10 15 20 25
Spannung [V]
z-Auslenkung des Shuttles [µm]
Abbildung 5.3: Statische Messung der
z
-Auslenkung des Shuttles der Struktur F1.5G1.5 in Abhängigkeit von der
Shuttlespannung
Zusammenfassung
•
zunehmende Auslenkung des Shuttles in
z
-Richtung mit steigender Spannung
U
dc
•
Verkippung des Shuttles bei asymmetrischer Anregung
Auswertung und Diskussion
93
6 Auswertung und Diskussion
In diesem Abschnitt werden die Messergebnisse mit den analytisch und numerisch
berechneten Werten verglichen und Möglichkeiten für den Einsatz von Kammantrieben als
Antriebsstruktur in Gyroskopen aufgezeigt.
Statische Betrachtung
Im Kapitel 4.3.3 wurde aus den Ergebnissen der statischen lateralen Messungen unter
Verwendung der Gleichung (4.16) die Kapazitätsänderung der Antriebsseite d
C
a
/d
y
bestimmt.
Die Berechnungen erfolgten auf der Grundlage einer linearen Federkennlinie. Diese Annahme
kann durch die Erkenntnisse aus den transienten Messungen gerechtfertigt werden. Aus den
Frequenzgangmessungen lässt sich andererseits ein nichtlineares auslenkungsabhängiges
Federverhalten ableiten. Aus diesem Grund wird d
C
a
/d
y
auf der Basis einer linearen als auch
einer nichtlinearen Feder für eine bestimmte Struktur berechnet und mit den theoretischen
Werten verglichen.
Ein Hauptproblem bei der Annahme eines nichtlinearen Federverhaltens stellte der durch das
nichtlineare Kapazitätsverhalten, besonders bei größeren Auslenkungen, bedingte Einfluss der
angelegten Spannung auf die Federkennlinie dar. Wegen der relativ geringen Anzahl an
Frequenzgangmessungen bei verschiedenen Spannungswerten ist eine Bewertung der
Abhängigkeit des Federverhaltens von der Spannung nicht sinnvoll. Weil bei den statischen
Messungen nur der Auslenkungsbereich von 0 ... 3 µm relevant ist (bei etwa 3 µm kommt es
zum Anschlagen des Shuttles), lässt sich der Spannungseinfluss durch einen möglichst weiten
linearen Kapazitätsbereich reduzieren. Die elektrisch bedingten Abhängigkeiten höherer
Ordnung (5., 7., ...) der Federkraft von der Auslenkung können dadurch vernachlässigt
werden. Strukturen mit möglichst kleinem Fingerabstand erfüllen diese Bedingung am besten.
Deshalb wird für die folgenden Berechnungen die Struktur F0.8G0.8_A gewählt. Aus den
Frequenzgangmessungen wird für den Koeffizienten des kubischen Terms, der auch bei
U
dc
→
0 V nicht ganz verschwindet, ein mittlerer Wert abgeschätzt. Bei allen theoretischen
Berechnungen wird von einer mittleren Fingerbreite von 0.7 µm (0.8 µm Designmaß) und
einem mittleren Fingerabstand von 0.9 µm (0.8 µm Designmaß) ausgegangen. Diese Werte
wurden aus der im Kapitel 3.3 ermittelten Maskenunterätzung abgeleitet.
Unter den beschriebenen Voraussetzungen zeigt sich beim quantitativen Vergleich von
theoretischen und gemessenen Werten ein akzeptabler Unterschied von nur 0.3 fF/µm (10%).
Auswertung und Diskussion
94
Durch Subtraktion dieses Offsets von den theoretischen Werten erhält man für einen
qualitativen Vergleich die in der Abbildung 6.1 dargestellten Kurven. Die beste
Übereinstimmung von Theorie und Messung ergibt sich bei Annahme einer nichtlinearen
Federkennlinie. Mit einer linearen Feder zeigen sich bei größeren Auslenkungen eindeutige
Abweichungen vom theoretischen Verlauf. Der absolute Beitrag der Levitation zur
Kapazitätsänderung ist vergleichsweise gering. Im betrachteten statischen Fall hat dieser
Effekt aber vor allem bei kleineren Auslenkungen einen markanten Einfluss.
0 1 2 3 4
y
-Auslenkung [µm]
dC
a
/dy [fF µm
-1
]
Messung F0.8G0.8_A (lineare Feder)
Messung F0.8G0.8_A (nichtlineare Feder)
Berechnung ohne Levitation
Berechnung mit Levitation
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
Abbildung 6.1: Qualitativer Vergleich der berechneten und aus statischen Messungen bestimmten
Kapazitätsänderung der Antriebsseite gegen die
y
-Auslenkung für die Struktur F0.8G0.8_A
Aus den Werten der Abbildung 6.1 (insbesondere für
y
< 2 µm) ergibt sich für die
Kapazitätsänderung eines Fingers ein mittlerer Wert von 0.075 fF/µm. In [3] wird für ein
vergleichbares Design mit einem Fingerabstand von 0.9 µm ein simulierter Wert von
0.1 fF/µm pro Finger angegeben. Der Hauptunterschied ist vermutlich auf die verschiedenen
Abstände der Abschirmungsebene von den Fingern zurückzuführen. In [3] beträgt dieser
Abstand 2 µm, bei den im Zuge dieser Arbeit untersuchten Proben nur 0.9 µm. Laut [3]
verringert diese Abschirmung den Wert der Kapazitätsänderung um 30%. Ein kleinerer
Abstand führt wahrscheinlich zu einer noch geringeren Kapazitätsänderung.
Auswertung und Diskussion
95
Dynamische Betrachtung
Im folgenden Teilabschnitt werden die Ergebnisse der Frequenzgangmessungen der Struktur
F0.8G0.8_A zu Grunde gelegt und mit den numerisch berechneten Amplitudengängen
verglichen.
Wie im Kapitel 4.3.1 festgestellt wurde, kommt es mit Erhöhung der Spannung
U
dc
zu einer
immer stärkeren Verschiebung der Resonanzpeaks zu niedrigeren Frequenzen. Bei der
betrachteten Struktur hat sich die Resonanzfrequenz bei
U
dc
= 9 V im Vergleich zum
Frequenzwert bei
U
dc
= 0.2 V um 255 Hz verschoben. Der numerisch berechnete
Frequenzgang ohne Berücksichtigung der Levitation weist nur eine Verschiebung von 65 Hz
auf. Wegen der starken quantitativen Abweichung muss vermutet werden, dass ein weiterer
Effekt die Verschiebung der Frequenzgänge beeinflusst. Auch die Einbeziehung des
Levitationseffekts im erweiterten Modell aus Abbildung 2.24 kann die Unterschiede in der
Frequenzverschiebung nicht erklären. Die Gesamtverschiebung mit Berücksichtigung dieses
Effekts beträgt 70 Hz (65 Hz ohne Levitation), was immer noch eine Differenz von 185 Hz
zur Messung bedeutet. Im Vergleich zum Modell ohne Berücksichtigung der Levitation
zeigen die Amplitudengänge des erweiterten Modells eine etwas bessere Annäherung an den
Fit der gemessenen Kurve, wie die Abbildung 6.2 zeigt.
0
1
2
3
4
14200 14300 14400 14500 14600
Frequenz [Hz]
Amplitude der y-Auslenkung [µm]
Num. Berechnung ohne
Levitation
Num. Berechnung mit
Levitation
Fit der Messung
Abbildung 6.2: Vergleichende Darstellung der numerisch berechneten Amplitudengänge mit und ohne
Berücksichtigung des Levitationseffekts und der Fitkurve der Messwerte der Stuktur
F0.8G0.8_A ohne kubischen Term der Federkennlinie
Auswertung und Diskussion
96
Darin wurden die Kurven zum Zweck einer besseren qualitativen Vergleichbarkeit
übereinandergelegt (ohne Frequenzverschiebung). Der Levitationseffekt führt zu einer
zusätzlichen Aufweichung der Feder, was sich in der erwähnten Frequenzverschiebung und
einer verstärkten Kurvenneigung wiederspiegelt. Die Fitkurve der Messwerte wurde ohne den
kubischen Term der Federkennlinie dargestellt. Dieser Ausdruck, der die Eigenschaft einer
Federverhärtung beschreibt, kann mit den beschriebenen Modellen nicht erklärt werden und
wird im folgenden Abschnitt diskutiert.
Mechanische Nichtlinearität
Wie zuvor erwähnt, geben die Ergebnisse der transienten Messungen keinen Hinweis auf das
Vorhandensein einer mechanisch überlinearen Feder. Bei den Frequenzgangmessungen
konnte eine Zunahme des Koeffizienten des kubischen Terms der Federkennlinie mit Anstieg
der Spannung
U
dc
festgestellt werden. Bei geringen Spannungen (< 3 V) bleibt dieser
Kennwert aber nahezu unverändert und verschwindet nicht völlig. Dieser spannungsunab-
hängige Teil unterstützt die Annahme einer mechanischen Nichtlinearität [58]. Bei den aus
den statischen Messungen ermittelten Kapazitätsänderungen würde eine solche
Federeigenschaft im Vergleich zu den theoretisch ermittelten Werten eine bessere
Übereinstimmung ergeben, wie die Abbildung 6.1 zeigt. Ob eine mechanische Nichtlinearität
vorliegt, konnte mit den durchgeführten Messungen nicht eindeutig geklärt werden.
Die mit der Spannung zunehmende Versteifung wird möglicherweise durch die
levitationsbedingte vertikale Auslenkung beziehungsweise Verkippung der Struktur
verursacht. Durch eine Verkippung werden die Federbalken zusätzlich in vertikaler Richtung
verformt. Außerdem hat eine Verkippung eine Verdrehung der Federn zur Folge. Diese
geometrischen Änderungen könnten Einfluss auf die Federsteifigkeit haben. Da die
Levitationskraft und damit die vertikale Auslenkung spannungsabhängig sind, hätte eine
höhere Spannung eine größere vertikale Auslenkung und damit eine Federversteifung zur
Folge. Um diese Vermutung zu bestätigen, wurden nichtlineare FEM-Simulationen zur
Ermittlung der Federkonstante durchgeführt. Eine mittlere Federkonstante
k
lässt sich aus der
berechneten potenziellen Energie
E
pot
aus Gleichung (6.1) extrahieren.
2pot
2
1
ykE =
(6.1)
Auswertung und Diskussion
97
In der ersten Simulation, die als Referenz dient, wurde die bewegliche Masse ausschließlich
in
y
-Richtung ausgelenkt. Bei der zweiten Simulation wurde das Shuttle abhängig von der
lateralen Auslenkung noch zusätzlich vertikal verkippt. Die Variation der
z
-Auslenkung
erfolgte linear mit der
y
-Auslenkung, wobei die Maxima bei 5 µm lateraler und 200 nm
vertikaler Verschiebung lagen. Das Maximum von 200 nm wurde aus den statischen
vertikalen Messungen bei
U
dc
= 9 V abgeschätzt, da dynamische Messungen der
z
-
Auslenkung nicht möglich waren. Die aus den Simulationen resultierenden Kurven für die
Federcharakteristik in
y
-Richtung zeigt die Abbildung 6.3.
0.3145
0.3148
0.3150
0.3153
0.3155
01234
y
-Auslenkung [µm]
mittlere Federkonstante [N m
-1
]
ohne Verkippung
mit Verkippung
Abbildung 6.3: Aus FEM-Simulationen errechnete mittlere Federkonstante in Abhängigkeit von der
y
-Auslen-
kung ohne und mit zusätzlicher vertikaler Auslenkung beziehungsweise Verkippung
Wie aus der Abbildung hervorgeht, ist die Federcharakteristik über der Auslenkung
annähernd konstant. Bei den Berechnungen ohne Verkippung ist ein leichter Anstieg
erkennbar, wohingegen die Federkonstante bei den Simulationen mit Verkippung etwas
kleiner wird. Die Unterschiede sind sehr gering und können auf Rechenungenauigkeiten
zurückgeführt werden. Damit bestätigen die Simulationen die Vermutungen nicht.
Eine weitere Ursache für die mechanische Nichtlinearität könnten die im Kapitel 4.3.1 bereits
erwähnten Asymmetrien zwischen positiver und negativer Schwingungshalbwelle sein, die
bei Spannungen
U
dc
≤
1 V auftreten. Es wird angenommen, dass die asymmetrische
Antriebskraft für diesen Effekt verantwortlich ist. Daher wurde eine vergleichende Messung
mit symmetischer Antriebskraft durchgeführt. Hierbei wurden um 180°-phasenverschobene
Auswertung und Diskussion
98
Wechselspannungen gleicher Amplitude an die Antriebs- beziehungsweise Detektionskämme
gelegt. Bei einer doppelseitig angetriebenen Struktur treten die beschriebenen
asymmetrischen Verzerrungen auch bei kleinen Spannungen nicht in Erscheinung, wie die
Abbildung 6.4 beweist. Die Darstellung zeigt außerdem, dass der Verlauf des Frequenzgangs
durch die Asymmetrie nicht beeinflusst wird. Beide gemessenen Amplitudengänge weisen
identisches Verhalten auf. Ein Verschwinden der asymmetrischen Schwingungsform mit
größer werdender Spannung bei einseitigem Antrieb kann darauf zurückgeführt werden, dass
die Antriebkraft in zunehmendem Maße durch den
U
dc2
-Term bestimmt wird. Dieser ist zwar
nichtlinear, aber bezüglich negativer und positiver Halbwelle symmetrisch.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
8040 8055 8070 8085 8100
Frequenz [Hz]
Amplitude der y-Auslenkung [µm]
f
=8080Hz
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
8040 8055 8070 8085 8100
Frequenz [Hz]
Amplitude der y-Auslenkung [µm]
f
=8080Hz
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
0 5 10 15 20 25
Messwert
y-Auslenkung [µm]
positive
Halbwelle
negative
Halbwelle
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
0 5 10 15 20 25
Messwert
y-Auslenkung [µm]
positive
Halbwelle
negative
Halbwelle
Abbildung 6.4: Amplitudengänge (oben) und vergleichende Darstellung von positiver und negativer
Schwingungshalbwelle (unten) der Struktur F1.2G1.0 bei asymmetrischem Antrieb
U
dc
= 0.5 V
(linke Seite) beziehungsweise symmetrischem Antrieb
U
dc
= 0.3 V (rechte Seite)
Auswertung und Diskussion
99
Möglichkeiten für Drehratensensoren
Abschließend wird auf den Vorschlag aus [18] eingegangen, Nichtlinearitäten für
Drehratensensoren zu nutzen. Danach bewirkt die nichtlineare mechanische Feder
(Aufhängung) der Antriebsstruktur einen zu höheren Frequenzen überhängenden
Amplitudengang. Der über einen relativ weiten Frequenzbereich vergleichsweise geringe
Anstieg der Resonanzüberhöhung ermöglicht die Verwendung einer weniger komplexen
Antriebsregelung.
Insbesondere bei kleinen Spannungswerten
U
dc
zeigt sich bei den im Rahmen dieser Arbeit
durchgeführten Frequenzgangmessungen die in [18] erwähnte nichtlineare Federcharak-
teristik. Mit Erhöhung der Spannung ändert sich dieses Verhalten. Aus einer Federverhärtung
wird im oberen Amplitudenbereich eine Federaufweichung. Ursache dafür ist die elektrisch
(kapazitive) bedingte Nichtlinearität, die an Dominanz gewinnt und mit zunehmender
Spannung das überlineare Verhalten kompensiert. Die verhärtende Eigenschaft der Feder
weist eine Abhängigkeit von der Auslenkung zur dritten Potenz auf. Die elektrisch bedingte
Nichtlinearität zeigt Abhängigkeiten höherer Ordnung, wie der Vergleich der Messwerte mit
der Fitkurve, die eine Abhängigkeit bis zur 7. Ordnung beschreibt, in Abbildung 6.5 belegt.
0
1
2
3
4
5
12200 12300 12400 12500 12600
Frequenz [Hz]
Amplitude der y-Auslenkung [µm]
Messung mit steigender
Frequenz
Messung mit
abnehmender Frequenz
Fitkurve des
Amplitudengangs
oberer Punkt mit
vertikaler Tangente
unterer Punkt mit
vertikaler Tangente
überhängender Kurvenbereich ("Ast")
ansteigender
Kurvenverlauf
Abbildung 6.5: Messung und Fit des Amplitudengangs der Struktur F1.5G1.2 bei
U
dc
= 6 V,
u
ac
= 0.05 V und
einem Druck von 0.01 mbar
Daraus resultieren im zu kleineren Frequenzen überhängenden Bereich der Amplitudengänge
noch flachere Anstiege, wie beim Vergleich der oberen Darstellungen aus Abbildung 4.10
Auswertung und Diskussion
100
(dominante federverhärtende Nichtlinearität) und Abbildung 4.14 (im oberen
Auslenkungsbereich dominate elektrische federaufweichende Nichtlinearität) festgestellt
werden kann. Auf den zu niedrigeren Frequenzen geneigten überhängenden Kurvenbereich in
Abbildung 4.14 oder Abbildung 6.5 gelangt man, wenn der Frequenzbereich von größeren zu
kleineren Frequenzen durchlaufen wird. Zur Gewährleistung des Amplitudensprungs muss
der obere Punkt mit vertikaler Tangente links vom unteren Punkt mit vertikaler Tangente
liegen. Ist das nicht der Fall, springt die Amplitude nicht auf den überhängenden „Ast“
sondern auf den darunterliegenden ansteigenden Kurvenverlauf (Abbildung 6.6 links), da
dessen stabiler Schwingungszustand energetisch näher zum Schwingungszustand der
vorherigen Frequenz liegt. Wird der Frequenzbereich von niedrigeren zu höheren Frequenzen
bis zum Sprung auf den Anfang des überhängenden Kurvenbereichs durchlaufen und nun die
Frequenz wieder verringert, dann könnten die Schwingungszustände des überhängenden
„Astes“ ebenfalls erreicht werden. Praktisch wurde diese Möglichkeit nicht verifiziert. Um
ohne „Richtungswechsel“ des Frequenzdurchlaufs den überhängenden Kurvenbereich zu
erreichen, müssen allerdings die oben genannten Voraussetzungen erfüllt werden. Dazu muss
der verhärtende Federterm je nach Ausgeprägtheit eventuell durch den aufweichenden Anteil
teilweise kompensiert werden. Das lässt sich durch Erhöhung der Spannung, Verringerung der
federversteifenden Nichtlinearität oder Vergrößerung des Fingerabstands erreichen. Bei
größeren Fingerabständen weicht der Kapazitätsverlauf bereits bei weniger Überlappung vom
linearen Verhalten ab, was schon bei kleineren Auslenkungen und Spannungen eine
federaufweichende Wirkung hat und damit zu einer Kompensation des überlinearen Anteils
auch im unteren Amplitudenbereich führt. Das verdeutlicht die Abbildung 6.6, bei der die
Amplitudengänge zweier Strukturen mit unterschiedlichen Fingerabständen, aber sonst etwa
gleichen mechanischen Designparametern, dargestellt sind.
Für die Bestimmung der Winkelgeschwindigkeit muss die Amplitude der
Antriebsschwingung bekannt sein. Um den regelungstechnischen Aufwand zu minimieren,
sollte der Arbeitspunkt in einem möglichst weiten konstanten Bereich des Amplitudengangs
liegen. Unter diesem Gesichtspunkt bietet sich der zu niedrigeren Frequenzen überhängende
Kurvenverlauf an, der sich über einen Bereich von mehreren hundert Hertz erstrecken kann
(Abbildung 6.5). Je weiter man den Arbeitspunkt auf diesem „Ast“ zu niedrigeren Frequenzen
verschiebt, umso geringer ist der Kurvenanstieg und desto höher die Amplitude. Der Nachteil
besteht jedoch darin, dass mit zunehmender Verlagerung des Arbeitspunktes der stabile
Bereich enger wird. Dadurch können bereits kleinere Störungen dazu führen, dass die
Auswertung und Diskussion
101
Zustandsgrößen des Systems aus dem Stabilitätsbereich laufen und es zu einem Sprung der
Amplitude auf den ansteigenden Kurvenverlauf kommt.
0
1
2
3
4
7750 7800 7850 7900 7950
Frequenz [Hz]
Amplitude der y-Auslenkung [µm]
Messung mit steigender Frequenz
Messung mit abnehmender Frequenz
Fitkurve des Amplitudengangs
0
1
2
3
4
8000 8025 8050 8075 8100
Frequenz [Hz]
Amplitude der y-Auslenkung [µm]
Messung mit steigender Frequenz
Fitkurve des Amplitudengangs
Abbildung 6.6: Messung und Fit der Amplitudengänge der Strukturen F1.2G1.0 (links, 1 µm Fingerabstand) bei
U
dc
= 6 V und F1.5G1.5_A (rechts, 1.5 µm Fingerabstand) bei
U
dc
= 4.5 V,
u
ac
= 0.05 V sowie
einem Druck von 0.01 mbar mit annähernd gleicher Federdimensionierung
Ein weiterer interessanter Bereich für die Positionierung des Arbeitspunktes beschränkt sich
auf die Frequenzen zwischen den beiden Punkten mit vertikaler Tangente. Der Bereich
umfasst zwar nur eine Breite von 20
-
40 Hz und der Anstieg ist etwas steiler als bei
niedrigeren Frequenzen auf dem überhängenden Kurvenbereich, zu jeder Frequenz existiert
aber nur ein möglicher Amplitudenwert (Abbildung 6.7). Es gibt unterhalb dieser Amplituden
also keine instabilen Bereiche, die zu einem Abfall der Amplitude führen können. Ziel einer
Optimierung wären eine Erhöhung der Frequenzbreite und der Amplitude sowie die
Gewährleistung eines möglichst flachen Anstiegs. Diese Eigenschaften bestimmende
Parameter sind bei den untersuchten Strukturen insbesondere der Fingerabstand, die
federverhärtende Nichtlinearität und die angelegte Spannung
U
dc
. Mit dem Beispiel aus
Abbildung 6.7 lassen sich bei Beschränkung auf den gekennzeichneten Bereich
Amplitudenwerte von etwa 2.7 µm (bei
y
0
= 5 µm) erreichen. Würde man einen linearen
Frequenzgang fordern, wäre eine geringere Spannung erforderlich. Andererseits müßte
y
0
um
etwa 3.5 µm vergrößert werden, damit die Bewegung nur im linearen Kapazitätsbereich
Auswertung und Diskussion
102
verläuft. Des Weiteren ist eine geringere Bandbreite und ein steilerer Anstieg um den
Arbeitspunkt zu erwarten.
0
1
2
3
4
7800 7850 7900 7950
Frequenz [Hz]
Amplitude der y-Auslenkung [µm]
Messung mit steigender
Frequenz
Messung mit
abnehmender Frequenz
Fitkurve des
Amplitudengangs
Arbeitsbereich>30Hz
Abbildung 6.7: Messung und Fit des Amplitudengangs der Struktur F1.2G1.2_B bei
U
dc
= 6 V,
u
ac
= 0.05 V und
einem Druck von 0.01 mbar mit gekennzeichnetem Arbeitsbereich für eine mögliche Lage des
Arbeitspunkts
Zusammenfassung und Ausblick
103
7 Zusammenfassung und Ausblick
Die vorliegende Arbeit untersucht das nichtlineare Verhalten lateraler mikroelektro-
mechanischer Kammantriebe.
In den theoretischen Betrachtungen wird das statische und dynamische Verhalten bei linearer
und nichtlinearer Feder- und Antriebskraft beschrieben. Erstmalig wurden der Einfluss des
Levitationseffekts auf die Kapazitätsänderung in Antriebsrichtung berücksichtigt und die sich
daraus ergebenden Auswirkungen auf das Verhalten einer Kammstruktur diskutiert.
Mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode wurden die Kapazitätsänderungen in
Antriebsrichtung und für vertikale Auslenkungen simuliert. In Antriebsrichtung ergibt sich
ein linearer Kapazitätsbereich von 1
g
(
g
bezeichnet den Fingerabstand) Fingerüberlappung bis
zu einem Abstand von 5
g
der Fingerenden zur Gegenelektrode. Außerhalb dieses Bereichs ist
die Kapazitätsänderung nicht konstant, sondern von der Fingerposition abhängig. Die
Simulation der vertikalen Kapazitätsänderungen erfolgte ebenfalls unter Verwendung eines
3D-Modells, wobei die Ergebnisse bis zu 25% von den Resultaten einer vergleichenden 2D-
Simulation abweichen.
Für eine Erweiterung der theoretischen Modelle sind Untersuchungen zur Abhängigkeit der
Federkonstante von der Auslenkung und der Spannung sowie zum Einfluss der lateralen
Auslenkung auf die Parameter
z
0
und
C
z0
von Bedeutung.
Für die experimentellen Untersuchungen wurden eine Vielzahl von Strukturen mit
unterschiedlichen Designparametern in Silizium-Planartechnologie gefertigt. Die Messungen
erfolgten mit einem optischen Messplatz. Vorteile gegenüber einer elektrischen Messmethode
sind die Unempfindlichkeit der Messung gegenüber den an die Struktur gelegten Potenzialen
und die Möglichkeit der Bewegungsvisualisierung. Dieser Messplatz wurde von Grund auf
entwickelt und aufgebaut. Schwerpunkte dabei waren die Konstruktion einer für eine optische
Messung geeigneten Vakuumkammer, das Programmieren der Software für die Steuerung des
Messvorgangs, das Erstellen von Routinen zur Bildverarbeitung und zur Auswertung der
Messergebnisse sowie der Entwurf und der Aufbau der Steuerungselektronik. In die
Bildverarbeitung wurde eine wirkungsvolle Driftkompensation integriert, die von außen
eingeprägte Bewegungen herausrechnet. Damit wurde eine laterale Auflösung von 3 nm
erreicht.
Der Messaufbau ermöglicht die Untersuchung statischer lateraler Auslenkungen sowie
harmonischer und transienter lateraler Bewegungsvorgänge. Um die Ergebnisse, insbesondere
Zusammenfassung und Ausblick
104
der Frequenzgangmessungen, miteinander vergleichen zu können, wurde basierend auf dem
Prinzip der Harmonischen Balance eine Fitprozedur entwickelt. Die daraus resultierenden
Fitparameter stellen die den Frequenzgang charakterisierenden und auszuwertenden Größen
dar. Bei der Auswertung dieser Messungen konnte festgestellt werden, dass es mit
zunehmender Gleichspannung zu starken Verschiebungen der Resonanzüberhöhungen zu
niedrigeren Frequenzen kommt. Diese Verschiebung ist umso größer, je kleiner der
Fingerabstand ist. Darüber hinaus zeigt die Federcharakteristik bis zu einem bestimmten
spannungsabhängigen Amplitudenwert ansteigendes Verhalten, welches oberhalb dieser
Schwelle in eine Abnahme umschlägt. Der Anstieg im Verlauf weist auf eine nichtlineare
mechanische Feder hin. Diese Folgerung konnte durch die transienten Messungen jedoch
nicht bestätigt werden. Die Ergebnisse dieser Untersuchungen deuten auf eine lineare Feder
hin, so dass sich bezüglich des mechanischen Federverhaltens kein konsistentes Bild ergibt.
Der Abfall der Federcharakteristik bei größeren Auslenkungen ist auf die Nichtlinearitäten im
Kapazitätsverlauf zurückzuführen.
Aus den statischen lateralen Messungen wurde die Kapazitätsänderung in Antriebsrichtung
berechnet. Für eine entworfene Stuktur mit einem Fingerabstand von 0.8 µm (real 0.9 µm)
konnte ein mittlerer Wert von 0.075 fF/µm pro Finger bestimmt werden. Bei einem
Fingerabstand von 1.5 µm (real 1.6 µm) sind es nur noch 0.04 fF/µm pro Fingereinheit. Die
Ergebnisse der theoretischen Berechnungen weichen maximal 10% von diesen Werten ab.
Neben den lateralen Messungen wurden statische Messungen der vertikalen Auslenkung
durchgeführt. Diese konnten den Levitationseffekt verifizieren und gaben quantitativen
Aufschluss über seine Wirkung.
Neue Ansätze zur Klärung der spannungsbedingten Frequenzverschiebung und der
federverhärtenden Nichtlinearität beziehungsweise deren Spannungsabhängigkeit könnten
dynamische Messungen der vertikalen Bewegung liefern, weil im Bereich der Resonanz
größere Auslenkungen erreicht werden als bei statischer Anregung. Gut geeignet für solche
Untersuchungen sind interferometrische Messmethoden [59, 60, 61], da sich mit ihnen
vertikale Auslenkungen im Nanometerbereich ermitteln lassen und die Messung von den
Antriebspotenzialen entkoppelt ist.
In der Auswertung werden die Messergebnisse mit analytisch und numerisch berechneten
Werten verglichen. Dabei kann eine gute Übereinstimmung festgestellt werden. Der
Levitationseffekt hat bei den im Rahmen dieser Arbeit betrachteten Stukturen nur geringen
Einfluss auf die Kapazitätsänderung in Antriebsrichtung.
Zusammenfassung und Ausblick
105
Im Hinblick auf den Einsatz von elektrostatischen Kammantrieben in Drehratensensoren
werden Ideen zur Positionierung des Arbeitspunkts der Antriebsschwingung diskutiert. Diese
Vorschläge müssen durch praktische Untersuchungen verifiziert werden. Insbesondere
Betrachtungen zum Stabilitätsverhalten in den überhängenden Bereichen der
Amplitudengänge sind für eine Abschätzung der Anforderungen an die Regelungstechnik von
Interesse.
Symbolverzeichnis
106
8 Symbolverzeichnis
kin
max
E
maximale kinetische Energie [Nm]
pot
max
E
maximale potenzielle Energie [Nm]
kin max],AB[
E
,
kin max],CD[
E
maximale kinetische Energie der Segmente AB und CD [Nm]
kin
s
E
,
kin
u
E
,
kin
b
E
kinetische Energie des Shuttles, der Umlenkungen und der
Federbalken [Nm]
A
Schwingungsamplitude [m]
A
,
B
Pixelarrays
a
1
,
b
1
Fourierkoeffizienten [N]
A
0
Startamplitude [m]
A
quer
Balkenquerschnittsfläche [m
2
]
b
Breite [m]
b
b
Federbreite [m]
b
f
Fingerbreite [m]
b
u
Unterätzung [m]
C
Kapazität [F]
C
1
Amplitude der Ausgangsgröße [N]
C
z
Kapazitätsänderungskonstante in
z
-Richtung [F m
-1
]
C
z0
Kapazitätsänderungskonstante in
z
-Richtung pro
y-
Längeneinheit [F m
-2
]
D
1
normierte Dämpfungskonstante [s
-1
]
d
x
,
d
y
Bildverschiebung in
x
- und
y
-Richtung [m]
E
Elastizitätsmodul [Pa]
E
1
normierte Antriebsamplitude [m s
-2
]
f
Frequenz [s
-1
]
F
Kraft [N]
F
0
Kraftamplitude [N]
Symbolverzeichnis
107
F
a
, F
d
antriebs- und detektionsseitige Kraft [N]
F
a,Lev
,
F
d,Lev
antriebs- und detektionsseitige Levitationskraft [N]
F
el
elektrische Kraft [N]
F
Feder
Federkraft [N]
F
mech
mechanische Kraft [N]
F
x
,
F
y
,
F
z
Kraft in
x
-,
y
- beziehungsweise
z
-Richtung [N]
F
z0
vertikale Kraftdichte [N m
-1
]
g
Spaltabstand zwischen festen und beweglichen Fingern [m]
h
Höhe [m]
I
y
,
I
z
Flächenträgheitsmoment um die
y
- beziehungsweise
z
-Achse [m
4
]
k
Kraft- oder Federkonstante bzw. Federcharakteristik [N m
-1
]
k
0
mechanische Federkonstante [N m
-1
]
k
el
elektrische Federkonstante [N m
-1
]
k
l
konstanter Term der Federcharakteristik [N m
-1
]
k
nl
Koeffizient des nichtlinearen Terms der Federcharakteristik [N m
-1
]
k
x
,
k
y
,
k
z
Federkonstante in
x
-,
y
- beziehungsweise
z
-Richtung [N m
-1
]
k
x,all
gesamte Federkonstante in
x
-Richtung [N m
-1
]
l
b
Federsegmentlänge [m]
m
Masse [kg]
m
[AB]
,
m
[CD]
Masse der Segmente AB und CD [kg]
m
eff
effektive Masse [kg]
m
s
,
m
u
,
m
b
Masse des Shuttles, der Umlenkungen und der Federbalken [kg]
n
nichtlinearer Kraftterm [N]
N
Beschreibungsfunktion [N m
-1
]
NA
numerische Apertur
o
Ausgangsgröße [N]
offconst
Amplitudenoffset [m]
Symbolverzeichnis
108
offlin
lineare Verschiebungsgeschwindigkeit der Amplitude [m s
-1
]
overlap
Überlappung der Finger [m]
Pot
1,
Pot
3,
Pot
5,
Pot
7 normierte Koeffizienten der Federkraft
t
Zeit [s]
U
elektrische Spannung [V]
u
ac
Wechselspannungsamplitude [V]
u
d
Wechselspannungsamplitude im Arbeitspunkt [V]
U
dc
Gleichspannung [V]
U
p
Gleichspannung im Arbeitspunkt [V]
v
[AB]
,
v
[CD]
Geschwindigkeit der Segmente AB und CD [m s
-1
]
v
s
,
v
u
,
v
b
Geschwindigkeit des Shuttles, der Umlenkungen und der
Federbalken [m s
-1
]
y
[AB]
,
y
[CD]
Auslenkung der Segmente AB und CD in
y
-Richtung [m]
y
0
,
z
0
Maximale Auslenkung in
y
-beziehungsweise
z
-Richtung [m]
y
u,max
,
y
s,max
maximale Auslenkung der Umlenkungen und des Shuttles [m]
z
d
Schwingungsamplitude der
z
-Auslenkung im Arbeitspunkt [m]
Z
p
z
-Auslenkung im Arbeitspunkt [m]
∆
Pixelabstand [m]
∆
x
Verschiebung in
x
-Richtung [m]
α
Dämpfungskonstante [kg s
-1
]
δ
Abklingzeitkonstante [s
-1
]
ε
Dielektrizitätskonstante [F m
-1
]
ϕ
Phasenwinkel [rad]
ϕ
0
Referenzphasenwinkel [rad]
ϕ
1
Phasenwinkel der Ausgangsgröße [rad]
λ
Wellenlänge [m]
θ
Flankenwinkel [°]
Symbolverzeichnis
109
ω
Kreisfrequenz [s
-1
]
ω
0
Resonanzfrequenz [s
-1
]
ω
z,0
mechanische Resonanzfrequenz in
z
-Richtung [s
-1
]
ω
z,ges
resultierende Resonanzfrequenz in
z
-Richtung [s
-1
]
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