UNIVERSIT´
E PAUL VERLAINE UNIVERSIT ¨
AT PADERBORN
METZ
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Ecole Doctorale Fakult¨at f¨ur Elektrotechnik,
IAEM Lorraine Informatik und Mathematik
TH`
ESE DE DOCTORAT DISSERTATION
Discipline : Math´ematiques im Fach Mathematik
pr´esent´ee par vorgelegt von
Carsten Balleier
pour obtenir le grade de zur Erlangung des Doktorgrades
Docteur de l’Universit´e Paul Verlaine-Metz der Universit¨at Paderborn
Geometry and Quantization of
Howe Pairs of Symplectic Actions
Soutenance publique ¨
Offentliche Verteidigung
le 1er Juillet 2009 am 1. Juli 2009
Rapporteurs: Gutachter:
Prof. Alan T. Huckleberry, Ruhr-Universit¨at Bochum
Juan-Pablo Ortega, Universit´e de Franche-Comt´e `a Besan¸con
Jury: Promotionskommission:
M. Helge Gl¨
ockner Professor, Universit¨at Paderborn
Mme Simone Gutt Professeur, Universit´e de Metz
M. S¨onke Hansen Professor, Universit¨at Paderborn
M. Joachim Hilgert Professor, Universit¨at Paderborn
M. Alan T. Huckleberry Professor, Ruhr-Universit¨at Bochum
M. Martin Olbrich Professor, Universit¨at Luxemburg
M. Marcus Slupinski Maˆıtre de Conf´erences, Universit´e de Strasbourg
M. Tilmann Wurzbacher Professeur, Universit´e de Metz
Laboratoire de Math´ematiques et Applications de Metz, Ile du Saulcy, F-57045 Metz Cedex 1
Institut f¨ur Mathematik, Fakult¨at EIM, Universit¨at Paderborn, Warburger Str. 100, D-33098 Paderborn
Abstract
Motivated by the representation-theoretic notion of Howe duality, we seek an analo-
gous construction in symplectic geometry in the sense that its geometric quantization
decomposes in a Howe dual fashion.
We find that in the symplectic context, the correct setting is given by two Lie
groups acting on a symplectic manifold when these two actions commute and satisfy
the symplectic Howe condition, i. e., these actions are Hamiltonian and their collective
functions are their mutual centralizers in the Poisson algebra of smooth functions on
the symplectic manifold. Once this condition is satisfied, we can describe the orbit
structure in detail. In particular, there is a bijection between the coadjoint orbits in
one moment image and those in the other moment image – this bijection is what we
call the coadjoint orbit correspondence.
We study the coadjoint orbit correspondence further and show, if the acting Lie
groups are compact and the symplectic manifold is prequantizable, that it preserves
integrality of the coadjoint orbits, so to both coadjoint orbits in the correspondence
an irreducible representation can be associated. We thus have a bijection between
certain parts of the unitary duals of both Lie groups acting on the symplectic manifold.
Applying known results about the interchangeability of quantization and reduction, we
see that for a K¨ahler manifold, its quantization (as a representation of the product of
both groups acting on the manifold) decomposes into a multiplicity-free direct sum of
tensor products of irreducibles of the individual groups, the pairs being given by the
bijection obtained before – as one would expect according to Howe duality.
This main result is accompanied by a study of the local structure of a manifold
carrying two commuting Hamiltonian action which proves a local version of the orbit
correspondence and by a discussion about the relation of the coadjoint orbit correspon-
dence to the generalized symplectic leaf correspondence in singular dual pairs.
Zusammenfassung
Motiviert durch den darstellungstheoretischen Begriff der Howe-Dualit¨
at, suchen wir
eine analoge Konstruktion in der symplektischen Geometrie. Analog bedeutet hierbei,
dass die geometrische Quantisierung eine Zerlegung mit Howe-Dualit¨
at besitzen soll.
Wir stellen fest, dass die im symplektischen Kontext korrekte Situation gegeben
ist durch zwei Lie-Gruppen, die auf derselben symplektischen Mannigfaltigkeit wirken,
wenn diese Wirkungen kommutieren und die symplektische Howe-Bedingung erf¨
ullen,
d. h. beide Wirkungen sind Hamiltonsch und die kollektiven Funktionen beider Wirkun-
gen sind gegenseitig ihre Zentralisatoren in der Poisson-Algebra der glatten Funktionen
auf der symplektischen Mannigfaltigkeit. Ist diese Bedingung erf¨
ullt, dann sind wir in
der Lage, die Bahnenstruktur detailliert zu beschreiben und zu zeigen, dass eine Bi-
jektion zwischen den koadjungierten Bahnen im Bild der ersten Impulsabbildung und
denen im Bild der zweiten Impulsabbildung existiert – es ist diese Bijektion, die wir
im folgenden als Korrespondenz koadjungierter Bahnen bezeichnen.
Wir setzen die Untersuchung der Korrespondenz koadjungierter Bahnen fort und
zeigen, dass f¨
ur Wirkungen kompakter Lie-Gruppen auf pr¨
aquantisierbaren symplek-
tischen Mannigfaltigkeiten die Integralit¨
at der koadjungierten Bahnen erhalten bleibt,
und daher beiden koadjungierten Bahnen gleichzeitig irreduzible Darstellungen zuge-
ordnet werden k¨
onnen. Somit besteht eine Bijektion zwischen bestimmten Teilmen-
gen der unit¨
aren Duale beider auf der symplektischen Mannigfaltigkeit wirkenden Lie-
Gruppen. Wendet man nun bekannte Resultate ¨
uber die Vertauschbarkeit von Quanti-
sierung und symplektischer Reduktion an, dann erkennen wir, dass die Quantisierung
einer K¨
ahler-Mannigfaltigkeit (betrachtet als Darstellung des Produktes beider auf der
Mannigfaltigkeit wirkender Gruppen) in eine multiplizit¨
atenfreie direkte Summe von
Tensorprodukten der irreduziblen Darstellungen beider Gruppen zerf¨
allt, wobei die
Paare durch die zuvor beschriebene Bijektion gegeben sind – wie man es im Sinne der
Howe-Dualit¨
at erwartet.
Dieses Hauptresultat wird begleitet von der Untersuchung der lokalen Struktur
einer Mannigfaltigkeit, auf der zwei Hamiltonsche Wirkungen gegeben sind, die eine
lokale Version der Bahnenkorrespondenz liefert, sowie von einer Betrachtung der Bezie-
hung der Korrespondenz koadjungierter Bahnen zur Korrespondenz verallgemeinerter
symplektischer Bl¨
atter in singul¨
aren dualen Paaren.
R´esum´e
Motiv´e par la dualit´e de Howe dans la th´eorie des repr´esentations de groupes de
Lie, on cherche une construction analogue en g´eom´etrie symplectique, c’est-`a-dire on
souhaite que sa quantification g´eom´etrique d´ecompose de mani`ere Howe-duale.
On trouve que dans le contexte symplectique, le cadre correct est donn´e par deux
groupes de Lie agissant sur la mˆeme vari´et´e symplectique si ces actions commutent et
satisfont la condition de Howe symplectique, i. e., ces actions sont hamiltoniennes et
leurs fonctions collectives sont leurs centralisateurs mutuelles dans l’alg`ebre de Poisson
des fonctions lisses sur la vari´et´e symplectique. Une fois cette condition est remplie,
nous pouvons d´ecrire la structure d’orbites en d´etail. En particulier, il y a une bijec-
tion entre les orbites coadjointes dans une image d’application moment et celles dans
l’image de l’autre application moment – or, il est cette bijection que nous appelerons
la correspondance d’orbites coadjointes.
On poursuit l’´etude de la correspondance d’orbites coadjointes et on montre que, si
les groupes de Lie qui agissent sont compacts et la vari´et´e symplectique est pr´equanti-
fiable, l’integralit´e est pr´eserv´ee par la correspondance. Ainsi, il est possible d’associer
en mˆeme temps des repr´esentations irr´eductibles aux deux orbites de la correspondance.
Donc, nous avons une bijection entre certaines parties des duaux unitaires des deux
groupes de Lie qui agissent sur la vari´et´e symplectique. En appliquant des r´esultats
connus qui assurent que la quantification et la r´eduction commutent, nous consta-
tons que la quantification d’une vari´et´e k¨ahlerienne (vue comme une repr´esentation
du produit des deux groupes qui agissent sur la vari´et´e) admet une d´ecomposition en
somme direct sans multiplicit´es de produits tensoriels des repr´esentations irr´eductibles
des deux groupes, les paires ´etant donn´ees par la bijection obtenue pr´ec´edemment –
parfaitement en accord avec la dualit´e de Howe.
Ce r´esultat principal est accompagn´e par l’´etude de la structure locale d’une vari´et´e
avec deux actions hamiltoniennes qui commutent, ce qui donne une version locale
de la correspondance d’orbites, ainsi que par des r´eflexions sur la relation entre la
correspondance d’orbites coadjointes et la correspondance de feuilles symplectiques
g´en´eralis´ees dans des paires duales singuli`eres.
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