Integrierte Modelle zur physikalischen Interpretation Geodätischer
Deformationsuntersuchungen
vorgelegt von
Diplom-Ingenieur
Ivo Milev
Vom Fachbereich 9 - Bauingenieurwesen und angewandte Geowissenschaften
der Technischen Universität Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Ingenieurwissenschaften
-Dr. Ing.-
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. Dieter Lelgemann
Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Lothar Gründig
Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Willfried Schwarz
Gutachter: Dr.-Ing. habil. Rainer Blum
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 15.12.2000
Berlin 2001
D83
2
Kurzfassung
In der Arbeit werden zunächst die für Deformationsuntersuchungen geeigneten Mess- ,
Auswerte- Analysemethoden und Interpretationsmodelle zusammengestellt.
Da die hieraus abgeleiteten Verschiebungen interpretiert werden müssen, wurde ein
integrierter Lösungsansatz entwickelt, der sowohl geodätische als auch mechanische
Beziehungen berücksichtigt. Dieser wurde an verschiedenen Arten von Untersuchungs-
objekten erprobt.
Eine verallgemeinerte Beziehung zwischen Variationsmethoden der Mechanik und dem
Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate (MKQ)
wurde hergeleitet und die Lösungen nach MKQ auf mechanische Variationsmodelle
übertragen. Diese führen über die Lagrangefunktion mit Multiplikatoren zu einem
erweiterten Modell für das Energiepotential.
Ausgehend von den durchgeführten Untersuchungen wird als allgemeines Deformations-
analysemodell ein Ansatz nach dem erweiterten Hamilton´schen Prinzip vorgeschlagen.
Auch hierfür wird ein integrierter Lösungsansatz empfohlen.
Abstract
The presented integrated model for interpretation of measured displacements includes
geodetic and mechanic relationships.
This general relationship between the variation principle of mechanics and the general case
of the least square adjustment will be delivered, and the geodetic calculation methods applied
for use of variation objectives. This covers the Lagrange function with multipliers and
presents a extended model for the potential.
The complex deformation model based on the extended dynamical Hamilton’s principle will
be established and recommended as integrated solution.
3
1. EINFÜHRUNG.................................................................................................................................. 5
1.1. Allgemeines über Deformationsuntersuchungen ......................................................................................5
1.2. Motivation und Zielsetzung .........................................................................................................................6
1.3. Übersicht über Methoden und Modelle zur Bestimmung, Analyse und Interpretation von
Deformationen - Vergleich und Abschätzung...................................................................................................6
1.3.1. Vorbemerkungen ....................................................................................................................................6
1.3.2. Übersicht über existierende Lösungen und Systematisierungen .............................................................7
1.3.3. Vergleich, Abschätzung und Verallgemeinerung der Modelle ...............................................................9
1.3.4. Arten der zu untersuchenden Objekte und die Aufgaben der Deformationsuntersuchung...................10
2. AUSWERTUNG VON MESSUNGEN IN GEODÄTISCHEN NETZEN SOWIE
KONTINUIERLICHER MESSUNGEN MIT BESTIMMUNG UND ANALYSE DER VERSCHIEBUNGEN
............................................................................................................................................................. 12
2.1. Bestimmung der Verschiebungen nach getrennter Auswertung der einzelnen Beobachtungszeitpunkte
mit nachfolgendem Vergleich und Interpretation...........................................................................................12
2.1.1. Kongruenztest und S-Transformation...................................................................................................13
2.1.2. Modellierung der Verschiebungsparameter von Einzelpunkten und Punktgruppen .............................16
2.1.3. Polynominale Deformationsmodelle.....................................................................................................18
2.1.4. Strainanalyse.........................................................................................................................................20
2.2. Gemeinsame Auswertung und Bestimmung der Verschiebungen aus Wiederholungsbeobachtungen
in mehreren diskreten Zeitabständen ..............................................................................................................20
2.2.1. Approximation bei gemeinsamer Auswertung von mehr als zwei Beobachtungszeitpunkten...............20
2.3. Auswertetechniken bei permanenter Überwachung...............................................................................24
2.3.1. Samplingtheorem und Filterung der Daten...........................................................................................24
2.3.2. Autokovarianzfunktion .........................................................................................................................25
2.3.3. Powerspektrum.....................................................................................................................................25
2.3.4. Kreuzkovarianzfunktion........................................................................................................................26
2.3.5. Zeitdiskrete Fouriertransformation (ZDFT)..........................................................................................27
2.3.6. Diskrete Fouriertransformation (DFT)..................................................................................................28
2.3.7. Zweiseitige z-Transformation (ZT).......................................................................................................29
2.3.8. Kalman - Filtertechnik..........................................................................................................................29
2.3.9. Vergleich von Laplace- und z-Transformation.....................................................................................31
3. INTEGRIERTE LÖSUNG FÜR DEFORMATIONSAUFGABEN.................................................... 32
3.1. Voraussetzungen und Lösungsweg...........................................................................................................32
3.2. Diskretisierung des Kontinuums ..............................................................................................................34
3.3. Übertragung der nachgewiesenen Verschiebungseigenschaften auf den Knoten der Diskretisierung35
3.3.1. Voraussetzungen...................................................................................................................................35
3.3.2. Ebene Koordinatentransformation........................................................................................................36
3.3.3. Ebene bilineare Transformation für ein 4 Knoten Element als Abbildungsfunktion.............................37
3.3.4. Ebene affine Transformation für ein 3 Knoten Element als Abbildungsfunktion .................................39
3.3.5. Die Gewichtungsproblematik................................................................................................................43
3.3.6. Ableitung der äußeren Kräfte aus den Verschiebungen - Inverse der FE Aufgabe...............................43
4. VERALLGEMEINERTE BEZIEHUNGEN ZWISCHEN DER VARIATIONSRECHNUNG, DER
AUSGLEICHUNGSRECHNUNG UND DEN DEFORMATIONSUNTERSUCHUNGEN..................... 46
4
4.1. Vorbemerkungen.......................................................................................................................................46
4.2. Allgemeine Variationsprinzipien und Modelle zur Lösung von Aufgaben der Mechanik..................46
4.2.1. Theoretische Grundlagen......................................................................................................................46
4.2.2. Anwendung der Variationsmethoden....................................................................................................48
4.3. Allgemeines mathematisches Ausgleichungsmodell der Methode der Kleinsten Quadrate ................55
4.3.1. Wesentliches.........................................................................................................................................55
4.3.2. Stochastisches Ausgleichungsmodell....................................................................................................55
4.3.3. Das funktionale Modell.........................................................................................................................57
4.3.4. Allgemeinfall der Ausgleichung korrelierter Beobachtungen..............................................................60
4.4. Anwendung der Methode der Kleinsten Quadrate zur Lösung von Variationsaufgaben in der
Mechanik............................................................................................................................................................65
4.4.1. Analogie zwischen den allgemeinen Funktionalen beider Lagrange‘schen Formulierungen...............65
4.4.2. Bestimmung der Variationsunbekannten mit der MKQ.......................................................................66
4.4.3. Kombinierte Lösungen..........................................................................................................................66
4.4.4. Quasi-statische Formulierung ..............................................................................................................69
4.4.5. Dynamische Formulierung....................................................................................................................72
5. GEOTECHNISCHES INFORMATIONSSYSTEM UND ANWENDUNGSBEISPIELE................... 74
5.1. Geotechnisches Informationssystem.........................................................................................................74
5.2. Beispiele zur Deformationsuntersuchung................................................................................................76
5.2.1. Talsperren.............................................................................................................................................76
5.2.2. Brücken.................................................................................................................................................78
5.2.3. Beweissicherung...................................................................................................................................90
5.2.4. Rutschungen..........................................................................................................................................95
6. ZUSAMMENFASSUNG UND SCHLUSSFOLGERUNGEN ......................................................... 100
7. LITERATUR................................................................................................................................... 101
SYMBOLVERZEICHNIS................................................................................................................... 106
ABBILDUNGSVERZEICHNIS.............................................................. .............................................107
TABELLENVERZEICHNIS................................................................... .............................................107
DANKSAGUNG................................................................................................................................. 107
LEBENSLAUF................................................................................................................................... 109
5
1. EINFÜHRUNG
1.1. Allgemeines über Deformationsuntersuchungen
Allgemein versteht man unter dem Begriff Deformation Veränderungen an Bauwerken und
ihrer Umgebung, die während ihres Baus und ihrer Existenz auftreten und ihre Stabilität
beeinträchtigen, sowie auch Veränderungen, die das Gelände, die Erdkruste und andere
physikalische Objekte betreffen. Dieser komplexe Themenbereich beschäftigt die Geodäten
seit mehr als 70 Jahren. Zum Gegenstand intensiver Untersuchungen und somit zu einem
breiten und wichtigen Arbeitsfeld in der Geodäsie entwickelten sich die
Deformationsuntersuchungen allerdings erst in den letzten dreißig Jahren.
Am Anfang konzentrierten sich die Untersuchungen von diskreten Punkten auf die
geodätischen Netze und auf die geometrische Bestimmung der Verschiebungen mit
Genauigkeitsabschätzung. Dem folgte die Erforschung und Bestimmung der
Gesetzmäßigkeiten und Dynamik der Verschiebungen sowie das Einbeziehen der
physikalischen Eigenschaften der Objekte in die Interpretation. Hierfür ist die
Zusammenarbeit der Geodäten mit anderen Disziplinen nicht nur gefragt, sie ist
unverzichtbar. Als Ergebnis der bisherigen Arbeiten sind eine Reihe von Methoden und
Modellen sowie Software und Systeme, zur Untersuchung, Analyse und Interpretation von
Deformationen entwickelt und angewendet worden. Den Deformationsuntersuchungen
wurden zahlreiche Vorträge, Artikel, Studien - Dissertationen und einzelne Bücher gewidmet.
Seit 1975 haben neun Internationalen- FIG Symposien zum Thema
Deformationsuntersuchungen stattgefunden. Ein Ad Hoc Komitee über Methoden zur
Deformationsanalyse wurde gegründet und bestand über mehrere Jahre. Weiterhin wurde in
der Arbeitsgruppe 6.1 der FIG ein Ad Hoc Komitee zur Klassifizierung der
Deformationsmodellen konstituiert (Pfeufer u.a. 1993, 1994).
Als Gegenstand der aktuellen Deformationsuntersuchungen ist eine möglichst flexible, genaue
und vollständige Messung mit Bestimmung der Verschiebungen bei Anwendung
gegenwärtiger Mess- und Auswertetechniken zu sehen. Dazu zählt die Ermittlung der stabil
gebliebenen Punkte und der Verschiebung der übrigen Netz- und Objektpunkte mittels
neuester Analyseverfahren, sowie die gemeinsame Auswertung von zwei und mehreren
Beobachtungszeitpunkten, gefolgt von der Interpretation der Verschiebungen mittels
statistischer Methoden und der Bereitstellung der gewonnenen Information der
Nachbardisziplinen.
Das Erarbeiten und verifizieren von Deformationsmodellen und deren rechnerische Lösung,
welche die Realität möglichst genau beschreiben und in einer weitreichenden Komplexität die
tatsächlichen Bedingungen, die das zu untersuchende Objekt beeinflussen, wie einwirkenden
Kräfte und ihre Veränderungen, die Spannungen, Deformationen, und die geodätischen
Messergebnisse geschlossen in einer integrierten Form vereinigt, ist eine der wichtigsten
Aufgaben der Deformationsuntersuchungen.
6
1.2. Motivation und Zielsetzung
Die vorliegende Dissertation hat das Ziel:
• Mess-, Auswerte-, Analyse-, und Interpretationsmethoden, sowie Modelle bei
Deformationsuntersuchungen, in einer möglichst vollständigen Systematisierung
darzulegen.
• Möglichst genau und naturgemäß die Deformationsproblematik in ihrer Komplexität
zu betrachten (Messungen, Auswertungen, Analyse, Approximation, und Interpretation
mit statistischen Methoden).
• Eine Lösung vorzuschlagen, die in einem integrierten Lösungsansatz die wichtigsten
Beziehungen darstellt und der physikalischen Realität entspricht. Das Modell soll sich
auch in das allgemein akzeptierte naturwissenschaftliche, mechanik- und
bautechnikbezogene Verständnis einfügen und den dort definierten Voraussetzungen
und Normen entsprechen. An Hand von verschiedenen Arten von
Untersuchungsobjekten soll dies überprüft werden.
• Die verallgemeinerten Beziehungen der Variationsmethoden der Mechanik dem
Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung nach der Methode der Kleinsten
Quadrate(MKQ) gegenüberzustellen und die Lösungen nach MKQ auf die
Variationsmodelle anzuwenden.
• Für die geodätisch gewonnenen, sowie für andere objektbezogene Informationen, die
Struktur eines digitalen Systems zur Verwaltung und Bereitstellung, vorzuschlagen (
Geotechnisches – Informationssystems).
1.3. Übersicht über Methoden und Modelle zur Bestimmung, Analyse und
Interpretation von Deformationen - Vergleich und Abschätzung
1.3.1. Vorbemerkungen
Die Deformationen - geometrische Veränderungen, die an den Ingenieurobjekten auftreten,
können mit den Verschiebungen des gesamten Objekts oder einzelner Teile, mit Neigung,
Biegung, Verwindung, Stauchung, Dehnung und entsprechend auftretenden Spannungen
verbunden sein. Sie sind Ergebnis der Auswirkung von verschiedenen Faktoren (Kräften), die
permanent, periodisch, regel- oder unregelmäßig angreifen. Folglich sind die Verschiebungen,
die direkt oder indirekt von Geodäten ermittelt werden, durch diese Faktoren verursacht. Das
heißt, die Verbindung zwischen den Faktoren (Kräften), den Spannungen, den Deformationen,
den Verschiebungen und der Zeit ist immer vorhanden und sollte bei der Modellierung nicht
unbewusst vernachlässigt werden. Offenbar ist es auch erforderlich, wie später bewiesen wird,
die Problematik der Deformationsuntersuchungen als ein dynamisches System zu betrachten.
Das bedeutet, dass man von den genannten allgemeinen Beziehungen einschließlich der Zeit
ausgehen sollte, und darauf basierend, stufenweise oder direkt die Zusammenhänge zwischen
den teilnehmenden Größen feststellt. Diese Betrachtungsweise hätte auch einen verträglichen
abstraktionsgrad. Folglich sollte hier die geodätische Problematik als ein integrierter Teil des
gesamten Komplexes von Problemen bei Deformationsuntersuchungen betrachtet werden.
Das ist besonders wichtig bei der Interpretation der Ergebnisse der geodätischen Messungen
und Auswertungen. Dies soll als Ausgangspunkt auch bei der Definition geodätischer
Begriffe in Bezug auf Deformationsuntersuchungen dienen. Somit können bei
fachübergreifenden Fragestellungen, Missverständnisse, Täuschungen und
Falschinterpretationen vermieden werden.
7
1.3.2. Übersicht über existierende Lösungen und Systematisierungen
Wie schon in Abschnitt 1.1. erwähnt, sind Geodäten sehr aktiv an der Lösung von Aufgaben
aus dem Bereich der Deformationserfassung und Interpretation beteiligt. In der hier
behandelten Literatur, was nicht den Anspruch einer weltweiten Studie erhebt, findet man ein
breites Spektrum der Problemstellungen und Lösungsansätze sowie von Systematisierungen
bei verschiedenen Ausgangsannahmen. Insoweit kann man davon ausgehen, dass die
bedeutsamen und charakteristischen Beiträge hier ihren Platz gefunden haben.
Konzentriert man sich nur auf die komplexen interdisziplinären Lösungen, so dürfen die
folgenden nicht unerwähnt bleiben.
In dem „Generalised dynamic models with stresses and deformations“ sind Messung,
Ausgleichung, Analyse und Interpretation aus geodätischer Sicht zusammen mit den
physikalischen Eigenschaften und Lösungen aus der Mechanik behandelt und
zusammengefasst worden. (Chrzanowski / Welsch, (Eds), 1988).
Die Theorie der Funktionale des Verschiebungsfeldes, das sind Translation, Rotation und
Deformation sowie Dilatation, Scherung, extremale Dilatation, reine Dilatation und extremale
Scherdilatation mit zugehörigen Richtungen, ihre Fehlertheorie und Schätzbarkeit, wird für
den zwei und dreidimensionalen Fall verallgemeinert (Zaiser 1984, Kersting 1992).
Die bisher angewandte Herangehensweise der meisten Autoren beruht auf der Bestimmung
der Verschiebungen aus geodätischen Messungen und dem Vergleich mit den berechneten
Verschiebungen nach der Finite Elemente Methode. Dabei wird kein Übergang geschaffen, es
wird lediglich die eine Methode zur Kalibrierung der anderen verwendet (Chrzanowski, Chen
1990). Dabei sprechen diese Autoren von einem geometrischen Modell als Bestandteil der
Geodäsie und einem physikalischen Modell bestehend aus Gesetzmäßigkeiten der
Elastizitätstheorie und der Bodenmechanik. Boljen vergleicht in seiner Arbeit Koordinaten,
erhalten aus der Kräfte - Verschiebungsrelation eines bodenmechanischen Modells mit denen
aus geodätischen Messungen (Boljen 1983).
In Heunecke ist bei dynamischen Fragestellungen die Systemidentifikation mittels adaptive
Kalman-Filterung als Schätzaufgabe aufzufassen, bei der als Unbekannte in der
Aufgabenstellung nicht nur die Objektverschiebungen, sondern auch Teile oder alle zur
Modellierung des Deformationsverhaltens verwendeten Materialparameter und/ oder
Einflussgrößen betrachtet werden (Heunecke 1995).
Bei Untersuchungen von Teskey werden die Materialparameter einzeln in einer Ausgleichung
nach der Methode der Kleinsten Quadrate als Unbekannte eingeführt und berechnet (Teskey
1988).
Wichtig bei allen Betrachtungen ist aus geodätischer Sicht, dass die Stochastik immer
mitgeführt wird. Dies erlaubt im Vergleich zu den Nachbardisziplinen auch eine Beurteilung
der Qualität.
Abhängig davon, welche nichtgeodätische Theorien zugrunde gelegt wird z. B. die der
Mechanik, Bodenmechanik, Elastizitätstheorie, Systemtheorie, Fuzzy Logik, neuronale Netze,
erhält man auch bei den grundphysikalischen Zusammenhängen gleiche, aber im Detail, sowie
bei den verwendeten Begriffe und der Schwerpunktorientierung doch unterschiedliche
Formulierungen.
Beziehungen zwischen elastomechanischen Systemen und der Ausgleichungsrechnung
werden in (Linkwitz 1963 Gründig 1976, Bahndorf 1991, Singer 1995, Ströbel 1997)
beschrieben.
8
Einen weiteren Schwerpunkt bildet die Stufe der Modellidealisierung. Die Unterschiede
zwischen der Definition des ein-, zwei- oder dreidimensionalen Falles sind in ihrer
Komplexität und dem daraus sich ergebenden Aufwand nicht unerheblich.
Weitere wichtige Fragen für die Modellbildung sind die Größe und Art des zu modellierenden
Objektes. In dieser Hinsicht kann man zwei Gruppen unterscheiden :
• Die vom Menschen geschaffenen, künstlichen Ingenieurobjekte.
Dabei verfügt man über ziemlich genaue Informationen der Materialeigenschaften und über
die Methoden des Bauingenieurwesens.
Einen wesentlichen Teil dieser Objekte bilden die „Einmaligen Ingenieurobjekte”. Das sind
z.B. Fernsehtürme, Stadien, Brücken, Tunnel, Atomkraftwerke. Bei dieser Art von Bauwerken
ist der Überwachungs- und Interpretationsaufwand sehr hoch. Dies ist begründet in den
konstruktiven Besonderheit, den Baukosten und der Bedeutung dieser Ingenieurobjekte für
die Gesellschaft. Dadurch zeichnen sich unterscheide auch in den Methoden der Überwachung
aus - sehr oft werden hier permanente Überwachungen angewandt.
Auch die Beweissicherung ist ein Bereich, der in unserer modernen Gesellschaft immer mehr
an Bedeutung gewinnt. Beispiele hierzu sind in Kap. 5.2.3 sowie die Untersuchungen beim
Bau der Verlängerung der Stadtautobahn A–100 (Preez 1999) und der Grundwasserabsenkung
bei der Modernisierung der Staatsbibliothek - Unter den Linden in Berlin (Stolle 2000), zu
finden. Der Unterschied zu den anderen Arten besteht darin, das die Ergebnisse meist als
Gutachten auf die sich rechtliche Entscheidungen basieren verwendet werden, wobei eine
Schadensdokumentation und nicht das Abwenden einer unmittelbaren Gefahr in Fordergrund
steht. In Zukunft ist mit einer Zunahme dieser Art Überwachungsaufgaben zu rechnen.
• Beschreibung von Objekten, die Teile der geologischen Erdoberfläche und der Erdkruste
sind (Kersting 1992, Arnet 1996). Insbesondere soll hier auf die verschiedenen
Dimensionen von Hangrutschungen, Abrasion, Erdkrustenbewegungen, Erbeben und
anderen aufmerksam gemacht werden. Diese Art von Deformationen zeichnen sich durch
Besonderheiten aus die weniger im Relativen sondern mehr im Absoluten liegen. Dies
muss bei der Erstellung des Überwachungsplanes sowie bei der Auswahl der
Messmethoden gezielt berücksichtigt werden.
In den letzten Jahren wurden von verschiedenen Seiten Klassifizierungen vorgeschlagen.
Davon werden nur einige genannt, die für bestimmte Richtungen(Schulen) repräsentativ sind.
Anfang der 80er Jahre wurde eine Systematisierung vorgeschlagen, die zwischen statische,
kinematische und dynamische Modelle unterscheidet ( Pelzer , Niemeier1980;Boljen 1984).
Weiter hat man sich auf geometrische und physikalische Analyseverfahren konzentriert und
entsprechende Methoden entwickelt (Pfeufer et all. 1993, 1994, Chrzanowski 1996, Chen
1996)
Konventionelle- und nichtkonventionelle Methoden zur Deformationsuntersuchung wurden
diskutiert (Linkwitz 1994) . Hier werden die Aufgaben und die Ziele der
Deformationsmessungen, die klassischen Methoden, gegenwärtige Trend- und
Analysemethoden, sowie Multisensormethoden betrachtet und weitreichende
Verallgemeinerung gemacht.
Eine Übersicht bekannter Fragestellungen zur Klassifizierung von Deformationsmodellen
wird von Heine gegeben (Heine 1999). Hier wird ausgeführt, dass die
Deformationsuntersuchungen als Spezialfall der Systemtheorie aufzufassen sind und daher
mittels der von der Systemtechnik bereitgestellten Verfahren und Methoden unter Beachtung
9
der fachspezifischen Bedingungen und Anforderungen zu behandeln sind. Die Theorie der
neuronalen Netze wird bezüglich einer Anwendbarkeit für geodätische Aufgabenstellungen
untersucht.
1.3.3. Vergleich, Abschätzung und Verallgemeinerung der Modelle
Nicht ganz exakt ist der Begriff physikalische Modelle eingeführt worden, da es sich bei der
komplexen Modellierung immer um physikalische Größen handelt. Eigentlich sind damit die
dynamischen Modelle gemeint.
Im „Final Report of the Ad-Hoc Komitee of the FIG Working Group 6.1“ ist eine
Klassifizierung der Deformationsmodelle (Abb. 1.1) vorgeschlagen worden erscheint(Welsch,
Heunecke 1999). Einige Bemerkungen hierzu werden in Kapitel 4 gegeben.
Eine anderer Vorschlag zur Klassifizierung wird von Milev gemacht (Milev 1999a).
Entsprechend dieser Systematisierung wird unterschieden zwischen:
-Verallgemeinerte Modelle - Dynamische Modelle (Prozesse), die in einem Komplex die
Ursache - Objekt - Folge integrieren. Das heißt, sie integrieren Kräfte (Faktoren),
Verschiebungen (von geodätischen Messungen und Auswertungen bestimmt),
Deformationen und Spannungen - für die einzelnen Objektpunkte und für das gesamte
Objekt. Zudem erfolgt noch eine weitere Beurteilung der einzelnen Änderungs- und
Verformungsarten (Translationen, Rotationen, Biegungen, Verwindungen u.s.w.) sowie
auch die Berücksichtigung des Faktors Zeit.
-Spezialisierte (Sonder-) Modelle - Das sind Sonderfälle der Verallgemeinerten Modelle
(geometrische, quasi-statische, kinematische, halbdynamische), die eng mit dem im
Einzelfall untersuchten Objektarten verbunden sind, und bei denen es ausreicht bzw. auch
nur möglich ist, bestimmte Elemente des Dynamischen Modells festzustellen. Hier ist man
um die direkte Bestimmung von Verschiebungen, Spannungen und Deformationen aus
unmittelbar gemessenen Größen bemüht.
Letztendlich sind die für die Beurteilung der Standsicherheit der untersuchten Objekte
relevanten Parameter vollständig, oder abhängig vom Abstraktionsgrad teilweise, in den
Modellen beider Klassifizierungsvorschläge enthalten.
10
Deformationsmodelle
Deskriptive
Modelle
Kinematisches ModellKongurenzmodell
Ursachen-Wirkungs-
Modelle
Dynamisches ModellStatisches Modell
Abb. 1.1: Hierarchie der Modelle bei der geodätischen Deformationsanalyse (Heunecke,
Welsch 1999)
1.3.4. Arten der zu untersuchenden Objekte und die Aufgaben der
Deformationsuntersuchung
Typische Arten der auf Deformation zu untersuchenden Objekte sind:
• Untersuchung von Deformationen an Ingenieurobjekten (Bauten) und ihre Umgebung;
• Untersuchung von Rutschungen, Abrasion, Erosion, Absenkungen, potentielle
Lawinenfelder und Eisschollenbewegungen;
• Erdkrustenbewegungen – Verschiebungen der einzelnen Platten (Blöcke),
Verwerfungszonen, technogene Bewegungen beim Abbau von Bodenschätzen;
• Effekte katastrophenartiger geodynamischer Prozesse wie Erdbeben und
Vulkanausbrüche auf umliegende Bauwerke und auf das Gelände.
Die zu lösenden Aufgaben bei Deformationsuntersuchungen, sind mit den festzustellenden
Zusammenhängen zwischen den bestimmenden Elementen und dem entsprechenden Modell
verbunden. Sie können wie folgt verallgemeinert werden:
11
• Bestimmung nur der eingetretenen Verschiebungen der Punkte, zwischen zwei oder
mehreren Beobachtungszeitpunkten. Das grundlegende Problem ist hier, die
Feststellung der stabil gebliebenen und der Signifikanz der Verschiebungen der
übrigen Netz- und Objektpunkte .
• Anwendung geodätisch bestimmter Verschiebungen zusammen mit den
Trendparametern, einschließlich Geschwindigkeit und Beschleunigung in den
einzelnen Punkten des zu untersuchenden Objekts. Der Zusammenhang besteht hier
zwischen den Verschiebungen, den Änderungen der Faktoren (Kräfte) und der Zeit.
Wenn keine Änderungen in den Faktoren zwischen den Beobachtungszeitpunkten
eintreten, wird die Lösung auf die Bestimmung von Geschwindigkeit und
Beschleunigung der Verschiebungen reduziert. In diesem Fall ist ein kinematisches
Modell vorhanden.
• Anwendung der geodätisch bestimmten Verschiebungen zur Bestimmung der
Deformationen und Spannungen. Hier ist es notwendig, die Konstanten
Querkontraktionszahl und Steifigkeitsmodul als physikalische Eigenschaften des zu
untersuchenden Objekts zu kennen.
• Festlegung der Zusammenhänge zwischen den Trendparametern, den Deformationen,
den Spannungen, der Zeit, der Translation, Rotation und anderen Einflussgrößen.
Die zuvor definierten Objektarten, Aufgaben der Deformationsuntersuchungen und Modelle
stehen im Zusammenhang der näher erläutert wird.
Im Unterschied zu früheren Untersuchungen, als rein geometrische Modelle betrachtet und
angewendet wurden, ist besonders in den letzten 5 Jahren, in Richtung der Aufstellung von
dynamischen Modellen zu erkennen. Aus der obigen Systematisierung ist es ersichtlich, dass
es nicht immer angemessen ist, dynamischen Modelle anzuwenden. Die jeweiligen Aufgaben
sollten im Vorfeld analysiert werden und die Herangehensweise dem zu untersuchenden
Objekt und den vorliegenden Bedingungen angepasst werden. Auf dieser Weise lassen sich
die Probleme der Deformationsuntersuchungen zuverlässig und wirtschaftlich lösen.
Es soll aber nochmals betont werden, dass die Entwicklung und Anwendung von integrierten
Lösungsansätze die grundlegende Aufgabe der Deformationsuntersuchungen bleibt. Das ist
besonders wichtig, wenn die Komplexität der Deformationsuntersuchungen verstanden
werden soll und somit die Notwendigkeit einer engen interdisziplinären Zusammenarbeit der
Geodäten mit anderen Fachdisziplinen sowie die Verschmelzung verschiedener
Lösungsverfahren (z.B. aus der Mechanik und Geodäsie) angebrachter erscheint.
12
2. Auswertung von Messungen in geodätischen Netzen sowie
kontinuierlicher Messungen mit Bestimmung und Analyse der
Verschiebungen
Für die Durchführung und Auswertung von Deformationsmessungen sind nahezu alle den
Geodäten bekannten Techniken anwendbar. Um die bestmöglichen zu finden, spielt an erster
Stelle die Erfahrung eine Rolle, aber auch die Art des untersuchten Objektes schließt die eine
oder andere Methode schon im Vorfeld der Planung aus. Für die Erfassung im
kleinmaßstäbigen Bereich, wie z.B. bei Erdplattenbewegungen, großen Verwerfungen (San
Andreas Spalte) oder bei der Erforschung und der Auswirkung von Erdbeben auf die
Erdoberfläche, bei denen große Verschiebungen erwartet werden und nicht so hohe
Genauigkeit gefordert ist, eignen sich durchaus auch Landesnetze. Bei der Überwachung von
Ingenieurobjekten wie Brücken, Talsperren, Kraftwerken, Fernsehtürmen, Stadien,
Atomkraftwerken u.a., werden für die zeitdiskreten Messungen Streckennetze, Alignements,
Richtungsnetze, Richtungs- und Streckennetze, Höhennetze (Feinnivellement) und GPS-
Netze angelegt. Die Photogrammetrischen Verfahren bieten die Möglichkeit,
Momentzustände von schnell verlaufenden Deformationsprozessen mit großer Frequenz
zeitdiskret zu erfassen und später beliebige charakteristische Punkte für einen Vergleich und
für die Interpretation auszuwählen. Für die permanente Überwachungen kommen Methoden
der Sensorik in Frage (Schlemmer 1998). Hybride Beobachtungen, liegen bei Kombination
der obigen Verfahren vor (siehe dazu Kap. 5). Ein typisches Beispiel für diese Kombination,
die eng mit einer Analyse der Einflussgrößen verbunden ist, worauf die geforderte
Genauigkeit ums mehrfache verfälscht werden kann, ist in Schwarz (Schwarz 1998) anhand
der Justiermessungen beim Deutschen Elektronen Synchrotron (DESY) vorgestellt worden.
Zu jeder dieser Überwachungsarten sind numerische und statistische Auswerte- und
Interpretationsmethoden entwickelt worden, auf die hier näher eingegangen wird.
2.1. Bestimmung der Verschiebungen nach getrennter Auswertung der
einzelnen Beobachtungszeitpunkte mit nachfolgendem Vergleich und
Interpretation
Die ermittelten Verschiebungen von Objektpunkten in Bezug auf ein übergeordnetes stabiles
System enthalten alle Deformationen eines Objektes, sowohl die Anteile, die auf die
Starrkörperbewegung des Objektes zurück zu führen sind, als auch die Anteile, die auf die
Verformung des Objektes selbst zurückgehen.
Um nun das Deformationsverhalten des Objektes vollständig beschreiben zu können, müssen
unterschiedliche Verfahren angewendet bzw. kombiniert werden. Die Methode der Kleinsten
Quadrate wird im allgemeinen für die Parameterschätzung verwendet.
Die Hauptaufgabe bei der Bestimmung von absoluten Deformationen ist die Identifizierung
von instabilen Referenzpunkten. Dies hat zwei verschiedene Herangehensweisen
hervorgebracht. Eine Methode basiert auf dem Kongruenztest (Pelzer 1974, Gründig 1985a).
Die andere Methode beruht auf der Definition des Datums, welches fest zu den instabilen
Referenzpunkten ist (Chen 1983, Chrzanowski 1986). Beide führen zu vergleichbaren
Ergebnissen. Somit kann die Problematik der Identifizierung von instabilen Referenzpunkten
als gelöst betrachtet werden.
Die Analyse und Bestimmung relativer Deformationen ist komplizierter.
Deformationsvektoren und der Trend der Deformation sowie die Ermittlung instabiler
13
Referenzpunkte, können nach einer iterativen Transformation ermittelt werden (Caspary,
Chen, König 1983).
Es ist möglich, den deformierbaren Körper in kleinere Elemente, in denen ein lineares
Deformationsverhalten vorausgesetzt wird, zu teilen (Welsch 1983). Der Deformationstrend
kann aus den Differenzen in den Deformationsparametern (Strains) der einzelnen Elemente
abgeleitet werden.
Nach Prescott und Chrzanowski kann der Deformationstrend durch die Analyse der
Beobachtungen bestimmter Zeitreihen ermittelt werden (Prescott 1981, Chrzanowski 1989).
Es gibt Vorschläge, in denen zwischen zwei Erfassungszeitpunkten ein lineares
Deformationsverhalten vorausgesetzt und die Verschiebung für jeden gemessenen Punkt
abgeschätzt wird (Papo, Perlmuter 1983).
Im allgemeinen wird ein Deformationsmodell ausgewählt, das ausgehend vom
Deformationstrend, den aktuellen geometrischen Zustand des Objektes beschreibt.
Allgemein wird das vollständige Verhalten eines beliebigen Punktes eines dreidimensionalen
Körpers durch 9 Deformationsparameter (6 Strainkomponenten und 3 differentielle
Rotationen) beschrieben(FIG). Diese Parameter können bei bekannten Verzerrungs-
Verschiebungbeziehungen und bei bekannter, das Deformationsverhalten des Objektes
beschreibende Verschiebungsfunktion berechnet werden. Bei der Summierung der
Komponenten der relativen Starrkörperbewegung zwischen den Elementen lassen sich
existierende Diskontinuitäten bestimmen .
Dieses Vorgehen wurde verfeinert und generalisiert (Chrzanowski 1982, Chen 1983). Das
Hauptanliegen der geometrischen Analyse ist es, ein Deformationsmodell zu finden, das auf
einer Verschiebungsfunktion basiert, welche die Verschiebung in Raum und Zeit beschreibt.
In der Praxis umfassen Deformationsmessungen nur diskrete Punkte. Die Funktion, die das
Verschiebungsfeld beschreibt, muss durch ein Modell approximiert werden, welches sich
bestmöglichst den Beobachtungsdaten anpasst.
Wenn keine a priori Informationen (Deformationstrend oder ein vorgegebenes Modell)
verfügbar sind, kann ein Polynom ausgesucht werden, dessen Parameter auf Signifikanz
getestet und gegebenenfalls reduziert werden (Chrzanowski 1983, Chen 1983). Aber auch
robuste Schätzungsverfahren, die weniger empfindlich gegen Modellfehler sind, wurden
vorgeschlagen (Caspary 1987) .
2.1.1. Kongruenztest und S-Transformation
Für ein zweistufiges Netz mit Stütz- und Objektpunkten is,
xund io,
xund den beiden
Messzeitpunkten iund jist zur Überprüfung der Stabilität der Stützpunkte die folgende
lineare Hypothese aufzustellen (Pelzer 1971, Chrzanowski 1981, Chrzanowski,Chen 1982,
Heck 1982)
{}
{}
jsis xExEH ,,0 :=(2.1.1)
14
Unter Einbeziehung dieser Hypothese wird eine gemeinsame Ausgleichung der
Beobachtungen i
l,j
lbeider Messungszeitpunkte durchgeführt. Mit den Jacobimatrizen
is,
A,js,
A,io,
Aund jo,
Aentstehen die folgenden Fehlergleichungen:
jo
io
ijs
jojs
iois
H
j
i
,
,
,
,,
,,
0
0
x
x
x
AA
AA
v
l
l
=+ . (2.1.2)
In dieser Ausgleichung werden die Stützpunktkoordinaten nur einmal, die
Objektpunktkoordinaten aber getrennt nach diskreten Messzeitpunkten aufgeführt.
Der Kongruenztest besteht nun aus einem Vergleich der Verbesserungsquadratsumme
H
Ωaus obiger Ausgleichung
H
j
i
T
HH v
p
p
v0
0
=Ω (2.1.3)
mit der gemeinsamen Verbesserungsquadratsumme aus den Ausgleichungen der
Einzelepochen
ojoioΩ+Ω=Ω .(2.1.4)
ji rrf += Freiheitsgrad beider Einzelausgleichungen
H
fFreiheitsgrad der gemeinsamen Ausgleichung
ffh H−= Differenz beider Freiheitsgrade
Die Teststatistik ist gegeben durch die F-verteilte Größe (Niemeier 1979)
()
f
h
To
oHΩΩ−Ω
=/(2.1.5)
Ist T ≤Fh,f,1-αdann wird die Nullhypothese mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α(im
allgemeinen α=0,05) angenommen. Kann die Nullhypothese nicht angenommen werden,
entscheidet man sich für die Annahme der Alternativhypothese: ‘mindestens ein Stützpunkt ist
verschoben. Jetzt wird nacheinander versuchsweise jeweils ein Stützpunkt zu den
Objektpunkten gezählt. Dann wird eine neue Gesamtausgleichung durchgeführt. Mit diesem
15
Verfahren wird der Punkt gesucht, der den größten Beitrag zur Verbesserungsquadratsumme
der Gesamtausgleichung leistet. Ist dieser Punkt gefunden, wird dieser dauerhaft zu den
Objektpunkten gezählt. Nun wird der Test erneut durchgeführt. Kann die Nullhypothese
immer noch nicht angenommen werden, wird auf die gleiche Weise solange nach
verschobenen Stützpunkten gesucht, bis die Nullhypothese angenommen werden kann und
alle verschobenen Stützpunkte identifiziert sind.
Vorraussetzung für diesen Hypothesentest ist, dass die zu vergleichenden Netze im selben
Datum vorliegen. Um dies zu realisieren gibt es verschiedene Möglichkeiten.
- Festlegen eines Datums über Festpunkte
- Helmert-Transformation in der Ebene (minimale Restklaffungen)
- S-Transformation
Als efektifste von allen kann das Verfahren über S-Transformation betrachtet werden
(Gründig u.a. 1985b, Niemeier 1985, Chrzanowski;Chen 1986, Caspary 1987). Gegeben ist
ein Koordinatenvektor des Datums i. Ziel ist es diesen Koordinatenvektor in das Datum jzu
transformieren. Dafür lassen sich die linearen Transformationsgleichungen:
.
ijj xSx =(2.1.6)
T
xxxx jijj SQSQ =(2.1.7)
aufstellen. Die Transformationsmatrix ist
00
0
00
01
j
T
j
T
j
E
GG
E
GGES
−
−= (2.1.8)
mit Eals Einheitsmatrix und Gals Matrix, die die Helmertbedingungen für alle Punkte
enthält.
Über die Matrix j
Ekann eine Auswahl der Punkte, die transformiert werden sollen,
getroffen werden. Mit dieser Transformation, angewandt auf die ausgeglichenen Koordinaten
i
x,j
xund deren Kofaktorenmatrizen i
xx
Qund j
xx
Q, kann der Kongruenztest
durchgeführt werden. Je nach Ausgang des Tests können wieder über die Matrix j
E, Punkte
aus der Stützpunktgruppe entfernt oder hinzugefügt werden. Zur Durchführung eines erneuten
Tests ist keine Ausgleichung notwendig. Die Transformation wird erneut ausgeführt und ein
weiterer Test wird mit der neuen Stützpunktgruppe durchgeführt (Gründig u.a. 1985a).
16
2.1.2. Modellierung der Verschiebungsparameter von Einzelpunkten und
Punktgruppen
Eine Möglichkeit zur Vereinfachung der geometrischen Deformationsanalyse ist durch ein
allgemeineres gehaltenes mathematisches Modell gegeben (Gründig u.a.1985). Dabei ist es
sinnvoll ein Analysesystem zu benutzen, das die Probleme der Datenverwaltung im Rahmen
eines breit angelegten Konzeptes allgemein löst (Milev, Gründig 1994).
Ausgehend von der Formulierung der Hypothese: „ Die Koordinaten gleicher Punkte in
verschiedenen Epochen stehen in Beziehung zueinander“, werden Bedingungen zwischen den
zu verbessernden Koordinaten formuliert und getestet.
Der Beobachtungsvektor setzt sich aus den Punktkoordinaten der einzelnen Epochen
zusammen. Formuliert man dabei die Identität der Koordinaten gleicher Punkte aus zwei
Epochen als Bedingung, so entsteht folgende Bedingungsgleichungsmatrix:
[]
EEB −=
T(2.1.9)
Durch Lösung des Bedingungsgleichungssystems unter Berücksichtigung der Varianz -
Kovarianzmatrizen der Koordinaten der Einzelepochen werden Testgrößen zur Beurteilung
verschiedener Hypothesen bestimmt. (Gründig u.a. 1985a)
Die nach der Ausgleichung erhaltene Standardabweichung der Gewichtseinheit σ02des
gesamten Systems ist unabhängig von den Schätzungen aus den Ausgleichungen der einzelnen
Epochen σij2und dient zur Bildung der Testgröße.
Die Überprüfung der Nullhypothese - es besteht eine Identität beider Netze erfolgt zuerst in
einem Globaltest. Sie wird verworfen, wenn die Testgröße 2
2
0
ij
σ
σ
den Grenzwert aus der Fisher
– Verteilung , bei gewähltem Signifikanzniveau und vorliegender Redundanz, überschreitet.
Generell kann man die Systemgleichungen des Deformationsmodells folgendermaßen
definieren:
wCgvxB =++ )(
T(2.1.10)
Die unbekannten Deformationsparameter sind im Vektor genthalten und Cist die
dazugehörige Matrix der Funktionsparameter. Im Vektor vstehen die Verbesserungen der
Pseudobeobachtungen xund wist der Vektor der Wiedersprüche der Systemgleichungen
(2.1.10).
Man kann es auch als ein Ausgleichungsmodell mit Bedingungen zwischen den
Beobachtungen und den unbekannten Parametern bezeichnen. Man erhält für die Bestimmung
der unbekannten Parameter:
() ()
wBQBCCBQBCg 1
1
1−
−
−
=xx
TT
xx
TT (2.1.11)
Hier ist xx
Qdie Varianz-Kovarianz Matrix der Koordinaten aus den einzelnen
Epochenausgleichungen mit Originalbeobachtungen welche durch S-Transformation auf das
gemeinsame Datum transformiert werden (Gründig u.a. 1985a). In Abhängigkeit von den
17
untersuchten Deformationsparametern enthält gVerschiebungen, Rotationen oder
Maßstabsänderungen für beliebige Gruppendefinitionen von Punkten. (2.1.13)
Vorgeschlagen werden zwei Untersuchungskonzepte:
• Einzelpunktverschiebung in zyx
,
,
kPunkt
k
•••
•••
=
000
100
010
001
000
C
=
zk
yk
xk
kg
g
g
g(2.1.12)
• Verschiebung, Rotation und Maßstabsfaktor für die Gruppe lvon Punkten bezogen auf die
Koordinaten yx,
lGruppe
xy
yx
xy
yx
nn
nn
ll
ll
ll
ll
l
⋅⋅⋅⋅
−
⋅⋅⋅⋅
−
⋅⋅⋅⋅
=
0000
10
01
10
01
0000
11
11
C
=
scl
l
yl
xl
l
g
g
g
g
θ
g(2.1.13)
Mit der verallgemeinerten Form (2.1.10) ist es möglich unterschiedlich detaillierte
Deformationsmodelle zu definieren.
Die durch die angesetzten Deformationsparameter bewirkte Veränderung der Varianz der
Gewichtseinheit 2
0
ˆg
σ
ergibt sich zu:
()
g
xx
TTT
gm
gCBQBCg
=
−1
2
0
ˆ
σ
(2.1.14)
18
erhalten. g
mist die Anzahl der Parameter. Wenn die Testgröße
2
0
2
0
ˆ
ˆ
ij
g
T
σ
σ
=den Grenzwert des Fisher-Tests sji mrr
F,,1 +−
α
überschreitet, wobei ji rr +die
Summe der Redundanzen aus den Einzelausgleichungen, und
α
−
1
das Signifikanzniveau
sind, so werden die Deformationsparameter als signifikant angenommen. Das
Ablaufdiagramm einer Deformationsanalyse mittels S- Transformation ist in Abb. 2.1
gegeben.
2.1.3. Polynominale Deformationsmodelle
Polynominale Modelle können zur Approximation des Verschiebungsfeldes angesetzt werden.
In einem polynominalen Modell ist der Beitrag eines Punktes an folgender Beziehung zu
erkennen (Niemeier 1988 / Schnädelbach , (Eds), Reinking 1994):
.....
......
2
54
2
3210
2
54
2
3210
++++++=
++++++=
iiiiii
iiiiii
ybyxbxbybxbbdy
yayxaxayaxaadx (2.2.14)
In vielen Fällen ist es von Vorteil das Modell auf eine bekannte mathematische Funktion zu
erweitern und ihre Parameter auf Signifikanz zu testen. Oft ist es so, dass die Erwartungen für
die Tendenz der Änderungen eines Objektes die zu testende Funktion definieren
(Durchbiegung einer Brücke oder Staumauer, Gleitfläche einer Rutschung). Sinnvoll
erscheinen diese Untersuchungen nach einem zuvor durchgeführten Einzelpunkttest, um
somit nur die statistisch gesicherten Verschiebungen an den Funktionstest weiterzuleiten.
Weiterhin ist es von Bedeutung diese Erweiterung objektbezogen und nicht global
durchzuführen. Dabei werden die Hauptbewegungen mit der Richtung der Koordinatenachsen
übereinstimmen. Die Koordinaten, Koordinatendifferenzen und die Kovarianzmatrizen
werden in dieses lokale System transformiert. Dort stellen die zu testenden Verschiebungen
nach der Transformation, Abweichungen, wie in einem Allignement dar.
Nun sind die in der ausgewählten Funktion enthaltenen Parameter zu bestimmen.
Es wird eine vermittelnde Ausgleichung durchgeführt in welcher die beobachteten
Koordinatendifferenzen als Funktion der unbekannten Funktionskoeffizienten eingehen. Diese
werden mit ihrer Standardabweichung nach der Ausgleichung statistischen Tests unterzogen.
Die Anwendung verschiedener polynominaler Funktionen zur Beschreibung der Systematik
von Punktgruppenverschiebungen nach einer Transformation in das Hauptachssystem einer
Staumauer ist in Nitschke (Nitschke 1996) beschrieben und anhand des Beispieles in
Kap.5.2.1 dargestellt.
19
Abb. 2.1 Ablauf der Deformationsanalyse mit S-Transformation(Gründig u.a.1985)
BTQ B=QddA=Qxxi+Qxxj
dA=x
i-x
j
Reduktion der Matrix Pdd
auf die als identisch
betrachteten
Variablen
Inversion der Teilmatrix
der gemeinsamen Punkte
Pdd =Q
ddTeil+
Lokaltest
für einzelne
Bedingungen und
Bedingungsgruppen
Inversion der Matrix Pdd
S-Transformation der
Klaffungen
dN=SdA
- Koordinaten xi
- Varianz-Kovarianzmatrix Qxxi
- mittlerer Gewichtseinheits-
fehler σ0i
- Koordinaten xj
- Varianz-Kovarianzmatrix Qxxj
- mittlerer Gewichtseinheits-
fehler σ0j
Einzelausgleichung
Epoche i Einzelausgleichung
Epoche j
Globaltest
T= σ0
2
σ0ij
2
T>F
r,h,1-α
T<F
r,h,1-α
Endergebnisse
20
2.1.4. Strainanalyse
Bei Welsch wird vorgeschlagen die Deformation eines Dreiecks des Überwachungsnetzes,
dessen Eckpunktkoordinaten den momentanen gemessenen Punktezustand zu zwei
Messzeitpunkten repräsentieren, durch eine Affintransformation zu beschreiben. Die
Ortsänderung lässt sich in eine Starkörperbewegung und in einen rotatorischen Anteil
zerlegen. Bei einer Abstrahierung vom translatorischen Anteil wird ersichtlich, dass die affine
Verformung sich in Dehnung (Stauchung) und Scherung in den Koordinatenrichtungen
ausdrücken lässt.(Welsch 1989)
2.2. Gemeinsame Auswertung und Bestimmung der Verschiebungen aus
Wiederholungsbeobachtungen in mehreren diskreten Zeitabständen
2.2.1. Approximation bei gemeinsamer Auswertung von mehr als zwei
Beobachtungszeitpunkten
Wenn man über mehrere Beobachtungszeitpunkte verfügt, können sie für die gemeinsame
Herleitung der Funktion des Verschiebungsfeldes benutzt werden. Der Zustandsvektor eines
Punktes xkann als eine allgemeine Funktion der Einflussgrößen betrachtet werden. Als
Ausgleichungsansatz kann das multivariante lineare Gaus-Markov-Modell verwendet werden
( Wolf 1986 , Koch 1980):
xAvl =+ (2.2.1)
wobei in
l
alle Beobachtungsvektoren j
l(j=1,2,...,w- Beobachtungszeitpunkte) mit
entsprechenden Kovarianzmatrizen lj
Q,
valle Vektoren der Verbesserungen j
v,
Aalle einzelnen Konfigurationsmatrizen kj
A,(k=1,2,...,w),
xalle Vektoren der unbekannten Parameter j
xbeinhaltet, sind.
Die Gesamtzahl der Beobachtungen nund der Unbekannten uist als Summe der einzelnen
j
nbzw. j
uBeobachtungszeitpunkten zu errechnen.
Für die unbekannten Parameter
x
, die aus einer Ausgleichung nach vermittelnden
Beobachtungen bestimmt wurden, erhält man gemäss Milev (1986):
()
lQAAQAx 11 −
+
−
=l
T
l
T(2.2.2)
wobei l
Qdie Gesamtkovarianzmatrix ist und die einzelnen Kovarianzmatrizen lj
Q
beinhaltet. In (2.2.2) ist zugelassen, dass es Korrelationen zwischen den Beobachtungen aus
den einzelnen Beobachtungszeitpunkten gibt.
Die Änderungen der Koordinaten und der Einflussgrößen können in einer Zeitreihe als
stochastische Variabeln betrachtet werden.
21
Für alle Beobachtungszeitpunkte unter der Voraussetzung, dass jeweils die gleichen
unbekannten Parameter beingesetzt werden, ergibt sich :
13112
123
3nww
wnw
nw εbFx +=
δ
(2.2.3)
mit
x
δ
:Änderung der Koordinaten der Kontrollpunkte
F:Matrix der partielle Ableitungen nach den Einflussgrößen-> determi-
b:Vektor der gesuchten Parameter -> nistischer Anteil
ε: Stochastischer Anteil
Aufgrund der Forderung
min
1=
−εQεx
T
können in einer Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen die gesuchten Parameter
bberechnet werden:
()
xDxQFFQFb
δδ
δδ
xx
T
x
T== −
−
−1
1
1. (2.2.4)
Berücksichtigt man (2.2.2), so ergibt sich:
()()
lDlQAAQAQFFQFb
δδ
δδ
== −
+
−−
−
−111
1
1ll
T
x
T
x
T(2.2.5)
Nach Bildung eines gemeinsamen Vektors der gesuchten Parameter j
b, d.h. einer
gemeinsamen Auswertung der Messungen aller Beobachtungszeitpunkten, unter der Annahme
daß kleine Unterschiede zwischen den einzelnen j
bzulässig sind, ist:
xDb =(2.2.6)
oder:
⋅
⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
=
⋅
⋅
⋅
ww x
x
x
DDD
DDD
DDD
b
b
b
www2w1
2w2221
1w1211
δ
δ
δ
2
1
2
1
(2.2.7)
In (2.2.7) ist sowohl die Korrelation zwischen den einzelnen Beobachtungszeitpunkten als
auch den einzelnen Parametern berücksichtigt.
22
Unter der Annahme, dass solche Korrelationen vernachlässigbar sind (d. h. 0=
kj
D,
0=
kj
A) wird die Ausgleichung in Teilausgleichungen der einzelnen
Beobachtungszeitpunkte zerlegt. Ersetzen von (2.2.2) in (2.2.7) ergibt :
()
()
()
⋅
⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
=
⋅
⋅
−
+
−
−
+
−
−
+
−
⋅
wl
T
wwwwl
T
ww
l
T
l
T
l
T
l
T
wlQAAQA
lQAAQA
lQAAQA
D00
0D0
00D
b
b
b
ww
22
11
δ
δ
δ
δδ
δδ
δδ
11
2
1
2222
1
22
1
1
1111
1
11
2
1
(2.2.8)
⋅
⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
=
⋅
⋅
⋅
ww l
l
l
G00
0G0
00G
b
b
b
ww
22
11
δ
δ
δ
2
1
2
1
Hier sind j
l
δ
die Differenzen der Beobachtungen.
Wenn keine Unterschiede zwischen den einzelnen j
baus (2.2.8) auftreten , sollten sie gleich
baus (5.2.5) sein zu prüfen wäre die Erfüllung folgender Kriterien:
1
0
Ω
Ω
=
f
Fmit vQv x
T
δ
=Ω0und ∑
−
=
Ω=Ω 1
1
1
w
jj(2.2.9)
mit den entsprechenden Freiheitsgraden:
()( )
12)1(3
123
1223;13
1
0
−−=Ω
⋅−=Ω
−−−=
wu
u
wwuFf
(2.2.10)
f
Ffolgt einer Fisher - Verteilung. Der Grenzwert
r
Ffür das Kriterium wird berechnet oder
entsprechend aus statistischen Tabellen entnommen. Wenn die Hypothese
(
)
α
=≥ 0
/HFFP rf ( 2.2.11)
23
nicht verworfen wird ( α- Signifikanzniveau), kann angenommen werden, dass keine
Unterschiede in den Parametern bermittelt nach (2.2.4) und (2.2.8), festzustellen sind.
Dadurch können die Parameter des Verschiebungsfeldes des untersuchten Objekts mittels
kw
m+
=xDb ( 2.2.12)
modelliert werden. Hier ist w+kdie Anzahl der Beobachtungszeitpunkte, die modelliert
werden sollen und m
bder Vektor der Modellparameter.
Die Gleichung ( 2.2.12) zeigt, wie sich diese Parameter verändern werden, wenn es keine
Störungen zufälligen Charakters gibt und keine Messfehler auftreten.
Ein Vektor δ
δδ
δder Abschätzungen sei wie folgt definiert:
M
bbδ−= ( 2.2.13)
und zeigt die Abweichungen vom Modell an. Er stellt den Unterschied zwischen den
tatsächlichen Werten j
b, die durch die Messungen bestimmt wurden, und den Modellwerten
dar.
Für die Approximation der Punktverschiebungen ist ein lineares Modell angenommen
worden. Es können aber auch andere Modelle als zugrundegelegt werden. Das Modell, das am
besten die Bewegung des untersuchten Objekts approximiert wird gewählt, aufgrund der
Abschätzungen der Übereinstimmung zwischen den tatsächlichen Werten j
bund den
modellierten m
b. Die Abschätzung erfolgt durch die empirische Varianz 2
S
der
Gewichtseinheit:
1
23
1
2
−
=−
n
Sb
TδQδS (2.2.14)
und durch den mehrdimensionalen Korrelationskoeffizienten 2
R(Pelzer 1982):
()()
bbQbb
δQδ
−−
−= −
−
1
1
21
b
Tb
T
R(2.2.15)
Die Gültigkeit von Rwird durch das F- Kriterium geprüft. Das Modell, das den kleinsten
2
Sund den höchstens 2
R- Wert aufweist, wird als am besten geeignet zur Approximation
der Parameter des Verschiebungsfeldes angesehen.
24
2.3. Auswertetechniken bei permanenter Überwachung
Bei automatisierten Messverfahren fällt in der Regel eine große Anzahl von zeitlich eindeutig
zuzuordnenden Messwerten mit konstanter Abtastrate an. Eine vielfach einfachere Darstellung
solcher Zeitreihen gelingt im Frequenzbereich. Das Datenmaterial lässt sich dabei in aller
Regel durch FOURIER als Summe von harmonischen Schwingungen darstellen.
Die Verarbeitung von Sensordaten, die Eliminierung von Störanteilen, die Darstellung im
Frequenzbereich sowie Ansätze zur Analyse von Zeitreihen werden hier vorgestellt und im
Kapitel 4 anhand eines Beispieles erläutert.
2.3.1. Samplingtheorem und Filterung der Daten
Sensorsignale enthalten meist hochfrequente Störanteile in den Daten. Um das sogenannte
Signal-Rausch-Verhältnis zu verbessern, empfiehlt es sich, nicht benötigte Frequenzen
herauszufiltern. Bewährte Verfahren sind das Hochpassfilter, das Tiefpassfilter und das
Bandpassfilter, welche bisher vorrangig im Bereich der Nachrichtentechnik eingesetzt
wurden.
•Tiefpass-Filterungen sind erwünscht, wenn niederfrequente Signale von vorwiegend
hochfrequentem Rauschen befreit werden sollen. Diese Art der Filterung ist stets
gleichbedeutend mit einer Glättung der beobachteten Funktion. Beispiele:
- gleitende Mittelwerte,
- Glättung durch Trägheit der Messgeräte.
•Hochpassfilterungen eignen sich zur Elimination langsamer Veränderungen in den
Daten, wie beispielsweise Trends bei der Berechnung von Autokorrelationen. Beispiele:
- Hochpassfilterung mit Hilfe gleitender Mittel (komplementär zum entsprechenden
Tiefpassfilter),
- Differenzenfilter.
•Bandpassfilterungen nehmen die wichtigste Position bei der Untersuchung
geophysikalischer und meteorologischer Vorgänge ein. Ziel ist das Herauspräparieren
von Periodizitäten aus dem Datenmaterial, bei dem eine Frequenzabhängigkeit des
beobachteten Vorgangs studiert werden soll. Angestrebt wird ein Maximum bei einer
bestimmten Frequenz. Beispiele:
- Tiefpass- und anschließende Hochpassfilterung,
- Subtraktion zweier verschiedener Tiefpassfilterungen,
- Kreuzkorrelationsfilterung,
- harmonischer Bandfiltersatz.
Das jeweils optimale Filter ist gefunden, wenn die Differenz bzw. die mittlere quadratische
Abweichung aus der gefilterten Funktion und einem interessierenden Signal zu einem
Minimum wird.
Abb. 2.3: links: Sensorsignal, Mitte: nach Tiefpassfilterung, rechts: nach Hochpassfilterung
25
Damit durch die Filterung kein Informationsverlust entsteht, ist das Abtast- oder auch
Samplingtheorem nach Nyquist und Shannon zu beachten: „Bei der Zeitdiskkretisierung eines
Signals geht keine Information verloren, wenn die Abtastfrequenz mehr als doppelt so groß ist
wie die höchste im Signal vorkommende Frequenz“ (2.3.1).
a
bt
ff <⋅ max
2(2.3.1)
2.3.2. Autokotvarianzfunktion
Bei ingenieurgeodätischen Messgrößen liegt fast immer eine stetige Funktion der Zeit vor, die
an diskreten Stellen abgetastet wird. Liegt die Abtastrate zweier Messungen zu dicht
beieinander, sind die Ergebnisse der Messungen korreliert, da sich die meist physikalischen
Messgrößen nicht so schnell ändern. Eine Überprüfung mittels Autokorrelationsfunktion wird
notwendig, da dies Auswirkung auf die Anzahl der Freiheitsgrade und damit auf die
statistische Analyse hat.
Kontinuierliche Zeitreihen können durch ihren Erwartungswert µund ihre Varianz σ2
beschrieben werden. Bei diskreten Zeitreihen lassen sich der Mittelwert x und die empirische
Varianz s2als Schätzwerte für µund σ2berechnen (TAUBENHEIM 1969).
Für beide Zeitreihen lässt sich als weitere wichtige Eigenschaft die Erhaltenstendenz des
Prozesses, C(τ) bzw. C(k), bestimmen. Mit C(0) = σ2bzw. C(0) = s2ist die Varianz direkt aus
der Autokovarianzfunktion abzulesen. Die Berechnung der Korrelationskoeffizienten ergibt
sich durch die Autokorrelationsfunktion mit
()
)0(
)(
C
kC
kK =(2.3.2)
Sind in der Autokovarianzfunktion eine oder mehrere dominante Frequenzen erkennbar,
spricht man hier von einem Prozess mit farbigem Rauschen. Sind keine dominanten
Frequenzen enthalten, liegt ein Prozess mit weißem Rauschen vor.
Treten Korrelationen zwischen den Beobachtungen auf, berechnet sich die Varianz des Mittels
aus dem Quotienten der Varianz des Einzelwertes und der Anzahl der Messwerte,
multipliziert mit einer äquivalenten Erhaltungszahl. Sie gibt an, „bei wie vielen
aufeinanderfolgenden Messwerten die Größe x(t) praktisch einen gleichen Wert behält“
(TAUBENHEIM 1969). Dadurch wird die Zahl der Freiheitsgrade mit Auswirkungen auf die
statistischen Testverfahren reduziert.
2.3.3. Powerspektrum
Durch die FOURIER-Transformation erfolgt die Darstellung vom Zeitbereich in den
Frequenzbereich. Sie ermöglicht die Untersuchung des Datenmaterials auf vorhandene
Periodizitäten, die oftmals nicht sofort erkennbar sind.
Die Frequenzfunktion P(f) berechnet sich aus der Zeitfunktion C(τ):
26
() () ( )
ττπτ
dfCfP 2cos4
0
∫
∞
=f ... Frequenz = 1
T(2.3.3)
Das Ergebnis dieser FOURIER-Cosinus-Transformation ist das Powerspektrum P(f).
Energiespektrum, Leistungsspektrum oder Energiedichtefunktion sind die in der Literatur
ebenfalls geläufige Begriffe. Wegen der begrenzten Abtastrate ∆t können höherfrequente
Anteile des Prozesses nicht erfasst werden. Es ergibt sich eine Grenzfrequenz, die NYQUIST-
Frequenz, bis zu der eine Berechnung möglich ist (∨Samplingtheorem):
fN=1
2∆t
Die Amplituden Aides Powerspektrums lassen sich annähernd zu einer bestimmten Frequenz
fiberechnen:
Ai=Pi mt
()⋅1
∆(2.3.4)
2.3.4. Kreuzkovarianzfunktion
Die Kreuzkovarianzfunktion ist ein Maß für die Ähnlichkeit zweier Zeitreihen x(t) und z(t).
Betrachtet man die Zeitreihe x(t) als Eingangsgröße und die Zeitreihe z(t) als Ausgangsgröße,
wird der Zusammenhang zwischen gemessener Einflussgröße und Deformationsgröße schnell
klar. Mit N Messungen einer Abtastrate ∆t über die Stichprobenlänge T = N⋅∆t folgen für
diskrete Verschiebungsschritte τ=k⋅∆t die Schätzwerte für Cxy(τ).
Cxz(τ)= xx
kN
kN
ii−
−∑
−
=1
[
1]][ zz ki −⋅ +(2.3.5)
Unter Berücksichtigung der Varianzen Cx(0) und Cz(0) der Beobachtungen x(t) und z(t), erhält
man die normierte Kreuzkovarianzfunktion = Kreuzkorrelationsfunktion.
Kxz(τ)= )0()0(
)(
zx
xy
CC
C
⋅
τ
(2.3.6)
Der Korrelationskoeffizient schwankt zwischen den Grenzwerten -1≤Kxz(τ)≤+1. Ein positives
Vorzeichen bedeutet dabei ein zeitliches Nachlaufen der Ausgangsgröße gegenüber der
Eingangsgröße. Dieser Fall ist bei Deformationsprozessen die Regel. Aus der
Phasenverschiebung lässt sich die Zeitverschiebung somit direkt bestimmen.
Die Aussagefähigkeit einer solchen Funktion wird von Kuhlmann untersucht (Kuhlmann
1996).
27
2.3.5. Zeitdiskrete Fouriertransformation (ZDFT)
Die zeitdiskrete Fouriertransformation liefert die periodischen frequenzkontinuierlichen
Spektren von Zahlenfolgen bzw. von abgetasteten Größen. (Marko 1982)
a) zeitdiskrete Fouriertransformation abgetasteter Größen:
Definition der ZDFT:
{}
∑
=ℑ= ∞
−∞=
−
k
Tjk
ekTutujU
ω
δ
δ
ω
*)()(:)( (2.3.7)
Das Spektrum Uδ(jω) ist frequenzperiodisch und wiederholt sich im Abstand T
fT1
=
Ganzzahll
T
ljUjU T==+= 2
mit))*(()( T
π
ωωωω δδ
(2.3.8)
Inverse zeitdiskrete Fouriertransformation:
Definition der IZDFT:
∑
∞
−∞=−=
=∫
+
−
kkTtkTut
dejUkTu
T
T
kTj
)(*)()(uund
*)(
2
1
:)( 2
2
δ
ωω
π
δ
ω
δ
ω
ω
(2.3.9)
b) zeitdiskrete Fouriertransformation von Zahlenfolgen:
Definition der ZDFT:
{}
∑
=ℑ=Ω ∞
−∞=
Ω−
k
jk
ekunujU *)()(:)(
mit T = 1, fT=1,
TT f
f
f
π
ω
ω
ππ
π
ω
22=,2
2
T
T=Ω== (2.3.10)
Die Fouriertransformierte U(jΩ) ist frequenzperiodisch und existiert für jedes Ω:
U(jΩ)=U[j(Ω+m*2π) ] , m = Ganzzahl
Inverse zeitdiskrete Fouriertransformation:
Definition der IZDFT:
28
{}
∫
−
Ω− ΩΩ=Ωℑ=
π
π
π
dejUjUku jk
*)(
2
1
)(:)( 1(2.3.11)
Eigenschaften:
- formal entsprechen viele Eigenschaften der ZDFT von Zahlenfolgen weitgehend den
Eigenschaften der Fouriertransformation für zeitkontinuierliche Größen
- speziell gilt bei der ZDFT aber
•die Spektren bei der ZDFT von Zahlenfolgen sind periodisch
•die „gewöhnliche“ Faltung geht in eine „Summenfaltung“ über
es gilt:
∑
∞
−∞==−= knvnuknvku )(*)()(*)(W(n) W(jΩ)=U(jΩ)*V(jΩ) (2.3.12)
•AKF: ∑
∞
−∞=+=
n
knunu )(*)((k)ruu |U(jΩ)|
2(2.3.13)
•KKF: ∑
∞
−∞=+= nknvnu )(*)((k)ruv Uδ(jΩ)V(jΩ) (2.3.14)
•Parseval-Theorem:
Energie = ∫
−
ΩΩ=
∑
∞
−∞=
=
π
π
π
djU
kkuWu2
2)(
2
1
))(( (2.3.15)
2.3.6. Diskrete Fouriertransformation (DFT)
Im Unterschied zur ZDFT, welche ein frequenzkontinuierliches Spektrum ermittelt, erhält
man mit der DFT ein diskretes Spektrum einer Folge u(n) (z.B. Datenfolge), d.h. nur noch
endlich viele Stützstellen des Spektrums U(jΩ). Aus diesem Sachverhalt resultiert die
Bedeutung der DFT bei Digitalrechneranwendungen.( Bracewell, 1987)
Definition der DFT:
∑
=∆Ω −
=
∆Ω−
1
0
*
*)(:)( N
k
jkn
ekujnU(2.3.16)
mit N = Anzahl der Stützstellen im Abstand ∆Ω,∆Ω =2
π
N
, n = 0,1,2,....,N-1
Inverse DFT:
Defefinition der IDFT:
29
∑∆Ω=−
=
∆Ω
1
0
*
*)(
1
)( N
n
jkn
ejnU
N
ku (2.3.17)
mit k = 0,1,2,....,N-1
Zu N Stützstellen z.B. N Daten erhält man bei der DFT nur noch N Spektralwerte. Bei sehr
umfangreichen Datenfolgen (z.B. N = 1000) ist die Ermittlung der Spektralwerte rechen- bzw.
zeitintensiv. Um bei gleichem Ergebnis die Rechenzeit zu vermindern, werden an Stelle der
Definitionsbeziehung der DFT mit Vorteil FFT-Algorithmen (FFT = Fast Fourier Transform
= schnelle Fouriertransformation) angewandt.
2.3.7. Zweiseitige z-Transformation (ZT)
Die z-Transformation ermöglicht die Beschreibung diskreter linearer Filter (ähnlich wie die
Laplace-Transformation bei kontinuierlichen linearen Filtern) (Jury 1964). Ebenso stellt die z-
Transformation eine Erweiterung der Fouriertransformation von Zahlenfolgen dar.
Definition der ZT:
{}
{}
1=T,*)()(Z:(z)U.
*)()(Z:(z)U
∑
∞
−∞=
==
∑
∞
−∞=
==
−
−
kzkukubzw
kzkTukTu
k
k
(2.3.18)
mit U(z) = Polynom
z = Re{z} + j*Im{z}
Inverse z-Transformation:
Definition der IZT:
dzzzU
j
nu n
C
1
*)(
2
1
)( −
∫
=
π
(2.3.19)
Der Integrationspfad C muss, laut „Funktionentheorie“, singuläre Punkte von U(z)
einschließen.
2.3.8. Kalman - Filtertechnik
Die Kalman-Filtertechnik stammt aus dem Bereich der Regelungstechnik. Ziel ist es dort,
aktuelle Prozesszustände an Sollzustände anzunähern. Bei der Kombination von Daten
verschiedener Sensoren, aus denen eine Vielzahl von Zielparametern abgeleitet werden kann,
ist der Kalman-Filter bei der Interpretation eine gute Alternative. Anders als in der
Regelungstechnik, wo Prozesse an Sollzustände anzupassen sind, wird in der Messtechnik
dieses Ausgleichungsproblem iterativ so lange durchgeführt, bis die Abweichungen zwischen
dem Modell (Systemmatrizen) und den gemessenen Zuständen (beobachtete Deformationen)
zu einem Minimum werden. Mit den so ermittelten Systemmatrizen liegt dann ein
zufriedenstellendes mathematisches Bauwerksmodell vor.
30
Liegen für das zu überwachende Objekt Kenntnisse über Ursache und Wirkung von
Deformationsprozessen vor, können sie als Grundlage für ein qualitatives Modell dienen. Das
Aufstellen eines Systems von Differentialgleichungen führt zu einer Systemgleichung. Diese
mathematische Formulierung beschreibt das System theoretisch. Eine empirische
Beschreibung erfolgt durch die messtechnische Überwachung, die Messgleichung.
Sind die Vorkenntnisse falsch oder unzureichend, führt dies zu Unverträglichkeiten zwischen
Theorie und Empirie. Ziel ist es, das durch die Systemgleichung definierte
Übertragungsverhalten mit Hilfe der Messgleichung zu kontrollieren.
Ein Hilfsmittel zur mathematisch-statistischen Systemidentifikation ist der KALMAN-Filter.
Dabei werden die Übertragungseigenschaften des Systems, die durch Differentialgleichungen
beschrieben werden in ein Vektordifferentialgleichungssystem 1. Ordnung umgewandelt mit
den Unbekannten x(t) = geodätisch beobachtbare Größen. Die Änderung der Unbekannten
wird durch folgendes allgemeines Gleichungssystem beschrieben (Welsch 1998):
)
()
(
)(
)
(tCw
t
Bu
t
Txtx ++=
&(2.3.20)
T... Transitionsmatrix
B... Stellgrößenmatrix
C... Störgrößenmatrix
Durch die bekannte Messgleichung l(t) = Ax(t) erfolgt die Verknüpfung mit der
Systemgleichung. Zusammen stellen die Gleichungen den KALMAN-Filteransatz dar. Für
diskrete Zeitpunkte lassen sich die Gleichungen folgendermaßen definieren:
•Systemgleichung: kkkkkkkkkk wCuBxTx ,1,1,11
~++++ ++= (2.3.21)
•Messgleichung:
1
1
1+++ =kkk xAl (2.3.22)
Auf die Angabe der Kofaktorenmatrizen wird verzichtet, da hier nur der Ansatz des Kalman-
Filters verdeutlicht werden soll.
Unverträglichkeiten von Theorie und Empirie lassen sich durch die Differenz aus
Systemgleichung und beobachteten geometrischen Verhältnissen aufdecken:
1
111
~
++++ −= kk
k
kxAld (2.3.23)
Mit der Verstärkungsmatrix K und dem Differenzvektor erfolgt die Aufdatierung des
Zustandsvektors, welcher die neuen Verhältnisse wiedergibt:
1
1
1
1++++ +=
k
k
kk dKxx (2.3.24)
Das größte Problem der Systemidentifikation bereitet die Formulierung der Transitions-,
Stellgrößen- und Störgrößenmatrizen. Für diese Matrizen ist die Kenntnis der
Materialparameter notwendig, die in vielen Fällen nicht hinreichend bekannt sind. Das Ziel
muss sein, die Systemmatrizen für spezielle Anwendungen allgemeingültig anzugeben, was
jedoch gute Kenntnisse über das Objekt voraussetzt.
Der Vorteil des Kalman-Filters liegt in seiner Echtzeitfähigkeit und in der Rekursivität. Um
den gegenwärtigen Zustand zu bestimmen, werden nur der bis dahin geschätzte Zustand und
die gegenwärtigen Beobachtungen mit ihren Kovarianzmatrizen benötigt. Bis zu diesem
31
Zeitpunkt erfolgte Beobachtungen werden implizit in der Fortschreibung der
Kovarianzmatrizen und Parameter berücksichtigt. Funktionale und stochastische Parameter
werden in einem konsistenten Modell beschrieben.
Das Problem der Trennung von Signal und Rauschen kann nicht immer befriedigend gelöst
werden. Dazu variieren die funktionalen und stochastischen Parameter eines Messprozesses
zu schnell. Dennoch ist der Kalman-Filter als ein wesentliches Hilfsmittel zur Auswertung
kinematischer Messungen gut geeignet. Er allein reicht jedoch nicht aus, um den stetig
steigenden Anforderungen gerecht zu werden. Erst im Zusammenhang mit anderen
Algorithmen wird eine Lösung der aktuellen Aufgaben möglich.
Als wichtigste Eigenschaften des Kalman-Filters können festgehalten werden:
- die Fortschreibung der Kosvarianzmatrix,
- die Kombinierbarkeit der Daten verschiedener Sensoren sowie
- seine Echtzeitfähigkeit.
Bedingt durch redundante Beobachtungen erhält die Ausgleichungsrechnung auch in der
Sensorik wieder ihre alte Bedeutung. Die Verwendung redundanter Sensoren wird aus
Gründen der besseren Rauschunterdrückung und der größeren Zuverlässigkeit und
Genauigkeit unverzichtbar sein. Als Ergebnis erhält man das wichtige Nebenprodukt, die
Systemmatrizen, deren Parameter das Bauwerk auf mathematische Weise beschreiben. Eine
exemplarische Anwendung des Filteransatzes in seiner Realisierung als Hannoverahnisches -
Filter ist in Gülal zu finden (Gülal 1997).
2.3.9. Vergleich von Laplace- und z-Transformation
Durch Variablensubstitution gemäß der Vorschrift z = esT geht die zweiseitige diskrete
Laplace-Transformation (Rainville 1963, Marko 1982)
{}
∑
∞
−∞=
=−
k
ekTutuL skT
*)()(
δ
(2.3.25)
in die zweiseitige z-Transformation (2.3.18) über.
Geometrische Deutung:
Abb. 2.3: Zweistufige z-Transformation
Es gilt:
32
{
}
k-
k-
re=z r)(er)((z)Ujku
k
ku jk ℑ=
∑
∞
−∞=
=Ω−
Ω(2.3.26)
Fürr=1($
=Einheitskreis) folgt:
{}
)()(eU(z)Uj
re=z jkuℑ== Ω
Ω(2.3.27)
sofern die z-Transformierte auf dem Einheitskreis (d.h. z = ejΩ) existiert.
Frequenzgang:
{}
Ω
==ℑΩ Ωj
e=z
j(z)U)(eU)(=)(jUku (2.3.28)
3. Integrierte Lösung für Deformationsaufgaben
3.1. Voraussetzungen und Lösungsweg
Wie bereits aus Abschnitt 2 ersichtlich, sind die Untersuchungen von Deformationen einer
großen Anzahl von Objekten mit integrierten Lösungswegen verbunden. Das betrifft
besonders Ingenieurobjekte, bei denen die Relationen: einwirkende Kräfte - Objekt -
Verschiebungen - Deformationen – relativ eindeutig sind. Von besonderer Bedeutung ist es
hier, Lösungen zu finden, die die vorhandenen Bedingungen, Konstruktionsbesonderheiten,
und die technischen Erfassungsoptionen möglichst genau berücksichtigen. Weiter ist es
wichtig, dass man das Objekt vollständig untersucht, um deformierbare Flächen, einwirkende
Kräfte und Spannungen zu bestimmen und zu interpretieren.
Des weiteren ist wichtig:
- das Vorhandensein von einem homogenen, deformierbaren Medium für das z.B.
die Elastizitätstheorie gültig ist
- die Möglichkeit geodätisch markierte diskrete Punkte auf dem Objekt zu
bestimmen und zu kontrollieren, die für das Objekt repräsentativ sind
- die Möglichkeiten für eine weitere Diskretisierung sollten gegeben sein
- die Ergebnisse sollten so Informationsreich sein das eine vollständige Abschätzung
des Zustands, der Änderungen und der Gefahr für die Stabilität und Sicherheit des
Objekts erhalten werden kann.
- die stochastischen Eigenschaften, die durch geodätische Methoden bestimmt
worden sind, sollten weiter auf die bautechnischen Elemente übertragen werden
- die schon existierenden und gut bewährten Teillösungen in der Geodäsie,
Photogrammetrie, Mathematik u. s. w., wie z. B. Transformationen sollten hier
einbezogen werden.
- die Aufgabe möglich komplex- und interdisziplinär zu betrachten
Die Beziehungen zwischen den einwirkenden Kräften, Spannungen, Deformationen und
Verschiebungen im Kontinuum und an den Ingenieurbauten stellen den Allgemeinfall der
Deformationsuntersuchung dar. Anhand geodätischer Messungen werden Koordinaten und
Verschiebungen ausgewählter Punkte am untersuchten Objekt mit ihren stochastischen
33
Eigenschaften erhalten. Weiter können sie für die Untersuchung des Spannungs- und
Verzerrungszustandes verwendet werden. Zur Lösung dieser Aufgaben können
unterschiedlich existierende oder neue Lösungsstrategien angewandt werden. Von großer
Bedeutung ist die Berücksichtigung der Eigenschaften sowie der Stochastik der geodätisch
bestimmten Größen.
Da sich alle Abbildungen mit der Frage der Verzerrung beschäftigen, erscheint es sinnvoll, die
Verzerrungen eines Körpers mit der Suche nach einer geeigneten Abbildungsfunktion zu
verknüpfen. Dabei steigt mit der Inhomogenität der Verzerrungen die Komplexität der
Abbildung. Die in der Geodäsie vorhandenen mathematischen Lösungswege, die ihre Stärken
bewiesen haben, wie z.B. Transformationen, können effektiv bei der Untersuchung der
Kontinuumänderung eingesetzt werden. Sie erlauben eine schnelle und effiziente Lösung der
Aufgabe. Als Voraussetzung dafür gelten die Kenntnis der Verschiebungsvektoren der auf
gemeinsame Deformationsparameter untersuchten Objektpunkte zweier diskreter Zustände.
Zur Beschreibung der Verzerrungen unter Berücksichtigung der elastischen Eigenschaften des
Objekts soll im folgenden ein Lösungsweg entwickelt werden.
Eine auf dem Objekt definierte Fläche soll so verformt werden, dass die ausgewählten
Objektpunkte ihre signifikante Verschiebung vom Gleichgewichtszustand Ain den
Gleichgewichtszustand Bdurchführen. Dies soll unter Einhaltung der
Nachbarschaftsbeziehungen (geometrische Verträglichkeit) und der Randbedingungen
erfolgen. Somit wird das Problem der zweidimensionalen Deformation zum Problem der
Abbildung einer Fläche in eine andere. Diese kann einer Delauney Diskretisierung unterzogen
werden, in dem die Objektpunkte die Dreiecksknoten mit bekannter Verschiebung darstellen.
Diese Dreiecke können einer erneuten Diskretisierung unterzogen werden. Dabei werden die
Objektpunkte als die, eine vorgeschriebene Verschiebung durchführen, betrachtet und die
Neupunkte sind die Knotenpunkte aus der zweiten Diskretisierung.
Die Dreiecke sind nicht unabhängig voneinander. Ändern sich die Koordinaten eines oder
mehrerer Dreieckspunkte, so hat das direkt eine Änderung der Koordinaten angrenzender
Dreiecke zur Folge.
Durch eine Dreiecksvermaschung über die Punkte, deren Verschiebung unbekannt ist, werden
die Verschiebungen der Stützpunkte auf die unbekannten Punkte verteilt. Dabei gelten für die
Dreiecksseiten Bedingungen. Diese Bedingungen können z.B. eine gewichtete
Maßstabsänderung der Dreiecksseiten sein. Die Gewichtung kann anhand der Fläche der
Dreiecke erfolgen. Durch die Dreiecksvermaschung sollen nun die bekannten Verschiebungen
der Stützpunkte, entsprechend den Bedingungen, die Verschiebung, der in die
Dreiecksvermaschung einbezogenen Objektpunkte bewirken. Damit ist die
Abbildungsvorschrift für alle Punkte definiert.
Da sich viele feste Stoffe elastisch verhalten, ist es möglich, den Übergang von den bekannten
Dreiecksseiten im gedehnten und ungedehnten Zustand auf die Verzerrungen, mit Anwendung
des Hookschen Gesetzes, zu beschreiben. Die berechneten Verzerrungen für jedes Element
lassen sich über das Stoffgesetz in Spannungen umrechnen, die bei Berücksichtigung der
diskreten Flächen auf die darauf wirkenden Kräfte schließen lassen. Die Auswertemethode
lässt sich bis zum Erreichen einer gewissen Grenzspannung anwenden. Nach deren
Überschreitung kommt es zu Brüchen, zum Fließen und zu plastischen Deformationen, dabei
reagiert das Medium nicht mehr homogen elastisch.
34
3.2. Diskretisierung des Kontinuums
Rechenaufwand und Diskretisierungsgrad können durch die Maschenvorgabe gesteuert
werden . Für die Diskkretisierung kommen zwei mögliche Herangehensweisen in Betracht.
Für die nachfolgende Ausführung definieren wir sie als einstufige und zweistufige Lösung.
Bei der einstufigen Lösung wird ein reguläres Netz generiert, das parallel zu den beiden
Koordinatenachsen entwickelt wird. Dabei ist die Möglichkeit gegeben in X und Y
unterschiedliche Maschenabstände zu definieren. Das Ganze wird durch ein Polygon begrenzt
das die äußersten Objektpunkte verbindet. Die Extrapolation außerhalb des Polygons wäre
unerwünscht da sie fehlerhafte Ergebnisse liefert. Das rechtwinklige Netz kann auch unter
einem bestimmten Winkel zu den Koordinatenachsen gedreht werden.
Zweite Ausführungsmöglichkeit der Vernetzung bei der einstufigen Lösung ist ein Radialnetz
mit Zentrum im Schwerpunkt des Objektpunktnetzes. In der Geodäsie so auch im Sinne der
Diskretisierung ist der Begriff Netz als geometrische Verknüpfung von Knoten und Kanten zu
verstehen. Dabei ist auch die schon genannte Randdefinition einzuhalten.
Abb. 3.1 Zweistufige Diskretisierung
Bei der zweistufigen Generierung werden die Objektpunkte zu Dreiecken vermascht, so dass
z.B. eine Delauney Triangulation entsteht. Als weiterer Schritt folgt die Unterteilung dieser „
Makrodreiecke“ nach der in der einstufigen Generierung genannten Methode (Abb. 3.1). Die
Bildung des reguläres Netzes erfolgt parallel zu einer der Dreiecksseiten oder gedreht unter
einen bestimmten Winkel. Beim Radialnetz befindet sich das Zentrum im übergeordneten
Dreiecksschwerpunkt, was den Vorteil hat, dass man diesem charakteristischen Punkt auch
zusätzliche Eigenschaften zuordnen kann, z.B. der Strainellipsen (Welsch 1983 ) .
Die so entstandenen finiten Vierecke aus den Maschen werden durch Diagonalverbindung in
Dreiecke unterteilt. Damit ist die Diskretisierung abgeschlossen. Die Strainparameter
benachbarter Dreiecke sind stark korreliert, da von den vier Punkten, aus deren
35
Verschiebungen sie abgeleitet werden, zwei in die Berechnung beider eingehen. Dies wird in
der nachfolgenden Ausgleichung berücksichtigt (Kersting 1992).
Empfehlenswert ist es den Diskretisierungsprozess interaktiv zu beeinflussen, um bestimmte
Bedingungen einzuhalten, die für die nachfolgenden Algorithmen von Bedeutung sind.
An erster Stelle dürfen sich keine „entarteten“ Drei- oder Vierecke bilden, deren Fläche in
etwa 0 ist.
Dreiecke mit extrem spitzen Winkeln könnten nach der Deformation leicht in eine Linie
übergehen oder sich spiegeln, beides ist für die Abbildungsvorschrift nicht zulässig.
Die Diskretisierung sollte sich im Falle der Gewinnung neuer Erkenntnisse zur Struktur des
untersuchten Körpers flexibel ändern lassen, wie z.B. über signifikanten Inhomogenitäten, um
dadurch einer Veränderung der Diskretisierungsbedingungen Rechnung zu tragen.
3.3. Übertragung der nachgewiesenen Verschiebungseigenschaften auf den
Knoten der Diskretisierung
3.3.1. Voraussetzungen
Ziel sei eine geeignete Übertragungsfunktion zu finden, die den Übergang zwischen zwei
Gleichgewichtszuständen, von unverformten zum verformten Objekt, beschreibt.
Wenn ein Objekt deformiert wird, setzt es den verursachenden Kräften mit zunehmender
Dehnung zunehmenden Widerstand entgegen. Das hat zur Folge, dass die Punkte des Objektes
die Lage einnehmen werden, in der die Dehnungen minimal sind. Das heißt, die
Verformungsenergie minimal ist. Das gilt natürlich nur so lange, wie das Material nicht
übermäßig belastet wird, was sonst eine Zerstörung des Objektes zur Folge hätte. Das
bedeutet, dass die Quadratsumme der Differenzen der als Beobachtungen eingeführten
Strecken zwischen den Punkten mit gemessenen Verschiebungen und dieser aus der
zusätzlichen Diskretisierung in beiden Beobachtungszeitpunkten möglichst minimal sein
sollte. Die Gewichtsmatrix P wird gebildet aus den Reziproken des Quadrates der
Seitenlängen der Elemente aus Diskretisierung des Objektes aus den ersten
Beobachtungszeitpunkt.
min
2=∆⋅=
∑
∑sPWF(3.3.1)
Eine andere Definition ergibt sich unter der Annahme, dass die Verformungsenergie einer
Fläche proportional zu dem Produkt aus der Fläche und dem Quadrat der Maßstabsänderung
ist. Dies soll unabhängig von der Form der Fläche sein.
2
mFWF∆⋅≅ (3.3.2)
Der Ausdruck (3.3.2) stellt die innere Energiedichte dar.
Die Zielfunktion lautet: Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte aller Dreiecke so, dass die
Summe der Verformungsenergie minimal wird (Gielsdorf , Gründig 1997).
min
2=∆⋅=
∑
∑mFWF(3.3.3)
36
Die Zielfunktion der Methode der kleinsten Quadrate lautet:
min
2=⋅
∑vp (3.3.4)
daraus folgt, die Gesamtfläche befindet sich genau dann im Zustand der geringsten
Verformungsenergie wenn die Quadratsumme der Maßstabsänderungen multipliziert mit der
jeweiligen Fläche des Einzelelements minimal ist. Im funktionalen Modell der Ausgleichung
werden daher Maßstäbe als Beobachtungen eingeführt und mit der Fläche des Elementes
gewichtet.
Bei der allgemeinen Deformation eines zweidimensionalen Elements kommt es zu drei
Maßstabsänderungen:
Maßstabsänderung in x-Richtung
Maßstabsänderung in y-Richtung
Scherung zwischen x- und y-Achse
Um die Scherung zwischen x- und y-Achse ebenfalls direkt als Maßstabsänderung betrachten
zu können, wird dies aus der Formel für einen Kreisbogen erhalten.
α
r
b=(3.3.5)
bBogenlänge
α
Zentriwinkel
rRadius
Daraus folgt:
α
α
∆
=
∆
=∆ b
b
m. (3.3.6)
3.3.2. Ebene Koordinatentransformation
Von den im zweidimensionalen Fall möglichen 4-, 5 und 6- Parameter-Transformationen
werden wir uns nur mit der letzten näher beschäftigen. Die 4 Parameter-Transformation
beinhaltet 2 Translationen ,1 Rotation und 1 Maßstab. Bei Vernachlässigung des Maßstabs,
wird wie bereits im Abschnitt 2 behandelt nur eine Starrkörperbewegungen beschrieben. Die
5 Parameter-Transformation würde eine Starrkörperbewegung eines zweiteiligen Körpers
beschreiben, bei dem zusätzlich noch ein Auf- oder Auseinanderdriften beider Teile
stattfindet. Als Beispiel können wir zwei Blöcke eines Massives betrachten die durch ein
Spalt getrennt sind. Für die Beschreibung von Bewegungen unterschiedlicher Größenordnung,
die innerhalb eines Kontinuums stattfinden und unumgänglich zu Verzerrungen respektive
Spannungen führen, ist im zweidimensionalen Fall die durch 6 Parametern beschriebene auch
ebene Affintransformation, geeignet. Sie erlaubt außer der Modellierung unterschiedlicher
37
Maßstäbe in den beiden Achsrichtungen des lokalen Systems auch eine Abweichung vom
rechten Winkel den sie miteinander bilden.
Ziel der Transformation ist die Übertragung (Abbildung) der identisch bezeichneten
Objektpunkte vom Zustand im Beobachtungszeitpunkt Iin den Zustand
Beobachtungszeitpunkt II. Da in der Regel über mehr als drei identisch bezeichnete Punkte in
beiden Zeitpunkten verfügt wird, liegt ein Ausgleichungsproblem vor.
3.3.3. Ebene bilineare Transformation für ein 4 Knoten Element als
Abbildungsfunktion.
Gegeben sei ein viereckiges Einzelelement.
Eine Transformation der Form
auch bekannt als Möbius Transformation (Thomas 1979), hat folgende Eigenschaften:
• f kann als Kombination einer endlichen Anzahl von Rotationen, Translationen,
Skalierungen und Inversionen betrachtet werden.
• f bildet eine verformte komplexe Fläche in sich selbst
• f bildet Kreise und Linien in Kreise und Linien ab.
• f ist konform
Zur Herleitung der Verschiebungs- Interpolationsmatrix wird auf die
Knotenpunktverschiebungen zurückgegriffen die sich durch
()
yx,
ξ
und
()
yx,
η
ausdrücken lassen. Der funktionale Zusammenhang zwischen den Verschiebungen
ξ
,
η
und
den Koordinaten yx,sei durch eine bilineare Transformation der Form
xyayaxaa
xyayaxaa
32221202
31211101
+++=
+++=
η
ξ
(3.3.7)
gegeben (Kraus 1994).
Die unbekannten Koeffizienten 2301.....aa lassen sich durch die unbekannten
Knotenpunktverschiebungen 4.....1
ξ
und 4
.
...
1
η
ausdrücken.
Mit
()
,
dcz
baz
zfw +
+
==
38
[]
4141 .............
η
η
ξ
ξ
M=ξ(3.3.8)
kann (3.3.7) in Matrizenform wie folgt aussehen:
()
()
Φa=
yx
yx
,(
,
η
ξ
(3.3.9)
Hier ist
=φ
φ
Φ
[]
xyyx1=φ(3.3.10)
und
[]
32
2
21202
3
121
1
101 aaaaaaaa
TM=a.
Gleichung (3.3.9) wird für alle Knotenpunkte angesetzt, daher ergibt sich unter
Berücksichtigung von (3.3.8):
Aaξ=(3.3.11)
Hier ist
=
1
1
A
A
Aund
−−
−−
−−
=
1111
1111
1111
1111
1
A
Wenn (3.3.11) nach aaufgelöst wird und das Ergebnis in (3.3.9) eingesetzt wird, ergibt sich
1−
=ΦAH (3.3.12)
als Verschiebungs– Interpolationsmatrix bezeichnet.
Die Verzerrungs– Verschiebungsmatrix kann nun direkt aus (3.3.12) gewonnen werden.
Unter der Voraussetzung, dass für den ebenen Spannungszustand die Verzerrungen
[]
xyyyxx
T
γεε
=ε(3.3.13)
sich aus (3.3.7) nach Differenzierung nach xund entsprechend nach yergeben und das die
Elemente in 1−
Avon x,yunabhängig sind, ist sie entsprechend
1−
=
E
A
B
(3.3.14)
39
mit
=
yx
x
y
010100
1000000
0000010
E(3.3.15)
Den generalisierten Spannungsvektor ergibt sich aus:
C
ετ =(3.3.16)
wobei Ceine generalisierte Elastizitätsmatrix ist.
3.3.4. Ebene affine Transformation für ein 3 Knoten Element als Abbildungsfunktion
Eine Transformation der Art:
wird affine Transformation genannt (Thomas 1979) und hat folgende Eigenschaften:
• f kann als Kombination einer endlichen Anzahl von Rotationen, Translationen,
Skalierungen betrachtet werden.
• f ist parallel- und teilverhältnistreu
• f ist konform
und Einschränkungen:
• Das Dreieck darf nicht gespiegelt werden
• Die Fläche des Dreieckes darf nicht null sein.
Wichtig für das Ausgleichungsmodell ist die Beziehung zwischen den
Transformationsparametern und den unbekannten Koordinaten der Dreiecksknoten.
Jedes Dreieck kann durch eine 6-Parameter(affine) Transformation eindeutig auf ein anderes
abgebildet werden. Der Ansatz lautet (Kraus 1994):
yaxaa
yaxaa
221202
211101
++=
++=
η
ξ
(3.3.17)
Die Transformationsmatrix beinhaltet dabei die Information über die Maßstabsänderungen in
x- und y-Richtung sowie die Scherung zwischen den Koordinatenachsen.
()
z
dc
ba
zzfw
+
+
+== 0
40
⋅⋅
⋅⋅
=
=yyyy
xxxx
mm
mm
aa
aa
ϕϕ
ϕ
ϕ
sincos
sincos
2212
2111
A(3.3.18)
Die Formeln für die Maßstäbe in xund yergeben sich aus dem trigonometrischen
Pythagoras:
2
22
2
12
2
21
2
11
aam
aam
y
x
+=
+=
(3.3.19)
Den Winkel zwischen x- und y-Achse kann man mit Hilfe eines Additionstheorems
berechnen. Das Additionstheorem lautet:
β
α
β
α
β
α
sinsin
c
oscos)cos( +=− (3.3.20)
Aus dem Aufbau der Matrix A folgt:
()
()
22211211
22211211
2221
1211
)cos(
cos
sinsincoscos
1
sinsin
coscos
aaaa
mmaaaa
mmaa
mmaa
yx
yx
yxyxyx
yxyx
yxyx
⋅+⋅=−
−
+⋅
≈
=⋅+⋅
⋅=⋅
⋅=⋅
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
4444434444421321
(3.3.21)
Der Scherungswinkel εerrechnet sich wie folgt:
yx
ϕϕ
π
ε
−+=2(3.3.22)
entsprechend
)cos(sin yx
ϕ
ϕ
ε
−= (3.3.23)
Aufgrund der Tatsache, dass εein sehr kleiner Winkel ist kann geschrieben werden
2221
1
2
1
1
sin aaaa ⋅+⋅=≈
ε
ε
(3.3.24)
41
Die ursprünglichen Verbesserungsgleichungen stellen die Messwerte als Funktion der
Unbekannten dar. Messwerte in diesem Ausgleichungsmodell sind mx,m
yund
ε
. Unbekannte
sind die Koordinaten der Knotenpunkte der Dreiecke. Bisher liegen uns die Beobachtungen
nur als Funktion der Transformationsparameter 12,2111,aaa und
2
2
avor. Es ist also
erforderlich, diese Transformationsparameter explizit als Funktionen der Unbekannten
darzustellen.
Der Zusammenhang zwischen Transformationsparametern und Koordinaten lässt sich
zunächst nur implizit in Form eines Gleichungssystems ausdrücken.
)3(
02222123
)3(
01213113
)2(
02222122
)2(
01212112
)1(
02221121
)1(
01211111
η
ξ
η
ξ
η
ξ
=++
=++
=++
=++
=++
=++
aayax
aayax
aayax
aayax
aayax
aayax
(3.3.25)
Eine explizite Darstellung der Transformationsparameter als Funktion der Unbekannten wird
möglich durch Anwendung der Cramerschen Regel (Gielsdorf, Gründig 1997). Die
Transformationsparameter berechnen sich dann als Quotienten von Determinanten.
A
A
A
A
A
A
A
A
det
det
det
det
det
det
det
det 22122111 22122111 aaaa aaaa ====
(3.3.26)
Die Determinante für das Gleichungssystem (3.3.25) ist:
()()()
213132321
det yyxyyxyyx −+−+−=A(3.3.27)
In den Quotienten (3.3.26) stehen nur noch die unbekannten globalen Koordinaten und die
„beobachteten“ lokalen Koordinaten. Nach Auflösung der Ausdrücke (3.3.26) und Ableitung
nach den Koordinaten ergeben sich die Koeffizienten der Jacobimatrix.
Für die Maßstabsgleichung der x-Achse ergibt sich:
42
()()
()()
()()
A
A
A
det
det
det
12212111
3
31211311
2
23213211
1
⋅
−⋅+−⋅
=
⋅
−⋅+−⋅
=
⋅
−⋅+−⋅
=
x
x
x
x
x
x
m
xxayya
x
m
m
xxayya
x
m
m
xxayya
x
m
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(3.3.28)
Für die Maßstabsgleichung der y-Achse ergibt sich:
()()
()()
()()
A
A
A
det
det
det
12222112
3
31221312
2
23223212
1
⋅
−⋅+−⋅
=
⋅
−⋅+−⋅
=
⋅
−⋅+−⋅
=
y
y
y
y
y
y
m
xxayya
y
m
m
xxayya
y
m
m
xxayya
y
m
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(3.3.29)
Für die Scherungsgleichung entsprechend:
()() ()()
()() ()()
()() ()()
AA
AA
AA
detdet
detdet
detdet
12212111
3
12222112
3
31211311
2
31221312
2
23213211
1
23223212
1
xxayya
x
xxayya
x
xxayya
x
xxayya
x
xxayya
x
xxayya
x
−⋅+−⋅
=
−⋅+−⋅
=
−⋅+−⋅
=
−⋅+−⋅
=
−⋅+−⋅
=
−⋅+−⋅
=
∂
∂ε
∂
∂ε ∂
∂ε
∂
∂ε
∂
∂
ε
∂
∂
ε
(3.3.30)
Die gesuchten Koordinaten der Knotenpunkte können, unter Einhaltung der vorgegebenen
gemessenen Verschiebungen, durch eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen
bestimmt werden. Es können auch zusätzliche Bedingungen eingeführt werden, wie
Parallelitäts- und Geradenbedingungen, welche die Modellierung zusätzlicher Informationen
erlauben.
43
3.3.5. Die Gewichtungsproblematik
Die Gewichtung bei der Ausgleichung von Maßstabsbeobachtungen erfolgt nach der Fläche
des entsprechenden Dreiecks oder proportional zum Quadrat seiner Seitenlängen (Strecken).
Wichtig für die korrekte Modellierung des diskretisierten Objektes sind die Randbedingungen.
Falls das nicht geschieht, treten Extrapolationseffekte auf und das Modell ist fehlerhaft.
Ersichtlich aus dem Beispiel in 5.2.3 ist, dass das flächengewichtete Modell ein homogenes
Medium besser repräsentiert. Als Erklärung dafür dient die Tatsache, dass der
Interpolationsvorgang in der zweiten Ableitung stattfindet was auch für eine Glättung sorgt.
Bei bekannten Materialeigenschaften können über Gleichung (3.3.38) die
Hauptspannungskomponenten für jedes diskrete Dreieck bestimmt werden und daraus auch
die Kraftänderungen zwischen beiden Gleichgewichtszustände.
Falls die Initialkräfte- und Spannungen für die erste Analyse bekannt sind können danach
auch die absoluten Werte ermittelt werden. Mit zusätzlicher Einführung des Zeitfaktors in das
Modell würde dies einer dynamischen Modellierung entsprechen die das Ergebnis einer
integrierten Lösung ist.
Die Verwaltung dieser fachübergreifenden Detailinformationen lässt sich praktisch nur im
Rahmen einer objektbezogenen Informationsdatenbank bewältigen (Siehe dazu Kap. 5.1).
3.3.6. Ableitung der äußeren Kräfte aus den Verschiebungen - Inverse der FE
Aufgabe
Für den Zusammenhang zwischen einwirkenden Kräften und der Verschiebung jedes
diskreten Knoten des untersuchten Objektes, unter Berücksichtigung der
Materialeigenschaften, steht in der Mechanik die Kraft - Verschiebungs Relation zur
Verfügung.
0fdK =+ (3.3.31)
Dabei ist Kdie Steifigkeitsmatrix, fsind die Knotenkräfte und ddie
Knotenpunktverschiebungen.
In Abhängigkeit davon, welche dieser Größen gegeben sind, erhält man drei
Aufgabenstellungen die zu lösen sind (Boljen 1983):
1. Gegeben sind die auf den Knoten angreifenden Kräfte und die entsprechenden Parameter
der Steifigkeitsmatrix. Gesucht werden die Verschiebungen der Knotenpunkte. Diese
Aufgabenstellung entspricht der Lösungsstrategie der Finiten Elementen Methode.
fKd 1−
−= (3.3.32)
2. Gegeben sind die Knotenpunktverschiebungen und die entsprechenden Parameter der
Steifigkeitsmatrix. Gesucht werden die auf den Knoten angreifenden Kräfte. Diese
Aufgabenstellung entspricht der Lösungsstrategie die in dieser Arbeit in 3.3 vorgeschlagen
wird und als Inverse der Finiten Elementen Methode bezeichnet werden könnte.
dKf 1−
−= (3.3.33)
44
3. Gegeben sind die Knotenpunktverschiebungen und die auf den Knoten angreifenden Kräfte.
Gesucht werden die entsprechenden Parameter der Steifigkeitsmatrix. Diese Aufgabenstellung
ermöglicht bei zuverlässiger Kenntnis der Ausgangsgrößen, Materialschwächen im Objekt
ausfindig zu machen.
Diese Gleichungen gelten für jedes aus den Knotenpunkten gebildete Element. Ist das Element
ein herausgelöster Teil eines Objektes, welches sich aus vielen einzelnen Elementen
zusammensetzt, dann müssen noch zusätzlich Knotenkräfte q vorgesehen werden, um das
gestörte Gleichgewicht wieder herzustellen. Das ist notwendig, da benachbarte Elemente
gleiche Knoten haben und sich deshalb gegenseitig beeinflussen. Damit ist auch gleichzeitig
die Bedingung gegeben, dass gleiche Knotenpunkte benachbarter Elemente die gleiche
Verschiebung aufweisen müssen, da sonst das Zusammensetzen der einzelnen Elemente nicht
klaffungsfrei erfolgen kann. Dem ist in der hier vorgeschlagenen Lösung Rechnung getragen
worden.
fKa
q
+= (3.3.34)
Durch f wird die auf das Element einwirkende Belastung auf die Knotenpunkte diskretisiert.
Mit diesem Deformationsmodell ist eine relativ einfache Beschreibung des
Deformationsvorganges unter Einbeziehung der wirkenden Kräfte möglich. Zu bestimmten
Verschiebungen von diskreten Punkten des Objektes existiert eine entsprechende, über die
Materialparameter mit der Verschiebung im Zusammenhang stehende Kraft, die diese
Deformation hervorruft. Besteht das Untersuchungsobjekt aus einem Material, dessen
physikalische Eigenschaften bekannt sind, ist dieses numerisch leicht zu bearbeitende
Deformationsmodell anwendbar (Boljen 1983, Chrzanowski u.a 1983; Gründig,Milev
1996,1999b).
Das Dirichletsche Variationsprinzip besagt, dass von allen möglichen Verschiebungs-
Verzerrungszuständen der exakte Zustand, für den der zugehörige Schnittkraftzustand ein
Gleichgewichtszustand ist, die potentielle Energie zu einem Minimalwert macht. (Knothe
1999)
()
min=Π−Π=Π
a
i
D
Dabei beschreibt:
dBdBCT
T
T
B
Ti
σδεεεεε
=
−
−=Π ∫__
2
1(3.3.35)
das innere Potential und
dRudBpu R
T
R
r
T
B
a⋅+⋅=Π ∫∫ __
σ
σ
(3.3.36)
das Potential der äußeren Kräfte.
45
Nach dem Elastizitätsgesetz ergibt sich für die Spannung:
−= _
T
C
εεσ
(3.3.37)
Hier sind
T
ε
die Initialverzerrungen.
Diese Herangehensweise kann als eine Näherungslösung der inversen Aufgabe der Finiten
Elemente betrachtet werden und erlaubt eine effektive Beurteilung des Spannungs- und
Verformungszustandes von Ingenieurobjekten in der Phase nach ihrer Inbetriebnahme. Der
schematische Ablauf der Methode ist in Abb. 3.2 gegeben. Die so berechneten Kräfte- und
Spannungsänderungen können mit entsprechenden Grenzwerten verglichen werden und
helfen somit beim Treffen von Entscheidungen, die dem sicheren Betrieb dienen.
Struktur-
idealisierung
Mechanisches
Mechanisches Modell
Modell
DSW
DSW
DSW
Daten -
bank
Interpretation der Ergebnisse Modellkallibrierung
Kräfteänderung
Processor
Verzerrung
Spannung
materialisierung
Diskretisierung Graphische
Darstellung
32 bits
Abbildung
(zusätzliche)
Verschiebungen
Abb.: 3.2 Integrierte Lösung des Dynamischen Models (Milev I., Gründig 1999b)
46
4. Verallgemeinerte Beziehungen zwischen der Variationsrechnung, der
Ausgleichungsrechnung und den Deformationsuntersuchungen
4.1. Vorbemerkungen
Für Problemstellungen in der Struktur- und Festkörpermechanik wurden die Prinzipien der
virtuellen Verschiebungen, oder Forderung nach Stationarität der gesamten potentiellen
Energie angesetzt.
Die Lösungen basieren auf Bildung und der Anwendung der Lagrangeschen Funktion. Diese
führen zum allgemeinen Fall. In einer Reihe von Sondermodellen werden Vereinfachungen
verwendet, die nicht direkt vom allgemeinen Fall abgeleitet werden.
Von besonderem Interesse ist es, die Aufgabe zu definieren und zu lösen, welche
Lösungsstrategien, Möglichkeiten und Vorteile der MKQ für die Behandlung der Probleme
der Mechanik effektiv anwendet. Grundlage hierfür bietet der allgemeine Fall der
Ausgleichung korrelierter Beobachtungen. Dafür ist es notwendig, einem eigenen dazu
entwickelten Lösungsweg zu folgen für welchen entsprechende Formeln der Verbesserungen,
Unbekannten und Korrelaten mit entsprechender Genauigkeitsabschätzung der Unbekannten
und funktionalen Zusammenhang der ausgeglichenen Größen, abgeleitet und
zusammengestellt werden. Insbesondere wird die Lagrangesche Funktion mit zwei
Multiplikatoren (Korrelaten) angesetzt und interpretiert.
Bewiesen wird dass bei den allgemeinen Fällen der Variations- und Ausgleichungsrechnung
von den gleichen Voraussetzungen, nämlich von der Lagrangesche Funktion und der Suche
eines Extremums auszugehen ist. Weiter ist es von besonderer Bedeutung eine exakte äußere
und inhaltliche Analogie zwischen den Funktionalen beider Formulierungen zu finden, d.h.
zwischen den entsprechenden Variablen und Konstanten, dargestellt in Vektoren und
Matrizen. Damit wird es leichter sein die Analogie nachzuweisen.
4.2. Allgemeine Variationsprinzipien und Modelle zur Lösung von Aufgaben
der Mechanik
4.2.1. Theoretische Grundlagen
Die Berechnung von Variationen ist ein Zweig der Mathematik, bei dem die stationären
Eigenschaften einer Funktion die aus Funktionen besteht, genannt Funktional untersucht
werden. Dabei ist Gegenstand der Berechnung nicht das Finden eines fixierten
Extremalwertes einer endlichen Funktion von Variablen, sondern aus einer Gruppe möglicher
Funktionen diejenige zu ermitteln, bei der das Funktional stationär bleibt.
Die Berechnung der Variation hat ein breites Spektrum von Anwendungen in der
mathematischen Physik. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass ein physikalisches System
sich oft so verhält, dass die Art des Zustandes, in dem es sich befindet, einen stationären Wert
darstellt. Beispiel hierfür ist das Fermatsche Prinzip in der Optik, das besagt, dass ein
Lichtstrahl zwischen zwei Punkten den Weg der kürzesten Durchlaufzeit wählt. Daraus folgt
automatisch, dass sich der Lichtstrahl in einem homogenen Medium geradlinig ausbreitet.
47
Das erste grundlegende Prinzip, das den Zustand eines Teilsystems im statischem
Gleichgewicht unter der Einwirkung äußerer und innerer Kräfte beschreibt, und als Basis der
Variationsformulierung gilt, ist das der virtuellen Arbeit.
0
'=W
δ
(4.2.1)
Wenn alle oben genannten Kräfte von einer potentiellen Funktion
U
abgeleitet werden, die
eine Funktion der Koordinaten der Elemente des Systems darstellt, so dass:
UW
δ
δ
−=
'(4.2.2)
gilt, führt das Prinzip der virtuellen Arbeit zum Prinzip der stationären potentiellen Energie
U.
Die obige Formulierung kann zu einem dynamischen Problem eines Systems aus Elementen,
hin zu zeitabhängig angesetzten Kräften und geometrischen Bedingungen erweitert werden.
Unter Anwendung des d‘Alembertschen Prinzips, das besagt, dass ein System in
Gleichgewicht ist, wenn die inneren Kräfte einbezogen werden, kann das Prinzip der
virtuellen Arbeit das dynamische Problem in ein der Statik sehr naheliegendes umwandeln
(Sommerfeld 1978). Dies geschieht, indem die Anteile, die die virtuelle Arbeit der
Inertialkräfte repräsentieren, herangezogen werden. Das so gewonnene Prinzip wird unter
Berücksichtigung der Zeit tzwischen zwei Zeitpunkten
1
tt =und
2
tt =integriert. Durch
Teilintegration und unter Anwendung der Konvention, dass die virtuellen Verschiebungen bei
der Grenzwertbildung verschwinden, erhalten wir folgende Formulierung des Prinzips der
virtuellen Arbeit für ein dynamisches Problem:
0
2
1
2
1
'=+ ∫∫ t
t
t
t
WdtTdt
δδ
(4.2.3)
darin ist T die kinematische Energie des Systems.
Unter der Annahme, dass die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen des Systems sich aus
dem Prinzip der virtuellen Arbeit ableiten lassen, ist ersichtlich, dass dieses Prinzip sehr
nützlich für die Gewinnung der Bewegungsgleichungen eines Systems aus Teilen mit
geometrischen Zwang (Zwangsbedingungen) ist.
Wenn für weitere Behandlungen sichergestellt ist, dass alle inneren und äußeren Kräfte aus
einer potentiellen Funktion Uabgeleitet werden, die wie in (4.2.3) definiert ist und eine
Funktion der Koordinaten und der Zeit darstellt, ergibt sich das Hamiltonsche Prinzip, das
besagt:
Unter allen zulässigen Konfigurationen des Systems , ist die aktuelle Bewegung der Menge
()
∫−
2
1
t
t
dtUT (4.2.4)
stationär, wenn die Konfiguration des Systems in den Grenzen 1
tt =und 2
tt =
vorgeschrieben ist. Die mathematische Forderung der Stationarität ist :
48
0
2
1
=
∫
t
t
Ldt
δ
,(4.2.5)
wobei UTL −= die Lagrangesche Funktion des Systems ist. Die Legendre-
Transformation erlaubt den Übergang zu einem äquivalenten Prinzip und reduziert die
Lagrangeschen Bewegungsgleichungen in kanonische.
Die Transformationen des Hamiltonischen Prinzips wurden intensiv untersucht und darauf
basierend die Theorie der kanonischen Transformation entwickelt.
Die logische Herangehensweise bei der Definition der Variationsprinzipien kann wie folgt
definiert werden:
Wir gehen von einem festen Körper aus, der sich unter der Einwirkung von Kräften bei
Einhaltung mechanischer und geometrischer Randbedingungen im Gleichgewicht befindet.
Zuerst wird das Prinzip der virtuellen Arbeit angewandt. Es ist äquivalent zu den
Gleichgewichtsgleichungen und den mechanischen Randbedingungen des festen Körpers, und
ist Teil der finiten Verschiebungstheorie, die eine Linearisierung der Gleichungen zulässig
macht. Somit erhält man das Prinzip der virtuellen Ergänzungsarbeit. Bekannt, ist dass die
Prinzipien der virtuellen Arbeit und der virtuellen Ergänzungsarbeit invariant bezüglich
Koordinatentransformationen und unabhängig von der Verzerrungs-Spannungsbeziehung des
Materials sind.
Wenn sicher gestellt ist, dass eine Verzerrungsenergiefunktion existiert und wenn die Summe
der einwirkenden Kräfte während des Variierens der Verschiebungen unverändert bleibt, führt
das Prinzip der virtuellen Arbeit zu dem Prinzip von Derichlet, des Minimums der
potentiellen Energie.
Generell führt das Prinzip der virtuellen Ergänzungsarbeit zur Definition des Prinzips des
Minimums der Ergänzungsenergie bei vorhandener Verzerrungs-Spannungsbeziehung, die die
Existenz einer Ergänzungsenergiefunktion gewährleistet und die geometrischen
Randbedingungen im Laufe der Variation der Spannungen beibehält. Das Prinzip des
Minimums der Ergänzungsenergie wird bei Einführung der Lagrangeschen Multiplikatoren
verallgemeinert und liefert das von Helinger-Reissner oder dies des Minimums der
potentiellen Energie.
Ersichtlich ist, dass beide Formulierungen des Variationsprinzips reziprok und äquivalent sind
solange die finite Verschiebungstheorie der Elastizität gilt.
Die finiten Verschiebungstheorie der Elastizität und das Prinzip der virtuellen Arbeit führen
zu der Einführung des Prinzips der Stationarität der potentiellen Energie, bei Existenz der
Verzerrungsenergiefunktion des Körpers und potentieller Funktion der äußeren Kräfte.
4.2.2. Anwendung der Variationsmethoden
4.2.2.1. Einführung
Für die verschiebungsbezogenen Finiten - Elemente wird für die Feldfunktion
Vollständigkeit und Kompatibilität gefordert. Wenn diese Bedingungen erfüllt, sind
konvergiert die berechnete Nährungslösung monoton auf die exakte Lösung zu. Die
49
Bedingung der Vollständigkeit wird relativ leicht erfüllt. Das gleiche gilt auch für die
Verträglichkeit oder Kompatibilität – so im Beispiel des ebenen Spannungs- und
Verzerrungszustandes, sowie bei der Behandlung von 3D- Körpern wie Staudämmen. Für
Biegungsprobleme, oder insbesondere bei Berechnung von Schalen ist die Kontinuität der
ersten Verschiebungsableitung längs der Grenzen schwer zu erreichen.
Bei komplexen Fällen werden unterschiedliche Elemente für das Idealisieren verschiedener
Bereiche der Struktur verwendet, was die Erfüllung der Kompatibilität unmöglich macht.
Dennoch wird ein Ergebnis erreicht.
Die Schwierigkeit, für gewisse Problematiken kompatible und rechnergerechte
verschiebungsbezogene Elemente zu konstruieren und die unterschiedlichen
Variationsmethoden, begründen die Entstehung zahlreicher Modelle.
4.2.2.2. Inkompatible Modelle
Das sind die Modelle, bei denen die Verschiebungen oder ihre Ableitungen zwischen den
Elementen in einem gewissen Maße nicht kontinuierlich sind. Damit werden die
Kompatibilitätsbedingungen, die beinhalten, dass die Verschiebungen in den Elementen und
in den Elementrändern kontinuierlich sein müssen, nicht befriedigt. Man erhält aber dennoch
befriedigende Rechenergebnisse mit der Methode der Finten Elemente. Der Einfluss der
Inkompatibilität hat aber eine Bedeutung. Wenn bei einer Finite Elemente Berechnung mit
inkompatiblen Elementen die Bedingungen des Ritzischen Verfahrens nicht erfüllt werden, ist
die näherungsweise ermittelte gesamte potentielle Energie notwendigerweise nicht eine obere
Schranke für die exakte gesamte potentielle Energie des Systems. Infolgedessen ist die
monotone Konvergenz nicht sichergestellt. Wenn deshalb die monotone Konvergenz der
Berechnung als Ziel aufgegeben werden muss, dann sind Bedingungen aufzustellen, die
wenigstens eine nichtmonotone Konvergenz sicherstellen. Dafür sollten gewisse
Bedingungen stets erfüllt sein. Eine davon ist die Vollständigkeit des Elements. Mit der
Verkleinerung und Vermehrung der Elemente, soll sich jedes Element einem konstanten
Verzerrungszustand nähern. Um das Problem zu lösen, ist es notwendig eine Gruppierung der
inkompatiblen Elemente durchzuführen. Dies stellt eine weitere Bedingung dar, die zu fordern
ist. Es sollte aber auch geprüft werden, ob die Gruppierung vollständig ist.
4.2.2.3. Gemischte und hybride Modelle
Diese Modelle stützen sich auf die Theorie der virtuellen Verschiebungen oder Stationarität
der gesamten potentiellen Energie Π. Bei der Formulierung dieser Modelle wird von der
Voraussetzung ausgegangen, dass die Verschiebungen die einzigen Lösungsvariablen sind
und dass sie die Verschiebungsrandbedingungen und näherungsweise die Bedingungen
zwischen den Elementen erfüllen müssen. Wenn die Verschiebungen schon berechnet worden
sind, gewinnt man direkt die anderen Variablen, wie die Verzerrungen und Spannungen. Hier
können die Verschiebungen aus 3.3.22 eingesetzt werden und eine Befriedigende
Näherungslösung liefern.
Der verschiebungsbezogene Finite Elemente Lösungsweg kann wie folgt formuliert werden
(Bathe 1986):
• Verwendung der gesamten potentielle Energie
50
()
a
i
DΠ−Π=Π (4.2.6)
Darin ist
∫∫ =
−
−=Π B
T
BT
T
Ti dBdBC
σδεεεεε
__
2
1(4.2.7)
das innere Potential und
dRqudBpu R
T
R
r
T
B
a⋅+⋅=Π ∫∫ __
σ
(4.2.8)
das Potential der äußeren Kräfte.
• Die Forderung nach Stationariät von Πhinsichtlich der Verschiebungen führt zu den
Gleichgewichtsbedingungen :
dRqudBpudBCR
T
R
r
T
B
T
B
⋅∂+⋅∂=∂ ∫∫∫ __
σ
εε
(4.2.9)
• Die Differentialgleichungen des Gleichgewichts und die Spannungsbedingungen werden
bei zunehmender Zahl von Elementen im Grenzfall erfüllt.
• Die Verzerrungs-Verschiebungs-Kompatibilitätsbedingungen und die
Verschiebungsrandbedingungen BU=
ε
(4.2.10)
0=− p
aUU (4.2.11)
werden exakt erfüllt. Hier sind:
p
U- die vorgeschriebenen Verschiebungen,
a
U-Verschiebungskomponenten von U.
Die Voraussetzung für die Stationarität ist die Kompatibilität (4.2.10) und es resultiert
bei Erfüllung von (4.2.11) das Gleichgewicht.
Die hier dargestellte verschiebungsbezogene Finite-Elemente-Methode wird gewöhnlich in
der Praxis eingesetzt. Andere Verfahren sind auch erfolgreich angewandt worden. Diese
werden hier kurz präsentiert.
• StationaritätderErgänzungsenergie
Eines dieser Verfahren beruht auf der Forderung nach Stationarität der gesamten
Ergänzungsenergie.
51
dRudBCR
T
R
r
T
B
⋅∂−=Π ∫∫ −_
1*
2
1
σττ
σ
(4.2.12)
Der Übergang von der gesamten potentiellen Energie zur Ergänzungsenergie wird über die
Legendre –Transformation erreicht. Dabei resultiert fürdieErgänzungsenergie die Suche des
Maximums. Das Flächenintegral wird über eine passende OberflächeRgebildet, mit der
Forderung zsätzlich Randbedingungen aufzuerlegen. Dafürdrückt man die
Spannungskomponenten und die entsprechenden Oberflächenlasten durch die unbekannten
Parameter aus. Gleichzeitig müssen die Spannungsfunktionen die Kontinuität der Spannungen
zwischen den Elementen sowie die differenziellen Gleichgewichtsbedingungen und die
Spannungsrandbedingungen erfüllen. Die Forderung nach Stationarität von *
Π hinsichtlich
der Spannungsparameter ergibt:
dRudBCR
T
R
r
T
B
⋅∂= ∫∫ −_
1
σττ
σ
(4.2.13)
mit
• Spannungsgleichgewichtsbedingungen
φσ
RotRot=(4.2.13.1)
0=− k
r
σ
(4.2.13.2)
Die Voraussetzung für die Stationarität ist das Gleichgewicht (4.2.13.1) und es resultiert
bei Erfüllung von (4.2.13.2) die Kompatibilität.
Es ist ersichtlich dass einige Bedingungen exakt befriedigt werden, aber die Verzerrungs-
Verschiebungs-Kompatibilitätsbedingungen und die geometrischen Randbedingungen sind
nur erfüllt, wenn (4.2.13) für jede beliebige Variation der Spannungen, die
Spannungsbedingungen erfüllt ist. Die StationaritätderErgänzungsenergie hat sich in der
Praxis nicht durchgesetzt, da das Aufstellen der Spannungsfunktion
φ
, sich als schwierig
erweist.
3.2.2.4. Gemischte Variationsformulierungen
Das sind Formulierungen, die durch Erweiterung des Prinzips der Stationarität der gesamten
potentiellen Energie oder der gesamten Ergänzungsenergie entstehen. Sie ermöglichen es, die
Bedingungen abzuschwächen, die die Lösungsvariablen erfüllen müssen und die Zahl und Art
der Lösungsvariablen zu erhöhen, die nun gleichzeitig Verschiebungen, Verzerrungen und
Spannungen sein können. Es wird von den Formulierungen (4.2.6) bis (4.2.11) ausgegangen.
Die Bedingungen für die angenommenen Verschiebungsvariationen aus (4.2.10) und (4.2.11)
können abgeschwächt werden, sofern sie mit Lagrange’schen Multiplikatoren in Π
aufgenommen werden. Das allgemein verwendbare Funktional lautet:
52
dRUUdBBU p
a
R
T
u
B
T
u)()(
1−+−+Π= ∫∫
∏
λελε
(4.2.14)
wobei
ε
λ
und u
λ
Lagrangesche Multiplikatoren , p
U
die vorgeschrieben Verschiebungen
am Rand, und Rdie gesamte Oberfläche sind.
ε
λ
und
u
λ
lassen sich auf Spannungen und
Kräfte zurückführen. Dann kann für (4.2.14) geschrieben werden:
dRUUPdBBU p
a
RR
B
T
u)()(
1−+−−= ∫
∏∫
∏
ετ
(4.2.15)
Diese Variationsformulierung kann als Verallgemeinerung des Prinzips der virtuellen
Verschiebungen angesehen werden. Die Verschiebungsrandbedingungen und die
Verzerrungskompatibilitätsbedingungen sind hier abgeschwächt worden. Alle unbekannten
Verschiebungen, Verzerrungen, Spannungen und Randkräfte variieren. Dieses Prinzip ist eine
wertvolle und sehr allgemeingültige Beschreibung der statischen und kinematischen
Bedingungen des betrachteten Körpers. Wenn man Stationaritätbezüglich jeder einzelnen
unbekannten Variablen verlangt, liefert die Beziehung (4.2.15) das Materialgesetz:
ε
τ
C
=(4.2.16)
die Kompatibilitätsbedingungen (Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehungen):
BU=
ε
(4.2.17)
und die Gleichgewichtbedingungen:
0
0
0
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
B
z
zz
yz
xz
B
y
zyyyxy
B
x
zx
yx
xx
f
zyx
f
zyx
f
zyx
τ
τ
τ
τττ
τ
τ
τ
(4.2.18)
für die Volumen V
B.FürdieRänder des Körpers fallen die vorgeschriebenen Verschiebungs-
bzw. Kräftebedingungen auf u
Rund f
Ran; die Reaktionen auf
u
Rsind gleich den
Lagrangeschen Multiplikatoren.
Die Lösung (4.2.15) ist eine sehr allgemeine „gemischte“Variationsformulierung und daraus
können bei bestimmten Beschränkungen verschiedene Sonderlösungsverfahren abgeleitet
werden. Das sind z. B. die Formulierungen (4.2.6) bis (4.2.11) und ebenso (4.2.12), die
spannungsbezogen ist. Die angenommenen Lösungsvariablen müssen in einer Berechnung mit
finiten Elementen geeignete Kontinuitäts-, Kompatibilität und/oder
53
Gleichgewichtsbedingungen erfüllen. Bei der Lösung wären aneinandergrenzende Elemente
miteinander zu verkoppeln. Die algebraischen Gleichungen, die das gesamte System
beherrschen, enthalten als Unbekannte alle Lösungsvariablen, die im Funktional variiert
werden. Im allgemeinsten Fall sind alle Feldgrößen –Spannungen, Verzerrungen und
Verschiebungen in dem Lösungsvektor der Unbekannten enthalten.
Diese Überlegungen können auch auf die Formulierungen (4.2.12) bis (4.2.13.2) angewandt
werden, was zu einem erweiterten Ergänzungspotential in der Form:
dRRotRotkdBRotRot u
R
T
B
T)()( 21
**
1
φσµφσµ
−+−+= ∫
∏∫
∏(4.2.19)
führt.
In (4.2.19) ist
φ
RotRot die ausgewählte Spannungsfunktion.
4.2.2.5. Hybride Formulierungen
Das sind Formulierungen, die auch Multifelddarstellungen der Lösung benutzen, in dem
einige Variablen auf der Elementenebene vor ihre Gruppierung eliminiert werden. Die
Lösungsvariablen werden von Element zu Element im allgemeinen nicht kontinuierlich sein.
Hier gibt es bei der Lösungswegformulierung auch eine große Zahl von Möglichkeiten. Eine
davon ist z.B. die hybride Spannungsmethode (Pian 1971). Hierbei werden die
Verschiebungen auf den Element-Rändern so angenommen, dass die
Verschiebungskompatibilität zwischen den Elementen gewährleistet ist. Es werden auch
innere Spannungsvariationen angenommen, die die Differentialgleichung des Gleichgewichts
befriedigen. Hier werden die Spannungsparameter eliminiert. So werden viele von den
rechentechnischen Vereinfachungen der verschiebungsbezogenen Formulierung bewahrt. Das
Element, das nach der hybriden Spannungsmethode formuliert wurde, kann direkt in ein
Rechenprogramm eingebaut werden, das zur Auflösung nach den unbekannten
Knotenpunktverschiebungen geschrieben wurde.
In der hybriden Spannungsmethode werden die grundlegenden Annahmen fürdie
Elementspannungen
β
τ
P=(4.2.20)
und für die Verschiebungen auf dem Elementrand
U
H
u
RR =(4.2.21)
verwendet. Die Matrix Penthält die Polynomterme der generalisierten Spannungsparameter,
die im Vektor
β
zusammengefasst sind; die Matrix R
Hin (4.2.21) interpoliert die
Randverschiebungen des Elements.
Aus Gleichungen (4.2.20) und (4.2.21) eingesetzt in (4.2.12) erhält man für ein individuelles
Element die Ergänzungsenergie:
{} }{
UdRHPdBCP R
R
R
T
B
TT ∫∫ −=Π −
σβββ
1*
2
1(4.2.22)
54
wobei R
σ
die Oberflächenspannungen des Elements interpoliert und aus Perhalten sind,
indem man die Koordinaten einsetzt, die den betrachteten Oberflächen entsprechen. Aus den
Stationaritätsbedingungen 0
*=Π
δ
hinsichtlich der Spannungsparameter folgt:
G
UE =
β
(4.2.23)
wo PdBCE B
T
R1−
∫
=
σ
(4.2.24)
und dRHG R
BR
∫
=
σ
(4.2.25)
Daher ergibt sich: GUE1−
=
β
(4.2.2527)
Für (4.2.21) erhält man:
GUEGU TT 1*
2
1−
−=Π (4.2.26)
so dass:
GEGK T1−
=(4.2.27)
Die Wahl der passenden Spannungsfunktionen ist von besonderer Bedeutung fürdie
tatsächliche Anwendung der hybriden Spannungsmethode. Die Zahl der Funktionen muss
großgenug sein, damit die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt werden und ihre Art muss so
sein, dass die wichtigen Spannungsvariationen dargestellt werden können (Bathe 1986) .
55
4.3. Allgemeines mathematisches Ausgleichungsmodell der Methode der
Kleinsten Quadrate
4.3.1. Wesentliches
Bei der Lösung geodätischer Ausgleichungsaufgaben nach der Methode der Kleinsten
Quadrate unterscheiden man zwischen gemessenen, gesuchten und gegebenen Größen.
Zwischen diesen Größen bestehen stochastische und funktionale Abhängigkeiten. Das
mathematische Modell der Ausgleichung hat das Ziel der bestmöglichen Erschließung und
Beschreibung dieser Abhängigkeiten. Es ist möglich, in die Ausgleichung Messungen nicht
geodätischer Herkunft z.B. geotechnischer Herkunft, einfließen zu lassen.
4.3.2. Stochastisches Ausgleichungsmodell
Die Eigenschaften der Beobachtungen aus Sicht der Wahrscheinlichkeitstheorie sind
Gegenstand des stochastischen Modells. Dabei gelten bestimmte Voraussetzungen, die
üblicherweise bei geodätischen Beobachtungen angenommen werden –es handelt sich um
durchführbare Messungen stochastischer Variablen, deren Mittelwert )(lM im Grenzfall
mit dem wahren i
Lübereinstimmt und die der Normalverteilung unterliegen.
Die zu einem bestimmten Zeitpunkt tgemessenen
n
Größen mit i
l(i=1...n), können als ein
zufälliger Vektor aufgefasst werden
[]
n
Tlll ,.....,,
2
1
=l(4.3.1)
dessen Komponenten normalverteilt sind. Zwischen den einzelnen oder allen Elementen
können stochastische Relationen bestehen (Korrelation). Der Vektor ist dann
n
dimensional,
normalverteilt mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte
() ()
_
l)lk)ll
k
l−−−
−
=((
2
1
1
2
)det( l
T
ef n
l
π
(4.3.2)
Hier sind
_
ldie Erwartungswerte des Vektors l
()
ll
_M=, (4.3.3)
dessen Varianz-Kovarianzmatrix folgende ist
56
=
2
2211
22
2
22121
112112
2
1
....
................
....
....
nnnnn
nn
nn
l
σσσρσσρ
σσρσσσρ
σσρσσρσ
K. (4.3.4)
Bezogen auf die Ausgleichung steht die Matrix l
Kin Relation mit der Gewichtsmatrix P
und der Kofaktorenmatrix l
Q, im weiteren Korrelationsmatrix genannt.
1
2
21
22221
1121
1
....
................
....
....
−
==
=PKQ
σ
l
nnnn
n
n
l
qqq
qqq
qqq
(4.3.5)
2
2
1
σ
σ
i
i
ii p
q==
2
1
σ
σ
σ
ρ
ρ
jiij
ji
ij
i
ij pp
p
q===
()
2
0
2
i
i
i
llM −=
σ
()
()
[]
jjiijiij llllM 00 −−=
σσρ
.
In (4.3.4) und (4.3.5) werden folgende Bezeichnungen verwendet:
ji pp , Gewichte der Beobachtungen ji ll ,
ji qq , Gewichtskoeffizienten
ji
ρ
ρ
, Korrelationskoeffizienten zwischen ji ll ,
ji
σ
σ
, Standardabweichungen der Beobachtungen ji ll ,
ji ll 00 , Mittelwerte der Beobachtungen ji ll ,
σ
Standardabweichung der Gewichtseinheit.
57
Von Bedeutung ist die normierte Korrelationsmatrix
R
:
=
1....
................
....1
....1
21
221
112
nn
n
n
ρρ
ρρ
ρρ
R. (4.3.6)
Für die Wahrscheinlichkeitsdichte kann man schreiben:
()
()
_
l)lP)ll −−−
=
((
2
2
1
2
2
)det( T
e
P
lf n
σ
πσ
(4.3.7)
So ist das stochastische Modell vollständig definiert. Meist sind die Parameter
σ
,
()
QP und
_
lnicht bekannt . Dabei ist
_
lnicht mal notwendig für die Auswertung der Beobachtungen,
σ
ist notwendig, um die statistische Hypothese z.B. die der Punktverschiebung, zu prüfen.
Die Elemente der Gewichtsmatrix QrespP.könnten nach (4.3.5) bestimmt werden oder
aus Testmessungen abgeleitet werden. Die Voraussetzung der Normalverteilung ist wegen
der geringen Anzahl Messungen schwer überprüfbar.
4.3.3. Das funktionale Modell
Als Gegenstand des funktionalen Models gelten die Beziehungen zwischen den gemessenen
und den gesuchten Größen. Die Messungen finden meist innerhalb eines Netzes statt, dessen
Punktposition bzw. Änderung über m Elemente eindeutig bestimmt werden. Um eine Lösung
zu erhalten, muss die Anzahl der Messungen n größer oder gleich m sein. Wenn
n > m ist, handelt es sich um eine Ausgleichungsaufgabe.
Bei jeder Ausgleichungsproblematik nach der Methode der Kleinsten Quadraten existieren
drei Arten von Größen:
nbeobachtete Größen L
mgesuchte Größen X
pAusgangsgrößen d
Zwischen diesen drei Arten von Größen existieren r Relationen der Art:
(
)
0,....,,....,,.... 21,212,1 =
pnmr dddLLLXXXf , (4.3.8)
58
bei
m
r>.
Die Abschätzungen
()
mjX j,.....,2,1
0=der gesuchten Parameter j
X, die sich aus der
Ausgleichung ergeben, sind auch stochastische Größen. Sie sind nicht verschoben und haben
eine minimale Dispersion. Detailliert geschrieben ergibt sich:
() () ( )
() () ( )
() () ( )
()
22
222222
21
0022011
,....,,
minmin,....,min,
,....,,
2211
σµ
σσσ
=
===
===
===
M
mMmMmM
xDxDxD
XXMXXMXXM
mm xxxxxx
m
mm
(4.3.9)
Wobei mit Ddie Dispersion bezeichnet worden ist.
Werden in (4.3.8) statt der wahren die gemessenen Werte eingesetzt, die entsprechend
Verbesserungen erhalten, und für die gesuchten Größen die entsprechenden Abschätzungen
bei konstant bleibenden gegebenen Größen sind, erhalten wir:
0),....,....,,,....,,( 122
0
211
0
12
0
21
0
1=+∆++∆+++ pr ddvllvllxXxXf (4.3.10)
Hier sind fürdieAbschätzungen und für die gemessenen Größen Näherungswerte eingeführt
worden. Die Reihenentwicklung nach Taylor aus (4.3.10) führt zu folgenden Gleichungen
(Milev 1978):
0........
................................
0........
0........
2211
2222222121
1111212111
=+++++++
=+++++++
=+++++++
rr
r
n
r
nr
r
nn
nn
wybxavtvtvt
wybxavtvtvt
wybxavtvtvt
(4.3.11)
darin sind
nrnrrrr
nn
nn
i
i
i
i
i
i
i
i
ltltlttw
ltltlttw
ltltlttw
X
f
b
X
f
a
l
f
t
l
f
t
∆++∆+∆+=
∆++∆+∆+=
∆++∆+∆+=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
....
............................
....
....
,.........,
,.........,
2211
0
2222121
0
22
1212111
0
11
0
2
0
1
2
2
1
1
(4.3.12)
59
),....,,;,....,,;,....,,( 21
00
2
0
1
00
2
0
1
0
1pnmr dddlllXXXft =.
.
.........
.
.......................................
.
.........
),....,,;,....,,;,....,,( 21
00
2
0
1
00
2
0
1
0pnmrr dddlllXXXft =.
Bei
1
1
1r
n
T
rn
rclBw +∆= (4.3.13)
und
=
rnrr
n
n
ttt
ttt
ttt
...
....
...
...
21
22221
11211
B
=
rrr eba
eba
eba
...
....
...
...
222
111
A
kann (4.3.11) in folgender Form zusammengefasst werden
11
1
11
1
1
kk
m
km
T
rr
mrm
n
T
rn
OdxG
OwxAvB
=+
=++
(4.3.14)
wobei
=
kmkk
m
m
ccc
ccc
ccc
...
....
...
...
21
22221
11211
G(4.3.15)
60
und
mr
mk
mkrn
>
<
>−+> 0
In (4.3.14) wurden zu den Beziehungen in (4.3.11) noch k zusätzliche Bedingungen
zwischen den Unbekannten eingeführt. Das können Ausgangselemente, Koordinaten, eine
Basis, oder Richtungswinkel von geodätischen Netzen sein, mit denen die Singularitätder
Lösung behoben wird. Es kann sich auch um Bedingungen, wie vorgegebene Abstände und
Geometrie, die beibehalten werden soll handeln.
4.3.4. Allgemeinfall der Ausgleichung korrelierter Beobachtungen
Die Bedingung des Minimums bei der Methode der Kleinsten Quadrate für die Ausgleichung
der Beobachtungen ist
min
1=
−vQv l
T(4.3.16)
Dies ist von Legendre und Gaußim letzten Jahrhundert folgendermaßen begründet worden.
Bei der Ausgleichung sind mehr gemessene Größen als gesuchte Unbekannte und
Bedingungen vorhanden. Die gesuchten Größen können nach verschiedenen Kombinationen
berechnet werden. Sie unterscheiden sich durch die ermittelten Widersprüche. Das bedeutet,
dass an den gemessenen Größen Verbesserungen angebracht werden, um die Widersprüche zu
beseitigen. Aus allen Lösungen, mit den die Verbesserungen bestimmt werden, um die
eindeutige Lösung zu bekommen, ist die Bedingung (4.3.16) diejenige, welche zu genauesten
Werten für die ausgeglichenen Größen führt.
Bei Vorhandensein zusätzlicher Bedingungen wird bei der Suche des Minimums, die
Funktion von Lagrange verwendet, in der die Lagrangeschen Multiplikatoren oder in der
Geodäsie Korrelaten genannt, auftauchen.
So hat die Funktion von Lagrange im Allgemeinfall, das ist die Ausgleichung bedingter
Beobachtungen mit Unbekannten und zusätzlichen Bedingungen zwischen den Unbekannten,
die Form:
+−
++−= −
1
1
12
1
1
1
11
1
1
1
11 22Φ
k
m
T
km
k
T
r
mrm
n
rn
T
r
T
n
nn
l
T
ndxGkwxAvBkvQv (4.3.17)
Die ersten Ableitungen, gleich null gesetzt und unter Beachtung der Eigenschaft dass eine
Zahl und ihr transponierter Wert gleich sind, ergeben:
61
022
022
21
1
1
=−−=
∂
Φ∂
=−=
∂
Φ∂ −
dxGkAdxk
x
dvBkdvQv
v
TT
TT
l
T
(4.3.18)
und daraus folgt:
0
0
21
1
1
=−
=−
−
GkkA
BkQv
T
TT
l
T
(4.3.19)
für die Verbesserungen ergibt sich:
1
BkQv
l
=(4.3.20)
Wenn man zum System (4.3.14) die zweite Gleichung aus (4.3.19) addiert und die Gleichung
aus (4.3.20) berücksichtigt, resultiert daraus das Hauptsystem zur Bestimmung der
Unbekannten im Allgemeinfall der Ausgleichung.
0
0
0
21
1
=+
=+
=++
dxG
GkkA
lBAxBkQB
T
T
T
l
T
(4.3.21)
Nach sequentieller Elimination können die Korrelaten, die gesuchten Größen und die
Verbesserungen bestimmen werden. Entsprechend sind die Formeln für:
• Korrelaten
Die ersten Gleichung aus (4.3.21) löst man nach
1
kauf :
lBNAxNk T1
1
1
1
1
−− −−= (4.3.22)
dies setzt man in die zweite Gleichung von (4.3.21) ein und erhält:
0
2
1
1
1
1=+−− −− GklBNAAxNA TTT (4.3.23)
oder
62
.
0
0
1
122
=+
=−− −
dxG
lBNAxNGk
T
TT
(4.3.24)
Die erste Gleichung aus (4.3.24) wird mit
1
2
−
NGT
multipliziert und so erhält man:
0
1
1
1
2
2
1
22
1
2
=−− −−−− lBNANGxNNGGkNG TTTTT . (4.3.25)
Durch Addition mit der zweiten Gleichung aus (4.3.24) und gewissen Umformungen erhält
man 2
k:
dNlBNANGNk 1
3
1
1
1
2
1
3
2−−−− −= TTT (4.3.26)
• gesuchte Größen
Nachdem man (4.3.26) in die erste Gleichung von (4.3.24) einsetzt, erhält man nach
Umformungen fürx:
dGNNlBNABNANGGNNx 1
3
1
2
1
1
1
1
1
2
1
3
1
2][ −−−−−−− −−= TTTTT (4.3.27)
Durch Einsetzen von xaus (4.3.27) in (4.3.22) erhält man für1
k:
dGNANN
lBNBNANGGNBNAANNk
1
3
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
1
1
1
2
1
11 ])([
−−−
−−−−−−−
+
++−= TTTTTT
(4.3.28)
• Verbesserungen
Entsprechend erhält man für die Verbesserungen aus (4.3.20) durch Einsetzen von 1
kaus
(4.3.28):
dGNANN
lBBANNGGNANBANANBNQv
1
3
1
2
1
1
1
1
1
2
1
3
1
2
1
1
1
2
1
1)(
−−−
−−−−−−−
+
++−= TTTT
l
(4.3.29)
Hier sind zusammenfassende Bezeichnungen wie folgt eingeführt worden:
63
GNGN
ANAN
BQBN
1
23
1
12
1
−
−
=
=
=
T
kk
T
mm
l
T
rr
(4.3.30)
Für die Funktion ausgeglichener Größen kann geschrieben werden:
(
)
mnnii xxxvlvlvlFF ,......,,;, 21,........,2211 +++= (4.3.31)
Die Taylorische Entwicklung von 1
F, wobei mit ii 21 ,ff die Vektoren der partiellen
Ableitungen bezeichnet werden, führt zu:
()
()
[]
()
dDfHflDfHEf
dDfDlfdHflHEf
xfvlf
121121
122111
21
)( Ti
T
i
Ti
T
ii
Ti
Ti
T
i
T
ii
Ti
T
ii
F
F
F
++++=
++++=
++=
(4.3.32)
dClR T
i
T
ii
F+=
Für das reziproke Gewicht
i
F
P
1erhält man:
()
[]
()
[]
[]
[]
()
()
()
()
+
+++
=
=
+
+
=
=++++==
i
i
T
l
T
l
T
l
T
l
Ti
T
i
i
i
T
T
l
Ti
T
i
i
TT
i
T
l
Ti
T
iil
T
i
Fi
P
2
1
21
2
1
21
2121
1
f
f
DDQHEDQ
DQHEHEQHE
ff
f
f
D
HE
Q
D
HE
ff
fDfEHQDfHEfRQR
(4.3.33)
oder
[]
=
+
++
i
i
xvlx
xvlvl
Ti
T
i
Fi
P2
1
,
,
21
1
f
f
QQ
QQ
ff (4.3.34)
64
Für die einzelnen Teilkorrelationsmatrizen aus (4.3.34) erhält man gemäß (4.3.33), (4.3.28),
(4.3.29), (4.3.30):
()
()
1
2
1
3
1
2
1
2
1
2
1
3
1
2
1
1,
,
,
1
1
1
2
1
3
1
2
1
1
1
2
1
1
0
−−−
−
−−−−
+
−−−−−
−−
+
−=
−=
=
=
+−=
−=
NGGNNNQ
ENGGNANBNQQ
Q
QQ
QBNANGGNNANAANEBNQQ
QQQ
T
x
T
lxl
xv
lxxvl
l
TTTTT
lv
vlvl
(4.3.35)
Daraus folgt für die reziproke Gewichtsmatrix:
[]
−
=
i
i
xxlx
xlvl
Ti
T
i
F
P2
1
,
,
21
1
f
f
QQ
QQQ
ff (4.3.36)
Für die Elemente die nicht auf der Diagonalen der Korrelationsmatrix stehen, die Kofaktoren
F
Qfolgt:
[]
ω
ρ
,......,2,1
2
1
,
,
21
=
−
==
i
i
i
xlx
xlvl
Ti
T
ijl
T
i
FF
FF
ji
ji
f
f
QQ
QQQ
ffRQR
PP (4.3.37)
Entsprechend kann für die mittleren Fehler der Gewichtseinheit
µ
und der Unbekannten
i
x
munter den Voraussetzungen in (4.3.9) geschrieben werden:
iix
l
T
i
m
mkr
q
VQV
µ
µ
=
−+
=−1
1
(4.3.38)
ii
qsind die Diagonalelemente der Matrix x
Q
65
4.4. Anwendung der Methode der Kleinsten Quadrate zur Lösung von
Variationsaufgaben in der Mechanik
4.4.1. Analogie zwischen den allgemeinen Funktionalen beider Lagrange‘schen
Formulierungen
In 4.2. und 4.3. werden die entsprechenden allgemeinen Fälle der Variationsrechnung und
Ausgleichungsrechnung formuliert. In beiden Fällen geht man von den gleichen
Voraussetzungen aus –Suche eines Extremums mittels Lagrange‘sche Funktion. Wie schon in
4.1 bemerkt wurde, ist es weiter von besonderer Bedeutung eine exakte Analogie zwischen
den Funktionalen beider Formulierungen zu finden, nämlich Analogien der entsprechenden
Variablen - Vektoren und Matrizen. Damit wird es leichter sein, das Ergebnis der in 4.1
gestellten Aufgabe –Variationsformulierung in der Mechanik auf der Grundlage der MKQ zu
erhalten.
Es sollen die entsprechenden Funktionale aus (4.2.14) und (4.3.17) zum besseren Vergleich
nochmals aufgeführt werden:
dRUUdBBU p
a
R
T
u
B
T
u)()(
1−+−+Π=Π ∫∫
λελε
+−
++−= −
11
12
1
1
1
11
1
1
1
11 22Φ
km
T
km
k
T
r
mrm
n
rn
T
r
T
n
nn
l
T
ndvGkwxAvBkvQv
Nach dem äußeren kann nun auch der inhaltliche Vergleich gemacht werden:
Πentspricht der Forderung vQvT1−. Der Ausdruck BU−
ε
der die geometrische
Kompatibilitätsbedingung darstellt korrespondiert mit Beziehung wAxBv ++ .Die
Verschiebungsbedingungen 0=− p
aUU entsprechen den Zusatzbedingungen dGx +.
Die Vektoren 1
λ
bzw.
2
λ
der Lagrange‘schen Multiplikatoren entsprechen den
Korrelatenvektoren 1
kund
2
k, die in der Mechanik die Bedingungen abschwächen und auf
Kräfte und entsprechende Spannungen zurückzuführen sind.
Die Verschiebungen und damit die Verzerrungen
ε
werden variiert und erhalten
entsprechende Verbesserungen
v
.Für die unbekannten Verschiebungen
a
Uwurden schon
gute Näherungswerte durch die in Kap. 2 beschriebene Herangehensweise erhalten. Diese
werden in den Vektor der Unbekannten xeingesetzt, wobei die vorgeschriebenen
Verschiebungen p
U, die im statistischen Test als signifikant erkannt und aus den Messungen
direkt erhalten wurden, den Größen dentsprechen.
Die Genaugkeitsabschätzungen für die gesuchten mechnischen Größen werden nach (4.3.38)
bestimmt.
Die Zuordnung der Variabeln beider Berechnungsmethoden ist in der nachfolgenden Tabelle
zusammengestellt:
66
Größen Variationsmethode Ausgleichung
gegeben Geodätisch gemessene
Verschiebungen (U),
Materialeigenschaften
Ausgangsgrößen des Netzes
(Koordinaten, Richtungswinckel)
dBasisstrecke
gemessen Näherungsverschiebungen
('
U) - berechnet nach der
Methode in 3.3.5.
Richtungen, Strecken,
Höhenunterschiede (
l
)
gesucht Deformationen (
γ
ε
,
)
Spannungen (
τ
δ
,)
Äußere Kräfte P
Multiplikatoren 1
λ
,
2
λ
Koordinaten,
Verschiebungen(
u
x
,
)
Korrelaten ( 2
1
,kk )
4.4.2. Bestimmung der Variationsunbekannten mit der MKQ
Verwendet wird die Diskretisierung aus Kap 3.2.7. Da wir von nElementen mit mfreien
Knoten ausgehen ist Redundanz vorhanden, die eine Lösung nach der Methode der Kleinsten
Quadrate ermöglicht.
Auf Grund der schon festgestellten Analogie zwischen den einzelnen gesuchten Größen in
beiden Funktionalen, kann man die entsprechenden Formeln aus 3.3. verwenden.
Damit wird in der allgemeinen Form die Bestimmung der Variationsunbekannten realisiert.
In diesem Fall bedeutet das :
Für die Bestimmung von εwird die Formel (4.3.29) benutzt, füra
U–(4.3.27) respektive
(4.3.27a), für1
λ
–(4.3.28) und für
2
λ
–(4.3.26). Nach den Formeln (4.3.33) bis (4.3.38)
können die Genauigkeit der zu bestimmenden Funktionen und Unbekannten erhalten werden.
Bei Bedarf kann hier die Verbesserung vals Funktion der Unbekannten xausgedrückt
werden und dadurch wird 1
keliminiert.
4.4.3. Kombinierte Lösungen
Da sich die folgende Betrachtung auf den allgemeinen dreidimensionalen Fall bezieht und die
bislang verwendete Matrizen –Notation zu umfangreichen Darstellungsformen der
mathematischen Beziehungen führen würden, ist die kompakte kartesische Tensor-Form nach
(Horak 1969) gewählt worden. Im Vorfeld werden dazu einige Erläuterungen gegeben.
67
Größen Erläuterung
() ()
(
)
32100 ,, xxxrr =Positionsvektor des Punktes Pzum Zeitpunkt 0
tt =
() ()
(
)
321 ,, xxxrr ii =Positionsvektor des Punktes Pzum Zeitpunkt i
tt =
() ()
0
0
λ
λ
λ
⋅
=
∂
∂
=r
x
r
iBasisvektor des Koordinatensystems bei 3,2,
1
=
λ
µλλµ
δ
ii ⋅= Kronecker Symbol definiert durch
()
µ
λ
δ
λµ
==1
()
µ
λ
δ
λµ
≠= 0
()
λ
⋅ Differenzierung nach
λ
xoder
()
()
λ
λ
x∂
∂
⋅=
λµ
λµ
ετ
.
.....
3
1
3
122
22
21
21
13
13
12
12
11
11 +++++=
∑∑
==
λµ λµ
λµ
ετετετετετετ
ik
ε
Verzerrungstensor nach der Theorie der virtuellen Verschiebungen
ik
τ
Spannungstensor nach der Theorie der virtuellen Verschiebungen
i
KVektor der Volumenkräfte
i
PVektor der Oberflächenkräfte auf
1
R
i
uDem Verzerrungstensor entsprechende Verschiebungen
()
k
iikik uu +=
2
1
ε
i
uVorgeschriebene Verschiebungen auf 2
R
Für die kombinierte Lösung wird ein Gesamtpotential
ℜ+ℑ=
∏
~
(4.4.2)
aufgestellt, in dem iterativ die Variation der potentiellen Energie 0=ℑ
δ
und der
Ergänzungsenergie 0=ℜ
δ
durchgeführt werden.
Dabei ist die Forderung nach dem Minimum der Potentiellen Energie (Lagrange-Dirichlet)
dargestellt in Tensor- Form gemäß Horak (Horak 1969):
min
2
1
),( 1
__
1=−
−≡ℑ ∫∫ dRuPdVuKEu RV iilmikiklmiki
εεε
(4.4.3)
mit 0=−
i
i
uu auf 2
R(4.4.3.1)
Um die Analogien aus Kap. 4.4.1 zu wahren, werden in (4.4.3) Multiplikatoren nach der
Methode von Lagrange eingeführt und man erhält:
()
1
_
*
1
2
1
),,,( dRuudVuuEu Riii
Vkiiklmiklmikikikiki∫∫
−−
++−+ℑ≡ℑ
µελµλε
(4.4.4)
68
Das zweite Funktional in (4.4.2) ist die Ergänzungsenergie mit der Forderung (Castigliano-
Menabrea):
max
2
1
),( 1
__
1=−
≡ℜ ∫∫ dRuPdVEu RV lmikiklmiki
τττ
(4.4.5)
Hier sind _
udie vorgeschriebenen Verschiebungen.
Variiert wird die Spannung
i
k
τ
unter Einhaltung der Gleichgewichtsbedingung im
untersuchten Körper :
0
,=+ ikik K
τ
in V(4.4.6)
und die Bedingung an der Oberfläche:
_
i
kik Pn =
τ
auf 1
R(4.4.7)
hier sind _
i
Pauf der Oberfläche
1
Rangreifende Kräfte. Wenn die Bedingungen mit in das
Funktional aus (4.4.5) aufgenommen, werden ergibt sich das erweiterte Ergänzungspotential:
()
[]
{
}
1
_
*
,
**
1
),,,(
dRRotRotPn
dVRotRotEKu
Rikiki
Viklmikikikikikiki
∫
∫
−−
−++ℜ≡ℜ
φτµ
φτλµλτ
(4.4.8)
Nach Auswahl entsprechender Abbruchkriterien für die iterative Lösung werden
wechselweise die Variationen der Verschiebungen in (4.4.4) und danach die der Spannungen
aus (4.4.8), gemäß dem Lösungsverfahren aus Kap. 3.4.2 , angesetzt. In Abb. 4.1 ist der
schematische Ablauf dargestellt. Dies erlaubt eine kontinuierliche Konvergenz von beiden
Seiten zu der optimalen Lösung.
FürdenÜbergang von den resultierenden Verschiebungen aus der Variation von *
ℑzu den
Spannungen für die Variation von *
ℜsind die Kompatibilitätsgleichungen (Eulers
Differentialgleichungen) zu verwenden. Die Erfüllung dieser Gleichungen ist äquivalent der
Existenz solcher Verschiebungen, die einerseits die Beziehungen des Stoffgesetzes erfüllen,
l
miklmik c
ε
τ
=(4.4.9)
andererseits die Gleichung
69
()
ikkiik uu ,,
2
1+=
ε
in V(4.4.10)
erfüllen, wobei
k
i
ki x
u
u∂
∂
=
,(4.4.11)
ist.
Das Ergebnis sind die
Verschiebungen V
Das Ergebnis sind die
Spannungen
Iterative Variation der Potentiellen
Energie und des Ergänzungpotentials
Lagrange-Dirichlet
Castiglino-Menabrea
0=∂ℜ
0=∂ℑ
τ
Abb. 4.1 Iterative Lösung im Gesammtpotential nach der Methode der Kleinsten Quadrate
4.4.4. Quasi-statische Formulierung
Die Quasi-statische Formulierung beschreibt einen Körper, der im Ausgangszustand weder
Verzerrungen noch Spannungen erfährt. Er soll Gegenstand von zeitabhängig wirkenden
inneren Kräfte
()
txxxK ,, 32,1
=, Randkräfte
()
txxxP ,, 32,1
=auf 1
Rund
Randverschiebungen
()
txxxu ,, 32,1
=auf 2
Rsein, wobei
u
und
t
vom Ausgangszustand
aus gemessen worden sind. Es stellt sich die Aufgabe die Deformation und die
Spannungsverteilung, während dieser Bewegung, zu bestimmen. Dies kann durch eine quasi-
statische Formulierung des dynamischen Problems geschehen. Dabei sind die Änderungen der
70
inneren und äußeren Kräfte, sowie die Verschiebungen so gering, dass die inertiellen Anteile
in den Bewegungsgleichungen vernachlässigt werden können.
Somit währe der von Pelzer eingeführte Begriff Quasi-statisches Modell (Pelzer 1993)
passender als der Begriff Statisches Modell aus der Klassifizierung in Abbildung 1.1 .
Entsprechend kann das Prinzip der virtuellen Arbeit wie in (4.2.2) , und die damit verbundene
Variationsprinzipien wie unter 4.2.2.3 und 4.2.2.4 formuliert werden, nur dass die Zeit
t
als
zusätzlicher Parameter erscheint.
Das quasi-statische Problem kann als Funktion der Zeit wie folgt ausgedrückt werden:
Die Gleichgewichtsgleichungen und Randbedingungen werden als Terme der
Geschwindigkeit wie folgt ausgedrückt:
()
[]
0=
++ ⋅
⋅
λ
χ
χµλµ
λ
µ
τδ
Ku
dt
d
iin V(4.4.8)
λλ
PP &
&=auf
1
R(4.4.9)
λλ
uu &
&=auf
2
R(4.4.10)
wobei
()
λµχ
χµλµ
λ
µχ
χµλ
τδτ
⋅⋅ ++= ununP &&
&(4.4.11)
()
[]
()
0
1
1
=−+
++− ∫∫∫∫∫ ⋅
⋅dRuPPdVuKu
dt
d
R
ik
V
λλλλλ
χ
χµλµ
λµ
δδτδ
&
&
&
&ist.
(4.4.12)
Oder nach Umformung der Gleichung:
[]
,0
1
1=−−+ ∫∫∫∫∫ ⋅⋅
RV
dRuPdVuKuu
λλλλλµ
χλ
λµ
λµ
λµ δδδτεδτ
&
&
&
&
&&
&
&(4.4.13)
Gleichung (4.4.13) beschreibt das Prinzip der virtuellen Arbeit bei einer quasi-statischen
Problemstellung. Hier ist
µ
δ
e
&die Variation von
µ
e
&unter Berücksichtigung nur von
χ
u
&.
Für die Aufstellung des Variationsprinzips für die quasi-statische Problematik kann,
angenommen werden:
• dass die Spannungs- und Verzerrungsänderung durch,
(
)
αβ
αβ
αβ
λµλµ
ετεττ
,;
&
&& =(4.4.14)
gegeben ist, wobei
αβ
τ
und
αβ
ε
als Parameter aufzufassen sind.
71
• dass die Relation (4.4.14) die Gleichung
λµ
αβ
αβ
λµ
ε
τ
ε
τ
&
&
&
&
∂
∂
=
∂
∂(4.4.15)
erfüllt, was die Existenz einer Zustandsfunktion
(
)
λµ
λµ
λµ
ετε
,;
&
∗
Adefiniert durch
λµ
λµ
ετ
&
&ddA ,=
∗, (4.4.16)
sicherstellt.
• dass zwei Zustandsfunktionen
()
i
u
&
∗
Φund
()
i
u
&
∗
Ψdefiniert durch
λλ
δ
δ
uK &
&
−=Φ∗,
λλ
δ
δ
uP &
&
−=Ψ∗(4.4.17)
existieren.
Das Prinzip der stationären potentiellen Energie kann aus (4.4.13) erhalten werden, und nach
Erweiterung durch Lagrangeschen Multiplikatoren als erweitertes Potential geschrieben I
Π
werden:
()
(
)
[
]
()()
[]
{}
() ()
dRuuPdRu
dVuuuu
dVuuuA
RR
V
V
I
∫∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
−−Ψ+
+++−
Φ++=Π
∗
⋅⋅⋅⋅
∗
⋅⋅
∗
21
2
1
2
1
λλλλ
χλ
χµ
χ
µ
χµ
χλ
χ
λ
λµ
λ
χµ
χλ
λµ
λµ
δδτ
τε
&
&
&
&
&&&&&
&&&
&
(4.4.18)
Hier sind die unabhängigen Größen
λµ
τ
&,
λµ
ε
&,
λ
u
&und
λ
P
&Gegenstand der Variation ohne
zusätzliche Bedingungen, da die Größen
λµ
τ
,
λµ
ε
,
λ
uals Parameter behandelt werden und
nicht variiert werden. Die Bedingungen der Stationaritätfür eine quasi-statische Formulierung
ist durch die Gleichungen (4.4.8), (4.4.9) und (4.4.10) zusammen mit der Definition der
Lagrangeschen Multiplikatoren
λλ
Pp &
&=(4.4.19)
gegeben.
Wenn das quasi-statische Problem in der virtuellen Verschiebungstheorie definiert ist, gelten
für die Bedingungsgleichungen (4.4.3.1), (4.4.6), (4.4.7) und (4.4.10) nur mit den Größen in
72
ihrer ersten Ableitung. Mit dieser Einschränkung ist auch das erweiterte Potential aus (4.4.3)
für (4.4.17) einzusetzen.
4.4.5. Dynamische Formulierung
In betracht wird die dynamische Problemstellung gemäß 4.4.4 herangezogen ohne eine quasi-
statische Bewegung des Körpers zu verlangen (Washizu 1968). Die Bewegungsgleichungen
für die dynamische Problemstellung ergeben sich aus der Kraftgleichung des Gleichgewichts
0
.=+ K
λλ
τ
(4.4.20)
durch Ersetzen von Kdurch
−2
2
dt
d
K
ς
und generalisierten Spannungsgleichung
µλλµ
τ
τ
=(4.4.21)
wobei
ς
die Dichte des Körpers pro Einheitsvolumen im Ausgangszustand ist.
Entsprechend erhält man aus der Gleichung der virtuellen Arbeit durch entsprechendes
Ersetzen von Kund Integration im Zeitraum
1
tt =und
2
tt =, bei Einhaltung der
Forderung fürrin beiden Zeitpunkten -
(
)
(
)
0,,,,,, 1
321
1
321 == txxxrtxxxr
δδ
:
0
2
11
=
⋅−⋅−−
∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ dtrdSPrdVKTdV
t
tV V R
δδδδετ
λµ
λµ
(4.4.22)
Dabei ist
()
χµ
χλ
µλ
λµλµ
ε
⋅⋅⋅⋅ ++= uuuu
2
1(4.4.23)
und
T
ist die kinetische Energie des Körpers definiert als
dVuudV
dt
dr
T
VV
ςς
λλ
&&
∫∫∫∫∫∫ =
=2
1
2
12
(4.4.24)
73
Wenn eine Energiefunktion der Form
λµ
λµ
ετ
ddA =(4.4.25)
existiert , so kann (4.4.22) wie folgt geschrieben werden:
0
2
11
=
⋅−⋅−−
∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ dtrdSPrdVKUT
t
tV V R
δδδδ
(4.4.26)
Dabei ist Udie Verzerrungsenergie des elastischen Körpers gegeben durch:
(
)
dVuAU
V
∫∫∫
=
λ
. (4.4.27)
Wenn zwei Potentiale der Form existieren :
λλ
δ
δ
uK−=Φ ,
λλ
δ
δ
u
P−=Ψ (4.4.28)
kann (4.4.26) zu
0
2
11
=
Ψ−Φ−−
∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ dtdSdVUT
t
tV V R
δ
, (4.4.29)
reduziert werden. Hier wird
λ
u
variert.
Dies ist das Hamilton‘sche Prinzip für ein elastischen Körper, in seiner dynamischen
Formulierung, das besagt:
Aus der Menge aller zulässigen Verschiebungen die die vorgeschriebenen geometrischen
Randbedingungen auf 2
Sund die vorgeschriebenen Bedingungen durch 1
tt =und 2
tt =,
erfüllen, gewährleistet die gegebene Lösung des Funktionales (4.4.29) die Stationarität.
Das ist eine Erweiterung des Prinzips des Minimums der Potentiellen Energie aus (4.2.6) auf
dynamische Problemstellungen und kann wie in (4.4.3) durch die Einführung von
Multiplikatoren erweitert werden.
Aufgrund der zuvor durchgeführten Betrachtungen aus Sicht der Theoretischen Mechanik,
erscheint es logisch als, Allgemeinfall der Definition des Problems der Deformationsanalyse,
das erweiterte Hamilton‘sche Funktional anzusehen.
74
5. Geotechnisches Informationssystem und Anwendungsbeispiele
5.1. Geotechnisches Informationssystem
Bevor zu der Übernahme der Daten in das Informationssystem übergegangen wird, ist erst die
Frage ihrer Art und Herkunft zu klären. Fürdengeodätischen Teil erscheint dies nicht so
problematisch, da ausgereifte statistische Verfahren entsprechend Informationen über die
Qualität der Ergebnisse liefern. Aus Sicht des Geodäten ist es interessanter die Frage zu
beantworten, wie genau, zuverlässig und reproduzierbar sind die Daten die von den
Nachbardisziplinen kommen und dem Informationssystem zugrunde gelegt werden. Für
bestimmte Bereiche könnten die geodätischen Daten als Kontrolle verwendet werden. Das
könnten die Verschiebungen, berechnet aus Messungen diskreter Punkte am Objekt,
verglichen mit den gewonnenen aus einem Finite Elemente Modell, sein. Eine gute Lösung
wäre auch die Berechnung der nichtgeodätischen Größen, wie Spannungen und Kräfte, nach
den vorgeschlagenen Berechnungsmethoden in Kapitel 4 und 5. Diese Ergebnisse würden
Standardabweichungen beinhalten womit die Qualität beurteilt werden könnte.
Als erster Schritt ist eine Kombination von Daten aus Geodäsie und Bauingenieurwesen der
Richtige. Dies wurde auch in den vorangegangenen Überlegungen dieser Arbeit begründet.
Im Allgemeinfall eines Ingenieurobjekt bezogenem geotechnischen Informationssystem, z. B.
einer Staumauer, werden die Daten von folgenden Fachgebieten zur Verfügung gestellt.
• Bauingenieurwesen
• Geodäsie
• Igenieurgeologie
• Mineralogie
• Hydrogeologie
• Seismologie
• Geophysik
• Geologie
• Ingenieurchemie
Eine grafische Darstellung erlaubt die Zuordnung, der auf der entsprechenden Fachschicht
dargestellten Information mit den zugeordneten digitalen fachspezifischen Daten, sowie die
Abfrage von Zusatzinformationen. Die Investitionen und entsprechende Ausbaustufen des
Systems sind vor allem von der Wichtigkeit des Objekts abhängig. Eine Beispielstruktur für
ein geotechnisches Informationssystem ist auf Abbildung 5.1 gegeben.
75
Abb. 5.1: Geotechnisches Informationssystem (Milev,Gründig 1998)
Grundwasser
Porenwasserdruck
Geomorphologie
Neotektonik
Physikalische und
Mechanische Kenngrößen
Beobachtungen, Punkt ID
Koordinaten, DGM
Statistische Kenngrößen
Topographische Karte des
Gebietes
Vektordaten der Diskretisierung
Ingenieurgeologische Karte
Geologische Karte
Hydrogeologische Karte
76
5.2. Beispiele zur Deformationsuntersuchung
5.2.1. Talsperren
Als Beispiel wird die Überwachung des Mathis Staudammes in den USA angeführt, der zum
Zuständigkeitsbereich des Energieversorgungsunternehmens Georgia Power gehört. Die dort
zeitdiskret durchgeführten Winkel- und Streckenmessungen wurden analysiert.
5.2.1.1. Das Überwachungsnetz und die Messung
In Abbildung 5.2 ist die Netzkonfiguration dargestellt. Die Deformationsanalyse wurde für
die Messungen Herbst 1991(F91), Frühling 1993 (S93) und Herbst 1993 (F93) durchgeführt.
Die a priori Standardabweichungen sind entsprechend:
Richtungen 6"
Schrägstrecken 1.0 mm + 1 ppm
Zenitwinckel 7"
Zentrierunsicherheit 0.5mm
angesetzt worden.
Das Netz besteht aus 4 Referenzpunkten MM1 - MM4, von denen sich MM1-MM3 auf der
Luft- und MM4 auf der Wasserseite befinden (Abb. 5.2).
Diese Punkte definieren nach einer Überprüfung gemäß 4.2.2.1 das Datum.
Man erkennt, dass die Objektpunkte in zwei Gruppen aufgeteilt sind, die sich in einer Flucht
befinden. Die gewählte Geometrie ermöglicht eine Kontrolle mittels Alignement.
Abb. 5.2: Deformationsnetz Mathis Dam - USA
Wasserseite
M 1:3300
77
Die Ausgleichungen der einzelnen Epochen als freies Netz bestätigen die gute Geometrie. Die
Standardabweichung der Punktkoordinaten liegt im Durchschnitt bei 0.5 mm.
5.2.1.2. Durchführung der Deformationsanalyse
Im Vergleich der Epochen F91 und S93 wurde in der Gruppe der signifikant verschobenen
Punkte ein Bewegungstrend erkannt. Daraufhin wurde die Gruppe SM1 - SM12 auf
gemeinsame Deformationsparameter hin überprüft. Dabei handelt es sich um das zur
Wasserseite liegende Profil (Abb.5.2) mit einer Bewegungstendenz zur Luftseite.
Bei der gemeinsamen Auswertung der Epochen F91 und F93 wurde erneut eine gemeinsame
Bewegung festgestellt (Abb. 5.3), die eine Prüfung der Signifikanz dieser Gemeinsamkeit
begründete. Die Gruppe enthält die Punkte SM20 - SM28. Die gemeinsamen Parameter der
Veränderung sind in Abb. 5.4 gegeben. Dieses Mal ist es das zur Luftseite liegende Profil,
welches sich in Richtung Wasserseite bewegt.
SIGNIFIKANZPRUEFUNG NICHT ZUR BASIS GEHOERIGER PUNKTE
LFD. Nr. PUNKTNAME DX (CM) DY (CM) OMEGA-ANTEIL ETEST
36 SM15 0.4341 -0.3707 26.9944 6.1800
36 SM13 0.4965 -0.2931 26.9304 6.1800
36 SM17 0.4961 -0.4415 29.9972 6.1800
36 SM20 0.1315 -0.2459 17.7500 6.1800
36 SM21 0.2826 -0.2229 21.3502 6.1800
36 SM25 0.2839 -0.3123 31.4871 6.1800
36 SM22 0.1886 -0.3501 33.2921 6.1800
36 SM27 0.3902 -0.2995 33.3911 6.1800
36 SM24 0.4162 -0.3021 42.0678 6.1800
36 SM26 0.1870 -0.4207 39.3382 6.1800
36 SM14 0.5508 -0.3770 38.8340 6.1800
36 SM28 0.4667 -0.3676 46.1972 6.1800
36 SM23 0.4352 -0.3957 58.9474 6.1800
36 WP3 0.1983 0.2008 10.1197 6.1800
36 WP2 0.5816 -0.5632 60.4549 6.1800
36 SM16 0.8498 -0.4462 61.6473 6.1800
36 SM35 -0.3435 -0.1639 7.2062 6.1800
Abb. 5.3: Signifikante Verschiebungen zwischen den Epochen F91 und F93
SIGNIFIKANTE PARAMETER
TRANSLATION Y -0.3713 CM
TRANSLATION X 0.3314 CM
ROTATION X-Y 0.0032 GON
Abb. 5.4: Ergebnis DEFAN nach Untersuchung auf Gruppenverschiebungen
Nachfolgend wurden die Ergebnisse des Einzelpunkttests dem Analyseverfahren, das in
Kapitel 2.3 beschrieben wurde, unterzogen.
Die Koordinatendifferenzen und die Kovarianzen wurden in ein lokales Koordinatensystem
gerechnet und für diesen Untersuchungsschritt in ein anderes, das durch beide Hauptachsen
des Objekts definiert wird, transformiert. Es wurden die Parameter eines Polynoms dritten
78
Grades für den statistischen Test angesetzt. Als signifikant wurden die Parameter b, c und d
erkannt. Das Ergebnis ist in Abb. 5.5 Dargestellt.
Abb. 5.5: Ergebnis nach Signifikanzprüfung eines angesetzten Polynoms (Nitschke 1997)
Diese Bewegungen sind als jahreszeitbedingt einzuordnen, da Stauhöhe und
Temperaturunterschied zwischen Luft und Wasserseite, über das Jahr geglättet, sich zu den
Beobachtungszeitpunkten in unterschiedlichen Wertebereich befanden.
5.2.2. Brücken
Die Überwachung der Lindenhofbrücke in Berlin (Abb. 5.6) ist eine der vielen Messungen,
welche die Vermessungsabteilung der Senatsverwaltung für Bauen, Wohnen und Verkehr
durchführt. Um größere Schäden abzuwenden, werden diese Brücken in regelmäßigen
Abständen untersucht. Auch bei bereits sanierten Brücken, wie im vorliegenden Fall, können
Schäden durch unsachgemäß durchgeführte Arbeiten entstehen. Praktiziert werden von Seiten
der Vermessungsabteilung permanente Messungen, sowohl im statischen so auch im
dynamischen Belastungsbereich. Diese sollen durch geodätische Messungen gestützt werden
(Spranger 1999).
79
Abb. 5.6: Lindenhofbrücke, Ansicht von Osten
Nachfolgend sind einige Technische Daten der Brücke aufgeführt:
Entstehungsjahr 1970
Bauweise Stahlbeton - Skelettbauweise
Brückenklasse 60/30
Tragfähigkeit 60 t
Gegenwärtig ist das bevorzugte Messverfahren bei der geometrischen Brückenprüfung noch
das Nivellement. Als Hauptgrund dafür ist sicherlich der wirtschaftliche Aspekt zu sehen. Die
so durchgeführten Messungen erfordern lediglich eine Sperrung der Brücke oder eine
Durchführung der Messung in der Nacht. Zum Nachweis der Standsicherheit werden oftmals
Belastungsversuche herangezogen. Eine Erfassung der Einflussgrößen erfolgt meist nicht. Die
Aufstellung und Überprüfung eines mathematischen Brückenmodells ist damit nicht möglich.
Für eine umfangreiche Brückenprüfung können folgende Zielsetzungen genannt werden:
•Das Messverfahren und Auswertung müssen
- dem Nachweis der Standsicherheit,
- dem rechtzeitigen Erkennen von Schäden sowie
-derÜberprüfung des zugrundeliegenden Rechenmodells
dienen und an diesen Zielen ausgerichtet sein.
80
•Zusätzlich zu den Deformationen müssen die Einflussgrößen erfasst werden.
•Die Herstellung des funktionalen Zusammenhangs zwischen Einfluss- und
Deformationsgrößen ermöglicht so die Ursachenforschung. Eine Überprüfung,
Ergänzung oder sogar eine Verbesserung des Bauwerksmodells wäre damit möglich.
5.2.2.1. Sensoren in der permanenten Vermessung
Um das mathematische Modell einer Brücke zu verbessern, sind die Ursachen der
Deformationen zu klären. Daraus können dann die Konstruktions- und Materialeigenschaften
abgeleitet werden. Mit ihrer Hilfe wird es möglich, zukünftige Brücken so zu konzipieren,
dass auftretende Deformationen bereits in der Planungsphase weitgehend bekannt sind und
ihnen entgegengewirkt werden kann. Dies erfordert bei einem Übergang zur kontinuierlichen
Vermessung das Installieren von Sensoren. Bei einem kontrollierten Lastfall sollte dies keine
Schwierigkeiten bereiten; bei normalem Verkehrsbetrieb ist dies jedoch nur beschränkt
möglich. Hier müssen Schätzungen und Generalisierungen vorgenommen werden. Die
Einflussfaktoren werden für einen bestimmten Zeitraum zusammengefasst und füreinen
individuellen Zeitpunkt interpoliert. Eine solche mathematische Filterung hat den Vorteil,
dass dabei kurzfristige Einflüsse eliminiert werden. In besonderen Fällen kann dies aber auch
zum Nachteil werden.
5.2.2.2. Geodätischer Anteil der Messungen
Da die Fahrbahnschäden besonders zwischen den Trägern 3 bis 7 auftreten, gilt es diesen
Bereich besonders zu untersuchen. Am besten wäre es, den gesamten Fahrbahnbereich zu
messen, um zu sehen, wie sich die Träger verhalten, bei denen bisher keine Fahrbahnschäden
aufgetreten sind.
Um auch die Maximaldeformation zu erfassen, die in der Mitte der Trägerzuerwartenist,
sollten die Messmarken möglichst mittig angebracht werden. Dazu werden Schrauben in den
Stahlbeton gebohrt.
Es wird angenommen, dass einzelne oder auch alle Punkte Relativbewegungen ausführen.
Die zu beobachtenden Zustände seien kurz genannt:
1: Urzustand, Nullmessung
2: Messung bei Belastung
3: Messung nach Entlastung; ggf. Enddeformation bei plastischem Verformungsanteil
Die Höhen der Messmarken werden durch Firstnivellement bestimmt. Sie werden relativ zu
einem Referenzpunkt gemessen. Da die Messung nachts erfolgt, ist der Einsatz eines
Digitalnivelliers äußerst problematisch. Mögliche Mustererkennungsfehler, sowie die
Ungewissheit der Funktionszuverlässigkeit bei Dunkelheit, Regen oder Schnee haben zur
Wahl eines optischen Nivelliers geführt. Bei gleichzeitiger Verwendung einer Doppel-
Invarlatte, die zuvor mit einen Laserinterferometer auf Teilungsfehler untersucht wurde, ist
eine Verprobung der Messdaten noch vor Ort möglich.
Zur Verfügung stand das Präzisionsnivellier Ni 1. Die Eigenschaften dieses Gerätetyps sind in
Abb. 5.7 aufgeführt .
Eine Beobachtungsgenauigkeit von 0,1 bis 0,2mm wird angestrebt, was auch bei nicht
optimalen Sichtverhältnissen für realistisch gehalten werden kann.
81
Gerät /ZubehörGenauigkeit /Kalibrierung
Ni 1 -±0,1mm für 1 km Doppelnivellement
- Neigungsfehler ca. 0,5mgon
2m
Doppelinvarbandlatte - Teilungsfehler < 1/100 mm
Abb. 5.7 Instrumentarium
Bedingt durch die Trägheit der Bauteile wird die Maximaldeformation bei statischer
Belastung erwartet. Die Größenordnung, in der sich die Objektdeformationen bewegen, wird
aufgrund der großen Probebelastung auf 2mm geschätzt. Da eine elastische Reaktion der
Brückenelemente zu erwarten ist, wird die Deformation so gut wie ohne Verzögerung
eintreten.
5.2.2.3. Sensorischer Anteil der Belastungsmessung
Die Messuhren registrieren Wegänderungen bis zum 1/100 mm-Bereich. Die
Standardabweichung wird vorsichtig auf σ= 0,05mm geschätzt.
Die Messung erfolgt in zwei Zuständen. In Zustand 2 werden zwei Spezialfälle simuliert. Um
mögliche Torsionen besonders beanspruchter Träger zu messen, wird die Probelast in zwei
unterschiedlichen Positionen geparkt (Abb. 5.8). Als ein Satz (Messsatz) wird in der
nachfolgenden Ausführung die abgelesenen Werte aller Messuhren eines
Belastungszustandes.
48 t 48 t
Träger76543 7 6543
Abb. 5.8 Positionen des LKW, links: Position I, rechts: Position II
Besonders in den Bereichen der Träger3und4sindFahrbahnschäden vorhanden. Deshalb
sollenandiesenTrägern jeweils zwei Messpunkte installiert werden, um eventuell auftretende
Torsionen zu messen.
5.2.2.4. Messung bei dynamischer Belastung
Die für die statische Belastung durchgeführten Vorplanungen zur Messgenauigkeit und
Trennschärfe des Meßsystems gelten auch für die dynamische Messung.
Die Abtastrate während der dynamischen Untersuchungen sollte der
Deformationsgeschwindigkeit und auch der Trennschärfe des Messverfahrens angepasst sein.
82
Für den Fall, dass die ausgewählte Probelast mit 40 km/h die Brücke überquert (ca. 11 m/sec),
dauert die Überfahrt bei einer Brückenlänge von ca. 20 m, schätzungsweise 2 sec. Die
Maximaldeformation von 2 mm müsste bei elastischer Durchbiegung nach ca. 1 sec erreicht
werden. Die Deformationsgeschwindigkeit beträgt demnach etwa 2 mm/sec.
sec/2
sec1
2mm
mm
dt
dy
y=
=
=
&
Bei der Kenntnis der Deformationsgeschwindigkeit lässt sich mit einer Faustformel (Pelzer,
1988) die sinnvolle Länge des Messzeitpunktabstandes ∆t berechnen:
sec125.0
sec/2
05.0
55 ===∆ mm
mm
y
ty
&
σ
Dieser Wert sollte nur als grober Anhaltswert verstanden werden, da die
Deformationsgeschwindigkeit auch nur näherungsweise bekannt ist.
Die zum Einsatz kommende Messeinrichtung realisiert eine Abtastrate von 0.2 sec bzw. eine
Abtastfrequenz von 5 Hz. Aufgrund der theoretischen Überlegungen wäre eine höhere
Abtastrate empfehlenswert, was jedoch mit diesem System leider nicht möglich ist. Daher
muss eine niedrigere Geschwindigkeit des Belastungsfahrzeuges gefordert werden.
Durchgeführt wurden zwei Überfahrten und anschließend zwei Bremsproben auf der Brücke.
5.2.2.5. Ergebnisse der Ausgleichungen und Deformationsanalyse der geodätischen und
physikalischen Messungen bei statischer Belastung
In der folgenden Übersicht (Abb. 5.9) ist die Lage der Messmarken dargestellt, sowie ihre
Einteilung nach verwendetem Messverfahren.
Fahrbahnmitte (westl.) Fahrbahnrand (östl.)
Träger 6 Träger 5 Träger 4 Träger 3 Träger 2 Träger 1
Pkt.8 7 6543 2 1
-geodätisch gemessen
- physikalisch gemessen
- physikal. u. geodät. gem.
Abb. 5.9 Position der Messpunkte
In vorgebohrte Löcher gedrehte Schrauben dienten als Bezugspunkte fürbeideMeßmethoden.
Dauerhaftigkeit und Zuverlässigkeit in der Stabilität dieser Punkte kann zumindest fürden
Zeitraum der Untersuchung vorausgesetzt werden.
83
• Geodätische Messung
Die Standardbweichungen des Nivellements sind in der nachfolgenden Tabelle aufgeführt.
lokale Höhen
Pkt.-
nr. Epoche 1
[m] σ
σσ
σin [cm] Epoche 2
[m] σ
σσ
σin [cm] Epoche 3
[m] σ
σσ
σin [cm]
1 6,1542 0,010 6,1521 0,009 6,1542 0,004
2 6,1424 0,013 6,1401 0,012 6,1425 0,005
3 6,1548 0,015 6,1529 0,013 6,1553 0,005
4 6,1456 0,015 6,1429 0,014 6,1455 0,005
5 6,1433 0,015 6,1406 0,013 6,1431 0,005
6 6,1467 0,013 6,1437 0,012 6,1464 0,005
7 6,1281 0,010 6,1249 0,009 6,1276 0,004
8------
Tabelle: 5.1 Ausgleichungsergebnis des Nivellements
• Deformationsanalyse
Epochenvergleich - Verschiebungen
Pkt.-
nr. Epoche 1-2
[cm] σ
σσ
σin [cm] Epoche 2-3
[cm] σ
σσ
σin [cm] Epoche 1-3 [m]
1 -0,1977 0,013 0,2045 0,010 keine
2 -0,2221 0,018 0,2406 0,013 signifikanten
3 -0,1930 0,020 0,2405 0,014 Verschiebungen
4 -0,2601 0,021 0,2583 0,015
5 -0,2600 0,020 0,2618 0,014
6 -0,2816 0,018 0,2735 0,013
7 -0,2965 0,013 0,2755 0,010
8----
Tabelle 5.2: Deformationsanalyse der geodätischen Messungen
• Kontinuierliche Messung
Epoche 1 Epoche 2
Pkt.-nr. Nullsetzung [mm]
(Unbelastet) Simultan 1 [mm]
(Position 1 belastet) Simultan 2 [mm]
(Position 1 belastet) Simultan 3 [mm]
(Position 2 belastet)
1 0,00 -1,66 -1,94 -1,89
2 --- --- --- ---
3 0,00 -2,68 -2,23 -1,94
4 --- --- --- ---
5 0,00 -2,72 -2,53 -2,38
6 0,00 -2,88 -2,49 -2,38
7 --- --- --- ---
8 0,00 -2,77 -2,10 -2,12
Tabelle 5.3: Deformationsanalyse der kontinuierlichen Messungen
84
Offenbar existieren keine Korrelationen der Positionierungen des Fahrzeuges mit den
auftretenden Deformationen. Wie aus der Tabelle ersichtlich, passen die Messungen von Satz
2 in Position 1 und Satz 3 in Position 2 besser zusammen, als die Messungen bei gleicher
Positionierung.
• Satzausgleichung
Die an der Vorrichtung abgelesenen Wegänderungen werden als
Höhendifferenzbeobachtungen eingeführt. Aufgrund der großen Differenzen zwischen den
einzelnen Sätzen kann die geschätzte Genauigkeit der Beobachtungen mit ±0,05mm nicht
bestätigt werden. Um Unstimmigkeiten im mathematischen Modell der Ausgleichung zu
vermeiden, muss bei gemeinsamer Ausgleichung der Sätze 2 und 3 eine Korrektur der
Standardabweichung auf ±0,1mm und bei Ausgleichung der Sätze 1,2 und 3 auf ±0,2mm
erfolgen.
Durch eine Kombination mit den geodätischen Beobachtungen könnte die Erhöhung der
Redundanz eine Verringerung der Standardabweichungen bewirken sowie die Lokalisierung
eventueller grober Fehler erleichtern.
• Ergebnis der Kombination kontinuierlich und geodätisch gewonnener Messwerte
Epoche 0 Epoche 1
Pkt.-nr. Ausgegl. Höhen
[m] σ
σσ
σin [cm] Ausgegl. Höhen
[m] σ
σσ
σin [cm]
1 6,1542 0,014 6,1523 0,011
2 6,1424 0,018 6,1401 0,021
3 6,1551 0,020 6,1528 0,016
4 6,1455 0,021 6,1429 0,023
5 6,1432 0,020 6,1406 0,018
6 6,1466 0,018 6,1439 0,020
7 6,1279 0,014 6,1250 0,019
8 0,0000 0,000 -0,0025 0,024
Tabelle 5.4: Ergebnis der kombinierten Ausgleichung beider Messmethoden
Auf Grund der Tatsache, dass zwischen Nullmessung und Messung 3- nach der Entlastung
keine signifikanten Verschiebungen auftauchen, wurden sie im Rahmen der Auswertung
gemeinsam zu einer neuen Nullmessung zusammengefasst. Dadurch konnte die Redundanz
gesteigert werden. Der Belastungszustand wird durch die 3 Sätze der kontinuierlichen
Messung und der Diskretmessung 2 - geodätisch , repräsentiert.
Durch die Kombination mit geodätischen Beobachtungen verbessert können die
Standardabweichungen der Satzausgleichung der kontinuierlichen Beobachtungen wieder
gedrückt werden. Das ist ein Beweis fürdieguteÜbereinstimmung der Daten aus beiden
Messverfahren.
• Deformationsanalyse der kombinierten Messwerte aus kontinuierlich gewonnener und
geodätischer Methode
85
Für die in der folgenden Tabelle berechneten Verschiebungen wurden ein Signifikanzniveau
für Fisher-Test von 95% und die geschätzte Aufstellgenauigkeit von 0.02cm angesetzt.
Pkt.-nr. Verschiebung
in [cm]
σ
in [cm]
1 -0,1895 0,018
2 -0,2325 0,028
3 -0,2288 0,026
4 -0,2635 0,031
5 -0,2615 0,027
6 -0,2696 0,027
7 -0,2826 0,024
8 -0,2465 0,024
Tabelle 5.5: Endgültige Verschiebungen aus der Belastungsprobe
-0,30
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
Träger 1
Träger 2
Träger 3
Träger 3
Träger 4
Träger 4
Träger 5
[cm]
Abb. 5.10: Durchbiegung der Träger, bestimmt aus geodätischen Beobachtungen
-0,30
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
Träger 1
Träger 2
Träger 3
Träger 3
Träger 4
Träger 4
Träger 5
Träger 6
[cm]
Abb. 5.11: Durchbiegung der Träger, bestimmt aus kontinuierlichen Beobachtungen
86
-0,30
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
Träger 1
Träger 2
Träger 3
Träger 3
Träger 4
Träger 4
Träger 5
Träger 6
[cm]
Abb. 5.12: Durchbiegung der Träge, bestimmt aus geodätischen und kontinuierlichen
Beobachtungen
5.2.2.6. Zeitreihenanalyse der Messung bei dynamischer Belastung
Für Auswertung eine der dynamischem Messungen stehen die Daten der Meßsysteme der
Punkte 3, 5, 6 und 8 zur Verfügung. In den Diagrammen (Abb. 5.12) sind die beobachteten
Deformationen während der beiden Überfahrten und den Bremsversuchen als Funktion der
Zeit dargestellt (5 Messwerte = 1 sec).
Aus den Diagrammen lässt sich sofort das elastische Verhalten der Brücke ablesen. Bei
Belastung reagiert die Brücke praktisch ohne Verzögerung und begibt sich bei Entlastung
sofort in die Ausgangslage zurück. Selbst die zu erwartende schnell abklingende Schwingung
während des Bremsruckes ist in den Zeitreihen der Punkte 5 (Abb. 5.12) und 7 deutlich zu
erkennen. Auffallend sind jedoch die unterschiedlichen Ausschläge während des Bremsruckes
an den vier Messpunkten. Eine verschiedenartige Reaktion der einzelnen Träger lässt sich
anhand der Ergebnisse der Messungen bei statischer Belastung nicht vermuten. Eine
unterschiedliche Sensibilisierung der Meßsysteme dürfte die plausiblere Begründung sein.
Während bei den Messpunkten 5 und 8 eine deutliche gedämpfte Schwingung, hervorgerufen
durch den Bremsruck, zu erkennen ist, verhindert die Trägheit der Meßsysteme an den
Punkten 3 und 6 derartige Erkenntnisse. Bei Vergleich der Zeitreihen in Diagramm 8 ist das
Verhalten der Reihe 1 auffällig. Wie schon bei den statischen Messungen ,wo die Daten von
Messpunkt 3 durch einen höheren Wert der normierten Verbesserung aufgefallen sind, ist
auch bei der dynamischen Messung am Messpunkt 3 ein abnormes Verhalten gegenüber den
anderen Messreihen festzustellen. Bei der der Messreihe 3 (vgl. Abb. 5.12) lässt sich ein
offensichtliches Klemmen des Übertragungskolbens an der Position -1,60mm feststellen. Des
weiteren fehlen auch die Schwingungen des Bremsruckes. Ein zusätzlicher Ausfall des
Meßsystems während der 1. Überfahrt an dieser Messstelle, bestätigt das Defekt.
[mm] MP 3 MP 5 MP 6 MP 8
1. Überfahrt --- -2,25 -2,01 -1,88
2. Überfahrt -1,62 -2,39 -2,11 -1,81
1. Bremsversuch -1,52 -2,35 -2,14 -2,01
2. Bremsversuch -1,60 -2,45 -2,28 -2,06
Tabelle 5.6: Maximalwerte bei dynamischer Belastung und kontinuierlichen Beobachtungen
87
-2,50
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1 13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169 181 193 205 217 229 241
R1
R4
Zeit [sek]
Verschiebung [mm]
Reihe 1 - Messpunkt 3
Reihe 2 - Messpunkt 5
Reihe 3 - Messpunkt 6
Reihe 4 - Messpunkt 8
Abb. 5.13 Datenreihen - synchronisiert
5.2.2.7. Spektralanalyse
Eine äquivalente Form der Darstellung von Messdaten in Abhängigkeit von der Zeit (als sog.
Zeitdiagramm) ist die Darstellung von Messdaten in Abhängigkeit von der Frequenz (als sog.
Spektraldiagramm). Die Konvertierung der beiden Darstellungsformen erfolgt durch die
FOURIER-Transformation (Siehe Kap. 2.2.5). Sie ist umkehrbar und wird je nach Richtung
der Umwandlung im folgenden als Fourier-Analyse oder Fourier-Synthese bezeichnet. Im
Idealfall lässt sich durch die Fourier-Synthese der Frequenzdarstellung der ursprüngliche
Datensatz wiederherstellen. Sie dient hier zur Kontrolle der Fourier-Analyse.
Das Spektogramm besteht aus zwei Koordinatensystemen. Im oberen wird der Phasenwinkel,
im unteren die Amplitude über der Frequenz dargestellt.
Zusätzlich erfolgt die Frequenzdarstellung durch Lomb’s Spektrum. Die
Irrtumswahrscheinlichkeiten sind hier dem Diagramm direkt zu entnehmen. Sie sind eine
Hilfe, um signifikante Frequenzen leichter zu erkennen.
5.2.2.8. Auswertung der Spektogramme
Die fehlenden Daten von Messstelle 3 wurden mit Nullen aufgefüllt. Inwiefern die Ergebnisse
brauchbar sind, wird sich bei der Analyse des Spektogramms zeigen.
Alle anderen Spektogramme werden bis zur höchsten darstellbaren Frequenz, der Nyquist-
Frequenz fc= 2,5 Hz, dargestellt. Nach dem Abtast-Theorem werden pro Frequenz mindestens
zwei Meßwerte benötigt. Das sind bei einer Abtastrate von ∆t = 0,2 sec multipliziert mit zwei
(2 Messwerte) 0,4 sec, entspricht also einer Frequenz von 2,5 Hz. Enthält der Datensatz
88
höhere Frequenzen als fc, errechnet die Fourier-Analyse falsche Werte (Aliasing-Effekt). Da
die Amplitudenwerte schon weit vor Erreichen der Nyquist-Frequenz gegen Null
konvergieren, kann Aliasing somit ausgeschlossen werden.
Die hohen Amplituden des Spektrums der Fourier-Analyse in der Nähe von 0 Hz kommen
durch die Periodisierung der Fourier-Transformation des kurzen, nur 50 Sekunden
umfassenden Messungszeitraumes zustande.
Bessere Ergebnisse liefert Lomb’s Spektrum. Ganz eindeutig sind bei der Frequenzanalyse
Peaks in den Spektogrammen zu erkennen. Die Daten der Peaks sind in Tabellenform fürdie
Messpunkte 5 und 6 dargestellt (Tabelle 5.7 und 5.8):
Frequenz in [Hz] Amplitude (Anz. Meßw.) Periode in [sec] Ereignis
0,02 37,8 50 Gesamte Messdauer
0,10 25,9 10 2. Bremsversuch
0,16 8,5 6,25 1. Bremsversuch
0,26 3,8 3,8 2. Überfahrt
0,42 1,8 2,4 1. Überfahrt
Tabelle 5.7: Daten aus Lomb’s Spektrum - Messpunkt 5
Frequenz in [Hz] Amplitude (Anz. Meßw.) Periode in [sec] Ereignis
0,02 32,0 50 Gesamte Messdauer
0,10 31,4 10 2. Bremsversuch
0,16 5,8 6,25 1. Bremsversuch
0,26 4,3 3,8 2. Überfahrt
0,40 3,0 2,5 1. Überfahrt
Tabelle 5.8: Daten aus Lomb’s Spektrum - Messpunkt 6
Nicht interpretierbar ist die Messreihe von Messpunkt 3. Mit großer Wahrscheinlichkeit
liegen hier zu wenig Messwerte für eine Spektralanalyse vor. Die Nyquist-Frequenz von 0,5
Hz beweist, dass im Gegensatz zu den anderen Messstellen deutlich weniger Messwerte für
die Fourier-Transformation verwendet werden konnten. Das ist zu wenig, um vorhandene
Periodizitäten aufzudecken. Die Ergebnisse der anderen Messreihen stimmen dagegen gut
überein.
In Verbindung mit der Zeitreihe aus der Fourier-Synthese lassen sich die Frequenzen den
jeweiligen Ereignissen zuordnen. In Lomb’s Spektrum ist die Amplitude zugleich die Anzahl
der Messwerte, die der jeweiligen Frequenz zugeordnet wird. Man sieht an diesem Beispiel,
dass auch Messungen über kurze Zeiträume durchaus mit einer Frequenzanalyse auswertbar
sind (Abb. 5.14).
Jedoch sind die Vorteile der Frequenzdarstellung gegenüber der Zeitdarstellung, aufgrund der
kurzen Beobachtungsdauer und bei nur einer Einflussgröße, nicht eindeutig sichtbar. Neue
Interpretationsmöglichkeiten oder gar einen Erkenntnisgewinn liefert sie in diesem Fall nicht.
89
Abb. 5.14 Fourier-Analyse für Messpunkt 6
90
5.2.3. Beweissicherung
Als Beispiel zu den theoretischen Ausführungen in Kap. 2.4, werden die
Erschütterungsmessungen an der U-Bahn Station Osloer StraßeinBerlin,imRahmendes
Umbaus der Gewerbeflächen , präsentiert.
5.2.3.1. Aufgabenstellung
Im U-Bahnhof Osloer Straße in Berlin sollen Einbauten mit empfindlichen Glasscheiben
vorgenommen werden. Die Scheiben werden an Schienen, die von der Decke abgehängt sind,
aufgehängt. Sie werden unten mit einem geringen horizontalen Spiel in einer Schiene so
geführt, dass eine vertikale Verschiebung von 5 mm aufgenommen werden kann. Es bestand
die Befürchtung, dass die Bewegungen von Decke und Boden infolge der U-Bahndurchfahrten
die Glasscheiben durch vertikale Zwängungen beschädigen würden. Mit anderen Worten
gesagt, befürchtete man also, dass die Relativbewegung zwischen Boden und Decke größer
als 5 mm sein könnte. In einer Messserie sollte abgeklärt werden, ob dieses Maßbei U-
Bahndurchfahrten überschritten würde.
5.2.3.2. Messeinrichtung
Daher wurden an den Montagestellen der Schiene die Relativverschiebungen zwischen Boden
und Decke gemessen. Zu diesem Zweck wurden induktive Wegaufnehmer mittels
extremharter Stahlrohre, wie in Abb. 5.15 gezeigt, zwischen Boden und Decke montiert. Der
Anker des Aufnehmers war in der Spule federnd gelagert, so dass er gegen die Decke
verspannt werden konnte. Diese induktiven Wegaufnehmer hatten eine Auflösung von 10-6
m. Die obere Grenzfrequenz betrug 500 Hertz. Erfahrungsgemäß kommen bei solchen
Problemen Frequenzen bis zu 100 Hertz vor, so dass hier keine Probleme bezüglich der
Auflösung zu befürchten waren. Es standen insgesamt drei Wegaufnehmer dieser Art zur
Verfügung.
Rohrhalterung
Abstützung
Aufnehmer
Anker des Aufnehmers
Boden
Abb. 5.15 Schematischer Aufbau der Messeinrichtung
Auf diese Art konnten die Relativverschiebungen zwischen Boden und Decke direkt ohne
Integration eines Schwingungsaufnehmers gemessen werden. Diese Art der Messungen ist für
Verschiebungen die Genaueste.
91
Des weiteren wurden noch induktive Aufnehmer eingesetzt, die ein der
Schwingungsgeschwindigkeit proportionales Signal abgeben. Diese Aufnehmer eignen sich
nicht so gut zur Bestimmung von Verschiebungen, da aus den Geschwindigkeiten die
Verschiebungen erst durch Integration berechnet werden müssen. Die Relativverschiebungen
ergeben sich mit solchen Sensoren also erst durch Integration zweier Aufnehmer an Boden
und Decke und anschließende Differenzenbildung dieser Werte. Ein solches Vorgehen ist
naturgemäß mit höheren Fehlern behaftet. Man kann aber diese Aufnehmer sehr gut zur
Bestimmung des Spektrums der Erschütterungen einsetzen, da die Geschwindigkeiten in
ihrem zeitlichen Verlauf damit genauer gemessen werden können. Solche Spektren sind
wichtig, da die Scheiben nicht nur durch rein mechanische Zwangsspannungen zerstört
werden können. Es kann auch geschehen, dass die Anregung durch die Durchfahrten
Frequenzen enthält, die in der Nähe der Resonanzfrequenz der Scheiben liegen. Dann werden
durch jede Zugdurchfahrt diese Scheiben zum Schwingen angeregt. Die so entstehenden
Schwingungen können beträchtliche Amplituden annehmen. Damit könnte es zu Schäden
durch große Bewegungen in der Resonanz kommen. Diese Gefahr kann aber erst nach dem
Einbau der Scheiben abgeschätzt werden, da die Resonanzfrequenzen der Scheiben unter
anderem von der Art der Lagerung abhängen. Einer entsprechenden eventuellen Gefahr kann
aber durch Verstimmung der Schwingungen der Scheiben, eventuell durch den Einbau von
Zusatzmassen, begegnet werden.
Alle Signale wurden mit einer Abtastfrequenz von jeweils 5000 Hertz digitalisiert und auf
einem Rechner abgespeichert. Damit haben wir eine gegenüber dem interessierenden Bereich
von bis zu 100 Hertz eine 50-fach höhere Abtastung, so dass die Frequenzen mit einer
ausreichenden Genauigkeit bestimmt werden konnten.
5.2.3.3. Messeinrichtung
Es wurden die Relativverschiebungen zwischen Boden und Decke in der Spur der
Aufhängeschiene für die Scheiben gemessen. Die Lage der Messpunkte ist in Bild 5.16
gezeigt. Insgesamt wurden 6 Positionen mit jeweils drei Wegaufnehmern und drei
Schwingungsaufnehmern gleichzeitig gemessen.
Im Folgenden sind alle Messpunkte mit Benennung aufgeführt. Jeweils eine Gruppe wurde
synchron aufgenommen. In der Nähe der Messpunkte 9 bis 11 befand sich ein Riss in der
Decke, in dessen Nähe größere Verschiebungen vermutet wurden. Deshalb wurde links und
rechts des Risses noch einmal zusätzlich gemessen.
An jeder Messstelle wurde mindestens über einen Zeitraum von 20 Minuten, teilweise
wesentlich länger, gemessen. Dabei war immer mindestens eine U-Bahndurchfahrt in dieser
Zeit enthalten. Dies ist nicht zu kurz, da jede einzelne Durchfahrt nach Ende schnell
(innerhalb von Zehntel Sekunden) abklingt. Die Gefahr der Ausbildung hoher Amplituden
durch Überlagerung von Schwingungen besteht also nicht.
5.2.3.4. Messergebnisse
Die Messungen wurden folgendermaßen ausgewertet: Es wurden die maximal auftretenden
Relativverschiebungen innerhalb des Messzeitraumes für alle drei Längenaufnehmer bestimmt
und in eine Tabelle eingetragen. Weiter wurden für charakteristische Erschütterungen die
Spektren der Schwingungsaufnehmersignale bestimmt und dargestellt. Aus diesen Spektren
können die wichtigsten Anregungsfrequenzen abgelesen werden.
92
Abb. 5.16 Lage der Messpunkte 9-11
Messpunkt Max. Relativver-
schiebung, [mm]
Aufnehmer A
Max. Relativver-
schiebung, [mm]
Aufnehmer B
Max. Relativver-
schiebung, [mm]
Aufnehmer C
M 1, 2 0.042 0.033
M 3, 4 0.037 0.040
M 3, 4, 5 0.034 0.073 0.061
M 6, 7, 8 0.091 0.184 0.045
M 9, 10, 11 0.060 0.50 0.062
Riß0.055 0.478 0.068
Abb. 5.17 Maximale Relativverschiebungen
Man kann also feststellen, dass alle Relativverschiebungen kleiner als 0.5 mm sind. Das sind
Größen, die eine Gefährdung der Scheiben durch Zwangsspannungen sicher ausschließen,
wenn die mitgeteilten Maße eingehalten werden. Die Messpunkte M9,10,11 lagen in dem
Bereich der Überfahrt der Straßenbahn. Erwartungsgemäß wurden hier die höchsten Werte
gemessen, die aber immer noch weit entfernt von einer Gefährdungsgrenze liegen. Während
der Messungen in den Punkte M3, 4, 5 wurden Holzbalken auf den Boden geworfen. Aber
auch hier liegen die Messergebnisse weit unterhalb einer Gefährdungsgrenze.
93
In den Bildern 5.18 bis 5.20 sind charakteristische Schwingungsspektren für jede einzelne
Messgruppe dargestellt.
Abb. 5.18 Charakteristisches Spektrum der Schwinggeschwindigkeiten der Messgruppe (M 1, 2)
Hier erkennt man charakteristische Frequenzbänder bei 20, 70 und 125 Hertz. Liegt eine
Resonanzfrequenz des Einbaus in diesem Bereich, muss mit erhöhten Schwingamplituden
gerechnet werden.
Abb. 5.19 Charakteristisches Spektrum der Schwinggeschwindigkeiten der Messgruppe (M 3,4)
0 50 100 150 200 250
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0 50 100 150 200 250
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
Frequenzspektrum Geophon 1
Amplitude
Frequenz (Hz)
0 100 200
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7 0 100 200
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Frequenzspektrum Geophon 1
Amplituden
Frequenz (Hz)
94
Hier liegen charakteristische Frequenzbänder bei 20 Hertz und zwischen 60 und 90 Hertz.
Abb. 5.20 Charakteristisches Spektrum der Schwinggeschwindigkeiten der Gruppe (M9,10,11)
Die charakteristischen Frequenzbänder liegen hier zwischen 40 und 60 Hertz und bei 130
Hertz. Das untere Band mit 20 Hertz fehlt.
5.2.3.5. Zusammenfassung
Als erstes kann man feststellen, dass die Relativverschiebungen zwischen Boden und Decke
kleiner als 0.5 mm und damit so gering sind, dass eine Gefährdung der eingebauten
Glasscheiben durch Zwangsspannungen ausgeschlossen werden kann. Dabei handelt es sich
um wirkliche Maximalwerte, die mittleren Verschiebungen sind um ungefähr eine
Zehnerpotenz geringer, liegen also in der Größenordnung von 0.05 mm. Die Spektren der
Schwingungsgeschwindigkeitsaufnehmer zeigen Anregungsbänder bei 10, zwischen 60 und
90 und bei 120 Hertz. Liegen in diesen Bereichen Resonanzfrequenzen von Einbauten,
müssen eventuell Maßnahmen ergriffen werden. Diese sind aber relativ einfach
durchzuführen.
0 50 100 150 200 250
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8 0 50 100 150 200 250
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Frequenzspektrum Geophon 0
Amplitude
Frequenz (Hz)
95
5.2.4. Rutschungen
Hierzu sei das Beispiel des geodätischen Überwachungsnetz im Rutschungsgebiet an der
Schwarzmeerküste nördlich von Varna (Abb.5.22) genannt. Die terrestrischen Beobachtungen
zweier diskreter Zeitzustände sind ausgeglichen und einer Deformationsanalyse mit
statistischen Tests gemäß der Ausführung in Kap. 2.2.3 unterzogen worden. Die damit
verifizierten signifikanten Verschiebungen sind in Abbildung 5.21 gegeben.
LOKALISIERUNG VON EINZELPUNKTVERSCHIEBUNGEN
PUNKT NAME DX (CM) DY (CM) OMEGA ANTEIL ETEST
1 0.0781 -0.0862 0.0080 6.5600
2 -0.0687 -0.0905 0.0075 6.5600
3 -0.0526 0.3119 0.0543 6.5600
4 0.1738 -0.1910 0.0188 6.5600
SIGNIFIKANT NICHT ZUR BASIS GEHÖRENDE PUNKTE
PUNKT NAME DX (CM) DY (CM) OMEGA ANTEIL ETEST
5 -9.9492 2.7011 37.3013 6.5600
8 -19.4088 4.4267 60.4487 6.5600
6 -23.5633 4.7310 163.7750 6.5600
9 -29.7249 7.1952 242.6538 6.5600
7 -157.2846 56.4639 3778.6628 6.5600
Abb. 5.21: Verschiebungsfeld mit Signifikanzprüfung aus der Deformationsanalyse
Abb. 5.22: Simulierte gegenläufige Verschiebungen des Modells 2
96
Abb. 5.23: Messpunkte des Rutschungsgebietes nördlich von Varna
5.2.4.1. Diskretisierung
Die Netzpunkte 3,4,5 und 6 werden für eine weitere Diskretisierung verwendet.
Abb. 5.24: Diskretisierung in Vierecke
97
5.2.4.2 Abbildungsfunktion
Ausgeglichen werden Maßstabsbeobachtungen gewichtet mit der Fläche des entsprechenden
Dreieckes. Wichtig für das Ausgleichungsmodell ist die Beziehung zwischen den
Transformationsparametern und die unbekannten Koordinaten der Dreiecksknoten.
Die Berechnung ist gemäß der Methode in 3.4.2 durchgeführt worden.
Abb. 5.25: Weitere Diskretisierung in Dreiecke
Nach der Diskretisierung wird die Affintransformation als Abbildungsfunktion gewählt.
Es werden zwei Gewichtsmodelle gegenübergestellt:
Streckengewichtet –Modell 1 und
Flächengewichtet –Modell 2
Wichtig für die korrekte Modellierung des diskretisierten Objektes sind die Randbedingungen.
Falls das nicht geschieht, treten Extrapolationseffekte auf, die das Modell verfälschen.
Die folgende Abbildung (5.25) zeigt die Ergebnisse im Teil des Testgebietes bei der
Anwendung von Modell 1.
98
Abb. 5.26: Berechnungsergebnis beim Einsatz des streckengewichteten Modells
99
Abb. 5.27: Berechnungsergebnis beim Einsatz des flächengewichteten Modells
Ersichtlich ist, dass das flächengewichtete Modell 2 (Abb. 5.26) ein homogenes Medium
besser repräsentiert. Als Erklärung dafür dient die Tatsache, dass der Interpolationsvorgang in
der ersten Ableitung stattfindet was auch füreineGlättung sorgt. Bei bekannten
Materialeigenschaften können aus den Verschiebungen über Gleichung (3.3.19) die
Hauptspannungsgrößen für jedes diskrete Dreieck bestimmt werden.
100
6. Zusammenfassung und Schlussfolgerungen
In der Dissertation werden zunächst die für Deformationsuntersuchungen geeigneten Mess- ,
Auswerte- und Analysemethoden zusammengestellt und Interpretationsmodelle verglichen.
Die Deformationsproblematik ist möglichst als ein Komplex von Messung, Auswertung,
Analyse und Approximation, begleitet durch statistische Methoden und nachfolgender
fachlicher Interpretation, realitätsnah betrachtet worden.
Die in Kapitel 3 vorgeschlagene Lösung, die ein integriertes Modell darstellt, entspricht
relativ genau der physikalischen Realität. Gezeigt wurde, dass unter Verwendung von
Transformationen eine Problemstellung so umformuliert werden kann, dass erprobte zum Teil
einfachere Lösungswege verwendet werden können. Die Verwendung existierender digitaler
Oberflächenmodelle ist als Diskretisierungsgrundlage möglich.
Das Modell entspricht der aus der Natur kommenden physikalischen Voraussetzungen. Es
erlaubt, detaillierte Untersuchungen von Deformationen durchzuführen und die Änderung der
einwirkenden Kräfte auf das untersuchte Objekt abzuleiten.
Weiter sind in Kapitel 4 eine Verallgemeinerung der Beziehungen der Variationsmethoden in
der Mechanik und des Allgemeinfalls der Ausgleichungsrechnung nach der Methode der
Kleinsten Quadrate durchgeführt, und die Lösungen nach MKQ auf die Variationsmodelle
angewandt worden.
Beim Variationsproblem mit einbezogenen Bedingungen ist die Lösung mit Hilfe der
Lagrangeschen Multiplikatoren sichergestellt. So wurden in Kombination mit der Methode
der Kleinsten Quadrate eine Reihe äquivalenter Prinzipien abgeleitet.
Dadurch werden auch die stochastischen Eigenschaften aller mechanisch relevanten Größen
bestimmt.
Diese Strategie der integrierten Modelle erlaubt es, die Phase der Interpretation, die bislang oft
aus Deutungen und Vermutungen bestand, umzuwandeln in eine mathematisch definierte. Das
Funktional, das Gegenstand der Variation ist, hat eine streng physikalische Bedeutung und ist
invariant bezüglich Transformationen. Das macht die Variationsmethode äußerst effektiv und
universell.
Ausgehend von den durchgeführten Untersuchungen wird als allgemeinstes
Deformationsanalysemodell ein Ansatz nach dem erweiterten Hamilton´schen Prinzip
vorgeschlagen. Auch hierfür wird ein integrierter Lösungsansatz empfohlen.
Die Anwendungesbeispiele zeigen die Möglichkeiten des vielfältigen und effektiven Einsatzes
der vorgeschlagenen Lösungen.
Da die Erfassungsinformationen und Ergebnisse untrennbar bei den Untersuchungen der
einzelnen Objekte sind, ist es notwendig ein entsprechendes System zur Vervollständigung
dieser Daten aus Nachbardisziplinen und zur Bereitstellung der gesamten Information, auch
dieser von experimentellen Untersuchungen, zur Weiternutzung in ein Objektbezogenes
Geotechnisches Informationssystem zu generieren.
101
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106
Symbolverzeichnis
Symbol Bedeutung
AKonfigurationsmatrix
BKoeffizientenmatrix
bTrendparameter
CFunktionsparameter
EEinheitsmatrix
FMatrix der partiellen Ableitungen
GMatrix der Helmertbedingungen
HStatistische Hypothese
KSteifigkeitsmatrix, Varianz- Kovarianzmatrix
lBeobachtungsvektor
PGewichtsmatrix
xx
QVerianz-Kovarianzmatrix
S,R Oberfläche
Tkinetische Energie
Upotentielle Energie
VVolumen
vVerbesserungsvektor
XKoordinatenverktor
W
δ
:Virtuelle Arbeit
ε: Verzerrungsvektor
ik
ε
Verzerrungstensor
ik
τ
Spannungstensor
ℑ
δ
Variation der potentiellen Energie
ℜ
δ
Variation der Ergänzungsenergie
ikik
µ
λ
,Lagrangesche Multiplikatoren
ς
Dichte eines Körpers
107
Abbildungsverzeichnis
1.1 Ablauf der Deformationsanalyse mit S-Transformation 11
2.1 Ablauf der Deformationsanalyse mit S-Transformation 19
2.2 Sensorsignal, nach Tiefpaßfilterung, nach Hochpassfilterung 24
2.2 Sensorsignal, nach Tiefpassfilterung, nach Hochpassfilterung 24
2.3 Zweistufige z-Transformation 31
3.1 Zweistufige Diskretisierung 34
3.2 Integrierte Lösung des Dynamischen Models 45
4.1 Iterative Lösung im Gesammtpotential nach der Methode der Kleinsten Quadrate 69
5.1 Geotechnisches Informationssystem 75
5.2 Deformationsnetz Mathis Dam –USA 76
5.3 Signifikante Verschiebungen zwischen den Epochen F91 und F93 77
5.4 Ergebnis DEFAN nach Untersuchung auf Gruppenverschiebungen 77
5.5 Ergebnis nach Signifikanzprüfung eines angesetzten Polynoms 78
5.6 Lindenhofbrücke, Ansicht von Osten 79
5.7 Instrumentarium 81
5.8 Positionen des LKW, links: Position I, rechts: Position II 81
5.9 Position der Messpunkte 82
5.10 Durchbiegung der Träger, bestimmt aus geodätischen Beobachtungen 85
5.11 Durchbiegung der Träger, bestimmt aus kontinuierlichen Beobachtungen 85
5.12 Durchbiegung der Träger, bestimmt aus geodätischen und kontinuierlichen Beobachtungen 86
5.13 Datenreihen - synchronisiert 87
5.14 Fourier-Analyse für Messpunkt 6 89
5.15 Schematischer Aufbau der Messeinrichtung 90
5.16 Lage der Messpunkte 9-11 92
5.17 Maximale Relativverschiebungen 92
5.18 Charakteristisches Spektrum der Schwinggeschwindigkeiten der Messgruppe (M 1, 2) 93
5.19 Charakteristisches Spektrum der Schwinggeschwindigkeiten der Messgruppe (M 3,4) 93
5.20 Charakteristisches Spektrum der Schwinggeschwindigkeiten der Gruppe (M9,10,11) 94
5.21 Verschiebungsfeld mit Signifikanzprüfung aus der Deformationsanalyse 95
5.22 Simulierte gegenläufige Verschiebungen des Modells 2 95
5.23 Messpunkte des Rutschungsgebietes nördlich von Varna 96
5.24 Diskretisierung in Vierecke 96
5.25 Weitere Diskretisierung in Dreiecke 97
5.26 Berechnungsergebnis beim Einsatz des streckengewichteten Modells 98
5.27 Berechnungsergebnis beim Einsatz des flächengewichteten Modells 99
Tabellenverzeichnis
5.1 Ausgleichungsergebnis des Nivellements 84
5.2 Deformationsanalyse der geodätischen Messungen 84
5.3 Deformationsanalyse der kontinuierlichen Messungen 84
5.4 Ergebnis der kombinierten Ausgleichung beider Messmethoden 85
5.5 Endgültige Verschiebungen aus der Belastungsprobe 86
5.6 Maximalwerte bei dynamischer Belastung und kontinuierlichen Beobachtungen 87
5.7 Daten aus Lomb’sSpektrum–Meßpunkt 5 88
5.8 Daten aus Lomb’s Spektrum - Messpunkt 6 88
108
Danksagung
Meinem Doktorvater Herrn Prof. Gründig gilt mein besonderer Dank. Seine Unterstützung hat
wesentliches zur Entstehung dieser Arbeit beigetragen.
Meinen Dank, fürdieÜbernahme der Berichte im Promotionsverfahren, richte ich auch an
Herrn Prof. Schwarz, sowie an Herrn Dr.-Ing. habil. Blum, dessen wertvolle Anregungen die
Dissertation bereicherten.
Meinem Vater Prof. Milev danke ich besonders für die jahrelange Unterstützung, für
wertvolle Ratschläge und sein Vorbild für meine menschliche und fachliche Entwicklung.
Nicht zuletzt widme ich diese Arbeit meinem lieben Sohn Victor, der mir die Kraft gegeben
hat in schwierigen Zeiten meine Ziele weiter zu verfolgen und zum Erfolg zu führen.
109
Lebenslauf
09.07.1963 Geboren in Sofia , Bulgarien
März 1970 –Mai 1973 Besuch der Grundschule in Stuttgart
September 1973 –Juni 1977 Besuch der Grundschule in Sofia
September 1977 –Juni 1981 Besuch des Deutschsprachigen Gymnasiums
Sofia
Abschluss mit dem Abitur
September 1981 –September 1983 Grundwehrdienst
September 1983 –Juli 1988 Studium der Geodäsie und
Markscheiderwesen an der UniversitätSofia
Oktober 1988 –Oktober 1989 Entwicklungsingenieur am Institut für
Anwendung der Lasertechnik und Optik im
Bergbau
November 1989 –März 1991 Wissenschaftlicher Mitarbeiter an der
Bulgarischen Akademie der Wissenschaften
März 1991 –Oktober 1993 Aufbaustudium an der TU Berlin
Oktober 1993 –Oktober 1998 Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für
Geodäsie und Geoinformationstechnik der
Technischen Universität Berlin
Seit Dezember 1998 Entwicklungsingenieur bei der Technet
GmbH Berlin
