Numerische Verfahren der
Optimalsteuerung von Magnetfeldern
vorgelegt von
Diplom-Wirtschaftsmathematiker
Dipl.-Math.oec. Kristof Altmann
aus Berlin
Von der Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
der Technischen Universität Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Naturwissenschaften
Dr. rer. nat.
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr. John Sullivan
Gutachter: Prof. Dr. Fredi Tröltzsch
Gutachter: Prof. Dr. Ulrich Langer
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 13.06.2013
Berlin 2013
D 83
Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir Optimalsteuerungsprobleme mit li-
nearen elliptisch-parabolischen partiellen Differentialgleichungen und punktweisen
Steuerungsbeschränkungen. Dabei liegt der praktische Hintergrund in Anwendun-
gen mit den Maxwellgleichungen. Zum einem betrachten wir Modelle mit gewöhn-
lichen Differentialgleichungen, welche wir aus elektrischen Schaltkreisen herleiten.
Zum anderen werden Modelle mit dreidimensionalen parabolischen Vektorpoten-
zialen behandelt. Für alle untersuchten Modelle zeigen wir die Existenz und Ein-
deutigkeit von Lösungen für die enthaltenen Differentialgleichungen. Dabei ist aus
analytischer Sicht die Kopplung von elliptischen und parabolischen partiellen Dif-
ferentialgleichungen das größte Problem. Nachfolgend leiten wir notwendige Opti-
malitätsbedingungen 1. Ordnung für eine optimale Steuerung her, welche zum Teil
auch hinreichend sind. Für die Herleitung der Optimalitätsbedingungen verwenden
wir die formale Lagrange-Technik. Weiterhin beschreiben wir Algorithmen, mit de-
nen wir die Optimalsteuerungsprobleme lösen können. Unser Fokus liegt dabei auf
Algorithmen, die robust bezüglich großer Systeme sowie Praxis relevanter physi-
kalischen Größen sind. So wird zum Beispiel eine elektrische Leitfähigkeit von 0in
nichtleitenden und 106in leitenden Materialien verwendet. Zum Abschluss disku-
tieren wir einige numerische Lösungen von verschiedenen Modellen. Dabei zeigen
wir Unterschiede in den Lösungen für unterschiedliche Geometrien, Regularisie-
rungen und Optimalsteuerungsparameter.
Abstract
This thesis investigates optimal control problems related to electrical circuits and
Maxwell equations. For this purpose we discuss optimal control problems with
linear elliptic-parabolic partial differential equations and box constraints. Some
different models will be defined and explained. Models related to the Maxwell
equations will be discussed in the vector potential form. In all models we derive
the existence and uniqueness for involved differential equations. Furthermore we
derive the first-order necessary optimality conditions for all optimal control pro-
blems. This will be done by the formal Lagrange-technique. The coupling between
elliptical and parabolic partial differential equations constitutes the biggest chal-
lenge. We show algorithms to solve the optimal control problems numerically. The
main focus is that these algorithms are stable for big systems and practice re-
levant physical constants. For example a value of 0for electrical conductivity in
non-conducting regions and 106in conducting regions is used. Finally we discuss
numerical solutions of the different models. Particularly we consider numerical so-
i
lutions of different geometries, regularisations and optimal control parameters.
Danksagung
Ich bedanke mich an dieser Stelle bei vielen Personen, die mich bei der Erstel-
lung der Dissertationschrift unterstützt haben. Mein größter Dank gilt Prof. Dr.
Fredi Tröltzsch. Er hat mich während meiner gesamten Promotionsphase begleitet
und mich immer bei inhaltlichen sowie methodischen Fragen geduldig unterstützt.
Weiterhin möchte ich mich sehr bei Dr. Simon Stingelin bedanken. Er hat mich
in die Materie der Magnetfelder beziehungsweise der Vektorpotenziale eingeführt,
sowie ein großes Interesse an meiner Arbeit gezeigt und viele Diskussionen mit
mir geführt. Er hat mir viele neue Anregungen und Impulse geben. Ein Dank geht
an meine Arbeitsgruppe „Optimierung bei partiellen Differentialgleichungen“ an
der TU-Berlin mit Dr. Ira Neitzel, Dr. Irvin Yousept, Dr. Willi Dhamo und Dr.
Christian John für all die gemeinsamen interessanten Ideen und Überlegungen.
Bei Prof. Dr. Ulrich Langer bedanke ich mich für die Begutachtung meiner Ar-
beit und dass ich meine Ergebnisse in Linz vorstellen durfte. Ich danke meiner
Partnerin Christine Sunkel für die tolle Unterstützung in dieser harten Zeit. Nicht
zuletzt möchte ich einen besonderen Dank an meine Eltern Angelika Altmann und
Wilhelm Altmann aussprechen, die immer für mich da sind.
ii
Inhaltsverzeichnis
0.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1 Räume und Operatoren, Standardsätze 1
1.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Optimierung elektrischer Schaltkreise 9
2.1 Numerische Analysis für einen Schaltkreis mit einer Schleife . . . . 10
2.1.1 Die optimale Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Das Pontrjaginsche Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Notwendige Optimalitätsbedingungen für das Optimalsteue-
rungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.4 Numerische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Schaltkreis mit zwei Schleifen bei nur einer Differentialgleichung . . 19
2.3 Zwei Schleifen mit Induktionskopplung . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Das Optimalsteuerungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Numerische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3 Zeitoptimales Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Vom elektrischen Strom abhängige Induktion . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1 Das nichtlineare Optimalsteuerungsproblem . . . . . . . . . 35
2.4.2 Notwendige Optimalitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.3 Numerische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Grundlagen der Maxwell-Gleichungen 41
3.1 Elektromagnetische Felder und ihre Größen . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Übergangs- und Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Einführung von Potenzialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Mathematische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.1 Vollständiges Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.2 Zeitharmonisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
iii
INHALTSVERZEICHNIS
4 Optimalsteuerungsprobleme 51
4.1 Ein Testbeispiel für die Optimalsteuerung eines Vektorpotenzials . . 51
4.2 Das mathematische Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Materialeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Vektorpotenziale für zweidimensionale Gebiete . . . . . . . . . . . . 58
4.5 Das Vektorpotenzial für das nicht leitende Gebiet . . . . . . . . . . 60
4.6 Der elektrisch leitende Teil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.7 Das leitende und nicht leitende Gebiet gekoppelt . . . . . . . . . . . 69
4.7.1 Regularisierung mit ǫA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.7.2 Konvergenz des regularisierten Problems . . . . . . . . . . . 77
4.8 Die Existenz und Eindeutigkeit einer optimalen Steuerung . . . . . 79
4.8.1 Ein elliptisches Optimalsteuerungssystem . . . . . . . . . . . 81
4.8.2 Optimale Steuerung für den parabolischen Fall . . . . . . . . 82
4.8.3 Existenz und Eindeutigkeit einer optimalen Steuerung für
das gekoppelte System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.9 Optimalitätsbedingung erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5 Optimalsteuerungsproblem mit einer Spannung als Steuerung 95
5.1 Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung Afür den Fall mit In-
duktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Formale Lagrange-Technik für die Steuerung u . . . . . . . . . . . . 105
5.3 Optimalitätsbedingung erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Numerik 113
6.1 Nédélec-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2 Numerik für das Optimalsteuerungsproblem aus Kapitel 4 . . . . . 115
6.2.1 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2.2 Die diskretisierte Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2.3 Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3 Die Spannung als Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.1 Numerischer Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.2 Ausnutzen von Symmetrieeigenschaften des Vektorpotenzials 124
7 Numerische Beispiele 127
7.1 Parabolische Regularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.2 Elliptische Regularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.3 Berechnung eines gewünschten Zielzustandes . . . . . . . . . . . . . 131
7.4 Numerisches Beispiel für den Strom i als Steuerung . . . . . . . . . 133
7.5 Numerische Beispiele mit der Spannung u als Steuerung . . . . . . . 135
7.6 Vergleich der numerischen Lösungen der verwendeten Geometrien . 137
7.7 Optimierung für den magnetischen Fluss B . . . . . . . . . . . . . . 138
iv
0.1. EINLEITUNG
7.8 Periodische Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.9 Benötigte Rechenzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
0.1 Einleitung
In dieser Arbeit wird ein Optimalsteuerungsproblem mit linearen elliptisch - para-
bolischen partiellen Differentialgleichungen und punktweisen Steuerungsbeschrän-
kungen bearbeitet. Das Modell führt zu einer Anwendung mit Maxwell-Gleichungen.
Klassische Anwendungen sind zum Beispiel Generatoren, Transformatoren, Moto-
ren oder auch Wachstumsprozesse von Kristallen. Das Ziel ist die Steuerung ei-
nes Magnetfeldes B(x, t)durch einen Strom i, beziehungsweise im zweiten Schritt
durch eine angelegte Spannung u. Dafür modellieren wir zuerst das Problem mit
Hilfe eines Vektorpotenzials Aund zeigen die Existenz und Eindeutigkeit einer
Lösung für das Modell. Danach beschäftigen wir uns mit der Eindeutigkeit und
Existenz notwendiger und hinreichender Optimalitätsbedingungen einer optimalen
Steuerung für das Problem. Weiterhin zeigen wir, wie das Optimalsteuerungspro-
blem numerisch gelöst werden kann und weisen die Anwendbarkeit der Methode
durch numerische Beispiele nach.
In Kapitel 2 beginnen wir mit einem vereinfachten Problem, welches wir mit
der Hilfe von gewöhnlichen Differentialgleichungen erstellen. Hintergrund der Glei-
chungen sind elektrische Schaltkreise, in der die Gleichungen für den Strom idie
Form
(0.1.1) Ldi
dt(t) + Rci(t) = u(t)
i(0) = −i0.
haben. In dieser Aufgabe wird der Strom idurch die Spannung ugesteuert.
Wir wenden die formale Lagrange-Technik an, um die notwendigen Optimalitäts-
bedingungen erster Ordnung herzuleiten. Hintergrund ist, dass wir im nächsten
Schritt ein Optimalsteuerungssystem für Maxwell-Gleichungen im dreidimensiona-
len Raum aufstellen wollen und diese Technik dann anwenden. Wir werden einige
numerische Beispiele für die Optimalsteuerung mit gewöhnlichen Differentialglei-
chungen angeben, welche mit dem FEM-Programm COMSOL Muliphysics berech-
net werden. In Kapitel 3 stellen wir Grundlagen zu den Maxwell-Gleichungen be-
reit. Ein besonderer Schwerpunkt sind Potenziale, welche häufig für mathematische
Betrachtungen verwendet werden. Weiterhin soll das Magnetfeld im Vordergrund
stehen, da wir den magnetischen Fluss B, beziehungsweise das Wirbelstrompro-
blem, optimieren wollen. Wir geben einige Modelle zu dieser Problematik an.
Im 4. Kapitel werden die Existenz und Eindeutigkeit für das dreidimensionale
Wirbelstromproblem behandelt. Die Schwierigkeit liegt dabei in der Kopplung von
v
INHALTSVERZEICHNIS
elliptischen und parabolischen Gleichungen für das Vektorpotenzial für die unter-
schiedlichen Gebiete (Leiter beziehungsweise Nichtleiter). Im Anschluss wird die
Existenz und Eindeutigkeit für ein Optimalsteuerungsproblem der Form
min F(A, i) =λT
2!Ω
|A(T)−A∞|2dx +λQ
2!Q
|A(t)−A∞|2dx dt
+λI
2!T
0
i2dt
mit Nebenbedingungen
σ∂A
∂t(x, t) + ∇×ν∇×A(x, t) = e(x)i(t)in Q=Ω×(0, T)
n(x)×A(x, t) = 0 auf Σ=∂Ω×(0, T)
A(x,0) = −A0(x)in Ω
sowie
i∈Iad := {i∈L2(0, T) : imin ≤i(t)≤imax für fast alle t∈[0, T]}
untersucht. Des Weiteren leiten wir die Optimalitätsbedingungen erster Ordnung
her. Kapitel 5 stellt eine Erweiterung von Kapitel 4 dar. Statt der Steuerung iwird
jetzt das Problem über die Spannung ugesteuert, wobei udie Gleichung
!Ωc
∂A
∂t(x, t)·e(x)dx +Rci(t) = u(t)in (0, T)
erfüllt, mit Ωc⊂Ω. Auch für dieses Optimalsteuerungsproblem zeigen wir die
Existenz und Eindeutigkeit von A, sowie die Existenz und Eindeutigkeit für eine
optimale Steuerung ufür das obige Problem.
In Kapitel 6 folgen dann einige numerische Methoden für die Optimalsteue-
rung mit partiellen Differentialgleichungen des Wirbelstromproblems. Wir geben
an, wie das komplette Optimalsteuerungssystem gelöst wird, wobei wir aus Sta-
bilitätsgründen eine Regularisierung der Zustandsgleichung vornehmen. Als finite
Elemente verwenden wir H(curl)-konforme Nédélec-Elemente, welche in Kapitel 6
erklärt werden. Für die betrachteten Optimalsteuerungsprobleme sind in der Zeit
Vorwärtsprobleme für den Zustand und Rückwärtsprobleme für den adjungier-
ten Zustand zu lösen. Des Weiteren wird eine Approximation für den Gradienten
vom reduzierten Zielfunktional f(i)benötigt. Im dann folgenden Kapitel 7 zeigen
wir zum Abschluss der Arbeit noch einige numerische Beispiele, welche mit dem
vi
0.1. EINLEITUNG
FEM-Programm NGSOLVE erstellt sind. Wir gehen insbesondere auf die Regula-
risierung der Zustandsgleichung des Wirbelstromproblems, unterschiedliche Test-
geometrien und Normen im Zielfunktional ein. Weiterhin geben wir numerische
Lösungen über mehrere Perioden an.
vii
Kapitel 1
Räume und Operatoren,
Standardsätze
In diesem Kapitel tragen wir einige Räume, Operatoren so wie häufig verwendete
Standardsätze für das Wirbelstromproblem zusammen. Die wichtigsten für uns
sind der H1(Ω),H(div, Ω),H(curl, Ω)und W(0, T). Außerdem führen wir den
Spuroperator und die Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation im
schwachen Sinne ein.
Definition 1.1. Sei Ωeine beschränkte messbare Teilmenge aus RNund 1≤p < ∞.
Den Raum aller zur Potenz pintegrierbaren Funktionen von Ωnach Rbezeichnen
wir als
Lp(Ω) = {u:Ω→R:uist messbar und !Ω
|u|pdx < ∞}.
Die Norm ist definiert durch
)u)Lp={!Ω
|u(x)|pdx}1/p.
Die Räume Lp(Ω)sind für 1≤p≤ ∞Banachräume und reflexiv für 1< p < ∞.
Das Skalarprodukt für L2(Ω)kann durch
(u, v)L2(Ω)=!Ω
uv dx
definiert werden. Der L2(Ω)wird durch die obige Definition zu einem Hilbertraum.
Weiterhin benötigen wir insbesondere den Raum L∞(Ω), der wie folgt definiert ist:
Definition 1.2. Mit L∞(Ω)wird der Raum aller fast überall gleichmäßig be-
schränkten und messbaren Funktionen u:Ω→Rbezeichnet, mit der dazuge-
hörigen Norm
)u)L∞(Ω):= inf
|F|=0( sup
x∈Ω\F
|u(x)|).
1
KAPITEL 1. RÄUME UND OPERATOREN, STANDARDSÄTZE
Definition 1.3 (Sobolewräume).Es sei 1≤p < ∞,k∈N. Unter Wk,p(Ω)
versteht man den Raum aller y∈Lp(Ω), für welche die schwachen Ableitungen
Dαyfür alle αmit |α|≤kexistieren und zu Lp(Ω)gehören, versehen mit der
Norm
)y)Wk,p(Ω)="#
|α|≤k!Ω
|Dαy(x)|pdx$1/p.
Die Wk,p(Ω)-Räume sind Banachräume. Jetzt führen wir einige Räume ein, die
für parabolische Probleme benötigt werden und halten uns an [47].
Definition 1.4. Eine Abbildung von [a, b]⊂Rin einen Banachraum Xheißt
abstrakte Funktion.
Darauf aufbauend definieren wir Treppenfunktionen
Definition 1.5. Es sei y: [a, b]→Xeine abstrakte Funktion. Ist [a, b]die
Vereinigung endlich vieler Lebesgue-messbarer und paarweise disjunkter Mengen
Mi⊂[a, b]und existieren endlich viele Elemente yi∈X, so dass y(t) = yifür alle
t∈Migilt, so heißt yTreppenfunktion.
Definition 1.6. Eine abstrakte Funktion y: [a, b]→Xheißt messbar, wenn eine
Folge {yk}∞
k=1 von Treppenfunktionen yk: [a, b]→Xexistiert, so dass y(t) =
limk→∞ yk(t)fast überall auf [a, b]gilt.
Definition 1.7. Es sei Qder Raum-Zeit-Zylinder Ω×(0, T). Der Raum W1,0(Q)
ist der Raum aller Funktionen y∈L2(Q), die alle schwachen Ableitungen erster
Ordnung im Raum L2(Q)besitzen, versehen mit der Norm
)y)W1,0
2(Q)="!T
0!Ω
(y(x, t)2+|∇y(x, t)|)dx dt$1/2,
wobei mit ∇der Gradient bezüglich des Ortes gemeint ist, also ∇:= ∇x.
Definition 1.8. Es sei Xein Banachraum. Unter Lp(a, b, X),1≤p < ∞, ver-
steht man den Raum aller (Äquivalenzklassen von) messbaren abstrakten Funktio-
nen y: [a, b]→Xmit der Eigenschaft
!b
a)y(t))p
Xdx < ∞.
Die Norm ist
)y)Lp(a,b,X):= "!b
a)y(t))p
Xdt$1/p.
2
Definition 1.9. Es sei Xein Banachraum. Unter W(0, T)versteht man den Raum
aller y∈L2(0, T;X)mit schwacher Ableitung y′∈L2(0, T;X∗)versehen mit der
Norm
)y)W(0,T):= "!T
0)y(t))2
X+)y′(t))2
X∗dt$1/2
Der Raum W(0, T)wird mit Skalarprodukt
(u, v)W(0,T )=!T
0
(u(t), v(t))Vdt +!T
0
(u′(t), v′(t))V∗dt
zu einem Hilbertraum.
Als Nächstes beschäftigen wir uns mit Differentialoperatoren. Diese benötigen
wir für die schwache Formulierung der Maxwell-Gleichungen. Im Folgendem sei
Ω⊂Rnmit n∈{2,3}beschränkt, offen und zusammenhängend. Weiterhin besitze
das Gebiet Ωeinen Lipschitz-Rand Γ:= ∂Ω. Für eine beliebige skalare Funktion
ψdefinieren wir den Gradienten durch
∇ψ:= ( ∂ψ
∂x1
, . . . , ∂ψ
∂xn
)T.
Der Divergenzoperator für u= (u1, . . . , un)ist definiert als
∇·u=divu:=
n
#
i=1
∂ui
∂xi
.
Für die Rotation müssen wir zwischen den Dimensionen n= 2 und n= 3 unter-
scheiden. Für den zweidimensionalen Fall erhalten wir für die skalare Funktion u
die Rotation
∇×u=curlu := ( ∂u
∂x2
,−∂u
∂x1
,0).
Im dreidimensionalen Fall definieren wir die Rotation für eine Vektorfunktion u
durch
∇×u=curlu:=
∂u3
∂x2−∂u2
∂x3
∂u1
∂x3−∂u3
∂x1
∂u2
∂x1−∂u1
∂x2
.
Der Vollständigkeit halber notieren wir noch den Laplace-Operator
∇·∇u=△u:= ∂2u
∂x2
1
+∂2u
∂x2
2
+∂2u
∂x2
3
.
Da wir mit schwachen Formulierungen arbeiten werden, definieren wir diese
Operatoren auch noch im schwache Sinne.
3
KAPITEL 1. RÄUME UND OPERATOREN, STANDARDSÄTZE
Definition 1.10 (Schwache Differentialoperatoren).Es seien w∈L2(Ω),u∈
L2(Ω)3und q∈L2(Ω)3. Dann definieren wir g=∇w∈L2(Ω)3als den schwachen
Gradienten, wenn
!Ω
g·vdx =−!Ω
w∇·vdx ∀v∈C∞
0(Ω)3
gilt. Die schwache Divergenz ist definiert durch d=∇·q∈L2(Ω)falls derfüllt
!Ω
d v dx =−!Ω
q·∇v dx ∀v∈C∞
0(Ω).
Der Rotationsoperator ist im schwachen Sinne definiert durch c=curlu∈L2(Ω)3
falls !Ω
c·vdx =!Ω
u·curlv∀v∈C∞
0(Ω)3
gilt.
Aus den Definitionen der Operatoren können wir die Räume
H(curl;Ω) := {v∈L2(Ω)3;∇×v∈L2(Ω)3}
H(div;Ω) := {v∈L2(Ω)3;∇·v∈L2(Ω)}
mit den dazugehörigen Normen
)v)H(curl;Ω)= ()v)2
L2(Ω)3+)∇×v)2
L2(Ω)3)1
/2
)v)H(div;Ω)= ()v)2
L2(Ω)3+)∇·v)2
L2(Ω))1
/2.
definieren.
Insbesondere benötigen wir die Räume H0(curl;Ω)und H0(div;Ω)welche zum
Beispiel in [34] definiert sind. Für beschränkte Lipschitz-Gebiete Ωmit Rand ∂Ω
gilt, dass der Raum H0(curl;Ω)die Abschließung von C∞
0(¯
Ω)3in H(curl;Ω)ist.
Es gilt
H0(curl;Ω) = {u∈H(curl;Ω) : u×n= 0 auf ∂Ω}.
Weiterhin ist der Raum H0(div;Ω)die Abschließung von C∞
0(¯
Ω)3in H(div;Ω). Es
gilt
H0(div;Ω) = {u∈H(div;Ω) : u·n= 0 auf ∂Ω}.
Des Weiteren gelten für hinreichend glatte Funktionen udie Gleichungen
∇×(∇u) = 0, das heißt curl(grad u) = 0
∇·(∇×u) = 0, das heißt div(curl u) = 0.
Da wir mit dem Raum H(curl, Ω)arbeiten, benötigen wir für diese Funktionen
auch Spursätze.
4
Definition 1.11 (Spuroperatoren).Für eine beliebige Funktion u∈C∞(Ω)3und
den nach außen gerichteten Normalenvektor nauf Γ:= ∂Ωdefinieren wir
γtu:= u|Γ×n.
Weiterhin definieren wir das Vektorprodukt der Rotation mit dem Normalenvektor
γNu:= (∇×u|Γ)×n
und die tangentiale Komponente von u
γDu:= n×(u|Γ×n).
Um die Spuroperatoren auch für allgemeinere Räume zu verwenden, benötigen
wir einige dichte Einbettungen aus [16]. Für beschränkte Lipschitz-Gebiete Ωmit
Rand ∂Ωgilt:
Satz 1.12 (Spursatz für H(curl, Ω)).Sei Ωein beschränktes Lipschitz-Gebiet. Der
klassische Spuroperator γtkann von C∞(¯
Ω)erweitert werden auf eine lineare und
stetige Abbildung
γt:H(curl, Ω)→(H−1/2(∂Ω))3
und
)γt(u))(H−1/2(∂Ω))3≤c)u)H(curl,Ω)∀u∈H(curl, Ω).
Wir weisen daraufhin, dass die Abbildung γtnicht surjektiv auf (H−1/2(∂Ω))3
ist. Der genaue Bildbereich der Spurabbildung ist
H−1/2(div, ∂Ω) := {u∈H−1/2(∂Ω)3:u·n= 0, div∂Ωu∈H−1/2(∂Ω)},(1.0.1)
wobei die Definition vom Differentialoperator div∂Ωin [9] gegeben ist. Um die
Ergebnisse für Spuroperatoren abzurunden, führen wir noch ein Lemma an, welches
zum Beispiel in [9],[10] und [20] zu finden ist.
Lemma 1.13. Die Spuroperatoren
γt:H(curl, Ω)→H−1/2(div, ∂Ω)
γD:H(curl, Ω)→H−1/2(curl, ∂Ω)
γN:H(curl, Ω)→H−1/2(div, ∂Ω)
sind linear, stetig und surjektiv.
5
KAPITEL 1. RÄUME UND OPERATOREN, STANDARDSÄTZE
In diesem Lemma ist das Bild von der Abbildung γtder Raum H−1/2(div, ∂Ω).
Daher ist die Abbildung hier im Gegensatz zum Satz 1.12 surjektiv. Im nächsten
Schritt halten wir zwei Lemmata fest, die für die Theorie mit einem Vektorpotenzi-
al benötigt werden. Das erste Lemma sichert uns die Existenz eines Vektorpotenzi-
als für divergenzfreie Funktionen. Wir benutzen die bekannte Helmholtz-Zerlegung,
welche zum Beispiel in [34] oder [13] zu finden ist.
Lemma 1.14. Sei Ωein beschränktes einfach zusammenhängendes Lipschitz-Gebiet
mit Rand Γ:= ∂Ωund nder auf Γnach außen gerichtete Normalenvektor. Wei-
terhin sei u∈L2(Ω)3ein Vektorfeld.
Der Vektor uist genau dann divergenzfrei, dass heißt divu= 0, wenn ein A∈
H1(Ω)3existiert mit
u=curlA.
Sei divu= 0. Dann existiert ein Vektorpotenzial A∈H(curl, Ω)mit den Ei-
genschaften
curlA=u, divA= 0,und A·n= 0.
Sei divu= 0 und u·n|∂Ω= 0. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes Vek-
torpotenzial A∈H(curl, Ω), so dass
curlA=u, divA= 0,und A×n|∂Ω= 0.
Das nächste Lemma zeigt uns ein sehr wichtiges Resultat über verschiedene
Normen im Raum H(curl;Ω)∩H(div;Ω)für mehrfach zusammenhängende Ge-
biete. Dieses findet man zum Beispiel in [4].
Lemma 1.15. Das Gebiet Ωsei mehrfach zusammenhängend mit Lipschitz-Rand
Γ. Dieser bestehe aus den Randteilen Γi, für 1≤i≤p. Es sei X(Ω) := H(curl;Ω)∩
H(div, Ω)mit der Norm
)v)2
X(Ω)=)v)2
L2(Ω)+)∇×v)2
L2(Ω)+)∇·v)2
L2(Ω).
Dann gilt für den Raum XN(Ω) = {v∈X(Ω) : v×n= 0 auf ∂Ω}, dass die
Seminorm
v-→ )∇×v)L2(Ω)+)∇·v)L2(Ω)+
p
#
i=1
|(v·n; 1)Γi|
äquivalent ist zur Norm )·)X(Ω).
6
1.1. BEZEICHNUNGEN
Wir werden später mit divergenzfreien Funktionen aus H(curl;Ω)arbeiten, die
gerade +p
i=1 |(v·n; 1)Γi|= 0 erfüllen. Dafür sichert uns das Lemma für diese Funk-
tionen die Äquivalenz der vollen XN(Ω)-Norm und der Seminorm )∇×y)L2(Ω)3.
Der folgende Satz sichert uns, dass eine aus Funktionen aus dem Raum H(curl, Ωi)
zusammengesetzte Funktion unter bestimmten Voraussetzungen auch aus H(curl, Ω)
im gesamten Gebiet ist, siehe [34].
Satz 1.16. Es seien Ω1und Ω2zwei nicht überlappende Lipschitz-Gebiete mit
einer gemeinsamen Schnittfläche Σmit positivem Maß und Σ=¯
Ω1∩¯
Ω2.
(1) Es sei p1∈H1(Ω1),p2∈H1(Ω2)und p∈L2(Ω1∪Ω2∪Σ)definiert durch
p=,p1in Ω1,
p2in Ω2.
Weiterhin sei p1=p2auf Σ. Dann gilt p∈H1(Ω1∪Ω2∪Σ).
(2) Es sei u1∈H(curl, Ω1),u2∈H(curl, Ω2)und u∈(L2(Ω1∪Ω2∪Σ))3sei
definiert durch
u=,u1in Ω1,
u2in Ω2.
(1.0.2)
Wenn auf Σdie Gleichung
u1×n=u2×n
im schwachen Sinne gilt, erhalten wir u∈H(curl, Ω1∪Ω2∪Σ).
(3) Es seien u1∈H(div, Ω1)und u2∈H(div, Ω2)sowie u∈(L2(Ω1∪Ω2∪Σ))3
wie in (1.0.2) definiert. Wenn auf Σ
u1·n=u2·n
im schwachen Sinne gilt, so folgt u∈H(div, Ω1∪Ω2∪Σ).
1.1 Bezeichnungen
In diesem Abschnitt werden wir noch ein paar Notationen zusammenfassen. Für
dreidimensionale zeitabhängige Funktionen, zum Beispiel f:R3×R→R3, legen
wir ∇folgendermaßen fest:
∇f=∇xf:= ∂xf+∂yf+∂zf,
7
KAPITEL 1. RÄUME UND OPERATOREN, STANDARDSÄTZE
wobei x:= (x, y, z)Tist. Wenn wir also vom Gradienten sprechen, beschränken
wir uns auf die Ortsableitungen. Weiterhin gelten folgende Definitionen:
Dxf:= partielle Ableitung der Funktion f nach x
V∗:= Dualraum von V
(u, v)L2(Ω):= !Ω
u v dx
L2(Ω) := L2(Ω)3
||u||L2(Ω):= (!Ω
|u|2dx)
||u||H(curl)=||u||H(curl,Ω):= (!Ω
|u|2dx) + (!Ω
|∇×u|2dx)
)u)L2(a,b,X):= "!b
a)u(t))2
Xdt$1/2
Lp(a, b, X) := Lp((a, b),X)
Da wir sehr häufig ∇×(ν∇×A)verwenden, definieren wir die Vereinfachung
∇×ν∇×A:= ∇×(ν∇×A)
Es seien u∈Vund v∈V∗. Dann verwenden wir die Notation
uv := /u,v0V∗,V .
8
Kapitel 2
Optimierung elektrischer
Schaltkreise
Wir betrachten Optimalsteuerungsprobleme, welche durch lineare und nichtlinea-
re Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen definiert sind. Diese stellen
im gewissen Sinne ein Analogon der Maxwell-Gleichungen für das Wirbelstrom-
problem dar. Der Hintergrund für reale Anwendungen ist die Magnetisierung von
bestimmten 3D-Objekten. Genauer gesagt steht als das eigentliche Ziel das opti-
male Schalten zwischen verschiedenen magnetischen Feldern hinter diesem Kapi-
tel. Dieses Kapitel soll insbesondere als Test dazu dienen, wie man zeitoptimale
Steuerungsprobleme durch geeignete Integralfunktionale in fester Zeit modellieren
kann.
Probleme dieser Art treten bei Messungssensoren auf. Wenn das Mess-Signal
viel kleiner als die Störungen ist, benötigt man verschiedene Messtechniken, bei
denen unterschiedliche Magnetfelder verwendet werden. Zwischen diesen Magnet-
feldern soll man schnell hin- und herschalten können. Typischerweise ist die Signal-
quelle ein elektrisches Feld. In der Realität wird der Magnetisierungsprozess durch
Induktionsspulen gesteuert und das dazugehörige Modell wird durch die Maxwell-
Gleichungen beschrieben. Numerische Lösungen dieser partiellen Differentialglei-
chungen und das dazugehörige optimale Kontrollsystem sind schwierig zu bestim-
men und anspruchsvoll. Um einen ersten Einblick für die optimalen Steuerungs-
funktionen zu erhalten, schauen wir uns vereinfachte Modelle für elektrische Schalt-
kreise an, welche auf gewöhnlichen Differentialgleichungen basieren. Diese ähneln
dem Verhalten, welches wir für das 3D-Modell mit Maxwell-Gleichungen erwarten.
Wir betrachten verschiedene Typen von elektrischen Schaltkreisen und dazugehö-
rige Kontrollprobleme. In allen Beispielen verwenden wir Box-Beschränkungen an
die Steuerungsfunktion. Weiterhin betrachten wir auch elektrische Schaltkreise mit
nichtlinearer Induktivität.
Aus mathematischer Sicht haben wir zwei Ziele. Von der Anwendungsseite her
9
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
interessieren wir uns für die Form der optimalen Steuerung für verschiedene elek-
trische Schaltkreise. Wir diskutieren einige lineare und nichtlineare Modelle mit
steigendem Schwierigkeitsgrad. Auf der anderen Seite erläutern wir eine spezi-
elle Optimierungsmethode . Letztendlich lösen wir die Optimalitätssysteme mit
einem kommerziellen Code. Das nicht glatte Optimalitätssystem besteht aus den
Zustandsgleichungen, adjungierten Gleichungen und der Projektionsformel für die
Steuerung.
Solche Methoden wurden zum Beispiel schon von Neitzel et al. [38] für optimale
Kontrollprobleme für partielle Differentialgleichungen angewendet. Dieses Verfah-
ren funktioniert sehr gut für die diskutierten Probleme bei elektrischen Schaltkrei-
sen, kann aber noch nicht auf 3D-Feldprobleme ausgedehnt werden.
Das Optimalsteuerungssystem erhalten wir auf zwei verschiedenen Wegen. Als
Erstes verwenden wir das Pontrjaginsche Maximumprinzip, um die notwendigen
Optimalitätsbedingungen 1. Ordnung für eine optimalen Steuerung zu erhalten.
Dieses Verfahren liefert uns alle benötigten Informationen. Es ist aber auch in
einigen Fällen schwierig anzuwenden. Daher führen wir das Optimalitätssystem
dann über das bekannte Lagrangeprinzip der nichtlinearen Optimierung in Funk-
tionenräumen ein, siehe zum Beispiel Ioffe und Tikhomirov [25]. Dieses Verfahren
ist einfacher und beinhaltet alle benötigten Informationen für die numerischen
Zwecke.
2.1 Numerische Analysis für einen Schaltkreis mit
einer Schleife
2.1.1 Die optimale Steuerung
Wir beginnen mit einem einfachen elektrischen Schaltkreis, um zu zeigen, wie
die Optimierungstheorie für eine numerische Lösung aufgebaut wird. Magnetische
Felder sind an elektrische Felder gekoppelt. In unserem vereinfachten System soll
diese Kopplung im elektrischen Schaltkreis gelten und wir beginnen mit einem
Beispiel, welches durch die Gleichungen
(2.1.1) Ldi
dt(t) + Rci(t) = u(t)
i(0) = −i0
beschrieben wird. Hier ist die Steuerung ueine steuerbare Spannung und ider
dazugehörige elektrische Strom. Der Strom stellt den Zustand des Optimalsteue-
rungssystems dar und −i0∈Rden Anfangswert. Weiterhin seien Ldie Induktion
und Rcder Widerstand. Wir nehmen an, dass i0,Lund Rcpositive reelle Werte
sind. Den dazugehörigen elektrischen Schaltkreis sehen wir in Abbildung 2.1.
10
2.1. NUMERISCHE ANALYSIS FÜR EINEN SCHALTKREIS MIT EINER
SCHLEIFE
Rc
Lu
i
→
Abbildung 2.1: Schaltkreis mit einer Schleife, Modell 1
Nun wollen wir den Strom iso schnell wie möglich von −i0auf i0steuern
und danach den neuen Zustand i0halten. Diese Absicht realisieren wir durch das
Zielfunktional
(2.1.2) J(i, u) = λT
2(i(T)−i0)2+λQ
2!T
0
(i(t)−i0)2dt +λU
2!T
0
u(t)2dt
mit positiven Konstanten λT,λQ, und λUsowie einem festen Endzeitpunkt T > 0.
Weiterhin soll die Steuerung die Beschränkungen
(2.1.3) u∈Uad ={u∈L2(0, T)|ua≤u(t)≤ubfür fast alle t∈(0, T)}
erfüllen, wobei ua< ubfeste reelle Werte sind. Dieses ist ein Kontrollproblem in
einem festen Zeitintervall, wobei wir die Zeitoptimalität im Kopf behalten wollen.
Der Hauptgrund für die Verwendung eines integralem Zielfunktionals mit einem
festen Zeitintervall ist folgendes: Bei Standardproblemen der zeitoptimalen Steue-
rung wird das Erreichen des exakten Endzustandes angenommen. Dieses ist aber
ein kompliziertes Problem für die Optimalsteuerung bei partiellen Differentialglei-
chungen. Im Fall gewöhnlicher Differentialgleichungen ist der Zustandsraum ein
endlich dimensionaler Raum, so dass die Erreichbarkeit des Endzustandes eine
Standardvoraussetzung ist. Wir diskutieren solche Probleme in Abschnitt 2.3.3.
Das Hauptziel in diesem Kapitel ist die Betrachtung von physikalischen Effekten,
welche bei dreidimensionalen Maxwell - Gleichungen zu beobachten sind. Der phy-
sikalische Hintergrund ist ähnlich zum physikalischen Verhalten bei elektrischen
Stromkreisen. Bei magnetischen Feldern, welche durch die Maxwell Gleichungen
beschrieben werden, ist der Zustandsraum ein unendlich dimensionaler Raum. Für
solche Räume wäre die Erreichbarkeit des Endzustandes eine zu starke Forderung.
Daher betrachten wir auch die Probleme mit gewöhnlichen Differentialgleichun-
gen durch eine Approximation des Endzustandes, statt die genaue Erreichbarkeit
vorauszusetzen.
11
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
Wir suchen ein Paar (i∗, u∗), welches das Zielfunktional minimiert, sowie die
Anfangsbedingung (2.1.1) und die Beschränkungen (2.1.3) erfüllt. Der Zustand
isoll eine Funktion aus W1,2(0, T)sein. Die Funktionen i∗und u∗werden als
optimaler Zustand und optimale Kontrolle bezeichnet. Das Zielfunktional wird mi-
nimal, wenn der Strom i∗(T)nahe bei i0ist (erster Term in J) und erreicht dieses
Ziel schnell (zweiter Term) während die Kosten der Spannung uim dritten Term
berücksichtigt werden. Die Parameter λT,λQ, und λUkönnen frei gewählt wer-
den, um die drei Terme zu gewichten. Wir weisen noch einmal darauf hin, dass wir
einen positiven Regularisierungsparameter λUfür die Theorie und unsere Numerik
benötigen. Weil wir eine lineare Zustandsgleichung haben, ist das Zielfunktional
aus (2.1.2) strikt konvex. Die Menge der zulässigen Steuerungen ist nichtleer und
beschränkt in L2(0, T). Daher ist die Existenz und Eindeutigkeit einer optimalen
Steuerung eine Standardfolgerung. Wir indizieren Optimalität in diesem Kapitel
mit einem Stern, also bezeichnet u∗die optimale Steuerung und i∗den dazugehö-
rigen optimalen Zustand.
2.1.2 Das Pontrjaginsche Maximumprinzip
Wir leiten zunächst die dazugehörigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung
her. Hierfür gibt es mindestens zwei Methoden. Die Erste basiert auf der nicht-
linearen Theorie in Funktionenräumen und verwendet das bekannte Prinzip von
Lagrangeschen Multiplikatoren. Um diese Technik anzuwenden, benötigen wir eine
Lagrangefunktion aus der wir die notwendigen Bedingungen ableiten.
Auf der anderen Seite gibt es das berühmte Pontrjaginsche Maximumprinzip,
welches eine Standardmethode ist, um ein solches Problem theoretisch zu lösen.
Diese Methode beinhaltet die komplette Information über die notwendigen Op-
timalitätsbedingungen. Daher verwenden wir diese Methode und formen die Re-
sultate so um, dass sie kompatibel zur Lagrange-Technik sind. Wir benötigen die
Kompatibilität, um den adjungierten Zustand in einen Lagrangeschen Multiplika-
tor umzuwandeln, welcher zur Zustandsgleichung (2.1.1) gehört. In den späteren
Abschnitten werden wir nur noch die Lagrange-Technik benutzen.
Als Erstes wiederholen wir das Pontrjaginsche Maximumprinzip für die folgen-
12
2.1. NUMERISCHE ANALYSIS FÜR EINEN SCHALTKREIS MIT EINER
SCHLEIFE
de Klasse von Optimalsteuerungsproblemen mit Zielfunktional vom Bolza - Typ:
(2.1.4)
min J(u) : = g(x(T)) + !T
0
f0(x, u)dt
mit
˙xk=fk(x, u)für k= 1, . . . , n,
x(0) = x0,
u(t)∈Xfür fast alle t∈(0, T),
in dem fk:Rn×Rm→R,k= 0, . . . , n und g:Rn→Rgenügend glatte
Funktionen sind. Die Zeit 0ist der feste Startzeitpunkt, x0ein fester Startvektor
und X⊂Rmeine nichtleere konvexe Menge von zulässigen Steuerungen und T > 0
eine feste Endzeit.
Zu diesem Problem führen wir die dynamische Kostenvariable x0ein mit
˙x0(t) = f0(x(t), u(t)), x0(0) = 0,
und die Hamilton-Funktion H:Rn+1 ×Rn×Rm→Rdurch
(2.1.5) H(ψ, x, u) :=
n
#
k=0
ψkfk(x, u).
Für n= 2 erhalten wir
(2.1.6) H(ψ, x, u) := ψ0f0(x, u) + ψ1f1(x, u) + ψ2f2(x, u).
Mit Hilfe der Hamilton-Funktion können wir die zu (x(·), u(·)) gehörige adjungierte
Gleichung durch
(2.1.7) ˙
ψi=−∂H
∂xi
für i= 0, . . . , n
definieren, welche in expliziten Termen die Form
(2.1.8) ˙
ψi(t) = −
n
#
k=0
∂fk
∂xi
(x(t), u(t))ψk(t)für i= 0, . . . , n
hat. Dieses ist ein lineares Differentialgleichungssystem für die Vektorfunktion
ψ. Daraus folgt ˙
ψ0= 0, weil ψ0identisch konstant ist. Jede Lösung ψ(·) =
(ψ0(·), . . . , ψn(·))⊤der adjungierten Gleichung wird adjungierter Zustand zum Paar
(x(·), u(·)) genannt. Jetzt haben wir alle Voraussetzungen zusammen, um das Pon-
trjaginsche Maximumprinzip zu formulieren. Das Hauptresultat geht zurück auf
13
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
Boltjanski et al. [41]. Wir verweisen auch auf Ioffe und Tikhomirov [25], zumindest
für eine variable Endzeit und einer Kostenfunktion, welche nur Integralterme für J
enthält. Für Probleme mit einem Funktional vom Bolza-Typ mit einer fest gegebe-
nen Endzeit Tbenötigen wir einige Standardtransformationen, um das Pontrjag-
insche Maximumprinzip in seiner gebräuchlichsten Form zu verwenden. Für eine
detaillierte Diskussion empfehlen wir Athans und Falb [6] oder zum Beispiel Pinch
[40] oder Feichtinger [15]. Ein umfassender Überblick der verschiedenen Versionen
des Pontrjaginsche Maximumprinzip ist in Hartl et al. [19] gegeben. Für Proble-
me mit dem Bolza-Funktional mit freiem Endzustand und fester Endzeit, welche
unabhängig von der Zeit sind, gilt die folgende Version:
Satz 2.1 (Pontrjaginsches Maximumprinzip).Sei u∗(·)eine zulässige Steuerung
für das Optimalsteuerungsproblem (2.1.4) mit entsprechendem Zustand
x∗= (x∗
1, . . . , x∗
n). Wenn die Steuerung u∗und der Zustand x∗das Zielfunktio-
nal Jminimieren und udie Beschränkungen erfüllt, dann müssen die folgen-
den Bedingungen erfüllt sein: Es existiert ein nichttrivialer adjungierter Zustand
ψ(·) = (ψ0,ψ1, . . . , ψn)T, der fast überall in (0, T)die adjungierte Gleichung (2.1.8)
mit x(t) := x∗(t)und u(t) := u∗(t)zusammen mit der Endbedingung
ψi(T) = ψ0
∂g
∂xi
(x∗(T)), i = 1, . . . , n,
erfüllt und die Hamilton-Funktion Hnimmt fast überall in (0, T)das Maximum
mit u=u∗(t)an, sprich
(2.1.9) max
v∈XH(ψ(t), x(t), v) = H(ψ(t), x∗(t), u∗(t)) für fast alle t∈(0, T)
an. Des Weiteren ist ψ0eine nichtpositive Konstante.
Die adjungierte Gleichung (2.1.8) ist ein lineares System für ψ(·). Daher kann
der adjungierte Zustand ψ(·)zu keiner Zeit verschwinden, es sei denn, er ist iden-
tisch null. Der Fall, dass der adjungierte Zustand identisch null ist, wird durch das
Pontrjaginsche Maximumprinzip ausgeschlossen. Daher muss ψ01= 0 gelten, da
sonst die Endbedingung vom Maximum ψ(T) = 0 und somit ψ(·) = 0 implizieren
würde. Wenn wir ψ:= ψ/ψ0setzen, können wir ohne Beschränkung der Allge-
meinheit annehmen, dass ψ0=−1ist, welches eine Standardaussage des oben
beschriebenen Problems ist.
2.1.3 Notwendige Optimalitätsbedingungen für das Opti-
malsteuerungsproblem
In diesem Abschnitt verwenden wir das Pontrjaginsche Maximumprinzip, um Op-
timalitätsbedingungen erster Ordnung für eine optimale Steuerung u∗für das Kon-
trollproblem (2.1.1) – (2.1.3) zu erhalten. Wir erinnern noch einmal, dass die
14
2.1. NUMERISCHE ANALYSIS FÜR EINEN SCHALTKREIS MIT EINER
SCHLEIFE
Steuerung upunktweise durch die reellen Konstanten ua≤ub, sprich u∈Uad,
beschränkt ist. Um den unbeschränkten Fall mit einzubeziehen, setzen wir bei
Bedarf die Konstanten formal auf ua=−∞ und/oder ub= +∞.
Wir schreiben die Differentialgleichung (2.1.1) in der Form
di
dt(t) = −Rc
Li(t) + 1
Lu(t)
und definieren
f1(i, u) := −Rc
Li+1
Lu.
Das Zielfunktional vom Bolza-Typ aus (2.1.4) ist definiert durch
f0(i, u) := λQ
2(i−i0)2+λU
2u2,
g(i) := λT
2(i−i0)2.
Wie wir am Ende des letzten Abschnitts erläutert haben, ist es gerechtfertigt
ψ0=−1anzunehmen. Durch ψ:= ψ1erhalten wir
H=−"λQ
2"i−i0$2+λU
2u2$+ψ(−Rc
Li+u
L).
Aus dieser Definition von Hfolgt die adjungierte Gleichung
dψ
d t (t) = −∂H
∂i=λQ"i(t)−i0$+ψ(t)Rc
L.
Außerdem erzwingt das Pontrjaginsche Maximumprinzip die Endbedingung
ψ(T) = −∂g
∂i(i(T)) = −λT"i(T)−i0$.
Wir haben folgendes adjungiertes System erhalten:
(2.1.10)
dψ
dt (t) = +ψ(t)Rc
L+λQ"i(t)−i0$
ψ(T) = −λT(i(T)−i0).
Wie zuvor bezeichnen wir die optimalen Größen durch i∗und u∗. Weiterhin un-
terdrücken wir den Stern bei dem dazugehörigen adjungierten Zustand ψ. Die
Beschränkung (2.1.3) wird beachtet bei der folgenden Ungleichung
∂H
∂u(i∗(t), u∗(t),ψ(t))(u−u∗(t)) = (−λuu∗(t) + ψ(t)/L)(u−u∗(t))
≤0∀u∈Uad,für fast alle t∈(0, T).
15
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
Diese Ungleichung kann man leicht aus der Maximumbedingung (2.1.9) herleiten
und wir verwenden die gebräuchlichere Form
(2.1.11) −∂H
∂u(i∗(t), u∗(t),ψ(t))(u−u∗(t)) = (λuu∗(t)−ψ(t)/L)(u−u(t)∗)
≥0∀u∈Uad.
In einigen Punkten passt diese Form aber noch nicht zu unseren numerischen
Methoden. Um eine Standardform für die nichtlineare Optimierung zu erhalten,
welche auch die dazugehörigen Lagrangeschen Multiplikatoren beinhaltet, führen
eine Substitution durch. Wir transformieren den adjungierten Zustand ψzu einem
Lagrangeschen Multiplikator p. Deswegen setzen wir
(2.1.12) p(t) = −ψ(t)
L
und erhalten dp
dt (t) = −1
L
dψ
d t (t).
Jetzt ersetzen wir ψdurch pin der Gleichung (2.1.10) und erhalten das System
(2.1.13) −Ldp
dt (t) = −Rcp(t) + λQ"i(t)−i0$
−L p(T) = −λT(i(T)−i0).
Wenn wir die gleiche Substitution in der Gleichung (2.1.11) anwenden, gilt die
Gleichung
(2.1.14) (λUu∗(t) + p(t))(u−u∗(t)) ≥0∀u∈[ua, ub]und fast alle t∈(0, T).
Daher können wir die optimale Steuerung u∗komplett mit der folgenden Fallun-
terscheidung beschreiben:
(i)λUu∗(t) + p(t)>0⇒u∗(t) = ua
(ii)λUu∗(t) + p(t)<0⇒u∗(t) = ub
(iii)λUu∗(t) + p(t) = 0 ⇒u∗(t) = −1
λU
p(t).
Diese Diskussion für den jeweiligen Fall ergibt am Ende, dass die optimale Steue-
rung fast überall die bekannte Projektionsformel
u∗(t) = P[ua,ub]{−1
λU
p(t)}= max(min(ub,−1
λU
p(t)), ua)
16
2.1. NUMERISCHE ANALYSIS FÜR EINEN SCHALTKREIS MIT EINER
SCHLEIFE
erfüllt, wobei P[α,β]die Projektion auf eine reelle Zahl aus dem Intervall [α,β]
angibt. Für die Herkunft der Formel verweisen wir zum Beispiel auf [47]. Jetzt
stellen wir unser gesamtes System auf. Nachdem wir den Ausdruck u∗in (2.1.1)
eingesetzt haben und die Gleichung (2.1.13) berücksichtigen, erfüllen die beiden
unbekannten Größen i∗und pdas Vorwärts-Rückwärts-Optimalitätssystem
(2.1.15)
Ld i
d t(t) + Rci(t) = P[ua,ub]{−1
λU
p(t)}
i(0) = −i0
−Ld p
d t (t) + Rcp(t) = λQ(i(t)−i0)
L p(T) = λT(i(T)−i0).
Obwohl dieses ein nichtlineares und nichtdifferenzierbares System ist, kann es recht
leicht mit verfügbaren kommerziellen Programmen numerisch gelöst werden. Wir
benutzen das Programm COMSOL MULTYPHYSICS [1]. Im nächsten Abschnitt
demonstrieren wir die Effektivität dieser Idee mit numerischen Beispielen. Es gibt
auch viele andere numerische Methoden, um dieses gewöhnliche Differentialglei-
chungssystem für glatte Funktionen an Stelle von P[ua,ub]zu lösen. Wir verwei-
sen hier nur zum Beispiel auf das Standardwerk von Hairer et al. [18]. Weiterhin
betrachten wir Methoden, die auf die numerische Behandlung von elektrischen
Schaltkreisen zugeschnitten sind, welche zum Beispiel in Rosłoniec [43] dargestellt
sind. Wir haben uns für COMSOL MULTIPHYSICS entschieden, da man hier
sehr einfach das Optimalsteuerungssystem implementieren und das System lösen
kann.
Wir erwähnen noch den unbeschränkten Fall ua=−∞ und ub=∞. Hier gilt
P[ua,ub]{−1
λU
p(t)}=−1
λU
p(t),
mit dem dazugehörigen System
(2.1.16)
Ld i
d t(t) + Rci(t) = −1
λU
p(t)
i(0) = −i0
−Ldp
dt (t) + Rcp(t) = λQ(i(t)−i0)
L p (T) = λT(i(T)−i0).
Die eindeutige Lösung vom System ist das Paar (i∗, p)und die Kontrolle u∗=
−λ−1
Up.
2.1.4 Numerische Beispiele
Wir fixieren die festen Beschränkungen ua:= −300 und ub:= 300. Weiterhin
verwenden wir das Zeitintervall [0,1] und setzen i0:= 1,L:= 3.5und Rc:= 145.
17
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
Als Erstes untersuchen wir den Einfluss der Parameter λT,λQund λU. Wie
wir oben erklärt haben, lösen wir das nichtlineare System (2.1.15) numerisch, um
eine optimale Lösung zu finden. Beginnen wir mit dem Einfluss von λQ. Dieser
Parameter steuert den Strom iüber die Zeit. Wir fixieren λTund λUmit 1und
variieren λQ. In der Abbildung 2.2 können wir sehen, wie der Strom idas Ziel i0
erreicht für steigendes λQ. Die Form der Kurve am Ende hängt von dem Verhältnis
von λQund λTab. Dieses Verhältnis diskutieren wir etwas später.
i[A]
t[s]
λQ= 10
λQ= 1600
λQ= 6 ·105
λQ= 2.5·107
-
-
Abbildung 2.2: Elektrischer Strom ibei verschiedenen λQ
Als Nächstes betrachten wir den Einfluss von λU. Dieser Parameter beschreibt
die Kosten für die Steuerung u. Wenn λUsehr groß ist, wird die Steuerung teuer
und es wird entscheidend |u|zu minimieren. Dieses sehen wir in der Abbildung
2.3. Wir sehen, dass auf der rechten Seite der Abbildung die obere Schranke ub
aktiv beim Start ist.
Zum Abschluss analysieren wir noch einmal genauer die Verhältnisse der Pa-
rameter λQund λU. Dafür betrachten wir nur den mittleren Integralteil
JQ:= !T
0"i(t)−i0$2dt
aus dem Zielfunktional. Dieser Teil ist für uns am wichtigsten, da er beeinflusst,
wie schnell der Zustand i0erreicht wird. Unser Ziel ist ein Parameter λQ, bei dem
JQso klein wie möglich ist. In der Abbildung 2.4 sehen wir die Werte von JQ
in Abhängigkeit von λQ. Die x-Achse ist logarithmisch abgetragen. Beide Kurven
weisen einen kritischen Punkt auf, ab dem JQstark anwächst. Aufgrund dieser
Beobachtungen empfehlen wir λQ>105und λU<10−4. Mit ungefähr diesem
Verhältnis von λQund λUwollen wir ein entsprechendes λTfinden. Wir setzen
λQ= 106und λU= 10−6und variieren λT. Die linke Abbildung von 2.5 zeigt, dass
λTauf ikaum einen Einfluss hat. Allerdings, wenn wir die Kurve in der Nähe vom
Endzeitpunkt Tbetrachten, sehen wir, dass der Parameter einen Einfluss auf den
18
2.2. SCHALTKREIS MIT ZWEI SCHLEIFEN BEI NUR EINER
DIFFERENTIALGLEICHUNG
i[A]
t[s]
λU= 10−3
λU= 10−5
λU= 10−6
λU= 10−7
−
−(a) Elektrischer Strom iin Abhängigkeit von λU
u[V]
t[s]
λU= 10−3
λU= 10−5
λU= 10−6
λU= 10−7
(b) Spannung uin Abhängigkeit von λU
Abbildung 2.3: Strom iund Spannung ufür verschiedene λU
Strom bei diesem hat. Wenn λTgroß genug ist, erreicht der optimale Zustand i∗
einen Wert sehr nahe bei i0und wir verwenden λT= 1000.
Wir haben mit einem einfachen Beispiel begonnen. In den nächsten Abschnitten
diskutieren wir kompliziertere Systeme.
2.2 Schaltkreis mit zwei Schleifen bei nur einer Dif-
ferentialgleichung
Im restlichen Kapitel betrachten wir einige Fälle für elektrische Schaltkreise mit
zwei Schleifen. Wir beginnen mit einem einfachen Schaltkreis, den wir durch eine
einzige Differentialgleichung beschreiben. Dadurch passt dieser Schaltkreis auch in
die Theorie vom letzten Abschnitt.
19
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
JQ
λQ
(a) Der Wert von JQabhängig
von λQ
JQ
λU
(b) Der Wert von JQabhängig
von λU
Abbildung 2.4: Wert von JQin Abhängigkeit von verschiedenen Parametern
Wir betrachten den Schaltkreis aus Abbildung 2.6, der zusätzlich zum letzten
Beispiel einen Widerstand Rwbeinhaltet. Wir entwickeln jetzt die Differentialglei-
chung zu diesem Schaltkreis. Aus dem Kirchhoffschen Gesetz erhalten wir für die
Ströme am Punkt A
(2.2.1) i1(t) = i2(t) + i3(t)
für jede Zeit t. Der Schaltkreis ist aus den Schleifen I und II zusammengesetzt.
Durch Kirchhoff’s Spannungsgesetz erhalten wir die Gleichung
Ldi3
dt (t) + Rci1(t) = u(t)(2.2.2)
für die Schleife I und
−Ldi3
dt (t) + Rwi2(t) = 0(2.2.3)
für die Schleife II. Unser Hauptinteresse liegt darauf, den Strom i3optimal zu
steuern, den wir auf i:= i3umschreiben. Aus (2.2.1), (2.2.2) und (2.2.3) erhalten
wir für i=i3die Gleichung
L(1 + Rc
Rw
)di
dt(t) + Rci(t) = u(t).
Zusammen mit dem Anfangswert i(0) = −i0bekommen wir das Anfangswertpro-
blem
(2.2.4) adi
dt(t) + Rci(t) = u(t)
i(0) = −i0,
20
2.2. SCHALTKREIS MIT ZWEI SCHLEIFEN BEI NUR EINER
DIFFERENTIALGLEICHUNG
i[A]
t[s]
λT= 10
λT= 50
λT= 500
λT= 105
−
−(a) Elektrischer Strom iin Abhängigkeit von λT
i[A]
t[s]
λT= 105
λT= 500
λT= 50
λT= 10
(b) Elektrischer Strom iin Abhängigkeit von λTbei T
Abbildung 2.5: Elektrischer Strom iin Abhängigkeit von λT
Rc
L Rw
u
i1
→i2
→
i3↓
A
B
Abbildung 2.6: Elektrischer Schaltkreis mit zwei Schleifen
21
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
in dem adurch
a:= L(1 + Rc
Rw
)
definiert ist. Das Ziel ist den elektrischen Strom so zu optimieren, dass das Zielfunk-
tional (2.1.2) minimal wird. Mit der eben durchgeführten Transformation mit Zu-
standsgleichung (2.2.4), Zielfunktional (2.1.2) und Kontrollbeschränkungen (2.1.3)
stellen wir fest, dass dieses auf den Fall (2.1.1) – (2.1.3) zurückzuführen ist.
Daher erhalten wir ein System, welches äquivalent zu (2.1.15) ist. Für eine
unbeschränkte Steuerung gilt (2.1.16). Da das Optimalsteuerungssystem gleich
ist, verzichten wir auf numerische Beispiele.
2.3 Zwei Schleifen mit Induktionskopplung
2.3.1 Das Optimalsteuerungsproblem
In diesem Abschnitt betrachten wir einen Schaltkreis, den wir nicht einfach auf
eine einzelne gewöhnliche Differentialgleichung zurückführen können. In den nach-
folgenden Abschnitten erhalten wir das Optimalitätssystem mit dem Lagrange-
Prinzip. Hier verwenden wir direkt die Karush-Kuhn-Tucker Theorie für nicht-
lineare numerische Probleme in Banachräumen um das Optimalitätssystem zu
erhalten. Wir verwenden hierzu die formale Lagrange-Technik, welche nicht alle
Funktionsräume genau angibt, die für die Theorie benötigt werden. Die exakte
Karush-Kuhn-Tucker Theorie für Probleme mit Differentialgleichungen ist kom-
pliziert. Wir verweisen zum Beispiel auf Ioffe und Tikhomirov [25], Luenberger
[31] oder Jahn [26]. Die Voraussetzungen der KKT-Theorie ist für alle unsere Pro-
bleme erfüllt, so dass wir die gleichen Resultate erhalten, wie die aus der formalen
Lagrange-Technik, welche wir benutzen. Diese ist aus [47] entnommen. Die durch
formale Lagrange-Technik erhaltenen Optimalitätsbedingungen sind kompatibler
zu den numerischen Methoden der nichtlinearen Optimierung.
Wir betrachten den Schaltkreis aus Abbildung (2.7), welcher zwei Schleifen
beinhaltet, die induktiv gekoppelt sind. Die Induktivitäten sind gegeben durch L1
und L2und die Kopplungsvariable γ. In einem gewissen Sinne simuliert dieses
Modell eine Kopplung zwischen einem magnetischen Feld und den Wirbelströmen.
Aus physikalischen Gründen nehmen wir γ∈[0,1] an.
Der elektrische Schaltkreis wird durch folgendes Anfangswertproblem beschrie-
22
2.3. ZWEI SCHLEIFEN MIT INDUKTIONSKOPPLUNG
Rc
L1L2Rw
u
i1
→i2
→
I II
Abbildung 2.7: Modell 2
ben:
(2.3.1)
L1
di1
dt (t) + Cdi2
dt (t) + Rci1(t) = u(t)
Cdi1
dt (t) + L2
di2
dt (t) + Rwi2(t) = 0
i1(0) = −i0
i2(0) = 0,
welche die gewöhnlichen Differentialgleichungen für die beiden Schleifen enthält.
Die Konstante Cist durch C:= γ√L1L2definiert. Jetzt ist das zu minimierende
Zielfunktional gegeben durch
(2.3.2)
J(i1, i2, u) := λT
2(i1(T)−i0)2+1
2!T
0"λQ(i1(t)−i0)2+λIi2(t)2$dt
+λU
2!T
0
u(t)2dt
mit nichtnegativen Konstanten λT,λQ,λIund λU>0. Insgesamt haben wir fol-
gendes Optimalsteuerungsproblem erhalten: Minimiere das Zielfunktional(2.3.2)
mit Zustandsgleichungen (2.3.1) und den Steuerungsbeschränkungen (2.1.3). Um
das dazugehörige Optimalitätssystem zu erhalten, könnten wir das Differential-
gleichungssystem (2.3.1) mit der Matrix Emultiplizieren, um das System in der
Standardform zu erhalten. Die Matrix Esetzt sich dabei aus den Koeffizienten vor
den Zeitableitungen dij/dt,j= 1,2zusammen:
(2.3.3) E=-L1C
C L2..
Dieses wird hier nicht unbedingt benötigt. Wir verwenden diese Form im nächsten
Abschnitt. Im Gegensatz zum Pontrjaginschen Maximumprinzip ist die formale
23
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
Lagrange-Technik direkt auf das System (2.3.1) anwendbar. Wenn wir diese Tech-
nik anwenden, eliminieren wir die beiden oben stehenden Differentialgleichungen
durch zwei Langrangesche Multiplikatoren p1und p2. Wir beachten aber weiterhin
den Anfangswert und die Steuerungsbeschränkungen u∈Uad explizit. Daher ist
die dazugehörige Lagrange-Funktion definiert als
L(i1, i2, u, p1, p2) :=J(i1, i2, u)
−!T
0"L1
di1
dt (t) + Cdi2
dt (t) + Rci1(t)−u(t)$p1(t)dt
−!T
0"L2
di2
dt (t) + Cdi1
dt (t) + Rwi2(t)$p2(t)dt.
Aus der formalen Lagrange-Technik folgt, dass eine optimale Lösung (i∗
1, i∗
2, u∗)die
notwendigen Optimalitätsbedingungen für die Minimierung von Lfür die Varia-
blen i1, i2, u erfüllen muss. Hier benötigen wir nicht mehr die Beschränkung durch
die gewöhnlichen Differentialgleichungen, aber die Beschränkungen durch den An-
fangswert und an die Steuerung. Wir weisen darauf hin, dass i1, i2, u in diesem
Fall entkoppelt sind. Für die Zustände i1, i2heißt das
∂L
∂ij
(i∗
1, i∗
2, u∗, p1, p2)h= 0 ∀hmit h(0) = 0, j = 1,2.
In Hinblick auf uerhalten wir, dass die Variationsungleichung
∂L
∂u(i∗
1, i∗
2, u∗, p1, p2) (u−u∗)≥0∀u∈Uad
erfüllt sein muss. Der Einfachhalt halber definieren wir L=L(i∗
1, i∗
2, u∗, p1, p2). Für
∂L/∂uerhalten wir
∂L
∂u(i∗
1, i∗
2, u∗, p1, p2)u=!T
0
(λUu(t) + p1(t)) u(t)dt.
Weil wir aber nur eine Ungleichung haben, folgt
!T
0
(λUu∗(t) + p1(t)) (u(t)−u∗(t)) dt ≥0∀u∈Uad.
Die Auswertung dieser Ungleichung führt direkt auf die Projektionsformel
(2.3.4) u∗(t) = P[ua,ub]{−1
λU
p1(t)}.
Für ∂L/∂i1bekommen wir durch partielle Integration
24
2.3. ZWEI SCHLEIFEN MIT INDUKTIONSKOPPLUNG
∂L
∂i1
(i1, i2, u, p1, p2)h
=λT(i1(T)−i0)h(T) + λQ!T
0
(i1(t)−i0)h(t)dt
−!T
0
(L1
dh
dt (t) + Rch(t)) p1(t)dt −!T
0
Cdh
dt (t)p2(t)dt
={λT(i1(T)−i0)−L1p1(T)−C p2(T)}h(T)
+!T
0,λQ(i1(t)−i0)−Rcp1(t) + L1
dp1
dt (t) + Cdp2
dt (t)/h(t)dt
= 0 ∀hmit h(0) = 0.
Weil h(T)und h(·)frei wählbar sind, müssen sich beide Terme in den Klammern
aufheben. Deswegen muss die Gleichung
(2.3.5) −L1
dp1
dt (t)−Cdp2
dt (t) + Rcp1(t) = λQ(i1(t)−i0(t))
L1p1(T) + C p2(T) = λT(i1(T)−i0)
erfüllt sein. Durch eine analoge Diskussion folgern wir aus ∂L/∂i2= 0 die Glei-
chungen
(2.3.6) −Cdp1
dt (t)−L2
dp2
dt (t) + Rwp2(t) = 0
C p1(T) + L2p2(T) = 0.
Die Gleichungen (2.3.5) und (2.3.6) definieren unser adjungiertes System. Wenn wir
nun die Gleichungen (2.3.1), (2.3.4), (2.3.5) und (2.3.6) zusammenfassen, erhalten
wir das folgende Optimalitätssystem, welches vom optimalen Tripel (i∗
1, i∗
2, u∗)und
den dazugehörigen Lagrangeschen Multiplikatoren p1, p2erfüllt sein muss:
25
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
(2.3.7)
L1
di1
dt (t) + Cdi2
dt (t) + Rci1(t) = P[ua,ub]{−λ−1
Up1(t)}
Cdi1
dt (t) + L2
di2
dt (t) + Rwi2(t) = 0
−L1
dp1
dt (t)−Cdp2
dt (t) + Rcp1(t) = λQ(i1(t)−i0(t))
−Cdp1
dt (t)−C L2
dp2
dt (t) + Rwp2(t) = λIi2(t)
i1(0) = −i0
i2(0) = 0
L1p1(T) + C p2(T) = λT(i1(T)−i0)
C p1(T) + L2p2(T) = 0.
Wenn keine Box-Beschränkungen an unsere Steuerung ugegeben sind, können
wir den nichtlinearen und nichtglatten Term P[ua,ub]{−λ−1
Up1(t)}durch den glatten
linearen Ausdruck −λ−1
Up1(t)ersetzen. In den numerischen Beispielen lösen wir
das nichtglatte Optimalitätssystem (2.3.7) wieder mit dem Programm COMSOL
Multiphysics.
2.3.2 Numerische Beispiele
Wir beginnen mit dem Festlegen der Parameter und Konstanten. Wir setzen den
Endzeitpunkt T= 1 und die Konstanten i0:= 1, L := 3,5, L2:= 2, Rc:=
145, Rw:= 3500 und γ= 0,9. Weiterhin sind die Kontrollbeschränkungen ua:=
−300 und ub:= 300 gegeben. Als Erstes diskutieren wir die Parameter λQund λU
aus dem Zielfunktional. Daher definieren wir wieder
(2.3.8) JQ:= !T
0"i1(t)−i0$2dt
und zeichnen JQfür einige unterschiedliche Parameter auf. Wie im Abschnitt 2.1.4
suchen wir Parameter, so dass |(i(t)−i0)|so schnell wie möglich klein wird. Die
Parameter λTund λIhaben kaum einen Einfluss auf JQund wir fixieren sie bei
λT= 10000 und λI= 100. Wir varieren immer nur einen Parameter von λQund
λUund setzen den zweiten auf 1. Auf der linken Seite von Abbildung 2.8 sehen
wir die Werte JQabhängig von λQund auf der rechten Seite in Abhängigkeit von
λU. Wir stellen fest, dass die kritischen Punkte so ähnlich wie im Modell 1 sind
(siehe Abbildung 2.4).
Schauen wir uns nun den Strom iund die Steuerung umit den Parametern
λQ= 106,λU= 10−6,λT= 10000 und λI= 100 an, die wir oben erhalten
26
2.3. ZWEI SCHLEIFEN MIT INDUKTIONSKOPPLUNG
JQ
λQ
(a) Auswertung von JQfür ver-
schiedene Parameter λQ
JQ
λU
(b) Auswertung von JQfür ver-
schiedene Parameter λU
Abbildung 2.8: Auswertung von JQfür verschiedene Parameter
haben. Auf der linken Seite der Abbildung 2.9 sehen wir, wie der Zustand i1den
Zielzustand i0= 1 erreicht. Nahe am Zeitpunkt t= 0 ist die Kontrolle uauf der
oberen Grenze ub, bevor sie auf eine Haltespannung fällt (siehe die rechte Seite in
Abbildung 2.9).
!
!
i[A]
t[s]
(a) Zustand i1
u[V]
t[s]
(b) Steuerung u
Abbildung 2.9: Lösung vom Modell 2
Zusätzlich konzentrieren wir uns jetzt auf den Strom i2. Weil der Strom i2an
den Strom i1gekoppelt ist, vernachlässigen wir den Teil, in dem i1fast konstant
ist. Daher haben wir in Abbildung 2.10 nur einen Teil vom Zeitintervall abgebildet.
2.3.3 Zeitoptimales Problem
Im vorherigen Abschnitt haben wir ein Optimalsteuerungsproblem mit einem fes-
ten Zeitintervall [0, T]betrachtet. Dieses Problem ist durch Integralterme in einem
Zielfunktional formuliert, um den Zielzustand zu erhalten. Wie wir schon vorher in
Abschnitt 2.1.1 gesagt haben, verwenden wir diese Alternative, da die Problematik
27
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
!
!
!
!
i[A]
t[s]
Abbildung 2.10: Zustand i2in Modell 2
nur ein erster Schritt zur zeitoptimalen Steuerung beim Schalten von Magnetfel-
dern ist. Für die dreidimensionalen Maxwell-Gleichungen ist es schwieriger, ein
zeitoptimales Problem richtig zu definieren. Allerdings ist das für Probleme mit
gewöhnlichen Differentialgleichungen sinnvoll. Solche Aspekte wollen wir in die-
sem Abschnitt betrachten. Wir benutzen wieder die Zustandsgleichungen (2.3.1)
als Modell für unseren elektrischen Schaltkreis. Jetzt sollen beide Zustände (i1, i2)
wirklich die erwünschten Werte (i0,0) in kürzester Zeit erreichen. Nachdem (i0,0)
erreicht ist, sollen beide Zustände konstant bleiben. Weiterhin ist der Anfangswert
durch (−i0,0) gegeben.
Um dieses Ziel zu erreichen, betrachten wir das Problem
(2.3.9) min T
mit u∈Uad und den Zustandsgleichungen
(2.3.10)
L1
di1
dt (t) + Cdi2
dt (t) + Rci1(t) = u(t)
Cdi1
dt (t) + L2
di2
dt (t) + Rwi2(t) = 0
i1(0) = −i0
i2(0) = 0
und den Endbedingungen
(2.3.11) i1(T) = i0
i2(T) = 0.
Es wird sich zeigen, dass die Lösung für dieses Problem auch eine Lösung vom
Problem ist, welche den Zustand in kürzester Zeit vom Anfangszustand auf den
28
2.3. ZWEI SCHLEIFEN MIT INDUKTIONSKOPPLUNG
einen Haltezustand i1=i0steuert. Nachfolgend verwenden wir den Spaltenvektor
i:= (i1, i2)⊤.
Als Erstes diskutieren wir, ob der Zielvektor (i0,0)⊤in endlicher Zeit erreicht
werden kann. Um die dazugehörigen Standardresulate aus der Steuerungstheorie
für linear unabhängige Systeme benutzen zu können, transformieren wir (2.3.10)
um auf die Standardform
(2.3.12) i′(t) = A i(t) + B u(t).
Diese Gleichung erhalten wir, indem wir die Gleichung(2.3.10) mit
(2.3.13) E−1=1
D-L2−C
−C L1.
multiplizieren, wobei Ein der Gleichung (2.3.3) definiert wurde und D= (1 −
γ2)L1L2die dazugehörige Determinante ist. Wir erhalten
A=−E−1-Rc0
0Rw.=1
D-−L2Rcγ√L1L2Rw
√L1L2Rc−L1Rw.
B=E−1-1
0.=1
D-L2
−C..
Wir betrachten zuerst den Limes limt→∞ i(t)für eine konstante Steuerungs-
funktion u(t)≡u. Für i(t) = 0 in (2.3.10) erhalten wir i1=R−1
cuund i2= 0 als
Grenzwerte, vorausgesetzt diese existieren.
Satz 2.2. Für 0<γ<1sind die Eigenwerte der Matrix Areell, negativ und
voneinander verschieden. Für u(t)≡u, gilt
lim
t→∞ i(t) = -R−1
cu
0..
Beweis: Die charakteristische Gleichung für die Eigenwerte λ1/2ist
det(A−λI) = λ2+λ(L1RW+L2Rc) + (1 −γ2)L1L2RCRW= 0
und somit
λ1/2=1
20−(L1RW+L2Rc)±1L2
1R2
w+ (2 −4(1 −γ2)L1L2RcRw+L2
2R2
c2.
Wegen 0<γ<1folgt mit einer kleinen Abschätzung
0≤(L1Rw−L2Rc)2< L2
1R2
w+ (2 −4(1 −γ2)L1L2RcRw+L2
2R2
c
<(L1Rw−L2Rc)2.
29
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
Daher ist die Quadratwurzel reell und ungleich null, sowie die Eigenwerte negativ
und λ11=λ2. Um die zweite Behauptung zu zeigen, verwenden wir die Formel der
Variation der Konstanten
i(t) = eAt -−i0
0.+
t
!0
eA(t−s)B-u
0.ds
=eAt -−i0
0.+A−1(I−eAt)B-u
0.
in der ueine Konstante ist. Weil die Eigenwerte von Anegativ sind, strebt die
Matrix-Exponentialfunktion für t→ ∞ gegen null und somit
lim
t→∞ i(t) = A−1B-u
0..
Darüber hinaus erhalten wir analog i′(t)→0. Daher folgt die Behauptung über
den Limes direkt durch Einsetzen des Limes in die Gleichung (2.3.10). !
Als Nächstes zeigen wir, dass die bekannte Kalman-Bedingung
(2.3.14) rank[B, A B] = 2
erfüllt ist. Es gilt, dass die beiden Vektoren Bund A B genau dann linear unab-
hängig sind, wenn E B und E A B dieselbe Eigenschaft haben, weil Einvertierbar
ist. Wir haben
EAB =−E E−1-Rc0
0Rw.E−1-1
0.=1
D-RcL2
−C L2.
und E B =EE−1-1
0.=-1
0..
Die beiden Vektoren sind offenbar linear unabhängig. Die Kalman-Bedingung ist
die Hauptvoraussetzung für den Beweis des nächsten Resultates.
Satz 2.3. Wir nehmen ub> Rci0an. Dann existiert eine optimale Steuerung
u∈Uad, welche den Anfangswert (−i0,0)⊤in endlicher Zeit auf den Endzustand
(i0,0)⊤steuert.
Beweis: In einem ersten Intervall [0, t1]fixieren wir die Kontrolle auf eine Hal-
tespannung, sprich
u(t) = Rci0, t ∈[0, t1].
Wir wissen durch den Satz 2.2, dass i(t)→(i0,0)⊤für t1→ ∞. Daher existiert
ein ε>0mit
|i(t1)−(i0,0)⊤|<ε,
30
2.3. ZWEI SCHLEIFEN MIT INDUKTIONSKOPPLUNG
wenn t1ausreichend groß ist. Wir erhalten i(t1) = (i0,0)⊤+ηmit |η|<ε. Beginnt
man mit i(t1)als neuen Startwert, erreichen wir (i0,0)⊤nach t2>0folgenderma-
ßen: Wir setzen τ>0und
u(t1+τ) = Rci0+v(τ),τ∈[0, t2].
Durch Variation der Konstanten erhalten wir
i(t1+τ) = eAτ"i0
0$+3τ
0eA(τ−s)B Rci0+eA(τ−s)B v(s)ds(2.3.15)
="i0
0$+3τ
0eA(τ−s)B v(s)ds +"η1
η2$,(2.3.16)
weil die ersten beiden Gleichungen auf der rechten Seite in (2.3.15) den stationären
Strom (i0,0)⊤mit dazugehöriger Haltespannung Rci0entsprechen. Für den Zeit-
punkt τ=t2wollen wir i(t1+τ) = (i0,0)⊤erreichen und somit müssen wir nach
der Gleichung (2.3.16) ein vfinden, so dass
−0η1
η22=!t2
0
eA(t2−s)B v(s)ds
gilt, welches äquivalent zu
(2.3.17) −e−A t20η1
η22=!t2
0
e−A sB v(s)ds
ist. Dank der Kalman-Bedingung bildet der Operator auf der rechten Seite jede
offene Kugel aus L∞(0, t2)vom Radius δ>0um 0auf eine offene Kugel aus
R2mit Radius ε>0ab, siehe Macki und Strauss [32] den Beweis von Satz 3 in
Kapitel II Teil (3). Bei unseren Voraussetzungen ub> Rci0gilt, dass Rci0+v(t)
eine zulässige Steuerung ist, wenn |v(t)|≤δund δ>0ausreichend klein ist. Wir
fixieren t2>0und wählen δ>0so klein, dass Rci0+v(t)zulässig ist. Außerdem
sei t1so groß, dass η=i(t1)−(i0,0)⊤zur Kugel aus R2um 0gehört, die wir oben
definiert haben.
Die Steuerung
u(t) = ,Rci0in [0, t1]
Rci0+v(t−t1)in (t1, t1+t2]
erfüllt die gewünschten Eigenschaften. !.
Nun haben wir alle Voraussetzungen für eine Diskussion der Zeitoptimalität
zusammen.
Satz 2.4. Sei γ∈(0,1) und ub> Rci0, dann hat das zeitoptimale Steuerungspro-
blem (2.3.9) –(2.3.11) eine eindeutig bestimmte optimale Steuerung. Diese Steue-
rung ist eine Bang-Bang-Steuerung und hat maximal einen Umschaltpunkt.
31
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
Beweis. Aus dem letzten Satz folgt, dass der Endzustand (i0,0)⊤in endlicher
Zeit durch eine zulässige Steuerung erreicht werden kann. Daher sichert uns Theo-
rem 1 aus [32], Kapitel II die Existenz von mindestens einer optimalen Steuerung.
Dieses Theorem bezieht sich auf das Problem das Ziel (0,0)⊤zu erreichen, aber
der Beweis funktioniert auch für unseren Fall mit minimalen Änderungen.
Wir wissen, dass die Kalman-Bedingung bei unserem Problem erfüllt ist, wel-
che hier äquivalent zur Normalität des Systems ist, weil Baus einem einzelnem
Spaltenvektor besteht, siehe [32], Kapitel III, Theorem 7. Daher können wir aus
dem Theorem 4 von [32], Kapitel III folgern, dass die optimale Spannung eindeu-
tig ist und die Bang-Bang Eigenschaften mit endlichen vielen Umschaltpunkten
besitzt.
Nun können wir das Maximumprinzip für lineare zeitoptimale Steuerungspro-
bleme verwenden, [32], Theorem 3, Kapitel III. Es sagt aus, dass es einen konstan-
ten Vektor h∈R2ungleich 0gibt, so dass die optimale Steuerung udie Form
(2.3.18) u(t) = ,ubfalls h⊤exp(−At)B > 0
uaif h⊤exp(−At)B < 0
für fast alle t∈[0, T]hat, wobei Tdie optimale Zeit ist. Weil alle Eigenvektoren
von Areell und unterschiedlich sind und h1= 0, ist die Funktion h⊤exp(−At)B
eine Summe von Exponentialfunktion und hat maximal eine Nullstelle. Daraus
folgt direkt die Behauptung über die Anzahl der Umschaltpunkte. !
Durch das Maximumprinzip (2.3.18) erhalten wir, dass die optimale Steuerung
maximal einen Umschaltpunkt t1hat. Dank des physikalischen Hintergrundes kön-
nen wir diesen folgendermaßen finden:
In einem ersten Intervall [0, t1]setzen wir die Steuerung uauf die obere Schranke
ubbis i1(t1)> i0. Im Intervall (t1, T]setzen wir die Steuerung auf die untere
Schranke uabis der Zustand i1den Wert i0zum Zeitpunkt Terreicht, also
i1(T) = i0.
Natürlich hängt der Zeitpunkt Tvon t1ab, also können wir Tals eine Funktion
T(t1) = τ(t1)definieren. Wir legen nun t1durch die Bedingung i2(T) = 0, in
diesem Fall
(2.3.19) i2(τ(t1)) = 0,
fest.
Zeitoptimale Steuerung auf ein Halteniveau. Im Problem (2.3.9) – (2.3.11)
ist das Ziel, den Endzustand (i0,0) zu erreichen. Nachdem wir diesen Zustand zum
Zeitpunkt Terreicht haben, können wir die Steuerung auf ein Halteniveau
u0:= Rci0
32
2.3. ZWEI SCHLEIFEN MIT INDUKTIONSKOPPLUNG
setzen. Dann ist für alle t > T der Zustand iauch konstant und es gilt i(t) =
(i0,0) ∀t > T. In diesem Sinne erfüllt die Lösung unseres zeitoptimalen Problems
auch das Problem, dass der Zustand i1=i0in kürzester Zeit erreicht und danach
gehalten wird.
Das Ziel, den Haltezustand in kürzester Zeit zu erhalten, kann auch mit Hilfe
eines zusätzlichen Zielfunktionales Jaus (2.3.2) dargestellt werden. Der erste Term
zwingt i1den Zustand i0zu erreichen, während der zweite Term klein wird, wenn
dieses sehr schnell passiert. Allerdings wird die Optimierung mit dem Zielfunktio-
nal Jnur zu einer Approximation der zeitoptimalen Steuerung führen.
Nun werden wir die beiden oben erklärten Methoden vergleichen. Durch die
sinnvolle Wahl der Parameter folgt, dass beide Methoden das Halteniveau in kur-
zer Zeit erreichen. Diese Parameter wählen wir wie folgt: Die Steuerungsbeschrän-
kungen seien wieder ua:= −300 und ub:= 300. Wir haben gesehen, dass die Zeit
in der Nähe bei t= 0 entscheidend ist und wählen T= 0,035. Weiterhin setzen wir
i0:= 1, L := 3,5, L2:= 2, Rc:= 145, Rw:= 3500,γ= 0,9,λT= 10000,λQ=
106,λU= 10−6,und λI= 10000. Die zum Zielfunktional Jzugehörige Lösung
ist in allen Abbildungen mit durchgezogener Linie bezeichnet. Die Lösung, die wir
durch die Optimierung der beiden Punkte t1, t2erhalten haben, ist durch die gestri-
chelte Graphen dargestellt. Als erstes betrachten wir den Zustand i1. Abbildung
2.11 zeigt uns, dass die Zustände die wir durch beide Methoden erhalten haben,
ziemlich gleich sind. In dem Intervall, bei dem der Wert i0erreicht wird, treten
einige Unterschiede auf. Um diese Unterschiede genauer zu analysieren, betrachten
wir die rechte Seite der Abbildung 2.11, wo dieser Teil vergrößert ist. Während der
Zustand mit der durchgezogenen Linie den Wert i0direkt erreicht, übersteigt der
Zustand mit der gestrichelten Wert i0und fällt danach langsam wieder auf i0ab.
i[A]
t[s]
(a) Zustand i1auf dem gesamten Zeit-
intervall
i[A]
t[s]
(b) Zustand i1im Zeitintervall nahe bei
t= 0.025
Abbildung 2.11: Lösungen für den Zustand i1vom Modell 2
Im Gegensatz zu den optimalen Zuständen, haben wir hier große Unterschiede
zwischen beiden optimalen Steuerungen. Diese haben wir in der Abbildung 2.12
33
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
dargestellt. Die durch die gestrichelte Linie dargestellte Steuerung bleibt bis zum
ersten Umschaltpunkt t1auf der oberen Schranke. Danach springt die Steuerung
bis zum zweiten Umschaltpunkt auf die untere Grenze. Nach dem zweiten Um-
schaltpunkt t2bleibt die Steuerung auf einer Haltespannung. Im Gegensatz dazu
geht die Steuerung, welche mit der durchgezogenen Linie gezeichnet ist, direkt von
der oberen Schranke auf die Haltespannung. Wir beobachten, dass beide Metho-
den unterschiedliche optimale Steuerungen berechnen, obwohl die optimalen Werte
und Zustände fast gleich sind.
u[V]
t[s]
(a) Steuerung uim gesamten Zeitinter-
vall [0,0.035)
u[V]
t[s]
(b) Steuerung ubeschränkt auf das Zei-
tintervall t∈[0.025,0.03)
Abbildung 2.12: Vergleich der Steuerungen u
Um die numerische Diskussion zu vervollständigen, zeichnen wir die Zustände
i2für die beiden Lösungen in Abbildung 2.13 ab.
i[A]
t[s]
-
-
-
-
Abbildung 2.13: Vergleich der Zustände i2
34
2.4. VOM ELEKTRISCHEN STROM ABHÄNGIGE INDUKTION
2.4 Vom elektrischen Strom abhängige Induktion
2.4.1 Das nichtlineare Optimalsteuerungsproblem
Zum Abschluss dieses Kapitels betrachten wir den Fall, dass die Induktion Lvom
elektrischen Strom abhängt. Dadurch erhalten wir eine nichtlineare Zustandsglei-
chung. Wir betrachten wieder den Schaltkreis aus Abbildung 2.1 und definieren
die Induktion Ldurch
L(i) := a+ 3 b i2.
Daher erhalten wir aus der Gleichung (2.1.1) die nichtlineare Gleichung
(2.4.1) "a+ 3 b i2(t)$di
dt(t) + Rci(t) = u(t).
Weil aund bpositiv sind, transformieren wir die Gleichung zu
(2.4.2) di
dt =−Rc
a+ 3 b i2+1
a+ 3 b i2u.
Das Optimalsteuerungsproblem unter diesen Bedingungen ist es jetzt, das Zielfunk-
tional (2.1.2) zu minimieren unter Einhaltung der Zustandsgleichungen (2.4.1) und
den Steuerungsbeschränkungen (2.1.3).
2.4.2 Notwendige Optimalitätsbedingungen
Erneut erhält man die Optimaltätsbedingungen auf zwei verschiedene Arten. Die
erste Möglichkeit ist es wieder, das Pontrjaginsche Maximumprinzip mit den Zu-
standsgleichungen in der Form (2.4.2) zu verwenden. Die zweite, welche wir be-
vorzugen, ist die Lagrange-Technik. Hier können wir direkt die Gleichung (2.4.1)
verwenden, um die Lagrangefunktion zu definieren und es gilt
L(i, u, p) =λT
2(i(T)−i0)2+λQ
2!T
0
(i(t)−i0)2dt +λU
2!T
0
u(t)2dt
−!T
00Rci(t) + "a+ 3 b i2(t)$di
dt(t)−u(t)2p(t)dt.
Wir erhalten die notwendigen Voraussetzungen aus den Ableitungen ∂L/∂uund
∂L/∂i. Es gilt
∂L(i, u, p)
∂uh=!T
0
(λUu(t) + p(t)) h(t)dt,
35
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
unter der Annahme h(0) = 0.
∂L(i, u, p)
∂ih=λT(i(T)−i0)−!T
0
λQ(i(t)−i0)h(t)dt −!T
0
Rcp(t)h(t)dt
−!T
0
6b i(t)di
dt(t)h(t)p(t)dt −!T
0
(a+ 3 b i2(t)) dh
dt p(t)dt
=λT(i(T)−i0)−!T
0
λQ(i(t)−i0)h(t)dt −!T
0
Rcp(t)h(t)dt
−!T
0
6b i(t)di
dt(t)h(t)p(t)dt −(a+ 3 b i2(T)) p(T)h(T)
+!T
0
d(((a+ 3 bi2)) p)
dt (t)h(t)dt
="λT(i(T)−i0)−(a+ 3 b i2)p(T)$h(T)
+!T
0−λQ(i(t)−i0)h(t)−Rcp h(t)
+"a+ 3 b i2(t)$dp
dt (t)h(t)dt.
Da die Gleichung null sein muss für alle Richtungen hmit Anfangswert h(0) = 0,
erhalten wir die adjungierten Gleichungen
−"a+ 3 b i2(t)$dp
dt (t) + Rcp=λQ(i(t)−i0)
"a+ 3 b i2(T)$p(T) = λT(i(T)−i0).
Letztendlich folgt für die adjungierten Zustände das System
(2.4.3)
Rci(t) + "a+ 3 b i2(t)$di
dt(t) = P[ua,ub]{−λ−1
Up(t)}
−Rcp(t) + "a+ 3 b i2(t)$dp
dt (t) = −λQ(i(t)−i0)
i(0) = −i0
(a+ 3 b i2(T)) p(T) = λT(i(T)−i0).
Die numerische Auswertung für dieses System führen wir im nächsten Abschnitt
aus.
36
2.4. VOM ELEKTRISCHEN STROM ABHÄNGIGE INDUKTION
2.4.3 Numerische Beispiele
Wir verwenden die Schranken und Konstanten aus den vorherigen Modellen, sprich
ua:= −300 und ub:= 300. Wie zuvor ermitteln wir sinnvolle Parameter λQ,λU
und λT. Wir definieren erneut
JQ:= !1
0
(i(t)−i0)2dt.
Wir haben gesehen, dass der Parameter λTeinen vernachlässigbaren Einfluss hat
und setzen λT= 1000. Wir setzen λU= 1 fest, variieren λQund wechseln als
nächstes die Rollen der Parameter. So finden wir die sinnvollen Parameter
λQ= 106und λU= 10−6.
Auf den ersten Blick gibt es keine entscheidenden Unterschiede zu den anderen
Modellen. Aber wenn wir uns auf die Zeit nahe bei t= 0 konzentrieren, können
wir ein nichtlineares Ansteigen des elektrischen Stromes beobachten. Dieses ist in
Abbildung 2.14 für verschiedene λUzu sehen. Das Aussehen der Steuerung uist
den Steuerungen aus den linearen Beispielen sehr ähnlich. Zuerst ist die Steuerung
auf der oberen Schranke und fällt dann auf die Haltespannung ab, siehe Abbildung
2.17.
i[A]
t[s]
λU= 10−6
λU= 10−4
λU= 1
-
-
Abbildung 2.14: Elektrischer Strom ifür verschiedene λU
Nun betrachten wir die Induktion L. Weil diese nur von iabhängt, benötigen
wir nur die Zeit am Anfangszeitpunkt. In der Abbildung 2.15 sehen wir, wie die
Induktion Lauf den Wert 1abfällt und danach wieder auf das Halteniveau ansteigt.
Dieses erhält man auch analytisch aus der Bedingung für den Anfangswert für i
mit −i0=−1. Zum Zeitpunkt t1wenn i(t1) = 0 ist, muss für die Induktion
37
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
i[A]
t[s]
λU= 10−6
λU= 10−4
λU= 1
Abbildung 2.15: Induktion Lfür verschiedene λU
L(i(t1)) = L(0) = a+b·02= 1 gelten und dort ihr Minimum annehmen. Nach
diesem Punkt steigt die Induktion wieder auf das Halteniveau.
Wir vergleichen noch das Beispiel mit konstanter Induktion aus dem Modell 1
(siehe 2.1.4) mit dem letzten Modell mit zeitabhängiger Induktion. Wir verwenden
die Parameter wie zu vor. In der Abbildung 2.16 können wir die Unterschiede für
den Zustand isehen. Für das Beispiel mit zeitabhängiger Induktion steigt der
Zustand zuerst langsamer an. Aber nach einer kurzen Zeit, wächst er schneller als
für den Fall mit konstanter Induktion und erreicht auch schneller den Wert i0.
i[A]
t[s]
Konstante Induktion
Lineare Induktion
-
-
i[A]
t[s]
Konstante Induktion
Lineare Induktion
-
-
Abbildung 2.16: Vergleich des elektrisches Stroms bei verschiedenen Induktionen
38
2.4. VOM ELEKTRISCHEN STROM ABHÄNGIGE INDUKTION
In Abbildung 2.17 sind die Kurven der Steuerungen udargestellt. Wir können
sehen, dass im Fall mit konstanter Induktion die Steuerung länger an der obe-
ren Beschränkung bleibt. Trotzdem haben beide Kurven die selbe Charakteristik.
Die Rechenzeit für die Lösung des nichtlinearen Optimalsteuerungsproblem liegt
u[V]
t[s]
Konstante Induktion
Lineare Induktion
Abbildung 2.17: Vergleich der Spannungen für verschiedene Induktionen
bei ungefähr 850 Sekunden (Single Core 3 GHz,4 GB RAM). Im Gegensatz dazu
benötigt man etwa 180 Sekunden für das lineare Problem aus Abschnitt 2.1.4.
39
KAPITEL 2. OPTIMIERUNG ELEKTRISCHER SCHALTKREISE
40
Kapitel 3
Grundlagen der
Maxwell-Gleichungen
3.1 Elektromagnetische Felder und ihre Größen
In diesem Kapitel führen wir einige Grundlagen für dreidimensionale elektroma-
gnetische Felder ein. Diese Felder sind von der Zeit abhängig. Des Weiteren hängen
diese Felder von drei Ortsvariablen ab. Nachdem wir uns mit Optimalsteuerungs-
problemen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen befasst haben, betrachten wir
nun Probleme im dreidimensionalen Raum. Um die elektromagnetischen Felder
zu beschreiben, benötigen wir partielle Differentialgleichungen. Wir führen das
physikalische Modell und einige dazugehörige mathematischen Gleichungen bezie-
hungsweise Modelle ein. Hierbei halten wir uns im wesentlichen an [30], [34]. Das
klassische elektromagnetische Feld wird durch die vier Vektorfunktionen E,D,H
und Bcharakterisiert:
Größen
Elektrische Feldstärke E[V/m]
Elektrische Flussdichte D[C/m2]
Stromdichte j[A/m2]
Magnetische Feldstärke H[A/m]
Magnetische Flussdichte B[T]
Elektrische Ladungsdichte ρ[C/m3]
41
KAPITEL 3. GRUNDLAGEN DER MAXWELL-GLEICHUNGEN
Die Maxwell-Gleichungen sind in differentieller Form gegeben durch
∂B
∂t+∇×E= 0 Induktionsgesetz von Faraday
∇·D=ρGaußsches Gesetz
∇·B= 0 Gaußsches Gesetz für Magnetfelder
−∂D
∂t+∇×H=jAmpèresche Gesetz
sowie das Ohmsches Gesetz durch
j=jc+σE
Hier bezeichnet Hdie magnetische Feldstärke, Bdie magnetische Flussdichte, E
die elektrische Feldstärke, Ddie elektrische Flussdichte, jdie elektrische Strom-
dichte und jceine angelegte elektrische Stromdichte. Alle Größen sind vom Ort
und von der Zeit abhängig.
Die erste Gleichung ist das Induktionsgesetz von Faraday, welches den Einfluss
eines sich in der Zeit verändernden magnetischen Feldes auf das elektrische Feld
beschreibt, sprich
(3.1.1) ∂B
∂t+∇×E= 0.
Weiterhin ist das B-Feld divergenzfrei ist, das heißt es existieren keine magneti-
schen Ladungen. Es ist quellenfrei, also gilt
(3.1.2) ∇·B= 0.
Das erweiterte Ampèresche Gesetz gibt den Zusammenhang zwischen den elektri-
schen Strömen und der magnetischen Feldstärke an
(3.1.3) −∂D
∂t+∇×H=j.
Das Gaußsche Gesetz beschreibt den Effekt einer Ladung ρauf die elektrische
Flussdichte Ddurch die Gleichung
∇·D=ρ.(3.1.4)
Eine weitere Gleichung folgt aus der elektrischen Leitfähigkeit von Materialien.
Wenn das Material elektrisch leitfähig ist, erzeugt ein sich änderndes magnetisches
Feld einen elektrischen Strom. Dieses können wir als als σEmit einbringen. Wir
nehmen an, dass das Ohmsche Gesetz wie folgt gilt:
j=js+jc=σE+jc.(3.1.5)
42
3.1. ELEKTROMAGNETISCHE FELDER UND IHRE GRÖ!EN
Die elektrische Leitfähigkeit σist eine nichtnegative Funktion und jcbeschreibt
eine angelegte elektrische Stromdichte. Mit jsdefinieren wir den induzierte Strom.
Gebiete mit σ>0werden als elektrische Leiter bezeichnet.
Nun gehen wir auf die Materialgleichungen ein. Sowohl die Felder Hund B
sowie Dund Esind gekoppelt. Wir unterscheiden drei Fälle.
Der erste Fall ist das Verhalten im Vakuum. Es gilt
D=ǫ0E
B=µ0H.
Dabei ist µ0die magnetische Permeabilität [As/V m]und ǫ0die elektrische Per-
mittivität [V s/Am]. Hierbei sind sowohl µ0als auch ǫ0skalare Konstanten mit den
Werten
µ0= 4π×10−7Hm−1und ǫ0≈8.854 ×10−10Fm−1
(3.1.6)
im SI Standard oder MKS - System.
Der zweite Fall tritt bei inhomogenen isotropischen Materialien auf. Hier müs-
sen wir unterschiedliche Materialeigenschaften berücksichtigen. Wir nehmen an,
dass die Materialeigenschaften nicht von der Richtung des Feldes abhängen und
linear sind. Dann gilt
D=ǫEund B=µH,(3.1.7)
wobei µund ǫpositive, beschränkte, skalare Funktionen sind, welche nur von der
Ortsposition abhängen. Die Funktionen ǫund µselbst können wir definieren als
µ:= µ0µrund ǫ:= ǫ0ǫr,
wobei µrdie relative Permeabilität und ǫrist die relative Permittivität ist. Diese
relativen Größen hängen vom betrachteten Material ab. Des Weiteren definieren
wir auch direkt die Reluktivität als ν:= µ−1.
Der dritte Fall ist für inhomogene, anisotropische Materialien. In diesem Fall
sind µund ǫpositiv definite 3×3- Matrizen, die von der Ortsposition abhängen.
An dieser Stelle weisen wir darauf hin, dass dies Spezialfälle sind. In der Realität
hängen µund ǫvon den Feldern ab und es treten zusätzlich Hystereseeffekte bei
elektromagnetischen Feldern auf, siehe Kaltenbacher [42]. Normalerweise sind die
Abhängigkeiten also nichtlinear. Wir nehmen für die gesamte Arbeit an, dass die
elektrische Permittivität für jedes Material konstant ist und die magnetische Per-
meabilität nur vom Ort abhängt. In einigen Beweisen weisen wir explizit darauf
hin, dass auch µ(|B|)verwendet werden kann, siehe auch [7].
43
KAPITEL 3. GRUNDLAGEN DER MAXWELL-GLEICHUNGEN
3.2 Übergangs- und Randbedingungen
Von enormer Bedeutung sind die Übergangsbedingungen zwischen Gebieten mit
unterschiedlichen Materialeigenschaften und Randbedingungen im mathematischen
Sinne, für die wir jetzt einen kurzen Überblick geben. Für weitere Details sei [34],
[49], [14] empfohlen. Sei
¯
Ω=¯
Ω1∪¯
Ω2mit Ω1∩Ω2=∅,
wobei Ω,Ω1und Ω2zusammenhängende und offene Gebiete sind. Weiterhin sei S
der Rand zwischen den Gebieten Ω1und Ω2, also
S:= ¯
Ω1∩¯
Ω2.
Für das eine Gebiet Ω1seien µr,1,ǫr,1gegeben und im zweiten Gebiet Ω2die
Funktionen µr,2,ǫr,2. Die dazugehörigen Felder sind jeweils E1,H1und E2,H2.
Weiterhin sei nder nach außen gerichtete Normalenvektor von Ω1. Aus dem phy-
sikalischen Hintergrund für das elektrische Feld erhalten wir
n×(E1−E2) = 0 auf S.
Wir erläutern diese Randbedingung kurz für den Fall, dass ein Gebiet ein perfekter
Leiter (σ=∞) ist. Für σ→ ∞ folgt E→0. Es sei das zweite Gebiet ein perfekter
Leiter mit E2= 0. Dann gilt
n×E1= 0 auf S.
Für das magnetische Feld gelten folgende Bedingungen: Damit die Divergenzbe-
dingung für das magnetische Feld erfüllt ist, müssen die Normalenkomponenten
stetig durch den Rand Sgehen. Daraus erhalten wir
n·(µr,1H1−µr,2H2) = 0 auf S.
Als nächstes betrachten wir die Tangentialspur n×Hauf dem Rand. Es gilt
n×(H1−H2) = jsauf S,
wobei jsdie Oberflächen-Stromdichte angibt. In den meisten Fällen sind aber
stetige Tangentialkomponenten mit jS= 0 gegeben, siehe dazu auch [5]. So nehmen
wir im Allgemeinen an, dass
n×(H1−H2) = 0 auf S
44
3.2. ÜBERGANGS- UND RANDBEDINGUNGEN
gilt. Es sei nder nach außen gerichtete Normalenvektor auf einem Außenrand Γ
von einem Gebiet. Dann definieren wir folgende Randbedingungen:
B·n= 0 auf Γ(3.2.1)
und für das elektrische Feld
E×n= 0 auf Γ.(3.2.2)
Weiterhin ist das elektromagnetische Feld zeitabhängig. Daher werden für die
Zeit Anfangsbedingungen benötigt. An dieser Stelle gehen wir zunächst nur auf
die Divergenzfreiheit von Bin Abhängigkeit von der Anfangsbedingung ein. An-
genommen es gilt ∇·B(x,0) = 0. Dann folgt auch für beliebiges t
(3.2.3) ∇·B(x, t) = 0.
Diesen Sachverhalt erhalten wir durch das Anwenden des Divergenzoperators auf
das Faradaysche Gesetz, sprich
∇·∂B
∂t(x, t) = 0,
welches zusammen mit ∇·B(x,0) = 0 die Gleichung (3.2.3) impliziert. Analog folgt
für das elektrische Feld aus dem Ampèreschen Gesetz mit Hilfe der Divergenz
∇·(−∂D
∂t+∇×H) = ∇·j(3.2.4)
welches äquivalent zu
∇·∂D
∂t=−∇·j(3.2.5)
ist. Wenden wir weiterhin auf die Gleichung (3.1.4) die Zeitableitung an, gilt
∂
∂t∇·D=∂
∂tρ(3.2.6)
und es folgt
∇·j+∂
∂tρ= 0(3.2.7)
sowie
∂
∂t(∇·D−ρ) = 0.(3.2.8)
Das heißt, wenn (3.1.4) für ein beliebiges tgilt, dann gilt es auch für jedes t.
45
KAPITEL 3. GRUNDLAGEN DER MAXWELL-GLEICHUNGEN
3.3 Einführung von Potenzialen
Für die mathematische Analysis werden häufig für die Felder Eund BPotenziale
eingeführt. Diese bringen den Vorteil, dass man die geforderte Divergenzfreiheit
von Bnicht explizit als Gleichung mit betrachten muss. Wir beginnen mit dem
Vektorpotenzial Afür das Magnetfeld. Dieses können wir für das Magnetfeld ein-
führen. Für die magnetische Flussdichte gilt die Quellenfreiheit ∇·B= 0. Aus der
Helmholtz-Zerlegung (1.14) folgt, dass ein Vektorpotenzial Aexistiert mit
B=∇×A.
Für einen magnetischen Fluss Bist das Vektorpotenzial Anicht eindeutig be-
stimmt, weil die Rotation eines Gradientenfeldes null ist. Für ein glattes beliebiges
ϕgilt
∇×A=∇×(A+∇ϕ).
Das heißt, wir benötigen weitere Bedingungen an A, um einem Bgenau ein Po-
tenzial Azuordnen zu können. Dieses nennt man Eichung. Vorher definieren wir
zusätzlich das skalare Potenzial, welches wir aus dem Zusammenhang mit Eer-
halten. Aus dem Faradayschen Gesetz erhalten wir mit B=∇×Aeingesetzt
∇×(E+∂A
∂t) = 0.(3.3.1)
Hieraus folgt die Existenz eines skalaren Potenzials ϕmit
E=−∇ϕ−∂A
∂t.(3.3.2)
Auch das skalare Potenzial ist nicht eindeutig bestimmt. Wenn wir A∗so wählen,
dass
A∗=A+!t
t0∇ϕdt(3.3.3)
für t0= 0 gilt, dann folgen die Gleichungen
E=−∂A∗
∂tund ∇×A=∇×A∗.(3.3.4)
Das elektrische Feld Ehängt nun nur noch vom Vektorpotenzial ab und für die
Maxwell-Gleichungen gilt die Formulierung
ǫ∂2A∗
∂t2+σ∂A∗
∂t+∇×(µ−1∇×A∗) = jc.
46
3.4. MATHEMATISCHE MODELLE
Wie wir schon angemerkt haben, ist das Vektorpotenzial nicht eindeutig bestimmt.
Um die Eindeutigkeit zu gewährleisten, verwenden wir wieder eine Eichung. Hier
gibt es für die Vektorpotentiale im wesentlichen zwei verwendete Methoden. Diese
sind die sogenannte Coulomb-Eichung und die Lorenz-Eichung. Die Möglichkeit
zur Wahl einer Eichung an dieser Stelle wird als Eichfreiheit bezeichnet. Die Eich-
freiheit gibt einem die Möglichkeit, das Vektorpotenzial explizit an das Problem
anzupassen. Die Lorenz-Eichung wird häufig bei elektromagnetischen Wellen ver-
wendet. Es wird für eine Konstante c
∇·A∗+1
c2
∂ϕ
∂t= 0 (SI −System)(3.3.5)
gefordert. Die Coulomb-Eichung wird für magnetostatische Probleme beziehungs-
weise bei konstanten Materialkoeffizienten verwendet. Man fordert zusätzlich
(3.3.6) ∇·A∗= 0 in Ω
A∗·n= 0 auf Γ
mit Γ:= ∂Ωund dem Normalenvektor nauf Γ. Mit Hilfe der Coulumb-Eichung
erhalten wir, dass das Vektorpotenzial eindeutig bestimmt ist. Wir werden die
Coulomb-Eichung im Weiteren dieser Arbeit für die Optimalsteuerungsprobleme
verwenden.
Zum Abschluss der Betrachtungen über das Vektorpotenzial gehen wir noch
auf die Randbedingungen ein. Wir unterscheiden im Allgemeinen zwei Randbe-
dingungen.
•Natürliche (Neumannsche) Randbedingung: Es wird angenommen, dass jmit
j:= (µ−1∇×A)×n
auf dem Rand bekannt ist.
•Wesentliche (Dirichletsche) Randbedingung: Es wird auf dem Rand
A×n= 0(3.3.7)
gesetzt. Weil E=−∂A
∂tgilt, entspricht dieses den tangentialen Komponenten
des elektrischen Feldes. Weiterhin wird dadurch B·n= (∇ × A)·n= 0
gefordert.
3.4 Mathematische Modelle
Wir tragen nun einige mathematische Modelle zu dieser Problematik zusammen.
Zuerst stellen wir stationäre Probleme vor. Das elektromagnetische Feld ist von
47
KAPITEL 3. GRUNDLAGEN DER MAXWELL-GLEICHUNGEN
der Zeit unabhängig. Für das elektrostationäre System gilt
(3.4.1) ∇×E= 0 in Ω,
∇·D=ρin Ω,
D=ǫEin Ω.
Im vorherigen Abschnitt haben wir Potenziale diskutiert. Sei ϕein skalares Poten-
zial mit E=−∇ϕ. Dann erhalten wir für das elektrostatische Problem aus (3.4.1)
die Gleichung
−∇·(ǫ∇ϕ) = ρin Ω.
Wir weisen darauf hin, dass ϕnur bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
Als Randbedingung gibt es unterschiedliche Möglichkeiten, wie zum Beispiel die
natürliche Randbedingung
ǫ∂ϕ
∂n=−ρS
mit ρSals elektrische Ladungsdichte auf dem Rand S. Dies entspricht der Rand-
bedingung D·n=−ρS.
Das magnetostatische Problem ist durch
∇×H=jcin Ω,(3.4.2)
∇·B= 0 in Ω,(3.4.3)
B=µHin Ω(3.4.4)
gegeben. Hier können wir aus der ersten Gleichung ableiten, dass jcdivergenzfrei
sein muss. Wir eliminieren Hmit Hilfe der Materialgleichung (3.4.4) und erhalten
∇×(µ−1B) = jcin Ω.
Durch Einsetzen eines Vektorpotenzials Amit B=∇×Afolgt das magnetische
Vektorpotenzial-Problem
∇×(µ−1∇×A) = jcin Ω.(3.4.5)
Mit der Coulomb-Eichung muss noch zusätzlich
∇·A= 0 in Ω(3.4.6)
A·n= 0 auf ∂Ω(3.4.7)
gefordert werden. Als Randbedingungen erhalten wir
(3.4.8) A×n= 0 auf ∂Ω.
48
3.4. MATHEMATISCHE MODELLE
Dieses entspricht für den magnetischen Fluss
B·n= 0 auf ∂Ω.
Wenn wir
H×n=−jauf ∂Ω
annehmen, gilt für das Vektorpotenzial
(3.4.9) (µ−1∇×A)×n=−jauf ∂Ω.
Nach dem stationären Fall betrachten wir das Wirbelstromproblem, welches
ein Spezialfall für zeitabhängige Modelle ist. Wir interessieren uns insbesondere
für sich langsam ändernde elektromagnetische Felder. Daher vernachlässigen wir
die Zeitableitung für die elektrische Flussdichte D. Dadurch folgt aus (3.1.3),(3.1.1)
und (3.1.2) das System
∂B
∂t+∇×E= 0
∇·B= 0
∇×H=j.
Durch das Einsetzen des Vektorpotenzials Amit B=∇ × Aund E=−∂A
∂t
erhalten wir die Formulierung für das Wirbelstromproblem
σ∂A
∂t+∇×(µ−1∇×A) = jc.(3.4.10)
An dieser Stelle haben wir auch das Ohmsche Gesetz mit
j=js+jc=−σ∂A
∂t+jc
verwendet. Als Randbedingungen erhalten wir äquivalent aus den Gleichungen
(3.4.8) und (3.4.9) zum magnetostatischen Problem entweder
(3.4.11) A×n= 0 auf ∂Ω
oder
(µ−1∇×A)×n=−jauf ∂Ω.
Mit dem Wirbelstromproblem aus der Gleichung (3.4.10) und der Randbedingung
(3.4.11) werden wir in den folgenden Kapiteln weiterarbeiten.
49
KAPITEL 3. GRUNDLAGEN DER MAXWELL-GLEICHUNGEN
3.4.1 Vollständiges Modell
Wenn wir Zeitableitung von Dnicht vernachlässigen, erhalten wir aus den Maxwell-
Gleichungen unter Berücksichtigung der Materialgleichungen
ǫ∂E
∂t+∇×µ−1B=σE+jc.
Setzen wir das Vektorpotenzial Aein, gilt
ǫ∂2A
∂2t+σ∂A
∂t+∇×(µ−1∇×A) = jc.
3.4.2 Zeitharmonisches Modell
Im zeitharmonischen Modell verwenden wir für die Felder E,D,Bund Hden
zeitharmonischen Ansatz
u(x, t) = Re(ˆ
u(x)eiωt).
Dabei seien mit ˆ
ukomplexen Funktionen bezeichnet und Re der Realteil der kom-
plexen Zahlen. Die Zeitableitung lässt sich dann durch
∂u
∂t(x, t)→iωµu(x)
ausdrücken. Durch diese Transformation können wir das zeitharmonische Problem
wie folgt aufschreiben:
∇×E(x) + iωµH(x) = 0,
∇·µH(x) = 0,
∇×H(x)−(iωǫ +σ)E(x) = j(x),
∇·ǫE(x) = ρ(x).
Weiterhin folgt aus (3.2.6) die Gleichung.
iωρ(x) + ∇·j(x) = 0
und wir erhalten die zeitharmonische Vektorpotentialformulierung
∇×(µ−1∇×A) + iωσA−ω2ǫA=jc.
Dafür haben wir E=−iωAund B=∇×Averwendet.
50
Kapitel 4
Optimalsteuerungsprobleme
4.1 Ein Testbeispiel für die Optimalsteuerung ei-
nes Vektorpotenzials
Abbildung 4.1: Testgeometrie
Nachdem wir im vorherigen Kapitel die Maxwell-Gleichungen eingeführt, sowie
die Formulierung für das zu Bgehörige Vektorpotenzial Ahergeleitet haben, geht
es in diesem Kapitel um die mathematische Existenz und Eindeutigkeit für das
Vektorpotenzial, sowie die Existenz und Eindeutigkeit der optimalen Steuerung
51
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
für ein Optimalsteuerungsproblem. Wir beschränken uns auf das Wirbelstrom-
problem und vernachlässigen die Zeitableitung zweiter Ordnung. Die verwendete
Geometrie ist im Bild 4.1 dargestellt, wobei das rote Gebiet Ω1die Spule in Zylin-
derform charakterisiert, grün das Gebiet Ω2für einen rohrförmigen Eisenkern und
das blaue Gebiet Ω3die Luft. Die drei Gebiete sind mit unterschiedlichen Eigen-
schaften versehen. Als Erstes haben wir ein würfelförmiges Rechengebiet, welches
alle anderen Gebiete einschließt. Dieses Gebiet entspricht in der Realität Luft und
ist ein Isolator mit
σ= 0 und µ=µ0.
Als Zweites betrachten wir das Gebiet Ω1, welches eine Spule darstellen soll. In
diesem Gebiet wird die Steuerung für das Optimalsteuerungsproblem wirken. Wir
wollen ein Vektorpotenzial im gesamten Gebiet Ωdurch den Strom i, welcher in-
nerhalb der Spule gegeben ist, steuern. Im Gebiet der Spule gilt σ>0und µ=µ0.
In Kapitel 5 wird dann in einem zweiten Optimalsteuerungsproblem die Spannung
als Steuerung verwendet. Dafür wird σ= 0 im Gebiet der Spule gesetzt, damit das
Induktionsgesetz nicht verletzt wird. Mit dem dritten Gebiet wird ein Eisenkern
dargestellt. Folglich gilt hier σ>0und µ=µ0µrmit µr≫0. Ziel der Optimal-
steuerung ist es, in möglichst kurzer Zeit zwischen verschiedenen Zuständen des
Vektorpotenzials Ahin und her zu schalten. Die Steuerung ist folgendermaßen
gegeben: Standardmäßig gilt für ein Vektorpotenzial Adie Zustandsgleichung
σ˙
A+∇×(ν∇×A) = fin Ω×(0, T)
mit einer Steuerung f. Für das Optimalsteuerungsproblem sei fdurch
f(x, t) := e(x)i(t)
gegeben, wobei ider gegebene Strom ist und eein festes Vektorfeld, das die Rich-
tung des Stromes vorgibt. Durch das Vektorfeld esoll simuliert werden, dass im
Gebiet der Spule der Strom in die Richtung fließt, die er hätte, wenn man die
Spulenwindungen selber betrachten würde. Das Ziel der Überlegungen ist es, ein
Vektorpotenzial Anur durch den Strom izu steuern.
4.2 Das mathematische Modell
In diesem Abschnitt werden die mathematischen Gleichungen für das Vektorpo-
tenzial Agenauer erläutert. Das komplette Gebiet Ωsei eine beschränkte, zusam-
menhängende offene Menge aus dem R3. Wir nehmen an, dass der Rand Γ:= ∂Ω
ein Lipschitzrand ist. Für die Betrachtungen ist es wichtig, dass die Gebiete mit
einer elektrischen Leitfähigkeit größer null vom Gebiet mit nicht leitender elek-
trischer Leitfähigkeit umschlossen sind. Für unser Beispiel ist es also notwendig,
52
4.2. DAS MATHEMATISCHE MODELL
dass das Spulengebiet (Ω1) und das Eisenkerngebiet (Ω2) innerhalb des Gebietes
Ωliegen, also ¯
Ω1∪¯
Ω2⊂Ωgilt. Siehe dafür zum Beispiel [3] oder auch [28]. In [?]
werden auch allgemeinere Gebiete, insbesondere nicht einfach zusammenhängende,
betrachtet. Wir schreiben die Gebiete noch einmal explizit auf. Für das Gebiet des
Eisenkernes gilt
Ω2={x∈R3: 0 < r1<x2
1+x2
2< r2, z1<x3< z2}.
Analog sei für das Gebiet der Spule
Ω1={x∈R3: 0 < r2<x2
1+x2
2< r3, c1<x3< c2}.
Für das Gebiet Ω3der Luft gilt
Ω3=Ω\(¯
Ω1∪¯
Ωc).
Kommen wir zu den mathematischen Gleichungen, die in den einzelnen Gebieten
Ω1,Ω2und Ω3gelten müssen. Das Gebiet Ω1entspricht der Spule mit
σ˙
A(x, t) + ∇×(ν(x)∇×A(x, t)) = f(x, t) = e(x)i(t)
mit edefiniert durch
(4.2.1) e(x) :=
e1(x)
e2(x)
e3(x)
=
−y/4(x2+y2)
x/4(x2+y2)
0
.
In der obigen Gleichung sei
x=
x
y
z
definiert. Dieses Modell ist eine erste Näherung, da momentan nur von einer ein-
zigen Windung ausgegangen wird. Hintergrund ist der sonst benötigte numerische
Aufwand, um das Problem zu lösen. Angenommen wir würden jede einzelne Win-
dung modellieren. Dann muss für eine numerischen Berechnung jede Windung
diskretisiert werden. Da die Durchmesser der Windungen sehr klein sind, benö-
tigen wir ein Diskretisierungsgitter wie in den Abbildungen 4.2 und 4.3. In der
Abbildung 4.2 sehen wir die Problematik, dass nicht nur die Spulenwindungen
in der Spule selber diskretisiert werden müssen, sondern auch die Zwischenräume.
Dafür ist eine sehr feine Diskretisierung notwendig. Wenn wir annehmen, dass eine
Spule mehrere tausend Windungen hat, erhalten wir durch Abbildung 4.3 einen
Eindruck, wie groß der Diskretisierungsaufwand alleine für die Spule ist. Die Spule
53
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
Abbildung 4.2: Diskretisierung der Windungen innerhalb der Spule
ist aber nur ein kleiner Teil, wie wir in der Abbildung 4.1 gesehen haben. Daher
modellieren wir nicht jede einzelne Windung in der Spule, sondern verwenden eine
Funktion, die uns die Richtung des Stromes in der Spule angibt.
Die Funktion egibt die Richtung vom Strom iinnerhalb der Spule vor. Für
unser Modell soll der Strom auf Kreisbahnen innerhalb der Spule fließen. Betrachte
dazu die Abbildung 4.4, in der die Funktion e(x)abgetragen ist. Für die beiden
folgenden Gebiete ist die rechte Seite der Zustandsgleichung fgleich null, weil es
hier keine Steuerung gibt. Der Eisenkern ist das Gebiet Ω2und wir erhalten
σ˙
A(x, t) + ∇×(ν(x)∇×A(x, t)) = 0.
Im Gebiet Ω3der Luft gilt σ= 0, also für das Vektorpotenzial die elliptische
Gleichung
∇×"ν(x)∇×A(x, t)$= 0.
Die Bedingung, dass nur das Gebiet Ω3einen Außenrand hat, können wir jetzt
durch die Gleichung
(∂¯
Ω1∪∂¯
Ω2)∩∂Ω=∅
54
4.2. DAS MATHEMATISCHE MODELL
Abbildung 4.3: Überblick der Diskretisierung innerhalb der Spule
formulieren. Auf den Rändern zwischen den einzelnen Gebieten werden folgende
Übergangsbedingungen benötigt: Die Tangentialkomponenten vom Vektorpoten-
zial sollen stetig auf den Rändern sein. Daher erhalten wir
(4.2.2)
A1(x, t)×n(x) = A2(x, t)×n(x)auf ∂Ω1∩∂Ω2
A1(x, t)×n(x) = A3(x, t)×n(x)auf ∂Ω1∩∂Ω3
A2(x, t)×n(x) = A3(x, t)×n(x)auf ∂Ω2∩∂Ω3,
wobei der Index am Vektorpotenzial angeben soll, in welchem der drei Gebiete
das Vektorpotenzial definiert ist. Weiterhin benötigen wir Übergangsbedingungen
für ν((∇×A)×n), welche wir in der Bemerkung 4.1 ausgeführt haben. Auf dem
Außenrand ∂Ωdes Rechengebietes soll A×n= 0 erfüllt sein. Jetzt gelten in
den unterschiedlichen Gebieten Gleichungen, die einerseits die Zeitableitung von
Aenthalten und andererseits solche, in der die Zeitableitung keinen Einfluss auf
die Gleichung hat. Dieses wollen wir ausnutzen und zerlegen das Problem in einen
Teil mit elliptischer Differentialgleichung und einen anderen Teil mit parabolischer
Differentialgleichung. Wir definieren die Funktion f(x, t)folgendermaßen:
f:= ,e(x)i(t)in Ω1
0in Ω2.
Dann werden die beiden parabolischen Gebiete zusammengefasst zu
σ˙
A(x, t) + ∇×(ν(x)∇×A(x, t)) = f(x, t)in Ω1∪Ω2.
55
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
Abbildung 4.4: Durch e(x)vorgegebene Stromrichtung in der Spule
Dadurch wurden die drei verschiedenen Gebiete auf zwei Gebiete reduziert. Ein
Gebiet mit elliptischer und eines mit parabolischer Differentialgleichung. Beide
Gleichungen sind über die Ränder der Gebiete gekoppelt. Dieses System ist aber
noch nicht vollständig. Da es ein zeitabhängiges Problem ist, benötigen wir einen
Anfangswert. Dieser ist nur im Gebiet Ω1∪Ω2gegeben, da ein Anfangswert im
Gebiet Ω3mit elliptischer Differentialgleichung keinen Sinn ergibt. Es sei A(0) =
A0in Ω1∪Ω2und eine Anregung fgegeben. Für das Vektorpotenzial folgt das
System
(4.2.3)
σ˙
A(x, t) + ∇×(ν(x)∇×A(x, t)) = f(x, t)in Ω1∪Ω2
∇×(ν(x)∇×A(x, t)) = 0in Ω3
A(x, t)×n(x) = 0auf ∂Ω
A(x,0) = A0(x)in Ω1∪Ω2
mit den zusätzlichen Übergangsbedingungen. Dafür betrachten wir folgende Be-
merkung.
Bemerkung 4.1. Um die Notation mit den Indizes an Ωinicht ausarten zulassen,
legen wir Ω1:= Ω1∪Ω2als das Gebiet mit Zeitableitung und Ω2:= Ω3ohne
Zeitableitung von Afest. Weiterhin sei Γ1:= Ω1∩Ω2mit Normalenvektor n1von
Ω1auf Γ1. Es folgt aus den Gleichungen (4.2.3) und den Übergangsbedingungen
56
4.3. MATERIALEIGENSCHAFTEN
das vollständige System
(4.2.4)
σ˙
A1(x, t) + ∇×(ν∇×A1(x, t)) = f(x, t)in Ω1
∇×(ν∇×A2(x, t)) = 0in Ω2
A1(x, t)×n1=A2(x, t)×n1auf Γ1
ν1((∇×A1(x, t)) ×n1) = ν2((∇×A2(x, t)) ×n1)auf Γ1
A2(x, t)×n=0auf ∂Ω
A1(x,0) = A0(x)in Ω1.
4.3 Materialeigenschaften
Um die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung Azu erhalten, werden einige
Bedingungen an ν=µ−1benötigt. Im weiteren ist νdie Reluktivität. Wir un-
terscheiden zwei Fälle für ν. Im ersten Fall hängt νnur von der Ortskoordinate
mit ν:R3→R+ab, welches als linearer Fall bezeichnet wird. Dieser ist für uns
besonders wichtig, da wir diesen Fall im Optimalsteuerungsproblem und in der
Numerik betrachten. Aus dem physikalischen Hintergrund, der zum Beispiel in
[42] beschrieben ist, können wir für ν
0<ν≤ν≤¯ν(4.3.1)
mit skalaren Konstanten ν≤νannehmen. Im sogenannten nichtlinearen Fall
hängt νnur vom Betrag der magnetischen Flussdichte ab, das heißt ν=ν(|B|).
Hier gilt ν:R+
0→R+und |B|wird eingesetzt, also ν(|B|) = ν(|∇ × A|). Für
diese Abhängigkeit soll zusätzlich zu (4.3.1) noch
s-→ ν(s)sist strikt monoton(4.3.2)
s-→ ν(s)sist Lipschitz-stetig(4.3.3)
gelten. Es bleibt noch die elektrische Leitfähigkeit σ. Hier beschränken wir uns
darauf, dass σfür jedes Gebiet konstant ist und σ∈L∞(Ω). Weiterhin soll
(4.3.4) σ≥σ>0fast überall in Ω
für eine Konstante σ>0im leitendem Gebiet erfüllen. Im ersten Schritt zeigen wir
die Existenz und Eindeutigkeit des Vektorpotenzials im Teil mit der elliptischen
Differentialgleichung. Als Zweites betrachten wir den Teil mit der parabolischen
Differentialgleichung und zum Schluss das komplette gekoppelte System. Hier liegt
der Schwerpunkt darin, dass die Lösung für den elliptischen Teil zusammen mit
der Lösung vom parabolischen Teil wirklich eine Lösung in Ω=Ω1∪Ω2ist. Dieses
zeigen wir wie im Beispiel in der Arbeit von Bachinger, Langer, Schöberl [7], [8]
und Kolmbauer [28]. Die Idee ist, das komplette System auf den parabolischen Teil
zurückzuführen. Weitere Arbeiten in diesem Zusammenhang sind zum Beispiel [21],
[22], [23], [24].
57
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
4.4 Vektorpotenziale für zweidimensionale Gebie-
te
Nachdem wir in Kapitel 2 Optimalsteuerungsprobleme ohne Berücksichtigung der
Ortsdimension betrachtet haben, wäre es jetzt ein logischer Schritt, das Wirbel-
stromproblem für zweidimensionale Gebiete zu bearbeiten. Im zweidimensionalen
Ortsgebiet zerfällt das Wirbelstromproblem zu einer Laplace-Gleichung. Dieses
wollen wir kurz erläutern.
Für zweidimensionale Probleme folgt, dass die Funktionen j,H,B,und Anur
von der x- und y-Komponente abhängen. Wir nehmen eine unendlich lange Spule
mit einem Strom der Form
jc(x) = (0,0, jc(x, y))T
an. Dies heißt, dass die Stromlinien senkrecht zur x- und y-Komponente verlaufen.
Diese Spule erzeugt dann ein „zweidimensionales“ Magnetfeld im folgenden Sinne:
Da die Magnetfeldlinien senkrecht auf den Stromlinien stehen, ergibt sich für die
magnetische Flussdichte
(4.4.1) B(x) = "b1(x, y), b2(x, y),0$T.
Um Bdurch ein Vektorpotential darzustellen, bedarf es hier nur eines skalaren
Potentials a(x, y)mit
A(x) = "0,0, a(x, y)$T.
Aus der Definition für den Rotationsoperator im zweidimensionalen Raum aus
Kapitel 1 erhalten wir für Bdie Gleichung
B=∇×A=∇×(0,0, a(x, y))T
=
∂ya(x, y)−∂z0
∂z0−∂xa(x, y)
∂x0−∂y0
=
∂ya(x, y)
−∂xa(x, y)
0
=
b1
b2
b3
.
58
4.4. VEKTORPOTENZIALE FÜR ZWEIDIMENSIONALE GEBIETE
Damit sind b1und b2aus (4.4.1) und es gilt
∇×(νB) = ∇×
ν
b1
b2
b3
=∇×
ν∂ya(x, y)
−ν∂xa(x, y)
0
=
∂y0−"−∂zν∂xa(x, y)$
∂zν∂ya(x, y)−∂x0
∂xν"−∂xa(x, y)$−∂y"ν∂ya(x, y)$
=
0
0
−0∂x5ν"∂xa(x, y)$6+∂y5ν"∂ya(x, y)$62
=
0
0
j(x, y)
.
Unser Interesse gilt also nur der dritten Zeile, die folgendes Problem beschreibt:
(4.4.2) ∇·(ν∇a(x, y)) = j(x, y).
Betrachten wir als nächstes die Bedingung für den Rand. Es gilt
0
0
0
=n×A=
n1
n2
n3
×
0
0
a
=
n2a
−n1a
0
.
Dieses soll auf dem ganzen Rand gelten und aist skalar. Also muss aauf dem
Rand verschwinden. Für das Magnetfeld folgt dann mit (4.4.2)
∇·(ν∇a(x, y)) = j(x, y)in Ω
a= 0 auf Γ.
(4.4.3)
Die Coulombsche-Eichbedingung von Aaus der Gleichung (3.3.6) geht auf aüber
und ist automatisch wegen
∇·A=∇·(0,0, a(x, y)T) = ∂a(x, y)
∂z= 0
erfüllt. Weil Ωein Lipschitzgebiet ist, gilt:
(4.4.4) H1
0(Ω) = {y∈H1(Ω) : y|Γ= 0}.
Diese Art von Aufgaben ist sehr gut bekannt und wird zum Beispiel in [47], [13]
behandelt.
59
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
4.5 Das Vektorpotenzial für das nicht leitende Ge-
biet
Um die Existenz und Eindeutig eines Vektorpotenzials zu zeigen, folgen wir den
Arbeiten [7], [28] und [29]. Auch in den Abschnitten 4.6 und 4.7 folgen wir diesen
beiden Arbeiten, insbesondere in der Modellierung für die Kopplung der leiten-
den und nicht leitenden Gebiete. In diesem Abschnitt beschränken wir uns auf den
nichtleitenden Teil und setzen zur Vereinfachung Ω=Ω3. In diesem Gebiet ist eine
elliptische partielle Differentialgleichung zu lösen. Wir berücksichtigen insbesonde-
re die Randbedingungen, da diese für die spätere Kopplung zum parabolischen Teil
sehr wichtig sind. Es gilt im Gebiet Ωfür das Vektorpotenzial
∇×(ν∇×A) = f.(4.5.1)
Obwohl im Abschnitt 4.2 keine Steuerung fim elliptischen Gebiet gegeben ist, soll
der mathematischen Vollständigkeit halber f1=0sein. Somit sei also f∈L2(Ω)3
gegeben. Bevor wir die schwache Formulierung aufschreiben, notieren wir noch
folgendes Resultat:
Lemma 4.2. Es sei das beschränkte Gebiet Ω∈R3mit Rand ∂Ωgegeben und
nbezeichne den nach außen gerichteten Normalenvektor auf ∂Ω. Dann gilt für
ausreichend glatte Funktionen u,v:Ω→R3die Integrationsformel
!Ω
(∇×u)·vdx = + !Ω
u·(∇×v)dx −!∂Ω
(u×n)·vds.
Dieses Lemma ist mit Hilfe der Formel für die komponentenweise partielle
Integration
!Ω
∂u
∂xi
·vdx =−!Ω
u∂v
∂xi
dx +!∂Ω
(niu)vds
leicht zu zeigen. Um die schwache Formulierung zu erhalten, integrieren wir über
den Ort und multiplizieren (4.5.1) mit einer Testfunktion ϕ. Dann gilt
!Ω
(∇×(ν∇×A)) ·ϕdx=!Ω
f·ϕdx(4.5.2)
und mit Hilfe partieller Integration, wie in Lemma 4.2, folgt die schwache Formu-
lierung
!Ω
(ν∇×A)·(∇×ψ)dx=!Ω
f·ψdx(4.5.3)
60
4.5. DAS VEKTORPOTENZIAL FÜR DAS NICHT LEITENDE GEBIET
für alle
ψ∈V:= {v∈H(curl, Ω) : v×n= 0 auf ∂Ω}.
Wir weisen daraufhin, dass die linke Seite der schwachen Formulierung ein posi-
tives Vorzeichen hat. Bei ähnlichen elliptischen Problemen, wie zum Beispiel mit
dem Laplace-Operator, würden wir in der schwachen Formulierung ein negatives
Vorzeichen auf der linken Seite erhalten. Den Rand ∂Ωzerlegen wir in die zwei
Teile Γ1und Γ2. Es soll
Γ:= ∂Ω=Γ1∪Γ2und Γ1∩Γ2= 0
gelten. Dabei entspricht Γ1dem Außenrand von Ωund Γ2dem Rand zum para-
bolischen Teil. Auf dem Teil Γ1, der das Rechengebiet begrenzt, folgt für Aund
den nach außen gerichteten Normalenvektor nauf Γ1aus (3.3.7) die Gleichung
A×n= 0 auf Γ1.
Auf dem Rand Γ2, welcher mit dem Gebiet der parabolischen Differentialgleichung
zusammenhängt, gilt nach den Übergangsbedingungen
A×n=−A2×nauf Γ2
für den nach außen gerichteten Normalenvektor n. Hierbei sei A2das Vektorpoten-
tial im gekoppeltem Gebiet Ω2. Auf diesem Randteil benötigen wir also inhomogene
Randdaten um die Kopplung zu realisieren. Damit wir das Problem für ein Amit
homogenen Randdaten betrachten können, verwenden wir zusätzlich eine Funktion
˜
gund betrachten die Gleichung
!Ω"∇×(ν∇×(A+˜
g)$·ψdx=!Ω
f·ψdx.(4.5.4)
Durch partielle Integration folgt daraus
!Ω
(ν∇×(A+˜
g)) ·(∇×ψ)dx+!∂Ω
((ν∇×(A+˜
g)) ×n)·(n×(ψ×n)) ds
=!Ω
f·ψdx.
Wir suchen also ein Vektorpotenzial Aaus der linearen Mannigfaltigkeit ˜
g+V.
Dabei soll ˜
g∈H(curl, Ω)sein mit Randbedingung
˜
g×n=gauf ∂Ω.(4.5.5)
Dafür muss gaus H−1/2(divΓ,Γ)sein, da der Spuroperator γ:H(curl, Ω)→
H−1/2(divΓ,Γ)surjektiv ist, siehe (1.0.1).
61
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
Wir definieren eine Bilinearform a:V×V→Rund eine Linearform F∈V∗
durch
a(A,ψ) := !Ω
(ν∇×A)·(∇×ψ)dx,
/F,ψ0:= !Ω
f·ψdx.
Um das Lemma von Lax-Milgram anwenden zu können, wollen wir homogene
Randdaten erhalten und formen das Problem zu
a(A,ψ) = ˜
F(ψ)∀ψ∈V,(4.5.6)
mit
˜
F(ψ) = F(ψ)−a(˜
g,ψ)(4.5.7)
um. Da die linke Seite der Gleichung (4.5.1) divergenzfrei ist, muss dies auch als
Kompatibiltätsbedingung für fgefordert werden. In der schwachen Formulierung
(4.5.3) heißt dies, dass die linke Seite für ψ=∇ϕmit ϕ∈H1
0(Ω)gleich null sein
muss. Daher muss für f
!Ω
f·∇ϕdx= 0 ∀ϕ∈H1
0(Ω)
vorausgesetzt werden. Für eine Lösung Ader Gleichung (4.5.6) erhalten wir analog
zu oben, dass auch A+∇ϕfür ϕ∈H1
0(Ω)eine Lösung von (4.5.6) ist. Um
eine eindeutige Lösung zu erhalten, nehmen wir an, dass die Divergenz von Aim
distributionellen Sinne gleich null ist. Die Divergenzfreiheit von Awollen wir in
den Lösungsraum einbinden. Also suchen wir ein Vektorpotenzial Amit
!Ω
(∇·A)ϕdx=!Ω
A·∇ϕdx= 0 ∀ϕ∈H1
0(Ω).(4.5.8)
Wir definieren den Raum
˜
V:= V/W(Ω) := {v∈V: (v,w)L2(Ω)3= 0,∀w∈W}(4.5.9)
mit
W(Ω) := {w=∇ϕ:ϕ∈H1(Ω)und ϕ=ciauf Γimit Konstanten ci}.(4.5.10)
Alle v∈˜
Verfüllen die Gleichung (4.5.8). Zusammen mit der Norm
)y)2
˜
V:= )y)2
L2(Ω)3+)∇×y)2
L2(Ω)3+)∇·y)2
L2(Ω)3
62
4.5. DAS VEKTORPOTENZIAL FÜR DAS NICHT LEITENDE GEBIET
ist (˜
V,)·)˜
V)ein reeller Hilbertraum. Das Problem liest sich dann folgendermaßen:
Finde ein A∈˜
V:a(A,ψ) = ˜
F(ψ),∀ψ∈˜
V.(4.5.11)
Trotz der Einschränkung des Lösungsraums auf ˜
Vund der Funktion ˜
F∈˜
V∗,
muss f∈L2(Ω)3divergenzfrei sein. Die Eigenschaften der Bilinearform ahängen
wesentlich von den Eigenschaften von νab, so dass wir an νeinige Bedingungen
stellen müssen, welche aus den Materialeigenschaften abgeleitet werden. Wir wollen
das Lemma von Lax-Milgram benutzen, welches zum Beispiel in [13], [34], [50]
bewiesen ist.
Lemma 4.3 (Lax und Milgram).Sei Vein reeller Hilbertraum und a:V×V→
Reine Bilinearform. Weiterhin existieren Konstanten α≥0und β>0mit
a[y, v]≤α)y)V)v)V(Beschränktheit)
a[y, y]≥β)y)2
V(Koerzivität).
Dann existiert zu jeder Linearform F∈V∗eine eindeutige Lösung u∈V, welche
a[u, v] = F(v)∀v∈Vund )y)V≤c)F)V∗
erfüllt. Hierbei ist ceine von Funabhängige Konstante.
Satz 4.4. Sei ν∈L∞(Ω)und νerfüllt die Bedingung (4.3.1) und ˜
F∈˜
V∗. Dann
existiert ein eindeutig bestimmtes Vektorpotenzial A∈˜
V, welches das Problem
(4.5.11) löst.
Beweis. Dafür zeigen wir, dass das Problem die Voraussetzungen des Lemmas
von Lax-Milgram erfüllt. Der Raum ˜
Vmit der Norm
)v)2
˜
V:= )v)2
L2(Ω)3+)∇×v)2
L2(Ω)3+)∇·v)2
L2(Ω)3
ist ein reeller Hilbertraum. Wir betrachten den linearen Fall, in dem νnur vom
Ort abhängt und verwenden die Eigenschaften von νaus (4.3.1). Die Koerzivität
wird folgendermaßen gezeigt. Es gilt für ein beliebiges y∈˜
Vdie Ungleichung
a[y,y] = !Ω
(ν∇×y)·(∇×y)dx≥ν!Ω
(∇×y)·(∇×y)dx
=ν)∇×y)2
L2(Ω)3.
An dieser Stelle benötigen wir die Äquivalenz der vollen Norm von ˜
Vund der
Seminorm
|y|2=!Ω
|∇×y|2dx.
63
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
Das Lemma 1.15 sichert die Ungleichung
)∇×y)L2(Ω)3≥c)y)˜
V∀v∈˜
V
und eingesetzt erhalten wir die Koerzivität
a[y,y]≥ν)∇×y)2
L2(Ω)3≥c)y)2
˜
V.
Die Beschränktheit von afolgt für beliebige y,u∈˜
Vdurch
|a(y,u)|≤ν!Ω
|∇×y| |∇×u|dx
≤ν(!Ω
|∇×y|2dx)1/2(!Ω
|∇×u|2dx)1/2
≤ν)∇×y)L2(Ω)3)∇×u)L2(Ω)3
≤cν)y)˜
V)u)˜
V.
Damit sind die Voraussetzungen vom Lemma von Lax-Milgram erfüllt und es gilt,
dass für die Aufgabe (4.5.11) eine eindeutig bestimmte Lösung A∈˜
Vexistiert. !
Es kann hier auch der nichtlineare Fall betrachtet werden. Bei diesem ist ν
abhängig von |∇×A|und es wird zusätzlich zu (4.3.1) noch die Eigenschaft (4.3.2)
benötigt. Die Existenz und Eindeutigkeit kann dann mit dem Satz von Browder
und Minty [51] oder aber auch mit einer nichtlinearen Version vom Lemma von
Lax-Milgram [13] gezeigt werden. Da für die Optimalsteuerung der nichtlineare
Fall in dieser Arbeit nicht betrachtet wird, verzichten wir auf den Beweis und
verweisen auf [7].
4.6 Der elektrisch leitende Teil
In diesem Abschnitt diskutieren wir die Existenz und Eindeutigkeit eines Vektor-
potenzials Aim elektrisch leitendem Gebiet Ω:= Ω1∪Ω2. Dafür sei der Orts-
Zeit-Zylinder Q:= Ω×(0, T). Es gilt im gesamten Gebiet σ>σ≥0. Aus den
Betrachtungen über die Maxwell-Gleichungen und das eingeführte Vektorpotenzial
in Kapitel 3 folgen die Gleichungen
(4.6.1)
σ∂A
∂t(x, t) + ∇×(ν(x)∇×A(x, t)) = f(x, t)in Q
n(x)×A(x, t) = g(x, t)auf Σ=Γ×(0, T)
A(x,0) = A0(x)in Ω.
64
4.6. DER ELEKTRISCH LEITENDE TEIL
In der Gleichung sind f∈L2((0, T), L2(Ω)3)und g∈L2((0, T), H−1/2(divΓ,Γ)
gegebene Funktionen. Wir haben es mit inhomogenen Randdaten zu tun, da wir
vorausgesetzt haben, dass der elektrisch leitende Teil komplett vom elliptischen
Gebiet umschlossen ist. Um die Existenz und Eindeutigkeit von Azu zeigen, ver-
wenden wir einen Satz für monotone Operatoren aus [51]. Dafür geben wir noch
folgende Definitionen an:
Definition 4.5 (monotoner Operator).Ein Operator M, der von Vnach V∗
abbildet, heißt
•monoton, wenn gilt:
(Mv −Mw, v −w)V∗,V ≥0∀v, w ∈V,
•streng monoton, wenn gilt:
(Mv −Mw, v −w)V∗,V >0∀v, w ∈V v 1=w,
•stark monoton, wenn ein c∈R+existiert, mit
(Mv −Mw, v −w)V∗,V ≥c)v−w)2∀v, w ∈V.
Definition 4.6 (koerziver Operator).Ein Operator M, der von Vnach V∗abbildet
heißt koerziv, wenn gilt
(Mv, v)V∗,V
)v)V→ ∞ falls )v)V→ ∞.
Definition 4.7 (hemistetig).Es sei Aein Operator von V→V∗.Aheißt hemistetig,
wenn die reellwertige Funktion ϕ: [0,1] →R, definiert durch
ϕ:t-→ "A(y+tv), w$V∗,V
für alle festen y, v, w ∈Vstetig ist.
Satz 4.8. Sei V⊂H⊂V∗ein Gelfandscher Dreier und A:V→V∗ein
monotoner, koerziver und hemistetiger Operator. Weiterhin sei Abeschränkt, u0∈
Hund b∈L2((0, T), V ∗)gegeben. Dann besitzt das Anfangswertproblem
u′(t) + A(u(t)) = b(t),für fast alle t∈(0, T),
u(0) = u0∈H,
u∈L2((0, T), V ), u′∈L2((0, T), V ∗)
eine eindeutige Lösung.
65
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
Es ist anzumerken, dass die Funktionen u∈L2((0, T), V )mit u′∈L2((0, T), V ∗)
stetig in den Raum C([0, T], L2(Ω)) eingebettet sind, siehe zum Beispiel [48]. Wir
beschränken uns sofort auf den linearen Fall und verwenden daher einen Satz für
den linearen Fall:
Satz 4.9. Es sei V⊂H⊂V∗ein Gelfandscher Dreier und 0< T < ∞. Des Wei-
teren seien die Räume Vund Hreelle Hilberträume. Der Operator M:V→V∗
sei linear, stetig, und koerziv sowie A0∈Hund f∈L2((0, T), V ∗). Weiterhin sei
die Funktion σ∈L∞(Ω)mit der Eigenschaft (4.3.4). Dann besitzt das Anfangs-
wertproblem
σ∂A
∂t+MA=fin Q=Ω×(0, T)
A(0) = A0in Ω
genau eine Lösung A∈L2((0, T), V ),∂A
∂t∈L2((0, T), V ∗). Weiterhin ist die
Abbildung
H×L2((0, T), V ∗)→L2((0, T), V )
(A0,f)-→ A
linear und stetig. Es gilt die Ungleichung
(4.6.2) (||A||L2((0,T),V )+||∂A
∂t||L2((0,T),V ))≤c(||f||L2((0,T ),V ∗)+)A0)V).
Dieser Satz ist zum Beispiel in [50] zu finden. Wir zeigen, dass das Problem
4.6.1 die Voraussetzungen dieses Satzes erfüllt und formen hierfür das Problem
in die benötigte Form um. Beginnen wir mit einigen Vorbetrachtungen für die
Randbedingung
A×n=gauf Σ=Γ×(0, T).(4.6.3)
In dieser Gleichung sei g∈H−1/2(divΓ,Γ)gegeben. Wir werden sehen, dass wir an
gnoch weitere Bedingungen stellen müssen. Analog zum Problem mit elliptischer
Differentialgleichung wollen wir mit homogenen Randdaten arbeiten. Die schwache
Formulierung der Differentialgleichung für ein f∈L2((0, T), L2(Ω)3)ist gegeben
durch
!Ω
σ∂A
∂tψ+ (∇×(ν∇×A)) ·ψdx=!Ω
f·ψdx∀ψ∈L2((0, T),˜
V)(4.6.4)
und umgeformt gilt
!Ω
σ∂A
∂tψ+ (ν∇×A)·(∇×ψ)dx=!Ω
f·ψdx∀ψ∈L2((0, T),˜
V).(4.6.5)
66
4.6. DER ELEKTRISCH LEITENDE TEIL
Wir arbeiten mit der Operatorform und führen dafür folgende Operatoren ein:
M:˜
V→˜
V∗, M(A)ψ=!Ω
(ν∇×A)·(∇×ψ)dx(4.6.6)
F:L2(Ω)3→˜
V∗, F(f)ψ=!Ω
f·ψdx.(4.6.7)
Für die Homogenisierung auf dem Rand ∂Ωbenötigen wir ˜
Fmit
(4.6.8) ˜
F(f)ψ:=< F(f),ψ>˜
V∗,˜
V−<σ∂˜
g
∂t,ψ>˜
V∗,˜
V−< M(˜
g),ψ>˜
V∗,˜
V.
Um die inhomogenen Randdaten aus (4.6.3) zu homogensieren, wählen wir A=
˜
A+˜
gmit ˜
gerfüllt ˜
g×n=g×n. In der Gleichung (4.6.8) ist ˜
gnicht auf den
Rand beschränkt. Das heißt, wir benötigen die Ausdehnung von ˜
gvon Γauf Ω.
Wir fordern ˜
g∈L2((0, T), H(curl, Ω)) mit ∂˜
g
∂t∈L2((0, T), H(curl, Ω)∗)für die
Definition von ˜
F. Diese Regularitätsannahme trifft insbesondere für Funktionen g
zu, die folgende übliche Randbedingung erfüllen:
g∈L2((0, T), H−1/2(divΓ,Γ))(4.6.9)
∂g
∂t∈L2((0, T), H−1/2(divΓ,Γ)∗).(4.6.10)
Es gilt nach Lemma 1.13, dass der Spuroperator γt:H(curl, Ω)→H−1/2(div|Γ,Γ)
surjektiv ist. Das heißt, dass wir für jede Funktion gmit den Eigenschaften aus
(4.6.9) eine Funktion ˜
gexistiert, für die
˜
g∈L2((0, T), H(curl, Ω))(4.6.11)
∂˜
g
∂t∈L2((0, T), H(curl, Ω)∗)(4.6.12)
gilt, sowie die Randbedingungen (4.6.9) und ˜
g×n=g×nauf Γ. Für fbenötigen
wir analog zum Problem 4.5.11 die Divergenzfreiheit im schwachen Sinne. Diese
muss für alle t∈(0, T)erfüllt sein. Wir setzen
!Ω
f(t)·∇ϕdx= 0 ∀ϕ∈H1
0(Ω)∀t∈(0, T)(4.6.13)
voraus. Nun können wir das parabolische Problem in Operatorform notieren.
Problem 4.10. Finde ein A∈L2((0, T),˜
V)mit ∂A
∂t∈L2((0, T),˜
V∗)welches
für f∈L2((0, T),˜
V∗)mit der Eigenschaft (4.6.13) die Gleichung
σ∂A
∂t+MA=˜
Ff
A(0) = A0
67
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
erfüllt, wobei A0∈L2(Ω)3ist.
Um zu zeigen, dass dieses Problem eindeutig lösbar ist, verwenden wir den Satz
4.9. Wir beginnen mit dem Raum
V:= H0(curl, Ω) = {v∈H(curl, Ω) : v×n= 0 auf ∂Ω}
und verwenden erneut aus diesem Raum nur die divergenzfreien Funktionen und
definieren ˜
V:= V/Wmit Wwie in (4.5.10) gegeben. Nun wollen wir die Existenz
und Eindeutigkeit für A∈˜
Vzeigen. Dafür benötigen wir, dass ˜
V⊂L2(Ω)3⊂˜
V∗
ein Gelfandscher Dreier ist. Es gelten die dichten Einbettungen C∞
0(Ω)֒→˜
Vund
C∞
0(Ω)֒→L2(Ω)3. Dadurch folgt auch die stetige Einbettung ˜
V֒→L2(Ω)3und
L2(Ω)3֒→˜
V∗. Von besonderer Bedeutung ist für uns die daraus resultierende
stetige Einbettung des Lösungsraumes in den Raum C([0, T], L2(Ω)3). Siehe dazu
auch [48] oder [51]. Damit ist die Lösung in der Zeit stetig und das Vektorpoten-
zial Aauch zum Endzeitpunkt t=Tdefiniert. Weiterhin ist zu zeigen, dass der
Operator Mstetig und koerziv ist. An dieser Stelle weisen wir daraufhin, dass
der Operator Mbis auf die Räume äquivalent zur Bilinearform aaus (4.5.6) ist.
Wir zeigen zuerst die Beschränktheit von M. Es gilt für beliebige y1,y2∈˜
Vdie
Abschätzung
||My1||˜
V∗= sup
y2∈˜
V,||y2||=1
|!Ω
(ν∇×y1)·(∇×y2)dx|
≤sup
y2∈˜
V,||y2||=1
||ν∇×y1||L2(Ω)3||∇×y2||L2(Ω)3
≤sup
y2∈˜
V,||y2||=1
||ν∇×y1||L2(Ω)3||y2||˜
V
≤ν||∇×y1||L2(Ω)3
≤cν||y1||˜
V
Die Koerzivität erhalten wir für y∈˜
Vmit
(My,y) = !Ω
(∇×(ν∇×y)) ·ydx
≥ν!Ω
(∇×y)·(∇×y)dx
≥ν)y)2
˜
V.
Die letzte Ungleichung folgt aus dem Lemma 1.15. Daraus folgt
(My,y)˜
V∗,˜
V
)y)˜
V→ ∞ für )y)˜
V→ ∞.(4.6.14)
68
4.7. DAS LEITENDE UND NICHT LEITENDE GEBIET GEKOPPELT
Abbildung 4.5: Gebiete und Ränder in einem zweidimensionalen Fall
Somit ist der Operator Mmonoton, beschränkt und koerziv. Die Linearität von M
folgt aus der Linearität des Rotationsoperators. Weil Mlinear und beschränkt ist,
ist Mauch stetig. Damit erfüllt der Operator Mdie Voraussetzungen des Satzes
4.9 und es folgt die Existenz eines eindeutigen Vektorpotenzials, wie zum Beispiel
in [7] und [28]. Dieses fassen wir als Satz zusammen:
Satz 4.11. Seien σ,ν∈L∞(Ω)und νerfüllt (4.3.1), sowie σdie Bedingung
(4.3.4). Dann erhalten wir für jedes ˜
F∈L2((0, T),˜
V∗)eine eindeutig bestimmte
Lösung A∈L2((0, T),˜
V)mit A′∈L2((0, T),˜
V∗)für (4.10).
Wir erhalten für jede beliebige Steuerung ˜
F∈L2((0, T),˜
V∗)ein eindeutiges
Vektorpotenzial A∈L2((0, T),˜
V). Sei A∈L2((0, T),˜
V)die eindeutig bestimmte
Lösung von (4.10). Für ein ˜
g, welches die Eigenschaften (4.6.9) erfüllt, löst A+˜
g
das Problem (4.6.1). Unsere nächste Aufgabe ist es, die elliptische und paraboli-
sche Lösung zu verknüpfen und zu zeigen, dass die zusammengesetzte Lösung das
Problem auf dem gesamten Gebiet löst.
4.7 Das leitende und nicht leitende Gebiet gekop-
pelt
In diesem Kapitel wollen wir das Wirbelstromproblem für Gebiete mit elliptischen
und parabolischen Differentialgleichungen betrachten. Die Gebiete für den ellip-
tischen Teil (σ= 0) und parabolischen Teil (σ>0) sind gekoppelt. Wir haben
in den letzten beiden Abschnitten gezeigt, dass für jeden Teil einzeln genau eine
69
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
Lösung existiert. Für den elliptischen Teil liegt diese im Quotientenvektorraum ˜
V
und für den parabolischen Teil gilt Ap∈L2((0, T),˜
V)mit A′
p∈L2((0, T),˜
V∗).
Dieses beiden Lösungen sollen nun verknüpft werden. Wir haben die beiden offenen
Gebiete Ω1mit σ>0und Ω2mit σ= 0, siehe Abbildung 4.1 und insbesondere
auch die Skizze 4.5, in der Beispielhaft Ω1,Ω2und die Ränder dargestellt sind.
Wir definieren Ω:= Ω1∪Ω2. Die Schnittfläche der beiden Gebiete ist als der glatte
Rand Γ:= ¯
Ω1∩¯
Ω2definiert. Der Außenrand ist gegeben durch ∂Ω. Wir suchen
eine Lösung Aauf ganz Ω. Die Tangentialkomponenten vom Vektorpotenzial A
sollen stetig auf dem Rand Γsein.Weiterhin seien nidie jeweiligen nach außen
gerichteten Normalenvektoren zu Ωi. Dann soll auf dem Rand Γdie Bedingung
A1|Γ×n1=−A2|Γ×n2
(4.7.1)
im schwachen Sinne gelten, wobei A1die Lösung im parabolischen Gebiet Ω1und
A2im elliptischen Gebiet Ω2ist. Weiterhin gilt A×n= 0 auf dem Außenrand
∂Ω. Die Verwendung der Gleichung sehen wir bei der Herleitung der schwachen
Formulierung in 4.7.8. Zusammengefasst erhalten wir das System
(4.7.2)
σ∂A1
∂t+∇×(ν∇×A1) = fin Ω1×(0, T)
∇×(ν∇×A2) = 0 in Ω2×(0, T)
n1×A1=−n2×A2auf Γ×(0, T)
ν((∇×A1)×n1) = −ν((∇×A2)×n2)auf Γ×(0, T)
n×A= 0 auf ∂Ω×(0, T)
A(0) = A0in Ω1.
Die Idee ist nun folgendermaßen: Angenommen wir kennen eine Lösung für den
parabolischen Teil. Über die Randbedingung (4.7.1) ist die Lösung A1∈˜
Vim
elliptischen Gebiet eindeutig durch die Lösung im parabolischen Gebiet für jedes
t∈[0, T]bestimmt. Wir wollen also zeigen, dass eine zusammengesetzte Lösung
aus dem parabolischen und dem elliptischen Gebiet eine Lösung auf ganz Ω=
Ω1∪Ω2ist. Wir weisen auch auf den Satz 1.16 hin, da dieser gerade sichert,
dass dann auch die Lösung im gesamten Gebiet im Raum H(curl, Ω)liegt. Dafür
benötigen wir auf Γdie zusätzliche Übergangsbedingung
ν((∇×A1)×n1) = −ν((∇×A2)×n2)auf Γ×(0, T),
um die Gebiete in der schwachen Formulierung zu trennen und partiell zu inte-
grieren. Wir betrachten zuerst den Fall, dass eine Lösung auf Ωgegeben ist und
70
4.7. DAS LEITENDE UND NICHT LEITENDE GEBIET GEKOPPELT
schauen uns an, welche Bedingungen für die Teilgebiete folgen. Es gilt
σ∂A
∂t+∇×(ν∇×A) = fin Ω×(0, T)
A×n= 0 auf ∂Ω×(0, T)
A(0) = A0in Ω1×(0, T).
Wir nehmen an, dass Aeine schwache Lösung der Gleichung ist. Die schwache
Formulierung ist gegeben durch
!Ω1
σ∂A1
∂t·ψdx+!Ω
(ν∇×A)·(∇×ψ)dx=!Ω1
f·ψdx∀ψ∈˜
V(Ω).
(4.7.3)
Um Indizes am Vektorpotenzial zu vermeiden, definieren wir die Funktionen uin
Ω1und vin Ω2durch
u=A|Ω1und v=A|Ω2.
Dann ist ueine schwache Lösung von
(4.7.4)
σ∂u
∂t+∇×(ν∇×u) = fin Ω1
u×n1=−v×n2auf Γ
u(0) = u0in Ω1
in Ω1und in Ω2die Funktion vals schwache Lösung von
(4.7.5) ∇×(ν∇×v) = 0 in Ω2
v×n1= 0 auf ∂Ω
u×n1=−v×n2auf Γ.
Diese Richtung der Lösung ist klar. Wir wollen jetzt aber zeigen, dass die umge-
kehrte Richtung auch gilt. Also ist zu zeigen, dass wenn ueine schwache Lösung
von (4.7.4) und vvon (4.7.5) ist mit
u∈V1:={u∈H(curl;Ω1)/W(Ω1)}(4.7.6)
v∈V2:={{v∈H(curl;Ω2) : v×n= 0 auf ∂Ω2}/W(Ω2)},(4.7.7)
dann soll die aus uund vzusammengesetzte Lösung Aaus
˜
V(Ω) := {v∈H(curl;Ω)/W(Ω)}
71
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
das gekoppelte Problem in der schwachen Formulierung (4.7.3) lösen. Mit ˜
V(Ω)
sind also erneut nur die divergenzfreien Funktionen aus dem Raum H(curl, Ω)
bezeichnet. Wir wollen ausnutzen, dass veindeutig von uabhängt, denn wenn wir
ugegeben haben, ist veindeutig durch das System (4.7.5) nach Satz 4.4 bestimmt.
Wir betrachten erst einmal die schwache Formulierung für Astationär. Es gilt
!Ω1
(∇×(ν∇×u)) ·ψdx+!Ω2
(∇×(ν∇×v)) ·ψdx=!Ω1
f·ψdx∀ψ∈V.
Durch die partielle Integration und die Bedingung
ν((∇×u)×n1) = −ν((∇×v)×n2)auf Γ×(0, T)
folgt
(4.7.8)
!Ω1
ν(∇×u)·(∇×ψ)dx+!Γ
ν((∇×u)×n1)·(n1×(ψ×n1)) dx
+!Ω2
ν(∇×v)·(∇×ψ)dx+!Γ
ν((∇×v)×n2)·(n2×(ψ×n2)) dx
=!Ω1
ν(∇×u)·(∇×ψ)dx+!Ω2
ν(∇×v)·(∇×ψ)dx
=!Ω1
f·ψdx∀ψ∈V(Ω).
In dieser Gleichung werden noch uund vbenötigt. Wir wollen zeigen, dass die
gesamte Lösung nur von uabhängt. Dann können wir das Problem auf u∈V1re-
duzieren. Wir nehmen an, dass u∈V1eine schwache Lösung im Gebiet Ω1mit der
parabolischen Differentialgleichung ist. Aus dem Lemma von Lax-Milgram haben
wir erhalten, dass die schwache Lösung v∈V2im elliptischen Teil eindeutig durch
die schwache Lösung u∈V1von (4.7.4) gegeben ist. Aus diesem Grund können
wir einen Operator Geinführen, welcher eine schwache Lösung uvon (4.7.4) auf
die entsprechende schwache Lösung vfür (4.7.5) abbildet. Zusammengefasst gilt
(4.7.9) G:V1→V2
u-→ v.
Den Operator Gverwenden wir, um in der Gleichung (4.7.8) vzu eliminieren.
Daher erhalten wir
!Ω1
(ν∇×u)·(∇×ψ)dx+!Ω2
(ν∇×G(u)) ·(∇×ψ)dx=!Ω1
f·ψdx∀ψ∈V.
(4.7.10)
72
4.7. DAS LEITENDE UND NICHT LEITENDE GEBIET GEKOPPELT
Aus dieser Gleichung folgt, dass die Lösung nur noch von u∈V1abhängt. Aber
im Integral von Ω2benötigen wir noch ψ∈V2. Dieses wollen wir jetzt auch durch
G(ψ)mit ψ∈V1ersetzen. Dafür nehmen wir an Stelle aller ψaus V2nur die, die
der Darstellung
(4.7.11) ψ=G(ϕ)mit ϕ∈V1
entsprechen und betrachten das Integral für
(4.7.12)
!Ω2
ν(∇×G(u)) ·(∇×ψ)dx
=!Ω2
(∇×ν∇×G(u)) ·ψdx
+!Γ
ν(∇×G(u)) ×n)·(n×(ψ×n)) ds.
Auf dem Rand Γfolgt nach der Definition von Gund der Bedingung (4.7.11) die
Gleichung
ψ×n=G(ψ)×n.
Des Weiteren gilt
!Ω2
(∇×(ν∇×G(u))) ·ψdx= 0 ∀ψ∈˜
V2
im distributionellen Sinne, da der Operator Ggerade auf die schwache Lösung v
mit !Ω2
(∇×(ν∇×v)) ·ψdx= 0 ∀ψ∈˜
V2
abbildet. Setzen wir diese beiden Resultate in die Gleichung (4.7.12) ein, so folgt
!Ω2
ν(∇×G(u)) ·(∇×ψ)dx
=!Γ
ν(∇×G(u)) ×n)·(n×(G(ψ)×n)) ds
=!Ω2
ν(∇×G(u)) ·(∇×G(ψ)) dx.
Daraus ergibt sich
(4.7.13) !Ω1
(ν∇×u)·(∇×ψ)dx+!Ω2
(ν∇×G(u)) ·(∇×G(ψ)) dx
=!Ω1
f·ψdx∀ψ∈V1.
73
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
Dadurch ist die schwache Formulierung der Zustandsgleichung jetzt nur noch von
u∈V1und den Testfunktionen ψ∈V1abhängig. Es stellt sich an dieser Stelle
jetzt noch die Frage, in welchen Räumen wir arbeiten. Für die parabolische Teil-
lösung haben wir u∈V1. Der Operator Gbildet gerade auf die divergenzfreien
Funktionen aus H(curl;Ω2)ab. Zusammengesetzt betrachten wir den Raum
(4.7.14)
V:= {v∈H(curl, Ω) :v|Ω2=G(v|Ω1),
(v,w)L2(Ω1)= 0,∀w∈W(Ω1),
v×n= 0,auf ∂Ω},
mit W(Ω1)sind die Gradientenfelder auf Ω1wie in (4.5.10) bezeichnet. Dadurch,
dass im Gebiet Ω2selber nur noch Funktionen stehen, die Bilder von G sind,
können wir noch einen Schritt weiter gehen und benötigen nur noch den Raum V1
aus (4.7.6). Daher ist es möglich, die Bilinearform ¯amit
¯a:V1×V1→R
[u,ψ]-→ !Ω1
(ν∇×u)·(∇×ψ)dx+!Ω2
ν(∇×G(u)) ·(∇×G(ψ)) dx
zu definieren. Setzen wir jetzt den parabolischen Teil aus Ω1mit Zeitableitung und
den elliptischen Teil aus Ω2zusammen, folgt
!Ω1
σ∂u
∂t·ψdx+!Ω1
(ν∇×u)·(∇×ψ)dx+!Ω2
(ν∇×G(u)) ·(∇×G(ψ)) dx
=!Ω1
f·ψdx∀ψ∈V1
und mit der Bilinearform ¯a
!Ω1
σ∂u
∂t·ψdx+ ¯a[u,ψ] = !Ω1
f·ψdx∀ψ∈V1.(4.7.15)
Analog zum parabolischen Fall aus Abschnitt 4.6 wollen wir den Satz 4.9 verwen-
den. Dafür reicht es zu zeigen, dass die Bilinearform ¯adie Voraussetzungen vom
Satz 4.9 erfüllt. Die Eigenschaften der Bilinearform ¯agehen direkt auf einen asso-
ziierten Operator Müber. Wegen der Anschaulichkeit zeigen wir die Koerzivität
und Beschränktheit für die Bilinearform ¯a. Für die Koerzivität verwenden wir,
dass der erste Term von ain Ω1koerziv ist (siehe (4.6.14) ) und der Anteil vom
Gebiet Ω2größer null ist. Es gilt für ein beliebiges u∈V1
(4.7.16)
¯a[u,u] = !Ω1
ν(∇×u)·(∇×u)dx+!Ω2
ν(∇×G(u)) ·∇×G(u)dx
≥ν||∇×u||2
L2(Ω1)3+ν||∇×G(u)||2
L2(Ω2)3
789 :
≥0
≥c||u||2
V1.
74
4.7. DAS LEITENDE UND NICHT LEITENDE GEBIET GEKOPPELT
Die Beschränktheit von ¯aerhalten wir auf ähnliche Art und Weise. Wir wissen
schon, dass der erste Term auf der linken Seite von (4.7.16) beschränkt ist und
konzentrieren uns nur auf den zweiten Term. Das Problem ist, den Anteil im Gebiet
Ω2durch eine Funktion im Gebiet Ω1abzuschätzen. Dafür reicht es zu zeigen,
dass die Abbildung Gbeschränkt ist. Wir haben schon in Abschnitt 4.5 gezeigt,
dass durch ein vorgegebenes udie Lösung für das elliptische Problem eindeutig
und stetig zugeordnet ist. Daher wissen wir, dass für eine Lösung v=G(u)die
Ungleichung
)G(u))H(curl,Ω2)=)v)H(curl,Ω2)
(1)
≤c)n×u)H−1/2(div,Γ)≤c)u)H(curl,Ω1)≤c)u)V1
(4.7.17)
gilt. Dabei haben wir die Eigenschaften des Spuroperators ausgenutzt. Die Ab-
schätzung (1) ist die Stetigkeit von u-→ v. Für weitere Details siehe [28] und
[20].
Jetzt bleibt noch zu zeigen, dass eine Lösung v∈Vvon (4.7.13) auch eine
Lösung für die schwache Formulierung (4.7.3) ist. In der Ursprungsgleichung (4.7.3)
sind die Testfunktionen aus Ω. In der Dissertation von Kolmbauer [29] ist gezeigt,
das nur Testfunktionen auf Ω1benötigt werden. Dieses wird im Abschnitt 3.1
erläutert. Wir beschränken uns darauf zu zeigen, dass das Problem 4.7.2 zu dem
im Satz 3.4in [29] äquivalent ist. Dafür betrachten wir die Gleichung (4.7.3).
In dieser Gleichung sind die Testfunktionen auf ganz Ωdefiniert. Wir definieren
analog zu Kolmbauer [29] den Dirichlet- Spuroperator
γDy=n×(y×n)
sowie den Neumann-Spuroperator
γNy= (∇×y)×n.
Wenn wir nun die Gleichung (4.7.3) im Gebiet Ω2partiell integrieren und diese
beiden Spuroperatoren einsetzen, gilt
!Ω1
σ∂A1
∂t·ψdx+!Ω
(ν∇×A)·(∇×ψ)dx
=!Ω1
σ∂A1
∂t·ψdx+!Ω1
(ν∇×A1)·(∇×ψ)dx−!Γ
γNA·γDψds
+!Ω2
(∇×(ν∇×A2)) ·ψdx
=!Ω1
σ∂A1
∂t·ψdx+!Ω1
(ν∇×A1)·(∇×ψ)dx−!Γ
γNA·γDψds
=!Ω1
f·ψdx∀ψ∈˜
V(Ω).
75
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
Diese Gleichung ist äquivalent zur Gleichung (3.3) in [29], wobei die Zeitabhängig-
keit in dieser schon zusätzlich berücksichtigt ist. Weiterhin ist in dieser Arbeit im
Theorem 3.4.gezeigt, dass dieses Problem eindeutig lösbar ist,wobei nur Testfunk-
tionen auf Ω1benötigt werden. Es folgt, dass die Eigenschaften der Testfunktionen
im Gebiet Ω2keinen Einfluss auf die Lösung haben.
4.7.1 Regularisierung mit ǫA
Eigentlich ist damit die Eindeutigkeit und Existenz eines Vektorpotenzials im Fak-
torraum ˜
Vfür das Problem 4.7.2 gezeigt. Für die numerischen Beispiele in Kapitel
7 wollen wir das Problem trotzdem regularisieren. Dafür fügen wir den Term ǫAin
der Zustandsgleichung für das Vektorpotential Aim Gebiet Ωhinzu. Wir fordern,
dass die Konstante ǫ>0ist. Diese Regularisierung werden wir für die numeri-
schen Beispiele sowie Optimierungsalgorithmen verwenden. Hintergrund ist, dass
diese Regularisierung das Problem in der Numerik stabilisiert. Auch analytisch
vereinfachen sich einige Punkte. Wir haben nun folgendes Problem zu lösen:
σ∂A1
∂t+∇×(ν∇×A1) + ǫA1=fin Ω1×(0, T)
∇×(ν∇×A2) + ǫA2= 0 in Ω2×(0, T)
n×A1=−n×A2auf Γ×(0, T)
ν((∇×A1)×n) = −ν((∇×A2)×n)auf Γ×(0, T)
n×A= 0 auf Σ=∂Ω×(0, T)
A(0) = −A0in Ω1.
Für die schwache Formulierung gilt
!Ω1
σ∂u
∂t·ψdx+ ˜a[u,ψ] = !Ω1
f·ψdx∀ψ∈V1
mit der Bilinearform
˜a:V1×V1→R
[u,ψ]-→ !Ω1
(ν∇×u)·(∇×ψ)dx+!Ω2
(ν∇×G(u)) ·(∇×G(ψ)) dx
+!Ω1
ǫu·ψdx+!Ω2
ǫG(u)·G(ψ)dx.
Wir wollen kurz erläutern, warum diese Regularisierung keine mathematischen
Probleme bezüglich der Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung bereitet. Wir
76
4.7. DAS LEITENDE UND NICHT LEITENDE GEBIET GEKOPPELT
konzentrieren uns dabei nur auf den Teil
!Ω1
ǫu·ψdx+!Ω2
ǫG(u)·G(ψ)dx,
da wir die Eigenschaften für die restlichen Terme von ˜aschon gezeigt haben. Bei
der Linearität ändert sich nichts. Für die Koerzivität reicht die Betrachtung
!Ω1
ǫu·udx+!Ω2
ǫG(u)·G(u)dx=cǫ()u)2
L2(Ω1)3+)G(u))2
L2(Ω2)3)≥0
aus und für die Beschränktheit analog mit der Abschätzung für νdurch ν.
4.7.2 Konvergenz des regularisierten Problems
Abschließend wollen wir zeigen, dass die Lösung vom regularisierten Problem gegen
die Lösung des Ausgangsproblems konvergiert, falls ǫ→0. Wir beschränken uns
hier auf das elliptische Problem in einem Gebiet Ωund für Asoll
!Ω
(ν∇×A)·(∇×v)dx=!Ω
f·vdx
für alle v∈H0(curl, Ω)gelten. Im mit ǫ>0regularisierte Problem soll Aǫdie
Gleichung
!Ω
(ν∇×Aǫ)·(∇×v)dx+!Ω
ǫAǫ·vdx=!Ω
f·vdx(4.7.18)
für alle v∈H0(curl, Ω)erfüllen. Dafür betrachten wir das Sattelpunktproblem
für das Vektorpotenzial. Die Divergenzfreiheit aus der Eichung wird jetzt nicht
mehr in den Raum eingebunden, sondern das Problem als gekoppelte Formulierung
betrachtet. Dadurch ist die allgemeine Variationsformulierung ˜a(A,v) = vunter
einer Nebenbedingung ˜
b(A) = gzu lösen. Dieses Problem können wir durch die
Einführung eines Lagrange-Multiplikators ϕals Sattelpunktproblem formulieren.
Für das unregularisierte Problem suchen wir ein Paar (A,ϕ)aus H0(curl, Ω)×
H1
0(Ω), welches
(4.7.19)
!Ω
(ν∇×A)·(∇×v)dx+!Ω
v·∇ϕdx=!Ω
f·vdx∀v∈H0(curl, Ω),
!Ω
A·∇ψdx= 0 ∀ψ∈H1
0(Ω)
erfüllt. Für das regularisierte Problem gilt mit den gleichen Testfunktionen
(4.7.20)
!Ω
(ν∇×Aǫ)·(∇×v)dx+ǫ!Ω
Aǫ·vdx+!Ω
v·∇ϕǫdx=!Ω
f·vdx
!Ω
Aǫ·∇ψdx= 0.
77
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
Für die variationelle Formulierung benötigen wir auch entsprechende Räume. Wir
suchen zu einer Funktion f∈H0(curl, Ω)∗das Paar (Aǫ,ϕ)aus H0(curl, Ω)×
H1
0(Ω), so dass 4.7.19 erfüllt ist. Wir verwenden aus [49] folgenden Satz:
Satz 4.12. Es sei für νdie Annahme (4.3.1) erfüllt, sowie f∈H0(curl, Ω)∗mit
den Eigenschaften ∇·f= 0 und f·n= 0 auf ∂Ω. Weiterhin sei ǫ>0. Dann gelten
folgende Aussagen:
•Das Problem (4.7.19) ist für jedes feindeutig lösbar mit zugehöriger Lösung
(A,ϕ)∈H0(curl, Ω)×H1
0(Ω).
•Das regularisierte Problem (4.7.20) hat zu jedem feine eindeutig bestimmte
Lösung (Aǫ,ϕǫ= 0) ∈H0(curl, Ω)×H1
0(Ω)und Aǫerfüllt
)Aǫ)H0(curl,Ω)≤c)f)H0(curl,Ω)∗.
•Wenn (Aǫ,ϕǫ)das Problem (4.7.20) löst, dann ist Aǫauch eine Lösung vom
regularisierten Standardproblem (4.7.18).
•Es sei (A,ϕ= 0) eine Lösung von (4.7.19) und (Aǫ,ϕǫ= 0) von (4.7.20).
Dann gilt
)A−Aǫ)H0(curl,Ω)≤cǫ)f)H0(curl,Ω)∗.
Im letzten Punkt von dem Satz bedeutet (A,ϕ= 0), dass ϕselber null ist und
A∈H0(curl, Ω). Hintergrund ist, dass wir in (4.7.19) für die Testfunktion v=∇ψ
mit ∇ψ∈ ∇H1
0(Ω)⊂H0(curl, Ω)einsetzen können. Dieses impliziert dann in der
ersten Gleichung von (4.7.19)
(4.7.21) !Ω
(ν∇×A)·(∇×∇ψ)dx+!Ω∇ψ·∇ϕdx
=!Ω
f·∇ψdx= 0 ∀ψ∈H1
0(Ω).
Die rechte Seite ist gleich null, weil fim schwachen Sinne divergenzfrei ist. Des
Weiteren gilt ∇×∇ψ= 0 und es folgt aus der Gleichung (4.7.21), dass
!Ω∇ψ·∇ϕdx= 0 ∀ψ∈H1
0(Ω)
gilt. Daraus folgt, dass ϕdie homogene Laplace-Gleichung löst, also null ist.
Analog erhalten wir für eine Lösung (Aǫ,ψǫ)für (4.7.20), dass ψǫ= 0 ist. Es
folgt aus der ersten Gleichung von (4.7.20) für eine Testfunktion ∇ψ∈ ∇H1
0(Ω)⊂
H0(curl, Ω)
(4.7.22) ǫ!Ω
Aǫ∇ψdx +!Ω∇ψ·∇ϕǫdx = 0 ∀ψ∈H1
0(Ω).
78
4.8. DIE EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT EINER OPTIMALEN
STEUERUNG
Aus der zweiten Gleichung von (4.7.20) folgt, dass ǫ3ΩAǫ∇ψdx = 0 ist. Damit
ist ϕǫeine Lösung der homogenen Laplace-Gleichung.
Damit sichert uns dieser Satz, dass für den Regularisierungsparameter ǫ→0
auch die regularisierte Lösung Aǫgegen die unregularisierte Lösung Akonvergiert.
Das heißt aber auch, dass in den numerischen Betrachtungen unsere Methoden
insbesondere für ǫ→0stabil sein müssen.
4.8 Die Existenz und Eindeutigkeit einer optima-
len Steuerung
Nachdem wir gezeigt haben, dass das Vektorpotenzial eindeutig bestimmt werden
kann, wenden wir uns der Optimalsteuerung zu, wobei das Zielfunktional eine inte-
grale Form hat. Als Raum-Zeit-Zylinder verwenden wir Q:= Ω×(0, T). Aus dem
Gleichungssystem (4.2.4) folgt zusammen mit dem Zielfunktional Fdie allgemeine
Aufgabenstellung
(4.8.1)
min F(A, i) =λT
2!Ω
|A(T)−A∞|2dx +λQ
2!Q
|A(t)−A∞|2dx dt
+λI
2!T
0
i2dt
mit Nebenbedingungen
(4.8.2)
σ∂A
∂t+∇×(ν∇×A) = ei(t)in Q=Ω×(0, T)
n×A= 0 auf Σ=∂Ω×(0, T)
A(0) = −A0in Ω
sowie
(4.8.3) i∈Iad := {i∈L2(0, T) : imin ≤i(t)≤imax für fast alle t∈[0, T]}.
Die Parameter λT,λQsollen nicht negativ und λI>0sein. Wir haben in den
vorherigen Kapiteln gesehen, dass σ= 0 auf einem Teilgebiet Ω1⊆Ωsein kann. In
diesem Gebiet darf kein Anfangswert für Avorgegeben werden und wir betrachten
diesen Fall ausführlich in 4.8.3.
Warum wir das Zielfunktional so wählen, beziehungsweise die Schranken an
die Steuerung, erklären wir ausführlich in Kapitel 7, da wir bei den numerischen
Beispielen auch einige Änderungen vornehmen und Unterschiede aufzeigen. Kom-
men wir noch einmal darauf zurück, in welchem Raum die schwache Lösung Avon
79
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
(4.7.2) liegt. Im Gebiet mit σ>0ist die Zeitableitung von Adefiniert und wir
definieren den Raum
˜
W(0, T, V1) := {A∈L2((0, T),V1) : ∂A
∂t∈L2((0, T),V∗
1)}(4.8.4)
und V1aus (4.7.6). Zusammengesetzt erhalten wir den Raum
ˆ
W(0, T) := {A∈L2(0, T, V) : A|Ω1∈˜
W(0, T, V1)}.(4.8.5)
Wir wollen zeigen, dass eine optimale Steuerung i∈Iad existiert, die Fminimiert
und der zugehörige Zustand Adie Gleichungen (4.8.2) erfüllt. Dafür wird aus [47]
folgender Satz verwendet:
Satz 4.13. Es seien reelle Hilberträume {U, )·)U}und {H, )·)H}, eine nichtleere,
beschränkte, abgeschlossene und konvexe Menge Uad ⊂U,yd∈Hsowie eine
Konstante λ≥0gegeben. Ferner sei S:U→Hein linearer und stetiger Operator.
Dann besitzt die quadratische Optimierungsaufgabe im Hilbertraum
min
u∈Uad
f(u) := 1
2)S u −yd)2
H+λ
2)u)2
U
eine optimale Lösung ¯u. Im Fall λ>0ist diese eindeutig bestimmt.
Insbesondere benötigen wir diesen Satz mit einem zusätzlichen Term im Ziel-
funktional und erweitern den Satz:
Satz 4.14. Sei zusätzlich zum Satz 4.13 ein weiterer linearer und stetiger Operator
ST:U→H1gegeben mit {H1,)·)H1}ist ein reeller Hilbertraum und yT∈H1.
Dann besitzt die quadratische Optimierungsaufgabe im Hilbertraum
min
u∈Uad
f(u) := 1
2)S u −yd)2
H+1
2)STu−yT)2
H1+λ
2)u)2
U
eine optimale Lösung ¯u. Im Fall λ>0ist diese eindeutig bestimmt.
In diesem Satz und der Erweiterung hängt das reduzierte Zielfunktional fnur
von der Steuerung ab, während das Zielfunktional Faus (4.8.1) vom Zustand A
und der Steuerung iabhängig ist. Das heißt, wir müssen mit Hilfe von Steuerungs-
Zustands-Operatoren das Zielfunktional Fso anpassen, dass es auch nur noch von
der Steuerung iabhängt. Als Nächstes werden wir die Existenz und Eindeutigkeit
für die optimale Steuerung zeigen. Dafür wollen wir ähnlich vorgehen wie für die
Existenz und Eindeutigkeit für das Vektorpotenzial A. Wir zerlegen das Gebiet in
den elliptischen und den parabolischen Teil. Dafür zeigen wir jeweils, dass optimale
Steuerungen existieren. Wir beginnen mit dem elliptischen Teil, wobei wir im Ge-
gensatz zu unserem Problem die rechte Seite der Zustandsgleichung ungleich null
annehmen. Danach betrachten wir den parabolischen Teil. Zum Abschluss koppeln
wir beide Gebiete und zeigen, dass auch hier unter bestimmten Voraussetzungen
eine optimale Steuerung existiert.
80
4.8. DIE EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT EINER OPTIMALEN
STEUERUNG
Bemerkung 4.15. Wir betrachten nur den Fall, dass νdie Bedingung (4.3.1)
erfüllt. Das heißt, es wird nur der lineare Fall in der Optimalsteuerung betrachtet.
Für den nichtlinearen Fall benötigt man eine andere Theorie für Optimalsteuerun-
gen.
4.8.1 Ein elliptisches Optimalsteuerungssystem
Im elliptischen Fall sind wir zeitunabhängig und können sehr einfach zeigen, dass
eine optimale Steuerung existiert. Das Zielfunktional Faus (4.8.1) vereinfacht sich
zu
F(A, u) = λT
2)A−A∞)2
L2(Ω)3+λU
2)u)2
L2(Ω)3,(4.8.6)
da wir keinen Term mehr haben, der von Zeit abhängt. Die Zustandsgleichung ist
dann durch
(4.8.7) ∇×(ν∇×A) = uin Ω
n×A= 0 auf ∂Ω
gegeben. Wir verwenden an der Stelle direkt n×A= 0, da gezeigt wurde, wie
ein Problem mit inhomogenen Randdaten auf dieses Modell zurückzuführen ist.
Wir haben schon erwähnt, das es unphysikalisch ist, wollen aber dennoch eine
Steuerung uvorgeben. Die Menge der zulässigen Steuerungen sei
Uad := {u∈L2(Ω)3:umin ≤ui(x)≤umax, i ∈{1,2,3}für fast alle x∈Ω}
(4.8.8)
mit umin ≤umax definiert. Wir verwenden hier nicht die Steuerung e(x)i, da die
Funktion e(x)im elliptischen Gebiet gleich null ist und eine Richtung vorgibt,
die im elliptischen Fall keinen Sinn ergibt. Wir haben gezeigt, dass zu jedem u∈
L2(Ω)3genau ein A∈˜
Vexistiert, so dass die schwache Formulierung aus (4.5.3)
erfüllt ist, wobei auch hier
˜
V:= V/W(Ω) := {v∈V: (v,w)L2(Ω)3= 0,∀w∈W}(4.8.9)
mit
W(Ω) := {w=∇ϕ:ϕ∈H1(Ω)und ϕ=ciauf Γimit Konstanten ci}(4.8.10)
ist. Also können wir den Steuerungs-Zustands-Operator Smit
(4.8.11) S:L2(Ω)3→˜
V
u-→ A
81
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
definieren. Durch den Operator Sfolgt das reduzierte Zielfunktional
f(u) = λT
2)Su−A∞)2
L2(Ω)3+λU
2)u)2
L2(Ω)3.(4.8.12)
Wie schon erwähnt, wollen wir den Satz 4.13 verwenden. Wenn wir zeigen können,
dass unser Problem alle Voraussetzungen erfüllt, erhalten wir die Existenz und
Eindeutig einer optimalen Steuerung u. Die Räume erfüllen die Voraussetzungen,
da es reelle Hilberträume sind. Auch unsere Menge der zulässigen Steuerungen
Uad ist nichtleer, beschränkt, abgeschlossen und konvex. Also bleibt noch zu zei-
gen, dass der Steuerungs-Zustands-Operator aus (4.8.11) linear und stetig ist. Die
Linearität folgt direkt aus der Linearität des Rotationsoperators, sowie dass νnur
vom Ort abhängig ist. Also genügt es zu zeigen, dass Sbeschränkt ist. Dafür ver-
wenden wir aus dem Satz von Lax-Milgram 4.3 die Aussage über die Abschätzung.
Diese sagt aus, dass es eine von uunabhängige Konstante cgibt mit
)A)˜
V≤c)u)˜
V∗.
Also ist Sdurch
)Su)˜
V=)A)˜
V≤c)u)˜
V∗
beschränkt und es folgt, dass Sstetig ist. Damit haben wir alle Voraussetzungen
des Satzes erfüllt und haben gezeigt, dass für das Problem (4.8.7), (4.8.6), (4.8.8)
eine optimale Steuerung u∈Uad existiert. Für λU>0ist diese dann auch eindeutig
bestimmt.
4.8.2 Optimale Steuerung für den parabolischen Fall
In diesem Abschnitt zeigen wir die Existenz einer optimalen Steuerung für das
Problem, wenn σauf ganz Ωecht positiv ist. Dieses können wir erreichen, indem
wir das Problem mit
σǫ(x) = ,σ>0,x∈Ω1
ǫ>0,x∈Ω2
regularisieren. Eingesetzt in die Gleichung (4.8.2) erhalten wir
(4.8.13)
σǫ
∂A
∂t+∇×(ν∇×A) = ei(t)in Q=Ω×(0, T)
n×A= 0 auf Σ=Γ×(0, T)
A(0) = −A0in Ω.
Zusätzlich könnte auf der rechten Seite in der Gleichung im Gebiet Qder Term
ǫ1Astehen. Die Regularisierung an der Zeitableitung von Amit σǫhat mehrere
82
4.8. DIE EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT EINER OPTIMALEN
STEUERUNG
Vorteile. Einerseits ist die Lösung Ajetzt in [0, T]im gesamten Gebiet stetig.
Daher können wir den Anfangswert auf ganz Ωvorgeben. Weiterhin ist die Lösung
A∈W(0, T) := {A∈L2((0, T),V) : A′∈L2((0, T),V∗)}. Der Satz 4.9 liefert
uns gerade, dass der Steuerungs-Zustands-Operator S:L2(0, T)→W(0, T)stetig
ist. Unsere Steuerung igeht in der Gleichung (4.8.13) in die rechte Seite ein und
geht über auf
f:= e(x)i(t),
wobei die Funktion e(x)fest und i∈L2(0, T)mit i∈Iad in (4.8.3) definiert ist.
Eigentlich benötigen wir an dieser Stelle einen weiteren Operator, der
L2(0, T)→L2((0, T)×Ω)
i-→ ei
abbildet. Es ist klar, dass die Eigenschaften von der Menge Iad auf Uad := {e(x)i:
i∈Iad}übergehen, sprich wenn Iad nichtleer, konvex, beschränkt und abge-
schlossen ist, dann folgt dieses auch für die Menge Uad. Des Weiteren ist f∈
L2([0, T], V ∗), weil e∈L2(Ω)3und i(t)∈L2(0, T)und somit auch |3Ωf·ψdx|<
∞für alle ψ∈V. Durch die Definition (4.2.1) von eist die Funktion eim Ort
divergenzfrei und daher auch ei(t)∀t∈[0, T]. Die benötigten Voraussetzungen an
σwerden durch die Regularisierung σǫerfüllt. Im Zielfunktional tritt aber auch
noch das Vektorpotenzial Azum Zeitpunkt t=Tauf. Das heißt, wir benötigen
einen Operator, welcher die Steuerung iauf A(T)abbildet. Dieser sei durch
ST:L2(0, T)→L2(Ω)3
i(t)-→ A(T)
definiert. Wir setzen STaus dem Steuerungs-Zustands-Operator Sund dem Be-
obachtungsoperator
ET:W(0, T)→L2(Ω)3
A-→ A(T)
durch ST:= ETSzusammen.
Um den Satz zur Existenz einer optimalen Steuerung anwenden zu können,
benötigen wir zusätzlich noch die Linearität und Stetigkeit von ST. Da wir jetzt
an dieser Stelle zwei Operatoren haben, benötigen wir die Erweiterung aus Satz
4.14. Für die Stetigkeit des Operators STnutzen wir die Eigenschaften von Saus.
Wir zerlegen den Operator STin ST=ETS. Als Verknüpfung stetiger Operatoren
ist STstetig, wenn ETstetig ist. Dieses folgt aus der stetigen Einbettung
W(0, T)֒→C([0, T], L2(Ω)3),
83
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
welche linear und stetig ist. Dadurch sind jetzt die Operatoren Sund ETlinear
und stetig und daher auch S.
Somit können wir den Satz (4.14) anwenden und folgern, dass das Optimal-
steuerungsproblem (4.8.1), (4.8.13), (4.8.3) eine optimale Steuerung i∈Iad be-
sitzt.
4.8.3 Existenz und Eindeutigkeit einer optimalen Steuerung
für das gekoppelte System
Für das gekoppelte System wollen wir die beiden Teile aus dem Gebiet Ω2mit
elliptischer Differentialgleichung und der parabolischen Differentialgleichung im
Gebiet Ω1wieder zusammensetzen. Als Erstes wird das Zielfunktional Faus (4.8.1)
betrachtet. Hier haben wir den Term
λT
2!Ω
|A(T)−A0|2dx
auf ganz Ωdefiniert. Dieses ist aber im gekoppelten System nicht mehr sinnvoll,
da wir dann einen Term in der Endbedingung der adjungierten Gleichung haben,
der eine überflüssige ”Anfangs”-Bedingung im Gebiet Ω\Ω1für den adjungierten
Zustand pdarstellen würde. Wir haben im Beweis für die Existenz eines Vektorpo-
tentials im gekoppelten System gesehen, dass der Startwert nur auf Ω1vorgegeben
werden darf. Daher müssen wir analog auch die Endwertbetrachtung auf Ω1be-
schränken und wählen als Zielfunktional
(4.8.14)
F(A, i) =λT
2!Ω1
|A(T)−A∞|2dx +λQ
2!Q
|A(t)−A∞|2dx dt
+λI
2!T
0
i(t)2dt.
Wir können zwar wie zuvor in den reellen Hilberträumen und mit einem quadra-
tisch konvexen Zielfunktional arbeiten, aber das Problem liegt am Steuerungs-
Zustands-Operator. Dieser ist definiert durch
S:L2(0, T)→ˆ
W(0, T)
i-→ A.
Aus dem Satz 4.9 folgt, dass der Operator Sstetig ist. Den Operator Skönnen
wir in die einzelnen Operatoren S1und S2mit
S1:i-→ A|Ω1
S2:A|Ω1-→ A|Ω2
84
4.9. OPTIMALITÄTSBEDINGUNG ERSTER ORDNUNG
zerlegen, welche daher auch linear und stetig sind.
Wir wenden erneut den Satz 4.14 an. Dafür benötigen wir analog zum para-
bolischen Fall zusätzlich den Beobachtungsoperator ET:ˆ
W(0, T)→L2(Ω1)3der
auch wieder linear und stetig ist und wir definieren ST=ETS1. Damit gilt für das
Zielfunktional aus (4.8.14)
(4.8.15)
f(i) =λT
2!Ω1
|(STi)(T)−A∞|2dx +λQ
2!Q
|Si −A∞|2dx dt
+λI
2!T
0
i(t)2dt.
4.9 Optimalitätsbedingung erster Ordnung
Wir wollen nun für unser Problem die notwendige Optimalitätsbedingung erster
Ordnung herleiten. Nachdem wir die Existenz und Eindeutigkeit einer optimalen
Steuerung ¯
i(t)bewiesen haben, beschäftigen wir uns nun damit, wie diese aussieht.
Es wird gleich der gekoppelte Fall betrachtet, also das Optimalsteuerungsproblem
auf dem Gebiet ¯
Ω=¯
Ω1∪¯
Ω2. Die formale Lagrange-Technik gibt uns dazu einen
Anhaltspunkt. Die Lagrange-Funktion für das Problem (4.8.1), (4.8.2), (4.8.3) ist
gegeben durch
(4.9.1)
L:ˆ
W(0, T)×Iad ׈
W(0, T)→R,
L(A, i, p) := J(A, i) + !Q"σ∂A
∂t+∇×(ν∇×A)−ei$·pdx dt.
Damit ¯
ieine optimale Steuerung ist, muss (¯
i, ¯
A,p)die Bedingung für einen Sat-
telpunkt von Lerfüllen. Es müssen für die optimale Steuerung ¯
imit zugehörigem
Zustand ¯
Adie Gleichungen
(4.9.2) DAL(¯
A,p,¯
i)h= 0 ∀hmit h(0) = 0
DiL(¯
A,¯
i, p)(i−¯
i)≥0∀i∈Iad
gelten. Dabei kann man verifizieren, dass die erste Gleichung der Variationsformu-
lierung der adjungierten Gleichung und die zweite Gleichung der Variationsunglei-
85
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
chung entspricht. Für die partielle Ableitung von Lnach Afolgt
∂L
∂A(¯
A,¯
i, p)h=!Ω1
λT(A(T)−A∞)·h(T)dx +!Q
λQ(A−A∞)·hdx dt
+!Q1
σ∂h
∂t·pdx dt +!Q"∇×(ν∇×h)$·pdx dt
=!Ω1
λT(A(T)−A∞)·h(T)dx +!Ω1
σp(T)·h(T)dx
−!Q1
σ∂p
∂t·hdx dt +!Q
[λQ(A−A∞) + ∇×(ν∇×p)] ·hdx dt
= 0 ∀hmit h(0, x) = 0.
Da diese Gleichung für alle hgelten muss, können jetzt durch geschickte Wahl von
hdie Gleichungen für die Gebiete Q1,Q2und Γgetrennt werden und man erhält
jeweils für pdie Gleichungen
(4.9.3)
−σ∂p
∂t+∇×(ν∇×p) = −λQ(A−A∞)in Q1=Ω1×(0, T)
∇×(ν∇×p) = −λQ(A−A∞)in Q2=Ω2×(0, T)
p×n= 0 auf Σ=Γ×(0, T)
σp(T) = −λT(A(T)−A∞)in Ω1.
Mit Γwollen wir jetzt nicht den Rand zwischen Ω1und Ω2bezeichnen, sondern
den Außenrand von Ω2. Für die Ableitung nach ierhalten wir
(4.9.4) DiL(A,¯
i, p)(i−¯
i) = !T
0-λI¯
i(t)−!Ω
e(x)·p(x, t)dx.(i(t)−¯
i(t)) dt
≥0∀i∈Iad.
Wir beginnen mit der Variationsungleichung aus [47]. In diesem Abschnitt wollen
wir zeigen, dass der Lagrangesche Multiplikator p, welchen wir mit der formalen
Lagrange-Technik berechnet haben, dem dazugehörigen adjungierten Multiplikator
entspricht. Dafür zeigen wir zunächst die eindeutige Lösbarkeit der adjungierten
Gleichung mit Hilfe einer Zeittransformation. Es gilt für den adjungierten Zustand
das Gleichungssystem (4.9.3). Dieses System ist ein Endwertproblem. Zur Verein-
fachung arbeiten wir wieder mit der Bilinearform
a[A,ψ] := !Q
(ν∇×A)·(∇×ψ)dxdt.
86
4.9. OPTIMALITÄTSBEDINGUNG ERSTER ORDNUNG
Die schwache Formulierung der Gleichung (4.9.3) für p∈ˆ
W(0, T)mit p(0,·) = 0
ist gegeben durch
"!T
0!Ω1
σpv′dxdt$+a[p,v] = !Ω1
aΩ1v(T)dx +!Q
aQv(t)dx dt(4.9.5)
mit
aΩ1=−λT(A(T)|Ω1−A∞|Ω1)(4.9.6)
aQ=−λQ(A(t)−A∞).(4.9.7)
Wir führen eine Zeittransformation wie folgt durch. Definiere τ:= T−t,¯
p(τ) :=
p(T−t)und ¯
v(τ) := v(T−t). Dann gelten ¯
p(0) = p(T),¯
p(T) = p(0) sowie
¯
v(0) = v(T),¯
v(T) = v(0). Zusätzlich definieren wir ¯aΩ1:= aΩ1und ¯aQ(τ) :=
aQ(T−t)sowie
!Q
pv′dx dt =−!Q
¯
p¯vτdx dτ.(4.9.8)
Dabei bezeichnet vτdie Ableitung nach τ. Wir erhalten die Vorwärtsgleichung
(4.9.9)
σ∂¯
p
∂ τ +∇×(ν∇× ¯
p) = ¯aQ(τ)in Q=Ω×(0, T)
nׯ
p= 0 auf Σ=Γ×(0, T)
σ¯
p(0) = ¯aΩ1in Ω1.
Dieses Problem hat sowohl eine rechte Seite im parabolischen Teil als auch im
elliptischen Teil, da ¯aQ(t)auf Q definiert ist. Somit ist die Gleichung inhomogen.
Wir formen das Problem so um, dass die rechte Seite der Gleichung nur im pa-
rabolischen Teil ungleich null ist. Dafür lösen wir zuerst den elliptischen Teil des
Problems. Wir definieren
aQ(τ) = λQ(A(τ)−A∞) = ,a1
Q(τ) := aQ(τ)|Ω1=λQ(A(τ)−A∞)|Ω1
a2
Q(τ) := aQ(τ)|Ω2=λQ(A(τ)−A∞)|Ω2
(4.9.10)
sowie ¯a1
Q(τ) := a1
Q(T−t)und ¯a2
Q(τ) := a2
Q(T−t). Damit folgt aus (4.9.9)
σ∂¯
p
∂ τ +∇×(ν∇× ¯
p) = ¯a1
Q(τ)in Q1=Ω1×(0, T)(4.9.11)
∇×(ν∇× ¯
p) = ¯a2
Q(τ)in Q2=Ω2×(0, T)(4.9.12)
nׯ
p= 0 auf Σ=Γ×(0, T)(4.9.13)
σ¯
p(0) = ¯aΩ1in Ω1.(4.9.14)
87
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
Es sei nun wdie eindeutig bestimmte Lösung von
∇×(ν∇×w) = 0 in Q1
(4.9.15)
∇×(ν∇×w) = ¯aQ(τ)in Q2
(4.9.16)
n×w= 0 auf Σ(4.9.17)
w(0) = 0 in Ω.(4.9.18)
Im nächsten Schritt benötigen wir, dass ∂w
∂t∈L2(0, T;V∗)ist. Wir haben ¯aQ(t) =
λQ(A−A∞)mit A∞ist konstant bezüglich der Zeit. Weiterhin gilt A∈H1(0, T;V∗),
weil es eine Lösung vom Vorwärtsproblem ist. Also ist ¯aQ(t)∈H1(0, T;V∗)und
somit ∂w
∂t∈L2(0, T;V∗). Wir verwenden für ¯
pden Ansatz
(4.9.19) ¯
p(x,τ) = w(x,τ) + v(x,τ).
Eingesetzt in die Gleichung (4.9.11) folgt
σ∂(w+v)
∂ τ +∇×(ν∇×w) + ∇×(ν∇×v) = ¯a1
Q(τ)in Q1
∇×(ν∇×w) + ∇×(ν∇×v) = ¯a2
Q(τ)in Q2
n×w−n×v= 0 auf Σ
σ¯
p(0) = ¯aΩ1in Ω1.
Aus der Definition für wfolgt
σ∂v
∂ τ +∇×(ν∇×v) = ¯a1
Q(τ)−σ∂w
∂ τ in Ω1×(0, T)
∇×(ν∇×v) = 0 in Ω2×(0, T)
n×v= 0 auf Σ=Γ×(0, T)
σv(0) = ¯aΩ1in Ω1.
Dieses Problem kann nun genauso gelöst werden, wie das Vorwärtsproblem für das
Vektorpotenzial Ain Abschnitt 4.7. Durch die Rücktransformation von τauf t
wird der Beweis beendet. Somit haben wir gezeigt, dass das Gleichungssystem für
den adjungierten Zustand eine eindeutige Lösung besitzt.
Satz 4.16. Es sei A∈ˆ
W(0, T)definiert durch
σ∂A
∂t+∇×(ν∇×A) = bQiin Q
A×n= 0 auf Σ
A(0) = bΩin Ω1.
88
4.9. OPTIMALITÄTSBEDINGUNG ERSTER ORDNUNG
Die Koeffizienten seien bQ∈L∞(Ω)3und bΩ∈L∞(Ω1)3sowie die Steuerung
i∈L2(0, T). Des Weiteren soll aΩ1∈L2(Ω1)3und aQ∈L2(Q)3erfüllt sein. Dann
gilt
!Ω1
aΩ1·A(T)dx+!Q
aQ·Adxdt=!Q
bQ·pidxdt+!Ω1
bΩ·p(0) dx
(4.9.20)
mit paus (4.9.3).
Beweis: Es gilt die schwache Formulierung für das Vektorpotenzial Amit Test-
funktion p
!T
0
σ(˙
A(t),p(t))V∗
1,V1dt +a[A,p] = !Q
e·pidxdt
mit Anfangswert A(0) = A0. Durch partielle Integration in der Zeit im Gebiet Ω1
folgt
(4.9.21) −!T
0
σ(˙
p(t),A(t))V∗
1,V1dt +σ(A(t),p(t))|T
0+a[A,p]
=!Q
e·pi dxdt.
Aus der Gleichung (4.9.3) und (4.9.6) folgt
(4.9.22) σp(T) = aΩ1.
Setzen wir die Anfangsbedingung A(0) = bΩund die Gleichung (4.9.22) in (4.9.21)
ein, erhalten wir
(4.9.23) −!T
0
σ(˙
p(t),A(t))V∗
1,V1dt +a[A,p]
=−(A(T), aΩ1)L2(Ω1)+ (bΩ,p(0))L2(Ω1)+!Q
e·pi dxdt.
Analog folgt für den adjungierten Zustand pmit Testfunktion A
−!T
0
σ(˙
p(t),A(t))V∗
1,V1dt +a[p,A] = !Q
aQAdt.(4.9.24)
Da die linken Seiten der Gleichungen (4.9.23) und (4.9.24) gleich sind, müssen die
rechten Seiten ebenfalls gleich sein und es folgt die Behauptung (4.9.20).
Diesen Satz wollen wir verwenden, um zu zeigen, wie eine optimale Steuerung
aussehen muss.
89
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
Satz 4.17. Eine Steuerung ¯
i∈Iad mit zugehörigem Zustand ¯
A∈ˆ
W(0, T)ist
genau dann optimal für die Aufgabe (4.8.1),(4.8.2),(4.8.3), wenn mit dem zuge-
hörigen adjungierten Zustand paus (4.9.3) die Variationsungleichung
!T
0"−!Ω
p(x, t)·e(x)dx+λI¯
i(t)$(i(t)−¯
i(t)) dt≥0(4.9.25)
für alle i∈Iad erfüllt ist.
Um diesen Satz zu zeigen, werden einige Vorbetrachtungen benötigt.
Lemma 4.18. Es sei Uein reeller Banachraum, Iad ⊂Ueine konvexe Menge
und f:Iad →Rein auf Iad Gâteaux-differenzierbares reellwertiges Funktional.
Mit ¯
i∈Iad sei eine Lösung der Aufgabe
min
i∈Iad
f(i)
gegeben. Dann ist die folgende Variationsungleichung erfüllt:
f′(¯
i)(i−¯
i)≥0∀i∈Iad.(4.9.26)
Analog gilt
Satz 4.19. Es seien reelle Hilberträume U, H und H1, eine nichtleere abgeschlos-
sene und konvexe Menge Iad ⊂U,A∈Hsowie eine Konstante λI≥0gegeben.
Ferner seien S:U→Hund ST:U→H1lineare und stetige Operatoren. Die
Steuerung ¯
i∈Iad löst genau dann die Aufgabe (4.8.1),(4.8.2),(4.8.3), wenn die
folgende Variationsungleichung erfüllt ist:
(S∗
T(ST¯
i(T)−A∞) + S∗(S¯
i−A∞) + λ¯
i, i −¯
i)U≥0∀i∈Iad.(4.9.27)
Die Operatoren S∗und S∗
Tsind die jeweils adjungierten Operatoren zu Sund ST.
Das Lemma und der Satz sind leicht zu zeigen und wir verweisen hier auf Kapi-
tel 3 in [47]. Insbesondere erhalten wir, dass die notwendige Bedingung erster Ord-
nung auch hinreichend ist. Für die weiteren Betrachtungen ist es sinnvoll (4.9.27)
ohne adjungierte Operatoren aufzuschreiben und für die Gleichung (4.9.27) gilt
dann
((S¯
i(T)−A∞), ST(i−¯
i))L2(Ω1)3+ (S¯
i−A∞, S(i−¯
i))L2(Q)3
+ (λ¯
i, i −¯
i)L2(0,T)≥0∀i∈Iad.
Wir definieren an dieser Stelle die Operatoren Sund STum. Wir benötigen für
den Beweis von Satz 4.17 in der Zeit einen homogenen Anfangswert. Da wir ein
90
4.9. OPTIMALITÄTSBEDINGUNG ERSTER ORDNUNG
lineares Optimalsteuerungsproblem haben, zerlegen wir den Zustand Ain einen
Teil mit Anfangswert A(0) = 0 und Steuerung i, sowie einen Teil mit inhomogenem
Anfangswert und konstanter Steuerung i= 0. Es sei S:L2(0, T)→L2(Q)3
der Operator, der bei homogener Anfangsbedingung der Steuerung die schwache
Lösung zuweist. Weiterhin ist durch ST:L2(0, T)→L2(Ω)3der Operator gegeben,
der ebenfalls bei homogener Anfangsbedingung der Steuerung den Endwert A(T)
zuordnet. Zu einem festen A01= 0 im Gebiet Ω1und der konstanten Steuerung
i= 0 gehört ˜
A=G0A0. Dadurch können wir
A(T)−A∞=STi+ (G0A0)(T)−A∞=STi−zT
A−A∞=S i +G0A0−A∞=S i −z
mit z=A∞−G0A0setzen. Wir erhalten für das reduzierte Zielfunktional
f(i) := λT
2!Ω1
|STi−zT|2dx+λQ
2!Q
|Si −z|2dxdt +λI
2!T
0
i2dt.(4.9.28)
Aus der allgemeinen Variationsungleichung folgt für die optimale Steuerung ¯
i∈Iad
f(¯
i)′(i−¯
i) =λT(ST¯
i−zT, ST(i−¯
i))L2(Ω1)3+λQ(S¯
i−z, S(i−¯
i))L2(Q)3
+λI(¯
i−z, i −¯
i)L2(0,T)
=!Ω1
(¯
A(T)−A∞)·(A(T)−¯
A(T)) dx
+!Q
(¯
A−A∞)·(A−¯
A)dxdt +λI!T
0
¯
i(i−¯
i)dt
≥0∀i∈Iad.
Dabei haben wir den nichthomogenen Anfangswert aus der Gleichung (4.8.2) von
Afolgendermaßen eingebracht. Es gilt
S i −S¯
i=S i +G0A0−G0A0−S¯
i=A−¯
A
und
STi−ST¯
i=S i +G0A0(T)−G0A0(T)−S¯
i=A(T)−¯
A(T).
An dieser Stelle verwenden wir Satz 4.16 für ˜
A:= (A−A∞)und ˜
i:= i−¯
imit
folgenden Funktionen
aΩ1=−λT(A(T)−A0)
aQ=−λQ(A−A0)
bQ=e.
91
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
Dies liefert als Ergebnis
!Ω1
(¯
A(T)−A∞)·˜
A(T)dx+!Q
(¯
A−A∞)·˜
Adxdt
=−!Q
e·p˜
idxdt.
Eingesetzt in die Variationsungleichung erhalten wir
0≤!Ω1
(¯
A(T)−A∞)·(A(T)−¯
A(T)) dx+!Q
(¯
A−A∞)·(A−¯
A)dxdt
+λI!T
0
i(i−¯
i)dt
=!T
0!Ω−e·p(i−¯
i)dxdt +λI!T
0
¯
i(i−¯
i)dt
=!T
0"!Ω
(−e·p)dx +λI¯
i$(i−¯
i)dt
und damit die Behauptung von Satz 4.17. Wir wissen nun, wie unsere Steuerung
aussehen muss. Aus dem schwachen Minimumsprinzip [47] folgt für die Steuerung
i(t) = P[imin,imax]{1
λI!Ω
e(x)·p(x, t)dx}fast überall in [0, T].
Zusammen erhalten wir das komplette Optimalitätssystem
(4.9.29)
σ∂A
∂t+∇×(ν∇×A) = e(x)i(t)in Q
n×A= 0 auf Σ
A(0) = −A0in Ω1
−σ∂p
∂t+∇×(ν∇×p) = −λQ(A−A∞)in Q
n×p= 0 auf Σ
σp(T) = −λT(A(T)−A∞)in Ω1
i=P[imin,imax]{1
λI!Ω
e·pdx}.
Auf den ersten Blick sieht dieses Gleichungssystem unsymmetrisch aus, da bei der
Anfangsbedingung
A(0) = −A0in Ω1
92
4.9. OPTIMALITÄTSBEDINGUNG ERSTER ORDNUNG
der Koeffizient σim Gegensatz zur Endbedingung
σp(T) = −λT(A(T)−A0)in Ω1
nicht enthalten ist. Dennoch passen die beiden Bedingungen zusammen, da σdurch
partielle Integration in der Zeit zur Gleichung (4.9.3) in die Endbedingung kommt.
Wir wollen uns noch die Gleichung für die Steuerung anschauen. In dieser haben
wir
i=P[imin,imax]{1
λI!Ω
e·pdx}
über das gesamte Gebiet Ωintegriert um weitere Unterscheidungen der Gebiete zu
vermeiden. Die Funktion e(x)hatten wir aber in (4.2.1) nur im Gebiet der Spule
ungleich null definiert. Wir bezeichnen das Gebiet der Spule nun nochmal als Ωc.
Weil e= 0 in Ω\Ωc, folgt
!Ω
e(x)·p(x, t)dx =!Ωc
e(x)·p(x, t)dx.
Daraus erhalten wir mit Hilfe der Projektionsformel für die Steuerung i(t)die
Gleichung
i(t) = P[imin,imax]{1
λI!Ωc
e(x)·p(x, t)dx}
und die Steuerung ihängt nur vom Verhalten von pim Gebiet der Spule ab.
93
KAPITEL 4. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEME
94
Kapitel 5
Optimalsteuerungsproblem mit
einer Spannung als Steuerung
In diesem Kapitel diskutieren wir eine Erweiterung des Optimalsteuerungspro-
blems (4.8.1), (4.8.2), (4.8.3). Bis jetzt haben wir den Strom als Steuerung verwen-
det. Dieser ist aus physikalischer Sicht nicht direkt steuerbar. Es ist aber möglich,
eine an die Spule angelegte Spannung uzu steuern, welche den Strom ibestimmt.
Dieses fügen wir jetzt in unser Modell ein. Dafür wird der Zusammenhang zwischen
der Spannung uund dem Strom ibenötigt. Es ist bekannt, dass das Magnetfeld
dem Strom entgegen wirkt. Diesen Fakt müssen wir in unserem Modell für das
Vektorpotenzial widerspiegeln. Wir verwenden das Induktionsgesetz. Es muss in-
nerhalb der Spule
∂ψ
∂t(t) + Rci(t) = u(t).(5.0.1)
gelten. Hierbei ist ψder totale magnetische Fluss. Für den Widerstand der Spule
nehmen wir Rc:= ρ·l
|Ωc|an. Dieser gilt für den linearen Zusammenhang aus den
Gleichungen für Schaltkreise. Hierbei entspricht lder Länge des Widerstandskör-
pers, in unserem Fall ist dies die Länge des Spulenelementes. Mit |Ωc|sei die mit
Strom durchflossene Querschnittsfläche bezeichnet, siehe Abbildung 5.1. Für den
spezifischen Widerstand gilt ρ:= σ−1. Diese Definition von Rcstellt eine große
Vereinfachung dar, da weder Skin- noch Proximityeffekte in der Spule betrachtet
werden. In der Abbildung 5.1 sind in orange die Querschnittsflächen markiert. Es
darf hier nur eine von beiden Flächen in unsere Betrachtung einfließen, da der
Strom im Kreis fließen soll.
Die Fläche, welche durch die Vereinigung der Spulenwindungen aufgespannt
wird, sei mit Fbezeichnet. Dabei nehmen wir eine Spulenwindung als geschlos-
senen Kreis an, siehe Abbildung 5.2. Das heißt, eine Spulenwindung ist ein Kreis
innerhalb des Spulengebietes Ωc, welcher analog der Stromrichtung in der Abbil-
95
KAPITEL 5. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEM MIT EINER SPANNUNG
ALS STEUERUNG
|Ωc|
Abbildung 5.1: Querschnitt der Spule
dung 4.4 gelegt wird. Da wir NcStromwindungen annehmen, ist Fdie Fläche der
Ncaufsummierten Kreisflächen. Der magnetische Fluss kann dann als Integral von
Bin der Form
ψ(t) = !F
B(t)·dF(5.0.2)
angegeben werden. Dann gilt für die Zeitableitung des totalen magnetischen Flus-
ses
∂ψ(t)
∂t=!F
˙
B(t)·dF(1)
=!F
(∇× ˙
A)·dF(2)
=;∂F
˙
A·ds.(5.0.3)
Die Gleichheit von (1) folgt aus der Definition des Vektorpotenzials Aund der von
(2) aus dem Satz von Stokes. An dieser Stelle erfolgt eine weitere Vereinfachung
durch Mittelung von ˙
Aim Spulengebiet Ωcdurch
∂ψ(t)
∂t=;∂F
˙
A·ds(3)
≈Nc
|Ωc|!Ωc
˙
A·edx=−Nc
|Ωc|!Ωc
E·edx.(5.0.4)
96
Abbildung 5.2: Eine Spulenwindung
In der Gleichung (5.0.4) verwenden wir in (3) gerade, dass edie Kreisbahnen in
der Spule beschreibt. Wir haben nur eine Approximation, da wir die Anzahl Nc
an Stromwindungen annehmen und daher nicht die komplette Fläche |Ωc|strom-
durchflossen ist. Zwischen den einzelnen Stromwindungen gibt es kleine Abstände,
welche wir in in den Abbildungen 4.2 und 4.3 dargestellt haben. Es sei ˜
e:= Nc
|Ωc|e.
Dann gilt !Ωc
˙
A·˜
edx=Nc
|Ωc|!Ωc
˙
A·edx.
Der Faktor Nc
|Ωc|ist skalar und hat daher keinen Einfluss auf die Orientierung von
e. Zur Vereinfachung der Schreibweise und um in der Notation analog zum Kapitel
4 zu bleiben, schreiben wir in diesem Kapitel eanstatt von ˜
e.
Setzen wir dieses Ergebnis in (5.0.1) ein, so erhalten wir
!Ωc
∂A
∂t(x, t)·e(x)dx+Rci(t) = u(t).(5.0.5)
Zusammengesetzt gelten die Gleichungen
σ∂A
∂t(x, t) + ∇×(ν∇×A(x, t)) = e(x)i(t)in Q(5.0.6)
!Ωc
∂A
∂t(x, t)·e(x)dx +Rci(t) = u(t)in (0, T),(5.0.7)
welche gekoppelt sind. Dabei haben wir wieder ausgenutzt, dass sowohl σals auch
die Funktion e(x)in bestimmten Gebieten konstant null sind. Wir müssen sorgfäl-
tig wählen, an welcher Stelle die Leitfähigkeit σgrößer als null ist. Bis jetzt hatten
wir
σ∂A
∂t+∇×(ν∇×A) = e(x)i(t)(5.0.8)
97
KAPITEL 5. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEM MIT EINER SPANNUNG
ALS STEUERUNG
mit σ>0im Gebiet der Spule angenommen. Jetzt haben wir aber die Spulen-
windungen explizit modelliert und der Strom iverläuft exakt auf den einzelnen
Spulenwindungen. Daher muss die elektrische Leitfähigkeit im Spulengebiet Ωcnull
sein. Die elektrische Leitfähigkeit der Windung selber steckt jetzt im Widerstand
Rc, da Rc=l
|Ωc|σgilt und in der Gleichung (5.0.5) enthalten ist. Daher fordern
wir, dass das Vektorpotenzial Aim Gebiet Ωcdie Gleichung
∇×(ν∇×A(x, t)) = e(x)i(t)(5.0.9)
erfüllt. Wir schreiben die Zustandsgleichungen noch einmal explizit auf. Das Gebiet
Ωsei ein offener Würfel aus dem R3, so dass ¯
Ω1∪¯
Ωc⊂Ωgilt. Geometrisch
beschreiben wir das Gebiet des Eisenkernes durch
Ω1={x∈R3: 0 < r1<x2
1+x2
2< r2, z1<x3< z2}.
Analog haben wir für die Spule das Gebiet
Ωc={x∈R3: 0 < r2<x2
1+x2
2< r3, c1<x3< c2}.
Für das Gebiet Ω2der Luft gilt
Ω2=Ω\¯
Ω1∪¯
Ωc.
Es gilt
(5.0.10)
σ∂A
∂t(x, t) + ∇×(ν∇×A(x, t)) = 0 in Ω1×(0, T)
∇×(ν∇×A(x, t)) = e(x)i(t)in Ωc×(0, T)
∇×(ν∇×A(x, t)) = 0 in Ω2×(0, T)
!Ωc
∂A
∂t(x, t)·e(x)dx +Rci(t) = u(t)in (0, T)
i(0) = i0
A(x, t)×n(x) = 0 in ∂Ω×(0, T).
Wir müssen in diesem Kapitel die drei unterschiedlichen Gebiete Ω1,Ω2, und Ωc
betrachten. Dieses sehen wir später, wenn wir die Optimalitätsbedingung erster
Ordnung herleiten. Um das Vektorpotenzial Aüber die Spannung usteuern zu
können, müssen wir zeigen, dass zu jedem u∈L2(0, T)genau ein Aexistiert, wel-
ches die Gleichungen (5.0.6), (5.0.7) mit zusätzlichen Anfangsbedingungen erfüllt.
98
5.1. DIE EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT DER LÖSUNG AFÜR DEN
FALL MIT INDUKTIONSGESETZ
5.1 Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung A
für den Fall mit Induktionsgesetz
Die Analysis für dieses Problem ist schwierig und wir verweisen auf die Arbeit
[39], in der für die Steuerung u∈H1(0, T)vorausgesetzt wird. Wir betrachten
in dieser Arbeit den endlichdimensionalen Fall mit einem Halbgruppenargument.
Als erstes regularisieren wir das Problem analog zum Kapitel 4 und erhalten das
Differentialgleichungssystem
(5.1.1)
σ∂A
∂t(x, t) + ∇×(ν∇×A(x, t)) + ǫA(x, t) = 0 in Ω1×(0, T)
∇×(ν∇×A(x, t)) + ǫA(x, t) = e(x)i(t)in Ωc×(0, T)
∇×(ν∇×A(x, t)) + ǫA(x, t) = 0 in Ω2×(0, T)
!Ωc
∂A
∂t(x, t)·e(x)dx +Rci(t) = u(t)in (0, T)
A(x, t)×n(x) = 0 auf ∂Ω×(0, T)
A(0) = −A0
i(0) = i0in ×(0, T).
Dafür formen wir das Gleichungssystem (5.1.1) zuerst so um, dass die Steuerung
f:= einur im parabolischen Gebiet Ω1in den Gleichungen enthalten ist. Dafür
wählen wir für das Vektorpotenzial den Ansatz
A(x, t) = v(x, t) + w(x)i(t),(5.1.2)
und
(5.1.3) v=<v1in Ω1
v2in Ωc∪Ω2=und w=<w1in Ω1
w2in Ωc∪Ω2=
wobei wdie eindeutige Lösung vom elliptischen Problem
∇×(ν∇×w) + ǫw=ein Ω(5.1.4)
w×n= 0 auf ∂Ω(5.1.5)
ist. Setzen wir diesen Ansatz für Ain (5.0.10) ein, erhalten wir für vdie Gleichung
(5.1.6)
σ∂v
∂t+∇×(ν∇×v) + ǫv=−w1(x)i′(t)in Ω1×(0, T)
∇×(ν∇×v) + ǫv= 0 in (Ωc∪Ω2)×(0, T)
v×n= 0 auf ∂Ω×(0, T)
v(0) = A0−w1i(0) in Ω1.
99
KAPITEL 5. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEM MIT EINER SPANNUNG
ALS STEUERUNG
In dieser Gleichung bezeichnet w1die Einschränkung von wauf Ω1. Wenn i∈
H1(0, T)gegeben ist, dann folgt die Existenz und Eindeutigkeit von vwie in Ka-
pitel 4 Satz 4.11 gezeigt. Um die Problematik, dass der elliptische Teil in der Glei-
chung 5.1.6 eine Halbgruppe erzeugen muss, zu umgehen, betrachten wir das Pro-
blem, welches im Ort diskretisiert ist. Dafür verwenden wir die Finite-Elemente-
Methode mit den diskreten Vektorpotenzialen Ah,Ah
1und Ah
2, sowie mit Mσund
Kdie Matrizen zu den dazugehörigen Billinearformen und Eder Vektor zu e. Aus
der Definition von efolgt, dass E1= 0 ist. Der Einfachheit halber schreiben wir A,
A1und A2. Weiterhin benötigen wir die Aufsplittung von Kauf die Gebiete Ω1
und Ωc∪Ω2in der Form
(5.1.7) K=<K1
K2==<K11K12
K21K22=.
Dabei bilden die Matrizen K12 und K21 die Kopplung von A1und A2auf dem
Rand Γab und K11 und K22 den elliptischen Operator in den jeweiligen Gebieten.
Das System (5.1.6) lässt sich ohne Anfangsbedingung wie folgt darstellen:
MσA′
1(t) + K1A(t) = f(t)
K2A(t) = 0
mit
A:= <A1in Ω1
A2in Ωc∪Ω2=
auf den Gitterpunkten der diskretisierten Gebiete. Wir haben das System
(5.1.8) MσA′+KA(t) = <0
E i(t)=
mit
(5.1.9) /A′
2(t), E0+Rci(t) = u(t).
Für den diskreten Ansatz
(5.1.10) A(t) = V(t) + Wi(t)
sei Wdie eindeutig bestimmte Lösung von
(5.1.11) KW=<0
E=,
100
5.1. DIE EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT DER LÖSUNG AFÜR DEN
FALL MIT INDUKTIONSGESETZ
analog zum undiskreten Fall in (5.1.2). Daraus folgt, dass Wunabhängig von der
Zeit ist. Setzen wir diesen Ansatz in (5.1.8) ein, folgt daraus
Mσ"V′+Wi′(t)$+K"V(t) + Wi(t)$=<0
E i(t)=.
Mit Hilfe der Gleichung (5.1.11) erhalten wir
(5.1.12) Mσ"V′+Wi′(t)$+K"V(t)$=<0
0=
und umgeformt gilt
(5.1.13) Mσ"V′$+K"V(t)$=<−MσWi′(t)
0=.
Betrachten wir die beiden Gebiete separat mit
V:= <V1in Ω1
V2in Ωc∪Ω2=und W:= <W1in Ω1
W2in Ωc∪Ω2=,
so gelten die Gleichungen
MσV′
1(t) + K11V1(t) + K12V2(t) = −MσW1i′(t)
K21V1(t) + K22V2(t) = 0.
Aus der zweiten Gleichung folgt
(5.1.14) V2(t) = −K−1
22 K21V1(t).
Setzen wir dieses Resultat in die erste Gleichung ein, erhalten wir
MσV′
1(t) + K11V1(t)−K12K−1
22 K21V1(t) = −MσW1i′(t)
und ein Anfangswertproblem zusammen mit der Anfangsbedingung
V1(0) = A0
1−W1i(0).
Mit
L:= K11 −K12K−1
22 K21
101
KAPITEL 5. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEM MIT EINER SPANNUNG
ALS STEUERUNG
und ohne Beschränkung der Allgemeinheit Mσ=Ierhalten wir das System
V′
1+LV1=−W1i′(t)
V1(0) = A0
1−W1i(0).
Daraus folgt bei gegebenem i′die eindeutig bestimmte Lösung
V1=e−L t(A0
1−W1i(0))
+!t
0
e−L(t−s)(−W1i′(s)) ds.
V2ergibt sich aus (5.1.14) durch
V2=−K−1
22 K21[e−L t(A0
1−W1i(0)) + !t
0
e−L(t−s)(−W1i′(s)) ds].
Die Ableitung von V1nach tist dann fast überall (falls i′∈L2(0, T)))
V′
1(t) = −L e−L t(A0
1−W1i(0)) + "e−L t !t
0
eL s(−W1i′(s)) ds$′
=−L e−L t(A0
1−W1i(0)) −L e−L t !t
0
eL s(−W1i′(s)) ds
+e−L t eL t(−W1i′(t))
=−L e−L t(A0
1−W1i(0)) −W1i′(t) + !t
0
L e−L(t−s)(+W1i′(s)) ds.
Es gilt
A′
2=V′
2+W2i′
=−K−1
22 K21V′
1+W2i′
=−K−1
22 K21{−Le−L t(A0
1−W1i(0))
+ (−W1i′(t)) + !t
0
(−L)e−L(t−s)(−W1i′(s)) ds}+W2i′.
Daraus erhalten wir
/A′
2(t), E0=/V′
2+W2i′, E0
=/V′
2, E0+/W2i′, E0
=/−K−1
22 K21{−Le−L t(A0
1−W1i(0))
+ (−W1i′(t)) + !t
0
(−L)e−L(t−s)(−W1i′(s)) ds}, E0+/W2, E0i′.
102
5.1. DIE EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT DER LÖSUNG AFÜR DEN
FALL MIT INDUKTIONSGESETZ
Dieses Resultat verwenden wir in
/A′
2(t), E0+Rci(t) = u(t)
und erhalten für idie Integrodifferentialgleichung
/−K−1
22 K21{−Le−L t(A0
1−W1i(0))
+I(−W1i′(t)) + !t
0
(−L)e−L(t−s)(−W1i′(s)) ds}, E0
+/W2, E0i′+Rci(t)
=u(t),
welche äquivalent zu
/−K−1
22 K21{−Le−L t(A0
1−W1i(0)), E0
+/(−W1i′(t)) + !t
0
(−L)e−L(t−s)(−W1i′(s)) ds}, E0
+/W2, E0i′+Rci(t)
=u(t)
ist. Der erste Term ist unabhängig von iund es sei
(5.1.15) ϕ(t) := /−K−1
22 K21{−Le−L t(A0
1−W1i(0))}, E0,
m:= /K−1
22 K21W1, E0+/W2, E0
sowie
k(t, s) := Le−L(t−s)/−K−1
22 K21W1, E0.
Dann gilt
ϕ(t) + m i′(t) + !t
0
k(t, s)i′(t)ds +Rci(t) = u(t),
welches äquivalent zu
m i′(t) + !t
0"k(t, s) + Rc$i′(s)ds +i(0) = u(t)−ϕ(t)(5.1.16)
ist. Gleichungen dieses Typs
m x(t) + !t
0
˜
k(t, s)x(s)ds =b(t)(5.1.17)
nennt man Volterrasche Integralgleichung 2. Art. Solche sind mit Hilfe des Banach-
schen Fixpunktsatzes eindeutig lösbar, unter der Annahme, dass ˜
k(t, s)stetig und
m1= 0 ist. Für b∈L2(0, T)existiert genau ein x∈L2(0, T), welches die Gleichung
(5.1.17) löst. Dafür zitieren wir folgenden Satz, welchen man zum Beispiel in [33]
findet:
103
KAPITEL 5. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEM MIT EINER SPANNUNG
ALS STEUERUNG
Satz 5.1 (Existenz und Eindeutigkeit Volterrascher Integralgleichungen).
Sei ∆={(t, s)∈[a, b]×[a, b] : s≤t}und ˜
k∈C(∆). Dann besitzt die Volterrasche
Integralgleichung zweiter Art
x(t) + !t
0
˜
k(t, s)x(s)ds =b(t)
für jedes b∈C[a, b]eine eindeutig bestimmte Lösung x∈C[a, b]und diese kann
mit der Fixpunktiteration berechnet werden.
Natürlich gilt dieser Satz auch für b∈L2(0, T)und x∈L2(0, T). Wir erhalten
für b∈L2(0, T)eine eindeutig bestimmte Lösung x∈L2(0, T). Es sei nun
x(t) := i′(t)und b:= u(t) + ϕ(t)
mit u, ϕ∈L2(0, T). Dann löst i∈H1(0, T)die Gleichung (5.1.16) und ist eindeutig
bestimmt. Es bleibt noch zeigen, dass m1= 0 gilt.
Lemma 5.2. Die Konstante m aus der Gleichung (5.1.17) ist immer ungleich
null.
Beweis:
Zuerst zeigen wir, dass die Matrix K22 und somit auch K−1
22 immer positiv de-
finit ist. Es gilt, dass K22 die dazugehörige Matrix zur Bilinearform a(ϕ,ψ) =
3Ωc∪Ω2ν(∇×ϕ)·(∇×ψ) + ǫ ϕ ·ψdx ist. Für diese Bilinearform hatten wir schon
in Abschnitt 4.5 gezeigt, dass für jedes ϕ1= 0 die Ungleichung
a(ϕ,ϕ)>0
gilt, die Bilinearform also positiv definit und somit auch K22 positiv definit sind.
Im zweiten Schritt nehmen wir an, dass m= 0 ist. Aus der zweiten Gleichung
von (5.1.15) folgt
(5.1.18) /K−1
22 K21W1, E0+/W2, E0= 0.
Wist aber genau so gewählt, dass es die Gleichung (5.1.11) erfüllt, woraus
K21W1+K22W2=E
folgt und nach W2umgestellt
(5.1.19) W2=K−1
22 [E−K21W1].
Eingesetzt in die Gleichung (5.1.18) erhalten wir
(5.1.20) /K−1
22 K21W1, E0+/K−1
22 E, E0−/K−1
22 K21W1, E0=/K−1
22 E, E0= 0.
Es gilt aber, dass K22 positiv definit und E1= 0 ist. Somit kann die letzte Gleichung
nicht gelten und die Annahme, dass m= 0 ist, ist falsch.
!
104
5.2. FORMALE LAGRANGE-TECHNIK FÜR DIE STEUERUNG U
5.2 Formale Lagrange-Technik für die Steuerung u
Unser vollständiges Optimierungsproblem ist gegeben durch
(5.2.1)
min F(A, u) := λT
2!Ω1∪Ωc
|A(T)−A∞|2dx
+λQ
2!Q
|A−A∞|2dx dt +λU
2!T
0
u2dt
unter der Nebenbedingung
(5.2.2)
σ∂A
∂t(x, t) + ∇×(ν∇×A(x, t)) = e(x)i(t)in Q
!Ωc
∂A
∂t(x, t)·e(x)dx +Rci(t) = u(t)in (0, T)
A(x,0) = −A0
i(0) = i0
mit Steuerung
(5.2.3) u∈Uad := {u∈L2(0, T) : umin ≤u(t)≤umax für fast alle t∈(0, T)}.
Für die Schranken gilt umin ≤umax. Um zu zeigen, dass eine optimale Steuerung
uexistiert und diese eindeutig ist, muss der Beweis für die optimale Steuerung
mit iaus dem letzten Kapitel erweitert werden. Dieses ist in der Arbeit von Ni-
caise/Tröltzsch [39] für ein Problem gezeigt, bei dem ieleminiert wurde. Darauf
gehen wir hier nicht ein. Für das durch FEM semidiskretisierte Problem folgt dies
aus dem letzten Abschnitt und daraus, dass die Abbildung u-→ (A, i)stetig ist in
passenden Räumen. Dieses diskutieren wir hier nicht weiter und nehmen die Exis-
tenz und Eindeutigkeit an. Die Lagrange-Funktion ist durch das Zielfunktional F
und die Zustandsgleichungen (5.2.2) folgendermaßen definiert. Es gilt:
L:ˆ
W(0, T)×H1(0, T)×L2(0, T)׈
W(0, T)×H1(0, T)→R
mit
L(A, i, u, p, q) := F(A, u) + !Q
(σ∂A
∂t+∇×(ν∇×A)−ei)pdx dt
+!T
0
(!Ωc
∂A
∂t·edx +Rci−u)q dt.
In diesem Abschnitt sollen notwendige Optimalitätsbedingungen 1. Ordnung für
unsere optimale Steuerung hergeleitet werden. Analog zu Abschnitt 4.9 beginnen
105
KAPITEL 5. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEM MIT EINER SPANNUNG
ALS STEUERUNG
wir mit der formalen Lagrange-Technik. Es müssen für eine optimale Steuerung ¯u
mit zugehörigen Zuständen ¯
iund ¯
Adie Gleichungen
(5.2.4)
DAL(¯
A,¯
i, ¯u, p, q)h= 0 ∀h∈ˆ
W(0, T)mit h(0) = 0
DiL(¯
A,¯
i, ¯u, p, q)h= 0 ∀h∈H1(0, T)mit h(0) = 0
DuL(¯
A,¯
i, ¯u, p, q)(u−¯u)≥0∀u∈Uad
gelten. Wir berechnen die Ableitungen und beginnen mit der Ableitung von L
nach u. Es gilt für alle u∈Uad mit h= (u−¯u)
∂L
∂uh=!T
0
λU¯u(t)h dt −!T
0
q(t)h dt ≥0.(5.2.5)
Als Zweites leiten wir die Lagrange-Funktion nach iab. Es folgt
∂L
∂ih=−!T
0
(!Ωc
p·edx)h dt +!T
0
Rcq(t)h dt = 0
(5.2.6)
für alle h∈H1(0, T)mit h(0) = 0, welches äquivalent zu
q(t) = 3Ωcp·edx
Rc
(5.2.7)
ist. Im letzten Schritt ist die Lagrange-Funktion noch nach Aabzuleiten. Diese
Ableitung ist gegeben durch
∂L
∂Ah=!Ω1∪Ωc
λT(A(T)−A∞)·h(T)dx +!Ω1
σp(T)h(T)dx
+!Ω1×(0,T)−σ∂p
∂t(t)·h(t)dx dt
+!Q
[λQ(A(t)−A∞) + ∇×(ν∇×p(t))] ·h(t)dx dt
+!Ωc
eq(T)h(T)dx −!Ωc×(0,T)
h(t)·eq(t)′dxdt.
Daraus erhalten wir
−σ∂p
∂t+∇×(ν∇×p)−e·q(t)′=−λQ(A−A∞)
σp(T) + eq(T) = −λT(A(T)−A∞).
106
5.3. OPTIMALITÄTSBEDINGUNG ERSTER ORDNUNG
Wenn wir nun die partiellen Zustandsgleichungen für Aund imit den Gleichungen
für die Lagrangeschen Multiplikatoren pund qund der Steuerung uzusammen-
fassen, muss für ein optimales ¯umit ¯
Afolgendes System erfüllt sein:
σ∂A
∂t(t) + ∇×(ν∇×A(t)) = ei(t)(5.2.8)
!Ωc
∂A
∂t(t)·edx +Rci(t) = u(t)(5.2.9)
A(0) = −A0in Ω1
(5.2.10)
i(0) = i0
(5.2.11)
−σ∂p
∂t(t) + ∇×(ν∇×p(t)) −eq(t)′=−λQ(A(t)−A∞)(5.2.12)
q(t) = 3Ωp(t)·edx
Rc
(5.2.13)
σp(T) + eq(T) = −λT(A(T)−A∞)in Ω1∪Ωc
(5.2.14)
!T
0"λU¯u(t)−q(t)$(u−¯u)dt ≥0.(5.2.15)
Wenn keine Schranken für die Steuerung ugegeben sind, ändert sich die Unglei-
chung (5.2.15) zu
!T
0"λU¯u(t)−q(t)$(u−¯u)dt = 0 ∀u∈Uad.(5.2.16)
Daraus folgt das fast überall
¯u(t) = 1
λu
q(t)
gilt. Für unser Problem wäre dies der Fall, wenn Uad =L2(0, T)ist. Die Gleichun-
gen für die adjungierten Zustände haben wir nur formal hergeleitet und beweisen
im nächsten Schritt, dass die Optimalitätsbedingung erster Ordnung so aussieht.
Dabei verwenden wir die adjungierten Zustände aus dem obigen System.
5.3 Optimalitätsbedingung erster Ordnung
In diesem Abschnitt beweisen wir die hergeleitete Form der Optimalitätsbedin-
gungen. Dafür zeigen wir zuerst einen Satz, der uns später benötigte Gleichungen
liefern wird. Die Aussagen des Satzes folgen analog zu Satz 4.16 und wir werden
die Beweise nur kurz anreißen.
Satz 5.3. Es seien das Vektorpotenzial A∈ˆ
W(0, T)und i∈H1(0, T)definiert
durch (5.2.8),(5.2.9),(5.2.11) mit Steuerung u∈L2(0, T)und A∞∈L2(Ω1∪Ωc)3.
107
KAPITEL 5. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEM MIT EINER SPANNUNG
ALS STEUERUNG
Wir setzen voraus, dass genau ein Paar adjungierter Zustände (p, q)∈ˆ
W(0, T)×
H1(0, T)existiert, das die Gleichungen (5.2.12),(5.2.13),(5.2.14) erfüllt. Dann
gelten
(5.3.1) !Ω1
λT(A(T)−A∞)·A(T)dx+!Q
λQ(A(t)−A∞)·A(t)dxdt
=!T
0!Ωc−e·pidxdt+!Ω1
σA0·p(., 0) dx+!T
0!Ωc
A·eq′dxdt
und
!T
0
(q u −(!Ωc
∂A
∂t·edx)q)dt=!T
0"!Ωc
p·edx$idt.(5.3.2)
Beweis: Der Beweis der ersten Gleichung läuft analog zu Satz 4.9.20 ab, wobei
wie in der Gleichung (5.2.12) zu entnehmen ist, noch die negative Zeitableitung
−q′eeingefügt wird. Für die zweite Gleichung verwenden wir die Variationsformu-
lierung von (5.2.9) mit der Testfunktion qwie im Satz gegeben und erhalten
!T
0!Ωc
∂A
∂t·edx q +Rci q dt=!T
0
u q dt,
welches
!T
0
Rci q dt=!T
0
u q −!Ωc
∂A
∂t·edxq dt(5.3.3)
liefert. Genauso testen wir die Gleichung (5.2.13) mit Testfunktion iund nach
Umstellung gilt
!T
0
Rci q dt=!T
0"!Ωc
p·edx$idt.(5.3.4)
Da die linken Seiten der Gleichungen (5.3.3) und (5.3.4) übereinstimmen, gilt dieses
auch für die rechten Seiten und es folgt (5.3.2). Nach dieser Vorbetrachtung zeigen
wir folgenden Satz:
Satz 5.4. Eine Steuerung u∈Uad mit zugehörigen Zuständen ¯
Aund ¯
iist genau
dann optimal für die Aufgabe (5.2.1),(5.2.2),(5.2.3), wenn mit den zugehörigen
adjungierten Zuständen p∈ˆ
W(0, T)und q∈H1(0, T)aus (5.2.12),(5.2.13) die
Variationsungleichung
!T
0−(q(t) + λUu(t))(u−u)dt≥0(5.3.5)
für alle u∈Uad erfüllt ist.
108
5.3. OPTIMALITÄTSBEDINGUNG ERSTER ORDNUNG
Beweis: Wir gehen analog zum Fall mit der Steuerung ivor. Wir formen das
Zielfunktional um, so dass es nur noch von uabhängt. Dafür benötigen wir die
Steuerungs-Zustands-Operatoren Sund ST, welche analog zu den Steuerungs-
Zustands-Operatoren aus Kapitel 4 definiert werden.
S:L2(0, T)→L2(Q)3
(5.3.6)
ST:L2(0, T)→L2(Ω1∪Ωc)3
(5.3.7)
G0:L2(Ω1∪Ωc)3→L2(Q)3.(5.3.8)
Während wir bei den Operatoren Sund STwieder von einem homogenen An-
fangswert A0= 0 ausgehen, wird A(0) = A0gerade durch G0berücksichtigt. Der
Operator Sbildet eine Steuerung auf das dazugehörige Vektorpotenzial ab und ST
zusätzlich das Vektorpotenzial zum Zeitpunkt t=Tim leitendem Gebiet Ω1und
Ωc. Für das auf ureduzierte Zielfunktional ferhalten wir
f(u) =λT
2!Ω1∪Ωc
|(STu)−A∞|2dx+λQ
2!Q
|(S u)(t)−A∞|2dxdt(5.3.9)
+λU
2!T
0
u(t)2dt.(5.3.10)
Natürlich muss die Variationsungleichung
f′(u)(u−u)≥0(5.3.11)
für eine optimale Steuerung ufür alle u∈Uad gelten. Wir leiten fnach uin
Richtung (u−¯u)ab:
(5.3.12)
f′(u)(u−u) =λT(STu−A0, ST(u−u))L2(Ω1∪Ωc)3
+λQ(Su−A∞, S(u−u))L2(Q)3
+λu(u, u −u)L2(0,T)
=λT(A(T)−A∞,(A(T)−A(T)))L2(Ω1∪Ωc)3
+λQ(A−A∞,(A−A))L2(Q)3
+λu(u, u −u)L2(0,T).
Dabei haben wir die beiden Operatoren Sund STverwendet, sowie G0in welchem
auch der inhomogene Anfangswert berücksichtigt wird. Nach Satz 5.3 mit ˜
A:=
A−¯
A,˜
i:= i−¯
iund ˜u:= u−¯ugilt
(5.3.13)
λT(˜
A(T)−A∞,(A(T)−¯
A(T)))L2(Ω1)3
+λQ(˜
A−A∞,(A−¯
A))L2(Q)3
=!T
0!Ωc
(e·˜
Aq′−e·p˜
i)dxdt.
109
KAPITEL 5. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEM MIT EINER SPANNUNG
ALS STEUERUNG
Den Teil 3T
03Ωc−e·p˜
idxdtkönnen wir nach der zweiten Gleichung aus Satz 5.3
ersetzen und erhalten
!Q
(e·˜
Aq−e·p˜
i)dxdt
=!Q
e·˜
Aq′dxdt−!T
0
˜u q dt+!T
0!Ω
∂˜
A
∂t·edx q dt.
In dieser Gleichung ist der Term 3T
0u q dtschon enthalten und wir zeigen, dass sich
die anderen beiden Terme aufheben. Dafür integrieren wir partiell 3Qe˜
Aq′dxdt
wodurch
!Q
e·˜
Aq′dxdt=!T
0!Ωc
˜
A·edx q′dt
= [!Ωc
e·˜
Aqdx]T
0−!T
0!Ωc
∂˜
A
∂t·edx q dt
= + !Ω
e·˜
A(T)q(T)dx−!T
0!Ωc
∂˜
A
∂t·edx q dt
=−λT(¯
A(T)−A∞,¯
A(T))L2(Ωc)3−!T
0!Ω
∂˜
A
∂t·edx q dt
gilt. Dabei haben wir für den Randterm den homogenen Anfangswert ˜
A(0) = 0
sowie die Eigenschaft von q(T)aus Gleichung (5.2.14) ausgenutzt. Setzen wir nun
dieses Ergebnis in die Gleichung (5.3.13) ein, folgt für
λT(A−A∞,(A−A))L2(Ω1)3+λQ(A−A∞,(A−A))L2(Q)3
=!Q
e¯
Aq′−epidxdt
=−λT(¯
A−A∞,(A−¯
A))L2(Ωc)3−!T
0!Ω
∂¯
A
∂t·edx q dt
−!T
0
u q dt+!T
0!Ω
∂¯
A
∂tedx q dt
=−λT(¯
A−A∞,(A−¯
A))L2(Ωc)3−!T
0
u q dt.
Das Ergebnis verwenden wir in Gleichung (5.3.12) in Verbindung mit der Variati-
110
5.3. OPTIMALITÄTSBEDINGUNG ERSTER ORDNUNG
onsungleichung (5.3.11) und es folgt schließlich
0≤f′(u)(u−u) =λT(A−A∞,(A−A))L2(Ω1∪Ωc)3
+λQ(A−A∞,(A−A))L2(Q)3+λu!T
0
u(u−u)dt
=!T
0
(−u q +λuu)(u−u)dt.
Nach Anwendung des schwachen Minimumprinzipes und Einsetzen der
Projektionsformel erhalten wir für die optimale Steuerung ¯udie Gleichung
u=P[umin,umax]{1
λU
q}.(5.3.14)
Ohne Schranken an die Steuerung gilt
u=1
λU
q.
Anmerkung: Im Satz 5.4 ist q∈H1(0, T). Zusammen mit der Gleichung
(5.3.14) folgt P[umin,umax]{1
λU
q}∈H1(0,1). Somit ist auch u∈H1(0, T). Diese
Voraussetzung spielt auch in [39] eine wichtige Rolle.
111
KAPITEL 5. OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEM MIT EINER SPANNUNG
ALS STEUERUNG
112
Kapitel 6
Numerik
In diesem Kapitel gehen wir darauf ein, wie die hergeleiteten notwendigen Optima-
litätsbedingungen aus den Kapiteln 4 und 5 numerisch behandelt werden können.
Dafür beginnen wir kurz mit einer Einleitung zum Galerkin-Ansatz der zum Bei-
spiel in [34] oder [13] zu finden ist. Grundsätzlich betrachten wir das elliptische
Problem, dass Abestimmt werden soll, wobei Adie Gleichung
a(A,v) = f(v)∀v∈V(6.0.1)
erfüllt. In dieser Gleichung ist aeine Bilinear- und feine Linearform. Den un-
endlichdimensionalen Raum Vwollen wir durch einen diskreten Raum ersetzen.
Für einen endlich dimensionalen Raum Xh⊂Verhalten wir die Aufgabe der
Bestimmung einer Lösung von Ah∈Xhfür
a(Ah,vh) = f(vh)∀vh∈Xh.
Der Index hsteht hierbei für einen Diskretisierungsparameter. Wir wollen eine
Kette von diskreten Räumen definieren mit Xhi⊂Vund den dazugehörigen
Lösungen Ahi. Die Idee hierbei ist, dass für h→0auch die diskrete Lösung
Ah∈Xhgegen die Lösung A∈Vkonvergiert. Dieses ist unter bestimmten
Annahmen der Fall. Die Lösung Ah∈Xhsei von der Art
Ah=
N
#
i=1
uh
iϕi
wobei (ϕi)1≤i≤Neine Basis von Xhist. Damit ist es ausreichend für (6.0.1) das
Problem
(6.0.2) MA =f
113
KAPITEL 6. NUMERIK
zu betrachten. Die Matrix M∈RN×N, der Eingangsvektor f∈RNund der Lö-
sungsvektor u∈RNsind definiert durch
M:= (a(ϕi,ϕj))1≤i,j≤N,
f:= (f(ϕi))1≤i≤N,
A:= (uh
i)1≤i≤N.
Ein System von dieser Art werden wir in jedem Zeitschritt numerisch lösen.
Im Folgenden wollen wir für das Kapitel annehmen, dass die Steuerung sowie
das Vektorpotenzial Adiskrete Objekte sind.
6.1 Nédélec-Elemente
In diesem Abschnitt gehen wir kurz auf die verwendeten Elemente bei der
Finiten-Elemente-Methode ein. Da das Vektorpotenzial Abetrachtet wird, verwen-
den wir die curl-konformen Nédélec-Elemente. Detaillierte Ergebnisse findet man
dazu zum Beispiel in [34], [27] oder auch [45]. Die wesentliche Idee der Nédélec-
Elemente ist, dass die de Rham-Kohomologie
Rid
→H1(Ω)∇
→H(curl, Ω)curl
→H(div, Ω)div
→L2(Ω)0
→{0}
auch für den diskreten Fall erfüllt ist.
Wir zeigen die Konstruktion von Nédélec-Elementen wie in [49]. Sei Theine
Triangulierung für das Gebiet Ω. Dann definieren wir für ein Teilgebiet D⊆Ω
die Menge der Punkte, Kanten und Oberflächen von Ddurch Nh(D),Eh(D)und
Fh(D).
Der Raum der Polynome auf Dmit einem Polynomgrad kleiner ksei Pk(D),
wobei k≥0ist . Entsprechend sei ˜
Pk(D)der Raum der homogenen Polynome mit
Polynomgrad kleiner k. Für Polynome, die nach Rdabbilden, verwenden wir die
Indizierung Pk(D)d. Wir definieren direkt für k≥1und den dreidimensionalen
Fall den Raum
Sk(D) := {p∈˜
Pk(D)3,/x,p0:= Σ3
i=1xipi= 0}.
Seien T∈Thund k≥1gegeben. Der lokale Raum für das Nédélec-Element ist
durch
NDk(T) := Pk−1(D)3⊕Sk(D)
gegeben. Für den Spezialfall k= 1 erhalten wir die Elemente kleinsten Polynom-
grades aus der Definition
ND1(T) := {x-→ a+b×x,a,b∈R3}.
114
6.2. NUMERIK FÜR DAS OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEM AUS
KAPITEL 4
Die Freiheitsgrade erhalten wir durch die linearen Funktionale auf NDk(T)von
der Form
(i)q-→ !E/q,t0p ds p ∈Pk−1(E),E ∈Eh(T)
(ii)q-→ !F/q×n,p0dσp∈Pk−2(F)2,F ∈Fh(T)
(iii)q-→ !T/q,p0dx p ∈Pk−3(T)3.
Dabei werden die Räume mit negativem Polynomgrad als leere Räume angenom-
men. Durch diese Definition der Freiheitsgrade erhalten wir, dass der globale finite
Elementeraum NDk(Ω;Th)im Raum H(curl, Ω)enthalten ist. Des Weiteren füh-
ren wir jetzt den Raum
NDk,0(Ω,Th) := NDk(Ω,Th)∩H0(curl, Ω)
ein. Dadurch können wir jetzt die schwache Formulierung 4.5.3 für das Vektorpo-
tenzial im diskreten Fall folgendermaßen definieren: Wir suchen ein Vektorpoten-
zial Ah∈RN, welches die Gleichung
!Ω
(ν∇×Ah)·(∇×qh)dx +!Ω
ǫAh·qhdx =!Ω
f·qhdx ∀qh∈NDk,0(Ω,Th)
erfüllt.
6.2 Numerik für das Optimalsteuerungsproblem aus
Kapitel 4
Wir beginnen mit dem Optimalsteuerungsproblem aus Kapitel 4 mit der Steuerung
i:
(6.2.1)
min F(A, i) := λT
2!Ω1
|A(T)−A∞|2dx+λQ
2!Q
|A(t)−A∞|2dxdt
+λI
2!T
0
i(t)2dt
bei
σ∂A
∂t+∇×(ν∇×A) + ǫA=ei(t)in Q=Ω×(0, T)(6.2.2)
n×A= 0 auf Σ=Γ×(0, T)(6.2.3)
A(0) = −A0in Ω(6.2.4)
115
KAPITEL 6. NUMERIK
und punktweisen Box-Beschränkungen
(6.2.5) i(t)∈Iad := {i∈L2(0, T) : imin ≤i(t)≤imax für fast alle t∈[0, T]}
für ein fest gegebenes T > 0. Wir haben an dieser Stelle die elliptische Regulari-
sierung mit ǫAaus Abschnitt 4.7.1 vorgenommen.
6.2.1 Operatoren
Wir betrachten die Problemstellung für Testfunktionen aus dem Raum
V0:= {v∈H0(curl, Ω)}.(6.2.6)
Die schwache Formulierung war gegeben durch
(6.2.7) !Ω
σ∂A
∂t·ψdx+!Ω
ν(∇×A)·(∇×ψ)dx +!Ω
ǫA·ψdx
=!Ω
e·ψdx i(t),∀ψ∈V0.
Wir wollen die Lösungsmethoden in Matrizen- und Vektorform aufschreiben und
führen dafür folgende Operatoren ein. Es sei Vh
0der diskretisierte Raum zu V0:
/M(A),ψ0:= !Ω
A·ψdx ∀ψ∈Vh
0
/Mσ(A),ψ0:= !Ω
σA·ψdx ∀ψ∈Vh
0
/Kµ(A),ψ0:= !Ω
ν(∇×A)·(∇×ψ)dx ∀ψ∈Vh
0
/Kǫ(A),ψ0:= !Ω
ǫA·ψdx ∀ψ∈Vh
0
/ˆ
b, ψ0:= !Ωc
e·ψdx ∀ψ∈Vh
0.
Mit diesen Operatoren als Matrizen, sowie bals Vektor zu ˆ
binterpretiert, können
wir die Zustandsgleichung (6.2.2) für ein diskretes Afolgendermaßen aufschreiben:
Mσ˙
A+KµA+KǫA=bi(6.2.8)
MA(0) = MA0.(6.2.9)
116
6.2. NUMERIK FÜR DAS OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEM AUS
KAPITEL 4
6.2.2 Die diskretisierte Form
Um das Problem zeitabhängig zu lösen, verwenden wir das implizite Euler-Verfahren.
Wir diskretisieren das Zeitintervall (0, T)äquidistant durch die Zeitpunkte 0 =
t0, . . . , tn=T.A(n)sei das FEM-diskretisierte Vektorpotenzial zum Zeitpunkt tn.
Analog definieren wir den diskreten adjungierten Zustand p(n)und die diskrete
Steuerung i(n). Wir verwenden für die drei diskreten Variablen einen stückweisen
konstanten Ansatz. Damit kann ˙
Adurch
˙
A≈A(n+1) −A(n)
τ
(6.2.10)
approximiert werden. Die Konstante τ>0stellt die Schrittweite in der Zeit dar.
Weiterhin sei bder FEM-diskretisierte Vektor zum Operator ˆ
b. Eingesetzt in die
Gleichung (6.2.8) gilt für den Zeitpunkt n+ 1
Mσ
A(n+1) −A(n)
τ+KµA(n+1) +KǫA(n+1) =bi(n+1)
und umgeformt erhalten wir
(Kǫ+Kµ+τ−1Mσ)A(n+1) =bi(n+1) +τ−1MσA(n).
Wenn wir die Matrix (Kǫ+Kµ+τ−1Mσ)invertieren, folgt schließlich
A(n+1) = (Kǫ+Kµ+τ−1Mσ)−1"bi(n+1) +τ−1MσAn$.
Somit ist es möglich, aus der bekannten Steuerung in+1 und Andas Vektorpotenzial
für den Zeitschritt n+ 1 zu berechnen. Im Ablauf sieht dies folgendermaßen aus:
1. Das Vektorpotenzial A(0) muss als Anfangswert gegeben sein.
2. Berechne einmal die Matrix B= (Kǫ+Kµ+τ−1Mσ)−1.
3. Für n= 0, . . . , nT−1
A(n+1) =B(bi(n+1) −τ−1MσA(n)).
Natürlich ist es rechenintensiv, die inverse Matrix Bin 2. zu berechnen und man
kann an dieser Stelle auch mit anderen Methoden arbeiten. Wir haben uns hier
bewusst für die Invertierung entschieden, weil die Matrix Bin jedem Zeitschritt
benötigt wird. Weiterhin verwenden wir Bnicht nur für das Vorwärtsproblem um
A(t)zu lösen, sondern auch im Rückwärtsproblem, um den adjungierten Zustand
paus (6.2.12) zu lösen. Zusätzlich sei erwähnt, dass im Algorithmus, um eine opti-
male Steuerung zu berechnen, das Vorwärts- und Rückwärtsproblem sehr oft gelöst
117
KAPITEL 6. NUMERIK
werden muss. Des Weiteren ist die Matrix Bunabhängig von den Gewichtungsko-
effizienten im Zielfunktional, zum Beispiel (6.2.1), der Optimalsteuerungsprobleme
aus den Kapiteln 4 und 5 und kann bei der Variation dieser wiederverwendet wer-
den. Betrachten wir aber zuerst den adjungierten Zustand p. Für diesen hatten
wir in Abschnitt 4.9 die Gleichungen
−σ∂p
∂t+∇×(ν∇×p) + ǫp=−λQ(A−A0)in Q=Ω×(0, T)
n×p= 0 auf Σ=Γ×(0, T)
σp(T) = −λT(A(T)−A0)in Ω1
erhalten. Mit den in 6.2.1 definierten Operatoren und dem impliziten Euler-Verfahren
analog wie in der Gleichung (6.2.10) angewendet, folgt
−Mσ
p(n+1) −p(n)
τ+Kµp(n)+Kǫp(n)=−λQM(A(n)−A0)in Q=Ω×(0, T)
Mσp(nT)=−λTM(A(nT)−A0)in Ω1.
Wir können die Gleichung von p(n)analog zur Gleichung für das Vektorpotenzial
Aherleiten und erhalten
p(n)=B"−λQM(A(n)−A0) + τ−1Mσp(n+1)$in Q=Ω×(0, T).(6.2.11)
Wir wissen jetzt, wie Aund pberechnet werden können. Als Nächstes wollen wir
eine optimale Steuerung iberechnen. Diese muss zusammen mit dazugehörigem
optimalen Zustand Aund adjungierten Zustand pdas System
(6.2.12)
σ∂A
∂t+∇×(ν∇×A) + ǫA=e(x)i(t)in Q
n×A= 0 auf Σ
A(0) = −A0in Ω1
−σ∂p
∂t+∇×(ν∇×p) + ǫp=−λQ(A−A0)in Q
n×p= 0 auf Σ
σp(T) = −λT(A(T)−A0)in Ω1
i=P[imin,imax]{1
λI!Ω
e·pdx}
erfüllen. Wenn für die Steuerung ikeine Beschränkungen gelten, erhält man i=
1
λI3Ωe·p dx anstatt der letzten Gleichung vom obigen Gleichungssystem.
118
6.2. NUMERIK FÜR DAS OPTIMALSTEUERUNGSPROBLEM AUS
KAPITEL 4
6.2.3 Algorithmus
Um die optimale Steuerung mit dazugehörigem Zustand zu lösen, verwenden wir
das projizierte Gradienten-Verfahren. Die Funktion, die es zu optimieren gilt, ist
unser reduziertes Zielfunktional f. Das heißt, wir benötigen die erste Ableitung
von fnach i. Diese hatten wir aber schon in Gleichung (4.9.4) mit
f′(i)h=λui(t)h−!Ω
(e·p)hdx
für eine Richtung h∈L2(0, T)berechnet und wir erhalten daraus den von f
reduzierten Gradienten
λui−!Ω
e·pdx.
Im Gradientenverfahren bestimmen wir aus dem reduzierten Gradienten von fund
einer Schrittweite s > 0die neue Richtung. Um das Gradientenverfahren abzubre-
chen verwenden wir folgende Kriterien. Einerseits muss die Schrittweite s > αfür
eine gegebene Konstante α>0sein. Des Weiteren soll für eine zweite Konstante
β>0die Ungleichung ||DiL|| >βerfüllt sein. Diese Bedingungen sichern einen
hinreichend langen Abstieg. Wenn eine dieser beiden Bedingungen nicht mehr er-
füllt wird, soll das Verfahren abbrechen. Dieses kann wie folgt implementiert wer-
den. Der untere Index ksoll hier den Iterationsschritt des Gradientenverfahrens
darstellen.
1. Lege eine Anfangssteuerung i0∈Iad fest und berechne dazu den Zustand
A0. Setze diesen in die adjungierte Gleichung 6.2.11 ein und bestimme den
zugehörigen Zustand p0. Des Weiteren setze positive Konstanten s0,αund
βfür die Abbruchkriterien fest.
2. Für k= 1,2, . . . bis (||Ak−Ak−1|| <βoder sk−1<α)
2.1 Setze A=Ak−1
2.2 Berechne pkzu A
2.2 Berechne die Suchrichtung dkdurch den reduzierten Gradienten
dk(t) = (Di)f(t) = λIik(t)−!Ω
e·pk(x, t)dx.
2.3 Berechne das Vektorpotenzial Adfür die Steuerung i(t) := dk(t).
2.4 Die Schrittweite sk=serhalten wir aus
f"P[imin,imax](ik+skdk)$= min
s>0f"P[imin,imax](ik+s dk)$.
119
KAPITEL 6. NUMERIK
2.5 Setze ik=ik−1+skdk.
2.6 Setze Ak=A+skAd.
Die Konstanten α,β>0werden für die Abbruchkriterien benötigt und müs-
sen an das jeweilige Problem angepasst werden. Um die Schrittweiten zu be-
stimmen, könnte man das Halbierungsverfahren verwenden. In diesem geht man
von einer ausreichend großen Startschrittweite s0>0aus und setzt nacheinander
s=s0
2,s0
4,s0
8, . . . ein, bis eine Schrittweite sgefunden ist, welche die Gleichung in
2.4 erfüllt. Zu bevorzugen ist aber eine exakte Schrittweitenbestimmung. Dies ist
möglich, da es sich um ein linear-quadratisches Optimalsteuerungsproblem han-
delt. In [47] wird ausführlich erklärt, wie die exakte Schrittweite bestimmt werden
kann. Auf diese Weise ist es möglich, eine optimale Steuerung zu berechnen.
6.3 Die Spannung als Steuerung
Analog zum vorherigen Abschnitt wollen wir die Methoden für die Berechnung
einer optimalen Steuerung uzeigen. Hier haben wir zusätzlich eine Gleichung,
die den Zusammenhang von A,iund ubeschreibt. In Kapitel 5 haben wir das
komplette System
σ∂A
∂t(t) + ∇×(ν∇×A(t)) = ei(t)(6.3.1)
!Ωc
∂A
∂t(t)·edx +Rci(t) = u(t)(6.3.2)
A(0) = −A0in Ω1
(6.3.3)
i(0) = i0
(6.3.4)
−σ∂p
∂t(t) + ∇×(ν∇×p(t)) −eq(t)′=−λQ(A(t)−A∞)(6.3.5)
q(t) = 3Ωp(t)·edx
Rc
(6.3.6)
σp(T) + eq(T) = −λT(A(T)−A∞)in Ω1∪Ωc
(6.3.7)
!T
0"λU¯u(t)−q(t)$(u−¯u)dt ≥0(6.3.8)
hergeleitet.
6.3.1 Numerischer Algorithmus
Es wird erneut das implizite Euler-Verfahren verwendet. Die Zeitschrittweite sei
wieder durch τ>0gegeben und die definierten Operatoren aus Abschnitt 6.2.1.
120
6.3. DIE SPANNUNG ALS STEUERUNG
Zusätzlich sei Kµ,ǫ:= Kµ+Kǫdefiniert. Um das Vorwärtsproblem für Azu berech-
nen, benötigen wir die Gleichungen (6.3.1), (6.3.2) und die Anfangsbedingungen
(6.3.3), (6.3.4). Nun ist unser Ziel die Gleichung (6.3.1) nach ˙
Aumzustellen, so
dass die Zeitableitung des Vektorpotenzial ˙
Ain (6.3.2) eingesetzt werden kann.
Wir verwenden wie in 6.2.10 die Approximation
˙
A≈A(n+1) −A(n)
τ.(6.3.9)
Eingesetzt in die Gleichungen (6.3.1), (6.3.2) gilt
σA(n+1) −A(n)
τ+∇×(ν∇×A(n+1)) + ǫA(n+1) =ei(n+1)
(6.3.10)
!Ωc
A(n+1) −A(n)
τ·edx +Rci(n+1) =u(n+1).(6.3.11)
Wir definieren ¯
A(n+1) := A(n+1) −A(n). Dann folgt aus (6.3.10)
τ−1Mσ¯
A(n+1) +Kµ,ǫ¯
A(n+1) =bi(n+1) −Kµ,ǫA(n)
(6.3.12)
und durch Umformung anschließend
¯
A(n+1) = (τ−1Mσ+Kµ,ǫ)−1(bi(n+1) −Kµ,ǫA(n)).(6.3.13)
Es sei weiterhin bder FEM-diskretisierte Vektor zum Operator ˆ
b. Dann können
wir das Vektorpotenzial ¯
A(n+1) in (6.3.11) einsetzen und erhalten
τ−1bT¯
A(n+1) +Rci(n+1) =τ−1bT(τ−1Mσ+Kµ,ǫ)−1(bi(n+1) −Kµ,ǫA(n))(6.3.14)
+Rci(n+1) =u(n+1).(6.3.15)
Durch Auflösen nach in+1 gilt, dass diese Funktion im Zeitschritt (n+ 1) nur von
den zu dem Zeitpunkt bekannten Skalaren u(n+1) und vom Vektor A(n)durch
i(n+1) =
(bT(τ−1Mσ+Kµ,ǫ)−1b+τRc)−1((τ−1Mσ+Kµ,ǫ)−1(Kµ,ǫA(n)) + τu(n+1))
abhängt. Welche Startwerte A(0) und u(0) = u0wir für unsere numerische Bei-
spiele verwenden, wird in Kapitel 7 erklärt. Dadurch kann jetzt Adurch folgende
Methode gelöst werden:
•Die Startwerte A(0) und u(0) = u0seien gegeben.
121
KAPITEL 6. NUMERIK
•Berechne B= (τ−1Mσ+Kµ,ǫ)−1und s= (bTBb+Rcτ).
•Für n= 0, ..., (nT−1)
1. i(n+1) =s−1(bTBKµ,ǫA(n)+τu(n+1))
2. A(n+1) =B(τ−1MσA(n)+bTi(n+1)).
Um den Rechenaufwand zu vermindern ist es sinnvoll, eine andere Methode zu
verwenden. Für die Berechnung von i(n+1) wurde schon Kµ,ǫmit A(n)multipliziert.
Es ist möglich, dieses unter Punkt 2 auszunutzen und man berechnet zuerst
¯
A(n+1) =B(bi(n+1) −Kµ,ǫA(n))
und anschließend das Vektorpotenzial zum Zeitpunkt n+ 1 durch
A(n+1) =A(n)+¯
A(n+1).
Dadurch benötigen wir in 2. nicht mehr die Multiplikation von τ−1Mσmit A(n),
erhalten aber gleichzeitig eine zusätzliche Addition. Nachdem somit gezeigt wurde,
wie man A(1), . . . , A(nT)berechnen kann, wollen wir dieses auch für die adjungier-
ten Zustände p(n)und q(n)für n= 0, . . . , nT−1zeigen. Vor der Berechnung des
adjungierten Zustandes sind A(0), ..., A(nT)bereits bekannt. Wir verwenden in der
Zeit wieder das implizite Euler-Verfahren und es gilt:
−Mσ
p(n+1) −p(n)
τ+Kµ,ǫp(n)+bq(n+1) −q(n)
τ=−λQM(A(x, t)−A∞(x))
q(n)=bTp(n)
Rc
.(6.3.16)
Wir stellen die Gleichung nach p(n)um und erhalten
p(n)=B(τ−1(b(q(n+1) −q(n)) + Mσp(n+1))−λQ(A(n)−A∞)).(6.3.17)
Einsetzen von pnin (6.3.16) ergibt
q(n)=bTB(τ−1(b(q(n+1) −q(n)) + Mσp(n+1))−λQ(A(n)−A∞))
Rc
.
Das ist äquivalent zu
bTBτ−1bq(n)+Rcq(n)=bTB−1(τ−1(bq(n+1) +Mσp(n+1))−λQ(A(n)−A∞))
und liefert
q(n)=bTB(τ−1(bq(n+1) +Mσp(n+1))−λQ(A(n)−A∞))
bTBτ−1b+Rc
.
Zusammengefasst notieren wir folgende Methode, um pund qzu berechnen:
122
6.3. DIE SPANNUNG ALS STEUERUNG
•Berechne
B=(τ−1Mσ+Kµ,ǫ)−1, s =Rc+τ−1bTBb, sT=bTMσ,δb+Rc.
•Berechne q(nT)=s−1
T(bTM−1
σ,δ(−λT(A(nT)−A∞)).
•Berechne aus der Gleichung (6.3.7) den Endwert
p(nT)=M−1
σ,δ(−bq(nT)−λT(A(nT)−A∞)).
•Für n= (nT−1), ..., 0
1. Berechne
q(n)=s−1bTB(τ−1(bq(n+1) +Mσp(n+1))−λQ(A(n)−A∞)).
2. Berechne
p(n)=B(τ−1(b(q(n+1) −q(n)) + Mσp(n+1))−λQ(A(n)−A∞)).
Damit haben wir jetzt alle benötigten diskreten Gleichungen aufgestellt, um ei-
ne optimale Steuerung uzu berechnen. Das Gradientenverfahren ändert sich im
Gegensatz zu 6.2.3 nur in wenigen Punkten. Der untere Index gibt den Iterations-
schritt im Gradientenverfahren an. Wir benötigen erneut zwei Konstanten α,β>0
für die Abbruchbedingung.
1. Lege eine Anfangssteuerung u0∈Uad fest und berechne dazu die Zustän-
de i0und A0. Setze diese in die adjungierte Gleichung ein und bestimme
die zugehörigen adjungierten Zustände q0und p0. Weiterhin werden die Ab-
bruchkonstanten s0,αund βfestgelegt.
2. Für k= 1,2, . . . bis (||Ak−Ak−1|| <βoder sk−1<α)
2.1 Setze A(x, t) = A(k−1)(x, t)und u(t) = u(k−1)(t).
2.2 Berechne q(k)(t)und p(k)(x, t)mit Hilfe von A(k−1)(x, t).
2.3 Berechne die Abstiegsrichtung d(k)(t)aus dem Gradienten
d(k)(t) = Duf(t) = λUu(k−1)(t)−q(k)(t).
2.4 Berechne das Vektorpotenzial Adfür die Steuerung u(t) := dk(t).
2.5 Die Schrittweite sk=serhalten wir aus
f"P[umin,umax](uk+skdk)$= min
s>0f"P[umin,umax](uk+s dk)$.
2.6 Setze uk=uk−1+skdk.
2.7 Setze Ak=A+skAd.
123
KAPITEL 6. NUMERIK
6.3.2 Ausnutzen von Symmetrieeigenschaften des Vektor-
potenzials
Abbildung 6.1: Testgeometrie im Achtelraum
Nachdem wir gezeigt haben, wie sowohl das Vorwärtsproblem als auch das
Rückwärtsproblem und insgesamt das komplette Optimalsteuerungssystem gelöst
werden können, wollen wir uns an dieser Stelle noch Gedanken zu den geome-
trischen Symmetrieeigenschaften des Modells machen. Wir nehmen an, dass eine
symmetrische Geometrie gegeben ist, siehe zum Beispiel Abbildung 6.1. Dann ist
es sinnvoll, diese Symmetrieeigenschaften auszunutzen, um den numerischen Auf-
wand zu vermindern. In unserem Fall können wir Flächensymmetrien verwenden.
Für den dreidimensionalen Fall hieße dies, dass man nur im Achtelraum rechnen
muss. Es ist kein Problem, die entsprechenden Symmetrieeigenschaften für die
Abbildung 6.2: Testgeometrie im Achtelraum
124
6.3. DIE SPANNUNG ALS STEUERUNG
Ränder zu verifizieren. Diese sind davon abhängig, wie das Vektorpotenzial im
Raum orientiert ist, respektive die magnetische Flussdichte und somit das Vek-
torpotenzial. Für den Fall, dass die magnetische Flussdichte Bsenkrecht auf der
Symmetriefläche steht, muss die Randbedingung
n×µ−1(∇×A) = 0 (Neumann-Randbedingung)(6.3.18)
verwendet werden. Liegt die magnetische Flussdichte parallel zur Symmetriefläche,
also in der Ebene, fordern wir auf diesem Rand
A×n= 0 (Dirichlet-Randbedingung),(6.3.19)
was B·n= 0 impliziert. Warum diese Bedingung sinnvoll ist, findet man zum
Beispiel in [12] ausgeführt. Mit diesen beiden Randeigenschaften genügt es, das
dreidimensionale Problem auf einem Achtelraum zu betrachten, siehe Abbildung
6.2. Dafür verwenden wir auf den Rändern Γ1die Randeigenschaft (6.3.18), da
das Magnetfeld senkrecht auf den Magnetflächen steht und auf Γ2die Bedingung
(6.3.19). Allerdings müssen wir noch den totalen magnetischen Fluss beachten.
Diesen benötigen wir für den Zusammenhang zwischen der Spannung uund dem
Strom iinnerhalb dem Gebiet der Spule. In Kapitel 5 hatten wir die Gleichung
ψ′+Rci(t) = u(t)(6.3.20)
eingeführt. Wenn wir in der Numerik nur auf Teilgebieten arbeiten, gilt
ψ=mψm
mit der Anzahl m∈Nder symmetrischen Teilräume und ψmder totale magne-
tische Fluss auf dem betrachteten Teilraum. Dieses gilt, weil wir in (5.0.2) ein
Integral haben. Wenn wir jetzt unter Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften
nur ein Teilgebiet betrachten, ist die Gleichung (6.3.20) entsprechend anzupassen.
Wir wollen iund uaber unverändert lassen und müssen daher m-mal den magne-
tischen totalen magnetischen Fluss verwenden. Also erhalten wir entsprechend für
die Gleichung (6.3.2) nun
m!Ωc
∂A
∂t·edx+Rci(t) = u(t).
Für den diskreten Fall erhalten wir mit Hilfe von b
mbT¯
A+Rci(t) = u(t).(6.3.21)
125
KAPITEL 6. NUMERIK
Damit muss mauch im numerischen Algorithmus berücksichtigt werden und es
ändern sich die beiden Gleichungen, in denen sund i(n+1) berechnet werden. Die
neuen Gleichungen lauten
s=mbTBb+Rcτ
i(n+1) =s−1(mbTBKµ,ǫAn+τn+1 un+1).
Auch auf das Rückwärtsproblem hat das Einfügen von mAuswirkungen. Wir
müssen min folgende Gleichungen einfügen:
s=Rc+mbTBb
p(nT)=B(mbqnT−λT(A(nT)−A∞))
q(n)=s−1bTB(τ−1(mbq(n+1) +Mσp(n+1))−λQ(A(n)−A∞))
p(n)=B(τ−1(mb(qn+1 −qn) + Mσpn+1)−λQ(A(n)−A∞)).
Wir weisen zum Abschluss noch einmal darauf hin, dass mnur eine skalare Kon-
stante ist und wir somit keine Probleme bezüglichen der Vektoren und Matrizen
vom diskretisierten Problem erhalten.
126
Kapitel 7
Numerische Beispiele
Abschließend diskutieren wir einige numerische Beispiele. Insbesondere betrachten
wir Probleme, die durch die Materialkonstanten auftreten, sowie Parameter vom
Optimierungsalgorithmus und die Diskretisierung in der Zeit und im Ort. Dabei
werden wir sowohl das Problem mit Strom ials Steuerung für (4.8.1), (4.8.2),
(4.8.3) sowie das Problem mit der Spannung uals Steuerung für (5.2.1), (5.2.2),
(5.2.3) bearbeiten.
Wir betrachten zwei unterschiedliche Geometrien, beide ziemlich ähnlich. Sie bein-
halten jeweils drei unterschiedliche Gebiete. Es gibt ein Gebiet für einen elektrisch
leitenden Kern, eins für die Spule und das Rechengebiet, welches durch die Eigen-
schaften der Luft in der Umgebung charakterisiert wird. Es gibt aber einen sehr
entscheidenden Unterschied zwischen beiden Geometrien. Im Gebiet, welches den
Kern darstellen soll, hat die Geometrie 2 einen Schlitz. Mit diesem Schlitz haben
wir ein echtes dreidimensionales Problem, welches nicht durch Zylinderkoordinaten
auf zwei Dimensionen reduziert werden kann. Beide Geometrien sind in der Abbil-
dung 7.1 dargestellt. Obwohl der Schlitz nur 5mm breit ist, hat er einen starken
Einfluss auf die Wirbelströme.
Das Ziel ist es, das Vektorpotenzial zu steuern. Dabei möchten wir von einem
Zustand Ain möglichst kurzer Zeit in einen anderen Zustand A∞wechseln. Für
uns ist insbesondere der Fall interessant, bei dem man aus einem Anfangszustand A
den Zustand −Aansteuert. Weiterhin ist es wichtig, dass der angesteuerte Zustand
in der Zeit danach konstant gehalten werden kann, also für die Zeitableitung A′= 0
ab Erreichen des Zielzustandes gilt. Es sei auch erwähnt, dass die Geometrie 2
nicht in einem Achtelraum betrachtet werden. Symmetrieeigenschaften können nur
ausgenutzt werden, wenn der Schlitz in der Mitte der Symmetrieebene liegt und
auch dann ist es nur im Viertelraum möglich.
127
KAPITEL 7. NUMERISCHE BEISPIELE
(a) Geometrie 1
(b) Geometrie 2
Abbildung 7.1: Die verwendeten Testgeometrien.
7.1 Parabolische Regularisierung
Um numerisch stabile Ergebnisse zu erhalten, wollen wir das Problem in der Glei-
chung
σ∂A
∂t+∇×(ν∇×A) = f=ei(t)in Ω(7.1.1)
regularisieren. Um die verwendete Regularisierung zu erläutern, beschränken wir
uns auf das Problem mit ials Steuerung für (4.7.18). Man kann auch mit dem
Sattelpunktproblem (4.7.19) arbeiten, welches aber einen deutlich höheren nume-
rischen Aufwand erfordert und daher nicht praktikabel ist. Für die Regularisierung
gibt es mehrere Möglichkeiten. Eine Möglichkeit ist eine parabolische Regularisie-
rung. Bei dieser fügen wir einen Regularisierungsparameter vor die Zeitableitung
des Vektorpotenzials ein. Das heißt, wir verwenden in der Gleichung (7.1.1) statt
σein σǫ:= max{σ,ǫ}mit ǫ>0. Wir erhalten die Gleichung
σǫ
∂A
∂t+∇×(ν∇×A) = ei(t)in Ω,
welche wir auch im Abschnitt 4.8.2 verwenden. Analytisch stellt diese Regulari-
sierung kein Problem dar. Wir haben nur noch den parabolischen Fall, den wir
in den Abschnitten 4.6 und 4.8.2 betrachtet haben. Weitere Vorteile sehen wir im
Zielfunktional. Dieses war durch
(7.1.2)
min F(A, i) =λT
2!Ω
|A(T)−A0|2dx +λQ
2!Q
|A(t)−A0|2dx dt
+λU
2!T
0
i(t)2dt
128
7.1. PARABOLISCHE REGULARISIERUNG
Abbildung 7.2: Geometrie 1 mit B-Feld
gegeben. Für den Teil, der nur im letzten Zeitpunkt Tbewertet wird, benötigen
wir die Stetigkeit der Lösung Ain der Zeit. Diese ist aber für das Gebiet mit
σǫgegeben, so dass A(T)auf ganz Ωdefiniert ist. Mit der selben Argumentation
können wir auch einen Startwert A(0) auf ganz Ωvorgeben. Leider bekommen wir
mit dieser Regularisierung numerische Probleme. Wir konnten beobachten, das für
t→ ∞auch )A(t))L2(Ω)gegen ∞strebt. Dieses wollen wir genauer dokumentieren.
Durch die Verwendung von σǫanstatt von σ, verändern wir die Massenmatrix. Es
wird nun Mσǫverwendet. Die Matrix Mσǫist analog zu Mσin Abschnitt 6.2.1
definiert. Es ist die zur Bilinearform
/Mσǫ(A),ψ0:= !Ω
σǫA·ψdx
gehörige Matrix. Wir verwenden die Geometrie 1 und wenden eine konstante Steue-
rung i(t) = ikonstant an. Wir fixieren die Parameter und schauen uns die L2-Norm
vom Vektorpotenzial Aan. Natürlich ist es wichtig, in welcher Größenordnung ǫ
liegt. Es ist zu beachten, dass für ein zu kleines ǫdie Matrix Mσǫsehr schlecht
konditioniert ist. Wählen wir hingegen ǫsehr groß, ist der Einfluss auf die linke
Seite der Gleichung (7.1.1) groß. Daher führen wir eine Parameter-Studie für ǫ
durch. Wir verwenden ǫ= 0.01,1,10,100 bei σ= 106. Wir sehen, dass für
beliebiges σǫdie L2-Norm vom Vektorpotenzial Afür t→ ∞ auch gegen unend-
129
KAPITEL 7. NUMERISCHE BEISPIELE
||A||L2(Ω)
ǫ= 0,1
ǫ= 1; 10
t
(a) L2-Norm vom Vektorpotenzial Afür
σǫ>0mit ǫ= 0.01,1,10 für ein kon-
stantes i
||A||L2(Ω)
ǫ= 100
ǫ= 106
t
(b) L2-Norm vom Vektorpotenzial Afür
σǫ>0mit ǫ= 100,106für ein konstan-
tes i
Abbildung 7.3: L2-Norm vom Vektorpotenzial Afür ein konstantes i
lich strebt. Je kleiner ǫist, um so größer ist der Anstieg. Aber auch für ǫ= 100
wächst die Norm. Dieses können wir aus der rechten Seite der Abbildung 7.3 ent-
nehmen. Die durchgezogene Kurve ist mit ǫ= 100 und die gestrichelte mit ǫ= 106
berechnet, welche beide monoton ansteigen. Wir legen die Parameter folgenderma-
ßen fest. Die Schrittweite sei durch dt = 0.0001 und die elektrische Leitfähigkeit
σ= 106gegeben. Die Permeabilität sei mit µr= 4000 gegeben. Leider ist der
Effekt, dass für σ1= 0 die L2-Norm vom Vektorpotenzial ansteigt auch von der
Zeitschrittweite unabhängig. Um dieses zu überprüfen, fixieren wir noch einmal
alle Parameter, setzen ǫ= 10 und verwenden unterschiedliche Zeitschrittweiten.
Wir wählen dt = 0.01,0.001,0.0001. Wir erhalten für diese Zeitschrittweiten die
gleichen Normen von A. Wir verzichten auf eine Abbildung, da die drei Graphen
für die unterschiedlichen Zeitschrittweiten übereinander liegen und man aus einem
Bild keine neuen Informationen entnehmen kann.
Fazit: Diese Art der Regularisierung ist für die von uns behandelten Probleme
ungeeignet.
7.2 Elliptische Regularisierung
Als Nächstes diskutieren wir eine zweite Möglichkeit der Regularisierung. Bei dieser
fügen wir in die Zustandsgleichung (7.1.1) auf der linken Seite ǫAmit ǫ>0hinzu
und erhalten
σ∂A
∂t+∇×(ν∇×A) + ǫA=f=ei(t)in Ω.(7.2.1)
Auch in diesem Fall bleiben die Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen aus den Ka-
piteln 4 und 5 richtig. Insbesondere gilt der Satz 4.12, der aussagt, dass für ǫ→0
130
7.3. BERECHNUNG EINES GEWÜNSCHTEN ZIELZUSTANDES
!"
!
Abbildung 7.4: L2-Norm vom Vektorpotenzial für eine konstante Steuerung
die Norm )A−Aǫ)gegen null strebt, wobei Aǫdie Lösung zum regularisierten
Problem darstellt. Durch diese Regularisierung erreichen wir eine hohe numerische
Stabilität. Als Erstes zeigen wir die Stabilität der L2-Norm vom Vektorpotenzial
für die Berechnung des Vektorpotenzials Amit der regularisierten Zustandsglei-
chung (7.2.1).
Ein weiterer interessanter Aspekt ist, dass wir für eine divergenzfreie Steue-
rung feine divergenzfreie Lösung Aerhalten. Es sei auch erwähnt, dass wir mit
der Regularisierung ǫAstabile Ergebnisse erhalten, auch wenn wir zusätzlich die
parabolische Regularisierung ǫ1A′einfügen. Ein Beispiel für eine numerische Be-
rechnung mit beiden Regularisierungen sehen wir in 7.4. Wir sehen, dass die Norm
von Ain der Zeit gegen die Norm von einem A∞konvergiert. Wir wollen aber
im weiteren von einer Regularisierung der Zeitableitung absehen. An dieser Stel-
le sei erwähnt, dass es auch möglich ist γ∇∇·Aals Regularisierungsterm in die
Zustandsgleichung (7.1.1) einzufügen. Dann gilt für das Vektorpotenzial Adie
Gleichung
∇×(ν∇×A) + γ∇∇·A=ei(t).
Wir sehen davon ab, da auch diese Methode zu numerischen Problemen führen
kann. Ein Beispiel, dass eine Lösungsmethode eine numerische Lösung berechnet,
welche aber nicht gegen die analytische Lösung konvergiert, ist in [34] dargestellt.
7.3 Berechnung eines gewünschten Zielzustandes
Diesen Abschnitt wollen wir nutzen, um kurz zu erklären, wie wir einen zur Pro-
blemstellung passenden Zielzustand A∞berechnen können. Da wir einen Zielzu-
131
KAPITEL 7. NUMERISCHE BEISPIELE
stand verwenden müssen, den wir mit unseren numerischen Methoden erreichen
können, liegt es nahe A∞numerisch zu berechnen. Dafür gehen wir wie folgt vor:
Wir berechnen ein Vektorpotenzial Amit einer konstanten Steuerung ifür das
Anfangswertproblem (5.2.2) mit i∈Iad wie in (4.8.3) definiert. Diese Steuerung
soll ungleich null sein und wir verwenden als Startwert A0=0. Die Idee ist,
solange mit der konstanten Steuerung weiter zu rechnen, bis wir numerisch eine
zeitlich de facto stationäre Lösung erhalten. Das heißt, wir suchen einen Zeitpunkt
tend mit ||∂A
∂t(tend)|| <δ, wobei δsehr klein ist. Wir verwenden δ= 10−8. Damit
haben wir A∞:= A(tend)gefunden, welches wir ansteuern können und das zu
einer Steuerung igehört. Analog gehen wir für das Optimalsteuerungsproblem
mit Steuerung uvor. Wir starten erneut mit A(0) = 0 und setzen i(0) = 0. Wir
lösen das Anfangswertproblem (5.2.2) mit einer konstanten Steuerung u1= 0 und
u∈Uad wie in (5.2.3). Somit können wir den numerisch berechneten Zielzustand
A∞:= A(tend)verwenden.
Eine andere Möglichkeit wäre, den Zielzustand A∞aus dem elliptischen Wir-
belstromproblem zu berechnen. Dafür betrachten wir das Problem mit der Steue-
rung uaus (5.2.1), (5.2.2), (5.2.3). Im elliptischen Fall ist A′(t) = 0 für alle
t∈(0, T)und aus der zweiten Gleichung von (5.2.2) folgt
i=u
Rc
.(7.3.1)
Setzen wir ijetzt in die erste Gleichung (5.2.2) ein, gilt
∇×(ν∇×A) + ǫA=eu
Rc
.(7.3.2)
Die Lösung dieser Gleichung für ein festes ¯usei ¯
A. An dieser Stelle kommt die Fra-
ge auf, ob für das Optimalsteuerungssystem (5.2.1),(5.2.2), (5.2.3) auch A∞=¯
A
verwendet werden kann. Wenn dieses sinnvoll ist, können wir den numerischen
Aufwand des Lösens des parabolischen Problems für den Anfangswert sparen
und müssten nur eine elliptische Gleichung lösen. Um diese Frage zu beantwor-
ten, vergleichen wir die Lösungen ¯
Afür die Gleichung (7.3.2) sowie die Lösung
A∞vom Gleichungssystem (5.2.2) mit Anfangswert A0= 0 mit ihren jeweili-
gen Steuerungen ¯u=u∞(t) = 1. Als Abbruchkriterium für A∞verwenden wir
||∂A∞
∂t(tend)|| <10−8. Wir wollen uns ||A∞−¯
A|| für verschiedene Werte des Re-
gularisierungsparameters ǫanschauen. In der Abbildung 7.5 ist zu sehen, dass für
kleine ǫder relative Fehler stark ansteigt. Dieser ist auch für ǫ= 1 ziemlich groß.
Daher ist es nicht ratsam, die Lösung des elliptischen Problems als Zielzustand zu
verwenden.
132
7.4. NUMERISCHES BEISPIEL FÜR DEN STROM I ALS STEUERUNG
)¯
A−A∞)
ǫ
Abbildung 7.5: L2-Norm von ¯
A−A∞für eine konstante Steuerung
7.4 Numerisches Beispiel für den Strom i als Steue-
rung
Wir betrachten das Optimalsteuerungsproblem aus Kapitel 4 Abschnitt 4.8. Wir
wollen die optimale Steuerung für das Problem
min F(A, i) =λT
2!Ω
|A(T)−A∞|2dx +λQ
2!Q
|A(t)−A∞|2dx dt
+λI
2!T
0
i2dt
mit Nebenbedingungen
σ∂A
∂t+∇×(µ−1∇×A) + ǫA=ei(t)in Q=Ω×(0, T)
n×A= 0 auf Σ=∂Ω×(0, T)
A(0) = −A0in Ω
sowie
i∈Iad := {i∈L2(0, T) : imin ≤i(t)≤imax für fast alle t∈[0, T]}
numerisch bestimmen. Wir werden keine komplette Diskussion der numerischen
Ergebnisse durchführen, sondern nur einen sinnvollen Parametersatz angeben und
eine Lösung für die Geometrie 1 zeigen.
Wir definieren die Parameter wie folgt: Wir wählen im Eisenkern und der Spule
σ= 106und sonst null. Für die relative Permeabilität soll im Eisenrohr 4000 µ0
gelten und sonst µ0, welches in (3.1.6) definiert ist. Der Zielzustand A∞wird wie
in Abschnitt 7.3 mit der konstanten Steuerung i= 1 berechnet und der Anfangs-
wert ist A0= 0. Wir verwenden Hcurl-konforme Elemente zweiter Ordnung sowie
133
KAPITEL 7. NUMERISCHE BEISPIELE
i[A]
t
(a) Steuerung i
||A−A∞||
t
(b) L2-Norm von A−A∞
Abbildung 7.6: Steuerung iund L2-Norm von A−A∞für die einzelnen Iterationen
des Gradientenverfahrens
das implizite Euler-Verfahren mit 3000 Zeitschritten und ∆t≈10−5. Diese kleine
Zeitschrittweite wird benötigt, da das Problem sehr sensitiv bezüglich der Steue-
rung ist. Dieses muss insbesondere im Zeitintervall, in dem die Steuerung von der
oberen Schranke abfällt, beachtet werden. Zusätzlich wird aber ein großes Zeitin-
tervall benötigt, da die Steuerung nur sehr langsam in einen de facto stationären
Zustand übergeht. Daher werden sehr viele Zeitschritte benötigt. Weitere Para-
meter sind λT= 102,λQ= 105und λU= 10−3. Die Schranken für die Steuerung
seien durch imax := 1,2und imin := 1,2gegeben. Wir betrachten die Abbildung
7.6, in der die einzelnen Iterationen des Gradientenverfahrens abgebildet sind. Im
linken Bild ist der Strom ifür die einzelnen Gradienteniterationen abgetragen und
auf der rechten Seite ||A(t)−A∞||L2(Ω)für die ersten Gradientenschritte. Für die
Steuerung ierhalten wir ein zu erwartendes Ergebnis. Die Steuerung liegt am An-
fang erst auf der oberen Schranke imax und geht dann auf den Haltezustand i= 1.
Für ||A(t)−A∞||L2(Ω)sehen wir, dass der Term gegen null strebt, sprich das Vek-
torpotenzial A(t)gegen A∞in der L2-Norm wie gewünscht konvergiert. Weiterhin
ist gut zu erkennen, dass schon die ersten Iterationen der Lösung ziemlich nahe
kommen und es dann nur noch sehr kleine Veränderungen gibt. Dieses Verhalten
ist sehr typisch für das Gradientenverfahren. Wir werden uns an dieser Stelle mit
diesem Resultat begnügen, da das zweite Modell mit uals Steuerung wesentlich
interessanter ist.
134
7.5. NUMERISCHE BEISPIELE MIT DER SPANNUNG U ALS STEUERUNG
!"
λQ= 105,106,107,109
λQ= 103
λQ= 1
Abbildung 7.7: Die Norm von A−A∞
7.5 Numerische Beispiele mit der Spannung u als
Steuerung
Nun befassen wir uns mit dem Problem (5.2.1), (5.2.2) und (5.2.3). Auch für dieses
Problem erarbeiten wir sinnvolle Parameter λT,λQund λUfür unser Zielfunktio-
nal J. Da der Parameter λQfür uns der Wichtigste ist, setzen wir zuerst λT= 1
und λU= 1. Im Folgenden vergleichen wir einige verschiedene Lösungen für un-
terschiedliche λQ. Wir beschränken uns dabei auf die Auswertung der Steuerung
uselbst. In der Abbildung 7.7 sehen wir, dass für ein zu klein gewähltes λQdas
Vektorpotenzial Anicht gegen A∞konvergiert. Der Einfluss vom mittlerem Term
λQ
23T
03Ω|A−A∞|2dxdtaus dem Zielfunktional ist zu gering. In der linken Ab-
bildung von 7.8 sind die Steuerungen uin Abhängigkeit von λQabgetragen. Für
zu kleine λQerreicht die Steuerung nicht die obere Grenze. Mit steigendem λQ
gewinnt der mittlere Term aber an Gewicht und wir erhalten den gewünschten
Effekt. Die gepunkteten Lösungen wurden für die Parameter λQ= 106,107,109
berechnet. Es ist gut zu erkennen, dass sich zwischen den Werten λQ= 106und
λQ= 109kaum noch Unterschiede feststellen lassen. Wir sehen, dass es für diese
Parameter kaum noch Unterschiede gibt, während für kleinere λQ, die in der Ab-
bildung mit den durchgezogenen Kurven dargestellt sind, die Steuerung nicht ihre
charakteristische Form erhält. Die durchgezogenen Kurven wurden mit λQ= 1,103
und 105berechnet. Auf der rechten Seite der Abbildung 7.8 finden wir die dazu-
gehörigen Zustände i. Hier ist zu erkennen, dass für große λQdie Zustände irecht
schnell gegen ein Haltelevel konvergieren, während für kleine λQdieses Level nicht
erreicht wird. Sowohl bei den Steuerungen uals auch bei den Zuständen ikönnen
wir nahe des Endzeitpunktes t= 1.5erkennen, dass sie abfallen. Dieses hängt
damit zusammen, dass die Bedingung, dass )A−A∞)2klein sein soll, nur über
einen Integralterm eingebracht wird, der vom Ort und der Zeit abhängt. Dieses
Verhalten werden wir mit dem Parameter λTzum Schluss der Parameterdiskussi-
on verhindern. Zusätzlich wollen wir noch einen Blick auf die Norm von A−A∞
135
KAPITEL 7. NUMERISCHE BEISPIELE
t
λQ= 1
λQ= 103
λQ= 105
λQ= 106,107,109
u
(a) Steuerung ufür verschiedene λQ
t
λQ= 1
λQ= 103
λQ= 105
λQ= 106,107,109
i
(b) Zustand ifür verschiedene λQ
Abbildung 7.8: Spannung uund Strom iin Abhängigkeit von λQ
werfen. In der Abbildung 7.7 ist diese abgetragen und wir können der Abbildung
entnehmen, dass für große λQdie Norm sehr schnell klein wird und wir den ge-
wünschten Zielzustand erreichen.
Ähnlich wollen wir jetzt für λUvorgehen. Wir setzen die Parameter λTund
λQaus dem Ziefunktional fest auf 1 und variieren nur λU. Wenn wir λUzu groß
wählen, bleibt die Steuerung ungefähr bei null und das Vektorpotenzial Akommt
nicht in die Nähe unseres gewünschten Zustandes A∞. Je kleiner wir λUwäh-
len, desto weniger kostet die Steuerung und wir sehen, dass das Vektorpotenzial
Aauf A∞gesteuert wird. Allerdings dürfen wir λUauch nicht zu klein wählen,
da wir sonst numerische Instabilitäten in unseren Simulationen erhalten. Wir ha-
ben in Kapitel 4 ausgeführt, dass wir λU>0für die Existenz einer eindeutig
bestimmten optimalen Steuerung benötigen. Bei der Wahl λU= 0 erhalten wir
trotzdem die Existenz einer unter Umständen nicht eindeutigen optimalen Steue-
rung. Wir können im Gradientenverfahren auch mit λU= 0 rechnen. Dies liegt an
dem Gradienten-Verfahren. Im Algorithmus aus Kapitel 6 in 6.3.1 verwenden wir
für die Abstiegsrichtung
d(k)(t) = Duf(t) = λUu(k−1)(t)−q(k)(t).
Der Parameter λUgibt in dieser Gleichung an, wie viel Einfluss die Steuerung aus
dem letzten Iterationschritt auf die Steuerung im aktuellen Iterationsschritt hat.
Setzen wir λU= 0, so wird die Abstiegsrichtung nur aus dem aktuellen adjungier-
ten Zustand qmit
d(k)(t) = Duf=−q(k)(t)
berechnet. Es hat sich gezeigt, dass es Sinn macht, λQund λUin einem bestimmten
Verhältnis zu wählen. Natürlich könnte man auch λU= 1 fixieren und λQso
136
7.6. VERGLEICH DER NUMERISCHEN LÖSUNGEN DER
VERWENDETEN GEOMETRIEN
groß wählen, so dass der Zustand das Ziel A∞erreicht wird. Dafür benötigen wir
extreme Größenordnungen im Bereich >107für λQ. Der Parameter λQgeht bei
uns in den adjungierten Zustand pdurch
−σ∂p
∂t(x, t)+∇×(µ−1∇×p(x, t))+ǫp(x, t)−e(x)q(t)′=−λQ(A(x, t)−A∞(x))
ein. Dadurch erhalten wir aber auch eine sehr große Norm von p, was einen Einfluss
auf die zu wählende Schrittweite für die Abstiegsrichtung hat, die sehr klein wird.
Wenn wir umgekehrt zum Beispiel einfach λQ= 1 wählen und λUsehr klein werden
lassen, verlieren wir den glättenden Effekt der Steuerung aus der vorherigen Ite-
ration des Optimierungsverfahrens. Daher bietet es sich an, die Größenordnungen
auf beide Parameter zu verteilen. Damit haben wir auch die besten numerischen
Erfahrungen.
Nachdem wir uns mit λQund λUauseinandergesetzt haben, wählen wir ein
passendes Verhältnis zwischen beiden. Wir setzen λQ= 105und λU= 10−2. Jetzt
wollen wir noch λTbetrachten. Der Term im Zielfunktional hängt nicht vom Zeit-
intervall [0, T]sondern nur vom Endzeitpunkt Tab. Da die Ergebnisse analog zu
der Diskussion im Kapitel 2 für λTsind, verzichten wir darauf.
7.6 Vergleich der numerischen Lösungen der ver-
wendeten Geometrien
Wir haben am Anfang zwei unterschiedliche Testgeometrien vorgestellt (siehe Ab-
bildung 7.1). Wir wollen jetzt analysieren, wie sich der Schlitz im magnetisch lei-
tenden Gebiet auf die Steuerung uauswirkt. Dafür verwenden wir wieder unsere
Standardeinstellungen für die Parameter. Wir führen für beide Geometrien jeweils
eine Optimierung durch und vergleichen die Ergebnisse. Dafür betrachten wir die
Abbildung 7.9. Hier ist mit der durchgezogenen Linie der Graph für die Geome-
trie 1 abgetragen und die gestrichelte Kurve entspricht der Optimierung für die
Geometrie 2. Wir sehen, dass die Unterschiede nur gering ausfallen. Es ist für die
Steuerungen uals auch für die Zustände idie Struktur beider Lösungen ähnlich.
Gleiches gilt für die Norm der Vektorpotenziale A, wie wir aus der Abbildung 7.10
entnehmen können. Dennoch gibt es signifikante Unterschiede. Die Steuerung u
bleibt für die Geometrie 2 deutlich länger auf der oberen Schranke als die Steue-
rung für die Geometrie 1. Warum, das sehen wir beim Zustand i. Der Zustand ifür
die Geometrie 1 steigt schneller an als für die Geometrie 1. Der Grund dafür sind
die Ausbildungen der Wirbelströme innerhalb des Gebietes mit σ>0. Demzufolge
konvergiert auch |A−A∞|für die Geometrie 1 langsamer gegen null als für die
Geometrie 2. Allerdings muss man vorsichtig mit diesem Vergleich sein. Wie wir in
der Abbildung 7.10 sehen, ist der Ausgangswert |A(0)−A∞|für beide Geometrien
137
KAPITEL 7. NUMERISCHE BEISPIELE
t
u
(a) Steuerung u
t
i
(b) Zustand i
Abbildung 7.9: Steuerung uund Zustand i, wobei die durchgezogene Kurve für die
Geometrie 1 und die gestrichelte für die Geometrie 2 steht.
t
||A−A∞||
Abbildung 7.10: Die L2-Norm von A−A∞, wobei die durchgezogene Kurve für
die Geometrie 1 und die gestrichelte für die Geometrie 2 steht.
unterschiedlich. Für die Geometrie 2 ist der Ausgangswert deutlich höher als für
die Geometrie 1 und konvergiert daher auch langsamer.
7.7 Optimierung für den magnetischen Fluss B
In den vorherigen Beispielen wurde das Vektorpotenzial Aim Zielfunktional be-
trachtet. Eigentlich sind wir aber am aus B=∇×Aresultierenden magnetischen
138
7.7. OPTIMIERUNG FÜR DEN MAGNETISCHEN FLUSS B
Fluss interessiert. Daher verändern wir das Zielfunktional zu
min F(A, u) =λT
2!Ω1∪Ωc
|∇×A(T)−B∞|2dx
+λQ
2!Q
|∇×A(t)−B∞|2dx dt
+λU
2!T
0
u(t)2dt
mit B∞:= ∇×A∞. Dadurch verändert sich das numerische System wie folgt. Die
Vorwärtsgleichung, um das Vektorpotenzial Azu lösen, bleibt von der Änderung
im Zielfunktional unberührt. Bei der Berechnung des adjungierten Zustandes spielt
das Zielfunktional eine Rolle. Der Unterschied liegt in der Ableitung von F. Es gilt
DAF(A, u)h=λT!Ω1∪Ωc
[∇×(A(T)−A∞)] ·∇×h(T)dx
+λQ!Ω
[∇×(A(t)−A∞)] ·∇×h(t)dx dt.
Eingesetzt in die adjungierten Gleichungen (5.2.12) und (5.2.14) erhalten wir
−σ∂p
∂t(x, t) + ∇×(ν∇×p(x, t)) + ǫp(x, t)−e(x)q(t)′
=−λQ∇×(∇×A(x, t)−B∞(x))
σp(x, T) + e(x)q(T) = −λT∇×(∇×A(x, T)−B∞(x)).
Für dieses Problem wurde in dieser Arbeit keine Analysis betrachtet, da es den
Rahmen gesprengt hätte. Daher verwenden wir diese adjungierten Gleichungen
nur formal. Die numerischen Ergebnisse unterscheiden sich kaum von denen mit
der L2-Norm aus Abschnitt 7.5. Die Struktur der Lösungen ist wieder sehr ähnlich
und scheint nur zeitlich etwas verschoben. Zuerst konzentrieren wir uns auf die
Steuerung uund betrachten die Abbildungen 7.11, 7.12 und 7.13. In diesen ist
mit der rot durchgezogenen Kurve die Steuerung für das B-Feld abgetragen und
schwarz gestrichelt für das Vektorpotenzial A.
In der Abbildung 7.11 können wir zwischen beiden Steuerungen kaum einen
Unterschied ausmachen. Daher betrachten wir den Zeitbereich, in dem die beiden
Steuerungen quasi konstant werden. In der Abbildung 7.12 ist der Unterschied
zwischen beiden Steuerungen deutlich sichtbar. Obwohl die Steuerung für die Op-
timierung des B-Feldes die obere Schranke deutlich eher verlässt und absinkt,
139
KAPITEL 7. NUMERISCHE BEISPIELE
!"
Abbildung 7.11: Steuerung ufür das Zeitintervall t∈(0,1). In rot ist die optimale
Steuerung für ein optimales Bund in schwarz für ein optimales Aabgetragen.
!"
Abbildung 7.12: Steuerung uauf dem eingeschränkten Zeitintervall (0,0.5). In rot
ist die optimale Steuerung für ein optimales Bund in schwarz für ein optimales
Aabgetragen.
140
7.8. PERIODISCHE STEUERUNG
!"
Abbildung 7.13: Steuerung uauf dem eingeschränkten Wertebereich (5.6,6.45). In
rot ist die optimale Steuerung für ein optimales Bund in schwarz für ein optimales
Aabgetragen.
erreicht diese deutlich später den fast konstanten Zustand. Auf den ersten Blick
sieht es so aus, als ob es nur ein Unterschwingen unter den dann eintretenden kon-
stanten Zustand gibt. Dieses täuscht aber, was wir der Abbildung 7.13 entnehmen.
In dieser betrachten wir noch einmal einen größeren Zeitbereich und konzentrieren
uns aber auf den Wertebereich von 5,5bis 6,5für die Steuerungen u. Wir kön-
nen der Abbildung deutlich entnehmen, dass es nach dem Unterschwingen beider
Steuerungen zu einem Überschwingen kommt und beide Steuerungen von oben auf
die konstante Steuerung vom Wert 6sinken. Dieses Schwingen der Steuerungen hat
natürlich Auswirkungen auf den Zustand i, wobei diese nur sehr gering sind. Wäh-
rend wir in der Abbildung 7.14 keine Unterschiede ausmachen können, stellt sich
die Situation in den vergrößerten Abbildungen deutlich anders dar. Insbesondere
in der Abbildung 7.16 können wir gut erkennen, dass die Zustände ianalog zu
den Steuerungen nicht direkt auf den Haltezustand gehen, sondern einschwingen.
Der Zustand ivon der Optimierung des B-Feldes erreicht deutlich langsamer das
Wertegebiet des Haltezustandes. Es ist auch ein deutlich größeres Überschwingen
zu erkennen. Danach kommt es zu einem Unterschwingen bevor der Haltezustand
endgültig ereicht wird.
7.8 Periodische Steuerung
Zum Abschluss schauen wir uns ein Modell an, in dem wir mehrmals zwischen
zwei verschiedenen Zuständen hin und her steuern. Bis dato hatten wir uns darauf
beschränkt, vom Zustand A(0) = 0 auf ein vorher festgelegtes A∞zu steuern.
Jetzt betrachten wir, wie sich die Steuerung und der Zustand verhalten, wenn wir
mehrmals zwischen A∞und −A∞umschalten. Um dieses zu realisieren, müssen
141
KAPITEL 7. NUMERISCHE BEISPIELE
!"
Abbildung 7.14: Zustand iim Zeitintervall (0,1). In rot ist die optimale Steuerung
für ein optimales Bund in schwarz für ein optimales Aabgetragen.
!"
Abbildung 7.15: Zustand iin dem eingeschränkten Zeitbereich (0,0.3) und Werte-
bereich (0.56,0.64). In rot ist die optimale Steuerung für ein optimales Bund in
schwarz für ein optimales Aabgetragen.
142
7.8. PERIODISCHE STEUERUNG
!"
Abbildung 7.16: Zustand iin dem eingeschränkten Zeitbereich (0,0.4) und Werte-
bereich (0.58,0.62). In rot ist die optimale Steuerung für ein optimales Bund in
schwarz für ein optimales Aabgetragen.
wir einige Änderungen im Zielfunktional Fvornehmen. Wir verwenden als zu
minimierendes Zielfunktional
(7.8.1)
min F(A, i) = λT
2!Ω1
|A(T)−A∞|2+!T
0
u(t)2dt
+λQ
20!Ω!t1
0
|(A(t)−A∞)|2
H(curl)dx dt
+!Ω!t2
t1
|(A(t)+A∞)|2
H(curl)dx dt
+!Ω!T
t2
|(A(t)−A∞)|2
H(curl)dx dt2
mit t1und t2sind Vielfache von ∆t. Wir sehen, dass wir nur den Term mit
dem Parameter λQaufspalten müssen. Die Analysis bleibt für solche Probleme
weiterhin richtig, da wir keine Veränderung an den Räumen oder Steuerungs-
Zustandsoperatoren vorgenommen haben, beziehungsweise alle benötigten Eigen-
schaften an Fweiterhin erfüllt sind. Dieses haben wir nicht explizit im Theorieteil
im Abschnitt 5 betrachtet. In diesem Kapitel hängt A∞nur vom Ort ab, während
in der Gleichung (7.8.1) A∞zusätzlich von der Zeit abhängt. Dennoch betrach-
ten wir die numerischen Ergebnisse für die unterschiedlichen Zeitintervalle. Wir
können bei der Optimierung mit einem Intervall den Zielzustand nur bis auf einen
numerischen Fehler exakt berechnen. Daher gibt es einen Unterschied, ob man
die Optimierung dreimal separat für ein Zeitintervall ausführt oder die Intervalle
direkt in einer Berechnung gekoppelt sind. Einen weiteren Unterschied sieht man
direkt im Zielfunktional 7.8.1. Im Zeitintervall (0, t1)wird der Zustand Avon 0
143
KAPITEL 7. NUMERISCHE BEISPIELE
!
!
t
u t1t2
Abbildung 7.17: Optimale Steuerung ufür drei Zeitintervalle
auf A∞gesteuert. Im Zeitintervall (t1, t2)soll der Zustand auf −A∞umgeschaltet
werden und im Intervall (t2, T)wieder zurück auf A∞. Damit sind die Lösungen in
den einzelnen Zeitintervallen gekoppelt und bedingen sich gegenseitig. Als Erstes
betrachten wir die Steuerung u. In der Abbildung 7.17 sieht man, dass die Steue-
rung am Anfang erneut auf der oberen Schranke umax liegt und danach auf eine
Haltespannung abfällt. Konzentrieren wir uns als nächstes auf den Umschaltpunkt
t1und betrachten die Abbildung 7.18 in der die Steuerung im Zeitbereich um den
Zeitpunkt t1abgebildet ist. Wir erkennen, dass die Steuerung schon deutlich vor
dem Umschaltpunkt den Haltezustand verlässt und auf die untere Grenze geht.
Auch hier nimmt die Steuerung nicht den direkten Weg. Es ist als erstes wieder
ein Überschwingen zu sehen, bevor die Steuerung auf die untere Schranke geht.
Beim erneuten Übergang auf u=−6ist ein leichtes Überschwingen zu erkennen,
bevor die Steuerung wieder konstant wird. Ab jetzt erkennen wir das periodische
Verhalten. Die Steuerung bleibt konstant bis zum nächsten Umschaltpunkt. Wir
betrachten als Nächstes i. Hier tritt das gleiche Verhalten wie im Beispiel 7.5 auf,
wobei dieses Verhalten jetzt über mehrere Perioden auftritt, wie wir der Abbil-
dung 7.19 entnehmen können. Hier sehen wir im linken Bild, wie der Zustand i
über die drei Perioden hinweg der Steuerung ufolgt und im Zeitintervall (0, t1)von
0auf einen Haltezustand ansteigt. Beim Umschaltpunkt t1geht der Zustand dann
auf den negativen Haltezustand wie im Detail im rechten Bild der Abbildung 7.19
abgetragen ist. Am Umschaltpunkt t2setzt sich dieses Verhalten periodisch fort.
Analog kann man die Resultate auf das Vektorpotenzial ausweiten, wobei man hier
in der Übersicht über drei Perioden in der rechten Abbildung 7.20 nur sehr wenige
Informationen entnehmen kann. Im rechten Bild wird wieder der Umschaltpunkt
Tgenauer betrachtet.
144
7.8. PERIODISCHE STEUERUNG
!
!
t
u t1
Abbildung 7.18: Optimale Steuerung uim Zeitbereich des ersten Umschaltpunktes
!
!
t
i t1t2
(a) Optimaler Zustand ifür 3 Zeitintervalle
!
!
t
i t1
(b) Optimaler Zustand iim Zeitbereich des
ersten Umschaltpunktes
Abbildung 7.19: Zustand iim Zeitbereich des ersten Umschaltpunktes
145
KAPITEL 7. NUMERISCHE BEISPIELE
t
XA,A∞t1t2
(a) Auswertung des optimalen Zustandes A
im gesamten Zeitintervall
t
t2
XA,A∞
(b) Auswertung des optimalen Zustandes A
im Zeitbereich des ersten Umschaltpunktes
Abbildung 7.20: Auswertung des optimalen Zustandes Amit Hilfe von XA,A∞:=
X(0,t1)|A−A∞|H(curl)+X(t1,t2)|A+A∞|H(curl)+X(t2,T )|A−A∞|H(curl). Dabei sei
X(a,b)die charakteristische Funktion auf dem Intervall (a, b).
7.9 Benötigte Rechenzeiten
Zum Abschluss geben wir noch einen Überblick über die benötigte Rechenzeit. Die
technische Grundlage war hierfür ein DuoCore-Prozessor mit 2Ghz Geschwindig-
keit mit einem Arbeitsspeicher von 8GB. Es gibt zwei Punkte, die für die zeitliche
Dauer entscheidend sind. Zum einen, ob man das Problem(7.4) mit ials Steue-
rung oder (7.5) mit uals Steuerung betrachtet. Wir beschränken uns hierbei auf
das Problem mit uals Steuerung. Der Aufwand für das Problem mit uals Steue-
rung ist höher, da die beiden Zustände iund Aberechnet werden müssen, sowie
die beiden adjungierten Zustände pund q. Der zweite Punkt ist die Anzahl der
Freiheitsgrade in der Berechnung, welche einen deutlich größeren Einfluss haben.
Des Weiteren besteht die numerische Berechnung aus drei Teilen. Der erste Teil
ist die Berechnung der inversen Matrix (siehe Abschnitt 6.3.1). Der zweite Teil ist
die Dauer einer zeitlichen Vorwärts- und Rückwärtsrechnung. Diese beiden Rech-
nungen unterscheiden sich zeitlich kaum, weil die selbe Anzahl von Zeitschritten
benötigt sowie die gleichen Matrizen und Vektoren verwendet werden. Der dritte
Teil ist die Anzahl der benötigten Iterationsschritte des Optimierungsverfahrens.
Diese Anzahl variiert, so dass wir hierfür keine Betrachtung vornehmen. Die An-
zahl der benötigten Iterationsschritte ist insbesondere vom Startwert abhängig.
In der Tabelle 7.1 ist die benötigte Zeit für die Matrixinvertierung sowie für die
Vorwärtsgleichung abhängig von den Freiheitsgraden abgetragen. Hintergrund ist
das in 7.5 betrachte Problem mit 1500 Zeitschritten.
146
7.9. BENÖTIGTE RECHENZEITEN
# Freiheitsgrade Matrixinvertierung in Sek. Vorwärtsgleichung in Sek.
15 000 2 44
30 000 17 165
53 032 32 257
105 000 480 987
120 000 560 1 512
Tabelle 7.1: Benötigte Rechenzeit
Es werden für einen Optimierungsvorgang ca. 5-15 Gradientenschritte benötigt.
In einem Gradientenschritt muss zusätzlich zur Vorwärtsgleichung auch die Rück-
wärtsgleichung für die adjungierten Zustände berechnet werden. Daher benötigen
wir pro Iterationsschritt in etwa zwei Vorwärtsgleichungen. Ein Optimierungsvor-
gang mit 120 000 Freiheitsgraden dauert somit ca. zwischen 4-12,5 Stunden.
147
KAPITEL 7. NUMERISCHE BEISPIELE
148
Literaturverzeichnis
[1] Software COMSOL Multiphysics R
<. Internet reference: www.comsol.com.
[2] A. Alonso and A. Valli. Some remarks on the characterization of the space of
tangential traces of H(rot;ω)and the construction of an extension operator.
1996.
[3] A. Alonso and A. Valli. Eddy Current Approximation of Maxwell Equations:
Theory, Algorithms and Applications. Springer, 2010.
[4] C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge, and V. Girault. Vector potentials in
three-dimensional non-smooth domains. Math. Methods Appl. Sci., 21(9):823–
864, 1998.
[5] T. S. Angell and A. Kirsch. The conductive boundary condition for Maxwell’s
equations. SIAM J. Appl. Math., 52(6):1597–1610, 1992.
[6] M. Athans and P. L. Falb. Optimal control. An introduction to the theory and
its applications. McGraw-Hill Book Co., New York, 1966.
[7] F. Bachinger, U. Langer, and J. Schöberl. Numerical analysis of nonlinear
multiharmonic eddy current problems. Numer. Math., 100(4):593–616, 2005.
[8] F. Bachinger, U. Langer, and J. Schöberl. Efficient solvers for nonlinear time-
periodic eddy current problems. Comput. Vis. Sci., 9(4):197–207, 2006.
[9] A. Buffa and P. Ciarlet, Jr. On traces for functional spaces related to Max-
well’s equations. an integration by parts formula in Lipschitz polyhedra. Math.
Methods Appl. Sci., 24(1):9–30, 2001.
[10] A. Buffa and P. Ciarlet, Jr. On traces for functional spaces related to Max-
well’s equations. II. Hodge decompositions on the boundary of Lipschitz po-
lyhedra and applications. Math. Methods Appl. Sci., 24(1):31–48, 2001.
[11] A. Buffa, M. Costabel, and D. Sheen. On traces for H(curl,Ω)in Lipschitz
domains. J. Math. Anal. Appl., 276(2):845–867, 2002.
149
LITERATURVERZEICHNIS
[12] O. Bíró and K. R. Richter. Cad in electromagnetism. Advances in Electronics
and Electron Physics, 82(1):1–96, 1991.
[13] L. C. Evans. Partial differential equations, volume 19 of Graduate Studies in
Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, second editi-
on, 2010.
[14] Mauro F. and A. Morro. Electromagnetism of continuous media. Oxford
Science Publications. Oxford University Press, Oxford, 2003.
[15] G. Feichtinger and R. F. Hartl. Optimale Kontrolle ökonomischer Prozesse.
Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1986. Anwendungen des Maximumprinzips
in den Wirtschaftswissenschaften.
[16] V. Girault and P.-A. Raviart. Finite element methods for Navier-Stokes equa-
tions, volume 5 of Springer Series in Computational Mathematics. Springer-
Verlag, Berlin, 1986.
[17] G. H. Golub and C. F. Van Loan. Matrix computations. John Hopkins Studies
in the Mathematical Sciences. Johns Hopkins University Press, Baltimore,
MD, third edition, 1996.
[18] E. Hairer, S. P. Nørsett, and G. Wanner. Solving ordinary differential equati-
ons. I, volume 8 of Springer Series in Computational Mathematics. Springer-
Verlag, Berlin, second edition, 1993.
[19] R. F. Hartl, S. P. Sethi, and R. G. Vickson. A survey of the maximum
principles for optimal control problems with state constraints. SIAM Rev.,
37(2):181–218, 1995.
[20] R. Hiptmair. Multigrid method for Maxwell’s equations. SIAM J. Numer.
Anal., 36(1):204–225, 1999.
[21] R. Hiptmair. Finite elements in computational electromagnetism. Acta Nu-
mer., 11:237–339, 2002.
[22] R. Hiptmair. Symmetric coupling for eddy current problems. SIAM J. Numer.
Anal., 40(1):41–65 (electronic), 2002.
[23] R.H.W. Hoppe. Adaptive multigrid and domain decomposition methods in
the computation of electromagnetic fields. J. Comput. Appl. Math., 168(1-
2):245–254, 2004.
150
LITERATURVERZEICHNIS
[24] R.H.W. Hoppe and J. Schöberl. Convergence of adaptive edge element me-
thods for the 3D eddy currents equations. J. Comput. Math., 27(5):657–676,
2009.
[25] A. D. Ioffe and V. M. Tihomirov. Theory of extremal problems, volume 6 of
Studies in Mathematics and its Applications. North-Holland Publishing Co.,
Amsterdam, 1979.
[26] J. Jahn. Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. Springer-
Verlag, Berlin, 1994.
[27] Jianming Jin. The finite element method in electromagnetics. Wiley-
Interscience [John Wiley & Sons], New York, second edition, 2002.
[28] M. Kolmbauer. Existence and uniqueness of eddy current problems in boun-
ded and unbounded domains. Doctoral Program Computational Mathematics,
Linz, (2011-03), 2011.
[29] M. Kolmbauer. The Multiharmonic Finite Element and Boundary Element
Method for Simulation and Control of Eddy Current Problems. PhD thesis,
Johannes Kepler University Linz, 2012.
[30] L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Electrodynamics of continuous media. Course
of Theoretical Physics, Vol. 8. Translated from the Russian by J. B. Sykes and
J. S. Bell. Pergamon Press, Oxford, 1960.
[31] D. G. Luenberger. Optimization by Vector Space Methods. Wiley, New York,
1969.
[32] J. W. Macki and A. Strauss. Introduction to optimal control theory. Springer,
New York, 1982.
[33] S. G. Michlin. Vorlesungen über lineare Integralgleichungen. Hochschulbücher
für Mathematik, Bd. 58. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin,
1962.
[34] Peter Monk. Finite element methods for Maxwell’s equations. Numerical
Mathematics and Scientific Computation. Oxford University Press, New York,
2003.
[35] J.-C. Nédélec. Mixed finite elements in R3.Numer. Math., 35(3):315–341,
1980.
151
LITERATURVERZEICHNIS
[36] J.-C. Nédélec. Mixed finite element in 3D in H(div) and H(curl). In Equadiff6
(Brno, 1985), volume 1192 of Lecture Notes in Math., pages 321–325. Springer,
Berlin, 1986.
[37] J.-C. Nédélec. A new family of mixed finite elements in R3.Numer. Math.,
50(1):57–81, 1986.
[38] I. Neitzel, U. Prüfert, and T. Slawig. Strategies for time-dependent PDE con-
trol with inequality constraints using an integrated modeling and simulation
environment. Numer. Algorithms, 50(3):241–269, 2009.
[39] S. Nicaise and F. Tröltzsch. A coupled maxwell integrodifferential model for
magnetization processes. 2012.
[40] E. R. Pinch. Optimal Control and the Calculus of Variations. Oxford Science
Publications, 1993.
[41] L. S. Pontryagin, V. G. Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze, and E. F. Mishchenko.
The mathematical theory of optimal processes. A Pergamon Press Book. The
Macmillan Co., New York, 1964.
[42] S. Reitzinger and B. Kaltenbacher. A note on the approximation of b-h curves
for nonlinear magnetic field computations. Johannes Kepler University Linz,
2002.
[43] S. Rosłoniec. Fundamental Numerical Methods for Electrical Engineering.
Springer Publishing Company, Incorporated, 2008.
[44] J. Schöberl. http://sourceforge.net/projects/ngsolve/.
[45] R.P. Sylvester and R.L. Ferrari. The finite element method for electrical en-
gineers. Cambridge University Press, Cambridge, third edition, 1996.
[46] L.N. Trefethen and D. Bau, III. Numerical linear algebra. Society for Indus-
trial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1997.
[47] F. Tröltzsch. Optimal Control of Partial Differential Equations. Theory, Me-
thods and Applications. Graduate Studies in Mathematics, Volume 112. Ame-
rican Mathematical Society, Providence, 2010.
[48] J. Wloka. Partielle Differentialgleichungen. B. G. Teubner, Stuttgart, 1982.
Sobolevräume und Randwertaufgaben. [Sobolev spaces and boundary value
problems], Mathematische Leitfäden. [Mathematical Textbooks].
152
LITERATURVERZEICHNIS
[49] S. Zaglmayr. High Order finite Element Methods for Electromagnetic Field
Computation. PhD thesis, Johannes Kepler Universität Linz, 2006.
[50] Eberhard Zeidler. Nonlinear functional analysis and its applications. II/A.
Springer-Verlag, New York, 1990. Linear monotone operators.
[51] Eberhard Zeidler. Nonlinear functional analysis and its applications. II/B.
Springer-Verlag, New York, 1990. Nonlinear monotone operators.
153
