Regularisierung unter Ber¨
ucksichtigung von
Residuentoleranzen
vorgelegt von
Diplom-Ingenieur
Julia Kaschenz
aus Berlin
Von der Fakult¨
at VI
der Technischen Universit¨
at Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Ingenieurwissenschaften
- Dr.-Ing. -
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr. D. Lelgemann
Gutachter: Prof. Dr. L. Gr¨
undig
Gutachter: Prof. Dr. Ch. Reigber (GFZ)
Gutachter: PD Dr. S. Petrovic (GFZ)
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 30. Januar 2006
Berlin 2006
D 83
Zusammenfassung
Bei einer Vielzahl von Aufgaben z.B. in der mathematischen Physik und der Geophysik wird man
mit sog. inversen Problemen konfrontiert. Oft sind gerade diese inversen Probleme inkorrekt ge-
stellt. F¨
ur eine große Klasse von inkorrekt gestellten Problemen liegen zus¨
atzliche Informationen
vor, welche Aussagen ¨
uber die Natur der L¨
osung enthalten. Unter Nutzung dieser zus¨
atzlichen
Informationen wurden bereits von verschiedenen Wissenschaftlern Auswerteverfahren erarbeitet,
die allgemein zur Gruppe der Regularisierungsverfahren geh¨
oren. Diese Regularisierungsverfah-
ren k¨
onnen in drei Untergruppen eingeteilt werden: die Regularisierung nach A.N. Tikhonov, das
regularisierende Verfahren und die stochastische Regularisierung. Bei der Regularisierung nach
A.N. Tikhonov werden qualitative Informationen bzgl. der L¨
osung in den Prozess der L¨
osungs-
bestimmung mit einbezogen. Das regularisierende Verfahren ben¨
otigt keine zus¨
atzlichen Infor-
mationen bzgl. der L¨
osung des zu untersuchenden Problems, sondern stellt ein ”ged¨
ampftes“
Iterationsverfahren dar. Bei der stochastischen Regularisierung werden quantitative zus¨
atzliche
Informationen bzgl. der L¨
osung verwendet, z.B. durch Einbeziehung einer bereits vorhandenen
L¨
osung sowie deren Genauigkeit in die L¨
osungsbestimmung.
Da diese in der Anwendung und Bedeutung unterschiedlichen Regularisierungsverfahren aller-
dings eine sehr ¨
ahnliche mathematische Formulierung haben, kam es in den letzten Jahren h¨
aufig
zu unkritischen Anwendungen der Verfahren sowie zu fehlerhaften Interpretationen von erhalte-
nen Ergebnissen. Lediglich das regularisierende Verfahren kann als unkritisch betrachtet werden.
Bei den anderen beiden Regularisierungsverfahren l¨
asst sich der Einfluss der zus¨
atzlichen Infor-
mationen auf die zu bestimmende L¨
osung nur sehr schlecht oder ¨
uberhaupt nicht einsch¨
atzen.
Dies kann dazu f¨
uhren, dass die Residuen der ausgewerteten Daten unzumutbar groß sind, die
neue L¨
osung aber sehr gut zu der zus¨
atzlichen Information bzgl. der L¨
osung passt. Die zus¨
atz-
lichen Informationen entstammen aber oft ¨
alteren Modellen, welche auf ¨
alteren ungenaueren
Daten basieren. Da es somit nicht sinnvoll erscheint, die Informationen der neu auszuwertenden
Daten auf Kosten der zus¨
atzlichen Informationen zu vernachl¨
assigen, wurden an einigen Stel-
len in der Literatur ¨
Uberlegungen dahingehend durchgef¨
uhrt, wie der Einfluss der zus¨
atzlichen
Informationen ”optimal“ gew¨
ahlt werden kann. Bislang scheint es daf¨
ur allerdings noch keine
wirklich ”optimale“ Methode zu geben.
Somit erschien es zweckm¨
aßig, in dieser Arbeit ein Regularisierungsverfahren zu erarbeiten, wel-
ches nicht die genannten Nachteile aufweist. Bei diesem k¨
onnen zus¨
atzlich zum allgemeinen
Regularisierungsproblem Bedingungen f¨
ur die Residuen eingef¨
uhrt werden. Diese k¨
onnen z.B.
bewirken, dass s¨
amtliche Residuen nach der Auswertung innerhalb der in der Gewichtsmatrix
festgelegten Genauigkeitsgrenzen der Daten liegen. Damit kann gew¨
ahrleistet werden, dass so
viele Informationen wie m¨
oglich aus den neu auszuwertenden Daten gewonnen werden k¨
onnen.
Da es sich bei den eingef¨
uhrten Bedingungen nicht um sog. Gleichheitsbedingungen handelt son-
dern um Ungleichheitsbedingungen, war es notwendig, einen geeigneten Auswertealgorithmus zur
L¨
osung des somit erweiterten Regularisierungsproblems zu erarbeiten. Dieser Algorithmus wurde
anhand von f¨
unf synthetischen Beispielen getestet und f¨
ur die Auswertung von Radiookkulta-
tionsdaten verwendet. Dabei zeigte sich, dass das erarbeitete Verfahren nicht nur grunds¨
atzlich
funktioniert, sondern tats¨
achlich die erw¨
ahnten Nachteile nicht besitzt. Gleichzeitig ist es mit
diesem Verfahren m¨
oglich, zu ¨
uberpr¨
ufen, ob bereits vorhandene L¨
osungen des untersuchten
Problems mit den neuen Daten innerhalb ihrer Genauigkeiten konsistent sind und ob und wie
stark die neuen Daten zur Verbesserung der urspr¨
unglichen L¨
osung beitragen k¨
onnen.
Inhaltsverzeichnis 5
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Tabellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Einleitung 9
1.1 Motivation und Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 ¨
Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Bestehende Regularisierungsverfahren 12
2.1 Korrekt und inkorrekt gestellte Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Regularisierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Regularisierung nach A.N. Tikhonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Regularisierendes Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 Stochastische Regularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Verfahren zur Bestimmung des Regularisierungsparameters . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 M¨
oglichkeiten zur Einf¨
uhrung von Toleranzenbedingungen f¨
ur Residuen 28
3.1 Veranschaulichung der allgemeinen Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 M¨
oglichkeiten zur Einf¨
uhrung von Toleranzenbedingungen . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Variante 1: v2≤t2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Variante 2: v≤tund −v≤t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Ausarbeitung der Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1 Transformation eines LSI-Problems in ein LDP-Problem . . . . . . . . . . 34
3.3.2 Transformation eines LDP-Problems in ein NNLS-Problem . . . . . . . . . 36
3.3.3 L¨
osungsalgorithmus f¨
ur NNLS-Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.4 Beweis, dass die direkte Transformation eines LSI-Problems in ein NNLS-
Problem nicht g¨
ultig ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.5 Veranschaulichung der Ausgleichung mit Toleranzenbedingungen . . . . . . 40
4 Vergleich der unterschiedlichen Bedingungsungleichungen anhand syntheti-
scher Beispiele 43
4.1 Beispiele: nicht regularisiert und gleichgewichtet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Beispiele: regularisiert und gleichgewichtet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Beispiele: regularisiert und unterschiedlich gewichtet . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Anwendungsbeispiel 60
5.1 Prinzip der Radiookkultation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Ein Standardverfahren zur Ableitung der spezifischen Feuchte und Feuchttemperatur 62
5.3 Regularisierung mit Residuentoleranzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4 Ausgew¨
ahlte Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 Schlussbetrachtung 78
Literaturverzeichnis 80
6Inhaltsverzeichnis
A Anhang 85
A.1 Funktionalmodelle und Daten der Beispiele 1-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
A.2 Liste der verwendeten Radiookkultations-Inputdateien . . . . . . . . . . . . . . . 87
A.3 Globale Genauigkeitssch¨
atzungen f¨
ur die Radiookkultations-Refraktivit¨
aten . . . . 89
A.4 Varianzen der Vorinformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A.5 Zus¨
atzliche Abbildungen zum Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Abbildungsverzeichnis 7
Abbildungsverzeichnis
3.1 Zwei m¨
ogliche L¨
osungen mit unterschiedlichen Residuen . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1 Zielfunktion f¨
ur Beispiel 1 und 1b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Zielfunktion f¨
ur Beispiel 2 und 2b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Zielfunktion f¨
ur Beispiel 3 und 3f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4 Zielfunktion f¨
ur Beispiel 5 und den ”Grenzfall“ 5e) . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Zielfunktion f¨
ur das Beispiel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 Zielfunktion f¨
ur die ”Grenzf¨
alle“ 4a) und 4b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7 Zielfunktion f¨
ur Beispiel 4c) und 4d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1 Prinzip des Radiookkultations-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Schematischer Auswerteablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Verteilung der Okkultationsprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4 Residuenplots und Fehlerannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.5 Temperaturvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.6 Vergleich der spezifischen Feuchten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.7 Residuenplots und Fehlerannahmen bei ¨
Ubergewichtung der Pseudobeobachtungen 73
5.8 Vergleich der spezifischen Feuchten aus 1DVAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.9 Vergleich der spezifischen Feuchten aus dem erweiterten Regularisierungsverfahren 75
A.1 Temperaturvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.2 Vergleich der spezifischen Feuchten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
A.3 Vergleich der spezifischen Feuchten aus 1DVAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.4 Vergleich der spezifischen Feuchten aus dem erweiterten Regularisierungsverfahren 98
8Tabellenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
4.1 Ergebnisse der Ausgleichung nach kleinsten Quadraten f¨
ur alle Beispiele . . . . . 44
4.2 Ergebnisse f¨
ur Beispiel 1 mit unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur die Residuen . . . 44
4.3 Ergebnisse f¨
ur Beispiel 2 mit unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur die Residuen . . . 45
4.4 Ergebnisse f¨
ur Beispiel 3 mit unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur die Residuen . . . 46
4.5 Ergebnisse f¨
ur Beispiel 4 mit unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur die Residuen . . . 47
4.6 Ergebnisse f¨
ur Beispiel 5 mit unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur die Residuen . . . 48
4.7 Ergebnisse der Ausgleichung nach kleinsten Quadraten (mit Regularisierung) . . 52
4.8 Ergebnisse f¨
ur Beispiel 1 mit Regularisierung bei unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur
die Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.9 Ergebnisse f¨
ur Beispiel 2 mit Regularisierung bei unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur
die Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.10 Ergebnisse f¨
ur Beispiel 3 mit Regularisierung bei unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur
die Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.11 Ergebnisse f¨
ur Beispiel 4 mit Regularisierung bei unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur
die Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.12 Ergebnisse f¨
ur Beispiel 5 mit Regularisierung bei unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur
die Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1 Kritische H¨
ohenbereiche bei den ausgew¨
ahlten Profilen . . . . . . . . . . . . . . . 72
1. Einleitung 9
1. Einleitung
1.1 Motivation und Zielsetzung
In der Geod¨
asie, Geophysik und vielen anderen Wissenschaftsbereichen trifft man sehr h¨
aufig
auf sog. inkorrekt gestellte Probleme. Darunter werden zum einen Probleme verstanden, deren
L¨
osungsbestimmung durch das Vorliegen von Messfehlern in den Ausgangsdaten erschwert
ist, d.h. die berechnete L¨
osung ¨
andert sich bei geringf¨
ugig kleinen ¨
Anderungen der Messfehler
signifikant. Zum anderen versteht man unter inkorrekt gestellten Problemen auch oft Probleme,
die f¨
ur sich allein (ohne Verwendung zus¨
atzlicher Informationen) unl¨
osbar sind, da in den
auszuwertenden Daten nicht die Informationen enthalten sind, die zur Ableitung der gesuchten
Parameter notwendig w¨
aren. Um dennoch inkorrekt gestellte Probleme l¨
osen zu k¨
onnen,
werden h¨
aufig Regularisierungsverfahren angewendet. Dabei werden zus¨
atzliche Informationen
oder Bedingungen (Vorinformationen) bzgl. der gesuchten L¨
osung innerhalb des Prozesses
der L¨
osungsbestimmung ber¨
ucksichtigt. So k¨
onnen z.B. aus der physikalischen Bedeutung
der gesuchten L¨
osung Eigenschaften dieser L¨
osung abgeleitet werden, welche dann meist
die zus¨
atzlichen Informationen darstellen. Es k¨
onnen aber auch aus bereits vorhergehenden
Untersuchungen Werte f¨
ur einzelne oder alle gesuchten Parameter vorliegen, f¨
ur die meist
ebenso Genauigkeiten bekannt sind. Diese vorhandenen Parameter und Genauigkeiten werden
vor allem bei den eigentlich unl¨
osbaren Problemen als zus¨
atzliche Informationen einbezogen.
Da viele gerade f¨
ur die Geowissenschaften interessanten Probleme, wie z.B. die Ableitung
des Gravitationspotenzials der Erde aus Satellitenmessungen, die Bestimmung von Formationen
im Erdinnern aus seismischen Wellen oder auch die Untersuchung der Erdatmosph¨
are anhand
von Radiowellen, inkorrekt gestellte Probleme darstellen und nur durch die Verwendung von
Regularisierungsverfahren l¨
osbar gemacht werden k¨
onnen, entstand die Motivation zur n¨
aheren
Untersuchung dieser Verfahren sowie der Festlegung des Regularisierungseinflusses. Diese
Zielsetzung wurde verst¨
arkt, da vielfach festgestellt werden musste, dass trotz einiger kritischer
Bemerkungen, welche in der Literatur hinsichtlich der Wahl des Einflusses der Regularisierung
zu finden sind, es oft zu einer unkritischen Anwendung der Regularisierungsverfahren kommt,
wodurch die Gewinnung neuer Informationen aus aktuellen, h¨
aufig sehr genauen Messungen
verhindert wird. So erfolgt in einigen Wissenschaftsbereichen durch eine unangemessene
Wahl des Regularisierungsparameters meist nur eine mehr oder weniger gute Reproduktion
bereits vorhandener Modellparameter, obwohl durch die heutigen neuen innovativen Beob-
achtungsverfahren (wie z.B. die Satellitenmessverfahren) wesentlich mehr Einblick in einzelne
Wissenschaftsbereiche m¨
oglich w¨
are.
Das haupts¨
achliche Problem bei der Anwendung von Regularisierungsverfahren besteht in
der geeigneten Wahl des Regularisierungsparameters. Dieser regelt den Einfluss der zus¨
atzlichen
Informationen bzw. Bedingungen innerhalb des Prozesses der L¨
osungsbestimmung. Oft wird in
der Literatur zur Regularisierung kritisch darauf hingewiesen, dass bei zu großz¨
ugiger Wahl des
Regularisierungsparameters der Einfluss der Regularisierung (der zus¨
atzlichen Informationen
bzw. Bedingungen) zu stark ist. Somit werden die in den auszuwertenden Daten enthaltenen
Informationen nicht angemessen genutzt und mit der Wahl des Regularisierungsparameters die
Ergebnisse faktisch vorgegeben. Ist andererseits der Einfluss der Regularisierung zu gering, so
haben die Messfehler einen zu starken Einfluss - die L¨
osung zeigt ein unphysikalisches oder
10 1. Einleitung
unlogisches Verhalten.
Es existieren bereits eine Vielzahl von Verfahren zur Bestimmung des ”optimalen“ Re-
gularisierungsparameters (siehe z.B. [Kusche 2002]). ”Optimal“ bedeutet hierbei, dass ein
beliebig gew¨
ahltes Kriterium von der L¨
osung bzw. den Residuen erf¨
ullt wird, welche unter
Verwendung des ”optimalen“ Regularisierungsparameters berechnet werden konnten. So liegt
z.B. ein ”optimaler“ Regularisierungsparameter vor, wenn die Summe der Residuenquadrate
unterhalb eines vorgegebenen Schrankenwertes liegt (Diskrepanzkriterium nach Morozov)
oder wenn die Varianzkomponenten unterschiedlicher Beobachtungsgruppen ein bestimmtes
Verh¨
altnis zueinander aufweisen (Varianzkomponenten-Sch¨
atzung). Der Wert des ”optimalen“
Regularisierungsparameters kann somit je nach verwendetem Verfahren (Kriterium) f¨
ur dessen
Bestimmung sehr unterschiedlich sein, so dass diesem immer eine gewisse Willk¨
ur anhaftet.
Innerhalb dieser Arbeit wird der Einfluss der Regularisierung auf die L¨
osung nur dann
als ”optimal“ betrachtet, wenn s¨
amtliche Residuen der Beobachtungen minimal sind, unter
Ber¨
ucksichtigung das alle Residuen innerhalb von Toleranzen liegen. Dieses Kriterium kann bei
Auswertungen mittels Regularisierung f¨
ur alle denkbaren Messwerte genutzt werden. Die Ziele
der vorliegenden Arbeit sind somit:
•die Zusammenstellung verbreiteter Missverst¨
andnisse bzgl. unterschiedlicher
Regularisierungsverfahren,
•die Ausarbeitung eines effizienten Regularisierungsverfahrens, bei dem durch eine gezielte
Ber¨
ucksichtigung der Genauigkeiten der auszuwertenden Daten der Einfluss der Regulari-
sierung auf die L¨
osung kontrolliert wird,
•die Untersuchung der Eigenschaften und Test des erarbeiteten Auswerteverfahrens anhand
von synthetischen Beispielen sowie
•die Veranschaulichung der Vorteile des erarbeiteten Regularisierungsverfahrens an einem
realen Anwendungsbeispiel.
Durch die Anwendung des erarbeiteten Regularisierungsverfahrens sollen einerseits m¨
oglichst vie-
le neue Informationen aus den auszuwertenden Daten gewonnen werden k¨
onnen und andererseits
sich f¨
ur die erhaltenen L¨
osungen neue Interpretationsm¨
oglichkeiten ergeben. Es ist zwar nicht
m¨
oglich, auf die Einbeziehung von Vorinformationen bei der L¨
osung inkorrekt gestellter Pro-
bleme zu verzichten, aber mit angemessenen Bedingungen f¨
ur die Residuen der auszuwertenden
Daten soll eine ¨
Uberbewertung der Vorinformationen verhindert werden.
1.2 ¨
Uberblick
Innerhalb des Kapitels 2 erfolgt zun¨
achst die Definition von korrekt und inkorrekt gestellten
Problemen sowie der Regularisierung. Es werden die drei unterschiedlichen Arten der Regula-
risierung dargestellt: die Regularisierung nach A.N. Tikhonov, das regularisierende Verfahren
sowie die stochastische Regularisierung. Aufgrund umfangreicher Recherchen zu diesen Regula-
risierungsverfahren konnten ihre zeitliche Entwicklung, der mathematische Rahmen und einzelne
Besonderheiten der Verfahren herausgearbeitet werden. Die Vor- und Nachteile der Verfahren
werden beschrieben und vor allem wird auf die unterschiedliche Bedeutung des Regularisie-
rungsparameters eingegangen. Ebenso wird kurz auf die allgemein zur Anwendung kommenden
Verfahren eingegangen, mit denen die Bestimmung des ”optimalen“ Regularisierungsparameters
1.2. ¨
Uberblick 11
m¨
oglich sein soll.
Das Kapitel 3 stellt den Kern dieser Arbeit dar. Darin wird auf die allgemeine Idee der
Einf¨
uhrung von Toleranzen (Bedingungen) f¨
ur die Residuen der Beobachtungen eingegangen.
Weiterhin erfolgt die allgemeine analytische Ausarbeitung zweier denkbarer mathematischer
Realisierungen zur Einf¨
uhrung von Toleranzenbedingungen f¨
ur die Residuen sowie des Algo-
rithmus zur L¨
osung eines um die Toleranzenbedingungen erweiterten Ausgleichungsproblems.
Abschließend wird zum besseren Verst¨
andnis der ausgearbeiteten Formeln und des Algorithmus
die Auswertung eines einfachen Beispiels veranschaulichend erl¨
autert.
An f¨
unf verschiedenen synthetischen Beispielen werden dann im Kapitel 4 die Eigen-
schaften der beiden unterschiedlichen Varianten der Realisierung der Toleranzenbedingung
f¨
ur die Residuen untersucht sowie die Stabilit¨
at und Korrektheit des erarbeiteten Auswerte-
verfahrens. F¨
ur einen unabh¨
angigen Vergleich der L¨
osungen werden s¨
amtliche Berechnungen
ebenso mittels eines heuristischen Verfahrens durchgef¨
uhrt. Durch umfassende tabellarische und
grafische Vergleiche zwischen den Ergebnissen der unterschiedlichen Varianten der Realisierung
der Toleranzenbedingung und der Verfahren zur L¨
osungsbestimmung ist es m¨
oglich gewesen,
Eigenschaften der Fl¨
ache der zu minimierenden Funktion abzuleiten, die einen positiven,
negativen oder neutralen Einfluss auf die L¨
osungsbestimmbarkeit aus¨
uben. Am Ende des
Kapitels wird mittels eines geometrisch anschaulichen Beispiels an den numerischen Ergebnissen
auf den m¨
oglichen negativen Einfluss der Regularisierung eingegangen, wobei eine beabsichtigte
¨
Ubergewichtung der Vorinformationen erfolgte. Im Vergleich dazu dienen die Ergebnisse des
ausgearbeiteten Regularisierungsverfahrens, welche sehr gut die Wirkungsweise der einbezogenen
Residuentoleranzen verdeutlichen.
In Kapitel 5 wird das neue Regularisierungsverfahren mit Residuentoleranzen auf die Ablei-
tung von Feuchttemperaturen und spezifischen Feuchten aus Radiookkultations-Refraktivit¨
aten
angewendet, welche aus CHAMP1-Messungen bestimmt wurden. Dazu erfolgt zun¨
achst eine
kurze Einf¨
uhrung in das Radiookkultationsverfahren. Anschließend wird ein Standardverfahren
zur Ableitung der Feuchttemperaturen und spezifischen Feuchten aus Refraktivit¨
aten (1DVAR)
vorgestellt, wobei kritisch auf die aus den Formeln ersichtlichen Nachteile eingegangen wird.
Ebenso werden die Formeln f¨
ur die Anwendung der Regularisierung mit Residuentoleranzen zur
Ableitung obiger Atmosph¨
arenparameter dargestellt. Die Vorteile, Nachteile und Unterschiede
dieser beiden Regularisierungsverfahren werden durch die Auswertung von 63 global verteilten
Radiookkultationsprofilen veranschaulicht. F¨
ur sechs ausgew¨
ahlte Profile werden detailliert
die Unterschiede in den Residuen der Refraktivit¨
aten, in den Feuchttemperaturen und den
spezifischen Feuchten hervorgehoben, sowohl f¨
ur den ”korrekt“ gewichteten Fall als auch den
¨
ubergewichteten Fall. Dabei wird besonders auf die M¨
oglichkeiten bei der Interpretation der
Ergebnisse eingegangen.
Im Kapitel 6 folgen res¨
umierende Schlussbetrachtungen.
1CHAllenging Minisatellite Payload
12 2. Bestehende Regularisierungsverfahren
2. Bestehende Regularisierungsverfahren
Ausgehend von den Definitionen f¨
ur korrekt und inkorrekt gestellte Probleme wird nachfolgend
ein kurzer ¨
Uberblick zu den bestehenden Regularisierungsverfahren mit ihren Vor- und Nach-
teilen gegeben. Abschließend wird auf Verfahren eingegangen, mit denen die Bestimmung des
Regularisierungsparameters erfolgen kann.
2.1 Korrekt und inkorrekt gestellte Probleme
Bei einer Vielzahl von Aufgaben z.B. in der mathematischen Physik, der Geophysik, Musterer-
kennung und in der Astrophysik erfolgt die Unterteilung in sog. direkte und inverse Probleme.
Was versteht man aber unter dem Begriff ”inverse Probleme“? Zu was ist das jeweilige Problem
invers?
Man nennt zwei Probleme invers zueinander, wenn die mathematische Formulierung des einen
Problems zu der des anderen f¨
uhrt. Aus haupts¨
achlich historischen Gr¨
unden bezeichnet man
das eine dieser Probleme (gew¨
ohnlich das einfachere oder zuerst untersuchte) als das direkte
Problem und das andere als inverses Problem ([Engl, Hanke und Neubauer 1996], aus dem
Englischen ¨
ubersetzt)1.
In vielen Anwendungsbereichen sind oft gerade die inversen Probleme sog. inkorrekt ge-
stellte Probleme. Ebenso k¨
onnen aber auch direkte Probleme zu der Gruppe inkorrekt gestellter
Probleme geh¨
oren.
Anfang des 20. Jahrhunderts besch¨
aftigte sich der franz¨
osische Mathematiker J. Hadamard
mit der L¨
osbarkeit von partiellen Differentialgleichungen. Werden diese Gleichungen mittels
Integration gel¨
ost, so erh¨
alt man aufgrund der Integrationskonstanten immer eine Klasse von
L¨
osungen und nur durch die Hinzunahme zus¨
atzlicher Randbedingungen ist die Auswahl einer
L¨
osung m¨
oglich. In diesem Zusammenhang betrachtete Hadamard drei Fragen (Theorem von
Cauchy-Kowalewski), die sich stets bzgl. der L¨
osbarkeit von Problemen stellen, hier bezogen auf
das Problem von Cauchy ([Hadamard 1932], aus dem Franz¨
osischen ¨
ubersetzt):
•Hat das Problem von Cauchy eine L¨
osung?
•Gibt es nicht nur eine einzige L¨
osung?
(In anderen Worten: Ist das Problem korrekt gestellt?)
•Und schließlich, wie kann man diese [Anm.: einzige] L¨
osung berechnen?
Daraus l¨
asst sich eine sehr allgemeine Definition f¨
ur die Korrektheit oder Inkorrektheit eines
Problems formulieren: Ein Problem heißt korrekt gestellt, wenn es eine eindeutige L¨
osung
besitzt und diese bestimmt werden kann, ohne dass zus¨
atzliche Informationen oder Annahmen
jedweder Art einbezogen werden m¨
ussen. Anderenfalls liegt ein inkorrekt gestelltes Problem vor.
F¨
alschlicherweise wird in der Literatur (siehe z.B. [Fedotov 1990]) h¨
aufig die dritte Frage bei
Hadamard durch eine andere Frage ersetzt (z.B. Ist die Aufgabe stabil l¨
osbar?) und trotzdem
1Bei anderen Autoren (z.B. [Ilk 1993] und [Parker 1994]) ist im Falle des Modells y=f(x) die Berechnung
von yaus xdas direkte und von xaus ydas inverse Problem.
2.2. Regularisierungsverfahren 13
behauptet, dass Hadamard diese Fragen betrachtete.
Eine weitere Definition der Korrektheit eines Problems ist auch von Tikhonov bekannt
([Fedotov 1990], aus dem Russischen ¨
ubersetzt):
Eine Aufgabe heißt korrekt gestellt, falls:
•es im Voraus bekannt ist, dass mindestens eine L¨
osung existiert,
•diese L¨
osung eindeutig ist und
•unendlich kleine ¨
Anderungen der urspr¨
unglichen Daten lediglich zu unendlich kleinen ¨
Ande-
rungen der L¨
osung f¨
uhren.
Somit unterscheidet sich die Tikhonov’sche Definition nur im dritten Punkt von der von Hada-
mard. Dieser dritte Punkt bei Tikhonov besagt, dass die L¨
osung stetig von den urspr¨
unglichen
Daten abh¨
angig sein soll.
Im Folgenden soll die aus den drei Fragen von Hadamard formulierte Definition als Definition
f¨
ur die Korrektheit eines Problems verwendet werden, da diese allgemein gefasst ist und sich der
dritte Punkt bei Tikhonov eher auf die Stabilit¨
at eines Problems bezieht als auf die Korrektheit.
F¨
ur eine große Klasse von inkorrekt gestellten Problemen liegen zus¨
atzliche Informatio-
nen vor, welche Aussagen ¨
uber die Natur der L¨
osung enthalten, z.B. Monotonie, Glattheit,
Konvexit¨
at. Werden diese Informationen genutzt, so k¨
onnen effiziente Algorithmen zur L¨
osung
von inkorrekt gestellten Problemen erarbeitet werden ([Tikhonov et al. 1995]). Im folgenden
Abschnitt soll die zeitliche Entwicklung derartiger Algorithmen aufgezeigt und auf ihre
unterschiedlichsten Anwendungsm¨
oglichkeiten aufmerksam gemacht werden.
2.2 Regularisierungsverfahren
In der Literatur findet man zum Begriff ”Regularisierung“ beispielsweise:
”Der ¨
Ubergang zu N¨
aherungsverfahren, die gegen¨
uber Ungenauigkeiten des Modells und
der zur Verf¨
ugung stehenden Daten weniger empfindlich sind, soll Regularisierung (im weiteren
Sinne) genannt werden.“ [Friedrich, Hofmann und Tautenhahn 1979]
Allgemein gesagt, ist Regularisierung die Approximation von inkorrekt gestellten Problemen
durch eine Klasse benachbarter korrekt gestellter Probleme ([Engl, Hanke und Neubauer 1996],
aus dem Englischen ¨
ubersetzt).
Diese sehr allgemeinen Definitionen der Regularisierung schließen die Vielzahl von unter-
schiedlichen Verfahren, die in der Literatur zu finden sind, mit ein, welche meist rein formal
nur schwer unterschieden werden k¨
onnen. Aufgrund dieser formalen ¨
Ahnlichkeit kam es in den
vergangenen Jahren recht h¨
aufig zu Missverst¨
andnissen bei der Anwendung dieser unterschied-
lichen Regularisierungsverfahren, welche anhand der folgenden Darstellungen der wesentlichen
Unterschiede und Eigenschaften dieser einzelnen Verfahren m¨
oglichst behoben werden sollen.
Dabei sollen im Wesentlichen drei Arten der Regularisierungsverfahren unterschieden werden:
die Regularisierung nach A.N. Tikhonov, das regularisierende Verfahren und die stochastische
Regularisierung.
In [Kusche 2002] u.a. Ver¨
offentlichungen findet man f¨
ur die Regularisierungsverfahren eine
anscheinend endlose Vielfalt an Namen, wie z.B. Iterierte Tikhonov-Regularisierung, Truncated
14 2. Bestehende Regularisierungsverfahren
Singular Value Decomposition und Kollokation2. Tats¨
achlich resultiert diese Namensvielfalt
nicht aus der Vielfalt von Regularisierungsverfahren, sondern aus den unterschiedlichen mathe-
matischen Methoden, die f¨
ur die L¨
osungsbestimmung bei regularisierten Problemen m¨
oglich
sind. Da diese Methoden lediglich zu rechentechnischen Unterschieden f¨
uhren sollen, wird darauf
nicht n¨
aher eingegangen.
2.2.1 Regularisierung nach A.N. Tikhonov
Der russische Mathematiker A.N. Tikhonov kann als derjenige betrachtet werden, der sich als
erster mit inkorrekt3gestellten Problemen (bzw. inversen Problemen) und ihrer L¨
osung mittels
Regularisierung befasste. Im Jahr 1943 verfasste er seine erste Ver¨
offentlichung zu diesem Thema,
in der zu finden ist ([Tikhonov 1943], aus dem Englischen ¨
ubersetzt):
Der gew¨
ohnliche Weg inverse Probleme zu l¨
osen [Anm.: es wird keine ¨
Uberbestimmung verlangt],
besteht darin, eine gewisse Auswahl zu treffen. F¨
ur eine willk¨
urlich gew¨
ahlte (gen¨
ugend große)
Klasse von m¨
oglichen Strukturen eines Mediums [Anm.: eine Klasse m¨
oglicher L¨
osungen] wird das
dazugeh¨
orige physikalische Feld [Anm.: die ausgeglichenen Beobachtungen] berechnet und dann
die L¨
osung ausgew¨
ahlt, so dass das berechnete physikalische Feld zu den Messungen die kleinsten
Abweichungen hat. Um dieses Auswahlverfahren auf einer soliden Grundlage basieren lassen zu
k¨
onnen, ist es notwendig, sich auf das Vorliegen bestimmter Regelm¨
aßigkeiten zu beziehen, die
das jeweilige Problem aufweisen muss:
•Man muss zun¨
achst das Eindeutigkeits-Theorem f¨
ur eine direkte ¨
Ubereinstimmung nachwei-
sen, d.h. man muss pr¨
ufen, dass nicht zwei unterschiedliche Medientypen [Anm.: L¨
osungen]
das gleiche dazugeh¨
orige physikalische Feld [Anm.: gleiche ausgeglichene Beobachtungen]
besitzen. Wenn ja, dann kann man von umgekehrter ¨
Ubereinstimmung sprechen. Ohne diese
hat die Auswahlmethode keinen Sinn.
•Die ¨
Ubereinstimmung zwischen dem berechneten und gemessenen Feld stellt keine absolute
¨
Ubereinstimmung dar, da das Auswahlverfahren lediglich ein Approximationsverfahren ist.
Daher muss zus¨
atzlich die Stabilit¨
at des inversen Problems untersucht werden bzw. die
Kontinuit¨
at der inversen Abbildung. D.h. man muss pr¨
ufen, ob bei geringf¨
ugiger ¨
Anderung
des Behelfsfeldes [Anm.: gemessenen Feldes] die dazugeh¨
orige Struktur des Mediums [Anm.:
die L¨
osung] große oder kleine Abweichungen zum aktuellen Medium aufweist.
Mit dieser allgemeinen Darstellung der notwendigen Vorgehensweise bei der Behandlung inverser
Probleme stellt Tikhonov die Idee f¨
ur das Verfahren vor, welches er sp¨
ater als Regularisierung
bezeichnete. Er geht dabei auf die Schwierigkeiten ein, auf die man bei der L¨
osung inkorrekt
gestellter Probleme trifft: Uneindeutigkeit und Instabilit¨
at der L¨
osung. Besonders interessant ist,
dass er hervorhebt, dass derartige Probleme lediglich approximativ gel¨
ost werden k¨
onnen und
dass er f¨
ur die Auswahl der ”besten“ L¨
osung die Abweichungen zu den Messungen heranzieht.
Diese nachvollziehbaren und sehr wichtigen Sachverhalte gerieten in den letzten Jahren h¨
aufig
in Vergessenheit.
Die beiden ”Regelm¨
aßigkeiten“, die nach Tikhonov vorliegen m¨
ussen, damit das Auswahlver-
fahren sinnvoll eingesetzt werden kann, stellen eine Methode dar, um ¨
uberpr¨
ufen zu k¨
onnen, ob
2In [Rummel et al. 1979] wird der Zusammenhang und die ¨
Ahnlichkeit zwischen Kollokation und Regularisie-
rung aufgezeigt.
3Dabei bezieht sich Tikhonov selbstverst¨
andlich immer auf seine Definition f¨
ur inkorrekt gestellte Probleme
(siehe Abschnitt 2.1).
2.2. Regularisierungsverfahren 15
tats¨
achlich ein inkorrekt gestelltes Problem vorliegt oder nicht (bezogen auf seine Definition).
An einigen Stellen in der Literatur findet man, dass S. Twomey und A.N. Tikhonov etwa
zeitgleich (1963) das erste Verfahren ver¨
offentlichten, welches Zw¨
ange (bzw. zus¨
atzliche Informa-
tionen) einbezieht und f¨
ur die L¨
osung inkorrekt gestellter Probleme genutzt werden kann (siehe
z.B. [Rodgers 2000]). Dies ist sicherlich korrekt, wenn man als erste Ver¨
offentlichung diejenige
betrachtet, in der die erste mathematische Formulierung des Auswerteverfahrens zu finden
ist. Die Grundidee des Verfahrens wurde jedoch schon 1943 von Tikhonov [Tikhonov 1943]
formuliert.
Seit den sechziger Jahren besch¨
aftigte sich eine Vielzahl von Wissenschaftlern mit derartigen
Auswerteverfahren, welche aber immer auf die Tikhonov’sche Idee zur¨
uckgef¨
uhrt werden k¨
onnen.
Insofern wird nachfolgend nur auf die Entwicklungsstufen des Tikhonov’schen Auswerteverfah-
rens und kurz auf Twomey’s Abhandlungen eingegangen.
Tikhonov 1963:
Liegen fehlerfreie Daten lvor, so kann mit ¯x=A−1ldie sog. ”exakte“4L¨
osung ¯xdes Problems
berechnet werden, wobei die Matrix Aden funktionalen Zusammenhang zwischen den Daten
und der L¨
osung repr¨
asentiert. Sind die Daten fehlerbehaftet (wahrer Fehler δ), so kann nur eine
N¨
aherungsl¨
osung xbestimmt werden, f¨
ur die gilt [Tikhonov 1963a]:
Ax =l+δ, (2.1)
x−¯x≤,
l+δ=¯
l.
Ist ein Problem korrekt gestellt, so existiert eine Beziehung zwischen δund , welche zeigt wie
sich die Fehler δauf die L¨
osung x¨
ubertragen. Das Problem ist somit stetig. Inkorrekt gestellte
Probleme sind dagegen unstetig und es existiert keine einfache Beziehung zwischen δund .
Daher m¨
ussen derartige Probleme regularisiert werden, d.h. es muss ein sog. Ersatzproblem
formuliert werden, welches stetig ist und eine g¨
unstige Fehler¨
ubertragung von den Messungen
auf die L¨
osung aufweist. Um ein Ersatzproblem mit diesen Eigenschaften aufzustellen, werden
zus¨
atzliche Informationen oder Zw¨
ange bzgl. der L¨
osung des Problems folgendermaßen eingef¨
uhrt
[Tikhonov 1963b]:
Mα[x, ¯
l] = N[x, ¯
l] + αΩ[x],(2.2)
N[x, ¯
l] = Zb
aAx −¯
l2dx, (2.3)
wobei Mα[x, ¯
l] das sog. gl¨
attende Funktional darstellt, N[x, ¯
l] die Summe der Residuenquadrate,
Ω[x] die mathematische Formulierung der zus¨
atzlichen Informationen bzw. Zw¨
ange und αden
Regularisierungsparameter.
Die Aufgabe besteht zum einen darin, geeignete zus¨
atzliche Informationen oder Zw¨
ange zu
finden, wodurch das jeweilige Problem stabilisiert werden kann, z.B. indem verlangt wird,
dass die L¨
osung m¨
oglichst glatt sein soll. Zum anderen muss der Regularisierungsparameter
so gew¨
ahlt werden, dass das Problem stabil bleibt, aber die L¨
osung xm¨
oglichst dicht an die
”exakte“ L¨
osung ¯xherankommt. Da ¯xin der Regel nicht bekannt ist, ist die Wahl von αrecht
4Bei Tikhonov und auch bei Twomey (z.B. in [Twomey 1963]) wird angenommen, dass genau so viele Mess-
daten vorliegen, wie Unbekannte gesucht werden. Die Grundidee der Regularisierung zur Stabilisierung eines
inkorrekt gestellten Problems ist aber analog auf ¨
uberbestimmte Probleme ¨
ubertragbar.
16 2. Bestehende Regularisierungsverfahren
schwierig und nie ”perfekt“ m¨
oglich.
Twomey 1963:
In [Twomey 1963] wird als m¨
ogliche zus¨
atzliche Information die Forderung nach einer glatten
L¨
osung mathematisch wie folgt formuliert5(entspricht der approximativen Minimierung des
Integrals der zweiten Ableitung der L¨
osung x):
Ω[x] = X
i
(xi−1−2xi+xi+1)2.(2.4)
Im Gegensatz zu Tikhonov betrachtet Twomey die Minimierung von Ω[x], also die Einbeziehung
der zus¨
atzlichen Informationen, als das Hauptziel bei der Minimierung von Mα[x, ¯
l]. Bei der
Auswertung fehlerbehafteter Messdaten scheint es jedoch grunds¨
atzlich sinnvoller zu sein, die
Minimierung der Summe der Residuenquadrate in den Vordergrund zu stellen.
Weiterhin schl¨
agt er vor, die Abweichung der aktuellen L¨
osung zu einer beliebigen vorgegebenen
hypothetischen L¨
osung zu minimieren, die dritte Ableitung der L¨
osung xzu minimieren oder
verschiedene Zw¨
ange sinnvoll mit unterschiedlich starkem Einfluss zu kombinieren. Wie gelangt
man aber an eine hypothetische L¨
osung, zu der die aktuelle L¨
osung kleinste Abweichungen
haben soll? Ist die allgemeine Form und Gr¨
oßenordnung der L¨
osung bekannt, so kann eine
”Testl¨
osung“ konstruiert werden ... ([Twomey 1963], aus dem Englischen ¨
ubersetzt).
Geht man dann so vor, wie es Twomey vorschl¨
agt und betrachtet vorrangig die Minimierung des
Terms Ω[x], so stellt man fest, dass die L¨
osung xnach der Minimierung von Mα[x, ¯
l] sich nicht
sehr von der ”Testl¨
osung“ unterscheiden wird. Welchen Sinn hat aber eine derartig bestimmte
neue L¨
osung? Keinen, denn zum einen ist die ”Testl¨
osung“ nur recht grob und allgemein und
zum anderen konnten durch die vorrangige Minimierung von Ω[x] die neuen Messdaten keine
wesentliche Verbesserung / Ver¨
anderung der ”Testl¨
osung“ bewirken.
Leider hat sich gerade diese Art der Benutzung von zus¨
atzlichen Informationen bzgl. der L¨
osung
und diese Minimierungsvorgehensweise in den meisten praktischen Anwendungen durchgesetzt.
Auch Twomey betont, dass die zus¨
atzlichen Informationen geeignet gew¨
ahlt werden m¨
ussen und
der Regularisierungsparameter so gew¨
ahlt werden muss, dass der Wert von N[x, ¯
l] (entspricht
der Summe der Residuenquadrate) akzeptabel ist6.
Twomey 1965:
In [Twomey 1965] sind weitere m¨
ogliche zus¨
atzliche Bedingungen bzgl. der L¨
osung x, die zur
Stabilisierung eines Minimierungsproblems verwendet werden k¨
onnen, zu finden, wodurch das
Ausmaß der Oszillation von xfestgesetzt wird, z.B. mit:
Ω[x] = X
i
(xi−1
nX
j
xj)2(f¨ur Probleme mit gleichartigen Unbekannten),(2.5)
Ω[x] = X
i
(xi−pi)2
pi
(f¨ur allgemeine Probleme).(2.6)
5Es ist anzumerken, dass Twomey die mathematische Formulierung dieser Forderung aus [Phillips 1962] ent-
nommen hat. In [Phillips 1962] wird auch erw¨
ahnt, dass diese Schreibweise nur dann zul¨
assig ist, wenn s¨
amtliche
Unbekannten bzgl. einer gemeinsamen Variablen ¨
aquidistant sind. Weiterhin werden in [Phillips 1962] sehr an-
schauliche Beispiele aufgef¨
uhrt.
6Die Ansicht von Tikhonov, die einzelnen Abweichungen zu den Messungen (Residuen) zu betrachten, scheint
allerdings sinnvoller zu sein, da die Summe der Residuenquadrate einen akzeptablen Wert annehmen kann, auch
wenn einzelne Residuen sehr groß sind.
2.2. Regularisierungsverfahren 17
Dabei stellen pieine gesch¨
atzte a-priori L¨
osung und ndie Anzahl der zu bestimmenden
Parameter dar. Durch Verwendung von Gleichung (2.5) als zus¨
atzliche Bedingung wird die
Abweichung der L¨
osung xvom Mittelwert aller Unbekannten minimiert, bei Verwendung von
Gleichung (2.6) die relative Abweichung der L¨
osung xvon der gew¨
ahlten a-priori L¨
osung p.
Weiterhin findet man in [Twomey 1965] Vorschl¨
age, wie der Regularisierungsparameter α
bestimmt werden kann: Nach der Festlegung eines Schrankenwertes f¨
ur die Summe der Re-
siduenquadrate (N[x, ¯
l]), welcher kleinst m¨
oglich und trotzdem zuverl¨
assig sein soll, wird f¨
ur
unterschiedliche Werte des Regularisierungsparameters der dazugeh¨
orige Wert f¨
ur N[x, ¯
l] berech-
net. Der erste Wert f¨
ur α, f¨
ur den N[x, ¯
l] etwas unterhalb des festgelegten Schrankenwertes liegt,
kann dann meistens f¨
ur die endg¨
ultige L¨
osung des Problems verwendet werden. Falls αgenauer
bestimmt werden soll, empfiehlt er, N[x, ¯
l] bzgl. αgrafisch darzustellen. Es kann dann ein Wert
f¨
ur αausgew¨
ahlt werden, so dass N[x, ¯
l] dem Schrankenwert exakt oder ann¨
ahernd entspricht.
Diese Varianten zur Ermittlung des Regularisierungsparameters weisen wiederum den Nachteil
auf, dass nicht die Gr¨
oße der einzelnen Residuen, sondern die Summe der Residuenquadrate
betrachtet wird.
Tikhonov und Arsenin 1977:
Werden in [Tikhonov 1963a] und [Tikhonov 1963b] lediglich die Daten lals fehlerbehaftet
betrachtet, so findet man in [Tikhonov und Arsenin 1977], dass ebenso der Operator Anur
n¨
aherungsweise bekannt sein kann. F¨
ur die Gleichung (2.1) ergibt sich dann:
¯
Ax =¯
l,
A+µ=¯
A, (2.7)
wobei µdie Ungenauigkeit des Operators Arepr¨
asentiert7. Werden derartige Probleme mittels
Regularisierung gel¨
ost, ist bei der Wahl des Regularisierungsparameters αnicht mehr nur der
Fehler δzu ber¨
ucksichtigen, sondern ebenso die Ungenauigkeit µdes Operators A.
Weiterhin findet man in [Tikhonov und Arsenin 1977] eine Unterteilung der zus¨
atzlichen Infor-
mationen in einerseits qualitative und andererseits quantitative Informationen. Dabei versteht
man unter quantitativen Informationen z.B. Informationen ¨
uber bereits existierende L¨
osungen
des Problems und unter qualitativen Informationen z.B. Informationen ¨
uber Eigenschaften der
L¨
osung, wie Glattheit, Monotonie und Konvexit¨
at.
Eine m¨
ogliche Wahl f¨
ur Ω[x], um die sog. Normall¨
osung bestimmen zu k¨
onnen, ergibt
sich mit:
Ω[x] = kxN−xk,(2.8)
7In der Literatur werden derartige Problemstellungen als ”Total Least Squares“ (TLS), ”errors in va-
riables model“ oder auch als ”orthogonal regression“ bezeichnet, siehe z.B. [Van Huffel und Zha 1993],
[Golub und van Loan 1980], [Golub et al. 1999], [Fierro et al. 1997]. Wie in [Petrovi´c 2003] gezeigt wurde, han-
delt es sich bei TLS lediglich um einen Spezialfall der Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate und
nicht, wie an einigen Stellen der Literatur behauptet wird, um ein v¨
ollig neuartiges Minimierungsverfahren. So-
mit ist das zu l¨
osende Problem nach der Einf¨
uhrung von Ungenauigkeiten bzgl. des Operators Aein anderes, als
wenn nur Fehler bzgl. der Daten leinbezogen werden, d.h. die zu minimierenden Gr¨
oßen sind unterschiedlich,
die Minimierung erfolgt aber auf gleichem Wege. Somit entf¨
allt eine zus¨
atzliche Betrachtung der Anwendung der
Regularisierung auf TLS, da diese somit analog erfolgen kann wie bei der Anwendung der Methode der kleinsten
Quadrate.
18 2. Bestehende Regularisierungsverfahren
wobei xNdie Normall¨
osung darstellt, welche man erhalten w¨
urde, wenn δund µgleich
null w¨
aren. Die mathematische Schreibweise k.kbezeichnet eine beliebige Norm8, nach der
die Minimierung des gl¨
attenden Funktionals erfolgen kann. Tikhonov betrachtet neben der
allgemein gebr¨
auchlichen L2-Norm- ebenso die L1-Norm-Minimierung, bei der nicht die
Summe von Quadraten, sondern die Summe von Betr¨
agen minimiert wird. Ob eine der-
artige Normall¨
osung f¨
ur praktische Probleme verf¨
ugbar ist, ist fragw¨
urdig. Vielfach wurde
bei der praktischen Anwendung des Regularisierungsverfahrens stattdessen eine existierende
L¨
osung f¨
ur das jeweilige Problem verwendet. Diese Wahl f¨
ur Ω[x] (Gleichung (2.8)) ist sehr ¨
ahn-
lich zu der in [Twomey 1963] betrachteten Minimierung der Abweichungen zu einer ”Testl¨
osung“.
Da die Wahl des Regularisierungsparameters einen sehr entscheidenden Schritt bei der
Bestimmung der N¨
aherungsl¨
osung des inkorrekt gestellten Problems darstellt, wurden an vielen
Stellen der Literatur dahingehend Untersuchungen angestellt. Eine praktische Methode, um α
festzulegen, findet man in [Tikhonov und Arsenin 1977]: Der Fehler der Daten sei weiterhin
δ. Man erzeuge dann einen endlichen Ausschnitt der monotonen Sequenz α0, α1, α2, . . . , αn.
Zum Beispiel k¨
onnen diese α’s mittels einer geometrischen Reihe der Form αk=α0qkmit
k= 0,1,2,...,n und q > 0 konstruiert werden. F¨
ur jeden Wert αkwird dann die L¨
osung
xαbestimmt, welche das gl¨
attende Funktional Mα[xα,¯
l] minimiert, und es werden s¨
amtliche
Residuen berechnet. Man w¨
ahlt dann dasjenige αkaus, f¨
ur welches s¨
amtliche Residuen innerhalb
der Messgenauigkeit δliegen.
Anhand dieser Vorgehensweise erkennt man sehr gut, dass man bei einer anderen Wahl von
q,noder α0f¨
ur die geometrische Reihe zur Erzeugung der α’s ein anderes αkals geeignet
ausw¨
ahlen und somit unterschiedliche L¨
osungen des Problems erhalten w¨
urde, die wenig oder
auch stark voneinander verschieden sein k¨
onnen. Daher w¨
are es besser, wenn man αso be-
stimmen k¨
onnte, dass s¨
amtliche Residuen innerhalb der Messgenauigkeit liegen und minimal sind.
Eine M¨
oglichkeit den Regularisierungsparameter grafisch zu bestimmen und die Gr¨
oße
der einzelnen Residuen zu ber¨
ucksichtigen, k¨
onnte z.B. folgender Art sein: F¨
ur eine Sequenz von
α’s berechnet man die L¨
osung des gl¨
attenden Funktionals sowie alle Residuen vider Messungen.
Ist nun f¨
ur alle Messungen die Standardabweichung mibekannt, so l¨
asst sich ki=v2
i
m2
i
berechnen.
Stellt man den maximalen Wert von ki(max(ki)) bzgl. der α’s grafisch dar, so erh¨
alt man
eine Kurve, aus der erkennbar ist, bei welchen Werten von αs¨
amtliche Residuen innerhalb ih-
rer Messgenauigkeit liegen. Dies ist der Fall f¨
ur alle α’s, f¨
ur die das dazugeh¨
orige max(ki)≤1 ist.
In [Louis 1989] ist sehr anschaulich beschrieben, was unterschiedliche Regularisierungspa-
rameter bewirken, wenn Glattheit der L¨
osung gefordert wird: “Große Werte von γ[Anm.:
entspricht α] geben dem Strafterm [Anm.: Ω[x]] mehr Gewicht, die L¨
osungen werden immer
’glatter’. Bei kleinen Werten von γhat der Defekt kAf −gk2[Anm.: N[x, ¯
l]] den gr¨
oßeren
Einfluß auf die L¨
osung fγ. Sind die Daten nur wenig gest¨
ort, dann wird man immer ein kleines
γw¨
ahlen. Hat man dagegen wenig ’Vertrauen’ in die Daten, so erh¨
oht man den Einfluß der
Zusatzinformation durch die Wahl eines gr¨
oßeren γ.“
2.2.2 Regularisierendes Verfahren
Zus¨
atzlich zu dem im vorherigen Abschnitt beschriebenen Regularisierungsverfahren trifft man
in der Literatur auch auf das sog. regularisierende Verfahren, siehe z.B. [Schwetlick 1979]. Wie
8Siehe dazu Kapitel 3, Formel (3.25).
2.2. Regularisierungsverfahren 19
die Bezeichnung bereits andeutet, besteht die Aufgabe dieses Verfahrens darin, ein singul¨
ares
Problem in ein regul¨
ares umzuwandeln. Analog wie bei dem Regularisierungsverfahren nach Tik-
honov wird auch hier das urspr¨
unglich zu l¨
osende Problem (meist ein Ausgleichungsproblem nach
kleinsten Quadraten) durch die Einbeziehung zus¨
atzlicher Bedingungen regularisiert und somit
stabilisiert. Der Unterschied besteht aber darin, dass in diesem Fall die zus¨
atzlichen Bedingun-
gen bei allen Anwendungen des regularisierenden Verfahrens gleichartig sind und sich leicht aber
grunds¨
atzlich von den zus¨
atzlichen Bedingungen bzw. Informationen des vorherigen Abschnitts
unterscheiden. Anhand eines typischen allgemeinen Ausgleichungsproblems nach kleinsten Qua-
draten soll nun dieses Verfahren veranschaulicht werden.
Bekannt seien die nichtlinearen Beobachtungsgleichungen:
li+vi=f(x)i= 1,2,...,n, (2.9)
wobei lidie Messungen darstellen, vidie zuf¨
alligen Fehleranteile der Messungen, fden funktiona-
len Zusammenhang zwischen den Messungen liund den zu bestimmenden Unbekannten xund n
die Anzahl der Messungen. Die linearisierten Beobachtungsgleichungen in Matrizenschreibweise
lauten dann:
v=A∆x−˜
l, (2.10)
A=∂f
∂xxr
,
˜
l=l−f(xr),
∆x=xr+1 −xr,(2.11)
wobei xreine geeignet gew¨
ahlte N¨
aherungsl¨
osung f¨
ur den r-ten Iterationsschritt bei der Mi-
nimierung von Piv2
idarstellt9. Liegen z.B. mehr Messungen als Unbekannte vor, so besitzt
die Gleichung (2.10) unendlich viele L¨
osungen. Es soll nun die L¨
osung bestimmt werden, f¨
ur
die die Summe der Residuenquadrate (Pn
i=1 v2
i) minimal wird. Man spricht dann von einer
L2-Norm-Minimierung. Grunds¨
atzlich kann bei dem regularisierenden Verfahren jede beliebi-
ge Norm minimiert oder maximiert werden, entscheidend ist die Zielsetzung des betrachteten
Problems. Zur Minimierung nach anderen Normen siehe z.B. [Stichler 1984], [Caspary 1988],
[Somogyi und Z´avoti 1990], [Kilian 2002], [Marx 2003]. Die L¨
osung xr+1 der (r+1)-ten Iteration
bei der Minimierung der Summe der Residuenquadrate kann mittels folgender Formel berechnet
werden, siehe z.B. [Helmert 1872]:
xr+1 =xr+N−1AT˜
l, (2.12)
N=ATA.
Ist die Matrix Naufgrund einer gewissen Instabilit¨
at des Problems, der Linearisierung oder auch
wegen Rundungsfehlern bei der Berechnung singul¨
ar, so ist die notwendige Invertierung von N,
um xr+1 berechnen zu k¨
onnen, nicht m¨
oglich.
Was bedeutet dies rein mathematisch? Ist eine Matrix Gsingul¨
ar, so ist mindestens ein Eigenwert
λidieser Matrix gleich Null. Addiert man zu allen Eigenwerten der Matrix einen konstanten
positiven Wert k, so erh¨
alt man die Eigenwerte ¯
λider Matrix ¯
G, welche wie folgt definiert ist
[Scales 1985]:
¯
G=G+kI, (2.13)
9An dieser Stelle erfolgt keine explizite Ber¨
ucksichtigung von Gewichten f¨
ur die einzelnen Messungen. Eine
Ber¨
ucksichtigung unterschiedlicher Gewichte piist allerdings problemlos m¨
oglich, so dass dann Pipiv2
iminimiert
wird.
20 2. Bestehende Regularisierungsverfahren
wobei Idie Einheitsmatrix darstellt. Die Matrizen Gund ¯
Gbesitzen die gleichen normierten
Eigenvektoren, aber ¯
Gist eine regul¨
are und somit invertierbare Matrix, wenn kausreichend groß
gew¨
ahlt wird. Zus¨
atzlich ist die Konditionszahl10 Kder Matrix ¯
Ggr¨
oßer als die der Matrix G,
wenn man als Konditionszahl einer beliebigen Matrix Mden Wert
K=|min(EW(M))|
|max(EW(M))|(2.14)
bezeichnet, wobei mit EW(M) die Eigenwerte der Matrix Mgemeint sind.
Je gr¨
oßer die Konditionszahl der Matrix Nin Gleichung (2.12), desto unempfindlicher ist die
Berechnung der L¨
osung xr+1 gegen¨
uber Rundungsfehlern, [Scales 1985]. Somit ergeben sich un-
mittelbar zwei Vorteile f¨
ur eine singul¨
are Matrix, wenn zu dieser eine Diagonalmatrix addiert
wird - die resultierende Matrix ist regul¨
ar und besser konditioniert. Anstelle der Gleichung (2.12)
ergibt sich dann:
xr+1 =xr+ (N+kI)−1AT˜
l. (2.15)
Was wird aber bei Verwendung der Gleichung (2.15) statt der Gleichung (2.12) minimiert? Ver-
wendet man die Gleichung (2.12), so wird lediglich die Summe der Residuenquadrate Pn
i=1 v2
i
minimiert. Dagegen wird bei Verwendung der Gleichung (2.15) die Summe der Residuenquadrate
und die gewichtete Summe der quadrierten Abweichungen zwischen der r-ten und der (r+1)-ten
Iterationsl¨
osung minimiert, also:
ϕ(∆x) =
n
X
i=1
v2
i+k
m
X
j=1
(xj
r+1 −xj
r)2,(2.16)
wobei ϕ(∆x) die zu minimierende Funktion darstellt und mdie Anzahl der zu bestimmenden
Unbekannten.
Beweis: Ausgehend von den Gleichungen (2.10) und (2.11) erh¨
alt man f¨
ur die zu mini-
mierende Funktion in Matrizenschreibweise:
ϕ(∆x) = vTv+k∆xT∆x. (2.17)
Da von ϕ(∆x) das Minimum gesucht ist, erfolgt zun¨
achst die Ableitung der Funktion ϕ(∆x)
nach den Unbekannten ∆x:
∂ϕ
∂∆x= 2vTA+ 2k∆xTI. (2.18)
Setzt man diese Ableitung zu Null und f¨
uhrt einige Umformungen durch, so erh¨
alt man:
0 = vTA+k∆xTI,
0 = ATv+kI∆x,
0 = AT(A∆x−˜
l) + kI∆x,
0 = ATA∆x−AT˜
l+kI∆x,
10Die Definition der Konditionszahl einer Matrix wurde aus [Wilkinson 1969] entnommen. Es ist zu beachten,
dass in der Literatur sehr viele unterschiedliche Definitionen f¨
ur die Kondition einer Matrix zu finden sind.
Allgemein wird damit aber immer die Empfindlichkeit einer Matrix gegen¨
uber mathematischer Umformungen
beschrieben (siehe z.B. [Parker 1994]).
2.2. Regularisierungsverfahren 21
ATA∆x+kI∆x=AT˜
l,
(N+kI)∆x=AT˜
l,
xr+1 =xr+ (N+kI)−1AT˜
l. (2.19)
Bei der Extremwertbestimmung einer differenzierbaren Funktion durch Bestimmung der stati-
on¨
aren Punkte muss gepr¨
uft werden, ob die Nullstellen der 1. Ableitung der Funktion einem
Minimum, Maximum oder Sattelpunkt entsprechen, d.h. in diesem Fall ist zu pr¨
ufen, ob ∆x
tats¨
achlich einem Minimum entspricht:
∂ϕ
∂∆x= 2(ATA∆x+kI∆x−AT˜
l),
∂2ϕ
∂∆x2= 2(ATA+kI).
Da kstets positiv und N=ATAeine symmetrische Matrix ist, ist (ATA+kI) immer positiv
definit, so dass Gleichung (2.19) die Iterationsformel zur Minimierung von ϕ(∆x) darstellt.
Damit ist der Beweis abgeschlossen - die Gleichungen (2.19) und (2.15) sind identisch.
Diese Art der Regularisierung dient somit zur Anpassung der Iterationsschrittweite bei
der Minimierung einer beliebigen nichtlinearen Funktion, welche linearisiert wurde. Diese
Idee geht auf K. Levenberg zur¨
uck und wurde von ihm 1944 erstmals in [Levenberg 1944]
er¨
ortert. Sein Ziel bestand darin, die Gr¨
oße des Zuschlags ∆xzur jeweiligen N¨
aherungsl¨
osung
xrzu begrenzen (“ged¨
ampftes Ausgleichungsverfahren nach kleinsten Quadraten“), da die
linearisierten Beobachtungsgleichungen (2.10) lediglich in der Umgebung der N¨
aherungsl¨
osung
xrdie nichtlinearen Beobachtungsgleichungen gut approximieren. Dabei l¨
asst er zu, dass jede
einzelne Komponente des Zuschlagvektors ∆xunterschiedlich stark ged¨
ampft werden kann,
so dass statt kI in Gleichung (2.15) eine Diagonalmatrix mit beliebigen unterschiedlichen
positiven Diagonalelementen zul¨
assig ist. Mit diesem Verfahren kann somit die Konvergenz bei
der iterativen Minimierung der Summe der Residuenquadrate gew¨
ahrleistet werden.
In [Marquardt 1963] wird der von Levenberg entwickelte Algorithmus dahingehend erweitert,
dass man zu einem Verfahren gelangt, welches einen ”optimalen“ Kompromiss zwischen dem
Gauß-Newton-Verfahren und dem Gradientenverfahren11 bei der Minimierung einer Funktion
darstellt12. Dadurch wird es m¨
oglich, die Vorteile des Gradientenverfahrens und die des
Gauß-Newton-Verfahrens bestm¨
oglich auszunutzen13. Gradientenverfahren konvergieren schnell
zur L¨
osung, auch bei recht schlechten N¨
aherungswerten, weisen allerdings in der N¨
ahe des
Minimums nur eine schlechte Konvergenz auf. Das Gauß-Newton-Verfahren ist dagegen sehr
empfindlich auf schlechte N¨
aherungswerte, konvergiert aber schnell in der N¨
ahe des Minimums.
Ausgehend von Formel (2.15), wobei kf¨
ur jeden Iterationsschritt bei der Minimumsuche neu
gew¨
ahlt wird, so dass zu Beginn der Iteration m¨
oglichst das Gradientenverfahren zum Einsatz
kommt und am Ende das Gauß-Newton-Verfahren, erh¨
alt man f¨
ur k= 0 und k→ ∞:
k= 0 : xr+1 =xr+N−1AT˜
l, (2.20)
11Zu den unterschiedlichen Iterationsverfahren siehe z.B. [Schwetlick 1979] und [Scales 1985].
12Dieses Verfahren ist unter dem Namen ”Levenberg-Marquardt-Verfahren“ sehr bekannt.
13Als zus¨
atzlichen Vorteil dieses Verfahrens betrachtet Marquardt, dass durch die Addition von kauf alle
Diagonalelemente der Matrix Ndie Kondition der zu invertierenden Matrix verbessert wird.
22 2. Bestehende Regularisierungsverfahren
k→ ∞ :xr+1 ≈xr+1
kAT˜
l da kI >> N. (2.21)
F¨
ur k= 0 entspricht die Formel (2.20) der Iterationsformel f¨
ur das Gauß-Newton-Verfahren. F¨
ur
k→ ∞ stellt die Formel (2.21) n¨
aherungsweise die Iterationsformel f¨
ur das Gradientenverfahren
dar. Variiert man nun kzwischen 0 und ∞oder ∞und 0 f¨
ur jeden Iterationsschritt, so
kann man bei geeigneter Wahl von kdie Konvergenz zum Minimum wesentlich verbessern (zu
speziellen Konvergenzeigenschaften siehe z.B. [Schwetlick 1973]). Leider gibt es f¨
ur die Wahl
von klediglich die M¨
oglichkeit, diesen Wert mittels einer ”trial and error“ Prozedur festzulegen14.
Es ist besonders wichtig zu beachten, dass durch die Verwendung dieses regularisierenden
Verfahrens nicht ein Ersatzproblem des urspr¨
unglichen Minimierungsproblems gel¨
ost wird,
sondern lediglich die Konvergenz bei der Funktionsminimierung verbessert wird. Die Wahl
des Regularisierungsparameters kist hier nicht so kritisch zu betrachten wie die Wahl des
Regularisierungsparameters αim vorherigen Abschnitt. Wird αnicht sachgerecht gew¨
ahlt, so
erh¨
alt man eine andere L¨
osung, wohingegen bei zu kleiner oder zu großer Wahl von knur die
Anzahl der Iterationsschritte bei der Minimumsbestimmung beeinflusst wird, die Endl¨
osung im
Falle der Konvergenz aber immer die gleiche ist.
2.2.3 Stochastische Regularisierung
Als dritte Gruppe der Regularisierungsverfahren soll die stochastische Regularisierung vorgestellt
werden. Aufgrund der sehr großen Anzahl von Publikationen zum Thema Regularisierung und der
vielf¨
altigen und uneinheitlichen Bezeichnungsweise f¨
ur identische Verfahren war es nicht m¨
oglich
festzustellen, wer die stochastische Regularisierung zuerst ausgearbeitet und ver¨
offentlicht hat.
Genannt seien aber [Friedrich, Hofmann und Tautenhahn 1979], [Tarantola und Valette 1982],
[Louis 1989] und [Rodgers 2000].
Der Unterschied zwischen der Regularisierung nach Tikhonov und dem regularisierenden Verfah-
ren einerseits und der stochastischen Regularisierung andererseits besteht darin, dass die zus¨
atz-
lichen Informationen nicht als zus¨
atzliche Bedingungen zu dem urspr¨
unglichen Minimierungspro-
blem betrachtet werden, sondern als zus¨
atzliche Beobachtungen (im Weiteren: Pseudobeobach-
tungen) einbezogen werden, f¨
ur welche in der Regel stochastische Informationen vorliegen. Man
erh¨
alt somit beispielsweise folgende linearisierte Beobachtungsgleichungen
˜
l+v=A∆x,
˜
lp+vp= ∆x,
∆x=xr+1 −xr,(2.22)
wobei ˜
lpdie reduzierten Pseudobeobachtungen darstellt und vpdie dazugeh¨
origen Residuen.
¨
Ublicherweise wird allen reduzierten Pseudobeobachtungen der Wert Null15 zugeordnet, so dass
vp= ∆xgilt, d.h. je gr¨
oßer die Residuen f¨
ur die Pseudobeobachtungen sind, desto gr¨
oßer ist
auch die Iterationsschrittweite ∆x(wenn ∆xnach Gleichung (2.22) definiert wurde).
F¨
ur die Beobachtungen ˜
lsind meist die Standardabweichungen und m¨
oglicherweise auch die
Korrelationen zwischen den einzelnen Beobachtungen bekannt. Um diese Informationen mit in
das Minimierungsproblem einbeziehen zu k¨
onnen, wird die Gewichtsmatrix Pbder Beobachtungen
14In [Schwetlick 1979] sind dazu einige Strategien zu finden, nach denen die Wahl von kerfolgen kann.
15Durch eine geeignete Umformung kann dies immer erreicht werden.
2.2. Regularisierungsverfahren 23
˜
lwie folgt definiert:
Pb=
P11
bP12
b. . . P1n
b
.
.
..
.
.....
.
.
Pn1
bPn2
b. . . P nn
b
,
wobei ndie Anzahl der Beobachtungen ˜
ldarstellt. Diese Gewichtsmatrix l¨
asst sich durch In-
vertierung der Kofaktorenmatrix der Beobachtungen berechnen, welche unter Verwendung der
Standardabweichungen der Beobachtungen, des mittleren Gewichtseinheitsfehlers sowie der Ko-
varianzen festgelegt werden kann16. Ist Pbeine Diagonalmatrix, so sind s¨
amtliche Beobachtungen
voneinander unabh¨
angig, was in der Praxis meist angenommen wird, da entsprechende Informa-
tionen bzgl. der Kovarianzen oft fehlen. Die Diagonalelemente der Matrix Pbsind immer positiv
und ungleich Null, denn wenn ein Diagonalelement Null w¨
are, w¨
urde die entsprechende Beob-
achtung ¨
uberhaupt nicht ber¨
ucksichtigt werden.
Analog zu dem regularisierenden Verfahren kann in diesem Beispiel die Gewichtsmatrix Ppf¨
ur
die Pseudobeobachtungen als Einheitsmatrix oder beliebige Diagonalmatrix (wobei alle Diago-
nalelemente positiv sind) gew¨
ahlt werden, so dass die einzelnen Zuschl¨
age ∆xiunterschiedlich
stark ged¨
ampft werden k¨
onnen.
Die zu minimierende Funktion bei der stochastischen Regularisierung unter Einbeziehung der
Gewichtsmatrizen f¨
ur die Beobachtungen und Pseudobeobachtungen lautet dann wie folgt:
ϕ(∆x) = vTPbv+vT
pPpvp.(2.23)
Durch null setzen der 1. Ableitung dieser Funktion erh¨
alt man:
∂ϕ
∂∆x= 0 = 2vTPbA+ 2vT
pPp,
0 = ATPbv+Ppvp,
0 = ATPb(A∆x−˜
l) + Pp(∆x−˜
lp),
0 = ATPbA∆x−ATPb˜
l+Pp∆x−Pp˜
lp,
⇓
∆x= (ATPbA+Pp)−1(ATPb˜
l+Pp˜
lp).(2.24)
Vergleicht man Gleichung (2.24) mit Gleichung (2.15) (k= 1) und beachtet, dass in diesem
Fall ˜
lp= 0 ist und beide Gewichtsmatrizen als Einheitsmatrix gew¨
ahlt werden k¨
onnen, so ist
ersichtlich, dass bei der stochastischen Regularisierung der Einfluss der Pseudobeobachtungen
auf die L¨
osung durch das Verh¨
altnis der Gewichtsmatrizen Pbund Ppzueinander geregelt
wird. Dahingegen wurde der Einfluss der zus¨
atzlichen Informationen (entspricht den Pseud-
obeobachtungen) bei dem regularisierenden Verfahren durch den Parameter kgeregelt. Die
Formel (2.24) zur Berechnung der Unbekannten mittels stochastischer Regularisierung ist z.B. in
[Friedrich, Hofmann und Tautenhahn 1979], [Tarantola und Valette 1982] und [Rodgers 2000]
zu finden, wobei ˜
lpdort eine andere Bedeutung zukommt und damit das Verh¨
altnis von Pbzu
Ppnicht mehr ¨
aquivalent zu k, sondern ¨
aquivalent zu αaus Abschnitt 2.2.1 ist.
In [Tarantola und Valette 1982] z.B. stellt ˜
lpdie Differenz der N¨
aherungsl¨
osung xrzu einer
bekannten L¨
osung (a-priori L¨
osung) dar. Diese a-priori L¨
osung kann ihrer Meinung nach aus
16Im Weiteren soll stets von der angemessenen Wahl von Gewichtsmatrizen ausgegangen werden, obwohl diese
aus den Kofaktorenmatrizen berechnet werden, welche hier als nicht singul¨
ar angenommen werden.
24 2. Bestehende Regularisierungsverfahren
bestehenden Modellen entnommen werden, das Ergebnis einer vorangegangenen Auswertung
sein oder einen einfachen mittleren zu erwartenden Wert der L¨
osung darstellen. Das eine
derartige Einf¨
uhrung von zus¨
atzlichen Informationen bzw. a-priori L¨
osungen leicht zu einer
unangemessenen Auswertung der eigentlichen Beobachtungen f¨
uhren kann, wurde bereits
diskutiert. Weiterhin wird in [Tarantola und Valette 1982] f¨
alschlicherweise behauptet, dass
lediglich eine zus¨
atzliche Minimierung der N¨
aherungsl¨
osung zu einer a-priori L¨
osung zweckm¨
aßig
ist und eine Iterationsschrittweiten-D¨
ampfung, wie sie im vorhergehenden Abschnitt beschrieben
wurde, fehlerhaft ist. Das dies nicht der Fall ist, wurde mit den Erl¨
auterungen im Abschnitt
2.2.2 ausreichend dargelegt.
So wie bei der Regularisierung nach Tikhonov die Wahl des Regularisierungsparameters
besonders kritisch betrachtet wurde, muss bei der stochastischen Regularisierung die Wahl
der Gewichtsmatrizen sehr gewissenhaft erfolgen. In [Tarantola und Valette 1982] findet man
diesbez¨
uglich folgendes (aus dem Englischen ¨
ubersetzt): Bei praktischen Problemen kann es
passieren, dass obwohl das Problem mathematisch regul¨
ar ist, dieses aufgrund des benutzten
Algorithmus numerisch singul¨
ar oder instabil wird. Dies bedeutet immer, dass die Vorin-
formationen [Anm.: Pseudobeobachtungen] die L¨
osung nicht ausreichend einschr¨
anken. Eine
Verringerung der Varianzen in Cp0p0[Anm.: entspricht einer Vergr¨
oßerung der Diagonalelemente
von Pp]wird die L¨
osung stabilisieren, ... Doch es muss betont werden, dass eine Verringerung
dieser Varianzen zur Stabilisierung der L¨
osung gleichbedeutend ist mit der Einf¨
uhrung von Vor-
informationen, die tats¨
achlich nicht verf¨
ugbar sind, da die Varianzen in Cp0p0die Vorkenntnisse
¨
uber die Parameter beschreiben.17 Mit diesen Aussagen wird deutlich, dass den Autoren die
unterschiedlichen Anwendungsm¨
oglichkeiten und Eigenschaften der Regularisierungsverfahren
nicht bewusst sind. Die Einf¨
uhrung von zus¨
atzlichen Informationen dient lediglich dazu, ein
inkorrekt gestelltes Problem l¨
osbar zu machen, so dass aus der Vielzahl von m¨
oglichen L¨
osungen
eines inkorrekt gestellten Problems eine plausible L¨
osung ausgew¨
ahlt werden kann. Um ein
Problem zu stabilisieren, ist das regularisierende Verfahren zu verwenden, wodurch nicht das zu
minimierende Problem ver¨
andert wird, sondern nur die Iterationsschrittweite geeignet gew¨
ahlt
wird, so dass eine Konvergenz zum gesuchten Minimum gew¨
ahrleistet werden kann.
In [Rodgers 2000] findet man zum Thema Gewichtsmatrizen (aus dem Englischen ¨
ubersetzt): Sa
und Se[Anm.: entsprechen Pbund Pp]werden ¨
ublicherweise als ’Tuningparameter’ verwendet und
derart durch willk¨
urliche Faktoren angepasst, dass man ein ¨
asthetisch ansprechendes Ergebnis
erh¨
alt. Es ist selbstverst¨
andlich, dass jede derartige Verwendung begr¨
undbar sein sollte und man
soll nicht vergessen, dass z.B. eine Verdopplung von Saund Senicht die L¨
osung ver¨
andert,
sondern nur die Fehlersch¨
atzung der L¨
osung.18 Dies zeigt sehr anschaulich, wie wichtig das
Verh¨
altnis zwischen den Gewichtsmatrizen Pbund Ppist, wobei die absolute Gr¨
oße der Feh-
lersch¨
atzungen doch recht nebens¨
achlich ist. Leider scheint es, dass das Wort ’Tuningparameter’
falsch interpretiert wird, d.h. es wird oft zu wenig auf das entscheidende Verh¨
altnis zwischen den
Gewichtsmatrizen geachtet, als viel mehr darauf, wie gut oder schlecht die neue L¨
osung zu bereits
17Im Original: ”It may happen in actual problems that although mathematically regular, the algorithm may
become numerically singular or unstable. This will always mean that the a priori information does not constrain
the solution enough. A reduction of the variances in Cp0p0will stabilize the solution, ... But we must emphasize
that since variances in Cp0p0describe our a priori knowledge on parameters, reducing these variances in order to
stabilize the solution means that we are introducing a priori information that, in fact, we do not possess.“
18Im Original: ”Both Saand Seare commonly used as ’tuning parameters’ and adjusted by arbitrary factors
to obtain an aesthetically pleasing retrieval. It goes without saying that any such use should be justifiable, and
please remember that e.g. doubling both Saand Sewill not change the retrieval, but only the error estimates.“
2.2. Regularisierungsverfahren 25
vorhandenen L¨
osungen passt (in dem Fall, wo die Pseudobeobachtungen die Differenz zwischen
der N¨
aherungsl¨
osung und einer a-priori L¨
osung darstellen). Dies resultiert aber auch daraus,
dass die Wahl der Gewichtsmatrizen in vielen praktischen Anwendungen nur unzuverl¨
assig
m¨
oglich ist, da nicht ausreichende Kenntnisse daf¨
ur verf¨
ugbar sind. Dazu [Rodgers 2000]
(aus dem Englischen ¨
ubersetzt): Weniger realistisch, aber praktisch, ist die Beschreibung der
Vorinformationen ¨
uber xdurch eine Gauß’sche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.19 Dass
eine unrealistisch gew¨
ahlte Gewichtsmatrix f¨
ur die Vorinformationen nicht zwangsl¨
aufig zu
unrealistischen Ergebnissen f¨
uhren muss, ist daraus ersichtlich, da die zus¨
atzliche Festlegung
der Gewichtsmatrix f¨
ur die Beobachtungen letztendlich erst das Verh¨
altnis zwischen den beiden
Gewichtsmatrizen festsetzt. Da aber f¨
ur die Gewichtsmatrix der Beobachtungen oft die relativ
gut bekannten Standardabweichungen der Beobachtungen verwendet werden, wird durch eine
unrealistisch gew¨
ahlte Gewichtsmatrix der Vorinformationen die L¨
osung dann doch meist
ebenso unrealistisch. Somit sollte man nicht das ’Tuning’ der Fehlersch¨
atzung f¨
ur die L¨
osung
in den Vordergrund stellen oder die Abweichungen zu einer a-priori L¨
osung, sondern beide
Gewichtsmatrizen anhand aller verf¨
ugbaren Kenntnisse so sachgerecht wie m¨
oglich festlegen.
Liegt ein lineares Ausgleichungsproblem vor, so lauten die Beobachtungsgleichungen f¨
ur
die Beobachtungen lund die Pseudobeobachtungen lp:
l+v=Ax,
lp+vp=x.
Durch Substitution mit x=xr+ ∆xerh¨
alt man:
l+v=Axr+A∆x,
lp+vp=xr+ ∆x,
⇓
˜
l+v=A∆x→˜
l=l−Axr,
˜
lp+vp= ∆x→˜
lp=lp−xr.
H¨
aufig entsprechen die Pseudobeobachtungen lpgerade der N¨
aherungsl¨
osung xr, so dass alle
reduzierten Pseudobeobachtungen den Wert Null erhalten. In der Literatur werden diese ”Null-
Pseudobeobachtungen“ oft als ”stochastische Vorinformationen“ bezeichnet [Schwintzer 1990],
da f¨
ur diese stochastische Informationen vorliegen (entspricht den Genauigkeitsangaben f¨
ur die
N¨
aherungsl¨
osung xr). Die Gewichtsmatrix Ppmuss in diesem Fall nicht zwangsl¨
aufig eine Dia-
gonalmatrix sein, sondern es k¨
onnen ebenso Korrelationen zwischen den Pseudobeobachtun-
gen ber¨
ucksichtigt werden. H¨
aufig t¨
auscht die Translation der Pseudobeobachtungen in ”Null-
Pseudobeobachtungen“ dar¨
uber hinweg, dass hierbei eine Verbesserung vorhandener L¨
osun-
gen/Modelle xraufgrund der Beobachtungen nur sehr eingeschr¨
ankt m¨
oglich ist, da vTPbvund
vT
pPpvpminimiert werden. Lediglich bei einer extremen Untergewichtung der Pseudobeobach-
tungen k¨
onnen die eigentlichen Beobachtungen eine signifikante Ver¨
anderung der bestehenden
L¨
osung xrbewirken. Somit muss unabh¨
angig davon, ob die reduzierten Pseudobeobachtungen
den Wert Null haben oder nicht, das Verh¨
altnis zwischen den Gewichtsmatrizen Pbund Ppan-
gemessen festgelegt werden, wenn der Informationsgehalt der eigentlichen Beobachtungen bzgl.
19Im Original: ”Less realistic, but convenient, is to describe prior knowledge of xby a Gaussian probability
density function.“
26 2. Bestehende Regularisierungsverfahren
der gesuchten L¨
osung genutzt werden soll20.
2.3 Verfahren zur Bestimmung des Regularisierungsparameters
Wie im Abschnitt 2.2 betont wurde, ist die Festlegung des Regularisierungsparameters bzw.
Gewichtsverh¨
altnisses bei der Anwendung von Regularisierungsverfahren f¨
ur eine erfolgreiche
Auswertung neuer Beobachtungen von extremer Wichtigkeit. So sind bereits sehr viele Verfahren
zur Bestimmung des ”optimalen“ Regularisierungsparameters erarbeitet worden. Einen guten
¨
Uberblick dar¨
uber gibt z.B. [Kusche 2002]. Auf einige verbreitete Verfahren soll an dieser Stelle
kurz eingegangen werden.
Varianzkomponenten-Sch¨
atzung:
Bei der stochastischen Regularisierung ben¨
otigt man f¨
ur die Beobachtungen und Pseud-
obeobachtungen jeweils eine Gewichtsmatrix (Pbund Pp), in die der mittlere Fehler der
Gewichtseinheit m0eingeht. Dieser mittlere Fehler stellt die durchschnittliche Genauigkeit
der Beobachtungen bzw. Pseudobeobachtungen dar, so dass m0f¨
ur die Matrizen Pbund
Ppin der Regel unterschiedlich gew¨
ahlt werden wird. Die Berechnung der L¨
osung xkann
dann nach Formel (2.24) erfolgen. Mittels dieser ermittelten L¨
osung lassen sich dann neue
mittlere Fehler der Gewichtseinheit (= Varianzkomponenten) aus den resultierenden Residuen
berechnen (siehe [Schwintzer 1990], [Koch und Kusche 2002]). Unter Verwendung der neuen
Varianzkomponenten werden die Matrizen Pbund Ppneu aufgestellt und wiederum die L¨
osung
xberechnet. Es folgt ein iterativer Prozess aus Neuberechnung der Varianzkomponenten und
L¨
osungsbestimmung, welcher abgebrochen wird, wenn sich zwei aufeinander folgend bestimmten
L¨
osungen nicht signifikant voneinander unterscheiden. Es liegt dann ein ”ausgeglichenes“
Verh¨
altnis zwischen der Einbeziehung der Beobachtungen und den Pseudobeobachtungen bei
der L¨
osungsbestimmung vor. Das Verh¨
altnis zwischen den so ermittelten Varianzkomponenten
stellt den Regularisierungsparameter dar.
Generalisierte Kreuzvalidation (GKV):
Das Verfahren der GKV ermittelt denjenigen Regularisierungsparameter, so dass die damit
berechenbare L¨
osung eine (weggelassene) Einzelbeobachtung im quadratischen Mittel am besten
vorhersagen kann [Kusche 2002]. Bisherige Untersuchungen haben allerdings gezeigt, dass das
Verfahren der GKV sich wenig robust verh¨
alt, wenn die Daten nicht modellierbares farbiges
Rauschen enthalten bzw. wenn Korrelationen zwischen den Beobachtungen vernachl¨
assigt
werden. F¨
ur mehr Details siehe [Golub et al. 1979] und [Krakauer et al. 2004].
L-Kurven-Verfahren:
Mittels des L-Kurven-Verfahrens kann ein geeigneter Regularisierungsparameter grafisch ermit-
telt werden, [Hansen und O’Leary 1993] und [Kusche 2002]. Dabei wird die gewichtete Summe
der Residuenquadrate der Beobachtungen bzgl. der gewichteten Summe der Residuenquadrate
der Vorinformationen f¨
ur unterschiedliche Werte des Regularisierungsparameters doppeltloga-
rithmisch aufgetragen. Die entstehende Kurve nimmt dann meist eine charakteristische L-Form
an. Der Regularisierungsparameter, der dem ”Knickpunkt“ der Kurve entspricht, wird als
”optimaler“ Regularisierungsparameter betrachtet.
20Es l¨
asst sich zeigen, dass das Ergebnis von der durchgef¨
uhrten Substitution unabh¨
angig ist und allein von
dem Gewichtsverh¨
altnis abh¨
angt.
2.4. Diskussion 27
Diskrepanzkriterium nach Morozov:
Bei diesem Verfahren wird der ”optimale“ Regularisierungsparameter so gew¨
ahlt, dass die
gewichtete Summe der Residuenquadrate der Beobachtungen kleiner oder gleich einem
Schrankenwert δist, [Kusche 2002]. Dieser Schrankenwert kann anhand der Genauigkeit der
auszuwertenden Beobachtungen abgesch¨
atzt werden. Meist wird der Regularisierungsparameter
numerisch oder grafisch so festgesetzt, dass die gewichtete Summe der Residuenquadrate der
Beobachtungen gerade δentspricht. Dieses Verfahren ist in der geophysikalischen Literatur
unter dem Namen ”fitting within the tolerance“ bekannt, [Parker 1994].
2.4 Diskussion
Bei Verwendung der im Abschnitt 2.2 vorgestellten Regularisierungsverfahren zur L¨
osungsbe-
stimmung von inkorrekt gestellten Problemen ist die Bestimmung des Regularisierungsparame-
ters bzw. des Gewichtsverh¨
altnisses zwischen den Beobachtungen und Pseudobeobachtungen von
entscheidender Bedeutung f¨
ur die endg¨
ultige L¨
osung (das regularisierende Verfahren soll hierbei
ausgeschlossen werden). In der Literatur zur Regularisierung findet man zwar sehr viele Verfah-
ren, mit denen der Regularisierungsparameter bzw. das Gewichtsverh¨
altnis ”optimal“ bestimm-
bar sein soll, doch selbst bei den ausgereiftesten Verfahren bleibt immer eine gewisse Willk¨
ur
hinsichtlich der damit erhaltenen endg¨
ultigen L¨
osung. Einerseits k¨
onnen durch zu großen Einfluss
der zus¨
atzlichen Informationen oder Bedingungen die Beobachtungen zu wenig Einfluss auf die
L¨
osung haben und somit einzelne oder mehrere Residuen unerw¨
unscht groß sein. Andererseits
kann der Einfluss der zus¨
atzlichen Informationen oder Bedingungen zu gering gewesen sein, so
dass die L¨
osung ein unphysikalisches Verhalten aufweist.
Die im Abschnitt 2.3 erl¨
auterten Verfahren zur Bestimmung des ”optimalen“ Regularisierungs-
parameters zeigen sehr deutlich, dass bei jedem Verfahren mit ”optimal“ eine andere Eigenschaft
der L¨
osung bzw. der Residuen verkn¨
upft ist. Bei keinem Verfahren wird die Gr¨
oße der einzelnen
Residuen der Beobachtungen nach Ermittlung der ”optimalen“ L¨
osung betrachtet. Lediglich die
gewichtete Summe der Residuenquadrate der Beobachtungen dient gegebenenfalls als G¨
utekri-
terium.
Aufgrund dieser Tatsache soll innerhalb des folgenden Kapitels ein Ausgleichungsverfahren nach
kleinsten Quadraten (schließt die Regularisierungsverfahren mit ein) ausgearbeitet werden, bei
dem nicht nur die Summe der Residuenquadrate minimiert wird, sondern zus¨
atzlich auch f¨
ur
die Residuen der Beobachtungen angemessene Grenzwerte (Toleranzen) ber¨
ucksichtigt werden
k¨
onnen. Dadurch sollte es m¨
oglich werden, diejenige L¨
osung eines inkorrekt gestellten Problems
zu bestimmen, die bestm¨
oglich den Beobachtungen und ihren Genauigkeiten entspricht und
gleichzeitig bestm¨
oglich die zus¨
atzlichen Informationen oder Bedingungen in den L¨
osungspro-
zess einbezieht. Eine derartige ”bestm¨
ogliche“ L¨
osung ist in vielen Anwendungsgebieten von
großem Interesse, da diese L¨
osung m¨
oglichst viele neue Informationen aus den neu ausgewerte-
ten Daten enth¨
alt. Modellverbesserungen bzw. Verbesserungen der N¨
aherungsl¨
osung sind somit
m¨
oglich und nachweisbar. Selbstverst¨
andlich kann es aber auch Anwendungsgebiete geben, bei
denen die ”bestm¨
ogliche“ L¨
osung andere Eigenschaften aufweisen sollte.
28 3. M¨
oglichkeiten zur Einf¨
uhrung von Toleranzenbedingungen f¨
ur Residuen
3. M¨
oglichkeiten zur Einf¨
uhrung von
Toleranzenbedingungen f¨
ur Residuen
Zun¨
achst soll innerhalb dieses Kapitels auf die allgemeine Idee der Einf¨
uhrung von Toleran-
zen f¨
ur Residuen eingegangen werden. Anschließend folgt die Ausarbeitung zweier m¨
oglicher
mathematischer Realisierungen f¨
ur die allgemeine Toleranzenbedingung f¨
ur Residuen sowie des
Algorithmus zur L¨
osung eines um Toleranzenbedingungen erweiterten Ausgleichungsproblems.
Anhand eines Beispiels wird abschließend die Anwendung des erarbeiteten Ausgleichungsverfah-
rens veranschaulicht.
3.1 Veranschaulichung der allgemeinen Idee
An einem einfachen Ausgleichungsproblem soll die allgemeine Idee der Einf¨
uhrung von Toleranzen
f¨
ur Residuen veranschaulicht werden. Dazu wird von drei Messungen yi(2.5; 2.5; 5.5) ausgegan-
gen, die eine Gerade yi=axi+bbeschreiben. Die Werte xi(1.5; 4.0; 7.0) werden als fehlerfrei
und bekannt angenommen und die Werte yials gleich genau betrachtet. Durch Minimierung der
Summe der Residuenquadrate, ohne Bedingungen bzgl. der Residuen zu ber¨
ucksichtigen, erh¨
alt
man die Parameter aund bder ausgleichenden Geraden und den dazugeh¨
origen Residuenvektor
(siehe dazu Abbildung 3.1, durchgezogene Linie und Residuen 1-3):
a= 0.56044,
b= 1.16484,
v=
−0.49451
0.90659
−0.41209
.
Es stellt sich nun die Frage: Kann die Gerade derart gedreht und/oder verschoben werden, dass
alle Residuen einen Wert z.B. ≤0.7 annehmen? Eine m¨
ogliche L¨
osung ist in der Abbildung 3.1
grafisch dargestellt. Darin sind die Datenpunkte, die ausgleichende Gerade (durchgezogene Linie)
sowie die ausgleichende Gerade unter Ber¨
ucksichtigung von maximal zul¨
assigen Werten f¨
ur die
Residuen (gestrichelte Linie) dargestellt. Durch eine Parallelverschiebung und leichte Drehung
der Geraden ist es hier m¨
oglich, dass s¨
amtliche Residuen ≤0.7 werden. Die Parameter der
gestrichelt dargestellten Geraden und der dazugeh¨
orige Residuenvektor sind:
a= 0.56000,
b= 0.96000,
v=
−0.70000
0.70000
−0.62000
.
Ebenso kann der Betrag der Residuen ausschließlich durch Drehungen oder Parallelverschiebun-
gen der Geraden ver¨
andert werden. Es ist aber auch ersichtlich, dass, wenn man den Betrag
aller Residuen sehr stark verkleinern m¨
ochte, ab einer gewissen Grenze keine L¨
osung mehr
3.2. M¨
oglichkeiten zur Einf¨
uhrung von Toleranzenbedingungen 29
0123456789
x−Achse
1
2
3
4
5
6
y−Achse
Residuum 3
Residuum 2
Residuum1
Abbildung 3.1: Zwei m¨
ogliche L¨
osungen mit unterschiedlichen Residuen:
durchgezogene Linie ... ausgleichende Gerade,
gestrichelte Linie ... ausgleichende Gerade unter Ber¨
ucksichtigung von Residuengrenzwerten.
bestimmbar ist. So kann in diesem Beispiel die Gerade beliebig gedreht und verschoben werden,
ohne dass alle Residuen einen Wert ≤0.4 annehmen k¨
onnen.
Die im vorherigen Kapitel erl¨
auterten Regularisierungsverfahren stellen allgemein eine
Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen mit Bedingungen f¨
ur die Unbekannten
dar. Derartige Ausgleichungsprobleme k¨
onnen in der Regel in eine reine Ausgleichung nach
vermittelnden Beobachtungen transformiert werden [Helmert 1872], wobei dann wie bei der
stochastischen Regularisierung zwischen Beobachtungen und Pseudobeobachtungen unterschie-
den werden kann. Die Einbeziehung der Pseudobeobachtungen bewirkt somit allgemein die
Regularisierung des Problems. Aufgrund dieses Zusammenhangs wird im Folgenden stets von
Ausgleichungsproblemen gesprochen, wobei immer die Regularisierungsverfahren eingeschlossen
sind. Um die regularisierende Wirkung der Pseudobeobachtungen steuern zu k¨
onnen, soll nun
nicht ein Regularisierungsparameter bestimmt werden, sondern Toleranzen f¨
ur die Residuen der
Beobachtungen (nicht f¨
ur die Pseudobeobachtungen!) ber¨
ucksichtigt werden (entspricht einer
Regularisierung unter Ber¨
ucksichtigung von Residuentoleranzen).
Es sind nun folgende Fragen zu kl¨
aren: Welche M¨
oglichkeiten bestehen, um Bedingungen
f¨
ur Residuen in eine Ausgleichung einzubeziehen? Welche Algorithmen sind denkbar, um die
unbekannten Parameter eines Ausgleichungsproblems derart zu bestimmen, dass die Residuen
innerhalb sinnvoll gew¨
ahlter Intervalle liegen?
3.2 M¨
oglichkeiten zur Einf¨
uhrung von Toleranzenbedingungen
Ein beliebiges Ausgleichungsproblem wird in linearisierter Form durch die Funktionalmatrix A,
den Vektor der urspr¨
unglichen oder reduzierten Messungen ˜
lund durch eine Gewichtsmatrix P
beschrieben. Die Gewichtsmatrix berechnet sich wie folgt aus der Kovarianzmatrix der Beobach-
tungen Cll und einem mittleren Gewichtseinheitsfehler m0:
P=m2
0·C−1
ll .(3.1)
Auf der Hauptdiagonalen der Kovarianzmatrix der Beobachtungen stehen die quadrierten mittle-
ren Fehler der Beobachtungen. Je kleiner der mittlere Fehler einer Beobachtung ist, desto gr¨
oßer
ist das Gewicht dieser Beobachtung innerhalb der Ausgleichung. Die Berechnung der unbekannten
Parameter xdes Ausgleichungsproblems unter Minimierung der Summe der Residuenquadrate
30 3. M¨
oglichkeiten zur Einf¨
uhrung von Toleranzenbedingungen f¨
ur Residuen
erfolgt unter Verwendung der allgemein ¨
ublichen Formeln, wobei x0den Vektor mit den N¨
ahe-
rungswerten f¨
ur die Unbekannten darstellt (siehe dazu [Helmert 1872], dort in der traditionellen
Notation):
∆x= (ATPA)−1·ATP˜
l,
x=x0+ ∆x. (3.2)
Daraus ist unmittelbar ersichtlich, dass die L¨
osung eines Ausgleichungsproblems stark variiert
werden kann und somit auch der resultierende Residuenvektor, wenn die mittleren Fehler der
Beobachtungen variiert werden. So k¨
onnte man durch Variation der Gewichtsmatrix iterativ
nach einer L¨
osung suchen, bei der s¨
amtliche oder einzelne Residuen innerhalb bestimmter
Grenzen liegen. Auf welchem Wege muss aber die Gewichtsmatrix ver¨
andert werden und wie
kann man absch¨
atzen, inwieweit ¨
Anderungen der Gewichtsmatrix die resultierenden Residuen
ver¨
andern? Weiterhin sollte es m¨
oglich sein, dass nicht nur eine beliebige m¨
ogliche L¨
osung
bestimmt wird, sondern diejenige, die z.B. die kleinst m¨
ogliche Summe der Residuenquadrate
aufweist und gleichzeitig Toleranzen f¨
ur die Residuen erf¨
ullt. Durch eine Variation der Gewichts-
matrix l¨
asst sich all dies nicht realisieren. Daher wird im Weiteren gezeigt, welche M¨
oglichkeiten
bestehen, um auf eleganterem Wege derartige Probleme zu l¨
osen, z.B. indem zus¨
atzliche
Bedingungsungleichungen zum urspr¨
unglichen Ausgleichungsproblem formuliert werden.
Die zu erf¨
ullenden Toleranzenbedingungen f¨
ur die Residuen haben im Allgemeinen die Form:
|vi|≤ti, d.h. der Betrag der einzelnen Residuen visoll kleiner oder gleich einem vorgegebenen
Wert (Toleranz) tisein. Bei einem heuristischen1Auswerteverfahren ist eine derartige Einf¨
uhrung
von Toleranzenbedingungen leicht m¨
oglich. Dabei wird f¨
ur s¨
amtliche zu bestimmenden Unbe-
kannten jeweils ein Intervall vorgegeben, in dem die jeweilige Unbekannte vermutet wird. Diese
Intervalle stellen den potenziellen L¨
osungsraum f¨
ur das betrachtete Problem dar. Um m¨
oglichst
zuverl¨
assig nach dem globalen Minimum (entspricht der besten L¨
osung bei Minimierung einer
beliebig ausgew¨
ahlten Norm, hier wurde die L2-Norm verwendet) suchen zu k¨
onnen, wird
zun¨
achst ein recht großes Intervall f¨
ur alle Unbekannten als m¨
oglicher L¨
osungsraum vorgegeben.
Es wird dann mehrmals (z.B. 100 Millionen mal) ein beliebiger Wert f¨
ur die Unbekannten aus
diesen Intervallen pseudozuf¨
allig vorgegeben und der Wert der zu minimierenden Funktion
(Summe der Residuenquadrate) als G¨
utekriterium der Unbekannten berechnet. Die Unbekann-
tenkombination, f¨
ur die der Wert der zu minimierenden Funktion (Zielfunktion) am kleinsten
ist und f¨
ur die s¨
amtliche geforderten Residuentoleranzen erf¨
ullt sind, stellt die beste gefundene
L¨
osung dar. Um die Zuverl¨
assigkeit der heuristischen Unbekanntenbestimmung zu erh¨
ohen,
sollte der Zufallsgenerator zur Erzeugung der pseudozuf¨
alligen Unbekanntenwerte z.B. zehn
Mal neu initialisiert werden, so dass zehn Mal unterschiedliche Pseudo-Zufallszahlen-Folgen
verwendet werden. Nachdem die beste L¨
osung unter Verwendung der grob vorgegebenen
Intervalle f¨
ur die Unbekannten bestimmt wurde, werden die Intervalle unter Ber¨
ucksichtigung
der bereits ermittelten L¨
osung verkleinert. F¨
ur diese verkleinerten Intervalle werden dann
wieder z.B. 100 Millionen m¨
ogliche Unbekanntenkombinationen untersucht f¨
ur jede der zehn
verschiedenen Initialisierungen des Zufallsgenerators. Verwendet man zehn Initialisierungen
des Zufallsgenerators, 100 Millionen Generierungen von pseudozuf¨
alligen Werten f¨
ur die
Unbekannten und zwei unterschiedlich große Intervalle f¨
ur die Unbekannten, so sind etwa drei
Nachkommastellen der L¨
osung signifikant.
Aufgrund der beschriebenen Vorgehensweise bei der Bestimmung der Unbekannten mit dem
heuristischen Auswerteverfahren ist gew¨
ahrleistet, dass die Minimierung der Zielfunktion zum
1vom griechischen ”heuriskein“ = finden oder entdecken
3.2. M¨
oglichkeiten zur Einf¨
uhrung von Toleranzenbedingungen 31
globalen Minimum f¨
uhrt und nicht in ein lokales Minimum. Dass sich dieses Verfahren zur
globalen Minimumsuche gut eignet, wurde bereits in verschiedenen Arbeiten diskutiert, z.B.
[Mautz 2001] und [Kaschenz 2003]. Ebenso wurde dort auch der entscheidende Nachteil dieses
Verfahrens er¨
ortert - der Rechenaufwand. Um eine zuverl¨
assige L¨
osung zu erhalten, ist es
einerseits notwendig, sehr viele Unbekanntenkombinationen pseudozuf¨
allig zu generieren und
andererseits auch mehrere Initialisierungen des Zufallsgenerators zu nutzen. Somit ist der
Rechenaufwand um so gr¨
oßer, je zuverl¨
assiger die L¨
osung sein soll. Aufgrund der geringen
Effizienz des heuristischen Verfahrens soll dieses innerhalb der vorliegenden Arbeit lediglich als
ein m¨
ogliches zus¨
atzliches unabh¨
angiges Kontrollverfahren betrachtet werden.
Um Bedingungsungleichungen f¨
ur die Residuen innerhalb eines Ausgleichungsproblems ber¨
uck-
sichtigen zu k¨
onnen, muss die allgemeine Form der Toleranzenbedingung |vi| ≤ tiderart trans-
formiert werden, dass eine funktionale Darstellung der Bedingungen m¨
oglich wird. Zum einen
besteht die M¨
oglichkeit darin, die Bedingungen in der Form v2
i≤t2
ieinzuf¨
uhren und zum ande-
ren f¨
ur jedes einzelne Residuum zwei Bedingungen zu formulieren: vi≤tiund −vi≤ti. Beide
Varianten der mathematischen Realisierung der Toleranzenbedingung f¨
ur die Residuen sollen im
Weiteren aufgezeigt werden.
3.2.1 Variante 1: v2≤t2
Zun¨
achst soll die Variante betrachtet werden, bei der die Bedingungen derart formuliert wer-
den, dass jedes einzelne Residuumquadrat v2
ikleiner oder gleich einer bestimmten quadrierten
Toleranz t2
isein soll:
v2
i≤t2
i.(3.3)
Die nichtlinearen Beobachtungsgleichungen eines Ausgleichungsproblems haben die bekannte
Form:
li+vi=fi(xj).(3.4)
Werden diese an der Stelle der N¨
aherungswerte x0linearisiert, so erh¨
alt man:
li+vi="∂fi
∂xjx0#∆x+fi(x0).(3.5)
Durch Zusammenfassen folgt:
vi=A∆x−˜
li,(3.6)
mit
A="∂fi
∂xjx0#,
˜
li=li−fi(x0).
Somit folgt f¨
ur die nichtlinearen Gleichungen f¨
ur die Residuenquadrate:
v2
i= (fi(xj)−li)2=gi(xj, li) (3.7)
und in linearisierter Form:
v2
i=B1∆x+b1,(3.8)
32 3. M¨
oglichkeiten zur Einf¨
uhrung von Toleranzenbedingungen f¨
ur Residuen
mit
B1="∂gi
∂xjx0#,
b1= [gi(x0, li)] .
Daraus lassen sich die linearen Bedingungsungleichungen formulieren:
v2≤t2⇔B1∆x+b1≤t2.(3.9)
3.2.2 Variante 2: v≤tund −v≤t
Die zweite Variante, Bedingungen f¨
ur die Residuen zu formulieren, resultiert aus der Forderung,
dass alle Residuen viund −vikleiner oder gleich einer bestimmten Toleranz ti>0 sein sollen.
Somit erh¨
alt man nach Formel (3.4) f¨
ur jede Beobachtung zwei nichtlineare Gleichungen f¨
ur die
Residuen:
vi=fi(xj)−li=hi(xj, li),
−vi=li−fi(xj) = −hi(xj, li),
und in linearisierter Form:
±vi=B2∆x+b2,(3.10)
mit
B2="∂(±hi)
∂xjx0#,
b2= [±hi(x0, li)] .
Daraus folgen wieder die linearen Bedingungsungleichungen:
v≤t und −v≤t⇔B2∆x+b2≤t. (3.11)
Es ist sofort ersichtlich, dass die partiellen Ableitungen ∂h
∂x bis auf das Vorzeichen identisch sind
zu den partiellen Ableitungen ∂f
∂x . Bei Verwendung der Variante 2 der Formulierung der Toleran-
zenbedingung ben¨
otigt man daher nur eine Art der Linearisierung, bei der Variante 1 dagegen
zwei verschiedene Arten. Somit kann man vermuten, dass sich die Variante 2 der Bedingungsun-
gleichungen als g¨
unstiger erweisen wird als die Variante 1.
3.3 Ausarbeitung der Algorithmen
Im Weiteren muss gekl¨
art werden, wie ein Ausgleichungsproblem unter Einbeziehung der
dargestellten Bedingungsungleichungen gel¨
ost werden kann. In vielen g¨
angigen B¨
uchern zur
Ausgleichungsrechnung (z.B. [Großmann 1953], [Reißmann 1968], [Gotthardt 1968]) findet
man zwar Algorithmen zur L¨
osung der sog. ”vermittelnden Ausgleichung mit Bedingungen
zwischen den Unbekannten“ und zur ”bedingten Ausgleichung mit Unbekannten“, wo die
Einf¨
uhrung von Bedingungsgleichungen m¨
oglich ist, aber in beiden F¨
allen handelt es sich um
”Gleichheits-Bedingungen“. Bei den vorliegenden Bedingungen wird aber nicht die exakte
Gleichheit gefordert, sondern v2
ibzw. ±visoll kleiner oder gleich einem Wert sein. Somit k¨
onnen
3.3. Ausarbeitung der Algorithmen 33
diese Algorithmen nicht verwendet werden.
In [Lawson und Hanson 1974] wird ein sog. LSI (Least Squares with Inequality constraints)-
Problem f¨
ur lineare Ausgleichungsprobleme betrachtet und anhand eines Beispiels mit Ungleich-
heitsbedingungen f¨
ur die Unbekannten veranschaulicht. Die Definition des LSI-Problems lautet
dort wie folgt (aus dem Englischen ¨
ubersetzt):
Esei eine (m2×n)-Matrix, fein m2-Vektor, G eine (m×n)-Matrix und h ein m-
Vektor. Das entsprechende Ausgleichungsproblem nach kleinsten Quadraten mit linearen
Ungleichheitsbedingungen kann dann wie folgt formuliert werden:
minkEx −fkunter Ber¨
ucksichtigung von Gx ≥h.
Des Weiteren werden von Lawson und Hanson zwei Spezialf¨
alle des LSI-Problems betrachtet:
NNLS (NonNegative Least Squares)-Problem:
minkEx −fkunter Ber¨
ucksichtigung von x≥0.
LDP (Least Distance Programming)-Problem:
minkxkunter Ber¨
ucksichtigung von Gx ≥h.
Es stellt sich nun die Frage, ob das vorliegende Ausgleichungsproblem mit Toleranzenbedingungen
f¨
ur Residuen in ein von Lawson und Hanson betrachtetes Problem transformiert werden kann.
Nach Gleichung (3.6) lautet das zu minimierende Problem
minkA∆x−˜
lk.(3.12)
Die ermittelten linearen Bedingungsungleichungen, mit denen Toleranzen f¨
ur die Residuen
ber¨
ucksichtigt werden k¨
onnen, lauten nach den Formeln (3.9) und (3.11)
B1∆x+b1≤t2bzw. (3.13)
B2∆x+b2≤t. (3.14)
Man erkennt, dass das vorgestellte LSI-Problem eine ¨
ahnliche Form aufweist, wie das zu untersu-
chende Ausgleichungsproblem mit Toleranzenbedingungen. Mit den Substitutionen A=Eund
˜
l=ffolgt aus Gleichung (3.12)
minkE∆x−fk.(3.15)
Eine Substitution mit ∆x=xwurde bewusst nicht durchgef¨
uhrt, da in
[Lawson und Hanson 1974] lediglich lineare Probleme betrachtet werden, hier aber gleich
auf nichtlineare Probleme ¨
ubergegangen werden soll.
Die Gleichungen (3.13) und (3.14) k¨
onnen nun wie folgt umgestellt werden
B1∆x≤t2−b1,
B2∆x≤t−b2,
m
−B1∆x≥ −t2+b1,
−B2∆x≥ −t+b2,
m
G1∆x≥h1,(3.16)
G2∆x≥h2,(3.17)
34 3. M¨
oglichkeiten zur Einf¨
uhrung von Toleranzenbedingungen f¨
ur Residuen
wobei die Substitutionen G1=−B1bzw. G2=−B2durchgef¨
uhrt wurden sowie h1=b1−t2
bzw. h2=b2−tist.
Somit ist das hier betrachtete Ausgleichungsproblem mit Toleranzenbedingungen in das LSI-
Problem transformierbar, so dass eine Nutzung von in [Lawson und Hanson 1974] vorgestellten
Transformationen und Algorithmen m¨
oglich wird.
Da in [Lawson und Hanson 1974] lediglich f¨
ur das NNLS-Problem ein L¨
osungsalgorithmus an-
gegeben ist, wird dort zus¨
atzlich die Transformation eines LSI-Problems in ein NNLS-Problem
beschrieben. Der in [Lawson und Hanson 1974] beschriebene L¨
osungsalgorithmus kann zwar nur
f¨
ur lineare Probleme verwendet werden, doch ist eine Erweiterung dieses Algorithmus auf nicht-
lineare Probleme vorstellbar. Daher soll im Folgenden die Transformation eines LSI-Problems
in ein NNLS-Problem aufgezeigt werden, welche sich in zwei Transformationsschritte unterteilt
(dass eine direkte Transformation nicht m¨
oglich ist, wird im Abschnitt 3.3.4 gezeigt): 1. Trans-
formation des LSI-Problems in ein LDP-Problem und 2. Transformation des LDP-Problems in
ein NNLS-Problem. Anschließend wird der f¨
ur nichtlineare Probleme erweiterte Algorithmus zur
Bestimmung der L¨
osung eines NNLS-Problems dargelegt.
3.3.1 Transformation eines LSI-Problems in ein LDP-Problem
Gegeben sei ein LSI-Problem durch die Matrizen E(m2×n) mit Rang(E) = nund G(m×n)
und die Vektoren f(m2×1) und h(m×1). Zun¨
achst wird die Matrix Emittels einer Sin-
gul¨
arwertzerlegung (siehe [Press et al. 1992]) in die Matrizen H,¯
Rund Kzerlegt:
E=H¯
RKT,
E=HR
0KT,(3.18)
wobei Heine (m2×m2)-Orthogonalmatrix ist, Keine (n×n)-Orthogonalmatrix, Reine (n×n)-
nichtsingul¨
are Matrix und ¯
Reine (m2×n)-Matrix. F¨
ur die zu minimierende Funktion ϕ(x) erh¨
alt
man:
ϕ(x) = (kEx −fk)2
=kH¯
RKTx−fk2
=kHR
0KTx−fk2
.(3.19)
F¨
uhrt man die Substitution x=Ky durch und ber¨
ucksichtigt, dass KTK=K−1K= Einheits-
matrix ist, dann folgt:
ϕ(x) = kHR
0y−fk2
.(3.20)
Die Gleichung (3.20) wird im n¨
achsten Schritt mit kHTk2multipliziert. Dabei wird ber¨
uck-
sichtigt, dass kHTk2= 1 ist, da Heine Orthogonalmatrix ist, und dass kHkkwk=kHwkist,
wobei weinen beliebigen Vektor darstellt (siehe dazu [Lawson und Hanson 1974], S. 5). In der
Gleichung (3.20) stellt der Term innerhalb (k...k)2einen (m2×1)-Vektor dar.
kHTk2ϕ(x) = kHTk·kHR
0y−fk2
m
3.3. Ausarbeitung der Algorithmen 35
ϕ(x) = kHTHR
0y−HTfk2
=kR
0y−HTfk2
=kHTf−R
0yk2
.(3.21)
Da ¯
Reine (m2×n)-Matrix, Reine (n×n)-Matrix und yeinen (n×1)-Vektor darstellen, folgt,
dass ¯
Ry =Ry : 0 Tist. Weiterhin wird HTfwie folgt zerlegt:
HTf=HT
1f
HT
2f,(3.22)
wobei HT
1feinen (n×1)-Vektor darstellt und HT
2feinen ((m2−n)×1)-Vektor. Somit kann die
Gleichung (3.21) umgeschrieben werden in:
ϕ(x) = kHT
1f
HT
2f−Ry
0k2
(3.23)
=kHT
1f−Ryk2+kHT
2fk2.(3.24)
Dabei ist der ¨
Ubergang von Gleichung (3.23) nach Gleichung (3.24) nur m¨
oglich, da der Term
in Gleichung (3.23) innerhalb von (k...k)2einen Vektor darstellt und eine beliebige p-Norm eines
Vektors definiert ist durch (siehe [Wilkinson 1969]):
(kwk)p= (|w1|p+|w2|p+···+|wn|p)1/p (p= 1,2,···,∞),(3.25)
wobei unter (kwk)∞max|wi|verstanden wird.
Der Term kHT
2fk2ist bei linearen und nichtlinearen (hier nur w¨
ahrend einer Iteration) Proble-
men konstant und muss somit bei der Minimierung der Funktion ϕ(x) nicht mit ber¨
ucksichtigt
werden. Substituiert man z=Ry−HT
1f, so erh¨
alt man die endg¨
ultige zu minimierende Funktion
des LDP-Problems:
ϕ(x) = (kzk)2.(3.26)
Durch Einsetzen von x=Ky und y=R−1z+HT
1fin die Bedingungsungleichung Gx ≥h
des LSI-Problems erh¨
alt man abschließend die Bedingungsungleichung des LDP-Problems:
Gx ≥h
m
GKy ≥h
m
GKR−1z+HT
1f≥h
m
˜
Gz ≥˜
h(3.27)
mit
˜
G=GKR−1,
˜
h=h−˜
GHT
1f.
Nach Berechnung der LDP-L¨
osung zkann ¨
uber y=R−1z+HT
1fund x=Ky die LSI-L¨
osung
xberechnet werden.
36 3. M¨
oglichkeiten zur Einf¨
uhrung von Toleranzenbedingungen f¨
ur Residuen
3.3.2 Transformation eines LDP-Problems in ein NNLS-Problem
Im Folgenden wird die Transformation eines LDP-Problems in ein NNLS-Problem ohne Her-
leitung angegeben. Es wird lediglich der Zusammenhang zwischen der LDP-L¨
osung zund der
NNLS-L¨
osung uaufgezeigt.
Gegeben sei ein LDP-Problem minkzkmit ˜
Gz ≥˜
h. Die Transformation in das dazugeh¨
orige
NNLS-Problem mink˜
Eu −˜
fkmit u≥0 erfolgt mit (siehe [Lawson und Hanson 1974]):
˜
E=˜
GT
˜
hT,˜
f=
0
0
.
.
.
1
.(3.28)
Die NNLS-L¨
osung ubesitzt nach dem Kuhn-Tucker-Theorem ([Lawson und Hanson 1974], S.
165/166) folgende Eigenschaften:
ui= 0 und pi≥0f¨ur i ∈M1,
ui>0und pi= 0 f¨ur i ∈M2
mit
r=˜
Eu −˜
f und p =˜
ETr,
wobei pden Gradienten der zu minimierenden Funktion des NNLS-Problems darstellt.
Wird das LDP-Problem derart gel¨
ost, so muss gew¨
ahrleistet sein, dass aus der NNLS-L¨
osung u
die LDP-L¨
osung zberechnet werden kann und diese dann einerseits tats¨
achlich das Minimum der
zu minimierenden Funktion des LDP-Problems darstellt und andererseits die LDP-Bedingungen
erf¨
ullt werden.
Gem¨
aß der Kuhn-Tucker-Bedingungen f¨
ur zbei der Minimierung von minkzkmit ˜
Gz ≥˜
hergibt
sich die Forderung, dass der Gradientenvektor zals nicht-negative Linearkombination der Zeilen
der Matrix ˜
Gdarstellbar sein muss. Daraus folgt f¨
ur zunter Ber¨
ucksichtigung der Vorzeichen-
bedingungen f¨
ur u([Lawson und Hanson 1974], S. 160):
r=˜
Eu −˜
f=˜
GT
˜
hTu−
0
0
.
.
.
1
=˜
GTu
˜
hTu−1=
r1
.
.
.
rn+1
(3.29)
⇓
z=˜
GTu(−rn+1)−1
=
r1
.
.
.
rn
(−rn+1)−1,(3.30)
so dass zdamit tats¨
achlich das Minimum des LDP-Problems darstellt.
Im Weiteren wird gepr¨
uft, ob die LDP-Bedingungen erf¨
ullt sind, wenn die NNLS-L¨
osung obige
Eigenschaften aufweist. Dazu muss zun¨
achst betrachtet werden, welche Eigenschaften (krk)2
besitzt:
p=˜
ETr⇒pT=rT˜
E⇒pTu=rT˜
Eu,
(krk)2=rTr=rT(˜
Eu −˜
f) = rT˜
Eu −rT˜
f=pTu−rn+1.
(3.31)
Da entweder ui= 0 oder pi= 0 ist (siehe Eigenschaften der NNLS-L¨
osung), folgt:
3.3. Ausarbeitung der Algorithmen 37
(krk)2=−rn+1.
Der Wert von (krk)2kann nach Formel (3.25) wie folgt berechnet werden:
(krk)2= (r2
1+r2
2+...+r2
n+1)1/2.(3.32)
Daraus folgt, dass (krk)2>0, wenn rkeinen Nullvektor darstellt bzw. rn+1 negativ ist.
Als erstes erfolgt nun die ¨
Uberpr¨
ufung der G¨
ultigkeit der LDP-Bedingungen f¨
ur uiund pider
M1-Menge, so dass gilt: pi≥0 und ui= 0.
p=˜
ETr=˜
GT
˜
hTTz
−1(−rn+1) = ( ˜
Gz −˜
h)(−rn+1) = ( ˜
Gz −˜
h)(krk)2.(3.33)
Da pi≥0 sein muss und (krk)2>0 gilt, folgt, dass ˜
Gz−˜
h≥0 sein muss, damit diese Eigenschaft
der NNLS-L¨
osung erf¨
ullt ist. Daher ist ˜
Gz ≥˜
hf¨
ur pi≥0 und ui= 0 erf¨
ullt. F¨
ur pi= 0 und
ui>0 der M2-Menge gilt analog, dass ˜
Gz −˜
h= 0 sein muss, damit ebenso diese Eigenschaft der
NNLS-L¨
osung erf¨
ullt ist, d.h. ˜
Gz =˜
h. Die Bedingungen des LDP-Problems sind somit erf¨
ullt,
wenn (krk)2>0 ist. Daraus kann man schließen, dass, wenn (krk)2= 0 ist, die Bedingungen
nicht erf¨
ullt sind.
Mit r=z
−1(−rn+1) und r=˜
Eu −˜
ffolgt:
(krk)2=rTr=zT−1 ˜
GT
˜
hTu−˜
f(−rn+1)
=zT˜
GTu−˜
hTu+ 1(−rn+1) = h(zT˜
GT−˜
hT)u+ 1i(−rn+1)
=qTu+ 1(−rn+1),(3.34)
wobei q=˜
Gz −˜
h≥0 ist. Da ui≥0 gilt, muss qT<0 sein, damit (krk)2= 0 werden kann.
qdarf aber nicht negativ werden, wenn die LDP-Bedingungen erf¨
ullt werden sollen. Somit sind
die LDP-Bedingungen nicht erf¨
ullt, wenn (krk)2= 0 ist.
Liegt die NNLS-L¨
osung uvor, so kann diese mittels r=˜
Eu −˜
fund der Formel (3.30) in die
LDP-L¨
osung zzur¨
ucktransformiert werden.
3.3.3 L¨
osungsalgorithmus f¨
ur NNLS-Probleme
Gegeben sei eine (m2×n)-Matrix ˜
Eund ein (m2×1)-Vektor ˜
f. Des Weiteren definiert man zwei
(1 ×n)-Vektoren Pund Z. Die L¨
osung des NNLS-Problems soll mit ubezeichnet werden und d
als Dual-Vektor. Der L¨
osungsalgorithmus zur Bestimmung von ulautet dann wie folgt:
1. Setze alle Elemente von Pund uzu null und Z= (1,2,...,n).
2. Berechne den Dual-Vektor d=˜
ET(˜
f−˜
Eu).
3. Sind alle Elemente von Zgleich null oder alle Elemente djkleiner oder gleich null f¨
ur j∈Z,
dann wird die Berechnung von uabgeschlossen.
4. Bestimme den Index t∈Z, f¨
ur den gilt: dt=max(dj:j∈Z).
5. Verschiebe den Index tvom Vektor Zin den Vektor P.
38 3. M¨
oglichkeiten zur Einf¨
uhrung von Toleranzenbedingungen f¨
ur Residuen
6. Definiere eine (m2×n)-Matrix Epmit:
Spalte j von Ep:= Spalte j von ˜
Ef¨
ur j∈Pund 0 f¨
ur j∈Z
und berechne den (n×1)-Vektor ¯zdes Ausgleichungsproblems nach kleinsten Quadraten
minkEp¯z−˜
fk. Dabei ist zu ber¨
ucksichtigen, dass lediglich die Komponenten ¯zj, j ∈P
berechnet werden k¨
onnen. F¨
ur j∈Zwird ¯zj= 0 gesetzt.
7. Ist ¯zj>0 f¨
ur alle j∈P, dann setze u= ¯zund gehe zu Schritt 2.
Dieser L¨
osungsalgorithmus wurde aus [Lawson und Hanson 1974] entnommen, wobei dort noch
vier weitere Schritte zu finden sind. Mittels dieser zus¨
atzlichen Schritte wird versucht, Rundungs-
fehler zu ber¨
ucksichtigen, wobei die Autoren anmerken, dass auch damit nicht alle Probleme,
verursacht durch Rundungsfehler, vermieden werden k¨
onnen. Daher wird auf diese zus¨
atzlichen
Schritte verzichtet, da, wenn Probleme durch Rundungen festgestellt werden, auf eine h¨
ohere
Rechengenauigkeit (z.B. von doppelter Genauigkeit auf vierfache Genauigkeit bei Fortran 90)
¨
ubergegangen werden kann.
Im Schritt 2 wird der Dual-Vektor dberechnet, welcher den Gradienten der zu minimierenden
Funktion (k˜
Eu −˜
fk)2darstellt. Sind alle Elemente dieses Vektors ≤0, so bedeutet das, dass
einerseits die zu minimierende Funktion nicht weiter minimiert werden kann - man befindet sich
bereits im Minimum - und andererseits, dass keine weiteren Unbekannten uj>0 bestimmt wer-
den k¨
onnen. Liegt Z=~
0 vor, so konnten alle Unbekannten berechnet werden, wobei diese >0
sind.
Grunds¨
atzlich erfolgt die Berechnung der Unbekannten ujsukzessive und zwar derart, dass im-
mer die Unbekannte hinzugenommen wird, deren Anteil am Gradientenvektor dmaximal ist,
so dass f¨
ur diese die Wahrscheinlichkeit, die zu minimierende Funktion weiter minimieren zu
k¨
onnen, besonders hoch ist. Alle Unbekannten uj, f¨
ur die kein Wert >0 bestimmt werden konn-
te, werden zu null gesetzt, so dass die NNLS-Bedingungen jedenfalls erf¨
ullt sind.
F¨
ur die Berechnung der Elemente der Matrix ˜
Eund des Vektors ˜
fben¨
otigt man bei nichtli-
nearen Problemen (z.B. wenn Residuentoleranzen eingef¨
uhrt werden) N¨
aherungswerte x0f¨
ur die
LSI-L¨
osung x(in [Lawson und Hanson 1974] werden nur lineare Probleme betrachtet). Somit
stellen die Schritte 1-7 lediglich den Iterationsalgorithmus zur Bestimmung der NNLS-L¨
osung
dar. Es muss aber noch eine weitere Iteration erfolgen, um zu ber¨
ucksichtigen, dass die ur-
spr¨
unglichen Beobachtungsgleichungen nichtlinear sind. F¨
ur diese Iteration wird zun¨
achst eine
N¨
aherungsl¨
osung x0ben¨
otigt, um die Matrizen und Vektoren des LSI-Problems aufstellen zu
k¨
onnen. Dieses LSI-Problem wird dann in das dazugeh¨
orige NNLS-Problem transformiert und
gel¨
ost. Die NNLS-L¨
osung umuss zur¨
uck in die LSI-L¨
osung ∆xtransformiert werden. Die er-
haltene L¨
osung x=x0+ ∆xwird dann als neue N¨
aherungsl¨
osung betrachtet und s¨
amtliche
Berechnungen von neuem durchgef¨
uhrt. Diese Ӭ
außere“ Iteration wird beendet, wenn die Summe
der Residuenquadrate z.B. 10000 Mal innerhalb der Rechengenauigkeit gleich blieb bzw. eine
maximal vorgegebene Anzahl von Iterationen durchgef¨
uhrt wurde. Dies ist nur eine M¨
oglichkeit
zur Festlegung des Abbruchs der Iteration und kann keineswegs als immer vorteilhaft betrachtet
werden. So ist es theoretisch m¨
oglich, dass die Konvergenz zum Minimum der zu minimierenden
Funktion so extrem langsam erfolgt, dass mit diesem Abbruchkriterium der Iterationsprozess zu
fr¨
uh abgebrochen wird. Dieses Abbruchkriterium hat sich aber bei den getesteten Beispielen als
vorteilhaft erwiesen und ist sicherlich viel geeigneter als das allgemein ¨
ubliche Abbruchkriteri-
um - Abbruch, wenn die neue L¨
osung xerstmalig von der N¨
aherungsl¨
osung x0nicht signifikant
verschieden ist.
3.3. Ausarbeitung der Algorithmen 39
3.3.4 Beweis, dass die direkte Transformation eines LSI-Problems in ein NNLS-
Problem nicht g¨
ultig ist
Selbstverst¨
andlich stellt sich einem sofort die Frage, warum eine derart umst¨
andliche Transforma-
tion des LSI-Problems in ein entsprechendes NNLS-Problem notwendig ist. Wesentlich einfacher
scheint auf den ersten Blick folgende Transformation zu sein:
Gegeben sei ein LSI-Problem der Art minkEx −fkmit den Bedingungen Gx ≥h. Dieses soll
nun direkt in das dazugeh¨
orige NNLS-Problem mink˜
Eu −˜
fkmit u≥0 transformiert werden.
Aus Gx ≥hfolgt:
Gx −h≥0.(3.35)
Daraus folgt, dass u=Gx −hist. Stellt man diese Gleichung nach xum, so erh¨
alt man:
u=Gx −h,
u+h=Gx, (3.36)
GT(u+h) = GTGx, (3.37)
x= (GTG)−1GT(u+h).(3.38)
Wird nun Gleichung (3.38) in Ex −feingesetzt, erh¨
alt man:
Ex −f=E(GTG)−1GTu+E(GTG)−1GTh−f. (3.39)
Daraus folgt f¨
ur ˜
Eund ˜
f:
˜
E=E(GTG)−1GT,(3.40)
˜
f=f−E(GTG)−1GTh. (3.41)
Mittels des L¨
osungsalgorithmus f¨
ur NNLS-Probleme k¨
onnte man nun die NNLS-L¨
osung u
berechnen und diese anhand der Gleichung (3.38) zur¨
uck in die urspr¨
ungliche LSI-L¨
osung x
transformieren.
Leider ist diese sehr einfache Transformation nicht g¨
ultig, da die Gleichungen (3.36) und
(3.37) nicht ¨
aquivalent zueinander sind. Das bedeutet in diesem Fall, dass zwar die Umfor-
mung von Gleichung (3.36) nach Gleichung (3.37) gilt, die umgekehrte Umformung aber nicht.
Dies ist aber notwendig, da man die NNLS-L¨
osung zur¨
uck in die LSI-L¨
osung transformieren muss.
Zwei Gleichungen A(x) = 0 und B(x) = 0 heißen ¨
aquivalent zueinander, wenn folgendes
gilt: Wenn f¨
ur gewisse xdie Gleichung A(x) = 0 erf¨
ullt ist, dann muss auch B(x) = 0 f¨
ur diese
x-Werte gelten und umgekehrt.
Das bedeutet speziell auf die Gleichungen (3.36) und (3.37) bezogen, wenn die Gleichung
GT(u+h) = GTGx erf¨
ullt ist, dann muss auch die Gleichung u+h=Gx erf¨
ullt sein. Gibt es
ein uund x, f¨
ur die dies nicht gilt, so sind die Gleichungen (3.36) und (3.37) nicht ¨
aquivalent.
Das folgende Beispiel zeigt, dass die Gleichungen (3.36) und (3.37) nicht ¨
aquivalent sind:
u=
458646.8131
0.0000
600000.2488
,
x=0.0304
0.1248 ,
40 3. M¨
oglichkeiten zur Einf¨
uhrung von Toleranzenbedingungen f¨
ur Residuen
h=
−999999.5578
−999999.5644
−999999.4375
,
G=
1.9950 1.3300
−5.2800 −1.3200
10.5000 1.5000
.
GT(u+h) = GTGx gilt, da:
7.4932
1.4916 =7.4932
1.4916 ,
u+h=Gx gilt aber nicht, da:
−5.4135 ·105
−1.0000 ·106
−4.0000 ·105
6=
0.2268
−0.3255
0.5069
.
Damit ist bewiesen, dass diese direkte Transformation eines LSI-Problems in ein entsprechen-
des NNLS-Problem nicht g¨
ultig ist und somit die aufwendigere Transformation, wie sie in den
vorangegangenen Abschnitten beschrieben wurde, genutzt werden muss.
3.3.5 Veranschaulichung der Ausgleichung mit Toleranzenbedingungen
Zur besseren ¨
Ubersicht wird im Folgenden zusammengestellt, wie ein Ausgleichungsproblem mit
Toleranzenbedingungen f¨
ur die Residuen aufgestellt und gel¨
ost werden kann. Dies wird exempla-
risch anhand eines einfachen Beispiels erfolgen.
Im Beispiel sollen die Parameter aund beiner Geraden y=aw +bbestimmt werden, wobei die
Messungen yimit i= 1,2,3 vorliegen, welche als gleich genau betrachtet werden. Somit entf¨
allt
die Einf¨
uhrung einer Gewichtsmatrix innerhalb dieser Ausgleichung. Die wi-Werte werden als
fehlerfrei und bekannt vorausgesetzt. Die Toleranzen f¨
ur die Residuen viwerden mit tibezeich-
net.
Die Beobachtungsgleichungen lauten dann wie folgt:
y1+v1=aw1+b,
y2+v2=aw2+b,
y3+v3=aw3+b.
Substituiert man a=a0+ ∆aund b=b0+ ∆bund verwendet die Matrizenschreibweise, folgt:
v1
v2
v3
=E∆x−f, (3.42)
mit
E=
w11
w21
w31
, f =
y1−a0w1−b0
y2−a0w2−b0
y3−a0w3−b0
,∆x=∆a
∆b, x0=a0
b0.
Anhand der durchgef¨
uhrten Substitution erfolgt f¨
ur die Anwendung beider Varianten der
Realisierung der Toleranzenbedingung der ¨
Ubergang des hier linearen Ausgleichungsproblems
3.3. Ausarbeitung der Algorithmen 41
in ein nichtlineares Ausgleichungsproblem. Dies ist zwingend notwendig, wenn die Variante 1
der Bedingungsungleichungen f¨
ur die Residuen verwendet werden soll, da diese Ungleichungen
selbst bei linearen Ausgleichungsproblemen nichtlinear sind.
Damit lautet die zu minimierende Funktion des LSI-Problems: minkE∆x−fk. F¨
ur die Bedin-
gungsungleichungen gilt nach Abschnitt 3.2.1 und 3.2.2:
B1∆x+b1≤t2bzw. B2∆x+b2≤t, (3.43)
mit
B1=
2(a0w1+b0−y1)w12(a0w1+b0−y1)
2(a0w2+b0−y2)w22(a0w2+b0−y2)
2(a0w3+b0−y3)w32(a0w3+b0−y3)
,
b1=
(a0w1+b0−y1)2
(a0w2+b0−y2)2
(a0w3+b0−y3)2
, t2=
t2
1
t2
2
t2
3
,
bzw.
B2=
w11
−w1−1
w21
−w2−1
w31
−w3−1
, b2=
a0w1+b0−y1
−(a0w1+b0−y1)
a0w2+b0−y2
−(a0w2+b0−y2)
a0w3+b0−y3
−(a0w3+b0−y3)
, t =
t1
t1
t2
t2
t3
t3
.
Die Bedingungsungleichungen G∆x≥hdes LSI-Problems erh¨
alt man dann aus:
Gi=−Bif¨
ur i=1, 2 und h1=b1−t2bzw. h2=b2−t.
Somit stehen nun die E-Matrix, der f-Vektor, die G-Matrix und der h-Vektor des LSI-Problems
zur Verf¨
ugung. Die ˜
G-Matrix und den ˜
h-Vektor des LDP-Problems minkzkmit ˜
Gz ≥˜
hberechnet
man dann wie folgt:
˜
G=GK ¯
R−1,
˜
h=h−˜
GHT
1f,
wobei K,¯
Rund HT
1gem¨
aß Abschnitt 3.3.1 bestimmt werden. Die Matrix ˜
Eund den Vektor ˜
f
des dazugeh¨
origen NNLS-Problems mink˜
Eu −˜
fkmit u≥0 erh¨
alt man aus:
˜
E=˜
GT
˜
hT,˜
f=
0
.
.
.
1
.(3.44)
Durch Nutzung des L¨
osungsalgorithmus f¨
ur NNLS-Probleme (Schritte 1-7) aus Abschnitt 3.3.3
erh¨
alt man den NNLS-L¨
osungsvektor u. Dieser wird mit:
r=˜
Eu −˜
f,
zj=−rj/rn+1 mit j = 1,...,n (3.45)
42 3. M¨
oglichkeiten zur Einf¨
uhrung von Toleranzenbedingungen f¨
ur Residuen
in die LDP-L¨
osung zumgerechnet, wobei ndie Anzahl der Unbekannten des LDP-Problems
darstellt. Abschließend erh¨
alt man mit:
∆x=K¯
R−1(z+HT
1f),
x=x0+ ∆x
die L¨
osung xdes LSI-Problems. Diese L¨
osung kann nun als neue N¨
aherungsl¨
osung x0des
LSI-Problems betrachtet und eine weitere Iteration gerechnet werden.
F¨
ur den Fall, dass die Annahme, dass alle Messungen yigleich genau sind, nicht gerecht-
fertigt ist, ist die Einf¨
uhrung einer Gewichtsmatrix Pproblemlos m¨
oglich. Zun¨
achst erfolgt
die Bestimmung einer Matrix Smittels z.B. einer Choleskyzerlegung derart, dass gilt (siehe
[Petrovi´c 2003]):
P=STS.
Dazu ist es notwendig, dass Ppositiv definit ist, was im Allgemeinen keine Einschr¨
ankung dar-
stellt. Mittels dieser Matrix Skann nun das gewichtete Ausgleichungsproblem in ein ungewich-
tetes transformiert werden, so dass man f¨
ur die Matrix Eund den Vektor fdes LSI-Problems
erh¨
alt:
Eneu =SE ;fneu =Sf ;vneu =Sv.
Eine Transformation der Bedingungsungleichungen des LSI-Problems ist nicht notwendig, da ∆x
der transformierten Beobachtungsgleichungen identisch ist zum ∆xder originalen Beobachtungs-
gleichungen. Statt Eund fverwendet man somit im gewichteten Fall Eneu und fneu, ohne dass
sich weitere Aspekte bei der L¨
osung des LSI-Problems ver¨
andern. Es ist lediglich zu beachten,
dass in diesem Fall vT
neuvneu minimiert wird und sich die Toleranzen tbzw. t2auf die tats¨
achlichen
v-Werte beziehen und nicht auf die durch die Transformation entstandenen vneu-Werte.
4. Vergleich der unterschiedlichen Bedingungsungleichungen anhand synthetischer Beispiele 43
4. Vergleich der unterschiedlichen Bedingungs-
ungleichungen anhand synthetischer Beispiele
Im vorherigen Kapitel wurden zwei unterschiedliche m¨
ogliche mathematische Realisierungen der
Toleranzenbedingung f¨
ur Residuen erarbeitet sowie der Algorithmus zur L¨
osung von um Toleran-
zenbedingungen f¨
ur die Residuen erweiterten Ausgleichungsproblemen. Innerhalb dieses Kapitels
soll einerseits anhand von zwei linearen (Beispiele 1 und 2) und drei nichtlinearen Beispielen
(Beispiele 3-5) gezeigt werden, welche Eigenschaften die beiden unterschiedlichen Varianten der
Bedingungsungleichungen f¨
ur die Residuen aufweisen, wie stabil beide Varianten sind und welche
Variante als besser betrachtet werden kann. Andererseits sollen die Korrektheit und die Stabilit¨
at
der L¨
osungsbestimmung bei Verwendung des erarbeiteten Auswertealgorithmus untersucht wer-
den. Dazu werden zun¨
achst im Abschnitt 4.1 einfache vermittelnde Ausgleichungsprobleme ohne
Pseudobeobachtungen betrachtet. Im Abschnitt 4.2 werden dann diese Beispiele um Pseudobeob-
achtungen erweitert, so dass dann regularisierte Ausgleichungsprobleme vorliegen. F¨
ur s¨
amtliche
Beobachtungen und Pseudobeobachtungen werden in den Abschnitten 4.1 und 4.2 einheitliche
Genauigkeiten innerhalb des jeweiligen Beispiels angenommen, so dass eine Ber¨
ucksichtigung
von Gewichtsmatrizen nicht notwendig ist. Im Abschnitt 4.3 wird exemplarisch anhand des Bei-
spiels 5 gezeigt, wie vorteilhaft die Ber¨
ucksichtigung der Variante 2 (−v≤t&v≤t) der
Bedingungsungleichungen f¨
ur regularisierte Probleme sein kann, wenn f¨
ur die eigentlichen Be-
obachtungen realistische Fehlersch¨
atzungen und f¨
ur die Pseudobeobachtungen zu optimistische
Fehlersch¨
atzungen angenommen werden.
4.1 Beispiele: nicht regularisiert und gleichgewichtet
Wie bereits festgelegt, handelt es sich bei den betrachteten Beispielen 1 und 2 um lineare und bei
den Beispielen 3-5 um nichtlineare Ausgleichungsprobleme. Die verwendeten Funktionalmodelle
und Daten (y1, y2,...,ynmit nals Anzahl der Beobachtungen) sind f¨
ur s¨
amtliche Beispiele im
Anhang A.1 dargestellt. An dieser Stelle erfolgt lediglich die Zusammenstellung und Diskussion
der Ergebnisse.
In den Tabellen 4.2 bis 4.6 sind die Ergebnisse (Unbekannte a,bund Summe der Residuenqua-
drate Svv) aufgelistet, welche mit den einzelnen Beispielen (1, 2, ..., 5) erzielt wurden, wobei
unterschiedliche Toleranzen (gekennzeichnet mit a), b), ...) f¨
ur die Residuen angesetzt wurden.
Zum Vergleich sind in der Tabelle 4.1 f¨
ur alle Beispiele die Ergebnisse zusammengestellt worden,
die mittels einer Ausgleichung nach kleinsten Quadraten ohne Ber¨
ucksichtigung von Toleran-
zenbedingungen f¨
ur die Residuen erhalten wurden. Dabei stellt der Wert f¨
ur Svv den kleinsten
erreichbaren Wert dar. Die Differenzen zwischen diesen Werten f¨
ur Svv und denen, die bei einer
Ausgleichung mit Toleranzenbedingungen f¨
ur die Residuen erhalten werden, k¨
onnen sehr klein
aber auch sehr groß sein. Anhand dieser Differenzen kann man absch¨
atzen, welchen mittleren
”Genauigkeitsverlust“ man durch die Einf¨
uhrung von Toleranzenbedingungen akzeptieren muss.
Grunds¨
atzlich wurden einerseits bei allen Beispielen (außer Beispiel 4) alle Residuentoleranzen
auf einen sinnvollen, meist einheitlichen, Wert gesetzt und andererseits wurde f¨
ur jedes einzelne
Residuum jeweils eine sehr kleine Toleranz vorgegeben, wobei die restlichen Toleranzen dann sehr
großz¨
ugig gew¨
ahlt wurden. Dieser zweite Fall wurde speziell gew¨
ahlt, da somit die Grenzen des
Verfahrens besonders gut repr¨
asentiert werden k¨
onnen. Aufgelistet sind die Ergebnisse f¨
ur beide
verwendeten Varianten der mathematischen Realisierung der Toleranzenbedingung (v2≤t2und
44 4. Vergleich der unterschiedlichen Bedingungsungleichungen anhand synthetischer Beispiele
Tabelle 4.1: Ergebnisse der Ausgleichung nach kleinsten Quadraten f¨
ur alle Beispiele
Bsp.nr. Svv Residuen v1/.../vnL¨
osung
1 1.236264 −0.4945/0.9066/−0.4121 a= 0.560440
b= 1.164840
2 0.040000 −0.1333/−0.1333/0.0667 a= 0.966667
b= 2.000000
3 0.002000 0.0100/−0.0300/0.0300/ a = 1.456022
−0.0100 b= 0.531337
4 0.002221 −0.0014/−0.0253/0.0370/ a = 0.093564
−0.0144 b= 1.772420
5 4.318722 ·10−60.0008/0.0013/−0.0015/ a = 30.002756
−2.5·10−5/1.0·10−5b= 49.998360
Tabelle 4.2: Ergebnisse f¨
ur Beispiel 1 mit unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur die Residuen
Bsp.nr. Variante 1: Variante 2: Heuristik Toleranzen
v2≤t2−v≤t&v≤tf¨
ur v1/v2/v3
1a)a= 0.560000 a= 0.560000 a= 0.559979 0.7/0.7/0.7
b= 0.960000 b= 0.960000 b= 0.960080
Svv = 1.364400 Svv = 1.364400 Svv = 1.364406
1b)a= 0.453151 a= 0.453151 a= 0.453229 0.005/3.0/3.0
b= 1.815274 b= 1.815274 b= 1.815158
Svv = 1.534963 Svv = 1.534963 Svv = 1.534964
1c)a= 0.563934 a= 0.563934 a= 0.563946 3.0/0.8/3.0
b= 1.044262 b= 1.044262 b= 1.044215
Svv = 1.270164 Svv = 1.270164 Svv = 1.270164
1d)a= 0.584713 a= 0.584713 a= 0.584724 3.0/3.0/0.3
b= 1.107006 b= 1.107006 b= 1.106934
Svv = 1.250828 Svv = 1.250828 Svv = 1.250828
−v≤t&v≤t) sowie die heuristisch ermittelten Ergebnisse1. Die Definition der Toleranzen-
bedingungen f¨
ur die Residuen erfolgte f¨
ur die Variante 1 wie sie im Abschnitt 3.2.1 beschrieben
wurde und f¨
ur die Variante 2 nach Abschnitt 3.2.2. Die Berechnung der L¨
osung wurde, wie im
Abschnitt 3.3 beschrieben, durchgef¨
uhrt. Die Bestimmung der heuristischen L¨
osung erfolgte nach
1Wie im Abschnitt 3.2 bereits erl¨
autert wurde, lassen sich mittels der Heuristik unabh¨
angige Kontrollergebnisse
berechnen, womit die Ergebnisse der Varianten 1 und 2 der Realisierung der Toleranzenbedingung ¨
uberpr¨
uft
werden k¨
onnen. Da dieses Verfahren sehr rechenzeitintensiv arbeitet, wurde nicht die h¨
ochste Pr¨
azision bei der
Bestimmung der Unbekannten gefordert, d.h. es sind nur etwa drei Nachkommastellen signifikant.
4.1. Beispiele: nicht regularisiert und gleichgewichtet 45
Tabelle 4.3: Ergebnisse f¨
ur Beispiel 2 mit unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur die Residuen
Bsp.nr. Variante 1: Variante 2: Heuristik Toleranzen
v2≤t2−v≤t&v≤tf¨
ur v1/v2/v3
2a)a= 0.980000 a= 0.980000 a= 0.979994 0.12/0.12/0.12
b= 2.000000 b= 2.000000 b= 1.999996
Svv = 0.043200 Svv = 0.043200 Svv = 0.043200
2b)a= 0.975000 a= 0.975000 a= 0.975009 0.05/3.0/3.0
b= 2.075000 b= 2.075000 b= 2.074991
Svv = 0.052500 Svv = 0.052500 Svv = 0.052500
2c)a= 0.975000 a= 0.975000 a= 0.974983 3.0/0.05/3.0
b= 1.925000 b= 1.925000 b= 1.924983
Svv = 0.052500 Svv = 0.052500 Svv = 0.052500
2d)a= 0.950250 a= 0.950250 a= 0.950250 0.5/0.5/0.001
b= 2.000000 b= 2.000000 b= 1.999994
Svv = 0.044850 Svv = 0.044851 Svv = 0.044851
Abschnitt 3.2.
-6 -4 -2 0246
a-6 -4 -2 0246
b
-50
0
50
100
150
200
250
Zielfunktion
00.2 0.4 0.6 0.8 1
a1.4 1.6 1.8 22.2 2.4 2.6
b
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Zielfunktion
a) b)
Abbildung 4.1: Grafische Darstellung der zu minimierenden Funktion: a) f¨
ur das Beispiel 1
mit ”riesigen“ Toleranzen; b) f¨
ur das Beispiel 1b).
Bei den linearen Beispielen 1 und 2 (Tabellen 4.2 und 4.3) wurden bei allen Berechnungen
jeweils mit beiden Varianten der Realisierung der Toleranzenbedingung die gleichen L¨
osungen
erhalten und der Vergleich mit den heuristisch ermittelten Ergebnissen best¨
atigt, dass die
Minimierung der Zielfunktion2zum globalen Minimum f¨
uhrte. In den Abbildungen 4.1 a) und
4.2 a) ist die zu minimierende Funktion f¨
ur diese beiden Beispiele grafisch dargestellt, wobei
s¨
amtliche einzelnen Residuen ≤10.0 sind, d.h. die Toleranzen f¨
ur die Residuen wurden sehr
2Mit Zielfunktion ist die Summe der Residuenquadrate gemeint.
46 4. Vergleich der unterschiedlichen Bedingungsungleichungen anhand synthetischer Beispiele
Tabelle 4.4: Ergebnisse f¨
ur Beispiel 3 mit unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur die Residuen
Bsp.nr. Variante 1: Variante 2: Heuristik Toleranzen
v2≤t2−v≤t&v≤tf¨
ur v1/ . . . /v4
3a)a= 1.449138 a= 1.449138 a= 1.449150 0.025/0.025/
b= 0.559344 b= 0.559344 b= 0.559296 0.025/0.025
Svv = 0.002500 Svv = 0.002500 Svv = 0.002500
3b)a= 1.457493 a= 1.457493 a= 1.457502 0.005/10.0/
b= 0.522758 b= 0.522758 b= 0.522741 10.0/10.0
Svv = 0.002036 Svv = 0.002036 Svv = 0.002036
3c)a= 1.453731 a= 1.453731 a= 1.453792 10.0/0.02/
b= 0.550321 b= 0.550321 b= 0.550126 10.0/10.0
Svv = 0.002333 Svv = 0.002333 Svv = 0.002333
3d)a= 1.453731 a= 1.453731 a= 1.453771 10.0/10.0/
b= 0.531329 b= 0.531329 b= 0.531123 0.02/10.0
Svv = 0.002333 Svv = 0.002333 Svv = 0.002333
3e)a= 1.457493 a= 1.457493 a= 1.457505 10.0/10.0/
b= 0.527078 b= 0.527078 b= 0.526991 10.0/0.005
Svv = 0.002036 Svv = 0.002036 Svv = 0.002036
3f)keine stabile a= 1.458669 a= 1.458691 0.0075/0.029/
L¨
osung b= 0.523628 b= 0.523468 0.036/0.001
Svv = 0.002115 Svv = 0.002116
groß gew¨
ahlt. Somit erh¨
alt man eine grafische Darstellung der zu minimierenden Funktion
in der Umgebung des Minimums, ohne dass Toleranzenbedingungen wirken. Man erkennt,
dass der Verlauf dieser Funktionen sehr gleichm¨
aßig ist ohne T¨
aler oder Sattelpunkte. In den
Abbildungen 4.1 b) und 4.2 b) ist die zu minimierende Funktion f¨
ur die Beispiele 1b) und 2b)
-6 -4 -2 0246
a-6 -4 -2 0246
b
-50
0
50
100
150
200
250
Zielfunktion
00.5 11.5 2
a1
1.5
2
2.5
3
b
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
Zielfunktion
a) b)
Abbildung 4.2: Grafische Darstellung der zu minimierenden Funktion: a) f¨
ur das Beispiel 2
mit ”riesigen“ Toleranzen; b) f¨
ur das Beispiel 2b).
4.1. Beispiele: nicht regularisiert und gleichgewichtet 47
Tabelle 4.5: Ergebnisse f¨
ur Beispiel 4 mit unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur die Residuen
Bsp.nr. Variante 1: Variante 2: Heuristik Toleranzen
v2≤t2−v≤t&v≤tf¨
ur v1/ . . . /v4
4a)a= 0.094287 a= 0.094980 a= 0.094236 0.001/10.0/
b= 1.771866 b= 1.771530 b= 1.772005 10.0/10.0
Svv = 0.002221 Svv = 0.002222 Svv = 0.002221
4b)a= 0.094109 a= 0.094032 a= 0.093989 10.0/0.025/
b= 1.772034 b= 1.772126 b= 1.772177 10.0/10.0
Svv = 0.002221 Svv = 0.002221 Svv = 0.002221
4c)a= 0.262095 a= 0.085748 a= 0.085772 10.0/10.0/
b= 1.630295 b= 1.775122 b= 1.775104 0.03/10.0
Svv = 0.050720 Svv = 0.002372 Svv = 0.002373
4d)keine L¨
osung a=−0.595926 a= 0.091344 10.0/10.0/
bestimmbar b= 2.036681 b= 1.774742 10.0/0.01
Svv = 0.018502 Svv = 0.002244
grafisch dargestellt, wo die Toleranzenbedingungen wesentlich st¨
arker wirken. Es sind somit nur
die Bereiche der zu minimierenden Funktion aus den Abbildungen 4.1 a) und 4.2 a) dargestellt,
f¨
ur die die strengeren Toleranzenforderungen der Residuen erf¨
ullt sind. Die resultierende Fl¨
ache
ist zwar nur ein schmaler Streifen, in dem das Minimum gefunden werden muss, aber trotzdem
ist es dort problemlos m¨
oglich gewesen, die richtige L¨
osung zu bestimmen.
Bei den Beispielen 3-5 traten dagegen vereinzelt Probleme auf (Tabellen 4.4, 4.5 und
4.6). So war die Bestimmung der L¨
osungen im Beispiel 3 mit beiden Varianten der Realisierung
der Toleranzenbedingung gut m¨
oglich, bis auf das Beispiel 3f). F¨
ur dieses Beispiel konnte bei
Verwendung der Variante 1 der Realisierung der Toleranzenbedingung keine stabile L¨
osung
bestimmt werden, d.h. es gab im Laufe der Iteration vereinzelt L¨
osungen, f¨
ur die die geforderten
Toleranzen erf¨
ullt worden w¨
aren, aber diese L¨
osungen stellten nicht die L¨
osung im Sinne des
globalen Minimums dar. Mittels der Heuristik konnte wieder die Korrektheit der ermittelten
Ergebnisse ¨
uberpr¨
uft werden.
F¨
ur das Beispiel 5 war eine korrekte und einheitliche Bestimmung der L¨
osung mit beiden
Varianten der Realisierung der Toleranzenbedingung in den F¨
allen 5a) bis 5e) m¨
oglich. F¨
ur den
Fall 5f) konnte mittels der Variante 1 keine L¨
osung bestimmt werden - die geforderten Toleranzen
wurden im Laufe der Iteration nie erf¨
ullt. Weitere Probleme ergaben sich f¨
ur die F¨
alle 5e) und
5f) im sog. Grenzbereich mit beiden Varianten der Realisierung der Toleranzenbedingung3.
Damit ist Folgendes gemeint: Wurden die Berechnungen mit den angesetzten Toleranzen
erfolgreich abgeschlossen, so wurden in einer weiteren Berechnung die Toleranzen, die vorher
großz¨
ugig gew¨
ahlt wurden, auf einen kleineren Wert gesetzt, der nur ein wenig (ca. 1 ·10−5)
gr¨
oßer war, als das dazugeh¨
orige im Vorfeld berechnete Residuum4. Diese neuen Toleranzen
3F¨
ur die Beispiele 3a) bis 3f) und die Beispiele 5a) bis 5d) ergaben sich im ”Grenzbereich“ keinerlei Probleme.
4Derartige ”Grenzf¨
alle“ wurden ebenso f¨
ur alle betrachteten F¨
alle von Toleranzen f¨
ur die Residuen der Beispiele
48 4. Vergleich der unterschiedlichen Bedingungsungleichungen anhand synthetischer Beispiele
Tabelle 4.6: Ergebnisse f¨
ur Beispiel 5 mit unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur die Residuen
Bsp.nr. Variante 1: Variante 2: Heuristik Toleranzen
v2≤t2−v≤t&v≤tf¨
ur v1/ . . . /v5
5a)a= 30.002506 a= 30.002506 a= 30.002493 0.002/0.002/
b= 49.998510 b= 49.998510 b= 49.998493 0.002/2·10−5/
Svv = 4.403 ·10−6Svv = 4.403 ·10−6Svv = 4.406 ·10−62·10−5
5b)a= 30.002600 a= 30.002600 a= 30.002600 6 ·10−4/10.0/
b= 49.998400 b= 49.998400 b= 49.998402 10.0/10.0/
Svv = 4.347 ·10−6Svv = 4.347 ·10−6Svv = 4.347 ·10−610.0
5c)a= 30.003020 a= 30.003020 a= 30.003028 10.0/5·10−4/
b= 49.997600 b= 49.997600 b= 49.997599 10.0/10.0/
Svv = 5.233 ·10−6Svv = 5.233 ·10−6Svv = 5.236 ·10−610.0
5d)a= 30.003254 a= 30.003254 a= 30.003261 10.0/10.0/
b= 49.999191 b= 49.999191 b= 49.999188 5 ·10−4/
Svv = 6.198 ·10−6Svv = 6.198 ·10−6Svv = 6.200 ·10−610.0/10.0
5e)a= 30.002006 a= 30.002006 a= 30.002005 10.0/10.0/
b= 49.998810 b= 49.998810 b= 49.998808 10.0/1·10−5/
Svv = 5.083 ·10−6Svv = 5.083 ·10−6Svv = 5.083 ·10−610.0
5f)keine L¨
osung a= 30.002506 a= 30.002503 10.0/10.0/
bestimmbar b= 49.998510 b= 49.998506 10.0/10.0/
Svv = 4.403 ·10−6Svv = 4.404 ·10−65·10−6
sollten somit erf¨
ullbar sein. In den F¨
allen 5e) und 5f) konnte aber in diesen ”Grenzf¨
allen“
keine L¨
osung bestimmt werden, auch nicht, wenn statt der doppelten Rechengenauigkeit bei
Fortran 90 die vierfache Rechengenauigkeit verwendet wurde. Um zu veranschaulichen, woher
die Probleme kommen, ist in den Abbildungen 4.3 a) und 4.4 a) die zu minimierende Funktion
f¨
ur die Beispiele 3 und 5 grafisch dargestellt, wobei s¨
amtliche Residuen wieder ≤10.0 sind.
In der Abbildung 4.3 a) ist sehr deutlich zu erkennen, dass die Fl¨
ache der zu minimierenden
Funktion sehr ungleichm¨
aßig gekr¨
ummt ist und einen ”Sattel“ aufweist. Dies bringt selbst bei
standardm¨
aßig verwendeten Minimierungsverfahren Probleme mit sich, da die Minimierung in
Richtung des negativen Gradienten der zu minimierenden Funktion erfolgt und man somit bei
ung¨
unstiger Lage des N¨
aherungspunktes zum falschen Minimum gelangen kann. Die Fl¨
ache der
zu minimierenden Funktion im Beispiel 5 (Abbildung 4.4 a)) weist analog zu den Beispielen
1 und 2 g¨
unstige Kr¨
ummungseigenschaften auf. In den Abbildungen 4.3 b) und 4.4 b) ist die
verbleibende Fl¨
ache, in der das Minimum gefunden werden muss, f¨
ur das Beispiel 3f) und
den ”Grenzfall“ 5e) abgebildet. Bei Betrachtung dieser Abbildungen verwundert es wenig,
dass in diesen F¨
allen die Bestimmung einer L¨
osung nicht m¨
oglich oder problematisch war, da
lediglich eine sehr kleine Fl¨
ache ¨
ubrig bleibt, f¨
ur die die Toleranzenbedingungen der Residuen
erf¨
ullt sind. F¨
ur den ”Grenzfall“ 5f) erh¨
alt man eine sehr ¨
ahnliche grafische Darstellung der zu
1 und 2 durchgerechnet. Es ergaben sich dabei keine Probleme.
4.1. Beispiele: nicht regularisiert und gleichgewichtet 49
-2 -1.5 -1 -0.5 00.5 11.5 2
a-2 -1.5-1 -0.500.5 11.5 2
b
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
Zielfunktion
1.455 1.456 1.457 1.458 1.459 1.46 1.461
a0.52
0.522
0.524
0.526
0.528
0.53
b
-0.0005
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
Zielfunktion
a) b)
Abbildung 4.3: Grafische Darstellung der zu minimierenden Funktion: a) f¨
ur das Beispiel 3
mit ”riesigen“ Toleranzen; b) f¨
ur das Beispiel 3f).
24 26 28 30 32 34 36
a44 46 48 50 52 54 56
b
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Zielfunktion
0.00188 0.00192 0.00196 0.002 0.00204 0.00208
a-30 0.9987
0.99874
0.99878
0.99882
0.99886
0.9989
b-49
-1e-05
-8e-06
-6e-06
-4e-06
-2e-06
0
2e-06
4e-06
6e-06
Zielfunktion
a) b)
Abbildung 4.4: Grafische Darstellung der zu minimierenden Funktion: a) f¨
ur das Beispiel 5
mit ”riesigen“ Toleranzen; b) f¨
ur den “Grenzfall“ 5e).
minimierenden Funktion wie f¨
ur den ”Grenzfall“ 5e), so dass es auch hier verst¨
andlich ist, dass
keine L¨
osung bestimmt werden konnte. Da die Bestimmung einer L¨
osung nur in diesen extremen
F¨
allen versagt, kann grunds¨
atzlich nicht davon ausgegangen werden, dass der verwendete
L¨
osungsalgorithmus instabil ist.
Als letztes bleibt nun noch das Beispiel 4 (Tabelle 4.5) zu beurteilen, welches sich als
kompliziertestes erwiesen hat. In den F¨
allen 4a) und 4b) lieferten beide Varianten der
Realisierung der Toleranzenbedingung die gleiche (bis auf Unterschiede durch die jeweilige
Rechengenauigkeit) korrekte L¨
osung, jedoch versagen beide Varianten in beiden F¨
allen in
den besagten ”Grenzf¨
allen“. Im Fall 4c) liefert die Variante 1 eine falsche L¨
osung, d.h. die
geforderten Toleranzen wurden zwar erf¨
ullt, aber das globale Minimum der Zielfunktion nicht
gefunden. Betrachtet man die Ergebnisse f¨
ur den Fall 4d), so erkennt man, dass die Variante 2
eine falsche L¨
osung liefert und die Variante 1 sogar v¨
ollig versagt. In den ”Grenzf¨
allen“ von 4c)
und 4d) konnten ebenso keine L¨
osungen bestimmt werden. Es stellt sich nun die Frage, warum
derartige Probleme nur bei diesem Beispiel so geh¨
auft auftreten? Dazu ist es wieder notwendig,
die grafische Darstellung der Zielfunktion mit unterschiedlichen Toleranzenbedingungen f¨
ur
die Residuen zu betrachten. In der Abbildung 4.5 ist die zu minimierende Funktion f¨
ur das
Beispiel 4 um die N¨
aherungsl¨
osung (Startpunkt) f¨
ur die erste Iteration grafisch dargestellt
(a0= 0.1 und b0= 1.7). Man erkennt, dass der Startpunkt nahezu in einer Ebene liegt.
Die Abbildung 4.6 a) zeigt die grafische Darstellung der Zielfunktion f¨
ur den ”Grenzfall“
50 4. Vergleich der unterschiedlichen Bedingungsungleichungen anhand synthetischer Beispiele
00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
a1.58
1.62
1.66
1.7
1.74
1.78
b
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Zielfunktion
Abbildung 4.5: Grafische Darstellung der zu minimierenden Funktion f¨
ur das Beispiel 4.
0.09 0.092 0.094 0.096 0.098 0.1
a1.77
1.772
1.774
1.776
1.778
1.78
b
-200
-150
-100
-50
0
50
Zielfunktion
00.05 0.1 0.15 0.2
a1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8
b
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
Zielfunktion
a) b)
Abbildung 4.6: Grafische Darstellung der zu minimierenden Funktion: a) f¨
ur den “Grenzfall“
4a); b) f¨
ur den “Grenzfall“ 4b).
4a). Die abgebildete Fl¨
ache ist sehr klein und liegt vom Startpunkt (a0, b0) aus betrachtet
bei einem h¨
oheren Wert der Zielfunktion (vergleiche mit Abbildung 4.5). Damit ist es nicht
m¨
oglich, eine L¨
osung f¨
ur diesen Fall zu bestimmen, da die Minimierung der Zielfunktion in
Richtung des negativen Gradienten der Zielfunktion erfolgt und dieser zeigt immer in die
Richtung des maximalen Abstiegs. Die Abbildung 4.6 b) zeigt f¨
ur den ”Grenzfall“ 4b) die
grafische Darstellung der Zielfunktion. Hier trifft das gleiche zu wie im ”Grenzfall“ 4a) - der
potenzielle L¨
osungsbereich ist sehr klein und liegt bei einem h¨
oheren Wert der Zielfunktion als
der Startpunkt. In den F¨
allen 4c) und 4d), wo mit der Variante 1 bzw. mit beiden Varianten
keine L¨
osung bestimmt werden konnte, weist die Zielfunktion unter Ber¨
ucksichtigung der
jeweiligen Toleranzen L¨
ucken auf (siehe Abbildung 4.7 a) und 4.7 b)). Es ist somit auch hier
nicht verwunderlich, dass bei derartigen Verl¨
aufen der Zielfunktion keine L¨
osung bestimmbar ist.
Erstellt man f¨
ur alle betrachteten Beispiele und unterschiedlichen Toleranzenforderungen
f¨
ur die Residuen grafische Darstellungen der jeweiligen Zielfunktion, und analysiert diese
sehr ausgiebig, so kann man Eigenschaften der Zielfunktionsfl¨
achen ermitteln, die positiv,
negativ oder neutral auf die L¨
osungsbestimmbarkeit wirken. Folgende Eigenschaften konnten
ermittelt werden (auf eine Zusammenstellung aller erstellter Grafiken wird verzichtet, da es der
¨
Ubersichtlichkeit schaden w¨
urde).
4.1. Beispiele: nicht regularisiert und gleichgewichtet 51
-2 -1.5 -1 -0.5 00.5 11.5 2
a00.5 11.5 22.5 33.5 4
b
-200
-150
-100
-50
0
50
Zielfunktion
-2 -1.5 -1 -0.5 00.5 11.5 2
a00.5 11.5 22.5 33.5 4
b
-200
-150
-100
-50
0
50
Zielfunktion
a) b)
Abbildung 4.7: Grafische Darstellung der zu minimierenden Funktion: a) f¨
ur das Beispiel 4c);
b) f¨
ur das Beispiel 4d).
Eigenschaften der Zielfunktionsfl¨
ache, wenn die L¨
osung bestimmt werden konnte:
•die gesamte Fl¨
ache hat einen gleichm¨
aßigen Verlauf (Beispiele 1, 2, 5),
•der Startpunkt hat eine g¨
unstige Position innerhalb der gesamten Fl¨
ache (Beispiele 1, 2,
5),
•der Startpunkt liegt dicht an der potenziellen Zielfunktionsfl¨
ache bzw. dem -streifen, d.h.
an dem Bereich der Zielfunktionsfl¨
ache, der nach Einbeziehung der Toleranzen ¨
ubrig bleibt
(Beispiele 1, 2, 4),
•die Zielfunktionsfl¨
ache f¨
allt zum L¨
osungspunkt hin ab (Beispiele 1, 2, 3, 5),
•die Zielfunktionsfl¨
ache bzw. der -streifen besitzt gute Kr¨
ummungseigenschaften (Beispiele
1, 2, 3, 4, 5),
•die Zielfunktionsfl¨
ache bzw. der -streifen enth¨
alt keine L¨
ucken (Beispiele 1, 2).
Eigenschaften der Zielfunktionsfl¨
ache, wenn die L¨
osung nicht bestimmt werden konnte:
•die Zielfunktionsfl¨
ache enth¨
alt einen relativ ebenen Bereich (Beispiel 4),
•geringe Kr¨
ummung der Zielfunktionsfl¨
ache bzw. des -streifens (Beispiele 3, 4, 5),
•ung¨
unstige Lage des Startpunktes (Beispiele 3, 4),
•sehr kleine Zielfunktionsfl¨
ache bzw. -streifen (Peaks, Beispiele 4, 5).
Eigenschaften der Zielfunktionsfl¨
ache die in beiden F¨
allen auftreten (L¨
osung bestimmbar oder
nicht bestimmbar):
•kleine bzw. kurze Zielfunktionsfl¨
ache bzw. -streifen (Beispiele 1, 3, 4),
•schmaler Streifen der Zielfunktion (Beispiele 1, 2, 3, 4, 5),
•Startpunkt weit entfernt vom L¨
osungspunkt (Beispiele 1, 2, 3, 4, 5),
•L¨
ucken in der Zielfunktionsfl¨
ache bzw. in dem -streifen (Beispiele 1, 4, 5),
52 4. Vergleich der unterschiedlichen Bedingungsungleichungen anhand synthetischer Beispiele
•L¨
osungspunkt am Rand der potenziellen Zielfunktionsfl¨
ache gelegen (Beispiele 1, 2, 4, 5).
Betrachtet man die ermittelten Eigenschaften der Zielfunktionsfl¨
achen und die aufgezeigten Er-
gebnisse, so kann man abschließend sagen, dass der Algorithmus zur L¨
osung von Ausgleichungs-
problemen mit Residuentoleranzen sehr stabil ist, da dieser nur in sehr extremen F¨
allen versagt.
Beim Vorliegen der ermittelten negativen Eigenschaften der Zielfunktionsfl¨
ache ist auch mit an-
deren Verfahren zur L¨
osung anderer Minimierungsprobleme eine effiziente L¨
osungsbestimmung
nicht m¨
oglich. Dabei scheint es, dass die Hauptursache f¨
ur die Probleme bei der L¨
osungsbestim-
mung in der ung¨
unstigen Lage des Startpunktes zu sehen ist, d.h. die N¨
aherungswerte wurden
schlecht gew¨
ahlt. Dies ist allerdings keine spezifische Schw¨
ache des erarbeiteten Algorithmus,
sondern ein allgemeines Problem bei der Verwendung von Iterationsverfahren.
Weiterhin ist eindeutig erkennbar, dass die Variante 2 der Realisierung der Toleranzenbedin-
gung stabiler ist als die Variante 1, da mit dieser Variante fast immer eine L¨
osung ermittelt
werden konnte. Das entspricht den Erwartungen, da bei dieser Variante die Linearisierung der
Bedingungsungleichungen der Linearisierung der Beobachtungsgleichungen entspricht.
4.2 Beispiele: regularisiert und gleichgewichtet
Innerhalb dieses Abschnittes werden die Beispiele aus dem vorherigen Abschnitt nochmals aus-
gewertet, wobei aber sog. Pseudobeobachtungen f¨
ur die Unbekannten mit in die Ausgleichung
einbezogen werden. Man spricht dann von Regularisierung.
Tabelle 4.7: Ergebnisse der Ausgleichung nach kleinsten Quadraten (mit Regularisierung)
Bsp.nr. Svv Residuen v1/.../vnL¨
osung
1 1.791211 −0.1649 /1.0503 /−0.4914 a= 0.486080
b= 1.606000
2 3.718245 0.5877 /−0.7456 /0.2842 a= 1.021100
b= 2.666667
3 5.033224 0.5490 /0.2676 /0.0863 / a = 1.279581
−0.1950 b= 0.976209
4 6.699587 0.5512 /0.4913 /0.3154 / a = 0.628485
−0.1766 b= 1.367848
5 4.095769 −1.0594 /0.8979 /0.2379 / a = 28.942556
0.0234 /−0.0234 b= 50.894969
Bei allen betrachteten Beispielen stellen die Parameter aund bdie Unbekannten dar, wobei diese
allerdings in jedem Beispiel eine andere Bedeutung haben. Die Einf¨
uhrung von Pseudobeobach-
tungen erfolgt dann so, dass zu den im Anhang A.1 dargestellten Beobachtungsgleichungen noch
folgende zwei Beobachtungsgleichungen hinzukommen:
¯a+v¯a=a,
¯
b+v¯
b=b.
Dabei stellen ¯aund ¯
beine Art Vorinformation f¨
ur die unbekannten Parameter aund bdar.
Bei der Bestimmung der L¨
osung mit den Varianten 1 und 2 der Realisierung der Toleranzenbe-
dingung wird wiederum die Summe der Residuenquadrate minimiert, einschließlich der Residuen
4.2. Beispiele: regularisiert und gleichgewichtet 53
der Pseudobeobachtungen. Die Toleranzenbedingungen werden allerdings nur f¨
ur die eigentlichen
Beobachtungen eingef¨
uhrt. Die Werte der Pseudobeobachtungen sind im Anhang A.1 aufgelistet.
Tabelle 4.8: Ergebnisse f¨
ur Beispiel 1 mit Regularisierung bei unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur
die Residuen
Bsp.nr. Variante 1: Variante 2: Heuristik Toleranzen
v2≤t2−v≤t&v≤tf¨
ur v1/v2/v3
1a)a= 0.533333 a= 0.533333 a= 0.533333 0.7/0.7/0.7
b= 1.066666 b= 1.066666 b= 1.066666
Svv = 2.470000 Svv = 2.470000 Svv = 2.470006
1b)a= 0.459937 a= 0.459937 a= 0.459977 0.005/3.0/3.0
b= 1.805094 b= 1.805094 b= 1.805034
Svv = 1.866300 Svv = 1.866300 Svv = 1.866300
1c)a= 0.426356 a= 0.426356 a= 0.426432 3.0/0.5/3.0
b= 1.294574 b= 1.294574 b= 1.294270
Svv = 2.887597 Svv = 2.887597 Svv = 2.887597
1d)a= 0.554062 a= 0.554062 a= 0.554056 3.0/3.0/0.1
b= 1.521569 b= 1.521569 b= 1.521608
Svv = 1.991653 Svv = 1.991653 Svv = 1.991653
Tabelle 4.9: Ergebnisse f¨
ur Beispiel 2 mit Regularisierung bei unterschiedlichen Toleranzen f¨
ur
die Residuen
Bsp.nr. Variante 1: Variante 2: Heuristik Toleranzen
v2≤t2−v≤t&v≤tf¨
ur v1/v2/v3
2a)a= 0.980000 a= 0.980000 a= 0.979998 0.12/0.12/0.12
b= 2.000000 b= 2.000000 b= 2.000005
Svv = 5.083600 Svv = 5.083600 Svv = 5.083600
2b)a= 0.968182 a= 0.968182 a= 0.968173 0.2/3.0/3.0
b= 2.331818 b= 2.331818 b= 2.331827
Svv = 4.107727 Svv = 4.107727 Svv = 4.107727
2c)a= 1.054545 a= 1.054545 a= 1.054713 3.0/0.5/3.0
b= 2.454545 b= 2.454545 b= 2.454713
Svv = 3.874545 Svv = 3.874545 Svv = 3.874546
2d)a= 0.951250 a= 0.951250 a= 0.951250 3.0/3.0/0.005
b= 2.666666 b= 2.666666 b= 2.666633
Svv = 3.810821 Svv = 3.810821 Svv = 3.810821
54 4. Vergleich der unterschiedlichen Bedingungsungleichungen anhand synthetischer Beispiele
Analog zum vorherigen Abschnitt werden die Ergebnisse der Varianten 1 und 2 der Realisierung
der Toleranzenbedingung mit den Ergebnissen der Heuristik gegen¨
ubergestellt (Tabellen 4.8 bis
4.12). Zum Vergleich dient ebenso die Tabelle 4.7, in der f¨
ur alle Beispiele die Ergebnisse der Aus-
gleichung nach kleinsten Quadraten ohne Ber¨
ucksichtigung von Toleranzenbedingungen f¨
ur die
Residuen angegeben sind. Es werden darin lediglich die Residuen der Beobachtungen aufgef¨
uhrt.
Tabelle 4.10: Ergebnisse f¨
ur Beispiel 3 mit Regularisierung bei unterschiedlichen Toleranzen
f¨
ur die Residuen
Bsp.nr. Variante 1: Variante 2: Heuristik Toleranzen
v2≤t2−v≤t&v≤tf¨
ur v1/ . . . /v4
3a)keine L¨
osung a= 1.449138 a= 1.449135 0.025/0.025/
bestimmbar b= 0.559344 b= 0.559352 0.025/0.025
Svv = 6.262749 Svv = 6.262751
3b)a= 1.360367 a= 1.360367 a= 1.360305 0.2/3.0/
b= 0.780082 b= 0.780082 b= 0.780128 3.0/3.0
Svv = 5.430471 Svv = 5.430471 Svv = 5.430471
3c)a= 1.285838 a= 1.285838 a= 1.285851 3.0/0.1/
b= 0.907193 b= 0.907193 b= 0.907180 3.0/3.0
Svv = 5.164747 Svv = 5.164747 Svv = 5.164747
3d)a= 1.270815 a= 1.270815 a= 1.270812 3.0/3.0/
b= 0.975240 b= 0.975240 b= 0.975243 0.05/3.0
Svv = 5.037747 Svv = 5.037747 Svv = 5.037747
3e)a= 1.317454 a= 1.317454 a= 1.317386 3.0/3.0/
b= 0.957785 b= 0.957785 b= 0.957916 3.0/0.05
Svv = 5.069613 Svv = 5.069613 Svv = 5.069613
Tabelle 4.11: Ergebnisse f¨
ur Beispiel 4 mit Regularisierung bei unterschiedlichen Toleranzen
f¨
ur die Residuen
Bsp.nr. Variante 1: Variante 2: Heuristik Toleranzen
v2≤t2−v≤t&v≤tf¨
ur v1/ . . . /v4
4a)keine L¨
osung a= 0.305438 a= 0.305430 0.15/0.15/
bestimmbar b= 1.615953 b= 1.615989 0.15/0.15
Svv = 7.468865 Svv = 7.468865
4b)keine L¨
osung a= 0.355663 a= 0.355667 0.2/3.0/
bestimmbar b= 1.582688 b= 1.582669 3.0/3.0
Svv = 7.265764 Svv = 7.265764
4c)keine stabile a= 0.502967 a= 0.502924 3.0/0.3/
L¨
osung b= 1.444057 b= 1.444143 3.0/3.0
bestimmbar Svv = 6.862478 Svv = 6.862478
4d)keine L¨
osung a= 0.570851 a= 0.570758 3.0/3.0/
bestimmbar b= 1.341268 b= 1.341377 0.1/3.0
Svv = 6.876815 Svv = 6.876815
4e)keine stabile keine stabile a= 0.626316 3.0/3.0/
L¨
osung L¨
osung b= 1.376274 3.0/0.15
bestimmbar bestimmbar Svv = 6.700568
4.3. Beispiele: regularisiert und unterschiedlich gewichtet 55
Tabelle 4.12: Ergebnisse f¨
ur Beispiel 5 mit Regularisierung bei unterschiedlichen Toleranzen
f¨
ur die Residuen
Bsp.nr. Variante 1: Variante 2: Heuristik Toleranzen
v2≤t2−v≤t&v≤tf¨
ur v1/ . . . /v5
5a)a= 29.802000 a= 29.802000 a= 29.802000 0.2/0.2/0.2/
b= 50.197100 b= 50.197100 b= 50.197094 0.02/0.02
Svv = 6.582091 Svv = 6.582091 Svv = 6.582110
5b)a= 29.502000 a= 29.502000 a= 29.502000 0.5/3.0/3.0/
b= 50.807750 b= 50.807750 b= 50.807753 3.0/3.0
Svv = 4.779497 Svv = 4.779497 Svv = 4.779497
5c)a= 29.018664 a= 29.018664 a= 29.018891 3.0/0.5/3.0/
b= 50.497100 b= 50.497100 b= 50.497100 3.0/3.0
Svv = 4.518916 Svv = 4.518916 Svv = 4.518916
5d)a= 28.874406 a= 28.874406 a= 28.874472 3.0/3.0/0.1/
b= 50.775127 b= 50.775127 b= 50.775090 3.0/3.0
Svv = 4.152788 Svv = 4.152788 Svv = 4.152788
5e)a= 29.114491 a= 29.114491 a= 29.114465 3.0/3.0/3.0/
b= 50.796549 b= 50.796549 b= 50.796503 0.02/3.0
Svv = 4.174448 Svv = 4.174448 Svv = 4.174448
5f)a= 29.115252 a= 29.115252 a= 29.115323 3.0/3.0/3.0/
b= 50.796111 b= 50.796111 b= 50.796234 3.0/0.02
Svv = 4.175147 Svv = 4.175147 Svv = 4.175147
Grunds¨
atzlich kann bei den einzelnen Beispielen das gleiche Verhalten beobachtet werden (an-
hand der tabellarisch aufgelisteten Ergebnisse sowie der grafischen Darstellungen der Zielfunkti-
on, welche hier aufgrund der ¨
Ubersichtlichkeit nicht aufgef¨
uhrt werden) wie bei den nicht regu-
larisierten Beispielen im vorherigen Abschnitt, sowohl bei den betrachteten Toleranzen5f¨
ur die
Residuen als auch f¨
ur die ”Grenzf¨
alle“. Die Ergebnisse zeigen allerdings, dass mit der Variante 1
recht h¨
aufig keine oder keine stabile L¨
osung ermittelt werden konnte. Somit ist auch nach diesen
Vergleichen die Variante 2 der Realisierung der Toleranzenbedingung als die stabilere Variante
zu betrachten.
4.3 Beispiele: regularisiert und unterschiedlich gewichtet
Abschließend werden alle betrachteten Beispiele mit Regularisierung und unter Verwendung ei-
ner Gewichtsmatrix f¨
ur die Beobachtungen (einschließlich Pseudobeobachtungen) ausgewertet.
Die Gewichtsmatrizen wurden derart aufgestellt, dass die einzelnen Beobachtungen leicht unter-
schiedliche Gewichte erhalten und miteinander korreliert sind, wenn es sich um Beobachtungen
des gleichen Typs handelt (z.B. Strecken oder Winkel). Die Pseudobeobachtungen wurden im-
mer wesentlich geringer gewichtet als die eigentlichen Beobachtungen. Da sich die Variante 2 der
5Es ist anzumerken, dass die innerhalb dieses Abschnitts gew¨
ahlten Toleranzen f¨
ur die Residuen bei den einzel-
nen Beispielen meist nicht den gew¨
ahlten Toleranzen aus dem vorherigen Abschnitt entsprechen, da ein Vergleich
der hier untersuchten Regularisierungsprobleme mit den Ausgleichungsproblemen des vorherigen Abschnitts nicht
unmittelbar m¨
oglich ist.
56 4. Vergleich der unterschiedlichen Bedingungsungleichungen anhand synthetischer Beispiele
Realisierung der Toleranzenbedingung bereits in den beiden vorherigen Abschnitten als stabilere
Variante erwiesen hat, erfolgten s¨
amtliche Berechnungen nur mit dieser Variante. Ein unabh¨
angi-
ger Vergleich wurde mit der heuristisch ermittelten L¨
osung durchgef¨
uhrt. Es wurden wieder die
gleichen Verhaltensweisen bei den einzelnen Beispielen wie in den vorherigen Abschnitten be-
obachtet, so dass hier auf eine tabellarische und grafische Zusammenstellung aller Ergebnisse
verzichtet werden soll. Lediglich das Beispiel 5 soll an dieser Stelle n¨
aher betrachtet werden. Mit
diesem kann sehr sch¨
on veranschaulicht werden, was im Falle zu optimistisch angenommener
Genauigkeiten f¨
ur die Pseudobeobachtungen passiert, wenn man eine ”normale“ Regularisierung
statt einer Regularisierung mit Toleranzenbedingungen f¨
ur die Residuen durchf¨
uhrt. Bei dem
Beispiel 5 handelt es sich um ein geometrisch anschauliches Beispiel - ein rechtwinkliges Dreieck,
bei dem die drei Seiten und die beiden Winkel gemessen wurden. Gesucht ist die L¨
ange der
Katheten des Dreiecks unter Ber¨
ucksichtigung aller Messungen. Die Genauigkeiten mider Beob-
achtungen und Pseudobeobachtungen wurden f¨
ur dieses Beispiel wie folgt festgelegt, wobei die
Genauigkeiten der eigentlichen Beobachtungen den simulierten Messgenauigkeiten entsprechen:
ma,b,c =±0.003 m,
mα,β =±5·10−5rad,
m¯a,¯
b=±0.045 m,
m0=±0.003 m.
Wesentlich realistischere Genauigkeiten f¨
ur die Pseudobeobachtungen w¨
aren m¯a,¯
b=±2.0m.
Verwendet wurde folgende gew¨
ahlte Gewichtsmatrix:
P=
1.0 0.02 0.01 0.0 0.0 0.0 0.0
0.02 1.0 0.02 0.0 0.0 0.0 0.0
0.01 0.02 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 3600 m20.01 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.01 3600 m20.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00¯
4 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00¯
4
.(4.1)
Berechnet man nun die Unbekannten aund bmittels einer ”normalen“ Regularisierung ohne
Ber¨
ucksichtigung von Toleranzenbedingungen f¨
ur die Residuen und unter Verwendung der ange-
gebenen Gewichtsmatrix (weitere Daten siehe Anhang A.1), so erh¨
alt man folgende L¨
osung und
Residuen:
a= 29.999541 m, b = 50.002015 m,
v=
va
vb
vc
vα
vβ
v¯a
v¯
b
=
−0.002459 m
0.004915 m
0.000011 m
0.000055 rad
−0.000070 rad
1.999541 m
−1.997985 m
.(4.2)
Obwohl innerhalb der Gewichtsmatrix Pdie Strecken a,bund ceine Genauigkeit von ±0.003 m
zugeordnet bekommen haben, ist das Residuum f¨
ur bnach dieser Auswertung gr¨
oßer als die zur
Beobachtung bdazugeh¨
orige Genauigkeit. Ebenso sind auch die Residuen f¨
ur αund βgr¨
oßer als
4.3. Beispiele: regularisiert und unterschiedlich gewichtet 57
die verwendete Genauigkeit innerhalb der Gewichtsmatrix.
Zum Vergleich dazu erh¨
alt man f¨
ur das gleiche Beispiel ohne Regularisierung (also ohne Verwen-
dung der Pseudobeobachtungen) unter Verwendung der gleichen Gewichte und Korrelationen f¨
ur
die Beobachtungen folgende Ergebnisse:
a= 30.002149 m, b = 49.998713 m,
v=
va
vb
vc
vα
vβ
=
0.000149 m
0.001613 m
−0.001479 m
−0.000013 rad
−0.000002 rad
.(4.3)
Daran erkennt man sehr gut, welchen großen Einfluss die eigentlich schlechten Pseudobeobach-
tungen auf das Ergebnis haben, denn ohne Einf¨
uhrung der Pseudobeobachtungen sind s¨
amtliche
Residuen kleiner als die f¨
ur die Gewichtsmatrix angesetzten Genauigkeiten der einzelnen Beob-
achtungen6.
Verwendet man dagegen das ausgearbeitete Regularisierungsverfahren mit der Variante 2 der
Realisierung der Toleranzenbedingung zur Bestimmung der L¨
osung, wobei die Toleranzen f¨
ur die
Strecken a,bund c0.003 mbetragen und f¨
ur die Winkel αund β5·10−5rad, so erh¨
alt man:
a= 29.999720 m, b = 50.000100 m,
v=
va
vb
vc
vα
vβ
v¯a
v¯
b
=
−0.002280 m
0.003000 m
−0.001539 m
0.000035 rad
−0.000050 rad
1.999720 m
−1.999900 m
.(4.4)
Die ermittelte L¨
osung ist nur geringf¨
ugig von der L¨
osung der ”normalen“ Ausgleichung ohne
Regularisierung verschieden (∆a= 0.002 m, ∆b= 0.001 m). Die Abweichungen zur L¨
osung
der ”normalen“ Regularisierung sind gr¨
oßer (∆a= 0.003 m, ∆b= 0.003 m). Allerdings
liegen nun s¨
amtliche Residuen der eigentlichen Beobachtungen innerhalb der Toleranzen und
somit innerhalb der simulierten Messgenauigkeit. Somit konnte durch die Einbeziehung von
Residuentoleranzen etwas erreicht werden, was ebenfalls durch eine ¨
Anderung der Verh¨
altnisse
zwischen den Gewichten der Beobachtungen und Pseudobeobachtungen theoretisch m¨
oglich
sein sollte (wobei die Gewichtsverh¨
altnis-¨
Anderung nicht so leicht oder ¨
uberhaupt nicht h¨
atte
abgesch¨
atzt werden k¨
onnen). Die Einbeziehung von Residuentoleranzen ist somit mindestens
gleichbedeutend mit der ”bestm¨
oglichen“ Wahl des Regularisierungsparameters bzw. Gewichts-
verh¨
altnisses. Die Eigenschaften dieser ”bestm¨
oglichen“ L¨
osung wurden bereits im Abschnitt
2.4 aufgezeigt. Erfolgt keine Einbeziehung von Residuentoleranzen, so erh¨
alt man je nach Wahl
des Regularisierungsparameters bzw. Gewichtsverh¨
altnisses zwischen den Beobachtungen und
Pseudobeobachtungen eine mehr oder weniger willk¨
urliche L¨
osung f¨
ur das betrachtete Problem.
6An dieser Stelle muss angemerkt werden, dass dies bei ”normalen“ Ausgleichungen ohne Regularisierung
keinesfalls immer so ist. Selbst bei realistischer Wahl der Genauigkeiten der Beobachtungen f¨
ur die Gewichtsmatrix
k¨
onnen die resultierenden Residuen gr¨
oßer sein als die jeweils dazugeh¨
origen Genauigkeiten der Beobachtungen.
58 4. Vergleich der unterschiedlichen Bedingungsungleichungen anhand synthetischer Beispiele
Eine kontrollierte Beeinflussung der Residuen der Beobachtungen ist dabei nicht oder nur
begrenzt m¨
oglich.
Welche Bedeutung hat eine L¨
osungsbestimmung unter Einbeziehung von Residuentoleran-
zen in der Praxis? In der Praxis hat man oft den Fall, dass die gesuchten Parameter bereits
aus vorherigen Datenauswertungen mit einer gewissen Genauigkeit bekannt sind. Diese Genau-
igkeitssch¨
atzungen sind aber meist zu optimistisch. Weiterhin hat man neue Beobachtungen,
f¨
ur die eine hohe Genauigkeit angenommen wird, mit denen der bereits vorhandene Parame-
tersatz verbessert werden soll. So wird dann h¨
aufig eine Regularisierung durchgef¨
uhrt (ohne
Toleranzenbedingungen f¨
ur die Residuen einzubeziehen), wobei die vorhandenen Parameter als
Vorinformationen (Pseudobeobachtungen) eingehen mit den dazugeh¨
origen meist zu optimisti-
schen Genauigkeiten. Somit wird h¨
aufig eine L¨
osung bestimmt, die die gleichen Eigenschaften
aufweist wie die f¨
ur das hier betrachtete Beispiel 5 erhaltene L¨
osung der ”normalen“ Regularisie-
rung - die Residuen der eigentlichen Beobachtungen sind teilweise gr¨
oßer als die Messgenauigkeit
der Beobachtungen. Die Vorinformationen wurden so hoch gewichtet, dass sie einen zu großen
Einfluss auf die L¨
osung haben. Ziel sollte es aber sein, aus den neuen Beobachtungen so viel
wie m¨
oglich an Informationen dazuzugewinnen. Dies kann nur dann erfolgen, wenn die neuen
Beobachtungen ein angemessenes Gewicht innerhalb der Regularisierung erhalten und darauf
geachtet wird, dass die Residuen der neuen Beobachtungen nach der Regularisierung auch
tats¨
achlich innerhalb sinnvoll ausgew¨
ahlter Intervalle (z.B. ±2facher oder 3facher mittlerer
Fehler) liegen. Dann enthalten die berechneten Parameter neue interpretierbare Informationen.
Diese neuen Informationen k¨
onnen verschiedenartig sein. So kann festgestellt werden, dass sich
die neuen Parameter ¨
uberhaupt nicht von den alten Parametern unterscheiden, d.h. die neuen
Daten brachten keine neuen Informationen. Dieser Fall ist sicherlich der schlechteste. In einem
anderen Fall ist es m¨
oglich, dass die neuen Parameter geringe Abweichungen zu den alten
Parametern aufweisen, d.h. die neuen Daten bewirkten eine Verbesserung der alten Parameter
(unter Einbeziehung aller vorhandenen alten Informationen in Form der Pseudobeobachtungen).
Dies ist der beste Fall. Es kann aber auch passieren, dass die neuen Parameter sich extrem von
den alten Parametern unterscheiden. In diesem Fall ist es schwer, die L¨
osung zu beurteilen.
Einerseits kann man daraus schlussfolgern, dass die neuen Daten vielleicht doch nicht so genau
waren, wie angenommen wurde, andererseits k¨
onnte es auch sein, dass die alten Parameter sehr
ungenau sind. Eine Entscheidung ist hier sicher schwer.
Anhand des Beispiels 5 konnte erfolgreich gezeigt werden, dass durch die Einbeziehung
von Residuentoleranzen in den Regularisierungsprozess die Gr¨
oße der resultierenden Residuen
der Beobachtungen kontrolliert beeinflusst werden kann, so dass eine interpretierbare L¨
osung
erhalten wird. Die Wirkung der Toleranzenbedingungen f¨
ur die Residuen auf die erhaltene
L¨
osung entspricht der eines Regularisierungsparameters. Eine Betrachtung gleichgewichteter
und nicht regularisierter Beispiele war lediglich notwendig, um anhand von einfachen Beispielen
die Varianten der Realisierung der Toleranzenbedingung f¨
ur die Residuen und den L¨
osungsal-
gorithmus vergleichen und testen zu k¨
onnen und bei positiver Bewertung des Verfahrens auf
komplexere Probleme ¨
ubergehen zu k¨
onnen.
Abschließend l¨
asst sich sagen, dass der ausgearbeitete Algorithmus sich als sehr stabil
und leistungsf¨
ahig erwiesen hat und eine Anwendung auf praxisnahe Beispiele realistisch
erscheint. Da sich die Variante 2 der Realisierung der Toleranzenbedingung f¨
ur die Residuen
im Vergleich zur Variante 1 als stabiler erwiesen hat, sollte man m¨
oglichst diese Variante
verwenden, welche auch den Vorteil aufweist, dass die Linearisierung der Bedingungsunglei-
chungen der Linearisierung der Beobachtungsgleichungen entspricht. Somit m¨
ussen vor allem
4.3. Beispiele: regularisiert und unterschiedlich gewichtet 59
bei komplexeren Problemstellungen keine neuen partiellen Ableitungen gebildet werden, um die
Matrix Baufstellen zu k¨
onnen. Als Nachteil der Variante 1 der Realisierung der Toleranzenbe-
dingung f¨
ur die Residuen ist ebenso die Tatsache zu betrachten, dass durch die Einbeziehung
der Bedingungsungleichungen der Variante 1 lineare Minimierungsprobleme wie nichtlineare
behandelt werden m¨
ussen. Dies bringt zwangsl¨
aufig numerische Probleme mit sich.
60 5. Anwendungsbeispiel
5. Anwendungsbeispiel - Ableitung von
Atmosph¨
arenparametern aus
Radiookkultations-Refraktivit¨
aten
Nachdem im vorherigen Kapitel anhand von synthetischen Beispielen gezeigt werden konnte,
dass das erarbeitete Regularisierungsverfahren mit Toleranzenbedingungen f¨
ur die Residuen zu
den gew¨
unschten Ergebnissen f¨
uhrt, soll nun innerhalb dieses Kapitels die Anwendung auf reale
Daten erfolgen. Da sich die Variante 2 der Realisierung der Toleranzenbedingung (3.2.2) stabiler
und leistungsf¨
ahiger erwiesen hat als die Variante 1 (3.2.1), wird lediglich diese Variante bei der
Auswertung realer Daten benutzt.
5.1 Prinzip der Radiookkultation
Das Radiookkultationsverfahren wurde bereits in den sechziger Jahren zur Erforschung der Atmo-
sph¨
are des Mars und der Venus angewendet ([Fjeldbo et al. 1967], [Fjeldbo und Eshleman 1968]
und [Fjeldbo et al. 1970]) und diente seither zur Untersuchung fast aller Planeten unseres Son-
nensystems sowie dazugeh¨
origer Monde, [Wickert 2002]. Vorschl¨
age zur Anwendung des Verfah-
Abbildung 5.1: Prinzip des Radiookkultations-Verfahrens mit CHAMP.
rens zur Erforschung der Erdatmosph¨
are wurden zwar ebenso in den sechziger Jahren gegeben
(z.B. [Fischbach 1965]), aber aufgrund von genaueren konventionellen Verfahren zur Untersu-
chung der Erdatmosph¨
are kam es bis in die neunziger Jahre nicht zum Einsatz. Erst durch den
Einsatz von 2-Frequenz-GPS1-Empf¨
angern auf niedrig fliegenden Satelliten wurden die Voraus-
setzungen f¨
ur die Nutzung der Radiookkultation zur Erforschung der Erdatmosph¨
are geschaffen,
da somit die Satellitenpositionen und -geschwindigkeiten mit hoher Genauigkeit bereitgestellt
werden konnten.
Ein erstes Konzept zur Demonstration des Potenzials der GPS-Radiookkultation f¨
ur die Son-
dierung der Erdatmosph¨
are entstand Ende der achtziger Jahre, [Melbourne et al. 1994]. Im
1Global Positioning System
5.1. Prinzip der Radiookkultation 61
Jahr 1995 wurde der wissenschaftliche Kleinsatellit Microlab-1 (GPS-Met) in seine Umlauf-
bahn gebracht und damit bis 1997 ca. 50000 Okkultationen f¨
ur die Erdatmosph¨
arensondierung
aufgezeichnet. Aktuelle Okkultationen liefert der CHAMP-Satellit des GeoForschungsZentrums
(GFZ), [Reigber et al. 2003] und [Reigber et al. 2005].
Das Prinzip der Radiookkultationsmessung ist in der Abbildung 5.1 am Beispiel des CHAMP-
Satelliten dargestellt. Die Signale (elektromagnetische Wellen) zweier GPS Satelliten (Referen-
cing GPS und Occulting GPS) werden mittels eines GPS-Empf¨
angers auf einem niedrig fliegen-
den Satelliten (CHAMP) und von einer GPS-Bodenstation empfangen. Die Wellen, die sich vom
Okkultations-GPS-Satelliten (Occulting GPS) zum CHAMP-Satelliten durch die Erdatmosph¨
are
hindurch ausbreiten, werden gebrochen. Die Eigenschaften der Erdatmosph¨
are in unterschied-
lichen H¨
ohenbereichen k¨
onnen somit anhand des Brechungswinkels (bending angle) αcharak-
terisiert werden. Die Variation des Brechungswinkels mit der H¨
ohe ist haupts¨
achlich von der
Abbildung 5.2: Schematischer Ablauf der Ableitung von Atmosph¨
arenparametern aus den
Radiookkultationsmessungen, [Wickert 2002].
vertikalen Ver¨
anderung des atmosph¨
arischen Brechungsindex abh¨
angig.
Durch das Doppeldifferenzenverfahren (siehe z.B. [Seeber 1993]) werden aus den GPS-Messungen
die atmosph¨
arischen Phasenwegverl¨
angerungen abgeleitet. Aus der zeitlichen Ableitung der at-
mosph¨
arischen Phasenwegverl¨
angerung k¨
onnen dann die atmosph¨
arischen Brechungswinkel be-
rechnet werden. Die vertikalen Brechungswinkelprofile werden dann mittels der sog. Abelinversion
in vertikale Refraktivit¨
atsprofile transformiert, [Wickert 2002]. In h¨
oheren Atmosph¨
arenschichten
kann die Annahme gemacht werden, dass der Wasserdampfgehalt Null ist (die absolute H¨
ohe, ab
wo diese Annahme gerechtfertigt ist, schwankt stark zwischen ¨
Aquator- und Polgebieten), so dass
aus den Refraktivit¨
aten direkt die Trockentemperatur abgeleitet werden kann. Ist diese Annahme
nicht gerechtfertigt, so muss eine Trennung in Feuchttemperatur und spezifische Feuchte erfolgen.
62 5. Anwendungsbeispiel
Diese ist jedoch nicht ohne Verwendung von zus¨
atzlichen Informationen oder Annahmen, z.B.
aus bestehenden meteorologischen Modellen, durchf¨
uhrbar (vergleiche mit Formel (5.2)). Dieser
Teilabschnitt innerhalb der Radiookkultations-Auswertung (Abbildung 5.2, rechte Verzweigung
nach ”Refraktivit¨
atsgleichung“) soll innerhalb dieses Kapitels detailliert betrachtet werden. Im
Folgenden soll in groben Z¨
ugen das Verfahren vorgestellt werden, mit welchem die Trennung in
Feuchttemperatur und spezifische Feuchte im Allgemeinen erfolgt. Weiterhin soll das erarbeitete
Regularisierungsverfahren mit Residuentoleranzen alternativ zur Trennung dieser Atmosph¨
aren-
parameter verwendet werden.
Zur Veranschaulichung der gesamten Radiookkultations-Auswertung dient die Abbildung
5.2. F¨
ur mehr Details siehe z.B. [Gorbunov und Sokolovskiy 1993], [Melbourne et al. 1994],
[Steiner 1998] und [Wickert 2002].
5.2 Ein Standardverfahren zur Ableitung der spezifischen Feuchte
und Feuchttemperatur (1DVAR)
Als ein Standardverfahren zur Ableitung der spezifischen Feuchte und der Feuchttemperatur
aus Refraktivit¨
aten wird in der Literatur zur Radiookkultation ein Regularisierungsverfahren
empfohlen (z.B. in [Healy und Eyre 2000]), welches allgemein als eindimensionales Variations-
verfahren (1DVAR) bezeichnet wird. Dieses soll im Folgenden kurz erl¨
autert werden.
Die Eigenschaften der Atmosph¨
are werden mittels des Brechungsindex nbeschrieben. Da die-
ser f¨
ur die Erdatmosph¨
are bei nahezu 1 liegt, ist es zweckm¨
aßig, diesen in die Refraktivit¨
at N
umzurechnen
N= (n−1) ·106.(5.1)
Die Refraktivit¨
at kann n¨
aherungsweise wie folgt als Funktion des Luftdrucks P[hPa], der Feucht-
temperatur T[K] und der spezifischen Feuchte Q[g/kg] geschrieben werden:
N(z) = c1·P(z)
T(z)1 + k·Q(z)
T(z),(5.2)
mit den Konstanten c1= 7.76 ·10−5K
hPa und k= 7.72918 Kkg
g[Healy und Eyre 2000].
Im Falle der Radiookkultations-Auswertung am GFZ Potsdam liegen Refraktivit¨
aten vom Erd-
boden bis etwa 35 km H¨
ohe (und h¨
aufig dar¨
uber hinaus) mit einer vertikalen Aufl¨
osung von 200
m vor. Die unbekannten Parameter T(z) und Q(z) werden nicht f¨
ur alle H¨
ohen z, f¨
ur die Refrak-
tivit¨
aten vorliegen, bestimmt, sondern lediglich f¨
ur 43 festgelegte H¨
ohenniveaus2. Die spezifische
Feuchte wird nur f¨
ur die unteren 26 H¨
ohenniveaus bestimmt, da f¨
ur h¨
ohere Atmosph¨
arenschichten
angenommen wird, dass die Feuchte Null ist. Der Luftdruck P(z) wird als fehlerfrei und bekannt
vorausgesetzt, nur der Erdoberfl¨
achen-Luftdruck wird als unbekannt betrachtet. Somit liegt die
Anzahl der unbekannten Parameter bei 70 - zusammengesetzt aus 43 unbekannten Temperaturen,
26 unbekannten spezifischen Feuchten und einem unbekannten Erdoberfl¨
achen-Luftdruck. Die
Anzahl der Unbekannten ist damit offensichtlich kleiner als die Anzahl ”beobachteter“ Refrakti-
vit¨
aten (durchschnittlich ca. 170), so dass anscheinend3eine Redundanz vorliegt. Tats¨
achlich ist
2Diese 43 H¨
ohenniveaus reichen von 1013.25 hPa bis 0.1 hPa.
3Im Falle einer Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen ist die Redundanz die Differenz zwischen der
Anzahl der Beobachtungen und der Anzahl der Unbekannten, vorausgesetzt, dass ein korrekt gestelltes Problem
vorliegt.
5.2. Ein Standardverfahren zur Ableitung der spezifischen Feuchte und Feuchttemperatur 63
aber keine Ausgleichung nach kleinsten Quadraten durchf¨
uhrbar, ohne dass zus¨
atzliche Informa-
tionen oder Annahmen einbezogen werden, da die Trennung in Feuchttemperatur und spezifische
Feuchte nicht eindeutig m¨
oglich ist. Als Vorinformationen dienen beim 1DVAR-Verfahren h¨
aufig
Feuchttemperaturen, spezifische Feuchten und der Erdoberfl¨
achen-Luftdruck aus dem ECMWF4-
Modell5.
Die Beobachtungsgleichungen f¨
ur das zu l¨
osende Regularisierungsproblem haben f¨
ur die Refrak-
tivit¨
aten folgende Form [Healy und Eyre 2000]:
N(z) + v(z) = c1·P(z)
T(z)1 + k·Q(z)
T(z)(5.3)
mit
P(z) = Pi1 + γi
TV
i
(z−Zi)(−g/(Rγi))
(5.4)
Q(z) = Qi·exp[αi(z−Zi)] (5.5)
T(z) = Ti+βi(z−Zi) (5.6)
TV
i=Ti·(1 + 0.608 ·Qi) (5.7)
Zi+1 =Zi+R
g·TV
i+1 −TV
i
logeTV
i+1 −logeTV
i·logePi
Pi+1 ,(5.8)
wobei zdie geopotentielle H¨
ohe darstellt, gdie Schwerebeschleunigung, Rdie Gaskonstante,
αi, βi, γidie Gradienten der spezifischen Feuchte, der Temperatur und des Luftdrucks bezogen
auf die geopotentielle H¨
ohe und Ti, Qi, Pi, Zidie Temperatur, die spezifische Feuchte, der Luft-
druck und die geopotentielle H¨
ohe bzgl. der festgesetzten H¨
ohenniveaus (mit P1=PEOF =
Erdoberfl¨
achen-Luftdruck). Hinzu kommen die Beobachtungsgleichungen f¨
ur die sog. Pseudobe-
obachtungen, wodurch die Vorinformationen in den Ausgleichungsprozess mit einbezogen werden
und die Regularisierung erfolgt:
Tb
i+vT
i=Ti,(5.9)
Qb
i+vQ
i=Qi,(5.10)
Pb
EOF +vP=PEOF ,(5.11)
wobei Tb
i, Qb
i, Pb
EOF Werte f¨
ur die unbekannten Parameter PEOF , Ti, Qiaus dem ECMWF-Modell
sind. Die unbekannten Parameter k¨
onnen dann durch Anwendung einer Ausgleichung nach
kleinsten Quadraten (entspricht der bereits vorgestellten stochastischen Regularisierung, siehe
Abschnitt 2.2.3) berechnet werden, d.h. die gewichtete Summe aller Residuenquadrate wird mi-
nimiert:
{
m
X
i=1
piv2
i+
43
X
i=1
pT
i(vT
i)2+
26
X
i=1
pQ
i(vQ
i)2+pP(vP)2} → min, (5.12)
4European Centre for Medium-Range Weather Forecasts
5F¨
ur mehr Details zum ECMWF-Modell siehe z.B. http://www.ecmwf.int.
64 5. Anwendungsbeispiel
wobei die pi, pT
i, pQ
i, pPdie Gewichte der einzelnen Beobachtungen bzw. Pseudobeobachtungen
darstellen, vi, vT
i, vQ
i, vPdie Residuen der Refraktivit¨
aten und Pseudobeobachtungen und mdie
Anzahl der auszuwertenden Refraktivit¨
aten. Als erste N¨
aherungsl¨
osung f¨
ur die iterative L¨
osungs-
bestimmung dienen dabei die Modellparameter Tb
i, Qb
iund Pb
EOF .
Anhand der Formel (5.12) l¨
asst sich unmittelbar der Nachteil des 1DVAR-Verfahrens ablesen:
Werden die Gewichte f¨
ur die Pseudobeobachtungen im Verh¨
altnis zu den Gewichten der eigentli-
chen Beobachtungen zu groß gew¨
ahlt, so werden bei der Minimierung der gewichteten Summe der
Residuenquadrate haupts¨
achlich die Abweichungen vT
i, vQ
i, vPder neuen L¨
osung zur bestehenden
Modelll¨
osung minimiert. Die Residuen der Refraktivit¨
aten k¨
onnen dahingegen unerw¨
unscht und
unkontrollierbar groß werden. Eine derartige ¨
Ubergewichtung der Vorinformationen geschieht
recht h¨
aufig, da einerseits zu vorhandenen Modellen oft sehr optimistische Fehlersch¨
atzungen
f¨
ur die Modellparameter angegeben werden und andererseits wird oft absichtlich das vorhan-
dene Modell ¨
ubergewichtet, um das zu l¨
osende Problem ”besser“ zu stabilisieren. Dies ist eine
allgemein akzeptierte Vorgehensweise bei der L¨
osung regularisierter Probleme, die unabh¨
angig
von der konkreten Anwendung propagiert wird. So findet man z.B. im Zusammenhang mit der
Schwerefeldbestimmung in [Gruber 2000]: ”... f¨
ur eine Dekorrelation der stark korrelierten Koef-
fizienten [ist] eine ¨
Ubergewichtung der stochastischen Vorinformationen notwendig. Im Falle von
GRIM4-Satellitenl¨
osungen wird eine ¨
Ubergewichtung der Gradvarianzen mit dem Faktor 100
eingef¨
uhrt ...“
Liegen neue Messdaten vor (wie hier die CHAMP-Refraktivit¨
aten, die eine neue Datenqualit¨
at
aufweisen sollen), so sollte das Ziel sein, aufgrund der neuen genauen Daten neue Informationen
f¨
ur die unbekannten Parameter zu ermitteln, d.h. das bestehende Modell (ECMWF), welches aus
anderen Daten abgeleitet wurde, zu verbessern. Durch die Nutzung eines Regularisierungsverfah-
rens wie das 1DVAR-Verfahren kann dieses Ziel meist nicht erreicht werden oder nur zufallsbe-
dingt bei einer f¨
ur die Refraktivit¨
aten g¨
unstigen Wahl der Gewichtsverh¨
altnisse. H¨
aufig besteht
die Auffassung, dass die erhaltene L¨
osung nur dann gut ist, wenn die Abweichungen der neuen
L¨
osung zu der bestehenden Modelll¨
osung m¨
oglichst klein sind. Dabei bleiben die Residuen der
Refraktivit¨
aten meist v¨
ollig ohne Beachtung bzw. es werden lediglich mittlere quadratische Resi-
duen als Qualit¨
atskriterium f¨
ur die L¨
osungen verwendet. Diese mittleren quadratischen Residuen
k¨
onnen allerdings keine Aussagen dar¨
uber enthalten, wie die Verteilung der einzelnen Residu-
en ist. Durch Variation der Gewichtsverh¨
altnisse sollte es zwar grunds¨
atzlich m¨
oglich sein, eine
sinnvolle Verteilung der Residuen zu erreichen, diese Vorgehensweise ist aber sehr m¨
uhsam, da es
im Voraus nicht m¨
oglich ist, die Wirkung der Gewichtsvariation auf die Residuen abzusch¨
atzen.
Somit soll das innerhalb dieser Arbeit erarbeitete Regularisierungsverfahren mit Toleranzenbe-
dingungen f¨
ur die Residuen als alternatives Verfahren zum 1DVAR-Verfahren f¨
ur die Auswertung
der Refraktivit¨
aten verwendet werden.
5.3 Regularisierung mit Residuentoleranzen zur Ableitung der spe-
zifischen Feuchte und Feuchttemperatur
Werden zu dem im vorherigen Abschnitt beschriebenen Regularisierungsproblem (1DVAR) le-
diglich zus¨
atzliche Bedingungen f¨
ur die Residuen eingef¨
uhrt, so kann der Nachteil des 1DVAR-
Verfahrens - die Unkontrollierbarkeit der Gr¨
oße der Residuen der Refraktivit¨
aten - behoben
werden. Die Toleranzenbedingungen f¨
ur die Residuen sind vi≤tiund −vi≤ti, d.h. f¨
ur jede
”beobachtete“ Refraktivit¨
at werden zwei Bedingungen bzgl. des Residuums eingef¨
uhrt, wobei ti
einen sinnvollen Grenzwert f¨
ur das Residuum vidarstellt. Die Residuen ergeben sich aus der
5.3. Regularisierung mit Residuentoleranzen 65
Formel (5.3) zu:
vi=c1·P(zi)
T(zi)1 + k·Q(zi)
T(zi)−N(zi),
−vi=N(zi)−c1·P(zi)
T(zi)1 + k·Q(zi)
T(zi).
Durch Linearisierung der Toleranzenbedingungen und Beobachtungsgleichungen (siehe Abschnitt
3.2) und Verwendung des im Abschnitt 3.3 erarbeiteten Algorithmus ist es m¨
oglich, die unbe-
kannten Parameter (Temperaturen, spezifische Feuchten und Erdoberfl¨
achen-Luftdruck) aus den
Refraktivit¨
aten abzuleiten. Da innerhalb der Auswertung Grenzen (Toleranzen) f¨
ur die Residuen
der Refraktivit¨
aten ber¨
ucksichtigt werden (entsprechen z.B. sinnvollerweise den Genauigkeitsan-
nahmen, die auch f¨
ur die Gewichtsmatrix der Beobachtungen verwendet werden), ergeben sich
L¨
osungen, die einerseits gut zum bestehenden Modell passen k¨
onnen, aber andererseits die Re-
fraktivit¨
aten nicht innerhalb ihrer Genauigkeit verletzen. Als weiterer Vorteil dieses erweiterten
Regularisierungsverfahrens ergibt sich, dass die L¨
osung bzw. die Abweichungen der neuen L¨
osung
zum bestehenden Modell interpretiert werden k¨
onnen.
Bei dem betrachteten Beispiel (Ableitung von Atmosph¨
arenparametern aus Refraktivit¨
aten) han-
delt es sich um ein nicht eindeutig l¨
osbares Problem, d.h. ein inkorrekt gestelltes Problem. Es
existieren unendlich viele m¨
ogliche Paare von Temperaturen und spezifischen Feuchten, die die
Refraktivit¨
aten gleich gut repr¨
asentieren k¨
onnen. Was bringt dann eine Auswertung der Refrak-
tivit¨
aten mittels Regularisierung mit Toleranzenbedingungen f¨
ur die Residuen? Um inkorrekt
gestellte Probleme l¨
osen zu k¨
onnen, sind zus¨
atzliche Hypothesen oder Beobachtungen notwen-
dig, die hier durch die Hinzunahme von Pseudobeobachtungen erbracht werden. Diese stellen
grunds¨
atzlich nicht zu vernachl¨
assigende Informationen dar, sollten allerdings bei der Auswer-
tung nicht ¨
uberbewertet werden. Somit werden mittels des erweiterten Regularisierungsverfah-
rens L¨
osungen erzwungen (es existiert keine eindeutige L¨
osung f¨
ur inkorrekt gestellte Probleme),
bei denen s¨
amtliche Residuen der Beobachtungen innerhalb der Genauigkeitsvorgaben f¨
ur die
einzelnen Refraktivit¨
aten liegen. Da aber gleichzeitig in den Auswerteprozess die bestehenden
Modellparameter eingegangen sind (ohne diese w¨
are eine L¨
osungsbestimmung bei diesem Beispiel
unm¨
oglich), ist die ermittelte L¨
osung nicht nur von den neuen ”beobachteten“ Refraktivit¨
aten
abh¨
angig, sondern ebenso von diesen vorhandenen Modellparametern. Daraus ist ersichtlich, dass
mit dem erweiterten Regularisierungsverfahren ¨
uberpr¨
uft werden kann, ob die neuen Daten zum
bestehenden Modell passen. Dies stellt somit die eigentliche Aufgabenstellung bei der Auswertung
der Refraktivit¨
aten dar: ¨
Uberpr¨
ufung und, wenn m¨
oglich, gezielte Verbesserung des vorhande-
nen Modells. Da vorhandene Modelle in der Regel nicht grob falsch sein sollten, sind meistens
nur recht kleine Abweichungen der neuen L¨
osung zu der bestehenden L¨
osung zu erwarten. Diese
Abweichungen k¨
onnen dann als neue Informationen (gewonnen aus den Refraktivit¨
aten) f¨
ur das
bestehende Modell betrachtet werden, da dieses indirekt an der L¨
osungsbestimmung beteiligt
war.
Bei Anwendung des 1DVAR-Verfahrens k¨
onnen die erhaltenen Abweichungen zwischen der neu-
en und der bestehenden L¨
osung nicht derart interpretiert werden, da die Residuen der Refrak-
tivit¨
aten beliebig groß sein k¨
onnen. Nur f¨
ur den Fall, dass s¨
amtliche Residuen zufallsbedingt
innerhalb der Genauigkeitsgrenzen der Refraktivit¨
aten liegen, ist diese Interpretation gerechtfer-
tigt.
66 5. Anwendungsbeispiel
5.4 Ausgew¨
ahlte Beispiele
Um die Vor- und Nachteile der beiden zuvor vorgestellten Regularisierungsverfahren zur
Ableitung der spezifischen Feuchte und der Feuchttemperatur aus Refraktivit¨
aten untersuchen
zu k¨
onnen, wurden 63 global verteilte Refraktivit¨
atsprofile beliebig ausgew¨
ahlt und ausge-
-90
-60
-30
0
30
60
90
-90
-60
-30
0
30
60
90
-180 -120 -60 0 60 120 180
-180 -120 -60 0 60 120 180
27
29
44
47
57
58
Abbildung 5.3: Globale Verteilung der 63 ausgew¨
ahlten Okkultationsprofile; blaue Punkte =
speziell ausgew¨
ahlte Profile.
wertet, siehe rote und blaue Punkte in Abbildung 5.3. Diese Profile wurden am GFZ aus
CHAMP-Okkultationsmessungen abgeleitet und sind im CHAMP-ISDC6unter den Dateinamen
abgespeichert, wie sie im Anhang A.2 aufgelistet sind. Die f¨
ur die Regularisierung notwendigen
Vorinformationen wurden dem ECMWF-Modell entnommen. Dieses Modell stellt f¨
ur 60
Druckniveaus den Luftdruck, die spezifische Feuchte und die Feuchttemperatur zur Verf¨
ugung.
Da das 1DVAR-Programm am GFZ f¨
ur die Ableitung der Atmosph¨
arenparameter auf 43
Druckniveaus konzipiert wurde, welche mit den ECMWF-Druckniveaus nicht identisch sind, ist
es notwendig, die aus dem ECMWF-Modell bezogenen Vorinformationen auf die gew¨
unschten
43 Druckniveaus zu interpolieren. Diese Interpolationen erfolgen logarithmisch bzgl. des Luft-
drucks. F¨
ur die Genauigkeiten der Refraktivit¨
aten wurde eine globale Genauigkeitssch¨
atzung
des GFZ verwendet [Wickert 2004], siehe Anhang A.3. Korrelationen zwischen den einzelnen
Refraktivit¨
aten wurden innerhalb dieser Arbeit vernachl¨
assigt, da genaue Kenntnisse dar¨
uber
fehlen. Eine global g¨
ultige7Varianz-Kovarianzmatrix f¨
ur die Vorinformationen wurde von S.B.
Healy vom Meteorologischen Institut in Großbritannien bereitgestellt, worin auch Kovarianzen
verschieden von null angegeben wurden. Diese Kovarianzen wurden f¨
ur s¨
amtliche im Rahmen
dieser Arbeit durchgef¨
uhrten Berechnungen zu null gesetzt. Die verwendeten Varianzen f¨
ur die
6Information System and Data Center
7An dieser Stelle ist anzumerken, dass eine derartige Varianz-Kovarianzmatrix nur fiktiv existieren kann, da
einerseits keine gleichm¨
aßige globale ¨
Uberdeckung von Messungen vorliegt, aus denen die Vorinformationen abge-
leitet werden und andererseits die Qualit¨
at der Messungen in unterschiedlichen Regionen der Erde unterschiedlich
ist.
5.4. Ausgew¨
ahlte Beispiele 67
Vorinformationen sind im Anhang A.4 aufgelistet.
Da es sich bei dem 1DVAR-Verfahren wie auch bei dem erweiterten Regularisierungsverfahren
um Iterationsverfahren handelt, war es ebenso notwendig, Abbruchkriterien f¨
ur die Iteration
festzusetzen. Dazu wurden zwei Kriterien verwendet: Die Iteration wird abgebrochen, wenn die
Summe der Residuenquadrate (aller Residuen) f¨
unf mal in Folge innerhalb der Rechengenauig-
keit gleich blieb bzw. wenn die maximale Iterationsanzahl von 50 Iterationen erreicht wurde8.
W¨
ahlt man beim erweiterten Regularisierungsverfahren die Toleranzen f¨
ur die Residuen
der Refraktivit¨
aten extrem groß (z.B. mit 106N-Einheiten), so haben diese auf die Berechnung
der L¨
osung keinen Einfluss, so dass man die gleiche L¨
osung erh¨
alt, wie mit dem 1DVAR-
Verfahren. Dies konnte durch Vergleichsberechnungen best¨
atigt werden. Aus diesem Grund
wurden s¨
amtliche im Folgenden mit 1DVAR bezeichneten Ergebnisse mittels des erweiterten
Regularisierungsverfahrens mit festgesetzten Toleranzen von 106berechnet. Dies hat den Vorteil,
dass beim Vergleich der Ergebnisse zwischen 1DVAR und dem erweiterten Regularisierungsver-
fahren keine extra Betrachtung der unterschiedlichen Rechensch¨
arfen erfolgen muss.
Verwendet man das 1DVAR-Verfahren zur Berechnung der spezifischen Feuchten und
Feuchttemperaturen, so liegen lediglich bei 22 (von 63) Profilen die Residuen der Refraktivit¨
aten
innerhalb der f¨
ur die Gewichtsmatrix der Refraktivit¨
aten verwendeten Genauigkeiten. Werden
Toleranzen f¨
ur die Residuen der Refraktivit¨
aten eingef¨
uhrt, welche den Fehlerannahmen der
Refraktivit¨
aten f¨
ur die Gewichtsmatrix entsprechen9, so k¨
onnen f¨
ur insgesamt 40 Profile die
Residuen der Refraktivit¨
aten in den Toleranzenbereich gezwungen werden. Bei den restlichen
23 Profilen lagen unterschiedliche Gr¨
unde f¨
ur die Nichterf¨
ullbarkeit der Toleranzen vor. So
konnte bei vier Profilen keine Konvergenz des Iterationsverfahrens erzielt werden. Bei acht
Profilen lagen fast s¨
amtliche Residuen der Refraktivit¨
aten nach der 1DVAR-Auswertung
außerhalb der Fehlerannahmen f¨
ur die Refraktivit¨
aten. Um die Residuen mit dem erweiter-
ten Regularisierungsverfahren innerhalb vorgegebener Toleranzen zwingen zu k¨
onnen, ist es
allerdings notwendig, dass einzelne Residuen nach der Auswertung ohne Toleranzen kleiner
als die dazugeh¨
origen Fehlerannahmen der Beobachtungen waren und nur einzelne zu groß.
Nur dann ist eine Umverteilung der Residuen m¨
oglich, so dass bei diesen acht Profilen die
Nichterf¨
ullbarkeit der Toleranzen gerechtfertigt ist. Mit Umverteilung der Residuen ist gemeint,
dass einzelne zu große Residuen verkleinert werden, andere sehr kleine Residuen dagegen
gr¨
oßer werden. Darauf wird nochmals ausf¨
uhrlich am Ende dieses Abschnittes eingegangen. Bei
den restlichen elf Profilen lagen bereits die ”kleinst-m¨
oglichen“ Residuen der Refraktivit¨
aten
außerhalb der Fehlerannahmen f¨
ur die Refraktivit¨
aten. Diese ”kleinst-m¨
oglichen“ Residuen
konnten n¨
aherungsweise dadurch ermittelt werden, indem die Gewichte f¨
ur die Pseudobeobach-
tungen m¨
oglichst klein gew¨
ahlt wurden (hier wurden die urspr¨
unglichen Gewichte durch 50.0
dividiert10), so dass die Fehlerannahmen f¨
ur die Pseudobeobachtungen m¨
oglichst groß wurden.
Somit wurden bei der Minimierung der Summe der Residuenquadrate (bei Verwendung des
1DVAR-Verfahrens) haupts¨
achlich die Residuen der Refraktivit¨
aten minimiert, wohingegen
8Diese Abbruchkriterien wurden aufgrund numerischer Tests festgelegt.
9Die hier verwendeten Fehlersch¨
atzungen f¨
ur die Refraktivit¨
aten sind recht pessimistisch, so dass diese durchaus
dem 2- oder 3fachen wahren Fehler entsprechen k¨
onnen.
10Der Wert 50.0 wurde anhand von numerischen Tests festgelegt.
68 5. Anwendungsbeispiel
die Residuen der Pseudobeobachtungen sehr groß werden konnten11. Die ”kleinst-m¨
oglichen“
Residuen repr¨
asentieren die innere Genauigkeit ([Wolf 1979]) der Refraktivit¨
aten sehr gut, d.h.
sie zeigen, wie gut die einzelnen Refraktivit¨
aten zueinander passen. Somit ist auch f¨
ur diese elf
Profile die Nichterf¨
ullbarkeit der Toleranzen gerechtfertigt.
Die aufgetretenen Probleme bei der Konvergenz des Iterationsverfahrens k¨
onnten z.B. dadurch
behoben werden, dass das im Abschnitt 2.2.2 vorgestellte ”ged¨
ampfte Iterationsverfahren“ ver-
wendet wird12. Bei den Profilen, bei denen die Residuen bzw. die ”kleinst-m¨
oglichen“ Residuen
oberhalb der Fehlerannahmen lagen, ist es notwendig, die Genauigkeiten der Vorinformationen
und der Refraktivit¨
aten bzw. nur die Genauigkeiten der Refraktivit¨
aten neu zu ¨
uberdenken und
neu festzulegen. Mit den neuen verbesserten Fehlerannahmen sollte dann die Erf¨
ullbarkeit der
Toleranzen (= Fehlerannahmen f¨
ur die Refraktivit¨
aten) ohne weitere Probleme m¨
oglich sein. An
dieser Stelle soll aber von derartigen Untersuchungen abgesehen werden, da es innerhalb dieses
Anwendungskapitels nicht um die Festlegung der Genauigkeiten f¨
ur die Refraktivit¨
aten gehen
soll, sondern um den Vergleich der beiden vorgestellten Regularisierungsverfahren. Eine Erfolgs-
quote von 63 Prozent (entspricht den 40 Profilen) f¨
ur das erweiterte Regularisierungsverfahren
ist f¨
ur einen aussagekr¨
aftigen Vergleich v¨
ollig ausreichend.
Anhand von sechs ausgew¨
ahlten Profilen soll nun der Unterschied zwischen den L¨
osungen
der beiden Regularisierungsverfahren veranschaulicht werden. Die gew¨
ahlten Profile sind in
der Abbildung 5.3 als blaue Punkte mit einer Punktnummer dargestellt, die der Nummer der
Inputdatei nach Anhang A.2 entspricht.
In der Abbildung 5.4 sind die f¨
ur die Gewichtsmatrix der Refraktivit¨
aten verwendeten
Fehlersch¨
atzungen (rot) dargestellt, die Residuen der Refraktivit¨
aten nach Anwendung des
1DVAR-Verfahrens (gr¨
un) sowie die bereits erl¨
auterten ”kleinst-m¨
oglichen“ Residuen der
Refraktivit¨
aten (blau). Man erkennt, dass die innere Genauigkeit der Refraktivit¨
aten bei
den gew¨
ahlten sechs Profilen recht unterschiedlich ist. Die Profile 47 und 57 weisen auf sehr
konsistente Refraktivit¨
aten hin, wohingegen gerade beim Profil 29 die innere Genauigkeit stark
schwankt. Bei allen sechs Profilen liegen einige 1DVAR-Residuen oberhalb der Fehlersch¨
atzungen
der Refraktivit¨
aten und weisen geradezu ”Spitzen“ auf. Man k¨
onnte nun annehmen, dass es
sich bei den einzelnen ”Spitzen“ um Residuen von Refraktivit¨
aten handelt, die grobe Fehler
aufweisen. Dass dies nicht der Fall ist, zeigen die ”kleinst-m¨
oglichen“ Residuen. Diese sind
an den Stellen der ”Spitzen“ wesentlich kleiner als die 1DVAR-Residuen. Somit resultieren
diese ”Spitzen“ nicht aus Fehlern in den Refraktivit¨
aten, sondern aus einer ¨
Ubergewichtung der
Vorinformationen gegen¨
uber den Refraktivit¨
aten. Werden diese ”herausstechenden“ Residuen
gezwungen, innerhalb der Fehlerannahmen der Refraktivit¨
aten (= Toleranzen) zu liegen, so
ist dies gleichbedeutend damit, dass speziell aus den dazugeh¨
origen Refraktivit¨
aten Infor-
mationen f¨
ur die L¨
osung (Feuchttemperatur und spezifische Feuchte) bezogen werden und
die Vorinformationen gezielt weniger Einfluss auf die L¨
osung erhalten. Somit ist die L¨
osung
(Profil der Feuchttemperatur und der spezifischen Feuchte) vor allem in den H¨
ohenbereichen,
wo die ”herausstechenden“ Residuen zu beobachten waren, bei Verwendung des erweiterten
Regularisierungsverfahrens deutlich erkennbar von der 1DVAR-L¨
osung (und somit auch von der
Vorinformation) verschieden, Abbildungen 5.5 und 5.6. S¨
amtliche Residuen der Refraktivit¨
aten
11Siehe dazu Formel (5.12). Sind die Gewichte der Pseudobeobachtungen pT
i, pQ
i, pPsehr klein, so k¨
onnen die
Residuen der Pseudobeobachtungen vT
i, vQ
i, vPgroß werden, ohne das die gesamte Summe der Residuenquadrate
davon stark beeinflusst wird.
12Diese Konvergenzprobleme stellen keine f¨
ur dieses Verfahren spezifischen Probleme dar, sondern allgemeine
Probleme bei der Verwendung von Iterationsverfahren. Allerdings werden diese Probleme selten festgestellt, da
die Behandlung der Konvergenz oft ”unsauber“ erfolgt.
5.4. Ausgew¨
ahlte Beispiele 69
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5 10 15 20 25 30 35
N-Einheiten
Hoehe in km
Profil 27
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5 10 15 20 25 30 35
N-Einheiten
Hoehe in km
Profil 29
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
5 10 15 20 25 30 35
N-Einheiten
Hoehe in km
Profil 44
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5 10 15 20 25 30 35
N-Einheiten
Hoehe in km
Profil 47
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5 10 15 20 25 30 35
N-Einheiten
Hoehe in km
Profil 57
0
1
2
3
4
5
6
7
5 10 15 20 25 30 35
N-Einheiten
Hoehe in km
Profil 58
Abbildung 5.4: Residuenplots und Fehlerannahmen:
rot ... Fehlersch¨
atzungen der Refraktivit¨
aten f¨
ur die Gewichtsmatrix;
gr¨
un ... 1DVAR-Residuen der Refraktivit¨
aten;
blau ... ”kleinst-m¨
ogliche“ Residuen der Refraktivit¨
aten.
der sechs Profile liegen dann im Bereich der Fehlerannahmen f¨
ur die Refraktivit¨
aten. Die
Ergebnisse f¨
ur die Feuchttemperaturen sind in Abbildung 5.5 dargestellt, die Ergebnisse f¨
ur die
spezifischen Feuchten in Abbildung 5.6. Die gr¨
une Kurve stellt jeweils die Differenzenbetr¨
age der
Vorinformationen (ECMWF-Modell) zur 1DVAR-L¨
osung dar, die blaue Kurve die Differenzen-
betr¨
age der L¨
osung des erweiterten Regularisierungsverfahrens zur 1DVAR-L¨
osung und die rote
Kurve die Differenzenbetr¨
age der ECMWF-Vorinformation zur L¨
osung des erweiterten Regula-
risierungsverfahrens. Die gr¨
oßten Abweichungen zwischen den beiden L¨
osungen (1DVAR und
erweitertes Regularisierungsverfahren) lassen sich f¨
ur die spezifischen Feuchten bei den Profilen
29 und 44 in einem H¨
ohenbereich von 6-8 km mit Abweichungen von ca. 0.3 g/kg beobachten.
Bei den Profilen 27, 57 und 58 lassen sich kleinere Abweichungen bei den spezifischen Feuchten
in H¨
ohenbereichen von 4-6 km, 1-2 km bzw. 5-10 km feststellen. Bei dem Profil 47 sind die
Abweichungen bei der spezifischen Feuchte nahezu Null, daf¨
ur sind aber die Abweichungen in
70 5. Anwendungsbeispiel
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2 4 6 8 10 12 14 16
Temperaturdifferenzen [K]
Hoehe [km]
Profil 27
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Temperaturdifferenzen [K]
Hoehe [km]
Profil 29
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
4 6 8 10 12 14 16
Temperaturdifferenzen [K]
Hoehe [km]
Profil 44
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Temperaturdifferenzen [K]
Hoehe [km]
Profil 47
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Temperaturdifferenzen [K]
Hoehe [km]
Profil 57
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2 4 6 8 10 12 14 16
Temperaturdifferenzen [K]
Hoehe [km]
Profil 58
Abbildung 5.5: Differenzenbetr¨
age der Feuchttemperaturen:
rot ... ECMWF-Vorinformation - L¨
osung des erweiterten Regularisierungsverfahrens;
gr¨
un ... ECMWF-Vorinformation - 1DVAR-L¨
osung;
blau ... L¨
osung des erweiterten Regularisierungsverfahrens - 1DVAR-L¨
osung.
den Feuchttemperaturen f¨
ur dieses Profil am gr¨
oßten (ca. 1.4 K).
Die Profile 47 und 57 weisen nur einen sehr geringen Anteil an spezifischer Feuchte auf13, was an
ihrer n¨
ordlichen Lage - Kanada bzw. Sibirien - liegt. Den gr¨
oßten Anteil an spezifischer Feuchte
zeigt das Profil 29, welches ¨
uber Thailand liegt.
Wie bereits erl¨
autert wurde, stellen die beim erweiterten Regularisierungsverfahren zu beob-
achtenden Abweichungen zwischen der L¨
osung f¨
ur die Feuchttemperatur bzw. der spezifischen
Feuchte und den Vorinformationen neue Informationen dar, die hier aus den CHAMP-
Okkultationen gewonnen werden konnten. In H¨
ohenbereichen bis ca. 5 km sollte allerdings bei
13Die absoluten Gr¨
oßen der berechneten Feuchttemperaturen und spezifischen Feuchten sind im Anhang A.5
in den Abbildungen A.1 und A.2 dargestellt.
5.4. Ausgew¨
ahlte Beispiele 71
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
2 4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 27
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 29
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 44
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 47
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 57
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
2 4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 58
Abbildung 5.6: Differenzenbetr¨
age der spezifischen Feuchten:
rot ... ECMWF-Vorinformation - L¨
osung des erweiterten Regularisierungsverfahrens;
gr¨
un ... ECMWF-Vorinformation - 1DVAR-L¨
osung;
blau ... L¨
osung des erweiterten Regularisierungsverfahrens - 1DVAR-L¨
osung.
der Interpretation der Abweichungen ber¨
ucksichtigt werden, dass einige Okkultationsprofile in
diesem Bereich aufgrund von kritischer Refraktion und Fehlern bei der Signalverfolgung recht
ungenau sind, siehe dazu [Beyerle et al. 2003] und [Beyerle et al. 2004]. Dies betrifft am h¨
aufigs-
ten Profile im tropischen Pazifik, Zentral Afrika, Indonesien und Indien ([Beyerle et al. 2004]),
Gegenden, in denen die Luftfeuchtigkeit sehr hoch und somit das Auftreten von St¨
orungen
w¨
ahrend der Signalausbreitung sehr wahrscheinlich ist. Bei den ausgew¨
ahlten sechs Profilen kam
es in den in der Tabelle 5.1 aufgef¨
uhrten H¨
ohenbereichen wahrscheinlich zu Signalverfolgungs-
fehlern bzw. kritischer Refraktion. Diese H¨
ohenbereiche wurden aus den Amplitudenspektren
der GPS-Signale abgesch¨
atzt. Die Spektren wurden mittels der sog. Full Spectrum Inversion
berechnet ([Jensen et al. 2003]; Beyerle 2004, pers¨
onliche Kommunikation). Daraus folgt, dass
die beobachteten Abweichungen bei der spezifischen Feuchte bzw. der Feuchttemperatur zu den
Vorinformationen in den kritischen H¨
ohenbereichen nicht unbedingt als eine Verbesserung f¨
ur
72 5. Anwendungsbeispiel
Tabelle 5.1: Kritische H¨
ohenbereiche bei den ausgew¨
ahlten Profilen
Profilnr. kritischer H¨
ohenbereich [km]
27 1.5−7.0
29 0.0−5.0
44 2.0−5.0
47 0.0−10.0
57 0.0−1.0
58 1.0−5.0
die vorhandenen Atmosph¨
arenparameter des ECMWF-Modells interpretiert werden k¨
onnen,
sondern auch durch Signalverfolgungsfehler und kritische Refraktion verursacht sein k¨
onnen.
Bei allen sechs Profilen lassen sich aber auch in H¨
ohenbereichen, welche als unkritisch einge-
stuft werden konnten, Abweichungen der L¨
osung des erweiterten Regularisierungsverfahrens
zu den Vorinformationen beobachten, z.B. Abweichungen von 2.0 - 2.5 K bei den Profilen
29, 47 und 58 sowie eine Abweichung von 1.2 g/kg beim Profil 29. Somit kann man dort
davon ausgehen, dass die Anwendung des erweiterten Regularisierungsverfahrens dazu f¨
uhrte,
dass neue Informationen bzgl. der spezifischen Feuchte und der Feuchttemperatur aus den
Radiookkultations-Refraktivit¨
aten gewonnen werden konnten (gegen¨
uber der 1DVAR-L¨
osung
und gegen¨
uber dem ECMWF-Modell).
In Gebieten (wie z.B. der Antarktis), wo die Luftfeuchtigkeit sehr niedrig ist und somit Si-
gnalverfolgungsfehler und kritische Refraktion sehr selten auftreten, scheint die Anwendung des
erweiterten Regularisierungsverfahrens besonders vielversprechend zu sein. In der Antarktis ist
zudem das ECMWF-Modell recht ungenau, da f¨
ur dieses Gebiet nur wenige Messdaten (z.B.
Radiosonden-Messungen) vorhanden sind, die f¨
ur die Modellerstellung genutzt werden k¨
onnen
(CHAMP-Daten gehen bislang nicht ein).
Von den 63 ausgew¨
ahlten Profilen befinden sich 3 Profile ¨
uber der Antarktis (ohne K¨
ustenbe-
reich), siehe Abbildung 5.3. Die f¨
ur diese Profile ermittelten Abweichungen der mit dem er-
weiterten Regularisierungsverfahren berechneten Feuchttemperaturen und spezifischen Feuchten
zu den entsprechenden ECMWF-Parametern liegen in der gleichen Gr¨
oßenordnung wie bei den
sechs ausgew¨
ahlten Profilen. Diese Abweichungen k¨
onnen dort allerdings recht zuverl¨
assig ¨
uber
den gesamten H¨
ohenbereich als Verbesserungen der ECMWF-Parameter interpretiert werden.
Da der CHAMP-Satellit lediglich ca. 16 Radiookkultations-Profile pro Tag ¨
uber der Antark-
tis liefert, ist durch Radiookkultations-Messungen mit CHAMP allein noch keine oder nur eine
geringf¨
ugige Verbesserung des ECMWF-Modells ¨
uber der Antarktis m¨
oglich. Allerdings liegen
bereits erste Radiookkultationsmessungen vom GRACE14-Satelliten vor [Wickert et al. 2005], so
dass eine Verbesserung des ECMWF-Modells ¨
uber der Antarktis in der n¨
achsten Zeit m¨
oglich
erscheint.
Wie bereits im Abschnitt 5.2 erw¨
ahnt wurde, kommt es h¨
aufig bei der Verwendung von
Regularisierungsverfahren absichtlich oder durch fehlende Kenntnisse der tats¨
achlichen Ge-
14Gravity Recovery And Climate Experiment
5.4. Ausgew¨
ahlte Beispiele 73
0
1
2
3
4
5
6
5 10 15 20 25 30 35
N-Einheiten
Hoehe in km
Profil 27
0
1
2
3
4
5
6
7
8
5 10 15 20 25 30 35
N-Einheiten
Hoehe in km
Profil 29
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
5 10 15 20 25 30 35
N-Einheiten
Hoehe in km
Profil 44
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5 10 15 20 25 30 35
N-Einheiten
Hoehe in km
Profil 47
0
1
2
3
4
5
6
7
5 10 15 20 25 30 35
N-Einheiten
Hoehe in km
Profil 57
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5 10 15 20 25 30 35
N-Einheiten
Hoehe in km
Profil 58
Abbildung 5.7: Residuenplots und Fehlerannahmen bei ¨
Ubergewichtung der Pseudobeobach-
tungen:
rot ... Fehlersch¨
atzung der Refraktivit¨
aten f¨
ur die Gewichtsmatrix;
gr¨
un ... 1DVAR-Residuen der Refraktivit¨
aten;
blau ... Residuen der Refraktivit¨
aten aus dem erweiterten Regularisierungsverfahren.
wichtsverh¨
altnisse zu einer ¨
Ubergewichtung der Vorinformationen gegen¨
uber den eigentlichen
Beobachtungen. Es soll nun anhand der ausgew¨
ahlten sechs Profile gezeigt werden, welche Aus-
wirkungen eine ¨
Ubergewichtung der Vorinformationen um den Faktor 10.0 (d.h. alle Gewichte
der Pseudobeobachtungen werden mit 10.0 multipliziert) auf die Residuen und die L¨
osung bei
Nutzung des 1DVAR-Verfahrens hat. Dazu wurde in Abbildung 5.7 wieder die Fehlerkurve der
Refraktivit¨
aten (rot) (entsprechen den Fehlerannahmen, welche f¨
ur die Gewichtsmatrix der
Refraktivit¨
aten verwendet wurden) dargestellt, die Residuen der Refraktivit¨
aten nach Anwen-
dung des 1DVAR-Verfahrens (gr¨
un) und die Residuen der Refraktivit¨
aten nach Verwendung des
erweiterten Regularisierungsverfahrens (blau). Sehr deutlich ist erkennbar, dass die Gr¨
oße der
1DVAR-Residuen im Vergleich zum nicht ¨
ubergewichteten Fall (Abbildung 5.4) stark zunimmt
und h¨
aufiger die Fehlerannahmen der Refraktivit¨
aten ¨
uberschritten werden. Daraus ergibt sich
74 5. Anwendungsbeispiel
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
2 4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 27
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 29
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 44
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 47
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 57
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
2 4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 58
Abbildung 5.8: Differenzenbetr¨
age der spezifischen Feuchten aus unterschiedlichen 1DVAR-
L¨
osungen:
rot ... spezifische Feuchte des ECMWF - 1DVAR-spezifische Feuchte im nicht ¨
ubergewichteten
Fall;
gr¨
un ... spezifische Feuchte des ECMWF - 1DVAR-spezifische Feuchte im ¨
ubergewichteten Fall;
blau ... 1DVAR-spezifische Feuchte im nicht ¨
ubergewichteten Fall - 1DVAR-spezifische Feuchte
im ¨
ubergewichteten Fall.
unmittelbar f¨
ur die berechneten 1DVAR-Feuchttemperaturen und -spezifischen Feuchten, dass
diese nun sehr ¨
ahnlich sind zu den Temperaturen und Feuchten, die als Vorinformationen von
ECMWF genutzt wurden15. Folglich werden aber auch weniger Informationen aus den eigentlich
auszuwertenden Refraktivit¨
aten genutzt. Die Ergebnisse f¨
ur die 1DVAR-spezifischen Feuchten
werden in der Abbildung 5.8 gezeigt. Dabei stellt die rote Kurve die Differenzenbetr¨
age der
spezifischen Feuchte des ECMWF zur 1DVAR-spezifischen Feuchte im nicht ¨
ubergewichteten
15Siehe dazu auch Abschnitt 5.2 (Nachteil des 1DVAR-Verfahrens).
5.4. Ausgew¨
ahlte Beispiele 75
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
2 4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 27
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 29
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 44
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 47
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 57
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
2 4 6 8 10 12 14 16
Differenzen der spezifischen Feuchten [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 58
Abbildung 5.9: Differenzenbetr¨
age der spezifischen Feuchten aus unterschiedlichen L¨
osungen
des erweiterten Regularisierungsverfahrens:
rot ... spezifische Feuchte des ECMWF - L¨
osung des erw. Regularisierungsverfahrens im nicht
¨
ubergewichteten Fall;
gr¨
un ... spezifische Feuchte des ECMWF - L¨
osung des erw. Regularisierungsverfahrens im
¨
ubergewichteten Fall;
blau ... L¨
osung des erw. Regularisierungsverfahrens im nicht ¨
ubergewichteten Fall - L¨
osung des
erw. Regularisierungsverfahrens im ¨
ubergewichteten Fall.
Fall dar, die gr¨
une Kurve die Differenzenbetr¨
age der spezifischen Feuchte des ECMWF zur
1DVAR-spezifischen Feuchte im ¨
ubergewichteten Fall und die blaue Kurve die Differenzenbe-
tr¨
age der 1DVAR-spezifischen Feuchten des nicht ¨
ubergewichteten und ¨
ubergewichteten Falls.
Die Abweichungen zwischen den berechneten spezifischen Feuchten aus dem ¨
ubergewichteten
und dem nicht ¨
ubergewichteten Fall sind besonders groß bei den Profilen 27, 29 und 58 mit
Abweichungen von 0.8 g/kg bzw. 0.2 g/kg. Die Abweichungen der Feuchttemperaturen zwischen
den betrachteten F¨
allen sind wesentlich kleiner, so dass diese nicht grafisch dargestellt werden.
Lediglich beim Profil 47 ist eine maximale Abweichung von 1.9 K zu beobachten. Grunds¨
atzlich
76 5. Anwendungsbeispiel
l¨
asst sich somit sagen, dass die 1DVAR-L¨
osung sehr stark von der Wahl der Gewichtsmatrix der
Pseudobeobachtungen abh¨
angig ist. Durch ¨
Anderung dieser Gewichtsmatrix lassen sich beliebig
große oder kleine Abweichungen der 1DVAR-L¨
osung zu den Vorinformationen (ECMWF)
erzeugen16.
Verwendet man dagegen das erweiterte Regularisierungsverfahren im ¨
ubergewichteten Fall,
so sind einerseits die Residuen der Refraktivit¨
aten wieder im Bereich der Fehlerannahmen
der Refraktivit¨
aten (siehe Abbildung 5.7, blaue Kurve) und andererseits ist die erhaltene
L¨
osung nicht so stark von der L¨
osung verschieden, welche f¨
ur den nicht ¨
ubergewichteten Fall
ermittelt wurde. Dies l¨
asst sich gut aus einem Vergleich der ermittelten spezifischen Feuchten in
Abbildung 5.9 erkennen. Die rote Kurve stellt die Differenzenbetr¨
age der spezifischen Feuchte
des ECMWF zur L¨
osung des erweiterten Regularisierungsverfahrens im nicht ¨
ubergewichteten
Fall dar, die gr¨
une Kurve die Differenzenbetr¨
age der spezifischen Feuchte des ECMWF zur
L¨
osung des erweiterten Regularisierungsverfahrens im ¨
ubergewichteten Fall und die blaue
Kurve die Differenzenbetr¨
age der L¨
osungen des erweiterten Regularisierungsverfahrens des nicht
¨
ubergewichteten und ¨
ubergewichteten Falls. Die maximale Abweichung zwischen den L¨
osungen
des erweiterten Regularisierungsverfahrens l¨
asst sich f¨
ur das Profil 29 beobachten mit 0.5 g/kg,
welche somit nur etwa halb so groß ist wie die beobachtete 1DVAR-Abweichung von 0.8 g/kg17.
Ebenso geht die maximale Abweichung zwischen den L¨
osungen f¨
ur die Feuchttemperatur auf
1.0 K zur¨
uck (Profil 27) und ist somit auf etwa die H¨
alfte der maximalen 1DVAR-Abweichung
gesunken. Da die Abweichungen der L¨
osungen f¨
ur die Feuchttemperatur hier ebenso sehr klein
sind, erfolgt keine grafische Darstellung der Ergebnisse. Bei Verwendung des erweiterten Regu-
larisierungsverfahrens ist es somit m¨
oglich, die L¨
osungsbestimmung durch eine ¨
Ubergewichtung
der Vorinformationen zu stabilisieren, ohne dass dabei die Residuen der auszuwertenden Daten
(hier Refraktivit¨
aten) beliebig groß werden und ohne dass die L¨
osung zu sehr zu der vorhandenen
L¨
osung (hier ECMWF-Modell) ¨
ahnlich wird. Besonders in dem Fall, dass genaue Kenntnisse
der Genauigkeiten der Vorinformationen nicht vorhanden sind, stellt das erweiterte Regulari-
sierungsverfahren eine gute Alternative zu allgemein verwendeten Regularisierungsverfahren dar.
Da in der Abbildung 5.7 die Residuen der Refraktivit¨
aten f¨
ur die 1DVAR-Auswertung und die
Auswertung mit dem erweiterten Regularisierungsverfahren (Toleranzen = Fehlerannahmen f¨
ur
die Refraktivit¨
aten) dargestellt sind, l¨
asst sich daraus gut erkennen, wie die Umverteilung der
Residuen erfolgt, wenn Toleranzen f¨
ur diese eingef¨
uhrt werden. An den Stellen, wo die Residuen
zu groß waren, werden diese innerhalb der Fehlerannahmen gesenkt. An anderen Stellen, wo
die Residuen wesentlich kleiner als die Fehlerannahmen waren, werden diese vergr¨
oßert. Am
Profil 44 erkennt man z.B. im H¨
ohenbereich von ca. 6.5 km einen starken Anstieg der Residuen
und bei ca. 7 km H¨
ohe eine starke Abnahme der Residuen. Nicht erkennbar ist, dass bei allen
Profilen vor allem die Residuen in den H¨
ohen von 18 km bis 35 km vergr¨
oßert werden. Ebenso
nimmt bei allen Profilen die Gr¨
oße der Residuen der Pseudobeobachtungen (f¨
ur diese werden
keine Toleranzen eingef¨
uhrt) nach einer Umverteilung der Residuen der Beobachtungen zu.
Daraus resultiert gerade die deutliche Abweichung der L¨
osung des erweiterten Regularisierungs-
verfahrens zu den Vorinformationen.
Abschließend l¨
asst sich sagen, dass das erarbeitete Regularisierungsverfahren deutliche Vorteile
16Die absoluten Gr¨
oßen der berechneten 1DVAR-spezifischen Feuchten im ¨
ubergewichteten und nicht ¨
uberge-
wichteten Fall sind im Anhang A.5 in der Abbildung A.3 dargestellt.
17Die absoluten Gr¨
oßen der mittels des erweiterten Regularisierungsverfahrens berechneten spezifischen Feuch-
ten im ¨
ubergewichteten und nicht ¨
ubergewichteten Fall sind im Anhang A.5 in der Abbildung A.4 dargestellt.
5.4. Ausgew¨
ahlte Beispiele 77
gegen¨
uber allgemeinen Regularisierungsverfahren, wie das 1DVAR-Verfahren, bei der Auswer-
tung realer Datens¨
atze aufweist. Zum einen konnte gezeigt werden, dass die L¨
osung interpretier-
bar ist und grunds¨
atzlich eine ¨
Uberpr¨
ufung und Verbesserung des vorhandenen Modells erfolgen
kann. Dahingegen kann mit dem 1DVAR-Verfahren eigentlich nur eine mehr oder weniger gute
Modellreproduktion erfolgen, je nach Gewichtung der Vorinformationen in Bezug auf die ei-
gentlichen Beobachtungen. Diese Tatsache ist besonders deutlich an der erhaltenen L¨
osung im
¨
ubergewichteten Fall erkennbar. Zum anderen erwies sich das erweiterte Regularisierungsverfah-
ren selbst bei einer ¨
Ubergewichtung der Vorinformationen als stabiler bzgl. der L¨
osung und kann
somit auch dann zum Einsatz kommen, wenn die Genauigkeitsinformationen bzgl. der Pseudo-
beobachtungen nicht so zuverl¨
assig sind.
78 6. Schlussbetrachtung
6. Schlussbetrachtung
Bei einer Vielzahl geowissenschaftlicher Aufgabenstellungen handelt es sich um inkorrekt
gestellte Probleme, welche nur durch die Verwendung zus¨
atzlicher Informationen bzgl. der
L¨
osung gel¨
ost werden k¨
onnen. Die zur L¨
osung derartiger Probleme zur Anwendung kommenden
Regularisierungsverfahren k¨
onnen in drei Gruppen unterteilt werden: in die Regularisierung
nach A.N. Tikhonov, das regularisierende Verfahren und die stochastische Regularisierung.
Dabei nimmt das regularisierende Verfahren eine Sonderstellung ein, da dieses zur Verbesserung
der Konvergenzeigenschaften bei der iterativen L¨
osungsbestimmung korrekt und inkorrekt
gestellter Probleme beitr¨
agt und keine zus¨
atzlichen Informationen bzgl. der L¨
osung einbezieht.
Die Eigenschaften und Unterschiede der Regularisierungsverfahren wurden vor allem vor dem
Hintergrund der h¨
aufigen Fehlanwendungen dieser Verfahren n¨
aher untersucht. Ebenso erfolgte
eine analytische Darstellung und Bewertung der einzelnen Regularisierungsverfahren. Die
Bestimmung des Regularisierungsparameters (als ein Parameter oder Gewichtsverh¨
altnis) stellt
f¨
ur diese Verfahren den wichtigsten und zugleich kritischsten Punkt dar. Anhand von vier
ausgew¨
ahlten Verfahren zur Bestimmung des ”optimalen“ Regularisierungsparameters konnte
gezeigt werden, welche unterschiedlichen Anforderungen von diesen Verfahren an die ”optimale“
L¨
osung eines regularisierten Problems gestellt werden.
Da die derzeit vorhandenen Verfahren zur Bestimmung des Regularisierungsparameters
eine kontrollierte Beeinflussung der Residuen der eigentlichen Beobachtungen nicht vorsehen,
wurde ein Regularisierungsverfahren erarbeitet, bei dem durch eine Einbeziehung von Toleran-
zenbedingungen f¨
ur die Residuen gerade dies erm¨
oglicht wird. F¨
ur die analytische Einf¨
uhrung
von Toleranzenbedingungen ergaben sich zwei M¨
oglichkeiten: v2
i≤t2
iund vi≤ti&−vi≤ti,
wobei vidie Residuen der Beobachtungen bezeichnet und tieinen Grenzwert (Toleranz) f¨
ur vi
darstellt. Die notwendigen Formeln, um diese Toleranzenbedingungen f¨
ur ein beliebiges Aus-
gleichungsproblem aufstellen zu k¨
onnen, wurden dargelegt. Weiterhin wurde ein Algorithmus
ausgearbeitet, mit dem die L¨
osung von um Ungleichheitsbedingungen erweiterten Ausgleichungs-
problemen bestimmt werden kann. Da dieser Algorithmus lediglich f¨
ur Ausgleichungsprobleme
mit speziellen Ungleichheitsbedingungen angewendet werden kann, wurden ebenso die Formeln
bereitgestellt, die man f¨
ur die Transformation eines allgemeinen Ausgleichungsproblems mit
beliebigen Ungleichheitsbedingungen (z.B. Toleranzenbedingungen f¨
ur Residuen) in den ent-
sprechenden Spezialfall ben¨
otigt.
Die Eigenschaften, die Stabilit¨
at und die Unterschiede der beiden Varianten der Realisie-
rung der Toleranzenbedingung f¨
ur die Residuen konnten anhand von f¨
unf synthetischen
Beispielen abgeleitet werden. Umfangreiche numerische Tests erm¨
oglichten eine Klassifizierung
der Eigenschaften der Fl¨
ache der zu minimierenden Funktion, welche einen positiven, negativen
oder neutralen Einfluss auf die Bestimmbarkeit der korrekten L¨
osung aus¨
uben. Dazu wurde
die Korrektheit der ermittelten L¨
osungen mittels eines heuristischen Verfahrens kontrolliert.
Es stellte sich heraus, dass die Variante 2 (vi≤ti&−vi≤ti) der Realisierung der Toleran-
zenbedingung gegen¨
uber der Variante 1 (v2
i≤t2
i) wesentlich zuverl¨
assiger die korrekte L¨
osung
der betrachteten Beispiele lieferte. Dies l¨
asst sich darauf zur¨
uckf¨
uhren, dass die partiellen
Ableitungen bei der Linearisierung der Toleranzenbedingungen denen des Funktionalmodells
entsprechen. Insgesamt liegt somit ein stabiler und zuverl¨
assiger Algorithmus zur L¨
osung von
um Toleranzenbedingungen erweiterten Ausgleichungsproblemen vor.
79
Die praktische Anwendbarkeit des erarbeiteten Regularisierungsverfahrens unter Ber¨
uck-
sichtigung von Toleranzenbedingungen f¨
ur Residuen konnte anhand der Bestimmung von
Atmosph¨
arenparametern aus CHAMP-Radiookkultations-Refraktivit¨
aten des GFZ gezeigt
werden. Im Vergleich zu allgemein ¨
ublichen Regularisierungsverfahren war es damit m¨
oglich,
gezielt Informationen aus den Beobachtungen ¨
uber die Atmosph¨
arenparameter zu gewinnen
und somit Aussagen ¨
uber Verbesserungsm¨
oglichkeiten des vorhandenen Modells zu treffen. Vor
allem f¨
ur die Polargebiete, wo die bestehenden Atmosph¨
arenmodelle stark unterschiedliche
Informationen ¨
uber den Zustand der Atmosph¨
are liefern, bietet die Regularisierung mit Residu-
entoleranzen die M¨
oglichkeit der Modell¨
uberpr¨
ufung und -verbesserung. Ebenso erwies sich das
erarbeitete Verfahren als vorteilhaft f¨
ur den Fall, dass die zus¨
atzlichen Informationen innerhalb
des Ausgleichungsprozesses ¨
ubergewichtet wurden. Die ermittelte L¨
osung wurde wesentlich
geringer von der ¨
Ubergewichtung beeinflusst als die L¨
osung, die mittels eines allgemein ¨
ublichen
Regularisierungsverfahrens bestimmt wurde. Da in der Praxis h¨
aufig die Genauigkeitsangaben
bzgl. der zus¨
atzlichen Informationen zu optimistisch sind oder gar fehlen, liefern die allgemeinen
Regularisierungsverfahren meist L¨
osungen, die keine oder nur wenig neue Informationen aus
den aktuellen Daten enthalten.
Die Einbeziehung von Ungleichheitsbedingungen innerhalb einer Ausgleichung kann sicherlich
auch in einem erweiterten Sinne n¨
utzlich sein, d.h. nicht nur, um Toleranzen f¨
ur Residuen
zu ber¨
ucksichtigen. So hat man z.B. im straßenbaulichen Bereich oft das Problem, dass eine
neu zu planende Trasse bestimmte festgesetzte Punkte enthalten muss und die entsprechenden
Trassierungselemente zwischen diesen Punkten aus straßenbaulicher Sicht optimal festgelegt
werden m¨
ussen. Dabei liegen f¨
ur die einzelnen unterschiedlichen Trassierungselemente (z.B.
Kreis und Klotoide) Richtlinien in Form von Ungleichheitsbedingungen vor, mit denen die
Gr¨
oße oder die Form der Trassierungselemente begrenzt wird. Eine Verwendung der dargelegten
Transformationen und des erarbeiteten L¨
osungsalgorithmus ist daf¨
ur denkbar, siehe z.B.
[Klumpp 1973].
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A.1 Funktionalmodelle und Daten der Beispiele 1-5 85
A. Anhang
A.1 Funktionalmodelle und Daten der Beispiele 1-5
Beispiel 1:
Beobachtungsgleichungen: yi+vi=axi+b, entspricht der Anpassung einer Geraden an
drei gegebene Ordinaten
Daten:
x=
1.5
4.0
7.0
y=
2.5
2.5
5.5
(A.1)
Unbekannte: a, b
N¨
aherungsl¨
osung f¨
ur die erste Iteration: a0= 0.53 und b0= 1.04
Pseudobeobachtungen: ¯a= 1.0 und ¯
b= 2.0
Beispiel 2:
Beobachtungsgleichungen:
y1+v1=a+b
y2+v2=a−b
y3+v3= 4a
Daten:
y=
3.1
−0.9
3.8
(A.2)
Unbekannte: a, b
N¨
aherungsl¨
osung f¨
ur die erste Iteration: a0= 1.1 und b0= 1.9
Pseudobeobachtungen: ¯a= 2.0 und ¯
b= 4.0
Beispiel 3:
Beobachtungsgleichungen: yi+vi=a2xi+b3
Daten:
x=
0.5
1.0
1.5
2.0
y=
1.2
2.3
3.3
4.4
(A.3)
86 A. Anhang
Unbekannte: a, b
N¨
aherungsl¨
osung f¨
ur die erste Iteration: a0= 1.4 und b0= 0.5
Pseudobeobachtungen: ¯a= 2.0 und ¯
b= 3.0
Beispiel 4:
Beobachtungsgleichungen: yi+vi=axi+a2+x2
ib, entspricht der Anpassung von vier
Ordinaten an eine spezielle Parabel
Daten:
x=
0.5
1.0
1.5
2.0
y=
0.5
1.9
4.1
7.3
(A.4)
Unbekannte: a, b
N¨
aherungsl¨
osung f¨
ur die erste Iteration: a0= 0.1 und b0= 1.7
Pseudobeobachtungen: ¯a= 3.0 und ¯
b= 2.0
Beispiel 5:
Beobachtungsgleichungen:
la+va=a
lb+vb=b
lc+vc=√a2+b2
lα+vα=arctan(b/a)
lβ+vβ=arctan(a/b)
entspricht der Bestimmung der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks aus drei Strecken- und
zwei Winkelmessungen
Daten:
la
lb
lc
lα
lβ
=
30.002 m
49.9971 m
58.311 m
1.030346827 rad
0.5404645 rad
(A.5)
Unbekannte: a, b
N¨
aherungsl¨
osung f¨
ur die erste Iteration: a0= 29.5mund b0= 50.3m
Pseudobeobachtungen: ¯a= 28.0mund ¯
b= 52.0m
A.2 Liste der verwendeten Radiookkultations-Inputdateien 87
A.2 Liste der verwendeten Radiookkultations-Inputdateien
Folgende Dateien waren Grundlage f¨
ur die Berechnungen im Abschnitt 5.4 (Quelle: CHAMP-
ISDC):
Nr. Dateiname
01. CH-AI-3-ATM+2004_001_21_0229_mobn_005.dat
02. CH-AI-3-ATM+2004_002_20_0197_tidb_005.dat
03. CH-AI-3-ATM+2004_003_20_0192_mobn_005.dat
04. CH-AI-3-ATM+2004_003_23_0220_kokb_005.dat
05. CH-AI-3-ATM+2004_004_22_0207_cro1_005.dat
06. CH-AI-3-ATM+2004_005_20_0222_pimo_005.dat
07. CH-AI-3-ATM+2004_005_23_0249_sant_005.dat
08. CH-AI-3-ATM+2004_006_23_0247_sant_005.dat
09. CH-AI-3-ATM+2004_007_19_0192_ous2_005.dat
10. CH-AI-3-ATM+2004_007_22_0222_ous2_005.dat
11. CH-AI-3-ATM+2004_008_19_0191_guam_005.dat
12. CH-AI-3-ATM+2004_008_23_0227_sant_005.dat
13. CH-AI-3-ATM+2004_009_20_0211_sutm_005.dat
14. CH-AI-3-ATM+2004_010_21_0223_cro1_005.dat
15. CH-AI-3-ATM+2004_010_23_0241_fair_005.dat
16. CH-AI-3-ATM+2004_011_15_0155_sutm_005.dat
17. CH-AI-3-ATM+2004_012_22_0230_bogt_005.dat
18. CH-AI-3-ATM+2004_013_23_0231_sutm_005.dat
19. CH-AI-3-ATM+2004_014_22_0230_nya2_005.dat
20. CH-AI-3-ATM+2004_016_22_0233_ban2_005.dat
21. CH-AI-3-ATM+2004_017_23_0229_mobn_005.dat
22. CH-AI-3-ATM+2004_018_22_0236_ous2_005.dat
23. CH-AI-3-ATM+2004_019_20_0199_mkea_005.dat
24. CH-AI-3-ATM+2004_020_23_0230_bogt_005.dat
25. CH-AI-3-ATM+2004_021_22_0230_gold_005.dat
26. CH-AI-3-ATM+2004_022_23_0226_hrao_005.dat
27. CH-AI-3-ATM+2004_024_23_0231_ous2_005.dat
28. CH-AI-3-ATM+2004_025_23_0218_sant_005.dat
29. CH-AI-3-ATM+2004_026_22_0220_nya2_005.dat
30. CH-AI-3-ATM+2004_027_21_0233_usud_005.dat
31. CH-AI-3-ATM+2004_028_22_0229_mkea_005.dat
32. CH-AI-3-ATM+2004_029_22_0226_kokb_005.dat
33. CH-AI-3-ATM+2004_031_22_0231_pimo_005.dat
34. CH-AI-3-ATM+2004_032_22_0238_ous2_005.dat
35. CH-AI-3-ATM+2004_033_22_0222_fair_005.dat
36. CH-AI-3-ATM+2004_034_20_0212_cro1_005.dat
37. CH-AI-3-ATM+2004_035_20_0210_guam_005.dat
38. CH-AI-3-ATM+2004_036_21_0217_sutm_005.dat
39. CH-AI-3-ATM+2004_037_22_0219_mkea_005.dat
40. CH-AI-3-ATM+2004_038_21_0211_guam_005.dat
41. CH-AI-3-ATM+2004_039_23_0227_hrao_005.dat
42. CH-AI-3-ATM+2004_040_22_0220_potm_005.dat
43. CH-AI-3-ATM+2004_041_20_0206_ous2_005.dat
88 Anhang
44. CH-AI-3-ATM+2004_042_23_0257_tidb_005.dat
45. CH-AI-3-ATM+2004_043_23_0236_nya2_005.dat
46. CH-AI-3-ATM+2004_044_19_0196_gold_005.dat
47. CH-AI-3-ATM+2004_046_22_0161_godf_005.dat
48. CH-AI-3-ATM+2004_047_22_0193_sant_005.dat
49. CH-AI-3-ATM+2004_048_23_0227_nya2_005.dat
50. CH-AI-3-ATM+2004_049_21_0213_madr_005.dat
51. CH-AI-3-ATM+2004_050_22_0213_tidb_005.dat
52. CH-AI-3-ATM+2004_052_22_0231_godf_005.dat
53. CH-AI-3-ATM+2004_053_22_0209_hrao_005.dat
54. CH-AI-3-ATM+2004_054_21_0207_tidb_005.dat
55. CH-AI-3-ATM+2004_055_22_0205_ban2_005.dat
56. CH-AI-3-ATM+2004_056_22_0203_nya2_005.dat
57. CH-AI-3-ATM+2004_057_21_0201_gold_005.dat
58. CH-AI-3-ATM+2004_059_23_0228_lpgm_005.dat
59. CH-AI-3-ATM+2004_060_22_0206_ous2_005.dat
60. CH-AI-3-ATM+2004_061_23_0214_mobn_005.dat
61. CH-AI-3-ATM+2004_064_19_0162_cro1_005.dat
62. CH-AI-3-ATM+2004_065_21_0204_usud_005.dat
63. CH-AI-3-ATM+2004_066_22_0202_ban2_005.dat
A.3 Globale Genauigkeitssch¨
atzungen f¨
ur die Radiookkultations-Refraktivit¨
aten 89
A.3 Globale Genauigkeitssch¨
atzungen f¨
ur die Radiookkultations-
Refraktivit¨
aten
Nachfolgend sind die globalen Genauigkeitssch¨
atzungen f¨
ur die GFZ Radiookkultations-
Refraktivit¨
aten f¨
ur H¨
ohen von 0.4 km bis 35 km mit einer vertikalen Aufl¨
osung von 200 m
aufgelistet, [Wickert 2004]. Diese Absch¨
atzungen entstammen aus einem Vergleich der GFZ-
Refraktivit¨
aten (berechnet mit der Programmversion 004 unter Verwendung der Full Spectrum
Inversion) mit 6-st¨
undigen ECMWF-Analysen. Somit weisen diese Fehlersch¨
atzungen den Nach-
teil auf, dass zum einen f¨
ur deren Berechnung die ECMWF-Analysen als fehlerfrei betrachtet
werden, was sicher nicht gerechtfertigt ist, und zum anderen hier keine zeitliche und r¨
aumliche
Abh¨
angigkeit f¨
ur die Fehlersch¨
atzung ber¨
ucksichtigt wird.
In der ersten Spalte befindet sich die H¨
ohenangabe in km, in der zweiten Spalte der Bias in
Prozent und in der dritten Spalte die Standardabweichung in Prozent. Der Gesamtfehler einer
beliebigen Refraktivit¨
at Nberechnet sich dann wie folgt:
Fehler =Bias ·N
100 +Standardabweichung ·N
100 .(A.6)
So ergibt sich z.B. f¨
ur die 4. Zeile der nachfolgenden Tabelle (H¨
ohe 1 km):
Fehler =−1.141 ·N
100 +2.653 ·N
100 .(A.7)
Ist der somit berechnete Fehler einer Refraktivit¨
at kleiner als 0.1 N-Einheiten, so wird der ent-
sprechende Fehler mit 0.1 N-Einheiten festgesetzt.
Hoehe (km) Bias (%) Standardabweichung (%)
0.400 -1.045 2.362
0.600 -1.045 2.362
0.800 -1.257 2.732
1.000 -1.141 2.653
1.200 -1.107 2.711
1.400 -1.116 2.682
1.600 -0.919 2.564
1.800 -0.746 2.384
2.000 -0.638 2.316
2.200 -0.551 2.323
2.400 -0.403 2.268
2.600 -0.332 2.291
2.800 -0.402 2.357
3.000 -0.326 2.278
3.200 -0.323 2.299
3.400 -0.316 2.283
3.600 -0.257 2.195
3.800 -0.211 2.146
4.000 -0.195 2.040
4.200 -0.162 1.976
4.400 -0.131 1.935
4.600 -0.051 1.838
4.800 -0.014 1.798
5.000 0.032 1.760
5.200 0.072 1.766
5.400 0.113 1.545
5.600 0.118 1.526
5.800 0.122 1.428
6.000 0.129 1.378
6.200 0.154 1.264
90 Anhang
6.400 0.144 1.208
6.600 0.126 1.147
6.800 0.122 1.156
7.000 0.086 1.082
7.200 0.048 0.999
7.400 0.031 0.987
7.600 0.059 1.002
7.800 0.074 0.943
8.000 0.079 0.909
8.200 0.075 0.877
8.400 0.086 0.854
8.600 0.091 0.820
8.800 0.095 0.787
9.000 0.116 0.786
9.200 0.109 0.740
9.400 0.108 0.736
9.600 0.131 0.747
9.800 0.145 0.785
10.000 0.144 0.765
10.200 0.150 0.791
10.400 0.170 0.818
10.600 0.185 0.839
10.800 0.198 0.881
11.000 0.194 0.882
11.200 0.223 0.910
11.400 0.250 0.935
11.600 0.252 0.948
11.800 0.245 0.938
12.000 0.225 0.928
12.200 0.229 0.926
12.400 0.233 0.931
12.600 0.251 0.942
12.800 0.239 0.945
13.000 0.216 0.955
13.200 0.193 0.947
13.400 0.165 0.929
13.600 0.149 0.924
13.800 0.106 0.917
14.000 0.048 0.911
14.200 -0.000 0.919
14.400 -0.038 0.917
14.600 -0.084 0.925
14.800 -0.144 0.932
15.000 -0.194 0.952
15.200 -0.206 0.939
15.400 -0.220 0.932
15.600 -0.260 0.938
15.800 -0.299 0.941
16.000 -0.326 0.942
16.200 -0.294 0.920
16.400 -0.290 0.935
16.600 -0.327 0.956
16.800 -0.372 0.993
17.000 -0.374 1.001
17.200 -0.334 0.964
17.400 -0.305 0.926
17.600 -0.287 0.906
17.800 -0.270 0.895
18.000 -0.253 0.879
18.200 -0.251 0.873
18.400 -0.255 0.869
A.3. Globale Genauigkeitssch¨
atzungen f¨
ur die Radiookkultations-Refraktivit¨
aten 91
18.600 -0.257 0.876
18.800 -0.240 0.849
19.000 -0.216 0.837
19.200 -0.220 0.814
19.400 -0.232 0.789
19.600 -0.248 0.772
19.800 -0.259 0.764
20.000 -0.264 0.757
20.200 -0.266 0.750
20.400 -0.286 0.742
20.600 -0.313 0.745
20.800 -0.338 0.758
21.000 -0.355 0.779
21.200 -0.369 0.807
21.400 -0.373 0.837
21.600 -0.383 0.858
21.800 -0.398 0.864
22.000 -0.404 0.867
22.200 -0.406 0.872
22.400 -0.401 0.872
22.600 -0.387 0.864
22.800 -0.368 0.856
23.000 -0.359 0.842
23.200 -0.352 0.828
23.400 -0.346 0.813
23.600 -0.330 0.804
23.800 -0.306 0.801
24.000 -0.276 0.799
24.200 -0.246 0.801
24.400 -0.220 0.805
24.600 -0.199 0.819
24.800 -0.175 0.838
25.000 -0.142 0.848
25.200 -0.103 0.859
25.400 -0.064 0.873
25.600 -0.028 0.888
25.800 -0.006 0.899
26.000 0.010 0.912
26.200 0.019 0.929
26.400 0.028 0.951
26.600 0.040 0.967
26.800 0.050 0.964
27.000 0.055 0.981
27.200 0.045 1.005
27.400 0.026 1.027
27.600 0.006 1.059
27.800 -0.013 1.093
28.000 -0.033 1.118
28.200 -0.049 1.144
28.400 -0.066 1.170
28.600 -0.091 1.185
28.800 -0.121 1.203
29.000 -0.150 1.226
29.200 -0.175 1.261
29.400 -0.187 1.308
29.600 -0.193 1.352
29.800 -0.206 1.385
30.000 -0.224 1.408
30.200 -0.245 1.443
30.400 -0.268 1.480
30.600 -0.290 1.519
92 Anhang
30.800 -0.301 1.550
31.000 -0.316 1.585
31.200 -0.326 1.613
31.400 -0.320 1.627
31.600 -0.310 1.638
31.800 -0.297 1.643
32.000 -0.275 1.649
32.200 -0.240 1.663
32.400 -0.206 1.674
32.600 -0.162 1.670
32.800 -0.124 1.647
33.000 -0.097 1.635
33.200 -0.066 1.641
33.400 -0.026 1.661
33.600 0.008 1.684
33.800 0.030 1.721
34.000 0.058 1.771
34.200 0.107 1.812
34.400 0.161 1.862
34.600 0.224 1.887
34.800 0.291 1.937
35.000 0.291 1.937
A.4 Varianzen der Vorinformationen 93
A.4 Varianzen der Vorinformationen
Die Varianzen f¨
ur die Vorinformationen sind nachfolgend ausgehend vom niedrigsten H¨
ohenlevel
bis zum h¨
ochsten H¨
ohenlevel aufgelistet, siehe auch [Collard und Healy 2002].
Varianzen der verwendeten 43 Temperatur-Vorinformationen in Kelvin:
Hoehe (hPa) Varianz (K)
1013.25 2.09761
1005.43 1.61585
985.88 1.66328
957.44 1.46330
922.46 1.51633
882.80 1.49131
839.95 1.50704
795.09 1.51512
749.12 1.53012
702.73 1.64402
656.43 1.77045
610.60 1.92816
565.54 2.07605
521.46 2.15991
478.54 2.12293
436.95 2.05212
396.81 1.92416
358.28 1.93762
321.50 1.86246
286.60 1.94791
253.71 1.98609
222.94 1.93639
194.36 1.70310
167.95 1.39952
143.84 1.19405
122.04 1.17554
102.05 1.28121
85.18 1.16399
69.97 1.12857
56.73 1.16886
45.29 1.26673
35.51 1.30758
27.26 1.77068
20.40 2.22149
14.81 2.65703
10.37 2.81776
6.95 3.55308
4.40 4.52485
2.61 5.67889
1.42 6.04378
0.69 3.92136
0.29 9.89987
0.10 29.99920
94 Anhang
Varianzen der verwendeten 26 spezifischen Feuchte-Vorinformationen in g/kg:
Hoehe (hPa) Varianz (g/kg)
1013.25 0.280705
1005.43 0.213698
985.88 0.117540
957.44 0.097612
922.46 0.119475
882.80 0.139346
839.95 0.150451
795.09 0.156666
749.12 0.155679
702.73 0.166792
656.43 0.177762
610.60 0.182385
565.54 0.172915
521.46 0.146842
478.54 0.128501
436.95 0.141963
396.81 0.182271
358.28 0.228893
321.50 0.248839
286.60 0.273603
253.71 0.401877
222.94 0.775591
194.36 1.130570
167.95 1.146090
143.84 1.032600
122.04 1.174650
Varianz der verwendeten Erdoberfl¨
achen-Luftdruck-Vorinformation in hPa:
2.6896
A.5 Zus¨
atzliche Abbildungen zum Kapitel 5 95
A.5 Zus¨
atzliche Abbildungen zum Kapitel 5
200
210
220
230
240
250
260
270
280
2 4 6 8 10 12 14 16
Temperatur [K]
Hoehe [km]
Profil 27
190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Temperatur [K]
Hoehe [km]
Profil 29
200
210
220
230
240
250
260
270
4 6 8 10 12 14 16
Temperatur [K]
Hoehe [km]
Profil 44
215
220
225
230
235
240
245
250
255
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Temperatur [K]
Hoehe [km]
Profil 47
210
215
220
225
230
235
240
245
250
255
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Temperatur [K]
Hoehe [km]
Profil 57
190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
2 4 6 8 10 12 14 16
Temperatur [K]
Hoehe [km]
Profil 58
Abbildung A.1: Vergleich der Feuchttemperaturen:
rot ... L¨
osung des erweiterten Regularisierungsverfahrens;
gr¨
un ... Profil der Vorinformationen aus ECMWF;
blau ... 1DVAR-L¨
osung.
96 Anhang
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
2 4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 27
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 29
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 44
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0 2 4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 47
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 2 4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 57
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
2 4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 58
Abbildung A.2: Vergleich der spezifischen Feuchten:
rot ... L¨
osung des erweiterten Regularisierungsverfahrens;
gr¨
un ... Profil der Vorinformationen aus ECMWF;
blau ... 1DVAR-L¨
osung.
A.5. Zus¨
atzliche Abbildungen zum Kapitel 5 97
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
2 4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 27
0
1
2
3
4
5
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9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 29
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0.2
0.4
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1.2
1.4
1.6
4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 44
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0 2 4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 47
0
0.05
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0.15
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0.35
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0.45
0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 57
0
0.2
0.4
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0.8
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1.6
2 4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 58
Abbildung A.3: Vergleich der spezifischen Feuchten aus unterschiedlichen 1DVAR-L¨
osungen:
rot ... spezifische Feuchten aus dem ECMWF-Modell;
gr¨
un ... 1DVAR-spezifische Feuchten im nicht ¨
ubergewichteten Fall;
blau ... 1DVAR-spezifische Feuchten im ¨
ubergewichteten Fall.
98 Anhang
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
2 4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 27
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1
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5
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7
8
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0 2 4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 29
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0.2
0.4
0.6
0.8
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1.6
4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 44
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0 2 4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 47
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 2 4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 57
0
0.2
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0.6
0.8
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1.4
1.6
2 4 6 8 10 12 14 16
spezifische Feuchte [g/kg]
Hoehe [km]
Profil 58
Abbildung A.4: Vergleich der spezifischen Feuchten aus unterschiedlichen L¨
osungen des erwei-
terten Regularisierungsverfahrens:
rot ... spezifische Feuchten aus dem ECMWF-Modell;
gr¨
un ... L¨
osung des erw. Regularisierungsverfahrens im nicht ¨
ubergewichteten Fall;
blau ... L¨
osung des erw. Regularisierungsverfahrens im ¨
ubergewichteten Fall.
