Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos

GIEDRIUS ALKAUSKAS Vilniusi Egyetem ORCID id: orcid.org/0000-0002-5747-363X Kutatási területek: moduláris formák, funkcionálegyenletek, projektív áramlások; a zenetudomány természettudományos vonatkozásai; a költészet nyelve és formája. DOI: doi.org/10.35321/all86-10 MATEMATIKA, NYELV, KÖLTÉSZET: KÖLCSÖNHATÁSOK ÉS VONZÁSOK Matematika, nyelv, költészet: kölcsönhatások és vonzások ÖSSZEFOGLALÓ A tanulmány a három megismerési terület (matematika, nyelv, költészet) közül kettő metszetében létrejövő struktúrákat vizsgálja, amelyek nem triviális következtetéseket implikálnak a harmadik terület számára. Például azt elemezzük, hogyan értelmezhető kreatívan egy olyan litván szöveg, amelynek formáját szigorú matematikai és grammatikai szabályok korlátozzák. Ezt követően a matematika segítségével feltárjuk a tercinák formájának magvát; egyúttal Dante ezen költői találmánya lehetővé teszi egy elméleti (és néhány esetben gyakorlati) feladat megfogalmazását. A tanulmány azokat a feltételezéseket is tárgyalja, amelyek meghatározzák, mikor eredményesek (vagy lehetnek eredményesek) több tudományterület kölcsönhatásai. KULCSSZAVAK: verselés, kötött formák, tercinák, kvintinák, Baranauskas, Dante, ötsoros, bidiszciplinaritás, konkrét költészet, szinonima, metatézis, mnemonika, Luhn-formula, trópusok. ANNOTÁCIÓ Ebben a tanulmányban két tudásterület (matematika, nyelv, költészet) metszetében létrejövő struktúrákat vizsgálunk, amelyek nem triviális következményeket implikálnak a fennmaradó terület számára. Például azt tárjuk fel, hogyan értelmezhető kreatívan egy olyan litván szöveg, amelynek formáját szigorú matematikai és grammatikai szabályok korlátozzák. Továbbá a matematika segítségével feltárjuk a terza rima Dante által létrehozott formájának magvát, és lehetővé válik egy tisztán elméleti (néhány esetben pedig gyakorlati) probléma megfogalmazása annak általánosításairól. Azt is Straipsniai / Articles 227 GIEDRIUS ALKAUSKAS tárgyalja azokat a feltevéseket, amelyek mellett több kreatív terület kölcsönhatásai termékenyek (vagy termékennyé válhatnak). KULCSSZAVAK: Verselés, formes fixes, terza rima, quinta rima, Baranauskas, Dante, pentastich, bidisciplinary, concrete poetry, synonym, metathesis, mnemonic, Luhn algorithm, trope. 1. BEVEZETÉS A költészetben az improvizáció a legfontosabb dolog, de előtte tartalmas egésznek kell lennie – az írónak ismernie kell mind a fizikát, mind a matematikát. Sigitas Geda 1.1. Kontextus. Ez a tanulmány egy négy szövegből álló ciklus harmadik darabja. Az első a költészet nyelvével (2019), a második pedig annak hangzásával (2020) foglalkozott. Az utolsó rész a költészet írásjegyeit tárgyalja majd: a nem normatív helyesírás okait (történelmi, politikai, technikai, személyes és célzatos okokat) és annak potenciális művészi kapacitását; a grafémákat, szillabogrammákat, logogrammákat, hieroglifákat, piktogrammákat és grafikát; a petroglifákat, a litometriát¹ és a busztrofedont; az írásjegyek (például a nyugat-afrikai adlam és n’ko, valamint Énok nyelve) költői dimenzióit, továbbá annak lehetőségét, hogy mindezt átültessük / extrapoláljuk a litván nyelvbe. Valóban, a graždankával² írt litván versek egzolingvisztikai deficitjével / proficitjával, illetve a litván tatárok ruszin nyelvű, arab írásjegyekkel írt könyveivel (például Ivan Luckevics kitábjával) kapcsolatos kérdések izgalmasak. És még valami: vajon a kő formája más téridőt diktál-e a kőbe vésett szövegek számára?³ Különbözik-e Luis Carroll Jabberwocky⁴ című műve attól a szövegtől, amelyet nem sikerült megérteni, de amelynek valójában van jelentése, jóllehet az örökre elveszett? Ilyen pályákon keringenek majd a negyedik rész gondolatai. E tanulmány célja néhány olyan konstrukció letisztázása, amelyek két terület (a költészet, a nyelv és a matematika) kölcsönhatásán alapulnak, és amelyek nemtriviális ¹ A kő mérése (λῐ́θος μέτρον). Ez a kifejezés itt megfelelőbb, mint a föld mérése (geometria). ² Giedrius Subačius monográfiája (Subačius 2010) e téma egy másik aspektusával foglalkozik. ³ A kőbe vésett költészet egyesíti magában az idő művészetét és a tér időtlen geometriáját. Egy, a jelen szövegben később (2.2.) tárgyalandó kvintinaformák egyikében, nevezetesen a 13213 24324 31431 42142 (modulo 4 szerinti standard kvintina) formában írt vers, amelyet egy 1 × 1 × 2 arányú téglatest alakú kő sztélébe véstek, még az idő irányát is elrejti. ⁴ A vers nem triviális nyelvi struktúrájáról lásd: https://en.wikipedia.org/wiki/Jabberwocky. Csodálatos! Nem is csoda, hiszen L. Carroll (Lewis Carroll, valódi családneve Charles L. Dodgson) – hivatásos matematikus. 228 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos a harmadik terület struktúráját. Ezt a zenéről és a matematikáról szóló munka analógiája alapján tettük (Alkauskas 2018), amelyben a közös megismerés határait nem a természettudományok (az így írók – és ők vannak többségben – ritkán szabadulnak meg a természettudományos gondolkodás sémáitól), hanem a művészet oldaláról vizsgálják. Egyetlen példát (2.2.) kivéve részletes példákat nem közlünk. Ezért ez a szöveg csupán az ötletek palántakertje. De még a ki nem csírázó fenyőtoboz is magában hordozza az egész alk snio (igen, alk snio!) előképét. 1.2. Ellenkontrstratégia. És mégis: lehet-e gyümölcsöző a különböző alkotóerők kölcsönhatása? A téma nem triviális: bár a jelenlegi tudományos dokumentumok a multi- és bidiszciplinaritásnak önértéket tulajdonítanak, de hiszen több mindennek a kétoldalú metszete gyakrabban fedi fel az összes kertmen5 hiányosságait, mintsem új kaput nyitna. Először is, mit jelent maga a paragrafus címe? Bár ez csupán játék, ez a szó pontosan tükrözi a cikk szellemiségét, és bevezet a matematika–nyelv–költészet metszetének termékeny részébe. A strukturális és matematikai nyelvészetet a szöveg csak röviden érinti majd (valamivel részletesebben – a számítógépes nyelvészetet), de hangsúlyozni kell, hogy a tudat racionális kezdetének az irracionális iránti figyelme a művészet és a tudomány kölcsönhatásának minden esetében jóval nagyobb volt és van, mint fordítva. Két jellegzetes idézet. Az első – Zelig S. Harrisé: „A matematikai nyelvészet matematikával szembeni adóssága azonban elsősorban a hozzáállásban és a gondolkodásmódban rejlik, nem pedig valamely konkrét eredményben. Talán nem véletlen, hogy e terület legtöbb doktorandusza inkább matematikai vagy logikai, semmint nyelvészeti háttérrel rendelkezik” (Harris 1969: 191).6 A második – Oleg Grinbaumé: «A [matematikai módszereknek az irodalomtudományban való csekély intenzitású használata] fő okának azt tartjuk, hogy a művészi teljesség fogalmával operáló verskutatók tudományos eszköztárából hiányzik egy olyan formális analitikai apparátus, amelyben a vers teljessége a matematika nyelvén bemutatható és leírható» (Гринбаум 2002: 12).7 ⁵ Antanas Baranauskas matematikai terminológiára vonatkozó ötleteit folytatva, még inkább pedig Jonas Jablonskisét (aki a meghonosodott daugianaris helyett a daugmenis szót javasolta): hogyan nevezzük több halmaz uniójában az egyes részeket – jungmuo? Több halmaz metszetében pedig – kertmuo? Ez mintha két folyó összefolyása volna, amelyek mindegyike sutekmenis (sutekmuo) névvel illethető. A sutekmė (‘összefolyás’), tekmė, įsrutis (‘befolyás, torkolat’) nem megfelelő. ⁶ „Meg kell mondani, hogy a matematikai nyelvészet a matematikától mindenekelőtt valószínűleg a szemléletet és a gondolkodásmódot kölcsönözte, nem pedig valamilyen konkrét eredményt. Ezért nem meglepő, hogy e terület hallgatóinak többsége nem nyelvészeti, hanem matematikai és logikai alapképzést végzett.“ ⁷ „Véleményünk szerint annak fő oka, hogy az irodalomtudományban kevéssé alkalmaznak matematikai módszereket, az, hogy a verseléssel foglalkozó és a művészi teljesség fogalmát használó tudósok eszköztárából Straipsniai / Articles 229 GIEDRIUS ALKAUSKAS Ezért különösen értékesek azok a ritka esetek, amikor a pólusok felcserélődnek, amikor a viszonylag irracionálisabb elv ihleti a racionálisabbat. Tehát mi ez a játék a címmel? Három litván szó antskrydis, bergždžias, kontržvalgyba egyenként öt mássalhangzóból álló torlódást tartalmaz. A kontrstrategija szó („az ellenfél stratégiája hatásának felszámolására irányuló cselekvések”), amely hat mássalhangzóból álló torlódást tartalmaz, és szakirodalomban használatos, magában hordozza egy algoritmikusan programozott8 optimalizálási feladat magvát: megtalálni a litván nyelv összes morfológiailag, fonetikailag és gyakorlatilag lehetséges szavát, amelyeknél maximális a szót alkotó betűsorozattól függő függvény értéke. A szót itt az azt alkotó betűsorozattal azonosítjuk. Jelöljük ezt ℓ-lel. Legyen 𝔇 a litván nyelv teljes hipotetikus szótára. Ilyen függvények például: 1. F(ℓ) = 0, ha a szóban legalább egy, az a-tól eltérő magánhangzó található; ellenkező esetben az a magánhangzók számával egyenlő. 2. G(ℓ) = 0, ha a szóban két magánhangzó vagy két mássalhangzó áll egymás mellett; ellenkező esetben a szó hosszával egyenlő. 3. H(ℓ) a kizárólag magánhangzókból álló leghosszabb részszekvencia hossza. Vizsgáljuk meg az utolsó példát. A szokatlanul frissen csengő Kėdainiai Paeismilgio (patak Smilgaitis, régen Eismilga) utcaneve kijelöli a keresés lehetséges területét. Így a nuokalnė szóban a kalnas szótagot hasonló jelentésű uolą elemre cserélve a nu uolė alakot kapjuk. Ez a szó szerepel a „Šiauriniai reliktai” című költemény hetedik énekében9. Az optimalizálási feladat a következőképpen fogalmazható meg: igaz-e, hogy max H(ℓ) = 4? Ebben az esetben a keresett szavak halmaza H⁻¹(4).10 Nyilvánvaló, hogy a leírt matematikai (logikai) képletek csupán formalizálják azokat a mondatokat, amelyeket szavakkal még egyszerűbb kifejezni. Mégis mélyen hiszem, hogy csak a metanyelv, a képletek és a zsargon mint egyik szélsőség, valamint a költői nyelv mint a másik közötti rendszeres előre- és hátracsúszások adnak alapot arra, hogy a matematika és a költészet valódi kapcsolatáról beszéljünk. A régi értékek folyamatos leértékelése és az újak felértékelése. Az inga pedig tovább leng. 1.3. Baranauskas és a matematika. Bár örvendetes, hogy Jonas Kubilius összegyűjtötte Baranauskas naplóinak és leveleinek matematikai vonatkozású helyeit, az inga elvének megsértése miatt tanulmánya Antanas Baranauskas ir matematika (Kubilius 2001) csak fenntartásokkal értékelhető. A könyv célja, hogy a tudományos fogalmak alapjaival megismertesse azokat, akik a fogalmat nem sajátították el, nem uralják azt a formális analitikai apparátust, amelynek segítségével a verselés egységessége a matematika nyelvén is bemutatható és leírható.” ⁸ Az algoritmus az, amit egy véges Turing-gép végre tud hajtani. ⁹ A költeményről bővebben lásd: Alkauskas 2022. ¹⁰ Az f: A → B függvény és a b ∈ B elem esetében az f⁻¹(b) jelölés a b ősképeinek halmazát szimbolizálja: mindazon a ∈ A elemeket, amelyekre f(a) = b. 230 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos a matematikai fogalmaival: prímszámok, Eratoszthenészi szita, az aszimptotika törvénye, hatványok, kriptográfia, Arkhimédészi konstans π, a kör négyszögesítése, a végtelen – és ezt a célt el is éri. Azonban az az olvasó, aki Baranauskast szeretné megismerni, olvasás közben csalódni fog, mert a szöveg jelentős részének nem sok köze van hozzá. És még valami. Például mit ír a szerző a Költő által felfedezett képletről, amelyet Karl Hosfeld (Carl Hossfeld) 1890-ben a jól ismert folyóiratban Zeitschrift für Mathematik und Physik tett közzé: „[...] ez az eredmény a műkedvelő Baranauskas számára fontos volt. Valójában az értéke nem nagy” (Kubilius 2001: 30). Az inga mintha az egyik szélső helyzetében megrekedt volna. És mire gondol majd az iskolás olvasás közben? Hogy Baranauskas – egy szerencsétlen? Másik példa: Kubilius tárgyalja Baranauskas 1897-ben Varsóban megjelent „O progresji transcendentalnej oraz o skali i sуłach umysłu ludzkiego” című publikációját. Ebben a žemaitijai segédpüspök minden a₁ ∈ N esetén rekurzívan megkonstruálja az aₛ₊₁ = aₛᵃˢ sorozatot, amelyet transzcendensnek nevez. Például, ha a₁ = 2, akkor a₂ = 4, a₃ = 256, a₄ pedig már 617 számjegyből áll. A modern matematikában az ilyen számok nem egzotikusak. A Turing-gépek elméletében léteznek olyan függvények, amelyek gyorsabban növekednek bármely szimbólumokkal leírható függvénynél, például az olyan f(n) = aₙ-nél. Kubilius további megjegyzése (ugyanott, 84.): „[Baranauskas munkájában] e [következő] progresszió tulajdonságait tárgyalják, és kifejtik a már idézett, a levelekből származó, a végtelenről szóló gondolatokat. A munka fő része azonban filozófiai és teológiai kérdésekkel foglalkozik.” Éppen a lényeges – vagyis ezek a kérdések – maradnak ki. Jó, hogy két irodalmár megemlíti őket: Sigitas Geda: „[Baranauskas] titáni természetéről egy másik – utópikus – eszme is tanúskodik. Azt mondtam, hogy az igazán nagy költőnek utópikus eszmékkel kell rendelkeznie. Kiszámítani a pokol térfogatát!”; Saulius Šaltenis: „amikor kiszámítod, mintha az egész világ gonoszságát matematikai képletbe, mintegy csapdába terelnéd. Csapdába ejted a Sátánt, mint egy borzalmas rovart a borostyán darabkájában, és bevezeted Isten rendjét!” (Geda 1998: 155–156). Hiszen az inga pályája egyenértékű pontok kontinuumát alkotja. Bármelyikük nagy valószínűséggel nagyon nem reprezentatív11. Gedát ismét idézve: „Nincs lényeges különbség a felsőbb matematika és a költészet vagy a zene között. Baranauskasnak ez a kozmikus terve is arról tanúskodik, hogy mindaz, amit az „Anykščių šilely”-ben tett, más formákban tört utat magának másik tevékenységében” (ugyanott, 156). 11 Ez nem általános törvény. Például a komplex változós függvények elméletében egy analitikus függvényről szóló teljes lokális (egy pont környezetére vonatkozó) információ globálisan is meghatározza azt. Straipsniai / Articles 231 GIEDRIUS ALKAUSKAS Kubilius könyvében nagyon kevés – mindössze fél oldal – jut Baranauskasnak mint a litván matematikai terminusok megalkotójának. Többet szeretnénk: a hangsúlyokról, a hanglejtésekről, a nyelvészek megjegyzéseiről, a Hugo Weberrel folytatott levelezés részleteiről. Kubilius, aki maga kezdeményezte a matematikai terminológiai szótár (MTŽ) létrehozását, Baranauskas munkásságának folytatójának tekinthető. E terminusok történetéről szép áttekintést írt Vidmantas Pekarskas (Pekarskas 2003). 1.4. Költészet és képzőművészet. Benediktas Januševičius szerint „a vizuális költészet olyan verbális szöveg, amelynek új, kiegészítő dimenziót ad az irodalomra nem jellemző vizuális elrendezés” (RP 17). Úgy tűnik azonban, hogy ez a kiegészítés a könyvnek csak néhány Raidžių paveikslai című oldalán jelenik meg. Egyes művek csupán szövegek, csak éppen nem jelentéssel bíró strofoidok, hanem patkány, patkó stb. alakjában vannak megformálva (minek?! hiszen ki ne tudná, hogyan néz ki valamilyen malom?). Mások ezzel szemben csupán grafémákból álló rajzok. A szerkesztő szerint azonban „a verseskönyv nem újság vagy információs kiadvány, joga van értelmetlennek vagy érthetetlennek lennie”. Érthetetlennek? Érthető! De értelmetlennek? Ha nincs értelme, akkor minden megengedett? Mintha Fjodor Dosztojevszkij gondolatát vulgarizálták volna. De nem teljesen, mert – amint Tomás Sterns Eliot alábbi idézete mutatja – van valamiféle kapcsolat a hit, az értelem és a költészet között: „A hozzáértő költő számára az allegória semmiben sem különbözik a tiszta vizuális képtől. A tiszta vizuális képek pedig sokkal erősebbé válnak, ha jelentéssel bírnak – nem szükséges tudnunk, mi ez a jelentés, de amikor tudatosítjuk a képet, tudnunk kell, hogy jelentése is van” (Eliotas 1927: 397). Januševičius „a grafikai költészet olyan vers, amely rajznak tetteti magát” formulája azonban azért lenyűgöző, mert általánosságban illik a bidiszciplinaritás meghatározására: a tiszta minőséget hangsúlyozva arra hív, hogy próbáljuk ki a készítményt (a szilárd fazék csak jó agyagból készül). „A fizikának álcázott teológia” – ez érvényes Česlovas Kavaliauskas művének Teologijos žodynas című részére (Kavaliauskas 1992). Igaz, a grafika álarcát viselő költészet szerepét eljátszani a legnehezebb. Ennek két oka van: fizikai és fiziológiai. Az irodalom a nem homogén idő, a grafika pedig a homogén tér művészete. A tér meghajlítása vagy nagyon nagy léptékben, vagy illuzórikus művek esetében lehetséges. A film és a zene belefér a homogén időbe¹². Ez természetesen feltételes, de a grafika és a költészet ortogonalitása nyilvánvaló. Ugyanakkor rendkívül nehéz az egyik ¹² Az irodalom mint a múlt (bár éppen elmúlt) idejének művészete és a zene mint szükségképpen a jelen idő művészete közötti különbség, noha gyakran említik, nem teljesen meggyőző, különösen ha a művészi kifejezés-jelentés (azaz a szintaxis-szemantika) intervallumára kontinuumként tekintünk. Rimvydas Stankevičius (Stankevičius 2015) gondolata azonban, miszerint Antanas Kalinauskas költő által különösen kedvelt múlt idejű gyakorító igeidő (amelyet az igékből a –inė­ti képzővel képzett származékos igékre alkalmaznak, például pareidinėju, užsegdinėjo) arra irányuló törekvés, hogy minden cselekvést úgy lássunk, mint ami most történik, ami esetleg az irodalom és a zene szintézisére utal, rendkívül érdekes. 232 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos e dimenziók egyikét a másikká alakítani. Másodszor, az agykutatásban ismert, ERP-nek nevezett reakciók (event-related potential) (HNL). Kutatásaik feltárták, mennyi ideig tart egy szót érzékletekkel felfogni és a szót a kontextushoz igazítani. Ismert az a pillanat, amikor hozzáférés történik a szemantikai információhoz. És mindez – tudat alatt. A jelentés felfogása nélkül a pontosítás később, a tudat szintjén folytatódik. A grafika és a költészet kölcsönhatásának esetében egyszerűen túl gyakran van szükség tudatos összehangolásra vagy az értelmetlenség fogalmára. Az ilyen tevékenység egyszerűen túlstimulálja az agyat. Igen, a grafikai költészet tág fogalom, amely számos technikát és elképzelést foglal magában. Donaldas Apanavičius absztrakt (és matematikai) versei ebben a könyvben a legerősebbek közé tartoznak. Itt van az idő és az enyészet (RP 80–81), a kriptoképrendszer, a kabala (ugyanott, 79), a keletkezés ab ovo (ugyanott, 78). Különösen hatásos három OM-rekonstrukció (ugyanott, 75–77), amelyekben összekeveredik a nyelv, a matematika, a mandala, a határ, a fonéma, a szimbólum és a titok; a tudatalatti erősen reagál erre (1. ábra). 1. ÁBRA. D. Apanavičius triptichonja A könyvben névleges matematikai elemek is vannak: Rimas Vėžys említi Eukleidész ötödik posztulátumát (lásd 4.1) (RP 23), Vilma Fiokla Kiurė pedig (ugyanott, 51) mátrixokat használ (sajnos ebben a kompozícióban minden összekuszálódott; még a logikai hiba13 sem inkább árt). A jó ötletek között említhető Mato Gimžausko játékos „Suahili dada” című műve (ugyanott, 86), amelyben a mintegy pszeudo-szuahéli nyelvi szótagjelekkel lejegyzett „Tautiška giesmė” erősen korrelál mind a 4.2 témáival (az emlékezet keretbe foglalása), mind e cikksorozat említett negyedik részével. Vagy S. Geda „Vienatvės piešinys per Jonines” című műve (ugyanott, 73), amelyet a kritikusok láthatóan még nem elemeztek részletesen14. Az alábbiakban e grafikai szöveg rövid és rendkívül szubjektív elemzése olvasható (2. ábra). A joninėsi említése biztos támpontot, a Nap naptárát adja. A négyzet oldalain lévő kockák száma 1-től 7-ig változik, így ezek a halmok a kerületet 24 részre osztják. Tehát holdfázisaink vannak, ahol a páratlan szám, mint az év 13 A=MÁTRIX ÉS 4R, holott 3R-nek kellene lennie. 14 Bár magát a verset többször is futólag említették (például Valentas 1997: 149), csakúgy, mint Gyčio Norvila interjúját, amely itt intuitívan az űrre utal (lásd https://www.bernardinai.lt/2012-02-22-gytis-norvilas-eilerastis-prieglobscio-zona/). Straipsniai / Articles 233 GIEDRIUS ALKAUSKAS és a hónap kezdete (kol jaunas, tol vienas) jelöli az újholdat. A bemutatott rajz a különböző kultúrák között egykor legelterjedtebb Nap–Hold-naptárat ábrázolja. Ilyet használnak mindmáig a kínaiak, a héberek és az indiaiak. Használták az ókori skandinávok is, hiszen íme a „Vafþrúðnismál” 23. versszaka: Mundilfiori a neve a Hold apjának, a Nap pedig a lánya. Nekik rendeltetett, hogy naponta bejárják az eget – így számoljuk az időt (PE 101). Geda különös jelentőséget tulajdonított a skandináv mitológiának (akárcsak a sumér, indiai, héber és görög mitológiának), még inkább pedig a kozmoérzékelésnek. Csupán a „Hét nyár énekei” című ciklusban Odin, Thor és Loki is szerepel. Jehova rendjét – a világ teremtésének befejezését, Isten hetedik napját, az erők egyensúlyát – továbbá a tavaszi és őszi napéjegyenlőségek, valamint a bal és jobb oldalon lévő hét-hét kocka jeleníti meg. Ott a világ szerkezete a legszilárdabb, a változás a leglassúbb. A világ egész tömege, még vizuálisan is, e stacionárius pontok köré összpontosul, míg a napfordulók törések, (át)változások, megrázkódtatások, szingularitások. A felső egység (magány, singularis) Szent Iván napja, az alsó pedig karácsony. Isten naptárában az első nap a rend kialakulása a káoszból. A káosz inverze a Tökéletesség. A rend a lehetőség határán, a szakadék szélén (gör. χάος). A rend, amely elkerülhetetlenül a káoszhoz kezd hasonlítani15. És még: mielőtt az évszámot az egész bolygón szabványosították volna, a déli félteke téli napfordulója egybeesett az északi félteke nyári napfordulójával. De minek ezek a szavak – mindent helyettesít Geda egyetlen grafikus verse. 2. ÁBRA. S. Geda „A magány rajza Jónás napján” 15 A strukturális, precízen matematikai zene alkotói váratlanul felismerték, hogy az ilyen kompozíciók alig különböznek az aleatorikus elvek alapján létrehozottaktól. 234 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos 1.5. Jelölések és megállapodások. A matematikában szám – egy bizonyos standard struktúrához tartozó elem. Mivel másfélék (a 4.1–4.3. kivételével) nem fordulnak elő, a szám itt vagy az ℕ = {1, 2, 3, 4,...} halmazból származó természetes számot, vagy az ℤ = ℕ ∪ {0} ∪ −ℕ halmazból származó egész számot jelenti. A struktúra jelentése pontos, de csak a csoport fogalmára lesz szükség, amelyet később definiálunk. Ha M, N ∈ ℕ, az M mod N függvény (úgy olvasandó: „M modulo N”) azt az egyetlen egész számot L jelöli, amelyre 0 ≤ L ≤ N − 1, és amelyre M − L maradék nélkül osztható N-nel. Például: 20 mod 7 = 6. A verselésről szólva a nagybetű a hímnemű, a kisbetű a nőnemű, a dőlt kisbetű félkövérrel – a daktilikus rímet jelöli (amikor a hangsúly az utolsó előtti harmadik szótagon van). E betű indexe a sorban található verslábak (két- vagy háromszótagúak) számát jelöli. Ha a versszak valamennyi sora ugyanannyit tartalmaz, egyszerűen 4-jambus, 3-amfibrachisz stb. írandó. 2. VERSZAKOK ÉS LÁNCOK A modern nyelvek hajlamosak differenciálni az absztrakt gondolkodást (ma az egyetlen univerzális nyelv a matematika maradt), a latin nyelv univerzális tulajdonságai azonban Dante firenzei beszédére jellemzőek. Tomas Sternsas Eliot 2.1. Verselés és nyelv. A verselés művészetének–tudományának egy részét a matematika (tágabb értelemben vett) adaptációja alkotja egy bizonyos nyelvhez, ha a ritmust, a fonikát, a hangszerelést, a formát és a rímet a struktúra, a szimmetria, az egyensúly és az analógia megnyilvánulásainak tekintjük16. Íme néhány példa. A klasszikus szinkópés17 sorban 0, 1, 2 vagy 4 hangsúlytalan szótagból álló intervallumok váltakoznak. Juozas Girdzijauskas az utóbbi struktúráját vizsgálta, és a következő tényeket állapította meg: „A litván költészetben két szinkópés csoport rajzolódott ki hat18 alapmetrum és tizennyolc részletesebb változat mellett. [...] A szinkópe szinte valamennyi változatában (egyetlen kivételével) a kétszótagú hangsúlytalan szótagköz dominál (51%-tól 75%-ig). [...] Ez azért is van így, mert annak dominanciája 16A költészeti terminusokról bővebben lásd: Matulaitienė 1997. 17 A terminust Kęstutis Nastopka vezette be. 18 Az V. és VI. típusú szinkópában 3 és 5 szótagos hangsúlytalan intervallumok engedélyezettek (Girdzijauskas 1978: 220–230). Straipsniai / Articles 235 GIEDRIUS ALKAUSKAS megfelel a standard litván nyelv normáinak – prózában is ez dominál” (Girdžiauskas 1978: 225). A második példa: a XX. századi litván költészetre különösen jellemző a furcsa öt szótagú jambodaktilus19 versmérték. A verselés nyelvfüggőségét szem előtt tartva a továbbiakban az új rögzített formájú20 pentastichonokat és szövési módjaikat vizsgáljuk. A bemutatott szerkezet, jóllehet nagyrészt elméleti, nemtriviális matematikai feladatot, valamint néhány gyakorlatban alkalmazható, vonzó verselési formát implikál. Nem meglepő, hogy a szillabotónikus verselés legnagyobb változatosságát éppen azoknak a költőknek a munkássága mutatta, akik behatóan elmélyedtek a különböző hagyományok kultúráiban. Közéjük tartozik Jonas Mačys-Kėkštas21, Edmundas Steponaitis22, Maironis, Vytautas Mačernis, S. Geda, Tomas Venclova. Ezért e fejezet fő kiindulópontjaihoz megfelelő bevezetésként szolgál két oktáva – Kėkštasé és Alekszandr Puskiné. Az első kigúnyolja a nacionalistákat, akik még az ókori Görögországban is szinte litván dominanciát véltek felfedezni („Homer’as állítólag Omyras, Odisea – Adišius”), valamint az „Aušra” közönséges versfaragóit (Mačys-Kėkštas 1910: 43). Kėkštas versszaka azonban meglepően hasonlít Puskinéra: ...Őszintén szólva nehéz lesz abbahagynom ezt az Oktávákban való írást: A sorokat itt egyenes, síkos rendbe állítod, Mint a katonákat, ahol illik és alkalmas; A gondolatokat kiszegezed magadnak, egyet-mást, Nagy rend vagy szabályok nélkül, A végén, akit megszúrtál a fullánkkal, Azt mondod: egyelőre ennyi a csatából. Четырёхстопный ямбъ мнѣ надобль: Имъ пишетъ всякой. Мальчикамъ въ забаву Пора бъ его оставить. Я хотѣлъ Давнымъ давно приняться за октаву. А въ самомъ дѣлѣ: я бы совладѣлъ Съ тройнымъ созвучіемъ. Пущусь на славу! Въдь рифмы запросто со мной живутъ; Двѣ придутъ сами, третью приведутъ. J. Mačys-Kėkštas, „Išsiliuosavęs“ (1902) A. C. Пушкинъ «Домикъ въ Коломнѣ» (1830) A forma önmagában, képvilág, szókincs és milašiškas „lélektájkép” nélkül még semmit sem jelent, de különleges esetekben a formai újításoknak már szerzői jelentőségük van. Ez történt az Anyegin-versszakkal (4-jambus aBaB ccDD eFFe GG, amelyet szintén használt 19 A terminust Juozas Girdžiauskas vezette be. 20 Utalás a XIV–XV. századi francia költészet és zene formes fixes: ballade, virelai, rondeaux formáira. 21 Litvániában az elsők egyike, aki Pranas Vaičaitisszal együtt kizárólag a szillabotónikus verselésre tért át (Girdžiauskas 2001). 22 Már a „Lietuvos aušra” című bemutatkozó vers (Steponaitis 1988: 24) első versszaka is nemtriviális formájú a₅b₆b₆c₅a₅c₄ (jambus; a harmadik hasonló, a második versszak kissé eltérő). 236 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Jurgis Baltrušaitis litvánul írt, „Dulkės ir žvaigždės23” című, 12 versszakos művében, Mihail Lermontov «Бородино» című művében (jambus a₄a₄B₃c₄c₄c₄B₃) és a «Сашка» című poémában (5-jambus AbAbAbccDDee), Edgar Allan Poe „Raven” című versében (trocheus a₄a₄.B₈.c₄c₄.c₄B₄.B₈.B₄; három sor belső rímeket tartalmaz, ezért itt kettévágva szerepelnek). Mintha szerzői tartalom lenne konkrét tartalom nélkül. Ebben is hasonlít a matematikához: az utóbbi platóni valóságban él, minden gyakorlati reinkarnáció pedig csupán az ideál tökéletlen modellje. Ilyen formális költészet előtti után kutatva az alábbiakban az ötsorosokat és a hétsorosokat vizsgáljuk meg. 2.2. A tercinák fonása. A kényelem kedvéért ebben a paragrafusban a rímeket nem betűk, hanem számok jelölik. Például: „a hétsoros sémája 3142342”. Ha két versszak metrumja azonos, csak a rím eltolódik, akkor azonos formulájú versszakoknak nevezik őket. A fentebb írt hétsoros négyszeri megismétlésével, csupán ciklikusan egy, két, illetve három rímmel eltolva, a következő versszakokat kapjuk: 3142342 4253453 5364564 6475675. A 4-es rím itt két-, két-, két-, majd egy alkalommal fordul elő. A tercinák (terza rima) a 121 232 323 stb. tercettek fonatai. Ezt a sémát először Dante használta a hendekaszillabikus24 jambusban írt „Isteni színjátékban”. Megfordított tercinák is lehetségesek, talán még soha nem használták őket. Mégpedig: 212 323 434 stb. Mivel Dante minden énekét egyetlen sor zárja, az úgynevezett rime rilevate (a „Pokol” 10. énekében ez a 45–46–45 46 rímeket jelentené), a megfordított tercinák úgy nyerhetők, ha minden éneket hátulról olvasunk. Dante költeményének finom építészetéről bővebben lásd Hart 1987. A fonás szó itt intuitíve találó. Hiszen egy hajtincset rendszerint három részre osztanak, és a copf további kialakítása mind szimbolikusan, mind topológiailag a tercinás ének létrehozására emlékeztet. Sőt, Skirmantas Valentas (Valentas 1997: 19), Rüdiger Schmitt kutatásait folytatva, a rekonstruált régi indoeurópai „szőni, fonni” = „költészetet alkotni” metaforát balti nyelvi tényekkel egészíti ki, például a litván pinti ‘csavarosan, bonyolultan beszélni’, austi ‘jártatni a száját’ szavakkal (LKŽe). Ha Dante esetében a metafora alkalmassága nyilvánvaló, miért emlékeztetett az ókorban a költészet szintén a szövésre? Valentas megemlíti a énekes és a költő szinonimitását, de nem viszi végig mindent megmagyarázó közös vonásuk kiemelését. Nevezetesen: a zenét. A kórusok váltakozó éneklése és recitálása az antik színházakban önmagában is a szövésre emlékeztet: a hangmagasságok úgy cserélődnek helyet, mint a fonalak, a dinamika pedig (hangosabban – halkabban) a távolság változásának érzetét kelti (közelebb – távolabb). E tétel alátámasztására hivatkozhatunk a skandináv költészet drotkvett (dróttkvætt) metrumára, amelyre „a skáldok metrumai közül egyedül jellemzőek az egymással összefonódó mondatok” (Ruseckienė, ford. 2017: 17). Ez azt jelenti, hogy ha a versszakban bizonyos frázisokat aláhúzunk, akkor ezek sorrendje, akárcsak a fennmaradó frázisok sorrendje, értelmessé válik. Az ilyen metrumkonstrukciót azzal magyarázzák, hogy 23 Igaz, Baltrušaitis valamennyi ríme, G kivételével, nőnemű. 24 11 szótagos. Straipsniai / Articles 237 GIEDRIUS ALKAUSKAS két kórus összeolvadt szólamával, amelyek az idő folyamán egyetlen vokális vonallá redukálódtak. Felidézve a 2.1. pontban említett formes fixes-t, valamint az ének és az vers szinonimitását egészen a XIX. századig, a fonásnak mint a költészet eufemizmusának zenei eredetére vonatkozó hipotézis megalapozottá válik. Végül e szövet matematikai kifordítása. A topológiában rendkívül fontosak az úgynevezett fonatcsoportok (angl. braid groups; a csoportokról lásd a 3.1. pontot). A grafikus példa (3. ábra) sok mindent szavak nélkül is megmagyaráz. Ebben az esetben b₁ · b₂ = b₃ 3. ÁBRA. A fonatcsoport elemeinek szorzási példája 2.2. A tercinák általánosítása. A dantei forma ciklikus szimmetriával rendelkezik, amely matematikailag a következőképpen írható le. A fonat −∞-ig és +∞-ig történő meghosszabbításával a következő sorozatot kapjuk .... −2, −1, −2, −1, 0, −1, 0, 1, 0, 1̄, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5,.... A versszakok formáját ez a sorozat és két további paraméter határozza meg: a hely, ahol a fonat kezdődik (kötőjellel jelölve), valamint a versszak hossza. Ebben az esetben ez a 3-as szám. És mi a sorozat? Ez bármely f: ℤ → ℤ függvény. A fonat az f(1) tagnál kezdődik. Ha elképzelnénk, hogy Dante művét a második versszaktól kezdjük olvasni, ez az f(n + 3) sorozatnak felelne meg. Az új költemény formája változatlan maradna a régihez képest, csak a rímek tolódnának el eggyel. Ekkor az említett ciklikus szimmetria az alábbi egyenlőség f(n + 3) = f(n) + 1. Sok ilyen sorozat létezik. Például {…, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, …}, ez a sorozat azonban nincs összefonva. Vizsgáljunk meg egy másik sorozatot: {…, 1̄, 5, 1, 2, 6, 2, 3, 7, 3, 4, 8, 4, 5, 9, 5, …}. Ez rendelkezik a szükséges ciklikussággal, de a téglalappal körülhatárolt azonos rímek közötti távolság túl nagy. A tercinák struktúrája magjának következetes keresése során a következő konstrukció rajzolódik ki. Meghatározás. Legyen Q ∈ ℕ. Az f: ℤ → ℤ függvényt egyszerű Q-tinának nevezzük, ha teljesíti a következő négy feltételt: 1. f(n + Q) = f(n) + 1, minden n ∈ ℤ esetén; 2. f(ℕ) = ℕ. Legyen f⁻¹(1) = {p₁, p₂, …, pQ}²⁵. Minden olyan r ∈ ℕ esetén, amelynél a p indexei közül mindkettő a {1, 2, …, Q} halmazhoz tartozik, igazak a következő egyenlőtlenségek 3. pᵣ₊₁ − pᵣ < Q; 4. pᵣ₊₂ − pᵣ > Q. ²⁵ Az, hogy minden szám ősképeinek halmaza Q elemből áll, az 1. feltételből következik. 238 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Az olyan egyszerű Q-t, amely egy további feltételnek tesz eleget 5. A pQ − p1 érték a legegyszerűbb Q-t-k között elérhető legkisebb érték; ezt minimális Q-t-nak nevezzük. Az olyan egyszerű Q-t, amely egy másik további feltételnek tesz eleget 6. | f⁻¹(1) ∩ ℕ | ≥ 226 esetén normalizáltnak nevezzük az Q-t-t. Ha az Q-t minimális és normalizált is, standardnak nevezzük. A 4. feltételből következik, hogy minden egyszerű Q-t f és minden ℓ természetes szám esetén az f⁻¹(1) ∩ [−ℓQ + 1, −ℓQ + Q]27 halmaznak 0, 1 vagy 2 eleme van. Legyen T(f) a legnagyobb olyan ℓ, amelyre ez a halmaz pontosan egy elemet tartalmaz. Az utolsó további feltételt kielégítő standard Q-t, amely teljesíti az utolsó további feltételt 7. A T(f) érték a szabványos Q-szeresek között lehetséges legnagyobb; ezt kanonikus Q-szeresnek nevezzük. Ha ezek a feltételek homályosnak tűnnek, a példákból világossá válik, hogyan ültetik át őket a verselés nyelvére. Az 1. feltételt már tárgyaltuk. A 2. feltétel annak biztosításához szükséges, hogy az első versszakban csak pozitív rímek forduljanak elő, valamint az 1. rím is. A 3. feltétel megköveteli, hogy bármely két szomszédos rím távolsága kisebb legyen a versszak hosszánál. A 4. feltétel kimondja, hogy bármely Q sorozatban (például egy versszakban) minden rím legfeljebb kétszer ismétlődik. Amikor Q = 5, az első négy feltételnek nem kevesebb mint 25 különböző egyszerű kvintina felel meg. Vegyünk közülük kettőt: 32132 és 32312. Most írjunk le három-három, ezeket a sémákat képviselő versszakot: A bal oldali példában az első és az utolsó, 3-mal jelölt rím közötti távolság 12 sor, a jobb oldaliban pedig 13. Mind a 25 esetet megvizsgálva kiderül, hogy a 12 a lehetséges legkisebb távolság. A számítások azt mutatják, hogy az 5 feltételnek öt minimális kvintina felel meg: 32132, 13213, 21321, 13243, 21324. Másrészt az 6 feltételnek kilenc normalizált kvintina felel meg: 31231, 23121, 31213, 13231, 13213, 21321, 12341, 12314, 12134. 26 Az |𝒜| szimbólum a véges 𝒜 halmaz elemeinek számát jelöli, míg az ∩ – halmazok metszetét. 27 A szögletes zárójelek [a, b] zárt intervallumot jelölnek. Straipsniai / Articles 239 GIEDRIUS ALKAUSKAS Ez a feltétel megköveteli, hogy az első strófában a rím 1-et (amely csak ebben fordul elő) legalább 2 sor képviselje, különben a költeményben egy sor rím nélkül maradna. Az öt, illetve kilenc elemből kiírt két halmaznak két közös eleme van. Ezek a standard kvintinák: 21321 és 13213. Az elsőre 𝒯(f) = 2, a másodikra pedig 𝒯(f) = 1. Így a kanonikus kvintina egyetlen: 21321. A sorok elrendezésének szintjén a 7. feltétel azt jelenti, hogy az a sor, amelynek nincs ríme az első strófában, a lehető legnagyobb rímnek felel meg. Nyilvánvaló, hogy a 21321 (a 3. rímnek nincs párja) az idő folyása szempontjából természetesebb forma, mint a 13213 (a 2. rímnek nincs párja). Matematikai okfejtések segítségével egy általánosabb eredmény is bizonyítható. Tétel. Minden páratlan Q = 2q − 1≥ 3 esetén létezik egyetlen kanonikus Q-tina (q − 1) (q − 2) … 1q (q − 1) (q − 2) … 1. Amint említettük, 25 egyszerű kvintina létezik. Egy számítógépes program teljes körű felsorolással kiszámítja, hogy szextinából 96, szeptinából pedig nem kevesebb mint 427 van. Legyen általában a b(Q) szám az egyszerű Q-tinák számát jelölő szám. Egy érdekes sorozatot kapunk 1, 2, 3, 8, 25, 96, 427, 2176, 12465, 79360, …. Mi a szabályszerűség ebben? Ilyen esetekben feltétlenül ellenőrizni kell az online sorozat-adatbázisban. A felfedezett sorozat ott már rögzítve van, lásd: OEIS A065619. Nyilvánvaló, hogy egészen másképpen definiálták, a terminákkal semmiféle kapcsolata nincs. Ez egyébként a kombinatorika egyik alapelve: kétféleképpen megszámolni. Ez meglepően gyakran teszi lehetővé az objektum struktúrájának felismerését. Ismert a sorozat exponenciális generátorfüggvénye is: ∑ᵠ∞₍Q=1₎ b(Q) · xᑫ / Q! = x(1 + sin x) / cos x (ahol Q! = 1 · 2 · … · Q). A fizikai tudományok képviselőit az ilyen egyenlőségek már nem lepik meg, mert a csodák bősége eltompítja az érzékeket. Kár, bár természetes. További felmerülő kérdések: hány minimális, normalizált, standard Q-tina van? És mi változik, ha Q páros szám? Ebben az esetben a helyzet összetettebb. Így a költészet által ihletett konstrukció egy nemtriviális matematikai problémát implikál. Maradjon a tiszta matematikának. A költészet kontextusában más az érdekes: egyetlen konkrét nyelv (például a litván) sem szerepel a kanonikus Q-tinák meghatározásában. Amint elkezdjük verssorokba rendezni, azonnal világossá válik, hogy a 21321-es kvintina (amelyet a cikk további része tárgyal és fejleszt tovább) önmagában még túl kevés belső struktúrát tartalmaz. Az igazi formális szerzőnek a metrumot és a nyelvet is meg kell tárgyalnia. Dante rögzíti a három számát: a költemény 3 része; részenként 3 sor és 33 szótag strófánként; minden részben 33 ének. A Szentháromság, a három világ fája, a hármas, a háromfunkciós indoeurópai panteon²⁸. Ezzel szemben a öt – ez a püthagoreusok hugieia (ὑγίεια) ²⁸ A nyelvész és vallástörténész Georg Dumézil elmélete. 240 Acta Linguistica Lituanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos a pentagramma és Püthagorasz száma²⁹ 5 = 2 + 3, amely egyben a legkisebb püthagoreus számhármas (3, 4, 5) átfogója is³⁰. Így a matematika nemcsak feltárja a kanonikus kvintina szerkezetét, hanem szimbólumok révén hat is rá. 2.3. Háromszoros rímmel rendelkező ötsorosok. A dantei tercinákban három sorból ⌊3/2⌋=2 rímel egymással. Ahhoz, hogy ugyanennyi rím legyen egy ötsorosban, ⌊5/2⌋=3 sort³¹ kell kijelölni. Ha a fennmaradó két rím azonos, kombinatorikailag tíz változat adódik: 22111, 21211, 21121, 21112, 12211, 12121, 12112, 11221, 11212, 11122. Az alábbiakban a litván költészetből négy, különböző sémáknak megfelelő példa következik, amelyek a 12112 képletnek felelnek meg³². Mi élve nehezen törünk át a barlangokban, Nem a napok, hanem évszázadok nehézségei hullanak ránk! De a világ hiába borít be minket sötétséggel, A magasba gyorsan emelkedünk más szelekben – Már felragyog a derűsebb nap! Kidalolod, úgy tűnik, a fájdalmat Egy mámorító dallal! Ahogy a magányos nyírfa kizöldellt – Ahogy a szeles szél hullámot vetett – Ahogy a kedves meglátogatott –– Juozas Mačys–Kėkštas „Duonos ir žaislų“ (1902) Amfibrachis a₄b₄a₄a₄b₃ Balys Sruoga „Dievų takais“ XVI (1923) 4-koreus aBaaB Tépjétek le a fehér vitorlát az árbócról, a kormányt a mélybe süllyesztjük! Csak miután forró szíveinket egymáshoz öleltük, szenvedélyesen, akaratunk szerint áthajózunk a viharos tengeren a partra. Vincas Mykolaitis–Putinas „Žvejė daina“ (1920) Jambus-daktilus a₄b₃a₄a₄b₃ Éles kardokkal megáldottak minket, tűzzel gyógyították várainkat, a tavakban fekete liliomok nyíltak, szörnyű vadállatok üvöltve üldöztek minket, talán egy hétig, talán több évszázadon át. Aivaras Veiknys „Prieglobstis“ (2014) 3-anapesztus aBaaB Még hozzá lehetne tenni – és az összes séma különböző! – A. Veiknys „Három kép a magányról” (2021, 4-jambus AbAAb) és „Ajtó” (2014, 5-jambus aBaaB) című verseit, Bernardo Brazdžionis „Te nekem voltál” (1944, 4-jambus ²⁹ A hangszerek pitagoreus hangolása a tiszta kvint intervallumán alapul, vagyis az alaphangok frekvenciáinak ³⁄₂ arányán. Az Encyclopedia Britannica enciklopédia szerint az 5-ös szám a püthagoreusok számára a női (2) és a férfi (3) princípium teljes értékű egyesülése is. ³⁰ A természetes számok (a, b, c) hármasát pitagoreusi hármasnak nevezzük, ha a² + b² = c². Pitagorasz tétele szerint az ilyen hosszúságú szakaszok derékszögű háromszöget alkotnak. ³¹ A ⌊x⌋ zárójelek az x valós szám egészrészét jelölik (angolul floor function, innen a jelölés padlóhoz való vizuális hasonlósága). ³² A Penkiaeilis 12112 szintén a 15–16. századi spanyol Quintilla műfajának legnépszerűbb formája. Straipsniai / Articles 241 GIEDRIUS ALKAUSKAS aBaaB), Kornelijus Platelis „Mėnulio darželis” (1984, 5-amfibrachis aBaaB), V. Mykolaitis-Putinas „Pesimizmo himnai” V (1925, 4-amfibrachis aBaaB), Albinas Bernotas „Po ilgo tylėjimo” (1978, 4-amfibrachis aBaaB), V. Mačernis „Žmogus” (1943, jambus a₇B₇a₈a₅B₅) és „***” (daktilus a₄B₄a₄a₄B₃; a versben három sorban daktilikus anakrúzis van – soronként egy hangsúlytalan szótaggal a kezdésnél), Juozas Erlickas „Baladė apie žmogų su šakėmis” (1987, az első versszak – jambus A₄b₃A₄A₄b₃; a továbbiakban a lábak száma némileg változik, a 12112-es sémát megtartva). Mindezekben a versszakokban szünetek vannak: katalektikusak (egy szótag hiányzik), illetve olyan sorok, amelyekben a versláb megrövidült. Ezt kvintinákra extrapolálva kijelenthetjük: a szöveg természetes lélegzése egy ilyen ötsoros versben szüneteket igényel. A katalektikus sorok alternatívája a túlzsúfoltság miatt kiesik: nehéz elképzelni a szöveg természetes folyását, amikor minden rímhez egyszerre 3 férfias és 2 nőies kadencia (vagy fordítva) tartozik. Csak a második alternatíva marad. Igaz, van egy kivétel. A kvintinákhoz a tiszta hendekaszillabikus jambus is illik. Itt minden sor szünettel végződik, amely hat verslábra egészíti ki. Az egyik szünetet egy kicsi, a másik sor anakrúzisa viszont, előütésként működve, mintegy két szótagra tágítja ki. És valóban, az első felfedezett, 12112-es rímképletű vers, amelyben a sorok szótagjainak száma és kadenciatípusaik is megegyeznek, Aidas Marčėnas „Iš pakraščių į centrą” című verse (2000, 5-jambus abaab). E fejezet összefüggésében az első versszakot egyszerűen kötelező idézni: Széthullott Dante, véres íny, az öreg ott, ahol tegnap még fiú volt, a táj töredékekből összeragasztva – ég és föld, nő és csónak, fény – mintha itt kezdődne az inferno (ŠLPCh 142). A jambikus tetraméter kevésbé megfelelő, mert ha a szünetet is beleszámítanánk, minden sor öt, a versszak pedig 25 verslábból állna. Ennek a számnak a páratlansága határozza meg a szöveg folyásában bekövetkező hirtelen fordulatokat. Így három, a kvintinákhoz illő forma rajzolódik ki – a trocheusé, a daktilusé és a jambusé: Mint említettük, a litván nyelvre a hangsúlytalan szótagok két szótagos intervalluma a legjellemzőbb. Éppen ezért kerül felhasználásra a daktilikus példa e tanulmány 242 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos a „Šiauriniai reliktai” című költemény „Pirmasis kovas be Ąsgardo” kezdetű énekéhez. Az első két versszak: Felszeli a mélyülő térséget a Darvak ekéje... A vetést elnyerőnek Semmit sem adnak. Csak az Örök Kör adatik. Észak felé a sikolyok megkövesednek, A dérmarta földet morzsolják, A nyugtalanság a felszínen rezdül, A Mindentfeltáró kék szemet nyit. 2.4. Szeptinák. A kanonikus szeptinák már kevésbé praktikusak. Mert először is minden rím hétszer ismétlődne, ami komoly egyhangúsággal fenyeget. Másodszor, a rímek ciklikusan csak hét soronként tolódnának el. Különböző 7-ciklikus sorozatokat vizsgálva praktikusabb lenne minden második versszakot venni. Így több rendkívül vonzó szeptina található. Például ez, amelyet a tetralógia második költeményében használnak majd fel (lásd Alkauskas 2022): 1. versszak 3 1 4 2 3 4 2 2. versszak 5 3 6 4 5 6 4 3. versszak 7 5 8 6 7 8 6. A páratlan rímek háromszor ismétlődnek 3, 3-as közökkel, a párosak pedig négyszer, a megfelelő 2, 4, 2-es közökkel. 3. CSOPORTOK A matematika a nyelv és a zene mellett az emberi értelem szabad alkotóerejének egyik elsődleges megnyilvánulása. Hermann Weyl 3.1. A csoport struktúrája és a metatézis. A bináris művelet olyan varázslatos doboz – ajtóval a bal, a jobb és a felső oldalán. Ha mindkét oldalról behelyezünk egy-egy elemet, a doboz működésbe lép, és létrehoz valamit, amit már ki lehet venni a tetején. Matematikailag ezt így írjuk fel: a □ b = c. Az egyszerűség kedvéért a doboz jelölésére nem a „□” szimbólumot, hanem a szabványos „·” jelet használjuk. A (Γ, ·) csoport olyan halmaz bináris művelettel, amelynek elemei eleget tesznek a következő axiómáknak: 1) Semleges elem (egységelem): létezik olyan e ∈ Γ, hogy a · e = e · a = a minden a ∈ Γ esetén; 2) Inverz elem: minden a-hoz létezik olyan b, hogy a · b = e; Straipsniai / Articles 243 GIEDRIUS ALKAUSKAS 3) Asszociativitás: a · (b · c) = (a · b) · c. Ezen axiómák alapján bizonyítható, hogy a neutrális elem egyetlen, akárcsak minden elem inverze. Ez utóbbit ekkor a⁻¹-gyel jelöljük. A bináris művelet az a · b = b · a egyenlőséget is kielégítheti. Az ilyen csoportot kommutatív csoportnak nevezzük. A valós világban ez atipikus: hiszen nem mindegy, hogy előbb a zoknit húzzuk fel, vagy a cipőt vesszük fel. Az sem mindegy, mi történik előbb: a busz megállása vagy az utas kiugrása belőle³³. A csoportban az egységelem után a legegyszerűbbek a másodrendű elemek (ha léteznek), amelyekre a · a = e teljesül. Ezeket tükrözéseknek vagy involúcióknak nevezzük. A tükörkép témája a nyelvészetben korántsem új. Így értelmezhető a metatézis is (lit. kepti // szláv. nekмu), valamint Algirdas Patackas által kidolgozott átalakulási törvény (Patackas 2014: 85), amely a szavak jelentésbeli és szimbolikus kapcsolatait írja le: plat-us // talp-us; gyl-is // lyg-is³⁴ stb. A nyelvészek jogos kritikája ellenére az utóbbi jelenséget nem kellene teljesen tudománytalanként elutasítani (Saudargas 2014: 100). Annál is inkább, mivel Dainius Razauskas szerint, „A. Patackas és A. Žarskus munkái egy szempontból továbbra is aktuálisak. Nevezetesen abban, hogy bennük felfedezhető S. Valentas legmagasabb filológiai szinten [a Mė(lynojo)nulio lingvistika című könyvben] vizsgált nyelvi jelenség felfedezésének kísérlete nem a szerzői költészetben, hanem magában a litván nyelvben” (Razauskas 2006: 59). A tükörkép témája folytatható, de egészen más elv alapján. Nevezzük ezt fordított szövegtervezésnek (ATD). Olyan alkotási forma ez, amelyben az előzetes szabályok miatt a szöveg létrehozásának eszközei korlátozottak, miközben teljes szabadság marad annak értelmezésére, a kontextuson, utalásokon és manipulációkon keresztüli jelentéssel való felruházására. Az alábbiakban szerzői példák következnek. Az említett előzetes szabály már néhány közülük után világossá válik. 3.2. Szöveg. Metatézises mesék – metamorfikus elhallgatások, avagy a kétjegyű szavak nyelvi boncolása x(e) (ė) (ie)-l (ė) (ia) (iai) (e) témájában *** A fagyokról és a november elkerülhetetlen túlsó oldaláról VIRÁGOK HERVADNAK – ÚJRA VIRÁGZANAK A HERVADÁSOK. *** A március hónapban kivilágosodó ainok életéről az Išikario folyó mellett 33 Lényegében itt olyan függvénykompozícióról van szó, amely definíció szerint már asszociatív, kommutativitása azonban rendkívül ritka tulajdonság. 34 Különösen érdekes matematikai esetek: hosszúság – térfogat, vertikális – horizontális. 244 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos SAKUROS VĖLELĖ. VAKARO SĖLIAI. *** Regény a hegedűcselló iránti szerencsétlen szerelemről szóló szólóra: GĖLĖS RĖŽIA – ČĖLĖ GRIEŽIA. *** Meséje a halhatatlan reményről és a felvert tejszínről: VIENOS PĖLĖS PIENĄ VELIA. *** A Nagy-tavak vidékén élő odzsibvék paradicsoma ESZI A ZSELÉT, KÉMELI A LELKET. *** A határtalan kíváncsiságról és a gyermekkori játékrobotokról SZELETEL – BÁBU. MARAD A REBÁBU. *** Szovijusz mítosza és a halottak vízbe temetése KÉSNEK A LELKEK. KÉT LELKEZIK. *** Amint a földön, úgy az égben is (történet a madarak királynőjéről, aki mintha égi Marie Antoinette lett volna, s az éhínség idején így vágott vissza azoknak, akik ételt kértek tőle: „Nincs kenyér? Egyenek kalácsot!”) FORR AZ ÉLESZTŐ – ÉTEL A KELŐNEK. *** A latgalok Deltuva és Nalšia felé irányuló vándorlása a VII. században LASSAN VÁNDOROLNAK. VÁNDOROLNAK LASSAN. *** A Megváltó prédikációja az elveszített földiességről és az ezáltal elnyert mennyei mivoltról (Lk 9, 24, csupán a Skapiškis-i piacon elmesélve) A LELKEK TESTEI – A HOLTAK TESTEI. *** A történet egy öreg szadduceusról, aki ültetgetés közben felfedezett egy tégladarabot a második jeruzsálemi templomból A DARAB FELEMELKEDETT. A GABONADARAB ZÚGOTT. A KABBALA VIRÁGZOTT. *** A gyűjtögetők és vadászok ősi közösségéről (amelyben a vadászok is gyűjtögetőkké válnak, amikor csapdákat használnak) AZ EGEREK BELEGABALYODNAK – A NYILAK REPÜLNEK. *** A történet Attila hunról, aki minden lovagiasság nélkül nyerte el Ildikó kezét: GYORS NYÍL – LOVAS VIRÁG. *** Straipsniai / Articles 245 GIEDRIUS ALKAUSKAS Mi egy nagy dolog csekély, ám leglényegesebb része? FÚRÓSZÁRAK – KERÉK, RELÉK – DRÓT. *** Itt minden logikus. A fizikusok megerősítik, hogy a fúró (n. svet. drelė) alapvető mechanizmusa a csavar, a reléé pedig a huzal (sen. svet. drato) meneteiből és ferromágnesből álló elektromágnes. Az ATD alkalmazására más sémákat is ki lehet találni. Vegyünk jellegzetes mondatokat, közmondásokat, csak éppen oximoronokká vagy szójátékokká alakítva. Például, sehová sem tűnsz el – innen kell eltűnnöd; még nem ég, fel kell gyújtani a hidat; még meglátjuk, vajon azt meglátjuk-e; ezt időtlen idők óta emlegetem; ez a kultusz már nem kultiválható; senki sem készül levetkőzni és így tovább. A legérdekesebb természetesen egy ilyen egysorost értelmezni. Az az elképzelés azonban, hogy a vers címének szemantikai töltete meghatározó lehet, egyáltalán nem új – S. Geda könyvében, a Skrynelė dvasios pagauti (Geda 1994) címűben található versek egy része csak a posteriori, a cím ismételt elolvasása után fejthető meg. 3.3. Szinonímia és az egységből származó gyökök. Először is, a meghatározás: „Valódi szinonimáknak azokat a hasonló vagy azonos jelentésű szavakat nevezzük, amelyek ugyanazt a fogalmat jelölik, és különféle jelentésárnyalatok vagy stiláris sajátosságok megjelölésére használatosak. [...] A poliszémia következtében egy szó egyes jelentései révén szinonim kapcsolatba kerülhet bizonyos szavakkal, más jelentései révén pedig más szavakkal” (Lyberis 1981: 3). Képzeljük el most, hogy az α₁ és α₂ szavak valódi szinonimák. Ideografikus, műfaji, érzelmi, képzett – mindegyik megfelel. Lehetnek szótárban rögzítettek vagy újonnan konstruáltak is, amennyiben a nyelvi érzék nem mond ellent a nekik tulajdonított szinonimitásnak. Ezt a viszonyt jelöljük α₁~α₂-vel. Legyen most az α₁, α₂, α₃,..., αₙ sorozatban minden szomszédos pár szinonima (a különböző párokban ugyanaz a szó homonimikusan is használható). Ha olyan példákat keresnénk, amelyekben α₁~αₙ, nehezen kerülhetnénk el a szinonimák egyetlen kötegét. Ám a további követelmény, hogy ∃ p, 1 < p < n: α₁ ≁ αₚ, már megteremti a szükséges feszültséget. A következő kérdés: mikor áll fenn α₁~−αₙ? Más szavakkal: vezethet-e a szinonimák láncolata antonimához? Ebben a kérdésben rejlik a költészet. Éppen a relatív (metafora) és az abszolút viszonyában. Lyberist ismét idézve: „Tél, fehér leplekkel betakarva, leharapja zöld bimbótokat (Maironis). Itt a patalai szó csak a kontextusban nyeri el a ‘hó’ jelentést, és szemléletes metafora” (ugyanott). Valóban, a metafora egyik fajtája a kontextusba helyezés, amely különböző szavaknak vagy kifejezéseknek szinonimajegyeket kölcsönöz. A kontextusba helyezést azonban felválthatja az algoritmus ritmusa, amely az α₁ szót szinonimák láncolatán keresztül elvezeti az αₙ szóhoz. Így ez a láncolat metaforajegyekre tesz szert. A nyelvi intuícióval nem összeütköző szinonimák ál-példáinak létrehozása szintén jó költészet lehet. 246 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Legyen n ∈ ℕ. Az α komplex számot n-edik fokú, mínusz egyből vont gyökérnek nevezzük, ha αⁿ = −1. Például i² = −1, (¹⁄₂ + ³⁄₂i)³ = −1³⁵, az α₁~−αₙ lánc pedig a mínusz egyből vont gyökér nyelvi analógja. Például: šiluma, kaitra, džiuova, liga, šaltkrėtis, šalimas, šaltis. A džiuova szó itt homonim módon szerepel – egyrészt „aszály”, másrészt „tuberkulózis” jelentésben. Lyberis megfogalmazásában a szinonima árnyalat. Az optikai szín szinonimája lehet egy másik, kétszeres hullámfrekvenciájú szín is. Tegyük fel, hogy a határvörös fény (400 terahertz) szinonimája az ibolya (800 terahertz). Ha ez az optikában nem kellően meggyőző (mindkét frekvencia a látható fény határvidékén van), akkor az akusztika segít, mivel a megkettőzött frekvencia egyértelműen szinonim (azonos nevű) tiszta oktávintervallumnak felel meg (például az első és a második oktáv szólá­jának). Ezért az optika és az akusztika esetében az antonima pontosan középen lenne, ott, ahol a hullámfrekvenciák aránya √2 ≈ 1.4142. Nyilvánvaló azonban, hogy az egyiktől a másikig lassan haladva pusztán árnyalatokon és visszhangokon át lehet eljutni³⁶. A nyelv kontextusában az ilyen esetek szingulárisak. Ettől érdekesebbek. A fent bemutatott šilumos – šalčio példa talán nem különösebben érdekes (nem is kerestünk jót), de maga a téma mélyen megérint valamit a nyelvi összekapcsolódásban. Már csak a zsinórt kell továbbtekerni³⁷. 4. A KÖLTÉSZET MATEMATIKAI ALKALMAZÁSAI Szibériában csak a reáltudományok – a fizika és a matematika – iránt kezdtem érdeklődni. Éjszakánként mindkettő elméletét tanulmányoztam, verseket írtam. Kun. Česlovas Kavaliauskas 4.1. Arkhimédészi állandó. A π szám a nevezett periódusok³⁸ közül a legfontosabb. Ennek az állandónak az értéke a kör kerületének és átmérőjének arányával egyenlő, megközelítőleg ³⁵ Az i képzetes egység, amely kielégíti az i² = −1 egyenlőséget, a matematikai platóni valóságban valódi, létező objektum, de ez a félrevezető elnevezés történelmileg meghonosodott. ³⁶ A közeli frekvenciájú akusztikus hullámok az úgynevezett lebegés effektusa miatt erősen disszonálnak. De ha a visszhang – az emlékezetből visszaadott hang (hír), amelynek frekvenciája kissé eltérhet az eredetitől –, akkor a visszhang az optikai árnyalat közvetlen analógjává válik. ³⁷ Ezzel az ügyetlen allegóriával ellentétes jelentésű a odébbállni frazeologizmus, amelynek mindkét eleme egyébként az első elem részeinek csaknem lexikai szinonimája. ³⁸ A periódusok pontos meghatározása meglehetősen technikai jellegű (lásd Kontsevich, Zagier 2001). Straipsniai / Articles 247 GIEDRIUS ALKAUSKAS 3.1415926535897932384626433832795. Ez, igaz, nem elsődleges meghatározás. A síkbeli euklideszi geometria egyenesekkel és pontokkal operál, amelyek egymáshoz való viszonyát Eukleidész posztulátumai írják le. A pont és az egyenes matematikai értelemben vett szavakat hallva valós objektumokat képzelünk el, de csak olyan fogalmakkal lehet operálni, amelyek előre meghatározott, axiómáknak nevezett kapcsolatoknak engedelmeskednek. Ezek adottságok, magvak, amelyekből a hajtások (tételek), majd a termés (az elmélet) nő ki. Az axióma egyik példája: Egy adott egyenesen nem fekvő ponton keresztül egyetlen olyan egyenes húzható, amely azt nem metszi. Ez a híres ötödik euklideszi posztulátum (axióma), amelyet sokáig megpróbáltak levezetni a többiből. Ha ez sikerült volna, az ötödikre többé nem lett volna szükség. Felidézhetjük a matematikus és költő Omar Khajjám művét, Az euklideszi könyv első posztulátumainak kommentárjai (kb. 1100), amelyben úgy vélte, megtalálta a levezetést. Sajnos a XIX. században bebizonyították, hogy Eukleidész ötödik posztulátuma független a többitől. Alternatívái alapozták meg az úgynevezett nem euklideszi geometriákat. Ezekről Ivan Karamazov a következőket mondta Aljosának: «Közben voltak és még most is vannak geometrák és filozófusok, mégpedig a legkiválóbbak közül is, akik kételkednek abban, hogy az egész világegyetem, vagy még tágabban: minden létező csupán az euklideszi geometria szerint teremtetett; sőt azt is merészelik álmodni, hogy a két párhuzamos egyenes, amelyek Eukleidész szerint semmiképpen sem találkozhatnak a földön, talán valahol a végtelenben mégis találkozhatnak» (Dostojevskis 1879: 396). A szerző azonban, mellesleg, itt nem egészen pontos: amikor nem euklideszi geometriát említ, inkább a projektív geometria lényegét írja le. Ez utóbbiban mindig igaz a következő állítás: két nem egybeeső egyenes egyetlen pontban metszi egymást. Ennek a geometriának még az a sajátossága is megvan, hogy bármely tételében a pont és az egyenes fogalmát felcserélve igaz tételt kapunk. Az előbbi állítás duális megfelelője: két különböző ponton egyetlen egyenes halad át. Ugyanakkor ez kiválóan szemlélteti, hogy az egyenes és a pont csupán absztrakciók. Képzeljünk el egy képzeletbeli séli nyelvet, amelyben a teisė és a taskis szavak jelentése fel van cserélve: ekkor minden litván tétel séliül is érvényes lesz. Annak kiemelésére, miként különbözik a matematikai absztrakció a képzeletben lévő tárgytól, megjegyzendő, hogy a projektív sík egyik modellje egy rögzített nullponttal, O-val rendelkező háromdimenziós tér, amelyben a „pont” az O ponton áthaladó egyenes, a „két ponton átmenő egyenes” pedig két ilyen egyenesen át fektetett sík. Ezért Dosztojevszkij mellett rendkívül jól illik ide Justinas Marcinkevičius is: Mindvégig egyetlen pontot keresek, Mindvégig egyetlen szót keresek... amelyből minden egyenes kiindul. [...] Bár tudom, hogy soha nem találom meg (DALP2 18). 248 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Az intuitív π-definíció hiánya most egyszerűen megmagyarázható. Az euklideszi geometria keretei között egyszerűen lehetetlen meghatározni a görbék (például a kör) hosszát. Ehhez a matematika egy másik ágára, az analízisre van szükség, saját axiómákkal. A π elsődleges definíciója meglepetést kelthet: Ez az integrál kiváló ugródeszka Dante „Paradicsoma” 33. énekének 45. tercinájához: Qual è’l geometra che tutto s’affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond’elli indige. Mondhatnád: a geometrikus, aki megpróbálta négyzetté alakítani a kört, végül felismerve, hogy hiába erőlködik és gyötrődik. Miért meglehetősen pontos fordítás ebben az esetben az kör megmérése és a kör négyzetté alakítása? Dante az ókori kör négyzetesítésének problémájáról beszél. Ez azt kérdezte, hogy vajon pusztán körző és vonalzó segítségével megszerkeszthető-e olyan négyzet, amelynek területe megegyezik az egységnyi kör területével. Azt, hogy a válasz nemleges, Ferdinand von Lindemann bizonyította be 1882-ben. Nem merülünk el jobban a részletekben – a „Commedia” ezen részlete, a teológia, a költészet és a matematika tökéletes tridiszciplinaritása, meglehetősen jól fel van dolgozva (Herzman, Towsley 1994). A π-ről, valamint magának a költeménynek a geometriai szerkezetéről, amelyet maga a szerző precízen megtervezett (lásd Hart 1987). A kör négyzetesítésének problémáját – megoldhatatlanságát a ugyanazon bűncselekményekért kiszabott büntetések kiegyenlítésével összevetve – Dosztojevszkij a „Feljegyzések a holtak házából” című művében említi. Ezt a tényt egyébként kihagyták a The Palgrave Handbook of Literature and Mathematics (PHLM) egyébként meglehetősen átfogó gyűjteményéből. 4.2. Mnemonikák. Darijo Kasteljanos (Castellanos 1988: 152–153) különböző nyelvek mnemonikáit tárgyalja, amelyek segítenek megjegyezni a π számjegyeit a decimális számrendszerben. A kódolás itt egyszerű: a szó betűinek száma megfelel a számjegynek. Ismert angol változat, valamivel kevésbé ismert görög változat: How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics! Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον... A szerző ezután francia és spanyol nyelvű, rímelő példákat közöl. Nyilvánvaló (és ezt kutatások is megerősítik), hogy e célra a költészet alkalmasabb, mint a próza (Levitin 1999: 200–211). Valóban, az emberi emlékezet meglehetősen gyenge a részletek tekintetében: egy átlagos beszélgetésből a legtöbben csak a lényeget, az érzelmet, a hangulatot jegyzik meg. E tény fényében a régi balladák és eposzok előadóinak emlékezete szinte fenomenálisnak tűnik. A kutatások azonban feltárták, hogy az előadók nem jegyeznek meg minden részletet: a ritmus, a rím, az alliterációk, a melodika, a grammatika és a szemantika korlátozzák a szöveg szabadságát, ami egyben segít elkerülni a hibákat. Straipsniai / Articles 249 GIEDRIUS ALKAUSKAS Ugyanígy a taktilis érzékelés is keretbe foglalja a zongoristák emlékezetét. Egy szünet után azonban tizenegy eposzénekes újbóli vizsgálata kimutatta, hogy a szöveget nem mindig ismétlik meg azonosan, hanem szemantikai és költői megszorításoknak engedelmeskednek: a lexika szinonimikusan változik, a jelentés megváltoztatása nélkül pedig a halvérű szavakat olykor másokkal helyettesítik. Az emlékezeti rekordok összefüggésében éppen ebben rejlik a lehetséges veszély. Az elénekelt költészet a π számos számjegyét kódolja, de egy szerencsétlen szinonima mindent tönkretehet. Például Castellanos (Castellanos 1988: 153) egy 1717-ben keletkezett francia verset közöl, amely π 126 számjegyének kiszámításán alapul. Sajnos a 113. hibás. Ennek észlelésekor a secteur (7 betű) szót quadrant (8), a vele rímelő antérieur (9) szót pedig précédent (9) szóra kellett cserélni. Ennek a kódolásnak van még egy hiányossága. Kétségtelen (bár ez még nem bizonyított), hogy a π szám minden számrendszerben normalusis. Vagyis decimális alakjában a 0 számjegy aszimptotikusan 1/1039 valószínűséggel fordul elő. Mivel nincsenek betű nélküli szavak, a nullát tízbetűs szavak kódolhatják. Másodszor, az egybetűs szavak közül a költészetben előfordul az o és az į, néhány indulatszó, nyelvjárási szó40, valamint az ábécé betűi41 is meglehetősen gyakran használatosak. Nyilvánvaló azonban, hogy ha minden tizedik szó egybetűs, a szöveg nem lesz természetes. Mindezeket a szavakat külön osztályba kell sorolni – legyen az egybetűs, hogy semmit se kódoljanak. 4.3. Az emlékezet ellenőrzése. Az emlékezet megbízhatatlansága miatt a probléma megoldására részletekbe menő javaslatot kínál az algoritmus, amelyet vonalkódokban és különféle rendeltetésű QR- (quick response) kódokban, hitelkártyaszámokban, valamint az ISBN- és EAN-rendszerek szerinti könyvazonosítókban alkalmaznak. Nevezetesen, a ellenőrzőösszeg-módszer (Stakėnas 2007: 127). Ha meg kell jegyezni a 3603735 számjegyeit, a legegyszerűbb ellenőrző számjegy a 3 + 6 + 0 + 3 + 7 + 3 + 5 mod 10 = 7 lenne. Így a már a könyvek is úgy sorakoznak, mint a deszkácskák a pad elején⁴² sor szöveghosszúságának ellenőrzésére ki lehet egészíteni egy hétbetűs szóval, például: már a könyvek is úgy sorakoznak, mint a deszkácskák a pad elején (sajnos ez a trópust elrontja). A szöveg formájának engedelmeskedő némely hibákat (már → és, mint → ahogy) észreveszik majd, de ha a szavaló véletlenül felcserélné 39 Tegyük fel, be kell bizonyítani, hogy a 𝒜 halmaz olyan tulajdonsággal rendelkezik, amely nem jellemző egy tipikus, statisztikai halmazra. Ezért létezik valamiféle, a 𝒜-t korlátozó belső struktúra, és a halmaz nem engedelmeskedik a statisztikának. A szükséges tulajdonságot gyakran éppen e struktúra megragadásával bizonyítják. Másfelől azok a feladatok, amelyekben azt kell bizonyítani, hogy egy konkrét halmaz (a π számjegyeinek sorozata) engedelmeskedik a statisztikai törvényeknek, a legbonyolultabbak. 40 Az „Anykščių šilelis” híres Ė-je (o, bet, ogi). 41 Juozas Erlickas kedvelt stilisztikai eszköze, például: „Daug daugiau suteikia sielai / džiaugsmo ir t. t.”, „Aš tartum traukinys kuris kursavo / Iš A į B ir dingo C paskui” és így tovább. 42 Egy sor S. Geda „Karvaičių kaime, kuris užpustytas smėlio” című verséből, csak az eredeti ir át lett cserélve jau-ra. 250 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos a szavakat könyvek és egymás mellé helyezve a jambus s1 cezúráját nem rontaná el, de ennek a hibának az ellenőrző számjegye sajnos nem jelezné. A matematika mégis jelentősebben segíthet, mivel a választott algoritmus nem elég jó. Ha Luhn-formulát használnánk, az jelezné mind az egyetlen számjegy eltérését, mind pedig két szomszédos számjegy felcserélésének szinte valamennyi hibáját (csak a 09 ↔ 90 hibát nem venné észre). 4.4. Algoritmus. Adott a számjegyek véges sorozata {s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, s₆,..., sᵣ}. 1. Ezt a K sorozattal helyettesítjük = {2s₁, s₂, 2s₃, s₄, 2s₅, s₆,...}, azaz minden második tagot megduplázunk. 2. A K-ban található valamennyi kétjegyű számot felváltjuk a számjegyeik összegével (például 12 → 3, 14 → 5 stb.), így kapjuk az L sorozatot. 3. Az összes L-beli tagot összeadjuk, és a kívánt ellenőrző számjegy ezzel az összeggel egyenlő modulo 10. Például vizsgáljuk meg ismét a 3603735-öt. Itt K = {6, 6, 0, 3, 14, 3, 10}, L = {6, 6, 0, 3, 5, 3, 1}. Az ellenőrző számjegy 6 + 6 + 0 + 3 + 5 + 3 + 1 modulo 10 = 4, ezért a galo szó több lehetséges hibát fog rögzíteni, mint a priekinio szó. A mnemonikus ellenőrző algoritmust most csak hozzávetőlegesen írjuk le, mivel előbb el kell végezni a mintaszöveg alapos statisztikai elemzését, és meg kell tárgyalni a lehetséges komplikációkat. Ezután a Luhn-módszer helyett jobb a holland matematikus, Jacobus Verhoeff által kidolgozott algoritmust használni, amely még több hibát ismer fel, többek között a 09 ↔ 90⁴³ esetet. A mnemonikus szöveget klasszikus tercinákban írjuk, amelyekben minden sor 11 szótagból áll. Egy kis statisztika. A grafikon Sigitas Geda „Pokol” című műve X. énekének lefordí-tott mind a 45 tercettjének betűkben mért hosszát ábrázolja (az írásjeleket nem számítjuk). A 7., 11., 21., 23., 30. és 33. tercettben található egy-egy sor kivételével minden sor 11 szótagos (ezekben a szótagok száma 9 vagy 13). A matematikailag „nem dantei” sorokat kiigazítottuk. Ezt a már szigorúan hendekaszillabikus jambikus szöveget használjuk a statisztikához. A tercettekben a betűk átlagos száma 84,44, egy szótag átlagosan 2,558 betűből áll. A fekete vonal a lineárisan interpolált⁴⁴ normált eloszlásfüggvényt jelöli. Algoritmus. Legyen {pₛ, s ∈ N} a π számjegyeinek sorozata. Vagyis p₁ = 3, p₂ = 1, p₃ = 4, p₄ = 1, p₅ = 5 és így tovább. Osszuk fel a számjegyeket 10-es blokkokra. Ezután minden blokkot egészítsünk ki egy ellenőrző számjeggyel a következő alapján 43 A holland nyelvben a számokat általában párokban olvassák. J. Verhoeff a postai irányítószámokat vizsgálva kiszámította, hogy azok a fonetikai hibák, amelyek során az 1x számot összetévesztik az x1-gyel (például a 15-öt, Vijftien és az 50-et, Vijftig), az összes hiba 0,49 százalékát teszik ki. Ez csekély, de észlelhető részarány. 44 Egy véletlen Z változó eloszlásfüggvénye F(x) = P(Z < x) azt a valószínűséget mutatja, amellyel az x-nél kisebb értéket vesz fel. Az ilyen függvény maximuma 1. A grafikonon ezt az értéket 5-tel megszorozták, hogy minden adat elférjen egyetlen ábrán. Straipsniai / Articles 251 GIEDRIUS ALKAUSKAS A Luhn-formulát, amelyet beillesztünk a sorozatba. Legyen az így kapott új sorozat {qₛ, s ∈ N}. Minden 0-t cseréljünk 12-re, minden fennmaradó s számjegyet pedig s + 2-re. Legyen R = {rₛ, s ∈ N} az így kapott sorozat. Az egyszótagú és kétszótagú szavak a vers–mnemonik létrehozásakor bármikor használhatók, a dekódolás során figyelmen kívül maradnak. Tegyük fel, hogy az R sorozat első v eleme már versszakokba van osztva. Az R sorozat elemeinek átlagos értéke (3+12)/2 = 7,5. Legyen j − 1 a legnagyobb természetes szám, amelyre rᵥ₊₁ + rᵥ₊₂ + … + rᵥ₊ⱼ₋₁ < 80 (ezt a határt azért választottuk, hogy a sorozat következő elemének hozzáadásával átlagosan megkapjuk a tercettben hiányzó betűmennyiség átlagát, azaz 84,5-öt). A következő versszakot rᵥ₊₁, rᵥ₊₂, …, rᵥ₊ⱼ hosszúságú szavak alkotják majd. Már csak a megfelelő tercettet kell létrehozni. Egyébként ez a kódolás más jellegű, nevezetesen a hiányzó vagy többletszavakból eredő hibát is rögzíti. Például két szót mondtak el, amikor egyre lett volna szükség (ugyanabban a menyhalas példában: glaudžiai guli ↔ suguldytos). Egy ilyen tévesztés után szinte valamennyi ellenőrző számjegy hibát jelez, ezért könnyű megállapítani, melyik versszakban változott meg a szavak száma. ⁴ ÁBRA. A „Pokol” X. énekének tercettjei egy adott betűszámhoz Egy valódi algoritmushoz minden lehetséges komplikációt meg kell vizsgálni. Az, hogy a Luhn-formula nem érzékeli a 09 ↔ 90 hibát, azt jelenti, hogy az ellenőrző szám nem jelzi, ha a deklarálás során felcserélnék a 12 és 11 betűs szavakat. Ez elvileg lehetséges két szótagú versmértékben (például šakiabarzdis jaunikaitis⁴⁵). Ebben a fejezetben nem törekedtünk a legjobb algoritmus létrehozására, azonban nyilvánvaló, hogy az erőfeszítés értelmes. Egy tökéletesebb algoritmus feltárná a beszélt, az irodalmi és a költői-metrikus nyelv közötti finomabb statisztikai különbségeket is. Ezt kutatta J. Girdzijauskas is, csak kissé másképpen. ⁴⁵ Maironis balladájának, a „Čičinskas”-nak módosított sora: „ožkabarzdis jaunikaitis”. Sven Šakiabarzdis (Svein Tjugeskjegg, 963–1014) dán király volt. 252 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Az egész „Pokol” mintegy 25 000 litván szóból áll. Az eposzok énekesei bebizonyították, hogy az emberi agy ennyit képes megtanulni. A ellenőrző elemek elhagyásával mintegy 22 000 számjegy marad. 40 évvel ezelőtt körülbelül ekkora volt a világrekord π emlékezeti rekordja is (ma már meghaladja a 70 000-et). De mi értelme megtanulni ezeket a puszta számokat? Egészen más a helyzet, amikor van egy költemény, amelyben az érdekes matematika csupán mellékes eredmény. 5. KÖVETKEZTETÉSEK Két művészet, két tudomány, illetve a művészet és a tudomány kölcsönhatása, valamint a bidiszciplinaritás több veszélyt rejt, mint amennyi új lehetőséget kínál. A tanulmány arra törekedett, hogy feltárja az ilyen kapcsolatok lehetséges hiányosságait: a profanizációt, amikor az egyik művészet / tudomány a kettő kölcsönhatásában rendkívül elemi szinten vesz részt; a mesterséges adaptációt, amikor az egyik művészet / tudomány aláveti magát a másik törvényeinek, vagy amikor az alkotó elfogultan közelít a szövetséghez (ilyen a természettudományok képviselőinek zenéről és matematikáról szóló szövegeinek nagy része); egy elismert géniusz (Baranauskas, Dante, Goethe stb.) alkotásának és személyiségének külső dezinegrálását, amikor annak / az ő viszonylag mellékes tevékenységét a fő tevékenységtől elszigetelten szemlélik; a kognitív-emocionális működés-hatás eltérő mechanizmusait. Ugyanakkor számos példa van arra, hogy az ilyen kapcsolatok beválnak. A tanulmány feltárta, hogy a matematika és a költészet, valamint a matematika és a nyelv esetében kifejezetlen és kifejezett kölcsönhatások lehetségesek. Az előbbiek közé azok a költői formák sorolhatók, amelyek elméleti megalapozásához matematikai eszközökre van szükség, magában a költészetben azonban ezek az eszközök már nem maradnak meg. A kifejezett kölcsönhatások közé sorolhatók a fordított szövegtervezés különféle esetei, amikor a matematika és a grammatika korlátozza a szövegalkotás lehetőségeit (ez összevethető a zenei harmónia különféle elméleteivel – a diatonikával, a szerializmussal, a proporcionális kánonokkal stb.), valamint a költészet matematikai alkalmazásai, amelyek – bár önmagukban nem különösebben funkcionálisak – mélyebb jelenségeket tárnak fel a költői nyelvről és formáról. LITERATŪRA Alkauskas Giedrius 2018: Music-Mathematics Interconnections: An Approach through Science (Works by Mathematicians), and an Approach through the Arts (Musica mathematica by Rima Povilionienė). – Lietuvos muzikologija 19, 331–350. Alkauskas Giedrius 2019: Kalba poezijoje: filologija vs. biofilija. – Acta Linguistica Lithuanica 81, 235–250. Straipsniai / Articles 253 GIEDRIUS ALKAUSKAS Alkauskas Giedrius 2020: Prasmė легируota garsu: poezija kaip muzika. – Acta Linguistica Lithuanica 83, 331–350. Alkauskas Giedrius 2022: Raštijos dėliȯnė kaip kūrybos kodas. – Kultūros barai 1/2, 35–43. Baranauskas Antanas 1994: Rinktinė: poezija, giesmės, dienoraštis, laiškai, sud. R. Mikšytė, Vilnius: Baltos lankos. Baranauskas Antanas 1995: Raštai 1 (Poezija), par. R. Mikšytė, M. Daškus, Vilnius: Baltos lankos. Castellanos Dario 1988: The Ubiquitous π. – Mathematics Magazine 61(3), 148–163. DALP2 – Dvidešimto amžiaus lietuvių poezija 2, sud. V. Kubilius, Vilnius: Vaga, 1995. Dantė 2007: Dieviškoji Komedija: Pragaras, vertė S. Geda, Vilnius: Lietuvos rašytojų sąjungos leidykla. Elliot Thomas S. 1921: Dantė, vertė K. Platelis. – Dieviškoji Komedija: Pragaras, vertė S. Geda, Vilnius: Lietuvos rašytojų sąjungos leidykla, 388–409. Geda Sigitas 1994: Skrynėlė dvasioms pagauti: eilėraščiai, Vilnius: Vaga. Geda Sigitas, 1998: Man gražiausias klebonas – var nėnas: interviu, Vilnius: Vaga. Girdzijauskas Juozas 1978: Tarp silabotonikos ir verl ibro: sinkopis lietuvių poezijoje. – Poezijos pavasaris, Vilnius: Vaga, 220–235. Girdzijauskas Juozas 2001: Eliedara. – Lietuvos literatūros enciklopedija, Vilnius: Lietuvos literatūros ir tautosakos institutas, 125–127. Grinbaum Oleg N. 2002: Гринбаум Олег Н. Строка, строфа и стих как ритмическая система [Stroka, strofa i stikh kak rifmicheskaja sistema]. – Материалы XXXI Всероссийской научно-методич. конф. преподав. и аспир. Филологического ф-та СПбГУ [Materialy XXXI Vserossiiskoi nauchno-metodich. konf. prepodav. i aspir. Filologicheskogo f-ta SPbGU] 4(2), 12–28. Harris Zellig 1969: Mathematical linguistics. – The Mathematical Sciences. A Collection of Essays, Cambridge, Mass.: M.I.T. Press, 190–196. Hart Thomas Elwood 1987: The Cristo–Rhymes and Polyvalence as a Principle of Structure in Dante’s “Commedia”. – Dante Studies 105, 1–42. Herzman Ronald B., Towsley Gary W. 1994: Squaring the Circle: “Paradiso” 33 and the Poetics of Geometry. – Traditio 49, 95–125. HNL – Handbook of the Neuroscience of Language, eds. B. Stemmer, H. Whitaker, USA: Academic Press Elsevier, 2008. 254 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Kontsevich Maxim, Zagier Don 2001: Periods. – Mathematics unlimited 2001 and beyond, Berlin, New York City: Springer, 771–808. Kubilius Jonas 2001: Antanas Baranauskas ir matematika, ser. Iš Lietuvos matematikos istorijos, kn. 1, Vilnius: Matematikos ir informatikos institutas. Levitin Daniel J. 1999: Mechanisms of Memory for Musical Attributes. – Music, Cognition, and Computerized Sound: An Introduction to Psychoacoustics 1, ed. P. R. Cook, Cambridge, Mass: M.I.T. Press. LKŽe – Lietuvių kalbos žodynas 1–20 (1941–2002), red. kolegija G. Naktinienė, J. Paulauskas, R. Petrokienė, V. Vitkauskas, J. Zabarskaitė, vyr. red. G. Naktinienė, e. variantas, Vilnius: Lietuvių kalbos institutas, 2008 (atnaujinta versija, 2017). Prieiga internete: https://ekalba.lt/lietuviu-kalbos-zodynas. Mačys-Kėkštas Jonas 1910: Eilės, Pittsburg: Leidimas ir spauda Brolių Baltrušaičių. Matulaitienė Stasė 1997: Poezijos gramatika, Vilnius: Gimtasis žodis. Pekarskas Vidmantas 2003: Pirmųjų lietuviškų matematikos terminų istorijos fragmentai. – α+ω 3, 76–86. Prieiga internete: http://web.vu.lt/mif/v.stakenas/a+o/2003-3/2003-3-74-86.pdf Povilionienė Rima 2013: Musica Mathematica: tradicijos ir inovacijos šiuolaikinėje muzikoje, Vilnius: Lietuvos muzikos ir teatro akademija. Prieiga internete: https://www.tornado-beta.lt/en/musica-mathematica/. Razauskas Dainius 2008: Mė(lynas)nulis ir dangaus kiaulių paslaptis: „žaidimas žodžiais“ lietuvių tradicijoje. – Liaudies kultūra 6, 58–60. Ruseckienė Rasa, vert. 2017: Edda. Snorri Sturluson, atsak. red. I. Steponavičiūtė-Aleksiejūnienė, Vilnius: VšĮ Akademinė leidyba. Stakėnas Vilius 2007: Kodai ir šifrai: informacijos kodavimo ir kriptografijos pagrindai, Vilnius: TEV, Vilniaus Universitetas. Stankevičius Rimvydas, sud., 2015: A. Kalanavičius. Dvi saujos laiko: eilėraščiai (kartu su P. Dumšiene), Vilnius: Lietuvos rašytojų sąjungos leidykla. Steponaitis Edmundas 1998: Rinktinė, par., įvadą ir komentarus parašė R. Karmalavičius, Poezijos biblioteka Versmės, Vilnius: Vaga. Subačius Giedrius 2010: Lietuvių kalbos ekspertai Rusijos imperijos tarnyboje, Vilnius: Lietuvių kalbos instituto leidykla. Valentas Skirmantas 1997: Lingvistinis pasaulis poezijoje, Vilnius: Mokslo ir enciklopedijų leidybos institutas. Straipsniai / Articles 255 GIEDRIUS ALKAUSKAS MTŽ – Matematikos terminų žodynas, red. J. Kubilius, Vilnius: Mokslo ir enciklopedijų leidykla, 1994. OEIS – The online encyclopedia of integer sequences, seka A065619. Prieiga internete: https://oeis.org/A065619. PE – Poetinė Eda, vertė A. Vijūnas, Vilnius: Aidai, 2009. PHLM – The Palgrave Handbook of Literature and Mathematics, eds. R. Tubbs, A. Jenkins, N. Engelhardt, London: Palgrave Macmillan, 2021. RP – Raidžių paveikslai: vizualioji poezija lietuvių kalba, sud. B. Januševičius, G. Skudžinskas, Vilnius: Nerutina, 2018. ŠLPCh – Šiuolaikinės lietuvių poezijos chrestomatija, sud. S. Parulskis, Vilnius: Alma Littera, 2002. Mathematics, Language, Poetry: Interactions and Attractions SUMMARY This text is the third in a series of four texts devoted to various aspects of poetic language. The aim of this part is to present a few constructions where the interaction of two domains of creativity occurs (two out of poetry, language or mathematics), which a posteriori has a nontrivial intersection with the remaining domain. In our opinion, this is the instance where interdisciplinarity is truly fertile. Generally, this is not the case. Dealing with questions of quality in bidisciplinary art or science, our main standpoints are as follows. First, both domains should participate in an interaction on the comparable level of sophistication, each of the subjects being not subordinate to the laws of the other. As a non-example, most books on music and mathematics are written by mathematicians with a natural–scientific attitude. To make our case more substantial, we examine the book devoted to concrete poetry, finding both fruitful and artificial examples. Second (this brings a human dimension to the subject), we postulate that the legacy of any great artist should be considered not in isolation but in its entirety. This means the following: the area of distinction and the area of (a conditional) amateurism should not be separated from one another. The examples include the mathematical writings of Daniil Kharms, or the treatise in optics Zur Farbenlehre by Goethe. We examine the book Antanas Baranauskas and mathematics by Jonas Kubilius more thoroughly. Baranauskas was a poet who also worked extensively in the fields of homiletics, dialectology, orthography, 256 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos terminology, and mathematics. However, Baranauskas’ output in the latter is investigated by Kubilius purely from a professional point of view. Qualitative judgements are generally correct. However, if we take into account that a part of Baranauskas’ mathematical work is integrated into his philosophical and theological treatises, it is natural to hope for a much more ambitious immersion in the mathematical legacy of Baranauskas. We further propose several interactions of mathematics-language-poetry, which, hopefully, have the needed qualities. We explore terza rima, the poetic invention by Dante, and find its core. This leads to the definitions of simple, minimal, normalized, and, correspondingly, canonical Q-times. The latter is a straightforward generalization of Dante’s form. Now we can prove the following result: for every odd positive integer Q, canonical Q-time is unique. The construction, however, does not take into account any particular language. If we do so for Q = 5, it emerges that a smooth flow of the text requires such a pentastich to possess few incomplete lines (hendecasyllabic iamb is an exception). Since the interval of two unstressed syllables is the most frequent in spoken Lithuanian, it is natural to write 5-times in a dactylic meter. The example of two such strophes is presented. As a further example of fruitful bidisciplinary interaction, we propose the linguistic analogue of roots of unity. We finish the paper with presenting an improved method for a mnemonic technique. The standard procedure uses poetry, but the encoding itself employs only rudimentary arithmetics. Our method, however, uses also check digit algorithm. When developed in full, the method may reveal interesting facts in the field of computational linguistics. Įteikta 2022 m. vasario 28 d. GIEDRIUS ALKAUSKAS Vilniaus universitetas, Informatikos institutas Naugarduko g. 24, LT–03225 Vilnius, Lietuva [email protected] Straipsniai / Articles 257