Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos

GIEDRIUS ALKAUSKAS Πανεπιστήμιο του Βίλνιους ORCID id: orcid.org/0000-0002-5747-363X Ερευνητικές κατευθύνσεις: αρθρωτές μορφές, συναρτησιακές εξισώσεις, προβολικές ροές· φυσικοεπιστημονικές πτυχές της μουσικολογίας· η γλώσσα και η μορφή της ποίησης. DOI: doi.org/10.35321/all86-10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΓΛΩΣΣΑ, ΠΟΙΗΣΗ: ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΛΞΕΙΣ Μαθηματικά, Γλώσσα, Ποίηση: Αλληλεπιδράσεις και Ελκτικές Δυνάμεις ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στο άρθρο εξετάζονται δομές που βρίσκονται στη διασταύρωση δύο από τους τομείς της γνώσης (μαθηματικά, γλώσσα, ποίηση) και οι οποίες συνεπάγονται μη τετριμμένα συμπεράσματα για τον τρίτο. Για παράδειγμα, εξετάζεται πώς μπορεί να ερμηνευτεί δημιουργικά ένα λιθουανικό κείμενο γραμμένο σύμφωνα με αυστηρούς μαθηματικούς και γραμματικούς κανόνες. Στη συνέχεια, με βάση τα μαθηματικά, αποκαλύπτεται ο πυρήνας της μορφής των τερτσίνων, ενώ ταυτόχρονα αυτή η ποιητική επινόηση του Δάντη επιτρέπει τη διατύπωση ενός θεωρητικού (και σε ορισμένες περιπτώσεις πρακτικού) προβλήματος. Στο άρθρο συζητούνται επίσης οι προϋποθέσεις που καθορίζουν πότε οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ πολλών επιστημονικών κλάδων είναι (ή μπορούν να είναι) γόνιμες. ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΕΞΕΙΣ: στιχουργική, σταθερές μορφές, τερτσίνες, πεντάστιχα, Baranauskas, Δάντης, πεντάστιχο, διεπιστημονικότητα δύο πεδίων, συγκεκριμένη ποίηση, συνώνυμο, μετάθεση, μνημονικός κανόνας, τύπος του Luhn, τροπικά σχήματα. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία διερευνούμε τις δομές που οικοδομούνται στη διασταύρωση δύο πεδίων της γνώσης (μαθηματικά, γλώσσα, ποίηση), οι οποίες συνεπάγονται μη τετριμμένες συνέπειες για το εναπομένον πεδίο. Για παράδειγμα, διερευνούμε τις δυνατότητες δημιουργικής ερμηνείας του λιθουανικού κειμένου, η μορφή του οποίου περιορίζεται αυστηρά από μαθηματικούς και γραμματικούς κανόνες. Περαιτέρω, τα μαθηματικά μάς βοηθούν να αποκαλύψουμε τον πυρήνα της terza rima του Δάντη και μας επιτρέπουν να θέσουμε ένα καθαρά θεωρητικό (και σε λίγες περιπτώσεις πρακτικό) πρόβλημα σχετικά με τις γενικεύσεις της. Επίσης, εμείς Straipsniai / Articles 227 GIEDRIUS ALKAUSKAS συζητούν τις παραδοχές υπό τις οποίες οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ αρκετών πεδίων δημιουργικότητας είναι (ή μπορούν να είναι) γόνιμες. ΛΕΞΕΙΣ-ΚΛΕΙΔΙΑ: Versification, formes fixes, terza rima, quinta rima, Baranauskas, Dante, pentastich, bidisciplinary, concrete poetry, synonym, metathesis, mnemonic, Luhn algorithm, trope. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο αυτοσχεδιασμός στην ποίηση είναι το σημαντικότερο πράγμα, αλλά προηγουμένως πρέπει να υπάρχει ένα περιεκτικό σύνολο — ο γράφων πρέπει να γνωρίζει τόσο τη φυσική όσο και τα μαθηματικά. Sigitas Geda 1.1. Πλαίσιο. Αυτό το άρθρο είναι το τρίτο από έναν κύκλο τεσσάρων κειμένων. Το πρώτο ήταν αφιερωμένο στη γλώσσα της ποίησης (2019), το δεύτερο στον ήχο της (2020). Το τελευταίο μέρος θα εξετάσει τα γραπτά σύμβολα της ποίησης: τις αιτίες της μη κανονικής γραφής (ιστορικές, πολιτικές, τεχνικές, προσωπικές, στοχευμένες) και τη δυνητική καλλιτεχνική της χωρητικότητα· τα γραφήματα, τα συλλαβογράμματα, τα λογογράμματα, τα ιερογλυφικά, τα εικονογράμματα και τα γραφικά· τα πετρογλυφικά, τη λιθομετρία¹ και τη βουστροφηδόν· τις ποιητικές διαστάσεις των γραπτών συμβόλων (ας πούμε, των δυτικοαφρικανικών Adlam και N’ko, της γλώσσας του Ενώχ) και τη δυνατότητα μετατροπής / επέκτασής τους στα λιθουανικά. Πράγματι, τα ερωτήματα σχετικά με το εξωγλωσσικό έλλειμμα / πλεόνασμα σε λιθουανικούς στίχους γραμμένους με γκραζντάνκα² ή στα βιβλία των Τατάρων της Λιθουανίας στα ρουθηνικά με αραβικούς χαρακτήρες (για παράδειγμα, το κιτάμπ του Ιβάν Λουτσκέβιτς), είναι συναρπαστικά. Και ακόμη: υπαγορεύει η μορφή της πέτρας έναν άλλο χωροχρόνο για τα κείμενα που χαράσσονται;³ Διαφέρει το Jabberwocky του Λιούις ΚάρολJabberwocky⁴ από ένα κείμενο που δεν κατέστη δυνατό να γίνει κατανοητό, αλλά το οποίο στην πραγματικότητα έχει νόημα, αν και για πάντα χαμένο; Σε τέτοιες τροχιές θα κινηθούν οι ιδέες του τέταρτου μέρους. Στόχος αυτού του άρθρου είναι να αποσαφηνίσει ορισμένες κατασκευές, βασισμένες στην αλληλεπίδραση δύο πεδίων (ποίησης, γλώσσας, μαθηματικών), οι οποίες συνεπάγονται μη τετριμμένο ¹ Μέτρηση της πέτρας (λῐ́θος μέτρον). Ο όρος αυτός είναι εδώ καταλληλότερος από τη μέτρηση της γης (γεωμετρία). ² Η μονογραφία του Giedrius Subačius (Subačius 2010) είναι αφιερωμένη σε άλλη πτυχή αυτού του θέματος. ³ Η ποίηση χαραγμένη στην πέτρα συνενώνει μέσα της τόσο την τέχνη του χρόνου όσο και την άχρονη γεωμετρία του χώρου. Ένα ποίημα γραμμένο σε μία από τις μορφές κvιντίνων που θα εξετάσουμε παρακάτω στο κείμενο (2.2.), συγκεκριμένα, 13213 24324 31431 42142 (η τυπική κvιντίνα modulo 4), χαραγμένο σε μια πέτρινη στήλη ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου με αναλογίες 1 × 1 × 2, αποκρύπτει ακόμη και την κατεύθυνση του χρόνου. ⁴ Για την μη τετριμμένη γλωσσική δομή αυτού του ποιήματος βλ. https://en.wikipedia.org/wiki/Jabberwocky. Θαυμάσιο! Όχι απροσδόκητο, αφού ο L. Kerolis (Lewis Carroll, πραγματικό επώνυμο Charles L. Dodgson) ήταν επαγγελματίας μαθηματικός. 228 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos τη δομή της τρίτης περιοχής. Αυτό έγινε κατ’ αναλογία με την εργασία για τη μουσική και τα μαθηματικά (Alkauskas 2018), όπου τα όρια της κοινής γνώσης εξετάζονται όχι από την πλευρά των θετικών επιστημών (όσοι γράφουν έτσι —και είναι η πλειονότητα— σπάνια απελευθερώνονται από τα σχήματα της φυσικοεπιστημονικής σκέψης), αλλά από την πλευρά της τέχνης. Λεπτομερή παραδείγματα, εκτός από ένα (2.2.), δεν παρατίθενται. Έτσι, το κείμενο αυτό είναι μόνο ένα φυτώριο ιδεών. Αλλά ακόμη και το άγονο κουκουνάρι έχει ήδη μέσα του το πρότυπο ολόκληρου του αλσύλλιου (ναι, του αλσύλλιου!). 1.2. Αντιστρατηγική. Κι όμως: μπορεί η αλληλεπίδραση διαφορετικών δημιουργικών δυνάμεων να είναι γόνιμη; Το θέμα δεν είναι τετριμμένο: μολονότι τα σύγχρονα επιστημονικά κείμενα αποδίδουν αυταξία στη multi- και bidisciplinarity, η τομή αρκετών αμφοτέρων συχνότερα καλύπτει τις ελλείψεις όλων των kertmenų5 παρά ανοίγει μια νέα πύλη. Πρώτον, τι σημαίνει ο ίδιος ο τίτλος της παραγράφου; Αν και είναι απλώς ένα παιχνίδι, η λέξη αυτή αντανακλά με ακρίβεια το πνεύμα του άρθρου και εισάγει στο γόνιμο τμήμα της τομής μαθηματικών–γλώσσας–ποίησης. Η δομική και η μαθηματική γλωσσολογία θα θιγούν στο κείμενο μόνο για λίγο (κάπως περισσότερο η υπολογιστική), πρέπει όμως να τονιστεί ότι η προσοχή του ορθολογικού στοιχείου της συνείδησης προς το ανορθολογικό ήταν και παραμένει, σε όλες τις περιπτώσεις αλληλεπίδρασης τέχνης και επιστήμης, πολύ μεγαλύτερη απ’ ό,τι αντιστρόφως. Δύο χαρακτηριστικά παραθέματα. Το πρώτο είναι του Zelig S. Harris: «Ωστόσο, το χρέος της μαθηματικής γλωσσολογίας προς τα μαθηματικά αφορά κυρίως τη στάση και τον τρόπο σκέψης, παρά οποιοδήποτε συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Ίσως δεν είναι τυχαίο ότι οι περισσότεροι μεταπτυχιακοί φοιτητές σε αυτόν τον τομέα προέρχονται από τα μαθηματικά ή τη λογική και όχι από τη γλωσσολογία» (Harris 1969: 191).6 Το δεύτερο είναι του Oleg Grinbaum: «Κύρια αιτία [της μικρής έντασης χρήσης μαθηματικών μεθόδων στη θεωρία της λογοτεχνίας] θεωρούμε την απουσία, από το οπλοστάσιο των μελετητών της στιχουργικής που χειρίζονται την έννοια της καλλιτεχνικής ακεραιότητας, ενός τυπικού αναλυτικού μηχανισμού στον οποίο η ακεραιότητα του στίχου θα μπορούσε να αναπαρασταθεί και να περιγραφεί στη γλώσσα των μαθηματικών» (Гринбаум 2002: 12).7 ⁵ Συνεχίζοντας τις ιδέες του Antanas Baranauskas για τη μαθηματική ορολογία, και ακόμη περισσότερο εκείνες του Jonas Jablonskis (ο οποίος, αντί για τον καθιερωμένο όρο «πολυώνυμο», πρότεινε τον όρο «πολυμέλος»): πώς να ονομάσουμε κάθε μέρος στην ένωση πολλών συνόλων — ένωσημα; Και στην τομή πολλών συνόλων — τομήμα; Εδώ είναι σαν τη συμβολή δύο ποταμών, καθένας από τους οποίους μπορεί να ονομαστεί «συρροήμα» («συρροή»). Οι όροι «συρροή» (‘συμβολή’), «ροή», «εκροή» (‘επιρροή, εκβολές’) δεν ταιριάζουν. ⁶ «Πρέπει να πούμε ότι η μαθηματική γλωσσολογία πιθανότατα δανείστηκε από τα μαθηματικά κυρίως τη στάση και τον τρόπο σκέψης, όχι όμως κάποιο συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Γι’ αυτό δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η πλειονότητα των μεταπτυχιακών φοιτητών αυτού του τομέα έχουν ολοκληρώσει προπτυχιακές σπουδές όχι στη γλωσσολογία, αλλά στα μαθηματικά και τη λογική.» ⁷ «Κατά τη γνώμη μας, ο κύριος λόγος για τον οποίο οι μαθηματικές μέθοδοι χρησιμοποιούνται ελάχιστα στη θεωρία της λογοτεχνίας είναι ότι οι επιστήμονες που μελετούν τη στιχουργική και χρησιμοποιούν την έννοια της καλλιτεχνικής ακεραιότητας Straipsniai / Articles 229 GIEDRIUS ALKAUSKAS Επομένως, εκείνες οι σπάνιες περιπτώσεις κατά τις οποίες οι πόλοι αντιστρέφονται, όταν δηλαδή η σχετικά πιο ανορθολογική αρχή εμπνέει την πιο ορθολογική, είναι ιδιαίτερα πολύτιμες. Έτσι, ποιο είναι αυτό το παιχνίδι με τίτλο; Τρεις λέξεις της λιθουανικής γλώσσας antskrydis, bergždžias, kontržvalgyba έχουν από ένα σύμπλεγμα πέντε συμφώνων. Η λέξη kontrstrategija («ενέργειες που αποσκοπούν στην εξουδετέρωση της επίδρασης της στρατηγικής του αντιπάλου»), με σύμπλεγμα έξι συμφώνων, η οποία χρησιμοποιείται στην εξειδικευμένη βιβλιογραφία, περιέχει μέσα της τον σπόρο ενός αλγοριθμικά προγραμματισμένου8 προβλήματος βελτιστοποίησης: να βρεθούν όλες οι μορφολογικά, φωνητικά και πρακτικά δυνατές λέξεις της λιθουανικής γλώσσας με τη μέγιστη δυνατή τιμή μιας συνάρτησης που εξαρτάται από τη σειρά των γραμμάτων τα οποία αποτελούν τη λέξη. Η λέξη εδώ ταυτίζεται με τη σειρά των γραμμάτων που την αποτελούν. Ας τη σημειώσουμε με ℓ. Έστω ότι 𝔇 είναι ο πλήρης υποθετικός λεξικός θησαυρός της λιθουανικής γλώσσας. Παραδείγματα τέτοιων συναρτήσεων είναι τα εξής: 1. F(ℓ) = 0, αν στη λέξη υπάρχει έστω ένα φωνήεν διαφορετικό από το a· διαφορετικά, ίσο με τον αριθμό των φωνηέντων a. 2. G(ℓ) = 0, αν στη λέξη υπάρχουν δύο φωνήεντα ή δύο σύμφωνα το ένα δίπλα στο άλλο· διαφορετικά, ίσο με το μήκος της λέξης. 3. H(ℓ) είναι το μήκος της μεγαλύτερης υποακολουθίας που αποτελείται αποκλειστικά από φωνήεντα. Ας εξετάσουμε το τελευταίο παράδειγμα. Η ονομασία οδού Paeismilgio στο Kėdainiai, που ακούγεται ασυνήθιστα φρέσκια (ο ποταμός Smilgaitis, παλαιότερα Eismilga), υποδεικνύει ένα πιθανό πεδίο αναζήτησης. Έτσι, στη λέξη nuokalnė, αντικαθιστώντας το μορφηματικό τμήμα kalnas με τη συνώνυμης σημασίας uolą, προκύπτει η nu uolė. Αυτή η λέξη χρησιμοποιήθηκε επίσης στην έβδομη ωδή του ποιήματος «Šiauriniai reliktai»9. Το πρόβλημα βελτιστοποίησης διατυπώνεται ως εξής: αληθεύει ότι max H(ℓ) = 4; Σε αυτή την περίπτωση, το σύνολο των ζητούμενων λέξεων είναι το H⁻¹(4).10 Είναι σαφές ότι οι γραμμένες μαθηματικές (λογικές) εξισώσεις απλώς τυποποιούν προτάσεις, τις οποίες είναι ακόμη απλούστερο να εκφράσει κανείς με λόγια. Ωστόσο, πιστεύω βαθιά ότι μόνο οι τακτικές μετατοπίσεις εμπρός και πίσω ανάμεσα στη μεταγλώσσα, τους τύπους, την αργκό ως ένα άκρο και την ποιητική γλώσσα ως το άλλο, παρέχουν το στήριγμα για να μιλήσουμε για μια πραγματική σχέση μεταξύ μαθηματικών και ποίησης. Η διαρκής υποτίμηση των παλαιών αξιών και η ανατίμηση των νέων. Και το εκκρεμές συνεχίζει να ταλαντεύεται. 1.3. Ο Baranauskas και τα μαθηματικά. Παρόλο που είναι χαρμόσυνο το γεγονός ότι ο Jonas Kubilius συγκέντρωσε τα μαθηματικά αποσπάσματα από τα ημερολόγια και τις επιστολές του Baranauskas, λόγω όμως της παραβίασης της αρχής του εκκρεμούς, η μελέτη του Antanas Baranauskas ir matematika (Kubilius 2001) πρέπει να αξιολογηθεί με επιφύλαξη. Το βιβλίο προορίζεται για επιστήμονες οι οποίοι δεν έχουν εξοικειωθεί με τις βασικές έννοιες και δεν έχουν κατακτήσει τον τυπικό αναλυτικό μηχανισμό, χάρη στον οποίο η ενότητα της στιχουργικής μπορεί να παρουσιαστεί και να περιγραφεί στη γλώσσα των μαθηματικών.» ⁸ Αλγόριθμος είναι αυτό που μπορεί να εκτελέσει μια πεπερασμένη μηχανή Turing. ⁹ Για περισσότερα σχετικά με το ποίημα, βλ. Alkauskas 2022. ¹⁰ Για μια συνάρτηση f: A → B και ένα στοιχείο b ∈ B, η σημειογραφία f⁻¹(b) συμβολίζει το σύνολο των προεικόνων του b: όλα τα στοιχεία a ∈ A για τα οποία f(a) = b. 230 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos με μαθηματικές έννοιες: πρώτοι αριθμοί, κόσκινο του Ερατοσθένη, νόμος της ασυμπτωτικής, δυνάμεις, κρυπτογραφία, η σταθερά του Αρχιμήδη π, το τετραγώνισμα του κύκλου, το άπειρο, και επιτυγχάνει αυτόν τον στόχο. Ωστόσο, ο αναγνώστης που επιδιώκει να γνωρίσει τον Baranauskas θα απογοητευτεί διαβάζοντας, επειδή σημαντικό μέρος του κειμένου έχει ελάχιστη σχέση μαζί του. Και κάτι ακόμη. Για παράδειγμα, τι γράφει ο συγγραφέας για τον τύπο που ανακάλυψε ο Ποιητής και τον οποίο ο Karl Hossfeld (Carl Hossfeld) δημοσίευσε το 1890 στο γνωστό περιοδικό Zeitschrift für Mathematik und Physik: «[...] το αποτέλεσμα εκείνο ήταν σημαντικό για τον ερασιτέχνη Baranauskas. Στην πραγματικότητα η αξία του δεν είναι μεγάλη» (Kubilius 2001: 30). Το εκκρεμές μοιάζει να έχει κολλήσει σε ένα από τα δύο άκρα του. Και τι θα σκεφτεί ο μαθητής διαβάζοντας; Ότι ο Baranauskas είναι αποτυχημένος; Ένα άλλο παράδειγμα: ο Kubilius εξετάζει τη δημοσίευση του Baranauskas «O progresji transcendentalnej oraz o skali i sуłach umysłu ludzkiego», που τυπώθηκε στη Βαρσοβία το 1897. Σε αυτήν ο επίσκοπος-βοηθός των Žemaičiai κατασκευάζει αναδρομικά, για κάθε a₁ ∈ N, την ακολουθία aₛ₊₁ = aₛᵃˢ, την οποία και ονομάζει transcendent­ine. Για παράδειγμα, αν a₁ = 2, τότε a₂ = 4, a₃ = 256, ενώ το a₄ έχει ήδη 617 ψηφία. Στα σύγχρονα μαθηματικά τέτοιοι αριθμοί δεν είναι εξωτικοί. Στη θεωρία των μηχανών του Turing υπάρχουν συναρτήσεις που αυξάνονται ταχύτερα από οποιαδήποτε συνάρτηση μπορεί να περιγραφεί με σύμβολα, για παράδειγμα μια συνάρτηση όπως η f(n) = aₙ. Ακολουθεί το σχόλιο του Kubilius (ό.π., 84): «[Στο έργο του Baranauskas] εξετάζονται οι ιδιότητες [αυτών] των προόδων, ενώ αναπτύσσονται οι ήδη παρατεθείσες από τις επιστολές σκέψεις για το άπειρο. Ωστόσο, το κύριο μέρος του έργου είναι αφιερωμένο σε ζητήματα φιλοσοφίας και θεολογίας». Ακριβώς αυτά τα ουσιώδη ζητήματα παραλείπονται. Ευτυχώς, τα μνημονεύουν δύο λογοτέχνες: Sigitas Geda: «Την τιτανική φύση του [Baranauskas] μαρτυρεί ακόμη μία — ουτοπική — ιδέα. Είπα ότι ένας πραγματικά μεγάλος ποιητής πρέπει να έχει ουτοπικές ιδέες. Να υπολογίσει τον όγκο της κόλασης!»· Saulius Šaltenis: «υπολογίζοντάς τον, είναι σαν να συμπυκνώνεις όλο το κακό του κόσμου σε έναν μαθηματικό τύπο, σαν σε παγίδα. Παγιδεύεις τον Σατανά σαν τρομερό έντομο μέσα σε κομμάτι κεχριμπαριού και εγκαθιδρύεις την τάξη του Θεού!» (Geda 1998: 155–156). Άλλωστε, η τροχιά του εκκρεμούς σχηματίζει ένα συνεχές ισοδύναμων σημείων. Οποιοδήποτε από αυτά είναι, κατά πάσα πιθανότητα, πολύ μη αντιπροσωπευτικό11. Παραθέτοντας για ακόμη μία φορά τον Geda: «Δεν υπάρχει ουσιώδης διαφορά μεταξύ ανώτερων μαθηματικών και ποίησης ή μουσικής. Αυτό το κοσμικό σχέδιο του Baranauskas μαρτυρεί ότι όλα όσα έκανε στο «Anykščių šilelis» ξεσπούσαν, με άλλες μορφές, στην άλλη του δραστηριότητα» (ό.π., 156). 11 Αυτό δεν αποτελεί καθολικό νόμο. Για παράδειγμα, στη θεωρία συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής, όλη η τοπική πληροφορία (της περιοχής ενός σημείου) για μια αναλυτική συνάρτηση την καθορίζει και καθολικά. Straipsniai / Articles 231 GIEDRIUS ALKAUSKAS Πολύ λίγος χώρος – μόλις μισή σελίδα – αφιερώνεται στον Baranauskas, ως δημιουργό λιθουανικών μαθηματικών όρων, στο βιβλίο του Kubilius. Θα θέλαμε, βέβαια, περισσότερα: τονισμούς, επιτονισμούς, σχόλια γλωσσολόγων, αποσπάσματα από την αλληλογραφία με τον Hugo Weber. Ο Kubilius, ο ίδιος εμπνευστής της δημιουργίας του λεξικού μαθηματικών όρων (MTŽ), μπορεί να θεωρηθεί συνεχιστής του έργου του Baranauskas. Μια ωραία επισκόπηση της ιστορίας αυτών των όρων έχει γράψει ο Vidmantas Pekarskas (Pekarskas 2003). 1.4. Ποίηση και εικαστική τέχνη. Σύμφωνα με τον Benediktas Januševičius, «η οπτική ποίηση είναι ένα λεκτικό κείμενο, στο οποίο μια νέα, πρόσθετη διάσταση προσδίδεται από μια οπτική διάταξη ασυνήθιστη για τη λογοτεχνία» (RP 17). Φαίνεται όμως ότι αυτό το πρόσθετο στοιχείο προσφέρεται μόνο σε λίγες σελίδες του βιβλίου Raidžių paveikslai. Ορισμένα έργα είναι απλώς κείμενα, διαμορφωμένα όμως όχι με τη μορφή νοηματικών στροφοειδών, αλλά με τη μορφή αρουραίου, πετάλου κ.λπ. (γιατί; ποιος δεν ξέρει πώς μοιάζει ένας μύλος, λόγου χάρη;). Άλλα, αντίθετα, είναι απλώς σχέδια από γραφήματα. Ωστόσο, σύμφωνα με τον επιμελητή, «ένα βιβλίο ποίησης δεν είναι εφημερίδα ή έκδοση πληροφοριών· έχει το δικαίωμα να είναι χωρίς νόημα ή ακατανόητο». Ακατανόητο; Κατανοητό! Ωστόσο, χωρίς νόημα; Αν δεν υπάρχει νόημα, τότε όλα επιτρέπονται; Σαν εκχυδαϊσμένη σκέψη του Fiodor Dostojevskis. Αλλά όχι εντελώς εκχυδαϊσμένη, επειδή υπάρχει κάποια σχέση ανάμεσα στην πίστη, το νόημα και την ποίηση, όπως δείχνει το ακόλουθο απόσπασμα του Tomo Sternso Eliotas: «Για τον ενημερωμένο ποιητή, η αλληγορία δεν διαφέρει σε τίποτε από την καθαρή οπτική εικόνα. Και οι καθαρές οπτικές εικόνες γίνονται πολύ ισχυρότερες όταν έχουν νόημα – δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ποιο είναι αυτό το νόημα, αλλά, συνειδητοποιώντας την εικόνα, πρέπει να γνωρίζουμε ότι έχει και νόημα» (Eliotas 1927: 397). Ωστόσο, η διατύπωση του Januševičius «η γραφική ποίηση είναι ένα ποίημα που προσποιείται ότι είναι σχέδιο» γοητεύει, επειδή ταιριάζει γενικά στον ορισμό της διεπιστημονικότητας: τονίζοντας την ποιότητα του καθαρού υλικού, καλεί να δοκιμάσουμε το τεχνούργημα (μια γερή κατσαρόλα φτιάχνεται μόνο από καλό πηλό). «Θεολογία που προσποιείται ότι είναι φυσική» – αυτό ισχύει για μέρος των άρθρων στο έργο του Česlovas Kavaliauskas Teologijos žodynas (Kavaliauskas 1992). Είναι αλήθεια ότι το να υποδυθεί κανείς τον χαρακτήρα της ποίησης με προσωπείο γραφικής τέχνης είναι και το δυσκολότερο. Εδώ υπάρχουν δύο αιτίες: η φυσική και η φυσιολογική. Η λογοτεχνία είναι τέχνη ανομοιογενούς χρόνου, ενώ η γραφική τέχνη είναι τέχνη ομοιογενούς χώρου. Η καμπύλωση του χώρου είναι δυνατή είτε σε πολύ μεγάλες κλίμακες είτε για έργα ψευδαίσθησης. Ο κινηματογράφος και η μουσική χωρούν στον ομοιογενή χρόνο¹². Αυτό, βέβαια, είναι συμβατικό, αλλά η ορθογωνιότητα της γραφικής τέχνης και της ποίησης είναι προφανής. Ταυτόχρονα, είναι εξαιρετικά δύσκολο για μία ¹² Η διαφορά ανάμεσα στη λογοτεχνία, ως τέχνη του παρελθόντος χρόνου (αν και μόλις παρελθόντος), και τη μουσική, ως τέχνη υποχρεωτικά του ενεστώτα χρόνου, αν και αναφέρεται συχνά, δεν είναι απολύτως πειστική, ιδίως αν αναλογιστούμε το διάστημα έκφρασης-σημασίας της τέχνης (δηλαδή σύνταξης-σημασιολογίας) ως συνεχές. Ωστόσο, η σκέψη του Rimvydas Stankevičius (Stankevičius 2015), ότι ο ιδιαίτερα αγαπημένος από τον ποιητή Antanas Kalinauskas παρατατικός επαναληπτικός χρόνος (που εφαρμόζεται σε ρηματικά παράγωγα με το επίθημα –inė­ti από ρήματα, για παράδειγμα, pareidinėju, užsegdinėjo) αποτελεί προσπάθεια να βλέπουμε κάθε πράξη ως συμβαίνουσα τώρα, κάτι που ενδεχομένως παραπέμπει σε σύνθεση της λογοτεχνίας και της μουσικής, είναι εξαιρετικά ενδιαφέρουσα. 232 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos να μετατρέψει μία από αυτές τις διαστάσεις σε άλλη. Δεύτερον, στην επιστήμη του εγκεφάλου είναι γνωστές οι αντιδράσεις που ονομάζονται ERP (event-related potential) (HNL). Οι έρευνές τους κατέδειξαν πόσο χρόνο χρειάζεται για να αντιληφθούμε μια λέξη μέσω των αισθήσεων και να προσαρμόσουμε τη λέξη στο συμφραζόμενο. Είναι γνωστή η στιγμή κατά την οποία πραγματοποιείται η πρόσβαση στη σημασιολογική πληροφορία. Και όλα αυτά – υποσυνείδητα. Χωρίς να αντιλαμβανόμαστε το νόημα, η επεξεργασία συνεχίζεται στο επίπεδο της συνείδησης. Στην περίπτωση της αλληλεπίδρασης γραφικής τέχνης και ποίησης, απαιτείται απλώς υπερβολικά συχνά συνειδητή εναρμόνιση ή μια έννοια περί έλλειψης νοήματος. Μια τέτοια δραστηριότητα υπερδιεγείρει απλώς τον εγκέφαλο. Ναι, η γραφική ποίηση είναι ευρεία έννοια, που περιλαμβάνει πολλές τεχνικές και ιδέες. Τα αφηρημένα (και μαθηματικά) ποιήματα του Donaldas Apanavičius σε αυτό το βιβλίο συγκαταλέγονται στα ισχυρότερα. Εδώ βρίσκουμε τον χρόνο, τη φθορά (RP 80–81), την κρυπτογλώσσα, την Καμπάλα (ό.π., 79), τη γένεση ab ovo (ό.π., 78). Ιδιαίτερα εντυπωσιακές είναι τρεις ανακατασκευές του OM (ό.π., 75–77), όπου συγχέονται η γλώσσα, τα μαθηματικά, η μάνταλα, το όριο, το φώνημα, το σύμβολο και το μυστήριο· το υποσυνείδητο αντιδρά έντονα σε αυτά (Εικ. 1). ΕΙΚ. 1. Τρίπτυχο του D. Apanavičius Στο βιβλίο υπάρχει επίσης ονομαστική παρουσία των μαθηματικών: ο Rimas Vėžys (RP 23) αναφέρει το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη (βλ. 4.1), ενώ η Vilma Fiokla Kiurė (ό.π., 51) χρησιμοποιεί μήτρες (δυστυχώς, όλα σε αυτή τη σύνθεση είναι ακατάστατα· ακόμη και το λογικό λάθος13 περισσότερο βλάπτει). Μεταξύ των καλών ιδεών αξίζει να αναφερθεί το παιχνιδιάρικο «Suahili dada» του Matas Gimžauskas (ό.π., 86), όπου ο «Tautiška giesmė», γραμμένος σαν με ψευδο-συλλαβογράμματα της σουαχίλι, συσχετίζεται έντονα τόσο με τα θέματα του 4.2 (πλαισίωση της μνήμης) όσο και με το προαναφερθέν τέταρτο μέρος αυτού του κύκλου άρθρων. Ή το «Vienatvės piešinys per Jonines» του S. Geda (ό.π., 73), το οποίο, όπως φαίνεται, δεν έχει ακόμη εξεταστεί διεξοδικά από τους κριτικούς14. Ακολουθεί μια σύντομη και εξαιρετικά υποκειμενική ανάλυση αυτού του γραφικού κειμένου (Εικ. 2). Η αναφορά στις Joninės παρέχει ένα ασφαλές στήριγμα, το ηλιακό ημερολόγιο. Ο αριθμός των ζαριών στις πλευρές του τετραγώνου μεταβάλλεται από 1 έως 7, έτσι ώστε αυτές οι σωροί να διαιρούν την περίμετρό του σε 24 μέρη. Έτσι έχουμε τις φάσεις της Σελήνης, όπου ο περιττός αριθμός, όπως το έτος 13 A=̅ΜΗΤΡΑ ΚΑΙ 4R, ΟΤΑΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ 3R. 14 Αν και το ίδιο το ποίημα έχει αναφερθεί παρεμπιπτόντως επανειλημμένα (για παράδειγμα, Valentas 1997: 149), καθώς και στη συνέντευξη του Gyčio Norvila, ο οποίος διαισθητικά αναφέρει εδώ το σύμπαν (βλ. https://www.bernardinai.lt/2012-02-22-gytis-norvilas-eilerastis-prieglobscio-zona/). Straipsniai / Articles 233 GIEDRIUS ALKAUSKAS και η αρχή του μήνα (όσο νέος, τόσο μόνος) σηματοδοτεί τη νέα σελήνη. Το παρουσιαζόμενο σχέδιο είναι το δημοφιλέστερο ηλιακό–σεληνιακό ημερολόγιο μεταξύ διαφόρων πολιτισμών. Τέτοιο χρησιμοποιούν ακόμη και σήμερα οι Κινέζοι, οι Εβραίοι και οι Ινδοί. Το χρησιμοποιούσαν επίσης οι αρχαίοι Σκανδιναβοί, διότι, όπως ιδού, ο 23ος στίχος των «Στίχων του Βαφθρούντνιρ»: Ο Μουντιλφιόρις είναι ο πατέρας του Μήνα, ο Ήλιος η κόρη του. Είναι γραφτό τους να ταξιδεύουν καθημερινά στον ουρανό — έτσι μετρούμε τον χρόνο (PE 101). Στη σκανδιναβική μυθολογία (όπως και στη σουμεριακή, την ινδική, την εβραϊκή και την ελληνική), και ακόμη περισσότερο στην κοσμοαντίληψη, ο Geda απέδιδε ιδιαίτερη σημασία. Μόνο στον κύκλο «Τραγούδια επτά καλοκαιριών» αναφέρονται ο Όντιν, ο Θωρ και ο Λόκι. Περαιτέρω, την τάξη του Ιεχωβά — την ολοκλήρωση της δημιουργίας του κόσμου, την έβδομη Ημέρα του Θεού, την ισορροπία των δυνάμεων — αντιπροσωπεύουν οι εαρινές και φθινοπωρινές ισημερίες, τα επτά ζάρια αριστερά και δεξιά. Εκεί η δομή του κόσμου είναι ισχυρότερη, η μεταβολή βραδύτερη. Ολόκληρη η μάζα του κόσμου, ακόμη και οπτικά, είναι συγκεντρωμένη γύρω από αυτά τα σταθερά σημεία, ενώ τα ηλιοστάσια είναι ρήξεις, (μετα)μορφώσεις, κλονισμοί, ιδιομορφίες. Η άνω μονάδα (μοναξιά, singularis) είναι η γιορτή του Αγίου Ιωάννη, η κάτω τα Χριστούγεννα. Στο ημερολόγιο του Θεού, η πρώτη ημέρα είναι η εμφάνιση της τάξης από το χάος. Η αντιστροφή του χάους είναι η Τελειότητα. Η τάξη στο όριο του δυνατού, στην άβυσσο (gr. χάος). Η τάξη, αναπόφευκτα μοιάζοντας όλο και περισσότερο με το χάος15. Και ακόμη: όσο το ημερολόγιο δεν είχε τυποποιηθεί σε ολόκληρο τον πλανήτη, το χειμερινό ηλιοστάσιο του Νοτίου Ημισφαιρίου συνέπιπτε με το θερινό του Βορείου Ημισφαιρίου. Αλλά σε τι χρειάζονται αυτά τα λόγια — όλα τα αντικαθιστά ένα και μόνο γραφικό ποίημα του Geda. ΕΙΚ. 2. Το «Σχέδιο της μοναξιάς κατά τη γιορτή του Αγίου Ιωάννη» του S. Geda 15 Οι δημιουργοί της στρουκτουραλιστικής, με ακρίβεια μαθηματικής μουσικής παρατήρησαν απροσδόκητα ότι τέτοιες συνθέσεις διαφέρουν ελάχιστα από εκείνες που δημιουργούνται σύμφωνα με αλεατορικές αρχές. 234 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos 1.5. Συμβολισμοί και συμβάσεις. Στα Μαθηματικά ο αριθμός είναι στοιχείο που ανήκει σε μια ορισμένη τυπική δομή. Εφόσον δεν θα εμφανιστούν άλλες (εκτός από τις 4.1–4.3), ο αριθμός εδώ θα σημαίνει είτε φυσικό αριθμό από το σύνολο ℕ = {1, 2, 3, 4,...}, είτε ακέραιο αριθμό από το σύνολο ℤ = ℕ ∪ {0} ∪ −ℕ. Η σημασία της δομής είναι ακριβής, αλλά θα χρειαστούμε μόνο την έννοια ομάδα, η οποία θα οριστεί αργότερα. Όταν M, N ∈ ℕ, η συνάρτηση M mod N (διαβάζεται «M modulo N») δίνει τον μοναδικό ακέραιο L, 0 ≤ L ≤ N − 1, τέτοιο ώστε το M − L να διαιρείται από το N χωρίς υπόλοιπο. Για παράδειγμα, 20 mod 7 = 6. Όσον αφορά τη στιχουργική, το κεφαλαίο γράμμα δηλώνει αρσενική, το πεζό — θηλυκή, το πεζό με έντονα πλάγια — δακτυλικό ρίμα (όταν τονίζεται η τρίτη συλλαβή από το τέλος). Ο δείκτης του γράμματος αυτού δηλώνει τον αριθμό των ποδών (δισύλλαβων ή τρισύλλαβων) στον στίχο. Αν όλοι οι στίχοι της στροφής έχουν τον ίδιο αριθμό, γράφεται απλώς 4-ιαμβικός, 3-αμφίβραχυς κ.ο.κ. 2. ΣΤΡΟΦΕΣ ΚΑΙ ΑΛΥΣΙΔΕΣ Οι σύγχρονες γλώσσες τείνουν να διαφοροποιούν την αφηρημένη σκέψη (η μοναδική καθολική γλώσσα που απέμεινε σήμερα είναι τα μαθηματικά), αλλά οι καθολικές ιδιότητες της λατινικής γλώσσας χαρακτηρίζουν τη φλωρεντινή ομιλία του Dante. Τόμας Στερνς Έλιοτ 2.1. Στιχουργική και γλώσσα. Μέρος της τέχνης–επιστήμης της στιχουργικής αποτελεί η προσαρμογή των μαθηματικών (με την ευρεία έννοια) σε μια ορισμένη γλώσσα, αν θεωρήσουμε τον ρυθμό, τη φωνητική, την ενορχήστρωση, τη μορφή και την ομοιοκαταληξία εκδηλώσεις της δομής, της συμμετρίας, της ισορροπίας και της αναλογίας16. Ιδού δύο παραδείγματα. Στον κλασικό στίχο συγκοπής17 εναλλάσσονται διαστήματα 0, 1, 2 ή 4 άτονων συλλαβών. Ο Juozas Girdzijauskas μελέτησε τη δομή του τελευταίου και διαπίστωσε τα εξής: «Στη λιθουανική ποίηση έχουν αναδειχθεί δύο ομάδες συγκοπής με έξι18 βασικά μέτρα και δεκαοκτώ λεπτομερέστερες παραλλαγές. [...] Σχεδόν σε όλες τις παραλλαγές της συγκοπής (εκτός από μία) κυριαρχεί το διάστημα δύο άτονων συλλαβών (από 51% έως 75%). [...] Αυτό συμβαίνει και επειδή η κυριαρχία του 16 Για περισσότερα σχετικά με τους όρους της ποίησης, βλ. Matulaitienė 1997. 17 Ο όρος εισήχθη από τον Kęstutis Nastopka. 18 Στη συγκοπή τύπου V και VI επιτρέπονται διαστήματα 3 και 5 άτονων συλλαβών (Girdzijauskas 1978: 220–230). Straipsniai / Articles 235 GIEDRIUS ALKAUSKAS ανταποκρίνεται στους κανόνες της πρότυπης λιθουανικής γλώσσας – κυριαρχεί και στον πεζό λόγο» (Girdziauskas 1978: 225). Δεύτερο παράδειγμα: ένα παράξενο πεντασύλλαβο ιαμβοδάκτυλο19 μέτρο είναι ιδιαίτερα χαρακτηριστικό της λιθουανικής ποίησης του 20ού αιώνα. Έχοντας κατά νου αυτή την εξάρτηση της στιχουργικής από τη γλώσσα, στη συνέχεια θα εξεταστούν τα πεντάστιχα ως νέες σταθερές μορφές20 και οι τρόποι πλέξης τους. Η υποτιθέμενη κατασκευή, αν και σε μεγάλο βαθμό θεωρητική, συνεπάγεται ένα μη τετριμμένο μαθηματικό πρόβλημα, καθώς και αρκετές πρακτικά εφαρμόσιμες και ελκυστικές μορφές στιχουργικής. Δεν είναι παράξενο ότι τη μεγαλύτερη ποικιλία στη συλλαβοτονική στιχουργική παρουσίασε ακριβώς το έργο εκείνων των ποιητών που μελετούσαν ουσιαστικά τους πολιτισμούς διαφορετικών παραδόσεων. Μεταξύ αυτών ήταν ο Jonas Mačys-Kėkštas21, ο Edmundas Steponaitis22, ο Maironis, ο Vytautas Mačernis, ο S. Geda και ο Tomas Venclova. Επομένως, κατάλληλη εισαγωγή στις βασικές αφετηρίες αυτού του κεφαλαίου θα αποτελέσουν δύο οκτάβες – του Kėkštas και του Aleksandras Puškinas. Ο πρώτος σατιρίζει τους εθνικιστές, οι οποίοι ακόμη και στην αρχαία Ελλάδα διέκριναν σχεδόν λιθουανική κυριαρχία («ο Όμηρος δήθεν ήταν Omyras, η Οδύσσεια – Adišius»), καθώς και τους «Aušra» άτεχνους στιχοπλόκους (Mačys-Kėkštas 1910: 43). Ωστόσο, η στροφή του Kėkštas μοιάζει εκπληκτικά με εκείνη του Puškin: ...Για να πω την αλήθεια, θα μου είναι δύσκολο να εγκαταλείψω αυτή τη γραφή σε Οκτάβες: Εδώ τοποθετείς τους στίχους σε ίσια, ομαλή σειρά, Σαν στρατιώτες, όπου ταιριάζει και βολεύει· Τις σκέψεις τις καρφώνεις, τη μία μετά την άλλη, Χωρίς μεγάλη τάξη ή περιορισμούς, Και στο τέλος, έχοντας μπήξει το κεντρί, Λες: αρκετός ο πόλεμος προς το παρόν. Ο ιαμβικός τετράμετρος μού είναι απαραίτητος: Με αυτόν γράφουν όλοι. Για τα αγόρια, για διασκέδαση, Ήρθε η ώρα να τον αφήσουμε. Θα ήθελα Εδώ και πολύ καιρό να καταπιαστώ με την οκτάβα. Στην πραγματικότητα: θα μπορούσα να τα βγάλω πέρα Με την τριπλή ομοηχία. Θα ξεκινήσω ένδοξα! Άλλωστε, οι ρίμες ζουν εύκολα μαζί μου· Δύο έρχονται μόνες τους, την τρίτη τη φέρνουν. J. Mačys-Kėkštas, „Išsiliuosavęs“ (1902) A. C. Пушкинъ «Домикъ въ Коломнѣ» (1830) Η μορφή χωρίς εικονοποιία, λεξιλόγιο και το μιλασιανό «τοπίο της ψυχής» από μόνη της δεν σημαίνει ακόμη τίποτα, αλλά σε ιδιαίτερες περιπτώσεις ακόμη και οι τυπικές επινοήσεις φέρουν ήδη το βάρος του δημιουργού. Έτσι συνέβη με τη στροφή του Onegin (τετράμετρος ίαμβος aBaB ccDD eFFe GG, την οποία χρησιμοποίησε και 19 Ο όρος εισήχθη από τον Juozas Girdžiauskas. 20 Υπαινιγμός στις γαλλικές μορφές formes fixes της ποίησης και της μουσικής του 14ου–15ου αιώνα: ballade, virelai, rondeaux. 21 Ένας από τους πρώτους στη Λιθουανία, μαζί με τον Pranas Vaičaitis, που πέρασε αποκλειστικά στη συλλαβοτονική στιχουργική (Girdžiauskas 2001). 22 Ήδη η πρώτη στροφή του ντεμπούτου ποιήματος «Η αυγή της Λιθουανίας» (Steponaitis 1988: 24) έχει μη τετριμμένη μορφή a₅b₆b₆c₅a₅c₄ (ίαμβος· παρόμοια είναι η τρίτη και κάπως διαφορετική η δεύτερη στροφή). 236 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Ο Jurgis Baltrušaitis στο λιθουανικά γραμμένο έργο 12 στροφών «Σκόνη και αστέρια23), το «Бородино» του Michailo Lermontovo (ίαμβος a₄a₄B₃c₄c₄c₄B₃) και το ποίημα «Сашка» (5-ίαμβος AbAbAbccDDee), το “Raven” του Edgardo Alano Poe (Edgar Allan Poe) (χορείος a₄a₄.B₈.c₄c₄.c₄B₄.B₈.B₄· τρεις στίχοι έχουν εσωτερικές ομοιοκαταληξίες, γι’ αυτό εδώ χωρίζονται στη μέση). Σαν περιεχόμενο του δημιουργού χωρίς συγκεκριμένο περιεχόμενο. Εδώ βρίσκεται και η ομοιότητα με τα μαθηματικά: τα τελευταία ζουν σε μια πλατωνική πραγματικότητα, ενώ όλες οι πρακτικές μετενσαρκώσεις είναι μόνο ατελή μοντέλα του ιδεώδους. Αναζητώντας μια τέτοια τυπική προποίηση, παρακάτω θα εξεταστούν πεντάστιχα και επτάστιχα. 2.2. Πλέξη των τερτσίνων. Για ευκολία, οι ομοιοκαταληξίες σε αυτή την παράγραφο θα σημειώνονται όχι με γράμματα αλλά με αριθμούς. Για παράδειγμα, «το σχήμα του επτάστιχου είναι 3142342». Αν το μέτρο δύο στροφών είναι το ίδιο, αλλά η ομοιοκαταληξία έχει μετατοπιστεί, ονομάζονται στροφές πανομοιότυπης φόρμουλας. Επαναλαμβάνοντας έτσι το παραπάνω επτάστιχο τέσσερις φορές, αλλά κυκλικά μετατοπισμένο κατά μία, δύο και, αντίστοιχα, κατά τρεις ομοιοκαταληξίες, προκύπτουν οι στροφές 3142342 4253453 5364564 6475675. Η ομοιοκαταληξία 4 εμφανίζεται εδώ δύο, δύο, δύο και μία φορά. Οι τερτσίνες (terza rima) είναι πλέξη τερτσέτων 121 232 323 κ.ο.κ. Το σχήμα αυτό χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά στη «Θεία Κωμωδία» του Dante, γραμμένη σε ενδεκασύλλαβο24 ίαμβο. Είναι δυνατές και αντίστροφες τερτσίνες, ίσως ανεκμετάλλευτες μέχρι σήμερα. Συγκεκριμένα, 212 323 434 κ.ο.κ. Επειδή κάθε άσμα του Dante ολοκληρώνεται με έναν στίχο, τον λεγόμενο rime rilevate (στο 10ο άσμα της «Κόλασης» θα ήταν οι ομοιοκαταληξίες 45–46–45 46), οι αντίστροφες τερτσίνες προκύπτουν διαβάζοντας κάθε άσμα από το τέλος. Για περισσότερα σχετικά με τη λεπτή αρχιτεκτονική του ποιήματος του Dante βλ. Hart 1987. Η λέξη πλέξη ταιριάζει εδώ διαισθητικά. Άλλωστε, μια τούφα μαλλιών συνήθως χωρίζεται σε τρία μέρη, και ο περαιτέρω σχηματισμός της πλεξούδας θυμίζει, τόσο συμβολικά όσο και τοπολογικά, τη δημιουργία ενός τερτσινέζικου άσματος. Επιπλέον, ο Skirmantas Valentas (Valentas 1997: 19), συνεχίζοντας τις έρευνες του Rüdiger Schmitt, συμπληρώνει την ανασυσταθείσα παλαιά ινδοευρωπαϊκή μεταφορά «υφαίνω, πλέκω» = «δημιουργώ ποίηση» με δεδομένα των βαλτικών γλωσσών, όπως τα λιθουανικά pinti ‘μιλώ στρεβλά, μπερδεμένα’, austi ‘φλυαρώ’ (LKŽe). Αν στην περίπτωση του Dante η καταλληλότητα της μεταφοράς είναι προφανής, γιατί στην αρχαιότητα η ποίηση θύμιζε επίσης ύφανση; Ο Valentas αναφέρει τη συνωνυμία των dainiaus και poeto, αλλά δεν ολοκληρώνει την ανάδειξη της συγγένειας που εξηγεί τα πάντα. Συγκεκριμένα, της μουσικής. Η εναλλασσόμενη χορωδιακή τραγουδιστική και απαγγελία στα θέατρα της Αρχαιότητας θυμίζει από μόνη της ύφανση: τα τονικά ύψη αλλάζουν θέση σαν στημόνια, ενώ η δυναμική (δυνατότερα – πιο σιγά) δημιουργεί την αίσθηση μεταβολής της απόστασης (πιο κοντά – πιο μακριά). Για τη στήριξη αυτού του ισχυρισμού μπορεί να γίνει επίκληση του μέτρου drotkveto (dróttkvætt) της σκανδιναβικής ποίησης, για το οποίο «μόνο από τα μέτρα των skalds χαρακτηρίζεται από αλληλοδιαπλεκόμενες προτάσεις» (Ruseckienė, μτφρ. 2017: 17). Αυτό σημαίνει ότι, αν υπογραμμιστούν στη στροφή ορισμένες φράσεις, η ακολουθία τους, όπως και η ακολουθία των υπόλοιπων φράσεων, γίνεται νοηματική. Μια τέτοια κατασκευή του μέτρου εξηγείται 23 Πράγματι, όλες οι ομοιοκαταληξίες του Baltrušaitis, εκτός από τη G, είναι θηλυκές. 24 11 συλλαβές. Straipsniai / Articles 237 GIEDRIUS ALKAUSKAS με συγχωνευμένα μέρη δύο χορωδιών, τα οποία με τον χρόνο αναγάγονταν σε μία φωνητική γραμμή. Θυμίζοντας τις formes fixes που αναφέρθηκαν στο 2.1., καθώς και τη συνωνυμία άσματος και ποιήματος έως και τον 19ο αιώνα, η προταθείσα υπόθεση για τη μουσική προέλευση της πλέξης ως ευφημισμού της ποίησης αποκτά έρεισμα. Τέλος, η μαθηματική αποσύνθεση αυτού του υφαντού. Στην τοπολογία είναι ιδιαίτερα σημαντικές οι λεγόμενες ομάδες πλεξούδων (αγγλ. braid groups· για τις ομάδες βλ. 3.1.). Το γραφικό παράδειγμα (σχ. 3) εξηγεί πολλά ήδη χωρίς λόγια. Στην περίπτωση αυτή b₁ · b₂ = b₃ ΣΧ. 3. Παράδειγμα γινομένου στοιχείων ομάδων πλεξούδων 2.2. Γενίκευση των τερτσίνων. Η δαντική μορφή έχει κυκλική συμμετρία, η οποία μπορεί να περιγραφεί μαθηματικά ως εξής. Επεκτείνοντας την πλέξη έως το −∞ και το +∞, λαμβάνεται η ακολουθία .... −2, −1, −2, −1, 0, −1, 0, 1, 0, 1̄, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5,.... Η μορφή των στίχων καθορίζεται από αυτή την ακολουθία και δύο πρόσθετες παραμέτρους: τη θέση όπου αρχίζει η πλέξη (σημειωμένη με παύλα), καθώς και το μήκος της στροφής. Στην περίπτωση αυτή – ο αριθμός 3. Και τι είναι η ακολουθία; Είναι οποιαδήποτε συνάρτηση f: ℤ → ℤ. Η πλέξη αρχίζει στο μέλος f(1). Αν φανταστούμε ότι το έργο του Dante αρχίζει να διαβάζεται από τη δεύτερη στροφή, αυτό αντιστοιχεί στην ακολουθία f(n + 3). Η μορφή του νέου ποιήματος θα παρέμενε πανομοιότυπη με την παλαιά, μόνο που οι ομοιοκαταληξίες θα μετατοπίζονταν κατά μία. Τότε η προαναφερθείσα κυκλική συμμετρία είναι η ισότητα f(n + 3) = f(n) + 1. Υπάρχουν πολλές τέτοιες ακολουθίες. Για παράδειγμα, {…, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, …}, αλλά αυτή η ακολουθία δεν είναι πλεγμένη. Ας εξετάσουμε μια άλλη ακολουθία {…, 1̄, 5, 1, 2, 6, 2, 3, 7, 3, 4, 8, 4, 5, 9, 5, …}. Αυτή έχει την απαιτούμενη κυκλικότητα, αλλά το διάστημα μεταξύ ίδιων ομοιοκαταληξιών, περικλειόμενων σε ορθογώνιο, είναι υπερβολικά μεγάλο. Αναζητώντας διαδοχικά τον πυρήνα της δομής των τερτσίνων, αναδεικνύεται η ακόλουθη κατασκευή. Ορισμός. Έστω Q ∈ ℕ. Μια συνάρτηση f: ℤ → ℤ θα την ονομάζουμε απλή Q-τίνα, αν ικανοποιεί τις ακόλουθες τέσσερις συνθήκες: 1. f(n + Q) = f(n) + 1, για κάθε n ∈ ℤ· 2. f(ℕ) = ℕ. Έστω f⁻¹(1) = {p₁, p₂, …, pQ}²⁵. Για όλα τα r ∈ ℕ, για τα οποία και οι δύο δείκτες του p ανήκουν στο σύνολο {1, 2, …, Q}, ισχύουν οι ανισότητες 3. pᵣ₊₁ − pᵣ < Q· 4. pᵣ₊₂ − pᵣ > Q. ²⁵ Το ότι το σύνολο των αντιστρόφων εικόνων κάθε αριθμού αποτελείται από Q στοιχεία προκύπτει από τη συνθήκη 1. 238 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Μια απλή Q-τίνα που ικανοποιεί την πρόσθετη συνθήκη 5. Το μέγεθος pQ − p1 είναι το μικρότερο δυνατό μεταξύ όλων των απλών Q-τίνων, θα την ονομάζουμε ελάχιστη Q-τίνα. Μια απλή Q-τίνα που ικανοποιεί άλλη πρόσθετη συνθήκη 6. | f⁻¹(1) ∩ ℕ | ≥ 226, θα την ονομάζουμε κανονικοποιημένη Q-τίνα. Αν η Q-τίνα είναι και ελάχιστη και κανονικοποιημένη, θα την ονομάζουμε τυπική. Από τη συνθήκη 4 προκύπτει ότι για κάθε απλή Q-τίνα f και κάθε φυσικό αριθμό ℓ, το σύνολο f⁻¹(1) ∩ [−ℓQ + 1, −ℓQ + Q]27 έχει 0, 1 ή 2 στοιχεία. Έστω T(f) ο μεγαλύτερος αριθμός ℓ για τον οποίο αυτό το σύνολο έχει ακριβώς ένα στοιχείο. Την τυπική Q-τίνα που ικανοποιεί την τελευταία πρόσθετη συνθήκη 7. Το μέγεθος T(f) είναι το μεγαλύτερο δυνατό μεταξύ όλων των τυπικών Q-τίνων, θα την ονομάζουμε κανονική Q-τίνα. Αν αυτές οι συνθήκες φαίνονται ασαφείς, τα παραδείγματα θα καταστήσουν σαφές πώς μεταφράζονται στη γλώσσα της στιχουργικής. Η συνθήκη 1 έχει ήδη συζητηθεί. Η συνθήκη 2 είναι απαραίτητη για να εξασφαλιστεί ότι στην πρώτη στροφή θα εμφανίζονται μόνο θετικές ομοιοκαταληξίες, καθώς και η ομοιοκαταληξία 1. Η συνθήκη 3 απαιτεί κάθε δύο διαδοχικές ομοιοκαταληξίες να απέχουν λιγότερο από το μήκος της στροφής. Η συνθήκη 4 λέει ότι σε οποιαδήποτε ακολουθία Q στίχων (για παράδειγμα, σε μία στροφή) κάθε ομοιοκαταληξία επαναλαμβάνεται το πολύ δύο φορές. Όταν Q = 5, τις πρώτες τέσσερις συνθήκες ικανοποιούν έως και 25 διαφορετικές απλές πεντίνες. Ας πάρουμε δύο από αυτές: 32132 και 32312. Ας γράψουμε τώρα τρεις στροφές που αντιπροσωπεύουν αυτά τα σχήματα: Στο αριστερό παράδειγμα η απόσταση μεταξύ της πρώτης και της τελευταίας ομοιοκαταληξίας 3 είναι 12 στίχοι, ενώ στο δεξί – 13. Επανεξετάζοντας και τις 25 περιπτώσεις, προκύπτει ότι το 12 είναι πράγματι η ελάχιστη δυνατή απόσταση. Οι υπολογισμοί δείχνουν ότι τη συνθήκη 5 ικανοποιούν πέντε ελάχιστες πεντίνες: 32132, 13213, 21321, 13243, 21324. Από την άλλη πλευρά, τη συνθήκη 6 ικανοποιούν εννέα κανονικοποιημένες πεντίνες: 31231, 23121, 31213, 13231, 13213, 21321, 12341, 12314, 12134. 26 Το σύμβολο |𝒜| δηλώνει τον αριθμό των στοιχείων του πεπερασμένου συνόλου 𝒜, ενώ το ∩ – την τομή συνόλων. 27 Οι αγκύλες [a, b] δηλώνουν κλειστό διάστημα. Straipsniai / Articles 239 GIEDRIUS ALKAUSKAS Αυτή η συνθήκη απαιτεί η ομοιοκαταληξία 1 στην πρώτη στροφή (η οποία θα εμφανιστεί μόνο σε αυτήν) να εκπροσωπείται από τουλάχιστον 2 στίχους, διαφορετικά ένας στίχος στο ποίημα θα έμενε χωρίς ομοιοκαταληξία. Τα δύο αναγραμμένα σύνολα των πέντε και, αντίστοιχα, των εννέα στοιχείων έχουν δύο κοινά μέλη. Αυτές είναι οι τυπικές πεντίνες: 21321 και 13213. Για την πρώτη από αυτές 𝒯(f) = 2, ενώ για τη δεύτερη 𝒯(f) = 1. Επομένως, η κανονική πεντίνα είναι μοναδική: 21321. Σε επίπεδο στιχουργικής, η συνθήκη 7 σημαίνει ότι ο στίχος που δεν έχει ομοιοκαταληξία στην πρώτη στροφή αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη δυνατή ομοιοκαταληξία. Είναι προφανές ότι η 21321 (η ομοιοκαταληξία 3 δεν έχει ζεύγος) είναι, ως προς τη ροή του χρόνου, πιο φυσική μορφή από την 13213 (ζεύγος δεν έχει η ομοιοκαταληξία 2). Με τη βοήθεια μαθηματικών συλλογισμών αποδεικνύεται και ένα γενικότερο αποτέλεσμα. Πρόταση. Για κάθε περιττό Q = 2q − 1≥ 3 υπάρχει μοναδική κανονική Q-τίνα (q − 1) (q − 2) … 1q (q − 1) (q − 2) … 1. Όπως αναφέρθηκε, υπάρχουν 25 απλές πεντίνες. Ένα πρόγραμμα υπολογιστή, με απαρίθμηση, υπολογίζει ότι υπάρχουν 96 εξτίνες και έως και 427 επτίνες. Έστω ότι γενικά ο αριθμός b(Q) δηλώνει το πλήθος των απλών Q-τίνων. Προκύπτει μια ενδιαφέρουσα ακολουθία 1, 2, 3, 8, 25, 96, 427, 2176, 12465, 79360, …. Ποια είναι η κανονικότητα εδώ; Σε τέτοιες περιπτώσεις πρέπει να ελεγχθεί η διαδικτυακή βάση δεδομένων ακολουθιών. Η ακολουθία που βρέθηκε έχει ήδη καταγραφεί εκεί, βλ. OEIS A065619. Φυσικά, είχε οριστεί εντελώς διαφορετικά, χωρίς καμία σχέση με τις τίνες. Αυτή, παρεμπιπτόντως, είναι μία από τις βασικές αρχές της συνδυαστικής: να μετράμε με δύο τρόπους. Αυτό επιτρέπει εκπληκτικά συχνά να διακρίνουμε τη δομή ενός αντικειμένου. Είναι γνωστή και η εκθετική γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας: ∑ᵠ∞₍Q=1₎ b(Q) · xᑫ / Q! = x(1 + sin x) / cos x (εδώ Q! = 1 · 2 · … · Q). Τέτοιες ισότητες δεν εκπλήσσουν πλέον τους εκπροσώπους των φυσικών επιστημών, επειδή η αφθονία των θαυμάτων προκαλεί αναισθητοποίηση. Κρίμα, αν και φυσικό. Άλλα ερωτήματα που ανακύπτουν εδώ: πόσες είναι οι ελάχιστες, οι κανονικοποιημένες, οι τυπικές Q-τίνες; Και τι αλλάζει αν το Q είναι άρτιος αριθμός; Στην περίπτωση αυτή η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη. Έτσι, η κατασκευή, εμπνευσμένη από την ποίηση, συνεπάγεται ένα μαθηματικό πρόβλημα μη τετριμμένης δομής. Ας μείνει αυτό στα καθαρά μαθηματικά. Στο πλαίσιο της ποίησης είναι πιο ενδιαφέρον κάτι άλλο: καμία συγκεκριμένη γλώσσα (για παράδειγμα, η λιθουανική) δεν εμφανίζεται στον ορισμό των κανονικών Q-τίνων. Μόλις αρχίσει η στιχουργική σύνθεση, γίνεται αμέσως σαφές ότι η πεντίνα 21321 (η οποία αναπτύσσεται περαιτέρω στο άρθρο) περιέχει ακόμη πολύ λίγη εσωτερική δομή. Για μια πραγματική τυπική δημιουργό είναι υποχρεωτικό να εξεταστούν τόσο το μέτρο όσο και η γλώσσα. Ο Dante καταγράφει τον αριθμό τρία: 3 μέρη του ποιήματος· 3 στίχοι, 33 συλλαβές στη στροφή· 33 άσματα σε κάθε μέρος. Η Τριάδα, το δέντρο των τριών κόσμων, το τριαδικό, το τριλειτουργικό ινδοευρωπαϊκό πάνθεον²⁸. Ενώ πέντε – είναι η hugieia (ὑγίεια) των Πυθαγορείων ²⁸ Η θεωρία του γλωσσολόγου και μελετητή των θρησκειών Georg Dumézil. 240 Acta Linguistica Lituanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos πεντάγραμμο και ο αριθμός του Πυθαγόρα²⁹ 5 = 2 + 3, ο οποίος ισούται επίσης με την υποτείνουσα του μικρότερου πυθαγόρειου τριάδας (3, 4, 5)³⁰. Έτσι, τα μαθηματικά όχι μόνο αποκαλύπτουν τη δομή της κανονικής πεντίνας, αλλά και την επηρεάζουν μέσω συμβόλων. 2.3. Πεντάστιχα με τριπλή ομοιοκαταληξία. Στις δαντικές τερτσίνες, από τρεις στίχους είναι ομοιοκατάληκτοι ⌊3/2⌋=2. Για να ομοιοκαταληκτήσουν τόσοι σε ένα πεντάστιχο, πρέπει να επιλεγούν ⌊5/2⌋=3 στίχοι³¹. Αν οι δύο εναπομένουσες ομοιοκαταληξίες είναι ίδιες, συνδυαστικά προκύπτουν δέκα παραλλαγές: 22111, 21211, 21121, 21112, 12211, 12121, 12112, 11221, 11212, 11122. Παρακάτω παρατίθενται τέσσερα παραδείγματα διαφορετικών σχημάτων από τη λιθουανική ποίηση, που αντιστοιχούν στον τύπο 12112³². Σε δύσκολες σπηλιές διαπερνούμε ζωντανοί, όχι μέρες αλλά αιώνες πέφτουν πάνω μας με βάσανα! Μα ο κόσμος μάταια μας περικλείει σε σκοτάδια, γρήγορα θα υψωθούμε σε άλλους ανέμους – ήδη λάμπει ένας πιο καθαρός ήλιος! Θα τραγουδήσεις, θαρρώ, τον πόνο με μεθυστικό τραγούδι! Όπως η μοναχική σημύδα πρασίνισε – όπως ο ανεμώδης σήκωσε το κύμα – όπως επισκέφθηκε η αγαπημένη –– Juozas Mačys–Kėkštas «Ψωμί και παιχνίδια» (1902) Αμφίβραχος a₄b₄a₄a₄b₃ Balys Sruoga «Στα μονοπάτια των θεών» XVI (1923) 4-χορείος aBaaB Ξεσκίστε το λευκό πανί από το κατάρτι, θα βυθίσουμε το τιμόνι στα βάθη! Μόνο αφού ενώσουμε τις θερμές καρδιές, με πάθος θα οδηγήσουμε το πλοίο μέσα από την τρικυμισμένη θάλασσα στην ακτή. Vincas Mykolaitis–Putinas «Τραγούδι της ψαράς» (1920) Ιαμβοδάκτυλος a₄b₃a₄a₄b₃ Μας ευλόγησαν με κοφτερά σπαθιά, με φωτιά θεράπευσαν τα κάστρα μας, στις λιμνούλες άνθισαν μαύρα κρίνα, τρομερά θηρία μας καταδίωκαν βρυχώμενα, ίσως μια εβδομάδα, ίσως αρκετούς αιώνες. Aivaras Veiknys «Καταφύγιο» (2014) 3-ανάπαιστος aBaaB Θα μπορούσαν να προστεθούν – και όλα τα σχήματα είναι διαφορετικά! – τα ποιήματα του A. Veiknys «Τρεις εικόνες για τη μοναξιά» (2021, 4-ίαμβος AbAAb) και «Πόρτες» (2014, 5-ίαμβος aBaaB), το «Εσύ ήσουν για μένα» του Bernardo Brazdžionis (1944, 4-ίαμβος ²⁹ Η πυθαγόρεια ρύθμιση των μουσικών οργάνων βασίζεται στο διάστημα της καθαρής πέμπτης, δηλαδή στον λόγο των συχνοτήτων των βασικών τόνων ³⁄₂. Σύμφωνα με την Encyclopedia Britannica, ο αριθμός 5 για τους Πυθαγορείους είναι επίσης η πλήρης ένωση της θηλυκής (2) και της αρσενικής (3) αρχής. ³⁰ Μια τριάδα φυσικών αριθμών (a, b, c) ονομάζεται πυθαγόρεια αν a² + b² = c². Σύμφωνα με το θεώρημα του Πυθαγόρα, τμήματα με αυτά τα μήκη σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. ³¹ Οι αγκύλες ⌊x⌋ δηλώνουν το ακέραιο μέρος του πραγματικού αριθμού x (αγγλ. floor function, εξ ου και η οπτική ομοιότητα του συμβόλου με πάτωμα). ³² Το πεντάστιχο 12112 είναι επίσης το δημοφιλέστερο στο ισπανικό είδος Quintilla του 15ου–16ου αιώνα. Straipsniai / Articles 241 GIEDRIUS ALKAUSKAS aBaaB), το «Μηνιαίο κήπο» του Kornelijus Platelis (1984, 5-αμφίβραχος aBaaB), οι «Ύμνοι της απαισιοδοξίας» V του V. Mykolaitis-Putinas (1925, 4-αμφίβραχος aBaaB), το «Μετά από μακρά σιωπή» του Albinas Bernotas (1978, 4-αμφίβραχος aBaaB), το «Άνθρωπος» του V. Mačernis (1943, ίαμβος a₇B₇a₈a₅B₅) και το «***» (δάκτυλος a₄B₄a₄a₄B₃· στο ποίημα τρεις στίχοι έχουν δακτυλικές ανακρούσεις – από μία άτονη συλλαβή στην αρχή), η «Μπαλάντα για έναν άνθρωπο με πιρούνια» του Juozas Erlickas (1987, η πρώτη στροφή – ίαμβος A₄b₃A₄A₄b₃· στους άλλους ο αριθμός των ποδών ποικίλλει κάπως, διατηρώντας το σχήμα 12112). Σε όλες αυτές τις στροφές υπάρχουν παύσεις: καταληκτικές (λείπει μία συλλαβή) ή στίχοι με συντομευμένο πόδα. Επεκτείνοντάς το αυτό στις πεντίνες, μπορούμε να πούμε: η φυσική αναπνοή του κειμένου σε ένα τέτοιο πεντάστιχο απαιτεί παύσεις. Η εναλλακτική των καταληκτικών στίχων απορρίπτεται λόγω υπερβολικής πλέξης: είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς φυσική ροή του κειμένου όταν κάθε ομοιοκαταληξία αντιστοιχεί τόσο σε 3 αρσενικές όσο και σε 2 θηλυκές καταλήξεις (ή το αντίστροφο). Απομένει η δεύτερη εναλλακτική. Πράγματι, υπάρχει μία εξαίρεση. Οι πεντίνες ταιριάζουν και σε καθαρό ενδεκασύλλαβο ίαμβο. Εδώ κάθε στίχος τελειώνει με παύση, η οποία τον συμπληρώνει σε έξι πόδες. Η μικρή παύση ενός στίχου, αλλά η ανάκρουση του επόμενου, λειτουργώντας ως προανάκρουση, σαν να επεκτείνει την παύση σε δύο συλλαβές. Και πράγματι, το πρώτο ποίημα που ανακαλύφθηκε με σχήμα ομοιοκαταληξιών 12112, στο οποίο συμπίπτουν τόσο ο αριθμός των συλλαβών στους στίχους όσο και οι τύποι των καταλήξεών τους, είναι το «Από τα περίχωρα στο κέντρο» του Aidas Marčėnas (2000, 5-ίαμβος abaab). Στο πλαίσιο αυτού του κεφαλαίου είναι απλώς υποχρεωτικό να παραθέσουμε την πρώτη στροφή: Διαλυμένος Dante, ματωμένα ούλα, ο γέρος εκεί όπου χθες ήταν παιδί, τοπίο κολλημένο από θραύσματα – ουρανός και γη, γυναίκα και βάρκα, φως – σαν εδώ να αρχίζει το inferno (ŠLPCh 142). Ο ιαμβικός τετράμετρος ταιριάζει λιγότερο, επειδή, αν υπολογιζόταν η παύση, κάθε στίχος θα αποτελούνταν από πέντε πόδες και η στροφή από 25 πόδες. Η περιττότητα αυτού του αριθμού καθορίζει τις απότομες στροφές στη ροή του κειμένου. Έτσι διακρίνονται τρεις μορφές κατάλληλες για πεντίνες – του χορείου, του δακτύλου και του ιάμβου: Όπως αναφέρθηκε, στη λιθουανική γλώσσα είναι χαρακτηριστικότερο το διάστημα δύο άτονων συλλαβών. Γι’ αυτό ακριβώς το δακτυλικό παράδειγμα χρησιμοποιείται στην αρχή του άρθρου αυτού του 242 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos συγγραφέα, στο αρχικό άσμα του ποιήματος «Βόρεια λείψανα», «Ο πρώτος αγώνας χωρίς το Ąsgardas». Οι δύο πρώτες στροφές: Σχίζει την περιοχή που βαθαίνει, το αλέτρι των γερανών... Σπέρνε, στη νίκη της σποράς, Τίποτα δεν δόθηκε. Μόνο ο Αιώνιος Κύκλος δόθηκε. Τον Βορρά οι κραυγές τον κάνουν να παγώνει, θρυμματίζουν τον παγετό, η ανησυχία πάλλεται στην επιφάνεια, ανοίγει η Παντοανοίγουσα το γαλανό της Μάτι. 2.4. Επτάστιχα. Τα κανονικά επτάστιχα είναι ήδη λιγότερο πρακτικά. Πρώτον, κάθε ομοιοκαταληξία θα επαναλαμβανόταν επτά φορές, πράγμα που απειλεί με σοβαρή μονοφωνία. Δεύτερον, οι ομοιοκαταληξίες θα μετατοπίζονταν κυκλικά μόνο μετά από επτά στίχους. Κατά την εξέταση διαφόρων 7-κυκλικών ακολουθιών, θα ήταν πρακτικότερο να παίρνουμε κάθε δεύτερη στροφή. Έτσι εντοπίζονται μερικά εξαιρετικά ελκυστικά επτάστιχα. Για παράδειγμα, αυτό που θα χρησιμοποιηθεί στο δεύτερο ποίημα της τετραλογίας (βλ. Alkauskas 2022): 1η στροφή 3 1 4 2 3 4 2 2η στροφή 5 3 6 4 5 6 4 3η στροφή 7 5 8 6 7 8 6. Οι περιττές ομοιοκαταληξίες επαναλαμβάνονται τρεις φορές με διαστήματα 3, 3, ενώ οι άρτιες – τέσσερις φορές με τα αντίστοιχα διαστήματα 2, 4, 2. 3. ΟΜΑΔΕΣ Τα μαθηματικά, δίπλα στη γλώσσα και τη μουσική, είναι μία από τις πρωταρχικές εκφράσεις της ελεύθερης δημιουργικής δύναμης του ανθρώπινου νου. Hermann Weyl 3.1. Η δομή της ομάδας και οι μεταθέσεις. Μια δυαδική πράξη είναι ένα μαγικό κουτί με πορτάκια στα αριστερά, στα δεξιά και επάνω. Αν τοποθετήσουμε ένα στοιχείο και από τις δύο πλευρές, το κουτί ενεργοποιείται και παράγει κάτι που μπορεί πλέον να αφαιρεθεί από πάνω. Μαθηματικά γράφεται a □ b = c. Για απλότητα, αντί για το σύμβολο «□» χρησιμοποιείται για το κουτί το τυπικό «·». Μια ομάδα (Γ, ·) είναι ένα σύνολο με δυαδική πράξη, αν το ζεύγος ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα: 1) Ουδέτερο στοιχείο (μονάδα): υπάρχει e ∈ Γ τέτοιο ώστε a · e = e · a = a για κάθε a ∈ Γ· 2) Αντίστροφο στοιχείο: για κάθε a υπάρχει b τέτοιο ώστε a · b = e; Straipsniai / Articles 243 GIEDRIUS ALKAUSKAS 3) Προσεταιριστικότητα: a · (b · c) = (a · b) · c. Με βάση αυτά τα αξιώματα αποδεικνύεται ότι το ουδέτερο στοιχείο είναι μοναδικό, όπως και το αντίστροφο κάθε στοιχείου. Το τελευταίο σημειώνεται τότε a⁻¹. Η δυαδική πράξη μπορεί να ικανοποιεί και την ισότητα a · b = b · a. Μια τέτοια ομάδα ονομάζεται μεταθετική. Στον πραγματικό κόσμο αυτό είναι άτυπο: άλλωστε δεν είναι το ίδιο αν πρώτα φορέσει κανείς την κάλτσα ή το παπούτσι. Και δεν είναι το ίδιο τι συμβαίνει νωρίτερα: η στάση του λεωφορείου ή το άλμα του επιβάτη από αυτό³³. Στην ομάδα, μετά τη μονάδα, τα απλούστερα είναι τα στοιχεία δεύτερης τάξης (αν υπάρχουν), για τα οποία ισχύει a · a = e. Αυτά ονομάζονται ανακλάσεις ή involutions. Το θέμα της κατοπτρικής αντανάκλασης στη γλωσσολογία δεν είναι βέβαια καινούριο. Έτσι μπορούν να ερμηνευθούν τόσο η μετάθεση (λιθ. kepti // σλαβ. nekмu), όσο και ο νόμος της μεταμόρφωσης που ανέπτυξε ο Algirdas Patackas (Patackas 2014: 85), περιγράφοντας τις σημασιολογικές και συμβολικές σχέσεις των λέξεων: plat-us // talp-us· gyl-is // lyg-is³⁴ κ.ο.κ. Παρά την άξια κριτική των γλωσσολόγων, δεν θα έπρεπε να απορρίψουμε το τελευταίο φαινόμενο ως εντελώς αντιεπιστημονικό (Saudargas 2014: 100). Πόσο μάλλον επειδή, σύμφωνα με τον Dainius Razauskas, «Από μία άποψη, τα έργα των A. Patackas και A. Žarskus παραμένουν επίκαιρα. Ακριβώς επειδή σε αυτά μπορεί κανείς να διακρίνει μια απόπειρα να εντοπιστεί το γλωσσικό φαινόμενο που εξετάζει ο S. Valentas στο υψηλότερο φιλολογικό επίπεδο [στο βιβλίο Γλωσσολογία του Μη(λυνο)νουλίου], όχι στην ποίηση ενός δημιουργού, αλλά στην ίδια τη λιθουανική γλώσσα» (Razauskas 2006: 59). Το θέμα της κατοπτρικής αντανάκλασης μπορεί να συνεχιστεί, αλλά με εντελώς διαφορετική αρχή. Ας το ονομάσουμε αντίστροφο σχεδιασμό κειμένου (ATD). Πρόκειται για μορφή δημιουργίας στην οποία, λόγω προκαθορισμένων κανόνων, τα μέσα για την κατασκευή του κειμένου είναι περιορισμένα, αφήνοντας πλήρη ελευθερία στην ερμηνεία του, στην απόδοσή του νοήματος μέσω του συμφραζομένου, των υπαινιγμών και των χειρισμών. Παρακάτω παρατίθενται παραδείγματα του δημιουργού. Ο προαναφερθείς κανόνας γίνεται σαφής ήδη μετά από μερικά από αυτά. 3.2. Κείμενο. Μεταθετικοί μύθοι–μεταμορφικές αποσιωπήσεις ή γλωσσικές αυτοψίες με θέμα δισύλλαβες λέξεις x(e) (ė) (ie)-l (ė) (ia) (iai) (e) *** Σχετικά με τους παγετούς και το αναπόφευκτο επέκεινα του Νοεμβρίου ΜΑΡΑΙΝΟΥΝ ΤΑ ΛΟΥΛΟΥΔΙΑ – ΣΑΠΙΖΟΥΝ ΤΑ ΜΑΛΛΙΑ. *** Σχετικά με τη ζωή των Αΐνων που καθαραίνει τον Μάρτιο κοντά στον ποταμό Ισικάριο 33 Ουσιαστικά, εδώ γίνεται λόγος για σύνθεση συναρτήσεων, η οποία εξ ορισμού είναι ήδη προσεταιριστική, όμως η αντιμεταθετικότητά της είναι εξαιρετικά σπάνια ιδιότητα. 34 Ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες μαθηματικές περιπτώσεις: μήκος – όγκος, κατακόρυφος – οριζόντιος. 244 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos ΣΑΚΟΥΡΟΣ ΒΕΛΕΛΕ. ΠΝΕΥΜΑΤΑ ΤΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ. *** Ρομάντσο για δυστυχισμένο έρωτα για σόλο βιολοντσέλο ΤΑ ΛΟΥΛΟΥΔΙΑ ΤΕΜΝΟΥΝ – ΤΟ ΤΣΕΛΟ ΓΡΥΛΙΖΕΙ. *** Μύθος για αθάνατη ελπίδα και χτυπημένη κρέμα ΤΟ ΓΑΛΑ ΤΩΝ ΜΟΝΩΝ ΦΥΛΛΩΝ ΖΥΜΩΝΕΙ. *** Ο παράδεισος των Ojibwe, που ζουν κοντά στις Μεγάλες Λίμνες ΤΡΩΕΙ ΖΕΛΕ Η ΣΚΙΑ ΠΑΡΑΤΗΡΕΙ ΤΟ ΠΝΕΥΜΑ. *** Σχετικά με την απεριόριστη περιέργεια και τα παιχνίδια-ρομπότ στην παιδική ηλικία ΚΟΒΕΙ – Η ΚΟΥΚΛΑ. ΜΕΝΕΙ Η ΡΑΒΔΟΣ. *** Ο μύθος του Sovijus και η ταφή των νεκρών στο νερό ΚΑΘΥΣΤΕΡΟΥΝ ΤΑ ΦΥΛΛΑ. ΚΑΘΥΣΤΕΡΟΥΝ ΤΑ ΠΝΕΥΜΑΤΑ. *** Όπως στη γη – έτσι και στον ουρανό (ιστορία για μια βασίλισσα των πουλιών, σαν μια ουράνια Μαρία Αντουανέτα, η οποία, κατά τη διάρκεια λιμού, απάντησε σε όσους της ζητούσαν φαγητό: «Δεν υπάρχει ψωμί; Φάτε γλυκά!») Η ΜΑΓΙΑ ΜΑΓΕΙΡΕΥΕΙ – ΤΟ ΦΑΓΗΤΟ ΚΙΝΕΙ ΤΗΝ ΚΟΠΕΛΑ. *** Η μετακίνηση των Λατγάλιων προς τη Δελτούβα και τη Νάλσια τον 7ο αιώνα ΠΛΗΣΙΑΖΕΙ ΤΟ ΠΝΕΥΜΑ. ΠΛΗΣΙΑΖΕΙ ΤΑ ΠΝΕΥΜΑΤΑ. *** Το κήρυγμα του Σωτήρα για την απώλεια της γήινης υπόστασης και την απόκτηση μέσω αυτής της ουράνιας υπόστασης (Λκ 9, 24, μόνο παραφρασμένο στην αγορά του Skapiškis) ΟΙ ΧΟΡΔΕΣ ΤΩΝ ΚΕΛΙΩΝ – ΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΑ ΠΝΕΥΜΑΤΑ. *** Ιστορία για έναν γέροντα Σαδδουκαίο ο οποίος, ενώ φύτευε, ανακάλυψε ένα κομμάτι τούβλου από τον δεύτερο ναό της Ιερουσαλήμ ΟΙ ΖΑΒΑΛΕΣ ΣΗΚΩΝΟΥΝ. ΤΟ ΚΟΜΜΑΤΙ ΖΕΙ. Η ΚΑΒΑΛΑ ΛΟΥΛΟΥΔΙ. *** Σχετικά με την πρωτόγονη κοινότητα συλλεκτών και κυνηγών (στην οποία και οι κυνηγοί, χρησιμοποιώντας παγίδες, γίνονται συλλέκτες) ΤΑ ΦΥΛΛΑ ΚΟΛΛΟΥΝ – ΤΑ ΒΕΛΗ ΤΡΑΓΟΥΔΟΥΝ. *** Ιστορία για τον Αττίλα τον Ούννο, που κέρδισε το χέρι της Ιλντίκης χωρίς κανέναν ιπποτισμό ΓΡΗΓΟΡΟ ΒΕΛΟΣ – ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΛΟΥΛΟΥΔΙ. *** Straipsniai / Articles 245 GIEDRIUS ALKAUSKAS Ποιο είναι το μικρό, αλλά ουσιωδέστερο μέρος ενός μεγάλου πράγματος; ΤΡΥΠΑΝΙΑ – ΤΡΟΧΟΣ, ΡΕΛΕ – ΣΥΡΜΑ. *** Όλα εδώ είναι λογικά. Οι φυσικοί θα επιβεβαιώσουν ότι ο βασικός μηχανισμός του τρυπανιού (ν. δάνειο drelė) είναι ο κοχλίας, ενώ της ηλεκτρονόμου – ο ηλεκτρομαγνήτης, αποτελούμενος από σπείρες σύρματος (παλ. δάνειο drato) και σιδηρομαγνητικό υλικό. Μπορούν να επινοηθούν και άλλα σχήματα για την εφαρμογή του ATD. Ας πάρουμε χαρακτηριστικές φράσεις, παροιμιώδεις εκφράσεις, αλλά μετασχηματισμένες σε οξύμωρα ή λογοπαίγνια. Για παράδειγμα, δεν θα ξεφύγεις πουθενά – θα πρέπει να φύγεις από εδώ· η γέφυρα δεν καίγεται ακόμη για να την κάψεις· θα δούμε ακόμη αν θα δούμε αυτό· το θυμάμαι από αμνημονεύτων χρόνων· αυτή η λατρεία δεν καλλιεργείται πλέον· κανείς δεν ετοιμάζεται να γδυθεί κ.ο.κ. Το πιο ενδιαφέρον, φυσικά, είναι να ερμηνεύσει κανείς έναν τέτοιο μονόστιχο. Αλλά η ιδέα ότι το σημασιολογικό φορτίο του τίτλου ενός ποιήματος μπορεί να είναι αποφασιστικό δεν είναι καθόλου νέα – μέρος των ποιημάτων στο βιβλίο του S. Geda Το σεντούκι για να πιάσεις το πνεύμα (Geda 1994) αποκρυπτογραφείται μόνο a posteriori αφού ξαναδιαβαστεί επανειλημμένα ο τίτλος. 3.3. Συνωνυμία και ρίζες από τη μονάδα. Πρώτα, ο ορισμός: «Πραγματικά συνώνυμα θεωρούνται οι λέξεις παρόμοιας ή ταυτόσημης σημασίας, οι οποίες δηλώνουν την ίδια έννοια και χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν διάφορες σημασιολογικές αποχρώσεις ή υφολογικές ιδιαιτερότητες. [...] Λόγω της πολυσημίας, μια λέξη μπορεί με ορισμένες σημασίες της να εισέρχεται σε συνωνυμικές σχέσεις με ορισμένες λέξεις, ενώ με άλλες σημασίες – με άλλες» (Lyberis 1981: 3). Ας φανταστούμε τώρα ότι οι λέξεις α₁ και α₂ είναι πραγματικά συνώνυμα. Ιδεογραφικά, υφολογικά, συναισθηματικά, παραγωγικά – όλα ταιριάζουν. Και καταγεγραμμένα στο λεξικό, και νεοκατασκευασμένα, αρκεί η γλωσσική αίσθηση να μην αντιτίθεται στη δεδομένη συνωνυμία. Ας σημειώσουμε αυτή τη σχέση α₁~α₂. Έστω τώρα ότι στην ακολουθία α₁, α₂, α₃,..., αₙ κάθε διαδοχικό ζεύγος θα είναι συνώνυμο (σε διαφορετικά ζεύγη η ίδια λέξη μπορεί να χρησιμοποιείται ομωνύμως). Αν αναζητούσαμε παραδείγματα στα οποία α₁~αₙ, δύσκολα θα αποφεύγαμε μια ενιαία δέσμη συνωνύμων. Αλλά η πρόσθετη απαίτηση ∃ p, 1 < p < n: α₁ ≁ αₚ δημιουργεί ήδη την απαιτούμενη ένταση. Το επόμενο ερώτημα: πότε α₁~−αₙ; Με άλλα λόγια, μπορεί μια αλυσίδα συνωνύμων να οδηγήσει σε αντώνυμο; Σε αυτό το ερώτημα κρύβεται η ποίηση. Ακριβώς στη σχέση του σχετικού (μεταφορά) και του απόλυτου. Παραθέτοντας ξανά τον Lyberis: «Ο χειμώνας, σκεπάζοντας με λευκά σκεπάσματα, θα δαγκώσει το πράσινο μπουμπούκι σας (Maironis). Εδώ η λέξη σκεπάσματα αποκτά τη σημασία ‘χιόνι’ μόνο μέσα στα συμφραζόμενα και είναι παραστατική μεταφορά» (στο ίδιο). Πράγματι, ένα από τα είδη μεταφοράς είναι η εννοιολογική ένταξη στα συμφραζόμενα, η οποία προσδίδει χαρακτηριστικά συνωνύμων σε διαφορετικές λέξεις ή φράσεις. Όμως η ένταξη στα συμφραζόμενα μπορεί να αντικατασταθεί από τον ρυθμό ενός αλγορίθμου, ο οποίος οδηγεί τη λέξη α₁ μέσω μιας αλυσίδας συνωνύμων στη λέξη αₙ. Έτσι η αλυσίδα αποκτά χαρακτηριστικά μεταφοράς. Η δημιουργία ψευδοπαραδειγμάτων συνωνύμων που δεν συγκρούονται με τη γλωσσική διαίσθηση μπορεί επίσης να είναι καλή ποίηση. 246 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Έστω n ∈ ℕ. Ένας μιγαδικός αριθμός α ονομάζεται ρίζα του μείον ένατου βαθμού, αν αⁿ = −1. Για παράδειγμα, i² = −1, (¹⁄₂ + ³⁄₂i)³ = −1³⁵, η αλυσίδα α₁~−αₙ είναι το γλωσσικό ανάλογο της ρίζας του μείον ένα. Για παράδειγμα: ζέστη, καύσωνας, ξηρασία, αρρώστια, ρίγος, ψύχρα, κρύο. Η λέξη džiuova χρησιμοποιείται εδώ ως ομώνυμη – και με τη σημασία «ξηρασία» και με τη σημασία «φυματίωση». Στη διατύπωση του Lyberis, συνώνυμο είναι μια απόχρωση. Συνώνυμο ενός οπτικού χρώματος μπορεί να είναι και ένα άλλο χρώμα διπλάσιας συχνότητας κύματος. Ας υποθέσουμε ότι το ιώδες (800 terahertz) είναι συνώνυμο του οριακού ερυθρού φωτός (400 terahertz). Αν αυτό δεν είναι αρκετά πειστικό στην οπτική (και οι δύο συχνότητες βρίσκονται στα όρια του ορατού φωτός), βοηθά η ακουστική, επειδή η διπλασιασμένη συχνότητα αντιστοιχεί σε ένα σαφώς συνώνυμο (ομόηχο) διάστημα καθαρής οκτάβας (για παράδειγμα, το σολ της πρώτης και της δεύτερης οκτάβας). Επομένως, στην οπτική και την ακουστική το αντώνυμο θα βρισκόταν ακριβώς στη μέση, εκεί όπου ο λόγος των συχνοτήτων των κυμάτων είναι √2 ≈ 1.4142. Ωστόσο, είναι προφανές ότι από το ένα στο άλλο μπορεί κανείς, κινούμενος αργά, να μετατοπίζεται μόνο μέσα από αποχρώσεις και αντηχήσεις³⁶. Στο γλωσσικό πλαίσιο τέτοιες περιπτώσεις είναι μοναδικές. Γι’ αυτό είναι πιο ενδιαφέρουσες. Το παραπάνω παράδειγμα θερμότητας – ψύχους ίσως δεν είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον (ούτε επιδιώχθηκε κάτι τέτοιο), αλλά το ίδιο το θέμα αγγίζει κάτι βαθιά από τη γλωσσική διασύνδεση. Μένει μόνο να τυλίξουμε την πετονιά³⁷. 4. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ Στη Σιβηρία ενδιαφέρθηκα για τις θετικές επιστήμες – τη φυσική, τα μαθηματικά. Τη νύχτα μελετούσα τη θεωρία και των δύο και έγραφα ποιήματα. Πρωθ. Česlovas Kavaliauskas 4.1. Η σταθερά του Αρχιμήδη. Ο αριθμός π είναι ο σημαντικότερος από τους λεγόμενους περιόδους³⁸. Η τιμή αυτής της σταθεράς ισούται με τον λόγο του μήκους της περιφέρειας προς τη διάμετρο, περίπου ³⁵ Η φανταστική μονάδα i, που ικανοποιεί την ισότητα i² = −1, στη μαθηματική πλατωνική πραγματικότητα είναι ένα αληθινό, υπαρκτό αντικείμενο, αλλά αυτή η παραπλανητική ονομασία επικράτησε ιστορικά. ³⁶ Τα ακουστικά κύματα κοντινών συχνοτήτων παράγουν έντονη παραφωνία λόγω του λεγόμενου φαινομένου του χτυπήματος. Όμως, αν η αντήχηση είναι ήχος (είδηση) που επαναλαμβάνεται από τη μνήμη και η συχνότητά του μπορεί να αποκλίνει λίγο από την πρωτότυπη, τότε η αντήχηση γίνεται άμεσο ανάλογο της οπτικής απόχρωσης. ³⁷ Αντίθετη σημασία προς αυτή την απλοϊκή αλληγορία έχει η φρασεολογική έκφραση να τυλίξουμε τα καλάμια, της οποίας και τα δύο συστατικά είναι, κατά τα άλλα, σχεδόν λεξικά συνώνυμα των συστατικών της πρώτης. ³⁸ Ο ακριβής ορισμός των περιόδων είναι αρκετά τεχνικός (βλ. Kontsevich, Zagier 2001). Straipsniai / Articles 247 GIEDRIUS ALKAUSKAS 3.1415926535897932384626433832795. Αυτό, βέβαια, δεν είναι ο αρχικός ορισμός. Η ευκλείδεια γεωμετρία στο επίπεδο λειτουργεί με ευθείες και σημεία, οι αμοιβαίες σχέσεις των οποίων καθορίζονται από τα Αξιώματα του Ευκλείδη. Ακούγοντας μαθηματικά τις λέξεις σημείο και ευθεία, φανταζόμαστε πραγματικά αντικείμενα, όμως μπορούμε να χειριστούμε μόνο έννοιες που υπακούουν σε εκ των προτέρων καθορισμένες σχέσεις, οι οποίες ονομάζονται αξιώματα. Αυτά είναι τα δεδομένα, οι σπόροι που βλασταίνουν σε βλαστούς (θεωρήματα) και καρπό (θεωρία). Παράδειγμα αξιώματος: Από ένα σημείο που δεν βρίσκεται πάνω στη δεδομένη ευθεία διέρχεται μία και μοναδική ευθεία που δεν την τέμνει. Αυτό είναι το περίφημο πέμπτο αξίωμα (αξίωμα) του Ευκλείδη, το οποίο επί μακρόν προσπάθησαν να συναγάγουν από τα άλλα. Αν είχαν επιτύχει, το πέμπτο δεν θα ήταν πλέον αναγκαίο. Μπορούμε να θυμηθούμε το έργο του μαθηματικού και ποιητή Ομάρ Καγιάμ Σχόλια στα πρώτα αξιώματα του βιβλίου του Ευκλείδη (περ. 1100), όπου πίστευε ότι είχε βρει την απόδειξη. Δυστυχώς, τον 19ο αιώνα αποδείχθηκε ότι το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη είναι ανεξάρτητο από τα άλλα. Οι εναλλακτικές του θεμελίωσαν τις λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Για αυτές μίλησε ο Ιβάν Καραμάζοφ στον Αλιόσα: «Между тѣмъ находились и находятся даже и теперь геометры и философы, и даже изъ замѣчательнѣйшихъ, которые сомнѣваются въ томъ, чтобы вся вселенная или, еще обширнѣе, – все бытіе было создано лишь по эвклидовой геометріи, осмѣливаются даже мечтать, что двѣ параллельныя линіи, которая, по Эвклиду, ни за что не могутъ сойтись на землѣ, можетъ-бытъ, и сошлись бы гдѣ-нибудь въ безконечности» (Dostojevskis 1879: 396). Μόνο ο συγγραφέας, παρεμπιπτόντως, δεν είναι εδώ απολύτως ακριβής: αναφέροντας τη μη ευκλείδεια γεωμετρία, περιγράφει μάλλον την ουσία της προβολικής γεωμετρίας. Σε αυτήν ισχύει πάντοτε η ακόλουθη πρόταση: δύο μη συμπίπτουσες ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο. Αυτή η γεωμετρία έχει ακόμη την εξής ιδιότητα: σε οποιοδήποτε θεώρημά της, αν ανταλλάξουμε τις έννοιες των σημείων και των ευθειών, παίρνουμε ένα αληθές θεώρημα. Δυϊκός προς την προηγούμενη πρόταση είναι ο ισχυρισμός: από δύο διαφορετικά σημεία διέρχεται μία και μοναδική ευθεία. Ταυτόχρονα, αυτό αποτελεί εξαιρετική απεικόνιση του ότι η ευθεία και το σημείο δεν είναι παρά αφαιρέσεις. Αν φανταστούμε μια υποθετική γλώσσα των šėliai, στην οποία οι σημασίες των λέξεων teisė και taskis είναι αντιστραμμένες, όλα τα λιθουανικά θεωρήματα θα ίσχυαν και στα šėliai. Για να τονιστεί πόσο διαφέρει η μαθηματική αφαίρεση από το αντικείμενο της φαντασίας, ας σημειωθεί ότι ένα από τα μοντέλα του προβολικού επιπέδου είναι ο τρισδιάστατος χώρος με ένα σταθερό μηδενικό σημείο O, στον οποίο «σημείο» είναι μια ευθεία που διέρχεται από το O, ενώ «ευθεία μέσω δύο σημείων» είναι ένα επίπεδο που διέρχεται από δύο τέτοιες ευθείες. Επομένως, δίπλα στον Ντοστογιέφσκι ταιριάζει εξαιρετικά και ο Justinas Marcinkevičius: Όλη την ώρα αναζητώ ένα σημείο, Όλη την ώρα αναζητώ μία λέξη... από την οποία ξεκινούν όλες οι ευθείες. [...] Αν και ξέρω ότι δεν θα τη βρω ποτέ (DALP2 18). 248 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Η έλλειψη ενός διαισθητικού ορισμού του π εξηγείται τώρα απλά. Στο πλαίσιο της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι απλώς αδύνατο να οριστεί το μήκος καμπυλών (για παράδειγμα, ενός κύκλου). Για αυτό απαιτείται ένας άλλος κλάδος των μαθηματικών, ανάλυση, με τα δικά του αξιώματα. Ο αρχικός ορισμός του π μπορεί να εκπλήξει: Αυτό το ολοκλήρωμα αποτελεί εξαιρετικό εφαλτήριο προς το 45ο tercet του 33ου άσματος του «Παραδείσου» του Dante: Qual è’l geometra che tutto s’affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond’elli indige. Θα έλεγες πως είναι γεωμέτρης, που επιχείρησε να τετραγωνίσει τον κύκλο, ώσπου κατάλαβε πως μάταια κοπιάζει και βασανίζεται. Γιατί σε αυτή την περίπτωση το να μετρήσει τον δίσκο και να τετραγωνίσει τον κύκλο αποτελεί αρκετά ακριβή μετάφραση; Ο Dante μιλά για το αρχαίο πρόβλημα της τετραγώνισης του κύκλου. Το πρόβλημα αυτό έθετε το ερώτημα αν είναι δυνατόν, μόνο με τη βοήθεια διαβήτη και κανόνα, να κατασκευαστεί τετράγωνο με εμβαδό ίσο με το εμβαδό μοναδιαίου κύκλου. Το ότι η απάντηση είναι αρνητική απέδειξε ο Ferdinand von Lindemann το 1882. Δεν θα εμβαθύνουμε περισσότερο — αυτή η τομή της «Commedia», μια τέλεια τριεπιστημονία θεολογίας, ποίησης και μαθηματικών, έχει μελετηθεί αρκετά καλά (Herzman, Towsley 1994). Σχετικά με το π και τη γεωμετρική δομή του ίδιου του ποιήματος, που σχεδιάστηκε με ακρίβεια από τον ίδιο τον συγγραφέα (βλ. Hart 1987). Ο Dostoevsky αναφέρει το πρόβλημα της τετραγώνισης του κύκλου, παραλληλίζοντας το άλυτο πρόβλημά του με την εξίσωση των ποινών για τα ίδια εγκλήματα, στα «Σημειώματα από το σπίτι των νεκρών». Το γεγονός αυτό παραλείπεται από το κατά τα άλλα αρκετά πλήρες εγχειρίδιο The Palgrave Handbook of Literature and Mathematics (PHLM). 4.2. Μνημονικά. Ο Darijo Castellanos (Castellanos 1988: 152–153) εξετάζει μνημονικά διαφόρων γλωσσών, τα οποία βοηθούν στην απομνημόνευση των ψηφίων του π στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Η κωδικοποίηση εδώ είναι απλή: ο αριθμός των γραμμάτων της λέξης αντιστοιχεί σε ένα ψηφίο. Μια γνωστή αγγλική παραλλαγή, και κάπως λιγότερο γνωστή ελληνική: How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics! Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον... Στη συνέχεια ο συγγραφέας παραθέτει ομοιοκατάληκτα παραδείγματα στα γαλλικά και στα ισπανικά. Είναι προφανές (και αυτό επιβεβαιώνεται από τις έρευνες) ότι η ποίηση είναι καταλληλότερη για αυτόν τον σκοπό από την πεζογραφία (Levitin 1999: 200–211). Πράγματι, η ανθρώπινη μνήμη είναι αρκετά αδύναμη όσον αφορά τις λεπτομέρειες: από μια συνηθισμένη συνομιλία οι περισσότεροι θα θυμούνται μόνο τον τόνο, το συναίσθημα, τη διάθεση. Υπό το φως αυτού του γεγονότος, η μνήμη των εκτελεστών αρχαίων μπαλάντων και επών φαίνεται σχεδόν φαινομενική. Ωστόσο, οι έρευνες αποκάλυψαν ότι οι εκτελεστές δεν απομνημονεύουν όλες τις λεπτομέρειες: ο ρυθμός, η ομοιοκαταληξία, οι παρηχήσεις, η μελωδικότητα, η γραμματική και η σημασιολογία περιορίζουν την ελευθερία του κειμένου, γεγονός που επίσης βοηθά Straipsniai / Articles 249 GIEDRIUS ALKAUSKAS να μην κάνει λάθος. Κατά τον ίδιο τρόπο, οι απτικές αισθήσεις εγχαράσσουν τη μνήμη των πιανιστών. Ωστόσο, μετά από ένα διάλειμμα, όταν εξετάστηκαν εκ νέου έντεκα τραγουδιστές επών, διαπιστώθηκε ότι το κείμενο δεν επαναλαμβανόταν πάντοτε πανομοιότυπα, αλλά υπάκουε σε σημασιολογικούς και ποιητικούς περιορισμούς: το λεξιλόγιο ποικίλλει συνωνυμικά, ενώ μερικές φορές οι «αναιμικές» λέξεις αντικαθίστανται από άλλες, χωρίς να αλλάζει το νόημα. Στο πλαίσιο των ρεκόρ μνήμης, εδώ ακριβώς ελλοχεύει ένας δυνητικός κίνδυνος. Η απαγγελλόμενη ποίηση θα κωδικοποιήσει πολλά ψηφία του π, αλλά ένα μοιραίο συνώνυμο μπορεί να τα καταστρέψει όλα. Για παράδειγμα, οι Kasteljanos (Castellanos 1988: 153) παραθέτουν ένα γαλλικό ποίημα του 1717, το οποίο βασίζεται στον υπολογισμό 126 ψηφίων του π. Δυστυχώς, το 113ο είναι λανθασμένο. Όταν αυτό έγινε αντιληπτό, η λέξη secteur (7 γράμματα) έπρεπε να αντικατασταθεί από την quadrant (8), και η λέξη που ομοιοκαταληκτούσε με αυτήν, antérieur (9), από την précédent (9). Υπάρχει ακόμη ένα μειονέκτημα αυτής της κωδικοποίησης. Δεν αμφισβητείται (αν και αυτό δεν έχει ακόμη αποδειχθεί) ότι ο αριθμός π είναι normalusis σε όλες τις αριθμητικές βάσεις. Δηλαδή, στη δεκαδική του ανάπτυξη, το ψηφίο 0 θα εμφανίζεται ασυμπτωτικά με πιθανότητα 1/1039. Εφόσον δεν υπάρχουν λέξεις χωρίς γράμματα, το μηδέν μπορεί να κωδικοποιείται με δεκαγράμματες λέξεις. Δεύτερον, από τις μονογράμματες λέξεις είναι δυνατά στην ποίηση τα o και į, μερικά επιφωνήματα, ιδιωματισμοί40 και αρκετά συχνά χρησιμοποιούμενα γράμματα του αλφαβήτου41. Ωστόσο, είναι προφανές ότι, αν μία στις δέκα λέξεις είναι μονογράμματη, το κείμενο δεν θα είναι φυσικό. Όλες αυτές οι λέξεις πρέπει να διακριθούν σε ξεχωριστή κλάση — ας μην κωδικοποιούν τίποτε οι μονογράμματες. 4.3. Έλεγχος μνήμης. Τη λύση του προβλήματος της αναξιοπιστίας της μνήμης ως προς τις λεπτομέρειες προσφέρει ένας αλγόριθμος ενσωματωμένος στους γραμμωτούς κώδικες και στους κώδικες QR (quick response) διάφορων χρήσεων, στους αριθμούς πιστωτικών καρτών, καθώς και στα συστήματα ISBN και EAN για την αναγνώριση βιβλίων. Συγκεκριμένα, η μέθοδος του αθροίσματος ελέγχου (Stakėnas 2007: 127). Αν χρειάζεται να θυμηθούμε τα ψηφία 3603735, το απλούστερο ψηφίο ελέγχου θα ήταν 3 + 6 + 0 + 3 + 7 + 3 + 5 mod 10 = 7. Έτσι, για να ελεγχθούν τα μήκη των λέξεων στη σειρά jau knygos suguldytos lyg veigėlės ant suolo⁴², μπορεί να συμπληρωθεί με μια επταγράμματη λέξη, για παράδειγμα, jau knygos suguldytos lyg veigėlės ant suolo prie­kio (δυστυχώς, αυτό καταστρέφει το τροπικό σχήμα). Ορισμένα λάθη που υπακούουν στη μορφή του κειμένου (jau → ir, lyg → kaip) θα εντοπιστούν, αλλά αν κατά λάθος ο απαγγέλλων αντάλλασσε 39 Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να αποδειχθεί πως το σύνολο 𝒜 έχει μια ορισμένη ιδιότητα, η οποία δεν χαρακτηρίζει ένα τυπικό, στατιστικό σύνολο. Επομένως, υπάρχει κάποια εσωτερική δομή που περιορίζει το 𝒜, και το σύνολο δεν υπακούει στη στατιστική. Συχνά η απαιτούμενη ιδιότητα αποδεικνύεται ακριβώς με την ανίχνευση αυτής της δομής. Από την άλλη πλευρά, τα προβλήματα στα οποία ζητείται να αποδειχθεί ότι ένα συγκεκριμένο σύνολο (η ακολουθία των ψηφίων του π) υπακούει στους στατιστικούς νόμους είναι τα δυσκολότερα. 40 Το περίφημο „Anykščių šilelio“ Ė (o, bet, ogi). 41 Ένα υφολογικό μέσο που αγαπούσε ο Juozas Erlickas, για παράδειγμα, „Daug daugiau suteikia sielai / džiaugsmo ir t. t.“, „Aš tartum traukinys kuris kursavo / Iš A į B ir dingo C paskui“ και παρόμοια. 42 Στίχος από το ποίημα του S. Gedos „Karvaičių kaime, kuris užpustytas smėlio“, μόνο που το originalus αντικαταστάθηκε με το jau. 250 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos τις λέξεις knygos και suguldytos τοποθετημένες σε διαφορετικές θέσεις, η καισούρα του ιαμβικού στίχου s1 δεν θα το χαλούσε, αλλά, δυστυχώς, το ψηφίο ελέγχου αυτού του σφάλματος δεν θα το καταγράψει. Ωστόσο, τα μαθηματικά μπορούν να βοηθήσουν ουσιαστικότερα, επειδή ο επιλεγμένος αλγόριθμος δεν είναι αρκετά καλός. Αν χρησιμοποιούνταν η Luhn’o formulė, θα εντόπιζε τόσο την ασυμφωνία ενός ψηφίου όσο και σχεδόν όλα τα σφάλματα αντιμετάθεσης δύο γειτονικών ψηφίων (μόνο το σφάλμα 09 ↔ 90 δεν θα εντόπιζε). 4.4. Αλγόριθμος. Δίνεται μια πεπερασμένη ακολουθία ψηφίων {s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, s₆,..., sᵣ}. 1. Αυτή αντικαθίσταται από την ακολουθία K = {2s₁, s₂, 2s₃, s₄, 2s₅, s₆,...}, δηλαδή διπλασιάζεται κάθε δεύτερος όρος. 2. Όλοι οι διψήφιοι αριθμοί που βρίσκονται στο K αντικαθίστανται από τα αθροίσματα των ψηφίων τους (για παράδειγμα, 12 → 3, 14 → 5 κ.ο.κ.), και με αυτόν τον τρόπο προκύπτει η ακολουθία L. 3. Όλα τα μέλη του L προστίθενται και το επιθυμητό ψηφίο ελέγχου ισούται με αυτό το άθροισμα modulo 10. Για παράδειγμα, ας εξετάσουμε ξανά το 3603735. Εδώ K = {6, 6, 0, 3, 14, 3, 10}, L = {6, 6, 0, 3, 5, 3, 1}. Το ψηφίο ελέγχου 6 + 6 + 0 + 3 + 5 + 3 + 1 mod 10 = 4, επομένως η λέξη galo θα εντοπίζει περισσότερα πιθανά σφάλματα από τη λέξη priekinio. Ο αλγόριθμος του μνημονικού με έλεγχο θα περιγραφεί τώρα μόνο κατά προσέγγιση, επειδή προηγουμένως πρέπει να πραγματοποιηθεί προσεκτική στατιστική ανάλυση του υποδειγματικού κειμένου και να συζητηθούν οι πιθανές επιπλοκές. Τότε, αντί για τη μέθοδο του Luhn, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθεί ο αλγόριθμος που επινόησε ο Ολλανδός μαθηματικός Γιάκομπ Βερχούφ (Jacobus Verhoeff), ο οποίος εντοπίζει ακόμη περισσότερα σφάλματα, συμπεριλαμβανομένου και του 09 ↔ 90⁴³. Για το μνημονικό γράφεται ένα κείμενο σε κλασικές τερτσίνες, όπου κάθε στίχος έχει 11 συλλαβές. Λίγη στατιστική. Στο γράφημα απεικονίζεται το μήκος, σε γράμματα, και των 45 τερτσέτων του X άσματος του „Inferno“ που μετέφρασε ο Sigitas Geda (τα σημεία στίξης δεν υπολογίζονται). Όλοι οι στίχοι, εκτός από έναν στα τερτσέτα 7, 11, 21, 23, 30 και 33 (όπου ο αριθμός των συλλαβών είναι είτε 9 είτε 13), έχουν 11 συλλαβές. Οι μαθηματικά «μη δαντικοί» στίχοι διορθώθηκαν. Αυτό το πλέον αυστηρά ενδεκασύλλαβο ιαμβικό κείμενο χρησιμοποιείται και για τη στατιστική. Ο μέσος αριθμός γραμμάτων στα τερτσέτα είναι 84,44, ενώ κατά μέσο όρο αντιστοιχούν 2,558 γράμματα ανά συλλαβή. Η μαύρη γραμμή υποδηλώνει την κανονικοποιημένη συνάρτηση κατανομής, γραμμικά παρεμβαλλόμενη⁴⁴. Αλγόριθμος. Έστω ότι {pₛ, s ∈ N} είναι η ακολουθία των ψηφίων του αριθμού π. Δηλαδή, p₁ = 3, p₂ = 1, p₃ = 4, p₄ = 1, p₅ = 5 και ούτω καθεξής. Ας χωρίσουμε τα ψηφία σε ομάδες των 10. Τώρα ας ολοκληρώνουμε κάθε ομάδα με ένα ψηφίο ελέγχου σύμφωνα με 43 Στην ολλανδική γλώσσα οι αριθμοί συνήθως διαβάζονται ανά ζεύγη. Ο J. Verhoeff, μελετώντας τους ταχυδρομικούς κώδικες, υπολόγισε ότι τα φωνητικά σφάλματα, όταν ο αριθμός 1x συγχέεται με τον x1 (για παράδειγμα, 15, Vijftien και 50, Vijftig), μεταξύ όλων των σφαλμάτων ανέρχονται στο 0,49%. Πρόκειται για ένα μικρό, αλλά αισθητό ποσοστό. 44 Η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Z, F(x) = P(Z < x), δείχνει την πιθανότητα με την οποία αυτή λαμβάνει τιμή μικρότερη από x. Το μέγιστο αυτής της συνάρτησης είναι 1. Στο γράφημα η τιμή αυτή έχει πολλαπλασιαστεί επί 5, ώστε όλα τα δεδομένα να χωρούν σε μία ενιαία απεικόνιση. Straipsniai / Articles 251 GIEDRIUS ALKAUSKAS τον τύπο του Luhn, ο οποίος εντάσσεται στην ακολουθία. Έστω ότι η νέα ακολουθία που προκύπτει είναι {qₛ, s ∈ N}. Αντικαθιστούμε κάθε 0 με 12, ενώ κάθε εναπομείναν ψηφίο s το αντικαθιστούμε με s + 2. Έστω ότι η R = {rₛ, s ∈ N} είναι η ακολουθία που προέκυψε. Κατά τη δημιουργία του ποιήματος–μνημονικού, οι μονογράμματες και οι δισύλλαβες λέξεις μπορούν να χρησιμοποιούνται οποτεδήποτε· στην αποκωδικοποίηση αγνοούνται. Ας υποθέσουμε ότι τα πρώτα v μέλη της ακολουθίας R έχουν ήδη κατανεμηθεί σε στροφές. Η μέση τιμή των μελών της ακολουθίας R είναι (3+12)/2 = 7,5. Έστω ότι το j − 1 είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός για τον οποίο rᵥ₊₁ + rᵥ₊₂ + … + rᵥ₊ⱼ₋₁ < 80 (το κατώφλι αυτό επιλέχθηκε έτσι ώστε, με την προσθήκη του επόμενου μέλους της ακολουθίας, να προκύπτει κατά μέσο όρο η ελλείπουσα μέση ποσότητα γραμμάτων στο τερτσέτο, δηλαδή 84,5). Η επόμενη στροφή θα αποτελείται από λέξεις μήκους rᵥ₊₁, rᵥ₊₂, …, rᵥ₊ⱼ. Απομένει να δημιουργηθεί το αντίστοιχο τερτσέτο. Παρεμπιπτόντως, αυτή η κωδικοποίηση θα καταγράφει και ένα σφάλμα άλλου είδους, συγκεκριμένα σφάλμα ελλειπουσών ή πλεοναζουσών λέξεων. Για παράδειγμα, απαγγέλθηκαν δύο, ενώ χρειαζόταν μία λέξη (στο ίδιο παράδειγμα με τα χέλια, glaudžiai guli ↔ suguldytos). Μετά από ένα τέτοιο λάθος, σχεδόν όλα τα ψηφία ελέγχου θα καταγράψουν σφάλμα, επομένως είναι εύκολο να προσδιοριστεί σε ποια στροφή μεταβλήθηκε ο αριθμός των λέξεων. ⁴ ΕΙΚ. Η ποσότητα των τερτσέτων του «Inferno», της Άσμας X, για δεδομένο αριθμό γραμμάτων Για έναν πραγματικό αλγόριθμο πρέπει να εξεταστούν όλες οι πιθανές επιπλοκές. Το γεγονός ότι ο τύπος του Luhn δεν εντοπίζει το σφάλμα 09 ↔ 90 σημαίνει ότι ο αριθμός ελέγχου δεν θα δείξει αν, κατά την απαγγελία, ανταλλάσσονταν οι θέσεις των λέξεων των 12 και των 11 γραμμάτων. Αυτό είναι δυνητικά δυνατό σε δίσημο μέτρο (για παράδειγμα, šakiabarzdis jaunikaitis⁴⁵). Σε αυτό το κεφάλαιο δεν επιδιώχθηκε η δημιουργία του καλύτερου αλγορίθμου, ωστόσο είναι προφανές ότι η προσπάθεια έχει νόημα. Ένας τελειότερος αλγόριθμος θα αποκάλυπτε λεπτότερες στατιστικές διαφορές μεταξύ της καθομιλουμένης, της λογοτεχνικής και της ποιητικής-μετρικής γλώσσας. Αυτό ακριβώς που μελέτησε και ο J. Girdzijauskas, μόνο με κάπως διαφορετικό τρόπο. ⁴⁵ Διορθωμένος στίχος από τη μπαλάντα του Maironis «Čičinskas»: «ožkabarzdis jaunikaitis». Ο Svenas Šakiabarzdis (Svein Tjugeskjegg 963–1014 μ.Χ.) ήταν βασιλιάς της Δανίας. 252 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Ολόκληρη η «Κόλαση» αποτελείται από περίπου 25.000 λιθουανικές λέξεις. Οι τραγουδιστές των επών απέδειξαν ότι ο ανθρώπινος εγκέφαλος είναι ικανός να απομνημονεύσει τόσες. Αφαιρώντας τα ψηφία ελέγχου, απομένουν περίπου 22.000 ψηφία. Πριν από 40 χρόνια, παρόμοιο ήταν και το παγκόσμιο π ρεκόρ μνήμης (τώρα θα ξεπεράσει τις 70.000). Όμως ποιο νόημα έχει να μαθαίνει κανείς αυτούς τους γυμνούς αριθμούς; Άλλο πράγμα είναι όταν υπάρχει ένα ποίημα, στο οποίο τα ενδιαφέροντα μαθηματικά αποτελούν μόνο παράπλευρο αποτέλεσμα. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η αλληλεπίδραση δύο τεχνών, δύο επιστημών ή τέχνης και επιστήμης, καθώς και η διεπιστημονικότητα, κρύβουν περισσότερους κινδύνους απ’ όσες νέες δυνατότητες προσφέρουν. Στο άρθρο επιδιώχθηκε να αποκαλυφθούν τα πιθανά μειονεκτήματα τέτοιων συνδέσεων: βεβήλωση, όταν μία τέχνη / επιστήμη συμμετέχει στην αλληλεπίδραση των δύο σε εξαιρετικά στοιχειώδες επίπεδο· τεχνητή προσαρμογή, όταν μία τέχνη / επιστήμη υποτάσσεται στους νόμους της άλλης ή όταν ο δημιουργός προσεγγίζει τη συμμαχία μεροληπτικά (τέτοιο είναι το μεγαλύτερο μέρος των κειμένων των εκπροσώπων των θετικών επιστημών για τη μουσική και τα μαθηματικά)· εξωτερική αποσύνδεση του έργου και της προσωπικότητας ενός αναγνωρισμένου ιδιοφυούς δημιουργού (του Baranauskas, του Dantė, του Getė κ. κ.), όταν η σχετικά δευτερεύουσα δραστηριότητά της / του εξετάζεται απομονωμένα από την κύρια· διαφορετικοί μηχανισμοί γνωστικο-συναισθηματικής λειτουργίας-επίδρασης. Ωστόσο, υπάρχουν πολλά παραδείγματα όπου τέτοιες συνδέσεις αποδεικνύονται γόνιμες. Στο άρθρο αποκαλύφθηκε ότι, στις περιπτώσεις των μαθηματικών και της ποίησης, καθώς και των μαθηματικών και της γλώσσας, είναι δυνατές άρρητες και ρητές αλληλεπιδράσεις. Στις πρώτες συγκαταλέγονται οι ποιητικές μορφές για τη θεωρητική θεμελίωση των οποίων απαιτούνται μαθηματικά εργαλεία, τα οποία όμως απουσιάζουν πλέον από την ίδια την ποίηση. Στις ρητές αλληλεπιδράσεις συγκαταλέγονται διάφορες περιπτώσεις αντίστροφου σχεδιασμού κειμένου, όπου τα μαθηματικά και η γραμματική περιορίζουν τις δυνατότητες κατασκευής του κειμένου (αυτό μπορεί να συγκριθεί με διάφορες θεωρίες μουσικής αρμονίας – διατονικότητα, σειραϊσμό, αναλογικούς κανόνες κ. κ.), καθώς και οι μαθηματικές εφαρμογές της ποίησης, οι οποίες, μολονότι δεν είναι οι ίδιες ιδιαίτερα λειτουργικές, αποκαλύπτουν βαθύτερα φαινόμενα σχετικά με την ποιητική γλώσσα και μορφή. LITERATŪRA Alkauskas Giedrius 2018: Music-Mathematics Interconnections: An Approach through Science (Works by Mathematicians), and an Approach through the Arts (Musica mathematica by Rima Povilionienė). – Lietuvos muzikologija 19, 331–350. Alkauskas Giedrius 2019: Kalba poezijoje: filologija vs. biofilija. – Acta Linguistica Lithuanica 81, 235–250. Straipsniai / Articles 253 GIEDRIUS ALKAUSKAS Alkauskas Giedrius 2020: Prasmė легируota garsu: poezija kaip muzika. – Acta Linguistica Lithuanica 83, 331–350. Alkauskas Giedrius 2022: Raštijos dėliȯnė kaip kūrybos kodas. – Kultūros barai 1/2, 35–43. Baranauskas Antanas 1994: Rinktinė: poezija, giesmės, dienoraštis, laiškai, sud. R. Mikšytė, Vilnius: Baltos lankos. Baranauskas Antanas 1995: Raštai 1 (Poezija), par. R. Mikšytė, M. Daškus, Vilnius: Baltos lankos. Castellanos Dario 1988: The Ubiquitous π. – Mathematics Magazine 61(3), 148–163. DALP2 – Dvidešimto amžiaus lietuvių poezija 2, sud. V. Kubilius, Vilnius: Vaga, 1995. Dantė 2007: Dieviškoji Komedija: Pragaras, vertė S. Geda, Vilnius: Lietuvos rašytojų sąjungos leidykla. Elliot Thomas S. 1921: Dantė, vertė K. Platelis. – Dieviškoji Komedija: Pragaras, vertė S. Geda, Vilnius: Lietuvos rašytojų sąjungos leidykla, 388–409. Geda Sigitas 1994: Skrynėlė dvasioms pagauti: eilėraščiai, Vilnius: Vaga. Geda Sigitas, 1998: Man gražiausias klebonas – var nėnas: interviu, Vilnius: Vaga. Girdzijauskas Juozas 1978: Tarp silabotonikos ir verl ibro: sinkopis lietuvių poezijoje. – Poezijos pavasaris, Vilnius: Vaga, 220–235. Girdzijauskas Juozas 2001: Eliedara. – Lietuvos literatūros enciklopedija, Vilnius: Lietuvos literatūros ir tautosakos institutas, 125–127. Grinbaum Oleg N. 2002: Гринбаум Олег Н. Строка, строфа и стих как ритмическая система [Stroka, strofa i stikh kak rifmicheskaja sistema]. – Материалы XXXI Всероссийской научно-методич. конф. преподав. и аспир. Филологического ф-та СПбГУ [Materialy XXXI Vserossiiskoi nauchno-metodich. konf. prepodav. i aspir. Filologicheskogo f-ta SPbGU] 4(2), 12–28. Harris Zellig 1969: Mathematical linguistics. – The Mathematical Sciences. A Collection of Essays, Cambridge, Mass.: M.I.T. Press, 190–196. Hart Thomas Elwood 1987: The Cristo–Rhymes and Polyvalence as a Principle of Structure in Dante’s “Commedia”. – Dante Studies 105, 1–42. Herzman Ronald B., Towsley Gary W. 1994: Squaring the Circle: “Paradiso” 33 and the Poetics of Geometry. – Traditio 49, 95–125. HNL – Handbook of the Neuroscience of Language, eds. B. Stemmer, H. Whitaker, USA: Academic Press Elsevier, 2008. 254 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Kontsevich Maxim, Zagier Don 2001: Periods. – Mathematics unlimited 2001 and beyond, Berlin, New York City: Springer, 771–808. Kubilius Jonas 2001: Antanas Baranauskas ir matematika, ser. Iš Lietuvos matematikos istorijos, kn. 1, Vilnius: Matematikos ir informatikos institutas. Levitin Daniel J. 1999: Mechanisms of Memory for Musical Attributes. – Music, Cognition, and Computerized Sound: An Introduction to Psychoacoustics 1, ed. P. R. Cook, Cambridge, Mass: M.I.T. Press. LKŽe – Lietuvių kalbos žodynas 1–20 (1941–2002), red. kolegija G. Naktinienė, J. Paulauskas, R. Petrokienė, V. Vitkauskas, J. Zabarskaitė, vyr. red. G. Naktinienė, e. variantas, Vilnius: Lietuvių kalbos institutas, 2008 (atnaujinta versija, 2017). Prieiga internete: https://ekalba.lt/lietuviu-kalbos-zodynas. Mačys-Kėkštas Jonas 1910: Eilės, Pittsburg: Leidimas ir spauda Brolių Baltrušaičių. Matulaitienė Stasė 1997: Poezijos gramatika, Vilnius: Gimtasis žodis. Pekarskas Vidmantas 2003: Pirmųjų lietuviškų matematikos terminų istorijos fragmentai. – α+ω 3, 76–86. Prieiga internete: http://web.vu.lt/mif/v.stakenas/a+o/2003-3/2003-3-74-86.pdf Povilionienė Rima 2013: Musica Mathematica: tradicijos ir inovacijos šiuolaikinėje muzikoje, Vilnius: Lietuvos muzikos ir teatro akademija. Prieiga internete: https://www.tornado-beta.lt/en/musica-mathematica/. Razauskas Dainius 2008: Mė(lynas)nulis ir dangaus kiaulių paslaptis: „žaidimas žodžiais“ lietuvių tradicijoje. – Liaudies kultūra 6, 58–60. Ruseckienė Rasa, vert. 2017: Edda. Snorri Sturluson, atsak. red. I. Steponavičiūtė-Aleksiejūnienė, Vilnius: VšĮ Akademinė leidyba. Stakėnas Vilius 2007: Kodai ir šifrai: informacijos kodavimo ir kriptografijos pagrindai, Vilnius: TEV, Vilniaus Universitetas. Stankevičius Rimvydas, sud., 2015: A. Kalanavičius. Dvi saujos laiko: eilėraščiai (kartu su P. Dumšiene), Vilnius: Lietuvos rašytojų sąjungos leidykla. Steponaitis Edmundas 1998: Rinktinė, par., įvadą ir komentarus parašė R. Karmalavičius, Poezijos biblioteka Versmės, Vilnius: Vaga. Subačius Giedrius 2010: Lietuvių kalbos ekspertai Rusijos imperijos tarnyboje, Vilnius: Lietuvių kalbos instituto leidykla. Valentas Skirmantas 1997: Lingvistinis pasaulis poezijoje, Vilnius: Mokslo ir enciklopedijų leidybos institutas. Straipsniai / Articles 255 GIEDRIUS ALKAUSKAS MTŽ – Matematikos terminų žodynas, red. J. Kubilius, Vilnius: Mokslo ir enciklopedijų leidykla, 1994. OEIS – The online encyclopedia of integer sequences, seka A065619. Prieiga internete: https://oeis.org/A065619. PE – Poetinė Eda, vertė A. Vijūnas, Vilnius: Aidai, 2009. PHLM – The Palgrave Handbook of Literature and Mathematics, eds. R. Tubbs, A. Jenkins, N. Engelhardt, London: Palgrave Macmillan, 2021. RP – Raidžių paveikslai: vizualioji poezija lietuvių kalba, sud. B. Januševičius, G. Skudžinskas, Vilnius: Nerutina, 2018. ŠLPCh – Šiuolaikinės lietuvių poezijos chrestomatija, sud. S. Parulskis, Vilnius: Alma Littera, 2002. Mathematics, Language, Poetry: Interactions and Attractions SUMMARY This text is the third in a series of four texts devoted to various aspects of poetic language. The aim of this part is to present a few constructions where the interaction of two domains of creativity occurs (two out of poetry, language or mathematics), which a posteriori has a nontrivial intersection with the remaining domain. In our opinion, this is the instance where interdisciplinarity is truly fertile. Generally, this is not the case. Dealing with questions of quality in bidisciplinary art or science, our main standpoints are as follows. First, both domains should participate in an interaction on the comparable level of sophistication, each of the subjects being not subordinate to the laws of the other. As a non-example, most books on music and mathematics are written by mathematicians with a natural–scientific attitude. To make our case more substantial, we examine the book devoted to concrete poetry, finding both fruitful and artificial examples. Second (this brings a human dimension to the subject), we postulate that the legacy of any great artist should be considered not in isolation but in its entirety. This means the following: the area of distinction and the area of (a conditional) amateurism should not be separated from one another. The examples include the mathematical writings of Daniil Kharms, or the treatise in optics Zur Farbenlehre by Goethe. We examine the book Antanas Baranauskas and mathematics by Jonas Kubilius more thoroughly. Baranauskas was a poet who also worked extensively in the fields of homiletics, dialectology, orthography, 256 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos terminology, and mathematics. However, Baranauskas’ output in the latter is investigated by Kubilius purely from a professional point of view. Qualitative judgements are generally correct. However, if we take into account that a part of Baranauskas’ mathematical work is integrated into his philosophical and theological treatises, it is natural to hope for a much more ambitious immersion in the mathematical legacy of Baranauskas. We further propose several interactions of mathematics-language-poetry, which, hopefully, have the needed qualities. We explore terza rima, the poetic invention by Dante, and find its core. This leads to the definitions of simple, minimal, normalized, and, correspondingly, canonical Q-times. The latter is a straightforward generalization of Dante’s form. Now we can prove the following result: for every odd positive integer Q, canonical Q-time is unique. The construction, however, does not take into account any particular language. If we do so for Q = 5, it emerges that a smooth flow of the text requires such a pentastich to possess few incomplete lines (hendecasyllabic iamb is an exception). Since the interval of two unstressed syllables is the most frequent in spoken Lithuanian, it is natural to write 5-times in a dactylic meter. The example of two such strophes is presented. As a further example of fruitful bidisciplinary interaction, we propose the linguistic analogue of roots of unity. We finish the paper with presenting an improved method for a mnemonic technique. The standard procedure uses poetry, but the encoding itself employs only rudimentary arithmetics. Our method, however, uses also check digit algorithm. When developed in full, the method may reveal interesting facts in the field of computational linguistics. Įteikta 2022 m. vasario 28 d. GIEDRIUS ALKAUSKAS Vilniaus universitetas, Informatikos institutas Naugarduko g. 24, LT–03225 Vilnius, Lietuva [email protected] Straipsniai / Articles 257