Landauren teoriaren berrikusketa: φ4 hamiltondarrak ereduztatutako sistemaren fase-trantsizioen azterketa konputazionala

Leioan, 2020ko irailaren 3an Gradu Amaierako Lana Fisikako Gradua LANDAUREN TEORIAREN BERRIKUSKETA φ4 hamiltondarrak ereduztatutako sistemaren fase-trantsizioen azterketa konputazionala Egilea: Malen Etxeberria Etxaniz Zuzendaria: Iñigo Etxebarria Altzaga Zuzendarikidea: Hegoi Manzano Moro Aurkibidea 1 Sarrera eta helburuak 1 2 Oinarrizko hainbat kontzeptu 3 2.1 Fase-trantsizioetarako sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Landaurenteoria ................................ 5 2.3 φ4hamiltondarra ................................ 7 2.4 Bigarren mailako ordena parametroak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4.1 Landaurenteoria ............................ 8 2.4.2 φ4hamiltondarra ............................ 10 3 Oinarri konputazionala 11 3.1 Monte Carlo metodoen funtsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Metropolisen algoritmoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2.1 Algoritmoaren funtsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2.2 Algoritmoaren inplementazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 Fase-trantsizioen simulazioak 17 4.1 Ordena parametro bakarreko kasua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.1.1 Neurketa-metodoa ........................... 17 4.1.2 Emaitzak eta eztabaida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 Bi ordena parametroko kasua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2.1 Neurketa-metodoa ........................... 22 4.2.2 Emaitzak eta eztabaida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.3 Emaitzen inguruko zenbait ohar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5 Ondorioak 29 1. Kapitulua Sarrera eta helburuak Landau-ren teoriak [1] fase-trantsizio jarraituen azterketarako tresna indartsua dela erakutsi du 1937an proposatua izan zenetik egunotara arte. Teoria fenomenologiko horrek eskaintzen duen abantailetako bat potentzial termodinamikoen singularitateak era analitikoan deskribatzeko aukera da. Halaber, aztergai dituen sistemen simetria eta propietate makroskopikoen arteko erlazioa ezartzen du, fase-trantsizioan ematen den simetriaapurketan arreta berezia jarriz. Landauren lehenengo proposamenaz geroztik, teoriak garapen handia izan du eta bere aplikazio-esparrua nabarmen zabaldu da. Horrela, azken urteotan Landauren teoria material ferromagnetiko, ferroelastiko eta ferroelektrikoen propietate eta berezitasunen inguruko ikerketetan erabilia izan da [2, 3, 4], baita material multiferroikoen azterketetan ere [5]. Horrez gain, Ginzburg-Landau teoria fenomenologikoaren aitzindaria da, zeinak supereroankortasun-trantsizioa duen aztergaitzat [6]. Hortaz, Landauren teoriaren bitartez azter daitezkeen kasuak eta ireki daitezkeen ikerketa-bideak anitzak dira. Lan honetan φ4hamiltondarraren bidez ereduztatutako sistema baten fase-trantsizioa aztertuko da Landauren teoriaren bitartez. Bi dira bere helburu nagusiak. Landauren teoria aztertzea da lehenengoa, bere irismena, izan ditzakeen mugak edo aplikatzerako orduan suerta daitezkeen arazoak zehaztuz. Horretarako, sistema fisiko bat konputazionalki ereduztatu eta haren fase-trantsizioak simulatuko dira, lortutako emaitzen bidez teoriaren inguruko ondorioak atera ahal izateko. Sistema fisikoa ereduztatzeko φ4hamiltondarra erabiliko da, fase-trantsizio estrukturalen oinarrizko fisika aintzat hartzen duen eredu mikroskopikoa [7], eta fase-trantsizioak Monte Carlo metodoen bidez simulatuko dira, zehazki, Metropolis-en algoritmoa erabiliz. Bi kasu analogo aztertuko dira: ordena parametro bakarreko sistemari dagokiona, batetik, eta bi ordena parametroko sistemari dagokiona, bestetik. Azterketaren abiapuntua Landauren energia askea izango da, eta hori lortu ahal izateko energia aske horren definizio estatistikoan oinarritutako metodo bat jarraituko da [7]. Hori ordena parametro bakarreko kasura aplikatua izan da literaturan, baina ez bi ordena parametrokora eta, horrenbestez, lanaren bigarren helburua aipatutako metodoaren hedapen bat proposatu eta inplementatzea da, bi ordena parametroko kasuan ere Landauren teoriaren azterketa egin ahal izateko. 2 Atal hau amaitutzat jo aurretik, lanaren egitura azalduko da. Lehenik eta behin, lanaren oinarri teorikoa ezarriko da 2. kapituluan, hurrengo kapituluetan sarritan errepikatuko diren kontzeptuak azalduko dira bertan, besteak beste, Landauren teoria edo φ4 hamiltondarraren inguruko zenbait orokortasun. Lan honekin zuzenean lotuta ez dauden zenbait gai ere aipatuko dira fase-trantsizioen inguruko ikuspegi orokorrago bat ematearren, hala nola berretzaile kritikoena edo unibertsaltasunarena. Ondoren, 3. kapituluan Monte Carlo metodoen eta Metropolisen algoritmoaren funtsezko teoria aurkeztuko da, baita azken horren bidez φ4eredua inplementatzeko jarraitu beharreko urratsak azaldu ere. Aipatutako bi kapituluek lanaren zati teorikoa osatzen dute. Beharrezko kontzeptu guztiak azalduta, lanaren zati praktikoari ekingo zaio 4. kapituluan. Erabilitako neurketa-metodoa eta jarraitutako prozedurak azalduko dira lehenik, eta horren bidez lortutako emaitzak aurkeztuko dira ondoren. Landauren teoria aplikatuko da simulatutako fase-trantsizioen tenperatura kritikoa kalkulatzeko, eta horrela teoriaren inguruko ondorioak atera ahal izango dira. Kapitulu honetako simulazio eta neurketak egiteko sortu diren programen kodeak ez dira memoria honetan gehitu, baina GitHub plataformako malenetxeberria/GrALa-Fis errepositorioan daude eskuragarri. 2. Kapitulua Oinarrizko hainbat kontzeptu Kapitulu honetan lan osoan zehar jorratuko diren gaiak aurkeztu eta laburki azalduko dira. Gehienbat era kualitatibo edo teorikoan hitz egingo da eta beharrezkoa den kasuetan bakarrik emango da azalpen matematikoa. Horrela, lehenik eta behin, fasetrantsizioetarako sarrera bat egingo da, jarraian horien azterketarako erabiliko den Landauren teoria aurkeztuko da eta, azkenik, konputazionalki inplementatuko den φ4eredua azalduko da, aurkeztutako kontzeptuak simulazioen bidez aztertzea ahalbidetuko duena. 2.1 Fase-trantsizioetarako sarrera Sistema batek fase-trantsizio bat jasaten du bere energia askean edo haren deribatuetako batean singularitate bat agertzen denean. Horrelakoetan sistemaren propietateetan aldaketa zorrotz bat ikusi ohi da, hala nola egoera likidotik gaseosorako edo fase paramagnetikotik ferromagnetikorako trantsizioetan gertatzen den moduan [8]. Fase-trantsizioen lehenengo sailkapena Ehrenfest-ek proposatu zuen 1933an, Keesom eta kideek helio likidoaren λ-trantsizioa aurkitu ostean [9]. Fase-trantsizioak ordena desberdinetan banatzen dira bertan, ordena hori singularitateren bat duen energia askearen deribatu txikiena izanik. Horrela, lehenengo ordenako fase-trantsizioek ez-jarraitasun bat dute energia askearen lehenengo deribatuan; era berean, bigarren ordenako fasetrantsizioen lehenengo deribatua jarraitua da, baina bigarrena ez. Esaterako, fase likidotik solidorako trantsizioa lehenengo ordenakoa da, eta fase-trantsizio ferromagnetikoa bigarren ordenakoa [10]. Sailkapen eskema horrek ordena altuagoak onartzen baditu ere, Ehrenfestek lehenengo eta bigarren ordenak soilik aztertu zituen. Sailkapen horrek jauzi finituak baino ez zituen kontuan hartzen, eta laster ondorioztatu zen jauzi infinituak aintzat hartzea beharrezkoa zela [8, 9]. Hortaz, egun bi fase-trantsizio mota besterik ez da kontsideratzen: lehenengo ordenakoak —funtsean, bero sorra dakartenak, sistemaren entropia ez-jarraitua delako— eta jarraituak, Ehrenfest-en sailkapenean bigarren, hirugarren eta ordena altuagoko fase-trantsizioak biltzen direlarik [10]. Simetriaren ikuspuntutik ere egin ohi da azterketa, fase-trantsizioek sistemaren simetriaapurketa dakartelako —sarritan, baina ez beti [10]—. Ohiko adibidea likidotik solidorako fase-trantsizioa da. Simetria-apurketa dago likidoan puntu guztiak baliokideak direlako, ez dago ez norabide ez ardatz berezirik, eta sistemak translazio eta errotazio simetria osoa 42.1. Fase-trantsizioetarako sarrera du; egoera solidoan, aldiz, simetria-eragiketa kopurua murriztu egiten da, eta ardatz eta norabide bereziak agertu [10]. Fase-trantsizio ferromagnetikoan berdin, 2.1. irudian ikus daitekeen moduan: tenperatura kritikotik behera1materialak berehalako magnetizazioa agertzen du —tenperatura kritikotik gora nulua dena—, magnetizazioarekiko perpendikularra den ardatzean errotazio simetria galduz. Sistemak simetria bat edo bestea du, ez dago “tarteko simetriarik”, eta, beraz, ezinezkoa da aldaketak era jarraituan gertatzea [10, 11]. Horren ondorio dira fase-trantsizioetako ez-jarraitasunak, bai energia askearen lehenengo deribatuan, bai ordena altuagokoetan. Horrekin lotuta, ordena parametroa definitzen da, sistemaren ordena eta desordenari buruz berri ematen duena nolabait. Funtsean, fase-trantsizioan nulua izatetik balio ez-nulu bat izatera pasatzen den aldagaia da (ikus 2.1. irudia). Horrenbestez, tenperatura kritikotik gora sistemak simetria osoa du eta ordena parametroa nulua da; fasetrantsizioaren ostean, simetria apurtu egiten da eta ordena parametroak balio ez-nulu bat hartzen du. Sistema magnetikoen adibidean, ordena parametroa magnetizazio bektorea da, eta sistemak simetria zein norabidetan apurtu duen adierazten du [12]. 2.1. Irudia: Sistema magnetikoaren magnetizazioaren balio absolutua tenperaturaren menpe adierazita, kanpoko eremu magnetikoa nulua den kasuan. Magnetizazioaren balio negatiboei dagokien kurba irudikatutakoren horizontalarekiko simetrikoa da, eremua nulua izanik balio positibo eta negatiboak guztiz baliokideak baitira. Fase-trantsizio jarraituen azterketa honetan garrantzia handia du potentzial termodinamikoetan ematen diren singularitateen forma eta portaera ulertzeak. Horrek berretzaile kritikoen definiziora darama: potentzial termodinamikoek puntu kritikoaren inguruan duten forma berretura moduan adieraztea ahalbidetzen duten parametroak [13]. Adibide moduan, izan bedi F(t) funtzio orokor bat, F(t)∼ |t|λ,non t≡T−Tc Tc ,(2.1) ekuazioaren bitartez adieraz daitekeena. Berretzaile kritikoa λda bertan. Azpimarratu beharra dago (2.1) ekuazioak F(t)-ren portaera asintotikoa adierazten duela soilik eta, horrenbestez, t→0 denean baino ez dela izango hurbilketa egokia [8]. Horrela, adibide bezala sistema magnetikoa hartuz, eremu nuluko magnetizazioaren modulua m∼(−t)βmoduan adierazten da, non βteoriko zein esperimentalki kalkula daitekeen. Kalkulu teorikoaren kasuan, sistemaren eredu bat erabili beharko da, eta ondorioztatutako balioa horren menpe egongo da; hiru dimentsioko Ising-en ereduan, esaterako, β= 0.33 lortzen da [8]. Balio esperimentala, berriz, 0.30 eta 0.36 artekoa dela behatu da [13]. Bestalde, magnetizazioaz gain, beste hainbat potentzial termodinamikoren berretzaileak ere definitzen dira, hala nola suszeptibilitate eta bero espezifikoarenak, γeta αdeituak, hurrenez hurren. 1Fase-trantsizioa gertatzen den tenperatura tenperatura kritikoa da, Tcikurraz adierazi ohi dena. Termodinamikako lege bat ez bada ere, ezagunak diren fase-trantsizio jarraitu gehienetan simetria handiko fasea tenperatura altuari dagokio, eta simetria murriztukoa tenperatura baxuari [11]. 2.2. Landauren teoria 5 Hona hemen berretzaile horien inguruko kontzepturik interesgarriena: zenbait sistema ezberdinek berretzaile kritiko berdinak dituzte, hau da, sistemarekiko menpekotasun oso txikia dute. Unibertsaltasuna deritzo horri eta Guggenheim-ek argi frogatu zuen 1945ean zortzi fluido ezberdinen fase-trantsizioen koexistentzia kurbek bat egiten zutela —eta, hala, denek β= 1/3 berretzaile2bera zutela— erakustean [14]. Are gehiago, izaera desberdineko sistemen artean ere berretzaile berdinak behatzen dira, hala nola magnetiko eta gas-likido sistemetan; eta, beraz, berretzaile kritikoak unibertsalak direla esan ohi da. 2.2 Landauren teoria Landauek 1937an proposatua, teoria fenomenologiko honen helburua fase-trantsizio jarraituak deskribatuko dituen adierazpen analitiko bat eskaintzea da. Potentzial termodinamikoak ordena parametroaren berretura-serie moduan adieraztean datza, serie horretan sistemaren simetriak baimendutako gaiak bakarrik hartuz. Esaterako, sistema magnetiko bati dagokion energia askea —kanpoko eremua nulua izanik— F(T, m) = F0(T) + a2(T)m2+a4(T)m4+... (2.2) ekuazioaren3bidez idatz daiteke, non mmagnetizazioa den eta F0,a2eta a4tenperaturaren menpeko koefizienteak. Berretzaile bikoitidun gaiak soilik agertzearen arrazoia sistemaren simetria da: haiek baino ez dute ahalbidetzen Fmagnetizazioaren zeinu aldaketaren aurrean aldaezina izatea [8]; hori hala izan behar da magnetizazio balio positibo eta negatiboak baliokideak direlako eremua nulua denean. Orekako magnetizazioa energia askea minimizatzen4duena da. Hortaz, sistema magnetikoaren adibidean ∂F ∂m = 2 a2(T)m+ 4 a4(T)m3= 0 (2.3) ekuazioaren ebazpenak orekako magnetizazioaren balioak emango ditu, hau da, m01 = 0 , m02 =±s−a2(T) 2a4(T). Bi balio horien artean sistemari dagokiona a2koefizienteak zehazten du: a2positiboa bada, energia askeak minimo bakarra du m01 puntuan (m02 irudikaria baita) eta, beraz, hori izango da magnetizazioa; aldiz, a2negatiboa denean, bi minimo simetriko daude ±m02 puntuetan eta bi horietako bat da magnetizazioa, 2.2. irudian adierazi den moduan. Horrek a2koefiziente soil bat baino gehiago dela erakusten du, bere zeinuak sistemaren fasea zehazten baitu. Hala, tenperatura kritikotik gora orekako magnetizazioa nulua da eta a2(T > Tc) positiboa; tenperatura baxuko fasean, aldiz, magnetizazioak ±m02 balioa 2Gas-likido sistemetan βhurrengo moduan definitzen da: (ρl−ρg)∼(−t)β, non ρdentsitatea den. 3Berretura-seriea ez da halabeharrez laugarren gaian amaitzen, eta orokorrean maila altuagoko gaiak ere ager daitezke energia askean. Hala ere, mtxikia bada [11] eta tenperatura Tcingurukoa [8], hurbilketa egokitzat hartzen da seriea laugarren gaian ebakitzea. 4Ohartu a4(T)>0 baldintza bete behar dela sistemaren egonkortasun termodinamikoa berma dadin edo, bestela esanda, energia askea minimizatzen duen ordena parametroak balio finituren bat izan dezan, ez infinitua [13]. 12 3.2. Metropolisen algoritmoa fM=1 M M X i=1 fµ i (3.2) ekuazioaren bidez kalkula daitekeela; noski, zenbat eta handiagoa izan Mmikroegoera kopurua orduan eta zehatzagoa izango da fMbalioa. Horrenbestez, multzoa osatuko duten mikroegoera horiek aurkitzea da orain gakoa, eta Markov katearen bidez egiten da hori [23]. Xehetasunak alde batera utziz, mekanismo horrek hasierako mikroegoera edo konfigurazio batetik abiatuz beste bat sortzen du, guztiz ausazkoa dena; ondoren, konfigurazio berri horretan oinarrituz beste bat sortzen da, eta prozesu hau behin eta berriro errepikatuz mikroegoera segida bat lortzen da. Sorrera ausazkoa bada ere, baldintza eta arau jakin batzuk bete behar dira mikroegoera segida edo multzoa Boltzmann banaketaren araberakoa izan dadin. Hainbat baldintza bete behar ditu Markov kateak2baina esanguratsuena balantze xehatuarena da, funtsean, multzoa Boltzmann banaketaren araberakoa dela ziurtatzen duena [23], eta matematikoki pµP(µ→ν) = pνP(ν→µ) (3.3) ekuazioaren bitartez adieraz daitekeena, non P(µ→ν) sistemak µmikroegoeratik abiatuz νmikroegoerara igarotzeko duen probabilitatea den. Hortaz, pµeta pνBoltzmann banaketak zehaztutako probabilitateak izanik, hurrengo ekuazioa ondoriozta daiteke: P(µ→ν) P(ν→µ)=pν pµ = e−β(Eν−Eµ),(3.4) zeinak bi mikroegoeren arteko trantsizio probabilitatea haien arteko energia-diferentziarekin erlazionatzen duen. Ohartu horrek ez dituela trantsizio probabilitateak guztiz mugatzen, eta haien aukeraketan nolabaiteko askatasuna dagoela, beraz. Horrela, (3.4) baldintza betetzen duen edozein trantsizio probabilitate kontsideratuz, Markov kateak mikroegoera multzo egokia sortuko du, eta itxarotako balioa (3.2) ekuazioaren bidez kalkulatu ahal izango da. Kasu honetan Metropolisen algoritmoak proposatutako trantsizio probabilitateekin egingo da lan, hurrengo atalean azaldu den moduan. 3.2 Metropolisen algoritmoa 3.2.1 Algoritmoaren funtsa Metropolisen algoritmoak zuzenean trantsizio probabilitateekin lan egin beharrean hurrengo bereizketa kontsideratzen du: P(µ→ν) = g(µ→ν)A(µ→ν),(3.5) 2Besteak beste, µmikroegoera batetik abiatuz beste νmikroegoera bat lortzeko probabilitatea denborarekiko independentea izan behar da, eta µeta νegoeren menpekoa soilik; bestalde, ergodikotasun baldintza ere bete behar da, abiapuntutzat edozein mikroegoera izanik beste edozein mikroegoera lor daitekeela ziurtatzen duena. Lan honetan ez da gai horien inguruan sakonduko, baina informazio gehiago nahi duen orori Newman eta Barkema-ren Monte Carlo Methods in Statistical Physics [23] liburuko 2. kapitulua gomendatzen zaio. 3.2. Metropolisen algoritmoa 13 non g(µ→ν) gaia aukeraketa probabilitatea —hots, algoritmoak µmikroegoeratik abiatuz νsortzeko duen probabilitatea— den, eta A(µ→ν)onarpen ratioa. Azken horrek zera adierazten du: µmikroegoeran dagoen sistemak algoritmoak sortutako νmikroegoerara igarotzeko duen probabilitatea, hau da, sistemak egoera berria onartzeko duen probabilitatea. Balantze xehatuaren baldintza (3.5) ekuazioaren bidez berridatz daiteke; bestalde, algoritmoak mikroegoera edo konfigurazio berriak ausaz sortzen dituela kontuan izanik, g(µ→ν) aukeraketa probabilitate guztiak berdinak direla ondoriozta daiteke, µeta ν edozein izanda ere. Hartara, (3.4) ekuazioa onarpen ratioen menpe soilik idatz daiteke eta, beraz, Metropolisen algoritmoak hori besterik ez du aintzakotzat hartuko; zehatzago, proposatutako onarpen ratioa A(µ→ν) = (e−β(Eν−Eµ)Eν−Eµ>0 bada 1 bestela (3.6) da [23]. Horrenbestez, algoritmoak µ→νtrantsizioa onartzeko bi aukera daude: Eν≤Eµ bada, trantsizioa beti onartuko da; eta aurkako kasuan, aldiz, trantsizioa onartzeko probabilitatea e−β(Eν−Eµ)da. Hauxe da, beraz, Metropolisen algoritmoaren oinarria: (3.6) ekuazioaz baliatzen da Markov katea inplementatu eta neurtu beharreko propietate makroskopikoa (3.2) ekuazioaren bidez kalkulatzeko. Hortaz, helburua algoritmoa inplementatuko duen programa bat idaztea da orain, eta horretarako eman beharreko pausu nagusiak jarraian azaldu dira. 3.2.2 Algoritmoaren inplementazioa Lehenik eta behin, sistema sortu beharra dago. Aurreko kapituluan esan bezala, φ4hamiltondarrarekin lan egiteko sare egitura bat kontsideratzen da, sare-puntu bakoitzean φaldagai lokal bat izanik. Hori konputazionalki adierazteko zenbaki errealen bektore bat erabiliko da, non elementu bakoitza sarepuntu bakoitzeko aldagai lokala den; eta horrela, adibidez, L×L bi dimentsioko sistema karratu bat L2luzerako bektore baten bidez adieraziko da. Nahiz eta ohiko aukera ez izan —izan ere, intuitiboagoa da sistemaren dimentsio bereko matrize bat erabiltzea dimentsio bakarreko bektore bat baino— adierazpen horrek mugalde baldintza helikoidalak (ikus 3.1. irudia) erabiltzea ahalbidetzen du, eta hori abantaila bat da konputaziodenbora nabarmen murrizten baitu [23]. 3.1. Irudia: Mugalde baldintza helikoidalen adierazpen grafikoa 4 ×4 neurriko sare karratu baten kasuan. Horrela, algoritmoa inplementatzeko jarraitu beharreko urratsak hurrengoak dira: i. Sistemaren hasierako konfigurazioa aukeratu eta hura adieraziko duen bektorea (Φk=0 ikurraren bidez izendatuko dena) horren arabera hasieratzen da. Konfigurazio hori edozein izan daiteke —φaldagai guztiak 1, 0 edo −1 kontsideratzen dituena, edo ausazkoa—, Markov katea horren araberakoa izango da baina ez du bukaerako emaitza guztiz baldintzatuko. 14 3.2. Metropolisen algoritmoa ii. Oinarritzat aurreko Φkkonfigurazioa izanik, Φk+1 konfigurazio berria sortzen da. Horretarako Φkbektoreko elementu bat (φi) ausazko eran aukeratu eta balio berri bat esleitzen zaio zorizko zenbaki erreal bat (∆φ) gehituz, φi←φi+∆φ , non ∆φ ∈[−δ, δ]. Hemen δzabalera parametroa da, ∆φ zenbakiak izan ditzakeen balioak mugatzen dituena; eta, φ4ereduaren kasuan, 0.3 eta 0.7 artean aukeratu ohi da algoritmoa optimoa izan dadin [24]. iii. Konfigurazio zahar eta berriaren arteko energia-diferentzia kalkulatzen da φ4hamiltondarrean oinarrituz, ∆E =Ek+1 −Ek. iv. ∆E zero edo negatiboa bada, konfigurazio berria onartu eta bektorea eguneratu egiten da Φk←Φk+1 esleipenaren bitartez. ∆E positiboa bada, ordea, e−β∆E probabilitatea kalkulatzen da lehenik, eta [0,1) tarteko rzorizko zenbaki bat sortu ondoren. Hartara, r < e−β∆E bada, konfigurazio berria onartu eta Φk←Φk+1 esleipena egiten da; bestela, konfigurazio berria baztertu eta Φkdagoen moduan uzten da. v. Neurtu beharreko propietate edo magnitudea Φkbektorean oinarrituz kalkulatzen da, eta bere balioa gorde. Lan honen kasuan magnitude hori ordena parametroa da, (2.6) ekuazioaren bidez kalkulatzen dena, Φkbektoreko φgai guztiak batu eta N elementu kopuru totalarekin zatituz, alegia. vi. Azkenik, kkontagailua inkrementatu eta ii. urratsera itzultzen da; prozesua behar bestetan errepikatzen da, multzo edo segidan nahikoa konfigurazio izan arte. Bukatzeko, konfigurazio bakoitzean neurtutako Qkordena parametro guztien arteko batezbestekoa kalkulatzen da, (3.2) ekuazioak adierazi duen moduan. Horrela kalkulatzen da, beraz, Ttenperatura jakin batean3sistemaren Qordena parametroa —bere itxarotako balioa, zehatzago esanda—. Praktikan, konfigurazio bakoitzean lortutako Qkbalioak indibidualki aztertuz, zera beha daiteke: Markov katearen hasieran neurtutako balioak nahiko aldakorrak dira, baina katearen puntu batean egonkortu egiten dira eta, hortik aurrera, batezbesteko balio baten inguruan fluktuatzen dute; sistema oreka egoerara iritsi dela esan ohi da orduan. Lortutako konfigurazio multzoa estatistikoki esanguratsua izan dadin —eta, ondorioz, amaierako neurketa zuzena—, beharrezkoa da sistema oreka egoerara iritsi4eta bertan denbora nahikoa iragatea, oreka egoerako konfigurazioetan neurtuko baitira Qkbalio egokiak. Horrenbestez, hori kontuan izan beharko da algoritmoak egin beharreko iterazio edo Monte Carlo urrats kopurua hautatzean. 3Fase-trantsizio bat simulatzeko prozesu bera jarraitzen da, baina Tjakin baterako bakarrik egin beharrean, tarte bateko zenbait tenperatura baliotarako. 4Sistemak horretarako behar duen denbora tarteari —edo, hobeto esanda, errepikapen edo iterazio kopuruari— termalizazioa deritzo. Praktikan, Monte Carlo simulazioetan termalizazio urrats kopuru bat finkatu ohi da sistema oreka egoerara iritsi dadin, eta ez da inolako Qkbaliorik neurtzen algoritmoak iterazio horiek egin arte, hau da, sistema orekatu arte. 3.2. Metropolisen algoritmoa 15 Dena dela, sistemaren portaera tenperaturaren araberakoa da, fase-trantsizioko tenperatura kritikoaren inguruko eskualdean bereziki interesgarria izanik. Xehetasunak alde batera utzita5, neurtu beharreko propietatearen fluktuazio handiak nagusitzen dira eskualde horretan, fluktuazio kritiko deitu ohi direnak. Horrek neurketaren errore estatistikoa nabarmen handitzen du eta, ondorioz, Metropolisen algoritmoak zehaztasuna galtzen du aipatutako eskualdean [23]. Praktikan, komenigarria izan ohi da eskualde horretan burututako simulazioen termalizazio eta Monte Carlo urrats kopurua handitzea fluktuazio kritikoen eragina txikitzeko, baina kontuan izan behar da neurketa zehatzak lortzeko beharrezkoa den iterazio kopurua —eta konputazio-denbora, beraz— oso bizkor hazten dela fase-trantsiziora gerturatu ahala. Neurketaren zehaztasunean eragina duen beste faktore bat sistemaren neurria da. Monte Carlo simulazioak burutzeko limite termodinamikotik urrun dauden neurri finitudun sistemak kontsideratu ohi dira, eta horrek neurketaren zehaztasun eza dakar tenperatura kritikoan ematen diren singularitateak erreproduzitzea lortzen ez delako. Noski, zenbat eta handiagoa izan sistema orduan eta zehatzagoa da neurketa, baina kontuan izan beharra dago sistema handiekin lan egiteak konputazio-denbora oso luzeak eskatzen dituela eta, ondorioz, gai honekin lotutako erroreak ohikoak dira praktikan [23]. 5Honek klusterren eraketa eta haien korrelazio luzeraren dibergentziarekin du zerikusia. Lan honetan ez da gai horien inguruan sakonduko, baina informazio gehiago nahi duen orori Newman eta Barkema-ren Monte Carlo Methods in Statistical Physics [23] liburuko 3.7 atala gomendatzen zaio. 4. Kapitulua Fase-trantsizioen simulazioak Kapitulu honen helburu nagusia Landauren teoria aztertzea da. Horretarako, azaldutako metodoak erabiliz, φ4hamiltondarra inplementatuko da, sistema fisiko bat ereduztatuko duena. Azken horren fase-trantsizioa simulatuko da, eta dagokion tenperatura kritikoa kalkulatu Landauren teoriaren bitartez; bukatzeko, emaitza hori tenperatura kritikoaren zuzeneko neurketarekin alderatuko da. Azterketa ordena parametro bakarreko kasurako egingo da lehenik, eta bigarren mailako ordena parametroa gehituko da ondoren. 4.1 Ordena parametro bakarreko kasua 4.1.1 Neurketa-metodoa Azterketaren abiapuntua Landauren energia askea da, hots, soilik Qordena parametro eta Ttenperaturaren menpekotasuna duen potentzial termodinamiko osatugabea, eta FL(Q, T) = −kBTln(Z(Q)) (4.1) ekuazioaren bidez adieraz daitekeena. Bertan Z(Q) partizio-funtzio osatugabea da, hau da, ordena parametroarena izan ezik, sistemaren askatasun-gradu guztiak integratuta dituen partizio-funtzioa. Landauren energia askearen berezitasuna zuzenean Qordena parametroaren P(Q) probabilitate-banaketatik ondoriozta daitekeela da, izan ere, P(Q) = Z(Q) Z(4.2) da, Zoreka egoerako partizio-funtzioa izanik; eta horrela hurrengoa lor daiteke: ∆FL(Q, T) = FL(Q, T)− F =−kBTln(P(Q)) ,(4.3) non Foreka egoerako energia askea den [7]. Hauxe da, beraz, jarraitutako prozedura: tenperatura jakin baterako ordena parametroa neurtzen da Monte Carlo metodoaren bidez, simulazioa nPbider errepikatu eta neurtutako ordena parametro guztiak gorde egiten dira, balio horietan oinarrituz P(Q) probabilitate-banaketa sortzen da1eta, azkenik, sare-puntu bakoitzeko Landauren energia askea —haren aldakuntza, hobeto esanda— kalkulatzen da (4.3) ekuazioan oinarrituz. 1Funtsean, lortutako Qbalio guztien histograma bat eraiki eta ondoren normalizatu egiten da. 18 4.1. Ordena parametro bakarreko kasua Honako hauek dira simulazioetan erabilitako parametroak. Sistematzat L= 10 aldedun hiru dimentsioko L×L×Lsare kubikoa hartu da; (2.5) hamiltondarrari dagokionez, E0= 1.0 eta C= 2.0 parametroak hautatu dira; eta Metropolisen algoritmoa inplementatzeko δ= 0.45 zabalera parametroa, 5 ×104urratseko termalizazioa eta 105Monte Carlo urrats erabili dira. Ordena parametroaren banaketa-probabilitatea lortzeko nP= 104 neurketa egin dira, eta neurtutako balioak jatorriarekiko simetrizatu dira [7], ordena parametroa positiboa eta negatiboa izateko probabilitateak berdinak izan behar baitira φ4 hamiltondarraren simetria dela eta. 4.1.2 Emaitzak eta eztabaida Hasteko, bi tenperatura baliotarako lortutako banaketa-probabilitateak 4.1. irudian adierazi dira. Bertan bi fase antzeman daitezke: kBT= 3.6 energiari2dagokion kurbak maximo bakar bat du jatorrian, eta ordena parametroa nulua izango da, beraz; bestalde, kBT= 3.1 denean, kurbak bi maximo simetriko ditu ±0.4 balioen inguruan, eta horietako bat izango da sistemari dagokion ordena parametroa probabilitate handiz. Hau da, tenperatura jaitsi ahala ordena parametroaren balioa nulua izatetik ez-nulua izatera pasatzen da, eta adierazitako bi tenperaturen artean fase-trantsizioa gertatzen dela ondoriozta daiteke, beraz. Aurrerago zehaztuko da dagokion tenperatura kritikoa. 4.1. Irudia: Probabilitate-banaketa kBT= 3.6 eta kBT= 3.1 kasuetarako. Kurben maximoek sistemaren ordena parametroa zehazten dutenez, adierazitako kasu bakoitza fase desberdin bati dagokiola ondorioztatzen da. Puntuak Monte Carlo simulazioen emaitzak dira, jatorriarekiko simetrizatuta; eta lerroek, berriz, puntuen doikuntza adierazten dute. 4.2. Irudia: Sare-puntu bakoitzeko Landauren energia askea kBT= 3.6 eta kBT= 3.1 kasuetarako. Kasu honetan minimoek zehazten dute ordena parametroa, eta adierazitako kasu bakoitza fase desberdin bati dagokiola ondorioztatzen da horretan oinarrituz. Probabilitate-banaketako puntuetan (4.3) ekuazioa aplikatuz lortu dira hemengo puntuak, eta lerroak haien doikuntzak dira. Probabilitate-banaketatik abiatuta, sare-puntuko Landauren energia askea kalkulatu da (4.3) ekuazioan oinarrituz, 4.2. irudian adierazi den moduan. Ordena parametroari dagokionez, aurreko paragrafoan ateratako ondorio berdinak atera daitezke oraingoan energia askearen minimoetan oinarrituz. Halaber, Landauren teoria gogora ekarriz, bertan proposatutako energia askeak (ikus 2.2. irudia) hemen lortutakoarekin duen antzekotasuna garbia da. 2Nahiz eta parametro esanguratsua tenperatura izan, ez da kBkonstantea ordezkatu eta kBTbalioarekin egin da lan, zeinak energiaren dimentsioa duen. 4.1. Ordena parametro bakarreko kasua 19 Antzekotasun horretaz baliatuz zehaztuko da tenperatura kritikoa. Horretarako, simulazioen bidez lortutako Landauren energia askearen kurbak laugarren mailako polinomio baten bidez doitu eta tenperatura bakoitzari dagokion a2koefizientea (ikus (2.2) ekuazioa) lortuko da. Landauren teoriak dioenez, tenperatura kritikoan a2(Tc) = 0 da eta, hartara, baldintza hori betetzen duen kasua bilatuz Tcaurkituko da. Hortaz, prozedura errepikatu eta sare-puntuko Landauren energia askea kalkulatu da kBT∈[ 2.9,3.8 ] tarteko hainbat baliotarako; haietako batzuk 4.3. irudian adierazi dira. Jakina bada ere tenperatura kritikoa kBTc∈( 3.1,3.6 ) tartean dagoela, tarte handiagoa aztertzea erabaki da energia askeak tenperaturarekiko duen menpekotasuna ikertzeko. 4.3. Irudia: Sare-puntuko Landauren energia askea hainbat kBTbaliotarako (argiago ikusi ahal izateko, puntuen doikuntza besterik ez da irudikatu, eta lerroak extrapolatu eta bertikalarekiko desplazatu dira). Fase-trantsizioa beha daiteke hemen: tenperatura jaitsi ahala, parabolak zabaldu eta minimo bakarra izatetik bi minimo simetriko izatera igarotzen dira, hots, ordena parametroa nulua izatetik ez-nulua izatera pasatzen da. Puntuen laugarren mailako doikuntza polinomikoa egin da3ostean, eta bi joera behatu dira orduan: tenperatura altuko kasuetan, kBT∈[ 3.2,3.8] tartean, energia askearen kurba ondo egokitu da laugarren mailako polinomiora; ez da hala izan tenperatura baxuko kasuetan, bertan laugarren mailako doikuntzaren errorea handia izan da eta seigarren mailako gaien ekarpena kontsideratu behar izan da. Hori kuantitatiboki adierazteko, doikuntzen determinazio-koefizientea —funtsean, doikuntzaren egokitasuna adierazten duena— kalkulatu da erregresio-analisian oinarrituz, 4.1. taulan ikus daitekeenez. Lortutako emaitzen inguruko hausnarketa bat egingo da tenperatura kritikoaren kalkuluarekin jarraitu baino lehen. Seigarren mailako gaiak kontsideratu behar izateak ez du esan nahi Landauren teoria zuzena ez denik; are gehiago, ohartu (2.2) ekuazioan ez dela berretura-seriea laugarren mailako gaietara mugatzen, maila altuagoko gaiak hartzeko aukera ere ematen dela. Dagoeneko aipatu da berretura-seriea laugarren mailan ebakitzeko baldintzetako bat ordena parametroa —bere balio absolutua, hobeto esanda— txikia izatea dela [11] eta, beraz, zentzuzkoa da seigarren mailako gaiak behar izatea tenperatura jaitsi ahala, ordena parametroa handitu egiten baita orduan (ikus 4.5. irudia). 3Monte Carlo simulazioetan lortutako datuen kudeaketa Python programazio-lengoaiaren bidez egin da. Erakutsitako irudietako doikuntzak egiteko Savitzy eta Golay-ren metodoa erabili da [25], SciPy liburutegiko savgol filter funtzioaren bidez [26]; doikuntza polinomikoaren koefizienteak lortzeko, berriz, NumPy liburutegiko polyfit funtzioa erabili da, karratu minimoen printzipioan oinarritua [27]. 20 4.1. Ordena parametro bakarreko kasua Hala ere, tenperatura kritikoa kalkulatzeko laugarren mailako doikuntzatik lortutako a2 koefizientea erabiliko da, eta kontuan izan beharko da koefiziente horrek okerra izateko arriskua duela doikuntzaren errorea handia den tenperaturetan. Laugarren mailako doikuntza Seigarren mailako doikuntza kBT R2kBT R2 2.90 0.6195 2.90 0.7182 3.00 0.7439 3.00 0.9763 3.10 0.8267 3.10 0.9858 3.15 0.8778 3.15 0.9665 3.20 0.9935 3.20 0.9966 3.30 0.9853 3.30 0.9883 3.40 0.9937 3.40 0.9937 3.50 0.9894 3.50 0.9896 3.60 0.9932 3.60 0.9942 3.70 0.9960 3.70 0.9963 3.80 0.9990 3.80 0.9990 4.1. Taula: Determinazio-koefizientea doikuntzaren maila eta kBTbalioaren arabera. Determinaziokoefizientea batetik zenbat eta hurbilago egon, hobea da doikuntza [28]. Bai lau eta bai seigarren mailako doikuntzen kasuan R2batetik aldentzen da tenperatura jaitsi ahala, eta, beraz, orokorrean zailagoa da energia askearen puntu multzoa 4. edo 6. mailako polinomio baten bidez hurbiltzea tenperatura baxua denean. Dena dela, koefizienteak jasandako aldaketa askoz bortitzagoa da laugarren mailako doikuntzan. Tenperatura kritikoa ondorioztatzeko helburuaz, laugarren mailako doikuntzaren bidez lortutako a2koefizienteak kBTenergiaren menpe adierazi dira 4.4. irudian (kBT= 2.9 balioari dagokion koefizientea alde batera uztea erabaki da doikuntzaren errore handia dela eta). 4.4. Irudia: Laugarren mailako doikuntzan lortutako a2koefizienteak kBTenergiaren menpe. Landauren teoriaren arabera, tenperatura kritikoa kurba eta ardatz horizontalaren arteko ebaki-puntuari dagokio, eta kBTc= 3.22 da, beraz. Oinarri teorikoko 2.2. atalean aipatutako ideia bat gogoratuko da hemen: a2koefizienteak tenperaturarekiko menpekotasun lineala duela. Argi dago 4.4. irudian adierazitakoa ez dela inondik inora lineala bere osotasunean, baina nolabaiteko tarte lineal bat antzeman daiteke kBT= 3.1 eta 3.5 balioen artean. Hortaz, egindako neurketen arabera, 4.1. Ordena parametro bakarreko kasua 21 a2koefizientearen linealtasuna soilik tenperatura kritikoaren inguruko tarte txiki baten berma daiteke. Hala eta guztiz ere, kontuan hartu beharra dago doikuntzan izandako erroreek koefizienteengan eragina dutela, eta horrek bai tenperatura kritikoaren kalkulura eta bai linealtasunaren inguruko ondoriora zehaztasun eza ekar dezakeela. Atal hau amaitutzat jo aurretik, fase-trantsizioaren Monte Carlo simulazio bat egin da, aurreko prozedura jarraitu beharrean, tenperatura bakoitzari dagokion ordena parametroa zuzenean neurtuz. Horrek tenperatura kritikoaren beste balio bat ondorioztatzea ahalbidetuko du, ondoren Landauren teoriaren bidez lortutakoarekin alderatuko dena. Parametroei dagokienez, 105urratseko termalizazioa eta 5 ×106Monte Carlo urrats erabili dira oraingoan, gainerako parametroak atal honen sarreran azaldutakoak izanik. Horrela, sistemaren ordena parametroa neurtu da kBT∈( 0.0,5.5 ] tartean δT = 0.05 urratsa kontsideratuz, 4.5. irudian ikus daitekeenez. 4.5. Irudia: Sistemaren ordena parametroa kBTenergiaren menpe irudikatuta. Fase-trantsizioa garbi antzematen da hemen: tenperatura altuetan ordena parametroa nulua da, tenperatura kritikoa kBTc= 3.15 da, eta tenperatura hori baino baxuagoa denean ordena parametroak balio ez-nuluak hartzen ditu. Diferentzia txikia bada ere, tenperatura kritikoaren bi balioak ez datoz bat: Landauren teoriaren bidez kBTc= 3.22 lortu da, eta zuzeneko neurketaren bitartez kBTc= 3.15. Laugarren mailako doikuntzaren erroreak eragina izan dezake diferentzia horretan, baina badirudi eragile nagusia simulazioetatik lortutako Landauren energia askearen forma dela. Hori agerian geratzen da 4.3. irudian kBT= 3.15 kasuko kurbari erreparatzean: sakonak ez badira ere, kurbak bi minimo simetriko ditu ±0.3 balioetan; ondorioz, doikuntzan lortutako a2koefizientea nulua izan beharrean negatiboa da, eta 4.4. iruditik ondorioztatutako tenperatura kritikoa kBT= 3.15 baino gorago dago. Arazo hori tenperatura kritikoaren inguruko eskualdean baino ez da behatu eta, horrenbestez, ordena parametroak eskualde horretan izandako fluktuazio kritikoen eragina dela ondorioztatu da. Zuzeneko neurketa eta Landauren energia askea lortzeko egindako neurketen arteko alde nagusia simulazioan erabilitako termalizazio eta Monte Carlo urrats kopurua da eta, beraz, badirudi aipatutako arazoa azken kasu horretan urrats kopurua handituz konpon litekeela. Dena den, errepikatu beharra dago tenperatura kritikoen arteko diferentzia txikia dela; hortaz, Landauren teoriaren bitartez lortutako balioa guztiz zehatza ez bada ere, ontzat emango da. 28 4.3. Emaitzen inguruko zenbait ohar Horrez gain, Landauren energia askearen lorpenean garrantzitsua izan den faktore bat Monte Carlo simulazioen iterazio kopurua da, zeinak Landauren teoria eta zuzeneko neurketaren bitartez ondorioztatutako tenperatura kritikoen arteko diferentzian eragina izan duen. Landauren energia askearen minimoen kokapenek adierazitako ordena parametroa —bere balio absolutua— zuzeneko neurketak adierazitakoa baino handiagoa izan da fasetrantsizioaren inguruko zenbait tenperaturatan, eta horrexegatik izan dira desberdinak tenperatura kritikoaren bi balioak. Hortaz, erdietsitako Landauren energia askea ez da guztiz zuzena izan, eta 3.2.2. azpiatalean aipatutako fluktuazio kritikoen eragina da hori —baita sistemaren neurri finituarena ere—, arazoa tenperatura kritikoaren inguruko eskualdean behatu baita batez ere. Simulazioaren iterazio kopurua txikia denean fluktuazio horien eragina nabariagoa da, hau da, neurtutako ordena parametroak balio tarte handiago baten fluktuatzen du eta, ondorioz, probabilitate-banaketak —eta Landauren energia askeak, beraz— zabalagoak dira; horrek eragiten du aurreko paragrafoan aipatutako arazoa. Hortaz, konponbidea Landauren energia askea lortzeko egindako simulazioen iterazio kopurua handitzea dela ondorioztatu da. Dena dela, 4.5. zein 4.11. irudian garbi ikus daiteke fase-trantsizioaren inguruko tenperatura altuetan ordena parametroak fluktuatu egiten duela, hau da, zuzeneko neurketen kasuan ere fluktuazio kritikoen eragina dagoela, bertako iterazio kopurua handiagoa bada ere. Atal honekin amaitzeko, bi ordena parametroko kasuaren inguruko ohar bat aipatuko da. Lehenik, azpimarratu beharra dago 4.2.1. azpiatalean proposatutako neurketametodoaren bidez lortutako Landauren energia askea eta oinarri teorikoan aurkeztutako (2.7) ekuazioa bateragarriak direla, eta neurketa-metodoa ontzat eman da, beraz. Ordena parametro bakarreko kasuan bezala, doikuntzaren errorea handitu egin da tenperatura jaitsi ahala, baina kasu honetan maila altuko gaien ekarpenak ez du hobekuntza handirik eragin. Noski, erabilitako Q2 1Q2 2,Q3 1Q2eta Q4 1Q2 2gaiez gain, beste hainbaten ekarpena ere kontsidera daiteke —hala nola gainerako laugarren eta seigarren mailako gaiena zein maila altuagokoena— eta interesgarria izango litzake, beraz, beste gai horiek Landauren energia askearen doikuntzan duten eragina aztertzea. 5. Kapitulua Ondorioak Lan honetan φ4hamiltondarrak ereduztatutako sistemaren fase-trantsizioa aztertu da Landauren teoriaren bitartez. Azterketa tenperatura bakoitzeko Landauren energia askeren lorpenean eta haren ondorengo doikuntzan oinarritu da, eta ordena parametro bakarreko zein bi ordena parametroko kasuetarako egin da. Azken hori aztertu ahal izateko, Landauren energia askea lortzea ahalbidetzen duen metodoaren hedapen bat proposatu da eta, bertatik lortutako emaitzak teoriak aurresandakoarekin bateragarriak izan diren heinean, zuzena dela ondorioztatu da. Monte Carlo simulazioak erabili dira tenperatura bakoitzeko Landauren energia askea kalkulatu zein sistemen fase-trantsizioak simulatzeko, eta erdietsitako emaitzek Landauren teoriaren inguruko zenbait xehetasun argitzeko balio izan dute. Ordena parametro bakarreko kasuan, argi ikusi da energia askea adierazten duen berretura-seriea laugarren gaian ebaki ahal izateko ordena parametroak txikia izan behar duela, seigarren mailako gaiak aintzakotzat hartzea beharrezkoa izan baita fase-trantsizioaren ostean tenperatura jaitsi ahala, hau da, ordena parametroaren balio absolutua handitu ahala. Sistemaren fasea zehazten duen a2koefizientearen tenperaturarekiko menpekotasuna ere aztertu da, eta tenperatura kritikoaren inguruan joera lineala duela behatu. Bi ordena parametroko kasua aztertzeko ordena parametroen arteko akoplamendu bilineala duen energia askea proposatu da oinarri teorikoan, eta simulazioetatik lortutako Landauren energia askea bateragarria izan da horrekin. Espero bezala, doikuntzan izandako errorea handitu egin da tenperatura jaitsi ahala, eta —ordena parametro bakarreko kasuan ez bezala— maila altuagoko gaien ekarpenak ezin izan du errore hori txikitu. Sistemaren fasea zehazten duen a∗ 2koefizientearen menpekotasunari dagokionez, tenperatura kritikoaren inguruko tarte estu baten joera lineala duela ikusi da, ordena parametro bakarreko kasuan gertatu denaren antzera. Landauren teoriak fase-trantsizioaren tenperatura kritikoa kalkulatzea ahalbidetu du aztertutako bi kasuetan, baina ordena parametroaren zuzeneko neurketak adierazitakoarekin alderatu denean, erdietsitako balioa zuzena ez dela behatu da. Hori Landauren energia askea lortzeko egindako simulazioetan ordena parametroak izandako fluktuazio kritikoen eragina dela ondorioztatu da, baita arazoa ekiditeko tenperatura kritikoaren inguruko simulazioetan termalizazio eta Monte Carlo urrats kopurua handitu beharko litzakeela ere. Garbi ikusi da, beraz, sistemaren portaera kritikoak neurketetan duen eragina eta, dudarik gabe, hurrengo lan baten kontuan hartu beharreko gaia da. 30 Jakina, sakontzeke geratutako gaiak ez dira gutxi izan, eta lanari amaiera emateko haietako bi aipatuko dira jarraian. Batetik, interesgarria izango litzake bi ordena parametroko kasuan energia askearen beste aldaeraren bat aztertzea, hau da, ordena parametroen arteko akoplamendu bilinealaren ordez beste nolabaitekoa kontsideratzea, esaterako, bikoadratikoa. Noski, horretarako φ4hamiltondarreko akoplamendua ere aldatu beharko litzake. Bestetik, Ceta E0parametroen arteko zatiduraren bi limiteak azter litezke ordena-desordena eta fase-trantsizio displaziboak ikertu eta alderatu ahal izateko, lan honetan ez baitzaio arreta berezirik jarri gai horri. Dena dela, lanaren balioespen orokorra ona da. Landauren teoriaren inguruko kontzeptu nagusiak simulazioetatik lortutako emaitzen bidez egiaztatu ahal izan dira ordena parametro bakarreko kasuan, eta kontzeptuok bi ordena parametroko kasura ere orokortu daitezkeela behatu da; lanaren hasieran finkatutako bi helburuak bete dira. Horrez gain, fase-trantsizioen gaia landu da, haien sailkapena, simetria-apurketak, berretzaile kritikoak eta unibertsaltasunaren inguruko zenbait orokortasun aipatuz. Eta, bukatzeko, fisika estatistikora aplikatutako Monte Carlo metodoen funtsa ulertu eta konputazioak alor horretako problemak —analitikoki ebatz ezin daitezkeenak— era sinplean ebazteko aukera eskaintzen duela argi ikusi da. Bibliografia [1] L. D. Landau, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 7, 19 (1937). Ingelesera itzulia: L. D. Landau, Collected Papers (Nauka, Moscow, 1969), 1. bol., 234–252 orr. [2] H. N. Fang, R. Zhang, B. Liu, Z. K. Tao, M. W. Xiao, X. F. Wang, Z. L. Xie, X. Q. Xiu eta Y. D. Zheng, AIP Adv. 3, 072136 (2013). [3] F. J. Romero, M. C. Gallardo, S. A. Hayward, J. Jim´enez, J. del Cerro eta E. K. H. Salje, J. Phys.: Condens. Matter 16, 2879 (2004). [4] V. B. Shirokov eta M. V. Talanov, Acta Cryst. Sec. B 75, 978 (2019). [5] S. Artyukhin, K. T. Delaney, N. A. Spaldin eta M. Mostovoy, Nat. Mater. 13, 42 (2014). [6] V. L. Ginzburg eta L. D. Landau, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 20, 1064 (1950). Ingelesera itzulia: L. D. Landau, Collected Papers (Pergamon Press, Oxford, 1965), 546-568 orr. [7] S. Radescu, I. Etxebarria eta J. M. Perez-Mato, J. Phys.: Condes. Matter 7, 585 (1995). [8] J. Yeomans, Statistichal Mechanics of Phase Transitions (Oxford University Press, New York, 1992), 1-63 orr. [9] G. Jaeger, Arch. Hist. Exact Sci. 53, 51 (1998). [10] S. Blundell eta K. Blundell, Concepts in Thermal Physics (Oxford University Press, Oxford, 2010), 320-322 orr. [11] L. Landau eta E. Lifshitz, Statistical Physics, 2. ed. (Pergamon Press, Oxford, 1969), 424-433 orr. [12] J. Sethna, Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity (Oxford University Press, Oxford, 2007), 191-194 orr. [13] R. Pathria eta P. Beale, Statistical Mechanics, 3. ed. (Butterworth Heinemann Elsevier, Amsterdam, 2011), 401-460 orr. [14] E. Guggenheim, J. Chem. Phys 13, 253 (1945). [15] M. Gitterman eta V. Halpern, Phase Transitions: A Brief Account With Modern Applications (World Scientific Publishing, Singapore, 2004), 25-27 orr. 32 Bibliografia [16] T. Malcherek, in EMU Notes In Mineralogy, by R. Miletiched (E¨otv¨os University Press, Budapest, 2005), 139-140 orr. [17] E. K. H. Salje, S. A. Hayward eta W. T. Lee, Acta Cryst. Sec. A 61, 3 (2005). [18] R. A. Cowley, Adv. Phy. 29, 1 (1980). [19] P. Tol´edano, EPJ Web Conf. 22, 00007 (2012). [20] I. Etxebarria, J. M. Perez-Mato eta P. Boullay, Ferroelectrics 401, 1 (2010). [21] S. Watanabe eta T. Usui, Prog. Theor. Phys. 73, 6 (1985). [22] E. K. H. Salje, Acta Cryst. Sec. A 47, 453 (1991). [23] M. Newman eta G. Barkema, Monte Carlo Methods In Statistical Physics (Oxford University Press, New York, 1999), 3-82 orr. [24] U. Wolff, in Computational Physics: Selected Methods, Simple Exercises, Serious Applications by K. Hoffmann eta M. Schreibered (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1996), 254 or. [25] A. Savitzky eta M. J. E. Golay, Anal. Chem. 36, 1627 (1964). [26] P. Virtanen, R. Gommers, T. E. Oliphant, M. Haberland, T. Reddy, D. Cournapeau, E. Burovski, P. Peterson, W. Weckesser, J. Bright et al.,Nat. Methods 17, 261 (2020). [27] S. van der Walt, S. C. Colbert eta G. Varoquaux, Comput. Sci. Eng. 13, 22 (2011). [28] D. Larose eta C. Larose, Data Mining And Predictive Analytics, 2. ed. (John Wiley & Sons, Hoboken, 2015), 236-241 orr. [29] J. Freund eta G. Simon, Estad´ıstica Elemental, 8. ed. (Prentice-Hall Hispanoamericana, M´exico, 1994), 140 or. [30] G. M. Torrie eta J. P. Valleau, J. Comput. Phys. 23, 187 (1977).