Eine Darstellung von Rückversicherungsprogrammen mit Anwendung auf den Kompressionseffekt

Fo schung am IVW Köln, 5/2011
Ins i u ü Ve siche ungswesen
Eine Da s ellung on
Rück e siche ungsp og ammen
mi Anwendung au den
Komp essionse ek
Lu z Reime s-Rawcli e
Zusammen assung
Diese A bei behandel Rück e siche ungsp og amme aus akul a i en
und obliga o ischen, p opo ionalen und nich p opo ionalen Deckungen.
Zunächs wi d eine neue Da s ellungsweise einge üh , die nich nu die
Kapazi ä en de Baus eine des
Rück e siche ungsp og amms, sonde n
auch die Schadenau eilung anspa en mach . Du ch Skalie ung de
Schadenachse mi els de Ve eilungs unk ion des Einzelschadens e gib
sich eine anschauliche Da s ellung de jeweiligen E wa ungswe e und
dami des P ämienbeda s. Im zwei en Teil de A bei wi d die Auswi kung
nich p opo ionale akul a i e Rück e siche ung au be ei s o handene
obliga o ische
Rück e siche ungen un e such , insbesonde e de so
genann e „Komp essionse ek “. Die Ve eilung des Schadens au die
einzelnen Deckungsabschni e wi d g aphisch und mi einem
Zahlenbeispiel e deu lich . Es e gib sich, dass ein Schadenexzeden au
den Selbs behal du ch Komp ession e heblich benach eilig wi d.
Abs ac
This pape deals wi h einsu ance p og ammes consis ing o acul a i e
and obliga o y, p opo ional and nonp opo ional co e s. A new ype o
diag am is in oduced which illus a es no only he capaci ies p o ided by
he indi idual componen s o he einsu ance p og amme bu also he
allo
ca ion o indi idual claims. Scaling he claims axis using he
p obabilis ic claims size dis ibu ion esul s in a isual ep esen a ion o
he expec ed claims sizes and hence he pu e isk p emiums. In he second
pa o he pape he impac o non-p opo ional acul a i e einsu ance
on unde lying obliga o y einsu ance ea ies is analyzed, especially he
so-called “comp ession” phenomenon. The alloca ion o indi idual claims
o he componen s o he einsu ance p og amme is illus a ed g aphically
and b
y a nume ical example. I u ns ou ha he einsu e o an
unde lying excess o loss ea y is se e ely disad an aged.
- 1 -
Inhal s e zeichnis
1. EINLEITUNG.................................................................................................................................................................................2
2. EINE DARSTELLUNG DER SCHADENAUFTEILUNG .........................................................................................................3
3. NOMOGRAPHISCHE DARSTELLUNG...................................................................................................................................4
4. DER KOMPRESSIONSEFFEKT .................................................................................................................................................6
4.1 PROBLEMBESCHREIBUNG 6
4.2 DIE PRÄMIENAUFTEILUNG 8
4.3 DIE KOMPRESSION EINES SCHADENEXZEDENTEN 9
4.4 FAZIT 10
LITERATURVERZEICHNIS.................................................................................................................................................................. 11
ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS........................................................................................................................................................... 11
KONTAKT.............................................................................................................................................................................................. 12
- 2 -
1. Einlei ung
Zu Da s ellung eines Rück e siche ungsp og ammes, das sich aus meh als einem Ve ag
zusammense z , is es nahe liegend, die du ch die einzelnen Ve äge be ei ges ell e Kapa-
zi ä 1 in Fo m eine geschich e en Säule abzubilden (z. B. [3, S. 178]). De a ige „Kapazi ä s-
säulen“ können en wede die Au eilung de Ha ung ü ein konk e es Einzel isiko ode
die Kapazi ä en p opo ionale ode nich p opo ionale obliga o ische Rück e siche-
ungs e äge da s ellen. Abbildung 1 zeig ein ein aches Rück e siche ungsp og amm,
bes ehend aus einem Summenexzeden en e ag mi 2 Maxima zu je 1 Mio., dessen
Selbs behal du ch einen Schadenexzeden en e ag mi P io i ä 250.000 und Ha ung
750.000 geschü z wi d. De E s e siche e (EVR) s ell hie eine Kapazi ä on 250.000 zu
Ve ügung, zu de eine au oma ische Rück e siche ungskapazi ä on 2.750.000 hinzu-
komm . Insgesam können also Risiken bis zu eine Ve siche ungssumme on 3 Mio. ohne
Rückg i au akul a i e Deckungen gezeichne we den. Bei einem To alschaden wü de
de Schadenbe ag on 3 Mio. en sp echend den Kapazi ä en zwischen E s - und Rück e -
siche e n au ge eil .
Abb. 1
Unübe sich lich we den diese „Kapazi ä ssäulen“, wenn es um die Da s ellung komplexe-
e Rück e siche ungsp og amme, e wa eines Schadenexzeden en ü gemeinsame Rech-
nung on E s e siche e und Rück e siche e eines Quo en e ages, geh . Deshalb sind
o allem in de ame ikanisch beein luss en Li e a u [1], [4], [5] zweidimensionale Da s el-
lungen e b ei e , bei denen die p opo ionale Kapazi ä en lang de ho izon alen, die
nich -p opo ionale Kapazi ä en lang de e ikalen Achse au gegliede wi d. Fü das
Rück e siche ungsp og amm aus Abb. 1 e gib sich dann die Da s ellung nach Abb. 2.

1Un e Kapazi ä wi dimFolgendende maximaleBe ag e s anden,denE s Ͳode Rück e siche e imFalle
einesEinzel isikoschadenszuzahlenbe ei sind.
- 3 -
Abb. 2
Hie wi d insbesonde e deu lich, dass de Schadenexzeden nu den Selbs behal des E s -
e siche e s schü z , wäh end ein Schadenexzeden ü gemeinsame Rechnung on E s -
und Quo en ück e siche e wie in Abb. 3 aussehen wü de.
Abb. 3
2. Eine Da s ellung de Schadenau eilung
Kapazi ä sdiag amme be ach en imme nu den „wo s case“ des To alschadens eines
Risikos maximale G öße; die Au eilung eines Teilschadens läss sich do nich abbilden.
Im Folgenden wi d das in Abb. 1 und 2 da ges ell e Rück e siche ungsp og amm au ein
einzelnes Risiko mi eine Ve siche ungssumme on 3 Mio. angewende . Au de ho izon a-
len Achse wi d de B u oschaden2 au ge agen, au de e ikalen Achse die Au eilung
des B u oschadens zwischen E s e siche e und den Rück e siche ungs e ägen. Man
e kenn in Abb. 4 deu lich die un e schiedliche Wi kungsweise de p opo ionalen und
nich p opo ionalen Rück e siche ung.
De Schadenexzeden wi d e s be o en, wenn de B u oschaden 750.000 e eich , da
dann de p opo ionale An eil des E s e siche e s on 1/3 ge ade de P io i ä en sp ich .
Die Ve häl nisse am ech en Rand de Da s ellung (Schaden in Höhe de Ve siche ungs-
summe!) en sp echen na ü lich de Kapazi ä ssäule aus Abb. 1.

2Un e B u oschadenwi dhie de Schadenausde Be eiligungdesE s e siche e samO iginal isiko o 
Rück e siche ung e s anden.

- 4 -
Abb. 4
3. Nomog aphische Da s ellung
Die Da s ellung in Abbildung 4 läss keine Rückschlüsse au die a sächliche Belas ung de
d ei be o enen Pa eien zu, da die äquidis an e Un e eilung de ho izon alen Achse im-
plizi alle Schadenhöhen als gleichwah scheinlich e scheinen läss . Einen ealis ische en
Eind uck e häl man, wenn die ho izon ale Achse en sp echend de Wah scheinlichkei s-
e eilung de Schadenhöhe skalie .
Zu diesem Zweck wi d übe de ho izon alen Achse die In e se F–1 de Ve eilungs unk ion
F de Schadenhöhe au ge agen. Fü das olgende Beispiel wi d (ohne Ansp uch au Reali-
ä snähe) ü die Da s ellung eine ges u z e Exponen ial e eilung benu z , bei de die
Wah scheinlichkei ü Schäden mono on mi de Höhe abnimm . Genaue

x
S
S
e
F(x) , F (y) ln y( e )
e
O
O
OO






1
11
11
1,
wobei S die Ve siche ungssumme des Risikos und λ de Keh we des E wa ungswe es
de unges u z en Exponen ial e eilung is . In unse em Beispiel is S = 3 Mio.; ü λ wi d
1/500.000 angese z .
P ojizie man die Ku e on F–1 au die ho izon ale Achse, e häl man eine (hie o einge-
zeichne e) neue Skala. Zum Beispiel is F(0,25 Mio.) | 0,394 und F(1,00 Mio.) | 0,867. De
Abs and de zu den 1,00 Mio. und 0,25 Mio. gehö enden We en is ge ade
F(1,00 Mio.) – F(0,25 Mio.) | 0,473 und en sp ich eine Wah scheinlichkei on 47,3% da ü ,
dass die Höhe eines einge e enen Schadens zwischen 0,25 Mio. und 1 Mio. lieg . Da die
Höhe des Einzelschadens au de e ikalen Achse da ges ell wi d, en sp ich die Fläche
un e de Ku e dem E wa ungswe de Schadenhöhe.
- 5 -
Abb. 5
Abbildung 6 zeig das Rück e siche ungsp og amm aus Abbildung 4 in nomog aphische
Da s ellung. Die Flächen de einzelnen Deckungsabschni e en sp echen nun den Scha-
dene wa ungswe en de d ei Risiko agenden Pa eien und dami dem Ve häl nis de
Ne o isikop ämien3.
Abb. 6
Eine genaue e Be echnung e gib olgende E wa ungswe e:
Summenexzeden : 328,4 Tsd. 66,7%
Schadenexzeden : 35,0 Tsd. 7,1%
E s e siche e : 129,2 Tsd. 26,2%
B u o: 492,5 Tsd. 100,0%

3Ne o isikop ämieis diezu Deckungde Schädenbenö ig eP ämie,alsoohneZuschläge ü Kos en,Gewinn
usw.
- 6 -
Hie aus läss sich na ü lich nich schließen, dass dem Rück e siche e des Schadenexze-
den en 7,1% de O iginalp ämie zus ehen; diese en häl Zuschläge ü Kos en, Gewinn
usw., könn e abe auch un e - ode obe halb de e siche ungs echnisch angemessenen
P ämie liegen. De Rück e siche e des Schadenexzeden en müss e ielmeh den E wa -
ungswe des Einzelschadens (35.000) mi de e wa e en Schadenanzahl mul iplizie en
und seine eigenen Zuschläge addie en. In de P axis wi d diese heo e isch ko ek e An-
sa z jedoch nich benu z , da ü ein gegebenes Risiko wede die Schadenhöhen e eilung
noch die e wa e e Schadenanzahl mi akzep able Genauigkei bekann sind.
4. De Komp essionse ek
4.1 P oblembesch eibung
„One o he big opics ha seem o su ace om yea o yea is he ’comp ession’ o ne
and ea y s uc u es by non-p opo ional acul a i e solu ions“ [5]. Das hie angesp oche-
ne Thema wu de sei den spä en 1990e Jah en disku ie , als Rück e siche e neben dem
adi ionellen p opo ionalen auch nich -p opo ionalen akul a i en Rück e siche ungs-
schu z ü Einzel isiken anbo en. Da diese Deckungen be ei s bes ehende, da un e lie-
gende obliga o ische Rück e siche ungen in Fo m eine „Komp ession“ beein lussen und
als Ve s oß gegen das Schicksals eilungsp inzip angesehen we den können, wu den die
Schaden- und P ämienaspek e in in e nen Diskussionen abe auch in Ve ö en lichungen
aus üh lich behandel [4], [5].
Zu besse en Ve anschaulichung de du ch den Komp essionse ek e ände en Schaden-
au eilung wi d zunächs wiede die übe sich liche e Da s ellungsweise aus Abb. 4 au ge-
g i en, die ja au eine Gleich e eilung de Schadenhöhe be uh . Das Beispiel isiko ha
einen PML 4 on 100 Mio., und de E s e siche e e üg übe einen Summenexzeden en
mi eine Kapazi ä on 4 Maxima zu je 10 Mio. PML. Demnach ha e neben seinem Selbs -
behal on 10 Mio. und de Kapazi ä des Summenexzeden en on 40 Mio. noch einen a-
kul a i en Beda on 50 Mio., de in Abb. 7 und 8 zunächs einmal adi ionell p opo ional
abgedeck wi d.

4Inde indus iellenFeue e siche ungwi dde PML(p obablemaximumumloss=wah scheinliche Höchs Ͳ
schaden)de Risiko e eilungdo zug undegeleg ,woeinSchadeninHöhede Ve siche ungssummeunwah Ͳ
scheinlichis .
- 7 -
Abb. 7 Abb. 8
Unabhängig on seine Höhe wi d jede B u oschaden – wie auch die O iginalp ämie – im
Ve häl nis 50% zu 40% zu 10% un e den d ei Pa eien au ge eil .
Abb. 9
Wi d s a dessen eine nich -p opo ionale akul a i e Kapazi ä in Fo m eines Deckungs-
abschni s 50 Mio. nach 50 Mio. obe halb des Summenexzeden en gekau , e ände sich
das Bild sowohl ü den Selbs behal des Ve siche e s als auch ü den Summenexzeden en
(Abbildung 9). Zwa we den die Kapazi ä en on 10 Mio. bzw. 40 Mio. nich übe sch i en,
doch Schäden bis zum Ansa zpunk de nich -p opo ionalen akul a i en Deckung (50
Mio.) e en Selbs behal und Summenexzeden in eine gegenübe de adi ionellen
Si ua ion (Abb. 8) e doppel en Höhe. De en Kapazi ä en we den also be ei s bei einem
Teilschaden in Höhe on 50% des PML ausgeschöp . Dies is de so genann e Komp essi-
onse ek , de eigen lich aus Sich des E s e siche e s und des obliga o ischen Rück e si-
che e s ein Au blähungse ek is .