Zahlungsströme mit zinsunabhängigem Barwert

Fo schung am IVW Köln, 9/2014 Ins i u ü Ve siche ungswesen Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we Ral Knobloch II Fo schung am IVW Köln, 9/2014 Wählen Sie ein Elemen aus. Ral Knobloch Fo schungss elle FaRis Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we Zusammen assung Eine wich ige F ages ellung in den Wi scha swissenscha en is die Bewe ung on Zahlungss ömen mi dem Ba we . Dabei lieg jede Ba we be echnung ein geeigne es Zinsmodell zug unde. Bei einem speziellen Zinsmodell – de ela i gemisch en Ve zinsung – lassen sich ein ache nich i iale Beispiele/Zahlungss öme kons uie en, bei denen de Ba we bei jedem Zinssa z null is . In de o liegenden A bei wi d die F age un e such , ob es bei ande en Zinsmodellen eben alls solche Zahlungss öme gib . Im Haup sa z kann die Bean wo ung diese F age mi Mi eln de Analysis au die Exis enz on Lösungen eines homogenen linea en Gleichungssys ems zu ückge üh we den. Abs ac An impo an ques ion in economics and business is o e alua e cash lows by he p esen alue. Each calcula ion o a p esen alue is based on a sui able in e es model. In case o one special in e es model, one can cons uc a simple non i ial example/cash low, whe e he p esen alue is ze o o each in e es a e. In his pape we will pu sue he ques ion, whe he he e a e such examples/cash lows o o he in e es models. In he main heo em he answe o his ques ion can be asc ibed o he exis ence o a solu ion o homogeneous linea simul aneous equa ions wi h calculus me hods. Schlagwö e : Ba we , Bewe ung on Zahlungss ömen, Finanzma hema ik, Zinsmodelle - 1 - Inhal s e zeichnis 1.EINLEITUNG .............................................................................................................................................. 2 2.DAS MODELL (TEIL 1) .............................................................................................................................. 4 3.JÄHRLICHE VERZINSUNG MIT ZINSESZINS ........................................................................................... 5 4.DAS MODELL (TEIL 2) .............................................................................................................................. 9 5.REIHENENTWICKLUNG DER ABZINSUNGSFAKTOREN ....................................................................... 11 6.HAUPTSATZ ............................................................................................................................................ 14 7.ANWENDUNGEN DES HAUPTSATZES (TEIL 1) ..................................................................................... 16 8.ANWENDUNGEN DES HAUPTSATZES (TEIL 2): RELATIV GEMISCHTE VERZINSUNG ........................ 19 9.SCHLUSSBEMERKUNG ........................................................................................................................... 22 LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................................................ 23 - 2 - 1. Einlei ung In ielen Teilgebie en de Wi scha swissenscha en is die Bewe ung on Zahlungss ömen eine de zen alen F ages ellungen. Dies gil sowohl ü heo e ische Übe legungen als auch ü p ak ische Anwendungen. Eine de wich igs en Bewe ungsansä ze is dabei de Ba we eines Zahlungss oms, d.h. die Summe de au einen Bewe ungss ich ag abgezins en Zahlungen. Jede Ba we be echnung benö ig dazu ein passendes Zinsmodell. Sind die Zei äume zwischen dem Bewe ungss ich ag und den jeweiligen Zahlungszei punk en alle ganzzahlig (d.h. es sind olle Jah e), so wi d übliche weise die jäh liche Ve zinsung mi Zinseszins e wende . Man sp ich in diesem Fall on eine jäh lichen Zahlweise. Meh Viel al bei den Zinsmodellen gib es, sobald de Zahlungss om un e jäh liche Zahlungen en häl . Zunächs muss en schieden we den, ob auch ein un e jäh liche Zinseszinse ek be ücksich ig we den soll ode nich . Die Modelle mi einem un e jäh lichen Zinseszinse ek we den un e dem Beg i „un e jäh liche Ve zinsung“, die Modelle ohne einen un e jäh lichen Zinseszinse ek un e dem Beg i „gemisch e Ve zinsung“ zusammenge ass ( gl. [1] S.20 und S.27 , [6] S.75 und S.85 ). Sowohl bei de un e jäh lichen Ve zinsung als auch bei de gemisch en Ve zinsung kann man den Jah eszins p opo ional zu de Ve zinsungszei spanne anse zen. Man sp ich dann on de „un e jäh lichen Ve zinsung zum ela i en Zins“ bzw. on de „ ela i gemisch en Ve zinsung“. Ande e Zinsmodelle basie en au de Idee des kon o men Zinssa zes. Bei diesem Ansa z üh eine un e jäh liche Ve zinsung – im Un e schied zu den Modellen mi ela i em Zins – bei eine ganzzahligen Lau zei zum selben Gu haben wie die übliche jäh liche Ve zinsung mi Zinseszins ( gl. [1] S. 24 und [6] S.78 ). Die ela i gemisch e Ve zinsung wi d in de P axis o implizi angewende . Als Beispiele de Anwendung seien die E ek i zinsbe echnung bei geb ochene Lau zei ( gl. [3] S.72) und das Res glied in de Pensions e siche ungsma hema ik ( gl. [5]) genann . Wi be ach en das olgende Beispiel zu ela i gemisch en Ve zinsung. Beispiel 1: Gegeben sei ein Zahlungss om mi den d ei olgenden Zahlungen:  Zahlung zum Zei punk 5,0 in Höhe on 1C 5,0    Zahlung zum Zei punk 1 in Höhe on 2C1   Zahlung zum Zei punk 5,1 in Höhe on 1C 5,1   - 3 - Ve wende man als Zinsmodell die ela i gemisch e Ve zinsung mi Zinssa z 0i , so be echne sich de Ba we des Zahlungss oms 0 Bwie olg :       0 i1i5,01 1i5,012i1 i1i5,01 1 i1 2 i5,01 1 B0           . Somi e gib bei diesem Zahlungss om ü den Ba we bei jedem Zins de gleiche We , d.h. de Ba we is zinsunabhängig. In de o liegenden A bei wi d die F age un e such , bei welchen Zinsmodellen es nich i iale endliche Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we geben kann. - 4 - 2. Das Modell (Teil 1) Gegeben sei ein endliche Zahlungss om M ,C  . Dabei genügen die Zahlen C und die Menge de Zahlungszei punk e M den olgenden Bedingungen:  IRC  ü alle M .   0 IRM (Alle Zahlungen e olgen zum Zei punk 0ode spä e )  M (Es sind nu endlich iele Zahlungszei punk e) Zu jedem Zahlungszei punk M  gib es einen Abzinsungs ak o . Fü die Abzinsungs ak o en gil :  M , 1   1 M0 0  s s , M s,  Aus diesen No a ionen e gib sich de Ba we de Zahlungs eihe wie olg :    M 0 C B . Zu beme ken is noch, dass sich die Abzinsungs ak o en i.d.R. aus einem o gegeben Jah eszinssa z 0i  be echnen. - 5 - 3. Jäh liche Ve zinsung mi Zinseszins Zunächs be ach en wi die übliche weise e wende e jäh liche Ve zinsung mi Zinseszins. Dazu sei die Menge de Zei punk e eine Teilmenge de na ü lichen Zahlen inklusi e de 0, d.h. 0 INM  . De Zinssa z sei 0i  und es gil  i1 1  . Mi de De ini ion des Abzinsungs ak o s i1 1 :   e gib sich . Dami e häl man als Ba we     M M 0 C C B . Das olgende Beispiel zeig , dass sich bei un e schiedlichen Zinssä zen de gleiche Ba we e geben kann. Beispiel 2: Es sei }2,1,0{M , d.h. de Zahlungss om bes eh aus den d ei Zahlungen 210 C ,C ,C . Als Ba we e gib sich 012 2 M 0CC C C B    . Zu einem o gegeben We IRb , mi bC0  gib es un e de Bedingung (B1)  bC C bC2 C 0 2 2 0 1            zwei Zinssä ze, die jeweils zum Ba we bB0  üh en. Es sind dies   bC C bC2 C bC2 C 1i 0 2 2 0 1 0 1 1              und   bC C bC2 C bC2 C 1i 0 2 2 0 1 0 1 2              . Zu Be echnung diese beiden Zinssä ze wi d die Gleichung bCC C 012 2 - 6 - zunächs umge o m in   0i1 bC C i1 bC C2 0 1 0 2   . Anschließend lös man diese quad a ische Gleichung mi de Va iablen  i1  mi hil e de p-q-Fo mel. Du ch Au lösen nach dem Zins e geben sich die beiden Lösungen 1 i und 2 i. Zusä zlich zu (B1) be ach en wi die Bedingungen (B2), (B3) und (B4) wie olg : (B2) bC0 (B3) 10 C)bC(2  (B4) 0bCCC 012  Gel en alle ie Bedingungen (B1), (B2), (B3) und (B4), so e gib sich die Nich nega i i ä on 2 i wie olg :                 0i0 bC C bC2 C bC2 C 1 bC C bC2 C bC2 CbC2 bC C bC2 C bC2 CbC2 bC C bC2 C bC2 C 1 bC C bC2 C bC2 C 1 bC C bC2 C bC2 C bC C 1 bC C bC C 1 bC CC 1 CCbC0bC CC 2 0 2 2 0 1 0 1 0 2 2 0 1 0 10 )3B(),2B(),1B( 0 2 2 0 1 2 0 10 0 2 2 0 1 2 0 1 0 2 2 0 1 2 0 1 0 2 2 0 1 2 0 1 0 1 0 2 0 1 0 21 )2B( 210012                                                                                                                                    Wegen 21 ii  olg 0i1. Somi gib es in diesem Beispiel un e den Bedingungen (B1), (B2), (B3) und (B4) zwei ökonomisch sinn olle Zinssä ze (d.h. Zinssä ze g öße ode gleich null), die den gleichen Ba we e geben. - 7 - Als Zahlenbeispiel sei hie genann : 11396204,0i , 21937129,0i , 000.200b 000.815C , 000.400.1C , 000.400C 21 210      Im Spezial all 0b  bedeu e die Exis enz de beiden Lösungen 1 i und 2 i, dass es in diesem Fall keinen eindeu igen E ek i zins gib ( gl. [6] S.235). Bei de jäh lichen Ve zinsung gib es, wie in Beispiel 2 gezeig , nich i iale Zahlungs eihen, die bei un e schiedlichen Zinssä zen zum gleichen Ba we üh en. Ve lang man abe , dass man bei jedem Zinssa z 0i  den gleichen Ba we b e häl , so e üll dies nu die i iale Zahlungs eihe 0C  ü alle M  }0{ und bC0. Beweisen kann man dies mi elemen a en E gebnissen de Analysis. Sa z 1: Es sei 0 INM  und  i1 1   . Dann gil : 0C B M 0    ü alle 0i   0C  ü alle M  Beweis: O.B.d.A. sei }m,...2,1,0{M . Man e häl als Funk ion des Abzinsungs ak o s ]1,0( i1 1        M M C C :) ( . Diese Funk ion nimm ü jedes aus dem De ini ionsbe eichs den We 0 an. Da es sich dabei um ein Polynom m- en G ades handel , olg die Behaup ung mi hil e des Iden i ä ssa zes ü Polynome ( gl. [4] S.123). □ Folge ung 1: Es sei 0 INM  mi M0  und  i1 1   . Es sei IRb  . Dann gil : bC B M 0    ü alle 0i  bC0  und 0C  ü alle M  }0{ - 14 - 6. Haup sa z In diesem Abschni wi d gezeig , dass sich die F age nach de Exis enz on Zahlungss ömen mi zinsunabhängigem Ba we (We 0  ) au die Lösung eines homogenen linea en Gleichungssys ems zu ück üh en läss . Insbesonde e gib es genau dann nich i iale Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we , wenn das homogene linea e Gleichungssys em neben dem Null ek o wei e e Lösungen besi z . Ein Zahlungs- s om heiß dabei nich i ial, wenn es mindes ens eine Zahlung ungleich null is . Es wi d o ausgese z , dass es eine T ans o ma ion )i(h des Zinssa zes gib , so dass sich die Abzinsungs ak o en wie olg als Reihe en wickeln lassen:      0l l l,j,k )i(hb)i,j,k(       m1,j,n,,1k,,0i,      . Es sei A die Menge alle Zahlungss öme C j,k , m,,1j,n,,1k    mi    n 1k m 1j j,k 0C)i,j,k( ü alle 0i . Dami en häl A Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we . Es sei B die Menge alle Lösungen C j,k , m,,1j,n,,1k    des homogenen linea en Gleichungssys ems    n 1k m 1j j,kl,j,k 0Cb , 0 INl  . . Sa z 2: (Haup sa z) En häl de We ebe eich de T ans o ma ion h ein o enes In e all   1,0b,a , so gil BA . Beweis: Man kann den Ba we wie olg um o men:                      0l n 1k m 1j j,kl,j,k l 0l n 1k j,k m 1j l l,j,k n 1k m 1j j,k 0l l l,j,k n 1k m 1j j,k0 Cb)i(hC)i(hb C)i(hbC)i,j,k( )i(B Ha man eine Lösung des homogenen linea en Gleichungssys ems - 15 -    n 1k m 1j j,kl,j,k 0Cb , 0 INl  , so gil    n 1k m 1j j,k0 0C)i,j,k( )i(B ü alle 0i . Gil umgekeh    n 1k m 1j j,k 0C)i,j,k( ü alle 0i , so is die Po enz eihe in de Va iablen )i(h au dem In e all   b,a iden isch null. Somi müssen alle Koe izien en gleich null sein ( gl. [2] S.372 ) und man e häl eine Lösung des homogenen linea en Gleichungssys ems. □ Folge ung 2: A en häl genau dann eine nich i iale Lösung, wenn B neben dem Null ek o mindes ens eine wei e e Lösung besi z . Beweis: i ial Folge ung 3: A is ein Vek o aum, insbesonde e is die Linea kombina ion zweie Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we wiede ein Zahlungss om mi zinsunabhängigem Ba we . Beweis: Die Aussage olg di ek aus Sa z 2, da die Lösungsmenge eines homogenen linea en Gleichungssys ems ein Vek o aum is . □ Beme kung: Bishe inde bei dem o gegebenen Zei as e de Zei punk 0 keine Be ücksich igung. Zu jedem Elemen aus A kann du ch Hinzunahme des Zei punk es 0 mi de Zahlung IRbC0 ein Zahlungss om kons uie we den, bei dem bei jedem Zinssa z de Ba we den We b annimm . - 16 - 7. Anwendungen des Haup sa zes (Teil 1) In diesem Abschni gezeig wie de Haup sa z au die jäh liche Ve zinsung mi Zinseszins, au die un e jäh liche Ve zinsung mi ela i em Zins, au die kon o me Ve zinsung und die ein ache Ve zinsung angewende we den kann, um zu zeigen, dass es bei diesen ie Zinsmodellen keine nich i ialen Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we gib . Beispiel 5: (Jäh liche Ve zinsung mi Zinseszins) Va iablen ans o ma ion: i1 1 )i(h   Fe ne gil 1m  und ü  n,,1k  und 0i :  k k )i(h i1 1 )i,1,k(   , d.h.         kl0 kl1 bl,1,k . Dies lie e das Gleichungssys em 1,l n 1k m 1j j,kl,j,k CCb0    , n,,1l   . Dieses Gleichungssys em ha nu die i iale Lösung 0C 1,l  , n,,1l   . Somi gib es keine nich i ialen Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we . Beispiel 6: (Un e jäh liche Ve zinsung mi ela i em Zins) Va iablen ans o ma ion: m i 1 1 )i(h   Man e häl ü  n,,1k ,  m,,1j  und 0i :  jm)1k( jm)1k( )i(h m i 1 1 )i,j,k(          , - 17 - d.h.            jm1kl0 jm1kl1 bl,j,k . Dies lie e das Gleichungssys em   m1 m l al, m l a n 1k m 1j j,kl,j,k CCb0     , mn,,1l   . Dabei sei )x(a de au ge unde e We on x. Da das Indexpaa         m1 m l al, m l a ü mn,,1l   die Indexpaa e  j,k , m,,1j,n,,1k    , komple du chläu , e häl man das Gleichungssys em 0C j,k , m,,1j,n,,1k    . Somi e häl man als einzige Lösung des Gleichungssys ems den Null ek o und es gib keine nich i ialen Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we . Beispiel 7: (Kon o me Ve zinsung) Va iablen ans o ma ion: m i1 1 )i(h   Man e häl ü  n,,1k ,  m,,1j  und 0i :      jm)1k( jm1k m m j 1k )i(h i1 1 i1 1 )i,j,k(        . d.h.            jm1kl0 jm1kl1 bl,j,k . Dies lie e dasselbe Gleichungssys em wie in Beispiel 6:   m1 m l al, m l a n 1k m 1j j,kl,j,k CCb0     , mn,,1l    Dabei sei )x(a wiede um de au ge unde e We on x. Die A gumen a ion is iden isch mi de A gumen a ion on Beispiel 6: Das Indexpaa         m1 m l al, m l a du chläu ü mn,,1l    die Indexpaa e   j,k , m,,1j,n,,1k   , dami e häl man das Gleichungssys em 0C j,k , m,,1j,n,,1k    , - 18 - dies ha als einzige Lösung den Null ek o und es gib somi keine nich i ialen Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we . Beispiel 8: (Ein ache jäh liche Ve zinsung) Va iablen ans o ma ion: i1 1 )i(h   Wegen de jäh lichen Ve zinsung gil 1m  . Man e häl ü   n,,1k   und 0i :              1l l l 1l )i(h k 1k k 1k )i(h1 1 k )i(h ik1 1 )i,1,k( , d.h.             0l0 0l k 1k bl 1l l,1,k . Dies lie e das Gleichungssys em          n 1k 1,k l 1l n 1k m 1j j,kl,j,k C k 1k Cb0 , n,,1l   . Fü 1n  is die De e minan e de zugehö igen Koe izien enma ix des Gleichungs- sys ems 1, ü 2n  e gib sich als De e minan e 4 1 und ü 3n  als De e minan e 108 1. Diese d ei We e kann man auch wie olg da s ellen: 321 21 1 321 1 :3n 21 1 :2n 1 1 :1n       . Fü 4n  e häl man als De e minan e de Koe izien enma ix 4321 4321 1 648.27 1  . Dies läss als allgemeine Fo mel ü die De e minan e n321 n321 1   e mu en. Mi EDV- echnischen Mi eln läss sich dies auch ü alle handhabba en INn  nach echnen. Einen allgemein gül igen Beweis bleib de Au o an diese S elle alle dings schuldig. Is somi die De e minan e de Koe izien enma ix ungleich 0 is , so ha das Gleichungs- sys em lediglich den Null ek o als Lösung und es gib keine nich i ialen Zahlungs- s öme mi zinsunabhängigem Ba we . - 19 - 8. Anwendungen des Haup sa zes (Teil 2): Rela i gemisch e Ve zinsung  Im Un e schied zu den im le z en Kapi el behandel en Zinsmodellen gib es bei de ela i gemisch en Ve zinsung Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we . Wi be ach en zunächs nochmals das schon in Kapi el 1 behandel e Beispiel ( 2m,2n  ). An- schließend wi d im allgemeinen Fall eine Menge on Zahlungss ömen mi zinsunab- hängigem Ba we kons uie . Als Va iablen ans o ma ion ha man: m i 1 1 )i(h  . Dami e häl ü  n,,1k ,  m,,1j  und 0i :                                           0l l l 1k 0l l l k 1k )i(h j 1j )i(h m 1m )i(h j 1 m 1 )i,j,k( (Vgl. Bespiel 4 e) Beispiel 9: Es seien 2n und 2m  . Man e häl :                                                                                                             2l l l 0l l l 0l l l 2 2 2l l 1l 0l l l 0l l l 2 1l l l 0l l l 0l l l )i(h1l 2 1 )i(h 2 1 )i(h 2 1 )i(h 2 1 )i,2,2( )i(h 2 1 )i(h 1 0 )i(h 2 1 )i(h 2 1 )i,1,2( )i(h 2 1 )i(h 2 1 )i(h 2 1 )i,2,1( )i(h)i(h 1 0 )i(h)i,1,1( Dami e gib sich als Gleichungssys em im Sinne des Haup sa zes: - 20 -  0C1l 2 1 C 2 1 C 2 1 :3l 0C 2 1 C 2 1 C 2 1 :2l 0C 2 1 C:1l 00:0l 2,2 l 1,2 1l 2,1 l 2,2 2 1,22,1 2 2,11,1                                         Mul iplizie man die Gleichung ü 2l  mi 2 1und sub ahie das E gebnis on de Gleichung ü 3l , so e gib sich: 0C 2 1 C2 2 1 2,2 3 2,2 3              . Dies is äqui alen zu 0C 2,2 . Eingese z lie e dies ü 2l  äqui alen e Gleichungen und das Gleichungssys em läss sich au die beiden olgenden Gleichungen eduzie en: 0CC 2 1 0C 2 1 C 1,22,1 2,11,1   . Als Lösungsmenge e häl man:                                                           IR 0 2 C C C C L 2,2 1,2 2,1 1,1 . Diese Lösungsmenge is dami in diesem ein achen Beispiel die Menge alle Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we . Wähl man 0  , so e häl man einen nich i ialen Zahlungss om, wähl man speziell 1  , so e häl man den Zahlungss om aus Beispiel 1. Beispiel 10: Es seien INm,n  und 0i . Fe ne seien   n,,1k0  und  1m,,1j0 . Wi de inie en den olgenden Zahlungss om: - 21 -              sons ,0 jj,1kk,1 j m mj,kk, j m jj,kk,1 C 00 0 0 0 00 j,k . Als Ba we dieses Zahlungss oms e häl man:      0 i m j 1i1 1 j m i m j 1 j m i1 i m j 1i1 1 j m i1 j m i m j 1i1 1 )i(B 0 k 0 0 0 0 k 0 k 0 0 1k 0 0 0 0 0                                   Somi handel es sich bei diesem Zahlungss om um einen Zahlungss om mi zinsunabhängigem Ba we . Da de Ba we linea is , haben alle Linea kombina ionen on Zahlungss ömen diese S uk u eben alls diese Eigenscha . Al e na i kann man a gumen ie en, dass gemäß dem Haup sa z de obige Zahlungss om eine Lösung des en sp echenden linea en Gleichungssys ems is und auch Linea kombina ionen dieses Gleichungssys em lösen. - 22 - 9. Schlussbeme kung In den Anwendungen des Haup sa zes zeig sich, dass es bei den in de P axis e wende en S anda dzinsmodellen einen Un e schied bezüglich de F ages ellung diese A bei gib . Bei de ein achen Ve zinsung, bei de jäh lichen Ve zinsung mi Zinseszins, bei de un e jäh lichen Ve zinsung mi ela i em Zins und bei de kon o men Ve zinsung gib es keine nich i ialen Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we . Bei de ela i gemisch en Ve zinsung hingegen sind solche Zahlungss öme möglich. Als Anwendung des Haup sa zes e häl man bei allgemeine Lau zei und allgemeine Anzahl un e jäh liche Zahlungen eine ganze Scha on Zahlungss ömen mi zinsunabhängigem Ba we . Da diese Zahlungss öme abe Einzahlung und Auszahlungen im Wechsel en hal en und somi insbesonde e keine No malin es i ionen sind ( gl. [6] S.220), haben sie m.E. keine p ak ische Bedeu ung, z.B. im Sinne eine A bi agemöglichkei . Ha man abe als inanzma hema ische Au gabens ellung die Bewe ung eines Zahlungss oms, so kann solchen Beispielen doch eine gewisse Bedeu ung zukommen. Zumindes mach es die Ve wendung de ela i gemisch en Ve zinsung ang ei ba . Deshalb is es sinn oll bei un e jäh lichen Zahlungss ömen als Modell au die un e jäh liche Ve zinsung mi ela i em Zins ode die kon o me Ve zinsung zu ückzug ei en. - 23 - Li e a u e zeichnis  [1] A enbe g, Ju a Finanzma hema ik, Oldenbou g Ve lag, München 2011. [2] Ba me , Ma in und Floh , F ied ich Analysis I, 2. Au lage, Wal e de G uy e , Be lin New Yo k 1983. [3] Heido n, Thomas Finanzma hema ik in de Bankp axis, 5. Au lage, Be iebswi scha liche Ve lag D . Th. Gable , Wiesbaden 2006. [4] Heuse , Ha o Leh buch de Analysis Teil 1, 7. Au lage, B. G. Teubne , S u ga 1990. [5] Neubu ge , Edga Unabhängigkei on Ren enanwa scha sba we en on de Zahlungsweise, Blä e de DGVFM, Bd. XIX, He 3, S.257 – S.267, 1990. [6] Tie ze, Jü gen Ein üh ung in die Finanzma hema ik, 3. Au lage, F ied ich Vieweg & Sohn Ve lagsgesellscha mbH, B aunschweig Wiesbaden 2000.