Quantitative Risikoanalyse und -bewertung technischer Systeme am Beispiel eines medizinischen Gerätes

Fo schung am IVW Köln, 10/2012 Ins i u ü Ve siche ungswesen Quan i a i e Risikoanalyse und -bewe ung echnische Sys eme am Beispiel eines medizinischen Ge ä es Alexande Kla , Magda Schiegl Zusammen assung In diesem A ikel wi d die En wicklung eine neuen Me hode zu Risikobewe ung on komplexen, echnischen Sys emen (z.B. Maschinen, P ozessen) dokumen ie . Wi demons ie en die Anwendung unse e Me hode anhand eines Beispiels de Medizin echnik. Ziel is die quan i a i e Bewe ung on Risiken, die übe die E mi lung de Ein i swah scheinlichkei und des Schadene wa ungswe es hinaus geh . Besonde s ele an is die Be echnung kos enin ensi e G oßschäden. Dazu kombinie en wi Me hoden de klassischen ingenieu wissenscha lichen Risikoanalyse mi Me hoden de Ak ua wissenscha en. Da aus e hal en wi eine neue Me hode des quan i a i en Risikomanagemen s zu Be echnung on Gesam schaden e eilungen komplexe echnische Sys eme. Au diese Weise we den alle mode nen Risikomaße (z.B. VaR, Expec ed Sho all) zugänglich. Wi demons ie en die einzelnen Sch i e anhand eines konk e en Beispiels aus de P axis, einem zahnä z lichen Behandlungss uhl. Abs ac We de elop a new me hod o isk e alua ion o complex echnical sys ems ( o ins ance echnical de ices, p ocesses) and apply i o an example o medical echnology. We aim he e alua ion o isks, exceeding he de e mina ion o claim p obabili y and expec a ion. The calcula ion o high-cos claims is o especial ele ance in ha con ex . The e o e we combine me hods o he classical enginee ing isk analysis wi h me hods o he ac ua ial sciences. This esul s in a new me hod o quan i a i e isk managemen o gene a e he o al claim dis ibu ion o complex echnical sys ems. In his way all mode n isk measu es as o ins ance VaR o expec ed sho all a e accessible. We demons a e ou new me hod in applica ion o a p ac ical example: The den is ’s chai . 2 Zu Wah scheinlichkei gehö auch, dass das Unwah scheinliche ein e en kann A is o eles (384-322 . Ch .) g iechische Philosoph 3 Inhal s e zeichnis Einlei ung ...................................................................................................................... 4 1 Die Risikoanalyse ............................................................................................. 6 2 Die Fehle baumanalyse als Ins umen ....................................................... 15 3 Abschä zung und Visualisie ung de Risiken .............................................. 19 4 Auswe ung des Fehle baums ....................................................................... 23 5 Quan i a i es Risikomanagemen : Simula ion de Gesam schaden e eilung. Li e a u e zeichnis ................................................................................................... 32 4 Einlei ung Technische Sys eme und P ozesse sind häu ig seh komplex und ehle an ällig. Da ü gib es die e schiedens en U sachen: Ma e ial e schleiß und das dami e bundene Au e en on Haa issen (z. B. Flugzeug u bine), Bedienungs ehle und Übe las ung on Ge ä en (z.B. Ko- pie e ), Fehle ha e P oduk en wicklung (z.B. Maschinenbau ode Pha maindus ie), mensch- liches Fehl e hal en (z.B. Schi ska as ophen, Au oun älle), das Ve sagen om Zusammen- wi ken in komplexen Sys emen (z.B. S omaus all). Das sind nu einige wenige Beispiele. Fehle und Aus älle on echnischen Sys emen be gen Risiken in sich, die das Leben und die Gesundhei on Menschen bed ohen und ode zu e heblichen wi scha lichen Schäden üh en können. Diese P obleme und Fehl unk ionen echnische Sys eme müssen a ional analysie we den: U sache – Wi kungszusammenhänge müssen geklä , Ein i swah scheinlichkei en on Schadene eignissen abgeschä z und Risiken bewe e we den – auch die mone ä en Auswi kungen. Im Be eich de Ingenieu wissenscha en gib es da ü Me hoden de echnischen Risikoanaly- se, z.B. die Fehle baumanalyse (FTA) ode die E eignisbaumanalyse (ETA) – um nu einige zu nennen. Diese Me hoden sind da au ausgeleg , möglichs alle Fehle möglichkei en in ei- nem echnischen Sys em ode P ozess au zudecken, um anschließend echnische Ve besse- ungen o zunehmen und so das Risiko auszuschließen ode zu minimie en. Sie dienen de Au deckung des Gesam schadenpo enzials und s ellen z. T. auch quan i a i e E gebnisse b ei . So können z. B. Schadene eignissen Wah scheinlichkei en zugeo dne we den. Bei allen echnischen Sys emen gib es jedoch seh häu ig Res isiken, die hingenommen und / ode inanziell abgesiche we den. Hie beginn de Au gabenbe eich de Ve siche ungsma hema- ik und des quan i a i en Risikomanagemen s. Zu inanziellen Absiche ung on Risiken muss die ai e P ämie be echne we den. Diese dien zu Finanzie ung de Au wände ü die Schäden, die aus einem seh g oßen Po olio on gleicha igen Risiken en s ehen. Ein g oßes Po olio ha den Vo eil, dass zu allsbeding e Schwankungen klein sind. Weil das Po olio abe nich unendlich g oß is , wi d es imme Schwankungen geben, d.h. de Schadenbeda is zu einem gewissen G ad om Zu all abhängig. Deshalb muss dem Kollek i de Risiken ein Risikokapi al zugeo dne we den, das ü den Fall zu Ve ügung s eh , dass höhe e Schaden- au wände als im Mi el e wa e , zu begleichen sind. Neben den eigen lichen Schadenau wän- den is deshalb auch das benö ig e Risikokapi al zu bedienen (Risikozins au das Kapi al). Die We schöp ung eines Ve siche ungsun e nehmens bes eh da in, Einzel isiken zu einem solchen, „seh g oßen Po olio“ zusammenzu üh en und so die Schwankungen und dami das benö ig e Risikokapi al im Ve häl nis zu den mi le en Schadenau wänden möglichs ge ing zu hal en. Zu Be echnung de ai en P ämie wi d die Ve eilung de Schadenau wände, die sog. Schadenhöhen e eilung benö ig . Ge ade bei echnischen Risiken äll es de Ve siche- ungsma hema ik o seh schwe , die Schadenhöhen e eilung zu e mi eln, weil die zug un- de liegenden Po olios nich homogen genug sind, um s a is ische Me hoden einzuse zen. D.h. die einzelnen echnischen Risiken sind so un e schiedlich, dass man nich aus eichend gleicha ige Risiken ha , um mi s a is ischen Me hoden die Schadenhöhen e eilung ü die Risiken ablei en zu können. An diese S elle schläg die o liegende A bei eine Lösungsmöglichkei o : Die oben ge- nann en klassischen, ingenieu wissenscha lichen Me hoden de echnischen Risikoanalyse können als G undlage ü die Be echnung de Schadenhöhen e eilung dienen. Übe diese Me hode sind ü jedes echnische Sys em alle möglichen Schadene eignisse iden i izie ba und de en Ein i swah scheinlichkei quan i izie ba . Die einzelnen, nach Anwendung de echnischen Risikoanalyse genau spezi izie en Schadene eignisse, ziehen Schadenau wände nach sich, die mi Me hoden de Ve siche ungsma hema ik in Fo m on Einzelschadenhöhen- 5 e eilungen bewe e we den können. Diese Schadenau wände sind z.B. Behandlungskos en ode En schädigungen ü e le z e Menschen, Kos en ü beschädig e Sachen ode Kos en, die du ch den Aus all de echnischen Sys eme en s ehen. Mi Hil e on Me hoden de quan i- a i en Risikobewe ung kann da an anschließend die Schadenhöhen e eilung des echni- schen Gesam sys ems be echne we den. Au diese Weise wi d die Bes immung de ai en P ämie möglich. Meh noch, die klassischen F agen des Risikomanagemen s, wie e wa die Be echnung on Risikomaßen (z.B. VaR, Expec ed Sho all,…) sowie die F age nach de Höhe des benö ig en Risikokapi als we den bean wo e . Zu diesem Zweck kombinie en wi also ingenieu wissenscha liche Me hoden de echnischen Risikoanalyse mi Me hoden de Ve siche ungsma hema ik und de quan i a i en Risiko heo ie. Wi e anschaulichen die oben besch iebene Kombina ion de Me hoden anhand eines kon- k e en Beispiels: Die Schäden eine Zahna z p axis au g und des Aus alls des ( echnischen Sys ems) Zahna z behandlungss uhls. In einem e s en Sch i wi d eine quan i a i e Fehle - baumanalyse du chge üh . Nach de E mi lung de Schadenhöhen e eilung ü die einzel- nen Fehle u sachen wi d mi Hil e de Mon e Ca lo Simula ionsme hode die Ve eilung des Gesam schadens ü den Zahna z s uhl e mi el . Die A bei is in olgende Weise s uk u ie : Nach de Ein üh ung in die G undlagen de Risikoanalyse we den einige Beispiele de echnischen Risikoanalyse o ges ell . Dies sind klassische, ingenieu wissenscha liche Me hoden zu Au indung on Fehle n ode P oblemen in komplexen echnischen Appa a en, Maschinen ode P ozessen. In Kap. 2 spezialisie en wi uns au die Fehle baumanalyse (FTA), eine de Me hoden de echnischen Risikoanalyse. Dami un e suchen wi einen Zahna z behandlungss uhl hinsich lich seine Schadenu sachen. Das E gebnis wi d g a isch anhand eines Fehle baumes da ges ell . In Kap. 3 und 4 beschä i- gen wi uns mi de Übe üh ung de quali a i en FTA in eine quan i a i e Me hode au de G undlage de e a bei e en Baums uk u . Hie schä zen wi die Ein i swah scheinlichkei en de einzelnen Baums uk u en und die mi le en Schadenau wände. Wi s ellen p axis augli- che Me hoden da ü o . In Kap. 5 besch eiben wi , wie man die au diese Weis au be ei e e FTA zu eine Me hode des quan i a i en Risikomanagemen s e wei e n kann: Wi üh en ein Mon e Ca lo Simula ions e ah en ein, mi dessen Hil e man die Gesam schaden e eilung des analysie en Objek es, in unse em Fall des zahnä z lichen Behandlungss uhls, be echnen kann. Wi bedanken uns bei He n Dipl.-Be iebswi (FH), M.A. Jens O o sowie dem Sach e - s ändigen-Bü o D . F anz und Pa ne GmbH, Be gisch Gladbach ü die seh gu e Un e s ü - zung on He n Alexande Kla wäh end seine Bachelo a bei . 6 1. Die Risikoanalyse De ini ionen Die Risikoanalyse Sys ema ische Auswe ung e ügba e In o ma ionen, um die Ge äh dung zu iden i izie en und Risiken einzuschä zen. Das Risiko Das Risiko is das Ein e en eines E eignisses mi nega i em Ausgang, mi dem Nach eile, Ve lus e ode Schäden e bunden sind. Allgemein s ell sich das Risiko als eine Kombina ion aus de Ein i swah scheinlichkei eines E eignisses und des zugehö igen Schadenausmaßes da . E wa ungswe Risiko = Ein i swah scheinlichkei x Schadenausmaß Dies is de e wa e e We ü die Kos en des einge e enen Schadens. Es gib keine einhei liche De ini ion des Beg i es „Risiko“. Das Risiko muss s e s so de i- nie we den, dass es den indi iduellen Gegebenhei en, E o de nissen und Zielen des zu ana- lysie enden und zu bewe enden Sach e hal es angepass is . Wich is , dass ein „Sollwe “ ode ein Ziel de inie is , um Abweichungen da on messen ode es s ellen zu können. Ne- ben dem E wa ungswe des Risikos is auch die Ve eilung de an allenden Gesam schäden, die das Risiko da s ellen, in e essan . Besonde s wich ige F agen in diesem Zusammenhang sind z. B.: Wie g oß sind mögliche Abweichungen om E wa ungswe ? Wie g oß is die Wah scheinlichkei , dass de Schaden einen o gegebenen Schwellenwe übe sch ei e ? Wie g oß is de e wa e e Schaden, alls diese Schwellenwe im „K isen all“ doch übe sch i en wi d? Um diese F agen bean wo en zu können, benö ig man die Ve eilung de Schäden. Es is also keineswegs aus eichend, Risiken ausschließlich übe ih en E wa ungswe zu quan i- izie en. Es gib sog. Risikomaße, die neben dem E wa ungswe zu Quan i izie ung on Risiken besse geeigne und o soga o gesch ieben sind. Risikomaße, die zu den o.g. F a- gen gehö en bzw. die F agen bean wo en, sind (in diese Reihen olge): Die S anda dabeichung, de Value a Risk (VaR) und de Expec ed Sho all. De Schaden De Schaden is ein E eignis, bei dem das eigene Ve mögen und/ode die eigenen Gü e nega- i angie we den und olglich einen Nach eil e leiden. Du ch Gegenübe s ellung on Soll und Is läss sich ein Schaden da s ellen. Die Vo ausse zung da ü is , dass sich ein schädi- gendes E eignis e wi klich haben muss. In de Ve siche ungs echnik sp ich man on einem Schaden, wenn die Subs anz eine Sache so beein äch ig wi d, dass de We ode die B auchba kei geminde wi d. 1 Das Schadenausmaß 1 Vgl. Ma in, Sach e siche ungs ech , 1992, B III 4, 6 7 Das Schadenausmaß besch eib die G öße eines Schadens in Bezug au seine Ausdehnung, den G ad de Ze s ö ung und die dami e bundenen Folgen ü Mensch und Umwel . 2 Allgemeines zu Risikoanalyse Die Risikoanalyse s eh als g undlegende Baus ein wei am An ang es des Risikomanage- men p ozesses ( gl. Abbildung 1). De Risikoiden i ika ion nach olgend übe nimm sie die Au gabe, Risiken und Chancen zu un e suchen, um diese im Kon ex beu eilen und bewe en zu können. Dabei du chleuch e die Risikoanalyse die Gesam hei alle Schaden – Szena ien im Hinblick au Ein i swah scheinlichkei und Schadenausmaß. Basie end au den quali a i en ode quan i a i en Aussagen de Risikoanalyse we den Maß- nahmen zu Bewäl igung bzw. S eue ung de Szena ien ge o en. Ansä ze de Risikoanalyse Zu sys ema ischen und olls ändigen Analyse eines Szena ios bie en sich dem Risikomana- gemen zwei e schiedene Ansä ze. Ausschlaggebend ü die Wahl des geeigne en Ansa zes is die Ausgangssi ua ion. Wich ig hie bei is , dass zug unde geleg wi d, welches Maß an Da en und In o ma ionen zu Ve ügung s eh . Zusä zlich komm de Be ach ungszei aum des Szena ios in age. Dies bedeu e , inde die Analyse p ospek i ode e ospek i s a . Dabei können sich olgende F agen e geben: „Suche ich den Auslöse ü mein P oblem?“, ode „Was kann mein P oblem auslösen?“ Je nachdem, welche de F agen zu bean wo en is , e ö ne sich die Möglichkei des deduk i- en ode induk i en Ansa zes 3 . 2 h p://www.enzyklo.de/Beg i /Schadenausmass 3 Vgl. Romeike, Risikomanagemen in Ve siche ungsun e nehmen, 2005, S76 8 Induk i e Analyse: Diese Fo m de Analyse kenn die U sache be ei s und äche einen Raum (p ospek i ) au , in dem die möglichen Konsequenzen da ges ell we den. Diese Fo m de Analyse wi d auch „bo om-up“-Ansa z genann . Du ch die aus üh liche Analyse alle P ozesse und Zusammenhänge is diese Me hode äuße s in ensi , du chleuch e da ü abe säm liche Be eiche, was wiede um die Quali ä de Aussage s eige n kann. Beispielha ü eine induk i e Analyse is die FMEA (Fehle -, Möglichkei s- und Ein luss-Analyse) U sache- Wi kungs-Diag amm, auch Ishikawa-Diag amm genann . Deduk i e Analyse: Die deduk i e Analyse wi d auch als e ospek i e Analyse be ach e . Sie nimm ein Schlusse eignis an und hin e ag , welche E eignisse ausschlaggebend ü den Ein i des Schlusse eignisses sind. Bei diese Fo m de Analyse sp ich man auch om „ op- down“-Ansa z. Diese Ansa z bilde eine schnelle e Me hode de U sachene mi lung, kann abe dazu üh en, dass nich alle Risiken bzw. Ko ela ionen zwischen den E eignissen e - kann we den. Ein o genu z es We kzeug diese Analyse is die Fehle baumanalyse (FTA, Faul T ee Analysis). A en de Risikoanalyse Mi de Wahl de Analyse gehen e schiedene Risikobewe ungsme hoden einhe . Hie bei soll e im Vo de g und s ehen, welche Ziele und Absich en mi de Risikoanalyse e olg we den sollen. Jede Analysea lie e E gebnisse, die, je nach Kons ella ion des Ausgangsda- enma e ials, einen We besi zen, dessen Dimension sich en wede e bal ode numme isch da s ell . Die A en de Risikoanalyse un e eilen sich dabei wie olg 4,5 : 1. Die quan i a i e Me hode s eb an, möglichs genaue We e au Basis säm liche G ößen und Va iablen zu e echnen. Hinzu komm , dass alle Risiken so objek i wie möglich abgeschä z we den müssen. Fü eine angemessene quan i a i e Aussage de Messe gebnisse is es e o de lich, dass das zu Auswe ung he angezogene Da enma- e ial au seine Zu e lässigkei gep ü wi d. Die Be echnung de Da en e olg mi els s a is ische Modelle. De Vo eil de quan i a i en Me hode lieg in de P äsen a ion gu messba e E gebnisse. Dies b ing wiede um den Nach eil mi sich, dass die Be- echnung seh au wendig und meis mi Kos en (du ch Be echnungsso wa e ode – agen u en) e bunden is . 2. Die quali a i e Me hode wende sich de Menge de Da en ab und be uh p imä au dem Wissen on Expe en und Meinungs äge n. Im Gegensa z zu quan i a i en Me- hode sind die Be echnungen ein ache und müssen zudem nich absolu abgeschä z we den. Alle dings wi d hie bei ein hohes Maß an Fachwissen benö ig . Die Abschä - zungen e olgen meis ens au meh s u igen Skalen wie beispielsweise unwah schein- lich bis seh häu ig. 3. Das Bindeglied de beiden be ei s genann en Me hoden bilde die semi-quan i a i e Me hode. Hie bei we den Klassen ü die Schadenhöhe und die Ein i swah schein- 4 Vgl. Gie l/Lobinge , Risikomanagemen ü Geschä sp ozesse, 2005, S.59 5 Vgl. Gunkel, E izien e Ges al ung des Risikomanagemen s in Deu schen Nich -Finanzun e nehmen, 2010, S. 68 15 2. Die Fehle baumanalyse als Ins umen Wie un e 1.2.3 besch ieben is die Fehle baumanalyse ein Ve ah en, dass die Wah schein- lichkei eines sys ema ischen Aus alls bes imm . Das Sys em wi d ü einen angenommenen Ve sagens all logisch un e eil , und die E eignisse, die den Fehle e u sachen könn en, we - den ausgewe e . Es handel sich dabei um eine Sys emanalyse nach DIN 25424, welche zu Analyse alle Sys eme geeigne is . Im Folgenden wi d eine echnische Risikoanalyse an einem zahnä z lichen Behandlungss uhl (= ZBS ode Behandlungss uhl genann ) du chge üh . Als Ins umen dien die Fehle baum- analyse. Hin e g und de Be ach ung is nich de echnische Zusammenhang ode das Ve - sagen de Komponen en des Sys ems. Gegens and de Un e suchung is ielmeh de mögli- che d ohende Nu zungsaus all des Behandlungss uhls au g und e schiedene Schadenszena- ien, die sich in seine Sphä e e eignen können. Symbole des Fehle baums Ein Fehle baum is eine g a ische Da s ellung de logischen Zusammenhänge zwischen den Fehle n und den da aus esul ie enden E eignissen. Die Ve knüp ungen de E eignisse we den un e Anwendung de Booleschen Algeb a da ges ell 11 . Dabei we den die Ve knüp ungen (auch Ga es genann ) mi els den Ope a o en UND (symbolisch „&“) und ODER (symbolisch „≥1“) besch ieben. Un e de Vo ausse zung, dass die zu iden i izie enden Zus ände „beein- äch ig “ und „ unk ions ähig“ e mi el und besch ieben we den können, läss sich ein Sys- em hin eichend un e suchen. Besch ieben wi d de Zus and eines Sys ems du ch die Boolesche Sys em unk ion 12 : Dabei nimm φ(X 1 ,…,X n ) die We e 0 und 1 an, wobei de We 0 als „ alsch“ und de We 1 als „wah “ besch ieben wi d. Demzu olge nimm die a iable X i en wede den We 0 ode 1 ein. Mi de Fes legung des zu iden i izie enden Sys ems wi d ein Haup e eignis es geleg , wel- ches als Top-E en die Spi ze des Fehle baums bilde 13 . Ausgehend on dem Top-E en we - den die U sachen ü den Aus all e mi el . Das Boolesche Modell benu z ein UND, wenn das E eignis du ch eine Fehl unk ion ausge- lös wi d, das nu im Zusammenhang mi eine wei e en Fehl unk ion au i . Eine ODER- Ve knüp ung se z wiede um nu das Ein e en eines einzelnen Fehl e hal ens o aus. Mi hil- e de logischen Ve knüp ungen wi d ein Baum on oben nach un en kons uie ( gl. Abbil- dung 4). Dabei we den säm liche Bedingungen ü die Ve knüp ungen übe p ü . Sind die Bedingungen bis au ih en U sp ung he un e geb ochen, bilden diese die Basise eignisse. 11 Vgl. Ziegenbein, Supply Chain Risiken, 2007, S.57 12 Vgl. h p://www.isa . um.de/ um/ 03 13 Vgl. Königs, IT-Risiko-Managemen mi Sys em, 2009, S.216 16 Wich ig dabei is , dass die Basise eignisse nich meh oneinande abhängig ode gleichen U sp ungs sind. Zu g a ischen Da s ellung des Fehle baums sind nach in e na ionalem S anda d (DIN IEC 1025) no mie e Symbole o gesch ieben: Symbole de E eignisse De K eis s eh als Symbol ü das Basise eignis (Basic E en ). E bilde die kleins e U sacheneinhei und wi d nich wei e au geglie- de . Als K eis da ges ell e E eignisse we den auch P imä e eignis- se genann . Die Rau e s ell ein E eignis da , das kein Basise eignis is , da nä- he e De ails en wede nich bekann sind ode eine wei e e Au ä- che ung dieses E eignisses nich no wendig ode angeb ach is . E - eignisse mi dem Symbol de Rau e we den auch Sekundä e eignis- se genann . Das Rech eck wi d dazu genu z , um das Haup e eignis da zus el- len. Da übe hinaus we den mi dem Rech eck auch alle Zwischen- e gebnisse (In e media e E en ) da ges ell . Symbole de Ve knüp ungen UND-Ve knüp ung ODER-Ve knüp ung Da übe hinaus gib es noch wei e e Boolesche Ope a o en, wie beispielsweise NAND, NOR, XOR. ≥1 17 Anwendung au den Zahna z behandlungss uhl Die Fehle baumanalyse un e such alle möglichen Schadene eignisse im Zusammenhang mi einem ZBS. Dazu beda es des Fachwissens on Expe en de Schaden egulie ung sowie des de echnischen Expe en, dami de Fehle baum sinngemäß au gespann we den kann. Un e Zuhil enahme de Wissenssammlung und un e Be ücksich igung de kausalen Zusammen- hänge zwischen E eignissen und U sachen en s eh , wie un e 2.3 da ges ell , de Fehle baum am Beispiel des Zahna z behandlungss uhls. Das Haup e eignis, welches das une wünsch e Szena io da s ell , bilde de Aus all des Be- handlungss uhls. Ausgehend da on we den zwei E eignis äume au gespann , die sich um den Behandlungss uhl au bauen. Dies sind zum Einen ex e ne und zum Ande en in e ne E eignis- se. Au Basis diese En scheidungswege und un e Beach ung de Kausali ä wi d de ZBS olglich au schädigende Ein lüsse hin un e such und au ge äche . Die le z endlich e mi el- en Basise eignisse sind als K eis ode als Rau e da ges ell . Dabei we den die E eignisse nich danach un e eil , ob sie beispielsweise de Na u eines Ha p lich ode Sachschadens en sp echen. Lediglich die Analyse schädigende E eignisse s eh im Vo de g und. Sowei die Basise eignisse nich wei e au zugliede n wa en, sind diese als K eis da ges ell . Die E eig- nisse, die wei e au zugliede n wä en, die abe ü die Thema ik diese A bei en beh lich sind, wu den als Rau e da ges ell . G a ische Da s ellung Un e Be ücksich igung de un e 2.1 besch ieben Symbole sowie des un e 2.2 besch iebenen Fachwissens de be ag en Expe en wu de ein Fehle baum bezüglich de Thema ik diese A bei kons uie . Eine aus üh liche Zeichnung des Fehle baums is in Abb. 10 da ges ell . Ein g obe Übe blick übe den Baum kann Abb. 7 en nommen we den. 18 19 3. Abschä zung und Visualisie ung de Risiken Risikoabschä zung Anhand de gewonnenen E kenn nisse aus de Kons uk ion des Fehle baums können nun Bewe ungen o genommen we den. Eine e s e Beu eilung de Szena ien is möglich, wenn den einzelnen E eignissen, au g und on E ah ungswe en ode subjek i en Schä zungen, Ein i swah scheinlichkei en und Schadenausmaße zugeo dne we den 14 . Dabei bilden sich so genann e Risikokombina ionen. Die Da s ellung de Risikokombina ionen inde anschließend in eine Risikoma ix s a . Das Ziel is es, die D inglichkei de U sachen he auszus ellen. Es lassen sich somi e s e Ausmaße bezüglich e schiedene Schadenszena ien e ahnen. Die in dem Fehle baum da ges ell en Basise eignisse sind ih e Posi ionie ung en sp echend on links nach ech s du chnumme ie . Dies ha den Hin e g und, dass bei Da s ellungen in e schiedenen Tabellen gewäh leis e we den kann, dass die genann en Basise eignisse un e de gleichen Posi ion wiede zu inden sind. Die Numme ie ung ha keinen Ein luss au die Schwe e des Basise eignisses. Fes legung de Ein i swah scheinlichkei en Die Ein i swah scheinlichkei de Basise eignisse häng on ih en spezi ischen Eigenscha - en ab. Hie bei wi d die Bewe ung de Ein i swah scheinlichkei quali a i o genommen, da zum Zei punk de Risikoanalyse nich genügend Da enma e ial zu Ve ügung lag. Maß- gebend ü die Ein eilung de Klassen sind Da en au G undlage des Wissens de be ag en Expe en. Zu Ka ego isie ung we den Klassen gewähl , die eine e bale Aussage, p o klas- senspezi ischem G ad, e en. Dabei bilde en die G enzen de Klassen das jeweilige höchs e bzw. nied igs e Ein e en des E eignisses. Au Basis de Expe enmeinungen und de Au eilung in insgesam ün Klassen e gib sich olgende Ka ego isie ung ü die Wah scheinlichkei en des Au i s eines E eignisses: Wah scheinlichkei des Au i s • A unmöglich • B unwah scheinlich • C sel en • D wah scheinlich • E seh wah scheinlich Fes legung des Schadenausmaßes Die Abschä zung des Schadenausmaßes e olg au G undlage des Ein i s eines Schadensze- na ios. Dies bedeu e , dass das E eignis einge e en sein muss, dami ein Schadenausmaß e - kennba wi d. Die G undlage de Da en und In o ma ionen zu den Schadenausmaßen bilde das undie e Fachwissen de be ag en Expe en 15 . Die Schwe e de Schadenausmaße wi d 14 Vgl. Middendo , Klinisches Risikomanagemen , 2005, S.115 15 Hie bei is anzume ken, dass bei de Bewe ung de Schadenausmaße p imä E ah ungswe e, au Basis langjäh ige E ah ungen zug unde lagen. 20 auch hie bei in ün Klassen einge eil und e bal dekla ie . Die Klassenb ei en geben jeweils den G ad des Schadenausmaßes, in Hinblick au einen d ohenden Un e b echungsschaden und dessen Kos en, an. Maßgebend ü die Ein eilung de Klassen is de p ozen uale An eil des schadenbeding en Aus alls am To alschaden bzw. To alaus all. Die Klassenb ei en e ge- ben sich demen sp echend wie olg : Abschä zung de Ausmaße • I ge ing ügige Aus all (<5% on To alschaden = TS) • II mi el is ige Aus all (5 - 25% on TS) • III länge is ige Aus all (25 - 55% on TS) • IV e hebliche Aus all (55 – 80% on TS) • V e ns ha e Aus all (>80% bis TS) Un e Be ach ung de möglichen Schadenausmaße und Ein i swah scheinlichkei en we den die Basise eignisse de Fehle baumanalyse zusammenge agen und abella isch e ass . Die E gebnisse können de Tabelle 1 en nommen we den. Visualisie ung de Risiken Nach E mi lung und Zusammen assung de Ein i swah scheinlichkei en und Schadenaus- maße de Risiken we den diese abschließend e glichen und mi hil e eine Risikoma ix da - ges ell . Die Da s ellung des einzelnen Risikos e olg als Punk , sich e gebend aus dem P o- duk de Ein i swah scheinlichkei und dem Schadenausmaß. Hie zu is anzume ken, dass 21 die Da s ellung in de Risikoma ix nich dem exak en E wa ungswe en sp ich . Dies is auch nich de Sinn de Risikoma ix. De Vo eil de Risikoma ix lieg p imä da in, dass sich be ei s ein e s es Bild bezüglich de Ve eilung mögliche Schadenszena ien da s ellen läss . In de Regel inde die Da s ellung de D ama ik bzw. Wich igkei de Szena ien mi hil- e on Signal a ben s a . O mals we den dazu die Fa ben eine Ampel (g ün, gelb, o ) ge- nu z . Ein wei e e Vo eil in de Da s ellung du ch die Risikoma ix is de , dass Ände un- gen de Pa ame e de Wah scheinlichkei en ode Schadenausmaße jede zei o genommen we den können. G ünde da ü könn en beispielsweise e wei e e B andschu zmaßnahmen ode eine Ände ung de äumlichen Umgebung sein. Zu Be echnung de Koo dina enpunk e is es no wendig, die e balen We e p o Klasse in nume ische We e umzuwandeln. Dies e ein ach die Mul iplika ion de Klassen p o E eig- nis. Anhand de Klassen aus Wah scheinlichkei und Schadenausmaß e gib sich ü die Da - s ellung die Fo m eine 5-Felde -Ma ix. Dami die Klassen mi einande mul iplizie we den können, wu den ihnen ganzzahlige We e on 1 bis 5 ( gl. Abbildung 9 und 10), au s eigend de Schwe e nach, zuge eil . Zu Ve meidung on Übe schneidungen in de Da s ellung de Punk e, wu de bei de Mul iplika ion de We e eine Logik un e de Anwendung de We e - 1, 0 und 1 angewende . Als G undlage zu Be echnung e geben sich die in Tabellen 2 und 3 da ges ell en Ein eilungen. Zu Rep äsen a ion de Schwe e de Schadenausmaße we den de Risikoma ix G enzbe ei- che zuge eil 16 . Diese G enzbe eiche we den du ch aussagek ä ige Fa ben signalisie und sollen bei de Wahl des geeigne en Ansa zes zu Risikobewäl igung hel en. Am Beispiel des Behandlungss uhls wi d die Schwe e de E eignisse in eine Ma ix da ges ell , die die Obe - läche eine Hea -Map besi z . Dies bedeu e , dass mi zunehmende Schwe e des Schadens die Posi ionie ung in einem wä me en Be eich s a inde . De Ve lau de Wä mebe eiche 16 Vgl. S ohmeie , Ganzhei liches Risikomanagemen in Indus iebe ieben, 2007, S.37 22 s ell sich als a bliche Übe gang on G ün, ü den käl e en = unbedenkliche en Be eich, bis Ro , dem bed ohliche en Be eich, da . Die Risikoma ix in Abbildung 8 gib be ei s e s e Au schlüsse da übe , dass, au Basis de e mi el en Wah scheinlichkei en de E eignisse, de G oß eil de E eignisse e hebliche Schä- den zu Folge haben wi d. Dies läss somi schon mal e ahnen, dass im Falle des schadenbe- ding en Aus alls des Behandlungss uhls hohe Kos en en s ehen können. Somi kann die Risi- koma ix, au Basis des Zahna z behandlungss uhls, be ei s als p ä en i es We kzeug genu z we den, um Schwachs ellen zu besei igen, au die mi ühzei igem Handeln eilweise Ein- luss genommen we den kann. Im Beispiel des ZBS is beispielsweise zu e kennen, dass au - g und ope a i e Risiken Schäden en s ehen können, die le z endlich du ch geziel e, p ä en i- e Maßnahmen un e bunden we den können. Au Basis de iden i izie en und ka ego isie en E eignisse s ell sich die Risikoma ix wie olg da 17 : 17 Anme kung: Diese Risikoma ix be inde sich, zu deu liche en Da s ellung, im DIN-A4 Fo ma im Anhang 23 4. Auswe ung des Fehle baums Im o angegangenen Kapi el wu den be ei s e s e Analysen mi hil e de Risikoma ix ge o - en. Dabei ging es p imä da um, zu un e suchen, welche Gewich ung die dem Fehle baum zug unde liegenden Basise eignisse (U sachen) besi zen. Aussagen übe den Aus all können somi noch nich ge o en we den. In diesem Fall muss de Fehle baum, in Hinblick au U - sachen und Wi kungen, un e such und mi einande e knüp we den. Dies geschieh mi hil e de Ma hema ik und/ode de Beach ung logische Zusammenhänge. De Auswe ung bie en sich hie bei e schiedene Ansä ze ( gl. dazu Kap. 1.2). Im Folgenden soll nähe au den qua- li a i en und quan i a i en Ansa z eingegangen we den . De quali a i e Ansa z Maßgebend ü die Auswe ung des Fehle baums is die Be ach ung in Hinblick au so ge- nann e Schni mengen, ode auch „Cu Se s“ 18 . Die Schni menge gib die Menge an Basise - eignissen an, die o handen sein muss, dami das Haup e eignis ein e en kann. Dabei is es möglich, dass ein Fehle baum meh e e Cu Se s au weisen kann. Fokus de quali a i en Risi- koanalyse is es, den ode die minimalen Schni e zu iden i izie en. Ein Minimalschni (auch „Minimal Cu Se “ genann ) besch eib eine ge inge Anzahl an E eignissen ode Kombina io- nen, die au e en, dami das une wünsch e E eignis ein i 19 . De Minimalschni , de un e allen e mi el en Schni en die wenigs en zug unde liegenden E eignisse au weis , wi d als de k i ische P ad bezeichne . Fü das Risiko- ode auch K i- senmanagemen s ell diese k i ische P ad den unabdingba en Handlungsbeda bezüglich de analysie en U sache-Wi kungske e da . Bei de Analyse des Fehle baums is es möglich, dass ein einzelnes E eignis de U sache zug unde lieg . In diesem Fall sp ich man auch on einem „Single Poin o Failu e“. Zu Da s ellung de Wich igkei de E eignisse bie e es sich an, diese ih e Wich igkei ode Wah scheinlichkei nach zu o dnen. Dabei we den so genann e quali a i e Impo anzen gebil- de . Diese we den wiede um ih e Wich igkei (Impo anz) nach geo dne . Dabei wi d die Spi ze de Rang olge du ch den Minimalschni angegeben, de die wenigs en E eignisse en - häl (siehe k i ische P ad). Die Um o mung des Fehle baums in seine Schni mengen e olg mi den Regeln de Booleschen Algeb a (siehe Kapi el 2). Hie bei bes imm de Zus and de E eignisse p o Schni menge übe das Ein e en des Haup e eignisses. So müssen beispiels- weise alle E eignisse wah sein, dami auch das Haup e eignis wah sein kann. Au Basis des Fehle baums des Zahna z behandlungss uhls wu de eine Analyse de Minimal- schni e du chge üh . Au g und de Kons ella ionen de Basise eignisse i die Si ua ion ein, dass alle Basise eignisse einem Minimalschni en sp echen. Die Ausnahmen bilden die Ba- sise eignisse 1+2, sowie 3+4 und 15+16. Hie bei e gib sich de Minimalschni aus den zu- g unde liegenden Basise eignissen de jeweiligen UND-Ve knüp ungen. Somi kann olglich gesag we den, dass alle Basise eignisse, bis au die Ausnahmen, du ch ih alleiniges Au e- en zum Aus all des Behandlungss uhls üh en können. Dabei geh es um die ein quali a i e Aussage, dass ein E eignis ein i . Die Wah scheinlichkei des Ein i s wi d du ch den quan- i a i en Ansa z besch ieben. De Vo eil des quali a i en Ansa zes lieg da in, dass be ei s 18 Vgl. Königs, IT-Risiko-Managemen mi Sys em, 2009, S. 217 19 Vgl. Blank, Quali ä smanagemen ü Ingenieu e, 2003, S. 157 24 o Zuweisung on Wah scheinlichkei en de Basise eignisse e s e In o ma ionen übe die Redundanz des Sys ems gewonnen we den können 20 . De quan i a i e Ansa z De quan i a i e Ansa z e mi el die Aus allwah scheinlichkei alle E eignisse bis hin zum Haup e eignis au echne ischem Weg. Hinzu komm die Möglichkei , den An eil de Mini- malschni e an de Aus allwah scheinlichkei des Haup e eignisses zu be echnen. Die dabei wich igs en G ößen sind die Zu e lässigkei s- ode Aus allzahlen. De quan i a i e Ansa z bie e zusä zlich die Möglichkei das Va iie en de Aus allwah scheinlichkei en zu simulie- en, wenn Ände ungen an den Pa ame e n de E eignisse s a inden. Un e Beach ung de E eignisalgeb a läss sich die Wah scheinlichkei des Fehle baums au Basis de Wah scheinlichkei en de Einzele eignisse e mi eln 21 . Die Ve knüp ung de E eig- nisse wi d un e Anwendung de Regelungen ü UND und ODER-Ve knüp ungen du chge- üh . Die E eignisse im Fehle baum des Zahna z behandlungss uhls we den als unabhängig oneinande angesehen, so dass sich olgende Ansä ze (Abbildung 8), au Basis de Gese ze ü Mul iplika ion und Addi ion, be ach en lassen 22 . Zu Be echnung de Aus allwah schein- lichkei eines Minimalschni es we den die Aus allwah scheinlichkei en de Einzele eignisse mi einande mul iplizie . Folglich gil ü die Aus allwah scheinlichkei des Zahna z behand- lungss uhls = W(ZBS Aus all ) un e Be ach ung de Wah scheinlichkei en de Minimalschni e = W(MS i ) : Dami de Fehle baum ausgewe e we den kann, müssen Wah scheinlichkei en und Schaden- ausmaße quan i izie we den, d.h. in nume ische We e umgewandel we den. Dazu gil es, die o dinalen We e de Ka ego ien aus 3.2 zu e assen und zahlenmäßig zu besch eiben. 20 Vgl. Hennings/Me ens, Me hodik de Risikoanalyse ü Ke nk a we ke, 1995, S. 76 21 Vgl. Blank, Quali ä smanagemen ü Ingenieu e, 2003, S. 161 22 Vgl. Bou ie , Wah scheinlichkei s echnung und schließende S a is ik, 2011, S.37 u. 50 31 32 5. Quan i a i es Risikomanagemen Simula ion de Gesam schaden e eilung. Die o liegende A bei in eg ie die quan i a i e Fehle baumanalyse, eine klassische, ingeni- eu wissenscha lichen Me hoden de echnischen Risikoanalyse, eine sei s und die e siche- ungsma hema ischen Risikoanalyse - Me hode ande e sei s zu eine Me hode des quan i a i- en Risikomanagemen s. Ziel dieses Vo gehens is die E mi lung de Gesam schadenhöhen- e eilung eines echnischen Gesam sys ems ode P ozesses. Die Kenn nis de Gesam scha- denhöhen e eilung is die Vo ausse zung zu Be echnung de ai en P ämie sowie zu Be- s immung de im Risikomanagemen üblichen Risikomaße (z.B. VaR, Expec ed Sho all,…) und dami de Höhe des benö ig en Risikokapi als. Wi e anschaulichen diese Vo gehens- weise anhand eines konk e en echnischen Sys ems: Dem zahnä z lichen Behandlungss uhl. Die Besch eibung de echnischen Risikoanalyse dieses Sys ems inde sich in den o ausge- henden Kapi eln de o liegenden A bei . Im Folgenden s ellen wi diese Me hode es quan i- a i en Risikomanagemen s o . Dami lassen sich iele e schiedene F ages ellungen bean - wo en. Eine spezi ische Eigenscha diese Me hode is ih e hohe Flexibili ä . Einige Beispiel ü analysie ba e F ages ellungen sind im Falle des zahnä z lichen Behandlungss uhls: de E agsaus all eine Zahna z p axis, die Gesam schäden ü einen Ve siche e in diesem Seg- men ode de A bei san all eines mi de Begu ach ung beau ag en Ingenieu bü os, um nu einige Anwendungsbeispiele diese neuen Me hode zu nennen. All diese G ößen können mi Hil e de hie o ges ell en Me hode quan i izie we den, denn de Gesam schaden kann kon- ex abhängig un e schiedlich de inie we den. 33 Die In eg a ion zu Me hode des quan i a i en Risikomanagemen s Die G undlage ü die Me hodenin eg a ion bilde ein Modell, das in Abb. 11 g a isch da ge- s ell is . Dieses Modell wi d mi So wa e-Un e s ü zung in ein Mon e Ca lo Simula ionsp o- g amm umgese z . Au diese Weise e häl man die konk e en E gebnisse, insbesonde e die empi ische Gesam schadenhöhen e eilung. Man sp ich on eine Mon e Ca lo (MC) Simu- la ion, weil im Be echnungsp ozess om Compu e e zeug e Zu allszahlen e wende we den. Diese Zu allszahlen genügen den schadenspezi ischen Ve eilungen, die man aus de Reali ä , z.B. den Schadens a is iken eines Ve siche ungsbes andes, kenn . Um die o liegende Me ho- de des quan i a i en Risikomanagemen s anwenden zu können, müssen die olgenden Sach- e hal e geklä sein: Es muss kla sein, welche G öße un e such we den soll, d.h. de Ge- sam schaden muss de inie sein. Es muss de Fehle baum mi Ein i swah scheinlichkei en o liegen als E gebnis eine ingenieu - echnischen Risikoanalyse. Die Einzelschaden e ei- lungen eines jeden Schadensegmen s (As ende des Fehle baumes) müssen bekann sein aus ak ua iellen Me hoden ode aus Expe enschä zungen. Auße dem muss das Schaden olumen in Fo m on de e wa e en Anzahl Schäden (als es e Zahl ode als Schadenzahl e eilung) o liegen. Nachdem die Vo ausse zungen ü das Modell geklä sind, besch eiben wi im Folgenden die Umse zung des Modells in ein Simula ionsp og amm. De Fehle baum In einem e s en Sch i wi d eine quan i a i e Fehle baumanalyse du chge üh . Fü unse Beispiel wu de dies in Kap. 3 und 4 besch ieben. Es lieg also be ei s ein Fehle baum mi Ein- i swah scheinlichkei en o ( gl. Abb. 10). Man kenn olglich alle möglichen Schadene - eignisse und die ihnen zug unde liegenden Ein i swah scheinlichkei en. De Fehle baum is symbolisch in Abb. 11 da ges ell . Die E eignisse an jedem Kno en im Baum sind disjunk , d.h. es kann de eine ode de ande e Weg eingeschlagen we den (nich beide gleichzei ig). Am As ende sind also alle Teile eignismengen disjunk . Das olg aus dem Kons uk ions- schema des Baumes. Dahe e gib sich die Ein i swah scheinlichkei ü die in den Baum- spi zen da ges ell en E eignisse (s. Abb.11, ech s) als P oduk de Ein i swah scheinlichkei- en alle au dem P ad liegenden Teil – Ein i swah scheinlichkei en. In den Baumspi zen ha man also den Gesam schaden („Schaden am Behandlungss uhl“) in seh iele un e schiedli- che Teilschäden (in unse em Beispiel 22 Schadensegmen e; disjunk e E eignismengen) ze - leg . Die Ein i swah scheinlichkei en de du ch die As enden symbolisie en Schadene eig- nisse sind aus de echnischen Risikoanalyse bekann . De Fehle baum wi d im MC P og amm wie olg umgese z : Als Eingabeg öße benö ig das P og amm die Anzahl de Gesam schäden N. Diese Zahl kann als kons an e Zahl o gegeben we den ode als Zu allszahl. Im zwei en Fall muss eine Anzahl e eilung o gegeben we den, z.B. eine Poisson Ve eilung. Au diese Weise kann das P og amm ü un e schiedlich g oße Einhei en, z.B. ü eine P axis ode ü alle Zahna z p axen, die on einem Ve mi le bzw. einem Schadenbü o be eu we den ode bis hin zu einem Po olio eines g oßen Ve siche- ungskonze ns e wende we den. Is die Anzahl de Gesam schäden N bekann (en wede es gegeben ode das MC P og amm ha N au de G undlage de gegebenen Ve eilung e - mi el ), dann e eil das MC P og amm die N Schäden nach dem Zu allsp inzip en lang de gegebenen Baums uk u au die (in unse em Fall 22) As enden. „Nach dem Zu allsp inzip“ bedeu e , dass die N Schäden om P og amm zu ällig e eil we den, jedoch un e Wah ung de o gegebenen Ein i swah scheinlichkei en. Ha man z.B. 1000 Schäden, die e eil 34 we den müssen und ein As ende ha die Ein i swah scheinlichkei 0,225%, dann bedeu e das, dass nich imme exak 225 Schäden dem As zugeo dne we den, sonde n dass diese Zahl im s a is ischen Mi el e eich wi d. Bei den einzelnen MC Läu en sind Abweichungen om exak en E wa ungswe die Regel. Dieses Vo gehen simulie die in de Reali ä o - kommenden Schwankungen um den echne ischen Mi elwe . De im Folgenden besch iebene MC P og ammablau wi d seh o (z.B. 1000 ode 10000 mal) wiede hol . Diese Wiede holungen we den als MC „Läu e“ bezeichne , weil das G und- p og amm imme wiede „lau en gelassen“ wi d. Sie sind p og ammie und müssen na ü lich nich händisch ausge üh we den. Du ch die Wiede holungen kann sich de „Zu all“ en al- en. Man kann seh iele mögliche P ade simulie en und komm so le z endlich zu Wah - scheinlichkei saussagen übe den Gesam schaden des echnischen Sys ems. P o MC Lau wi d eine Realisa ion des Gesam schadens e mi el . Am Ende ha man seh iele (z.B. 1000 ode 10000) Realisa ionen des Gesam schadens, die man s a is isch auswe en kann. Die An- zahl de MC Läu e bes imm die Genauigkei de s a is ischen Auswe ungen. Dazu meh in den olgenden Abschni en. Im Folgenden konzen ie en wi uns nun wiede au einen einzigen MC Lau und besch ei- ben, wie dami ein einzelne Gesam schaden des Sys ems MC simulie we den kann. Die Einzelschäden Nach dem oben besch iebenen Sch i de Ve eilung de Gesam schadenzahl N au die ein- zelnen Äs e, kennen wi nun die Anzahl de Schadene eignisse in jedem Teilsegmen (As en- de, insgesam 22 Teilsegmen e). Die einzelnen Schadene eignisse ziehen Schadenkos en nach sich, die mi Me hoden de Ve siche ungsma hema ik in Fo m on Einzelschadenhöhen- e eilungen bewe e we den können. Diese Schadenkos en sind z.B. Behandlungskos en ode En schädigungen ü e le z e Menschen, Kos en ü beschädig e Sachen ode Kos en, die du ch den Aus all de echnischen Sys eme en s ehen. Wi benö igen dahe die Ve eilung de Einzelschäden in den jeweiligen Teilsegmen en. Es is iel ein ache , diese Ve eilung ü spezi ische Schadensegmen e zu bes immen als ü das Gesam sys em, weil de Cha ak e des Schadens (U sache, A ) genau eingeg enz is . In unse em Fall is ein Beispiel ü ein Scha- den – Teilsegmen : Lei ungswasse Schaden - Beschädigung de Obe läche. Die Bes im- mung de Einzelschadenhöhen e eilung is eine klassische Me hode de Ve siche ungsma- hema ik. Man we e Schadenau wände aus und bes imm au diese Weise die A und die Pa ame e we e eine passenden Ve eilung. Is diese Fo m de Auswe ung nich möglich, weil z.B. Da en nich ode nich in aus eichendem Un ang o liegen, dann is auch eine g obe Abschä zung de Höhen e eilung aus eichend. Fü das Beispiel mi de Beschädigung de Obe läche wä e z.B. eine Au s ellung de olgenden Fo m möglich: 20% de Schäden ziehen einen Au wand un e 500 EUR nach sich 30% de Schäden kos en zwischen 500EUR und 1200EUR 50% de Schäden kos en zwischen 1200EUR und 2000EUR. Aus diese In o ma ion läss sich eine Nähe ung ü die Einzelschaden e eilung gewinnen. Die Einzelschaden e eilungen we den im MC P og amm hin e leg . Fü jedes Schadenseg- men wi d die jeweils passende Ve eilung ausgewähl . Das P og amm is nun in de Lage, Schäden en sp echend den einges ell en Ve eilungen nach dem Zu allsp inzip zu e zeugen. Das P og amm simulie ü jedes Teilsegmen spezi ische Schadenhöhen. Die Anzahl de Schäden, die p o Teilsegmen simulie we den müssen, is dem P og amm du ch die oben besch iebene Ve eilung de Anzahlen en lang de Baums uk u bekann . Diese Vo gang is 35 in Abb. 11 ganz ech s da ges ell . Die o en Boxen symbolisie en die Einzelschaden e ei- lungen ü jedes Schadensegmen (As ende). De Gesam schaden Bis je z ehl noch die Zusammen üh ung de ielen Einzelschäden zum Gesam schaden. Diese P ozess is in Abb. 11 du ch P eile da ges ell , die on den Einzelschäden ausgehen und zu Gesam schaden e eilung hinweisen. Die E mi lung des Gesam schadens geling mi de MC Simula ion seh ein ach: De Gesam schaden is die Summe de Einzelschäden. Das MC Ve ah en is also so p og ammie , dass die Realisa ionen de einzelnen Schadenseg- men e zum Gesam schaden addie we den. Zusammen assend läss sich es hal en: Fü jeden MC Lau geh man aus on eine Gesam schadenzahl, e eil diese en sp echend de Baum- s uk u au die Schaden-Teilsegmen e, simulie (MC) en sp echend de spezi ischen Einzel- schaden e eilung die zu o e mi el e Anzahl on Einzelschäden und be echne zum Schluss die Summe alle Einzelschäden. Au diese Weise bekomm man ü jeden Lau des MC P o- g amms eine Realisa ion des Gesam schadens ü das echnische Sys em. De MC Lau wi d seh o wiede hol , dami man seh iele Realisa ionen des Gesam schadens e häl und zu s a is ischen Aussagen komm . Aus den Realisa ionen des Gesam schadens lassen sich neben dem s a is ischen Mi el und de empi ischen S anda dabweichung auch die empi ische Ve - eilungs unk ion – und da aus alle ande en Risikomaße, wie z.B. de VaR ode de expec ed Sho all – be echnen. Im Folgenden s ellen wi die eben e läu e e Me hode anhand einige konk e e nume ische Beispiele da . Die Resul a e de MC Simula ion – einige Beispiele De in Abb. 10 da ges ell e Fehle baum bilde die G undlage ü die olgenden Beispiel Simu- la ionen. Wie oben geschilde , e gib sich aus dem Fehle baum die Anzahl de Schäden p o Teilsegmen am jeweiligen As ende. Fü unse e Simula ionsbeispiele e wenden wi Einzel- schaden Höhen e eilungen, die in Tab. 7 da ges ell sind. Do sind die Ve eilungs ypen und die jeweiligen Pa ame e de Ve eilung au gelis e . Im Einzelnen sind da ges ell : Die lau- ende Numme des As es (Spal e 1; en sp echend Abb.10), die dazu gehö ende Ein i swah - scheinlichkei (Spal e 2), die nume ischen We e ü E wa ungswe (Spal e 3) und S an- da dabweichung (Spal e 4) de jeweiligen Einzelschadenhöhen e eilung sowie de Ve ei- lungs yp (Spal e 5). Zu jede Schadena (As ende) haben wi die passende Ve eilung ge- wähl ; einige Beispiele da ü : Fü Kleinschäden, wie sie z.B. bei Ve so gungsp oblemen mi Wasse und S om en s ehen (As N . 9 -11) haben wie eine Exponen ial e eilung gewähl mi dem E wa ungswe (Exponen ialpa ame e ), de einem mi le en Einzelschaden en - sp ich . Fü mi le e Schadenhöhen wi d eine Log-No mal e eilung e wende . Hie gib es zwei eie Pa ame e . Diese we den in eine Weise gewähl , dass de E wa ungswe de Ve - eilung dem mi le en Au wand eines Einzelschadens en sp ich und die S anda dabweichung de ypischen S euung de Schadenau wände im be e enden Schadensegmen . Mi le e Schadenhöhen e geben sich z.B. bei einem Feue schaden, nach dem de Behandlungss uhl du ch Sanie ung wiede he ges ell we den kann (As N .19) ode bei einem elek ischen De- ek au g und eines So wa e ehle s (As N .2). Fü Schäden, bei denen de Behandlungss uhl nich wiede he ges ell we den kann, haben wi empi ische Schadenhöhen e eilungen in T eppen o m e wende . Diese Fälle sind in Tab. 7, Spal e 5 mi „Spezial“ gekennzeichne . Ein Beispiel da ü is (As N .18) de To al e lus au g und eines Feue s. Hie wi d die ol- gende Schadenhöhen e eilung e wende : 36 2% de Schäden ziehen einen Au wand un e 2500 EUR nach sich, 2% de Schäden kos en zwischen 2500EUR und 10000EUR, 3% de Schäden kos en zwischen 10000EUR und 56600EUR, 93% de Schäden kos en zwischen 56600EUR und 70000EUR. In as allen Fällen muss also in diesem As des Fehle baumes de To alschaden des S uhls plus gg . Nebenkos en (z.B. En so gung) e se z we den. In 7% de Fälle muss de angezeig e Schaden nich ode nu eilweise (z.B. aus Ve agsg ünden, Reg ess / B ands i ung) e se z we den. In de P axis können die Einzelschadenhöhen e eilungen ü die Schäden eines jeden „As- endes“ aus den Schadenda en geschä z we den. Dies is eine ak ua ielle S anda dau gabe. Eine ande e Möglichkei bes eh da in, die Schadenhöhen e eilungen on Expe en einschä - zen zu lassen. Die oben da ges ell e T eppen o m de Schadenhöhen e eilung bie e sich da ü besonde s an. In de Be u sp axis is es leich e , eine Einschä zung de Ve eilung on Schadenhöhen eines scha um issenen Schadensegmen s zu e hal en als die Schadenhöhen- e eilung des echnischen Gesam sys ems. Da aus esul ie ein wesen liche Vo eil de hie neu en wickel en Me hode. 37 Im Folgenden be ach en wi einige Beispiele on E gebnissen de MC Simula ion. Zue s bes immen wi die Gesam schadenhöhen e eilung ü einen Schaden, d.h. N = 1. Wi agg e- gie en also die Einzelschaden e eilungen de 22 Schadensegmen e (analog zu Tab. 7) zu Gesam schaden e eilung des echnischen Sys ems „zahnä z liche Behandlungss uhl“. In Abbildung 12 is das E gebnis de Simula ion, die empi ische Gesam schadenhöhen e eilung abgebilde (s. schwa ze Linie). De echne ische E wa ungswe des Gesam schadens e gib sich aus Tabelle 7 als Summenp oduk aus Spal e 2 und Spal e 3 zu 30344 EUR. Diese We is als blaue, e ikale Linie in Abb. 12 eingezeichne . Auße dem is die nach de Momen enme hode angepass e No mal e eilung zu sehen ( o e Linie). Das bedeu e , die beiden Pa ame e de No mal e eilung wu den so bes imm , dass sie mi dem empi ischen E wa ungswe und de empi ischen S anda dabweichung de MC simulie en Gesam schä- den übe eins immen. Die deu liche Abweichung de Gesam schaden e eilung on de No - mal e eilung is au Abb. 12 gu zu e kennen. Das 50% - Quan il de Gesam schaden e ei- lung lieg ech s om E wa ungswe en sp echend de zu o es ges ell en Rech sschie e de Ve eilung. Au g und de o genommenen Kalib ie ung s imm das 50% - Quan il de No - mal e eilung exak mi dem E wa ungswe de Schadenhöhe übe ein. Diese lieg e was übe dem 40% - Quan il de Gesam schaden e eilung, d.h. knapp 60% de Schadenau wände sind höhe als de E wa ungswe . Die Gesam schaden e eilung is olglich ech sschie . Diese E gebnisse sind gu nachzu ollziehen, weil sich de Gesam schaden aus ielen Einzel- schäden zusammense z , die s a k un e schiedlichen Ve eilungen genügen. Die Schadenseg- men e, aus denen G oßschäden he o gehen (Äs e N . 15-18 und 21), bewi ken die deu liche Rech sschie e de Gesam schaden e eilung. 38 Je z gehen wi übe zu Un e suchung on Schandenpo olios. Wi be ach en ein kleines Schadenpo olio mi N = 15 Schäden und ein g oßes Schadenpo olio mi N = 150 Schäden. Wi e gleichen jeweils den Fall eine es en Anzahl on Schäden N = 15 bzw. 150 mi dem Fall eine Poisson- e eil en Schadenanzahl, wobei die E wa ungswe e E[N] = 15 bzw. 150 Schäden be agen. Die E gebnisse de MC Simula ionen sind als empi ische Gesam schaden- e eilungen in Abb. 13 da ges ell . Die schwa zen (g ünen) Ve eilungen s ellen jeweils den Fall mi es o gegebenen (Poisson – e eil en) Schadenanzahlen da . Im un e en Teil de Abb. 13 is die Gesam schadenhöhen e eilung des kleinen (N = 15, bzw. E[N] =15) Scha- denpo olios zu sehen, im obe en Teil die des g oßen (N = 150, bzw. E[N] =150). In allen Fällen läss sich es s ellen, dass die Ve eilungen eine No mal e eilung wesen lich ähnli- che sind als im Fall des Einzelschadens, de in Abbildung 12 da ges ell is . Diese E ek läss sich mi Hil e des Zen alen G enzwe sa zes e klä en, nach dem die No mal e eilung umso besse app oximie wi d, je höhe die zum Gesam schaden bei agende Schadenanzahl is . Die Vo ausse zungen ü die Gül igkei dieses Sa zes sind in dem o liegenden Beispiel nähe ungsweise e üll : Wi be ach en den Gesam schaden, de sich aus eine Vielzahl on Einzelschäden zusammense z , die Gesam schaden – E eignisse (nich die Einzelschaden – E eignisse!) sind unabhängig on einande , de Zu all wi d du ch die MC Simula ion gene- ie und die Einzelschaden e eilungen besi zen eine endliche S anda dabweichung ( gl. Tab.7, Spal e 4). Au Abb. 13 is deu lich zu e kennen, dass die Schwankung de Schadenan- zahl (Schadenanzahl Poisson- e eil ; g üne Ku en) eine deu liche Zunahme in de S euung de Gesam schaden e eilung e u sach gegenübe dem Fall mi de es o gegebenen Schadenanzahl (schwa ze Ku en). In Abb. 14 be ach en wi das ech e obe e Ende („Tail“) de Gesam schadenhöhen e eilun- gen ü Poisson- e eil e Schadenanzahlen. De Tail de Schadenhöhen e eilung is en schei- dend ü die Bewe ung des G oßschaden – Risikos, denn e en häl In o ma ionen übe Scha- denhöhen, die deu lich g öße als de mi le e Schaden sind. Aus de Abbildung 14 läss sich z.B. de VaR des Gesam schadens ablesen (s. blaue, ges ichel e Linien). Fü das kleine Scha- denpo olio (Abb. 14 un en) e gib sich beispielsweise de VaR zum 95% (99%) – Ni eau zu ca. 680 TEUR (ca. 785 TEUR). Fü das g oße Schadenpo olio (Abb. 14 oben) e gib sich de VaR zum 95% (99%) – Ni eau zu knapp 5,25 Mio. EUR (knapp 5,55 Mio. EUR). Selbs - e s ändlich läss sich du ch de aillie e Auswe ung de Simula ionsda en auch de exak e echne ische We de VaRs e mi eln. Da au wi d hie nich nähe eingegangen. Zusammen assend hal en wi es : Wi haben hie anhand einige Beispiele demons ie , wie sich F ages ellungen des quan i a i en Risikomanagemen s mi Hil e de on uns en wickel- en Me hode ü echnische Sys eme bean wo en lassen. Du ch die In eg a ion de Einzel- schaden e eilungen de Schadensegmen e übe den Fehle baum, dem E gebnis de ingeni- eu - echnischen Risikoanalyse, geling die quan i a i e Risikobewe ung des echnischen Gesam sys ems. 39 40