Fo schung am IVW Köln, 6/2012
Ins i u ü Ve siche ungswesen
Bewe ung on isikobeha e en
Zahlungss ömen mi hil e on
Ma ko -Ke en bei un e jäh liche
Zahlweise
Ral Knobloch
Zusammen assung
Zahlungss öme we den iel ach mi dem Ba we , d.h. de Summe de
abgezins en Zahlungen, bewe e . Handel es sich dabei um Zahlungen,
die nich siche , d.h. isikobeha e sind, so gehen neben dem Zinssa z
i.d.R. auch Wah scheinlichkei en in die Bewe ung ein. Sowohl de Zinssa z
als auch die Wah scheinlichkei en liegen dabei no
male weise als
Jah eswe e o , die Zahlungen hingegen e olgen meis un e jäh lich. In
de o liegenden A bei wi d ü diesen un e jäh lichen Fall ein au de
Theo ie de Ma ko -Ke en basie endes Modell zu Ba we be echnung
behandel . Die un e jäh lichen Wah scheinlichkei en e geben sich dabei
du ch Linea isie ung de Jah eswe e, als un e jäh liches Zinsmodell wi d
die gemisch e Ve zinsung – al e na i mi dem ela i en Zinssa z und dem
kon o men Zinssa z – be ach e .
Abs ac
Paymen lows a e o en alued by he p esen alue, i.e. he sum o he
discoun ed paymen s. I he paymen s a e no secu e, i.e. hey a e augh
wi h isk, p obabili ies, apa om he in e es a e, a e gene ally
conside ed in he e alua ion, as well. Usually bo h he p obabili ies and
he in e es a e a e gi en o a ull yea . On he o he hand he paymen s
a e alloca ed du ing he yea . Fo hese cases, a model is in oduced
which is based on he heo y o Ma ko Chains. The needed in-yea
p obabili ies esul om a linea iza ion o he yea p obabili ies. Fo he in-
yea in e es a es he e a e wo al e na i e s anda d models which a e
handled in his pape .
- 1 -
Inhal s e zeichnis
1.EINLEITUNG .............................................................................................................................................. 2
2.DAS ALLGEMEINE MODELL BEI UNTERJÄHRLICHER ZAHLWEISE ....................................................... 3
3.BEWERTUNGSFORMEL ............................................................................................................................ 6
4.LINEARISIERUNG DER ÜBERGANGSWAHRSCHEINLICHKEIT EN ........................................................... 8
5.LINEARISIERUNG DER ÜBERGANGSWAHRSCHEINLICHKEITEN UND RELATIV GEMISCHTE
VERZINSUNG .......................................................................................................................................... 13
6.LINEARISIERUNG DER ÜBERGANGSWAHRSCHEINLICHKEITEN UND KONFORM GEMISCHTE
VERZINSUNG .......................................................................................................................................... 16
7.AUSBLICK ............................................................................................................................................... 18
LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................................................ 19
KONTAKT.......................................................................................................................................................... 20
- 2 -
1. Einlei ung
Bei den un e schiedlichs en ökonomischen P oblems ellungen is die Bewe ung on
Zahlungss ömen on zen ale Bedeu ung. Eine de wich igs en Bewe ungsansä ze is
dabei de Ba we des Zahlungss oms, d.h. die Summe de abgezins en Zahlungen.
Handel es sich um einen isikobeha e en Zahlungss om, so wi d de Ba we i.d.R. un e
Ve wendung des wah scheinlichkei s heo e ischen Ins umen a iums be echne . Bei
gedäch nislosen Modellen kann e mi hil e on Ma ko -Ke en e mi el we den ( gl. [5],
[6]).
Bei dem in [5] o ges ell en Modell kann dabei jedes beliebige Zei as e , z.B. jäh lich,
qua alsweise ode mona lich, e wende we den. Man benö ig lediglich, die dem
Zei as e en sp echenden Übe gangsma izen. In de P axis alle dings sind die Vo gaben
i.d.R. ande s. So sind z.B. in de Lebens- und Pensions e siche ungsma hema ik die
S e bewah scheinlichkei en und In alidisie ungen und dami die Übe gangswah schein-
lichkei en in den e wende en Ta elwe ken als Jah eswe e gegeben. Die Zahlungss öme
hingegen basie en au un e jäh lichen Zahlungen, z.B. bei P ämien- und Ren enzahlungen.
Die exak e Bewe ung solche un e jäh lichen Zahlungss öme e olg dann du ch
Nähe ungen und Anpassungen de Fo meln ü jäh liche Zahlungen. So wi d z.B. in de
Lebens- und Pensions e siche ungsma hema ik das sogenann e Res glied zu
Modellie ung e wende ( gl. [4], [8], [9]). Als wei e es g undlegendes E gebnis is in
diesem Zusammenhang de In a ianzsa z ü Anwa scha en ( gl. [10]) on zen ale
Bedeu ung.
Die o liegende A bei beschä ig sich mi de F ages ellung wie das in [5] e wende e
Modell au un e jäh liche Zahlungss öme angepass we den kann. Dabei wi d wie oben
besch ieben on einem zug undeliegenden jäh lichen Modell ausgegangen und da au
au bauend die un e jäh liche Zahlweise eingep leg . Da aus e gib sich eine modi izie e
Bewe ungs o mel ü un e jäh liche Zahlungss öme.
Ein ein aches un e jäh liches Modell ü die Übe gangswah scheinlichkei en e gib sich aus
de linea en Ve eilung de Jah eswah scheinlichkei en, ein ein aches un e jäh liches
Zinsmodell aus de linea en Ve eilung des Jah eszinses. In diesem speziellen linea en Fall
lassen sich die Gül igkei de in de Lebens- und Pensions e siche ungsma hema ik häu ig
e wende en E gebnisse bezüglich Res glied und In a ianzsa z aus de Bewe ungs o mel
ü un e jäh liche Zahlungss öme ablei en. Al e na i wi d als un e jäh liches Zinsmodell
die kon o m gemisch e Ve zinsung behandel .
- 3 -
2. Das allgemeine Modell bei un e jäh liche Zahlweise
Gegeben sei zunächs das jäh liche Modell, d.h. eine Ma ko -Ke e
,...2,1,0k
k
Xmi dem
endlichen Zus ands aum }N,...,2,1,0{S . Dabei s eh de Zei punk k ü den Beginn des
)1k( - en Jah es ode ande s o mulie die Zu alls a iable
k
X s eh ü den Zus and zu
Beginn des )1k( - en Jah es, ,...2,1,0k
. Die Übe gangswah scheinlichkei en om
Zei punk 1k zum Zei punk k seien gegeben du ch die (N+1)x(N+1)-Ma ix
}N,...,1,0{j,i
j,i )k(q)k(Q
,
d.h.
,...2,1k ,N,...,1,0j,i ),iX|jX(P:)k(q 1kkj,i
( gl. [5]).
Diese s ochas ische P ozess wi d nun um äquidis an e un e jäh liche Zei punk e e gänz .
Dazu sei die Anzahl de un e jäh lichen Zahlungszei punk e du ch die na ü liche Zahl
Tgegeben. Wi be ach en also nun die Ma ko -Ke e:
,X,X,X,,X,X,X,,X,X,X T
1
2
2
T
1T
1
T
1
1
1
T
1T
0
T
2
0
T
1
0
0
.
De Zus ands aum sei auch hie gegeben du ch }N,...,2,1,0{S
. Fü ,...2,1k . we den
die jäh lichen Übe gangsma izen om Zei punk 1k
zum Zei punk k wiede um mi
}N,...,1,0{j,i
j,i )k(q)k(Q
bezeichne . Da übe hinaus seien die speziellen Übe gangs-
wah scheinlichkei en om Zei punk
k
zum Zei punk T
s
k, ,...2,1,0k ,
T,1T,...,2,1,0s wie olg gegeben:
N,...,1,0j,i ,iX|jXP:)k,s(u k
T
s
k
j,i
.
Da aus e geben sich die zugehö igen Übe gangsma izen
}N,...,1,0{j,i
j,i )k,s(u)k,s(U
, ,...2,1,0k
, T,1T,...,2,1,0s
.
Insbesonde e gil :
- 4 -
)1k(Q)k,T(U
und E)k,0(U
, ,...2,1,0k
(E Einhei sma ix).
Fü jeden Zei punk T
s
k, ,...2,1,0k , 1T,...,2,1,0s
, sei du ch den Zeilen ek o
N,...,2,1,0j
j,
T
s
k
T
s
kPP
die Ve eilung de Zu alls a iablen T
s
k
Xgegeben, d.h.
N,...,2,1,0j , PjXP j,
T
s
k
T
s
k
.
Im Folgenden wi d da on ausgegangen, dass 0
P o gegeben is und alle Wah schein-
lichkei en und E wa ungswe e gegeben diese An angs e eilung be echne we den.
Un e Anwendung de Chapman-Kolmogo o -Gleichung ü Ma ko -Ke en ( gl. [7] S.14,
[11] S.185 ) e gib sich ü T
s
k, ,...2,1,0k
, 1T,...,2,1,0s
k
1j
0
T
s
k)k,s(U)j(QPP .
Beweis:
Es sei
,...3,2,1,0k und
1T,...,2,1,0s
.
Die Ma izen
}N,...,1,0{j,i
j,i )0,k(q
~
)0,k(Q
~
seien gegeben du ch
,...2,1k,N,...,1,0j,i),iX|jX(P:)0,k(q
~
0kj,i
.
Du ch Anwendung de Chapman-Kolmogo o -Gleichung e gib sich die Übe gangsma ix
om Zei punk 0 zum Zei punk T
s
k du ch das Ma izenp oduk )k,s(U)0,k(Q
~
.
Aus de Chapman-Kolmogo o -Gleichung e gib sich e ne du ch Induk ion nach k:
k
1j
)j(Q)0,k(Q
~ ü ,...2,1,0k
.
Mi dem Sa z de o alen Wah scheinlichkei e häl man ü N,...,2,1,0m
:
m0
N
0i 0
T
s
k
0
T
s
km,
T
s
k
)k,s(U)0,k(Q
~
P
iX|mXP)iX(PmXPP
- 5 -
Dami e gib sich:
k
1j
00
T
s
k)k,s(U)j(QP)k,s(U)0,k(Q
~
PP .
□
Fü jeden Zei punk T
s
k, ,...2,1,0k , 1T,...,2,1,0s
, sei die Höhe de Zahlung zum
Zei punk T
s
k in Abhängigkei des eingenommenen Zus ands du ch den
Spal en ek o T
s
k
L es leg :
N,...,2,1,0j
j,
T
s
k
T
s
kLL
,,...2,1,0k
, 1T,...,2,1,0s
.
Diese Spal en ek o wi d im Folgenden Leis ungs ek o genann .
- 6 -
3. Bewe ungs o mel
Ausgehend on de in Abschni 2 besch iebenen Ma ko -Ke e wi d de Ba we de
zukün igen Zahlungen wie olg de inie :
0k
1T
0s j,
T
s
k
k
N
0j jX
T0 L)s( 1:),T(B
T
s
k
Diese Ba we hänge ab on de Anzahl de un e jäh lichen Zahlungen T und on de
Gesam hei de Leis ungs ek o en
1T,...,2,1,0s,...,2,1,0k
T
s
k
TL
. Dabei sei de
Diskon ie ungs ak o ü eine Pe iode de inie du ch i1
1
und 0i de zei lich
kons an e Rechnungszins p o Jah . Fe ne sei )s( de Diskon ie ungs ak o ü das
un e jäh liche In e all
T
s
k,k . Fü diesen un e jäh lichen Diskon ie ungs ak o gib es
die un e schiedlichs en Ansä ze. Am Geb äuchlichs en sind die ela i e Ve zinsung, d.h.
i
T
s
1
1
)s(
,
und die kon o me Ve zinsung, d.h.
T
s
)s( .
Insbesonde e gil ü alle Ansä ze 1)0(
.
Es sei )x(abs de Absolu be ag eine eellen Zahl x. Un e de Bedingung
,...,N2,1,0j 1,-T0,1,...,s ,,...2,1,0k|Labs max:L j,
T
s
k
kon e gie die Reihe 0
B wegen 1 0
und 1)s( 0
absolu :
0k
k
0k
1T
0s j,
T
s
k
k
N
0j jX 1
L)1N(T
L)1N(T L)s( 1abs
T
s
k
Da aus olg die Kon e genz de Reihe
T0 ,TB
( gl. [2], S.40 ). Fü den e wa e en
Ba we e gib sich die olgende Aussage.
- 7 -
Sa z 1:
Sei
,...,N2,1,0j 1,-T0,1,...,s ,,...2,1,0k|Labs max:L j,
T
s
k, so gil :
0k
1T
0s T
s
k
k
1j
0
k
T0 L)k,s(U)j(QP)s( ,TBE .
Beweis:
Wegen L e gib du ch Anwendung des Sa zes de majo isie en Kon e genz ( gl. [3]
S.37):
0k
1T
0s T
s
k
k
1j
0
k
0k
1T
0s T
s
k
T
s
k
k
0k
1T
0s j,
T
s
k
N
0j j,
T
s
k
k
0k
1T
0s j,
T
s
k
N
0j T
s
k
k
0k
1T
0s j,
T
s
k
N
0j jX
k
0k
1T
0s j,
T
s
k
k
N
0j jX
m
0
k
1T
0s j,
T
s
k
k
N
0j jX
m
m
0k
1T
0s j,
T
s
k
k
N
0j jX
m
To
L)k,s(U)j(QP)s( LP)s(
LP)s( LjXP)s(
L1E)s(
L)s( 1E
L)s( 1Elim
L)s( 1limE),T(BE
T
s
k
T
s
k
T
s
k
T
s
k
□
Beme kung 1:
Se z man in Sa z 1 1T
, so e häl man wegen E)k,0(U
und 1)0(
:
0k k
k
1j
0
k
10 L)j(QP ,1BE .
Dies en sp ich dem E gebnis bei jäh liche Zahlweise ( gl. [5]).
- 14 -
1
isT
sTi1s
i
T
s
1
1
T
sT
isT
i1s
)s(
T
sT
)s(
T
s
Dami e häl man du ch Anwendung on Sa z 2:
1T
0s
0010
1T
0s
00
1T
0s
10T0
isT
i1s
LPT,1BE
)s(
T
s
LP)s(
T
sT
)s(
T
s
,1BE,TBE
□
Als Folge ung aus Sa z 3 e häl man ü Anwa scha en:
Folge ung:
Im Fall eine Anwa scha , d.h. 0LP 00
, gil :
T,1BE,TBE 10T0
.
Beweis:
Das E gebnis e gib sich du ch Anwendung on Sa z 3.
□
Beme kung 2:
In de Lebens- und Pensions e siche ungsma hema ik is es üblich bei de Um echnung
eine un e jäh lichen in eine jäh liche Zahlweise die Zahlungen mi dem Fak o T zu
mul iplizie en. Dies bedeu e , dass die Gesam hei de jäh lichen Leis ungs ek o en
1
du ch den Vek o 0
LT gegeben is . Wegen de Linea i ä on Ba - und
E wa ungswe e häl man bei diese De ini ion de jäh lichen Zahlungen ü die Fo mel
aus Sa z 3:
1T
0s
0010T0 isT
i1s
T
1
LP,1BE,TBE .
Fü lau ende Leis ungen e gib sich somi , dass in de Pensions e siche ungsma hema ik
übliche Res glied
1T
0s isT
i1s
T
1
)T(k
( gl. [10], S. 264).
- 15 -
Fü Anwa scha en, d.h. 0LP 00 , e gib sich mi diese De ini ion de un e jäh lichen
Zahlungen de sogenann e In a ianzsa z ( gl. [10], S. 261), d.h. de Ba we is bei einem
zei lich kons an en Leis ungs ek o unabhängig on de Zahlweise:
10T0 ,1BE,TBE
.
- 16 -
6. Linea isie ung de Übe gangswah scheinlichkei en und
kon o m gemisch e Ve zinsung
Nachdem bishe de Linea ise ungssansa z ü die un e jäh lichen Wah scheinlichkei en
mi de ela i gemisch en Ve zinsung kombinie wu de, soll als Zinsmodell je z die
kon o m gemisch e Ve zinsung o ausgese z we den. Es e geben sich somi die beiden
olgenden Modellannahmen:
Fü die Übe gangsma izen )k,s(U gil :
E
T
sT
)1k(Q
T
s
)k,s(U
, ,...2,1,0k
, 1T,...,2,1,0s
.
Zinsmodell ü den un e jäh lichen Zins: T
s
)s( .
Geh man on diesen Modellannahmen aus, so e häl man die olgende Aussage.
Sa z 4:
Es sei
0
T
s
kLL
, ü alle ,...2,1,0k
, 1T,...,2,1,0s
,
d.h. die Leis ungs ek o en seien (zei lich) kons an . Dann gil :
2
1
00
2
1
2
10T0
1
1
T
1
T
1T
LP
1 T
1
,1BE,TBE
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
Dabei sei die Gesam hei de de jäh lichen Leis ungs ek o en 1
gegeben du ch
,...2,1,0k ,LL 0k
.
Beweis:
Es gil :
2
1
2
1
T
1T
0s
1T
0s
1
1T
0s
1
1
T
1
T
1T
1
T
1
1 1
1
1
1
1
T
s
)s(
T
s
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
s
T
s
- 17 -
und
2
1
2
22
1
2
1
2
1
1T
0s
1T
0s
1
1T
0s
1
1T
0s
1T
0s
1
1T
0s
1T
0s
1
1T
0s
1 T
1
1 T
1
1
1
T
1
T
1
1
1
1 ) 1(1
T
1
T
1T
1
1
1
1
1
T
1
T
1T
1
T
s
1
T
s
T
s
T
sT
T
s
)s(
T
sT
)s(
T
s
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
1
T
s
T
s
T
s
T
s
T
s
T
s
T
s
Die Behaup ung e gib sich du ch Anwendung on Sa z 2.
□
Mi Sa z 4 kann man somi im Falle de kon o m gemisch en Ve zinsung die e siche ungs-
ma hema ischen Ba we e bei un e jäh lichen Zahlungen au die Ba we e bei jäh lichen
Zahlungen zu ück üh en. Alle dings häng dabei de Fak o beim Ba we de jäh lichen
Zahlung nich nu on T sonde n auch on ab. Somi gib es bei kon o m gemisch e
Ve zinsung und Linea isie ung de Übe gangswah scheinlichkei en kein dem In a ianzsa z
en sp echendes E gebnis.
- 18 -
7. Ausblick
In de P axis sind isikobeha e e Zahlungss öme o mi un e jäh liche Zahlweise
gegeben. Die anzuse zenden Modellannahmen bezüglich Übe gangswah scheinlichkei en
und Zins basie en i.d.R. abe au jäh lichen Beobach ungen. Sa z 1 zeig , wie sich die
diesbezügliche E wei e ung des in [5] einge üh en Modells au die allgemeine
Bewe ungs o mel auswi k .
Die Annahme eine linea en Ve eilung de jäh lichen Übe gangswah scheinlichkei en
üh im Falle on zei lich kons an en Leis ungs ek o en zu dem E gebnis aus Sa z 2. Die
en s ehenden Fo meln lassen sich im Falle spezielle Zinsmodelle ( ela i gemisch e
Ve zinsung, kon o m gemisch e Ve zinsung) wei e konk e isie en. Dabei läss sich im Falle
de ela i gemisch en Ve zinsung de Bezug zu den üblichen Techniken de Lebens- und
Pensions e siche ungsma hema ik he s ellen.
Insgesam zeig sich, dass das in [5] o ges ell e Modell zu Bewe ung isikobeha e e
Zahlungss öme auch mi de zusä zlichen Op ion eine un e jäh lichen Zahlweise
handhabba bleib . Die o ges ell en E gebnisse können dabei als Basis ü eine EDV-
echnische Umse zung dienen. Man kann sich hie bei auch on de in de P axis häu ig
e wende en ela i gemisch en Ve zinsung lösen und ande e un e jäh liche Zinsmodelle,
z.B. die kon o m gemisch e Ve zinsung, e wenden. Dies gil auch, wenn man den
kons an en Jah eszins du ch eine Zinss uk u ku e e se zen möch e. Hie könn e eine
Modi ika ion des E gebnisses aus Sa z 1 als Basis ü die Bewe ung mi eine un e jäh lich
o gesch iebenen Zinss uk u ku e dienen.
- 19 -
Li e a u e zeichnis
[1]
A
enbe g, Ju a Finanzma hema ik, Oldenbou g Ve lag, München 2011.
[2] Fo s e ,O o Analysis 1, 4. Au lage, F ied ich Vieweg & Sohn
Ve lagsgesellscha mbH, B aunschweig 1983.
[3] Gänssle , Pe e ;
S u e, Win ied
Wah scheinlichkei s heo ie, Sp inge -Ve lag, Be lin
Heidelbe g New Yo k 1977.
[4] Ge be , Hans U. Lebens e siche ungsma hema ik, Sp inge -Ve lag, Be lin
Heidelbe g New Yo k 1986.
[5] Knobloch, Ral
Bewe ung isikobeha e e Zahlungss öme mi hil e on
Ma ko -Ke en, In: Cologne Open Science/Fo schung am IVW
Köln, Band 3/2011, Köln 2011, opus.bsz-bw.de/ hk (S and 14.
Augus 2012) .
[6] Knobloch, Ral
Ein Konzep zu Be echnung on ein achen Ba we en in de
be ieblichen Al e s e so gung mi hil e eine Ma ko -Ke e,
In: Cologne Open Science/Fo schung am IVW Köln, Band
4/2011, Köln 2011, opus.bsz-bw.de/ hk (S and 14. Augus
2012).
[7] Kolle , Michael S ochas ische Modelle in de Lebens e siche ung, 2. Au lage,
Sp inge -Ve lag, Be lin Heidelbe g 2010.
[8] Milb od , Ha mu ;
Helbig, Man ed
Ma hema ische Me hoden de
Pe sonen e siche ungsma hema ik, Wal e de G uy e , Be lin
· New Yo k · 1999.
[9] Neubu ge , Edga
(H sg.)
Ma hema ik und Technik be iebliche Pensionszusagen,
Sch i en eihe Angewand e Ve siche ungsma hema ik He
25, Ve lag Ve siche ungswi scha e.V. Ka ls uhe 1997.
[10] Neubu ge , Edga
Unabhängigkei on Ren enanwa scha sba we en on de
Zahlungsweise, Blä e de DGVFM, Bd. XIX, He 3, S.257 –
S.267, 1990
[11] Ross, Sheldon M.
Ind oduc ion o P obabili y Modells, Eigh h Edi ion, Academic
P ess, Ams e dam e.a. 2003.
Kon ak /Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de OnlinePublika ions eihe
„Fo schung am IVW Köln“
.
Alle Ve ö en lichungen diese Reihe können un e www.i w-koeln.de ode un e h p://opus.bsz-bw.de/ hk/index.php?la=de
abge u en we den.
Eine wei e e Publika ions eihe is die
Sch i en eihe des Ins i u s ü Ve siche ungswesen de Fachhochschule Köln
.
He ausgebe : Ve ein de Fö de e des Ins i u s ü Ve siche ungswesen an de Fachhochschule Köln e. V.
Die Sch i en eihe kann
übe den Ve lag Ve siche ungswi scha bezogen we den (h p://www. w.de/).
Eine Übe sich alle He e de Sch i en eihe kann auch un e olgende Ad esse abge u en we den:
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Köln, Augus 2012
He ausgebe / Edi o ship:
P o . D . Reime s-Rawcli e
P o . D . Pe e Schimikowski
P o . D . Jü gen S obel
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