Análisis y Simulación con INTEGRA del Modelo de FitzHugh-Nagumo para una Neurona

AnálisisySimulaciónconINTEGRAdel ModelodeFitzHugh-NagumoparaunaNeurona* CarolinaBarriga Montoya** HumbertoCarrilloCalvet¤¤ AntonioCarrilloLedesma¤¤ Resumen Enesteartículosehace unadescripción básicadelaestructuray función deunacélulanerviosahaciendoénfasisenlaspropiedadesde excitabilidad delamembranacelularyladinámicadelvoltajeatravésdela misma,durantela ocurrenciadelfenómenollamado “potencialdeacción” o “impulsonervioso”.Ladescripciónabarca algunosaspectoshistóricos deldescubrimientodela actividadeléctricaenelcontextodela…siología celularyelposterioranálisisteóricoentérminosdemodelosmatemáticosqueinvolucransistemasde ecuacionesdiferencialesnolineales.Se atienden dosobjetivosprincipales:elprimeroeslapresentaciónyanálisisdealgunasdelaspropiedadesdinámicasfundamentalesdelmodelo más simpledelfenómenode excitabilidad,quepuededarse entérminos deun sistemadedosecuacionesdiferencialesordinarias(elmodelode FitzHugh-Nagumo),yelsegundo objetivoesilustrarun interesantefenómenonolinealquetienelugareneste contextodeaplicación biológica, enrelaciónalatransición delrégimenexcitablealrégimenoscilatoriodel sistema –labifurcación deAndronov-Hopf. 1.Introducción Elcerebroesun sistemacomplejoy lacomprensión dela actividadcerebral, porsuimportanciaydi…cultad,constituyeunodelosgrandesretosdela cienciamoderna.No esposibleprescindirdelusodemodelosmatemáticospara entenderlafuncionalidad delamente entérminosdelasbases…sicoquímicas dela…siolgíadelcerebro.La aproximaciónmatemática alestudiodelcerebroy delsistemanerviosoengeneralcontempla,entreotrosaspectos, laconstrucción yelanálisisdemodelosdelasunidadesfundamentalesqueloconstituyen–las célulasnerviosasoneuronas. Esun hechonotablequelosfenómenoseléctricosjuegan un papeldeterminante enla…siologíadelascélulasnerviosas.Estoesconocidodesde elsiglo *Estaesunaversiónampliadadeun trabajoenviadoapublicaciónalaserieAportaciones MatemáticasdelaSociedadMatemáticaMexicana. ** LaboratoriodeDinámicaNoLineal, Facultad deCiencias,UniversidadNacionalAutónomadeMéxico. 1 XVIII,apartirdelosexperimentosrealizadosporLuigiGalvanienla Universidad deBolonia,duranteladécadade1780-90.Inequívocamente,Galvani demostróquela aplicación de corrienteseléctricasprovocauna acción neuromotora(contracciones)enlasancasderanas.Másadelante,amediadosdel siglo XIXse constatóquela acción nerviosaymuscularnosedebetanto a la circulación de corrienteseléctricasatravésdelas…brasnerviosas,sinoque es concomitantealasvariacionesdeladifererenciadepotencialeléctrico(voltaje)atravésdelamembranacelular.Enestaépoca,CarloMatteuci y Emil DuBoisReymond lograronmedir‡ujosde cargas,tantoenlosmúsculoscomo enlosnervios, y observaronlavariación delamagnitud de éstos,en presenciade contraccionesmuscularesoenrespuesta a laestimulación delosnervios con pulsoseléctricos.Posteriormente,en1868,JuliusBernstein–discípulode DuBoisReymond–logrómedirelcursotemporaldeloscambiosdel voltajede lamembranadeuna…branerviosa,sentando así lasbasesdelaelectro…siología moderna. Otro granavance tendríalugaramediadosdelsiglopasado.Basadosen una seriede experimentosquefueroninterrumpidosporlaSegundaGuerraMundial, losinglesesAlanLloydHodgkinyAndrewFielding Huxleyanalizaronla dinámicadelcursotemporaldel voltaje enelaxón(gigante)deunaneurona de calamar,alserestimuladacon unacorriente externa.Finalmente,en1952, estosinvestigadoresconstruyeronunmodeloconcuatroecuacionesdiferenciales nolinealesy, apoyadosenél, propusieron unateoríabiofísicaque explicólos resultadosexperimentalesconocidoshastaelmomento.Susestudiosrevelaron que el voltajeobservadosedebealapermeabilidadiónica,selectivaydependiente,asuvez,delmismovoltaje,atravésdelamembranadelacélulanerviosa. Debido a estasinvestigaciones,HodgkinyHuxley, recibieronen1963 –juntocon SirJohn CarewEccles–elPremio NobeldeFisiología. LosestudiosquesehanrealizadoconelmodelodeHodgkinyHuxleyse tienenqueapoyarensimulacionescomputacionales,basadasenlasolución numéricadelasecuacionesdiferenciales;porsu dimensión(n=4)ysu nolinealidadestesistemanoes suceptibledeun análisiscualitativocomprensivo.Esto obliga a laconstrucción demodelosquesimpli…quenlarealidad biofísicadelsistema,conel…n de capturarexclusivamentelaesenciadinámicadelosprocesos involucrados,yasíproveerun esquemateóricoquepermitalacomprensión de lafenomenologíaenestudio.EltrabajodeRichardFitzHugh,enelLaboratoriodeBiofísicadelosNationalInstitutesofHealth,USA,constituyóun gran avance enestadirección.BasadoeneltrabajopreviodeBalthazarvan derPol, propusounasimpli…caciónconsiderabledelmodelodeHodgkinyHuxley. Su modeloconstadedosecuacionesdiferencialesdeprimerorden,unalinealyla otracúbica.Siendosuceptibledeun análisisbastante completo,estesistema permiteunacomprensióncualitativadelfenómenode excitabilidad. SimultáneaeindependientementedeltrabajodeFitzHugh,el investigador japonésJin-ichiNagumopropuso,como análogo neuronal, un circuitoeléctrico nolineal, gobernadoporun sistemadedosecuacionestambiénsemejantesa lasdevan derPol. Actualmente,elanálogo simpli…cadopropuestoporestos autores,sele conoce comomodelodeFitzHugh-Nagumo(FHN).Hoy, laimpor2 tanciade estemodelotrasciende elámbitodelaBiofísicay la Neuro…siología, siendodeinterésparalosprofesionalesdeotrasramasdelacienciaquenecesitan comprenderlaconstelación defenómenosnolineales, quesonconcomitantesal fenómenode excitabilidad.Particularmente elmodeloesdeinterésparaingenierosycientí…cosinteresadosenelestudiodesistemasdeintegraciónydisparo y lasoscilacionesderelajaciónque,típicamente,enellos seproducen. Ladiscusión delmodeloFHN quellevaremosacaboenesteartículoestá apoyadaporsimulacionescomputacionalesquehansidohechasconelsistema desoftwareINTEGRA,desarrolladoenelLaboratoriodeDinámicaNoLineal, delaFacultad deCiencias,dela UNAM.Éstesirvepara analizarvisualeinteractivamente elcomportamientocualitativodelos sistemasdinámicos,modelados porecuacionesdiferencialesordinariasoen diferencias.Paramayorinformación, paraseñalaralgún errorosugerencia,opara adquirirelarchivoejecutable conel quesepueden hacerlas simulacionesmostradasenestetrabajo,recomendamos consultarladirecciónelectrónicahttp://www.dynamics.unam.edu o acudirdirectamenteanuestroLaboratorio. 2.EstructuradeunaNeurona Lascélulasnerviosasvaríanensu formaytamaño,peroprototípicamente estánconstituidasportrespartesprincipales:elcuerpocelularosoma, las dendritasyelaxón(ver…gura 1).Elsomacontienealnúcleodelacélula yporlotantoesposeedordelmaterialgenéticodelaneurona.Aquíocurren losmecanismosbioquímicos sintetizadoresde enzimasy losprocesosnecesarios paramantenerlaviva.Lasdendritasyelaxónson …lamentosconmúltiples rami…cacionesquelepermitenalacélulanerviosarecibirotrasmitirseñalesa múltiplescélulas. Típicamente,enelsomaselleva a caboun procesodeintegración delas señalesprovenientesdelasdendritas, queterminaconelenvíodeunarespuesta concordantehacia otrascélulasreceptoras,atravésdeunalarga …braque esel axón. Anivel local, lainteracciónentre célulaycélulaseda a travésde conexiones llamadassinapsis.Anivelglobal, lafuncionalidad delcerebroemergedela sumadetodaslasinteraccionesquetienenlugarentrelascélulasconstituyentes. Elsustratode estafuncionalidadtieneunacomplejidadextraordinaria:un cerebrohumanotienevariosmilesdemillonesdeneuronasqueindividualmente puedenllegaratenerconexionesconvariascentenasdeotrascélulasnerviosas. 3.Excitabilidad delaMembranaCelular Lasneuronasestáncubiertasporunamembranacompuestade complejos proteínicosy lípidosorientadosqueformanestructuras, llamadascanalesiónicos, quesirven pararegularlosprocesosdeintercambioiónicoqueoriginanla formación delas señalesnerviosas.Losprimerosestudiosexperimentalesque 3 Figura 1:Esquemadeunaneuronatípica(izquierda).Microfotografíadeun par deneuronasdelacortezacerebraldeunaratade19 días(derecha). sellevaronacabo,fueron facilitadosporlaexistenciadeun axóngigantede unadelascélulasque controlanla acción neuromotroa delcalamar.Cuando,en estapreparaciónclásica,se colocaun parde electrodos,uno al interioryotro alexteriordelaxónsemideun voltajedeaproximadamente¡70mV;llamado potencialdereposo.Alaplicarun pequeñoybrevepulsode corriente eléctrica,seadvierteun incrementoenel voltajeatravésdelamembranacelular, quedecaeasintóticamentehastaquesealcanza otravez elpotencialdereposo. Si la amplitud delpulsode corrienteaplicadoes su…cientementegrande–lo cualcorrespondeallevaralpotencialdelamembrana arribadeun umbralde aproximadamente¡55mV,seobservaun aumentodesproporcionadodel voltaje hastaque éstealcanzaun valormáximocercano a +30mV,paraluego,decrecer másalládelpotencialdereposo,hasta alcanzarun valorpróximoalos¡80mV. En unaúltimafasedelproceso, lentamente,serecuperael voltajedereposo: ¡70mV.Elfenómeno anterioresllamadoimpulsonervioso o potencialde acciónyduraentreunoydosmilisegundos(ver…gura 2). Experimentalmente,se compruebaquela amplitud máximadelpotencial deacción(+30mVenlapreparaciónclásica)esindependientedelamagnitud delestímuloeléctrico aplicado,siempreycuandoésterebase el valorumbral (¡55mV).Estehechoesconocidocomolaleydel“todo o nada”.Alaplicar secuencialmente estímulos supraumbrales,su…cientemente espaciadoseneltiempo,seobservaun tren depotencialesdeacción(idénticos).Encambio,siel lapso entre estímulos sevareduciendo,seobservaqueparaintervalosdetiempode entre0;25msy0;5msesimposible excitaralamembranaporsegundavez.Este lapsocríticoesllamadoperíodorefractario. 4 Figura 2:Cursotemporaldel voltaje eléctricoatravésdelamembranacelular, duranteun potencialdeacción. Cuando –envez deaplicarun brevepulsode corriente–lamembranarecibe unacorriente constantedemagnitud I;seadviertequepara algún intervalo I1·I·I2,éstaresponde conuntren periódicodedisparosdepotenciales deacción, quetieneunafrecuenciadependientedel valordelaintensidad dela corrienteaplicada(ver…gura 3).Existeun ampliorango defrecuenciasquese observan …siológicamente,perocomolosperíodosrefractarios songeneralmente demenosdeun milisegundo,frecuenciasmáximas sontambiéngeneralmente inferioresa1000 impulsosporun segundo. Otros sistemas,naturalesodelaingeniería,cuyadinámicamani…estauna respuestadeltipo “todoonada”aestímulosquesuperan un valorumbral, yrespetatambién un períodorefractario a laexcitación,constituyenlaclase delossistemasexcitables;enella, lasmembranasdelascélulasnerviosas constituyenunejemploclásico. 4.ModelodeFitzHugh-Nagumo Lascaracterísticasmás sobresalientesdelpotencialdeacciónysu dinámica, fueronmodeladas satisfactoriamenteporHodgkinyHuxleyconsusistemade cuatroecuacionesdiferencialesnolineales.Todosloselementosahí involucrados, tienenunclarosigni…cadobiofísico,sinembargo, lacomplejidadmatemática di…cultademasiadosuanálisis.Conelafán de comprenderlaesenciadinámica delfenómenode excitabilidad,FitzHughconstruyóun sistemamínimo(dos ecuacionesdiferenciales)basadoenlaecuación devan derPol. Debidoaque 5 Figura 3:Tren periódicodeimpulsosnerviosos(potencialesdeacción)delas neuronasdelcomplejoperioesofágicodelcaracolHelix Asperesa(seobtuvode lapáginahttp://www.…sio.buap.mx). unadelasecuacionesesnolineal, elexamen delsistematampocoestrivial, sin embargo,elhechodequela otraecuaciónsealineal y deque elsistemaseade dimensión dos,facilitasuestudio. Elsistemasepresenta generalmente enlaformasiguiente: dv dt=V(v;w)=I¡v(v¡a)(v¡1)¡w(1) dw dt=W(v;w)=b(v¡gw) SiendoI,g¸0;b>0y0<a<1losparámetros.Enlainterpretación biofísica deladinámica,se consideraquelavariablede estadov,esel voltajeatravés delamembrana, y que elparámetroI,representalacorriente externa aplicada alacélulanerviosa. 4.1.EstadosdeEquilibrioyCeroclinas Alresolver,analíticaonuméricamente,elsistemade ecuacionesdiferenciales quegobiernaladinámicadelaneurona,encontramoslaevolucióntemporalde lasvariablesde estadodelsistema,(v(t);w(t)),apartirdealgunacondicióninicial, (v0;w0),predeterminada.Elespaciodondehabitanlasvariablesde estado (v;w);esllamadoespaciodefasesoespaciode estadosyenélpodemosvisualizarlaevolución delsistema(laneurona),gra…candolasórbitasdelaecuación diferencial(i.e. lasimágenesdelas solucionesdelaecuación diferencial).Los puntosdelespaciode estados,deun sistemade ecuacionesdiferenciales,paralos cualeslasderivadasrespecto altiempodelasvariablesde estadoinvolucradas, seanulansimultáneamente,constituyenlosestadosde equilibriooestados estáticosdelsistema. Igualandoacerolasecuaciones(1)delsistemadeFitzHugh-Nagumose 6 encuentranlasecuacionesdelosestadosde equilibrio: 0=I¡v(v¡a)(v¡1)¡w 0=b(v¡gw): Porlotanto: w=I¡v(v¡a)(v¡1)(2) w=g¡1v: Lascurvasquedeterminanestasecuacionesenelespacioestados(v;w);son llamadascurvasceroclinasdelsistema.Éstas sonel lugargeométricodelos puntosdelespaciode estadosenlosque elcampovectorialasociado alsistema es,respectivamente, verticalu horizontal. Laprimerade estasecuacionescorrespondealosestadosenloscualesnohaycambioinstantáneoenv(seobtuvo al hacerdv dt=0), y lasegunda,alosestadosparaloscualesnohaycambioenw(se obtuvo alhacerdw dt=0).Cadaunadelasecuacionesdelsistema(2)representa unacurvaenelespaciode estados(v;w)delsistemaFHN, que eneste casoes la grá…cadeunafunciónw(v).Dehecho, laprimeraecuaciónrepresenta,más bien,unarectaquepasaporelorigen,ylasegundaecuaciónesla grá…cadeun polinomiodegradotres.Lospuntosen donde estascurvas(larectay lacúbica) seintersectan,sonlospuntosde equilibriodelsistema –noseproducencambios, nienv,nienw.Comoestascurvaspuedentenerhastatresintersecciones,el númeromáximode equilibriosdelsistemaFHN estres.Ejemplosde cuandose tienen uno,dosotrespuntos…jos semuestranenla…gura 4 (laformadeutilizar INTEGRAparaproducirestas…guras se explicaenlasección5). 4.2.Estabilidad delPotencial deReposoyLinealización del Sistema Para analizarladinámicadeun sistemade ecuacionesdiferenciales,esnecesarioestudiarsusestadosde equilibrio,ylaestabilidad delosmismos.Dos sistemasquetengan un númerodistintode estadosde equilibrio,oelmismo número,perodiferente estabilidad,se comportaráncualitativamentediferente. Losestadosde equilibriodeun sistemadinámicopuedenserinestables,estableso asintóticamente estables.Sisetratadeun estadode equilibrioinestable, unapequeñaperturbación puedehacerque elsistemaevolucioneaestadosmuy alejadosde él y sepierdaelequilibrio;sisetratadeun equilibrioestable, las solucionesvecinasnosealejarán nuncade él y, sielequilibrioesasintóticamente estable,despuésde cualquierpequeñaperturbación,estetenderáarestablecerse automáticamente. Esconocidoque(bajociertascondicionescomputables)ladinámicalocal, alrededordeun estadode equilibriodeun sistemanolineal, puedeaproximarse bastantebien,utilizandosólolascomponenteslinealesdelcampovectorial. A 7 Figura 4:ConINTEGRAsegra…canlasdosceroclinasdelsistemadeFitzHughNagumo.Dependiendodel valordelosparámetros sepuedenteneruno,doso trescruces.Aquísemuestrantresejemplos:sia=0;15,b=0;01,g=2;5,I=0 setieneun solopunto…jo;sia=0;15,b=0;01,g=5;45,I=0setienen dos puntos…jos;sia=0;15,b=0;01,g=7;0,I=0setienentrespuntos…jos. 8 continuaciónserecordarálaideade esteprocedimientoyelteoremaque establece larelaciónentre elsistemanolineal y sulinealización,asícomolas condicionesdesuvalidez. Sisetieneun sistemanolinealen dosdimensiones,dadoporlasfunciones continuamentediferenciablesen unavecindad deun punto(»;´),Xi(x1;x2), i=1;2,entonces,utilizandolaexpansión deTaylorsetiene: Xi(x1;x2)=Xi(»;´)+(x1¡»)@Xi @x1 (»;´)+(x2¡´)@Xi @x2 (»;´)+Ri(x1;x2) dondeRi(x1;x2)satisface l¶³m r!0hRi(x1;x2) ri=0conr=h(x1¡»)2+(x2¡´)2i1 2 Si(»;´)esun punto…jodelsistemade ecuacionesdiferenciales_x=X(x), conx=(x1;x2)yX=(X1;X2),entoncesXi(»;´)=0.Utilizandoestehecho y laexpansión deTaylorse encuentraque: _x1=(x1¡»)@X1 @x1 (»;´)+(x2¡´)@X1 @x2 (»;´)+R1(x1;x2) _x2=(x2¡»)@X2 @x1 (»;´)+(x2¡´)@X2 @x2 (»;´)+R2(x1;x2): Lapartelinealde estesistema,utilizandolasnuevascoordenadasy1=x1¡» yy2=x2¡´,sepuede escribircomo: ¢ µy1 y2¶=Ã@X1 @x1 @X1 @x2 @X2 @x1 @X2 @x2!(x1;x2)=(»;´)µy1 y2¶: Alamatrizde2£2sele conoce comolamatrizdelinealizaciónenelpunto (»;´). Elsiguienteteoremaestablece larelaciónentreun sistemanolineal(enel plano)yelsistemalineal queseobtieneutilizandolamatrizdelinealización. Teorema1Seaelsistemanolineal_x=X(x),conx=(x1;x2);talquesu matrizdelinealizaciónevaluada enelestado de equilibrio(»;´)seanosingular (detA=detDX((»;´)) 6=0).Entonces,sielsistemalinealizado noesun centro(i.e:loseigenvaloresdeAnosonimaginarios),la dinámica delsistema yla desulinealización,soncualitativamente equivalentes,enunavecindad de x=(»;´). LamatrizA,delinealización delsistemaFHN alrededordelpunto…jo (»;´)=(v0;w0)es: ·@V @v @V @w @W @v @W @w¸(v;w)=(v0;w0) =·¡3v2 0+2(a+1)v0¡a¡1 b¡bg¸ 9 6.3.Estimulación dela Célula con una Corriente Continua Investigaremosahoralaformaenquelamembranaresponde cuandosele aplicaunacorrienteIconstante eneltiempo(loque enlajerga deloselectrónicos se conoce comounacorriente continua; ver…gura 8).Biofísicamente esde esperarque existaun valorcríticodeI, lacorrienteaplicada,apartirde lacual ladinámicaeléctricadelamembranacelularexhibatrenesperiódicos depotencialesdeacción,cuyafrecuenciavaríe crecientementealaumentarla intensidad delacorriente. Figura 8:Estimulación delaxóncon unacorrienteI(t).EnelcasoAseaplica un pulsode corrienteyenelcasoBunacorriente continua. Veamosquépredice elmodeloFHN enestascondiciones.Aumentarel valor delacorrienteI,trasladala grá…cadelaceroclinacúbicaverticalmente enel sentidopositivodelejewdelplanodefases, loquetiene comoefectoincrementar el valordelacomponentevdelestadode equilibriodelsistema(ver…gura 12). Esimportante estudiarlavariación delaestabilidad de este equilibriocuando ocurretalcambio.Puededemostrarsequesi losparámetrosdelsistemaFHN satisfacenlacondición: bg¸c(5) elequilibrioesasintóticamente estableparatodaI[8]. Eneste caso,el incrementarlacorrientetienesóloelefectodeaumentarel valordelacomponente vdelequilibrio(i.e.el valordelpotencialdereposo)comoloilustrala…gura 9. Cuandosetieneunacon…guración paramétricadelsistemaFHN tal que bg<cpuededemostrarselaexistenciadedosvaloresdelacorrienteaplicada: I1(g;b)yI2(g;b)paraloscualeslatrazadelamatrizdelinealización delsistema enelpuntode equilibrioseanulaytalesquealtraspasarlos, variandoel valorde I, latrazacambiadesigno.Comoelsignodelatrazadelamatrizdelinealización daelsignodelaparterealdeloseigenvaloresdelsistemalinealizado,asociado a estatransiciónseproduce un cambioenlaestabilidad delequilibrio.Estehecho seilustraenla…gura 10. 16 Figura 9:Con…guración paramétrica(a=0;15,b=0;14 yg=2;5)paralacual elpuntode equilibrioresultaserun atractorparatodovalordeI; losvaloresde lacorrienteparacadaunadelasgrá…cas sonI=0;01 (arribaalaizquierda), I=0;095 (arriba a laderecha)yI=0;35 (abajo). 17 Figura 10:Con…guración paramétrica(a=0;15,b=0;08 yg=2;5)paralacual elestadode equilibriopierdelaestabilidadal incrementarlaintensidad dela corrienteaplicada. Obsérvesequeun incremento adicionaldelacorrienteaplicada,puedevolveraestabilizarel voltajedereposo.Losvaloresdelacorriente, paracadaunodelasgrá…cas sonI=0;01 (arriba a laizquierda),I=0;095 (ariba a laderecha)yI=0;35 (abajo). 18 Lasituaciónanteriorse conoce comoelescenariodelabifurcación de Andronov-Hopf.Asociado a esteprocesodeinestabilización delequilibrio aparece un ciclolímite estable(i.e.una órbitaperiódica atractora).Enla…gura 11 semuestraunasecuenciade cicloslímite enlaquesevan disminuyendolos valoresdelparámetrob. Obsérveseque cuandob<< 1seobtienentrayectoriascasihorizontalesdebidoaquelosvaloresde_wsevuelvenmuychicos(ver ecuación1);cercadelaceroclinacúbicalasituaciónanteriornoseobservaya que enesaregiónlosvaloresde_vtambiénson pequeños.Sehace notarque cuandob¡!0(loque enlaliteraturase conoce comoel límitesingular),se cumple(4)y(5)esfalsa,elsistemade ecuacionesdeFHN esun buenmodelo deladinámicadelpotencialeléctricodelamembranadeunacélulanerviosa. Enla…gura12semuestraeste casoyademás se exhibe cómo al variarlosvaloresdelacorrienteIse encuentralatransición,entrerégimenexcitableyel régimenoscilatorio,deladinámicadel voltaje.Enla…gura13se evidencíala dependenciadelaintensidad delacorriente conlafrecuenciadedisparodelos trenesperiódicosdepotencialesdeacción. Figura 11:Cicloslímite establesasociadosalosestadosde equilibrioinestables. Entodoscasos seutilizóa=0;15,g=2;5yI=0;095; losvaloresdebson b=0;08 (arribaalaizquierda),b=0;03 (arribaaladerecha)yb=0;01 (abajo). 19 Figura 12:Transiciónentre elrégimenexcitableyelrégimenoscilatoriodel potencialeléctricodeunaneurona alaumentarlaintensidad delacorriente. Obsérvese cómoel voltajedelestadode equilibrio aumentaconlacorriente.En todaslasgrá…cas seutilizóa=0;15,b=0;01 yg=2;5;dearriba a abajo, los valoresdelparámetroI,tantoenelretratofase comoenelcursotemporal, son respectivamente,0;035,0;05 y0;16. 20 Figura 13:Trenesdepotencialesdeacción.Enamboscasos seutiliza,a=0;15, b=0;01 yg=2;5;enla grá…cadelaizquierdaseutilizóI=0;0386 yenlade laderechaI=0;1. 7.Sumario Ladinámicaesunacaraterísticafundamentaldela…siologíadeunaneurona ydelsistemanerviosoengeneral. Estadinámicaesnolineal y sucomplejidad estal quenopuedesercomprendidasinelusodeunateoríamatemáticabasada enecuacionesdiferenciales.EltrabajopionerorealizadoporHodgkinyHuxley, amediadosdelsiglopasado,constituyóunacontribución fundamentalenesta dirección.Dadala grancomplejidad delos sistemasestudiados,estambiénmuy importante construirmodelos simpli…cadosquepermitanaislarycomprender laesenciadinámicadelosfenómenosinvolucrados.ElmodelodeFitzHughNagumoprovee un escenariode complejidadmínimaparaentenderelfenómeno delaexcitabilidadenuncontexto geométrico.Porestarazón, la aparición de estemodelomarcaunanuevaetapaenlahistoriadelaneuro…siología,enlaque elanálisisgeométricodeórbitasenelespaciodefases sevuelvefundamental paralograrunacomprensiónvisualdela "mécanica"del impulsonervioso. 8.Lecturasrecomendadas Parael lectorinteresadoenabundarenlostópicosaquítratados,hacemos las siguientesrecomendaciones. 1.Neuroanatomíayneuro…siología: [5], [14], [20], [22] y [25]. 2. Otrosfenómenosyaspectosdelamodelaciónmatemáticadeladinámica neuronal: [1], [3], [7], [16], [17], [18], [19]y[23]. 3.Teoríadela actividad neuroeléctricadeA.L.HodgkinyA.F.Huxley: [15] y [24]. 21 4.Trabajo originaldeFitzHughyNagumo: [10], [11], [12] y [21]. 5.Ecuacionesdiferencialesy los sistemasdinámicos: [2]y[4]. 6.Introducciónalateoríadebifurcaciones: [13]. Referencias [1]Abbot,L.F. y T.B. Kepler(1990)ModelNeurons:fromHodgkin-Huxley to Hop…eld,enStatisticalMechanicsofNeuralNetworks,L.Garrido(ed.), Springer-Verlag,Berlin,pp.5-18. [2]Arrowsmith,D. K., C.M.Place (1992)DynamicalSystems.Di¤erential equations,mapsandchaotic behaviour(Capítulo 3),Chapman&Hall, London. [3]Baer,S.M., J.RinzelyH.Carrillo(1995)Analysisofanautonomous phasemodelforneuronalparabolicbursting,enJournalofMathematical Biology,33,pp.309-333. [4]Blanchard,P., R.L.Devaney y G.R.Hall (1999)EcuacionesDiferenciales, InternationalThomsonEditores,México. [5]Carpenter,R.H.S.(1998)Neuro…siologíaEditorialElManualModerno, México. 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