YUQORI TARTIBLI DETERMINANTLARNI HISOBLASH USULLARI VA DASTURIY TA'MINOTLARI

Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR http://zamtadqiqot.uz/index.php/ZTFITJ/index 3-son 15–to’plam 2025 y. 22 YUQORI TARTIBLI DETERMINANTLARNI HISOBLASH USULLARI VA DASTURIY TA’MINOTLARI Sadaddinova Sanobar Sabirovna, Raximova Feruza Saidovna, Atayeva Asal Adilbekovna, Toshkent axborot texnologiyalari universiteti (o`qituvchilari) Tursunaliyev Ozodbek Bahrom o`g`li, Iskandarova Dilafruz Sharofaddin qizi, Toshkent axborot texnologiyalari universiteti (talabalari) Annotatsiya Matritsalar determinantini hisoblash masalasi chiziqli algebraning poydevorini tashkil qiladi deyish mumkin. Ushbu maqolada yuqori tartibli determinantlarni hisoblash usullari va dasturiy ta’minotlari keltirilgan. Kalit so‘zlar: Determinant, Laplas usuli, minor, algebraik to‘ldiruvchi. Аннотация Задачу вычисления определителя матриц можно назвать фундаментом линейной алгебры. В данной статье представлены методы и программное обеспечение для вычисления определителей высших порядков. Ключевые слова: Определитель, метод Лапласа, минор, алгебраическое дополнение. Kirish Oliy o`quv yurtlarida axborot texnologiyalari yo`nalishlari talabalariga matematik fanlar mavzularga doir misollarning yechimini topishda ularni dasturiy ta`minotlar va dasturlardan foydalanishga yo`naltirish o`tilgan mavzuni o`zlashtirishni osonlashtiradi, talabalarning darsga bo`lgan qiziqishlarini orttiradi. Shuni e’tiborga olgan holda ushbu maqolada determinantlar qiymatlarini minorlar Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR http://zamtadqiqot.uz/index.php/ZTFITJ/index 3-son 15–to’plam 2025 y. 23 va algebraik to`ldiruvchilar yordamida hisoblash usullari ko`rsatilgan va misollar natijalari dastur yordamida chiqarilgan natijalar bilan taqqoslab ko`rsatilgan. Bilamizki, determinant — skalyar miqdor bо‘lib, kо‘p о‘lchovli Evklid fazosini kvadrat matritsa shaklida yozilgandan keyin ma’lum bir yо‘nalishda “chо‘zilishi” yoki “siqilishi”ni aniqlovchi kattalik hisoblanadi. Matritsaning bitta elementi birinchi tartibli determinant, 1-tatribli determinantning qiymati shu sonning о‘ziga teng bо‘ladi. Ikkinchi tartibli determinant |𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22|=𝑎11𝑎22−𝑎12𝑎21 tenglik bilan aniqlanadigan songa aytiladi. Uchinchi tartibli determinantlarni hisoblashning uchburchak (Saryus), yuqori tartibli determinantlarni hisoblashning esa tartibini pasaytirish, biror qatorini nollarga aylantirish, yuqori (yoki quyi) uchburchak ko‘rinishiga keltirib hisoblash usullari mavjud. Asosiy qism Yuqori tartibli determinantlarni hisoblashning usullaridan yana biri bu 𝑛−tartibli determinantning qiymati tanlangan 𝑘 ta satr(ustun)ning mumkin boʻlgan barcha 𝑘−tartibli minorlarini, ularning mos algebraik toʻldiruvchilariga koʻpaytmalari yigʻindisini topishdan iboratdir: 𝑑𝑒𝑡𝐴=∑𝑀𝑗1,𝑗2,…,𝑗𝑘 𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑘∙ 𝑖1<𝑖2<⋯<𝑖𝑘 𝑗1<𝑗2<⋯<𝑗𝑘𝐴𝑗1,𝑗2,…,𝑗𝑘 𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑘. (*) Misol sifatida quyidagi determinantni minorlar va algebraik to‘ldiruvchilar usulidan foydalanib hisoblaymiz: ∆=|1 2 3 4 5 −1 0 6 −2 1 1 07 21 −3|. ► (*) formuladan foydalanamiz, uhbu formulani bizning misolga moslab, 2-tartibli minorlar bo‘yicha yozib olamiz: ∆= =𝑀1,2 1,2∙𝐴1,2 1,2+𝑀1,3 1,2∙𝐴1,3 1,2+𝑀1,4 1,2∙𝐴1,4 1,2+𝑀2,3 1,2∙𝐴2,3 1,2+𝑀2,4 1,2∙𝐴2,4 1,2+𝑀3,4 1,2∙𝐴3,4 1,2= Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR http://zamtadqiqot.uz/index.php/ZTFITJ/index 3-son 15–to’plam 2025 y. 24 =|1 2 5 −1|∙(−1)1+2+1+2∙|7 1 2 −3|+|1 3 5 0|∙(−1)1+2+1+3∙|1 1 0 −3|+ +|1 4 5 6|∙(−1)1+2+1+4∙|1 7 0 2|+|2 3 −1 0|∙(−1)1+2+2+3∙|−2 1 1 −3|+ +|2 4 −1 6|∙(−1)1+2+2+4∙|−2 7 1 2|+|3 4 0 6|∙(−1)1+2+3+4∙|−2 1 1 0|= =−11∙(−23)+15∙(−3)−14∙2+3∙5−16∙(−11)+18∙(−1)=353. ◄ Ushbu misolni yuqoridagi usulda yechib beruvchi dastur yaratildi, undagi natijani keltirilgan misol natijasi bilan taqqoslaymiz va natija bir xilligini ko`ramiz: def minor(matrix, i, j): """i-satr va j-ustunni olib tashlab minor qaytaradi""" return [row[:j] + row[j+1:] for row in (matrix[:i] + matrix[i+1:])] def determinant(matrix): """Laplas teoremasi orqali rekursiv determinant""" n = len(matrix) # 1x1 matritsa if n == 1: return matrix[0][0] # 2x2 matritsa if n == 2: return matrix[0][0]*matrix[1][1] - matrix[0][1]*matrix[1][0] det = 0 for j in range(n): # (-1)^(0+j) * a_0j * det(minor) Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR http://zamtadqiqot.uz/index.php/ZTFITJ/index 3-son 15–to’plam 2025 y. 25 sign = (-1) ** j sub = determinant(minor(matrix, 0, j)) det += sign * matrix[0][j] * sub return det # Matritsa A4 = [ [1, 2, 3, 4], [5, -1, 0, 6], [-2, 1, 7, 1], [1, 0, 2, -3] ] print("Determinant:", determinant(A4)) Natija: Yuqorida keltirilgan determinantni Laplas teoremasidan foydalanib, tartibini pasaytirib hisoblaymiz: ∆=|1 2 3 4 5 −1 0 6 −2 1 1 07 21 −3|. ► ∆=|1 2 3 4 5 −1 0 6 −2 1 1 07 21 −3|=𝑎41𝐴41+𝑎42𝐴42+𝑎43𝐴43+𝑎44𝐴44= =−1∙|2 3 4 −1 0 6 1 7 1|−2∙|1 2 4 5 −1 6 −2 1 1|−3∙|1 2 3 5 −1 0 −2 1 7|= =−(18−28+3−84)−2∙(−1−24+20−8−10−6)−3∙ (−7+15−6−70)=91+58+204=353. ◄ Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR http://zamtadqiqot.uz/index.php/ZTFITJ/index 3-son 15–to’plam 2025 y. 26 Keltirilgan misoldagi natijalarni taqqoslab, ularning bir xilligini ko`ramiz. Ushbu misolni dasturdan foydalanib, yechilganda ham shu natija olingani ko`rinib turibdi. def minor(matrix, i, j): """i-satr va j-ustunni olib tashlab minor qaytaradi""" return [row[:j] + row[j+1:] for idx, row in enumerate(matrix) if idx != i] def determinant(matrix): """Umumiy determinant (rekursiv)""" n = len(matrix) if n == 1: return matrix[0][0] if n == 2: return matrix[0][0]*matrix[1][1] - matrix[0][1]*matrix[1][0] det = 0 for j in range(n): sign = (-1) ** j det += sign * matrix[0][j] * determinant(minor(matrix, 0, j)) return det def laplace_by_row(matrix, row): """Faqat tanlangan satr bo‘yicha Laplas yoyilishi""" n = len(matrix) det = 0 print(f"{row+1}-satr bo‘yicha yoyilish:") for j in range(n): a = matrix[row][j] Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR http://zamtadqiqot.uz/index.php/ZTFITJ/index 3-son 15–to’plam 2025 y. 27 sign = (-1) ** (row + j) M = minor(matrix, row, j) Mdet = determinant(M) term = sign * a * Mdet print(f"a[{row+1},{j+1}]={a}, A[{row+1},{j+1}]={Mdet}, had={term}") det += term print("Natija =", det) return det # Misol: 4x4 matritsa A = [ [1, 2, 3, 4], [5, -1, 0, 6], [-2, 1, 7, 1], [1, 0, 2, -3] ] row = (int(input("Satr: "))-1) laplace_by_row(A, row) Natija: Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR http://zamtadqiqot.uz/index.php/ZTFITJ/index 3-son 15–to’plam 2025 y. 28 Dastur tuzilishining afzallik tomoni shundaki, undan foydalanib, elementlari turlicha bo`lgan determinantlarning qiymatlarini topish mumkin. Bu dasturni tartibi turlicha bo`lgan determinantlar qiymatlarini topish uchun ham o`zgartirib to`g`ri natija olish mumkin. Oliy matematika fani mavzularini texnika yo`nalishi talabalariga o`qitishdagi bir necha yillik tajribalar shuni ko`rsatadiki, mavzuni o`tishda talabalarga dasturlash fanidan foydalanib o`zlashtirish bo`yicha yo`nalish berish talabalarning mavzuni o`rganishga bo`lgan qiziqishlarini ancha orttiradi. Shuningdek, dars samaradorligini sezilarli darajada o`stiradi. Adabiyotlar: [1] Тыртышников Е. Е. Mатричный анализ и линейная алгебра. – Москва, 2004. 245 c. [2] Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике: Учебное пособие для техникумов. – 2-е изд., - М.: Высшая школа, 1990. -208 с. [3] Qalandarov O‘.N., Sadaddinova S.S. Matematika (iqtisodchilar uchun): O‘quv Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR http://zamtadqiqot.uz/index.php/ZTFITJ/index 3-son 15–to’plam 2025 y. 29 qo‘llanma. – Toshkent.: Aloqachi, 2024. 226 b. [4] Bakhtiyar Rakhimov, Feruza Rakhimova, Atabek Saidov, Zarina Saidova. Analysis and modeling of digital solution in medical database management. ITM WEB of Conferences 72, 03002 (2025), HMMOCS-III 2025, https://doi.org/10.1051/itmconf/20257203002 6 p. https://www.itmconferences.org/articles/itmconf/abs/2025/03/itmconf_hmmocsIII2024_03002/itmconf_hmmocs-III2024_03002.html [5] Bakhtiyar Rakhimov, Ozodov Ravshonbek, Feruza Rakhimova, Atabek Saidov, Zarina Saidova. Metadata of the chapter that will be visualized in SpringerLink. Springer Nature Switzerland AG 2025 P.S.Stanimirovic et al.(Eds.): LNNS 1481, pp.1-10, 2025. https://doi.org/10.1077/978-3-031-9549-2_9. [6] Marat Karimov, Feruza Rakhimova. Modeling of Groundwater Flow in a Multilayer Porous Medium Based on a Nonlinear Mathematical Model. Fourth International Conference on Digital Technologies, Optics, and Materials Science (DTIEE 2025). – SPIE, 2025. – Т. 13662. – С. 136-141.0277-786X, 136620J-1. https://doi.org/10.1117/12.3072569 [7] Raximova Feruza Saidovna, Islamova Odila Abduraimovna, Chay Zoya Sergeevna, Fayzullayeva Shahlo Alisherovna, Madatova Zuxra Abdiraximovna. “Talabalarga qutb koordinatalar sistemasida funksiyalar grafigini chizishni dasturlardan foydalanib o‘rgatish”. “FIZIKA, MATEMATIKAVA SUNʼIY INTELLEKT TEXNOLOGIYALARINING DOLZARB MUAMMOLARI” XALQARO ILMIY NAZARIY ANJUMAN materiallari (may 16-17, 2025). 173175 bet [8] Feruza Raximova Soidovna, Munira Payziyeva Tairovna, Shaxzadaxan Tadjibayeva Ergashevna, Sarvar Safarboyev Rashid o`g`li, Diyorbek Mamasoliyev Abdujalil o`g`li. Talabalarga kki karrali integrallarni koordinata almashtirish orqali Z AMONAVIY TA'LIMDA FAN VA INNOVATSION TADQIQOTLAR http://zamtadqiqot.uz/index.php/ZTFITJ/index 3-son 15–to’plam 2025 y. 30 dasturini tuzib hisoblashni o`rgatish. Arxitektura, muhandislik va zamonaviy texnologiyalar jurnali, IF 12,87 (10+)