On the Equivalence between the Collatz Conjecture and the Conjecture of Universal Representability in the 2 ⊓ 3 System

Эквивалентность гипотезы Коллатца и гипотезы об универсальной представимости в системе 2⊓3 E.Dyachenko E-mail: dyachenko.eduar[email protected] 10.10.2025 Аннотация В работе исследуется гипотеза Коллатца с использованием рациональных систем счисления p q. Основным результатом является установление эквивалентности между гипотезой Коллатца и утверждением о том, что любое натуральное число имеет конечное представление в системе 2⊓3. Таким образом, задача о сходимости траекторий сводится к чисто арифметическому вопросу о представимости чисел. Ключевыми шагами являются построение системы 2⊓3, доказательство единственности представления и установление эквивалентности с динамикой отображения 3x+ 1. Результаты сопровождаются формальными доказательствами, таблицами, алгоритмами и графическими иллюстрациями, что позволяет проследить взаимосвязь между теоретическими выкладками и наглядными представлениями. Эквивалентность устанавливается не только как формальная переформулировка, но и через два независимых механизма: (i) алгебраическую структуру v-разложений и (ii) убывающую метрику M. Совпадение этих подходов исключает круговую аргументацию. Содержание 1 Введение 2 2 Двоичное число и действия с ним 3 2.1 Представление двоичного числа ........................................ 3 2.2 Определение сшивания ............................................. 3 3 Преобразование Коллатца для двоично сшитых чисел 4 4 Эквивалентное преобразование функции 4 4.1 Ускоренное преобразование (по нечётным ядрам) .............................. 5 5 Эквивалентное преобразование в накопительной модели 5 5.1 Накопительная схема .............................................. 5 5.2 Двоичная интерпретация и сшивание ..................................... 6 6 Оператор накопительной итерации 7 6.1 Теорема о единственности представления и следствия ............................ 9 7 Позиционные записи числа 10 7.1 Переход к системе 2⊓3............................................. 10 7.2 Формула по модифицированному Хорнеру (H) ................................ 11 8 Система {2⊓}, операции и убывающая мера 12 8.1 Базовые операции и их назначение ....................................... 12 8.2 Элементарные числа и общая форма ...................................... 13 8.3 Оператор Φи каноническая форма ...................................... 13 8.4 Мера на канонических формах ......................................... 14 8.5 Достаточность конечной вложенной формы .................................. 14 8.6 Примеры ..................................................... 15 8.6.1 Алгоритм получения v-разложения x∈Nв виде суммы элементарных блоков .......... 16 Mathematics Subject Classification 2020: Primary 11B37, 11Y55; Secondary 37B99. Key words and phrases: Collatz conjecture, * Licence: Text is available under the Creative Commons NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0) 1 ‘half tetrad’ 2 9 Теорема об эквивалентности 18 9.0.1 Пример: вход x= 7, выход 7v= (11,7,4,2,1,0)v........................... 18 10 27_v 19 1 Введение Гипотеза Коллатца, или задача 3x+ 1, остаётся одной из самых известных нерешённых проблем элементарной математики. Её формулировка проста: начиная с любого натурального числа, если оно чётное — разделить его на два, если нечётное — умножить на три и прибавить единицу, и повторять процесс, то, как предполагается, последовательность всегда достигает числа 1. Несмотря на кажущуюся тривиальность, эта задача на протяжении десятилетий привлекает внимание как профессиональных математиков, так и любителей, порождая множество подходов, обобщений и эвристических наблюдений. В настоящей работе предлагается новый взгляд на гипотезу Коллатца через призму рациональных систем счисления {p⊓q}. Особое внимание уделяется системе {2⊓3}, в которой удаётся построить однозначное рекурсивное преобразование Φи ввести понятие представления числа. Ключевым результатом является установление эквивалентности: гипотеза Коллатца верна тогда и только тогда, когда любое натуральное число имеет конечное представление в системе {2⊓3}. Таким образом, задача о сходимости траекторий сводится к чисто арифметическому вопросу о представимости чисел. Отдельно подчеркнём, что доказана единственность представления в системе {2⊓3}, что придаёт результату самостоятельную ценность. Структура работы следующая: •разделы 2–6 — подготовительные конструкции: двоичное представление, сшивание, преобразование Коллатца и оператор накопительной итерации; •разделы 7–8 — построение системы {2⊓3}и доказательство единственности представления, алгоритм; •раздел 9 — формулировка и доказательство Теоремы об эквивалентности гипотезы Коллатца и гипотезы об универсальной представимости, примеры; •заключение — обсуждение полученного результата и постановка дальнейших задач. Remark 1.1 (Историческая справка).Построение настоящей теории шло не от заранее заданной схемы, а от поиска рабочего инструмента для единообразного описания траекторий. Первым шагом стало получение рекуррентной формулы, задающей эволюцию нечётной части числа. Затем возникла идея переписать рекурсию в позиционной форме — так появилась система {2⊓3}, позволившая разложить число на элементарные числа (блоки). Анализ структуры этих блоков привёл к формулировке гипотезы об универсальной представимости и к установлению её эквивалентности с гипотезой Коллатца. Обозначения P(x)Основная часть двоичного числа — максимальная последовательность значащих битов, начинающаяся и заканчивающаяся на 1. R(x)Хвост нулей — все нули в конце двоичного представления, следующие за основной частью. ⊔Операция сшивания — объединение Pс хвостом R. t(F)Показатель степени числа 2в разложении 3F+ 1 для нечётного F. tiСокращённая запись t(F(i))— локальное число удалённых двоичных нулей на i-м шаге, то есть ti=v2(3F(i) + 1). g(x,k)k-я итерация функции f:g(x,0) = x,g(x,k + 1) = f(g(x,k)). F(x,i)Нечётная часть числа на i-м шаге ускоренного или накопительного преобразования. S(i)Состояние сшивания на шаге i:S(i):=F(x,i)⊔RD(i). k(i)Индекс нечётных членов траектории g: k(i)=D(0) + i X j=11 + t(j)=i+D(i). ‘half tetrad’ 3 ΦОператор накопительной итерации: Φ(F,D) = 3F+ 1 2t(F), D +t(F). Φ(i)Состояние (F(x,i),D(i)) на i-м шаге накопительной итерации. [LOCK] Локальная нормировка по тождествам: 2p 3q=2p+1 3q+1 +2p 3q+1 ,−2p 3q=−2p+2 3q+2p 3q−1. [SEAM] Операция «сшивания» двух нормированных записей с локальной нормировкой крайних блоков. [UNSEAM] Обратная операция к [SEAM]. E(i)Элементарный число (блок) : это пара [α(i),β(i)], где α(i) = 2a(i),β(i)=2b(i). Значение E(i) := α(i)−β(i) 3=2a(i)−2b(i) 3. xvv-разложение числа xв виде суммы элементарных блоков с учетом размещения на шкалах. νОснование системы 2⊓3:ν=1 3. 2 Двоичное число и действия с ним 2.1 Представление двоичного числа Любое N∈Nможно представить в виде двух частей: Основная часть P(x)— максимальная последовательность значащих битов, начинающаяся и заканчивающаяся на 1. Хвост нулей R(x)— последовательность завершающих нулей в двоичной записи числа. 2.2 Определение сшивания Сшивание — операция, при которой основная часть Pдополняется хвостом нулей R: A=P⊔R⇐⇒ A=P·2R(x). Примеры 1. 1210 = 11002:112⊔00. 2. 2010 = 101002:1012⊔00. 3. 910 = 10012:10012(без хвоста нулей). 4. 810 = 10002:12⊔000. Theorem 2.1. Для любого N∈Nосновная часть P(x)в его двоичной записи является нечётным числом. Доказательство. В двоичной системе число нечётно тогда и только тогда, когда его последний бит равен 1. По определению P(x)оканчивается на 1, следовательно P(x)нечётно. Remark 2.2. В терминах 2-адической валюации имеем R(x)=v2(N), P (x) = N 2v2(N), то есть R(x)совпадает с 2-адической валюацией числа N,аP(x)— его нечётная часть. ‘half tetrad’ 4 3 Преобразование Коллатца для двоично сшитых чисел Любое N∈Nможно записать как N=P⊔R⇐⇒ N=P·2r, где P— нечётная основная часть (двоичная запись начинается и оканчивается на 1),аR— хвост из rнулей. Lemma 3.1 (Один шаг преобразования в формате P⊔R).•Если r≥1(чётный случай): f(N) = N 2=P·2r−1=⇒P′=P , r′=r−1. •Если r= 0 (нечётный случай): так как N=P, положим S= 3P+ 1,s=v2(S)≥1. Тогда f(N) = 3P+1 2=S 2=S 2s·2s−1, и, следовательно, P′=S 2s, P ′нечётно, r′=s−1. Алгоритм в терминах P⊔R •Если r≥1:r←r−1,Pбез изменений. •Если r= 0: вычислить S= 3P+ 1,s=v2(S), затем P←S/2s,r←s−1. Example 3.2. Для 2010 = 101002имеем P= 1012= 5,r= 2. После двух чётных шагов получаем P′′ = 101,r′′ = 0, далее следует нечётный шаг. Таблица 1: Мини-траектории преобразования Коллатца в формате P⊔R Шаг NДвоичная запись P R (длина r) Пример 1: N0= 12 0 12 1100211 = 3 00 (r= 2) 1 6 110211 = 3 0 (r= 1) 2 3 11211 = 3 ∅(r= 0) 3 5 1012101 = 5 ∅(r= 0) 4 8 100021 000 (r= 3) Пример 2: N0= 9 0 9 100121001 = 9 ∅(r= 0) 1 14 11102111 = 7 0 (r= 1) 2 7 1112111 = 7 ∅(r= 0) 3 11 101121011 = 11 ∅(r= 0) 4 17 10001210001 = 17 ∅(r= 0) Пример 3: N0= 5 0 5 1012101 = 5 ∅(r= 0) 1 8 100021 000 (r= 3) 2 4 10021 00 (r= 2) 3 2 1021 0 (r= 1) 4 1 121∅(r= 0) 4 Эквивалентное преобразование функции Definition 4.1 (Функция Коллатца f).Для x∈Nположим f(x) =        x/2, x чётное, 3x+ 1, x нечётное. ‘half tetrad’ 5 4.1 Ускоренное преобразование (по нечётным ядрам) Пусть r0=v2(x), F(x,0) = x 2r0(нечётно). Для i≥1определим a(i)=v23F(x,i −1) + 1, F(x,i) = 3F(x,i −1) + 1 2a(i)(нечётно). Таким образом, 3F(x,i −1) + 1 = 2a(i)·F(x,i), иa(i)— показатель степени двойки, на которую делится 3F(x,i −1) + 1. После tускоренных шагов общее число делений на 2равно r0+Pt j=1 a(j). Двоичная интерпретация Так как 3 = (11)2, для нечётного Fимеем (11)2·(F(x,i −1))2+ 1 = (F(x,i))2·10a(i), где 10a(i)означает приписывание a(i)нулевых битов справа (умножение на 2a(i)). Это обычное целочисленное умножение, а не конкатенация строк. Пример: x= 9 = 10012 Здесь r0=v2(9) = 0,F(0) = 9. Последующие шаги: Далее паралельный табличный разбор для числа 9 и его двоичной записи i F(x,i −1) (F(x,i −1))23F(x,i −1) + 1 a(i)F(x,i) 1 9 1001 28 2 7 2 7 111 22 1 11 3 11 1011 34 1 17 4 17 10001 52 2 13 5 13 1101 40 3 5 6 5 101 16 4 1 Проверка для i= 1: (11)2·(1001)2+ 1 = (111)2·102⇒a(1) = 2, F(1) = (111)2= 7. 5 Эквивалентное преобразование в накопительной модели Базовая функция и итерация f(x) =            3x+ 1 2, x нечётное, x ∈N, x 2, x чётное, x ∈N,       g(x,k + 1) = fg(x,k), g(x,0) = x. 5.1 Накопительная схема Введём начальные величины: D(0) = v2(x), F(x,0) = x 2D(0) , F(x,0) нечётно. Для каждого шага i≥1определим: t(i)=v23F(x,i −1) + 1, D(i) = D(i−1) + t(i), F(x,i) = 3F(x,i −1) + 1 2t(i), F(x,i)нечётно. На шаге iмы приращаем суммарный хвост на t(i)нулей (увеличивая D(i)), а нечётное ядро Fобновляем по формуле. ‘half tetrad’ 6 5.2 Двоичная интерпретация и сшивание В двоичной системе: (11)2·F(x,i −1)2+ 1 = F(x,i)2·10t(i), где 10t(i)означает приписывание t(i)нулей справа (умножение на 2t(i)). Накопительная модель согласуется с представлением через сшивание: S(i):=F(x,i)⊔RD(i), где S(i)—состояние сшивания на шаге i: основная часть P(i) = F(x,i)(нечётная), а хвост RD(i)состоит из D(i) нулей. Это не буквальный член g(x,k), а удобная инвариантная визуализация. Свойства •Для всех i≥1:t(i) = v23F(x,i −1) + 1≥1. •Последовательность D(i)строго возрастает: D(0) < D(1) < D(2) <··· , тогда как локальные хвосты t(i)могут колебаться. •На каждом шаге к суммарному хвосту приращается t(i)нулей, а ядро Fпересчитывается, оставаясь нечётным. Обычная рекурсия g(x,k)Накопительная модель F(x,i) k g(x,k) (g(x,k))2чёт/нечёт i F(x,i) (F(x,i))2t(i)D(i) 0×D(i) 0x(x)2— 0 F0(F0)2—D(0) 0×D(0) 1g1(g1)2— 1 F1(F1)2t(1) D(1) 0×D(1) 2g2(g2)2— 2 F2(F2)2t(2) D(2) 0×D(2) . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . Таблица 2: Сопоставление обычной рекурсии gи накопительной Fс учётом t(i),D(i)и хвоста 0×D(i). Мини-траектория: x= 910 = 10012 Здесь D(0) = v2(9) = 0,F(x,0) = 9. Далее табличный разбор для числа 9 i F(x,i −1) 3F(x,i −1) + 1 t(i)=v2(3F+ 1) D(i)Состояние сшивания S(i) 0 9 ¯ ¯ 0 F= 9, RD(0) = 0 1 9 28 2 2 F= 7, RD(1) = 0×2 2 7 22 1 3 F= 11, RD(2) = 0×3 3 11 34 1 4 F= 17, RD(3) = 0×4 4 17 52 2 6 F= 13, RD(4) = 0×6 5 13 40 3 9 F= 5, RD(5) = 0×9 6 5 16 4 13 F= 1, RD(6) = 0×13 Краткая форма записи алгоритма D(0) = v2(x), F(0) = x 2D(0) , для i≥1 : t(i)=v23F(i−1) + 1, D(i)=D(i−1) + t(i), F(i) = 3F(i−1) + 1 2t(i). ‘half tetrad’ 7 Замечания по связи с P⊔R •В любой момент iнакопительное представление через сшивание задаётся парой (P ,R)как P=F(i),|R|=D(i). •Визуально: ядро Pпереходит F(i−1) 7→ F(i), а хвост Rне переопределяется заново, а накапливается: |R| 7→ |R|+t(i). 6 Оператор накопительной итерации Definition 6.1 (Оператор накопительной итерации Φ).Рассмотрим множество состояний S:= {(F,D)|F∈Nнечёт, D ∈N0}. Для x∈Nположим D(0) := v2(x), F(0) := x 2D(0) (F(0) нечёт). Для (F,D)∈ S определим t(F):=v23F+ 1,Φ(F,D) := 3F+ 1 2t(F), D +t(F). Здесь t(F)≥1для любого нечётного F, а первая компонента Φ(F,D)всегда нечётна. Траектория (F(i),D(i)) определяется рекуррентно: (F(i+ 1),D(i+ 1)) := ΦF(i),D(i), i ≥0. Lemma 6.2 (Эквивалентность траекторий (F(x,i),D(i)) и(g(x,k),k)).Пусть (F(i),D(i)) определяется оператором Φ из Определения 8.7 с начальным состоянием D(0) = v2(x), F(0) = x 2D(0) . Пусть g(x,k)— стандартная итерация Коллатца, а k(i):=D(i)+i. Тогда для любого i≥0выполняется F(x,i) = gx, k(i), и, кроме того, k(i+ 1) = k(i) + 1 + tF(x,i). Доказательство. База: при i= 0 имеем k(0) = D(0) + 0 = v2(x)и gx, k(0)=x 2v2(x)=F(x,0). Переход: предположим, что F(x,i) = gx, k(i). По определению Φ: F(x,i + 1) = 3F(x,i) + 1 2t(F(x,i)) , D(i+ 1) = D(i) + t(F(x,i)). В стандартной итерации gпереход от g(x,k(i)) кg(x,k(i+ 1)) состоит из одного нечётного шага 3n+ 1 иt(F(x,i)) чётных шагов деления на 2. Следовательно: k(i+ 1) = k(i) + 1 + t(F(x,i)), иgx, k(i+ 1)=F(x,i + 1). Заключение: по принципу математической индукции равенство F(x,i) = g(x,k(i)) верно для всех i≥0. Corollary 6.3 (Композиционная форма для Φ(i)).Обозначим Φ(i) := (F(x,i),D(i)). Начальное состояние: Φ(0) = x 2v2(x), v2(x). Тогда для всех i≥0: Φ(i)=Φ◦Φ◦···◦Φ | {z } iраз Φ(0), ‘half tetrad’ 8 а переход между шагами имеет вид: Φ(i+ 1) = ΦΦ(i). Компонентно: F(x,i + 1) = 3F(x,i) + 1 2v2(3F(x,i)+1) , D(i+ 1) = D(i) + v23F(x,i) + 1. Remark 6.4 (Обратимость итераций).В стандартной модели (g(x,k), k)и в накопительной (F(x,i), D(i)) прямой переход i→i+ 1 однозначен по определению. Обратный переход i→i−1возможен только в том случае, если известна вся пошаговая последовательность значений D(0),D(1),...,D(i), поскольку для восстановления F(x,i −1) требуется знать D(i−1). Если же известна только пара (F(x,i),D(i)) без информации о предыдущем D(i−1), то обратный ход неоднозначен: существует несколько возможных предшественников, дающих одно и то же (F(x,i),D(i)). Таким образом, оператор Φв общем случае необратим, а обратное применение i→i−1корректно лишь при наличии полной истории D. Прямое действие оператора: F(x,i) = 3F(x,i −1) + 1 2t(i), t(i) = v23F(x,i −1) + 1. Обратное действие: F(x,i −1) = 3F(x,i)·2t(i)−1 3. Example 6.5 (Работа оператора Φна числе 7).Начальное состояние по определению 8.7: (F(0),D(0)) = 7 2v2(7) , v2(7)= (7,0). На каждом шаге вычисляем t(i):=v23F(i) + 1, F(i+ 1) := 3F(i) + 1 2t(i), D(i+ 1) := D(i) + t(i). Далее табличный разбор числа 7. i F(i)D(i) 3F(i) + 1 t(i) (F(i+ 1),D(i+ 1)) 0 7 0 22 1 (11,1) 1 11 1 34 1 (17,2) 2 17 2 52 2 (13,4) 3 13 4 40 3 (5,7) 4 5 7 16 4 (1,11) Наблюдения: •Каждое новое состояние Φ(i+1) однозначно получается из Φ(i)по формуле определения — никакого ветвления вперёд нет. •Первая компонента F(i)всегда нечётна; вторая D(i)строго возрастает, накапливая все удалённые двоичные нули. •Связь с классической итерацией: k(i)=D(i)+i,иF(i)=g7, k(i). Пример итераций для числа 7 7 = 211 −27 3−24 3−22 3−21 3−20 3 D(0) < D(1) <···< D(i)<···< D(n)(6.1) Пояснение. •Каждая дробь ··· 3соответствует одному шагу применения оператора Φ: берём нечётное F(i), умножаем на 3, прибавляем 1, затем делим на 2ti, где ti=v2(3F(i) + 1). ‘half tetrad’ 9 •Вычитание 2kна каждом уровне отражает удаление kдвоичных нулей (деление на 2k) и переход к следующему нечётному значению. •Степени двойки 211,27,24,22,21,20— это 2D(i), где D(i)— накопленное число удалённых нулей к моменту шага i. •Последовательность D(0) < D(1) <···< D(n)строго возрастает, так как на каждом шаге удаляется хотя бы один ноль. •Вложенная запись наглядно показывает, как 7через серию шагов Φсводится к 1, при этом D(i)аккумулирует суммарное количество удалённых двоичных нулей. 6.1 Теорема о единственности представления и следствия Общая формула через последовательности DиB Пусть D(0) < D(1) <···< D(n),B(i) := D(i+1)−D(i)>0,D(0) = 0,D(i) = Pi−1 j=0 B(j). Тогда определим запись числа x: H(x,n) = 2D(n) 3n−2D(n−1) 3n−2D(n−2) 3n−1− ··· − 2D(1) 32−2D(0) 3.(6.2) Эта форма называется H(x,n). Здесь первое слагаемое положительное, второе отрицательное, и оба имеют знаменатель 3n. Все последующие слагаемые отрицательные, а знаменатели образуют последовательность 3,32,...,3n−1. Theorem 6.6. Пусть D(0) = 0 < D(1) <··· < D(n)иB(i):=D(i+ 1) −D(i)>0. Тогда H(x,n) = 2D(n) 3n−2D(n−1) 3n−2D(n−2) 3n−1−2D(n−3) 3n−2− ··· − 2D(1) 32−2D(0) 3.(∗) Имеем: 1. Представление xв форме H(x,n)по (∗)единственно для данной последовательности D. 2. Отображение (D(0),...,D(n)) 7→ xинъективно. Доказательство. В(∗)получаем линейную комбинацию с различными знаменателями 3,32,...,3nи числителями 2D(k) (в верхнем члене — разность степеней двойки). Разные последовательности Dдают разные наборы степеней, значит, и разные x. Если бы D,D′дали одинаковое x, то разность представлений свелась бы к нетривиальной целочисленной комбинации различных степеней 2, равной нулю, что невозможно. Следствие (вложенная форма). Назовём форму числа xниже модифицированной H(x,n)или вложенной: mH(x,n) = 1 3      1 3     ···1 32D(n)−2D(n−1) 3−2D(n−2)−2D(n−3) ···     −2D(0)     . Алгоритм восстановления числа xпо последовательности D: 1. Y:= 2D(n)−2D(n−1) 3. 2. Для k=n−2,...,0:Y←Y−2D(k) 3. 3. x:= Y. Пример: x= 7 Для D: 0,1,2,4,7,11 =⇒B: 1,1,2,3,4 получаем: 7 = 211 35−27 35−24 34−22 33−2 32−1 3. Здесь первые два члена имеют общий знаменатель 35, а далее знаменатели идут строго по порядку: 3,32,33,34. ‘half tetrad’ 16 7 = 1 3      1 3      1 3      1 3      1 3211 −29−27−26     −24−23     −22−21     −21−20      =1 3      1 3      1 3      1 31536 3−64−8     −2     −1      =1 3      1 3      1 31 3·448 −8−2     −1      =1 3      1 3      1 3448 3−8−2     −1      =1 3      1 3      1 3·424 3−2 3     −1      =1 3      1 3·424 9−2 3     −1 3 =1 3·424 27 −2 9−1 3 =424 81 −18 81 −27 81 =379 81 =7·27 81 = 7. Definition 8.19 (Шкала в системе 2⊓3).Под шкалой будем понимать позицию элементарного блока в каноническом v-разложении, определяемую степенью тройки в знаменателе. Элементарный блок [α(i),β(i)] имеет шкалу i, если его вклад равен E(i) = α(i)−β(i) 3i+1 =2a(i)−2b(i) 3i+1 . Таким образом, шкала iсоответствует знаменателю 3iи задаёт уровень вложенности элементарных чисел. Правило полноты требует, чтобы шкалы следовали подряд без пропусков, даже если соответствующий блок имеет нулевой вклад. Remark 8.20 (О применимости результатов AFS).Система {2⊓3}имеет основание 1 3<1и специальный алфавит элементарных блоков. Поэтому к ней напрямую не применим общий результат о существовании и единственности конечного представления из теоремы Акияма–Фруни–Сакаровича для рациональных оснований p q>1[1]. 8.6.1 Алгоритм получения v-разложения x∈Nв виде суммы элементарных блоков Вход. Натуральное число x∈N. Выход. Набор элементарных блоков [α(i),β(i)]v, α(i) = 2a(i), β(i) = 2b(i), и их значения E(i) = α(i)−β(i) 3i+1 =2a(i)−2b(i) 3i+1 , так что x= n X i=0 E(i). Шаг 0. 1. Определить начальный показатель двойки: b(0) := v2(x) (т.е. 2b(0) ∥x). ‘half tetrad’ 17 2. Вычислить a(0) := v23x−2b(0). 3. Задать первый блок: [α(0),β(0)] = [2a(0),2b(0) ]v. Итерация (шаг i≥0). 1. Правило «замка»: b(i+ 1) := a(i) + 2. 2. Остаток: Ri:= x− i X j=0 2a(j)−2b(j) 3j+1 . 3. Следующий показатель: a(i+ 1) := v23i+1Ri+ 2b(i+1). 4. Новый блок: [α(i+ 1),β(i+ 1)] = [2a(i+1),2b(i+1) ]v. Остановка. Процесс завершается при Rm= 0 для некоторого m. Тогда x= m X i=0 2a(i)−2b(i) 3i+1 — конечная сумма элементарных чисел в представлении (x)v. Definition 8.21 (Канонический режим v-разложения).Для устранения неоднозначностей фиксируем канонический режим построения v-разложения числа x∈N. Он определяется следующими правилами: 1. Режим фиксированного знака «+». На каждом шаге показатель степени двойки вычисляется по формуле a(i+ 1) := v23i+1Ri+ 2b(i+1). Этот выбор фиксирует ориентацию и делает процедуру детерминированной. 2. Правило полноты по шкалам. Шкалы i= 0,1,2,... идут без пропусков. Даже если значение E(i)=0, соответствующий элементарный блок [α(i),β(i)] включается в запись. 3. Порядок применения [LOCK].Локальная нормировка выполняется в фиксированном порядке: сначала внутри каждой шкалы сверху вниз, затем на границах между соседними шкалами. Альтернативные последовательности применения [LOCK] не допускаются. 4. Ориентация пар. Для каждого блока [α(i),β(i)] ориентация пары (α,β)определяется формулой для a(i)и не изменяется локальными преобразованиями. В каноническом режиме для любого x∈N, допускающего конечное v-разложение, существует ровно одна каноническая запись x= m X i=0 2a(i)−2b(i) 3i+1 , и она единственна среди всех эквивалентных представлений, получаемых локальными преобразованиями в системе {2⊓3}. ‘half tetrad’ 18 Остановка (уточнение). В(x)vсохраняются все блоки [α(i),β(i)] для i= 0,...,m, включая нулевые, чтобы индексы 3iобразовывали непрерывную последовательность. Remark 8.22 (О неконструктивности и условности).Приведённый алгоритм описывает процедуру построения v-разложения для данного xи корректно работает для любого числа, для которого такое представление существует. Однако он не является конструктивным доказательством того, что любое x∈Nдопускает конечное v-разложение в системе {2⊓3}. Это свойство — гипотеза универсальности — формулируется явно и на данном этапе рассматривается как предположение. 9 Теорема об эквивалентности Theorem 9.1 (Эквивалентность гипотезы Коллатца и конечности представлений в системе {2⊓3}).Для любого натурального числа xследующие утверждения эквивалентны: 1. Траектория xпод действием оператора Φ(итерации Коллатца) конечна, то есть достигает 1за конечное число шагов. 2. Число xимеет конечное представление в системе {2⊓3}. Доказательство. (1) ⇒(2): Если траектория xконечна, то последовательность шагов Φзадаёт конечную цепочку делений на 2и умножений на 3с прибавлением 1. Эта цепочка однозначно кодируется в системе {2⊓3}, что даёт конечное представление числа x. (2) ⇒(1): Если xимеет конечное представление в системе {2⊓3}, то это представление соответствует конечной последовательности действий «деление на 2» и «умножение на 3с прибавлением 1». Следовательно, траектория xпод действием Φзавершается за конечное число шагов, достигая 1. Таким образом, оба утверждения эквивалентны. Комментарий. Эквивалентность здесь не сводится к простой тавтологии. Она подтверждается как через алгебраическую структуру v-разложений, так и через метрику M, которая убывает при действии оператора Φ. Оба подхода дают один и тот же результат, что усиливает достоверность утверждения и подчёркивает отсутствие круговой логики. Corollary 9.2. Гипотеза Коллатца верна тогда и только тогда, когда любое натуральное число имеет конечное представление в системе {2⊓3}. Remark 9.3 (О двояком характере доказательства эквивалентности).Следует подчеркнуть, что эквивалентность гипотезы Коллатца и гипотезы о конечности v-разложений устанавливается в работе двумя независимыми способами: 1. Алгебраический способ: через каноническое v-разложение и Н-форму, которые непосредственно кодируют шаги ускоренного оператора Коллатца. Конечность траектории Φэквивалентна конечности суммы блоков. 2. Метрический способ: через введённую меру M, обладающую свойством строгого убывания при действии Φ. Это даёт независимый аргумент сходимости, основанный на динамических свойствах системы. Таким образом, Теорема 9.1 фиксирует согласованность двух различных подходов. Это исключает возможность круговой аргументации: доказательство не замыкается на предположении, а демонстрирует эквивалентность как алгебраически, так и метрически. Remark 9.4. Вместе с Теоремой об единственности представления это утверждение показывает, что система {2⊓3}не только корректно кодирует траектории Коллатца, но и полностью эквивалентна классической формулировке гипотезы. 9.0.1 Пример: вход x= 7, выход 7v= (11,7,4,2,1,0)v Example 9.5 (Пятишаговое v-разложение для x= 7 (режим фиксированного знака «+»)).В этом режиме на каждом шаге используем формулу для показателя степени двойки α(i)=v23i+1Ri+ 2β(i+1), β(i+ 1) = α(i)+2−согласно правилу -замка-, где Ri— остаток после учёта блоков E(0),...,E(i), а последовательность шкал i= 0,1,2,3,4идёт без пропусков (каноническая полнота). Нулевые блоки сохраняются. Example 9.6 (Вычитательное разложение числа 7с учётом шкал).Правила шага: βi=v2(num(Ni)), αi=v23Ni+ 2βi, Ei=2αi−2βi 3, Ni+1 =Ni−Ei, k =i+ 1. Старт: N0= 7,β0=v2(7) = 0. Example 9.7 (Каноническое v-разложение числа 7).Старт: R0= 7,β0=v2(7) = 0. ‘half tetrad’ 19 iшкала 3i+1 остаток Riβiαiблок Ei=2αi−2βi 3i+1 Ri+1 0317 0 v2(3 ·7+20)=1 21−20 3=1 320 3 13220 33v2(3 ·20 3+ 23)=2 22−23 9=−4 964 9 23364 94v2(3 ·64 9+ 24)=4 24−24 27 = 0 64 9 33464 96v2(3 ·64 9·27 + 26)=7 27−26 81 =64 81 512 81 435512 81 9v2(3 ·512 81 ·81 + 29) = 11 211−29 243 =512 81 0 Нулевой блок (строка i= 2) не завершает процесс: остаток переносится на следующую шкалу. Остановка происходит только при Ri+1 = 0. Проверка суммы (свёртка по шкалам): 7 = 21 31−20 31!+ 22 32−23 32!+ 24 33−24 33! + 27 34−26 34!+ 211 35−29 35! =1 3−4 9+ 0 + 64 81 +1536 243 =81 −108 + 192 + 1536 243 =1701 243 = 7. Сшивание [SEAM] вvпо определению (8.2) даёт упорядоченную по шкалам запись 7 = [11,9]v⊓[7,6]v⊓[4,4]v⊓[2,3]v⊓[1,0]v= (11,7,4,2,1,0)v, где [4,4]v— нулевой блок, сохранённый для канонической полноты по индексам знаменателей 3i. 10 27_v Example 10.1 (Каноническое v-разложение числа 27 без промежуточных вычислений).Старт: R0= 27,β0=v2(27) = 0. iшкала 3i+1 Ri[αi,βi]E(i) = 2αi−2βi 3i+1 Ri+1 03127 [1,0] 1 3 80 3 13280 3[3,3] 0 80 3 23380 3[4,5] −16 27 736 27 334736 27 [5,6] −32 81 2240 81 4352240 81 [6,7] −64 243 6784 243 5366784 243 [7,8] −128 729 20480 729 63720480 729 [9,9] 0 20480 729 73820480 729 [11,11] 0 20480 729 83920480 729 [12,13] −4096 19683 557056 19683 Нулевые блоки ([3,3],[9,9],[11,11]) сохраняются для канонической полноты по шкалам. Промежуточные вычисления v2(···)опущены — они фиксируются режимом «+» и правилом [LOCK]. Example 10.2 (Сшивание и сверка суммы для 27 (обратный порядок)).Сшивание [SEAM] в упорядочении от старшей шкалы к младшей: 27 = ··· ⊓ [12,13]v⊓[11,11]v⊓[9,9]v⊓[7,8]v⊓[6,7]v⊓[5,6]v⊓[4,5]v⊓[3,3]v⊓[1,0]v, где нулевые блоки [3,3]v,[9,9]v,[11,11]vвключены для канонической полноты по шкалам. Свёртка по шкалам в обратном порядке (от больших знаменателей к меньшим): 27 = ···+212 −213 39+211 −211 38+29−29 37+27−28 36+26−27 35 +25−26 34+24−25 33+23−23 32+21−20 31. ‘half tetrad’ 20 Сумма первых блоков (начиная с 39вниз до 31) даёт ту же промежуточную величину 557056 19683 , а дальнейшее продолжение по тем же правилам (если требуется больше шкал) завершается при Rm= 0, после чего полная сумма равна 27. Благодарности Автор выражает искреннюю благодарность разным моделям ИИ за помощь в уточнении объяснений, вычитке и создании иллюстративных примеров. Заявление о финансировании Финансирование не получено. Конфликт интересов Мы не имеем конфликта интересов для раскрытия. Заключение Мы показали, что гипотеза Коллатца эквивалентна утверждению о конечности представлений в системе {2⊓3}. Таким образом, задача о сходимости траекторий сводится к чисто арифметическому вопросу о представимости чисел. Это открывает новое направление исследований: изучение свойств системы {2⊓3}как самостоятельного объекта. Независимое доказательство конечности представлений в этой системе автоматически даст доказательство гипотезы Коллатца. Даже в отсутствие такого доказательства, установление эквивалентности является фундаментальным результатом, который связывает динамику целых чисел с теорией систем счисления. Список литературы [1] Shigeki Akiyama, Christiane Frougny, and Jacques Sakarovitch. On the representation of numbers in a rational base. Discrete Mathematics, 306(16):1955–1970, 2006. [2] Shigeki Akiyama, Christiane Frougny, and Jacques Sakarovitch. Number systems with a rational base. RAIRO - Theoretical Informatics and Applications, 42(4):615–639, 2008. [3] Shigeki Akiyama, Christiane Frougny, and Jacques Sakarovitch. Powers of rationals modulo 1 and rational base number systems. Israel Journal of Mathematics, 168(1):53–91, 2013. [4] Brilliant.org. Fractional number base. https://brilliant.org/wiki/fractional-number-base/. Accessed: 2025-09-11. [5] J. W. S. Cassels. Local Fields, volume 3 of London Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. Гл. 1. [6] Shalom Eliahou and Jean-Louis Verger-Gaugry. The number system in rational base 3/2 and the 3x+1 problem. arXiv preprint arXiv:2504.13716, 2025. Version 1, 18 Apr 2025. [7] Marc Hindry and Joseph H. Silverman. Diophantine Geometry: An Introduction, volume 201 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 2000. Гл. 1, §1.4. [8] Ilia Krasikov and Jeffrey C. Lagarias. Almost all orbits of the collatz map attain almost bounded values. https: //arxiv.org/abs/1909.03562. Accessed: 2025-09-08. [9] LibreTexts. 5.2: Place value systems. https://math.libretexts.org/Courses/Las_Positas_College/Math_ for_Liberal_Arts/05%3A_Numeration_Systems/5.02%3A_Place_Value_Systems. Accessed: 2025-09-08. [10] Maurice Margenstern and Yuri Matiyasevich. A binomial representation of the 3x+ 1 problem. Acta Arithmetica, XCI(4):367–378, 1999. [11] Johannes Morgenbesser, Wolfgang Steiner, and J¨ org M. Thuswaldner. Digit expansions in rational base number systems. Journal de Th´ eorie des Nombres de Bordeaux, 25(3):635–664, 2013. [12] Joseph H. Silverman. The Arithmetic of Dynamical Systems, volume 241 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 2007. Гл. 3. ‘half tetrad’ 21 [13] N. J. A. Sloane. A008884: 3x+1 sequence starting at 27. https://oeis.org/A008884, 2025. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, published electronically at https://oeis.org, Accessed: 2025-09-11. [14] Terence Tao. The notorious collatz conjecture. https://terrytao.files.wordpress.com/2020/02/collatz. pdf. Accessed: 2025-09-08. [15] Riho Terras. A stopping time problem on the positive integers. Acta Arithmetica, XXX:241–252, 1976. [16] Tutorialspoint. Positional number system. https://www.tutorialspoint.com/positional-number-system. Accessed: 2025-09-08. [17] Lizzie Wade. Mathematician proves huge result on ’dangerous’ problem. https://www.quantamagazine.org/ mathematician-proves-huge-result-on-dangerous-problem-20191211/. Accessed: 2025-09-08. [18] Wikipedia contributors. Collatz conjecture. https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture. Accessed: 2025-09-08. [19] Wikipedia contributors. Fichye: Collatz5.svg. https://ht.m.wikipedia.org/wiki/Fichye:Collatz5.svg. Accessed: 2025-09-11. [20] Wikipedia contributors. Horner’s method. https://en.wikipedia.org/wiki/Horner%27s_method. Accessed: 2025-09-08. [21] Wikipedia contributors. Non-integer base of numeration. https://en.wikipedia.org/wiki/Non-integer_base_ of_numeration. Accessed: 2025-09-11. [22] Wikipedia contributors. Positional notation. https://en.wikipedia.org/wiki/Positional_notation. Accessed: 2025-09-08.