ASYMPTOTIC ATTAINMENT OF THE K.E. SHANNON ENERGY LIMIT VALUE WITH A SYNCHRONOUS ORTHOGONAL CODE

Norwegian Journal of development of the International Science No 165/2025 66 TECHNICAL SCIENCES ASYMPTOTIC ATTAINMENT OF THE K.E. SHANNON ENERGY LIMIT VALUE WITH A SYNCHRONOUS ORTHOGONAL CODE Kuznetsov V. National Research University "Moscow Institute of Electronic Technology," Doctor of Engineering Sciences, Professor, Moscow, Russia АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ДОСТИЖЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ К.Э. ШЕННОНА ПО ЭНЕРГЕТИКЕ СИНХРОННЫМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ КОДОМ Кузнецов В.С. Национальный исследовательский университет “Московский институт электронной техники”, доктор технических наук, профессор, Москва, Россия https://doi.org/10.5281/zenodo.17226061 Abstract This article proves that the synchronous orthogonal code OK2048 provides an asymptotically limiting minimum Εbit J0 ratio in a continuous Gaussian channel at an information rate equal to the channel capacity. The decoding complexity is determined by the extremely sparse matrix of this orthogonal code. Аннотация В статье доказано, что синхронный ортогональный код ОК2048 обеспечивает асимптотически предельное минимальное отношение Εbit J0 в непрерывном гауссовском канале при скорости передачи информации, равной пропускной способности канала. Сложность декодирования определяется предельно разреженной матрицей этого ортогонального кода. Keywords: continuous Gaussian channel with AWGN, PPSU codes, synchronous orthogonal code, frequency efficiency, signal separability. Ключевые слова: непрерывный гауссовский канал с АБГШ, коды ППСУ, синхронный ортогональный код, частотная эффективность, разделимость сигналов. Введение Целью статьи является рассмотрение принципов построения системы передачи информации на основе синхронного ортогонального кода (ОК), являющегося на сегодняшний день лучшим кодом плотнейшей поверхностно – сферической укладки (ППСУ). Сложность декодирования этого ОК определяется матрицей Адамара, или диагональной матрицей, обладающими уникальным свойством предельного разрежения вплоть до двух, или до одного ненулевого элемента в каждой строке задающей матрицы при любой длине существования ОК. Прямая радиолиния Прямая линия (Forward Link) строится по схеме синхронного ОК с одновременной и синхроннной передачей всех n ОК каналов строго при нулевом сдвиге начала каждой кодовой комбинации относительно начального момента времени передачи синхронного ОК (необходимое условие ортогональности кода). В силу ортогональности все каналы синхронного ОК являются взаимно линейно независимыми и, как следствие, разделимы на приёме. Кодирующее устройство синхронного ОК кодируется внешним потоком равновероятных троичных символов со значениями {+ 1, 0} (см. рис. 1). Norwegian Journal of development of the International Science No 165/2025 67 В этом случае суммарная скорость передачи 𝑅𝛴=log23 𝜏𝑐ℎ_𝑂𝐾 , ( 1 ) 𝑅1кан. =𝑅𝛴 𝑛ОК. ( 2 ) .аб R =12⋅𝑅1кан. ( 3 ) Результаты расчёта скорости передачи представлены в таблице 1. Таблица 1. Расчёт значений скорости передачи и требуемой полосы частот в прямой радиолинии № Наименование параметра Расчётные значения Примечание 1 2 3 𝑅𝛴 𝑅1кан. .аб R 361, 37 Мбит/с 0,1765 Мбит/с 2,1174 Мбит/с max𝑓ТИ𝑀𝑆 =912,0 МГц, max𝑓ТИ_ОК =228,0 МГц 4 𝐹 .кан  7924,8 МГц В Forward link синхронный ОК передаёт информацию без внешнего помехоустойчивого кодирования. В этой линии с синхронным ОК взаимные помехи отсутствуют, канал – непрерывный гауссовский. 𝑞𝑏𝑖𝑡ОК =𝑄𝑒𝑟𝑟.𝑑𝑋 𝑛ок ≤(𝑁𝑑+(𝑉акт.−1))⋅𝑄(√(𝑃𝑐 𝜎2⋅ 𝑑𝑋))⋅𝑑𝑋 𝑛ок, ( 4 ) где (nок, Vакт., dх, Nd ) – параметры синхронного ОК, 2/2 2 1 () 2 t d Q x e dt         интеграл вероятности ошибки. При заданной вероятности ошибки декодирования 𝑞𝑏𝑖𝑡ОК по выр. (4) рассчитывается требуемое отношение 𝑃𝑐 𝜎2= 2 X x d . Расчёт помехоустойчивости выполняется при скорости передачи, равной пропускной способности канала. В этом случае 𝐸𝑏𝑖𝑡 𝐽0= 𝑃𝑐 𝜎2/ .кан   , где частотная эффективность канала .кан   = log2(1 +𝑃𝑐 𝜎2). При .кан F 𝑙𝑖𝑚 𝐸𝑏𝑖𝑡 𝐽0=𝑙𝑖𝑚 𝑃𝑐 𝜎2⋅ln2 ln(1+𝑃𝑐/𝜎2)= ln2=−1,59 дБ [ 1 ]. Таким образом, выбор максимально допустимого значения частотной эффективности широкополосной системы, равным частотной эффективности канала, .. . , сист кан кан R F     минимизирует требуемое отношение 𝐸𝑏𝑖𝑡 𝑁 0 . Результаты расчёта требуемых отношений 𝐸𝑏𝑖𝑡 𝑁0 для синхронного ортогонального кода ОК2048 при его приёме в непрерывном гауссовском канале приводятся в таблице 2. Таблица 2. Расчёт помехоустойчивости синхронного ОК-2048 в непрерывном канале с АБГШ 𝑞𝑏𝑖𝑡  2. ( / ) cвх ОК P  .кан   𝐸𝑏𝑖𝑡 𝑁 0 дБ 10 3 10 5 10 7 10 10 0.0234 0,0321 0,0409 0,0541 0.0334 0,0456 0,0578 0,0760 - 1,541 - 1,523 - 1,504 - 1,477 Требуемая полоса частот также рассчитывается из условия согласования по скорости передачи с пропускной способностью непрерывного гауссовского канала. 𝑅𝛴=log23 𝜏𝑐ℎ_𝑂𝐾 = C  = 1 𝑙𝛴⋅𝜏𝑐ℎ.ОК ⋅𝛾кан.𝛴,𝑙𝛴=𝛾кан.𝛴 log23 – коэффициент согласования. .кан F 1 𝑙𝛴⋅𝜏𝑐ℎ.ОК =log23 кан    𝜏𝑐ℎ_𝑂𝐾 =𝑅𝛴 𝛾кан.𝛴 при скорости передачи .RC  Результаты расчётов R и .кан F в прямой радиолинии при 𝑞𝑏𝑖𝑡  =10 5 приводятся в таблице 1. В статье анализируются предельные возможности системы. При широкой полосе частот радиоканала в нём обеспечивается высокая помехозащищённость против искусственных помех. Требуемое значение полосы частот 𝐹кан.𝛴 можно уменьшить выбором меньших значений тактовой частоты. При этом достигнутые значения отношения 𝐸𝑏𝑖𝑡 𝑁 0 остаются без изменения. По мнению автора лучший результат помехоустойчивого кодирования ( 𝐸𝑏𝑖𝑡 𝑁 0 =0,7дБ при 5 10 bit q  ), полученный Claude Berrou и его соавторами для Turbo – Code на основе свёрточного Norwegian Journal of development of the International Science No 165/2025 68 кода с кодовым ограничением K = 5, а также лучшие результаты, достигнутые длинными LDPC кодами [ 2 ], получены для этих кодов с выбором относительной скорости кодирования rc = ½ поиском “вслепую“. Такие неширокополосные коды не в состоянии достигнуть даже отношение 𝐸𝑏𝑖𝑡 𝑁0=0дБ. В работах автора [3, 4 ] и, в частности, в приведённых выше расчётах (см. табл.2) доказывается, что при скорости передачи информации R  = C  предельно минимальные отношения 𝐸𝑏𝑖𝑡 𝑁0 достигаются в широкополосной системе с высокой помехоустойчивостью. Этим требованиям удовлетворяют симплексные, биортогональные и синхронные ортогональные коды, являющиеся кодами плотнейшей поверхностно – сферической укладки [5, 6 ]. В работах [7, 8] приводится с описанием конкретная каскадно – кодовая конструкция со скоростью передачи 1,3/ ch  на основе синхронного ОК128 и внешнего троичного помехоустойчивого кода с блоковой длиной 128. Согласно [ 8 ], при 5 10 bit q  требуется обеспечить 𝐸𝑏𝑖𝑡 𝑁0=− 1,11 dB. Обратная радиолиния Обратная радиолиния может быть спроектирована по образцу радиоинтерфейса стандарта IS – 95. В этом случае выполняется равенствo длительностей сигналов 𝑛ОК ⋅𝜏𝑐ℎ.ОК =(𝐷адрес𝑀𝑆 +1)⋅𝜏𝑐ℎ.𝑀𝑆 ( 5 ) при максимальной тактовой частоте сигналов генератора “Адрес MS” (она же тактовая частота радиоканала). _ТИ MS f =1 𝜏𝑐ℎ.𝑀𝑆 =𝐷адрес𝑀𝑆 +1 𝑛ОК⋅𝜏𝑐ℎ.ОК =8192 2048⋅𝜏𝑐ℎ.ОК = 4 𝜏𝑐ℎ.ОК. ( 6 ) Согласно [ 9 ], уровень микроэлектроники на российском рынке на сегодняшний день определяется технологией изготовления 40 нм, что задаёт максимальную тактовую частоту, равной 912,0 МГц при нормальных условиях эксплуатации. Тогда при _ТИ MS f = _ТИ BS f = 912,0 МГц max _ТИ ОК f =1 𝜏𝑐ℎ.ОК =228,0 МГц. Основную роль синхронизации в обратной радиолинии выполняет сигнал “Адрес BS “c длительностью 𝑇адрес𝐵𝑆 =(216 −1)⋅𝜏𝑐ℎ.𝐵𝑆 . Передние фронты сигналов синхронного ОК и генератора сигналов “Адрес MS “ в обратной радиолинии жёстко привязаны к переднему фронту сигнала “Адрес BS“. При этом на длительности этого сигнала размещаются одновременно 8 сигналов синхронного ОК и 8 сигналов “Адрес MS “ ( см. рис. 2 ). Каждому из 170 групповых абонентов в обратной радиолинии отводится по 12 каналов. Рассмотренное выше обоснование выбора тактовых частот учтено при описании Forward Link. Абоненты в обратной радиолинии работают в асинхронном режиме. Основной задачей является расчёт максимально допустимого числа одновременно работающих на передачу ( в сторону “своей” BS) абонентов и скорости передачи абонента .аб R . При спектральной плотности мощности теплового шума Рисунок 2. Структурная схема обратного канала абонента. Norwegian Journal of development of the International Science No 165/2025 69 𝑁0=290 0  1,380662⋅10−23 𝑊 𝐻𝑧 = 4,004⋅ 10−21 𝑊 𝐻𝑧 воспользуемся методикой расчёта фирмы Qualcomm ( без учёта мощности теплового шума 20)NF   ( M – 1) = 𝐺𝑝⋅𝜂𝑝 (𝐸𝑏𝑖𝑡 𝐽 0 )ОК⋅𝜈𝑓⋅(1+𝑓), ( 7 ) где М – число обратных каналов в секторе соты, S= 3 – число секторов приёмной антенны на входе BS, 𝐺𝑝=2⋅𝐹кан.𝑀𝑆 𝑅аб.=𝐵𝑤 𝑅аб. - выигрыш обработки, p  - коэффициент эффективности управления мощностью передатчиков абонентов в обратной радиолинии, _ . c bit ОК аб P ER  требуемый абонентом расход энергии на бит, 0 ( 1) fc MP JF      спектральная плотность мощности взаимных помех, f   коэффициент речевой активности, f - коэффициент влияния передающих устройств BS соседних сот. Расчёт энергетики наземных радиолиний выполняется при условии работы как в обратной, так и в прямой радиолинии с обязательным наличием Rake receiver в точках приёма. Для расчёта помехоустойчивости в информационном подканале абонента используем выр. ( 4 ) при V .акт = 12каналов. Тогда, например, при вероятности 5 _. 10 бит аб q  требуемое отношение 20,0308 c P   , частотная эффективность .. 0,043764 кан аб   / ( ),бит с Гц а 0 () bit E N ОК = -1, 5257 дБ. ( 8 ) При оценке остальных параметров в выражении ( 7 ) значениями : W B 2𝐹кан.𝑀𝑆 ≅1 .ch MS  =912,0 𝑀Гц ( информация в служебном подканале абонента не передаётся, 0 MS R ), 0,8 P   , (M -1) = 682 приёмных канала при трёхсекторной антенне на входе BS, 𝜈𝑓=0,43, (1 + f) = 1,668 значение скорости передачи группового абонента 𝑅аб.=2,12⋅106 бит/c. При этом значении 𝑅1кан. . 12 аб R  =0,1767⋅ 106 бит/с. В итоге 𝑅𝛴=𝑅аб.⋅170+𝑅1кан. ⋅8=361,8⋅ 106 бит/с. Число каналов, отводимых одному абоненту, 𝑁кан.1аб. =𝑅аб.⋅𝑛ок 𝑅𝛴, где скорость передачи .аб R определяется выражением ( 7 ). В данной работе принято 𝑁кан.1аб.= 12 ортогональных каналов. Число групповых абонентов в обратной радиолинии равно 𝑁аб =]2048 12 [=171 абонент (57 абонентов сектор соты). Требуемые полосы частот 𝐹аб.=𝑅аб. 𝛾кан.аб.= 𝐹1кан. =48,44 МГц. Максимальная скорость передачи абонентской станции может быть определена из условия согласования с каналом по скорости , т.е. при max R .. . аб аб С max R 6 . . 2 log (1 ) 2,12 10 c аб аб P F       бит/c. Но , если диагональную матрицу, задающую ортогональный код, заменить на матрицу Адамара, то скорость передачи абонента .аб R снижается в 2 log 11 ОК n раз. Заметим, что начальная установка генератора сигналов “Адрес MS“ однозначно связана с номером группы абонента. При точном, более сложном расчёте скорости передачи абонента 𝑅аб. ( с известным значением мощности сигнала P c = 5,6235 14 10  W и требуемым суммарным отношением 0,7 1,549 bit t E I   дБ ) синхронный ОК-2048 обеспечивает скорость абонента .аб R = 2,0 6 10 / .бит с Ширина всей рабочей полосы Reverse link 𝐵𝑊=2𝐹 1 ch   912 МГц выбирается из условия периодической передачи в канал коротких чипов BS. Точность синхронизации в обратной линии определяется также этим сигналом, △𝜏⋅𝐷𝐵𝑆 = 0,1⋅𝜏𝑐ℎ, т.е. относительная погрешность подстройки по времени △𝜏 𝜏𝑐ℎ не должна превышать 0,1 16 21 = 1,526⋅ 6 10 .  В заключение выполним расчёт помехоустойчивости в информационном подканале абонента в направлении MS – BS. Канал – непрерывный гауссовский с суммарной мощностью аддитивных помех 20 ( ) ( 1) . fc J N F M P         . . . _ ( ( 1)) ( ). bit ош ОК d акт кан ОК х ОК t E Q N V Q d I        ( 9) Подставляя числовые значения, получим .2058 ( 0,7 0,043764 1024) ош ОК QQ    = 85 2058 1,072 10 2,2062 10 .      Согласно выр. ( 8 ) , передача информации в обратном канале Norwegian Journal of development of the International Science No 165/2025 70 абонента только с шумовой аддитивной помехой 2  выполнялась при 5 .2 10 . ош ОК Q  Литература 1. Claude Elwood Shannon. Collected papers. Ed. by H.J.A. Sloane, Aaron D.Wyner. IEEE Press. Piscataway, N.J., USA. 1993, 924 p. 2. The Best of the Best. Ed. by William H. Tranter, Desmond P. Taylor, Rodger E. Ziemer, Nicholas F. Maxemchuk, Jon W. Mark. IEEE Press. A John Wiley & Sons, Inc., Publication . 2007, 692 p. 3. Кузнецов В.С., Кузнецов В.В. Нерешённые проблемы в области передачи информа - ции и связи. - М.: Горячая линия – Телеком, 2016. – 60 с. 4. Кузнецов В.С. Асимптотические решения проблемы Шеннона в непрерывном гаус - совском канале. – М.: Горячая линия – Телеком, 2021, - 72 с. 5. Кузнецов В.С. Асимптотическое достижение границы К.Э. Шеннона с применением кодов плотнейшей поверхностно – сферической укладки. - М.: Системы синхронизации, формирования и обработки сигналов. № 1 – 2023, с. 62 – 67. 6. Кузнецов В.С. Синхронные ортогональные коды. – М.: Системы синхронизации, формирования и обработки сигналов. № 1 – 2024, с. 26 – 29. 7. Патент РФ на изобретение № 2834691. Способ помехоустойчивого кодирования троичным кодом с широкополосной передачей данных. Авторы: Кузнецов В.С., Волков А.С., Солодков А.В., Лоос В.В. Приоритет изобретения 14 июня 2024 г. Дата гос. регистрации 12 февраля 2025 г. 8. Kuznetsov V., Volkov A., Solodkov A., Loos V. High – Speed Ternary Error Correction Code // 2025 Conference Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (2025 ElCon), St. Petersburg Electrotechnical University “LETI“, 2025, January 28 – 29 , St. Petersburg, Russia. – p. 1694 – 1697. 9. Каталог для систем связи и радиолокации. – М.: “ЭЛВИС “, www.elvees.ru. 2025, 24 c.