Zur Ausbreitung einer Granulatlawine entlang gekrümmter Flächen - Laborexperimente und Modellrechnungen

Zur Ausbreitung einer Granulatlawine entlang gekrümmter Flächen - Laborexperimente und Modellrechnungen - ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Dem Fachbereich Physik der Technischen Hochschule Darmstadt vorgelegte Diplomarbeit von Ralf Greve Verfaßt am Institut für Mechanik Technische Hochschule Darmstadt Betreuer: Prof. K. Hutter, Ph. D., Prof. Dr. W. Lauterborn September 1991 i ZUSAMMENFASSUNG Diese Arbeit befaßt sich mit der theoretischen, numerischen und experimentellen Behandlung von Fließlawinen in zwei sowie in drei Dimensionen. Es wird eine höhengemittelte Theorie dreidimensionaler Fließlawinen vorgestellt, welche auf einem MOHR-COULOMBschen Fließkriterium und einem COULOMBschen trockenen Reibungsgesetz basiert, und die Spezialisierung auf zwei Dimensionen durchgeführt. Die dreidimensionalen Modellgleichungen werden in einem weiteren Schritt breitengemittelt, um ein numerisch einfacher zu behandelndes System zu erhalten. Weiter werden numerische Verfahren zur Lösung der zweiund dreidimensionalen Modellgleichungen angegeben, welchen die Verwendung von materiellen, die Lawinenbewegung mitmachenden Zellen zugrunde liegt. Experimente werden mit verschiedenen Granulaten in einem Schußkanal mit einer teils konvex, teils konkav gekrümmten Bahn durchgeführt, wobei der Bewegungsablauf vom Zeitpunkt des Auslösens bis zum Stillstand mit Schnellbildfotografie erfaßt wird. Die Resultate dieser Experimente werden mit Modellrechnungen verglichen, um Aufschluß über die Anwendbarkeit des Modells zu erhalten. Des weiteren werden Experimente auf einer Lawinenrutsche ohne seitlich begrenzende Wände, bestehend aus einer schiefen und einer horizontalen Ebene mit gekrümmtem Übergangsbereich, durchgeführt und unter Verwendung eines im Rahmen dieser Arbeit entstandenen Spiegelaufsatzes mittels stereoskopischer Schnellbildfotografie verfolgt. Die photogrammetrische Auswertung dieser Aufnahmen mit dem Ziel der Erstellung von Höhenlinienkarten als Zeitserie konnte nicht mehr vollendet werden; zumindest kann jedoch anhand eines Testkörpers die prinzipielle Anwendbarkeit dieser Aufnahmetechnik demonstriert werden. Es zeigt sich, daß im Falle der zweidimensionalen Lawinen eine sehr gute Übereinstimmung zwischen Experiment und Theorie besteht. Selbst die detaillierte, sich im Laufe der Zeit verändernde Lawinengeometrie kann mit großer Genauigkeit vom Modell reproduziert werden. Bei den dreidimensionalen Lawinen wird dagegen deutlich, daß das Modell im Vergleich zum Experiment deutlich zu große Längen und zu geringe Breiten des Lawinenkörpers ergibt, was darauf hinweist, daß durch die Breitenmittelung der Modellgleichungen zu viel Information über den Bewegungsablauf verloren geht. ii ABSTRACT This paper deals with the theoretical, numerical and experimental treatment of twoand three-dimensional flow avalanches. A depth-averaged theory for threedimensional flow avalanches is introduced, basing upon a MOHR-COULOMB yield criterion and a COULOMB dry friction law, and the specialization to two dimensions is carried out. The three-dimensional model equations are width-averaged in a further step in order to receive equations that can more easily be numerically handled. Furthermore, numerical calculation schemes are given for the twoand threedimensional model equations, making use of material cells that follow the motion of the avalanche. Experiments are carried out with different granular materials in a chute with a partly convex, partly concave curved geometry. In these experiments the avalanche motion from the moment of release to its standstill is followed by high speed photography. The results are compared with numerical calculations in order to get information about the applicability of the model. Moreover, experiments are performed on a surface without constraining walls, consisting of an inclined and a horizontal plane connected by a curved area. These experiments are followed by stereoscopic high speed photography, for which a mirror attachment, constructed during this work, is applied. The photogrammetric evaluation of the photos with the aim of obtaining relief maps as time series could not be accomplished, but the applicability of this method is demonstrated in principle by using a calibration body. In case of two-dimensional avalanches a very good correspondence between experiment and theory is observed. Even the development of the detailed avalanche geometry can be reproduced in good agreement by the model. In case of threedimensional avalanches, however, the model produces a considerable overprediction of the length and an underprediction of the width of the avalanche body in comparison with the experiment; a fact indicating that too much information of the motion process is lost because of the width-averaging of the model equations. iii INHALTSVERZEICHNIS 1 Einleitung ............................................................................................................................. 1 2 Theoretische Betrachtungen .............................................................................................. 4 2.1 Beschreibung des Modells ....................................................................................... 4 2.2 Problemangepasstes Koordinatensystem ............................................................. 7 2.3 Herleitung der höhengemittelten Modellgleichungen ..................................... 10 2.4 Zusätzliche Breitenmittelung ................................................................................ 25 2.5 Zweidimensionale höhengemittelte Modellgleichungen ................................. 29 3 Numerische Lösungsverfahren ....................................................................................... 30 3.1 Zweidimensionales Lagrangesches Finite-Differenzen-Schema ..................... 30 3.2 Weitere zweidimensionale Lösungsverfahren ................................................... 34 3.3 Dreidimensionales Lagrangesches Finite-Differenzen-Schema ....................... 34 3.4 Ausblick: verbesserte dreidimensionale Verfahren ........................................... 38 3.5 Programme .............................................................................................................. 41 4 Zweidimensionale Lawinen ............................................................................................ 43 4.1 Experimente mit zweidimensionalen Lawinen .................................................. 43 4.1.1 Versuchsaufbau ............................................................................................ 43 4.1.2 Bahngeometrie .............................................................................................. 45 4.1.3 Granulate ....................................................................................................... 48 4.1.4 Versuchsablauf ............................................................................................. 49 4.1.5 Datenerfassung ............................................................................................. 50 4.1.6 Versuchsreihe ................................................................................................ 52 4.2 Messung der Materialparameter .......................................................................... 57 iv 4.2.1 Bettreibungswinkel ...................................................................................... 57 4.2.2 Innerer Reibungswinkel und Wandreibungskoeffizient ........................ 58 4.3 Anfangsbedingungen für numerische Rechnungen .......................................... 59 4.4 Diskussion der Ergebnisse ..................................................................................... 61 4.4.1 Numerische Rechnungen ............................................................................ 61 4.4.2 Vergleich mit dem Experiment .................................................................. 66 4.5 Bildteil zu zweidimensionalen Lawinen ............................................................. 72 5 Dreidimensionale Lawinen ............................................................................................ 132 5.1 Experimente mit dreidimensionalen Lawinen ................................................. 132 5.1.1 Versuchsaufbau .......................................................................................... 132 5.1.2 Bahngeometrie ............................................................................................ 133 5.1.3 Stereoskopische Aufnahmetechnik ......................................................... 135 5.1.4 Kammerkalibrierung ................................................................................. 138 5.1.5 Versuchsablauf ........................................................................................... 143 5.1.6 Photogrammetrische Auswertung........................................................... 143 5.1.7 Versuchsreihe .............................................................................................. 144 5.2 Anfangsbedingungen für numerische Rechnungen ........................................ 149 5.3 Diskussion der Ergebnisse ................................................................................... 151 5.3.1 Numerische Rechnungen .......................................................................... 151 5.3.2 Vergleich mit dem Experiment ................................................................ 167 6 Ausblick ............................................................................................................................ 169 Literaturverzeichnis ............................................................................................................ 170 v ABBILDUNGSVERZEICHNIS Bild 2.1 : Definition der Koordinatensysteme und Bahnparameter. Die yRichtung weist in die Papierebene hinein. ................................................... 7 Bild 2.2 : MOHRsches Spannungsdiagramm für die xz-Ebene auf der Gleitfläche. Bei vorgegebenem pxz und pzz können unter Berücksichtigung des MOHR-COULOMBschen Kriteriums (2.51) zwei verschiedene MOHRsche Kreise konstruiert werden. Zwei unterschiedliche Werte für pxx sind möglich, entsprechend dem aktiven bzw. passiven Spannungszustand. ................................................................................ 16 Bild 2.3 : Erddruckkoeffizienten kact und kpass für variierende Werte des Bettreibungswinkels δ bei festem inneren Reibungswinkel φ. ................ 16 Bild 2.4 : Basales Profil der Lawine auf der Bahn, Definition der Feldgröße b. ....................................................................................................................... 25 Bild 3.1 : Aufteilung des Lawinenvolumens in materielle Zellen für das LAGRANGEsche Finite-Differenzen-Schema. ............................................... 30 Bild 3.2 : Triangulierung einer halbkugelförmigen Anfangsgeometrie für ein verbessertes dreidimensionales LAGRANGEsches Finite-Differenzen-Schema. ........................................................................................... 40 Bild 4.1 : Gesamtansicht des experimentellen Aufbaus. Oben links ist die Klappe in geöffnetem Zustand zu erkennen.............................................. 44 Bild 4.2 : Bahn mit tragenden Vierkantstücken. ........................................................ 44 Bild 4.3 : Startphase einer Lawine, bestehend aus 3 l des Granulats Marmor 1. Am rechten Bildrand ist die sich öffnende Klappe sichtbar. ....... 45 Bild 4.4 : Bahnneigungswinkel ζ als Funktion der Bogenlänge x. Gestrichelt: bei [Koch89] verwendete Funktion; 1. Summand in (4.1). Durchgezogen: hier verwendete Funktion nach (4.1). Der 2. Summand in (4.1) bestimmt das Verhalten im mittleren Bahnbereich, der 3. Summand den Abfall bei negativen x. ........................................................ 46 vi Bild 4.5 : Darstellung der Bahngeometrie des Schußkanals. Die FallinienKoordinate x ist in dimensionsloser Darstellung auf der Bahnkurve abgetragen. Links oben ist die Anfangsgeometrie einer Lawine mit einem Volumen von V = 3 l zu sehen. .................................... 47 Bild 4.6 : Granulate. Oben Glas 3 mm, Glas 5 mm, Vestolen, dotiertes Vestolen (dieses kommt hier nicht zur Anwendung, vgl. jedoch Abschnitt 5.1.7). Unten Quarz 0, Quarz 1, Marmor 0, Marmor 1. .......... 49 Bild 4.7 : Definition der Lawinengeometrieparameter xr, xf, xs und hs. ................. 51 Bild 4.8 : Fotoserie zu Versuch 20 (3 l Glas 5 mm auf Sandpapier). ........................ 55 Bild 4.9 : Schiefe Ebene zur experimentellen Bestimmung des inneren Reibungswinkels δ0. Auf der schiefen Ebene ist der mit Granulat gefüllte Ring zu erkennen. ................................................................................ 58 Bild 4.10 : Kubischer Interpolationsspline für neun angemessene Stützstellen als Approximation des Anfangsprofils für Versuch 28 (unter Vorgabe der Steigung an den Rändern). Die Stützstellen sind durch Punkte gekennzeichnet. ................................................................................ 60 Bild 4.11 : Numerik-Serienrechnung für xr, xf, ur, uf, xs und hs als Funktion der Zeit mit variierter Zellenzahl N für Versuch Nr. 16 (1.5 l Vestolen auf Sandpapier). ............................................................................. 73 Bild 4.12 : Numerik-Serienrechnung für xr, xf, ur, uf, xs und hs als Funktion der Zeit mit variierter zeitlicher Iterationsschrittweite ∆t für Versuch Nr. 16 (1.5 l Vestolen auf Sandpapier). ........................................ 74 Bild 4.13 : Numerik-Serienrechnung für xr, xf, ur, uf, xs und hs als Funktion der Zeit mit variierter künstlicher Viskosität µ für Versuch Nr. 16 (1.5 l Vestolen auf Sandpapier). ................................................................... 75 Bild 4.14 : Gerechnete Werte für xr, xf, xs und hs in der Ablagerungsgeometrie als Funktionen des Bettreibungwinkels δ0 bei konstanten anderen numerischen Parametern. .............................................................. 76 Bild 4.15 : Gerechnete Werte für xr, xf, xs und hs in der Ablagerungsgeometrie als Funktionen des inneren Reibungswinkels φ bei konstanten anderen numerischen Parametern. .............................................................. 77 vii Bild 4.16 : Gerechnete Werte für das Höhenprofil in Zeitschritten von ∆t = 3 zu Versuch Nr. 17 (1.5 l Glas 5 mm auf Sandpapier). ............................... 78 Bild 4.17 : Gerechnete Werte für das Geschwindigkeitsprofil in Zeitschritten von ∆t = 3 zu Versuch Nr. 17 (1.5 l Glas 5 mm auf Sandpapier). ............ 80 Bild 4.18 : Gerechnete Werte für das Höhenprofil in Zeitschritten von ∆t = 3 zu Versuch Nr. 21 (1.5 l Glas 3 mm auf Sandpapier). ............................... 82 Bild 4.19 : Gerechnete Werte für das Geschwindigkeitsprofil in Zeitschritten von ∆t = 3 zu Versuch Nr. 21 (1.5 l Glas 3 mm auf Sandpapier). ............ 84 Bild 4.20 : Gerechnete Werte für das Höhenprofil in Zeitschritten von ∆t = 3 zu Versuch Nr. 29 (1.5 l Vestolen auf Pappe). ............................................ 86 Bild 4.21 : Gerechnete Werte für das Geschwindigkeitsprofil in Zeitschritten von ∆t = 3 zu Versuch Nr. 29 (1.5 l Vestolen auf Pappe). ......................... 88 Bild 4.22 : Gerechnete Werte für das Höhenprofil in Zeitschritten von ∆t = 3 zu Versuch Nr. 44 (1.5 l Marmor 0 auf Pappe). ......................................... 90 Bild 4.23 : Gerechnete Werte für das Geschwindigkeitsprofil in Zeitschritten von ∆t = 3 zu Versuch Nr. 44 (1.5 l Marmor 0 auf Pappe). ....................... 92 Bild 4.24 : Experimentell ermittelte und gerechnete Werte für xr, xf, xs und hs als Funktionen der Zeit zu Versuch Nr. 16 (1.5 l Vestolen auf Sandpapier). .................................................................................................... 94 Bild 4.25 : Experimentell ermittelte und gerechnete Werte für ur und uf als Funktionen der Zeit zu Versuch Nr. 16 (1.5 l Vestolen auf Sandpapier). ................................................................................................................. 95 Bild 4.26 : Experimentell ermittelte und gerechnete Werte für xr, xf, xs und hs als Funktionen der Zeit zu Versuch Nr. 17 (1.5 l Glas 5 mm auf Sandpapier). .................................................................................................... 96 Bild 4.27 : Experimentell ermittelte und gerechnete Werte für ur und uf als Funktionen der Zeit zu Versuch Nr. 17 (1.5 l Glas 5 mm auf Sandpapier). ............................................................................................................. 97 xiv NOTATION r Ortsvektor si kontravariante krummlinige Koordinaten x, y, z = s1, s2, s3 X, Y, Z kartesische Koordinaten gi kovariante, nicht normierte Basisvektoren gi kontravariante, nicht normierte Basisvektoren ei kovariante Einheitsbasisvektoren eI kartesische Einheitsbasisvektoren (.)B jeweilige Größe genommen auf der Gleitfläche ("base") ζ Neigungswinkel der Bahn in Fallinienrichtung R Krümmungsradius der Bahn κ Krümmung der Bahn t Tangenteneinheitsvektor der Bahn in Fallinienrichtung gij kovarianter Metriktensor Γn kl CHRISTOFFEL-Symbole u Geschwindigkeitsvektor t Zeit p Drucktensor ρ Dichte des granularen Materials g Vektor der Erdbeschleunigung ui* physikalische Komponenten von u, bezogen auf das krummlinige Koordinatensystem u, v, w = u1*, u2*, u3* pij* physikalische Komponenten von p, bezogen auf das krummlinige Koordinatensystem pxx, pxy, ... = p11*, p12*, ... h Höhe z der freien Oberfläche über der Bahn FS implizite Darstellung der freien Oberfläche n Normaleneinheitsvektor auf der freien Oberfläche δ Bettreibungswinkel φ innerer Reibungswinkel τ auf ein Flächenelement wirkende Schubspannung σ auf ein Flächenelement wirkende Normalspannung kact/pass Erddruckkoeffizient L typische Länge xv H typische Höhe R typischer Krümmungsradius ζ0 typischer Bahnneigungswinkel (.)* jeweilige Größe in entdimensionierter Darstellung (der Stern wird zwecks Notationsvereinfachung meist weggelassen) ε Aspektverhältnis λ Verhältnis typische Länge zu typischem Krümmungsradius (.) - jeweilige Größe höhengemittelt (.)S jeweilige Größe genommen auf der freien Oberfläche ("surface") b halbe basale Breite FR implizite Darstellung der halben basalen Breite (.)R jeweilige Größe genommen für y = b, d. h., auf der halben basalen Breite ("Rand") h ~ breitengemittelte Höhe (.) ~ jeweilige Größe höhenund breitengemittelt (außer für h, s. o.) h0 maximale Höhe über die Breite hinweg (.)k i jeweilige numerische Größe für die i-te Zellengrenze bzw. die i-te Zellenmitte nach k zeitlichen Iterationsschritten ∆t zeitliche Iterationsschrittweite N Anzahl der numerischen Zellen (.)m jeweilige Größe genommen in der Mitte einer numerischen Zelle Fi Fläche der i-ten numerischen Zelle Ψ künstlicher Viskositätsterm µ künstliche Viskosität Li Länge der i-ten numerischen Zelle δ effektiver Bettreibungswinkel δ0 eigentlicher, nur Bodeneffekte enthaltender Bettreibungswinkel kw Wandreibungskoeffizient Vi Volumen der i-ten numerischen Zelle tEnd Abbruchzeitpunkt der Iterationen xr Position x der Hinterfront für 2Dund 3D-Lawinen xf Position x der Vorderfront für 2Dund 3D-Lawinen ur Geschwindigkeit u an der Hinterfront für 2Dund 3D-Lawinen uf Geschwindigkeit u an der Vorderfront für 2Dund 3D-Lawinen xs Position x des Scheitelpunktes für 2D-Lawinen hs Höhe h am Scheitelpunkt für 2D-Lawinen (=maximale Höhe) xhmax Position x des Scheitelpunktes für 3D-Lawinen xvi hmax Höhe h0 am Scheitelpunkt für 3D-Lawinen xbmax Position x des Ortes maximaler Breite für 3D-Lawinen bmax maximale halbe basale Breite b für 3D-Lawinen V Gesamtvolumen einer Lawine VH Volumen der hinteren Ablagerung bei 2D-Lawinen VV Volumen der vorderen Ablagerung bei 2D-Lawinen Vx>xf Volumen der vor der Vorderfront zur Ruhe gekommenen Partikeln für 2D-Lawinen ζ0 Neigungswinkel der initialen schiefen Ebene der Lawinenrutsche rHK Radius der Anfangsgeometrie-Halbkugel xmin/max minimaler bzw. maximaler x-Wert in der Anfangsgeometrie ymin/max minimaler bzw. maximaler y-Wert in der Anfangsgeometrie xM, yM xund y-Koordinate des Mittelpunktes der Halbkugel xvii DANKSAGUNG Diese Arbeit wurde durch Herrn Prof. Kolumban Hutter, Ph. D., initiiert und ermöglicht. Ich danke ihm für die intensive Unterstützung und das Engagement, welches mir von seiner Seite während der Anfertigung der Arbeit zuteil wurde. Des weiteren möchte ich meinem Mitbetreuer, Herrn Prof. Dr. Werner Lauterborn, für sein Interesse an meiner Arbeit danken. Ein besonderer Dank gilt Herrn Heinz Wall vom Labor des Fachbereichs Mechanik, der mir bei allen experimentellen Arbeiten mit großem persönlichen Einsatz und Zeitaufwand zur Hand ging. Insbesondere trägt er einen maßgeblichen Anteil an der Realisierung des stereoskopischen Aufsatzes. Auch Herrn Ludwig Bickelhaupt sei für seine Hilfestellung auf dem experimentellen Sektor gedankt. Der Bau der endgültigen Version des stereoskopischen Aufsatzes wurde in der Werkstatt des Fachbereichs Mechanik vorgenommen. Hierfür gebührt insbesondere Herrn Werner Henrich Dank. Ich danke Herrn Prof. Dr. Bernhard Wrobel für die Unterstützung des Institutes für Photogrammetrie und Kartografie bei den photogrammetrischen Arbeiten. Ein spezieller Dank gilt hier Herrn Dr. Rolf-Dieter Düppe, der großes Interesse an dieser Arbeit zeigte und stets bereit war, mir auf dem anfangs fremden Gebiet der Photogrammetrie Hilfestellung zu gewähren. Weiter möchte ich Herrn Jörg Schneider und Herrn Reinhard Calov für ihre zahlreichen Hilfen bei Rechnerproblemen sowie Herrn Thilo Koch für seine Unterstützung speziell im Anfangsstadium dieser Arbeit danken. Herrn Christian Wallner danke ich für die Erstellung von Fotoabzügen und von Fotokopien für diese Arbeit. Schließlich gilt mein Dank meiner lieben Freundin Frau Anke Kurzke und meinen Eltern, Herrn Dieter und Frau Ingrid Greve. Ohne die von dieser Seite erfahrene moralische und finanzielle Unterstützung wäre die Vollendung dieser Arbeit nicht möglich gewesen. 1 1 EINLEITUNG Schon immer stellten Lawinen eine spezifische Gefahr alpiner Regionen dar. Jedoch haben vom Menschen verursachte Umweltschädigungen wie zunehmende Luftverschmutzung und saurer Regen, aber auch ein allzu verantwortungsloser Alpintourismus, die natürliche Flora der Berghänge in den letzten Jahrzehnten stark in Mitleidenschaft gezogen und somit einen natürlichen Schutzmechanismus gegen Lawinen beeinträchtigt. Dies hat ein gehäuftes Auftreten der verschiedensten Lawinenformen und damit einhergehend auch eine gewachsene Bedrohung für Mensch und Natur in alpinen Lebensräumen zur Folge. Hieraus resultiert ein verstärktes Interesse, die Dynamik solcher Phänomene verstehen zu wollen. Lawinenvorgänge in der Natur lassen sich phänomenologisch in zwei Grobkategorien einteilen. Die erste Kategorie beinhaltet Pulverschneelawinen, d. h., Lawinen, bei denen turbulente Verwirbelung des sie aufbauenden granularen Materials mit der umgebenden Luft auftritt. Solche Lawinen haben äußerlich eine gewisse Ähnlichkeit mit Kumuluswolken; sie zeichnen sich durch geringe mittlere Dichten (wesentlich kleiner als die Dichte des granularen Materials), große Höhen der Strömung über dem Untergrund und große Geschwindigkeiten aus. Die Abhängigkeit des Bewegungsablaufes solcher Pulverschneelawinen von der Topografie und Rauhigkeit des Untergrundes ist gering; sie folgen im wesentlichen der Richtung des stärksten Gefälles, und die Bodenreibung ist nur im Auslauf von stärkerer Bedeutung. Eine adäquate Beschreibung derartiger Pulverschneeströmungen erfordert ein Zwei-Phasen-Modell (Schnee/Luft) und die Berücksichtigung turbulenter Schließbedingungen. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird diese Klasse von Lawinen nicht behandelt; eine theoretische Beschreibung findet sich bei Scheiwiller, Hutter & Hermann 1987. Experimente mit Pulverschneelawinen im Labormaßstab wurden von F. HERMANN durchgeführt; siehe hierzu Scheiwiller, Hutter & Hermann 1987; Hermann & Scheiwiller 1988 und Hermann 1990. Die zweite umweltrelevante Klasse von Lawinen sind die sogenannten Fließlawinen, welche Gegenstand dieser Untersuchung sind. Fließlawinen bestehen in der Bewegung eines im wesentlichen dicht gepackten granularen Materials, dessen Bewegungsablauf demjenigen eines komplexen Fluides ähnelt. Kennzeichnend für solche Lawinen sind relativ große mittlere Dichten (vergleichbar der Dichte des granularen Materials selbst); die erreichten Höhen über dem basalen Untergrund 2 sind dagegen ebenso wie die während der Bewegung auftretenden Geschwindigkeiten vergleichsweise gering. Aufgrund des intensiven Kontaktes mit dem Boden zeigt sich im Gegensatz zu den Pulverschneelawinen eine ausgeprägte Abhängigkeit des Bewegungsablaufes von der Topografie und Rauhigkeit des Bodens. Dies äußert sich beispielsweise in Kanalisierungseffekten, die die Bewegungsrichtung der Fließlawinen von der Fallinienrichtung abweichen lassen. Fließlawinen treten in der Natur in Form von langsam ablaufenden Erdrutschen sowie schnelleren Geröll-, Eisund Naßschneelawinen auf; aufgrund der Kompaktheit des sie aufbauenden Materials weisen sie ein enormes Zerstörungspotential auf. S. B. SAVAGE und K. HUTTER entwickelten für den Spezialfall einer zweidimensionalen Fließlawine ohne Breitenabhängigkeit ein Modell, welches das granulare Material als ein inkompressibles Kontinuum annimmt, das einem MOHRCOULOMBschen Fließkriterium unterliegt, und dessen Reibung mit dem Untergrund durch ein COULOMBsches trockenes Reibungsgesetz beschrieben wird (Savage & Hutter 1989; Savage & Hutter 1991). Solche zweidimensionalen Granulatströmungen können im Laborversuch in Schußkanälen mit glatten, reibungsarmen Wänden realisiert werden. A. HUBER führte zuerst derartige Experimente auf einer schiefen Ebene durch (Huber 1980); ähnliche Experimente wurden von Ch. PLÜSS auf einer schiefen Ebene, die über einen gekrümmten Übergangsbereich in eine gerade Auslaufzone überging (Plüss 1987; Hutter, Plüss & Maeno 1988; Hutter, Plüss & Savage 1990) sowie von T. KOCH auf einer exponentiell abfallenden gekrümmten Bahn (Koch 1989; Hutter & Koch 1991) ausgeführt. Es zeigte sich hierbei stets eine gute bis hervorragende Übereinstimmung der experimentellen Daten mit theoretischen Vorhersagen gemäß dem SAVAGE-HUTTERschen Modell. Experimente mit dreidimensionalen Fließlawinen wurden in der Vergangenheit ebenfalls durchgeführt; R. M. LANG verwendete hierzu eine Bahnform ähnlich derer von Ch. PLÜSS (schiefe Ebene - gekrümmter Übergangsbereich - horizontale ebene Auslaufzone), jedoch ohne seitlich begrenzende Wände, so daß eine ungehinderte Ausdehnung der Lawinen in die Breite möglich war (Lang, Leo & Hutter 1989; Lang 1989). Des weiteren existiert eine dreidimensionale Erweiterung des zweidimensionalen SAVAGE-HUTTER-Modells von R. LANG (Lang 1989), dessen Vorhersagen jedoch nicht die hervorragenden Übereinstimmungen mit den experimentellen Daten ergaben, wie sie im zweidimensionalen Fall auftraten. 3 Ziel der vorliegenden Arbeit ist zunächst, in Anlehnung an die Arbeiten von R. LANG (Lang 1989) eine Theorie dreidimensionaler Fließlawinen, aufbauend auf dem SAVAGE-HUTTERschen Modell für zweidimensionale Fließlawinen, zu entwickeln. In Abschnitt 2 wird dies durchgeführt, und ebenso die Spezialisierung auf zwei Dimensionen behandelt. Im Anschluß daran werden in Abschnitt 3 numerische Lösungsverfahren der resultierenden Modellgleichungen vorgestellt, wobei sowohl zweidimensionale als auch dreidimensionale Lawinen berücksichtigt werden. Die hauptsächliche Ausrichtung dieser Arbeit geht jedoch dahin, einerseits Experimente mit zweiund dreidimensionalen Lawinen, andererseits numerische Rechnungen hierzu durchzuführen, und die erhaltenen Resultate zu vergleichen. Abschnitt 4 befaßt sich daher mit Experimenten und Modellrechnungen für zweidimensionale Lawinen auf einer Bahn, die sowohl konkav als auch konvex gekrümmte Bereiche enthält, und somit in ihrer Komplexität über in der Vergangenheit verwendete Bahnformen deutlich hinausgeht. Daher wird eine Überprüfung des bisher gut bewährten SAVAGE-HUTTERschen Modells für eine Geometrie möglich, die, abgesehen von der Zweidimensionalität, den Gegebenheiten in der Natur schon vergleichsweise nahe kommt. In Abschnitt 5 werden schließlich Experimente und Modellrechnungen für dreidimensionale Fließlawinen auf der oben erwähnten Lawinenrutsche von R. LANG beschrieben, wobei jedoch bei den Experimenten eine wesentlich verbesserte Aufnahmetechnik zur Anwendung kommt, die es ermöglichen soll, Höhenlinienkarten der Lawinen als Funktion der Zeit zu erstellen. 4 2 THEORETISCHE BETRACHTUNGEN 2.1 Beschreibung des Modells Die Bewegung von Fließlawinen weist zwei extremale Zustände auf. Im Grenzfall sehr kleiner Geschwindigkeiten liegt der Zustand des quasistatischen Fließens vor, welcher durch lang andauernde Kontakte zwischen den Partikeln untereinander bzw. zwischen den Partikeln und dem Boden charakterisiert ist, und somit dem Zustand eines statischen, bewegungslosen Haufens granularer Materie nahekommt. Es besteht daher eine gewisse Ähnlichkeit zu dem Verhalten der Atome bzw. Moleküle in einem Festkörper, der einer langsamen Deformation unterworfen ist. Aufgrund dieses quasistatischen Verhaltens ist es nicht erforderlich, in einem Materialgesetz zeitabgeleitete Größen wie etwa die Schergeschwindigkeit zu berücksichtigen (kein viskoses Verhalten). Die Reibung mit dem Untergrund kann somit in geeigneter Weise mit einem COULOMBschen trockenen Reibungsgesetz beschrieben werden, d.h., die scherende Reibungsspannung an der Gleitfläche ist proportional der Normalspannung und hängt nicht von der Geschwindigkeit der Granulatströmung ab. Mit dem Bettreibungswinkel δ (Neigungswinkel einer schiefen Ebene, bei dem auf ihr befindliches Granulat gerade abzurutschen beginnt) ergibt sich der Proportionalitätsfaktor µ zwischen Scherund Normalspannung zu µ = tanδ. Des weiteren wird ein MOHR-COULOMBsches Fließkriterium angenommen, welches die maximale, auf ein Flächenelement wirkende Scherspannung mit der zugehörigen Normalspannung via den Tangens des inneren Reibungswinkels φ verknüpft. Der zweite extreme Fließbereich, das schnelle Fließen, tritt bei sehr großen Geschwindigkeiten auf. Er zeichnet sich dadurch aus, daß die Bewegung eines einzelnen Partikels aus der mittleren Fließgeschwindigkeit am Ort des Partikels und einem zusätzlichen, stark fluktuierenden Anteil zusammengesetzt ist, so daß Interpartikelkontakte und Kontakte zwischen den Partikeln und dem Boden stoßartig verlaufen und daher nur sehr kurze Zeit andauern. Kann man den Zustand des quasistatischen Fließens mit demjenigen eines Festkörpers vergleichen, so liegt hier eher ein fluidartiger Zustand vor. Konsequenterweise treten in Materialgesetzen, die diesen Zustand adäquat beschreiben sollen, Ratenabhängigkeiten auf; aus einer kinetischen Theorie granularer Strömungen erhält man etwa 5 eine quadratische Abhängigkeit der Scherspannungen als Funktion der Scherungsrate, was auch mit experimentellen Untersuchungen im Einklang steht. Die beiden beschriebenen Extremzustände des quasistatischen bzw. schnellen Fließens treten bei realen Lawinen in reiner Form nie auf, sondern es liegt ein intermediärer Fließzustand vor, bei dem sowohl lang andauernde als auch kurzzeitige Partikel-Partikelbzw. Partikel-Boden-Wechselwirkungen zur Generierung der Spannungen beitragen. Typischerweise existiert eine dünne, bodennahe Grenzschicht, die sogenannte aktive Schicht, welche sich eher im Zustand des schnellen Fließens befindet und in der hohe Scherungsraten vorliegen. In demjenigen Teil der granularen Materie, der oberhalb dieser aktiven Zone befindlich ist, stellt sich dagegen ein mehr quasistatischer Zustand ein. Dieses Verhalten einer Fließlawine ist unmittelbar einleuchtend, denn die bodennahen Partikel stoßen ständig mit dem rauhen Untergrund zusammen und erhalten so statistisch verteilte Geschwindigkeitskomponenten, welche jedoch nur teilweise an höhere Schichten weitergegeben werden können. Diesem intermediären Fließzustand Rechnung tragend, existieren Ansätze, die auftretenden Scherspannungen als Summe eines ratenunabhängigen, trockenen Anteils und eines ratenabhängigen, viskosen Anteils zu formulieren. In Frage kommt für letzteren etwa ein Term vom VOELLMY-Typ, welcher z. B. von R. M. LANG (Lang 1989) für die Beschreibung dreidimensionaler Laborlawinen verwendet wurde. Jedoch demonstieren S. B. SAVAGE und K. HUTTER (Savage & Hutter 1989) ausführlich, daß bereits ein einfaches Modell, welches wie im Falle quasistatischen Fließens ein ratenunabhängiges COULOMBsches trockenes Reibungsgesetz und ein ebenfalls ratenunabhängiges MOHR-COULOMB-Kriterium für innere Verformungen verwendet, eine angemessene Beschreibung für Fließlawinen darstellt. Da diese Behauptung durch eine größere Zahl experimenteller Befunde verifiziert ist (Plüss 1987; Koch 1989; Savage & Hutter 1989), wird dieser Weg auch hier gewählt. Die wesentlichen Merkmale des in dieser Arbeit vorgestellten und verwendeten SAVAGEHUTTER-Modells sind also: - Beschreibung des granularen Materials als inkompressibles Kontinuum - Verwendung eines COULOMBschen trockenen Reibungsgesetzes für die Bodenreibung --> Parameter δ (Bettreibungswinkel), welcher das granulare Material und den Boden charakterisiert - Verwendung eines MOHR-COULOMBschen Kriteriums für innere Verformungen --> Materialparameter φ (innerer Reibungswinkel) 30 3 NUMERISCHE LÖSUNGSVERFAHREN 3.1 Zweidimensionales LAGRANGEsches Finite-Differenzen-Schema Das im folgenden beschriebene Verfahren zur numerischen Lösung der zweidimensionalen SAVAGE-HUTTER-Gleichungen (System III) wurde bereits in früheren Untersuchungen erfolgreich auf die Berechnung der Dynamik von Granulatlawinen in zwei Dimensionen (vgl. Savage & Hutter 1989, Koch 1989) angewendet. Es handelt sich um ein explizites Einschrittverfahren, welches die Größen zum Zeitpunkt k (für Ort und Höhe) bzw. k+ 1 2 (für Geschwindigkeit) direkt aus den Größen zum Zeitpunkt k–1 (für Ort und Höhe) bzw. k−1 2 (für Geschwindigkeit) berechnet. Die Grundidee besteht darin, ein materielles, also an den Lawinenpartikeln fest haftendes Gitter zu verwenden (LAGRANGEsche Darstellung), welches demzufolge die Bewegung der Lawine mitmacht. Alternative Verfahren werden kurz in Abschnitt 3.2 angesprochen. Wir gehen aus von einer Unterteilung der Lawine in N materielle Zellen gemäß folgender Abbildung: z x (h m ) N (h m ) N-1 (h m ) 2 (h m ) 1 x N x N-1 x N-2 x 2 x 1 x 0 . . . Bild 3.1: Aufteilung des Lawinenvolumens in materielle Zellen für das LAGRANGEsche Finite-Differenzen-Schema Mit einem Index m gekennzeichnete Größen beziehen sich dabei auf die Mitte der jeweiligen Zelle, solche ohne diesen Index dagegen auf den Zellenrand. Der hochgestellte Index k meint jeweils den Wert der entsprechenden Größe nach k zeitlichen Iterationsschritten. Zunächst werden die neuen Positionen der Zellenränder bestimmt: 44 Bild 4.1: Gesamtansicht des experimentellen Aufbaus. Oben links ist die Klappe in geöffnetem Zustand zu erkennen. Bild 4.2: Bahn mit tragenden Vierkantstücken Bild 4.3: Startphase einer Lawine, bestehend aus 3 l des Granulats Marmor l. Am rechten Bildrand ist die sich offnende Klappe sichtbar. 4.1.2 Bahngeometrie Hauptzweck der vorliegenden Untersuchung ist es, die Giiltigkeit der SAVAGE HUTTERschen Gleichungen (System III) fiir eine vergleichsweise komplizierte Bahngeometrie zu iiberpriifen. Eine solche Geometrie mit konvexen und konka ven Abschnitten wird hier verwendet. Da die numerische Berechnung gemais Abschnitt 3.1 nicht die Bahnfunktion Z(X) selbst, sondern den Neigungswinkel s und die Kriimmung K als Funktionen der dimensionslosen Bahnkoordinate x (Entdimensionierung erfolgt mit L = 15 cm, H = 15 cm, R = 15 cm ) benotigt, wird fiir s(x ) eine analytische Funktion gewahlt: 45 mit so = 60°, a = 0.1, s1 = 31.40, (4.1) 4 S =15 (x-9), s2 = 370, C = 0.3. 48 4.1.3 Granulate Im Rahmen der vorliegenden Untersuchung werden Experimente mit sieben verschiedenen Granulaten durchgeführt. Dies ermöglicht es, eine breite Spannweite von Werten für den Bettreibungswinkel δ und den inneren Reibungswinkel φ abzudecken. Diese Granulate sind im einzelnen: Glas 3 mm : näherungsweise kugelförmige Glaspartikel mit einem Durchmesser von ca. 3 mm Glas 5 mm : wie Glas 3 mm, jedoch mit ca. 5 mm Durchmesser Vestolen : etwa zylinderförmige (Bodenund Deckfläche leicht ausgebeult) Partikel aus Vestolen, Durchmesser ca. 4 mm, Höhe ca. 2.5 mm Quarz 0 : Quarzsteinchen mit relativ glatter Oberfläche, Durchmesser ca. 2-3 mm Quarz 1 : wie Quarz 0, jedoch Durchmesser ca. 4-5 mm Marmor 0 : scharfkantige Partikel aus weißem Marmor, maximale Größe ca. 3 mm Marmor 1 : wie Marmor 0, aber maximale Größe ca. 5 mm In Bild 4.6 sind diese Granulate zu sehen. Die Materialparameter der Granulate (Bettreibungswinkel δ auf Sandpapier und Pappe, innerer Reibungswinkel φ, Wandreibungskoeffizient kw) sind in Tabelle 4.1 aufgelistet. Auf die Bestimmung dieser Größen wird in Abschnitt 4.2 näher eingegangen. Granulat δ0, Sandpapier δ0, Pappe φ kw Glas 3 mm 24.3° ± 1° 23.6° ± 1.5° 31° ± 2° 9° ± 2° Glas 5 mm 21.2° ± 1° 22.4° ± 1.5° 29° ± 2° 11° ± 2° Vestolen 34.6° ± 2° 24.7° ± 1.5° 37° ± 2° 11° ± 2° Quarz 0 38.5° ± 1° 31.1° ± 1.5° 44° ± 2.5° 12° ± 2° Quarz 1 38.7° ± 2° 30.9° ± 2° 43° ± 3° 11.5° ± 2° Marmor 0 39.5° ± 2° 33.6° ± 2° 47° ± 3° 12.5° ± 2° Marmor 1 40.4° ± 2° 32.5° ± 2° 46°± 4° 12° ± 2° Tabelle 4.1: Materialparameter der verwendeten Granulate. 49 Bild 4.6: Granulate. Oben Glas 3 mm, Glas 5 mm, Vestolen, dotiertes Vestolen (dieses kommt hier nicht zur Anwendung, vgl. jedoch Abschnitt 5.1.7). Unten Quarz 0, Quarz 1, Marmor 0, Marmor 1. Da auf Sandpapier die Werte für den inneren Reibungswinkel δ sehr groß sind, werden nur die "schnellen" Granulate Glas 3 mm, Glas 5 mm und Vestolen für Experimente auf diesem Untergrund verwendet. Die anderen vier Granulate können den Buckel im mittleren Bahnabschnitt nicht überwinden und sind daher auf Sandpapier wenig interessant. 4.1.4 Versuchsablauf An dieser Stelle sei der Ablauf eines typischen Experiments beschrieben. Zuerst wird die gewünschte Menge an Granulat mit einem Meßzylinder abgemessen, in das Füllvolumen des Schußkanals eingefüllt und die Oberfläche des Füllgutes geglättet. Die Fotokamera wird in geeigneter Entfernung aufgestellt, anschließend die Filmleuchten und die Uhr eingeschaltet. Schließlich wird das Experiment gestartet, indem gleichzeitig der Auslöser der Kamera betätigt und die Klappe geöffnet wird. Der Bewegungsvorgang wird nun mit Schnellbildfotografie (Bildfrequenz f = 10...14 Hz) aufgenommen; dies ergibt üblicherweise ca. 30 Dias. Nach dem Erliegen der Lawinenbewegung wird die Ablagerung in Nahaufnahme fotografiert und zusätzlich vermessen. Zur Erfassung der Daten der Bewegung werden die 50 erhaltenen Dias auf Leinwand projiziert und ebenfalls ausgemessen. Hierzu mehr in Abschnitt 4.1.5. Jeder Versuch wird zweimal durchgeführt, einmal ohne und einmal mit fotografischer Aufnahme während der Bewegung. Zweck des jeweiligen Vorversuches ist es primär, die Reichweite der Granulatlawine und die Zeitdauer von deren Bewegung unter den gegebenen Bedingungen zu bestimmen, um anschließend die Kamera optimal plazieren und einstellen zu können. Des weiteren erhält man Aufschluß über die Reproduzierbarkeit der Versuche. Bei einigen der Vorversuche werden zusätzlich interessante Bereiche (z.B. der Buckel) in Nahaufnahme mit einer Videokamera aufgenommen. 4.1.5 Datenerfassung Wie bereits oben erwähnt, werden die Daten der Lawinenbewegung aus der Projektion der erhaltenen Dias gewonnen. Im einzelnen werden dabei folgende Werte erfaßt : t : Zeitpunkt der Aufnahme xr : Position der Hinterfront der Lawine, genommen an der Stelle, an der die Bahn über ihre gesamte Breite mit Partikeln bedeckt ist (MonolayerSchicht) xf : Position der Vorderfront der Lawine, genaue Stelle wie bei xr xs : Position des Scheitelpunktes der Lawine, also des Punktes, an dem die maximale Höhe angenommen wird hs : Höhe der Lawine am Scheitelpunkt Die Bedeutung der die Lawinengeometrie beschreibenden Größen xr, xf, xs und hs ist in Bild 4.7 illustriert. 53 Nr. Granulat Bettmaterial V/l x r x f x s h s V V /V H 16 Vestolen Sandpapier 1.5 5.1 ± 0.1 17.4 ± 0.2 6.3 ± 0.3 0.18 ± 0.02 0.523 ± 0.06 17 Glas 5 mm Sandpapier 1.5 17.5 ± 0.1 24.8 ± 0.2 18.1 ± 0.3 0.14 ± 0.02 ∞ 19 Vestolen Sandpapier 3 4.6 ± 0.1 18.8 ± 0.2 5.9 ± 0.2 0.35 ± 0.02 0.574 ± 0.05 20 Glas 5 mm Sandpapier 3 16.6 ± 0.1 27.1 ± 0.3 17.2 ± 0.3 0.21 ± 0.02 ∞ 21 Glas 3 mm Sandpapier 1.5 15.5 ± 0.1 23.9 ± 0.3 16.0 ± 0.3 0.16 ± 0.01 ∞ 22 Glas 3mm Sandpapier 3 14.6 ± 0.1 25.2 ± 0.3 15.3 ± 0.3 0.25 ± 0.02 ∞ 28 Vestolen Pappe 3 4.9 ± 0.1 21.2 ± 0.4 5.9 ± 0.2 0.32 ± 0.01 0.983 ± 0.08 29 Vestolen Pappe 1.5 5.7 ± 0.1 20.6 ± 0.4 15.3 ± 0.2 0.13 ± 0.02 1.716 ± 0.27 35 Quarz 0 Pappe 3 4.6 ± 0.1 18.4 ± 0.4 5.9 ± 0.3 0.40 ± 0.02 0.345 ± 0.05 36 Quarz 0 Pappe 1.5 5.3 ± 0.01 17.6 ± 0.4 6.1 ± 0.2 0.23 ± 0.02 0.384 ± 0.08 37 Quarz 1 Pappe 3 4.5 ± 0.1 17.8 ± 0.4 5.8 ± 0.2 0.42 ± 0.02 0.290 ± 0.04 43 Glas 3mm Pappe 1.5 17.1 ± 0.1 25.9 ± 0.2 17.6 ± 0.3 0.10 ± 0.02 ∞ 44 Marmor 0 Pappe 1.5 4.8 ± 0.1 15.3 ± 0.2 6.0 ± 0.3 0.29 ± 0.02 0.0576 ± 0.016 46 Marmor 1 Pappe 1.5 5.1 ± 0.1 15.8 ± 0.2 6.2 ± 0.3 0.24 ± 0.02 0.136 ± 0.04 47 Glas 5mm Pappe 1.5 19.1 ± 0.1 ? ? ? ∞ 48 Quarz1 Pappe 1.5 5.6 ± 0.1 18.1 ± 0.4 6.5 ± 0.3 0.20 ± 0.02 0.534 ± 0.07 Tabelle 4.2: Fotografisch erfaßte Versuche und zugehörige Daten des Ablagerungsgebietes für Hinterfront, Vorderfront, Position und Höhe des Scheitelpunktes (alles dimensionslos) sowie das Volumenverhältnis von vorderer zu hinterer Ablagerung. 61 Die Geschwindigkeiten an den Zellengrenzen werden nun durch lineare Interpolation zwischen den Fronten näherungsweise dargestellt: u -1/2 i ≈ u -0 i = (ur)0 + ((uf)0 – (ur)0) . i N (i = 0...N) . (4.12) Der Unterschied zwischen u -1/2 i und u -0 i wird hierbei vernachlässigt. Dies ist akzeptabel, da sich der hochgestellte Zeitindex auf die zeitliche Schrittweite in der numerischen Rechnung bezieht, welche wesentlich kleiner ist als der zeitliche Abstand zweier aufeinanderfolgender Dias. Mit den so erhaltenen Anfangsbedingungen kann nun eine Modellrechnung (vgl. Abschnitt 3.1) durchgeführt werden. 4.4 Diskussion der Ergebnisse 4.4.1 Numerische Rechnungen In Abschnitt 3.1 wurde mit dem LAGRANGEschen Finite-Differenzen-Schema ein numerisches Verfahren zur Lösung der SAVAGE-HUTTER-Gleichungen (System III) für zweidimensionale Lawinen vorgestellt. In diesem Verfahren treten drei numerische Parameter auf, nämlich die Zellenzahl N, die zeitliche Iterationsschrittweite ∆t und die künstliche Viskosität µ, für die es zunächst gilt, geeignete Werte zu ermitteln. Zu diesem Zweck wurden für die Konfiguration des Versuches 16 (1.5 l Vestolen auf Sandpapier) Serienrechnungen durchgeführt, wobei jeweils einer der numerischen Parameter variiert wurde. Hierbei wird die Auswirkung auf den zeitlichen Verlauf von xr, xf, ur, uf, xs und hs untersucht; die erhaltenen Ergebnisse sind in den Bildern 4.11 bis 4.13 dargestellt. Man erkennt, daß die Dynamik dieser Größen in den betrachteten Wertebereichen der numerischen Parameter nur sehr schwach von N und ∆t abhängt; der jeweils kleinste Wert ergibt ein geringfügig von den restlichen Resultaten abweichendes Ergebnis. Der Einfluß von µ ist dagegen deutlich stärker ausgeprägt; insbesondere hebt sich das Ergebnis für den maximalen betrachteten Wert µ = 0.4 deutlich von den anderen Resultaten ab. Man muß folglich bestrebt sein, µ so klein wie möglich zu wählen, um eine Beeinflussung der Ergebnisse durch den künstlichen Viskositätsterm zu minimieren; unterhalb von µ = 0.02 wird das Verfahren jedoch schnell instabil, so daß dieser Term unverzichtbar ist. 62 Die Ergebnisse der oben diskutierten Serienrechnungen lassen es sinnvoll erscheinen, standardmäßig folgende numerische Parameter zu verwenden: N = 40 , ∆t = 0.002 , µ = 0.05 . (4.13) Alle Rechnungen werden bis zu einer Zeit tEnd = 30 durchgeführt, bei der für alle vorgenommenen Rechnungen ein vollständiges Abklingen der Bewegung eingetreten ist. Die Materialparameter δ0, φ und kw zu einer bestimmten Granulat-Untergrund-Kombination sind in Abschnitt 4.1.3 angegeben. Wie in Abschnitt 4.2 erwähnt, sind diese Werte jedoch systematisch zu groß, da die Meßmethoden stets Haftreibungen ergeben, wohingegen im Experiment Gleitreibungen relevant sind. Beim Untergrund Pappe tritt zusätzlich ein gegenläufiger Effekt auf: durch die ersten Vorversuche wurde die ursprünglich glatte Pappe abgestumpft, was sich in einem Abnehmen der Reichweite bei identischen Versuchen äußerte. Das bedeutet aber, daß sich die tatsächliche Bettreibung δ0 gegenüber der auf glatter Pappe gemessenen Bettreibung vergrößert hat. Die Abhängigkeit der numerischen Ergebnisse von φ und kw ist, wie in diesem Abschnitt noch gezeigt wird, gering. Somit werden für diese beiden Größen die Werte von Abschnitt 4.1.3 ohne Korrektur übernommen. Andererseits ist die Abhängigkeit von δ0 sehr groß; daher werden für jeden Versuch Proberechnungen mit verschiedenen Werten für δ0, die in der Nähe des gemessenen Wertes angesiedelt sind, durchgeführt, und so durch Vergleich mit den experimentellen Daten das optimale δ0 für jede Granulat-Untergrund-Kombination bestimmt. Diese schließlich in den Rechnungen verwendeten Werte sind in Tabelle 4.3 zusammengestellt. Granulat Glas 3 mm Glas 5 mm Vestolen Quarz 0 Quarz 1 Marmor 0 Marmor 1 δ0, Sandpapier 24° 21° 29° - - - - δ0, Pappe 22° 20.5° 26.5° 30° 29° 33° 32° Tabelle 4.3: In den numerischen Rechnungen verwendete Werte für den Bettreibungswinkel δ0. In Übereinstimmung mit den oben aufgeführten Effekten sind einerseits die Werte für δ0 auf Sandpapier tatsächlich alle mehr oder weniger kleiner als die ursprünglich 63 gemessenen Werte, andererseits treten bei Pappe wegen des Abschliffs auch größere Werte auf (Vestolen). Die meisten der Versuche mit einem Lawinenvolumen von V = 3 l können mit den Standardparametern von (4.13) nicht gerechnet werden; es treten typische Instabilitäten auf. Das äußert sich darin, daß die Geschwindigkeit der Hinterfront ur kurz vor dem Stillstand einen mehr oder weniger starken Unterschwinger aufweist, der im Extremfall nach –∞ strebt und somit das Versagen des Verfahrens bewirkt. Damit einher geht eine Überhöhung der Scheitelpunktshöhe hs (vgl. Bilder 4.40, 4.41, 4.44, 4.45 zu V35 und V37). Offensichtlich wird hier ein Aufsteilen der Hinterfront mit anschließender Reflexion produziert, was nicht der Realität entspricht, denn solche negativen Geschwindigkeiten der Hinterfront werden experimentell nicht beobachtet. Lediglich bei den 3 l-Versuchen mit Glas tritt dieser numerische Effekt nicht auf. Abhilfe schafft die Verwendung einer kleineren Zellenzahl N (20 oder sogar 10), wodurch zumindest das völlige Versagen des Verfahrens vermieden werden kann, wenn auch um den Preis einer schlechten Auflösung. Verringerung der zeitlichen Schrittweite ∆t alleine bringt im Rahmen vernünftiger Rechenzeiten keinen Erfolg, wie sich durch Rechnungen mit einem um einen Faktor 10 kleineren ∆t als in (4.13) angegeben bestätigt. Ebensowenig lassen sich diese numerischen Probleme mit anderen künstlichen Viskositäten µ in den Griff bekommen; der Einfluß von µ auf die Ergebnisse ist im Rahmen des geeigneten Bereiches ohnehin relativ gering. Eine weitere gelegentlich auftretende numerische Störung äußert sich darin, daß die Scheitelpunktshöhe hs gegen Ende der Bewegung hin (etwa ab t = 18) Peaks aufweist; vgl. Bilder 4.30, 4.32, 4.34, 4.38 zu den Versuchen 20, 21, 22 und 29. Da diese Peaks jedoch schnell wieder relaxieren, bedürfen sie keiner weiteren Aufmerksamkeit. Um ein unphysikaliches Zurückbleiben hinterer Zellen, wie es bei Rechnungen mit Glasgranulaten auftritt, zu vermeiden, wird ein numerischer Trick, nämlich das "Pushen" dieser Zellen angewendet: übersteigt die Länge einer der drei hinteren Zellen den Wert 2, so wird diese bei gleichzeitiger Höhenverdopplung in der Länge halbiert. Zu rechtfertigen ist dieser Trick durch die Tatsache, daß eine derart lange Zelle eine Höhe aufweist, die weit unter dem Durchmesser eines Partikels liegt und somit ohnehin physikalisch bedeutungslos ist. Für alle Granulate außer Glas bleibt das ohne Einfluß auf das Ergebnis, da Zellen dieser Länge an der Hinterfront nicht auftreten; bei Glas kann jedoch in Übereinstimmung mit dem Experiment meist ein 64 vollständiges Überwinden des Bahnbuckels erreicht werden. Es kann aber aufgrund dieses recht künstlichen Tricks nicht erwartet werden, daß die berechnete Geschwindigkeit der Hinterfront ur in dem Zeitbereich, in dem das "Pushen" wirksam ist, quantitativ mit den experimentellen Resultaten übereinstimmt, vgl. auch Bilder 4.27, 4.47 und 4.53. In diesen Diagrammen erkennt man bei großen Zeiten einen Buckel für ur, der durch diesen Trick produziert wurde (der anschließende Unterschwinger in Bild 4.53 ist eine numerische Instabilität ähnlich der oben beschriebenen numerischen Reflexion); die Übereinstimmung mit dem Experiment ist hierbei vergleichsweise schlecht. Trotz des "Pushens" erhält man bei den Glasversuchen V20 bis V22 eine numerische Ablagerung hinter dem Buckel, die nicht der Realität entspricht. Hierzu mehr in Abschnitt 4.4.2. Um die Abhängigkeit des numerischen Verfahrens von den Materialparametern δ0 und φ zu untersuchen, wurden Serienrechnungen durchgeführt, wobei diese Größen bei jeweils festgehaltenen anderen Parametern variiert wurden; als Anfangsbedingung wurde dabei diejenige zu Versuch 36 gewählt. Die δ0-Serie umfaßt Rechnungen mit δ0 = 20°... 31° in Schritten von 1° mit φ = 35°, kw = 10°, N = 40, ∆t = 0.01 und µ = 0.05; die φ-Serie enthält Rechnungen mit φ = 26°... 40° in 1°-Schritten und δ0 = 25°, kw = 10°, N = 40, ∆t = 0.01 und µ = 0.05. Untersucht wird hierbei die Auswirkung von δ0 bzw. φ auf die Ablagerungsgrößen xr, xf, xs und hs; die Ergebnisse sind in den Bildern 4.14 und 4.15 dargestellt. Es zeigt sich hierbei, daß die Auswirkung von φ auf die Ergebnisse nur sehr gering ist, wobei tendenziell mit wachsendem φ eine Zunahme der Lawinenlänge (xf − xr) bei gleichzeitiger Abnahme der Höhe am Scheitelpunkt hs festzustellen ist (siehe Bild 4.15). Diese nur geringfügige Abhängigkeit resultiert aus der Tatsache, daß φ nur via den Erddruckkoeffizienten kact/pass im Modell auftritt; dieser wiederum kommt im System III nur im letzten Term der Impulsgleichung (2.123) vor, welcher von der Ordnung O (ε) und somit klein ist. Die Abhängigkeit der Ablagerungsgeometrie vom Bettreibungswinkel δ0 ist naturgemäß wesentlich stärker ausgeprägt (siehe Bild 4.14). Logischerweise nehmen die Positionen der Hinterfront xr, der Vorderfront xf und des Scheitelpunktes xs mit wachsendem δ0 ab, da die bremsende Reibung mit dem Untergrund immer stärker wird. Es sind hierbei zwei interessante Übergänge zu beobachten: der Wert für xr nimmt zwischen δ0 = 21° und δ0 = 22° sprunghaft ab; ebenso der Wert für xs zwischen δ0 = 27° und δ0 = 28°. Der erste Übergang entsteht dadurch, daß für δ0 ≤ 21° 65 der Buckel im mittleren Bereich der Bahn noch vollständig überwunden werden kann, die Hinterfront also vor dem Buckel zu liegen kommt, für δ0 ≥ 22° dagegen nicht mehr; mithin verbleibt dann hinter dem Buckel eine Ablagerung. Der Buckel selbst ist zu steil, als daß die Hinterfront auf ihm zur Ruhe kommen könnte. Der zweite Übergang kommt schließlich dadurch zustande, daß mit wachsendem δ0 die Mächtigkeit der hinteren Ablagerung auf Kosten der Mächtigkeit der vorderen Ablagerung zunimmt, bis zwischen δ0 = 27° und δ0 = 28° der Ort maximaler Höhe, also xs, unstetig von der vorderen zur hinteren Ablagerung überspringt. Das Verhalten der Scheitelpunktshöhe hs stimmt damit überein: von δ0 = 31° bis δ0 = 28° nimmt sie mit abnehmendem δ0 ab (Scheitelpunkt liegt noch in der hinteren Ablagerung, deren Mächtigkeit langsam abnimmt), unterhalb von δ0 = 27° nimmt sie jedoch mit weiter abnehmendem δ0 zunächst zu, da jetzt der Scheitelpunkt in die vordere Ablagerung übergesprungen ist, dessen Mächtigkeit aber zunimmt. Bei sehr kleinen δ0 nimmt hs wieder ab, weil dort schon das gesamte Volumen den Buckel überwinden kann, jedoch die Lawine mit weiter fallendem δ0 immer mehr in die Länge gezogen wird. Für vier ausgewählte Versuche (V17, V21, V29, V44) werden die Ergebnisse der Modellrechnungen in Form von aufeinanderfolgenden Momentaufnahmen für das Höhenund Geschwindigkeitsprofil dargestellt; siehe hierzu Bilder 4.16 - 4.23. Die Rechnung zu Versuch 17 (Glas 5 mm/Sandpapier) ergibt ein vollständiges Überwinden des Bahnbuckels, wohingegen bei Versuch 21 (Glas 3 mm/Sandpapier) ein kleiner Teil des Gesamtvolumens hinter dem Buckel zurückbleibt, was nicht der Realität entspricht (vgl. Abschnitt 4.4.2). Für Versuch 29 (Vestolen/Pappe) erhält man zwei Ablagerungshaufen von gleicher Größenordnung, und Versuch 44 (Marmor 0/Pappe) ergibt schließlich eine anteilsmäßig sehr kleine vordere Ablagerung, d. h., der größte Teil des Granulats kann in der numerischen Vorhersage den Buckel nicht überwinden. In den Geschwindigkeitsprofilen zeigt sich, daß alle numerischen Lawinen zum Zeitpunkt t = 30 zur Ruhe gekommen sind. Man stellt daher fest, daß eine Abbruchbedingung für die Iterationen nicht erforderlich ist; die Stabilität des Verfahrens reicht aus, um ein Zur-Ruhe-Kommen der Lawinen zu erreichen, wie es der Realität entspricht. Es fällt auf, daß für die Versuche 21, 29 und 44 (also diejenigen mit numerischer hinterer Ablagerung) zu großen Zeiten hin im Bereich des Bahnbuckels scheinbar kein Granulat mehr vorhanden, also die Höhe zu Null geworden ist. Wie man sich 66 jedoch anhand der Gleichung (3.7), mit der die Berechnung der Höhen vorgenommen wird, leicht klarmacht, kann das nicht auftreten; in Wirklichkeit liefert die Numerik auch in diesem Bereich stets nichtverschwindende Höhen. Sie sind jedoch sehr klein, da die numerischen Zellen auf dem Buckel (und auch im Bereich vor diesem) extrem in die Länge gezogen werden; nach dem Zur-RuheKommen wird der gesamte Buckel sogar stets nur noch von einer einzigen Zelle abgedeckt. Diese auf dem Buckel auftretenden Resthöhen liegen weit unterhalb der Partikeldimensionen und sind somit physikalisch weitgehend bedeutungslos. Eine gewisse Interpretation ist dennoch im Rahmen des Nachriesel-Effektes möglich, siehe hierzu Abschnitt 4.4.2. Das oben erwähnte Auseinanderziehen der Zellen ist ferner dafür verantwortlich, daß für alle Versuche sowohl das numerische Ortsals auch das Geschwindigkeitsprofil im Bereich vor dem Bahnbuckel Knicke aufweist (siehe z. B. Bilder 4.18 und 4.19 für t = 18, 21 und 24). Das Modell liefert nämlich lediglich die Höhen und Geschwindigkeiten für die diskreten Zellengrenzen, welche linear interpoliert werden. Sehr lange Zellen bewirken folglich, daß die Profile nicht mehr glatt erscheinen, sondern derartige Knicke entstehen. 4.4.2 Vergleich mit dem Experiment An dieser Stelle sei ein Vergleich der aus den Modellrechnungen erhaltenen Ergebnisse mit den experimentellen Daten angestellt. Hierzu wird zunächst das Zeitverhalten der Position der Hinterfront xr, der Position der Vorderfront xf, der Position des Scheitelpunktes xs, der Höhe am Scheitelpunkt hs, der Geschwindigkeit der Hinterfront ur und der Geschwindigkeit der Vorderfront uf herangezogen; die entsprechenden Diagramme sind für die gesamte Versuchsreihe, bestehend aus 16 fotografierten Versuchen, in den Bildern 4.24 - 4.55 dargestellt. Generell läßt sich sagen, daß sich bei allen Versuchen für die zeitliche Entwicklung dieser Größen eine gute Übereinstimmung der numerischen und experimentellen Ergebnisse ergibt. Zumeist liegen die Abweichungen innerhalb oder wenigstens nahe bei den Fehlergrenzen der experimentellen Werte. Die beste Übereinstimmung ergibt sich bei Versuch 16 (siehe Bilder 4.24, 4.25), bei dem praktisch alle experimentell erhaltenen Werte im Rahmen der Fehlergrenzen mit den theoretischen Vorhersagen übereinstimmen; am schlechtesten fällt der Vergleich bei Versuch 35 (Bilder 4.40, 4.41) aus, bei welchem allerdings die in Abschnitt 4.4.1 beschriebenen numerischen Schwierigkeiten auftreten. Diese 67 Probleme sind wahrscheinlich der Grund dafür, daß sich allgemein wie auch speziell bei Versuch 35 die Positionen und Geschwindigkeiten der Vorderfront, xf und uf, besser aus der Theorie ergeben als die entsprechenden Größen für die Hinterfront, xr und ur, denn die numerischen Instabilitäten beschränken sich stets auf die hintersten Zellen der Lawine, wohingegen der vordere Teil nie Schwierigkeiten bereitet. Einige Besonderheiten seien im folgenden besprochen. Zunächst fällt auf, daß bei den Versuchen 20, 21 und 22 (sämtlich Versuche mit Glasgranulaten auf Sandpapier, vgl. Bilder 4.30, 4.32, 4.34) die experimentelle Ablagerungsposition der Hinterfront von der Rechnung scheinbar extrem schlecht reproduziert wird. Die Ursache hierfür liegt in einer bei allen Versuchen mehr oder weniger stark auftretenden Erscheinung, nämlich dem Nachrieseln: die eigentliche Kontinuumsbewegung der Lawine endet stets in zwei Ablagerungshaufen, einem hinteren, der den Buckel nicht überwinden konnte, und einem vorderen. Da aber einzelne Granulatpartikel, insbesondere die fast perfekt runden Glaskugeln, schon bei wesentlich kleineren Neigungswinkeln als dem Bettreibungswinkel δ0 ins Rollen kommen, kommt die Bewegung so nicht zur Ruhe, sondern die Vorderfront der hinteren Ablagerung rieselt die Bahn hinab und trifft auf die Hinterfront der vorderen Ablagerung. Bei allen Versuchen mit Glas geht das so weit, daß die gesamte hintere Ablagerung verschwindet; bei Versuch 47 (Glas 5 mm auf Pappe; hier tritt der kleinste Reibungswinkel von allen GranulatUntergrund-Kombinationen auf) rieselt sogar die vordere Ablagerung in den Auffangbehälter ab, so daß überhaupt keine Ablagerungsgeometrie existiert. Das erklärt auch die bei den Glasversuchen auftretenden extrem großen Fehler in der experimentellen Bestimmung der Position der Hinterfront xr kurz vor dem Ende der Bewegung (vgl. z. B. Bild 4.26). Diese Fehler treten auf, wenn sich infolge des Nachrieselns die ursprüngliche, hinter dem Buckel liegende Hinterfront aufgelöst hat, aber noch keine scharfe neue Hinterfront vor dem Buckel entstanden ist; das Vertrauensintervall für xr erstreckt sich dann über den gesamten Buckel, was Fehler bis hin zu ± 60 cm bedingt. Es ist klar, daß dieses Nachrieseln als Nicht-Kontinuumsbewegung von dem hier verwendeten Modell nur unzureichend erfaßt werden kann. Somit wird die große Diskrepanz von experimentellen und theoretischen Ergebnissen bei den oben erwähnten Versuchen 20, 21 und 22 verständlich, denn die eigentliche Kon- 68 tinuumsbewegung ergibt sehr wohl eine hintere Ablagerung, welche lediglich durch das Nachrieseln verschwindet. Andererseits zeigt sich, daß der Nachriesel-Effekt zumindest ansatzweise doch von der Theorie reproduziert wird. Der wichtigste Hinweis darauf ist das Verhalten der gerechneten Geschwindigkeitsprofile von allen Versuchen (mit Ausnahme der Versuche 17, 43 und 47, bei denen schon die Theorie das Verschwinden der hinteren Ablagerung ergibt) bei großen Zeiten. Die Geschwindigkeitsprofile gehen nämlich im Laufe der Zeit alle in eine Verteilung über, die überall außer auf dem Buckel der Bahn zu 0 wird; lediglich auf diesem verbleibt für einige Zeit noch eine nichtverschwindende Geschwindigkeit (siehe z. B. Bild 4.21 zu Versuch 29). Das ist aber genau eine Geschwindigkeitsverteilung, die den Bewegungszustand während des Nachrieselns beschreibt. Allerdings hängt die quantitative Form sehr stark von den numerischen Parametern ab, so daß diese Übereinstimmung nur eine qualitative sein kann. Rechnungen mit einer Zellenzahl N = 80 für die Versuche 17, 20, 21 und 22 ergeben zum Beispiel eine Geschwindigkeitsverteilung, die bei den Versuchen 21 und 22 (Glas 3 mm/Sandpapier) für t = 30 noch nicht vollständig abgeklungen ist, bei den Versuchen 17 und 20 (Glas 5 mm/Sandpapier) dagegen schon. Das steht sogar qualitativ in Übereinstimmung mit dem Experiment, da bei dem etwas langsameren Granulat Glas 3 mm das Nachrieseln wesentlich länger anhält als bei dem schnelleren Granulat Glas 5 mm. Die Rechnungen für die gleichen Versuche mit den Standardparametern von (4.13) ergeben dagegen für alle durchgeführten Versuche ein vollständiges Abklingen bei t = 30. Des weiteren ist bemerkenswert, daß sich bei allen Glasversuchen (Versuche 17, 2022, 43, 47) die Position des Scheitelpunktes xs, die in der vorderen Ablagerung lokalisiert ist, gegen Ende der Bewegung nach Überschreiten eines Maximums wieder zu kleineren Werten hin verschiebt, einhergehend mit einer leichten Zunahme der Höhe hs, was sowohl das Experiment als auch die Theorie ergibt (vgl. etwa Bild 4.32 zu Versuch 21). Auch das ist eine Folge des Nachriesel-Effektes, denn durch die Rieselbewegung, welche dem hinteren Ende der vorderen Ablagerung Material zuführt, muß sich der Scheitelpunkt als Ort maximaler Höhe nach hinten verschieben und gleichzeitig die Höhe zunehmen. Da bei Versuchen mit anderen Granulaten als Glas das Nachrieseln nicht so stark ausgeprägt ist, ist diese Erscheinung dort nicht sichtbar. 69 Bei Versuch 22 erhält man zwischen t ≈ 8 und t ≈ 15 eine sehr schlechte Übereinstimmung der experimentellen Daten für xs mit den Ergebnissen der Rechnung (siehe Bild 4.34). Gemäß der Theorie müßte sich der Scheitelpunkt bis t ≈ 15 hinter dem Bahnbuckel befinden, um dann unstetig auf den Bereich vor dem Buckel überzuspringen; in der Realität überwindet der Scheitelpunkt den Buckel jedoch schon vor diesem Zeitpunkt. Diese Diskrepanz entsteht dadurch, daß die Höhe der Lawine im betrachteten Zeitbereich vor und hinter dem Buckel fast identisch ist, so daß schon geringe Ungenauigkeiten in der Höhenberechnung eine große Auswirkung auf den ermittelten Wert für xs haben können. Im Falle des Versuchs 22 ergibt die Theorie offensichtlich eine geringfügig zu große Höhe im Bereich hinter dem Buckel im Vergleich zur Höhe vor diesem, was dazu führt, daß der numerische Scheitelpunkt den Buckel erst deutlich später überwindet als der experimentell beobachtete Scheitelpunkt. Dagegen ist die Übereinstimmung für t ≈ 8 und t ≈ 15, also in den Zeitbereichen, in denen die maximale Höhe eindeutig und scharf getrennt hinter bzw. vor dem Buckel auftritt, sehr gut. Im folgenden seien die experimentellen Werte für die Teilvolumina von vorderer und hinterer Ablagerung mit den numerisch bestimmten Resultaten verglichen. Hierzu werden für alle fotografierten Versuche die Verhältnisse VV/VH in Tabelle 4.4 zusammengestellt. Versuch 16 17 19 20 21 22 28 29 (VV/VH)exp 0.523 ± 0.06 ∞ 0.574 ± 0.05 ∞ ∞ ∞ 0.983 ± 0.08 1.716 ± 0.27 (VV/VH)theo 0.446 ∞ 0.407 21.9 10.6 3.84 0.692 1.32 Versuch 35 36 37 43 44 46 47 48 (VV/VH)exp 0.345 ± 0.05 0.384 ± 0.08 0.290 ± 0.04 ∞ 0.0576 ± 0.016 0.136 ± 0.04 ∞ 0.534 ± 0.07 (VV/VH)theo 0.240 0.303 0.340 ∞ 0.0518 0.122 ∞ 0.441 Tabelle 4.4: Experimentell ermittelte und gerechnete Volumenverhältnisse der Teilablagerungen für alle fotografisch erfaßten Versuche. Es zeigt sich hierbei, daß mit einer Ausnahme die experimentellen Werte für VV/VH systematisch zu groß sind, wobei die Abweichungen bei den numerisch problemati- 132 5 DREIDIMENSIONALE LAWINEN 5.1 Experimente mit dreidimensionalen Lawinen 5.1.1 Versuchsaufbau Die im folgenden beschriebenen Versuche haben zum Ziel, die Dynamik von dreidimensionalen Lawinen auf einer gekrümmten Bahn zu verfolgen. Ein hierfür geeigneter experimenteller Aufbau muß daher im Gegensatz zu dem in Abschnitt 4.1.1 beschriebenen Schußkanal eine ungehinderte seitliche Ausdehnung der Modellawinen ermöglichen. Der in dieser Arbeit verwendete Versuchsaufbau ist mit demjenigen identisch, der von R. M. LANG konzipiert wurde (Lang 1989; Lang, Leo & Hutter 1989); entscheidende Unterschiede bestehen jedoch in der Aufnahmetechnik (siehe Abschnitt 5.1.3). Er besteht aus einer 5 m langen und 2 m breiten flexiblen Makrolonfläche, die von einem Gestell aus Vierkantrohr getragen wird. Der erste, 2 m lange Bahnabschnitt stellt eine schiefe Ebene dar, die unter einem Winkel ζ0 (verstellbar; hier wird mit 40°, 45° und 50° gearbeitet) gegen die Horizontale geneigt ist. Auf diese folgt ein etwa 40 cm langer gekrümmter Übergangsbereich mit näherungsweise kreisförmigem Profil, der schließlich in eine horizontale Auslaufebene mündet. Die Makrolonfläche kann mit verschiedenen Bettmaterialien beklebt werden, wobei hier das bereits bei den Schußkanalversuchen verwendete Sandpapier SIA Nr. 120 Verwendung findet. Auf dieses ist mit weißer Farbe ein rechteckiges Gitter der Maschengröße 20 cm in der Breite bzw. 10 cm in der Länge aufgebracht, um Anhaltspunkte für Positionsbestimmungen auf der Bahn zu erhalten. Über dem Ende der Auslaufebene befindet sich ein weiteres Gestell, von dem aus die fotografische Erfassung der Lawinendynamik schräg hinab auf die Bahn erfolgt. Hierzu wird wie bei den Schußkanalversuchen eine Schnellbildkamera mit einer Bildfrequenz von 10 - 14 Hz verwendet; Einzelheiten der Aufnahmetechnik werden in Abschnitt 5.1.3 erläutert. In Bild 5.1 ist der Versuchsaufbau, von dem Aufnahmegestell aus fotografiert, dargestellt. Die initiale Geometrie der Modellawinen wird durch eine Plexiglas-Halbkugel mit 18.5 cm Radius erzeugt, die am Anfang der Bahn montiert ist und in der sich das 133 granulare Material vor dem Auslösen der Lawinenbewegung befindet. Diese Vorrichtung ist am hinteren Ende drehbar gelagert und kann über ein Seil manuell nach oben weggeklappt werden, um den Start des Bewegungsvorgangs zu bewirken. Während des Ablaufs der Bewegung selbst wird eine analoge Uhr mit 1/50 sSkalierung mitlaufen gelassen, damit jedem erhaltenen Foto die zugehörige Zeit entnommen werden kann. Bild 5.1: Ansicht des experimentellen Aufbaus. Die Plexiglas-Halbkugel zur Generierung der Anfangsgeometrie ist oben in der Mitte der Bahn zu erkennen. 5.1.2 Bahngeometrie Die Geometrie der hier verwendeten Bahn wurde bereits in Abschnitt 5.1.1 grob beschrieben; sie besteht aus drei verschiedenen Abschnitten. Auf einer Länge von ca. 2 m stellt sie eine schiefe Ebene unter einer Neigung ζ0 (verwendet werden die Einstellungen 40°, 45° und 50°) in Fallinienrichtung dar. Daran schließt sich ein