Differential Equations with MATLAB

Página 1 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. ECUACIONES DIFERENCIALES MANUAL DE USUARIO: Segunda parte (Unidades II y III) Manual práctico para estudios de cuarto semestre de la carrera de Ingeniería Civil. ECUACIONES DIFERENCIALES CON Matlab Autor, Docente: Ligdamis A. Gutiérrez E. PhD. Versión 1.0 2015-2016 Página 2 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. A. Generalidades de la Materia (Objetivo General, Temática y objetivo por Unidad) OBJETIVO GENERAL: Generar conocimientos dirigidos a la práctica, basándose en el pensamiento críticopositivo y de razonamiento lógico, ayudándose con el uso de un software específico para el análisis matemático como Matlab, necesarios para la comprensión del presente curso de Ecuaciones Diferenciales. PRIMERA PARTE - Unidad I: Objetivo y Temática. (Repaso Límites, Derivadas e Integrales, Introducción al lenguaje Matlab y su uso con Ecuaciones Diferenciales): Analizar apropiadamente condiciones y definiciones previas para integrarlas en el uso de las ecuaciones diferenciales, conocer y manejar el programa matemático Matlab y su uso con derivadas, integrales y ecuaciones diferenciales, así como puede desarrollar programas en Matlab incluyendo gráficos 2D y 3D, que aplica en las siguientes unidades. SEGUNDA PARTE - Unidad II: Objetivo y Temática. (Modelos Matemáticos aplicados a Ecuaciones Diferenciales, Conceptos básicos de Ecuaciones Diferenciales, Identificación y Solución de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden): Conocer las diferentes aplicaciones de los modelos matemáticos aplicados como ecuaciones y el uso de las ecuaciones diferenciales aplicadas a los modelos matemáticos, así como conocer y desarrollar tópicos adicionales en la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado: lineales, Exactas, Homogéneas, Separables y de Bernoulli. SEGUNDA PARTE - Unidad III Objetivo y Temática. (Métodos Gráficos y Numéricos de solución de Ecuaciones Diferenciales, Series de Taylor y Transformadas de Laplace y Fourier para Ecuaciones Diferenciales de orden superior): Conocer y aplicar métodos Gráficos y Numéricos para desarrollar soluciones a ecuaciones lineales de orden superior, homogéneas con coeficientes constantes, mediante la aplicación de métodos gráficos como Isóclinas, y métodos numéricos como los de Euler y Runge-Kutta de 1er. y 4to orden, así como la aplicación a las series de Taylor y las transformadas como las de Laplace y de Fourier. Página 3 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. B. Tablas de Identidades Trigonométricas En el desarrollo de los ejercicios y problemas de esta segunda parte del curso que comprende las unidades 2 y 3, se necesita realizar la conversión entre algunas identidades trigonométricas. Sin embargo, hay que tomar en cuenta el signo, para lo cual, se necesita obtener el signo correcto y esto supondrá saber los valores para los cuales la función trigonométrica en cuestión es negativa o positiva. Aquí disponemos de las siguientes tablas de ayuda. Página 4 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. ÍNDICE A. Generalidades de la Materia (Objetivo General, Temática y objetivo por Unidad) ........................................................................... 2 B. Tablas de Identidades Trigonométricas ................................................................................................................................................ 3 Índice ........................................................................................................................................................................................................................... 4 SEGUNDA PARTE: UNIDAD II .............................................................................................................................................. 5 1.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ....................................................................................................................................... 5 1.1.- Ecuaciones Lineales...................................................................................................................................................................................... 6 1.1.1.- Propiedad ........................................................................................................................................................................................... 6 1.1.2.- Procedimiento .................................................................................................................................................................................... 6 1.1.3.- Método de Solución ........................................................................................................................................................................... 8 1.1.4.- Solución de una Ecuación Lineal de Primer Orden ............................................................................................................................ 8 1.1.5.- Ejemplos (1-5) ................................................................................................................................................................................... 9 1.1.6.- Problemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales (Soluciones) ........................................................................................... 14 1.1.7.- Problemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales con valores iniciales. (Soluciones) .................................................................... 15 1.1.8.- Solución mediante un Script de Matlab (con valores iniciales) ........................................................................................... 16 1.1.9.- Solución mediante una GUI (Interfaz Gráfica de Usuario) ............................................................................................................... 17 2.- Modelos Matemáticos ........................................................................................................................................................................................... 22 2.1.- Introducción ........................................................................................................................................................................................ 22 2.2.- Definición Modelo Matemático .......................................................................................................................................................... 22 2.3.- El ciclo de los modelos ....................................................................................................................................................................... 24 2.4.- Métodos Cualitativos .......................................................................................................................................................................... 24 2.5.- Formulación ........................................................................................................................................................................................ 24 2.6.- Aplicaciones prácticas de Modelos Matemáticos ................................................................................................................................ 25 2.6.1.- Dinámica poblacional .............................................................................................................................................................. 25 2.6.2.- Ejemplos de Crecimiento y Decrecimiento .............................................................................................................................. 25 2.6.3.- Decaimiento radiactivo ............................................................................................................................................................ 29 2.6.4.- Ley de enfriamiento/calentamiento de Newton ........................................................................................................................ 31 2.6.5.- Circuitos en Serie .................................................................................................................................................................... 34 2.6.6.- Cuerpos en Caída .................................................................................................................................................................... 36 2.6.7.- Cuerpos en Caída y Resistencia del aire .................................................................................................................................. 37 2.6.8.- Cables suspendidos ................................................................................................................................................................. 40 3.- Primitivas .............................................................................................................................................................................................................. 42 4.- Ecuaciones de Bernoulli ........................................................................................................................................................................................ 44 5.- Ecuaciones Homogéneas ....................................................................................................................................................................................... 46 6.- Ecuaciones Separables........................................................................................................................................................................................... 47 7.- Ecuaciones Exactas ............................................................................................................................................................................................... 48 8.- Ejercicios de Ecuaciones de Diferenciales de Primer Orden (Soluciones) ............................................................................................................. 50 8.1.- 8.1.- Ejercicios de Repaso de ecuaciones diferenciales de primer orden. .............................................................................................. 63 9.- Solución de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Exactas ........................................................................................................................... 69 9.1.- Definición ............................................................................................................................................................................................ 69 9.2.- Método de Solución ............................................................................................................................................................................. 69 9.3.- Ejemplos .............................................................................................................................................................................................. 70 9.4.- Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Exactas (Soluciones) ................................................................................... 78 9.5.- Programa (Script) de Matlab para resolver Ecuaciones Diferenciales Exactas ..................................................................................... 87 9.6.- Ejercicios repaso con Matlab para Ecuaciones Diferenciales 1er. Orden exactas ................................................................................ 89 10.- Solución de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Separables ................................................................................................................... 107 10.1.- Definición ........................................................................................................................................................................................ 107 10.2.- Solución General.............................................................................................................................................................................. 107 10.3.- Ejemplos .......................................................................................................................................................................................... 107 10.4.- Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Separables (Soluciones) ........................................................................... 111 11.- Script de Matlab para resolver Ecuaciones Diferenciales 1er. Orden Exactas y Separables (alumnos)............................................................... 117 SEGUNDA PARTE: UNIDAD III ............................................................................................................................................................................................................. 123 12.- Métodos Gráficos y Numéricos para resolver Ecuaciones Diferenciales ............................................................................................................ 123 12.1.- Método Gráfico (Campos Direccionales e Isoclinas)....................................................................................................................... 123 12.1.2.- Script Matlab para campos direccionales y solución particular ........................................................................................... 124 12.1.3.- Script Matlab para campos direccionales y familia de solución .......................................................................................... 129 12.1.4.- Ejercicios con Matlab para campos direccionales y familia de solución (Soluciones) ......................................................... 131 12.2.- Métodos Numéricos (Método de Euler) .......................................................................................................................................... 137 12.2.1.- Ejemplos ............................................................................................................................................................................ 139 12.2.2.- Ejercicios de Métodos Cualitativos, Soluciones Gráficas y Numéricas de Ecuaciones Diferenciales) ................................ 141 12.3.- Métodos de Runge-Kutta ............................................................................................................................................................... 154 12.3.1.- Método de Runge-Kutta de 2do. Orden ............................................................................................................................. 154 12.3.2.- Método de Runge-Kutta de 4to. Orden .............................................................................................................................. 155 12.3.3.- Ejemplos de Runge-Kutta de 2do. Orden........................................................................................................................... 156 12.4.- Script de Matlab para Resolver Ecuaciones Diferenciales mediante Método de Euler ................................................................... 158 12.5.- Ejemplos de Runge-Kutta de 4to. Orden ....................................................................................................................................... 160 13.- Transformadas y Series con Ecuaciones Diferenciales de orden superior .......................................................................................................... 162 13.1.- Transformada de Laplace .............................................................................................................................................................. 162 13.1.1.- Introducción .................................................................................................................................................................... 162 13.1.2.- Transformada Integral ..................................................................................................................................................... 162 13.1.3.- Definición de la Transformada de Laplace ...................................................................................................................... 163 13.1.4.- Ejemplos ......................................................................................................................................................................... 163 13.1.5.- Teoremas de Transformadas de algunas funciones básicas .............................................................................................. 165 13.1.6.- Ejemplos de Transformadas Inversas............................................................................................................................... 166 13.2.- Método de la Serie de Taylor ........................................................................................................................................................ 167 13.2.1.- Introducción .................................................................................................................................................................... 167 13.2.2.- Ejemplos ......................................................................................................................................................................... 167 13.2.3.- Script de Matlab para calcular la Serie de Taylor de una función .................................................................................... 170 13.3.- Método de la Serie de Fourier ....................................................................................................................................................... 172 13.3.1.- Introducción .................................................................................................................................................................... 172 13.2.2.- Ejemplos ......................................................................................................................................................................... 173 13.2.3.- Transformada de Fourier ................................................................................................................................................. 173 13.2.4.- Script de Matlab para calcular la Transformada Rápida de Fourier (fft) .......................................................................... 176  Bibliografía .......................................................................................................................................................................................... 177  Agradecimientos .................................................................................................................................................................................. 178 Página 5 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. SEGUNDA PARTE: UNIDAD II 1.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.1Ecuaciones lineales Consideramos una ecuación diferencial de primer orden en la forma estándar: 𝑦′= 𝑓(𝑥,𝑦), donde la derivada y', solo aparece en el lado derecho. Si f(x,y) se puede escribir como: 𝑓(𝑥,𝑦)= −𝑝(𝑥)𝑦+𝑞(𝑥) , Es decir, como una función de x, multiplicada por y, más otra función de x, la ecuación diferencial es lineal. En general, las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden siempre se pueden expresar como: 𝒚′+ 𝒑(𝒙)𝒚=𝒒(𝒙) (1) En la primera parte del presente manual práctico de usuario, cuando se trató la clasificación por linealidad, se vieron dos casos especiales importantes de la ecuación general lineal, son las ED lineales de primer orden (n = 1) y de segundo orden (n = 2), respectivamente las ecuaciones (2) y (3): 𝑎1(𝑥)𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦=𝑔(𝑥) (2) 𝑎2(𝑥)𝑑2𝑦 𝑑𝑥2+𝑎1(𝑥)𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦=𝑔(𝑥) (3) Vamos a tratar el caso de cuando n = 1, por lo tanto se dice que la ecuación (2) 𝑎1(𝑥)𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦=𝑔(𝑥) Es lineal en la variable dependiente “y”, y es “homogénea”, cuando g(x) = 0, en caso contrario se dice que “no es homogénea”. Ahora, al dividir ambos lados de la anterior ecuación por el primer coeficiente 𝑎1(𝑥), se obtiene una forma más útil de esta ecuación, que es la “forma estándar”, de una ecuación lineal que se representa en la forma siguiente: 𝒅𝒚 𝒅𝒙+ 𝑷(𝒙)𝒚=𝒇(𝒙) (4) En donde se busca una solución de esta ecuación (4), en un intervalo “I”, en el cual las dos funciones “P”, y “f”, sean continuas. En este análisis vamos a presentar “una propiedad” y “un procedimiento”, para finalizar en la fórmula que representa la forma de cada solución de la ecuación (4). Sin embargo, más importante que la fórmula son la propiedad y el procedimiento, debido a que ambos conceptos también se aplican a las ecuaciones lineales de orden superior. Página 6 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 1.1.1.- PROPIEDAD La ecuación diferencial (4), tiene la propiedad de que su solución es la suma de las dos soluciones 𝑦= 𝑦𝑐+ 𝑦𝑝 , donde 𝑦𝑐 es una solución de la ecuación homogénea asociada 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦=0 (5) y donde 𝑦𝑝 es una solución particular de la ecuación no homogénea de (4). Para esto, hay que observar que: 𝑑𝑦 𝑑𝑥[𝑦𝑐+ 𝑦𝑝] + 𝑃(𝑥)[𝑦𝑐+ 𝑦𝑝]=[𝒅𝒚𝒄 𝒅𝒙 + 𝑷(𝒙)𝒚𝒄]+ [𝑑𝑦𝑝 𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦𝑝]=𝑓(𝑥) 0 f(x) Ahora la ecuación (5), también se puede decir que es separable. Por lo que se puede determinar 𝒚𝒄 al escribir dicha ecuación (5) en la siguiente forma: 𝑑𝑦 𝑦+ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥=0 En donde integramos, y despejando “y”, se obtiene 𝑦𝑐 =𝑐𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 , En este sentido por facilidad, se sustituye el término 𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 , por 𝒚𝟏 por lo que se puede escribir lo siguiente: 𝑦𝑐 =𝑐𝑦1 (𝑥) Seguidamente, se utiliza el hecho de que 𝑑𝑦1 𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦1 =0 , Para determinar 𝑦𝑝 1.1.2.- PROCEDIMIENTO Ahora se puede definir una solución particular de la ecuación (4), estableciendo un procedimiento denominado “variación de parámetros”. En donde, la idea básica es determinar una función, “u”, tal que: 𝑦𝑝 =𝑢(𝑥)𝑦1 (𝑥)=𝑢(𝑥)𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 Sea una solución de la ecuación diferencial (4). Dicho de otro modo, la suposición para 𝑦𝑝 es la misma que 𝑦𝑐 =𝑐𝑦1 (𝑥) , excepto que “c” se ha sustituido por “el parámetro variable” “u”. Ahora bien, sustituyendo 𝑦𝑝 =𝑢𝑦1 en la ecuación (4) se obtiene lo siguiente: Página 7 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝒖𝒅𝒚𝟏 𝒅𝒙 + 𝒚𝟏 𝒅𝒖 𝒅𝒙+ 𝑃(𝑥)𝑢𝑦1 =𝑓(𝑥) ,ó : 𝑢[𝑑𝑦1 𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦1 ] + 𝑦1 𝑑𝑢 𝑑𝑥=𝑓(𝑥) Regla del Producto cero Por tanto, 𝑦1 𝑑𝑢 𝑑𝑥=𝑓(𝑥) , Entonces, separando las variables e integrando se obtiene lo siguiente: 𝑑𝑢= 𝑓(𝑥) 𝑦1 (𝑥)𝑑(𝑥), 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑢= ∫𝑓(𝑥) 𝑦1 (𝑥) 𝑑𝑥 Ya que 𝑦1 (𝑥)=𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 , Podemos observar que: 1 𝑦1 (𝑥)=𝒆∫𝑷(𝒙)𝒅𝒙 Por lo tanto: 𝑦𝑝 =𝑢𝑦1 = (∫𝑓(𝑥) 𝑦1 (𝑥))𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∫𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, Y además: 𝑦 = 𝑐𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥+ 𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∫𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, (6) 𝑦𝑐 𝑦𝑝 Por lo tanto, si la ecuación (4) tiene una solución, esta debe de ser de la forma de la ecuación anterior (6). Del mismo modo, esto es un ejercicio de derivación directa, el comprobar que la ecuación (6) es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación (4). Aquí, no hay que memorizar la fórmula que indica la ecuación (6). Sin embargo, si hay que recordar el término especial: 𝒆∫𝑷(𝒙)𝒅𝒙 (7) Debido a que se utiliza para resolver la ecuación (4) de una manera equivalente, pero mucho más fácil, de la siguiente forma: Si la ecuación (4) se multiplica por (7), tenemos: 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑦=𝑐+ ∫𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (8) Página 8 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Ahora al derivar esta ecuación (8) tenemos: 𝑑 𝑑𝑥[ 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑦]=𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (9) Donde se obtiene: 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑦= 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑓(𝑥) (10) Dividiendo esta ecuación (10) entre 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥, obtenemos la ecuación (4) 1.1.3.- MÉTODO DE SOLUCIÓN El método que se recomienda para resolver la ecuación (4) consiste en realidad en trabajar con las ecuaciones (8) a (10) en orden inverso. En otras palabras, si la ecuación (4) se multiplica por la ecuación (7), obtenemos la ecuación (10). Se reconoce que el lado izquierdo de la ecuación (10) es la derivada del producto de 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 , POR “y”. Esto da como resultado la ecuación (9). Entonces, integrando ambos lados de la ecuación (9) se obtiene la solución (8). Como se puede resolver la ecuación (4) por integración, después de multiplicar por 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 , esta función se denomina “factor integrante” de la ecuación diferencial. Por facilidad, vamos a resumir estos resultados. Hay que repetir que no se debe de memorizar la fórmula (6), sino remitirse a seguir el siguiente procedimiento: 1.1.4.- SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN 1) Presentar la ecuación lineal de la forma (1), en la forma estándar (4) 2) Identificar de la identidad de la forma estándar P(x) y después determinar el factor integrante: 𝒆∫𝑷(𝒙)𝒅𝒙 3) Multiplicar la forma estándar de la ecuación pro el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es automáticamente la derivada del factor integrante “y”, y resulta en lo siguiente: 𝑑 𝑑𝑥[ 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥] 𝑦= 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 4) Integrar ambos lados de esta última ecuación Página 9 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 1.1.5.- EJEMPLOS: (1-5) Ejemplo 1: Solución de una ED lineal homogénea Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal: 𝑑𝑦 𝑑𝑥− 3𝑦=0 Siguiendo el procedimiento anterior, vemos los pasos: 1) La ecuación ya está en la forma estándar (4) 2) Identificamos 𝑃(𝑥)= −3 , Por lo tanto el factor integrante es: 𝑒∫(−3)𝑑𝑥 = 𝑒−3𝑥 3) Entonces, multiplicamos la ecuación por dicho factor y tenemos: 𝑑𝑦 𝑑𝑥− 3𝑦=0 ; 𝑒−3𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥−3 𝑒−3𝑥𝑦=0 Que es lo mismo que: 𝑑 𝑑𝑥[ 𝑒−3𝑥𝑦]=0 4) Integramos ambos lados de esta ecuación y tenemos: ∫𝑑 𝑑𝑥[ 𝑒−3𝑥𝑦]𝑑𝑥=0 𝑒−3𝑥𝑦=𝑐 , Ahora despejamos “y” y obtenemos la solución siguiente: 𝒚=𝒄 𝒆𝟑𝒙 ,𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒−∞ <𝑥 < ∞ Página 16 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 1.1.8.- SOLUCIÓN MEDIANTE UN PROGRAMA DE MATLAB I) Solución mediante un Script con valores iniciales El script siguiente calcula la solución de una ecuación diferencial, además con problema de valores iniciales. % Programa para calcular Ecuaciones diferenciales Lineales % Homogéneas y No Homogéneas, con valores iniciales % II Parcial, Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden % ECUACIONES DIFERENCIALES con MATLAB % Ingeniería Civil – Cuarto Semestre % Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. % Limpieza de escritorio y variables clear all; close all; clc; %Introducción de la Función a calcular en su forma Normal disp(' '); disp(' '); disp(' PROGRAMA PARA ALCULAR LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL'); disp(' ECUACIONES DIFERENCIALES '); disp(' FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CUARTO SEMESTRE'); disp(' Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E.'); disp(' '); disp(' La ED se introduce de esta forma "Dy = 5*exp(3*x)" '); disp(' '); A = input('Teclee la Función en su Forma Normal entre apóstrofes, colocando al inicio Dy = : '); disp(' '); C = input('Teclee el valor inicial entre apóstrofes '); disp(' '); % Cálculo de la solución de la Ecuación Diferencial con la función "dsolve" % Cálculo de la solución mediante la función dsolve, se coloca la variable % independiente al final %B = dsolve(A,'x'); B = dsolve(A,C,'x'); % Desplegar el resultado utilizando fprintf fprintf(' La función general que es solución de la ED es: %s ', char(B)); % Se utilizar char para desplegar valores string disp(' '); % FIN Página 17 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 1.1.9.- SOLUCIÓN MEDIANTE UNA GUI (INTERFAZ GRÁFICA DE USUARIO). CÓDIGO: function varargout = Clinual1(varargin) % Nombre de la función: CLINUAL1 % CLINUAL1 M-file for Clinual1.fig % GUI para calcular Ecuaciones diferenciales Lineales % Homogéneas y No Homogéneas, con valores iniciales % Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden % ECUACIONES DIFERENCIALES, % Para estudios de cuarto semestre de la Carrera de Ingeniería Civil % Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. % CLINUAL1, by itself, creates a new CLINUAL1 or raises the existing % singleton*. % % H = CLINUAL1 returns the handle to a new CLINUAL1 or the handle to % the existing singleton*. % % CLINUAL1('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local % function named CALLBACK in CLINUAL1.M with the given input arguments. % % CLINUAL1('Property','Value',...) creates a new CLINUAL1 or raises the % existing singleton*. Starting from the left, property value pairs are % applied to the GUI before Clinual1_OpeningFunction gets called. An % unrecognized property name or invalid value makes property application % stop. All inputs are passed to Clinual1_OpeningFcn via varargin. % % *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one % instance to run (singleton)". % % See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES % Copyright 2002-2003 The MathWorks, Inc. % Edit the above text to modify the response to help Clinual1 % Last Modified by GUIDE v2.5 15-Jun-2016 16:03:04 % Begin initialization code - DO NOT EDIT gui_Singleton = 1; gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ... 'gui_Singleton', gui_Singleton, ... 'gui_OpeningFcn', @Clinual1_OpeningFcn, ... 'gui_OutputFcn', @Clinual1_OutputFcn, ... 'gui_LayoutFcn', [] , ... 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end % End initialization code - DO NOT EDIT % --- Apertura de la GUI, se colocan los valores con los que la GUI inicia % --- Executes just before Clinual1 is made visible. function Clinual1_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin) % This function has no output args, see OutputFcn. % hObject handle to figure Página 18 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) % varargin command line arguments to Clinual1 (see VARARGIN) % Choose default command line output for Clinual1 handles.output = hObject; % Update handles structure guidata(hObject, handles); % UIWAIT makes Clinual1 wait for user response (see UIRESUME) % uiwait(handles.figure1); % Valores Iniciales del RadioButton y la caja de edición asociada clc; set(handles.radiobutton1,'Value',0); set(handles.edit3,'Visible','off'); if strcmp(get(hObject,'Visible'),'off') logo = 'logo_Uta_Civil'; axes(handles.axes1); handles.imagen=imread('logo_Uta_Civil','jpg'); imagesc(handles.imagen); axis off; end % --- Outputs from this function are returned to the command line. function varargout = Clinual1_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) % varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT); % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) % Get default command line output from handles structure varargout{1} = handles.output; function edit1_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) % Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit1 as text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit1 as a double % --- Executes during object creation, after setting all properties. function edit1_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles empty - handles not created until after all CreateFcns called % Hint: edit controls usually have a white background on Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc set(hObject,'BackgroundColor','white'); else set(hObject,'BackgroundColor',get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')); end % Botón de Cálculo Página 19 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. % --- Executes on button press in pushbutton1. function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to pushbutton1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) % Ingreso de la Ecuación Diferencial ED = get(handles.edit1, 'String'); % Verificar el valor radio Button del valor inicial Veri2 = get(handles.radiobutton1, 'Value'); % En caso de que el radio Button esté activado, es decir su valor a 1 if Veri2 == 1 % Cálculo de la solución mediante la función dsolve más valor inicial ED2 = get(handles.edit3, 'String'); % Se introduce el valor inicial B = dsolve(ED,ED2,'x'); % Se calcula con el valor inicial else % caso contrario solo se calcula la solución Homogénea y No Homogénea % Cálculo de la solución mediante la función dsolve B = dsolve(ED,'x'); end % Impresión de Resultados set(handles.text4,'string',char(B)); % Botón de Limpieza % --- Executes on button press in pushbutton2. function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to pushbutton2 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) set(handles.edit1,'string',' '); % Limpieza del campo de edición de la ED set(handles.text4,'string',' '); % Limpieza del campo de resultados set(handles.edit3,'string',' '); % Limpieza del campo de edición del valor inicial set(handles.edit3,'Visible','off'); % Ocultar el campo de edición del valor inicial set(handles.radiobutton1,'Value',0); % Colocar el radio Button a cero, en blanco % --- Executes on button press in radiobutton1. function radiobutton1_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to radiobutton1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) % Hint: get(hObject,'Value') returns toggle state of radiobutton1 Veri = get(handles.radiobutton1, 'Value'); % Verifica el valor del radio Button if Veri == 1 % En caso de que esté activado = 1 set(handles.edit3,'Visible','on'); % Se hace visible la caja de edición del valor inicial set(handles.edit3,'string',' '); % Se limpia para evitar que haya contenido previo de valores else % En caso Contrario de queel valor sea a 0, sin valores iniciales set(handles.edit3,'Visible','off'); % Se oculta la caja de edición de la entrada de valores iniciales end function edit3_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit3 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB Página 20 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) % Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit3 as text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit3 as a double % --- Executes during object creation, after setting all properties. function edit3_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit3 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles empty - handles not created until after all CreateFcns called % Hint: edit controls usually have a white background on Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc set(hObject,'BackgroundColor','white'); else set(hObject,'BackgroundColor',get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')); end % FIN Una vez programada la GUI (consultar manual de usuario de Matlab para la materia), se podrá hacer uso de ella para realizar cálculos y obtener resultados de Ecuaciones Diferenciales de una forma amigable para el usuario. De esta forma, se podrá ingresar todas las ecuaciones diferenciales iniciales (Homogéneas y No Homogéneas, con valores iniciales) hasta ahora vistas. El resultado es el siguiente: Como se observa en las pantallas, la GUI debe de admitir tanto ecuaciones lineales normales y además tener la opción de ingresar valores iniciales, mediante cajas de edición y la selección a través de un radio button. La GUI siguiente resuelve ecuaciones diferenciales de primer orden lineales, además tiene una opción a través de un objeto radio button de seleccionar valores iniciales. a) Solución de una Ecuación Diferencial lineal sin valores iniciales Fig.1 Interfaz Gráfica de Usuario (GUI) sin valores iniciales Página 21 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Fig.2 Interfaz Gráfica de Usuario (GUI) con valores iniciales El radio Button que se observa selecciona dichas opciones, estando activado hace que se presente la caja de edición en donde se ingresará el valor inicial, estando desactivado, hace que dicha caja se oculte, además de limpiar los valores de dicha caja de edición. Los resultados se expresan como se observa en una caja de texto estático. En el botón de calcular debe de estar el código incluyendo mediante un bucle condicional “if”, ambos casos. El botón de limpieza, hace que todas las cajas de texto y edición estén en blanco y pone el radio Button en blanco, o sea, hace retornar a los valores iniciales. El estudiante será capaz de modificar el diseño para poder presentar los valores de entrada y salida, así como los parámetros y mensajes suministrados en la interfaz. Página 22 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 2.- MODELOS MATEMÁTICOS APLICADOS A ECUACIONES DIFERENCIALES MODELOS MATEMÁTICOS 2.1.- INTRODUCCIÓN Las matemáticas constituyen una herramienta útil para la solución de problemas, en especial cuando se conoce la variación entre las variables, es decir, cuando se tiene el cambio de una variable dependiente con respecto a una variable independiente. Las ecuaciones diferenciales son especialmente útiles en la modelación matemática de dichos problemas. Con frecuencia es deseable describir en términos matemáticos el comportamiento de algunos sistemas o fenómenos de la vida real, sean físicos, sociológicos o hasta económicos. La descripción matemática de un sistema de fenómenos se llama modelo matemático y se construye con ciertos objetivos. Por ejemplo, podemos desear entender los mecanismos de cierto ecosistema al estudiar el crecimiento de la población animal en ese sistema, o podemos desear datar fósiles y analizar el decaimiento de una sustancia radiactiva ya sea en el fósil o en el estrato en que éste fue descubierto. 2.2.- DEFINICIÓN MODELO MATEMÁTICO Un modelo matemático es la descripción matemática de un sistema o fenómeno de la vida real. Los modelos matemáticos se pueden pensar como ecuaciones, así se consideran ecuaciones que modelan ciertas situaciones del mundo real. Por ejemplo, cuando se considera un simple circuito eléctrico de corriente directa (CD), la ecuación V = RI, representa el modelo de la caída de voltaje (medida en voltios) a través de una resistencia (medida en ohmios), donde I es la corriente (medida en amperios). Esta es la ecuación que se denomina la Ley de Ohm. De esta forma, se pueden utilizar variables que son continuas y ecuaciones diferenciales en la aplicación de modelos matemáticos. Además, dichas ecuaciones diferenciales consideran variables discretas, es decir, variables que sólo pueden aceptar ciertos valores, como números enteros. La formulación de un modelo matemático de un sistema se inicia e implica: a) Identificación de las variables que ocasionan el cambio del sistema. Podremos elegir no incorporar todas estas variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especificamos el nivel de resolución del modelo b) Se establece un conjunto de suposiciones razonables o hipótesis, acerca del sistema que estamos tratando de describir. Esas hipótesis también incluyen todas las leyes empíricas que se pueden aplicar al sistema. c) Planteamiento de las ecuaciones. Para algunos objetivos quizá baste con conformarse con modelos de baja resolución. Por ejemplo, usted ya es consciente de que en los cursos básicos de física algunas veces se desprecia la fuerza retardadora de la fricción del aire al modelar el movimiento de un cuerpo que cae cerca de la superficie de la Tierra. Pero si usted es un científico cuyo trabajo es predecir con exactitud la Página 23 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. trayectoria de vuelo de un proyectil de largo alcance, deberá considerar la resistencia del aire y otros factores, tales como la curvatura de la Tierra. Puesto que con frecuencia las hipótesis acerca de un sistema implican una razón de cambio de una o más de las variables, el enunciado matemático de todas esas hipótesis puede ser una o más ecuaciones que contengan derivadas. En otras palabras, el modelo matemático puede ser una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales. Una vez que se ha formulado un modelo matemático, ya sea una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, nos enfrentamos al problema no fácil de tratar de resolverlo. Si podemos resolverlo, entonces consideramos que el modelo es razonable si su solución es consistente con los datos experimentales o con los hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Si las predicciones que se obtienen son deficientes, podemos aumentar el nivel de resolución del modelo o hacer hipótesis alternativas acerca de los mecanismos de cambio del sistema. Entonces se repiten los pasos del proceso de modelado, como se muestra en el diagrama siguiente: Fig. 3 Pasos en la realización del proceso de un modelo matemático Por supuesto, al aumentar la resolución, aumentamos la complejidad del modelo matemático y la probabilidad de que no podamos obtener una solución explícita. Con frecuencia, el modelo matemático de un sistema físico inducirá la variable tiempo t. Una solución del modelo expresa el estado del sistema; en otras palabras, los valores de la variable dependiente (o variables) para los valores adecuados de t que describen el sistema en el pasado, presente y futuro. Página 24 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 2.3.-EL “CICLO DE LOS MODELOS” Hacemos el supuesto de cierta situación en la vida real, mediante una investigación se debe ser capaz de construir un modelo para dicha situación (bajo la forma de una ecuación diferencial) y utilizar tecnologías, programas tales como Matlab para encontrar la solución. El ciclo de este modelo puede ilustrarse de la siguiente manera: 2.4.- MÉTODOS CUALITATIVOS Construir un modelo puede resultar un proceso muy largo y difícil; suele llevar varios años de investigación. Una vez formulados, tal vez sea virtualmente imposible resolver los modelos de forma analítica. Por lo tanto, el investigador dispone de dos opciones: a) Simplificar, o “hacer pequeños cambios al modelo para mejorarlo” y hacerlo así más manejable. Este es un enfoque válido, siempre y cuando la simplificación no comprometa excesivamente la conexión entre el “mundo real” y, por lo tanto, su utilidad. b) Dejar el modelo tal y como está, y utilizar entonces otras técnicas, como los métodos gráficos o numéricos. Esto representa un enfoque cualitativo. En tanto no se tenga una solución exacta analítica, en cierta forma se obtiene algo de información que puede dar cierta luz sobre el modelo y su aplicación. 2.5.- FORMULACIÓN Un modelo matemático se define, de manera general, como una formulación o una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. En general se puede expresar de la siguiente manera: Donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja el comportamiento del modelo o estado del sistema; las variables independientes son, por lo general, dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se determina el comportamiento del sistema; y las funciones de fuerza son influencias externas que actúan sobre el sistema. Variable Dependiente = f ( Variable Independiente , Parámetros , Funciones de fuerza ) Fig. 4 Proceso del ciclo de un modelo Página 25 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 2.6APLICACIONES PRÁCTICAS DE MODELOS MATEMÁTICOS 2.6.1.- DINÁMICA POBLACIONAL Uno de los primeros intentos para modelar el crecimiento de la población humana por medio de las matemáticas fue realizado en 1,798 por el economista inglés Thomas Robert Malthus (1766 - 1834). Economista británico de la escuela clásica, fue discípulo de Adam Smith. Estudió en Cambridge, donde se graduó en matemáticas; después se ordenó como pastor de la iglesia anglicana. En 1805 fue nombrado profesor de historia moderna y economía política del East India College; esto en un hecho histórico, ya que se le considera el primer profesor de economía política de la historia. El pesimismo de la escuela clásica quedó expresado con claridad por Malthus. "La población y la riqueza pueden crecer, pero hay un límite; una vez alcanzado se llegará a un estado estacionario en el que la vida será miserable, mera supervivencia". El modelo de Malthus es la suposición de que la razón con la que la población de un país en un cierto tiempo, es proporcional a la población total del país en ese tiempo. Dicho de otra forma, entre más personas estén presentes al tiempo t, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, si P(t) denota la población al tiempo t, entonces esta suposición, se puede expresar por medio de una ecuación diferencial como (1): 𝒅𝑷 𝒅𝒕 =𝒌𝑷 (1) donde 𝒌 es una constante de proporcionalidad. Este modelo simple, falla si se consideran muchos otros factores que pueden influir en el crecimiento o decrecimiento (por ejemplo, inmigración y emigración), Sin embargo, fue bastante exacto en predecir la población de los Estados Unidos, durante 1790-1860. 2.6.2.- EJEMPLOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Ejemplo 1: El modelo de población dado en la ecuación (1) falla al no considerar la tasa de mortalidad; la razón de crecimiento es igual a la tasa de natalidad. En otro modelo del cambio de población de una comunidad se supone que la razón de cambio de la población es una razón neta, esto es, la diferencia entre la tasa de natalidad y la de mortalidad en la comunidad. Determine un modelo para la población P(t) si tanto la tasa de natalidad y la mortalidad son proporcionales a la población presente al tiempo t. Siendo n = nacimientos y, entonces: n = k1P m = mortalidad, m = k2P Página 32 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Del enunciado se puede observar que la temperatura varía con respecto al tiempo, entonces la variable independiente es "t" y la variable dependiente es "T". Por lo tanto, las variables a tomar en cuenta son: T0 = T(0) = temperatura, al tiempo t = 0 T0 = 100°C Tm = temperatura del medio ambiente = 30°C T(t) = temperatura del cuerpo a cualquier tiempo. b) Formular el modelo matemático. El enunciado dice que la velocidad de enfriamiento, 𝒅𝑻 𝒅𝒕 es proporcional a la diferencia de las temperaturas del cuerpo y del medio ambiente. Por lo tanto: 𝒅𝑻 𝒅𝒕=𝑲(𝑻 − 𝑻𝒎) En donde, tenemos las condiciones iniciales siguientes: Al tiempo t = 0, la temperatura es 𝑻𝟎=𝑻(𝟎)=𝟏𝟎𝟎°𝑪 Al tiempo t = 15 minutos, la temperatura es 𝑻(𝟏𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔)=𝟖𝟎°𝑪 ¿Cuál es la temperatura de la sustancia en un tiempo de 20 minutos? Al calcular la solución de la Ecuación Diferencial anterior obtenemos que: 𝑻(𝒕)= 𝑻𝒎+ 𝑪𝒆𝑨𝒕 Por lo tanto, al sustituir 𝑻𝒎 tenemos: 𝑻(𝒕)= 𝟑𝟎°𝑪 + 𝑪𝒆𝑨𝒕 Ahora, sustituimos las condiciones iniciales: 𝑻(𝟎)= 𝟑𝟎°𝑪 + 𝑪𝒆𝟎=𝟏𝟎𝟎°𝑪 𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝟑𝟎°𝑪 + 𝑪=𝟏𝟎𝟎°𝑪 Por lo tanto: 𝑪=𝟕𝟎°𝑪 Para T(15) tenemos: Página 33 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝑻(𝟏𝟓)= 𝟑𝟎°𝑪 + 𝑪𝒆𝟏𝟓𝑨=𝟖𝟎°𝑪 𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝟑𝟎°𝑪 + 𝟕𝟎°𝑪𝒆𝟏𝟓𝑨=𝟏𝟎𝟎°𝑪 Por lo tanto: 𝒆𝟏𝟓𝑨 =𝟓𝟎°𝑪 𝟕𝟎°𝑪,𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑨= 𝟏 𝟏𝟓𝒍𝒏(𝟓 𝟕)= −𝟎.𝟎𝟐𝟐𝟒 Al sustituir los valores de las constantes encontradas en la solución de la ecuación diferencial tenemos: 𝑻(𝒕)= 𝑻𝒎+ 𝑪𝒆𝑨𝒕 𝑻(𝒕)= 𝟑𝟎°𝑪 + 𝟕𝟎°𝑪𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝟐𝟒𝑨𝒕 Ahora, se evalúa esta función en t = 20 minutos y se obtiene: 𝑻(𝒕)= 𝟑𝟎°𝑪 + 𝟕𝟎°𝑪𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝟐𝟒(𝟐𝟎)=𝟕𝟒.𝟔𝟗°𝑪 Ejemplo 10: Una taza de café se enfría de acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, ecuación (4). Utilice los datos de la gráfica de la temperatura T(t) en la figura abajo mostrada para estimar las constantes 𝑇𝑚,𝑇0 𝑦 𝑘 en el modelo de la forma de un problema con valores iniciales. 𝑑𝑇 𝑑𝑡=𝑘 (𝑇− 𝑇𝑚 ) , 𝑇(0)= 𝑇0 Fig. 5 Gráfica de temperatura de enfriamiento en función del tiempo Del texto en el gráfico podemos estimar que: 𝑇0=180° , 𝑦 𝑇𝑚=75° En donde, cuando T = 85, entonces: 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = −1, por lo tanto, de la ecuación diferencial, podemos simplificar y obtener k, de la siguiente forma: Página 34 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝑑𝑇 𝑑𝑡=𝑘 (𝑇 − 𝑇𝑚 ) 𝑘= 𝑑𝑇/𝑑𝑡 𝑇− 𝑇𝑚= −1 85−75= −𝟎.𝟏 Ejemplo 11: La temperatura ambiente Tm en la ecuación (4) podría ser una función del tiempo t. Suponga que, en un medio ambiente controlado, Tm(t) es periódica con un periodo de 24 horas, como se muestra en la figura abajo presentada. Diseñe un modelo matemático para la temperatura T(t) de un cuerpo dentro de este medio ambiente. Recuerde tomar en cuenta la función trigonométrica. Fig. 6 Gráfica de la temperatura ambiente en función del tiempo Analizando el gráfico, tomamos 𝑇𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟,𝑇𝑚(𝑡)=80−30cos𝜋𝑡/12 Por lo tanto, la temperatura en el cuerpo en un tiempo "t", está determinada por la siguiente ecuación: 𝒅𝑻 𝒅𝒕=𝒌 [𝑻− (𝟖𝟎−𝟑𝟎𝐜𝐨𝐬𝝅 𝟏𝟐 𝒕)] , 𝑡>0 Página 35 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 2.6.5.- CIRCUITOS EN SERIE Consideremos un circuito en serie simple que tiene un inductor, un resistor y un capacitor Fig. 7 Gráfica de un circuito en serie simple En un circuito con el interruptor cerrado, la corriente se denota por i(t) y la carga en el capacitor al tiempo t se denota por q(t). Las letras L, R y C son conocidas como inductancia, resistencia y capacitancia, respectivamente y en general son constantes. Ahora de acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff, (*) el voltaje aplicado E(t) a un circuito cerrado, debe ser igual a la suma de las caídas de voltaje en el circuito. (*) Ley del voltaje de Kirchhoff: La suma algebraica de los cambios instantáneos del potencial (caídas de voltaje) en torno de cualquier lazo cerrado debe anularse. Aquí se observan, los símbolos y fórmulas de las caídas respectivas de voltaje a través de un inductor, un capacitor y un resistor. Como la corriente i(t) está relacionada con la carga q(t) en el capacitor mediante i = dq/dt, se suman los tres voltajes Inductor Resistor Capacitor 𝑳 𝒅𝒊 𝒅𝒕=𝑳 𝒅𝟐𝒒 𝒅𝒕𝟐 , 𝒊𝑹 =𝑹 𝒅𝒒 𝒅𝒕 , 𝟏 𝑪𝒒 Así, igualando la suma de estos voltajes, con el voltaje aplicado E(t), se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden: 𝑳 𝒅𝟐𝒒 𝒅𝒕𝟐+ 𝑹 𝒅𝒒 𝒅𝒕+ 𝟏 𝑪𝒒=𝑬(𝒕) (5) Página 36 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 2.6.6.- CUERPOS EN CAÍDA Para establecer un modelo matemático del movimiento de un cuerpo que se mueve en un campo de fuerzas, con frecuencia se comienza con la segunda ley de Newton. Recordemos de la física elemental, la Primera ley del movimiento de Newton establece que un cuerpo permanecerá en reposo o continuará moviéndose con una velocidad constante, a menos que sea sometido a una fuerza externa. En los dos casos, esto equivale a decir que cuando la suma de las fuerzas. 𝑭= ∑𝑭𝒌 Esto significa que la fuerza neta o fuerza resultante, que actúa sobre el cuerpo es cero, y la aceleración a del cuerpo es cero. Asimismo, La Segunda ley del movimiento de Newton, indica que cuando la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo no es cero, entonces la fuerza neta es proporcional a su aceleración a o, más exactamente, F = ma, donde m es la masa del cuerpo. Supongamos ahora que se arroja una piedra hacia arriba desde el techo de un edificio como se muestra en la figura. ¿Cuál es la posición s(t) de la piedra respecto al suelo al tiempo t? La aceleración de la piedra es la segunda derivada d2s/dt2. Si suponemos que la dirección hacia arriba es positiva y que no hay otra fuerza, además de la fuerza de la gravedad, que actúe sobre la piedra, entonces utilizando la segunda ley de Newton se tiene que la ecuación diferencial asociada a esto es: 𝒎 𝒅𝟐𝒔 𝒅𝒕𝟐= −𝒎𝒈, 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐: 𝒅𝟐𝒔 𝒅𝒕𝟐= −𝒈 Fig. 8 Figura del proceso de caída de un piedra desde una altura En otras palabras, la fuerza neta es simplemente el peso F =F1 = W, de la piedra cerca de la superficie de la Tierra. Recordemos que la magnitud del peso es W =mg, donde m es la masa del cuerpo y g es la aceleración debida a la gravedad. El signo menos en la ecuación anterior se usa porque el peso de la piedra es una fuerza dirigida hacia abajo, que es opuesta a la dirección positiva. Página 37 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Si la altura del edificio es s0 y la velocidad inicial de la roca es v0, entonces, el valor de s se determina a partir del problema de la ecuación diferencial con valores iniciales de segundo orden siguiente: 𝒅𝟐𝒔 𝒅𝒕𝟐= −𝒈, 𝒔(𝟎)= 𝒔𝟎, 𝒔′(𝟎)= 𝒗𝟎 (6) La solución de esta ecuación se da al integrando dos veces respecto a t la constante –g. Donde, las condiciones iniciales determinan las dos constantes de integración. De la física elemental podría reconocer la solución de la ecuación anterior como la fórmula siguiente: 𝑺(𝒕)= − 𝟏 𝟐 𝒈 𝒕𝟐+ 𝒗𝟎𝒕 + 𝒔𝟎 2.6.7.- CUERPOS EN CAÍDA Y RESISTENCIA DEL AIRE Antes del famoso experimento de la torre inclinada de Pisa de Galileo generalmente se creía que los objetos más pesados en caída libre, como una bala de cañón, caían con una aceleración mayor que los objetos ligeros como una pluma. Obviamente, una bala de cañón y una pluma cuando se dejan caer simultáneamente desde la misma altura realmente caen en tiempos diferentes, pero esto no es porque una bala de cañón sea más pesada. La diferencia en los tiempos es debida a la resistencia del aire. En el modelo que se presentó en la ecuación (6) se despreció la fuerza de la resistencia del aire. Bajo ciertas circunstancias, un cuerpo que cae de masa m, tal como una pluma con densidad pequeña y forma irregular, encuentra una resistencia del aire que es proporcional a su velocidad instantánea v. Si en este caso, tomamos la dirección positiva dirigida hacia abajo, entonces la fuerza neta que está actuando sobre la masa está dada por F= F1+ F2= mgkv, donde el peso F1 = mg del cuerpo es una fuerza que actúa en la dirección positiva y la resistencia del aire F2=-kv es una fuerza, que se llama de amortiguamiento viscoso, que actúa en la dirección contraria o hacia arriba. Véase la figura siguiente. Ahora puesto que v está relacionada con la aceleración a mediante a =dv/dt, la segunda ley de Newton será F=ma = m dv/dt. Al igualar la fuerza neta con esta forma de la segunda ley, obtenemos una ecuación diferencial para la velocidad v(t) del cuerpo al tiempo t siguiente: Página 38 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝑴 𝒅𝒗 𝒅𝒕 =𝒎𝒈−𝒌𝒗 (7) Aquí k es una constante positiva de proporcionalidad. Si s(t) es la distancia que el cuerpo ha caído al tiempo t desde su punto inicial o de liberación, entonces v = ds/dt y a= dv/dt = d2s/dt2. En términos de s, la ecuación (7) es una ecuación diferencial de segundo orden siguiente: 𝒎 𝒅𝟐𝒔 𝒅𝒕𝟐=𝒎𝒈−𝒌𝒅𝒔 𝒅𝒕 , ó , 𝒎 𝒅𝟐𝒔 𝒅𝒕𝟐+ 𝒌𝒅𝒔 𝒅𝒕 =𝒎𝒈 (8) Ejemplo 12: Para movimientos de gran rapidez en el aire, como el del paracaidista que se muestra en la figura abajo mostrada, que está cayendo antes de que se abra el paracaídas la resistencia del aire es cercana a una potencia de la velocidad instantánea v(t). Determine una ecuación diferencial para la velocidad v(t) de un cuerpo de masa m que cae, si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea. Página 39 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. De la segunda ley de Newton, obtenemos lo siguiente: 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡= −𝑘 𝑣2+ 𝑚𝑔 Ejemplo 13: Segunda ley de Newton y ley de Hooke Después de que se fija una masa m a un resorte, éste se estira s unidades y cuelga en reposo en la posición de equilibrio como se muestra en la figura abajo presentada, parte b. Después el sistema resorte/masa se pone en movimiento, sea que x(t) denote la distancia dirigida del punto de equilibrio a la masa. Como se indica en la figura parte c, suponga que la dirección hacia abajo es positiva y que el movimiento se efectúa en una recta vertical que pasa por el centro de gravedad de la masa y que las únicas fuerzas que actúan sobre el sistema son el peso de la masa y la fuerza de restauración del resorte estirado. Utilice la ley de Hooke: la fuerza de restauración de un resorte es proporcional a su elongación total. Determine una ecuación diferencial del desplazamiento x(t) al tiempo t. Página 40 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. La fuerza total que actúa sobre la masa es: 𝐹=𝑚𝑎=𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2= −𝑘 (𝑠+𝑥)+ 𝑚𝑔= −𝑘𝑥+𝑚𝑠−𝑘𝑠 En donde, la condición de equilibrio es: mg = ks, por lo que la ecuación diferencial es: 𝒎 𝒅𝟐𝒙 𝒅𝒕𝟐= −𝒌𝒙 2.6.8.- CABLES SUSPENDIDOS Vamos a suponer un cable flexible, alambre o cuerda pesada que está suspendida entre dos soportes verticales. Como ejemplos físicos de esto podemos tener uno de los dos cables que soportan el firme de un puente de suspensión como el de la figura (a), o un cable telefónico largo entre dos postes como el de la figura (b). Debemos de construir un modelo matemático que describa la forma que tiene el cable. Comenzaremos por acordar en examinar sólo una parte o elemento del cable entre su punto más bajo P1 y cualquier punto arbitrario P2. Señalado en color azul en la figura (c), este elemento de cable es la curva en un sistema de coordenada rectangular eligiendo al eje y para que pase a través del punto más bajo P1 de la curva y eligiendo al eje x para que pase a a unidades debajo de P1. Página 41 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. c) elementos del cable Sobre el cable actúan tres fuerzas: las tensiones T1 y T2 en el cable que son tangentes al cable en P1 y P2, respectivamente, y la parte W de la carga total vertical entre los puntos P1 y P2. Sea que T1 = |T1|, T2 =|T2|, y W =|W| denoten las magnitudes de estos vectores. Ahora la tensión T2 se descompone en sus componentes horizontal y vertical (cantidades escalares) T2cosϴ y T2senϴ. Debido al equilibrio estático podemos escribir: 𝑇1= 𝑇2cos𝜃 𝑦 𝑊= 𝑇2sen𝜃 Al dividir la última ecuación entre la primera, eliminamos T2 y obtenemos tan ϴ= W/T1. Pero puesto que dy/dx = tan ϴ, llegamos a: 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑊 𝑇1 Esta sencilla ecuación diferencial de primer orden sirve como modelo tanto para modelar la forma de un alambre flexible como el cable telefónico colgado bajo su propio peso, como para modelar la forma de los cables que soportan el firme de un puente suspendido. Página 48 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Donde: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝐴(𝑥)=1 𝑥 𝑁(𝑥,𝑦)=𝐵(𝑦)= −1 Que es una función separable. c) (1+𝑥𝑦)𝑑𝑥+ 𝑦 𝑑𝑦=0 Al identificar los dos términos de la ecuación tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝐴(𝑥)=1+𝑥𝑦 Que no es en función de solo de x, pues posee "y" 𝑁(𝑥,𝑦)=𝐵(𝑦)= 𝑦 , Que es en función de solo de y No se puede hacer nada con el primer término, por lo que la función, no es separable. d) 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑦2𝑥 𝑒3𝑥+4𝑦 En la ecuación, se puede observar que podemos factorizar 𝑓(𝑥,𝑦) , en términos de x y y, de la siguiente forma: 𝑓(𝑥,𝑦)= 𝑦2𝑥 𝑒3𝑥+4𝑦 =(𝑥𝑒3𝑥)(𝑦2𝑒4𝑦) Donde: 𝐴(𝑥)=(𝑥𝑒3𝑥) y 𝐵(𝑦)=(𝑦2𝑒4𝑦) Por lo tanto: La ecuación es Separable e) 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑦+ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 En esta ecuación no existe forma de poder expresar el lado derecho 𝑦+ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , como un producto de una función de x por una función de y. Por lo tanto, la ecuación No es separable. 7.- ECUACIONES EXACTAS Una ecuación en su forma diferencial: 𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦=0 , es exacta si: 𝜗𝑀(𝑥,𝑦) 𝜗𝑦 = 𝜗𝑁(𝑥,𝑦) 𝜗𝑥 La exactitud solo se define para ecuaciones en la forma diferencial, no para la forma estándar. Así que cuando se presente una ecuación en la forma estándar, el primer paso es convertirla a su forma diferencial. Página 49 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Ejemplos: Determinar si la ecuación diferencial es exacta. a) 3𝑥2𝑦 𝑑𝑥+(𝑦+𝑥3)𝑑𝑦=0 Al identificar los dos términos de la ecuación tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)= 3𝑥2𝑦 𝑁(𝑥,𝑦)= 𝑦 + 𝑥3 Donde: 𝜗𝑀 𝜗𝑦 = 3𝑥2 𝜗𝑁 𝜗𝑥= 3𝑥2 De este modo: 𝜗𝑀 𝜗𝑦 =𝜗𝑁 𝜗𝑥 Por lo tanto, la ecuación es exacta b) 𝑥𝑦 𝑑𝑥+𝑦2 𝑑𝑦=0 Al identificar los dos términos de la ecuación tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)= 𝑥𝑦 𝑁(𝑥,𝑦)= 𝑦2 Donde: 𝜗𝑀 𝜗𝑦= 𝑥 𝜗𝑁 𝜗𝑥= 0 De este modo: 𝜗𝑀 𝜗𝑦 ≠𝜗𝑁 𝜗𝑥 Por lo tanto, la ecuación No es exacta Página 50 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 8.- Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. SOLUCIONES I) En los siguientes ejercicios. Determine si la ecuación diferencial es Homogénea a) 𝑦′= 2𝑥𝑦𝑒𝑥/𝑦 𝑥2+ 𝑦2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 Multiplicamos el lado derecho por el número real "t" y tenemos: 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)= 2(𝑡𝑥)(𝑡𝑦)𝑒𝑡𝑥/𝑡𝑦 (𝑡𝑥)2+ (𝑡𝑦)2 𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑥 𝑡𝑦 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)= 𝑡22𝑥𝑦𝑒𝑥/𝑦 𝑡2𝑥2+ 𝑡2𝑦2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)= 𝑡22𝑥𝑦𝑒𝑥/𝑦 𝑡2(𝑥2+ 𝑦2) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)= 2𝑥𝑦𝑒𝑥 𝑦 (𝑥2+ 𝑦2) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦=𝑓(𝑥,𝑦) Qué es igual al lado derecho o sea, a f(x,y), Por lo tanto, la ecuación es Homogénea. b) 𝑦′= 𝑥2+ 𝑦 𝑥3 Multiplicamos el lado derecho por el número real "t" y tenemos: 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)= (𝑡𝑥)2+ 𝑡𝑦 (𝑡𝑥)3 Página 51 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)= 𝑡2𝑥2+ 𝑡𝑦 𝑡3𝑥3 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)= 𝑡(𝑡𝑥2+ 𝑦) 𝑡3𝑥3 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)= 𝑡𝑥2+ 𝑦 𝑡2𝑥3 ≠𝑓(𝑥,𝑦) Qué No es igual al lado derecho o sea, a f(x,y), Por lo tanto, la ecuación No es Homogénea. c) 𝑦′=𝑥𝑦+1 Multiplicamos el lado derecho por el número real "t" y tenemos: 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)=𝑡𝑥𝑡𝑦+1 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)=𝑡2𝑥𝑦+1≠𝑓(𝑥,𝑦) Qué No es igual al lado derecho o sea, a f(x,y), Por lo tanto, la ecuación No es Homogénea. d) 𝑦′= 𝑥2 𝑦2 Multiplicamos el lado derecho por el número real "t" y tenemos: 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)= 𝑡𝑥2 𝑡𝑦2=𝑓(𝑥,𝑦) Qué es igual al lado derecho o sea, a f(x,y), Por lo tanto, la ecuación es Homogénea. Página 52 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. II) Determine si las ecuaciones diferenciales siguientes son exactas a) (4𝑥3𝑦3− 2𝑥𝑦)𝑑𝑥+(3𝑥4𝑦2− 𝑥2)𝑑𝑦 =0 𝜗𝑀 𝜗𝑦= (4𝑥3𝑦3− 2𝑥𝑦) 𝜗𝑀 𝜗𝑦= 12 𝑥3𝑦2− 2𝑥 𝜗𝑁 𝜗𝑥= (3𝑥4𝑦2− 𝑥2) 𝜗𝑁 𝜗𝑥= 12 𝑥3𝑦2− 2𝑥 Por lo tanto se observa que: 𝜗𝑁 𝜗𝑥 =𝜗𝑁 𝜗𝑥 , por lo que la ecuación es Exacta b) (cos𝑦+ 𝑦cos𝑥) 𝑑𝑥+(𝑠𝑒𝑛 𝑥− 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦)𝑑𝑦=0 𝜗𝑀 𝜗𝑦= (cos𝑦+𝑦cos𝑥) 𝜗𝑀 𝜗𝑦= −𝑠𝑒𝑛𝑦+cos𝑥 𝜗𝑁 𝜗𝑥= (𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦) 𝜗𝑁 𝜗𝑥= −𝑠𝑒𝑛𝑦+cos𝑥 Por lo tanto se observa que: 𝝑𝑵 𝝑𝒙 =𝝑𝑵 𝝑𝒙 , por lo que la ecuación es Exacta c) (2 𝑥3+ 3𝑦)𝑑𝑥+(3𝑥+𝑦−1)𝑑𝑦=0 Página 53 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝜗𝑀 𝜗𝑦 = (2 𝑥3+ 3𝑦) 𝜗𝑀 𝜗𝑦= 3 𝜗𝑁 𝜗𝑥= (3𝑥+𝑦−1) 𝜗𝑁 𝜗𝑥= 3 Por lo tanto se observa que: 𝜗𝑁 𝜗𝑥 =𝜗𝑁 𝜗𝑥 , por lo que la ecuación es Exacta d) (6 𝑥5𝑦3+ 4𝑥3𝑦5)𝑑𝑥+ (3 𝑥6𝑦2+ 5𝑥4𝑦4)𝑑𝑦=0 𝜗𝑀 𝜗𝑦 = (6 𝑥5𝑦3+ 4𝑥3𝑦5) 𝜗𝑀 𝜗𝑦= 18 𝑥5𝑦2+ 20𝑥3𝑦4 𝜗𝑁 𝜗𝑥= (3 𝑥6𝑦2+ 5𝑥4𝑦4) 𝜗𝑁 𝜗𝑥= 18 𝑥5𝑦2+ 20𝑥3𝑦4 Por lo tanto se observa que: 𝜗𝑁 𝜗𝑥 =𝜗𝑁 𝜗𝑥 , por lo que la ecuación es Exacta III) Determine si las ecuaciones diferenciales siguientes son separables, ya sea en su forma original o por sustitución, ¿Por qué? a) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥+ 𝑦2 𝑑𝑦=0 Identificamos los dos términos de la ecuación, entonces tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝐴(𝑥)=𝑠𝑒𝑛𝑥 Que es en función de solo de x 𝑁(𝑥,𝑦)=𝐵(𝑦)= 𝑦2, Que es en función solo de y Por lo que la función es separable b) 𝑥𝑦2𝑑𝑥− 𝑥2𝑦2𝑑𝑦=0 Al identificar los dos términos de la ecuación tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝐴(𝑥)=𝑥𝑦2 Que no es en función de solo de x, pues posee "y" Página 54 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝑁(𝑥,𝑦)=𝐵(𝑦)= 𝑥2𝑦2, Que no es en función de solo de y Pero si se dividen ambos lados de la ecuación original por 𝑥2𝑦2 , se obtiene la ecuación: 1 𝑥𝑑𝑥+(−1)𝑑𝑦=0 Donde: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝐴(𝑥)=1 𝑥 𝑁(𝑥,𝑦)=𝐵(𝑦)= −1 Que es una función separable. c) (1 + 𝑥) 𝑑𝑥+ 𝑦𝑑𝑦=0 𝑀(𝑥,𝑦)=𝐴(𝑥)=1+𝑥 Que es en función de solo de x 𝑁(𝑥,𝑦)=𝐵(𝑦)= 𝑦, Que es en función de solo de y Por lo que la función, es separable. IV) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva indicada. a) 𝑦= 𝐶 𝑥2+ 𝐶2 Tenemos aquí una constante arbitraria de segundo grado, entonces la ecuación diferencial resultante debe de ser de grado dos. Para sustituir C, tenemos que encontrar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 , de esta forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝐶 𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 2𝐶 𝑥 Por lo que: 𝐶= 1 2𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 Como: 𝑦= 𝐶 𝑥2+ 𝐶2 , tenemos que: 𝑦= 1 2𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑥2+ (1 2𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥)2 Página 55 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝑦= 1 2𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑥2+ 1 4𝑥2(𝑑𝑦 𝑑𝑥)2 Por lo que al simplificar y dejar la ecuación en su forma diferenciada, tenemos que: 4𝑥2𝑦= 1 2𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑥2+(𝑑𝑦 𝑑𝑥)2 (𝑑𝑦 𝑑𝑥)2+ 2𝑥3𝑑𝑦 𝑑𝑥−4𝑥2𝑦 =0 Que es la ecuación diferencial solicitada. b) 𝑦= 𝐴 𝑥+ 𝐵 Tenemos dos constantes arbitrarias, por lo que hay que derivar dos veces: a) La primitiva: 𝑦= 𝐴 𝑥+ 𝐵 b) La primera derivada: 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝐴 c) Segunda derivada: 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2= 0 De este modo, la última ecuación, 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2= 0, ó 𝒚′′= 𝟎 , está libre de constantes arbitrarias y es de un orden adecuado, así que ésta es la ecuación solicitada. c) 𝑦= 𝐴𝑥 Tenemos una constante arbitraria, por lo que hay que derivar una vez: a) La primitiva: 𝑦= 𝐴𝑥 b) La primera derivada: 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝐴 Sustituyendo este valor en la ecuación primitiva tenemos que: 𝑦= 𝐴𝑥 𝑦= 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑥 0= 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑥−𝑦 , despejando nos queda: 𝒚′= 𝒚 𝒙 Que es la ecuación solicitada Página 56 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. V) Clasifique cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales como: Separable, exacta, homogénea o de Bernoulli (indique los valor de p(x) , q(x) y n ). Algunas pueden ser de más de una clase. a) 𝑑𝑦 𝑑𝑥=𝑥−𝑦 𝑥 , ó 𝑦′=𝑥−𝑦 𝑥 , Tenemos una forma estándar, y la forma diferencial de ella sería: (𝑥−𝑦)𝑑𝑥+ 𝑥 𝑑𝑦=0 Multiplicamos el lado derecho por el número real "t" y tenemos: 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)=𝑡𝑥−𝑡𝑦 𝑡𝑥 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)=𝑡(𝑥−𝑦) 𝑡𝑥 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)=𝑥−𝑦 𝑥 Qué es igual al lado derecho o sea, a f(x,y), Por lo tanto, la ecuación es Homogénea. Al identificar los dos términos de la ecuación tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)= 𝑥− 𝑦 𝑁(𝑥,𝑦)= −𝑥 Donde: 𝜗𝑀 𝜗𝑦 = −1 𝜗𝑁 𝜗𝑥= −1 De este modo: 𝜗𝑀 𝜗𝑦 =𝜗𝑁 𝜗𝑥 Por lo tanto, la ecuación es exacta Página 57 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. b) (𝑥+1)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =−𝑦+10 Primero obtenemos la forma estándar o normal, para ello, despejamos 𝑑𝑦 𝑑𝑥: 𝑑𝑦 𝑑𝑥=−𝑦+10 (𝑥+1) Al factorizar tenemos que: 𝑑𝑦=𝑑𝑥(−𝑦+10) (𝑥+1) 1 −𝑦+10𝑑𝑦= 1 (𝑥+1)𝑑𝑥 0= 1 (𝑥+1)𝑑𝑥− 1 −𝑦+10𝑑𝑦 Identificando los términos tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝐴(𝑥)= 1 (𝑥+1) Que es en función solo de x 𝑁(𝑥,𝑦)=𝐵(𝑦)=− 1 −𝑦+10 Que es en función solo de y Por lo tanto, la ecuación sería en este caso Separable Otra forma de ver la solución sería que, este tipo de ecuación como ya se vio en la teoría, tiene infinitas posibilidades de soluciones, la más común es la relacionada a la forma general de la forma diferencial, en donde M(x,y) dx y N(x,y)dy, están asociados de acuerdo a la distribución: De acuerdo a la forma diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, en donde Página 64 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. b) 𝑦𝑑𝑥−𝑥𝑑𝑦=0 Primero debemos reescribir la ecuación en su forma estándar de la siguiente forma. 𝑦𝑑𝑥=𝑥𝑑𝑦 𝑦 𝑥=𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦′= 𝑦 𝑥 Ahora, una ecuación diferencial en su forma estándar, es homogénea si: 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)=𝑓(𝑥,𝑦) Para cualquier número real "t". Es decir, que al multiplicar la función por cualquier número real, el resultado debe de ser igual al lado derecho de la ecuación o F(x,y). Es decir, que el lado derecho de la ecuación se pueda expresar como una función que sólo dependa del cociente y/x, lo que nos da la ecuación anterior: Multiplicamos el lado derecho por el número real "t" y tenemos: 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)=𝑡𝑦 𝑡𝑥 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)=𝑦 𝑥 Qué es igual al lado derecho o sea, a f(x,y), Por lo tanto, la ecuación es Homogénea. No es Exacta No es separable No es Bernoulli Página 65 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. c) (𝑥+𝑠𝑒𝑛 𝑦)𝑑𝑥+(𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦−2𝑦)𝑑𝑦=0 Primero debemos de determinar si es exacta, en cuyo caso debe de existir una función que representa a la familia de soluciones de dicha ecuación. Así que identificamos los términos de la ecuación diferencial en su forma diferenciada y tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=(𝑥+𝑠𝑒𝑛 𝑦) 𝑁(𝑥,𝑦)= (𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦−2𝑦) Entonces, al calcular las derivadas: 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 =(𝑥+𝑠𝑒𝑛 𝑦)=𝑐𝑜𝑠𝑦 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =(𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦− 2𝑦)=𝑐𝑜𝑠𝑦 Por lo tanto: 𝜕𝑀 𝜕𝑦= 𝜕𝑁 𝜕𝑥 Lo que demuestra que la ecuación es exacta. No es Homogénea No es separable No es Bernoulli Página 66 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. d) (𝑥𝑦+1)𝑑𝑥+(𝑥𝑦−1)𝑑𝑦=0 Primero debemos reescribir la ecuación en su forma estándar de la siguiente forma. (𝑥𝑦−1)𝑑𝑦=−(𝑥𝑦+1)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥=−(𝑥𝑦+1) (𝑥𝑦−1) 𝑦′= −(𝑥𝑦+1) (𝑥𝑦−1) Ahora, una ecuación diferencial en su forma estándar, es homogénea si: 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)=𝑓(𝑥,𝑦) Para cualquier número real "t". Es decir, que al multiplicar la función por cualquier número real, el resultado debe de ser igual al lado derecho de la ecuación o F(x,y). Es decir, que el lado derecho de la ecuación se pueda expresar como una función que sólo dependa del cociente y/x, lo que nos da la ecuación anterior: Multiplicamos el lado derecho por el número real "t" y tenemos: 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)=𝑡(−𝑥𝑦−1) 𝑡(𝑥𝑦−1) 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)=−(𝑥𝑦+1) (𝑥𝑦−1) Qué es igual al lado derecho o sea, a f(x,y), Por lo tanto, la ecuación es Homogénea. No es Exacta No es separable No es Bernoulli Página 67 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. e) 3𝑥2𝑦2 𝑑𝑥+(2𝑥3𝑦+ 4 𝑦3)𝑑𝑦=0 Primero debemos de determinar si es exacta, en cuyo caso debe de existir una función que representa a la familia de soluciones de dicha ecuación. Así que identificamos los términos de la ecuación diferencial en su forma diferenciada y tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=3𝑥2𝑦2 𝑁(𝑥,𝑦)= (2𝑥3𝑦+4 𝑦3) Entonces, al calcular las derivadas: 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 =3𝑥2𝑦2=6𝑥2𝑦 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =(2𝑥3𝑦+4 𝑦3)=6𝑥2𝑦 Por lo tanto: 𝜕𝑀 𝜕𝑦= 𝜕𝑁 𝜕𝑥 Lo que demuestra que la ecuación es exacta. No es Homogénea No es separable No es Bernoulli Página 68 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. f) (𝑥−𝑦)𝑑𝑥+(𝑥+𝑦)𝑑𝑦=0 Primero debemos reescribir la ecuación en su forma estándar de la siguiente forma. (𝑥+𝑦)𝑑𝑦=−(𝑥−𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥=−(𝑥−𝑦) (𝑥+𝑦) 𝑦′= (𝑦−𝑥) (𝑥+𝑦) Ahora, una ecuación diferencial en su forma estándar, es homogénea si: 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)=𝑓(𝑥,𝑦) Para cualquier número real "t". Es decir, que al multiplicar la función por cualquier número real, el resultado debe de ser igual al lado derecho de la ecuación o F(x,y). Es decir, que el lado derecho de la ecuación se pueda expresar como una función que sólo dependa del cociente y/x, lo que nos da la ecuación anterior: Multiplicamos el lado derecho por el número real "t" y tenemos: 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)=𝑡(𝑦−𝑥) 𝑡(𝑥+𝑦) 𝑓(𝑡𝑥,𝑡𝑦)=(𝑦−𝑥) (𝑥+𝑦) Qué es igual al lado derecho o sea, a f(x,y), Por lo tanto, la ecuación es Homogénea. No es Exacta No es separable No es Bernoulli Hay que superarse día a día Página 69 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 9.- SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EXACTAS 9.1DEFINICIÓN Vamos a recordar que analizamos la ecuación diferencial de primer orden en su forma diferencial siguiente: 𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦=0 (1) La cual se considera exacta, si existe una función 𝐺(𝑥,𝑦) , de tal modo que: 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 (2) Ahora, si 𝑀(𝑥,𝑦) , y 𝑁(𝑥,𝑦) , son funciones continuas y poseen primeras derivadas parciales continuas sobre algún rectángulo del plano xy , entonces la ecuación (1), es exacta, si y solo si: 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 (3) 9.2.- MÉTODO DE SOLUCIÓN Para poder resolver la ecuación (1), que por (3) se demuestra que es exacta, entonces, existe el potencial 𝐺(𝑥,𝑦) , tal que: 𝜕𝐺(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =𝑀(𝑥,𝑦) (4) 𝜕𝐺(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 =𝑁(𝑥,𝑦) (5) Para 𝐺(𝑥,𝑦) , entonces la solución general para (1), está dada implícitamente por: 𝐺(𝑥,𝑦)=𝐶 (6) En donde C, representa una constante arbitraria. Para obtener "G", se procede como sigue: Se integra 𝐺(𝑥,𝑦) , respecto a una sola de sus variables, en este caso x, de la siguiente forma: 𝐺(𝑥,𝑦)= ∫𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦) (7) Donde 𝑔(𝑦) , es una constante de integración que depende de la variable "y", y que ha permanecido constante durante la integración. Hay que notar que para determinar a 𝐺(𝑥,𝑦) , solo resta encontrar a 𝑔(𝑦). Página 70 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Ahora, si derivamos con respecto a "y", tenemos que: 𝑁(𝑥,𝑦)= 𝜕(∫𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 ) 𝜕 𝑦 + 𝑔′(𝑦) (8) Entonces, al simplificar (8), tenemos que: 𝑔′(𝑦)= 𝑁(𝑥,𝑦)− 𝜕(∫𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 ) 𝜕 𝑦 (9) Ahora, integrando respecto a "y", y sustituyendo el resultado en (7), obtenemos de la expresión anterior 𝑔(𝑦) . En donde la solución general es la solución implícita presentada en (6), que es: 𝐺(𝑥,𝑦)=𝐶 , 𝐶 𝜖 ℝ (10) Que representa la familia de soluciones de la ED 9.3EJEMPLOS Ejemplo (1) Determinar si la ecuación diferencial 2𝑥𝑦𝑑𝑥+(1 + 𝑥2)𝑑𝑦=0 Es exacta y en caso de que lo sea, resolverla. Primero debemos de determinar si es exacta, en cuyo caso debe de existir una función que representa a la familia de soluciones de dicha ecuación. Así que identificamos los términos de la ecuación diferencial en su forma diferenciada y tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=2𝑥𝑦 𝑁(𝑥,𝑦)= 1 + 𝑥2 Entonces, al calcular las derivadas: 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 =2 𝑥𝑦=2𝑥 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =1+ 𝑥2=2𝑥 Por lo tanto: 𝜕𝑀 𝜕𝑦= 𝜕𝑁 𝜕𝑥 Página 71 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Lo que demuestra que la ecuación es exacta. Ahora vamos a determinar una función 𝐺(𝑥,𝑦) , que satisfaga las ecuaciones (4) y (5). De acuerdo a la teoría vista, vamos a integrar 𝐺(𝑥,𝑦) , respecto a la variable x, así que sustituimos el valor de 𝑀(𝑥,𝑦)=2𝑥𝑦 , en (4), con lo que tenemos: 𝜕𝐺(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝐺 𝜕𝑥=2𝑥𝑦 Ahora, al integrar ambos lados por la ecuación (7), tenemos que: ∫𝜕𝐺 𝜕𝑥 𝑑𝑥= ∫𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 ∫𝜕𝐺 𝜕𝑥 𝑑𝑥= ∫(2𝑥𝑦)𝑑𝑥 Lo que resulta: 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥2𝑦+𝑔(𝑦) Ahora, hay que determinar 𝑔(𝑦) , para ello, derivamos la ecuación anterior, con respecto a "y" y tenemos: 𝜕𝐺 𝜕𝑦=𝑥2+𝑔′(𝑦) El siguiente paso es sustituir esta ecuación con 𝑁(𝑥,𝑦)= 1 + 𝑥2 , en la ecuación (5) y tenemos lo siguiente: 𝜕𝐺 𝜕𝑦=𝑁(𝑥,𝑦) 𝑥2+𝑔′(𝑦)=1+ 𝑥2 Donde al simplificar 𝑔′(𝑦), tenemos que: 𝑔′(𝑦)=1+ 𝑥2− 𝑥2 𝑔′(𝑦)=1 Al integrar esta última ecuación respecto a "y", tenemos que: Página 72 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝑔(𝑦)=𝑦+ 𝐶1 En donde, 𝐶1 , es una constante. Sustituyendo esto en 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥2𝑦+𝑔(𝑦) Tenemos que: 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥2𝑦+𝑦+ 𝐶1 Ahora, recordemos que la solución general de la ED, está dada implícitamente en (6) por la ecuación: 𝐺(𝑥,𝑦)=𝐶 Entonces, sustituimos este valor en la última ecuación y tenemos: 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥2𝑦+𝑦+ 𝐶1 𝐶= 𝑥2𝑦+𝑦+ 𝐶1 Donde: 𝑥2𝑦+𝑦=𝐶 − 𝐶1 Hacemos: 𝐶2=𝐶− 𝐶1 , y tenemos que: 𝑥2𝑦+𝑦=𝐶2 Al simplificar, tenemos: 𝒚(𝒙𝟐+𝟏)=𝑪𝟐 Que es la familia de soluciones de la ED buscada. También, podemos resolver explícitamente esta ecuación para "y", Por lo que: 𝒚= 𝑪𝟐 𝒙𝟐+ 𝟏 Que es la familia de soluciones de la ED buscada. Página 73 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Ejemplo (2) Determinar si la ecuación diferencial (𝑥+ 𝑠𝑒𝑛 𝑦)𝑑𝑥+(𝑥cos𝑦−2𝑦)𝑑𝑦=0 Es exacta y en caso de que lo sea, resolverla. Primero debemos de determinar si es exacta, en cuyo caso debe de existir una función que representa a la familia de soluciones de dicha ecuación. Así que identificamos los términos de la ecuación diferencial en su forma diferenciada y tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑥+ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑁(𝑥,𝑦)= 𝑥cos𝑦 − 2𝑦 Entonces, al calcular las derivadas: 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 =𝑥+𝑠𝑒𝑛 𝑦=cos𝑦 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =𝑥cos𝑦−2𝑦=cos𝑦 Por lo tanto: 𝜕𝑀 𝜕𝑦= 𝜕𝑁 𝜕𝑥 Lo que demuestra que la ecuación es exacta. Ahora vamos a determinar una función 𝐺(𝑥,𝑦) , que satisfaga las ecuaciones (4) y (5). De acuerdo a la teoría vista, vamos a integrar 𝐺(𝑥,𝑦) , respecto a la variable x, así que sustituimos el valor de 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑥+ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 , en (4), con lo que tenemos: 𝜕𝐺(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝐺 𝜕𝑥=𝑥+𝑠𝑒𝑛 𝑦 Ahora, al integrar ambos lados por la ecuación (7), tenemos que: ∫𝜕𝐺 𝜕𝑥 𝑑𝑥= ∫𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 ∫𝜕𝐺 𝜕𝑥 𝑑𝑥= ∫(𝑥+ 𝑠𝑒𝑛 𝑦)𝑑𝑥 Página 80 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝑔′(𝑦)=1+3 𝑥2𝑦2+ 𝑥 − 𝑥−3𝑥2𝑦2 𝑔′(𝑦)=1 Al integrar esta última ecuación respecto a "y", tenemos que: 𝑔(𝑦)=𝑦 + 𝐶1 En donde, 𝐶1 , es una constante. Sustituyendo esto en 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑦𝑥+𝑥2𝑦3 + 𝑔(𝑦) Tenemos que: 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑦𝑥+𝑥2𝑦3 + 𝑦+ 𝐶1 Ahora, recordemos que la solución general de la ED, está dada implícitamente en (6) por la ecuación: 𝐺(𝑥,𝑦)=𝐶 Entonces, sustituimos este valor en la última ecuación y tenemos: 𝐺(𝑥,𝑦)=𝑦𝑥+𝑥2𝑦3 + 𝑦+ 𝐶1 𝐶= 𝑦𝑥+𝑥2𝑦3 + 𝑦+ 𝐶1 Donde: 𝑦𝑥+𝑥2𝑦3 + 𝑦=𝐶− 𝐶1 Hacemos: 𝐶2=𝐶− 𝐶1 , y tenemos que: 𝒚𝒙+𝒙𝟐𝒚𝟑 + 𝒚=𝑪𝟐 Que es la familia de soluciones de la ED buscada. Página 81 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. b) (𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥+𝑥𝑦cos𝑥) 𝑑𝑥+(𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥+ 1)𝑑𝑦=0 Primero debemos de determinar si es exacta, en cuyo caso debe de existir una función que representa a la familia de soluciones de dicha ecuación. Así que identificamos los términos de la ecuación diferencial en su forma diferenciada y tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥+𝑥𝑦cos𝑥 𝑁(𝑥,𝑦)= 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥+1 Entonces, al calcular las derivadas: 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 =𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥+ 𝑥𝑦cos𝑥=𝑠𝑒𝑛 𝑥+ 𝑥cos𝑥 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥+ 1=𝑠𝑒𝑛 𝑥+ 𝑥cos𝑥 Por lo tanto: 𝜕𝑀 𝜕𝑦= 𝜕𝑁 𝜕𝑥 Lo que demuestra que la ecuación es exacta. Ahora vamos a determinar una función 𝐺(𝑥,𝑦) , que satisfaga las ecuaciones (4) y (5). De acuerdo a la teoría vista, vamos a integrar 𝐺(𝑥,𝑦) , respecto a la variable x, así que sustituimos el valor de 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥+𝑥𝑦cos𝑥 , en (4), con lo que tenemos: 𝜕𝐺(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝐺 𝜕𝑥=𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥+ 𝑥𝑦cos𝑥 Ahora, al integrar ambos lados por la ecuación (7), tenemos que: ∫𝜕𝐺 𝜕𝑥 𝑑𝑥= ∫𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 ∫𝜕𝐺 𝜕𝑥 𝑑𝑥= ∫(𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥+𝑥𝑦cos𝑥)𝑑𝑥 Lo que resulta: 𝐺(𝑥,𝑦)= −𝑦cos𝑥+ 𝑦 (cos𝑥+ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥) + 𝑔(𝑦) Ahora, hay que determinar 𝑔(𝑦) , para ello, derivamos la ecuación anterior, con respecto a "y" y tenemos: Página 82 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝜕𝐺 𝜕𝑦=𝜕(−𝑦 cos𝑥+𝑦 (cos𝑥+𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥) +𝑔(𝑦)) 𝜕𝐺 𝜕𝑦=𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥+ 𝑔′(𝑦) El siguiente paso es sustituir esta ecuación con 𝑁(𝑥,𝑦)= 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥+1 , en la ecuación (5) y tenemos lo siguiente: 𝜕𝐺 𝜕𝑦=𝑁(𝑥,𝑦) 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥+ 𝑔′(𝑦) =𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥+ 1 Donde al simplificar 𝑔′(𝑦), tenemos que: 𝑔′(𝑦)=𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥+1− 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑔′(𝑦)=1 Al integrar esta última ecuación respecto a "y", tenemos que: 𝑔(𝑦)=𝑦 + 𝐶1 En donde, 𝐶1 , es una constante. Sustituyendo esto en 𝐺(𝑥,𝑦)= −𝑦cos𝑥+ 𝑦 (cos𝑥+ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥) + 𝑔(𝑦) Tenemos que: 𝐺(𝑥,𝑦)= −𝑦cos𝑥+ 𝑦 (cos𝑥+ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥) + 𝑦+ 𝐶1 Ahora, recordemos que la solución general de la ED, está dada implícitamente en (6) por la ecuación: 𝐺(𝑥,𝑦)=𝐶 Entonces, sustituimos este valor en la última ecuación y tenemos: 𝐺(𝑥,𝑦)= −𝑦cos𝑥+ 𝑦 (cos𝑥+ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥) + 𝑦+ 𝐶1 𝐶= −𝑦cos𝑥+𝑦 cos𝑥+ 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑦+ 𝐶1 Donde: 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑦=𝐶− 𝐶1 Hacemos: 𝐶2=𝐶− 𝐶1 , y tenemos que: 𝒙𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒚=𝑪𝟐 Que es la familia de soluciones de la ED buscada. Página 83 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. c) (𝑥𝑦+1)𝑑𝑥+(𝑥𝑦−1)𝑑𝑦=0 Primero debemos de determinar si es exacta, en cuyo caso debe de existir una función que representa a la familia de soluciones de dicha ecuación. Así que identificamos los términos de la ecuación diferencial en su forma diferenciada y tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑥𝑦+1 𝑁(𝑥,𝑦)= 𝑥𝑦−1 Entonces, al calcular las derivadas: 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 =𝑥𝑦+ 1=𝑥 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =𝑥𝑦−1=𝑦 Por lo tanto: 𝜕𝑀 𝜕𝑦≠ 𝜕𝑁 𝜕𝑥 Lo que demuestra que la ecuación NO es exacta. d) 3 𝑥2 𝑦2𝑑𝑥+(2𝑥3𝑦+4𝑦3 )𝑑𝑦=0 Primero debemos de determinar si es exacta, en cuyo caso debe de existir una función que representa a la familia de soluciones de dicha ecuación. Así que identificamos los términos de la ecuación diferencial en su forma diferenciada y tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=3 𝑥2 𝑦2 𝑁(𝑥,𝑦)= 2𝑥3𝑦+4𝑦3 Entonces, al calcular las derivadas: 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 =3 𝑥2 𝑦2=6 𝑥2𝑦 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =2𝑥3𝑦+4𝑦3 =6 𝑥2𝑦 Por lo tanto: Página 84 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝜕𝑀 𝜕𝑦= 𝜕𝑁 𝜕𝑥 Lo que demuestra que la ecuación es exacta. Ahora vamos a determinar una función 𝐺(𝑥,𝑦) , que satisfaga las ecuaciones (4) y (5). De acuerdo a la teoría vista, vamos a integrar 𝐺(𝑥,𝑦) , respecto a la variable x, así que sustituimos el valor de 𝑀(𝑥,𝑦)=3 𝑥2 𝑦2 , en (4), con lo que tenemos: 𝜕𝐺(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝐺 𝜕𝑥=3 𝑥2 𝑦2 Ahora, al integrar ambos lados por la ecuación (7), tenemos que: ∫𝜕𝐺 𝜕𝑥 𝑑𝑥= ∫𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 ∫𝜕𝐺 𝜕𝑥 𝑑𝑥= ∫(3 𝑥2 𝑦2)𝑑𝑥 Lo que resulta: 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥3 𝑦2 + 𝑔(𝑦) Ahora, hay que determinar 𝑔(𝑦) , para ello, derivamos la ecuación anterior, con respecto a "y" y tenemos: 𝜕𝐺 𝜕𝑦=𝜕(𝑥3 𝑦2 +𝑔(𝑦)) 𝜕𝐺 𝜕𝑦=2𝑥3 𝑦+ 𝑔′(𝑦) El siguiente paso es sustituir esta ecuación con 𝑁(𝑥,𝑦)= 2𝑥3𝑦+4𝑦3 , en la ecuación (5) y tenemos lo siguiente: 𝜕𝐺 𝜕𝑦=𝑁(𝑥,𝑦) Página 85 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 2𝑥3 𝑦 + 𝑔′(𝑦) =2𝑥3𝑦+4𝑦3 Donde al simplificar 𝑔′(𝑦), tenemos que: 𝑔′(𝑦)=2𝑥3𝑦+4𝑦3 − 2𝑥3 𝑦 𝑔′(𝑦)=4𝑦3 Al integrar esta última ecuación respecto a "y", tenemos que: 𝑔(𝑦)=𝑦4 + 𝐶1 En donde, 𝐶1 , es una constante. Sustituyendo esto en 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥3 𝑦2 + 𝑔(𝑦) Tenemos que: 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥3 𝑦2 + 𝑦4 + 𝐶1 Ahora, recordemos que la solución general de la ED, está dada implícitamente en (6) por la ecuación: 𝐺(𝑥,𝑦)=𝐶 Entonces, sustituimos este valor en la última ecuación y tenemos: 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥3 𝑦2 + 𝑦4 + 𝐶1 𝐶= 𝑥3 𝑦2 + 𝑦4 + 𝐶1 Donde: 𝑥3 𝑦2 +𝑦4 =𝐶− 𝐶1 Hacemos: 𝐶2=𝐶− 𝐶1 , y tenemos que: 𝒙𝟑 𝒚𝟐 +𝒚𝟒 =𝑪𝟐 Que es la familia de soluciones de la ED buscada. Página 86 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. e) (𝑥−𝑦)𝑑𝑥+(𝑥+𝑦)𝑑𝑦=0 Primero debemos de determinar si es exacta, en cuyo caso debe de existir una función que representa a la familia de soluciones de dicha ecuación. Así que identificamos los términos de la ecuación diferencial en su forma diferenciada y tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑥−𝑦 𝑁(𝑥,𝑦)= 𝑥+𝑦 Entonces, al calcular las derivadas: 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 =𝑥− 𝑦=−1 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =𝑥+𝑦=1 Por lo tanto: 𝜕𝑀 𝜕𝑦≠ 𝜕𝑁 𝜕𝑥 Lo que demuestra que la ecuación NO es exacta. Página 87 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 9.5.- PROGRAMA MATLAB PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS El programa es general, sirve para introducir cualquier tipo de ecuación y comprobar primero si es exacta, es caso de que no lo sea, despliega un mensaje y termina, en caso de que sea exacta, continúa con la rutina y resuelve la ecuación diferencial de forma implícita. Pueden también introducirse los términos, mediante la instrucción "input". % Ecuaciones Diferenciales – con Matlab % Estudios de Cuarto Semestre % Ingeniería Civil % Abril – Septiembre 2016 % Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. % Solución de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden, Exactas % Limpieza de escritorio y variables clear all; close all; clc; % Ejemplo 1 - % Determinar si la ecuación diferencial % es exacta, y en caso de que lo sea, resolverla % Primer paso: Declaración de términos de la ED de la forma diferenciada syms x y; % Declaración de variables simbólicas % Prueba de que no es exacta, quitar comentarios y colocarlos en las % siguientes dos instrucciones M y N, y comentariar los input % M = x*y+1; % N = x*y-1; % Introducción de los términos mediante Input M = input('Introduzca el termino M(x,y): ','s'); N = input('Introduzca el termino N(x,y): ','s'); % Comprobar si es exacta, se utilizan las variables M y N introducidas exacta = diff(M,'y') - diff(N,'x'); % se utiliza disp, para desplegar un mensaje disp('El resultado es = '); disp (exacta); % Validación del caso de que sea exacta o no, se utiliza if - else if exacta ~= 0 % En caso de que no sea exacta, despliega mensaje y finaliza disp('Al ser el resultado no igual a 0, entonces la Ecuación Diferencial, NO es Exacta '); else % Caso contrario, es exacta, se siguen las siguientes instrucciones Página 88 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. disp('Al ser el resultado = 0, entonces la Ecuación Diferencial es Exacta '); fprintf('\n'); % Para un salto de línea % Segundo paso, una vez que se ha comprobado que es exacta, buscar una función G(8x,y) % que satisfaga tanto ?G/?x = M(x,y), cómo ?G/?y = N(x,y) % Para ello, Integrar G(x,y) respecto a x Gx = int(M, 'x'); % De la Ec (1) en la teoría disp ('La integración es igual a:'); disp(Gx); % Respuesta de la Integración % Tercero, el siguiente paso, es determinar g(y), para ello, derivamos % el resultado anterior, respecto a "y" y sustituimos con N(x,y), % simplificando Der = N - diff(Gx, 'y'); disp ('La derivación es igual a:'); disp (Der); % Respuesta de la operación % Siguiente paso, integramos esta última ecuación respecto a "y" Inte = int(Der,y); % De la Ec (2) en la teoría disp ('La integración respecto a y, de la derivada es igual a:'); disp (Inte); % Respuesta de la integración % Por último, la solución, es la familia de ecuaciones al % sustituir o en este caso, sumar las respuestas de las ecuaciones 1 y 2 % Hay que agregar a la respuesta la constante C2 disp ('La solución implícita es la familia de ecuaciones = C2: '); Sol = Gx + Inte; disp (Sol); end % FIN DEL PROGRAMA y de la instrucción if - else Al ejecutar el anterior Script, con los valores ejemplos de M y de N, se obtiene el siguiente resultado: El resultado es = x - y Al ser el resultado no igual a 0, entonces la Ecuación Diferencial, NO es Exacta Página 89 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 9.6.- Ejercicios de Repaso de ecuaciones diferenciales de primer orden Exactas con Matlab SOLUCIONES I) En los siguientes ejercicios. DETERMINE si la ecuación diferencial es exacta, en caso de que lo sea, resuélvala y construya un programa en Matlab que muestre la familia que corresponde a la solución implícita. (Para la solución con Matlab, aplicar el programa propuesto en la página 60). a) (2𝑥−1)𝑑𝑥+(3𝑦+7)𝑑𝑦= 0 Lo primero es que identificamos los términos de la ecuación diferencial, en su forma diferenciada y tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=2𝑥−1 𝑁(𝑥,𝑦)= 3𝑦+ 7 Entonces, al calcular las derivadas: 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 =2𝑥−1=0 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =3𝑦+7=0 Por lo tanto: 𝜕𝑀 𝜕𝑦= 𝜕𝑁 𝜕𝑥 Lo que demuestra que la ecuación es exacta. Ahora vamos a determinar una función 𝐺(𝑥,𝑦) , que satisfaga las ecuaciones (4) y (5). De acuerdo a la teoría vista, vamos a integrar 𝐺(𝑥,𝑦) , respecto a la variable x, así que sustituimos el valor de 𝑀(𝑥,𝑦)=2𝑥−1 , en (4), con lo que tenemos: Página 96 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Donde: 5 2𝑥2+ 4𝑥𝑦 − 2𝑦4=𝐶− 𝐶1 Hacemos: 𝐶2=𝐶− 𝐶1 , y tenemos que: 𝟓 𝟐𝒙𝟐+ 𝟒𝒙𝒚 − 𝟐𝒚𝟒=𝑪𝟐 Que es la familia de soluciones de la ED buscada. Página 97 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. c) (𝑠𝑒𝑛 𝑦− 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑑𝑥+(cos𝑥+𝑥cos𝑦−𝑦)𝑑𝑦=0 Lo primero es que identificamos los términos de la ecuación diferencial, en su forma diferenciada y tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑠𝑒𝑛 𝑦−𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑁(𝑥,𝑦)= cos𝑥+𝑥cos𝑦−𝑦 Entonces, al calcular las derivadas: 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 =𝑠𝑒𝑛 𝑦 −𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥=𝑐𝑜𝑠𝑦− 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =cos𝑥+𝑥cos𝑦−𝑦=−𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑦 Por lo tanto: 𝜕𝑀 𝜕𝑦= 𝜕𝑁 𝜕𝑥 Lo que demuestra que la ecuación es exacta. Ahora vamos a determinar una función 𝐺(𝑥,𝑦) , que satisfaga las ecuaciones (4) y (5). De acuerdo a la teoría vista, vamos a integrar 𝐺(𝑥,𝑦) , respecto a la variable x, así que sustituimos el valor de 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑠𝑒𝑛 𝑦−𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , en (4), con lo que tenemos: Página 98 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝜕𝐺(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝐺 𝜕𝑥=𝑠𝑒𝑛 𝑦− 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Ahora, al integrar ambos lados por la ecuación (7), tenemos que: ∫𝜕𝐺 𝜕𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 ∫𝜕𝐺 𝜕𝑥 𝑑𝑥= ∫(𝑠𝑒𝑛 𝑦−𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑑𝑥 Lo que resulta: 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦cos𝑥 + 𝑔(𝑦) Ahora, hay que determinar 𝑔(𝑦) , para ello, derivamos la ecuación anterior, con respecto a "y" y tenemos: 𝜕𝐺 𝜕𝑦=𝜕(𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦+𝑦cos 𝑥 +𝑔(𝑦)) 𝜕𝐺 𝜕𝑦=𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦+ cos𝑥+ 𝑔′(𝑦) Página 99 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. El siguiente paso es sustituir esta ecuación con 𝑁(𝑥,𝑦)= cos𝑥+𝑥cos𝑦−𝑦 , en la ecuación (5) y tenemos lo siguiente: 𝜕𝐺 𝜕𝑦=𝑁(𝑥,𝑦) 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦+ cos𝑥+ 𝑔′(𝑦)=cos𝑥+𝑥cos𝑦−𝑦 Donde al simplificar 𝑔′(𝑦), tenemos que: 𝑔′(𝑦)=−𝑦 Al integrar esta última ecuación respecto a "y", tenemos que: 𝑔(𝑦)=−𝑦2 2+ 𝐶1 En donde, 𝐶1 , es una constante. Sustituyendo esto en 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦cos𝑥 + 𝑔(𝑦) Tenemos que: 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦cos𝑥 − 𝑦2 2+ 𝐶1 Ahora, recordemos que la solución general de la ED, está dada implícitamente en (6) por la ecuación: 𝐺(𝑥,𝑦)=𝐶 Página 100 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Entonces, sustituimos este valor en la última ecuación y tenemos: 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦cos𝑥 − 𝑦2 2+ 𝐶1 𝐶= 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦cos𝑥 − 𝑦2 2+ 𝐶1 Donde: 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦cos𝑥 − 𝑦2 2=𝐶− 𝐶1 Hacemos: 𝐶2=𝐶− 𝐶1 , y tenemos que: 𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒚 + 𝒚𝐜𝐨𝐬𝒙 − 𝒚𝟐 𝟐=𝑪𝟐 Que es la familia de soluciones de la ED buscada. Página 101 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. d) (2𝑥 𝑦2− 3)𝑑𝑥+(2 𝑥2 𝑦 +4)𝑑𝑦=0 Lo primero es que identificamos los términos de la ecuación diferencial, en su forma diferenciada y tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=2𝑥 𝑦2− 3 𝑁(𝑥,𝑦)= 2 𝑥2 𝑦+4 Entonces, al calcular las derivadas: 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 =2𝑥 𝑦2− 3=4𝑥𝑦 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =2 𝑥2 𝑦 + 4=4𝑥𝑦 Por lo tanto: 𝜕𝑀 𝜕𝑦= 𝜕𝑁 𝜕𝑥 Lo que demuestra que la ecuación es exacta. Ahora vamos a determinar una función 𝐺(𝑥,𝑦) , que satisfaga las ecuaciones (4) y (5). De acuerdo a la teoría vista, vamos a integrar 𝐺(𝑥,𝑦) , respecto a la variable x, así que sustituimos el valor de 𝑀(𝑥,𝑦)=2𝑥 𝑦2− 3 , en (4), con lo que tenemos: Página 102 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝜕𝐺(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝐺 𝜕𝑥=2𝑥 𝑦2− 3 Ahora, al integrar ambos lados por la ecuación (7), tenemos que: ∫𝜕𝐺 𝜕𝑥 𝑑𝑥= ∫𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 ∫𝜕𝐺 𝜕𝑥 𝑑𝑥= ∫(2𝑥 𝑦2− 3)𝑑𝑥 Lo que resulta: 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥2𝑦2− 3𝑥 + 𝑔(𝑦) Ahora, hay que determinar 𝑔(𝑦) , para ello, derivamos la ecuación anterior, con respecto a "y" y tenemos: 𝜕𝐺 𝜕𝑦=𝜕(𝑥2𝑦2−3𝑥 +𝑔(𝑦)) 𝜕𝐺 𝜕𝑦=2𝑥2𝑦 + 𝑔′(𝑦) El siguiente paso es sustituir esta ecuación con 𝑁(𝑥,𝑦)= 2 𝑥2 𝑦+4 , en la ecuación (5) y tenemos lo siguiente: Página 103 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝜕𝐺 𝜕𝑦=𝑁(𝑥,𝑦) 2𝑥2𝑦 + 𝑔′(𝑦)=2 𝑥2 𝑦 + 4 Donde al simplificar 𝑔′(𝑦), tenemos que: 𝑔′(𝑦)=4 Al integrar esta última ecuación respecto a "y", tenemos que: 𝑔(𝑦)=4𝑦 + 𝐶1 En donde, 𝐶1 , es una constante. Sustituyendo esto en 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥2𝑦2− 3𝑥 + 𝑔(𝑦) Tenemos que: 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥2𝑦2− 3𝑥 + 4𝑦+ 𝐶1 Ahora, recordemos que la solución general de la ED, está dada implícitamente en (6) por la ecuación: Página 104 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝐺(𝑥,𝑦)=𝐶 Entonces, sustituimos este valor en la última ecuación y tenemos: 𝐺(𝑥,𝑦)= 𝑥2𝑦2− 3𝑥 + 4𝑦+ 𝐶1 𝐶= 𝑥2𝑦2− 3𝑥 + 4𝑦 + 𝐶1 Donde: 𝑥2𝑦2− 3𝑥 + 4𝑦=𝐶− 𝐶1 Hacemos: 𝐶2=𝐶− 𝐶1 , y tenemos que: 𝒙𝟐𝒚𝟐−𝟑𝒙 + 𝟒𝒚=𝑪𝟐 Que es la familia de soluciones de la ED buscada. Página 105 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. e) (𝑥2− 𝑦2) 𝑑𝑥+(𝑥2− 2𝑥𝑦)𝑑𝑦=0 Así que identificamos los términos de la ecuación diferencial en su forma diferenciada y tenemos que: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝑥2− 𝑦2 𝑁(𝑥,𝑦)= 𝑥2− 2𝑥𝑦 Entonces, al calcular las derivadas: 𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 =𝑥2− 𝑦2=−2𝑦 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 =𝑥2− 2𝑥𝑦=2𝑥− 2𝑦 Por lo tanto: 𝜕𝑀 𝜕𝑦≠ 𝜕𝑁 𝜕𝑥 Lo que demuestra que la ecuación NO es exacta. Página 112 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. c) 𝒚′=𝒙𝒆𝒙 𝟐𝒚 Ecuación en forma normal o estándar, al pasarla a la forma diferencial queda: 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥−2𝑦=0 Dónde: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝐴(𝑥)=𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥,𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑥 𝑁(𝑥,𝑦)=𝐵(𝑦)=−2𝑦𝑑𝑦,𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑦 Por lo tanto, es separable: ∫𝐴(𝑥)𝑑𝑥+ ∫ 𝐵(𝑦)𝑑𝑦=𝐶 ∫𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥+∫−2𝑦 𝑑𝑦=𝐶 𝑒𝑥 (𝑥−1)− 𝑦2 =𝐶 𝑥𝑒𝑥−𝑒𝑥− 𝑦2 =𝐶 𝑥𝑒𝑥−𝑒𝑥− 𝐶 =𝑦2 𝒚 =±√𝒙𝒆𝒙−𝒆𝒙− 𝑪 d) 𝒅𝒚 𝒅𝒙=𝒙+𝟏 𝒚 Ecuación en forma normal o estándar, al pasarla a la forma diferencial queda: 𝑥+1𝑑𝑥−𝑦=0 Dónde: 𝑀(𝑥,𝑦)=𝐴(𝑥)=(𝑥+1)𝑑𝑥,𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑥 𝑁(𝑥,𝑦)=𝐵(𝑦)=−𝑦𝑑𝑦,𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑦 Por lo tanto, es separable: ∫𝐴(𝑥)𝑑𝑥+ ∫ 𝐵(𝑦)𝑑𝑦=𝐶 Página 113 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. ∫(𝑥+1) 𝑑𝑥+∫−𝑦 𝑑𝑦=𝐶 𝑥 (𝑥+2)1 2− 𝑦2 2 =𝐶 𝑥2+2𝑥 2− 𝑦2 2 =𝐶 𝑥2+ 2𝑥− 𝑦2 2 =𝐶 𝑥2+ 2𝑥− 𝑦2 =2𝐶 𝑥2+ 2𝑥− 2𝐶 =𝑦2 𝒚 =±√𝒙𝟐+𝟐𝒙+ 𝒌 ;𝑲= − 𝟐𝑪 e) 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙+ 𝒚 𝒅𝒚=𝟎 𝑀(𝑥,𝑦)=𝐴(𝑥)=𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥,𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑥 𝑁(𝑥,𝑦)=𝐵(𝑦)=𝑦 𝑑𝑦,𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑦 Por lo tanto, es separable: ∫𝐴(𝑥)𝑑𝑥+ ∫ 𝐵(𝑦)𝑑𝑦=𝐶 ∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥+∫𝑦 𝑑𝑦=𝐶 −cos(𝑥)+ 𝑦2 2 =𝐶 Página 114 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝑦2 2 =𝐶+ cos(𝑥) 𝑦2 =2𝐶+ 2cos(𝑥) 𝑦 =±√2𝐶+ 2cos(𝑥) 𝒚 =±√𝟐𝐜𝐨𝐬(𝒙)+ 𝒌 ;𝑲=𝟐𝑪 f) ( 𝒕 + 𝟏) 𝒅𝒕− 𝟏 𝒚𝟐 𝒅𝒚=𝟎 𝑀(𝑥,𝑦)=𝐴(𝑡)=(𝑡+1)𝑑𝑡,𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡 𝑁(𝑥,𝑦)=𝐵(𝑦)=−1 𝑦2𝑑𝑦,𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑦 Por lo tanto, es separable: ∫𝐴(𝑡)𝑑𝑡+ ∫ 𝐵(𝑦)𝑑𝑦=𝐶 ∫(𝑡+1) 𝑑𝑡+ ∫− 1 𝑦2 𝑑𝑦=𝐶 𝑡 (𝑡+2)1 2+ 1 𝑦 =𝐶 𝑡 (𝑡+2)1 2+ 1 𝑦 =𝐶 Página 115 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝑡2+2𝑡 2 + 1 𝑦=𝐶 1 𝑦= −𝑡2 2− 𝑡+ 𝐶 𝒚= −(𝒕𝟐 𝟐+𝒕−𝑪)−𝟏 g) 𝟒 𝒕 𝒅𝒕− 𝒚−𝟑 𝒚 𝒅𝒚=𝟎 𝑀(𝑥,𝑦)=𝐴(𝑡)=4 𝑡𝑑𝑡,𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡 𝑁(𝑥,𝑦)=𝐵(𝑦)=− 𝑦−3 𝑦𝑑𝑦,𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑦 Por lo tanto, es separable: ∫𝐴(𝑡)𝑑𝑡+ ∫ 𝐵(𝑦)𝑑𝑦=𝐶 ∫4 𝑡 𝑑𝑡+∫− 𝑦−3 𝑦 𝑑𝑦=𝐶 4 log(𝑡)+3log(𝑦)−𝑦=𝐶 log(𝑡4)+log(𝑦3)−𝑦=𝐶 log(𝑡4𝑦3)=𝐶+𝑦 𝑡4𝑦3=𝑒𝑐𝑒𝑦 𝒕𝟒𝒚𝟑=𝒌𝒆𝒚 ; 𝒌= ± 𝒆𝒄 Página 116 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. h) 𝒙𝒅𝒙−𝒚𝟑𝒅𝒚=𝟎 𝑀(𝑥,𝑦)=𝐴(𝑥)=𝑥𝑑𝑥,𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑥 𝑁(𝑥,𝑦)=𝐵(𝑦)=−𝑦3𝑑𝑦,𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑦 Por lo tanto, es separable: ∫𝐴(𝑥)𝑑𝑥+ ∫ 𝐵(𝑦)𝑑𝑦=𝐶 ∫𝑥 𝑑𝑥+∫− 𝑦3 𝑑𝑦=𝐶 𝑥2 2− 𝑦4 4=𝐶 2𝑥2− 𝑦4 4=𝐶 2𝑥2− 𝑦4=4𝐶 2𝑥2− 4𝐶=𝑦4 𝑦= ±( 2𝑥2− 4𝐶)1/4 𝒚= ±( 𝟐𝒙𝟐+𝒌)𝟏/𝟒 ;𝑲= −𝟒𝑪 Página 117 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 11.- Programa (script) elaborado por alumnos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden Exactas y Separables. Comprueba si las ecuaciones primeramente son exactas o separables y en caso de que lo sean, las resuelve y muestra el resultado. % ECUACIONES DIFERENCIALES % INGENIERÍA CIVIL % CUARTO SEMESTRE % 2016 % % PROGRAMA DE IDENTIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Y % SEPARABLES CON SU SOLUCIÓN RESPECTIVA. % Borrar datos almacenados en Matlab clear all; close all; clc % Declaración de Variables syms x y; % Ingreso de la ecuación diferencial fprintf('\n'); disp(' ECUACIONES DIFERENCIALES CON MATLAB '); disp(' INGENIERÍA CIVIL – CUARTO SEMESTRE'); disp(' IDENTIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES '); disp(' EXACTAS Y SEPARABLES CON SOLUCIONES - 2016'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); disp('¿Qué programa de los siguientes desea utilizar?'); fprintf('\n'); disp('I) Programa de Identificación de Ecuaciones Diferenciales Exactas y su solución: '); disp('II) Programa de Identificación de Ecuaciones Diferenciales Separables y su solución: '); fprintf('\n'); sel= input('--> Digite 1 o 2 de acuerdo al programa que desea usar y presione Enter para empezar '); switch sel case 1 clc fprintf('\n'); disp(' ECUACIONES DIFERENCIALES CON MATLAB '); disp(' INGENIERÍA CIVIL – CUARTO SEMESTRE'); disp(' IDENTIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES '); disp(' EXACTAS Y SEPARABLES CON SOLUCIONES - 2016'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); disp('I) Programa de Identificación de Ecuaciones Diferenciales Exactas y su solución '); fprintf('\n'); fprintf('\n'); disp('Una ED en su forma diferencial se expresa de este modo: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0'); fprintf('\n'); g=input('Ingrese el valor de M(x,y)= '); % Ingreso de valores h=input('Ingrese el valor de N(x,y)= '); dM=diff(g,y); % Derivación respecto a y dN=diff(h,x); % Derivación respecto a x fprintf('\n'); fprintf('\n'); if dM==dN; fprintf('Si es una ecuación diferencial Exacta '); fprintf('\n'); IM=int(g,x); % Integrando M(x,y) respecto a x Página 118 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. in = char(IM); fprintf('\n'); fprintf('La integral respecto a x:'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf(' G(x,y)= %s',in); fprintf('\n'); dyIM=diff(IM,y); % Derivando la integral de M(x,y), respecto a y so=char(dyIM); fprintf('\n'); fprintf('Derivada respecto a y: '); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf(' dG/dy = %s',so); fprintf('\n'); gy=h-dyIM; % Calculando la derivada de g(y) der=char(gy); fprintf('\n'); fprintf('La derivada de g(y):'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf(' %s',der); fprintf('\n'); g2y=int(gy,y); % Integrando la derivada de g(y) respecto a y it=char(g2y); fprintf('\n'); fprintf('Integral de la derivada respecto a y:'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf(' %s',it); fprintf('\n'); c2=IM+g2y; % Solución de la ecuación diferencial sol=char(c2); fprintf('\n'); fprintf('La solución implícita de la ecuación diferencial es:'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf(' C2 = %s',sol); fprintf('\n'); else fprintf('No es una ecuación diferencial Exacta'); fprintf('\n'); end % Ciclo para seguir calculando. fprintf('\n'); p=input('Desea comprobar si otra ecuación diferencial es exacta: (1) si, (0) no '); fprintf('\n'); while p==1 clc fprintf('\n'); disp(' ECUACIONES DIFERENCIALES CON MATLAB '); disp(' INGENIERÍA CIVIL – CUARTO SEMESTRE'); disp(' IDENTIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES '); disp(' EXACTAS Y SEPARABLES CON SOLUCIONES - 2016'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); disp('I) Programa de Identificación de Ecuaciones Diferenciales Exactas y su solución '); fprintf('\n'); fprintf('\n'); Página 119 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. disp('Una ED en su forma diferencial se expresa de este modo: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0'); fprintf('\n'); g=input('Ingrese el valor de M(x,y)= '); % Ingreso de valores h=input('Ingrese el valor de N(x,y)= '); dM=diff(g,y); % Derivación respecto a y dN=diff(h,x); % Derivación respecto a x fprintf('\n'); fprintf('\n'); if dM==dN; fprintf('Si es una ecuación diferencial Exacta '); fprintf('\n'); IM=int(g,x); % Integrando M(x,y) respecto a x in = char(IM); fprintf('\n'); fprintf('La integral respecto a x:'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf(' G(x,y)= %s',in); fprintf('\n'); dyIM=diff(IM,y); % Derivando la integral de M(x,y), respecto a y so=char(dyIM); fprintf('\n'); fprintf('Derivada respecto a y: '); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf(' dG/dy = %s',so); fprintf('\n'); gy=h-dyIM; % Calculando la derivada de g(y) der=char(gy); fprintf('\n'); fprintf('La derivada de g(y):'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf(' %s',der); fprintf('\n'); g2y=int(gy,y); % Integrando la derivada de g(y) respecto a y it=char(g2y); fprintf('\n'); fprintf('Integral de la derivada respecto a y:'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf(' %s',it); fprintf('\n'); c2=IM+g2y; % Solución de la ecuación diferencial sol=char(c2); fprintf('\n'); fprintf('La solución implícita de la ecuación diferencial es:'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf(' C2 = %s',sol); fprintf('\n'); else fprintf('No es una ecuación diferencial exacta'); fprintf('\n'); end fprintf('\n'); p=input('Desea comprobar si otra ecuación diferencial es exacta: (1) si, (0) no '); fprintf('\n'); end Página 120 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. fprintf('\n'); disp('Digite "ecu" (sin comillas) para volver al menú inicial y empezar el programa que desees ') case 2 clc fprintf('\n'); disp(' ECUACIONES DIFERENCIALES CON MATLAB '); disp(' INGENIERÍA CIVIL – CUARTO SEMESTRE'); disp(' IDENTIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES '); disp(' EXACTAS Y SEPARABLES CON SOLUCIONES - 2016'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); disp('II) Programa de Identificación de Ecuaciones Diferenciales Separables y su solución'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); disp('Una ED en su forma diferencial se expresa de este modo: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0'); fprintf('\n'); g=input('Ingrese el valor de M(x,y)= '); % Ingreso de valores h=input('Ingrese el valor de N(x,y)= '); dM=diff(g,y); % Derivación respecto a y dN=diff(h,x); % Derivación respecto a x ap=(g/h); % Cálculo adicional [num, den]=numden(ap); % Extracción numerador y denominador c1=diff(den,y); % Cálculo adicional c2=diff(num,x); % Cálculo adicional fprintf('\n'); if dM==0 || dN==0 || c1==0 || c2==0 fprintf('La ecuación diferencial es Separable'); fprintf('\n'); p=int(g,x); % Integral de A(x) q=int(h,y); % Integral de B(y) e=char(p); % Impresión de integrales d=char(q); fprintf('\n'); fprintf('Integral de A(x) respecto a x:'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf(' A(x) = %s',e); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf('Integral de B(y) respecto a y:'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf(' B(y)= %s',d); fprintf('\n'); c=p+q; % Suma de integrales de A(x)+B(y) r=char(c); fprintf('\n'); fprintf('Suma de las integrales de A(x) y B(y)= C:'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf(' C = %s',r); fprintf('\n'); syms x y C; % Declaración de variable simbólica t=solve(p+q-C,y); % Despeje de Y fprintf('\n'); fprintf('La solución implícita de la ecuación diferencial es:'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); Página 121 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. fprintf('Y='); fprintf('\n'); disp(t); fprintf('\n'); else fprintf('La ecuación diferencial no es Separable'); end %Ciclo para seguir calculando fprintf('\n'); fprintf('\n'); p=input('Desea comprobar si otra ecuación diferencial es separable: (1) si, (0) no '); fprintf('\n'); while p==1 clc fprintf('\n'); disp(' ECUACIONES DIFERENCIALES CON MATLAB '); disp(' INGENIERÍA CIVIL – CUARTO SEMESTRE'); disp(' IDENTIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES '); disp(' EXACTAS Y SEPARABLES CON SOLUCIONES - 2016'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); disp('II) Programa de Identificación de Ecuaciones Diferenciales Separables y su solución'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); disp('Una ED en su forma diferencial se expresa de este modo: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0'); fprintf('\n'); g=input('Ingrese el valor de M(x,y)= '); %Ingreso de valores h=input('Ingrese el valor de N(x,y)= '); dM=diff(g,y); % Derivación respecto a y dN=diff(h,x); % Derivación respecto a x ap=(g/h); % Cálculo adicional [num, den]=numden(ap); % Extracción numerador y denominador c1=diff(den,y); % Cálculo adicional c2=diff(num,x); % Cálculo adicional fprintf('\n'); if dM==0 || dN==0 || c1==0 || c2==0 fprintf('La ecuación diferencial es Separable'); fprintf('\n'); p=int(g,x); % Integral de A(x) q=int(h,y); % Integral de B(y) e=char(p); % Impresión de integrales d=char(q); fprintf('\n'); fprintf('Integral de A(x) respecto a x:'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf(' A(x) = %s',e); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf('Integral de B(y) respecto a y:'); fprintf('\n'); fprintf('\n'); fprintf(' B(y)= %s',d); fprintf('\n'); Página 128 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. La gráfica que muestra las curvas solución en las Isoclinas es la siguiente: Página 129 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 12.1.3.- Script Matlab para campos direccionales y familia de solución Para construir el programa en Matlab se utilizan los siguientes comandos a) inline b) meshgrid c) quiver d) ode45 Los aspectos importantes del programa que genera el método de las isoclinas en Matlab, son los siguientes: % Limpieza de Escritorio clear all; close all; clc; f = inline('2*y-x','x','y'); % Constructor de objetos de funciones en línea (Aquí va la ED), con los parámetros de las variables R1=dsolve('Dy=2*y-x','x'); % Dy= para derivada (y') , y= para función (y) % para un domino de t desde t0 hasta t1 con un espaciamiento de dt y y % desde y0 hasta y1 con un espaciamiento de dy, se utilizan las siguientes % instrucciones paso= 0.4; % Determina el tamaño de la constante h, llamada tamaño de paso entre menor sea, mejor (0.4, 0.5, etc.) iz = -3; % límite inferior de los ejes en la grafica der = 3; % límite superior de los ejes en la grafica [x,y]=meshgrid(iz:paso:der,iz:paso:der); % generar la matriz de x y y, para dibujos 3d [n,m]=size(x); % tamaño de x dx=ones(n,m); % crea la matriz unitaria en n x m z=f(x,y); % se define la variable z en la función dy=z; % se asigna la variable dy a z, para utilizarse con quiver hold on; quiver(x,y,dx,dy) % con el comando quiver, se despliega los vectores en forma de flecha de la matriz, se usa hold on, para graficar cada recta tangente % Aquí van las etiquetas y títulos de la gráfica xlabel('Eje x'); ylabel('Eje y');title({'Ecuación Diferencial = '; char(R1)}); % Graficar las curvas soluciones en las isoclinas % se utiliza la función ode45, para calcular la solución de la ED % También se podría utilizar la función dsolve, pero es más directo % utilizar ode45, determinando el intervalo de -2 a 2, utilizando varios % valores iniciales determinados en y0, en un bucle for for y0=-0.5:0.4:3 % se define valores iniciales e incremento [xs,ys]=ode45(f,[-2,2],y0); % f es la función que guarda la ED, en el intervalo (-2,2), con los valores iniciales designados plot(xs,ys,'-r') % Gráfica de las curvas solución de acuerdo a las condiciones calculadas, y en color rojo end hold off % FIN Página 130 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Ejemplo 3 Buscar la solución de la ecuación diferencial siguiente, realizando la solución mediante un método cuantitativo, a través de graficar su campo de direcciones en Matlab. 𝑦′= 𝑥2− 𝑦2 Utilizando el programa anterior, nos da la respuesta siguiente: Realizar como ejercicio, los cambios al programa anterior, para presentar la gráfica solución Página 131 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 12.1.4.- Ejercicios con Matlab para campos direccionales y familia de solución SOLUCIONES I) Buscar la solución de las ecuaciones diferenciales siguientes, desarrollando la solución mediante un método cuantitativo en Matlab, a través de graficar su campo de direcciones por el método de las isoclinas, y dibujar las curvas solución en las isoclinas. a) 𝑦′= 𝑥2+ 1 y = 1/3*x^3+x+C1 b) 𝑦′=𝑥𝑦+1 y = (1/2*pi^(1/2)*2^(1/2)*erf(1/2*2^(1/2)*x)+C1)*exp(1/2*x^2) c) 𝑦′=𝑥𝑒𝑥 2𝑦 y = C1*exp(1/2*exp(x)*(x-1)) d) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑥+1 𝑦 y = (x^2+2*x+C1)^(1/2) -(x^2+2*x+C1)^(1/2) e) 𝑦′= 𝑥2 𝑦2 y = (x^3+C1)^(1/3) -1/2*(x^3+C1)^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(x^3+C1)^(1/3) -1/2*(x^3+C1)^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(x^3+C1)^(1/3) f) 𝑑𝑦 𝑑𝑥=𝑥−𝑦 𝑥 y = 1/2*x+1/x*C1 g) 𝑦′=2𝑥 y = x^2+C1 h) 𝑦′=𝑦− 𝑥2 y = x^2+2*x+2+exp(x)*C1 i) 𝑦′=𝑠𝑒𝑛 𝑥− 𝑦 y = -1/2*cos(x)+1/2*sin(x)+exp(-x)*C1 j) 𝑦′=𝑠𝑒𝑛 (𝑥− 𝑦) y = x-2*atan((-x+2+C1)/(-x+C1)) NOTA: La función "erf", es una función da un error en Matlab, En matemáticas, la función error (también conocida como función error de Gauss) es una función especial (no elemental) que se utiliza en el campo de la probabilidad, la estadística y las ecuaciones diferenciales parciales. La función queda definida por la expresión: Si X es un vector de una matriz, entonces erf(x) calcularía la función de error de cada elemento de X Página 132 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. LAS GRÁFICAS RESULTANTES SON LAS SIGUIENTES: a) 𝑦′= 𝑥2+ 1 b) 𝑦′=𝑥𝑦+1 Página 133 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. c) 𝑦′=𝑥𝑒𝑥 2𝑦 d) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑥+1 𝑦 Página 134 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. e) 𝑦′= 𝑥2 𝑦2 f) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑥−𝑦 𝑥 Página 135 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. g) 𝑦′=2𝑥 h) 𝑦′=𝑦− 𝑥2 Página 136 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. i) 𝑦′=𝑠𝑒𝑛 𝑥− 𝑦 j) 𝑦′=𝑠𝑒𝑛 (𝑥− 𝑦) Página 137 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 12.2.- MÉTODOS NUMÉRICOS, MÉTODO DE EULER Al especificar una condición inicial dada en la ecuación (2), entonces la curva de la solución de la ecuación (1), es la que pasa a través del punto inicial (𝑥0 ,𝑦0), con el fin de obtener una aproximación gráfica de las ecuaciones (1) y (2), se comienza a construir un elemento de línea (o elemento lineal) en el punto inicial (𝑥0 ,𝑦0), y luego se prolonga una corta distancia. Se indica el punto terminal de este elemento de línea como (𝑥1 ,𝑦1),luego se construye un segundo elemento de línea en (𝑥1 ,𝑦1), y se prolonga una corta distancia. Se denota el punto terminal de este segundo elemento de línea como (𝑥2 ,𝑦2), así el proceso se efectúa reiterativamente (para así estimar los valores dentro de una vecindad), y se concluye cuando se han trazado suficientes curvas de la solución para satisfacer las necesidades relacionadas con el problema. Para generalizar todo este proceso, se utiliza lo que se conoce como "linealización", de una solución incógnita y(x) de la ecuación (2) en 𝑥= 𝑥0 , de acuerdo a la siguiente ecuación: 𝐿(𝑥)= 𝑦0+𝑓(𝑥0 ,𝑦0) (𝑥− 𝑥0) (3) La gráfica de esta linealización es una recta tangente a la gráfica de 𝑦= 𝑦(𝑥) , en el punto (𝑥0 ,𝑦0), Ahora hacemos que "h" sea un incremento positivo en el eje "x", como se muestra en la figura siguiente: Entonces, sustituyendo 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑥1= 𝑥0+ ℎ, en la ecuación (3) obtenemos lo siguiente: 𝐿(𝑥1)= 𝑦0+𝑓(𝑥0 ,𝑦0) (𝑥0 + ℎ− 𝑥0) (4) ó, 𝑦1= 𝑦0+ℎ𝑓(𝑥1 ,𝑦1) (5) Página 144 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Con n = 9 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦10 = 𝑦9+ ℎ𝑦′9 Como 𝑦′9= 𝑓(𝑥9 ,𝑦9 )= 𝑦9− 𝑥9=4.257−0.9=3.357 Entonces, sustituyendo: 𝑦10= 𝑦9+ ℎ𝑦′9=4.257+ 0.1 (3.357)= 4.593 Por lo tanto, el valor de Y(1) buscado es = 4.593 Los resultados se observan en la siguiente tabla: Método de Euler Problema: y' = y - x: y(0) = 2 xn h = 0.1 Solución verdadera g1=dsolve('Dy=y-x','x') Y(x) = ex + x + 1 yn 0.0 2.0000 2.0000 0.1 2.2000 2.2052 0.2 2.4100 2.4214 0.3 2.6310 2.6499 0.4 2.8641 2.8918 0.5 3.1105 3.1487 0.6 3.3716 3.4221 0.7 3.6487 3.7138 0.8 3.9436 4.0255 0.9 4.2579 4.3596 1.0 4.5937 4.7183 Página 145 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. II) Encuentre y(1) para la Ecuación diferencial, 𝑦′= 𝑦2+ 1; 𝑦(0)=0.utilizando el método de Euler con h = 0.1. Note que en este caso tendremos n = 0, 1, 2,....,9 Determinando los valores de este problema, tenemos que: 𝑥0 =0 𝑦0=0 𝑓(𝑥 ,𝑦)=𝑦2+ 1 Por lo tanto: la ecuación (7) se nos convierte en: 𝑦′𝑛= 𝑓(𝑥𝑛 ,𝑦𝑛 ) 𝑦′𝑛= (𝑦𝑛)2+ 1 Ahora, con ℎ= 0.1 , tenemos: 𝑦(1)=𝑦10 Con n = 0 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦1= 𝑦0+ ℎ𝑦′0 Como 𝑦′0= 𝑓(𝑥0 ,𝑦0 )= (𝑦0)2+ 1=(0)2+1=1 Entonces, sustituyendo: 𝑦1= 𝑦0+ ℎ𝑦′0=0 + 0.1 (1)= 0.100 Con n = 1 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦2= 𝑦1+ ℎ𝑦′1 Como 𝑦′1= 𝑓(𝑥1 ,𝑦1 )= (𝑦1)2+ 1=(0.1)2+1=1.01 Entonces, sustituyendo: 𝑦2= 𝑦1+ ℎ𝑦′1=0.1 + 0.1 (1.01)= 0.201 Con n = 2 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦3= 𝑦2+ ℎ𝑦′2 Como 𝑦′2= 𝑓(𝑥2 ,𝑦2 )= (𝑦2)2+ 1=(0.201)2+1=1.040 Página 146 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Entonces, sustituyendo: 𝑦3= 𝑦2+ ℎ𝑦′2=0.201+ 0.1 (1.040)= 0.3050 Con n = 3 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦4= 𝑦3+ ℎ𝑦′3 Como 𝑦′3= 𝑓(𝑥3 ,𝑦3 )= (𝑦3)2+ 1=(0.305)2+1=1.093 Entonces, sustituyendo: 𝑦4= 𝑦3+ ℎ𝑦′3=0.305+ 0.1 (1.093)= 0.4143 Con n = 4 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦5= 𝑦4+ ℎ𝑦′4 Como 𝑦′4= 𝑓(𝑥4 ,𝑦4 )= (𝑦4)2+ 1=(0.4143)2+1=1.716 Entonces, sustituyendo: 𝑦5= 𝑦4+ ℎ𝑦′4=0.4143+ 0.1 (1.716)= 0.5315 Con n = 5 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦6= 𝑦5+ ℎ𝑦′5 Como 𝑦′5= 𝑓(𝑥5 ,𝑦5)= (𝑦5)2+ 1=(0.5315)2+1=1.2825 Entonces, sustituyendo: 𝑦6= 𝑦5+ ℎ𝑦′5=0.5315+ 0.1 (1.2825)= 0.6598 Página 147 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Continuando con los cálculos, se construye la siguiente tabla: Método de Euler Problema: y' = y2+ 1: y(0) = 0 xn h = 0.1 Solución verdadera g1=dsolve('Dy=(y^2)+1','x') Y(x) = tan x yn 0.0 0.0000 0.0000 0.1 0.1000 0.1003 0.2 0.2010 0.2027 0.3 0.3050 0.3093 0.4 0.4143 0.4228 0.5 0.5315 0.5463 0.6 0.6598 0.6841 0.7 0.8033 0.8423 0.8 0.9678 1.0296 0.9 1.1615 1.2602 1.0 1.3964 1.5574 Por lo tanto, el valor de Y(1) buscado es = 1.3964 III) Resuelva en problema del inciso II, utilizando h = 0.05 Con n = 0 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦1= 𝑦0+ ℎ𝑦′0 Como 𝑦′0= 𝑓(𝑥0 ,𝑦0 )= (𝑦0)2+ 1=(0)2+1=1 Entonces, sustituyendo: 𝑦1= 𝑦0+ ℎ𝑦′0=0 + 0.05 (1)= 0.05 Con n = 1 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦2= 𝑦1+ ℎ𝑦′1 Como 𝑦′1= 𝑓(𝑥1 ,𝑦1 )= (𝑦1)2+ 1=(0.05)2+1=1.0025 Entonces, sustituyendo: 𝑦2= 𝑦1+ ℎ𝑦′1=0.05+ 0.05(1.0025)= 0.1001 Con n = 2 Página 148 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦3= 𝑦2+ ℎ𝑦′2 Como 𝑦′2= 𝑓(𝑥2 ,𝑦2 )= (𝑦2)2+ 1=(0.1001)2+1=1.0100 Entonces, sustituyendo: 𝑦3= 𝑦2+ ℎ𝑦′2=0.1001+ 0.05(1.0100)= 0.1506 Con n = 3 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦4= 𝑦3+ ℎ𝑦′3 Como 𝑦′3= 𝑓(𝑥3 ,𝑦3 )= (𝑦3)2+ 1=(0.1506)2+1=1.023 Entonces, sustituyendo: 𝑦4= 𝑦3+ ℎ𝑦′3=0.1506+ 0.05(1.023)= 0.2017 Con n = 4 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦5= 𝑦4+ ℎ𝑦′4 Como 𝑦′4= 𝑓(𝑥4 ,𝑦4 )= (𝑦4)2+ 1=(0.2017)2+1=1.041 Entonces, sustituyendo: 𝑦5= 𝑦4+ ℎ𝑦′4=0.2017+ 0.05(1.041)= 0.2537 Con n = 5 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦6= 𝑦5+ ℎ𝑦′5 Como 𝑦′5= 𝑓(𝑥5 ,𝑦5 )= (𝑦5)2+ 1=(0.2537)2+1=1.0644 Entonces, sustituyendo: 𝑦6= 𝑦5+ ℎ𝑦′5=0.2537+ 0.05(1.0644)= 0.3069 Con n = 6 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦7= 𝑦6+ ℎ𝑦′6 Como 𝑦′6= 𝑓(𝑥6 ,𝑦6 )= (𝑦6)2+ 1=(0.3069)2+1=1.0942 Página 149 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Entonces, sustituyendo: 𝑦7= 𝑦6+ ℎ𝑦′6=0.3069+ 0.05(1.0942)= 0.3616 Con n = 7 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦8= 𝑦7+ ℎ𝑦′7 Como 𝑦′7= 𝑓(𝑥7 ,𝑦7 )= (𝑦7)2+ 1=(0.3616)2+1=1.1308 Entonces, sustituyendo: 𝑦8= 𝑦7+ ℎ𝑦′7=0.3616+ 0.05(1.1308)= 0.4181 Con n = 8 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦9= 𝑦8+ ℎ𝑦′8 Como 𝑦′8= 𝑓(𝑥8 ,𝑦8 )= (𝑦8)2+ 1=(0.4181)2+1=1.1748 Entonces, sustituyendo: 𝑦9= 𝑦8+ ℎ𝑦′8=0.4181+ 0.05(1.1748)= 0.4768 Con n = 9 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦10 = 𝑦9+ ℎ𝑦′9 Como 𝑦′9= 𝑓(𝑥9 ,𝑦9 )= (𝑦9)2+ 1=(0.4768)2+1=1.2273 Entonces, sustituyendo: 𝑦10= 𝑦9+ ℎ𝑦′9=0.4768+ 0.05(1.2273)= 0.5382 Página 150 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Entonces, se construye la siguiente tabla: Método de Euler Problema: y' = y2+ 1: y(0) = 0 xn h = 0.05 Solución verdadera g1=dsolve('Dy=(y^2)+1','x') Y(x) = tan x yn 0.0 0.0000 0.0000 0.1 0.0500 0.1003 0.2 0.1001 0.2027 0.3 0.1506 0.3093 0.4 0.2017 0.4228 0.5 0.2537 0.5463 0.6 0.3069 0.6841 0.7 0.3616 0.8423 0.8 0.4181 1.0296 0.9 0.4768 1.2602 1.0 0.5382 1.5574 Por lo tanto, el valor de Y(1) buscado es = 0. 5382 IV) Resuelva el problema del inciso II, utilizando h = 0.01 Con n = 0 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦1= 𝑦0+ ℎ𝑦′0 Como 𝑦′0= 𝑓(𝑥0 ,𝑦0 )= (𝑦0)2+ 1=(0)2+1=1 Entonces, sustituyendo: 𝑦1= 𝑦0+ ℎ𝑦′0=0 + 0.01 (1)= 0.01 Con n = 1 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦2= 𝑦1+ ℎ𝑦′1 Como 𝑦′1= 𝑓(𝑥1 ,𝑦1 )= (𝑦1)2+ 1=(0.01)2+1=1.0001 Entonces, sustituyendo: 𝑦2= 𝑦1+ ℎ𝑦′1=0.01+ 0.01(1.0001)= 0.020001 Con n = 2 Página 151 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦3= 𝑦2+ ℎ𝑦′2 Como 𝑦′2= 𝑓(𝑥2 ,𝑦2 )= (𝑦2)2+ 1=(0.020001)2+1=1.0004 Entonces, sustituyendo: 𝑦3= 𝑦2+ ℎ𝑦′2=0.020001 + 0.01(1.0004)= 0.030005 Con n = 3 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦4= 𝑦3+ ℎ𝑦′3 Como 𝑦′3= 𝑓(𝑥3 ,𝑦3)= (𝑦3)2+ 1=(0.030005)2+1=1.0009 Entonces, sustituyendo: 𝑦4= 𝑦3+ ℎ𝑦′3=0.030005+ 0.01(1.0009)= 0.040014 Con n = 4 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦5= 𝑦4+ ℎ𝑦′4 Como 𝑦′4= 𝑓(𝑥4 ,𝑦4)= (𝑦4)2+ 1=(0.040014)2+1=1.0016 Entonces, sustituyendo: 𝑦5= 𝑦4+ ℎ𝑦′4=0.040014+ 0.01(1.0016)= 0.05003 Con n = 5 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦6= 𝑦5+ ℎ𝑦′5 Como 𝑦′5= 𝑓(𝑥5 ,𝑦5)= (𝑦5)2+ 1=(0.05003)2+1=1.0025 Entonces, sustituyendo: 𝑦6= 𝑦5+ ℎ𝑦′5=0.05003+ 0.01(1.0025)= 0.06006 Con n = 6 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦7= 𝑦6+ ℎ𝑦′6 Página 152 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Como 𝑦′6= 𝑓(𝑥6 ,𝑦6)= (𝑦6)2+ 1=(0.06006)2+1=1.00361 Entonces, sustituyendo: 𝑦7= 𝑦6+ ℎ𝑦′6=0.06006+ 0.01(1.00361)= 0.07009 Con n = 7 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦8= 𝑦7+ ℎ𝑦′7 Como 𝑦′7= 𝑓(𝑥7 ,𝑦7)= (𝑦7)2+ 1=(0.07009)2+1=1.00491 Entonces, sustituyendo: 𝑦8= 𝑦7+ ℎ𝑦′7=0.07009+ 0.01(1.00491)= 0.08014 Con n = 8 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦9= 𝑦8+ ℎ𝑦′8 Como 𝑦′8= 𝑓(𝑥8 ,𝑦8)= (𝑦8)2+ 1=(0.08014)2+1=1.00642 Entonces, sustituyendo: 𝑦9= 𝑦8+ ℎ𝑦′8=0.08014+ 0.01(1.00642)= 0.09020 Con n = 9 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ ℎ𝑦′𝑛 𝑦10 = 𝑦9+ ℎ𝑦′9 Como 𝑦′9= 𝑓(𝑥9 ,𝑦9)= (𝑦9)2+ 1=(0.09020)2+1=1.00813 Entonces, sustituyendo: 𝑦10= 𝑦9+ ℎ𝑦′9=0.09020+ 0.01(1.00813)= 0.10028 Página 153 de 178 Curso ECUACIONES DIFERENCIALES – para 4to Semestre Ing. Civil 2016 – Segunda parte Docente: Dr. Ligdamis A. Gutiérrez E. Entonces, se construye la siguiente tabla: Método de Euler Problema: y' = y2+ 1: y(0) = 0 xn h = 0.05 Solución verdadera g1=dsolve('Dy=(y^2)+1','x') Y(x) = tan x yn 0.0 0.0000 0.0000 0.1 0.010000 0.1003 0.2 0.020001 0.2027 0.3 0.030005 0.3093 0.4 0.040014 0.4228 0.5 0.05003 0.5463 0.6 0.06006 0.6841 0.7 0.07009 0.8423 0.8 0.08014 1.0296 0.9 0.09020 1.2602 1.0 0.10028 1.5574 Por lo tanto, el valor de Y(1) buscado es = 0. 10028