Proyección Ortogonal sobre un Subespacio

Proyecci´on Ortogonal sobre un Subespacio A Calabia, Universidad de Alcala. (DOI:10.5281/zenodo.17386581) October 18, 2025 Introducci´on La proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio es una t´ecnica fundamental en ´algebra lineal y tiene aplicaciones en diversas ´areas, como la regresi´on lineal y el an´alisis de datos. Teor´ıa de la Proyecci´on Ortogonal Definici´on de Proyecci´on Ortogonal La proyecci´on ortogonal de un vector bsobre un subespacio Ses el vector en S que est´a m´as cerca de b. Matem´aticamente, si bes un vector en RnySes un subespacio de Rn, la proyecci´on ortogonal de bsobre Sse denota como PS(b). Derivaci´on de la F´ormula de Proyecci´on Ortogonal Queremos encontrar un vector pen el subespacio Stal que la distancia entre b ypsea m´ınima. Es decir, queremos minimizar ∥b−p∥. Dado que pest´a en el subespacio generado por las columnas de A, podemos escribir pcomo Acpara alg´un vector c. Por lo tanto, queremos minimizar ∥b−Ac∥. El vector de residuos r=b−p=b−Aces la diferencia entre el vector original y su proyecci´on. Este vector de residuos es ortogonal a cada vector en S. Entonces, la proyecci´on ortogonal pdebe ser tal que el vector de residuos b−psea ortogonal a cada columna de A. Esto se puede expresar como: AT(b−Ac)=0 Al expandir y reorganizar, obtenemos: ATb−ATAc= 0 =⇒ATAc=ATb Resolviendo para c, obtenemos: c= (ATA)−1ATb Finalmente, la proyecci´on ortogonal de bsobre Ses: PS(b) = Ac=A(ATA)−1ATb 1 Ejemplo Supongamos que queremos proyectar el vector b=  1 2 3  sobre el subespacio generado por las columnas de la matriz A=  −1 0 1 0 0 1  . 1. Calcular ATA: ATA=−110 0 0 1  −1 0 1 0 0 1  =2 0 0 1 2. Calcular ATb: ATb=−110 0 0 1  1 2 3  =1 3 3. Calcular (ATA)−1: (ATA)−1=2 0 0 1−1 =1/2 0 0 1 4. Calcular la Proyecci´on: PS(b) = A(ATA)−1ATb=  −1 0 1 0 0 1  1/2 0 0 11 3=  −1/2 1/2 3   Por lo tanto, la proyecci´on ortogonal de bsobre el subespacio generado por las columnas de Aes   −1/2 1/2 3  . Ejemplo Supongamos que tenemos los siguientes puntos de datos: (1,2), (2,3), (3,5), (4,4), (5,6). Calcular la recta de regresion y=n+mx. Podemos escribir estos puntos en forma matricial como b=Acdonde: b=       2 3 5 4 6       , A =       1 1 1 2 1 3 1 4 1 5       ,c=n m 2 Entonces: c= (ATA)−1ATb=5 15 15 55−120 69=1.3 0.9 Esto nos da la l´ınea de mejor ajuste: y= 1.3+0.9x Y el vector de residuos es: r=b−Ac=       2 3 5 4 6       −       2.2 3.1 4.0 4.9 5.8       =       −0.2 −0.1 1.0 −0.9 0.2       0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x y Figure 1: Gr´afico de los puntos de datos y la l´ınea de mejor ajuste 3