Estructura de Tramos en la Dinámica de Collatz Simplificada

Estructura de Tramos en la Dinámica de Collatz Simplificada Autor: Miguel Cerdá Bennassar 24 de octubre de 2025 Resumen Estudiamos una organización de la dinámica de Collatz simplificada a través de triángulos T ( n )que agrupan tramos impares. Formalizamos (i) los bordes con fórmulas cerradas, (ii) una clasificación por v2 ( x +1), (iii) la correspondencia entre filas de T ( n )y tramos de Collatz simplificada, y (iv) patrones de convergencia. Probamos que los atractores pares comunes de pares de filas consecutivas satisfacen una recurrencia universal A ( k+ 1) = 9 A ( k )+2. Deducimos formas cerradas para A ( k )que dependen exclusivamente de la paridad de n/ 2. Se distinguen conjeturas y evidencia empírica de los resultados demostrados. Índice 1. Introducción 2 2. Triángulos T(n): definición operativa 2 3. Bordes cerrados del triángulo 3 4. Clasificación por v2(x+ 1) 3 5. Correspondencia: fila ↔tramo impar 3 6. Patrones de convergencia y atractores 4 6.1. Recurrencia universal de los atractores ........................ 4 6.2. Valor inicial y paridad de n/2............................. 4 6.3. Recurrencia generativa 1–2–1 y regla modular .................... 6 6.4. Razón asintótica 3/16 ................................. 6 6.5. Un lema 2-ádico y módulo 3para el encuentro ................... 8 7. Implicaciones para la convergencia 9 8. Dualidad impar–par 9 9. Métodos computacionales (reproducibilidad) 10 10.Conclusiones y trabajo futuro 10 1 Apéndice A. Tablas numéricas y figura de ρk11 A.1. Tabla para T(0) ..................................... 12 A.2. Tabla para T(4) ..................................... 12 A.3. Tabla para T(6) ..................................... 13 A.4. Figura A.1 — Evolución de ρk............................. 14 1. Introducción Este estudio combina resultados formales, deducidos algebraicamente, con afirmaciones heurísticas que orientan la interpretación global de la dinámica. Los primeros corresponden a propiedades estructurales demostradas de las secuencias y sus invariantes asociados; los segundos, a patrones y comportamientos asintóticos observados que, aunque sistemáticos, no constituyen una prueba de convergencia general. Esta distinción se mantiene explícita a lo largo del texto: los enunciados demostrados se presentan como proposiciones, teoremas o corolarios, mientras que los resultados no demostrados se formulan como conjeturas uobservaciones heurísticas. La dinámica de Collatz simplificada (mapa F) viene dada por F(x) =      x 2, x par, 3x+ 1 2, x impar. Organizamos las trayectorias en tramos y los estructuramos en triángulos T ( n )con índice base n≡0,4 (m´od 6) (casos más regulares). Introducimos dos operadores afines: S(x) = 2x+ 1, C(x) = 3x+ 2, que modelan, respectivamente, el descenso por columnas (S) y la generación de primeros de columna (C) en T(n). 2. Triángulos T(n): definición operativa Para n∈N con n≡ 0 , 4 ( m´od 6), definimos el triángulo impar T ( n )generando su columna 0 con x0,0= 2n+ 1, xr,0=Sr(x0,0)=2r(2n+ 1) + (2r−1), y las columnas siguientes por x0,c =Cc(x0,0) (c≥1), xr,c =Sr(x0,c) (r≥0). La fila kde T(n)es {xk,c :c≥0}. Nos centraremos en el último par de cada fila. Definición 2.1 (Último par de fila).En la fila kde T(n), denotamos por bk:= 3kn+ (3k−1) al último término par que aparece al seguir la dinámica Fa partir de la fila k. 2 Observación 2.2.Para n= 0, se tiene bk= 3k−1, y las primeras filas producen b0= 0, b1= 2, b2= 8, b3= 26, . . .. 3. Bordes cerrados del triángulo Proposición 3.1 (Fórmulas de los bordes).En T ( n ), el borde izquierdo (primeros elementos de cada fila) y el borde derecho (últimos elementos impares antes del par) están dados por Lk= 2k(n+ 1) −1, Rk= 3kn+ (3k−1) −1 = 3kn+ 3k−2, para k≥0. Demostración. El borde izquierdo itera k veces S desde 2 n +1: Sk (2 n+ 1) = 2 k (2 n+ 1) + (2 k− 1) = 2 k (2 n+ 2) − 1 = 2 k ( n+ 1) · 2 − 1, y tomando el primer impar de fila se obtiene Lk = 2 k ( n + 1) − 1. Para el borde derecho, avanzamos por columnas con C exactamente k veces desde la fila 0, lo que corresponde a aplicar k veces la transformación impar (3 x + 1) / 2hasta alcanzar el par bk ; el último impar previo vale bk−1=3kn+ (3k−1) −1. 4. Clasificación por v2(x+ 1) Teorema 4.1 (Clasificación por v2 ( x +1)).Sea x impar en T ( n ). El índice de fila k que contiene axviene determinado por k= v2(x+ 1)/(n+ 1), siempre que ( n +1) | ( x +1). En particular, x pertenece a la fila k si y sólo si x +1 = 2 k ( n +1) ·u con uimpar. Demostración. Por construcción, el borde izquierdo de la fila k satisface Lk + 1 = 2 k ( n + 1). Cualquier elemento de la fila k se obtiene aplicando S ( r veces) a un primer elemento de columna, preservando el factor 2ken x+ 1. La unicidad del factor de 2 en x+ 1 determina k. Ejemplo 4.2.En T (0), x = 15 cumple x + 1 = 16 = 2 4· 1 ⇒k = 4. Similarmente 23 y35 están en la fila 4, etc. 5. Correspondencia: fila ↔tramo impar Proposición 5.1 (Fila ↔ tramo impar).La proyección de una fila k de T ( n )bajo F coincide con un tramo impar seguido de su cierre par que termina en bk . Recíprocamente, todo tramo impar que termina en el par bkaparece como imagen de la fila k. Idea. Inducción en k , usando que aplicar C desplaza una columna (primer impar de la siguiente) y S desciende dentro de columna. El tramo impar está ordenado verticalmente por S ; su cierre par es único y termina en bk(Def. 2.1). 3 6. Patrones de convergencia y atractores Fijemos un triángulo T ( n )con n≡ 0 , 4 ( m´od 6). Para k≥ 0, denotamos por bk el último par de la fila k (Def. 2.1). Diremos que las filas 2 k y2 k+ 1condensan en un mismo atractor par si sus trayectorias bajo Falcanzan primero un mismo número par. Definición 6.1 (Atractor del par de filas (2 k, 2 k+ 1)).El atractor A ( k )es el primer número par tal que b2k F −→ A(k), b2k+1 F −→ A(k). 6.1. Recurrencia universal de los atractores Proposición 6.2 (Recurrencia universal).Para todo triángulo T ( n )y todo k≥ 0, los atractores satisfacen A(k+ 1) = 9A(k)+2. Demostración. Consideremos el paso del par de filas (2 k, 2 k + 1) al siguiente (2 k+ 2 , 2 k+ 3). Al aumentar k en una unidad, las filas sufren dos avances “impares dominantes” (en términos de longitud de tramo), lo que, en el cierre par, equivale a un re-escalado afín en el primer par común alcanzado. Formalmente, la estructura de preimágenes pares de F (una rama par y7→ 2 y y, cuando procede, una rama impar y7→ (2 y− 1) / 3) induce que el primer par común del siguiente par de filas es el único par de la forma 9 Y + 2 que proyecta simultáneamente sobre las dos trayectorias que definieron A ( k ) = Y . La unicidad viene del carácter acíclico del tramo hasta el primer par común, y la existencia se verifica por sustitución directa en las dos ramas. Por tanto A(k+1) = 9A(k)+2. Corolario 6.3 (Forma cerrada).Sea A(0) el atractor del par de filas (0,1) en T(n). Entonces A(k)=9kA(0) + 2 9k−1 8. Demostración. Resolver la lineal homogénea xk+1 −9xk= 2 con dato inicial x0=A(0). Observación 6.4 (Por qué aparece el factor 9en la recurrencia de los atractores).Entre dos atractores consecutivos del pareado (2 k+ 1 , 2 k+ 2) y(2 k+ 3 , 2 k+ 4), cada fila ejecuta exactamente un paso impar (el mapa afín x7→ 3 x + 2) antes de recolapsar mediante divisiones por 2hasta el siguiente par común. Las divisiones por 2no aportan factor 3(sólo comprimen por potencias de 2), mientras que cada paso impar sí lo aporta. Como hay uno por fila, el factor total es 3 · 3 = 9. El término constante +2 en la recurrencia A ( k+ 1) = 9 A ( k )+2procede de la parte afín del paso impar. Al sincronizar ambas filas y proyectar sobre el último par común, la contribución constante neta que sobrevive a las divisiones por 2es precisamente +2. En suma: el 9viene de dos pasos impares (uno en cada fila del pareado), y el +2 es el remanente afín que no se cancela tras las divisiones por 2. 6.2. Valor inicial y paridad de n/2 Escribamos n= 2m. El dato inicial A(0) depende sólo de la paridad de m. 4 Proposición 6.5 (Dato inicial A(0)).Para T(n)con n= 2m: A(0) =        (n+ 1) ·9−1 4,si mes par, (n+ 1) ·9−3 12 ,si mes impar. En ambos casos, A(0) ∈2N. Demostración. Para m par, n≡ 0 ( m´od 4) ⇒n+ 1 ≡ 1 ( m´od 4) y9 ≡ 1 ( m´od 4); de modo que ( n+ 1)9 − 1 ≡ 0 ( m´od 4). Para m impar, n≡ 2 ( m´od 4) ⇒n+ 1 ≡ 3 ( m´od 4) y9 ≡ 1 ( m´od 4); así ( n+ 1)9 − 3 ≡ 0 ( m´od 12). En ambos casos A (0) coincide con el primer par común alcanzado desde (0 , 1), lo que se comprueba por sustitución directa en las trayectorias de cierre de esas filas (cálculo finito que omitimos por brevedad). Teorema 6.6 (Atractores en forma cerrada).Si n= 2m, entonces para todo k≥0: A(k) =        (n+ 1)9k+1 −1 4,si mes par, (n+ 1)9k+1 −3 12 ,si mes impar. Demostración. Sustituir A (0) de la Proposición 6.5 en la forma cerrada del Corolario 6.3 y simplificar. Nótese que en ambos casos 9kA(0) + 29k−1 8=(n+ 1)9k+1 −β γ, donde (β, γ) = (1,4) si mpar y (β, γ) = (3,12) si mimpar. Ejemplo 6.7 (Casos arquetípicos).T (0) ( m = 0 par): A ( k ) = 9k+1 −1 4 = { 2 , 20 , 182 , 1640 ,...} . T(4) (m= 2 par): A(k) = 5·9k+1 −1 4={11,101,911,...}. T(6) (m= 3 impar): A(k) = 7·9k+1 −3 12 ={5,47,425,...}. Definición 6.8 (Pareados, últimos pares y sumas).Numeramos las filas desde 1. Para cada r≥1, el último par de la fila res br:= 3rn+ (3r−1). Para k≥0,elpareado kes el par de filas (2k+1,2k+2), y definimos Sk:= b2k+1 +b2k+2, ρ(i) k:= A(i)(k) Sk (i= 1,2si existe). Así, k= 0 corresponde a las filas (1,2) yk= 1 a(3,4), etc. 5 6.3. Recurrencia generativa 1–2–1 y regla modular Definimos la recurrencia generativa asociada a la tabla de triángulos T ( n )como la sucesión periódica 1,2,1,2,1,2, . . . en la que cada término 1o2no cuenta atractores, sino que codifica si el primer atractor de T ( n ) genera (por divisibilidad) una segunda sucesión derivada: 1: el primer atractor no genera un segundo (no hay columna derivada); 2: el primer atractor sí genera un segundo; empíricamente, éste se obtiene dividiendo término a término el primero entre 2: a(2)(k) = 1 2a(1)(k). Regla modular. Al recorrer los triángulos en el orden de la tabla (esto es, n = 0 , 4 , 6 , 10 , 12 , 16 , 18 , . . . ), se verifica el patrón n≡0,2 (m´od 8) ⇒recurrencia 2(primer atractor par) n≡4,6 (m´od 8) ⇒recurrencia 1(primer atractor impar). Ejemplos. T(0) : 2,20,182, . . . ⇒1,10,91, . . . (2), T(4) : 11,101,911, . . . (1), T(6) : 5,47,425, . . . (1), T(10) : 8,74,668, . . . ⇒4,37,334, . . . (2). Comentario. Esta codificación “1–2–1–2” refleja una propiedad de divisibilidad sistemática del primer atractor que, según el residuo de n módulo 8, permite (o no) la aparición de una segunda columna derivada. Proposición 6.9 (Criterio de existencia de segundo atractor).Sea T ( n )un triángulo admisible ( n≡ 0 , 4 ( m´od 6)). Entonces T ( n )posee segundo atractor (y, por tanto, ρ(2) k→ 3 / 32) si y solo si n≡0,10,16,18,24,34,40,42 (m´od 48). Equivalente: n≡0,2 (m´od 8). 6.4. Razón asintótica 3/16 Definamos Sk:= b2k+b2k+1. La razón de condensación es ρk:= A(k) Sk . 6 Observación 6.10 (Heurística de los factores 3y2 4 en ρ(1) ).La razón límite ρ(1) = l´ımk→∞ A(1) ( k ) /Sk adopta dos valores según la clase modular de n: ρ(1) =     3 16, n ≡0 (m´od 4), 1 16, n ≡2 (m´od 4). En los triángulos con n≡0 (m´od 4), la heurística del factor 3/16 se interpreta como 3 16 =3 24, donde: (i) el factor 3proviene del desfase impar (la multiplicación por 3en el primer paso del tramo), y (ii) el factor 24refleja la media efectiva de cuatro divisiones por 2en el tramo típico. En los triángulos con n≡2 (m´od 4), el límite es ρ(1) = 1/16: 1 16 =1 24, lo que indica que el factor 3no interviene en la primera columna atractora y sólo queda la contracción por potencias de 2. Ejemplo numérico (T(0) vs T(6)). Para T(0) (n≡0 (m´od 4)), las primeras razones son ρ(1) 0=2 10 = 0,200000, ρ(1) 1=20 106 ≈0,188679, ρ(1) 3=1640 8746 ≈0,187514, convergentes a 3/16 = 0,1875. Para T(6) (n≡2 (m´od 4)), ρ(1) 0=5 82 ≈0,060976, ρ(1) 1=47 754 ≈0,062334, ρ(1) 3=3827 61234 ≈0,062498, convergentes a 1 / 16 = 0 , 0625. Estos dos comportamientos ilustran que la presencia (o ausencia) del factor 3está dictada por la clase modular de n. En síntesis, la estructura modular de n determina si el atractor principal hereda el factor 3 (casos n≡ 0 ( m´od 4)) o no (casos n≡ 2 ( m´od 4)), lo que explica la coexistencia de los límites 3/16 y1/16. Proposición 6.11 (Límite de ρk según la paridad de n/ 2).Sea T ( n )un triángulo admisible y defínase ρk:= A(k)/Skcon A(k)ySkcomo en §6.1 y Def. 2.1. Entonces l´ım k→∞ ρk=     3 16,si n≡0 (m´od 4) (n/2par), 1 16,si n≡2 (m´od 4) (n/2impar). Demostración. Por §6.2 y el Teo. 6.6, A ( k ) =  ( n + 1)9 k+1 −β/γ con γ∈ { 4 , 12 } según la paridad de n/ 2. Además, Sk = b2k+1 + b2k+2 = (3 2k+1 + 3 2k+2 )( n + 1) − 2 = 4 · 3 2k+1 ( n + 1) − 2. Luego A(k) Sk =(n+ 1)9k+1/γ +O(1) 4·32k+1(n+ 1) + O(1) k→∞ −−−→ 9 12γ=3 4γ, lo que da 3/16 si γ= 4 y1/16 si γ= 12. 7 Evidencia numérica. En T(0) los valores observados son: k b2k+b2k+1 A(k)ρk 0 106 20 0,1887 1 970 182 0,1876 2 8746 1640 0,1876 3 78730 14762 0,1876 La convergencia es rápida y estable en torno a 0,1875. Corolario 6.12 (Límite de la razón del segundo atractor).Sea T ( n )un triángulo admisible. Existe segundo atractor (columna derivada) si y sólo si n≡0,2 (m´od 8) (§6.3). En tal caso, l´ım k→∞ A(2)(k) Sk =1 2l´ım k→∞ A(1)(k) Sk =     3 32,si n≡0 (m´od 8) (equiv. n≡0 (m´od 4)), 1 32,si n≡2 (m´od 8) (equiv. n≡2 (m´od 4)). 6.5. Un lema 2-ádico y módulo 3para el encuentro Recordemos que el mapa F admite preimágenes pares ( y7→ 2 y para todo y ) y, cuando y≡ 2 ( m´od 3), una preimagen impar ( y7→ (2 y− 1) / 3). El primer par común A ( k )de b2k y b2k+1 es precisamente el primer y alcanzado desde ambos cierres pares que, además, admite esa rama impar. Lema 6.13 (Puerta impar y contabilidad 2-ádica).Sean s0 = b2k y s1 = b2k+1 en un triángulo T ( n )con n par. Sea vi := v2 ( si )y m := m´ın{v0, v1} . Para que ambas trayectorias pares desde s0 y s1 alcancen su primer encuentro A ( k )que además admita preimagen impar (esto es, A ( k ) ≡ 2 (m´od 3)), se requieren al menos |v0−v1| | {z } igualación de escalas + 2 |{z} sincronía de residuos + 1 |{z} puerta impar = 3 + |v0−v1| divisiones por 2en total a lo largo de las dos ramas. En particular, para filas consecutivas (típicamente |v0−v1|= 1) se necesitan al menos cuatro halvings antes del encuentro. Bosquejo. (1) Igualación 2-ádica.) En el árbol de preimágenes pares y7→ 2 y , dos números con valuaciones v0 = v1 no pueden encontrarse antes de que la rama con mayor valuación se reduzca hasta el nivel m= m´ın{v0, v1}. Eso fuerza |v0−v1|halvings previos al encuentro. (2) Sincronía de residuos m´od 3.) Dividir por 2equivale a multiplicar por 2módulo 3(pues 2 −1≡ 2 ( m´od 3)): si yt+1 = yt/ 2, entonces yt+1 ≡ 2 yt ( m´od 3). Por tanto, la sucesión de residuos alterna entre dos valores (ciclo de longitud 2) mientras yt≡ 0 ( m´od 3); si yt≡ 0 ( m´od 3), ningún número de halvings cambia ese residuo. Para que ambas ramas coincidan por primera vez en un mismo y con residuo prescrito, se requieren al menos dos halvings adicionales más allá de la igualación 2-ádica (uno por rama en promedio) para colocar los residuos en fase. (3) Puerta impar.) La rama impar sólo existe si el encuentro ocurre en un y con y≡ 2 ( m´od 3); forzar esta condición añade, en el peor caso, al menos un halving adicional después de 8 la sincronía anterior (cuando el residuo común previo es 1 m´od 3). Sumando: |v0−v1| +2+1 halvings. 7. Implicaciones para la convergencia Esta sección descansa en los valores límite de ρk del primer atractor (Proposición 6.11), en el corolario del segundo atractor (Corolario 6.12), en la regla modular y en la recurrencia generativa (Subsección 6.3). No constituye una prueba global, sino un marco cuantitativo coherente con la convergencia. La razón límite ρk = A ( k ) /Sk caracteriza la fracción asintótica de elementos que “permanecen” en la zona atractora al crecer la escala k . Como se ha establecido en la Proposición 6.11, este límite **no es único para todos los triángulos**, sino que depende de la paridad de n/2: l´ım k→∞ ρ(1) k=     3 16,si n≡0 (m´od 4), 1 16,si n≡2 (m´od 4). Cuando existe un segundo atractor (casos de recurrencia 2,Subsección 6.3), el Corolario 6.12 establece que: l´ım k→∞ ρ(2) k=     3 32,si n≡0 (m´od 8), 1 32,si n≡2 (m´od 8). Estas razones asintóticas determinan, en términos heurísticos, la velocidad de contracción de las trayectorias hacia el conjunto atractivo. A mayor razón límite, mayor “peso” del atractor en el sistema y, por tanto, mayor capacidad de absorber trayectorias en escalas finitas. Los triángulos con n≡ 0 ( m´od 4) presentan una atracción más fuerte (3 / 16 y eventualmente 3 / 32 en la segunda columna), mientras que los de n≡2 (m´od 4) exhiben una atracción más débil (1/16 y1/32). En conjunto, estos resultados refuerzan la heurística de convergencia: la masa relativa concentrada en las zonas atractoras crece con la escala, y lo hace de forma controlada y predecible por condiciones modulares simples sobre n . Este marco no equivale a una demostración de la conjetura global, pero delimita con precisión las condiciones bajo las cuales la convergencia local se fortalece. 8. Dualidad impar–par Proposición 8.1 (Traslación +1).Sea Timpar ( n )el triángulo impar y Tpar ( n )su análogo par. Entonces Tpar(n)={x+ 1 : x∈Timpar(n−1)}. Demostración. La traslación x7→ x + 1 lleva x impar a x + 1 par y conmuta con S y C en la medida en que actúan sobre x + 1. Ajustando el índice base n7→ n− 1se preserva la estructura de filas/columnas. 9