PARAMETRIK TENGLAMALARNI YECHISHNING AYRIM USULLARI

RESEARCH AND EDUCATION ISSN: 2181-3191 VOLUME 4 | ISSUE 9 | 2025 Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 4 DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.17477897 PARAMETRIK TENGLAMALARNI YECHISHNING AYRIM USULLARI Alikulov Yusuf Pardayevich Sh.Rashidov nomidagi SamDU akademik litseyi, Matematika fani o‘qituvchisi, Maxmudov Inomjon Nemadullayevich Sh.Rashidov nomidagi SamDU akademik litseyi, Matematika fani o‘qituvchisi, gmail: [email protected] Nazarov Madiyor Dilmurod o‘g‘li Sh.Rashidov nomidagi SamDU akademik litseyi, Matematika fani o‘qituvchisi, Annotatsiya: Ushbu maqolada o‘quvchilar mustaqil ravishda parametrik misollarni yechishlari bo‘yicha to‘rt turdagi ya’ni chiziqli tenglama, chiziqli tenglamalar sistemasi, kvadrat tenglama hamda modul tenglamalarda parametrga bog‘liq holatlar o‘rganib chiqilgan. Kalit so‘zlar: Parametrik chiziqli tenglama, parametrik chiziqli tenglamalar sistemasi, parametrli kvadrat tenglamalar. Akademik litseylar uchun matematika dasturiga “Parametrli tenglamalar” mavzusi kiritilgan. Ammo matematika kursining barcha mavzularini o‘rganayotganda siz parametrlar bilan bog‘liq misollarni ko‘rib chiqishingiz mumkin. -Parametrli chiziqli tenglamalar. Ta’rif: Agar 𝐴𝑥 = 𝐵 (1) chiziqli tenglamada A va B koeffitsentlardan aqalli bittasi o‘rnida harfiy ifoda qatnashsa, (1) tenglamaga parametrga bog‘liq chiziqli tenglama deyiladi. Bu tenglama yechimlari uchun uch xil holat bo‘ladi: 1. A=0 va B≠0 bo‘lsa, (1) tenglama yechimga ega bo‘lmaydi, ya’ni 0𝑥 = 𝐵 tenglik hosil bo‘ladi, bu tenglik B≠0 bo‘lganligi uchun x ning birorta ham qiymatida o‘rinli bo‘lmaydi. RESEARCH AND EDUCATION ISSN: 2181-3191 VOLUME 4 | ISSUE 9 | 2025 Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 5 2. A≠0 bo‘lsa, (1) tenglama yagona yechimga ega bo‘ladi, ya’ni 𝑥 = 𝐵 A tenglamani yechimi hosil bo‘ladi. 3. A=0 va B=0 bo‘lsa, (1) tenglama yechimi cheksiz ko‘p bo‘ladi, ya’ni 0𝑥 = 0 tenglik hosil bo‘ladi, bu tenglik x ning istalgan qiymatida o‘rinli bo‘ladi. 1-misol. Tenglamani yeching kxxk +=+1 2 Chiziqli tenglamani yechish qoidasiga ko‘ra, 1 2−=− kxxk , 1)1( 2−=− kxk , 1)1)(1( −=+− kxkk 1k da yagona yechimga ega bo‘lgan, k=1 da cheksiz ko‘p yechimga yega bo‘lgan 00 =x tenglamaga, k=-1 yesa 20 −=x , yechimlari bo‘lmagan tenglamaga ega bo‘lamiz. Chiziqli tenglamalar tizimini o‘rganishni yechishda masalani nazariy asoslash, shuningdek, geometrik tasvirni berish kerak. -Parametrli chiziqli tenglamalar sistemasi. Ta’rif: Ushbu    =+ =+ 222 111 cybxa cybxa (2) sistemada a1, b1, c1, a2, b2 va c2 koeffitsentlardan aqalli bittasi o‘rnida harfiy ifoda qatnashsa, (2) sistemaga parametrli chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi. 1. Agar 2 1 2 1 b b a a shart bajarilsa, (2) sistema yagona yechimga ega bo‘ladi (to‘g‘ri chiziqlar kesishadi). 2. Agar 2 1 2 1 2 1 c c b b a a= shart bajarilsa, (2) sistema yechimga ega bo‘lmaydi (to‘g‘ri chiziqlar kesishmaydi (parallel) bo‘ladi). 3. Agar 2 1 2 1 2 1 c c b b a a== shart bajarilsa, (2) sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi (to‘g‘ri chiziqlar ustma-ust tushadi). 2-misol. Tenglamalar sistemasi yechimiga yega bo‘lmagan, yagona yechimga ega bo‘ladigan va cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladigan a ning barcha qiymatlarini toping.    =+ −+=+ 22 22 22 yx aayax Agar har bir chiziqli tenglamani to‘g‘ri chiziq tenglamasi deb hisoblasak, o‘quvchilar bu sistemaning yechimi yo‘q, agar chiziqlar parallel bo‘lsa, x va y da RESEARCH AND EDUCATION ISSN: 2181-3191 VOLUME 4 | ISSUE 9 | 2025 Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 6 koyeffisiyentlarning nisbati mutanosib bo‘lishi kerak, deb bemalol javob beradilar: 2 1 2 1 2 1 c c b b a a= Ushbu misolda u mavjud: . 2 2 21 222 −+ = aaa Tizimni hal qiladi    −+ = 22 2 2 4 aaa a =>     = 2 2 a a Shunday qilib, 2−=a , uchun sistemaning yechimlari bo‘lmaydi. 2 1 2 1 2 1 c c b b a a== 2 2 21 222 −+ == aaa bundan    =−+ = 22 2 2 4 aaa a =>    = = 2 2 a a 2=a uchun, tenglamalar sistemasi cheksiz sonli yechimga ega bo‘ladi. 2 1 2 1 b b a a 21 22 a  bundan 4 2a => 2a da sistema yagona yechimga ega bo‘ladi. -. Parametrga bog‘liq kvadrat tenglamalar. Ta’rif: Agar 0 2=++ cbxax , 0a (3) kvadrat tenglamada a, b va c koeffitsentlardan aqalli bittasini o‘rnida harfiy ifoda qatnashsa, (3) tenglamaga parametrga bog‘liq kvadrat tenglama deyiladi. Kvadrat tenglamalarni yechishda savollar tenglamaning ildizlari soni, ildizlar orasidagi munosabat bilan bog‘liq bo‘lishi mumkin. 1. Agar 0D bo‘lsa, (3) tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega bo‘ladi. 2. Agar 0=D bo‘lsa, (3) tenglama yagona yechimga ega ( 0=a holini ham tekshirib ko‘rish kerak) bo‘ladi. 3. Agar 0=D bo‘lsa, (3) tenglama ildizlari o‘zaro teng bo‘ladi. 4. Agar     = 0 0 a D bo‘lsa, cbxax ++ 2 kvadrat uchhadni to‘la kvadrat shaklda tasvirlash mumkin bo‘ladi. 5. Agar 0D bo‘lsa, (3) tenglama haqiqiy ildizga ega bo‘lmaydi. 6. Agar 0ca bo‘lsa, (3) tenglama ildizlari turli ishorali bo‘ladi. 7. Agar      0 0 ca D bo‘lsa, (3) tenglama ildizlari bir xil ishorali bo‘ladi. 8. Agar     = 0 0 ca b bo‘lsa, (3) tenglama ildizlari qarama-qarshi sonlar bo‘ladi. RESEARCH AND EDUCATION ISSN: 2181-3191 VOLUME 4 | ISSUE 9 | 2025 Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 7 9. Agar         0 0 0 ca ba D bo‘lsa, (3) tenglama ikkala ildizi ham manfiy bo‘ladi. 10. Agar         0 0 0 ca ba D bo‘lsa, (3) tenglama ikkala ildizi ham musbat bo‘ladi. 11. Ushbu 0 2=++ cbxax tenglama ildizlariga teskari sonlardan tuzilgan kvadrat tenglama 0 2=++ abxcx ko‘rinishda bo‘ladi. 12. Ushbu 0 2=++ cbxax tenglama ildizlariga qarama-qarshi sonlardan tuzilgan kvadrat tenglama 0 2=+− cbxax ko‘rinishda bo‘ladi. 3-misol. m ning qanday qiymatlari uchun tenglama 056)3( 2=++−− mxxm ikkita haqiqiy ildizga ega bo‘ladi. Va bu yerda siz geometrik yeskizdan boshlashingiz mumkin. Kvadrat funksiyaning grafigi parabola bo‘lgani uchun parabola x o‘qini OX ni ikki nuqtada kesib o‘tadi. Endi, albatta, o‘quvchilar kvadrat tenglama ikkita ildizga ega bo‘lgan shartni eslab qolishadi: D> 0 biz olamiz. 0)5)(3(4)6( 2+−−−= mmD , 0)152(436 2−+− mm , 01529 2+−− mm 0242 2−+ mm , Uchxad ildizlar: 6 1−=m , 4 2=m , 0)4)(6( −+ mm dan 46 − m ekanligi kelib chiqadi. 4-misol. a ning qanday qiymatida axx =− 4 2 tenglama uchta ildizga yega. y 4 O 4 x RESEARCH AND EDUCATION ISSN: 2181-3191 VOLUME 4 | ISSUE 9 | 2025 Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 8 Yechishda )(xfy = funksiya grafigini chizish kifoya. Grafikga qarasak, 40  a da tenglama 4 ta ildizga yega bo‘ladi, 4a tenglama 2 ta ildizga yega yekanligini ko‘ramiz. ay = to‘g‘ri chiziq berilgan chiziqqa tegsa, tenglama uchta ildizga yega bo‘ladi, ya’ni. 4=a da . 5-misol. k ning qanday qiymatlarida 022)1( 22 =−+++− kkxkx tenglama ildizlaridan biri 2 dan kata, ikkinchisi esa 2 dan kichik bo‘ladi. Yechish: Tenglikning chap qismi kvadrat funksiya bo‘lib, parabolaning tarmoqlari yuqoriga yo‘nalgan va shartga ko‘ra OX o‘qini 2 ta nuqtada ya’ni 2=x nuqtaning o‘ng va chap tomonidan kesib o‘tishi kerak. Demak, shu funksiya 2=x da manfiy qiymatga ega bo‘lishi kerak: 0222)1(2 22 −+++− kkk => 020 2−− kk => 54 − x . Demak, )5;4(−k ekan. 6-misol. a ning qanday qiymatlarida 034 2=+−− axx tenglama 2 ta musbat ildizga ega bo‘ladi. Yechish: Bu tenglamada tx = belgilash kiritamiz.Bu tenglama ikkita musbat ildizga ega bo‘lishi uchun t ning 2 ta musbat qiymati mavjud bo‘lishi kerak. Shuning uchun 034 2=+−− att tenglama 2 ta musbat ildizga ega bo‘ladigan a ning qiymatlarini topamiz:         0 0 0 ca ba D =>      +− − +−−− 0)3(1 0)4(1 0)3(14)4( 2 a a =>     − 3 1 a a => )3;1(−a . Demak, )3;1(−a ekan. 7-misol. 03)2(2)4( 222 =++++++ xbaxba tenglama haqiqiy yechimlarga ega bo‘lsa, 3a-b ni qiymatini toping. Yechish:Berilgan tenglamada qavslarni ochamiz: 034224 22222 =++++++ xbxaxxxbxa Buni quyidagicha ko‘rinishda yozib olamiz: 01441212 22222 =++++++++ xxbxxbaxxa Bundan: 0)12()1()1( 222 =+++++ xbxax ni hosil qilamiz. Bundan esa      =+ =+ =+ 012 01 01 x bx ax =>    −= == 5,0 2 x ba yechimlarni hosil qilamiz. Demak, 3a-b=2a=4 ekan. Xulosa qilib aytganda, ba’zi parametrik tenglamalarini yechishda ananaviy usullar bilan yechish ancha qiyinchilik tug‘diradi. Biz yuqorida misollar yordamida ko‘rsatib bergan usular bilan yechish ancha qulay hisoblanadi. RESEARCH AND EDUCATION ISSN: 2181-3191 VOLUME 4 | ISSUE 9 | 2025 Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 9 Foydalanilgan adabiyotlar: 1. I.F.Sharigin: Fakultativniy kurs po matematike, Moskva 1989 2. Leybson K.L: Sbornik praktichiskix zadaniy po matematike, Moskva 2009 3. A.X.Shaxmestr: Uravneniya, Moskva 2011 4. E.D. Kulanin, i.d : 3000 konkursnix zadach po matematike, Moskva 2003