IMPULSLI YUKLAMA OSTIDAGI G'OVAK ELASTIK YARIM FAZO UCHUN VAQT DOMENIDA GREEN FUNKSIYASINI HISOBLASH

ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 10, issue 1, Oktabr 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAK Index bazalari : research gate, research bib. Qo’shimcha index bazalari: zenodo, open aire. google scholar. Original article 1541 IMPULSLI YUKLAMA OSTIDAGI G‘OVAK ELASTIK YARIM FAZO UCHUN VAQT DOMENIDA GREEN FUNKSIYASINI HISOBLASH Normuminova Maftuna Axborot texnologiyalari va menejment universiteti magistranti [email protected] Annotatsiya: Ushbu maqolada impulsli yuklanish ostidagi g‘ovak elastik yarim fazo uchun vaqtga bog‘liq Green funksiyasini hisoblash usullari tahlil qilinadi. Tadqiqotda Park va Kausel tomonidan taklif etilgan gibrid yondashuv asosida bir jinsli va g‘ovak elastik elastik muhitlar uchun Green funksiyalari birlashtiriladi. Ushbu metod Thin Layer Method (TLM) va teskari transformatsiyalar orqali aniqlik bilan ishlab chiqilgan. Shuningdek, singular va integral tenglamalarni sonli hisoblashdagi murakkabliklar ham yoritiladi. Maqola elastodinamik va seysmik to‘lqinlarni sonli modellashtirish sohalarida muhim nazariy va amaliy ahamiyatga ega. Kalit so‘zlar: G‘ovak elastik yarim fazo, Green funksiyasi, vaqt domeni, yupqa qatlamlar usuli (TLM), elastodinamika, teskari transformatsiya, seysmik to‘lqinlar, sonli integrallash, to‘lqin tarqalishi, impulsli yuklama. Kirish Gorizontal bo‘yicha g‘ovak elastik yarim fazolar uchun vaqt-muhitga bog‘liq to‘liq analitik yechim mavjud emas. Bu muammo dastlab Thomson va Haskell tomonidan tarqalish matritsasi usuli yordamida o‘rganilgan, keyinchalik Kausel va Navier tenglamalaridan foydalanib, TLM asosida g‘ovak elastik muhit uchun asosiy tabiiy tebranish shakllari yig‘indisining yechimini ishlab chiqqan. Park va Kausel bu yondashuvni gibrid shaklga keltirib, uni yassi deformatsiyalar (P-SV va SH) asosida ajratib yechganlar. Masalaning qo‘yilishi G‘ovak elastik yarim fazo masalasi elastodinamikada muhim ahamiyatga ega bo‘lib, seysmik to‘lqinlarning g‘ovak elastik muhitda tarqalishini modellashtirishda qo‘llaniladi. Muammo 0z hududida joylashgan yarim fazoda, ya’ni erkin sirt 0z= da va bir nechta qatlamlardan iborat muhitda impulsli yuklanish ostida to‘lqinlarning tarqalishini o‘rganadi. Har bir qatlamda zichlik i r , to‘lqin tezligi i p c va ko‘ndalang to‘lqin tezligi i s c bilan xarakterlanadi. Masalaning matematik formulasi Navier tenglamalariga asoslanadi: 2 ( ) ( ) t r l m m 2 2 ¶= + + + ¶ uu u f (1) ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 10, issue 1, Oktabr 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAK Index bazalari : research gate, research bib. Qo’shimcha index bazalari: zenodo, open aire. google scholar. Original article 1542 bu yerda , ,( ) x y z =u u u u siljish vektori, λ va µ Lame konstantalari, f tashqi kuch vektoridir. Impulsli yuklama , ( )( ), k x y z t d d =f e shaklida qo‘llaniladi, bu yerda δ Dirac delta funksiyasi, k e birlik vektordir. Masala ikkiga bo‘linadi: SH (ko‘ndalang gorizontal) va P-SV (bo‘ylama va ko‘ndalang vertikal) to‘lqinlar uchun alohida yechimlar topiladi. SH masalasi y u komponenti bilan, P-SV masalasi esa x u va z u komponentlari bilan bog‘liq. Yechish usullari Masalani yechish uchun gibrid usul qo‘llaniladi, bu usul bir xil yarim fazo va g‘ovak elastik muhitlar uchun Green funksiyalarini birlashtiradi. Yechim quyidagi bosqichlardan iborat: Bir xil yarim fazo uchun Green funksiyalari: Bir xil yarim fazo uchun SH masalasining tenglamasi: 2 2 2 2 2 2 2 u u u 1 y y y s x z c t ¶ ¶ ¶ + = ¶ ¶ ¶ (2) bu yerda / s c µ r = . Yechim Fourier transformatsiyasi yordamida to‘lqin soni chastotaga bog‘liq holda (k,ω) topiladi: 2 2 2 u ( , , ) , vz y s k z Ae v k c w w = = - % (3) Erkin sirt sharti ( 0)z= va radiatsiya sharti ( )z® - qo‘llaniladi. Green funksiyasi vaqtga bog‘liq teskari Fourier transformatsiyasi orqali olinadi: 0 1 | | ( , , ) ( ) ( ), SH s s s s z G k z t J kc t H t c t t m = - = (4) bu yerda 0 J nolinchi tartibli Bessel funksiyasi, H Heaviside funksiyasi. P-SV masalasi uchun tenglamalar sistemasi quyidagicha yoziladi: 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) ( ) x x z x u u u u x z x z t l m m l m r ¶ ¶ ¶ ¶ + + + + = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (5) 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) ( ) z z x z u u u u x z x z t m l m l m r ¶ ¶ ¶ ¶ + + + + = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (6) ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 10, issue 1, Oktabr 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAK Index bazalari : research gate, research bib. Qo’shimcha index bazalari: zenodo, open aire. google scholar. Original article 1543 Green funksiyasi [ ] , ; , P SV xx xz zx zz G G G G -=G matritsa shaklida ifodalanadi va Reley to‘lqinlarining singularligi tufayli kompleks integratsiya talab qiladi. “Thin Layer Method” (yupqa qatlam usuli) usuli: G‘ovak elastik muhit uchun Green funksiyalari TLM metodi yordamida hisoblanadi. Masala yupqa qatlamlarga bo‘linadi, har bir qatlamning qattiqlik matritsasi to‘lqin soni chastotaga bog‘liq holda tuziladi. Asosiy tabiiy tebranish shakllari yig‘indisi orqali vaqtga bog‘liq yechim topiladi. Gibrid usul: Gibrid usul bir xil yarim fazo va g‘ovak elastik muhit uchun Green funksiyalarini birlashtiradi. Ushbu jarayon vaqt domenidagi konvolyutsiya integral tenglamalar sistemasini yechish orqali amalga oshiriladi: 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )G G K G t um h s k t k t k t k d t t t = + - (7) bu yerda Kkonvolyutsiya yadrosidir. Yakuniy Green funksiyasi: Nihoyat, nuqta yuklamaga nisbatan Green funksiyasi radial to‘lqin soni va vaqt domenida teskari Gankel transformatsiyasi orqali aniqlanadi: 0 0 ( , ) ( , ) ( )G r t kG k t J kr dk= (8) Chegaraviy shartlar Masalaning yechimi quyidagi chegaraviy shartlarga bog‘liq: • Erkin sirt sharti: 0z= da kuchlanishlar yo‘q, ya’ni: ( 2 ) 0, 0 z x x z zz xz u u u u z x z x s l m l s m ¶ ¶ ¶ ¶ = + + = = + = ¶ ¶ ¶ ¶ (9) • Radiatsiya sharti: z® - da to‘lqinlar so‘nadi, ya’ni 0u® . • Qatlamlar chegarasidagi shartlar: Har bir qatlam chegarasida siljish va kuchlanishning uzluksizligi ta’minlanadi: 1 1 ,(  .) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i z z z z s s + + = =u u (10) • Impulsli yuklama sharti: Yuklama ( ) ( ) , , k x y z t d d =f e shaklida qo‘llaniladi. Sonli yechimlar P-SV masalasi uchun Green funksiyasi integral ifoda shaklida beriladi va Reley to‘lqinlari mavjudligi sababli singularlikka ega bo‘ladi. Ushbu integrallarni hisoblashda kompleks ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 10, issue 1, Oktabr 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAK Index bazalari : research gate, research bib. Qo’shimcha index bazalari: zenodo, open aire. google scholar. Original article 1544 tekislikda deformatsiyalangan kontur bo‘ylab integratsiya usuli qo‘llaniladi. Sonli integratsiya esa Chebishev ko‘phadlariga asoslangan Clenshaw–Curtis kvadraturasi yordamida amalga oshiriladi, bu esa yuqori hisoblash aniqligini ta’minlaydi. Quyidagi jadvalda P-SV masalasi uchun integral tenglamalarining sonli hisoblash natijalari keltirilgan (ν = 0.25, z = 0): t xx G xz G zz G 1.0 0.123 0.045 0.156 2.0 0.098 0.032 0.134 3.0 0.076 0.021 0.109 1-jadval: P-SV Green funksiyasi komponentlarining sonli qiymatlari Integrallarni hisoblashda ikkita interval ishlatiladi: [ ] 0 0,§ Щ va [ ) 0,§ Щ , bu yerda 0 § Щ funksiya asimptotikasiga o‘tish nuqtasidir. Asimptotik yondashuv integralning yuqori chegarasida yuzaga keladigan xatolikni 0.25% dan oshmaydigan darajada nazorat qilib turadi. Green funksiyalarining vaqt bo‘yicha o‘zgarishi grafiklar orqali tasvirlanadi. Quyida SH masalasi uchun Green funksiyasining vaqt domenidagi o‘zgarishi ko‘rsatilgan: 1-rasm: SH Green funksiyasining vaqt bo‘yicha o‘zgarishi (ν = 0.25, z = 0) P-SV masalasi uchun integral tenglamalarining harakati quyidagi grafikda keltirilgan. Grafikda ko‘rsatilganidek, yadrolar Ω→∞ ga yetganda asimptotik tarzda barqarorlashadi, bu sonli hisoblashda foydalaniladi. ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 10, issue 1, Oktabr 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAK Index bazalari : research gate, research bib. Qo’shimcha index bazalari: zenodo, open aire. google scholar. Original article 1545 2-rasm: P-SV integral tenglamalarning Ω chastota bo‘yicha o‘zgarish grafigi (τ = 2.0, ν = 0.25) Xulosa G‘ovak elastik yarim fazo masalalari uchun taklif etilgan gibrid usul analitik aniqlik va sonli samaradorlikni birlashtiradi. Green funksiyalarini hisoblashdagi singularliklar va yuqori hisoblash natijalari kompleks integratsiya va asimptotik yondashuvlar yordamida bartaraf etildi. Natijalar seysmologiya, muhandislik va to‘lqin tarqalishi tadqiqotlari uchun muhim ahamiyatga ega. Adabiyotlar: 1. M. Bouchon. A simple method to calculate Green’s function for elastic layered media . Bulletin of the Seismological Socmty of America, 71:959–971, 1981. 2. Y. Hisada. An efficient method for computing Green’s functions for a layared half-space with sources and recievers at close depths. Bulletin of the Seismological Society of America, 84:1456–1472, 1994. 3. E. Kausel. Thin Layared Method: Formulation in the time domain. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 37:927–941, 1994. 4. E. Kausel. Fundamental solutions in elastodynamics: a compendium. Cambridge University Press, New York, 2006. 5. Xolmurodov A., Matanov M., Quzratov M. Propagation of harmonic plane waves in an elastic half-space. Field equations //AIP Conference Proceedings. – AIP Publishing LLC, 2024. – Т. 3244. – №. 1. – С. 020019. 6. Xolmurodov, A. E., & Matanov, M. C. (2024). Reflection of sv waves in the elastic halfspace. field equations for angles of incidence less than the critical one: Reflection of sv waves in the elastic half-space. field equations for angles of incidence less than the critical one. MODERN PROBLEMS AND PROSPECTS OF APPLIED MATHEMATICS, 1(01). 7. Xolmurodov, A. E., & Matanov, M. C. (2024). Reflection of sv waves in the elastic halfspace. field equations for angles of incidence less than the critical one: Reflection of sv waves in the elastic half-space. field equations for angles of incidence less than the critical one. MODERN PROBLEMS AND PROSPECTS OF APPLIED MATHEMATICS, 1(01). ISSN: 3030-3931, Impact factor: 7,241 Volume 10, issue 1, Oktabr 2025 https://worldlyjournals.com/index.php/Yangiizlanuvchi worldly knowledge OAK Index bazalari : research gate, research bib. Qo’shimcha index bazalari: zenodo, open aire. google scholar. Original article 1546 8. Kholmurodov A. E., Matanov M. C. Seismic excitation model of half-space propagation of rayleigh waves //Проблемы вычислительной и прикладной математики. – 2024. – №. 6 (62). – С. 45-56. 9. Matanov, M. (2025). DEVELOPMENT OF SYNTHETIC ACCELEROGRAMS AND BASELINE CORRECTION METHODS FOR DETERMINISTIC MODELING OF SEISMIC WAVE PROPAGATION. DIGITAL TRANSFORMATION AND ARTIFICIAL INTELLIGENCE, 3(2), 100-108. 10. Charshamievich, M. M. (2025). STABILITY AND ACCURACY OF THE HYBRID METHOD FOR DYNAMIC HALF-SPACE MODELS UNDER SINUSOIDAL IMPULSIVE SURFACE LOADS. Международный научный журнал, 2(1), 15-20. 11. Muhammad, M. (2025). Integral equations and harmonic fundamental solutions for wave equations in poroelastic media. Issue 1 of 2025 (149/2), 1(167), 5-10. 12. Charshamievich, M. M. (2022). Decision-making systems and criteria. Eurasian Journal of Engineering and Technology, 10, 95-98.