MATEMATIK MODELLASHTIRISHDA ODTLARNI YECHISHNING KO'P QADAMLI USULLARINING ALGORITMLARI VA DASTURIY TA'MINOTINI ISHLAB CHIQISH

Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | SPECIAL ISSUE 13 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 68 DOI: https://10.5281/zenodo.17489144 MATEMATIK MODELLASHTIRISHDA ODTLARNI YECHISHNING KO‘P QADAMLI USULLARINING ALGORITMLARI VA DASTURIY TA’MINOTINI ISHLAB CHIQISH Turg‘unov Abrorjon Maxamatsolievich PhD, dotsent, Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti E-mail: [email protected] Xudoyqulov Quvondiq Oybek o‘g‘li FullStack Software Engineer E-mail: [email protected] ANNOTATSIYA Ushbu ishda matematik modellashtirish jarayonida oddiy differensial tenglamalarni (ODT) yechishning ko‘p qadamli raqamli usullari tahlil qilinadi. Euler, Adams-Bashfort va Adams-Moulton kabi ko‘p qadamli usullarning nazariy asoslari keltirilgan hamda ularning barqarorligi va aniqligi o‘rganilgan. Shu asosda ODTlarni yechish uchun algoritmlar ishlab chiqilib, Python dasturlash tili yordamida dasturiy ta’minot yaratildi. Dastur turli sinov masalalarida sinovdan o‘tkazilib, samaradorlik natijalari tahlil qilindi. Kalit so‘zlar: Matematik modellashtirish, oddiy differensial tenglama, ko‘p qadamli usul, Euler usuli, Adams-Bashfort, Adams-Moulton, algoritm, dasturiy ta’minot, Python. Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | SPECIAL ISSUE 13 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 69 АННОТАЦИЯ В данной работе рассматриваются мног шаговые численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в процессе математического моделирования. Приведены теоретические основы методов Эйлера, Адамса-Башфорта и Адамса-Моултона, а также исследованы их устойчивость и точность. На основе этого разработаны алгоритмы решения ОДУ и создано программное обеспечение с использованием языка Python. Программа протестирована на различных тестовых задачах, и проведён анализ её эффективности. Ключевые слова: Математическое моделирование, обыкновенные дифференциальные уравнения, многошаговый метод, метод Эйлера, АдамсБашфорт, Адамс-Моултон, алгоритм, программное обеспечение, Python. ABSTRACT This study focuses on multi-step numerical methods for solving ordinary differential equations (ODEs) in the process of mathematical modeling. The theoretical foundations of Euler, Adams-Bashforth, and Adams-Moulton methods are presented, and their stability and accuracy are analyzed. Based on these methods, algorithms for solving ODEs were developed, and software was implemented using the Python programming language. The program was tested on various benchmark problems, and its efficiency was evaluated. Keywords: Mathematical modeling, ordinary differential equations, multi-step methods, Euler, Adams-Bashforth, Adams-Moulton, algorithm, software, Python. Zamonaviy fan va texnika sohalarida matematik modellashtirish muhim o‘rin tutadi. Ayniqsa, tabiiy va texnik jarayonlarni tahlil qilishda differensial tenglamalar keng qo‘llaniladi. Ular orqali fizik, kimyoviy, biologik va iqtisodiy jarayonlarning o‘zgarish dinamikasi ifodalanadi. Bunday tenglamalarni analitik yo‘l bilan yechish har doim ham mumkin emas. Shu sababli, raqamli metodlarga murojaat qilish zarur bo‘ladi. Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | SPECIAL ISSUE 13 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 70 Oddiy differensial tenglamalarni (ODT) sonli usullar yordamida yechish masalasi matematik analiz va hisoblash matematikasining asosiy bo‘limlaridan biridir. ODT’larni sonli yechishda ko‘p bosqichli (ko‘p qadamli) usullar alohida o‘rin egallaydi. Bu usullar orasida Adams-Bashforth va Adams-Moulton usullari eng samarali va keng qo‘llaniladigan metodlar sirasiga kiradi. Ular yuqori aniqlik, hisoblashda barqarorlik va samaradorlik xususiyatlari bilan ajralib turadi. ODT - bu noma’lum funksiya va uning hosilalari qatnashgan tenglamalardir. Bu tenglamalarda faqat bitta mustaqil o‘zgaruvchi bo‘ladi. ODT matematikada, fizikada, biologiyada, iqtisodiyotda va boshqa ko‘plab sohalarda keng qo‘llaniladi. Uning umumiy ko‘rinishi quyidagicha ifodalanadi: , , , ,..., 0( ( ))F x y y y y n  = bu yerda x - mustaqil o‘zgaruvchi, ()y y x= - noma’lum funksiya, ), ,. . (.,y y y n  esa ushbu funksiyaning turli tartibli hosilalaridir. Ko‘p qadamli usullar - bu oddiy differensial tenglamalarni raqamli (numerik) usulda yechish uchun ishlatiladigan samarali yondashuvlardan biridir. Bu usullar yangi yechim nuqtasini hisoblashda faqat bir oldingi nuqtani emas, balki bir nechta oldingi yechim va funksiyalar qiymatlarini ishlatadi. Ular yakkalik (bir qadamli) usullarga nisbatan tezroq va samaraliroq natija beradi, ayniqsa katta masofaga yoki yuqori aniqlikda hisoblashda. Ko‘rib chiqilayotgan tenglama umumiy ko‘rinishda quyidagicha bo‘ladi: 00 ( ) (, ), dx f x y y x y dy== bu tenglamani nuqtalar ketma-ketligida yaqinlashgan holdayechish uchun 00 x x nh=+ deb olamiz, bu yerda h - qadam uzunligi. Ko‘p qadamli usullar quyidagi umumiy ifoda asosida ishlaydi: 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 () n n n k n k n n k n k y a y a y a y h b f b f b f + − − − + − − − + = + + + + + + + bu yerda ),( i i i f f x y= va koeffitsiyentlar usulning aniq turi va tartibiga bog‘liq. Adams-Bashforth usullari (ochiq, ya’ni eksplicit) Bu usullar faqat ilgari hisoblangan qiymatlar bilan ishlaydi. Yangi qiymat yn+1 faqat oldingi f(xk,yk)lar yordamida hisoblanadi. Shuning uchun ular tez va oddiy, lekin ba’zan barqaror emas. 2-qadamli: 11 ()3 2 n n n n h y y f f +− = + − Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | SPECIAL ISSUE 13 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 71 3-qadamli versiyasi: 1 1 2 23 16 )5 12( n n n n n h y y f f f + − − = + − + Adams-Moulton usullari (yopiq, ya’ni implitsit) Bu usullarda yangi qiymatning o‘zi ham hosila sifatida qatnashadi: 1 1 1 ( , ) n n n f f x y + + + = . Bu usullar barqarorroq, lekin yechimda iteratsiya yoki tenglama yechish talab qiladi. Misol (2-qadamli): 1 1 1 (5 )8 12 n n n n n h y y f f f + + − = + + − Predictor–Corrector usullari Bu yondashuvda Adams-Bashforth usuli avval tahminchi (predictor) sifatida ishlatiladi, keyin Adams-Moulton yordamida to‘g‘rilanadi (corrector). Bu usullar hisoblashda barqarorlik va aniqlikni birlashtiradi. Jarayon: 1. (0) 1n y+ — oldingi nuqtalarga asoslanib bashorat qilinadi (predictor). 2. (1)1n y+ ushbu qiymat bilan fn+1 hisoblanib, to‘g‘rilanadi (corrector). 3. Agar kerak bo‘lsa, iteratsiya takrorlanadi. 4. Milne usuli Milne usuli ham predictor–corrector shakliga kiradi: • Predictor: 1 3 1 2 (2 ) 42 3 n n n n n h y y f f f + − − − = + − + • Corrector: 1 1 1 1 4() 3 n n n n n h y y f f f + − − + = + + + Yuqori aniqlik (past qadamda ham yaxshi natija),kamroq funksiya chaqiriladi (Runge-Kutta bilan solishtirganda),Katta masofaga samarali hisoblaydi. Boshlanishi uchun bir necha boshlang‘ich qiymat kerak (odatda Runge-Kutta yordamida topiladi),Barqarorlik har doim kafolatlanmagan (ayniqsa eksplicit usullarda), Implitsit usullar algebraik tenglamalarni yechishni talab qiladi. Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | SPECIAL ISSUE 13 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 72 Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | SPECIAL ISSUE 13 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 73 cos( ) , 0 1() dx x y y dy = − = uchun Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | SPECIAL ISSUE 13 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 74 ) x_vals.append(x_next) y_vals.append(y_next) f_vals.append(f(x_next, y_next)) return x_vals, y_vals # Analitik yechim (solishtirish uchun) def exact_solution(x): return (x + 1)**2 - 0.5*np.exp(x) # Parametrlar x0 = 0 y0 = 0.5 h = 0.1 N = 50 x_vals, y_vals = adams_bashforth(f, x0, y0, h, N) x_exact = np.linspace(x0, x0 + h*(N-1), 200) Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | SPECIAL ISSUE 13 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 75 y_exact = exact_solution(x_exact) # Grafik plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(x_vals, y_vals, ‘bo-’, label="Adams-Bashforth (4-qadamli)") plt.plot(x_exact, y_exact, ‘r--’, label="Analitik yechim") plt.xlabel("x") plt.ylabel("y") plt.title("Ko‘p qadamli usul bilan yechim (dy/dx = y - x² + 1)") plt.grid(True, linestyle=‘--’, alpha=0.6) plt.legend() plt.tight_layout() plt.show() XULOSA Adams-Bashforth va Adams-Moulton usullari oddiy differensial tenglamalarni yechishda yuqori aniqlik va samaradorlikni ta’minlaydi. Ko‘p qadamli bo‘lgani uchun hisoblashda resursni kamroq talab qiladi va barqarorlikni saqlaydi. Dastlabki nuqtalar sifatida yuqori aniqlikdagi Runge-Kutta usuli qo‘llaniladi, so‘ngra Adams usullari bilan tez va ishonchli yechimlar olinadi. Bu usullar kombinatsiyasi - predictorcorrector yondashuvi - real fizik, texnik va biologik modellashtirish masalalarida keng qo‘llaniladi. Python dasturi orqali bu usullarning ishlashi muvaffaqiyatli tasdiqlandi, va grafik natija yechim silliq chiqishini ko‘rsatdi. Educational Research in Universal Sciences ISSN: 2181-3515 VOLUME 4 | SPECIAL ISSUE 13 | 2025 https://t.me/Erus_uz Multidisciplinary Scientific Journal October, 2025 76 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI: (REFERENCES) 1. Burden, R. L., & Faires, J. D. – Numerical Analysis, Brooks/Cole, 2011 2. Atkinson, K. E. – An Introduction to Numerical Analysis, Wiley, 1989 3. Исмоилов Б.И. – Differensial tenglamalar nazariyasi, TDIU, 2015